第 6 课时　几何概型

高三数学（理）第十章第 6 课时

高考调研 · 新课标高考总复习

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第 6 课时　几何概型

1 ．了解几何概型的意义．

2 ．了解日常生活中的几何概型 .

纵观近几年高考涉及几何概型的考查内容特点是与实际生活密切相关，这就要求抓好破势训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷 .

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请注意！



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1 ．几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 ( 面积或体积 )

成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．

2 ．几何概型中

事件 A的概率计算公式 P(A) ＝构成事件 A的区域长度 ( 面积或体积 ),

试验的全部结果所构成的区域长度 ( 面积或体积 ) .

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3．要切实理解掌握几何概型试验的两个基本特点：

(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；

(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．

4．几何概型的试验中

事件 A的概率 P(A)只与子区域 A的几何度量 (长度、面积和体积 )

成正比，而与 A的位置和形状无关．

5．求试验中几何概型的概率

关键是求得事件所占区域和整个区域 Ω的几何度量，然后代入公式

即可求解．



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1．在区间 [1 ,3 ]上任取一数，则这个数大于等于 1.5 的概率

( )

A． 0.2 5 B． 0.5

C． 0.6 D． 0 .7 5

解析本题为几何概型问题，在 [1.5 ,3 ]内任取一数，则此数大

于等于 1.5，因此所求此数大于等于 1.5的概率

P＝区间 [1 .5， 3]长度区间 [1， 3]长度

＝1 .52＝

34＝ 0.7 5 .

答案　 D



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2．某路公共汽车每 5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时

刻是随机的，则他候车时间不超过 3分钟的概率是 ( )

A .35 B .

45

C .25 D .

15

解析此题可以看成向区间 [0,5 ]内均匀投点，设 A＝ {某乘客

候车时间不超过 3分钟 }．

则 P (A )＝区间 [2， 5]的长度区间 [0， 5]的长度

＝35

.

答案　 A



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3 .如图所示，在一个边长为 a，b (a >b> 0 )的矩形内画一个梯形，

梯形上、下底分别为13a 与

12a，高为 b .向该矩形内随机投一点，则

所投的点落在梯形内部的概率为 ___ _ _ _ _ _．

解析 P＝

12a2＋a3b

ab ＝5

1 2.

答案 5

1 2



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4． (0 9 ·福建 )点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点．若在

该圆周上随机取一点 B，则劣弧 A B 的长度小于 1 的概率为

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _．

解析设事件 M 为“ 劣弧 A B 的长度小于 1” ，则满足事件

M 的点 B 可以在定点 A 的两侧与定点 A 构成的弧长小于 1的弧

上随机取一点，由几何概型的概率公式得： P (M )＝23

.

答案 23



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5 .如图所示在直角

坐标系内，射线 OT 落在

3 0 °角的终边上，任作一

条射线 OA，则射线 OA

落在∠ yOT 内的概率为

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _．

解析如题图，视射

线 OA在坐标系内是等可

能分布的，则 OA 落在 ∠

yOT 内的概率为6 0

3 6 0＝

16

.

答案 16



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例 1 (2 0 1 0 ·湖南卷，理 )在区间 [－ 1,2 ]上随机取一个数 x，则

|x |≤ 1 的概率为 ___ _ _ _ _ _．

【解析】由 |x |≤ 1 得，－ 1≤ x≤ 1，故易知所求概率为

1－－ 12－－ 1

＝23

.

题型一与长度有关的几何概型题型一与长度有关的几何概型

【答案】 23



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思考题 1 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个

点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接的等边三角形边长的概

率是 ________．

【解析】记事件 A 为 “ 弦长超过圆内接等边三角形的边

长 ” ，如图，不妨在过等边三角形 BCD的顶点 B的直径 BE上任

取一点 F作垂直于直径的弦，当弦为 CD时，就是等边三角形的边

长，弦长大于 CD的充要条件是圆心 O到弦的距离小于 OF，而 OF

＝ OC· si n30° ＝12，由几何概型公式得： P(A)＝

12× 2

2＝

12.

