ԹԻՎ 2 (105), 2016թ.

«МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке «MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Համլետ Միքայելյան ԳԵՂԵՑԻԿԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ .............. 3 Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Սոնա Սարգսյան ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ ԿԱԶՄԱԿԵՐՊՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻՑ ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ ............... 18 Գ Ն Ա Հ Ա Տ Մ Ա Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Ե Ր Լիլիթ Միքայելյան ՈՒՍՈՒՑԱՆՈՂ ԹԵՍՏ ........................................................................... 33 Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը Անի Սաղաթելյան ԴՊՐՈՑԱԿԱՆՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՀԻՄՆԱԽՆԴՐԻ ՇՈՒՐՋ ....... 41 Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն Կարեն Բեքարյան ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՍԵՂԱՆԻ ՄԱՍԻՆ.....................................................…….. 49

Ա Ր Տ Ա Դ Ա Ս Ա Ր Ա Ն Ա Կ Ա Ն Վալերի Հայրիյան, Կառլեն Մխիթարյան ՈՐՈՇ ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՁԵՎԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ .................................................................... 57

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÏñïãÛ³Ý Ø³ÝáõÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№2, 2016Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 30.06 .2016Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ`1500 , ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ :

ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ԳԵՂԵՑԻԿԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

Հ. Ս. Միքայելյան

Հույները կատարեցին երբևէ մարդու կողմից կա-տարված մեծագույն հայտնագործությունը. նրանք բացահայտեցին բանականության հզորությունը:

Մորիս Քլայն

1. Մաթեմատիկական հասկացությունների գեղագիտական գրավչության հիմնախնդիրը

Հասկացությունները կազմում են մաթեմատիկայի և հանրակրթության «մաթեմատիկա» ուսումնական առարկայի հիմնական օբյեկտները: Մա-թեմատիկական յուրաքանչյուր տեսություն, ուսումնական առարկայի յուրաքանչյուր թեմա պատմություն է ինչ-որ հասկացության կամ հաս-կացությունների մասին: Մաթեմատիկական թեորեմները, խնդիրները, վարժությունները միայն դատողություններ, մտահանգումներ են այդ հասկացությունների մասին, իսկ թեորեմների ապացուցումները և խնդիրների ու վարժությունների լուծումները՝ այդ դատողությունների ու մտահանգումների հաստատումներ: Հետևաբար, ուսուցման գործըն-թացի արդյունավետությունը, նախ և առաջ, պայմանավորված է հաս-կացությունների ուսուցման հաջողությամբ: Միևնույն ժամանակ

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

4

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

մաթեմատիկական հասկացությունները պարունակում են գեղագիտա-կան մեծ ներուժ, ինչը անհրաժեշտ է օգտագործել ոչ միայն գեղագի-տական արժեքների ձևավորման, այլև բուն մաթեմատիկական նյութի յուրացման հետագա հաջողությունը ապահովելու համար: Այդ ներուժը, առաջին հերթին, արտահայտվում է գիտական գեղեցիկի հստակու-թյան, պարզության, բազմազանությունների միասնության, ընդհանրա-կանության, կարգի և տրամաբանական խստության օբյեկտիվ հատ-կանիշներով, որոնք լայնորեն դրսևորվում են հասկացությունների ու-սուցման գործընթացում:

Մաթեմատիկական հասկացությունների ուսուցման գործընթացում գե-ղեցիկի ձևավորման խնդիրը քննարկել է Օ. Վ. Չերնիկը (տես [7]): Նա խնդիրը դիտարկում է հասկացությունների ձևավորման հետևյալ փու-լերից յուրաքանչյուրում, որոնք առաջարկել է Գ. Ի. Սարանցևը [6].

• Հասկացության ներմուծման մոտիվացիան: • Հասկացության բնութագրիչ կամ էական հատկությունների առանձ-

նացում: • Հասկացության վերլուծությունը՝ նրա էական կամ բնութագրիչ

հատկությունների առանձնացումը, համադրությունը՝ հասկացու-թյան սահմանումը:

• Հասկացության սահմանման յուրացումը՝ հասկացության ծավալին պատկանող օբյեկտների ճանաչմանն ուղղված գործողությունների տիրապետումը, նման օբյեկտների կառուցումը:

• Հասկացության կիրառումը կամ օգտագործումը: Հարկ ենք համարում նշել, որ ինչպես հասկացությունների, այնպես

էլ մաթեմատիկական մնացած օբյեկտների գեղագիտական գրավչու-թյունը պայմանավորված է նաև երեխաների տարիքային առանձնա-հատկություններով և յուրաքանչյուր տարիքային խմբում լուծվում է յու-րովի: Ընդ որում, դա վերաբերում է նաև հասկացության ներմուծման այս փուլերից յուրաքանչյուրին:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

5

2. Մաթեմատիկական հասկացությունների գեղագիտական գրավչության արտահայտումը դրանց

ներմուծման մոտիվացիայի միջոցով

Հասկացությունների ներմուծման մոտիվացիան ուսուցման արդ-յունավետության ապահովման անհրաժեշտ պայման է: Այստեղ լա-վագույն արդյունքների հասնելու համար կարելի է յուրաքանչյուր թեմայի ուսուցման առաջին քայլերից սկսած ներգրավել գեղագիտական տար-րը. Հասկացությունները այդ թեմայի կամ պատմության հերոսներն են, իսկ թեման, որտեղ գլխավոր հերոսը ներմուծվող հասկացությունն է, նվիրված է այդ հերոսների փոխհարաբերությունների բացահայտմանը կամ պատմություն է հերոսների փոխհարաբերությունների մասին: Ինչ-քանո՞վ է հետաքրքիր այդ պատմությունը, ինչո՞ւ ենք անում այն, ի՞նչ արժանիքներ ունի պատմության գլխավոր հերոս հասկացությունը: Այս հարցադրումների պատասխանը պետք է տա հասկացության ներմուծ-ման մոտիվացիան՝ նրա ներմուծման դրդապատճառը կամ դրդապատ-ճառները:

Մաթեմատիկական հասկացությունների ներմուծման մոտիվա-ցիայի ճանապարհները բազմազան են, և բազմազան են նաև մոտիվա-ցիայի միջոցով հասկացության գեղագիտական գրավչության արտա-հայտման հնարավորությունները: 1) Մաթեմատիկական հասկացության ներմուծման մոտիվացիայի միջո-ցով նրա գեղագիտական գրավչության արտահայտման առաջին պահը կապված է «ինչո՞ւ» հարցադրման պատասխանի ստացման հետ: Անհրաժեշտ է գտնել այդ պատասխանի ստացման գեղեցիկ օրինակ-ներ: Եվ մաթեմատիկական հասկացությունները հիմնականում ունեն մոտիվացիայի նման հնարավորություններ: Դիտարկենք նմանատիպ մի քանի օրինակներ:

• Ինչի՞ համար է ներմուծվել լոգարիթմը: • Ինչի՞ համար է անհրաժեշտ ներմուծել ուղիղ անկյան հասկացու-

թյունը: • Ինչի՞ համար են անհրաժեշտ անկյան սինուսի, կոսինուսի, տան-

գենսի և կոտանգենսի հասկացությունները:

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

• Ինչի՞ համար են անհրաժեշտ թվաբանական գործողությունները: • Ինչի՞ համար է անհրաժեշտ հանրահաշիվը: • Ինչի՞ համար է անհրաժեշտ ածանցյալի հասկացությունը, • Ինչո՞ւ է անհրաժեշտ իմանալ Պյութագորասի կամ Թալեսի թեորեմը:

2) Մաթեմատիկական հասկացությունների ներմուծման մոտիվացիայի միջոցով նրա գեղագիտական գրավչության արտահայտման հաջորդ պահը կապված է նրա հետաքրքրության հետ. ինչո՞վ է հետաքրքիր տվյալ հասկացությունը: Եղիշեի Վարդանանց պատմության գլխավոր հերոսը Վարդան Մամիկոնյանն է, որի նկատմամբ հետաքրքրությունը պայմանավորված է նրա կատարած գործի կարևորությամբ: Դերենիկ Դեմիրճյանը իր վեպում Վարդան Մամիկոնյանի կերպարին հաղորդում է նաև բարոյական, հոգեբանական և ֆիզիկական այնպիսի բարե-մասնություններ, որոնք ավելի գրավիչ ու հարազատ են դարձնում այն: Եվ գրականության ուսուցչի համար դժվար չէ աշակերտի ուշադրու-թյունը բևեռել կերպարի ու նրա շուրջ հյուսվող պատմության վրա՝ ելնե-լով կերպարի այդ գրավչությունից: Իսկ ինչո՞վ է հետաքրքիր մաթե-մատիկական բազմազան պատմությունների՝ թերևս ավելի հանրահայտ հերոսը, ասենք՝ եռանկյունը, շրջանագիծը կամ գումարման գործողու-թյունը: Այստեղ նույնպես մեծ նշանակություն ունի գեղագիտական տարրի բացահայտումը, որի ճանապարհները բազմազան են: Այդ հաս-կացություններից յուրաքանչյուրը տարբեր իրադրություններում հաճախ հանդես է բերում առանձնահատուկ որակներ, որոնք արտահայտվում են նաև գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ և սուբյեկտիվ հատկանիշներով: Եվ հասկացության ուսուցումը կարելի է սկսել՝ նշելով այդ որակները:

3) Մաթեմատիկական հասկացությունների ներմուծման մոտիվացիայի միջոցով նրա գեղագիտական գրավչության արտահայտման ճանա-պարհներից է հասկացության ֆոնը՝ բնության այն առարկաները, ե-րևույթները, իրադրությունները, որոնք մոդելավորում են տվյալ հաս-կացությունը: Գումարման գործողության համար նման կիրառություն-ներ են քանակությունների միավորման և քանակության ավելացման մո-դելները. իրար հետ ընդհանուր մաս չունեցող երկու համասեռ քանա-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7

կությունների միավորման քանակությունը հավասար է միավորվող քա-նակությունների գումարին, և մի քանակությանը նրան համասեռ մյուս քանակությունն ավելացնելուց ստացված քանակությունը հավասար է այդ քանակությունների գումարին: Բոլոր այս օրինակներում դրսևոր-վում են գիտական գեղեցիկի բազմազանությունների միասնության, ընդհանրականության և կիրառելիության օբյեկտիվ սկզբունքները:

Գեղագիտական տարրի մասնակցությունը մեծանում է, եթե հնարավոր է լինում գտնել հասկացության հնարավորինս գրավիչ, գեղե-ցիկ կիրառություն: Նման կիրառությունների հրաշալի օրինակներ կա-րող է տալ գիտության պատմությունը: Գումարման գործողության հա-մար նման հետաքրքիր կիրառություն է Արքիմեդի կողմից փիղը կշռելու վերաբերյալ խնդրի լուծումը, որի համար նա օգտագործում է գումար-ման գործողությունը՝ փիղը փոխարինելով նրան հավասար ծանրություն ունեցող քարերի որոշ քանակությամբ, իսկ որպես կշեռք օգտագործում է նավը (տես [2]):

4) Մաթեմատիկական հասկացությունների ներմուծման մոտիվացիայի միջոցով նրա գեղագիտական գրավչության արտահայտման հաջորդ պահը նրա հանրաճանաչությունն է. եռանկյունը, գումարումը և մաթե-մատիկական այլ հասկացությունները հայտնի են աշխարհի համարյա բոլոր մարդկանց: Այդ հանրաճանաչությունը ավելացնում է յուրաքանչ-յուր առարկայի գեղագիտական գրավչությունը, գրավում և մոտեցնում է մարդկանց:

5) Մաթեմատիկական հասկացությունների ներմուծման մոտիվացիայի միջոցով նրա գեղագիտական գրավչության արտահայտման համար կարևոր պահ է նրա կայունությունը. բնության բոլոր առարկաները հա-րափոփոխ են, իսկ մաթեմատիկական առարկաները՝ անփոփոխ: Տա-րիները փոխում են մեր սիրած կինոնկարների հերոսներին. երբեմնի ջահել ու գեղեցիկ այդ հերոսները ժամանակին համընթաց անճանաչե-լիորեն փոխվում են, երբեմն էլ՝ հեռանում կյանքից, և դա մեր կյանքին ավելացնում է մի տխուր երանգ: Մինչդեռ մաթեմատիկական հասկա-ցությունները անփոփոխ են, հարատև ու անանց. դրանք եղել են, կան

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ու կլինեն՝ տարածությունից ու ժամանակից անկախ, առանց փոփոխ-վելու, անհասակ ու անտարիք, պատրաստ հայտնվելու ցանկացած մարդու մտքի (և նաև հոգու) մեջ, պատրաստ առանց որևէ շահի ցուցադրելու և ի սպաս դնելու իրենց անսահմանափակ հնարավորու-թյունները: Սրանք կարևորագույն հատկանիշներ են, որով ճանաչվում է գեղեցիկը և տալիս են «ի՞նչ է գեղեցիկը» հարցադրման Պլատոնի պա-տասխանը (տես [5], էջ 11):

6) Մաթեմատիկական հասկացությունների ներմուծման մոտիվացիայի միջոցով գեղագիտական գրավչության արտահայտման համար կարևոր պահ է նաև նրա համընդհանրությունը և նրանում բազմազանություն-ների միասնականությունը. այն իր մեջ ներառում է այդ հասկացությունը բնորոշող հատկություններով օժտված բոլոր առարկաները: Դա թույլ է տալիս բոլոր այդ առարկաների ուսումնասիրության ընթացքում նրանց նկատմամբ կիրառել ցանկացած այլ հատկություն, որով օժտված է տվյալ հասկացությունը:

3. Հասկացության գեղագիտական գրավչության արտահայտումը նրա սահմանման միջոցով

Յուրաքանչյուր հասկացության ներմուծման ամենակարևոր պա-հը նրա սահմանումն է: Տրամաբանության մեջ հասկացության սահման-մանը ներկայացվող պահանջների մեջ առանձնացվում են նրա հակիր-ճությունը, ճշգրտությունը և պարզությունը: Սահմանումը պետք է լինի հակիրճ. չափազանց երկարաշունչ սահմանումները անհրապույր են, դժվար են ընկալվում և հիշվում: Սահմանումը պետք է զերծ լինի անո-րոշություններից, երկիմաստ ընկալման հնարավորություն չստեղծի և միարժեքորեն հանգեցնի սահմանվող հասկացության առարկային: Այն պետք է անփոփոխ լինի դիտարկվող տեսության, ուսումնական նյութի կամ առարկայի շրջանակներում: Նկարագրված պահանջները արտա-հայտում են գիտական գեղեցիկի հստակության և պարզության հատկանիշները:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

9

Հասկացության գեղագիտական գրավչությունը կարելի է արտա-հայտել նախ և առաջ վերլուծության՝ նրա էական կամ բնութագրիչ հատ-կությունների առանձնացման, դրանց համադրության և սահմանման ձևակերպման միջոցով: Օրինակ, կանոնավոր եռանկյան համար բնու-թագրիչ հատկություն է կողմերի հավասարությունը: Արդյո՞ք կողմերի հավասարությունը բնութագրիչ հատկություն է նաև կանոնավոր քա-ռանկյան համար: Նույնը վերաբերում է նաև անկյունների հավա-սարությանը: Եվ այս երկու հատկությունների համատեղ առկայությունը՝ համադրությունն է ապահովում քառանկյան կանոնավորությունը: Նմա-նատիպ օրինակների դիտարկումը բացահայտում է հասկացության էությունը, բնութագրիչ հատկությունների դերը սահմանման մեջ և ապահովում գիտական գեղեցիկի հստակության ու տրամաբանական խստության հատկանիշների լիարժեք դրսևորում:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ: Ինչպե՞ս կարելի է արտահայտել հասկացության գեղագիտական գրավչությունը «եռանկյան կենտրոն» հասկացության սահմանման ընթացքում: Նախ նկատենք, որ գեղագի-տականը, առաջին հերթին, ստեղծագործական գործընթաց է, և դրա բացահայտումը, համապատասխան հուզական վիճակի առաջացումը և դրսևորման աստիճանը պայմանավորված են հետազոտվող հասկացու-թյան մեջ գեղագիտական տարրի հայտնաբերման գործում սովորողի մասնակցության աստիճանից. կարելի է ասել՝ այն ուղիղ համեմա-տական է այդ մասնակցության չափին: Ստորև կատարվող դիտարկումը վերցրել եմ դասավանդման իմ փորձից:

Նախ, խոսակցությունը նպատակահարմար է սկսել ընդհան-րապես «կենտրոն» հասկացության մասին. ինչքանո՞վ է կարևոր կենտ-րոնի հասկացությունը և ի՞նչ է կենտրոնը: Ի՞նչ է և ո՞րն է, օրինակ, գյուղի, քաղաքի, տվյալ երկրի, Երկրագնդի, Արեգակնային համակար-գի, աշխարհի կենտրոնը: Հարցը, իհարկե, աշակերտների կողմից միարժեք պատասխան չի ստանում. մեկի համար գյուղի կենտրոնը դպրոցն է, մյուսի համար՝ խաղահրապարակը, երրորդի համար՝ խա-նութը, որի մոտակայքում մարդիկ հավաքվում են խոսք ու զրույցի, չոր-րորդի համար՝ իրենց տունը: Աշակերտները հիմնավորում են իրենց

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

պատասխանները: Ըստ էության, դրանք հանգում էին հասկացության՝ իրենց տված բնորոշման բնութագրիչ հատկությունների առանձնաց-ման: Անշուշտ, դրանցում առկա է սուբյեկտիվ պահը: Այդ պատճառով քննարկումները սովորաբար ընթանում են բանավեճի տեսքով և կրում են սուր բնույթ: Ավելի հարթ է ընթանում տվյալ երկրի կենտրոնի որոշ-ման խնդրի լուծման գործընթացը: Պատասխանը գտնում էին բոլորը. այն երկրի մայրաքաղաքն է: Բայց այստեղ էլ տարբեր են լինում աշա-կերտների բերած բնութագրիչ հատկանիշները: Նմանատիպ քննար-կումներից հետո աշակերտներն, ի վերջո, համոզվում են մի բանում՝ իրենց տված ձևակերպումները հստակ չեն: Դրանից հետո տեղափոխ-վում ենք հստակության դաշտ՝ մաթեմատիկա: Ո՞րն է, օրինակ, հատ-վածի կենտրոնը: Այստեղ արդեն աշակերտները միակարծիք են. Հատ-վածի կենտրոնը նրա միջնակետն է: Աշակերտները միակարծիք են նաև շրջանագծի կենտրոնը որոշելու խնդրում. բոլորը գտնում են, որ դա այն կետն է, որից շրջանագծի բոլոր կետերը հավասարահեռ են: Իսկ ուղղանկյան կենտրո՞նը: Ո՞րն է, օրինակ, դասասենյակի հատակի կենտրոնը, որն ունի ուղղանկյան տեսք: Բոլոր աշակերտները նայում են սենյակի կենտրոնին: Բայց այն, որ դա ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետն է, այսինքն՝ ուղղանկյան կենտրոնի բնութագրիչ հատ-կությունը, դժվարությամբ են գտնում: Կարծես թե հարցը լուծված է, և կարելի է անցնել եռանկյան կենտրոնի որոշմանը: Անենք նաև այդ հար-ցադրումը, բայց առաջ չանցնենք. ուսուցումը շտապողականություն չի սիրում: Շտապողականություն չի սիրում նաև գեղեցիկը. այն ձգում է իրեն նայողին, աշխատում է պահել, չի թողնում իրենից հեռանալ: Եվ երկու մոտեցման դեպքերում էլ պահն է չշտապել առաջ անցնելու և տալ մաթեմատիկական ու գեղագիտական հիմնական հարցադրումը՝ «ին-չո՞ւ». ինչո՞ւ է ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետը նրա կենտ-րոնը: Այս հարցի պատասխանը հեշտ չի գտնել: Եվ այստեղ մեզ կարող է օգնել փորձը՝ մեր կյանքից, իրական աշխարհից վերցրած փորձը: Իսկապես, նույն հարցադրումը կատարենք հատվածի համար. ինչո՞ւ է հատվածի միջնակետը անվանվում նրա կենտրոն: Թեև հատվածի ծայ-րակետերը միարժեքորեն բնութագրում են հատվածը, այնուամենայնիվ, միայն հատվածի ծայրակետերի մասնակցությունը նրա կենտրոնի որոշման հարցում համոզիչ չի թվում: Հիմա դիմենք մեր փորձին:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11

Վերցնենք համասեռ մետաղալարը և աշխատենք այնպես տեղավորել ելուստի վրա, որպեսզի այն պահպանի իր հավասարակշռությունը, այսինքն՝ ընդունի Երկրի նկատմամբ հորիզոնական դիրք: Բնական է (և աշակերտները դրա հետ անմիջապես համաձայնում են), որ հատվածի կենտրոնը կլինի այն կետը, որով լարը հավասարակշռության պահին հպվում է ելուստին: Եվ այդ կետը հատվածի ծայրակետերից հավասա-րահեռ կետն է: Աշակերտների համար միանգամայն համոզիչ է և ընդու-նելի կամայական համասեռ թիթեղի կենտրոն անվանել այն կետը, որով այդ թիթեղը, հպվելով սրածայր ելուստին, պահպանում է իր հավասա-րակշռությունը: Դրան հաջորդող փորձերը մեզ համոզում են, որ «ճիշտ» են որոշված նաև շրջանագծի և ուղղանկյան կենտրոնները (փոր-ձարկվող շրջանագիծը և ուղղանկյունը պատրաստվում են համասեռ թիթեղից): Այժմ նորից կրկնենք եռանկյան կենտրոնի վերաբերյալ հարցադրումը. ո՞րն է եռանկյան կենտրոնը: Այստեղ արդեն մենք ունենք մեր պատասխանը՝ դա համասեռ թիթեղից պատրաստված եռանկյան այն կետն է, որը սրածայր ելուստի վրա տեղավորելուց հետո, եռանկ-յունը կպահպանի իր հավասարակշռությունը: Բայց ինչպե՞ս գտնել այդ կետը: Սա բարդ հարց է: Պարզեցնենք այն՝ լուծելով ավելի պարզ ու հեշտ մի խնդիր. Եռանկյունաձև թիթեղը այնպես տեղավորենք գերանի վրա, որ այն պահպանի իր հավասարակշռությունը: Ընդ որում, խնդիրը կարող ենք լուծել և՛ փորձի, և՛ մաթեմատիկական դատողությունների՝ ապացուցման արվեստի միջոցով: Փորձի արդյունքը պարզ է. եթե եռանկյան որևէ գագաթը դնենք գերանի վրա և աշխատենք նրա մնա-ցած մասը այնպես տեղավորել գերանի վրա, որ այն պահպանի իր հա-վասարակշռությունը, ապա հպման կետ կլինի նաև այդ գագաթին հան-դիպակաց կողմի միջնակետը, և որոնելի գիծը կլինի այդ կետերով անց-նող հատվածը՝ եռանկյան միջնագիծը: Այժմ խնդիրը լուծենք մաթեմա-տիկական դատողությունների միջոցով: Եռանկյունը կազմող թիթեղը մտովի տրոհենք նրա որևէ կողմին զուգահեռ շերտերի, որոնք դիտար-կենք որպես հատվածներ, և տանենք եռանկյան այն միջնագիծը, որը կանցնի բոլոր այդ հատվածների միջնակետերով: Հասկանալի է, որ եթե եռանկյան այդ միջնագիծը տեղավորենք գերանի վրա, ապա նրա բոլոր շերտերը կլինեն հավասարակշռված և, ուրեմն, հավասարակշռված

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

կլինի նաև եռանկյունը: Այսպիսով, մենք «ապացուցեցինք», որ եռանկ-յան միջնագիծը այն ուղիղն է, որն անցնում է եռանկյան որևէ գագաթով և որով եռանկյունը տեղավորելով գերանի վրա՝ այն կպահպանի իր հավասարակշռությունը: Բայց նույն դատողությունը կարելի է անել նաև եռանկյան մեկ այլ միջնագծի վերաբերյալ: Իսկ դիտարկվող երկու միջ-նագծերը հատվում են մեկ կետում: Ուրեմն՝ նրանց հատման կետն էլ կլինի եռանկյան կենտրոնը: Եվ որովհետև եռանկյունը ունի ծանրության մեկ կենտրոն, ապա նրա՝ արդեն երեք միջնագծերն էլ հատվում են մեկ կետում: Նկատենք, որ վերջին պնդումը թեև ունի մաթեմատիկական հետաքրքիր ապացուցում, բայց նրա զգացական իմացությունը սովո-րողների մոտ հարուցում է որոշակի դժվարություններ, իսկ բերված «ապացուցումը» պատճառում է գեղագիտական բավականություն, բա-վարարություն և հաճույք:

Հասկանալի է, որ բոլոր այս դատողությունները չունեն ժամանա-կակից մաթեմատիկային հատուկ խստություն: Սակայն դրանք ունեն ին-տուիտիվ ընկալման պարզություն և ստեղծում են մաթեմատիկական ա-պացուցումների համար զգացական ամուր հենք: Այդպես են իրենց ապացուցումները կատարել հնադարի մեր ուսուցիչները: Արդեն տասն-վեցերորդ դարում այդպես է կարողացել բուրգի ծավալը հաշվել իտալացի մաթեմատիկոս Կավալերին: Բուրգի ծավալը այդպես է հաշվվում նաև այսօր՝ մեր հանրակրթական դպրոցի առանձին դասագրքերում: Այսքա-նից հետո արդեն աշակերտների մոտ պետք է, որ առաջանա հե-տաքրքրություն իրենց դիտարկումները մաթեմատիկական ապացու-ցումներով հիմնավորելու վերաբերյալ: Նշենք նաև, որ եթե մեր կա-տարած դատողությունները կազմում են խնդրի լուծման գրաֆիկան, ապա այն ապացուցող մաթեմատիկական ճշգրիտ դատողություններն արտահայտում են նրա գեղանկարչությունը:

4. Հասկացության գեղագիտական գրավչության արտահայտումը նրա յուրացման միջոցով

Հասկացության սահմանման իմացությունը դեռևս չի ապահովում նրա յուրացումը: Վերջինիս համար անհրաժեշտ է, նախ, նրա իմաստի՝ բնու-թագրիչ հատկությունների ընկալում: Բերենք մեկ օրինակ [2] դասագրքից:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

13

Քառակուսի արմատի հասկացության սահմանումից հետո, նրա իմաստը հասկանալու համար դասագրքում առաջադրվում են այսպիսի վարժություններ.

• ինչո՞ւ 2-ը 4-ի քառակուսի արմատը չէ, • ինչո՞ւ 4-ը 4-ի քառակուսի արմատը չէ, • ինչո՞ւ 2-ը 4-ի քառակուսի արմատն է: Հիշենք նաև թվի քառակուսի արմատի սահմանումը. a թիվը կոչվում է

b թվի քառակուսի արմատ, եթե.

ա. a-ն ոչ բացասական է,

բ. a-ի քառակուսին հավասար է b-ի:

Առաջարկվող երեք վարժություններից առաջինը բացահայտում է սահ-մանման ա բնութագրիչ հատկության նշանակությունը, երկրորդը՝ բ հատ-կության իմաստը, իսկ երրորդը բացահայտում և ամբողջացնում է դրանց միասնական ընկալումը:

Հասկացության յուրացման համար կարևոր է նաև նրա արժեքների՝ հասկացության ծավալին պատկանող, ինչպես նաև այդ ծավալից դուրս ընկած օբյեկտների դիտարկումը, դրանց ճանաչմանն ուղղված գործողու-թյունների տիրապետումը և, անհարժեշտության դեպքում, նման օբյեկտ-ների կառուցումը: Այդ նպատակով սովորաբար հասկացությունների սահ-մանմանը հաջորդում են հասկացության օրինակների և ժխտօրինակների կառուցումներ և նշված գործընթացներին նպաստող այլ գործողություն-ներ: Այդ գործողություններն ուղղված են նաև գեղեցիկի՝ բազմազանու-թյունների միասնության և ընդհանրականության հատկանիշների դրսևո-րումների ցուցադրմանը, ինչը մեծացնում է հասկացության գեղագի-տական գրավչությունը:

Հաճախ հասկացության սահմանման յուրացումը պահանջում է տարի-ների նախապատրաստական աշխատանք: Այն կատարվում է հասկացու-թյան նախաուսուցման՝ ավելի ցածր դասարաններում նրա ծավալին պատ-կանող առանձին ներկայացուցիչների, պարզագույն, բայց ոչ անպայման

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

բնութագրիչ հատկությունների հետ ծանոթացման միջոցով: Նման հաս-կացությունների գեղագիտական գրավչությանն ավելանում են նաև նրա յուրացման համար նպատակաուղղված, բարդ ու դժվարին խոչընդոտի հաղթահարման, ինտելեկտուալ որոնման և դրա արդյունքը գտնելու կամ հայտնագործելու՝ գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշները: Դիտարկենք նման երկու օրինակ:

Թվի հասկացությունը, հավանաբար, հանրակրթական դպրոցի կարևո-րագույն հասկացությունն է: Նրա ուսուցումը և յուրացումը մեթոդական լուրջ խնդիրներ է առաջադրում: Այն սկսվում է առաջին դասարանից և վերջանում ավագ դպրոցում, բայց այդպես էլ չի ավարտվում: Բավական է նշել, որ առաջին դասարանի ծրագրում թվի ուսուցումը տարվում է շատ փոքր բաժիններով՝ 1 և 2 թվերը, 1 և 2 թվանշանները, 3 թիվը, 3 թվանշանը. 3 թվի կազմությունը, 4 թիվը, 4 թվանշանը. 4 թվի կազմությունը. 4-ի սահ-մանում գումարում և հանում և այսպես, մինչև տասը՝ մնացած թվերի հա-մար: Միջին դպրոցի 56-րդ դասարաններում ավարտվում է ռացիոնալ թվերի ուսուցումը, իսկ միջին դպրոցի բարձր դասարաններում միայն ծանոթություն է տրվում առանձին իռացիոնալ թվերի մասին: Ավագ դպրո-ցում կատարվում է իրական թվերի ուսուցումը, բայց հիմնականում գա-ղափար տալու մակարդակով: Այստեղ իրական թվի և, մանավանդ, իրա-կան ցուցչով աստիճանի հասկացությունների ուսուցումը կրում է սերտո-ղական բնույթ, և չի ապահովվում գիտական գեղեցիկի հստակության, պարզության, տրամաբանական խստության և այլ օբյեկտիվ հատկանիշ-ների իրագործումը: Իսկ գաղափարի անորոշությունը, ընկալման, յուրաց-ման բարդությունը հանգեցնում է նաև գիտական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշների դրսևորման դժվարության: Մեր կարծիքով, իրավիճակից դուրս գալու ելքը իրական թվի գաղափարի աքսիոմատիկ ուսուցումն է, ինչը կարող է լրացվել առանձին իռացիոնալ թվերի (օրինակ, √ , π և այլն) կառուցումով: Այս մոտեցումը կարող է լուծել ինչպես իռացիոնալ թվի հասկացության յուրացման, այնպես էլ նրա գեղագիտական գրավչության խնդիրը:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

15

Ֆունկցիայի հասկացությունը միջին և ավագ դպրոցի՝ ուսուցման հա-մար ամենադժվար հասկացությունն է: Նախքան սահմանման ներմուծու-մը, այն պահանջում է համապատասխան նախաուսուցում, ինչի համար հի-անալի առիթ են ստեղծում համեմատականությունները՝ ֆունկցիաների պարզագույն կիրառական օրինակները, որոնց ուսուցումը կարելի է իրականացնել միջին դպրոցի 5-6-րդ դասարաններում: Նման մոտեցում է կիրառված [2]-[4] դասագրքերում: Իսկ խորհրդային վերջին շրջանի և ռուսական դպրոցական դասագրքերում ֆունկցիայի գաղափարը դրվում էր հանրահաշվի դասընթացի հիմքում, ինչը չի ապահովում ոչ միայն այդ հասկացության, այլև դրա վրա հիմնված այլ հասկացությունների լիարժեք ուսուցումը: Ավելին, ֆունկցիայի գաղափարի ներմուծումից առաջ անհրա-ժեշտ է աշակերտներին ծանոթացնել դրա ծավալին պատկանող և չպատ-կանող կենցաղային, կիրառական, մաթեմատիկական բազմապիսի օրի-նակների հետ: Իսկ ֆունկցիայի գաղափարը կարելի է ածանցել առնչու-թյան գաղափարից (մանրամասները տես [1] և [4] աշխատանքներում):

5. Հասկացության գեղագիտական գրավչության արտահայտումը նրա կիրառման միջոցով

Հասկացության գեղագիտական գրավչությունը կարող է արտահայտվել նրա կիրառման միջոցով: Թվի հասկացության կիրառումն արդեն բնու-թյան ուսումնասիրության հզոր միջոց է, իսկ տառի, անհայտի կամ փոփո-խականի հասկացության կիրառումը հնարավորություն է տալիս դատողու-թյուններ, գործողություններ կատարել անհայտ մեծության հետ և, ի վերջո, գտնել այն: Գումարման գործողության հասկացությունը թույլ է տալիս գտնել առարկաների միավորման մեծությունը միավորվող առարկաների մեծությունների միջոցով, իսկ բազմապատկման գործողությունը թույլ է տալիս գտնել ուղղանկյան մակերեսը կամ ուղղանկյունանիստի ծավալը համապատասխան գծային չափումների միջոցով: Հանման և բաժանման հասկացությունները, բացի այլ գործառույթներից, հնարավորություն են ընձեռում կատարել համասեռ մեծությունների համեմատություն: Հա-վասարման և նրա լուծման հասկացությունների կիրառման միջոցով մենք ստանում ենք բազմաթիվ կիրառական խնդիրների լուծումներն ու պա-

16

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

տասխանները: Հաջորդականության միջինի, մեդիանի և մոդայի հաս-կացությունների միջոցով կարողանում ենք բնութագրել այն, ստանալ հա-ջորդականության մասին անհրաժեշտ տեղեկություններ: Կշռույթի հասկա-ցության միջոցով կարողանում ենք միավորել և ընդհարացնել արա-գության, գնի հասկացությունները, և ընդհանրացնել դրանք տարասեռ մեծությունների հարաբերությունների մի ամբողջ շարքի մեջ, որոնք, իրենց հերթին, բնութագրում են զանազան առարկաներ և երևույթներ:

Այս օրինակների ցանկը կարելի է շարունակել: Բոլոր օրինակներում առկա են գիտական գեղեցիկի այնպիսի օբյեկտիվ հատկանիշներ, ինչ-պիսիք են կիրառելիությունը, բազմազանությունների միասնականությու-նը, ընդհանրականությունը, հստակությունը, պարզությունը, ինքնատիպու-թյունը: Դրանք հաճախ ուղեկցվում են նաև գիտական գեղեցիկի՝ անկան-խատեսելիության, անսպասելիության, ոչ ակնհայտ ճշմարտության իմա-ցության սուբյեկտիվ հատկանիշներով:

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշվի ուսուցման հիմնահարցերը, Երևան, Էդիտ պրինտ, 2003:

2. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 7, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2006:

3. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 8, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2007:

4. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 9, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2008:

5. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը, Մաթեմատիկան և կրթությունը, մաս 1, Գեղեցիկը և մաթեմատիկան, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2014:

6. Г. И. Саранцев, Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. Саранск, 1999.

