고체역학 chapter4 torsion

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zyτChapter.4 Torsion

김 대 영

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바이오시스템공학과2014년도 2학기 강의자료 (고체역학)

1. 순수전단응력

순수전단응력 상태(Pure shear stress state)

평형상태 (X)

G

G

: 전단응력 (shear stress)

: 전단탄성계수 (shear modulus)

: 전단변형률 (shear strain)

)1(2

EG

탄성계수와 전단탄성계수의 관계

1. 순수전단응력

경사면에서의 응력

0cos)sin(sin)cos(

AAA

방향 힘의 합

cossin2

경사면에서의 수직응력

방향 힘의 합

0sin)sin(cos)cos(

AAA

경사면에서의 전단응력

)sin(cos 22

재료가 순수전단응력을 받고 있으면, 최대전단응력과 최대인장응력, 최대압축응력은 각각 와 같다.

2. 균일 원형 단면 봉의 비틀림

T

균일 원형 단면 봉: 비틀림에 대한 이론적 해석의 용이함

rc 원주 길이:

: 비틀림각도 (봉의 끝단이 회전한 각도 - radian)Lc /각도 가 작다면,

Lr


LGrG

축방향과 원주방향으로의 길이변형률이 없다면,

잘린 평면상에서 원주 방향 전단응력은 이며,

크기는 봉의 중심으로부터 거리에 비례


전단응력 분포에 의한 봉축에서의 모멘트 계산

미소 면적에 작용하는 전단응력에 의한 봉축에서의 모멘트:

전단응력에 의한 전체 모멘트:

순수 전단응력을 위 식에 대입하면, 비틀림각을 결정할 수 있다.

여기서 는 봉의 축에 대한 단면의 극관성모멘트를 의미한다.

작용토크와 봉축으로부터의 거리로 나타내면,

TdArA

dAr

AdArJ 2

LGrG

GJTL

J

JTr

3. 극관성모멘트

반지모양의 미소면적 요소

극관성모멘트:

중실원형축의 경우,

중공원형 단면을 가진 봉에서의 경우,

: 내부 반지름

: 외부 반지름

rdrdA 2

A

RrdrrdArJ

0

22 )2(

4

2RJ

4402 iRRJ

0RiR

4. Example 4-1

• 다음의 봉은 전단탄성계수 G=28GPa인 재료로 되어 있으며, 중실원형 단면을 가진다. 부재 A는 지름이 40mm, 부재 B는

지름이 20mm이다.

(a) 부재 A와 B에서의 최대전단응력을 구하여라.

(b) 지지벽에 대한 봉 오른쪽 끝단의 비틀림각을 구하여라.

Solve) 평면을 봉의 부재 A에 관통시켜 봉을 분리함으로써 부재 A의 내부 토크를 결정할 수 있다. 앞서 유도한 식들을

이용하여 최대전단응력과 비틀림각을 구할 수 있다. 동일한 방법으로 부재 B에서의 최대전단응력과 비틀림각을 구할 수

있다.

4. Example 4-1

평형방정식:

Nm8000200,1400

TT

평형방정식:

Nm8000800

TT

부재 A의 극관성모멘트:

부재 A의 최대전단응력은 r=0.02m에서 일어난다. 그러므로

최대전단응력은

4744 m1051.2)02.0(22

RJ

MPa7.631051.2

)02.0)(800(7

JrT

4. Example 4-1

평형방정식:

부재 B 단면의 극관성모멘트:

부재 B의 최대전단응력은 r=0.01m에서 발생하며, 최대전단응력은

Nm40008001200

TT

4844 m1057.1)01.0(22

RJ

MPa2551057.1

)01.0)(400(8

JrT

봉의 부재 A에서의 토크 T=-800Nm이므로 부재 A의 비틀림각은

부재 B의 토크 T=400Nm에 의한 비틀람각은

04.1rad0182.0)1051.2)(1028(

)16.0)(800(79APart

GJTL

25.6rad1091.0)1057.1)(1028(

)12.0)(400(89APart

GJ

TL

21.525.604.1BPartAPart

고체역학 chapter4 torsion

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