Лекция 8. Геометрични характеристики на равнинни фигури. Разпределение на нормалните напрежения.

8.1. Геометрични характеристики на равнинни фигури. Формата и големината на напречните сечения на конструкционните елементи оказват пряко влияние върху якостта, коравината и устойчивостта им. Напречните сечения представляват равнинни фигури. Геометричните характеристики на тези фигури участват във формулите за оразмеряване на конструкционните елементи. Всяка равнинна фигура може да се разглежда като съставена от множество елементарни фигури с лица dF. Първата геометрична характеристика на равнинна фигура е лицето й F (фиг. 8.1):

AdF

z

y

z

y

F

O

∫=F

dFF

Фиг. 8.1. Лице на равнинна фигура За определяне на лицето на равнинна фигура със сложна форма тя се разделя на фигури с по-проста форма (триъгълници, правоъгълници и др.), на които лесно може да се определят лицата. Тогава лицето на сложната фигура се представя като сума от лицата на простите фигури. Ако в сложната фигура има ‘празнини’ се приема, че лицата на фигурите, ограничаващи празнините , са отрицателни. Статичен момент на равнинни фигури. Под статичен момент S на равнинна фигура с лице F спрямо ос, лежаща в равнината й, се разбира сумата от произведенията на елементарните площи dF, съставящи фигурата, и разстоянията от тях до разглежданата ос (фиг. 8.1): ∫ ⋅=

Fy dFzS ∫ ⋅=

Fz dFyS

Поради линейната връзка на подинтегралната функция с координатите на центъра на тежестта C(yc,zc) спрямо координатната система yOz може да се запише:

F

dFyy FC

∫ ⋅= ;

F

dFzz FC

∫ ⋅= (1)

От тук следва че: FzS Cy ⋅= FyS Cz ⋅= Следователно, статичния момент на равнинна фигура спрямо ос, която не минава през центъра на тежестта на фигурата може да се дефинира като произведение от лицето на фигурата и разстоянието от центъра на тежестта й до оста.

От изразите за статичния момент може да се установи, че той може да бъде положителен, отрицателен или равен на нула, ако съответната координата (yc или zc) е положителна, отрицателна или нула. Всяка ос, която минава през центъра на тежестта на фигурата се нарича централна ос. Статичният момент на равнинна фигура спрямо централна ос е равен на нула. Статичен момент на сложна равнинна фигура Ако дадена сложна фигура може да се представи като съставена от няколко прости фигури с лица F1, F2, ….Fn (фиг. 8.2), статичният момент на тази фигура спрямо ос, лежаща в равнината на фигурата и не минава през центъра на тежестта й, е равен на сумата от статичните моменти на съответните моменти спрямо тази ос:

C1

z1

z

y F1O

z2 z3

F2

F3

C3

C2 C

Фиг. 8.2. Статичен момент на сложна фигура )(......)2()1( nSSSS yyyy +++=

)(......)2()1( nSSSS zzzz +++= Като се вземат пред вид изразите за определяне на център на тежестта на равнинна фигура (1) може да се определи центърът на тежестта на сложната равнинна фигура C(yc,zc), ако са известни лицата и центровете на тежестта на отделните прости фигури:

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⋅=== n

ii

n

iiCi

n

ii

n

iz

zC

F

Fy

F

iS

FS

y

1

1

1

1)(

;

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

⋅=== n

ii

n

iiCi

n

ii

n

iy

yC

F

Fz

F

iS

FS

z

1

1

1

1)(

Ако фигурата съдържа празнини, техните лица се приемат с отрицателен знак. Геометрични моменти от втори ред

- Осов инерционен момент Осевият инерционен момент на равнинна фигура с лице F спрямо ос, лежаща в равнината й, е сумата от произведенията на елементарните площи dF, съставящи фигурата, и квадрата на разстоянията от тях до оста (фиг.8.1):

∫ ⋅=F

y dFzJ 2 ∫ ⋅=F

z dFyJ 2

Осов инерционен момент може да се дефинира спрямо коя да е ос, лежаща в равнината на фигурата. Когато оста минава през центъра на тежестта на фигурата, тя се нарича централна инерционна ос, а инерционният момент спрямо нея – централен инерционен момент. Дименсията на осевия инерционен момент е [m4 ] и поради четната степен той винаги има положителна стойност и е различен от нула.