7. О. В. Черник, Развитие эстетической воспитанности учащихся при обучении математике. Дисс. На соиск. К.п.н., Киров, 2003.228.

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

17

ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕКРАСНОГО В ПРОЦЕССE ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ПОНЯТИЯМ

Г. С. Микаелян Резюме

В статье рассматривается проблема формирования эстетической ценности прекрасного в процессе обучения математическим понятиям. Детально анализируется общая постановка проблемы, уделяется особое внимание проблеме формирования прекрасного при мотивации, формулировке определения, освоения, а также применения понятий.

FORMATION OF BEAUTIFUL IN THE PROCESS OF TEACHING MATHEMATICAL CONCEPTS

H. S. Mikaelian Summary

The problem of the formation of the aesthetic value of the beautiful in the process of teaching mathematical concepts is studying. Detail analysis of the general identification of the problem is presented special attention to the problem of forming fine with motivation, formulation of definitions, development, and application of concepts is ginen.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ, մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և մանկավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի դասավանդ-ման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմատիկան դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

18

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ ԿԱԶՄԱԿԵՐՊՈՒՄԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻՑ

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ

Սոնա Սարգսյան

Բանալի բառեր - արտադասարանական աշխա-տանքներ, պատի թերթ, մաթեմատիկական խմբակ, մաթեմատիկական ցերեկույթ, մրցույթներ, հետա-քրքրաշարժ խնդիրներ, կատակ խնդիրներ:

Արտադասարանական աշխատանքները մաթեմատիկայի ուսում-նական գործընթացի կարևոր մասն են: Դրանց հիմնական խնդիրներն են՝ ընդլայնել սովորողների մաթեմատիկական գիտելիքները և գործ-նական հմտությունները, զարգացնել տրամաբանական մտածողությու-նը, ստեղծագործական կարողությունները, հնարամտությունը, կռահու-նակությունը, ի հայտ բերել շնորհալի սովորողներին, նպաստել նրանց ճանաչողական իմացական գործունեության զարգացմանը (ըմբռնում, մտապահում, ուշադրություն, հիշողություն, խոսք, երևակայություն), սո-վորողների մոտ հետաքրքրություն առաջացնել մաթեմատիկայի նկա-մամբ, նրանց ներգրավել հետաքրքրաշարժ աշխատանքներում: Արտա-դասարանական աշխատանքների կազմակերպումը ունի նաև դաստի-րակչական կարևոր նշանակություն: Այն օգնում է վարքագծային որոշ հմտությունների ձևավորմանը և զարգացմանը, ընկերային ջերմ

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

19

հարաբերությունների ստեղծմանը: Այդ աշխատանքները նպաստում են սովորողների համագործակցելու, հաղորդակցվելու կարողությունների ձևավորմանը: Աշխատանքի մի շարք տեսակների միջոցով իրականաց-վում է մաթեմատիկայի կապը կյանքի հետ: ժամանակը անցնում է հե-տաքրքիր և բովանդակալից: [1] Արտադասարանական աշխատանքնե-րը դասարանական աշխատանքից տարբերվում են մի շարք առանձնա-հատկություններով: Ուսումնական նյութի բովանդակության,անցկաց-ման ժամանակի և մասնակիցների թվի վրա սահմանափակումներ չեն դրվում: Արտադասարանական աշխատանքների համար րնտրվում են բազմազան, հետաքրքիր, մաթեմատիկայի հիմնական դասընթացի ու-սումնառությունը լրացնող նյութեր: Օգտագործվում են հետաքրքրա-շարժ, կռահունակություն, հնարամտություն պահանջող առաջադրանք-ներ, որոնք խորացնում, ամրապնդում են մաթեմատիկայից սովորողնե-րի ունեցած գիտելիքները: Արտադասարանական աշխատանքների նկատմամբ հետաքրքրության առաջացման, ստեղծագործական մոտե-ցում ցուցաբերելու, սովորողների ինքնուրույն մտածողությունը զար-գացնելու նպատակով օգտակար է, որ նման աշխատանքները որոնո-ղական, հետազոտական բնույթի լինեն և սովորողների նախաձեռ-նությանը որաշակի տեղ հատկացվեն:

Ուսուցիչը բարեխղճորեն պետք է նախապատրաստվի արտադասա-րանական աշխատանքների կազմակերպմանը: Անհրաժեշտ է ընդգրկել այնպիսի առաջադրանքներ, որոնք սովորողների համար լինեն ուսա-նելի, բազմազան, միաժամանակ մատչելի և հետաքրքիր: Դրանք ներ-կայացվեն զվարճանքների, խաղերի, մրցույթների ձևով, ապահովեն միջառարկայական և ներառարկայական կապերը: Տարրական դասա-րաններում ուսուցիչները արտադասարանական աշխատանքների զա-նազան տեսակների կիրառման հարուստ փորձ ունեն: Դրանք մաթեմա-տիկական պատի թերթերն են, մաթեմատիկական խնբակները, մաթե-մատիկական երեկույթները կամ ցերեկույթները, մաթեմատիկայից կազմակերպվող դպրոցական մրցույթները և օլիմպիադաները, ճանա-պարհորդությունները մաթեմատիկայի բազմահրաշ աշխարհով: Քննարկենք այդ տեսակներից մի քանիսը.

20

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Մաթեմատիկական պատի թերթ Տարրական դասարաններում կարևոր նշանակություն ունի մաթե-

մատիկական պատի թերթերի լույս ընծայումը: Դրանք հարստացնում են աշակերտների մաթեմատիկական գիտելիքները, նպաստում նրանց ճանաչողական հետաքրքրությունների ձևավորմանը և բազմակողմա-նի զարգացմանը: Կրտսեր դպրոցում պատի թերթեր պետք է հրատա-րակել այն ժամանակ, երբ սովորողները արդեն տառաճանաչ են, կարող են թերթի նյութերը ինքնուրույն ձևավորել ու դրանք գրի առնել: Դրանց լույս ընծայումը ավելի արդյունավետ կդառնա, եթե պատի թերթերը ստեղծվեն սովորողների ակտիվ մասնակցությամբ: Պատի թերթը պետք է ունենա իր անվանումը: Այն կարելի է անվանել «Փոք-րիկ մաթեմատիկոս», «Մաթեմատիկայի լրաբեր», «Հետաքրքրա-շարժ մաթեմատիկա» և այլն: Թերթը ձևավորելիս դրա գեղագիտա-կան կողմը ևս պետք է լինլի ուշադրություն կենտրոնում: Առաջադրանք-ները կարելի է ներկայացնել թռչունների, կենդանիների, հեքիաթների, տիկնիկային ու մուլտիպլիկացիոն կինոնկարների հերոսների նկարնե-րի միջոցով, որոնք կմեծացնեն սովորողների հետաքրքրությունը թերթի նկատմամբ: Թերթը ցանկալի է կազմված լինի տարբեր բաժի-ններից: Բաժինները կարող են անվանվել՝տարբեր անուններով. «Հե-տաքրքրաշարժ խնդիրներ», «Ստացի'ր նոր պատկերներ», «Հաշ-վի'ր արագ», «Կատակ-հանելուկ խնդիրներ», «Գիտե՞ք արդյոք», և այլն: Ուսուցիչը սովորողների հետ նախապես պետք է որոշի թերթի այդ համարի բաժինները: «Գիտե՞ք արդյոք» բաժնում կարելի է ներ-կայացնել հետաքրքիր տեղեկություններ մաթեմատիկայի պատմու-թյուից, զարմանահրաշ դեպքեր հայտնի մաթեմատիկոսների կյանքից: Պատի թերթի նյութերը պետք է հաճախակի թարմացվեն: Այդ նպա-տակով դասարանը կարելի է բաժանել մի քանի խմբերի և խմբերից յուրաքանչյուրին հանձնարարել թերթի որևէ բաժնի վերաբերյալ նյու-թեր պատրաստել: Սովորողները կարող են օգտվել տարբեր աղբյուր-ներից՝ լրացուցիչ գրականությունից, համացանցից և այն: Նրանց կա-րող են օգնել նաև ծնողները: Խմբերի հավաքած և ներկայացրած նյու-թերը անհրաժեշտ է խմբավորել և դրանցից լավագույնները ընտրել պատի թերթի համար: Յուրաքանչյուր բաժնի համար ցանկալի է ունե-նալ գրպանիկ, որտեղ սովորողները կարող են դնել տրված հարցերի

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

21

պատասխանները կամ առաջադրանքների լուծումները՝ նշելով իրենց դասամատյանի համարը կամ անունը, ազգանունը: Օրինակ՝ 1-ին դասարանում «Կատակ խնդիրներ» բաժնում կարելի է ներկայացնել այսպիսի խնդիրներ. [2]

• Երկու մարդ արտը հնձեցին վեց ժամում: Քանի՞ժամում երեք մարդը կհնձեն այդ նույն արտը: (Արտն արդեն հնձված է, հնձելու կարիք չունի): • Առաջին օրը տղան բռնեց երեք ձուկ: Քանի՞ ձուկ կբռնի նա երկրորդ օրը: (Նայած բախտը ինչպես կժպտա տղային: Հնարավոր է, որ երկրորդ օրը տղան ոչ մի ձուկ չբռնի կամ էլ կարող է ավելի շատ ձուկ բռնի:) • Թռչում էին չորս ջայլամ: Որսորդը խփեց դրանցից մեկին: Քանի՞ ջայլամ մնաց: (Ջայլամները չեն թռչում) • 7 մոմ էր վառվում: 3 մոմը մարեցին: Քանի՞ մոմ մնաց: (7) • Գյուղացին 20 այծ ուներ: 12-ից բացի, բոլորը սատկեցին: Քանի՞սը կենդանի մնաց: ( 12) Կամ ՝ օրինակ 4-րդ դասարանում պատի թերթի ՝ «Գիտե՞ք արդյոք» բաժնում կարելի է ներկայացնել այսպիսի հարցեր. 1. Ե՞րբ են ստեղծվել մաթեմատիկայի առաջին դասագրքերը: 2. Ո՞ր դարում հայտնագործվեց տպագրությունը: 3. Ո՞ր թվականին և որտե՞ղ է տպագրվել թվաբանության առաջին հայերեն դասագիրքը և ինչպե՞ս էր այն կոչվում: 4. Միջնադարյան Հայաստանի ո՞ր համալսարաններում է մաթեմատի-կան կրթությունը եղել բարձր հիմքերի վրա:

Վերը նշված հարցերի պատասխանները, որը սովորողը պետք է գրի' և տեղադրի' այդ բաժնի գրպանիկի մեջ: Որպես նմուշ կարող են տրվել այսպիսի պատասխաններ. 1) 3 հազար տարի առաջ կազմվել են մաթեմատիկայի առաջին դա-սագրքերը: Դրանցով գրագիրներին սովորեցնում էին թվերը գրել, գումարել, հանել, բազմապատկել և բաժանել, խնդիրներ լուծել: Այդ-պիսի դասագրքերի քանակը քիչ էր, քանի որ դրանք գրում էին ձեռքով: 2) XV դարում:

22

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

3) Թվաբանության առաջին հայերեն դասագիրքը «Արհեստ համրո-ղության» տպագրվել է Մարսելում, 1875 թվականին: 4) Միջնադարյան Հայաստանում մաթեմատիկան բարձր մակարդակի վրա են գտնվել Անիի,Հաղպատի, Գլաձորի, Տաթևի համալսարաննե-րում:

Շաբաթը մեկ կամ երկու անգամ ուսուցիչը կարող է անրադառ-նա պատի թերթի առաջադրանքների կատարմանը, խրախուսի ճիշտ կատարողներին: Պատի թերթը ավելի արդյունավետ և օգտակար կդառնա, եթե ուսուցիչը մաթեմատիկայի դասերին սովորողներին առա-ջադրի կատարել թերթում տրված առաջադրանքներին համանման առաջադրանքներ: Աշխատանքը նման ձևով կազմակերպելու դեպքում սովորողները ավելի շատ կհետաքրքրվեն թերթում եղած նյութերով՝ և ավելի վստա կլինեն իրենց ուժերի նկատմամբ: Մաթեմատիկական խմբակները Մաթեմատիկայի նկատմամբ հատուկ հետաքրքրություն ունեցող սովո-րողների համար 2-ից 4-րդ դասարաններում կազմակերպվում են մաթե-մատիկայի խմբակներ: Խմբակի պարապմունքները կազմակերպվում են ամիսը 2- 3 անգամ: Խմբակը կազմվում է նույն դպրոցի զուգահեռ դասարանների սովորողներից՝ կամավորության սկզբունքով: Խմբակի պարապմունքները պետք է անցկացվեն նախապես պլանավորված ծրագրով: Պարապմունքների ժամանակ պետք է ճիշտ զուգակցել աշ-խատանքն ու հանգիստը՝ հաշվի առնելով կրտսեր դպրոցականների տարիքային առանձնահատկությունները: Այն պետք է դարձնել բազ-մաբովանդակ, հետաքրքիր, աշակերտների գիտելիքներին և կարողու-թյուններին համապատասխան: Այն չպետք է դառնա դասերի տրամա-բանական շարունակությունը: Խմբակի պարապմունքների ընթացքում սովորողներին կարելի է ծանոթացնել հաշվումների նոր հնարներին, առավել դժվար խնդիրների լուծման նոր եղանակներին, անվանի մա-թեմատիկոսների կյանքին ու գործունեությանը, առաջարկել լուծել մա-թեմատիկական խաչբառեր, գլուխկոտրուկներ, գաղտնագրեր, կատակ, հանելուկ-խնդիրներ, կռահման և հետաքրքրաշարժ խնդիներ և հատ-

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

23

կապես այնպիսի առաջադրանքներ, որոնց լուծումը կապված չէ թվա-բանական բարդ գործողությունների կատարման հետ, բայց լուծման համար պահանջում է լավ տրամաբանություն և կռահունակություն: Բերենք մի քանի հետաքրքրաշարժ, տրամաբանական խնդիր-ների օրինակներ, որոնք կարելի է առաջադրել 4-րդ դասարանում՝ խմբակի պարապմունքների ընթացքում. [3], [4] • Սեղանի շուրջ նստած են հինգ մարդ: Յուրաքանչյուրը բաժակը մեկ

անգամ զարկում է մյուսների բաժակներին: Քանի՞ անգամ են զարկ-վում բաժակները: (10 )

• Ոսկերիչին հանձնեցին ոսկյա շղթայի հինգ կտոր, որոնցից յուրա-քանչյուրը բաղկացած էր երեք փոքրիկ օղակներից: Ամենաքիչը քա-նի՞ օղակ «բացել-փակելով» ոսկերիչին կհաջողվի այդ հինգ կտորից ստանալ տասնհինգ օղակից բաղկացած շղթա: (3 օղակ)

