ԹԻՎ 4 (112), 2017թ. «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке

«MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Անժելա Մինասյան ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ ՍՏՈԽԱՍՏԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՀՈԳԵԲԱՆԱՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ԱՌԱՆՁՆԱՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ ..................................................................... 3 Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Կորյուն Առաքելյան, Օսաննա Թարվերդյան ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅԱՆ ՆԵՐՄՈՒԾՈՒՄ՝ ՉՕԳՏՎԵԼՈՎ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԻՑ ........................................... 16 Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր Ռուզաննա Ստեփանյան Ի՞ՆՉ Է ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ ԴԱՍԱԳԻՐՔԸ ........................................................... 25 Մ Ի Ջ Ա Ռ Ա Ր Կ Ա Յ Ա Կ Ա Ն Էմմա Հարոյան, Արմինե Նավասարդյան ՏԱՐՐԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՅՈՒՐԱՑՄԱՆ ՎԱՐԺԱՆՔԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ ..............................……................... 33 Կ Ր Թ Ա Կ Ա Ն Ժ Ա Ռ Ա Ն Գ Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Հասմիկ Այվազյան ԱՌԱՋԻՆ ՀԱՅԿԱԿԱՆ ՏՊԱԳԻՐ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԳԻՐՔԸ ........................ 44 Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն Օվսաննա Աբրահամյան ՊՐՈԳՐԵՍԻԱՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՄԲ ԼՈՒԾՎՈՂ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ..................... 49 Ա Շ Ա Կ Ե Ր Տ Ի Ա Ն Կ Յ Ո Ւ Ն Հայկ Միքայելյան ՖԻՇԿԱՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ԽԱՂ-ԽՆԴԻՐՆԵՐ............................................... 55 Էդուարդ Ամիրբեկյան ՈՐՈՇ ՆԿԱՏԱՌՈՒՄՆԵՐ ՊԱՐԶ ԹՎԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ................................ 61

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÏñïãÛ³Ý Ø³ÝáõÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№4, 2017Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 15 .09 .2017Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ`1500 , ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ : ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ ՍՏՈԽԱՍՏԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ՀՈԳԵԲԱՆԱՄԱՆԿԱ-ՎԱՐԺԱԿԱՆ ԱՌԱՆՁՆԱՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ

Անժելա Մինասյան

Բանալի բառեր - Հավանականությունների տեսություն, մաթեմատիկական վիճակագրություն հոգեբանամանկա-վարժական առանձնահատկություններ, ստոխաստիկական մտածողություն:

Հավանականությունների տեսության և մաթեմատիկական վիճակա-գրության տարրերի ուսուցման մշտապես ընդլայնվող միջազգային փորձն առաջադրում է մի շարք հոգեբանամանկավարժական խնդիրներ, որոնք երևան են գալիս ստոխաստիկական նյութի ուսուցման գործըն-թացում:

Ներկայումս մաթեմատիկական կրթության առաջնահերթ խնդիր-ներից մեկը սովորողների հավանականային-վիճակագրական մտածողու-թյան զարգացումն է: Արդի հասարակության մեջ անհատի գործունեու-թյունը հնարավոր չէ առանց հավանականային-վիճակագրական պատ-րաստվածության:

Հավանականությունների տեսությանը և վիճակագրությանը նվիր-ված նյութերն աչքի են ընկնում ինքնատիպությամբ, ստոխաստիկական մտածողության ձևավորման ու զարգացման եզակի հնարավորություննե-րով և մի շարք այլ առանձնահատկություններով, որոնք առաջադրում են հատուկ հոգեբանամանկավարժական պայմաններ:

Հոգեբանամանկավարժական կարևոր խնդիրներից մեկը հավանա-կանային-վիճակագրական մտածողության ձևավորման արդյունավետ

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

4

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ճանապարհներ գտնելն է: «Հավանականային (ստոխաստիկական) մտածողություն» տերմինը և

հասկացությունը 1945 թ. ներմուծել է խորհրդային հոգեբան Բ. Մ. Տեպլ-ովը: Այն մտածողության տեսակ է, որի կառուցվածքի մեջ են մտնում սպասվելիք իրադարձությունների հավանականության աստիճանի մա-սին դատողություններ, և ենթադրում է մի շարք կարծրատիպերի կոտ-րում, այնպիսիք, ինչպիսիք են դետերմինացված վարքից, պատահականի նկատմամբ բացասական վերաբերմունքից հրաժարումը և այլն [9]: Ման-կավարժները և հոգեբանները օգտագործում են նաև նշված հասկացու-թյան հոմանիշները` «հավանականային-վիճակագրական» մտածողու-թյուն և «վիճակագրական» մտածողություն:

Առանձնացվում են հավանականային մտածողության երեք բաղադրիչ-ներ` տրամաբանական, կոմբինատորային, հավանականային-վիճակա-գրական [7]:

Մաթեմատիկայի դասը, որն ուղղված է ստոխաստիկական խնդիրների լուծման ուսուցմանը, մեծ հնարավորություն է ընձեռում սովորողների մոտ ձևավորել ստոխաստիկական մտածողություն, որն անհրաժեշտ է յուրա-քանչյուր մարդու, ով ապրում է ժամանակակից բարդ ու հարափոփոխ հասարակությունում: Աշխարհի անընդհատ շեղումը դետերմինացված օրենքներից, որտեղ ամեն ինչ ծնունդ է առնում դեպքերից, սովորողներին ստիպում է վերացարկել, վերլուծել, նրանց մոտ զարգացնում է մտածո-ղության քննադատականություն: Ընդ որում, ստոխաստիկական մտա-ծողության ձևավորման խնդիրը կարող է դրվել հետևյալ կերպ. Հանրակր-թական դպրոցի յուրաքանչյուր սովորողի անհրաժեշտ է տիրապետել ոչ միայն ստոխաստիկական գիտելիքների որոշակի ծավալի, այլև կարո-ղանալ կիրառել այդ գիտելիքները այն դեպքերում, երբ մարդը հանդի-պում է ինչ-որ երևույթների հաճախության: Նման դեպքերում աշակերտը պետք է կարողանա ստացված տեղեկատվությունից ինդուկտիվ եզրա-հանգումներ կատարել:

Հոգեբանների (Ա. Վ. Բրուշլինսկի, Բ. Ինhելդեր, Ժ. Պիաժե, Ե. Ֆիշ-բեյն, Ի. Մ. Ֆեինգենբերգ և այլք)` հետազոտությունները վկայում են, որ մարդն ի սկզբանե պրակտիկորեն ունակ չէ տալ հավանական գնահա-տական կամ գիտակցել և ճիշտ մեկնաբանել ստոխաստիկական բնույթի տեղեկատվությունը:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

5

Իրենց բնույթով ստոխաստիկական խնդիրները տարբերվում են դպրոցականի առաջ դրված արդեն իսկ «հարազատ» դարձած մաթե-մատիկական խնդիրներից: Լուծելով ստոխաստիկական խնդիրներ՝ սո-վորողները հանդիպում են մինչ այդ իրենց անծանոթ հասկացությունների հետ, որոնք ազատորեն չեն օգտագործվում մտածողության մեջ: Ման-կավարժական պրակտիկան ցույց է տալիս, որ ստոխաստիկական խնդիրների լուծման գործընթացը սովորողների մոտ մեծ դժվարություն-ներ է առաջացնում, քանի որ մաթեմատիկական խնդիրների լուծման իրենց հայտնի մեթոդները, որպես կանոն, գրեթե պիտանի չեն տեսա-կան-հավանականային խնդիրների լուծման համար:

Հետազոտությունները ցույց են տալիս նաև, որ նույնիսկ մաթեմատի-կայի այլ բաժինների լավ իմացությունն ու ըմբռնումը չի ապահովում հավանականային մտածողության զարգացումը [3]:

Հավանականային-վիճակագրական մտածողության ձևավորման արդ-յունավետ ճանապարհներ որոնելու ուղղությամբ կատարված հետազո-տությունների շարքում նշանակալի է Վ. Դ. Սելյուտինի հետազոտությունը: Հեղինակի խոսքերով հավանականային-վիճակագրական պատկերա-ցումների մեթոդոլոգիական հիմքը պատահականի և անհրաժեշտի դիա-լեկտիկական միասնության մասին ուսմունքն է: Նա հավանականային-վիճակագրական մտածողության ձևավորման հիմքում դնում է նախնա-կան հավանականային-վիճակագրական պատկերացումների ձևավորու-մը. «հավանականությունների տեսության և վիճակագրության նախնա-կան հասկացությունների հաջող յուրացման համար անհրաժեշտ է շրջա-պատող աշխարհի հավանականային պատկերի մասին պատկերացում-ների պաշար` նախնական հավանականային-վիճակագրական պատկե-րացումներ» [8]:

Իսկ այն հարցին, թե ինչպե՞ս է իրականացվում այդ նախնական պատկերացումների ձևավորման գործընթացը. այն բնական գործընթաց է, թե՞ հատուկ կազմակերպված ուսուցման արդյունք, իրենց հետազոտու-թյուններում փորձել են պատասխանել մի շարք հոգեբաններ, մեթոդիստ-մանկավարժներ:

Ստոխաստիկական մտածողության զարգացման հիմնախնդիրը դի-տարկելով կոգնիտիվ զարգացման ընդհանուր համատեքստում, որտեղ

6

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

գերակշռող դիրք ունեն Ժ. Պիաժեի և Լ. Ս. Վիգոտսկու իրար փոխլրաց-նող տեսությունները, հեղինակներից շատերը գալիս են այն եզրահանգ-ման, որ պատկերացումների ձևավորումը տեղի է ունենում ոչ թե բնակա-նորեն, այլ որոշակի գործունեության գործընթացում:

Ուսուցման և զարգացման հարաբերակցության խնդրի հետ կապված ռուս հոգեբան Լ. Ս. Վիգոտսկու տեսության էությունն արտահայտվում է հետևյալով. «ուսուցումն իր հետևից տանում է զարգացումը, և ոչ թե հա-կառակը»: Այսինքն, ուսուցման մեջ առաջնահերթությունը տրվում է զար-գացմանը: Նրա մոտեցումը երեխային նպատակաուղղում է ոչ թե այս կամ հասկացության յուրացմանը, այլ նրա մտածողության մակարդակի «բարձրացմանը»` գիտական հասկացությունների համակարգի հատուկ կառուցված ուսուցման օգնությամբ [4]: Բայց այս մոտեցմամբ հասկա-ցությունների յուրացումը մի շարք դեպքերում իրագործվում է ձևակա-նորեն (ֆորմալ):

Իր հերթին շվեյցարացի հոգեբան Ժ. Պիաժեն, չհամաձայնվելով Լ. Ս. Վիգոտսկու տեսակետի հետ, այն կարծիքին է, որ կարևոր նշանակություն ունի հենց երեխայի սեփական ակտիվությունը: Նա պնդում է, որ զար-գացող ուսուցման դերը երեխայի արդեն իսկ ունեցած ճանաչողական կառույցների խթանումն է [6]:

Այս համատեքստում Սելյուտինը նշում է, որ նախնական հավանակա-նային-վիճակագրական պատկերացումները ձևավորվում են պատա-հականության մասին աշակերտների առօրյա, չհամակարգված պատկե-րացումների հիման վրա: Հավանականային-վիճակագրական նյութի հա-տուկ կազմակերպված ուսուցումը կոչված է ընդհանրացնելու, համակար-գելու սովորողների արդեն իսկ ունեցած թերի, կցկտուր, ինտուիտիվ պատկերացումները [8]:

Վ. Ա. Բոլոտյուկն ընդգծում է, որ օբյեկտիվ իրականության առանձնա-հատկություններին համապատասխան հավանականային-վիճակագրա-կան պատկերացումների ձևավորումը տեղի է ունենում ոչ տարերայ-նորեն, այլ նպատակաուղղված ուսուցման արդյունքում, որի հիմքերը ձևավորում են ուսուցման հոգեբանական հայեցակարգերը [2]:

Այսպիսով` վերոհիշյալը հիմք է տալիս ասելու, որ մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում հավանականային-վիճակագրական պատկե-

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

7

րացումների, հավանականային մտածողության ձևավորումն ու զարգա-ցումն իրականացվում է ստոխաստիկայի փուլ առ փուլ, նպատակաուղղ-ված, համակարգված, երկարատև, սովորողների տարիքային առանձնա-հատկություններին համապատասխան ուսուցման արդյունքում՝ ոչ միայն տեսական, այլ նաև գործնական առումով:

Մեկ այլ խնդիր է հավանականային-վիճակագրական հիմնական պատկերացումների ձևավորման համար տարիքային զգայուն (սենզի-տիվ) շրջանի որոշումը:

Նշված խնդրի հետ կապված հետաքրքրական են հոգեբան-գիտ-նականներ Ժ. Պիաժեի և Բ. Ինհելդերի փորձերը: Նրանք փորձարկում-ներ են անցկացրել դպրոցում համապատասխան նյութը չուսումնասիրած երեխաների երեք տարիքային խմբերի հետ (6-9 տարեկան, 9-12 տարե-կան, 12 տարեկան և բարձր), այսինքն, ուսումնասիրվել է հենց երեխա-ների պատրաստվածությունը [13]:

Առաջին տարիքային խմբի հետ կապված` գիտնականները եկել են այն եզրահանգման, որ 6-9 տարեկան երեխաների մոտ պատահականի ու անհայտի միջև չկա հստակ տարանջատում, բացակայում են պատա-հույթի ու պատահականի մասին պատկերացումները, դիտվում է ընդ-հանուր ձգտում դեպի օրինաչափը, դետերմինացվածը, այլ կերպ ասած, ոչ մի հոգեբանաֆիզիոլոգիական հիմք չկա, որպեսզի այդ տարիքի երե-խաների մոտ գոնե նախնական հավանականային պատկերացումներ ձևավորելու հարց դրվի:

Երկրորդ խմբի երեխաների համար ընդհանուր է մնում ձգտումը դեպի օրինաչափը, դետերմինացված գործնթացներում ներգրավվումը: Սակայն, նրանց մոտ արդեն հայտնվում են պատահույթի ու երևույթի պատահականության մասին պատկերացումներ, չնայած նրանց մոտ պա-տահականն ու անկանոնն ընկալվում են որպես ընդհանուր կարգը խաղ-տող ինչ-որ բան: Այս պարագայում նրանք եզրակացնում են, որ 11-12 տարեկանում, այսինքն այս տարիքային շրջանի վերջում, աշակերտը կա-րող է հստակորեն տարբերակել պատահական և բացարձակ դետերմի-նացված իրավիճակները, հասկանալ պատահական ելքերով փորձի նշանակությունն ու էությունը, որակապես որոշել այս կամ այն պատա-հական ելքի հանդես գալու հնարավորությունը և քանակապես գնահատել

8

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

այն: Ըստ հետազոտող գիտնականների՝ դա պայմանավորված է այդ տա-րիքային խմբի սովորողների մոտ արդեն բավականաչափ ձևավորված տրամաբանական ու վերացական մտածողությամբ և անհրաժեշտ մաթեմատիկական ապարատին տիրապետմամբ:

Երրորդ խմբի աշակերտների մոտ, չնայած արդեն բավականաչափ զարգացած տրամաբանական ու վերացական մտածողությանը և մաթե-մատիկայի այլ ոլորտների համեմատաբար ծավալուն գիտելիքների, առ-օրյա կյանքում պատահականության հետ բախվելու պրակտիկան` առանց համապատասխան գիտական գիտելիքների ու ռացիոնալ ուղղվածու-թյամբ բացատրությունների, տանում է պատահականության վրա հիմն-ված երևույթների նկատմամբ անվստահության ու անաչառության աստի-ճանական զարգացմանը: Այս տարիքային շրջանը կարելի է անվանել «բաց թողնված հնարավորությունների շրջան»:

Երեխաների մտածողության զարգացման ոլորտում Դ. Ա. Ֆարբերի և այլ հոգեբանների հետազոտությունների արդյունքները վկայում են 8-12 տարեկան հասակում սովորողների կոմբինատորային մտածողության զարգացմանը ուղղված ուսուցչի նպատակաուղղված գործունեության կա-րևորության մասին: Այդ արդյունքների հիման վրա նշվում է, որ 8-12 տա-րեկան հասակում կոմբինատորային մտածողության ձևավորումը նպաս-տում է մի կողմից երեխաների պատկերավոր մտածողության զարգաց-մանը, մյուս կողմից հանդիսանում է էմպիրիկ մտածողությունից դեպի տեսական մտածողության անցման «կամուրջներից» մեկը [5]:

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ստոխաստիկական նյութի ուսուցման օպտիմալ տարիքային շրջանի որոշման հարցը դի-տարկվել է նաև մի շարք մեթոդիստ-մանկավարժների (Ե. Ա. Բունիմովիչ, Մ.Վ. Տկաչևա, Ե. Ն. Բասիլկովա, Տ. Վ. Չուվաևա և այլք) կողմից:

Այսպես օրինակ, Ե. Ա. Բունիմովիչը փորձարկումներ է անցկացրել ա-վագ մասնագիտական դասարանների դեռևս հավանականային նյութը չուսումնասիրած սովորողների հետ: Կատարված փորձի արդյունքները ցույց են տալիս, որ տարրական դպրոցական տարիքում աշխարհի մասին աշակերտների պատկերացումներում շատ բան դեռևս բավարար չափով ձևավորված չէ, և, որ հավանականության մասին պատկերացումները բացատրելու համար բավարար չէ նաև մաթեմատիկական ապարատը։

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

9

Միևնույն ժամանակ նկարագրական վիճակագրության և կոմբինատորի-կայի հիմունքները հնարավոր է և նույնիսկ անհրաժեշտ է ներմուծել տարրական դպրոցի դասընթաց:

Ներկայացված արդյունքները, հետագայում բազմիցս փորձարկվել են տարբեր երկրների գիտնականների կողմից` տարբեր տարիքային խմբերում ստոխաստիկական նյութի ուսուցման գործնական ուղիներ մշակելիս:

Միաժամանակ, հոգեբանների և մանկավարժների հետազոտու-թյունները ցույց են տալիս, որ հավանականությունների տեսության և մա-թեմատիկական վիճակագրության հիմունքների շարադրումը բարձր դա-սարաններում սկսելը քիչ արդյունավետ է, և, որ սովորողների մոտ մտա-ծողության յուրահատուկ ստոխաստիկական ոճ անհրաժեշտ է ձևավորել հենց 15-17 տարեկանում: Դա մեկնաբանելով, որ այդ շրջանում դպրոցա-կանների հոգեկանն արդեն պատրաստ է ընդհանրացում կատարելու:

Ս. Վ. Շերբատիխը ստոխաստիկական մտածողության զարգացման արագությունը հենց ավագ դպրոցական տարիքում մեկնաբանում է նրանով, որ ավագ դպրոցականի հոգեկանի հասունությունը նրան թույլ է տալիս դեպքերից բխող երևույթներին որակական գնահատական տալ և սեփական գործունեությունը ինքնուրույն, ռացիոնալ պլանավորելու կարո-ղությունը թույլ է տալիս ստոխաստիկական երևույթները տեսնել պրակ-տիկ իրականության մեջ [10]:

Այսպիսով` կատարված հետազոտությունները վկայում են, որ նախ-նական հավանականային հասկացությունների ձևավորման համար առա-վել նպաստավոր տարիք է 11-13 տարեկանը, իսկ տոխաստիկական մտա-ծողության ձևավորման համար առավել նպաստավոր տարիք է 15-17 տարեկանը:

Ստոխաստիկայի ուսուցման մշտապես ընդլայնվող միջազգային փորձը թույլ է տալիս բացահայտել սկզբունքորեն կարևոր մեկ այլ հոգե-բանամանկավարժական խնդիր: Ուսուցման սկզբում սովորողներն ար-դեն ունեն որոշակի ինտուիտիվ պատկերացում պատահականի և օրինա-չափի մասին, սեփական կյանքի փորձի վրա հիմնված պատահական պա-տահույթի հանդես գալու հնարավորությունների մասին: Առօրեական այդ պատկերացումները մասամբ սխալ են լինում և հակասությունների մեջ են

10

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

մտնում ուսուցման գործընթացում սովորողների նոր ստացած ստոխաս-տիկական գիտելիքների հետ:

Որոշակի իմաստով կարելի է ենթադրել, որ երեխան հավանակա-նային պատկերացումների ստեղծման ճանապարհին բախվում է այն նույն կարգի հակասությունների ու նախապաշարումների հետ, ինչի հետ որ բախվել են խոշոր մաթեմատիկոսները (Ժ. Դալամբեր, Բ. Պասկալ, Պ. Ֆերմա և այլք) տեսության ձևավորման գործընթացում:

Հայտնի գիտնականներ Ե. Ֆիշբեյնը և Ա. Գազիտն ուսումնասիրե-լով հավանականային ինտուիցիայի զարգացման մակարդակը նախկի-նում ստոխաստիկա չուսումնասիրած ստուգիչ խմբի և արդեն հավանա-կանության հասկացություններին ծանոթ փորձարարական խմբի սովո-րողների մոտ՝ բացահայտել են վիճակագրական զգալի տարբերություն-ներ` կապված հավանականային գործընթացների բնույթը հասկանալու հետ [11]:

Ֆրանսիացի գիտնականներ Ս. Մորին, Ժ. Բորդիերը և Ա. Տոտոխա-շինան, համեմատելով հավանականային-վիճակագրական նյութի ուուց-ման տարբեր մոտեցումները, ցույց տվեցին, որ դասական մոդելով ստո-խաստիկական նյութի ձևական շարադրումը չի նպաստում ստոխաս-տիկական պատկերացումների ձևավորմանը, այն դեպքում, երբ աշակեր-տի սեփական կենսափորձի օգտագործումը, իրական հավանականային իրավիճակների դիտարկումը` համարժեք մաթեմատիկական մոդելի կա-ռուցմամբ` «դասական» կամ «վիճակագրական», հանդիսանում է դպրո-ցում ստոխաստիկայի ուսուցման արդյունավետ միջոց [12]:

Այլ հետազոտողների աշխատանքներում ևս համոզիչ կերպով ներ-կայացվել է այն պնդումը, որ «մաքուր հավանականությունների տեսու-թյան» դասավանդումը վիճակագրական մտածողության ու հավանակա-նային ինտուիցիայի զարգացման գործում չունի նշանակալի ազդե-ցու-թյուն, չի նպաստում ստոխաստիկական հասկացությունների և պատկե-րացումների կիրառմանը գործնականում` կիրառական ու իրական բո-վանդակությամբ խնդիրներ լուծելիս:

Այսպես, գիտնականները վկայակոչում են տվյալներ, որ բարձր դասարանների սովորողները (Վ. Վ. Ֆիրսով) և ուսանողները (Ե. Ս. Վենտցել), ովքեր առաջին անգամ են հանդիպում հավանականնություն-

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

11

ների տեսության հետ, զգալի հոգեբանական դժվարություններ են ապ-րում՝ կապված հավանականային ու դետերմինացված մոտեցումների միջև հակասությունների, ինչպես նաև նրանց մոտ արդեն ձևավորված հավանականային մոլորությունների հետ:

Այսպիսով` արդյունավետ ուսուցում կազմակերպելու համար անհրա-ժեշտ է մշտապես հաշվի առնել պատահականի մասին սովորողների մոտ ստեղծված ինտուիտիվ պատկերացումները, որոնք մասամբ կարող են ճիշտ չլինել, այդ բնագավառում սովորողների կենսափորձն ու համապա-տասխան կերպով այն ճշգրտել:

Ստոխաստիկայի ուսուցման հոգեբանամանկավարժական առանձ-նահատկություններից մեկն էլ նյութի գեղագիտական (գրավչությունն է) յուրօրինակ գրավչությունն է:

Հավանականությունների տեսության և վիճակագրության տարրերն ունենալով գեղագիտական մեծ ներուժ կարող են ավելի գրավիչ դարձնել մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացը՝ մեծացնելով նրանում գեղագիտական տարրի առկայությունը:

Գաղտնիք չէ, որ մաթեմատիկայի և մաթեմատիկական կրթության հանդեպ սովորողների ճնշող մեծամասնության մոտ այսօր դիտվում է հե-տաքրքրության անկում, ավելին, ավագ դպրոցում հումանիտար հոսքերի աշակերտներն, ըստ էության, անտեսում են մաթեմատիկա առարկան: Միևնույն ժամանակ, այսօր արդեն վստահաբար կարող ենք ասել, որ մաթեմատիկական կրթության հաջողությունը պայմանավորված է նաև ստոխաստիկայի ուսուցման գործընթացով, և դրա զարգացման գործում կարելի է արձանագրել լուրջ հաջողություններ վերջինիս խելամիտ կազ-մակերպման դեպքում:

Անշուշտ, չափազանց կարևոր է ստոխաստիկայի ուսուցման գործըն-թացում առարկայի, նրա տեսության, թեորեմների և դրանց ապացույցների խիստ տրամաբանական շարադրումը, սովորողների տրամաբանական մտածողության զարգացումը: Սակայն մանկավարժական փորձը ցույց է տալիս, որ ստոխաստիկական նյութի ներկայացման միայն ֆորմալ-տրա-մաբանական կողմը բավարար չէ այն ընկալելու համար: Ընկալման գործ-ընթացի վրա ազդում են նաև մի շարք հոգեբանամանկավարժական գոր-ծոններ: Հետևաբար, ստոխաստիկայի ուսուցման գործընթացում պետք է հաշվի առնել ինչպես ստոխաստիկայի (հասկացություններ, թեորեմներ և

12

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

այլն), այնպես էլ անհատի հետ կապված գործոնները (բնավորությունը, մտային գործունեության առանձնահատկությունները և այն ամենը ինչն ազդում է դրա վրա): Ուսուցման գործընթացում շեշտը պետք է դնել ոչ թե ինչպիսի՞ն պետք է լինի սովորողը, ի՞նչ պետք է իմանա, ի՞նչ պետք է հիշի, այլ մենք պետք է մեր առջև տեսնենք կենդանի էակի, իր գիտելիքներով, հիշողությամբ, հետաքրքրություններով ու հնարավորություններով: Պարզ-վում է, որ իրականում ստոխաստիկական նյութի ընկալման վրա հենց այդ հոգեկան գործոններն են որոշիչ կերպով ազդում:

Մտածողության արդյունավետ զարգացումը կախված է առաջին հեր-թին այն բանից, թե սովորողը որքանո՞վ է հետաքրքրված ուսուցմամբ, որքանո՞վ է հասկանում դրա անհրաժեշտությունը: Փորձով հաստատված է, որ որոնման արդյունքում ձեռք բերված գիտելիքները առավել արագ են ընկալվում են և առավել լավ են հիշվում, քան գիտակցության մեջ պար-տադրված ներմուծված գիտելիքները: Դրա հետ մեկտեղ միևնույն մարդը դատում է ճիշտ կամ սխալ, արագ կամ դանդաղ, տրամաբանորեն կամ ոչ տրամաբանորեն կախված ոչ միայն իր ընդունակություններից այլ նաև այն բանից, թե նա ինչպես է տրամադրված, հանգիստ է թե անհանգիստ, վստահ է իր ուժերի նկատմամբ թե ոչ և այլն: Այսպիսով, կարելի է ասել, որ մարդու հնարավորությունները, նրա տրամաբանական մտածողու-թյան մակարդակն անընդհատ փոփոխվում են և կախված են հենց նշված զուտ հոգեբանական գործոններից: Եվ, ուրեմն, արդյունավետ ուսուցմա-նը միտված ստոխաստիկայի դասավանդման գործընթացը պետք է հաշ-վի առնի այդ գործոնները, քանի որ դրանցից է կախված սովորողների մտածողության աշխատանքը:

Եվ, հետևաբար, հանրակրթության մաթեմատիկայի դասընթացի հա-վանականային-վիճակագրական նյութի ընկալման հոգեբանամանկա-վարժական տեսանկյունից չափազանց կարևոր է ապահովել սովորող-ների մոտիվացիայի (շարժառիթի) հարցը:

Կարծում ենք, որ վերոնշյալ խնդիրների հաղթահարման հարցում կա-րևոր դեր կարող է խաղալ ստոխաստիկայի, նրա ուսուցման մեթոդների, ուսումնական նյութի՝ հասկացությունների, թեորեմների, խնդիրների ու դրանց լուծման գեղագիտական գրավչության բացահայտումը:

Նկատենք, որ հանրակրթության մաթեմատիկայի դասընթացում ստոխաստիկայի յուրաքանչյուր թեմայի ուսուցման առաջին քայլերից

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

13

սկսած ներգրավելով գեղագիտական տարրը`շոշափելիորեն մեծացնում ենք մաթեմատիկայի ուսուցման միջոցով գեղագիտական արժեքների ձևավորման հնարավորությունները: Գեղագիտական արժեքների ձևա-վորման տեսանկյունից ստոխաստիկական նյութի և, առհասարակ, ստո-խաստիկական կրթության գեղեցկությունն արտահայտվում է նրա բովանդակային կառույցի լեզվի, կիրառությունների գրավչությամբ, ինք-նատիպությամբ, դրանց մեջ գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատ-կանիշների և ուսուցման գործընթացում գիտական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշների ամենալայն դրսևորումներով, ներքին և արտաքին գե-ղագիտությամբ [1]:

Ավելացնենք նաև, որ աշխարհի ճանաչումը չի կարող խստորեն իրագործվել առանց հավանականային հիմնավորվածության: Հետևա-բար, հավանականային մոտեցումը մաթեմատիկայի գեղագիտական էու-թյունն արտահայտող կարևորագույն ճանապարհներից մեկն է, և նրա լիարժեք դրսևորման գործում անգնահատելի է ստոխաստիկայի տար-րերի դերը:

Այսպիսով, սովորողներին ներգրավելով ստոխաստիկական իրավի-ճակների ու գործընթացների ակտիվ ուսումնասիրության ու հետազո-տության մեջ (նման ուսումնասիրության առարկան շատ ծավալուն է), նրանց համար բացահայտելով նյութի գեղագիտական մեծ ներուժը, ապահովում ենք սովորողների մոտիվացիայի հարցը ոչ միայն ստոխաս-տիկական գծի ուսուցման, այլև՝ մաթեմատիկայի այլ բաժինների այլ հասկացությունների նկատմամբ, և, հետևաբար, ուսուցման արդյունավե-տությունը:

Գրականություն

1. Միքայելյան Հ. Ս., Գեղեցիկը, մաթեմատիկան և կրթությունը, մաս II, Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Եր., Էդիտ Պրինտ, 2015, 440 էջ: 2. Болотюк В.А. Формирование вероятностно-статистических представле-ний у учащихся в курсе алгебры основной школы: дис. ... канд. пед. наук: - Омск, 2002. – 176 с. 3. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом

14

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

школьном курсе математики // Математика в школе. – 2002. - №3. 4. Выготский Л.С.Педагогическая психология–М.: Педагогика, 1991.– 480с. 5. Медведева О.С. Решение задач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 классов: дис. ... канд. пед. наук: – М., 1990. – 175 с.: 6. Пиаже Ж., Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур: классификации и сериации. – М.: Изд-во ин. лит., 1983. – 448 с. 7. Полякова Т.А. Прикладная направленность обучения стохастике как средство развития вероятностного мышления учащихся на старшей ступени школы в условиях профильной дифференциации: дис. ... канд. пед. наук: - Омск, 2009. 8. Селютин, В.Д. Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике: дис. ... докт. пед. наук: - Орел, 2002. – 344 с. 9. Теплов Б. М. Избранные труды. Т. 1.– М., Педагогика,1985. – 328 с. 10. Щербатых С.В. Психолого-педагогические особенности обучения сто-хастике в профильных классах, Психодидактика математического образо-вания: инновационные процессы в образовании: материалы Всероссийс-кой научно-практической конференции, Томск, 2013 - с. 158 - 164 11. Fishbein E. The intuitive sources of probabilistic thinking in Children. - D. Reidel Publishing Company. - Dordreht: 1975. 12. Henry M. L'enseignement du calcul des probabilités, perspectives historiques, epistemologiques et didactiques. Irem de Besancon, 1994. - 123 p. 13. Piaget J. & Inhelder B. The origin of the idea of chance in children. London, 1975. (Original work published 1951

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

15

Психолого-педагогические особенности обучения элементов теорий вероятностей и математической статистики в

общеобразовательной школе А. Минасян

Резюме

В статье представляется психолого-педагогические особенности обучения элементов стохастики и усвоения вероятностно-статистичес-кого материала в общеобразовательной школе. Расширяющаяся мировая практика обучения теории вероятностей и математической статистики школьников позволила выявить ряд психолого-педаго-гических проблем возникающих при обучении элементов теории вероятностей и математической статистики, а также понимание материала стохастики учениками.

The psycho-pedagogical features of the teaching elements of probability theory and mathematical statistics in the school

Anzhela Minasyan Summery

The psycho-pedagogical features of the teaching elements of stoxastics and

understanding of probabilistic-statistical material in a school are discussing in the presents article. The growing international experience of probability theory and mathematical statistics elements teaching, puts forward a number of psycho pedagogical issues that are emerging at the process of probability theory and mathematical statistics elements teaching, as well as understanding of the material of stochastic by the pupils.

Անժելա Մինասյան – ՀՊՄՀ Հեռախոս՝ 094-83-42-21 Էլ. հասցե՝ anzhela0107@mail.ru

16

ԱՆԸՆԴՀԱՏՈՒԹՅԱՆ ՆԵՐՄՈՒԾՈՒՄ՝ ՉՕԳՏՎԵԼՈՎ ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՍԱՀՄԱՆԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԻՑ

Կորյուն Առաքելյան Օսաննա Թարվերդյան

Բանալի բառեր – ֆունկցիա, անընդհատություն, Վայեր-շտրասի թեորեմ, Ֆերմայի թեորեմ, ֆունկցիայի գրաֆիկ Կոշի ժամանակներից ի վեր ածանցյալը սահմանվում է «Սահման»

հասկացության օգնությամբ: Մաթեմատիկական անալիզի մեջ դա խո-րություն մտցրեց. որը չկար նախկինում: Այդ առումով էլ ածանցյալի հաս-կացության ներմուծումը հաճույքով ընդունվեց գիտնականների կողմից, իսկ նրանցից հետո՝ դասավանդողների կողմից: Եվ ահա արդեն մոտ մեկուկես դար է, ինչ բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողները մաթեմատիկայի դասընթացներում, ածանցյալի հասկա-ցությանը ծանոթանալուց առաջ, երկար ու հոգնեցուցիչ հաշվում են սահ-մանները, դժվարըմբռնելի գործողություններ կատարում ε և δ թվերի հետ: Եվ երբ այդ դժվարությունները հաղթահարված են (ավելի շատ ձևա-կանորեն, քան փաստացի), նոր միայն ուսանողներն անցնում են ածանց-յալի ուսումնասիրմանը: Այն հարցին, թե ի՞նչ է ածանցյալը, սովորաբար հետևում է պատասխանը. «Ածանցյալը դա սահման է», ըստ որում քննու-թյունից կամ ստուգարքից որոշ ժամանակ անց քչերն են կարողանում ճիշտ գրառել ձևական սահմանումը՝

0 00 0

( ) ( )'( ) lim :

x

f x x f xf xxΔ →

+ Δ −=Δ (1)

Ի վերջո պարզվում է, որ այդ ամբողջ գերիմաստությունը հարկավոր չէ. լավ սովորող ուսանողների զինակցության մեջ մնում է, որ ածանցյալը

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

17

արագություն է (պարտադր չէ շարժման արագություն, դա կարող է լինել ֆուկցիայի փոփոխության արագություն), ըստ որում՝ այն ավելի հաճախ կիրառելի է ոչ թե (1) բանաձևով, այլ գործնականորեն ավելի պիտանի առնչությամբ՝

0 0( ) '( ) ,f x f x xΔ ≈ Δ (2) կամ, ավելի ստույգ՝

0( ) '( ) ,f x f xξΔ = Δ որտեղ ξ-ն 0x -ի և ( 0x +Δx)-ի միջև գտնվող որևէ կետ է: Ածանցյալի ընկալումը որպես արագության և (2) հավասարությամբ արտահայտված միջինի թեորեմն իր մեջ պարունակում է ամենայն գլխավորը, հիմնականը ածանցյալի մասին, ընդ որում՝ դա համապատասխանում է նաև ածանց-յալի հասկացության կիրառմանը (մաթեմատիկայում, ֆիզիկայում, տեխ-նիկայում) և նրա դիտաղական ընկալմանը: Եթե ԲՈՒՀ-ում ավանդական շարադրանքը մի որևէ այլ՝ սահմանի դժվարըմբռնելի հասկացությունը չօգտագործող շարադրանքով փոխելու հարցը սուր չի դրված, ապա դա միայն այն պատճառով, որ ուսանողներն արդեն բավական հասուն մարդիկ են և նաև ԲՈՒՀ է գնում երիտասարդության այն մասը, որը մա-թեմատիկական լավ ընդունակություններ ունի:

Միանգամայն այլ կերպ է դրված հարցը հանրակրթական դպրո-ցում: Այստեղ տարիքային առանձնահատկությունների պատճառով աշա-կերտները դեռևս պատրաստ չեն ընկալելու սահմանների տեսության վերացական նրբությունները: Հանրակրթական ուսուցման պահանջները ստիպում են շարադրանքի ընկալելիության մակարդակը համապատաս-խանեցնել միջին ընդունակություններով օժտված աշակերտներին, որոնք մաթեմատիկական սահմանափակ ունակություններ ունեն: Դիտարկում-ները համոզիչ կերպով ցույց են տալիս, որ աշակերտները չեն յուրացնում սահմանի հակացությունը, հետևաբար և՝ սահմանների վերաբերյալ թեո-րեմները, չխոսելով արդեն «ε-δ»-ի միջոցով տրամաբանելու մեթոդի մա-սին, որը խորթ է մնում համարյա բոլոր դպրոցականների համար, այսինքն՝ սահմանների տեսությունը անհասանելի է հանրակրթական դպրոցի աշակերտներին: Հարկ է նշել, որ մաթեմատիկական դասարան-ներում (որտեղ ընդունվում են առավել օժտված սովորողները) նույնպես բավարար չափով չեն ընկալում ֆունկցիայի սահմանի հասկացությունը:

18

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Այդ պատճառով էլ «Ածանցյալի» թեման շարադրել սահմանի հասկա-ցության հիման վրա, մանկավարժորեն չի արդարացվում: Նման շարա-դրանքը, առաջին հերթին, սահմանների տեսության «ուսումնասիրու-թյան» ժամանակի կորուստ է և գործնականում՝ անարդյունք և, երկրորդ՝ փաստորեն, ածանցյալի ոչ խիստ ներմուծում է, քանի որ սահմանի հասկացությունը յուրացված չէ:

Սահմանի հասկացությունը մաթեմատիկական անալիզի դասընթա-ցում օգտագործվում է մի տեղ ևս. սահմանի օգնությամբ մուծվում է «Անընդհատություն» հասկացությունը: Այստեղ էլ պատկերը նույնն է, ինչը կապված է ածանցյալի հետ: Իրոք, ձևական սահմանումը (f(x) ֆունկ-ցիան անընդհատ է 0x կետում, եթե 0

0lim ( ) ( )xf x f x

Δ →= ) շատ անարտա-

հայտիչ է և նույնիսկ՝ անօգուտ, քանի որ այն հիմնվում է աշակերտների կողմից չյուրացված սահմանի հասկացության վրա: Միևնույն ժամանակ անընդհատության մասին դիտողական պատկերացումը հեշտությամբ կարելի է ձևակերպել: Ուսուցիչը ցուցադրում է անընդհատ ֆունկցիայի գրաֆիկ հանդիսացող «սահուն գիծ» և այն համեմատվում է առաջին կարգի խզում ունեցող գրաֆիկի հետ, որն անցնելով մի ինչ որ կետով «կտրվում է», թռիչքաձև անցնելով մի արժեքից մյուսին: Անընդհատու-թյան մասին այս դիտողական պատկերացումն ավելի պարզ է սահմանի մասին եղած դիտողական պատկերացումից, այդ պատճառով էլ՝ տալ անընդհատության ճշգրիտ սահմանում՝ հիմնվելով չյուրացված (և դիտողականորեն՝ ավելի բարդ) սահմանի հասկացության վրա, նպատա-կահարմար չէ:

Այսպիսով, և՛ շարադրանքի խստության մակարդակը և՛ այն հիմնա-կան հասկացությունները, որոնց վրա պետք է հենվի մաթեմատիկական անալիզի հիմունքներ արառկայի դպրոցական դասընթացը, պահանջում են ճշգրտումներ: Սակայն պարզ է մի բան. սահմանի հասկացության վրա հիմնված շարադրանքը հանրակրթական դպրոցի համար ընդունելի չէ:

Նկատենք, որ ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի դասընթացում (հատկապես բնագիտամաթեմատիկական հոսքում) գործածվում են անընդհատ ֆուկցիաների հատկությունները, սակայն տրվում են առանց ապացուցումների: Այսպես, ձևակերպվում է այն թեորեմը, ըստ որի՝

եթե անընդհատ ֆունկցիան [a; b] հատվածի ծայրակետերում ընդունում է տարբեր նշաններով արժեքներ, ապա այդ հատվածի գոնե

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

19

մեկ կետում այն ընդունում է 0 արժեք (ընդհանրապես, ընդունում է միջակա բոլոր արժեքները, այսինքն՝ f(a)-ի և f(b)-ի միջև եղած բոլոր արժեքները): Բացի այդ, ձևակերպվում է Վայերշտրասի թեորեմը՝

[a; b] հատվածում անընդհատ ֆունկցիան սահմանափակ է այդ հատվածի վրա և հասնում իր մեծագույն և փոքրագույն արժեքներին:

Այդ թեորեմների ապացուցումները բարդ են, այդ պատճառով էլ հանրակրթական դպրոցում դրանք չեն ապացուցվում, այլ ուսումնասիրու-թյան առարկա են դառնում միայն բնագիտամաթեմատիկական դասա-րաններում: Միաժամանակ անհրաժեշտություն կա այդ թեորեմները վկա-յակոչել նաև հանրակրթական դպրոցներում: Բավական է հիշեցնել, որ հավասարումների արմատների մոտավոր արժեքները գտնելու համար հաճախ օգտվում ենք միջակա արժեքի թեորեմից: Եթե, օրինակ, [2; 3] հատվածում անընդհատ f(x) ֆունկցիայի համար f(2)<0 և f(3)>0, ապա [2; 3] միջակայքում f(x)=0 հավասարումն ունի գոնե մեկ արմատ: Այնուհետև [2, 3] հատվածը բաժանելով 10 հավասար մասերի, կարող ենք գտնել երկու հաջորդական բաժանումներ, որոնցից մեկում ֆունկցիան ընդու-նում է դրական, իսկ մյուսում՝ բացասական արժեքներ: Դիցուք, f(2,3)<0 և f(2,4)>0: Այդ դեպքում, միջակա արժեքների թեորեմի համաձայն [2,3; 2,4] հատվածում գոյություն ունի f(x)=0 հավասարման գոնե մեկ արմատ: Այստեղից էլ հետևում է, որ 2,3 թիվն այդ արմատի մոտավոր արժեքն է պակասորդով (0,1 ճշգրտությամբ), իսկ 2,4-ը՝ հավելորդով: [2,3; 2,4] հատվածը ևս բաժանելով 10 հավասար մասերի, կարող ենք գտնել արմատի մոտավոր արժեքը 0,01 ճշգրտությամբ և այլն: Եվ յուրաքանչյուր քայլում մենք օգտվում ենք միջակա արժեքների թեորեմից:

Դպրոցում զգալիորեն կիրառվում է նաև Վայերշտրասի թեորեմը: Օրինակ, եթե դիֆերենցելի f(x) ֆունկցիան [a; b] հատվածի ծայրակե-տերում ընդունում է զրո, իսկ հատվածի ներսում՝ դրական արժեքներ և եթե այդ պայմաններով f՛(x) ածանցյալը ներսի միայն մեկ՝ 0x կետում է դառնում զրո, ապա հենց այդ կետում էլ ֆունկցիան կընդունի ամենամեծ արժեքը (քանի որ ծայրակետերում այն ընդունում է զրո արժեք, իսկ ներսում՝ դրական): Այն կետը, որտեղ f(x) ֆունկցիան ընդու-նում է իր ամենամեծ արժեքը, գոյություն ունի (համաձայն Վայերշտրասի թեորեմի): Մյուս կողմից, Ֆերմայի թեորեմի համաձայն այդ կետում f՛(x)=0: Բայց, ըստ ենթադրության [a; b] հատվածի ներսում կա միայն մեկ՝

20

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

0x կետ, որտեղ f՛(x)-ը հավասարվում է 0-ի: Նշանակում է՝ դա հենց այն կետն է, որտեղ [a; b] հատվածում դիտարկվող ֆունկցիան ընդունում է իր մեծագույն արժեքը:

Եվ այսպես, դպրոցական մաթեմատկայի դասընթացում սահմա-նի հասկացությունն օգտագործվում է երկու տեղում՝ անընդհատության և ածանցյալի հասկացությունները ներմուծելիս (մենք չենք հիշատակում սահմանի կիրառությունը՝ կապված անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի և անվերջ պարբերական կոտորակների հետ, քա-նի որ այնտեղ խոսքը հաջորդականության սահմանի մասին է, ոչ թե՝ ֆունկցիայի սահմանի): Սահմանի ևս մեկ կիրառություն՝ իռացիոնալ ցու-ցիչով աստիճանի սահմանումը, որը, փաստորեն, դպրոցում միայն նկա-րագրական է, քանի որ դասընթացի այդ մասում տրվում են միայն նկարագրություններ՝ առանց ճշգրիտ ապացուցումների:

Այն, որ կարելի է ածանցյալի հասկացությունը ներմուծել առանց սահմանների տեսության, առանձին հոդվածի թեմա է: Այստեղ, հակիրճ կներկայացնենք մեր այն նկատառումները, ըստ որի անընդհատության գաղափարը կարելի է ներմուծել՝ չհենվելով ֆոունկցիայի սահմանի հաս-կացությանը:

Անընդհատության հասկացությունը մուծելու համար մենք օգտվելու ենք հետևյալ սահմանումից, որը չնայած և մոտ է սահմանի հասկա-ցության գաղափարին, բայց կարող է տրվել՝ առանց նախնական ծանո-թության սահմանի հասկացության հետ: Դասավանդող ուսուցիչը պատ-

կերում է 21

4y x= ֆունկցիայի գրաֆիկը և դիտարկում է նրա այն մասը,

որը համապատասխանում է x = 2 կետի շրջակայքին: Ֆունկցիայի ար-ժեքն այդ կետում հավասար է 1-ի:

x = 2 կետի շրջակայքում ֆունկցիայի վարքը գնահատելու համար

տանենք երկու հորիզոնական ուղիղներ՝ 1

2y = և

3

2y = (նկ. 1):

Ուսուցիչը սովորողներին կարող է հաղորդել, որ այդ ուղիղների և գրաֆիկի հատման A և B կետերի կոորդինատները կարելի է հաշվել, սա-կայն ընդհանուր պատկերի որակական նկարագրության դեպքում դա էական չէ: Կարևորն այն է, որ A կետի a աբսցիսը և B կետի b աբսցիսը բավարարում են a < 2 < b պայմանին: Սովորողներն ուսուցչի ցուցումով

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

21

կարող են ուշադրություն դարձնել այն բան վրա, որ a < x < b դեպքում գրաֆիկն ամբողջովին ընկած է տարված հորիզոնական ուղիղների միջև եղած շերտում:

Ուսուցչի ղեկավարությամբ դասարանը կարող է գալ հետևյալ եզ-րակացությանը.

Եթե 0 0( ; )M x y -ն դիտարկվող ֆունկցիայի գրաֆիկին պատկանող կամայական կետ է և y = p, y = q հորիզոնական ուղիղներն այնպիսին են, որ նրանցից մեկը M կետից վերև է, իսկ մյուսը՝ ներքև, ապա կգտնվի 0x կետը պարունակող այնպիսի (a; b) միջակայք, որ այդ միջա-կայքին համապատասխան գրաֆիկի մասն ամբողջովին ընկնում է այդ ուղիղների միջև (նկ. 2):

Ուսուցիչը սովորողների ուշադրությունը կբևեռի այն բանի վրա, որ այդ [a, b] միջակայքի մեծությունը կախված է x0 կետի ընտրությունից, սակայն անպայման կգտնվի որևէ (նույնիսկ շատ փոքր) միջակայք, որն օժտված կլինի նշված հատկությամբ: Այնուհետև, այլ գրաֆիկների օրի-նակներով կատարվում է (a; b) միջակայքին համանման միջակայքի որո-նում՝ 0x -ի տարբեր արժեքների դեպքում:

Այնուհետև ուսուցիչը բերում է օրինակ՝ ըստ որի նախկինում դի-տարկված օրինակների մեջ հիշատակված (a; b) միջակայքը կարող է գոյություն չունենալ (նկ. 3): Սովորողները համոզվում են, որ 0x -ն պարու-նակող ինչպիսի փոքր միջակայք էլ վերցնելու լինենք, ֆունկցիայի գրա-ֆիկի այն մասը, որը համապատասանում է այդ միջակայքին, չի գտնվի նկ. 3-ում պատկերված y=p և y=q ուղիղների միջև գտնվող շերտում: Դիտարկվող ֆունկցիան 0x x= կետում ունի խզում:

Դրանից հետո սովորողները հեշտությամբ ընկալում են անընդհատ ֆունկցիայի սահմանումը, այսինքն՝ այնպիսի ֆունկցիայի, որը խզում չունի:

Ամբողջ թվային ուղղի կամ որևէ միջակայքի վրա f(x) ֆունկցիան կոչվում է անընդհատ, եթե ֆունկցիայի գրաֆիկին պատկանող կամայական 0 0( ; )M x y կետի և y=p, y=q ցանկացած ուղիղների համար, որոնցից մեկը M-ից վերև է, իսկ մյուսը՝ ներքև, կգտնվի x0-ն պարունա-կող այնպիսի (a; b) միջակայք, որ այդ միջակայքին համապատասխան գրաֆիկի մասն ամբողջովին գտնվի տարված ուղիների միջև (նկ. 4):

22

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Այնուհետև անընդհատության այդ երկրաչափական (գրաֆիկա-կան) սահմանումը սովորողների օգնությամբ տրվում է զուտ անալիտիկ լեզվով:

Ինչ որ X միջակայքի վրա տրված f(x) ֆունկցիան կոչվում է ան-ընդհատ, եթե այդ միջակայքի ցանկացած 0x կետի և p<f(x)<q պայմա-նին բավարարող ցանկացած p, q թվերի համար կգտնվեն այնպիսի a և b թվեր, որ (a; b) միջակայքն ամբողջովին գտնվի X միջավայքի վրա, և a < x <b պայմանին բավարարող կամայական x-ի դեպքում տեղի ունենա p < f(x) < q կրկնակի անհավասարությունը:

Անընդհատության գաղափարի ամրապնդման համար կարելի է դիտարկել մի քանի կոնկրետ օրինակներ, որոնցում, տարբեր 0 ,x p, q-ի համար սովորողները գտնեն այն (a; b) միջակայքը, որի մասին խոսվում է սահմանման մեջ: Այդ աշխատանքի շնորհիվ սովորողները կարող են լավ յուրացնել սահմանումը:

Հետագա աշխատանքը կապվում է ահընդհատ ֆունկցիաների հիմնական հատկությունների ձևակերպման և ապացուցման հետ: 1. Հաստատունին հավասար ֆունկցիան անընդհատ է. 2. Երկու անընդհատ ֆունկցիաների գումարն անընդհատ է. 3. Երկու անընդհատ ֆունկցիաների տարբերությունն անընդհատ է. 4. Երկու անընդհատ ֆունկցիաների արտադրյալն անընդհատ է. 5. Ցանկացած բազմանդամ անընդհատ ֆունկցիա է. 6. Եթե f(x) և g(x) ֆունկցիաներն անընդհատ են [a; b] հատվածի վրա,

ընդ որում այդ հատվածի վրա g(x)-ը 0-ի չի հավասարվում, ապա ( )

( )

f xyg x

= ֆունկցիան անընդհատ է [a; b] հատվածի վրա:

Հանրակրթական դպրոցում կարելի է սահմանափակվել միայն առաջին երեք հատկությունների ապացուցումներով:

Այնուհետև ուսուցիչը կարող է ձևակերպել միջակա արժեքների և Վայերշտրասի թեորեմները: Նման շարադրանքի դեպքում սովորողները լավ են տիրապետում նյութին, ստանում են հաստատուն գիտելիքներ, իսկ այդ թեմային նվիրված ժամերի քանակը զգալիորեն կրճատվում է (սահմանների վերաբերյալ թեման բաց թողնելու հաշվին): Մեզ թվում է, որ թեմայի շարադրման այս տարբերակը ընդունելի է հանրակրթական դպրոցի համար, եթե նույնիսկ սահմանափակենք անընդհատության

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

23

երկրաչափական սահմանումով և նշված թեորեմներից միայն առաջին երկուսի ապացուցումով (մյուսների ձևակերպումները՝ առանց ապացուց-ման):

Նկ. 1

Նկ. 2 Նկ. 1

Նկ. 4 Նկ. 3

24

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Непрерывность без использования теории пределов Кօрюн Аракелян, Осанна Тарвердян

Резюме

Практика показывает, что понятия «предел функции» в курсе алгебра и элементы матанализа остается за пределами ясного понимания для учащихся средней школы и ставится задача построения курса элементы математического анализа без опоры на понятие предела. В чстности, понятие непрерывности, опирающееся на неусвоенное учащимся понятия предела, является лишь формально пройденным. В статье рассматриваются вопросы, связанные с изучением непрерывности без теории предела функции.

Continuity without the use of the theory of limits Koryun Arakelyan, Osanna Tarverdyan

Summary

Practice shows that the notion of the "limit of function" in the course algebra and elements of matanalysis remains beyond the clear understanding for secondary school students and the task of constructing a course of elements of mathematical analysis without reference to the concept of limit is posed. In particular, the concept of continuity, based on the concept of the limit, which has not been learned by the students, is only formally passed. In this paper we consider questions connected with the study of continuity without the theory of the limit of a function.

Կորյուն Առաքելյան - մանկ. գիտ. թեկնածու, դոցենտ

Հեռախոս` 094 05 69 33, Էլ. հասցե` koryun-arakelyan@mail.ru

Օսաննա Թարվերդյան – Երևանի Մանուկ Աբեղյանի անվան թիվ 3 դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

25

Ի՞ՆՉ Է ԷԼԵԿՏՐՈՆԱՅԻՆ ԴԱՍԱԳԻՐՔԸ

Ռուզաննա Ստեփանյան

Բանալի բառեր- էլեկտրոնային կրթություն, էլեկտրոնային դասագիրք, տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ, առցանց ուսուցում, առցանց կրթական նյութեր, կրթական պաշարներ

Աշխարհում լայն տարածում է գտել տեղեկատվական տեխնոլոգիա-ների կիրառումը տարբեր տիպի հիմնախնդիրների լուծման համար, և դրան զուգահեռ աստիճանաբար աճում է էլեկտրոնային կրթության ան-հրաժեշտությունը:

Էլեկտրոնային կրթության մաս է կազմում էլեկտրոնային դասագիրքը: Էլեկտրոնային դասագիրքը չպետք է կրկնօրինակի դասագիրքը և այն

աշակերտին պետք է տա այլընտրանքային կրթական միջոցներ օգտա-գործելու հնարավորություն, եթե վերջինս ցանկանում է լրացնել իր գի-տելիքը տվյալ առարկային վերաբերող լրացուցիչ տեղեկություններով կամ ուսումնասիրել այն նոր մեթոդով: Էլեկտրոնային դասագրքի նյութը չպետք է կրկնի դասագրքի նյութը: Այն պետք է ավելի շատ նման լինի հանրագի-տարանի, քանի որ կարող է իր մեջ անհամեմատ ավելի շատ տեղեկատ-վություն պարունակել:

Էլեկտրոնային դասագրքի ստեղծման գործընթացը պետք է պատաս-խանի հետևյալ հարցերին՝ Ինչու՞ է անհրաժեշտ էլեկտրոնային դասագրքի մշակումը և կիրա-

ռումը: Ինչի՞ է հնարավոր հասնել էլեկտրոնային դասագրքերի մշակման

և կիրառման միջոցով:

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

26

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

Ի՞նչ օգուտ կտա այն ուսուցիչներին, աշակերտներին և նրանց ծնողներին:

Եթե առարկայի ուսումնասիրությունը պայմանավորված է գործնա-կան աշխատանքով, օրինակ` քիմիայի, ֆիզիկայի կամ կենսաբանության առարկաների դեպքում էլեկտրոնային դասագրքում տեղ գտած տեսա-կան նյութը պետք է զուգորդվի փորձով կամ շարժանկարներով, իսկ լե-զուների ուսումնասիրությունը` ձայնային և երաժշտական ուղեկցությամբ:

Մաթեմատիկայի դասաժամին էլեկտրոնային դասագրքին կարելի է կցել գրաֆիկական հաշվիչ, որը թույլ է տալիս՝ 1. կառուցել երկչափ և եռաչափ գրաֆիկական պատկերներ, 2. ստանալ հավասարումների և անհավասարումների գրաֆիկ-

ներ, 3. ստանալ հավասարումների լուծման էտապները, 4. ցուցադրել տարբեր ֆունկցիաների գրաֆիկները միաժամանակ,

որտեղ գրաֆիկները կարելի է մասշտաբավորել և ցանցի միջոցով առանձին հատվածների չափերը փոփոխել,

5. ցուցադրել գրաֆիկի վրա արմատների քանակը և դրանց դիրքը առանցքի վրա,

6. պահպանել գրաֆիկը ինչպես մոդելի, այնպես էլ նկարի տեսքով, 7. ստանալ արմատների արժեքները փաստաթղթում, 8. ստանալ մակերեսի պատկերը և պտտել այն, որպեսզի դիտվի

տարբեր կողմերից: Գրականության առարկայի էլեկտրոնային դասագրքում պետք է նե-

րառել հայտնի բանաստեղծների ձայնագրություններ, արխիվներում պահպանված կինոպատումներ՝ նրանց կյանքի և ստեղծագործության մասին:

Էլեկտրոնային դասագրքում շատ կարևոր է որոնման համակարգի առկայությունը: Դա հնարավորություն կտա ավելի արագ գտնել անհրա-ժեշտ տեղեկատվությունը, քան գիրքը թերթելիս:

Էլեկտրոնային դասագրքի բաղադրամասերը

Էլեկտրոնային դասագիրքը պետք է բաղկացած լինի դասընթացին վերաբերող հետևյալ բաղկացուցիչներից.

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

27

• համառոտագիր, • ծրագիր, • բացատրական նյութեր, • շնորհանդեսային նյութեր, • հղումներ, • հարստացված տեսնյութեր, • առաջադրանքներ, • թեստային հարցեր, • առցանց գրատախտակ, • առցանց լաբորատորիաներ, • մարզական ծրագրեր, • բացատրական բառարան, • կրթական կայքերի հղումեր: Բաղադրամասերի նշանակությունը հետևյալն է.

Դասընթացի համառոտագիր Տվյալ բաղադրամասը ներկայացնում է դասընթացի հակիրճ նկարագրու-թյունը, տեղեկություններ հեղինակի մասին, ուսուցման նախապայման-ներ, դասընթացի ուսուցման արդյունքում ձեռք բերվող գիտելիքների ու կարողությունների կիրառական նշանակությունը:

Դասընթացի ծրագիր Տվյալ բաղադրամասը հատուկ փաստաթուղթ է, որում ուրվագծվում են դասընթացի և դրա թեմաների բովանդակությունը, նշվում են լսարանա-յին և անհատական աշխատանքների ծավալները, բերվում են հղումներ դասընթացի բացատրական նյութերի, առաջադրանքների, ուսումնական լրացուցիչ աղբյուրների վերաբերյալ: Դասընթացի բովանդակությանն ու խնդիրներին համարժեք ծրագիրը մոտիվացնում է աշակերտներին, կողմ-նորոշում նրանց և նպաստում արդյունավետ աշխատանքին:

Բացատրական նյութեր Տվյալ բաղադրամասը պարունակում է դասընթացի տեսական բնույթի նյութերը:

28

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

Շնորհանդեսային նյութեր Այս բաղադրամասը պարունակում է դասի բովանդակությունը լուսաբա-նող, նյութի ընկալմանը նպաստող գրաֆիկական և տեքստային նյութեր` գծագրեր, բանաձևեր, նկարներ, տվյալներ, տերմիններ, սահմանումներ, վերնագրեր: Շնորհադեսների պատրաստման համար կարելի է օգտվել MS Power Point ծրագրից, www.sway.com, www.prezi.com առցանց գործիք-ներից:

Հղումներ Տվյալ բաղադրամասը պարունակում է դասընթացի ուսուցմանն աջակցող գրականության և ինտերնետային ռեսուրսների ցանկերը, որտեղ նշված են դրանց հասցեները և համառոտ բովանդակությունը:

Հարստացված տեսանյութեր Այս բաղադրամասում տրվում են տեսանյութերը, որոնք հարստացվել են ուսուցչի կողմից: Տեսանյութերի հարստացման համար կարելի է օգտվել www.playposit.com կայքից, որի օգնությամբ տեսադասը ցանկացած պա-հի ընդհատվում է, և աշակերտը պետք է պատասխանի տեսանյութի վե-րաբերյալ թեստի հարցերին, որը ներդրված է տեսանյութում:

Առաջադրանքներ Տվյալ բաղադրամասում տրվում են գործնական, լաբորատոր աշխա-տանքների առաջադրանքներ: Դրանք կարող են զուգակցվել համապա-տասխան տեսական նյութերի հղումներով, ինչպես նաև աշխատանքների կատարման և ձևավորման օրինակներով, հանձնման կարգը սահմանող հանձնարարականներով:

Թեստային նյութեր Բաղադրամասը պարունակում է թեստային հարցեր, խնդիրներ, հնարա-վոր է նաև` օրինակներ, որոնք աջակցում են թեստի հանձնմանը: Թեստային առաջադրանքերը պատրաստելու համար կարելի է օգտվել www.imdproc.am, www.getkahhot.com, www.learningapps.am, www.quizziz.com կայքերից կամ «Hot Patetoes» հավելվածից:

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

29

Առցանց գրատախտակ Տվյալ բաղադրամասը կպարունակի հղում դեպի առցանց գրատախտակ, որի օգնությամբ կկատարվի քննարկում՝ տվյալ թեմայի վերաբերյալ: Որպես առցնանց գրատախտակ կարելի է օգտվել www.padlet.com կայքից:

Առցանց լաբորատորիաներ Այս բաղադրամասը պարունակում է հղումներ դեպի տարբեր առարկա-ներին վերաբերող լաբորատորիաներ, որտեղ հնարավորություն կստեղծ-վի կատարել փորձել և տալ եզրահանգումներ:

Մարզական ծրագրեր Այս բաղադրամասը պարունակում է առարկայական առցանց և լազերա-յին սկավառակներով համակարգչային կրթական խաղեր, որը կօգնի ըն-կալել դասանյութը և ամրապնդել գիտելիքները:

Բացատրական բառարան Տվյալ բաղադրամասը պարունակում է օգտագործված և աշակերտների համար նոր հասկացություններ, տերմինների մեկնաբանություններ ու բացատրություններ` այբբենական կարգով:

Կրթական կայքեր Տվյալ բաղադրամասը պարունակում է կրթական կայքերի հղումներ, օրինակ՝ www.informatika.am, www.aniedu.am, www.imdproc.am, www.armedu.am կայքերը և «ԿԱԻ YouTube-ի կրթական ակադեմիան», որի հղումը հետևյալն է՝ https://www.youtube.com/user/ruzaniko: Այն կրթական տեսադասերի ալիք է՝ 56 տեսադասերով և դրանք ունեն մոտ 110 000 դիտում: Այն նման է ճանաչված «Խան ակադեմիային», սակայն առավելությունը նրանում է, որ հայալեզու է:

Կառուցվածքային բնույթի ցուցումներ Էլեկտրոնային գրքերի պատրաստումը կապված է կառուցվածքային դի-զայնի և նյութերի ֆորմատացման հետ: Կառուցվածքային դիզայնը լու-ծում է գրքի բաղկացուցիչների և դրանց կազմակերպման հարցերը: Էլեկտրոնային գրքերի սկզբում` առաձին էջերում պետք է ներկայացնել

30

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

գրքի հեղինակներին, վերնագիրը, համառոտագիրը և ցանկը` բաժին-ների անվանումներով, իսկ հաջորդող էջերում` բաժինների հաջորդա-կանությունը` յուրաքանչյուրն իր վերնագրով: Գրքում հարմար նավիգա-ցիա ապահովելու համար ցանկի կետերը պետք է ներկայացնել համա-պատասխան բաժիններին ուղղված հղումներով, իսկ բաժինների վերջում տեղադրել հղումներ՝ գրքի ցանկին:

Ծրագրային ապահովում էլեկտրոնային դասագրքի ստեղծման համար Էլեկտրոնային դասագրքի ստեղծման համար հարմար է PDF էլեկտրո-նային գրքի ստեղծումը Microsoft Word միջավայրում, որը հնարավորու-թյուն է տալիս ապահովել նավիգացիան և փաստաթղթի կառավարումը: Այս համակարգը հարմար է նաև այն պատճառով, քանի որ պետք չէ լրացուցիչ ծրագրերի տեղակայում, կիրառում և ուսուցում: Ցանկացած ուսուցիչ հեշտությամբ կկիրառի այն և կկարողանա ստեղծել հարմարա-վետ ինտերֆեյսով (user friendly) էլեկտրոնային դասագիրք:

Ձևաչափային բնույթի ցուցումներ Էլեկտրոնային դասագրքի հարմար դիտումն ու ընթերցումը օգտագործողի համար հարմարավետ դարձնելու համար հարկավոր է՝

• ֆայլի ձևավորում՝ A4 ձևաչափի էջերի օգտագործմամբ, • նյութի բաշխումն էկրանի տարածքով. համակարգչի էկրանին արտա-

պատկերվող տեքստի արդյունավետ ընկալումն ապահովում է ոչ լայն` 15-20 բառանի տողերով տեքստային պարբերությունների ձևավո-րումը, որը զետեղվում է էկրանի կենտրոնում` աջ ու ձախ լուսանցքներ-ով: Լուսանցքներում կարող են զետեղվել վերնագրերն ու նկարները` արդյունավետ ասոցիացիաներ, մեկնաբանություններ ու լուսաբանում-ներ ապահովելու նպատակով,

• տառաչափերի, տառերի ոճերի ճիշտ ընտրություն. Ընթերցման հար-մարավետությունը կարելի է ապահովել 11 և ավելի բարձր չափերի տա-ռերով: Պարբերությունները պետք է ներկայացնել 11 չափերի սիմ-վոլներով, իսկ տարբեր մակարդակների վերնագրերն ավելի մեծ` 12, 14 չափերի 16 սիմվոլներով: Տեքստերում կարող են օգտագործվել մեկ-նաբանություններ, որոնք սովորաբար ներկայացվում են ավելի փոքր չափերի տառերով` 8,9 և դեպի աջ շեղված պարբերություններով:

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

31

Գրականություն

1. https://www.unf.edu/~tcavanau/presentations/SITE/ElectronicTextsasCourseTextbook.htm -Using Electronic Texts as the Course Textbook.

2. https://www.britishcouncil.org/voices-magazine/how-english-teachers-use-ebooks-in-classroom How teachers can use e-books in the classroom

3. https://шцв.рф/ - Электронные учебники

Что такое эектронные учебники Рузанна Степанян

Резюне Статья посвящена структуре и исползованию электронных учебников в

школе. Концепция электронных учебников состоит в том, чтобы сделать их не просто заменителями бумажных пособий, а инструментом обучения с расширенными возможностями по сравнению с традиционными учебни-ками. Основное преимущество электронного пособия —интерактивность. Технологии электронных устройств, на которых будут работать электронные пособия, позволят, помимо текста, предоставлять ученикам возможность открывать аудиофайлы, видеоролики, копии различных документов, перекрестные материалы из других пособий и энциклопедий. Электронные учебники дают возможность использовать меньше ресурсов и получать максимальные результаты: таким образом, обеспечивая непрерывность учебного процесса.

What is the Electronic Textbook

Ruzanna Stepanyan Summary

The paper is devoted to the use of electronic books at school. The concept of e-books is not to replace the paper-based textbooks with them but as compared with traditional textbooks provide great opportunity for learning. The main advantage of e-books is interactiveness. The technology of the electronic devices on the bases of which the e-books will be functioning will

32

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ

give the students the opportunity to open not only the texts but also audio files, video clips, copies of various documents, parallel materials from other manuals and encyclopedia. The e-books give chance to use less resources, and get maximum results thus providing continuous teaching/learning process.

Ռուզաննա Ստեփանյան – Կրթության ազգային ինստիտուտ, Ինֆորմատիկայի և տեղեկատվական տեխնոլոգիաների բաժնի վարիչ Հեռախոս՝. 091-95-54-54 Էլ հասցե՝ ruzanna@aniedu.am

33

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՅՈՒՐԱՑՄԱՆ ՎԱՐԺԱՆՔԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Էմմա Հարոյան Արմինե Նավասարդյան

Բանալի բառեր – տեղեկատվական տեխնոլոգիաներ, ինտե-րակտիվ ուսուցում, ինքնուսուցման վարժանքի համակարգ, տարրական մաթեմատիկայի վարժեցման համակարգ

Համառոտագիր

Մշակված է Web միջավայրում գործող, տարրական մաթեմատիկայի որոշ բաժինների վարժանքի, ավտոմատ կառավարման համակարգ: Ա-ռաջադրանքների ստեղծումը, ստուգումը և առանձին դեպքերում նաև դրանց գնահատումը իրականացվում է բացառապես համակարգչի կող-մից: Բացի վարժանքից, համակարգն օժտված է նաև ուսուցման հնա-րավորությամբ, որը կազմակերպված է տեղեկատուների տեսքով:

Գիտության և կրթության բնագավառում կատարված բազմաթիվ հետազոտություններ վկայում են այն մասին, որ երեխաների մտավոր ընդունակություններն արդյունավետ կերպով զարգանում են հատկապես 2-12 տարեկան հասակում: Ուստի մտածողության և մաթեմատիկական հետաքրքրությունների ձևավորման խնդիրներով պետք է սկսել զբաղվել երեխայի դպրոց մտնելու առաջին իսկ օրից /երբեմն նույնիսկ ավելի վաղ տարիքից/, քանզի հենց այդ ժամանակահատվածում են ձևավորվում բազմաթիվ այնպիսի հմտություններ ու կարողություններ, որոնք հետա-գայում դառնում են սովորողի ուսուցման գործունեության հիմնաքարերը:

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

34

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Անժխտելի փաստ կարելի է համարել այն, որ ուսուցման արդյու-նավետությունն առաջնահերթ կերպով պայմանավորված է հենց սո-վորողի մտավոր ակտիվության մակարդակով: Եթե վերջինս չի ցուցա-բերում անհրաժեշտ հետաքրքրություն և ձգտում մատուցվող նյութի կամ ներկայացված առաջադրանքի նկատմամբ, ապա ուսուցման արդյունա-վետության մասին խոսելը դառնում է բոլորովին ավելորդ: Ասվածից հե-տևում է, որ դպրոցում, հատկապես մաթեմատիկայի, դասաժամերը պետք է լինեն առավել գրավիչ և հետաքրքիր, որպեսզի բարձրացվի սո-վորողների մտավոր ակտիվությունը: Դա թերևս ուսումնական գործըն-թացի ճիշտ և արդյունավետ կազմակերպման ամենից դժվարին պա-հերից մեկն է, քանի որ մատուցվող նյութը պետք է տրամադրվի կրտսեր դպրոցականին նրան իսկ մատչելի և հետաքրքրող ձևերով:

Դասավանդման մեթոդների ճիշտ ընտրման դեպքում մաթեմա-տիկայի դասաժամերը անսպառ հնարավորություն են ընձեռում ուսուցա-նողին զարգացնելու սովորողի մտածողությունը և նրա մաթեմատիկա-կան հետաքրքրությունները: Այստեղ ուսուցչի հիմնական դերը կայանում է դրանց որոշակի ուղղվածություն հաղորդելու, սովորողի մոտ ճանաչո-ղական հետաքրքրություններ ձևավորու և գիտելիքների կարևորությունը ներկայացնելու մեջ: Այդ նպատակին հասնելու ձևերն ու եղանակները բազմազան են: Այսպես օրինակ «Մաթեմատիկայի» դպրոցական դասա-գրքերում կամ ուսումնաօժանդակ ձեռնարկներում կարելի է հանդիպել այնպիսի կատակ և հանելուկ-խնդիրների, տրամաբանական, հետա-քրքրաշարժ կամ խաղային առաջադրանքների, գլուխկոտրուկների, խաչ-բառերի, որոնց ճիշտ և նպատակային կիրառումը անկասկածելիորեն կա-կտիվացնեն սովորողներին, մեծացնելով նրանց հետաքրքրությունը դասի նկատմամբ և ի վերջո կնպաստեն վերջիններիս կարողությունների, հմտությունների և ձեռք բերված գիտելիքների ամրապնդմանը:

Ամեն ինչ թվում է իդեալական լավ, եթե չհաշվենք, որ կրտսեր դպրոցականների մի ստվար զանգված դպրոց է գալիս նախնական գի-տելիքների լիարժեք պաշարով և գրեթե տիրապետում է համկարգչային զանազան խաղերի, մուլտիմեդիայի միջոցներով հագեցված ինքնուսուց-ման համակարգերի շահագործման հրահանգներին և այլն: Այդպիսի երե-խաների թիվը տարեց տարի աճում է: Դա իհարկե մի կողմից լավ է, երբ

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

35

արդեն իսկ կա ձևավորված տրամաբանություն, մտքի ճկունություն, նո-րագույն տեխնոլոգիաների ազատ և անկաշկանդ տիրապետման հմտու-թյուն և այլն, սակայն վերջինս իր հետ բերում է բազմաթիվ դժվարու-թյուններ ևս: Երեխան, որը սովոր է հաղորդակցվել համակարգչի հետ, խաղի տեսքով լուծել կոնկրետ առաջադրանքներ և հաջողությունների դեպքում ձեռք բերել բոնուսներ, դպրոց գալուն պես կարծես թե կտրվում է այդ ամենից և սկսում նոր մեթոդիկաներով ըմբռնել այն ամենը, ինչն իր կարծիքով նա արդեն վաղուց գիտեր: Այստեղ շատ կարևորվում է ուսուցչի մասնագիտական հմտությունները, որոնք նա պետք է դրսևորի 6-7 տարեկան երեխայի նկատմամբ, որպեսզի վերջինս չկորցնի իր հետա-քրքրասիրությունը դասի և դպրոցի նկատմամբ: Նկատենք, որ հիպերակ-տիվ երեխաների առկայությունը դպրոցներում /ի դեպ դրանց քանակի աճին նպաստում են զանազան նախակրթարանները, քոլեջներն ու վճարովի, հատուկ մասնագիտացված, մանկապարտեզները, ինչու չէ ա-ռանձին դեպքերում նաև մայրիկները/ իր հետ բերել է մեկ այլ խնդիր ևս` ուսումնական ծավալների աճ, որի մասին վերջին ժամանակներում ան-ընդհատ խոսվում է թե’ դպրոցներում, թե ԶԼՄ-ներում և թե’ նույնիսկ գի-տության և կրթության նախարարությունում: Չնայած մշտապես նշվում է, որ դպրոցներում պետք է կատարվի ուսումնական ծավալների նվազեցում, սակայն հանուն ճշմարտության պետք է նշել, որ հիմնական բարդու-թյունները պայմանավորված են ոչ այնքան մատուցվող նյութի քանակով, որքան դրանց թեմատիկ տրոհմամբ: Ընտրելով դասավանդման սպիրա-լաձև մոդելը, դասագրքերում կարելի է հանդիպել որոշակի բաժինների ցրվածություն /այսպես օրինակ մաթեմատիկայի 2-րդ, 3-րդ դասա-րանների դասագրքերում, չափման միավորների հետ առնչվող առա-ջադրանքները հանդիպում են 40-50 էջ պարբերականությամբ/: Փաստ է որ առաջադրանքների այս կարգի ցրվածությունը և սակավությունը չի կարող նպաստել նյութի լիարժեք ընկալմանը կամ ձեռք բերված գիտելիք-ների ամրապնդմանը, և նման դեպքերում նյութը յուրացնելու համար երեխան ստիպված է լինում այդ ամենը անգիր հիշել: Ստացվում է այն-պես, որ տրամաբանության զարգազման փոխարեն դպորցներում հիմ-նական շեշտադրումը կատարվում է հիշողության զարգացման վրա:

36

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Հաշվի առնելով բարձրացված խնդիրները և այն որ դպրոցական ծրագրերի մեջ նախատեսված է տարրական կրթության ավտոմատա-ցում, մեր կողմից նախագծվել է տարրական մաթեմատիկայի առանձին բաժինների յուրացման համար ավտոմատ վարժանքի մի համակարգ որը ոչ միայն կօգնի երեխաներին ամրապնդելու իրենց ձեռք բերած գիտելիք-ները մաթեմատիկայի այս կամ այն բաժնից, այլև հենք կհանդիսանա հետագայում նրանց համար նախատեսվող ավտոմատ համակարգերի հետ աշխատանքների կազմակերպման համար:

Ինչպես գիտենք, տարրական կրթության մեջ «Մաթեմատիկա» առարկան իր մեջ ներառում է նախնական /տարրական/ գիտելիքներ բնական թվերի, դրանց համեմատման, թվաբանական չորս գործողու-թյունների, այդ գործողությունների կատարման հիմնական կանոնների, երկրաչափական պարզագույն պատկերների /կամ մարմինների/, պարզ չափումների, ինչպես նաև երկարության, մակերեսի, ծավալի, ժամանա-կի, արագության, զանգվածի և դրանց չափման միավորների մասին տեղեկույթ: Մեր կողմից նախագծված համակարգը ևս ընդգրկում է հիշյալ բաժինները, և մասնավորապես ապահովում է` • թվանշանների և երկրաչափական պատկերների օգնությամբ թվերի

ճանաչում և ուսուցանում, • միանիշ և բազմանիշ թվերի թվային և տառային եղանակներով

գրելաձևերի ուսուցանում, • կարգային գումարելիների տեսքով թվերի ներկայացման ուսուցանում, • վարժանքի և ինքնուրույն առաջադրանքների օգնությամբ միանիշ և

բազմանիշ թվերի հետ հանրահաշվական գործողությունների կատա-րում և գիտելիքների ինքնաստուգում,

• երկարության չափման միավորների ուսուցում, ինչպես նաև վարժանք և առաջադրանքների կատարում այդ մասով,

• զանգվածի չափման միավորների ուսուցում, ինչպես նաև վարժանք և առաջադրանքների կատարում այդ մասով,

• ժամանակի չափման միավորների ուսուցում, ինչպես նաև վարժանք և առաջադրանքների կատարում այդ մասով,

• աշխատանք հաշվիչի հետ: Համակարգը մշակված է այնպիսի Web տեխնոլոգիաներով, ինչպի-

սիք են և΄ HTML-ը, CSS-ը, JavaScript-ը և JQuery-ին: Ուսուցման, վարժանի

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

37

և գիտելիքների ստուգման համար նախատեսված առաջադրանքների գերակշիռ մասը համակարգի կողմից ձևավորվում են ավտոմատ կեր-պով, անմիջականորեն տեղում` պատահական թվերի գեներատորի օգնությամբ, առանձին դեպքերում, /ուսուցման ժամանակ/ թույլ տալով ուսուցանվողներին ներմուծել իրենց իսկ ցանկությամբ թվեր կամ կատարել չափման միավորների ընտրություն: Որպեսզի ասվածն ավելի հասկանալի լինի փորձենք հակիրճ ձևով ներկայացնել այն:

Եվ այսպես, ,,Մաթեմատիկա երեխաների համար’’ վերնագիրով տար-րական մաթեմատիկայի վարժանքի համակարգի գլխավոր ինտերֆեյսն ունի նկ 1-ում բերված տեսքը: Այն ունի մեկ հրամանային ընտրանի, որի առանձին կետերից կարելի է թողարկել վայր ընկնող ենթամենյուներ, իսկ դրանցից որոշներից առանձին դեպքերում նաև այլ ենթամենյուներ: Հաշվիչը, որը նախատեսված է 4-րդ դասարանի մաթեմատիկա առարկայի առանձին վարժությունների ինքնաստուգման համար, այստեղ ևս նույն նպատակին է ծառայում և այն տեղակայված է ընտրանու աջ մասում:

Ասենք որ, մշակված փաթեթի բոլոր ենթաբաժինները բացառապես կրկնում են դպրոցական դասագրքերի համապատասխան բաժինները, վարժությունների և առաջադրանքների տեղում ձևավորման և համա-կարգի կողմից ստուգման և գնահատման հնարավորություններով:

38

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Եվ այսպես գլխավոր հրամանային մենյուի առաջին կետն ունի «Աշխա-տանք թվերի հետ» վերնագիրը: Չմանրամասնելով նրանից վայր ընկնող

բոլոր ենթակետերի նշանա-կությունները, կանգ առ-նենք դրանցից մի քանիսի վրա: Այսպես օրինակ ,,Թվերի ընթերցանություն’’ ենթակետի թողարկման արդյունքում էկրանին հայտնված ինտերֆեյսի մի-ակ տեքստային դաշտում բնական թվի ներմուծումը /առավելագույնը 18 թվա-նշան/ զուգակցվում է վեր-

ջինիս հայերեն գրելաձևի ներկայացմամբ /տես նկ 2-ը/, իսկ ահա ,,Վերծանում ըստ կարգերի’’ ենթակետից թողարկված ինտերֆեյսի դեպ-քում օգտատերը կարող է տեսնել վերջինիս վերծանումը ըստ առանձին կարգերի /տես նկ 3-ը/: Նույն ընտրանու թվերի գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում ենթակետերի առանձին ենթաբաժինները ստեղծված են միևնույն տրամաբանությամբ, որտեղ նախ յուրաքանչյուր դեպքի համար նախատեսված է տեսական մասի ակնարկ, որպեսզի երե-խան վերհիշի իր անցած նյութը, որից հետո վարժանքի և առաջադրանք-ների տեսքով նա կարող է ամրապնդել իր գիտելիքները և կատարել դրանց ինքնաստուգում ինչպես միանիշ, այնպես և բազմանիշ թվերի համար: Այսպե օրինակ նկար 4–ում բերված է բազմանիշ թվերի գումար-ման մի այդպիսի դեպք: Օգտատերը թողարկելով ,,Գեներացնել’’ հրամա-նային կոճակը անմիջականորեն էկրանին ստանում է 9 առանձին վար-ժություններից բաղկացած իր առաջադրանքը, որը դասարանում չի կարող համընկներլ մեկ այլ երեխայի առաջադրանքի հետ: Կատարելով համապատասխան գործողությունները և յուրաքանչյուր վարժության համար թողարկելով «Ստուգել» հրամանային կոճակը երեխան, առանց կողմանկի անձի միջամտության /ուսուցիչ կամ ծնող/ կարող է տեսնել լուծման արդյունքը: Սխալ լուծումների դեպքում համակարգը ահազան-գում է կարմիր կոճակով /ճիշտ պատասխանի դեպքում կանաչ/ և

Նկ. 4 Կարգային անցումով բազմանիշ թվերի գումարման առաջադրանքի ինտերֆեյը

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

39

պատասխանի համար նախատեսված տեքստային դաշտից անմիջապես ներքևի հատվածում էկրան դուրս բերում ճիշտ պատասխանը: Այլ կերպ ասած առաջադրանքների կատարումը ևս զուգակցվում է ուսուցմամբ: Առաջադրանքի կատարման զուգընթաց առանձին դաշտերում հաշվարկ-վում և ներկայացվում են ճիշտ ու սխալ լուծումների քանակները:

Գլխավոր հրամանային մենյուի ,,Աշխատանք թվերի հետ’’ կետում ընդգրկված են նաև թվերի համեմատման առաջադրանքներ, ինչպես նաև կոտորակային թվերի ուսուցում և ծանոթացում երկրաչափական պատկերների հետ:

Գլխավոր հրամանային ընտրանու հաջորդ 3 կետերը, որոնք ունեն համապատասխանաբար` «Երկարության չափման միավորներ», «Զանգ-վածի չափման միավորներ» և «Ժամանակի չափման միավորներ» վերնա-գրերը, նախագծված են միևնույն տրամաբանությամբ, ուստի մենք կներ-կայացնենք դրանցից միայն մեկը:

Եվ այսպես մանրամասնենք ,,Երկարության չափման միավորներ’’ ընտրանուց վայր ընկնող ցանկի կետերը: Դրանք 4-ն են և ներկայացված են ստորև 1. Տեղեկատու – այս ենթակետը նախատեսված է հակիրճ տեղեկատ-

վության ներկայացման համար: Այստեղ հիմնականում տրված է լինում չափման միավորների և դրանց անցումների վերաբերյալ մի փոքր տեղեկույթ: /տես նկ 5-ը/

2. Վարժանք վերնագրով ենթակետը նախատեսված է հիմնականում

չափման մի միավորից մյուսին անցման վարժանքի կազմակերպման

Նկ 5. Երկարության չափման միավորներ կետի Տեղեկատու

Նկ 6. Երկարության չափման միավորներ կետի Վարժանք

40

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

համար: Այստեղ օգտատերը ընտրում չափման միավորների անցման աջակողմյան և ձախակողմյան սանդղակները և ներմուծում թվեր: Հա-մակարգը ավտոմատ կերպով յուրաքանչյուր ներմուծված թվի /կամ թվերի/ համար ստանում և էկրան է դուրս բերում համարժեք թիվը անցման համար սահմանված միավորին համապատասխան /տես նկ 6-ը/: Բերված օրինակում կարելի է տեսնել 1 չափման միավորի դեպ-քում 50 սմ =5 դմ և 2 չափման միավորների դեպքում 2մ 3դմ = 230 սմ արդյունքները: Ինտերֆեյսի ստորին մասում նաև առկա է 3 միա-վորների դեպքը: Այստեղ բավական է փոխվեն թվերը կամ չափման միավորները, արդյունքը տեղում կլինի այլ:

3. Ինքնաստուգում վերնագրով ենթակետից թողարկված ինտերֆեյսը նախատեսված է չափման մի միավորից մյուսին անցման առաջա-դրանքների կազմակերպման համար: Այս ինտերֆեյսում ոչ թե համա-կարգն է հաշվարկում և ներկայացնում արդյունքը, այլ երեխան ինքն է լուծում գեներացված առաջադրանքները և ինքնաստուգման եղանա-կով գնահատում իր ձեռքբերումները: Ինտերֆեյսի արտաքին տեսքը բերված է նկ 7-ում: Այս դեպքում ևս սխալ պատասխանները ներկվում են կարմիր, իսկ ճիշտ լուծումները կանաչ դրոշներով, և վերին աջ անկյունում երեխան հնարավորություն ունի տեսնելու ընթացիկ պահին իր կողմից ճիշտ և սխալ լուծումների քանակները: Կրկին թողարկելով «Գեներացնել» հրամանային կոճակը և փոփոխելով չափման միավոր-ների սանդղակները, օգտատերը հնարավորություն ունի գիտելիքների ինքնաստուգում կազմակերպել նաև այլ միավորների համար: Ինչպես տեսնում ենք բերված ինտերֆեյսից, այստեղ կարելի է ,,2-չափման մի-ավորների համար’’ կամ ,,3 չափման միավորների համար’’ հրամանա-յին կոճակների թողարկմամբ անմիջականորեն անցում կատարել հա-մանուն վերնագրերով ինքնաստուգման ինտերֆեյսերին, որտեղ աշ-խատանքի սկզբունքը և գործողությունների կազմակերպման տրամա-բանությունը նույնն է, սակայն մի դեպքում 2 մյուս դեպքում 3 չափման միավորների համար:

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

41

4. Առաջադրանքներ վերնագրով հրամանային կետի թողարկումը թույլ

է տալիս կատարել գումարման և հանման գործողություններով վար-ժությունների լուծումներ չափման միավորների նախնական ընտր-մամբ և դրանց արտահայտմամբ: Այս դեպքում ևս համակարգը թույլ է տալիս տեղում կատարել թվերի գեներացում և լուծված առաջա-դրանքների ստուգում ու գնահատում:

Ինչպես արդեն ասվեց վերևում չափման մյուս միավորների /զանգ-

ված և ժամանակ/ համար նախատեսված ինտերֆեյսերը և դրանցում իրականացվող աշխատանքների կազմակերպման մեխանիզմները նույնն են, ուստի մենք դրանց վրա կանգ չենք առնի, այլ միանգամից կներկա-

յացնենք հաշվիչի արտաքին տեսքը: Ինչպես տեսնում ենք այն բավականին պարզ է և շատ գործողություններ չի պա-րունակում և դա կազմակերպ-վել է այն նպատակով, որ տար-րական դասարանի երեխան զբաղվի միայն իր համար սահ-մանված առաջադրանքների ինքնաստուգմամբ, այլ ոչ թե նորարարությունների /օրինակ

Նկ 7. Երկարության չափման միավորներ կետի Ինքնաստուգում ենթակետը 1-

չափման միավորի համար

Նկ 8. Երկարության չափման միավորներ կետի Ինքնաստուգում ենթակետը 3-չափման միավորի

համար

Նկ 9. Հաշվիչի արտաքին ինտերֆեյսը

42

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

թվից քառակուսի արմատ հանել, կամ թիվը աստիճան բարձրացնել և այլն/

Այսպիսով տարրական մաթեմատիկայի վարժանքի համար նախա-տեսված այս համակարգը օգտակար կարող է լինել ինչպես տարրական դասարանների աշակերտների համար, այնպես և կամայական տառա-ճանաչ այն նախադպրոցականների համար, ովքեր ունեն համակարգ-չային շահագործման տարրական գիտելիքներ /թվանշանների տեղը ստեղնաշարի վրա, մկնիկի թողարկումը, հրամանային կոճակների թո-ղարկում և այլն/: Համակարգը թույլ կտա վարժանքի եղանակով ամրա-պնդել ձեռք բերված գիտելիքները, ժամանակ առ ժամանակ ինք-նաստուգման եղանակով կատարել դրանց օբյեկտիվ գնահատում և բացթողումների լրացում:

Գրականություն

1. Davide Kadavy - Design for Hackers: Reverse Engineering Beauty 1st Edition.

2. William Lidwell-Jill Butler- Universal Principles of Design, Revised and Updated: 125 Ways to Enhance Usability, Influence Perception, Increase Appeal, Make Better Design Decisions, and Teach through Design Second Edition, Revised and Updated Edition.

3. Dan M. Brown- Communicating Design: Developing Web Site Documentation for Design and Planning (2nd Edition) (Voices That Matter) 2nd Edition.

4. Steve Krug- Don't Make Me Think, Revisited: A Common Sense Approach to Web Usability (3rd Edition) (Voices That Matter) 3rd Edition.

5. Jennifer Niederst Robbins - Learning Web Design: A Beginner's Guide to HTML, CSS, JavaScript, and Web Graphics 4th Edition.

6. Jon Duckett- HTML and CSS: Design and Build Websites 1st Edition

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

43

СИСТЕМА ОСВАЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ МЕТОДОМ ТРЕЙНИНГА Е. Ароян, А. Навасардян

Резюме Разработана система обучения некоторых разделов математики

методом трейнинга, в котором задание, контроль и проверка обеспе-чиваются исключительно компютером. Обучение, организованно в стиле спавочника.

THE SYSTEM OF DEVELOPMENT OF MATHEMATICS AT ELEMENTARY SCHOOL BY A TRAINING METHOD

E.Haroyan, A.Navasardyan Summary

The system of training of some sections of mathematics is developed by

method of a training in which a task, control and check are provided only with the computer. Training, is organized in style of a spavochnik.

Արմինե Հրաչիկի Նավասարդյան - Հայկական Պետական Մանկավարժական Համալսարանի Ինֆորմատիկայի և դրա դասա-վանդման մեթոդիկայի ամբիոնի դոցենտ, տ.գ.թ.

Հեռ.՝ 091 47 47 99 Էլ հասցե ՝ nav_arm@rambler.ru

Էմմա Սոսի Հարոյան - Հայկական Պետական Մանկավարժական Համալսարանի Ինֆորմատիկայի և դրա դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի Ինֆորմատիկա մասնագիտության բակալավրի շրջանա-վարտ

Հեռ՝ 098 48 30 38 . E_mail: Էլ հասցե՝ emma.haroyan@gmail.com

44

ԱՌԱՋԻՆ ՀԱՅԿԱԿԱՆ ՏՊԱԳԻՐ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԳԻՐՔԸ

Հասմիկ Այվազյան

Բանալի բառեր – տպագիր գիրք, մաթեմատիկա, թվա-բանություն, գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում

Առաջին հայկական տպագիր մաթեմատիկական գիրքը′ լույս է տե-

սել 1675թ. Ֆրանսիայի Մարսել քաղաքում և կոչվել է′ «Արհեստ համա-րողութեան ամբողջ եվ կատարեալ», Ոսկան Երևանցու մահվանից մեկ տարի անց, այն պատկանում է Ոսկանյան տպագրությանը: Այն աշխար-հաբար գրված առաջին հրատարակությունն է, որի անվանումը թարգմա-նաբար նշանակում է′ «Թվերի արվեստ»: Գրքի անվանաթերթից երևում է, որ այն թարգմանություն է: ՈՒսումնասիրությունները բերել են այն եզ-րակացության, որ թարգմանությունը պատկանում է լեզվաբան Հովհան-նես («Հոլով») Հակոբյան Կոնստանդինուպոլիսեցուն:

«Արհեստ համարողութեան ամբողջ եվ կատարեալ» գրքի առաջա-բանը և վերջաբանը շարադրված է գրաբար, իսկ ամբողջ տեքստը աշ-խարհաբար: Գիրքը ծավալով 147 էջ է: Բաղկացած է երկու մասից, որոնք էլ իրենց հերթին բաժանված են գլուխների: Առաջին մասը, որի ծավալը 79 էջ է ունի հինգ գլուխ, իսկ երկրորդ մասը՝ երեք: Գրքում թվաբանական սահմանումներ չկան: Մեկնաբանվում են գործնական հաշվումներ կա-տարելու եղանակները: Թարգմանիչը առաջին մասի առաջին գլխում մանրամասն բացատրելով տասնորդական «պոզիցիոն» համակարգը, գործածել է «զերօ» հասկացությունը, թվանշաններին անվանել «գրեր»:

ԿՐԹԱԿԱՆ

ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

45

Ասել է «Համրողութիունը մի արհեստ է, որ թիվ գրելու ճանապարհ կուսուցանե»: Եվ որ գրերը տասն են՝. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0:

Ուշագրավ է այն փաստը, որ «միլիարաւոր» ու «միլիարսաւոր» հաս-կացությունները առաջին անգամ են օգտագործվում մաթեմատիկական գրականության մեջ: Ահա այս տեսքով են ներկայացրել կարգերը. միաւոր 1 տասնաւոր 2 0 հարիւարաւոր 3 0 0 հազարաւոր 4 0 0 0 ժ հազարաւոր 5 0 0 0 0 ճ հազարաւոր 6 0 0 0 0 0

բիւրաւոր 7 0 0 0 0 0 0 ժ բիւրաւոր 8 0 0 0 0 0 0 0 ճ բիւրաւոր 9 0 0 0 0 0 0 0 0 միլիարաւոր 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ժ միլիարաւոր 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ճ միլիարաւոր 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 միլիասաւոր 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Առաջին մասի երկրորդ գլխում մանրամասն բացատրում է գումարման կանոնը, որտեղ ասում է «բարդելն են է որ ջոկ ջոկ գրած թվերն մեկ տեղ ժողովել կուսուցանե: Բայց գրերն պիտի այնպես տեղաւորած որ միաւորն միաւորին, տասնաւորն տասնաւորին, հարիւրաւորն հարիւրաւորին և հազարաւորն հազարաւորին տակն լինի» օրինակ՝ Եվ եթե գումարվող թվերը շատ են քանակով կարելի է մի քանի մասի (խմբի) բաժանելով, առանձին մասերը (խմբերը) գումարելով ստանալ ամբողջը: Եվ յուրաքանչյուր օրինակից հետո կատարել է ստուգում՝ հանելով:

7 1 0 6 5 4 8 9 0 7 5 6 7 8 9

8 8 0 7 7 7 2 3 0

46

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

Երրորդ գլխում բացատրում է հանման կանոնը, որտեղ ասում է «Հանելն են է որ մին պզտիկ թիվ մի ի մեծ թվեն կամ հաստատ թիվ մի′ ի հավասար թվեն դուրս քաշել կուսուցանե: Իսկ մեծութիւն և պզտիկութին հաւասարութիւնն և անհավասարութին թվին վերջի (ձախից առաջինը) գրերեն կուճանաչվի» օրինակ բերված է Չորրորդ գլխում մանրամասն բացատրում է բազմապատկման կանոնը, որտեղ ասում է «Բազմացնելն են է որ մին թիվ մի մին ուրիշ թվի չափովն ավելացուցնել կուսուցանե, բայց յառաջ քան թե սկսանիմք բազմացնել հարկաւոր է որ գիտենամք պիթագորասի աղիւսակն որ հեշտ լինի գործն»

Հինգերորդ գլխում բացատրում է բաժանման կանոնը, որտեղ ասում է «Բաժանելն են է վոր մեկ թիվ մի մեկ ուրիշ թվի չափովն կտրատել կուսուցանե, բայց յառաջ քան թե սկսնումք բաժանել հարկաւոր է որ գիտենամք զայս աղիւսակս որ հեշտ իմանամք թե մեկ բաժանօղ թիվ մի մեկ բաժանելու թվի միջումն քանի անգամ կու գտնվի»

3 2 7 1 5 8 9 4 0 2 3 6

3 2 3 1 3 5 3

1 2 3 4 5 6 7 8 92 4 6 8 10 12 14 16 183 6 9 12 15 18 21 24 274 8 12 16 20 24 28 32 365 10 15 20 25 30 35 40 456 12 18 24 30 36 42 48 547 14 21 28 35 42 49 56 638 16 24 32 40 48 56 64 729 18 27 36 45 54 63 72 81

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

47

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2

4 3 6

48

510

612

7 14

816

918

1020

1122

12 24

3 3 9

4 12

515

618

721

8 24

927

1030

1133

1236

4 4 16

5 20

624

728

832

9 36

1040

1144

1248

5 5 25

6 30

735

840

945

1050

1155

1260

6 6 36

7 42

848

954

1060

11 66

1272

7 7 49

8 56

963

1070

1177

12 84

8 8 64

9 72

1080

1188

1296

9 9 81

10 90

1199

12108

10 10 100

11 110

12

11 11 121

12 132

120

12 12 144

Oրինակ, 76048 թիվը 8-ի բաժանելը գրի է առնում այսպես. 4

7 6 0 4 8 ( 9 5 0 6 )

7 2 8 8 8

Երկրորդ մասի առաջին գլխում ուսումնասիրվում են կոտորակ-ները, երկրորդ և երրորդ գլուխները նվիրված են թվաբանական խնդիր-ների լուծմանը:

Այստեղ բացատրվում են պարզ ու բարդերից կանոնները, որոնք կիրառվում են զանազան տեսակի խնդիրների լուծման ժամանակ, եր-րորդ գլխում խնդիրների մի զգալի մասը վերաբերում է տոկոսներին:

48

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

Դասագրքում չկան մաթեմատիկական սահմանումներ և ապա-ցույցներ, այլ միայն ցույց են տրվում գործնական հաշվումներ կատարելու եղանակներ: Գործածված են այլ երկրների չափի և կշռի միավորներ, տարբեր հասկացություններ: Իտալական, ֆրանսիական, տաճկական տերմինների հետ մեկտեղ գործածվում են նաև <<սարմիա>> իրանական բառը, որ նշանակում է դրամագլուխ:

Հեղինակը ամբողջ գրքում օգտագործել է մեր այժմյան թվանշան-ները, սակայն գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման, հավասարման և այլ մաթեմատիկական նշաններ չի կիրառել:

Դասագրքի բովանդակությունից պարզ երևում է, որ այն գործ-նական թվաբանության ձեռնարկ է: Այս գրքի հիմնական նպատակն է եղել բավարարել հայ առևտրականների պահանջը:

ПЕРВАЯ АРМЯНСКАЯ ПЕЧАТНАЯ КНИГА Асмик Айвазян

Резюме

В статье приводится описание первой армянской печатной книги. Это труд Воскана Ереванци <<Практика вычисления цельное и совершенное>>, печатанный в Марселье 1675г. Книга написана длв торговцев и содержит правила вычисления и соответствующие примеры.

