内容提要与学习要点内容提要与学习要点

内容提要：本章主要介绍现金流量现值与终值估算问题，以及在此基础之上如何简单评估资产价值等内容。

学习要点： 1. 现值与终值的运算； 2. 单利与复利； 3. 年金及其计算； 4. 名义利率与有效利率。

一、现金流一、现金流

• 现金流就是支出或收入的款项，它包括：– 现金流的大小或数量

– 现金流的方向

– 现金流发生的时间

两个投资机会的现金流对比两个投资机会的现金流对比

投资 A 投资 B

时间 数量（单位元） 时间 数量（单位元）

1 500 1 900

2 600 2 600

3 700 3 600

4 800 4 400

合计 2600 合计 2500

问： 假设初始成本相同，如何选择投资决策？

二、时间价值（二、时间价值（ Time ValueTime Value ））

• 时间价值是指一定量的货币在不同时点上的价值量的差额。

• “今天的一元钱大于明天的一元钱”• 货币的时间价值产生的条件：进入生产周转过程。• 货币的时间价值的表示方式：利率或利息

时间价值的性质时间价值的性质

（ 1）资本的价值来源于资本的未来报酬，时间价值是一种资本增值，

（ 2）时间价值是一种投资的未来报酬，货币只有作为资本进行投资后才能产生时间价值。

（ 3）时间价值是无风险和无通货膨胀下的社会平均报酬水平。

（ 4）时间价值的价值增量与时间长短成正比，一个投资项目所经历的时间越长，其时间价值越大。

货币时间价值的计算货币时间价值的计算

• 四个要件：– 现值（ PV ）– 终值（ FV ）– 计息期（ N ）– 折线率（或利率 r ）

• 单利与复利的计算，特别是年金计算

三、单期情形三、单期情形• If you were to invest $10,000 at 5-percent interest for

one year, your investment would grow to $10,500

$500 would be interest ($10,000 × .05) $10,000 is the principal repayment ($10,000 × 1) $10,500 is the total due. It can be calculated as:

$10,500 = $10,000×(1.05).

The total amount due at the end of the investment is call the Future Value (FV).

The One-Period Case: Future ValueThe One-Period Case: Future Value

• In the one-period case, the formula for FV can be written as:

FV = C1×(1 + r)

Where C1 is cash flow at date 1 and

r is the appropriate interest rate.

The One-Period Case: Present ValueThe One-Period Case: Present Value （现值）（现值）

• If you were to be promised $10,000 due in one year when interest rates are at 5-percent, your investment be worth $9,523.81 in today’s dollars.

05.1

000,10$81.523,9$

The amount that a borrower would need to set aside today to to able to meet the promised payment of $10,000 in one year is call the Present Value (PV) of $10,000.

Note that $10,000 = $9,523.81×(1.05).

The One-Period Case: Present ValueThe One-Period Case: Present Value

• In the one-period case, the formula for PV can be written as:

r

CPV

11

Where C1 is cash flow at date 1 and

r is the appropriate interest rate.

Net Present ValueNet Present Value

• The Net Present Value (NPV) of an investment is the present value of the expected cash flows, less the cost of the investment.

• Suppose an investment that promises to pay $10,000 in one year is offered for sale for $9,500. Your interest rate is 5%. Should you buy?

81.23$

81.523,9$500,9$05.1

000,10$500,9$

NPV

NPV

NPV

The One-Period Case: Net Present ValueThe One-Period Case: Net Present Value

In the one-period case, the formula for NPV can be written as:

PVCostNPV

If we had not undertaken the positive NPV project considered on the last slide, and instead invested our $9,500 elsewhere at 5-percent, our FV would be less than the $10,000 the investment promised and we would be unambiguously worse off in FV terms as well:

$9,500×(1.05) = $9,975 < $10,000.

