Республика Башкортостан г. Уфа МАОУ лицей № 155

Ивушкина Л. Д.

Найти площадь фигуры

y=f (x) непрерывная f(x)≥0 на [a; b]

b

a

dxxfS )(

a 0 b x

y=f(x)

y

b

a

b

a

dxxfdxxfS )()(

y=f(x) непрерывная f(x)≤0 на [a; b]

a 0 b

y=f(x)

y

x

Найти площадь фигуры

0

y

x

y=g (x)

y=f (x)

ba

b

a

dxxgxfS ))()((

y = f (x), y = g (x) – непрерывные,f (x) ≥ g (x) на [a; b]

Найти площадь фигуры

y=f (x)

a

y=g (x) b

0

y

x

Найти площадь фигуры

y = f (x), y = g (x) –непрерывные, f (x) ≥ g (x) на [a; b]

b

a

dxxgxfS ))()((

c x

y=f (x)

a

y=g (x)

b0

y

Найти площадь фигуры

y = f (x), y = g (x) – непрерывные на [a; b]f (x) ≥ g (x) на [c; b]

f (x) ≤ g(x) на [a; c], где с [a; b]

( ( ) ( ))

( ( ) ( ))

c

a

b

c

S g x f x dx

f x g x dx

c x

y=f (x)

a

y=g (x

)

b0

y

Найти площадь фигуры y = f (x) – непрерывная на [a; c]

y = g (x) – непрерывная на [b; c] f (x) ≥ g (x) на [a; c], где с [a; b]

( ) ( )c c

a b

S f x dx g x dx

c x

y=f (x)

a

y=g (x)

b0

y

Найти площадь фигуры

y = f (x) – непрерывная на [a; c] y = g (x) –непрерывная на [c; b], где с [a; b]

в

с

с

a

dxxgdxxfS )()(

y

x

0-1 1

y=x2 3

2S

(четность функции)

Разминка Найти площадь изображенной фигуры

y

x1-1

-1

y=f(x)

0

2

1

2

1)( xxf

Разминка Найти площадь изображенной фигуры

4S(площадь прямоугольного треугольника)

y

x

y=sin x

20

Разминка Найти площадь изображенной фигуры

4S

(равенство фигур)

y

x

2

20-2

Разминка Найти площадь изображенной фигуры

S = 2(площадь полукруга)

24)( xxf

)(xfу

y

x

1

-1

0

1y=x-1

y=1-x

Разминка Найти площадь изображенной фигуры

S = 1

(площадь треугольника)

Задачи1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

xy )2(

3 xy0y

1y

y

C

xy

D1 x0

1BF

E A-1-2

)2(3 xy

1 способ S = S1 + S2 + S3

S = 19/12

2 способ S = S1 + SABCD - SOCD

3 способ S = SEFCD - SEFB - SOCD

xy )2(3 xy 0y 1y

S1

S2

S3

2) Фигура, ограниченная линиями

y=x+6,

x=1,

y=0, делится параболой

y=x2 + 2x + 4 на две части.

Найти площадь каждой части.

y=x2+2x+4

y

xD

C

B

S2

S1

0 1-1-2-3-4-5-6

34

67

x=1

y=x+

6S1 = 4,5 S2 = 20

5,24772

1BCDS

5,4)]42()6[(1

2

21

dxxxxS

12 SSS BCD

1

Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми

y

K9

7

5

1

0-1 2 4 9x

y=9-x

C

B

A

y=x+1

y=3x+1 y=3x + 1

y=9 - x

y=x + 1

Интересные задачи1. Найти сумму площадей бесконечного количества фигур,

изображенных на рисунке.

y

x

y=sin x

y

x

y=sin2x

y

x

y=sin4x

y

x

y=sin8x

0 0 0 0

(аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)

Указания к решению: sin nx=0

y

x

y=sin x

y

x

y=sin 2x

y

x

y=sin 4x

y

x

y=sin 8x

0 0 0 0

Ответ: 4.

, где n=1,2,4,8,...sin nx=0 , nx= π, x =

n

n nnxdxS

/

0

2sin

Решение

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

1

1

4

0 x

y

y=x2 y = 1

y = 4

x =0

у = x2 , при x ≥ 0

Данная фигура симметрична криволинейной трапеции,ограниченной прямыми x=1, x=4, y=0, графиком функции, обратной y=x2, x≥0, т. е. Поэтому фигуры

4

1

dxxS

1

4

1 4

xy

0 x

y

y=xy=x2

имеют равные площади

xy

y

x

d

c

0

x= 1

(y)

x= 2

(y)

Если фигура ограничена линиями x=1(y), x=2(y), y=c; y=d, где c<d и 2(y)≥1(y), на [c; d], то ее площадь может быть вычислена по формуле

2 1( ( ) ( ))d

c

S y y dy

Используемая литература

• Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений.2002г.

• Звавич Л.И., Рязановский А.Р., Поташник А.М. Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10-11 кл. Вып.1 «Интеграл и площадь» 1996г.

• Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. 10-11.Пособие для учителя. 1997г.