第三章 矩阵 -...
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49
第三章 矩阵
§1 矩阵的概念
定义 1.1.3 由 mn 个数 njmiaij 1,1 ，排成 m 个横行 n 个竖列的数表
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
，
称为 m 行 n 列矩阵或 nm 矩阵，简称矩阵。
特别地，当矩阵的行数与列数相等均为 n 时，则该矩阵称为 n 阶方阵或方阵。
矩阵一般用英文大写字母 ,,, CBA 表示，或简记为 nmijnm aA )(, 等。
注意 矩阵与行列式的区别，矩阵是一张表，行列式是一个数。
定义 2.1.3 设 klijnmij bBaA )(,)( ，若 knlm , ，则 A 与 B 称为同型矩
阵；进一步，若 njmiba ijij 1,1 ，则称 A 与 B 相等，记作 BA 。
常见的特殊矩阵
(1)零矩阵 元素全为0 的 nm 矩阵，记作 nmO 或O 。
(2)单位矩阵 主对角线上元素全为1，其余元素全为 0 的 n 阶方阵，记作 nE 或
E 。
(3)对角矩阵 除了主对角线上元素外，其余元素全为0 的n 阶方阵。
(4)数量矩阵 主对角线上元素全为a ，其余元素全为 0 的n 阶方阵。
(5)阶梯形矩阵 矩阵的零行(若有的话)出现在矩阵的 后几行，矩阵的非零行
中第一个非零数前面的 0 的个数自上而下逐行增加的 nm 矩阵。
(6)简化阶梯形矩阵 矩阵的非零行中第一个非零数全为1，且非零行中第一个1
所在的列的其余元素全为 0 的阶梯形矩阵。
50
§2 矩阵的运算
一、加法
定义 1.2.3 设 ,)( nmijaA nmijbB )( ，称 nmijij ba )( 为 BA, 的和，记作 BA 。
性质 1.2.3 设 CBA ,, 均为 nm 矩阵，则
（1）（交换律） ABBA ；
（2）（结合律） )()( CBACBA ；
（3） AOA nm 。
二、数乘
定义 2.2.3 设 nmijaA )( ， k 为一个数，称 nmijka )( 为 k 和 A 的乘法，简称数
乘，记作 kA。
性质 2.2.3 设 BA, 均为 nm 矩阵， lk, 均为数，则
（1） lAkAAlk ；
（2） kBkABAk ；
（3） AkllAk ；
（4） AA 1 。
注 设 BA, 均为 nm 矩阵，称 B)1( 为 B 的负矩阵，记作 B ；称 )( BA 为
BA, 的差，记作 BA ，即 )( BABA 。
三、乘法
定义 3.2.3 设 ,)( kmijaA ,)( nkijbB 令 ,)( nmijcC 其中 ,1
lj
k
lilij bac
),,2,1,,,2,1( njmi ，则称C 为 BA, 的积，记作 ABC 。
定义分析
51
（1）要使 AB 有意义必须 A 的列数与 B 的行数相等；
（2）设 )( ijcABC ，则C 的行数就是 A 的行数，C 的列数就是 B 的列数，
且 ijc 为 A 的第 i 行元素与 B 的第 j 列对应元素乘积之和。
例 1.2.3 设
4
1
2
,521 ，计算： 和 。
解 20)20(
4
1
2
521
，
2084
521
1042
521
4
1
2
性质 3.2.3 设 CBA ,, 分别为 nttssm ,, 矩阵， k 是一个数，则
（1）（结合律） )()( BCACAB ；
（2） ACABCBA )( ， BCACCBA )( ；
（3） )()()( ABkkBABkA ；
（4） AAEAE sm ； vmvssumu OAOOAO , 。
注意
（1）矩阵乘法不满足交换律，即一般 BAAB ；
反例：设
11
10,
10
11BA ，则
11
01AB ，
01
10BA ，
故 BAAB 。
（2）存在零因子，即 OBOA , ，有可能 OAB ；
反例：设 OBOA
10
00,
00
01，但 OAB
00
