1

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Рудненский индустриальный институт

Кафедра

автоматизации и

информационных систем

Федосов Б.Т.

Дискретные и импульсные системы автоматического управления

Шпаргалка

Тест – вопросы, которые предположительно могут быть заданы студентам по курсу

«Теория нелинейных систем автоматического управления» при проверке

остаточных знаний и пояснения к ним

Рудный 2014

2

Теория нелинейных САУ

3. Вопросы по дискретным и импульсным системам автоматического управления

Ориентировочные тест – вопросы, которые предположительно могут быть заданы студентам на аттестации

РИИ по курсу ТНСАУ и пояснения к ним

Вопросы ориентированы на проверку знания студентом основных понятий и определений раздела,

его способности ориентироваться в материале. Глубина знаний студента, его навыки в решении типовых и

достаточно сложных задач, его творческие возможности в тестовом опросе методом выбора правильного

ответа не могут быть по существу выявлены и должны определяться в личной беседе со студентом.

Перед тестированием имеет смысл вежливо поинтересоваться у экзаменаторов, можно ли

пользоваться при ответах Маткадом и VisSim’ом. И как ими пользоваться, если тестирование проводится не

на компьютерах? При тестировании целесообразно в сомнительных случаях делать снимки экранов с вопросом и ответом, и сохранять их в

личной папке в формате gif или jpg. Это даст возможность объективно опротестовывать результаты в случае возникновения

конфликтных ситуаций.

Настоящее пособие состоит из трех частей, первое из которых посвящено описанию и

исследованию систем и объектов управления методом переменных состояния, второе –

нелинейных систем, а третье – амплитудно-импульсных САР (АИСАР), в том числе

непрерывных САР с дискретно-цифровыми регуляторами. Вопросы сформулированы в

соответствии с содержанием учебных программ по двум частям курса ТАУ, представленных в

учебном плане как отдельные дисциплины: «Теория линейных систем автоматического

регулирования» (ТЛСАР) и «Теория нелинейных систем автоматического управления»

(ТНСАУ). Вопросы и ответы для многочисленных, внутренних и внешних проверок

остаточных знаний студентов были подготовлены в 2010 году, а в 2014 доработаны. В данном

документе приведена шпаргалка только по третьей части, первая и вторая части оформлены

отдельными документами, ссылки на которые даны в списке литературы ниже.

Шпаргалка не является регулярным учебником. Она лишь указывает на значимые вопросы курса,

помогая ориентироваться в материале, а также показывает, что может быть отражено в записке студента при

подготовке к устному ответу на соответствующий вопрос. Некоторые вопросы и ответы на них не требуют

пояснений. Другие требуют обращения к учебникам и консультациям у преподавателей. Часть ответов

представлена в виде выдержек из учебников, список которых представлен в разделе «Литература и

Интернет».

