定义 设随机试验 E 的基本空间为 Ω ， X 和 Y 是定义在 Ω 上的两个随机变量，由它们构成的向量 (X ， Y) 叫做二维随机变量．

第三章 多维随机变量及其分布

第一节 二维随机变量

一、二维随机变量及其分布函数

二维随机变量 (X ， Y) 可以看作是 xoy 面上的随机点，它们的取值是 xoy 面上的一个定点（ x ， y ）． (X ， Y) 可能落在 xoy 面上的有限个点处，也可能落在 xoy 面上某个区域内的所有点上．我们把二维随机变量分成离散型和连续型两类．

y

xo

),( yx

定义 设 (X ， Y) 为二维随机变量，对任意实数 x ， y ，二元函数

称为二维随机变量 (X ， Y) 的分布函数，或称为 X 与 Y 的联合分布函数 . ．

},{),( yYxXPyxF

注： 1° 规定 { X ≤x , Y ≤ y } 表示事件 { X ≤x } 与 {Y ≤ y } 的积事件．

2° 分布函数 F(x ， y) 在点 (x ， y) 处的值，就是（ X ，Y ）的取值落在矩形 －∞＜ X ≤ x , －∞＜ Y ≤ y 上的概率．

二维随机变量 (X ， Y) 的分布函数 F(x ， y) 具有性质：

1°0≤F(x ， y) ，且对任意 x ， y 有

.

2°F(x ， y) 是变量 x 和 y 的单调不减函数．

3°F(x ， y) 关于 x 右连续，关于 y 也右连续

4°(X ， Y) 落在矩形区域 x1 ＜ X≤x2 ， y1 ＜ Y≤y2 上的概率为

.

,0),(,0),( xFyF

1),(,0),( FF

),(),(),(),(},{ 111221222121 yxFyxFyxFyxFyYyxXxP

y

xo

2y

1y

1x 2x

定义 若二维随机变量 (X ， Y) 所有可能取的值是有限对或可列无穷多对，则称 (X ， Y) 为二维离散型随机变量． 设二维离散型随机变量 (X ， Y) 所有可能取值为

记 （ * ）

且有

则称（ * ）式为 (X ， Y) 的概率分布或 X 与 Y 的联合分布律．

,2,1,,2,1),,( jiyx ji

,2,1,},{ jiyYxXPp jiij

ji

ijij pp,

1,0

二、二维离散型随机变量

Y

y1 y2 y3 . . .

X

x1 p11 p12 p13 . . .

x2 p21 p22 p23 . . .

x3 p31 p32 p33 . . .

　　　　　 　　　　　

. . .

. . .

. . .

. . .

例 1 设试验 E 为掷一颗骰子，观察出现的点数，定义两个随机变量如下

X 表示骰子出现的点数 .

试求 X 与 Y 的联合分布律．

.,2

,,1

当出现偶数点时当出现奇数点时

Y

解 (X ， Y) 可能取值为 (1,1) 、 (1,2) 、 (2,1) 、 (2,2) 、 (3,1) 、(3,2) 、 (4,1) 、 (4,2) 、 (5,1) 、 (5,2) 、 (6,1) 、 (6,2) ．

,6

11

6

1}1|1{}1{}1,1{11 XYPXPYXPp

,06

1}1|2{}1{}2,1{12 XYPXPYXPp

同理

,6

16251423122 ppppp

06152413221 ppppp

YX 1 2 1 1 / 6 0 2 0 1 / 6 3 1 / 6 0 4 0 1 / 6 5 1 / 6 0 6 0 1 / 6

二维离散型随机变量 (X ， Y) 的分布函数为 .

yyxx

ij

j

i

pyxF ),(

三、二维连续型随机变量 定义 设二维随机变量 (X ， Y) 的分布函数为 F(x,y) ，

如果存在非负函数 f(x,y) ，使对任意 x,y 有

．

则称 (X ， Y) 为二维连续型随机变量，称 f(x,y) 为 (X ， Y) 的概率密度或 X 、Y 的联合概率密度．

x yyxyxfyxF dd),(),(

x yvuvuf dd),(

0),( yxf

1dd),( yxyxf

性质 1 ．

性质 2 .

