第 7 章

行 列 式

A 矩陣的行列式以det(A) 或 |A| 表示

det(A) 或 |A| 表示一個數值，它可能為正，為負或為 0.

22 矩陣的行列式

33

24+ )3(4− )3(2 6

711

612

340

+−

)7)(1(0 )3)(1(2 )1)(6)(4( )1)(1(3

)1)(6(0 )7)(2)(4(

56032460

29

33 矩陣的行列式

餘因子展開子行列式 (Minor)

若 A 為 nn 矩陣， aij 的子行列式表為Mij ，它是 A 中去掉第 i 列第 j 行所得的(n-1)(n-1) 階矩陣的行列式。餘因子 (Cofactor)

(−1)i+j Mij 稱為 aij 的餘因子 .

利用列的餘因子展開求行列式

若 A 為 nn 矩陣，則對任意整數 i ， 1 ≤ i ≤ n ，

n

jijij

ji Ma1

)1(A

第 i 列的餘因子展開式

44 矩陣的行列式

3225

1432

5612

2340

選某一列展開：例如以第 2 列展開

)2( )1(

)6(

322

143

234

325

142

230

325

132

240

)5(225

432

340

利用行的餘因子展開式求行列式

若 A 為 nn 矩陣，則對任意整數 j ， 1 ≤ j ≤ n ，

n

iijij

ji Ma1

)1(A

第 j 行的餘因子展開式

44 矩陣的行列式

3225

1432

5612

2340

選某一行展開：例如以第 1 行展開

)0( )2(

)2(

322

143

561

322

143

234

322

561

234

)5(

143

561

234

排列分為奇排列與偶排列

說明如下考慮 1, 2, 3, 4, 5 的一種排列 2, 5, 1, 4, 3

問題： 2, 5, 1, 4, 3 的排列順序須經 過幾次相鄰位置的交換，才 能變回 1, 2, 3, 4, 5 之順序？

2, 5, 1, 4, 3

→ 1, 2, 5, 4, 3

→ 1, 2, 5, 3, 4

→ 1, 2, 3, 4, 5

→ 2, 1, 5, 4, 3

→ 1, 2, 3, 5, 4

5 次交換 奇排列

從 2, 5, 1, 4, 3 排列中的每一個數字 k ，數算在其右邊較 k 小的個數，再加總起來，即可判定為奇排列或偶排列。

2, 5, 1, 4, 3 ：1+3+0+1+0 = 5

3, 1, 4, 5, 2 ：2+0+1+1+0 = 4

→奇排列

→偶排列

若 p 為一排列，定義

為奇排列為偶排列

p

pp

, 1

, 0)sgn(

令 p = 排列 2, 5, 1, 4, 3

則 p(1)=2, p(2)=5, p(3)=1 p(4)=4, p(5)=3

若 A 為 nn 矩陣，則 A 的行列式等於下列乘積的總和

(−1)sgn(p)a1p(1)a2p(2) anp(n)

p 為 1,2, , n 的所有排列，即

|A| =Σ(−1)sgn(p)a1p(1)a2p(2) anp(n)

p

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

1,2,3 的排列共有 6 種： (1,2,3),(1,3,2),

(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1), 其排列分別為 偶 , 奇 , 奇 , 偶 , 偶 , 奇

332112 aaa

322113 aaa

332211 aaa 322311 aaa

312312 aaa

312213 aaa

行列式的性質1. 展開的每一項一定從每列僅取 一個元素，同時也從每行僅取 一個元素。

2. 若有零列或零行，行列式必等 於 0 。

3. 經列運算或行運算後，若可造 成零列或零行，行列式必等於 0 。

4. 某一列或某一行乘以一常數 k ， 則行列式將變成原來的 k 倍。5. 若將某兩列交換或某兩行交換， 則行列式的值將變更正負號。6. 以某一列 ( 行 ) 的純量倍加到另一 列 ( 行 ) 則行列式的值不變 .

7. 設 A 與 B 均為 nn 階矩陣，則 | AB | = |A| |B|

7.5 習 題

1.3.5.9.

反矩陣的行列式表法

設 A 為 nn 階非奇異矩陣 ( 即 |A|≠0) ，定義另一 nn 階矩陣 B 如下

jiji

ij Mb )1(1

A

則 B =A−1.

592

336

142

A設

A 則

)9)(3)(2(5)4(6)(1(3)(2)

)9)(6(1)2)(3(4)5)(3)(2(

541206

542430

120

令 B =A−1.

592

336

142

120

12

59

33

120

)1( 11

11

b

120

24

52

36

120

)1( 12

21

b

120

48

92

36

120

)1( 13

31

b

　 　　　 　 　

　 　　　 　 　

　 　　　 　 　

120

112

24

48

592

336

142

120

29

59

14

120

)1( 21

12

b

120

8

52

12

120

)1( 22

22

b

120

26

92

42

120

)1( 23

32

b

　 　　　 　 　

　 　　　 　 　

　 　　　 　 　

120

112

24

48

29

8

26

592

336

142

120

15

33

14

120

)1( 31

13

b

036

12

120

)1( 32

23

b

120

30

36

42

120

)1( 33

33

b

　 　　　 　 　

　 　　　 　 　

　 　　　 　 　

120

112

24

48

29

8

26

15

030

7.7 習 題

3.5.

克蘭姆法則 (Cramer’s rule)

利用行列式法求解方程組 AX = B ，其中 A 為 nn 階非奇異矩陣 .

設 A 為 nn 階非奇異矩陣，則 AX=B的唯一解為

nx

x

x

2

1

X ，其中A

BA )( ；kxk

而 A(k ； B) 為 A 中第 k 行以 B 替代後所得的矩陣 .

nb

b

b

2

1

B 設

證明

A

A

k

k

x

kx

　矩陣之行列式為

行所形成的　中第乘以　　且以

nnknknn

nkk

nkk

k

axaaa

axaaa

axaaa

x

21

222221

111211

A

x1

x2 xn

再將每一第 j 行 ( j≠k ) 乘以 xj 後加於第 k 行，如此並不影響行列式值

nnnnnnnnn

nnn

nnn

axaxaxaaa

axaxaxaaa

axaxaxaaa

221121

222221212221

112121111211

nnnnn

n

n

abaa

abaa

abaa

21

222221

111211

Akx

)( BA ；k

)( BAA ；kxk 即

A

BA )(

；kxk

53

143

143

32

321

321

xx

xxx

xxx試解方程組：

310

311

431

令解：

)9(

)3(0

403

13

53

143

143

32

321

321

xx

xxx

xxx

117

315

3114

431

1

10

350

3141

411

2

25

510

1411

131

3

13

117 1

x

13

102

x

13

253

x

7.8 習 題

2.4.8.