フロンティア材料研究所神谷利夫 元素戦略研究センター...
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フロンティア材料研究所 神谷利夫
元素戦略研究センター 松石 聡
統計力学 (C)
授業評価アンケート
今回は神谷担当分: 「複数教員連番」は1
・ 講義の最後に10分ほど時間を取ります
・ 裏面の「アンケートの趣旨」を読んでください
・ 「申告番号」は記入する必要はありません
・ 原則として欠席は認めない
・ 理由がある場合、7/22までに[email protected]
あてに理由を連絡すること。
(サークルの大会等がある場合、大会名、開催日時・場所を含む)
試験の欠席
講義予定9/23 金 神谷 第1回熱力学第一法則
9/30 金 神谷 第2回カルノーサイクル、熱力学第二法則、熱力学関数
10/ 4 火 松石 第3回気体分子運動論
10/11 火 松石 第4回古典統計力学の基礎 I (気体分子運動論とMaxwell-Boltzmann分布)
10/14 金 松石 第5回古典統計力学の基礎 II (微視的状態の数、エルゴード仮設、Boltzmann分布)
10/18 火 松石 第6回 カノニカル分布とグランドカノニカル分布
10/21 金 松石 第7回 量子統計力学の基礎 I (Pauliの排他律、Fermi-Dirac分布)10/25 火 松石 第8回 量子統計力学の基礎 II (Bose-Einstein分布)10/28 金 神谷 第9回 理想Bose気体、固体の比熱 (Einstein、Debyeの比熱式)11/ 1 火 神谷 第10回光子と黒体放射、 Bose-Einstein凝縮
11/ 4 金 神谷 第11回理想Fermi気体、金属中の電子
11/ 8 火 未定 第12回休講
11/11 金 神谷 第13回半導体中の電子
11/15 火 神谷 第14回金属/半導体接合、Boltzmannの輸送方程式、
スピン系の磁化率
11/25 金 試験 (7-8限、S621)
出題範囲講義資料ダウンロード: http://conf.msl.titech.ac.jp/StatisticsC.html
(松石先生資料パスワード: u6mz9axb)・ 出題範囲は基本的に教科書の範囲
ただし、Einsteinモデル+量子統計の比熱は含む
・ 基本的な考え方の理解を重視
・ 数式展開を暗記しないといけない問題は出さない。
・ ただし、基本的な考え方に必要な数式、たとえば
W、Stirlingの式、Boltzmannの原理、統計分布関数の形と使い方、
は出題範囲。
・ 公式を覚えていないとわからない (不定)積分などは試験問題中で与える
・ 統計力学の応用での出題範囲
*分子の運動(並進、回転、振動)
*固体の比熱(古典統計、等分配則、Einsteinモデル、Debyeモデル)
*Bose粒子の特徴 (Bose-Einstein凝縮含む)
*金属中の電子 (Fermi波数/エネルギー、電子比熱)*極性分子の分極率、スピン系の磁化率 (2準位系)
どうやってEFを決めるか
EV EC
( ) CCC EEDED −= 0
( )EED
ED
VV
V
−= 0
EDEA
NA ND
EF
( )Fe EEf ,
価電子帯 伝導帯
非縮退半導体 𝛽𝛽 𝐸𝐸 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 >>1 𝑛𝑛𝑒𝑒 = 𝑁𝑁𝐶𝐶exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐶𝐶 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 )𝑛𝑛ℎ = 𝑁𝑁𝑉𝑉exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝑉𝑉 )𝑁𝑁𝐷𝐷+~𝑁𝑁𝐷𝐷exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝐷𝐷 ) (𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐹𝐹 − 𝐸𝐸𝐷𝐷 ≫ 1)𝑁𝑁𝐴𝐴− ~𝑁𝑁𝐴𝐴exp(−𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐴𝐴 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 ) (𝛽𝛽 𝐸𝐸𝐴𝐴 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 ≫ 1)
電荷中性条件 ne + NA- = nh + ND
+ => EF
エネルギー
状態
密度
Fermiエネルギーの温度依存性
N型半導体 (電子)𝑬𝑬𝑭𝑭 = 𝑬𝑬𝑪𝑪+𝑬𝑬𝑫𝑫
𝟐𝟐+ 𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝟐𝟐𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑵𝑵𝑫𝑫
𝜶𝜶𝑵𝑵𝑪𝑪
P型半導体 (正孔)𝑬𝑬𝑭𝑭 = 𝑬𝑬𝑽𝑽+𝑬𝑬𝑨𝑨
𝟐𝟐− 𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝟐𝟐𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝑵𝑵𝑨𝑨
