كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

177
) ( .

Upload: nada-reda

Post on 01-Feb-2016

19 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

كتاب الرياضات - للسنة الاعدادية - هندسة اسكندرية

TRANSCRIPT

Page 1: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

������������������ )��� �������������������(

� ��� � �����������

� ���� !����"# $% ��&� $'�� �(��)�� *�+ ,� -"��� .�(�" -���

�� .��/�� �"01 �0��� $% ��� �1 � �2����"2 $"'� !� 3/ %�� $" �' 4��

��5�6"� �1)� $% ��" )�5���.

Page 2: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

������������������ )��� �������������������(

.� .���� ��� ����� ��� ����

� .���� �� ����

� .!��� ��"��# $��%

��&'� ���– ���&��� )���

2013/2014

Page 3: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

ii

��+�

�� ������ ��� �� ����� ��� ������� ��� ����� ������� ���� ������������ ���������� � ���

�!�� ���!�� ��"� � "#� $�%& '��� . �� ������ ��)*��� ������ ���� '+ �� ����,�� ��!-� '����

�������� �.��,���� /��������� �������� ���"���� ���� ��0� '��+ ��!�1 . 2����+ '������ ���� �� ���� ����-�

�!���3 ����,�� ��� :'����,�� 5 �� �������� 6,��7�� 5 � .�� 8���9��� � � :������ ��� ����� ;����0�� �

��+�<7���= ;,&�� 8��9 ���� ��!"� ��<"�9��� ��� ��� ���"����� ��+�<�7��� >���� ����2����

�+�<7�"� ?*���� ��!������ ������ ���� �#9�� �&������ /,� '��0�� �� ��.

��"�� � '��+ �#��� �� ���� �������� ���@��� 2������ '��+ ������� ���@� .���� ����� /��� ����"0� � ���� ������

'��� ���",����!��� �� '�� ������ ���<��� 6���A ��� ���!� '�+ ����� #������ ��� 8�9"� ���

'��� ������! . �����,��� �� ?����� ���",��� ������� �� ���� �� /� ���,�� ��"� ������B� �����

���!����� ���� � '+ ����� � ��������,��&� C���� $��1 ���� /� ���� ���3�� A�� . /�� ���"��

��9D� 2� ��� ���� ���� ��� �� �!����� '���� ���<��� $"� � ��� �!�� � �� ������� �� ��� ��

����� �� :������� ����# ��� E����9� F)������� ������<�� �+�����1A ��������� �����!� '���+ ������� G����!� ')����!��� /���,��

�������.

H� /I���+�� ��"� J"�� �� � ?������ G��� �����1 '�+ K��3 �� /� ��9 �*� ��� . ��� �,��7 .���

��"���.

/�,���� ������� ���+����� /��<�� ��-� ����� &1 ���!��� '+ ��� &� /�.� . ����� ��,�� �� � ������ �� �

$��#�� ��� J� ���� ������� ��� '+ ?������� ��"��� ?���"� $�� � ?�� �� ��� '+ . /��� *�� H� /I��

J��<M�� J��,� ��� G��M� ��.

�,�� ��-,.� �I �,�� ��� ������ �!� "��� ����'������&� �� �� $"� ���:

[email protected] � .���� �� ����

� .!��� ��"��# $��%

���� ��?� 1434 − � �� 2013

�����B�− �7�

Page 4: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

iii

,��������,�� �����-�

��� -��� �.��� ����� 1

1. ����� 1

2. ���,�� ���0� 1

3. �)*��� ����� ��� 8

4. � ��0�� ���� E�9� N�# 13

���",� ����� 23

����� 27

&�/� -��� ����� �0 ��1& 29

1. ����� 29

2. ���� 6,7 5I ��,�� ��� K��<� 29

3. '��, 5I ��,�� ��� K��<� 31

���",� ����� 44

����� 48

2��/� -��� ��3�45�� 49

1. ����� 49

2. ��+�<7��� :���� 2� 52

3. ��+�<7��� $"� �� ��� ��"���� 55

���",� ����� 97

����� 100

!��� -��� ��6� �7��)�� 105

1. ����� 105

2. �#9�� �&������ 105

3. ��+�<7��� ���9�� �#9�� �&������ /0�� 107

4. �+�<7��� 5���� ���9�� �#9�� �&������ /, 109

5. �#9�� �&������ /,� ������ ��-��� 112

Page 5: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

iv

6. ?*���� ��!������ ?*���� ������ 131

7. 5���� >�,�� ���# 140

���",� ����� 149

����� 159

� �����, ����-�,� 163

Page 6: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

1

���� �����

����� ���� �����

Partial Fractions

1 .�����

������ ����� �� ������ ���� ���� ��� ���� �� ������� ����� ����� �� ������ . ���� ����

������ ��� �� !"� � �! �#� !$���

R(x) = 3x4x

5x3

2++

+

� �% �� ���&�� '����� (�!��� ��� )"* �� �� +#��� ����� ,� ������ ����

R1(x) = 1x

1

+

, R2(x) = 3x

2

+

����-� ������ ��� �� .�/!"��� ������� ����!� ����� +#� �����.

������� +#� ��� ��!��� �&/����0!���� 1!��0���� �� ��$�� , ) ,� ��&/� !�$��� ���� ��� ,&

34���5 14������� ���!��� 1!������ !�����6�(. (�������� ����� 15!����� +#��� ,�� � ����0!�� ������� 8������

�"���)�!��� $� ( �$� ���� ��� ���R(x) . 1�"! �#� )�"* 9����� ���� !�&����� ���� �������� +#��

-� ��(�" �� ��� ������� +#� 8����

R1(x), R2(x) :�!"�� 9���� ;$ 5�%. � (��� < )"- =�#)15!��� >�� , ����� <� ( ��0!���� ������� +#� 8����

���R(x) .�?!��.

!��� ������ ����� � .�/!��"��� ��������� ������� �������� ����!��� ��������� (!����� �#��� ,�� >��"���� . 5�% % �"����

��� ������ ������� �������� 1����@�� >���" =��# ��� ;�$ � ��� 1���$ �� �� ��� ;4��� ;��@" ;�$ �����

������� ����� ����� 8���� ���� , �!�� ,��� '���� >���.

2 .����� ��� �� Polynomials

.����� ��� ,��� ��� �� ����

Pn(x) = a0 + a1 x + a2 x2

+ . . . + an xn, an ≠ 0

��� �� �� � ��� .��$�n .��� �� !$��� ��� ���

P2(x) = 1 + 3 x + 5 x2

Page 7: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

2

2

��"!$�� ��� �� �� � ��� .��$ ,� .��� �� !�"��

P4(x) = x4 + x

2 + 3 x

������� ��� �� �� � ��� .��$ ,�.

� ���� ���� Rational function

� � ,���$ !"� � �! �#�Pn(x), Qm(x) �* ��< A�!@!�&�� ���� � $� ������ ��� �!

R(x) =

3x4x

5x3

2++

+

���� ����% �������� ����� �� ����� ,�� . �������� � ����� .����$ ����� 1��"! �#� )��"% /��4�� �%��!����� � �����

!&����� ��� ������ ��� �� +#� �* ;!���� , . ������ � ��� .��$)������� ������ '��� �� Long

division ( ����� !��&� ����� B���@% ������ ����� � � ��� .����$ ������� �����;!������ ����� ���� ��<% ������� .

(!��� +#� , !&� @��"� ,���� ��!&�� �/�4��� +#� C0�� ,�!��� !$����.

����1

������ ��� �� ���@�

R(x) = 3x4x

2x2x3x

2

23

++

+++

���

��� ��" ������� ������ 8���*�

5x3

3x4x

2xx

x3x4x

2x2x3x3x4x

1x

2

2

23

232

+

−−−

+−−

++

+++++

�* ,�!��!��

R(x) = 3x4x

5x3)1x(

2++

++−

Page 8: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

3

����� ��� �� � ��� Polynomials factorization

� ���� 1����$ ����� ��� �D� ;���" . �� ���� �� ��� � ���� 1����$ ���� E�� ;���� �% (��!��� '���

$� ��"!$��

x2 + 4 x + 3 = (x + 1) (x+3)

x2 – 6 x – 7 = (x + 1) (x – 7)

x2 – 4 = (x – 2) (x + 2)

x2 + 2 x + 1 = (x + 1)

2

!�&������ ������� ��� '�F�� ���� (�!��� ;��� =�#� $�

x3 – 1 = (x – 1) (x

2 + x + 1)

x3 + 1 = (x + 1) (x

2 – x + 1)

(�!��� 1!������ E�0" �% ��" �D�� � ��� 1���$ ����� ��!@�����D� �!�"��

)1 ( ���� ���� ���� ����� �� ����� �� ��

a x2 + b x + c

��� (�0 �!�����!� �! �#� ,��-� ��� �� ��

b2 – 4 a c ≥ 0

�! �#� !�%

b2 – 4 a c < 0

(�0 �!� ��� !&����� ��� 5 +#� � ��� .��$ �* ����!� ,���-� ���� �� ��� ) � ��-� !��� ,�

�������(.

�� ���� ���< !"��� �#� !$��� ��� ��� b2 – 4 a c .��$� � ���

x2 + x + 1

G�!���� +!" ����–3 (���0 ��!� ����� !��&����� ���� 5 +#��� � ���� .����$ ,�!����!������!�� ����� �� ����

,��-�. �� ���� ���< !"��� �#� !�%b2 – 4 a c � ��� .��$�

x2 – 6 x – 7

G�!���� +!" �����64 (���0 ���!� ����� !��&����� ����� +#��� � ����� .����$ ,�!����!���!������ ����� �� ����

,��-� .��� !"���� =�# � '�� <�

x2 – 6 x – 7 = (x + 1) (x – 7)

Page 9: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

4

4

)2 ( !"���"� �#�� ��� �� ;4� ��� ��� ! ������ ��� ������ ��� ����� ��� ;��� ,� ���!� ������ �#�"

�����)!"� !&�!�$� �#� !�� 5� ( �% ,��"�� ��� �� �� ���% ��� �� � � .��$ G% .�!��� ,�� ���"!$

<% 1!�� �� � � 1���$ (�0 �!� �� ." �5 �$�!$�� ��� �� �� � ��� .��$ !$��� ��� ���

���"!$�� ���� �� ��� B��@% �� ,���-� ���� �� ��� � � .��$ (�0 �!� !&"% . .���@-� +#���) ��� ,����

��"!$�� ��� �� ( �� ��� � �� ,����$ (��0 ��!� !��� �� ��� < =��# ����?� 5 �!� ��ٕ� ����-� ����

!F"J !"�0� !� . =�# ����� �� � � .��$ (�0 �!� !&"% !�� �$�!$�� ��� �� �� � ��� .��$ �%

����-� ��� �� �� � � 1���$ K4$ (�0 �!� !&"% �% ��"!$�� ��� �� �� B�@% � ,��-� ��� �� .

�� 1���$� $!�� ���� �� (�!��� =����������� ��� �� �� � �.

)3 ( ������ ��<% 1!���� ���� � ��� 1�����$ (���0 ���!� .����� ����� !&���0� ����� 5 � ��� .����$ G%

� �! ���� �� �� <% 1!�� �� � � 1���$ (�0 �!� .��� ��� !&�0� ��% �#* L) !�� ,

������� � �-� ( ������� �! �� " ����� ��� ��. �� =��# ���� !"F�0% �#*� ! � ,� +!�"����������"� ��!�������

�% ����:

� ��� ����� ��� �����-� ��� �� �� � � .��$ !�� ,�

a x + b

!&����� ��� 5 ��"!$�� ��� �� �� � � .��$ �%

a x2 + b x + c, b

2 – 4 a c ≥ 0

����% 1��� ��"!$�� �� ���% ��� �� � � .��$ G% !�%.

,�!����� !��$��� ���� �����% 1!���� ���� � ����� 1�����$ ������� !&�� @����� ����� ,����� '������ >���� C��0��

��"!$�� ��� ��.

����2

����% ���� ��� � ��� .��$ ��

x3 + 3 x

2 + 3 x + 1

���

,�� !� ;�����!� ������ +#� �� ���

Page 10: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

5

(x3 + 1) + (3 x

2 + 3 x) = (x + 1) (x

2 – x + 1) + 3 x (x + 1)

= (x + 1) (x2 + 2 x + 1)

= (x + 1) (x + 1)2

= (x + 1)3

���!� B��@% �� ������ !�&� ��N����� +#��� .��# 9�0�� )�"% ��" .!������ � ���� .���$ ���� !�"�/"x = –1

�* ,�!��!�� ��F� G�!�� � ��� .��$ ���< ���(x + 1) .!����� � ��� .��$ ���� �% �� .�% G%

x3 + 3 x

2 + 3 x + 1 = (x + 1) P2(x)

K��P2(x) !&"���� (���� ��"!$�� ��� �� �� ���&�� � � .�$ . !��O�P2(x) ������� ������ N��"

0

1x

1x

x2x2

1x3x2

xx

1x3x3x1x

1x2x

2

2

23

23

2

+

+

+

++

+

++++

++

�% ����"�� ���

P2(x) = x2 + 2 x + 1

�% G%

x3 + 3 x

2 + 3 x + 1 = (x + 1) (x

2 + 2 x + 1)

��" ������ !�*�����!��� ����"�� 3F" ���.

�� ,�� (���!��� /���4��� ����$ ����� �����< ��� �� ����� !" ������ !��""% '�!����� !��$��� ,�� .����@-� ����� ����

��F� G�!�� .!����� � ��� .������� +#�� ������ ;��� E�� �D� ��#��� � !������ �P����� . �#�� 9�<���� ,� �

15!��� � C��� ;!� (��� )� 3��� (�� �P� !�""% ,��� ������ . ��!< !"� ,��" �% !"�F� ���

����!"�� ;!�<�-� ������ !�""�� �����-� )������ ���� .!������ � ���� ���$ ,� '������ ��� ����� !"�< �#�

� ����� ���$ ���� ����< ����� ��" ���� ���!�� �% ������� .�!�?*� ������� +#�� �� �% >��� (��0 ���

��F� G�!�� .!����� .!$����=�# C0�� ,�!��� .

Page 11: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

6

6

����3

����% ���� ��� � ��� .��$ ��

x3 + 4 x

2 + x – 6

���

�� !"� '����� ���6 ���� ���" )������1, 2, 3 �" �% !�""�� �D!� ������������� (��������� ��� >x ���!������ ;

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6 . 9�0�� )�"% �"�x = 1 � ���� .���$ ����< ���� �*� ,�!���!�� ��F�� G�!���

(x – 1) .!����� � ��� .��$ ���� �% �� .�% G%

x3 + 4 x

2 + x – 6 = (x – 1) P2(x)

K����P2(x) !����O� ����"!$�� ����� �� ���� �����&�� � ��� .���$P2(x) � ��������� �������� N����" =�������Q�!���

�� '�����

P2(x) = x2 + 5 x + 6

�% G%

x3 + 3 x

2 + 3 x + 1 = (x – 1) (x

2 + 5 x + 6)

��� ��" ������ !�*��

x3 + 3 x

2 + 3 x + 1 = (x – 1) (x + 2) (x + 3)

�#�$�

'�!��� !$��� , !�!"���� ,��� ������� ��F� G�!�� .!����� � ��� .��$ ��� ���< ��������� �����

,���� ����� ;�� , ���/")"% ��� R"� � � �! �#� )"% !"�� !�� .����� ���

xn + a1 x

n−1 + . . . + an = 0

��� ,� x = r ��� �% �4 �� !���� +#� ��#� �% ��an ��� ������ ���r.

%& ����� �'� (��)�������� ��� �� � ���

�� !���� �� )"% ���!��� )���� , Q�!��� ;���

x2 – 4 x + 3 = 0

����� ;��" !""* .����� ��� �� !���� ���� ���-� E���� , . ������ � ��� .��$

(x – 1)(x – 3) = 0

,� ��#��� ��� !&"��x = 1, x = 3.

Page 12: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

7

� ��� .��$ ���� (������ �! �#* ���� .���� ��N���� ��� �/"" �D��x2 – 4 x + 3 ����� ���

�� !���� ��#�x2 – 4 x + 3 = 0 � ;� @��!� ,�� ���!��� ��Dx = 1, x = 3 �% :"��" !&"��

x2 – 4 x + 3 = (x – 1)(x – 3)

!&� @����� ,����� �����!��� ����D� �������� Q�!����� ������ L�������� ,�� (�����-� �#��� C��0�� ,�!����� !��$����

15 !���� � , !&�� @��� ��F� � ����.

����4

���D� � ��� 1���$ �� ����% ���� ��� ���!��� ��D� !� @���:

% . x3 + 4 x

2 + x – 6

( . x2 + 2 x + 1

A . x3 + x – 2

. x3 + 4 x

2 + 5 x + 2

��. 2 x3 – x

2 – 2 x + 1

���

% . �� !���� ��#� �% �" ���!��� ��D� ;� @��!�x3 + 4 x

2 + x – 6 = 0 ,�1, –2, –3 �* ,�!��!��

x3 + 3 x

2 + 3 x + 1 = (x – 1) (x + 2) (x + 3)

( . �% �" ���!��� ��D� ;� @��!� �� !���� ��#�x2 + 2 x + 1 = 0 ,�1 ��� �� �� �� !�� +#� ���

���#��� !��&� �% ���5 ����"!$�� L)��!���� ,"!��$�� �% ,��"�� �#��� �*�� � ����� ��#��� �����!��� ����D� !��"���� !� ��"�� L

��� ,�!��!�� �!��!��� ���#� !&� �� !���!

x2 + 2 x + 1 = (x – 1) (x – 1) = (x – 1)

2

A . ��� !���� ��#�� �% �" ���!��� ��D� ;� @��!�x3 + x – 2 = 0 ��$4$ : �-�x = 1 ;��� ����@D� !��%

����) ����@��� ����� G����1i −= ( �% ,"�� �#��

x3 + x – 2 = (x – 1) P2(x)

K��P2(x) �� �� � � .��$ �������� L������ ��� 5 ��"!$�� ���P2(x) �������� ������� ; @���") !��

!$� , 2 ( B�@% ����� G% �%)�������� ������ $� Synthetic division ( ��� ��"

x3 + x – 2 = (x – 1)(x

2 + x + 2)

) ��������� Q�!������� =��������P2(x) � ������ ,������� ���������� ��#������� ;� @������!� B�����@% ����������!����&�� ������ ������D�

���!���.(

Page 13: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

8

8

. �� !���� ��#� �% �" ���!��� ��D� ;� @��!�x3 + 4 x

2 + 5 x + 2 = 0 �!"$�(–1, –2) +#� �% !���

��#� �% ��� �% �4 �$�!$�� ��� �� �� �� !�� �� ������ �% G% L���� ���#���

(x + 1) (x + 1)(x + 2)

�%

(x + 1)(x + 2)(x + 2)

� ��� ����!��� , '����� ��� �"�!��� C0�)2 � ���-� , 4 ��"!$�� , ( .���$ ,� '������ ���� 9��

.!����� � ���) G�!�� ���2 ( L������� ,� ���-� ��!��� �%* ,�!��!���

x3 + 4 x

2 + 5 x + 2 = (x + 1) (x + 1)(x + 2) = (x + 1)

2(x + 2)

���. �% ��" ����!��� ���D� ;� @���!� ��� !���� ��#��2 x3 – x

2 – 2 x + 1 = 0 ,��0.5, 1, –1 ,�!���!��

� ���� �� �� !���� ���� ���.�����

(x – 0.5)(x – 1)(x + 1) = 0

� ���&/� !��"� ���!�� ����� E4���@�x3 =�� ��"� 3����<-� +#���) G�!���� ���& 1 ( ���!�� ������x

3 .����$ ,��

�������-� � ������ ) G�!����� ������2(!���� �% !������ L (����0� ;�����" 1����!$ ,��� �� ������� (����0� �$N����� 5 �����

, ���!��� .�����2 ��� ����

2 (x – 0.5)(x – 1)(x + 1) = 0

������ ���

2 x3 – x

2 – 2 x + 1 = 2 (x – 0.5)(x – 1)(x + 1)

= (2x – 1)(x – 1)(x + 1)

������ � ���� .���$ ,� .��< ��% �!�� �! �#� ��!� �F�� �#�� G�!��� 5 .!1 3���<-� (��0� ;���"

�!���� �#� , ��#��� ����� �� ���!"��.

3 .� ���� ����� � *�

��������� ������� ������� 1�����@� �D� >��"��� . ����$�-� >����� % �"���� ,�����!��&�4@ ���� ���" ����� +#���

1���@��.

����5

�� ���� ������� ����� ��%

3x4x

5x3

2++

+

Page 14: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

9

���

.����� ��� �" !&������� ����% ��6 � � ��$ ;!���� �% �" .!����� ������ ��� �� ��� �/"�!�

)3x)(1x(

5x3

++

+

���� ����� �� ������ ���� �N� ,��� ��@-� .����� +#��

3x

B

1x

A

)3x)(1x(

5x3

+

+

+

=

++

+

�&�� 1�!$ �� ������ , ����� �% !"0� <� ."� ,�����������!�$�� ����� �� �D� ! . ���� �������

�� (�0" =�#, , ���!��� �<4���

(x + 1) (x + 3) �<4��� ��� ��"

3 x + 5 = A (x + 3) + B (x + 1)

;�< 9���� ����� �<4��� +#� �% !�� �D��x ��� >��"x �"� ����F��@� ���������� ���� !��� ����

����&���� , A, B .@" ���&�����!� )S�#!��(

x = –1, x = –3

��� ��"

A = 1, B = 2

�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��

3x

2

1x

1

3x4x

5x3

2 +

+

+

=

++

+

�������� ������� ����� ,� +#��.

:"��" �% ���"% !$��� �#� ��) �������� ������ !���O – ���!� �F���– ���� ;!����� ������ 5�% ;���"

? >�F" ;$ ����% ���� �% ������� ������� ������!� $�� ;!���� , ;!�� ����� �� ��

1���$�� ������ ;��" ��!&"�� , ;$ ������� .!��0� .����� ��� ,�!��� !$���.

����6

�� ���� ������� ����� ��%

1x

2x

3−

+

Page 15: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

10

10

���

���� �% �" .!����� ������ ��� �� ��� �/"�!� ��" �����% ����� ���� !&������� ����% ��6 � � ��$ ;!

.����� ���

)1xx)(1x(

2x

2++−

+

.����� ��� ���� ����� �� ������ ���� �N� ,��� ��@-� .����� +#��

1xx

CBx

1x

A

)1xx)(1x(

2x

22++

++

=

++−

+

��� ;!���� �- ���-� ��� �� �� ��� �� ,"!$�� ���� ��� !"0� !""% !"� /�4"����"!$�� ���� �� ��� �� .

1���$�� ����� �� �D� !"� ,������� . �� (�0" =�# ��� ������, , ���!��� �<4���

(x – 1) (x2 + x + 1) �<4��� ��� ��"

x + 2 = A (x2 + x + 1) + (B x + C) (x – 1)

�� >�����!��x = 1, 0, –1 ���D� 15 !���� ��� ��"

3 = 3 A

2 = A – C

1 = A – 2 (–B + C)

5 !���� +#� ���1 ��� ��"

A = 1, B = –1, C = –1

�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��

1xx

1x

1x

1

)1xx)(1x(

2x

22++

+−

=

++−

+

�������� ������� ����� ,� +#��.

������� ����� ����� �!�� >�� , !&�!��" < ,��� �� !0O� 1���@�� �% C0�� ,�!��� !$���.

����7

�%�� ���� ������� ����� �

3x4x

2x2x3x

2

23

++

+++

Page 16: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

11

���

" ;!����� ���� ��� ���% ������ ��� �% �" .!����� ������ ��� �� ��� �/"�!�� �������� ������� 5�% N��

!$� , !"� < !�1��� ��" L

3x4x

2x2x3x

2

23

++

+++ =

3x4x

5x3)1x(

2++

++−

���� ������� ;��� �D�� !��$� ,�� =��# ���� ;�� ��<� ����-� E������ ,�� ������� ������ ��� ��������� ��5

,� ���!&"�� .����� ���

3x

2

1x

1)1x(

3x4x

2x2x3x

2

23

+

+

+

+−=

++

+++

���!��� ��$�-� ��� 8!"�� !""�� �D�,�� !� ������� ����� ����� 1���@ R�@��.

� ���� ����� � *� ���+)

)1( �% ����� ��� 1"! �#� ���� �� ������ �������� ������ 8���� ��� !��" ;!���� ��� G�!�� �% �� �

� � .��$ ����� ��� .!����� ������;!����� ��� �� <% ����� ��� !&� ��� B�@% ���� ��� �.

. � ��� ������ ��� �� ��� ���!��� 1���@�� ;���.

)2( ��� ;!���� ���� (�0 �!� � � 1���$����%.

)3( � ��� ,�� .��#����� �������� !����� �����!"�� ��������� ������� ��? >��� 1 ������ ��? (���� �����

;!����.

)4( ���&���� 1���$�� ;�< ����

����1 :� ���� ����� ��- .�& � / �

(���� %& ������ ���*� �#���� ����

1 a x + b bax

A

+

2 a x2 + b x + c cbxax

BAx

2++

+

3 (a x + b)n, n ≥ 2 n

n2

21

)bax(

A...

)bax(

A

bax

A

+

++

+

+

+

4 (a x2 + b x + c)

n, n ≥ 2 n2

nn2

11

)cbxax(

BxA...

cbxax

BxA

++

+++

++

+

Page 17: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

12

12

��� ����!��� �% Q�!������ /����4��1 L2 � ���� ,��� 1 ��� ����!��� !����% ���!������ �����$�-� ����� �!���"������3 L4

.����� ������ ��� (���!

(a x + b)n, (a x

2 + b x + c)

n

!$���� ,�!���� C0�� ��� �!��� =� �� 5 � �#;!��� �!�����.

���� 8

�� ���� ������� ����� ��%

2x5x4x

5x323

+++

+

���

�������� 8������ A!����" 4�� ;!������ ����� ���� ��<% !��"� ������� ���� . ;!������ ,�� � ����� .����$;��� !��&����� ,��

!$�4 �� �!�:�!"

x3 + 4 x

2 + 5 x + 2 = (x + 2)(x + 1)

2

.����� ���� #@N� ,�!��!��

2)1x)(2x(

5x3

++

+

� � , .��#��� ������ !����1 �� �������� ������� ����� ? ���

221

2 )1x(

B

1x

B

2x

A

)1x)(2x(

5x3

+

+

+

+

+

=

++

+

1���$�� !��� !"� ����� �D�� ., ���!��� �<4��� , �� (�0� ;��"

(x + 2) (x + 1)2

�<4��� ��� ��"

3 x + 5 = A (x + 1)2 + B1 (x + 1) (x + 2) + B2 (x + 2)

�� >�����!��x = –2 ��� ��" 1�!$�� G���� �� !��A �� ��� !&"��

A = –1

�� >�����!��x = –1 ��� ��" 1�!$�� G���� �� !��B2 �� ��� !&"��

B2 = 2

���� ����"�!� ���B1 4� ,� ��� !�� ���� G P�� ���T���� ������ >���" �% ����B1 !�""% !��� !�""�� ���

�� 4 !"���A, B2 (!�� ���&�� ��� B1 . 90"x = 0 ��� ��"

5 = A + 2 B1 + 2 B2

Page 18: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

13

��� !&"��

B1 = 1

�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��

22 )1x(

2

1x

1

2x

1

)1x)(2x(

5x3

+

+

+

+

+

−=

++

+

��"( ��#�� � !����� �P��� ��� �D� .����� >�F" �#!�� ���

221

)1x(

B

1x

B

+

+

+

�� ���� .�/!"�(x + 1)2 .����� >�F" 5� ;!���� , �����

2)1x(

CBx

+

+

�� >�F�!�� '�!���� ���� . !��� Q�!���� =���" �P���� �#�� ��� ��!�U��,"!�$ ���� :�!�"�� �% ��� '�������

.����� ���

22 )1x(

3x

2x

1

)1x)(2x(

5x3

+

++

+

−=

++

+

,�� !� +�!��@� ��� ���-� E���� �� ��@-� �� ���� ���

2

22

22

)1x(

2

)1x(

1

)1x(

2

)1x(

1x

)1x(

2)1x(

)1x(

3x

+

+

+

=

+

+

+

+=

+

++=

+

+

���< ���� )����� !"����� G#���� :�!��"�� 3��F" ����� ����" �����!&"�� .������� +#��&� >�����!���� . �#��� 9��<���� ,�� �

�� ���� ��� ;!���� B���� �#� !��� +P���� ��� �!��@5�(a x + b)n, n ≥ 2 ! ;�$ ��� ;�<� . ��!��� 1�"

3 � � , 1 . ;<� . �!��� 1"! '�"��� 3F"��4 � � , 1.

4 .����� � *� 0�)! 1�+

����T���� ;����� >�������� ����� ���!����� ����$�-� ,�� !" ������x ,����-� ������ ,�� ;!������ ���� R�@����� ����

1�����$�� �������� =���#� ��������� �������� . C����� ����!� ������� ��������� +#���� !��"� �#"���� �!������ 9������

1���$�� +#� ������ B�@% !<�� . ���-� �������)14�!���� .��!�� ( �!���� !�&"�� ��!� ����� !0�% ,�

��&"N�! ����/"� �������)!�#���F"�� :�!��"�� ���� ���&���� ����� ( >�������� ������� ���!�� ,�� 1�����$�� ��������

Page 19: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

14

14

����T���� ;��< �!����@� ����� A!���� ,����� ���!����x. ������@-� ���������� !���%)���/"�� ����� �����T��� ( !���&

�����!� �!@�!� 1���$�� ;�< ����� , !�&����� ���!��� !�&"�� ����� �� �"��� !?- �!���� .

�$��*�� ������ �� �+ Coefficients equating method

14�!������ .��!���� ������� ������ ,������ �����-� ��������!� �D� % ���" ���F�� ,�!����� !��$��� C��0���. +#��� 8���

�������.

����9

�� ���� ������� ����� ��%

2x5x4x

5x323

+++

+

���

�% '�� G#�� �� ,����� ���� !$� , )�� !"��!��8 �% !" ���

2

21

223 )1x(

B

1x

B

2x

A

)1x)(2x(

5x3

2x5x4x

5x3

+

+

+

+

+

=

++

+=

+++

+

.����� ��� �" �� ���� , ;!���� �� R�@��� >���

3 x + 5 = A (x + 1)2 + B1 (x + 1) (x + 2) + B2 (x + 2)

��T���� ;��� >��" �� �D��x ��� ��" ���-� E���� , 3��<-� =F"� ���

3 x + 5 = A x2 + 2 A x + A + B1 x

2 + 3 B1 x + 2 B1 + B2 x + 2 B2

��!��� �� ���� �% !���! ;�< 9���� �x �� ����� ,� 14�!���� .��!��� ;��" E�� . ��!�� .�!���� x2

�� !���� ��� ��"

0 = A + B1 �!�� .��!����x �� !���� ��� ��"

3 = 2 A + 3 B1 + B2

�� !���� ��� ��" '����� ��� .��!����

5 = A + 2 B1 + 2 B2 1���$�� ;�< ��� ��" 15 !���� +#� ���

A = –1, B1 = 1, B2 = 2

�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��

Page 20: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

15

22 )1x(

2

1x

1

2x

1

)1x)(2x(

5x3

+

+

+

+

+

−=

++

+

� +2�� �� �+ Covering method

G���� ,��� ����� (�!"� ,�� ���T��� ����� ,� ���!��� ����������� ;!����� ,� ,���-� ��� �� �� .

������� +#� C0�� ,�!��� !$���.

����10

�� ���� ������� ����� ��%

2x3x

1x

2+−

+

���

� ����� ��� ������ 8���� A!��" 4 ;!���� ��� �� <% !" . ;!����� ,� ���"!$�� ���� �� ��� � ��� .��$

��� !� !&����� ���

x2 − 3 x + 2 = (x − 1) (x − 2)

.����� ���� #@N� ,�!��!��

)2x)(1x(

1x

−−

+

� � , .��#��� ������ !����1 �������� ������� ����� ? �����

2x

B

1x

A

)2x)(1x(

1x

+

=

−−

+

1���$�� !��� !"� ����� �D�� ., ���!��� �<4��� , �� (�0� ;��"

(x − 1) (x − 2) �<4��� ��� ��"

x + 1 = A (x − 2) + B (x − 1)

�� >�����!��x = 1 1�!$�� E#��B 1�!$�� G���� �� !�� ������ ���-� E���� ��A ��� ��

22x

1xA

1x

−=

+=

=

!&"� !"��� ,��� .��@-� �<4��� �� K�� ���T��� �<��� ���� !�� ,��� ,��� ,� .��@-� ��!��� �<���

1���!$�� �����<A E#��� ���� ,����-� ������ ,���)�����T� ( �� ������(x − 1) 1���!$�� ;!���� ���� G#����A ;��$

�� >������x = 1 ;!�� , ������ �� ���� ��� ,��� ������ G% 1�!$��A !����F� G�.