Содержание

3. Вопросы по дискретным и импульсным системам автоматического управления 2

Литература . . . . . . . . . 27

3. Вопросы по дискретным и импульсным системам автоматического управления

3.1. САУ с дискретными и импульсными элементами . . . . 4

3.1.1. Что такое дискретный элемент САУ? . . . . . 4

3.1.2. Что такое дискретно-цифровой элемент САУ? . . . . 4

3.1.3. Что такое САР с релейным регулятором? . . . . 4

3.1.4. Что такое дискретное управление? . . . . . 5

3.1.5. Что такое дискретно-цифровое управление? . . . . 5

3.1.6. Что такое импульсный элемент САУ? . . . . . 5

3.1.7. Что такое импульсная САУ? . . . . . . 5

3.1.8. Как осуществляется цифровое управление объектом? . . . 5

3 3.2. Дискретизация и квантование сигналов . . . . . . 5

3.2.1. Что такое квантование сигналов? . . . . . 5

3.2.2. Что такое дискретизация сигналов? . . . . . 6

3.2.3. Что такое теорема Котельникова? . . . . . 7

3.2.4. Что такое АЦП? . . . . . . . 7

3.2.5. Что такое ЦАП? . . . . . . . 7

3.3. Структура и схемы САУ с цифровым управлением . . . . 7

3.3.1. Что такое аналоговые и цифровые реализации алгоритма управления? . 7

3.3.2. Как выглядит функциональная схема отдельного контура

системы управления с ЭВМ? . . . . . . 8

3.3.3. Как выглядят функциональная и алгоритмическая схемы системы

управления с ЭВМ? . . . . . . . 8

3.3.4. Что такое АИСАР (амплитудно-импульсная САР)? . . . 9

3.3.5. Что такое типовая ветвь АИСАР? . . . . . 9

3.3.6. Что такое теоремы о соединении звеньев АИСАР? . . . 9

3.3.7. К какому типовому виду может быть приведена структурная схема АИСАР? 10

3.3.8. Какова алгоритмическая и физическая структура ИМ (импульсного элемента)? 10

3.3.9. Что собой представляет эквивалентная импульсная модель

системы управления с ЭВМ? . . . . . . 11

3.4. Математическое описание дискретных и импульсных систем. Что такое

математический аппарат АИСАР? . . . . . . 11

3.4.1. Что такое дискретное время? . . . . . . 11

3.4.2. Что такое решетчатая функция? . . . . . . 11

3.4.3. Что такое Z-преобразование (дискретное преобразование) решетчатой функции? 11

3.4.4. Как практически осуществляется прямое и обратное Z-преобразование? . 12

3.4.5. Каковы основные свойства Z-преобразования? . . . . 12

3.5. Как математически описываются АИСАР? . . . . . 13

3.5.1. Что такое дискретная передаточная функция (ДПФ) или Z-передаточная

функция типовой ветви АИСАР? . . . . . 13

3.5.2. Какие практические способы получения ДПФ типовой ветви или

всей АИСАР существуют? . . . . . . 13

3.5.3. Как получить ДПФ типовой ветви АИСАР подстановкой? . . 13

3.5.4. Как получить ДПФ Z-преобразованием непрерывной части типовой ветви? 13

3.5.5. Как получить ДПФ типовой ветви АИСАР по p-передаточной

функции ее непрерывной части в VisSim’е . . . . 13

3.5.6. Как получить ДПФ типовой ветви АИСАР по p-передаточной

функции ее непрерывной части в Маткаде? . . . . 14

3.5.6.1. Подстановка Тастина:

3.5.6.2. Использование точной формулы

3.5.7. Что такое разностное уравнение? . . . . . 15

3.5.8. Какие способы существуют получения разностных уравнений? . . 15

3.5.9. Как получаются разностные уравнения способом конечных разностей? . 15

3.5.10. Как получается разностное уравнение из ДПФ? . . . . 16

3.5.11. Как получается ДПФ из разностного уравнения? . . . 16

3.5.12. В чем состоит алгоритм численного решения разностного уравнения? . 16

3.5.13. В чем отличия описания импульсной САУ разностными уравнениями

и дискретной передаточной функцией (ДПФ или Z-передаточной функцией)? 17

3.5.14. Сформулировать теоремы о соединении линейных звеньев,

заданных ДПФ (дискретной передаточной функцией) . . . 17

3.5.15. Что такое собственное и вынужденное движения импульсной системы? . 17

3.5.16. Привести пример получения дискретных передаточных функций АИСАР 18

3.6. Анализ устойчивости импульсных систем автоматического управления (АИСАР) 18

3.6.1. Что такое устойчивость АИСАР? . . . . . 18

3.6.2. Каково основное условие устойчивости АИСАР? . . . 19

4 3.6.3. Какие методы и критерии используются для оценки устойчивости АИСАР? 19

3.6.4. Определить, устойчивы ли АИСАР с дискретными передаточными функциями 19

3.6.5. В чем особенность применения критерия Гурвица для анализа

устойчивости АИСАР? . . . . . . . 20

3.6.6. Как оценивается устойчивость АИСАР по критерию Михайлова? . . 21

3.6.7. Как оценивается устойчивость АИСАР по критерию Найквиста? . . 21

3.7. Анализ качества импульсных систем автоматического управления (АИСАР) . 22

3.7.1. Как найти реакцию АИСАР на некоторое воздействие? . . . 22

3.7.2. Как определить качество АИСАР в переходном режиме? . . 22

3.7.2.1. Аналитическое определение переходной функции . . 22

3.7.2.2. Построение переходной функции в VisSim’е и определение

качества переходного процесса . . . . . 23

3.7.2.3. Построение переходной функции в Маткаде и определение

качества переходного процесса . . . . 24

3.7.3. Какая особенность есть у импульсных систем? . . . . 25

3.7.4. Как оценить качество АИСАР в установившемся режиме? . . 25

Темы раздела

САУ с дискретными и импульсными элементами. Классификация дискретных элементов,

квантование сигналов, способ формирования импульсов. Основные характеристики импульсного элемента.

Основные схемы применения ЭВМ в САУ. Эквивалентная импульсная модель системы с ЭВМ.

Математическое описание дискретных и импульсных систем. Применение разностных уравнений.

Стационарные импульсные системы. Стандартное представление процесса амплитудной импульсной

модуляции. Применение преобразования Лапласа. Представления изображения модулированного сигнала.

Применение дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования к исследованию импульсных систем.

Передаточные функции импульсных систем. Интегралы обращения. Собственное и вынужденное движения

импульсной системы. Реакция системы.

Анализ и синтез импульсных систем автоматического управления. Устойчивость, переходные

процессы и качество. Точность систем, коэффициенты ошибок. Частотные характеристики импульсной

системы и частотные методы анализа. Коррекция импульсных систем. Синтез систем. Реализация законов

управления и коррекция сигналов в ЭВМ.

Нелинейные дискретные и импульсные системы. Методы исследования устойчивости.

3.1. САУ с дискретными и импульсными элементами

3.1.1. Что такое дискретный элемент САУ?

Дискретный элемент это элемент системы управления, выходной сигнал которого может

принимать несколько разных значений, конечное число, например два, три или 256. Примеры: объект

управления, который может быть включен или выключен (двигатель), двух- или трехпозиционное реле,

используемые в качестве регуляторов и др.

Примечание. Все макрообъекты являются непрерывными и работают в дискретном режиме только

при дискретном управлении ими. Переход объекта управления из одного состояния в другое

сопровождается переходным процессом, определяемым динамикой объекта. В некотором масштабе

времени этим процессом зачастую можно и пренебречь, если его длительность много меньше нахождения

объекта в дискретных состояниях.

3.1.2. Что такое дискретно-цифровой элемент САУ?

Дискретно-цифровой элемент, а часто сокращенно его называют просто дискретным звеном, это

типовое звено системы управления САУ (регулятора в САР), преобразующее непрерывный сигнал в

последовательность цифровых значений (т.е. осуществляющее квантование и дискретизацию, см. ниже).

Затем дискретное звено, цифровой регулятор, осуществляет в соответствии с алгоритмом управления

некоторые математические действия над этой последовательностью, и, наконец, преобразует полученную

новую числовую последовательность в непрерывный сигнал.

5

3.1.3. Что такое САР с релейным регулятором?

Это САР, регулятор которой представляет собой двух- или трехпозиционное реле (типа жесткое

ограничение с зоной нечувствительности). САР с такими регуляторами несколько проигрывают в качестве

регулирования непрерывным регуляторам (ПИ, ПИД и др.), но во многих случаях применяются, поскольку

обеспечивают требуемое качество (быстродействие и точность), а также вследствие простоты регулятора,

или потому, что регулирующий орган или исполнительный механизм могут управляться только дискретно.

Например, в ряде конструкций двигатель, приводящий в движение заслонку на трубопроводе, может быть

только включен или выключен.

3.1.4. Что такое дискретное управление?

Дискретное – прерывное. Это управление объектом, при котором на объект подается ограниченный

набор команд в какие-то моменты времени, например, «включить» - «выключить». Например, это САР с

релейным регулятором.

3.1.5. Что такое дискретно-цифровое управление?

Это управление объектом в системе, в которой регулятором является дискретно-цифровое звено,

алгоритм управления в котором реализуется в цифровом виде, а управляющий сигнал выдается непрерывно.

3.1.6. Что такое импульсный элемент САУ?