• Ընտանիքում կան մի քանի երեխաներ: Երեխաներից մեկն ասում է, որ ինքը ունի մեկ քույր և մեկ եղբայր: Մյուսը ասում է, որ ինքը քույր չունի: Քանի՞ երեխա են ընտանիքում, քանի՞ աղջիկ և քանի՞ տղա:

(3 երեխա` 1 աղջիկ և 2 տղա) • Յուրաքանչյուր րոպեում զամբյուղում եղած խնձորների թիվը երկու

անգամ ավելանում է: Տասը րոպե հետո զամբյուղը լցվելու է: Որքա՞ն ժամանակ հետո այն կիսով չափ կլցվի: (9 րոպե) Բժիշկը հիվանդին նշանակում է երեք սրսկում`յուրաքանչյուրը երկու ժամից: Որքա՞ն ժամանակ կպահանջվում բոլոր սրսկումները կատարելու համար: (4ժամ)

• Տղան ասում է . «Երկու օր առաջ ես 10 տարեկան էի, իսկ մյուս տարի ես կդառնամ 13 տարեկան»: Կարո՞ղ է այդպիսի բան պատահել:

(Այո', տղայի ծննդյան օրը դեկտեմբերի 31-ն է, իսկ տարիքի մասին տղան խոսում է հունվարի 1-ին):

• Երկու հոգով պուրակի ծառատունկը կատարում են 5 ժամում: Քանի՞ ժամում այդպիսի ծառատունկը կկատարեն 5 հոգին:

24

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

(2 ժամում: Քանի՞ որ 2 հոգին ծառատունկը կատարում են 5 ժամում, ուրեմն 1 հոգին ծառատունկը կկատարի 10 ժամում, իսկ 5 հոգով ծա-ռատունկ կատարելու համար կպահանջվի 5 անգամ քիչ ժամանակ: ) • 6 ձկնորսը 6 ձուկը կերան 6 օրում: Քանի՞ օրում 10 ձկնորսը կուտեն

10 ձուկ: (6 օրում ) • Դատարկ տակառի զանգվածը 5կգ է: Որքա՞ն է ամբողջությամբ ջրով

լցված տակառի զանգվածը, եթե կիսով չափ ջրով լցված տակառի զանգվածը 15 կգ է: (25 կգ)

• Հայրը 32 տարեկան էր, իսկ որդին` 5 տարեկան: Ո՞ր տարիքում հայ-րը 10 անգամ մեծ էր որդուց: (2 տարի առաջ. 30 տ., 3տ.): Երեք միա-նման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է և իսկականից թեթև: Կարելի՞ է արդյոք նժարավոր կշեռքով մեկ կշռումում կատարելով որոշել, թե որ մետաղադրամն է կեղծ: (Այո: Վերցնում ենք ցանկացած երկուսը և համեմատում: Եթե դրաք նույն կշիռն ունեն, ապա կեղծ է երրորդը):

• Խնձորներով լի զամբյուղում երկու տեսակի խնձորներ կան: Առնվազն քանի՞ խնձոր պետք է վերցնել այդ զամբյուղից, որպեսզի նրանց մեջ նույն տեսակի գոնե երկու խնձոր լինի: (3 )

Այս և նման առաջադրանքների կատարումը սովորողների մեջ կառա-ջացնեն հետաքրքրություն, ստեղծագործական ակտիվություն, կնպաս-տի մտածողության զարգացմանը: Մաթեմատիկական ցերեկույթները Տարրական դասարաններում արտադասարանական աշխատանքների բազմազան տեսակների մեջ ուրույն տեղն ունեն մաթեմատիկական ցերեկույթները: Դրանք նպաստում են սովորողների գիտելիքների հարստացմանը, գործնական կարողությունների և հմտությունների ձևավորմանը, ինչպես նաև տրամաբանական և ստեղծագործական կա-րողությունների զարգացմանը: Այն ունի նաև դաստիարակչական կա-րևոր նշանակություն, նպաստում է սովորողների արժեքային համա-կարգի ձևավորմանը, համագործակցային հմտությունների խորաց-մանը: Ուսուցչի ուշադրության կենտրոնում պետք է լինի ինչպես ցերե-կույթների բովանդակային, այնպես էլ գեղագիտական կողմը` դահլիճի ձևավորումը, երեխաների հագուստների ընտրությունը: Անհրաժեշտ է

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

25

ստեղծել ջերմ ու հաճելի մթնոլորտ: Այդ դեպքում երեխաները սիրով ու հաճույքով կմասնակցեն ցերեկույթներին, ժամանակը կանցնի հետա-քրքիր ու բովանդակալից: Մաթեմատիկական ցերեկույթը կարող են լինել ընդհանրացնող՝ տարեվերջյան, ընդգրկելով ծրագրային նյութի տարբեր բաժիններից հարցեր, այնպես էլ կարող է լինել ազատ ընտ-րությամբ: Սովորողներին պետք է լավ նախապատրաստել ցերեկույ-թին՝ քննարկելով համանման հարցեր և առաջադրանքներ ինչպես դա-սապրոցեսում, այնպես էլ խմբակի պարապմունքների ժամանակ: Ներկայացնենք մաթեմատիկական ցերեկույթի մի նմուշ-օրինակ:[2] 3-րդ դասարան Ցերկույթը անցկացվում է դահլիճում կամ դասասենյակում, որը նախա-պես ձևավորվում է: Այն կազմված է մի քանի փուլերից: Ցերեկույթը անցկացվում է մրցույթային կարգով: Աշակերտները բաժանվում են երկու թիմի: Ընտրվում է ժյուրի, որի կազմում կարող են լինել ոսուցիչ, աշակերտ, ծնող: Յուրաքանչյուր ճիշտ պատասխան գնահատվում է մեկ միավոր: Յուրաքանչյուր փուլի ավար-տից հետո ժյուրին հայտնում է թիմերի հավաքած միավորները և գրան-ցում պաստառի վրա: Ցերեկույթը կարող են դիտել զուգահեռ դասարանների աշակերտ-ներ, ուսուցիչներ, ծնողներ: Երաժշտության հնչյունների ուղեկցությամբ դահլիճ են մտնում թիմերը: Նրանք ունեն իրենց անվանումները ` «Զանգակ» և «Բողբոջ»: Թիմերի անդամները հագուստի կամ գլխակի վրա կրում են իրենց թիմերի պայմանանշանները: Ցերեկույթը սկսվում է թիմերի ողջույնով, ապա խոսում է մրցավարը: Մրցավար - «Մաթեմատիկա» բառը մեզ հասել է Հին Հունաստանից, թարգմանաբար այն նշանակում է «գիտելիք», «գիտություն»: Մաթեմա-տիկան մի լեզու է, որով խոսում են բոլոր ճշգրիտ գիտությունները: Շա-տերը գտնում են, որ մաթեմատիկան իրենց պետք չէ, որովհետև նրանք չեն պատրաստվում մաթեմատիկոս դառնալ: Դա այդպես չէ: Մաթեմա-տիկան պետք է բոլորին: Գիտենալով մեր շրջապատող թվերի զարմա-նահրաշ աշխարհը` այն սովորեցնում է մեզ հստակ մտածել, արագ և ճիշտ հաշվումներ կատարել, զարգացնում է միտքը, ուշադրությունը,

26

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

դաստիարակում` դժվարությունները հաղթահարելու կամք և տոկունու-թյուն: Հույս ունեմ, որ այսօրվա մաթեմատիկական մրցույթի մասնակ-ցությունը կամրապնդի Ձեր և ունկնդիրների հետաքրքրությունը մաթե-մատիկայի նկատմամբ: Այսպիսով` սկսենք մեր մրցույթի «նախավարժանքը»: Թիմերը հաջորդաբար պատասխանում են մրցավարի հարցերին, որոնք արտահայտվում են թվերով: Յուրաքանչյուր ճիշտ պատաս-խան գնահատվում է մեկ միավոր: • Մեսրոպ Մաշտոցը ո՞ր թվականին է ստեղծել հայոց այբուբենը: (406

թ.) • Քանի՞ տառ կա հայերենի այբուբենում: ( 39) • Ընդամենը քանի՞ թվանշանի օգնությամբ են գրի առնվում թվերը:

(10) • Քանի՞ մայրաքաղաք է ունեցել Հայաստանը: (13) • Ո՞ր թվականին է հիմնադրվել Մատենադարանը: ( 1957 թ.) • Ո՞ր թվականին է հայ ժողովուրդը ընդունել քրիստոնեությունը: 301

թ.) • Մեզ հասած առաջին տպագիր գիրքը հրատարակվել է 1512 թվա-

կանին: Ո՞ր դարոմ է այն հրատարակվել: (16-րդ դար) • Մեզ հասած մաթեմատիկայի առաջին տպագիր ձեռնարկը հրատա-

րակվել է 1675 րվականին: Ո՞ր դարում է այն հրատարակվել: (17- րդ դար)

• Էջմիածնի Մայր տաճարը կառուցվել է 303 թվականին: Այդ թիվը ներկայացրո'ւ հին հայկական թվագրությամբ` օգտվելով հայկական թվագրությանը պատկերող պաստառից: (•ՅԳ•)

• Շախմատի աշխարհի չեմպիոն Տիգրան Պետրոսյանը ապրել է ընդա-մենը 55 տարի: Այդ թիվը արտահայտի'ր հին հայկական թվագրու-թյամբ`օգտվելով համապատասխան պաստառից: (•ԾԵ•)

• Քանի՞ մետր է Արարատի բարձրությունը: (5165 մ) • Քանի՞ մետր է Արագածի բարձրությունը: (4096 մ) • Ո՞ր թվականին է տեղի ունեցել Սարդարապատի հերոսամարտը:

(1918 թյ.) • Ո՞ր թվականին է ազատագրվել Շուշի քաղաքը: (1992 թ.) • Քանի՞ խաղաքար կա շախմատում: (32)

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

27

• Քանի՞ խաղաքար կա շաշկիում: (24) • Քանի՞ տարի է քառորդ դարը: (25 տարի) • Քանի՞ միլիմետր է մեկ մետրը: (1000 մմ) Այս փուլի ավարտից հետո ժյուրին ներկայացնում է երկու թիմերի հավաքած միավորները և գրանցում արդյունքները պաստառի վրա: Մրցավար - Այս մրցույթը կոչվում է «Ամենա , ամենա….» Թիմերը միմյանց տալիս են 5-ական հարց:

Յուրաքանչյուր հարցին պատասխանելու համար թիմին տրվում է մտածելու 1 րոպե ժամանակ: Որից հետո թիմի ավագը որոշում է, թե, ո՞վ պետք է պատասխանի հարցին: Յուրաքանչյուր ճիշտ պատասխանը գնահատվում է 1միավոր

Հարցեր • Ո՞րն է աշխարհի ամենամեծ կենդանին: (կապույտ կետ` զանգվածը 150 տ): • Ո՞րն է ամենամեծ ցամաքային կենդանին: (փիղ); • Ո՞րն է ամենախոշոր թռչունը աշխարհում: (ջայլամ, հասակը` 2,7 մ) • Ո՞րն է ամենաարագավազ գազանը: (հովազ) • Ո՞րն է ամենաերկարակյաց կենդանին: (կրիա, ապրում է մինչև 175 տարի: ) • Ո՞րն է ամենաբարձրահասակ կենդանին: (ընձուղտ, հասակը մինչև 5, 8 մ) • Ո՞րն է աշխարհի ամենաբարձր լեռնագագաթը: (Էվերեստ (Ջոմո-լունգմա ) 8848 մ: ) • Ո՞րն է աշխարհի ամենախոր լիճը: (Բայկալ լիճ, խորությունը` 1620մ:) • Ո՞րն է Հայաստանի ամենաբարձր լեռնագագաթը: (Արագածը, բարձ-րությունը` 4096 մ: ) • Ո՞րն է Հայաստանի ամենամեծ լիճը: (Սևանա լիճը ) Այս փուլի ավարտից հետո ժյուրին ներկայացնում է երկու թիմերի ստացած միավորները և գրանցում արդյունքները պաստառի վրա: Մրցավար - Հաջորդ մրցույթը կոչվում է «Ապա կռահի'ր»:

28

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Թիմերի ավագները հերթով, պետք է մոտենան սեղանին, վերցնեն կռահման խնդիր պարունակող մեկական ծրար: Ծրարում եղած խնդիրը քննարկեն թիմի անդամների հետ, ապա թիմի անդամներից մեկը ներ-կայացնի խնդրի լուծումը: Յուրաքանչյուր խնդրի լուծման համար թիմերին տրվում է 1 րոպե ժամանակ: Յուրաքանչյուր ճիշտ պատասխան կգնահատվի մեկ միավոր: Այսպիսով` թիմերից յուրաքանչյուրը հաջորդաբար սեղանից վերցնում և լուծում են տրված խնդիրներից 5-ը: Կռահման խնդիրներ • Տղան գերանը պետք է բաժաներ 6 մասի: Քանի՞ տեղից այն պետք

է սղոցի: (5) • Դաշտը վարում էր 7 տրակտոր: 2 տրակտորը կանգ առան: Քանի՞

տրակտոր կա դաշտում: (7) • Հինգ տարի առաջ քույր ու եղբայը միասին 8 տարեկան էին: • Քանի՞ տարեկան կլինեն նրանք միասին 5 տարի հետո: (28) • Ծրարների կապոցում կա 100 ծրար: Վաճառողը յուրաքանչյուր

ծրար հաշվում է մեկ վայրկյանում: Գնորդներից մեկին անհրաժեշտ է գնել 70 ծրար: Ամենաքիչը քանի՞ վայրկյանում վաճառողը կարող է հաշվել 70 ծրարը: (30 վրկ)

• Մետաղի ձողի յուրաքանչյուր կտրելն արժե 100 դրամ: Որքա՞ն պետք է վճարել ձողը 16 մասի բաժանելու համար: (1500 դրամ)

• Գրքի 40 թերթն ունի 1 սմ հաստություն:Որքա՞ն է բոլոր թերթերի հաստությունը, եթե գիրքը 160 էջ է: (2 սմ)

• Թագավորն ուներ երեք մետաղադրամ, որոնցից մեկը կեղծ էր ու թեթև: Նա մեկ կշռումով պարզեց, թե ո՞րն է նրանցից կեղծ: Ինչպե՞ս դա նրան հաջողվեց:

(Նա վերցրեց երկու դրամ և կշռեց լծակավոր կշեռքի վրա: Եթե կշռե-լիս մի դրամը թեթև լինի, ուրեմն դա է կեղծը, եթե կշռելիս երկու դրամ-ները միատեսակ լինեն՝ ուրեմն մնացած երրորդ դրամն է կեղծ:) • Եղբայրներից մեկը դպրոցից տուն էր գնում դանդաղ, իսկ մյուսը շտա-

պում էր դպրոց: Հանդիպման պահին ո՞ր եղբայրն էր մոտ դպրոցին: (Երկուսն էլ նույն հեռավորության վրա էին):

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

29

• Ձմեռվա ընթացքում Անահիտը կորցրեց 12 ձեռնոց, Հասմիկը` 2 անգամ պակաս: Քանի՞ զույգ ձեռնոց կորցրեցին երկու աղջիկները միասին:

• (9 զույգ): • Գառներն ու սագերն ունեն 5 գլուխ և 16 ոտք: Քանի՞ գառ և քանի

սագ կա: (3 գառ, 2 սագ) • Որքանո՞վ է առաջին հարյուր զույգ թվերի գումարը մեծ առաջին

հարյուր կենտ թվերի գումարից: (100-ով) • Ծանրաձողը կշռում է 100 կգ և էլի կես ծանրաձող: Որքա՞ն է կշռում

ծանրաձողը: (200 կգ ) • Արամը բարձրանում էր աստիճաններով: Թռչելով երկուական աստի-

ճաններով` նա հաշվեց 1, 2, 3, 4: Երբ նա պետք էր ասեր «5», մնաց` մեկ աստիճան: Ընդամենը քանի՞ աստիճան էր: (9)

• 13 մետր երկարության գերանը պետք է բաժանել 1մ երկարության կտորների: Քանի՞ տեղից պետք է սղոցել գերանը: (12 )

• Հայրն ունի 2 աղջիկ: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի 2 եղբայր: Քանի՞ երեխա կա ընտանիքում: (4)

