集中講義（九州大学数理学研究院）バイオ構造データに対する数理モデルと

アルゴリズム（３）＋　数理談話会

木構造および画像データの文法圧縮

阿久津　達也

京都大学　化学研究所バイオインフォマティクスセンター

内容 背景 文法圧縮 EOTG (Elementary Ordered Tree Grammar) 圧縮アルゴリズム TREE-BISECTION アルゴリズムの解析 画像データの文法圧縮 結論と課題

[Akutsu, Tech. Rep., SIGFPAI, 2010][Hayashida et al., AST 2010]

背景

研究の目的 人間の設計図

３２億文字　⇒ CD-ROM 1 枚 意外に少ない

パソコンゲームより少ないかも 細胞は 60 兆個もある

ここに全てが書かれているはず 臓器、脳、顔の作り方、知能、本能 でも、どう書かれているか、ほとんどわかってい

ない 人間の設計図が CD-ROM 1 枚

データ圧縮の数理的原理があるはず！

文法圧縮

文法圧縮 与えられた文字列を一意に生成する最小の文脈自

由文法を計算（もしくは近似） 例 abcabcabcabc 　⇒ S → AA A → BB B →abc 　　 様々な近似アルゴリズム　　　　　　　　（下限：定

数近似困難） BISECTION O((n/log n)0.5) 近似 [Lehman & Shelat 02]

LZ78 O((n/log n)2/3) 近似 [Lehman & Shelat 02]

SEQUITUR 型 O((n/log n)3/4) 近似 [Lehman & Shelat 02]

GREEDY 型　　　　 O((n/log n)2/3) 近似 [Lehman & Shelat 02]

ほぼ最適　　　　　　 O(log n) 近似 [Charikar et al. 02] [Rytter 02][Sakamoto et al. 09]

文法圧縮 文法のサイズ：規則の右側に現れる文字数の

和 abcabcabcabc

サイズ =12

　　　　 S → abcabcabcabc サイズ =8

　　　　 S → AA A → abcabc サイズ =7 （最小）

S → AA A → BB B →abc 　　

文法圧縮の木構造への拡張 困難性の証明 [Yamgata et al. 03][Maneth & Bussato 04]

ヒューリスティックなアルゴリズム Variable Replacement Grammar [Yamagata et al. 03]

Tree Transducer [Maneth & Bussato 04]

TCGA algorithm [Murakami et al. 08]

近似率導出の困難性 木文法の定義に依存：　簡単すぎても難しすぎても不可

本研究 EOTG (Elementary Ordered Tree Grammar) の提案

CFG を縦横両方に拡張 BISECTION 型の O(n5/6) 近似アルゴリズム

順序木、無順序木の両方に対応可能

EOTGElementary Ordered Tree

Grammar

EOTG ： Elementary Ordered Tree Grammar 特徴：枝にラベル、枝を木構造に書き換える タグ付き木

１個の葉にのみタグ（印）：　枝の両端　⇔　根とタグ タグつき葉は、後で他の木の根と融合

生成規則：タグなし枝→タグなし木　　タグあり枝→タグあり木

タグなし枝 タグあり枝

EOTG ： 例１文法

導出過程

文法

導出過程

EOTG ： 例２文法

導出過程

オイラー文字列 木を深さ優先探索 探索した順に頂点のラベルを並べる ただし、戻る時のラベルは の様に区別する

A

命題：　 T1 と T2 が同型 iff es(T1)=es(T2)

ただし、根のラベルは無視

SEOTG ： Simple Elementary Ordered Tree Grammar

（ S ） EOTG の規則はオイラー文字列で表現可 タグ ⇔ x : x は部分木に置換される

EOTG, SEOTG の性質文法のサイズ：　右辺に現れる木の枝数の合計

補題：　サイズ m の EOTG は、サイズ 3m 以下の　　　　　 SEOTG に変換可能

定理：　与えられた木が EOTG から生成可能かどうか　　　　　は多項式時間で判定可能

圧縮においては、１個の木のみを生成する文法のみを対象　　←　与えられた木を圧縮したい

圧縮アルゴリズム：TREE-BISECTION

BISECTION 　　 [Lehman & Schelat 2002] 文字列を 2i となる場所で再帰的に分割 分割の度に生成規則を追加 同じ文字列が出てきたら同じラベルを割り当てる