性质 3 在 f(x,y) 的连续点处有 ．

性质 4 设 G 为 xoy 面上一个区域，点 (X ， Y) 落在 G 内的概

率为 ．

yx

yxFyxf

),(

),(2

G

yxyxfGYXP dd),(}),{(

例 2 设二维随机变量 (X ， Y) 的概率密度为

（ 1 ）求 k ；（ 2 ）求分布函数 F(x,y) ；（ 3 ）求 P

{X ＞ Y} ．

.,0

,0,0,),(

)32(

其它yxke

yxfyx

解 （ 1 ）由 ．而

1dd),( yxyxf

0 0

)32( dddd),( yxkeyxyxf yx

6dd

0

3

0

2 kyexek yx

则有 k =6 ．

（ 2 ）当 x ＞ 0 ， y ＞ 0 时

．

对于其它点 (x ， y) ，由于 f (x,y)=0 ，则 F(x,y)=0 ．

于是

x y yxx yyxeyxyxfyxF

0 0

)32( dd6dd),(),(

)1)(1( 32 yx ee

.,0

,0,0),1)(1(),(

32

其它yxee

yxFyx

y

xo

1G

（ 3 ）以 G 表示区域 {(x,y)|x ＞ y} ，则有 }),{(}{ GYXPYXP

G G

yxyxfyxyxf1

dd),(dd),(

5

3d6d

0

)32(

0

yexx yx

四、均匀分布和正态分布 1 ．均匀分布

设 D 为 xoy 面上的有界区域，其面积为 S ，如果二维随机变量 (X ，Y) 具

有概率密度

则称 (X ， Y) 在区域 D 上服从均匀分布．

.,0

,),(,1

),(其它

DyxSyxf

例 3 设二维随机变量 (X ， Y) 在 上服从均匀分布，求：

（ 1 ） (X ， Y) 的概率密度；

（ 2 ） ．

}10,0|),{( xxyyxD

4

30,

4

3

2

1YXP

解 （ 1 ）如图，区域 D 的面积为 ，因此

(X ， Y) 的密度为 2

1S

.,0

,),(,2),(

其它Dyx

yxf4

3

y

xo1G

2G

2

1

4

3 1

（ 2 ）记区域 ，

,

4

30,

4

3

2

1),( yxyxG

4

3

2

1,0),(1 xxyyxG

4

3

2

1,

4

3),(2 xyxyxG ．

则有

．

}),{(4

30,

4

3

2

1GYXPYXP

16

5dd0dd2dd),(

21

GGG

yxyxyxyxf

2 ．正态分布

设二维随机变量 (X ， Y) 的概率密度为

，

22

22

21

2121

12

)())((2

)(

)1(2

1

221 12

1),(

yyxx

eyxf

yx ,

其中 均为常数，且 ，则称 (X ， Y) 服从参数为 的二维正态分布，记作 (X ， Y) ~ ．

,,,, 2121 11,0,0 21 ,,,, 2121

),,,,( 22

2121 N

例 4 设二维随机变量 (X ， Y) 的概率密度为

，求 ．

yxeyxfyx

,,2

1),(

)(2

1

2

222

}|),{( 222 yxyxG }){}(),{( 222 YXPGYXP

解

．

G

yxyxfGYXP dd),(}),{(

rre

yxe

r

yx

G

dθd2

1

dd2

1

0

22

02

)(2

1

2

2

2

222

2

1

1

e

第二节 边缘分布

一、二维随机变量 (X ， Y) 的边缘分布函数

设 (X ， Y) 的分布函数为 F(x ， y) ，关于 X 的边缘分布函数为

．

关于 Y 的边缘分布函数为

．

),(},{}{)( xFYxXPxXPxFX ),(lim yxFy

),(lim),()( yxFyFyFx

Y

二、二维离散型随机变量的边缘分布律 设 (X ， Y) 的联合分布律为

，

则

),2,1,(},{ jipyYxXP ijji

},{}{ YxXPxXP ii

11

},{})(,{j

jij

ji yYxXPyYxXP

11

},{j

iijj

ji ppyYxXP .

),2,1(}{1

ippxXP

jijii

即关于 X 的边缘分布律为

，

关于 Y 的边缘分布律为

.),2,1(}{1

jppyYP

iijjj

例 1 设 (X ， Y) 的联合分布律为

 Y

X 1 2 1 1 / 6 0 2 0 1 / 6 3 1 / 6 0 4 0 1 / 6 5 1 / 6 0 6 0 1 / 6

求关于 X 、 Y 的边缘分布律．

6

10

6

1}1{ 12111 pppXP解 ,

，

… … …

,

6

1

6

10}2{ 22212 pppXP

6

1

6

10}6{ 62616 pppXP

即关于 X 的边缘分布律为

X 1 2 3 4 5 6

P 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6 1 / 6

2

10

6

10

6

10

6

1}1{ 6151413121111 pppppppYP

2

1

6

10

6

10

6

10}2{ 6252423222122 pppppppYP

,

,

即关于 Y 的边缘分布律为

Y 1 2

P 1 / 2 1 / 2

例 2 设 (X ， Y) 的联合分布律为

X 1 2 3 4 Y 的边缘分布

Y

1 1 / 4 1 / 8 1 / 12 1 / 16 25 / 48

2 0 1 / 8 1 / 12 1 / 16 13 / 48

3 0 0 1 / 12 1 / 16 7 / 48

4 0 0 0 1 / 16 3 / 48

X 的边缘分布律 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1

X 的分布律

X 1 2 3 4

P 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4

Y 的分布律

X 1 2 3 4

P 25 / 48 13 / 48 7 / 48 3 / 48

三、二维连续型随机变量的边缘概率密度 设 (X ， Y) 的联合概率密度为 f (x, y) ，则关于 X 的边缘分布函数为

，

x

X xyyxfxFxF dd),(),()(

关于 X 的边缘概率密度为

． )(d),()(

xyyxfxf X

y

xo

1

2xy

x

D

例 3 设 (X ， Y) 在由曲线 y=x2 与 y=x 围成的区域 D 上服从均匀分布，求关于 X 、 Y 的边缘密度．

同理，关于 Y 的边缘概率密度为

． )(d),()(

yxyxfyfY

解 如图 D 的面积为

.

因此 (X ， Y) 的概率密度为6

1d)(

1

0

2 xxxS

.,0

,),(,6),(

其它Dyx

yxf

当 0 ＜ x ＜ 1 时， ．

当 x≤0 或 x ≥1 时， ．

)(6d6d),()( 22

xxyyyxfxfx

xX

0d),()( yyxfxf X

因此

.,0

,10),(6)(

2

其它xxx

xf X

同理

.,0

,10),(6)(

其它yyy

yfY

练习 1 ．设 (X ， Y) 在由 x=0 ， y=0 ， x+y=1 围成的区域上服从均匀分布，求关于 X 、 Y 的边缘分布．

.,0

,10),1(2)(

.,0

,10),1(2)(

其它其它yy

yfxx

xf YX

2 ．设 (X ， Y) ~ ，即

),,,,( 22

2121 N

22

22

21

2121

21

2221

)())((2

)(

)1(2

1exp

12

1),(

yyxxyxf

),( yx

关于 X 、 Y 的边缘密度分别为

即 ， ．

yeyf

xexf

x

Y

x

X

,2

1)(

,2

1)(

22

22

21

21

2

)(

2

2

)(

1

),(~ 211 NX ),(~ 2

22 NY

第四节 随机变量的相互独立性 定义 设 (X ， Y) 是二维随机变量，若 X 与 Y 的联合分布等于边缘分布的乘积，则称 X 与 Y 相互独立．

对于二维离散型随机变量 (X ， Y) ， X 与 Y 相互独立的充要条件是联合分布律等于边缘分布律的乘积，即

若 (X ， Y) 的分布函数为 F(x ， y) ，关于 X 、 Y 的边缘分布函数为 FX(x) 、FY(y) ，则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 ．)()(),( yFxFyxF YX

,2,1

,2,1}{}{},{

j

iyYPxXPyYxXP jiji .

对于二维连续型随机变量 (X ， Y) ， X 与 Y 相互独立的充要条件是联合概率密度等于边缘概率密度的乘积，即

y

xyfxfyxf YX )()(),(

定理 设随机变量 X 与 Y 相互独立，则

（ 1 ）对任意常数 a ， b ， c ， d ，事件 与 相互独立；

（ 2 ）对任意常数 a ， b ， c ， d ，随机变量 与 相互独立；

（ 3 ） X2 与 Y2 相互独立；

（ 4 ）对任意连续函数 h ， g ，随机变量 与 相互独立．

}{ bXa }{ dYc

baX dcY

)(Xh )(Yg

例 1 第二节例 1 中的随机变量 X 与 Y 不相互独立，因为 , 而 ,

, .

6

111 p

6

11 p

1111 ppp2

11 p

例 2 设二维随机变量 (X ， Y) 的概率密度为

问 X 与 Y 是否相互独立？

.,0

,0,0,),(

)(

其它yxxe

yxfyx

,0,0

,0,d),()(

x

xxeyyxfxf

x

X 解

对任意 x ， y 有 ，即 X 与 Y 相互独立．

.0,0

,0,d),()(

y

yexyxfyf

y

Y

)()(),( yfxfyxf YX

,,0

,10,1)(

其它x

xf X

0,0

,0,)(

y

yeyf

y

Y 例 3 设 X 与 Y 独立， ， ，

求 ．

20,

2

10 YXP

解 }20{2

1020,

2

10

YPXPYXP

2

1

0

22

02

1

0

2

0)1(

2

1dd1d)(d)( eyexyyfxxf y

YX ..

例 4 设 (X ， Y) ~ ，证明 X 与 Y 相互独立的充要条件是 ．

),,,,( 22

2121 N

0

证：

22

22

21

2121

21

2

)())((2

)(

)1(2

1

221 12

1),(

yyxx

eyxf

1° 充分性：设 ，则有

，

0

22

22

21

21

2

)(

2

)(

212

1),(

yx

eyxf

而

，

于是 ，即 X 与 Y 相互独立．

22

22

21

21

2

)(

2

2

)(

1 2

1)(,

2

1)(

y

Y

x

X eyfexf

)()(),( yfxfyxf YX

2° 必要性：设 X 与 Y 相互独立，即对任意 x ， y 有 ，

即

= ，

特别令 , 则得

，

从而有 ．

)()(),( yfxfyxf YX

22

22

21

2121

21

2

)())((2

)(

)1(2

1

221 12

1

yyxx

e

22

22

21

21

2

)(

2

2

)(

1 2

1

2

1

yx

ee

21 , yx

212

212

1

12

1

0

第五节 两个随机变量的函数的分布 定义 设 ( X,Y ) 是二维随机变量 , z = f (x, y) 是二元函数，若当 (X,Y) 取值 (x, y) 时，随机变量 Z 取值为 z = f (x, y) ，则称 Z 是 X 、 Y 的函数，记作 Z = f (X,Y) ．

一、 的分布 YXZ 例 1 设 相互独立， ， ，求 的分布． )(~ 1X )(~ 2Y YXZ YX ,

解 的可取值为 0, 1, 2,… ，对任意正整数 k ，有YXZ

)!(

e

!

e

}{}{},{

},{}{}{

212

0

1

0 0

0

iki

ikYPiXPikYiXP

ikYiXPkYXPkZP

ikk

i

i

k

i

k

i

k

i

,e!

