كتاب الرياضيات-اعدادى هندسة
DESCRIPTION
كتاب الرياضات - للسنة الاعدادية - هندسة اسكندريةTRANSCRIPT
������������������ )��� �������������������(
� ��� � �����������
� ���� !����"# $% ��&� $'�� �(��)�� *�+ ,� -"��� .�(�" -���
�� .��/�� �"01 �0��� $% ��� �1 � �2����"2 $"'� !� 3/ %�� $" �' 4��
��5�6"� �1)� $% ��" )�5���.
������������������ )��� �������������������(
.� .���� ��� ����� ��� ����
� .���� �� ����
� .!��� ��"��# $��%
��&'� ���– ���&��� )���
2013/2014
ii
��+�
�� ������ ��� �� ����� ��� ������� ��� ����� ������� ���� ������������ ���������� � ���
�!�� ���!�� ��"� � "#� $�%& '��� . �� ������ ��)*��� ������ ���� '+ �� ����,�� ��!-� '����
�������� �.��,���� /��������� �������� ���"���� ���� ��0� '��+ ��!�1 . 2����+ '������ ���� �� ���� ����-�
�!���3 ����,�� ��� :'����,�� 5 �� �������� 6,��7�� 5 � .�� 8���9��� � � :������ ��� ����� ;����0�� �
��+�<7���= ;,&�� 8��9 ���� ��!"� ��<"�9��� ��� ��� ���"����� ��+�<�7��� >���� ����2����
�+�<7�"� ?*���� ��!������ ������ ���� �#9�� �&������ /,� '��0�� �� ��.
��"�� � '��+ �#��� �� ���� �������� ���@��� 2������ '��+ ������� ���@� .���� ����� /��� ����"0� � ���� ������
'��� ���",����!��� �� '�� ������ ���<��� 6���A ��� ���!� '�+ ����� #������ ��� 8�9"� ���
'��� ������! . �����,��� �� ?����� ���",��� ������� �� ���� �� /� ���,�� ��"� ������B� �����
���!����� ���� � '+ ����� � ��������,��&� C���� $��1 ���� /� ���� ���3�� A�� . /�� ���"��
��9D� 2� ��� ���� ���� ��� �� �!����� '���� ���<��� $"� � ��� �!�� � �� ������� �� ��� ��
����� �� :������� ����# ��� E����9� F)������� ������<�� �+�����1A ��������� �����!� '���+ ������� G����!� ')����!��� /���,��
�������.
H� /I���+�� ��"� J"�� �� � ?������ G��� �����1 '�+ K��3 �� /� ��9 �*� ��� . ��� �,��7 .���
��"���.
/�,���� ������� ���+����� /��<�� ��-� ����� &1 ���!��� '+ ��� &� /�.� . ����� ��,�� �� � ������ �� �
$��#�� ��� J� ���� ������� ��� '+ ?������� ��"��� ?���"� $�� � ?�� �� ��� '+ . /��� *�� H� /I��
J��<M�� J��,� ��� G��M� ��.
�,�� ��-,.� �I �,�� ��� ������ �!� "��� ����'������&� �� �� $"� ���:
[email protected] � .���� �� ����
� .!��� ��"��# $��%
���� ��?� 1434 − � �� 2013
�����B�− �7�
iii
,��������,�� �����-�
��� -��� �.��� ����� 1
1. ����� 1
2. ���,�� ���0� 1
3. �)*��� ����� ��� 8
4. � ��0�� ���� E�9� N�# 13
���",� ����� 23
����� 27
&�/� -��� ����� �0 ��1& 29
1. ����� 29
2. ���� 6,7 5I ��,�� ��� K��<� 29
3. '��, 5I ��,�� ��� K��<� 31
���",� ����� 44
����� 48
2��/� -��� ��3�45�� 49
1. ����� 49
2. ��+�<7��� :���� 2� 52
3. ��+�<7��� $"� �� ��� ��"���� 55
���",� ����� 97
����� 100
!��� -��� ��6� �7��)�� 105
1. ����� 105
2. �#9�� �&������ 105
3. ��+�<7��� ���9�� �#9�� �&������ /0�� 107
4. �+�<7��� 5���� ���9�� �#9�� �&������ /, 109
5. �#9�� �&������ /,� ������ ��-��� 112
iv
6. ?*���� ��!������ ?*���� ������ 131
7. 5���� >�,�� ���# 140
���",� ����� 149
����� 159
� �����, ����-�,� 163
1
���� �����
����� ���� �����
Partial Fractions
1 .�����
������ ����� �� ������ ���� ���� ��� ���� �� ������� ����� ����� �� ������ . ���� ����
������ ��� �� !"� � �! �#� !$���
R(x) = 3x4x
5x3
2++
+
� �% �� ���&�� '����� (�!��� ��� )"* �� �� +#��� ����� ,� ������ ����
R1(x) = 1x
1
+
, R2(x) = 3x
2
+
����-� ������ ��� �� .�/!"��� ������� ����!� ����� +#� �����.
������� +#� ��� ��!��� �&/����0!���� 1!��0���� �� ��$�� , ) ,� ��&/� !�$��� ���� ��� ,&
34���5 14������� ���!��� 1!������ !�����6�(. (�������� ����� 15!����� +#��� ,�� � ����0!�� ������� 8������
�"���)�!��� $� ( �$� ���� ��� ���R(x) . 1�"! �#� )�"* 9����� ���� !�&����� ���� �������� +#��
-� ��(�" �� ��� ������� +#� 8����
R1(x), R2(x) :�!"�� 9���� ;$ 5�%. � (��� < )"- =�#)15!��� >�� , ����� <� ( ��0!���� ������� +#� 8����
���R(x) .�?!��.
!��� ������ ����� � .�/!��"��� ��������� ������� �������� ����!��� ��������� (!����� �#��� ,�� >��"���� . 5�% % �"����
��� ������ ������� �������� 1����@�� >���" =��# ��� ;�$ � ��� 1���$ �� �� ��� ;4��� ;��@" ;�$ �����
������� ����� ����� 8���� ���� , �!�� ,��� '���� >���.
2 .����� ��� �� Polynomials
.����� ��� ,��� ��� �� ����
Pn(x) = a0 + a1 x + a2 x2
+ . . . + an xn, an ≠ 0
��� �� �� � ��� .��$�n .��� �� !$��� ��� ���
P2(x) = 1 + 3 x + 5 x2
2
2
��"!$�� ��� �� �� � ��� .��$ ,� .��� �� !�"��
P4(x) = x4 + x
2 + 3 x
������� ��� �� �� � ��� .��$ ,�.
� ���� ���� Rational function
� � ,���$ !"� � �! �#�Pn(x), Qm(x) �* ��< A�!@!�&�� ���� � $� ������ ��� �!
R(x) =
3x4x
5x3
2++
+
���� ����% �������� ����� �� ����� ,�� . �������� � ����� .����$ ����� 1��"! �#� )��"% /��4�� �%��!����� � �����
!&����� ��� ������ ��� �� +#� �* ;!���� , . ������ � ��� .��$)������� ������ '��� �� Long
division ( ����� !��&� ����� B���@% ������ ����� � � ��� .����$ ������� �����;!������ ����� ���� ��<% ������� .
(!��� +#� , !&� @��"� ,���� ��!&�� �/�4��� +#� C0�� ,�!��� !$����.
����1
������ ��� �� ���@�
R(x) = 3x4x
2x2x3x
2
23
++
+++
���
��� ��" ������� ������ 8���*�
5x3
3x4x
2xx
x3x4x
2x2x3x3x4x
1x
2
2
23
232
+
−−−
+−−
++
+++++
−
�* ,�!��!��
R(x) = 3x4x
5x3)1x(
2++
++−
3
����� ��� �� � ��� Polynomials factorization
� ���� 1����$ ����� ��� �D� ;���" . �� ���� �� ��� � ���� 1����$ ���� E�� ;���� �% (��!��� '���
$� ��"!$��
x2 + 4 x + 3 = (x + 1) (x+3)
x2 – 6 x – 7 = (x + 1) (x – 7)
x2 – 4 = (x – 2) (x + 2)
x2 + 2 x + 1 = (x + 1)
2
!�&������ ������� ��� '�F�� ���� (�!��� ;��� =�#� $�
x3 – 1 = (x – 1) (x
2 + x + 1)
x3 + 1 = (x + 1) (x
2 – x + 1)
(�!��� 1!������ E�0" �% ��" �D�� � ��� 1���$ ����� ��!@�����D� �!�"��
)1 ( ���� ���� ���� ����� �� ����� �� ��
a x2 + b x + c
��� (�0 �!�����!� �! �#� ,��-� ��� �� ��
b2 – 4 a c ≥ 0
�! �#� !�%
b2 – 4 a c < 0
(�0 �!� ��� !&����� ��� 5 +#� � ��� .��$ �* ����!� ,���-� ���� �� ��� ) � ��-� !��� ,�
�������(.
�� ���� ���< !"��� �#� !$��� ��� ��� b2 – 4 a c .��$� � ���
x2 + x + 1
G�!���� +!" ����–3 (���0 ��!� ����� !��&����� ���� 5 +#��� � ���� .����$ ,�!����!������!�� ����� �� ����
,��-�. �� ���� ���< !"��� �#� !�%b2 – 4 a c � ��� .��$�
x2 – 6 x – 7
G�!���� +!" �����64 (���0 ���!� ����� !��&����� ����� +#��� � ����� .����$ ,�!����!���!������ ����� �� ����
,��-� .��� !"���� =�# � '�� <�
x2 – 6 x – 7 = (x + 1) (x – 7)
4
4
)2 ( !"���"� �#�� ��� �� ;4� ��� ��� ! ������ ��� ������ ��� ����� ��� ;��� ,� ���!� ������ �#�"
�����)!"� !&�!�$� �#� !�� 5� ( �% ,��"�� ��� �� �� ���% ��� �� � � .��$ G% .�!��� ,�� ���"!$
<% 1!�� �� � � 1���$ (�0 �!� �� ." �5 �$�!$�� ��� �� �� � ��� .��$ !$��� ��� ���
���"!$�� ���� �� ��� B��@% �� ,���-� ���� �� ��� � � .��$ (�0 �!� !&"% . .���@-� +#���) ��� ,����
��"!$�� ��� �� ( �� ��� � �� ,����$ (��0 ��!� !��� �� ��� < =��# ����?� 5 �!� ��ٕ� ����-� ����
!F"J !"�0� !� . =�# ����� �� � � .��$ (�0 �!� !&"% !�� �$�!$�� ��� �� �� � ��� .��$ �%
����-� ��� �� �� � � 1���$ K4$ (�0 �!� !&"% �% ��"!$�� ��� �� �� B�@% � ,��-� ��� �� .
�� 1���$� $!�� ���� �� (�!��� =����������� ��� �� �� � �.
)3 ( ������ ��<% 1!���� ���� � ��� 1�����$ (���0 ���!� .����� ����� !&���0� ����� 5 � ��� .����$ G%
� �! ���� �� �� <% 1!�� �� � � 1���$ (�0 �!� .��� ��� !&�0� ��% �#* L) !�� ,
������� � �-� ( ������� �! �� " ����� ��� ��. �� =��# ���� !"F�0% �#*� ! � ,� +!�"����������"� ��!�������
�% ����:
� ��� ����� ��� �����-� ��� �� �� � � .��$ !�� ,�
a x + b
!&����� ��� 5 ��"!$�� ��� �� �� � � .��$ �%
a x2 + b x + c, b
2 – 4 a c ≥ 0
����% 1��� ��"!$�� �� ���% ��� �� � � .��$ G% !�%.
,�!����� !��$��� ���� �����% 1!���� ���� � ����� 1�����$ ������� !&�� @����� ����� ,����� '������ >���� C��0��
��"!$�� ��� ��.
����2
����% ���� ��� � ��� .��$ ��
x3 + 3 x
2 + 3 x + 1
���
,�� !� ;�����!� ������ +#� �� ���
5
(x3 + 1) + (3 x
2 + 3 x) = (x + 1) (x
2 – x + 1) + 3 x (x + 1)
= (x + 1) (x2 + 2 x + 1)
= (x + 1) (x + 1)2
= (x + 1)3
���!� B��@% �� ������ !�&� ��N����� +#��� .��# 9�0�� )�"% ��" .!������ � ���� .���$ ���� !�"�/"x = –1
�* ,�!��!�� ��F� G�!�� � ��� .��$ ���< ���(x + 1) .!����� � ��� .��$ ���� �% �� .�% G%
x3 + 3 x
2 + 3 x + 1 = (x + 1) P2(x)
K��P2(x) !&"���� (���� ��"!$�� ��� �� �� ���&�� � � .�$ . !��O�P2(x) ������� ������ N��"
0
1x
1x
x2x2
1x3x2
xx
1x3x3x1x
1x2x
2
2
23
23
2
+
+
+
++
+
++++
++
�% ����"�� ���
P2(x) = x2 + 2 x + 1
�% G%
x3 + 3 x
2 + 3 x + 1 = (x + 1) (x
2 + 2 x + 1)
��" ������ !�*�����!��� ����"�� 3F" ���.
�� ,�� (���!��� /���4��� ����$ ����� �����< ��� �� ����� !" ������ !��""% '�!����� !��$��� ,�� .����@-� ����� ����
��F� G�!�� .!����� � ��� .������� +#�� ������ ;��� E�� �D� ��#��� � !������ �P����� . �#�� 9�<���� ,� �
15!��� � C��� ;!� (��� )� 3��� (�� �P� !�""% ,��� ������ . ��!< !"� ,��" �% !"�F� ���
����!"�� ;!�<�-� ������ !�""�� �����-� )������ ���� .!������ � ���� ���$ ,� '������ ��� ����� !"�< �#�
� ����� ���$ ���� ����< ����� ��" ���� ���!�� �% ������� .�!�?*� ������� +#�� �� �% >��� (��0 ���
��F� G�!�� .!����� .!$����=�# C0�� ,�!��� .
6
6
����3
����% ���� ��� � ��� .��$ ��
x3 + 4 x
2 + x – 6
���
�� !"� '����� ���6 ���� ���" )������1, 2, 3 �" �% !�""�� �D!� ������������� (��������� ��� >x ���!������ ;
1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6 . 9�0�� )�"% �"�x = 1 � ���� .���$ ����< ���� �*� ,�!���!�� ��F�� G�!���
(x – 1) .!����� � ��� .��$ ���� �% �� .�% G%
x3 + 4 x
2 + x – 6 = (x – 1) P2(x)
K����P2(x) !����O� ����"!$�� ����� �� ���� �����&�� � ��� .���$P2(x) � ��������� �������� N����" =�������Q�!���
�� '�����
P2(x) = x2 + 5 x + 6
�% G%
x3 + 3 x
2 + 3 x + 1 = (x – 1) (x
2 + 5 x + 6)
��� ��" ������ !�*��
x3 + 3 x
2 + 3 x + 1 = (x – 1) (x + 2) (x + 3)
�#�$�
'�!��� !$��� , !�!"���� ,��� ������� ��F� G�!�� .!����� � ��� .��$ ��� ���< ��������� �����
,���� ����� ;�� , ���/")"% ��� R"� � � �! �#� )"% !"�� !�� .����� ���
xn + a1 x
n−1 + . . . + an = 0
��� ,� x = r ��� �% �4 �� !���� +#� ��#� �% ��an ��� ������ ���r.
%& ����� �'� (��)�������� ��� �� � ���
�� !���� �� )"% ���!��� )���� , Q�!��� ;���
x2 – 4 x + 3 = 0
����� ;��" !""* .����� ��� �� !���� ���� ���-� E���� , . ������ � ��� .��$
(x – 1)(x – 3) = 0
,� ��#��� ��� !&"��x = 1, x = 3.
7
� ��� .��$ ���� (������ �! �#* ���� .���� ��N���� ��� �/"" �D��x2 – 4 x + 3 ����� ���
�� !���� ��#�x2 – 4 x + 3 = 0 � ;� @��!� ,�� ���!��� ��Dx = 1, x = 3 �% :"��" !&"��
x2 – 4 x + 3 = (x – 1)(x – 3)
!&� @����� ,����� �����!��� ����D� �������� Q�!����� ������ L�������� ,�� (�����-� �#��� C��0�� ,�!����� !��$����
15 !���� � , !&�� @��� ��F� � ����.
����4
���D� � ��� 1���$ �� ����% ���� ��� ���!��� ��D� !� @���:
% . x3 + 4 x
2 + x – 6
( . x2 + 2 x + 1
A . x3 + x – 2
. x3 + 4 x
2 + 5 x + 2
��. 2 x3 – x
2 – 2 x + 1
���
% . �� !���� ��#� �% �" ���!��� ��D� ;� @��!�x3 + 4 x
2 + x – 6 = 0 ,�1, –2, –3 �* ,�!��!��
x3 + 3 x
2 + 3 x + 1 = (x – 1) (x + 2) (x + 3)
( . �% �" ���!��� ��D� ;� @��!� �� !���� ��#�x2 + 2 x + 1 = 0 ,�1 ��� �� �� �� !�� +#� ���
���#��� !��&� �% ���5 ����"!$�� L)��!���� ,"!��$�� �% ,��"�� �#��� �*�� � ����� ��#��� �����!��� ����D� !��"���� !� ��"�� L
��� ,�!��!�� �!��!��� ���#� !&� �� !���!
x2 + 2 x + 1 = (x – 1) (x – 1) = (x – 1)
2
A . ��� !���� ��#�� �% �" ���!��� ��D� ;� @��!�x3 + x – 2 = 0 ��$4$ : �-�x = 1 ;��� ����@D� !��%
����) ����@��� ����� G����1i −= ( �% ,"�� �#��
x3 + x – 2 = (x – 1) P2(x)
K��P2(x) �� �� � � .��$ �������� L������ ��� 5 ��"!$�� ���P2(x) �������� ������� ; @���") !��
!$� , 2 ( B�@% ����� G% �%)�������� ������ $� Synthetic division ( ��� ��"
x3 + x – 2 = (x – 1)(x
2 + x + 2)
) ��������� Q�!������� =��������P2(x) � ������ ,������� ���������� ��#������� ;� @������!� B�����@% ����������!����&�� ������ ������D�
���!���.(
8
8
. �� !���� ��#� �% �" ���!��� ��D� ;� @��!�x3 + 4 x
2 + 5 x + 2 = 0 �!"$�(–1, –2) +#� �% !���
��#� �% ��� �% �4 �$�!$�� ��� �� �� �� !�� �� ������ �% G% L���� ���#���
(x + 1) (x + 1)(x + 2)
�%
(x + 1)(x + 2)(x + 2)
� ��� ����!��� , '����� ��� �"�!��� C0�)2 � ���-� , 4 ��"!$�� , ( .���$ ,� '������ ���� 9��
.!����� � ���) G�!�� ���2 ( L������� ,� ���-� ��!��� �%* ,�!��!���
x3 + 4 x
2 + 5 x + 2 = (x + 1) (x + 1)(x + 2) = (x + 1)
2(x + 2)
���. �% ��" ����!��� ���D� ;� @���!� ��� !���� ��#��2 x3 – x
2 – 2 x + 1 = 0 ,��0.5, 1, –1 ,�!���!��
� ���� �� �� !���� ���� ���.�����
(x – 0.5)(x – 1)(x + 1) = 0
� ���&/� !��"� ���!�� ����� E4���@�x3 =�� ��"� 3����<-� +#���) G�!���� ���& 1 ( ���!�� ������x
3 .����$ ,��
�������-� � ������ ) G�!����� ������2(!���� �% !������ L (����0� ;�����" 1����!$ ,��� �� ������� (����0� �$N����� 5 �����
, ���!��� .�����2 ��� ����
2 (x – 0.5)(x – 1)(x + 1) = 0
������ ���
2 x3 – x
2 – 2 x + 1 = 2 (x – 0.5)(x – 1)(x + 1)
= (2x – 1)(x – 1)(x + 1)
������ � ���� .���$ ,� .��< ��% �!�� �! �#� ��!� �F�� �#�� G�!��� 5 .!1 3���<-� (��0� ;���"
�!���� �#� , ��#��� ����� �� ���!"��.
3 .� ���� ����� � *�
��������� ������� ������� 1�����@� �D� >��"��� . ����$�-� >����� % �"���� ,�����!��&�4@ ���� ���" ����� +#���
1���@��.
����5
�� ���� ������� ����� ��%
3x4x
5x3
2++
+
9
���
.����� ��� �" !&������� ����% ��6 � � ��$ ;!���� �% �" .!����� ������ ��� �� ��� �/"�!�
)3x)(1x(
5x3
++
+
���� ����� �� ������ ���� �N� ,��� ��@-� .����� +#��
3x
B
1x
A
)3x)(1x(
5x3
+
+
+
=
++
+
�&�� 1�!$ �� ������ , ����� �% !"0� <� ."� ,�����������!�$�� ����� �� �D� ! . ���� �������
�� (�0" =�#, , ���!��� �<4���
(x + 1) (x + 3) �<4��� ��� ��"
3 x + 5 = A (x + 3) + B (x + 1)
;�< 9���� ����� �<4��� +#� �% !�� �D��x ��� >��"x �"� ����F��@� ���������� ���� !��� ����
����&���� , A, B .@" ���&�����!� )S�#!��(
x = –1, x = –3
��� ��"
A = 1, B = 2
�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��
3x
2
1x
1
3x4x
5x3
2 +
+
+
=
++
+
�������� ������� ����� ,� +#��.
:"��" �% ���"% !$��� �#� ��) �������� ������ !���O – ���!� �F���– ���� ;!����� ������ 5�% ;���"
? >�F" ;$ ����% ���� �% ������� ������� ������!� $�� ;!���� , ;!�� ����� �� ��
1���$�� ������ ;��" ��!&"�� , ;$ ������� .!��0� .����� ��� ,�!��� !$���.
����6
�� ���� ������� ����� ��%
1x
2x
3−
+
10
10
���
���� �% �" .!����� ������ ��� �� ��� �/"�!� ��" �����% ����� ���� !&������� ����% ��6 � � ��$ ;!
.����� ���
)1xx)(1x(
2x
2++−
+
.����� ��� ���� ����� �� ������ ���� �N� ,��� ��@-� .����� +#��
1xx
CBx
1x
A
)1xx)(1x(
2x
22++
++
−
=
++−
+
��� ;!���� �- ���-� ��� �� �� ��� �� ,"!$�� ���� ��� !"0� !""% !"� /�4"����"!$�� ���� �� ��� �� .
1���$�� ����� �� �D� !"� ,������� . �� (�0" =�# ��� ������, , ���!��� �<4���
(x – 1) (x2 + x + 1) �<4��� ��� ��"
x + 2 = A (x2 + x + 1) + (B x + C) (x – 1)
�� >�����!��x = 1, 0, –1 ���D� 15 !���� ��� ��"
3 = 3 A
2 = A – C
1 = A – 2 (–B + C)
5 !���� +#� ���1 ��� ��"
A = 1, B = –1, C = –1
�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��
1xx
1x
1x
1
)1xx)(1x(
2x
22++
+−
−
=
++−
+
�������� ������� ����� ,� +#��.
������� ����� ����� �!�� >�� , !&�!��" < ,��� �� !0O� 1���@�� �% C0�� ,�!��� !$���.
����7
�%�� ���� ������� ����� �
3x4x
2x2x3x
2
23
++
+++
11
���
" ;!����� ���� ��� ���% ������ ��� �% �" .!����� ������ ��� �� ��� �/"�!�� �������� ������� 5�% N��
!$� , !"� < !�1��� ��" L
3x4x
2x2x3x
2
23
++
+++ =
3x4x
5x3)1x(
2++
++−
���� ������� ;��� �D�� !��$� ,�� =��# ���� ;�� ��<� ����-� E������ ,�� ������� ������ ��� ��������� ��5
,� ���!&"�� .����� ���
3x
2
1x
1)1x(
3x4x
2x2x3x
2
23
+
+
+
+−=
++
+++
���!��� ��$�-� ��� 8!"�� !""�� �D�,�� !� ������� ����� ����� 1���@ R�@��.
� ���� ����� � *� ���+)
)1( �% ����� ��� 1"! �#� ���� �� ������ �������� ������ 8���� ��� !��" ;!���� ��� G�!�� �% �� �
� � .��$ ����� ��� .!����� ������;!����� ��� �� <% ����� ��� !&� ��� B�@% ���� ��� �.
. � ��� ������ ��� �� ��� ���!��� 1���@�� ;���.
)2( ��� ;!���� ���� (�0 �!� � � 1���$����%.
)3( � ��� ,�� .��#����� �������� !����� �����!"�� ��������� ������� ��? >��� 1 ������ ��? (���� �����
;!����.
)4( ���&���� 1���$�� ;�< ����
����1 :� ���� ����� ��- .�& � / �
(���� %& ������ ���*� �#���� ����
1 a x + b bax
A
+
2 a x2 + b x + c cbxax
BAx
2++
+
3 (a x + b)n, n ≥ 2 n
n2
21
)bax(
A...
)bax(
A
bax
A
+
++
+
+
+
4 (a x2 + b x + c)
n, n ≥ 2 n2
nn2
11
)cbxax(
BxA...
cbxax
BxA
++
+++
++
+
12
12
��� ����!��� �% Q�!������ /����4��1 L2 � ���� ,��� 1 ��� ����!��� !����% ���!������ �����$�-� ����� �!���"������3 L4
.����� ������ ��� (���!
(a x + b)n, (a x
2 + b x + c)
n
!$���� ,�!���� C0�� ��� �!��� =� �� 5 � �#;!��� �!�����.
���� 8
�� ���� ������� ����� ��%
2x5x4x
5x323
+++
+
���
�������� 8������ A!����" 4�� ;!������ ����� ���� ��<% !��"� ������� ���� . ;!������ ,�� � ����� .����$;��� !��&����� ,��
!$�4 �� �!�:�!"
x3 + 4 x
2 + 5 x + 2 = (x + 2)(x + 1)
2
.����� ���� #@N� ,�!��!��
2)1x)(2x(
5x3
++
+
� � , .��#��� ������ !����1 �� �������� ������� ����� ? ���
221
2 )1x(
B
1x
B
2x
A
)1x)(2x(
5x3
+
+
+
+
+
=
++
+
1���$�� !��� !"� ����� �D�� ., ���!��� �<4��� , �� (�0� ;��"
(x + 2) (x + 1)2
�<4��� ��� ��"
3 x + 5 = A (x + 1)2 + B1 (x + 1) (x + 2) + B2 (x + 2)
�� >�����!��x = –2 ��� ��" 1�!$�� G���� �� !��A �� ��� !&"��
A = –1
�� >�����!��x = –1 ��� ��" 1�!$�� G���� �� !��B2 �� ��� !&"��
B2 = 2
���� ����"�!� ���B1 4� ,� ��� !�� ���� G P�� ���T���� ������ >���" �% ����B1 !�""% !��� !�""�� ���
�� 4 !"���A, B2 (!�� ���&�� ��� B1 . 90"x = 0 ��� ��"
5 = A + 2 B1 + 2 B2
13
��� !&"��
B1 = 1
�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��
22 )1x(
2
1x
1
2x
1
)1x)(2x(
5x3
+
+
+
+
+
−=
++
+
��"( ��#�� � !����� �P��� ��� �D� .����� >�F" �#!�� ���
221
)1x(
B
1x
B
+
+
+
�� ���� .�/!"�(x + 1)2 .����� >�F" 5� ;!���� , �����
2)1x(
CBx
+
+
�� >�F�!�� '�!���� ���� . !��� Q�!���� =���" �P���� �#�� ��� ��!�U��,"!�$ ���� :�!�"�� �% ��� '�������
.����� ���
22 )1x(
3x
2x
1
)1x)(2x(
5x3
+
++
+
−=
++
+
,�� !� +�!��@� ��� ���-� E���� �� ��@-� �� ���� ���
2
22
22
)1x(
2
)1x(
1
)1x(
2
)1x(
1x
)1x(
2)1x(
)1x(
3x
+
+
+
=
+
+
+
+=
+
++=
+
+
���< ���� )����� !"����� G#���� :�!��"�� 3��F" ����� ����" �����!&"�� .������� +#��&� >�����!���� . �#��� 9��<���� ,�� �
�� ���� ��� ;!���� B���� �#� !��� +P���� ��� �!��@5�(a x + b)n, n ≥ 2 ! ;�$ ��� ;�<� . ��!��� 1�"
3 � � , 1 . ;<� . �!��� 1"! '�"��� 3F"��4 � � , 1.
4 .����� � *� 0�)! 1�+
����T���� ;����� >�������� ����� ���!����� ����$�-� ,�� !" ������x ,����-� ������ ,�� ;!������ ���� R�@����� ����
1�����$�� �������� =���#� ��������� �������� . C����� ����!� ������� ��������� +#���� !��"� �#"���� �!������ 9������
1���$�� +#� ������ B�@% !<�� . ���-� �������)14�!���� .��!�� ( �!���� !�&"�� ��!� ����� !0�% ,�
��&"N�! ����/"� �������)!�#���F"�� :�!��"�� ���� ���&���� ����� ( >�������� ������� ���!�� ,�� 1�����$�� ��������
14
14
����T���� ;��< �!����@� ����� A!���� ,����� ���!����x. ������@-� ���������� !���%)���/"�� ����� �����T��� ( !���&
�����!� �!@�!� 1���$�� ;�< ����� , !�&����� ���!��� !�&"�� ����� �� �"��� !?- �!���� .
�$��*�� ������ �� �+ Coefficients equating method
14�!������ .��!���� ������� ������ ,������ �����-� ��������!� �D� % ���" ���F�� ,�!����� !��$��� C��0���. +#��� 8���
�������.
����9
�� ���� ������� ����� ��%
2x5x4x
5x323
+++
+
���
�% '�� G#�� �� ,����� ���� !$� , )�� !"��!��8 �% !" ���
2
21
223 )1x(
B
1x
B
2x
A
)1x)(2x(
5x3
2x5x4x
5x3
+
+
+
+
+
=
++
+=
+++
+
.����� ��� �" �� ���� , ;!���� �� R�@��� >���
3 x + 5 = A (x + 1)2 + B1 (x + 1) (x + 2) + B2 (x + 2)
��T���� ;��� >��" �� �D��x ��� ��" ���-� E���� , 3��<-� =F"� ���
3 x + 5 = A x2 + 2 A x + A + B1 x
2 + 3 B1 x + 2 B1 + B2 x + 2 B2
��!��� �� ���� �% !���! ;�< 9���� �x �� ����� ,� 14�!���� .��!��� ;��" E�� . ��!�� .�!���� x2
�� !���� ��� ��"
0 = A + B1 �!�� .��!����x �� !���� ��� ��"
3 = 2 A + 3 B1 + B2
�� !���� ��� ��" '����� ��� .��!����
5 = A + 2 B1 + 2 B2 1���$�� ;�< ��� ��" 15 !���� +#� ���
A = –1, B1 = 1, B2 = 2
�� ,�!&"�� :�!"�! ,�!��!��
15
22 )1x(
2
1x
1
2x
1
)1x)(2x(
5x3
+
+
+
+
+
−=
++
+
� +2�� �� �+ Covering method
G���� ,��� ����� (�!"� ,�� ���T��� ����� ,� ���!��� ����������� ;!����� ,� ,���-� ��� �� �� .
������� +#� C0�� ,�!��� !$���.
����10
�� ���� ������� ����� ��%
2x3x
1x
2+−
+
���
� ����� ��� ������ 8���� A!��" 4 ;!���� ��� �� <% !" . ;!����� ,� ���"!$�� ���� �� ��� � ��� .��$
��� !� !&����� ���
x2 − 3 x + 2 = (x − 1) (x − 2)
.����� ���� #@N� ,�!��!��
)2x)(1x(
1x
−−
+
� � , .��#��� ������ !����1 �������� ������� ����� ? �����
2x
B
1x
A
)2x)(1x(
1x
−
+
−
=
−−
+
1���$�� !��� !"� ����� �D�� ., ���!��� �<4��� , �� (�0� ;��"
(x − 1) (x − 2) �<4��� ��� ��"
x + 1 = A (x − 2) + B (x − 1)
�� >�����!��x = 1 1�!$�� E#��B 1�!$�� G���� �� !�� ������ ���-� E���� ��A ��� ��
22x
1xA
1x
−=
−
+=
=
!&"� !"��� ,��� .��@-� �<4��� �� K�� ���T��� �<��� ���� !�� ,��� ,��� ,� .��@-� ��!��� �<���
1���!$�� �����<A E#��� ���� ,����-� ������ ,���)�����T� ( �� ������(x − 1) 1���!$�� ;!���� ���� G#����A ;��$
�� >������x = 1 ;!�� , ������ �� ���� ��� ,��� ������ G% 1�!$��A !����F� G�.
16
16
������� ���< �N� ���� ��� ��$!�� 1�!$��B �<4��� �� (���
31x
1xB
2x
=
−
+=
=
E#��� ���� ,����-� ������ ,��� ���<4��� +#����)�����T� ( �� ������(x − 2) 1���!$�� ;!���� ���� G#����B ;��$
�� >������x = 2 $�� ;!�� , ������ �� ���� ��� ,��� ������ G% 1�!B ��F� G����.