Այս փուլի ավարտից հետո ժյուրին ներկայացնում է երկու թիմերի հա-վաքած միավորները և գրանցում արդյունքները պաստառի վրա: Մրցավար - Լարված մտավոր աշխատանքից հետո, առաջարկում եմ թիմերին հանգստանալ, իսկ թիմերի երկրպագուներին` լուծել բազմա-թիվ հանելուկներ, որոնք ինչ որ կերպ կապված են թվերի հետ: Այն հանդիսատեսը, որը առաջինը ճիշտ կգուշակի հանելուկի պա-տասխանը, իրավունք ունի ստացած միավորը տալ իր նախընտրած թիմին: Ժյուրին գնահատում է պատասխանները: Երկրպագուներից յուրա-քանչյուրի ստացած միավորը տրվում է իր նախընտրած թիմին: Մրցավար - Հաջորդ մրցույթը կոչվում է «Փորձ»: Տրված է երկու առաջադրանք, որոնք միաժամանակ կտրվեն թիմե-րին: Այն թիմը, որը առաջինը ճիշտ կկատարի տրված առաջադրանք-ները, նա էլ կստանա միավորներ: Առաջադրանքներից յուրաքանչյուրի ճիշտ կատարման համար թիմը կստանա երկու միավոր:

30

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Առաջադրանք 1 «Ճարպիկ մկրատ» Թիմերը ստանում են մեկական քառակուսի թուղթ, մոտավոր 15սմ X 15սմ: Պահանջվում է քառակուսին բաժանել 4 հավասար մասերի այն-պես, որ նրանցից կազմվի երկու հավասար քառակուսի: Առաջադրանք 2. «Հետաքրքրաշարժ բաժակներ» Թիմերի առջև դրվում են հաջորդաբար դասավորված 6 բաժակ հե-տևյալ կարգով. առաջին երեքը` ջրով լցված, հաջորդ երեքը` դատարկ: Պետք է այնպես անել, որ ջրով լցված և դատարկ բաժակները հաջորդեն իրար: Ընդ որում թույլատրվում է ձեռք տալ միայն մեկ բաժակի: (Պատասխան` պետք է վերցնել երկրորդ բաժակը և նրա մեջ եղած ջուրը լցնել հինգերորդ բաժակի մեջ): Մրցավար - Այս մրցույթը կոչվում է «Երկրաչափական պատկերներ»: Այն կօգնի պարզելու, թե ո՞ր թիմը գիտի ավելի շատ հարթ պատկեր-ների և ծավալային երկրաչափական մարմինների անուններ: Թիմերը հերթով տալիս են պատասխաններ, առանց երկար մտածելու: Օրինակ` ուղղանկյուն, քառակուսի, եռանկյուն, շրջան, քառանկյուն, հնգանկյուն (հինգից ավելի անկյուն ունեցող բազմանկյունների անուն-ները չեն ընդունվում), խորանարդ, գլան, գունդ, բուրգ և այլն: Ժյուրին ներկայացնում է երկու թիմերի հավաքած միավորները և գրանցում արդյունքները պաստառի վրա: Մրցավար - Վերջին մրցույթը կոչվում է` «Վերծանի'ր գաղտնագիրը»:

Առաջարկվում է վերծանել թվեր պարունակող գաղտ-նագրեր: Թվեր վրա դրված ստորակետները ցույց են տալիս ստորակետների թվով տառերի բացակա-յությունը թվի անվան սկզբից կամ վերջից:

Թիմերի ավագներին տրվում է չորսական թերթիկ, որոնցից յուրա-քանչյուրում գրված է մի գաղտնագիր բառ: Նրանք թիմի անդամների հետ պետք է փորձեն վերծանել գաղտնագրերը: Թիմերին մտածելու

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

31

համար տրվում է 5 րոպե ժամանակ, որից հետո նրանք ներկայացնում են գաղտնագրերի պատասխանները: Յուրաքանչյուր ճիշտ պատաս-խան գնահատվում է երկու միավոր: Ստորև տրված են գաղտնագրերը.

3 նուկ , 1 նարկ , Ն ‘ 1000 , խան 8, 3’ կո, 0’ ահ 1’ ղ 8’ 2’ իր (Պատասխաններ` երեքնուկ, մեկնարկ, Նազար, խանութ, երեկո, զրահ, մեղու , երկիր): Մրցավար - Ամփոփենք արդյունքները:

Այս փուլի ավարտից հետո ժյուրին ներկայացնում է երկու թիմերի հավաքած միավորները և գրանցում արդյունքները պաստառի վրա: Ապա, հաշվում մրցույթներում յուրաքանչյուր թիմի հավաքած միավոր-ների ընդհանուր գումարը և հայտնում հաղթող թիմի անունը: Այսպիսով՝ ուսուցիչը արտադասարանական աշխատանքների տար-բեր տեսակների միջոցով հետաքրքիր և բազմաբովանդակ է դարձնում կրտսեր դպրոցականի առօրյան, լուծում ուսումնական և դաստիարակ-չական շատ խնդիրներ, ընդլայնում սովորողների հետաքրքրություն-ների շրջանակը, սիրել տալիս թվերի զարմանահրաշ աշխահը, որտեղ կան շատ գաղտնիքներ:

Գրականություն

1. Հ. Մեհրաբյան, «Կրտսեր դպրոցականների մաթեմատիկական հետաքրքրությունների ձևավորումը», Երևան , «Լույս» 1998 թ.

2. Ս. Սարգսյան, «Մաթեմատիկական ցերեկույթներ», Երևան , «Արևիկ» 2011 թ. 3 . Ա. Հակոբյան Ն. Խրիմյան, «Տրամաբանական խաղեր», Երևան, 2001 4. Ա. Հակոբյան, «Մաթեմատիկական խճանկար», Երևան , «Ուսում» 1992 թ.

32

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ОРГАНИЗАЦИЯ ВНЕКЛАССНЫХ РАБОТ ПО МАТЕМАТИКЕ В МЛАДШИХ КЛАССАХ

Сона Саргсян Резюме

В статье автор обосновывает важность внеклассных работ в процессе обучения математике. Представлены примеры некоторых видов внеклассных работ, организуемых по математике: стенгазеты, математические кружки, разновидности и особенности организации математических утренников в младших классах. Представлен также пример математического утренника в III классе.

ORGANIZATION OF THE EXTRACURRICULAR ACTIVITIES ON MATHEMATICS IN ELEMENTARY SCHOOL

Sona Sargsyan Summary

In the article the author emphasizes the importance of

extracurricular activities in the process of teaching Mathematics. Some examples of extracurricular activities on Mathematics are being presented in the article: posters, Mathematical clubs and peculiarities of organizing different parties are also presented. A sample of a party for the 3rd grade is being presented in the article.

Սոնա Աբգարի Սարգսյան - Կրթության ազգային ինստիտուտ, գնահատման համակարգերի ներդրման բաժնի մասնագետ Հեռախոս ՝ 094 05 40 15 Էլ հասցեն՝ mahushak 48 @ rambler.ru

33

ՈւՍՈւՑԱՆՈՂ ԹԵՍՏ

Միքայելյան Լիլիթ

Բանալի բառեր - ամփոփիչ թեստ, ուսուցանող ստուգում, թվային բազմություն, անհատական և համագործակցային աշխատանք Ուսուցանող ստուգման նպատակն է՝ չափել սովորողի ուսումնական

առաջադիմությունը որոշակի հմտության կամ վարքի բացահայտման տեսանկյունից՝ նպաստելով դրա զարգացմանը, ինչը չի նախատեսվում անել ամփոփիչ գնահատման միջոցով [3,5]: Ստուգումը կարելի է իրա-գործել տարբեր ձևերով՝ օրինակ հարցարանով, որին կանվանենք ուսու-ցանող թեստ, ինքնուրույն աշխատանքով, սովորողներին հանձնարար-ված պրեզենտացիաներով, քննարկումներով, ուսուցչի կողմից կազմված քարտերի կամ պաստառների միջոցով տրվող հանձնարարություններով, որոնք կարող են կատարվել խմբերով, և այլն: Ուսուցանող առաջադրան-քի պահանջները պետք է պարունակեն օգնող և հուշող ձևակերպումներ, որոնցով սովորողին պարզ դառնան տվյալ ուսումնական նյութի ու դրա տարրերի իմացությունն ու հստակ պատկերացումն իր չիմացածի մասին [2,6]: Դա որակով անելու համար ուսուցչից պահանջվում է մանկավար-ժական վարպետություն և ջանք: Սա ուսուցանված որոշակի ուսումնական նյութի յուրացման ինքնաստուգման և ինքնագնահատման մի ձև է:

Օրինակ. ուզում ենք ստուգել թիվը բնական աստիճան բարձրաց-նելու հետ կապված գիտելիքը հանրահաշվից: Ուսուցանող նպատակով

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

34

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

կարելի է հարցնել. «Ինչո՞ւ 1-ից փոքր դրական թիվն ավելի բարձր բնա-կան աստիճան բարձրացնելուց ստացված թիվն ավելի փոքրանում է, իսկ 1-ից մեծի դեպքում հակառակն է»: Ամփոփիչ ստուգման դեպքում հարցը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ. «Դրական թիվն է մեծ, թե՞ դրա քառակու-սին»: Այդ հարցադրումների գլխավոր տարբերությունն այն է, որ հարցին ճիշտ կամ սխալ պատասխանելիս, ուսուցանող ձևակերպման դեպքում պարզ է դառնում հիմնավոր գիտելիքը կամ որոշակիացվում է չիմացածն ու թերությունը:

Կախված սովորողի տարիքից, ուսուցանվող թեմայից, թեստա-վորման ընտրված աշխատաձևից՝ ուսուցանող ստուգումն ունի մի շարք առավելություններ.

• սովորողն ավելի ազատ ու անկաշկանդ է դրսևորում սեփական կարողությունները, քանի որ այն չունի մրցակցային բնույթ,

• սովորողի կողմից կազմված նյութերի օգտագործումը բարձրաց-նում է այդ աշխատանքը կատարելու մոտիվացիան և այն կրկին կատարելու ցանկություն է առաջացնում,

• խմբի կատարելիք աշխատանքի հաջողության մեջ սովորողի ներդրման ցանկության և պատասխանատվության մեծացում,

• միասին աշխատելու կուլտուրայի ձևավորում, միմյանց օգնելը՝ յուրաքանչյուրի բաժին աշխատանքը լիարժեք կատարելու համար,

• քննական մտածողության խթանում, • աշխատանքի ընթացքում շարժունություն:

Ուսուցանող ստուգման արդյունքներն ուսուցիչը կարող է գնահատել նաև միավորով, որպես բանավոր հարցում՝ չմոռանալով, որ գլխավոր նպատակը աշխատանքի ուսուցանող բնույթն է:

Ուսուցանող ստուգման համար կարելի է կիրառել տարբեր մեթոդ-ներ: Այստեղ գլխավորը նման աշխատանքի ուսուցանող բնույթը պահ-պանելն է: Օրինակ՝ տնային աշխատանք. «Կազմել հանձնարարված թե-մայի ըմբռնումն ստուգող և այդ թեմայի յուրացմանը նպաստող հար-ցարան, պաստառ, խաչբառ կամ թեմայից կախված այլ հարմար միջոց»:

Ուսուցանող թեստ: Ուսուցանող թեստի բովանդակությունը հեն-վում է դասարանում սովորողի ամենօրյա գործունեության վրա: Ուսու-ցանող թեստը նախատեսվում է հիմնականում որպես ուսուցչի կողմից

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

35

ամեն մի սովորողի կամ խմբի ուսումնական ձեռքբերումների բացահայտ-ման և բարելավման միջոց: Ուսուցանող թեստի կատարումն օգնում է նաև սովորողի մոտ չափորոշչով նախատեսված որոշակի հմտությունների զարգացմանը: Ուսուցիչը դրանք կազմում է թեմայի ուսումնասիրման ըն-թացքում կամ իրավիճակից բխող անհրաժեշտությունից: Ի տարբերու-թյուն տվյալ թեմայի տիրապետման աստճանն ստուգելու համար նախա-տեսված ամփոփիչ թեստի՝ ուսուցանող թեստն ունի առաջընթացը խթա-նելու նպատակ:

Ուսուցանող թեստի առաջադրանքը պետք է ունենա ուսուցանող բնույթ: Այն տարբեր է նաև հայտորոշիչ թեստի առաջադրանքից, որի նպատակն առկա վիճակի բացահայտելն է: Այսպիսով, ուսուցանող թես-տի և΄ կատարումը, և΄ արդյունքների քննարկումը նպաստում են յուրա-քանչյուր սովորողի ուսումնական առաջընթացին:

Ըստ անհրաժեշտության և դասաժամին կատարելու հնարավորու-թյան` ուսուցիչը կարող է նախատեսել ուսուցանող թեստ անհատական կատարման, զույգերով աշխատելու կամ խմբային համագործակցության իրականացման համար: Այն կարող է հանձնարարվել նաև որպես տնային աշխատանք: Ուսուցանող թեստի կատարման համար տրվող ժամանակը սահմանում է ուսուցիչը՝ ելնելով նպատակահարմարությունից և թեստի ծավալից:

Թեստի կատարման ընթացքում, ուսուցչի հայեցողությամբ, աշա-կերտները կարող են օգնել միմյանց կամ օգտվել գրականությունից` ի տարբերություն ամփոփիչ կամ հայտորոշիչ թեստերի: Ընդհանուր օգտա-կարությունից բացի, ուսուցանող թեստի կատարումը կնպաստի նաև սովորողի համագործակցային հմտությունների զարգացմանը: Ուսուցա-նող թեստի կառուցվածքն ու կազմվածքը կարող են շեղվել ամփոփիչ թես-տին ներկայացվող պահանջներից:

Սովորողներին կարելի է ներգրավել թեստի առաջադրանքները կազմելու գործընթացին:

Ուսուցանող ստուգման այս տեսակի նպատակն է` պարզել աշակեր-տի անհատական աշխատանք կատարելու կարողությունը, առարկային տիրապետելու մակարդակը, հետազոտական-վերլուծական ունակությու-նը և գրականությունից կամ այլ ուսումնական միջոցներից օգտվելու կա-րողությունը:

36

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Թեստի կատարումն ու արդյունքների քննարկումը նպաստում են յուրաքանչյուր սովորողի ուսումնական առաջընթացին: Ուսուցանող թեստի կատարումն օգնում է նաև սովորողի մոտ կրթակարգով նախա-տեսված որոշակի հմտությունների զարգացմանը:

Ուսուցանող թեստ՝ «Թվային բազմություններ» թեմայից 7-րդ դասարան

Ուսուցանող թեստը պետք է պարունակի հարցեր միայն թվային բազմությունների վերաբերյալ: Այն որևէ այլ գիտելիք ստուգելու նպատակ չունի: 1. Տրված է = {3;−2; 0} բազմությունը:

ա. Նշիր A բազմության բոլոր երեք տարրերը: բ. Նշիր A բազմության՝ մեկ տարր պարունակող բոլոր երեք ենթաբազմությունները: գ. Նշիր A բազմության՝ երկու տարր պարունակող բոլոր երեք ենթաբազմությունները: դ. Նշիր A բազմության՝ բոլոր ութ ենթաբազմությունները:

2. Աշակերտը մի օրում ստացավ երկու «9» և և մեկ «5» գնահատական: Ծնողը նրան ասաց. «Գրի՛ր այսօր քո ստացած բոլոր գնահատա-կանների բազմությունը»: Երեխան գրեց՝ {5; 9}: Ճի՞շտ էր, արդյոք, երեխայի պատասխանը, թե՞ նա պետք է գրեր {9; 9; 5}:

3. Տրված են = {3; 4; 11; 8} և = {−3; 3; 8; 0; 7} բազմությունները: ա. Թվարկիր A բազմության տարրերը: բ. Թվարկիր B բազմության տարրերը: գ. Թվարկիր ∪ բազմության տարրերը: դ. Թվարկիր A և B բազմությունների բոլոր ընդհանուր տարրերը:

4. Հայտնի է, որ B A⊂ ա. Հիմնավորիր, թե ինչու A բազմության տարրերի քանակը չի կարող պակաս լինել B բազմության տարրերի քանակից: բ. Հնարավո՞ր է, որ B բազմության տարրերի քանակը հավասար լինի A բազմության տարրերի քանակին: Բերել թվային բազմությունների օրինակ:

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

37

5. Ո՞ր դեպքերում է հնարավոր, որ ∪ բազմության տարրերի քանակը հավասար լինի A և B բազմություններից յուրաքանչյուրի տարրերի քանակների գումարին: Բերել երկու թվային բազմությունների օրինակ:

6. Դիցուք = {8;−1;−3; 12}, = {−8;−3; 5; 11}: ա. Գրել B բազմության այն ենթաբազմությունները, որոնք

պարունակում են −8 և 5 թվերը: բ. Գրել ∪ բազմությունը: գ. Կազմել երկու տարր ունեցող բաղկացած այնպիսի C թվային բազ-մություն, որ

∩ = ∩ = ∅: դ. Կազմել երկու տարրից բաղկացած այնպիսի D թվային բազմություն, որ

∩ = ∩ ≠ ∅: ե. Գրել մեկ տարրանոց մի E թվային բազմություն այնպես, որ ∩ ≠∩ : Ինչպիսի՞ դեպքեր են հնարավոր. կարո՞ղ է E բազմության տարրը տարբեր լինել ∪ բազմության տարրերից:

7. Գրել 7 տարր պարունակող A և 5 տարր պարունակող B թվային բազմություններ այնպես, որ ա. ∪ բազմությունը պարունակի ինը տարր: բ. Քանի՞ տարր կպարունակի ∩ բազմությունը, եթե ∪ բազմությունը պարունակի 9 տարր:

8. A բազմությունն ունի 3 տարր, ∩ բազմությունը՝ 2 տարր, ∪ բազմությունը՝ 6 տարր: Քանի՞ տարր ունի B բազմությունը: Պատասխանը հիմնավորել:

Ուսուցանող թեստի առաջադրանքներին միավորներ վերագրելը երկրորդական նպատակ է, որը կարելի է չանել: Այդպիսի թեստի առա-ջադրանքի կատարման մակարդակով պարզվում է սովորողի տվյալ գի-տելիքին կամ հմտությանը տիրապետման խորությունը, ինչպես նաև բա-ցահայտվում են թերության ու չիմացության պատճառներն ու նշվում են դրանք հետագայում վերացնելու ուղիները:

Այս թեմայով նախատեսվող ամփոփիչ թեստում, երբ ստուգվում են միայն առաջադրանքների պատասխանները, կարելի է հարցերի ձևակեր-

38

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

պումները փոփոխության ենթարկելով՝ ստանալ այդ նպատակին համա-պատասխան թեստ: Թեմայի ուսուցման ընթացքից կախված՝ ամփոփիչ թեստի առաջադրանքը կարող է պարունակել նաև հարակից գիտելիքի կիրառման անհրաժեշտություն:

Նույն թեմայով ամփոփիչ թեստի օրինակ.

1. Տրված է = {3;−2; 0} բազմությունը: Քանի՞ ենթաբազմություն ունի A բազմությունը: 2. Աշակերտը մի օրում ստացավ երկու <<9>> և և մեկ <<5>> գնահատական: Ծնողը նրան ասաց. <<Գրի՛ր այսօր քո ստացած բոլոր գնահատականների բազմությունը>>: Ինչ բազմություն պետք է գրի երեխան: 3. Տրված են = {3; 4; 11; 8} և = {−3; 3; 8; 0; 7} բազմությունները: Գտնել Α ∩ Β բազմությունը: 4. A-ն 16-ից փոքր կենտ թվերի բազմությունն է, B-ն 16-ից փոքր պարզ թվերի բազմությունն է: Քանի՞ տարր ունի ∪ բազմությունը: 5. A բազմությունն ունի 5 տարր, B բազմությունն ունի 7 տարր և Α ∩Β = ∅ : Քանի՞ տարր ունի ∪ բազմությունը: 6. Դիցուք = {8;−1;−3; 12}, = {−8;−3; 5; 11}:

Կազմել երեք տարրից բաղկացած այնպիսի D թվային բազմություն, որ ∩ = ∩ ≠ ∅

7. A բազմությունն ունի 7 տարր, B բազմությունն ունի 5 տարր: Քանի՞ տարր ունի ∩ բազմությունը, եթե ∪ բազմությունն ունի 9 տարր: 8. A բազմությունն ունի 3 տարր, ∩ բազմությունը՝ 2 տարր, ∪ բազմությունը՝ 6 տարր: Քանի՞ տարր ունի B բազմությունը:

Ամփոփիչ թեստի առաջադրանքի նույնիսկ ճիշտ պատասխանից հաճախ չի կարելի հետևություն անել խնդրի ճիշտ լուծման մասին: Օրինակ՝ 4-րդ առաջադրանքի ճիշտ պատասխանից դեռևս չի հետևում, թե այն լուծողը գիտի՞ որ 1-ը պարզ թիվ չէ: Նմանատիպ դատողություն կարելի է անել նաև մյուս առաջադրանքների վերաբերյալ:

Ուսուցանող թեստը կարելի է կազմել իմացության տարբեր մակար-դակների կամ կարողությունների որոշակի շրջանակի ստուգման հա-մար[4]: Այն հատկապես օգտակար է ցածր և միջին մակարդակների տի-րապետող սովորողին:

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

39

Լավ կազմված ուսուցանող թեստը կարելի է հանձնարարել սովո-րողին՝ ինքնուրույն կատարման համար: Նպատակահարմար է սովորո-ղին տրամադրել ճիշտ պատասխաններն ու տիպային օրինակներ, որոնք նա կարող է նայել թեստի կատարումից հետո: Սովորողը դա կարող է օգտագործել ինքնագնահատման համար: Դա կօգնի նրան բացահայտել իր թերըմբռնումներն ու տվյալ ուսումնական նյութի որոշակի տարրերի չիմացությունը: Դրան հաջորդող օգտակար շարունակությունը կլինի այն, որ նախ սովորողն ինքը փորձի սեփական ուժերով հաղթահարել իր բացթողումներն ու թերությունները՝ օգտվելով անհրաժեշտ գրականու-թյունից ու տեխնիկական միջոցներից: Եթե այդ գործընթացը հաջողված լինի, ապա սովորողը լավագույնս տիրապետած կլինի տվյալ ուսումնա-կան նյութին: Հակառակ դեպքում նա կարող է իր կատարածը քննարկել մեկ այլ սովորողի հետ: Դրանից հետո, եթե կմնան դեռևս չպարզաբան-ված հարցեր, նա կարող է դիմել ուսուցչի կամ այլ գիտակի օգնությանը: Բոլոր դեպքերում ուսուցիչը ստուգում է վերջնական պատասխանները:

Ինքնագնահատումն ու փոխադարձ գնահատումն աշակերտին ա-վելի պատասխանատու են դարձնում իր սովորելու համար և այդ պատ-ճառով էլ կրթության որակի վրա դրանք ունեն դրական ազդեցություն [1,7]:

Գրականություն

1. Միքայելյան Օ.Ս., Միքայելյան Ս.Օ.: Ընթացիկ գնահատման նոր հա-մակարգը որպես կրթության որակի բարելավման խթան. ուսուցչի ձեռնարկ: Երևան 2010:

2. Միքայելյան Օ. Ս., Միքայելյան Ս. Օ.: Թեստ. կառուցման և արդյունք-ների վերլուծության հիմունքներ: Երևան, 2015թ.:

3. Միքայելյան Օ.Ս.: Սովորելուն նպաստող ուսումնական ձեռքբերումնե-րի ստուգման մի մոտեցում: Մանկավարժություն, 5, 2014թ.:

4. Крокер Л., Алгина Дж. Введение в классическую и современную теорию тестов: учебник. – М.: Логос, 2010.

5. Michael K. Russell, Peter W. Airasian. Classroom Assessment, McGraw-Hill, NY.,2012.

40

ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

6. Popham, W. James. Test better, teach better. 2003, ASCD, Alexandria, Virginia USA.

7. Shirley Clarke, Unlocking Formative Assessment. Hodder & Stoughton, 2006.

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ

Лилит Микаелян Резюме

В работе представляются идеи обучающей проверки и обучающего

теста, а также роль обучающей проверки в процесс учебы. Представляются два теста по теме «численные множества». Выявляется разница между суммативным и обучающим подходами оценки, а также представляется важность самооценки и сотрудничества между учащимися.

FORMATIVE TEST Lilit Mikayelyan

Summary

In the article the ideas of formative test, checking for learning, and its role in the process of learning are presented. Two tests on “number sets” are included. The article also discovers differences between summative and formative approaches of assessment, and the importance of self-checking and students’ cooperation.

Լիլիթ Միքայելյան՝ ԵՊՀ-ի ՏՏՀԿ կենտրոն, մաթ. ծրագրորդ Հեռախոս՝ (099) 89 14 14 Էլ. Հասցե՝ miklilit@yahoo.com

41

ԴՊՐՈՑԱԿԱՆՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ

ՀԻՄՆԱԽՆԴՐԻ ՇՈՒՐՋ

Անի Սաղաթելյան

Բանալի բառեր – մաթեմատիկայի ուսուցում, կիրա-ռություն, գեղագիտական ընկալում, նոր մեթոդներ, միջառարկայական կապեր, ինքնուրույն աշխատանք

Պայմանավորված գիտատեխնիկական առաջընթացի արագու-

թյամբ, կրթության և գիտության մեջ բարձր տեխնոլոգիաների ներ-դրմամբ և կիրառմամբ` այսօր ազգային և համաշխարհային տնտեսու-թյուններն անընդհատ վերակառուցվում են: Արդյունաբերական տնտե-սության մեջ կարևորվում են գիտելիքները, իսկ հասարակությունը դառ-նում է տեղեկատվական: Անընդհատ փոխվում է աշխատանքային միջա-վայրը, նորովի են կազմավորվում և վերաբաշխվում աշխատատեղերը, առաջնահերթ է դարձել որակյալ մասնագետների պահանջարկը աշխա-տաշուկայում: Համաձայն ՀՀ Կրթության մասին օրենքի` ուսուցման և հանկակրթու-թյան պետական կրթակարգի՝ ուսուցման գործընթացում առաջնատեղ է տրվում սուբյեկտ-սուբյեկտ հարաբերությունների կառուցմանը, որի իրա-կանացման կարևոր գործոններից մեկը ուսուցչին սովորեցնողի դերից գործընկերոջ դերակատար տեսնելն է [2]:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

42

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Այսօր ուսուցչի գործունեությունը պետք է ուղղված լինի ոչ թե աշա-կերտներին ընդհանուր տեղեկություններ, կյանքի տարբեր բնագավառ-ների վերաբերյալ պատրաստի գիտելիքներ հաղորդելուն, այլ անձի գի-տակցության նորովի ձևավորմանը, որը ենթադրում է որակապես նոր մոտեցումների ցուցաբերում: Այդ կապակցությամբ ծագող առանցքային հարցերից մեկն այն է, թե ինչպե՞ս զարգացնել ուսումնական գործունե-ության նկատմամբ երեխաների հետաքրքրությունները: Դիտարկենք այս հիմնախնդիրը սովորողների մաթեմատիկական հետաքրքրությունների տեսանկյունից: Անառարկելի է, որ հիմնական դպրոցում մաթեմատիկական կրթու-թյան բովանդակությունը միտված է աշակերտների մտածողության, ինք-նուրույնության, մտքի ճկունության և տրամաբանության ձևավորմանը: Այս ուղին սովորողն անցնում է մաթեմատիկական որոշակի գիտելիքների և կարողությունների ձեռքբերման ճանապարհով: Հիմնական մաթեմա-տիկական հասկացությունների տիրապետման համար պետք է օգնել երեխաներին, որ նրանք առարկայական-գործնական մտածողությունից աստիճանաբար անցնեն վերացական- հասկացութայինի:

Գաղտնիք չէ, որ այսօր մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացի ուսումնասիրումը գործնականում իրականացվում է «Հասկանալ-յուրաց-նել-հիշել» բանաձևով: Ըստ սրա` աշակերտները հիմնականում սովորում են միայն մաթեմատիկական փաստեր, առանձին օրինաչափություններ, որոշ հնարներ, գծագրերի և սխեմաների կիրառման եղանակներ և այլն [1]: Գուցե և սա է պատճառներից մեկը, որ հաճախ մարում է սովորելու հանդեպ աշակերտների ցանկությունը: Այս խնդրի լուծման համար առա-ջին հերթին հարկավոր է բարելավել կրթության որակը:

Կրթության որակի բարելավման կարևորագույն խնդիրներից մեկը ուսումնական նյութի կիրառական ուղղվածության ապահովումն է [3]: Հիշենք, որ «մաթեմատիկա» դպրոցական դասընթացի ուսումնասիրման հիմնական նպատակը պետք է լինի դասընթացի բովանդակության մեջ նախատեսված գիտելիքների «հասկանալ-տիրապետելը (նաև ինքնու-րույն) և ապա` դրանք գործնականում կիրառելը» [1]: Այդ դեպքում աշա-կերտներն ուսումնառության ընթացքում հնարավորություն են ունենում ինքնուրույն մտածել, հիշել, ընդհանրացնել ունեցած գիտելիքները,

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

43

դրանք համակարգել ու կարողանալ կիրառել: Ինչպես նշում են հոգե-բանները` յուրաքանչյուր երեխայի մեջ ներկա է ստեղծագործական հնարավորություն, ներքին ուժ, որն ուղեղի բնական գործառույթն է :

Նշված խնդիրները լուծելու համար մանկավարժից պահանջվում է ցուցաբերել մասնագիտական ճկունություն, ինքնատիպ մտածողություն, ստեղծագործականություն, անհրաժեշտ պատրաստվածություն: Նա պետք է տիրապետի ժամանակակից մեթոդները ստեղծագործարար կի-րառելու ունակությունների: Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը պետք է այնպես կառուցվի, որ աշակերտը ոչ միայն սովորի և յուրացնի մաթեմատիկական իրողությունները, դրանց կարևորությունը հասնի սովորողի գիտակցությանը, այլ, ինչպես իրավացիորեն նշում է Հ. Ս. Մի-քայելյանը, ըմբռնի նրա գեղեցկությունը [4]: Բնականաբար, այս ամենի համար մաթեմատիկական ցանկացած ձևակերպում պետք է լինի պարզ և տրամաբանված, իսկ ուսուցչի խոսքը, բացատրությունների ծավալը` հակիրճ, որոշակի, հստակ, ճշգրիտ, համոզիչ, հիմնավոր և գրավիչ: Դասավանդման արդիական մեթոդների կիրառումը և նոր տեխնոլո-գիաների ներդրումը դասագործընթացում նպաստում է մաթեմատիկայի հանրակրթական նշանակության բացահայտմանը և առարկայի ուսում-նասիրման պարտադիր մակարդակի ապահովմանը: Տեխնոլոգիան ար-վեստ է, վարպետություն, կարողություն, մշակման փոփոխման մեթոդնե-րի ամբողջություն: Տեխնոլոգիաների կիրառումն ընձեռում է ոչ միայն աշակերտի մտածողությունը զարգացնելու հնարավորություն, այլև հստակ, կուռ տրամաբանական դատողություններ են ձևավորվում, միա-ժամանակ հղկվում է սովորողի կերպարն ընդհանրապես` դաստիարա-կում նրա մեջ կամք, նպատակաուղղվածություն, ազնվություն և անաչա-ռություն: Դրանք չկիրառելու և նորովի մոտեցումներ չցուցաբերելու պատ-ճառով է, որ հաճախ սովորողները չեն ցանկանում սովորել այդ առար-կան: Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացն ավելի հետաքրքիր դարձ-նելու համար անհրաժեշտ է դասը հնարավորինս համեմել պատմական և հետաքրքրաշարժ տեղեկություններով, դիդակտիկ նյութերով, կիրառել ՏՀՏ միջոցներ, որոնք սովորողներին կտրամադրեն ինքնուրույն և համա-գործակցային աշխատանքի: Պատմական տեղեկությունները տեքստին

44

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

տալիս են որոշակի ճանաչողական արժեք և շարադրանքը դարձնում են ավելի հետաքրքիր [6]: Դասի բնույթով և ընթացքով պայմանավորված` սովորողները հա-ճախ բավարարվում են միայն ուսուցչի բացատրություններով և դասա-րանում կատարվող վարժություններով ու լուծվող խնդիրներով: Սակայն հետաքրքրություն պետք է առաջացնել նաև ընթերցանության նկատ-մամբ, որպեսզի սովորողը գիտակցի դասագրքի անգնահատելի դերը, ավելին՝ ձգտի աշխատել ոչ միայն դասագրքով, այլ տարաբնույթ նյու-թերով, որոնք կարող են նպաստել ինքնուրույն կերպով ստանալու իրեն անհրաժեշտ տեղեկություններն ու հետաքրքրող հարցերի պատաս-խանները, հատկապես եթե սովորողը նյութի յուրացման համար լրա-ցուցիչ ինքնուրույն աշխատանքի հակում կամ կարիք ունի: Մաթեմատիկայի դասի ընթացքում ձեռք բերվող գիտելիքները պիտի նպաստեն սովորողի մտածողության, ինքնուրույն ստեղծագործական կարողությունների զարգացմանը` նկատի ունենալով, որ մաթեմատիկայի դասի ժամանակ աշակերտների ձեռք բերած գիտելիքներն, իհարկե անհրաժետ են, բայց ինքնին բավարար չեն: Պետք է հասնել այն բանին, որ սովորողները կարողանան կիրառել դրանք կյանքում, գործնականում և նույնիսկ իրենց համար ոչ սովորական պայմաններում: Ճշմարտությունն այն է, որ գիտենալն ու կարողանալը նույնական չեն, որի համար էլ ուսուցման ամբողջ գործընթացում պետք է կարևոր տեղ հատկացնել սո-վորողների ինքնուրույն աշխատանքների կազմակերպմանը և հատկա-պես ոչ ստանդարտ ու տրամաբանական բնույթի առաջադրանքների կա-տարմանը: Մաթեմատիկայի նկատմամբ սովորողների հետաքրքրության մեծաց-ման վրա իրենց ազդեցությունն են ունենում տան համար հանձնարար-ված առաջադրանքները: Սովորաբար ուսուցման ընթացքում ուսուցիչն ինքն է ընտրում դասի տեսակը, դասավանդման մեթոդը և տնային աշ-խատանքի բովանդակությունը: Նա է որոշում, թե ո՛ր առաջադրանքը կա-տարեն դասարանում, որը` տանը: Հաճախ տնային հանձնարարությունը դառնում է պատիժ ոչ միայն սովորողի, այլ ամբողջ ընտանիքի համար: Մենք մեր փորձով համոզվել ենք, որ ինքնուրույն տնային հանձնա-րարություն կատարող աշակերտների թիվը շատ փոքր է, որի պատճառով