Page 21: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

16

16

������� ���< �N� ���� ��� ��$!�� 1�!$��B �<4��� �� (���

31x

1xB

2x

=

+=

=

E#��� ���� ,����-� ������ ,��� ���<4��� +#����)�����T� ( �� ������(x − 2) 1���!$�� ;!���� ���� G#����B ;��$

�� >������x = 2 $�� ;!�� , ������ �� ���� ��� ,��� ������ G% 1�!B ��F� G����.

�� ��@-� :�!"�� ��� ;$ ���

2x

3

1x

2

)2x)(1x(

1x

+

−=

−−

+

�� ��� ,�!��� !$���� ��N����� 3F" , ����� �� �$% ;� @��� ��� E� ���� !� !��0� ���T��� ��

1���$�� ������.

����11

�� ���� ������� ����� ��%

3x3xx

x23

−+−

���

��� ����� �������� 8������ A!����" 4�� ;!������ ����� ���� ��<% !��"� ����. .����$ ;!������ ,�� � ����� !��&����� �����

;�����!� ���&��

x3 – x

2 + 3 x – 3 = x

2(x – 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(x

2 + 3)

��D� ,�N .��@ ������� ����� ? >� !��� � � , .��#��� ������1 ��� ��"

3x

CBx

1x

A

)3x)(1x(

x

22+

++

=

+−

1�!$��A ,�� !� ���T��!� + !��� ���

4

1

3x

xA

1x2

=

+

=

=

.����� ��� �������� ������� ����� ���

3x

CBx

)1x(4

1

)3x)(1x(

x

22+

++

=

+−

�!���!$�� !��%B, C ����T��!� !��&"���� ���� 4� . !��&"����� 14�!����� .��!��� ������ ���� N��"���) =�����

3�F" ��� ����� Q�!��� >������� ;� @���!� :�!�"�� .( ��<4��� ,� �� ,� ;!����� ��� R�@��!�� 5�% % �"��

��� ��" ���!���

Page 22: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

17

x = (1/4) (x2 + 3) + (B x + C) (x − 1)

14�!�� .��!��� 3��<-� =F��x2 �'����� ��� ���� !���� ��� ��"

0 = (1/4) + B

0 = (3/4) − C

�% �" !�&"��

B = −1/4, C = 3/4

�� ������� ����� ,�!&"�� ?�� ���

)3x(4

x3

)1x(4

1

)3x)(1x(

x

22+

−+

=

+−

G����� ,���� ����� (�!"� ���T��� ����� �% !"�#����� ;!����� ,� ,���-� ���� �� ��� . ,�!���� !�$���

�� ��� ��!� , ���T��� ; @��� E� C0���!� (a x + b)n ;!���� , .

����12

��� ������� ����� ��%�� �

2x3x

3x3

−−

+

���

������ 8���� A!��" 4 ;!���� ��� �� <% !"� ����� ��� . ��$. ;!����� ,� � ��� ���� A!����� ����

���!��� ��D!� �"!���5!� =�# �� ����) !$� �/"�4 ( ��� ��"

x3 – 3x – 2 = (x – 2)(x + 1)

2

���� ������� ����� ? >� � !�� � � , .��#��� ������1 ��

221

2 )1x(

B

1x

B

2x

A

)1x)(2x(

3x

+

+

+

+

=

+−

+

�!����!$�� !��"�A, B2 �����T��!� !���&"���� ����� 1���!$�� !���%B1 (���0 �#� )��"- �����T��!� )��"���� ����� 4��

��� ��" E�� ;!���� , ���!��� �<4��� , ��

x + 3 = A (x + 1)2 + B1 (x − 2) (x + 1) − B2 (x − 2)

!"�� ��T���� ���< ���5x 1�!$�� , �� !�� ,���B1 �!��!$�� 3�� �� A, B2 . ;� @���!� �D� ;���"

,�� !� ���T���

9

5

)1x(

3xA

2x2

=

+

+=

=

Page 23: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

18

18

3

2

2x

3xB

1x2 −=

+=

−=

.����� ��� �������� ������� ����� ���

21

2 )1x(

3/2

1x

B

2x

9/5

)1x)(2x(

3x

+

+

+

=

+−

+

1�!$�� !�%B1 �T��!� )"���� ��� 4 >������� ������ ��� 8����� ��� �� . ��<4��� ,� �� (��0� ;���"

��� ��" ;!���� , ���!���

x + 3 = (5/9) (x + 1)2 + B1 (x − 2) (x + 1) − (2/3) (x − 2)

90���x = 0 ���< ��� ��"B1 G�!�� ,���−5/9 .�� ������� ����� ,�!&"�� ?�� �D��

22 )1x(

3/2

1x

9/5

2x

9/5

)1x)(2x(

3x

+

+

=

+−

+

����� !$��� �!�� ;!����� B����� �#� )�"% C�0�� '���!� (a x + b)n �� �#�� �*� ��!� +�/!�"�n ������ ���

�������) � � 9���1(

nn

221

)bax(

A...

)bax(

A

bax

A

+

++

+

+

+

� 1�!$�� � � ���T��!� ����� 5 !&���� 1���$�� +#�An ���T��!� )"���� ��� .

�#�� ���� �� �+ Inspection method

����"" ������� ���� ;4���� ����� �D���@% �B ���/"�� ����� ������� ,���� 5% 1�����$�� ������� ,�� . ��������� +#����

!&�!�� ��� ,��� ����!� ��!@���� .������ ���� ���"!$�� ��� �� ��(x2 + a). �������� +#�� V��?��

,�!��� !$��!� % �".

����13

�� ���� ������� ����� ��%

)3x)(1x(

4

22++

���

4� �����% !�&� ;!����� ,� � ���� 1����$� ������� 8����� A!���" 4� ;!���� ��� �� <% !"� ����� ���

� � , .��#��� ������ !��� .�?!�� ������� ����� ? >� 5� �����1 ��� ��"

3x

DCx

1x

BAx

)3x)(1x(

4

2222+

++

+

+=

++

Page 24: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

19

�< �% �� '������ ��� !�� Q�!��� =����,� 1���$�� ;

A = 0, B = 2, C = 0, D = −2

��� , B�@% ������ �D� N��"� !""�� . >�F"y = x2 .����� ��� ������ ���� ����

)3y)(1y(

4

++

� � , .��#��� ������ !��� ������� ����� ? >�F��1 ��� ��"

3y

B

1y

A

)3y)(1y(

4

+

+

+

=

++

�!��!$�� �D��A, B ��� ��" K�� ���T��!� !�&"���� !&"��

A = 2, B = −2

,�!&"�� ��� ? ����) �� >������ ��y = x2 (��

3x

2

1x

2

)3x)(1x(

4

2222+

+

=

++

��� ����� , ��$� &�% .��@-� ������� �% Q�!��� /�4�� .

W�����" E����� �D�� ����� �����!� 1!���<4� '�!������ !���$��� � !���� ,���������� 1!���<4�� ����������/"�� �. �������

4��� +#� ;� @��� �?!�� 1!<������� ����� ������ ..

+

+−

=

++

+

+−

=

++

ax

a

bx

b

ab

1

)bx)(ax(

x

bx

1

ax

1

ab

1

)bx)(ax(

1

2222

2

2222

'�!����� !��$��� ��� ������� 3F"��� ���!����� 1!��<4��� 1!���$� Q�!����� =������ . C��0��� '������ �����!��� ����$�-�

�/"�� ��� �����.

����14

�� ���� ������� ����� ��%

)4x)(1x(

1x2

22++

+

���

���� !"����� �#�

)4x)(1x(

1

22++

Page 25: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

20

20

)"* �� ���-� . �!��� )��� '��"� ���< ��� �/"�� ����� ������� �����

+

+

=

++ 4x

1

1x

1

3

1

)4x)(1x(

1

2222

, �� ���� (�0��(2 x + 1) ������ ���� ������� ����� ��� ��"

+

+−

+

+=

++

+

4x

1x2

1x

1x2

3

1

)4x)(1x(

1x2

2222

����15

��%�� ���� ������� �����

)3x)(2x(

1x

22

2

++

+

���

,�� !� ����� ��� ������ ���� ;��" �/"�� ��� ���< '�����

)3x)(2x(

1

)3x)(2x(

x

2222

2

++

+

++

���-� . �!��� )��� '��"� ,"!$�� ����� �/"�� ��� ���< �� ��"!$�� . �!��� )��� '��"� �-� ����

�� ������ +#� '������� ��"

2x

2

3x

3

)3x)(2x(

x

2222

2

+

+

=

++

3x

1

2x

1

)3x)(2x(

1

2222+

+

=

++

,� ���!&"�� .����� ��� ����!"�� 9������

3x

2

2x

1

)3x)(2x(

1x

2222

2

+

+

+

−=

++

+

B�@% ����� �!��!� :�!"�� 3F" ��� ����� ���� . >�F"y = x2 ������ ���� ���� .����� ���

)3y)(2y(

1y

++

+

��#��� ��� ���� ���� !�� Q�!��� =���� ���T��� ;� @��!� ���&�� )�� ����� �:�!"�� 3F" ��� .

����16

�� ���� ������� ����� ��%

Page 26: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

21

)4x)(1x(

5

22−+

���

�� .�?!�� :�!"�� ��� �/"�� ��� ���< �� ���-� . �!��� )��� '��"� ������ ����

4x

1

1x

1

4x

1

1x

1

5

5

)4x)(1x(

5

22

2222

+

+

−=

+−

=

−+

(�� ��� .����� ��� )�!�� ���� ��� ,"!$�� ���� �% Q�!��� )��"� �%

)2x)(2x(

1

4x

1

2 +−

=

������ �#��&� ��������� ������� !����� ����� �D��)�����T��� ;� @����!� 1�����$�� ������� Q�!����� =������ ( �����

.����� ���

2x

4/1

2x

4/1

)2x)(2x(

1

+

=

+−

�� ,�!&"�� ��� ����

2x

4/1

2x

4/1

1x

1

)4x)(1x(

5

222 +

+

+

−=

−+

����17

�� ���� ������� ����� ��%

)2x(x

1

23+

���

�� ���� ����� 5�% ;��"�

)2x(x

1

22+

������� ����� ��� �/"�� ��� ���< �� ���-� . �!��� ;� @��!� ��"

+

−=

+ 2x

1

x

1

2

1

)2x(x

1

2222

, �� ���� ;!�� (�0" =�# ���x �� �����(������ ��

)2x(x

2/1

x

2/1

)2x(x

1

2323+

−=

+

, 5�% ;!����� ����� (�0� )����� ��� ,"!$�� ���� ���x �/"�� ��� ���< ;� @��� ;$

Page 27: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

22

22

+

−=

+

−=

+

=

+

2x

x

x

1

4

1

2x

x

x

x

2

1

2

1

)2x(x

x

2

1

)2x(x

2/1

2

22

222

!&"�� :�!"�� ��� ��� ,

2x

4/x

x

4/1

x

2/1

)2x(x

1

2323+

+−=

+

$� 1���$�� ������ B�@% '�� ��� )"% �#" (!��� �#&� !�!�@� 1�# ����/" ;� @����� 0!F��� ;� @���

(!���� �#�� ,� '���� +#&� >��" �� !""�� �� ���. ���0!���� :������� ;��� �% ���� Q�!���� ��/" 1�F�"�

$�

Derive, Mathematica

������� ����� ����� ����� 8���� !&"��.

Page 28: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

23

������������� ����� ����

)1 (�/"�� ���� ������� ����� ��% �� ����16x

12x7

4

2

+ ) ��!"�2009(

)4x)(4x(

12x7

16x

12x7

22

2

4

2

−+

+=

+

+

−−−

+=

)4x(

1

)4x(

1

)4(4

12x7

22

2

+

+−

+=

)4x(

12x7

)4x(

12x7

8

1

2

2

2

2

+

−+−

+−=

)4x(

16)4x(7

)4x(

40)4x(7

8

1

2

2

2

2

+

+−

+=

)4x(

167

)4x(

407

8

1

22

+

+

+−

=

)4x(

16

)2x)(2x(

40

8

1

2

+

+

+

=

)4x(

16

)2x(

1

)2x(

1

4

40

8

1

2

)4x(

2

)2x(

45

)2x(

45

2+

+

+

=

��� ����B�@� 1���@�.

)2 ( �� ���� ������� ����� ��%2xx2x

1x2x2

23

2

+++

++ ) ��!"�2009(

)2x()2x(x

1x2x2

2xx2x

1x2x2

2

2

23

2

+++

++=

+++

++

2x

C

1x

BAx

)2x)(1x(

1x2x2

22

2

+

+

+

+=

++

++

)1x(C)2x)(BAx(1x2x222

++++=++

>�����!�1���$�� ;�< �� ��"

x = 2 5 = C (5) C = 1

x = 0 1 = B (2) + 1 B = 0

x = 1 5 = A (3) + 2 A = 1

2x

1

1x

x

2xx2x

1x2x2

223

2

+

+

+

=

+++

++

Page 29: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

24

24

)3 ( ����� ��%� ��������� ��� 1xxx

2x6x7x5x2

23

234

+++

++++

) ��� �"2008( 3x2

2x6x7x5x21xxx 23423

+

+++++++

2x4

+2x3

+ 2x2

+ 2x

3x3

+ 5x2

+ 4x + 2

3x3

+ 3x2

+ 3x + 3

2x2

+ x – 1

)1x)(1x(

1xx23x2

2

2

++

−+++=

)1x)(1x(

)1x2)(1x(3x2

2++

−+++= (or

)1x(

CBx

)1x(

A3x2

2+

++

+

++= )

1x

1x23x2

2+

−++=

)4 ( �/"�� ���� ��xx

3

3+

) ��� �"2008(

+

−=

+ 1x

1

x

1

1

x3

)1x(x

x3

2222

1x

x3

x

3

2+

−=

)5 ( ��� ,�D� ���� �� ���+ �������2xx

6

24−+

) ��!"�2008(

+

−−−

=

+− 2x

1

1x

1

)1(2

6

)2x)(1x(

6

2222

2x

2

1x

2

22+

=

2x

2

)1x)(1x(

2

2+

+−

=

2x

2

1x

1

1x

1

2

2

2+

+

=

2x

2

1x

1

1x

1

2+

+

=

Page 30: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

25

)6 ( ����� ��%� ��������� ��� )1x)(1x(

12x82

−−

− ) ��� �"2007(

1x

C

1x

B

)1x(

A

)1x()1x(

12x8

22 +

+

+

=

+−

8x – 12 = A(x+1) + B(x–1)(x+1) + C(x–1)2

1���$�� ;�< �� ��" >�����!�

x = 1 –4 = 2A A =–2

x = –1 –20 = 4C C = –5

x = 0 –12 = –2 – B + (–5) B = 5

1x

5

1x

5

)1x(

2

2 +

+

)7 (�/"�� ���� �� )3x(x

12

+

) ��� �"2007(

3x

x

x3x

1

x

1

03

x

)3x(x

x

2

31

31

2222+

−=

+

=

+

)8 ( ��� ,�D� ���� �� ���+ �������3x4x

4x

24

2

++

+ ) ��!"�2007(

)3x)(1x(

4

)3x)(1x(

x

)3x)(1x(

4x

2222

2

22

2

++

+

++

=

++

+

+

+−

+

+

+−

=

)3x(

1

)1x(

1

13

4

)1x(

1

)3x(

3

13

1

2222

)1x()3x( 2

23

2

21

+

+

+

=

Page 31: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

26

26

����� 3��)��

����� ���� �����

– � ����� ��� ���� ��� ���� �� ������� ����� ����� �� ����������� ���� �.

– ������� ����� ����� 1���@

)1 (������� ������ 8���� ;�� ;!���� ��� G�!�� �% �� ��% ����� ��� 1"! �#�.

)2 (����% � � 1���$ (�0 �!� ��� ;!���� ����.

)3 (���!"�� ������� ����� ? >� .

)4 (���&���� 1���$�� ;�< ����.

– ���T��� ������ G���� ,��� ����� (�!"���� ;!���� , ,��-� ��� �� ��.

– ;� @��� ����/"�� ��� 1!<4� ���!��� �?!��������� ����� ������ .:

+

+−

=

++

+

+−

=

++

ax

a

bx

b

ab

1

)bx)(ax(

x

bx

1

ax

1

ab

1

)bx)(ax(

1

2222

2

2222

Page 32: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

27

����� ����

���D� �� !���� ������� ����� ��%:

)1 (3x2x

x2

−+

)2 (13x

2x

)3 (xxx

123

++

)4 (3xx33x

2x

2−−+

+

)5( 1xx6

2x2

−−

+ )6( 1x6x6x7

3x11x423

2

−++

++

)7 (x2x3x

123

+−

)8( 1xxx

x423

−−+

)9 (2)2x(

7x6

+

+ )10 (5x2x53x

x3

−+−

)11( 3x42x

2x43x

++

+ )12 (1x22x23x24x

5x34x5x

+−+−

+−−

)13 (15x72x33x

3x7

−−−

+ )14 (x84x

1x

+

+

)15 (2

)1x)(12

x(

4x2

−+

+− )16 (2xx

624

−+

)17( )1x)(1x(

12x82

−−

− )18 (2x32x23x

1x

−+−

+

)19 (8x52x3x2

8x5

−++

+ )20 ()1x(x

1xxxx

2

234

+

−−++

�/"�� ��� ����� ; @��� ������� ����� ���������D� �� !����:

)21 ()62x(2x

5x4

+

+ )22 (3x4x

4x

24

2

++

+

)23 ()132x)(32x(

2)1x(

++

− )24 ()3x)(2x)(1x(

6222

+++

)25 ()12x(3x

1

+

)26 (16x

12x74

2

+

)27 ()1x()1x(

x2

2

++

Page 33: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

28

28

Page 34: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

29

������ ����

�� ���� ��� ����

Binomial Theorem

1 .�����

����� ����� � ��� ��� ����� ������� � �������(x + y)n �����n ������ ����� ����� . ������ ���� ���"�

��� � #�$ ������ . ������ � ������ ��"� %���&� ������ '���( � ��� � �$" )* ��(�(1 + x)n ����

n )������ ����� .� � ��(���� �������� ���"� ����� � #�$ ������� )��* +���, ��� ��� �� � %������� '�������� -�

������ � ����� � ./� 0�� �� )��* ����� ���� .)������ � ./� 0�� �� )��* ������� � ��� ��� $ ����� 1����( 1��2 .

13(���$� ��� � 3������� � #����� '�� )* ����� � �$" 1�.

2 .���� ���� �� ������ ��� �����

��� ��� ����� � ����� ���� ��� 1�� � � (x + y)2 0,4� �� ���� %(� #��25 0 �6�� ��� ) ��

(x + y)2 = x

2 + 2 x y + y

2

� ��� ��� +2� �������� � ��� �(x + y)3 0,4� �� ���� %(� #��2�ٕ�

(x + y)3 = x

3 + 3 x

2 y + 3 x y

2 + y

3

* 0��� � 0 �� � ��� � #�$ 0��8( ����)6 +2� ����� � ����� ��� �(�(�,(x + y)n ���

n = 1, 2, 3, 4, . . . �" �(�� � �$"�

n22n2

n1n1

nnn yyxCyxCx)yx( ++++=+−−

L

0,4� � � ��*�� � ���� ���� � ���� � ����� � )* #4���� � ��� ���

)!rn(!r

!nC r

n

−=

���n! �" ��� � ���9�n 0,4� �� ���� :$ ��

n! = 1 × 2 × 3 × . . . × n, n ≥ 1

0! = 1

�(�, 0��� ���� ��� 3� ��� � #�$0� � � ;�� � )*

∑=

−=+

n

0r

rrnr

nnyxC)yx(

)9��� � <�(�-� 1��3��� 1� �(�� � �$" #��2�ٕ� .�(�� � �$" 1��3��� =��� � ��$ 0� � � 0�2�/��.

Page 35: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

30

30

���1

������ ��� � #�$ ����� ����(2 a − b)3

���

+����� >� ��� � #�$ �(�, 1��3�(x ��2 a +������y ��−b � '��� �� n = 3 ��� + �(*

322

321

333 )b()b)(a2(C)b()a2(C)a2()ba2( −+−+−+=−

��0�?�6( � ;�� � ��� + �( #��� 3-� @���A

(2 a − b)3 = 8 a

3 + 3 (4 a

2) (−b) + 3 (2 a) (b

2) − b

3

= 8 a3 − 12 a

2 b + 6 a b

2 − b

3

���2

+���� ����x7 ����� )*(1 + 2 x

2 – x

3)5

���

;�� � ��� ���� � ����� � >9( ��� � #�$ �(�, 1��3�-

[1 + (2 x2 – x

3)]

5

+����� >� ��� � #�$ �(�, 1��3�( B��x ��1 +������y ��

(2 x2 – x

3)

� '��� �� n = 5 ��� + �(*

532

4324

53323

5

2322

5321

5532

)xx2(

)xx2(C)xx2(C

)xx2(C)xx2(C1)]xx2(1[

−+

−+−+

−+−+=−+

+���� �" ��* ����� � B��x7 � ���( 0� ��* ;�8(��x

7 ������ � �� >���� � ������ � )�* ���* ����

;�� � ��� %��� ��� :$ �� ���� � 36332

35 )x2(x10)xx2(C −=−

����� � �$" ���� C�3� ;�� ��� � #�$ �(�, 1��3������ + �(

10 x6 (2 − x)

3 = 10 x

6 (2

3 + 3 (2

2) (−x) + 3 (2) (−x)

2 + (−x)

3)

+���� ���*x7 :���� −120

Page 36: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

31

3 .����� �� ������ ��� �����

� 5 B� +�(('�� )���� .D� ��� � #�$ ����� .��� '��(�� ����� � %��� ����������� � ����������

(1 + x)n ���n )���� ��� . '���� ������ � �$�" ���� 1�3��� � �(��� � '��( � +�,� %������

E�(�9�� :$� � ������ � ��� �(" % '��( :$ � ����� � �� )���� ��* � 5 =��� � �8( #��( � ��(

����� � ��(� � )�* . ������ � ������� ���� 0����� �(�9�� ����� � ��(� � )�*(x + y)n ����n ����� ����

������ � �$�" ���� ;�&��� %���3�� ��� :$ � �(�� � �(��$� ���� .�� )(F��( �(��� � �$�" 1��3���

������ � ��9 �(x + y) %���( )�*n G��( � ��� 3� 1�2 #���� � �� . �(��, �� 14��� ��(��(� �$5 ����

������ � ������ ���� (1 + x)n ����n #������ � �� )�(F� �(��, @����5 ��� �� � .���* )����� ����

%(/ �� 3-�� .��,/� �* � 0���� � -+�2� ���� #�(�� �$5 .���,/� E$�"n 42�� :����−1 ��0.5

0� �� � �� ����� � �� 1���( 0����� � )�* �((� �(1 + x)n ���� ;��� C��, 0������ )�* 0��?�6(-x ����

;�� �

a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

���H C��3� +��� ���� ����(� ����� � �$�"�(1 + x)n +�2�sin x, cos x .�� ��� ��" I��9�� � �$�"� ���

%���� )�*1��� ������ ������ +�9�� � . I��9�� � �$�6 '��� ���1���� 0� �� :� �f(x) �����& ����

0��?�" ����� ���6(� ������ � ����� 0��(���C���, 0������� 0���?�6( - )��*x . ����� 14��� � J����� �����* ���(" �����

0 �� � �����(1 + x)n.

���3���� ���� :$� � �(��� �� B� ����(% ������ ���� 0� �� �(1 + x)n ���� ��(" �(��� � �$�" ��$(���

� #��25 #��2K� ��(����=��� � 0 ����� ����� I�9�� +9�� � 1�� )*.

����� �� ������ ��� �����

�� �$5|x| < 1 A*

L+−−

+−

++=+32n x

!3

)2n)(1n(nx

!2

)1n(nxn1)x1(

0�B� ;�� �� ����� � 0��� ����

∑∞

=

+−−−+=+

1r

rnx

!r

)1rn()2n)(1n(n1)x1(

L

Page 37: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

32

32

� !�"# ��)����" (�������

��"� ����� ������ � �$�" ���� ��� ����& :���� ����� � ������ � � =���� � 8��4�|x| < 1 . �$�"�

������ � ����� ;�* � $� ���� ����� � 0� ;��� ��� ;�� � �$" �� ��& � .3/� 0���� ���� �; +��

;����� � E$���6� ������� � ����� .���6(- ������ � )���* ������� � ����� ����* I������� � �$���" � ���� �����D � ��� �����- )?�

:���� )?�6(4 �)� ���� ( � ���� -� 0(��� 0���� 0���∞ 42� . ���F� � 0���, ����� ��� 1�2 ��

x ;��� � )�*|x| < 1 :�−1 < x < 1 ���/� ���� � )�* )?��6(4 � I����� � ����� ����� � �$�" ��9�

:����)�� ���� (���/� ���� � 0���,. ���F� � 0���, #�(�� �$5 ����x ���� ��* ;��� � E$�" )�* >�� -

)?�6(4 � I���� � ������� ���/� ��� � )* ����� � . #�$ #����9�� � �� ����� �� ����� � I��9���

0�?�6(4 � #4���� � I�9�� %���� �(� =��� � % '����� #��9��� � 1�� )* 0F �� � 0��"/�.

� 0�2�/������ � 0� ;�* ��� 0����� ���� � �(�� � #����3�� �9� 0� �.

���3

����� � ����� ����

x1+

����� � 0� ;�* ���.

���

����� �(�� � )* '��(n = 0.5 ����� � ����� � ��� + �(*

L+

−−

+

++=+322/1 x

!3

)2

3)(

2

1)(

2

1(

x!2

)2

1)(

2

1(

x2

11)x1(

+ ( �� G�( � �� 3� ����;�� � � 5

L++−+=+322/1 x

16

1x

8

1x

2

11)x1(

)" ����� � ���� ;�*|x| < 1 .

���4

����� � ����� ����

x32

1

+

Page 38: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

33

����� � 0� ;�* ���.

���

;�� � ��� ���� � ����� � >9�� -�� ���( �(�� � 1��3�� >���( ��

11 )2

x31(

2

1)x32(

x32

1 −−+=+=

+

���� B� 1��( 12 ������ � +��� ���� �(��� � 1��3(3 x / 2) +���x 0���, ����n 0������−1 +� �(*

���

]x4

9x

2

31[

2

1

]2

x3

!2

)2)(1(

2

x31[

2

1)

2

x31(

2

1

2

21

L

L

++−=

+

−−+−=+

����� � � ���� 0242 +�� ���� ��* �(���� �,�))?�6(4 � (����� � �� ���J� � ���� =����� ����� .

) � �� ���* ����� � 0� ;�* � ���

1|2

x3| <

1|x|2

3<

3

2|x| <

� :�

3

2x

3

2<<−

���5

����� � ����� ����

2x1+

����� � 0� ;�* ���.

���

����� � +�� ��� �(�� � 1��3��� 1��(x2 +��x 0��, ���n 0�����0.5 ��� + �(*

L

L

+−+=

+

−−

+

++=+

42

322222/12

x8

1x

2

11

)x(!3

)2

3)(

2

1)(

2

1(

)x(!2

)2

1)(

2

1(

x2

11)x1(

) � �� ���* ����� � 0� ;�* � ���

Page 39: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

34

34

1x1

1x

1|x|

2

2

<<−

<

<

���6

����� � ����� ����

2)3x(

1

����� � 0� ;�* ���.

���

;�� � ��� ���� � ����� � >9�� -�� ���( �(�� � 1��3�� >���( ��

22

2)

3

x1(

9

1)3x(

)3x(

1 −−−=−=

B� 1���( 1�2 ������ � +��� ���� �(��� � 1��3���� (−x / 3) +���x 0���, ����n 0������−2 +� �(*

���

]x3

1x

3

21[

9

1

]3

x

!2

)3)(2(

3

x21[

9

1)

3

x1(

9

1

2

22

L

L

+++=

+

−−−++=−

����� � � ���� 0242 +�� ���� ��* �(���� �,�))?�6(4 � (����� � �� ���J� � ���� =����� ����� .

) � �� ���* ����� � 0� ;�* � ���

3|x|

1|3

x|

1|3

x|

<

<

<−

� :�

−3 < x < 3

���7

����� � ����� ����

2)x1(

x5

+

Page 40: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

35

����� � 0� ;�* ���.

���

;��� � ���� %��9� ���� ���� � ����� �(5 + x) (1 − x)−2 ������ � ������ ����� -�� ���(�� 1�2 ���

(1 − x)−2 )�� ���

L

L

+++=

+−−−

++=−−

2

22

3x2x1

)x(!2

)3)(2(x21)x1(

B� 1��( 12 )* G�( � ��9�(5 + x) ��� + �(* G�( � >����

L

L

L

L

+++=

+++

+++=

++++=−+−

2

2

2

22

x17x115

2xx

15x10x5

)3x2x1)(x5()x1)(x5(

����� � � ���� 0242 +�� ���� ��* �(���� �,�))?�6(4 � (����� � �� ���J� � ���� =����� ����� .

������ )?�6(4 � ����� �� ��� )6* ����� � 0� ;�* � ���(1 − x)−2 �� �6���� ����) �

1|x|

1|x|

<

<−

���8

����� � ����� ����

)x2)(x1(

1

−−

����� � 0� ;�* ���.

���

��� +��� ������� ������A� ������� � ������� � ����� �����(1 − x)−1

, (2 − x)−1 �����( � ����9 1��2

0������ � E$��6� +��� � ����� =������ ������ ���� 3-�� . >�(��� ���((� � ������A� @���� � )��"� C���3� ;����* ���("

���� � ������ 0�?J� � ���� � .+�& � $3D ���� � ������ 0�?J� � ���� �

)x2(

B

)x1(

A

)x2)(x1(

1

−+

−=

−−

��� + �( 0��F �� ���2 � �����

Page 41: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

36

36

1|)x1(

1B

1|)x2(

1A

2x

1x

−=−

=

=−

=

=

=

� :�

x2

1

x1

1

)x2)(x1(

1

−−

−=

−−

;�� � ��� ��3/� ����� � >9( B��

11

11

)2

x1(

2

1)x1(

)x2()x1(x2

1

x1

1

−−

−−

−−−=

−−−=−

−−

��� + �(* �(�� � 1��3��� ����� � ���( 12

])2

x(

!2

)2)(1(

2

x1[

2

1

])x(!2

)2)(1(x1[)

2

x1(

2

1)x1(

2

211

L

L

+−−−

++−

+−−−

++=−−−−−

��� + �( 0����� � 0���� � #��� 3-� +����

L

LL

+++=

+++−+++=−−−−−

2

2211

x8

7x

4

3

2

1

]x4

1

2

x1[

2

1 ]xx1[)

2

x1(

2

1)x1(

��?��6(4 � ������� � 4��� ���� )�6* ������ � 0�� ;��* � ��� . 0�� � ;��* ��� +�/� ��������*

)"

−1 < x < 1

)" 0� � ;�* �� )(�2 � ������ �

−2 < x < 2

G����( � E$��" �� ����� � ��� ��� ����� . ������ )��� � ������� � ����� ��� B��)�������� :� ( � ����-

���� ������ � 4� ��� )������ :�( . 12 ��* ��� � >��� )" ����� � ����� � 0� ;��

−1 < x < 1,

−2 < x < 2 )" ��*

−1 < x < 1

Page 42: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

37

!��&'��� (���� )*

0� � � 0�2�/� )* #-�� � E$" 1"� N3�(�� �6*��� � �� �� ���� +6� ����� �6 ������ � '��.

���9

����� � ����� ����

(1 − x)−1

���

+ �( ����� � �(�, 1��3���

L+−−−−

+−−−

++=−− 321 )x(

!3

)3)(2)(1()x(

!2

)2)(1(x1)x1(

� ��� + �( �� 3-� ����;��6&� � ;��

(1 − x)−1

= 1 + x + x2 + x

3 + . . .

(��� �((� �(" 8�4(��( ;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9��

∑∞

=

−=−

0r

r1x)x1(

���10

����� � ����� ����

(1 + x)−1

���

+����� >� � � ���� � ����� � 1��3���x ��−x � � ��� + �(;��6&� � ;�

(1 + x)−1

= 1 − x + x2 − x

3 + . . .

;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9�� ��� �((� �(" 8�4(�

∑∞

=

−−=+

0r

rr1x)1()x1(

���11

����� � ����� ����

(1 − x)−2

Page 43: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

38

38

���

� E$6� +� � ��� =���� ���� �(�� � 1��3��� G�( � ��� ���0���� .C��3� 0����� D��(�� �((� � .

����� �� ���(

(1 − x)−1

= 1 + x + x2 + x

3 + . . .

��� + �(* �*�� � +9��� 1��( 12

−(1 − x)−2

(−1) = 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x

3 + . . .

;��6&� � ;�� � ��� + �( �� 3-� ����

(1 − x)−2

= 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x

3 + . . .

�(" 8�4(� ;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9�� ��� �((�

∑∞

=

−+=−

0r

r2x)1r()x1(

���12

����� � ����� ����

(1 + x)−2

���

+����� >� � � ���� � ����� � 1��3���x ��−x ;��6&� � ;�� � ��� + �(

(1 + x)−2

= 1 − 2 x + 3 x2 − 4 x

3 + . . .