�� ��@-� :�!"�� ��� ;$ ���
2x
3
1x
2
)2x)(1x(
1x
−
+
−
−=
−−
+
�� ��� ,�!��� !$���� ��N����� 3F" , ����� �� �$% ;� @��� ��� E� ���� !� !��0� ���T��� ��
1���$�� ������.
����11
�� ���� ������� ����� ��%
3x3xx
x23
−+−
���
��� ����� �������� 8������ A!����" 4�� ;!������ ����� ���� ��<% !��"� ����. .����$ ;!������ ,�� � ����� !��&����� �����
;�����!� ���&��
x3 – x
2 + 3 x – 3 = x
2(x – 1) + 3(x – 1) = (x – 1)(x
2 + 3)
��D� ,�N .��@ ������� ����� ? >� !��� � � , .��#��� ������1 ��� ��"
3x
CBx
1x
A
)3x)(1x(
x
22+
++
−
=
+−
1�!$��A ,�� !� ���T��!� + !��� ���
4
1
3x
xA
1x2
=
+
=
=
.����� ��� �������� ������� ����� ���
3x
CBx
)1x(4
1
)3x)(1x(
x
22+
++
−
=
+−
�!���!$�� !��%B, C ����T��!� !��&"���� ���� 4� . !��&"����� 14�!����� .��!��� ������ ���� N��"���) =�����
3�F" ��� ����� Q�!��� >������� ;� @���!� :�!�"�� .( ��<4��� ,� �� ,� ;!����� ��� R�@��!�� 5�% % �"��
��� ��" ���!���
17
x = (1/4) (x2 + 3) + (B x + C) (x − 1)
14�!�� .��!��� 3��<-� =F��x2 �'����� ��� ���� !���� ��� ��"
0 = (1/4) + B
0 = (3/4) − C
�% �" !�&"��
B = −1/4, C = 3/4
�� ������� ����� ,�!&"�� ?�� ���
)3x(4
x3
)1x(4
1
)3x)(1x(
x
22+
−+
−
=
+−
G����� ,���� ����� (�!"� ���T��� ����� �% !"�#����� ;!����� ,� ,���-� ���� �� ��� . ,�!���� !�$���
�� ��� ��!� , ���T��� ; @��� E� C0���!� (a x + b)n ;!���� , .
����12
��� ������� ����� ��%�� �
2x3x
3x3
−−
+
���
������ 8���� A!��" 4 ;!���� ��� �� <% !"� ����� ��� . ��$. ;!����� ,� � ��� ���� A!����� ����
���!��� ��D!� �"!���5!� =�# �� ����) !$� �/"�4 ( ��� ��"
x3 – 3x – 2 = (x – 2)(x + 1)
2
���� ������� ����� ? >� � !�� � � , .��#��� ������1 ��
221
2 )1x(
B
1x
B
2x
A
)1x)(2x(
3x
+
+
+
+
−
=
+−
+
�!����!$�� !��"�A, B2 �����T��!� !���&"���� ����� 1���!$�� !���%B1 (���0 �#� )��"- �����T��!� )��"���� ����� 4��
��� ��" E�� ;!���� , ���!��� �<4��� , ��
x + 3 = A (x + 1)2 + B1 (x − 2) (x + 1) − B2 (x − 2)
!"�� ��T���� ���< ���5x 1�!$�� , �� !�� ,���B1 �!��!$�� 3�� �� A, B2 . ;� @���!� �D� ;���"
,�� !� ���T���
9
5
)1x(
3xA
2x2
=
+
+=
=
18
18
3
2
2x
3xB
1x2 −=
−
+=
−=
.����� ��� �������� ������� ����� ���
21
2 )1x(
3/2
1x
B
2x
9/5
)1x)(2x(
3x
+
−
+
+
−
=
+−
+
1�!$�� !�%B1 �T��!� )"���� ��� 4 >������� ������ ��� 8����� ��� �� . ��<4��� ,� �� (��0� ;���"
��� ��" ;!���� , ���!���
x + 3 = (5/9) (x + 1)2 + B1 (x − 2) (x + 1) − (2/3) (x − 2)
90���x = 0 ���< ��� ��"B1 G�!�� ,���−5/9 .�� ������� ����� ,�!&"�� ?�� �D��
22 )1x(
3/2
1x
9/5
2x
9/5
)1x)(2x(
3x
+
−
+
−
−
=
+−
+
����� !$��� �!�� ;!����� B����� �#� )�"% C�0�� '���!� (a x + b)n �� �#�� �*� ��!� +�/!�"�n ������ ���
�������) � � 9���1(
nn
221
)bax(
A...
)bax(
A
bax
A
+
++
+
+
+
� 1�!$�� � � ���T��!� ����� 5 !&���� 1���$�� +#�An ���T��!� )"���� ��� .
�#�� ���� �� �+ Inspection method
����"" ������� ���� ;4���� ����� �D���@% �B ���/"�� ����� ������� ,���� 5% 1�����$�� ������� ,�� . ��������� +#����
!&�!�� ��� ,��� ����!� ��!@���� .������ ���� ���"!$�� ��� �� ��(x2 + a). �������� +#�� V��?��
,�!��� !$��!� % �".
����13
�� ���� ������� ����� ��%
)3x)(1x(
4
22++
���
4� �����% !�&� ;!����� ,� � ���� 1����$� ������� 8����� A!���" 4� ;!���� ��� �� <% !"� ����� ���
� � , .��#��� ������ !��� .�?!�� ������� ����� ? >� 5� �����1 ��� ��"
3x
DCx
1x
BAx
)3x)(1x(
4
2222+
++
+
+=
++
19
�< �% �� '������ ��� !�� Q�!��� =����,� 1���$�� ;
A = 0, B = 2, C = 0, D = −2
��� , B�@% ������ �D� N��"� !""�� . >�F"y = x2 .����� ��� ������ ���� ����
)3y)(1y(
4
++
� � , .��#��� ������ !��� ������� ����� ? >�F��1 ��� ��"
3y
B
1y
A
)3y)(1y(
4
+
+
+
=
++
�!��!$�� �D��A, B ��� ��" K�� ���T��!� !�&"���� !&"��
A = 2, B = −2
,�!&"�� ��� ? ����) �� >������ ��y = x2 (��
3x
2
1x
2
)3x)(1x(
4
2222+
−
+
=
++
��� ����� , ��$� &�% .��@-� ������� �% Q�!��� /�4�� .
W�����" E����� �D�� ����� �����!� 1!���<4� '�!������ !���$��� � !���� ,���������� 1!���<4�� ����������/"�� �. �������
4��� +#� ;� @��� �?!�� 1!<������� ����� ������ ..
+
−
+−
=
++
+
−
+−
=
++
ax
a
bx
b
ab
1
)bx)(ax(
x
bx
1
ax
1
ab
1
)bx)(ax(
1
2222
2
2222
'�!����� !��$��� ��� ������� 3F"��� ���!����� 1!��<4��� 1!���$� Q�!����� =������ . C��0��� '������ �����!��� ����$�-�
�/"�� ��� �����.
����14
�� ���� ������� ����� ��%
)4x)(1x(
1x2
22++
+
���
���� !"����� �#�
)4x)(1x(
1
22++
20
20
)"* �� ���-� . �!��� )��� '��"� ���< ��� �/"�� ����� ������� �����
+
−
+
=
++ 4x
1
1x
1
3
1
)4x)(1x(
1
2222
, �� ���� (�0��(2 x + 1) ������ ���� ������� ����� ��� ��"
+
+−
+
+=
++
+
4x
1x2
1x
1x2
3
1
)4x)(1x(
1x2
2222
����15
��%�� ���� ������� �����
)3x)(2x(
1x
22
2
++
+
���
,�� !� ����� ��� ������ ���� ;��" �/"�� ��� ���< '�����
)3x)(2x(
1
)3x)(2x(
x
2222
2
++
+
++
���-� . �!��� )��� '��"� ,"!$�� ����� �/"�� ��� ���< �� ��"!$�� . �!��� )��� '��"� �-� ����
�� ������ +#� '������� ��"
2x
2
3x
3
)3x)(2x(
x
2222
2
+
−
+
=
++
3x
1
2x
1
)3x)(2x(
1
2222+
−
+
=
++
,� ���!&"�� .����� ��� ����!"�� 9������
3x
2
2x
1
)3x)(2x(
1x
2222
2
+
+
+
−=
++
+
B�@% ����� �!��!� :�!"�� 3F" ��� ����� ���� . >�F"y = x2 ������ ���� ���� .����� ���
)3y)(2y(
1y
++
+
��#��� ��� ���� ���� !�� Q�!��� =���� ���T��� ;� @��!� ���&�� )�� ����� �:�!"�� 3F" ��� .
����16
�� ���� ������� ����� ��%
21
)4x)(1x(
5
22−+
���
�� .�?!�� :�!"�� ��� �/"�� ��� ���< �� ���-� . �!��� )��� '��"� ������ ����
4x
1
1x
1
4x
1
1x
1
5
5
)4x)(1x(
5
22
2222
−
+
+
−=
−
−
+−
=
−+
(�� ��� .����� ��� )�!�� ���� ��� ,"!$�� ���� �% Q�!��� )��"� �%
)2x)(2x(
1
4x
1
2 +−
=
−
������ �#��&� ��������� ������� !����� ����� �D��)�����T��� ;� @����!� 1�����$�� ������� Q�!����� =������ ( �����
.����� ���
2x
4/1
2x
4/1
)2x)(2x(
1
+
−
−
=
+−
�� ,�!&"�� ��� ����
2x
4/1
2x
4/1
1x
1
)4x)(1x(
5
222 +
−
−
+
+
−=
−+
����17
�� ���� ������� ����� ��%
)2x(x
1
23+
���
�� ���� ����� 5�% ;��"�
)2x(x
1
22+
������� ����� ��� �/"�� ��� ���< �� ���-� . �!��� ;� @��!� ��"
+
−=
+ 2x
1
x
1
2
1
)2x(x
1
2222
, �� ���� ;!�� (�0" =�# ���x �� �����(������ ��
)2x(x
2/1
x
2/1
)2x(x
1
2323+
−=
+
, 5�% ;!����� ����� (�0� )����� ��� ,"!$�� ���� ���x �/"�� ��� ���< ;� @��� ;$
22
22
+
−=
+
−=
+
=
+
2x
x
x
1
4
1
2x
x
x
x
2
1
2
1
)2x(x
x
2
1
)2x(x
2/1
2
22
222
!&"�� :�!"�� ��� ��� ,
2x
4/x
x
4/1
x
2/1
)2x(x
1
2323+
+−=
+
$� 1���$�� ������ B�@% '�� ��� )"% �#" (!��� �#&� !�!�@� 1�# ����/" ;� @����� 0!F��� ;� @���
(!���� �#�� ,� '���� +#&� >��" �� !""�� �� ���. ���0!���� :������� ;��� �% ���� Q�!���� ��/" 1�F�"�
$�
Derive, Mathematica
������� ����� ����� ����� 8���� !&"��.
23
������������� ����� ����
)1 (�/"�� ���� ������� ����� ��% �� ����16x
12x7
4
2
−
+ ) ��!"�2009(
)4x)(4x(
12x7
16x
12x7
22
2
4
2
−+
+=
−
+
+
−
−−−
+=
)4x(
1
)4x(
1
)4(4
12x7
22
2
+
+−
−
+=
)4x(
12x7
)4x(
12x7
8
1
2
2
2
2
+
−+−
−
+−=
)4x(
16)4x(7
)4x(
40)4x(7
8
1
2
2
2
2
+
+−
−
+=
)4x(
167
)4x(
407
8
1
22
+
+
+−
=
)4x(
16
)2x)(2x(
40
8
1
2
+
+
+
−
−
=
)4x(
16
)2x(
1
)2x(
1
4
40
8
1
2
)4x(
2
)2x(
45
)2x(
45
2+
+
+
−
−
=
��� ����B�@� 1���@�.
)2 ( �� ���� ������� ����� ��%2xx2x
1x2x2
23
2
+++
++ ) ��!"�2009(
)2x()2x(x
1x2x2
2xx2x
1x2x2
2
2
23
2
+++
++=
+++
++
2x
C
1x
BAx
)2x)(1x(
1x2x2
22
2
+
+
+
+=
++
++
)1x(C)2x)(BAx(1x2x222
++++=++
>�����!�1���$�� ;�< �� ��"
x = 2 5 = C (5) C = 1
x = 0 1 = B (2) + 1 B = 0
x = 1 5 = A (3) + 2 A = 1
2x
1
1x
x
2xx2x
1x2x2
223
2
+
+
+
=
+++
++
24
24
)3 ( ����� ��%� ��������� ��� 1xxx
2x6x7x5x2
23
234
+++
++++
) ��� �"2008( 3x2
2x6x7x5x21xxx 23423
+
+++++++
2x4
+2x3
+ 2x2
+ 2x
3x3
+ 5x2
+ 4x + 2
3x3
+ 3x2
+ 3x + 3
2x2
+ x – 1
)1x)(1x(
1xx23x2
2
2
++
−+++=
)1x)(1x(
)1x2)(1x(3x2
2++
−+++= (or
)1x(
CBx
)1x(
A3x2
2+
++
+
++= )
1x
1x23x2
2+
−++=
)4 ( �/"�� ���� ��xx
3
3+
) ��� �"2008(
+
−=
+ 1x
1
x
1
1
x3
)1x(x
x3
2222
1x
x3
x
3
2+
−=
)5 ( ��� ,�D� ���� �� ���+ �������2xx
6
24−+
) ��!"�2008(
+
−
−−−
=
+− 2x
1
1x
1
)1(2
6
)2x)(1x(
6
2222
2x
2
1x
2
22+
−
−
=
2x
2
)1x)(1x(
2
2+
−
+−
=
2x
2
1x
1
1x
1
2
2
2+
−
+
−
−
=
2x
2
1x
1
1x
1
2+
−
+
−
−
=
25
)6 ( ����� ��%� ��������� ��� )1x)(1x(
12x82
−−
− ) ��� �"2007(
1x
C
1x
B
)1x(
A
)1x()1x(
12x8
22 +
+
−
+
−
=
+−
−
8x – 12 = A(x+1) + B(x–1)(x+1) + C(x–1)2
1���$�� ;�< �� ��" >�����!�
x = 1 –4 = 2A A =–2
x = –1 –20 = 4C C = –5
x = 0 –12 = –2 – B + (–5) B = 5
1x
5
1x
5
)1x(
2
2 +
−
−
+
−
−
)7 (�/"�� ���� �� )3x(x
12
+
) ��� �"2007(
3x
x
x3x
1
x
1
03
x
)3x(x
x
2
31
31
2222+
−=
+
−
−
=
+
)8 ( ��� ,�D� ���� �� ���+ �������3x4x
4x
24
2
++
+ ) ��!"�2007(
)3x)(1x(
4
)3x)(1x(
x
)3x)(1x(
4x
2222
2
22
2
++
+
++
=
++
+
+
−
+−
+
+
−
+−
=
)3x(
1
)1x(
1
13
4
)1x(
1
)3x(
3
13
1
2222
)1x()3x( 2
23
2
21
+
+
+
−
=
26
26
����� 3��)��
����� ���� �����
– � ����� ��� ���� ��� ���� �� ������� ����� ����� �� ����������� ���� �.
– ������� ����� ����� 1���@
)1 (������� ������ 8���� ;�� ;!���� ��� G�!�� �% �� ��% ����� ��� 1"! �#�.
)2 (����% � � 1���$ (�0 �!� ��� ;!���� ����.
)3 (���!"�� ������� ����� ? >� .
)4 (���&���� 1���$�� ;�< ����.
– ���T��� ������ G���� ,��� ����� (�!"���� ;!���� , ,��-� ��� �� ��.
– ;� @��� ����/"�� ��� 1!<4� ���!��� �?!��������� ����� ������ .:
+
−
+−
=
++
+
−
+−
=
++
ax
a
bx
b
ab
1
)bx)(ax(
x
bx
1
ax
1
ab
1
)bx)(ax(
1
2222
2
2222
27
����� ����
���D� �� !���� ������� ����� ��%:
)1 (3x2x
x2
−+
)2 (13x
2x
−
−
)3 (xxx
123
++
)4 (3xx33x
2x
2−−+
+
)5( 1xx6
2x2
−−
+ )6( 1x6x6x7
3x11x423
2
−++
++
)7 (x2x3x
123
+−
)8( 1xxx
x423
−−+
)9 (2)2x(
7x6
+
+ )10 (5x2x53x
x3
−+−
)11( 3x42x
2x43x
++
+ )12 (1x22x23x24x
5x34x5x
+−+−
+−−
)13 (15x72x33x
3x7
−−−
+ )14 (x84x
1x
+
+
)15 (2
)1x)(12
x(
4x2
−+
+− )16 (2xx
624
−+
)17( )1x)(1x(
12x82
−−
− )18 (2x32x23x
1x
−+−
+
)19 (8x52x3x2
8x5
−++
+ )20 ()1x(x
1xxxx
2
234
+
−−++
�/"�� ��� ����� ; @��� ������� ����� ���������D� �� !����:
)21 ()62x(2x
5x4
+
+ )22 (3x4x
4x
24
2
++
+
)23 ()132x)(32x(
2)1x(
++
− )24 ()3x)(2x)(1x(
6222
+++
)25 ()12x(3x
1
+
)26 (16x
12x74
2
−
+
)27 ()1x()1x(
x2
2
++
28
28
29
������ ����
�� ���� ��� ����
Binomial Theorem
1 .�����
����� ����� � ��� ��� ����� ������� � �������(x + y)n �����n ������ ����� ����� . ������ ���� ���"�
��� � #�$ ������ . ������ � ������ ��"� %���&� ������ '���( � ��� � �$" )* ��(�(1 + x)n ����
n )������ ����� .� � ��(���� �������� ���"� ����� � #�$ ������� )��* +���, ��� ��� �� � %������� '�������� -�
������ � ����� � ./� 0�� �� )��* ����� ���� .)������ � ./� 0�� �� )��* ������� � ��� ��� $ ����� 1����( 1��2 .
13(���$� ��� � 3������� � #����� '�� )* ����� � �$" 1�.
2 .���� ���� �� ������ ��� �����
��� ��� ����� � ����� ���� ��� 1�� � � (x + y)2 0,4� �� ���� %(� #��25 0 �6�� ��� ) ��
(x + y)2 = x
2 + 2 x y + y
2
� ��� ��� +2� �������� � ��� �(x + y)3 0,4� �� ���� %(� #��2�ٕ�
(x + y)3 = x
3 + 3 x
2 y + 3 x y
2 + y
3
* 0��� � 0 �� � ��� � #�$ 0��8( ����)6 +2� ����� � ����� ��� �(�(�,(x + y)n ���
n = 1, 2, 3, 4, . . . �" �(�� � �$"�
n22n2
n1n1
nnn yyxCyxCx)yx( ++++=+−−
L
0,4� � � ��*�� � ���� ���� � ���� � ����� � )* #4���� � ��� ���
)!rn(!r
!nC r
n
−=
���n! �" ��� � ���9�n 0,4� �� ���� :$ ��
n! = 1 × 2 × 3 × . . . × n, n ≥ 1
0! = 1
�(�, 0��� ���� ��� 3� ��� � #�$0� � � ;�� � )*
∑=
−=+
n
0r
rrnr
nnyxC)yx(
)9��� � <�(�-� 1��3��� 1� �(�� � �$" #��2�ٕ� .�(�� � �$" 1��3��� =��� � ��$ 0� � � 0�2�/��.
30
30
���1
������ ��� � #�$ ����� ����(2 a − b)3
���
+����� >� ��� � #�$ �(�, 1��3�(x ��2 a +������y ��−b � '��� �� n = 3 ��� + �(*
322
321
333 )b()b)(a2(C)b()a2(C)a2()ba2( −+−+−+=−
��0�?�6( � ;�� � ��� + �( #��� 3-� @���A
(2 a − b)3 = 8 a
3 + 3 (4 a
2) (−b) + 3 (2 a) (b
2) − b
3
= 8 a3 − 12 a
2 b + 6 a b
2 − b
3
���2
+���� ����x7 ����� )*(1 + 2 x
2 – x
3)5
���
;�� � ��� ���� � ����� � >9( ��� � #�$ �(�, 1��3�-
[1 + (2 x2 – x
3)]
5
+����� >� ��� � #�$ �(�, 1��3�( B��x ��1 +������y ��
(2 x2 – x
3)
� '��� �� n = 5 ��� + �(*
532
4324
53323
5
2322
5321
5532
)xx2(
)xx2(C)xx2(C
)xx2(C)xx2(C1)]xx2(1[
−+
−+−+
−+−+=−+
+���� �" ��* ����� � B��x7 � ���( 0� ��* ;�8(��x
7 ������ � �� >���� � ������ � )�* ���* ����
;�� � ��� %��� ��� :$ �� ���� � 36332
35 )x2(x10)xx2(C −=−
����� � �$" ���� C�3� ;�� ��� � #�$ �(�, 1��3������ + �(
10 x6 (2 − x)
3 = 10 x
6 (2
3 + 3 (2
2) (−x) + 3 (2) (−x)
2 + (−x)
3)
+���� ���*x7 :���� −120
31
3 .����� �� ������ ��� �����
� 5 B� +�(('�� )���� .D� ��� � #�$ ����� .��� '��(�� ����� � %��� ����������� � ����������
(1 + x)n ���n )���� ��� . '���� ������ � �$�" ���� 1�3��� � �(��� � '��( � +�,� %������
E�(�9�� :$� � ������ � ��� �(" % '��( :$ � ����� � �� )���� ��* � 5 =��� � �8( #��( � ��(
����� � ��(� � )�* . ������ � ������� ���� 0����� �(�9�� ����� � ��(� � )�*(x + y)n ����n ����� ����
������ � �$�" ���� ;�&��� %���3�� ��� :$ � �(�� � �(��$� ���� .�� )(F��( �(��� � �$�" 1��3���
������ � ��9 �(x + y) %���( )�*n G��( � ��� 3� 1�2 #���� � �� . �(��, �� 14��� ��(��(� �$5 ����
������ � ������ ���� (1 + x)n ����n #������ � �� )�(F� �(��, @����5 ��� �� � .���* )����� ����
%(/ �� 3-�� .��,/� �* � 0���� � -+�2� ���� #�(�� �$5 .���,/� E$�"n 42�� :����−1 ��0.5
0� �� � �� ����� � �� 1���( 0����� � )�* �((� �(1 + x)n ���� ;��� C��, 0������ )�* 0��?�6(-x ����
;�� �
a0 + a1 x + a2 x2 + . . .
���H C��3� +��� ���� ����(� ����� � �$�"�(1 + x)n +�2�sin x, cos x .�� ��� ��" I��9�� � �$�"� ���
%���� )�*1��� ������ ������ +�9�� � . I��9�� � �$�6 '��� ���1���� 0� �� :� �f(x) �����& ����
0��?�" ����� ���6(� ������ � ����� 0��(���C���, 0������� 0���?�6( - )��*x . ����� 14��� � J����� �����* ���(" �����
0 �� � �����(1 + x)n.
���3���� ���� :$� � �(��� �� B� ����(% ������ ���� 0� �� �(1 + x)n ���� ��(" �(��� � �$�" ��$(���
� #��25 #��2K� ��(����=��� � 0 ����� ����� I�9�� +9�� � 1�� )*.
����� �� ������ ��� �����
�� �$5|x| < 1 A*
L+−−
+−
++=+32n x
!3
)2n)(1n(nx
!2
)1n(nxn1)x1(
0�B� ;�� �� ����� � 0��� ����
∑∞
=
+−−−+=+
1r
rnx
!r
)1rn()2n)(1n(n1)x1(
L
32
32
� !�"# ��)����" (�������
��"� ����� ������ � �$�" ���� ��� ����& :���� ����� � ������ � � =���� � 8��4�|x| < 1 . �$�"�
������ � ����� ;�* � $� ���� ����� � 0� ;��� ��� ;�� � �$" �� ��& � .3/� 0���� ���� �; +��
;����� � E$���6� ������� � ����� .���6(- ������ � )���* ������� � ����� ����* I������� � �$���" � ���� �����D � ��� �����- )?�
:���� )?�6(4 �)� ���� ( � ���� -� 0(��� 0���� 0���∞ 42� . ���F� � 0���, ����� ��� 1�2 ��
x ;��� � )�*|x| < 1 :�−1 < x < 1 ���/� ���� � )�* )?��6(4 � I����� � ����� ����� � �$�" ��9�
:����)�� ���� (���/� ���� � 0���,. ���F� � 0���, #�(�� �$5 ����x ���� ��* ;��� � E$�" )�* >�� -
)?�6(4 � I���� � ������� ���/� ��� � )* ����� � . #�$ #����9�� � �� ����� �� ����� � I��9���
0�?�6(4 � #4���� � I�9�� %���� �(� =��� � % '����� #��9��� � 1�� )* 0F �� � 0��"/�.
� 0�2�/������ � 0� ;�* ��� 0����� ���� � �(�� � #����3�� �9� 0� �.
���3
����� � ����� ����
x1+
����� � 0� ;�* ���.
���
����� �(�� � )* '��(n = 0.5 ����� � ����� � ��� + �(*
L+
−−
+
−
++=+322/1 x
!3
)2
3)(
2
1)(
2
1(
x!2
)2
1)(
2
1(
x2
11)x1(
+ ( �� G�( � �� 3� ����;�� � � 5
L++−+=+322/1 x
16
1x
8
1x
2
11)x1(
)" ����� � ���� ;�*|x| < 1 .
���4
����� � ����� ����
x32
1
+
33
����� � 0� ;�* ���.
���
;�� � ��� ���� � ����� � >9�� -�� ���( �(�� � 1��3�� >���( ��
11 )2
x31(
2
1)x32(
x32
1 −−+=+=
+
���� B� 1��( 12 ������ � +��� ���� �(��� � 1��3(3 x / 2) +���x 0���, ����n 0������−1 +� �(*
���
]x4
9x
2
31[
2
1
]2
x3
!2
)2)(1(
2
x31[
2
1)
2
x31(
2
1
2
21
L
L
++−=
+
−−+−=+
−
����� � � ���� 0242 +�� ���� ��* �(���� �,�))?�6(4 � (����� � �� ���J� � ���� =����� ����� .
) � �� ���* ����� � 0� ;�* � ���
1|2
x3| <
1|x|2
3<
3
2|x| <
� :�
3
2x
3
2<<−
���5
����� � ����� ����
2x1+
����� � 0� ;�* ���.
���
����� � +�� ��� �(�� � 1��3��� 1��(x2 +��x 0��, ���n 0�����0.5 ��� + �(*
L
L
+−+=
+
−−
+
−
++=+
42
322222/12
x8
1x
2
11
)x(!3
)2
3)(
2
1)(
2
1(
)x(!2
)2
1)(
2
1(
x2
11)x1(
) � �� ���* ����� � 0� ;�* � ���
34
34
1x1
1x
1|x|
2
2
<<−
<
<
���6
����� � ����� ����
2)3x(
1
−
����� � 0� ;�* ���.
���
;�� � ��� ���� � ����� � >9�� -�� ���( �(�� � 1��3�� >���( ��
22
2)
3
x1(
9
1)3x(
)3x(
1 −−−=−=
−
B� 1���( 1�2 ������ � +��� ���� �(��� � 1��3���� (−x / 3) +���x 0���, ����n 0������−2 +� �(*
���
]x3
1x
3
21[
9
1
]3
x
!2
)3)(2(
3
x21[
9
1)
3
x1(
9
1
2
22
L
L
+++=
+
−−−++=−
−
����� � � ���� 0242 +�� ���� ��* �(���� �,�))?�6(4 � (����� � �� ���J� � ���� =����� ����� .
) � �� ���* ����� � 0� ;�* � ���
3|x|
1|3
x|
1|3
x|
<
<
<−
� :�
−3 < x < 3
���7
����� � ����� ����
2)x1(
x5
−
+
35
����� � 0� ;�* ���.
���
;��� � ���� %��9� ���� ���� � ����� �(5 + x) (1 − x)−2 ������ � ������ ����� -�� ���(�� 1�2 ���
(1 − x)−2 )�� ���
L
L
+++=
+−−−
++=−−
2
22
3x2x1
)x(!2
)3)(2(x21)x1(
B� 1��( 12 )* G�( � ��9�(5 + x) ��� + �(* G�( � >����
L
L
L
L
+++=
+++
+++=
++++=−+−
2
2
2
22
x17x115
2xx
15x10x5
)3x2x1)(x5()x1)(x5(
����� � � ���� 0242 +�� ���� ��* �(���� �,�))?�6(4 � (����� � �� ���J� � ���� =����� ����� .
������ )?�6(4 � ����� �� ��� )6* ����� � 0� ;�* � ���(1 − x)−2 �� �6���� ����) �
1|x|
1|x|
<
<−
���8
����� � ����� ����
)x2)(x1(
1
−−
����� � 0� ;�* ���.
���
��� +��� ������� ������A� ������� � ������� � ����� �����(1 − x)−1
, (2 − x)−1 �����( � ����9 1��2
0������ � E$��6� +��� � ����� =������ ������ ���� 3-�� . >�(��� ���((� � ������A� @���� � )��"� C���3� ;����* ���("
���� � ������ 0�?J� � ���� � .+�& � $3D ���� � ������ 0�?J� � ���� �
)x2(
B
)x1(
A
)x2)(x1(
1
−+
−=
−−
��� + �( 0��F �� ���2 � �����
36
36
1|)x1(
1B
1|)x2(
1A
2x
1x
−=−
=
=−
=
=
=
� :�
x2
1
x1
1
)x2)(x1(
1
−−
−=
−−
;�� � ��� ��3/� ����� � >9( B��
11
11
)2
x1(
2
1)x1(
)x2()x1(x2
1
x1
1
−−
−−
−−−=
−−−=−
−−
��� + �(* �(�� � 1��3��� ����� � ���( 12
])2
x(
!2
)2)(1(
2
x1[
2
1
])x(!2
)2)(1(x1[)
2
x1(
2
1)x1(
2
211
L
L
+−−−
++−
+−−−
++=−−−−−
��� + �( 0����� � 0���� � #��� 3-� +����
L
LL
+++=
+++−+++=−−−−−
2
2211
x8
7x
4
3
2
1
]x4
1
2
x1[
2
1 ]xx1[)
2
x1(
2
1)x1(
��?��6(4 � ������� � 4��� ���� )�6* ������ � 0�� ;��* � ��� . 0�� � ;��* ��� +�/� ��������*
)"
−1 < x < 1
)" 0� � ;�* �� )(�2 � ������ �
−2 < x < 2
G����( � E$��" �� ����� � ��� ��� ����� . ������ )��� � ������� � ����� ��� B��)�������� :� ( � ����-
���� ������ � 4� ��� )������ :�( . 12 ��* ��� � >��� )" ����� � ����� � 0� ;��
−1 < x < 1,
−2 < x < 2 )" ��*
−1 < x < 1
37
!��&'��� (���� )*
0� � � 0�2�/� )* #-�� � E$" 1"� N3�(�� �6*��� � �� �� ���� +6� ����� �6 ������ � '��.
���9
����� � ����� ����
(1 − x)−1
���
+ �( ����� � �(�, 1��3���
L+−−−−
+−−−
++=−− 321 )x(
!3
)3)(2)(1()x(
!2
)2)(1(x1)x1(
� ��� + �( �� 3-� ����;��6&� � ;��
(1 − x)−1
= 1 + x + x2 + x
3 + . . .
(��� �((� �(" 8�4(��( ;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9��
∑∞
=
−=−
0r
r1x)x1(
���10
����� � ����� ����
(1 + x)−1
���
+����� >� � � ���� � ����� � 1��3���x ��−x � � ��� + �(;��6&� � ;�
(1 + x)−1
= 1 − x + x2 − x
3 + . . .
;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9�� ��� �((� �(" 8�4(�
∑∞
=
−−=+
0r
rr1x)1()x1(
���11
����� � ����� ����
(1 − x)−2
38
38
���
� E$6� +� � ��� =���� ���� �(�� � 1��3��� G�( � ��� ���0���� .C��3� 0����� D��(�� �((� � .
����� �� ���(
(1 − x)−1
= 1 + x + x2 + x
3 + . . .
��� + �(* �*�� � +9��� 1��( 12
−(1 − x)−2
(−1) = 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x
3 + . . .
;��6&� � ;�� � ��� + �( �� 3-� ����
(1 − x)−2
= 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x
3 + . . .
�(" 8�4(� ;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9�� ��� �((�
∑∞
=
−+=−
0r
r2x)1r()x1(
���12
����� � ����� ����
(1 + x)−2
���
+����� >� � � ���� � ����� � 1��3���x ��−x ;��6&� � ;�� � ��� + �(
(1 + x)−2
= 1 − 2 x + 3 x2 − 4 x
3 + . . .
8�4(�;�� � ��� ����� � 0��� ���* 1�� � �� � ��� �9�� ��� �((� �("
∑∞
=
−+−=+
0r
rr2x)1r()1()x1(
��*� ���*"xr
��� ��((� :� 1��� � ��� � ���� �(����� 0����� � ;��6&� � O� � )* �((� =��� � 8�4�� +����� ���� �(�
xr ���� :� +������ ����� %��� ����� :$�� ��) +��2�x
10 �� x50( )?���6(-� ������� � )��* . '���� )��(����
+���� ��� �6�* ��� ) � C�3/� 0�2�/�xr. (� =��� � ��$(�% +����� ���x
r 0�6�� ;��� )�*) 5
��� (��6� ���� ./� '�� � 5 ��&(��0�2� � $ +�� �6�* ��� ) �.
39
���13
+���� ����xr ����� � ����� )*
x21
1
−
���
;�� � ��� %��� ��� ���� � ����� � 1)x21(
x21
1 −−=
−
1��3�� ��� ����� � ��� �� �(�� )=����� � $ ��(�� ( +��2� G��( 1��3��� �����9 +������ >��
x ��(2 x) ��� + �(* ;��3/� 0����� D��(��
L++++=−− 321 )x2()x2(x1)x21(
� � �� � � G(�( �6(�� �" 1�(2 x)r +���� ���*x
r �"2r ���r ≥ 0.
���14
+���� ����xr ����� � ����� )*
2)x3(
1
−
+���� �� 12 ��x50.
���
;�� � ��� %��� ��� ���� � ����� �
22
2)
3
x1(
9
1)x3(
)x3(
1 −−−=−=
−
�(�� � 1��3�� ��� ����� � ��� �)=���� � $ ��(�� ( � +�2� G�( 1��3�� ���11 +������ >�
x ��(x/3) ��� + �(* ;��3/� 0����� D��(��
])3
x(4)
3
x(3
3
x21[
9
1)
3
x1(
9
1 322L++++=−
−
�" 1�� � �� � � G(�( �6(�� r)
3
x(
9
1r +
+���� ���*xr �"
r39
1r −+, r ≥ 0
� '��� ���r = 50 +���� ���x50 :����
40
40
5039
51 −
���15
+���� ����xr ����� � ����� )*
x21
x
−
���
+�2� G�( 1��3���13 �" ����� � ����� ���
])x2()x2((2x)2x[1x
)x21(xx21
x
r32
1
LL ++++++=
−=−
−
�" 1�� � �� � � G(�( �6(��
x (2 x)r − 1
= 2r − 1
xr
+���� ���*xr ������2
r − 1 ���r ≥ 1.
���16
+���� ����xr ����� � ����� )*
x21
x5
−
+
���
+�2� G�( 1��3���13 �" ����� � ����� ��� C�3� ;��
L
LL
+++++=
+++++++=
−+=−
+ −
)]x2(x)x2(5[]x)x2(5[5
])x2()x2((2x)2x[1x)5(
)x21()x5(x21
x5
2
r32
1
�" 1�� � �� � � G(�( �6(��
5 (2 x)r + x (2 x)
r − 1 = [5 (2
r) + 2
r − 1], r ≥ 1
+���� ���*xr ������
2r − 1
(10 + 1) = 11 (2r − 1
)
���� � �� � ����(r = 0) :���� �6* 0 �3 0 ��5.
41
���17
+���� ����xr ����� � ����� )*
)x2)(x1(
1
−−
���
+���� ��� xr ���( +���� ��� 12 ���� � ������ 0�?J� � ���� � ���� -��x
r >���( 1�2 ��� +�
0��( � #4���� � .��� +�2� )* 1 ���� � ������ 0�?J� � ���� �8 ��� �(� ��
x2
1
x1
1
)x2)(x1(
1
−−
−=
−−
������ ���� � ����� � ����� ��� B��
])2
x()
2
x(
2
x1[
2
1
]xxx1[
)2
x1(
2
1)x1(
x2
1
x1
1
r2
r2
11
LL
LL
+++++−
+++++=
−−−=
−−
−
−−
�" 1�� � �� � � G(�( �6(�� r
1r
rr x]2
11[)
2
x(
2
1x
+−=−
+���� ���*xr ������
1r2
11
+−
���18
���� +����xr ����� � ����� )*
3)x1(
1
−
���
;�� � ��� �� %(� ��( ����� � �(�, )* 1�� � �� � � 5 I��� �� rx
!r
)1rn()2n()1n(n +−−− L, r ≥ 1
� '��� � >� ;�� � E$" 1��3����n = −3 +������x ��−x ������ � )�* 1��� � ��� � ��� + �(
��ى����� ���� �;��
42
42
r)x(!r
))2r(()5()4()3(−
+−−−− L
+���� �� 3� ��� B��xr )�� ��� 0���� � 0,4� � )* ����� �
2
)2r()1r(
)2(!r
)2r()1r(!r
!r)2()1(
)2r()5()4()3()2()1()1(
)1(!r
)2r()5()4()3()1(
r2
rr
++=
++=
+−=
−+−
L
L
0������ � E$��" � 8��� 4��(�))��� /� ������� � )��* 1���� � ���� � ��� 5 I����� � )��"� (����?�� ����� �6���3����
+���� ��� 0 ���� xr (� �( �� 0(���� � � C�( � 0�2�/� )* �(�( ��� ;��6&� � �� 13−17 )�(F�
#-�� � � ��2� )*.
����"�� �# ������� +��,"-�
������� � #�$ ��������� 0��������/� �����?��� � �����)0������� 0����� � ��������� ��������� � (�������� � )����* %���3������ .
0� � � 0�2�/� )* � $ �9�(��.
���19
�� � #�$ ����� � ���� 0242 1��3��� ������ 0����� 0��, ���� �1.1
���
;��� � ��� %�9� ��� ���� � ����� �(1 + 0.1)0.5 +� �(* ���� � #�$ ������ %��3��( ) �� ���
���
L+−
++=+25.0 )1.0(
!2
)5.0)(5.0()1.0)(5.0(1)1.01(
0����� � 0����� � 0��� � ��� + �( ��* ���� 0242 1��3����
0487.10013.005.01)1.01( 5.0=−+≈+
0�����9� � 0����� ��)0����&� 1���,�� >����/ ( )��"1.0488 . ������ � ����� ;�����J� %��(� =����� � %���((� ������� ���
����� � #�$������ � ;����� ���J�� .��� $� 0������� � 0����� � ��� ������ ����/� ����� � )��* ������� � / ���,
����� � 0� ;�* )* 14� � �(��, � �(��, ��J ���� � ��� ��J ����*0����� � 0��� �.
43
���20
������ 0����� 0��, ���� ��� � #�$ ����� � ���� 0242 1��3���6
1
���
;��� � ���� %��9� ���� ���� � ����� �(1 + 5)−1 ;��&��� %��* ���� - ������ � �$�" � ��(" 8��4(�
��� �(��9��(� ��((/ ����� � #�$ ������� 1��3����x = 5 ������� � 0��� ;���* )�* ;������� ����H E$�"� .
� 4�* �(9�� �$5 �((� �(" ;��&K� �����x = 5 ��� + �( �((A*
L+−+−=+− 321 )5()5(51)51(
0��(��� 0����, ��� ������ - ����/� ����� � )��* ������� ���� %�� 0��(��� � ������ � / �$��"� ;������ ;�����J ���J
=������ ���9��)?����6(- ������� �������5 ���(� ������� � 0���� ;���* �����& ������ ;������9. �������� � ������K�
�� � ����� � >9( ���(� ��;�� � ��� �
1
1
1 )2.01(2.05
11
5
1)51( −
−
−+=
+
≈+
0����� � 0����� � 0��� � ��� + �( ��* ���� 0242 1��3����
1680.0))2.0(2.01(2.0)2.01(2.0 21=+−=+
−
���21
����� � ���� 0242 1��3��� ������ 0����� 0��, ���� ��� � #�$8
���
;��� � ���� %��9� ���� ���� � ����� �(9 − 1)0.5 ����� � ������ � >�9( ����(� � ������ � �����K�
;�� � ��� 5.0
5.0
9
113)19(
−=−
0����� � 0����� � 0��� � ��� + �( ��* ���� 0242 1��3���� )"� 2.8287
%��&� ��� � #�$ I�9�� �(9�� �6(� �$6�� :)����� � ./�� ����� � ��� � ./� . ��$�(* ����(�
����� � ���� � ./� 0� �� )�* ������ � D�� =���� � ��" )�(F� �(��, ������ � ���9 ��(x + y) )�*
%��(n G�( � �� 3� 12 #��� � � . ��� �6* )���� � ./� 0 �� )* ����� � �(�, 0� �� � �� ������
(1 + x)n 0?�" ���C�, 0����� 0�?�6( - )*x . �%��� ���� �� �" )*1�� ����� ����� +9�� �.
44
44
���.�� �����"
)1 ( +���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0���/� ����xr ������
2)x1(
2x
+
+
) ���(�2009(
L+−−−
+−−
+−++=++− 322 x
!3
)4)(3)(2(x
!2
)3)(2(x)2(1)(x2()x1)(2x(
KL ++−++−+−++=rr32
x)1r()1(x4x3x21)(x2(
L+−+−=32 x5x4x32
����� � 0� ;�*�
|x| < 1
–1 < x < 1
+�����xr �"
(–1)r (r+2)
)2 ( ���� 0242 � ���� � �/�� ����� ������ ��� � #�$
2)x31(
1
x1
1
++
+
(��� ����� � 0� ;�* ��� G +����xr . ) ���*�(2008(
(1 + x)–1
+ (1 + 3x)–2
= (1 – x + x2
+ . . . . . (–1)r x
r +. . . )
+ (1 – 2(3x) + 3(3x)2
+….. (–1)r (r+1)(3)
r x
r + . . .)
= 2 – 7x + 28x2
+ . . . .
����� � 0� ;�*
3
1x
3
1 and 1x1 <<−<<−
3
1x
3
1<<−
+����xr
(–1)r [1 + (3)
r (r + 1)]
45
)3 ( ���� 0242 � 1��3��� � �/�� ����� ������ 0���� 0��, ���� ��� � #�$37.
) ���*�(2008( 3
13
13
1
)125.01(2)1(2)18(81 −=−=−
9131944.1)125.0(!2
))(()125.0)((1[(2 23
231
31 =+−+−+=
−
L
)4 ( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����3 2x28
2
−
����� � 0� ;�* ���.
)(�� ��2008(
31
31
31
31
)x1()x1()8(2)x28(241
412 −−−−
−=−=−
L+−−−
+−−+=2
413
431
41
31 )x(
!2
))(()x)((1
L+++=2
121 x
72
1x1
����� � 0� ;�*�
1x4
1 2<−
1x4
1 2<
4x 2<
2x2 <<−
)5 ( ��� 0242 � 1��3��� � � �/�� ����� ������ 0���� 0��, ���� ��� � #�$23 .
) ���*�(2007(
2
12
12
12
1
)1()25()225()23(252−=−=
21
)08.01(5 −=
796.4)08.0(!2
))(()08.0)((1[(5 22
121
21 =+−+−+=
−
L
)6 ( ���� 0242 � ���� � �/�� ����� ������ ��� � #�$3x4x
4x22
+−
− �� ����� � 0� ;�* �
G(��� +����xr . ) ���*�(2007(
1x
B
3x
A
)1x)(3x(
4x2
−+
−=
−−
−
46
46
1x
1
3x
1
−+
−=
11 )1x()3x( −−−+−=
11311 )x1)(1()x1()3( −−−
−−+−−=
[ ]L+++−
+
++
−=
222
xx1...x3
1x
3
11
3
1
...x27
28x
9
10
3
4 2+−−−=
����� � 0� ;�*�
3x3 and 1x1 <<−<<−
1x1 <<−
+���� xr
1r
1r
3
13
+
++
−
)7 ( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����x4
1
− ����� � 0� ;�* ���.
) ���(�2007(
21
21
21
21
)x4
11(
2
1)x
4
11()4()x4(
−−−−−=−=−
])x(!2
))(()x)((1[
2
1 2
412
321
41
21
L+−−−
+−−+=
L+++=2x
256
31x
16
1
2
1
����� � 0� ;�*�
1x4
1<−
4x4 <<−
47
�� /,.�
������ ��� ��� �
– ������ � ������ ��(�(�, ����� ����� ���� .D�� ���� � #�$ ����� (x + y)n �(��� � �$�"� ;��&���
�":
n22n2
n1n1
nnn yyxCyxCx)yx( ++++=+−−
L
– �(�(�, ���� )���� .D� ��� � #�$ ����� 0� �� � �� ������(1 + x)n 0�?�" ����C��, 0������ -
0�?�6( )*x �" �(�� � �$"� ) ���|x| < 1(:
L+−−
+−
++=+32n x
!3
)2n)(1n(nx
!2
)1n(nxn1)x1( ,
;��6&� � O� � '�� )" )���� .D� ��� � #�$ ����� :
(1 − x)−1
= 1 + x + x2 + x
3 + . . .
(1 + x)−1
= 1 − x + x2 − x
3 + . . .
(1 − x)−2
= 1 + 2 x + 3 x2 + 4 x
3 + . . .
(1 + x)−2
= 1 − 2 x + 3 x2 − 4 x
3 + . . .
48
48
�����"
)1( ������ ��� � #�$ ����� ���� :4)2x57( +.
)2( ������ ��� � #�$ ����� ���� :5
x2
1x3
+.
)3( ������ ��� � #�$ ����� ���� :6)x21( +.
)4( +���� ����x50 ����� )*(3 – 5 x
2)70.
)5( +���� ����x7 ����� )*(1 + 3 x
2 – x
3)
5.
)6( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����x9
1
− ����� � 0� ;�* ���.
)7( ����� )* � �/� ���� 0242 � ����32 )5x(
1
− ����� � 0� ;�* ���.
)8( ����� )* � �/� ���� 0���/� ����x2)2x(
1
−− ����� � 0� ;�* ���.
)9( ������� ��� � #�$ ����� ���� :x31+ , 3)x31(
x21
−
+ 0� � ;�* ���.
)10( � +���� ���xr ����� )*
2)x3(
1
− ����� � 0� ;�* ���.
)11( � ����242+���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0 xr ������
2)x3(
2x
−
+ .
)12( �������� ����� � #�$ ������� ��� ��� �/� ������ 0��242 � ������2x
1x
x1
12
+
++
+
− 0��� ;���* �����
+���� G(��� ����� �20x.
)13( +���� ����xr ����� )*
)5x()1x2(
x
+− ����� � 0� ;�* ���.
)14( +���� ����xr ����� )*
)2x)(1x(
62
−− .
)15( +���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0���/� ����xr ������
2x3x
12
++ .
)16( +���� G(��� ����� � 0� ;�* ��� � �/� ���� 0242 � ����r2x ������ ( )22
2
x2
1x
+
+ .
)17( 3�� � 0����� 0��, ���� ��� � #�$ 0��8( 1�3 65 S23
1 S(1.02)–5.
49
������ ������
������� ������
Matrices
1 .�����
�������� ����� � ��������� ������� ������ ����� ����� ������ ������ � ���) !�����" #���������$�
������� (���&��� ���'(��) *��"�� +��� . ����� ������� -.��" �����/����0� 1.��' *��� 2��" ���&���� +���
�������� ) ���03� ������"4���� ����0��� 2��� 5 ����0��� ������� 6���"�� �������( . .��' /������
7���8 ���� +' ��� � ������ �&��� 9��3� +� ��� *"� �� �� ���� 1.& �& �:� ���� ��
�������0� ����� +��'� ;8 ������� ������ ����� ����< ���&3� �����=� ������ 7������ � . ������7 1.��' *8 >�����
����������=� �����" �������� ������� ����� ����&��� 2����:� � . ������� ������� �������� ���� .���' +���� +����3 *����
-�. �� �& ��� ?���� @�A"� �B� �&���'� �����0� . �����"� �����0� ������ 8�� 3 �����
�&� ��" �&������� C� �) @��:5 !� . ?A���3 D�3������� �*�� ������0�. ?�A -�. ��� +�E��
C�� � ������0� ���� ������ ������ ��� � ������/���0� ������� 1.�' . ��� /�0�3�
+������ �;���� D�$�� ���� . ������� ����3 *� F3E ���� ��' ����� �;���� 2� *G�
�����0� ����� �) 7�8 9. .
� ����� �� ���
�����0�3� *� 2��� �&3E ����0�. ������ ����8 *��"� ��H �����0� ��&����� +� �0�3� 1.'
;�� *����"� ����H� ���� "�� ������8 �8 )7�����8 ��������0� *����"� ����H�( . � �������� .���' I���$�� ������� �����A��
����0�� ��� .
−=
410
321A
−−
+
−+
=
3i1
i24
i31i25
B
θθ−
θθ=
cossin
sincosC
���� ���� �����0�� =���3 ��338 ���A�� 1.�' +�� J�K3A, B, C ��� .�' +�� F�� �3 ���� ��� .�'� .
����0� *8 �$�8 J�K3);��� �&�0� (����0 *� ���� @���� *� ��� 9���� . �����0���A
50
50
������0� 2��A�� � @�����8 ���AKA� *����0 9������B ��0 ���AKA 9������ ������0� �����8� *�������� ���C
*������ *��0 9���� . ����0��� ����0� =�� ���� @����� ���0 *� ��� .'A ��&3) 2���
=�� *�2 × 3 +�� ��" ����0� ��� �3���8 ��"��A2 × 3 ��"� 2A�� �B3 × 2 , C2 × 2.
� ����� ��� �����0� 1.�& ��3�"� @���� ���� ���0 ��� �' . 9����� +�� �����0�m *��
� ���0n =�� *� �&3) 2��� @���� *�m × n ��"��Am × n.
����"� ������0� +��' ���� *L ����� ���3�������"� ����" *L �".��3� ������0� =���� ���' ����� ������0�
����0� 2�� �03� �) ��:3 . ����0� �3�� *�" .)A =�� *�m × n +�� ����� �03� *G�
�0i �����j =��� F�) =���aij .����0� �3�� *�" .G�
−=
410
321A
*G�
a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3
a21 = 0, a22 = −1 a23 = 4
��A�� +H� +� ."'� .0� ��"� ���� ��0 ������ �A =�� *� +�m × n @��0 ���
Am×n = [aij]m×n
�� ���� ��� ���aij ����0�� ?�� �03� .I$�� ���� ��A��� 1.' ?���� *"�� ��" @��0
@�0��� *���� C� +� � ��"����0�.
����1
����0� ��"8A2×2 M�� ����0 @��0 +�aij = i + j
����
���B��� ������ ?��� C����� i, j ��� 20�3
a11 = (1 + 1) = 2, a12 = (1 + 2) = 3
a21 = (1 + 2) = 3, a22 = (2 + 2) = 4
@��0 ��� ����0� *�"��
=
43
32A
51
����2
����0� ��"8B3×3 M�� ����0 @��0 +�
bij = 1, i = j
= 0, i ≠ j
����
������B��� ��������� ?������ C�������� i, j )-���. 2����� >������� -������� ( �������0� @�����0 ������ 2���0�3
� ����
=
100
010
001
B
������ �� ��������
�&� �< � ��� ��: ������� �& �����0����� �" 2�� ��3�� 2�A�� . ���� �� 1.' *� �".3
*���� *���A�:
.���!"�� "��� Digital images
@=���&�8 ������ @���������" @����". 98 +���� �8 �����0 /���� ������ �8 ������� �" @����". +���� �����0 *�=����
*�� ��� " ���� ��) @���0 ?���� ?�� ���H� �����" �8 2���� ��B�0 O=��� P@������ ����0
2���"� ������ ������� ���0 !������ +��� ������� @����0 *��� ����(pixel) . ?���� ���� ��B��0 O=��� .��'�
9����� 7����� �����(gray level) @���0 *�� �� �� +�� �����0� *��"�� F�3�"� +�� F�3�=��� F�
-��.����3��� ����< ����0 ����� +��� .� ���3��� ����0 ����8 *��� ��� �� ?���H�8 ���AKA *�=���� 2���"� 2��" ?����
������� MKA� *�� 7����)��=�� ��$��� ����� +�'� ( ���A�� ���� 1.�' +�� @���0 *��"��
�����0� MKA .
� . "��#�� � ���Adjacency matrix
0�; ��" :� �;�)��$�� �" : +� ��" ( ����3 *� ������ *� *�"��(nodes) ��&3� ����� +��
� �� �&��� (directed links) . ����3 *�� @��:� � ����� 2���) *"�� F38 �3 I$�� 2": .' *��1
�����3 ���)2 6"���� � . �����3 *��� @���:� � ������ 2�����) *��"�� F��38 7���3 -.��"�3 �����3 ���)5 ����8 P
+�"� 1���; +� ���� 2���5) ����3 *��5 ����3 ��)3 ( ����3 ��) ����� 2����) *�� �� K�4
���3 �) �'���G �'��� ?��� +'� ;�83 ) F�� ���� ���� *� �:� � ��< 2�0� -�3' *�"��2 .(
���3 *� ���� 2���5�4 ���3 �)1 ���� F�� ����3 ) ���� �'�4 ← 3 ← 2 ←1.(
52
52
1.' !� ���� �" 2����� +" *"� I$�� 2": �) �J3� �&��� 2�0� *"�8 ������� 1.'�
�E��) �& +� ��" : +� F����3 �� �'�Q;���3 *� � ( @��0 �) 2": .' 2���� *� � K�
�� *"�� �" :� ���� �'� ��� ����0� �&��� ���� �� .'� P��$��� @��0 �&�� 2����� �&3�=
����0�� ��$��
A =
01010
10100
10010
10001
00010
!$3 ���� �338 J�K3�aij = 1 ���3 *� F��� � � -�3' *�" .)i ���3 �)j !$3�aij = 0 .)
���� !$3� -."� P� � .' ����� ?aii = 0.
���� ��$��� ����� � ��� ����0� *� *"�� ��" 6� ����0� !�� ��� ?K" O�3A8 7�3��
2�� ��� ���� *����3 *� *��� 2�� *� ����� ���� P�" : +� *����3 *� ���� �0H8.
2 .�� ����� $��% &'
L C����3 ���& C������� +���� ���� .��' 2K��� �3� ������ +��� @��&��: �������0� 2�"��:8 C��� ���) *
�� ���� �����0�� F����� �3� >��� .
1– )�� � ��� Row Matrix
��� ��0 9���� +� +' �0 ����0� .���L �����0� �&�$���
A1×3 = [1 −1 3], B1×2 = [0 1]
+' �0 ����0������0� =�� *�1×n
1 2
3
4
5
53
2– ���'�� � ��� Column Matrix
��� ���� 9���� +� +' ���� ����0� .���L �����0� �&�$���
−=
=7
1B,
3
2
1
A 1x21x3
+' ���� ����0������0� =�� *�m×1
�*�+�
F��� �&��� ���� ���� ����0� .&��� �3�". .G�� ���� ����0� +3�3 �33G� �����0�� �3���� +�.
3– �'"��� � ����� Square Matrix
���L �����0� �&�$��� @����� ���0 ��� �&�� 9����� +� +' �� �� ����0�
−=
−=
410
311
201
B,03
11A 3x32x2
+' �� �� ����0�������0� =�� *�m×m
�*�+�
���� �� ���3�" .) ������0�(Am×m) ���0�3� *G���a11, a22, a33, . . . +������ ����� ���0�3� ������
����0�� . ����0�� +���� ��� �0�3� *�"� ��3Q @��".� �� �� ����0� ��A�8 +��A +'
a11 = 1, a22 = 0
����0�� +���� ��� �0�3� *�"� ��3� B +'
b11 = 1, b22 = −1, b33 = 4
4– ��,'�� ���,���� � ����� Upper Diagonal Matrix
�������� +������ ����� ����� ���0�3� !����� ���&�� *���"� ���� �� ������0� +��' ������ ����A�A� ������0�
��0 =�� *� 2�A� ���� ����0��3 × 3 ��� �����0� D�38 *� D�3 .'
=
000
410
532
A
���� ��A�A� ����0��Am×m @��0 ��� �&� ��" *"��A = [aij] M��
54
54
aij = 0, i > j
5– -,���� ���,���� � ����� Lower Diagonal Matrix
�������� +������ ����� ����� ���0�3� !����� ���&�� *���"� ���� �� ������0� +��' ������ ����A�A� ������0�
��0 =�� *� 2�A� ���� ����0��3 × 3 ��� �����0� D�38 *� D�3 .'
−=
375
024
003
A
���� ��A�A� ����0��Am×m @��0 ��� �&� ��" *"��A = [aij] M��
aij = 0, i < j
6– ��"��� � ����� Zero Matrix
=��� �& =���� ���08 �'�0�3� !��� ����0� +' ����0 ����0�Om×n 2�A� 2� � ����
=
=
000
000O,
00
00O 3x22x2
���� +� ��0 F��(� 9. ��� 6�3 9�(� �����0� 1.' *8 7�3 ����.
7– ��".��� � ����� Diagonal Matrix
!����� ���� �� ������0� +��' ������� ������0� ����� ����� !���� ; +��� ���0�3� +������ ���&�� 9������
��0 . =�� *� 2�A� ���� ����0��3 × 3 ��� �����0� D�38 *� D�3 .'
−
=
400
030
002
A
����0��Am×m = [aij] *�" .) ����H ����0� *�"�
aij = 0, i ≠ j
8– /����� � ��� Unity Matrix
���0�3� !������ I����0 ����� 9������ +������ ���'��H ���0�3� ���� �� ������0� +��' @����� ������0�
=��� �& =���� ���08 7���Im×m ��0�� ��"��Im 2�A� 2� � ����
55
=
=
100
010
001
I,10
01I 32
����0��Am×m = [aij] *�" .) @��� ����0� *�"�
aij = 1, i = j
= 0, i ≠ j
���� +� I��0 ��� F��(� 9. ��� 6�3 9�(� �����0� 1.' *8 7�3 ����.
3 .�� ����� -,0 ��"#�� ���,�'��
���� ���� � ������� *�� ?K�" ��) *L ���3 ��&��38 C�� �3�".� �����0� ��� �3���� *8 ��
�������0� .������ 1.���' O�����) �������" #���: ������� 8� 3����� �".���3 ?��A ��������0� ������ �/�����0� 1.���'
���� ��&���ٕ� ������0� ���� ������ 1.�' O��) *� �K��; F��8� F �:� F��8 �) ��:3� �����
����)�3��3"�� -. *�"� �� .(
1– �� ����� 1����
*�����0�A, B ��"�� *�������� ��&3) 2���A = B ��0�3� !���� ��3�"� =��� 6��3 *�� ��3�" .)
������� @�J�3�� .=�� 6�3 *� ���� ��&3� *�������� ��< *����� *�����0� 2�A� 2� � ����
−
12
10
11
,10
01
�����&� ���������� @�J����3�� ����0�3� !������ ������ *���"� =����� 6����3 *���� �����&� *�������� *��������0� �����8
��0�*�������� ��< *��� �$�8
− 13
21,
01
21
*��������0� �����&� ���������� @�J����3�� ����0�3� !������� =����� 6����3 *���� �����&� *�������� *��������0� �����8
*��������
−
− 20
31,
20
31
56
56
2– �� ����� 2�#
=����� 6����3 *���� ����3�"� *8 ���� K� *��������0� !����� �3������ +���". � !����� 2���0�� ������� F���3E *��������0�
*�����0� +� @�J�3�� �0�3� !�� *� ����3 ����0� .*�" .) 2�A� 2� � ����
−=
−=
327
210B,
210
321A
*G�
C = A + B =
517
511
*�" .) ���� ��0 �
Am×n = [aij], Bm×n = [bij]
*G�A + B @���� ����0� +'Cm×n = [cij] M��
cij = aij + bij
34�� �� ����� 2�# ��,�0
�����0� !�� ����� ����/��0� ���L . 1.'�/���0� ������ �J��3� -���������@ !��� +��
���� . 1.& ��� A) �".3 *�/��0� �&��$�.
)1 (2� 5 Commutative Operation :
*�����0� 9�A,B �HK� ���� =�� 6�3 *�
A + B = B + A
�����0� !�� ����� O��) ����� @� � ; F38 +3�� ��0�� 1.'�.
)2 (4�� Associative Operation:
�����0� MKA 9�A, B, C �HK� ���� =�� 6�3 *�
A + (B + C) = (A + B) + C
����� O� ���:� ; M�� *�����0� *� �A"8 !�� *"�� ��" I$�� ��0�� 1.'�*���.
)3 (+��� ����� ����Additive Identity :
9.� ��03� -�. ��' ����� ���0 �� � ?�� +� +��� ����� .); ���Q ��03� 98 ���� F�����
���� �03� .' ���H ��B�� . �����0� ��' ������0� +�� ���� .�' 9�(�� 9.� *8 I�$� *���
57
������0 . F�� 33 *��"�>����� �� *8 ���3' � ���03� ���' ������ +��� +����� ��������� +��� ����8 ����0 ���'� �
3"� @��� ����0� ��� 1.'� ����0 ����0� �' +��� ������� �����0� �K���� ����� �&
� =�� =�� *� +� �����0� !����m×n ����0 ����0� �' +��� ����� *�"�Om×n.
)4 ("�� ����+��� 6� Additive Inverse:
������ F������� .) �����Q ���03� F���3E ����� ����03� +����� 6����"�� ������� ������� ����0 ���� � ?����� +���
+��� ����� �' 4��3 *�" 2�� �03� . *) ���� +� 2��3 ��"−3 ���� +��� 6�"�� +'
3 *�3 + (−3) = 0 . 6��3 *�� 7���8 �����0� �' ����0� +��� 6�"�� *8 ��3 ��3� 6�3 �
�0�3� !��� @��:) ���B� !� =�� .���� ����0�� +��� 6�"�� 2�A� 2� �
− 31
21
����0� �'
−
−−
31
21
�����0�� +���� 6��"�� *) 2��3 ���� ��0 �A �����0� ��'−A @����� �����0� 4��3� M���
����0� �0�3� !��� ��$ *�A +�−1.
3– ��0 � � ����� �"5
���� .�' +�� �����0� ��0�3� !���� ���$ ?��� ��&3E ��� +� ����0� ��$ ����� ���� . �����
*�" .) 2�A� 2� �
−=
20
31
21
A
*G�
−=
60
93
63
A3
*�" .) ���� ��0 �
A = [aij]
*G�
k A = [k aij]
58
58
=�� 6�3 *� @���� ����0� +��� ��� +� ����0� ��$ *8 J�K��.
���� 3
*�" .)
−=
−=
−=
21
01C,
32
10B,
10
12A
���E�2 A − 3 B + 5 C
����
����0� ��$ ;�8 ?��3A +�2 ����0� ��$�B +�−3 ����0� ��$�C +��5 -�. ��� �
�' ����� ��� *�"� ����3 �����0� !��3)4��3 *� ���� >���� -���(
2 A − 3 B + 5 C =
−
−
1711
19
��$� �����0� !�� +����� *� K" *� =�� 6�3 *� 4��3 *8 J�K� *8 >��� ��� ����
=�� 6�3 *� ����0� ���� ��� +�.
4– �� ����� �"5
*��������0� �����$ *���� ?K���" ����) *L �������3 . J�K������>������ �������� ?����� ��������0� �����$ *8
�3��� . ���$ ������ *8 ���� -����� ����� �;����� 2�� �����0� ?���� ��� ?K" �3��
����� 1.& �����0��������0� ?���� �;��� ���3. *�����0� ���$A, B �����0� �����
@����C +���" �HK� 1.' ��"��
Cm×p = Am×n Bn×p
� +��" F��38 ���HK� 1.��' +��� J���K3�� ����� @�����8 ����� *���"� *8 ��� K� *�������0� ����$ �3���) +��'�
����0�A ��� 1.' +� ( ��3�A ����0� ����0 ��� ������) �����0� +'�B ���� 1.�' +�� .(
������3 ������0��� -.��"�) ������0� +��'�C ��' +�������� 1. (�����0 *��� ����� 9������ ����� 9������
����3�A ������0� @�����8 ����� 9������ @������ *��� ������ ����� ������0� �����0) .) -��. *��� �� ����"
����0� =�� �) �3�J3C .(��3 !H� +� +' �&�" ��J�K� .'� ���0 *��3 9. ����� *� ��
*L F$��.
�������0� �����$Am×n 7�����8 �������0� +����Bn×p ������� ������� !��� �3 ) ����) >������ ?���$� *8 2���$��
C���� 2�A� +� �&�� �� �� ��� ���� 1.'4 +��:(
59
)1 ( �����0� +�� 2�� ��0 ��0�3� *�� ��03� 2�" ��$3A ��0�3� *�� �J��3� ��03� +��
� ����0� +� 2�� ���B 2�� ��0 ��03� ��' 4���3 *��"�� ���$ 2�0�� !����� ?���3 ?A
������3 ������0� *��� 2�� �������C . +���� 2�� ���0 ����$3 ���33E @����� 1.��' /������ *��"���
����0�A ����0� +� 2�� ���� +�B ����0� *� 2�� �03� ��� 20�3�C.
)2 ( ����"3 ?��H� @�����)1 ( ������0� +��� 2�� ������ 2� ���� !��� *��"�B 6���3 *��� +3���A �������
�����3 �����0� *�� +3��A ����� 2�� �0 +� 4��3 !$�� ����0�C . 1.�' /����� *�"���
������0� +��� 2�� ���0 ����$3 ���33E @�����A ������0� +��� +3���A ������ +���B ����� 2��0�3�
� ����0� *� +3�A �03C.
)3 ( ��"3 ?H� @���)1 ( �����0� @����8 +H�� B �����0� *�� F����" 2�� ��0 ���� 2�0�3�
C.
)4 ( ?��H� ������ ����"3)1 ( �)2 ( �)3 ( ������0� +��� 2�� ���0 2� ���� !��� *��"�A ���0�
����0� *� +3�A �0 +� 4��3 !$�� ����0� 6�3 *� +3�AC.
)5 ( ?���H� ������� �����"3)1 ( �)2 ( �)3 ( �������0� ������0 +H���� A �������0� ������ 2���0�3�C
����".
�����0� �����0 ���$3 ���33E ������ 1.�' /������ *�"���A �����0� @�����8 +���B F���$�� ����"
+�� 2�A�.
����4
20�� ���8 ��$A B *�" .)
−
−
−
=
−
−
−
=
101
213
131
B,
210
121
012
A
����
����0� +� 2�� �0 ��$ ?��3A �����0� +�� 2�� ����� +��B 2�0�� !����� ?���3 ?�A
����3 ����0� *� 2�� ����� 2�� �0 �03� �' 4��3 *�"�� ��$C ��� 20�3�
−
=
1
C
������0� +��� 2�� ���0 *��� ������� 6���3 ����"3 ?��AA @�����8 +H��� � ������0�B ���0 2����"��
����0� *� 2��C
60
60
−
=
051
C
����0� +� +3�A �0 ��$ ?��3 ?AA �����0� @����8 !���� +�B �� *�� +3��A ��0 *��"�
����0�C ��� 20�3�
−
−
= 456
051
C
�����0� +� M�A �0 *� ����� 6�3 ��"3 ?AA �����0� @����8 !�����B �����0� 2���"��
C
−
−
=
011
456
051
C
2�����3 *8 *L ����33"�� *��������0� �����$ �������� ������ >������ ������� *8 ����� ) �����$ ������� �����0 F���3
*����0�
Am×n = [aij],
Bn×p = [bij].
@���� ����0� ����Cm×p M��
∑==
n
1kkjikij bac
����5
��$ 20�� ���8A B *�" .)
−
−
=
−
−=
21
03
11
B,012
121A
����
� ��".� ��$ ��: *����� *�����0� *8 J�K3+ �����0� ��$ *� ?K" ��� .
=���� *��� *���"� ������3 ������0� *8 7���3 -.��"�2 × 2 ���HK�� �������) *��� ������ >������ -������
?�H�� ��0(
61
−−
−==
21
38ABC
����6
��$ 20�� ���8B A M��A, B � �� 2�A� +� *������� *�����0� ��') 2�A�5(.
����
*8 J�K3 ���$ 20�� �' �3' �����B A *�� ?K�" ���� +�� ��".�� ���$ ���:� ���� ���
@���� ����0� ��� 20�3� ����� F38 ��3 �����0� ��$D =�� *�3 × 3 ."' ��"��
D3×3 = B3×2 A2×3
����� ����0�D �HK�� )?�H�� ��0 *� ���� >���� -����(
−
−
−−
==
143
363
131
BAD
�*�+�
4�3����� *8 >������ *��"�� ��&��� *��� ���A� ����� ) ����< ������� �������0� ����$ ������� *8 *�� ���� *�
��$ 20�� *�A B ) =�� *� ����0� �'�2×2 (; ��$ 20�� 9����B A ) ����0� �'�
=���� *���3×3( .��"�� ����< ����$ *���"� ����� �������0� ����$ ������� �3��� .) F��38 >����� F�� 33� *
8K0 .���+ *�����0� 2�A� 2� �
−=
−=
432
101B,
01
21A
*�"�� ���&3� *�����A B *����� *�"�� ;�B A . *�� ?K�" ��) *L ��3���� ���J�K� 1.�'/���0�
�����0� ��$.
34�� ��,�0�"5 �� �����
����� ���� ��$ �����0�/��0� ���L . 1.'�/��0� �J��3� ��� ��&3� +�� ���������$
���� ����0� F ���3� �� �&3�� D�$�� /�� ����� ����3 �������0� ���$ �����. *���
1.' ���� >��� ��� ��� ?A/��0� ���.
62
62
)1 (��� ) ��< �����:
��� ) ��< �����0� ��$ ����� *8 �� �� �J�K� +� �3� ��: ���� � ��� �������$.
)2 (���� �����:
� ���3 *8 �3��8 .)� ?�A ;�8 *������0� *�� ���$ ������ O���) *� � K� �����0� MKA ��$ 20
�A�A ����0� +� ����3 ����0� ��$ .�����0� MKA *� �A"� ��$ *�" .) 2A�� � . �3'�
� ��� � *'.� �A(� �����0� 1.' ����� ����� 2' 2(�4��3 +�S 4�� ��0�� *L �&$��3 +�
2(���� .�' *�� ����� . *8 ��� A) *"����4��� ���0�� ����� ������0� ���$ �������. ��38 98F 9�
�����0� MKA
A, B, C
)��$ ��3�"�) ��: �'=�� ����( ��HK� ����
(A B) C = A (B C)
*�����0� ��$ O� *8 98A B ���$ ?�A�����0� �����0� +�� �����3C 4���3 6��3 +����
� .)�38 *�����0� ��$ B C ���$ ?A �����0�A +�������3 �����0�. +���� � ���0 �����
?�A ���&3� ���$ ������ O��G� 8� 3� *�����0� 98 ��� *���H !$3 �����0� *� ��� 98 ��$
������0� 2�" ���$ +�&�3� +��� ������ ������ *�����0� *�"� ��$ 4��3 !$3 . ��338 J��K3�
��$ ����� ��B3 ;) 8� 3 K� �3' *�����0� ��$ KA�A, C( �����0� ��$ ����� *� ��<
�3��H ��" ��� ).
����7
���L �����0� ����8 .)
−
−
=
−
−=
−=
23
10
11
C,132
101B,
10
21A
��$ 20�� ���E�A B C ����� �����0� ��$ ��0�� *8 *� ����
����
����$ 2��0�� ������5A B C @����0 ����� F���$3(A B) C � ����$ 2��0�� ������ ;�8 8��� 3
*�����0�A B ����0� +� ����3 ����0� ��$3 ?AC +�� ��"
−−
−=
132
163AB
63
−=
−
−
−−
−=
31
50
23
10
11
132
163C)AB(
� ��$ 20�� ���3 4�� ��0�� ���� *� �����A B C @���0 ���� F�$� A (B C) ;�8 8�� 3�
*�����0� ��$ 20�� ���� B C ����0� ��$3 ?AA +�� ��" ����3 ����0� +�
−
−=
31
12BC
−=
−
−
−=
31
50
31
12
10
21)BC(A
4��3 6�3 ��� K�� �3�0� �338 J�K3�.
�*�+�
1.�' ���� +�H� C�� ���� F3"� 4�� ��0�� ��� A) ��$��� �J3 �&�� *� ���; � �� 2�A�
����0�� �������0� ����$ +��� . ���� A5 ����8 I����0 +��$��� ����0�� 1.��& ���3' 2����� !����� K���
F$��.
)3 (��3�"�) !�=��!�� ��� ��$:
��0�� 1.' *�/��0� ������0� ���$ ���� ����� ���$ !��=�� ���0�� ���� ��� ��) F ��:�
������ ����8 ������ 9� F38 ?��� �3�"� !��x, y, z �HK� ����
x (y + z) = x y + y z
!��� ���� ���$ !��=�� ���3�"�) �� � ?��� +�� ��&��� ���3 +� +' ��0�� 1.'� . *�� ��3���3 .G��
2��3� �����0� �) ����) ��� ��$ !�=�� ��3�"�) ��0�� ���� �����0� *8 �� A) *"�� F3
!�� . �����0� MKA 9� F38 98A, B, C �HK� �����
A (B + C) = A B + A C
��0� *��"� *8 �� ; F�38 ��3' J��K��� *����B, C =���� 6��3 *��)S .��� ( � *8 �� ; ���� *��"�@�����8
����0�A ���� �����������0 �����0�B )S .��� .( ������ +�� ������ ��3��� ��338 ��$�8 J��K��
����� ��&� *�� ���$ *��" .G�� ���$)-.� I���� ������0� =��� *��"� ( ���"� �� ���� ��HK�
@��0 ���
(B + C) A = B A + C A
64
64
��0�� 1.' ?���� I$�� +�� 2�A�.
����8
*�" .)
−=
−
−=
−=
20
12C,
132
101B,
10
21A
���E�
2 A B + C B
2�
@��0 ��� ����� � ��" *"�� !�� ��� ��$ !�=�� ��3�"�) ��0�� ?�����
2 A B + C B = (2 A + C) B
8� 3���� 20�3� *���� *� ���� ���� ;�8
2 A + C =
− 40
54
����0� +� 4��3 ��$3 ?AB ��� 20�3�
(2 A + C) B =
−−
−
4128
1156
*�"���6�3� 2��0� *�� K�" ����� 4���32 A B, C B ?�A ���$�� ������ ! ��� *�"� !���
*�$�� �&3� 2$�8��� @��� �����0� ��$ �����.
)4 (+ �$ ����� ����:
�3�" .)A =�� *� �� �� ����0�n×n *G�
In A = A In = A
��&� -. *� ���� *"��� . @��� ����0� ���� -.�In ���� ?���� ?���� ��&� + ��$ ������
���� +� I��0. K" +� 1�3�". �� >��� �".3� 6�� F�38 *�� ������0�� +��� ����� ��� ?
������� ����03�)��������0� *���� ?����� 2"���: *���"� (��������� ����3' ?K���" 6����3 �����"���� !������ + ����$
=�� *� �����0� 2×2 �'I2 P � =�� *� �����0� !��� + �$ �����3×3 �'I3 ."'�.
)5 ( *�����0� �3�" .)A, B �HK� *�����
A B = O
65
���) 9�(���; .��' F��3G�����3� *8 T�A = O �8B = O M����O �����0 ������0� +��'� . 1.��' ���� A5�
;�A� +��3 *8 +�"� ��0�� .*�����0� �3� �� .)
=
=
00
03B,
00
20A
*8 I��$� *����A B = O ������0 ������0� ����� *�������0� *��� K��" *8 !��� . 1.��' *8 J���K3�
*�� � ��0�� �&���A� *�" .) F3� ���� +�x, y *�"� *����� *����x y = 0 *�"� *8 � ; F3G�x
= 0 �8y = 0.
�&�3 ��0�� 1.& ����� C�� 2���33� ������0� ���$*L ���0� ���� ����� ������ ��) ���
6� ����0� !�� +'� ;8 ��$� +�� � ����; +'�.
�*�+�
+� ?�"�3 ?/��0� + ��$ 6��"�� ����� *�� ������0� ��$ �� �� . .�& C����3 �����
�� .' +� 2���� �3 +� ����0� 6�"�� *� ?K" �3� ?&� D�$��.
5 – �#�� 6�� 78 � ����� 2 "
�����0� ��$ ������ 6� ����0� !�� ����� *� �33"�� ����)����� I���0 .( ��3�" .G��A
*G� �� �� ����0�A2 �& ��0��
A2 = A A
������0� *���" *��� ��� ; F��38 J���K3�A !���� ������� *G��� +����� � ����$ O����) ���3 �3����� +���� ���� ��
�� ��� ���� 6� ����0�0�� �� ����� . 2A�� �A3 �& ��0��
A3 = A A A
= (A A) A
= A2 A
>��� J�K�� >���� -���� 4�� ��0�� �3����� *� �"E�A3 �HK� *� �$�8 �& ��� *"��
A3 = A A
2
���� ��0 �
An = A A . . . A (��� *� n)
66
66
����9
�3�" .)
−=
−=
432
101B,
03
12A
���E�A2 B
����
���� ;�8 8� 3A2 ��� 20�3�
−
−=
−
−==
36
21
03
12
03
12AAA
2
���3 ?AA2 B @��0 ��� ����� *�"��
−−
−−−=
−
−
−=
1890
963
432
101
36
21BA
2
����10
�3�" .)
θθ
θ−θ=
cossin
sincosA
E�*8 � A
θθ
θ−θ=
2cos2sin
2sin2cosA
2
����
3�� �A2 ��� 20�3�
θ−θθθ
θθ−θ−θ=
θθ
θ−θ
θθ
θ−θ=
22
22
2
sincoscossin2
cossin2sincos
cossin
sincos
cossin
sincosA
���= ��$ �0�� ��A�A� ��HK� ?����� �+'�
cos 2 θ = cos2 θ − sin
2 θ
sin 2 θ = 2 sin θ cos θ ����� ��� 20�3.
���� A) *���� ���3' �".��3�)+��$��� T��3����; 8��� � ����� ������� ���� A5� ( ������0� ������ ����0 F��38A
�HK� ���� @����
67
θθ
θ−θ=
ncosnsin
nsinncosA
n
����11
=�� 6�3 *� *��� �� *�����0� 9� F38 � A8A, B M�� A B = B A ���HK� ���
(A + B)2 = A
2 + 2 A B + B
2
����
6� !�� ����� ?����3� ���� ���� 8� 3
(A + B)2 = (A + B) (A + B)
�!�� ��� ��$ !�=�� ��0�� ?����3 *L
(A + B) (A + B) = (A + B) A + (A + B) B
7��8 @�� !�� ��� ��$ !�=�� ��0�� �� �� �
(A + B) A + (A + B) B = A2 + B A + A B + B
2
*8 �� �A B = B A *G�
A2 + B A + A B + B
2 = A
2 + 2 A B + B
2
�'� *��� ��������.
34�� ��,�078 � ����� 2 "
����� ����6� ����0� !�� /��0� ���L . 1.'�/��0� �J�3� +�� ��������$ �����
1(��) ��&� >���� *"�� �&�� Aٕ�.
)1 ( �� �� ����0� 9�A *� ��� *����0 *���� 9��m, n ���HK� ���
Am
An = A
m+n
)2 ( �� �� ����0� 9�A *� ��� *����0 *���� 9��m, n ���HK� ���
(Am
)n = A
m×n
9�.�"��#�� � ��� -,0
��$�� �" : *8 �� .' ��� +� �3�".
68
68
+' ��� ����0� �& *�"�
A =
01010
10100
10010
10001
00010
��� 20�3 ����0� 1.' ! �� �3 �� .G�
B = A2 =
20101
11020
11011
01020
10001
*8 ����� A) *��"��� ����&�� +��� �������� ������ 2���A�� �������0� 1.���'2 +���� *�������3 98 *���� 2���0� +����
KA�� P�" :b15 = 1 ���� ���� ���� +3�� F���2 ����3 *��1 ����3 ��)5 ) ��'������ 1 ←
2 ← 5(. -.�"�b14 = 0 F���� ������ ������ ; F�38 +��3��2 �����3 *���1 �����3 ���)4��38 ���� � PF ;
���� -." F�� ����1 ���3 *�1 ���3 �)4 )a14 = 0 ( ���� �0H8 2�� �' �� *L 2(���
���3 *�1 ���3 �)4���3� 6� !�� ����� +� ����3 2(� .' ��� � ��U� S
C = A3 =
12040
31112
21121
30102
01020
*8 ��3 �&3��c14 = 1 F�� ���� ���� F38 +3�� ���3 ���3 *�1 ���3 �)4 ) �'�1← 2 ← 5
← 4( ���3 *� ���� �0H8 2�� *�"��1 ���3 �)4 �'3 . *8 ��$�8 J�K3 ��"c41 = 2 � +�3�
*���� ���� F38) ���&3� 2�" 2��3 ( ����3 *��4 ����3 ��)1 ) ���'�4 ← 3 ← 2 ← 1 �4 ←
1 2
3
4
5
69
5 ← 2 ← 1.( ������0� ���0�3� +H��� !�� �� *��"�� 2��A�� �C ���'�3�� �������� . �����J3 !��$3 *L�
����.
"��#�� � ��� ������� "��� "! ���'�
�3�" .)A *G� �� �" : ��� ����0� +'
1 . ��0 +� �03�i ������j �����0� *��An ��&�� +�� ������ ���� 2�A��n *�� ���3� i
���3 �) j. 2 . *���� 2�� ���� �0H8 ���3 *�i ���3 �)j ���� ���� ! �3:
8 . *�" .)aij ≠≠≠≠ 0 *�"� ���� �0H8 *G� F��1.
� . *�" .)aij = 0 *���� +� ����3A2 ?AA
3 ."'� ��0 +�� ��03� 2���� +��i ������j 9���� ; ���H �) ��0 *�"�� 2���� ���� �0H8�����0� 68 ���.
����12
����0� ��"8��� ��$�� �" :� *� ��8 �����0� ��� ��� � ������ ?����� ?A
����� ���L:
8 . ���� �0H8 2�� ���8 ���3 *�2 ���3 �)5� P ���3 *�5 ���3 �)3.
� . ����� ��� ��� ���3 *�4 ���3 �)1 9���� �&3� 2" 2�� +��3.
����
+' ��� ����0�
1 2
3
4
5
70
70
A =
00011
10100
01010
01001
00000
8 .���� ���� �0H8 2�� ���3 *�2 ���3 �)5 �03� �� ��� ;�8 8� 3a25 9���� F38 ��3�
*����3 *���' *� �:� � 2�0� -�3' 6��� +��� � ��0 . *L ���3A2 ��� 20�3�
B = A2 =
01001
01021
11101
10100
00000
*8 ��3 �&3��b25 = 1 F�� ���� -�3' F38 +3�� ���2 *����3 *���' *� ) �' ���� .'�2 ← 4
← 5 2�� 6�3 ��Q ���� -�3' 6��.(
��A��� ����� � *8 ��3a53 = 0 -."�b53 = 0 *���� T���3��A3
C = A3 =
10100
12102
11121
01021
00000
*8 ��3 �&3��c53 = 1 ��� ���� ���� F38 43��3�) 9���� F��3 ( ���3 *�5 ���3 �)3 ) �'�
����5 ← 2 ← 4 ← 3.(
� . *8 �� c41 = 2 *8 43��3*���� -�3' ���3 *�4 ���3 �)1 9���� �&3� 2" 2��3 ) ��'�
4 ← 3 ← 2 ← 1 �4 ← 5 ← 2 ← 1.(
�*�+�
?���� *"�� ��" � � ���� �3�8� *� ���� �0H8 2�� *���� ��� ����0� ��� ��� � ������
�������� 1(���) *�"�� ; ����� .�& ��3�"� ����3 *����� *8 >���� ��J3 ����3� P�" �: +�� *����3
������ F������ ���3� >����� F����� �������� /���� ?=����� ���) T������ *��"� �������0� ����� ����� � +���
����� M�� � (Operations research).
71
!��� ������ +�'� ������0� ���� ���� � ������� *�� ������ 1.�' *�� ?K�" ��&�3 ��H *��"� .& �
*����� ������ +�'� ����� +�� �J��3� ��& 6�� ������0�� ��0�� ���� � ����� �) *L 2��33� 6�
����0� ����.
6 – � ����� "��� Matrix Transpose
����� �����0 2��� � *�� E�:3� 9��8 ����0� �' ����0� ���� ��0�� @����� 2�� �� ?�A *��� @�
���0� .
� ��������0� �3�� *�" .) 2�A� 2�
−=
731
021A
����0� �' ����0� 1.' ���� *G�
−
=
70
32
11
A t
����0� �3�� *�" .ٕ�
[ ]907B =
����0� �' ����0� 1.' ���� *G�
=
9
0
7
Bt
��*�+�
)1 ( ������0� ������ ���3=��A =����� At ?������3 ������ ���) @����:U ���� .��' +��� ������ =���� .��'
����.
)2 ( �3�" .)A =�� *�m × n *G�At =�� *� *�"�n × m.
)3 ( ���� *���� ��: ����;����) *"�� ����0� 9E� ����0� �'����.
34�� � ����� "���
� ��� ���� ����0�/��0� ���L:
)1( ����0� 9�A �HK� �����
72
72
(At)t = A
)2( *�����0� 9�A, B =�� 6�3 *� ��HK� ����
(A + B)t = A
t + B
t )3( 9� ����0�A � ���+���� k �HK� �����
(k A)t = k A
t
)4( �����0� 9� *A, B ��$ ��: *����� �HK� �����
(A B)t = B
t A
t /��0� #�$� ���< +� ��� MKA . ����� *����� �����0� ������ ��&38 +�3�� ��� ��0����
��3�" ��" . *�� K�" ������ ������ V���"� 4���3 ������ ?�A *������0� !��� *8 +�3��� ���3�A ���0�� ���8
?A ;�8 *�����0�*�����0� !�� ���3*�� .�� 2A�� �0�A�A �� . ��8 @���� ��0��) *�� ��'�
/��0� ���& (2�0�� �� A) �) T����� . ���0�� 1.�' I�$�� 2��A� +���"3 �����) ���� ; *�"�
�& ��� A).(
�� ��13
*�" .)
−
−=
−=
132
101B,
01
21A
*8 *� �����(A B)t = B
t A
t
����
;�8 ���3� ���� ���� ;�8 8� 3��AB
−
−=
101
363AB
���3 ?A(A B)t
−
−=
13
06
13
)AB( t
*���� ;�8 ������ *��� ���� ���� ��8At, B
t
−
−
=
−=
11
30
21
B,02
11A tt
���3 ?ABt A
t
73
−
−=
13
06
13
AB tt
*����3 *8 I$� *��(A B)t �B
t A
t *�������.
2��33� ����0� ���� *� ?K" -��3 *8 2 H �) ������0� ���� ����� ���� � ������ *�� ?K�"
C� C��3� D�3 ���&�����0� *� . D�38 +H� !� �&$�� �3 �3��� *"� ? �����0� 1.'
*� �� .' ��� +� �����0� ����0� ���� ����� *�$�� �&�0�.
��� � �������,��� Symmetric Matrix
� �� ����0� �A *�" .) ��A��A� �&3) 2���
A = At
�����0� *� D�3 .' +� ����� 2A��� �' �� +�� 2�A� �3 I$�� ����.
����14
����0� 2'A ��A����
−
−=
147
453
732
A
����
���3 2A��� �� ��5At
−
−=
147
453
732
A t
*8 I$� *��A = At ����0� *8 98A ��A���� .
��*�+�
)1 ( ������0� ���) ����� ���3�J3 .)A +������ ����� 2���� ?���� +��� KA����� �3����� � ���� 2���A� +��� .
�03���a12 )+3��A ����� 2�� �0 +� 98 ( ��03� 9�����a21 ) ������ +3��A ��0 +�� 98
2�� ( 2��A�� �a13 = a31 ���0�3� +H��� +��� .��"'� . ���3' *���� �O���� ������ ����A���� ������0� �������
74
74
�����0�� +����� ��� 2�� ?�� +� 2A���. ���A���� ����� �����0��� +���� �)��&�) ��J3 ����� (
2A��� .' ����.
−
−
=
259
576
961
A
)2 ( ����� O���3 *��"�� ?��H� ���J�K�)1 (��0 ������� �<����� ������0������Q ������E ����A .� ������0��
�� ��
An×n = [aij]
*�" .) ��A��A� �&3) 2���
aij = aji
)3 ( �� �� *�"� *8 � ; ��A���� ����0�)S .��.(
�,������� :; � ����� Skew–Symmetric Matrix
�� �� ����0�A ��A��A� F : �&3) 2���)��8��2A��� �� �� ���� �3 ( *�" .)
A = −At
+�� 2�A� �3 I$�� �����&J� *� ��Q �'�J������0� *� D�3 .' +� ����� 2A���.
����15
����0� 2'A ��A���� F :
−
−−=
043
401
310
A
����
���3 2(� .' *� � ��UAt
−
−−
=
043
401
310
A t
*8 I$� *��A = −At ����0� *8 98A F :��A���� .
75
��*�+�
)1 ( ����0� �) ��� �3�J3 .)A ��� 2�� ?�� +� @��:5 6"� KA��� �3��� � �� 2�A� +�
+���� . �03���a12 = −a21 2A�� �a13 = −a31 ��0�3� +H� +� ."'� . �����0� ������ ��3' *���
��A���� F :)2A��� ����� �8 (����0�� +���� ��� 2�� ?�� +� @��:5 6"� 2A��� ���� .
)2 ( �������0� ����) 7�����8 @����� ����3�J3 .)A +������� ������ ����0�3� !������ �3������ � ����� 2����A� +����
���08 . ��" 9���$ ��: .' 2' �����0� �� ��3 2(�� .�' *�� �� ��U S���A���� F �: �����0� *
���L
−
−
−
=
051
543
132
A
2�A��� ����� ��&�) ��J3 ����� ����0� 1.'+��"� �3����8 .) *�"� +����� ���� ��0�3� 2���
At *8 �3���
−
−
−
=
051
543
132
A t
*8 I�$� *���A ≠ −At 2�A��� �� ��� ���� �����0��� +���� � . *��� ?�A 2�A��� �� ��� �����0���
���08 +���� �'��H �0�3� !��� *�"� *8 � ;.
)3 (������ @����0� ����A���� F ��: ������0� ������� �<����0 *��� ���� *����J�K� ����� O���3 *��"�� .
�� �� ����0�
An×n = [aij] *�" .) ��A��A� F : �&3) 2���
aij = aji,
aii = 0
2A��� 2A�� 2�� ��: +����� ���� ��0�3� !��� *�" 2A�� +3�A� +���� ��� 2�� +�"�
���08.
���� �� ������0� ����� !��� �����' ���HK� � ���� ����A���� F ��:� ����A���� ������0� . 1.��' ��� A3 �����
+� �HK�� 2�A+�� F��� 9. 2�A� +� 9��� 2�A� �&�$�3�.
76
76
����16
*8 ��� A8 98 ���� �� ������0�A *�������0� D������ �����' ����� �&���$� *��"��P, Q ������0� M����P
����0�� ��A���� ����0�Q ��A���� F : ����0� M��
P = 0.5 (A + At),
Q = 0.5 (A − At)
����
�38�H .) 2�A� /3*����: ��� A) ������ *8 ��3"��� ���� . ;�8 *8 ��� A)A = P + Q ���3�A�*8 ��� A)
������0�P ������0�� ����A���� ������0�Q ����A���� F ��: ������0� . C������� � 2�� �������� 8� 3���
�����0� *�� *P, Q ��� 20�3 ���� �' ��"
P + Q = 0.5 (A + At) + 0.5 (A − A
t)
��0��� �2�� ����� ��� 20�3 *��� ���
A = P + Q
+3���A ������� ���) *L 2����33 . ������0� *8 ��� A3 �����P *8 ���� A) >������ -����3� ����A���� ������0�
������0�Q ����A���� F ��: ������0� ������� 6�3�� . ������0� *���"� +��"P *8 ��� K� ����A���� ������0�
*�"�
P = Pt
���3� *L ����0�Pt
Pt = [0.5 (A + A
t)]
t
?H� ��0�� ?����3 *L�)3 ( *�/��0� ��� 20�3� ����
Pt = [0.5 (A + A
t)]
t = 0.5 (A + A
t)t
?H� ��0�� ?����3 ?A)2 ( *�/��0� ��� 20�3� ����
Pt = 0.5 [A
t + (A
t)t]
?H� ��0�� ?����� ���8�)1 ( *�/��0� ��� 20�3 ����
Pt = 0.5 (A
t + A)
*8 4�3��3 ��� ) ����� �����0� !�� ����� *8 �� �
Pt = 0.5 (A + A
t) = P
������0� *G��� ?��A *���P ������0� *8 ��� A) *��"�� 2��A�� � ����A���� �����0�Q ����A���� F ��: ������0�
.'� �'�� � ��3�A ����������� �� A5 2��"� +.
77
����17
�������0� !���$A *��������0� D������� ������' ������ �������P, Q �������0� M�����P �����A���� �������0�
����0��Q ��A���� F : ����0�
−
−=
342
101
532
A
����
*�����0� *����P, Q ����0� ;�8 ���3At
−−
=
315
403
212
A t
����0� ���3 ?AP ��� 20�3� � �� 2�A� +� @��".� �HK� *�
P = 0.5 (A + At) =
− 35.15.3
5.102
5.322
����0� ���3 2A�� �Q ��� 20�3� � �� 2�A� +� @��".� �HK� *�
Q = 0.5 (A − At) =
−
−−
05.25.1
5.201
5.110
*8 I�$� *��� A = P + Q *8 ���" �����0�P �����0� � ���A��A�Q ���A��A� F �: ) � >����� -����
-. *� ����(.
/���'���� � ����� Orthogonal Matrix
�� �� ����0�A *�" .) @������ �&3) 2���
A At = A
t A = I
1�".�� ��3' ?���� !����� ; *�"� +���3' 2��08 F� @������� � ���� ���: ����� +��� �����0� ������� .
���&��� 2����� �8 +��� �� � +�� ������� ����� F���� �3� ��� F C���� ����. � ��3� ���8
7�3� ��" ����0� 6�"�� *� ?K" �3� �0�� ���'8 �& @������ ����0��� ���� .& .
����18
S@������ ���L ����0� 2'
78
78
θθ−
θθ=
cossin
sincosA
����
���3 ����� 2(� *� � ��UA At
θ+θ
θ+θ=
22
22t
sincos0
0sincosAA
@��&: ��A�A� �HK� ?����� �
cos2 θ + sin
2 θ = 1
*8 ��3A At = I *8 �� A) *"�� 2A�� �A
t A = I ����0� *�"� ?A *�� PA @������ ����0�.
��8 *� � +�� 2�A�/��0� @������ �����0�� ���&.
����19
@������ ����0� �' *�������� *�����0� ��$ 20�� *8 � A8.
����
*��������� *�����0� �3�� *8 C��3A, B *8 98
A At = I, A
t A = I,
B Bt = I, B
t B = I
*8 C���3�
C = A B
����0� *8 �� A) ������C *8 �� A) 98 @������
C Ct = I, C
t C = I
���� ��� �HK� � A3C Ct = I ��3�A �HK� �� A) >���� -��3� ����� 6�3
C Ct = (A B) (A B)
t
?H� ��0�� ?����� �)4 ( *�/��0� ��� 20�3 ����
C Ct = (A B) (B
t A
t)
��� � �� ���� � ��" *"�� ���� ����� �����0� ��$ *8 �� �@��0
C Ct = A (B B
t) A
t
79
����0� *8 �� �B *G� @������
C Ct = A (I) A
t
��� 20�3 7��8 @�� �����0� ��$ +� 4�� ��0�� ?����� �
C Ct = (A I) A
t
����0� *8 �� �I *G� �����0�� + �$ ����� +'
C Ct = A A
t
����0� ���8�A *G� +��� � @������
C Ct = I
F�� A) ����� �'�.
����� ������ *�� ������ �3�" +�� �3' �'�3�$8 +� �����0� D�38 *� ?K" +&�3� 2�A� .&
����0� . @����� *����� *� M���3� �����0� ��� ��� � ������ C�� 2��"�� �) *L ���3
����0�.
7 – � ����� /����Matrix Determinant
�� �� ����0� 9� *"��A =���� ��& =���3 ����� �����0� @����� ����� @���� ���H ����|A| .
�����0� 6���"�� ������ +��� @���� " �����'8 ���& 7���3 ����� ���� �� ������0� 2��" � ����0� ������ 1.��'
+���� ��������0� ?������� *���� M������ ����3� -.���"� �������0� ���� �� ��������������� �;������� 2���� .
��3� C�� � @����� ���� ����" �3' C/���0� ������ 1.�' . �����0� @����� *E� >���� �".�3�
�0�3� *� 2��� ���� �3���8 ��" +' 2 ���H �& 6� ����0� *� ����0�� ���H ���.
=���� *��� ������0� @������ ������ ������" C���� ;�8 8� 3���2×2 ������ ?���� ������� ���) 2����33 ?��A
��� =�� *� ����0� @�n×n =�� *� ����0� @���� ���� ��� F� �3�3×3.
����� �� � ����� /����2××××2
����0� �3�� *�" .)A2×2 @��0 ���
=
2221
1211
aa
aaA
*G�
|A| = a11 a22 − a12 a21
80
80
*8 98
|A2×2| = (+���� ��� 9�03� + �$ 20��)
− ( + �$ 20����L ��� 9�03� )
�3�" .) 2�A� 2� � ����
=
54
31A
*G�
|A| = (1 × 5) − (3 × 4) = −7
�3�" .ٕ�
−=
67
32B
*G�
|B| = (2 × 6) − (−3 × 7) = 33
=�� *� ����0� @���� ���� ?�� ����� +��3 +"n×n ��' ��� >����� #��:3 *8 *�� ;�8 � ;
����� 2���� ��0�� �' ��� 7�B0 ������ ��0��.
<"=�� ��������Minor Determinants
�0�3� 2"aij �� �� ����0� +�An×n =���� ��& =���� 7�B�0 @����� ���3Mij +�' @����� 1.�'�
���0 ����: *��� ������3i �������j ������0� *���A ������3 @������ �����H ������ ?��A) =���� *���
(n−1)×(n−1) .(
������ .' I$�� +�� 2�A�.
����20
����0� �0�3� 7�B0 ����� ���
−
−−=
214
121
013
A
81
����
�03�� @�J�3� 7�B0 @����� 8� 3a11 = 3 20�3� 2�� ����� 2�� �0 ��:3�M11
M11 = 21
12
−
− = −3
������ 2��A�� �M12 ���03�� @�J���3� 7�B��0 @������ +��'�a12 = 1 ������� 2�� ���0 ����:3
��� 20�3� +3�A
M12 = 24
11
−
−− = 6
�) 2�0�� ��&� 2��") >���� -��3�
M11 = −3, M12 = 6, M13 = −9,
M21 = −2, M22 = −6 , M23 = −1,
M31 = −1, M32 = −3, M33 = 7
�� �"��� ����'��Cofactors
�0�3� 2"aij �� �� ����0� +�An×n =��� F =���� ���� 2��� ���3Aij* � ���� 2���� .'�
�HK�� 7�B0 @�����
Aij* = (−1)
i+j Mij
+���� �����$ !���� 7�B���0 @������� ������H 9������� F������H ������� 2������ *8 98(−1)i+j . @�����:5 ������B��
+� ��$� (−1)i+j ������ 2����� 7�B�0 ������ *�� � �� +� ���:5 @���� �3���8 ���� .
����� 2��� ���� I$�� +�� 2�A�.
����21
����� 2��� ��� � �� 2�A� +� @���� ����0� �0�3�
����
�����:5 @�����H ���� �� ����� ���� �� K��� 7�B��0 ������ �3 ���� ���H ���338 ���� . 2�� ���0� � ���3 ��
��� 20�3
A11* = (−1)
2 M11 = M11 = −3
82
82
A12* = (−1)
3 M11 = −M12 = −6
A13* = (−1)
4 M11 = M13 = −9
+H� >��� 2�"8 .ٕ���� 20�� ���� �� ���
A21* = −M21 = 2, A22
* = M22 = −6, A23
* = −M23 = 1,
A31* = M31 = −1, A32
* = −M32 = 3, A33
* = M33 = 7
�*�+�
������0� 98 +��� ������� 2������ 7�B��0 ������� *��� � ���� +��� �����:5 @�����H /������ *��"��
+�� ��" �� ��
+ − + − …………
− + − + …………
+ − + − …………
− + − + …………
���'� +������ ����& ���) *L �����3 ������� 2������ 7�B��0 ������� ����� >����� ������ *8 ����
=�� *� ����0� @���� ���� ����" ����� O���)n × n.
����� �� � ����� /����n ×××× n
�� �� ����0� 9�A ����0� @���� ���� ?��|A| �� *���� ���� *� �0�3� ��$ 20�� D��
�0)���� �8 (�0�3� 1.& ����� 2��� +� .�� �� ?�� @���� ���� 7��8 ����� ����� �
���L:
)1 ( �0 �����)���� �8.(
)2 ( �0 .& ����� 2��� *����)���� �8.(
)3 ( �0 .' +� �03� 2" ��$)���� �8 ( ���� 2��� +�F �J�3�.
)4 ( ?H� @��� 4��3 !��)3 (����0� @���� �' 4��3 *�"��.
���� 1.' �� �� I$�� +�� 2�A�.
83
���� 22
����0� ���� ���
−
−−=
214
121
013
A
����
2���A� +��� @������ +��' ������0� 1.��'20 2���A� +��� ���& ������� 2����� ������ ���3�H +����21 . *L
@���� *���� ���� � �3.
)1 (2�� �0 ����3.
)2 ( ��� 20�3� 2�� �0� @�J�3� ����� 2��� ���3) 2�A� �J321(
A11* = −3, A12
* = −6, A13
* = −9
)3 ( ��� 20�3� F ���� 2��� +� �03� 2" ��$3
a11 A11* = 3 × (−3) = −9,
a12 A12* = 1 × (−6) = −6,
a13 A13* = 0 × (−9) = 0
)4 (� ���� @���� ��� 20�3� �� �� 4��3 !�� ?��3
|A| = −9 − 6 + 0 = −15
��*�+�
)1 ( �������� ������3 *���"�� 2�� ���0 2��� 2�� ������ � ���� 2���A� +��� ���3��� .)) >����� �����
*� ����� �� �� ! �� ���� �� ��+�� 4��3(
|A| = a21 A21* + a22 A22
* + a23 A23
*
*8 98
|A| = (−1) × 2 + 2 × (−6) + (−1) × 1 = −15
2�� �0 ?����� F��� �3�0� 9. ����� 4��3 6�3 �'� . �� A) *"���) T���� !��� �� A5 *"�
���" .' ���3 ( �0 98 ?����� @���� ����) *8)���� 98 �8 (4��3 6�3 �) 9�(�.
)2 ( *��� ��� "8 =���� *��� ������0� @������ ������3×3 ������� F��3"� ������ *��� ���� " ����� ��B�����
4��3 ���� ���� �" ?����� �&���� *"�� ��$� ���� �& ���� . ��3' F$��3�� !H� +��
84
84
��8 �& ������ *�� >����� ��3< ; +�� ������0�� ������� >�� � ��'(��) 2&���� @����� �� ���� �
�00��� 4�� *� ����� ����2A�
Derive, MATLAB ��A" ��'��<�.
34�� � ����� /����
�����0� @����� *����� ������ ����/���0� ����L . 1.�' T����3 �����/���0� ����� -�. ���
��� ��&� �&�&� >��� . 1.& K0�� ��$��� ��� A) �".3 *�/��0� .�& ����8 ����� ����� F3�
D�$�� . =�� *� �����0� ��$�� ��A�8 ���� +��3� *"�2×2 �83×3.
)1 ( *����0 7������ .))*������ �8 (8����0 7������ @������ *G��� ������0� +��� . 2� ��� ������ .) 2���A�
��0 9���� �&3� �&�" @���� *8 ��3� ���� �����0� �3� ��)-. �� A) >��� ����(
−
−
=
=
231
401
231
B,21
21A
)2 ( ����0 ���8 �3 ��$ .))@����8 �8 (����� 6��3 +�� ���$� @������ *G�� +����� ���� +�� ������0� .
*�����0� �3�� *�" .) 2�A� 2� � ����
−−
−
=
−−
−
=
221
310
844
B,
221
310
211
A
�������0�� 2�� ����0 M����� 2�� ����0 +���� ������ �����&3� �K������ *8 J�K3����B ����� �8 9�������
����0�� 2�� �0 ���$8B .*�"� �3���8 *� +� ��0��� �� ��
|B| = 4 |A|
���� -. *� ���� >��� ����|A|, |B| . ����0� �3� �� .) ��8C M��
−−
−
=
884
1240
844
C
*8 J�K3���C = 4 A ) +��� ����� +��� ������0� ����$ ������� *��� ?K��" �".���� *8 ���3' >����� �����
�� ���� ���'�3�". ( �������$� ���� �8 +��' �&�����0 !����� *8 98 �����0������0� A . ����0�� ���� �� �
*8 7�3 ��� MKA �&3� ?�"�3 +�
85
|C| = 43 |A|
�3�" .) ���� ��0 �An×n =�� *� ����0�n × n ����� ���" 9� F3G�k *�"�
|k A| = kn |A|
)3 (�HK� ����� �� �� ����0� 9� F38 98 ����0� @���� 9���� ����0� ���� @����
|At| = |A|
����0�� 1.��' *��� ������� ������� ����A�� C��� O���:3) >������ -����3� . 1.��' #���$� >����� �".��3 *��"�
2�� ���� �����) *� �& ��� 2�� �0 �����G ��B�� ; @���� ���H *� ��0�� . 9�(� .'�
@����� ���0 2�� � *8 @�:� �)����0� ����� 98 (@���� ���H ��B� *.
)4 ( ����A�A� ������0� @������)������ �8 ������ (+������ ����� ���0�3� ����$ 2��0�� 9������ .����� �
����0� �3�� *�" .) 2�A� 2� �
−
=
200
210
834
A
@�:� � 9���� @���� *G�)����� ������ @���� ���� -. *� ���� >��� ����(
|A| = 4 × 1 × (−2) = −8
)5 (*������� ���$ 20�� 9���� *�����0� ��$ 20�� @���� . *��� ��� *������0� 9� *8 98
*�� �HK� ����� =�� 6�3)S =�� 6�3 *� ��&3�" ���:3 .��(
|A B| = |A| |B|
����0� �3�� *�" .) 2�A� 2� � �����*
−
−
=
−−
−
=
100
310
844
B,
221
310
211
A
���� ����� *�"�|A B| *� K" *���� ���� ?�� *8 *"���|A|, |B| ;�8
|A| = −3, |B| = −4
���� +� ��A�A� ����0� @���� ��0�� ?���� >��� J�K��|B| .� ��5 *�"� ?A
|A B| = |A| |B| = (−3) × (−4) = 12
86
86
���$ 20�� ���� >���� -����AB O��3 �� ��5 6��3 ���� 2�0�3 M��� 4���3 @����� *����� ?�A
��0�� 1.' ��� .
����23
���� ����0� @���� *8 � A8 9���� @��±1
����
����0� *E >��� �".3A *�" .) @������ *�"�
A At = A
t A = I
����� ���HK� ���3� �� .G���A At = I ����� @������ �3 �����) ?��H� ����0�� ?������ !���)5 ( *���
/��0� *8 �J�K�� �����|I| = 1 (��� 20�3
|A At| = I
|A| |At| = 1
?H� ��0�� ?����3 *L�)3 ( *�/��0� ��� 20�3� �����
|A| |A| = 1
*8 98
|A|2 = 1
*�"� ?A *��|A| = ±1 F�� A) ����� �'�.
�*�+�
?��H� ����0��)1 ( *���/����0� �������) ������0� @������ *8 T��3���� ���) 9�(��� ����� �".��� +����
���J3 ������ ����0 9������ (�� ���& ��� �� *��� ?K��" ���3� F����3��� ���33� ���3' 1�".��3 -��. *��� ���A"8 ?����
����0� .��� � ����� ��0�� >��� �&3� -��� ��A�� C� ?���� .' �".3 ���� .
;�8 :����0� �3� �� .)
−
−
=
633
210
211
A
87
��0 9���� �&38 �'��3 @���� -� F3G� . ��3 ����0� 1.' +�� ��AKA +�' M�A �0 �0�3� *8
2�� �0 �0�3� ���$8��"��
r3 = 3 r1
����0 9������ @������ *���" ���) 9�(��� .��'� . ���0 -���3' *���" .) ������ ����0 F��38 98)������ �8 ( ���'
�0 �����$�)���� �8 (��0 9���� @�:� � @������ ��Q.
��3�A :����0� �3� �� .)
−
=
314
123
211
A
����0 9������ ���&38 �'����3 @������ -��� F��3G� . +��' M���A ���0 ���0�3� *8 ����3 ������0� 1.��' +����
+3�A �0 �0�3�� 2�� �0 �0�3� D������"��
r3 = r1 + r2 ����0 9������ @������ *���" ���) 9�(��� .��'� . ���0 -���3' *���" .) ������ ����0 F��38 98)������ �8 ( ���'
���0 D����)@���8 �8 (8��0 9���� @�:� � @������ 7��.
�A�A :����0� �3� �� .)
−−
−−
−
=
411
311
211
A
����0 9������ ���&38 �'����3 @������ -��� F��3G� . +��' M���A ���0 ���0�3� *8 ����3 ������0� 1.��' +��� �
+3�A �0 �0�3� ��$� 2�� �0 �0�3� D������"��
r3 = r1 + 2 r2 *���" ���) 9�(��� .��'�����0 9������ @������ . ���0 -���3' *���" .) ������ ����0 F��38 98)������ �8 ( ���'
���0 D����)@���8 �8 ( ���0 1.' *� 2" ��$ �� 7��8)@���� �8 ( +���� ��� +� 9���
��0 9���� @�:� � @������ . �;���" ���3�A� ;�8 1��3�". ��� 2��:� ��A�A ���� 1.�' *8 >��� J�K��
&3� �0���.
����� ������ ����� � ������� C���� ���) 2�����3 ������0� @������ *������ *��� ?K��" *��� ���3�&�3 *8 ����
������0� 6���"�� *������ +��'� �������0� . ���H M���� + ���$ 6���"�� ���' ���3' 6�"����� ����0���
88
88
�������0� !���� ������� C���� ���3� ������0�� +����� 6���"�� *��� ?K��" � ��� . ���3 �3����� +�����
9� *� ����0� �������0� *��� *�����3 ������� ���) ;�8 T�����3 6���"�� .��' ������ ?���� ����" *���� �
��'� �� �� ����0������ 2��� ����0� ��� ��� ����0� . ��&3� K" ����� +��3 ���� ;�8
��&3� 2" ���� ����" I$�� ;�A� C��3 ?A.
�� �"��� ����'�� � ���
����0�� � ��0� ����� 2��� ����0� �� ��A �0�3� 2" 2� �� *� ����3 ����0� +'
����0� +�A F ���� 2���� .
�.�"��� � ����� Adjoint Matrix
������0�� ����� ��� �������0� �A �������� 2������ �������0� ������� *���� @����� � +���' =������ ����& =�������
adjA.
���� 24
����0�� �� ��� ����0� ���8 A
−
−−=
214
121
013
A
����
������ 2���� ����0� ;�8 ���3 . 2��A� +�� @����� +�' �����0� 1.�' *8 >���� J��K��20 +���
2���A� +��� ���& ������� 2����� ������ ���3�H21 .� ���� ;) *L ���3��� ����� ������ F������ ���03� 2��" 2
����� 2��� ����0� ��� 20�3�
−
−
−−−
731
162
963
�� ��� ����0� ��� 20�3� ����0� 1.' ���3 ?A
adjA =
−
−−
−−
719
366
123
89
��� >��� ���� �� ����� 2��� ����0� ���� ��� ����0� 6��"�� *����� ������ *L C���3
����0�.
8– � ����� 7�>'� Matrix Inverse
����0�� + �$ 6�"�� *� �3' M���3 . ?�H�� 6�"�� �& �:� ����� 6�"�� .' ����� ?���
?H��� + ��$ 6�"�����2 ��'0.5 ���$ 2�0�� *�2 × 0.5 ��'� ?��H�W + ��$ ������ 9�����
I�����0 ������ .�������0� 6����"�� �������� ����) 2���03 ����3' *����� . �������0� 6����"�� *����"�A ����'
7����8 ������0�) =����� ���& =�����A–1 ( *8 M���� AA
–1 = I ����< ������� �������0� ����$ *8 ���� �
*�"� *8 � K� ��� )A–1
A = I 8 �$�8*8 9
AA–1
= A–1
A = I
����0� *�"� *8 ?=���� .'�A �� �� ����0�.
*) 2��3 *E ?K" .' /��3� ����0� 6�"��An×n 7��8 ����0� �'A–1 M�� =�� 6�3 *�
����A–1 �HK�:
AA–1
= A–1
A = I
� ����� 7�>'� ����
����0� ����) *"��A–1 +�� *�3�� *�
adjA|A|
1A 1
=−
����0� *8 �� A) *"���A–1 ������ +�� ��".�� ���: ����� �� ��� ��HK� *�� �& ���� ?�� +�
6�"�� ���" .' =�� T��� !�� �� A5 *�" *ٕ� .
��3�" .) ��� ��� +� 6�"�� ���� *"�� ; F38 � �� *�3�� *� J�K3�|A| = 0 . F�38 +�3�� .�'�
��3�" .)|A| = 0 7���8 �����0� ����� ; F�3G�A–1 ��HK� �����AA
–1 = A
–1A = I �����0� *8 98
6�"�� �& 6� . @�J��3� +'� @.�: �����0�� ���� 6�"�� �& 6� +� �����0� �������
+ �$ 6�"�� F 6� ��0 *� ?�H�� +� ��0�.
90
90
�;�� � �����/? Singular Matrix
6�"�� �& 6� +� ����0� +' @.�: ����0� . �����0� ��3�" .) ��� ����� *"���A ?8 @.��:
��3�" .G�� @����� ����� ;|A| = 0 �����0� *G��A ��3�" .ٕ� @.��:|A| ≠ 0 ���< �����0� *G��
@.�:.
6�"�� ���� *8 ��3 � �� 6�"�� *�3�H *��+'� ���� MKA ����� ����0�
)1 ( ����0� @���� ����)6�"�� -�3' 6��� ��0 9���� �3�" .G� ��0 9���� ; �&38 �"E��.(
)2 ( �� ��� ����0� ����)�'����� ?A ����� 2��� ����0� ���� F��� *�$�� .'�(
)3 ( �HK� +� C����� 6�"�� ����
adjA|A|
1A 1
=−
����25
����0� 6�"�� ���8
−
−−=
214
121
013
A
����
2��A� +�� @����� 1.�' ����� � �� ��H� �����0� @����� ;�8 ���322 ���� �3��0��|A| = −15 . ?�A
2�A� +� -. O��) ?� �H� �� ��� ����0� ���3 -. �� 24 ��� �3�0��
adjA =
−
−−
−−
719
366
123
*�3�� ?����3 *L�
adjA|A|
1A 1
=−
6�"�� ��� 20�3�
91
A−1
=
−−
−
−
=
−−−
−−−
−
−
−−
−
−−
−
15
7
15
1
5
35
1
5
2
5
215
1
15
2
5
1
15
7
15
1
15
915
3
15
6
15
615
1
15
2
15
3
*8 *� ���� >���� -����A A−1
= I.
����26
����0� 6�"�� ���8
−
−
131
102
111
����
2�� �0 ?����� ����0� @���� ;�8 ���3
|A| = (1 × 3) − (1 × 1) + (1 × 6) = 8
����� ��� �������0� ������3 -���. ����� ?���A . ������ 2���0�3� �������� 2������ �������0� ������� ;�8 8���� 3�
����0�
−−
−
−
231
422
613
�� ��� ����0� ��� 20�3� �'���3 ?A
adj A =
−−
−
−
246
321
123
���� *�3�� ?����3 ���8�6�"��
A−1
=
−−
−
−
=
−−
−
−
4
1
2
1
4
38
3
4
1
8
18
1
4
1
8
3
246
321
123
8
1
����27
����0� 6�"�� ���8
92
92
−
−
=
231
401
231
A
����
*� ��� ��0�� ?����� � ����0� @���� ;�8 ���3/��0� *8 ��3 �����
|A| = 0
6�"�� �& 6� @.�: ����0� 1.&� ?A *��.
����28
?�H ���t ����0� 2��� +�A @.�: ��<
−−
−=
3t2
211
t01
A
����
�;� ����0� @���� ;�8 ���3 �E�� 1.' 2�t . ����� 2� ���3 ?A|A| = 0 . *�� ����3 ?��
� ?�� *� �'��<� @.�: ����0� 2��� +� +' ����� 1.'@.�: ��< ����0� 2��.
�0 ?����� ����0� @���� ���� 8� 3 2��
|A| = [1 × (3 − 2 t)] + [t × (t − 2)] = t2 − 4 t + 1
����� 2�3 ?A|A| = 0 +�� ��"
|A| = 0
t2 − 4 t + 1 = 0
(t − 1) (t −3) = 0
+' 2� ��� *�"��{1, 3} . *G�� +��� � ?��Ht �����0� 2���� +��A @.��: ���< +�') M���R +�'
����� ���� ���(
R − {1, 3}
�� ����� ���� !��� 98{1, 3}.
�����0� 6��"�� *����� ����� �� �� ��A�� +� �3� � . C�� ��������0�� �;��� *�"�� +��
*����� �3' �".3�� ���� 1.' ��0�� �&�� .�3�*�� ?�"� =��� *�� �����0� 6��"�� �����2×2
�@������ ����0� 6�"�� ����.
93
�� 7�>'� ���� ����� �� � ���2××××2
����0� �3�" .)A @��0 ���
=
dc
baA
*8 �� A) *"�� 6�"�� ���� *�3�H ?����� F3G�
−
−=
−
ac
bd
|A|
1A
1
�����0�� +����� ���� �0�3� 2�� � @�:� � F� ��" *"�� +��&3 4��3 *8 J�K3�A @���:) 2��� ��
+� ��$ ?A *���L *��03� A
1.
����29
����0� 6�"�� ���8
A =
−−
15
12
����
����0� @���� ;�8 ���3
|A| = −2 − (−5) = 3
�' @�:� � 6�"�� *�"� �� �� @���� ?����� ?A
A−1
=
−−=
−−
3
2
3
53
1
3
1
25
11
3
1
/���'���� � ����� 7�>'� ����
����0� *8 2 H *� �3�". ��"An×n ��: ���� .) @������ ����:
AAt = A
tA = I
�� �� 6�"�� ����� ��: .' �3� ��3 *8A–1
= At �'���� �' @������ ����0� 6�"�� *8 *8.
����30
*8 � A8A �&��"�� *�� ?A *�� @������ ����0�
94
94
A =
−
200
011
011
2
1
����
����0� *8 ;�8 � A3A ��$ 20�� ���3� @������A At 9�����
=
−
−
200
020
002
2
1
200
011
011
2
1
200
011
011
2
1= I
*8 �� A) *"�� 2A�� �
At A = I
����0��� +��� �A *8 98 �'���� �' �&��"�� *�"� ?A *�� @������
A−1
= At =
−
200
011
011
2
1
C� �". ����0� 6�"�� *� ?K" ?��3/��0� ���& ��� � ����� 1.'.
34�� � ����� 7�>'�
*� *���0�� �3' �".3/��0� *������0� ���$ 2�0�� 6��"�� ���� ������ �����0� 6�"��
����0� ���� 6�"�� 7����.
)1 (*�����0� ��$ 20�� 6�"��:
��3�" .)A, B *G�� =��� 6��3 *�� *��.��: ���< *������0�A B ����� *�"��� @.��: ���< �����0�
�HK� *� �&��"��
(A B)–1
= B–1
A–1
*���" *8 ���� A) ;�8 T�����3 ���HK� 1.��' ���� A5A, B *�������0� *8 ���) 9�(��� *��.���: ����<A B
@.�: ��< ����0� .�� �� @��".� ��0�� ��� ����� �� A5 .'� *8 ������ +�|A B| = |A| |B| .
����0� X *8 �� �A *G� @.�: ��<|A| ≠ 0 2A�� �|B| ≠ 0 *�"� �&3��|A B| ≠ 0.
����0� 6�"�� ���� *"�� F38 �� A) *L T���3 ?AAB �HK� *�
(A B)–1
= B–1
A–1
95
�3'�3 �����0� 6��"�� ����� !����X 7���8 �����0� F�3E X–1 ��HK� �����C C
–1 = C
–1 C = I .
����0� 6�"�� *�"� +��� �A B �'B–1
A–1 *�"� *8 � K� �&�� A) ����� �HK� �".� ��"
(A B)(B–1
A–1
) = (B–1
A–1
) (A B) = I
*8 �� A5�(A B)(B–1
A–1
) = I �����0� ��$ ����� +� @����� 4�� ��0�� ;�8 ?����3
(A B)(B–1
A–1
) = A(B B–1
) A–1
����0� *8 �� �B *G� @.�: ��< ����0�
(A B)(B–1
A–1
) = A I A–1
�����0� *8 *�� @������;� � 7���8 @��� 4��� ��0�� ?����� ?AI ������0�� + ��$ ������ +�'
��� 20�3
(A B)(B–1
A–1
) = (A I)A–1
= A A–1
����0� *8 �� ���8�A *G� @.�: ��< ����0�
(A B)(B–1
A–1
) = I
*8 �� A) *"�� 2A�� �(B–1
A–1
) (AB) = I .��0�� 1.' �� A) 2��"� .& �.
)2 (����0� ���� 6�"��:
�3�" .)A *G� @.�: ��< ����0�At �HK� *� �&��"�� ���� *"��� @.�: ��< ����0�
(At)–1
= (A–1
)t
���� 6�"�� *8 98����0� 6�"�� ���� �' ����0�.
*��" *8 ��� A) ;�8 T����3 �HK� 1.' �� A5A *��" ?=����� -�. *G�� @.��: ���< �����0�At �����0�
@.�: ��< .�� A) 2&�� .'�F D������ /��0� *8 ��&3� *��"� 2� H *� �'�3�". +� �����|At| =
|A| .
�� ���� *"�� F38 �� A) *L T���3 ?A �����0� 6��"At ��HK� *��(A
t)–1
= (A–1
)t .�5 ��3' ��� A
*8 �� A5 T���3 M�� *�����0� ��$ 20�� 6�"�� ��0�� �� AG F� :
At (A
–1)t = (A
–1)t A
t = I
*8 �� A5�At (A
–1)t = I *� !����3/��0� *8 �����(A B)
t = B
t A
t *G� +��� �
At (A
–1)t = (A
–1 A)
t
����0� *8 �� �A *G� @.�: ��< ����0�
(A–1
A)t = (I)
t = I
*8 �� A) *"�� 2A�� �(A–1
)t A
t = I .��0�� 1.' �� A) 2��"� .& �.
96
96
��*�+�
)1 (����� �����0� 6��"�� *8 ��� A) *"�� . �����0� 9� F�38 98A �����0� ;) ����� ; @.��: ���<
@��� A–1 �HK� ����A A
–1 = A
–1 A = I.
)2 ( *�" *8 �3�". *8 � �A B = O *8 T��3�� �) 9�(� ; A = O *8 �8B = O . ������ �� *L�
"����0� 6������3 *8 �33"�� ����������" .) F�38 2������ *�A B = O ��3�"�A ���0�����������: ���< ���� -�. *G�� @.�
�3�� �) 9�(������������ *8 T�B = O . �� A5��HK� +��� ��$ ?��3 -.
A B = O
+�A–1 ��� 20�3�
A–1
A B = A–1
O
���� @��0 �) �'��0�� �&3"�� +��
I B = O
*8 4�3��3 �&3��
B = O
*�" .) F38 �� A) *"�� 2A�� �A B = O �3�"�B *8 T��3��� ��) 9�(�� -. *G� @.�: ��< ����0�
A = O.
97
������"��������������,��
)1 (�0� �3�" .) F38 � A8������*� A, B 0� *G� *���A��������� �A B + B A ��A���� *�"�.
) ���3�2009(
(AB + BA)t = (AB)
t + (BA)
t
= Bt A
t + A
t B
t
= BA + AB
(AB + BA)t = AB + BA
)2 ( ����0� ���8X �HK� ���� +�X A = B M��[ ]101B ,11
21A −=
−= .
) ���3�2008(
[ ]
−−==∴=
−
11
21
3
1101BAX BXA 1
Q
[ ] [ ] [ ]431293
1
11
21101
3
1X ==
−−=
)3 ( �3�" .)A, B, C ����0� *�"� +" ?=K ��: ���E� =�� 6�3 *�� ��A���� �����0�
(A + B C) �$�8 ��A����. ) ���3�2013(
(A + B C)t = A
t + (B C)
t
= At + C
t B
t
= A + C B
*�"� *8 � ; +��� �
B C = C B ������ +��&3 4��3 *�"� +��A + B C *�"��(A + B C) ��A����.
)4 (*�" .) F38 � A8 A, B ����0� *G� *���A���� *�����0�a A + b B M�� ��A���� �$�8 *�"�a,
b ������ ���8. ) ���3�2007(
(a A + b B)t = (a A)
t + (b B)
t
= a At + b B
t
98
98
= aA + bB
)5 (��A���� F : 7���� ��A���� ��'��) *�����0� D���� ���' ��� ���L ����0� !$:
−=
214
131
021
A
) ���3�2007(
A = P + Q,
P = 0.5 (A + At), Q = 0.5 (A − A
t)
A =
−
−
+
002
00
20
212
13
21
23
23
21
21
99
����� 3���,�
�������� �������
– ����0�A =�� *�m × n 9���� �0�3� *� 2��� +'m � ���0 *�n @���� *�.
– ��������0� D����38 *���� : P@������ �������0� P�������0 �������0� P������� �������0� P����0 �������0�
�������0� P������� �����A�A� �������0� P������� �����A�A� �������0� P�����A���� F ���: �������0� P�����A����
@������ ����0�.
– � !�� ?�� �����0� !��3����� ��� ) ����� +'� @�J�3�� �0�.
– +� ����0� ��$ +���� ��� 1.' +� ����0� �0�3� !��� ��$ ?�����.
– *�����0� ��$Am×n × Bn×p ���0 ��$ ?��A @���8 +�B 4��3 ��� 20�3Cm×p ��' +
!�� ��� �&��=�� *"��� ���� �&3"� ��� ) ��< �����.
Z �3�" .)A �0 +� �03� *G� �� �" : ��� ����0� +'i �����j ����0� *�An 2A��
�&�� +� ����� ���n *����3 *� i �j.
– @���� *�"� ���0 2�� � 1����) ?�� ����0� ����.
– ���0 98 ���0�3� ����$ 2��0�� D������ 9������ ������0� @������)������ �8 ( ������� 2����� +���
�&.
– ����0� 6�"��An×n =��� �& =��� =�� 6�3 *� ����0� �'A−1 �HK� ����
AA–1
= A–1
A = I.
– *�" .)|A| ≠ 0 �&��"�� ����) *"�� F3G�A–1 �HK� *�
adjA|A|
1A 1
=− ,
M����adjA ���� ��� ������0� +��' )������� 2����� ������0� ������ +��'�( . ������0� �������A +���
@.�: ��< ����0� ��� 1.')6�"�� �& 98.(
100
100
������"���
)1( *�" .)
−−
−=
415
210A ,
−
−−=
520
131B ,
−−
−=
604
152C
���E�:
a. 5A – 3B + 4C
b. ABt + BA
t
)2( *�" .)
−
−=
112
241A ,
=
03
21B ,
−
−=
323
111C
���E�:
a. 3A – 2C + BC
b. AB – 2 CB
)3( *�" .)
=
310
521A ,
−
=
211
401
032
B ,
=
5
4
1
C
*� ��������� ����� �����0� ��$ ����� *8.
)4( *�" .)
−
−
=
113
405
321
A ,
−
=
41
20
31
B ,
−
−=
1305
4321C
���E�(AB)C, A(BC) 4��3 ��� ����.
)5( *�" .)
−=
51
21A ,
−=
12
13B
���E�AB, BA 4��3 ��� ����.
)6( �3�" .)[ ]13C,11
11B =
−= *�"�AB = C ����0� ���E�A.
)7( *�" .)
3
1
4
A =
−
−
−
363
121
484
101
����0� ���E�A.
)8( ����0� *8 � A8
−−
−
122
212
221
3
1 @������ �&��"�� *�� ?A *��.
)9( *�" .)
−
−=
11
11A ,
=
22
22B
*8 � AE�AB = O 4��3 ��� ����.
)10( ����0� *� � �
−
−
605
141
132
��A���� F : 7��� � ��A���� ��'��) *�����0� D����".
)11( *�" .)
−
−
=
113
405
321
A
���E�|A|, |2A| 4��3 ��� ����.
)12( 4��3 ��� ���� ���L �����0� ����� ���8:
−
=
111
421
421
A ,
−
−−−=
111
842
421
B ,
−=
514
113
421
C
)13( *�" .)
−
−
=
113
405
321
A ,
−
−
=
100
430
211
B
*8 *� ����� :|AB| = |A| |B|
)14( �3�" . F38 � A8A *�� P �� �� ����0�A + At � ��A���� ����0�A – A
t F : ����0�
��A����.
)15( ����0� 9� F38 � A8A *�"�AAt -." � ��A���� ����0�A
tA ��A���� ����0�.
)16( *8 � A8 :(ABC)t = C
tB
tA
t
)17( *�����0� �3�" .A,B �HK� *�����AB = BA *8 � AE�ABn = B
nA I��0 ��� 9�
n.
102
102
)18( *�����0� �3�" .A,B �HK� *�����AB = BA *8 � AE�(AB)n = A
nB
n ��� 9�
I��0n.
)19( ���0� 6�"�� ���8���L ��:
−
−−
=
524
012
321
A ,
−=
54
31B ,
−−
−=
120
112
321
C ,
−
−
−
=
114
101
312
D ,
−
−−−−
−=
3002
1231
1041
1231
E ,
−−
−
−−
=
314
102
111
F .
)20( ����0� �3�" .) F38 � A8A *G� @.�: ��< ����0�:
|A–1
| = |A|–1
)21( ����0� �3�" .) F38 � A8A =�� *� @.�: ��< ����0�n × n *G� :|adjA| = |A|n–1.
)22( *8 � A8
θθ
θ−θ=
θ−
θ
θ
θ−−
cossin
sincos
1)2/tan(
)2/tan(1
1)2/tan(
)2/tan(11
)23( ���0� �3�" .) F38 � A8� �A, B, C ���0�*G� @.�: ��< ��
(A B C)−1
= C−1
B−1
A−1
)24( *�����0� �3�" .) F38 � A8A, B *G� =�� 6�3 *�� *��.�: ��< *�����0�
(A + B)–1
= A–1
(I + BA–1
)–1
)25( ����0�� +�� �� �.� *���� ������ !$)����W +�� �� �.� ����� ��< ��� ( �� ��
����0� �.� *���� ����� .'
=
44
44A
)26( *��� *���"�� �" ��: ����� ������0� +��' ������ ������0� ���3�" .)4 �����E� P�����3) ����������
��� ��� � �����������0�(:
A =
0100
0001
0100
1010
103
a. ���� �0H8 2�� ���3 *�4 ���3 �)2.
b. ����� ��� ���3 *�2 ���3 �)4 9���� �&3� 2" �&�� +�3.
)27( *��� *���"�� �" ��: ����� ������0� +��' ������ ������0� ���3�" .)5 �����E� P�����3) ���������
�����0� ��� ��� � ������ ( ���3 *� ���� �0H8 2��1 ���3 �)4
A =
01010
10100
10010
10001
00010
.
104
105
�������� ������
������ ��� ������
Linear Equations
1 .�����
��� ����� ����� ���� ���� �������������� ���������� ��������� ����� �� !� "����� ������ #��� �� #!���!���
$������ ����� ����� ����� $����� ������ #����%����� #��!��&�� ���!%����� .���� (�������� ���� � �)�������� *���
#!+��� . ����!� #�!+��� �)������ *�)�)������ -). ��!�/ ���� 0����! ����� ( ����� *2�3��� 4��
#!���� �� ��5!�+��� ��� 6�72� � 8� .�� -�!���� )�/ /�����9��5 #�!+��� �)������ ����5��� �� �� . ��7
���� )����� �������� ��� �)������ ���� ��: �� � ;%�� #+!�� 6��� �� #�<���� *!7��. ���!�
� *!7���� �� �������� ������) #!���� !�:��� 4 . -��� �7 =��� ��� *��� ��������� �������� ����
#�<�������. �������� )�/ *������#���������� >����2�� ����������. ����7*������ �?���2������� *����� #������� #���!�8���
#�!+��� �)������ � ��%� ������ �������� ��!@�!%� $��%+ #�������� #����. � ��7(����� *���� �����&��
#������%� 6:�!���� �� &����� 6:�!����. �������� #�!+��� �)������ *�� �%��/ �2��� ���� ��� ������
��72/ 4�� ���� �2 A#!+��� �)����� 4� ��� B/ *�� +!�� ��%�/ *7�� ����� A>�&� -���� #5!�+
�!�!��� C���� 4� B/ �%�! )� ��!3 $�+��) *7�MATLAB, MathCAD ( #�5!�+�� D�� ���&� 4��
#!���� D����/ ��<2.
2 .�� ��� ������
#������ ���5��� � � -�� 4/ �+%� $�� . ��%� 4�!���! 4!���+ 4!�� B���� #E?� � #������
���72/ �/ ���!F�� . #���!E 4!��!�� ��� #�������� *����)�!��E �/ (4!!������ 4!����+�� *���&� ������ �����!F���� D��� .
*7��� *!�� �%�� *� &� �� #���� *7�� #!���� #E?���x
x + 3 = 0
*� &� �� #���� *7�� #!���� #E?��� =��2�y
y + sin y = 1
��E?���4 �� 4�!�� ?7��4 ���� 4!�� &� �� 4!�x, y
x + y = 3,
2 x − y = 0
106
��� *� &� �� #����� #���� 6����� 4<� *�5�� ��2�!� �x �
f(x) = 0
*7���� ����� #���� 6�����4!� �� &� �� 4!x, y �
f1(x, y) = 0
f2(x, y) = 0
�)����� 4� ��2�� ����� �� ��2 �. �)����� 4� 4!�� (�� �%� ��� �� �� �?2�� ��5� -���
#!+��� �)����� ���! .)������� !%� $%+!��� ��2 ��� #!+� ���*��
f1, f2, . . . ���!72�� �� ���!F�� G��!�& ���� ������� #��&���� 4��� ������ . �)�����%� -��!����� ���� ;����� #��!���� #��%7����
#!+���.
���1
#!+� #!�H� �)����� #���&� *
x + y2 − z + 1 = 0
2 x y − 3 z + 1 = 0
x + y − 2 z = 0
����
) . ���5��� B���� ��y2 �� #������� �������. #�����%� ���!�� -��+�� 4/ B/ ������ 4�� ����� 6��!72
#�!�7�� #�&���� . ����5��� B����� #�!�7�� #������� =���2�x y #�!�7�� #�&���� 4�� ����� 6��!72 � %�&! ��� �.
�� 4/ 9�5�� 8�?!�� #!+� #7�7�� #���) ��!�� ��+ 4���� ������ #�&���� 4�� ����� 6��!72 x, y, z (
4���2��#���!+� �)�������� #������&� ������� ������ �����2!) ����� .���� �����) *���� ����� �)�������� G���!�& 4����2 4
#���&��� #!+�.
���2
#!+� #!�H� �)����� #���&� *
x + 2 y + 1 = 0
sin x − y − 3 = 0
107
����
) . ����5��� B����� � ��sin x #�!�7�� #������� ���. + *�7�! ) #�!�7�� #������� 4/ B/ 6��!72 ���!�� � ��
���� ?�/.
���3
#!+� #!�H� �)����� #���&� *
x + y + 1 = 0
x − y − 3 = 0
����
��� . � �)����� G!�&� ��!�� -�+�� 4��� ����� #&���� 4� ���� 6�!72 x, y.
���4
#!+� #!�H� �)����� #���&� *
x + 2 y − z + 4 = 0
x − 4 y + 2 z − 3 = 0
3 x − y + z − 1 = 0
����
��� . � �)����� G!�&� ��!�� -�+�� 4��� ����� #&���� 4� ���� 6�!72 x, y, z.
��� #������ #!��� G&��� #!+� *7� +5� 4!�!F�� ��� #!+� ��2 ��� #������ 4/ ���
3 x + y − 1 = 0
*7�� � � !��� �!5��� +��.
3 .� ������������� ������� �� ��� �����
%� $��9�5 4!�!+� 4!����� *� #�<��� ���� 4/*7� 4!�� &� ��
2 x + y = 3,
x – y = 0
108
� 0���� -����� *��!7���� ���� 4�2!��� -��!2� ���������� ��������� �)������� D��� *��!7�� 4��2�! -��!2 4H
�)�������� ������ ��: ���� � ������ .*���!7���� ����� ������ *������%�� ���������� 4���� <���3���4!�5������� 4! I?���7
������:
)1 ( :��!��� 4��� #������� ��� � �?������� #�������2 × 2 4!��������� ���� *��! &��� �?����� B������
:���� !�� :��� -���A
A =
−11
12
)2 (#����� :!��� 4� #����� � � *! &���2 × 1 !�� :��� -��� *! &��� B���� :���� X
X =
y
x
)3 (#������� :��!��� 4��� #������� ��� � #��5%+��� ��������2 × 1 4!��������� ���� #��5%+��� �������� B������
:���� !�� :��� -���B
B =
0
3
4!� �������� �� #!%�� K��&L� 4H��A �X 4/ �&�:
A X =
−
+
yx
yx2
#������� �� *��� ������ D�!�� ��� C���� �� �� *��� �������B ������ #������� �%� �%���
��7�� ������ �� *7���� .)����� 4/ B/6����� �%� ��� 42�! 6+���� �
A X = B
�)����� ������ ��� *7���� I?7��
x + 2 y + 3 z = 6,
x – y + 4 z = 4,
x – z = 0.
���� D� �6����� >�� �%� ��� 42�! �)�
A X = B
I!�
A =
−
−
101
411
321
, X =
z
y
x
, B =
0
4
6
�!�� 42 ��� #�� #���� n �� #����n *! &��� 4� 6����� >�� �%� ��� 42�!�
109
A X = B
I��!�A �?������� #������� :��!��� 4��� #������� ��� �n × n �X #������� #������� ��� � *��! &���
���� :!��� 4�n × 1 �B #����� #����� � � #5%+��� ������ ���� :!��� 4�n × 1.
��� �
4H� ���� ����� �������� ������� �)����� *!7��� #+!���� #5!�+�� 4/ 9�5�� 8�?! 4/ &!
��&� #!�!2 �%� �����$����� ���� ��� ����3 ������ �������� �� #!%�� K . 9��5%� ;���! ��� �
#5!�+�� D� � �������� �� -!��� �� ����.
4 .�������� !�"� ������� �� ��� ������ ��
6����� �%� ��� 42�! #!+��� �)����� 4� #���&� B/ 4/ ��
A X = B
��L����!������ �)�������� ������ 4���2 � *���! &��� ������ �?�������� #�������� �����2A 6����3 ����!M #��������
�� �� #5���� #E?��� ��A–1 �%� *���
A–1
A X = A–1
B
� +!��� 42�! �����6����� ��
X = A–1
B
#������� >��2�� ���� *�! &��� @�&�� 4!�!�� 4�2�! I�!� �)������ *�� *�7�� 6��!��� #�E?��� D�� �
�� @&�� �� �?�����#5%+��� ����.
���5
�)����� #���&� *� �&�/
x + y + z = 3,
2 x − z = 1,
−x + 3y + z = 3
����
#��2� )�/ /����)����� #���&� � ������� 6+�����4/ �&�� ������
110
A =
−
−
131
102
111
, X =
z
y
x
, B =
3
1
3
�� �7 �?����� ������ >�2�� �A �%� *����) *7� �8��26 $���� ��� ��(
A−1
=
−−
−
−
246
321
123
8
1
6����� �%� *��� 4�2! �7
X = A–1
B
�L�%� *��� ���� #!%�� K��&
X =
=
=
−−
−
−
1
1
1
8
8
8
8
1
3
1
3
246
321
123
8
1
� *��� 4/ B/
x = 1, y = 1, z = 1
4/ 4� #�� �� $5���� 9�5%� 42�!� �)����� G!�& $5�� �!5�� D� .
���6
�)����� #���&� *� �&�/
x − y + 2 z − 5 = 0,
x + 2 y − 3 z + 4 = 0,
−x + y − z + 2 = 0
����
6����� �%� �)����� ;��� )�/ 4�!�� -�+�� ��� #5%+��� ������ *5��
x − y + 2 z = 5,
x + 2 y − 3 z = − 4,
−x + y − z = − 2
� �7 �2�)����� #���&� 4/ �&�� �������� ������� 6+����
A =
−−
−
−
111
321
211
, X =
z
y
x
, B =
−
−
2
4
5
111
�?����� ������ >�2�� ��� �7A .�%� *���� *��� -��� ������� 6������ ��� /����
A = (1 × 1) − [−1 × (−4)] + (2 × 3) = 3
�7#+������ #������� ��� .#������� �%� *���� #5������ *������ #����� ��� )�/ /����
− 351
011
341
#+������ #������� �%� *���� ���� �7
adj A =
−
303
514
111
>�2���� �� 4��E ������ ��!�/�
adjA|A|
1A 1 =−
���%� *��
A−1
=
−
303
514
111
3
1
*��� 4�2! �7 �%+���6����� �%�
X = A–1
B
�%� *��� ���� #!%�� K��&L�
X =
=
=
−
−
−
3
2
1
9
6
3
3
1
2
4
5
303
514
111
3
1
� *��� 4/ B/
x = 1, y = 2, z = 3
�)����� G!�& $5�� �!5�� D� 4/ 4� #�� �� $5���� 9�5%� 42�!�.
��� �
#5!�+ ;%��)�#������� >�2� #�������� ���2 ��� #�!+��� �)������ *��A =���2� 6��3 #������
#������� ��2 ���A #���� �!M #�����)*�! &��� ���� B��! ) �)����� ��� 4/ B/ .( D�� ����
��� �����2�! ) �)������ ����%� *�����A–1 .*�N���� 4 ����%� �������! ���� � : *���� �)������ D���� ����� ����&�! *���
�)���%� �� �� 4� �5����� K:&�� @� O���� � �� P) �/� �2�� 4�.
112
5 .�� ��� ������ ��� ���� ����#��
/ >!��� @���/ ;����� 4/ 4H� ���!�������&� B# *���%� #��%�E #��!+��� �)������� 4��� . +���3 ����� *���� -�����
*���%� #��%�E 4���2� �� �L� �)������� #�����&� @���55� ��� 4!���� .� D��� ���� �!��3��� 4!��!�� #��!�!2 ����� #�����
*��� . )�/ /����� #�!+��� �)������ *��� #����� #�!�8��� ����� ������ #� �� #&!���� D� ��� *���%��
4!!��� ��� #!+��� �)����� �!�5�� :#��&�� �!M #!+� �)���� #��&�� #!+� �)��� .
��� ��$ �� ��� ������� ��#%���� �� ��� ��������#%�
� �)��� #!+��� �)����� ����6����� �%� ��2 ��� #��&�� #!+
A X = O
����� B���� �)������ G�!�& �� #5%+��� ������ ��2 ��� B/ . �)������ #����&� *�7��� *!��� ��%��
��#��&�� #!+� �)��� *7�� #!��
x + 3 y – z = 0,
2 x – y + z = 0,
x + 2 y – 4 z = 0
� #!+� �)��� #!+��� �)����� ���� ��H� �&�� �%�6����� �%� ��2 ��� #��&�� �!M
A X = B, B ≠ O
���� B��� ) *E�� �%� �)����� ��/ �� #5%+��� ������ ��2 ��� B/ . #����&� *�7��� *!��� �%��
)��� *7�� #!���� �)����� #!+� � �!M#��&��
x + y – 2 z = 1,
2 x – y + 5 z = 0,
x + 2 y + z = –1
*���%� #��%�E #��!+��� �)������� *�2 >!��� @���/ #+!������ #��%7��� ������ ;����� 4H�� . �)������� /�������
#��&���� �!M.
��#%���� ��$ �� ��� ������ �� ���
� 4!�� &� �� 4!����� �!�� 4/ �����6����� �%
x + y = 2,
x – y = 0
113
���%� *���� %� * �! �)����� D
x = 1, y = 1
#���� D� �� *�5���6+���� �)���%� ��!�� ?� �!�� 4 .+5� 6���� #�!E @� *� &� *2 4/ B/.
��� �/#!�H� �)����� #���&� ������
x + y = 2,
x + y = 3
$?��+Q� ���%� *��� �� � >!��� �)������� D��� 4/ ;������� 4���� )@���� ) ����� ���&�! ��� ���&� 4��!5!5� 4�
B��!2 B��!�3 �E��� >�� ��( .
��� �!�/ *7�2�#!�H� �)����� #���&� ������
x + y = 2,
2 x + 2 y = 4
*���%��� 4��� �R�� � ) ����� �� � �)������� D��� � .%� 42�!���9���5 #��!�H� *���%��� 4��� ?��2 4/ #�� ���� ���2<���
�!+���� 4!������� $5�!!4
x = 1, y = 1,
x = 0, y = 2,
x = –1, y = 3.
6���!�� 0����/ *���%� ���&!� 4��2�!� . #������ D��� ���� *���5�������� �!���� 4� ��!R � ) �)�����%� *���%��� 4���
6+����.
#��&���� �!M #!+��� �)����� 4� #���&� B/ �%� #�� #��� $�+�! � 4!�� #%7��� D� .
4� #���&� B/ )�����#��&���� �!M #!+��� �:
)1 (4�2! 4/ �/ �!�� *� �.
)2 ( �/ 4�2!*�%��� 4� �R � ) ��� �.
)3 () �/2! �4 $?+Q� �%� *� �.
114
*���� #��!�+ @�!%� $�%+� �� � �!�5��� �� � . ����� #���&���� ��!M �)����%� =��� ����� 4/ �����
����&���� �)����� #�� �� @� �8��#.
��#%���� �� ��� ������ �� ���
B������ *���� �� � *�� �R�� � 4<� #��&���� #!+��� �)����� :!��� .4�� #����&� B/ ������� ��L��
*7� #��&���� #!+��� �)�����
x + 3 y – z = 0,
2 x – y + z = 0,
x + 2 y – 4 z = 0
4/ ;������ 4��� ��!���x = 0, y = 0, z = 0 B/ B������ *�����)������ G�!�& $�5�!. ���� 4�2��
B����� *��� �!M *�%� � #��&���� #!+��� �)����� . ��L�#!�H� �)����� #���&� ������
x + y = 0,
2 x + 2 y = 0
*�%��� 4� �R � ) ��� � 4/ ;����� 4�� *7�
x = 0, y = 0,
x = –1, y = 1,
x = 2, y = –2
O�%��4/ � *�5��:
#��&���� #!+��� �)����� 4� #���&� B/:
)1 ( �!�� *� � 4�2! 4/ �/ )B����� *��� � �(.
)2 ( �/ � 4�2!) ��� *�%��� 4� �R �)B����� *��� ��� 4� �����.(
�� �� �E�� � 4/ 42�! ���� #���� +��3%� ����!��� *�� � � �)����� #���&� * � �/ ��!��
$?���+Q� ����%� *���� ��� � >!���� �/ *����%��� 4���� �R��� � ) ������ ��� � *������ ����� 4!���!�� #���!�!2� A)����&� 4�( .
#������� #���� ���! � )�/ -��� 4/ &! +��3�� D� ��� *���%��.
115
�������� ���� Rank of a Matrix
#������� #��� -���Am×n -��� ��� �<�)6����/ �/ (!:& 6����� ���2/������ B���� ) � ��!E #�R .
#������� #���� :��!�A :����ρ(A) �/r(A).
#������� B/ 4��� #��R!:& 6������ ����� *�����%��)#������ #��������� 4���2� 4/ +����3� )� ( 4��� ����� -�����
� -����� 6������ 4� ��� ���� B�N�!K�5� #�R!:&�� ��������� ���/ �� ������ 4��2�� #����� #������
#������� D� � .%��� �#������� ������ ��� *7��� *!�
A =
−
3000
2120
1211
:�!��� 4��� #�R!:& 6������ ���� *����%%�3×3 #������ 6������� ���/ -����� . �!���� ��&�! @���/ ��� �������4
������#!R:& :!��� 4�3×3 �
|A1| =
000
120
211 −
|A2| =
300
220
111 −
|A3| =
300
210
121
|A4| =
300
212
121−
���� #����%� $����� -�!����� $�!�+��� 4/ ��&�|A1| = 0 4�2��|A2| ≠ 0 4L�� �������ρ(A) = 3 )�
�������� �E� �!E ��� "���.
���7
#������� #��� �&�/
A =
−100
210
321
116
����
�����2/ 4/ ���� 8����?��������6 #������� #���������� 4� ��� ��� #���������� 6������� ���� #���!R:& . D���� �������
4/ �&� 6������
|A| ≠ 0
4/ C���� ���
ρ(A) = 3
���8
#������� #��� �&�/
A =
−−
321
421
321
����
������� �����2/ 4/ ���� 8����?�6 #������� #���������� 4� ��� ��� #���������� 6������� ���� #���!R:& .��� ������� D�
4/ �&� 6������
|A| = 0
-��� 4� �� 4��� @&����� * �! �� � I�7�� -��� B��! *���)�2���� ��� ���2 r1 = r3.(
%�� ������! �� 4H�)#����%� $����� -�!���%� �5!�+�( 6����� 4�� I����� #�!R:& 4���� :�!�2×2 ) � ��!E
����� B��� .:!��� 4� #!R:& 6���� ��� *���%�� 2×2 ���! �� 6����� ��/� -����� ��/ -���
�!���� 4/9 �������� :��!��� 4��� #��!R:&2×2 .�� -����� -����� ?7����I���7 �� ���������I���7 ���%� *�����
6������
21
21
−−
� ����� B��� ��!E��6������ �%� *���� *��� ������� I�7�� -��� -���� I���� �� ����:
42
32
−
4L� ������ ����� B��� ) ��!E�ρ(A) = 2 :!��� 4� �������� �E� �!E ��� "��� )�2×2.
��� 9
#������� #��� �&�/
117
A =
−−
1284
421
321
����
���� ��2/ 4/ 0��/ 6�� � 8�?�6 #����� #�������� 4� � ��� #�������� 6���� � #!R:& .�����
4/ �&� 6������ D�
|A| = 0
=����� 4�r3 = 4 r1 . :��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������ 4H� ���!%�� ��������2×2 B����� ) �� ��!E
����� . I�7�� -��� -��� $���� *7�%� # �3� 6�����6������ �%� *���� *��� �������
42
32
−
��� ����� B��� ) ��!E� 4L� ���ρ(A) = 2 :!��� 4� �������� �E� �!E ��� "��� )�2×2.
���10
#������� #��� �&�/
A =
−−−
1284
321
321
����
����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 ) 4�r3 = 4 r1 4� �/r2 = – r1( . 4H� ��!%�� �������
:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������2×2 !E������� B����� ) �� �� . 4��� ���������� G��!�& 4/ ���&� ��� �
:!���2×2 4� ����� B��� ��!Er3 = 4 r1 =���2�r2 = – r1 . 4�� #�!R:& 6����� )� ����/ ��5��! ?��
:!���1×1 ����� B��!) ����� ����� B/ . 4/ C���� ���ρ(A) = 1 . 42�! ) #����� 4/ 8�?� �2
)� ���� B��� 4/ #!��� #������� ��2 ���.
��� �
)1 (��&�� ;!����� ����� ���� #��������� #����� . B������ #!������� #���������� #����� 4����2� #���� #�����2�
����.
118
)2 (-������ ���� 4!��� #������� #��� #%5������ .4�2�! ) ����� -������ ���� B/ 4�� � !%� *������
-����� -�� ��� 0���� ���G��&� �/ ��!/� ��2 ���7 �� 4!� ?7��#�!���� #�%7��� ��� 0���� ��2 .
�� �� � @�!%� $�%+!���+��� *?5���)� ��+��� ���&�� ��%� � $�+� "��� G�5� (������� ��� *!����� �
�2�� �� .
���11
#������� #��� �&�/
A =
−−
700
421
321
����
����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 .� ��!%�� ������� :��!��� 4�� #�!R:& 6����� 4�� I����� 4H
2×2 ����� B��� ) ��!E .6������ �%� *��� ��7�� ������� I�7�� -��� -��� ?7��:
41
31
−
4L��� �������� ������� B����� ) �� ��!E�ρ(A) = 2 . G���& *���� ��� ���!��� -����� 4/ ��� 8���?��
��7��� *��� 4!����(r3 = r1 + r2) #����� �� @�!�� � � � +5� 4!%5��� 4!�� �!�� 4/ B/.
���12
#������� #��� �&�/
A =
−
1071
431
321
����
����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 . :��!��� 4�� #�!R:& 6����� 4�� I����� 4H� ��!%�� �������
2×2 ����� B��� ) ��!E .7�� -��� -��� ?7��7�� ������� I�I� 6������ �%� *���
31
21
−
4L� ������ ����� B��� ) ��!E�ρ(A) = 2 . � 8�?��r3 = 2 r1 + r2 4!%5��� 4!�� �!�� 4/ B/
#����� �� @�!�� � � � +5�.
119
��� �
#%5����� -����� ��� !+�� ��!��� �8�� �� �8��� ��&�� @�!!��) 7��� �� �2* �2� $����
#�!���� #�%7��� ��� 0���. ���7 4�� ��� 4��2! #������ )6����� ����+� @�� B����� ( ��� 4!�!��� *���� ��
�����.
���13
#������� #��� �&�/
A =
−−−
642
321
321
����
����� ���2/ ����6 4/ ��&� #�!R:&|A| = 0 ) 4�r3 = 2 r1 4� �/r2 = – r1 .( 4H� ��!%�� �������
:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������2×2 ������� B����� ) �� ��!E . 4��� ���������� G��!�& 4/ ���&� ��� �
:!���2×2 4� ����� B��� ��!Er3 = 2 r1 =���2�r2 = – r1 . 4�� #�!R:& 6����� )� ����/ ��5��! ?��
:��!���1×1 ������� B����!) ������� ������� B/ .���� �� ��� 4/ C��ρ(A) = 1. ���� �!���� 4/ �����! ���� �
?5����� �������)*��� -����� 42!���� ( ����� ���� ����� -����� ���� 4��� �� %� *����� -������� �E����
�5!5�. �� *��� -��� ����−1 ��7�� -��� �%� *��� . ��� *��� -��� ����2 *����
I�7�� -��� �%�.
���14
#������� #��� �&�/
A =
542
321
����
������ ����2/ 4��� I������6 :��!��� 4��� �� �/ ���&� #��!R:&2×2 . �!�����3 *��2 C����� :��!��� ���� 4��� ��������
6����� ��/ -�� 4� 6���� .��� ?7��6������ �%� *��� *��� ������ -
54
32
4L� ������ ����� B��� ) ��!E�ρ(A) = 2 4/ ����! ��� �4!%5���� 4!��� �!���. ��� � 4� ;!���
) ��7�� -��� �5!5� ��� �� *��� -��� ��� @!%� *����� 42�!.
120
��� �
4/ ���2 #��������� #�����B����� #%5������� -������� ����� ��!+�#%5������� 6������� ����� B����� ���!/ ��� �
A��!+� 4!������ 4�������� ���� � .����� #��%7��� ���� =���� G����� 9���5%� 4��2�!�#5� . ��� �?��2�� ����5� -�����
�)����� *� �� @&��� � � =�� 4� -����� �%� #!+��� .
���� �'��������� ����(
*7�� ��� #������� #����� -����� ��� ��� B��� � � !+� #%5�����6��� !+� #%5�����.
� -� �� ��� 4H� ���� #������� #��� �%� 9�5�� -��� 4/ ��� *��� #���� #!�8��� ��� � � ��!R��
#!+��� �)����� . �! ���� -!��� +5� �� �5��E#������ #������� -!��� � � #!�8��� D� ��� *�.
������ �������� Augmented Matrix
#!+��� �)����� 4� #���&� B/ 4/ ��2� 4/ $�� 6����� >�� �%� ��� 42�!
A X = B
I!�A � #����� � �?�����X � *! &��� ����B #�5%+��� ������� ����. 4�� ?�2 ���� ���E ���
4!����������A, B #�������� #��������� �����! ��� ���%� *����� ����L� 6������ #������� ���� . D��� � :����!�
:���� #�������augA
�)����� #���&� �!�� 42 ��� *7��� *!�� �%��
x + 3 y = 2,
2 x − y = 1
����� #������ #���
augA =
− 112
231
�)����� #���&� �!�� 42 ���ٕ�
x + y − z = 1,
2 x − 2 y + z = 2,
x + y + 2 z = 0
� #������ #�������
121
augA =
−
−
0211
2122
1111
� *��� #����� #�!�8��� ���� ���� 4H� -��� #������ #������� -!��� ��2� 4/ ���#�!+��� �)����� .
#��&���� �!M �)����� #�� �� #!�8��� /����. ��� 4�2�� #�!�8��� D�� � ?!���� ���7� �2��� 4�� 4����
#�?�� #!�8��� D� *�5�!�� #����� ���� � � =��/ �E 9�5�� 42. �!3� -��� � ��� 6��&���� �����
#!�8��� D� -%� #�%����� ��� ��7/�%7��� K#.
�� ��� ������ ��� ���� ����#�� ��#%���� ��$
#��&���� �!M #!+��� �)����� 4� #���&� B/
A X = B
��n *! &��� 4�:
)1 (�!�� *� � 4�2! 42 ���
ρ(augA) = ρ(A) = n
)2 ( 4�2!�*�%��� 4� �R � ) ��� � 42 ���
ρ(augA) = ρ(A) < n
)3 ()�4�2! � �$?+Q� �%� * 42 ���
ρ(augA) ≠ρ(A)
#!�8��� D� $!�+� ;��� #%7��� ��� 4H� ���� . 9��5�� �2���� ���/ �� #��!�+ 4!�!��� ���/ ��� �
*������ . *������ 4!���!�� ����/)����&� 4� (����42�! D����&!� -������� #���5!�+�)#���!��!�� #���5!�+�� ( �������2 #���5!�+ �/
)��������� ( #�������� >��2�� #�5!�+ �/)��� �2� $����( �/ >��&� -����� #�5!�+����� ��!�� � ����
9�5��#!%���� �5!�+��� �� ������� $�+�� �72/ � � ��� �� #! � ��.
���15
*��� �� 4!�� �!�� *� � #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/
x + y + z = 6,
2 x − y + 3 z = 9,
122
x − y + z = 2
����
/��� #��2� )�/�)����� #���&� 4/ �&�� �������� ������� 6+����
A =
−
−
111
312
111
, X =
z
y
x
, B =
2
9
6
� #������ #������� 4�2��
augA =
−
−
2111
9312
6111
4!�������� 4� ?2 #��� ��� 4H��A, augA .����� #�������� ���� #A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6
#���� #������� 4� ��� #������� 6���� � #!R:& .4/ �&� 6������ D� ����
|A| = 2 ≠ 0
4/ C���� ���ρ(A) = 3.
#������� ��� #�����augA ���� ��2/ 4/ � 8�?�6 � #!R:& :!��� 4�3×3 ������ #���/ �!���
��� �� 4�6����� ��/ -�� 4� � �� *2 C��� :! . 6������ �!�� �5��! ?7� �!��� ������ ���� ��L�
111
312
111
−
−
� D� � #������� 6����A ������ ���� B��� ) �/ �!� 4/ $�� �E�L�4
ρ(augA) = 3 #!���� #&!���� ��� �%�� �5� ������
ρ(A) = ρ(augA) = 3
��� *! &��� ��� 4/ � 3 �!�� *� � �)����� D� 4L� .
� 4/ �����&� *������� 4!����!��� �?��������� #��������� #��������� 42�!����� #�������� *������� 4!����!�� >�����2�� �����������
#������� . )�/ ����A−1 4��5�� 4�
adjA|A|
1A 1 =−
�%� *����
A−1
=
−−
−
−
=
−−
−
−
321
101
422
2
1
314
202
112
2
1
t
123
*��� �&�� �7 �� 4�#E?�
X = A−1
B
4/ B/
X =
=
=
−−
−
−
3
2
1
6
4
2
2
1
2
9
6
321
101
422
2
1
� *��� 4�2!�
x = 1, y = 2, z = 3.
! ?��� #%5����� 6��+���� I?7���� �)������� D��� 4/ ��� 9���5�� 8���?!� 4��� � ������ ���%� *������� 4��2�
!����4! )=�� #����� ��7� �2( .���%5��� �)��� I?7 �!��� *! &� I?7 �!�� 4/ �!�� *��� #.
���16
�&� 4� *��� �� 4!�� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���
x + y = 3,
2 x − 4 y = −6
x − y = −1
����
B����! ) �)������� ����� 4/ ��� 8���?�)2/ *������4��� �( *��! &��� ����� . $��!�+� ���� �7N��! ) ���� 4��2��
�������+��� >������ G�������� *����� #�������� #����!�8��� . )�/ /������� #������2��)��������� #�������&� ����������� 6����+����
��4/ �&�� ������
A =
−
−
11
42
11
, X =
y
x, B =
−
−
1
6
3
� #������ #������� 4�2��
augA =
−−
−−
111
642
311
4!�������� 4� ?2 #��� ��� 4H��A, augA .���� #����� #��������A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6
� #!R:&:!��� 4� 2×2 :�!��� ��� 4� ������ I?7 �!���)-������ ���/ -���� 6����� *�2 C���� .(
42��� � ��/ ����
124
11
42
−
− = 2 ≠ 0
4/ C������ρ(A) = 2. #��������� ����� #�������augA ������ ����2/ 4/ ��� 8���?�6 ��� #��!R:&����� 6�
� � ��� #������� :!��� 4�3×3 4/ �&� 6������ D� ����
|augA| = 0
:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������ 4H� ���!%�� ��������2×2 ������� B����� ) �� ��!E . -����� ?7����
7�� ������� I�7�� -����� 6������ �%� *���:
11
11
−
�� ����� B��� ) ��!E� 4L� ����ρ(augA) = 2 . �%�� �5� ������ 4H�#!���� #&!���� ���
ρ(A) = ρ(augA) = 2
��� *��! &��� ����� 4/ ����� 2 ���!�� *��� �� � �)������� D��� 4L��� . 4��� 4!������� ����<� *����� ���� 4!��!���
� %� �&!� *���� 6+���� I?7�� .6�!��� #������� ����� #������ �����%�
x + y = 3,
x − y = −1
4/ �&� 4!������� G�&��
2 x = 2
x = 1
4/ �&� ����� #������ �� �!������
y = 3 − 1
y = 2
*���� ��� �x = 1, y = 2 6�+���� �)������ ��� #�!�7�� #������� ��+E $�5�!. 4/ �� 9��5�� 8��?!�
#%5����� ����!� 6��+���� I?7���� �)�������) #������� ����7� ���2=���� .( ����� 4/ ���&� #������� ���� 4��� *���
#%5������ �)�����2 +�5� .��!�� *���� 4!�%5���� 4!������ �!���� 4!��� &� �!��� 4/ ���� . ��8� -��%��
����! ����E #���5!5� ������ 9����5��!�F� 4���2�� ����8��� �����&�� ��� 2��� � -�����/ I?���7 4/ ���� � ��� �� #�������� ����
�� 4!���������� (�����&� ���� #���7�7�� #���������#���!�7��� ������ . 4���� #%5������ �����!� #���7�7�� #��������� ���������
#!�7��� ����� 4!�������.
���17
*� � >!� #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/
125
x + 2 y + z = 4,
2 x − z = 1,
−3 x + 2 y + 3 z = 3
����
#��2� )�/ /����)����� #���&� &�� �������� ������� 6+����4/ �
A =
−
−
323
102
121
, X =
z
y
x
, B =
3
1
4
� #������ #������� 4�2��
augA =
−
−
3323
1102
4121
4!�������� 4� ?2 #��� ��� 4H��A, augA . #�������� ���� #�����A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6
��� 6���� � #!R:&#���� #������� 4� ��� #���� .4/ �&� 6������ D� ����
|A| = 0
:��!��� 4��� #��!R:& 6������ 4��� I������ 4H� ���!%�� ��������2×2 ������� B����� ) �� ��!E .� -����� -����
�� ������� I�7��I�7 6������ �%� *���:
02
21
4L��� �������� ������� B����� ) �� ��!E�ρ(A) = 2. #��������� ����� #�������augA ����2/ 4/ ��� 8���?�
������6 ��� #��!R:& :��!��� 4���3×3 ����/ -���� 4��� � ���� *��2 C����� :��!��� ���� 4��� �������� #�����/ �!�����
6����� . 6������ �!�� �5��! ?7� �!��� ������ ���� ��L�
323
102
121
−
−
� D� � #������� 6����A 4/ $�� �E� ��L�� � �!M 4�� I����� ��!%�� ������� ����� B���� � �/ ��!�
6������ �!�� �5��! *��� ������ ����
332
110
412
− = −2 ≠ 0
4/ C����� ���ρ(augA) = 3. #!���� #&!���� ��� �%�� �5� ������
ρ(A) = 2,
126
ρ(augA) = 3
4/ B/
ρ(A) ≠ ρ(augA)
!�8��� $!�+���*� � >!� 6+���� �)����� #���&� 4/ �&� #���� # .�� 4� =������!�� -�+ ���
6���!��� #��������) :������ @���� :�������r3( +�����! 4��� *���2� ������� #������%� �����!�� -���+��(r1) -����+���
#!�7�� #������ ��!��(r2) #E?���
r3 = r1 − 2 r2
����!� 4����!�� -����+��)%+��� ���������#��5( D���� 4/ 4!����! ����� #���E?��� ��� $���5�� ) I?7����� �)�������� �����
*�� � � >!%� ����� 4� T3 �!� �)����� . #��!�+ ��%� -����%� ������� D�� � 9��5�� "���! )�
=�� 4� #����� �� �%� #�R5�� #���� #!�8��� �!�F� *� *��� . =���! ���� ;!������ ��� ���2� 42��
���� 9�5��#!�8��� D� -%� 6��&���� ��.
���18
*��� �� 4!�� *� � #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/
x + y + z = −2,
3 x − y + z = 2
����
@!�� ��3/ �� 9�5�� �2��� 4/ � � 5� 4�2 B��! ) �)����� ���) *� � 4� *E/ ( *�! &��� ����
#���� #!�8��� $!�+� �� �7N! )���+��� >�� G���� *�. #���2� )�/ /����)������ #����&� 6�+����
4/ �&�� �������� �������
A =
− 113
111, X =
z
y
x
, B =
−
2
2
� #������ #������� 4�2��
augA =
−
−
2113
2111
4� ?2 #��� ��� 4H�� 4!��������A, augA . #�������� ���� #�����A ����� ���2/ 4/ �� 8��?�6
#!R:& :�!��� 4�� � 2×2 :�!��� ��� 4�� ������� I?�7 �!����)�� ���/ -���� 6����� *�2 C����6���� .(
42��� � ��/ ����
127
13
11
− = −4 ≠ 0
4/ C������ρ(A) = 2. #��������� ����� #�������augA ?������� ����2/ 4/ ��� 8���6 ��� #��!R:& :��!��� 4���
2×2 4� ������ #���/ �!������ -��� 4�� � �� *2 C��� :!��� ��4!�� .������� ����� ��L��4! �� I��7
G������ 6������ �!�� �5��! ?7�
13
11
−
� D� � �/ ���� 6������ >��&�� ��� ��!E ����� B���) ��2 . � �����L� 4ρ(augA) = 2. 4��
�7 #!���� #&!���� ��� �%�� �5�
ρ(A) = ρ(augA) = 2 < 3
� *! &��� ��� 4/ ��� 3 � �)����� D� 4L�*�%��� 4� �R �) ��� . #!�!2 9�5%� ;��� 4H��
*������ ����� 6������ ����%� *�������� . 4!�������� �!����� 4/ �����)4!�%5������ ( *���! &� I?���7 ���������� �����/ ��
42!�� #!�!��� #�!E B��! *! &��� z = t .#!�!��)� #�!5�� D� #�)�� *! &��� �E� �&�� =�� ���� .
4� 4!�+���� 4!������� �� �!�����z = t �%� *���
x + y = −2 − t,
3 x − y = 2 − t
4/ �&� 4!������� G�&��
4 x = − 2 t
x = −0.5 t
����� �� �!�������%� *��� ����� #�
y = −2 − t − x
y = −2 − t + 0.5 t
y = −2 − 0.5 t
� *��� 4/ B/
x = −0.5 t, y = −2 − 0.5 t, z = t.
I!�t #!�!��� #5!5� #�!E *�%��� 4� !R �) ���� �!�� 4/ ���! �� . *�E� *�7��� ��� =���� 4/ ���%�
#���� #������ @���/ ������ 9���5�� ���8� <���3���� ������� #����?���� *����%��� 4��� �R��� �� �)�������� ����� O���5�
)#%5����� (*! &��� ��� 4� .#������ �� @�!�� #%5����� �)����� 4� ����� �� � . ���2 *�7��� ��� ����
#�������) 4!���������� 4��� *��2�A, augA ( B�����2 ������� ����&� ���� ���� *��! &��� ����� 4��� *��E/ B/
��?*��%��� 4�� �R � .� #����� D�� ��� *���� 6���� 4!�!��� ��/ D������ B���� �%��� �� ��������� ��
128
#���� #�����*���%��� 4��� �R�� �?�� ������� #���� ���� . *��! &��� 4��� ����� �������) �)������� ����� B����!
6����5���� (�!��5�� D��� #���)�� *��! &��� �E��� ���&��� #��!�!��� �!��5�. �� #��!%!%���� #����� �� #������ ������ #��!M���
4!!������ G+5� 4� C���� U����� �� �!5����� +��� #���� *7�! *��� �� 4/ 9�5�� 0�! -��.
#����&���� ���!M �)������� #���� ���� #��!+��� �)�����%� #������ #��!�8��� ������ ���E 4���2� *��7��� ���� �� .
#��&���� #!+��� �)����� *�� #���� #!�8��� ��� 4H� *5����.
���� ��� ������ ��� ���� ����# ��#%����
#��&���� #!+��� �)����� 4� #���&� B/
A X = O
��n *! &��� 4�:
)1 (�!�� *� � 4�2! B��� 42 ���
ρ(A) = n
)2 ( 4�2!�*�%��� 4� �R � ) ��� � 42 ���
ρ(A) < n
#���&���� �)����� 4/ #!�8��� D� 4� 8�?��*�� � � ��R�� . 4�� #����&� B/ ����E ��2 @��� =����
B������ *���� � 55�! ��R�� #��&���� �)����� . #�%7��� ���� 4H� ������ ����� D�� $�!�+� ;����
#!�8���.
���19
B����� *��� 0�� *� � >!� #!�H� �)����� #���&� 4/ ��7/
x + y = 0,
2 x − 3 y − z = 0,
x − y + 2 z = 0
����
#��2� )�/ /����)����� #���&� 4/ �&�� �������� ������� 6+����
129
A =
−
−−
211
132
011
, X =
z
y
x
, B =
0
0
0
#������� #��� ��� �7A 4/ �&��
|A| = − 12 ≠ 0
4L� ������
ρ(A) = 3
�! *! ���� ��� 4� I!�� B�3 B����� *��� � �!�� *� � �)����� 4L�.
���20
*��� �� 4!�� *�%� #!�H� �)����� #!%�E >���
x − 2 y + 3 z = 0,
3 x − 6 y + 9 z = 0,
4 x − 8 y + 12 z = 0
����
#��2� )�/ /����)����� #���&� � ������� 6+�����4/ �&�� ������
A =
−
−
−
1284
963
321
, X =
z
y
x
, B =
0
0
0
#������� #��� ��� �7A 4/ �&��
|A| = 0
4� ����� 4���� ;���� =����r2 = 3 r1 ) =���2�r3 = 4 r1 .( 6����� 4�� I����� 4H� ��!%�� �������
:��!��� 4��� #��!R:&2×2 ������� B����� ) �� ��!E .4/ ���&� ��� � :��!��� 4��� ���������� G��!�&2×2 �� ��!E
4� ������ B����r3 = 4 r1 =���2�r2 = 3 r1 . :�!��� 4�� #�!R:& 6����� )� ����/ ��5��! ?��1×1 B/
����� B��!) ����� ����� . 4/ C���� ���ρ(A) = 1. �R� �) ��� � �)����� D� 4L� ������
*����%��� 4����. � *������ ����� 6������ ����&!Q� B�����! #%5�������� �)����������� 4/ 8����?1 =���� � ���������
4����5�� 4������ .4!�� 4�� �!����� 42!��� #�!�!��� �!�5� 4!��� &� ����� 4!��������y = a, z = b
�%� *��� ����� #������ �� �!������x = 2 a − 3 b 6����� ��<! *��� 4/ B/
x = 2 a − 3 b, y = a, z = b.
130
���21
��7�� #�!E �&�/k ���B����� *��� �!M ?� #!�H� �)���%� *�&� �
k x + y − 3 z = 0,
y − k z = 0,
x − y − z = 0
����
#��2� )�/ /����)����� #���&� � ������� 6+�����4/ �&�� ������
A =
−−
−
−
111
k10
31k
, X =
z
y
x
, B =
0
0
0
B����� *��� �!M ?� #!�H� �)����� D� � 4�2! �2��)*�%��� 4� �R �) ��� B/ (4�2� 4/ ��?�
ρ(A) < 3
4�2� 4/ ��?� =�� $5��! �2��
|A| = 0
���2 ��� @��|A| ≠ 0 ���2�ρ(A) = 3 . ��&�� 4H��|A| #��)��k *����� ?7�� *��� ������� ��������
%��
|A| = k × (−1 − k) + 1 × (−k + 3) = −k2 − 2 k + 3
G����|A| = 0 �� #!���� #������ �%� *���k
−k2 − 2 k + 3 = 0
�� �����−1 6����� �%� #������ ;���
k2 + 2 k − 3 = 0
���%� *��� ��!�� -�+�� *!%��
(k − 1) (k + 3) = 0
�!5� �7 4��k � B����� *��� �!M ?� 6+���� �)���%� *�&� ����
k = 1, k = −3
��� �
#!+��� �)�����)#��&�� �!M �/ #��&�� ( *�� � � 42 ���) �/ ��!�� �����R� �) (#�5����� ����� .
#��5����� ���!M ������� $?��+Q� ���%� *��� �� � 4��2! ���� ��� ���/ .�)������� *���� #������ #��!�8��� ���%� K�����
4/ �&� ��. ��2� ���� #!+���:
131
)1 (#5����� �R�� #��&���� �)�����.
)2 (42 ��� #5����� 4�2� #��&���� �!M �)�����
ρ(aug A) = ρ(A)
42 ��� #5����� �!M 4�2��
ρ(aug A) ≠ ρ(A)
�������� �� #� #�<��� ���� ��� �� � �����)������ $!7� +���� �� #�!+��� 4!�!�� �� �
����� ���&�� ���! �&#�����%� 6:!���� � .
6 .*+����� �,%����� *+����� ��'%��
Eigen (Characteristic) Values and Vectors
6:��!���� ��� &����� 6:��!���� �����&�� !���!� �����5��� ������ )�/ /������ . D��� 4!��!�� #��5!�+ C������� ���7
�?2�� ���� �7 �!�2���%!2 #!�8� � � (������ �� � $%��� #� #!�8� �2��–4��%� .
*+����� �,%����� *+����� ��'%�� -���
#���� #����� �!�� 42 ���An×n ��� 4!!�� 42�/�λ B��� �!M @&���Xn×1 #E?��� $5�� I!��
A X = λ X
�������� 4L����λ :���!���� �����&�� ������!)6:���!���� #����!5�� �/ (#��������%� A @���&�����X :���!���� @���&���� ������!
#�����%�A . ��� 9��5�� � � ����!�� 42�� 4H� ��� *&� >!� 6�!�� �5!�+� � �!�2�� D� �
#!R����3��� ���!%����� ����H� �2������� ������5� *��7� #����5�� ������5� . -���!���%� +��5� ������ 4����� ���� ���/
�� �������2 ����� #��!�!2� �!���5��� D��� � ����!���#��!+��� �)������ *��� (����� . -��!��� ;!������ 4H��
#������� ����� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&��
A =
− 31
21
����� � #���� D� �� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&�� ���5���λ @&�����
X =
y
x
I!���#E?��� $5��
λ=
− y
x
y
x
31
21
132
4!��� &��� ��� 4������ )� �� �� #5����� ��E?��� 4/ 9�5�� 8�?!�x, y ��%� �� ���2 4�2�! ������
6�����
x + 2 y = λ x
−x + 3 y = λ y
6����� �%� 4���&�� 4����� � �/ B/
(1 − λ) x + 2 y = 0
−x + (3 − λ) y = 0
�� ���2 6��� 42�! �)����� D� ��%! �2 0��/ 6�� �������� 6��
=
λ−−
λ−
0
0
y
x
31
21
#�������� )� �� �� �� �?������ #�������A − λ I I�!�I :�!��� 4�� 6������ #������ �� 2×2 .
:��!��� 4��� #������� B� 6:��!���� ��� &����� �����&�� #�<���� 4���2� *��7����n×n . 9���5�� -����� 4/ ������
���&�� !�!� ���5��� �%� �!�2�� D� 4!!�� #!�!2 ��� -��� 6:!���� � &����� 6:!����.
*+����� �,%����� *+����� ��'%�� .���
#���� #����� �!��An×n �5!5� ��� 4!!�� �%+����λ B��� �!M @&���Xn×1 #E?��� $5�� I!��
A X = λ X
6����� �%� ���2 42�! #5���� #E?����
A X − λ X = 0
� #������� 4/ ��I 6����� �%� #5���� #������ #��2 42�!� ������ �!���� �
A X − λ I X = 0
6����� ��� *�� G�&�� �%� G!:���� *�5� �������� �� #!%�� 4/ ���
(A − λ I) X = 0
@&���� *! &� �� #��&���� �)����� 4� #���&� )� � � 6����� D� �X � ���� �2 *�7��� �
6:���!���� ���� &����� ������&�� -���!��� W����3� �����. D������� B������ . 4���� #������&��� D���� *���� 4!������ 4H��
#��&�� �)��� �/ 8�?� �)����� . � 4/ 0�� #���� #!�8��� 4��:
)1 (�!�� *� )B����� *��� � � ( 42 ���
ρ(A − λ I) = n
133
)2 (*�%��� 4� �R � ) ��� 42 ���
ρ( A − λ I) < n
4� B����� *��� �!�� ) 4���X B��� �!M @&�� . 4�2� 4/ ��?� ������
ρ( A − λ I) < n
4�2! 4/ ��?� =�� $5��! �2��) *7� �� D��2� � G&���! 4� 9�5�� �%�21(
|A − λ I| = 0
�!E 4!��� #������ D� 4��λ )6:!���� ���&�� ( �!5�� D� � �!����� �7�)����� #���&� *� G!+���
(A − λ I) X = 0
6:!���� � &���� �%� *������ .�%+��� � �� � .�%! �!� ���+��� D� O�%��.
*+����� �,%����� *+����� ��'%�� .��� ��� �
)1 ( #�)�� #!���� 6������ ��λ
|A − λ I|
�� ���� 6�!72 4� 6��� 4� 4�2! C�����λ �����"*+����� ������ *��.
)2 (#������ *�
|A − λ I| = 0
���� �����*+����� ������ .6:!���� ���&�� � #������ D� ���& 4�2��.
)3 ( �!E 4� #�!E *�<� �!�����λ �)����� #���&� 4!�2��
(A − λ I) X = 0
)4 ( ��E� 6��+��� ��� 6��2����� �)����� #���&� *�)3 (� ��%� *����%� �8����� *��� :�!���� @�&���
�!E 4� #�!E *��λ.
)5 ( 4!��+��� ���2�)3 ( �)4 ( �!E G!�&�λ 6:!���� � &���� G!�& 4!!���.
���+��� D� $!�+� ;��� #!���� #%7����.
���22
#�����%� 6:!���� � &����� ���&�� �&�/
A =
23
21
134
����
�!72 ��� /���6:!���� ������ 6
|A − λ I| =
λ−
10
01
23
21
= λ−
λ−
23
21
= (1 − λ) (2 − λ) − 6
= λ2 − 3 λ − 4
6:!���� #������ 4�2� =�� ��� �7
|A − λ I| = 0
B/
λ2 − 3 λ − 4 = 0
�%� *��� #������ D� 4� ��!�� -�+�� *!%����
(λ + 1) (λ − 4) = 0
7 4�� � 6:!���� ���&�� 4/ C���� �
λ1 = −1, λ2 = 4
4� ����� *��� :!���� @&���� ��� 4H��λ = −1 �)����� #���&� ��
(A − λ I) X = 0
�%� *����
=
0
0
y
x
33
22
4!������� 4!� *�� �7
2 x + 2 y = 0,
3 x + 3 y = 0
��� #���� 4��2! GE���� �� � �/ 8�?�� *���� � *��� 42 )�ٕ� =��2 ���� 4�2! 4/ ��)� #%5��� 6�
B����� .42!�� *! &��� ��/ ���� 6��5���� #������ 4� �!���� -�� 4H��
x = a
4/ 0�� �!������
y = −a
*��� :!���� @&���� 4�2!�) :!���� ��&%� �8����λ1 = −1 (�
135
X1 =
− a
a
I!�a #�!E 4<� 9�5�� �2��� #!�!��� #5!5�λ1, X1 #E?��� �� 455��
A X1 = λ1 X1
��7�� :!���� @&���� 4/ ��7! 4/ 9�5%� 42�! *7����) :!���� ��&%� �8����λ2 = 4 (�
X2 =
b5.1
b
#E?��� $5�! 4/ ��) B����
A X2 = λ2 X2
���23
� &����� ���&�� �&�/ #�����%� 6:!����
A =
−
−
502
211
420
����
6:!���� ������ 6�!72 ��� /���
|A − λ I| =
λ−−
−λ−
λ−
502
211
42
= −λ [(1 − λ) (5 − λ)] − 2 [(1) (5 − λ) − 4] + 4[2 (1 − λ)]
= −λ (1 − λ) (5 − λ) − 2 (1 − λ) + 8 (1 − λ)
= (1 − λ) [−λ(5 − λ) − 2 + 8]
= (1 − λ) (λ2 − 5 λ + 6)
= (1 − λ) (λ − 2) (λ − 3)
6:!���� #������ 4�2� =�� ��� �7
|A − λ I| = 0
B/
(1 − λ) (λ − 2) (λ − 3) = 0
� 6:!���� ���&�� 4/ C���� �7 4��
λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3
136
4� ����� *��� :!���� @&���� ��� 4H��λ = 1 �)����� #���&� ��
(A − λ I) X = 0
�%� *����
=
−
−
−
0
0
0
z
y
x
402
201
421
�)����� #���&� B/
−x + 2 y + 4 z = 0,
x − 2 z = 0,
−2 x + 4 z = 0
+���5� 4!�%5������ 4!�������� 4������2! G���E���� ����� ���� �/ 8����?��) ������ #���!�7�� ������ ���� #���7�7�� #��������� 4�
�� ����−2 .(��) @�/ $���� *7��� �� ���E �2� =���2 ����� 4��2! 4/ �) �)������ ���� *�5! 4<��
*��! &��� ����� 4��� #%5������� (B������� *����� ��� *����� 4��2 )�ٕ� . #�������� 4��� �!������ -���� 4H��
42!�� *! &��� ��/ ���� 6��5����
z = a
4/ 0�� #!�7�� #������ �� �!������
x = 2 a
4/ �&� ����� #������ �� �!������
y = −a
*��� :!���� @&���� 4�2!�) :!���� ��&%� �8����λ1 = 1 (�
X1 =
−
a
a
a2
4<� 9�5�� �2���λ1, X1 #E?��� �� 455��
A X1 = λ1 X1
��7�� :!���� @&���� 4/ ��7! 4/ 9�5%� 42�! *7����) :!���� ��&%� �8����λ2 = 2 (�
X2 =
−
−
b2
b
b3
I�7�� :!���� @&���� �/) :!���� ��&%� �8����λ2 = 3 (� �
137
X3 =
−
−
c2
c
c2
��� �
6:�!���� �� &���� 4� �R �) ��� D�8�! :!�� ��& B/ 4/ #5���� #%7��� 4� 9�5%� 4!��! . @�&�� B/�
��. :!�� @&�� �� ��7 ���5� B��! � �� :!��.
����� #���%7��� ����!�� ���� #���!�!2 #5������ 4!����!� ������� *���7��� ���/ 6:���!���� ��� &����� ������&! #���� #
6:!���� � &����� ���&%�.
���24
42 ��� @�/ ��7/λ #�����%� �:!�� ���&A 4L�λ2 #�����%� :!�� ��&A2.
����
4/ ��λ #�����%� :!�� ��& � A #E?��� $5�! @�L�
A X = λ X
I!�X �� � ��&�� �� � �8���� :!���� @&�� . #������� �� #5���� #E?��� ���+ ����A *����
�%�
A2 X = λ A X
#!%��� #E?��� 4� 4�!�� -�+�� �� �!����� �7
A X = λ X
�%� *���
A2 X = λ (λ X)
4/ B/
A2 X = λ2
X
4/ 0�� #E?��� D� 4��λ2 #�����%� :!�� ��&A2.
��� �
���6������ ��%� ;����� #�� �� !���� 42�! #5���� #E? : 4�2 ���λ #������%� �:�!�� ����&A 4L��λn
#�����%� :!�� ��&An I!�n &�� ;!�� ���.
138
��� ����%� # ���3� 0����/ O����� ���&�! $������ *��7��� ���� 6��2������ #!������ . �� ��7� 9���5�� ������!�
� D����� B��� �%��� >��� #�� ��$���� *7��� �.
*+������ ��'%/� ��0 1���
42 ���λ #�����%� �:!�� ���&A 4L�
)1 (λn #�����%� :!�� ��&An I!�n &�� ;!�� ���.
)2 (λ−1 #�����%� :!�� ��&A−1.
)3 (k λ #�����%� :!�� ��&k A I!�k �5!5� ���.
���25
�������� 4� *2� 6:!���� ���&�� �&�/A2, A
−1 I!�
A =
−
−
502
211
420
����
*7� �� 6:!���� ���& �!�� $�� ���� � 6+���� 6������23 ��2�
λ = 1, 2, 3
#�����%� 6:!���� ���&�� 4�2� #5���� O����� �%� K���A2 �
λ2 = 1, 4, 9
#�����%� 6:!���� ���&�� 4�2��A−1 �
λ−1 = 1, 1/2, 1/3
�� ���� #�!�8� �� � (������� ��� � $�%��� #�� #�!�8� �2��� 6:�!���� �� &����� 6:�!���� ����&�� ��� �?�2
�%!2–��7� 4��� � �2�� ����� 4��%� .
2/�" ����#–.��/�0
6:!���� ����� $5�� #���� #����� B/ 4/ �%� #!�8��� D� O�� .
#!�8��� D� 4� ���5��� ;��! ����� *7����.
139
���26
�%!2 #!�8� $5�–#�����%� 4��%�
A =
23
21
����
�� ��&�/ 4/ $��� *7� �� #������� D� � 6:!���� #���22 6����� �%� ��2�
λ2 − 3 λ − 4 = 0
4�� ���!�� -��+�� ��� ����� #�!�8��� $�!5��� 4H��λ #��������A -���+�� B���! C����� 4/ ���7��
�� 4�!)#���� D� �� #!��� #����� 4�2!� B���� .(#E?��� �!����� ��� �!�� 4H�
A2 − 3 A − 4 I
$%+��� ���� ���2 ��/ 8�?��4 6���� ��%�4 I ��� � ��������� G��& #�!%�� K���&� ��� �����! ����
#!�8��� D� $!�+� ��� �� /��� .�%� *��� #5���� #E?��� �� �!������
=
−
−
00
00
10
014
23
213
109
67
@��7� �%+��� � �.
����� *7��� �� �5!�+� ��/ ��5� #!�8��� D� �%� ����� 4/ ����.
���27
��%!2 #!�8� �����–#������� >�2�� ��� 4��%�
A =
−
−
502
211
420
����
�� ��&�/ 4/ $��� *7� �� #������� D� � 6:!���� #���23 6����� �%� ��2�
(1 − λ) (λ − 2) (λ − 3) = 0
�� ����� >��E�� =���−1 6����� �%� #������ 4�2�
λ3 − 6 λ2
+ 11 λ − 6 = 0
140
�%!���2 #���!�8� ���5�+ 4H��– 4���� ������� ��� #�!����� #���E?��� D���� *���8� 4��%���� λ #����������A ) G����
$%+��� ���� *������−6 #�������−6 I �� ������*��E 4�� ���2� �2 #!��� #����� 4�!�� -�+ .(
�%� *��� �!����� �� K��&L��
A3 − 6 A
2 + 11 A − 6 = 0
#������� �� #5���� #E?��� -�+��A−1 6����� ��� #E?��� *����
A2 − 6 A + 11 I − 6 A
−1 = 0
4/ B/
6 A−1
= A
2 − 6 A + 11 I
#������� �� 42�! �7 4��A−1 ��� 4� #E?)>�2���� �� 4��E ������� 4� *!�� �� �(
A−1
= 6
1(A
2 − 6 A + 11 I)
� C���� 4�2!�
A−1
=
−−
−
−−
242
481
8105
6
1.
#������� >�2�� 4��E ������� C���� >�� �� 9�5%� =��!�.
7 .!�%� -'��� ���� Gauss Elimination Method
��� ������� 6�����%� #��R�2� #+!���� 0����/ 6����� ����� #��!+��� �)������� #�����&� *��!��� ���%� #��5!�+�� D
�� %� * ���! 4��2�� ������� . -��!2 ����. *��7� ���� 0���� ���7 #+!������ 6������� D��� ���%� *��7� ������ /������
����!%���� ������! ���� ���������� #+!������� 6�������� D���� ������ #���!+� �)������ #������&� B/ *���!��� 4���2�!
#!���� A #����&� *��� +�5� >!�� >��&� -����� #�5!�+ �������� 4!��� #%7��� 4� ��� =�� ��� �2�� �7
#������� #��� ��� *��� #�!�+ 4!!��� �!/ *� #!+��� �)�����.
���28
#!�H� �)����� #���&� *� �&�/
x + y + z = 2,
y – z = –1,
–5z = –10. ����
�� 4� #���&��� D� *� 42�!#!���� ���+��� (��� #�� �� #!+��� �)���:
141
1. �%� *���� 6�!��� #������ *�� /���z = 2
2. ���� #�!5�z �%� *���� 6�!��� *�E #������ ��y = 1
3. ���� ���!5�y, z ����� #������ ��� �%� *���x = –1 .
�?����� #����� 4/ 8�?�6����� ��<� �
A =
−
−
500
110
111
!%� #!7%7� #����� *7�� � � . 4L� !%� #!7%7� #����� � �?����� #����� ��2 ��L� ������
*7��� �� �� �� �� # �3� #+!�� 6���� ��! 4/ 42�! �)����� *� . 42�! @�<� �%��� �� :!��!�
B/ �%� @5!�+� ���6�!��� #������ *�� /���� �)����� 4� ��� #5���� �)����� �� �!����� �7
��� ��!*! &��� G!�& 4!!��. )��� #!7%7��� #������� 6��� ������� =��2 42�!��%�(
)7��� 4!�!4 !����4 *7��� �� 6��&���� 6����� ��� #!+� �)��� ����&� B/ *!��� #!�!2
$����.
���29
!�H� �)����� #���&� *� �&�/#
x + y + z = 2,
2 x + 3 y + z = 3,
x – y – 2z = –6. ����
6����� ��<� � �?����� #�����
A =
−− 211
132
111
#!���� ���+��� (��� 6����� D� ��� %!��� 42�! 42�� A!%� #!7%7� #����� ��!� � �:
1. � *��� -��� ���� –2 � A��7�� -��� ��� @�!�� �7 �� *��� -��� ��� –1 �7
I�7�� -��� ��� @�!�� #!���� 6����� ��� #������� *�����
−−
−
320
110
111
142
2. �� ��7�� -��� ��� 2 7�� -��� ��� @�!�� �7I� #!R ��� 6����� �%� *����
� � #��%+���
−
−
500
110
111
42�� �!%���� D� �!F� �2�) �&/ �����)����� 4� ��!�� -�+�� �%� �! ( 6+���� �)����� 4�
#5%+��� ������ #����� �%� �!%���� D� K��&� 4� ��)B �%� *���� �!/ � �!�&�� *23��
−
−
10
1
2
6�!�&�� #������ #������� 4/ B/)#!%��� #������ #�����%� #R�2��� (�
augA ∼
−−
−−
10500
1110
2111
�)����� D� 4/ 0�� � �)6+���� �)���%� #R�2��� ( $���� *7��� �� 6+���� �)����� ��� �
� *��� 4�2!�
x = –1, y = 1, z = 2.
���30
#!�H� �)����� #���&� *� �&�/
x + 2 y – 3 z = 11,
3 x + 6 y – 8 z = 32,
–2 x – y = –7. ����
���6����� ��<� � #������ #����
augA =
−−−
−
−
7012
32863
11321
#!���� ���+��� G��� !%��� #!7%7��� 6���%� �?����� #����� *!�����
1. �� *��� -��� ��� –3 ��7�� -��� ��� @�!�� �7 A#!���� 6����� 6�+��� D� �2���
–3 R1 + R2 → R2
143
�� *��� -��� ���� 2�� �7I�7�� -��� ��� @�! A#!���� 6����� 6�+��� D� �2���
–2 R1 + R3 → R3
#������� *����� 4!��+��� 4!� ���#!���� 6����� ���
augA ∼
−
−
−
15630
1100
11321
2. I�7��� ��7�� *!��� ��� � "���#!���� 6����� 6�+��� D� �2��� A
R2 ↔ R3
��� #������� *�����#!���� 6����� ��� 6�+��� D�
augA ∼
−
−
−
1100
15630
11321
�K�� �)����� !�� 4H� 42�!� A#��%+��� 6����� ��� �%�� �E �?����� #����� 4�2� �7 4��
6�!��� #������ 4��%! �2:
1. �%� *���� 6�!��� #������ *�� /���z = –1
2. #�!5� ����z �� *�E #������ �� �%� *���� 6�!�y = 3
3. ���!5� ����y, z �%� *���� ����� #������ ��x = 2.
� *��� 4/ B/
x = 2, y = 3, z = –1.
4� #���&� ������ ��L� !%��� #!7%7��� 6����� ��� �?����� #����� *!���� @�/ 4H� �� ;��!
�� �!%���� �!%���� D� ����� -����� �%� �!�%����%! �2 ���� ����� #!��:
-����� 2/4 ����5� ��/���Elementary Row Operations
-����� �%� #!���� �!%���� ���� #!���� I?7�� �!%���� 4� #!%�� B/:
)1 (����� B��! ) ��7 �� -� ��
)2 (4!!�� *!���
)3 (��. -� ��� C���� #���ٕ� ��7 �� -� ��
B�N� � � >�� 4� ���� �/ T�2��� ��5�� A#!%��� #������� T�2� 6�!�& #����� 4!�2� ���
�)����� #���&� . :���� T�2��� ��� :��!�∼∼∼∼.
144
#����� *!���� #������ #������� �%� #!���� �!%���� D� >�&� -���� #5!�+ �������
!%� #!7%7� #����� ��� �?�����) #�!�E 6��� �/#!���� #%7��� 4� ;��!� �2 �� ( ��! =�� ��� �7
#5���� #%7��� �� �!/� �2 6�!��� #������ 4� �K�� #&���� �)����� #���&� *� . O�%� 4/ 42�!�
�%! �!� #5!�+�� D� :
!�%� -'��� ���� Gauss Elimination Method
��+��� �!��� ��! #!+��� �)����� #���&� *��!����� �%� 4!�!���� 4!:
)1 (6��5� -'��� *� � Forward Elimination Step .6��+��� D�� ��� ��! #�!���� ��!%���� K���&�
���%� -������� ���!��� -����� ����� *��� -����� 4��� �K���� #�������� #��������� �� #������� ����� �� %!
!%� #!7%7�)=�� �!��! �� ��� � #��5� 6��� �/.(
)2 (*�� � 6���/��� 7������� Backward Substitution Step. #��R�2��� �)������� #����&� *��� ���!
����� #������ ��� )��� 6�!��� #������ 4� �K�� #5���� 6�+��� 4� #&����.
�4!� #%7��� #!�����!��� $!�+�� �72/%����� �)��� �� 4!��+��� 4!� �)��� ��� 4!��� A#�
) ���� 6��� 42�� !%��� #!7%7��� #������� 6��� ��� �?����� #����� *!��� !� 42�! � #��5�
)#!�!5�� 6����� �+��� ��&�� �%� �� ���� � �(.
���31
#!�H� �)����� #���&� *� �&�/
3 x – 5 y – z = 7,
2 x – y + 4 z = 7,
x – y + z = 3. ����
����� #�������6����� ��<� � #�
augA =
−
−
−−
3111
7412
7153
)�/ :����� -���� 6�+�
145
#!���� #!%���� /���R1 ↔ R3 ��� #������� *����� A-���� #!%�� *! ���
augA ∼
−−
−
−
7153
7412
3111
4!����� 4!�!%���� $!�+�� �7
–2 R1 + R2 → R2, –3 R1 + R3 → R3
��� #������� *���� 6�����
augA ∼
−−−
−
2420
1210
3111
#!���� #!%���� $!�+�� �7 2 R2 + R3 → R3 6����� ��� #������� *����
augA ∼
−
0000
1210
3111
+5� �� *5����� *� A#%5��� �!�& ��!� 6+���� �)����� #���&� 4/ �R ��� *23�� 4� ;��!�
4����� � )�� ����/ I!�� #7�7�� #����% 6����� �0 = 0 #��� B/ *7�� ) D� � .( 4/ $���
4!����� 4/ �!/�)4!�%5��� ( *! &� #7?7 �� *��� �� #��2�� A*�%��� 4� �R � ) ��� � � 4�2!
� /��� ����� #!�7�� #�����z = t 4�2!�y = 1 – 2 t 4�2! ����� #������ �� �!������x = 4 – 3 t
6����� �%� 4�2! *��� 4/
x = 4 – 3 t, y = 1 – 2 t, z = t I!�t #!�!��� #�!E.
��� � )6��5� -'��� *� � 9��%: �� ������ .���(
#!���� >�� � 4�2� #R�2���� �������� 4/ ��7� 42�! �!F� ) ����� -���� 6�+� 4L� ������
#��� �/ �?����� #����� #���#������ #�������.
�%� =�� $!�+��� �%�� ����� $���� *7��� #������ #������� !�6��� ��� � #R�2�
−
0000
1210
3111
� =��� #������ #������� #���� �?����� #����� #��� 4� *2 �� #�� �� 42�!4!!�� ���
#!����� �!M -�����)� � ���� *7����� -����� ���#%5�� (4�2��
146
ρ(A) = 2, ρ(augA) = 2
�%� #���� #!�8��� 4��� *��� #�!�+ 4�2� #!+��� �)�� � G� $��! �� *�%��� 4� �R �) ���
�� �� �� 4!���$���� *7.
*7� �� =��2�30 6����� ��� #������ #������� �����
−
−
−
1100
15630
11321
4�2� ���
ρ(A) = 3, ρ(augA) = 3
�� 4!�� � G� �!/ $��! �� �!�� *� � *��� #�!�+ 4�2� #!+��� �)���%� #���� #!�8��� 4��
*7� ��30.
���32
#!�H� �)����� #���&� *� �&�/
2 y + 2 z = 1,
2 x – 2 y + 5 z = 4,
x + 2 y – z = –3,
x – y + 2 z = 3. ����
��<� � #������ #�������6�����
augA =
−
−−
−
3211
3121
4522
1220
!%� #!7%7� #����� ��� *���� 4/ 42�! ) ������ #���� ��!� �?����� #����� 4/ � 8�?��
��2��>�&� -���� #5!�+ G��� ���+��� >�� #5���� � #��5� 6��� ��� %!���� ) 6����� ����
#!�!5��(.
)�/ :����� -���� 6�+�
#!���� #!%���� /���R1 ↔ R4 )�%�O%� 6������ -���� #!%�� $!�! B��� ����� 4�( *�����
��� #�������
147
augA ∼
−−
−
−
1220
3121
4522
3211
4!����� 4!�!%���� $!�+�� �7
–2 R1 + R2 → R2, –R1 + R3 → R3
6����� ��� #������� *����
augA ∼
−−
−
−
1220
6330
2100
3211
"��� �7 #!���� #!%���� ��� 0��/ 6��R2 ↔ R3 ) -���� #!%�� $!�! B��� ����� 4� O%��%�
6������ (��� #������� *�����
augA ∼
−
−−
−
1220
2100
6330
3211
#!���� #!%���� $!�+�� �7 (–2/3) R2 + R4 → R4 6����� ��� #������� *����
augA ∼
−
−−
−
5400
2100
6330
3211
$!�+�� ��!�/� #!���� #!%���� –4 R3 + R4 → R4 6����� ��� #������� *����
augA ∼
−
−−
−
13000
2100
6330
3211
4/ 4!��! �!��� *23�� 4� #����� ����
ρ(A) = 3, ρ(augA) = 4
*� � >!� �)����� D� 4/ �&� #!+��� �)���%� #���� #!�8��� 4�� . �!/ "����)� �� ;��!�
*23�� 4� #������ 4�2� ��%��� �!����� 6�+� K��&� ���/ ��L� A#������ #�����%� �!��� 6�!���
0 = 13
*� � >!� �+E D� �.
148
��� �
6����� ��� #������ #������� *��� ���� $���� *7��� ��
augA ∼
−
−−
−
1220
2100
6330
3211
#!���� #!%���� K��&� * ��� 4� 4�2! �E (1/3) R2 → R2 6����� ��� #������� *�����
augA ∼
−
−−
−
1220
2100
2110
3211
-���� �� �������� ������ 4�2! I!� -���� *�2��) #�:?�� ������ *! ��� =���) B����
�%����� ������ �!�/ @!%� $%+!pivot element (;!���� ������ B��!.
149
�����������/�� .��������
)1 (���#!���� �)����� *� �&�/ #������� >�2�� �� �� ����:
x + y – z = 2,
2 x – y + z = 1,
2 y + z = 2 . ) �!�!2009(
−
−
120
112
111
, 9423A −=−−−=
−−
−−
−−
=
−−
−−
−−
=
324
312
033
330
213
423
)A(adj
t
=
−
−
−=
−−
−−
−−
−=
0
1
1
0
9
9
9
1
2
1
2
324
312
033
9
1
z
y
x
x = 1, y = 1, z = 0
)2 ( ��&�� �&�/ #�����%� 6:!���� � &���� ��/� 6:!���� �
−
=
211
110
101
A.
) �!�!2009(
0IA =λ−
0
211
110
101
=
λ−−
λ−
λ−
0)]1)[(1(]1)2)(1)[(1( =λ−+−λ−λ−λ−
0]113)[1( 2 =++λ−λλ−
0]23)[1( 2 =+λ−λλ−
0)2)(1)(1( =−λ−λλ−
���&��1, 1, 2
&%� :!���� @&���� ��2 �
150
0X)IA( =λ−
0
z
y
x
011
110
101
=
−
−
−
–x + z = 0, –y + z = 0, –x + y = 0
����z = a #!�7��� ���)� 4!������� �� �!������
x = a, y = a
� :!���� @&���� 4�2!�
a
a
a
)3 ( �!5� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���k1, k2 #�%�����:
2 x – 6 y = 8,
x + k1 y = k2 . ) �!�!2009(
−=
21 kk1
862)A(aug
3k ,06k2k1
62A 11
1
−=∴=+=−
=
���� �!�� *� �&�!3k , k 12 −≠ I!� @�!E 0/ ��<�
2))A(aug()A( =ρ=ρ
���� *�%��� 4� �R �) ��� �&�!3k , 4 k 12 −== I!�
1))A(aug()A( =ρ=ρ
���� *� �&�!)3k , 4 k 12 −=≠ I!�
))A(aug()A( ρ≠ρ
)4 ( *��� �&�/ �7 *�%� #!���� �)����� #!%�E >���)*� =� 42 4�:(
3 x + y + 2 z = 4,
92 x − y = 1,
10 x + 5 y + 8 z = 0 ) �!�!2008(
151
180
8510
0192
213
A =−=
3)A(aug()A( =ρ=ρ
�!�� *� =�
−−
−
−
=
−
−
−−
=
955470
1844736
228
951842
542
4707368
)A(adj
t
−
−
=
−−
−
−
=
1875
2940
30
180
1
0
1
4
955470
1844736
228
180
1
z
y
x
12
125z ,
3
49y ,
6
1x =
−=
−=
)5 ( ���2 ���λ #������%� �:�!�� ����&A 4/ ���7<�(λ + k) #������%� �:�!�� ����&(A + k I) I�!�k
#!5!5� #!�2. ) �!�!2008(
Q λ �� ��& @�����%� :!A
xAx λ=
G�&�kX 4!��+�� �%�
kXXkXAX +λ=+
X)k(X)kIA( +λ=+
∴+λ k @�����%� :!�� ��& (A + k I) .
)6 ( #�����%� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&�� �&�/
=
31
22A �2 #�!�8� ������� �7�%!X 4��%��
4!!���A–1 . ) �!�!2008(
031
22 0IA =
λ−
λ−=λ=
02)3)(2( =−λ−λ−
0452 =+λ−λ
0)1)(4( =−λ−λ
λ= 1,4الجذوز المميزه
)0x)IAنوجد المتجھات المميزة بحل المعاد ت =λ−
=
λ−
λ−
0
0
y
x
31
22
152
1 =λ
=
0
0
y
x
21
21
x + 2y = 0
����y = a 4�2� �!������x = –2a
ھو λ= 1المتجه المناظر للجذر ∴
−
a
a2
4 =λ
=
−
−
0
0
y
x
11
22
x –y = 0
����y = b 4�2� �!������x = b
ھو λ= 4المتجه المناظر للجذر ∴
b
b
)7 ( �!E 4!�k ��!�� ?� #!�H� �)���%� *�&� ����:
x + y + 2 z = 4,
2 x − y = 1,
2 x + 5 y + k z = 3
) �!�!2008(
0Aيوجد حل وحيد عندما ≠
8k 024k2k 0
k52
012
211
≠∴≠+−−∴≠−
)8 (#!���� �)����� *� �&�/ #������� >�2�� �� �� �������:
x + 2 y – z = 2,
2 x + y = 4,
3 x – 3 y + z = 0 ) �!�!2008(
6941
133
012
121
A =+−=
−
−
=
153
=
=
−−
−−=
3
2
1
18
12
6
6
1
0
4
2
399
242
111
6
1
z
y
x
x = 1, y = 2, z = 3
)9 ( #�����%� 6:!���� � &���� ��/� 6:!���� ���&�� �&�/
−
110
011
002
.
) �!�2007(
0IA =λ−
0
110
011
002
=
λ−
λ−−
λ−
0)1)(2( 2 =λ−λ−
���&��1, 1, 2
��&%� :!���� @&����2 �
0X)IA( =λ−
0
z
y
x
110
011
000
=
−
−−
–x –y = 0, y – z = 0,
����z = a #!�7��� ���)� 4!������� �� �!������
x = –a, y = a
� :!���� @&���� 4�2!�
−
a
a
a
)10( #������%� 6:�!���� ������� 6��!72 �&�/A 4�� *��2 4�� ����� � ���A–1
, A3 6��!72 #�R! ��%� �����
�� #!�7�� #&���� 4�A I!�
−
−
−−
202
110
111
) �!�2007(
154
0IA =λ−
0
202
110
111
=
λ−−
λ−−
−−λ−
0)1(22)2)(1)(1( =λ−−+−λ−−λ−−λ−
02223 =−λ−λ−λ−
�!�����A=λ )!�8�# �%!2 X4��%� (
– A3
– 2A2
– A – 2I = 0 A3
= – 2A2
– A – 2I
�� �����A–1
–A2
– 2A – I – 2A–1
= 0 A–1
= 0.5 (–A2
– 2A – I)
)11 ( #�����%� 4��%� �%!2 #!�8� $5�
−
−
010
011
001
. ) *!��/2007(
0IA =λ−
0
10
011
001
=
λ−
λ−−
λ−−
0))(1)(1( =λ−λ−λ−−
03 =λ+λ−
A=λبالتعويض
=
−
−
+
−
−
=+−
000
000
000
010
011
001
010
011
001
AA3
)12( *��� �&�/� *�%� #!���� �)����� #!%�E >���)*� =� 42 4�:(
x − y + z + 2 w = 7,
3 x + 2 y − 2 z − w = 9,
5 x − 10 y + 10 z + 17 w = 4 ) �!�!2007(
−
−−
−
=
41710105
91223
72111
)A(aug
155
8�?!�@7�7�� ���� 4� �������� G!�& 4/( 3 x 3 ) ���� 4� @��2���A ��� 0���وھناك
محددات من الرتب الثانيه تت*شى
2)A( =ρ
0
4105
923
711
≠
−
−
Q
3))A(aug( =ρ
*�%� @%�E �!M �)����� 4�2��
)13 ( �!E 4!�k �H� �)���%� *�&� ����B����� *����!M ?� #!:
x + 3 y = 0,
x − z = 0,
2 x + 11 k y + k2 z = 0
) �!�!2007(
0
kk112
101
031
2
=−
11k – 3k2
– 6 = 0
3k2
– 11k + 6 = 0
(3k – 2)(k – 3) = 0
���� 0����� �!M *� �)���%� 4�2!�k = 2/3 , k = 3 .
)14 ( >�2�� �� �� �������#!���� �)����� *� �&�/ #�������:
x − y + z = 2
−2 x + 5 y − 3 z = −1
3 x + 4 y − 2 z = 5
) �!�!2007(
823132
243
352
111
A −=−+=
−
−−
−
=
156
=
−
−
−
−=
−
−−
−−
−
−=
3
2
1
24
16
8
8
1
5
1
2
3723
1513
222
8
1
z
y
x
x = 1, y = 2, z = 3
157
����� 1���/�
��� ��� �������
– 42�! #!+��� �)����� 4� #���&� B/ 6����� �%� ���
A X = B
I!�A � � �?����� #�����X � � *! &��� ����B � #5%+��� ������ ����.
– #������� ��2 ���A #�!+��� �)������ #����&� *�� 4!�!�� 42�! @�L� 6�3 �!M #�����A X =
B #E?��� 4�
X = A–1
B.
– #������� #���Am×n !R:& 6���� ��2/ :!� � :���� � :��!� ����� B��� ) #ρ(A) �/r(A).
– #��&���� �!M #!+��� �)�����A X = B B���� �����n *! &��� 4�:
– 42 ��� �!�� *� � 4�2!ρ(augA) = ρ(A) = n
– 42 ��� *�%��� 4� �R � ) ��� � 4�2!ρ(augA) = ρ(A) < n
– $?+Q� �%� *� � 4�2! ) 42 ���ρ(augA) ≠ ρ(A)
– #��&���� #!+��� �)�����A X = O B���� �����n *! &��� 4�:
– �!�� *� � 4�2!)B����� *��� � � ( 42 ���ρ(A) = n
– 42 ��� *�%��� 4� �R � ) ��� � 4�2!ρ(A) < n
– 6:!���� �!5��(λ) 6:!���� � &�����(X) #�����%�An×n �� � #E?��� $5�� ��
A X = λ X
– 6:!���� #������ *�� 6:!���� �!5�� 4!��� :| A – λ I | = 0
– #!+��� �)����� #���&� *�� 6:!���� � &���� 4!���(A – λ I) X = 0
– �%!2 #!�8�–4/ �%� O�� 4��%� : #����� B/#���� 6:!���� ����� $5��.
X ����5�>���&� -������ #��5!�+ ���%� 4!����+� : ����� #�������� #��������� *��!���� ������� -������ 6���+�
#�������� 4��� �K���� #��&���� �)������� *��� ����! I��!� ����%��� �!������� 6���+� ���7 A��!%� #��!7%7� #�������
6�!���.
158
X #����������� �?�������� #�������� #������ 4!���!�� 4���2�! ��������� #�������� >����� ��� � #���R�2���� �����������
����� #�������� K����&�������� -������ 6���+� ���!M -������� ������ #!����� #������ D��� ���� #������� 4���2�� A
#!�����.
159
.��������
)1( #������� >�2�� ������� #!�H� �)����� *� �&�/:
a. 2x – y + 3z = 9, x + y + z = 6, x – y + z = 2.
b. x + 2y + 3z = 11, x – 2y + 3z = 3, x + 2y – 3z = –1.
c. x – y + z = 3, x + 3y + z = –1, x – 3z = –2.
)2( #!�H� �������� #��� �&�/ �������� �������
−−−
=
132
132
321
A ,
−−
−
=
210
633
211
B ,
=
042
321C
−−
−
=
1013
1211
1111
D ,
−
−−−
−
=
1100
3121
0210
3121
E
)3( *��� �&�/� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���)2 4�*� =� 4(:
a. 2x + 6y = –11, 6x + 20y – 6 z = –3, 6y – 18z = –1.
b. x + y – 6z = 0, –3x + y + 2z = 0, x – y + 2z = 0.
c. x + 2y – z = 2, 2x – 3y + 7z = –1, –x + y + 3z = 6,
5x + y – 2z = 0
d. 4x + 2y + z + 3u = 0, 6x + 2y + 4z + 7u = 0,
2x + y + u = 0.
e. 5x + 3y +7z = 4, 3x + 6 y + 2z = 2, x + 9y – 3z = 0.
f. x1 + 3x2 + 2x3 = 0, 2x1 – x2 + 3x3 = 0,
3x1 – 5x2 + 4x3 = 0, x1 + 17x2 + 4x3 = 0.
g. 4x + 3y + 2z = –7, 2x + y – 4z = –1, x – 7z = 2
h. x + 2y – z = 3, 3x – y + 2z = 1, 2x – 2y + 3z = 2
)4( �!E 4!�k H� �)���%� *�&� ����B����� *��� �!M ?� #!�
kx + y + z = 0, x + ky + z = 0, x + y + kz = 0.
)5( �!5� *�%� #!�H� �)����� #!%�E I���k #�%�����
x + y + z = 10, x – 2y + 3z = 10, x + 2y + kz = 10
)6( 4/ ��7/k = 6 B����� *��� �!M ?� #!�H� �)���%� *�&� ���� 6�!���� #�!5�� �
160
x + 2y + 3z = kx, 3x + y + 2z = ky, 2x + 3y + z = kz.
)7( �!E 4!�k *��� �&�/� #5����� #!�H� �)����� *�&� ����
x + y + z = 1, x + 2y + 4z = k, x + 4y + 10 z = k2.
)8( 42 ���A, B :!��� 4� 4!������3×3 B���� �� �� *2 #����3 #�������� 4/ ���7<�AB 4��2�
B��� ��� 3.
)9( #�����%� 6:!���� � &����� 6:!���� ���&�� �&�/
A =
−
300
120
011
�%!2 #!�8� ������ �7– 4!!��� 4��%� A−1.
)10( �� �&�/���& #�����%� 6:!���� � &����� 6:!����
=
010
101
010
A
�7 4���� �&�/ ���& #�����%� 6:!����A2.
)11( &����� 6:!���� ���&�� �&�/6����� #������ 6:!���� �.
)12( �)����� *� �&�/ �� 6+���� �E� #�<����)1( >�&� -���� #5!�+ �������.
)13( �� 6+���� �������� #��� �&�/ �E� #�<����)2 (#!���� �!%���� �������.
)14( #5!�+ ������ -���� �� 6+���� �)����� 4� B/ 4!� >�&� �E� #�<����)3 ( 4�2�%�E #
*��� �� �&�/ �7 *�%�.
)15( � >!� �)����� D� 4/ 4!� �/ #!���� �)����� *� �&�/ >�&� -���� #5!�+ ������
*�:
a. x + 2y – z = –1, 2x + 6y + z = 7, 5x + 7y – 4z = 9.
b. x + 3y – 2z = –7, 4x + y + 3z = 5, 2x – 5y + 7z = 19.
c. y + z – w = 4, x + 3y + 5z – w = 1,
x + 2y + 5z – 4w = –2, x + 4y + 6z – 2w = 6.
)16( #!R!�!2�� #������ �����
x1 C2H6 + x2 O2 → x3 CO2 + x4 H2O
)/ ( ���� �)����� #���&� �2� #������ ���+ �� #�%����� ������ 4� ������ ��� 6�����
*! &��� 55�� 4/ &!x1, x2, x3, x4 ������ 4�:�� ��� B�N� �����#!R!�!2�� #.
161
) ( 4/ 4!� 0��/ #5!�+ B/ �/ >�&� -���� #5!�+ ������� �%�� ���� �)����� #���&�
!%� ��)/ (*�%��� 4� �R � ) ��� � .P#!R!�!2�� #������ 4�:�� # & 4� =�� �����
)" ( #�!�� �!E �F�/ �&�/ #�&��*! &�%� x1, x2, x3, x4 �:�� ��� B�N� ������� 4� #���
#!R!�!2��.
)17( 6����� �%� #7�7�� #&���� 4� ���� 6�!72 4!!�� �%+���
p(x) = a x3 + b x
2 + c x + d
I?7�� +5��� ��� I!��(1, –3), (–1, –7), (2, –1), (–2, –21) . ���� �)����� #���&� �2�
�?����� 55�� 4/ &!a, b, c, d &� -���� #5!�+ ������ �7�?����� D� �!E 4!!��� >�.
162
162
163
�������� �� � ���� �����
������ �������
�������� � .����� ��� ����
� . ��� !�"���� #��$
164
164
���� ������ % � �����&���� �����
)1 ()3x(
4
3
)1x(
4
1
3x2x
x2 +
+−
=−+
)2 ()1xx(
3
5
3
x
)1x(
3
1
13x
2x2 ++
+
+−
−
=−
−
)3( 1x2x
1x
x
1
xxx
123
++
−−+=
++
)4 (3x
8
1
1x
4
1
1x
8
3
3xx33x
2x
2 +
−
++
−
+−
=−−+
+
)5(1x3
1
1x2
1
1xx6
2x2 +
−−
=−−
+
)6( 1xx
1
1x7
4
1x6x6x7
3x11x4223
2
+++
−=
−++
++
)7 (2x
2
1
1x
1
x
2
1
x2x3x
123 −
+−
−+
=+−
)8 (22 )1x(
2
1x
1
1x
1
)1x)(1x(
x4
++
+
−+
−=
+−
)9 (2)2x(
5
2x
6
2)2x(
7x6
+
−+
+=
+
+
)10 (1x
26
1x
26
5
5x
26
125
15x2x53x
x2
3
+
−
+−
+=−+−
)11( 3x
2
9
1x
2
3
x3x42x
2x43x
+
−
++
+=++
+
)12 (1x
1x2
)1x(
1
1x
2)1x(
1x22x23x24x
5x34x5x22 +
++
−+
−
−++=
+−+−
+−−
165
)13 (3x2x
x
5x
1
15x72x33x
3x72 ++
−−
=−−−
+
)14 (4x2x
12
5x
6
1
2x
24
1
x
8
1
x84x
1x2 +−
+−
++
+
=+
+
)15 (1x
1x2
)1x(
1
1x
2
2)1x)(12x(
4x222 +
++
−+
−
−=
−+
+−
)16 (2x
2
1x
1
1x
12 +
−+
−−
)17( 1x
5
)1x(
2
1x
52 +
−−
−−
)18 (2xx
1x
1x
1
2x32x23x
1x2 +−
+−+
−=
−+−
+
)19 (8x3x2
x2
1x
1
8x52x3x2
8x52 ++
−−
=−++
+
)20 (1x
1
x
1x
)1x(x
1xxxx22
234
++
−+=
+
−−++
)21 (6x
6
5x
3
2
x
6
5
x
3
2
)62x(2x
5x422 +
−
−
+
+
=+
+
)22 (3x
2
1
1x
2
3
3x4x
4x2224
2
+
−
++
=++
+
)23 (13x
5
6x
5
1
3x
5
1x
5
1
)132x)(32x(
2)1x(22 +
+
++
−
−
=++
−
)24 (3x
3
2x
6
1x
3
)3x)(2x)(1x(
6222222 +
++
−+
+=
+++
)25 (1x
x
x
1
x
1
)12x(3x
123 +
++−
=+
)26 (4x
2
2x
4/5
2x
4/5
16x
12x724
2
++
+−
−=
−
+
166
166
)27 (1x
)2/1(x)2/1(
1x
2/1
)1x()1x(
x22
2
+
−+
+=
++
�'(�� ������– �������� ��* ����+'
(1) 2401 + 6860 x2 + 7350 x
4 + 3500 x
6 + 625 x
8
(2) 53
35
x
1
32
1
x
1
16
15
x
1
4
45x
2
135x
2
405x 243 +++++
(3) 1 + 12 x + 60 x2 + 160 x
3 + 240 x
4 + 192 x
5 + 64 x
6
(4) – 70
C25 (3)45
(5)25
(5) –270
(6) 9x9,648
x
54
x
3
1 2
<<−++
(7) 5x5,x30x75125 42 <<−−−−
(8) 2x2 , x2256
35x
264
15x
28
3
22
1 32 <<−+−−−− L
(9) (a) 3
1x
3
1 , x
16
27x
8
9x
2
31 32 <<−++−+ L
(b) 1 + 11 x + 72 x2 + 378 x
3 + … ,
3
1x
3
1<<−
(10) rr
3
1
9
1r
3
1)1r(
9
1
+=
+ , –3 < x < 3
(11) 1r,3
1
27
2r5,3x3,x
27
4x
27
7
9
21r
2 ≥
+<<−++
−
(12) 11
2
2
11,1x1,
5
x5
2
x3
2
1+−<<−−+−
(13) 2
1x
2
1 ,
5
12
11
1r
r <<−
−+−
(14) r
r
2
1)1(3 −−+
(15)
−−<<−−+−
+1r
r32
2
11)1(,1x1,
16
x15
8
x7
4
x3
2
1
(16) ,2x2,16
x
16
x
4
1 64
<<−+−
1r,2
r1)1(
4
1
2
r)1(
2
1r)1(
4
1r
r
1r
1r
r
r ≥
−−=
−+
+−
−
−
(17) 4.021, 208480. , 0.906
167
,�(�� ������– �������-�./��
(1) (a) 5 A − 3 B + 4 C =
−
−−
5919
365
(b) A Bt + B A
t =
−
−
360
02
(2) (a) 3 A − 2 C + Bt =
−−
−
1071
7172
(b) A B − 2 C B =
− 33
213
(3) (A B) C = A (B C) =
42
91
(4) (A B) C = A (B C) =
−
−
−−
327457
27902156
2127821
(5) A B =
−
−
67
17, B A =
−13
112,
A B ≠ B A ����� ��� �� �� ��������� ��� �� ��
(6) A = [ ]12
(7) A = [ ]121−
(8) A At = A
t A = I
A−1
= At =
−−
−
122
212
221
3
1
(10) A = P + Q
P = 0.5 (A + At) =
65.02
5.041
212
Q = 0.5 (A − At) =
−
−
−
05.03
5.002
320
(11) |A| = 33, |2 A| = 264 = 23 |A|
168
168
������ ������� �� ���� ������� ��� �!A "���� #� ������n × n $ %�&� �'�'� ��� (k #� �
|k A| = kn |A|.
(12) |A| = 0, r1 = r2
|B| = 0, r2 = −r1
|C| = 0, r3 = r1 + r2
(13) |A B| = −99, |A| = 33, |B| = −3
(14) B = A + At
Bt = (A + A
t)t = A
t + (A
t)t = A
t + A = A + A
t = B
#� � *������ B "+ � ,-���� � -���� ������*��-�� .
(15) B = A At
Bt = (A A
t)t = (A
t)t A
t = A A
t = B
#� � *������ B *��-�� ."+ � ,-���� � -���� ������
(16) (A B C)t = [(A B) C]
t = C
t (A B)
t = C
t (B
tA
t) = C
t B
tA
t
(17) A B2 = A B B = (A B) B = (B A) B
= B A B = B (A B) = B (B A) = B2 A
A B3 = A B
2 B = (A B
2) B = (B
2 A) B
= B2 A B = B
2 (A B) = B
2 (B A) = B
3 A
/�000� 1����000�� 2000 � �000���� 1�000��� *000������ ��000-3�� �000 $� 1�000' � �00045��� ��000� ��000- #000 �� ,000-����
*������ 6�����7�.
(18) 14� ��8�� � %�9� ��-3�)17 ( � �� ��8���� :!; <��� %�� 1������*
(A B)2 = (A B) (A B) = A (B A) B
= A (A B) B = (A A) (B B) = A2 B
2
(A B)3 = (A B)
2 (A B) = A
2 B
2 (A B) = A
2 (B
2 A) B
= A2 (A B
2) B = (A
2 A) (B
2 B) = A
3 B
3
(19)
−
−
−−
=−
568
6710
345
A 1
−=−
14
35
17
1B
1
169
−−−
−−
=−
524
712
141
9
1C 1
��������D �� #$ =� �� �>� =|D| = 0
��������E #$ =� �� �>� =��|E| = 0 #$r3 = −r1
−
−−
−
=−
232
112
121
F 1
(20) A A—1
= I ⇒ |A A—1
| = |I| ⇒ |A| × |A—1
| = 1 ⇒ |A—1
| = 1/|A| = |A|—1
(21) A—1
= (1/|A|) adj A
⇒ adj A = |A| A—1
⇒ |adj A| = | |A| A—1
|
= |A|n |A
—1|
= |A|n |A|
—1
= |A|n—1
(22)
1
12
tan
2tan1
12
tan
2tan1
−
θ−
θ
×
θ
θ−
=
θ
θ−
×
θ
θ−
θ+ 1
2tan
2tan1
12
tan
2tan1
2tan1
1
2
=
θ−
θ
θ−
θ−θ
2tan1
2tan2
2tan2
2tan1
2cos
2
2
2
=
θ−
θθθ
θθ−
θ−
θ
2sin
2cos
2cos
2sin2
2cos
2sin2
2sin
2cos
22
22
=
θθ
θ−θ
cossin
sincos
(23) (A B C)—1
= [(A B) C] —1
= C—1
(A B)—1
= C—1
(B—1
A—1
) = C—1
B—1
A—1
170
170
(24) (A + B) [A—1
(I + B A—1
)—1
] = [(A + B) A—1
] (I + B A—1
)—1
= (I + B A—1
) (I + B A—1
)—1
= I
,-����
[A—1
(I + B A—1
)—1
] (A + B) = [(I + B A—1
) A]—1
(A + B)
= (A + B)—1
(A + B) = I
(25)
1�4�$� �!+ @����� � -��� �'��A @��������� �������� �!+ A 8 B��/ ���� ������ %�B #�
�45��� �'�� "���� =��B2 = A .C��� #D��
==
wz
yxBA
#� � *������
++
++=
=
2
22
wyzwzxz
ywxyyzx
wz
yx
44
44
�7������ 2 � ,����
x2 + y z = 4, x y + y w = 4, x z + w z = 4, y z + w
2 = 4
2 � ,��� �7������ :!; ,��
2wzyx ====
#� ��
=
22
22A .
(26) a. 3 b. 1
(27) 3
171
����� ������– �������0�� �1�2��
(1) (a) x = 1, y = 2, z = 3
(b) x = 1, y = 2, z = 2
(c) x = 1, y = –1 , z = 1
(2) (a) ρ(A) = 2 (b) ρ(B) = 2 (c) ρ(C) = 2
(d) ρ(D) = 2 (e) ρ(E) = 3
(3) (a) ,� �>� =��
(b) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���
x = 2t, y = 4t, z = t
(c) ,� �>� =��
(d) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���
x = t, y = 0, z = 2t, u = –2 t
(e) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���
x = (6 – 12t)/7, y = (11t – 2)/21 , z = t
(f) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���
x = –11t/7, y = –t/7, z = t
(g) E����� 2 � ,� ��� #� *F�>�7 ���
x = 2 + 7t, y = –5 – 10t, z = t
(h) ���� ,�
x = –1 , y =4, z = 4
(4) k =1, – 2
(5) k = 1/3 (,� ��� #� *F�>�7 ���)
k ≠ 1/3 (���� ,�)
(6) |A| = 0 ⇒ k3 – 3 k
2 – 15 k – 18 = 0
⇒ (k – 6)(k2 + 3 k + 3) = 0 ⇒ k = 6
172
172
(7) k = 1 ⇒ x = 1 + 2t, y = –3t, z = t
k = 2 ⇒ x = 2t, y = 1 – 3t, z = t
(8) ρ(A3×3) = 3 ⇒ |A| ≠ 0, ρ(B3×3) = 3 ⇒ |B| ≠ 0
|A| ≠ 0 , |B| ≠ 0 ⇒ |A B| ≠ 0 ⇒ ρ((AB)3×3) = 3
(9) λ1 = 1, X1 =
0
0
1
t1, λ2 = 2, X2 =
−
0
1
1
t2, λ3 = 3, X3 =
−
2
2
1
t3
(10) A: λ1 = 2− , X1 =
−
1
2
1
t1, λ2 = 2 , X2 =
1
2
1
t2, λ3 = 0, X3 =
−
1
0
1
t3
A2: λ1 = 2, λ2 = 2, λ3 = 0
(11)
G����� ������ �; "����� �!+��H %+�� (/�) "���� #�n×1 ("��� %+�� �;.
(15) a. x = 10, y = –3, z = 5
b. x = 2 – t, y = –3 + t, z = t
c. ,� �>� =��
(16) a. 2 x1 = x3, 6 x1 = 2 x4, 2 x2 = 2 x3 + x4
b. x1 = 2 x2 = 7 x3 = 4 x4 = 6
(17) a + b + c + d = –3,
–a + b – c + d = –7,
8a + 4b + 2c + d = –1,
– 8a + 4b – 2c + d = –21