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1등급을 위한 고난도 수학 개념원리 탑 레벨

수학Ⅱ

상위권 필독서

top level

1등급을 위한 꼭 알아야 하는 개념과 원리

Ⅰ. 집합과 명제

top level note

01 집합

■ 원소의 개수가 n인 집합 A의 진부

분집합의 개수 2Ç`-1

■ 원소의 개수가 n인 집합 A에서 k

개의 특정한 원소 중 적어도 한 개

를 포함하는 부분집합의 개수

2Ç`-2Ç` Ñû` (단, k<n)

특정한 원소를 포함하거나 포함하지 않는 부분집합의 개수

집합 A={aÁ, aª, a£, y, aÇ}에 대하여

⑴ 부분집합의 개수 2Ç`

⑵ 집합 A의 특정한 원소 m개를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수

2Ç` Ñµ`` (단, n>m)

⑶ 집합 A의 특정한 원소 k개를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수

2Ç` Ñû` (단, n>k)

⑷ 집합 A의 원소 중 m개는 반드시 원소로 갖고, k개는 원소로 갖지 않는 부분집합

의 개수 2Ç` Ñµ``Ñû` (단, n>m+k)

참고 A,X,B 꼴의 집합 X의 개수

집합 A의 모든 원소를 포함하는 집합 B의 부분집합의 개수

n(A)=p, n(B)=q일 때, 집합 X의 개수：2Ï`Ñ¹` (단, p<q)

1

■ 유한집합의 원소의 개수

세 집합 A, B, C가 유한집합일 때

① n(A'B)

=n(A)+n(B)-n(A;B)

② n(A'B'C)

= n(A)+n(B)+n(C)

-n(A;B)-n(B;C)

-n(C;A)

+n(A;B;C)

유한집합의 원소의 개수의 최댓값과 최솟값

전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(B)<n(A)일 때

⑴ n(A;B)가 최대가 되는 경우

B,A일 때이며 이때 n(A;B)=n(B)이다.

⑵ n(A;B)가 최소가 되는 경우

n(A'B)가 최대가 될 때이며 이때 n(A'B)=n(U)이다.

n(A;B)의 최댓값

n(A'B)의 최댓값

2

■ 집합의 분배법칙

세 집합 A, B, C에 대하여

① A'(B;C)

=(A'B);(A'C)

② A;(B'C)

=(A;B)'(A;C)

집합의 연산에 대한 성질

전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여

⑴ A;A=A, A'A=A ⑵ A;∅=∅, A'∅=A

⑶ A;U=A, A'U=U ⑷ A;A�` =∅, A'A�` =U

⑸ U�` =∅, ∅�` =U ⑹ (A�` )�` =A

⑺ A-B=A;B�`

참고 A,B이면

① A;B=A ② A'B=B ③ A-B=∅

④ A;B�` =∅ ⑤ B�` ,A�` ⑥ B�` -A�` =∅

3

■ 대칭차집합

두 집합 A, B에 대하여

(A-B)'(B-A)를 A, B에

대한 대칭차집합이라 하며 일반적

으로 A△B로 나타낸다.

△

① A△A=∅

② A△∅=A

③ A△B=B△A (교환법칙)

④ (A△B)△C=A△(B△C)

(결합법칙)

⑤ (A△B)△A=B,

(A△B)△B=A

배수와 약수를 이용한 집합의 연산

자연수 전체의 집합의 부분집합 AÇ이 자연수 n의 배수의 집합일 때

⑴ Aµ,(Aû;AÂ) m은 k, l의 공배수

⑵ (Aû'AÂ),AÇ n은 k, l의 공약수(m의 최솟값)=(k, l의 최소공배수)

(n의 최댓값)=(k, l의 최대공약수)

4

006 개념원리 top level 수학Ⅱ

top level as t e p 01 집합출제율 100% 문제로 1등급 도전하기

집합

과 명

제Ⅰ

정답과 풀이 p. 5

001두 집합 A={-1, 1, 2}, B={-4, 0, k}에 대하여 집합

C를 C={aÛ`+bÛ`|a<A, b<B}라 하자. 26<C일 때, 자

연수 k의 값을 구하여라.

aÛ`+bÛ`의 값을 구하면

(-1)Û`+(-4)Û`=17, (-1)Û`+0Û`=1, (-1)Û`+kÛ`=kÛ`+11Û`+(-4)Û`=17, 1Û`+0Û`=1, 1Û`+kÛ`=kÛ`+12Û`+(-4)Û`=20, 2Û`+0Û`=4, 2Û`+kÛ`=kÛ`+4이때 26<C에서 kÛ`+1=26 또는 kÛ`+4=26그런데 k는 자연수이므로

kÛ`=25 ∴ k=5 5

003전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5}의 두 부분집합 A, B에 대하

여 A;B={1}, A�`;B={3}, A�`;B�`={5}일 때, 집

합 A를 구하여라.

A�`;B�`=(A'B)�`={5}이므로

A'B =U-(A'B)�`={1, 2, 3, 4}A;B={1}이고

A�`;B=B-A={3}이므로

A-B={2, 4}∴ A={1, 2, 4} {1, 2, 4}

004전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여

(A;B�`)'(B-A)=∅일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

① A=B ② A;B=∅ ③ A,B, A+B

④ A'B=U ⑤ A'B=∅(A;B�`)'(B-A)=∅에서

(A-B)'(B-A)=∅이므로

A-B=∅이고 B-A=∅따라서 A,B이고 B,A이므로 A=B이다. ①

005전체집합 U의 두 부분집합 A={1, 3, 5, aÛ`-7},

B={a-1, 2a+4, 9}에 대하여 B-A�`={3, 9}일 때,

A'B의 모든 원소의 합을 구하여라.

B-A�`=B;(A�`)�`=B;A={3, 9}이므로 9<A즉, aÛ`-7=9 ∴ a=-4 또는 a=4Ú a=-4일 때

A={1, 3, 5, 9}, B={-5, -4, 9}이므로 A;B={9} 따라서 조건을 만족시키지 않는다.

Û a=4일 때

A={1, 3, 5, 9}, B={3, 12, 9}이므로 A;B={3, 9}따라서 Ú, Û에서 A'B={1, 3, 5, 9, 12}이고 모든 원소의 합은

1+3+5+9+12=30 30

007두 집합 A={2, 10, aÛ`+bÛ`}, B={5, ab}에 대하여

B-A=∅이 성립할 때, (a-b)Û`의 값을 구하여라.

(단, a, b는 실수)B-A=∅에서 B,A이므로

aÛ`+bÛ`=5, ab=10 또는 aÛ`+bÛ`=5, ab=2이어야 한다.

