ˇˆ˝ˇ ˝ • †“ ‘’ 4-6 · 2016-05-19 · ศ. ดร. ณรงค ป ... ˇˆ˝ˇ ˝...

ผเรยบเรยงศ. ดร. ณรงค ปนนมรศ. ดร. อาพล ธรรมเจรญ กนกวล อษณกรกลจนดา อยเปนสขรณชย มาเจรญทรพยนพรตน วนแกววฒชย ศรวสธาสายสณ สทธจกษ

บรรณาธการจนทรเพญ ชมคชไอศรย สดประเสรฐพสราภรณ ขวญพกล

พมพครงท 1สงวนลขสทธตามพระราชบญญตรหสสนคา 3036001

พมพครงท 1(เฉลย) รหสสนคา 3046001

เลม 1

ฉบบเฉลย

หนงสอเสรมสรางศกยภาพและทกษะ

คณตศาสตรชนมธยมศกษาปท 4-6รายวชาเพมเตม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

คาแนะนาในการใชสอ

สรปเนอหาเปนการสรปสาระสาคญ

บทนยาม ทฤษฎบท และสตรทใชในการคานวณตางๆทสาคญเพอใหผเรยนไดทบทวนและนาไปใชในการทาแบบฝกหด

Noteเปนคาอธบายหรอวธคด

เพอขยายและเพมความเขาใจแกผเรยน

Concept Map

ประพจน

การหาคาความจรงของประพจนการเชอมประพจน

ประโยคเปด

ตวบงปรมาณ

คาความจรงของประโยค

เปดทมตวบงปรมาณ

สมมลและนเสธของ

ประโยคเปดทมตวบงประมาณ

การสรางตารางคาความจรง

รปแบบของประพจนสมมลกน

สจนรนดร

การอางเหตผล

ตรรกศาสตร

เบองตน

คาความจรงของประโยคเปด

ทมตวบงปรมาณตวเดยว


ทมตวบงปรมาณสองตว

ตรรกศาสตรเบองตนหนวยการเรยนรท1

ผลการเร�ยนร

หาคาความจรงของประพจน

รปแบบของประพจนทสมบรณ

บอกไดวาการอางเหตผลทกาหนดใหสมเหตสมผลหรอไมสมเหตสมผล

ตรรกศาสตรเปนวชาทวาดวยการใหเหตผล และเปนเครองมอสาคญในการศกษาโครงสรางคณตศาสตร และ

สามารถนามาประยกตใชในบางสาขาวชา เชน วงจรอเลกทรอนกส คอมพวเตอร การตความทางกฎหมาย เปนตน

ทฤษฎบท 11 ให b เปนจานวนเตมทมากกวา 1 จานวนเตมบวก n สามารถเขยนในรปกระจาย

ฐาน b ไดเปน

n = akbk + ak-1b

k-1 + … + a1b1 + a0

เมอ k เปนจานวนเตม และ a0, a1, …, ak เปนจานวนเตมทไมเปนลบและนอยกวา

b และ ak ¹≠ 0

ใชสญลกษณ (akak-1ak-2…a0)b แทนการกระจายในรปของ ak bk + ak-1 + … + a1b + a0

เชน เขยน 57 ในรปการกระจายฐาน 5 และในรปตวเลขฐาน 5

57 = (5 × 11) + 2

11 = (5 × 2) + 1

2 = (5 × 0) + 2

เมอแทนคายอนกลบจะได

57 = (5 × 11) + 2

= 5 × [(5 × 2) + 1] + 2

= (52 × 2) + (5 × 1) + 2

ดงนน 57 = (212)5

1. ใหนกเรยนเตมผลหารและเศษเหลอตอไปน

9) -123 = (-11)(…………….) + ……………….

10) 256 = (-13)(…………….) + ……………….

11) -37 = (-11)(…………….) + ……………….

12) -113 = (-21)(…………….) + ……………….

13) -62 = 34(…………….) + ……………….

14) -372 = 31(…………….) + ……………….

15) 370 = (-19)(…………….) + ……………….

16) 72 = (-15)(…………….) + ……………….

1) 5 = 8(…………….) + ……………….

2) 28 = 4(…………….) + ……………….

3) 43 = 5(…………….) + ……………….

4) -24 = 7(…………….) + ……………….

5) -75 = 9(…………….) + ……………….

6) 59 = (-8)(…………….) + ……………….

7) 66 = (11)(…………….) + ……………….

8) -101 = 6(…………….) + ……………….

5 57

5 11 เศษ 2

5 2 เศษ 1

0 เศษ 2

พจารณาตวเศษยอนกลบ

จะได 57 = (212)5

Note

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถบอกใจความและความหมายของทฤษฎบท ขนตอนวธการหารได นกเรยนสามารถบอกนยามของจานวนคและจานวนคและนาไปใชได

3.3

186 คณตศาสตร เลม 1

Concept Mapเปนการนาเสนอขอบขายสาระการเรยนรของแตละหนวยการเรยนร

Ë¹Ñ§Ê×ÍàÊÃÔÁÊÃŒÒ§ÈÑ¡ÂÀÒ¾áÅÐ·Ñ¡ÉÐ ÃÒÂÇÔªÒà¾ÔèÁàµÔÁ ¤³ÔµÈÒÊµÃ� Á.4 - Á.6 àÅ‹Á 1 ¹Õé ¨Ñ´·íÒ¢Öé¹à¾×èÍà»š¹Ê×èÍãªŒÊíÒËÃÑº»ÃÐ¡Íº¡ÒÃàÃÕÂ¹¡ÒÃÊÍ¹ã¹ÃÒÂÇÔªÒà¾ÔèÁàµÔÁ ¡ÅØ‹ÁÊÒÃÐ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ¤³ÔµÈÒÊµÃ� ÃÐ´ÑºªÑé¹ÁÑ¸ÂÁÈÖ¡ÉÒ»‚·Õè 4-6 â´ÂË¹Ñ§Ê×ÍàÊÃÔÁÊÃŒÒ§ÈÑ¡ÂÀÒ¾áÅÐ·Ñ¡ÉÐ ÃÒÂÇÔªÒà¾ÔèÁàµÔÁ ¤³ÔµÈÒÊµÃ� Á.4 - Á.6 àÅ‹Á 1 ¹Õé ä´Œ¹íÒàÊ¹Íã¹ÃÙ»áºº·Õèà¹Œ¹¡ÒÃ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ·Ò§¤³ÔµÈÒÊµÃ�¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹µÒÁà¹×éÍËÒ·Õèä´ŒàÃÕÂ¹ÃÙŒâ´ÂàÃÕÂ§ÅíÒ´Ñº¨Ò¡§‹ÒÂä»ÂÒ¡ µÑé§áµ‹ÃÐ´Ñº¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨¨¹¶Ö§ÃÐ Ñº¡ÒÃ»ÃÐÂØ¡µ�ãªŒ¤ÇÒÁÃÙŒ¾ÃŒÍÁ·Ñé§àÊÃÔÁÍ§¤�»ÃÐ¡ÍºÍ×è¹æ ·Õè¨Ðª‹ÇÂãËŒ¼ÙŒÊÍ¹ãªŒÇÑ´»ÃÐàÁÔ¹¤ÇÒÁÃÙŒ¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹ áÅÐ¼ÙŒàÃÕÂ¹ä´ŒÃÑº¤ÇÒÁÃÙŒáÅÐ½ƒ¡½¹·Ñ¡ÉÐÍÂ‹Ò§ÁÕ»ÃÐÊÔ·¸ÔÀÒ¾


3. หาจานวนเตมบวกทนอยทสดทหารดวย 11, 27 และ 36 แลวมเศษเหลอเปน 2, 18 และ 27

ตามลาดบ

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

4. ถานาย ก. ปนจกรยานดวยความเรว 100 เมตร/นาท

นาย ข. ปนจกรยานดวยความเรว 120 เมตร/นาท

นาย ค. ปนจกรยานดวยความเรว 150 เมตร/นาท

ปนรอบสวนรปวงกลมทมเสนรอบวงยาว 1,800 เมตร โดยเรมปนพรอมกนทจดเดยวกน ทงสามคน

จะปน จกรยานมาถงทจดเรมตนพรอมกนครงแรกใชเวลาเทาใด

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

5. กาหนดให ห.ร.ม. ของ x และ 24 เปน 6 และ ค.ร.น. ของ x และ 24 เปน 360 คาของ x เปนเทาไร

วธทา ..................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................................

Hint

ถา n หาร 11 แลวเหลอเศษ 2

แสดงวา n + (11 - 2) = n + 9

หาร 11 คงตว

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

Hint

เปรยบเทยบทเวลาทแตละคน

ใช ในการปนจกรยาน 1 รอบสนาม


Unit Testแบบทดสอบหนวยการเรยนรท

ตอนท 1 เลอกคาตอบทถกทสด

1

1. ขอความใดตอไปน�เปนประพจน

1. x + 4 > 5 เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ

2. x + 3 < 2 เมอ x เปนจานวนเตมลบ

3. x + 2 = 2x เมอ x > 1

4. x + 1 ≠ 1 + x เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ

2. ขอความใดตอไปน�ไมเปนประพจน

1. x2 - y2 = (x + y)(x - y) เมอ x และ y เปนจานวนจรงใดๆ

2. x2 - x4 + 4 < 0 เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ

3. �x - y� = �x� - �y� เมอ x และ y เปนจานวนจรงใดๆ

4. x เปนตวประกอบของ 15 กตอเมอ x หาร 15 ลงตว

3. ขอใดกลาวถกตอง

1. “5∊{1, 3, 5, 7, …} และ 5 เปนจานวนค” มคาความจรงเปนเทจ

2. “2 เปนจานวนค หรอ 2n เปนจานวนค” มคาความจรงเปนเทจ

3. “ถา 0 เปนจานวนเตม แลว 0 + 2 เปนจานวนเตม” มคาความจรงเปนจรง

4. “7 > 4 กตอเมอ 17 > 1

4 ” มคาความจรงเปนจรง

4. ขอใดมคาความจรงของประพจนเปนเทจ

1. ถา 1∊{1, 3} แลว 1⊂{1, 3} 2. 3 และ 2 เปนจานวนจรง

3. 17 เปนจานวนเฉพาะ กตอเมอ 17 มตวประกอบคอ 1 กบ 17

4. 9 เทากบ 9 หรอ 9 มคาไมนอยกวา 9

5. กาหนดให p เปนประพจนใดๆ รปแบบของประพจนในขอมคาความจรงเปนจรงเสมอ

1. ∼(p ∧ ∼p) 2. ∼(p ∨ ∼p)

3. p ∧ p 4. ∼p ∨ ∼p

6. กาหนดให p เปนประพจนใดๆ รปแบบของประพจนในขอมคาความจรงเปนเทจเสมอ

1. ∼p → p 2. p ∨ ∼p

3. p → ∼p 4. ∼p ↔ p

67คณตศาสตร เลม 1

4) ถา a � (x - y) และ a � (x + y) แลว a � 2x วธทา ให a � (x - y) นนคอ จะมจานวนเตม p ททาให ........................................................................

และ a � (x + y) นนคอ จะมจานวนเตม q ททาให ........................................................................

(1) + (2) จะได ...................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ถา a � (2x - 3y) และ a � (4x - 5y) แลว a � y วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

Test for Uขอใดตอไปนสามารถสรปไดวา a � y

1. a � (2x - 3y) และ a � (3x - 6y) 2. a � (3x - 2y) และ a � (2x - 3y) 3. a � (4x - 2y) และ a � (5x - 6y) 4. a � (5x - 3y) และ a � (2x - y)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Hint

ตรวจสอบโดยการสรางสมการ

และจดรปของ y โดยการกาจด x

คณตศาสตร เลม 1 181

แบบทดสอบ

พสจนศกยภาพChallenge Test

1. กาหนดให p และ q เปนประพจน โดยท ∼(p → q) → ∼q มคาความจรงเปนจรง พจารณา

ขอความตอไปน�

(1) (p ↔ q) → ∼p มคาความจรงเปนจรง

(2) (p ∧ ∼q) → q มคาความจรงเปนเทจ

ขอใดถกตอง

1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด

3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด

2. กาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจน ซ�ง p → (q ∧ ∼r) มคาความจรงเปนเทจ

∼p ↔ (s ∧ t) มคาความจรงเปนจรง

ประพจนในขอใดตอไปน�มคาความจรงเปนจรง

1. (q ∧ t) → (p ∧ q) 2. (q ∨ r) ↔ ∼s

3. (s ∨ t) ↔ p 4. (p → s) → ∼r

3. ขอความใดตอไปน�มคาความจรงเปนจรง

1. (r ∨ ∼p) → (q ∨ r) 2. ถา x + 5 = 7 แลว x = 2 3. ∀x∀y[x2y > xy], U = R 4. ∃x∀y[(y - x)3 = y3 - x3], U = R

4. นเสธของขอรปแบบประพจน (p → ∼q) ∧ (r → s) คอขอใด

1. [(p ∧ ∼q) → ∼r] ∧ [(p ∧ ∼q) → s]

2. [(∼p ∨ q) → r] ∧ [(∼p ∨ q) → ∼s]

3. [p → (∼r ∨ s)] ∧ [∼q → (r ∧ ∼s)]

4. [∼p → (∼r ∨ s)] ∧ [q → (∼r ∨ s)]

5. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ พจารณาขอความตอไปน�

(1) ถารปแบบประพจน (p ∧ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนจรง และประพจน p

มคาความจรงเปนเทจ แลวสรปไดวาประพจน r มคาความจรงเปนเทจ

(2) รปแบบประพจน (p ∧ q) → (r ∧ s) สมมลกบรปแบบประพจน

[q → (p → r)] ∨ [p → (q → s)]

ขอใดตอไปน�ถกตอง



73คณตศาสตร เลม 1

Exerciseเปนแบบฝกหดทบทวนความรความเขาใจและพฒนาทกษะของผเรยน

เปนโจทยทมความซบซอนและตองใชทกษะทางคณตศาสตรหลายๆ ดาน ในการหาคาตอบ

Unit Test เปนแบบทดสอบหนวยการเรยนรเพอวดผลสมฤทธทางการเรยนของผเรยน เมอจบหนวยการเรยนร และประเมนจดออนจดแขงเปนรายบคคล

Hintชแนะวธการแกโจทยและเทคนคตางๆ ทางคณตศาสตร

Test For Uเปนแนวขอสอบเขาศกษาตอในระดบอดมศกษา เพอใหผเรยนไดฝกทากอนสอบจรง

Challenge Testเปนแบบทดสอบพสจนศกยภาพเพอใหผเรยนใชพสจนศกยภาพและทาทายความสามารถ มงเนนเตรยมความพรอมเพอใชสอบจรง


มเฉลยละเอยดในเวบไซต www.aksorn.com

สารบญ• ตารางวเคราะหผลการเรยนรและสาระการเรยนรฯ (1)• คาอธบายรายวชาเพมเตม (2)

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 1 µÃÃ¡ÈÒÊµÃ�àº×éÍ§µŒ¹ 1-74 1.1 ประพจน 2 1.2 การเชอมประพจน 4 1.3 การหาคาความจรงของประพจน 8 1.4 การสรางตารางคาความจรง 16 1.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน 21 1.6 สจนรนดร 29 1.7 การอางเหตผล 37 1.8 ประโยคเปด 45 1.9 ตวบงปรมาณ 46 1.10 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว 48 1.11 คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณสองตว 56 1.12 สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ 62 Unit Test 1 แบบทดสอบหนวยการเรยนรท 1 67 Challenge Test แบบทดสอบพสจนศกยภาพ 73

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 2 ÃÐºº¨íÒ¹Ç¹¨ÃÔ§ 75 - 176 2.1 ระบบจานวนจรง 76 2.2 สมบตของระบบจานวนจรง 80 2.3 การแกสมการพหนามตวแปรเดยว 90 2.4 สมบตของการไมเทากน 104 2.5 ชวงและการแกอสมการ 108 2.6 คาสมบรณ 138 2.7 การแกสมการและอสมการในรปคาสมบรณ 141 Unit Test 2 แบบทดสอบหนวยการเรยนรท 2 169 Challenge Test แบบทดสอบพสจนศกยภาพ 175

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè 3 ·ÄÉ®Õ¨íÒ¹Ç¹àº×éÍ§µŒ¹ 177 - 210 3.1 การหารลงตว 178 3.2 จานวนเฉพาะ 183 3.3 ขนตอนวธการหาร 185 3.4 ตวหารรวมมาก 195 3.5 ตวคณรวมนอย 200 Unit Test 3 แบบทดสอบหนวยการเรยนรท 3 203 Challenge Test แบบทดสอบพสจนศกยภาพ 209áºº·´ÊÍº»ÃÐ¨íÒÀÒ¤àÃÕÂ¹ 211 - 218


ตารางวเคราะหผลการเรยนรและสาระการเรยนร รายวชาเพมเตม

คณตศาสตร ม. 4 - ม.6 เลม 1

ผลการเรยนร

สาระการเรยนร

หนวยการเรยนรท 1 ตรรกศาสตรเบองตน1.1 ประพจน ✓

1.2 การเชอมประพจน ✓

1.3 การหาคาความจรงของประพจน ✓

1.4 การสรางตารางคาความจรง ✓

1.5 รปแบบของประพจนทสมมลกน ✓

1.6 สจนรนดร ✓

1.7 การอางเหตผล ✓

1.8 ประโยคเปด ✓

1.9 ตวบงปรมาณ ✓

1.10 คาความจรงของประโยค ทมตวบงปรมาณตวเดยว ✓

1.11 คาความจรงของประโยค ทมตวบงปรมาณสองตว ✓

1.12 สมมลและนเสธของประโยค ทมตวบงปรมาณ ✓

หนวยการเรยนรท 2 ระบบจานวนจรง2.1 ระบบจานวนจรง ✓

2.2 สมบตของระบบจานวนจรง ✓

2.3 การแกสมการพหนามตวแปรเดยว ✓

2.4 สมบตของการไมเทากน ✓

2.5 ชวงและการแกอสมการ ✓

2.6 คาสมบรณ ✓

2.7 การแกสมการและอสมการ ในรปคาสมบรณ ✓

หนวยการเรยนรท 3 ทฤษฎจานวน3.1 การหารลงตว ✓

3.2 จานวนเฉพาะ ✓

3.3 ขนตอนวธการหาร ✓

3.4 ตวหารรวมมาก ✓

3.5 ตวคณรวมนอย ✓

หาคา

ความ

จรงข

องปร

ะพจน

หารป

แบบข

องปร

ะพจน

ทสม

มลกน

ได

บอกไ

ดวาก

ารอา

งเหต

ผลทก

าหนด

ใหสม

เหตส

มผล

หรอไ

มสมเ

หตสม

ผล

มควา

มคดร

วบยอ

ดเก

ยวกบ

ระบบ

จานว

นจรง

นาสม

บตตา

งๆ ท

เกยว

กบจา

นวนจ

รง ก

ารดา

เนนก

ารไป

ใชได

แกสม

การพ

หนาม

ตวแป

รเด

ยวดก

รไมเ

กนสไ

ด

แกสม

การแ

ละอส

มการ

ในรป

คาสม

บรณ

ได

เขาใ

จสมบ

ตของ

จานว

นเตม

และน

าไปใ

ชในก

ารให

เหตผ

ลเก

ยวกบ

การห

ารลง

ตวได

(1)


คาอธบายรายวชาเพมเตม

คณตศาสตร ม.4 - ม.6 เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ชนมธยมศกษาปท 4 - 6 เวลา 80 ชวโมง จานวน 2.0 หนวยกต

ศกษาเกยวกบประพจน การเชอมประพจน การหาคาความจรงของประพจน การสราง

ตารางคาความจรง รปแบบของประพจนทสมมลกน สจนรนดร การอางเหตผล ประโยคเปด

ตวบงปรมาณ คาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตวเดยว คาความจรงของประโยคทม

ตวบงปรมาณสองตว สมมลและนเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ ระบบจานวนจรง สมบตของ

ระบบจานวนจรง การแกสมการพหนามตวแปรเดยว สมบตของการไมเทากน ชวงและการแก

อสมการ คาสมบรณ การแกสมการและอสมการในรปคาสมบรณ การหารลงตว ขนตอนวธการหาร

ตวหารรวมมาก และตวคณรวมนอย

โดยใชทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร ทกษะการเชอมโยง ทกษะการใหเหตผล

ทกษะการคดอยางมเหตผล ทกษะการประยกตใชความร ทกษะกระบวนการคดแกปญหา และ

ทกษะการนาความรไปประยกตใช

เพอใหมความรความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอความหมายทาง

คณตศาสตร การนาเสนอ และพฒนาความคดรเรมงานทางคณตศาสตรทงในและนอกชนเรยน

และเนนใหเหนคณคาและมเจตคตทดตอคณตศาสตร ซงสามารถนาไปประยกตใชในการทางาน

ไดอยางเปนระบบ

ผลการเรยนร 1. หาคาความจรงของประพจนได

2. หารปแบบของประพจนทสมมลกนได

3. บอกไดวาการอางเหตผลทกาหนดใหสมเหตสมผลหรอไมสมเหตสมผล

4. มความคดรวบยอดเกยวกบระบบจานวนจรง

5. นาสมบตตางๆ เกยวกบจานวนจรง การดาเนนการไปใชได

6. แกสมการพหนามตวแปรเดยวดกรไมเกนสได

7. แกสมการและอสมการในรปคาสมบรณได

8. เขาใจสมบตของจานวนเตมและนาไปใชในการใหเหตผลเกยวกบการหารลงตวได

รวม 8 ผลการเรยนร(2)


Concept Map

ประพจน

การหาคาความจรงของประพจนการเชอมประพจน

ประโยคเปด

ตวบงปรมาณ

คาความจรงของประโยค

เปดทมตวบงปรมาณ

สมมลและนเสธของ

ประโยคเปดทมตวบงประมาณ


รปแบบของประพจนสมมลกน

สจนรนดร

การอางเหตผล

ตรรกศาสตร

เบองตน


ทมตวบงปรมาณตวเดยว


ทมตวบงปรมาณสองตว

ตรรกศาสตรเบองตนหนวยการเรยนรท1

ผลการเร�ยนร

หาคาความจรงของประพจนได

หารปแบบของประพจนทสมบรณได

บอกไดวาการอางเหตผลทกาหนดใหสมเหตสมผลหรอไมสมเหตสมผล

ตรรกศาสตรเปนวชาทวาดวยการใหเหตผล และเปนเครองมอสาคญในการศกษาโครงสรางคณตศาสตร และ

สามารถนามาประยกตใชในบางสาขาวชา เชน วงจรอเลกทรอนกส คอมพวเตอร การตความทางกฎหมาย เปนตน



1 . 1 »ÃÐ¾¨¹� Propositions ËÃ×Í Statements

บทนยาม ประพจน คอ ประโยคหรอขอความทอยในรปบอกเลาหรอปฏเสธทมคาความจรง

เปนจรงหรอเทจอยางใดอยางหนงเทานน

เชน จงหวดสงขลาอยทางภาคใตของประเทศไทย เปนประพจนทมคาความจรงเปนจรง

sin2 30 - cos2 30 = 1 เปนประพจนทมคาความจรงเปนเทจ

เขาเปนคนหนาตาด ไมเปนประพจน ถงแมจะเปนประโยคบอกเลาแตเนองจาก

ไมทราบวา “เขา” เปนใคร และความนยมชมชอบ ความ

หนาตาด เปนการแสดงความคดเหนสวนบคคล จงไม

สามารถบอกคาความจรงของประโยคได

ใครไมสงการบาน ไมเปนประพจน เพราะไมสามารถบอกคาความจรงของ

ประโยคได

ประโยคหรอขอความทอยในรปคาถาม คาสง ขอรอง ออนวอน แสดงความปรารถนา

คาอทาน สภาษตคาพงเพย หรอประโยคทไมสามารถหาคาความจรงได ไมเปนประพจน

1. พจารณาประโยคหรอขอความตอไปนวาเปนประพจนหรอไม ถาเปนประพจนใหระบ

คาความจรงของประพจนดวย

1) โปรดขามถนนตรงทางมาลาย ..................................................................................................................

2) ไกงามเพราะขน คนงามเพราะแตง ..................................................................................................................

3) 1 สปดาห ม 7 วน ..................................................................................................................

4) งดใชเสยง ..................................................................................................................

5) ไกออกลกเปนไข ..................................................................................................................

6) คณพระชวย ..................................................................................................................

7) ใครมาเคาะประต ..................................................................................................................

8) หามเขากอนไดรบอนญาต ..................................................................................................................

9) เขาเปนนกกวของไทย ..................................................................................................................

10) หลอจงเลย ..................................................................................................................

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถบอกไดวาขอความทกาหนดให ขอความใดเปนประพจนและขอความใดไมเปนประพจน

1.1ฉบบเฉลย

ไมเปนประพจน


เปนประพจน มคาความจรงเปนจรง









11) 1 เปนจานวนเฉพาะ ..................................................................................................................

12) x + 2 = 3 ..................................................................................................................

13) 4 เปนจานวนเตม ..................................................................................................................

14) x เปนตวประกอบของ x2 - x ..................................................................................................................

15) 0 เปนจานวนค ..................................................................................................................

16) -9 ไมเปนจานวนตรรกยะ ..................................................................................................................

17) 3∊{1, 2, 3} ..................................................................................................................

18) φ = {φ} ..................................................................................................................

19) x2 - y2 = (x - y)(x + y) ..................................................................................................................

20) π + 2 เปนจานวนอตรรกยะ ..................................................................................................................

21) ชาง ชาง ชาง นองเคยเหนชางหรอเปลา ..................................................................................................................

22) ชางนนมงวง มงา ..................................................................................................................

23) โรงเรยนของเรานาอย ..................................................................................................................

24) คณครใจดทกคน ..................................................................................................................

25) พวกเราทกคนชอบมาโรงเรยน ..................................................................................................................

2. เขยนประโยคหรอขอความทเปนประพจนมา 5 ประพจน พรอมทงบอกคาความจรงของ

ประพจนนนๆ

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

3. เขยนประโยคหรอขอความทไมเปนประพจนมา 5 ประโยค พรอมทงบอกเหตผลททาใหไมเปน

ประพจนของประโยคนนๆ

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................


เปนประพจน มคาความจรงเปนเทจ







เปนประพจน มคาความจรงเปนเทจ








(แนวตอบ)

- พยญชนะไทยม 44 ตว (มคาความจรงเปนจรง)

- ประเทศไทยปกครองแบบประชาธปไตยโดยมพระมหากษตรยทรงเปนประมข (มคาความจรงเปนจรง)

- ในกระเพาะอาหารของมนษยมนายอยทมฤทธเปนกรดสงมากจนสามารถละลายสงกะสได

(มคาความจรงเปนเทจ)

- หนอนกระสอตวเมยมอวยวะทเรองแสงอยบรเวณใตทอง (มคาความจรงเปนเทจ)

- 2 ไมเปนตวประกอบเฉพาะของ 123 (มคาความจรงเปนจรง)

(แนวตอบ)

- เชอหรอไมวารางกายของคนผลตกระแสไฟฟาได เพราะเปนประโยคคาถาม

- เสยงกรนเปนเสยงทสรางความราคาญแกผไดยน เพราะ “ความราคาญ” เปนความรสกสวนบคคล

- โปรดใชถงผาแทนถงกระดาษ เพราะเปนประโยคขอรอง

- x2 - x + 1 = 0 เพราะไมสามารถบอกคาความจรงของประโยคได เนองจากไมทราบคา x

- x + 2 > y เพราะไมสามารถบอกคาความจรงของประโยคได เนองจากไมทราบคา x และ y


1 . 2 ¡ÒÃàª×èÍÁ»ÃÐ¾¨¹� Propositional connectives

ประโยคทประกอบดวยประพจนตงแตสองประพจนขนไปเรยกวา รปแบบประพจน ซงใช

ตวอกษรภาษาองกฤษตวพมพเลก เชน p, q, r, s, … แทนประพจนทนามาเชอมกน และเรยก

p, q, r, s, … วาประพจนยอย

การเชอมประพจนตงแตสองประพจนขนไป ตองใชตวเชอมดงตอไปน

ให p แทนประพจน “สมเปนผลไม”

และ q แทนประพจน “มะเขอเทศเปนผก”

การเชอมประพจนดวยตวเชอม และ

รปแบบของประพจนทเกดจากการเชอม p กบ q ดวย

“และ” คอ p และ q เขยนแทนดวยสญลกษณ p ∧ q

การเชอมประพจนดวยตวเชอม หรอ


“หรอ” คอ p หรอ q เขยนแทนดวยสญลกษณ p ∨ q

การเชอมประพจนดวยตวเชอม ถา…แลว…


“ถา…แลว…” คอ ถา p แลว q เขยนแทนดวยสญลกษณ

p → q

การเชอมประพจนดวยตวเชอม กตอเมอ


“กตอเมอ” คอ p กตอเมอ q เขยนแทนดวยสญลกษณ p ↔ q

นเสธของประพจน

รปแบบของประพจนทเกดจากการเตมนเสธของ p คอ

นเสธ p เขยนแทนดวยสญลกษณ ∼p

สมเปนผลไม มะเขอเทศเปนผก

p ∧ q

และ


p ∨ q

หรอ


p ↔ q

กตอเมอ


p → q

แลวถา

∼p

สม ไม เปนผลไม



ตารางแสดงคาความจรงของประพจนทมตวเชอม

p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q ∼p

T T T T T T F

T F F T F F F

F T F T T F T

F F F F T T T

1. เขยนประโยคตอไปนใหอยในรปสญลกษณ

1) เตามสขาและลงมสองขา

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) แมวออกลกเปนตว แตหมาออกลกเปนไข

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) หนงปม 365 วน หรอ 366 วน

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

1) p ∧ q จะมคาความจรงเปนจรง เพยงกรณเดยวคอ เมอทง p และ q เปนจรงทงค

2) p ∨ q จะมคาความจรงเปนเทจ เพยงกรณเดยวคอ เมอทง p และ q เปนเทจทงค

3) p → q จะมคาความจรงเปนเทจ เพยงกรณเดยวคอ เมอ p เปนจรงและ q เปนเทจ

4) p ↔ q จะมคาความจรงเปนจรง เมอ p และ q

มคาความจรงเหมอนกน

5) ∼p จะมคาความจรงตรงขามกบ p เสมอ

Note

สาหรบ p → q จางายๆ วาจะเปนเทจเมอประพจนหนาเปนจรง และประพจนหลงเปนเทจ

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถบอกคาความจรงของประพจนและหานเสธของประพจนทกาหนดใหได

1.2


ให p แทน เตามสขา q แทน ลงมสองขา

รป สญลกษณ คอ p ∧ q

ให p แทน แมวออกลกเปนตว q แทน หมาออกลกเปนไข

รปสญลกษณ คอ p ∧ q

ให p แทน หนงปม 365 วน q แทน หนงปม 366 วน

รปสญลกษณ คอ p ∨ q


4) ถาพระอาทตยขนทางทศตะวนตก แลวพระอาทตยตกทางทศตะวนออก

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ยะลาอยทางภาคใตกตอเมอเชยงรายอยทางภาคเหนอ

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

6) 2 + 3 > 7 และ 7 + 5 > 9

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

7) 5 - 3 = 2 หรอ 5 + 3 = 8

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

8) 16 เปนจานวนค กตอเมอ 2 หาร 16 ลงตว

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

9) ถา 12 + 3 = 15 แลว 15 - 3 ≠ 12 ........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

10) π เปนจานวนอตรรกยะ แต 25 ไมเปนจานวนอตรรกยะ

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2. หานเสธของประโยคตอไปน

1) ชางไมไดออกลกเปนตว ........................................................................................................................................

2) ปลาเปนสตวปก ........................................................................................................................................

3) 4 มากกวา -5 ........................................................................................................................................

4) 12 + 7 = 19 ........................................................................................................................................

5) 1∊ {1, 2, 3, …} ........................................................................................................................................

6) 3 × 4 ไมนอยกวา 4 × 3 ........................................................................................................................................

7) ดนสอวางอยบนโตะ ........................................................................................................................................


ให p แทน พระอาทตยขนทางทศตะวนตก q แทน พระอาทตยตกทางทศตะวนออก

รปสญลกษณ คอ p → q

ให p แทน ยะลาอยทางภาคใต q แทน เชยงรายอยทางภาคเหนอ

รปสญลกษณ คอ p ↔ q

ให p แทน 2 + 3 > 7 q แทน 7 + 5 > 9


ให p แทน 5 - 3 = 2 q แทน 5 + 3 = 8

รปสญลกษณ คอ p ∨ q

ให p แทน 16 เปนจานวนค q แทน 2 หาร 16 ลงตว

รปสญลกษณ คอ p ↔ q

ให p แทน 12 + 3 = 15 q แทน 15 - 3 ≠ 12

รปสญลกษณ คอ p → q

ให p แทน π เปนจานวนอตรรกยะ q แทน 25 ไมเปนจานวนอตรรกยะ


ชางออกลกเปนตว

ปลาไมเปนสตวปก

4 ไมมากกวา -5 ∕ 4 นอยกวาหรอเทากบ -5

12 + 7 ≠ 19

1∉{1, 2, 3, …}

3 × 4 นอยกวา 4 × 3

ดนสอไมไดวางอยบนโตะ


8) ครนดสอนวชาคณตศาสตร ........................................................................................................................................

9) 5 - 6 < 0 ........................................................................................................................................

10) 7 ไมใชตวประกอบเฉพาะของ 49 ........................................................................................................................................

3. เขยนขอความแทนสญลกษณตอไปน

เมอกาหนดให p แทนขอความ “2 เปนจานวนค”

และ q แทนขอความ “1 ไมเปนจานวนเฉพาะ”

1) p ∧ ∼q

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∼p → q ........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∼p ↔ ∼q

........................................................................................................................................................................................................................................

4) (p ∧ ∼q) → ∼p

........................................................................................................................................................................................................................................

5) q ↔ (p ∨ ∼q)

........................................................................................................................................................................................................................................

4. เขยนขอความแทนสญลกษณตอไปน

เมอกาหนดให p แทนประพจน “คางคาวเปนสตวปก”

q แทนประพจน “นกเปนสตวปก”

และ r แทนประพจน “คางคาวเปนนก”

1) p → r ........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∼r ↔ (p ∧ q) ........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∼p → (q ∧ ∼r)

........................................................................................................................................................................................................................................

4) (p ∧ q) → r ........................................................................................................................................................................................................................................


2 เปนจานวนค และ 1 เปนจานวนเฉพาะ

ถา 2 ไมเปนจานวนค แลว 1 ไมเปนจานวนเฉพาะ

2 ไมเปนจานวนค กตอเมอ 1 เปนจานวนเฉพาะ

ถา 2 เปนจานวนค และ 1 เปนจานวนเฉพาะ แลว 2 ไมเปนจานวนค

1 ไมเปนจานวนเฉพาะ กตอเมอ 2 เปนจานวนค หรอ 1 เปนจานวนเฉพาะ

ถาคางคาวเปนสตวปก แลวคางคาวเปนนก

คางคาวไมเปนนก กตอเมอ คางคาวและนกเปนสตวปก

ถาคางคาวไมเปนสตวปก แลวนกเปนสตวปกและคางคาวไมเปนนก

ถาคางคาวและนกเปนสตวปก แลวคางคาวเปนนก

ครนดไมไดสอนวชาคณตศาสตร

5 - 6 ≮ 0 ∕ 5 - 6 ≥ 0

7 เปนตวประกอบเฉพาะของ 49


1 . 3 ¡ÒÃËÒ¤‹Ò¤ÇÒÁ¨ÃÔ§¢Í§»ÃÐ¾¨¹� Truth value

ในการหาคาความจรงของรปแบบประพจนทมจานวนประพจนยอยมากขน หรอมความ

ซบซอนเพมขน เราจะใชตารางคาความจรงของประพจนทมตวเชอมตางๆ ในการหาคาความจรง

ของรปแบบประพจน โดยเรมจากหาคาความจรงของประพจนยอยในวงเลบกอน และเพอให

สะดวกอาจใชแผนภาพในการหาคาความจรงของรปแบบประพจนได ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนทมคาความจรงเปน จรง เทจ จรง และ

เทจ ตามลาดบ ใหหาคาความจรงของรปแบบประพจนตอไปน

1) (∼p → q) ↔ (r ∧ ∼s)

2) [p → (∼q ∨ r)] ↔ [∼s → (p ↔ q)]

วธทา 1) จาก (∼p → q) ↔ (r ∧ ∼s)

จะได T F

F F T T

T T

T

ดงนน (∼p → q) ↔(r ∧ ∼s) มคาความจรงเปนจรง

2) จาก [p → (∼q ∨ r)] ↔ [∼s → (p ↔ q)]

จะได F F T F

T T T F

T T F

T

F

ดงนน [p → (∼q ∨ r)] ↔ [∼s → (p ↔ q)] มคาความจรงเปนเทจ

ในกรณทประพจนไมไดอยในรปสญลกษณ เรานยมเปลยนประพจนนนๆ ใหอย ใน

รปสญลกษณกอนเพอใหงายตอการพจารณาคาความจรง จากนนจงใชตารางคาความจรงของ

ประพจนทมตวเชอมตางๆ ในการหาคาความจรงของรปแบบประพจนตอไป



ตวอยางท 2 หาคาความจรงของประโยค “ถา 5 + (3 × 2) = 10 แลว 3 × 2 = 5”

วธทา ให p แทน 5 + (3 × 2) = 10 ซงมคาความจรงเปนเทจ

และ q แทน 3 × 2 = 5 ซงมคาความจรงเปนเทจ

ประโยคทกาหนดใหอยในรปสญลกษณ p → q

จะไดวา p → q เปนจรง

ดงนน ประโยค “ถา 5 + (3 × 2) = 10 แลว 3 × 2 = 5” มคาความจรงเปนจรง

1. กาหนดให p และ q มคาความจรงเปนจรง r, s และ t มคาความจรงเปนเทจ ใหหาคาความ

จรงของรปแบบประพจนตอไปน โดยใชแผนภาพ

1) (s → ∼q) → r 2) (s → t) → ∼q

3) ∼(p ∧ q) ↔ t 4) (∼s ∨ t) ∧ ∼r

5) ∼p → (q ∨ ∼r) 6) ∼(s → t) ↔ ∼p

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาคาความจรงของประพจนทเกดจากการนาประพจนยอยมาเชอมกนเมอทราบคาความจรงของประพจนยอยได

1.3

T

F F

T F

F

F F T

T F

F

F

T F F

T T

T

F F

T T

F F

T

F

T T T

F T

T

T T

T

F F

T



7) (p ∧ q) → ∼(s ∨ t) 8) (r ↔ ∼s) ∨ ∼(p → q)

9) (p ↔ q) ∨ (∼r ∧ q) 10) ∼[(t → ∼s) ∧ r] → p

11) [(p ∧ q) → s] ∧ ∼t 12) [(s ∧ ∼r) → t] ↔ (p ∨ ∼q)

13) ∼[(s → ∼q) ∨ (p → r)] 14) ∼(p ↔ q) ↔ [s ↔ (r → ∼t)]

T T F

T T

F T

F

T

T T F F

T F

T

T

F T T

F T T

F F

F

F

F T

T

F

T

T

F T

F T T F

F T

T

T

T T F

F F F

T

T

F

T T

T

F T

F

T T F

T T

T

T

F

F

F

TF F

F

T

T



2. กาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจนทมคาความจรงเปน เทจ, จรง, จรง, เทจ และจรง

ตามลาดบ จงหาคาความจรงของรปแบบประพจนตอไปน

1) (p ∧ s) → r

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

2) (∼q ∨ r) ∧ p

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

3) (t → s) ↔ (q ∨ r)

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

4) ∼(q → p) ∨ ∼s

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

5) (r → ∼s) ∧ q

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................


F F

F T

T

T

F T

T F

F

T F T T

F T

F

ดงนน รปแบบประพจน (p ∧ s) → r มคาความจรงเปนจรง

ดงนน รปแบบประพจน (∼q ∨ r) ∧ p มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน รปแบบประพจน ∼(q → p) ∨ ∼s มคาความจรงเปนจรง

ดงนน รปแบบประพจน (t → s) ↔ (q ∨ r) มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน รปแบบประพจน (r → ∼s) ∧ q มคาความจรงเปนจรง

T F

F F

T T

T

F

T T

T T

T


6) p ↔ (∼t ∨ s)

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

7) (∼q ∨ s) ∧ (q ∨ ∼t)

.....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

8) ∼(p → s) ∨ (t ↔ ∼q)

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

9) (∼t ∨ r) → (p ∧ q)

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

10) [(p ↔ q) ∨ r] → ∼s

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................


T

F F

F F

T

T T

F F T F

F T

F

T

F T F T

T F

F

F T

F T F

T T

T

F F T

T T F

F F

F

ดงนน รปแบบประพจน [(p ↔ q) ∨ r] → ∼s มคาความจรงเปนจรง

ดงนน รปแบบประพจน p ↔ (∼t ∨ s) มคาความจรงเปนจรง

ดงนน รปแบบประพจน (∼q ∨ s) ∧ (q ∨ ∼t) มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน รปแบบประพจน ∼(p → s) ∨ (t ↔ ∼q) มคาความจรงเปนเทจ

ดงนน รปแบบประพจน (∼t ∨ r) → (p ∧ q) มคาความจรงเปนเทจ


3. กาหนดให q, r และ s เปนประพจน เตมคาความจรงของประพจนลงในชองวาง

โดยเขยน “T” แทนประพจนทมคาความจรงเปนจรง

และเขยน “F” แทนประพจนทมคาความจรงเปนเทจ

1) ∼s ∨ s มคาความจรงเปน .....................................................................................................................................................

2) ∼r ∧ r มคาความจรงเปน .....................................................................................................................................................

3) ∼q ↔ q มคาความจรงเปน .....................................................................................................................................................

4) ถา r มคาความจรงเปนเทจ แลว r ∧ s มคาความจรงเปน ...............................................................

5) ถา s มคาความจรงเปนจรง แลว r ∨ s มคาความจรงเปน ...............................................................

6) ถา q มคาความจรงเปนเทจ แลว q → r มคาความจรงเปน ...............................................................

7) ถา s มคาความจรงเปนจรง แลว r → s มคาความจรงเปน ...............................................................

8) ถา q ↔ r มคาความจรงเปนจรง และ r มคาความจรงเปนเทจ

แลว q มคาความจรงเปน ……………………………

9) ถา q ↔ r มคาความจรงเปนเทจ และ r มคาความจรงเปนเทจ


10) ถา s → q มคาความจรงเปนจรง และ s มคาความจรงเปนจรง


11) ถา s → q มคาความจรงเปนเทจ แลว s มคาความจรงเปน ……………………………

และ q มคาความจรงเปน ……………………………

12) ถา q ∧ r มคาความจรงเปนจรง แลว q มคาความจรงเปน ……………………………

และ r มคาความจรงเปน ……………………………

13) ถา q ∨ r มคาความจรงเปนเทจ แลว q มคาความจรงเปน ……………………………

และ r มคาความจรงเปน ……………………………

14) (p ∧ ∼p) → (r ∨ s) มคาความจรงเปน ……………………………

15) [(p ∨ ∼p) ∧ r] ↔ [r → (s ↔ ∼s)] มคาความจรงเปน ……………………………


T

F

F

F

T

T

T

F

T

T

T

F

T

T

F

F

T

F


4. หาคาความจรงของประพจนยอยในแตละขอตอไปน

1) (∼q ↔ ∼s) ∨ (q → p) มคาความจรงเปนเทจ

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

2) (∼r → s) ↔ s มคาความจรงเปนเทจ

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

3) (p → q) → (q ↔ p) มคาความจรงเปนเทจ

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

4) r ∧ (q → s) ∧ (r ↔ ∼s) มคาความจรงเปนจรง

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

5) [∼(p ∨ q)] ∧ (s → q) มคาความจรงเปนจรง

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

6) [(p → q) ∧ (∼q → s)] → (r ∨ q) มคาความจรงเปนเทจ

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................

........................................................................................................................................


F

F F

F T T F

T F

F

T F

F T T F

T

T T T

F F T T

F

T

T T

F F F

F F

F

T F

T T F F

F F T T

F

จะไดวา p มคาความจรงเปนเทจ

q มคาความจรงเปนจรง

s มคาความจรงเปนเทจ

จะไดวา r มคาความจรงเปนจรง



q มคาความจรงเปนจรง

จะไดวา q มคาความจรงเปนเทจ

r มคาความจรงเปนจรง



q มคาความจรงเปนเทจ



q มคาความจรงเปนเทจ

r มคาความจรงเปนเทจ

s มคาความจรงเปนจรง

F

T F

F F

T


5. กาหนดให r, s และ t เปนประพจน โดยท (r → t) → ∼(s ∨ t) มคาความจรงเปนจรง และ

s ↔ t มคาความจรงเปนเทจ ใหหาคาความจรงของ s, r, t

วธทา ...................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

บางครงเราสามารถหาคาความจรงของรปแบบประพจนได โดยไมจาเปนจะตองทราบคาความจรงของประพจนยอยทกตว


เนองจาก s ↔ t มคาความจรงเปนเทจ แสดงวา s และ t มคาความจรงตางกน

จะไดวา s ∨ t มคาความจรงเปนจรง

พจารณา (r → t) → ∼(s ∨ t)

T

F F

T F T

T F

ดงนน s และ r มคาความจรงเปนจรง

t มคาความจรงเปนเทจ

F T T T T F F F

T T F F F T T T

T F T T F F F

T F T T F F

แนวคด พจารณา p → q และ r → q F F T F T F

ดงนน p และ r มคาความจรงเปนจรง q มคาความจรงเปนเทจ s ไมสามารถสรปได

พจารณา 1 (q ∨ p) → (p → ∼r) พจารณา 2 [(p → s) ∧ q] ↔ (r ∨ s)

พจารณา 3 (∼p ↔ q) → (∼r → s) พจารณา 4 [(p ∧ s) ∨ q] → (∼p ∨ ∼r)

ไมสามารถสรปคาความจรงของรปแบบประพจนได

Test for Uกาหนดให p, q, r และ s เปนประพจน โดยท p → q, r → q มคาความจรงเปนเทจ ประพจนในขอใดมคาความจรงเปนจรง 1. (q ∨ p) → (p → ∼r) 2. [(p → s) ∧ q] ↔ (r ∨ s) 3. (∼p ↔ q) → (∼r → s) 4. [(p ∧ s) ∨ q] → (∼p ∨ ∼r)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3


1 . 4 ¡ÒÃÊÃŒÒ§µÒÃÒ§¤‹Ò¤ÇÒÁ¨ÃÔ§ Truth table

ในการพจารณาคาความจรงของรปแบบประพจนกรณทไมทราบคาความจรงของประพจน

ยอย เราสามารถหาคาความจรงทเปนไปไดทงหมดของรปแบบประพจนจากการสรางตาราง

คาความจรง

รปแบบประพจนทประกอบดวยประพจนยอย n ประพจน

จานวนกรณทพจารณาทงหมดเทากบ 2n กรณ

1. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจน สรางตารางแสดงคาความจรงของรปแบบของประพจน

ตอไปน

1) p ∧ ∼q

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∼r ↔ s

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถสรางตารางหาคาความจรงของรปแบบประพจนทไดจากการนาประพจนยอยมาเชอมกนได

1.4


p q ∼q p ∧ ∼q

T T F F

T F T T

F T F F

F F T F

r s ∼r ∼r ↔ s

T T F F

T F F T

F T T T

F F T F


3) ∼q → ∼s

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) (∼r → q) ∨ s

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) (p ∨ r) ↔ (p ∧ s)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


q s ∼q ∼s ∼q → ∼s

T T F F T

T F F T T

F T T F F

F F T T T

q r s ∼r ∼r → q (∼r → q) ∨ s

T T T F T T

T T F F T T

T F T T T T

T F F T T T

F T T F T T

F T F F T T

F F T T F T

F F F T F F

p r s p ∨ r p ∧ s (p ∨ r) ↔ (p ∧ s)

T T T T T T

T T F T F F

T F T T T T

T F F T F F

F T T T F F

F T F T F F

F F T F F T

F F F F F T


6) (q ↔ r) ∨ (r → p)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

7) ∼(p → r) ∧ ∼s

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


p q r q ↔ r r → p (q ↔ r) ∨ (r → p)

T T T T T T

T T F F T T

T F T F T T

T F F T T T

F T T T F T

F T F F T T

F F T F F F

F F F T T T

p r s ∼s p → r ∼(p → r) ∼(p → r) ∧ ∼s

T T T F T F F

T T F T T F F

T F T F F T F

T F F T F T T

F T T F T F F

F T F T T F F

F F T F T F F

F F F T T F F


8) (s ∨ ∼p) ↔ (s ∧ r)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

9) (r ∧ ∼s) → ∼p

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


p s r ∼p s ∨ ∼p s ∧ r (s ∨ ∼p) ↔ (s ∧ r)

T T T F T T T

T T F F T F F

T F T F F F T

T F F F F F T

F T T T T T T

F T F T T F F

F F T T T F F

F F F T T F F

p r s ∼p ∼s r ∧ ∼s (r ∧ ∼s) → ∼p

T T T F F F T

T T F F T T F

T F T F F F T

T F F F T F T

F T T T F F T

F T F T T T T

F F T T F F T

F F F T T F T


10) (p ∧ q) → ∼(r ∨ s)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

p q p▿q

T T F

T F F

F T T

F F T


p q r s p ∧ q r ∨ s ∼(r ∨ s) (p ∧ q) → ∼(r ∨ s)

T T T T T T F F

T T T F T T F F

T T F T T T F F

T T F F T F T T

T F T T F T F T

T F T F F T F T

T F F T F T F T

T F F F F F T T

F T T T F T F T

F T T F F T F T

F T F T F T F T

F T F F F F T T

F F T T F T F T

F F T F F T F T

F F F T F T F T

F F F F F F T T

ตอบ (∼p▿q) → (∼q▿p) มคาความจรงเปนเทจเพยงกรณเดยว คอ เมอ p เปนจรง และ q เปนเทจ

สวนกรณอนเปนจรงทงหมด

∼p ∼p▿q ∼q ∼q▿p (∼p▿q) → (∼q▿p)

F T F T T

F T T F F

T F F T T

T F T F T

Test for U ให p และ q เปนประพจน ถา p▿q เปนรปแบบประพจนทมคาความจรงดงตารางดานลาง

ใหหาคาความจรงของ (∼p▿q) → (∼q▿p)

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


1 . 5 ÃÙ»áºº¢Í§»ÃÐ¾¨¹�·ÕèÊÁÁÙÅ¡Ñ¹ Logically equivalence

รปแบบของประพจนสองรปแบบใดๆ ทมคาความจรงตรงกนทกๆ กรณ สามารถใชแทนกนได

จะกลาววา “รปแบบประพจนทสมมลกน” สญลกษณทใชแสดงการสมมลกน คอ “ ≡ ”

พจารณาคาความจรงแตละกรณของรปแบบของประพจน p → ∼q และ ∼(p ∧ q) โดย

สรางตารางคาความจรง ดงน

จากตาราง จะพบวาคาความจรงของรปแบบของประพจน p → ∼q และ ∼(p ∧ q) เหมอนกน

ทกๆ กรณ แสดงวารปแบบประพจนทงสอง “สมมลกน” เขยนเปนสญลกษณไดวา

p → ∼q ≡ ∼(p ∧ q)

รปแบบประพจนทสมมลกนทควรทราบ มดงน

เมอ p, q และ r เปนประพจนใดๆ

1. ∼(∼p) ≡ p

2. p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p

3. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

5. p ↔ q ≡ q ↔ p ≡ (p → q) ∧ (q → p)

6. p → q ≡ ∼q → ∼p ≡ ∼p ∨ q

7. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q

8. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q

9. ∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q

10. ∼(p ↔ q) ≡ p ↔ ∼q ≡ ∼p ↔ q

p q ∼q p → ∼q p ∧ q ∼(p ∧ q)T T F F T F

T F T T F T

F T F T F T

F F T T F T



สาหรบการตรวจสอบขอความสองขอความวาสมมลกนหรอไมนน สามารถตรวจสอบได

โดยการเปลยนขอความเปนสญลกษณในรปแบบของประพจนกอน แลวจงพจารณาวารปแบบของ

ประพจนทงสองสมมลกนหรอไม

ตวอยางท 3 ใหตรวจสอบวาขอความทกาหนดให สมมลกนหรอไม

“ถา A⊂B และ A∪C = B แลว B - A = C”

“A⊄B หรอ ถา A∪C = B แลว B - A = C”

วธทา ให p แทน A⊂B q แทน A∪C = B

r แทน B - A = C

จะไดวา ถา A⊂B และ A∪C = B แลว B - A = C เขยนแทนดวย (p ∧ q) → r

A⊄B หรอ ถา A∪C = B แลว B - A = C เขยนแทนดวย ∼p ∨ (q → r)

สรางตารางคาความจรงของ (p ∧ q) → r กบ ∼p ∨ (q → r) ดงน

p q r p ∧ q (p ∧ q) → r ∼p q → r ∼p ∨ (q → r)T T T T T F T T

T T F T F F F F

T F T F T F T T

T F F F T F T T

F T T F T T T T

F T F F T T F T

F F T F T T T T

F F F F T T T T

จะเหนวาคาความจรงของรปแบบประพจน (p ∧ q) → r กบ ∼p ∨ (q → r) ตรงกน

กรณตอกรณ

จะไดวา (p ∧ q) → r ≡ ∼p ∨ (q → r)

ดงนน ขอความขางตนทงสองสมมลกน



1. พจารณารปแบบของประพจนทกาหนดใหวาสมมลกนหรอไม โดยการสรางตารางคาความจรง

1) p → (q ∨ p) และ ∼p ∨ (p ∨ q)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) (∼p → ∼r) ∧ (∼p ∨ r) และ r ↔ p

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

จากตวอยางนเราสามารถนารปทวไปของรปแบบประพจนทสมมลกนมาตรวจสอบวา

(p ∧ q) → r กบ ∼p ∨ (q → r) สมมลกนไดดงน

จาก (p ∧ q) → r ≡ ∼(p ∧ q) ∨ r

≡ (∼p ∨ ∼q) ∨ r

≡ ∼p ∨ (∼q ∨ r)

≡ ∼p ∨ (q → r)

ดงนน (p ∧ q) → r สมมลกบ ∼p ∨ (q → r)

Note

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถหาประพจนทสมมลกบประพจนทกาหนดใหได

1.5


นนคอ p → (q ∨ p) ≡ ∼p ∨ (p ∨ q)

นนคอ (∼p → ∼r) ∧ (∼p ∨ r) ≡ r ↔ p

p q q ∨ p p → (q ∨ p) ∼p p ∨ q ∼p ∨ (p ∨ q)T T T T F T T

T F T T F T T

F T T T T T T

F F F T T F T

p r ∼p ∼r ∼p → ∼r ∼p ∨ r (∼p → ∼r) ∧ (∼p ∨ r) r ↔ p

T T F F T T T T

T F F T T F F F

F T T F F T F F

F F T T T T T T


3) ∼(p ∨ q) → r และ (p ∨ q) ∨ r

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) p ∧ ∼(q → r) และ (p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼r)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


p q r p ∨ q ∼(p ∨ q) ∼(p ∨ q) → r (p ∨ q) ∨ rT T T T F T T

T T F T F T T

T F T T F T T

T F F T F T T

F T T T F T T

F T F T F T T

F F T F T T T

F F F F T F F

p q r q → r ∼(q → r) p ∧ ∼(q → r) p ∧ q ∼r q ∧ ∼r (p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼r)

T T T T F F T F F T

T T F F T T T T T T

T F T T F F F F F F

T F F T F F F T F F

F T T T F F F F F F

F T F F T F F T T T

F F T T F F F F F F

F F F T F F F T F F

นนคอ ∼(p ∨ q) → r ≡ (p ∨ q) ∨ r

นนคอ p ∧ ∼(q → r) ≢ (p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼r)


5) (p ∨ ∼r) ∨ q และ ∼p → [r → (q ∨ p)]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

6) (q ∧ p) → r และ (q → r) ∨ (p → r)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


นนคอ (p ∨ ∼r) ∨ q ≡ ∼p → [r → (q ∨ p)]

p q r ∼r p ∨ ∼r (p ∨ ∼r) ∨ q ∼p q ∨ p r → (q ∨ p) ∼p → [r → (q ∨ p)]T T T F T T F T T T

T T F T T T F T T T

T F T F T T F T T T

T F F T T T F T T T

F T T F F T T T T T

F T F T T T T T T T

F F T F F F T F F F

F F F T T T T F T T

p q r q ∧ p (q ∧ p) → r q → r p → r (q → r) ∨ (p ∧ r)T T T T T T T T

T T F T F F F F

T F T F T T T T

T F F F T T F T

F T T F T T T T

F T F F T F T T

F F T F T T T T

F F F F T T T T

นนคอ (q ∧ p) → r ≡ (q → r) ∨ (p → r)


2. เขยนขอความทสมมลกบขอความทกาหนดใหตอไปน

1) (a ≠ 0 ∧ b = 0) → ab = 0

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) 1 2

เปนจานวนตรรกยะ กตอเมอ 1 2

เปนจานวนจรง

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ถา x เปนจานวนเตมบวก แลว x มากกวาศนย และถา x เปนจานวนเตมบวก แลว x2

มากกวาศนย

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ฝนและนาเปนหมอ หรอ ฝนและหมอกเปนหมอ

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) xy + 1 < 0 → (x < -1 ∨ y < -1)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3. พจารณาและตรวจสอบวา ขอความหรอรปแบบทกาหนดใหตอไปน เปนนเสธหรอไม

1) ก. p ∧ q ข. ∼p ∨ ∼q

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


แทนดวย (p ∧ q) → r สมมลกบ ∼r → ∼(p ∧ q) จะไดวา ab ≠ 0 → (a = 0 ∨ b ≠ 0)

หรอ (p ∧ q) → r สมมลกบ ∼(p ∧ q) ∨ r จะไดวา (a = 0 ∨ b ≠ 0) ∨ ab = 0

แทนดวย p ↔ q สมมลกบ (p → q) ∧ (q → p) จะไดวา ถา 1 2

เปนจานวนตรรกยะ

แลว 1 2

เปนจานวนจรง และถา 1 2

เปนจานวนจรง แลว 1 2

เปนจานวนตรรกยะ

แทนดวย (p → q) ∧ (p → r) สมมลกบ p → (q ∧ r)

จะไดวา ถา x เปนจานวนเตมบวก แลว x และ x2 มากกวาศนย

แทนดวย (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) สมมลกบ p ∧ (q ∨ r)

จะไดวา ฝนเปนหมอ และ นาหรอหมอกเปนหมอ

แทนดวย p → (q ∨ r) สมมลกบ ∼p ∨ (q ∨ r)

จะไดวา xy + 1 ≥ 0 ∨ (x < -1 ∨ y < -1)

p q p ∧ q ∼p ∼q ∼p ∨ ∼q

T T T F F F

T F F F T T

F T F T F T

F F F T T T

จากตาราง พบวา p ∧ q กบ ∼p ∨ ∼q

มคาความจรงตรงขามกนทกกรณ

ดงนน p ∧ q กบ ∼p ∨ ∼q เปนนเสธกน


2) ก. p ∨ q ข. ∼p ∨ ∼q

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ก. p → q ข. p ∧ ∼q

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ก. p → q ข. ∼q → ∼p

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


p q p ∨ q ∼p ∼q ∼p ∨ ∼q

T T T F F F

T F T F T T

F T T T F T

F F F T T T

p q p → q ∼q p ∧ ∼q

T T T F F

T F F T T

F T T F F

F F T T F

จากตาราง พบวา p ∨ q กบ ∼p ∨ ∼q

มคาความจรงตรงขามกนบางกรณ

ดงนน p ∨ q กบ ∼p ∨ ∼q ไมเปนนเสธกน

จากตาราง พบวา p → q กบ p ∧ ∼q


ดงนน p → q กบ p ∧ ∼q เปนนเสธกน

จากตาราง พบวา p → q กบ ∼q → ∼p

มคาความจรงเหมอนกนทกกรณ

ดงนน p → q กบ ∼q → ∼p ไมเปนนเสธกน

p q p → q ∼p ∼q ∼q → ∼p

T T T F F T

T F F F T F

F T T T F T

F F T T T T


5) ก. p ↔ q ข. (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

6) ก. 3 5 เปนจานวนตรรกยะ ข. 3 5 เปนจานวนอตรรกยะ

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

7) ก. ถา 4 + 3 = 7 แลว 7 เปนจานวนนบ ข. 7 ไมใชจานวนนบ แต 4 + 3 = 7

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

8) ก. x เปนจานวนคและเปนจานวนเตมบวก ข. x เปนจานวนคหรอเปนจานวนเตมลบ

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


p q p ↔ q ∼p ∼q p ∧ ∼q q ∧ ∼p (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)

T T T F F F F F

T F F F T T F T

F T F T F F T T

F F T T T F F F

จากตาราง พบวา p ↔ q กบ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p) มคาความจรงตรงขามกนทกกรณ

ดงนน p ↔ q กบ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p) เปนนเสธกน

ให p แทน 3 5 เปนจานวนตรรกยะ

∼p คอ 3 5 ไมใชจานวนตรรกยะ ซงมความหมายเดยวกบ 3 5 เปนจานวนอตรรกยะ

ดงนน 3 5 เปนจานวนตรรกยะ กบ 3 5 เปนจานวนอตรรกยะ เปนนเสธกน

ให p แทน 4 + 3 = 7 q แทน 7 เปนจานวนนบ

นนคอ ประโยค ก. แทนดวย p → q และ ข. แทนดวย ∼q ∧ p

ให p แทน x เปนจานวนค q แทน x เปนจานวนเตมบวก

นนคอ ประโยค ก. แทนดวย p ∧ q และ ข. แทนดวย ∼p ∨ ∼q

จากตาราง พบวา p → q กบ ∼q ∧ p


ดงนน ประโยคทงสอง เปนนเสธกน

จากตาราง พบวา p ∧ q กบ ∼p ∨ ∼q


ดงนน ประโยคทงสอง เปนนเสธกน

p q p → q ∼q ∼q ∧ p

T T T F F

T F F T T

F T T F F

F F T T F

p q p ∧ q ∼p ∼q ∼p ∨ ∼q

T T T F F F

T F F F T T

F T F T F T

F F F T T T


1 . 6 ÊÑ ¹ÔÃÑ¹´Ã� Tautology

บทนยาม เรยกรปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนจรงทกกรณวา สจนรนดร

บทนยาม เรยกรปแบบของประพจนทมคาความจรงเปนเทจทกกรณวา ขอขดแยง

การตรวจสอบวารปแบบประพจนเปนสจนรนดรหรอไมนน เราสามารถตรวจสอบได 3 วธ

ดงน


พจารณาคาความจรงของรปแบบของประพจน [(p → q) ∧ p] → q กบ ∼[(p → q) ∨ p]

p q p → q (p → q) ∧ p [(p → q) ∧ p] → q (p → q) ∨ p ∼[(p → q) ∨ p]T T T T T T F

T F F F T T F

F T T F T T F

F F T F T T F

จะเหนวา รปแบบของประพจน [(p → q) ∧ p] → q มคาความจรงเปนจรงทกๆ กรณ

เราเรยกรปแบบของประพจน [(p → q) ∧ p] → q วา สจนรนดร

และรปแบบของประพจน ∼[(p → q) ∨ p] มคาความจรงเปนเทจทกๆ กรณ เราเรยก

รปแบบของประพจน ∼[(p → q) ∨ p] วา ขอขดแยง

วธการหาขอขดแยง วธการหาขอขดแยง เปนการพจารณาวารปแบบของประพจนนนมโอกาสเปนเทจหรอไม

ถามโอกาสเปนเทจได แสดงวาไมเปนสจนรนดร โดยวธนจะสมมตใหรปแบบของพจนทตองการ

ตรวจสอบมคาความจรงเปนเทจ จากนนใหหาคาความจรงของประพจนยอย แลวพจารณาคาความ

จรงของประพจนยอยวาขดแยงกนหรอไม

• ถามขอขดแยงเกดขน หมายความวารปแบบของประพจนนนไมมโอกาสทคาความจรง

จะเปนเทจ นนคอรปแบบของประพจนนนเปนสจนรนดร

• ถาไมมขอขดแยงเกดขน หมายความวารปแบบของประพจนนนมโอกาสทคาความจรง

จะเปนเทจ นนคอรปแบบประพจนนนไมเปนสจนรนดร



ตวอยางท 4 กาหนดให p, q และ r เปนประพจน ใหตรวจสอบวา [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)]

เปนสจนรนดรหรอไม

วธทา กาหนดใหรปแบบของประพจน [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] มคาความจรง

เปนเทจ

จะได [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)]

F

T F

T T T F

T T T T T F

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย r มขอขดแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจน [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)] เปนสจนรนดร

ตวอยางท 5 กาหนดให p และ q เปนประพจนใหตรวจสอบวา (p → q) → (∼p ∧ ∼q)


วธทา กาหนดใหรปแบบของประพจน (p → q) → (∼p ∧ ∼q) มคาความจรงเปนเทจ

จะได (p → q) → (∼p ∧ ∼q)

F

T F

T T F F

T T

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอยไมมขอขดแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจน (p → q) → (∼p ∧ ∼q) ไมเปนสจนรนดร

จากหลกวธการหาขอขดแยง โดยการพจารณา

วารปแบบของประพจนนนมโอกาสเปนเทจหรอไม

นอกจากเหมาะกบรปแบบของประพจนทอยในรป

p → q แลวนกเรยนยงสามารถใชวธนตรวจสอบรปแบบ

ของประพจนทอยในรป p ∨ q วาเปนสจนรนดรหรอไม

ไดเชนกน ทงนเพราะ p ∨ q มโอกาสเปนเทจไดเพยง

กรณเดยว คอ ทง p และ q เปนเทจ

Note

เชน (p → q) ∨ (∼q → p)

F

F F

T F T F

จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย p

มขอขดแยงกน

ดงนน (p → q) ∨ (∼q → p) เปนสจนรนดร



1. ตรวจสอบรปแบบของประพจนทกาหนดใหวาเปนสจนรนดรหรอไม โดยใชวธหาขอขดแยง

1) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

2) [(p → q) ∧ (∼p → r) ∧ (∼q)] → r .................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

พจารณารปแบบของประพจน p ↔ q โดยตรวจสอบการสมมลกนของรปแบบของประพจน การพจารณารปแบบของประพจน p ↔ q โดยตรวจสอบการสมมลของประพจน คอ

ถาแสดงไดวา p สมมลกบ q จะไดวา p ↔ q เปนสจนรนดร เพราะ p และ q มคาความจรง

เหมอนกน เมอเชอมดวย “↔” จะมคาความจรงเปนจรงเสมอ

ตวอยางท 6 กาหนดให p และ q เปนประพจนใหตรวจสอบวา [∼p ∨ (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r]


วธทา จากรปแบบของประพจน [∼p ∨ (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r]

ตองพจารณาวา ∼p ∨ (q → r) และ (p ∧ q) → r สมมลกนหรอไม

จะไดวา ∼p ∨ (q → r) ≡ ∼p ∨ (∼q ∨ r)

≡ (∼p ∨ ∼q) ∨ r

≡ ∼(p ∧ q) ∨ r

≡ (p ∧ q) → r

ดงนน รปแบบของประพจน [∼p ∨ (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r] เปนสจนรนดร

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถบอกไดวารปแบบของประพจนทกาหนดใหเปนสจนรนดรหรอไมเปนสจนรนดร

1.6ฉบบเฉลย

[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

F

T F

T T T F

T T T T

[(p → q) ∧ (∼p → r) ∧ (∼q)] → r F

T F

T T T

F F T T F

F

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย

r มขอขดแยงกน

ดงนน [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) เปนสจนรนดร



ดงนน [(p → q) ∧ (∼p → r) ∧ (∼q)] → r เปนสจนรนดร


3) [(r ∧ p) ∨ (p → r)] → p

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

4) ∼(p → ∼q) → (p ∧ q)

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

5) (p → q) → (∼p ∨ q) .................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

6) (p → q) → (∼p ∧ ∼q)

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................


F

T F

F T

F F F F

[(r ∧ p) ∨ (p → r)] → p จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย

ไมมขอขดแยงเกดขน

ดงนน [(r ∧ p) ∨ (p → r)] → p ไมเปนสจนรนดร


p และ q มขอขดแยงกนทงสองประพจน

ดงนน ∼(p → ∼q) → (p ∧ q) เปนสจนรนดร


q มขอขดแยงกน

ดงนน (p → q) → (∼p ∨ q) เปนสจนรนดร



ดงนน (p → q) → (∼p ∧ ∼q) ไมเปนสจนรนดร

∼(p → ∼q) → (p ∧ q)

F

T F

F F F

T F

T

(p → q) → (∼p ∨ q)

F

T F

T T F F

T

(p → q) → (∼p ∧ ∼q)

F

T F

T T F F

T T


7) [(p ∧ ∼q) → ∼q] → (p → q) .................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

8) ∼(p ↔ q) → (∼p ↔ ∼ q)

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

9) [(p ∨ q) ∧ ∼p] → (∼p ∧ q)

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

10) [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] → p .................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................


[(p ∧ ∼q) → ∼q] → (p → q) F

T F

T T T F

T T F

F

∼(p ↔ q) → (∼p ↔ ∼q)

F

T F

F F T

T F T F

[(p ∨ q) ∧ ∼p] → (∼p ∧ q) F

T F

T T F F

T F F T

F

T F

T T T T

F F F F F T F

F

[(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] → p



ดงนน [(p ∧ ∼q) → ∼q] → (p → q) ไมเปนสจนรนดร



ดงนน ∼(p ↔ q) → (∼p ↔ ∼q) ไมเปนสจนรนดร


p มขอขดแยงกน

ดงนน [(p ∨ q) ∧ ∼p] → (∼p ∧ q) เปนสจนรนดร



ดงนน [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] → pไมเปนสจนรนดร


11) (p → ∼q) ∨ (q → ∼r)

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

12) [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ∨ (p ↔ r)

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

13) {[p → (q ∨ r)] ∧ (∼q ∧ ∼r)} ∨ ∼p

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

14) {[∼(p → q) → (r ∨ q)] → ∼(p ∧ q)} ∨ (r ∧ q)

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................




ดงนน (p → ∼q) ∨ (q → ∼r) ไมเปนสจนรนดร



ดงนน [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ∨ (p ↔ r) เปนสจนรนดร



ดงนน {[p → (q ∨ r)] ∧ (∼q ∧ ∼r)} ∨ ∼p

เปนสจนรนดร



ดงนน {[∼(p → q) → (r ∨ q)] → ∼(p ∧ q)} ∨ (r ∧ q)

ไมเปนสจนรนดร

(p → ∼q) ∨ (q → ∼r)

F

F F

T F T F

T T

[(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ∨ (p ↔ r) F

F F

F F T F

T F F T

{[∼(p → q) → (r ∨ q)] → ∼(p ∧ q)} ∨ (r ∧ q) F

F F

T F F T

F T T

T F T T T

T T

{[p → (q ∨ r)] ∧ (∼q ∧ ∼r)} ∨ ∼p

F

F F

F F T

T F T F

F F F T


2. ตรวจสอบรปแบบของประพจนทกาหนดใหวาเปนสจนรนดรหรอไม โดยตรวจสอบการสมมลกน

ของรปแบบของประพจน

1) [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)]

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) [(p → r) ∧ (q → r)] ↔ [(p ∨ q) → r] วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) [(p → q) ∧ p] ↔ q

วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) [∼p ∨ (r → s)] ↔ [(∼r ∧ s) → p] วธทา .......................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


p → (q → r) ≡ ∼p ∨ (q → r)

≡ ∼p ∨ (∼q ∨ r) ≡ (∼p ∨ ∼q) ∨ r ≡ ∼(p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∧ q) → r จะไดวา p → (q → r) ≡ (p ∧ q) → r

ดงนน รปแบบของประพจน [(p ∧ q) → r] ↔ [p → (q → r)] เปนสจนรนดร

(p ∨ q) → r ≡ ∼(p ∨ q) ∨ r ≡ (∼p ∧ ∼q) ∨ r ≡ (∼p ∨ r) ∧ (∼q ∨ r) ≡ (p → r) ∧ (q → r)

จะไดวา (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

ดงนน รปแบบของประพจน [(p → r) ∧ (q → r)] ↔ [(p ∨ q) → r] เปนสจนรนดร

(p → q) ∧ p ≡ (∼p ∨ q) ∧ p

≡ (∼p ∧ p) ∨ (q ∧ p)

≡ q ∧ p

จะไดวา (p → q) ∧ p ≢ q

ดงนน รปแบบของประพจน [(p → q) ∧ p] ↔ q ไมเปนสจนรนดร

(∼r ∧ s) → p ≡ ∼(∼r ∧ s) ∨ p

≡ (r ∨ ∼s) ∨ p ≡ p ∨ (∼s ∨ r) ≡ p ∨ (s → r)

จะไดวา (∼r ∧ s) → p ≢ ∼p ∨ (∼r → s)

ดงนน รปแบบของประพจน [∼p ∨ (r → s)] ↔ [(∼r ∧ s) → p] ไมเปนสจนรนดร



F

T F

T F F T

T T F F

T

แนวคด ก. ให [(p → q) ∨ (q ∧ ∼q)] → [(∼p ∨ q) ∧ (r ∨ ∼r)] มคาความจรงเปนเทจ

จะได

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย q มขอขดแยง

ดงนน รปแบบประพจนขางตนเปนสจนรนดร ขอ ก. ถกตอง

ข. พจารณา (p ∨ ∼q) → (r ∧ q) ≡ ∼(p ∨ ∼q) ∨ (r ∧ q)

≡ (∼p ∧ q) ∨ (r ∧ q)

≡ (∼p ∨ r) ∧ q

ดงนน รปแบบประพจนขางตนเปนสจนรนดร ขอ ข. ถกตอง

ตอบ ขอ 3. ∼(p △ q) * (q △ p)

(p * q) △ p q * p (q * p) * q [(q * p) * q] △ p ∼(p △ q) q △ p ∼(p △ q) * (q △ p)

T F T F T F T

F T T F F T T

T T F T F T T

T F F T F T T

Test for U1. พจารณาขอความตอไปน

ก. รปแบบของประพจน [(p → q) ∨ (q ∧ ∼q)] → [(∼p ∨ q) ∧ (r ∨ ∼r)] เปนสจนรนดร

ข. รปแบบของประพจน [(p ∨ ∼q) → (r ∧ q)] ↔ [(∼p ∨ r) ∧ q] เปนสจนรนดร

ขอใดกลาวถกตอง

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. กาหนดโอเปอเรซน * และ △ ดงตารางตอไปน

รปแบบประพจนในขอใดเปนสจนรนดร

1. (p * q) △ p 2. [(q * p) * q] △ p 3. ∼(p △ q) * (q △ p) ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

p q p * q p △ q

T T F F

T F T T

F T T T

F F F T


1 . 7 ¡ÒÃÍŒÒ§àËµØ¼Å Argument

ถามขอความเหต P1 , P2 , P3 , …, Pn ชดหนง และมขอความผล C ขอความหนง ซง

เปนขอสรปทเกดจากขอความเหต P1 , P2 , P3 , …, Pn หรอไมนน สามารถตรวจสอบไดโดยใช

ตวเชอม “และ” (∧) เชอมเหตทงหมดเขาดวยกน และใชตวเชอม “ถา…แลว” (→) เชอมเหต

และผลเขาดวยกน นนคอ

(P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn ) → C

แลวตรวจสอบรปแบบของประพจน (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧… ∧ Pn) → C วาเปนสจนรนดรหรอไม

ถาเปนสจนรนดร จะกลาววา การอางเหตผลนสมเหตสมผล

ถาไมเปนสจนรนดร จะกลาววา การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

ตวอยางท 7 กาหนดให p, q, และ r เปนประพจน พจารณาการอางเหตผลตอไปน

สมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. p → q 2. ∼p → r

3. ∼q

ผล r

วธทา ขนตอนท 1 นาเหต P1 , P2 , P3 , …, Pn ทงหมดมาเชอมดวย “∧” ทงหมดทไดมา

เชอมดวย “→” กบผล จะไดรปแบบของประพจน ดงน

[(p → q) ∧ (∼p → r) ∧ ∼q] → r

ขนตอนท 2 ตรวจสอบรปแบบของประพจนทไดวาเปนสจนรนดรหรอไม

จะได [(p → q) ∧ (∼p → r) ∧ ∼q] → r

F

T T T F

F F F F F

T

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย p

มขอ ขดแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจน [(p → q) ∧ (∼p → r) ∧ ∼q] → r


นนคอ การอางเหตผลนสมเหตสมผล



ตวอยางท 8 กาหนดให p, q และ r เปนประพจน พจารณาการอางเหตผลตอไปนวา

สมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. p → (q → r)

2. q

3. r

ผล p

วธทา รปแบบของประพจน คอ [(p → (q → ∼r)) ∧ q ∧ r] → p

จะได [(p → (q → ∼r)) ∧ q ∧ r] → p

F

T T T F

F F

T F

T

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอยไมมขอขดแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจน [(p → (q → ∼r)) ∧ q ∧ r] → p ไมเปนสจนรนดร

นนคอ การอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

ตวอยางท 9 การอางเหตผลนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. ถาสาลเปนผหญง แลวสาลเปนคนสวย

2. ถาชาตรเปนชาย แลวชาตรเปนคนกลาหาญ

3. สาลเปนผหญง หรอ ชาตรเปนผชาย

ผล สาลเปนคนสวยหรอชาตรเปนคนกลาหาญ

วธทา ให p แทน สาลเปนผหญง q แทน สาลเปนคนสวย

r แทน ชาตรเปนผชาย s แทน ชาตรเปนคนกลาหาญ

เหต 1. p → q

2. r → s

3. p ∨ r

ผล q ∨ s

ดงนน รปแบบของประพจนในการใหเหตผลน คอ [(p →q) ∧ (r →s) ∧ (p ∨ r)] →(q ∨ s)



[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s)

F

T T T F

F F F F F T F F

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย r มขอขดเแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจน [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s) เปนสจนรนดร

นนคอ การอางเหตผลนสมเหตสมผล

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถอธบายไดวาการอางเหตผลทกาหนดใหสมเหตสมผลหรอไมสมเหตสมผล

1.7

1. กาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจน ตรวจสอบการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผล

หรอไม

1) เหต 1. p → (s → q) 2. p ∧ s ผล q

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

2) เหต 1. p ∧ q 2. q → r ผล r

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................


จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรง

ของประพจนยอย q มขอขดแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจนขางตน


นนคอ การอางเหตผลน สมเหตสมผล


ของประพจนยอย r มขอขดแยงกน




รปแบบประพจน คอ {[p → (s → q)] ∧ (p ∧ s)} → q F

T F

T T

T T T T

T T

รปแบบประพจน คอ [(p ∧ q) ∧ (q → r)] → r F

T F

T T

T T T T


3) เหต 1. p ∨ (q ∧ ∼r) 2. p → ∼r ผล q

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

4) เหต 1. q ∧ r 2. r → s 3. ∼s ∨ t ผล t

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

5) เหต 1. p ∧ q 2. (p ∨ r) → (s ∧ p) 3. p → ∼r

ผล s ∧ ∼r

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................

...............................................................................................



ของประพจนยอยไมมขอขดแยงกน


ไมเปนสจนรนดร

นนคอ การอางเหตผลน ไมสมเหตสมผล


ของประพจนยอย t มขอขดแยงกน





ของประพจนยอย s มขอขดแยงกน




F

T F

T T

T F T T

F T F

F

รปแบบประพจน คอ {[p ∨ (q ∧ ∼r)] ∧ (p → ∼r)} → q

รปแบบประพจน คอ [(q ∧ r) ∧ (r → s) ∧ (∼s ∨ t)] → t F

T F

T T T

T T T T F T

T

รปแบบประพจน คอ

{(p ∧ q) ∧ [(p ∨ r) → (s ∧ p)] ∧ (p → ∼r)} → (s ∧ ∼r)

F

T F

T T T F T

T T T T T T F

T F T T F


6) เหต 1. q → ∼r 2. s ∨ q 3. p

4. s → p ผล r

..........................................................................................................

..........................................................................................................

..........................................................................................................

..........................................................................................................

..........................................................................................................

..........................................................................................................

2. ใหตรวจสอบการอางเหตผลตอไปนวาสมเหตสมผลหรอไม

1) เหต 1. 3 เปนจานวนตรรกยะ หรอ 3 เปนจานวนตรรกยะ

2. 3 ไมเปนจานวนตรรกยะ

ผล 3 ไมใชจานวนตรรกยะ

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................



ของประพจนยอยไมมขอขดแยงกน




รปแบบประพจน คอ

[(q → ∼r) ∧ (s ∨ q) ∧ p ∧ (s → p)] → r F

T F

T T T T

T T T T T T

F

ให p แทน 3 เปนจานวนตรรกยะ

q แทน 3 เปนจานวนตรรกยะ

จะได เหต 1. p ∨ q

2. ∼p

ผล ∼q

รปแบบประพจน คอ [(p ∨ q) ∧ ∼p)] → ∼q

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของ

ประพจนยอยไมมขอขดแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจนขางตนเปนสจนรนดร


F

T F

T T T

F T F


2) เหต 1. เดกชายเลกเปนคนเกง หรอ เดกชายเลกสอบไดคะแนนสงสดในหอง

2. เดกชายเลกไมใชคนเกง

ผล เดกชายเลกสอบไดคะแนนสงสดในหอง

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) เหต 1. ถามนาไปเทยวเชยงใหม แลวมนาไมสบาย

2. มนาไปเทยวเชยงใหม

ผล มนาไมสบาย

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


ให p แทน เดกชายเลกเปนคนเกง

q แทน เดกชายเลกสอบไดคะแนนสงสดในหอง

จะได เหต 1. p ∨ q 2. ∼p

ผล q

รปแบบประพจน คอ [(p ∨ q) ∧ ∼p)] → q

ให p แทน มนาไปเทยวเชยงใหม

q แทน มนาไมสบาย

จะได เหต 1. p → q 2. p

ผล q

รปแบบประพจน คอ [(p → q) ∧ p] → q F

T F

T T

T T

F

T F

T T

F T F


ประพจนยอย q มขอขดแยงกน








4) เหต 1. ถา A ซอรถใหม แลว A จะพาครอบครวไปเทยวทะเล

2. ถา A พาครอบครวไปเทยวทะเล แลว A จะทาใหพอแมมความสข

ผล ถา A ซอรถใหม A จะทาใหพอแมมความสข

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) เหต 1. ถา B วงรอบสนามหลวงไดตามเปาทตงไว แลวเขาจะทาลายสถตของตวเอง

2. B วงรอบสนามหลวงไดตามเปาทตงไว

ผล เขาไมสามารถทาลายสถตของตวเองได

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


ให p แทน A ซอรถใหม

q แทน A จะพาครอบครวไปเทยวทะเล

r แทน A ทาใหพอแมมความสข

จะได เหต 1. p → q 2. q → r ผล p → rรปแบบประพจน คอ [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)

ให p แทน B วงรอบสนามหลวงไดตามเปาทตงไว

q แทน เขาจะทาลายสถตของตวเอง

จะได เหต 1. p → q 2. p

ผล ∼q

รปแบบประพจน คอ [(p → q) ∧ p] → ∼q

F

T F

T T T F

T T T T


ประพจนยอย r มขอขดแยงกน





ประพจนยอยไมมขอขดแยงกน

ดงนน รปแบบของประพจนขางตนไมเปนสจนรนดร


F

T F

T T T

T T


6) เหต 1. ถา C พบคนขายพวงมาลย แลว C จะซอพวงมาลย

2. C ไมไดซอพวงมาลย

ผล C ไมพบคนขายพวงมาลย

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


ให p แทน C พบคนขายพวงมาลย

q แทน C ซอพวงมาลย

จะได เหต 1. p → q 2. ∼q

ผล ∼p

รปแบบประพจน คอ [(p → q) ∧ ∼q] → ∼p





F

T F

T T T

T T F

F

T T T F

F F F F F F F

T

แนวคด ก. รปแบบประพจน คอ [(p → q) ∧ (q → s) ∧ ∼s] → (∼p ∨ s) จะได

จากแผนภาพ จะพบวาคาความจรงของประพจนยอย p ขดแยงกน

ดงนน การอางเหตผลขอ ก. สมเหตสมผล

ข. เนองจาก p → (r ∨ s) ≡ ∼p ∨ (r ∨ s)

ดงนน การอางเหตผลขอ ข. สมเหตสมผล

Test for Uการอางเหตผลตอไปน ขอใดสมเหตสมผล

ก. เหต 1. p → q ข. เหต p → (r ∨ s) 2. q → s ผล ∼p ∨ (r ∨ s) 3. ∼s

ผล ∼p ∨ s………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..


1 . 8 »ÃÐâÂ¤à»� Open sentence

บทนยาม ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปรและไมเปนประพจน

แตเมอแทนตวแปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวเปนประพจน

สญลกษณแทนประโยคเปดใดๆ ทม x เปนตวแปร เขยนแทนดวย P(x) การเชอมประโยค

เปดดวยตวเชอม ∧, ∨, →, ↔ ตลอดจนการเตม ∼ ทาไดเชนเดยวกนกบการเชอมประพจน

1. พจารณาประโยคทกาหนดใหตอไปนวาเปนประพจนหรอเปนประโยคเปด หรอไมใชทงประพจน

และประโยคเปด

1) เขาสอบไดทหนงของหองและระดบชนใชหรอไม .........................................................................................

2) ถา {5}⊄{1, 6} แลว 5∊{1, 6} .........................................................................................

3) x2 - 4 = (x - 2)(x + 2) .........................................................................................

4) หลอนเปนวงดรยางคของโรงเรยน .........................................................................................

5) 2y + 1 .........................................................................................

6) เรยนสนก สรางแรงบนดาลใจ .........................................................................................

7) 4x2 - 6x - 4 = (2x - 4)(2x + 1) .........................................................................................

8) 6k + 6k = 12k .........................................................................................

9) x2 - 1 ≥ 0 .........................................................................................

10) (-x)2 ไมใชจานวนเตม .........................................................................................

11) (2n + 1)2 เปนจานวนค เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ .........................................................................................

12) x + y = 4 เปนสมการเสนตรง .........................................................................................

13) sin2θ + cos2θ = 1 .........................................................................................

14) x = 2y2 - 1 .........................................................................................

15) เขาเปนคนใจด .........................................................................................

16) คนทสบบหรทกคนเปนมะเรงปอด .........................................................................................

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถบอกไดวาประโยคทกาหนดใหเปนประโยคเปด

1.8


ไมใชทงประพจนและประโยคเปด

เปนประพจน


เปนประโยคเปด














1 . 9 µÑÇº‹§»ÃÔÁÒ³ Quantifier

ตวบงปรมาณ คอ ขอความทใชบงบอกความมากนอยของตวแปรทนามาใชแทนคา

ในวชาตรรกศาสตรตวบงปรมาณม 2 แบบ คอ “สาหรบ…ทกตว” และ “สาหรบ…บางตว”

สญลกษณทใชแทนตวบงปรมาณ

สาหรบ…ทกตว คอ ∀ เชน สาหรบ x ทกตว เขยนเปน ∀x สาหรบ…บางตว คอ ∃ เชน สาหรบ x บางตว เขยนเปน ∃x

ตวอยางประโยคทมตวบงปรมาณ

• สาหรบ x ทกตว x2 ≥ 0 เมอเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนจรง

เขยนแทนดวย ∀x[x2 ≥ 0], � = R

• สาหรบ x บางตว x - 1 = 0 เมอ � = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

เขยนแทนดวย ∃x[x - 1 = 0], � = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

• สาหรบทกๆ คาของ x และ y ทเปนจานวนเตม 2x + 3y = 3y + 2x เขยนแทนดวย ∀x∀y[2x + 3y = 3y + 2x], � = I

• มจานวนจรง x และ y บางจานวนท x - y = y - x เขยนแทนดวย ∃x∃y[x - y = y - x], � = R

• สาหรบจานวนจรง x ทกจานวน จะมจานวนจรง y บางตวท x2 + y2 ≤ x + y เขยนแทนดวย ∀x∃y[x2 + y2 ≤ x + y], � = R

• มจานวนจรง x บางตวท �x - y� = 2y สาหรบทกๆ คาของ y

เขยนแทนดวย ∃x∀y[�x - y� = 2y], � = R

ประโยคเปดทมตวบงปรมาณและเอกภพสมพทธ เปนประพจน

กรณทประโยคทเกยวกบจานวนมตวบงปรมาณแตไมมการระบเอกภพสมพทธ ใหถอวา

เอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง

Note

Note



1. เขยนแตละขอตอไปนใหอยในรปประโยคสญลกษณ

1) จานวนจรงแตละจานวนคณกบ 1 แลวเทากบ 1 คณกบจานวนจรงนน

........................................................................................................................................................................................................................................

2) มจานวนเตม x ซง x2 = 4

........................................................................................................................................................................................................................................

3) สาหรบจานวนจรงบวก x ทกจานวน จะมจานวนจรงบวก y ซง xy = 1 ........................................................................................................................................................................................................................................

4) มจานวนจรง x บางจานวน สาหรบจานวนจรง y ทกจานวน ซง x - y = y - x ........................................................................................................................................................................................................................................

5) มจานวนจรง x และ y บางจานวน ซง xy = x + y ........................................................................................................................................................................................................................................

6) สาหรบจานวนจรง x และ y ทกจานวน ซง x + y = y + x ........................................................................................................................................................................................................................................

2. เขยนแตละขอตอไปน ใหอยในรปแบบขอความ

1) ∀x[�2x + 1� > 3 → �x� > 1]

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∀y[y2 - 3y + 2 = (y - 2)(y - 1)]

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∃y[2y + 5 ≤ 2]

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ∃x[x∊Q → x2 = 7]

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ∃x∀y[xy∊I] ........................................................................................................................................................................................................................................

6) ∀x∀y[x + y < 7]

........................................................................................................................................................................................................................................

7) ∀x∃y[x2y = x2]

........................................................................................................................................................................................................................................

8) ∃y∃x[xy < 0 → x < 3 ∧ y < 1]

........................................................................................................................................................................................................................................

Exerciseจดประสงค นกเรยนสามารถเขยนขอความทกาหนดใหในรปลกษณทมตวบงปรมาณและในรปภาษาเขยนได

1.9


∀x[x • 1 = 1 • x], � = R

∃x∊I[x2 = 4] / ∃x[x2 = 4], � = I

∀x∃y[xy = 1], � = R+

∃x∀y[x - y = y - x], � = R

∃x∃y[xy = x + y], � = R

∀x∀y[x + y = y + x], � = R

สาหรบจานวนจรง x ทกจานวน ถา �2x + 1� > 3 แลว �x� > 1

สาหรบจานวนจรง y ทกจานวน ซง y2 - 3y + 2 = (y - 2)(y - 1)

มจานวนจรง y บางจานวน ซง 2y + 5 ≤ 2

มจานวนจรง x บางจานวน ถา x เปนจานวนตรรกยะ แลว x2 = 7

มจานวนจรง x บางจานวน สาหรบจานวนจรง y ทกจานวน ซง xy เปนจานวนเตม

สาหรบจานวนจรง x และ y ทกจานวน ซง x + y < 7

ทกๆ จานวนจรง x จะมจานวนจรง y บางจานวน ซง x2y = x2

มจานวนจรง y และ x บางจานวน ถา xy < 0 แลว x < 3 และ y < 1


1 . 10 ¤‹Ò¤ÇÒÁ¨ÃÔ§¢Í§»ÃÐâÂ¤·ÕèÁÕµÑÇº‹§»ÃÔÁÒ³µÑÇà ÕÂÇ

บทนยาม กาหนดให P(x) แทนประโยคเปดทม x เปนตวแปร

∀x[P(x)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตว

ในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรง

∀x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยาง

นอยหนงตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจ

ตวอยางท 10 หาคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตอไปน

1) ∀x[x + 1 > 3], � = {3, 4}

2) ∀x[x + 1 > 3], � = {1, 5}

วธทา ให P(x) แทน x + 1 > 3

1) จะได P(3) แทน 3 + 1 > 3 เปนจรง

P(4) แทน 4 + 1 > 3 เปนจรง

จะพบวาเมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตวใน � แลวไดประพจน

ทเปนจรงทงหมด

ดงนน ∀x[x + 1 > 3], � = {3, 4} เปนจรง

2) จะได P(1) แทน 1 + 1 > 3 เปนเทจ

จะพบวาเมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกอยางนอยหนงตวใน � แลวได

ประพจนทเปนเทจ

ดงนน ∀x[x + 1 > 3], � = {1, 5} เปนเทจ

บทนยาม กาหนดให P(x) แทนประโยคเปดทม x เปนตวแปร

∃x[P(x)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกอยาง

นอยหนงตวในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนจรง

∃x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตว

ในเอกภพสมพทธ แลวไดประพจนทมคาความจรงเปนเทจทงหมด



ตวอยางท 11 หาคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตอไปน

1) ∃x[x เปนจานวนค], � = {1, 2}

2) ∃x[x เปนจานวนค], � = {1, 3}

วธทา ให P(x) แทน x เปนจานวนค

1) จะได P(2) แทน 2 เปนจานวนค เปนจรง

จะพบวาเมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกอยางนอยหนงตวใน � แลวได

ประพจนทเปนจรง

ดงนน ∃x[x เปนจานวนค], � = {1, 2} เปนจรง

2) จะได P(1) แทน 1 เปนจานวนค เปนเทจ

P(3) แทน 3 เปนจานวนค เปนเทจ

จะพบวาเมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตวเปน � แลวไดประพจน

ทเปนเทจ

ดงนน ∃x[x เปนจานวนค], � = {1, 3} เปนเทจ

จดประสงค นกเรยนสามารถบอกคาความจรงของประโยคเปดทมตวบงปรมาณตวเดยวได

Exercise 1.10

1. หาคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณตอไปน

1) ∀x[x2 - 3 < 6], � = {0, 1, 2} วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∃x[x < 0], � = {0, 2, 4}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


ให P(x) แทน x2 - 3 < 6

จะได P(0) แทน 02 - 3 < 6 เปนจรง P(1) แทน 12 - 3 < 6 เปนจรง

P(2) แทน 22 - 3 < 6 เปนจรง

จะพบวา เมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตวใน � แลวไดประพจนทเปนจรงทงหมด

ดงนน ∀x[x2 - 3 < 6] เปนจรง

ให P(x) แทน x < 0

จะได P(0) แทน 0 < 0 เปนเทจ P(2) แทน 2 < 0 เปนเทจ

P(4) แทน 4 < 0 เปนเทจ

จะพบวา เมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกแตละตวใน � แลวไดประพจนทเปนเทจทงหมด

ดงนน ∃x[x < 0] เปนเทจ


3) ∀x[3x + 5 = 7], � = {0, 1, 3, 5}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ∀x[�x2 - x� = �x - x2�], � = {2, 3}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ∃x[x2 = 1], � = {-1, 1}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

6) ∀x[ x2 ≥ x], � = {-1, 0, 1}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

7) ∃x[x2 - 1 ≥ 0], � = I วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


ให P(x) แทน 3x + 5 = 7จะได P(1) แทน 3(1) + 5 = 7 เปนเทจ

จะพบวา เมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกอยางนอยหนงตวใน � แลวไดประพจนทเปนเทจ

ดงนน ∀x[3x + 5 = 7] เปนเทจ

ให P(x) แทน �x2 - x� = �x - x2�

จะได P(2) แทน �(2)2 - 2� = �2 - (2)2� เปนจรง

P(3) แทน �(3)2 - 3� = �3 - (3)2� เปนจรง


ดงนน ∀x[�x2 - x� = �x - x2�] เปนจรง

ให P(x) แทน x2 = 1

จะได P(-1) แทน (-1)2 = 1 เปนจรง

จะพบวา เมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกอยางนอยหนงตวใน � แลวไดประพจนทเปนจรง

ดงนน ∃x[x2 = 1] เปนจรง

ให P(x) แทน x2 ≥ xจะได P(-1) แทน (-1)2 ≥ -1 เปนจรง P(0) แทน 02 ≥ 0 เปนจรง

P(1) แทน 12 ≥ 1 เปนจรง


ดงนน ∀x[ x2 ≥ x] เปนจรง

ให P(x) แทน x2 - 1 ≥ 0

จะได P(2) แทน 22 - 1 ≥ 0 เปนจรง


ดงนน ∃x[x2 - 1 ≥ 0] เปนจรง


8) ∀x[x + 1 > 0], � = N

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

9) ∃x[�x + 2� < 2 - x], � = I

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

10) ∀x[x เปนจานวนนบ], � = R

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


1) ∀x[x เปนจานวนนบ] ∨ ∃x[x เปนตวประกอบของ 3], � = {0, 1, 2, 3}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


ให P(x) แทน x + 1 > 0

เนองจาก จานวนนบ (N) คอ จานวนเตมทมากกวาศนย


ดงนน ∀x[x + 1 > 0], � = N เปนจรง

ให P(x) แทน �x + 2� < 2 - x

จะได P(-2) แทน �-2 + 2� < 2 - (-2) เปนจรง


ดงนน ∃x[|x + 2| < 2 - x] เปนจรง

ให P(x) แทน x เปนจานวนนบ

จะได P(-1) แทน -1 เปนจานวนนบ เปนเทจ

จะพบวา เมอแทน x ใน P(x) ดวยสมาชกอยางนอยหนงตวใน � แลวไดประพจนทเปนเทจ

ดงนน ∀x[x เปนจานวนนบ] เปนเทจ

พจารณา ∀x[x เปนจานวนนบ], � = {0, 1, 2, 3}

ให P(x) แทน x เปนจานวนนบ

จะได P(0) แทน 0 เปนจานวนนบ เปนเทจ

ดงนน ∀x[x เปนจานวนนบ], � = {0, 1, 2, 3} เปนเทจ

พจารณา ∃x[x เปนตวประกอบของ 3], � = {0, 1, 2, 3}

ให Q(x) แทน x เปนตวประกอบของ 3

จะได Q(3) แทน 3 เปนตวประกอบของ 3 เปนจรง

ดงนน ∃x[x เปนตวประกอบของ 3], � = {0, 1, 2, 3} เปนจรง

นนคอ ∀x[x เปนจานวนนบ] ∨ ∃x[x เปนตวประกอบของ 3] เปนจรง


2) ∀x[x - 1 = 1 - x] ↔ ∀x[x เปนจานวนเฉพาะ], � = {-2, -1, 0, 1, 2}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∃x[x เปนจานวนค] ∧ ∀x[x เปนจานวนตรรกยะ], � = {3, 4, 5}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


พจารณา ∀x[x - 1 = 1 - x], � = {-2, -1, 0, 1, 2}

ให P(x) แทน x - 1 = 1 - x

จะได P(0) แทน 0 - 1 = 1 - 0 เปนเทจ

ดงนน ∀x[x - 1 = 1 - x], � = {-2, -1, 0, 1, 2} เปนเทจ

พจารณา ∀x[x เปนจานวนเฉพาะ], � = {-2, -1, 0, 1, 2}

ให Q(x) แทน x เปนจานวนเฉพาะ

จะได Q(-2) แทน -2 เปนจานวนเฉพาะ เปนเทจ

ดงนน ∀x[x เปนจานวนเฉพาะ], � = {-2, -1, 0, 1, 2} เปนเทจ

นนคอ ∀x[x - 1 = 1 - x] ↔ ∀x[x เปนจานวนเฉพาะ], � = {-2, -1, 0, 1, 2} เปนจรง

พจารณา ∃x[x เปนจานวนค], � = {3, 4, 5} ให P(x) แทน x เปนจานวนค

จะได P(4) แทน 4 เปนจานวนค เปนจรง

ดงนน ∃x[x เปนจานวนค], � = {3, 4, 5} เปนจรง

พจารณา ∀x[x เปนจานวนตรรกยะ], � = {3, 4, 5}

ให Q(x) แทน x เปนจานวนตรรกยะ

จะได Q(3) แทน 3 เปนจานวนตรรกยะ เปนจรง

Q(4) แทน 4 เปนจานวนตรรกยะ เปนจรง

Q(5) แทน 5 เปนจานวนตรรกยะ เปนจรง

ดงนน ∀x[x เปนจานวนตรรกยะ], � = {3, 4, 5} เปนจรง

นนคอ ∃x[x เปนจานวนค] ∧ ∀x[x เปนจานวนตรรกยะ], � = {3, 4, 5} เปนจรง


4) ∀x[x2 เปนจานวนนบ] → ∃x[x2 เปนจานวนค], � = {-2, 2}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


1) ∃x[x เปนจานวนจรง และ x เปนจานวนเฉพาะ], � = {-2, -1, 0, 1, 2}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∀x[ถา x เปนจานวนเฉพาะ แลว x - 1 เปนจานวนค], � = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


พจารณา ∀x[x2 เปนจานวนนบ], � = {-2, 2}

ให P(x) แทน x2 เปนจานวนนบ

จะได P(-2) แทน (-2)2 เปนจานวนนบ เปนจรง

P(2) แทน (2)2 เปนจานวนนบ เปนจรง

ดงนน ∀x[x2 เปนจานวนนบ], � = {-2, 2} เปนจรง

พจารณา ∃x[x2 เปนจานวนค], � = {-2, 2}

ให Q(x) แทน x2 เปนจานวนค

จะได Q(-2) แทน (-2)2 เปนจานวนค เปนเทจ

Q(2) แทน (2)2 เปนจานวนค เปนเทจ

ดงนน ∃x[x2 เปนจานวนค], � = {-2, 2} เปนเทจ

นนคอ ∀x[x2 เปนจานวนนบ] → ∃x[x2 เปนจานวนค], � = {-2, 2} เปนเทจ

ให P(x) แทน x เปนจานวนจรง

Q(x) แทน x เปนจานวนเฉพาะ

แทน x ดวย 2 จะได P(2) แทน 2 เปนจานวนจรง เปนจรง

Q(2) แทน 2 เปนจานวนเฉพาะ เปนจรง

ดงนน P(2) ∧ Q(2) เปนจรง

นนคอ ∃x[x เปนจานวนจรง และ x เปนจานวนเฉพาะ], � = {-2, -1, 0, 1, 2} เปนจรง

ให P(x) แทน x เปนจานวนเฉพาะ

Q(x) แทน x - 1 เปนจานวนค

แทน x ดวย 3 จะได P(3) แทน 3 เปนจานวนเฉพาะ เปนจรง

Q(3) แทน 3 - 1 เปนจานวนค เปนเทจ

ดงนน P(3) → Q(3) เปนเทจ

นนคอ ∀x[ถา x เปนจานวนเฉพาะ แลว x - 1 เปนจานวนค], � = {0, 1, 2, 3, 4, 5} เปนเทจ


3) ∃x[ถา x2 = x แลว x = �x�], � = R

วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ∀x[x - 1 < 0 ↔ x > 2], � = N วธทา ........................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


ให P(x) แทน x2 = x

Q(x) แทน x = �x�

แทน x ดวย -2 จะได P(-2) แทน (-2)2 = -2 เปนเทจ

Q(-2) แทน -2 = �-2� เปนเทจ

ดงนน P(-2) → Q(-2) เปนจรง

นนคอ ∃x[ถา x2 = x แลว x = �x�], � = R เปนจรง

ให P(x) แทน x - 1 < 0

Q(x) แทน x > 2

แทน x ดวย 3 จะได P(3) แทน 3 - 1 < 0 เปนเทจ

Q(3) แทน 3 > 2 เปนจรง

ดงนน P(3) ↔ Q(3) เปนเทจ

นนคอ ∀x[x - 1 < 0 ↔ x > 2], � = N เปนเทจ

แนวคด จากสมการ x3 - x2 - 2x = 0

x(x2 - x - 2) = 0

x(x - 2)(x + 1) = 0

x = 0, 2, -1

จะได เซตคาตอบของสมการ คอ {-1, 0, 2} ดงนน เอกภพสมพทธ (�) ททาใหสมาชกทกตวในเซตคาตอบเปนจรง

จะมทงหมด 23 - 1 = 7 เซต เนองจาก � ≠ φ ขอสงเกต � ทงหมด คอ �1 = {0}, �2 = {2}, �3 = {-1}, �4 = {-1, 2}, �5 = {0, -1}, �6 = {0, 2}, �7 = {0, 2, -1}

Test for U1. ให S = {� � � ≠ φ, �⊂(-∞, ∞) และประพจน ∀x[x3 - x2 - 2x = 0] มคาความจรงเปนจรง

เมอ � เปนเอกภพสมพทธ} จานวนสมาชกของ S จะเทากบคาในขอใดตอไปน

1. 1 จานวน 2. 2 จานวน

3. 3 จานวน 4. 5 จานวน

5. 7 จานวน

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5 7 จานวน



แนวคด P(x) แทน (x - 1)2 = x - 1 และ ∼P(x) แทน (x - 1)2 ≠ x - 1 Q(x) แทน x - 1 > 2 และ ∼Q(x) แทน x - 1 ≤ 2

พจารณา ∃x[P(x)] เมอแทน x ดวย 3 จะได P(3) แทน (3 - 1)2 = 3 - 1 เปนจรง

พจารณา ∀x[Q(x)] เมอแทน x ดวย 1 จะได Q(1) แทน 1 - 1 > 2 เปนเทจ

นนคอ ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] มคาความจรงเปนเทจ

ขอ 1. ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] พจารณา ∃x[∼P(x)] เมอแทน x ดวย -3 จะได ∼P(-3) แทน (-3 - 1)2 ≠ -3 - 1 เปนจรง

พจารณา ∀x[∼Q(x)] เมอแทน x ดวย 10 จะได ∼Q(10) แทน 10 - 1 ≤ 2 เปนเทจ

นนคอ ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] มคาความจรงเปนจรง

ขอ 2. ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] เนองจาก ∃x[P(x)] มคาความจรงเปนจรง

พจารณา ∃x[Q(x)] เมอแทน x ดวย 10 จะได Q(10) แทน 10 - 1 > 2 เปนจรง

นนคอ ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] มคาความจรงเปนจรง

ขอ 3. ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] พจารณา ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เมอแทน x ดวย 10 จะได P(10) และ Q(10) มคาความจรง

เปนจรง

พจารณา ∀x[P(x)] เมอแทน x ดวย -5 จะได P(-5) แทน (-5 - 1)2 = -5 - 1 เปนเทจ

นนคอ ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] มคาความจรงเปนเทจ

ขอ 4. ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] จากขอ 3. จะได ∃x[P(x) ∨ Q(x)] มคาความจรงเปนจรง

พจารณา ∀x[Q(x)] เมอแทน x ดวย 1 จะได Q(1) แทน 1 - 1 > 2 เปนเทจ

นนคอ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] มคาความจรงเปนเทจ

Test for U2. กาหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง และ

P(x) แทน (x - 1)2 = x - 1

Q(x) แทน x - 1 > 2

รปแบบประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงตรงขามกบรปแบบประพจน ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] 1. ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] 2. ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] 3. ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] 4. ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)]

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3


1 . 11 ¤‹Ò¤ÇÒÁ¨ÃÔ§¢Í§»ÃÐâÂ¤·ÕèÁÕµÑÇº‹§»ÃÔÁÒ³ÊÍ§µÑÇ

ประโยคทมตวบงปรมาณสองตว สามารถหาคาความจรงไดโดยใชนยาม

บทนยาม กาหนดให P(x, y) แทนประโยคเปดทม x และ y เปนตวแปร

∀x∀y[P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ใน P(x, y) ดวยสมาชกทกคในเอกภพสมพทธ แลวทาใหประโยค P(x, y) เปนจรงเสมอ

∀x∀y[P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ใน P(x, y)ดวยสมาชกอยางนอย 1 คในเอกภพสมพทธ แลวทาใหประโยค P(x, y) เปนเทจ

ตวอยางท 12 กาหนดให � = {-2, 2} หาคาความจรงของ

1) ∀x∀y[xy < 5] 2) ∀x∀y[x + y < 2]

วธทา 1) ให P(x, y) แทน xy < 5

จะได P(-2, -2) แทน (-2)(-2) < 5 เปนจรง

P(-2, 2) แทน (-2)(2) < 5 เปนจรง

P(2, -2) แทน (2)(-2) < 5 เปนจรง

P(2, 2) แทน (2)(2) < 5 เปนจรง

จะพบวา เมอแทน x และ y ใน P(x, y) ดวยสมาชกทกคใน � แลวไดประพจน

ทเปนจรง

ดงนน ∀x∀y[xy < 5] มคาความจรงเปนจรง

2) ให P(x, y) แทน x + y < 2

จะได P(2, 2) แทน 2 + 2 < 2 เปนเทจ

จะพบวา เมอแทน x และ y ใน P(x, y) ดวยสมาชกอยางนอย 1 คใน �

แลวไดประพจนทเปนเทจ

ดงนน ∀x∀y[x + y < 2] มคาความจรงเปนเทจ


∃x∃y[P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ใน P(x, y)ดวยสมาชกอยางนอย 1 คในเอกภพสมพทธ แลวทาใหประโยค P(x, y) เปนจรง

∃x∃y[P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x และ y ใน P(x, y)ดวยสมาชกทกคในเอกภพสมพทธ แลวทาใหประโยค P(x, y) เปนเทจทงหมด



ตวอยางท 13 กาหนดให � = {-1, 2} หาคาความจรงของ

1) ∃x∃y[3x + y = 5] 2) ∃x∃y[x + y > 5]

วธทา 1) ให P(x, y) แทน 3x + y = 5 จะได P(2, -1) คอ 3(2) + (-1) = 5 เปนจรง

จะพบวา เมอแทน x และ y ใน P(x, y) ดวยสมาชกอยางนอย 1 คใน �แลวไดประพจนเปนจรง

ดงนน ∃x∃y[3x + y = 5] มคาความจรงเปนจรง

2) ให P(x, y) แทน x + y > 5

จะได P(-1, -1) แทน (-1) + (-1) > 5 เปนเทจ

P(-1, 2) แทน (-1) + 2 > 5 เปนเทจ

P(2, -1) แทน 2 + (-1) > 5 เปนเทจ

P(2, 2) แทน 2 + 2 > 5 เปนเทจ

จะพบวา เมอแทน x และ y ใน P(x, y) ดวยสมาชกทกคใน � แลวไดประพจน

ทเปนเทจทงหมด

ดงนน ∃x∃y[x + y > 5] มคาความจรงเปนเทจ


∀x∃y[P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ ทกๆ ครงทแทนตวแปร x ดวยสมาชก

ในเอกภพสมพทธ แลวจะม y อยางนอย 1 ตว ททาใหประโยค P(x, y) เปนจรง

∀x∃y[P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ มตวแปร x อยางนอย 1 ตว

ในเอกภพสมพทธ ทแทนคา y ทกตวแลวทาใหประโยค P(x, y) เปนเทจ

ตวอยางท 14 กาหนดให � = {-1, 0, 1} หาคาความจรงของ

1) ∀x∃y[x + y = 0] 2) ∀x∃y[x > y]

วธทา 1) ให P(x, y) แทน x + y = 0 จะได P(-1, 1) แทน (-1) + 1 = 0 เปนจรง

P(0, 0) แทน 0 + 0 = 0 เปนจรง

P(1, -1) แทน 1 + (-1) = 0 เปนจรง

จะพบวา เมอแทนทกคาของ x จะมคา y ในเอกภพสมพทธอยางนอย 1 ตว

ททาให P(x, y) เปนประพจนทเปนจรง

ดงนน ∀x∃y[x + y = 0] เปนจรง



2) ให P(x, y) แทน x > y

จะได P(-1, -1) แทน -1 > -1 เปนเทจ

P(-1, 0) แทน -1 > 0 เปนเทจ

P(-1, 1) แทน -1 > 1 เปนเทจ

จะพบวา เมอแทน x ดวย -1 จะไมมคา y ใน � ตวใดเลยททาให P(x, y) เปนประพจนทเปนจรง

ดงนน ∀x∃y[x > y] มคาความจรงเปนเทจ


∃x∀y[P(x, y)] มคาความจรงเปนจรง กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a

อยางนอย 1 ตว ในเอกภพสมพทธแลวทาให ∀y[P(a, y)] มคาความจรงเปนจรง

∃x∀y[P(x, y)] มคาความจรงเปนเทจ กตอเมอ แทนตวแปร x ดวยสมาชก a แตละตว

ในเอกภพสมพทธแลวทาให ∀y[P(a, y)] มคาความจรงเปนเทจ

ตวอยางท 15 กาหนดให � = {0, 2} หาคาความจรงของ

1) ∃x∀y[x ≥ y] 2) ∃x∀y[x + y = -1]

วธทา 1) ให P(x, y) แทน x ≥ y

จะได P(2, 0) แทน 2 ≥ 0 เปนจรง

P(2, 2) แทน 2 ≥ 2 เปนจรง

จะพบวา เมอแทน x ดวย 2 จะทาให P(x, y) เปนจรงทกๆ คาของ y

ดงนน ∃x∀y[x ≥ y] มคาความจรงเปนจรง

2) ให P(x, y) แทน x + y = -1 จะได P(0, 0) แทน 0 + 0 = -1 เปนเทจ

P(0, 2) แทน 0 + 2 = -1 เปนเทจ

P(2, 0) แทน 2 + 0 = -1 เปนเทจ

P(2, 2) แทน 2 + 2 = -1 เปนเทจ

จะพบวา ไมม x ตวใดเลยใน � ททาให P(x, y) เปนจรงทกๆ คาของ y

ดงนน ∃x∀y[x + y = -1] มคาความจรงเปนเทจ




1) ∀x∃y[3x + 2y = 4], � = N

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∃y∀x[3x + 2y = 4], � = I+

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∃x∀y[2x + 5y = 5y], � = I

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ∀y∃x[xy = y2], � = I

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ∃x∀y[xy = 3], � = R

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

6) ∀x∀y[xy = x + y], � = I

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

7) ∀x∃y[y = x2], � = R

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

8) ∀y∃x[x ≥ y], � = {-1, 0, 1, 2}

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

9) ∃x∀y[x > y], � = {0, 1, 2, 3, 4}

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

Exercise 1.11จดประสงค นกเรยนสามารถบอกคาความจรงของประโยคทมตวบงปรมาณสองตวได


เปนเทจ เพราะเมอแทน x ดวย 1 จะไมม y ใน � ตวใดททาให 3(1) + 2y = 4 เปนจรง

เปนเทจ เพราะไมม y ใน � ตวใดททาให 3x + 2y = 4 เปนจรงทกๆ คาของ x ใน �

เปนจรง เพราะเมอแทน x ดวย 0 จะทาให 2(0) + 5y = 5y เปนจรงทกๆ คาของ y ใน �

เปนจรง เพราะทกๆ คา y จะม x บางตวใน � ททาให xy = y2 เปนจรง

เปนเทจ เพราะไมม x ใน � ตวใดททาให xy = 3 เปนจรงทกๆ คาของ y ใน �

เปนเทจ เพราะเมอแทน x ดวย 4 และแทน y ดวย 2 จะไดวา (4)(2) = 4 + 2 เปนเทจ

เปนจรง เพราะทกๆ คาของ x จะม y บางตวใน � ททาให y = x2 เปนจรง

เปนจรง เพราะทกๆ คาของ y จะม x บางตวใน � ททาให x ≥ y เปนจรง

เปนเทจ เพราะไมม x ใน � ตวใดททาให x > y เปนจรงทกๆ คาของ y ใน �


10) ∃y∀x[y ≥ x], � = {-2, 0, 2} ........................................................................................................................................................................................................................................

11) ∀x∃y[y ≥ x], � = {x � x ≥ 1}

........................................................................................................................................................................................................................................

12) ∃x∃y[x ≥ y + 1], � เปนเซตของจานวนนบ

........................................................................................................................................................................................................................................

13) ∃x∀y[x2 > y2], � = {0, 1, 2, 3} ........................................................................................................................................................................................................................................

14) ∀y∃x[x2 - y = y2 - x], � = {-1, 0, 1} ........................................................................................................................................................................................................................................

15) ∃x∀y[x2 ≤ 2y + 2], � = {-1, 0, 1, 2} ........................................................................................................................................................................................................................................


1) ∀x∀y[x > y → x2 > y2], � = R ........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∀x∀y[x > y → 1x > 1y], � = R - {0}

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∃x∃y[(x ≠ 0 ∧ y ≠ 0) → xy > 1], � = R

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ∃x∃y[xy ≥ 1 → (x < 0 ∨ y < 0)], � = I-

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ∀x∃y[x ≠ y → x > y], � เปนเซตของจานวนจรง

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


เปนจรง เพราะเมอแทน y ดวย 2 จะทาให 2 ≥ x เปนจรงทกๆ คาของ x ใน �

เปนจรง เพราะทกๆ คาของ x จะม y ใน � บางตวททาให y ≥ x เปนจรง

เปนจรง เพราะเมอแทน x ดวย 2 และแทน y ดวย 1 จะได 2 ≥ 1 + 1 เปนจรง

เปนเทจ เพราะไมม x ใน � ตวใดเลยททาให x2 > y2 เปนจรงทกๆ คาของ y ใน �

เปนจรง เพราะทกๆ คาของ y จะม x ใน � บางตวททาให x2 - y = y2 - x เปนจรง

เปนจรง เพราะเมอแทน x ดวย 0 จะทาให 02 ≤ 2y + 2 เปนจรงทกๆ คา y ใน �

เปนเทจ เพราะเมอแทน x ดวย 1 และ y ดวย -2 จะไดวา ถา 1 > -2 แลว (1)2 > (-2)2 เปนเทจ

เปนเทจ เพราะเมอแทน x ดวย 3 และ y ดวย 2 จะไดวา ถา 3 > 2 แลว 13 > 12 เปนเทจ

เปนจรง เพราะเมอแทน x ดวย 4 และ y ดวย 2 จะไดวา ถา 4 ≠ 0 และ 2 ≠ 0 แลว 42 > 1

เปนจรง

เปนจรง เพราะเมอแทน x ดวย -2 และ y ดวย -1 จะไดวา ถา -2-1 ≥ 1 แลว -2 < 0 หรอ -1 < 0

เปนจรง

เปนจรง เพราะทกๆ คาของ x จะม y บางตวใน � ททาให x ≠ y → x > y เปนจรง



แนวคด ขอ 1. ∀x∀y[x ∩ y ≠ φ] ให P(x, y) แทน x ∩ y ≠ φ จะได P({1, 2}, {1, 2}) แทน {1, 2} ∩ {1, 2} ≠ φ เปนจรง

P({1, 2}, {1, 3}) แทน {1, 2} ∩ {1, 3} ≠ φ เปนจรง

… …

P({2, 3}, {2, 3}) แทน {2, 3} ∩ {2, 3} ≠ φ เปนจรง

ดงนน ∀x∀y[x ∩ y ≠ φ] มคาความจรงเปนจรง

ขอ 2. ∀x∀y[x ∪ y = �]

ให P(x, y) แทน x ∪ y = �

จะได P({1, 2}, {1, 3}) แทน {1, 2} ∪ {1, 3} = � เปนเทจ

ดงนน ∀x∀y[x ∪ y = �] มคาความจรงเปนเทจ

ขอ 3. ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] ให P(x, y) แทน y ≠ x และให Q(x, y) แทน y ⊂ x จะได P({1, 3}, {1, 3} แทน {1, 3} ≠ {1, 3} เปนเทจ

และ Q({1, 3}, {1, 3}) แทน {1, 3} ⊂ {1, 3} เปนจรง

นนคอ P({1, 3}, {1, 3}) ∧ Q({1, 3}, {1, 3}) เปนเทจ

ดงนน ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] มคาความจรงเปนเทจ

ขอ 4. ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] ให P(x, y) แทน y ≠ x และให Q(x, y) แทน y ⊂ x จะได P({2, 3}, {2, 3}) แทน {2, 3} ≠ {2, 3} เปนเทจ

และ Q({2, 3}, {2, 3}) แทน {2, 3} ⊂ {2, 3} เปนจรง

นนคอ P({2, 3}, {2, 3}) ∧ Q({2, 3}, {2, 3}) เปนเทจ

ดงนน ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] มคาความจรงเปนเทจ

Test for Uกาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ � = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}

1. ∀x∀y[x ∩ y ≠ φ] 2. ∀x∀y[x ∪ y = �]

3. ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] 4. ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x]

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

1


1 . 12 ÊÁÁÙÅáÅÐ¹ÔàÊ¸¢Í§»ÃÐâÂ¤·ÕèÁÕµÑÇº‹§»ÃÔÁÒ³

การสมมลกนของประโยคทมตวบงปรมาณ

การสมมลของประโยคทมตวบงปรมาณ จะพจารณาประโยคเปดวาสมมลหรอไม โดย

พจารณาเหมอนการสมมลกนของประพจน เราสามารถเทยบรปแบบการสมมลกนของประโยค

เปดกบการสมมลกนของประพจนได ดงน

ประพจนทสมมลกน สมมลของประโยคเปด

1. ∼(∼p) ≡ p 1. ∼[∼P(x)] ≡ P(x)

2. p ∧ q ≡ q ∧ p 2. P(x) ∧ Q(x) ≡ Q(x) ∧ P(x)

3. p ∨ q ≡ q ∨ p 3. P(x) ∨ Q(x) ≡ Q(x) ∨ P(x)

4. p ↔ q ≡ q ↔ p 4. P(x) ↔ Q(x) ≡ Q(x) ↔ P(x)

5. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q 5. ∼[P(x) ∨ Q(x)] ≡ ∼P(x) ∧ ∼Q(x)

6. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q 6. ∼[P(x) ∧ Q(x)] ≡ ∼P(x) ∨ ∼Q(x)

7. p → q ≡ ∼p ∨ q 7. P(x) → Q(x) ≡ ∼P(x) ∨ Q(x)

8. p → q ≡ ∼q → ∼p 8. P(x) → Q(x) ≡ ∼Q(x) → ∼P(x)

9. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) 9. P(x) ↔ Q(x) ≡ [P(x) → Q(x)] ∧ [Q(x) → P(x)]

10. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∨ r) 10. P(x) ∧ [Q(x) ∨ R(x)] ≡ [P(x) ∧ Q(x)] ∨ [P(x) ∨ R(x)]

11. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 11. P(x) ∨ [Q(x) ∧ R(x)] ≡ [P(x) ∨ Q(x)] ∧ [P(x) ∨ R(x)]

จากรปแบบสมมลของประโยคเปดขางตน เมอเตมตวบงปรมาณชนดเดยวกนไวดานหนา

จะไดประพจนทสมมลกนดวย เชน

∀x[P(x) → Q(x)] สมมลกบ ∀x[∼P(x) ∨ Q(x)] ∃x[P(x) → Q(x)] สมมลกบ ∃x[∼Q(x) → ∼P(x)] ∀x[∼(P(x) → Q(x))] สมมลกบ ∀x[P(x) ∧ ∼Q(x)] ∃x[P(x) ↔ Q(x)] สมมลกบ ∃x[(P(x) → Q(x)) ∧ (Q(x) → P(x))]



นเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ

นเสธของประโยคทมตวบงปรมาณ ซงใชวธการเดยวกนกบนเสธของประพจน นเสธของ p

คอ ∼p โดยการเตม “∼” ในประโยคเปดหรอประโยคทมตวบงปรมาณ จะตกลงใหเตม “∼”

ขางหนาประโยค เชน

นเสธของ P(x) คอ ∼P(x)

นเสธของ ∀x[P(x)] คอ ∼∀x[P(x)] นเสธของ ∃x[P(x)] คอ ∼∃x[P(x)] นเสธของ ∀x[P(x) ∨ Q(x)] คอ ∼∀x[P(x) ∨ Q(x)] นเสธของ ∃x[P(x) ↔ Q(x)] คอ ∼∃x[P(x) ↔ Q(x)]

เนองจาก ∼∀x[P(x)] สมมลกบ ∃x[∼P(x)]ดงนน นเสธของ ∀x[P(x)] คอ ∃x[∼P(x)]

เนองจาก ∼∃x[P(x)] สมมลกบ ∀x[∼P(x)]ดงนน นเสธของ ∃x[P(x)] คอ ∀x[∼P(x)]

ตวอยางการเปรยบเทยบนเสธของประพจนและนเสธของประโยคเปด

นเสธของ p → q คอ p ∧ ∼q

ดงนน นเสธของ P(x) → Q(x) คอ P(x) ∧ ∼Q(x) จะไดวา นเสธของ ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] คอ ∀x[P(x)] ∧ ∼∃x[Q(x)] ซง ∀x[P(x)] ∧ ∼∃x[Q(x)] สมมลกบ ∀x[P(x)] ∧ ∀x[∼Q(x)] ดงนน นเสธของ ∀x[P(x)] → ∃x[Q(x)] คอ ∀x[P(x)] ∧ ∀x[∼Q(x)]

และจากรปสมมลดงกลาวขางตน เราสามารถนาไปใชในกรณทมตวบงปรมาณมากกวา 1 ตวได

เชน ∼∀x∀y[P(x, y)] สมมลกบ ∃x∃y[∼P(x, y)] ∼∀x∃y[P(x, y)] สมมลกบ ∃x∀y[∼P(x, y)] ∼∃x∀y[P(x, y)] สมมลกบ ∀x∃y[∼P(x, y)] ∼∃x∃y[P(x, y)] สมมลกบ ∀x∀y[∼P(x, y)]



Exercise 1.12

1. ตรวจสอบวาประพจนแตละคสมมลกนหรอไม เมอกาหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของ

จานวนจรง

1) ∀x[x > 0] กบ ∼∃x[x ≤ 0]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∃x[(x + 4 = 7) ∧ (x∊N)] กบ ∃x[(x + 4 ≠ 7) ∧ (x∉N)]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∀x[x ≥ 0 → x2 ≥ 0] กบ ∀x[x < 0 → x2 < 0]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

4) ∼∃x[ x = 9 ∧ x ≠ 81] กบ ∀x[ x = 9 → x = 81] ........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ∀x[x∊I] → ∃x[x∊N] กบ ∀x[x∉N] → ∃x[x∉I]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

จดประสงค นกเรยนสามารถบอกประโยคทมตวบงปรมาณวาสมมลหรอเปนนเสธกนได


ให P(x) แทน x > 0

จะได ∀x[x > 0] แทนดวย ∀x[P(x)] สมมลกบ ∼(∼∀x[P(x)])

สมมลกบ ∼∃x[∼P(x)] ซงเขยนแทนดวย ∼∃x[x ≤ 0]

ดงนน ∀x[x > 0] สมมลกบ ∼∃x[x ≤ 0]

ให P(x) แทน x + 4 = 7 Q(x) แทน x∊N

จะได ∃x[(x + 4 = 7) ∧ (x∊N)] แทนดวย ∃x[P(x) ∧ Q(x)]

สมมลกบ ∃x[Q(x) ∧ P(x)] ซงเขยนดวย ∃x[(x∊N) ∧ (x + 4 = 7)]

ดงนน ∃x[(x + 4 = 7) ∧ (x∊N)] ไมสมมลกบ ∃x[(x + 4 ≠ 7) ∧ (x∉N)]

ให P(x) แทน x ≥ 0 Q(x) แทน x2 ≥ 0

จะได ∀x[x ≥ 0 → x2 ≥ 0] แทนดวย ∀x[P(x) → Q(x)]

สมมลกบ ∀x[~Q(x) → ~P(x)] ซงเขยนดวย ∀x[x2 < 0 → x < 0]

ดงนน ∀x[x ≥ 0 → x2 ≥ 0] ไมสมมลกบ ∀x[x < 0 → x2 < 0]

ให P(x) แทน x = 9 Q(x) แทน x ≠ 81

จะได ∼∃x[P(x) ∧ Q(x)] สมมลกบ ∀x[~P(x) ∨ ∼Q(x)]

สมมลกบ ∀x[P(x) → ∼Q(x)] ซงเขยนดวย ∀x[ x = 9 → x = 81]

ดงนน ∼∃x[ x = 9 ∧ x ≠ 81] สมมลกบ ∀x[ x = 9 → x = 81]

ให P(x) แทน x∊I Q(x) แทน x∊N

จะได ∀x[P(x) → ∃x[Q(x)] สมมลกบ ∼∃x[Q(x)] → ∼∀x[P(x)]

สมมลกบ ∀x[∼Q(x)] → ∃x[∼P(x)] ซงเขยนดวย ∀x[x∉N] → ∃x[x∉I]

ดงนน ∀x[x∊I] → ∃x[x∊N] สมมลกบ ∀x[x∉N] → ∃x[x∉I]


6) ∼∃x[x + 4 > 7] ∧ ∃x[x2 ≤ 1] กบ ∼∀x[x + 4 > 7] ∧ ∀x[x2 ≤ 1]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

7) มจานวนนบบางจานวนไมใชจานวนเฉพาะ กบไมเปนจรงทวาจานวนนบทกจานวนเปน

จานวนเฉพาะ

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

8) สบเซตของจานวนนบเปนเซตไมจากด กบไมเปนจรงทวาสบเซตของจานวนนบเปนเซต

จากด

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

2. หานเสธของขอความตอไปน เมอกาหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง

1) ∃x[x + 4 ≤ 0]

........................................................................................................................................................................................................................................

2) ∀x[x ≠ 1] → ∃x[x > 1]

........................................................................................................................................................................................................................................

3) ∃x[P(x) ∨ ∼Q(x)] ........................................................................................................................................................................................................................................


ให P(x) แทน x + 4 > 7 Q(x) แทน x2 ≤ 1

จะได ∼∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)] สมมลกบ ∀x[∼P(x)] ∨ ∀x[∼Q(x)]

ซงเขยนแทนดวย ∀x[x + 4 ≤ 7] ∨ ∀x [x2 ≥ 1]

ดงนน ∼∃x[x + 4 > 7] ∧ ∃x[x2 ≤ 1] ไมสมมลกบ ∼∀x[x + 4 > 7] ∧ ∀x[x2 ≤ 1]

พจารณาประโยค มจานวนนบบางจานวนไมใชจานวนเฉพาะ

ให P(x) แทน x เปนจานวนนบ Q(x) แทน x เปนจานวนเฉพาะ

จะได ∃x[∼P(x) ∨ ∼Q(x)] สมมลกบ ∃x[∼(P(x) ∧ ∼Q(x))]

สมมลกบ ∼∀x[P(x) ∧ ∼Q(x)] เขยนแทนดวย ไมเปนจรงทวาจานวนนบทกจานวนเปนจานวนเฉพาะ

ดงนน ขอความทงสองขอความ สมมลกน

พจารณาประโยค สบเซตของจานวนนบเปนเซตไมจากด

ให P(x) แทน x เปนสบเซตของจานวนนบ Q(x) แทน x เปนเซตจากด

จะได ∀x[P(x) ∧ ∼Q(x)] สมมลกบ ∀x[∼(∼ P(x) ∨ Q(x))]

สมมลกบ ∼∃x[P(x) → Q(x)] เขยนแทนดวย ไมเปนจรงทวาสบเซตของจานวนนบเปนเซตจากด

ดงนน ขอความทงสองขอความสมมลกน

นเสธ คอ ∼∃x[x + 4 ≤ 0] สมมลกบ ∀x[x + 4 > 0]

นเสธ คอ ∼{∀x[x ≠ 1] → ∃x[x > 1]} สมมลกบ ∀x[x ≠ 1] ∧ ∀x[x ≤ 1]

นเสธ คอ ∼∃x[P(x) ∨ ∼Q(x)] สมมลกบ ∀x[∼P(x) ∧ Q(x)]


4) ∃x[(x > 3) ∨ ∼(x + 2 ≥ 2)]

........................................................................................................................................................................................................................................

5) ∀x[x2 ≥ 0 → x < 0]

........................................................................................................................................................................................................................................

6) จานวนเฉพาะทกจานวนเปนจานวนจรง

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

7) จานวนจรงบางจานวนมากกวาหรอเทากบศนย และมจานวนจรงบางจานวนเมอยกกาลง

สองแลวนอยกวาศนย

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

8) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ xy < 0]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

9) ∃x∀y[�x - y� = x - y → x ≥ y]

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................


นเสธ คอ ∼∃x[(x > 3) ∨ ∼(x + 2 ≥ 2)] สมมลกบ ∀x[(x ≤ 3) ∧ (x + 2 ≥ 2)]

นเสธ คอ ∼∀x[x2 ≥ 0 → x < 0] สมมลกบ ∃x[x2 ≥ 0 ∧ x ≥ 0]

ให P(x) แทน x เปนจานวนเฉพาะ Q(x) แทน x เปนจานวนจรง

จะได ∀x[P(x) → Q(x)] นเสธ คอ ∼∀x[P(x) → Q(x)]

สมมลกบ ∃x[∼(P(x) → Q(x))] สมมลกบ ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)]

ซงเขยนแทนดวย มจานวนเฉพาะบางจานวนทไมใชจานวนจรง

ให P(x) แทน x เปนจานวนจรง ซง x ≥ 0 Q(x) แทน x เปนจานวนจรง ซง x2 < 0

จะได ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)]

นเสธ คอ ∼{∃x[x ≥ 0] ∧ ∃x[x2 < 0]} สมมลกบ ∀x[x < 0] ∨ ∀x[x2 ≥ 0]

ซงเขยนแทนดวย จานวนจรงทกจานวนนอยกวาศนย หรอ จานวนจรงทกจานวนเมอยกกาลงสอง

แลวมากกวาหรอเทากบศนย

ให P(x, y) แทน x + y = 0 Q(x, y) แทน xy = 0

จะได ∀x∃y[P(x, y) ∨ Q(x, y)] นเสธ คอ ∼∀x∃y[P(x, y) ∨ Q(x, y)]

สมมลกบ ∀x∃y[∼P(x, y) ∧ Q(x, y)]

ซงเขยนแทนดวย ∃x∀y[x + y ≠ 0 ∧ xy ≥ 0]

ให P(x, y) แทน �x - y� = x - y Q(x, y) แทน x ≥ y

จะได ∃x∀y[P(x, y) → Q(x, y)] นเสธ คอ ∼∃x∀y[P(x, y) → Q(x, y)]

สมมลกบ ∀x∃y[∼(P(x, y) → Q(x, y))] สมมลกบ ∀x∃y[P(x, y) ∧ ∼Q(x, y)]

ซงเขยนแทนดวย ∀x∃y[�x - y� = x - y ∧ x < y]


Unit Testแบบทดสอบหนวยการเรยนรท

ตอนท 1 เลอกคาตอบทถกทสด

1


1. ขอความใดตอไปน�เปนประพจน

1. x + 4 > 5 เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ

2. x + 3 < 2 เมอ x เปนจานวนเตมลบ

3. x + 2 = 2x เมอ x > 1

4. x + 1 ≠ 1 + x เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ

2. ขอความใดตอไปน�ไมเปนประพจน

1. x2 - y2 = (x + y)(x - y) เมอ x และ y เปนจานวนจรงใดๆ

2. x2 - x4 + 4 < 0 เมอ x เปนจานวนจรงใดๆ

3. �x - y� = �x� - �y� เมอ x และ y เปนจานวนจรงใดๆ

4. x เปนตวประกอบของ 15 กตอเมอ x หาร 15 ลงตว

3. ขอใดกลาวถกตอง

1. “5∊{1, 3, 5, 7, …} และ 5 เปนจานวนค” มคาความจรงเปนเทจ

2. “2 เปนจานวนค หรอ 2n เปนจานวนค” มคาความจรงเปนเทจ

3. “ถา 0 เปนจานวนเตม แลว 0 + 2 เปนจานวนเตม” มคาความจรงเปนจรง

4. “7 > 4 กตอเมอ 17 > 1

4 ” มคาความจรงเปนจรง

4. ขอใดมคาความจรงของประพจนเปนเทจ

1. ถา 1∊{1, 3} แลว 1⊂{1, 3} 2. 3 และ 2 เปนจานวนจรง

3. 17 เปนจานวนเฉพาะ กตอเมอ 17 มตวประกอบ คอ 1 กบ 17

4. 9 เทากบ 9 หรอ 9 มคาไมนอยกวา 9

5. กาหนดให p เปนประพจนใดๆ รปแบบของประพจนในขอมคาความจรงเปนจรงเสมอ

1. ∼(p ∧ ∼p) 2. ∼(p ∨ ∼p)

3. p ∧ p 4. ∼p ∨ ∼p

6. กาหนดให p เปนประพจนใดๆ รปแบบของประพจนในขอมคาความจรงเปนเทจเสมอ

1. ∼p → p 2. p ∨ ∼p

3. p → ∼p 4. ∼p ↔ p

3. “ถา 0 เปนจานวนเตม แลว 0 + 2 เปนจานวนเตม” มคาความจรงเปนจรง 3. “ถา 0 เปนจานวนเตม แลว 0 + 2 เปนจานวนเตม” มคาความจรงเปนจรง

4. 9 เทากบ 9 4. 9 เทากบ 9

1.

p 4.p 4.



7. ขอใดตอไปน�มคาความจรงเปนเทจ เมอกาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจนทมคา

ความจรงเปนจรง เทจ จรง เทจ และเทจ ตามลาดบ

1. ∼[∼(r ∨ ∼s) ∧ p] 2. (p ∨ ∼q) → (r ∨ t)

3. [(p → q) ∧ (t → r)] → s 4. (s ∧ ∼p) ↔ (q → ∼r)

8. ถา p, q และ r เปนประพจน โดยท p → q และ (∼p → q) → r มคาความจรงเปนจรงทงค

พจารณาขอความตอไปน�

(1) q → (∼ r → p) มคาความจรงเปนจรง

(2) (∼r ∧ p) → q มคาความจรงเปนจรง



9. กาหนดให p, q และ r เปนประพจน ซ�ง (q ↔ r) → (p ↔ ∼q) มคาความจรงเปนเทจ

ประพจนในขอใดมคาความจรงเปนจรง

1. r ∧ p 2. r ↔ p

3. r → ∼p 4. r ∨ p

10. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจน โดยท q → r มคาความจรงเปนเทจ และ s → r

มคาความจรงเปนเทจ ประพจนในขอใดมคาความจรงเปนจรง

1. (q ∨ r) → (s → ∼q) 2. [(q ∧ p) ∨ ∼s] → (s ∧ r)

3. (q ↔ s) → (r → p) 4. [(q → p) ∧ r] ↔ (s ∨ p)

11. ขอใดตอไปน�ถกตอง

1. ประพจน p → (q → r) และประพจน p ∧ (q ∨ r) สมมลกน

2. ขอความ “ถา x < 15 และ x ≥ 0 แลว (-2)(x) < (-2)(15)” มคาความจรงเปนจรง

3. ถา p มคาความจรงเปนจรง และ q มคาความจรงเปนเทจ แลว p ↔ (q → r)

มคาความจรงเปนจรง

4. นเสธของ “p → q” คอ “∼p → ∼q”

12. ถา p, q และ r เปนประพจน แลวประพจน ∼p → [q → (r ∨ p)] สมมลกบประพจนในขอใด

1. (∼p ∨ q) ∨ r 2. (p ∨ ∼q) ∨ r

3. (p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼r) 4. p ∧ ∼(q → r)

s 4. (s s 4. (s

1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด 1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด

p 2. r p 2. r

3. (q 3. (q

3. ถา p มคาความจรงเปนจรง และ q มคาความจรงเปนเทจ แลว p 3. ถา p มคาความจรงเปนจรง และ q มคาความจรงเปนเทจ แลว p

r 2. (p r 2. (p



13. ถา p และ q เปนประพจน แลวประพจน p → ∼(q ↔ p) สมมลกบประพจนในขอใด

1. ∼p ∨ [(p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)] 2. p ∨ (∼q ∨ p)

3. ∼p ∨ (∼p ∧ q) 4. ∼p ∨ [(∼q ∨ p) ∧ (∼p ∨ q)]

14. ประพจน (p → r) ∨ (q → r) สมมลกบประพจนในขอใด

1. r ∨ (∼p ∨ ∼q) 2. r ∨ ∼(p ∨ q)

3. ∼(p ∧ q) ∨ r 4. (∼p ∧ ∼q) ∨ r

15. ประพจน (p → r) ∧ (p → q) ไมสมมลกบประพจนในขอใด

1. (r ∨ q) ∨ ∼p 2. ∼p ∨ (r ∧ q)

3. (∼r ∧ ∼q) → ∼p 4. (∼q ∨ r) → ∼p

16. รปแบบของประพจนในขอใดเปนสจนรนดร

1. (p ∨ ∼q) ∧ (∼p ∧ q) 2. (p → q) ∨ (q → p)

3. (p ∧ q) ∨ ∼q 4. (p ∨ ∼p) ∧ q

17. ประพจนในขอใดเปนสจนรนดร

1. ∼(p ↔ q) ↔ (∼p ↔ ∼q)

2. ∼(p → q) ↔ (p ∧ ∼q)

3. [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] → p

4. [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → r

18. พจารณาการอางเหตผลตอไปน�

(1) เหต 1. p ∧ r (2) เหต 1. p ∨ r

2. p → (r → q) 2. ∼p ∨ q

3. ∼q

ผล q ผล p


1. ขอ (1) สมเหตสมผล และขอ (2) สมเหตสมผลทงค

2. ขอ (1) สมเหตสมผล และขอ (2) ไมสมเหตสมผล

3. ขอ (1) ไมสมเหตสมผล และขอ (2) สมเหตสมผล

4. ขอ (1) ไมสมเหตสมผล และขอ (2) ไมสมเหตสมผล

1. 1.

3. 3.

p 4. (p 4. (

q) 2. (p q) 2. (p

2. 2.

2. ขอ (1) สมเหตสมผล และขอ (2) ไมสมเหตสมผล 2. ขอ (1) สมเหตสมผล และขอ (2) ไมสมเหตสมผล




(1) เหต 1. (p ∧ r) → (q ∨ s) (2) เหต 1. p → s

2. ∼(q ∨ s) 2. p → q

3. p ∧ r

ผล ∼r ผล q → r


1. ขอ (1) สมเหตสมผล และขอ (2) สมเหตสมผลทงค

2. ขอ (1) สมเหตสมผล และขอ (2) ไมสมเหตสมผล

3. ขอ (1) ไมสมเหตสมผล และขอ (2) สมเหตสมผล

4. ขอ (1) ไมสมเหตสมผล และขอ (2) ไมสมเหตสมผล

20. กาหนดให 1. q → (p ∨ s)

2. ∼p ∨ ∼s

3. p

ขอใดเปนขอสรปทสมเหตสมผล

1. ∼s 2. ∼p 3. ∼q 4. q → s

21. ขอความใดตอไปน�เปนประโยคเปด

1. 2x - x = x

2. x + y ≠ y + x เมอ x, y เปนจานวนจรง

3. x > 6 กตอเมอ x + 3 > 9

4. x2 + 4 = 2

22. ประโยคทมตวบงปรมาณตอไปน� ขอใดมคาความจรงเปนจรง

1. ∀x[x เปนจานวนอตรรกยะ], � = R

2. ∀x[x + 3 = 7], � = {0, 2, 4, 6} 3. ∃x[x2 < 1], � = {1, 3, 5} 4. ∃x[x เปนจานวนนบหรอจานวนเฉพาะ], � = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

23. ประโยคทมตวบงปรมาณตอไปน� ขอใดมคาความจรงเปนเทจ เมอ � = {-1, 0, 1} 1. ∃x[x < 0] ∧ ∃x[x - 1 = 0] 2. ∃x[(x < 0) ∧ (x - 1 = 0)] 3. ∀x[x < 0] → ∀x[x2 > 0]

4. ∀x[(x < 0) → (x2 > 0)]

3. ขอ (1) ไมสมเหตสมผล และขอ (2) สมเหตสมผล 3. ขอ (1) ไมสมเหตสมผล และขอ (2) สมเหตสมผล

p 3.p 3.

4. 4.

4. 4.

2. 2.



24. กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ {-3, -2, -1, 1, 2, 3}

P(x) คอ x เปนจานวนค Q(x) คอ 2x เปนจานวนค

ประพจน A คอ ∀x[P(x) ∧ Q(x)]

ประพจน B คอ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] ประพจน C คอ ∀x[P(x) → Q(x)]


1. ประพจน A และประพจน C เทานนทมคาความจรงเปนเทจ

2. ประพจน A และประพจน B เทานนทมคาความจรงเปนเทจ

3. ประพจน A และประพจน C เทานนทมคาความจรงเปนจรง

4. ประพจน A และประพจน B เทานนทมคาความจรงเปนจรง

25. “ไมวา x และ y จะเปนจานวนจรงใดๆ กตาม จะไดคา x + y < 7” ขอใดเขยนในรปประโยค

สญลกษณไดถกตอง

1. ∃x∃y[x + y < 7] 2. ∃x∀y[x + y < 7]

3. ∀x∃y[x + y < 7] 4. ∀x∀y[x + y < 7]

26. “∀x∊R ∃y∊N[xy > 0 → (x > 0 ∧ y > 0)]” ขอความใดถกตอง

1. จะมจานวนจรง x ทกจานวน สาหรบจานวนนบ y บางจานวน

ซ�งถา xy > 0 แลว x > 0 และ y > 0

2. สาหรบจานวนจรง x ทกจานวน จะมจานวนนบ y บางจานวน


3. จะมจานวนจรง x บางจานวน สาหรบจานวนนบ y ทกจานวน


4. สาหรบจานวนจรง x บางจานวน จะมจานวนนบ y ทกจานวน


27. กาหนดให

(1) ∀x∀y[x < y → 2x < 2y], � เปนเซตของจานวนจรงทไมเปนศนย


(2) ∃x∃y[(x ≠ 0 ∧ y ≠ 1) → x + y ≠ 1], � เปนเซตของจานวนจรง


ขอใดกลาวถกตอง



1. ประพจน A และประพจน C เทานนทมคาความจรงเปนเทจ 1. ประพจน A และประพจน C เทานนทมคาความจรงเปนเทจ

7] 4.7] 4.

2. สาหรบจานวนจรง 2. สาหรบจานวนจรง

3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก


1. ให p และ q เปนประพจน ถา p ▽ q และ p * q เปนรปแบบของประพจนทมคาความจรง

ดงตาราง

p q p ▽ q p * q

T T T F

T F T T

F T F T

F F F F

2. พจารณาการอางเหตผลตอไปน วาสมเหตสมผลหรอไม

1) เหต 1. p → q 2) เหต 1. p ∨ (q → ∼r)

2. p ∨ ∼r 2. ∼r → p

3. ∼r → ∼s 3. ∼s

4. ∼q 4. t → s

ผล ∼s ↔ p ผล ∼p ∧ q

3) เหต 1. ถาบอยไมชอบเรยนคณตศาสตร แลวบอยไมชอบเรยนฟสกส

2. บอยไมชอบเรยนภาษาองกฤษ

3. ถาบอยชอบเรยนคณตศาสตร แลวบอยชอบเรยนเคม

4. บอยชอบเรยนชววทยา หรอ ชอบเรยนภาษาองกฤษ

ผล บอยชอบเรยนเคมแตไมชอบเรยนคณตศาสตร

ตอนท 2 แสดงวธทา

ใหหาคาความจรงของรปแบบ

ของประพจน

1) ∼(p * q) → [q ↔ (p ▽ q)]

2) [(p ▽ q) ▽ ∼p] → (q * p)


28. ขอใดไมใชนเสธของขอความ ∃x[P(x) → Q(x)] 1. ∼∃x[∼P(x) ∨ Q(x)] 2. ∀x[∼(∼P(x) ∨ Q(x))] 3. ∃x[∼P(x) → ∼Q(x)] 4. ∀x[P(x) ∧ ∼Q(x)]

29. นเสธของขอความ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] คอขอใด 1. ∀x[∼P(x) ∧ ∼Q(x)] 2. ∀x[∼P(x) ∨ ∼Q(x))] 3. ∃x[∼P(x) ∧ ∼Q(x)] 4. ∃x[∼P(x) ∨ ∼Q(x)]

30. นเสธของขอความ ∀x∃y[(xy = 1 ∧ x ≠ 1 → y = 1] สมมลกบขอใด

1. ∃x∀y[(xy = 1 ∨ x = 1) ∧ y ≠ 1] 2. ∃x∀y[(xy ≠ 1 ∧ x = 1) ∨ y = 1]

3. ∃x∀y[(xy = 1 ∧ x ≠ 1) ∧ y ≠ 1] 4. ∃x∀y[(xy ≠ 1 ∨ x = 1) ∨ y = 1]

3. 3.

1. 1.

3. 3.


แบบทดสอบ

พสจนศกยภาพChallenge Test


1. กาหนดให p และ q เปนประพจน โดยท ∼(p → q) → ∼q มคาความจรงเปนจรง พจารณา

ขอความตอไปน�

(1) (p ↔ q) → ∼p มคาความจรงเปนจรง

(2) (p ∧ ∼q) → q มคาความจรงเปนเทจ




2. กาหนดให p, q, r, s และ t เปนประพจน ซ�ง p → (q ∧ ∼r) มคาความจรงเปนเทจ

∼p ↔ (s ∧ t) มคาความจรงเปนจรง

ประพจนในขอใดตอไปน�มคาความจรงเปนจรง

1. (q ∧ t) → (p ∧ q) 2. (q ∨ r) ↔ ∼s

3. (s ∨ t) ↔ p 4. (p → s) → ∼r

3. ขอความใดตอไปน�มคาความจรงเปนจรง

1. (r ∨ ∼p) → (q ∨ r) 2. ถา x + 5 = 7 แลว x = 2 3. ∀x∀y[x2y > xy], U = R 4. ∃x∀y[(y - x)3 = y3 - x3], U = R

4. นเสธของขอรปแบบประพจน (p → ∼q) ∧ (r → s) คอขอใด

1. [(p ∧ ∼q) → ∼r] ∧ [(p ∧ ∼q) → s]

2. [(∼p ∨ q) → r] ∧ [(∼p ∨ q) → ∼s]

3. [p → (∼r ∨ s)] ∧ [∼q → (r ∧ ∼s)]

4. [∼p → (∼r ∨ s)] ∧ [q → (∼r ∨ s)]

5. กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจนใดๆ พจารณาขอความตอไปน�

(1) ถารปแบบประพจน (p ∧ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนจรง และประพจน p

มคาความจรงเปนเทจ แลวสรปไดวาประพจน r มคาความจรงเปนเทจ

(2) รปแบบประพจน (p ∧ q) → (r ∧ s) สมมลกบรปแบบประพจน

[q → (p → r)] ∨ [p → (q → s)]




3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด 3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด

1. (q 1. (q

y], U = R 4.y], U = R 4.

3. [p 3. [p

1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด 1. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ถก 2. ขอ (1) ถก และ ขอ (2) ผด




เหต 1. สมชายเปนโรคเบาหวาน หรอ สมชายอวนและเตย

2. ถาสมชายเตย แลวสมชายจะเปนโรคหวใจ

3. สมชายไมเปนโรคหวใจ

จะสรปผลไดดงขอใด


1. สมชายอวนและเปนโรคเบาหวาน

2. ถาสมชายอวน แลวสมชายจะเปนโรคเบาหวาน

3. ถาสมชายเปนโรคเบาหวาน แลวสมชายตวเตย

4. ถาสมชายเปนโรคเบาหวาน แลวสมชายจะเปนโรคหวใจ

7. ขอใดตอไปน�เปนการอางเหตผลทไมสมเหตสมผล

1. เหต 1. p → q 2. เหต 1. (p ∧ ∼q) ∨ (p ∧ r)

2. (q → p) → p 2. p → q

ผล q ผล r

3. เหต 1. (p → q) ∨ (r → s) 4. เหต 1. p ∧ (q → r) 2. r → s

2. (r → q) ∨ (p → s) 3. q ∧ ∼s

ผล (p → s) ∨ (r → q) ผล p

8. พจารณาขอความตอไปน� เมอกาหนดเอกภพสมพทธคอชวงเปด (-2, 2)

(1) ประพจน ∀y[�y + y2� ≤ �y� + y2 และ y ≤ y2] มคาความจรงเปนจรง

(2) ประพจน ∃y[y2 - y - 6 ≥ 0] มคาความจรงเปนจรง



9. เอกภพสมพทธในขอใดททาให (∀x[x2 - 2x + 3]) ∧ (∃y[y2 - 4 ≥ 0]) มคาความจรงเปนจรง

1. [-3, 0] 2. [-0.5, 2.5]

3. [-1.5, 2] 4. [-1, 2]

10. ถา A เปนเซตคาตอบของอสมการ x + 1x ≤ 2 และเอกภพสมพทธเปนเซตของ

จานวนจรง แลวขอความใดตอไปน�มคาความจรงเปนจรง

1. ∃x[�x� < x] 2. ∃y[(x∊A) ∧ (x ≥ 7)]

3. ∀x[(x∊A) → (x < -5)] 4. ∀x[(x < -7) → (x∊A)]

2. ถาสมชายอวน แลวสมชายจะเปนโรคเบาหวาน 2. ถาสมชายอวน แลวสมชายจะเปนโรคเบาหวาน

s) 4. เหต 1. p s) 4. เหต 1. p

3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด 3. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ถก 4. ขอ (1) ผด และ ขอ (2) ผด

1. [-3, 0] 2. [-0.5, 2.5] 1. [-3, 0] 2. [-0.5, 2.5]

-5)] 4.-5)] 4.


ˇˆ˝ˇ ˝ • †“ ‘’ 4-6 · 2016-05-19 · ศ. ดร. ณรงค ป ... ˇˆ˝ˇ ˝...

Documents