第 九 章 资 本 资 产 定 价 模 型 （ CAPM）

“ 风险与收益成正相关”，要想获得高的收益，必须承担高的风险；然而，在实际中，往往承担高的风险，却不一定获得高的收益。其主要原因是投资者承担的风险可以分为系统风险和非系统风险两类，他承担的系统风险才能得到补偿，而承担的非系统风险则不能得到补偿。（如投资者购买两只股票，收益相同，但一只股票的风险却大于另一只）

那么，风险与收益之间是一种什么关系？如何度量系统风险？如何描述系统风险与期望收益之间的关系？如何尽可能减少非系统风险？这是本章的核心内容。

第一节 标准的资本资产定价模型资本资产定价模型研究的是证券投资收益与风险之间的关系。一、资本资产定价模型的假设条件

1 、所有的投资者有相同的投资时期水平；2 、所有的投资者有完全相同的预期3 、投资者都依据马柯威茨模型选择证券。

4 、资本市场没有摩擦。

二、资本市场线 1. 无风险证券对有效边界的影响

存在无风险证券时的组合可行域 存在无风险证券时的有效边界 包含无风险证券在内证券组合的可行域，是由无风险证券 F出发，与原有风险证券组合可行域的上下边界相切的两条射线所夹角形无限区域，该区域的特点是两条边均为直线。根据投资者的共同偏好原则，，包含无风险证券在内证券组合的有效边界是由无风险证券 F 出发与原有风险证券组合可行域的有效边界相切的射线 FT 。

• 切点组合（最佳证券组合）的期望收益率是 0.2394 ，标准差是 1.4180

• 投资比例是 [0 0.0000 0.0000 0.2211 0.7789 -0.0000 0] ，即万科A 的投资比例是 22.11% ，飞跃音响的投资比例是 77.89% ，其余证券的投资比例为零。

%tangent portfolioflag=0;for i=1:length(ret) if flag<=(ret(i)-rf)/stdv(i) flag=(ret(i)-rf)/stdv(i); k=i; endend

2. 切点证券组合 T 的特征特征：

（ 1 ） T 是有效组合中惟一一个不含无风险证券而仅由风险证券构成的组合；（ 2 ）有效边界 FT 上的任意证券组合（有效组合），均可视为无风险证券 F 与 T 的再组合；

（ 3 ）切点证券组合 T 完全由市场确定，与投资者的偏好无关。（ 4 ）当市场处于均衡状态时，最优风险证券组合 T 就等于市

场组合市场组合：是指由风险证券构成，其组成证券的投资比例与整

个市场上风险证券相对市值比例一致的证券组合。一般用 M表示。

其中， Pi 表示证券 i 的市场价格； Qi 表示证券 i 的流通股数。市场组合 M 是对整个市场的定量描述。

n

kkk

iii

QP

QPx

1

3. 资本市场线方程（ 1 ）含义：描述有效证券组合期望收益率与风险之间的关系式。（ 2 ）图形 所有有效组合都可视为无风险证券 F 与市场组合 M 的再组合。

而无风险证券 F 与市场组合 M 的再组合是一条连接 F 与 M 的射线，这条射线被称为资本市场线。

其中 F, M 的坐标为：

（ 0, ） , ( , )

fr m )( MrE

（ 3 ）资本市场线方程根据两点确定一线的公式，资本市场线方程可用下式描述：

资本市场线方程对有效组合的期望收益率和风险之间的关系提供了十分完整的阐述。

有效组合的期望收益率由两部分构成：一是无风险利率，称为资金的时间价值；另一部分则是，是对承担风险的补偿，通常称为风险溢价，它与承担的风险的大小成正比，其中的系数代表了对单位风险的补偿，通常称之为风险的价格。这里，风险是用有效组合的标准差描述的。与其他价格一样，风险价格也依赖于供求关系。如果人们更倾向于即期消费，将减少未来的消费供给，从而提高无风险利率；如果人们更厌恶风险，那么，多承担一份风险所要求的风险补偿就大，从而会提高风险价格。一条资本市场线描述的只是特定时期的有效组合期望收益与风险之间的关系。

PM

FMFP

rrErrE

)()(

三、证券市场线含义： 证券市场线揭示了任意证券或组合的收益风

险关系。资本市场线所反映的是在均衡状态下，市场对有效组合的风险（标准差）提供的补偿。然而对于无效组合，其期望收益与标准差之间不存在一种明确的关系式。如有两种证券，风险大的证券，不一定收益大，产生这种现象的根本原因是系统风险与非系统风险的存在，只有系统风险能够得到市场的补偿，而非系统风险则与收益无关。对于有效组合而言，非系统风险已为 0 。

1. 证券市场线与证券系统风险的测定有效组合的风险（标准差）是由构成该有效组合的各单个成员

证券的风险共同合成，因而市场对有效组合的风险补偿可视为市场对各单个成员证券的风险补偿的总和，或者说市场对有效组合的风险补偿可以按一定的比例分配给各单个成员证券。这种分配应按各单个成员证券对有效组合风险贡献的大小来分配。实现这种分配就意味着在单个证券的收益风险之间建立了某种关系。

（ 1 ）市场组合的方差

（ 2 ）证券 i 对市场组合方差的贡献率：

n

iiM

MinM

MnM

MM

M

MnnMMnMM

MMM

MM

xxxx

xxx

12211

2221112

2M

iMi

（ 3 ）证券市场线方程期望收益率 可被视为市场对市场组合 M 的风险（ ）补偿，

该补偿按证券对市场组合标准差的贡献进行分配，可得证券市场线方程：

其中， 是市场对证券 i 的补偿。该方程表明：单个证券的期望收益率与其对市场组合方差的贡献率之

间存在着线性关系， 称为证券的 β 系数（贝塔系数），是一种有别于方差的风险计量指标。对于任何一个证券组合 P ，由于

其证券市场线方程为：

FM rrE )( 2M

iFMFi rrErrE )()( iFMFi rrErrE )()(

Fi rrE )(

i

m

iiimmp rxrxrxrxr

12211

m

iiFMFi

m

iiiP rrErxrExrE

11

]))(([)()(

PFMFP rrErrE )()(

n

iiiP x

1

（ 4 ）证券市场线的意义• 证券市场线描述了任意证券或组合的期望收益率和风险之间的

关系。• 证券或组合的期望收益率由两部分构成：一是无风险利率，它

是对推迟消费的补偿；一是风险溢价，其中的系数代表对单位风险的补偿，也称之为风险的价格。这里，风险是用 β 系数描述的，它实际上计量的是单个证券的系统风险。 β 系数的绝对值越大（小），表明证券承担的系统风险越大（小）。当 P 为市场组合 M 时， βP=1 ，因此，证券市场线经过点 (1,

E(r M)) ；当 P 为无风险证券时， β 系数为 0 ，期望收益率为无风险利率 rF ，因此证券市场线亦经过点 (0 ， r F) 。

例子例 1：假设证券市场处于 CAPM 模型所描述的均衡状态。证券

A 和 B 的期望收益率分别为 6%和 12%， 系数分别为 0.5和 1.5。试计算 系数为 2 的证券 C 的期望收益率。

例 2：设市场组合的期望收益率为 15%，标准差为 21%，无风险利率为 5%，一个有效组合的期望收益率为 18%，该组合的标准差是多少？

2、不含无风险资产的资本资产定价模型假设没有无风险债券（证券）可以买进或卖出，而其它假设不变，

这时的 CAPM 如下图所示。

过M 点做切线交于纵轴 B 点（类似于风险证券），则 Z－ B 线上的各点均为零 β 值的组合。这时风险最小的组合是有效边界上的各点，但它所包含的风险并非全部是系统风险，因为它与存在无风险证券时的有效边界还存在一定的差距，只有系统风险才与收益成正比关系，才真正能得到补偿。但在不存在无风险证券时，有效边界上的点是在同样系统风险下的风险最小的点。

E(rp)

¦Òp0 0

E(rp)

¦Âp

E(rM)

B'B

M

A

E(rM)

...

. . ..

.

M

Z

实际应用在实际应用中，人们往往不能持有有效证券，其原因为：①不能无限制地卖空任何证券，或者不能无限制地以卖空收益进行投资；②证券投资收益率不一定服从正态分布，故用马柯威茨模型均值方差模型求出的有效组合并不一定是真正的有效组合；③在实际交易中，应当考虑交易成本和相关税收以后的净收益最大，而这些费用对不同投资者是不同的，因此他们所面对的是不同的有效边界。④投资者可能拥有不可分的资本资产；⑤在实际操作时，投资者往往根据自己对某些资产的熟悉程度或投资者的心理态势进行投资，而较少涉足不熟悉的证券等。

第二节 特征线模型一、证券与证券市场组合的关联性

在证券市场上，各种证券之间存在相关性。如果将市场组合看成一个证券，那么研究证券与市场组合之间的关联性，即是证券特征线模型。对证券与市场组合收益率之间的关系可用下列回归模型描述：

其中，

将上式两边求期望，得：常数项可由下式求出：

,iMiii rbar

0)( iE 0),cov( iMr 2),cov(),cov(),cov( MiMMiMiMiiMi brrbrrbarr

2

),cov(

M

Miii

rrb

)()( Miii rEarE

)()( Miii rErEa

特征方程与特征线特征方程：证券、证券组合与市场组合收益率之间的回归模型

描述：

特征线：它是对给定的一组证券与市场组合收益率的不同时刻的观测值的一条最佳拟合线。

可用下式求得：

,iMiii rar

Miii rar ˆ

0

..

.

.. ..

..

.

......

.. ..

.

ri

rM

,PMPPP rar

MPPP rar ˆ

PPa ,

)()( MPPP rEarE

)()( MPPP rErEa

例如• 使用 2001年 1月到 2006年 2月，计算 G宝钢与上海机场的

beta 系数。• 散点分布图：

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

RZH

RG

BG

RGBG vs. RZH

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

RZH

RS

HJC

RSHJC vs. RZH

应用 Eviews3.1 ，可计算计算 G宝钢与上海机场的 beta 系数。• G宝钢： RGBG = 0.002572641706 + 0.6189151434*RZH （ 0.324380 ） （ 4.465982 ） R-squared ： 0.249484 ； Adjusted R-squared ： 0.236975• 上海机场： RSHJC = 0.01292498229 + 0.5227829256*RZH （ 1.845173 ） （ 4.271102 ）R-squared ： 0.233152 ； Adjusted R-squared ： 0.220371

二、资本资产定价模型下的特征方程与特征线

1 、均衡状态下的特征方程与特征线根据证券市场线模型，

代入证券组合的特征方程中，得： = =

在资本资产定价模型描述下的均衡状态时的特征方程为：

在均衡状态时的特征线为：

对于单个证券，在资本资产定价模型下的均衡状态时的特征方程与特征线分别为：

PFMFP rrErrE )()(

)()( MPPP rErEa PFMF rrEr )( )( MP rE PFF rr

,)( PFMPFP rrrr

)( FMPFP rrrr

,)( iFMiFi rrrr

)(ˆ fMifi rrrr

2 、非均衡状态下的特征方程与特征线（ 1 ） 系数

资本资产定价模型的假设条件下，如果市场处在均衡状态，则证券的期望收益率满足资本资产定价模型。若市场不满足均衡，便存在一种市场实际状态对价格的误定，误定程度可以用证券的 系数描述。根据证券的特征方程，证券实际收益率的均值为： =

记实际收益率与均衡预期收益率的差为 ，则： = — =[ ]—[ ] = — 系数反映了实际市场中证券的期望收益率与理想的均衡状态时由 CAPM 确定的期望收益率之间的差异。称为非市场相关收益，反映了市场价格被误定的程度。① >0 ，市场对证券收益率的预期高于均衡期望收益率，因而市场价格低估；② <0 ，市场对证券收益率的预期低于均衡期望收益率，因而市场价格高估；

)( Mii rEa ir i ir )( irE )( Mii rEa iFMF rrEr )(

FiF rr ia

（ 2 ）非均衡状态下的特征方程与特征线 = + ，代入上述有关式子，得：

移项得资本资产定价模型下非均衡状态时的特征方程为：

在非均衡状态时的特征线为：

将特征方程写成上面的形式，其好处是可以直接用历史数据同时对系数和系数进行估计，并利用系数的正负及大小判断得出市场价格被误定的程度。

ia iFiF rr

ifMiifi rrrr )(

ifMiifi rrrr )(

)( fMiifi rrrr

例子• 设无风险收益率为 2.25%(年 ) ，月无风险收益率为 0.1875%

（ 2.25%/12 ） .

• 应用上述模型：G宝钢：RGBGT = 0.0018581076+0.6189151434*RZHT

即： arfa= 0.0018581076; beta= 0.6189151434( 与上述一致 )

市场低估了宝钢股份。上海机场：RSHJCT = 0.01203020027 +0.5227829256*RZHT

arfa=0.01203020027; beta= 0.5227829256 ( 与上述一致 )

市场低估了上海机场。

三、证券风险的分解与投资分散化效用1 、证券风险的分解根据特征方程：

两边求方差，得：

其中， 为总风险， 为系统风险， 为非系统风险。（ 1 ）系统风险：它反映了证券与市场组合的不确定性相关联的不确定性。市场的不确定性推动证券沿特征线上下移动，表示证券对市场推动力的响应程度，表示市场推动力的大小。（ 2 ）非系统风险：。它反映了证券自身个别因素造成的不确定性。表示证券的收益率偏离特征线的程度。对于证券组合，上式同样适应。

其中， 为证券组合的总风险， 为证券组合的系统风险，

为证券组合的非系统风险。

,iMiii rbar

2222

iMii 2i 22

Mi 2

i

2222

piMpp

2P 22

MP2

P

3 、有效组合与无效组合的比较（ 1 ）

有效组合的收益率可用下式表示： 这是一个确定的关系，有效组合的总风险为：

可见，有效组合没有非系统风险，总风险全部为系统风险，因而在资本资产定价模型中，有效组合的总风险获得奖励，相当于对系统风险的奖励。对于非有效组合，由于它不与市场组合之间存在确定的线性关系，因此，会有非系统风险。

从特征线上看，一个有效组合严格落在特征线上，而非有效组合则落在特征线的两边，对于有相同 β 系数的两个证券组合，它们具有相同的系统风险，但可能有不同的非系统风险，非系统风险越大的证券组合对特征线的偏离程度越大。

MFFFP rxrxr )1(

22222 )1( MFMpp x

有效组合与无效组合的比较（ 2 ）• 具有相同 β 系数的证券组合收益率的比较

在均值方差坐标系中，有效组合都落在了资本市场线上，而非有效组合在落在资本市场线的右端，且距资本市场线的距离越远，该非有效组合所承担的非系统风险越大。

在均值方差坐标系中，处于同一水平线上的组合将有如下一些特征：（ 1 ）具有相同的期望收益率、具有相同的 β 系数、具有相同的系统风险、具有相同的特征线；（ 2 ）不同的非系统风险、不同的总风险 ；（ 3 ）有效组合落在资本市场线上，且无非系统风险，收益率严格落在特征线上；无效组合落在资本市场线的右边，且有非系统风险，收益率落在特征线的两边；    

0

..

.

. ....

....O.

ri

rM

X X

X

X

X

XX

X

X

O O O

OO

O

O

O

O

0 ¦Òp

E(rp)

A.. .

. . .HK

NM

F

B.

4 、投资分散化分析证券组合的风险为：

组合的分散化程度越高，意味着所包含的证券种数越多，每种证券的权数越小。不失一般性，

设 ，则：

（ 1 ）分散化使系统风险平均化，正常化。当 时，

趋于平均值；在极端的情况下，完全分散化后市场组合的系数等于 1 ，因而分散化使得系数向 1靠拢，从而系统风险逐步接近市场的风险这一正常水平。可见分散化并不能用来消除系统风险，而只能使系统风险平均化，正常化。

2222

pMpp

nxi

1

n

n

ii

n

iiip n

x11

1

p

（ 2 ）分散化将减少非系统风险记所有证券的残差有一个上界为 ，那么：

当时， ， 即当增加到一定程度即可使得足够小，使非系统风险降到可以忽略的地步。在现实市场中，这样做存在一系列的问题：

• 投资者的资金规模不大，不可能达到完全分散；• 完全分散化投资可能给投资管理带来很大难度，同时，会大量增加成本。

可见，分散化投资降低非系统风险是需要成本的，人们是否值得将资金完全分散化，是要做出选择的。实际上，投资者只要达到一定的分散程度就可以将非系统风险降低到几乎可以忽略的程度，进一步分散化的边际效果已经很小，与其相应增加的代价相比是得不偿失的。

2

2

1

2

1

222 1]/)[(

1 nn

nx

n

ii

n

iiiP

n 02 P

实例下图是选取在上海证券交易所上市的 67 种股票进行的组合。

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.011

0.012

0.013

0.014

0.015

0.016

0.017

0.018

0.019

0.02

0.021

number of combining stocks

risk

of p

ort

flio

risk changing figure of combining stocks

第三节 资本资产定价模型的应用与检验一、 β 系数的含义与估计

1 、 β 系数的含义（ 1 ）反映了证券组合对市场组合方差的贡献率。（ 2 ）反映了证券组合的系统风险与市场组合风险（方差）的关

系，即代表了证券（证券组合）的系统风险。 （ 3 ）作为证券特征线的斜率，刻画了证券实际收益率变化对市

场组合的敏感程度， 证券组合的收益率变化与市场组合同向，即证券的价格与市场整体行情（如指数）同涨同跌；

，证券组合的收益率变化与市场组合反向，即市场整体行情（如指数）上升，证券价格却下跌，市场整体行情（如指数）下跌，证券价格却上升。 ，该证券组合为进取型，也就是说，市场收益率变化 1% ，该证券组合的收益率变化将超过 1% ， β越大，进取性越强；

，该证券组合为保守型，也就是说，市场收益率变化 1% ，该证券组合的收益率变化将小于 1% ，绝对值越小，投资者越保守。

0P

0P

1P

1P

2 、 β 系数的估计我们真正想了解的是未来的系数。只有当认为未来情况不会有

大的变化时，才将现在的 β 系数用于将来。（ 1 ）事后系数的估计所谓事后 β 系数，是指利用历史数据估计的 β 系数。方法有：第一，“定义法”：根据系数的定义，应用公式 直接计算系数。第二，回归分析法：

①根据特征线 应用最小二乘法估计系数；

②根据特征线 应用最小二乘法估计系数；

第②种方法的好处是附带产生了系数，为寻找被市场错误定价的证券提纲依据。

,iMiii rbar

ifMiifi rrrr )(

（ 2 ）未来 β 系数的预测第一种方法：以最近一期的事后系数，作为未来一个时期系数

的预测值；即：

第二种方法：以自相关分析法，求相邻时期系数之间的关系，进而预测未来一个时期的系数。

第三种方法：分析系数的变化趋势，预测未来一个时期的系数。

第四种方法：利用横截面数据，用所有证券相邻时期系数，确定相邻时期系数之间的线性关系，进而预测未来一个时期的系数。

第五种方法：考虑公司特征对系数的影响。

titi ,1, ̂

itiiiti ba ,1,

)(, tfti 1ˆˆtt ba

141312110 ttttt WaLaSaaa

二、 β 系数的应用1 、测定可获得期望收益补偿的风险如果你希望通过承担较高的风险来获得较高的期望收益，那么，

就应当选择 β 系数较大的证券，而不是总风险较大的证券。2 、简化马柯威茨均值方差模型的计算

根据 Sharpe 的市场模型

3 、反映证券组合的特征基金的风险性可用其组合的 β 系数来衡量的。投资者在选择基金时，应注意基金的 β 系数，选择那些自己愿意承担的风险程度的、经营绩效又好的基金。

4 、根据市场走势预测选择不同 β 系数的证券可获得额外收益牛市时，选择高 β 系数的证券；熊市时，选择那些低 β 系数的证券，在投资组合中应尽可能加进一些负系数的证券。

)()( Miii rEarE 2),cov( MjiMjMi rr ),cov(),cov( jMjjiMiiji rrrr

,iMiii rar

三、资本资产定价模型的应用1 、资产估值

将现行的实际市场价格与均衡的期初价格进行比较。当实际价格低于均衡价格时，该证券是廉价证券，应该购买该证券；相反，则应卖出该证券。

1)(

)(

irE

E 期末价格股息均衡的期初价格

iFMFi rrErrE )()(

例子如， A 公司今年每股股息为 0.5元，预期今后每股股息将以每年 10%

的速度稳定增长。当前的无风险利率为 0.03 ，市场组合的风险溢价为 0.08 ， A 公司股票的 β 值为 1.5 。那么， A 公司股票当前的合理价格 P0 是多少？ 首先，根据股票现金流估价模型中的不变增长模型得出 A 公司股票当前的合理价格 P0 为

其次，根据证券市场线推出：

最后，得出 A 公司股票当前的合理价格 P0 ：当 A 公司股票当前的价格为 8元时，该证券为低估的证券，应考虑

购买。另外，用特征线模型和系数，也可以搜寻市场中价格被误定的证券。

10.0

5.00 k

P

15.0

5.108.003.0

])([

PFmF rrErk

)(1010.015.0

5.0

10.0

5.00 元

k

P

四、资本资产定价模型的实证检验及有效性1 、常用的检验法及结论测算一个 5年持有期证券组合的收益和 β 值后，再测算下一个 5年持有期证券组合的收益与 β 值，然后将若干时间序列的数据进行线性回归分析，例如， Fama 等人根据 1925－ 1968年间在 NewYork交易所上市的股票的数据，推算月平均收益、系统风险与非系统风险之间的关系，结果为：

70年代早期的实证检验结果概述如下：（ 1 ）已实现的收益率与用来度量的系统风险之间存在着明显的正向关系，但平均的市场风险升水估计值一般要低于 CAPM 的预测水平。（ 2 ）风险与收益之间呈线性关系，没有证据证明风险与收益之间有明显的弯曲度；（ 3 ）试图区分系统风险和非系统风险效应的检验工作没有获得明确的结果，两类风险似乎都与证券收益率正相关。

80年代以来，人们发现除 β 值外，其它一些因素，如上市公司市盈率、股利高低等，对证券收益产生一些影响。如市盈率较低的证券组合、子公司股票、高股利收入的股票收益率高于根据 CAPM计算的收益。

iiii SR 0516.0]0026.0[]0114.0[]0020.0[ 2

2 、证券市场中的异常现象（ 1 ）小公司效应

70年代中期， Blume 和 Friand （ 1974 ）发现大公司和小公司的收益存在显著差别，从 1928－ 1968年间，小公司的收益远远超过大公司收益－即小公司效应。股票总收益率与公司规模大小呈负相关关系。

（ 2 ）“一月效应”和“周末效应”1976年， Rozeff & Kauny 发现一月份股票收益率明显高于其他月份的收益率，更奇怪的是， Keim 发现（ 1983 ）一月份的超常收益与公司规模两者之间高度相关。 Franch （ 1980 ）研究表明，周一平均收益率为负，周五是一周中收益率最高的一天，是发生在小公司的股票上。

（ 3 ）价格波动性Shiller （ 1981 ）发现，股票市场的波动性远不是现金流量行动能够解释的，实际价值的波动远远超过了根据现金流量解释的波动程度。 Shiller将这些额外波动归结为投资者的非理性行为。

3、资本资产定价模型的有效性资本资产定价模型的核心是证券的值与期望收益之间存在正线性关系， β 值足以描述期望收益，但这一结论值得怀疑。早期的研究，支持了这一结论。但最近几十年的研究，对此理论提出了怀疑。如 Fama 等 的研究表明： β 值不能描述过去 62年平均的证券收益。

Roll Ross﹠ 研究表明：“由于精确度不能得到实证， CAPM 模型在解释证券收益时是无实际价值的”。

第十章 因素模型（书中第十一章内容）尽管马克威茨模型从理论上提供了一种由投资风险偏好选择证

券组合的方法，但由于计算上困难使它在实际中的应用受到限制。 1963年，夏普提出了单因素模型，为解决马柯威茨模型应用于大规模市场时的计算量问题提供了行之有效的途径，后来单因素模型被推广到多因素模型。

因素模型的假设基础仍然是证券之间的相关性。但它认为证券之间的关联性是由于市场上的各种证券都受到一种或多种共同因素的影响造成的。因素模型正是企图捕捉这些共同影响因素，用一种线性结构方程来描述这些因素对每种证券收益率的影响。在搞清楚证券收益率与各影响因素的关系后，由因素的预测值和方差，估计证券组合的预期收益率和风险，从而确定最优投资组合。

一、单因素模型1 、含义： 单因素模型指证券之间的关联性是由一个因素对市场产生普遍性影响所引起的。如果市场中的所有证券收益受到且仅受到一种因素的影响，我们可以分析每种证券收益率对该因素变动的敏感性。这种敏感性称为单因素模型。

2 、单因素模型

其中： r 为证券在 t 期的实际收益率； b 为证券对因素 F 的敏感性。

3 、分析 单因素可以是某一种对所有证券影响较大的因素，如 GDP 、

市场利率等等。残差项中不含因素的影响，残差项与因素不相关，残差项之间亦

不相关。

ittiiit Fbar

4 、证券的期望收益率、方差和协方差（ 1 ）期望收益率

（ 2 ）方差

（ 3 ）协方差

单因素模型极大地简化了证券的期望收益率、方差及证券间的协方差的计算。在完成这些计算后，可按照马柯威茨模型确定有效边界，然后，投资者根据个人的无差异曲线，确定最优风险组合。

)()( FEbarE iii

)(2222iFii b

2Fjiij bb

5 、市场模型特征线模型是一种特殊的单因素模型，其中的公共因素 F 就是

市场组合收益率。实践中，常以市场指数作为单一公共因素F ，这时的单因素模型称为市场模型。即：

在因素模型下，证券或证券组合的总风险可分解为因素风险和非因素风险。投资分散化的结果是因素风险趋于平均化，非因素风险将不断减少而趋近 0 。

根据单因素模型，证券组合的方差为：

当一个组合更加分散时，每个权数将变的更小，这使得系数 b平均化、正常化，使得非因素风险不断减少而趋近 0 。

iIiIiIi rar

)(2222PFPP b

n

iiip bxb

1

n

iiiP x

1

222 )()(

二、多因素模型证券价格和收益率的变化通常会受到多个因素的影响。因此，当

一个因素不足以解释证券的收益率以及证券间的关联性时，就要考虑增加多因素模型。

1 、多因素模型

2 、证券的期望收益率、方差、协方差

同单因素模型一样，一旦完成上述计算，便可以导出马柯威茨模型中的有效边界，继而利用投资者的无差异曲线确定最优风险组合。

同样，证券或证券组合的总风险可分解为因素风险和非因素风险。投资分散化的结果是因素风险趋于平均化，非因素风险将不断减少而趋近 0 。

itKtiKitiiit FbFbar 1)()()( 11 KiKiii FEbFEbarE

),()(

)(),(2

1

2

1

2222

ts

K

s

K

tsjtisitisFsjsisij

K

j

K

tsitsitisFjiji

FFCovbbbbbb

FFCovbbb

多因素模型的应用 • 假设影响证券收益率的因素分别为市场股价指数

的收益率（ Rm ）和通货膨胀率 I2 ，则多因素模型可用下式表述：

iimiii eIbRbaR 221

• 证券组合中收益率的方差为： 22

22

222

12

epIpmpp bb

残差方差系统风险系统风险总方差（通货膨胀）（市场）

N

iiip bxb

111

N

iiip bxb

122

N

ieiiep x

1

222

%62 m %322 I

21

22

212

2211

2eImA bb 088200300302106050 22 ......

22

22

222

2221

2eImB bb 189800500304006051 22 ......

23

22

232

2231

2eImC bb 282700400303006002 22 ......

• 假设投资者以 0.4:0.3:0.3的比例将资金投资于三种股票上，

710230513050403

111 .......bxb

iiip

6903030403021403

122 .......bxb

iiip

01290040300503003040 2223

1

222 .......xi

eiiep

222

22

221

2epIpmpp bb

200600129003069006071 22 ......

第十一章 资本资产套利（ APT）模型资本资产定价模型，解释了证券之所以具有不同的期望收益是因

为它们具有不同的 beta系数。但是，这些理论的假设在实际的资本市场中很难满足，由此得出的结论受到实际投资者的质疑。罗斯（ 1976 ），在因素模型的基础上，提出了套利定价理论，使资本资产定价理论有了突破性发展。它的一个主要假设是，如果市场上存在不增加风险就能增加收益的机会（套利机会），则每个投资者都会利用这个机会增加收益。最终导致均衡状态下套利机会的消失，使市场达到均衡状态。

APT的基本假设为：（ 1）市场处于竞争均衡状态；（ 2）投资者喜欢更多的财富而

不是更少的财富；（ 3）资产的回报可用因素模型表示。 APT研究的问题：如果所有的投资者对各种证券的期望收益和因素敏感性均有相同

的估计，那么，在均衡状态下，各种证券取得不同收益的原因是什么？

即：在均衡状态下，证券的收益率是由什么决定的。

一、套利及套利组合1、套利的概念• 套利是指投资者利用同一种资产在不同市场上的不合理价格关系，或不同资产在同一市场上的不合理价格关系获取一定数量无风险收益的行为。

• 对于整个证券市场，这种套利机会还包括“相似”证券组合构成的“近似套利机会”，这种近似性可通过因素模型来描述。

• 因素模型表明，具有相同因素敏感性的证券或证券组合，应具有相同的期望收益率，否则将存在“近似套利机会”，投资者将利用此机会获取一定数量无风险收益，他们的行为最终将使套利机会消失。而投资者实现上述套利机会的手段是建立套利组合。

2、套利组合（ 1）所谓套利组合就是“零投资组合”。 “ 零投资组合”是指投资者不需要为这一投资组合投入任何额外的资金，它可以通过证券的买卖交易对证券结构的调整来实现。

（ 2）一个套利组合应该满足的条件：• 不需要额外的资金，即组合中各证券的投资权数满足：

• 不承担因素风险，对任何因素的敏感性为 0：

• 组合具有正的期望收益率：

• 注意：组合中各证券的投资权数之和为 0，是指从旧的组合构造新的组合时投资资金的变动之和为 0，并非指原来意义上的组合。

021 nxxx

成立对 Kibxbxbx ninii ,,2,1 02211

02211 nn xExExE

3、实例有三种股票组成的套利证券组合，假设它们的回报由单因素模型

确定。各证券的期望收益及对单因素的敏感系数如下： 股票 1 20% 4 股票 2 15% 2.5 股票 3 10% 3 仅考虑单因素模型，建立的套利组合为：

设 ，则，这个组合是否为套利组合，还要看该组合的期望回报是否为正：

因此，该组合为套利组合。

0321 xxx

035.24 321 xxx

05.01 x 1.02 x 15.03 x

0%1%10)15.0(%151.0%2005.0)()()( 332211 xrExrExrE

实例分析设投资者原来拥有三种证券的总价值为 300万元，且每种证

券为 100万元，即原有证券组合的权数为 1/3，则套利组合为：

出售证券 3： 万元；购买证券 1： 万元；购买证券 2： 万元；构造套利组合后的总赢利为： 3万元；套利组合后，投资者

的地位为：证券 1： ，证券 2： ，

证券 3：

45300)15.0(

1530005.0 303001.0

383.005.03

1 433.01.0

3

1

183.015.03

1

二、套利定价方程（ 1）如果所有投资者对因素模型都有相同的估计，当市场存在套利机会时，每个投资者都会利用这一机会，这时套利组合中权数为正的证券，每个投资者都要买进，买压使其价格上升，进而导致其收益率下降；相反，套利组合中权数为负的证券，每个投资者都要卖出，卖压使其价格下降，进而导致其收益率上升；这一过程逐渐使套利机会消失。当不再存在套利机会时，市场达到均衡，这时套利组合的期望收益率将为 0。

这样，下列线性方程组的解不存在：

根据线性代数的知识，最后一个方程是多余的，它可以用其他方程线性表达。

0

111

2

1

21

21

22212

12111

n

n

nKKK

n

n

x

x

x

EEE

bbb

bbb

bbb

二、套利定价方程（ 2）记系数分别为 ，则资本资产套利定价方程为

可见，在均衡状态下各证券的期望收益率完全由它所承担的因素风险所确定。承担相同因素风险的证券或组合应该具有相同的期望收益率。

若市场中存在无风险资产，其收益率为 ，则有；对于 的确定，可以考虑一种证券组合，它只对因素有单位敏感性，即 ，而对其他因素不敏感，即 。根据上式知，该证券组合的期望收益率为 ，这样有：

这表明 实际上是对因素有单位敏感性的证券组合期望溢出收益率，称为风险因素的风险价格。记该证券组合的期望收益率为 ，则有：

K ,,,, 210

iKKiii bbbE 22110

fr fr0

j1jb )(,0 jibi

fj r

fjj rE j

jfjj r

二、套利定价方程（ 3）资本资产套利定价方程为：

上式也叫做 APT资产定价线。如果只有一个因子，上式为一条直线。

根据套利定价理论，任何具有一个因子的载荷和预期回报的资产，如果不在套利定价线上，那么投资者就存在构造套利证券组合的机会。

iKfKififfi brrbrbrrE )()()( 2211

套利定价线

图中，资产 U 表示资产价格被低估，此时预期回报比资产 A 高，投资者可购买 U 而出售 A 构成一个套利组合；同样资产 O 表示资产价格被高估，此时预期回报比资产B 高，投资者可购买 O 而出售 B 构成一个套利组合。

0

E(ri)

bi

.

.

.

.¦Ë0.

U

A

B

O

三、 APT与 CAPM的一致性 在一定的条件下， APT与 CAPM是一致的。1、只有一个因子的情况当只有一个因子时，根据套利定价模型，有：

根据资本资产定价模型，有：

如果 ， ，则 APT与 CAPM是一致的。这种情况发生在因素模型正好是市场模型的时候。

一般情况下，

这样，

代入 CAPM中，得：

iffi brrrE )()( 1

ifMfi brrErrE ))(()(

)(1 MrEiib

),cov(),cov(

),cov(

),cov(

),cov( 22

2M

Mi

M

M

M

Mi

M

Mii rFrF

rr

rF

rrb

2

),cov(

M

Mii

rFb

iM

MFMfi b

rFrrErrE ]

),cov())([()(

2

1、只有一个因子的情况（ 2）

记

如果 CAPM成立，那么 必然满足上式， 的符号与 相同， 越大，市场回报就越大。

21

),cov())((

M

MFM

rFrrE

11

),cov( MrF

1

2、多因素的情况多因素的情况略去。

四、因素的确定在 APT 中，没有回答的问题是因素的个数以及何种因素应包括

在模型中。 Ross 在一篇文章中提出了以下几个因素：（ 1 ）工业产值增长率 （ 2 ）通货膨胀率 （ 3 ）长期与短期利

率的差额 （ 4 ）低级与高级债券的差别；另外，伯雷等的另一篇文章中提出 5 个因素，其中前三个因素

与 Ross 的后三个雷同，另外两个因素为社会总销售增长率和 S&P 500 指数收益率。

所罗门公司所用的 5 个因素为：（ 1 ）国民生产总值 （ 2 ）通货膨胀率 （ 3 ）利率 （ 4 ）石油价格变化率（ 5 ）国防开支增长率。

这些因素的共同特征：（ 1 ）包含一些总体活动指标（国民生产总值、总销售等）（ 2 ）通货膨胀率（ 3 ）利率因素（差额或利率本身）

四、套利定价模型的应用及其评价 1、套利定价模型的应用套利定价模型应用的核心是寻找价格误定的证券。具体表现为寻找套利机会并实施套利组合来获取超额收益。因此，首先确定哪些因素会对市场产生显著影响，估计出证券对各种因素的敏感性。在此基础上来判断是否存在套利机会，如果存在就构造套利组合，达到获取超额收益的目的。

2、对 APT的评价：• 优点：不依赖于投资者的效用函数，不要求市场组合均值 /方

差有效，不要求市场处于均衡状态，假使条件十分简单；同时认为系统风险受多个因素的影响，从而有利于研究系统风险的内部结构。

• 局限：模型结构不清楚，其实证检验非常困难和富有技巧性。国外的实证研究表明，一组包含 5-7个宏观经济变量和市场指数的因素能较好描述期望收益的 40-50%； APT模型比 CAPM更能接受实证的检验，若 APT 遭拒绝，则 CAPM也必然被拒绝，反之则不然。