이때 a, b가 실수이므로 (a-b)Û`¾0을 만족해야 한다.

Ú aÛ`+bÛ`=5, ab=10일 때

(a-b)Û`=aÛ`+bÛ`-2ab=5-2_10=-15Û aÛ`+bÛ`=5, ab=2일 때

(a-b)Û`=aÛ`+bÛ`-2ab=5-2_2=1따라서 Ú, Û에서 (a-b)Û`=1 1

008집합 A={x|x는 k 이하의 자연수, k는 자연수}의 부분집

합 중에서 1, 3은 반드시 원소로 갖고 2, 4, 6은 원소로 갖

지 않는 부분집합의 개수가 64일 때, k의 값을 구하여라.

n(A)=k이고 1, 3은 반드시 원소로 갖고 2, 4, 6은 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수

가 64이므로

2k-2-3=642k-5=64=2ß`이때k-5=6 ∴k=11 11

002집합 A={∅, 3, 5, {5, 7}}에 대하여 다음 보기 중 옳은

것만을 있는 대로 골라라.

ㄱ. ∅<A ㄴ. {∅}²Aㄷ. {3}²A ㄹ. {5}²Aㅁ. {5, 7}<A따라서 옳은 것은 ㄱ, ㅁ이다. ㄱ, ㅁ

ㄱ. ∅<A ㄴ. {∅}<A

ㄷ. {3}<A ㄹ. {5}<A

ㅁ. {5, 7}<A

보기

006두 집합 A={2, 5, xÛ`-5x}, B=[-4, ;2!;x, 2x-3]에

대하여 A,B이고 A.B를 만족시키는 상수 x의 값을 구

하는 과정을 서술하여라.

A,B이고 A.B이므로 A=B이다.

-4<B이므로 -4<A즉, -4=xÛ`-5x, xÛ`-5x+4=0(x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 ◀ 30 %

Ú x=1일 때 A={2, 5, -4}, B=[-4, ;2!;, -1]이므로 A+B ◀ 30 %

Û x=4일 때 A={2, 5, -4}, B={-4, 2, 5}이므로 A=B ◀ 30 %따라서 Ú, Û에서 조건을 만족시키는 상수 x의 값은 4이다. ◀ 10 % 4

Ⅰ. 집합과 명제 007

as t e p

1등급 도전하기출제율 100% 문제로


AB=(A;B)'(A'B)�`

으로 정의할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① A∅=A�` ② AU=U

③ AB=BA ④ AA�`=∅

⑤ AB=A�`B�`① A∅=(A;∅)'(A'∅)�`=∅'A�`=A�③ BA=(B;A)'(B'A)�`=AB④ AA�`=(A;A�`)'(A'A�`)�`=∅'U�`=∅'∅=∅⑤ A�`B�` =(A�`;B�`)'(A�`'B�`)�`

=(A'B)�`'(A;B)=AB ②


[{(B-A)'(A�`;B�`)}'B�``]�`=B

가 성립할 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

① A=B ② A-B=∅

③ B-(A;B)=∅ ④ A�`;B�`=B�`

⑤ B�` ,A�`[{(B-A)'(A�`;B�`)}'B�``]�`=[{(B;A�`)'(A�`;B�`)}'B�``]�`=[{A�`;(B'B�`)}'B�``]�`={(A�`;U)'B�` }�`=(A�`'B�`)�`=A;B ③

013전체집합 U={x|x는 50 이하의 자연수}의 부분집합 중 자

연수 k의 배수의 집합을 Aû라 할 때, A£;(A¢�`'A¤�`)의

원소의 개수를 구하여라.

A¢;A¤은 4와 6의 공배수, 즉 12의 배수의 집합이므로

n(A¢;A¤)=n(AÁª)=4A£;(A¢�`'A¤�`)=A£;(A¢;A¤)�`

=A£-(A¢;A¤) =A£-AÁª

따라서 A£;(A¢�`'A¤�`)의 원소의 개수는

n(A£;(A¢�`'A¤�`))=n(A£-AÁª)=n(A£)-n(AÁª) =16-4=12 12

014전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(U)=30,

n(A)=24, n(B)=18일 때, n(A;B)의 최댓값 M과

최솟값 m에 대하여 M-m의 값을 구하여라.

n(A;B)의 최댓값은 B,A일 때이므로

n(A;B)=n(B)=18∴ M=18n(A;B)의 최솟값은 A'B=U일 때이므로

n(A'B)=n(U)=30이고

n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=24+18-30=12∴ m=12∴ M-m=18-12=6 6

015어느 자원봉사 단체에서는 영어, 일본어, 중국어 중 적어도

하나의 언어를 통역할 수 있는 자원봉사자를 모집하였더니

80명이 지원하였다. 이 중에 영어를 통역할 수 있는 사람이

60명, 일본어를 통역할 수 있는 사람이 32명, 중국어를 통

역할 수 있는 사람이 13명이고 영어와 일본어를 모두 통역

할 수 있는 사람이 18명, 일본어와 중국어를 모두 통역할 수

있는 사람이 5명, 영어와 중국어를 모두 통역할 수 있는 사

람이 7명이었다. 이때 영어, 일본어, 중국어를 모두 통역할

수 있는 사람 수를 구하여라.

자원봉사자 전체의 집합을 U, 영어를 통역할 수 있는 사람의 집합을 E, 일본어를 통역

할 수 있는 사람의 집합을 J, 중국어를 통역할 수 있는 사람의 집합을 C라 하면

n(U)=n(E'J'C)=80n(E)=60, n(J)=32, n(C)=13n(E;J)=18, n(J;C)=5, n(E;C)=7n(E'J'C)=n(E)+n(J)+n(C)-n(E;J) -n(J;C)-n(E;C)+n(E;J;C)이므로

80=60+32+13-18-5-7+n(E;J;C)∴ n(E;J;C)=5 5

012전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C에 대하여 n(A)=12,

n(B)=9, n(C)=10, n(A'B)=19, n(B'C)=14,

n(A'C)=22일 때, n(A'B'C)의 값을 구하는 과정

을 서술하여라.

n(A;C) =12+10-22=0 ◀ 20 %즉, A;C=∅이므로 n(A;B;C)=0 ◀ 20 %이때 n(A;B) =12+9-19=2n(B;C) =9+10-14=5 ◀ 40 %∴ n(A'B'C) =12+9+10-2-5-0+0=24 ◀ 20 % 24

010전체집합 U={x|x는 10 이하의 자연수}의 세 부분집합

A={1, 2}, B={2, 3, 5, 7}, X에 대하여 다음 조건을

만족시키는 집합 X의 개수를 구하는 과정을 서술하여라.

조건 (가)에서 A'X=X이므로 A,X이다.

즉, 1<X, 2<X ◀ 30 %(B-A);X={5, 7}에서 {3, 5, 7};X={5, 7}즉, 5<X, 7<X, 3²X이어야 한다. ◀ 40 %따라서 집합 X는 1, 2, 5, 7은 반드시 포함하고 3은 포함하지 않아야 하므로 구하는 부

분집합 X의 개수는

2Ú`â`ÑÝ`ÑÚ`=2Þ`=32 ◀ 30 % 32

㈎ A'X=X ㈏ (B-A);X={5, 7}


top level bs t e p 01 집합출제율 100% 문제로 1등급 도전하기

집합

과 명

제Ⅰ


017두 집합 A={x|-3<x<2}, B={x|aÉxÉb}에 대하

여 A;B={x|-2Éx<2}, A'B={x|-3<xÉ5}

일 때, a-b의 값은?

① -7 ② -6 ③ -5

④ -4 ⑤ -3A={x|-3<x<2}, B={x|aÉxÉb}이고

A;B={x|-2Éx<2}, A'B={x|-3<xÉ5}이므로 수직선 위에 나타내면

다음 그림과 같다.

A;B={x|-2Éx<2}={x|aÉx<2}에서 a=-2A'B={x|-3<xÉ5}={x|-3<xÉb}에서 b=5∴ a-b=-2-5=-7 ①

018두 집합 S=[2x-6, xÛ`-x, ;[^;], T={3xÛ`-14, 1, 3}에

대하여 S;T={-2, 3}일 때, 집합 S'T의 모든 원소의

합을 구하여라.

S;T={-2, 3}이므로 -2<T이다.

즉, 3xÛ`-14=-2, 3xÛ`=12, xÛ`=4∴ x=Ñ2Ú x=-2일 때

S={-10, 6, -3}, T={-2, 1, 3}이므로 S;T=∅

따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Û x=2일 때

S={-2, 2, 3}, T={-2, 1, 3}이므로 S;T={-2, 3} ∴ S'T={-2, 1, 2, 3}따라서 Ú, Û에서 집합 S'T의 모든 원소의 합은

-2+1+2+3=4 4

019두 집합 A={-2, -1, a-5}, B={-1, -a-2, aÛ̀ -6}

에 대하여 (A'B)-(A;B)={-3, -4}일 때, 상수 a

의 값을 구하여라.Ú a=0일 때 A={-2, -1, -5}, B={-1, -2, -6}이므로

(A'B)-(A;B)={-5, -6} 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Û a=-2일 때 A={-2, -1, -7}, B={-1, 0, -2}이므로

(A'B)-(A;B)={-7, 0} 따라서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

Ü a=2일 때 A={-2, -1, -3}, B={-1, -4, -2}이므로

(A'B)-(A;B)={-3, -4}따라서 Ú, Û, Ü에서 a=2 2

021자연수 k의 배수의 집합을 Aû라 할 때, 상수 a는

Aµ,(A¤;A¥)을 만족시키는 m의 최솟값이고 상수 b는

(A¤'A¥),AÇ을 만족시키는 n의 최댓값이다. a-b의 값

을 구하여라. (단, 집합 Aû의 원소는 자연수이다.)A¤;A¥은 6과 8의 공배수의 집합이므로 Aµ,(A¤;A¥)에서 m의 최솟값은 6과 8의 최소공배수인 24이다.

∴ a=24(A¤'A¥),AÇ에서 n은 6과 8의 공약수이므로 n의 최댓값은 6과 8의 최대공약수인

2이다.

∴ b=2∴ a-b=24-2=22 22

020두 집합 A={-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4},

B={-2, 0, 2, 4, 6}에 대하여 X;A�`=∅, (A;B)-X=∅을 만족시키는 집합 X의 개수를 구하는

과정을 서술하여라.

X;A�`=∅이므로 X,A yy`㉠ ◀ 20 %(A;B)-X=∅이므로 (A;B),X yy`㉡ ◀ 20 %㉠, ㉡에서 (A;B),X,A ◀ 20 %이때 A;B={-2, 0, 2, 4}이므로 집합 X는 -2, 0, 2, 4를 반드시 포함하는 집합

A의 부분집합이다.

따라서 집합 X의 개수는 2à`ÑÝ`=2Ü`=8 ◀ 40 % 8

016집합 A={2, 4, 6, 8}에 대하여 B,A, C,A이고 두 집

합 B, C가 서로소일 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 집합

B에 대하여 모든 원소의 합의 최댓값을 구하여라.

집합 B와 C는 서로소이므로 B;C=∅이고

6<C이므로 6²B또한 n(B)=2이므로 집합 B는 집합 A의 부분집합 중 6을 포함하지 않으면서 원소

의 개수가 2인 집합이다.

즉, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}따라서 B={4, 8}일 때 모든 원소의 합이 최대이며 그 합은 12이다. 12

㈎ n(B)=2 ㈏ 6<C

022집합 A={a, b, c}에 대하여 P(A)를 P(A)={X|X,A}

로 정의할 때, 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 골라라.

집합 P(A)는 집합 A의 부분집합들을 원소로 갖는 집합이므로

P(A)={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}ㄱ. {a, c}는 P(A)의 원소이므로 {a, c}øP(A) (거짓)ㅁ. {{a}}²P(A) (거짓) ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅂ

ㄱ. {a, c},P(A) ㄴ. A<P(A)

ㄷ. ∅,P(A) ㄹ. n(P(A))=8

ㅁ. {{a}}<P(A) ㅂ. ∅<P(A)

보기


Bs t e p

1등급 도전하기출제율 100% 문제로

024두 집합 A={x|2ÉxÉ4}, B={x|3<x<6}에 대하여

A;X=X, (A-B)'X=X를 만족시키는 집합 X가

X={x|pÉxÉq}일 때, q의 최솟값과 최댓값의 합을 구

하여라. (단, p, q는 실수)A;X=X이므로 X,A(A-B)'X=X이므로 (A-B),X∴ (A-B),X,A즉, {x|2ÉxÉ3},X,{x|2ÉxÉ4}따라서 q의 최솟값은 3이고 최댓값은 4이므로 그 합은

3+4=7 7

025집합 A={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}의 부분집합 X는 적어도

하나의 2의 배수를 포함하고 3의 배수는 하나도 포함하지

않을 때, 집합 X의 개수를 구하여라.

{2, 4, 5, 7, 8}의 부분집합 중 적어도 하나의 2의 배수를 원소로 갖는 집합은

{2, 4, 5, 7, 8}의 부분집합 중 {5, 7}의 부분집합을 제외시키면 된다.

따라서 구하는 부분집합의 개수는

2Þ`-2Û`=32-4=28 28

026희망이네 반 35명 중에서 휴대전화를 갖고 있는 학생은 25

명, 휴대전화와 디지털카메라를 모두 갖고 있는 학생은 8

명, 둘 중 어느 것도 갖고 있지 않은 학생은 4명이었다. 이

때 디지털카메라를 갖고 있는 학생은 몇 명인지 구하여라.

희망이네 반 전체 학생의 집합을 U, 휴대전화, 디지털카메라를 갖고 있는 학생의 집합

을 각각 A, B라 하면

n(U)=35, n(A)=25, n(A;B)=8, n((A'B)�`)=4이므로

n(A'B)=n(U)-n((A'B)�`)=35-4=31n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서

n(B) =n(A'B)-n(A)+n(A;B)

=31-25+8=14따라서 디지털카메라를 갖고 있는 학생은 14명이다. 14


{(A;B)'(A�`;B)};{(A�`;B)'(A�`;B�`)}=∅

일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① B-A=∅ ② A'B�` =U

③ A�` ,B�` ④ A'B=A

⑤ A;B=∅{(A;B)'(A�`;B)};{(A�`;B)'(A�`;B�`)}={(A'A�`);B};{A�`;(B'B�`)} =(U;B);(A�`;U)=B;A�`=B-A즉, B-A=∅이므로 B,A⑤ A;B=B따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. ⑤

028자연수 k에 대하여 집합 Aû를 Aû={x|2kÉxÉ2k+15}

로 정의할 때, AÁ;Aª;A£;y;Aû=∅을 만족시키는

k의 최솟값을 구하여라.

AÁ;Aª;A£;y;Aû=∅이 성립하려면 AÁ;Aû=∅이어야 한다.

AÁ={x|2ÉxÉ17}, Aû={x|2kÉxÉ2k+15} 이므로 오른쪽 그림에서

2k>17 ∴ k>:Á2¦:`

따라서 k의 최솟값은 9이다. 9

029자연수 전체의 집합의 부분집합 S는 다음 조건을 모두 만족

시킨다.

다음 중 집합 S의 원소가 아닌 것은?

① 4 ② 9 ③ 10

④ 12 ⑤ 15① 1<S에서 (1+1)(1+1)=2Û`=4<S② 2<S에서 (2+1)(2+1)=3Û`=9<S③ 1<S, 4<S에서 (1+1)(4+1)=2´5=10<S④ 12=1´12=2´6=3´4

이때 (m+1)(n+1) (m, n은 자연수)로 나타낼 수 있는 것은 m=1, n=5 또는

m=2, n=3이지만 5²S, 3²S이므로 12²S이다.

⑤ 2<S, 4<S에서 (2+1)(4+1)=3´5=15<S따라서 집합 S의 원소가 아닌 것은 ④이다. ④

㈎ 1<S, 2<S

㈏ m<S, n<S이면 (m+1)(n+1)<S

023두 집합 A={x|x=2a_3b, a, b는 음이 아닌 정수},

B={y|y<A, 1ÉyÉ10}일 때, 집합 B의 부분집합 중에

서 1, 3, 9를 모두 포함하고 2의 배수를 적어도 하나 포함하

는 집합의 개수를 구하여라.

B={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}이때 집합 B의 부분집합 중에서 1, 3, 9를 모두 포함하는 부분집합의 개수는

2à`ÑÜ`=2Ý`=161, 3, 9를 모두 포함하는 부분집합 중에서 2의 배수가 하나도 포함되지 않은 집합은

{1, 3, 9}뿐이다.

따라서 구하는 집합의 개수는

16-1=15 15


집합과 명제Ⅰ 1등급 뛰어넘기top level 최고난도 문제로

집합 A={1, 2, 3, 4, a}의 공집합이 아닌 모든 진부분집합을 AÁ, Aª, A£, y, AÇ`(n은 자연

수)이라 하고 각 진부분집합의 모든 원소의 합을 각각 SÁ, Sª, S£, y, SÇ이라 하자. 다음 물음

에 답하여라.

⑴ n의 값을 구하여라.

⑵ SÁ+Sª+S£+y+SÇ=300일 때, a의 값을 구하여라.

⑴ 공집합을 제외한 집합 A의 진부분집합의 개수는 2Þ`-2=30 ∴ n=30⑵ 1을 반드시 포함하는 집합 A의 부분집합의 개수는 2Þ`ÑÚ`=16 같은 방법으로 2, 3, 4, a를 각각 반드시 포함하는 부분집합이 2Þ`ÑÚ`=16(개)씩 존재하므로 집합 A의 모든 부분집합의 원소의 총합은

(1+2+3+4+a)_16=16(10+a) 이때 모든 진부분집합의 원소의 총합은 집합 A의 모든 부분집합의 원소의 총합에서 집합 A의 원소의 합을 뺀 것이므로

SÁ+Sª+S£+y+SÇ��=16(10+a)-(10+a)=150+15a 따라서 300=150+15a이므로 a=10 ⑴ 30 ⑵ 10

070

전체집합 U={x|1ÉxÉ12, x는 자연수}의 두 부분집합 X, Y에 대하여 연산 △을

X△Y=(X'Y);(X;Y)�̀ 으로 정의할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 집합 X△(X△Y)

의 원소의 개수를 구하여라.

조건 ㈎에서 U-(X'Y)=(X'Y)�`={2, 11}조건 ㈏에서 X�`'Y =(X;Y�`)�`=(X-Y)�`={1, 2, 5, 9, 10, 11, 12}조건 ㈐에서 X;Y={1, 5, 12}이므로 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

이때 Y={1, 5, 9, 10, 12}이므로 n(Y)=5따라서 집합 X△(X△Y)의 원소의 개수는 5이다. 5

069

㈎ U-(X'Y)={2, 11} ㈏ X�` 'Y={1, 2, 5, 9, 10, 11, 12}

㈐ X;Y={1, 5, 12}

두 집합 A={-3, x+1, -xÛ`+4}, B={-3, 3, 2x+2}가 다음 조건을 만족시킬 때, 집합

A의 모든 원소의 합을 구하여라.

Úx+1=3일 때, 즉 x=2일 때 A={-3, 3, 0}, B={-3, 3, 6} A'B={-3, 0, 3, 6}, A;B={-3, 3}이므로 (A'B)-(A;B)={0, 6}Û-xÛ`+4=3일 때, 즉 xÛ`=1, x=Ñ1일 때

㉠ x=1이면 A={-3, 2, 3}, B={-3, 3, 4}

A'B={-3, 2, 3, 4}, A;B={-3, 3}이므로 (A'B)-(A;B)={2, 4} ㉡ x=-1이면 A={-3, 0, 3}, B={-3, 3, 0}

A'B={-3, 0, 3}, A;B={-3, 0, 3}이므로 (A'B)-(A;B)=∅Ú, Û에서 x=1일 때 주어진 조건을 만족하므로 A={-3, 2, 3}따라서 집합 A의 모든 원소의 합은 -3+2+3=2 2

067

(A'B);(A�` 'B�` )={2, 4}

실수 전체의 집합의 부분집합 A가 조건 ‘A의 임의의 두 원소 x, y에 대하여 x-y<A이다.’를

만족시킬 때, 다음 보기 중 옳은 것만을 있는 대로 골라라.

ㄴ. ;2!;<A이면 ;2!;-;2!;=0<A, 0-;2!;=-;2!;<A, ;2!;-{-;2!;}=1<A이고 ㄱ에 의하여 -1<A, 2<A이므로

2-(-1)=3<A, 3-(-1)=4<A, 4-(-1)=5<A, y 따라서 자연수 전체의 집합은 집합 A의 부분집합이다. (참)

ㄷ. ;3!;<A이면 ;3!;-;3!;=0<A, 0-;3!;=-;3!;<A, ;3!;-{-;3!;}=;3@;<A, ;3@;-{-;3!;}=1<A이고, ㄴ에 의하여 자연수 전체의 집합은

집합 A의 부분집합이다. 또, 임의의 자연수 a에 대하여 a<A이면 0-a=-a<A이다.

따라서 정수 전체의 집합은 집합 A의 부분집합이다. (참) ㄱ, ㄴ, ㄷ

068

ㄱ. 1<A이면 2<A이다.

ㄴ. ;2!;<A이면 자연수 전체의 집합은 집합 A의 부분집합이다.

ㄷ. ;3!;<A이면 정수 전체의 집합은 집합 A의 부분집합이다.

보기


집합

과 명

제Ⅰ


자연수를 원소로 갖는 두 집합 A={aÁ, aª, a£, y, a¥}, B={aÔ+k|aÔ<A, i=1, 2, y, 8}

에 대하여 집합 X의 모든 원소의 합을 S(X)라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 집합 B의

원소 중 가장 큰 원소와 가장 작은 원소의 차를 구하여라. (단, n(A)=8)

S(A'B)=S(A)+S(B)-S(A;B)에서 89=45+(45+8k)-25이므로 k=3A;B={4, 5, 7, 9}이므로 4, 5, 7, 9는 두 집합 A, B에 모두 속하는 원소들이다.

집합 A의 한 원소를 pÁ이라 하면 pÁ+3=4 ∴ pÁ=1집합 A의 다른 한 원소를 pª라 하면 pª+3=5 ∴ pª=2집합 A의 다른 한 원소를 p£이라 하면 p£+3=7 ∴ p£=4집합 A의 다른 한 원소를 p¢라 하면 p¢+3=9 ∴ p¢=6이때 n(A)=8이므로 A={1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, x}라 하면 S(A)=45이므로

1+2+4+5+6+7+9+x=45 ∴ x=11즉, A={1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 11}이고 k=3이므로 B={4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 14}따라서 집합 B의 원소 중 가장 큰 원소는 14, 가장 작은 원소는 4이므로 그 차는 14-4=10 10

071

㈎ S(A)=45 ㈏ S(A'B)=89 ㈐ A;B={4, 5, 7, 9}

자연수 n에 대하여 집합 AÇ을 AÇ=[m|[ mn ]=0, m과 n은 서로소인 자연수]로 정의할 때,

다음 중 옳지 않은 것을 모두 고르면?

(단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이고, S(AÇ)은 집합 AÇ의 모든 원소의 합이다.)

① A°;A¥=A¢ ② S(AÁ¼)=20

③ p가 q의 배수이면 AÏ,A¹이다. ④ n이 소수이면 n(AÇ)=n-1이다.

⑤ p, q가 서로소이고 p<q이면 A¹,AÏ이다.

③ (반례) A£={1, 2}, A¤={1, 5}일 때, 6이 3의 배수이지만 A£øA¤ 따라서 p가 q의 배수이면 AÏ,A¹는 거짓이다.

⑤ (반례) A£={1, 2}, A¢={1, 3}일 때,

3과 4는 서로소이고 3<4이지만 A£øA¢이다.

따라서 p, q가 서로소이고 p<q이면 A¹,AÏ는 거짓이다. ③, ⑤

073

두 실수 x, y에 대하여 2xÛ`+yÛ`-2x+ 4xÛ`+yÛ`+1

의 최솟값을 구하여라.

2xÛ`+yÛ`-2x+ 4xÛ`+yÛ`+1

=xÛ`+yÛ`+1+ 4xÛ`+yÛ`+1

+(x-1)Û`-2

이때 모든 실수 x, y에 대하여 xÛ`+yÛ`+1>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

xÛ`+yÛ`+1+ 4xÛ`+yÛ`+1

¾2¾(¨xÛ`+yÛ`+1)_ 4xÛ`+yÛ`+1

=4

이때 등호는 xÛ`+yÛ`+1= 4xÛ`+yÛ`+1

, 즉 xÛ`+yÛ`=1일 때 성립한다.

또한 (x-1)Û`¾0 (등호는 x=1일 때 성립)이므로 주어진 식은 x=1, y=0일 때 최솟값 4+0-2=2를 갖는다. 2

072

높이가 2인 정삼각형의 내부의 한 점 P에서 각 변에 내린 수선의 발까지의 길이를 각각 x, y, z

라 할 때, xy+yz+zx의 최댓값을 구하여라.정삼각형의 세 꼭짓점을 A, B, C라 하고 정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 a라 하면

△ABC=△PAB+△PBC+△PCA이므로

;2!;_a_2=;2!;a(x+y+z) ∴ x+y+z=2

한편, 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

(xÛ`+yÛ`)+(yÛ`+zÛ`)+(zÛ`+xÛ`)¾2"�xÛ`yÛ`+2"�yÛ`zÛ`+2"�zÛ`xÛ`=2xy+2yz+2zx (단, 등호는 x=y=z일 때 성립)이므로 xÛ`+yÛ`+zÛ`¾xy+yz+zx(x+y+z)Û`=xÛ`+yÛ`+zÛ`+2(xy+yz+zx) ∴ (x+y+z)Û`¾3(xy+yz+zx)

위에 식에 x+y+z=2를 대입하여 정리하면 xy+yz+zxÉ;3$;

따라서 xy+yz+zx의 최댓값은 ;3$;이다. ;3$;

074


수능 감각 기르기모의고사 기출문제로

Ⅰ. 집합과 명제

top level

087 [ 2012년 9월 교육청 ]

x>3일 때, xÛ`+ 49xÛ`-9

의 최솟값을 구하시오. [ 4점 ]

xÛ`+ 49xÛ`-9

=xÛ`-9+ 49xÛ`-9

+9

이때 x>3에서 xÛ`-9>0, 49xÛ`-9

>0이므로

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

xÛ`-9+ 49xÛ`-9

+9¾2¾¨(xÛ`-9)´ 49xÛ`-9

+9=2´7+9=23

� {단, 등호는 xÛ`-9= 49xÛ`-9

, 즉 x=4일 때 성립}

따라서 xÛ`+ 49xÛ`-9

의 최솟값은 23이다. 23

085 [ 2014년 3월 교육청 ]

어느 학교에서 토론, 글쓰기, 탐구 발표 대회가 열렸다. 다

음은 3가지 대회 중 적어도 한 대회에 참가한 학생 100명에

대한 설명이다.

탐구 발표 대회에 참가한 학생 중 토론 대회에 참가하지 않

은 학생 수는? [ 4점 ]

① 31 ② 32 ③ 33

④ 34 ⑤ 35토론 대회에 참가한 학생의 집합을 A, 글쓰기 대회에 참가한 학생의 집합을 B, 탐구

발표 대회에 참가한 학생의 집합을 C라 하면

n(A'B'C)=100, n(A-B)=23, n(B-C)=29, n(A;B;C)=17벤 다이어그램의 각 부분에 속하는 원소의 개수를 오른쪽 그림

과 같이 나타내면

n(A'B'C)=100에서

a+b+c+d+e+f+g=100 yy`㉠n(A-B)=23에서 a+f=23 yy`㉡n(B-C)=29에서 b+c=29 yy`㉢n(A;B;C)=17에서 g=17 yy`㉣㉠-㉡-㉢-㉣을 하면 d+e=31∴ n(C-A)=d+e=31따라서 탐구 발표 대회에 참가한 학생 중 토론 대회에 참가하지 않은 학생은 31명이다.

①

㈎ 토론 대회에 참가한 학생 중 글쓰기 대회에 참가하지 않

은 학생은 23명이다.

㈏ 글쓰기 대회에 참가한 학생 중 탐구 발표 대회에 참가하

지 않은 학생은 29명이다.

㈐ 3가지 대회에 모두 참가한 학생은 17명이다.

086 [ 2012년 3월 교육청 ]

한 변의 길이가 p인 정사각형과 세 변의 길이가 각각 a, b,

c인 직각삼각형이 있다. 직각삼각형의 빗변의 길이가 c이고

c=a+2를 만족한다. 다음은 ‘두 도형의 넓이가 같으면 a,

b, p 중 적어도 하나는 정수가 아니다.’라는 것을 증명하는

과정이다.

위의 증명에서 ㈎, ㈏, ㈐에 들어갈 식을 각각f(p), g(a),

h(b)라 할 때,f(1)+g(2)+h(3)의 값은? [ 4점 ]

① 25 ② 27 ③ 29

④ 31 ⑤ 33직각삼각형의 넓이와 정사각형의 넓이가 같으므로 ;2!;ab=pÛ`에서 ab= 2pÛ` 이다.

직각삼각형에서 aÛ`+bÛ`=cÛ`이므로

bÛ`=cÛ`-aÛ`=(a+2)Û`-aÛ`= 4a+4 이고

ab=2pÛ`에서 8pÛ`=4ab=(bÛ`-4)b= b(b+2)(b-2) 이다.

여기서 a, b, p를 모두 정수라 하면,

bÛ`= 4a+4 에서 b는 짝수이므로 b=2b'(b'은 자연수)라 할 때

pÛ`=b(b+2)(b-2)

8=;2B;_ b+2

2_ b-2

2

=2b'2

_ 2b'+22

_ 2b'-22

=b'(b'+1)(b'-1)이 된다.

우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다.

따라서 모순이다.

그러므로 a, b, p 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

증명 과정에서f(p)=2pÛ`, g(a)=4a+4,h(b)=b(b+2)(b-2)이므로f(1)+g(2)+h(3)=2+12+15=29 ③

두 도형의 넓이가 같으므로 ab= ㈎ 이다.

aÛ`+bÛ`=cÛ`이므로 bÛ`= ㈏ 이고 8pÛ`= ㈐ 이다.

여기서 a, b, p를 모두 정수라 하면, bÛ`= ㈏ 에서 b는

짝수이므로 b=2b'(b'은 자연수)이라 할 때,

pÛ̀ = 2b'2 _ 2b'+2

2 _ 2b'-22 =b'(b'+1)(b'-1)이 된다.

우변은 연속된 세 자연수의 곱이므로 제곱수가 될 수 없다.

따라서 모순이다.

그러므로 a, b, p 중 적어도 하나는 정수가 아니다.

증명

084 [ 2008년 9월 교육청 ]

음이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 보기에서 항상 옳은 것만

을 있는 대로 고른 것은? [ 4점 ]

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. 'aÉ'Äa+bÉ'Äa+b+'b이므로 'a-'bÉ'Äa+b (참)ㄴ. ('a+'b)Û`-('Äa+b)Û` =(a+2'a�b+b)-(a+b)=2'a�b¾0 즉, ('Äa+b)Û`É('a+'b)Û`이고 'Äa+b¾0, 'a+'b¾0이므로

'Äa+bÉ'a+'b (참)ㄷ. {"Ã2(a+b)}Û`-('a+'b)Û` =2(a+b)-(a+2'a�b+b)

=a-2'a�b+b

=('a)Û`-2'a'b+('b)Û`

=('a-'b)Û`¾0 즉, ('a+'b)Û`É{("Ã2(a+b)}Û`이고

'a+'b¾0, "Ã2(a+b)¾0이므로 'a+'bÉ"Ã2(a+b) (참)따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

ㄱ. 'a-'bÉ'Äa+b ㄴ. 'Äa+bÉ'a+'bㄷ. 'a+'bÉ"Ã2(a+b)

보기


집합

과 명

제Ⅰ


091 [ 2008년 3월 교육청 ]

어느 고등학교 2학년 1반 학생 35명을 대상으로 세 종류의

책 A, B, C를 읽었는지를 조사하였더니 A를 읽은 학생이

14명, B를 읽은 학생이 16명, C를 읽은 학생이 15명이었

다. 또, A와 B 중 적어도 하나를 읽은 학생이 22명이고 A

와 C를 모두 읽은 학생은 한 명도 없었으며, A, B, C 중에

서 어느 책도 읽지 않은 학생이 3명이었다. 이때 A, B, C

중 두 종류의 책만 읽은 학생의 수를 구하시오. [ 4점 ]

학생 전체의 집합을 U, A를 읽은 학생의 집합을 A, B를 읽은 학생의 집합을 B, C를

읽은 학생의 집합을 C라 하면

n(U)=35, n(A)=14, n(B)=16, n(C)=15,n(A'B)=22, n(A;C)=0, n((A'B'C)�`)=3n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)=14+16-22=8n(A;B;C)=0 (∵ n(A;C)=0)n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C)에서

35-3=14+16+15-8-n(B;C)-0+0∴ n(B;C)=5따라서 오른쪽 벤 다이어그램에서 A, B, C 중 두 종류의

책만 읽은 학생 수는

8+5+0=13(명) 13

089 [ 2012년 11월 교육청 ]

[그림 1]과 같이 세 모서리의 길이가 각각 x, y, 3인 직육면

체 모양의 나무토막이 있다.

[그림 ]

[그림 1]의 나무토막의 한 모퉁이에서 모서리의 길이가 1인

정육면체 모양의 나무토막을 잘라내었더니 [그림 2]와 같이

나무토막 A와 나무토막 B로 나누어졌다.

[그림 ]

A의 부피가 47일 때, A의 겉넓이의 최솟값을 구하시오.

(단, x>1, y>1) [ 4점 ]

(A의 부피)=3xy-1=47에서 xy=16 yy`㉠(A의 겉넓이) =2(xy+3x+3y)=2xy+6(x+y)

=32+6(x+y) (∵㉠)이때 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

32+6(x+y) ¾32+6´2'¶xy

=32+12´4=80 (∵㉠) (단, 등호는 x=y=4일 때 성립)따라서 A의 겉넓이의 최솟값은 80이다. 80

088 [ 2011년 11월 교육청 ]

두 실수 a, b에 대하여 p는 q이기 위한 충분조건이지만 필

요조건이 아닌 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [ 4점 ]

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄷ. p：|a+b|=|a-b| q：aÛ`+ab+bÛ`É0

aÛ`+ab+bÛ`É0이면 {a+;2B;}Û`+;4#;bÛ`É0에서

a=0, b=0이므로 |a+b|=|a-b| ∴ q`jjK`p (Ú 의 반례) a=1, b=0이면

|a+b|=|a-b|이지만 aÛ`+ab+bÛ`>0 따라서 p는 q이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다. ③

ㄱ. p`:àb>0 q`:`|a+b|=|a|+|b|

ㄴ. p`:à+b¾2 q`:à¾1 또는 b¾1

ㄷ. p`:`|a+b|=|a-b| q`:àÛ`+ab+bÛ`É0

보기

090 [ 2008년 9월 교육청 ]

전체집합 U={x|x는 9 이하의 자연수}의 두 부분집합 A,

B에 대하여 집합 A의 원소들의 합을 S(A), 집합 B의 원

소들의 합을 S(B)라 하자. A'B=U, A;B={3, 4}

일 때, S(A), S(B)의 곱 S(A)S(B)의 최댓값을 구하시

오. [ 4점 ]

A'B=U={1, 2, 3, y, 9}, A;B={3, 4}이므로

S(A)+S(B) =S(A'B)+S(A;B)

=(1+2+3+y+9)+(3+4)

=45+7=52이때 S(A)>0, S(B)>0이므로

산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

S(A)+S(B)¾2"ÃS(A)S(B)에서

52¾2"ÃS(A)S(B)즉, 26¾"ÃS(A)S(B)양변을 제곱하면

676¾S(A)S(B) (단, 등호는 S(A)=S(B)=26일 때 성립)따라서 S(A)S(B)의 최댓값은 676이다. 676


집합과 명제

논술형 서술형 문제로

수리논술 감각 기르기Ⅰtop level

100 ㈎ cÛ`=aÛ`+bÛ`을 만족하는 자연수 a, b, c의 쌍 (a, b, c)를 피타고라스 수라 하고, 몇 개를 나열

하면 다음과 같다.

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (9, 12, 15), y

(5, 12, 13), (10, 24, 26), (15, 36, 39), y

(7, 24, 25), (14, 48, 50), (21, 72, 75), y

이때 (a, b, c)가 피타고라스 수이면 임의의 자연수 d에 대하여 (da)Û`+(db)Û`=(dc)Û`이므

로 (da, db, dc)도 피타고라스 수이다.

피타고라스 수 (a, b, c) 중에서 a, b가 서로소인 피타고라스 수를 원시 피타고라스 수라고 한다.

㈏ 그리스에서 모든 수는 유리수라고 생각했다. 피타고라스(Pythagoras; ?BC 569~?BC 475)

와 그를 따르는 사람들 대부분이 수학적인 위대한 생각들을 찾아내는 학파를 형성하였는데, 그

들의 모임은 비밀스러운 것이었다. 즉, 그들이 알아낸 수학적인 개념을 그들 사이에만 공유하

였다.

피타고라스 정리를 발견한 후에 그들은 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 1인 직각삼각형을 생각

하였다. 이때 이 삼각형의 빗변의 길이를 l이라 하면 1Û`+1Û`=lÛ`이다. 따라서 l='2이고 유리

수가 아니다. 피타고라스 학파에서는 이런 결과에 매우 당황해했으며 이 사실을 그들만의 비밀

로 하였다. 그들 학파 중 한 사람인 히파수스가 처음으로 무리수를 발견한 사람으로 알려져 있

다. 그런데 이 무리수의 발견은 그들 피타고라스 학파에게는 도저히 받아들일 수 없는 충격적

인 일이었다. 그래서 그들은 이런 수들을 하르곤이라고 이름 붙이고는 비밀로 하였다.

[논제 2]

밑줄친 부분에 대하여 귀류법을 이용하여 증명하여라.

'2가 유리수라고 가정하자.

m, n이 서로소인 자연수일 때, '2= nm

으로 나타낼 수 있다.

이 식의 양변을 제곱하면 2= nÛ`mÛ`

, 2mÛ`=nÛ` yy`㉠

이때 nÛ`이 2의 배수이므로 n도 2의 배수이다.

n=2k`(k는 자연수)로 놓고 ㉠에 대입하면

2mÛ`=(2k)Û`, mÛ`=2kÛ`그런데 mÛ`이 2의 배수이므로 m도 2의 배수이다.

즉, m, n이 모두 2의 배수가 되어 m, n이 서로소라는 가정에 모순이다.

따라서 '2는 유리수가 아니다. 풀이 참조

[논제 1]

‘두 자연수 m, n`(m>n)이 서로소이며 둘 중 하나가 홀수이고 다른 하나는 짝수일 때,

x=mÛ`-nÛ`, y=2mn, z=mÛ`+nÛ`이라고 하면 (x, y, z)는 원시 피타고라스 수이다.’를 증명

하여라.

xÛ`+yÛ` =(mÛ`-nÛ`)Û`+(2mn)Û`=mÝ`+2mÛ`nÛ`+nÝ`=(mÛ`+nÛ`)Û`=zÛ`이므로 (x, y, z)는 피타고라스 수이다.

x, y가 서로소가 아니라고 가정하면 x=mÛ`-nÛ`과 y=2mn의 공약수인 소수 p가 존재한다.

이때 공약수 p는 2가 될 수 없다.

왜냐하면 m, n 중 하나는 홀수이고 다른 하나는 짝수이므로 x=mÛ`-nÛ`은 홀수이다.

즉, 2는 x의 약수가 될 수 없으므로 p+2이다.

따라서 p는 y=2mn의 약수이면서 p+2이므로 mn의 약수이다.

그러면 p는 m의 약수 또는 n의 약수이다. p를 m의 약수라고 하면 p는 x의 약수이므로 또한 nÛ`=mÛ`-x의 약수가 된다.

따라서 p는 n의 약수가 되고 결국 m, n의 공약수가 된다.

마찬가지로 p를 n의 약수라고 하면, p는 m의 약수가 되고 결국 m, n의 공약수가 된다.

이것은 m, n이 서로소라는 조건에 모순이다. 그러므로 x, y는 서로소이고 (x, y, z)는 원시 피타고라스 수이다. 풀이 참조


집합

과 명

제Ⅰ


위 표에서 한 번도 조사대상이 되지 않은 대학생 수의 최솟값을 구하여라.

응답자 수에 대한 벤 다이어그램을 그리고, 예비조사 설문에만 응답한 학생의 수와 본조사 설문에서 응답한본조사예비조사

명 명 명

대학생 수를 구해보자.

벤 다이어그램에서 알 수 있듯이 본조사 설문 응답자 수는 60명+10명=70(명)이다.

(한 번도 조사대상이 되지 않은 사람의 수)=140-(한 번만 응답한 자 또는 응답 거부자)이고 (한 번도 조사대상이 되지 않은 사람의 수)의 최솟값을 구하려면 (한 번만 응답한 자 또는 응답 거부

자)가 최댓값이 될 때이다. 이것은 응답자 집합과 응답 거부자 집합이 겹치지 않는 경우에 발생한다. 예비조사에서만 응답한 자는 20명, 본

조사에서만 응답한 자는 10명, 예비조사에서만 응답 거부한 자는 30명, 본조사에서만 응답 거부한 자는 40명이고 교집합이 없는 경우 (한

번만 응답한 자 또는 응답 거부자)는 100명이다.

따라서 한 번도 조사대상이 되지 않은 사람 수의 최솟값은 140-100=40(명)이다. 40

101 다음 표는 200명의 대학생을 모집단으로 하여 실시한 두 번의 설문조사 응답 현황이다. 예비조사

설문에서 대상자 110명에게 설문지를 배포하였더니 이 중 80명이 설문에 응답하였고 30명은 설

문 응답을 거부하였다.

<설문조사 응답 현황>

구분 예비조사 본조사

설문 응답자 80 x

응답 거부자 30 40

대상 제외자 90 y

이 두 번의 설문조사에서 예비조사와 본조사에 모두 응답한 사람은 60명이었고 본조사에만 응답

한 사람은 10명이었다.

102 학생이 주어진 문제를 아래와 같이 풀었다.

[문제]

오른쪽 그림과 같이 직사각형 안에 한 꼭짓점을 공유하는 두 개의 직사

각형이 있다.

이 두 직사각형의 넓이가 각각 2`mÛ`, 4`mÛ`로 일정하다고 가정할 때, 가

장 큰 직사각형의 넓이의 최솟값을 구하여라.

[풀이]

넓이가 2`mÛ`, 4`mÛ`인 두 직사각형의 가로의 길이를 각각 x`m, y`m라 하자. 그러면 세로의 길이

는 각각 ;[@;`m, ;]$;`m이다.

이때 가장 큰 직사각형의 가로의 길이는 x+y이고, 이 길이는 ‘산술평균이 기하평균보다 항상 크

거나 같다.’라는 정리를 사용하면 2'x�y보다 크거나 같게 된다. 같은 방법으로 가장 큰 직사각형의

세로의 길이는 ;[@;+;]$;이므로 2®É;[¥];보다 크거나 같다.

따라서 가장 큰 직사각형의 넓이는 2'x�y_2®É;[¥];=8'2보다 크거나 같다.

그러므로 가장 큰 직사각형의 넓이의 최솟값은 8'2`mÛ`이다.

위 풀이의 타당성을 판단해 보고, 문제점이 있다면 바르게 고쳐 설명하여라.

가장 큰 직사각형의 가로의 길이는 (x+y)`m이고 세로의 길이는 {;[@;+;]$;}`m인데,

이들의 최솟값은 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 각각 x+y¾2'¶xy, ;[@;+;]$;¾2®Â;[¥];

이때 등호는 x=y일 때와 ;[@;=;]$;일 때 각각 성립하고, x>0, y>0일 때 y=x와 y=2x를 동시에 만족할 수 없으므로 두 최솟값의 곱인

8'2가 가장 큰 직사각형의 넓이의 최솟값이 될 수 없다.

올바른 최솟값을 구하려면 넓이 S=(x+y){;[@;+;]$;}에서 식을 전개한 후 산술평균과 기하평균의 관계를 적용하면 된다.

S=(x+y){;[@;+;]$;}=6+ 2yx +4x

y ¾6+2¾̈ 2yx _4x

y =6+4'2 {단, 등호는 2yx =4x

y, 즉 y='2x일 때 성립}

따라서 가장 큰 직사각형의 넓이의 최솟값은 (6+4'2)`mÛ`이다. 풀이 참조


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