Импульсный элемент это элемент, который преобразует непрерывный сигнал в дискретный, т.е.

в последовательность коротких импульсов, амплитуда (или площадь) которых пропорциональна текущему

значению величины непрерывного сигнала.

3.1.7. Что такое импульсная САУ?

[4, стр. 260]

3.1.8. Как осуществляется цифровое управление объектом?

В САУ с цифровым управлением объектом задания и управляемые величины объекта

дискретизируются по времени и квантуются по уровню специальными устройствами (АЦП). Затем эти

последовательности полученных числовых отсчетов подаются на цифровой процессор. Процессор,

осуществляющий функции регулятора, в соответствии с заданным алгоритмом (ПИ, ПИД и др.)

вычисляет текущее значение управляемой величины. Эта величина из числовой формы специальным

устройством (ЦАП) преобразуется обратно в непрерывную, которая и подается на исполнительное

устройство и далее на объект управления.

3.2. Дискретизация и квантование сигналов

6

3.2.1. Что такое квантование сигналов?

Квантование (по уровню) это приближенная замена непрерывно изменяющегося во времени

сигнала ступенчатой последовательностью. Как только непрерывный сигнал достигает некоторого,

заранее заданного уровня из набора возможных, квантованному сигналу присваивается значение этого

уровня:

Рисунок. Исходный сигнал, квантованный сигнал и ошибки квантования, которые не превышают

шага квантования

Шаг квантования – разность значений соседних уровней квантования. Величина шага определяет

точность аппроксимации исходного сигнала. Шаг может быть фиксированным или зависеть от уровня.

Часто бывает достаточно 8 – 16, реже 256 уровней во всем диапазоне изменения исходного сигнала. В

некоторых случаях бывает достаточно всего трех уровней (-1, 0 и 1).

Достоинство квантования: возможность замены непрерывного сигнала последовательностью

чисел, соответствующих уровням квантования в некоторые моменты времени. Отсюда высокая

помехозащищенность при передаче по каналам с шумами. Вместо передачи самого сигнала можно

передавать соответствующее текущему значению число в двоичной форме. Это и дает высокий выигрыш в

помехозащищенности.

Еще одно достоинство: в момент изменения уровня можно посылать по каналу связи -1 (вниз) или 1

(изменение вверх) и суммировать на приемной стороне.

Недостаток – изменение уровня квантования происходит в произвольные моменты времени. Кроме

того, квантование сопровождается ошибками, которые могут быть минимизированы уменьшением шага

квантования.

3.2.2. Что такое дискретизация сигналов?

Дискретизация (по времени) это преобразование непрерывного сигнала в последовательность

коротких импульсов, с амплитудой (или шире, с другим параметром, например площадью или шириной

импульса), равной значению сигнала в моменты стробирования, т.е. считывания значения непрерывного

сигнала. Качество представления непрерывного сигнала амплитудным дискретным определяется частотой

стробирования (отсчитывания значений) непрерывного сигнала: чем выше частота, тем выше качество, но и

импульсы должны быть все короче.

Дискретизация непрерывного сигнала (вверху). Одновременная дискретизация и квантование

непрерывного сигнала (внизу)

7

Достоинство совместной дискретизации и квантования в том, что непрерывный сигнал можно

заменить последовательностью следующих друг за другом через равные промежутки времени чисел. Их

удобно хранить на компьютерных носителях, обрабатывать на числовых процессорах и передавать по

линиям связи с высокой надежностью.

3.2.3. Что такое теорема Котельникова?

Теорема Котельникова определяет частоту стробирования (считывания) непрерывного сигнала с

ограниченным спектром, такую, при которой непрерывный сигнал может быть совершенно точно

восстановлен по амплитудам, импульсов считанным с частотой Котельникова:

2Д

в

Ff

Частота дискретизации Fд должна быть не менее чем вдвое выше самой верхней частоты спектра fв

дискретизируемого сигнала.

3.2.4. Что такое АЦП?

АЦП (аналогово-цифровой преобразователь) преобразует непрерывные величины в периодическую

последовательность их цифровых отсчетов.

3.2.5. Что такое ЦАП?

