2. Вычисление теоретических спектров звезд

2.1. Проблемы моделирования атмосфер звезд

2.1.1. Теоретические модели атмосфер. Уравнения.

Уравнения переноса для разных

i = 1, …, NL

Уравнения кинетического равновесия

0)v(

t

vismR FFFgPt

vvv

)(

Уравнения магнитнойгазодинамики

0)(

vWt

W

]][[ Ht

Hv

),,(),,(),,(),,(1

tnrtnrItnrtnrIstc

ijijiji

ijjijij

i CRnCRnt

n

N(v) Распределение частиц по скоростям

Какие силы действуют?

Механизмы переноса энергии?

Магнитное поле? Источники непрозрачности?

В общем виде задача пока не решена !

Пример

Звезды АВГ:

• пульсации атмосферы,

• ударные волны,

• звездный ветер,

• пылевая оболочка

Теоретические модели атмосфер: предположения и ограничения.

1. Геометрия.

Одномерные (1D) модели

плоскопараллельные однородные слои, если hatm /R << 1

сферические однородные слои, если hatm /R < 1

Sun: hatm /R = 200/700000 << 1

Mira:hatm /R 0.56

3D модели атмосферЗвезды с конвективной зоной

Проявления неоднородности:

• солнечная грануляция

• асимметрия и сдвиги линий в спектре интенсивности

Fe I 6082 в спектре центра диска

HM model

t = 1.0 km/s

+ макротурб.

Схема

образования асимметрии и сдвига линии в неоднороднойатмосфере

Проявления неоднородности очень малы в спектре Солнца как звезды

Проявления неоднородности звездных атмосфер

Ap звезды

Учесть влияние магнитного поля на физическое строение атмосферы не умеем !

Быстрые ротаторы,

Тесные двойные (отклонения от сферичности + облучение)

1D модели с параметрами, переменными на поверхности

Оболочки W-R, SN,

звездные ветры

феноменологические модели

МодельMAFAGS

Fe I 5618

2. Динамика

Статичные атмосферы (все звезды ГП)

Движущиеся в режиме стационарного истечения,

(А – О сверхгиганты, звездные ветры)

Гидродинамические

атмосферы с конвекцией (звезды солнечного типа);

пульсирующие атмосферы (цефеиды, …);

нестационарное расширение, ударные волны (оболочки SN)

0t

3. Термодинамика

Распределение частиц по скоростям – Максвелловское

концентрации атомов из решения уравнений статистического равновесия Распределение Максвелловское?Электронный газ:Время релаксации

T = 10000 K, Ne = 1014 tc ~ 10-4 c

Возмущающие процессы Среднее время между фоторекомбинациями: 1) H + e H- звезды солнечного типа

T ~ 6000 K; (H-) ~ 3 10-22 ; Ne/NH ~ 10-4 ; tr/tc ~ 105 ; 2) H+ + e H звезды AO и более ранних типов

T ~ 10000 K; (H) ~ 6 10-21 ; Ne/Np ~ 1; tr/tc ~ 107 ;

0

t

ni

)ln( 022/3 /9.17/3 pDeNkTmt ec

vNtr /1

(стационарныеатмосферы)

Неупругие столкновения

kT ~ 0.5 – 5 eV

1) H + e; tin/tc ~ 105

2) Тяжелые атомы + e; tin/tc ~ 103

Атомы и ионы

Н атмосфера, 5000 K < T < 100000 K, Ne > 1010

| Ta - Te | / Te < 10-3

Распределение – Максвелловское !

Te = Ta = Ti

Н атмосфера:Если Ne/NH < 0.01 и

n1 # nЛТР

отклонения от Максвелловского распр.(Shoub, 1977)

Статистическое равновесие

радиативные скорости

b-b:

b-f:

0

)(4

dvJ

hv

vnRn v

ijiiji

0

2

3*

2)(4

dveJ

c

hv

hv

v

n

nnRn kThv

vij

j

ijjij

NLiCRnCRnij

ijijiij

jijij ,...1

)( vjijijjij JBAnRn

JBndvJBnRn ijivvijiiji

0

40

ijijij

totij

hBd

totijij )(

- профиль коэффициента

поглощения

*

j

i

n

n Равновесноеотношение

Статистическое равновесие

ударные скорости (b-b и b-f):

0

)()(v

vvvv dfnNCn ijieiji kThv

j

iijji e

g

gCC

Частный случай: полное термодинамическое равновесие (ПТР)

• детальный баланс:

•

b-b:

формула Больцмана

b-f:

формула Саха

00

2

3*

2)(4

)(4

dveB

c

hv

hv

v

n

nndvB

hv

vn kThv

vij

j

ijv

iji

)( BBAnBBn jijijiji

jijiji RnRn vv BJ

*

/

i

jkTh

i

j

i

j

n

ne

g

g

n

n

*

2/3

3 /)2(2

j

ii

j

ie

j

i

n

nkTe

mkT

h

g

gN

n

n

Частный случай: локальное термодинамическое равновесие (ЛТР)

Концентрации атомов – по формулам Больцмана и Саха

при локальных Te и Ne

Tion = Texc = Te

При каких условиях предположение ЛТР удовлетворительно ?

1) в каждом переходе

2) Jv = Bv (Те) на всех частотах детальный баланс

Условия выполняются в глубоких слоях атмосферы

ij

ijiij

jij CnCn

ijij RC kTh

i

j

i

j eg

g

n

n /

2.1.2. Классическая задача о построении одномерной,

статической модели атмосферы

Плоскопараллельные атмосферы (все звезды ГП)

T, P, Ne, в функции глубины

• геометрической z

• колонковой массы m, dm = - dz • Росселандовой

оптической толщиныПараметры модели:

Tэфф, g, химический состав (или [M/H], [/Fe])

Ross

dzdzd RossRossRoss

0

3

0

0 1

4

1

1

ddT

dB

Td

dTdB

ddTdB

RRoss

[M/H] = log (M/H) - log (M/H)sun

Сферические модели атмосфер (сверхгиганты)

T, P, Ne, в функции радиуса

Параметры модели:

L, R, химический состав (или [M/H], [/Fe])

Область применимости сферических, 1D моделей – узкая.

Протяженность почти всегда сопровождается динамическими явлениями

Основные уравнения:

1. Уравнение гидростатического равновесия

g = const для плоской атмосферы

g = G M/r2 для сферической

Уравнения сохранения числа частиц и заряда

gdz

dP

dz

dPRg

ekallspecies

k NNN ,

kspecies rions

rke rNN, ,

,

Type log g

Main sequence star

Sun

Supergiants

White dwarfs

Neutron stars

Earth

4.0 .... 4.5

4.44

0 .... 1

~8

~15

3.0

kallspecies

kkHekallspecies

kk AmNNNm,,

)(

Сила лучистого давления

Если

предельная светимость для звезды со статичной атмосферой - Эддингтоновская светимость

для Томсоновского рассеяния как основного источника непрозрачности

Для стабильной атмосферы:

0

4 dH

cdz

dPR

0

4 dH

cgg R

F = F = 4 H

Потоки: полный астрофизический Эддингтоновский

e

Heff

REdd

GMcmT

g

GML

4

4 4

SunSunEdd MMLL /10/ 51.4

Sun

SunR

MM

LL

g

g

/

/10 51.4

12.15log4log effTg

2. Уравнение переноса излучения плоскопараллельная атмосфера:

сферическая атмосфера:

Поглощение: b-f переходы у всех атомов, ионов, молекул f-f переходы, рассеяние, b-b переходы

Излучение: для тепловых процессов (b-f, f-f) для изотропного, когерентного рассеяния

для некогерентного рассеяния

функция перераспределения ?

)(),()()(

zzIzdz

zdI

)(),()(1

2

rrIrr

I

r

I

Bt Js

')',(0

' dJRs

= cos

)',( R

3. Уравнение сохранения энергии

Атмосферы в лучистом равновесии

F r2 = const = L/4

Конвективный и лучистый перенос энергии Сила плавучести поддерживает движение, если

Е – возмущенный элемент газа; r – окружающий газ (в лучистом равновесии)Предположим: 1) элемент – в равновесии с окружающим газом по давлению;2) Процесс – адиабатический.

4

0

effv TconstdFF

00

dJdB vt

vt

плоская

сферическая

rdr

dr

dr

d

r

r

E

E

)()(

Критерий Шварцшильда

А = 0.4 – 0.1

Ионизация Н понижает А и критическое значение r

Конвективный перенос энергии важен, если

• есть зона ионизации Н;

• располагается на 1.

Sp F, G и более поздние

Для 1D-моделей теория пути перемешивания

rrrAAAdr

Pd

Pd

d

dr

d

dr

Pd

Pd

d

dr

d

ln

ln

lnlnln

ln

lnln

rrdr

Td

rd

Pd

ln

ln

ln

rr Pd

Td

ln

ln

AA Pd

Td

ln

ln

rA

Пример:

Адиабатический и лучистый градиенты в атмосфере Солнца. Зона ионизации Н:

понижение А ;

рост непрозрачности и рост r. В диффузионном приближении

При 5000 > 1

Конвекция переносит до 90%общего потока.

rA

А

log 5000

dz

dT

dT

dB

d

dT

dT

dBH

3

1

3

1)(

416/3 TgPF Rossr

Grupp (2004)

Scheme of model atmosphere calculationwith given Teff, g, chemical composition

T(R)

Solution of HEDefinition of R scale

dR = R / dm = (N - Ne) mH

Nd,Tdon a mesh {md}, d=1,…,ND

Number conservationCharge conservationSaha, Boltzmann eq.

nd,k,i

Ne

dn ,dn

(N,T, Ne, ni, ... , Jk, ... , JNF)d

LTE

Solution of

RE, HE, RT, SE

ready model

if F/F <

Источники непрозрачности в атмосферах звезд

Непрерывное поглощение:

• фотоионизация H, He I, He II, H-, H2+, металлов;

• f-f поглощение (H, He I, He II, H-, металлы); • рассеяние (Томсоновское, Рэлеевское); • Комптоновское рассеяние; • покровный эффект линий

При расчете моделей атмосфер: важен совокупный эффект в широком диапазоне длин волн.

При расчете потока в непрерывном спектре или линии: фоновая непрозрачность на заданной длине волны (ЛТР);

непрозрачность на частотах всех b-f и b-b переходов исследуемого атома (не-ЛТР);

Роль разных источников поглощения в зависимости от параметров звезд

Пример: = 3000 – 10000 Å

b-f: H I n = 2, 3, 4; E2 = 10.2 eV;

He I n = 2, 3, 4; E2 = 19.7 eV;

He II n = 4, 5; E4 = 51 eV;

H- ion = 0.76 eV;

f-f:

Рассеяние: Томсоновское – нужны свободные электроны;

Рэлеевское – атомы Н и Не, молекулы

ffii

kTi

kThvpffbf

gei

g

kT

evkTmhc

eNNH

i

0

/3

1

/32/13

6

2

11

)(

1

63

8)(

e

1:1

)(:)( / kTiekT

fffb

i0 = 3

Низкая концентрация приТ < 7000 K

Существует при 4500 < Т < 7000

Звезды солнечного типа: H- - основной источник непрозрачности

В-звезды:

H (b-f), томсоновское рассеяние

( = 4860 Å)

Rosseland mean

Источники поглощения в разных диапазонах спектра

атомы и ионы металлов: thr < 3000 Å

= 2000 Å

Солнце, Teff = 5780, log g = 4.44, [Fe/H] = 0доминирует b-f поглощение металлов HD122563, 4600 / 1.5 / -2.5 доминирует Рэлеевское рассеяние

Роль разных источников поглощения в зависимости от параметров звезд.

Температурное распределение

в атмосфере нейтронной звезды при учете

Томсоновского рассеяния + поглощения металлов Комптоновского рассеяния

Сулейманов 2005

Механизмы поглощения/излучения в атмосфере и спектр выходящего излучения

Солнце: доминирует

Н- (b-f + f-f) – истинное излучение

Механизмы поглощения/излучения в атмосфере и спектр выходящего излучения

Vega, Teff = 10000 K

доминирует

Н (b-f ) – скачки в спектре

Teff = 42000 K

доминируетТомсоновское рассеяние

Механизмы поглощения/излучения в атмосфере и спектр выходящего излучения

при учете

Томсоновского рассеяния

+ поглощения металлов

Комптоновского рассеяния

+ поглощения металлов

нейтронная звезда,

Teff = 2 107 K, log g = 14.2

Сечения фотоионизации для металлов

1) Экспериментальные

(в основном,

для основных состояний)

2) Проект OP (TOPbase,

http://vizier.u-strasbg.fr)

Z = 1-14, 16, 18, 20, 26;

Ion = 1-24

1) Другие методы

(Burgess&Seaton, 1960;

Peach, 1967;

Travis&Matsushima, 1968;

Hofsaess, 1979)• водородоподобные

thr 3800 AMgI, thr 2500 A

Hyd

QDM

О точности атомных данных

Пример:Наблюдаемый и теоретический спектр Солнца

FeI (b-f)TOPbase

FeI (b-f)Hyd

Grupp 2004

Учет покровного эффекта

Таблицы спектральных линий:

~50 млн. атомарных линий в диапазоне 100 – 100000 Å

• Kurucz R.L. 1992, CD-ROM N 18; http://cfaku5.harvard.edu

• TOPbase (Z = 1 - 14, 16, 18, 20, 26; Ion = 1 – 24):

http://vizier.u-strasbg.fr;

• Vienna Atomic Line Data (VALD) base (Z = 1 – 82; ions: I, II, III): http://www.astro.univie.ac.at/~vald

~700 млн. молекулярных линий

• Allard et al. 2001, ApJ 556, 357

• Блокировка излучения в фотометрических полосах (50 Å):

с центром для Teff = 5000 K 8000 K 3646 Å 44% 15% 4032 Å 30% 10% 5840 Å 3% 4%

1. Охлаждение поверхностных слоев. 2. Эффект самообогрева. Пример: разность температур между теоретическими и полуэмпирической (HM) моделями солнечной атмосферы.

• Влияние на физическую структуру атмосферы.

Перераспределение излучения из у.-ф. в видимую и и.-к. области

Пример: Теоретические спектры для небланкетированной и двух бланкетированных моделей солнечной атмосферы

Как учесть? 1. Прямой метод.2. Функция распределения непрозрачностей (Opacity Distribution Function, ODF) - Mihalas (1970), Carbon (1974), Kurucz (1979)

Идея – замена точной частотной зависимости плавной

функцией распределения непрозрачностей

4 0 0 2 4 0 0 4 4 0 0 6 4 0 0 8

0 .1

1 .0

2 4 6 8

0 .1

1 .0

10(1 - fraction of the interval with i )

i

Точная частотная зависимость ODF для того же интервала

Kurucz (1979, 1992, 2002)

Таблицы ODF:

1400 интервалов ( = 10 A,

кроме и.-к.),

каждый представлен 10

точками;

Для набора T, P, Ne, химического состава (масштабированный солнечный: [M/H] = 0.5, 0, -1, ...)

355 365 nm

log i

Недостаток – невозможность учета индивидуального химического состава звезды

3. Метод выборочной непрозрачности (Opacity Sampling, OS) Идея – замена точной

частотной зависимости

коэфф-тами поглощения в

случайно распределенных частотах.

Пример: Grupp, 2004

Teff = 5000 – 10000 K

Учет ~ 20 млн. линий

для 911 – 100000 Å

Оптимальное число частот – 86000

Сравнение OS и ODF моделей солнечной атмосферы

T (OS – ODF) = 20-60 Kдля log 5000 = -3, ..., 2

log 5000

log 5000

Конвективный перенос энергии.Теория пути перемешивания (Biermann, 1948; Vitense, 1953)

«Истинный» градиент

Градиент в среде без конвекции

Градиент в конвективном элементе

Адиабатический градиент

Шкала высот по давлению

rr Pd

Td

ln

ln

r > > E > A

dz

dT

T

H

Pd

Td

ln

ln

EEE dz

dT

T

H

Pd

Td

ln

ln

1ln

dz

PdH g

A

в нестабильном слое

l = Н – длина перемешивания; характерное расстояние, пройдя которое, элемент отдает/поглощает энергию

Теория пути перемешивания

Конвективный поток: Fconv = cP T v

v - средняя скорость элемента

Fconv = 0.5 cP T ( - E) v

• Определение v:

и E выразить через r и A

параметр эффективности конвективного переноса: и может быть выражен через локальные значения переменных

2/)( lH

Tz

dz

dT

dz

dTT E

E

2/12/1 )(8/v EgH PT

ln

ln1

)()( EA

E

Для элемента, сместившегося на

z.Среднее z = l /2

22/

0

v2

1)(

2

1 l

b rrdf

3) Teff 4 = Frad + Fconv

= 0.5 – 2 параметр

теории

Solar-like temperature stratifications for convective equilibrium models with increasing mixing-length parameters .

Note that in the metal-poor models convection extends into the optically thin layers of the photosphere.

/ PH

Методы решения уравнений звездных атмосфер

Метод полной линеаризации (Auer & Mihalas 1969)

Уравнения – нелинейные интегрально-дифференциальные

NLiCRnCRnij

ijijiij

jijij ,...1

00

dJdB vt

vt

0

4)( dHc

gdz

NkTd

),,( ie nNTf

ekallspecies

k NNN ,

kspecies rions

rke rNN, ,

,

)()())((

2

2

SJd

Jfd

ЛР

ГР

Ст.Р

Сохр.заряда

Ур-иепереноса

JKf /Переменный

Эддингтоновскийфактор

ni = f(J)

= f(ni)

Реализация:

1) Дискретизация переменных по глубине {d}, d = 1, …, ND и

частоте {n}, n = 1, …, NF

Искомое решение:

2) Представление дифференциальных уравнений в разностной форме и интегральных как квадратурных сумм

алгебраическая система уравнений

3) Линеаризация уравнений:

Производные – из уравнений стат.равновесия

X(d, n) Xdn

dNFNLed JJnnNNT ,...,;,...,,,, 11

ddd 0

0)( ddf0)( ,

,

0

jdj jd

ddd

ff

dn

d

NF

n n

u

d

ued

de

uud J

J

nT

T

nN

N

nn

1

BAn 1

Основное уравнение метода

Каждый элемент – матрица (NDND)

1 1 1 1

1

0

0k k k k

NF NF NF NF

k NF

T U J K

T U J K

T U J K

W W W D T L

NF уравнений переноса

Уравнения ЛР+

ГР

ddddddd LCBA 11

dNFed JJNNT ,...,,,, 1Вектор решения

V1 Vk VNF G N M

Промежуточные выкладки

1. Уравнение переноса как дифф. уравнение 2-ого порядка

)(),(),(

SId

dI

)(),(),(

SId

dI

Сложим и вычтем

)(),(),(

Sud

dv ),(

),(

vd

du

)(),(),(

2

22

Sud

ud )()(

)(2

2

SJ

d

Kd

2/)],(),([),( IIu

2/)],(),([),( IIv = [0,1]

выходящее

и входящее излучение

2. Difference-equation representation

RT equation:

integrals are replaced by quadrature sums

RE: 0][ n

dndndndnn JkBkw

dndn

dn

dn

dndndn

dnnd

ndnddn

ndnddn

dn

dnnd

ndnd

JBk

J

JfJ

fJf

,2/1

,1,1

,2/1,2/1,2/1

,1,1 11

nnnnnnnn JJHJfJf 1,2/31122 )0(/)0(/)( d = 1 boundary condition

d = 2, …. ND-1

dd

dd

d

d

d

XXX

d

dX

1

1

2/1

2/1

2/1)(5.0 2/12/1

2/12/12

2

dd

dd

d

ddX

ddX

d

Xd

)(5.0 2/12/1 ddd

Достоинства и недостатки метода полной линеаризации

+ учет любых взаимодействий между переменными и глобального взаимодействия по всей атмосфере

- Компьютерное время ~ ND3 x NT + ND2 x NT2

(наиболее экономичная схема Auer & Heasley, 1976;

NT – число переходов)

Примеры: • ND = 70; NT = 80 для NL = 50. • При учете поглощения H I, He I, II, металлов

NL ~ сотни уровней

невозможно строить не-ЛТР бланкетированные модели

Модели атмосфер с ускоренной -итерацией (ALI)

Идея: разделение решения уравнений переноса и уравнений статистического равновесия

Реализация:

1) Дискретизация переменных по глубине {d}, d = 1, …, ND и частоте {n}, n = 1, …, NF

2) Определение J методом ALI

3) Приведение уравнений ЛР, ГР, Ст.Р, сохранения заряда к

алгебраической системе уравнений и их линеаризация

Искомое решение:

4) Решение линеаризованных уравнений для

Итерации пунктов 2) – 4) до сходимости

dNLed nnNNT ,...,,,, 1

dNLed nnNNT ,...,,,, 1

Метод ускоренной -итерации

Обычная -итерация стабилизация решения до получения правильного результатаУскоренная -итерация (Cannon, 1973; Scharmer, 1981; Werner, Husfeld, 1985) = * + ( - *)

формальное решение

dttEtSSJ ||)(2

1)(

0

1

Уравнение Шварцшильда

SBJBS )1()1( Для когерентного изотропного рассеяния

)()1(1 )(1*)( nFSn SSS

)()1( )1( nn SBS

)()1( nFS SBS

* - приближенный -оператор

)(*)1(*)1( ))(1()1( nnn SSBS

*

**

,0

),(

SS

Как задать * ?

Точный -оператор – матрица с ненулевыми коэффициентами.

Оптимальный выбор для * – диагональный оператор.

Werner, Husfeld, 1985:

Программы для расчета ЛТР моделей атмосфер

ATLAS9 (Kurucz, 1992; modified version Castelli& Kurucz, 2002)

MLT ( = 1.25) + overshooting (cancelled in modified version);

ODF (~50 mln. lines);

Teff = 3500 – 50000 K; log g = 0 – 5 (L < LEdd); [M/H] = (+0.5) – (-3)

ATLAS12 (Kurucz): MLT, OS

-------------------------------------------------------------------------------------------

MARCS (Gustafsson et al., 1975) MARCS-OS (Gustafsson et al.,

in preparation)

MLT ( = 1.5), ODF MLT ( = 0.5), OS

late Sp from A to M and C, from V to I

[M/H] = (+1) – (-6)

-------------------------------------------------------------------------------------------

MAFAGS (Gehren; Fuhrmann et al. 1997); MAFAGS-OS (Grupp, 2004)

MLT ( = 0.5), ODF Canuto&Mazzitelli; OS

late Sp

Программы для расчета не-ЛТР моделей атмосфер

TLUSTY (Hubeny & Lanz 1995), complete linearization / ALI Плоскопараллельные, бланкетированные (super levels, super lines)

Teff = 27500 – 55000 K; log g = 3.0 – 4.75 (L < LEdd)

PHOENIX (Hauschildt, Baron et al. 2002), ALI Плоскопараллельные и сферические, MLT, бланкетированные (прямой метод) (5-20 mln. atomic lines + 15-300 mln. molecular lines), расширяющиеся атмосферы

Не-ЛТР поглощение в линиях не-ЛТР ЛТР

Lanz & Hubeny 2003

T0(Z = 0) – T0(Z = Zsol) > 15000 K !

Эффекты бланкетирования в поверхностных слоях сильнее, чем не-ЛТР эффекты !!!

35000/4.0

LTE Anderson,1985 ········LTE Kurucz, 1979 +++NLTE Anderson,1985 ——NLTE Mihalas, 1972

Распределение температуры в моделях с разным содержанием металлов

Z = 0

Z = Zsol

не-ЛТР ЛТР: потоки для модели 35000/4.0

LTE Anderson,1985 ········

LTE Kurucz, 1979 +++

NLTE Anderson, 1985 ——

NLTE Mihalas, 1972

Непрерывный спектр в оптической части ( > 912 A) практически не подвержен не-ЛТР эффектам.

Важно учитывать для далекого

УФ, где непрозрачность

обусловлена Не и металлами

912 A|

visible

|504 Å

far UV

ЛТР и не-ЛТР модели атмосфер

VegaSun

Hauschildt et al. 1999, программа PHOENIX

Точность представления реальных атмосфер Примеры:

Белый карликНе-ЛТР модель TLUSTY(Werner, 2002)

M гиганты Сферические модели MARCS-OS (Alvarez & Plez, 1998)

3800/1.5

3500/0.9

(green)

Примеры: Солнечный спектр

MAFAGS-OS(Grupp, 2004)

не-ЛТР

ЛТР(Allende Prieto et al. 2003)

Вклад хромосферы

Примеры:

Вывод

Одномерные, статичные

модели атмосфер дают

успешные предсказания

непрерывных и линейчатых

спектров для большинства

объектов

Вега (9550/3.95) PHOENIX(Hauschildt et al. 1999)