8�4(�;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9�� ��� �((� �("

∑∞

=

−+−=+

0r

rr2x)1r()1()x1(

��*� ���*"xr

��� ��((� :� 1��� � ��� � ���� �(����� 0����� � ;��6&� � O� � )* �((� =��� � 8�4�� +����� ���� �(�

xr ���� :� +������ ����� %��� ����� :$�� ��) +��2�x

10 �� x50( )?���6(-� ������� � )��* . '���� )��(����

+���� ��� �6�* ��� ) � C�3/� 0�2�/�xr. (� =��� � ��$(�% +����� ���x

r 0�6�� ;��� )�*) 5

��� (��6� ���� ./� '�� � 5 ��&(��0�2� � $ +�� �6�* ��� ) �.

Page 44: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

39

���13

+���� ����xr ����� � ����� )*

x21

1

���

;�� � ��� %��� ��� ���� � ����� � 1)x21(

x21

1 −−=

1��3�� ��� ����� � ��� �� �(�� )=����� � $ ��(�� ( +��2� G��( 1��3��� �����9 +������ >��

x ��(2 x) ��� + �(* ;��3/� 0����� D��(��

L++++=−− 321 )x2()x2(x1)x21(

� � �� � � G(�( �6(�� �" 1�(2 x)r +���� ���*x

r �"2r ���r ≥ 0.

���14

+���� ����xr ����� � ����� )*

2)x3(

1

+���� �� 12 ��x50.

���

;�� � ��� %��� ��� ���� � ����� �

22

2)

3

x1(

9

1)x3(

)x3(

1 −−−=−=

�(�� � 1��3�� ��� ����� � ��� �)=���� � $ ��(�� ( � +�2� G�( 1��3�� ���11 +������ >�

x ��(x/3) ��� + �(* ;��3/� 0����� D��(��

])3

x(4)

3

x(3

3

x21[

9

1)

3

x1(

9

1 322L++++=−

�" 1�� � �� � � G(�( �6(�� r)

3

x(

9

1r +

+���� ���*xr �"

r39

1r −+, r ≥ 0

� '��� ���r = 50 +���� ���x50 :����

Page 45: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

40

40

5039

51 −

���15

+���� ����xr ����� � ����� )*

x21

x

���

+�2� G�( 1��3���13 �" ����� � ����� ���

])x2()x2((2x)2x[1x

)x21(xx21

x

r32

1

LL ++++++=

−=−

�" 1�� � �� � � G(�( �6(��

x (2 x)r − 1

= 2r − 1

xr

+���� ���*xr ������2

r − 1 ���r ≥ 1.

���16

+���� ����xr ����� � ����� )*

x21

x5

+

���

+�2� G�( 1��3���13 �" ����� � ����� ��� C�3� ;��

L

LL

+++++=

+++++++=

−+=−

+ −

)]x2(x)x2(5[]x)x2(5[5

])x2()x2((2x)2x[1x)5(

)x21()x5(x21

x5

2

r32

1

�" 1�� � �� � � G(�( �6(��

5 (2 x)r + x (2 x)

r − 1 = [5 (2

r) + 2

r − 1], r ≥ 1

+���� ���*xr ������

2r − 1

(10 + 1) = 11 (2r − 1

)

���� � �� � ����(r = 0) :���� �6* 0 �3 0 ��5.

Page 46: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

41

���17

+���� ����xr ����� � ����� )*

)x2)(x1(

1

−−

���

+���� ��� xr ���( +���� ��� 12 ���� � ������ 0�?J� � ���� � ���� -��x

r >���( 1�2 ��� +�

0��( � #4���� � .��� +�2� )* 1 ���� � ������ 0�?J� � ���� �8 ��� �(� ��

x2

1

x1

1

)x2)(x1(

1

−−

−=

−−

������ ���� � ����� � ����� ��� B��

])2

x()

2

x(

2

x1[

2

1

]xxx1[

)2

x1(

2

1)x1(

x2

1

x1

1

r2

r2

11

LL

LL

+++++−

+++++=

−−−=

−−

−−

�" 1�� � �� � � G(�( �6(�� r

1r

rr x]2

11[)

2

x(

2

1x

+−=−

+���� ���*xr ������

1r2

11

+−

���18

���� +����xr ����� � ����� )*

3)x1(

1

���

;�� � ��� �� %(� ��( ����� � �(�, )* 1�� � �� � � 5 I��� �� rx

!r

)1rn()2n()1n(n +−−− L, r ≥ 1

� '��� � >� ;�� � E$" 1��3����n = −3 +������x ��−x ������ � )�* 1��� � ��� � ��� + �(

��ى����� ���� �;��

Page 47: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

42

42

r)x(!r

))2r(()5()4()3(−

+−−−− L

+���� �� 3� ��� B��xr )�� ��� 0���� � 0,4� � )* ����� �

2

)2r()1r(

)2(!r

)2r()1r(!r

!r)2()1(

)2r()5()4()3()2()1()1(

)1(!r

)2r()5()4()3()1(

r2

rr

++=

++=

+−=

−+−

L

L

0������ � E$��" � 8��� 4��(�))��� /� ������� � )��* 1���� � ���� � ��� 5 I����� � )��"� (����?�� ����� �6���3����

+���� ��� 0 ���� xr (� �( �� 0(���� � � C�( � 0�2�/� )* �(�( ��� ;��6&� � �� 13−17 )�(F�

#-�� � � ��2� )*.

����"�� �# ������� +��,"-�

������� � #�$ ��������� 0��������/� �����?��� � �����)0������� 0����� � ��������� ��������� � (�������� � )����* %���3������ .

0� � � 0�2�/� )* � $ �9�(��.

���19

�� � #�$ ����� � ���� 0242 1��3��� ������ 0����� 0��, ���� �1.1

���

;��� � ��� %�9� ��� ���� � ����� �(1 + 0.1)0.5 +� �(* ���� � #�$ ������ %��3��( ) �� ���

���

L+−

++=+25.0 )1.0(

!2

)5.0)(5.0()1.0)(5.0(1)1.01(

0����� � 0����� � 0��� � ��� + �( ��* ���� 0242 1��3����

0487.10013.005.01)1.01( 5.0=−+≈+

0�����9� � 0����� ��)0����&� 1���,�� >����/ ( )��"1.0488 . ������ � ����� ;�����J� %��(� =����� � %���((� ������� ���

����� � #�$������ � ;����� ���J�� .��� $� 0������� � 0����� � ��� ������ ����/� ����� � )��* ������� � / ���,

����� � 0� ;�* )* 14� � �(��, � �(��, ��J ���� � ��� ��J ����*0����� � 0��� �.

Page 48: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

43

���20

������ 0����� 0��, ���� ��� � #�$ ����� � ���� 0242 1��3���6

1

���

;��� � ���� %��9� ���� ���� � ����� �(1 + 5)−1 ;��&��� %��* ���� - ������ � �$�" � ��(" 8��4(�

��� �(��9��(� ��((/ ����� � #�$ ������� 1��3����x = 5 ������� � 0��� ;���* )�* ;������� ����H E$�"� .

� 4�* �(9�� �$5 �((� �(" ;��&K� �����x = 5 ��� + �( �((A*

L+−+−=+− 321 )5()5(51)51(

0��(��� 0����, ��� ������ - ����/� ����� � )��* ������� ���� %�� 0��(��� � ������ � / �$��"� ;������ ;�����J ���J

=������ ���9��)?����6(- ������� �������5 ���(� ������� � 0���� ;���* �����& ������ ;������9. �������� � ������K�

�� � ����� � >9( ���(� ��;�� � ��� �

1

1

1 )2.01(2.05

11

5

1)51( −

−+=

+

≈+

0����� � 0����� � 0��� � ��� + �( ��* ���� 0242 1��3����

1680.0))2.0(2.01(2.0)2.01(2.0 21=+−=+

���21

����� � ���� 0242 1��3��� ������ 0����� 0��, ���� ��� � #�$8

���

;��� � ���� %��9� ���� ���� � ����� �(9 − 1)0.5 ����� � ������ � >�9( ����(� � ������ � �����K�

;�� � ��� 5.0

5.0

9

113)19(

−=−

0����� � 0����� � 0��� � ��� + �( ��* ���� 0242 1��3���� )"� 2.8287

%��&� ��� � #�$ I�9�� �(9�� �6(� �$6�� :)����� � ./�� ����� � ��� � ./� . ��$�(* ����(�

����� � ���� � ./� 0� �� )�* ������ � D�� =���� � ��" )�(F� �(��, ������ � ���9 ��(x + y) )�*

%��(n G�( � �� 3� 12 #��� � � . ��� �6* )���� � ./� 0 �� )* ����� � �(�, 0� �� � �� ������

(1 + x)n 0?�" ���C�, 0����� 0�?�6( - )*x . �%��� ���� �� �" )*1�� ����� ����� +9�� �.

Page 49: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

44

44

���.�� �����"

)1 ( +���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0���/� ����xr ������

2)x1(

2x

+

+

) ���(�2009(

L+−−−

+−−

+−++=++− 322 x

!3

)4)(3)(2(x

!2

)3)(2(x)2(1)(x2()x1)(2x(

KL ++−++−+−++=rr32

x)1r()1(x4x3x21)(x2(

L+−+−=32 x5x4x32

����� � 0� ;�*�

|x| < 1

–1 < x < 1

+�����xr �"

(–1)r (r+2)

)2 ( ���� 0242 � ���� � �/�� ����� ������ ��� � #�$

2)x31(

1

x1

1

++

+

(��� ����� � 0� ;�* ��� G +����xr . ) ���*�(2008(

(1 + x)–1

+ (1 + 3x)–2

= (1 – x + x2

+ . . . . . (–1)r x

r +. . . )

+ (1 – 2(3x) + 3(3x)2

+….. (–1)r (r+1)(3)

r x

r + . . .)

= 2 – 7x + 28x2

+ . . . .

����� � 0� ;�*

3

1x

3

1 and 1x1 <<−<<−

3

1x

3

1<<−

+����xr

(–1)r [1 + (3)

r (r + 1)]

Page 50: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

45

)3 ( ���� 0242 � 1��3��� � �/�� ����� ������ 0���� 0��, ���� ��� � #�$37.

) ���*�(2008( 3

13

13

1

)125.01(2)1(2)18(81 −=−=−

9131944.1)125.0(!2

))(()125.0)((1[(2 23

231

31 =+−+−+=

L

)4 ( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����3 2x28

2

����� � 0� ;�* ���.

)(�� ��2008(

31

31

31

31

)x1()x1()8(2)x28(241

412 −−−−

−=−=−

L+−−−

+−−+=2

413

431

41

31 )x(

!2

))(()x)((1

L+++=2

121 x

72

1x1

����� � 0� ;�*�

1x4

1 2<−

1x4

1 2<

4x 2<

2x2 <<−

)5 ( ��� 0242 � 1��3��� � � �/�� ����� ������ 0���� 0��, ���� ��� � #�$23 .

) ���*�(2007(

2

12

12

12

1

)1()25()225()23(252−=−=

21

)08.01(5 −=

796.4)08.0(!2

))(()08.0)((1[(5 22

121

21 =+−+−+=

L

)6 ( ���� 0242 � ���� � �/�� ����� ������ ��� � #�$3x4x

4x22

+−

− �� ����� � 0� ;�* �

G(��� +����xr . ) ���*�(2007(

1x

B

3x

A

)1x)(3x(

4x2

−+

−=

−−

Page 51: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

46

46

1x

1

3x

1

−+

−=

11 )1x()3x( −−−+−=

11311 )x1)(1()x1()3( −−−

−−+−−=

[ ]L+++−

+

++

−=

222

xx1...x3

1x

3

11

3

1

...x27

28x

9

10

3

4 2+−−−=

����� � 0� ;�*�

3x3 and 1x1 <<−<<−

1x1 <<−

+���� xr

1r

1r

3

13

+

++

)7 ( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����x4

1

− ����� � 0� ;�* ���.

) ���(�2007(

21

21

21

21

)x4

11(

2

1)x

4

11()4()x4(

−−−−−=−=−

])x(!2

))(()x)((1[

2

1 2

412

321

41

21

L+−−−

+−−+=

L+++=2x

256

31x

16

1

2

1

����� � 0� ;�*�

1x4

1<−

4x4 <<−

Page 52: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

47

�� /,.�

������ ��� ��� �

– ������ � ������ ��(�(�, ����� ����� ���� .D�� ���� � #�$ ����� (x + y)n �(��� � �$�"� ;��&���

�":

n22n2

n1n1

nnn yyxCyxCx)yx( ++++=+−−

L

– �(�(�, ���� )���� .D� ��� � #�$ ����� 0� �� � �� ������(1 + x)n 0�?�" ����C��, 0������ -

0�?�6( )*x �" �(�� � �$"� ) ���|x| < 1(:

L+−−

+−

++=+32n x

!3

)2n)(1n(nx

!2

)1n(nxn1)x1( ,

;��6&� � O� � '�� )" )���� .D� ��� � #�$ ����� :

(1 − x)−1

= 1 + x + x2 + x

3 + . . .

(1 + x)−1

= 1 − x + x2 − x

3 + . . .

(1 − x)−2

= 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x

3 + . . .

(1 + x)−2

= 1 − 2 x + 3 x2 − 4 x

3 + . . .

Page 53: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

48

48

�����"

)1( ������ ��� � #�$ ����� ���� :4)2x57( +.

)2( ������ ��� � #�$ ����� ���� :5

x2

1x3

+.

)3( ������ ��� � #�$ ����� ���� :6)x21( +.

)4( +���� ����x50 ����� )*(3 – 5 x

2)70.

)5( +���� ����x7 ����� )*(1 + 3 x

2 – x

3)

5.

)6( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����x9

1

− ����� � 0� ;�* ���.

)7( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����32 )5x(

1

− ����� � 0� ;�* ���.

)8( ����� )* � �/� ���� 0���/� ����x2)2x(

1

−− ����� � 0� ;�* ���.

)9( ������� ��� � #�$ ����� ���� :x31+ , 3)x31(

x21

+ 0� � ;�* ���.

)10( � +���� ���xr ����� )*

2)x3(

1

− ����� � 0� ;�* ���.

)11( � ����242+���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0 xr ������

2)x3(

2x

+ .

)12( �������� ����� � #�$ ������� ��� ��� �/� ������ 0��242 � ������2x

1x

x1

12

+

++

+

− 0��� ;���* �����

+���� G(��� ����� �20x.

)13( +���� ����xr ����� )*

)5x()1x2(

x

+− ����� � 0� ;�* ���.

)14( +���� ����xr ����� )*

)2x)(1x(

62

−− .

)15( +���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0���/� ����xr ������

2x3x

12

++ .

)16( +���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0242 � ����r2x ������ ( )22

2

x2

1x

+

+ .

)17( 3�� � 0����� 0��, ���� ��� � #�$ 0��8( 1�3 65 S23

1 S(1.02)–5.

Page 54: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

49

������ ������

������� ������

Matrices

1 .�����

�������� ����� � ��������� ������� ������ ����� ����� ������ ������ � ���) !�����" #���������$�

������� (���&��� ���'(��) *��"�� +��� . ����� ������� -.��" �����/����0� 1.��' *��� 2��" ���&���� +���

�������� ) ���03� ������"4���� ����0��� 2��� 5 ����0��� ������� 6���"�� �������( . .��' /������

7���8 ���� +' ��� � ������ �&��� 9��3� +� ��� *"� �� �� ���� 1.& �& �:� ���� ��

�������0� ����� +��'� ;8 ������� ������ ����� ����< ���&3� �����=� ������ 7������ � . ������7 1.��' *8 >�����

����������=� �����" �������� ������� ����� ����&��� 2����:� � . ������� ������� �������� ���� .���' +���� +����3 *����

-�. �� �& ��� ?���� @�A"� �B� �&���'� �����0� . �����"� �����0� ������ 8�� 3 �����

�&� ��" �&������� C� �) @��:5 !� . ?A���3 D�3������� �*�� ������0�. ?�A -�. ��� +�E��

C�� � ������0� ���� ������ ������ ��� � ������/���0� ������� 1.�' . ��� /�0�3�

+������ �;���� D�$�� ���� . ������� ����3 *� F3E ���� ��' ����� �;���� 2� *G�

�����0� ����� �) 7�8 9. .

� ����� �� ���

�����0�3� *� 2��� �&3E ����0�. ������ ����8 *��"� ��H �����0� ��&����� +� �0�3� 1.'

;�� *����"� ����H� ���� "�� ������8 �8 )7�����8 ��������0� *����"� ����H�( . � �������� .���' I���$�� ������� �����A��

����0�� ��� .

−=

410

321A

−−

+

−+

=

3i1

i24

i31i25

B

θθ−

θθ=

cossin

sincosC

���� ���� �����0�� =���3 ��338 ���A�� 1.�' +�� J�K3A, B, C ��� .�' +�� F�� �3 ���� ��� .�'� .

����0� *8 �$�8 J�K3);��� �&�0� (����0 *� ���� @���� *� ��� 9���� . �����0���A

Page 55: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

50

50

������0� 2��A�� � @�����8 ���AKA� *����0 9������B ��0 ���AKA 9������ ������0� �����8� *�������� ���C

*������ *��0 9���� . ����0��� ����0� =�� ���� @����� ���0 *� ��� .'A ��&3) 2���

=�� *�2 × 3 +�� ��" ����0� ��� �3���8 ��"��A2 × 3 ��"� 2A�� �B3 × 2 , C2 × 2.

� ����� ��� �����0� 1.�& ��3�"� @���� ���� ���0 ��� �' . 9����� +�� �����0�m *��

� ���0n =�� *� �&3) 2��� @���� *�m × n ��"��Am × n.

����"� ������0� +��' ���� *L ����� ���3�������"� ����" *L �".��3� ������0� =���� ���' ����� ������0�

����0� 2�� �03� �) ��:3 . ����0� �3�� *�" .)A =�� *�m × n +�� ����� �03� *G�

�0i �����j =��� F�) =���aij .����0� �3�� *�" .G�

−=

410

321A

*G�

a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3

a21 = 0, a22 = −1 a23 = 4

��A�� +H� +� ."'� .0� ��"� ���� ��0 ������ �A =�� *� +�m × n @��0 ���

Am×n = [aij]m×n

�� ���� ��� ���aij ����0�� ?�� �03� .I$�� ���� ��A��� 1.' ?���� *"�� ��" @��0

@�0��� *���� C� +� � ��"����0�.

����1

����0� ��"8A2×2 M�� ����0 @��0 +�aij = i + j

����

���B��� ������ ?��� C����� i, j ��� 20�3

a11 = (1 + 1) = 2, a12 = (1 + 2) = 3

a21 = (1 + 2) = 3, a22 = (2 + 2) = 4

@��0 ��� ����0� *�"��

=

43

32A

Page 56: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

51

����2

����0� ��"8B3×3 M�� ����0 @��0 +�

bij = 1, i = j

= 0, i ≠ j

����

������B��� ��������� ?������ C�������� i, j )-���. 2����� >������� -������� ( �������0� @�����0 ������ 2���0�3

� ����

=

100

010

001

B

������ �� ��������

�&� �< � ��� ��: ������� �& �����0����� �" 2�� ��3�� 2�A�� . ���� �� 1.' *� �".3

*���� *���A�:

.���!"�� "��� Digital images

@=���&�8 ������ @���������" @����". 98 +���� �8 �����0 /���� ������ �8 ������� �" @����". +���� �����0 *�=����

*�� ��� " ���� ��) @���0 ?���� ?�� ���H� �����" �8 2���� ��B�0 O=��� P@������ ����0

2���"� ������ ������� ���0 !������ +��� ������� @����0 *��� ����(pixel) . ?���� ���� ��B��0 O=��� .��'�

9����� 7����� �����(gray level) @���0 *�� �� �� +�� �����0� *��"�� F�3�"� +�� F�3�=��� F�

-��.����3��� ����< ����0 ����� +��� .� ���3��� ����0 ����8 *��� ��� �� ?���H�8 ���AKA *�=���� 2���"� 2��" ?����

������� MKA� *�� 7����)��=�� ��$��� ����� +�'� ( ���A�� ���� 1.�' +�� @���0 *��"��

�����0� MKA .

� . "��#�� � ���Adjacency matrix

0�; ��" :� �;�)��$�� �" : +� ��" ( ����3 *� ������ *� *�"��(nodes) ��&3� ����� +��

� �� �&��� (directed links) . ����3 *�� @��:� � ����� 2���) *"�� F38 �3 I$�� 2": .' *��1

�����3 ���)2 6"���� � . �����3 *��� @���:� � ������ 2�����) *��"�� F��38 7���3 -.��"�3 �����3 ���)5 ����8 P

+�"� 1���; +� ���� 2���5) ����3 *��5 ����3 ��)3 ( ����3 ��) ����� 2����) *�� �� K�4

���3 �) �'���G �'��� ?��� +'� ;�83 ) F�� ���� ���� *� �:� � ��< 2�0� -�3' *�"��2 .(

���3 *� ���� 2���5�4 ���3 �)1 ���� F�� ����3 ) ���� �'�4 ← 3 ← 2 ←1.(

Page 57: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

52

52

1.' !� ���� �" 2����� +" *"� I$�� 2": �) �J3� �&��� 2�0� *"�8 ������� 1.'�

�E��) �& +� ��" : +� F����3 �� �'�Q;���3 *� � ( @��0 �) 2": .' 2���� *� � K�

�� *"�� �" :� ���� �'� ��� ����0� �&��� ���� �� .'� P��$��� @��0 �&�� 2����� �&3�=

����0�� ��$��

A =

01010

10100

10010

10001

00010

!$3 ���� �338 J�K3�aij = 1 ���3 *� F��� � � -�3' *�" .)i ���3 �)j !$3�aij = 0 .)

���� !$3� -."� P� � .' ����� ?aii = 0.

���� ��$��� ����� � ��� ����0� *� *"�� ��" 6� ����0� !�� ��� ?K" O�3A8 7�3��

2�� ��� ���� *����3 *� *��� 2�� *� ����� ���� P�" : +� *����3 *� ���� �0H8.

2 .�� ����� $��% &'

L C����3 ���& C������� +���� ���� .��' 2K��� �3� ������ +��� @��&��: �������0� 2�"��:8 C��� ���) *

�� ���� �����0�� F����� �3� >��� .

1– )�� � ��� Row Matrix

��� ��0 9���� +� +' �0 ����0� .���L �����0� �&�$���

A1×3 = [1 −1 3], B1×2 = [0 1]

+' �0 ����0������0� =�� *�1×n

1 2

3

4

5

Page 58: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

53

2– ���'�� � ��� Column Matrix

��� ���� 9���� +� +' ���� ����0� .���L �����0� �&�$���

−=

=7

1B,

3

2

1

A 1x21x3

+' ���� ����0������0� =�� *�m×1

�*�+�

F��� �&��� ���� ���� ����0� .&��� �3�". .G�� ���� ����0� +3�3 �33G� �����0�� �3���� +�.

3– �'"��� � ����� Square Matrix

���L �����0� �&�$��� @����� ���0 ��� �&�� 9����� +� +' �� �� ����0�

−=

−=

410

311

201

B,03

11A 3x32x2

+' �� �� ����0�������0� =�� *�m×m

�*�+�

���� �� ���3�" .) ������0�(Am×m) ���0�3� *G���a11, a22, a33, . . . +������ ����� ���0�3� ������

����0�� . ����0�� +���� ��� �0�3� *�"� ��3Q @��".� �� �� ����0� ��A�8 +��A +'

a11 = 1, a22 = 0

����0�� +���� ��� �0�3� *�"� ��3� B +'

b11 = 1, b22 = −1, b33 = 4

4– ��,'�� ���,���� � ����� Upper Diagonal Matrix

�������� +������ ����� ����� ���0�3� !����� ���&�� *���"� ���� �� ������0� +��' ������ ����A�A� ������0�

��0 =�� *� 2�A� ���� ����0��3 × 3 ��� �����0� D�38 *� D�3 .'

=

000

410

532

A

���� ��A�A� ����0��Am×m @��0 ��� �&� ��" *"��A = [aij] M��

Page 59: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

54

54

aij = 0, i > j

5– -,���� ���,���� � ����� Lower Diagonal Matrix

�������� +������ ����� ����� ���0�3� !����� ���&�� *���"� ���� �� ������0� +��' ������ ����A�A� ������0�

��0 =�� *� 2�A� ���� ����0��3 × 3 ��� �����0� D�38 *� D�3 .'

−=

375

024

003

A

���� ��A�A� ����0��Am×m @��0 ��� �&� ��" *"��A = [aij] M��

aij = 0, i < j

6– ��"��� � ����� Zero Matrix

=��� �& =���� ���08 �'�0�3� !��� ����0� +' ����0 ����0�Om×n 2�A� 2� � ����

=

=

000

000O,

00

00O 3x22x2

���� +� ��0 F��(� 9. ��� 6�3 9�(� �����0� 1.' *8 7�3 ����.

7– ��".��� � ����� Diagonal Matrix

!����� ���� �� ������0� +��' ������� ������0� ����� ����� !���� ; +��� ���0�3� +������ ���&�� 9������

��0 . =�� *� 2�A� ���� ����0��3 × 3 ��� �����0� D�38 *� D�3 .'

=

400

030

002

A

����0��Am×m = [aij] *�" .) ����H ����0� *�"�

aij = 0, i ≠ j

8– /����� � ��� Unity Matrix

���0�3� !������ I����0 ����� 9������ +������ ���'��H ���0�3� ���� �� ������0� +��' @����� ������0�

=��� �& =���� ���08 7���Im×m ��0�� ��"��Im 2�A� 2� � ����

Page 60: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

55

=

=

100

010

001

I,10

01I 32

����0��Am×m = [aij] *�" .) @��� ����0� *�"�

aij = 1, i = j

= 0, i ≠ j

���� +� I��0 ��� F��(� 9. ��� 6�3 9�(� �����0� 1.' *8 7�3 ����.

3 .�� ����� -,0 ��"#�� ���,�'��

���� ���� � ������� *�� ?K�" ��) *L ���3 ��&��38 C�� �3�".� �����0� ��� �3���� *8 ��

�������0� .������ 1.���' O�����) �������" #���: ������� 8� 3����� �".���3 ?��A ��������0� ������ �/�����0� 1.���'

���� ��&���ٕ� ������0� ���� ������ 1.�' O��) *� �K��; F��8� F �:� F��8 �) ��:3� �����

����)�3��3"�� -. *�"� �� .(

1– �� ����� 1����

*�����0�A, B ��"�� *�������� ��&3) 2���A = B ��0�3� !���� ��3�"� =��� 6��3 *�� ��3�" .)

������� @�J�3�� .=�� 6�3 *� ���� ��&3� *�������� ��< *����� *�����0� 2�A� 2� � ����

12

10

11

,10

01

�����&� ���������� @�J����3�� ����0�3� !������ ������ *���"� =����� 6����3 *���� �����&� *�������� *��������0� �����8

��0�*�������� ��< *��� �$�8

− 13

21,

01

21

*��������0� �����&� ���������� @�J����3�� ����0�3� !������� =����� 6����3 *���� �����&� *�������� *��������0� �����8

*��������

− 20

31,

20

31

Page 61: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

56

56

2– �� ����� 2�#

=����� 6����3 *���� ����3�"� *8 ���� K� *��������0� !����� �3������ +���". � !����� 2���0�� ������� F���3E *��������0�

*�����0� +� @�J�3�� �0�3� !�� *� ����3 ����0� .*�" .) 2�A� 2� � ����

−=

−=

327

210B,

210

321A

*G�

C = A + B =

517

511

*�" .) ���� ��0 �

Am×n = [aij], Bm×n = [bij]

*G�A + B @���� ����0� +'Cm×n = [cij] M��

cij = aij + bij

34�� �� ����� 2�# ��,�0

�����0� !�� ����� ����/��0� ���L . 1.'�/���0� ������ �J��3� -���������@ !��� +��

���� . 1.& ��� A) �".3 *�/��0� �&��$�.

)1 (2� 5 Commutative Operation :

*�����0� 9�A,B �HK� ���� =�� 6�3 *�

A + B = B + A

�����0� !�� ����� O��) ����� @� � ; F38 +3�� ��0�� 1.'�.

)2 (4�� Associative Operation:

�����0� MKA 9�A, B, C �HK� ���� =�� 6�3 *�

A + (B + C) = (A + B) + C

����� O� ���:� ; M�� *�����0� *� �A"8 !�� *"�� ��" I$�� ��0�� 1.'�*���.

)3 (+��� ����� ����Additive Identity :

9.� ��03� -�. ��' ����� ���0 �� � ?�� +� +��� ����� .); ���Q ��03� 98 ���� F�����

���� �03� .' ���H ��B�� . �����0� ��' ������0� +�� ���� .�' 9�(�� 9.� *8 I�$� *���

Page 62: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

57

������0 . F�� 33 *��"�>����� �� *8 ���3' � ���03� ���' ������ +��� +����� ��������� +��� ����8 ����0 ���'� �

3"� @��� ����0� ��� 1.'� ����0 ����0� �' +��� ������� �����0� �K���� ����� �&

� =�� =�� *� +� �����0� !����m×n ����0 ����0� �' +��� ����� *�"�Om×n.

)4 ("�� ����+��� 6� Additive Inverse:

������ F������� .) �����Q ���03� F���3E ����� ����03� +����� 6����"�� ������� ������� ����0 ���� � ?����� +���

+��� ����� �' 4��3 *�" 2�� �03� . *) ���� +� 2��3 ��"−3 ���� +��� 6�"�� +'

3 *�3 + (−3) = 0 . 6��3 *�� 7���8 �����0� �' ����0� +��� 6�"�� *8 ��3 ��3� 6�3 �

�0�3� !��� @��:) ���B� !� =�� .���� ����0�� +��� 6�"�� 2�A� 2� �

− 31

21

����0� �'

−−

31

21

�����0�� +���� 6��"�� *) 2��3 ���� ��0 �A �����0� ��'−A @����� �����0� 4��3� M���

����0� �0�3� !��� ��$ *�A +�−1.

3– ��0 � � ����� �"5

���� .�' +�� �����0� ��0�3� !���� ���$ ?��� ��&3E ��� +� ����0� ��$ ����� ���� . �����

*�" .) 2�A� 2� �

−=

20

31

21

A

*G�

−=

60

93

63

A3

*�" .) ���� ��0 �

A = [aij]

*G�

k A = [k aij]

Page 63: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

58

58

=�� 6�3 *� @���� ����0� +��� ��� +� ����0� ��$ *8 J�K��.

���� 3

*�" .)

−=

−=

−=

21

01C,

32

10B,

10

12A

���E�2 A − 3 B + 5 C

����

����0� ��$ ;�8 ?��3A +�2 ����0� ��$�B +�−3 ����0� ��$�C +��5 -�. ��� �

�' ����� ��� *�"� ����3 �����0� !��3)4��3 *� ���� >���� -���(

2 A − 3 B + 5 C =

1711

19

��$� �����0� !�� +����� *� K" *� =�� 6�3 *� 4��3 *8 J�K� *8 >��� ��� ����

=�� 6�3 *� ����0� ���� ��� +�.

4– �� ����� �"5

*��������0� �����$ *���� ?K���" ����) *L �������3 . J�K������>������ �������� ?����� ��������0� �����$ *8

�3��� . ���$ ������ *8 ���� -����� ����� �;����� 2�� �����0� ?���� ��� ?K" �3��

����� 1.& �����0��������0� ?���� �;��� ���3. *�����0� ���$A, B �����0� �����

@����C +���" �HK� 1.' ��"��

Cm×p = Am×n Bn×p

� +��" F��38 ���HK� 1.��' +��� J���K3�� ����� @�����8 ����� *���"� *8 ��� K� *�������0� ����$ �3���) +��'�

����0�A ��� 1.' +� ( ��3�A ����0� ����0 ��� ������) �����0� +'�B ���� 1.�' +�� .(

������3 ������0��� -.��"�) ������0� +��'�C ��' +�������� 1. (�����0 *��� ����� 9������ ����� 9������

����3�A ������0� @�����8 ����� 9������ @������ *��� ������ ����� ������0� �����0) .) -��. *��� �� ����"

����0� =�� �) �3�J3C .(��3 !H� +� +' �&�" ��J�K� .'� ���0 *��3 9. ����� *� ��

*L F$��.

�������0� �����$Am×n 7�����8 �������0� +����Bn×p ������� ������� !��� �3 ) ����) >������ ?���$� *8 2���$��

C���� 2�A� +� �&�� �� �� ��� ���� 1.'4 +��:(

Page 64: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

59

)1 ( �����0� +�� 2�� ��0 ��0�3� *�� ��03� 2�" ��$3A ��0�3� *�� �J��3� ��03� +��

� ����0� +� 2�� ���B 2�� ��0 ��03� ��' 4���3 *��"�� ���$ 2�0�� !����� ?���3 ?A

������3 ������0� *��� 2�� �������C . +���� 2�� ���0 ����$3 ���33E @����� 1.��' /������ *��"���

����0�A ����0� +� 2�� ���� +�B ����0� *� 2�� �03� ��� 20�3�C.