𝜶𝜶𝑵𝑵𝑽𝑽
注: ドナー・アクセプターの電子相関を考慮すると、縮退度に応じて 𝜶𝜶が1ではなくなる
化学平衡: µの異なる物質を接触させると
nG∂∂
=µ ある粒子を1つ系に加えるのに必要な仕事ある粒子を系から1つ取り除くのに必要な仕事
違う化学ポテンシャルの物質を接合したら・・・
µAµB
( ) 0<+−=∆ BAnG µµδになるまで、物質移動が続くBA µµ =
µA µB
e-
+++
–––
Schottky接触 (Vbi, φSB > 0) Ohmic接触 (Vbi, φSB < 0)
EF
φSBxs
εvacφs
Ev
EcEFS
EFM εFMEc
Ev
EFSεc
εv
εFS
φSB = φs – χs qVbi = φSB – (EC – EFS)
qVd = φM – φ s
金属
(M)
n型半導体(S)
n型半導体(S)
金属
(M)
n型半導体(S)
金属
(M)
内部熱電子放出:金属-半導体接合 (Schottky接合)
Evac
Ec
EV
接合電子構造の描き方 (Shottky-Mott則)
EF
n型 金属
Vbi
n型
Schottky接合
φSB
金属
VbiφSB
∆vac = Vbi
EF EF EF
空乏
層
E = 0 E ≠ 0 E = 0
EF
内部熱電子放出
金属 N型半導体(熱電子放出では真空)
𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝟐𝟐𝒆𝒆−𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻 (8.87)
EC: 伝導帯下端(熱電子放出では真空準位 EVac)
e-
φSB: Schottky障壁高さ(熱電子放出では仕事関数 W)
0 5 10 15 20
EF –eEx
φSB
∆φSB
φeff
2×107
1×106 E = 3×105 V/m
1×107
Eexm πε16
=
Schottky接合の内部熱電子放出電流
-e+e導体表面の電位が一定になる条件から、鏡像電荷を考える
𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝟐𝟐𝒆𝒆−𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻𝒆𝒆
𝒆𝒆𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝒆𝒆𝑬𝑬𝟒𝟒𝝅𝝅𝜺𝜺
e-
金属 N型半導体
EC: 伝導帯下端
電子分布: V = 0
EV,n
EF,n
Dcfe
0~)( , SBnCvacn EEnn φ+>−
N型半導体
ne,n(E > EC,p) ~ ne,p, しかし正確な ne,n(E > EC,p) は ne,p より少し多い
拡散電流の過剰分は空乏層中のドリフト電流で相殺されている。
+++
xn
−+−
kTEE
Nn mFSBCcn
,exp~φ
金属
φSB
DC(E)
fe(E)fe(E)
EC,n
DC(E)
−+−
kTEE
Nn mFSBCcvac
,exp~φ
EF,m
電子分布: V = 0
EV,n
EF,n
Dcfe
−
+>−∝ 1exp~)()( , kT
eVNEEnnVj cSBmFvacn φ
N型半導体
+++
xn
−++−−
kTEEeV
Nn mFSBCcn
,exp~φ
金属
φSB
DC(E)
fe(E)fe(E)
EC,n
DC(E)
−+−
kTEE
Nn mFSBCcvac
,exp~φ
VEF,m
逆方向電流
𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨∗𝑻𝑻𝟐𝟐𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 𝒆𝒆𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝒆𝒆𝑬𝑬𝟒𝟒𝝅𝝅𝜺𝜺
順方向電流
𝒋𝒋𝒙𝒙 = 𝑨𝑨∗𝑻𝑻𝟐𝟐𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝝓𝝓𝑺𝑺𝑩𝑩𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 𝒆𝒆𝑽𝑽𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
− 𝟏𝟏
𝑨𝑨∗ = 𝟒𝟒𝝅𝝅𝒎𝒎∗𝒎𝒎𝒆𝒆𝒌𝒌𝑩𝑩𝟐𝟐
𝒉𝒉𝟑𝟑= 119.6𝒎𝒎∗ A/(cm2K2)
有効Richardson-Dashman定数
Schottky接合のJ-V特性
-1 -0.5 0 0.5 110
-1210-1110-1010
-910-810-710-610-510-410-310-210-1100101102103104
Voltage / V
Cur
rent
/ A
Schottkyp/n
熱平衡状態での計算手順
1. パラメータ (me*) を決める
2. 関連する定数 (Nc, Dc0など) を計算する
3. 状態密度 D(E) を計算する
4. 0 K で中性の状態を考え、考えているエネルギー範囲での電子数 Ne を計算する (電荷中性条件)。
5. EF が場所によらず一定として、バンド図を描く。CBM, VBMの位置依存性 ECBM(x), EVBM(x) を決める。
