设 随机试验 E 具有下列特点： 基本事件的个数有限每个基本事件的发生是等可能则称 E 为 古典概型

古典概型中概率的定义与计算：记 中包含的基本事件总数n

的基本事件个数组成 Ak

nkAP /)( 则

古典概型

例 1:（生日问题）众所周知，如果有366个人则必定至少有两个人的生日在同一天。考虑如下问题：假设有 n(n<366)个人，问这 n 个人中至少有两个人的生日在同一天的可能性是多少？

解：随机试验：逐次记录这 n 个人的生日。样本空间： Ω={(i1,i2,…in), 1≤i1≤i2≤ … in≤365}

事件 A” 这 n 个人中至少有两个人的生日在同一天”

Pn= P( 至少两人生日相同 )=365!1

365 (365 )!n n

P20=0.4058, P30=0.6963, P50=0.9651, P60=0.9922

排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有 n 类方法，第 i 类方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

n

iim

1种不同的方法乘法原理：完成一件事情有 n 个步骤，第 i 个步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情共有

n

iim

1种不同的方法

放球模型：设有 n个球，将其放入 N个盒子中，按下列方式放球（ n≤N）：（ I）球是有区别的，每盒中放球数不限（ II）球是有区别的，每盒中放球数不超过 1 个；（ III）球是无区别的，每盒中放球数不 限；（ IV）球是无区别的，每盒中放球数不超过 1 个；求每一种方式中各有多少种放法？

设有 k 个不同的球 , 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ） , 设每个盒子容球数无限 , 求下列事件的概率

Nk

（ 1 ）某指定的 k 个盒子中各有一球；

（ 4 ）恰有 k 个盒子中各有一球；（ 3 ）某指定的一个盒子没有球；km （ 2 ）某指定的一个盒子恰有 m 个球 (

)

（ 6 ）每个盒子至多有一个球（ 5 ）至少有两个球在同一盒子中

例 1 ：

kA

Nk

nm

AP !)( 11

k

mkmk

NNCAP

)1()( 2

k

k

NNAP )1()( 3

k

kN

NkCAP !)( 4

k

kN

k

NkCNAP !)( 5

)()( 46 APAP

“放球模型”可应用于很多类似场合

球可视为“盒子”相应视为

房子信封信 生日人

例 2 ：一列火车有 n 节车厢，有 K （ K≥n ）个乘客上火车，并随机的选择车厢。求每节车厢内至少有一名乘客的概率。

例 3 ：一口袋中装有 a 只黑球 b 只白球，现在随机地一次一次不放回摸球，求第 k（ k≤a+b ）次摸到黑球的概率。

有放回与不放回抽样：N 个产品，其中 M 个不合格品、 NM 个合格品。从中有放回及不放回任取 n 个 , 则此 n 个产品中有 m 个不合格品的概率为多少？有放回抽样：

( ) m n mm n m

n

n nM N M M N Mm mN N N

m = 0, 1, 2, ……, n.

二项分布

不放回抽样：M N M

m n mN

n

n N, m M, nmNM.

超几何分布。

从直观上看，当产品总数很大而抽样较少时，采取两种抽样的结果应该差别不大。

彩票问题彩票问题————幸运幸运 3535 选选 77

购买：从 01 ，……， 35 中选 7 个号码。开奖： 7 个基本号码， 1 个特殊号码。中奖规则

1) 7 个基本号码； 2) 6 个基本号码 + 1 个特殊号码； 3) 6 个基本号码；

4) 5 个基本号码 + 1 个特殊号码；5) 5 个基本号码；6) 4 个基本号码 + 1 个特殊号码；7) 4 个基本号码，或 3 个基本号码 + 1 个特殊号码 。

中所含样本点个数： 735C

1 2

7 0 0 6 1 07 71 27 1 27

7 735 35

,p pC C C C C C

C C

将 35 个号分成三类： 7 个基本号码、 1 个特殊号码、 27 个无用号码记 pi 为中 i 等奖的概率。利用抽样模型得：

中奖概率

中奖概率如下：1 2 3

1 7 189, ,

6724520 6724520 6724520p p p

4 5 6

567 7371 12285, ,

6724520 6724520 6724520p p p

7

204750

6724520,p

64993500.966515.

6724520

不中奖的概率为： p0=1p1p2p3p4p5p6 p7

例 4 ： P28例 7

例 5 ：（分组问题）在 16人进行的国际乒乓球比赛中，有一名德国人，三名中国人，比赛分四组进行，每组四名选手，假定分组是随机的。求： （ 1 ）三名中国人分在三个组中的概率；（ 2 ）三名中国人和一名德国人分在同一组的概率。

古典概型中概率的基本性质：（ 1 ）对任何事件 A ， P(A)>0；（ 2 ） P(Ω)=1；（ 3 ）有限可加性

例 6 ：某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率

9 点 10 点10 分钟

几何概型

几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域 G 中的概率与区域 G 的测度成正比 , 则样本点落入 G 内的概率为

的测度的测度

GAP )(

例 7 ： 两船欲停同一码头 , 两船在一昼夜内独立随机地到达码头 . 若两船到达后需在码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等待空出码头的概率 .

解 设船 1 到达码头的瞬时为 x , 0 x < 24 船 2 到达码头的瞬时为 y , 0 y < 24

设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头

x

y

24

24

y = x

y = x +

1

y = x -

2

224S

22 222321 AS

1207.01)( S

SAP A

}240,240),{( yxyx

}20,10,),(),{(

yxxyyxyxA

例 8 ：蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，线之间的距离都为 d ，向此平面任投一长度为 l(l<d)的针，求此针与任一平行线相交的概率。

蒲丰问题的图示

针的中点dx

d/2

π

解： 以 x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以表示针与此直线间的交角 .

样本空间满足： 0 x d/2; 0 .

样本空间形成 x-平面上的一个矩形，其面积为： S = d( /2).

A = “针与平行线相交” 的充要条件是 : x l sin ( /2).

0sin( / 2) 2( )

( / 2)A

l dS lP AS d d

于是：

长为 l 的针与平行线相交的概率为 : 2l/d.做了 N 次试验，看到 n 次针与平行线相交，则事件“针与平行线相交”的频率为 : n/N.用频率代替概率得： 2lN/(dn). 可近似计算出 的值。

的随机模拟的随机模拟

问题的推广：如果没有了 l<d的限制结论如何？

问题的进一步推广：平面上画有间隔为 d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为 a,b,c(均小于 d) 的三角形，求三角形与平行线相交的概率。

几何概型中概率的基本性质：（ 1 ）对任何事件 A ， P(A)>0；（ 2 ） P(Ώ)=1；（ 3 ）有限可加性思考题：一个事件的概率等于零，这个事件一定是不可能事件吗？

例 9 ：贝特朗（ Bertrand）奇论：在半径为 1 的圆内随机的取一条问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？

对“随机地”几种不同的理解：

“随机地”有如下三种不同的理解：（ i ）设任意一弦的中点直角坐标为 (x,y) ，此弦在园内的充分必要条件为： x2+y2 ≤1 ，此时，弦长 L >√3 等价于 x2+y2<1/4，此时，p=[(1/4)π]/1 π=1/4

(ii) 设任意一弦的中点极坐标为 (r,θ)弦在园内的充分必要条件为： -1≤r≤1, 0 ≤ θ ≤2 π弦长为：

L >√3 等价于 |r|<1/2 所以 p=[1/2-(-1/2)]/[1-(-1)]=1/2

(iii) 弦的两个端点 A 、 B 取极坐标A(1,α) 、 B(1, β) 可假定弦的一端固定，比如B (0, β) ，此时弦长：L >√3 等价于 (2 /3) π < α <(4 /3) π

p=[(4 /3) π- (2 /3) π ]/[2 π-0]=1/3