上联：广宇浩瀚 , 柳江奔腾 , 埋头实干寻真谛 , 观中流砥柱 , 看洛水河图、四元玉鉴、九章算术、宫格幻方、

欧氏原本、 n 阶矩阵、 拓扑映射、复变泛函 , 何其 博大精深 ! 莫惊疑数海茫茫 , 形山隐隐，应悬梁刺股，

更邀客探微知著，待灵感迸发，一泻千里书画卷 ;  

下联： 西域清凉 , 城北论道 , 小心验证觅珠玑 , 叹学术渊源 ,

想祖率冲之、三角杨辉、八卦伏羲、筛法景润、堆垒罗庚、七桥欧拉 , 王子髙斯、积分黎曼 , 确系

超凡神圣 !  须礼赞勋卓赫赫，伟业煌煌，知继往开来，恒协力助澜推舟 ,   欣群星争艳，璀璨苍穹引黎明！

与圆有关的问题—— 复习专题

中考要求:熟悉圆的相关概念、圆中的基本图形与定理、与圆有关的

位置关系（点 / 直线 / 圆与圆）。

生活中的圆问题；结合三角形、四边形、方程 、函数、动点的综合运用。

会运用定理进行圆的有关证明（切线的判定）

会进行圆的有关计算：圆周长、弧长；扇 / 弓形面积；圆柱 / 圆锥的侧面展开图；正多边形.

圆中的基本图形与定理

●O

A BC

D

M└

垂径定理

●O

A

B

┓D

A′ B′D′

┏

圆心角、弧、弦、 弦心距的关系

●O

B

A C

D

E

圆周角定理

A

B

P ●O

┗

┏

12

切线长定理

C

A

B┐

●O

圆中的基本图形与定理切线的性质与判定

A

B C

● ┗┏┓

O

D

E

F┗

.2

cbar

●

A

B C

●O●

┗

┓

OD

E

F┗

·

A

B CD

O·

A

B C

D

O

E

O·中心角 半径 R

边心距 r

正

多

边

形

与

圆

.p.or

.o.p

.o

.p

●O●O

相交

●O

相切相离

r r r

┐dd┐

d

┐

扇形面积的计算公式为

S= 或 S= r360

2rn2

1 l

弧长的计算公式为：

=360

n 180

rn·2 r =l

O

P

A Br

hl

222 rhl

rl圆锥中 :S 侧 =

基本运用——圆的性质 1. 如图 1 ，⊙ O 为△ ABC 的外接圆， AB为直径， AC=BC ， 则∠ A 的度数为（ ) A.30° B.40° C.45° D.60°

C

2 、如图 2, 圆 O 切 PB于点 B,PB=4,PA=2,则圆 O 的半径是 _____ _____

OA

B

P

3 (连 OB ， OB BP⊥ ）

3.一块等边三角形的木板 ,边长为 1, 现将木板沿水平线翻滚 (如图 ), 那么 B点从开始至结束所走过的路径长度为 ________.

●B

B

4 、如图，在 Rt ABC△ 中，∠ C=900 ， AC=2 ， AB=4 ，分别以 AC ， BC 为直径作圆，则 图中阴影部分面积为

C

A B

322

基本运用——圆的性质

割补法

O

基本运用——圆的性质易错点1.在⊙ O 中，弦 AB所对的圆心角∠ AOB=100°,则弦 AB所对的圆周角为 ____________. 500 或 1300

2．已知ＡＢ、ＣＤ是⊙Ｏ的两条平行弦，⊙Ｏ的半径是５ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ。求ＡＢ、ＣＤ的距离 .

BA

O·

DC F

E

O·

DC

BA

F

E分类思想

7 或 1

3. 有一圆弧形桥拱，水面 AB宽 32米，当水面上升 4米后水面 CD宽 24米，此时上游洪水以每小时 0.25米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？

综合运用——生活中的圆

垂径定理

解：过圆心 O作 OE AB⊥ 于 E ，延长后交CD于 F ，交 CD于 H ，设 OE=x ，连结OB ， OD ，由勾股定理得 OB2=x2+162

OD2=(x+4)2+122

∴ X2+162=(x+4)2+122

∴X=12∴OB=20∴FH=44÷0.25=16 （小时）答：再过 16 小时，洪水将会漫过桥面。

综合运用——圆与一次函数1.已知 , 如图 ,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点 , 交x负半轴于C点 ,过C点的直线 :y=－2x－4,与y轴交于P. 试猜想PC与⊙D的位置关系，并说明理由 .

切线判定

令 x=0 ，得 y=-4;令 y=0,得 x=-2

∴C(-2,0), P(0,-4)

又∵ D(0,1) ∴OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5

又∵在 Rt COD△ 中 , CD2=OC2+OD2=4+1=5

在 Rt COP△ 中 , CP2=OC2+OP2=4+16=20在△ CPD 中 , CD2+CP2=5+20=25, DP2=25∴CD2+CP2=DP2

即：△ CDP 为直角三角形 ,且∠ DCP=90°∴PC 为⊙ D 的切线 .