mk補題 サイズ m の文法により生成される文字列中の長

さ k の部分列で異なるものは高々 mk 個

略証：各非終端記号により始めてカバーされる長さ k の部分列の個数は高々 k 個。全部で高々 m 個の規則があるので補題が成立。

灰色の配列で S により始めてカバーされるのは k 個。

それ以外は T1 か T2 によりカバーされる。

BISECTION の解析 簡単のため、もとの文字列の長さを n=2h と仮定（ h=log n

） 文法のサイズ＝２ × （異なる文字列の個数） 再帰の深さが h/2 になるまでに生成される文字列の個数

最小の文法のサイズを m* とする 深さ h/2 以上で生成される文字列の長さは、 1, 2, 4, …,

k/2

なので、 mk 補題より異なる文字列の個数は

よって、実行中に生成される異なる文字例の個数は

)(22221 )2/(log32 nOn

)(242 **)2/(log*** nmOmmmm n

)()()( ** nmOnmOnO

TREE-BISECTION (1) 木を再帰的に分割 同型な部分木が出てきたら同じラベルを割り当てる

T が枝 A のみの場合 A→a という規則を追加して終了　（ a は枝 A のラベル）

T がタグなし木の場合 T を T1, T2 に分割。ただし、 |T1|≦(1/2)|T|+1 、かつ、 T1 はタグつき T2 を T3, T4 に分割。ただし、 |T3|, |T4|≦(3/4)|T|+1

T がタグつき木の場合 T を T1, T2 に分割。ただし、 |T1|≦(1/2)|T|+1 、かつ、 T1 はタグつき T2 を T3, T4 に分割。 T3, T4 のいずれかのみがタグつき木 T3 がタグつき木なら、 |T3|≦(1/2)|T|+1 （逆も同様）

(|T4| は制約されないが、タグなし木なので次ステップで必ず小さくなる）

多項式時間で動作するのは、ほぼ明らか

TREE-BISECTION (2)枝１本のみ

タグなし木

タグあり木

アルゴリズムの解析

mk- 補題（１）

補題：　木 T がサイズ m の EOTG により生成されたとすると、es(T) に現れる長さ k の文字列のうち、異なるものは 2mk 個以下。

mk- 補題 [Lehman & Schelat 02]

文字列 s がサイズ m の CFG により生成されたとすると、s に現れる長さ k の文字列のうち、異なるものは mk 個以下。

証明：　サイズ m の EOTG は、サイズ 2m の CFG に変換可能 例： CACBBACCxBBAAx

オイラー文字列を用いて順序木に拡張

mk- 補題（２）命題： m* を最小 EOTG のサイズとすると、アルゴリズム中

で現れるサイズ k の木の種類は高々

1)22(

11

*1

**

1

)))22((2)(2()22(2k

k

kkmkmkm

証明：　サイズ k の木 ⇒ 長さ 2k-2 の文字列。ただし、途中にタグが入る場合は、長さ k1 と 長さ (2k-2)-k1 の文字列の組み合わせ。

その他の補題

証明：　 TREE-BISECTION はもとの木を edge disjoint な木に分解

補題：　大きさ n の木を生成する EOTG のサイズは )(log n

補題：　 TREE-BISECTION の再帰の深さは )(logO n

補題：　 TREE-BISECTION の同じ深さの再帰レベルに現れる木の枝の数の合計は n-1 以下

定理： TREE-BISECTION の近似率は O(n5/6) 同じ再帰レベルに現れるサイズ nα +1 以上の木の個数は (n-1)／ nα < n1-α 　以下

アルゴリズム中に現れるサイズ nα +1 以上の木の個数は　 O(n1-α log n)

サイズ nα 以下の木の種類は

よって、アルゴリズム中に現れる異なる木の種類は

α=1/6, m* が O(n1/6) とおいて

))((O)))22((2)(2()22(2 42*

1

1)22(

11

*1

**

1

nmkkmkmkmn

k

k

k

)log)((O 142* nnnm

)log(O )6/5()6/5(* nnnm

（次数制約つき）無順序木への拡張 TREE-BISECTION の変更点

T2 を、 r(T2) と wj の子孫からなる部分木（ j=1,…,h ）に分解

順序木の同型性判定を無順序木の同型性判定に置き換え⇒ 入力木は子の順序に関係なく、一意に分解される

EOTG の変更点 子の順序を無視　　 e.g., (IIIA)=(IIIB)

⇒ O(n5/6) 近似

画像データの文法圧縮

画像データに対する文法圧縮 対象とする文法

４分割型 下図のような、より複雑な文法にも拡張可

アルゴリズム： QUADSECTION

BISECTION の拡張

近似率の解析 補題：サイズ g の文法により生成される文字

列中のサイズ k×h の部分画像で異なるものは高々 2ngk 個　　（ n はもとの画像の最大辺。 k≧h ）

定理 QUADSECTION

　の近似率は O(n4/3)

d次元の場合は

近似)(O )1/(2 ddn

結論と課題

結論 CFG を順序木に拡張した EOTG を提案 与えれた木を生成する EOTG 計算アルゴリズム TREE-BISECTION を提案 O(n5/6) 近似であることを証明 無順序木への拡張 画像圧縮アルゴリズム QUADSECTION を提案

今後の課題 TREE-BISECTION の改良 無順序木の場合の次数制約の解除 文字列に対する他の近似技法の木への応用 木以外のグラフ構造に対する（近似率の保証 つき）文法圧縮アルゴリズムの開発 神経系や循環器系ネットワークの圧縮