00。
（3）矩阵乘法不满足消去律，即若 OAACAB , ，则一般 CB 。
52
反例：设
01
00,
10
00,
00
01CBOA ，则 ACAB
00
00，但
CB 。
四、矩阵的方幂与矩阵多项式
定义 4.2.3 设 A 是方阵， k 是正整数，规定：
AAAAAAEA k ,, 1 （即 k 个 A 连乘）。
设 mmm axaxaxf 1
10)( 为多项式，则称矩阵 AaAaAa mmm 1
10
为矩阵 A 的多项式，记作 )(Af 。
性质 4.2.3 设 A 是方阵， lk, 是非负整数， )(),( xgxf 是两个多项式，则
（1） kllklklk AAAAA )(, ；
（2）设 )()()( xgxfx ， )()()( xgxfx ，则
)()()( AgAfA )()()( AgAfA ；
（3） )()()()( AfAgAgAf 。
注意
（1）若 A 不是方阵，则 kA 无意义；
（2） kkk BAAB )( 不一定成立；
（3）即使 BA, 是同阶方阵，下列等式一般也不成立：
))((22 BABABA ；
222 2)( BABABA 等等。
思考题 两个同阶方阵 BA, 满足什么条件时，上述等式成立。
例 2.2.3 设
011
213
112
A ， 1)( 2 f ，求 )(Af 。
解 EAAAf 2)(
53
100
010
001
011
213
112
011
213
1122
212
307
315
。
五、转置
定义 5.2.3 设 nmijaA )( 为 m 行 n 列矩阵，称 n 行 m 列矩阵 mnjia )( 为 A 的转置
矩阵，记作 A或 TA 。
性质 5.2.3
（1） AA TT )( ；
（2） TTT BABA )( ；
（3） TT kAkA )( ；
（4） TTT ABAB )( 。
只证性质（4）：设 ,)( kmijaA ,)( nkijbB ，显然 TAB)( 与 TT AB 均为 mn 矩
阵；
TAB)( 中第 i 行第 j 列元素
AB 中第 j 行第 i 列元素
A 的第 j 行元素与 B 的第 i 列元素对应乘积之和
B 的第 i 列元素与 A 的第 j 行元素对应乘积之和
TB 的第 i 行元素与 TA 的第 j 列元素对应乘积之和
TT AB 中第 i 行第 j 列元素，
故 TTT ABAB )( 。
六、方阵行列式
54
定义 6.2.3 设 nijaA )( 为 n 阶方阵，则称 n 阶行列式nija 为 A 的行列式，记作
A 。
性质 6.2.3 设 BA, 均为 n 阶方阵， k 为一个数，则
（1） AAT ；
（2） AkkA n ；
（3） BAAB 。
§3 矩阵的秩与矩阵的初等变换
一、矩阵的秩
问题 1 什么叫做矩阵的秩？
定义 1.3.3 在一个 nm 矩阵 A 中任意选定 k 行和 k 列，位于这些选定的行和列
的交叉点上的 2k 个元素按原来的次序所组成的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子
式。
注（1）设 A 为 nm 矩阵， A 有一个 k 阶子式，则 ),min( nmk ；
（2）若矩阵 A 有一个 k 阶子式，则 A 的 k 阶子式不一定唯一；
（3）若 A 是 n 阶矩阵，则 A 的 n 阶子式只有一个，即 A ；
（4）矩阵 A 的每一个元素都可视为 A 的一阶子式。
定义 2.3.3 非零矩阵 A 中的非零子式的 大阶数称为矩阵的秩；特别规定零矩
阵的秩为零。矩阵 A 的秩记为秩 )(A 或 )(Ar 。
注 秩 ),min()( nmA nm 。
例 1.3.3 求下列矩阵的秩：
4113
192，
213
032
241
，
1200
1210
1211
。
55
命题 1.3.3 设 A 为矩阵，则 OA 的充要条件是秩 1)( A 。
命题 2.3.3 设 A 为 n 阶方阵，则秩 nA )( 的充要条件是 0A 。