6. ECBM(x), EVBM(x) から過剰電荷密度ρe(x) = Ncexp(–(ECBM(x) – EF) / kBT)ρh(x) = Nvexp(–(EF – EVBM(x) / kBT)
を計算する。
7. Possisonの方程式d2ECBM(x) / dx2 = e(-ρe(x)+ρh(x)+ND
+(x)-NA-(x)) /ε
を満足するように、5, 6 を自己無撞着に解く。
§3.7 Boltzmannの輸送方程式: 非平衡状態P. 72
非平衡状態: 分布関数が f(E) からずれている => f(E) の時間変化を与える方程式
・ 時刻 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 で 𝒓𝒓 𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡 , 𝒌𝒌(𝑡𝑡 + Δ𝑡𝑡) の状態にある電子は、時刻 𝑡𝑡 では 𝒓𝒓 𝑡𝑡 , 𝒌𝒌 𝑡𝑡 の状態にあった
𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕
= 𝒅𝒅 𝒕𝒕+Δ𝑡𝑡,𝒓𝒓 𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡 , 𝒗𝒗 𝑡𝑡+Δ𝑡𝑡 −𝒅𝒅(𝒕𝒕, 𝒓𝒓 𝑡𝑡),𝒗𝒗(𝑡𝑡) )Δ𝑡𝑡
= 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌
� 𝝏𝝏𝒓𝒓𝒅𝒅𝒕𝒕
+ 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓
� 𝝏𝝏𝒌𝒌𝒅𝒅𝒕𝒕
+ 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗
= − 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌
� 𝒗𝒗 𝒕𝒕 − 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓
� 𝑭𝑭ℏ
+ 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗
𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗
は散乱の効果を含むので、 𝒅𝒅𝟎𝟎 を平衡状態の分布関数として
𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒕𝒕 𝒌𝒌,𝒗𝒗
~ − 𝒅𝒅−𝒅𝒅𝟎𝟎𝝉𝝉
と近似する (緩和時間近似, 符号は分布関数が回復するようにとる)
𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒕𝒕)𝒅𝒅𝒕𝒕
= −𝒗𝒗 𝒕𝒕 � 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌
− 𝑭𝑭ℏ� 𝝏𝝏𝒅𝒅
𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓− 𝒅𝒅(𝒕𝒕,𝒓𝒓,𝒌𝒌)−𝒅𝒅𝟎𝟎(𝒓𝒓,𝒌𝒌)
𝝉𝝉(𝒌𝒌)拡散項 ドリフト項 散乱項
定常状態: 𝒗𝒗 𝒕𝒕 � 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒕𝒕,𝒌𝒌
+ 𝑭𝑭ℏ� 𝝏𝝏𝒅𝒅
𝝏𝝏𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓= −𝒅𝒅(𝒓𝒓,𝒌𝒌)−𝒅𝒅𝟎𝟎(𝒓𝒓,𝒌𝒌)
𝝉𝝉(𝒌𝒌)Boltzmann-Blochの方程式
太田英二、坂田亮著、半導体の電子物性工学、裳華房
電気伝導度: Boltzmann方程式の応用
𝒗𝒗 𝑡𝑡 � 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝒓𝒓 𝑡𝑡,𝒌𝒌
+ 𝑭𝑭ℏ� 𝜕𝜕𝑓𝑓
𝜕𝜕𝒌𝒌 𝑡𝑡,𝒓𝒓= −𝑓𝑓(𝒓𝒓,𝒌𝒌)−𝑓𝑓0(𝒓𝒓,𝒌𝒌)
𝜏𝜏(𝑘𝑘)
空間的に均一な場合は左辺第一項が 0。均一な電界 E が電子 (電荷 –e) にかかっている場合は
−𝑓𝑓 𝑡𝑡,𝒌𝒌 −𝑓𝑓0 𝒌𝒌𝜏𝜏 𝒌𝒌
= 𝑭𝑭ℏ� 𝜕𝜕𝑓𝑓
𝜕𝜕𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓= −𝑒𝑒 𝑬𝑬
ℏ� 𝜕𝜕𝑓𝑓
𝜕𝜕𝒌𝒌 𝒕𝒕,𝒓𝒓= − 𝒆𝒆
ℏ𝑬𝑬 � 𝜕𝜕𝜀𝜀 𝒌𝒌
𝜕𝜕𝒌𝒌𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜀𝜀
= −𝑒𝑒𝑬𝑬 � 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜀𝜀
𝒅𝒅 𝒕𝒕,𝒌𝒌 − 𝒅𝒅𝟎𝟎 𝒌𝒌 = 𝑒𝑒𝜏𝜏 𝑘𝑘 𝑬𝑬 � 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜀𝜀
電子密度は 𝑛𝑛 = ∫𝑓𝑓0 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌 = ∫𝑓𝑓 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌であり、 電子の速度平均 v は