)2 ( ����"3 ?��H� @�����)1 ( ������0� +��� 2�� ������ 2� ���� !��� *��"�B 6���3 *��� +3���A �������

�����3 �����0� *�� +3��A ����� 2�� �0 +� 4��3 !$�� ����0�C . 1.�' /����� *�"���

������0� +��� 2�� ���0 ����$3 ���33E @�����A ������0� +��� +3���A ������ +���B ����� 2��0�3�

� ����0� *� +3�A �03C.

)3 ( ��"3 ?H� @���)1 ( �����0� @����8 +H�� B �����0� *�� F����" 2�� ��0 ���� 2�0�3�

C.

)4 ( ?��H� ������ ����"3)1 ( �)2 ( �)3 ( ������0� +��� 2�� ���0 2� ���� !��� *��"�A ���0�

����0� *� +3�A �0 +� 4��3 !$�� ����0� 6�3 *� +3�AC.

)5 ( ?���H� ������� �����"3)1 ( �)2 ( �)3 ( �������0� ������0 +H���� A �������0� ������ 2���0�3�C

����".

�����0� �����0 ���$3 ���33E ������ 1.�' /������ *�"���A �����0� @�����8 +���B F���$�� ����"

+�� 2�A�.

����4

20�� ���8 ��$A B *�" .)

=

=

101

213

131

B,

210

121

012

A

����

����0� +� 2�� �0 ��$ ?��3A �����0� +�� 2�� ����� +��B 2�0�� !����� ?���3 ?�A

����3 ����0� *� 2�� ����� 2�� �0 �03� �' 4��3 *�"�� ��$C ��� 20�3�

=

1

C

������0� +��� 2�� ���0 *��� ������� 6���3 ����"3 ?��AA @�����8 +H��� � ������0�B ���0 2����"��

����0� *� 2��C

Page 65: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

60

60

=

051

C

����0� +� +3�A �0 ��$ ?��3 ?AA �����0� @����8 !���� +�B �� *�� +3��A ��0 *��"�

����0�C ��� 20�3�

= 456

051

C

�����0� +� M�A �0 *� ����� 6�3 ��"3 ?AA �����0� @����8 !�����B �����0� 2���"��

C

=

011

456

051

C

2�����3 *8 *L ����33"�� *��������0� �����$ �������� ������ >������ ������� *8 ����� ) �����$ ������� �����0 F���3

*����0�

Am×n = [aij],

Bn×p = [bij].

@���� ����0� ����Cm×p M��

∑==

n

1kkjikij bac

����5

��$ 20�� ���8A B *�" .)

=

−=

21

03

11

B,012

121A

����

� ��".� ��$ ��: *����� *�����0� *8 J�K3+ �����0� ��$ *� ?K" ��� .

=���� *��� *���"� ������3 ������0� *8 7���3 -.��"�2 × 2 ���HK�� �������) *��� ������ >������ -������

?�H�� ��0(

Page 66: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

61

−−

−==

21

38ABC

����6

��$ 20�� ���8B A M��A, B � �� 2�A� +� *������� *�����0� ��') 2�A�5(.

����

*8 J�K3 ���$ 20�� �' �3' �����B A *�� ?K�" ���� +�� ��".�� ���$ ���:� ���� ���

@���� ����0� ��� 20�3� ����� F38 ��3 �����0� ��$D =�� *�3 × 3 ."' ��"��

D3×3 = B3×2 A2×3

����� ����0�D �HK�� )?�H�� ��0 *� ���� >���� -����(

−−

==

143

363

131

BAD

�*�+�

4�3����� *8 >������ *��"�� ��&��� *��� ���A� ����� ) ����< ������� �������0� ����$ ������� *8 *�� ���� *�

��$ 20�� *�A B ) =�� *� ����0� �'�2×2 (; ��$ 20�� 9����B A ) ����0� �'�

=���� *���3×3( .��"�� ����< ����$ *���"� ����� �������0� ����$ ������� �3��� .) F��38 >����� F�� 33� *

8K0 .���+ *�����0� 2�A� 2� �

−=

−=

432

101B,

01

21A

*�"�� ���&3� *�����A B *����� *�"�� ;�B A . *�� ?K�" ��) *L ��3���� ���J�K� 1.�'/���0�

�����0� ��$.

34�� ��,�0�"5 �� �����

����� ���� ��$ �����0�/��0� ���L . 1.'�/��0� �J��3� ��� ��&3� +�� ���������$

���� ����0� F ���3� �� �&3�� D�$�� /�� ����� ����3 �������0� ���$ �����. *���

1.' ���� >��� ��� ��� ?A/��0� ���.

Page 67: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

62

62

)1 (��� ) ��< �����:

��� ) ��< �����0� ��$ ����� *8 �� �� �J�K� +� �3� ��: ���� � ��� �������$.

)2 (���� �����:

� ���3 *8 �3��8 .)� ?�A ;�8 *������0� *�� ���$ ������ O���) *� � K� �����0� MKA ��$ 20

�A�A ����0� +� ����3 ����0� ��$ .�����0� MKA *� �A"� ��$ *�" .) 2A�� � . �3'�

� ��� � *'.� �A(� �����0� 1.' ����� ����� 2' 2(�4��3 +�S 4�� ��0�� *L �&$��3 +�

2(���� .�' *�� ����� . *8 ��� A) *"����4��� ���0�� ����� ������0� ���$ �������. ��38 98F 9�

�����0� MKA

A, B, C

)��$ ��3�"�) ��: �'=�� ����( ��HK� ����

(A B) C = A (B C)

*�����0� ��$ O� *8 98A B ���$ ?�A�����0� �����0� +�� �����3C 4���3 6��3 +����

� .)�38 *�����0� ��$ B C ���$ ?A �����0�A +�������3 �����0�. +���� � ���0 �����

?�A ���&3� ���$ ������ O��G� 8� 3� *�����0� 98 ��� *���H !$3 �����0� *� ��� 98 ��$

������0� 2�" ���$ +�&�3� +��� ������ ������ *�����0� *�"� ��$ 4��3 !$3 . ��338 J��K3�

��$ ����� ��B3 ;) 8� 3 K� �3' *�����0� ��$ KA�A, C( �����0� ��$ ����� *� ��<

�3��H ��" ��� ).

����7

���L �����0� ����8 .)

=

−=

−=

23

10

11

C,132

101B,

10

21A

��$ 20�� ���E�A B C ����� �����0� ��$ ��0�� *8 *� ����

����

����$ 2��0�� ������5A B C @����0 ����� F���$3(A B) C � ����$ 2��0�� ������ ;�8 8��� 3

*�����0�A B ����0� +� ����3 ����0� ��$3 ?AC +�� ��"

−−

−=

132

163AB

Page 68: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

63

−=

−−

−=

31

50

23

10

11

132

163C)AB(

� ��$ 20�� ���3 4�� ��0�� ���� *� �����A B C @���0 ���� F�$� A (B C) ;�8 8�� 3�

*�����0� ��$ 20�� ���� B C ����0� ��$3 ?AA +�� ��" ����3 ����0� +�

−=

31

12BC

−=

−=

31

50

31

12

10

21)BC(A

4��3 6�3 ��� K�� �3�0� �338 J�K3�.

�*�+�

1.�' ���� +�H� C�� ���� F3"� 4�� ��0�� ��� A) ��$��� �J3 �&�� *� ���; � �� 2�A�

����0�� �������0� ����$ +��� . ���� A5 ����8 I����0 +��$��� ����0�� 1.��& ���3' 2����� !����� K���

F$��.

)3 (��3�"�) !�=��!�� ��� ��$:

��0�� 1.' *�/��0� ������0� ���$ ���� ����� ���$ !��=�� ���0�� ���� ��� ��) F ��:�

������ ����8 ������ 9� F38 ?��� �3�"� !��x, y, z �HK� ����

x (y + z) = x y + y z

!��� ���� ���$ !��=�� ���3�"�) �� � ?��� +�� ��&��� ���3 +� +' ��0�� 1.'� . *�� ��3���3 .G��

2��3� �����0� �) ����) ��� ��$ !�=�� ��3�"�) ��0�� ���� �����0� *8 �� A) *"�� F3

!�� . �����0� MKA 9� F38 98A, B, C �HK� �����

A (B + C) = A B + A C

��0� *��"� *8 �� ; F�38 ��3' J��K��� *����B, C =���� 6��3 *��)S .��� ( � *8 �� ; ���� *��"�@�����8

����0�A ���� �����������0 �����0�B )S .��� .( ������ +�� ������ ��3��� ��338 ��$�8 J��K��

����� ��&� *�� ���$ *��" .G�� ���$)-.� I���� ������0� =��� *��"� ( ���"� �� ���� ��HK�

@��0 ���

(B + C) A = B A + C A

Page 69: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

64

64

��0�� 1.' ?���� I$�� +�� 2�A�.

����8

*�" .)

−=

−=

−=

20

12C,

132

101B,

10

21A

���E�

2 A B + C B

2�

@��0 ��� ����� � ��" *"�� !�� ��� ��$ !�=�� ��3�"�) ��0�� ?�����

2 A B + C B = (2 A + C) B

8� 3���� 20�3� *���� *� ���� ���� ;�8

2 A + C =

− 40

54

����0� +� 4��3 ��$3 ?AB ��� 20�3�

(2 A + C) B =

−−

4128

1156

*�"���6�3� 2��0� *�� K�" ����� 4���32 A B, C B ?�A ���$�� ������ ! ��� *�"� !���

*�$�� �&3� 2$�8��� @��� �����0� ��$ �����.

)4 (+ �$ ����� ����:

�3�" .)A =�� *� �� �� ����0�n×n *G�

In A = A In = A

��&� -. *� ���� *"��� . @��� ����0� ���� -.�In ���� ?���� ?���� ��&� + ��$ ������

���� +� I��0. K" +� 1�3�". �� >��� �".3� 6�� F�38 *�� ������0�� +��� ����� ��� ?

������� ����03�)��������0� *���� ?����� 2"���: *���"� (��������� ����3' ?K���" 6����3 �����"���� !������ + ����$

=�� *� �����0� 2×2 �'I2 P � =�� *� �����0� !��� + �$ �����3×3 �'I3 ."'�.

)5 ( *�����0� �3�" .)A, B �HK� *�����

A B = O

Page 70: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

65

���) 9�(���; .��' F��3G�����3� *8 T�A = O �8B = O M����O �����0 ������0� +��'� . 1.��' ���� A5�

;�A� +��3 *8 +�"� ��0�� .*�����0� �3� �� .)

=

=

00

03B,

00

20A

*8 I��$� *����A B = O ������0 ������0� ����� *�������0� *��� K��" *8 !��� . 1.��' *8 J���K3�

*�� � ��0�� �&���A� *�" .) F3� ���� +�x, y *�"� *����� *����x y = 0 *�"� *8 � ; F3G�x

= 0 �8y = 0.

�&�3 ��0�� 1.& ����� C�� 2���33� ������0� ���$*L ���0� ���� ����� ������ ��) ���

6� ����0� !�� +'� ;8 ��$� +�� � ����; +'�.

�*�+�

+� ?�"�3 ?/��0� + ��$ 6��"�� ����� *�� ������0� ��$ �� �� . .�& C����3 �����

�� .' +� 2���� �3 +� ����0� 6�"�� *� ?K" �3� ?&� D�$��.

5 – �#�� 6�� 78 � ����� 2 "

�����0� ��$ ������ 6� ����0� !�� ����� *� �33"�� ����)����� I���0 .( ��3�" .G��A

*G� �� �� ����0�A2 �& ��0��

A2 = A A

������0� *���" *��� ��� ; F��38 J���K3�A !���� ������� *G��� +����� � ����$ O����) ���3 �3����� +���� ���� ��

�� ��� ���� 6� ����0�0�� �� ����� . 2A�� �A3 �& ��0��

A3 = A A A

= (A A) A

= A2 A

>��� J�K�� >���� -���� 4�� ��0�� �3����� *� �"E�A3 �HK� *� �$�8 �& ��� *"��

A3 = A A

2

���� ��0 �

An = A A . . . A (��� *� n)

Page 71: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

66

66

����9

�3�" .)

−=

−=

432

101B,

03

12A

���E�A2 B

����

���� ;�8 8� 3A2 ��� 20�3�

−=

−==

36

21

03

12

03

12AAA

2

���3 ?AA2 B @��0 ��� ����� *�"��

−−

−−−=

−=

1890

963

432

101

36

21BA

2

����10

�3�" .)

θθ

θ−θ=

cossin

sincosA

E�*8 � A

θθ

θ−θ=

2cos2sin

2sin2cosA

2

����

3�� �A2 ��� 20�3�

θ−θθθ

θθ−θ−θ=

θθ

θ−θ

θθ

θ−θ=

22

22

2

sincoscossin2

cossin2sincos

cossin

sincos

cossin

sincosA

���= ��$ �0�� ��A�A� ��HK� ?����� �+'�

cos 2 θ = cos2 θ − sin

2 θ

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ ����� ��� 20�3.

���� A) *���� ���3' �".��3�)+��$��� T��3����; 8��� � ����� ������� ���� A5� ( ������0� ������ ����0 F��38A

�HK� ���� @����

Page 72: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

67

θθ

θ−θ=

ncosnsin

nsinncosA

n

����11

=�� 6�3 *� *��� �� *�����0� 9� F38 � A8A, B M�� A B = B A ���HK� ���

(A + B)2 = A

2 + 2 A B + B

2

����

6� !�� ����� ?����3� ���� ���� 8� 3

(A + B)2 = (A + B) (A + B)

�!�� ��� ��$ !�=�� ��0�� ?����3 *L

(A + B) (A + B) = (A + B) A + (A + B) B

7��8 @�� !�� ��� ��$ !�=�� ��0�� �� �� �

(A + B) A + (A + B) B = A2 + B A + A B + B

2

*8 �� �A B = B A *G�

A2 + B A + A B + B

2 = A

2 + 2 A B + B

2

�'� *��� ��������.

34�� ��,�078 � ����� 2 "

����� ����6� ����0� !�� /��0� ���L . 1.'�/��0� �J�3� +�� ��������$ �����

1(��) ��&� >���� *"�� �&�� Aٕ�.

)1 ( �� �� ����0� 9�A *� ��� *����0 *���� 9��m, n ���HK� ���

Am

An = A

m+n

)2 ( �� �� ����0� 9�A *� ��� *����0 *���� 9��m, n ���HK� ���

(Am

)n = A

m×n

9�.�"��#�� � ��� -,0

��$�� �" : *8 �� .' ��� +� �3�".

Page 73: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

68

68

+' ��� ����0� �& *�"�

A =

01010

10100

10010

10001

00010

��� 20�3 ����0� 1.' ! �� �3 �� .G�

B = A2 =

20101

11020

11011

01020

10001

*8 ����� A) *��"��� ����&�� +��� �������� ������ 2���A�� �������0� 1.���'2 +���� *�������3 98 *���� 2���0� +����

KA�� P�" :b15 = 1 ���� ���� ���� +3�� F���2 ����3 *��1 ����3 ��)5 ) ��'������ 1 ←

2 ← 5(. -.�"�b14 = 0 F���� ������ ������ ; F�38 +��3��2 �����3 *���1 �����3 ���)4��38 ���� � PF ;

���� -." F�� ����1 ���3 *�1 ���3 �)4 )a14 = 0 ( ���� �0H8 2�� �' �� *L 2(���

���3 *�1 ���3 �)4���3� 6� !�� ����� +� ����3 2(� .' ��� � ��U� S

C = A3 =

12040

31112

21121

30102

01020

*8 ��3 �&3��c14 = 1 F�� ���� ���� F38 +3�� ���3 ���3 *�1 ���3 �)4 ) �'�1← 2 ← 5

← 4( ���3 *� ���� �0H8 2�� *�"��1 ���3 �)4 �'3 . *8 ��$�8 J�K3 ��"c41 = 2 � +�3�

*���� ���� F38) ���&3� 2�" 2��3 ( ����3 *��4 ����3 ��)1 ) ���'�4 ← 3 ← 2 ← 1 �4 ←

1 2

3

4

5

Page 74: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

69

5 ← 2 ← 1.( ������0� ���0�3� +H��� !�� �� *��"�� 2��A�� �C ���'�3�� �������� . �����J3 !��$3 *L�

����.

"��#�� � ��� ������� "��� "! ���'�

�3�" .)A *G� �� �" : ��� ����0� +'

1 . ��0 +� �03�i ������j �����0� *��An ��&�� +�� ������ ���� 2�A��n *�� ���3� i

���3 �) j. 2 . *���� 2�� ���� �0H8 ���3 *�i ���3 �)j ���� ���� ! �3:

8 . *�" .)aij ≠≠≠≠ 0 *�"� ���� �0H8 *G� F��1.

� . *�" .)aij = 0 *���� +� ����3A2 ?AA

3 ."'� ��0 +�� ��03� 2���� +��i ������j 9���� ; ���H �) ��0 *�"�� 2���� ���� �0H8�����0� 68 ���.

����12

����0� ��"8��� ��$�� �" :� *� ��8 �����0� ��� ��� � ������ ?����� ?A

����� ���L:

8 . ���� �0H8 2�� ���8 ���3 *�2 ���3 �)5� P ���3 *�5 ���3 �)3.

� . ����� ��� ��� ���3 *�4 ���3 �)1 9���� �&3� 2" 2�� +��3.

����

+' ��� ����0�

1 2

3

4

5

Page 75: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

70

70

A =

00011

10100

01010

01001

00000

8 .���� ���� �0H8 2�� ���3 *�2 ���3 �)5 �03� �� ��� ;�8 8� 3a25 9���� F38 ��3�

*����3 *���' *� �:� � 2�0� -�3' 6��� +��� � ��0 . *L ���3A2 ��� 20�3�

B = A2 =

01001

01021

11101

10100

00000

*8 ��3 �&3��b25 = 1 F�� ���� -�3' F38 +3�� ���2 *����3 *���' *� ) �' ���� .'�2 ← 4

← 5 2�� 6�3 ��Q ���� -�3' 6��.(

��A��� ����� � *8 ��3a53 = 0 -."�b53 = 0 *���� T���3��A3

C = A3 =

10100

12102

11121

01021

00000

*8 ��3 �&3��c53 = 1 ��� ���� ���� F38 43��3�) 9���� F��3 ( ���3 *�5 ���3 �)3 ) �'�

����5 ← 2 ← 4 ← 3.(

� . *8 �� c41 = 2 *8 43��3*���� -�3' ���3 *�4 ���3 �)1 9���� �&3� 2" 2��3 ) ��'�

4 ← 3 ← 2 ← 1 �4 ← 5 ← 2 ← 1.(

�*�+�

?���� *"�� ��" � � ���� �3�8� *� ���� �0H8 2�� *���� ��� ����0� ��� ��� � ������

�������� 1(���) *�"�� ; ����� .�& ��3�"� ����3 *����� *8 >���� ��J3 ����3� P�" �: +�� *����3

������ F������ ���3� >����� F����� �������� /���� ?=����� ���) T������ *��"� �������0� ����� ����� � +���

����� M�� � (Operations research).

Page 76: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

71

!��� ������ +�'� ������0� ���� ���� � ������� *�� ������ 1.�' *�� ?K�" ��&�3 ��H *��"� .& �

*����� ������ +�'� ����� +�� �J��3� ��& 6�� ������0�� ��0�� ���� � ����� �) *L 2��33� 6�

����0� ����.

6 – � ����� "��� Matrix Transpose

����� �����0 2��� � *�� E�:3� 9��8 ����0� �' ����0� ���� ��0�� @����� 2�� �� ?�A *��� @�

���0� .

� ��������0� �3�� *�" .) 2�A� 2�

−=

731

021A

����0� �' ����0� 1.' ���� *G�

=

70

32

11

A t

����0� �3�� *�" .ٕ�

[ ]907B =

����0� �' ����0� 1.' ���� *G�

=

9

0

7

Bt

��*�+�

)1 ( ������0� ������ ���3=��A =����� At ?������3 ������ ���) @����:U ���� .��' +��� ������ =���� .��'

����.

)2 ( �3�" .)A =�� *�m × n *G�At =�� *� *�"�n × m.

)3 ( ���� *���� ��: ����;����) *"�� ����0� 9E� ����0� �'����.

34�� � ����� "���

� ��� ���� ����0�/��0� ���L:

)1( ����0� 9�A �HK� �����

Page 77: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

72

72

(At)t = A

)2( *�����0� 9�A, B =�� 6�3 *� ��HK� ����

(A + B)t = A

t + B

t )3( 9� ����0�A � ���+���� k �HK� �����

(k A)t = k A

t

)4( �����0� 9� *A, B ��$ ��: *����� �HK� �����

(A B)t = B

t A

t /��0� #�$� ���< +� ��� MKA . ����� *����� �����0� ������ ��&38 +�3�� ��� ��0����

��3�" ��" . *�� K�" ������ ������ V���"� 4���3 ������ ?�A *������0� !��� *8 +�3��� ���3�A ���0�� ���8

?A ;�8 *�����0�*�����0� !�� ���3*�� .�� 2A�� �0�A�A �� . ��8 @���� ��0��) *�� ��'�

/��0� ���& (2�0�� �� A) �) T����� . ���0�� 1.�' I�$�� 2��A� +���"3 �����) ���� ; *�"�

�& ��� A).(

�� ��13

*�" .)

−=

−=

132

101B,

01

21A

*8 *� �����(A B)t = B

t A

t

����

;�8 ���3� ���� ���� ;�8 8� 3��AB

−=

101

363AB

���3 ?A(A B)t

−=

13

06

13

)AB( t

*���� ;�8 ������ *��� ���� ���� ��8At, B

t

=

−=

11

30

21

B,02

11A tt

���3 ?ABt A

t

Page 78: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

73

−=

13

06

13

AB tt

*����3 *8 I$� *��(A B)t �B

t A

t *�������.

2��33� ����0� ���� *� ?K" -��3 *8 2 H �) ������0� ���� ����� ���� � ������ *�� ?K�"

C� C��3� D�3 ���&�����0� *� . D�38 +H� !� �&$�� �3 �3��� *"� ? �����0� 1.'

*� �� .' ��� +� �����0� ����0� ���� ����� *�$�� �&�0�.

��� � �������,��� Symmetric Matrix

� �� ����0� �A *�" .) ��A��A� �&3) 2���

A = At

�����0� *� D�3 .' +� ����� 2A��� �' �� +�� 2�A� �3 I$�� ����.

����14

����0� 2'A ��A����

−=

147

453

732

A

����

���3 2A��� �� ��5At

−=

147

453

732

A t

*8 I$� *��A = At ����0� *8 98A ��A���� .

��*�+�

)1 ( ������0� ���) ����� ���3�J3 .)A +������ ����� 2���� ?���� +��� KA����� �3����� � ���� 2���A� +��� .

�03���a12 )+3��A ����� 2�� �0 +� 98 ( ��03� 9�����a21 ) ������ +3��A ��0 +�� 98

2�� ( 2��A�� �a13 = a31 ���0�3� +H��� +��� .��"'� . ���3' *���� �O���� ������ ����A���� ������0� �������

Page 79: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

74

74

�����0�� +����� ��� 2�� ?�� +� 2A���. ���A���� ����� �����0��� +���� �)��&�) ��J3 ����� (

2A��� .' ����.

=

259

576

961

A

)2 ( ����� O���3 *��"�� ?��H� ���J�K�)1 (��0 ������� �<����� ������0������Q ������E ����A .� ������0��

�� ��

An×n = [aij]

*�" .) ��A��A� �&3) 2���

aij = aji

)3 ( �� �� *�"� *8 � ; ��A���� ����0�)S .��.(

�,������� :; � ����� Skew–Symmetric Matrix

�� �� ����0�A ��A��A� F : �&3) 2���)��8��2A��� �� �� ���� �3 ( *�" .)

A = −At

+�� 2�A� �3 I$�� �����&J� *� ��Q �'�J������0� *� D�3 .' +� ����� 2A���.

����15

����0� 2'A ��A���� F :

−−=

043

401

310

A

����

���3 2(� .' *� � ��UAt

−−

=

043

401

310

A t

*8 I$� *��A = −At ����0� *8 98A F :��A���� .

Page 80: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

75

��*�+�

)1 ( ����0� �) ��� �3�J3 .)A ��� 2�� ?�� +� @��:5 6"� KA��� �3��� � �� 2�A� +�

+���� . �03���a12 = −a21 2A�� �a13 = −a31 ��0�3� +H� +� ."'� . �����0� ������ ��3' *���

��A���� F :)2A��� ����� �8 (����0�� +���� ��� 2�� ?�� +� @��:5 6"� 2A��� ���� .

)2 ( �������0� ����) 7�����8 @����� ����3�J3 .)A +������� ������ ����0�3� !������ �3������ � ����� 2����A� +����

���08 . ��" 9���$ ��: .' 2' �����0� �� ��3 2(�� .�' *�� �� ��U S���A���� F �: �����0� *

���L

=

051

543

132

A

2�A��� ����� ��&�) ��J3 ����� ����0� 1.'+��"� �3����8 .) *�"� +����� ���� ��0�3� 2���

At *8 �3���

=

051

543

132

A t

*8 I�$� *���A ≠ −At 2�A��� �� ��� ���� �����0��� +���� � . *��� ?�A 2�A��� �� ��� �����0���

���08 +���� �'��H �0�3� !��� *�"� *8 � ;.

)3 (������ @����0� ����A���� F ��: ������0� ������� �<����0 *��� ���� *����J�K� ����� O���3 *��"�� .

�� �� ����0�

An×n = [aij] *�" .) ��A��A� F : �&3) 2���

aij = aji,

aii = 0

2A��� 2A�� 2�� ��: +����� ���� ��0�3� !��� *�" 2A�� +3�A� +���� ��� 2�� +�"�

���08.

���� �� ������0� ����� !��� �����' ���HK� � ���� ����A���� F ��:� ����A���� ������0� . 1.��' ��� A3 �����

+� �HK�� 2�A+�� F��� 9. 2�A� +� 9��� 2�A� �&�$�3�.

Page 81: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

76

76

����16

*8 ��� A8 98 ���� �� ������0�A *�������0� D������ �����' ����� �&���$� *��"��P, Q ������0� M����P

����0�� ��A���� ����0�Q ��A���� F : ����0� M��

P = 0.5 (A + At),

Q = 0.5 (A − At)

����

�38�H .) 2�A� /3*����: ��� A) ������ *8 ��3"��� ���� . ;�8 *8 ��� A)A = P + Q ���3�A�*8 ��� A)

������0�P ������0�� ����A���� ������0�Q ����A���� F ��: ������0� . C������� � 2�� �������� 8� 3���

�����0� *�� *P, Q ��� 20�3 ���� �' ��"

P + Q = 0.5 (A + At) + 0.5 (A − A

t)

��0��� �2�� ����� ��� 20�3 *��� ���

A = P + Q

+3���A ������� ���) *L 2����33 . ������0� *8 ��� A3 �����P *8 ���� A) >������ -����3� ����A���� ������0�

������0�Q ����A���� F ��: ������0� ������� 6�3�� . ������0� *���"� +��"P *8 ��� K� ����A���� ������0�

*�"�

P = Pt

���3� *L ����0�Pt

Pt = [0.5 (A + A

t)]

t

?H� ��0�� ?����3 *L�)3 ( *�/��0� ��� 20�3� ����

Pt = [0.5 (A + A

t)]

t = 0.5 (A + A

t)t

?H� ��0�� ?����3 ?A)2 ( *�/��0� ��� 20�3� ����

Pt = 0.5 [A

t + (A

t)t]

?H� ��0�� ?����� ���8�)1 ( *�/��0� ��� 20�3 ����

Pt = 0.5 (A

t + A)

*8 4�3��3 ��� ) ����� �����0� !�� ����� *8 �� �

Pt = 0.5 (A + A

t) = P

������0� *G��� ?��A *���P ������0� *8 ��� A) *��"�� 2��A�� � ����A���� �����0�Q ����A���� F ��: ������0�

.'� �'�� � ��3�A ����������� �� A5 2��"� +.

Page 82: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

77

����17

�������0� !���$A *��������0� D������� ������' ������ �������P, Q �������0� M�����P �����A���� �������0�

����0��Q ��A���� F : ����0�

−=

342

101

532

A

����

*�����0� *����P, Q ����0� ;�8 ���3At

−−

=

315

403

212

A t

����0� ���3 ?AP ��� 20�3� � �� 2�A� +� @��".� �HK� *�

P = 0.5 (A + At) =

− 35.15.3

5.102

5.322

����0� ���3 2A�� �Q ��� 20�3� � �� 2�A� +� @��".� �HK� *�

Q = 0.5 (A − At) =

−−

05.25.1

5.201

5.110

*8 I�$� *��� A = P + Q *8 ���" �����0�P �����0� � ���A��A�Q ���A��A� F �: ) � >����� -����

-. *� ����(.

/���'���� � ����� Orthogonal Matrix

�� �� ����0�A *�" .) @������ �&3) 2���

A At = A

t A = I

1�".�� ��3' ?���� !����� ; *�"� +���3' 2��08 F� @������� � ���� ���: ����� +��� �����0� ������� .

���&��� 2����� �8 +��� �� � +�� ������� ����� F���� �3� ��� F C���� ����. � ��3� ���8

7�3� ��" ����0� 6�"�� *� ?K" �3� �0�� ���'8 �& @������ ����0��� ���� .& .

����18

S@������ ���L ����0� 2'

Page 83: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

78

78

θθ−

θθ=

cossin

sincosA

����

���3 ����� 2(� *� � ��UA At

θ+θ

θ+θ=

22

22t

sincos0

0sincosAA

@��&: ��A�A� �HK� ?����� �

cos2 θ + sin

2 θ = 1

*8 ��3A At = I *8 �� A) *"�� 2A�� �A

t A = I ����0� *�"� ?A *�� PA @������ ����0�.

��8 *� � +�� 2�A�/��0� @������ �����0�� ���&.

����19

@������ ����0� �' *�������� *�����0� ��$ 20�� *8 � A8.

����

*��������� *�����0� �3�� *8 C��3A, B *8 98

A At = I, A

t A = I,

B Bt = I, B

t B = I

*8 C���3�

C = A B

����0� *8 �� A) ������C *8 �� A) 98 @������

C Ct = I, C

t C = I

���� ��� �HK� � A3C Ct = I ��3�A �HK� �� A) >���� -��3� ����� 6�3

C Ct = (A B) (A B)

t

?H� ��0�� ?����� �)4 ( *�/��0� ��� 20�3 ����

C Ct = (A B) (B

t A

t)

��� � �� ���� � ��" *"�� ���� ����� �����0� ��$ *8 �� �@��0

C Ct = A (B B

t) A

t

Page 84: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

79

����0� *8 �� �B *G� @������

C Ct = A (I) A

t

��� 20�3 7��8 @�� �����0� ��$ +� 4�� ��0�� ?����� �

C Ct = (A I) A

t

����0� *8 �� �I *G� �����0�� + �$ ����� +'

C Ct = A A

t

����0� ���8�A *G� +��� � @������

C Ct = I

F�� A) ����� �'�.

����� ������ *�� ������ �3�" +�� �3' �'�3�$8 +� �����0� D�38 *� ?K" +&�3� 2�A� .&

����0� . @����� *����� *� M���3� �����0� ��� ��� � ������ C�� 2��"�� �) *L ���3

����0�.

7 – � ����� /����Matrix Determinant

�� �� ����0� 9� *"��A =���� ��& =���3 ����� �����0� @����� ����� @���� ���H ����|A| .

�����0� 6���"�� ������ +��� @���� " �����'8 ���& 7���3 ����� ���� �� ������0� 2��" � ����0� ������ 1.��'

+���� ��������0� ?������� *���� M������ ����3� -.���"� �������0� ���� �� ��������������� �;������� 2���� .

��3� C�� � @����� ���� ����" �3' C/���0� ������ 1.�' . �����0� @����� *E� >���� �".�3�

�0�3� *� 2��� ���� �3���8 ��" +' 2 ���H �& 6� ����0� *� ����0�� ���H ���.

=���� *��� ������0� @������ ������ ������" C���� ;�8 8� 3���2×2 ������ ?���� ������� ���) 2����33 ?��A

��� =�� *� ����0� @�n×n =�� *� ����0� @���� ���� ��� F� �3�3×3.

����� �� � ����� /����2××××2

����0� �3�� *�" .)A2×2 @��0 ���

=

2221

1211

aa

aaA

*G�

|A| = a11 a22 − a12 a21

Page 85: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

80

80

*8 98

|A2×2| = (+���� ��� 9�03� + �$ 20��)

− ( + �$ 20����L ��� 9�03� )

�3�" .) 2�A� 2� � ����

=

54

31A

*G�

|A| = (1 × 5) − (3 × 4) = −7

�3�" .ٕ�

−=

67

32B

*G�

|B| = (2 × 6) − (−3 × 7) = 33

=�� *� ����0� @���� ���� ?�� ����� +��3 +"n×n ��' ��� >����� #��:3 *8 *�� ;�8 � ;

����� 2���� ��0�� �' ��� 7�B0 ������ ��0��.

<"=�� ��������Minor Determinants

�0�3� 2"aij �� �� ����0� +�An×n =���� ��& =���� 7�B�0 @����� ���3Mij +�' @����� 1.�'�

���0 ����: *��� ������3i �������j ������0� *���A ������3 @������ �����H ������ ?��A) =���� *���

(n−1)×(n−1) .(

������ .' I$�� +�� 2�A�.

