第七章 : 二元关系

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第七章 : 二元关系主要内容有序对与笛卡儿积二元关系的定义与表示法关系的运算关系的性质关系的闭包等价关系与划分偏序关系本章与后面各章的关系是函数的基础是图论的基础

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第七章 : 二元关系

第一节：有序对与笛卡儿积

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引言关系是数学中最重要的概念之一

父子关系、师生关系等于、大于、小于关系直线的平行、垂直关系

在计算机科学中有广泛应用人工智能程序设计数据库管理—关系数据库

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7.1 有序对与笛卡儿积有序对（序偶）：由两个元素 x ， y( 允许

x=y) 按给定顺序排列组成的二元组合符号化： <x ， y>x 为第一元素， y 为第二元素例：平面直角坐标系中的一个点的坐标＜ 1,3 ＞和＜ 3,1 ＞是表示平面上两个不同的点

<x ， y> = <u ， v> 当且仅当x=u ， y=v如果 xy ，那么＜ x ， y ＞＜ y ， x ＞

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7.1 有序对与笛卡儿积例：已知 <x+2,4>=<5,2x+y> ，求 x,y解：根据有序对等式定义，只需求解方程式 x+2=5 和 2x+y=4 得到： x=3, y=-2

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7.1 有序对与笛卡儿积笛卡尔积笛卡尔积 A××B ：集合 A 中元素为第一元素，

集合 B 中元素为第二元素的有序对集A×B={<x ， y>xA yB}

例：设集合 A={a ， b ， c} ， B ={0 ， 1} ，求 A×B ， B×A ，(A×B)∩(B×A)A×B={<a ， 0> ， <a ， 1> ， <b ， 0> ，

<b ， 1> ， <c ， 0> ， <c ， 1>}B×A={<0 ， a> ， <1 ， a> ， <0 ， b> ，

<1 ， b> ， <0 ， c> ， <1 ， c>}(A×B)∩(B×A)=

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7.1 有序对与笛卡儿积例：设集合 A={1 ， 2} ，求 P(A)A解：P(A)={ ， {1}， {2}， {1， 2}}P(A)×A ={<， 1>，<， 2>，<{1}， 1>，

<{1}， 2>，<{2}， 1>，<{2}， 2> ， <{1， 2}， 1>，<{1， 2}， 2>}

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7.1 有序对与笛卡儿积说明：说明：

如 A ， B 均是有限集， A=m,B=n ，则必有 AB=mn

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7.1 有序对与笛卡儿积笛卡儿积的性质：

对于任意集合 A ， A= ， A=一般不满足交换律，当 A ， B ， AB 时

， AB BA一般不满足结合律，即当 A ， B ， C 均非空时， (AB)CA(BC)

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7.1 有序对与笛卡儿积笛卡儿积的性质（续）：

对任意三个集合 A ， B ， C 有（ 1 ） A(B∪C)=(AB) ∪(AC)

（ 2 ） A(B∩C)=(AB)∩(AC) （ 3 ） (B∪C)A=(BA) ∪(CA) （ 4 ） (B∩C)A=(BA)∩(CA)

（ 5 ） A C B D A×BC×D

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7.1 有序对与笛卡儿积证明：

对任意三个集合 A ， B ， C 有 A(B∪C)=(AB) ∪(AC)

证明： <x ， y> A(B∪C)

xA yB∪C

xA (yB yC)

(xA yB) (xA yC)

<x ， y> AB <x ， y> AC

<x ， y>(AB) ∪(AC)

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7.1 有序对与笛卡儿积例：设 A ， B ， C ， D 是任意集合，判断下

列命题是否正确？ABAC BC

• 不正确。取 A ， BC ， AB=AC=A-(BC)=(A-B) (A-C)

• 不正确。取 A=B={1} ， C={2} ， A-(BC)={1}-{<1,2>}={1}

而 (A-B) (A-C)={1}=

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7.1 有序对与笛卡儿积例：设 A ， B ， C ， D 是任意集合，判断下

列命题是否正确？A=B ， C=D ACBD

• 正确。存在集合 A 使得 A AA

• 正确。取 A= 时， AAA

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第二节：二元关系

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7.2 二元关系关系是指事物之间（个体之间）的相互联系二元关系 R：满足下列条件之一的集合

集合非空，且它的元素都是有序对集合为空集

定义： A ， B 是集合， A×B 的子集叫做从 A到 B 的一个二元关系

例： A={0， 1}， B={1， 2 ， 3}R1={<0,2>}， R2={<0,1>}R3=

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7.2 二元关系几类特殊关系：

全域关系 EA ＝ A×A

恒等关系 IA ＝ {<x ， x>|x∈A} 空关系

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7.2 二元关系例： A={0,1,2}

EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,

<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>}恒等关系 IA ={<0,0>,<1,1>,<2,2>}

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7.2 二元关系包含关系

A 是一个集合 , 定义 P(A) 上的一个关系R ={<u ， v>uP(A) ， vP(A) ，且

uv}A={a ， b} ， P(A)={ ， {a} ，

{b} ， A}R={< ， {a}> ， < ，

{b}> ， < ， > ， < ， A> ， <{a} ，{a}> ， <{a} ， A> ， <{b} ，{b}> ， <{b} ， A> ， <A ， A>}

例： A={2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}R={<a ， b>a 是 b 的倍数 }R={<2 ， 2> ， <3 ， 3> ， <4 ， 2> ， <4

， 4> ， <5 ， 5> ， <6 ， 2> ， <6 ， 3> ， <6 ， 6>}

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7.2 二元关系关系表示方法

枚举法（直观法、列举法）• xRy 表示特定的序偶〈 x ， y 〉 R

谓词公式表示法（暗含法）关系矩阵表示法关系图表示法

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7.2 二元关系关系矩阵表示法设集合 A={a1,…,am},B={b1,…,bn},R是 A到 B 的关系 ,则 R的关系矩阵是一个 mn阶的矩阵

MR=(rij)mn

其中 rij =1,当<ai,bj>R

ri j =0,当<ai,bj>R

如果 R是 A上的关系时 , 则其关系矩阵是一个方阵

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7.2 二元关系例： A={a,b,c,d},B={x,y,z},A=4 ， B=3,R={<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,z>,<d,y>}则MR 是 43 的矩阵

1 0 1

MR = 0 1 0

0 0 1

0 1 0其中 r13=1 表示 <a,z>R, 而 r23=0, 表示 <b,z>R

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24

7.2 二元关系关系图： A={a1,…,am} ， B={b1,

…,bn}

结点： m+n 个空心点分别表示 a1,…,am 和b1,…,bn

有向边：如果 <ai,bj>R, 则由结点 ai 向结点bj 通一条有向弧 , 箭头指向 bj

自回路： <ai,ai>R, 则画一条以 ai 到自身的一条有向弧

这样形成的图称为关系 R 的关系图

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7.2 二元关系例： A={2,3,4,5,6}(1)R1={<a,b>a 是 b 的倍数 }

(2)R2={<a,b>(a-b)2A }

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64

2

5

3

6

4

2

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第三节：关系的运算

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7.3 关系的运算二元关系的定义域和值域

定义域：值域：

例X={1,2,3,4,5,6},Y={a,b,c,d,e,f}R={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>}domR={1,2,3,4}ranR={a,b,c,d}

)},(|{ RyxyxdomR

)},(|{ RyxxyranR

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7.3 关系的运算二元关系的逆关系

R-1就是将 R中的所有有序对的两个元素交换次序成为 R-1 ，故 |R|=| R-1 |

说明R-1 的关系矩阵是 R的关系矩阵的转置，即

MR-1=(MR)T

R-1 的关系图就是将 R 的关系图中的弧改变方向即可以

},|,{1 RxyyxR

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7.3 关系的运算例：

R={<a,a> ， <a,d> ， <b,d> ， <c,a>， <c,b> ， <d,c>}

R-1={<a,a> ， <d,a> ， <d,b> ， <a,c>， <b,c> ， <c,d>}

1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 MR= 1 1 0 0 MR

-1=MRT= 0 0 0 1

0 0 1 0 1 1 0 0

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7.3 关系的运算例：

R={<a,a> ， <a,d> ， <b,d> ， <c,a>， <c,b> ， <d,c>}

R-1={<a,a> ， <d,a> ， <d,b> ， <a,c>， <b,c> ， <c,d>}

db

c

a

b

c

a

d

R 的关系图 R-1 的关系图

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7.3 关系的运算关系的右复合

例 A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3} R={<x,y>|x+y=6} ={<1,5>,<2,4>,<3,3>} S={<y,z>y-z=2} ={<3,1>,<4,2>,<5,3>} RS={<1,3>,<2,2>,<3,1>}

)},,(|,{ GytFtxtyxGF o

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7.3 关系的运算例（续）

5

43

54321

3

2

1

54321

3

2

1从而 RS 的关系图

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7.3 关系的运算例： A={a,b,c,d,e}

R={<a,b>,<c,d>,<b,b>} S={<d,b>,<b,e>,<c,a>} RS={<a,e>,<c,b>,<b,e>} SR={<d,b>,<c,b>} RR={<a,b>,<b,b>} SS={<d,e>}

注意： RSSR

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7.3 关系的运算定义： R 是二元关系， A 是集合

R 在 A 上的限制 A 在 R 下的像

{ , | }R A x y xRy x A

)(][ ARranAR

A R[A]

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7.3 关系的运算例： R = {<1, 2>, <1, 3>, <2,2>, <2,4>,

<3,2>}, 求：

R {1}R {2,3}R

[ ]R [{1}]R [{2,3}]R

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7.3 关系的运算优先顺序：逆运算优先于其他运算关系运算优先于集合运算没有规定优先权的运算以括号决定运算顺序

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7.3 关系的运算定理：设 F 是任意的关系，则

(F-1)-1=F domF-1 =ranF, ranF-1 =domF

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7.3 关系的运算定理：设 F ， G ， H 是任意的关系

① (FG)H = F(GH)② (FG)-1 =G-1F-1

证明： <x ， y> (FG)-1 <y ， x>FG t(<y ， t>F <t， x>G) t(<x ， t>G-1 <t， y>F-1) <x ， y>G-1F-1

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7.3 关系的运算例

R={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<c,b>,<c,c>} S={<a,1>,<a,4>,<b,2>,<c,4>,<c,5>} RS={<a,1>,<b,2>,<c,2>,<a,4>,

<c,4>,<a,5>,<c,5>} (RS)-1={<1,a>,<2,b>,<2,c>,<4,a>,

<4,c>,<5,a>,<5,c>} R-1={<a,a>, <c,a>,<b,b>,<b,c>,<c,c>} S-1={<1,a>,<4,a>,<2,b>,<4,c>, <5,c>} S-1R-1={<1,a>,<2,b>,<2,c>,<4,a>,

<4,c>,<5,a>,<5,c>}

40

7.3 关系的运算定理 : 设 R 为 A 上关系，则 RIA ＝ IAR ＝ R 定理 :

R(S∪T)=RS∪RT R(S∩T)RS∩RT (S∪T)X=SX∪TX (S∩T)XSX∩TX

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7.3 关系的运算证明 R(S∪T)=RS∪RT<x,z>∈ R(S∪T)

y(<x,y>∈R∧<y,z>∈S∪T) y(<x,y>∈R∧(<y,z>∈S∨<y,z>∈T)) y((<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∨

(<x,y>∈R∧<y,z>∈T)) y(<x,y>∈R∧<y,z>∈S)∨

y(<x,y>∈R∧<y,z>∈T)

<x,z>∈RS ∨<x,z>∈ RT

<x,z>∈RS∪RT

42

7.3 关系的运算证明 R(S∩T)RS∩RT <x,y>∈R(S∩T)

t (<x,t>∈R∧<t,y>∈S∩T) t (<x,t>∈R∧<t,y>∈S∧<t,y>∈T)

t ((<x,t>∈R∧<t,y>∈S) ∧(<x,t>∈R∧<t,y>∈T))

t (<x,t>∈R∧<t,y>∈S) ∧t (<x,t>∈R∧<t,y>∈T) <x,y>∈RS∧<x,y>∈RT

<x,y>∈RS∩RT

43

7.3 关系的运算定理 :

R↾(A∪B) = R↾A∪R↾B R[A∪B] = R[A]∪R[B] R↾(A∩B) = R↾A∩R↾B R[A∩B] R[A]∩R[B]

44

7.3 关系的运算定理 : R[A∩B] R[A]∩R[B]证明： y∈R[A∩B]

x(<x,y>∈R∧x∈A∩B)

x(<x,y>∈R∧x∈A∧x∈B) x((<x,y>∈R∧x∈A)∧(<x,y>∈R∧ x∈B)) x(<x,y>∈R∧x∈A)∧ x(<x,y>∈R∧ x∈B) y∈R[A]∧y∈R[B] y∈R[A]∩R[B]

45

7.3 关系的运算 R 的 n 次幂

记为 Rn

R0 =A

Rn+1=RnR 定理 : 设 R 是集合 A 上的关系， m,n∈N

RmRn=Rm+n

(Rm)n=Rmn

证明思路：使用归纳法并利用复合关系的结合律

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7.3 关系的运算例 R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,5>}

R0= {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} R1=R R2={<1,1>,<2,2>,<1,3>,<2,4>,<3,5>} R3=R2R ={<1,2>,<2,1>,<1,4>,<2,3>,<2,5>} R4=R3R ={<1,1>,<2,2>,<1,5>,<2,4>,<1,3>} R5=R4R ={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>,<2,5>}

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7.3 关系的运算从关系图来看关系的 n 次幂 R ： 1 2 3 4 5R2 就是所有在 R 中通过二条弧连接的点，则在

R2 这两点间直接有条弧。

1 2 3 4 5R3,R4…

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7.3 关系的运算定理： R 是 A 上的二元关系，若存在自然数s 和 t，且 s<t ，使 Rs=Rt ，则① 对所有的 k≥0 ，则 Rs+k=Rt+k

② 对所有的 k,i≥0 ，则有 Rs+kp+i=Rs+i

• p=t-s

③ 设 S={R0,R1,R2,…,Rt-1} ，则 R 的每一次幂都是 S 的元素，即对任意 q∈N, Rq∈S

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7.3 关系的运算定理： R 是 A 上的二元关系，若存在自然数s 和 t，且 s<t ，使 Rs=Rt

① 对所有的 k≥0 ，则 Rs+k=Rt+k


• p=t-s

③ 设 S={R0,R1,R2,…,Rt-1} ，则 R 的每一次幂是 S 的元素，即对任意 q∈N, Rq∈S

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7.3 关系的运算证明：对 k 进行归纳。k=0时 Rs+kp+i=Rs+i显然成立假设 Rs+kp+i=Rs+i ，这里 p=t-s ，那么Rs+(k+1)p+i=Rs+kp+i+p=Rs+kp+iRp

=Rs+iRp =Rs+p+i =Rs+t-s+i

=Rt+i=Rs+i

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7.3 关系的运算定理： R 是 A 上的二元关系，若存在自然数s 和 t，且 s<t ，使 Rs=Rt

① 对所有的 k≥0 ，则 Rs+k=Rt+k


• p=t-s

③ 设 S={R0,R1,R2,…,Rt-1} ，则 R 的每一次幂是 S 的元素，即对任意 q∈N, Rq∈S

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7.3 关系的运算证明：若 q<t ，则 Rq∈S 。若 q≥t，则存在自然数 k， i 使得 q=s+kp+i其中 0≤ i≤p-1 ，所以 Rq= Rs+kp+i = Rs+i

由于 0≤ i≤p-1 s+i ≤ s+p-1 = s+t-s-1=t-1

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第四节：关系的性质

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7.4 关系的性质自反性

a∈A ，有 <a,a>∈R ，则 R 为 A 上的自反关系反自反性

a∈A ，有 <a,a> R ， R 为 A 上的反自反关系例 A={a,b,c}

R1={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<c,a>}

R2={<a,b>,<b,c>,<c,a>}

R3={<a,a>,<b,c>}

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7.4 关系的性质例： R 是 I+ 上的整除关系，则 R 具有自反性