讨论：关于贴现率讨论：关于贴现率 rr

• 在现实中，由于存在不确定性，投资是有风险的，人们往往不能确定未来的现金流。

• 选择一项风险投资的贴现率是一件不容易的事情，从而也使我们的投资价值评估问题变得复杂。

四、多期情形四、多期情形

• 在多期投资情形下，现值与终值的计算会因单利与复利而不同：

• 单利• 复利

4.14.1 单利（单利（ Simple InterestSimple Interest ））

所谓单利，是指货币投资的累计利息与投资年限成正比关系，即每年投资产生的利息等于利息率 r 与初始投资的乘积。

如果初始投资为 A ，以单利 r 计息，则 n年后该投资的总价值 V 为：

V=(1+rn)A

4.14.1 单利单利

由公式可见，投资额随时间的变动以线性方式增长。如图，图中直线的斜率为固定的利率 r 。

4.24.2 复利（复利（ compound interestcompound interest ））

• 所谓复利，即第一期所得利息 r 会加到初始的本金 A 之中，

从而第二期记息的本金额会增大。也就是说，复利是对利

息进行记息。

• 在复利情况下，若初始本金为 A ，则一年后本金为 A(1+

r) ，两年后为 A(1+r)2， n 年后即为 A(1+r)n。即复利下，

投资额会随着时间的推移而呈几何式加速增长。

Future Value and CompoundingFuture Value and Compounding

0 1 2 3 4 5

10.1$

3)40.1(10.1$

02.3$

)40.1(10.1$

54.1$

2)40.1(10.1$

16.2$

5)40.1(10.1$

92.5$

4)40.1(10.1$

23.4$

思考：思考：

• 现在你有 1 万元想进行投资，有两种投资方案：– 一种是一年支付一次红利，年利率为 12% ；

– 另一种是一年分 12 个月按复利支付红利，月利率为 1

% ；

• 问你选择那种投资方案？

4.3 4.3 复利的计息频率复利的计息频率

复利可以以任何频率进行，如果年利率为 r， 每年复利 m次，则每期复利的利率为 r/m 。一年内经 m次复利，则增长因子为 [1+(r/m)]m。如果将复利次数无限增加，即在 [1+(r/m)]m中，m→∞，则可得到连续复利，即：

其中 e＝ 2.71828…，为自然对数的底。

rm

memr

)]/(1[lim

4.3 4.3 复利的计息频率复利的计息频率

由连续复利的公式可见，连续复利下投资额呈指数增长。

4.44.4 复利的计算技巧复利的计算技巧

在复利条件下，计算投资额的翻倍时间可依据 72法则，即：投资额翻倍时间＝ 72/i

式中 i 为利率。如年利率为 8％，则投资额的翻倍时间为 9 年（ 72/8 ）。这一公式可适用于利率小于 20％的情况。

Present Value and CompoundingPresent Value and Compounding• How much would an investor have to set aside today in order t

o have $20,000 five years from now if the current rate is 15%?• 这一计算未来现金流现值的过程就叫做贴现（ discounting），它是复利计算的相反过程。

0 1 2 3 4 5

$20,000PV

5)15.1(

000,20$53.943,9$

How Long is the Wait?How Long is the Wait?

If we deposit $5,000 today in an account paying 10%, how long does it take to grow to $10,000?

TrCFV )1(0 T)10.1(000,5$000,10$

2000,5$

000,10$)10.1( T

2ln)10.1ln( T

years 27.70953.0

6931.0

)10.1ln(

2lnT

Assume the total cost of a college education will be $50,000 when your child enters college in 12 years. You have $5,000 to invest today. What rate of interest must you earn on your investment to cover the cost of your child’s education? About 21.15%.

What Rate Is Enough?What Rate Is Enough?

TrCFV )1(0 12)1(000,5$000,50$ r

10000,5$

000,50$)1( 12 r 12110)1( r

2115.12115.1110 121 r

课堂练习课堂练习

假设一企业债券，年利率为 5％，每年付息一

次，如果对该债券投资 1000 元，求 3 年后该投资的价值，并计算该投资的翻倍时间。

例题例题

解：根据复利的计算公式 V=A(1+r)n，有： V=1000(1+0.05)3

=1157.625 元 再根据 72法则，该投资的翻倍时间为 72/

5 ＝ 14.4 年。

0

10

20

30

40

50

60

70

Number of Years

FV

of

$1

0%

5%

10%

15%

复利惊人复利惊人的的成长成长速度速度Interest Rates

爱因斯坦说过：“宇宙间最大的能量是复利，世界上第八奇迹是复利”。

2424美元买下曼哈顿！美元买下曼哈顿！ 1626年，荷属美洲新尼德兰省总督 Peter Minuit 花了大约 24美元从印第安人手中买下了曼哈顿岛。而到 2000年 1月 1日，曼哈顿岛的价值已经达到了约 2.5万亿美元。以 24美元买下曼哈顿， Peter Minuit无疑占一个天大便宜。 但是，如果转换一下思路， Peter Minuit也许并没有占到便宜。如果当时印第安人拿着这 24美元去投资，按照 11%(美国近 70年股市的平均投资收益率 )的投资收益计算，到 2000年，这 24美元将变成 2380000 亿美元，远高于曼哈顿岛的价值 2.5万亿，几乎是其现在价值的十万倍。

五、名义年利率与有效年利率五、名义年利率与有效年利率

• 名义年利率：是指不考虑年内复利计息的年利率，通常被成为年百分比利率（ annual percentage rate ，APR ）

• 名义年利率只有在给出利息间隔期的情况下才有意义。• 有效年利率（ effective annual rate ， EAR ）是指考虑年内复利计息情况下每年投资的实际回报率。

不同计息周期情况下的利率的计算比较不同计息周期情况下的利率的计算比较

计息周期 一年内计息周期数 (m)    年名义利率 (r)%    期利率 (r/m)%    年有效利率(i)%

年 1               12.00 ( 已知 )       12.00          12.000 半年 2               12.00 ( 已知 )       6.00           12.360 季度 4               12.00 ( 已知 )       3.00           12.551 月 12              12.00 ( 已知 )       1.00           12.683