����20

����0� �0�3� 7�B0 ����� ���

−−=

214

121

013

A

Page 86: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

81

����

�03�� @�J�3� 7�B0 @����� 8� 3a11 = 3 20�3� 2�� ����� 2�� �0 ��:3�M11

M11 = 21

12

− = −3

������ 2��A�� �M12 ���03�� @�J���3� 7�B��0 @������ +��'�a12 = 1 ������� 2�� ���0 ����:3

��� 20�3� +3�A

M12 = 24

11

−− = 6

�) 2�0�� ��&� 2��") >���� -��3�

M11 = −3, M12 = 6, M13 = −9,

M21 = −2, M22 = −6 , M23 = −1,

M31 = −1, M32 = −3, M33 = 7

�� �"��� ����'��Cofactors

�0�3� 2"aij �� �� ����0� +�An×n =��� F =���� ���� 2��� ���3Aij* � ���� 2���� .'�

�HK�� 7�B0 @�����

Aij* = (−1)

i+j Mij

+���� �����$ !���� 7�B���0 @������� ������H 9������� F������H ������� 2������ *8 98(−1)i+j . @�����:5 ������B��

+� ��$� (−1)i+j ������ 2����� 7�B�0 ������ *�� � �� +� ���:5 @���� �3���8 ���� .

����� 2��� ���� I$�� +�� 2�A�.

����21

����� 2��� ��� � �� 2�A� +� @���� ����0� �0�3�

����

�����:5 @�����H ���� �� ����� ���� �� K��� 7�B��0 ������ �3 ���� ���H ���338 ���� . 2�� ���0� � ���3 ��

��� 20�3

A11* = (−1)

2 M11 = M11 = −3

Page 87: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

82

82

A12* = (−1)

3 M11 = −M12 = −6

A13* = (−1)

4 M11 = M13 = −9

+H� >��� 2�"8 .ٕ���� 20�� ���� �� ���

A21* = −M21 = 2, A22

* = M22 = −6, A23

* = −M23 = 1,

A31* = M31 = −1, A32

* = −M32 = 3, A33

* = M33 = 7

�*�+�

������0� 98 +��� ������� 2������ 7�B��0 ������� *��� � ���� +��� �����:5 @�����H /������ *��"��

+�� ��" �� ��

+ − + − …………

− + − + …………

+ − + − …………

− + − + …………

���'� +������ ����& ���) *L �����3 ������� 2������ 7�B��0 ������� ����� >����� ������ *8 ����

=�� *� ����0� @���� ���� ����" ����� O���)n × n.

����� �� � ����� /����n ×××× n

�� �� ����0� 9�A ����0� @���� ���� ?��|A| �� *���� ���� *� �0�3� ��$ 20�� D��

�0)���� �8 (�0�3� 1.& ����� 2��� +� .�� �� ?�� @���� ���� 7��8 ����� ����� �

���L:

)1 ( �0 �����)���� �8.(

)2 ( �0 .& ����� 2��� *����)���� �8.(

)3 ( �0 .' +� �03� 2" ��$)���� �8 ( ���� 2��� +�F �J�3�.

)4 ( ?H� @��� 4��3 !��)3 (����0� @���� �' 4��3 *�"��.

���� 1.' �� �� I$�� +�� 2�A�.

Page 88: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

83

���� 22

����0� ���� ���

−−=

214

121

013

A

����

2���A� +��� @������ +��' ������0� 1.��'20 2���A� +��� ���& ������� 2����� ������ ���3�H +����21 . *L

@���� *���� ���� � �3.

)1 (2�� �0 ����3.

)2 ( ��� 20�3� 2�� �0� @�J�3� ����� 2��� ���3) 2�A� �J321(

A11* = −3, A12

* = −6, A13

* = −9

)3 ( ��� 20�3� F ���� 2��� +� �03� 2" ��$3

a11 A11* = 3 × (−3) = −9,

a12 A12* = 1 × (−6) = −6,

a13 A13* = 0 × (−9) = 0

)4 (� ���� @���� ��� 20�3� �� �� 4��3 !�� ?��3

|A| = −9 − 6 + 0 = −15

��*�+�

)1 ( �������� ������3 *���"�� 2�� ���0 2��� 2�� ������ � ���� 2���A� +��� ���3��� .)) >����� �����

*� ����� �� �� ! �� ���� �� ��+�� 4��3(

|A| = a21 A21* + a22 A22

* + a23 A23

*

*8 98

|A| = (−1) × 2 + 2 × (−6) + (−1) × 1 = −15

2�� �0 ?����� F��� �3�0� 9. ����� 4��3 6�3 �'� . �� A) *"���) T���� !��� �� A5 *"�

���" .' ���3 ( �0 98 ?����� @���� ����) *8)���� 98 �8 (4��3 6�3 �) 9�(�.

)2 ( *��� ��� "8 =���� *��� ������0� @������ ������3×3 ������� F��3"� ������ *��� ���� " ����� ��B�����

4��3 ���� ���� �" ?����� �&���� *"�� ��$� ���� �& ���� . ��3' F$��3�� !H� +��

Page 89: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

84

84

��8 �& ������ *�� >����� ��3< ; +�� ������0�� ������� >�� � ��'(��) 2&���� @����� �� ���� �

�00��� 4�� *� ����� ����2A�

Derive, MATLAB ��A" ��'��<�.

34�� � ����� /����

�����0� @����� *����� ������ ����/���0� ����L . 1.�' T����3 �����/���0� ����� -�. ���

��� ��&� �&�&� >��� . 1.& K0�� ��$��� ��� A) �".3 *�/��0� .�& ����8 ����� ����� F3�

D�$�� . =�� *� �����0� ��$�� ��A�8 ���� +��3� *"�2×2 �83×3.

)1 ( *����0 7������ .))*������ �8 (8����0 7������ @������ *G��� ������0� +��� . 2� ��� ������ .) 2���A�

��0 9���� �&3� �&�" @���� *8 ��3� ���� �����0� �3� ��)-. �� A) >��� ����(

=

=

231

401

231

B,21

21A

)2 ( ����0 ���8 �3 ��$ .))@����8 �8 (����� 6��3 +�� ���$� @������ *G�� +����� ���� +�� ������0� .

*�����0� �3�� *�" .) 2�A� 2� � ����

−−

=

−−

=

221

310

844

B,

221

310

211

A

�������0�� 2�� ����0 M����� 2�� ����0 +���� ������ �����&3� �K������ *8 J�K3����B ����� �8 9�������

����0�� 2�� �0 ���$8B .*�"� �3���8 *� +� ��0��� �� ��

|B| = 4 |A|

���� -. *� ���� >��� ����|A|, |B| . ����0� �3� �� .) ��8C M��

−−

=

884

1240

844

C

*8 J�K3���C = 4 A ) +��� ����� +��� ������0� ����$ ������� *��� ?K��" �".���� *8 ���3' >����� �����

�� ���� ���'�3�". ( �������$� ���� �8 +��' �&�����0 !����� *8 98 �����0������0� A . ����0�� ���� �� �

*8 7�3 ��� MKA �&3� ?�"�3 +�

Page 90: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

85

|C| = 43 |A|

�3�" .) ���� ��0 �An×n =�� *� ����0�n × n ����� ���" 9� F3G�k *�"�

|k A| = kn |A|

)3 (�HK� ����� �� �� ����0� 9� F38 98 ����0� @���� 9���� ����0� ���� @����

|At| = |A|

����0�� 1.��' *��� ������� ������� ����A�� C��� O���:3) >������ -����3� . 1.��' #���$� >����� �".��3 *��"�

2�� ���� �����) *� �& ��� 2�� �0 �����G ��B�� ; @���� ���H *� ��0�� . 9�(� .'�

@����� ���0 2�� � *8 @�:� �)����0� ����� 98 (@���� ���H ��B� *.

)4 ( ����A�A� ������0� @������)������ �8 ������ (+������ ����� ���0�3� ����$ 2��0�� 9������ .����� �

����0� �3�� *�" .) 2�A� 2� �

=

200

210

834

A

@�:� � 9���� @���� *G�)����� ������ @���� ���� -. *� ���� >��� ����(

|A| = 4 × 1 × (−2) = −8

)5 (*������� ���$ 20�� 9���� *�����0� ��$ 20�� @���� . *��� ��� *������0� 9� *8 98

*�� �HK� ����� =�� 6�3)S =�� 6�3 *� ��&3�" ���:3 .��(

|A B| = |A| |B|

����0� �3�� *�" .) 2�A� 2� � �����*

=

−−

=

100

310

844

B,

221

310

211

A

���� ����� *�"�|A B| *� K" *���� ���� ?�� *8 *"���|A|, |B| ;�8

|A| = −3, |B| = −4

���� +� ��A�A� ����0� @���� ��0�� ?���� >��� J�K��|B| .� ��5 *�"� ?A

|A B| = |A| |B| = (−3) × (−4) = 12

Page 91: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

86

86

���$ 20�� ���� >���� -����AB O��3 �� ��5 6��3 ���� 2�0�3 M��� 4���3 @����� *����� ?�A

��0�� 1.' ��� .

����23

���� ����0� @���� *8 � A8 9���� @��±1

����

����0� *E >��� �".3A *�" .) @������ *�"�

A At = A

t A = I

����� ���HK� ���3� �� .G���A At = I ����� @������ �3 �����) ?��H� ����0�� ?������ !���)5 ( *���

/��0� *8 �J�K�� �����|I| = 1 (��� 20�3

|A At| = I

|A| |At| = 1

?H� ��0�� ?����3 *L�)3 ( *�/��0� ��� 20�3� �����

|A| |A| = 1

*8 98

|A|2 = 1

*�"� ?A *��|A| = ±1 F�� A) ����� �'�.

�*�+�

?��H� ����0��)1 ( *���/����0� �������) ������0� @������ *8 T��3���� ���) 9�(��� ����� �".��� +����

���J3 ������ ����0 9������ (�� ���& ��� �� *��� ?K��" ���3� F����3��� ���33� ���3' 1�".��3 -��. *��� ���A"8 ?����

����0� .��� � ����� ��0�� >��� �&3� -��� ��A�� C� ?���� .' �".3 ���� .

;�8 :����0� �3� �� .)

=

633

210

211

A

Page 92: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

87

��0 9���� �&38 �'��3 @���� -� F3G� . ��3 ����0� 1.' +�� ��AKA +�' M�A �0 �0�3� *8

2�� �0 �0�3� ���$8��"��

r3 = 3 r1

����0 9������ @������ *���" ���) 9�(��� .��'� . ���0 -���3' *���" .) ������ ����0 F��38 98)������ �8 ( ���'

�0 �����$�)���� �8 (��0 9���� @�:� � @������ ��Q.

��3�A :����0� �3� �� .)

=

314

123

211

A

����0 9������ ���&38 �'����3 @������ -��� F��3G� . +��' M���A ���0 ���0�3� *8 ����3 ������0� 1.��' +����

+3�A �0 �0�3�� 2�� �0 �0�3� D������"��

r3 = r1 + r2 ����0 9������ @������ *���" ���) 9�(��� .��'� . ���0 -���3' *���" .) ������ ����0 F��38 98)������ �8 ( ���'

���0 D����)@���8 �8 (8��0 9���� @�:� � @������ 7��.

�A�A :����0� �3� �� .)

−−

−−

=

411

311

211

A

����0 9������ ���&38 �'����3 @������ -��� F��3G� . +��' M���A ���0 ���0�3� *8 ����3 ������0� 1.��' +��� �

+3�A �0 �0�3� ��$� 2�� �0 �0�3� D������"��

r3 = r1 + 2 r2 *���" ���) 9�(��� .��'�����0 9������ @������ . ���0 -���3' *���" .) ������ ����0 F��38 98)������ �8 ( ���'

���0 D����)@���8 �8 ( ���0 1.' *� 2" ��$ �� 7��8)@���� �8 ( +���� ��� +� 9���

��0 9���� @�:� � @������ . �;���" ���3�A� ;�8 1��3�". ��� 2��:� ��A�A ���� 1.�' *8 >��� J�K��

&3� �0���.

����� ������ ����� � ������� C���� ���) 2�����3 ������0� @������ *������ *��� ?K��" *��� ���3�&�3 *8 ����

������0� 6���"�� *������ +��'� �������0� . ���H M���� + ���$ 6���"�� ���' ���3' 6�"����� ����0���

Page 93: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

88

88

�������0� !���� ������� C���� ���3� ������0�� +����� 6���"�� *��� ?K��" � ��� . ���3 �3����� +�����

9� *� ����0� �������0� *��� *�����3 ������� ���) ;�8 T�����3 6���"�� .��' ������ ?���� ����" *���� �

��'� �� �� ����0������ 2��� ����0� ��� ��� ����0� . ��&3� K" ����� +��3 ���� ;�8

��&3� 2" ���� ����" I$�� ;�A� C��3 ?A.

�� �"��� ����'�� � ���

����0�� � ��0� ����� 2��� ����0� �� ��A �0�3� 2" 2� �� *� ����3 ����0� +'

����0� +�A F ���� 2���� .

�.�"��� � ����� Adjoint Matrix

������0�� ����� ��� �������0� �A �������� 2������ �������0� ������� *���� @����� � +���' =������ ����& =�������

adjA.

���� 24

����0�� �� ��� ����0� ���8 A

−−=

214

121

013

A

����

������ 2���� ����0� ;�8 ���3 . 2��A� +�� @����� +�' �����0� 1.�' *8 >���� J��K��20 +���

2���A� +��� ���& ������� 2����� ������ ���3�H21 .� ���� ;) *L ���3��� ����� ������ F������ ���03� 2��" 2

����� 2��� ����0� ��� 20�3�

−−−

731

162

963

�� ��� ����0� ��� 20�3� ����0� 1.' ���3 ?A

adjA =

−−

−−

719

366

123

Page 94: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

89

��� >��� ���� �� ����� 2��� ����0� ���� ��� ����0� 6��"�� *����� ������ *L C���3

����0�.

8– � ����� 7�>'� Matrix Inverse

����0�� + �$ 6�"�� *� �3' M���3 . ?�H�� 6�"�� �& �:� ����� 6�"�� .' ����� ?���

?H��� + ��$ 6�"�����2 ��'0.5 ���$ 2�0�� *�2 × 0.5 ��'� ?��H�W + ��$ ������ 9�����

I�����0 ������ .�������0� 6����"�� �������� ����) 2���03 ����3' *����� . �������0� 6����"�� *����"�A ����'

7����8 ������0�) =����� ���& =�����A–1 ( *8 M���� AA

–1 = I ����< ������� �������0� ����$ *8 ���� �

*�"� *8 � K� ��� )A–1

A = I 8 �$�8*8 9

AA–1

= A–1

A = I

����0� *�"� *8 ?=���� .'�A �� �� ����0�.

*) 2��3 *E ?K" .' /��3� ����0� 6�"��An×n 7��8 ����0� �'A–1 M�� =�� 6�3 *�

����A–1 �HK�:

AA–1

= A–1

A = I

� ����� 7�>'� ����

����0� ����) *"��A–1 +�� *�3�� *�

adjA|A|

1A 1

=−

����0� *8 �� A) *"���A–1 ������ +�� ��".�� ���: ����� �� ��� ��HK� *�� �& ���� ?�� +�

6�"�� ���" .' =�� T��� !�� �� A5 *�" *ٕ� .

��3�" .) ��� ��� +� 6�"�� ���� *"�� ; F38 � �� *�3�� *� J�K3�|A| = 0 . F�38 +�3�� .�'�

��3�" .)|A| = 0 7���8 �����0� ����� ; F�3G�A–1 ��HK� �����AA

–1 = A

–1A = I �����0� *8 98

6�"�� �& 6� . @�J��3� +'� @.�: �����0�� ���� 6�"�� �& 6� +� �����0� �������

+ �$ 6�"�� F 6� ��0 *� ?�H�� +� ��0�.

Page 95: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

90

90

�;�� � �����/? Singular Matrix

6�"�� �& 6� +� ����0� +' @.�: ����0� . �����0� ��3�" .) ��� ����� *"���A ?8 @.��:

��3�" .G�� @����� ����� ;|A| = 0 �����0� *G��A ��3�" .ٕ� @.��:|A| ≠ 0 ���< �����0� *G��

@.�:.

6�"�� ���� *8 ��3 � �� 6�"�� *�3�H *��+'� ���� MKA ����� ����0�

)1 ( ����0� @���� ����)6�"�� -�3' 6��� ��0 9���� �3�" .G� ��0 9���� ; �&38 �"E��.(

)2 ( �� ��� ����0� ����)�'����� ?A ����� 2��� ����0� ���� F��� *�$�� .'�(

)3 ( �HK� +� C����� 6�"�� ����

adjA|A|

1A 1

=−

����25

����0� 6�"�� ���8

−−=

214

121

013

A

����

2��A� +�� @����� 1.�' ����� � �� ��H� �����0� @����� ;�8 ���322 ���� �3��0��|A| = −15 . ?�A

2�A� +� -. O��) ?� �H� �� ��� ����0� ���3 -. �� 24 ��� �3�0��

adjA =

−−

−−

719

366

123

*�3�� ?����3 *L�

adjA|A|

1A 1

=−

6�"�� ��� 20�3�

Page 96: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

91

A−1

=

−−

=

−−−

−−−

−−

−−

15

7

15

1

5

35

1

5

2

5

215

1

15

2

5

1

15

7

15

1

15

915

3

15

6

15

615

1

15

2

15

3

*8 *� ���� >���� -����A A−1

= I.

����26

����0� 6�"�� ���8

131

102

111

����

2�� �0 ?����� ����0� @���� ;�8 ���3

|A| = (1 × 3) − (1 × 1) + (1 × 6) = 8

����� ��� �������0� ������3 -���. ����� ?���A . ������ 2���0�3� �������� 2������ �������0� ������� ;�8 8���� 3�

����0�

−−

231

422

613

�� ��� ����0� ��� 20�3� �'���3 ?A

adj A =

−−

246

321

123

���� *�3�� ?����3 ���8�6�"��

A−1

=

−−

=

−−

4

1

2

1

4

38

3

4

1

8

18

1

4

1

8

3

246

321

123

8

1

����27

����0� 6�"�� ���8

Page 97: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

92

92

=

231

401

231

A

����

*� ��� ��0�� ?����� � ����0� @���� ;�8 ���3/��0� *8 ��3 �����

|A| = 0

6�"�� �& 6� @.�: ����0� 1.&� ?A *��.

����28

?�H ���t ����0� 2��� +�A @.�: ��<

−−

−=

3t2

211

t01

A

����

�;� ����0� @���� ;�8 ���3 �E�� 1.' 2�t . ����� 2� ���3 ?A|A| = 0 . *�� ����3 ?��

� ?�� *� �'��<� @.�: ����0� 2��� +� +' ����� 1.'@.�: ��< ����0� 2��.

�0 ?����� ����0� @���� ���� 8� 3 2��

|A| = [1 × (3 − 2 t)] + [t × (t − 2)] = t2 − 4 t + 1

����� 2�3 ?A|A| = 0 +�� ��"

|A| = 0

t2 − 4 t + 1 = 0

(t − 1) (t −3) = 0

+' 2� ��� *�"��{1, 3} . *G�� +��� � ?��Ht �����0� 2���� +��A @.��: ���< +�') M���R +�'

����� ���� ���(

R − {1, 3}

�� ����� ���� !��� 98{1, 3}.

�����0� 6��"�� *����� ����� �� �� ��A�� +� �3� � . C�� ��������0�� �;��� *�"�� +��

*����� �3' �".3�� ���� 1.' ��0�� �&�� .�3�*�� ?�"� =��� *�� �����0� 6��"�� �����2×2

�@������ ����0� 6�"�� ����.

Page 98: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

93

�� 7�>'� ���� ����� �� � ���2××××2

����0� �3�" .)A @��0 ���

=

dc

baA

*8 �� A) *"�� 6�"�� ���� *�3�H ?����� F3G�

−=

ac

bd

|A|

1A

1

�����0�� +����� ���� �0�3� 2�� � @�:� � F� ��" *"�� +��&3 4��3 *8 J�K3�A @���:) 2��� ��

+� ��$ ?A *���L *��03� A

1.

����29

����0� 6�"�� ���8

A =

−−

15

12

����

����0� @���� ;�8 ���3

|A| = −2 − (−5) = 3

�' @�:� � 6�"�� *�"� �� �� @���� ?����� ?A

A−1

=

−−=

−−

3

2

3

53

1

3

1

25

11

3

1

/���'���� � ����� 7�>'� ����

����0� *8 2 H *� �3�". ��"An×n ��: ���� .) @������ ����:

AAt = A

tA = I

�� �� 6�"�� ����� ��: .' �3� ��3 *8A–1

= At �'���� �' @������ ����0� 6�"�� *8 *8.

����30

*8 � A8A �&��"�� *�� ?A *�� @������ ����0�

Page 99: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

94

94

A =

200

011

011

2

1

����

����0� *8 ;�8 � A3A ��$ 20�� ���3� @������A At 9�����

=

200

020

002

2

1

200

011

011

2

1

200

011

011

2

1= I

*8 �� A) *"�� 2A�� �

At A = I

����0��� +��� �A *8 98 �'���� �' �&��"�� *�"� ?A *�� @������

A−1

= At =

200

011

011

2

1

C� �". ����0� 6�"�� *� ?K" ?��3/��0� ���& ��� � ����� 1.'.

34�� � ����� 7�>'�

*� *���0�� �3' �".3/��0� *������0� ���$ 2�0�� 6��"�� ���� ������ �����0� 6�"��

����0� ���� 6�"�� 7����.

)1 (*�����0� ��$ 20�� 6�"��:

��3�" .)A, B *G�� =��� 6��3 *�� *��.��: ���< *������0�A B ����� *�"��� @.��: ���< �����0�

�HK� *� �&��"��

(A B)–1

= B–1

A–1

*���" *8 ���� A) ;�8 T�����3 ���HK� 1.��' ���� A5A, B *�������0� *8 ���) 9�(��� *��.���: ����<A B

@.�: ��< ����0� .�� �� @��".� ��0�� ��� ����� �� A5 .'� *8 ������ +�|A B| = |A| |B| .

����0� X *8 �� �A *G� @.�: ��<|A| ≠ 0 2A�� �|B| ≠ 0 *�"� �&3��|A B| ≠ 0.

����0� 6�"�� ���� *"�� F38 �� A) *L T���3 ?AAB �HK� *�

(A B)–1

= B–1

A–1

Page 100: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

95

�3'�3 �����0� 6��"�� ����� !����X 7���8 �����0� F�3E X–1 ��HK� �����C C

–1 = C

–1 C = I .

����0� 6�"�� *�"� +��� �A B �'B–1

A–1 *�"� *8 � K� �&�� A) ����� �HK� �".� ��"

(A B)(B–1

A–1

) = (B–1

A–1

) (A B) = I

*8 �� A5�(A B)(B–1

A–1

) = I �����0� ��$ ����� +� @����� 4�� ��0�� ;�8 ?����3

(A B)(B–1

A–1

) = A(B B–1

) A–1

����0� *8 �� �B *G� @.�: ��< ����0�

(A B)(B–1

A–1

) = A I A–1

�����0� *8 *�� @������;� � 7���8 @��� 4��� ��0�� ?����� ?AI ������0�� + ��$ ������ +�'

��� 20�3

(A B)(B–1

A–1

) = (A I)A–1

= A A–1

����0� *8 �� ���8�A *G� @.�: ��< ����0�

(A B)(B–1

A–1

) = I

*8 �� A) *"�� 2A�� �(B–1

A–1

) (AB) = I .��0�� 1.' �� A) 2��"� .& �.

)2 (����0� ���� 6�"��:

�3�" .)A *G� @.�: ��< ����0�At �HK� *� �&��"�� ���� *"��� @.�: ��< ����0�

(At)–1

= (A–1

)t

���� 6�"�� *8 98����0� 6�"�� ���� �' ����0�.

*��" *8 ��� A) ;�8 T����3 �HK� 1.' �� A5A *��" ?=����� -�. *G�� @.��: ���< �����0�At �����0�

@.�: ��< .�� A) 2&�� .'�F D������ /��0� *8 ��&3� *��"� 2� H *� �'�3�". +� �����|At| =

|A| .

�� ���� *"�� F38 �� A) *L T���3 ?A �����0� 6��"At ��HK� *��(A

t)–1

= (A–1

)t .�5 ��3' ��� A

*8 �� A5 T���3 M�� *�����0� ��$ 20�� 6�"�� ��0�� �� AG F� :

At (A

–1)t = (A

–1)t A

t = I

*8 �� A5�At (A

–1)t = I *� !����3/��0� *8 �����(A B)

t = B

t A

t *G� +��� �

At (A

–1)t = (A

–1 A)

t

����0� *8 �� �A *G� @.�: ��< ����0�

(A–1

A)t = (I)

t = I

*8 �� A) *"�� 2A�� �(A–1

)t A

t = I .��0�� 1.' �� A) 2��"� .& �.

Page 101: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

96

96

��*�+�

)1 (����� �����0� 6��"�� *8 ��� A) *"�� . �����0� 9� F�38 98A �����0� ;) ����� ; @.��: ���<

@��� A–1 �HK� ����A A

–1 = A

–1 A = I.

)2 ( *�" *8 �3�". *8 � �A B = O *8 T��3�� �) 9�(� ; A = O *8 �8B = O . ������ �� *L�

"����0� 6������3 *8 �33"�� ����������" .) F�38 2������ *�A B = O ��3�"�A ���0�����������: ���< ���� -�. *G�� @.�

�3�� �) 9�(������������ *8 T�B = O . �� A5��HK� +��� ��$ ?��3 -.

A B = O

+�A–1 ��� 20�3�

A–1

A B = A–1

O

���� @��0 �) �'��0�� �&3"�� +��

I B = O

*8 4�3��3 �&3��

B = O

*�" .) F38 �� A) *"�� 2A�� �A B = O �3�"�B *8 T��3��� ��) 9�(�� -. *G� @.�: ��< ����0�

A = O.

Page 102: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

97

������"��������������,��

)1 (�0� �3�" .) F38 � A8������*� A, B 0� *G� *���A��������� �A B + B A ��A���� *�"�.

) ���3�2009(

(AB + BA)t = (AB)

t + (BA)

t

= Bt A

t + A

t B

t

= BA + AB

(AB + BA)t = AB + BA

)2 ( ����0� ���8X �HK� ���� +�X A = B M��[ ]101B ,11

21A −=

−= .

) ���3�2008(

[ ]

−−==∴=

11

21

3

1101BAX BXA 1

Q

[ ] [ ] [ ]431293

1

11

21101

3

1X ==

−−=

)3 ( �3�" .)A, B, C ����0� *�"� +" ?=K ��: ���E� =�� 6�3 *�� ��A���� �����0�

(A + B C) �$�8 ��A����. ) ���3�2013(

(A + B C)t = A

t + (B C)

t

= At + C

t B

t

= A + C B

*�"� *8 � ; +��� �

B C = C B ������ +��&3 4��3 *�"� +��A + B C *�"��(A + B C) ��A����.

)4 (*�" .) F38 � A8 A, B ����0� *G� *���A���� *�����0�a A + b B M�� ��A���� �$�8 *�"�a,

b ������ ���8. ) ���3�2007(

(a A + b B)t = (a A)

t + (b B)

t

= a At + b B

t

Page 103: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

98

98

= aA + bB

)5 (��A���� F : 7���� ��A���� ��'��) *�����0� D���� ���' ��� ���L ����0� !$:

−=

214

131

021

A

) ���3�2007(

A = P + Q,

P = 0.5 (A + At), Q = 0.5 (A − A

t)

A =

+

002

00

20

212

13

21

23

23

21

21

Page 104: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

99

����� 3���,�

�������� �������

– ����0�A =�� *�m × n 9���� �0�3� *� 2��� +'m � ���0 *�n @���� *�.

– ��������0� D����38 *���� : P@������ �������0� P�������0 �������0� P������� �������0� P����0 �������0�

�������0� P������� �����A�A� �������0� P������� �����A�A� �������0� P�����A���� F ���: �������0� P�����A����

@������ ����0�.

– � !�� ?�� �����0� !��3����� ��� ) ����� +'� @�J�3�� �0�.

– +� ����0� ��$ +���� ��� 1.' +� ����0� �0�3� !��� ��$ ?�����.

– *�����0� ��$Am×n × Bn×p ���0 ��$ ?��A @���8 +�B 4��3 ��� 20�3Cm×p ��' +

!�� ��� �&��=�� *"��� ���� �&3"� ��� ) ��< �����.

Z �3�" .)A �0 +� �03� *G� �� �" : ��� ����0� +'i �����j ����0� *�An 2A��

�&�� +� ����� ���n *����3 *� i �j.

– @���� *�"� ���0 2�� � 1����) ?�� ����0� ����.

– ���0 98 ���0�3� ����$ 2��0�� D������ 9������ ������0� @������)������ �8 ( ������� 2����� +���

�&.

– ����0� 6�"��An×n =��� �& =��� =�� 6�3 *� ����0� �'A−1 �HK� ����

AA–1

= A–1

A = I.

– *�" .)|A| ≠ 0 �&��"�� ����) *"�� F3G�A–1 �HK� *�

adjA|A|

1A 1

=− ,

M����adjA ���� ��� ������0� +��' )������� 2����� ������0� ������ +��'�( . ������0� �������A +���

@.�: ��< ����0� ��� 1.')6�"�� �& 98.(

Page 105: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

100

100

������"���

)1( *�" .)

−−

−=

415

210A ,

−−=

520

131B ,

−−

−=

604

152C

���E�:

a. 5A – 3B + 4C

b. ABt + BA

t

)2( *�" .)

−=

112

241A ,

=

03

21B ,

−=

323

111C

���E�:

a. 3A – 2C + BC

b. AB – 2 CB

)3( *�" .)

=

310

521A ,

=

211

401

032

B ,

=

5

4

1

C

*� ��������� ����� �����0� ��$ ����� *8.

)4( *�" .)

=

113

405

321

A ,

=

41

20

31

B ,

−=

1305

4321C

���E�(AB)C, A(BC) 4��3 ��� ����.

)5( *�" .)

−=

51

21A ,

−=

12

13B

���E�AB, BA 4��3 ��� ����.

)6( �3�" .)[ ]13C,11

11B =

−= *�"�AB = C ����0� ���E�A.

)7( *�" .)

3

1

4

A =

363

121

484

Page 106: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

101

����0� ���E�A.

)8( ����0� *8 � A8

−−

122

212

221

3

1 @������ �&��"�� *�� ?A *��.

)9( *�" .)

−=

11

11A ,

=

22

22B

*8 � AE�AB = O 4��3 ��� ����.

)10( ����0� *� � �

605

141

132

��A���� F : 7��� � ��A���� ��'��) *�����0� D����".

)11( *�" .)

=

113

405

321

A

���E�|A|, |2A| 4��3 ��� ����.

)12( 4��3 ��� ���� ���L �����0� ����� ���8:

=

111

421

421

A ,

−−−=

111

842

421

B ,

−=

514

113

421

C

)13( *�" .)

=

113

405

321

A ,

=

100

430

211

B

*8 *� ����� :|AB| = |A| |B|

)14( �3�" . F38 � A8A *�� P �� �� ����0�A + At � ��A���� ����0�A – A

t F : ����0�

��A����.

)15( ����0� 9� F38 � A8A *�"�AAt -." � ��A���� ����0�A

tA ��A���� ����0�.

)16( *8 � A8 :(ABC)t = C

tB

tA

t

)17( *�����0� �3�" .A,B �HK� *�����AB = BA *8 � AE�ABn = B

nA I��0 ��� 9�

n.

Page 107: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

102

102

)18( *�����0� �3�" .A,B �HK� *�����AB = BA *8 � AE�(AB)n = A

nB

n ��� 9�

I��0n.

)19( ���0� 6�"�� ���8���L ��:

−−

=

524

012

321

A ,

−=

54

31B ,

−−

−=

120

112

321

C ,

=

114

101

312

D ,

−−−−

−=

3002

1231

1041

1231

E ,

−−

−−

=

314

102

111

F .

)20( ����0� �3�" .) F38 � A8A *G� @.�: ��< ����0�:

|A–1

| = |A|–1

)21( ����0� �3�" .) F38 � A8A =�� *� @.�: ��< ����0�n × n *G� :|adjA| = |A|n–1.

)22( *8 � A8

θθ

θ−θ=

θ−

θ

θ

θ−−

cossin

sincos

1)2/tan(

)2/tan(1

1)2/tan(

)2/tan(11

)23( ���0� �3�" .) F38 � A8� �A, B, C ���0�*G� @.�: ��< ��

(A B C)−1

= C−1

B−1

A−1

)24( *�����0� �3�" .) F38 � A8A, B *G� =�� 6�3 *�� *��.�: ��< *�����0�

(A + B)–1

= A–1

(I + BA–1

)–1

)25( ����0�� +�� �� �.� *���� ������ !$)����W +�� �� �.� ����� ��< ��� ( �� ��

����0� �.� *���� ����� .'

