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第一章 行列式
自测题、总习题及其详解
第一章 行列式自测题（一）
一、填空题(每题 2 分，共 10 分)
1. 在行列式中如果每行元素之和为零，则行列式的值等于_________；
2. 行列式
132
311
251
中元素 5的代数余子式为__________；
3. 三阶行列式
1 1 2
0 3 4
0 1 2
的值为__________；
4. 在线性方程组1 2
1 2
3 +5 1
2 4 2
x x
x x
中，利用克莱姆法则求得 1x __________；
5. 设
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
a a a
2b a 2b a 2b a 6
c c c
，则
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
b b b
c c c
__________。
二、单选题(每题 2 分，共 10 分)
1.二阶行列式3 1
2 3的值为（ ）；
A）11 B）9 C）7 D）2
2. 三阶行列式
1 0 2
0 3 0
0 0 7
的值为（ ）；
A）0 B）3 C）6 D）21
3.行列式1 2
3 4
中元素 2 的代数余子式为（ ）；
A） 2 B） 3 C）2 D）3
4.若
1 0 0
2 2 0 0
3 4 2
k
k
，则 k =（ ）；
A)1 B) 1 C）2 D） 2
5. 012
21
k
k的充分必要条件是（ ）。
A） 1k ， B） 3k ， C） 1k 且 3k ， D） 1k 或 3k
三、解答题(每题 10 分，共 70 分)
1.求行列式1 2
3 4
各个元素的代数余子式；
2.求行列式
1 2 3
2 3 1
3 5 3
第一行各个元素的代数余子式；
3．求行列式
1 1 2
1 2 3
2 3 4
的值； 4.求行列式
212
430
211
的值；
5.求行列式
5 0 3 1
0 0 2 0
7 2 3 7
0 0 3 2
的值； 6.计算行列式
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
的值；
6. 求行列式
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
nD
的值。
四、综合题(每题 5 分，共 10 分)
1. 设行列式
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a 2
a a a
，求行列式
11 11 12 13 11
21 21 22 23 21
31 31 32 33 31
a 3a 2a 4a a
3a 9a +6a 12a 3a
a 3a 2a 4a a
的值；
2. k 为何值时，齐次线性方程组
05
04
03
zykx
zy
zkyx
有非零解。
第一章 行列式自测题（一）详解
一、填空题（每题 2分，共 10 分）
1.填 0
因为行列式的性质 2,
2.填-7
因为12
1 37
2 1A
3.填-2
因为
1 1 23 4
0 3 4 21 2
0 1 2
4.填-3
因为 1
1 5
2 4 63
3 5 2
2 4
x
5.填 3
因为行列式的性质.
二、 单选题（每题 2分，共 10分）
1．应选 C
理由是：3 1
9 2 72 3
2.应选 D
理由是：该行列式为三角形行列式，值为主对角线的乘积.
3.应选 D
理由是： 12 ( 3) 3A
4.应选 D
理由是： 2
1 0 0
2 2 0 2 0
3 4 2
k k
k
5.应选 C
理由是： 2
1 4 0k
三、解答题（每题 10 分，共 70 分）
解：1.1 1
11 ( 1) ( 4) 4,A 1 2
12 ( 1) 3 3,A
,22)1( 12
21 A 2 2
22 ( 1) 1 1A （- ） 。
2.
1 1
11
3 1( 1) 4
5 3A
，
1 2
12
2 1( 1) 9,
3 3A
1 3
13
2 3( 1) 1.
3 5A
3.
1 1 2
1 2 3
2 3 4
31
21
2 rr
rr
1 1 2
0 3 5
0 5 8
（按第一列展开）
1 13 5
1 ( 1) 24 25 15 8
.
4.
1 1 2
0 3 4
2 1 2
1 32r r
1 1 2
0 3 4
0 3 6
2 3r r
1 1 2
0 3 4 6
0 0 2
.
5.因为行列式的第二行中有 3个零元素，所以将其按第二行展开，得
5 0 3 15 3 1
0 0 2 02 0 2 0
7 2 3 70 3 2
0 0 3 2
（按第二行展开）
5 14 40
0 2 .
6.
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
1 2
1 3
1 4
r r
r r
r r
1 1 1 1
0 1 2 3
0 2 5 9
0 3 9 19
（按第一列展开）
2 3
2 4
2
3
r r
r r
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 3 10
3 43r r
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 1
=1
7.将第二列及以后各列依次加到第一列的对应元素上，得
2 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
nD
1 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
n
n
n
n
1 2
1 n
1 1 1 1
0 1 0 0
1
0 0 1 0
0 0 0 1
n
r r
n
r r
四、综合题（每题 5分，共 10 分）
1.解：
11 11 12 13 11
21 21 22 23 21
31 31 32 33 31
a 3a 2a 4a a
3a 9a +6a 12a 3a
a 3a 2a 4a a
1 2
1 3
3c c
c c
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a 2a 4a
3a 6a 12a
a 2a 4a
=
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a 2a 4a
3 a 2a 4a
a 2a 4a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
24 a a a
a a a
48
2.解 根据本章第 3节的推论可知，若方程组有非零解，则其系数行列式 0D ，即
3 1
0 4 1
5 1
k
D
k
2 +4 +3 ( 1)( +3) 0k k k k ,
因此，当 1k 或 3k 时，其齐次方程组有非零解。
第一章 行列式自测题(二)
一、填空题(每题 2 分，共 10 分)
1. 三阶行列式按第二行展开式中为
2.若 n阶行列式中零元素的个数超过个 )1( nn ,则此 n阶行列式的值为
3. n 阶行列式D第一列的元素与第二列的对应元素的代数余子式乘积之和
2122211211 nn AaAaAa
4.若四阶行列式 D 中第二行的元素与第四行的元素对应成比例,则 D= ；
5. 利用克莱姆法则求得线性方程组
032
043
122
321
321
321
axxx
xxx
xxx
中的12
13 x ，则其系数行列
式的值为 ，
二、单选题(每题 2 分，共 10 分)
1. 四阶行列式的展开式共有（ ）项.
8)(A 12)(B 4)(C !4)(D
2.二阶行列式2221
1211
aa
aaD 中元素 21a 的代数余子式 21A ；
11)( aA ， 11)( aB ， 12)( aC ， 12)( aD .
3.
714
530
200
；
24)( A ， 12)(B ， ， 24)(C ， 0)(D .
4.若
.0)1(3
0,3)1(
21
21
xkx
xxk 则 k=( ),
23)(A ， 2)( kB ， 4)( kC 10)( kD 或 8k .
5. 若齐次线性方程
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
有非零解，则它的系数行列式（ ）.
)(A 必为零， )(B 必为 1， )(C 必不为零， )(D 可取任何值.
三、解答题(1.2题各 10分，3题各小题 10 分，共 70分)
1.求行列式35
21
D 各个元素的代数余子式，
2.求行列式
343
122
321
D 各个元素的代数余子式，
3.计算下列行列式
（1）
512
904
761
D ， （2）
132
711
221
D ，
（3）
2000
7061
10994
8023
D （4）D=
1200
1350
5311
3511
（5）
nn
n
n
n
D
)1(...321
...............
...3221
...3211
...321
四、综合题(每题小题 5分，共 10分)
1.若 0
333231
232221
131211
k
aaa
aaa
aaa
，试证明 k
aaaa
aaaa
aaaa
8
254
254
254
33323131
23222121
13121111
2. 为何值时，齐次线性方程组
0.
,0
0,2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解.
第一章 行列式自测题在（二）详解
一、填空题(每题 2 分，共 10 分)
1.填a21A21 +a22A22 +a23A23
2.填 0
3.填 0
4.填 0
5 填-24
二、单选题(每题 2 分，共 10 分)
1. 应选 D
2. 应选 C
3. 应选 A
4. 应选 D
5. 应选 A
三、解答题(1.2题各 10分，3题各小题 10 分，共 70分)
解 1. ,33)1( 11
11 A ,55)1( 21
12 ）（A
,22)1( 12
21 A ,11)1( 22
22 A
2. A11 = (-1)1+1 2 1
4 3= 2, A13 = (-1)1+3 2 2
3 4= 2,
A23 = (-1)2+3 1 2
3 4= 2,
A31 = (-1)3+1 2 3
2 1= -4, , A33 = (-1)3+3 1 2
2 2= -2.
.
3. 计算下列行列式
解 （1）注意到行列式的第二行有一个零，按此行展开，得
12
61)1(9
51
76)1(4
512
904
7613212
D
25)121(9)730(4 ，
（2）
132
711
221
D31
21
2 rr
rr
570
930
221
（按第一列展开）
48631557
93)1(1 11
,333
12)1( 21
12 A
,634
32)1( 12
21 A ,633
31)1( 22
22 A
512
31)1( 23
32 A
（3）因为行列式的第四行中有 3 个零元素，所以将其按第四行展开，得
44)1(2
2000
7061
10994
8023
D
061
994
023
（按三列展开）
360)218(1861
23)1(92 32
（4）D=
1200
1350
5311
3511
21 rr
1200
1350
2800
3511
（按第一列展开）
行列式 7021
28)1(5
120
135
28012
，
（5）将第一行乘以 )1( 依次加到其它各行，得
nn
n
n
n
D
)1(...321
...............
...3221
...3211
...321
= )!1(
1...000
...............
...200
0...010
...321
n
n
n
四、综合题(每题小题 5分，共 10分)
1.证
4a11 5a11 - 2a12 a13
4a21 5a21 - 2a22 a23
4a31 5a31 - 2a32 a33
=
4a11 5a11 a13
4a21 5a21 a23
4a31 5a31 a33
+
4a11 -2a12 a13
4a21 -2a22 a23
4a31 -2a32 a33
= 4´ 5
a11 a11 a13
a21 a21 a23
a31 a31 a33
+ 4´ (-2)
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= 20 ´ 0 -8
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= -8k .
2. 解 根据本章第 3 节的推论可知，若方程组有非零解，则其系数行列式 0D ，即
D =
1 -1 2
-1 l 1
1 1 l
r1 + r2
-r1 + r3
1 1 2
0 l -1 3
0 2 l - 2
= (l -1)(l - 2)- 6
= (l -1)(l -2)-6 = l2 -3l - 4 = (l +1)(l - 4) = 0 ,
因此当l = -1或l = 4时，其齐次方程组有非零解。
总习题一详解
1. 填空题
（1） 填 246000，
因为
2468 468 2468 468 468 2000 468
1357 357 1357 357 357 1000 357
=246000。
（2）填 0，
因为行列式的第一行和第二行对应元素成比例。
（3）填 4，
因为3 2 2 3 2
1 1
2 2 2 2 2 4 4
1 2 2
x
x x x x x x x x x x x x
x
。
（4）填 2，
因为2 3
23
1 2( 1) 2
3 4A 。
（5）填 0，
因为该线性方程组的系数行列式
0
0 2 0
0
b a
D c a abc
c b
。
2.单项选择题
（1）应选 B，
理由是：
11 11 12 13 11 11 13 11 12 13 11 12 13
21 21 22 23 21 21 23 21 22 23 21 22 23
31 31 32 33 31 31 33 31 32 33 31 32 33
4 2 3 4 2 4 3
4 2 3 4 2 4 3 4 ( 3) 12
4 2 3 4 2 4 3
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a
（2）应选 A,
理由是：因为该线性方程组的系数行列式
0 1
2 1 2 4 0
2 1
k
D k k
k
.
（3）应选 A，
理由是： 13 13 23 23 33 33 43 43D a A a A a A a A 1 5 2 ( 3) 0 ( 7) 1 ( 4) =-15
3.计算下列行列式
（1）3 2 1
1 1 1 1 1
1 1 1 ( 1) 1 1 0
1 1 1 1 1
a b c a b c c c
b c a b c a a a b c ac c c
c a b c a b b b
.
（2）
1 2 1 3
1 4
2 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3 0 1 1 0 6 4 73 ,
1 2 0 4 0 4 1 2
22 4 1 1 0 0 1 5
6 4 7 6 4 13
4 1 2 5 4 1 7 10.
0 1 5 0 1 0
r r r r
r r
c c
（3）1 2 1 2
1 4
1 2 3 4 1 2 3 4
2 1 4 3 0 5 2 112 , 3
3 4 1 2 0 10 10 1044 3 2 1 0 5 14 17
r r r r
r r
2 3 3 4
2 4
1 2 3 4 1 2 3 4
0 5 2 11 0 5 2 112 2
0 0 6 12 0 0 6 12
0 0 12 6 0 0 0 30
r r r r
r r
=900。
（4）
1 1
3 2 2 ... 2 3 2( 1) 2 2 ... 2
2 3 2 ... 2 3 2( 1) 3 2 ... 2
2 2 3 ... 2 3 2( 1) 2 3 ... 2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 2 2 ... 3 3 2( 1) 2 2 ... 3
1 2 2 ... 2
1 3 2 ... 2
[3 2( 1)] 1 2 3 ... 2
... ... ... ... ...
1 2 2 ... 3
n n
n
n
c c c n
n
n
1 2 1 3 1
1 2 2 ... 2
0 1 0 ... 0
, , , ,[3 2( 1)] 0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
nr r r r r r n
3 2( 1) 2 1n n .
（5）
1 2 3 ...
1 0 3 ...
1 2 0 ...
... ... ... ... ...
1 2 3 ... 0
n
n
n
1 2 1 3 1
1 2 3 ...
0 2 6 ... 2
, , , , !0 0 3 ... 2
... ... ... ... ...
0 0 0 ...
n
n
n
r r r r r r nn
n
（6）
1 1 1
0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0
( 1) ( 1)0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0
n
x y x y y
x y x y x y
x yx x x y
y x y x y
1( 1)n n nx y
4.证明
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( 1) ( 2)
( 1) ( 2) 4( )( )( )
( 1) ( 2)
a a a
b b b a b a c b c
c c c
.
证明：
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
( 1) ( 2) , , ( 1) ( 2)
( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
2 1 4 4
2 1 4 4
2 1 4 4
a a a a a a a a
b b b c c c c b b b b b
c c c c c c c c
a a a
b b b
c c c
2 2
2 2
2 3
2 2
2 1 (4 4) 2(2 1) 2 1 2
2 , 2 1 (4 4) 2(2 1) 2 1 2
2 1 (4 4) 2(2 1) 2 1 2
a a a a a a
c c b b b b b b
c c c c c c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 1 2 1
2 2 1 2 4 1 4( )( )( )
2 2 1 2 1
a a a a a
b b b b b a b a c b c
c c c c c
。
5.用克莱姆法则求解方程组.
(1)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 5 4
2 3 2 3
5 4 2 2
x x x
x x x
x x x
解：因为方程组的系数行列式
3 5 1
2 3 2 87
5 4 2
D
，
且有 1
4 5 1
3 3 2 24
2 4 2
D
， 2
3 4 1
2 3 2 81
5 2 2
D
， 3
3 5 4
2 3 3 15
5 4 2
D
，
所以由克莱姆法则得到方程组的解
11
8
29
Dx
D ， 2
2
27
29
Dx
D ， 3
3
5
29
Dx
D 。
（ 2）
1 2 3 4
1 2 4
2 3 4
1 2 3 4
2 5 8
3 6 9
2 2 5
4 7 6 0
x x x x
x x x
x x x
x x x x
解：因为方程组的系数行列式
2 1
2 4
2 1
23
2 1 5 1 0 7 5 13
1 3 0 6 1 3 0 62
0 2 1 2 0 2 1 2
1 4 7 6 0 7 7 12
7 5 13 3 5 3
2 1 2 2 0 1 27
7 7 12 7 7 22
D r r
r r
c c
c c
且有 1
8 1 5 1
9 3 0 681
5 2 1 2
0 4 7 6
D
， 2
2 8 5 1
1 9 0 6108
0 5 1 2
1 0 7 6
D
，
3
2 1 8 1
1 3 9 627
0 2 5 2
1 4 0 6
D
， 4
2 1 5 8
1 3 0 927
0 2 1 5
1 4 7 0
D
于是由克莱姆法则得该方程组的解
11 3
Dx
D ， 2
2 4D
xD
， 33 1
Dx
D ， 4
4 1D
xD
。
6.判断下列齐次线性方程组是否有唯一解.
（1）
3 2 0
0
2 0
x y z
x y
x y z
解：因为齐次线性方程组的系数行列式
3 2 1
1 1 0 2 0
2 1 1
D
，
根据本章克莱姆法则可知，本方程组有唯一解。
（ 2）
4 2 3 0
5 2 0
7 7 3 8 0
4 5 0
x y z t
x y z t
x y z t
y z t
解：因为线性方程组的系数行列式
1 4 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3
5 1 1 2 0 21 11 13 0 21 11 130
7 7 3 8 0 21 11 13 0 0 0 0
0 4 5 1 0 4 5 1 0 4 5 1
D
，
根据本章克莱姆法则知，此方程组没有唯一解.
7.已知n 阶行列式
1 3 5 ... 2 1
1 2 0 ... 0
1 0 3 ... 0
... ... ... ... ...
1 0 0 ...
n
A
n
，求其代数余子式之和 11 12 1... nA A A .
解： 11 12 1 11 12 1
1 1 1 ... 1
1 2 0 ... 0
... 1 1 ... 1 1 0 3 ... 0
... ... ... ... ...
1 0 0 ...
n nA A A A A A
n
2
2 1 3 1 1
2
11 0 0 ... 01 1 1 ... 1
11 0 ... 0 1
1 0 ... 022
11! , , , , ! !(1 )0 1 ... 0 1
0 1 ... 033
... ... ... ... ...... ... ... ... ...
10 0 ... 1 1
0 0 ... 1
n
i
n
n
i
i
n r r r r r r n ni
nn