周 52              12.00 ( 已知 )       0.2308         12.736 日 365             12.00 ( 已知 )       0.03288       12.748 连续计息 ∞ 12.00 ( 已知 )        → 0           12.750

 

可以看出，复利计息周期越短，年名义利率与年实际利率差别越大，年实际利率越高。

名义年利率与有效年利率的关系名义年利率与有效年利率的关系

不考虑连续复利时：

EAR＝ [1+(APR/m)]m -1考虑连续复利时 :

EAR=eAPR-1

练习题练习题

• 1、每季度计一次复利的名义年利率为 14％，请计算与之等价的有效年利率。

• 2、目前，商业银行活期储蓄存款的年利率为 0.36% ，活期储蓄存款按季度计息，试计算活期储蓄存款的有效年利率。

五、年金五、年金

• 年金是每年都发生的等额现金流量形式的现金收付活动。如养老金、租赁费、抵押贷款的偿还等。

• 年金的计算可以分为年金终值和年金现值计算。因为每年的年金现金流的利息具有时间价值，所以年金的终值和年金的现值都采用复利的形式。

• 由于年金等额流量发生的时间不同，可以分为期初年金（先付年金）和期末年金（后付年金）。

年金的计算年金的计算• 复利期末年金终值 每年年末发生等额的现金流量 A ，利率为 i ，则 n 年的现金流量按复利计算的和成为复利期末年金终值。1 年末 2 年末 …… n-1 年

末n 年末

……

1n)i1(A 2n)i1(A )i1(A A

复利期末年金终值公式为：1

1

(1 ) 1(1 )

nnt

t

iFV A i A

i

链接：链接：年金计算运用的数学公式年金计算运用的数学公式

• 等比数列

1...1

132

q

qqqqq

nn 首项

等差数列

2

)1(...321

nnn

问题与思考问题与思考

• 如果是期初年金，即每期现金流的付款时间发生在期初，年金的终值该如何计算？

1

1

(1 ) (1 )n

t

t

FV A i i

AnnuityAnnuityA constant stream of cash flows with a fixed maturity.

0 1

C

2

C

3

C

The formula for the present value of an annuity is:

Tr

C

r

C

r

C

r

CPV

)1()1()1()1( 32

Trr

CPV

)1(

11

T

C

Annuity: ExampleAnnuity: ExampleIf you can afford a $400 monthly car payment,

how much car can you afford if interest rates are 7% on 36-month loans?

0 1

$400

2

$400

3

$400

59.954,12$)1207.1(

11

12/07.

400$36

PV

36

$400

年金的应用年金的应用

• 【例】张先生购买了一套总价 100 万的新房，首付 20 万，贷款 80 万，利率为 6％，期限为 20 年。如果采用等额本息方式，每月还款额为多少？

])1(1/[ niiP 每月还款额

45.731,5])005.01(1/[005.0000,800 240

])1(1/[ niiP 每月还款额

45.731,5])005.01(1/[005.0000,800 240

永续年金永续年金

• 当年金的期数永久持续，就称为永续年金。●显然，永续年金的终值无穷大。●永续年金现值的公式：

i

A

i

iAV

n

n

)1(1lim0

PerpetuityPerpetuityA constant stream of cash flows that lasts forever.

0

…1

C

2

C

3

C

The formula for the present value of a perpetuity is:

32 )1()1()1( r

C

r

C

r

CPV

r

CPV

Perpetuity: ExamplePerpetuity: ExampleWhat is the value of a British consol that promises

to pay £15 each year, every year until the sun turns into a red giant and burns the planet to a crisp?

The interest rate is 10-percent.

0

…1

£15

2

£15

3

£15

£15010.

£15PV

Growing PerpetuityGrowing Perpetuity （永续增长年金）（永续增长年金）A growing stream of cash flows that lasts forever.

0

…1

C

2

C×(1+g)

3

C ×(1+g)2

The formula for the present value of a growing perpetuity is:

3

2

2 )1(

)1(

)1(

)1(

)1( r

gC

r

gC

r

CPV

gr

CPV

Growing Perpetuity: ExampleGrowing Perpetuity: ExampleThe expected dividend next year is $1.30 and

dividends are expected to grow at 5% forever. If the discount rate is 10%, what is the value of

this promised dividend stream?

0

…1

$1.30

2

$1.30×(1.05)

3

$1.30 ×(1.05)2

00.26$05.10.

30.1$

PV

折现现金流应用：评估公司价值折现现金流应用：评估公司价值

• 如何确定一家公司的价值？

• 公司的价值可由各期净现金流按照公司的所有者对公司期望的投资收益率进行贴现，贴现现值和即为公司的价值。

• 例题见课本 82页。

本章作业本章作业

• 习题： 1、 2、 3、 4、 5、 8、 11、12、 13、 14、 16、 23