=

44

44A

)26( *��� *���"�� �" ��: ����� ������0� +��' ������ ������0� ���3�" .)4 �����E� P�����3) ����������

��� ��� � �����������0�(:

A =

0100

0001

0100

1010

Page 108: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

103

a. ���� �0H8 2�� ���3 *�4 ���3 �)2.

b. ����� ��� ���3 *�2 ���3 �)4 9���� �&3� 2" �&�� +�3.

)27( *��� *���"�� �" ��: ����� ������0� +��' ������ ������0� ���3�" .)5 �����E� P�����3) ���������

�����0� ��� ��� � ������ ( ���3 *� ���� �0H8 2��1 ���3 �)4

A =

01010

10100

10010

10001

00010

.

Page 109: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

104

Page 110: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

105

�������� ������

������ ��� ������

Linear Equations

1 .�����

��� ����� ����� ���� ���� �������������� ���������� ��������� ����� �� !� "����� ������ #��� �� #!���!���

$������ ����� ����� ����� $����� ������ #����%����� #��!��&�� ���!%����� .���� (�������� ���� � �)�������� *���

#!+��� . ����!� #�!+��� �)������ *�)�)������ -). ��!�/ ���� 0����! ����� ( ����� *2�3��� 4��

#!���� �� ��5!�+��� ��� 6�72� � 8� .�� -�!���� )�/ /�����9��5 #�!+��� �)������ ����5��� �� �� . ��7

���� )����� �������� ��� �)������ ���� ��: �� � ;%�� #+!�� 6��� �� #�<���� *!7��. ���!�

� *!7���� �� �������� ������) #!���� !�:��� 4 . -��� �7 =��� ��� *��� ��������� �������� ����

#�<�������. �������� )�/ *������#���������� >����2�� ����������. ����7*������ �?���2������� *����� #������� #���!�8���

#�!+��� �)������ � ��%� ������ �������� ��!@�!%� $��%+ #�������� #����. � ��7(����� *���� �����&��

#������%� 6:�!���� �� &����� 6:�!����. �������� #�!+��� �)������ *�� �%��/ �2��� ���� ��� ������

��72/ 4�� ���� �2 A#!+��� �)����� 4� ��� B/ *�� +!�� ��%�/ *7�� ����� A>�&� -���� #5!�+

�!�!��� C���� 4� B/ �%�! )� ��!3 $�+��) *7�MATLAB, MathCAD ( #�5!�+�� D�� ���&� 4��

#!���� D����/ ��<2.

2 .�� ��� ������

#������ ���5��� � � -�� 4/ �+%� $�� . ��%� 4�!���! 4!���+ 4!�� B���� #E?� � #������

���72/ �/ ���!F�� . #���!E 4!��!�� ��� #�������� *����)�!��E �/ (4!!������ 4!����+�� *���&� ������ �����!F���� D��� .

*7��� *!�� �%�� *� &� �� #���� *7�� #!���� #E?���x

x + 3 = 0

*� &� �� #���� *7�� #!���� #E?��� =��2�y

y + sin y = 1

��E?���4 �� 4�!�� ?7��4 ���� 4!�� &� �� 4!�x, y

x + y = 3,

2 x − y = 0

Page 111: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

106

��� *� &� �� #����� #���� 6����� 4<� *�5�� ��2�!� �x �

f(x) = 0

*7���� ����� #���� 6�����4!� �� &� �� 4!x, y �

f1(x, y) = 0

f2(x, y) = 0

�)����� 4� ��2�� ����� �� ��2 �. �)����� 4� 4!�� (�� �%� ��� �� �� �?2�� ��5� -���

#!+��� �)����� ���! .)������� !%� $%+!��� ��2 ��� #!+� ���*��

f1, f2, . . . ���!72�� �� ���!F�� G��!�& ���� ������� #��&���� 4��� ������ . �)�����%� -��!����� ���� ;����� #��!���� #��%7����

#!+���.

���1

#!+� #!�H� �)����� #���&� *

x + y2 − z + 1 = 0

2 x y − 3 z + 1 = 0

x + y − 2 z = 0

����

) . ���5��� B���� ��y2 �� #������� �������. #�����%� ���!�� -��+�� 4/ B/ ������ 4�� ����� 6��!72

#�!�7�� #�&���� . ����5��� B����� #�!�7�� #������� =���2�x y #�!�7�� #�&���� 4�� ����� 6��!72 � %�&! ��� �.

�� 4/ 9�5�� 8�?!�� #!+� #7�7�� #���) ��!�� ��+ 4���� ������ #�&���� 4�� ����� 6��!72 x, y, z (

4���2��#���!+� �)�������� #������&� ������� ������ �����2!) ����� .���� �����) *���� ����� �)�������� G���!�& 4����2 4

#���&��� #!+�.

���2

#!+� #!�H� �)����� #���&� *

x + 2 y + 1 = 0

sin x − y − 3 = 0

Page 112: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

107

����

) . ����5��� B����� � ��sin x #�!�7�� #������� ���. + *�7�! ) #�!�7�� #������� 4/ B/ 6��!72 ���!�� � ��

���� ?�/.

���3

#!+� #!�H� �)����� #���&� *

x + y + 1 = 0

x − y − 3 = 0

����

��� . � �)����� G!�&� ��!�� -�+�� 4��� ����� #&���� 4� ���� 6�!72 x, y.

���4

#!+� #!�H� �)����� #���&� *

x + 2 y − z + 4 = 0

x − 4 y + 2 z − 3 = 0

3 x − y + z − 1 = 0

����

��� . � �)����� G!�&� ��!�� -�+�� 4��� ����� #&���� 4� ���� 6�!72 x, y, z.

��� #������ #!��� G&��� #!+� *7� +5� 4!�!F�� ��� #!+� ��2 ��� #������ 4/ ���

3 x + y − 1 = 0

*7�� � � !��� �!5��� +��.

3 .� ������������� ������� �� ��� �����

%� $��9�5 4!�!+� 4!����� *� #�<��� ���� 4/*7� 4!�� &� ��

2 x + y = 3,

x – y = 0

Page 113: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

108

� 0���� -����� *��!7���� ���� 4�2!��� -��!2� ���������� ��������� �)������� D��� *��!7�� 4��2�! -��!2 4H

�)�������� ������ ��: ���� � ������ .*���!7���� ����� ������ *������%�� ���������� 4���� <���3���4!�5������� 4! I?���7

������:

)1 ( :��!��� 4��� #������� ��� � �?������� #�������2 × 2 4!��������� ���� *��! &��� �?����� B������

:���� !�� :��� -���A

A =

−11

12

)2 (#����� :!��� 4� #����� � � *! &���2 × 1 !�� :��� -��� *! &��� B���� :���� X

X =

y

x

)3 (#������� :��!��� 4��� #������� ��� � #��5%+��� ��������2 × 1 4!��������� ���� #��5%+��� �������� B������

:���� !�� :��� -���B

B =

0

3

4!� �������� �� #!%�� K��&L� 4H��A �X 4/ �&�:

A X =

+

yx

yx2

#������� �� *��� ������ D�!�� ��� C���� �� �� *��� �������B ������ #������� �%� �%���

��7�� ������ �� *7���� .)����� 4/ B/6����� �%� ��� 42�! 6+���� �

A X = B

�)����� ������ ��� *7���� I?7��

x + 2 y + 3 z = 6,

x – y + 4 z = 4,

x – z = 0.

���� D� �6����� >�� �%� ��� 42�! �)�

A X = B

I!�

A =

101

411

321

, X =

z

y

x

, B =

0

4

6

�!�� 42 ��� #�� #���� n �� #����n *! &��� 4� 6����� >�� �%� ��� 42�!�

Page 114: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

109

A X = B

I��!�A �?������� #������� :��!��� 4��� #������� ��� �n × n �X #������� #������� ��� � *��! &���

���� :!��� 4�n × 1 �B #����� #����� � � #5%+��� ������ ���� :!��� 4�n × 1.

��� �

4H� ���� ����� �������� ������� �)����� *!7��� #+!���� #5!�+�� 4/ 9�5�� 8�?! 4/ &!

��&� #!�!2 �%� �����$����� ���� ��� ����3 ������ �������� �� #!%�� K . 9��5%� ;���! ��� �

#5!�+�� D� � �������� �� -!��� �� ����.

4 .�������� !�"� ������� �� ��� ������ ��

6����� �%� ��� 42�! #!+��� �)����� 4� #���&� B/ 4/ ��

A X = B

��L����!������ �)�������� ������ 4���2 � *���! &��� ������ �?�������� #�������� �����2A 6����3 ����!M #��������

�� �� #5���� #E?��� ��A–1 �%� *���

A–1

A X = A–1

B

� +!��� 42�! �����6����� ��

X = A–1

B

#������� >��2�� ���� *�! &��� @�&�� 4!�!�� 4�2�! I�!� �)������ *�� *�7�� 6��!��� #�E?��� D�� �

�� @&�� �� �?�����#5%+��� ����.

���5

�)����� #���&� *� �&�/

x + y + z = 3,

2 x − z = 1,

−x + 3y + z = 3

����

#��2� )�/ /����)����� #���&� � ������� 6+�����4/ �&�� ������

Page 115: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

110

A =

131

102

111

, X =

z

y

x

, B =

3

1

3

�� �7 �?����� ������ >�2�� �A �%� *����) *7� �8��26 $���� ��� ��(

A−1

=

−−

246

321

123

8

1

6����� �%� *��� 4�2! �7

X = A–1

B

�L�%� *��� ���� #!%�� K��&

X =

=

=

−−

1

1

1

8

8

8

8

1

3

1

3

246

321

123

8

1

� *��� 4/ B/

x = 1, y = 1, z = 1

4/ 4� #�� �� $5���� 9�5%� 42�!� �)����� G!�& $5�� �!5�� D� .

���6

�)����� #���&� *� �&�/

x − y + 2 z − 5 = 0,

x + 2 y − 3 z + 4 = 0,

−x + y − z + 2 = 0

����

6����� �%� �)����� ;��� )�/ 4�!�� -�+�� ��� #5%+��� ������ *5��

x − y + 2 z = 5,

x + 2 y − 3 z = − 4,

−x + y − z = − 2

� �7 �2�)����� #���&� 4/ �&�� �������� ������� 6+����

A =

−−

111

321

211

, X =

z

y

x

, B =

2

4

5

Page 116: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

111

�?����� ������ >�2�� ��� �7A .�%� *���� *��� -��� ������� 6������ ��� /����

A = (1 × 1) − [−1 × (−4)] + (2 × 3) = 3

�7#+������ #������� ��� .#������� �%� *���� #5������ *������ #����� ��� )�/ /����

− 351

011

341

#+������ #������� �%� *���� ���� �7

adj A =

303

514

111

>�2���� �� 4��E ������ ��!�/�

adjA|A|

1A 1 =−

���%� *��

A−1

=

303

514

111

3

1

*��� 4�2! �7 �%+���6����� �%�

X = A–1

B

�%� *��� ���� #!%�� K��&L�

X =

=

=

3

2

1

9

6

3

3

1

2

4

5

303

514

111

3

1

� *��� 4/ B/

x = 1, y = 2, z = 3

�)����� G!�& $5�� �!5�� D� 4/ 4� #�� �� $5���� 9�5%� 42�!�.

��� �

#5!�+ ;%��)�#������� >�2� #�������� ���2 ��� #�!+��� �)������ *��A =���2� 6��3 #������

#������� ��2 ���A #���� �!M #�����)*�! &��� ���� B��! ) �)����� ��� 4/ B/ .( D�� ����

��� �����2�! ) �)������ ����%� *�����A–1 .*�N���� 4 ����%� �������! ���� � : *���� �)������ D���� ����� ����&�! *���

�)���%� �� �� 4� �5����� K:&�� @� O���� � �� P) �/� �2�� 4�.

Page 117: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

112

5 .�� ��� ������ ��� ���� ����#��

/ >!��� @���/ ;����� 4/ 4H� ���!�������&� B# *���%� #��%�E #��!+��� �)������� 4��� . +���3 ����� *���� -�����

*���%� #��%�E 4���2� �� �L� �)������� #�����&� @���55� ��� 4!���� .� D��� ���� �!��3��� 4!��!�� #��!�!2 ����� #�����

*��� . )�/ /����� #�!+��� �)������ *��� #����� #�!�8��� ����� ������ #� �� #&!���� D� ��� *���%��

4!!��� ��� #!+��� �)����� �!�5�� :#��&�� �!M #!+� �)���� #��&�� #!+� �)��� .

��� ��$ �� ��� ������� ��#%���� �� ��� ��������#%�

� �)��� #!+��� �)����� ����6����� �%� ��2 ��� #��&�� #!+

A X = O

����� B���� �)������ G�!�& �� #5%+��� ������ ��2 ��� B/ . �)������ #����&� *�7��� *!��� ��%��

��#��&�� #!+� �)��� *7�� #!��

x + 3 y – z = 0,

2 x – y + z = 0,

x + 2 y – 4 z = 0

� #!+� �)��� #!+��� �)����� ���� ��H� �&�� �%�6����� �%� ��2 ��� #��&�� �!M

A X = B, B ≠ O

���� B��� ) *E�� �%� �)����� ��/ �� #5%+��� ������ ��2 ��� B/ . #����&� *�7��� *!��� �%��

)��� *7�� #!���� �)����� #!+� � �!M#��&��

x + y – 2 z = 1,

2 x – y + 5 z = 0,

x + 2 y + z = –1

*���%� #��%�E #��!+��� �)������� *�2 >!��� @���/ #+!������ #��%7��� ������ ;����� 4H�� . �)������� /�������

#��&���� �!M.

��#%���� ��$ �� ��� ������ �� ���

� 4!�� &� �� 4!����� �!�� 4/ �����6����� �%

x + y = 2,

x – y = 0

Page 118: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

113

���%� *���� %� * �! �)����� D

x = 1, y = 1

#���� D� �� *�5���6+���� �)���%� ��!�� ?� �!�� 4 .+5� 6���� #�!E @� *� &� *2 4/ B/.

��� �/#!�H� �)����� #���&� ������

x + y = 2,

x + y = 3

$?��+Q� ���%� *��� �� � >!��� �)������� D��� 4/ ;������� 4���� )@���� ) ����� ���&�! ��� ���&� 4��!5!5� 4�

B��!2 B��!�3 �E��� >�� ��( .

��� �!�/ *7�2�#!�H� �)����� #���&� ������

x + y = 2,

2 x + 2 y = 4

*���%��� 4��� �R�� � ) ����� �� � �)������� D��� � .%� 42�!���9���5 #��!�H� *���%��� 4��� ?��2 4/ #�� ���� ���2<���

�!+���� 4!������� $5�!!4

x = 1, y = 1,

x = 0, y = 2,

x = –1, y = 3.

6���!�� 0����/ *���%� ���&!� 4��2�!� . #������ D��� ���� *���5�������� �!���� 4� ��!R � ) �)�����%� *���%��� 4���

6+����.

#��&���� �!M #!+��� �)����� 4� #���&� B/ �%� #�� #��� $�+�! � 4!�� #%7��� D� .

4� #���&� B/ )�����#��&���� �!M #!+��� �:

)1 (4�2! 4/ �/ �!�� *� �.

)2 ( �/ 4�2!*�%��� 4� �R � ) ��� �.

)3 () �/2! �4 $?+Q� �%� *� �.

Page 119: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

114

*���� #��!�+ @�!%� $�%+� �� � �!�5��� �� � . ����� #���&���� ��!M �)����%� =��� ����� 4/ �����

����&���� �)����� #�� �� @� �8��#.

��#%���� �� ��� ������ �� ���

B������ *���� �� � *�� �R�� � 4<� #��&���� #!+��� �)����� :!��� .4�� #����&� B/ ������� ��L��

*7� #��&���� #!+��� �)�����

x + 3 y – z = 0,

2 x – y + z = 0,

x + 2 y – 4 z = 0

4/ ;������ 4��� ��!���x = 0, y = 0, z = 0 B/ B������ *�����)������ G�!�& $�5�!. ���� 4�2��

B����� *��� �!M *�%� � #��&���� #!+��� �)����� . ��L�#!�H� �)����� #���&� ������

x + y = 0,

2 x + 2 y = 0

*�%��� 4� �R � ) ��� � 4/ ;����� 4�� *7�

x = 0, y = 0,

x = –1, y = 1,

x = 2, y = –2

O�%��4/ � *�5��:

#��&���� #!+��� �)����� 4� #���&� B/:

)1 ( �!�� *� � 4�2! 4/ �/ )B����� *��� � �(.

)2 ( �/ � 4�2!) ��� *�%��� 4� �R �)B����� *��� ��� 4� �����.(

�� �� �E�� � 4/ 42�! ���� #���� +��3%� ����!��� *�� � � �)����� #���&� * � �/ ��!��

$?���+Q� ����%� *���� ��� � >!���� �/ *����%��� 4���� �R��� � ) ������ ��� � *������ ����� 4!���!�� #���!�!2� A)����&� 4�( .

#������� #���� ���! � )�/ -��� 4/ &! +��3�� D� ��� *���%��.

Page 120: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

115

�������� ���� Rank of a Matrix

#������� #��� -���Am×n -��� ��� �<�)6����/ �/ (!:& 6����� ���2/������ B���� ) � ��!E #�R .

#������� #���� :��!�A :����ρ(A) �/r(A).

#������� B/ 4��� #��R!:& 6������ ����� *�����%��)#������ #��������� 4���2� 4/ +����3� )� ( 4��� ����� -�����

� -����� 6������ 4� ��� ���� B�N�!K�5� #�R!:&�� ��������� ���/ �� ������ 4��2�� #����� #������

#������� D� � .%��� �#������� ������ ��� *7��� *!�

A =

3000

2120

1211

:�!��� 4��� #�R!:& 6������ ���� *����%%�3×3 #������ 6������� ���/ -����� . �!���� ��&�! @���/ ��� �������4

������#!R:& :!��� 4�3×3 �

|A1| =

000

120

211 −

|A2| =

300

220

111 −

|A3| =

300

210

121

|A4| =

300

212

121−

���� #����%� $����� -�!����� $�!�+��� 4/ ��&�|A1| = 0 4�2��|A2| ≠ 0 4L�� �������ρ(A) = 3 )�

�������� �E� �!E ��� "���.

���7

#������� #��� �&�/

A =

−100

210

321

Page 121: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

116

����

�����2/ 4/ ���� 8����?��������6 #������� #���������� 4� ��� ��� #���������� 6������� ���� #���!R:& . D���� �������

4/ �&� 6������

|A| ≠ 0

4/ C���� ���

ρ(A) = 3

���8

#������� #��� �&�/

A =

−−

321

421

321

����

������� �����2/ 4/ ���� 8����?�6 #������� #���������� 4� ��� ��� #���������� 6������� ���� #���!R:& .��� ������� D�

4/ �&� 6������

|A| = 0

-��� 4� �� 4��� @&����� * �! �� � I�7�� -��� B��! *���)�2���� ��� ���2 r1 = r3.(

%�� ������! �� 4H�)#����%� $����� -�!���%� �5!�+�( 6����� 4�� I����� #�!R:& 4���� :�!�2×2 ) � ��!E

����� B��� .:!��� 4� #!R:& 6���� ��� *���%�� 2×2 ���! �� 6����� ��/� -����� ��/ -���

�!���� 4/9 �������� :��!��� 4��� #��!R:&2×2 .�� -����� -����� ?7����I���7 �� ���������I���7 ���%� *�����

6������

21

21

−−

� ����� B��� ��!E��6������ �%� *���� *��� ������� I�7�� -��� -���� I���� �� ����:

42

32

4L� ������ ����� B��� ) ��!E�ρ(A) = 2 :!��� 4� �������� �E� �!E ��� "��� )�2×2.

��� 9

#������� #��� �&�/

Page 122: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

117

A =

−−

1284

421

321

����

���� ��2/ 4/ 0��/ 6�� � 8�?�6 #����� #�������� 4� � ��� #�������� 6���� � #!R:& .�����

4/ �&� 6������ D�

|A| = 0

=����� 4�r3 = 4 r1 . :��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������ 4H� ���!%�� ��������2×2 B����� ) �� ��!E

����� . I�7�� -��� -��� $���� *7�%� # �3� 6�����6������ �%� *���� *��� �������

42

32

��� ����� B��� ) ��!E� 4L� ���ρ(A) = 2 :!��� 4� �������� �E� �!E ��� "��� )�2×2.

���10

#������� #��� �&�/

A =

−−−

1284

321

321

����

����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 ) 4�r3 = 4 r1 4� �/r2 = – r1( . 4H� ��!%�� �������

:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������2×2 !E������� B����� ) �� �� . 4��� ���������� G��!�& 4/ ���&� ��� �

:!���2×2 4� ����� B��� ��!Er3 = 4 r1 =���2�r2 = – r1 . 4�� #�!R:& 6����� )� ����/ ��5��! ?��

:!���1×1 ����� B��!) ����� ����� B/ . 4/ C���� ���ρ(A) = 1 . 42�! ) #����� 4/ 8�?� �2

)� ���� B��� 4/ #!��� #������� ��2 ���.

��� �

)1 (��&�� ;!����� ����� ���� #��������� #����� . B������ #!������� #���������� #����� 4����2� #���� #�����2�

����.

Page 123: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

118

)2 (-������ ���� 4!��� #������� #��� #%5������ .4�2�! ) ����� -������ ���� B/ 4�� � !%� *������

-����� -�� ��� 0���� ���G��&� �/ ��!/� ��2 ���7 �� 4!� ?7��#�!���� #�%7��� ��� 0���� ��2 .

�� �� � @�!%� $�%+!���+��� *?5���)� ��+��� ���&�� ��%� � $�+� "��� G�5� (������� ��� *!����� �

�2�� �� .

���11

#������� #��� �&�/

A =

−−

700

421

321

����

����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 .� ��!%�� ������� :��!��� 4�� #�!R:& 6����� 4�� I����� 4H

2×2 ����� B��� ) ��!E .6������ �%� *��� ��7�� ������� I�7�� -��� -��� ?7��:

41

31

4L��� �������� ������� B����� ) �� ��!E�ρ(A) = 2 . G���& *���� ��� ���!��� -����� 4/ ��� 8���?��

��7��� *��� 4!����(r3 = r1 + r2) #����� �� @�!�� � � � +5� 4!%5��� 4!�� �!�� 4/ B/.

���12

#������� #��� �&�/

A =

1071

431

321

����

����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 . :��!��� 4�� #�!R:& 6����� 4�� I����� 4H� ��!%�� �������

2×2 ����� B��� ) ��!E .7�� -��� -��� ?7��7�� ������� I�I� 6������ �%� *���

31

21

4L� ������ ����� B��� ) ��!E�ρ(A) = 2 . � 8�?��r3 = 2 r1 + r2 4!%5��� 4!�� �!�� 4/ B/

#����� �� @�!�� � � � +5�.

Page 124: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

119

��� �

#%5����� -����� ��� !+�� ��!��� �8�� �� �8��� ��&�� @�!!��) 7��� �� �2* �2� $����

#�!���� #�%7��� ��� 0���. ���7 4�� ��� 4��2! #������ )6����� ����+� @�� B����� ( ��� 4!�!��� *���� ��

�����.

���13

#������� #��� �&�/

A =

−−−

642

321

321

����

����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 ) 4�r3 = 2 r1 4� �/r2 = – r1 .( 4H� ��!%�� �������

:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������2×2 ������� B����� ) �� ��!E . 4��� ���������� G��!�& 4/ ���&� ��� �

:!���2×2 4� ����� B��� ��!Er3 = 2 r1 =���2�r2 = – r1 . 4�� #�!R:& 6����� )� ����/ ��5��! ?��

:��!���1×1 ������� B����!) ������� ������� B/ .���� �� ��� 4/ C��ρ(A) = 1. ���� �!���� 4/ �����! ���� �

?5����� �������)*��� -����� 42!���� ( ����� ���� ����� -����� ���� 4��� �� %� *����� -������� �E����

�5!5�. �� *��� -��� ����−1 ��7�� -��� �%� *��� . ��� *��� -��� ����2 *����

I�7�� -��� �%�.

���14

#������� #��� �&�/

A =

542

321

����

������ ����2/ 4��� I������6 :��!��� 4��� �� �/ ���&� #��!R:&2×2 . �!�����3 *��2 C����� :��!��� ���� 4��� ��������

6����� ��/ -�� 4� 6���� .��� ?7��6������ �%� *��� *��� ������ -

54

32

4L� ������ ����� B��� ) ��!E�ρ(A) = 2 4/ ����! ��� �4!%5���� 4!��� �!���. ��� � 4� ;!���

) ��7�� -��� �5!5� ��� �� *��� -��� ��� @!%� *����� 42�!.

Page 125: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

120

��� �

4/ ���2 #��������� #�����B����� #%5������� -������� ����� ��!+�#%5������� 6������� ����� B����� ���!/ ��� �

A��!+� 4!������ 4�������� ���� � .����� #��%7��� ���� =���� G����� 9���5%� 4��2�!�#5� . ��� �?��2�� ����5� -�����

�)����� *� �� @&��� � � =�� 4� -����� �%� #!+��� .

���� �'��������� ����(

*7�� ��� #������� #����� -����� ��� ��� B��� � � !+� #%5�����6��� !+� #%5�����.

� -� �� ��� 4H� ���� #������� #��� �%� 9�5�� -��� 4/ ��� *��� #���� #!�8��� ��� � � ��!R��

#!+��� �)����� . �! ���� -!��� +5� �� �5��E#������ #������� -!��� � � #!�8��� D� ��� *�.

������ �������� Augmented Matrix

#!+��� �)����� 4� #���&� B/ 4/ ��2� 4/ $�� 6����� >�� �%� ��� 42�!

A X = B

I!�A � #����� � �?�����X � *! &��� ����B #�5%+��� ������� ����. 4�� ?�2 ���� ���E ���

4!����������A, B #�������� #��������� �����! ��� ���%� *����� ����L� 6������ #������� ���� . D��� � :����!�

:���� #�������augA

�)����� #���&� �!�� 42 ��� *7��� *!�� �%��

x + 3 y = 2,

2 x − y = 1

����� #������ #���

augA =

− 112

231

�)����� #���&� �!�� 42 ���ٕ�

x + y − z = 1,

2 x − 2 y + z = 2,

x + y + 2 z = 0

� #������ #�������

Page 126: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

121

augA =

0211

2122

1111

� *��� #����� #�!�8��� ���� ���� 4H� -��� #������ #������� -!��� ��2� 4/ ���#�!+��� �)����� .

#��&���� �!M �)����� #�� �� #!�8��� /����. ��� 4�2�� #�!�8��� D�� � ?!���� ���7� �2��� 4�� 4����

#�?�� #!�8��� D� *�5�!�� #����� ���� � � =��/ �E 9�5�� 42. �!3� -��� � ��� 6��&���� �����

#!�8��� D� -%� #�%����� ��� ��7/�%7��� K#.

�� ��� ������ ��� ���� ����#�� ��#%���� ��$

#��&���� �!M #!+��� �)����� 4� #���&� B/

A X = B

��n *! &��� 4�:

)1 (�!�� *� � 4�2! 42 ���

ρ(augA) = ρ(A) = n

)2 ( 4�2!�*�%��� 4� �R � ) ��� � 42 ���

ρ(augA) = ρ(A) < n

)3 ()�4�2! � �$?+Q� �%� * 42 ���

ρ(augA) ≠ρ(A)

#!�8��� D� $!�+� ;��� #%7��� ��� 4H� ���� . 9��5�� �2���� ���/ �� #��!�+ 4!�!��� ���/ ��� �

*������ . *������ 4!���!�� ����/)����&� 4� (����42�! D����&!� -������� #���5!�+�)#���!��!�� #���5!�+�� ( �������2 #���5!�+ �/

)��������� ( #�������� >��2�� #�5!�+ �/)��� �2� $����( �/ >��&� -����� #�5!�+����� ��!�� � ����

9�5��#!%���� �5!�+��� �� ������� $�+�� �72/ � � ��� �� #! � ��.

���15

*��� �� 4!�� �!�� *� � #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/

x + y + z = 6,

2 x − y + 3 z = 9,

Page 127: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

122

x − y + z = 2

����

/��� #��2� )�/�)����� #���&� 4/ �&�� �������� ������� 6+����

A =

111

312

111

, X =

z

y

x

, B =

2

9

6

� #������ #������� 4�2��

augA =

2111

9312

6111

4!�������� 4� ?2 #��� ��� 4H��A, augA .����� #�������� ���� #A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6

#���� #������� 4� ��� #������� 6���� � #!R:& .4/ �&� 6������ D� ����

|A| = 2 ≠ 0

4/ C���� ���ρ(A) = 3.

#������� ��� #�����augA ���� ��2/ 4/ � 8�?�6 � #!R:& :!��� 4�3×3 ������ #���/ �!���

��� �� 4�6����� ��/ -�� 4� � �� *2 C��� :! . 6������ �!�� �5��! ?7� �!��� ������ ���� ��L�

111

312

111

� D� � #������� 6����A ������ ���� B��� ) �/ �!� 4/ $�� �E�L�4

ρ(augA) = 3 #!���� #&!���� ��� �%�� �5� ������

ρ(A) = ρ(augA) = 3

��� *! &��� ��� 4/ � 3 �!�� *� � �)����� D� 4L� .

� 4/ �����&� *������� 4!����!��� �?��������� #��������� #��������� 42�!����� #�������� *������� 4!����!�� >�����2�� �����������

#������� . )�/ ����A−1 4��5�� 4�

adjA|A|

1A 1 =−

�%� *����

A−1

=

−−

=

−−

321

101

422

2

1

314

202

112

2

1

t

Page 128: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

123

*��� �&�� �7 �� 4�#E?�

X = A−1

B

4/ B/

X =

=

=

−−

3

2

1

6

4

2

2

1

2

9

6

321

101

422

2

1

� *��� 4�2!�

x = 1, y = 2, z = 3.

! ?��� #%5����� 6��+���� I?7���� �)������� D��� 4/ ��� 9���5�� 8���?!� 4��� � ������ ���%� *������� 4��2�

!����4! )=�� #����� ��7� �2( .���%5��� �)��� I?7 �!��� *! &� I?7 �!�� 4/ �!�� *��� #.

���16

�&� 4� *��� �� 4!�� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���

x + y = 3,

2 x − 4 y = −6

x − y = −1

����

B����! ) �)������� ����� 4/ ��� 8���?�)2/ *������4��� �( *��! &��� ����� . $��!�+� ���� �7N��! ) ���� 4��2��

�������+��� >������ G�������� *����� #�������� #����!�8��� . )�/ /������� #������2��)��������� #�������&� ����������� 6����+����

��4/ �&�� ������

A =

11

42

11

, X =

y

x, B =

1

6

3

� #������ #������� 4�2��

augA =

−−

−−

111

642

311

4!�������� 4� ?2 #��� ��� 4H��A, augA .���� #����� #��������A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6

� #!R:&:!��� 4� 2×2 :�!��� ��� 4� ������ I?7 �!���)-������ ���/ -���� 6����� *�2 C���� .(

42��� � ��/ ����

Page 129: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

124

11

42

− = 2 ≠ 0

4/ C������ρ(A) = 2. #��������� ����� #�������augA ������ ����2/ 4/ ��� 8���?�6 ��� #��!R:&����� 6�

� � ��� #������� :!��� 4�3×3 4/ �&� 6������ D� ����

|augA| = 0

:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������ 4H� ���!%�� ��������2×2 ������� B����� ) �� ��!E . -����� ?7����

7�� ������� I�7�� -����� 6������ �%� *���:

11

11

�� ����� B��� ) ��!E� 4L� ����ρ(augA) = 2 . �%�� �5� ������ 4H�#!���� #&!���� ���

ρ(A) = ρ(augA) = 2

��� *��! &��� ����� 4/ ����� 2 ���!�� *��� �� � �)������� D��� 4L��� . 4��� 4!������� ����<� *����� ���� 4!��!���

� %� �&!� *���� 6+���� I?7�� .6�!��� #������� ����� #������ �����%�

x + y = 3,

x − y = −1

4/ �&� 4!������� G�&��

2 x = 2

x = 1

4/ �&� ����� #������ �� �!������

y = 3 − 1

y = 2

*���� ��� �x = 1, y = 2 6�+���� �)������ ��� #�!�7�� #������� ��+E $�5�!. 4/ �� 9��5�� 8��?!�

#%5����� ����!� 6��+���� I?7���� �)�������) #������� ����7� ���2=���� .( ����� 4/ ���&� #������� ���� 4��� *���

#%5������ �)�����2 +�5� .��!�� *���� 4!�%5���� 4!������ �!���� 4!��� &� �!��� 4/ ���� . ��8� -��%��

����! ����E #���5!5� ������ 9����5��!�F� 4���2�� ����8��� �����&�� ��� 2��� � -�����/ I?���7 4/ ���� � ��� �� #�������� ����

�� 4!���������� (�����&� ���� #���7�7�� #���������#���!�7��� ������ . 4���� #%5������ �����!� #���7�7�� #��������� ���������

#!�7��� ����� 4!�������.

���17

*� � >!� #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/

Page 130: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

125

x + 2 y + z = 4,

2 x − z = 1,

−3 x + 2 y + 3 z = 3

����

#��2� )�/ /����)����� #���&� &�� �������� ������� 6+����4/ �

A =

323

102

121

, X =

z

y

x

, B =

3

1

4

� #������ #������� 4�2��

augA =

3323

1102

4121

4!�������� 4� ?2 #��� ��� 4H��A, augA . #�������� ���� #�����A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6

��� 6���� � #!R:&#���� #������� 4� ��� #���� .4/ �&� 6������ D� ����

|A| = 0

:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������ 4H� ���!%�� ��������2×2 ������� B����� ) �� ��!E .� -����� -����

�� ������� I�7��I�7 6������ �%� *���:

02

21

4L��� �������� ������� B����� ) �� ��!E�ρ(A) = 2. #��������� ����� #�������augA ����2/ 4/ ��� 8���?�

������6 ��� #��!R:& :��!��� 4���3×3 ����/ -���� 4��� � ���� *��2 C����� :��!��� ���� 4��� �������� #�����/ �!�����

6����� . 6������ �!�� �5��! ?7� �!��� ������ ���� ��L�

323

102

121

� D� � #������� 6����A 4/ $�� �E� ��L�� � �!M 4�� I����� ��!%�� ������� ����� B���� � �/ ��!�

6������ �!�� �5��! *��� ������ ����

332

110

412

− = −2 ≠ 0

4/ C����� ���ρ(augA) = 3. #!���� #&!���� ��� �%�� �5� ������

ρ(A) = 2,

Page 131: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

126

ρ(augA) = 3

4/ B/

ρ(A) ≠ ρ(augA)

!�8��� $!�+���*� � >!� 6+���� �)����� #���&� 4/ �&� #���� # .�� 4� =������!�� -�+ ���

6���!��� #��������) :������ @���� :�������r3( +�����! 4��� *���2� ������� #������%� �����!�� -���+��(r1) -����+���

#!�7�� #������ ��!��(r2) #E?���

r3 = r1 − 2 r2

����!� 4����!�� -����+��)%+��� ���������#��5( D���� 4/ 4!����! ����� #���E?��� ��� $���5�� ) I?7����� �)�������� �����

*�� � � >!%� ����� 4� T3 �!� �)����� . #��!�+ ��%� -����%� ������� D�� � 9��5�� "���! )�

=�� 4� #����� �� �%� #�R5�� #���� #!�8��� �!�F� *� *��� . =���! ���� ;!������ ��� ���2� 42��

���� 9�5��#!�8��� D� -%� 6��&���� ��.

���18

*��� �� 4!�� *� � #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/

x + y + z = −2,

3 x − y + z = 2

����

@!�� ��3/ �� 9�5�� �2��� 4/ � � 5� 4�2 B��! ) �)����� ���) *� � 4� *E/ ( *�! &��� ����

#���� #!�8��� $!�+� �� �7N! )���+��� >�� G���� *�. #���2� )�/ /����)������ #����&� 6�+����

4/ �&�� �������� �������

A =

− 113

111, X =

z

y

x

, B =

2

2

� #������ #������� 4�2��

augA =

2113

2111

4� ?2 #��� ��� 4H�� 4!��������A, augA . #�������� ���� #�����A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6

#!R:& :�!��� 4�� � 2×2 :�!��� ��� 4�� ������� I?�7 �!����)�� ���/ -���� 6����� *�2 C����6���� .(

42��� � ��/ ����

Page 132: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

127

13

11

− = −4 ≠ 0

4/ C������ρ(A) = 2. #��������� ����� #�������augA ?������� ����2/ 4/ ��� 8���6 ��� #��!R:& :��!��� 4���

2×2 4� ������ #���/ �!������ -��� 4�� � �� *2 C��� :!��� ��4!�� .������� ����� ��L��4! �� I��7

G������ 6������ �!�� �5��! ?7�

13

11

� D� � �/ ���� 6������ >��&�� ��� ��!E ����� B���) ��2 . � �����L� 4ρ(augA) = 2. 4��

�7 #!���� #&!���� ��� �%�� �5�

ρ(A) = ρ(augA) = 2 < 3

� *! &��� ��� 4/ ��� 3 � �)����� D� 4L�*�%��� 4� �R �) ��� . #!�!2 9�5%� ;��� 4H��

*������ ����� 6������ ����%� *�������� . 4!�������� �!����� 4/ �����)4!�%5������ ( *���! &� I?���7 ���������� �����/ ��

42!�� #!�!��� #�!E B��! *! &��� z = t .#!�!��)� #�!5�� D� #�)�� *! &��� �E� �&�� =�� ���� .

4� 4!�+���� 4!������� �� �!�����z = t �%� *���

x + y = −2 − t,

3 x − y = 2 − t

4/ �&� 4!������� G�&��

4 x = − 2 t

x = −0.5 t

����� �� �!�������%� *��� ����� #�

y = −2 − t − x

y = −2 − t + 0.5 t

y = −2 − 0.5 t

� *��� 4/ B/

x = −0.5 t, y = −2 − 0.5 t, z = t.

I!�t #!�!��� #5!5� #�!E *�%��� 4� !R �) ���� �!�� 4/ ���! �� . *�E� *�7��� ��� =���� 4/ ���%�

#���� #������ @���/ ������ 9���5�� ���8� <���3���� ������� #����?���� *����%��� 4��� �R��� �� �)�������� ����� O���5�

)#%5����� (*! &��� ��� 4� .#������ �� @�!�� #%5����� �)����� 4� ����� �� � . ���2 *�7��� ��� ����

#�������) 4!���������� 4��� *��2�A, augA ( B�����2 ������� ����&� ���� ���� *��! &��� ����� 4��� *��E/ B/

��?*��%��� 4�� �R � .� #����� D�� ��� *���� 6���� 4!�!��� ��/ D������ B���� �%��� �� ��������� ��

Page 133: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

128

#���� #�����*���%��� 4��� �R�� �?�� ������� #���� ���� . *��! &��� 4��� ����� �������) �)������� ����� B����!

6����5���� (�!��5�� D��� #���)�� *��! &��� �E��� ���&��� #��!�!��� �!��5�. �� #��!%!%���� #����� �� #������ ������ #��!M���

4!!������ G+5� 4� C���� U����� �� �!5����� +��� #���� *7�! *��� �� 4/ 9�5�� 0�! -��.

#����&���� ���!M �)������� #���� ���� #��!+��� �)�����%� #������ #��!�8��� ������ ���E 4���2� *��7��� ���� �� .

#��&���� #!+��� �)����� *�� #���� #!�8��� ��� 4H� *5����.

���� ��� ������ ��� ���� ����# ��#%����

#��&���� #!+��� �)����� 4� #���&� B/

A X = O

��n *! &��� 4�:

)1 (�!�� *� � 4�2! B��� 42 ���

ρ(A) = n

)2 ( 4�2!�*�%��� 4� �R � ) ��� � 42 ���

ρ(A) < n

#���&���� �)����� 4/ #!�8��� D� 4� 8�?��*�� � � ��R�� . 4�� #����&� B/ ����E ��2 @��� =����

B������ *���� � 55�! ��R�� #��&���� �)����� . #�%7��� ���� 4H� ������ ����� D�� $�!�+� ;����

#!�8���.

���19

B����� *��� 0�� *� � >!� #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/

x + y = 0,

2 x − 3 y − z = 0,

x − y + 2 z = 0

����

#��2� )�/ /����)����� #���&� 4/ �&�� �������� ������� 6+����

Page 134: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

129

A =

−−

211

132

011

, X =

z

y

x

, B =

0

0

0

#������� #��� ��� �7A 4/ �&��

|A| = − 12 ≠ 0

4L� ������

ρ(A) = 3

�! *! ���� ��� 4� I!�� B�3 B����� *��� � �!�� *� � �)����� 4L�.

���20

*��� �� 4!�� *�%� #!�H� �)����� #!%�E >���

x − 2 y + 3 z = 0,

3 x − 6 y + 9 z = 0,

4 x − 8 y + 12 z = 0

����

#��2� )�/ /����)����� #���&� � ������� 6+�����4/ �&�� ������

A =

1284

963

321

, X =

z

y

x

, B =

0

0

0

#������� #��� ��� �7A 4/ �&��

|A| = 0

4� ����� 4���� ;���� =����r2 = 3 r1 ) =���2�r3 = 4 r1 .( 6����� 4�� I����� 4H� ��!%�� �������

:��!��� 4��� #��!R:&2×2 ������� B����� ) �� ��!E .4/ ���&� ��� � :��!��� 4��� ���������� G��!�&2×2 �� ��!E

4� ������ B����r3 = 4 r1 =���2�r2 = 3 r1 . :�!��� 4�� #�!R:& 6����� )� ����/ ��5��! ?��1×1 B/

����� B��!) ����� ����� . 4/ C���� ���ρ(A) = 1. �R� �) ��� � �)����� D� 4L� ������

*����%��� 4����. � *������ ����� 6������ ����&!Q� B�����! #%5�������� �)����������� 4/ 8����?1 =���� � ���������

4����5�� 4������ .4!�� 4�� �!����� 42!��� #�!�!��� �!�5� 4!��� &� ����� 4!��������y = a, z = b

�%� *��� ����� #������ �� �!������x = 2 a − 3 b 6����� ��<! *��� 4/ B/

x = 2 a − 3 b, y = a, z = b.

Page 135: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

130

���21

��7�� #�!E �&�/k ���B����� *��� �!M ?� #!�H� �)���%� *�&� �

k x + y − 3 z = 0,

y − k z = 0,

x − y − z = 0

����

#��2� )�/ /����)����� #���&� � ������� 6+�����4/ �&�� ������

A =

−−

111

k10

31k

, X =

z

y

x

, B =

0

0

0

B����� *��� �!M ?� #!�H� �)����� D� � 4�2! �2��)*�%��� 4� �R �) ��� B/ (4�2� 4/ ��?�

ρ(A) < 3

4�2� 4/ ��?� =�� $5��! �2��

|A| = 0

���2 ��� @��|A| ≠ 0 ���2�ρ(A) = 3 . ��&�� 4H��|A| #��)��k *����� ?7�� *��� ������� ��������

%��

|A| = k × (−1 − k) + 1 × (−k + 3) = −k2 − 2 k + 3

G����|A| = 0 �� #!���� #������ �%� *���k

−k2 − 2 k + 3 = 0

�� �����−1 6����� �%� #������ ;���

k2 + 2 k − 3 = 0

���%� *��� ��!�� -�+�� *!%��

(k − 1) (k + 3) = 0

�!5� �7 4��k � B����� *��� �!M ?� 6+���� �)���%� *�&� ����

k = 1, k = −3

��� �

#!+��� �)�����)#��&�� �!M �/ #��&�� ( *�� � � 42 ���) �/ ��!�� �����R� �) (#�5����� ����� .

#��5����� ���!M ������� $?��+Q� ���%� *��� �� � 4��2! ���� ��� ���/ .�)������� *���� #������ #��!�8��� ���%� K�����

4/ �&� ��. ��2� ���� #!+���:

Page 136: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

131

)1 (#5����� �R�� #��&���� �)�����.

)2 (42 ��� #5����� 4�2� #��&���� �!M �)�����

ρ(aug A) = ρ(A)

42 ��� #5����� �!M 4�2��

ρ(aug A) ≠ ρ(A)

�������� �� #� #�<��� ���� ��� �� � �����)������ $!7� +���� �� #�!+��� 4!�!�� �� �

����� ���&�� ���! �&#�����%� 6:!���� � .

6 .*+����� �,%����� *+����� ��'%��

Eigen (Characteristic) Values and Vectors

6:��!���� ��� &����� 6:��!���� �����&�� !���!� �����5��� ������ )�/ /������ . D��� 4!��!�� #��5!�+ C������� ���7

�?2�� ���� �7 �!�2���%!2 #!�8� � � (������ �� � $%��� #� #!�8� �2��–4��%� .

*+����� �,%����� *+����� ��'%�� -���

#���� #����� �!�� 42 ���An×n ��� 4!!�� 42�/�λ B��� �!M @&���Xn×1 #E?��� $5�� I!��

A X = λ X

�������� 4L����λ :���!���� �����&�� ������!)6:���!���� #����!5�� �/ (#��������%� A @���&�����X :���!���� @���&���� ������!

#�����%�A . ��� 9��5�� � � ����!�� 42�� 4H� ��� *&� >!� 6�!�� �5!�+� � �!�2�� D� �

#!R����3��� ���!%����� ����H� �2������� ������5� *��7� #����5�� ������5� . -���!���%� +��5� ������ 4����� ���� ���/

�� �������2 ����� #��!�!2� �!���5��� D��� � ����!���#��!+��� �)������ *��� (����� . -��!��� ;!������ 4H��

#������� ����� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&��

A =

− 31

21

����� � #���� D� �� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&�� ���5���λ @&�����

X =

y

x

I!���#E?��� $5��

λ=

− y

x

y

x

31

21

Page 137: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

132

4!��� &��� ��� 4������ )� �� �� #5����� ��E?��� 4/ 9�5�� 8�?!�x, y ��%� �� ���2 4�2�! ������

6�����

x + 2 y = λ x

−x + 3 y = λ y

6����� �%� 4���&�� 4����� � �/ B/

(1 − λ) x + 2 y = 0

−x + (3 − λ) y = 0

�� ���2 6��� 42�! �)����� D� ��%! �2 0��/ 6�� �������� 6��

=

λ−−

λ−

0

0

y

x

31

21

#�������� )� �� �� �� �?������ #�������A − λ I I�!�I :�!��� 4�� 6������ #������ �� 2×2 .

:��!��� 4��� #������� B� 6:��!���� ��� &����� �����&�� #�<���� 4���2� *��7����n×n . 9���5�� -����� 4/ ������

���&�� !�!� ���5��� �%� �!�2�� D� 4!!�� #!�!2 ��� -��� 6:!���� � &����� 6:!����.

*+����� �,%����� *+����� ��'%�� .���

#���� #����� �!��An×n �5!5� ��� 4!!�� �%+����λ B��� �!M @&���Xn×1 #E?��� $5�� I!��

A X = λ X

6����� �%� ���2 42�! #5���� #E?����

A X − λ X = 0

� #������� 4/ ��I 6����� �%� #5���� #������ #��2 42�!� ������ �!���� �

A X − λ I X = 0

6����� ��� *�� G�&�� �%� G!:���� *�5� �������� �� #!%�� 4/ ���

(A − λ I) X = 0

@&���� *! &� �� #��&���� �)����� 4� #���&� )� � � 6����� D� �X � ���� �2 *�7��� �

6:���!���� ���� &����� ������&�� -���!��� W����3� �����. D������� B������ . 4���� #������&��� D���� *���� 4!������ 4H��

#��&�� �)��� �/ 8�?� �)����� . � 4/ 0�� #���� #!�8��� 4��:

)1 (�!�� *� )B����� *��� � � ( 42 ���

ρ(A − λ I) = n

Page 138: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

133

)2 (*�%��� 4� �R � ) ��� 42 ���

ρ( A − λ I) < n

4� B����� *��� �!�� ) 4���X B��� �!M @&�� . 4�2� 4/ ��?� ������

ρ( A − λ I) < n

4�2! 4/ ��?� =�� $5��! �2��) *7� �� D��2� � G&���! 4� 9�5�� �%�21(

|A − λ I| = 0

�!E 4!��� #������ D� 4��λ )6:!���� ���&�� ( �!5�� D� � �!����� �7�)����� #���&� *� G!+���

(A − λ I) X = 0

6:!���� � &���� �%� *������ .�%+��� � �� � .�%! �!� ���+��� D� O�%��.

*+����� �,%����� *+����� ��'%�� .��� ��� �

)1 ( #�)�� #!���� 6������ ��λ

|A − λ I|

�� ���� 6�!72 4� 6��� 4� 4�2! C�����λ �����"*+����� ������ *��.

)2 (#������ *�

|A − λ I| = 0

���� �����*+����� ������ .6:!���� ���&�� � #������ D� ���& 4�2��.

)3 ( �!E 4� #�!E *�<� �!�����λ �)����� #���&� 4!�2��

(A − λ I) X = 0

)4 ( ��E� 6��+��� ��� 6��2����� �)����� #���&� *�)3 (� ��%� *����%� �8����� *��� :�!���� @�&���

�!E 4� #�!E *��λ.

)5 ( 4!��+��� ���2�)3 ( �)4 ( �!E G!�&�λ 6:!���� � &���� G!�& 4!!���.

���+��� D� $!�+� ;��� #!���� #%7����.

���22

#�����%� 6:!���� � &����� ���&�� �&�/

A =

23

21

Page 139: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

134

����

�!72 ��� /���6:!���� ������ 6

|A − λ I| =

λ−

10

01

23

21

= λ−

λ−

23

21

= (1 − λ) (2 − λ) − 6

= λ2 − 3 λ − 4

6:!���� #������ 4�2� =�� ��� �7

|A − λ I| = 0

B/

λ2 − 3 λ − 4 = 0

�%� *��� #������ D� 4� ��!�� -�+�� *!%����

(λ + 1) (λ − 4) = 0

7 4�� � 6:!���� ���&�� 4/ C���� �

λ1 = −1, λ2 = 4

4� ����� *��� :!���� @&���� ��� 4H��λ = −1 �)����� #���&� ��

(A − λ I) X = 0

�%� *����

=

0

0

y

x

33

22

4!������� 4!� *�� �7

2 x + 2 y = 0,

3 x + 3 y = 0

��� #���� 4��2! GE���� �� � �/ 8�?�� *���� � *��� 42 )�ٕ� =��2 ���� 4�2! 4/ ��)� #%5��� 6�

B����� .42!�� *! &��� ��/ ���� 6��5���� #������ 4� �!���� -�� 4H��

x = a

4/ 0�� �!������

y = −a

*��� :!���� @&���� 4�2!�) :!���� ��&%� �8����λ1 = −1 (�

Page 140: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

135

X1 =

− a

a

I!�a #�!E 4<� 9�5�� �2��� #!�!��� #5!5�λ1, X1 #E?��� �� 455��

A X1 = λ1 X1

��7�� :!���� @&���� 4/ ��7! 4/ 9�5%� 42�! *7����) :!���� ��&%� �8����λ2 = 4 (�

X2 =

b5.1

b

#E?��� $5�! 4/ ��) B����

A X2 = λ2 X2

���23

� &����� ���&�� �&�/ #�����%� 6:!����

A =

502

211

420

����

6:!���� ������ 6�!72 ��� /���

|A − λ I| =

λ−−

−λ−

λ−

502

211

42

= −λ [(1 − λ) (5 − λ)] − 2 [(1) (5 − λ) − 4] + 4[2 (1 − λ)]

= −λ (1 − λ) (5 − λ) − 2 (1 − λ) + 8 (1 − λ)

= (1 − λ) [−λ(5 − λ) − 2 + 8]

= (1 − λ) (λ2 − 5 λ + 6)

= (1 − λ) (λ − 2) (λ − 3)

6:!���� #������ 4�2� =�� ��� �7

|A − λ I| = 0

B/

(1 − λ) (λ − 2) (λ − 3) = 0

� 6:!���� ���&�� 4/ C���� �7 4��

λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3

Page 141: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

136

4� ����� *��� :!���� @&���� ��� 4H��λ = 1 �)����� #���&� ��

(A − λ I) X = 0

�%� *����

=

0

0

0

z

y

x

402

201

421

�)����� #���&� B/

−x + 2 y + 4 z = 0,

x − 2 z = 0,

−2 x + 4 z = 0

+���5� 4!�%5������ 4!�������� 4������2! G���E���� ����� ���� �/ 8����?��) ������ #���!�7�� ������ ���� #���7�7�� #��������� 4�

�� ����−2 .(��) @�/ $���� *7��� �� ���E �2� =���2 ����� 4��2! 4/ �) �)������ ���� *�5! 4<��

*��! &��� ����� 4��� #%5������� (B������� *����� ��� *����� 4��2 )�ٕ� . #�������� 4��� �!������ -���� 4H��

42!�� *! &��� ��/ ���� 6��5����

z = a

4/ 0�� #!�7�� #������ �� �!������

x = 2 a

4/ �&� ����� #������ �� �!������

y = −a

*��� :!���� @&���� 4�2!�) :!���� ��&%� �8����λ1 = 1 (�

X1 =

a

a

a2

4<� 9�5�� �2���λ1, X1 #E?��� �� 455��

A X1 = λ1 X1

��7�� :!���� @&���� 4/ ��7! 4/ 9�5%� 42�! *7����) :!���� ��&%� �8����λ2 = 2 (�

X2 =

b2

b

b3

I�7�� :!���� @&���� �/) :!���� ��&%� �8����λ2 = 3 (� �

Page 142: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

137

X3 =

c2

c

c2

��� �

6:�!���� �� &���� 4� �R �) ��� D�8�! :!�� ��& B/ 4/ #5���� #%7��� 4� 9�5%� 4!��! . @�&�� B/�

��. :!�� @&�� �� ��7 ���5� B��! � �� :!��.

����� #���%7��� ����!�� ���� #���!�!2 #5������ 4!����!� ������� *���7��� ���/ 6:���!���� ��� &����� ������&! #���� #

6:!���� � &����� ���&%�.

���24

42 ��� @�/ ��7/λ #�����%� �:!�� ���&A 4L�λ2 #�����%� :!�� ��&A2.

����

4/ ��λ #�����%� :!�� ��& � A #E?��� $5�! @�L�

A X = λ X

I!�X �� � ��&�� �� � �8���� :!���� @&�� . #������� �� #5���� #E?��� ���+ ����A *����

�%�

A2 X = λ A X

#!%��� #E?��� 4� 4�!�� -�+�� �� �!����� �7

A X = λ X

�%� *���

A2 X = λ (λ X)

4/ B/

A2 X = λ2

X

4/ 0�� #E?��� D� 4��λ2 #�����%� :!�� ��&A2.

��� �

���6������ ��%� ;����� #�� �� !���� 42�! #5���� #E? : 4�2 ���λ #������%� �:�!�� ����&A 4L��λn

#�����%� :!�� ��&An I!�n &�� ;!�� ���.

Page 143: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

138

��� ����%� # ���3� 0����/ O����� ���&�! $������ *��7��� ���� 6��2������ #!������ . �� ��7� 9���5�� ������!�

� D����� B��� �%��� >��� #�� ��$���� *7��� �.

*+������ ��'%/� ��0 1���

42 ���λ #�����%� �:!�� ���&A 4L�

)1 (λn #�����%� :!�� ��&An I!�n &�� ;!�� ���.

)2 (λ−1 #�����%� :!�� ��&A−1.

)3 (k λ #�����%� :!�� ��&k A I!�k �5!5� ���.

���25

�������� 4� *2� 6:!���� ���&�� �&�/A2, A

−1 I!�

A =

502

211

420

����

*7� �� 6:!���� ���& �!�� $�� ���� � 6+���� 6������23 ��2�

λ = 1, 2, 3

#�����%� 6:!���� ���&�� 4�2� #5���� O����� �%� K���A2 �

λ2 = 1, 4, 9

#�����%� 6:!���� ���&�� 4�2��A−1 �

λ−1 = 1, 1/2, 1/3

�� ���� #�!�8� �� � (������� ��� � $�%��� #�� #�!�8� �2��� 6:�!���� �� &����� 6:�!���� ����&�� ��� �?�2

�%!2–��7� 4��� � �2�� ����� 4��%� .

2/�" ����#–.��/�0

6:!���� ����� $5�� #���� #����� B/ 4/ �%� #!�8��� D� O�� .

#!�8��� D� 4� ���5��� ;��! ����� *7����.

Page 144: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

139

���26

�%!2 #!�8� $5�–#�����%� 4��%�

A =

23

21

����

�� ��&�/ 4/ $��� *7� �� #������� D� � 6:!���� #���22 6����� �%� ��2�

λ2 − 3 λ − 4 = 0

4�� ���!�� -��+�� ��� ����� #�!�8��� $�!5��� 4H��λ #��������A -���+�� B���! C����� 4/ ���7��

�� 4�!)#���� D� �� #!��� #����� 4�2!� B���� .(#E?��� �!����� ��� �!�� 4H�

A2 − 3 A − 4 I

$%+��� ���� ���2 ��/ 8�?��4 6���� ��%�4 I ��� � ��������� G��& #�!%�� K���&� ��� �����! ����

#!�8��� D� $!�+� ��� �� /��� .�%� *��� #5���� #E?��� �� �!������

=

00

00

10

014

23

213

109

67

@��7� �%+��� � �.

����� *7��� �� �5!�+� ��/ ��5� #!�8��� D� �%� ����� 4/ ����.

���27

��%!2 #!�8� �����–#������� >�2�� ��� 4��%�

A =

502

211

420

����

�� ��&�/ 4/ $��� *7� �� #������� D� � 6:!���� #���23 6����� �%� ��2�

(1 − λ) (λ − 2) (λ − 3) = 0

�� ����� >��E�� =���−1 6����� �%� #������ 4�2�

λ3 − 6 λ2

+ 11 λ − 6 = 0

Page 145: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

140

�%!���2 #���!�8� ���5�+ 4H��– 4���� ������� ��� #�!����� #���E?��� D���� *���8� 4��%���� λ #����������A ) G����

$%+��� ���� *������−6 #�������−6 I �� ������*��E 4�� ���2� �2 #!��� #����� 4�!�� -�+ .(

�%� *��� �!����� �� K��&L��

A3 − 6 A

2 + 11 A − 6 = 0

#������� �� #5���� #E?��� -�+��A−1 6����� ��� #E?��� *����

A2 − 6 A + 11 I − 6 A

−1 = 0

4/ B/

6 A−1

= A

2 − 6 A + 11 I

#������� �� 42�! �7 4��A−1 ��� 4� #E?)>�2���� �� 4��E ������� 4� *!�� �� �(

A−1

= 6

1(A

2 − 6 A + 11 I)

� C���� 4�2!�

A−1

=

−−

−−

242

481

8105

6

1.

#������� >�2�� 4��E ������� C���� >�� �� 9�5%� =��!�.

7 .!�%� -'��� ���� Gauss Elimination Method

��� ������� 6�����%� #��R�2� #+!���� 0����/ 6����� ����� #��!+��� �)������� #�����&� *��!��� ���%� #��5!�+�� D

�� %� * ���! 4��2�� ������� . -��!2 ����. *��7� ���� 0���� ���7 #+!������ 6������� D��� ���%� *��7� ������ /������

����!%���� ������! ���� ���������� #+!������� 6�������� D���� ������ #���!+� �)������ #������&� B/ *���!��� 4���2�!

#!���� A #����&� *��� +�5� >!�� >��&� -����� #�5!�+ �������� 4!��� #%7��� 4� ��� =�� ��� �2�� �7

#������� #��� ��� *��� #�!�+ 4!!��� �!/ *� #!+��� �)�����.

���28

#!�H� �)����� #���&� *� �&�/

x + y + z = 2,

y – z = –1,

–5z = –10. ����

�� 4� #���&��� D� *� 42�!#!���� ���+��� (��� #�� �� #!+��� �)���:

Page 146: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

141

1. �%� *���� 6�!��� #������ *�� /���z = 2

2. ���� #�!5�z �%� *���� 6�!��� *�E #������ ��y = 1

3. ���� ���!5�y, z ����� #������ ��� �%� *���x = –1 .

�?����� #����� 4/ 8�?�6����� ��<� �

A =

500

110

111

!%� #!7%7� #����� *7�� � � . 4L� !%� #!7%7� #����� � �?����� #����� ��2 ��L� ������

*7��� �� �� �� �� # �3� #+!�� 6���� ��! 4/ 42�! �)����� *� . 42�! @�<� �%��� �� :!��!�

B/ �%� @5!�+� ���6�!��� #������ *�� /���� �)����� 4� ��� #5���� �)����� �� �!����� �7

��� ��!*! &��� G!�& 4!!��. )��� #!7%7��� #������� 6��� ������� =��2 42�!��%�(

)7��� 4!�!4 !����4 *7��� �� 6��&���� 6����� ��� #!+� �)��� ����&� B/ *!��� #!�!2

$����.

���29

!�H� �)����� #���&� *� �&�/#

x + y + z = 2,

2 x + 3 y + z = 3,

x – y – 2z = –6. ����

6����� ��<� � �?����� #�����

A =

−− 211

132

111

#!���� ���+��� (��� 6����� D� ��� %!��� 42�! 42�� A!%� #!7%7� #����� ��!� � �:

1. � *��� -��� ���� –2 � A��7�� -��� ��� @�!�� �7 �� *��� -��� ��� –1 �7

I�7�� -��� ��� @�!�� #!���� 6����� ��� #������� *�����

−−

320

110

111

Page 147: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

142

2. �� ��7�� -��� ��� 2 7�� -��� ��� @�!�� �7I� #!R ��� 6����� �%� *����

� � #��%+���

500

110

111

42�� �!%���� D� �!F� �2�) �&/ �����)����� 4� ��!�� -�+�� �%� �! ( 6+���� �)����� 4�

#5%+��� ������ #����� �%� �!%���� D� K��&� 4� ��)B �%� *���� �!/ � �!�&�� *23��

10

1

2

6�!�&�� #������ #������� 4/ B/)#!%��� #������ #�����%� #R�2��� (�

augA ∼

−−

−−

10500

1110

2111

�)����� D� 4/ 0�� � �)6+���� �)���%� #R�2��� ( $���� *7��� �� 6+���� �)����� ��� �

� *��� 4�2!�

x = –1, y = 1, z = 2.

���30

#!�H� �)����� #���&� *� �&�/

x + 2 y – 3 z = 11,

3 x + 6 y – 8 z = 32,

–2 x – y = –7. ����

���6����� ��<� � #������ #����

augA =

−−−

7012

32863

11321

#!���� ���+��� G��� !%��� #!7%7��� 6���%� �?����� #����� *!�����

1. �� *��� -��� ��� –3 ��7�� -��� ��� @�!�� �7 A#!���� 6����� 6�+��� D� �2���

–3 R1 + R2 → R2

Page 148: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

143

�� *��� -��� ���� 2�� �7I�7�� -��� ��� @�! A#!���� 6����� 6�+��� D� �2���

–2 R1 + R3 → R3

#������� *����� 4!��+��� 4!� ���#!���� 6����� ���

augA ∼

15630

1100

11321

2. I�7��� ��7�� *!��� ��� � "���#!���� 6����� 6�+��� D� �2��� A

R2 ↔ R3

��� #������� *�����#!���� 6����� ��� 6�+��� D�

augA ∼

1100

15630

11321

�K�� �)����� !�� 4H� 42�!� A#��%+��� 6����� ��� �%�� �E �?����� #����� 4�2� �7 4��

6�!��� #������ 4��%! �2:

1. �%� *���� 6�!��� #������ *�� /���z = –1

2. #�!5� ����z �� *�E #������ �� �%� *���� 6�!�y = 3

3. ���!5� ����y, z �%� *���� ����� #������ ��x = 2.

� *��� 4/ B/

x = 2, y = 3, z = –1.

4� #���&� ������ ��L� !%��� #!7%7��� 6����� ��� �?����� #����� *!���� @�/ 4H� �� ;��!

�� �!%���� �!%���� D� ����� -����� �%� �!�%����%! �2 ���� ����� #!��:

-����� 2/4 ����5� ��/���Elementary Row Operations

-����� �%� #!���� �!%���� ���� #!���� I?7�� �!%���� 4� #!%�� B/:

)1 (����� B��! ) ��7 �� -� ��

)2 (4!!�� *!���

)3 (��. -� ��� C���� #���ٕ� ��7 �� -� ��

B�N� � � >�� 4� ���� �/ T�2��� ��5�� A#!%��� #������� T�2� 6�!�& #����� 4!�2� ���

�)����� #���&� . :���� T�2��� ��� :��!�∼∼∼∼.

Page 149: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

144

#����� *!���� #������ #������� �%� #!���� �!%���� D� >�&� -���� #5!�+ �������

!%� #!7%7� #����� ��� �?�����) #�!�E 6��� �/#!���� #%7��� 4� ;��!� �2 �� ( ��! =�� ��� �7

#5���� #%7��� �� �!/� �2 6�!��� #������ 4� �K�� #&���� �)����� #���&� *� . O�%� 4/ 42�!�

�%! �!� #5!�+�� D� :

!�%� -'��� ���� Gauss Elimination Method

��+��� �!��� ��! #!+��� �)����� #���&� *��!����� �%� 4!�!���� 4!:

)1 (6��5� -'��� *� � Forward Elimination Step .6��+��� D�� ��� ��! #�!���� ��!%���� K���&�

���%� -������� ���!��� -����� ����� *��� -����� 4��� �K���� #�������� #��������� �� #������� ����� �� %!

!%� #!7%7�)=�� �!��! �� ��� � #��5� 6��� �/.(

)2 (*�� � 6���/��� 7������� Backward Substitution Step. #��R�2��� �)������� #����&� *��� ���!

����� #������ ��� )��� 6�!��� #������ 4� �K�� #5���� 6�+��� 4� #&����.

�4!� #%7��� #!�����!��� $!�+�� �72/%����� �)��� �� 4!��+��� 4!� �)��� ��� 4!��� A#�

) ���� 6��� 42�� !%��� #!7%7��� #������� 6��� ��� �?����� #����� *!��� !� 42�! � #��5�

)#!�!5�� 6����� �+��� ��&�� �%� �� ���� � �(.

���31

#!�H� �)����� #���&� *� �&�/

3 x – 5 y – z = 7,

2 x – y + 4 z = 7,

x – y + z = 3. ����

����� #�������6����� ��<� � #�

augA =

−−

3111

7412

7153

)�/ :����� -���� 6�+�

Page 150: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

145

#!���� #!%���� /���R1 ↔ R3 ��� #������� *����� A-���� #!%�� *! ���

augA ∼

−−

7153

7412

3111

4!����� 4!�!%���� $!�+�� �7

–2 R1 + R2 → R2, –3 R1 + R3 → R3

��� #������� *���� 6�����

augA ∼

−−−

2420

1210

3111

#!���� #!%���� $!�+�� �7 2 R2 + R3 → R3 6����� ��� #������� *����

augA ∼

0000

1210

3111

+5� �� *5����� *� A#%5��� �!�& ��!� 6+���� �)����� #���&� 4/ �R ��� *23�� 4� ;��!�

4����� � )�� ����/ I!�� #7�7�� #����% 6����� �0 = 0 #��� B/ *7�� ) D� � .( 4/ $���

4!����� 4/ �!/�)4!�%5��� ( *! &� #7?7 �� *��� �� #��2�� A*�%��� 4� �R � ) ��� � � 4�2!

� /��� ����� #!�7�� #�����z = t 4�2!�y = 1 – 2 t 4�2! ����� #������ �� �!������x = 4 – 3 t

6����� �%� 4�2! *��� 4/

x = 4 – 3 t, y = 1 – 2 t, z = t I!�t #!�!��� #�!E.

��� � )6��5� -'��� *� � 9��%: �� ������ .���(

#!���� >�� � 4�2� #R�2���� �������� 4/ ��7� 42�! �!F� ) ����� -���� 6�+� 4L� ������

#��� �/ �?����� #����� #���#������ #�������.

�%� =�� $!�+��� �%�� ����� $���� *7��� #������ #������� !�6��� ��� � #R�2�

0000

1210

3111

� =��� #������ #������� #���� �?����� #����� #��� 4� *2 �� #�� �� 42�!4!!�� ���

#!����� �!M -�����)� � ���� *7����� -����� ���#%5�� (4�2��

Page 151: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

146

ρ(A) = 2, ρ(augA) = 2

�%� #���� #!�8��� 4��� *��� #�!�+ 4�2� #!+��� �)�� � G� $��! �� *�%��� 4� �R �) ���

�� �� �� 4!���$���� *7.

*7� �� =��2�30 6����� ��� #������ #������� �����

1100

15630

11321

4�2� ���

ρ(A) = 3, ρ(augA) = 3

�� 4!�� � G� �!/ $��! �� �!�� *� � *��� #�!�+ 4�2� #!+��� �)���%� #���� #!�8��� 4��

*7� ��30.

���32

#!�H� �)����� #���&� *� �&�/

2 y + 2 z = 1,

2 x – 2 y + 5 z = 4,

x + 2 y – z = –3,

x – y + 2 z = 3. ����

��<� � #������ #�������6�����

augA =

−−

3211

3121

4522

1220

!%� #!7%7� #����� ��� *���� 4/ 42�! ) ������ #���� ��!� �?����� #����� 4/ � 8�?��

��2��>�&� -���� #5!�+ G��� ���+��� >�� #5���� � #��5� 6��� ��� %!���� ) 6����� ����

#!�!5��(.

)�/ :����� -���� 6�+�

#!���� #!%���� /���R1 ↔ R4 )�%�O%� 6������ -���� #!%�� $!�! B��� ����� 4�( *�����

��� #�������

Page 152: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

147

augA ∼

−−

1220

3121

4522

3211

4!����� 4!�!%���� $!�+�� �7

–2 R1 + R2 → R2, –R1 + R3 → R3

6����� ��� #������� *����

augA ∼

−−

1220

6330

2100

3211

"��� �7 #!���� #!%���� ��� 0��/ 6��R2 ↔ R3 ) -���� #!%�� $!�! B��� ����� 4� O%��%�

6������ (��� #������� *�����

augA ∼

−−

1220

2100

6330

3211

#!���� #!%���� $!�+�� �7 (–2/3) R2 + R4 → R4 6����� ��� #������� *����

augA ∼

−−

5400

2100

6330

3211

$!�+�� ��!�/� #!���� #!%���� –4 R3 + R4 → R4 6����� ��� #������� *����

augA ∼

−−

13000

2100

6330

3211

4/ 4!��! �!��� *23�� 4� #����� ����

ρ(A) = 3, ρ(augA) = 4

*� � >!� �)����� D� 4/ �&� #!+��� �)���%� #���� #!�8��� 4�� . �!/ "����)� �� ;��!�

*23�� 4� #������ 4�2� ��%��� �!����� 6�+� K��&� ���/ ��L� A#������ #�����%� �!��� 6�!���

0 = 13

*� � >!� �+E D� �.

Page 153: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

148

��� �

6����� ��� #������ #������� *��� ���� $���� *7��� ��

augA ∼

−−

1220

2100

6330

3211

#!���� #!%���� K��&� * ��� 4� 4�2! �E (1/3) R2 → R2 6����� ��� #������� *�����

augA ∼

−−

1220

2100

2110

3211

-���� �� �������� ������ 4�2! I!� -���� *�2��) #�:?�� ������ *! ��� =���) B����

�%����� ������ �!�/ @!%� $%+!pivot element (;!���� ������ B��!.

Page 154: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

149

�����������/�� .��������

)1 (���#!���� �)����� *� �&�/ #������� >�2�� �� �� ����:

x + y – z = 2,

2 x – y + z = 1,

2 y + z = 2 . ) �!�!2009(

120

112

111

, 9423A −=−−−=

−−

−−

−−

=

−−

−−

−−

=

324

312

033

330

213

423

)A(adj

t

=

−=

−−

−−

−−

−=

0

1

1

0

9

9

9

1

2

1

2

324

312

033

9

1

z

y

x

x = 1, y = 1, z = 0

)2 ( ��&�� �&�/ #�����%� 6:!���� � &���� ��/� 6:!���� �

=

211

110

101

A.

) �!�!2009(

0IA =λ−

0

211

110

101

=

λ−−

λ−

λ−

0)]1)[(1(]1)2)(1)[(1( =λ−+−λ−λ−λ−

0]113)[1( 2 =++λ−λλ−

0]23)[1( 2 =+λ−λλ−

0)2)(1)(1( =−λ−λλ−

���&��1, 1, 2

&%� :!���� @&���� ��2 �

Page 155: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

150

0X)IA( =λ−

0

z

y

x

011

110

101

=

–x + z = 0, –y + z = 0, –x + y = 0

����z = a #!�7��� ���)� 4!������� �� �!������

x = a, y = a

� :!���� @&���� 4�2!�

a

a

a

)3 ( �!5� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���k1, k2 #�%�����:

2 x – 6 y = 8,

x + k1 y = k2 . ) �!�!2009(

−=

21 kk1

862)A(aug

3k ,06k2k1

62A 11

1

−=∴=+=−

=

���� �!�� *� �&�!3k , k 12 −≠ I!� @�!E 0/ ��<�

2))A(aug()A( =ρ=ρ

���� *�%��� 4� �R �) ��� �&�!3k , 4 k 12 −== I!�

1))A(aug()A( =ρ=ρ

���� *� �&�!)3k , 4 k 12 −=≠ I!�

))A(aug()A( ρ≠ρ

)4 ( *��� �&�/ �7 *�%� #!���� �)����� #!%�E >���)*� =� 42 4�:(

3 x + y + 2 z = 4,

92 x − y = 1,

10 x + 5 y + 8 z = 0 ) �!�!2008(

Page 156: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

151

180

8510

0192

213

A =−=

3)A(aug()A( =ρ=ρ

�!�� *� =�

−−

=

−−

=

955470

1844736

228

951842

542

4707368

)A(adj

t

=

−−

=

1875

2940

30

180

1

0

1

4

955470

1844736

228

180

1

z

y

x

12

125z ,

3

49y ,

6

1x =

−=

−=

)5 ( ���2 ���λ #������%� �:�!�� ����&A 4/ ���7<�(λ + k) #������%� �:�!�� ����&(A + k I) I�!�k

#!5!5� #!�2. ) �!�!2008(

Q λ �� ��& @�����%� :!A

xAx λ=

G�&�kX 4!��+�� �%�

kXXkXAX +λ=+

X)k(X)kIA( +λ=+

∴+λ k @�����%� :!�� ��& (A + k I) .

)6 ( #�����%� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&�� �&�/

=

31

22A �2 #�!�8� ������� �7�%!X 4��%��

4!!���A–1 . ) �!�!2008(

031

22 0IA =

λ−

λ−=λ=

02)3)(2( =−λ−λ−

0452 =+λ−λ

0)1)(4( =−λ−λ

λ= 1,4الجذوز المميزه

)0x)IAنوجد المتجھات المميزة بحل المعاد ت =λ−

=

λ−

λ−

0

0

y

x

31

22

Page 157: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

152

1 =λ

=

0

0

y

x

21

21

x + 2y = 0

����y = a 4�2� �!������x = –2a

ھو λ= 1المتجه المناظر للجذر ∴

a

a2

4 =λ

=

0

0

y

x

11

22

x –y = 0

����y = b 4�2� �!������x = b

ھو λ= 4المتجه المناظر للجذر ∴

b

b

)7 ( �!E 4!�k ��!�� ?� #!�H� �)���%� *�&� ����:

x + y + 2 z = 4,

2 x − y = 1,

2 x + 5 y + k z = 3

) �!�!2008(

0Aيوجد حل وحيد عندما ≠

8k 024k2k 0

k52

012

211

≠∴≠+−−∴≠−

)8 (#!���� �)����� *� �&�/ #������� >�2�� �� �� �������:

x + 2 y – z = 2,

2 x + y = 4,

3 x – 3 y + z = 0 ) �!�!2008(

6941

133

012

121

A =+−=

=

Page 158: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

153

=

=

−−

−−=

3

2

1

18

12

6

6

1

0

4

2

399

242

111

6

1

z

y

x

x = 1, y = 2, z = 3

)9 ( #�����%� 6:!���� � &���� ��/� 6:!���� ���&�� �&�/

110

011

002

.

) �!�2007(

0IA =λ−

0

110

011

002

=

λ−

λ−−

λ−

0)1)(2( 2 =λ−λ−

���&��1, 1, 2

��&%� :!���� @&����2 �

0X)IA( =λ−

0

z

y

x

110

011

000

=

−−

–x –y = 0, y – z = 0,

����z = a #!�7��� ���)� 4!������� �� �!������

x = –a, y = a

� :!���� @&���� 4�2!�

a

a

a

)10( #������%� 6:�!���� ������� 6��!72 �&�/A 4�� *��2 4�� ����� � ���A–1

, A3 6��!72 #�R! ��%� �����

�� #!�7�� #&���� 4�A I!�

−−

202

110

111

) �!�2007(

Page 159: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

154

0IA =λ−

0

202

110

111

=

λ−−

λ−−

−−λ−

0)1(22)2)(1)(1( =λ−−+−λ−−λ−−λ−

02223 =−λ−λ−λ−

�!�����A=λ )!�8�# �%!2 X4��%� (

– A3

– 2A2

– A – 2I = 0 A3

= – 2A2

– A – 2I

�� �����A–1

–A2

– 2A – I – 2A–1

= 0 A–1

= 0.5 (–A2

– 2A – I)

)11 ( #�����%� 4��%� �%!2 #!�8� $5�

010

011

001

. ) *!��/2007(

0IA =λ−

0

10

011

001

=

λ−

λ−−

λ−−

0))(1)(1( =λ−λ−λ−−

03 =λ+λ−

A=λبالتعويض

=

+

=+−

000

000

000

010

011

001

010

011

001

AA3

)12( *��� �&�/� *�%� #!���� �)����� #!%�E >���)*� =� 42 4�:(

x − y + z + 2 w = 7,

3 x + 2 y − 2 z − w = 9,

5 x − 10 y + 10 z + 17 w = 4 ) �!�!2007(

−−

=

41710105

91223

72111

)A(aug

Page 160: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

155

8�?!�@7�7�� ���� 4� �������� G!�& 4/( 3 x 3 ) ���� 4� @��2���A ��� 0���وھناك

محددات من الرتب الثانيه تت*شى

2)A( =ρ

0

4105

923

711

Q

3))A(aug( =ρ

*�%� @%�E �!M �)����� 4�2��

)13 ( �!E 4!�k �H� �)���%� *�&� ����B����� *����!M ?� #!:

x + 3 y = 0,

x − z = 0,

2 x + 11 k y + k2 z = 0

) �!�!2007(

0

kk112

101

031

2

=−

11k – 3k2

– 6 = 0

3k2

– 11k + 6 = 0

(3k – 2)(k – 3) = 0

���� 0����� �!M *� �)���%� 4�2!�k = 2/3 , k = 3 .

)14 ( >�2�� �� �� �������#!���� �)����� *� �&�/ #�������:

x − y + z = 2

−2 x + 5 y − 3 z = −1

3 x + 4 y − 2 z = 5

) �!�!2007(

823132

243

352

111

A −=−+=

−−

=

Page 161: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

156

=

−=

−−

−−

−=

3

2

1

24

16

8

8

1

5

1

2

3723

1513

222

8

1

z

y

x

x = 1, y = 2, z = 3

Page 162: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

157

����� 1���/�

��� ��� �������

– 42�! #!+��� �)����� 4� #���&� B/ 6����� �%� ���

A X = B

I!�A � � �?����� #�����X � � *! &��� ����B � #5%+��� ������ ����.

– #������� ��2 ���A #�!+��� �)������ #����&� *�� 4!�!�� 42�! @�L� 6�3 �!M #�����A X =

B #E?��� 4�

X = A–1

B.

– #������� #���Am×n !R:& 6���� ��2/ :!� � :���� � :��!� ����� B��� ) #ρ(A) �/r(A).

– #��&���� �!M #!+��� �)�����A X = B B���� �����n *! &��� 4�:

– 42 ��� �!�� *� � 4�2!ρ(augA) = ρ(A) = n

– 42 ��� *�%��� 4� �R � ) ��� � 4�2!ρ(augA) = ρ(A) < n

– $?+Q� �%� *� � 4�2! ) 42 ���ρ(augA) ≠ ρ(A)

– #��&���� #!+��� �)�����A X = O B���� �����n *! &��� 4�:

– �!�� *� � 4�2!)B����� *��� � � ( 42 ���ρ(A) = n

– 42 ��� *�%��� 4� �R � ) ��� � 4�2!ρ(A) < n

– 6:!���� �!5��(λ) 6:!���� � &�����(X) #�����%�An×n �� � #E?��� $5�� ��

A X = λ X

– 6:!���� #������ *�� 6:!���� �!5�� 4!��� :| A – λ I | = 0

– #!+��� �)����� #���&� *�� 6:!���� � &���� 4!���(A – λ I) X = 0

– �%!2 #!�8�–4/ �%� O�� 4��%� : #����� B/#���� 6:!���� ����� $5��.

X ����5�>���&� -������ #��5!�+ ���%� 4!����+� : ����� #�������� #��������� *��!���� ������� -������ 6���+�

#�������� 4��� �K���� #��&���� �)������� *��� ����! I��!� ����%��� �!������� 6���+� ���7 A��!%� #��!7%7� #�������

6�!���.

Page 163: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

158

X #����������� �?�������� #�������� #������ 4!���!�� 4���2�! ��������� #�������� >����� ��� � #���R�2���� �����������

����� #�������� K����&�������� -������ 6���+� ���!M -������� ������ #!����� #������ D��� ���� #������� 4���2�� A

#!�����.

Page 164: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

159

.��������

)1( #������� >�2�� ������� #!�H� �)����� *� �&�/:

a. 2x – y + 3z = 9, x + y + z = 6, x – y + z = 2.

b. x + 2y + 3z = 11, x – 2y + 3z = 3, x + 2y – 3z = –1.

c. x – y + z = 3, x + 3y + z = –1, x – 3z = –2.

)2( #!�H� �������� #��� �&�/ �������� �������

−−−

=

132

132

321

A ,

−−

=

210

633

211

B ,

=

042

321C

−−

=

1013

1211

1111

D ,

−−−

=

1100

3121

0210

3121

E

)3( *��� �&�/� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���)2 4�*� =� 4(:

a. 2x + 6y = –11, 6x + 20y – 6 z = –3, 6y – 18z = –1.

b. x + y – 6z = 0, –3x + y + 2z = 0, x – y + 2z = 0.

c. x + 2y – z = 2, 2x – 3y + 7z = –1, –x + y + 3z = 6,

5x + y – 2z = 0

d. 4x + 2y + z + 3u = 0, 6x + 2y + 4z + 7u = 0,

2x + y + u = 0.

e. 5x + 3y +7z = 4, 3x + 6 y + 2z = 2, x + 9y – 3z = 0.

f. x1 + 3x2 + 2x3 = 0, 2x1 – x2 + 3x3 = 0,

3x1 – 5x2 + 4x3 = 0, x1 + 17x2 + 4x3 = 0.

g. 4x + 3y + 2z = –7, 2x + y – 4z = –1, x – 7z = 2

h. x + 2y – z = 3, 3x – y + 2z = 1, 2x – 2y + 3z = 2

)4( �!E 4!�k H� �)���%� *�&� ����B����� *��� �!M ?� #!�

kx + y + z = 0, x + ky + z = 0, x + y + kz = 0.

)5( �!5� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���k #�%�����

x + y + z = 10, x – 2y + 3z = 10, x + 2y + kz = 10

)6( 4/ ��7/k = 6 B����� *��� �!M ?� #!�H� �)���%� *�&� ���� 6�!���� #�!5�� �

Page 165: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

160

x + 2y + 3z = kx, 3x + y + 2z = ky, 2x + 3y + z = kz.

)7( �!E 4!�k *��� �&�/� #5����� #!�H� �)����� *�&� ����

x + y + z = 1, x + 2y + 4z = k, x + 4y + 10 z = k2.

)8( 42 ���A, B :!��� 4� 4!������3×3 B���� �� �� *2 #����3 #�������� 4/ ���7<�AB 4��2�

B��� ��� 3.

)9( #�����%� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&�� �&�/

A =

300

120

011

�%!2 #!�8� ������ �7– 4!!��� 4��%� A−1.

)10( �� �&�/���& #�����%� 6:!���� � &����� 6:!����

=

010

101

010

A

�7 4���� �&�/ ���& #�����%� 6:!����A2.

)11( &����� 6:!���� ���&�� �&�/6����� #������ 6:!���� �.

)12( �)����� *� �&�/ �� 6+���� �E� #�<����)1( >�&� -���� #5!�+ �������.

)13( �� 6+���� �������� #��� �&�/ �E� #�<����)2 (#!���� �!%���� �������.

)14( #5!�+ ������ -���� �� 6+���� �)����� 4� B/ 4!� >�&� �E� #�<����)3 ( 4�2�%�E #

*��� �� �&�/ �7 *�%�.

)15( � >!� �)����� D� 4/ 4!� �/ #!���� �)����� *� �&�/ >�&� -���� #5!�+ ������

*�:

a. x + 2y – z = –1, 2x + 6y + z = 7, 5x + 7y – 4z = 9.

b. x + 3y – 2z = –7, 4x + y + 3z = 5, 2x – 5y + 7z = 19.

c. y + z – w = 4, x + 3y + 5z – w = 1,

x + 2y + 5z – 4w = –2, x + 4y + 6z – 2w = 6.

)16( #!R!�!2�� #������ �����

x1 C2H6 + x2 O2 → x3 CO2 + x4 H2O

)/ ( ���� �)����� #���&� �2� #������ ���+ �� #�%����� ������ 4� ������ ��� 6�����

*! &��� 55�� 4/ &!x1, x2, x3, x4 ������ 4�:�� ��� B�N� �����#!R!�!2�� #.

Page 166: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

161

) ( 4/ 4!� 0��/ #5!�+ B/ �/ >�&� -���� #5!�+ ������� �%�� ���� �)����� #���&�

!%� ��)/ (*�%��� 4� �R � ) ��� � .P#!R!�!2�� #������ 4�:�� # & 4� =�� �����

)" ( #�!�� �!E �F�/ �&�/ #�&��*! &�%� x1, x2, x3, x4 �:�� ��� B�N� ������� 4� #���

#!R!�!2��.

)17( 6����� �%� #7�7�� #&���� 4� ���� 6�!72 4!!�� �%+���

p(x) = a x3 + b x

2 + c x + d

I?7�� +5��� ��� I!��(1, –3), (–1, –7), (2, –1), (–2, –21) . ���� �)����� #���&� �2�

�?����� 55�� 4/ &!a, b, c, d &� -���� #5!�+ ������ �7�?����� D� �!E 4!!��� >�.

Page 167: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

162

162

Page 168: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

163

�������� �� � ���� �����

������ �������

�������� � .����� ��� ����

� . ��� !�"���� #��$

Page 169: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

164

164

���� ������ % � �����&���� �����

)1 ()3x(

4

3

)1x(

4

1

3x2x

x2 +

+−

=−+

)2 ()1xx(

3

5

3

x

)1x(

3

1

13x

2x2 ++

+

+−

=−

)3( 1x2x

1x

x

1

xxx

123

++

−−+=

++

)4 (3x

8

1

1x

4

1

1x

8

3

3xx33x

2x

2 +

++

+−

=−−+

+

)5(1x3

1

1x2

1

1xx6

2x2 +

−−

=−−

+

)6( 1xx

1

1x7

4

1x6x6x7

3x11x4223

2

+++

−=

−++

++

)7 (2x

2

1

1x

1

x

2

1

x2x3x

123 −

+−

−+

=+−

)8 (22 )1x(

2

1x

1

1x

1

)1x)(1x(

x4

++

+

−+

−=

+−

)9 (2)2x(

5

2x

6

2)2x(

7x6

+

−+

+=

+

+

)10 (1x

26

1x

26

5

5x

26

125

15x2x53x

x2

3

+

+−

+=−+−

)11( 3x

2

9

1x

2

3

x3x42x

2x43x

+

++

+=++

+

)12 (1x

1x2

)1x(

1

1x

2)1x(

1x22x23x24x

5x34x5x22 +

++

−+

−++=

+−+−

+−−

Page 170: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

165

)13 (3x2x

x

5x

1

15x72x33x

3x72 ++

−−

=−−−

+

)14 (4x2x

12

5x

6

1

2x

24

1

x

8

1

x84x

1x2 +−

+−

++

+

=+

+

)15 (1x

1x2

)1x(

1

1x

2

2)1x)(12x(

4x222 +

++

−+

−=

−+

+−

)16 (2x

2

1x

1

1x

12 +

−+

−−

)17( 1x

5

)1x(

2

1x

52 +

−−

−−

)18 (2xx

1x

1x

1

2x32x23x

1x2 +−

+−+

−=

−+−

+

)19 (8x3x2

x2

1x

1

8x52x3x2

8x52 ++

−−

=−++

+

)20 (1x

1

x

1x

)1x(x

1xxxx22

234

++

−+=

+

−−++

)21 (6x

6

5x

3

2

x

6

5

x

3

2

)62x(2x

5x422 +

+

+

=+

+

)22 (3x

2

1

1x

2

3

3x4x

4x2224

2

+

++

=++

+

)23 (13x

5

6x

5

1

3x

5

1x

5

1

)132x)(32x(

2)1x(22 +

+

++

=++

)24 (3x

3

2x

6

1x

3

)3x)(2x)(1x(

6222222 +

++

−+

+=

+++

)25 (1x

x

x

1

x

1

)12x(3x

123 +

++−

=+

)26 (4x

2

2x

4/5

2x

4/5

16x

12x724

2

++

+−

−=

+

Page 171: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

166

166

)27 (1x

)2/1(x)2/1(

1x

2/1

)1x()1x(

x22

2

+

−+

+=

++

�'(�� ������– �������� ��* ����+'

(1) 2401 + 6860 x2 + 7350 x

4 + 3500 x

6 + 625 x

8

(2) 53

35

x

1

32

1

x

1

16

15

x

1

4

45x

2

135x

2

405x 243 +++++

(3) 1 + 12 x + 60 x2 + 160 x

3 + 240 x

4 + 192 x

5 + 64 x

6

(4) – 70

C25 (3)45

(5)25

(5) –270

(6) 9x9,648

x

54

x

3

1 2

<<−++

(7) 5x5,x30x75125 42 <<−−−−

(8) 2x2 , x2256

35x

264

15x

28

3

22

1 32 <<−+−−−− L

(9) (a) 3

1x

3

1 , x

16

27x

8

9x

2

31 32 <<−++−+ L

(b) 1 + 11 x + 72 x2 + 378 x

3 + … ,

3

1x

3

1<<−

(10) rr

3

1

9

1r

3

1)1r(

9

1

+=

+ , –3 < x < 3

(11) 1r,3

1

27

2r5,3x3,x

27

4x

27

7

9

21r

2 ≥

+<<−++

(12) 11

2

2

11,1x1,

5

x5

2

x3

2

1+−<<−−+−

(13) 2

1x

2

1 ,

5

12

11

1r

r <<−

−+−

(14) r

r

2

1)1(3 −−+

(15)

−−<<−−+−

+1r

r32

2

11)1(,1x1,

16

x15

8

x7

4

x3

2

1

(16) ,2x2,16

x

16

x

4

1 64

<<−+−

1r,2

r1)1(

4

1

2

r)1(

2

1r)1(

4

1r

r

1r

1r

r

r ≥

−−=

−+

+−

(17) 4.021, 208480. , 0.906

Page 172: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

167

,�(�� ������– �������-�./��

(1) (a) 5 A − 3 B + 4 C =

−−

5919

365

(b) A Bt + B A

t =

360

02

(2) (a) 3 A − 2 C + Bt =

−−

1071

7172

(b) A B − 2 C B =

− 33

213

(3) (A B) C = A (B C) =

42

91

(4) (A B) C = A (B C) =

−−

327457

27902156

2127821

(5) A B =

67

17, B A =

−13

112,

A B ≠ B A ����� ��� �� �� ��������� ��� �� ��

(6) A = [ ]12

(7) A = [ ]121−

(8) A At = A

t A = I

A−1

= At =

−−

122

212

221

3

1

(10) A = P + Q

P = 0.5 (A + At) =

65.02

5.041

212

Q = 0.5 (A − At) =

05.03

5.002

320

(11) |A| = 33, |2 A| = 264 = 23 |A|

Page 173: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

168

168

������ ������� �� ���� ������� ��� �!A "���� #� ������n × n $ %�&� �'�'� ��� (k #� �

|k A| = kn |A|.

(12) |A| = 0, r1 = r2

|B| = 0, r2 = −r1

|C| = 0, r3 = r1 + r2

(13) |A B| = −99, |A| = 33, |B| = −3

(14) B = A + At

Bt = (A + A

t)t = A

t + (A

t)t = A

t + A = A + A

t = B

#� � *������ B "+ � ,-���� � -���� ������*��-�� .

(15) B = A At

Bt = (A A

t)t = (A

t)t A

t = A A

t = B

#� � *������ B *��-�� ."+ � ,-���� � -���� ������

(16) (A B C)t = [(A B) C]

t = C

t (A B)

t = C

t (B

tA

t) = C

t B

tA

t

(17) A B2 = A B B = (A B) B = (B A) B

= B A B = B (A B) = B (B A) = B2 A

A B3 = A B

2 B = (A B

2) B = (B

2 A) B

= B2 A B = B

2 (A B) = B

2 (B A) = B

3 A

/�000� 1����000�� 2000 � �000���� 1�000��� *000������ ��000-3�� �000 $� 1�000' � �00045��� ��000� ��000- #000 �� ,000-����

*������ 6�����7�.

(18) 14� ��8�� � %�9� ��-3�)17 ( � �� ��8���� :!; <��� %�� 1������*

(A B)2 = (A B) (A B) = A (B A) B

= A (A B) B = (A A) (B B) = A2 B

2

(A B)3 = (A B)

2 (A B) = A

2 B

2 (A B) = A

2 (B

2 A) B

= A2 (A B

2) B = (A

2 A) (B

2 B) = A

3 B

3

(19)

−−

=−

568

6710

345

A 1

−=−

14

35

17

1B

1

Page 174: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

169

−−−

−−

=−

524

712

141

9

1C 1

��������D �� #$ =� �� �>� =|D| = 0

��������E #$ =� �� �>� =��|E| = 0 #$r3 = −r1

−−

=−

232

112

121

F 1

(20) A A—1

= I ⇒ |A A—1

| = |I| ⇒ |A| × |A—1

| = 1 ⇒ |A—1

| = 1/|A| = |A|—1

(21) A—1

= (1/|A|) adj A

⇒ adj A = |A| A—1

⇒ |adj A| = | |A| A—1

|

= |A|n |A

—1|

= |A|n |A|

—1

= |A|n—1

(22)

1

12

tan

2tan1

12

tan

2tan1

θ−

θ

×

θ

θ−

=

θ

θ−

×

θ

θ−

θ+ 1

2tan

2tan1

12

tan

2tan1

2tan1

1

2

=

θ−

θ

θ−

θ−θ

2tan1

2tan2

2tan2

2tan1

2cos

2

2

2

=

θ−

θθθ

θθ−

θ−

θ

2sin

2cos

2cos

2sin2

2cos

2sin2

2sin

2cos

22

22

=

θθ

θ−θ

cossin

sincos

(23) (A B C)—1

= [(A B) C] —1

= C—1

(A B)—1

= C—1

(B—1

A—1

) = C—1

B—1

A—1

Page 175: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

170

170

(24) (A + B) [A—1

(I + B A—1

)—1

] = [(A + B) A—1

] (I + B A—1

)—1

= (I + B A—1

) (I + B A—1

)—1

= I

,-����

[A—1

(I + B A—1

)—1

] (A + B) = [(I + B A—1

) A]—1

(A + B)

= (A + B)—1

(A + B) = I

(25)

1�4�$� �!+ @����� � -��� �'��A @��������� �������� �!+ A 8 B��/ ���� ������ %�B #�

�45��� �'�� "���� =��B2 = A .C��� #D��

==

wz

yxBA

#� � *������

++

++=

=

2

22

wyzwzxz

ywxyyzx

wz

yx

44

44

�7������ 2 � ,����

x2 + y z = 4, x y + y w = 4, x z + w z = 4, y z + w

2 = 4

2 � ,��� �7������ :!; ,��

2wzyx ====

#� ��

=

22

22A .

(26) a. 3 b. 1

(27) 3

Page 176: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

171

����� ������– �������0�� �1�2��

(1) (a) x = 1, y = 2, z = 3

(b) x = 1, y = 2, z = 2

(c) x = 1, y = –1 , z = 1

(2) (a) ρ(A) = 2 (b) ρ(B) = 2 (c) ρ(C) = 2

(d) ρ(D) = 2 (e) ρ(E) = 3

(3) (a) ,� �>� =��

(b) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���

x = 2t, y = 4t, z = t

(c) ,� �>� =��

(d) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���

x = t, y = 0, z = 2t, u = –2 t

(e) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���

x = (6 – 12t)/7, y = (11t – 2)/21 , z = t

(f) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���

x = –11t/7, y = –t/7, z = t

(g) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���

x = 2 + 7t, y = –5 – 10t, z = t

(h) ���� ,�

x = –1 , y =4, z = 4

(4) k =1, – 2

(5) k = 1/3 (,� ��� #� *F�>�7 ���)

k ≠ 1/3 (���� ,�)

(6) |A| = 0 ⇒ k3 – 3 k

2 – 15 k – 18 = 0

⇒ (k – 6)(k2 + 3 k + 3) = 0 ⇒ k = 6

Page 177: كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة

172

172

(7) k = 1 ⇒ x = 1 + 2t, y = –3t, z = t

k = 2 ⇒ x = 2t, y = 1 – 3t, z = t

(8) ρ(A3×3) = 3 ⇒ |A| ≠ 0, ρ(B3×3) = 3 ⇒ |B| ≠ 0

|A| ≠ 0 , |B| ≠ 0 ⇒ |A B| ≠ 0 ⇒ ρ((AB)3×3) = 3

(9) λ1 = 1, X1 =

0

0

1

t1, λ2 = 2, X2 =

0

1

1

t2, λ3 = 3, X3 =

2

2

1

t3

(10) A: λ1 = 2− , X1 =

1

2

1

t1, λ2 = 2 , X2 =

1

2

1

t2, λ3 = 0, X3 =

1

0

1

t3

A2: λ1 = 2, λ2 = 2, λ3 = 0

(11)

G����� ������ �; "����� �!+��H %+�� (/�) "���� #�n×1 ("��� %+�� �;.

(15) a. x = 10, y = –3, z = 5

b. x = 2 – t, y = –3 + t, z = t

c. ,� �>� =��

(16) a. 2 x1 = x3, 6 x1 = 2 x4, 2 x2 = 2 x3 + x4

b. x1 = 2 x2 = 7 x3 = 4 x4 = 6

(17) a + b + c + d = –3,

–a + b – c + d = –7,

8a + 4b + 2c + d = –1,

– 8a + 4b – 2c + d = –21