1

第一章 多项式

§1 数域§2 一元多项式§3 整除的概念§4 最大公因式§5 因式分解定理§6 重因式§7 多项式函数§8 复系数与实系数多项式的因式分解§9 有理系数多项式

2

§1 数 域 多项式是代数学中最基本的对象之一，它不

但与高等方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会用到。本章介绍多项式的基本知识。

数：自然数→整数→有理数→实数→复数。 数的运算：加、减、乘、除。这些运算性质

称为代数性质。有理数、实数、复数对这四种运算都是封闭的。有其它一些数集也具有这样的性质，引入：

3

定义一 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域。

有理数、实数、复数为数域，记为 Q(rational number) 、 R （ real number) 、 C(complex number) 。

例 1 所有具有形式 的数（ a,b 是任意有理数），构成一个数域。 通常用 来表示这个数域。

2ba

)2(Q

4

证明 显然 包含 0 和 1 并且对于加减法是封闭的。现在证明它对乘除法也是封闭的。

设 于是 也不为零，而

)2(Q

)2(2)()2(

)2)(2(

Qbcadbdac

dcba

02 ba 2ba

)2(222

2

)2)(2(

)2)(2(

2

2

2222Q

ba

bcad

ba

bdac

baba

badc

ba

dc

5

由上两式可以得出 乘、除法也是封闭

的。 例 2 所有可以表成形式

的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数，

是整数。

)2(Q

mm

nn

bbb

aaa

10

10

),,1,0;,,1,0(, mjniba ji

6

例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减不是封闭的。

的整倍数的全体构成一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于除法不封闭。

2

7

重要性质：所有的数域都包含有理数作为他的一部分。

事实上，设 P 是一个数域，由定义，1+1=2 ， 2+1=3 ，…， n+1=n+1,…全属于 P ，再由 P 对减法的封闭性，o-n=-n ，也属于 P ，因而 P 包含全体整数。任何一个有理数可以表成两个整数的商，由 P 对除法的封闭性即得上述结论。

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8

§2 一元多项式一一一一一一一一

一一一一一一一一

9

基本定义给定数域 P ， x 是一个符号。 定义 2 设 n 是一个非负整数。形式表达式 （ 1 ）

其中 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称为数域 P 上的一元多项式。

01

1 axaxa nn

nn

naaa ,,, 10

10

注： x 代表未知量或符号（如矩阵）。

称为 i 次项 , 称为 i 次项的系数

多项式用 或 来表示。

iixa

ia

)(),( xgxf ,f g

11

定义 3 如果在多项式 f(x) 与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么 f(x) 与 g(x) 就称为相等，记为

f(x)=g(x) 。

系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0 称为（ 1 ）的首项； ：首项系数； n 为（ 1 ）的次数，记为 。 零多项式不定义次数。

)0( nn

n axa

na))(( xf

12

运算：

加法：如 n≥m ，为方便，在 g(x) 中令 ，

对于加减法：

m

j

jj

n

i

ii xbxgxaxf

00

)(,)(

011 mnn bbb

n

i

iii xbaxgxf

0

)()()(

))(),(max()( gfgf

13

001001

111

)(

)()()(

baxbaba

xbabaxbaxgxf mnmnmn

mnmn

nm

s

s

sjiji xba

0

)(

乘积

14

对于乘法：如果

那么 ，且

数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得的结果仍是数域 P 上的多项式

0)(,0)( xgxf

0)()( xgxf

))(())(())()(( xgxfxgxf

15

运算规律： 1 、加法交换律： f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2 、加法结合律： (f+g)+h=f+(g+h)

3 、乘法交换律： f(x)g(x)=g(x)f(x)

16

4 、乘法结合律

(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(X)h(x))

事实上：

l

k

kk

m

j

jj

n

i

ii xchxbgxaf

000

,,

17

左边， f(x)g(x) 中 s 次项的系数为

因此左边 t 次项的系数为

sji

jiba

tkji

kjitks sji

kji cbacba )(

18

tkji

kjitri rkj

kji cbacba )(

因此右边 t 次项的系数为 左边 = 右边。

右边， g(x)h(x) 中 r 次项的系数为

rkj

kjcb

19

5 、乘法对加法的分配律 f(x)(g(x)+h(x))=f(X)g(X)+f(X)h(X)

6 、乘法消去律： f(x)g(x)=f(x)h(x), 且 , 那么 g(x)=h(X)

定义 4 所有系数在数域 P 中的多项式的全体，称为数域 P 上的一元多项式环，记为P[x], P 称为 P[x] 的系数域

0)( xf

BACK

20

§3 整除的概念 以后讨论都是在某一固定的数域 P 上的多项式环中进行。

带余除法整除整除的性质

21

带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f(x) 与 g(x) ，其中 ，一定有 P[x] 中的多项式 q(x),r(x)存在，使　　　　 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 　　　　　（１）成立，其中　　　　　　　或者 r(x)=0, 并且这样的 q(x),r(x) 是唯一的。　　　证明　用归纳法来叙述　　　如果 f(x)=0, 取 q(x)=r(x)=0 即可。　　　以下设　　　　。令 f(x),g(x) 的次数分别为 n,m 。对 f(x) 的次数 n 作第二数学归纳法

0)( xg

))(())(( xgxr

0)( xf

22

　　 当 n<m 时，显然取 q(x)=0, r(x)=f(x), (1)

式成立。　　当 n≥m 时，假设当 f(x) 的次数小于 n 时，

q(x),r(X) 的存在已证。现看次数为 n 的情形。　令 分别为 f(X),g(X) 的首项，显然

　　　　　　 与 f(x) 有相同的首项，因而　　　　　 的次数小于 n 或者为０。对于后者，取　　　　　　　　　 ；对于前者，由归纳

法假设，对　　　　有　　　　　存在使

mn bxax ,)(1 xgaxb mn

)()()( 11 xgaxbxfxf mn

0)(,)( 1 xraxbxq mn

)(),(1 xgxf )(),( 11 xrxq

23

其中　　　　　　　 或者　　　　 。于是

即有　　　　　　　　　　　　　　　　使　　　　　　　 f(x)=q(x)g(x)+r(x)

成立。由归纳法定理，对任意的　　　　　　　　　　　的存在性就证明了。　　

))(())(( 1 xgxr 0)(1 xr)()())(()( 1

11 xrxgaxbxqxf mn

)()(,)()( 11

1 xrxraxbxqxq mn

)(),(,0)(),( xrxqxgxf

)()()()( 111 xrxgxqxf

24

唯一性：设另有多项式　　　　　使

其中　　　　　　　　　　 或者　　　　 于是　

)(),( xrxq )()()()( xrxgxqxf

))(())(( xgxr 0)( xr

)()()()()()( xrxgxqxrxgxq

即如果　　　　　　而　　　　　所以

)()()())()(( xrxrxgxqxq )()( xqxq 0)( xg0)()( xrxr

25

因此有

但是 矛盾。这就证明了　　　　　　　　　　　　

q(x) 称为 g(x) 除 f(x) 的商， r(x) 为余式　

　　

))()(())(())()(( xrxrxgxqxq

))()(())(( xrxrxg

)()(),()( xrxrxqxq

26

例题

| |

|_____________ |

| |

|_____________ |

3 2 23 4 5 6, 3 1f x x x g x x 132 xx 6543 23 xxx

6813 2 xx

731 x

x3xxx 393 23

13

133913 2 xx

( )

(3 13) ( ) (31 7)

f x

x g x x

27

定义５　数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f(x),如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使得　　　　　　 f(x)=g(x)h(x) 成立。

“g(x)|f(x)” 表示整除，g(x) 称为 f(x) 的因式，f(x) 称为 g(x) 的倍式；g(x) f(x) 表示不能整除。

28

　　

定理１　对于数域 P 上的任意两个多项式 f(x),g(X) ， 其中　　 的充分必要条件是 g(x) 除 f(x) 的余式为零。 注：带余除法中 g(x)必须不为零。但 g(x)|f(x) 中， g(x) 可以为 0 。这时

当 g(x) 不等于 0 时，有时用 表示 f(x) 被 g(x) 整除

( ) | ( )g x f x

( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0f x g x h x h x ( )

( )

f x

g x

29

结论 : (1) f(x)|f(x)

(2) f(x)|0 (3) a|f(x) 　 (a 不等于 0 ）

30

性质１、 f(x)|g(x), g(x)|f(x), 则 f(x)=cg(x).其中 c 为

非零常数。　　 事实上：由 g(x)|f(x), 　有 f(x)=h(x) g(x) 由 f(x)|

g(x) ，有 g(x)=t(x) f(x), 所以　　　　　　 f(x)=h(x)t(x)f(x) 若 f(x)=0,则 g(X)=0, 成立；若 f(x)0, 由上式有　h(x)t(x)=1

从而　　 所以 h(X) 为非零常数。

( ( )) ( ( )) 0h x t x

31

性质 2 、 f(x)|g(x), g(x)|h(x), 则 f(x)|h(x).

32

性质 3 那么

注： 1 、 f(x) 与 cf(x) (c0) 有相同的因式、倍式。 2 、两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变。

rixgxf i ,,2,1),(|)(

)]()()()()()([|)( 2211 xgxuxgxuxgxuxf rr

BACK

33

§4 最大公因式

一一一一一一一一一一一

一一一一一一一一一一一一一

一一一一一一一

一一一一一一一一

一一一一一一一一

34

最大公因式

如果 既是 f(x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么就称 为 f(x) 和 g(x) 的公因式。

定义 6 设 f(x),g(x) 是 P[x] 中的两个多项式。 P[x]中的 多项式 d(x) 称为 f(x),g(x) 的一个最大公因式，如果它满足下列两个条件：

（ 1 ） d(x) 是 f(x),g(x) 的公因式； （ 2 ） f(x),g(x) 的公因式全是 d(x) 的因式。

)(x)(x

35

如： f(x) 是 f(x) ， 0 的最大公因式。

两个零多项式的最大公因式是 0 。

36

最大公因式的求法 结论：如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （ 1 ） 成立，那么 f(x),g(x) 和 g(x),r(x) 有相同的公因

式。 事实上：如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由

（ 1 ）， p(x)|f(x). 反过来，如果 p(x)|f(x),p(x)|g(x) ，那 么 p

(x) 一定整除它们的线性组合 r(x)=f(x)-q(x)g(x)

由此可见，如果 g(x),r(x) 有一个最大 公因式 d(x) ，那么 d(x) 也是 f(x),g(x) 的一个 最大公因式。

37

定理 2 对于 P[x] 中任意两个多项式 f(x),

g(x), 在 P[x] 中存在一个最大公因式 d(x) ，且 d(x) 可以表示成 f(x),g(x) 的一个线性组合，即有 P[x] 中多项式 u(x),v(x) 使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

证明 如果 f(x),g(x) 有一个为零，譬如说，g(x)=0, 那么 f(x) 就是一个最大公因式，且

f(x)=1×f(x) +1 ×0

38

下面看一般情形。无妨设 g(x) ≠0.按带余除法有：

0)()()()( 111 rxrxgxqxf

0)()()()( 2212 rxrxrxqxg

39

其中 )()()( 21 rrg

0)()()()( 33231 rxrxrxqxr

0)()()()( 12 iiiii rxrxrxqxr

0)()()(

0)()()()(

0)()()()(

11

12

11213

xrxqxr

rxrxrxqxr

rxrxrxqxr

sss

sssss

sssss

40

根据前面的结论，

是 与 的一个最大公因式； 同样的理由，逐步推上去，

就是 f(x) 与 g(x) 的一个最大公因式。 这就是定理中的（ 2 ）式。 ------辗转相除法

)(xrs )(xrs )(1 xrs

)(xrs

41

由上面的倒数第二等式，我们有

再由倒数第三式，将 带入上式，消去 用同样的方法 ,逐个消去

再合并得到

------辗转相除法 )()()()()( xgxvxfxuxrs

)()()()( 12 xrxqxrxr ssss

)(1 xrs)(1 xrs

)(,),( 12 xrxrs

42

如果 都是 f(x) 与 g(x) 的两个最大公因式，那么一定有 与

, 也就是 ,c≠0. 这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数的情况下是唯一确定的。用

(f(x),g(x))

表示两个非零多项式首项系数是 1 的哪个最大公因式。

例 （ 15）看书。

)(),( 21 xdxd)(|)( 21 xdxd )(|)( 12 xdxd

)()( 21 xcdxd

43

定义 7 P[x] 中两个多项式 f(x),g(x) 称为互素（质）的，如果 (f(x),g(x))=1 。 两个多项式互素当且仅当除零次多项式外没有其它公因式。

一一一一一

44

定理 3 P[x] 中两个多项式互素的充分必要条件是有 P[x] 中的多项式 u(x),v(x) 使

u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 证明 必要性是定理 2 的直接推论。现

在设有 u(x),v(x) 使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 而 d(x) 是 f(x) 与 g(x) 的一个最大公因式。

于是 d(x)|f(x),d(x)|g(x)从而 d(x)|1, 即 (f(x),g(x))=1 。

45

互素多项式的性质

定理 4 如果 (f(x),g(x))=1 。且 f(x)|g(x)h(x), 那么 f(x)|h(x) 。 证明由 (f(x),g(x))=1 可知，有 u(x),v(x) 使 u(x)f(x) +v(x)g(x) =1

等式两边乘 h(x) ，得 u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x)因为 f(x)|g(x)h(x), 所以 f(x) 整除等式左端，从而 f(x)|h(x) 。

46

推论 如果 , 且 , 那么 。

证明 由 有因为 , 且 , 所以定

理 4有 ,即 带入上式得即

)(|)()( 21 xgxfxf

)(|)(),(|)( 21 xgxfxgxf1))(),(( 21 xfxf

)(|)(1 xgxf )()()( 11 xhxfxg )()(|)( 112 xhxfxf 1))(),(( 21 xfxf

)(|)( 12 xhxf)()()( 221 xhxfxh

)()()()( 221 xhxfxfxg )(|)()( 21 xgxfxf

47

d(x) 称为 (s>=2) 的一个最大公因式，

如果 d(x)满足下面的性质： （ 1 ） ; (2) 如果 , 那么 p(x)|d(x) 。 用 来表示首项系数为 1 的最大公因

式。且

)(,),(),( 21 xfxfxf s

),,2,1)((|)( sixfxd i ),,2,1)((|)( sixfxp i

))(,),(),(( 21 xfxfxf s

一一一一一一一一

1 2

1 2 1

( ( ), ( ), , ( ))

(( ( ), ( ), , ( )), ( ))s

s s

f x f x f x

f x f x f x f x

48

如果 , 称 为互素的

注意 与 两两互素的关系

)(,),(),( 21 xfxfxf s1))(,),(),(( 21 xfxfxf s

)(,),(),( 21 xfxfxf s )(,),(),( 21 xfxfxf s

BACK

49

§5 因式分解定理

一一一一一一

一一一一一一

一一一一一

50

不可约多项式

因式分解因系数域的不同而不同。如在有理数域上

在数域 上 在复数域上

由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切涵义。下面我们讨论数域 P 上的多项式环 P[x] 中多项式的因式分解。

)2)(2(4 224 xxx)2(Q )2)(2)(2(4 24 xxxx

)2)(2)(2)(2(44 ixixxxx

51

定义 8 数域 P 上次数≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项式，如果它不能表

成数域 P 上的两个次数比 p(x) 低的多项式的乘积。 一次多项式总是不可约多项式。一个多项式是否不可约是依赖于系数域的。

52

不可约多项式 p(x) 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 cp(x)(c≠0)这两种。反之，具有这种性质的多项式一定是不可约多项式。由此可见，不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f(x) 之间只可能有两种关系，或者 p(x)|f(x) ，或者(p(x),f(x))=1 。

53

定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x),g(x) ，由 p(x)|f(x)g(x) 一定推出 p(x)|f(x) 或者 p(x)|g(x) 。

证明 如果 p(x)|f(x), 那么结论已经成立。 如果 p(x)| f(X), 那么由以上说明可知 (p(x),f(x))=1

于是由定理 4 得 p(x)|g(x) 。

54

利用归纳法，这个定理可以推广为：如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式f1(x),f2(x),…,fs(x) 的乘积 f1(x)f2(x)…fs(x),那么 p(x) 一定整除这些多项式中的一个。

55

因式分解唯一性定理 数域 P 上每一个

次数≥ 1 的多项式 f(x) 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一地是说，如果有两个分解式

那么必有 s=t ，并且适当排列因式的次序后有

其中 是一些非零常数。

)()()()()()()( 2121 xqxqxqxpxpxpxf ts

sixqcxp iii ,,2,1),()( ),,2,1( sici

56

证明 先证分解式的存在。对 f(x) 的次数作数学归纳法。设 。 当 n=1 时结论成立。 设结论对次数低于 n 的多项式已经成立。

nxf ))((

如果 f(x) 是不可约多项式，结论显然成立，不妨设 f(x) 不是不可约的，即有

其中 的次数都低于 n 。

)()()( 21 xfxfxf

)(),( 21 xfxf

57

由归纳法假设 和 都可以分解成数域P 上的一些不可约多项式的乘积。把

的分解式合并起来就得到 f(x) 一个分解式。

下面证唯一性。设 f(x) 可分解成两种不可约多项式的乘积：

)(2 xf)(1 xf

)(),( 21 xfxf

)()()()(

)()()()(

21

21

xqxqxqxf

xpxpxpxf

t

s

58

于是有：

我们对 s 作数学归纳法。当 s=1 时， f(x) 是不可约多项式，由定义必有 s=t=1 。且

现在设不可约因式的个数为 s-1 时唯一性已证。 由（ 1 ）式， 因此 必除尽其中一个，

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1)s tf x p x p x p x q x q x q x

)()()( 11 xqxpxf

)()()(|)( 211 xqxqxqxp t

)(1 xp

59

不妨设 因 也是不可约多项式，所以有

)(|)( 11 xqxp)(1 xq

1 1 1( ) ( ) (2)p x c q x

在（ 1 ）式两边消去 ，就有

由归纳法假定有 s-1=t-1 ，即 s=t 。 (3)

)(1 xq

)()()()( 2112 xqxqcxpxp ts

60

并且适当排列次序后有

（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）合起来即为所证。

( ) ( )( 2,3, , ) (4)i i ip x c q x i s

61

多项式的标准分解式为

其中 c 是 f(x) 的首项系数， 是不同的首项系数为 1 的不可约多项式，而 是正整数。

)()()()( 2121 xpxpxcpxf sr

srr

)(,),(),( 21 xpxpxp s

srrr ,,, 21

62

如果已经有了两个多项式的标准分解式，那么 f(x),g(x) 的最大公因式 d(x) 就是同时出现在标准分解式中的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂指数为两标准分解式中较小的一个。

63

整数的带余除法。

对于任意整数 a,b,b≠0, 都存在唯一的整数 q,r

使 a=qb+r 其中 0≤r<|b| 。 整数的因式分解理论能够类似得到。

一一一一

64

§6 重因式 重因式的有关定义 重因式的判别方法 其他有关结论

65

重因式的定义

定义 9 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f(x) 的 k 重

因式，如果 而

这里 k 大于或等于 1 。如果 k=1 ，那么 p(x) 称为 f(x) 的单因式；如果 k>1 ，那么 p(x) 称为 f(x) 的重因式。

)(|)( xfxpk 1( ) | ( )kp x f x

66

f(x) 的标准分解式为：

那么 分别是 f(x) 的 重， 重，…， 重因式。

指数 为单因式， 为重因式。

)()()()( 2121 xpxpxcpxf sr

srr

)(,),(),( 21 xpxpxp s1r

2r sr

1ir1ir

67

设有多项式

一阶微商为

高阶微商同样定义。 　 一个多项式的一阶微商是一个 n-1阶多项式， n阶微商是 。 n+1阶微商呢？

011

1)( axaxaxaxf nn

nn

12

11 )1()( axnanxaxf n

nn

n

68

)()())((

)()()()())()((

)())((

)()())()((

1 xfxmfxf

xgxfxgxfxgxf

xfcxcf

xgxfxgxf

mm

微商公式

69

重因式的判别方法 定理 6 如果不可约多项式 p(x) 是 f(x) 的

k 重因式（ k≥1) 那么是微商 的 k-1 重因式。

证明 由假设， f(x) 可分解为

其中 p(x) 不能整除 g(x) 。因此

令))()()()()(()( 1 xgxpxpxkgxpxf k

)()()()()( xgxpxpxkgxh

)()()( xgxpxf k

)(xf

70

那么 p(x) 整除右端的第二项，但不能整除第一项，因此 p(x) 不能整除 h(x) 。这说明 ，但 不能整除 . 所以 p(x) 是　　的 k-1 重因式。　

)(|)(1 xfxpk )(xpk )(xf

)(xf

推论１　如果不可约多项式 p(x) 是 f(x) 的 k重 因式（ k≥1) ，那么 p(x) 是　　　　　　　　　　　　　 的因式，

但不是　 的因式。

)(,),(),( )1( xfxfxf k

)()( xf k

71

　　 　　

推论２　不可约多项式 p(x) 是 f(x) 的重因式 的充分必要条件为 p(x) 是 f(x) 和　　 的公因式。　　推论３　多项式 f(x)没有重因式的充分必要条件是 f(x) 与　　 互素。　　　这个推论表明，判断一个多项式有没有 重因式， 可以通过——辗转相除法来解决。　　　设 f(x) 具有标准分解式

　　　　

)(xf

)(xf

)()()()( 2121 xpxpxcpxf sr

srr

72

　则由定理 6 有：

　于是　　

　　这是一个没有重因式的多项式，但是它与f(x) 具有相同的不可约多项式，这是一个去 掉因式重数的有效方法。这在求解方程根时很有用。

)()()())(),((

)(21 xpxpxcp

xfxf

xfs

)()()())(),(( 1211 121 xpxpxpxfxf sr

srr

BACK

73

§ ７　多项式函数 一一一一一一一一

一一一一

一一一一一一一

一一一一一一一

一一一一一一一一一一一一

74

多项式函数　　以上，我们把多项式作为形式表达式来考虑。

下面我们把多项式看为函数。　　设　　　　　　　　　　　　　　（１）　是 p[x]中的多项式，　是 P 中的数

　称为 f(x) 当　　　时的值。 f(x) 称为 P 上的多项式函数。当 P 是实数域时，就是数学分析中讨论的多项式函数。

　　　

nnn axaxaxf 1

10)(

n

nn aaaf 110)(

x

75

由带余除法我们得到下面的余数定理。

定理７（余数定理）用一次多项式　　　　去除多项式 f(x) 。所得的余式是一个常 数，这个常数等于函数值　　　。　　　 证明　所以　　　　　　　　 如果　　　　，那么　就称为 f(x) 的一个根或零点。

x ( )f

( ) ( ) ( )f x x q x c ( )c f

( ) 0f

76

推论　　是 f(x) 的根的充分必要条件是

　　　　 称为 f(x) 的 k 重根，如果　　　 是 f(x) 的 k 重

因式。当 k=1 时，　称为单根；当 k>1 时，　称为重根。 　　

)(|)( xfx

( )x

77

定理 8 p[x] 中 n 次多项式 (n≥0) 在数域 P中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算。

证 n=0 显然成立。 n≥1 时， f(x) 可分解为 P[x] 上不可约多项式的乘积。由上推论及根重数定义， f(x) 在 P 上根的个数等于分解式中一次因式的个数，这个个数当然不会超过 n 。

　　　　

78

由上面知，每个多项式函数都可由一个多项式定义。不同的多项式会不会定义相同的函数呢？即是否存在

　　　　 　 f(x) ≠g(x)

而对于 P 中的所有数　 都有　　　　　？)()( gf

定理 9 说明：不同的多项式定义不同的函数。数域上的多项式既可以作为形式表达式，也可以作为函数来处理 .

79

　

定理９如果多项式 f(x),g(x) 的次数都不超过 n ，而它们对 n+1 个不同的数　 有相同的值，即　 那么 f(x)=g(x) 。 证明　由定理条件，有

　即多项式 f(x)-g(x) 有 n+1 个不同的根。如果 f(x)-g(x) ≠0, 那么它就是一个次数不超过 n 的多项式，由定理８，它不可能有 n+1 个根。因此， f(x)=g(x) 。　

　　　

)1,,2,1(0)()( nigf ii

121 ,,, n

)1,,2,1()()( nigf ii

BACK

80

§ ８　复系数多项式 实系数多项式

一一一一一一

一一一一一一

一一一一一一一一一一一一

81

　复系数多项式的因式分解　　对于复数域，我们有：　　代数基本定理　　每个次数≥１的复系数多项式

在复数域中都有一个根。　　由复变函数论来证明。也可叙述为：　　每个次数≥１的复系数多项式，在复数域上一定

有一个一次因式。　复数多项式的因式分解定理　每个次数≥１的复系

数多项式在复数域上都可以唯一分解成一次因式的乘积。　

82

　　 因此，复系数多项式有标准分解式

其中　　　　　　是不同的复数，是正整数。

标准分解式说明了每个 n 次复系数多项式恰好有 n 个复根（重根按重数计算）。　　

s ,,2,1 slll ,,2,1

1 21 2( ) ( ) ( ) ( ) sll l

sf x x x x

83

在复数域上，不可约多项式只能是一次多项式

结论：在复数域， 如果 的根全部是 的根，则

( )f x( ) | ( )f x g x( )g x

84

实系数多项式

0)( 01

1 aaaf nn

nn

对于实系数多项式：如果　　是 f(x) 的复根，那么，　也是 f(x) 的根。因为

两边取共轭有　　　　　　　 1

1 0( ) 0n nn nf a a a

85

　　　实系数多项式的因式分解定理　 每个次数≥１的实系数多项式在实数域

上都可以唯一地分解为一次因式与二次不可约因式的乘积。

　　　 证明　定理对一次多项式显然成立。　　　设定理对次数小于 n 的多项式已经证

明。　　　设 f(x) 是 n 次实系数多项式。由代数

基本定理， f(x) 有一复根　　。

86

如果　　是实数，那么其中　　是 n-1 次多项式。 如果　　是复数，那么　　也是 f(x) 的根且　　　　。于是

显然是一个实系数二次不可约多项式。从而　　 是 n-2 次实系数多项式。

)()()( 1 xfxxf )(1 xf

)())(()( 2 xfxxxf xxxx )())(( 2

)(2 xf

87

由归纳假定， 或 　　可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因而 f(x) 也可以如此分解

)(1 xf )(2 xf

在实数域上， 不可约实多项式只有两种（ 1 ）一次实多项式（ 2 ）二次实多项式中满足

2 2, 4 0x px q p q

88

实系数多项式具有标准分解式：

其中 全是实数，

　　　　　　　　是正整数，

并且　　　　　　　　 在实数域上是不可约即适合　　　　

r

s

krr

kls

ln

qxpx

qxpxcxcxaxf

)(

)()()()(2

112

111

rrs qqppcc ,,,,,,,, 111

rs kkll ,,,,, 11

),,2,1(2 riqxpx ii riqp ii ,,2,1,042

一一一

89

§９　有理系数多项式

一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

Gauss 引理

一一一一一一一一

一一一一一一一一一一一一一

90

　有理系数多项式　　 在有理数域上，每个次数≥１的有理系数多

项式都可唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积。

　　 但是对于任一个给定的多项式，要具体分解却很复杂，即使在判断一个有理系数多项式是否可约也不是容易的。而在复数域上只有一次多项式不可约；在实数域上不可约多项式只有一次和某些二次。

　　　本节我们主要给出有理系数多项式的两个重要事实：

91

　　

第一　有理系数多项式的因式分解问题可以归结为整系数多项式的因式分解问题，并进而解决有理系数多项式求有理根的问题。

　　第二　在有理系数多项式环中有任意次的不可约多项式。

　　

92

设 是一个有理系数多项式 适当乘以整数 c ，总可以使 cf(x) 是一个整系数多项式。如果 cf(x) 的各项系数有公因子，可以提出来，得到 cf(x)=dg(x)　即　　　

011

1)( axaxaxaxf nn

nn

)()( xgc

dxf

其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于 ± １的公因子。

93

例如

)3152(15

2

5

22

3

2 2424 xxxxxx

94

　　　　　 如果一个非零的整系数多项式

的系数　　　　　　 没有异于 ± １的公因子， 即它们是互素的，它就称为一个本原多项式。　　　 任何一个有理系数多项式 f(x) 都可以分解为一 个有理数 r 与一个本原多项式 g(x) 的乘积，即　　

f(x)=rg(x) 。且这种分解除相差一个正负号是唯 一的。

011

1)( bxbxbxbxg nn

nn

01 ,,, bbb nn

95

　　

下面讨论一个本原多项式是否可以分解为两个 低次的有理系数多项式，或两个低次的整系数多 项式的乘积。　　　定理 10 　 ( 高斯 (Gauss) 引理 ) 两个本原多

项式的乘积仍是本原多项式。　　　证明　设　

　

是两个本原多项式，

01

1)( axaxaxf nn

nn

01

1)( bxbxbxg mm

mm

96

而

　是它们的乘积。用反证法。　如果 h(x) 不是本原的，也就是说 h(x) 的系数

01

1)()()( dxdxdxgxfxh mnmn

mnmn

有一个异于 ± １的公因子，即有一个素数 p 整除 h(x) 的每个系数。

01 ,,, ddd mnmn

97

　　　　　　　　　 因为 f(x) 是本原的，所以 p 不能同时整除

f(x) 的每一个系数。令 是第一个不能被整除的系数，即

　同样， g(x) 也是本原的，令　　是第一个不能被 p 整除的系数，即

　 现在来看 h(x) 的系数　　，由乘法定义　

ia

ii apaap |,,,| 10 jb

jj bpbbp |,,,| 10

jid

98

由假设， p 整除左端　　，整除右端　　以外的每一项，但 p 不能整除　　。这是不可能的。所以 h(x) 一定是本原多项式。

2211

2211

jiji

jijijiji

baba

bababad

jid

jibajiba

99

定理 11 　如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

证明　设整系数多项式有分解式　　　　　　 f(x)=g(x)h(x)

其中 g(x),h(X) 是有理系数多项式，且

))(())(()),(())(( xfxhxfxg

100

令

这里　　　　　　　　都是本原多项式，

a 是整数， r,s 是有理数，于是

由定理 10 ，　　　　　是本原多项式，从而　　　　　　　 rs=±a

这就是说， rs 是一个整数。因此有

)()(),()(),()( 111 xshxhxrgxgxafxf

)(),(),( 111 xhxgxf

)()()( 111 xhxrsgxaf

)()( 11 xhxg

101

这里　　　　与　　　都是整系数多项式，且次数都低于 f(x) 的次数。

　　 推论　设 f(x),g(x) 是整系数多项式，且 g

(x) 是本原的，如果 f(x)=g(x)h(x) ，其中 h(x) 是有理系数多项式，那么 h(x) 一定是整系数多项式。

)())(()( 11 xhxrsgxf

)(1 xrsg )(1 xh

102

定理 12 　设

是一个整系数多项式，而　　是它的一个有理根，其中 r,s互素，那么必有

s

r

01

1)( axaxaxf nn

nn

0|,| aras n

特别地，如果 f(x) 的首相项系数那么 f(x) 的有理根都是整数，而且是的因子。

1na0a

103

　　证明　因为　　是 f(x) 的一个有理根。因此在有理数域上

从而　　 (sx-r)|f(x)

因为 r,s互素，所以 sx-r 是一个本原多项式。根据上述推论

式中　　　　　　都是整数，比较两边系数

s

r

)(|)( xfs

rx

))(()( 01

1 bxbrsxxf nn

01 ,, bbn

104

则得 因此　　　　　　　　　

例１　求方程　

的有理根。 这个方程的有理根只能是　

用综合除法可以看出，除去１以外全不是它的根，这个方程的有理根只有 x=1 。

　　　

001, rbasba nn

0|,| aras n

0322 34 xxx

2

3,2

1,3,1

105

例２　证明在有理数域上不可约。　

15)( 3 xxxf

因 f(x) 的有理根只可能是 ± １，直接验证可知 ± １全不是它的根，因而 f(x)没有有理根，即在有理数域上不可约。

106

　　定理 13 　 (Eisenstein判别法 ) 　设

是一个整系数多项式，如果有一个素数 p ，使得　

那么 f(x) 在有理数域上是不可约的。　

01

1)( axaxaxf nn

nn

02

021

|.3

,,,|.2

|.1

ap

aaap

ap

nn

n

107

证明　如果 f(x) 在有理数域上可约，由定理 11 ， f(x) 可分解成两个次数较低的整系数多项式乘积：

因此

),,(

))(()( 00

nmlnml

cxcbxbxf mm

ll

000, cbacba mln

108

另一方面，　　 所以假设　　　　　　中第一个不能被 p 整除的

nap | lbp |

lbbb ,,, 10

是　　。kb

因为　　　所以 p 整除　或　。但 所以 p 不能同时整除　　及　　。不妨设　 　　　但　　　。

0| ap 0b 0c 02 | ap

0b 0c

0| bp 0| cp

109

比较 f(x) 中　　的系数，得

式中　　　　　　　　都能被 p 整除，所以

　　也必须被 p 整除，而 p 是素数，所以

与　　至少有一个被 p 整除。这是一个矛盾。　 　　

kx

kkkk cbcbcba 0110

01 ,,, bba kk

0cbk kb

0c

110

对任意的 n ，多项式　　　　在有理数域上是不可约的。

即有理数域上存在任意次的不可约多项式。　

2nx

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