歐亞書局

微積分 [第九版 ]

隱微分3.7

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

3.7 隱微分

學習目標 以公式求導數。 以隱含函數求導數。 用導數求解現實生活問題。

P.3-60 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

明確和隱含的函數 本書到目前為止，兩個變數的函數都是表示成明確型 (explicit form) y ＝ f(x) ，也就是其中一個變數明確地依另一個來給定。例如，在方程式

y ＝ 3x － 5 明確型中，變數 y 明確地寫成 x 的函數。然而，有些函數並非明確地定義，而僅是用一個方程式來隱含，如範例 1 所示。

P.3-60 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 1 　明確地求導數 對方程式 xy ＝ 1 求 dy/dx 。

P.3-60 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 1 　明確地求導數 （解）

1

2

2

1

1

1

xy

yx

x

y

xdy

xdx

x

寫出原方程式

解出

改寫

對 微分

化簡

在這個方程式， y 可隱含地 (implicitly) 定義成 x 的函數。求 dy/dx 的一種方法就是先對方程式解出 y ，然後像往常一樣微分。

P.3-60 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

檢查站 1

對方程式 x2y ＝ 1 求 dy/dx 。

P.3-60 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

明確和隱含的函數 只要能容易明確地寫出給定的函數，範例 1 的方法是很有用的，但若是不能解出 y 為 x 的函數時就不管用。例如，對方程式

x2 － 2y3 ＋ 4y ＝ 2 　與　 x2 ＋ 2xy3－ y3

＝ 5

　求 dy/dx 時，因為很難明確地將 y 表為 x 的函數，此時如何求 dy/dx ？處理這個問題可用稱為隱微分 (implicit differentiation) 的技巧。

P.3-60 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

隱微分 要了解如何隱含地求 dy/dx ，必須了解微分是對 x 來運算。所以當微分只有含 x 的項時，就可以像往常一樣地微分。但是微分含 y 的項時就必須用到連鎖律，因為我們假設 y 被隱含地定義為 x 的可微函數。仔細研讀下一個範例，尤其是在範例 2(b) 和 2(d) 中用連鎖律導出 dy/dx 的技巧。

P.3-61 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 2 　應用連鎖律 將以下式子對 x 微分。

a. 3x2

b. 2y3

c. x + 3y

d. xy2

P.3-61 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 2 　應用連鎖律 （解）

2[3 ] 6d

x xdx

a. 在這個式子唯一的變數是 x ，所以只要使用基本乘冪律以及常數倍數律對 x 微分，就可得

P.3-61 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 2 　應用連鎖律 （解）

b. 這個問題不一樣，因為式子的變數是 y ，但要對 x 微分，所以必須假設 y 是 x 的可微函數再使用連鎖律。

P.3-61 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 2 　應用連鎖律 （解）

[ 3 ] 1 3d dy

x ydx dx

c. 這個式子包含 x 和 y ，由和律和常數倍數律，可得

P.3-61 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 2 　應用連鎖律 （解）

2 2

2

2

2[ ] [ ]

2 (1)

[ ]

2

d dy x

dx dxd

dxy x y

dx

xy

y y

dyxy y

d

d

x

x

乘積律

連鎖律

d. 由乘積律和連鎖律，得到

P.3-61 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

檢查站 2

將以下式子對 x 微分。a. 4x3

b. 3y2

c. x ＋ 5y

d. xy3

P.3-61 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

隱微分

在範例 3 中，注意由隱微分得到的 dy/dx 可能包含 x 和 y 。

P.3-62 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 3 　使用隱微分 對方程式 y3 ＋ y2 － 5y － x2＝ － 4 ，求

dy/dx 。

P.3-62 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

1. 等號兩邊分別對 x 微分。

2. 將 dy / dx 的項集中在等號左邊，其他的項移到等號右邊。

範例 3 　使用隱微分 （解）

3 2 2

3 2 2

2

[ 5 ] [ 4]

[ ] [ ] 5 [ ] [ 4]

3 2 5 2 0

d dy y y x

dx dxd d d d d

y y y xdx dx dx dx dx

dy dy dyy y x

dx dx dx

P.3-62 第三章 微分

2 3 2 5 2

dy dy dyy y x

dx dx dx

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

3. 將等號左邊的 dy / dx 提出

4. 由除 (3y2 ＋ 2y － 5) ，解出 dy / dx 。

範例 3 　使用隱微分 （解）

P.3-62 第三章 微分

2(3 2 5) 2dy

y y xdx

2

2

3 2 5

dy x

dx y y

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

檢查站 3

對方程式y2 ＋ x2 － 2y － 4x ＝ 4

求 dy/dx 。

P.3-62 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

隱微分 要了解如何應用隱含的導數，可看在圖 3.34

中的圖形。在範例 3 中所求得的導數提供經過此圖形中一個點的切線斜率的公式。例如，在點 (1, － 3) 的斜率為

P.3-62 第三章 微分

2

2(1) 1

3( 3) 2( 3) 5 8

dy

dx

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

隱微分

P.3-62 圖 3.34 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 4 　以隱微分求圖形的斜率 求橢圓 x2 ＋ 4y2 ＝ 4 在點 的切線斜率，如圖 3.35 所示。

P.3-63 圖 3.35 第三章 微分

2, 1/ 2

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

　

範例 4 　以隱微分求圖形的斜率 （解）

2 2

2 2

4 4

[ 4 ] [4]

2 8 0

8 2

2

2

8

x y

d dx y

dx dxdy

x ydx

dyy x

dx

dy

y

x

dx

x

x

寫出原函數

對 微分

隱微分

兩邊各減

兩邊

8

4

dy x

d y

y

x

各除以

化簡

P.3-63 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 4 　以隱微分求圖形的斜率 （解）

2x 將 以及 代入上面的導數中，就可求得在給定點的斜率，如下所示。

1/ 2y

P.3-63 第三章 微分

2

(

1

24 1/ 2)

dy

dx

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

學習提示

214

2y x

要了解隱微分的好處，試著用明確函數

此函數圖形是橢圓的下半部。

P.3-63 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

檢查站 4

求圓 x2 ＋ y2 ＝ 25 在點 (3, － 4) 的切線斜率。

P.3-63 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 5 　以隱微分求圖形的斜率 求 2x2 － y2 ＝ 1 的圖形在點 (1, 1) 的斜率。

P.3-63 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

首先以隱微分求 dy/dx

圖形在點 (1, 1) 的斜率是

範例 5 　以隱微分求圖形的斜率 （解）

2 2

2 1

4 2 0

2 4

2

4

2

x y

dyx y

dx

dyy x

dx

dy

x

y

x

yx

dx

寫出原函數

對 微分

兩邊各減

兩邊各除以

2(1)2

1

dy

dx

P.3-63~3-64 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 5 　以隱微分求圖形的斜率 （解） 如圖 3.36 所示，此圖形稱為雙曲線

(hyperbola) 。

P.3-64 圖 3.36 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

檢查站 5

求 x2 － 9y2 ＝ 16 的圖形在點 (5, 1) 的斜率。

P.3-63 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

應用　範例 6 　使用需求函數

3

3

0.000001 0.01 1p

x x

某產品的需求函數以

做為模型，其中 p 為價格 ( 美元 ) ， x 為數量 ( 千單位 ) ，如圖 3.37 所示。求當 x ＝ 100 時，需求 x 對價格 p 的變化率。

P.3-64 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 6 　使用需求函數

P.3-64 圖 3.37 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 6 　使用需求函數 （解）

3

3

22

22

2 2

3

0.000001 0.01 13

0.000001 0.01 1

30.000003 0.01

3 (0.000003 0.01)

3

(0.000003 0.01)

px x

x xp

dx dxx

dp dp p

dxx

dp p

dx

dp p x

為了化簡微分的運算，先改寫函數，然後對 p 微分。

P.3-64 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

範例 6 　使用需求函數 （解）

3100

3$1

0.000001( ) 0.01( 1100)p

當 x ＝ 100 時，價格是

所以當 x ＝ 100 以及 p ＝ 1 時，需求對價格的變化率是

這意味著當 x ＝ 100 時，價格每調高 1

美元，需求就下降 75 千單位。

2 2

375

( ) [0.000001 103( ) . 10 0 0 ]

dx

dp

P.3-64 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

檢查站 6

2

2

0.001 1p

x x

某產品的需求函數為

以隱微分求 dx/dp 。

P.3-64 第三章 微分

歐亞書局歐亞書局歐亞書局

總結（ 3.7 節）

1. 說明如何使用隱微分，參考範例 2 、 3 、 4

和 5 。2. 一個如何用隱微分分析產品需求變化率的實例

( 範例 6) 。

P.3-64 第三章 微分