)(

!

1

)!(!

!e

)(21

021

)(

21

21

k

kiki

k

k

k

i

iki

)(~ 21 YXZ即 .

设二维连续型随机变量 (X,Y) 的概率密度为 f ( x, y), 则 Z = X+Y 的分布函数

为

由于 ，

所以

，

.dd),(

dd),(

}{)(

xyyxf

yxyxf

zZPzF

xz

zyx

Z

zxzuxuxfyyxf xuy d),(d),(

xuxuxfzFz

Z dd),()(

假设uxxuxf

zdd),(

y

zyx

z xo

从而得到 的概率密度为

．

同理可得

．

YXZ

)(d),()(

zxxzxfzfZ

)(d),()(

zyyyzfzfZ

当 X 与 Y 相互独立时，有

，

或 ．

dy)()()( yfyzfzf YXZ

xxzfxfzf YXZ )d()()(

例 2 设 X 、 Y 相互独立，均服从标准正态分布，求 Z = X + Y 的概率密度．

,,e2

1)( 2

2

xxfx

X 解

即 ．

,,e2

1)( 2

2

yyfy

Y

.e22

1e

2

1

dee2

1dee

2

1

de2

1

2

1d)()()(

2

22

2

22

2

22

)2(24

4)

2(

4

2

)(

2

zz

tzz

xz

xzx

YXYXZ

tx

xexxzfxfffzf

))2(,0(~ 2NYXZ

可以证明，若 X 与 Y 相互独立，且均服从正态分布，则 Z = X + Y 仍服从正态分布． 例 3 设 X 与 Y 相互独立，且都在区间 (0, 1) 上服从均匀分布，求 Z = X + Y 的概率密度．

解

由卷积公式有

,,0

,10,1)(

其它x

xf X

.,0

,10,1)(

其它y

yfY

.d)(

d)(d)()()(

1

1

0

z

z X

XYXZ

ttf

yyzfyyfyzfzf

yzt

(1) 当 时， ，此时 ．

(2) 当 时， ，此时 ．

(3) 当 2 时， ，此时 ．

(4) 当 时， ，此时 ．

0z 01 z 0)( zfZ

10 z 01 z ztzfz

Z 0d1)(

z1 110 z ztzfzZ

2d1)(1

1

2z 11 z 0)( zfZ

因此

.02,0

,21,2

,10,

)(

zz

zz

zz

zfZ

或

例 4 设随机变量 X 和 Y 相互独立，并且都服从正

态分布 ，求 的分布．),0( 2N )0( 22 YXZ

xxfx

X ,e2

1)(

2

2

2

yyfy

Y ,e2

1)(

2

2

2

解

2

22

22

e2

1)()(),(

yx

YX yfxfyxf

设 的分布函数为 ，当 时，有22 YXZ )(zFZ 0z

.e1

de1

d2

1

dde2

1

dd),(

}{}{)(

2

2

2

2

22

2

22

22

2

0

22

2

0

22

22

z

zr

zyx

yx

zyx

Z

rr

yx

yxyxf

zYXPzZPzF

当 时， .0z 0)(}{)( 22 PzYXPzFZ

综上

.0,0

,0,e1)(2

2

2

z

zzF

z

Z

从而得到 Z 的密度为

.0,0

,0,e)(2

2

22

z

zz

zf

z

Z

二、 及 的分布),max( YXM ),min( YXN 设 X 与 Y 相互独立，分布函数分别为 、 ．

则

)(xFX )(yFY

.)()(

}{}{

},{}{)(

zFzF

zYPzXP

zYzXPzMPzF

YZ

M

.)](1)][(1[1

}]{1}][{1[1

}{}{1

},{1

}{1}{)(

zFzF

zYPzXP

zYPzXP

zYzXP

zNPzNPzF

YX

N