ЦАП (цифро-аналоговый преобразователь) преобразует периодическую последовательность

поступающих на него цифровых отсчетов в непрерывную величину.

3.3. Структура и схемы САУ с цифровым управлением

3.3.1. Что такое аналоговые и цифровые реализации алгоритма управления?

Функциональная схема САР. Алгоритм управления (ПИ, ПИД и др.) может быть реализован как в

аналоговой, непрерывной схемной форме, так и в цифровом виде, посредством компьютерной

программы. В последнем случае временная последовательность цифровых значений, формируемых

цифровым процессором и соответствующих управляемой величине, требует преобразования в

непрерывный сигнал

8

Функциональные схемы аналоговой и цифровой реализаций алгоритма управления. В

аналоговой реализации используются физические устройства: сумматор, интегратор и усилитель, в

цифровой используются устройства преобразования аналог- цифра и наоборот, и реализуемый в

цифровом виде, т.е. в виде компьютерной программы алгоритм

АЦП преобразует непрерывные величины в периодические последовательности их цифровых

отсчетов.

Цифровой процессор выполняет те же функции, что и аналоговый регулятор, например, ПИ-

регулятор: сравнивает задание и управляемую величину, численно интегрирует по времени ошибку

регулирования и вычисляет пропорциональную ей величину, складывает их, получая

эквивалентный непрерывному во времени регулятору сигнал, и в виде последовательности чисел

отправляет результат на ЦАП.

ЦАП преобразует последовательность полученных числовых значений в плавную функцию

времени.

3.3.2. Как выглядит функциональная схема отдельного контура системы управления с ЭВМ?

Управляющая вычислительная машина (УВМ) обеспечивает преобразование непрерывных сигналов

в квантованные дискретные и обратно, осуществляет обработку числовых последовательностей с

АЦП в соответствии с алгоритмом управления (ПИ, ПИД и др.). ИУ – исполнительное устройство,

ОУ – объект управления, Д – датчик. [1, Лукас В.А., стр. 491]

3.3.3. Как выглядят функциональная и алгоритмическая схемы системы управления с

ЭВМ?

9

[11], стр. 522.

3.3.4. Что такое АИСАР (амплитудно-импульсная САР)?

АИСАР (амплитудно-импульсная САР) это САР, все ветви которой состоят из дискретизатора

(идеального импульсного) элемента, может быть фиксатора, а также из непрерывной части. Регулятор

такой АИСАР может содержать связку АЦП – процессор – ЦАП, которая осуществляют реализацию

необходимого алгоритма управления (ПИ, ПИД и др.). Математически АИСАР описываются с помощью

аппарата т.н. Z-передаточных функций.

Т.о. АИСАР можно рассматривать как математическую модель САУ с управляющей ЭВМ.

3.3.5. Что такое типовая ветвь АИСАР?

Типовая ветвь АИСАР это математическая модель ветви реальной САР, в которой имеются

дискретизатор (АЦП), т.е. ИИЭ – идеальный импульсный элемент (первый структурный блок на схеме),

ЦАП (т.е. фильтр, выделяющий огибающую амплитудно-импульсного сигнала) и непрерывная часть.

Казалось бы, что модель бессмысленно усложнена: зачем дискретизировать сигнал, чтобы его тут

же вновь превратить в непрерывный?

Оснований для использования в качестве моделей типовых ветвей АИСАР два.

Во-первых, к такому виду приводятся не только собственно ветви с ИЭ (импульсными элементами),

но и непрерывные ветви САР. Это дает единообразную структуру описания САР, позволяя, пользуясь

теоремами о соединении ветвей и Z-передаточными функциями ветвей, приводить схему произвольной САР

к типовому виду контура управления. Это позволяет анализировать САР унифицированными методами.

Во-вторых, что очень важно, ИЭ, состоящий из ИИЭ и фильтра позволяет путем добавления в ветвь

процессора, моделировать последовательность элементов АЦП – процессор – ЦАП, что в свою очередь

позволяет методами описания АИСАР моделировать САУ с цифровым управлением.

3.3.6. Что такое теоремы о соединении звеньев АИСАР?

Эти теоремы позволяют определять т.н. Z-передаточные функции соединения ветвей АИСАР.

Соединения бывают последовательное, параллельное согласное, параллельное встречное, сложное.

10

3.3.7. К какому типовому виду может быть приведена структурная схема АИСАР?

3.3.8. Какова алгоритмическая и физическая структура ИМ (импульсного элемента)?

Физическая структура:

11

3.3.9. Что собой представляет эквивалентная импульсная модель системы управления с

ЭВМ?

3.4. Математическое описание дискретных и импульсных систем. Что такое математический

аппарат АИСАР?

3.4.1. Что такое дискретное время?

Дискретизация сигнала осуществляется с некоторым периодом Т. Поэтому моменты отсчета

значения непрерывной функции кратны этому периоду: tотсч = nT. Число n можно считать дискретным

временем, если задан период дискретизации Т.

3.4.2. Что такое решетчатая функция?

Решетчатая функция x*(t) это результат идеальной дискретизации непрерывного сигнала x(T):

TittxTixtx |

* )()()(

Поэтому решетчатая функция представляет собой последовательность дельта-функций, интеграл

от каждой из которых (площадь) равен значению непрерывной функции в момент стробирования

* ( ) ( ) ( )x t x iT t iT

Рисунок. Непрерывная функция и условное представление ее решетчатой функции

Пример. Пусть имеется единичная ступенчатая функция x(t) = 1o(t). Тогда ее решетчатая функция

)()(* Tittx - сумма сдвинутых во времени дельта-функций

3.4.3. Что такое Z-преобразование (дискретное преобразование) решетчатой функции?

Это математическое преобразование решетчатой функции, т.е. последовательности отсчетов

непрерывного сигнала, полученной при его дискретизации, в ряд по новой переменной z, коэффициентами

которого являются отсчеты исходной непрерывной функции, т.е. значения решетчатой функции в

дискретные моменты времени.

Во-первых, дискретное преобразование Лапласа от решетчатой функции:

* *( ) { ( } ( ) p iTX p L x t x iT e

Заменив z = epiT

, получим дискретное Z-преобразование решетчатой функции:

* *( ) { ( } ( ) iX z L x t x iT z

Примеры ДПрФ (дискретного преобразования функций) или Z-преобразования, а также, для

сравнения, преобразования Лапласа можно получить в Маткаде:

12

3.4.4. Как практически осуществляется прямое и обратное Z-преобразование?

Для получения Z-изображения сигнала достаточно каждое дискретное значение x(iT), считая, что

период дискретизации Т = 1, умножить на z-i, а потом свернуть полученную сумму.

Для получения оригинала сигнала по его Z-изображению нужно разложить изображение в ряд по

убывающим степеням z-i. Например, просто делить числитель на знаменатель:

Коэффициенты ряда и дадут соответствующие значения x(iT).

3.4.5. Каковы основные свойства Z-преобразования?

13

3.5. Как математически описываются АИСАР?

3.5.1. Что такое дискретная передаточная функция (ДПФ) или Z-передаточная функция

типовой ветви АИСАР?

ДПФ или Z-передаточная функция W(z) связывает Z-изображение выходного сигнала Y(z)

дискретного звена или ветви с Z-изображением входного сигнала X(z):

( ) ( ) ( )Y z W z X z

3.5.2. Какие практические способы получения ДПФ типовой ветви или всей АИСАР

существуют?

Точные:

- по разностным уравнениям ветви или системы,

- Z-преобразованием непрерывной части типовой ветви.

Приближенный:

- с помощью подстановок, в том числе Тастина.

С помощью программ моделирования, например, Vissim и Mathcad.

3.5.3. Как получить ДПФ типовой ветви АИСАР подстановкой?

Для этого нужно заменить аргумент p-передаточной функции (лапласовой) непрерывной части

ветви. Подстановка в первом приближении:

Подстановка, более точная, Тастина:

3.5.4. Как получить ДПФ Z-преобразованием непрерывной части типовой ветви?