定理 1.3.3 设 A 是一个 nm 非零矩阵，则秩 rA )( 当且仅当 A 中有一个 r 阶
子式不为零，但其所有 1r 阶子式(若存在的话)全为零。
证明:必要性证明是显然的。下证充分性：
由行列式按行（列）展开定理知，若 A 中所有 1r 阶子式全为零，则 A 中所
有 2r 阶子式全为零，从而所有 3r 阶子式全为零，一直如此下去，于是 r 是 A 中
的非零子式的 大阶数，故秩 rA )( 。
例 2.3.3 求矩阵
2533603
3200110
1333513
1112211
0241302
的秩。
显然用矩阵的定义或定理 1.3.3 求该矩阵的秩，比较麻烦。
问题 2 求矩阵的秩，有没有更简单的方法？
答：有，利用矩阵的初等变换。
二、矩阵的初等变换
问题 3 什么叫做矩阵的初等变换？
定义 3.3.3 下列三种矩阵变换都称为矩阵的初等变换：
1．（换法变换）交换矩阵中某两行（列）位置；
2．（倍法变换）用一非零数乘以矩阵的某一行（列）；
3．（倍加变换）矩阵的某一行（列）乘以数 c 以后加到另一行（列）中去。
若矩阵 A 经过初等变换变为 B ，则记 BA 。
定理 2.3.3 初等变换不改变矩阵的秩。
56
证明见下章。
命题 3.3.3 设 A 为阶梯形矩阵，则秩 AA )( 的非零行行数。
三、求矩阵秩的方法－化阶梯形矩阵
命题 4.3.3 设 A 是一个 nm 矩阵，则可以经过若干次行初等变换，将 A 化为
阶梯形矩阵；进一步，可以经过若干次行初等变换将 A 化为简化的阶梯形矩阵。
例 2.3.3 的解 显然
2533603
3200110
1333513
1112211
0241302
0000000
0000000
4463300
3200110
1112211
，
故该矩阵的秩是3 。
§4 矩阵的逆
大家所熟知的数的四则运算：加法、减法、乘法和除法，在§2 中，我们已引
入了矩阵的加法、减法和乘法，矩阵有除法运算，我们先回忆一下数的除法，实
际上数的除法不是一个独立运算，它是可通过引入数的逆元（即倒数）后用乘法
来实现的。一个数b 称为数 a 的逆元（即倒数），如果满足 1 baab ，下面我们
仿照数的逆元的定义来引入可逆矩阵和逆矩阵的概念。
一、概念与基本性质
定义 1.4.3 设 A 为n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B ，使得 nEBAAB ，则称 A 为
可逆矩阵， B 为 A 的逆矩阵。
定义分析 若 B 为 A 的逆矩阵，则 A 也为 B 的逆矩阵。
命题 1.4.3 若 A 为可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的。
57
证明 设 21 , BB 都是 A 的逆矩阵，则 )2,1( iEABAB ii ，于是
22212111 )()( BEBBABABBEBB ，
故 A 的逆矩阵是唯一的。
注 记可逆矩阵 A 的逆矩阵为 1A ，于是
nEAAAA 11 。
命题 2.4.3 设 A 是可逆矩阵，则
（1） 1A 也是可逆矩阵且 AA 11)( ；
（2） TA 也是可逆矩阵且 TT AA )()( 11 ；
（3）若B 是与 A 同阶的可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵且 111)( ABAB ；
（4）若 k 是非零数，则 kA是可逆矩阵且 111)( AkkA 。
证明 已知 A 是可逆矩阵，即 nEAAAA 11 ，因为
nn EEAAkkAkkA 1))(())(( 1111 ，
同理
nEkAAk ))(( 11 ，
所以 kA是可逆矩阵且 111)( AkkA 。
注意
（1）若 BA, 都是可逆矩阵，则 BA 未必是可逆矩阵。
反例：
10
01A ，
10
01B ，显然 BA, 都是可逆矩阵，但
00
00BA
不是可逆矩阵。
（2）若 AB 是可逆矩阵，则 BA, 未必是可逆矩阵。
反例：显然
01
10
01
,110
101BA 都不是可逆矩阵，但
11
02AB 是可逆
58
矩阵。
命题 3.4.3 设 A 是可逆矩阵，
（1）若 OAB ，则 OB ；
（2）若 ACAB 或 CABA ，则 CB ；
（3）若矩阵方程 BAX ，则 BAX 1 ；
（4）若矩阵方程 CYA ，则 1 CAY 。
注 若 A 是可逆矩阵，有时候称 BA 1 为 A 左除 B ， 1BA 为 A 右除 B 。因为一
般 11 BABA ，所以我们在矩阵运算中不定义除法运算，若硬要讲除法，那也只
能说矩阵的左除法和右除法。
命题 4.4.3 设 n 是正整数，规定 nn AA )( 1 ， lk, 是任意整数，则
（1） lklk AAA ；
（2） kllk AA )( 。
例 1.4.3 设方阵 A 满足 OEAA 35 2 ，证明 A 与 EA 2 都可逆，并分别求
出它们的逆矩阵。
证明 由 OEAA 35 2 知，
EAEAEAA )3
1
3
5()
3
1
3
5( ，
因此 A 是可逆矩阵且 EAA3
1
3
51 。
由 OEAA 35 2 知，
EEAEAEAEA )5
72)(2()2)(
5
72( ，
于是 EA2 可逆，并且 EAEA5
72)2( 1 。
二、求逆矩阵方法之一—公式法
定义 2.4.3 设 nijaA )( 是 n 阶矩阵， ijA 是 A 中元素 ija 的代数余子式，则称 n 阶
59
矩阵：
nnnn
n
n
nji
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
)(
为 A 的伴随矩阵，记作 *A 。
例 2.4.3 求下列矩阵的伴随矩阵：
dc
ba，
321
012
111
。
定理 1.4.3 设 A为 n 阶方阵，则 EAAAAA 。
证明 由行列式按行（列）展开定理和它的推论即得。
推论 1.4.3 n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是 0A 。
当 A 可逆时，
*11 AA
A 。
例 3.4.3 判断下列矩阵是否可逆，若可逆，则求其逆矩阵。
)0(,
bcad
dc
ba，
321
012
111
。
推论 2.4.3 n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充要条件是秩 nA )( 。
例 4.4.3 证明Cramer 法则：如果线性方程组
snnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
的系数行列式 0 nijaD ，则该线性方程组有唯一解 ),,2,1( niD
Dx i
j ，其中
60
iD 是把 D 的第 i 列替换为 Tnbbb ),,,( 21 后所得的行列式。
证明 将线性方程组写成矩阵等式 BAX ，因为 0|| AD ，所以 A 为可逆
矩阵，于是 BAX 1 。
由于 1A 唯一，故 BAX 1 亦唯一，且 BAD
BAX *11 ，即
nnnnn
n
n
n b
b
b
AAA
AAA
AAA
D
x
x
x
2
1
21
22212
12111
2
1
1
nnnnnn
nn
nn
D
D
D
D
AbAbAb
AbAbAb
AbAbAb
D
2
1
2211
2222121
1212111
11 。
故 ),,2,1( niD
Dx i
i 。
§5 矩阵的分块
一、分块矩阵的概念
数学运算总是力求将复杂的转化为简单的，我们在处理阶数较高的大矩阵时，
有时候总将大矩阵看成由一些小矩阵的组成，如同矩阵由数组成的一样。特别在
运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵分块，因此分块矩
阵实际上就是将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵形式，以每个小矩阵
视为“元素”的一种形式矩阵。例如
2
13
41000
14000
01100
31010
20001
AO
AEA ，其中
41
14,
01
31
20
21 AA ，
61
称
2
13
AO
AEA 为 22 分块矩阵。
二、常见的分块矩阵形式
（1） 22 分块矩阵
43
21
AA
AA；
（2）（ 1m 分块矩阵，即按行分块）
m
nmA
2
1
，也称 i 为矩阵 A 的行向量；
（3）（ n1 分块矩阵，即按列分块） ),,,( 21 nnmA ，也称 j 为矩阵 A 列
向量；
（4）准对角矩阵
sA
A
A
2
1
，其中 iA 均为方阵，其余元素全为零矩
阵。
注 任何一个 nm 矩阵 nmijaA )( 既可视为一个 11 分块矩阵，也可视为一个
nm 分块矩阵。
三、分块矩阵的运算
加法、数乘和乘法运算
对分块矩阵进行加法、数乘和乘法运算时，只要记住以下三点即可：
(1)在做分块矩阵的加法时，两个矩阵的分块方法要一致；
(2)在做分块矩阵的乘法时，左边矩阵的列的分法要与右边矩阵的行的分法一
致。
（3）分块矩阵加法、数乘和乘法运算在形式上与数字矩阵相应的运算完全一
样。
62
例 1.5.3 利用分块矩阵，求 AB ，其中
1011
0111
0010
0001
A ，
124
003
012
101
B 。
例 2.5.3 设 BA, 为两个有相同分块的准对角矩阵：
sA
A
A
A
2
1
sB
B
B
2
1
, ，
这里 ),,2,1(, siBA ii 为同阶方阵，则
（1）
ss BA
BA
BA
BA
22
11
；
（2）
ss BA
BA
BA
AB
22
11
。
例 3.5.3 设 nmijaA
，
snijbB
，
1．若 ),,,( 21 nA ，
n
B
2
1
， i 表示 A 的列向量， j 表示 B 的行向量，
则
（1）
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AB
21
22221
11211
n
2
1
nmmmm
nn
nn
aaa
aaa
aaa
2211
2222121
1212111
，
即 AB 的行向量可以由 B 的行向量线性表示；
63
（2）
n
i
n
i
n
iiisiiii
nsnn
s
s
n bbb
bbb
bbb
bbb
AB1 1 1
21
21
22221
11211
21 ,,,,,,
，
即 AB 的列向量可以由 A 的列向量线性表示；
（3） nn
n
nAB
22112
1
21 ,,, 。
2．若
m
A
2
1
， ),,,( 21 sB ， i 表示 A 的行向量， j 表示的 B 列向量，
则
（1）
B
B
B
BAB
mm
2
1
2
1
（ A 按行分块， B 为 11 分块矩阵）；
（2） ),,,(),,,( 2121 ss AAAAAB （ A 为 11 分块矩阵， B 按列
分块）；
（3）
m
AB
2
1
smmm
s
s
s
21
22212
12111
21 ),,,( 。
转置运算
设
stss
t
t
AAA
AAA
AAA
A
21
22221
11211
是一个 ts 的分块矩阵，则
Tst
Tt
Tt
Ts
TT
Ts
TT
T
AAA
AAA
AAA
A
21
22212
12111
64
是一个 st 的分块矩阵。
求逆运算
例 4.5.3
1
2
1
sA
A
A
1
12
11
sA
A
A
，
其中 iA 都是可逆矩阵 ),,2,1( si 。
例 5.5.3 设分块矩阵
DC
OBA ，其中 ssrr DDBB , 都是可逆矩阵，求
1A 。
解 由题意知， A 为 sr 级矩阵。因为 0|||||| DBA ，所以 A 是可逆矩阵。
设 ssrr TTXXTZ
YXA
,,1 ，则
s
r
EO
OE
DTCYDZCX
BYBX
TZ
YX
DC
OBAA 1 ，
于是
s
r
EDTCY
ODZCX
OBY
EBX
，
解得 1111 ,,, DTCBDZOYBX ，故
111
11 0
DCBD
BA 。
例 6.5.3 证明 n 阶可逆上三角矩阵的逆矩阵也是上三角矩阵。
证明 对矩阵的阶数 n 作第一数学归纳法。 1n 时结论显然成立，归纳假设
1n 时结论成立，设 A 为 n 阶可逆上三角矩阵，B 为 A 的逆矩阵，将 BA, 作如下分
块：
65
1
11
AO
aA
，
1
11
B
bB
，其中 11 , BA 分别为 1n 阶方阵，显然 1A 是可逆
上三角矩阵。因为
1
11
AO
aAB
1
11
B
b
1111
1111111 1
nEO
O
BAA
Baba
，
所以由 OA 1 ， 111 nEBA 和 1A 可逆可得 O ， 111 AB ，根据归纳假设 1
11 AB
是上三角矩阵，故
1
111
BO
bBA
是上三角矩阵。
（分块矩阵更有效，更具体的应用见§7）
§6 初等矩阵
一、初等矩阵的类型
定义 1.6.3 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
因为矩阵的初等变换由三种类型：换法变换、倍法变换和倍加变换，所以初
等矩阵也有如下三种类型：
（1）（换法阵）
1
01
10
1
),()()(
jiPEji
；
（2）（倍法阵）
1
1
1
1
))(()(
kkiPEik
；
66
（3）（倍加阵）
1
1
1
1
))(,()()(
k
kjiPEjki
。
命题 1.6.3
（1）初等矩阵的转置矩阵仍是同类型初等矩阵；即
))(,()))(,(()),(()))(((),,()),(( kijPkjiPkiPkiPjiPjiP TTT ；
（2） 1))(,(,))((,1),( kjiPkkiPjiP ；
（3）初等矩阵的逆矩阵仍是同类型初等矩阵；即
))(,()))(,(()),1
(()))(((),,()),(( 111 kjiPkjiPk
iPkiPjiPjiP 。
二、初等矩阵与初等变换的关系
命题 2.6.3
对矩阵 nmijaA )( 施行某一初等行（列）变换，相当对 A 左（右）乘一个同
类型的 m 阶（ n 阶）初等矩阵。具体地说：
（1） AjiP ),( 相当于交换 A 的第 i 行与第 j 行；
（1） ),( jiAP 相当于交换 A 的第列与第 j 列；
（2） AkiP ))(( 相当于 k 乘 A 的第 i 行；
（ 2） ))(( kiAP 相当于 k 乘 A 的第 i 列；
（3） AkjiP ))(,( 相当于 k 乘 A 的第 j 行后加到第 i 行；
（3） ))(,( kjiAP 相当于 k 乘 A 的第 i 列后加到第 j 列。
口诀 左乘行变换，右乘列变换。
67
证明 令 mijbB )( ，
m
A
2
1
， i 表示 A 的行向量，则
mmmm
m
m
bbb
bbb
bbb
BA
21
22221
11211
m
2
1
mmmmm
nmnm
mm
bbb
bbb
bbb
2211
2222121
1212111
令 ),( jiPB ，则
m
i
j
AjiP
1
),( ，即交换 A 的第 i 行与第 j 行。
令 ))(( kiPB ，则
m
ikAkiP
1
))(( ，即 k 乘 A 的第 i 行。
))(,( kjiPB ，
m
j
ji k
AkjiP
1
))(,( ，即 k 乘 A 的第 j 行后加到第 i 行。
例 1.6.3 设
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
A ，求 )4,1(AP ， AP ))2(3,2( 。
三、矩阵的等价
定义 2.6.3 矩阵 A 与 B 称为等价的，如果 B 可以由 A 经过一系列初等变换得到
的。若 A 与 B 等价，则有时记 BA 。
68
（在数学上，只有某种关系具有自身性，对称性和传递性时，才可称此关系是
等价的。）
由命题 2.6.3 易得下面命题 3.6.3 。
命题 3.6.3 设 BA, 都是 nm 矩阵，则 BA 的充要条件是存在若干个初等矩阵
sPPP ,,, 21 和 tQQQ ,,, 21 ，使得
ts QQAQPPPB 2112 。
命题 4.6.3 矩阵间的“等价”是一种等价关系，即
设 CBA ,, 都是 nm 矩阵，则
（1）（自身性） AA ；
（2）（对称性）若 BA ，则 AB ；
（3）（传递性）若 BA ， CB ，则 CA 。
定理 1.6.3 任意一个矩阵 A 都与形为
00
0rE的矩阵等价，这里 r 秩 )(A 。
注 有时候称
00
0rE为 A 的等价标准形。
推论 1.6.3 设 A 为 nm 矩阵，则存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵Q ，使
得
00
0rEPAQ ，这里 r 秩 )(A 。
证明 因为秩 rA )( ，所以 A 的等价标准形为
00
0rE，于是由命题 3.6.3 知，
存在若干个初等矩阵 sPPP ,,, 21 和 tQQQ ,,, 21 ，使得
OO
OEQQAQPPP r
ts 2112 。
69
令 ts QQQQPPPP 2112 , ，显然 QP, 都是可逆矩阵，且
00
0rEPAQ 。
推论 2.6.3 两个 nm 矩阵 BA, 等价的充要条件是秩 )(A 秩 )(B 。
证明 若 BA ，因为矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，所以秩 )(A 秩 )(B 。
反之，若秩 )(A 秩 rB )( ，则由定理 1.6.3 知，
00
0rEA ，
00
0rEB ，
由命题 4.6.3 即得 BA 。
推论 3.6.3 设 A 为 n 阶方阵，则 A 为可逆矩阵的充要条件是 nEA 。
推论 4.6.3 设 A 为 n 阶方阵，则 A 为可逆矩阵的充要条件是 A 可以表示成若干
个初等矩阵的乘积。
证明 充分性证明是显然的。
必要性：若 A 为可逆矩阵，显然 A 的等价标准形为 nE ，于是由命题 3.6.3 知，
存在若干个初等矩阵 sPPP ,,, 21 和 tQQQ ,,, 21 ，使得
nts EQQAQPPP 2112 ，
因此， 11
12
1112
11
QQQPPPA ts ，因为初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵，
所以 A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积。
例 2.6.3 将矩阵
001
112
011
A 表示成初等矩阵的乘积。
解 将 A 用初等变换变为单位矩阵：
011
110
001
011
112
001
001
112
011)1(2)2()3()1(
A
E
100
010
001
100
110
001
010
110
001)3()2()2()3()1()3(
，
70
于是
APPPPPE )3,1())2(1,2())1(1,3())1(2,3())1(3,2( ，
故
1)]3,1())2(1,2())1(1,3())1(2,3())1(3,2([ PPPPPA
11111 )))1(3,2(()))1(2,3(()))1(1,3(())2(1,2(())3,1(( PPPPP
))1(3,2())1(2,3())1(1,3())2(1,2()3,1( PPPPP 。
因为初等变换不改变矩阵的秩，所以由命题 2.6.3 和推论 4.6.3 立得如下推论
5.6.3 。
推论 5.6.3 设 A 为 nm 矩阵， QP, 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则
秩 )(PA 秩 )(AQ 秩 )(PAQ 秩 )(A 。
四、求逆矩阵方法之二—初等变换法
分析 设 A 为 n 阶可逆矩阵，由推论 4.6.3 知，存在若干个初等矩阵
sPPP ,,, 21 ，使得 sPPPA 21 ，因此
)2(
)1(11
11
21
11
12
1
AEPPP
EAPPP
ns
ns
由（1），（2）得
),(11
12
1ns EAPPP ,( 1
11
21 APPPs
)11
12
1ns EPPP ),( 1 AEn 。 （3）
因为初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，左乘一个初等矩阵相当于作行初等变
换，所以由（3）式我们得到了求可逆矩阵的逆矩阵的方法―初等变换法：
1 AEEA 行初等变换 。
或
1A
E
E
A 列初等变换 。
71
例 3.6.3 求下列矩阵的逆矩阵
120
211
201
，
1111
1111
1111
1111
。
§7 分块乘法的初等变换及应用举例
定义 1.7.3 下列变换称为分块矩阵的初等变换：
（1）（分块换法变换）交换分块矩阵中某两行（列）位置；
（2）（分块倍法变换）用某一可逆矩阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）；
（3）（分块倍加变换）用某一矩阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）后加到
另一行（列）中去。
分块初等矩阵就是指单位分块矩阵 ),,,( 21 sEEEdiagE 经过一次分块矩阵
初等变换所得到的矩阵。特别地，单位分块矩阵经过分块换法变换、分块倍法变
换和分块倍加变换所得的分块初等矩阵分别称之为分块换法阵、分块倍法阵和分
块倍加阵。
定义分析
（1）分块初等矩阵都是可逆矩阵，且分块倍加阵的行列式值为 1；
（2）对分块矩阵作行（列）初等变换，相当于用同类分块初等矩阵左（右）
乘被变换的分块矩阵；
（3）分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；
（4） 22 分块初等矩阵有如下几种形式：
研究
OE
EO，
EO
OP，
QO
OE，
EO
SE，
ET
OE。
72
例 1.7.3 设分块矩阵
DC
BAM ，其中 DA, 分别为 r 阶和 rn 阶方阵（ CB,
不一定是方阵），则
（1）
BADC
DCBA
EE
r
rn
00 ，
CDAB
EE
DCBA
rn
r
00 ；
（2）
DC
PBPA
DC
BA
E
P
rn0
0，
DCP
BAP
E
P
DC
BA
rn0
0；
（3）
DPBCPA
BA
DC
BA
EP
E
rn
r 0，
DDPC
BBPA
EP
E
DC
BA
rn
r 0。
例 2.7.3 设分块矩阵
DC
BAM ，其中 DA, 分别为 r 阶和 rn 阶方阵，
（1）若 A 可逆，则
BCADC
A
E
BAE
DC
BA1
1 0
0；
BCAD
BA
DC
BA
ECA
E11 0
0；
BCADA
EBAE
DCBA
ECAE
1
1
1 00
00 ；
111
1
1
1
1
00
00
E
BAE
BCAD
A
ECA
E
DC
BA
ECA
E
BCAD
A
E
BAE111
11 0
0
0
0；
BCADADC
BA 1 。
73
（2）若 D 可逆，则
D
BBDA
ECD
E
DC
BA
0
0 1
1 ；
DC
CBDA
DC
BA
E
BDE 0
0
11
；
DCBDA
ECDE
DCBA
EBDE
000
0
1
1
1
E
BDE
D
CBDAECD
E
DC
BA
00
00 1
1
11
1
1
；
DCBDADC
BA 1 。
例 3.7.3 设 BA, 都是 n 阶方阵，证明 BAAB 。
证明
BEAB
BEA
EAE 00
0 ，
设 nijaA )( ，
EEE
P ijij 0
，其中 ijE 是第 ),( ji 元素为 ija 外，其余元素全为0
的 n 阶方阵，于是
E
AE
E
EPPPPP nnnn 00
0111211 ，
显然 ijP 所对应的初等变换都是倍加变换，它们都不改变行列式的值，因此
BABE
A
BE
A
EO
OEPP
BE
A
E
AEnn
000
0 11 。
另一方面，
ABABEABEB
AB
BE
AB nnnn
110
10
。
故 BAAB 。