【答案】 12



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题型二与面积有关的几何概型题型二与面积有关的几何概型

例 2 (1 )(2 0 11 ·山东滨州一模 )在区域

x＋ y－ 2≤ 0

x－ y＋ 2≥ 0

y≥ 0

内任

取一点 P，则点 P 落在单位圆 x 2＋ y 2＝ 1 内的概率为 ( )

A .π2 B .

π8

C .π6

D .π4



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【解析】区域为△ ABC 内部(含边界)，则概率

为 P＝S半圆

S△ A B C＝

π

2

1

2× 2 2× 2

＝π

4，故选 D.

【答案】　 D



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(2)两人约定在 20： 00到 21： 00之间相见，并且先到者必须等迟到者 40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在 20： 00至 21： 00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．



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【思路分析】两人不论谁先到都要等迟到者 40分

钟，即23小时．设两人分别于 x时和 y时到达约见地点，

要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当－23≤ x－

y≤23，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．



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两人到达约见地点所有时刻 (x， y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内 (包括边界 )的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 (x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分 (包括边界 )来表示．

因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为

【解析】设两人分别于 x时和 y时到达约见地点，

要使两人能在约定时间范围内相见，

当且仅当－23≤ x－ y≤

23

.

P＝S 阴影

S 单位正方形＝

1－ 132

1 2 ＝89 .



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探究 1　 (1)“面积比”是几何概率的一种重要概型，既有实际面积比也有可转化为面积比的问题．

(2)会面的问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型，难点是把两个时间分别为 x、 y表示，构成平面内的点 (x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概型问题．



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思考题 2 (1)在边长为 2的正三角形 ABC内任取一点 P，

则使点 P到三个顶点的距离至少有一个小于 1的概率是 ___ _．

【解析】以 A、 B、 C为圆心，以 1为半径作圆，与△ ABC

交出三个扇形，

当 P落在其内时符合要求．

∴ P＝3×

12×

π3

× 12

34

× 22

＝3π6

.

【答案】

3π6



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( 2 )在区间 (0 ,1 )上随机抽取两个数 m、n，求关于 x的一元二次方程 x2－ n

x＋ m＝ 0 有实根的概率．

【解析】如图所示，在平面直角坐标系中，以 m、 n分别表示横、纵坐

标，因为 m、 n是 ( 0 ,1 )内的任意值，与图中正方形内的点一一对应．即正方形

内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件 A 表示方程 x2－ nx＋ m＝ 0 有

实根，则事件 A＝

m、n

n－ 4m≥ 0

0 <m < 1

0 < n< 1

所对应的区域为图中的阴影部分，面积为18

.

∴ 由几何概型 P (A )＝S阴影S正方形

＝18

.

∴ 一元二次方程 x2－ nx＋ m＝ 0 有实根的概率为18

.



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例 3 (2 0 11 ·山东临沂一中期末 )已知正三棱锥 S－ ABC 的底面边长为

4，高为 3，在正三棱锥内任取一点 P，使得 VP－ AB C <12V S－ AB C的概率是 ( )

A .78 B .

34

C .12 D .

14

【解析】当 P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合

要求，由内何概型知， P＝ 1－18＝

78，故选 A .

【答案】　 A



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思考题 3 　 (2010· 福建卷，文 ) 如图，在长方体 ABCD － A1B1C1D1

中， E， H分别是棱 A1B1 ， D1C1 上的点 ( 点 E与 B1 不重合 ) ，且 E

H∥A1D1. 过 EH的平面与棱 BB1 ， CC1 相交，交点分别为 F， G.

设 AB ＝ 2AA1 ＝ 2a ，在长方体 ABCD － A1B1C1D1 内随机选取一点，

记该点取自几何体 A1ABFE－ D1DCGH内的概率为 p. 当点 E， F分

别在棱 A1B1 ， B1B上运动且满足 EF＝ a，求 p的最小值．



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【解析】解法一设 BC＝ b，则长方体 ABCD－

A 1B 1C 1D 1的体积 V＝ AB ·BC ·AA 1＝ 2a2b，

几何体 EB 1F－ HC 1G 的体积 V1＝ (12EB 1 ·B 1F ) ·B 1C1＝

b2

EB 1 ·B 1F .∵ EB 21＋ B1F

2＝ a2，

∴ EB 1·B 1F≤EB 2

1＋ B1F2

2 ＝a 2

2 ，当且仅当 EB 1＝ B1F＝2

2 a

时等号成立．从而 V1≤a 2b

4 .

∴ p＝ 1－V 1

V ≥ 1－

a 2b4

2a 2b＝78，当且仅当 EB1＝ B1F＝

22 a 时

等号成立．所以 p 的最小值等于78 .



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解法二设 BC＝ b，则长方体 ABCD－ A 1B 1C 1D 1的体积

V＝ AB ·BC ·AA 1＝ 2a 2b，

几何体 EB 1F－ H C 1G 的体积

V 1＝ (12EB 1·B 1F )·B 1C 1＝

b2EB 1·B 1F .

设∠ B 1EF＝ θ (0 °≤θ< 9 0 °)，则 EB 1＝ a co s θ， B 1F＝ a s in θ .

故 EB 1·B 1F＝ a 2s in θ co s θ＝a 2

2s in 2θ≤

a 2

2，当且仅当 sin 2θ＝ 1，

即 θ＝ 45 °时等号成立．

从而 V 1≤a 2b4

.

∴ p＝ 1－V 1

V ≥ 1－

a 2b4

2a 2b＝

78，当且仅当 sin 2θ＝ 1，即 θ＝ 45 °时

等号成立．

所以 p 的最小值等于78

.



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例 4 　在 Rt△ABC 中，∠ A ＝ 30° ，过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB于M，求使 |AM|>|AC| 的概率．

【思路分析】　

如图所示，在 AB上取点 C′，使 |AC′|＝ |AC|，因为过一点作射线是均匀的，因而应把在∠ ACB内作射线 CM看做是等可能的，基本事件是射线 CM落在∠ ACB内任一处，使 |AM|>|AC|的概率只与∠ BC

C′的大小有关，这符合几何概型的条件．

题型四与角度有关的几何概型题型四与角度有关的几何概型



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【解析】设 A为 | AM| >| AC|的事件．

在 AB上取点 C′ ，使 | AC′ |＝ | AC|

∵ ∠ A＝ 30°

∴ ∠ ACC′ ＝ 75° ，∠ ACB＝ 90° ，∠ BCC′

＝ 15°

当 CM在∠ BCC′ 内即符合条件．

∴ P(A)＝15°90°

＝16.



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思考题 4 　已知等腰 Rt△ABC中，∠ C＝ 90°.

(1) 在线段 BC 上任取一点 M ，求使∠ CAM<30° 的概率；

(2) 在∠ CAB 内任作射线 AM ，求使∠ CAM<30° 的概率．



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【解析】 (1)设 CM＝ x，则 0<x<a， (不妨设

BC＝ a)．

若∠ CAM<30° ，则 0<x<33

a，

故∠ CAM<30° 的概率为

P(A)＝区间 0，

33

a 的长度

区间 0， a 的长度＝33

.

(2)设∠ CAM＝ θ ，则 0° <θ <45° .

故 ∠ CAM <30° 的概率为 P(B) ＝

0° ， 30° 的长度 0° ， 45° 的长度＝

23.



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1 ．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果在一个区域内的分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．

2 ．几何概型的“约会问题”已经是程序化的方式与技巧，必须熟练掌握．

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课时作业（六十）

第 6 课时 几何概型

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