𝒗𝒗 = ∑ 𝒗𝒗 𝒌𝒌 𝑓𝑓 𝒌𝒌∑ 𝑓𝑓 𝒌𝒌
= ∫ 𝒗𝒗 𝒌𝒌 𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒅𝒅𝒌𝒌
∫ 𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒅𝒅𝒌𝒌= 𝒆𝒆
∫ 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝑬𝑬�𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝝉𝝉 𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜺𝜺𝒅𝒅𝒌𝒌+∫ 𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝑬𝑬�𝒗𝒗(𝒌𝒌) 𝝉𝝉 𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒅𝒅𝟎𝟎
𝝏𝝏𝜺𝜺 𝒅𝒅𝒌𝒌
𝒏𝒏
熱平衡状態 f0 では速度平均は 0なので、右辺分子第二項は0。
E を x に並行とし、v(k) の x 方向成分だけを考えて ( 𝒗𝒗𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝒗𝒗𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝜀𝜀
𝟑𝟑𝒎𝒎)
𝒗𝒗 = −𝑒𝑒𝑬𝑬∫ 𝒗𝒗𝒙𝒙 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝜏𝜏 𝒌𝒌 𝜕𝜕𝑓𝑓
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝒌𝒌
𝒏𝒏= − 𝑒𝑒
𝑚𝑚23
∫ 𝜀𝜀𝐷𝐷(𝜀𝜀) 𝜏𝜏 𝜀𝜀 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝜀𝜀
𝒏𝒏𝑬𝑬
太田英二、坂田亮著、半導体の電子物性工学、裳華房
電気伝導度: Boltzmann方程式の応用
E を x に並行とし、v(k) の x 方向成分だけを考えて
𝒗𝒗 = − 𝑒𝑒𝑚𝑚23
∫ 𝜀𝜀𝐷𝐷(𝜀𝜀) 𝜏𝜏 𝜀𝜀 𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝜀𝜀
𝒏𝒏𝑬𝑬 = 𝜇𝜇𝑬𝑬
𝜏𝜏 = −23
∫ 𝜀𝜀𝜏𝜏 𝜀𝜀 𝐷𝐷(𝜀𝜀)𝜕𝜕𝑓𝑓𝜕𝜕𝜕𝜕𝑑𝑑𝜀𝜀
𝒏𝒏: 緩和時間 (散乱時間) の平均値
𝜇𝜇 = 𝑒𝑒 𝜏𝜏𝑚𝑚
: 移動度
電流 𝑱𝑱 = −𝑒𝑒𝑛𝑛𝒗𝒗電気伝導度 𝜎𝜎 = 𝑒𝑒𝑛𝑛𝜇𝜇
𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜺𝜺
~ − 𝜹𝜹 𝜺𝜺 − 𝑬𝑬𝑭𝑭 を使うと
𝝉𝝉 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝑬𝑬𝑭𝑭𝑫𝑫(𝑬𝑬𝑭𝑭)
𝒏𝒏𝝉𝝉 𝑬𝑬𝑭𝑭 = 𝝉𝝉 𝑬𝑬𝑭𝑭 (𝒏𝒏𝒆𝒆 = 𝟐𝟐
𝟑𝟑𝑬𝑬𝑭𝑭𝑫𝑫 𝑬𝑬𝑭𝑭 §8.1 より)
𝝉𝝉 が 𝛿𝛿 𝜀𝜀 − 𝐸𝐸𝐹𝐹 で決まるように、 EF 付近の電子のみが散乱時間と移動度を決定している。
ここででてくる自由電子密度 n は𝑛𝑛 = ∫𝑓𝑓0 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌 = ∫𝑓𝑓 𝒌𝒌 𝑑𝑑𝒌𝒌であり、伝導帯内の全ての電子数。
𝝉𝝉 の式は、 𝐷𝐷(𝜀𝜀) 内のすべての電子が 𝜏𝜏 𝐸𝐸𝐹𝐹 でふるまうように見えるが、この結果が出るのは伝導帯の E(k) が双曲線型のときのみ。
太田英二、坂田亮著、半導体の電子物性工学、裳華房G. Grosso, G.P. Parravicini著、安食博志 訳、固体物理学、吉岡書店
その他: Boltzmann方程式の応用
電気伝導度 𝝈𝝈 = 𝒆𝒆𝒏𝒏𝝁𝝁
電子密度 𝒏𝒏 = ∫𝑫𝑫(𝜺𝜺)𝒅𝒅𝟎𝟎 𝜺𝜺 𝒅𝒅𝜺𝜺 = ∫𝑫𝑫(𝜺𝜺)𝒅𝒅 𝜺𝜺 𝒅𝒅𝜺𝜺
緩和時間のべき乗 𝝉𝝉𝒌𝒌 = −𝟐𝟐𝟑𝟑
∫ 𝜺𝜺𝝉𝝉 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝑫𝑫(𝜺𝜺)𝝏𝝏𝒅𝒅𝝏𝝏𝜺𝜺𝒅𝒅𝜺𝜺
𝒏𝒏
移動度 (ドリフト移動度) 𝝁𝝁 = 𝒆𝒆 𝝉𝝉𝟏𝟏
𝒎𝒎
Hall効果
Hall因子 𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥= 𝝉𝝉𝟐𝟐 / 𝝉𝝉𝟏𝟏 𝟐𝟐
Hall移動度 𝝁𝝁𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥𝝁𝝁Hall電子密度 𝒏𝒏𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥 = 𝒏𝒏/𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥
𝜼𝜼𝐇𝐇𝐇𝐇𝐥𝐥𝐥𝐥 は散乱機構 (𝝉𝝉 𝜺𝜺 ) によって変わり 0.9 ~ 2 程度の値を取る。
Hall効果には 𝑫𝑫(𝜺𝜺) 内の電子が寄与している。
坂田亮編集、熱電変換工学-基礎と応用-、REALIZE INC.
§5.3 極性気体: 古典論による分極率P. 106
HFなどの異種2原子分子: H が +q|e| に、F が -q|e| に帯電して、
電気双極子 p0 = qd (dは結合方向のベクトル) をもつ。
(極性気体 無極性気体 H2, CO2)
5-3図のように電場 E が z方向にかかり、p0 が z軸から 𝜽𝜽傾いている場合:
𝑼𝑼𝒑𝒑 = −𝒑𝒑𝟎𝟎 � 𝑬𝑬 = −𝒑𝒑𝟎𝟎𝑬𝑬𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝜽𝜽 (5.28)
分極 P: 単位体積中の双極子モーメントの和
𝑃𝑃 = 𝑁𝑁𝑉𝑉∫ 𝑝𝑝0cos𝜃𝜃�exp 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸cos𝜃𝜃 sin𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑
∫ exp 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸cos𝜃𝜃 sin𝜃𝜃𝑑𝑑𝜃𝜃𝑑𝑑𝜑𝜑
𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 = 𝛼𝛼, cos𝜃𝜃 = 𝑥𝑥 と置換して 𝜑𝜑について積分し、
𝑃𝑃 = 𝑁𝑁𝑉𝑉𝑝𝑝0
∫𝑥𝑥exp 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥
∫ exp 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥
部分積分から ∫𝑥𝑥 exp 𝛼𝛼𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = exp 𝛼𝛼𝑥𝑥𝛼𝛼2
𝑎𝑎𝑥𝑥 − 1 なので、
𝑷𝑷 = 𝑵𝑵𝑽𝑽𝒑𝒑𝟎𝟎𝑳𝑳 𝜶𝜶 (5.49)
𝑳𝑳 𝜶𝜶 = 𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜶𝜶 − 𝟏𝟏𝜶𝜶
Langevin関数
5-3図 電場中の電気双極子
5-4図 極座標
5-6図 Langevin関数
§5.5 極性気体の分極: 古典論による分極率P. 113
誘電感受率𝝌𝝌の定義 𝑷𝑷 = 𝝌𝝌𝑬𝑬 = 𝑵𝑵𝑽𝑽𝒑𝒑𝟎𝟎𝑳𝑳 𝜷𝜷𝒑𝒑𝟎𝟎𝑬𝑬 (5.49)
𝐿𝐿 𝛼𝛼 = coth 𝛼𝛼 − 1𝛼𝛼
Langevin関数
coth 𝛼𝛼 = 𝑒𝑒𝛼𝛼+𝑒𝑒−𝛼𝛼
𝑒𝑒𝛼𝛼−𝑒𝑒−𝛼𝛼
𝐿𝐿 𝛼𝛼 ~ 𝛼𝛼3− 𝛼𝛼3
45+ ⋯ (𝛼𝛼 = 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 ≪ 1)
𝐿𝐿 𝛼𝛼 ~1 (𝛼𝛼 = 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 ≫ 1)
より、
低温・高電界: 𝑷𝑷 = 𝑵𝑵𝑽𝑽𝒑𝒑𝟎𝟎に漸近
高温・低電界: 𝝌𝝌~ 𝑵𝑵/𝑽𝑽𝟑𝟑𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐
誘電率𝜺𝜺: 𝜺𝜺𝑬𝑬 = 𝜺𝜺𝟎𝟎𝑬𝑬 + 𝑷𝑷
𝜺𝜺 = 𝜺𝜺𝟎𝟎 + 𝑵𝑵/𝑽𝑽𝟑𝟑𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝒑𝒑𝟎𝟎𝟐𝟐
分布関数から物理量を求める方法・ 分布関数 f(Ei) はエネルギー Ei の固有状態が粒子で占有される割合 Noccupied
・ 分布関数は エネルギー E の関数で与えられるので、E における状態の数 D(E) 状態密度 を使ったほうが簡単に計算できる
・ 全粒子数 => µを決定
・ 統計平均として物理量 P を導出
・ 全エネルギー => 内部エネルギーの微分として物理量を導出
・ 分配関数 f (Z) から F => 自由エネルギーの微分として物理量を導出
( ) ∫∫∑ === dEEfEDEfEfNi
i )()()( drdp
)(, iioccupied EfN =
)()()( EfEDENoccupied =
( ) β∂∂=⋅=⋅== ∫∫∑ /)!/()()()( NfdEEfEDEEfEEfEE N
iii drdp
( ) ∫∫∑ ⋅=⋅== dEEfEDEPEfPEfPPi
ii )()()()()( drdppr,
( )!/ln NfTkF NB−=
各種統計における粒子の可能な配置Bose-Einstein統計
N個の粒子が作る準位のそれぞれに 0 個以上の粒子が入れる
Fermi-Dirac統計N個の粒子が作る準位のそれぞれに 0 個あるいは 1 個の粒子が入れる
独立粒子モデル (Isingモデルなど。試験によく出る)1個の粒子が作る 1粒子準位のどれか 1つに 1 個の粒子が入れる
=> 粒子数 N = 1 固定、温度 T での統計平均: 正準集合の考え方を使うのが簡単
𝑬𝑬𝟏𝟏
𝑬𝑬𝟐𝟐
縮退度 𝒈𝒈𝒊𝒊
𝑬𝑬𝟏𝟏
𝑬𝑬𝟐𝟐
縮退度 𝒈𝒈𝒊𝒊
𝑬𝑬𝟏𝟏
𝑬𝑬𝟐𝟐
縮退度各粒子で 𝒈𝒈𝒊𝒊 = 𝟏𝟏
(大)正準集合理論のまとめ正準集合における分布:全粒子数一定、温度一定、全エネルギーは変化、という条件だけから得られる
• 粒子がエネルギー𝑬𝑬𝒊𝒊の状態を占める確率は古典論でも量子論でも同じになる正準分布 : 𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝟏𝟏
𝒁𝒁𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊 = 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊
∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊(6.7)
𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊 : Gibbs因子(関数形はMaxwell-Boltzmann分布と同じだが、物理的意味は全く違う)
分配関数 (状態和): 𝒁𝒁 = ∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊 (6.5)
• 物性 P の統計平均 𝑷𝑷 = ∑𝒊𝒊 𝑷𝑷𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊
(6.8)
• エネルギー平均値 𝐸𝐸 = ∑𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 exp −𝛽𝛽𝐸𝐸𝑖𝑖∑𝑖𝑖 exp −𝛽𝛽𝐸𝐸𝑖𝑖
(6.8)
𝐸𝐸 = −𝑑𝑑 ln 𝑍𝑍𝑑𝑑𝛽𝛽
(6.9)
• ヘルムホルツエネルギー 𝐹𝐹 = −𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇 ln𝑍𝑍 (6.12)
量子統計: (i) 粒子を区別できない、(ii) 準位を占めることができる粒子数に制限大正準集合を使うことで、量子統計 (BE分布、FD分布) が得られる
大正準分布: 𝑝𝑝𝑁𝑁,𝑖𝑖 = exp 𝛽𝛽 𝜇𝜇𝑁𝑁−𝐸𝐸𝑁𝑁,𝑖𝑖∑𝑁𝑁,𝑖𝑖 exp 𝛽𝛽 𝜇𝜇𝑁𝑁−𝐸𝐸𝑁𝑁,𝑖𝑖
(6.33)
大正準集合理論から再度導出してみる
大分配関数 𝒁𝒁𝑮𝑮 = ∑(𝒏𝒏𝒊𝒊) 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷∑𝒊𝒊 𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)
= ∑(𝒏𝒏𝒊𝒊)∏𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)
= ∏𝒊𝒊 ∑𝒏𝒏𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)和記号における (ni) は、(n1, n2, ・・・) の全ての組み合わせの和を取る。
=> 第3式で和と積の順番を入れ替えられる
Fermi統計: ni = 0, 1なので
𝒁𝒁𝑮𝑮 = ∏𝒊𝒊 ∑𝒏𝒏𝒊𝒊=0𝟏𝟏 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)) = ∏𝒊𝒊 𝟏𝟏 + 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁))
1つの状態 i を占める占有数 ni の統計平均 fi は
𝒅𝒅𝒊𝒊 =< 𝒏𝒏𝒊𝒊 > = − 𝝏𝝏𝜷𝜷𝝏𝝏𝒆𝒆𝒊𝒊
𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒁𝒁𝑮𝑮 = 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )1+𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )
= 𝟏𝟏𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )+1
(8.5)
Bose分布: ni = 0, 1, ・・・ なので
𝒁𝒁𝑮𝑮 = ∏𝒊𝒊 ∑𝒏𝒏𝒊𝒊=𝟎𝟎∞ 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷𝒏𝒏𝒊𝒊(𝒆𝒆𝒊𝒊 − 𝝁𝝁)) = ∏𝒊𝒊
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(−𝜷𝜷(𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁))
𝒅𝒅𝒊𝒊 = − 𝝏𝝏𝜷𝜷𝝏𝝏𝒆𝒆𝒊𝒊
𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒁𝒁𝑮𝑮 = 𝝏𝝏𝜷𝜷𝝏𝝏𝒆𝒆𝒊𝒊
∑𝒊𝒊 𝟏𝟏 − 𝒆𝒆−𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 = 𝟏𝟏𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞(𝜷𝜷 𝒆𝒆𝒊𝒊−𝝁𝝁 )−𝟏𝟏
§8.1 Fermi-Dirac分布関数P. 170
§5.8 イジング模型: 2準位モデルP. 119
Ising model: 分極系の簡単化されたモデル
・ 結晶の格子点に古典的なスピンが存在
・ それぞれのスピンは独立
・ それぞれのスピンが +𝛍𝛍 と −𝛍𝛍の磁気モーメントを
もつ状態のいずれかをとる
=> 粒子数 N = 1 固定、温度 T での統計平均: 正準集合
𝑬𝑬𝒊𝒊 をとる確率 : 𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊
(6.7)
物性 P の平均: 𝑷𝑷 = ∑𝒊𝒊 𝑷𝑷𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊∑𝒊𝒊 𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞𝐞 −𝜷𝜷𝑬𝑬𝒊𝒊
(6.8)
磁場 𝑯𝑯中のスピン 𝜇𝜇のエネルギー: 𝑈𝑈 = 𝜇𝜇𝐻𝐻スピン状態 ±𝜇𝜇 を取る確率
𝑃𝑃± = 𝑒𝑒±𝛽𝛽𝛽𝛽𝐻𝐻
𝑒𝑒−𝛽𝛽𝛽𝛽𝐻𝐻+𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽𝐻𝐻(5.70)
磁気モーメントの統計平均
𝝁𝝁 = (−𝝁𝝁)𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+(+𝝁𝝁)𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯
𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯= 𝝁𝝁 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯)
𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯(5.72)
𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯 ≪ 𝟏𝟏のときは
𝝁𝝁 ~ 𝟏𝟏𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝝁𝝁𝟐𝟐𝑯𝑯 極性気体 1分子: 𝑃𝑃𝑁𝑁/𝑉𝑉
~ 13𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇
𝑝𝑝02𝐸𝐸
5-8図 磁場中のイジング・スピン
§5.8 イジング模型: 2準位モデルP. 119
磁気モーメントの統計平均
𝝁𝝁 = 𝝁𝝁 𝐜𝐜𝐬𝐬𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯)𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯
= 𝝁𝝁 𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯−𝟏𝟏𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏
~ 𝟏𝟏𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝝁𝝁𝟐𝟐𝑯𝑯 (𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯 ≪ 𝟏𝟏)
全エネルギーの統計平均
𝑬𝑬 = 𝝁𝝁𝑯𝑯 𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯−𝟏𝟏𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏
= 𝝁𝝁𝑯𝑯 𝟏𝟏 + −𝟐𝟐𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏
定積比熱
𝑪𝑪𝑽𝑽 = 𝝏𝝏 𝑬𝑬𝝏𝝏𝑻𝑻
= 𝟒𝟒𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻𝟐𝟐
𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯
𝒆𝒆𝟐𝟐𝜷𝜷𝝁𝝁𝑯𝑯+𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝝁𝝁𝑯𝑯 𝟐𝟐
イジングモデルは、 2スピン間のエネルギー差を準位間エネルギー 𝛥𝛥𝐸𝐸 = 2𝜇𝜇𝐻𝐻 に置き換えると、エネルギーの原点と絶対値を除いて P.120 [例題] と同じになる
𝐸𝐸 = 𝛥𝛥𝐸𝐸2𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽𝐸𝐸−1𝑒𝑒𝛽𝛽𝛽𝛽𝐸𝐸+1
𝐶𝐶𝑉𝑉/𝑘𝑘𝐵𝐵 = 𝛥𝛥𝐸𝐸𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇
2 𝑒𝑒𝛽𝛽𝐸𝐸/𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇
𝑒𝑒𝛽𝛽𝐸𝐸/𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇+12 = 𝑒𝑒1/𝑥𝑥
𝑥𝑥2 𝑒𝑒1/𝑥𝑥+1 2
5-9図 C / NkBとの関係(ショットキー比熱)
ショットキー比熱
量子論による分極率 (磁化率): 2準位系
量子論でのイオンや原子の磁気モーメント: 𝝁𝝁𝒂𝒂 = −𝒈𝒈𝝁𝝁𝑩𝑩𝑱𝑱𝐽𝐽: 全角運動量量子数 (= 軌道角運動量 L + スピン角運動量 S)
𝑔𝑔 = 1 + 𝐽𝐽 𝐽𝐽+1 +𝑆𝑆 𝑆𝑆+1 −𝐿𝐿(𝐿𝐿+1)2𝐽𝐽(𝐽𝐽+1)
: Landeのg 因子
𝜇𝜇𝐵𝐵 = 𝑒𝑒ℏ2𝑚𝑚
: Bohr磁子
磁場 𝑯𝑯中の磁気モーメントのエネルギー
磁気モーメント 𝝁𝝁𝒂𝒂 の H 方向の成分: 𝜇𝜇𝑎𝑎,z = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝑚𝑚 = 𝐽𝐽, 𝐽𝐽 − 1,⋯− 𝐽𝐽 + 1,−𝐽𝐽: 方位量子数 (古典論の cos𝜃𝜃 に対応)
𝑈𝑈𝑝𝑝 = −𝝁𝝁𝒂𝒂 � 𝑯𝑯 = −𝜇𝜇𝑎𝑎,𝑧𝑧 � 𝐻𝐻 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑚𝑚 = 12
,−12の2準位系の場合、𝜇𝜇 = 𝑚𝑚𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵 として
𝝁𝝁 = ∑ 𝝁𝝁𝒊𝒊𝒆𝒆−𝜷𝜷𝜺𝜺𝒊𝒊∑ 𝒆𝒆−𝜷𝜷𝜺𝜺𝒊𝒊
= (−𝝁𝝁)𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩+(+𝝁𝝁)𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩
𝒆𝒆−𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩+𝒆𝒆𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩= 𝝁𝝁𝐜𝐜𝐇𝐇𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩) (5.72)
𝑴𝑴 = 𝑵𝑵 𝝁𝝁 = 𝝁𝝁𝑵𝑵𝐜𝐜𝐇𝐇𝐥𝐥𝐜𝐜(𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩)
~𝑵𝑵 𝝁𝝁 = 𝑵𝑵𝝁𝝁𝟐𝟐
𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻𝑩𝑩 (𝜷𝜷𝝁𝝁𝑩𝑩 ≪ 𝟏𝟏)
キッテル固体物理学第8版、丸善出版
量子論による分極率 (磁化率): 多準位系磁場 𝑯𝑯中の磁気モーメントのエネルギー
𝑈𝑈𝑝𝑝 = −𝝁𝝁𝒂𝒂 � 𝑯𝑯 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑚𝑚 = 𝐽𝐽, 𝐽𝐽 − 1,⋯− 𝐽𝐽 + 1,−𝐽𝐽: 方位量子数
𝝁𝝁 = ∑𝒎𝒎(𝒎𝒎𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵)𝒆𝒆𝜷𝜷𝒎𝒎𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝑩𝑩
∑𝒎𝒎𝑱𝑱 𝒆𝒆𝜷𝜷𝑚𝑚𝐽𝐽𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝑩𝑩
分配関数 (状態和) 𝑓𝑓 = ∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜕𝜕𝜕𝜕𝛽𝛽
ln𝑓𝑓 = ln∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 =
∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 (𝑚𝑚𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵)𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝐵𝐵
∑𝑚𝑚=−𝐽𝐽𝐽𝐽 𝑒𝑒𝛽𝛽𝑚𝑚𝑔𝑔𝛽𝛽𝐵𝐵𝐵𝐵
= 𝜇𝜇 𝐵𝐵
𝑋𝑋 = 𝛽𝛽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 とおいて、
𝑓𝑓 = 𝑒𝑒−𝐽𝐽𝐽𝐽 1 + 𝑒𝑒𝐽𝐽 + 𝑒𝑒2𝐽𝐽 + ⋯+ 𝑒𝑒2𝐽𝐽𝐽𝐽 =sinh 2𝐽𝐽+1
2 𝐽𝐽
sinh 12𝐽𝐽
𝝁𝝁 = 𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵2𝐽𝐽+12
coth 2𝐽𝐽+12
𝑋𝑋 − 12
coth 12𝑋𝑋
= 𝑔𝑔𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵2𝐽𝐽+12𝐽𝐽
coth 2𝐽𝐽+12
𝑋𝑋 − 12𝐽𝐽
coth 12𝑋𝑋
= 𝒈𝒈𝑱𝑱𝝁𝝁𝑩𝑩𝑩𝑩𝑱𝑱(𝜷𝜷𝑱𝑱𝒈𝒈𝝁𝝁𝑩𝑩𝑩𝑩)
𝑩𝑩𝑱𝑱 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝑱𝑱+𝟏𝟏𝟐𝟐𝑱𝑱
𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝟐𝟐𝑱𝑱+𝟏𝟏𝟐𝟐𝑱𝑱
𝒙𝒙 − 𝟏𝟏𝟐𝟐𝑱𝑱𝐜𝐜𝐥𝐥𝐜𝐜𝐜𝐜 𝒙𝒙
𝟐𝟐𝑱𝑱Brillouin関数
キッテル固体物理学第8版、丸善出版
量子論による分極率 (磁化率): 多準位系
𝜇𝜇 = 𝑔𝑔𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵𝐽𝐽(𝛽𝛽𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵)𝑀𝑀 = 𝑁𝑁 𝜇𝜇 = 𝑁𝑁𝑔𝑔𝐽𝐽𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵𝐽𝐽(𝛽𝛽𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵)
𝐵𝐵𝐽𝐽 𝑥𝑥 = 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽
coth 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽
𝑥𝑥 − 12𝐽𝐽
coth 𝑥𝑥2𝐽𝐽
Brillouin関数
𝑥𝑥 = 𝛽𝛽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 ≫ 1: 𝑴𝑴~𝑵𝑵𝒈𝒈𝑱𝑱𝝁𝝁𝑩𝑩 に漸近
𝑥𝑥 = 𝛽𝛽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑔𝑔𝜇𝜇𝐵𝐵𝐵𝐵 ≪ 1: 𝑴𝑴𝑩𝑩
~ 𝑵𝑵𝑱𝑱 𝑱𝑱+𝟏𝟏𝟑𝟑𝒌𝒌𝑩𝑩𝑻𝑻
𝒈𝒈𝟐𝟐𝝁𝝁𝑩𝑩𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝑻𝑻
Curieの法則
比較: 古典論 (極性気体の分極率)𝑃𝑃𝐸𝐸
= 𝑁𝑁𝑉𝑉𝑝𝑝0𝐿𝐿 𝛽𝛽𝑝𝑝0𝐸𝐸 𝜒𝜒~ 𝑁𝑁/𝑉𝑉
3𝑘𝑘𝐵𝐵𝑇𝑇𝑝𝑝02 (5.49)
キッテル固体物理学第8版、丸善出版
B/T (kG deg-1)
M(𝜇𝜇
𝐵𝐵/i
on)
(I) クロム酸カリミョウバン、(II) 鉄ミョウバン、(III) 硫酸ガドリニウム・
8水塩の磁化特性
分極率 (磁化率): 古典論と量子論
古典論 (𝝁𝝁 = 𝒑𝒑𝟎𝟎, E => B)𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝜇𝜇𝐿𝐿 𝛽𝛽𝜇𝜇𝐵𝐵 (5.49)
𝐿𝐿 𝛼𝛼 = coth 𝛼𝛼 − 1𝛼𝛼
Langevin関数
量子論 (𝝁𝝁 = 𝒈𝒈𝑱𝑱𝝁𝝁𝑩𝑩)𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝜇𝜇𝐵𝐵𝐽𝐽(𝛽𝛽𝜇𝜇𝐵𝐵)
𝐵𝐵𝐽𝐽 𝑥𝑥 = 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽
coth 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽
𝑥𝑥 − 12𝐽𝐽
coth 𝑥𝑥2𝐽𝐽
Brillouin関数
𝐿𝐿 𝛼𝛼 で𝛼𝛼 = 2𝐽𝐽+12𝐽𝐽
𝑥𝑥 とおくと、細かい係数以外は一致する
𝐿𝐿 (2𝐽𝐽+1)2𝐽𝐽
𝑥𝑥 = coth (2𝐽𝐽+1)2𝐽𝐽
𝑥𝑥 − 2𝐽𝐽2𝐽𝐽+1
1𝑥𝑥