THE FIRST АRMENIAN PRINTED BOOK Hasmik Ayvazyan

Summary

The article devoted to the first Armenian printed book. This is the work of Voskan Erevantsi << The practice of calculating the whole and perfect >>, printed in Marseilles in 1675. The book is written for merchants and contains calculation rules and relevant examples.

Հասմիկ Այվազյան - Չարենցավանի Ամենայն Հայոց Կաթողիկոս Վազգեն Ա-ի անվան թիվ 3 հիմնական դպրոց Էլ. փոստ` a-hasmik@mail.ru Հեռախոս՝ 093 867 075

49

ՊՐՈԳՐԵՍԻԱՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՄԲ ԼՈՒԾՎՈՂ ԽՆԴԻՐՆԵՐ

Օվսաննա Աբրահամյան

Բանալի բառեր – հաջորդականություն, պրոգրեսիա, թվաբանական, երկրաչափական, խնդիր, բանաձև, հատկու-թյուն, ռացիոնալ թիվ, իռացիոնալ թիվ, ապացույց

Աշխատանքում կդիտարկվեն խնդիրներ, որոնք լուծվում են և՛ թվա-բանական, և՛ երկրաչափական պրոգրեսիաների օգտագործմամբ: Հա-մապատասխան բանաձևերի և հատկությունների իմացությունը ենթադր-վում է: Խնդիր 1. )( na թվաբանական պրոգրեսիան այնպիսին է, որ

13321 13...32 aaaa ++++ (*) թիվը ռացիոնալ է: Ապացուցել, որ

13321 ,...,,, aaaa թվերից գոնե մեկը ռացիոնալ թիվ է: Ապացուցում: Ունենք

=+++++++=++++ )12(13...)2(3)(213...32 111113321 dadadaaaaaa =++++++++= )156...1262(13...32 1111 ddddaaaa

1

1

(1 2 3 ... 13) (1 2 2 3 3 4 ... 12 13)

(1 13) 13 12(12 1)(12 2)

2 3

a d

a d

= + + + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =+ ⋅ + += ⋅ + ⋅ =

91111 91)8(919189114134137 adadada ⋅=+=⋅+=⋅⋅⋅+⋅= :

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉՒՆ

50

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

Հետևաբար 913321 9113...32 aaaaa ⋅=++++ , որը ըստ պայմանի ռացիոնալ թիվ է: Իսկ սա նշանակում է, որ նշված պրոգրեսիայի 9a -րդ անդամը ռացիոնալ թիվ է:

Այժմ ցույց տանք, որ գոյություն ունի թվաբանական պրոգրեսիա, որի համար (*) արտահայտությունը ռացիոնալ է, և բացի 9a -ից մնացած

2 3 8,, ,....,a a a և 10 11 12, 13,, ,a a a a իռացիոնալ թվեր են: Վերցնենք 2=d

իռացիոնալ թիվը և դիտարկենք 2891 −=a առաջին անդամով թվաբանական պրոգրեսիան:

2891 −=a ; 2792 −=a ; … 298 −=a ; 99 =a ; 2910 +=a ;

22911 +=a ; 23912 +=a ; 24913 +=a : Այս պրոգրեսիայում բացի 99 =a -ից, մնացած 821 ..., aaa և

13121110 ,,, aaaa թվերը կլինեն իռացիոնալ, քանի որ 2 -ը իռացիոնալ թիվ է: Խնդիր 2. Իրարից տարբեր cba ,, թվերը երկրաչափական պրոգրե-

սիայի հաջորդական անդամներ են, իսկ 1

1

+a,

1

1

+b,

1

1

+c թվերը կազ-

մում են թվաբանական պրոգրեսիա: Գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի գումարը: (տե՛ս [2] N480*) Լուծում: Քանի որ, ըստ պայմանի cba ,, թվերը իրարից տարբեր են և կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա, ապա համաձայն երկրաչա-փական պրոգրեսիայի բնութագրիչ հատկությանը

2bac = (3) և ca ≠ :

Բացի այդ 1

1

+a,

1

1

+b,

1

1

+c թվերը կազմում են թվաբանական պրո-

գրեսիա, ապա 1−≠a , 1−≠b , 1−≠c , և 0≠⋅⋅ cba : Ըստ թվաբանական պրոգրեսիայի բնութագրիչ հատկության

1

2

1

1

1

1

+=

++

+ bca ⇔

)1(

2

)1)(1(

)1()1(

+=

+++++

bcaac

⇔

)1)(1(2)2)(1( ++=+++ cacab ⇔

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

51

222222 +++=+++++ caaccabbcba ⇔ 022 =−+−−+ acbcabcba ⇔

bbcba 2)1()1( +−+− - 22b 0= ⇔ 0)1(2))(1( =−−+− bbcab ⇔0)2)(1( =−+− bcab ⇔

=−+

=−02

01

bcab

⇔

=+

=)4( 2

1

bcab

Ստացված համախմբի վերջին հավասարումը, ըստ թվաբանական պրոգրեսիայի բնութագրիչ հատկության նշանակում է, որ cba ,, թվերը միաժամանակ կկազմեն նաև թվաբանական պրոգրեսիա: Ցույց տանք, որ այդ դեպքում այդ թվերը կարող են լինել իրար միայն հավասար:

Իրոք: (3)-ից և (4)-ից կստանանք 22 )2()( bca =+ ⇔ 222 42 bacca =++ ⇔ acacca 4222 =++ ⇔

04222 =−++ acacca ⇔ 02 22 =+− caca ⇔ 0)( 2 =− ca ⇔ ca = որն էլ հակասում է խնդրի պայմանին:

Հետևաբար (4)-ը տեղի չունի: Ստացանք 1=b , որտեղից էլ կստանանք

1=ac ⇔ a

c 1= և 1≠a , 0≠a , 1−≠a :

Ունենք`

1

3

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

+=

++

+=

++

++

+ bbbbca

և քանի որ 1=b կստանանք

5.12

3

11

3

1

1

1

1

1

1 ==+

=+

++

++ bca

:

Եվ այսպես, a , 1, a1

թվերը կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա,

իսկ

1

1

+a;

11

1

+;

aa

ac +

=+

=+ 11

11

1

1

թվերը կկազմեն թվաբանական պրոգրեսիա`

52

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

1

1

+a;

2

1;

aa+1

: 1≠a , 1−≠a , 0≠a :

Պատ.` 1.5: Խնդիր 3. Ցույց տալ, որ գոյություն ունի թվաբանական պրոգրեսիա, որի անդամներն են հանդիսանում 2, 3, 5 թվերը: Լուծում: Ցույց տանք, որ կա այնպիսի թվաբանական պրոգրեսիա, որի անդամներն են հանդիսանում 2, 3, 5 թվերը:

Դիցուք` 21 =a , 3=ma , 5=na թվերը ինչ-որ թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին, m -րդ և n -րդ անդամներն են:

Այդ դեպքում 3)1(1 =−+= dmaam և 5)1(1 =−+= dnaan :

Տեղադրելով 21 =a , կստանանք`

=−+=−+

5)1(2

3)1(2

dndm

⇔

=−=−

3)1(

1)1(

dndm

3

1

1

1 =−−

nm

,

որտեղ Nnm ∈, , և հասկանալի է, որ 1, >nm : Ունենք` 1)1(3 −=− nm ⇔ 133 −=− nm 23 −= mn :

Բացի այդ` 1

1

−=m

d : Վերցնելով 6=m , կստանանք`

2.05

1 ==d , իսկ 16263 =−⋅=n :

Այսպիսով, 21 =a անդամով և 2.0=d տարբերությամբ թվաբա-նական պրոգրեսիայի 6-րդ անդամը կլինի` 36 =a -ը, իսկ 16-րդ անդամը կլինի` 516 =a -ը:

Խնդիր 4. Ցույց տալ, որ գոյություն չունի այնպիսի երկրաչափա-կան պրոգրեսիա, որի անդամներն են հանդիսանում 2, 3, 5k m nb b b= = = թվերը, որտեղ n m k> > :

Լուծում: Ցույց տանք, որ գոյություն չունի երկրաչափական պրոգրեսիա, որի անդամներ կարող են լինել (հասկանալի է, որ անպայման իրար հաջորդող) 2, 3, 5k m nb b b= = = թվերը, որոնք բավարա-րում են n m k> > պայմանին:

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

53

Կատարենք հակասող ենթադրություն: Ենթադրենք, որ կա այնպիսի երկրաչափական պրոգրեսիա, երի համար 2, 3, 5k m nb b b= = = :

Այդ դեպքում՝ 1 1 11 1 12 , 3 , 5k m n

k m nb b q b b q b b q− − −= = = = = = Բաժանելով իրար, կստանանք՝

kmkmk

m

k

m qqqbqb

bb −−−−

−

−

==== )1()1(1

1

11

2

3 և

knknk

n

k

n qqqbqb

bb −−−−

−

−

==== )1()1(1

1

11

2

5:

Ունենք`

=

=

−

−

2

52

3

kn

km

q

q ⇔

=

=

−−−

−−−

)()(

)()(

2

5)(

2

3)(

kmkmkn

knknkm

q

q, որտեղից

)()(

2

5

2

3kmkn −−

=

:

Ենթադրենք, որ kmn >> : Այդ դեպքում

km

km

kn

kn

−

−

−

−

=2

5

2

3,

և քանի որ kmkn −>− , կստանանք )()()()( 523 kmkmknkn −−−−− ⋅= ⇔ )()()( 523 kmmnkn −−− ⋅= :

Համաձայն ենթադրության, akn =− , bmn =− , ckm =− բնական թվեր են: Հետևաբար cba 523 ⋅= : Վերջին հավասարության բո-լոր անդամները բնական թվեր են: Ընդ որում, աջ մասը զույգ թիվ է, իսկ ձախ մասը` կենտ: Սա նշանակում է, որ վերջին հավասարությունը տեղի ունենալ չի կարող: Ուստի մեր ենթադրությունը սխալ էր: Այսինքն` այդպիսի երկրաչափական պրոգրեսիա գոյություն չունի, որի անդամներ լինեն 2, 3 և 5 թվերը: Խնդիրը լուծված է:

Գրականություն

1. http://lib.armedu.am 2. Հ.Ս. Միքայելյան – Հանրահաշիվ 9, Երևան, Էդիթ Պրինտ, 2008 թ.:

54

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

3. Գ.Գ. Գևորգյան, Ա.Ա. Սահակյան – Հանրահաշիվ և մաթեմատիկա-կան անալիզի տարրեր – 11 (բնագիտամաթեմատիկական հոսքի համար), Երևան, Տիգրան Մեծ, 2010 թ.:

4. Գ.Գ. Գևորգյան, Ա.Ա Սահակյան – Հանրահաշիվ և մաթեմա-տիկական անալիզի տարրեր – 10, Երևան, Էդիթ Պրինտ, 2001 թ.:

PROBLEMS THAT ARE SOLVED USING ARITHMETIC

AND GEOMETRIC PROGRESSION Ovsanna Abrahamyan

Summary

In this work we consider problems that are solving by arithmetic and geometric progressions. It is helpful for primary school pupils in studying the theme of progressions.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССЯМИ

Овсанна Абраамян Резюме

В работе рассматриваются решения задач с приминением арифметической и геометрической прогрессией. Эти задачи полезны учащимся основной школы, при изучении темы – “Прогрессия”.

Օվսաննա Հովհաննեսի Աբրահամյան – Երևանի թ 160 հիմնական դպրոցի ուսուցչուհի Էլ. փոստ` ovsanna-abrahamyan@rambler.ru Հեռախոս՝ 094 437 447

55

ՖԻՇԿԱՆԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ ԽԱՂ-ԽՆԴԻՐ

Հայկ Միքայելյան

Բանալի բառեր – տեղափոխություն, տեղափոխության զույգություն, խաղ-խնդիր, տեղադրությունների խումբ:

Ներածություն

Կիրառելով տեղադրությունների խմբերի որոշ հատկություններ՝ Լ.Ա․ Կալուժնինը և Վ․ Ի․ Սուշանսկին [1] տալիս են մի շարք խաղ-խնդիր-ների լուծումներ: Ա. Յու. Օլշանսկին ավագ դպրոցականների համար նա-խատեսված իր աշխատանքում [3] բերում է նման խաղ-խնդիրներից մեկի լուծումը: Ահա այդ խնդիրը:

Խաղ-խնդիր: 4x4 վանդակներից բաղկացած խաղատախտակի 15 վանդակներում տեղադրված են 1-ից 15 համարներով ֆիշկաներ: Վան-դակներից մեկը դատարկ է մնում, որտեղ կարելի է «հրել» նրա հարևան վանդակների ֆիշկաներից յուրաքանչյուրը:

Օրինակ, նկար 1-ում դատարկ վանդակ կարելի է «հրել» 2, 8, 11 և 4 ֆիշկաները: Նման յուրաքանչյուր «հրումը» անվանենք մեկ քայլ: Խնդի-րը հետևյալն է. արդյոք հնարավո՞ր է ֆիշկաների տրված դասավորու-թյունից ստանալ կամայական դասավորություն՝ վերջավոր թվով քայլեր կատարելով: Օրինակ, հնարավո՞ր է 1 դիրքից ստանալ 2 դիրքը:

Այս խնդիրը լուծելու համար [3] աշխատանքում ներմուծվում է տե-ղադրությունների խմբի գաղափարը և ապացուցվում նրա որոշ հատկու-թյուններ: Մենք խնդիրը լուծում ենք՝ օգտվելով միայն տեղափոխության և նրա զույգության գաղափարներից, ինչն էականորեն հեշտացնում է լուծումը:

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

56

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

1 2 3 5

4 8 79 11 10 12

13 14 15 6

Նկ. 1

Տեղափոխություններ, դրանց զույգությունը և կենտությունը

Տեղափոխության հասկացության հետ կարելի է ծանոթանալ հան-րակրթական դպրոցի հանրահաշվի 9-րդ և 11-րդ դասարանների դասըն-թացներում, ինչպես նաև բուհերի մաթեմատիկայի մասնագիտության բարձրագույն հանրահաշվի դասընթացում (տես [2]): Հիշեցնենք, որ 1, 2, …, n տարրերի տեղափոխություն է կոչվում , , …, հաջորդակա-նությունը, եթե { , , …, } = {1, 2, …, n}: Սովորաբար հաջոր-դականությունը որպես տեղափոխություն դիտարկելիս նրա անդամների միջև դրվող ստորակետները բաց են թողնում: Օրինակ, 1, 2, 3 տարրերի տեղափոխություններն են՝ 123, 132, 213, 231, 312, 321:

Տեղափոխության կամայական տարրի անկարգությունների թիվը տեղափոխության մեջ այդ տարրից դեպի ձախ և նրանից մեծ տարրերի թիվն է: Օրինակ, 312 տեղափոխության մեջ 1-ի և 2-ի անկարգությունների թիվը 1 է, 3-ինը՝ 0, իսկ 2431 տեղափոխության մեջ 1-ի անկարգություն-ների թիվը 3 է, 2-ինը՝ 0 և այլն: Տեղափոխության անկարգությունների թիվը համընկնում է նրա բոլոր անդամների անկարգությունների թվի գումարի հետ: Օրինակ, 312 տեղափոխության անկարգությունների թիվը 2 է, իսկ 123 տեղափոխության անկարգությունների թիվը՝ 0: Տեղա-փոխությունը կոչվում է զույգ, եթե նրա անկարգությունների թիվը զույգ է. հակառակ դեպքում այն կոչվում է կենտ: Օրինակ, 123, 2143, 4321 տեղա-փոխությունները զույգ են, իսկ 321, 213, 4123 տեղափոխությունները՝ կենտ:

Մեզ անհրաժեշտ է հետևյալ պնդումը։

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

57

Թեորեմ: եթե ցանկացած տեղափոխության մեջ տեղերով փոխվեն նրա երկու անդամներ, ապա կստացվի այնպիսի տեղափոխություն, որի զույգությունը տարբեր է տրվածից։

Ապացուցում: ենթադրենք մենք ունենք 1, 2, …, n թվերի երկու՝ А և В տեղափոխություններ, և երկրորդը ստացվում է առաջինից նրա i և j անդամների տեղափոխությունից, այսինքն՝ А-ն և В-ն տարբերվում են միայն i և j անդամների տեղերի դասավորությամբ։ Նախ ենթադրենք, որ տեղերով փոխվող i և j անդամները գտնվում են կողք կողքի։ Այդ դեպքում ակնհայտ է, որ դրանց տեղափոխությունից անկարգությունների թիվը մե-կով կավելանա, եթե i < j, և մեկով կպակասի, եթե i > j, այսինքն՝ А-ն և В-ն ունեն տարբեր զույգություններ։ Իսկ եթե i և j թվերը իրար կողքի չեն գտնվում և նրանց միջև կան k այլ թվեր, ապա մենք կարող ենք А տեղա-փոխության մեջ i և j թվերի տեղափոխումը հանգեցնել նախ i թվի տեղա-փոխության՝ նրան հետևող k թվերի հետ, այնուհետև j և i թվի տեղափո-խության, որից հետո j-ի տեղափոխության՝ նրանից ձախ գտնվող k թվերի հետ։ Արդյունքում իրար կողք կանգնած անդամների 2k+1 տեղափոխու-թյան օգնությամբ մենք կստանանք В տեղափոխությունը։ Ինչն էլ նշա-նակում է, որ В-ի զույգությունը տարբերվում է А-ի զույգությունից կենտ թիվ անգամ, այսինքն՝ А-ն և В-ն ունեն տարբեր զույգություններ։

Խնդրի լուծումը

Անցնենք խնդրի լուծմանը: Ենթադրենք, թե դատարկ տեղում կանգ-նած է 16 համարով լրացուցիչ ֆիշկան։ Այդ դեպքում ֆիշկաների տեղափո-խության ցանկացած դիրքը միանշանակ բնութագրվում է մի որոշ 1 2 16...a a a տեղափոխությամբ, որտեղ а - ը առաջին շարքում i առաջին սյունակում կանգնած ֆիշկայի համարն է, а -ն առաջին շարքում և երկրորդ սյունակում կանգնած ֆիշկայի համարը և այլն, а -ը երկրորդ շարքում և առաջին սյունակում կանգնած ֆիշկայի համարը, …, а -ը` երրորդ շարքում և առաջին սյունակում կանգնած ֆիշկայի համարը և այլն։

58

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

ա) 1 2 3 4

5 6 7 89 10 11 12

13 14 15

(բ)2 1 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12

13 14

Օրինակ՝ ա/ և բ/ դիրքերին համապատասխանում են հետևյալ տեղափո-խությունները՝

(ա’) 12345678910111213141516

(բ’) 21345678910111213141516.

Պարզ է, որ ֆիշկայի մեկ քայլին համապատասխանում է երկու անդամների տեղափոխությունը համապատասխան տեղափոխության մեջ։ Հնարավո՞ր է արդյոք (ա) դիրքից անցնել (բ) դիրքին։ Նախ նկատենք, որ այս երկու դիրքերում էլ 16 ֆիշկան կանգնած է նույն տեղում։ Դա նշանակում է, որ մի քանի քայլ վերև անելով՝ մենք պետք է նույնքան քայլ էլ ներքև անենք, և մի քանի քայլ ներքև անելով՝ մենք պետք է նույնքան քայլ էլ վերև անենք, որպեսզի 16 ֆիշկան վերադարձնենք իր տեղը։ Նույն բանը ճիշտ է նաև աջ և ձախ կատարվող քայլերի համար։ Այս ամենը նշանակում է, որ (ա) դիրքից (բ) դիրքը ստանալու համար պետք է անել զույգ թվով քայլեր։ Իսկ (ա) դիրքում մեկ քայլը նշանակում է (ա’) տեղափոխության մեջ երկու անդամների մեկ տեղափոխություն։ Իսկ մենք գիտենք, որ երկու անդամների մեկ տեղափոխությունը փոխում է տեղափոխության զույգությունը (թեորեմ), այսինքն՝ մենք փոխում ենք (ա’) տեղափոխության զույգությունը զույգ թիվ անգամ։ Հետևաբար, (ա’) և (բ’) տեղափոխությունների զույգությունները պետք է համընկնեն։ Իսկ դա անհնար է, քանի որ այդ տեղափոխություններից առաջինը զույգ է, իսկ երկրորդը՝ կենտ։

Հետևաբար, մեր խնդիրն ունի բացասական լուծում։

Գրականություն

1. Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и перестановки. М.: Наука, 1985.

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

59

2. Միքայելյան Հ. Ս., Բարձրագույն հանրահաշվի դասընթաց, մաս 1, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2004:

3. Ольшанский А. Ю. Умножение симметрий и преобразований. Соросовский образовательный журнал, N5, 1996.

О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ-ИГРЫ В О ФИШКАХ

Айк Ваагнович Микаелян Резюме

В книге [1], опираясь на понятие и некоторые свойства групы подстановок, приводят решения ряда задач-игр. В работе {3] А. Ю. Ольшанский приводит решение следующей задачи: Квадратичная доска, составленной из 4x4 клеток, заполнена фишками с нимерами от 1 до 15, а одна из клеток пуста. За один ход можно передвинуть на пустое место любую из соседних фишек. Спрашивается, миожно ли за несколько ходов от произвольной позиции перейти к любой другой. Для решения этой задачи в [3] вводятся понятия подстановки, ее четности, умножения подстановок. В настоящей же работе я решаю задачу используя только понятия перестановки (что известно школьникам), четности и нечетности перестановок.

ON THE SOLUTION OF THE OBJECTIVE-GAME IN THE CHART

Hayk Mikaelyan Summary

In the book [1], based on the concept and some properties of the permutation group, solutions of a number of game problems lead. In [3], A. Yu. Olshansky gives the solution of the following problem: A quadratic board composed of 4x4 cells is filled with numbers from 1 to 15, and one of the cells is empty. In one move, you can move any of the adjacent chips to an empty space. It is asked whether it is possible to move to any other position in a few moves from an arbitrary position. To solve this problem, in [3] introduced the concepts of substitution, its parity, and the multiplication of permutations. In the present work, I solve the problem using only the concepts of permutation (which is known to schoolchildren).

60

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

Միքայելյան Հայկ Վահագնի - Երևանի N170 ավագ դպրոց, Երևան, Հայաստան

Հեռախոս՝ 093 77 17 79 Այս աշխատանքի համար Հայկ Միքայելյանը ճանաչվել է դպրոցականների միջազգային մրցույթի հաղթող (տես դիպլոմը):

61

ՈՐՈՇ ՆԿԱՏԱՌՈՒՄՆԵՐ ՊԱՐԶ ԹՎԵՐԻ ՎԵՐԱԲԵՐՅԱԼ

Էդուարդ Ամիրբեկյան

Բանալի բառեր - պարզ թիվ, բաղադրյալ թիվ, հաջորդականություն, թվաբանական պրոգրե-սիա, բազմություն, ենթաբազմություն, պրոբլեմ Ինչպես գիտենք պարզ թվերն այն բնական թվերն են, որոնք ունեն

ճիշտ երկու բաժանարար, այսինքն բաժանվում են միայն 1-ի և իրենց վրա։ Պարզ թվերի բազմությունը նշանակում են ℙ-ով (անգլերեն «Prime number» արտահայտության սկզբնատառով). ℙ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… }

1-ից մեծ մնացած բնական թվերն անվանում են բաղադրյալ թվեր։ Այսպիսով, 1-ից մեծ բնական թվերի բազմությունը կարելի է տրոհել երկու ենթաբազմությունների՝ պարզ և բաղադրյալ թվերի։

Պարզ թվերով հետաքրքրվել են տարբեր ժամանակների հայտնի մաթեմատիկոսներ։ Այդպիսի հետազատությունների արդյունքում ի հայտ են եկել այսպես կոչված Ֆերմայի պարզ թվերը, Մերսենի պարզ թվերը, Միլլսի հաստատունը և այլն:

Նշենք պարզ թվերի վերաբերյալ մի քանի հայտնի փաստեր։ 1) Պարզ թվերի քանակը անվերջ է։ Այս թեորեմի ապացուցումը կարելի է տեսնել [4] գրքում։ 2) Բնական թվի մեկից տարբեր փոքրագույն բաժանարարը պարզ թիվ է: 3) Հայտնի է, որ գոյություն ունի ալգորիթմ, որի միջոցով բնական թվերի

հաջորդականությունից կարելի է առանձնացնել, որքան ասենք, մեծ քանակով պարզ թվեր։

4) բաղադրյալ թվի մեկից տարբեր փոքրագույն բաժանարարը չի գերազանցում √ -ն:

Բնական թվերի շարքում պարզ թվերն այնպիսի անհավասարաչափ դասավորություն ունեն, որ մաթեմատիկոսները հույս չեն ունեցել արտա-ծելու այնպիսի բանաձև, որի միջոցով տրվեն բոլոր պարզ թվերը և միայն

62

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

դրանք։ Հայտնի է այն փաստը, որ բնական թվերի շարքում կարելի է ընտրել միմյանց հաջորդող, որքան ուզենք, մեծ քանակով թվեր, որոնց մեջ ոչ մի պարզ թիվ չկա։ Օրինակ, ցանկացած բնական թվի դեպքում հետևյալ − 1 թվերից յուրաքանչյուրը բաղադրյալ թիվ է․ ! + 2, ! + 3, ! + 4, …, ! + ։

Մաթեմատիկոսներից շատերն իրենց առջև խնդիր են դրել․ գտնել -ից կախված այնպիսի բանաձև, որում բնական փոփոխականը փո-

խարինելով 1, 2, 3, 4, ․․․ բնական արժեքներով, ամեն անգամ ստացվեր պարզ թիվ։ Այդպիսի բանաձևերից առաջինն առաջադրել է Պյեռ Ֆերման (1601-1665)։ Նա ենթադրում էր, որ = 2 + 1 տեսքի յուրաքանչյուր թիվ պարզ է։ Նշենք հաջորդականության մի քանի անդամներ. 3, 5, 17, 357, 65537, 4294967297, ․․․ Առաջին չորս թվերը պարզ են։ Մի փոքր դժվարությամբ կարելի է համոզվել, որ 65537-ը ևս պարզ թիվ է։ Պարզվում է, որ = 4294967297 թիվը բաղադրյալ է։ Առաջինը Լեոնարդ Էյլերն է հիմնավորել, որ այդ թիվը պարզ չի․ այն բաժանվում է 641-ի։ Հետաքրքրական է, որ մինչ այժմ հայտնի չէ, թե գոյություն ունի՞ այնպիսի ≥ 6 թիվ, որի դեպքում -ը պարզ է։ Պարզվում է, որ գոյություն չունի ամբողջ գործակիցներով այն-պիսի ( ) բազմանդամ, որ ցանկացած ∈ ℕ դեպքերում ( )-ը լինի պարզ թիվ։ Այդ փաստը հաստատվում է Գոլդբախ-Էյլերի թեորեմով՝ ամբողջ գործակիցներով ոչ մի ( )( ∈ ℕ) բազմանդամը չի կարող ըն-դունել միայն պարզ թվով արտահայտված արժեքներ։ Մինչ այժմ հայտնի չէ, թե գոյություն ունի՞, արդյոք, 1-ից բարձր աստիճանի ամբողջ գործակիցներով ( ) բազմանդամ, որպեսզի նրա արժեքների մեջ լինեն անվերջ շատ պարզ թվեր։ Սակայն առաջին աստիճանի ( ) = + ( , ∈ ℕ)բազմանդամը, այսինքն՝ ( ) թվաբա-նական պրոգրեսիան կարող է պարունակել անվերջ թվով պարզ թվեր։ Այդ է վկայում Լեժանդրի թեորեմը, ըստ որի՝ եթե և թվերը փոխա-դարձաբար պարզ են, ապա առաջին անդամով և տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիան պարունակում է անվերջ շատ պարզ թվեր։ Իր ժամանակին ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Բերտրանը (1822-1900) ձևակերպել է այսպիսի պրոբլեմ՝ և 2 – 2( ≥ 4) թվերի

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

63

միջև գոյություն ունի առնվազն մեկ պարզ թիվ։ Հետագայում ռուս մաթե-մատիկոս Չեբիշևին (1821-1894) հաջողվեց ապացուցել այդ փաստը։

Դիտարկվող պրոբլեմների ուղղությամբ որոշ մտահղացումներ է արել նաև ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Մարեն Մերսենը (1588-1648)։ Նրան հետաքրքրել են = 2 − 1տեսքի թվերը, որտեղ -ն պարզ թիվ է։ = 3, = 7, = 31-ը պարզ թվեր են։ Դժվար չէ համոզվել, որ = 127 թիվը նույնպես պարզ թիվ է։ Սակայն = 2047 = 23 ∙ 89 թիվը բաղադրյալ է։ Ակնհայտ է, որ -ի աճմանը զուգընթաց -ն «թռիչքաձև» մեծանում է և դժվար, գուցե և անհնարին, կլինի որոշել նրա պարզ լինելը։ Կարելի է հիմնավորել, որ = 8191, = 131071 և = 524287 թվերը պարզ են։ Լեոնարդ Էյլերին (1707-1783) հաջողվեց ապացուցել, որ = 2 − 1 = 2147483647 թիվը պարզ է։ Երկար ժամանակ այդ թիվը համարվում էր հայտնաբերված ամենամեծ պարզ թիվը։ Սակայն 1883թ․Իվան Պերվուշինը (1827-1900) կարողացավ ապացուցել, որ = 2 −1 = 2305843002913693951 թիվը պարզ է։

Ներկայումս ամենամեծ հայտնի պարզ թիվը 2 − 1 է: Այն հայտնաբերվել է GIMPS-ի (the Great Internet Mersenne Prime Search) կողմից 2016 թ.-ին։ Այդ թիվն ունի 22 338 618 թվանշան և ստացվել է Մերսենի պարզ թվերի բանաձևով: Հետաքրքրական է նշել, որ մինչ այժմ հայտնի չէ, թե = 2 − 1 տեսքի թվերի մեջ պարզ թվերը վերջավո՞ր են, թե՞ անվերջ։ Այնուա-մենայնիվ, պարզ թվերի վերաբերյալ դեռևս շատ առեղծվածներ կան, որոնք հետագա ուսումնասիրության առարկա կարող են դառնալ գիտնականների համար։

Գրականություն

1. M. Krizek, F. Luca, l. Somer, «17 Lectures on Fermat Numbers», new york, 2001:

2. Н. Я. Виленкин и др. «за страницами учебника математики», Москва, «Просвещение», 1996։

3. Էվկլիդես «Սկզբունքներ», IX հատոր, Ք.ա. 300-ականներ: 4. Ш.Х. Михелович. «Теория Чисел», москва, 1967 г., гл. 1, § 4:

64

ԱՇԱԿԵՐՏԻ ԱՆԿՅՈՒՆ

НЕКОТОРЫЕ СООБРАЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ Э. Амирбекян

Резюме

В статье произведен экскурс в историю изучения простых чисел. Перечислены теоремы математиков, занимавшихся простыми числами и их рядами. Освещены попытки выведения формул получения ряда простых чисел, указаны некоторые известные факты, характеризующие простые числа.

SOME OPINIONS ABOUT PRIME NUMBERS. E. Amirbekyan

Summary

The article includes an excursus into the history of the study of prime numbers. The theorems of mathematicians dealing with prime numbers and their series are enumerated. The attempts to derive formulas for obtaining a number of prime numbers are described, some known facts characterizing prime numbers are indicated.

Էդուարդ Սարգսի Ամիրբեկյան– ՀԱՊՀ Վանաձորի մասնաճյուղի ավագ դպրոցի 11-րդ դասարանի աշակերտ

Հեռախոս՝ 091-55-86-96, Էլ․հասցե՝ eduardamirbekyan@gmail.com

ՈՒղղում. <<Մաթեմատիկան դպրոցում>> ամսագրի 2017թ. թիվ 2 համարում տպագրված <<Հավասարումներ ամբողջ թվերի բազմությունում>> հոդվածի համահեղինակ Գայանե Մաշուրյանի աշխատանքի վայրը պետք է լինի Վանաձորի թիվ 4 հիմնական դպրոց: