ԹԻՎ 1 (104), 2016թ. «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке

«MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Համլետ Միքայելյան ԳԵՂԵՑԻԿԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ ................................................ 3 Գ Ի Տ Ա Հ Ե Տ Ա Զ Ո Տ Ա Կ Ա Ն Մ.Ռոդիոնով, Պ.Պիչուգինա ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՊԱԳԱ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՈՒՄԸ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԳՈՒԾՈՒՆԵՈՒԹՅԱՆ ՄՈՏԻՎԱՑԻՈՆ ՈՒՂՂՎԱԾՈՒԹՅԱՆ ԻՐԱԿԱՆԱՑՄԱՆԸ ............ 20 Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Սարիբեկ Հակոբյան ՓՈՐՁԱՐԱՐԱԿԱՆ-ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՄԱՆ ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ ..................................... 32 Ա.Տոնոյան ԿՐՏՍԵՐ ԴՊՐՈՑԱԿԱՆՆԵՐԻ ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ԿՈՂՄՆՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ ԱՌԱՆՁՆԱՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ ՄԱՅՐԵՆԻԻ, ՕՏԱՐ ԼԵԶՈՒՆԵՐԻ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՆԵՐ ................................................................................. 41 Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Կորյուն Առաքելյան, Հռիփսիմե Մկրտչյան ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ ԿԻՐԱՌՄԱ՞ՄԲ, ԹԵ՞ ԱՌԱՆՑ ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ.............…….. 51

Ա Կ Ա Դ Ե Մ Ի Կ Ո Ս Վ Ա Ն Ի Կ Զ Ա Ք Ա Ր Յ Ա Ն - 8 0 …………............ 63

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÏñïãÛ³Ý Ø³ÝáõÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№1, 2016Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 30.05.2016Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ`1500 , ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ :

ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ԳԵՂԵՑԻԿԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

Հ. Ս. Միքայելյան

Դժբախտաբար, գոյություն չունի խնդիր-ների լուծման համընդհանուր և անթերի մեթոդ:

Ջորջ Պոյա

Բանալի բառեր – մաթեմատիկա, խնդիր, խնդրի գործառույթ, գեղագիտական հայտանիշ, անսպասելիություն, լավատեսություն

1. Մաթեմատիկական խնդրի գեղագիտական գրավչությունը

Խնդիրը և նրա լուծումը մարդու նպատակների իրականացման կարևոր փուլերից են: Յուրաքանչյուր մարդ, իր կենսագործունեության ընթացքում առնչվելով կենցաղային, մասնագիտական, ինտելեկտուալ ամենատարբեր խնդիրների, պետք է լուծի դրանք, ըմբռնի դրանց էու-թյունը, պատկերացնի առկա միջոցները և մտքի լարման միջոցով հանգի որոշակի պատասխանի: Նման գործընթացը մաթեմատիկական գործու-նեության բնորոշ առանձնահատկություններից մեկն է: Ավելին, մաթե-մատիկան սովորեցնում է լուծել խնդիրը: Մաթեմատիկական խնդիրը աչ-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

4

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

քի է ընկնում իր հստակությամբ, իսկ նրա լուծումը՝ հուսալիությամբ: Մա-թեմատիկան կոչված է նաև մոդելավորել կյանքում և գիտության այլ բնագավառներում առաջացած զանազան խնդիրներ, այսինքն՝ մաթե-մատիկայի լեզվով գրել կիրառական խնդիրը և, բնականաբար, նրա լուծումը ստանալ մաթեմատիկական մեթոդներով: Սա էլ մաթեմատիկայի օգնությունն է այլ բնագավառներում ծագած խնդիրները լուծելիս:

Յուրաքանչյուր խնդիր իր պարզության կամ բարդության, լուծման հեշտության կամ դժվարության և այլ հատկանիշների հետ միասին ունի նաև իր գեղեցկությունը: Իսկ ո՞րն է մաթեմատիկական խնդրի գեղեցկու-թյունը, նրա գեղագիտական գրավչությունը: Մ. Ս. Յակիրը, որպես մաթե-մատիկական խնդրի գեղեցկության բնութագրման հայտանիշներ, առա-ջարկում է անկանխատեսելիությունը, անսպասելիությունը, պարզու-թյունը, հեղափոխական քայլի առկայությունը, լավատեսությունը, աշխա-տանքը (տես [11]):

Անկանխատեսելիությունը հանդես է գալիս, երբ մարդ ի զորու չէ կռահելու խնդրի եզրակացությունը, իսկ անսպասելիությունը՝ երբ խնդրի պայմանները չեն թելադրում նրա եզրակացությունը: Նման դեպքերում երբեմն դժվար է լինում հավատալ խնդրում առաջադրված պահանջի ճշմարտացիությանը:

Անսպասելիության և անկանխատեսելիության լավագույն օրինակ է Դեզարգի թեորեմը (յուրաքանչյուր թեորեմ կարելի է ձևակերպել նաև որպես մաթեմատիկական խնդիր). նրա պայմաններից եզրակացության ստացումը զարմացնում է և գեղագիտական մեծ հաճույք պատճառում: Բերենք անկանխատեսելի խնդրի մեկ այլ օրինակ: Սինուսների թեորեմի էմպիրիկ ուսուցման վերաբերյալ մեր դատողություններում մենք դիտար-կել ենք եռանկյան կողմերի և անկյունների համեմատականության խնդի-րը. ինչպիսի՞ն է այդ համեմատականությունը: Ահա խնդիր, որի արդյուն-քը դժվար է կռահել, այսինքն՝ այն անկանխատեսելի է: Իսկ այդ արդյուն-քը նաև շատ հետաքրքիր է ու պարզ, ուրեմն՝ նաև գեղեցիկ է: Պարզվում է, որ ուղիղ համեմատական են եռանկյան կողմերը և նրանց դիմացի անկյունների սինուսները, այսինքն՝ եռանկյան մի կողմը այնքան անգամ է մեծ մյուսից, որքան անգամ մեծ է նրա դիմացի անկյան սինուսը մյուսի դիմացի անկյան սինուսից:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

5

Խնդրի պարզությունը վերաբերում է ինչպես նրա բովանդակու-թյանը, այնպես էլ շարադրանքին: Հաճախ խնդիրը անհասկանալի է դառ-նում նրա ձևակերպման լեզվական անհարթությունների պատճառով, իսկ երբեմն էլ երկար-բարակ ձևակերպված պայմանների ետևում կռահելու բան չի մնում: Հասկանալի է, որ ավելորդ է խոսել նման խնդիրների գե-ղագիտական գրավչության մասին:

Հեղափոխական քայլի առկայությունը, լավատեսությունը և աշ-խատանքը ավելի շատ վերաբերում են խնդրի լուծմանը: Օրինակ, լուծելով բազմանդամների արմատները նրա գործակիցների միջոցով արմա-տանշաններով արտահայտելու վերաբերյալ պատմական խնդիրը՝ Էվա-րիստ Գալուան օգտագործեց խմբի գաղափարը, ինչը հեղափոխական քայլ էր ողջ մաթեմատիկայում, և սկիզբ դրեց հանրահաշվի նոր բնագա-վառի, որը հետագայում կոչվեց Գալուայի անվամբ:

Լավատեսությունը ի հայտ է գալիս խնդրի լուծման, նրա պատաս-խանի ստացման արդյունքում: Եվ որովհետև մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը հագեցված է խնդիրների լուծմամբ, այն նաև մեծապես նպաստում է սովորողի մոտ կյանքի նկատմամբ լավատեսական կողմնո-րոշման ձևավորմանը կամ պատճառ է դառնում վատատեսության:

Մաթեմատիկական խնդրի լուծումը պահանջում է համառ ու հե-տևողական աշխատանք: Այդ պատճառով այն ձևավորում է աշխատա-սիրություն, ինչը, անշուշտ, պարունակում է նաև գեղագիտական հատ-կանիշներ:

2. Մաթեմատիկական խնդրի գեղագիտական գրավչությունը, երբ այն դիտարկվում է որպես խաղ

Հետևենք խնդրի գեղագիտական գրավչությանը, երբ այն դիտար-կում ենք որպես խաղ: Համեմատենք մաթեմատիկական խնդրի լուծումը մարդկային մտքերը գերող լավագույն խաղերից մեկի՝ շախմատի հետ: Եթե մաթեմատիկական խնդրում հիմնական առարկաները նրա հասկա-ցություններն են՝ թվերը, տառերը, գործողությունները, պատկերները և այլն, ապա շախմատում դրանք ֆիգուրաներն են՝ արքան, թագուհին, նա-վակները, փղերը, զինվորները և շախմատային տախտակը: Շախմատում

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

առկա են խաղի հստակ կանոններ՝ ֆիգուրաների քայլերը և հարված-ները: Մաթեմատիկական խնդրում խաղի կանոնները նույնպես ավելի քան հստակ են. դրանք այն տեսության աքսիոմներն ու արտածման կանոններն են, որոնց շրջանակներում դիտարկվում է տվյալ խնդիրը: Երկու դեպքում էլ խնդիրը պահանջում է լուծում:

Բայց ինչո՞ւ միլիոնավոր մարդիկ՝ նաև իրենց մասնագիտական գործունեությունից հետո, ինքնամոռաց, ժամերով նստում են շախմատի տախտակի առջև և փորձում են լուծել շախմատային այդ հավերժ չլուծվող խնդիրը, հետևում են շախմատային խաղի վարպետների մրցումներին, բայց դժկամորեն են տրվում մաթեմատիկական խնդիրների լուծմանը: Իհարկե, մեծ նշանակություն ունի շախմատում մրցակցի առկայությունը: Մի անգամ Սոս Սարգսյանը Տիգրան Պետրոսյանի մասին լրագրողին տրված հարցազրույցում «Ի՞նչ է Ձեզ համար շախմատը» հարցին տվեց հետևյալ հետաքրքիր պատասխանը. «Շախմատը ինձ համար մրցակցի հետ հաղորդակցվելու միջոց է»: Մեծ իմաստասեր Էպիկուրը մարդկանց հետ հաղորդակցման լավագույն միջոց էր համարում փիլիսոփայական զրույցը:

Անշուշտ, ուրիշների հետ հաղորդակցությունը, շփումը հուզական մեծ լիցք է պարունակում և որոշակի գրավչություն է հաղորդում մարդ-կային գործունեությանը: Բայց հարցն այստեղ մարդկային հաղորդակց-ման հետ չի կապված. չէ՞ որ մարդիկ, առանձնապես խաղի իսկական վարպետները՝ երեխաները, սիրում են ժամերով ու անմոռաց, առանց կենդանի մրցակցի նստել համակարգչի առջև ինչ-որ խաղ խաղալու համար:

Ինչպես շախմատի, այնպես էլ յուրաքանչյուր խաղի գեղեցկությու-նը գնահատվում է ոչ թե գեղագիտական գեղեցիկի, այլ գիտական գեղե-ցիկի չափանիշներով: Իսկապես, շախմատային քայլի գեղեցկությունը նրա անսպասելիությունն է, անկանխատեսելիությունը, շախմատային պարտիայի գեղեցկությունը նրա հաշվարկների ճշգրտությունն է, տրա-մաբանական խստությունը, ներքին խորը կապի առկայությունը և, իհար-կե, հաղթանակը:

Բայց գիտական գեղեցիկի այս բոլոր հատկանիշները ավելի քան առկա են նաև մաթեմատիկական խնդրի մեջ: Ընդ որում, մաթեմատի-կական խնդրում հաղթանակը խնդրի լուծումն է, նրա պատասխանի

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7

ստացումը: Եթե շախմատային պարտիայում տարած հաղթանակը բերում է հաջողություն, գնահատում, ուրախություն, ապա նմանատիպ արդյունք-ների է հանգեցնում նաև մաթեմատիկական խնդրի լուծումը: Եվ դժվար է ասել, թե որ դեպքում է հաղթանակի հուզական լիցքը ավելի մեծ՝ Միխայիլ Բոտվիննիկի նկատմամբ Տիգրան Պետրոսյանի տարած հաղթանակի՞, թե՞ Գալուայի կողմից հավասարումների լուծումները արմատանշաննե-րով արտահայտելու վերաբերյալ խնդրի կամ Լոբաչևսկու կողմից զուգա-հեռության աքսիոմի անկախության վերաբերյալ խնդրի լուծման դեպ-քում: Եթե առաջին դեպքում շախմատային աշխարհը ունեցավ իր ինե-րորդ չեմպիոնը, ապա երկրորդ և երրորդ դեպքերում մաթեմատիկական գիտությունը ապրեց հեղաշրջում և համալրվեց իր կարևորագույն բնա-գավառներով:

Բայց կա մի հատկանիշ, որով շախմատը և մաթեմատիկական խնդիրը տարբերվում են իրարից, և եթե մաթեմատիկական խնդիրը, որ-պես գիտական իմացություն, իր հետաքրքրությունը պահում է այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի լուծվել, իսկ լուծվելուց հետո կորցնում է այն, ապա շախմատային խնդրին հատուկ է հետաքրքրության գեղագիտա-կան ըմբռնումը. այն չի մարում շախմատային պարտիայի ավարտից հե-տո: Թվում է, թե այս հատկանիշով շախմատային պարտիան ձեռք է բերում արվեստական՝ զուտ գեղագիտական գեղեցկություն: Սակայն չշտապենք. պատճառը բոլորովին այլ է:

Սովորաբար մաթեմատիկական խնդրի պայմանները այնպես են տրվում, որ անկախ լուծման մեթոդներից ու եղանակներից, այն ստանում է որոշակի լուծում, պատասխան: Շախմատային խաղը՝ որպես խնդիր, այդպիսին չէ: Այն չունի մեկ պատասխան, նրա լուծումը կախված է քայ-լերի ընտրությունից, որոնցից յուրաքանչյուրը խաղացողին տանում է մի ճանապարհով, և այդ ճանապարհների քանակը անվերջանալի է: Ինչպես մաթեմատիկական խնդրում, շախմատում նույնպես խաղացողների մոտ կորչում է միևնույն պարտիան երկրորդ անգամ խաղալու ցանկությունը, բայց, ի տարբերություն մաթեմատիկոսների, շախմատիստներն ունեն նոր քայլ, նոր ճանապարհ ընտրելու հնարավորություն, իսկ մաթեմա-տիկոսը տվյալ խնդիրը լուծելիս նման հնարավորություն չունի: Նորը ստանալու համար նա պետք է ամեն անգամ փոխի խաղի (խնդրի) կա-նոնները: Իսկ շախմատում այդ կանոնները անփոփոխ են:

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Ահա միևնույն խնդրի անսահմանափակության, անվերջության այդ հատկանիշն է, որ շախմատային խաղը տարբերում է մաթեմատիկական՝ թեկուզ և ամենաբարդ խնդիր-խաղից: Դա է նրա նկատմամբ չթուլացող հետաքրքրության, ձգողականության հիմնական պատճառը: Այս տեսա-կետից այն համեմատելի է մաթեմատիկայի առանձին բնագավառներում դիտարկվող զանազան թեմաների հետ, որտեղ, սակայն, ոչ մասնագետի համար ինչպես գործունեությունը, այնպես էլ նրա գեղագիտությունը անհասանելի են և անընկալելի:

3. Խնդրի գործառույթները և նրա գեղագիտական գրավչությունը

Մաթեմատիկական խնդիրը նրա ուսուցման գործընթացի կարևո-

րագույն բաղադրիչներից մեկն է: Այն հաճախ հանդես է գալիս նաև որ-պես ուսուցման նպատակ: Խնդիրը իրականացնում է ամենատարբեր գործառույթներ: Այստեղ մենք կդիտարկենք դրանցից հիմնականները՝ խնդրի ուսուցանող, ճանաչողական, զարգացնող, վերահսկող, մոտիվա-ցիոն և դաստիարակող գործառույթները: Այդ գործառույթներից յուրա-քանչյուրը ունի նաև սովորողի գեղագիտական որակների ձևավորման և զարգացման լայն հնարավորություններ:

Ուսուցումը մաթեմատիկական խնդրի կարևորագույն գործառույթ-ներից մեկն է: Չինական ժողովրդական առածն ասում է՝ «Ես լսում եմ և մոռանում եմ, ես տեսնում եմ և հիշում եմ, ես անում եմ և հասկանում եմ»: Ահա մաթեմատիկական խնդիրը, վարժությունը նպատակաուղղված է այդ հասկանալու գործընթացի ձևավորմանը: Խնդրի լուծման միջոցով ձևավորված գիտելիքները, կարողություններն ու հմտությունները արտա-հայտում են իմացության այն մակարդակը, երբ սովորողը կարողանում է կիրառել իր ունակությունները, գնահատել դրանք, զգալ ինքնավստահ: Սա ստեղծում է մաթեմատիկայի ուսուցման ընդհանուր գեղագիտական դրական միջավայր, իսկ խնդրի լուծման գործընթացի առանձին տար-րերի իրականացման դրական ընթացքն ուղեկցվում է համապատասխան դրական հուզական ապրումներով: Օրինակ, խնդրի պատասխանի ստացմանը հաջորդում է ոգևորվածության այնպիսի հուզական վիճակ,

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

9

որը սովորողին մղում է հետագա գործունեության: Սովորողին հետա-քըրքրում են նոր խնդիրներ, նա ձգտում է դրանց լուծմանը և լուծման համար անհրաժեշտ գիտելիքների իմացության: Ուսուցման ողջ գործըն-թացը նրան դուր է գալիս, նա սիրում է սովորել: Իսկ իրեն սիրել ստիպում, պարտադրում է գեղեցիկը: Ուրեմն, խնդրի հաջող լուծումը նպաստում է, գեղեցիկ է դարձնում ուսուցման ողջ գործընթացը:

Գեղագիտական գրավչության մեծ լիցք է պարունակում մաթեմա-տիկական խնդրի ճանաչողական գործառույթը: Հիշենք թեկուզ Գալիլեյի խոսքերը. «Բնության ոսկե գիրքը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով, և այն կարդալու համար պետք է իմանալ մաթեմատիկայի լեզուն»: Բնության այդ գրքի, նրա ուսումնասիրությանն ուղղված գիտությունների համապա-տասխան խնդիրները մոդելավորվում, դառնում են մաթեմատիկական խնդիրներ, որոնց լուծումն ու ստացված պատասխանների ճշմարտա-ցիությունը որևէ մեկի մոտ կասկած չեն առաջացնում: Բնության և այն ուսումնասիրող գիտությունների միջև կապն արդեն աշխարհում ստեղծ-ված ամենամեծ ու խորհրդավոր ներդաշնակությունն է ու գեղեցկությունը, որին լրացուցիչ հմայք է հաղորդում նաև մաթեմատիկայի բերած ճշմար-տության լույսը: Այս հրաշալի ներդաշնակության մեջ իրենց մեծ դերն ունեն մաթեմատիկական խնդիրները:

Մեթոդական գրականության մեջ խնդրի զարգացնող գործառույ-թին նպաստող գործողություններ են համարվում խնդրի լուծման ռացիո-նալ ճանապարհների որոնումը, նրա մասնավոր և սահմանային դեպքերի քննարկումները, պայմանների մասնակի փոփոխությունը և այլն: Այս ճա-նապարհներից յուրաքանչյուրը իր մեջ պարունակում է նաև գեղագի-տական գրավչության համապատասխան տարրեր:

Խնդրի և նրա լուծման միջոցով սովորողի գեղագիտական որակ-ների զարգացման կարելի է հասնել նաև ինչպես խնդրի բովանդակու-թյան մեջ ներառելով համաչափությունը, համեմատությունը և մաթեմա-տիկական գեղեցիկի արտահայտման այլ դրսևորումներ, այնպես էլ կա-մայական խնդրի լուծման ընթացքը լցնելով գեղագիտական գրավչու-թյամբ: Դրան նպաստող առաջին հանգամանքը սովորողի ներգրավումն է խնդրի լուծման գործընթացի մեջ: Ուշադրության արժանանալը, գրա-տախտակի մոտ գտնվելը, պարզապես խնդիր լուծելն արդեն սովորողի մոտ առաջացնում են հուզական ապրումներ, իսկ այդ գործողությունների

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

հաջող ելքը գեղեցիկ է և, ուրեմն, նպաստում է ինչպես ուսման գործըն-թացի հաջողությանը, այնպես էլ սովորողի մոտ գեղագիտական պա-հանջմունքի, բավարարվածության և այլ որակների զարգացմանը:

Անգամ ոչ դրական արդյունքի դեպքում խնդրի լուծմանն ուղղված աշխատանքը աշակերտի մոտ գեղագիտական որակի զարգացման հատկանիշ է, իսկ դրական ելքը ավելացնում է մի այլ որակ՝ լավատեսու-թյուն: Հարկ է, որ ուսուցիչը նշի նաև խնդրի գեղագիտական գրավչության այնպիսի որակներ, որոնք տեսանելի չեն սովորողին՝ խնդրի անկանխա-տեսելիությունը, անսպասելիությունը և այլն:

Գեղագիտական արժեքների ձևավորման ամենալայն հնարավո-րություններ են ստեղծվում խնդրի դաստիարակչական, մասնավորապես՝ արժեքների ձևավորման գործառույթը իրականացնելիս: Առանց համա-ռության, տոկունության, հետևողականության, նպատակասլացության և կամային այլ որակների դրսևորման անհնար է պատկերացնել քիչ թե շատ դժվար խնդրի լուծում: Եվ կամային այդ որակների մշտական ներկա-յությունը մաթեմատիկական խնդիրների լուծման գործընթացում ձևա-վորում և զարգացնում է դրանք (այդ մասին հանգամանորեն տես [7]): Ինչպես արդեն նշել ենք, մաթեմատիկական գործունեությունը ընդհան-րապես և խնդիրների լուծման գործընթացը, մասնավորապես, մեծապես նպաստում են նաև մտածողության, ուշադրության (տես [2]), հիշողության (տես [1]) հոգեկան երևույթների ձևավորմանը և զարգացմանը: Այսպի-սով, մաթեմատիկական խնդիրների լուծման գործընթացը նպաստում է դաստիարակության այնպիսի կարևոր բաղադրիչների ձևավորման և զարգացման գործընթացին, ինչպիսիք են հոգեկան երևույթները: Իսկ վերջիններս մարդու գործունեության և, մասնավորապես, գեղագիտա-կան գործունեության հաջող իրականացման կարևորագույն նախադրյալ-ներ են:

Մարդու գեղագիտական գործունեության իրականացման մյուս կարևոր նախադրյալը նրա բարոյական նկարագիրն է: Առանց դրական բարոյական հատկանիշների անհնար է պատկերացնել գեղեցիկի և, ընդհանրապես, գեղագիտականի դրսևորումը: Իսկ մաթեմատիկական կրթությունը և նրա խնդիրների համակարգն ունեն բարոյական արժեք-ների ձևավորման մեծ ներուժ (տես [6]): Մասնավորապես, անցյալի հայ

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11

մաթեմատիկոսների դասագրքերում ընդգրկված խնդիրներն ունեն լավա-տեսության, բարոյական դրական որակների արծարծման որոշակի միտում (տես [10]):

4. Գեղագիտական գրավչությունը խնդրի տարբեր տեսակներում

Մաթեմատիկայի մեթոդիկայում ընդունված է խնդիրների դասա-կարգումը կամ տեսակավորումը կատարել ըստ տարբեր հիմքերի: Մենք կդիտարկենք միայն դասակարգումը՝ ըստ խնդրի պահանջների բնույթի: Այս հիմքով առանձնացվում են ապացուցման, հաշվման, կառուցման, մոդելավորման և հետաքրքրաշարժ խնդիրների տեսակները, որոնք մեծ նշանակություն ունեն մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում և որոնցից յուրաքանչյուրին հատուկ է գեղագիտական յուրատեսակ գրավ-չություն:

Հետաքրքրաշարժ խնդիրների գեղագիտական գրավչու-թյունը: Անշուշտ, յուրաքանչյուր մաթեմատիկական խնդիր ունի իր գրավչությունը: Սակայն կան խնդիրներ, որոնց մասին մենք ասում ենք, որ դրանք գեղեցիկ են, այսինքն՝ առանձնանում են խնդիրների մեջ իրենց գեղեցկությամբ: Շախմատում առավել գեղեցիկ խնդիրները բնութագր-վում են «էտյուտ» անվանումով: Մաթեմատիկայի էտյուտները հետա-քըրքրաշարժ խնդիրներն են:

Նման խնդրի հետաքրքիր պատումը (ֆաբուլան), նրա պարզու-թյունը, հասկանալու և լուծման համար անհրաժեշտ մաթեմատիկական գիտելիքների նվազագույն պահանջը ձգում են մարդուն: Իսկ դրանց լու-ծումը սովորաբար պահանջում է ինքնատիպ մոտեցում, մտքի լարում, ճկունություն և խելք. հատկանիշներ, որոնցով յուրաքանչյուր մարդ իր գնահատմամբ օժտված է առատորեն և կուզեր (գոնե իր հետաքրքրասի-րության բավարարման նպատակով) ստուգել իր այդ որակների առկա-յության աստիճանը (ավելի հարմար առիթ դժվար է պատկերացնել): Միաժամանակ, այդ խնդիրները պարունակում են ինքնաճանաչման, իր հանդեպ հետաքրքրություն արթնացնելու մեծ ներուժ:

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացի կարևոր սկզբունք-ներից մեկը շարունակականությունն է. նոր նյութը հենվում է նախորդի վրա, և այն հասկանալու համար անհրաժեշտ է իմանալ անցածը, իսկ աշակերտների մի զգալի մասը չգիտի կամ մոռացել է այն: Այս երևույթը թույլ չի տալիս ուսուցչին ոչ միայն նման աշակերտին ներգրավել ուսուց-ման գործընթացի մեջ, այլև հայտնաբերել նրա՝ մաթեմատիկան յուրաց-նելու իրական կարողությունները կամ մաթեմատիկական ընդունակու-թյունները: Ահա հետաքրքրաշարժ խնդիրները՝ նրանցում մաթեմատի-կական գիտելիքի օգտագործման նվազագույն պահանջի պատճառով, հնարավորություն են ընձեռում լուծելու այդ մանկավարժական խնդիրնե-րը: Միաժամանակ նման խնդիրների գեղագիտական գրավչությունը, դրանց լուծմանն ուղեկցող հուզական տարրը նպաստում են սովորողի կամային որակների զարգացմանը (տես [7]), ինչի իրականացումը պետք է համարել ուսուցման գործընթացի կարևոր նվաճում: Ասվածի հետ համահունչ են նաև մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի միջոցով գե-ղագիտական պահանջմունքների ձևավորման վերաբերյալ մեր դիտար-կումները (տես [8]):

Հետաքրքրաշարժ խնդիրների մի լայն դաս ստացվում է կեղծ մե-տաղադրամը որոշելու հարցի քննարկումից: Նման խնդիրները, ըստ բարդության աստիճանների, մենք ներառել ենք [3]-[5] դասագրքերում: Ահա նման մի խնդիր [4] դասագրքից (N 387):

15 միատեսակ մետաղադրամներից մեկը կեղծ է: Երկնժարանոց կշեռքով և կշռաքարեր չօգտագործելով կարո՞ղ եք երկու կշռումով որոշել՝ ծա՞նր է, թե՞թեթև կեղծ մետաղադրամը:

Լուծումը: Մետաղադրամները բաժանենք երեք խմբի՝ յուրա-քանչյուրում հինգ հատ: Առաջին կշռումով առաջին խումբը դնենք մի նժարին, երկրորդը՝ մյուս նժարին: Հնարավոր է երկու դեպք.

ա. նժարները հավասարակշռվում են,

բ. նժարները չեն հավասարակշռվում:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

13

ա. Այս դեպքում կեղծ մետաղադրամը երրորդ խմբում է, և մենք առաջին խումբը թողնենք նժարին, իսկ երկրորդ խումբը փոխարինենք երրորդով: Եթե առաջին խումբը պարունակող նժարը թեքվեց ցած, ապա կեղծ մետաղադրամը թեթև է, իսկ եթե բարձրացավ վերև, ապա կեղծ մետաղադրամը ծանր է:

բ. Այս դեպքում նժարներից մեկը թեքվում է ներքև. դիցուք այդ նժարը առաջին խումբը պարունակողն է: Առաջին խումբը թողնենք նժարին, իսկ երկրորդ խումբը փոխարինենք երրորդով: Եթե նժարները հավասարակշռվեն, ապա կեղծ մետաղադրամը երկրորդ խմբում է, և այն ավելի թեթև է մյուսներից: Իսկ եթե նժարները չհավասարակշռվեն, ապա կեղծ մետաղադրամը առաջին խմբում է, և այն մյուսներից ավելի ծանր է:

Խնդրի գեղագիտական գրավչությունը հետևում է նրա հետա-քրքրությունից և ինքնատիպությունից: Ավելի գրավիչ է նրա լուծումը, ինչը արդյունք է գիտական գեղեցիկի անկանխատեսելիության և նպատա-կաուղղաված, բարդ ու դժվարին խոչընդոտի հաղթահարման սուբյեկտիվ հատկանիշների դրսևորման:

Հետաքրքրաշարժ խնդիրների մի այլ դաս են կազմում «Գտեք սխալը» վերտառությամբ խնդիրները: Սրանք նման են հնադարի սոփես-տություններին, որոնցում սխալը խնամքով քողարկված է: Մեծ մասամբ այդ խնդիրները վերաբերում են դիտարկվող մաթեմատիկական նյութին, և սխալները ստացվում են նյութի մեջ առկա փաստերի սխալ օգտագործ-ման արդյունքում: Կան նաև տրամաբանական սխալներ պարունակող վարժություններ, որոնք հիմնականում ընդգրկված են տրամաբանության հանրահաշվում: Դրանց գրավչությունը նույնպես պայմանավորված է գի-տական գեղեցիկի անկանխատեսելիության և նպատակաուղղված, բարդ ու դժվարին խոչընդոտի հաղթահարման սուբյեկտիվ հատկանիշների դրսևորումով: Սակայն դրանք բացահայտում են անցած նյութի իմացու-թյան մեջ ինչ-որ թերըմբռնում, որի վերացմանն էլ ուղղված է լինում նման խնդիրը: Եվ խնդրի ու նրա լուծման գրավչությունը ուղիղ համեմատական է առարկայի էությունը հասկանալու համար ներդրված ջանքերի չափին:

Տեքստային խնդիրների գեղագիտական գրավչությունը: [9] աշ-խատանքում դիտարկվում է որոնելու, գտնելու գեղագիտական պահանջ-մունքների բավարարման գործում մաթեմատիկական կրթության ունե-ցած դերը: Հարկ է նշել, որ գեղագիտական այդ պահանջմունքները

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

դրսևորվել են մարդկային գործունեության բոլոր բնագավառներում, դրանց բավարարմանն ուղղված մարդկային ջանքերն ու քայլերը դարձել են մարդկային առաջադիմության, քաղաքակրթությունների զարգացման շարժիչ ուժ: Բայց եթե Անտիկ շրջանում հույների որոնման առարկան Միջերկրականի ավազանն էր, Վերածննդի շրջանում մարդկային որոն-ման մեծագույն նվաճումը Կոլումբոսի կողմից Ամերիկայի հայտնագոր-ծությունը, ապա այսօր որոնման առարկա է դարձել տիեզերքը՝ իր ան-սահման գաղտնիքներով, որոնք կամաց-կամաց բացվում են մարդկային հզոր մտքի գործունեության արդյունքում: Եվ բոլոր բնագավառներում ու բոլոր ժամանակներում առաջադրված խնդիրների լուծման հիմնական միջոցներից մեկը եղել է մաթեմատիկան: Բայց եթե Արքիմեդի տեխնիկա-կան սարքերի կամ Կոլումբոսի նվաճումները հնարավոր դարձնող Կարա-վելլա նավի ստեղծման համար անհրաժեշտ էին թվաբանական պարզա-գույն հաշվարկներ, ապա ինքնաթիռի, արբանյակի կամ ժամանակակից տեխնիկական ու գիտական այլ նվաճումների համար անհրաժեշտ էր նոր որակի մաթեմատիկա, մաթեմատիկա, որի ստեղծումը նախորդել է տեխ-նիկական և գիտական այդ նվաճումներին: Այդ նոր մաթեմատիկայի հիմքում ընկած է հանրահաշիվը, որը թույլ է տալիս մեր կողմից տառերով նշանակված որոնելի մեծությունների մասին իմանալ նաև այլ տեղե-կություններ, գտնել դրանք, լուծել առաջադրված խնդիրները:

Օրինակ, դիցուք մեզ հայտնի է երկու մեծությունների գումարը, ասենք՝ 100, և տարբերությունը՝ 40: Ինչպե՞ս գտնենք այդ մեծություն-ները: Նշանակենք այդ մեծությունները x և y տառերով: Համաձայն մեր իմացած տեղեկության՝ ունենք՝ x + y = 100, x - y = 40: Ստացված հավա-սարումներից մեկից գտնելով x-ը և տեղադրելով մյուսի մեջ՝ մենք կստա-նանք y = 30, որից հետո կորոշենք x-ը՝ x = 70:

Անշուշտ, դիտարկված խնդիրը մենք կարող էինք լուծել նաև ա-ռանց հանրահաշվի կիրառության: Սակայն մեզ անհրաժեշտ կլիներ մտքի ավելի մեծ լարում: Այդ պատճառով Էյնշտեյնը ասում էր, որ գիմնազիայում սովորելու տարիներին իր քեռին պնդում էր, թե հան-րահաշիվը լոդրերի թվաբանությունն է: Սակայն դա այդպես է առաջին հայացքից: Հիմա փորձենք լուծել ավելի բարդ մի խնդիր:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

15

Պահանջվում է գտնել ուղղանկյունաձև հողամասի կողմերը, եթե գիտենք, որ դրանցից մեկը մյուսից մեծ է՝ ասենք 25 մետրով, իսկ հողամասի մակերեսն էլ 900 քառակուսի մետր է:

Այստեղ արդեն Էյնշտեյնի քեռին իրեն չի կարող օգնել, և մեզ անհրաժեշտ է օգտվել հանրահաշվի միջոցներից: Ուղղանկյան կողմերը նշանակելով x և y տառերով՝ կունենանք՝ x - y = 25, xy = 900:

Լուծելով հավասարումների այս համակարգը՝ կստանանք խնդրի պատասխանը՝ x = 45, y = 20:

Հանրահաշվի միջոցներով և մեթոդներով լուծվում են շատ ավելի բարդ կիրառական խնդիրներ (դրանք կոչվում են նաև տեքստային խնդիրներ), որոնք մոդելավորելիս, այսինքն՝ հանրահաշվի լեզվով գրա-ռելիս ստացվում են շատ ավելի բարդ հավասարումներ, անհավասարում-ներ և այլ բանաձևեր: Հանրահաշվի դպրոցական դասընթացը սովորեց-նում է նման խնդիրների լուծման արվեստը: Եվ նրա ուսուցումը պատշաճ ձևով կազմակերպելու դեպքում սովորողը այն կընկալի որպես մտածելու, որոնելու, գտնելու արվեստ, այն կուղեկցվի գեղագիտական հույզերի, զգացմունքների դրսևորումներով:

Դիտարկենք նման մի խնդիր: Դիցուք մենք գտնվում ենք a լայնու-թյուն ունեցող գետի մի ափին և ուզում ենք որոշել նրա մյուս ափին գտնվող երկու կետերի հեռավորությունը՝ առանց գետը մտնելու կամ անցնելու: Ինչպե՞ս անենք դա:

Պարանի մի կտորի միջո-ցով պատրաստենք 3, 4, 5 մետր չափսերով մի եռանկյուն: Ըստ Պյութա-գորասի թեորեմի՝ այն կլինի ուղղանկյուն եռանկ-յուն: Այդ եռանկյունը պա-հելով այնպես, որ 3 երկա-րությամբ կողմը զուգահեռ լինի գետի ափին, այնպես շարժենք, որ 4 երկարու-

16

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

թյամբ կողմի շարունակությունը անցնի հակառակ ափին գտնվող երկու կետերից մեկով, դիցուք B-ով (տես գծագիրը): Եռանկյան մյուս՝ C գա-գաթը մտովի միացնենք գետի մյուս ափին գտնվող մյուս՝ A կետի հետ: Դիցուք այն մեր կողմի ափը հատում է A՛ կետում: Չափենք A՛B՛ հեռա-վորությունը. Դիցուք այն b է: Ընդունելով գծագրում արված նշանակում-ները և օգտվելով եռանկյունների նմանությունից՝ կստանանք՝ x/b = (a+4)/4 կամ x = b(a+4)/4:

Այսպիսով, օգտվելով մաթեմատիկական փաստերից՝ մենք կարո-ղացանք որոշել գետի ափում գտնվող երկու կետերի հեռավորությունը: Նման մաթեմատիկական հաշվարկների միջոցով ժամանակին Գաուսը որոշեց Ցերերա մոլորակի գտնվելու վայրը, ինչը հաստատվեց հետագա աստղագիտական դիտումների միջոցով: Նման հաշվարկներն են այսօր հնարավոր դարձնում ինքնաթիռների ու արբանյակների թռիչքը, հեռուս-տատեսային հաղորդումները և ժամանակակից տեխնիկայի այլ նվաճում-ներ:

Նման խնդիրների լուծման ընթացքում դրսևորվում են գիտական գեղեցիկի ինքնատիպության, բազմազանությունների միասնության, տրամաբանական խստության հատկանիշները և անսպասելիության, նպատակաուղղված, բարդ ու դժվարին խոչընդոտի հաղթահարման սուբյեկտիվ հատկանիշները:

Ինչպես նշվեց վերևում, տեքստային կամ կիրառական խնդիրների գեղագիտական գրավչությունը մեծապես պայմանավորված է նաև նրանց պատումով, դրանց հետաքրքրությամբ: Այս տեսակետից ուշագրավ են Շիրակացու խնդիրները, որոնք նաև պատմություններ են իր ժամանակի նշանավոր մարդկանց ու իրադարձությունների մասին: Դրանց իմացու-թյունը գիտական գեղեցիկի լրացուցիչ երանգներ է հաղորդում խնդրին:

Ապացուցման խնդիրների գեղագիտական գրավչությունը: Ապացուցման խնդիրներին հատուկ են մաթեմատիկական թեորեմների ու նրանց ապացուցումների գեղագիտական գրավչության բոլոր հատկա-նիշները:

Կառուցման խնդիրների գեղագիտական գրավչությունը: Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում գեղագիտական արժեքների

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

17

ձևավորման լայն հնարավորություն են ընձեռում կառուցման խնդիրները: Այն, որ աշակերտը, բացի խնդրի պատասխանը գտնելուց, կոնկրետ գործիքների միջոցով իրականացնում է պահանջվող կառուցումը, լրացուցիչ հուզական լիցք է հաղորդում նրա աշխատանքին: Այստեղ հանդես են գալիս նաև մտածողության հնարքների, հասկացությունների, դրանց հատկությունների, կիրառման, փոխադարձ կապի և մաթեմա-տիկայի ուսուցման միջոցով գեղագիտականի արտահայտման այլ ձևեր: Ասվածը ցուցադրենք կոնկրետ ու պարզ օրինակի վրա:

Ինչպե՞ս կարող ենք կարկինի և քանոնի օգնությամբ կառուցել շրջանագիծը, եթե տրված է նրա որևէ աղեղը:

Լուծումը: Դիցուք տրված է որևէ աղեղ: Հասկանալի է, որ որոնելի շրջանագիծը կառուցելու համար մեզ անհրաժեշտ է գտնել նրա կենտրո-նը: Հետևաբար, մենք պետք է աշխատենք լուծման մեջ ներգրավել այնպիսի գիտելիք, որը կապ է հաստատում շրջանագծի կենտրոնի և աղեղի միջև: Նման գիտելիք է աղեղը ձգող լարի միջնուղղահայացի կենտրոնով անցնելու մասին պնդումը: Բայց մենք ունենք մեկ աղեղ, որը ձգող լարի միջնուղղահայացը կտա կենտրոնով անցնող մեկ ուղիղ: Նման երկրորդ ուղիղը կգտնի աշակերտների մեծ մասը՝ որպես նոր աղեղ ընդունելով, օրինակ, տրված աղեղի կեսը՝ սկսած նրա որևէ ծայրակետից: Այսպիսով, մենք կունենանք երկու ուղիղներ, որոնք կանցնեն շրջանագծի կենտրոնով: Դրանց հատման կետն էլ կլինի որոնելի շրջանագծի կենտրոնը:

Այստեղ գեղագիտական տարրը արտահայտում է շրջանագծի աղեղը ձգող լարի միջնուղղահայացը շրջանագծի կենտրոնով անցնելու մասին պնդման կիրառելիությունը և միգուցե նաև դրա կիրառության անսպասե-լիությունը: Խնդրի լուծումը գտնելուց հետո ուսուցիչը կարող է նրա գեղա-գիտական կողմը ավելի ընդգծել տրամաբանական խստության գեղա-գիտական հատկանիշի ներգրավման միջոցով: Նման հնարավորություն է տալիս, օրինակ, հետևյալ հարցադրումը. երկու աղեղները ձգող լարերի միջնուղղահայացները կարո՞ղ են իրար զուգահեռ լինել:

18

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Գրականություն

1. Ա. Ավագյան, Հիշողության երևույթը մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում, Մաթեմատիկան դպրոցում, 2009, №5-6:

2. Մ. Ա. Դանիելյան, Վ. Հ. Միքայելյան, Հ, Ս. Միքայելյան, Հոգեկան երևույթները մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում, 1. Ուշադրու-թյուն, Մաթեմատիկան դպրոցում, 2000, №5-6:

3. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 7, Հանրակրթական դպրոցի դասա-գիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2006:

4. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 8, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2007:

5. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 9, Հանրակրթական դպրոցի դասա-գիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2008:

6. Հ. Ս. Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի կրթա-կան ներուժը, Էդիթ պրինտ, 2011, 186 էջ:

7. Հ. Ս. Միքայելյան, Կամային որակների ձևավորումը և մաթեմատիկա-կան կրթությունը, Մարդ և հասարակություն, 2013, №2:

8. Հ. Ս. Միքայելյան, Մաթեմատիկայի ուսուցման մեթոդների գեղագի-տական գրավչությունը, Մաթեմատիկան դպրոցում, 2013, №4:

9. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղագիտական պահանջմունքները և մաթեմատի-կական գործունեությունը, Մարդ և հասարակություն, 2013, №4:

10. Հ. Ս. Միքայելյան, Մաթեմատիկական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշները, «Մաթեմատիկան դպրոցում», №1, 2014:

11. М. С. Якир, Что такое красивая задача?, Математика в школе.- 1989. -№6.

ФОРМИРОВАНИЕ ПРЕКРАСНОГО В ПРОЦЕССE ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Г. С. Микаелян Резюме

В статье рассматривается проблема формирования эстетической цен-ности прекрасного в процессе обучения математических задач. Учитыва-ются особенности решения проблемы в связи с реализацией различных

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

19

функций и в различных видах задач при обучении математике. Уделяется особое внимание выявлению прекрасного, когда математическая задача рассматривается как игра, проводятся параллели с шахматами и обучением шахмат.

FORMATION OF BEAUTY IN THE TEACHING PROCESS OF MATHEMATICAL PROBLEMS

H. S. Mikaelian Summary

The paper is devoted to the formation of the aesthetic value of beauty in the teaching process of mathematical problems. The peculiarities of solving problems in connection with the implementation of different functions and in different kinds of problems during teaching mathematics are represented. Especially, revelation of beauty is discussed, when mathematical problem viewed as a game, also, parallels with chess and teaching chess are indicated.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ, մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և ման-կավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի դասավանդման մե-թոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմատիկան դպրո-ցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

20

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԱՊԱԳԱ ՈՒՍՈՒՑԻՉՆԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՈՒՄԸ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ

ԳՈՐԾՈՒՆԵՈՒԹՅԱՆ ՄՈՏԻՎԱՑԻԱՅԻՈՆ ՈՒՂՂՎԱԾՈՒԹՅԱՆ ԻՐԱԿԱՆԱՑՄԱՆԸ

Ռոդիոնով Մ. Ա., Պիչուգինա Պ. Գ.

Բանալի բառեր – մաթեմատիկական կրթություն, մոտիվացիա, մոտիվացիայի բաղադրիչ, մաթեմատիկա-կան խնդիր, ճանաչողական հետաքրքրությունների ախտորոշում

Հայտնի է, որ դպրոցական մաթեմատիկական կրթության արդիակա-

նացման հիմնական ուղղություններից մեկը ուսումնական գործու-նեության մոտիվացիոն բաղադրիչի ակտուալացման լիարժեք իրակա-նացումն է: Սակայն, ուսումնա-մեթոդական գրականության մեջ մոտի-վացիան կա´մ հանդես է գալիս միայն որպես այս կամ այն դիդակտի-կական միավորի առանձին փուլ, կա´մ, ընդհակառակը, դիտարկվում է միայն «ընդհանուր առարկայական» դիրքերից` առանց, թեկուզ և շատ թե քիչ, լուրջ տեխնոլոգիական լրացման: Մասնավորապես, գիտամեթոդական և ուսումնա-մեթոդական աշխատանքների հեղի-նակների հատուկ ուշադրության շրջանակներից դուրս է մնացել ուսու-ցիչների մասնագիտական մոտիվացիայի և նրանց աշակերտների

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

21

ուսումնական մոտիվացիայի մակարդակների համապատասխանու-թյան բնույթը: Շատ ուսումնասիրություններում հաճախ ի սկզբանե են-թադրվում է նշված տեսակի մոտիվացիաների միջև սերտ հարաբե-րակցության առկայություն, մինչդեռ մաթեմատիկայի ուսուցման դպրոցական պրակտիկայում մենք հաճախ հանդիպում ենք այնպիսի դեպքերի, երբ, օրինակ, նույնիսկ «աշխատանքի մեջ եփվող» որակա-վորված ուսուցիչը ոչ միշտ է կարողանում «տեղաշարժել» իր աշա-կերտներին` ընտրելով համապատասխան մեթոդական միջոցներ, որոնք երաշխավորված կերպով նրանց կներգրավեին արդյունավետ ուսուցման գործունեության:

Վերոհիշյալ հանգամանքները որոշ չափով բարդացրեցին մանկա-վարժական բուհերի ուսանողների մասնագիտական-մանկավարժա-կան նախապատրաստման համակարգի մեջ մոտիվացիոն բաղադ-րիչի բնականոն ներառելու հնարավորությունը: Այդպիսի ներառման հնարավորությունը որոշվում է, մի կողմից, նրանց մոտ դեպի իրենց ապագա մասնագիտական-մանկավարժական գործունեությունը դրա-կան մոտիվացիայի անմիջական ձևավորման համար պայմանների ստեղծմամբ, և մյուս կողմից` մոտիվացիոն հագեցված մանկավարժա-կան իրադրությունների նախագծման և ակտուալացման մանկավար-ժական կարողությունների տիրապետման համար:

Այդպիսի պայմանների թվում կարելի է նշել. - աշակերտների ուսումնական գործունեության մոտիվացիոն ուղղվածու-թյան իրականացմանը ուսանողների պատրաստման գործընթացի անընդհատ և փուլ առ փուլ բնույթը, որն իր մեջ ներառում է մանկավար-ժական դիտարկվող տեսակի գործունեությանը ուսանողների հոգեբա-նական-մանկավարժական, մեթոդական և հատուկ պատրաստում, և օրգանապես ներառվում է մանկավարժական ԲՈՒՀ-ի շրջանակներում ապագա ուսուցիչների պատրաստման ընդհանուր պրոցեսի մեջ, - ուսանողների հատուկ մեթոդական ապահովվածության առկայու-թյուն, որը հենվում է այն բանի վրա, որ հաշվի է առնվում ուսումնական

22

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

գործունեության մոտիվացիոն ուղղվածության իրականացումը, ել-նելով նրանց պատրաստման յուրաքանչյուր փուլի բովանդակության յուրահատկություններից:

- ուսանողների պատրաստման տեսական բաղադրիչի համապա-տասխան պրոյեկտումը դպրոցակականների ուսումնական մոտիվա-ցիայի զարգացման պրակտիկ իրականացման հարթության վրա, սկսած հայտնի ձևակերպումների և տեսական սխեմաների վերար-տադրման գործունեությունից, ու վերջացրած համեմատաբար ազատ ճանաչողական դիրքորոշման պայմաններում մոտիվացիոն հագեց-վածությամբ ուսումնական իրադրությունների նախագծումով:

- մաթեմատիկական գործունեությանը հատուկ պահանջմունքային-մոտիվացիոն գործոնների լիարժեք հաշվառում (գործնական, գեղա-գիտական, ստեղծագործական պահանջմունքներ, ապացուցման պահանջմունք, ընդարձակ և ճիշտ լեզվական միջոցների պահանջ-մունք), որոնցից յուրաքանչյուրին համապատասխան որոշվում են պա-րապմունքների և մանկավարժական պրակտիկայի ժամանակ հիմնա-կան մանկավարժական ռազմավարություններն ու ուսանողների հետ ուսումնական աշխատանքների կազմակերպման մարտավարություն-ները: Ուսանողների պատրաստումը ուսումնական գործունեության մոտիվացիոն ուղղվածության իրականացմանը, կարող է դիտարկվել երկու տեսանկյունից. առաջին հերթին, ընդհանուր մասնագիտական-մանկավարժական կրթության համակարգի ամբողջական ենթակառուց-վածք, երկրորդ՝ որպես շարունակական դինամիկ գործընթաց:

Առաջին մոտեցման շրջանակներում ապագա ուսուցիչների պատ-րաստման համակարգում դպրոցական մաթեմատիկայի ուսուցման մոտիվացիոն ուղղվածության իրականացման խնդրում կարելի է առանձնացնել հետևյալ փոխկապակցված և փոխադարձաբար պայ-մանավորված բաղադրիչները. մոտիվացիոն՝ ապագա ուսուցիչների անձնային հարաբերությունները մասնագիտությանը ընդհանրապես և մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի մեջ մոտիվացիոն ապահով-

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

23

ման շահագրգռվածությունը; բովանդակային՝ աշակերտների ու-սումնական մոտիվացիոն զարգացման և ձևավորման մեթոդական գործունեության կազմակերպման տեսական հիմունքների, դրանց հաջող իրականացման հիմնական ուղղությունների և ձևերի մասին գիտելիքները; գործառնական՝ ձևավորել մեթոդական աշխատանքնե-րի կազմակերպման ուղղությամբ համապատասխան մասնագիտա-կան կարողություններ և հմտություններ, ստեղծագործական գործու-նեության իրականացման փորձ:

Նշված բաղադրիչները դրված են փորձարարական աշխատանքի կազմակերպման ժամանակ չափանիշային ախտորոշող բազայի հիմքում, որին համապատասխան դպրոցում մաթեմատիկայի ուսուց-ման մոտիվացիոն ուղղվածության իրականացմանը ուսանողների բաշխումը նրանց պատրաստվածության մակարդակներով իրագործ-վում է այդ բաղադրիչների ձևավորվածության հատուկ մշակված գնա-հատման չափանիշների հիման վրա:

Երկրորդ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս առանձնացնել դպրոցում ուսումնական պրոցեսի մոտիվացիոն բաղադրիչի իրակա-նացմանը մաթեմատիկայի ապագա ուսուցիչների պատրաստման գործընթացի փուլերը, բացաահայտել նպատակները, որոշել բովան-դակությունը, դրանցից յուրաքանչյուրի կազմակերպման մեթոդները և ձևերը:

Առաջին փուլը ՝ բազային: Այս փուլում, մի կողմից, տեղի է ունենում ուսանողների` իրենց ապագա մասնագիտական-մանկավարժական գործունեության տարածության մեջ մոտիվացիոն հաստատման սկզբնական տեղայնացում: Մյուս կողմից, մաթեմատիկական, հոգե-բանական-մանկավարժական և մեթոդական առարկաները սովորելու գործընթացում, ինչպես նաև սեփական փորձի հիման վրա գալիս է դպրոցականների ուսումնական գործունեույության մոտիվացիայի նպատակադրված ձևավորման և զարգացման անհրաժեշտության գի-տակցումը: Հենց հոգեբանական-մանկավարժական առարկաների ցիկլի ուսուցման գործընթացի բազային փուլում տեղի է ունենում ուսանողների նախնական ծանոթություն ուսումնական մոտիվացիայի

24

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

տեսության ելակետային հասկացությունների /մոտիվներով, պահանջ-մունքներով, հետաքրքրություններով, նպատակներով և այլն/, ինչպես նաև դրանց ձևավորման հիմնական ընդհանուր-մանկավարժական մոտեցումների հետ: Այստեղ հարկավոր է հատուկ ուշադրություն դարձնել ուսումնական գործունեության մոտիվացիայի զանազան քննարկումներին և դրա նպատակաուղղված զարգացման հարցերին` կրթական այս կամ այն տեխնոլոգիայով տարբեր ձևերով լուծման հնարավորության համատեքստում:

Երկրորդ փուլը` տեսական: Այս փուլում աշակերտների մաթեմատի-կայի ուսուցման գործընթացի մոտիվացիայի ապահովման հարցերը պետք է գտնեն իրենց համապատասխան արտացոլումները մաթեմա-տիկայի տեսության և մեթոդիկայի ուսուցման բազային դասընթացի ժամանակ, ընդ որում, ինչպես դրա դասախոսական նյութերում, այն-պես էլ գործնական մասում:

Ինչ վերաբերում է դասախոսություններին, ապա այստեղ կարելի է առանձնացնել աշխատանքի երկու հիմնական ուղղություններ: Դրան-ցից առաջինը ենթադրում է առարկայի ուսումնական ծրագրում այն-պիսի հարցերի պարտադիր ներառում, որոնք սերտ կապված են ուսումնական մոտիվացիայի խնդրի և դրա ձևավորման ուղիների հետ: Ընդ որում առանձնացված հարցերը պետք է օրգանապես միահյուս-վեն առանձին դասախոսությունների թեմաներում` չխախտելով դասընթացի կառուցման տրամաբանությունը: Օրինակ, հարցերը, որոնք վերաբերում են ապացուցվող դատողությունների մոտիվացիա-յին, կարող են բնական ձևով ներառվել թեորեմների ուսուցման հիմ-նական փուլերի բացահայտման մեջ, իսկ որոնողական գործունեու-թյան մոտիվացիան սերտորեն կապված է մաթեմատիկական խնդիր-ների ուսուցման մեթոդիկայի հետ:

Ուսանողների պատրաստման երկրորդ ուղղությունը իրենց՝ դասա-վանդողների կողմից մոտիվացիոն ներգործության բազմաթիվ եղա-նակների և միջոցների ցույցադրումն է նյութի շարադրման ընթացքում, որոնք ուսանողները կարող են վերցնել որպես սպառազինում: Այս

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

25

առումով լայն հնարավորություններ է ընձեռում մասնավոր մեթո-դիկայի ուսումնական նյութը: Այսպես, հանրահաշվում ուսումնա-սիրելով ֆունկցիոնալ գծի զարգացման խնդիրը, սովորաբար ֆունկ-ցիաների գրաֆիկները կառուցելու նկատմամբ դիտարկվում են տար-բեր մոտեցումներ: Ընդ որում դասավանդողին նպատակահարմար է ուսանողների ուշադրությունն ուղղել դեպի դասարանից դասարան տեղափոխվելու ընթացքում գրաֆիկների կառուցման ամեն մի նոր եղանակի «հայտնվելու» նպատակահարմարության վրա. Աղյուսա-կային եղանակին` /կառուցում «կետերի միջոցով»/ 7-րդ դասարանում, երկրաչափական ձևափոխությունների մեթոդին` 8-9-րդ դասարան-ներում, ածանցյալի միջոցով ֆունկցիայի նախնական հետազոտու-թյուններին` 10-11-րդ դասարաններում: Ընդ որում ապագա ուսուցիչ-ները պետք է տեսնեն, որ աշակերտների համար հիմ-նական մոտի-վացիոն գործոն պետք է լինի նրանց կողմից գրաֆիկների կառուցման եղանակների իրենց ունեցած զինանոցները ընդլայնելու պրակտիկ պահանջմունքի գիտակցումը, ինչն առաջանում է ավելի բարդ գրաֆիկների կառուցման համար նախորդ եղանակի ոչ բավարար կիրառելիության պատճառով, և որպես դրա հետևանք, նրա ոչ բա-վարար ընդհանրականությամբ:

Մաթեմատիկայի տեսության և ուսուցման մեթոդիկայի գործնական և լաբորատոր պարապմունքներին մաթեմատիկայի ուսուցման գործ-ընթացի մոտիվացիոն բաղադրիչի նկատմամբ ուշադրության ուժե-ղացմանը կարելի է հասնել ուսումնական գործընթացի մեջ հատուկ տիպի գործնական հանձնարարություններ ներառելու միջոցով: Օրինակ, թեորեմների ուսուցման մեթոդիկայի պարապմունքի ժա-մանակ որպես տնային հանձնարարություն առաջարկվում է դպրո-ցական դասընթացից երկրաչափության կամայական թեորեմի օրի-նակի վրա նրա հետ աշխատանքի մոտիվացիայի փուլում տարբեր մոտեցումներ մշակել: Արդյունքում կարող է առաջարկվել թեորեմների յուրացման ավանդական եղանակներից տարբերվող մի շարք մո-տիվացիաներ, որոնցից յուրաքանչյուրը ունի տարբեր դիդակտիկա-կան և զարգացնող ներուժ և որոշում է ուսուցման տարբեր մեթոդների

26

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

իրականացման հիման վրա բովանդակության զարգացման տրամա-բանությունը: Այդ տրամաբանության բացահայումը և հետագա հիմ-նավորումը դառնում է հաջորդ պարապմունքին բոլոր ուսանողների քննարկման առարկա:

Սովորողների մաթեմատիկական գործունեության մոտիվացիոն-արժեքային ձևավորման համար հսկայական ներուժ ունի խնդիրների հետ աշխատանքը, որոնք ենթադրում են լուծման մի քանի եղա-նակներ: Օրինակ, սեղանի մակերեսի մասին թեորեմի ապացուցումը, դատողության հիմնական գիծը, ինչպես հայտնի է, ավանդաբար տարվում է սեղանի մակերեսի բանաձևի դուրս բերմանը այն եռանկ-յունների մակերեսների գումարի միջոցով, որոնց տրոհվում է սեղանը իր կամայական անկյունագծով: Պարապմունքի ժամանակ այլ պատ-կերների օգտագործման վրա հենվող ապացույցների եղանակների վերլուծությունից հետո, ուսանողներին առաջարկվում է շարունակել աշակերտների որոնողական աշխատանքների համապատասխան կազմակերպման տարբերակը` ընտրելով հետևյալ տեսակի խթանող բնույթի հարցեր. 1) նախորդ դեպքի թեորեմի ապացուցման համար ինչպիսի՞ պատկերներ էին դիտարկվում որպես հիմնական, ինչու՞: 2) Ինպիսի՞ պատկերների մակերեսներ մենք արդեն գիտենք գտնել: 3) Էլ ի՞նչ պատկերների կարելի է բաժանել սեղանը: Ի՞նչ ձևով:

Արդյունքում սովորողները կարող են շարունակել սեղանի բաժան-ման մի քանի այլընտրանքային եղանակներ /զուգահեռագիծ և եռանկ-յուն, ուղղանկյուն և երկու եռանկյուն և այլն/: Առաջարկվող տարբե-րակները իրականացվում են համապատասխան լրացուցիչ կառուցում-ների օգնությամբ, դրանցից մեկը մանրամասն դիտարկվում և բարձ-րաձայնվում է խմբերով, իսկ մնացածներից մեկը առաջարկվում է որպես տնային հանձնարարություն:

Տվյալ փուլի կենտրոնական օղակը հանդիսանում է հատուկ ուսա-նողների համար մեր կողմից մշակված «մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում սովորողների ուսումնական գործունեության ճանաչո-ղական հետաքրքրության զարգացումը և դրական մոտիվացիայի

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

27

ձևավորումը», որը իր մեջ ներառում է դասախոսություններ և գործնա-կան պարապմունքներ: Այդ դասընթացի շրջանակներում նպատա-կաուղղված ձևով դիտարկվում են մաթեմատիկայի ուսուցման գործըն-թացում աշակերտների ուսումնական մոտիվացիայի ձևավորման և զարգացման հիմնական հնարավորությունները` ելելով տվյալ առարկայի յուրահատկություններից, քննարկվում են այնպիսի ձևա-վորման հիմնական մեթոդները, եղանակները և միջոցները, որոնք կիրառելի են մաթեմատիկական գործունեության գործնական, էվրիս-տիկական, դեդուկտիվ և գեղագիտական տեսանկյաններից, տեղի է ունենում պրակտիկ հմտությունների և կարողությունների կատա-րելագործում ուսումնական գործունեության մոտիվացիոն ապահով-ման ուղղությամբ ուսանողների մանկավարժական գործունեության կազմակերպման մեջ:

Առաջին մասում քննարկվում են հիմնական «մոտիվացիոն կատե-գորիաները». ներմուծվում են ուսումնական գործունեության, մոտիվ-ների, պահանջմունքների, ուսումնական գործունեության մոտիվա-ցիայի հասկացությունները, համեմատվում են տարբեր մեկնաբա-նություններ, որոնք ընդունված են հոգեբանա-մանկավարժական և մեթոդական գրականության մեջ. դիտարկվում է ճանաչողական հե-տաքրքրության հարցը, դրա զարգացման ճանապարհները և փոխ-կապվածությունը ուսումնական մոտիվացիայի հետ, առանձնացվում են մաթեմատիկական գործունեության հիմնական տեսանկյունները և նրանց հիերարխիան /ստորակարգությունը/: Այդ հարցերի դիտարկու-մը կազմում է դասընթացի հետագա մասերը սովորելու համար անհրաժեշտ տեսական բազա:

Դասընթացի երկրորդ մասում նպատակաուղղված ձևով դիտարկ-վում են մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում դպրոցականների ուսումնական մոտիվացիայի ձևավորման և զարգացման հիմնական հնարավորությունները` ելնելով առարկայի յուրահատկությունից. առանձնացվում են սովորողների ուսումնական մոտիվացիայի ձևա-վորման հիմնական մոտեցումները, քննարկվում են հիմնական մեթոդ-ները, եղանակները և միջոցները` առանձնացված տեսանկյունների

28

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

ընթացքի մեջ մաթեմատիկական գործունեության դպրոցական պրակ-տիկայի «կենդանի» օրինակների հենքի վրա, տրվում են դրանց կիրառան համար մի շարք խորհուրդներ: Վերջում կատարվում է ուսանողների՝ մաթեմատիկական բովանդակության մոտիվացիոն ներուժի տեսական գիտելիքների համակարգում և ընդհանրացում և դրա արդիականացման հնարավորությունները դպրացական մաթե-մատիկական կրթության շրջանակներում, բացահայտվում են մի քանի ավելի էֆեկտիվ տեխնոլոգիաների և եղանակների մոտիվացիոն ազդեցության կիրառման յուրահատկությունները:

Դասընթացի վերջին մասը նվիրված է ճանաչողական հետաքրքրու-թյունների ախտորոշման և աշակերտների ուսումնական մոտիվա-ցիայի հարցերին: Այստեղ առանձնացվում են հետազոտության մե-թոդների հիմնական խմբերը, ճանաչողական հետաքրքրությունները և զարգացնող բնույթի ուսումնական մոտիվացիան, ինչպես նաև օրինակների վրա դիտարկվում են մի քանի կոնկրետ հեղինակային մեթոդներ:

Գործնական պարապմունքներին հիմնական շեշտը դրվում է քննարկման և ինքնուրույն գործնական հանձնարարությունների ցու-ցադրման վրա, որոնք նախապատրաստվում են լսարանում կամ տա-նը. դասի հատվածների դերախաղ, դասագրքերի վերլուծության արդ-յունքների քննարկում, համակարգչային պրեզենտացիաների մշակում: Միացյալ քննարկման ընթացքում ընտրվում են առաջարկված մշա-կումներից լավագույնները, հնարավորության է դառնում իրական դպրոցական պրակտիկայի տեսանկյունից դրանց իրականացման լավագույն պայմանների ստեղծումը:

Հատուկ դասընթացի շրջանակներում ուսանողների կողմից կա-տարման համար նախատեսված գործնական հանձնարարությունների տեսակների մեջ կարելի է նշել մաթեմատիկայի տարբեր դասագրքերի մոտիվացիոն ներուժի բացահայտման և համադրման համար հանձ-նարարություններ, դասին մոտիվացիոն հագեցած հատվածների աշխատանքի նախապատրաստում` օգտագործելով այս կամ այն ու-սուցման տեխնոլոգիան, մաթեմատիկական խնդիրների լուծման

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

29

ճանապարհների որոնման ռացիոնալ խթանման աշխատանքի մոդե-լավորումը: Նմանատիպ հանձնարարությունների կատարման ժամա-նակ ուսանողները հերթականությամբ ելույթ են ունենում ուսուցչի և աշակերտի դերում, ինչը թույլ է տալիս նրանց կոռեկտ ձևով կան-խատեսել և գնահատել դիտարվող եղանակների օգտագործման հնա-րավոր հեռանկարները այս կամ այն ուսումնական իրավիճակի մեջ:

Երրորդ՝ պրակտիկ՝ ապագա ուսուցիչներին մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացի ուսուցման մոտիվացիոն բաղադրիչի ար-դիականացմանը նախապատրաստելու փուլ` իրականացվում է, առա-ջին հերթին, դպրոցում ուսանողների կողմից մանկավարժական պրակտիկայի անցկացման ընթացքում, ինչպես նաև նրանց սկզբնա-կան գիտահետազոտական գործունեության` կուրսային և դիպլոմային աշխատանքների պատրաստման շրջանակներում:

Տվյալ փուլը կրում է մեծամասամբ ռեֆլեքսիվ բնույթ: Հենց այստեղ առաջանում է ուսանողների կողմից մանկավարժական գործունեու-թյան պրակտիկ փորձի ձեռք բերման և գիտակցման հնարա-վորություն՝ իրական դպրոցական պրակտիկայի ընթացքում սովորող-ների ուսումնական մոտիվացիայի ձևավորման և զարգացման համար, հաղորդակից դարձնելով մաթեմատիկայի ապագա ուսուցիչներին յու-րացված մոտիվացիոն գործիքների ինքնուրույն և ստեղծագործական ընտրությանը հաջորդող դրա օգտագործման սեփական փորձի վերա-իմաստավորմամբ, ինքնավերլուծությամբ և ուղղմամբ:

Մաթեմատիկայի ապագա ուսուցիչների մասնագիտական-մանկա-վարժական պատրաստման դիտարկված բաղադրիչի մշակված մեթո-դական ապահովումը ցույց տվեց իր էֆեկտիվությունը փորձարա-րական աշխատանքների ընթացքում, ապահովելով հետազոտության մեջ առանձնացված բոլոր բաղադրիչների կայուն և բարձր աճի դինա-միկա, դրանց պատրաստակամությունը աշակերտների ուսումնական մոտիվացիայի էֆեկտիվ ձևավորմանը և զարգացմանը:

30

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

Գրականություն

1.Родионов М.А. Мотивация учения математике и пути ее формирования. Монография.- Саранск: МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 2001.- 252 с. 2.Родионов М.А., Графова О.П. Формирование мотивации учения математике в школе: Учебное пособие. – Пенза: ПРООО «Знание» России, 2005.- 148 с. 3.Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студ. мат. специальностей пед. вузов и ун-тов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.

ПОДГОТОВКА БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ К РЕАЛИЗАЦИИ МОТИВАЦИОННОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ УЧЕБНОЙ

ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ШКОЛЬНИКОВ Родионов М.А., Пичугина П.Г.

Резюме

Рассматривается возможность включения мотивационного компонента в систему профессионально-педагогической подготовки студентов педвузов с целью создания условий для формирования у них положительной мотивации к своей будущей профессионально-педагогической деятельности, с одной стороны, и овладения педагогическими умениями по конструированию и актуализации мотивационно насыщенных педагогических ситуаций – с другой.

TRAINING FUTURE TEACHERS OF MATHEMATICS FOR MOTIVATING

LEARNING ACTIVITY IN SCHOLARS Radionov M. A., Pichugina P.G.

Summary

The possibility of including motivation component in the system of professional teachers’ training in order to create in students positive

ԳԻՏԱՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ

31

motivation to their future teaching profession is considered in the article. The importance of acquiring teaching techniques in creation and actualization of motivating teaching situations is also stressed.

Ռոդիոնով Մ. Ա., - մանկավարժական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր, ՊՊՀ-ի հանրահաշվի և մաթեմատիկայի ու ինֆորմատի-կայի դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչ, ՌԴ: Պիչուգինա Պ. Գ., մանկավարժական գիտությունների թեկնածու, համակարգչային տեխնոլոգիաների ամբիոնի դոցենտ, ՊՊՀ, ք. Պենզա, ՌԴ:

Ռուսերենից թարգմանությունը Ա.Տ.Մկրտչյանի

32

ՓՈՐՁԱՐԱՐԱԿԱՆ-ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ

ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԸՆԹԱՑՔՈՒՄ

Սարիբեկ Հակոբյան

Բանալի բառեր – հետազոտություն, գիտելիքի հայտնաբե-րում, վարկածի ձևակերպում, դասակարգում, ուսումնական գործընթացի կառավարում, կարողությունների զարգացում

Տարածված է այն կարծիքը, թե փորձարարական աշխատանքնե-րը հատուկ են բնագիտական հետազոտություններին. Փորձնական տվյալների ընդհանրացումը մաթեմատիկայում դեր է ունեցել միայն գի-տության ձևավորման նախապատմական շրջանում, իսկ հետագա զար-գացման ընթացքում մաթեմատիկան վաղուց է հաղթահարել ճշմարտու-թյան բացահայտման հարցում փորձնական ստուգումների միջոցով պնդում ապացուցելու սահմանափակությունը:

Դա իրոք այդպես է, եթե խոսքը վերաբերում է բուն մաթեմատիկա-յին՝ որպես ճշգրիտ գիտության, չնայաց եթե դիտենք նոր գաղափարների ծնունդը, ապա կտեսնենք, որ մաթեմատիկոսները նույնպես տարբեր փորձարկումների կարիք են զգում զանազան վարկածներ առաջադրելու հարցում: Սակայն պատկերը բոլորովին փոխվում է, եթե հարցերը դի-տարկում ենք կրթական խնդիրների տեսանկյունից:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

33

Ժամանակակից կրթական հայեցակարգերում առավել կարևով-րում է ոչ թե պատրաստի գիտելիքների հաղորդումը, երբ աշակերտին վերապահվում է ընդամենը մատուցվող գիտելիքի ընկալումն ու վերար-տադրումը, այլ մասնակցությունը գիտելիքի հայտնաբերման գործըն-թացին, երբ խթանվում են նրա ստեղծագործական կարողությունները, և նա ստանձնում է հետազոտություն կատարողի դեր: Այս առումով՝ փորձա-րարական աշխատանքները կարևոր միջոց են օրինաչափություններ բա-ցահայտելու, վարկածներ առաջադրելու և դրանց հաստատման ուղիները որոնելու գործում:

Փորձարարական-հետազոտական աշխատանքների կատարման միջոցով ուսուցման կազմակերպման մեթոդը, որը ֆրանսիացի մասնա-գետների կողմից ստացել է «Ձեռքերը խմորի մեջ» անվանումը, լայն տա-րածում ունի տարբեր երկրների կրթական հաստատություններում: Այն համապիտանի է նաև մաթեմատիկայի ուսուցման համար: Այդ մեթոդի կիրառությունը փորձենք լուսաբանել որևէ դասի օրինակով:

Դիցուք՝ դասի թեման է «Պյութագորասի թեորեմը»: Հետազոտու-թյունն իրականացվելու է երկու փուլով՝ ա/ բացահայտել օրինաչափ-փությունը և ձևակերպել վարկած, բ/ հաստատել ձևակերպված վարկածը:

ՈՒսուցիչը սկզբում ընտրում է որևէ եղանակ հարցադրումը ներկա-յացնելու համար: Այդ նպատակին կարող է ծառայել, ասենք, հետևյալ պատմությունը:

Հայրն իր երկու որդիների հետ պետք է հունձ կատարեր մար-գագետնում: Առավոտյան նա վաղ արթնացավ և, մինչև որ-դիների արթնանալը, մարգագետնի մեջտեղում հնձեց եռանկ-յունաձև մի տարածք: Այնուհետև, երբ բոլորը պատրաստ էին հունձը սկսելու համար, նա այդ եռանկյան կողմերը բաշխեց երեքի միջև. ինքն ընտրեց եռանկյան մեծ կողմը, իսկ մյուս երկու կողմերը թողեց ընտրելու տղաներին: Հայրն ասաց. – Յուրաքանչյուրս իր ընտրած կողմի դիմաց հնձելու է այնքան, որքան ավյալ կողմի երկարությունն է, և այդ չափաբաժինը հնձելուց հետո կանենք ճաշի ընդմիջում:

34

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Աշխատանքը կատարելուց հետո, ճաշի ժամանակ տղաների մոտ հարց ծագեց՝ «ո՞վ է ավելի շատ հնձել՝ հա՞յրը, թե՞ երկու եղբայրները միասին»: Այս պատմությունը ներկայացնելուց հետո ուսուցիչը դիմում է աշա-

կերտներին, թե ի՞նչ կերպ են պարզելու եղբայրների հնչեցրած հարցի պատասխանը:

Քննարկումների արդյունքում ի վերջո պարզաբանվում է, որ տվյալ իրադրությունը մաթեմատիկորեն հանգում է հետևյալ խնդրին. Եռանկ-յան՝ դիցուք , , կողմերի վրա կառուցված են քառակուսիներ, որոնց մա-կերեսներն են , , , և անհրաժեշտ է համեմատել 2+ 2 գումարը 2 մեծության հետ (ընդունենք, որ մեծ կողմը -ն է, նկ 1):

Այնուհետև կատարվում է խմբային հետազոտություն:

Հետազոտություն 1

Դասարանը բաժանվում է փոքր խմբերի: Խմբերին բաժանվում են ստվարաթղթից նախապես պատրաստված տարբեր չափսերի, տարբեր տեսակի (սուրանկյուն, ուղղանկյուն, բութանկյուն) եռանկյուններ: Աշա-կերտները, օգտվելով փոխադրիչներից և քանոններից, կատարում են

Նկ. 1

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

35

անհրաժեշտ չափումները և ստացված արդյունքները ներկայացնում են աղյուսակով:

Եռանկյան տեսակը

2 2 2 2 և 2+ 2

համեմատությունը

1

2

...

Այս հետազոտության կարևոր խնդիրն է փորձնական տվյալների վերլուծության և համադրման միջոցով գտնել որևէ էական օրինաչափ-փություն: Իսկ այդ օրինաչափությունը վերաբերելու է նրան, թե ինչ առն-չություն գոյություն ունի եռանկյան մեծ կողմի ( -ի) վրա կառուցված քա-ռակուսու մակերեսի և փոքր կողմերի ( -ի և -ի) վրա կառուցված քառա-կուսիների մակերեսների գումարի միջև, դրանց համեմատությունը (մեծ, փոքր կամ հավասար լինելը) կախվա՞ծ է արդյոք եռանկյան տեսակի հետ:

Հետազոտության արդյունքում աշակերտները ձևակերպում են իրենց եզրակացությունները, որոնք խմբագրելուց հետո ստանում են հետևյալ տեսքը. ա) սուրանկյուն եռանկյան մեծ կողմի քառակուսին փոքր է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարից, բ) բութանկյուն եռանկյան մեծ կողմի քառակուսին մեծ է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարից, գ) ուղղանկյուն եռանկյան մեծ կողմի /ներքնաձիգի/ քառակուսին հավա-սար է մյուս երկու կողների /էջէրի/ քառակուսիների գումարին:

Հետազոտություն 2

Աշակերտների համար կարևոր է գիտակցումն այն բանի, որ փորձ-նական ճանապարհով ստացված տվյալների հիման վրա արված եզրա-կացությունը դեռևս հավաստի գիտելիք չէ, այն ընդամենը վարկած է և

36

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

կարիք ունի հաստատման: Հաջորդ հետազոտական աշխատանքը ծա-ռայելու է այդ նպատակին:

Այժմ կներկայացնենք մի գործնական աշխատանք, որը հնարավո-րություն կտա բացահայտելու այն հիմնական գաղափարը, ինչը հիմք է հանդիսանալու եզրակացության ապացուցման համար: Խմբերին տրվում են ստվարաթղթից պատրաստված պատկերների եր-կուական կապոցներ: Կապոցներից մեկը բաղկացած է երկու՝ համապա-տասխանաբար և կողմով քառակուսիներից և երկու միանման ուղ-ղանկյուններից, որոնց կից կողմերմ են և (Նկ. 2):

Երկրորդ կապոցը բաղկացած է կողմով քառակուսուց և չորս միանման ուղղանկյուն եռանկյուններից, որոնց էջերն են և , իսկ ներքնաձիգը՝ նկ. 3:

Խմբերին հանձնարարվում է այդ պատկերների միջոցով ստանալ երկու միանման քառակուսիներ: Աշակերտները կատարում են փորձարկումներ և ի վերջո ստանում են հետևյալ պատկերները (նկ. 4):

Նկ. 2

Նկ. 3

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

37

Այնուհետև առաջարկվում է որոշել ստացված պատկերներից յու-րաքանչյուրի մակերեսը: Դժվար չէ նկատել, որ երկու պատկերներն էլ ներկայացնում են + կողմով քառակուսի, այսինքն յուրաքանչյուրի մակերեսը հավասար է ( + )2: Ընդ որում՝ բաղադրիչ պատկերների մակերեսների օգտագործման միջոցով առաջինի համար կարող ենք գրել՝

( + )2= 2+ 2+2 (1)

Ի դեպ՝ սա ներկայացնում է երկանդամի գումարի քառակուսու կրճատ բազմապատկման բանաձևի երկրաչափական մեկնաբանությունը:

Երկրորդ քառակուսու մակերեսի համար, օգտվելով դրա բաղադրիչների մակերեսներից, կարող ենք գրել՝

( + )2= 2+4 ∙ 1

2 = + 2 (2)

Մնում է համադրել (1) և (2) հավասարությունները, և կստանանք՝

2 = 2+ 2 :

Այսպիսով, նկատի ունենալով, որ -ն և - ն ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են, իսկ -ն՝ ներքնաձիգը, աշակերտները եզրակացնում են, որ ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի

Նկ. 4

ա) բ)

38

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

քառակուսիների գումարին: Մնում է ավելացնել, որ այդ պնդումը երկրա-չափության ամենանշանավոր թեորեմներից մեկն է և այն կոչվում է Հին հույն հռչակավոր մտածող Պյութագորասի անունով:

Այս հետազոտական աշխատանքից հետո, կարելի է ասել, լիովին նախապատրաստված է թեորեմի դասագրքային՝ խիստ մաթեմատիկա-կան, ապացուցումը ընկալելու համար: Այդ ապացույցի ընթացքում, անշուշտ, հանգուցային նշանակություն ունի նաև այն պահը, որ պետք է լրացուցիչ հիմնավորում տալ այն փաստին, որ նկ. 4-ի բ) դեպքում ստացված պատկերը իրոք քառակուսի է:

Ամփոփում

Նկարագրված օրինակի համանմանությամբ կարելի է կատարել փորձարարական-հետազոտական աշխատանքներ նաև բազմաթիվ այլ թեմաների ուսուցման ընթացքում: Դրա համար պետք է կարևորել հետևյալ գործոնները.

ա) Փորձարարական աշխատանքը հնարավորություն է տալիս՝ - դիտողական դարձնել մաթեմատիկայի վերացական-տեսական

գիտելիքների կապը իրականության և առօրյա կյանքի հետ, - պատրաստի գիտելիքների հաղորդման և ընկալման գործընթացը

փոխարինել /կամ ուղեկցել/ գիտելիքի հայտնաբերման ստեղծա-գործական հաճելի աշխատանքով,

- նպաստել համատեղ հետազոտական աշխատանք կատարելու կարողությունների զարգացմանը,

բ) Փորձարարական հետազոտական աշխատանքների կատարման կրթական խնդիրներից մեկը լեզվական-հաղորդակցական կարողու-թյունների զարգացումն է: Ընդ որում խոսքը չի վերաբերում միայն այն բանին, որ խմբային հետազոտության ընթացքում աշակերտները մտքեր են փոխանակում միմյանց հետ: Այդ ընթացքում հատուկ կարևորություն պետք է տալ ստացված տվյալների գրառումներին, եզրակացությունների, վարկածների կամ տեսակետների հստակ /գրավոր/ ձևակերպումներին,

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

39

գ) Հետազոտական աշխատանքի հիմքում ընկած է «սովորել՝ կատարե-լով» սկզբունքը: Ուստի այն պետք է ունենա այնպիսի քայլեր /փորձար-կում, տվյալների ստացում, համադրում և այլն/, որոնք կարող են ապահո-վել բոլոր աշակերտների ակտիվ մասնակցությունը ուսումնական գործըն-թացին /առանձնապես կրթական մեծ նշանակություն չունեն այնպիսի աշ-խատանքները, որոնց դեպքում աշակերտներից մեկ-երկուսը աշխատան-քը կատարում են, իսկ մյուսները բավարարվում են միայն դիտելով/: դ) Պետք է պատրաստ լինել համակերպվելու այն բանին, որ փորձարա-րական-հետազոտական աշխատանքը, այնուամենայնիվ, ունի իր թերու-թյուններն ու դժվարությունները՝

- պահանջում է նախապատրաստման բավականաչափ մեծ աշխա-տանք /պլանավորում, նյութերի պատրաստում և այլն/,

- դասապրոցեսում նման աշխատանքի կատարումը ժամանա-կատար է և պահանջում է ժամանակի նպատակային բաշխում:

Սակայն այդ դժվարությունները հատուցվում են նրանով, որ զգալիորեն բարձրանում է ուսուցման արդյունավետությունը, և արդյունքում սովո-րողների մոտ ձևավորվում են մնայուն այնպիսի կարողություններ, որոնք անհրաժեշտ են ողջ կյանքի ընթացքում օգտագործելու համար:

Экспериментально-исследовательские работы

в процессе обучения математике Сарибек Акобян

Резюме

В работе описывается метод обучения, целью которого является развитие исследовательских способностей учащихся. Разъясняется, как организовать исследовательские работы, чтобы учащиеся самостоятельно сделали бы “научные” открытия. Экспериментальные работы способствуют как формированию гипотез, так и их обоснованию.

40

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Experimental Research Works in the Learning Process of Mathematics

Saribek Hakobyan Summary

The paper describes the learning method which is aimed at the development of research abilities of students. It explains how to organize research works in order students would independently make “scientific” discovery. The experimental works contribute to the formation of a hypothesis as well as their justification.

Սարիբեկ Հակոբ յան - փ.գ.թ. դոցենտ, Կրթության ազգային ինստիտուտի բաժնի վարիչ, «Մարդ և հասարակություն» ամսագրի գլխավոր խմբագիր

Էլ. հասցե` sarohakobyan@yahoo.com Հեռախոս` 091 41 35 39

41

ԿՐՏՍԵՐ ԴՊՐՈՑԱԿԱՆՆԵՐԻ ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ԿՈՂՄՆՈՐՈՇՈՒՄՆԵՐԻ ՁԵՎԱՎՈՐՄԱՆ

ԱՌԱՆՁՆԱՀԱՏԿՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԸ ՄԱՅՐԵՆԻԻ, ՕՏԱՐ ԼԵԶՈՒՆԵՐԻ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ

ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

Ա. Լ.ՏՈՆՈՅԱՆ

Բանալի բառեր - կրտսեր դպրոցականներ, արժեքային կողմնորոշումներ, արժեքներ, գործառույթներ, առարկայա-կան չափորոշիչներ, մեթոդաբանական մոտեցումներ, կրթու-թյուն, ուսուցման գործընթաց, ինտեգրվող համակարգ, գե-ղագիտական և բարոյական հարաբերություններ, գեղար-վեստական խոսք

Մայրենի, օտար լեզուների և մաթեմատիկայի ուսուցման ընթաց-քում կրտսեր դպրոցականների արժեքային կողմնորոշումների ձևավոր-ման գործընթացի բովանդակային բաղադրատարրը բնութագրվում է մայրենի, օտար լեզուների և մաթեմատիկայի առանձնահատկություն-ներով:

Հետազոտվող հիմնախնդրի տեսանկյունից մենք դիտարկում ենք այն արժեքները, որոնք դրսևորվում են՝

• լեզվի գործառույթներում, • տարրական դպրոցում լեզուների ուսուցման նպատակներում, • մայրենի լեզվի և մաթեմատիկայի առարկայական չափորոշիչ-

ներում: Լեզվի հիմնական գործառույթներն են՝ հաղորդակցական, ճանաչո-

ղական, տեղեկատվական, արտահայտման, ներազդման, նշանակողա-

42

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

կան, տեղեկատվական, ազգային-մշակութային ավանդույթների պահ-պանման ու փոխանցման, մտքերի ձևավորման ու արտահայտման, էմոտիվ և այլն:

Հաղորդակցական (կոմունիկատիվ) գործառույթը ենթադրում է խոսքային հաղորդակցում: Տարրական ուսուցման համակարգում այս գործառույթի իրականացումը նշանակում է մեր կողմից ուսումնասիրվող գործընթացի բովանդակության մեջ այնպիսի արժեքների դիտարկում, որոնք արտահայտվում են փոխադարձ շփման, բարեկիրթ հաղորդակց-ման ընթացքում:

Շփման ու հաղորդակցման արժեքային կողմը բնութագրում է մարդու՝ այլոց հետ համակեցության, սոցիումում դրսևորվելու, մարդկանց հետ շփվելու պահանջմունքը [3, էջ 20]: Այս պարագայում հատուկ նշա-նակություն է ձեռք բերում խոսքային հաղորդակցման մշակույթը, լեզ-վական միջոցներով զրուցակցի վրա ներգործելու ունակությունը: Հաղոր-դակցական կարողությունը արտահայտվում է նրանով, որ կրտսեր դպրոցականը կարողանա լսել, ընկալել, բանավիճել, համարժեք վերա-բերմունք դրսևորել, տրամաբանված խոսք կառուցել: Ըստ Ս.Տ. Մասլովի՝ շփման ու հաղորդակցման արժեքները վերաբերում են արժեքների սո-ցիալական խմբին [3]:

Քաղաքավարությունը, բարությունը ու բարեկրթությունը՝ որպես արժեքային հասկացություններ, բնութագրում են անձի՝ շրջապատող մարդկանց նկատմամբ հարգանքի վրա հիմնված հարաբերություններ ձևավորելու ձգտումը: Այս հատկանիշը թույլ է տալիս դրանք ներառել բարոյական արժեքների խմբում:

Տեղեկատվական գործառույթի տեսանկյունից լեզուն դիտարկվում է որպես հաղորդման միջոց. այն մարդկության փորձի ու իմացության, գիտակցված գործունեության ընթացքում կուտակված գիտելիքների համակարգման ու լեզվական ձևակերպման միջոց է: Այդ գործառույթը մեր կողմից ուսումնասիրվող գործընթացի բովանդակության մեջ բացա-հայտում է իմացական արժեքները (գիտելիքներ, ճանաչողություն):

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

43

Գիտելիքը հասարակական փորձով ստուգված և իրականության տրամա-բանական յուրացման արդյունքն է, որը համարժեք է մարդու գիտակ-ցության մեջ այդ իրականության արտացոլմանը [5, էջ 17]:

Ազգային-մշակութային ավանդույթների պահպանման ու փո-խանցման գործառույթն իրականացնում է ժամանակների միջև կապը, որը հնարավորություն է ընձեռում լեզվի մեջ պահպանել ազգային մշա-կույթը և փոխանցել սերնդեսերունդ: Այն դրսևորվում է սոցիալական (ազգ, ժողովուրդ, ազգային մշակույթ, հայրենիք, մայրենի), իմացական (ազգային մշակույթի, պատմության վերաբերյալ գիտելիքներ), գեղագի-տական (աշխարհընկալումը՝ արտահայտված բառերով, պատկերի գեղա-գիտություն ու ներդաշնակություն) արժեքների ձևով:

«Ազգ» և «ժողովուրդ» հասկացությունները դիտարկվում են որպես միասնական, ամբողջական, պատմականորեն ձևավորված էթնիկ հան-րություն: Ազգային արժեքներին հաղորդակցվելը նախնիների ավան-դույթները պահպանելու, շարունակելու, դրանց հավատարիմ մնալու հա-մոզմունք է, սեր դեպի հայրենի բնօրրանը: Անձի համակողմանի ու ներ-դաշնակ ձևավորման կարևոր նախապայման է այն ըմբռնումը, որ ազգա-յին մշակույթը ժողովրդի պատմական հիշողության մեջ հազարամյակնե-րի ընթացքում խտացած արժեքների շտեմարան է:

Ազգային մշակույթը, որն արտացոլվում է լեզվում, արտահայտում է լեզվի հարստությունը, պատկերավորումն ու արտահայտչությունը, գեղեց-կությունը: Գեղեցիկը, ըստ Ս.Ի. Օժեգովի, մարմնավորում է այն ամենը, ինչը գեղագիտական վայելք է պարգևում [4, էջ 304]: Գեղագիտական օրենքներին համապատասխանությունը դրսևորվում է ներդաշնակության մեջ. լեզվում ներդաշնակությունն արտահայտվում է գրականության, հատկապես բանահյուսության մեջ:

Լեզվի շփման գործառույթը ենթադրում է համամարդկային մշա-կույթի յուրացում հատկապես գեղարվեստական ստեղծագործություն-ների թարգմանությունների միջոցով: Այն ընդլայնում է արժեքների սահ-մանները՝ սոցիալական (հանուր մարդկության արժեքները), իմացական (գիտելիքը՝ որպես համամարդկային մշակույթի արտահայտություն),

44

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

գեղագիտական (աշխարհում գեղեցկությունն ու ներդաշնակությունը, խոսքի գեղագիտությունն ու մշակույթը՝ որպես արժեք):

Լեզվի հուզական գործառույթը կապված է հույզերի ու զգացմունք-ների արտահայտման հետ: Առավելագույն հուզական ներգործության հնարավորություններով են օժտված գեղարվեստական կերպարները:

Հուզական գործառույթը կարևոր դեր ունի նաև առօրյա շփումներում: Այն նպակակաուղղված է բարոյական (հուզական արձա-գանքը՝ որպես արժեք) և գեղագիտական (գեղեցիկի զգացումը՝ որպես արժեք) արժեքներին հաղորդակցմանը:

Խոսքային ներգործության գործառույթը ենթադրում է որևէ մեկին որոշակի արարքի մղելու խնդրանք, հորդոր, հրաման, դրդում, այսինքն՝ արտահայտում է խոսողի կամային վերաբերմունքը: Այս գործառույթը են-թադրում է այն, որ սոցիալական միջավայրը ըմբռնվում է որպես արժեք:

Մտքերի ձևակերպման և արտահայտման գործառույթը նշանա-կում է, որ ցանկացած միտք հնչյունային թաղանթ և արտահայտություն է ստանում: Այս գործառույթի իրականացումը ենթադրում է իմացական (մտածողությունը, մտքերը ձևակերպելու և արտահայտելու կարողու-թյունը՝ որպես արժեք) և գեղագիտական (մտքերի գեղեցիկ և ներդաշնակ ձևակերպումը՝ որպես արժեք) արժեքներին հաղորդակցում:

Լեզվի կարգավորիչ գործառույթը դրսևորվում է անձի վարքում: Այն արտահայտում է նախատեսվող գործողությունների հաջորդական իրականացումը, մարդկային փոխհարաբերությունների, կենցաղի և բա-րոյական հարաբերությունների կազմակերպումն ու կարգավորումը և նպաստում է բարոյական արժեքների յուրացմանը: Այս տեսանկյունից հետազոտողների կողմից առաջարկվել են ուսումնական առարկաների դասակարգումներ՝ ըստ դրանց գործառույթների [2]:

Մայրենի և օտար լեզուների առարկաներում, ըստ Վ.Ս. Լեդնևի, առանձնացվում են հաղորդակցական գեղագիտական կողմերը ընթեր-ցանության համար նախատեսված գեղարվեստական տեքստերի հիման վրա [2]:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

45

Չնայած դասակարգան բազմաթիվ մոտեցումներին՝ հետազոտող-ները միասնական են այն հարցում, որ լեզվի բնագավառի առարկաներն իրականացնում են տարբեր գործառույթներ, այսինքն՝ այդ առարկա-ներից յուրաքանչյուրն անձի արժեքային կողմնորոշումների ձևավորման տեսանկյունից ունի իր առանձնահատկությունները: Տարրական դպրո-ցում լեզուների ուսուցման կառուցվածքն ու բովանդակությունը միաս-նական են. դա թույլ է տալիս եզրակացնել, որ տարրական դպրոցում լեզուների ուսուցումն ինտեգրվող համակարգ է: Այսպես, օրինակ, մայրե-նի լեզվի դասը ինտեգրվում է գեղարվեստական ընթերցանության դասի հետ՝ ուսումնական ձեռնարկներում գեղարվեստական տեքստերի ներ-մուծմամբ: Կրտսեր դպրոցականների պատկերավոր մտածողության և հուզական ընկալման շնորհիվ գեղարվեստական տեքստերի բովանդա-կության ներգործությունը կրտսեր դպրոցականի ներաշխարհի վրա պետք է համարժեք լինի քերականական առաջադրանքների կատար-մանը, մանավանդ որ առաջադրանքները բխում են տեքստերի բովանդա-կությունից:

Այսպիսով՝ տարրական դպրոցում լեզվական բնագավառի ուսում-նական առարկաներից յուրաքանչյուրը ունի մի քանի գործառույթ:

Այս գործառույթներից յուրաքանչյուրն ունի որոշակի արժեքային ներուժ, որը բացահայտում է սովորողների արժեքային կողմնորոշումների ձևավորան հիմնական ուղղությունները:

Տարրական դպրոցում լեզվի գործառույթներին լեզուների ուսուց-ման նպատակների համապատասխանությունը իր արտացոլումն է գտնում կրթության բովանդակությանը ներկայացվող պահանջներում: Տարրական դպրոցում լեզուների ուսուցումն ուղղված է հետևյալ հիմնա-կան նպատակների իրականացմանը՝

1. կրտսեր դպրոցականների իմացական զարգացում. մայրենի և օտար լեզուների վերաբերյալ գիտելիքների և ունակությունների, դրանց օրինաչափությունների ու փաստերի վերլուծության և ընդհանրացման

46

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

փորձի ձևավորումը: Այդ նպատակի իրականացումը նպաստում է առա-ջին հերթին իմացական արժեքների ձևավորմանը (լեզվի իմացություն և լեզվի մասին գիտելիքներ),

2. կրտսեր դպրոցականների խոսքի զարգացում նրանց մեջ խոս-քային գործունեության հիմնական տեսակների ձևավորում խոսքային հաղորդակցման մշակույթի դաստիարակում, որն ըմբռնվում է իբրև երեխաների հաղորդակցումը սոցիալական արժեքներին,

3. կրտսեր դպրոցականների գեղագիտական ճաշակի ձևավորում. լեզվի ուսուցումը զուգորդվում է գեղագիտական արժեքների յուրացմանը,

4. սովորողների ստեղծագործական կարողությունների զարգացում, որը նպաստում է նրանց մեջ իմացական «սոցիալական «գեղագիտական «բարոյական արժեքների ձևավորմանը,

5. սովորողներին ազգային և համամարդկային մշակութային արժեքներին հաղորդակցում, որը ձևավորում է նրա սոցիալական, իմա-ցական, գեղագիտական, բարոյական արժեքային կողմնորոշումները:

Տարրական դպրոցում մայրենի և օտար լեզուների ուսումնասիրման նպատակների համադրումը դրանց գործառույթներին թույլ է տալիս ձևա-վորվող արժեքային կողմնորոշումների մեջ առաջնայնություն վերապահել իմացական արժեքներին:

Ուսուցվող լեզվական նյութի յուրացումը ենթադրում է խոսքային գործունեության ու լեզվի մշակույթի տիրապետման ընթացքում համա-դրել իմացական և սոցիալական արժեքները:

Կրտսեր դպրոցականի արժեհամակարգի ձևավորման գործընթա-ցի բնութագիրը միակողմանի կլիներ, եթե այդ համատեքստում չդիտարկ-վեր մաթեմատիկայի և «Ես և շրջակա աշխարհը» առարկայի արժեքային ներուժը:

Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը նույնպես նպաստում է կրտսեր դպրոցականների մեջ այնպիսի արժեքների ձևավորմանը,

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

47

ինչպիսիք են՝ բարությունը, ճշմարտությունը, սերը, երախտագիտությու-նը, փոխօգնությունը. «նման հնարավորություն են տալիս վարժություն-ների, խնդիրների լուծման, թեորեմների ու դրանց ապացուցումների վերաբերյալ մաթեմատիկական առաջադրանքները» [1, էջ 12]:

Այսինքն՝ մաթեմատիկական կրթությունը նույնպես էական է կրտսեր դպրոցականների մտավոր, բարոյական, գեղագիտական, էկոլո-գիական արժեքային կողմնորոշումների ձևավորման գործընթացում, ինչպես հասարակագիտական և բնագիտական առարկաները:

Ըստ Հ.Միքայելյանի՝ մաթեմատիկան, հանրակրթության միջոցով նրա ուսուցումը ճշմարտության որոնման գործընթաց է, իսկ մաթեմա-տիկայից ստացած գիտելիքները անառարկելի ճշմարտություններ են (համենայն դեպս՝ այդպես են ընկալվում հասարակության կողմից), որոնք նաև հավաստի աներկբայելի աղբյուր են [1, էջ 11]:

Մայրենի և օտար լեզուների ինչպես, նաև մաթեմատիկայի ուսուց-ման գործընթացում յուրացվում են և ձևավորվում հետևյալ արժեքները՝

ա) գեղագիտական արժեքների ոլորտում՝

• գեղագիտական պահանջմունքներ, զգացմունքներ, հույզեր և ապրումներ,

• գեղագիտական ընկալում, զարգացում և ճաշակ, • գեղեցիկը, վեհը և կատակերգականը: Առանձնահատուկ ուշադրության է արժանի գեղագիտական արժեք-

ների հետ մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի կապը: Նշված գործընթացը՝ մաթեմատիկական հասկացությունների և դրանց միջև կա-պերի վերացական բնույթի պատճառով հարուցում է ընկալման որոշակի դժվարություններ, սովորողներին պահում է երկարատև լարվածության մեջ:

Այս իրողություններն առավել ցայտուն են դրսևորվում տարրական դպրոցում: Հաղթահարման ճանապարհներից մեկն ուսուցման գործըն-թացում գեղագիտական արժեքների ներառումն է: Գեղեցիկի առկայու-

48

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

թյունը թույլ է տալիս սովորողին դրսևորելու նաև տոկունություն, հետևո-ղականություն, նպատակասլացություն և կամային այլ հատկանիշներ (գիրք):

բ) բարոյական արժեքների ոլորտում՝

• մարդկանց հետ փոխհարաբերությունների, շրջակա միջավայրում կատարվող երևույթների, իրադարձությունների համարժեք ըն-կալում,

• բարու, սիրո, արդարության և բարոյական այլ արժեքների ձևավորում:

Լեզվի պարագայում արժեքների դրսևորումը կարող է իրականացվել գրական ստեղծագործությունների (առանձնապես՝ հեքիաթների) հերոս-ների վարքագծի միջոցով: Իսկ մաթեմատիկայի ուսուցման գործըն-թացում շփումը ճշմարտություն արտահայտող բանաձևերի հետ ձևավո-րում է, օրինակ, արդարության արժեքը:

Ընդհանրացնելով շարադրվածը՝ կարելի է հավաստել, որ հետազոտ-վող գործընթացի բովանդակության մեջ պետք է ներառվեն արժեքների հետևյալ խմբերը՝ իմացական, սոցիալական, գեղագիտական, բարոյա-կան:

Նշված բնագավառների առարկաների նպատակներում և գործա-ռույթներում առկա գերակա խնդիրները պայմանավորում են արժեքների խմբերի աստիճանականության սահմանումը:

Գրականություն

1. Միքայելյան Հ.Ս., Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը. -Եր.: Էդիթ Պրինտ, 2011.-184 էջ:

2. Ëåäíåâ Â.Ñ. Ñîäåðæàíèå îáùåãî ñðåäíåãî îáðàçîâàíèÿ. Ïðîáëåìû ñòðóêòóðû /Â.Ñ. Ëåäíåâ.-Ì.: Ïåäàãîãèêà, 1980.-264 ñ.

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

49

3. Ìàñëîâ Ñ.È. Ýìîöèîíàëüíî-öåííîñòíîå îáðàçîâàíèå ìëàäøèõ øêîëüíèêîâ /Ñ.È. Ìàñëîâ.-Òóëà, Èçä-âî ÒÃÏÓ èì. Ë.Í. Òîëñòîãî, 1999.-130 ñ.

4. Îæåãîâ Ñ.È. Òîëêîâûé ñëîâàðü ðóññêîãî ÿçûêà /Ñ.È. Îæåãîâ, Í.Þ. Øâåäîâà /ÐÀÍ, Èí-òà ðóññêîãî ÿçûêà èì. Â.Â. Âòíîãðàäîâà.-Ì.: Àçáóêîâíèê, 1999.-944 ñ.

ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ ЦЕННОСТНЫХ ОРИЕНТАЦИИ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ РОДНОГО ЯЗЫКА,

ИНОСТРАННЫХ ЯЗЫКОВ, А ТАК ЖЕ МАТЕМАТИКИ А.Л.ТОНОЯН РЕЗЮМЕ

В статье выявлены основные функции изучаемых языков и математики в начальной школе.Представлены основные цели ценностных ориентации младших школьников в процессе обучения математики и языков. Описаны те эстетические и нравстевнные ценности, которые формируются в процессе обучения начальной школы.

Обоснованно связь между процессами обучения математики и эстетических и нравстевнных ценностей формирующийся среди младших школьников.

THE MAIN PECULIARITIES OF JUNIOR STUDENTS’ VALUE ORIENTATION FORMATION IN THE PROCESS OF STUDYING THE NATIVE LANGUAGE,

FOREIGN LANGUAGES AND MATHEMATICS A.L.TONOYAN

SUMMARY

The main functions of Mathematics and the languages that are studied in elementary school are revealed in the given article. The junior students’ value orientation main goals in the process of studying languages and Mathematics are presented in the article. The aesthetic and moral values that are being formed in the studying process of elementary school are described here.

50

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

The connection of Mathematics studying process with the aesthetic and moral values that are being formed among the junior students is founded.

Ա. Լ. ՏՈՆՈՅԱՆ - Խ.Աբովյանի անվան հայկական պետական մանկավարժական համալսարան, մանկավարժության տեսության և պատմության ամբիոնի հայցորդ

Էլ.հասցե՝ alla.ton@rambler.ru

51

ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ ԿԻՐԱՌՄԱ՞ՄԲ, ԹԵ՞ ԱՌԱՆՑ ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ

Կորյուն Առաքելյան Հռիփսիե Մկրտչյան

Բանալի բառեր - ֆունկցիա, մեծագույն արժեք, փոքրագույն արժեք, թվաբանական միջին, ածան-ցյալի կիրառում, հայտնի անհավասարություն

Դպրոցական դասընթացում դիֆերենցիալ հաշվի ներմուծմամբ սովորողներն իրենց «ձեռքի տակ» ունենում են այնպիսի հզոր զենք, որի միջոցով «տարրական մաթեմատիկայի» տարբեր բաժինների բավականին բարդ խնդիրներ լուծվում են առանց դժվարության:

Ածանցյալի հասկացությանը սովորողները ծանոթանում են 11-րդ դասարանի երկրորդ կիսամյակում ([1], 5-րդ գլուխ): Ածանցյալի կիրառ-մամբ խնդիրների լուծումը հաջողությամբ իրականացնելու համար սո-վորողներին հարկ կլինի նախապես գիտենալ. 1) ածանցյալի սահմա-նումը, 2) ածանցման հիմնական կանոնները, 3) տարրարկան ֆունկ-ցիաների ածանցյալները, 4) բարդ ֆունկցիայի ածանցման կանոնը, 5) < < (0 < < ) անհավասարությունը, 6) ֆունկցիաների մո-

նոտոնության և էքստրեմումների վերաբերող բոլոր սահմանումները և այն թեորեմները, որոնք կապված են ածանցյալի հետ:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

52

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները գտնելու վերաբերյալ խնդիրները կարելի է լուծել տարբեր եղանակներով: VII – IX դասարան-ներում սովորողները ծանոթանում են երկրաչափական որոշ հնարնե-րին, իսկ IX դասարանում հնարավորություն են ստանում հաղթահարել այնպիսի խնդիրներ, որոնք բերվում են քառակուսային եռանդամի հետազոտությանը, մասնավորաբար քառակուսային ֆունկցիայի մեծա-գույն կամ փոքրագույն արժեքները գտնելուն: Բացի այդ, VIII – IX դա-սարաններում սովորողները ծանոթանում են նաև անհավասա-րությունների ապացուցման պարզ հնարներին: Տեղեկանալով որոշ հայտնի անհավասարություններին, ինչպիսիք են, օրինակ,

xyyx 222 ≥+ , + ≥ 2( > 0), ≥ ( > 0, > 0), ≤ ,

սովորողները հնարավորություն են ունենում մեծագույնի և փոքրագույ-նի վերաբերյալ շատ խնդիրներ լուծել նաև այդ անհավասարություն-ների կիրառմամբ:

Ինչպես նշվեց վերևում, ածանցյալի միջոցով ուսուցանվում են ընդհանուր մեթոդներ, որոնցով սովորողներին հնարավորություն է տրվում ազատորեն կատարել զանազան ֆունկցիաների հետազոտում-ներ՝ մոնոտոնության միջակայքերը, էքստրեմումները, ինչպես նաև մեծագույն և փոքրագույն արժեքները գտնելու ուղղությամբ:

Թեև ածանցյալի կիրառությամբ գործնականում շատ հարցերի լուծման շրջանակը զգալիորեն մեծանում է, խնդիրներն ավելի արագ են լուծվում, սակայն պետք է խոստովանել, որ սովորողների մոտ այդ մեթոդի գործածումը դառնում է մի տեսակ շաբլոնային, սերտողական: Բանն այն է, որ ածանցյալը բարդ հասկացություն է և այն չի կարող խորությամբ ընկալվել դպրոցահասակ տարիքում: Նույնիսկ ամենաըն-դունակ աշակերտների համար այդ հասկացության իմաստը լիովին հա-սու չէ: Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկայի գործնական կիրառություն-ների կարողության առումով դրանք անհրաժեշտ են սովորողներին: Սակայն դա բոլորովին չի նշանակում, որ «Ածանցյալ» թեման անցնե-լուց հետո պետք է մոռացության տրվեն տարրական մեթոդները: Բացի այդ, դիֆերենցիալ ապարատի օգնությամբ խնդրի լուծումը միշտ չէ, որ լավագույն տարբերակն է: Որոշ դեպքերում, կիրառելով տարրական

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

53

եղանակները, հեշտորեն ու արագ կարելի է հասնել նպատակին: Ուսուցման արդյունավետության բարձրացման համար կարևոր ենք համարում, որ առաջադրանքը կատարելիս ուսուցիչը սովորողներից պահանջի տարատեսակ մոտեցումներ ցուցաբերել և յուրաքանչյուր կոնկրետ խնդրի դեպքում սովորողների միջոցով ընտրվի լուծման լավագույն տարբերակը: Դրանով նաև սովորողների համար մաթեմա-տիկան դառնում է ավելի հետաքրքիր ու գրավիչ: Մյուս կողմից, անա-ռարկելի փաստ է, որ սովորողների տրամաբանության զարգացման գործում տարրական մեթոդների կիրառումն ավելի արդյունավետ է:

[1] դասագրքում, ածանցյալի կիրառությունների բաժնում, զետեղված են մեծ քանակով խնդիրներ, որոնք վերաբերում են մե-ծագույն և փոքրագույն արժեքներին: Մի կողմ թողնելով ածանցյալի կի-րառությունը, ստորև ներկայացնում ենք նրանցից մի քանիսի լուծումները՝ առաջնորդվելով տարրական մեթոդներով: Յուրաքանչյուր խնդրի տեքստը ներկայացնելիս, փակագծերում նշվում է դասագրքում տվյալ խնդրի համարը:

Խնդիր 1 (542 բ)). Գտնել -ի այն արժեքները, որոնց դեպքում

( )92 +

=xaxxf ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքների

տարբերությունը 3 է։ Լուծում: Առաջին եղանակ: Ունենք՝

0y9axyxax9)x(y9x

axy 22

2=+−⇔=+⇔

+= :

Նկատենք, որ 0=x դեպքում 0=y , այսինքն` 0-ն պատկանում է տրված ֆունկցիայի արժեքների բազմությանը: 0≠y պայմանով պահանջենք, որ x -ի նկատմամբ վերջին քառակուսային հավասարումը լուծում ունենա: Դրա համար բավական է լուծել 036 22 ≥− ya անհավա-

սարումը, որտեղից ստանում ենք` 66

ay

a≤≤− : Նշանակում է` y -ի

54

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

փոքրագույն արժեքը 6

a− -ն է, իսկ մեծագույն արժեքը`

6

a: Խնդրի

պայմանի համաձայն` 366

=

−−aa

, այսինքն` 9=a , որտեղից` 9±=a :

Երկրորդ եղանակ: Գնահատենք f ֆունկցիայի անալիտիկ արտահայտության մոդուլը`

999

)( 222 +=

+=

+=

xx

axx

axaxxf :

Օգտվելով abba 222 ≥+ հայտնի անհավասարությունից, կարող ենք

գրել` xx 692 ≥+ : Նշանակում է`

669

2

axx

axx

a =≤+

:

Այսպիսով, 6

)(a

xf ≤ , այսինքն` 6

)(6

axf

a≤≤− , ընդ որում,

հավասարության դեպք տեղի ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ xx 69

2 =+ , այսինքն` )3(3 ±== xx : Այստեղից եզրակացնում ենք, որ

6)(

axfmax

Rx=

∈, իսկ

6)(

axfmin

Rx−=

∈:

Պայմանի համաձայն`

366

=

−−aa

, որտեղից անմիջապես գտնում ենք` 9±=a :

Պատասխան` 9±=a :

Խնդիր 2 (549). Գտնել R շառավղով շրջանագծին ներգծված այն ուղղանկյան չափսերը, որն ունի. ա) ամենամեծ մակերեսը, բ) ամենամեծ պարագիծը:

Լուծում: ա) Խնդիրը լուծենք ընդհանուր դեպքում՝ գտնենք R շառավղով շրջանագծին ներգծած այն քառանկյան չափսերը, որի մակերեսն ամենամեծն է:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

55

Առաջին եղանակ: Դիցուք, ABCD-ն այդ շրջանագծին ներգծած կամայական քառանկյուն է: Նրա մակերեսն արտահայտենք անկյու-նագծերով և նրանցով կազմած անկյունով. = ∙ sin :

Ակնհայտ է, որ S-ը կունենա մեծագույն արժեք, երբ անկյու-նագծերը դառնում են տրամագծեր, իսկ նրանցով կազմած անկյունը՝ 900, այսինքն՝

AC = 2R, BD = 2R և sinα = 1: Այդ դեպքում ստանում ենք տվյալ շրջանագծին ներգծած

քառակուսի, որի կողմը √2 է: Երկրորդ եղանակ: Շրջանագծի O կենտրոնը միացնենք նրան

ներգծած ABCD քառանկյան գագաթներին: Ստացված կենտրոնական չորս անկյունները նշանակենք՝

< AOB = , <BOC= , <COD= , <DOA = : Այդ դեպքում այդ քառանկյան մակերեսը կարելի է ներկայացնել

այսպես՝ = (sin + sin + sin + sin ): Այդ արտահայտությունը կընդունի մեծագույն արժեք, երբ sin = sin = sin = sin = 1: Իսկ դա հնարավոր է = = = = 90 դեպքում, որից էլ

հետևում է, որ տվյալ քառանկյունը քառակուսի է: բ) Ուղղանկյան կողմերի երկարությունները նշանակենք x և t: Ակնհայտ է, որ + = 4 : Ուղղանկյան պարագիծը 2( + ) մեծությունն է: Գնահատենք + մեծությունը, օգտվելով ( + ) ≤ 2( + )

անհավասարությունից (ապացուցումը առանձնակի դժվարություն չի ներկայացնի հենց սովորողների համար): Այդ անհավասարության շնորհիվ կունենանք՝ ( + ) ≤ 2 ∙ 4 , որտեղից՝ + ≤ 2√2

56

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Այստեղից էլ պարզ երևում է, որ ( + )- ի մեծագույն արժեքը 2√2 է, երբ = = √2 : Իսկ դա նշանակում է, որ ամենամեծ պարագիծն ունի քառակուսին:

Խնդիր 3 (551). Ինչպիսի՞ն պետք է լինի P պարագիծ ունեցող ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը, որպեսզի նրա ներքնաձիգը լինի ամենափոքրը:

Լուծում: Ներքնաձիգի երկարությունը նշանակենք y-ով, սուր անկյուններից մեկը՝ -ով: Խնդրի պայմանից ունենք՝ + += , որտեղից՝ = 1 + + cos :

Որպեսզի այս արտահայտությունն ունենա ամենափոքր արժեք, անհրաժեշտ է և բավարար, որ հայտարարում գտնվող + արտահայտությունն ունենա մեծագույն արժեք:

Քանի որ ( + ) = 1 + 2 , հետևաբար ( + ) արտահայտության մեծագույն արժեքը 2-ն է, ուստի + արտահայտության մեծագույն արժեքը՝ √2-ն է, երբ 2 = 1: Քանի որ 0 < < 90 , ուստի = 45 :

Պատասխան` 45 : Խնդիր 4 (554). R շառավղով շրջանագիծը շոշափում է հավա-

սարասրուն եռանկյան սրունքները, իսկ կենտրոնը գտնվում է հիմքի վրա: Ինչպիսի՞ փոքրագույն սրունք կարող է ունենալ այդ եռանկյունը:

Լուծում: Դիցուք, yBCAB == և α=∠BAC : Այդ դեպքում, մի

կողմից` α

=sinROA , մյուս կողմից`

α= ycosOA (նկ. 1): Հետևաբար,

α=α

ycossinR

, որտեղից`

α2sin

R2y = :

Ակնհայտ է, որ ստացված արտահայտու-թյունը կունենա փոքրագույն արժեք, երբ α2sin -ն ընդունում է

F

z

ÜÏ. 1

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

57

մեծագույն արժեք, այսինքն ՝ α2sin =1:

Պատասխան` R2 :

Խնդիր 5 (557). S մակերես ունեցող ABCD զուգահեռագծի C գագաթով տարված ուղիղը AB և AD ճառագայթները հատում է հա-մապատասխանաբար M և N կետերում: Ինչպիսի՞ փոքրագույն մա-կերես կարող է ունենալ AMN եռանկյունը:

Լուծում: Նշանակենք` , , bADaAB == α=∠BAD (որոնք հաստատուններ են) և yDNxBM == , (որոնք փոփոխականներ են) (նկ. 2): Խնդրի պայմանի համաձայն` Sabsin =α : Ունենք`

( ) ( ) ( )AMN

1 1S a x b y sin ab ay by xy sin

2 2α αΔ = + + = + + + (1) :

Մյուս կողմից, BMC և CDN եռանկյունների նմանությունից

կունենանք` ya

bx = , որտեղից`

yabx = : Ստացված արժեքը տեղադրելով

(1) հավասարության մեջ, կստանանք`

α

++=Δ sinybybaS AMN

2

22

:

Ակնհայտ է, որ AMNSΔ -ը կունենա մեծագույն արժեք, եթե մեծագույն արժեք

ստանա yby

2

+ մեծությունը: Օգտվելով ( )0 ,02 >>≥+ qppqqp

b y

b

x

aa

ÜÏ. 2

58

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

հայտնի անհավասարությունից, կարող ենք գրել` byby 2

2

≥+ , որտեղից էլ

պարզ երևում է, որ yby

2

+ արտահայտության փոքրագույն արժեքը b2 -ն

է, երբ by = (այն ստացվում է b=+y

by

2

հավասարությունից): Այդ

դեպքում ax = և SabsinS AMN 22 =α=Δ :

Պատասխան` S2 :

Խնդիր 6 (559). Գտեք R շառավղով գնդին արտագծած փոքրագույն ծավալով կոնի հիմքի շառավիղը:

Լուծում: Կոնի հիմքի շառավիղը նշա-նակենք x -ով, բարձրությունը` h -ով: Պատկերենք կոնի առանցքային հատույթը, որը գունդը կհատի նրա մեծ շրջանով (նկ. 3): BOK և ABO1 ուղղանկյուն եռանկյունների նմանությունից կունենանք հետևյալ համեմա-տությունը`

xxh

RRh 22 +=− , որտեղից գտնում ենք`

RhhRx2

22

−= : (1)

Կոնի ծավալը`

RhhRhxV

23

1

3

1 222

−⋅π=π= :

Դիտարկենք ( )Rh

hhf2

2

−= ֆունկցիան, որտեղ ( )∞∈ ;Rh 2 :

Գտնենք h -ի այն արժեքը, որի դեպքում f ֆունկցիան կընդունի փոքրագույն արժեք: ( )hf -ը ներկայացնենք այսպես`

ÜÏ. 3

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

59

( ) ( ) =−

++=−

+−=−

=Rh

RRhRhRRh

Rhhhf

2

42

2

44

2

22222

( )Rh

RRhR2

424

2

−+−+ :

Օգտվելով ( )002

>>≥+ b,aabba հայտնի անհավասա-

րությունից, կարող ենք գրել`

( ) RRh

RRh 42

42

2

≥−

+− ,

որտեղ հավասարության նշան տեղի ունի այն և միայն այն դեպքում, երբ

RhRRh2

42

2

−=− :

Այստեղից գտնում ենք` Rh 2= : Հետևաբար V-ն փոքրագույն արժեք է ստանում Rh 2= դեպքում: (1) հավասարությունից ստանում ենք՝

Rx 2= : Պատասխան` R2 :

Խնդիր 7 (560). Գտնել տրված V ծավալով գլաններից ամենա-

մեծ լրիվ մակերևույթի մակերես ունեցողի հիմքի շառավիղը: Լուծում: Գլանի հիմքի շառավիղը նշանակենք x -ով,

բարձրությունը` h -ով : Այդ դեպքում գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսը`

( )xhxxhxS +π=π+π= 22 222 : (1)

Պայմանի համաձայն`

Vhx =π 2 , որտեղից` xVxhπ

= :

xh -ի արժեքը տեղադրելով (1) հավասարության մեջ կունենանք`

+=

x2 2

ππ VxS :

Ստացվում է, որ S -ը x փոփոխականից ֆունկցիա է ( )( )∞∈ ;x 0 : Օգտվենք երեք թվերի թվաբանական և երկրաչափական

միջինների հայտնի կապից (Կոշիի անհավասարությունից), նախապես

60

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

x2

πVx + մեծությունը ներկայացնելով երեք գումարելիների գումարի

տեսքով.

3 222

x2x23

x2x2x πππππVVxVVxVx ⋅≥++=+ , այսինքն`

32

22

43

π≥

π+ VxVx :

Այստեղից պարզ երևում է , որ xVxπ

+2 արտահայտության

փոքրագույն արժեքը 32

2

43

πV

մեծությունն է և դա այն դեպքում, երբ

xVxπ

=2

2 , որտեղից` 3

2π= Vx :

Պատասխան` 3

2πV :

* * *

Հասկանալի է, որ ածանցյալի կիրառությամբ լուծվող բազմաթիվ խնդիրներ հնարավոր չէ լուծել տարրական մեթոդներով: Մեր կարծիքով, բնագիտամաթեմատիկական հոսքերում խնդիրների տեսականին կարելի է ընդլայնել` այդպիսի նոր առաջադրանքներով: Ստորև բերում ենք մի քանի առաջադրանքներ, որոնցից յուրաքանչյուրի լուծումը տարրական եղանակով կամ շատ դժվար է կամ` անհնարին, մինչդեռ ածանցյալի միջոցով հաղթահարվում են առանց դժվարության: Այդպիսի խնդիրներ, հիմնականում, առաջադրվում են բարձր առաջադիմություն ունեցող սովորողներին, ինչպես նաև՝ արտադասարանական պարապմունքներին:

Առաջադրանքներ ինքնուրույն աշխատանքի համար 1. Ապացուցել անհավասարությունը՝ sin + tg > 2 , 0 < < 2: 2. Լուծել sin = հավասարումը:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

61

3. Քանի՞ արմատ ունի = + 5 + 13 հավասարումը: 4. Ապացուցել, որ եթե > ≥ 3,ապա < : 5. Ո՞ր թիվն է մեծ. , –ը, թե՞ (3,14) : 6. Ապացուցել, որ (x) = x − sin ֆունկցիան աճող է: 7. Լուծել հավասարումների համակարգը. + = + , 2 − 8 = + : 8. Օգտվելով sin + sin 2 + …+ sinn = + 12 ∙ 22

նույնությունից, գտնել հետևյալ գումարը` cos + 2 2 + 3 3 +⋯ .+ :

Գրականություն

1. Գ.Գ. Գևորգյան, Ա.Ա. Սահակյան: «Հանրահաշիվ և մաթե-մատիկական անալիզի տարրեր», բնագիտամաթեմատիկական հոսք, 11-րդ դասարան: Երևան, «Տիգրան Մեծ»հրատ., 2010:

2. Կ.Գ. Առաքելյան: Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրերը 11-րդ դասարանում: Խնդիրների լուծման ուղեցույց: Երևան, «Էդիթ Պրինտ» հրատ., 2010 :

3. Կ.Գ. Առաքելյան: Երկրաչափության խնդրագիրք: Մաթեմատիկայի խորացված ուսուցմամբ դասարանների համար: Երևան, «Աստղիկ գրատուն» հրատ., 2008 :

При помощи производной, или без производной? Корюн Аракелян, Рипсиме Мкртчян

Резюме

В XI классе изучается общий метод, позволчющий решать разнобразные задачи. Учащиеся знакомятся с применением производной к исследованию функций. Однако это совсем не означает,

62

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

что элементарные приемы должны быть забыты. Решение с помощью аппарата диференциального исчисления не всегда является лучшим. В учебном пособии “Алгебра и элементы математического анализа 11” имеется многочисленные задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин. Многие из них можно решить элементарными средствами. В данной статье приводятся несколько из этих задач с решениям элементарными способами.

Using derivative, or without using? Koryun Arakelyan, Hripsime Mkrtchyan

Summary

In the eleventh grade it is studied a general methods, which allows to solve variety of tasks. Students get acquainted with the use of functions, prone to study.

However, this doesn’t mean that the basic techniques should be forgotten, Solution with the help of apparatus of differential calculus is not always the best.

In the tutorial “Algebra and the elements of mathematical analysis 11” there are various tasks on finding the maximum and minimum values of variables. Many of them can be solved by elementary method.

In this article it is presented some of these tasks with solutions by elementary methods.

Կորյուն Առաքելյան – մանկ. գիտ.թեկն., դոցենտ Հեռախոս՝ 094 05 69 33 Էլ հասցե՝ koryun-arakelyan@mail.ru Հռիփսիե Մկրտչյան - Հայկական պետական ագրարային համալսարանին կից հանրակրթական ծրագրերի ուսուցման վարժարան, մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

Հեռախոս՝ 094 24 38 09

63

ԱԿԱԴԵՄԻԿՈՍ ՎԱՆԻԿ ԶԱՔԱՐՅԱՆ – 80

Լրացավ «Մաթեմատիկան դպրոցում» ամ-սագրի խմբագրակազմի անդամ, հայ ան-վանի մաթեմատիկոս, ֆիզմաթ գիտություն-ների դոկտոր, պրոֆեսոր, ՀՀ ԳԱԱ ակադեմիկոս Վանիկ Սուրենի Զաքարյանի ութսուն տարին:

Ութսուն տարիներ, որ ընդգրկում են մեր ժո-ղովրդի պետական, հասարակական, տնտե-

սական ու մշակութային կյանքում տեղի ունեցած աննախընթաց փոփո-խություններ, զարգացումներ, վերելքներ…

Մանկությունը անսովոր էր նրա ու իր սերնդակիցների համար, քանզի իր կերպը փոխվեց Մեծ Հայրենականի պատճառով: Բայց նպաս-տավոր եղան պատանեկան ու երիտասարդական տարիները, երբ հնա-րավորություն ստացան լիարժեք դրսևորվելու Վ. Զաքարյանի ընդունա-կությունները: Համալսարանի մեխմաթում ունեցած հաջողությունները նրան հնարավորություն տվեցին աշակերտելու հայ նշանավոր մաթեմա-տիկոս Մխիթար Ջրբաշյանին, և նա լիովին արդարացրեց իր մեծ ուսուց-չի հույսերը՝ կարճ ժամանակում պաշտպանելով թեկնածուական, ապա և դոկտորական ատենախոսությունները: Հետագա հաջողությունները նշանավորվեցին նաև ՀՀ գիտությունների ազգային ակադեմիայի թղթակից անդամի և, ապա, իսկական անդամի ընտրությամբ:

Մեծ է ակադեմիկոս Վ. Զաքարյանի ավանդը մեր երկրում մաթե-մատիկայի զարգացման գործում: Նա հարյուրից ավելի արժեքավոր գիտական հոդվածների, մենագրությունների, դասագրքերի հեղինակ է, Մաթեմատիկա - 053 մասնագիտական խորհրդի նախագահ, ՀՀ ԳԱԱ Զեկույցներ և Մաթեմատիկան բարձրագույն դպրոցում գիտական հանդեսների գլխավոր խմբագիր, բազմաթիվ ատենախոսությունների գիտական ղեկավար:

Նշանակալից է Վ. Զաքարյանի ներդրումը մեր երկրում շախմա-տի զարգացման գործում: Բավական է թվարկել միայն այս ասպարեզում նրա զբաղեցրած պաշտոնները և ստացած կոչումներն ու պարգևները. ԽՍՀՄ սպորտի վարպետ, Հայաստանի Հանրապետության ֆիզիկա-

64

կան կուլտուրայի և սպորտի վաստակավոր գործիչ, Շախմատի Հայաս-տանի կրկնակի չեմպիոն, Հայաստանի շախմատի ֆեդերացիա-յի փոխնախագահ, նախագահ, պատվավոր նախագահ, ՖԻԴԵ-ի փոխ-նախագահ և պատվավոր փոխնախագահ, Շախմատային «Օսկարի» դափնեկիր …

Ավելորդ չէ նշել, որ մեր ազգային ոգու վերելքը պայմանավորող նշանակալից երևույթներից մեկը՝ Տիգրան Պետրոսյանի չեմպիոնական տիտղոսի փառավոր նվաճումը զուգորդվում է նաև Վանիկ Զաքարյանի անվան հետ. երանելի այն օրերին Մենդելսոնի՝ հոգեպարար ու մեզ համար հարազատ դարձած «Երգ առանց խոսքի» ստեղծագործության հնչյուններին հաջորդում էին Վանիկ Զաքարյանի զուսպ ու հավասա-րակշռված շախմատային մեկնաբանությունները, որոնց սպասում էինք անհամբերությամբ և սիրով…

Նշանակալից է ակադեմիկոս Վ. Զաքարյանի ներդրումը մաթե-մատիկական կրթության զարգացման գործում: Նա պատրաստ է աջակ-ցել ցանկացած դրական նախաձեռնության: Մաթեմատիկան դպրոցում ամսագրի խմբագրական խորհրդի անդամ է հիմնադրման օրից, մաթե-մատիկական կրթությանը նվիրված գրեթե բոլոր համաժողովների կազմկոմիտեների անդամ է, և այստեղ կազմակերպիչները ոչ միայն օգ-տագործում են նրա հեղինակությունը, այլև մասնակիցները լսում են նրա բովանդակալից ելույթները: Վ. Զաքարյանը երկար տարիներ եղել է Հայկական մանկավարժական համալսարանի պրոռեկտոր, անդամ է նաև Մանկավարժություն - 020 մասնագիտական խորհրդի:

Ակադեմիկոս Վ. Զաքարյանը պարգևատրվել է Մովսես Խորենա-ցու, Անանիա Շիրակացու և «Հայրենիքին մատուցած ծառայությունների համար» 1-ին աստիճանի մեդալներով: Նրա անունը նշված է ՖԻԴԵ-ի ոսկե գրքում:

Մեծ իմաստասեր Արթուր Շոպենհաուերը գտնում է, որ մեր հոգևոր հայացքը ենթակա է խաբկանքի. մեր հետագա կյանքը, անկախ տարիքից, թվում է անվերջ: Շնորհավորելով սիրելի Վանիկ Զաքար-յանին ծննդյան տարեդարձի կապակցությամբ, ցանկանում ենք ստեղ-ծագործական նորանոր հաջողություններ, երկար տարիների կյանք և այդ կյանքի շոպեհաուերյան ընկալում…

Ակադեմիկոս Է.Մ.Ղազարյան ՀՀ ԿԳ փոխնախարար Մ.Ա.Մկրտչյան

ՄԴ գլխավոր խմբագիր Հ.Ս.Միքայելյան