- Инерционни момент на прости фигури За някои прости фигури изчисляването на инерционните моменти спрямо оси, успоредни на страните им е проста задача. Например за правоъгълник с основа b и височина h (фиг. 8.3) инерционният момент спрямо хоризонталната ос на симетрия y (която е и централна инерционна ос) може да се изчисли след разделяне на площта на малки елементи с лица dF = b.dz.

hz

dz

C

y

b

Фиг. 8.3. Инерционен момент на правоъгълник

12

32/

2/

22 hbbdzzdFzJh

hFy

⋅=== ∫∫

−

По същия начин след разделяне на правоъгълника на елементи с лица dF = h.dy се получава:

12

32/

2/

22 bhhdyydFyJh

hFz

⋅=== ∫∫

−

Тези формули могат да се използват за изчисляване на инерционният момент на успоредник спрямо централна ос, успоредна на страната му (фиг.8.4), тъй като условията за интегриране не се променят. Изчисляването на инерционния момент на триъгълник спрямо ос y, съвпадаща с основата му b, имащ височина h (фиг.8.4), се извършва с помощта на

елементарното лице dzhzhbdF −

= , където текущата широчина hzhby −

= се

получава от пропорцията за подобни триъгълници.

hz

dz

C

y

b

h

z

dz

C

yb

Фиг. 8.4. Инерционен момент на успоредник и триъгълник За триъгълника инерционният момент се получава от:

∫∫ =−

==h

ybhdz

hzhbzdFzJ

0

322

12

Центробежен инерционен момент Центробежният инерционен момент Jyz на равнинна фигура с лице F (фиг.8.1) се дефинира спрямо двойка координатни оси y и z. Под центробежен момент на равнинна фигура спрямо двойка координатни оси се разбира произведението от елементарните площи dF, съставящи фигурата, и координатите им спрямо двойката координатни оси, т.е: ∫ ⋅⋅=

Fyz dFzyJ , m4

Центробежният момент може да бъде положителен, отрицателен или нула, в зависимост от знаците на x и y. Ако фигурата има поне една ос на симетрия, центробежният момент е равен на нула. Това следва от факта, че на даден елемент dF с дадена стойност на координатата спрямо оста на симетрия съответства елемент симетрично разположен спрямо оста, което означава, че той е с противоположен знак (фиг. 8.5). При сумирането тези елементи се компенсират, поради което интегралът има стойност нула.

dF dF

y

y y

z

z

Фиг. 8.5. Центробежен момент на симетрична фигура

Главни инерционни оси Двойка оси, спрямо които центробежният момент на една фигура е равен на нула, се наричат главни инерционни оси, а моментите спрямо тях са главни инерционни моменти. Главните инерционни моменти участват в някои от формулите за оразмеряване, което определя необходимостта да се познава положението на главните инерционни оси и моментите спрямо тях. Тъй като спрямо всяка двойка оси, от които поне едната е ос на симетрия, центробежният момент е равен на нула, всяка ос на симетрия е главна инерционна ос. Полярен инерционен момент Полярният инерционен момент се дефинира спрямо точка, лежаща в равнината на фигурата. Под полярен инерционен момент на равнинна фигура с лице F спрямо точка O от равнината й се разбира сумата от произведенията на елементарните площи dF, съставящи фигурата, и квадратите от разстоянията ρ от тях до точката (фиг.8.6): ∫=

FO dFJ 2ρ (2)

dF

z

F

y O

Фиг. 8.6. Полярен инерционен момент Тъй като ρ2 = x2 + y2 то се получава: zy

F F FFO JJdFzdFydFzydFJ +=+=+== ∫ ∫ ∫∫ 22222 )(ρ

Понеже осите y и z са избрани произволно, следва, че сумата от инерционните моменти спрямо коя да двойка взаимно перпендикулярни оси, минаващи през една и съща точка, е постоянна величина, равна на полярния инерционен момент спрямо тази точка. От израза (2) следва, че полярния инерционен момент е винаги положителен. Пример. Да се определи полярният инерционен момент на кръг с диаметър d = 2 r спрямо собствения му център на тежестта. Задачата се решава като лицето на кръга се разделя на елементарни пръстени с дебелина dρ, дължина 2πρ и елементарна площ dF = 2πρdρ (фиг. 8.7).

z

xr

dr

O

d

Фиг. 8.7. Полярен момент на кръг Полярният инерционен момент на кръга се получава:

324

244

0

32 drddFJF

r

Cππρπρρ ==== ∫ ∫

Централните оси y и z на кръга са оси с еднаква симетрия и са главни оси. Следователно от условието zyC JJJ += се получава, че zy JJ = . Тогава:

6482

1 44 drJJJ Czyππ

====

Изменение на инерционните моменти при транслация на координатната система Ако за една фигура с лице F са известни инерционните моменти ∫ ⋅=

Fy dFzJ 2 ∫ ⋅=

Fz dFyJ 2 ∫ ⋅⋅=

Fyz dFzyJ

спрямо централната координатна система yCz (фиг.8) се поставя задачата да се определят инерционните моменти спрямо координатна система y1Oz1, успоредна на централната координатна система. Елементарни пресмятания показват, че инерционните моменти спрямо координатните оси y1 и z1 се получават като:

FzJJ Cyy2

1 += FyJJ Czz2

1 += (3)

C

z1

F

y1O

y

z

yC

zC

Фиг. 8.8. Инерционни моменти при транслация на координатната система

По този начин се доказва теоремата на Щайнер: Инерционният момент на равнинна фигура спрямо ос, която не минава през центъра на тежестта й, е равен на сумата от инерционният момент спрямо централната ос, успоредна на първата и квадрата на разстоянието между двете оси и лицето на фигурата. За центробежния момент се получава: FzyJJ CCyzzy +=11 Следователно, инерционният момент на равнинна фигура спрямо две взаимно перпендикулярни оси, неминаващи през центъра на тежестта й, е равен на сумата от центробежния момент спрямо централната координатна система, успоредна на първата, и произведението от разстоянията между осите и лицето на фигурата (втора теорема на Щайнер). Ако се съберат равенствата (3) се получава: FzyJJJJ CCzyzy )( 22

11 +++=+

Но Ozy JJJ =+ 11 и Czy JJJ =+ и 222 zy +=ρ и тогава:

FJJ CO2ρ+=

Това е определението за полярен инерционен момент. Полярният инерционен момент на равнинна фигура спрямо точка от равнината й е равен на сумата от полярния инерционен момент на фигурата спрямо центъра на тежестта й и квадрата на разстоянието между точката и центъра на тежестта и лицето на фигурата (трета теорема на Щайнер). Определяне на инерционните моменти на сложни фигури. За сложна фигура с лице F, съставена от прости фигури с лица F1, F2, ….Fn (фиг. 8.2), инерционният момент спрямо дадена ос представлява сумата от инерционните моменти на съставните фигури спрямо същата ос: )(......)2()1( nJJJJ yyyy +++=

)(......)2()1( nJJJJ zzzz +++= Аналогично: )(......)2()1( nJJJJ yzyzyzyz +++=

)(......)2()1( nJJJJ CCCC +++= Доказателството за тези твърдения е същото както за статичните моменти. Пример за определяне на главни инерционни оси и инерционни моменти на равнинна фигура. Да се определи центърът на тежестта и главните инерционни оси и моменти на равнинната фигура показана на фиг. 8.9. Размерите са в сантиметри.

y1

z

C2

C1

y C z1

z2

40

60

120

20

Фиг. 8.9. Инерционни оси и моменти на равнинна фигура Решение.

1. Фигурата е съставена от два правоъгълника. Те са симетрични фигури, поради което оста на симетрия е главна централна ос. Това е оста z. Следователно, едната от координатите на центъра на тежестта лежи върху оста z и yC = 0.

2. Избира се спомагателна ос y1. Определят се центровете на тежестта на двата правоъгълника спрямо координатната система y1Oz. Центровете на тежестта лежат върху пресечната точка на диагоналите: zC1 = 20 cm; zC2 = 100 cm. Лицата на фигурите са: F1 = b1.h1 = 240 cm2; F2 = b2.h2 = 240 cm2. Тогава центърът на тежестта на фигурата е:

60240240

100.24020.240

21

2211 =++

=++

=FFzFzF

z CCC cm

Втората централна ос y се прекарва през точката zC. 3. Определя се инерционният момент Jy на фигурата. Той е равен на сумата от инерционните моменти на отделните правоъгълници. Тъй като центровете на тежестта на двата правоъгълника спрямо централните оси са z1 = -40 cm и z2 = 40 cm, трябва да се отчетат и Щайнеровите прибавки:

262

23

23

222

322

121

311

21

101088108800

240.4012120.20240.)40(

1240.60)

12()

12(

mcm

FzhbFzhbJJJ yyy

⋅⋅⋅=⋅⋅

=++−+=+++=+=

−

4. Определя се инерционният момент Jz на фигурата. За инерционния момент Jz не се използват Щайнерови прибавки, защото центровете на тежестта на фигурите лежат на оста z. Инерционният момент се определя от:

262333

22311

21 1080800012

20.1201260.40

1212mcm

bhbhJJJ zzz ⋅⋅⋅=⋅⋅=+=+=+= −

8.2. Закон за разпределение на нормалните напрежения.

Интегрална връзка между вътрешните усилия и напреженията На фиг. 10 е показано разрезно сечение на тяло и точка M от това сечение. Векторът пълно напрежение за околността dF на произволна точка има съставящи sx, txy, txz,.

Pk

P1

P2C

M n

DF DP

x

zy

sx

txy txz

Фиг. 8.10. Разрезно сечение на тяло На тези съставящи отговарят вътрешни сили: dN = sx.dF; dQy = txy.dF; dQz = txz.dF; Ако се сумират тези сили и моментите, които създават около подвижната координатна система xyz, се получават вътрешните усилия в сечението: dFdNN

Fx

F∫∫ == σ ; ∫ ∫ −=−⋅=

F Fxyxzyzx dFzydFzdQdQyM )()( ττ

dFdQQF

xyF

yy ∫∫ == τ ; ∫ ∫ ⋅=⋅=F F

xy dFzdNzM σ

dFdQQF

xzF

zz ∫∫ == τ ; ∫ ∫ ⋅−=⋅−=F F

xz dFydNyM σ

Тези зависимости дават интегралната връзка между напреженията и вътрешните усилия. Закон за разпределение на нормалните напрежения. От горните интегрални равенства се вижда, че нормалното напрежение sx е свързано с вътрешните усилия N, My и Mz и не зависи от Qy, Qz и Mx. Следователно в условията на еластично линейно деформиране, за да се установи законът за разпределение на sx, достатъчно е да се приеме, че в гредата има само вътрешни усилия N, My и Mz . Могат да бъдат поставени следните задачи:

1. Да се установи законът за разпределение на нормалните напрежения sx, ако в напречните сечения има N, My и Mz, едно от тях или комбинация от две от тези вътрешни усилия.

2. Да се определят точките от гредата с екстремни нормални напрежения, напрегнатото състояние в тях и да се посочат якостните условия за оразмеряване.

3. Да се определят зависимостите, по които могат да се изчислят преместванията и относителните деформации.

4. Да се посочат деформационните условия за оразмеряване. В най-общия случай под действие на външните товари правите греди се деформират, при което правата им ос се превръща в пространствена крива ос. Напречните им сечения, които преди натоварването им са били равнинни фигури, се преместват, завъртат и деформират. Следователно пълното преместване на точка от гредата може да се разглежда като сума от премествания вследствие на: преместване на напречното сечение, завъртане на напречното сечение и деформация на напречното сечение. При еластичното деформиране на конструкционните елементи в машиностроенето, представени като прави греди, преместванията вследствие на деформиране на напречните сечения са пренебрежимо малки в сравнение с останалите две премествания. Затова по-нататък те не се вземат под внимание. Това хипотезата на Бернули: В процеса на деформиране на греда или прът напречните сечения остават равнинни и се преместват и завъртат така, че да останат перпендикулярни на допирателната към деформираната ос на гредата. Освен това се приема и следната хипотеза: Ако гредата се представи съставена от нишки с лица dF, разположени успоредно на оста й, между нишките няма взаимодействие. Приетите хипотези при Qy = 0, Qz = 0, Mус = 0 се потвърждават от експерименталните изследвания. Когато в напречните сечения има само нормални напрежения от интегралните връзки за разпределение на нормалните напрежения остават следните: dFN

Fx∫= σ ; ∫ ⋅=

Fxy dFzM σ ; ∫ ⋅−=

Fxz dFyM σ (4)

На фиг. 11 е показана права греда и две безкрайно близки сечения от гредата, отстоящи на разстояние x от началото на гредата. При ненатоварено състояние оста на гредата е права линия и сеченията са успоредни помежду си. След натоварване на гредата правата й ос се деформира, при което центърът на тежестта на дадено напречно сечение се премества по оста x на разстояние uC(x), по оста y на разстояние vC(x) и по ос z на разстояние wC(x). Освен това според хипотезата на Бернули сечението се завърта около оста y на ъгъл ψ и около оста z – на ъгъл χ.

y

z

C C C1

dx

K K1

y

My

Mz

sx

x

D(dx)

x

Фиг. 8.11. Деформации в права греда Опитните наблюдения показват, че ако моментът Mус = 0, напречното сечение не се завърта около ос x. В сравнение с размерите на гредата uC(x), vC(x) и wC(x) имат малки стойности, а ъглите ψи χ са по-малки от 1о. Центърът на тежестта на едно съседно сечение, отстоящо от началото на гредата на разстояние x + dx, ще се премества по осите x, y и z съответно на разстояния uC(x+dx), vC(x+dx) и wC(x+dx) и ще се завърти на ъгли ψ+dψи χ+d χ съответно по осите y и z. Двете сечения отделят от гредата елемент, който има преди натоварването дължина dx. След натоварването този елемент ще се премести, завърти и деформира. При достатъчно малко dx след деформирането гредата може да се приеме, че оста на елемента с дължина dx е права. След натоварването дясното сечение на елемента ще се премести спрямо лявото сечения по оста x на разстояние duC, по ос y на разстояние dvC, по ос z на разстояние dwC и ще се завърти около ос y спрямо лявото сечение на ъгъл dψ и спрямо ос z на ъгъл d χ. Една нишка KK1 от разглеждания елемент е успоредна на оста x преди натоварването и има дължина dx. След натоварването тя ще се деформира, при което ще се удължи с ∆(dx). Това удължение представлява сума от преместването duC по оста x, преместването z.dψ вследствие завъртането около ос y и преместване σx y.d χ поради завъртане около ос z, т.е. ∆(dx) = duC + z.dψ + y.d χ Относителните премествания по осите y и z са пренебрежимо малки. Относителната линейна деформация на нишката е:

dxdx

x)(Δ

=ε или dxdz

dxdy

dxdu

dxdx C

xψχε ++=

Δ=

)( (5)

Нишката KK1 с напречно сечение dF може да се разглежда като елементарен обем. Върху челната й площ dF действа само нормалното напрежение sx.Според приетата хипотеза за отсъствие на взаимодействие между нишките околната й повърхнина е свободна от напрежения. Следователно този елемент се намира в условията на едномерно напрегнато състояние и съгласно закона на Хук може да се запише: xx E εσ ⋅= Ако се замести εx от израза (5) се получава:

zdxdEy

dxdE

dxdu

E Cx

ψχσ ++= (6)

Замествайки този израз в (4) позволява да се изразят вътрешните усилия:

∫∫∫ ++= zdFdxdEydF

dxdEdF

dxdu

ENFF

C ψχ

∫∫∫ ++= dFzdxdEyzdF

dxdEzdF

dxdu

EMF

Cy

2ψχ

∫∫∫ +−−= zydFdxdEdFy

dxdEydF

dxdu

EMF

Cz

ψχ 2

Тук Е, dxdψ,

dxdχ,

dxduC са еднакви за всички точки от сечението и затова са изведени

пред знака за интеграл. Освен това: FdF

F

=∫ е лицето на сечението; 0==∫F

zSydF и 0==∫F

ySdFz са статичните

моменти на сечението спрямо централните оси y и z; 0==∫F

yzJdFzy е

центробежен инерционен момент спрямо главните инерционни оси. Останалите интеграли са главните инерционни моменти: ∫=

Fy dFzJ 2 и ∫=

Fz dFyJ 2

Имайки пред вид тези изрази, за вътрешните усилия се получава:

dxdEJM

dxdEJM

dxdu

EFN zzyyC χψ

=== ;;

Или z

z

y

yC

EJM

dxd

EJM

dxd

EFN

dxdu

===χψ ;;

След заместване на тези изрази в (6) се получава:

yJM

zJM

FN

z

z

y

yx −+=σ (7)

Това равенство определя закона за разпределение на нормалните напрежения в напречното сечение на права греда. В инженерната практика, когато в едно сечение от вътрешните усилия различни от нула са N, My и Mz (както е в разглеждания случай), се приема, че то е подложено на едновременно огъване и опън-натиск.