证明：∵直线 y=-2x-4

解： PC是⊙ O 的切线，

综合运用——圆与一次函数2.已知 , 如图 ,D(0,1),⊙D交 y轴于 A、 B两点 ,交 x轴负半轴于 C点 ,过 C点的直线 :y=－ 2x－ 4与 y轴交于 P.判断在直线 PC上是否存在点 E，使得 S EOC=4△ S△CDO,若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由 .

存在性问题

解：假设在直线 PC 上存在这样的点 E(x0,y0),使得 S EOC△ =4S △CDO ，

42

10 yOCS EOC

40 y

40 y∵E 点在直线 PC ： y=-2x-4上，∴ 当 y0=4 时有：

442 x4 x

当 y0=-4 时有：442 x

0 x∴ 在直线 PC 上存在满足条件的 E 点，其的坐标为 (-4,4) , (0,-4) .

抓住不变量分类讨论

1122

1

2

1ΔCOD ODCOS

3.如图，直径为13的⊙O1经过原点O ，

并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，

线段OA、OB(OA>OB) 的长分别是

方程x2+kx+60=0的两根。

求线段OA、OB的长。

综合运用——圆与方程

解：∵ OA 、 OB是方程 x2+kx+60=0 的两根，∴ OA+OB=-k ， OA×OB=60

∵OB OA⊥ ，∴ AB是⊙ O1

的直径 , OA∴ 2+OB2=132 ，

又 OA2+OB2=(OA+OB)2-2OA×OB

∴132=(-k)2-2×60 解 之得： k=±17 OA+OB∵>0 ，∴ k<0故 k=-17 ，

解方程得 OA=12 ， OB=5

4. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2 ，点 M是 BC 的中点，P是线段MC 上一动点

（ P不与 M ， C重合），以 AB 为直径作⊙ O ，过点 P作⊙ O 的切线交AD 与点 F ，切点为 E 。

F

P

M

CD

A BO

E

（ 2）试探究点 P由M到 C的运动过程中， AF·BP的值的变化情况，并写出推理过程；

（ 1）求四边形 CDFP的周长；

综合运用——动点问题( 圆的探究题）

分析（ 1 ）∵ C CDFP=CD+DF+FE+EP+PC

F

P

M

CD

A BO

E 由切线长定理： FA=FE 同理： PB=PE

∴ C CDFP=CD+DF+FA+PB+PC =CD+DA+CB =2×3 =6

切点

由图可知： FA、 FE为⊙ O切线

F

P

M

CD

A BO

E

切点

（ 2 ）分析：利用（ 1 ）的结论可知： AF·BP=

Çеã

F

P

M

CD

A BO

E

E为切点“看到切点连半径，必垂直”OE为定长 1

↓

↓FE·PE的值必与 OE有关→由相似 :OE²= FE·PE ↓ 连OF、 OP

证明∠ FOP为 90°

FE·PE

（2）解：AF·BP的值不变 连结OE、OF、OP ∵PF切⊙O与E ∴OE PF⊥又∵OE PF⊥ 、OA FA⊥ ，EF=AF ∴OF平分∠AOE同理：OP平分∠EOB ∴∠FOP=90° 即：在Rt FOP△ 中，∵OE PF⊥ ∴ OE²=EF·PE=1 ∴ AF·BP=1

Çеã

F

P

M

CD

A BO

E

（ 3 ）如图右，其它条件不变，若延长 DC ，FP 相交于点 G ，连结 OE并延长交直线 DC于 H ，是否存在点 P ，使△ EFO E∽△HG？如果存在，试求出此时 BP 的长；如果不存在，请说明理由。

G

E

D C

A BO

H

P

FM

（ 3 ）分析：假设存在点 P使△ EFO EHG∽△

G

E

D C

A BO

H

P

FM

1

2

↑∠1=∠2,

3

4

∠3=∠4

2

1∠3= ∠EOA→ ∠4= ∠EOA

2

1

5

↓∠EOA =∠5∠ 5=2∠4

(∠ 5+∠4=90°) ↓ ∠4 =∠3=30° → 可求EF

可求 EP →可求BP↓

（ 3 ）解 :假设存在点 P

∵ ∠1= 2=90°∠∴当∠ 3= 4∠ 时，△ EFO EHG∽△

5 4

3

2

1

G

E

D C

A BO

H

P

FM

2

1

3

3

EF

1

3

3

∴EF=EO·tan 30°=

又∵ ∠ 3= ∠EOA， AB∥CD∴ ∠5= ∠EOA=2 ∠4

又∵在 Rt△EHG中，∠ 5+∠4 =90°

∴∠4=∠3=30°

∴BP=EP= =

∴存在这样的点 P，且BP=

又OE2= EF×EP