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

45

այն ծնողի համար դառնում է բեռ: Սակայն կան ծնողներ, ովքեր անտար-բեր են կամ չեն կարող օգնել իրենց երեխային, իսկ տնային աշխատանք չկատարած երեխաների մեջ դպրոցի հանդեպ առաջանում է վախ, նրան վանում է դասավանդվող առարկայից: Ավելի հաճախ է պատահում, որ հանձնարարված տնային առաջա-դրանքների բարդությունն ու ծավալը հանգեցնում են նրան, որ մարի առարկայի նկատմամբ սովորողի հետաքրքրությունը: Տնային հանձնա-րարությունը պետք է վերաբերի միայն դասի ժամանակ ուսումնասիրված հարցերին, գրավոր ու բանավոր առաջադրանքներին և մատչելի լինի դասարանի սովորողների մեծ մասի համար: Բոլոր տնային հանձնարա-րությունները պետք է լինեն նպատակային և հնարավորություն տան պարզելու, թե սովորողներից յուրաքանչյուրն ինչպես է կատարում այն, որքանով է յուրացրել անցած նյութը, ինչ հաջողություններ ունի, որ հարցում է դժվարանում և ինչպես է կարողանում ինքնուրույն աշխատել: Բոլոր տնային հանձնարարություններն, ըստ էության, ուսումնառությունը խթանող արժեքավոր միջոց են, եթե հաշվի են առնվում դրանց բարդու-թյան մակարդակն ու ծավալը` առանց արհեստականորեն ծանրաբեռնելու սովորողին: Այն կանխելու նպատակով անհրաժեշտ է կիրառել տարբե-րակված մոտեցում: Խիստ կարևոր են տնային առաջադրանքների կա-տարման շուրջ կազմակերպվող վերլուծություններն ու քննարկումները, որոնք կօգնեն զարգացնելու սովորողների մաթեմատիկական խոսքը, նրան կտան ուսումնական նյութը ավելի լավ յուրացնելու հնարավո-րություն: Այսպիսի մոտեցումը կնպաստի նաև ինքնուրույն վերլուծություններ կատարելու, նկատված թերություններն ու բացթողումները վերացնելու և եզրահանգում կատարելու նրանց կարողությունների ձևավորմանը: Հատկանշական է նաև այն, որ ուսումնական առարկաների բովան-դակությունը, (ինչպես գիտելիքը) ընդհանրապես կարծրացած, կայուն և ամբողջական չէ, կենսական կարևոր խնդիրները չեն կարող լուծվել մեկ առարկայական գիտելիքի սահմաններում: Միջառարկայական կապերի օգտագործման փոխգործուն ձևերը վերջին տարիներին ուսուցման գործընթաց ներմուծված նորություններից են: Դրանք հարստացնում են դասի բովանդակությունը, ճանաչողական ու կրթադաստիարակչական

46

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

տեսակետից հետաքրքրական, աշխույժ ու հաճելի են դարձնում դասա-գործընթացը: Միջառարկայական կապերի օգտագործումը ինքնանպա-տակ չէ. այլն հիմնական նպատակին հասնելու միջոց է: Միջառար-կայական կապերի օգտագործումը, ըստ էության, շատ բարդ աշխատանք է և ուսուցչից ու աշակերտներից մեծ վարպետություն, հմտություն ու գործիմացություն է պահանջում, որպեսզի այն իրոք նպաստի իր գիտե-լիքների սահմանը ինքնուրույն լրացնելուն, անհրաժեշտ կարողություննեի և հմտությունների ձեռքբերմանը:

Այսպիսով, մաթեմատիկայի նկատմամբ սովորողների հետա-քըրքրությունների բարձրացմանը նպաստում են մի շարք գործոններ, այդ թվում՝ − ուսուցման գործնական-կիրառական ուղղվածության ապահովումը,

ուսումնական նյութի՝ կյանքի հետ կապի բացահայտումը, − մաթեմատիկական նյութի գեղագիտական կողմերի պարզաբանումն

ու ցուցադրումը, − մաթեմատիկայի դասերի ընթացքում դաստիարակչական խնդիրների

կարևորումը, ինչպես օրինակ՝ կամքի, նպատակասլացության, ազնվության, անաչառության և այլ արժեքների ձևավորումը,

− թեմայի բովանդակության մեջ պատմական հետաքրքրաշարժ տեղե-կությունների ներառումը,

− ուսուցման գորընթացում նոր մեթոդների և ՏՀՏ-ի կիրառումը, − տնային հանձնարարությունների նպատակային և մատչելի դարձնելը՝

ցուցաբերելով տարբերակված մոտեցում ըստ սովորողների հակումների և հնարավորությունների,

− ներառարկայական և միջառարկայական կապերի համակողմանի դիտարկումը,

− ինքնուրույն՝ վերլուծական և ստեղծագործական աշխատանքների կարևորումը:

Մարիա Մոնտեսորին երեխայի մտածողությունը համեմատում է այն սպունգի հետ, որը ներքաշում է ցանկացած ջուր` մաքուր կամ կեղտոտ, թափանցիկ կամ ներկած: Նա ինքնուրույն գործունեության ընթացքում գիտելիքների, կարողությունների, հմտությունների ձեռք բերողն է, ձևավ-որողն ու զարգացնողը:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

47

Այս գործընթացում, հատկապես ընկալվող նյութի զտման գործում անփոխարինելի է ուսուցչի դերը:

Գրականություն

1. Իսկանդարյան Ա. «Տարրական դպրոցում մաթեմատիկայի դասա-վանդման մեթոդների կատարելագործման որոշ հնարների մասին, «Մաթեմատիկան դպրոցում» թիվ 1/70, 2010: 2. Հանրակրթության պետական կրթակարգ, «Անտարես », 2004 3. Միքայելյան Հ. Ս. Հանրահաշվի ուսուցման հիմնահարցեր,Եր. Էդիթ - Պրինտ, 2003. 4. Միքայելյան Հ. Ս. Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Եր. Էդիթ- Պրինտ, 2015. 5. Նահապետյան Բ., Աբրահամյան Ա., “Մաթեմատիկա” , 5-6, (ուսուցչի ձեռնարկ) 6. Ожогов Г. Толковый словарь русского языка, М. 1996:

О проблеме развитии математического интереса школьников Ани Сагателян

Резюме

Основная предпосылка повышения и развития интереса учащихся к математике-это правильное обучение предмета, использование дидакти-ческих материалов, организация самостоятельных работ учащихся, обес-печение доступности домашних заданий и достижение цели, диферен-цированность и индивидуальный подход, создание межпредметных и внутрипредметных связей.

Schoolchildren's interests in Mathematics

Ani Saghatelyan Summary

The first precondition for arousing interest in Mathematics depends on the ability to present the subject to pupils in a right way. The lesson should be

48

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

sated with interesting information and didactic material, in the meantime creating a connection between different subjects. There is a need to use new and modern methods of teaching by giving learners the freedom to do other independent tasks. A teacher should provide his/her pupils with purposeful tasks that will give the opportunity to estimate the learners' ability and the flexibility of mind. These new and important methods will help to enrich their analytical thinking and increase their interest towards Mathematics. Non-standard ways of solving tasks and exercises should be chosen, computer technological improvements should be involved and many other essential factors should be taken for granted for the pupils to gain lasting knowledge and develop their mathematical skills.

Անի Սաղաթելյան - Վայքի ավագ դպրոցի ուսուցչուհի

Էլ. հասցե - Anisaghatelyan@rambler.ru Հեռախոս - 094333813

49

ԽՆԴԻՐՆԵՐ ՍԵՂԱՆԻ ՄԱՍԻՆ

Կարեն Բեքարյան

Բանալի բառեր - տարածական պատկերացում, ստեղ-ծագործական կարողություն, կիրառական հմտություն, գծապատկեր, թեորեմ, մակերես, մեծագույն արժեք:

«Մաթեմատիկա» առարկան ուսուցանելիս շատ կարևոր է աշա-կերտին սովորեցնել մասնավոր խնդրի ետևում տեսնել ընդհանուր խնդիրը, իսկ ընդհանուր խնդրի լուծման մեթոդը կիրառել մասնավոր դեպքի համար: Այդ դեպքում, նա ձեռք կբերի ստեծագործական ունա-կություններ և էլ ավելի կընդլայնի մաթեմատիկայի նկատմամբ ունե-ցած իր հետաքրքրությունների շրջանակը: Նման ունակություններ լա-վագույնս կարելի է զարգացնել երկրաչափական խնդիրների ուսուցման գործընթացում: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը:

Օրինակ 1: BC և AD հիմքերով ABCD սեղանի մեջ հայտնի է, որ AB=6 սմ,BC =5 սմ,CD=8 սմ և AD=15 սմ: Հաշվել սեղանի մակերեսը

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

B C

A M H A D

Նկ. 1

50

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

Լուծում: Դիտարկենք զուգահեռագիծը (Նկ.1): ՈՒնենք == 6սմ, = = 5սմ, հետևաբար = − = 10 սմ: Նկա-տենք, որ 2 = 100 = 36 + 64 = 2 + 2, հետևաբար -ն ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտնենք CMD եռանկյան CH բարձրու-թյունը՝ = ∙ = ∙ = 4.8(սմ): Այսպիսով, ABCD սեղանի S մա-կերեսը հավասար է

= +2 ∙ = 5 + 152 ∙ 4.8 = 48 սմ : Պատ.՝48սմ :

Այս խնդիրը կարելի է ընդհանրացնել այսպես.

Թեորեմ 1: Ապացուցել, որ a և b հիմքերով ու c և d սրունքներով ABCD սեղանի մակերեսը հավասար է

= + ∙ − ( − ) + −( − ) ,(1) CH= − ( )( ) (2), որտեղ CH –ը սեղանի բարձրությունն է:

Խնդիր 1: Գտնել 3սմ և 24սմ հիմքերով ու 10սմ և 17սմ սրունքներով սեղանի բարձրությունը:

Խնդիր 2: Գտնել a և b հիմքերով ու c և d սրունքներով սեղանի բարձրու-թյունը:

Բերենք(1), (2)բանաձևերի կիրառությամբ լուծվող խնդիրներ: Խնդիր 3: Որոշել սեղանի մակերեսը, եթե նրա զուգահեռ կողմերի երկարություններն են 16սմ և 44սմ, իսկ ոչ զուգահեռ կողմերի երկարությունները՝ 17սմ և 25սմ:

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

51

Խնդիր 4: Որոշել սեղանին ներգծած շրջանագծի շառավիղը, եթե նրա զուգահեռ կողմերի երկարություններն են 8սմ և 18սմ, իսկ ոչ զուգահեռ կողմերի երկարությունները՝ 16սմ և 10սմ:

Լուծում: Ընտրելով a=8, b=18, c=16, d=10 և օգտվելով (2) բանաձևից կստանանք = = − ( )( ) =4,8 :

Օրինակ 2: Հաշվել 8սմ և 18սմ հիմքերով ու 10սմ և 24սմ անկյունագծե-րով սեղանի մակերեսը:

Լուծում: Դիտարկենք զուգահեռագիծը (Նկ.2): ՈՒնենք ==24սմ և = = 8սմ, հետևաբար = + = 26 սմ: Նկա-տենք, որ 2 = 676 = 100 + 576 = 2 + 2, հետևաբար -ը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Գտնենք ACM եռանկյան CH բարձ-րությունը՝ = ∙ = : Այսպիսով, ABCD սեղանի S մակերեսը հավասար է ` = +2 ∙ = 12013 ∙ 13 = 120 սմ :

Պատ.՝120սմ : Թեորեմ 2: Ապացուցել, որ a և b հիմքերով ու f և e անկյունագծերով սեղանի մակերեսը հավասար է = (( + ) − ( + ) )(( + ) − ( − ) )(3):

M A

B C

H D18

10

Նկ. 2

52

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

Օգտվելով թեորեմ 2 –ից լուծենք հետևյալ խնդիրները.

Խնդիր 5: Գտնել 5սմ և 16սմ հիմքերով ու 10սմ և 17սմ անկյունագծերով սեղանի բարձրությունը:

Խնդիր 6: Գտնել 41սմ և 2005սմ հիմքերով ու 240սմ և 102սմ անկյու-նագծերով սեղանի մակերեսը:

Խնդիր 7: Գտնել BCև AD հիմքերով սեղանի մակերեսը, եթե BC=41սմ, AD=205սմ, AC=240սմ, BD=102սմ:

Ընթերցողին առաջարկում ենք լուծել սեղանի մասին հետևյալ խնդիր-ները.

Խնդիր 8: Սեղանի հիմքերին զուգահեռ ուղիղը կիսում է սեղանի մակերեսը: Հաշվել այդ ուղղի այն հատվածի երկարությունը, որը գտնվում է սեղանի սրունքների միջև, եթե հիմքերից մեկը a է, մյուսը` b:

Խնդիր 9: a ու b հիմքերով և f ու e անկյունագծերով ABCD սեղանի

սրունքը՝ − ն, հավասար է CD = − ba: Ապացույց: Ցույց տալ, որ C գագաթից տանենք BDǁCK, հասկանալի է, որ DBCK կլինի զուգահե-ռագիծ և CK=f,∆ − իմեջ օգտվելով Ստյուարդի թեորեմից կստանանք = − :

Խնդիր 10. Ապացուցել, որ BC և AD հիմքերով հավասարասրուն սեղանին արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է

R= ( ) , որտեղ BC=a, AD=b, AB=CD=c:

Հոդվածն ավարտենք սեղանի որոշ հատկությունների կիրառմամբ լուծվող, օլիմպիադաներում առաջադրված խնդիրներով:

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

53

Խնդիր 11: ABCDE հնգանկյան մեջ (նկ.4) ∥ ; ∥ ; ∥ ; ∥ :Ապացուցել, որ ∥ : Լուծում: Լեմմ: Նախ ցույց տանք, որ եթե ABC և DBC եռանկյունների մակերես-ները հավասար են,ապա ∥ :

Քանի որ SABC=SBDC⟹⊿ABCև⊿BCD − ի բարձրությունները հավասար են՝ AH1 = DH2: Քանի որ AH1 և DH2 ուղղահայաց են BC-ին և հավասար,ապա AH1 H2D կլինի ուղղանկյուն, որտեղից էլ հետևում է, որ ∥ :

Օգտվելով լեմմից կստանանք ` ∥ ⇒SBCD = SCED, ∥ ⇒SABC= =SBCD= SCED, ∥ ⇒SADE= SCDE, ∥ ⇒SABE= SADE= SCDE: Ստացվեց SABC =SABE, որտեղից էլ, ըստ լեմմի, կհետևի ∥ :

C

B

A

B C

D

H2

A

H1

D

E

Նկ. 3

Նկ. 4

54

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

Խնդիր 12: Շրջանագծին արտագծած սեղանի անկյունագծերը հիմքի հետ կազմում են և անկյուններ: Ապացուցել, որ այդ անկյուններից որևէ մեկը փոքր է 45 :

Սեղանի անկյունագծերի հատման O կետից տանենք MN բարձ-րությունը: Ենթադրենք > 45 , >45 ,որտեղից հետևում է, որ > ∠ և > ∠ =>ON>AN և ON>ND: Մյուս կողմից >∠ => > և >∠MOB => OM>BM => 2MN>AB+BC: Քանի որ ABCD սեղանը արտագծելի է՝ + = + < 2 , որը հնարավոր չէ: Հետևաբար ևβ միաժամանակ 45 -ից մեծ լինել չեն կարող: Ենթադրենք ≤ 45 , ցույց տանք, որ < 45 , երբ =45 :Ենթադրենք հակառակը ≥ 45 կստացվի որ AN=ON, MC=ON, իսկ ON≥ND և OM≥MB =>AD+BC≤ 2 ,որը հնարավոր չէ => <45 : Խնդիր 13: Տրված է, որ M և N կետերը ABCD քառանկյան համապա-տասխանաբար AD և BC կողմերի միջնակետերն են: Հայտնի է, որ AB=6սմ, BC=4սմ,CD=8սմ և AD=14սմ: Գտնել MN հատվածի երկարու-թյան հնարավոր մեծագույն արժեքը:

N

B

K

O

MC

D A

Նկ. 5

Նկ. 6

A

B

D

P F

M

C N

O

β α

E

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

55

Լուծում: AB, CD,AC,BD հատվածների միջնակետերը համապատաս-խանաբար նշանակենք P,K,E,F կետերով: Նկատենք, որ = = 3,

FM= = 3, = = 4, = = 4, հետևաբար ENMF-ը զուգա-հեռագիծ է: ՈՒնենք՝ MN2+EF2=50, հետևաբար MN-ը կլինի մեծագույնը, երբ EF-ը լինի փոքրագույնը, կամ որ նույնն է PK-ն լինի մեծագույնը, որովհետև EF2+ PK 2 =106: Մյուս կողմից PK ≤ PE + EK=9, ընդ որում PK=9, երբ քառանկյունը լինի BC և AD հիմքերով սեղանը:

Այսպիսով, MN-ի մեծագույն արժեքը 5 սմ է:

Գրականություն

1. Գ.Ա Տոնոյան, Հ.Ս.Առաքելյան, ‹‹Հանրապետական մաթեմատիկա-

կան օլիմպիադա››, 1986-1990 2. Մ.Մ.Մանուկյան, Հ.Մ. Շահինյան, ‹‹Մաթեմատիկական

խնդիրներ››, Երևան 1974 3. Վ.Ա.Պարախնևիչ, Ե.Վ. Պարախնևիչ, ‹‹Երկրաչափության

խնդիրների ժողովածու››, Երևան 1997:

Задачи с трапециями Бакарян Карен

Резюме

В статье рассмотрены задачи с трапециями и рекомендации решения задач различными методами. Читателям предлагаются задачи, для решения которых предоставлены теоремы и решенные задачи.

56

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

Tasks connected to the trapezium Baqaryan Kарен Summary In this work are observed tasks related to the trapezium and various

methods for solving these tasks. There are some tasks suggested to the reader, for which, as an aid are brought some solved tasks and theorems.

Կարեն Բաքարյան - Աշտարակի Ն.Սիսակյանի անվան N5 ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Հեռախոս` 093-83-70-21 Էլ.հասցե` bakaryan.k@mail.ru

57

ՈՐՈՇ ՌԱՑԻՈՆԱԼ ԱՐՏԱՀԱՅՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՁԵՎԱՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Վալերի Հայրիյան,

Կառլեն Մխիթարյան

Բանալի բառեր – ռացիոնալ արտահայտություն, ձևափոխություն, գումար

Սույն հոդվածում ներկայացնենք որոշ ռացիոնալ համաչափ ար-տահայտություններ հաշվելու մի առանձնահատուկ եղանակ: Նախ դի-տարկենք ոչ բարդ ձևափոխություններ պարունակող հետևյալ պարզ օրինակները (1-3).

Օրինակ 1: Հաշվել ))((

1

))((

1

))((

1

bcaccbabcaba −−+

−−+

−− գումարը:

:0))()(())((

1

))((

1

))((

1 =−−−−+−+−=

−−+

−−+

−− cacbbabaaccb

bcaccbabcaba

Օրինակ 2: Հաշվել ))(())(())(( bcac

ccbab

bcaba

a−−

+−−

+−−

գումարը:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

0 :( )( )( )

a b c a b c b c a c a ba b a c b a b c c a c b a b b c a cab ac bc ab ac bc

a b b c a c

− + − + −+ + = =− − − − − − − − −

− + − + −= =− − −

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

58

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օրինակ 3: Հաշվել ))(())(())((

222

bcacc

cbabb

cabaa

−−+

−−+

−− գումարը:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )

a b c a b c b c a c a ba b a c b a b c c a c b a b b c a ca b a c b c ab ac bc ab a b c a b c a b

a b b c a c a b b c a c

− + − + −+ + = =− − − − − − − − −

− + − + − − − − + −= = =− − − − − −

2 ( )( )1:

( )( ) ( )( )

ab ac bc c b c a cb c a c b c a c− + + − −= = =

− − − −

* * *

Նշանակենք :))(())(())(( bcac

ccbab

bcbca

aSkkk

k −−+

−−+

−−=

Օգտվելով վերը ստացված արդյունքներից կարող ենք գրել, որ :1,0 210 === SSS

Օրինակ 4: Հաշվել ա) 3S -ը, բ) 4S -ը:

ա) :))(())(())((

333

3 bcacc

cbabb

cbcaaS

−−+

−−+

−−=

Դիտարկենք abcxacbcabxcbax −+++++− )()( 23 բազմանդամը : cba ,, թվերն այդ բազմանդամի արմատներն են, քանի որ.

,0)()( 23 =−+++++− abcaacbcabacbaa ,0)()( 23 =−+++++− abcbacbcabbcbab :0)()( 23 =−+++++− abccacbcabccbac

Այդ հավասարումները կներկայացնենք այսպես՝ ,)()( 23 abcaacbcabacbaa +++−++= (1) ,)()( 23 abcbacbcabbcbab +++−++= (2) :)()( 23 abccacbcabccbac +++−++= (3)

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

59

Դիցուք, , , թվերը միմյանցից տարբեր կամայական թվեր են: Բաժանելով (1) հավասարության երկու մասերը՝ ))(( caba −− –ի, (2) հավա-սարության երկու մասերը ))(( cbab −− –ի, (3) հավասարության երկու մասերը՝ ))(( bcac −− –ի՝ կունենանք.

))(())(()(

))(()(

))((

23

cabaabc

cabaaacbcab

cabaacba

cabaa

−−+

−−++−

−−++=

−−,

))(())(()(

))(()(

))((

23

cbababc

cbabbacbcab

cbabbcba

cbabb

−−+

−−++−

−−++=

−−,

))(())(()(

))(()(

))((

23

bcacabc

bcaccacbcab

caacccba

bcacc

−−+

−−++−

−−++=

−−:

Գումարելով ստացված երեք հավասարությունները և օգտվելով (I ) նշանակումից՝ կստանանք.

3 2 1 0( ) ( ) ,S a b c S ab bc ac S abc S= + + ⋅ − + + ⋅ + ⋅ քանի որ :1,0 210 === SSS

3 ,S a b c= + + ուստի

բ) :))(())(())((

444

4 bcacc

cbabb

cbcaaS

−−+

−−+

−−=

Դիտարկենք abcxxacbcabxcbax −+++++− 234 )()( բազմանդամը: Քանի որ cba ,, թվերն այդ բազմանդամի արմատներ են (տե΄ս, օրինակ ա)-ն), ուստի`

,)()( 234 abcaaacbcabacbaa +++−++= (4)

,)()( 234 abcbbacbcabbcbab +++−++= (5)

:)()( 234 abcccacbcabccbac +++−++= (6)

60

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Բաժանելով (4) հավասարության երկու մասերը ))(( caba −− –ի, (5) հավասարության երկու մասերը՝ ))(( cbab −− –ի, (6) հավասարության երկու մասերը ))(( bcac −− –ի՝ կունենանք.

))(())(()(

))(()(

))((

234

cabaabca

cabaaacbcab

cabaacba

cabaa

−−+

−−++−

−−++=

−−,

))(())(()(

))(()(

))((

234

cbababcb

cbabbacbcab

cbabbcba

cbabb

−−+

−−++−

−−++=

−−,

))(())(()(

))(()(

))((

234

bcacabcc

bcaccacbcab

caacccba

bcacc

−−+

−−++−

−−++=

−−:

Գումարելով վերջին երեք հավասարությունները և օգտվելով ( ) նշանակումից՝ կստանանք.

:)()( 1234 SabcSacbcabScbaS ⋅+⋅++−⋅++= Քանի որ cbaSSSS ++==== 3210 ,1,0 , ապա

:)( 22224 acbcabcbaacbcabcbaS +++++=++−++=

Օրինակ 5. Հաշվենք գումարը

))()(())()(())()(())()((

4444

4 cdbdadd

dcbcacc

dbcbabb

dacabaaP

−−−+

−−−+

−−−+

−−−=

գումարը հաշվելու համար օգտվենք հետևյալ բազմանդամից.

:)()()( 234 abcdxbcdacdabdabcxcdbdbcadacabxdcbax ++++−+++++++++−

dcba ,,, թվերը այդ բազմանդամի համար արմատներ են : Տեղադրելով x –ի փոխարեն cba ,, և d կստանանք`

,)()()( 234 abcdabcdacdabdabcacdbdbcadacabadcbaa −+++++++++−+++=

,)()()( 234 abcdbbcdacdabdabcbcdbdbcadacabbdcbab −+++++++++−+++=

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

61

,)()()( 234 abcdcbcdacdabdabcccdbdbcadacabcdcbac −+++++++++−+++=

,)()()( 234 abcdabcdacdabdabcacdbdbcadacabadcbaa −+++++++++−+++=

:)()()( 234 abcddbcdacdabdabcdcdbdbcadacabddcbad −+++++++++−+++=

Այս հավասարությունները բաժանելով համապատասխանաբար ))()(( dacaba −−− -ի, ))()(( dbcbab −−− -ի, ))()(( dcbcac −−− -ի, ))()(( cdbdad −−− -ի, և գումարելով՝ կստանանք.

:)()()( 01234 abcdPPbcdacdabdabcPcdbdbcadacabPdcbaP −+++++++++−+++=

Քանի որ ,1,0 3210 ==== PPPP հետևաբար :4 dcbaP +++=

Նշանակենք :))((

))((

))((

))((

))((

))((

bcacbcacc

cbabcbabb

cabacabaaT kkk

k −−++

⋅+−−++

⋅+−−++

⋅=

Օրինակ 6: Հաշվել ա) 1T –ը, բ) 2T –ը, գ) 3T –ը, դ) 4T –ը:

Նկատենք, որ

:))(())((

)())((

)(

))((

))(( 1111

cabaaabc

cabaacba

cabaabcacbaa

cabacabaa kkkkk

−−⋅+

−−⋅++=

−−⋅+++

=−−

++ −+−+

Հանգունորեն.

))(())((

)())((

))(( 11

cbabbabc

cbabbcba

cbabcbabb kkk

−−⋅+

−−⋅++=

−−++ −+

,

:))(())((

)())((

))(( 11

bcaccabc

bcacccba

bcacbcacc kkk

−−⋅+

−−⋅++=

−−++ −+

Գումարելով և օգտվելով (I) նշանակումից՝ կստանանք. :)( 11 −+ ⋅+⋅++= kkk SabcScbaT

ա) Քանի որ 1,0 20 == SS ,ապա :)( 021 cbaSabcScbaT ++=⋅+⋅++=

բ) Քանի որ cbaSS ++== 31 ,0 , ապա :)()( 2

132 cbaSabcScbaT ++=⋅+⋅++=

62

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

գ) Քանի որ acbcabcbaSS +++++== 22242 ,1 , ապա

:))(()( 222243 abcacbcabcbacbaSabcScbaT ++++++++=⋅+⋅++=

դ) Քանի որ 3 5, ( ) ( ) ( ) ,S a b c S a b c ab a b bc b c ac a c abc= + + = + + + + + + + + +

ապա ոչ բարդ ձևափոխություններից հետո կստանանք`

:]2))()[(()( 222354 abccbacbacbaSabcScbaT +++++++=⋅+⋅++=

úñÇÝ³Ï 7: ²å³óáõó»É Ñ»ï¨Û³É ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ`

:))((

))()((

))((

))()((

))((

))()(( αβγγβαγβαγβα−=

−−−−−

⋅+−−

−−−⋅+

−−−−−

⋅ abcbcaccccab

cbabbbbac

cabaaaabc

²å³óáõóáõÙ: ¸Åí³ñ 㿠ѳÙá½í»É, áñ ïñí³Í ÝáõÛÝáõÃÛáõÝÁ ѳٳñÅ»ù ¿

,1))((

))()((

))((

))()((

))((

))()((

abcbcaccccc

cbabbbbb

cabaaaaa αβγγβαγβαγβα

−=−−

−−−+

−−−−−

+−−

−−− ϳÙ

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( 0)( )( ) ( 0)( )( ) ( 0)( )( )

(0 )(0 )(0 ) 1(0 )(0 )(0 )

a a a b b b c c cAa a b a c b b a b c c c a c b

a b c

α β γ α β γ α β γ

α β γ

− − − − − − − − −= + + +− − − − − − − − −

− − −+ =− − −

ÝáõÛÝáõÃÛ³ÝÁ:

:)0)()((

1

)0)()(()(

)0)()(()(

)0)()(()0)()((

))()(( 23

−−−⋅−

−−−⋅+++

+−−−

⋅++−−−−

=−−−−−−

acabaacabaa

acabaa

acabaa

acabaaaa

αβγαλβγαβ

γβαγβα

γï³ñ»Éáí ѳٳÝÙ³Ý Ó¨³÷áËáõÃÛáõÝÝ»ñ ÙÛáõë »ñ»ù ·áõÙ³ñ»ÉÇÝ»ñÇ ÝϳïÙ³Ùμ ¨ û·ïí»Éáí ûñÇÝ³Ï 5-Ç Ý߳ݳÏáõÙÝ»ñÇó ( 0=d å³ÛÙ³ÝÇ ¹»åùáõÙ) Ïëï³Ý³Ýù`

:)()( 0123 PPPPA ⋅−⋅+++⋅++−= αβγαγβλαβγβα

ø³ÝÇ áñ 1,0 3210 ==== PPPP , ³å³ :1=A

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

63

Գրականություն

1. В.А.Кречмар. Задачник по алгебре, Москва 1972 г. 2. В.Г.Болтянский., Н.Я.Виленкин. Симметрия в алгебре, Москва 1967 г.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Валерий Айриян, Карлен Мхитарян

Резюме

Используя известные тождества, установливаются тождественные соотношения некоторых симметричных рациональных выражений.

CONVERSION OF SOME RATIONAL EXPRESSIONS

Valeriy Hayriyan, Karlen Mkhitaryan

Summary

Using the кnown indentities will establish relation of some rational synnertric expressions.

Վալերի Հայրիյան - Ա․ Շահինյանի անվան ֆիզմաթ դպրոց Հեռախոս` 094 80 30 18 Կառլեն Մխիթարյան - ԵՊՀ-ին առնթեր Ա․ Շահինյանի անվան ֆիզմաթ դպրոց Հեռախոս` 095 145- 744

64

Տ ե ղ ե կ ո ւ թ յ ո ւ ն ն ե ր

թ ղ թ ա կ ց ո ւ թ յ ա ն կ ա ր գ ի մ ա ս ի ն

• Քաղաքացիները ներկայացրած հոդվածների և թղթակցությունների (նամակների, հաղորդումների) միջոցով կարող են ամսագրի բովան-դակային ուղղվածությանն առնչվող հարցերի վերաբերյալ ազատո-րեն արտահայտել իրենց տեսակետներն ու կարծիքները, կատարել հարցադրումներ, ամսագրի միջոցով հաղորդել և ստանալ հավաստի լրատվություն:

• Հոդվածներն ու թղթակցությունները ներկայացվելու են հայերեն լեզ-վով, համակարգչային շարվածքով` տպագրված և էլեկտրոնային տարբերակներով, ներառելով նաև բանալի բառեր, համառոտ ամփո-փումներ /50-60 բառի սահմաններում/ և ռուսերեն և անգլերեն լեզու-ներով, ինչպես նաև տեղեկություններ հեղինակի մասին /անունը, ազգանունը, կրթությունը, գիտական աստիճանը, կոչումները /եթե այդպիսիք ունի/, աշխատանքի վայրը, էլեկտրոնային հասցեն, հեռախոսը/:

• Հեղինակը պատասխանատվություն է կրում ներկայացրած հոդվածի կամ թղթակցության մեջ պարունակվող տեղեկությունների համար:

• Առանց հեղինակի համաձայնության` փոփոխված կամ վերախմբա-գրված նյութերը խմբագրության կողմից չեն թողարկվում:

• Խմբագրությունը պայմաններ է ստեղծում անհրաժեշտության դեպ-քում հրապարակելու հերքումներ, կամ շահագրգռված անձանց հան-դես գալու պատասխաններով:

• Խմբագրության ընդունած նյութերը գրաքննության չեն ենթարկվում: Գիտական և մեթոդական նյութեր հրապարակելիս հաշվի են առն-վում փորձագիտական կարծիքները (գրախոսությունները):

• Հրապարակվող նյութերի բնագրերը հեղինակներին չեն վերա-դարձվում:

• “Մարդ և հասարակություն” ամսագրի նյութերն օգտագործելիս ան-հրաժեշտ է կատարել համապատասխան հղումներ. ընդ որում` հղումներ պետք է տալ ոչ միայն հոդվածի (աշխատանքի) վերջում, այլ նաև տեքստում: