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第 7 章 应力状态分析

本章主要研究：

应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论 应力应变关系 应力电测的基本理论

2

§1 引言 §2 平面应力状态应力分析 §3 极值应力与主应力§4 复杂应力状态的最大应力§5 广义胡克定律§6 应变分析与电测应力

3

§1 引 言

实例 应力与应变状态 平面与空间应力状态

4

实 例

微体 A

5

微体 abcd

6

微体 A

7

应力与应变状态

过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点处的应力状态

应力状态

应变状态构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点处的应变状态

研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态

研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础

8

梁取微体 ( 单元体 )

9

轴取微体 ( 单元体 )

10

平面与空间应力状态

仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态

平面应力状态的一般形式

微体各侧面均作用有应力－空间应力状态

空间应力状态一般形式

11

§2 平面应力状态应力分析

应力分析的解析法 应力圆 例题

12

应力分析的解析法

问题：建立 与 x x , y y 间的关系

问题

符号规定：

方位角 与与 x 与与与与与与与与 切应力 － 以企图使微体沿 旋转者为正

方位用 与与与与与与斜截面： // z 轴；

13

0)sinsind()cossind(

)coscosd()sincosd(d 0n

AA

AAAF

yy

xx，

0)cossind()sinsind(

)sincosd()coscosd(d 0t

AA

AAAF

yy

xx，

cos )sin(sincos 22yxyx

22 sincoscos )sin( yxyx

斜截面应力公式

14

cos )sin(sincos 22yxyx

22 sincoscos )sin( yxyx

由于 x 与 y 数值相等 , 并利用三角函数的变换关系 ,得

sin2cos222 x

yxyx

cos2sin22 x

yx

上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适

用于各向异性、非线弹性与非弹性问题

上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适

用于各向异性、非线弹性与非弹性问题

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应力圆

sin2cos222 x

yxyx

cos2sin22 x

yx

sin2cos222 x

yxyx

cos2sin22

0 xyx

22

22

20

2 xyxyx

2yx

C

22

2 xyxR

应力圆

应力圆原理

圆心位于轴

16

应力圆的绘制

2yx

C

2

2

2 xyxR

满足上述二条件确为所求应力圆

根据：

问题：已知 x x , y 与与与与与与

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图解法求斜截面应力

)2cos(2 0 CDOCH

sin2sin2 cos2cos2 00 CDCDOCH

sin2cos2 22 x

yxyxH

sin2cos222 x

yxyx

H同理可证：

18

点、面对应关系

转向相同，转角加倍 互垂截面，对应同一直径两端

19

应力圆画法 , 截面与点的关系演示

20

例 题

例 2-1 计算截面 m-m 上的应力

解： MPa 100x MPa 50yMPa 60x30

MPa 114.5

MPa 35.0

sin2cos222 x

yxyxm

cos2sin22 x

yxm

22

例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力

解：

MPa 115m MPa 35m

1. 画应力圆

2. 由应力圆求 mm 与A 点对应截面 x, B 点对应截面 y

由 A 点（截面 x ）顺时针转 60 。至 D 点（截面 y ）

23

§3 极值应力与主应力

平面应力状态的极值应力 主平面与主应力 纯剪切与扭转破坏 例题

24

平面应力状态的极值应力

CK

min

max

CAOC

min

max

极值应力数值

22

22 xyxyx

22

2 xyx

25

yx

x

2tan2 0

y

x

x

x

maxmin0tan

极值应力方位

最大正应力方位：

max 与 min 所在截面正交

与与与与与所在截面 ,

成 夹角45

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主平面与主应力

主平面－切应力为零的截面

主应力－主平面上的正应力主应力符号与规定－ 321

相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体 － 主平面微体

（按代数值）

27

应力状态分类

单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态

二向与三向应力状态，统称复杂应力状态

28

纯剪切与扭转破坏

Cmaxt, Dmaxc,

minmax

0 231 ,

纯剪切状态的最大应力

主平面微体位于 方位45

29

圆轴扭转破坏分析

滑移与剪断发生在 max

的作用面

断裂发生在

max 作用面

30

例 题

解： 1. 解析法 MPa 70x MPa 50x

MPa 261 02 MPa 963

MPa 96

MPa 26

5.62

例 4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位

0y

2

min

max

22 xyxyx

y

x

max0 arctan

31

MPa 261

02

MPa 963

5620 .

2. 图解法 主应力的大小与方位 ？

32

§4 复杂应力状态的最大应力

三向应力圆 最大应力 例题

33

三向应力圆

与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内

与任一截面相对应的点，或位于应力圆上，或位于由应力圆所构成的阴影区域内

34

最大应力

1max

231

max

3min

与与与与与与与与与与与与与与与

35

例 题

例 4-1 已知 x = 80 MPa ， x = 35 MPa ， y = 20 MPa ， z = － 40 MPa ， 求主应力、最大正应力与最大切应力

解： 画三向应力圆MPa 1.961 C

MPa 1.961max

MPa 09.32 D MPa 403 E

MPa 1.682

31max

zz

36

§5 广义胡克定律

广义胡克定律（平面应力状态） 广义胡克定律（三向应力状态） 例题

37

广义胡克定律（平面应力状态）

Ex

x

Ex

y

Gx

xy

Ey

y

Ey

x

)(1

yxx E

)(1

xyy E

)(1 2 yxx

E

)(1 2 xyy

E

xyxy G

适用范围：各向同性材料，线弹性范围内适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

38

)]([1

zyxx E

)]([1

xzyy E

)]([1

yxzz E

适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

广义胡克定律（三向应力状态）

Ex

x

Ey

x

Ez

x

39

例 题

例 5-1 已知 E = 70 GPa, = 0.33, 求 45。

解： 应力分析

与与与)(

11354545

E41031.3

MPa30 ,0 MPa,50 xyx

sin2cos222 x

yxyx

09sin3009cos

2050

2050

45 MPa 5 MPa55135

41

例 5-3 边长 a =10 mm 正方形钢块，置槽形刚体内， F = 8 kN ，与与与与与与与与

解： MPa802y a

Fσ 0x

yx MPa 24

EEyx

x

0EE

yx

MPa 80 ,MPa 24 ,0 321

42

*§6 应变分析与电测应力

任意方位的正应变 应力分析电测方法 应变花

43

任意方位的应变

平面应变状态特点0 yzxzz

微体内各点的位移均平行于同一平面

44

平面应变状态任意方位应变

问题：已知应变 x , y 与 xy ，与与与与与与与

与与与与与与与与与与

规定： 方位角 与 x 轴为始边，为正

45

分析方法要点：叠加法，切线代圆弧

分析方法

知 x , y xy 与

46

lxx

dcosd cos

dd

lx

2siny

lyxy

dcosd

2cosx

lyy

dsind

2sin2xy

推导：

47

结论：

2cosx 2siny

2sin2

xy

sincossincos 22xyyx

sin22

cos222

xyyxyx

上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关

上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关

48

应力分析电测方法

sin22

cos222

xyyxyx

Axy

Ayxyx

A

sin2

2cos2

22

构件表层应力一般情况 ( 无表面外力

时 )

Bxy

Byxyx

B

sin2

2cos2

22

Cxy

Cyxyx

C

sin2

2cos2

22

xyyxxyyxCBA ,,,,,, xyyxxyyxCBA ,,,,,,

要确定三未知应力，需贴三电阻应变

49

应变花

三轴直角应变花

54900

90

0

2

xy

y

x

三轴等角应变花

12060

012060

0

32

2231

xy

y

x

Axy

Ayxyx

A

sin2

2cos2

22

Bxy

Byxyx

B

sin2

2cos2

22

Cxy

Cyxyx

C

sin2cos2

222

90450

C

B

A

120

60

0

C

B

A

50

本章结束 !