证明： x∈I+， x 能整除 x ，∴ <x,x>∈R ，∴ R 具有自反性

例： R 是 I上的同余关系，则 R 具有自反性证明： x∈I， (x-x)/k=0∈I, ∴x 与 x 同余∴<x,x>∈R∴ R 具有自反性

其它≤，≥关系，均是自反关系

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7.4 关系的性质例： N 上的互质关系是反自反关系

证明： x∈N， x 与 x 是不互质的，∴ <x,x> R ，∴ R 具有反自反关系

实数上的＜ ,＞关系 , 均是反自反关系

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7.4 关系的性质关系矩阵的特点？

自反关系的关系矩阵的对角元素均为 1反自反关系的关系矩阵的对角元素均为 0

关系图的特点？自反关系的关系图中每个顶点都有环反自反关系的关系图中每个顶点都没有环

定理： R 是 A 上的关系，则：R 是自反关系的充要条件是 IAR

R 是反自反关系的充要条件是 R∩IA=Ф

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7.4 关系的性质对称关系 R

a,b∈A, 如果 <a,b>∈R, 则必有 <b,a>∈R 例

R1＝ {<1,1>,<2,3>,<3,2>}

R1 是对称的R2＝ {<1,1>,<3,3>}

R2 是对称的R3＝ {<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,1>}

R3 不是对称的

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7.4 关系的性质关系矩阵特点？

对称关系的关系矩阵是对称矩阵关系图特点？

如果两个顶点之间有边，一定是一对方向相反的边（无单边）

定理： R 在 A 上对称当且仅当 R=R-1

证明：必要性<x,y>R<y,x>R<y,x>R-1

充分性<x,y>R<y,x>R-1<y,x>R

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7.4 关系的性质反对称关系 R

a,b∈A, 如果 <a,b>∈R且<b,a>∈R, 则必有 a ＝ b

a,b∈A, 如果 a≠b,<a,b>∈R, 则必有<b,a>R

例 : A ＝ {a,b,c}R ＝ {<a,a>,<b,b>}S ＝ {<a,b>,<a,c>}T＝ {<a,c>,<b,a>,<a,b>}R,S 是反对称的 ,T 不是反对称的

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7.4 关系的性质例 : 实数集合上≤关系是反对称关系

x,y∈实数集 ,如 x≠y,且 x≤y,则 y≤x 不成立

例：≥ ,<,> 关系 , 均是反对称关系

反对称关系矩阵和关系图特点？若 rij=1 ，且 i≠j ，则 rji=0如果两个顶点之间有边，一定是一条有向边（无双向边）

定理： R 在 A 上反对称当且仅当 R∩R-1 IA

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7.4 关系的性质传递关系

a,b,c∈A, 如果 <a,b>∈R,<b,c>∈R, 必有<a,c>∈R

例R1＝ {<x,y>,<z,x>,<z,y>}是传递关系R2＝ {<a,b>,<c,d>}是传递关系R3＝ {<a,b>,<b,a>}不是传递关系

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7.4 关系的性质

例 : 整除关系 DI ＋是 I ＋上的传递关系

x,y,z∈I ＋ ,如<x,y>∈DI＋,<y,z>∈DI＋

,即 x 能整除 y,且 y 能整除 z, 则必有 x 能整除 z, <x,z>∈DI ＋

例 :P(A) 上的包含关系具有传递性若 uv,vw, 则必有 uw

例 : 实数集上的≤关系具有传递性若 x≤y,y≤z 必有 x≤z

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7.4 关系的性质传递关系关系图特点？

如果结点 a 能通过有向弧组成的有向路径通向结点 x,则 a 必须有有向弧直接指向 x, 否则 R 就不是传递的

例： R={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<a,c>}

定理： R 在 A 上传递当且仅当 RR R

dcba

65

7.4 关系的性质

自反：反自反：对称：反对称：传递：

)( xRxXxx xRx)Xx(x

)( yRxxRyXyXxyx )( yxyRxxRyXyXxyx

)( xRzyRzxRyXzXyXxzyx

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7.4 关系的性质设 A 是集合， R1和 R2是 A 上的关系

① 若 R1， R2 是自反和对称的，则 R1∪R2也是自反的和对称的

② 若 R1和 R2 是传递的，则 R1∩R2也是传递的

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7.4 关系的性质设 A 是集合， R1和 R2是 A 上的关系若 R1， R2 是自反的和对称的，则 R1∪R2也是自反

的和对称的证明： R1， R2 是自反的 IA R1， IA R2

所以 IA R1∪R2

R1， R2 是对称的 R1=R1-1和 R2=R2-1

所以 (R1∪R2)-1=R1-1∪R2-1= R1∪R2

68

7.4 关系的性质例： X={1,2,3} ，判断关系的性质

R1={<1,2>,<2,3>,<1,3>}

R2={<1,1>,<1,2>,<2,3>}

反对称

反自反反对称可传递

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7.4 关系的性质

R3={<1,1>,<2,2>,<3,3>}

R4= Ex

自反，对称，可传递的

自反，对称，反对称，可传递的

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7.4 关系的性质X={1,2,3}, R5=

反自反的，对称的，反对称的，可传递的

若 X= ， X 上的空关系自反的，反自反的，对称的，反对称的，可传递

的

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第五节：关系的闭包

72

7.5 关系的闭包定义： R 是非空集合 A 上的关系 , 若 A 上另外有一个关系 R’满足如下三条：R’是自反的 ( 对称的，传递的）RR’

A 上任何一个满足以上两条的关系 R”，均有R’R”，

称关系 R’为 R 的自反 ( 对称 , 传递 ) 闭包 , 记作r(R) (s(R),t(R))

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7.5 关系的闭包解释

R’是在 R 的基础上添加有序对添加元素的目的是使 R’具有自反性 ( 对称性 ,传递性 )

添加后使之具有自反性 ( 对称性 ,传递性 ) 的所有关系中 R’是最小的一个

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7.5 关系的闭包例 A={a,b,c}， R={<a,a>,<a,b>,<b,c>}

自反闭包 r(R){<a,a>,<a,b>,<b,c>,<b,b>,<c,c>}

对称闭包 s(R){<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>}

传递闭包 t(R){<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>}

r(R)

a b c cba

a cb

cba

ba c

75

7.5 关系的闭包定理： R 是非空集合 A 上的关系 , 则

r(R)=RA

证明 : RRA， RA 是自反的设 R”满足 RR”,R”是自反的<a,b>RA

则<a,b>R 或<a,b>A

如<a,b>R,由 RR”知<a,b>R”

如<a,b>A,由 R”的自反性知 <a,b>R”

均有 <a,b>R”

RAR”

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7.5 关系的闭包定理 : 设 R 是非空集 A 的关系 , 则

s(R)=RR-1

证明 :RRR-1 满足定义第 2 条<a,b>RR-1

<a,b>R<a,b>R-1

<b,a>R-1<b,a>R<b,a>RR-1 RR-1 是对称的

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7.5 关系的闭包如 RR”,且 R”是对称的<a,b>RR-1

<a,b>R 或<a,b>R-1

如<a,b>R,由 RR”,则<a,b>R”

如<a,b>R-1,则<b,a>R,则<b,a>R”

因 R”对称<a,b>R”,RR-1R”

满足定义第 3 条

78

7.5 关系的闭包例 : 设 A={1,2,3},A 上的关系 R 如图 ,求

r(R),s(R)

解 :R={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>}

r(R)= RA ={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>,<2,2>,

<1,1>}s(R)= RR-1 ={<1,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>,<2,1>}

1 2 3

79

7.5 关系的闭包定理 : 设 R 是非空集合 A 上的关系 , 则

t(R)= R1R2…

证明：首先证明 R1R2… t(R) ，使用归纳法。n=1 ，显然 R1= R t(R)假设 Rk t(R) ，对任意 <x,y> 有 <x,y>Rk+1 =Rk R1

t(<x,t>Rk <t,y>R1) t(<x,t>t(R) <t,y>t(R)) <x,y>t(R)其次， t(R) R1R2…即证 R1R2…传递推论 : 设 A 是非空有限集， R 是集合 A 上的二元关

系，则存在正整数 n ，使得 t(R)=RR2… Rn

80

7.5 关系的闭包例 A={a,b,c,d}

R={<a,b>,<a,c>,<b,c>,<b,d>}S={<a,b>,<b,c>,<c,d>},求 t(R),t(S)

解 :R2={<a,c>,<a,d>},R3=t(R)=R{<a,c>,<a,d>}S2={<a,c>,<b,d>},S3={<a,d>},S4=t(S)=S{<a,c>,<b,d>}{<a,d>}

a b c d

R

a b c d

S

81

7.5 关系的闭包给定关系 R ， r(R)， s(R)， t(R) 的关系矩

阵分别为M ，Mr，Ms，Mt，那么：Mr=M+EMs=M+M’Mt=M+M2+M3+…

82

7.5 关系的闭包关系图分别为 G ，Gr，Gs，Gt，那么：

考察G 的每个顶点，如果没有环就加上一个环，最终得到的是 Gr

考察G 的每一条边，如果有一条从 xi到 xj 的单向边，则在 G 中加一条 xj到 xi 的反方向边，最终得到 Gs

考察G 的每个顶点 xi ，找出从 xi出发的所有2 步， 3 步，…， n 步长的路径。设路径的终点为 xj1 ， xj2 ， …， xjk 。如果没有从 xi

到 xjl 的边，就加上这条边，最终得到 Gt

83

7.5 关系的闭包定理：设 A 是一集合， R 是 A 上的二元关系

，则有：R 是自反的当且仅当 r(R)＝ RR 是对称的当且仅当 s(R)＝ RR 是可传递的当且仅当 t(R)＝ R

R 是自反的当且仅当 r(R)＝ R证明： Rr(R) 。由自反闭包定义， r(R)R

。

84

7.5 关系的闭包定理：设 A 是集合， R1和 R2是 A 上的二元

关系， R1R2 ，则有：r(R1)r(R2)

s(R1)s(R2)

t(R1)t(R2)

r(R1)r(R2)

证明： r(R1)=R1A ， r(R2)=R2A

85

7.5 关系的闭包定理：设 X 是一集合， R 是 X 上的二元关系

，则有：若 R 是自反的，则 s(R),t(R)也自反若 R 是对称的，则 r(R),t(R)也对称若 R 是可传递的，则 r(R)也可传递

86


，则有：若 R 是对称的，则 t(R)也对称

证明：归纳法证明若 R 是对称，则 Rn也对称n=1 ，显然成立假设 Rn 对称，对任意 <x,y> <x,y>Rn+1

t(<x,t>Rn<t,y>R) t(<t,x>Rn<y,t>R) <y,x>RRn <y,x>Rn+1

87


，则有：若 R 是对称的，则 t(R)也对称

证明：… <y,x>RRn <y,x>Rn+1

任取<x,y> ，有 <x,y>t(R) n(<x,y>Rn) n(<y,x>Rn) <y,x>t(R)

88

7.5 关系的闭包若 R 是传递的， s(R) 不一定是传递的

反例： R={<a,b>,<c,b>} ，R 是传递的

s(R)={<a,b>,<b,a>,<c,b>,<b,c>} s(R) 不是传递的

89


第六节：等价关系与划分

90

7.6 等价关系与划分等价关系：非空集合 A 上的关系，满足：

自反的对称的可传递的

例实数 ( 或 I、 N 集上 ) 集合上的“=” 关系全集上集合的相等关系命题集合上的命题等价关系

91

7.6 等价关系与划分

例：设 A={1,2,3,4,5,6,7}R={<x,y>|x,y∈A∧(x-y)可被 3 整除 }试证明 R 是等价关系解：

(1)R={<1,1>， <1,4>， <1,7>， <2,2>， <2,5>， <3,3>， <3,6>， <4,1>，<4,4>，<4,7>，<5,5>，<5,2> ， <6,6> ， <6,3> ， <7,7>，<7,4>，<7,1>}

92


(2) R 的关系矩阵

1001001

0010010

0100100

1001001

0010010

0100100

1001001

RM

R 满足自反、对称和可传递的

93

7.6 等价关系与划分等价类：设 R 是非空 A 集合上的等价关系，

对于任何 x∈A ，令：[x]R ={y|y∈A xRy}

[x]R 是由 x∈A 生成的 R 等价类x 为等价类 [x]R 的表示元素

94

7.6 等价关系与划分讨论

等价类 [x]R 是一个集合， [x]R A ([x]R是 A的子集 )

[x]R 中的元素是在 A 中，所有与 x 具有等价关系R 的元素所组成的集合

在等价关系中的关系图中，一个最大连通子图中的点就是一个等价类

95

7.6 等价关系与划分例：

A={a,b,c,d}R={<a,a> ， <b,b> ， <a,b> ， <b,a>，<c,c>，<d,d>，<c,d>，<d,c>}

[a]R ={a,b}= [b]R

[c]R ={c,d}= [d]R

96

7.6 等价关系与划分例：设 A=N

R={<x,y>|x∈A∧y∈A∧(x-y)可被 3 整除 }等价类

[0]R ={0， 3 ， 6 ， 9…}

[1]R ={1， 4 ， 7 ， 10…}

[2]R={2， 5 ， 8 ， 11…}

97

7.6 等价关系与划分定理设 A 是一个集合， R 是 A 上的等价关系， xRy 当且仅当 [x]=[y]

证明：充分性，因为 x∈[x]=[y],即 x∈[y] ，所以

xRy 。必要性，已知 xRy ，考虑 [x] 的任意元素 z ，有 zRx 。根据 R 的传递性，有 zRy ，因此z∈[y] 。证明 [x][y] 。类似可证明 [y][x] ，所以 [x]=[y]

98


定理：设 A 是一个集合， R 是 A 上的等价关系，对于所有 x,y∈A ，或者 [x]=[y] ，或者 [x]

∩[y]=Ø

证明：只需证明如果 xRy ，则 [x]∩[y]=Ø反证法：假设 [x]∩[y]≠Ø ，则 z[x]∩[y] <x,z>R <z,y>R <x,y>R (矛盾 !)

99


定理：设 R 是集合 A 上的等价关系，则 A=∪{[x] | xA}证明：首先易证∪ {[x] | xA} A 其次，对任意 yA yA y[y] yA y∪{[x] | xA} 所以： A ∪{[x] | xA}

100

7.6 等价关系与划分商集： R 是 A 上的等价关系，

R 的所有等价类构成的集合记为 A/R： {[x]R | x A}

例： A 为全班同学的集合， |A|=n， (n∈N)按指纹的相同关系 R1 是一个等价关系A/R1={[x1]R1,…[xn]R1}

同姓关系 R2 是一等价关系A/ R2 ={[张 ] ， [ 李 ] ，… }

101

7.6 等价关系与划分划分：给定一非空集合 A ， A 的一个划分为非

空子集族 S={A1, A2,… Am} ，满足：① S② xy(x, ySx≠yx∩y=)③ A1∪A2 ∪… ∪Am= A

102

7.6 等价关系与划分例： A={a,b,c}, 下列哪些 Ai为 A 的一个划分

？A1={{a},{b,c}}

A2={{a},{c},{b}}

A3={{a},{a,b,c}}

A4={{a,b},{c}, }

A5={{a,{a}},{b,c}}

103


等价关系与划分有一一对应关系划分到等价关系转化： A 是一非空集合， S是 A 的一个划分，下述关系必定是一个等价关系R={<x,y> | x, y A x,y在 S 的同一划分 }

等价关系到划分的转化：设 A 是非空集合， R是 A 上的等价关系。 R 的商集是 A 的划分

104


例： A ={a,b,c,d,e}S={{a,b},{c},{d,e}} 对应划分 S 的等价关系为 R={a,b}×{a,b}∪{c}×{c}∪{d,e}×{d,e}=

{<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>,<d,d>,<e,e>,<d,e>,<e,d>}

105


第七节：偏序关系

106

7.7 偏序关系次序在现实生活中常见：

小于，包含等研究序理论的动机：

研究一般次序关系推导出一般序关系的性质这些关系可以应用于所有特定的序关系

107

7.7 偏序关系偏序关系 R (记作≼ )

自反性 : a∈A ，有 <a,a>∈R反对称性 : a,b∈R, 如果 <a,b>∈R 且

<b,a>∈R, 则必有 a ＝ b传递性 : a,b,c∈A, 如果

<a,b>∈R,<b,c>∈R, 必有 <a,c>∈R例 : 偏序关系

A ＝ {a,b,c}R ＝ {<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,b>,

<b,c>,<c,c>}

a

b c

108

7.7 偏序关系例： A 是非零自然数集 , ≼是 A 上的整除关

系。 a∈A, a 能整除 a ∴ ≼具有自反性 a,b∈A,如 a 能整除 b,且 b 能整除 a,则 a＝ b

∴ ≼具有反对称性 a,b,c∈A,如 a 能整除 b,b 能整除 c,则 a 能整除 c,<a,c>∈ ≼

∴ ≼具有传递性 ≼是 A 上的偏序关系

109

7.7 偏序关系小于≺： a≺ba≼ba≠b可比： a 与 b 可比 a≼bb≼a

可比不同于等于例： A={1， 2 ， 3} ，≼是 A 上的整除关

系1 ， 3 可比

全序关系 R ： R 是 A 上的偏序关系 , 满足：a,b∈A, a与 b 可比

例：实数上的≤ ,≥ 关系是全序关系

110

7.7 偏序关系哈斯图

得名于德国数学家 Helmut Hasse用来表示有限偏序集的一种数学图表

• 偏序集： <A, ≼>

111

7.7 偏序关系覆盖： <A,≼> ， b 覆盖 a 如果

a≺b ，不存在 cA ， a≺c≺b 哈斯图思路：

所有结点的自回路均省略省略所有弧上的箭头 ,适当排列 A 中元素的位置 ,如 a≼b,则 a 画在 b 的下方

如 a≼b,b≼c, 则必有 a≼c, a 到 b 有边 , b 到c 有边 ,则 a 到 c 的无向弧省略

条件 2 ， 3 等于说如果 b 覆盖 a, 则画一条从 a到 b 的弧线，否则不画

112

7.7 偏序关系例：画出下列偏序集的哈斯图。

<{1,2,3,4,5,6},R 整除>

R 整除

={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}

1

25 3

4

6

113

7.7 偏序关系例： A={a,b,c}, 包含关系 R 是 P(A) 上的

偏序关系 ,哈斯图如下 :P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},

{b,c},{a,b,c}}

{a}

{a,b}

{b}

{a,b,c}

{b,c}

{c}

{a,c}

114

7.7 偏序关系最小 ( 大 ) 元：设<A, ≼> 是偏序集 , 集合

BA最大元 b∈B ： a∈B, 均有 a≼b最小元 b∈B ： a∈B, 均有 b≼a

说明如果 A 的子集 B 存在最大 ( 小 ) 元素 , 则最大 (小 ) 元素是唯一的

最大 ( 小 ) 元可能不存在

115

7.7 偏序关系

例 :A＝ {1,2,3,4,5,6},R 是整除关系 ,哈斯图为

1

25 3

4

6

A 中不存在最大元

116

7.7 偏序关系极大 ( 小 ) 元：设<A, ≼> 是偏序集 ,BA

极大元 b∈B ： a∈B,如 b≼a,则 a ＝ b•不存在 a∈B， b≺a

极小元 b∈B ： a∈B,如 a≼b,则 a ＝ b•不存在 a∈B， a≺b

说明极大元未必是最大元极大元未必是唯一的如果 B 是有限集 ,则 B 必存在极大元最大元就是极大元

1

25 3

4

6

117

7.7 偏序关系例：下列哈斯图表示的偏序集是否有最大( 小 ) 元？是否有极大 ( 小 ) 元？

{a}

{a,b}

ф

{b}

{a,b,c}

{b,c}

{c}

{a,c}

118

7.7 偏序关系上 ( 下 ) 界：设 <A, ≼> 是偏序集 , BA,

a∈AB 的上界 a ：对每个 b∈B,有 b≼aB 的下界 a ：对每个 b∈B,有 a≼b

说明上下界不一定唯一

119

7.7 偏序关系例：<A， R 整除>, A={2,3,6,12,24,36}

B:{2,3},{2,3,6},{6,12},{6,12,24,36}

A 上界下界B

{2,3} 6,12,24,36

{2,3,6} 6,12,24,36

{6,12} 12,24,36 2,3,6

{6,12,24,36} 2,3,6

120

7.7 偏序关系上 ( 下 ) 确界：设<A, ≼> 是偏序集 , BA

最小上界： C={b|b为 B 的上界 } 的最小元最大下界： D={b|b为 B 的下界 } 的最大元

说明B 的最小元一定是 B 的下界，同时也是 B 的最大下界； B 的最大元一定是 B 的上界，同时也是 B 的最小上界

最小上界或最大下界可能不存在若存在最小上界或最大下界，是唯一的

121

7.7 偏序关系

例 :〈 A ， R 整除〉 , A={2,3,6,12,24,36}

B:{2,3},{2,3,6},{6,12},{6,12,24,36}

A 上确界下确界B

{2,3 } 6

{2,3,6 } 6

{6,12 } 12 6

{6,12,24,36 } 6

122

7.7 偏序关系拓扑排序：给定一个非空有限的偏序集合 <A,

≼’> ，构造出一个全序集合 <A, ≼> ，使得每当 a≼’b有 a≼b ，方法如下：选取 A 的极小元 a ，使 a 是<A, ≼> 列表表示

中的第一个元素对子集 A-{a} 重复这一过程，每次一个新的极

小元素被找到，它在 <A,≼> 的列表表示中成为下一个元素

重复这一过程，直到 A 的元素被抽完

123

7.7 偏序关系例：求下列偏序集对应的全序集

1

2 3

4 6

8 12

24

1

3

2

6

4

8

12

24

124

第七章习题课有序对：由两个元素 x， y 按给定顺序排列组成的二元组合笛卡儿积：集合 A 中元素为第一元素，集合 B 中元素为第二元素的有序对集二元关系 R ：满足下列条件之一的集合：

集合非空，且它的元素都是有序对集合为空集

从 A到 B 的关系： A， B 是集合， A×B 的任何子集所定义的二元关系 A 上的关系： A=B 空关系，全域关系，恒等关系，包含关系关系的表示法：集合表达式、关系矩阵、关系图

125

第七章习题课关系的八种运算：定义域：值域：域：逆：右复合：限制：像：幂：

R0 =A； Rn+1=RnR

fldR domR ranR

)},(|{ RyxyxdomR

)},(|{ RyxxyranR

},|,{1 RxyyxR

)},,(|,{ GytFtxtyxGF o

{ , | }R A x y xRy x A

)(][ ARranAR

126

第七章习题课关系运算的五种性质 :

自反：反自反：对称：

反对称：

传递：

)( xRxXxx xRx)Xx(x

)( yRxxRyXyXxyx

)( yxyRxxRyXyXxyx

)( xRzyRzxRyXzXyXxzyx

127

第七章习题课关系的三种闭包：自反闭包： r(R)=RA

对称闭包： s(R)=RR-1

传递闭包： t(R)= R1R2…

128

第七章习题课A 上的等价关系：

自反的；对称的；可传递的等价类：

[x]R ={y|y∈A xRy}商集：

R 的所有等价类构成的集合，记为 A/R： {[x]R | x A}

划分： A 的非空子集族 S={A1, A2,… Am} ，满足：

S xy(x, ySx≠yx∩y=) A1 A∪ 2 … A∪ ∪ m= A

A 上的偏序关系与偏序集

129

基本要求熟练掌握关系的三种表示法能够判定关系的性质，以及等价关系、偏序关系掌握含有关系运算的集合等式掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等

概念计算 AB, dom R, ranR, fldR, R1, RS , Rn , r(R), s(R), t(R)求等价类和商集 A/R给定 A 的划分，求出所对应的等价关系求偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、

下界、上确界、下确界掌握基本的证明方法证明涉及关系运算的集合等式证明关系的性质、证明关系是等价关系或偏序关系

130

练习 1

1．设 A = {1, 2, 3}, R = {<x,y> | x, yA且 x+2y 6 } ， S = {<1,2>, <1,3>,<2,2>},

求 :

(1) R 的集合表达式(2) R1

(3) dom R, ran R, fld R

(4) RS, R3

(5) r(R), s(R), t(R)

131

解答

(1) R = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>}

(2) R1 = {<1,1>, <2,1>, <1,2>, <2,2>, <1,3 >}

(3) domR = {1, 2, 3}, ranR = {1,2}, fldR = {1, 2, 3}

(4) RS = {<1,2>, <1,3>, <2,2>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}

R3 = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>}

(5) r(R) = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,3>}

s(R) = {<1,1>,<1,2>,<2,1>, <2,2>, <3,1>, <1,3>}

t(R) = {<1,1>, <1,2>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>}

132

练习 2

2．设 A={1,2,3,4} ，在 AA 上定义二元关系 R ： <<x,y>,<u,v>>R x+y = u+v ，求 R导出的划分 .

AA={<1,1>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <2,1>, <2,2>, <2,3>, <2,4>,<3,1>, <3,2>, <3,3>, <3,4>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4,4>}

根据 <x,y> 中的 x+y = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 将 A 划分成等价类： A/R={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>, <2,2>, <3,1>}, {<1,4>, <2,3>, <3,2>, <4,1>}, {<2,4>, <3,3>, <4,2>}, {<3,4>, <4,3>}, {<4,4>}}

133

3．设 R是 Z 上的模 n 等价关系 , 即 xy x y(modn),

试给出由 R 确定的 Z 的划分 .

解设除以 n 余数为 r 的整数构成等价类 [r] ，则 [r] ={ kn+r | kZ }, r = 0, 1, …, n1

= { [r] | r = 0, 1, …, n1}

练习 3

134

图 11

练习 4

4．设偏序集 <A, R> 的哈斯图如图所示 .

(1) 写出 A和 R 的集合表达式(2) 求该偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元

解：(1) A = {a, b, c, d, e} R = {<d,b>, <d,a>, <d,c>, <e,c>, <e,a>, <b,a>, <c,a>}IA

(2) 极大元和最大元是 a, 极小元是 d, e；没有最小元 .

a

b c

d e

135

练习 5

5．设 R是 A 上的二元关系，设 S = {<a,b> | c(<a,c>R<c,b>R)}.证明如果 R 是等价关系，则 S也是等价关系。证： R是 A 上的等价关系 . (1) 证自反任取 x, xA <x,x>R x (<x,x>R<x,x>R) <x,x>S(2) 证对称任取 <x,y>, <x,y>S c(<x,c>R<c,y>R) c (<c,x>R<y,c>R) <y,x>S (3) 证传递任取 <x,y>, <y,z>, <x,y>S <y,z>S c (<x,c>R<c,y>R) d (<y,d>R<d,z>R) <x,y>R<y,z> R <x,z>S

136

6．设偏序集 <A,R>和 <B,S> ，定义 AB 上二元关系 T: <x,y>T<u,v> xRu ySv 证明 T 为偏序关系 .

证： (1) 自反性任取 <x,y>, <x,y>AB xAyB xRxySy <x,y>T<x,y> (2) 反对称性任取 <x,y>,<u,v> <x,y>T<u,v><u,v>T<x,y> xRu ySv uRx vSy (xRu uRx) (ySv vSy) x=u y=v <x,y>=<u,v> (3) 传递性任取 <x,y>,<u,v>, <w,t> <x,y>T<u,v><u,v>T<w,t> xRu ySv uRw vSt (xRu uRw) (ySv vSt) xRw ySt <x,y>T<w,t>

练习 6

137

关系性质的证明方法1. 证明 R在 A 上自反任取 x,

xA ……………………..….……. <x,x>R

前提推理过程结论

2. 证明 R在 A 上对称任取 <x,y> ， <x,y> R ………………………………. <y,x>R


138

3. 证明 R在 A 上反对称任取 <x,y> ， <x,y>R<y,x>R …………………….. x = y


4. 证明 R在 A 上传递任取 <x,y>,<y,z> ， <x,y>R<y,z>R …………………….. <x,z>R


关系性质的证明方法

139

7． R,S为 A 上的关系，证明 RS t(R) t(S)

证：只需证明对于任意正整数 n, Rn Sn. 对 n归纳 .

n=1, 显然为真 .

假设对于 n ，命题为真，任取 <x,y>

<x,y>Rn+1

<x,y>Rn R

t (<x, t>Rn <t, y>R)

t (<x, t>Sn <t, y>S)

<x,y>Sn S

<x,y>Sn+1

练习 7

140

数学归纳法（主要用于幂运算）证明中用到关系运算的定义和公式 , 如： xdomR y(<x,y>R) yranR x(<x,y>R) <x,y>R <y,x>R1

<x,y>R S t (<x,t>R<t,y>S) <x,y>R↾A xA <x,y>R yRA] x (xA <x,y>R)

r(R) = RIA

s(R) = RR1

t(R) = RR2…

关系等式或包含式的证明方法

141

作业413152025263646

第七章 : 二元关系

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