3.5.5. Как получить ДПФ типовой ветви АИСАР по p-передаточной функции ее

непрерывной части в VisSim’е

Для этого нужно в свойствах блока transferFunction (двойной щелчок по блоку), в котором уже

заданы коэффициенты обычной p-передаточной функции, щелкнуть по кнопке S > Z , задать период

дискретизации и щелкнуть по кнопке ОК. В результате будут вычислены и отображены значения

коэффициентов Z-передаточной функции с использованием подстановки Тастина:

14

Подробнее см. теорию к лабораторной работе № 8-1, п. 2.5.1. [10]

3.5.6. Как получить ДПФ типовой ветви АИСАР по p-передаточной функции ее

непрерывной части в Маткаде?

3.5.6.1. Подстановка Тастина:

Рис. Преобразования в Маткаде передаточной функции непрерывной части ветви АИСАР в

передаточную функцию дискретного звена и приведение последней к каноническому виду

3.5.6.2. Использование точной формулы:

15

Рис. Пример вычисления решетчатой функций выходного сигнала апериодического звена при

подаче на его вход единичной ступеньки, т.е. его переходной функции. Как видно, решетчатая

функция дискретно повторяет непрерывную переходную функцию апериодического звена: она

стремится к некоторому постоянному значению, определяемому коэффициентом усиления

звена. Для повышения точности восстановления непрерывной переходной функции по

решетчатой здесь следует повысить частоту дискретизации

3.5.7. Что такое разностное уравнение?

Разностное уравнение это дискретный аналог дифференциального уравнения в случае малых, но

конечных приращений аргумента (времени) и его функций.

3.5.8. Какие способы существуют получения разностных уравнений?

Способ замены дифференциалов в дифференциальном уравнении непрерывной системы

конечными разностями.

Из ДПФ (дискретной передаточной функции).

3.5.9. Как получаются разностные уравнения способом конечных разностей?

Пример:

16

, ( ) ( ) (( 1) ),

,

1( ) (( 1) ( )

инт

инт

dyT x дифференциальное уравнение интегратора

dt

dt T dy y T y iT y i T заменадифференциалов

малыми ноконечными приращениями

y iT y i T x iT разностное уравнение интегратораT

3.5.10. Как получается разностное уравнение из ДПФ?

11 1

1

( 1) ( 1)( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )

2( 1) 2( 1)

(1 )( ) ( ), 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )

2(1 )

( ) (( 1) ) ( ) (( 1) )2 2

kT z kT zW z ДПФ Y z W z X z Y z X z

z z

kT zY z X z Y z z Y z k T X z k T z X z

z

k T k Ty iT y i T x iT x i T разностное уравнение

3.5.11. Как получается ДПФ из разностного уравнения?

ДПФzT

z

T

z

zX

zYzWzXTzzYzY

уравнениеразностноеiTxTiyiTy

11

)(

)()()()()(

)()1(()(

11

3.5.12. В чем состоит алгоритм численного решения разностного уравнения?

Обратимся к разностному уравнению дискретной реализации интегратора:

)()1(()( iTxTkiyiTy инт

Как видно, для реализации алгоритма, т.е. для вычисления значения выходного сигнала на текущем

шаге моделирования, необходимо к значению выходного сигнала, полученному на предыдущем шаге

прибавлять умноженное на коэффициент значение входного сигнала, также взятое на предыдущем шаге.

Нетрудно представить структурную схему алгоритма для его реализации на цифровом процессоре:

Упрощенная блок схема алгоритма для вычисления текущего значений выходного сигнала

дискретного звена. Цикл должен повторяться через время, равное периоду дискретизации Т

Отметим, что алгоритм подходит как для описания типовой ветви АИСАР, так и для описания

обычного, непрерывного линейного звена.

Алгоритм может быть без труда реализован на любом языке программирования.

17

3.5.13. В чем отличия описания импульсной САУ разностными уравнениями и дискретной

передаточной функцией (ДПФ или Z-передаточной функцией)?

Разностные уравнения позволяют описать и реализовать в виде вычислительной процедуры на

ЭВМ алгоритм работы АИСАУ в режиме реального времени, позволяя определять выходной сигнал

(реакцию) АИСАУ на произвольное воздействие, заранее неизвестное. Другими словами, разностные

уравнения позволяют реализовать на компьютере алгоритм управления реальной системой в реальном

масштабе времени, в реальных условиях. Это достоинство разностных уравнений.

ДПФ позволяет вычислять отклик АИСАР только на заранее известные на всем протяжении

времени от минус бесконечности до бесконечности воздействия, т.е. на пробные сигналы. С помощью ДПФ

удобно исследовать свойства АИСАР и САР с цифровым управлением.

3.5.14. Сформулировать теоремы о соединении линейных звеньев, заданных ДПФ

(дискретной передаточной функцией)

соединениевстречноеоепараллельнzWzW

zWzWzW

соединениесогласноеоепараллельнzWzWzW

соединениеельноепоследоватzWzWzW

)()(1

)()()(

)()()(

)()()(

21

21

21

21

3.5.15. Что такое собственное и вынужденное движения импульсной системы?

Движение в широком смысле, т.е. изменение выходной величины дискретной модели,

представленной в виде разностных уравнений, складывается из двух движений: собственного,

определяемого внутренними запасами и источниками энергии, и вынужденного под действием внешнего

возмущения. Собственное движение - решение однородного разностного уравнения системы. Общий вид

этого решения определяется как линейная форма от собственных чисел системы:

y(k) = C1 1k + C2 2

k + … + Cn nk,

где Сi - коэффициенты линейной формы, которые вычисляются через начальные состояния системы; i -

простые действительные корни характеристического уравнения системы:

a0 n + a1

n-1 + a2

n-2 + … + an = 0.

18

3.5.16. Привести пример получения дискретных передаточных функций АИСАР

Пусть АИСАР имеет вид:

3.6. Анализ устойчивости импульсных систем автоматического управления (АИСАР)

3.6.1. Что такое устойчивость АИСАР?

19

3.6.2. Каково основное условие устойчивости АИСАР?

Если задана Z-передаточная функция замкнутой САР, то для устойчивости САР необходимо и

достаточно чтобы корни ее Z-характеристического полинома находились на комплексной плоскости внутри

окружности радиуса 1 [1]. Например:

Рисунок. Все корни характеристического полинома устойчивой модели (красные кружочки)

располагаются внутри окружности радиуса 1, а некоторые (коричневая точка) или все (розовые

точки) корни характеристических полиномов неустойчивых моделей располагаются вне круга

радиуса 1

Примечание. Для дискретных моделей не работает правило Стодолы, Z-характеристический

полином устойчивой САР может иметь и нулевые и отрицательные коэффициенты.

3.6.3. Какие методы и критерии используются для оценки устойчивости АИСАР?

Методы:

-непосредственное решение характеристического уравнения,

-использование критериев устойчивости.

Как и в непрерывных САР используются критерии Гурвица, Михайлова и Найквиста.

3.6.4. Определить, устойчивы ли АИСАР с дискретными передаточными функциями:

12

12.0005.0)(

2.08.0

13.02)(

22 zz

zzWи

zz

zzW

Необходимо найти корни характеристических уравнений и сравнить их модули с единицей.

20

Проверка в Vissim’е:

Отметим, что хотя в случае неустойчивой АИСАР (внизу) корни Z-полинома действительные, но

характер неустойчивости колебательный

3.6.5. В чем особенность применения критерия Гурвица для анализа устойчивости АИСАР?

21

3.6.6. Как оценивается устойчивость АИСАР по критерию Михайлова?

3.6.7. Как оценивается устойчивость АИСАР по критерию Найквиста?

22

3.7. Анализ качества импульсных систем автоматического управления (АИСАР)

3.7.1. Как найти реакцию АИСАР на некоторое воздействие?

Для этого нужно вычислить Z-изображение входного сигнала и умножить его на Z-передаточную

функцию АИСАР:

( ) ( ) ( )Y z W z X z

Затем нужно найти оригинал Z-изображения Y(z) выходного сигнала, например, в Маткаде.

3.7.2. Как определить качество АИСАР в переходном режиме?

Это делается так же, как и для непрерывных САР, по переходной функции АИСАР. Определить

переходную функцию АИСАР можно:

- аналитически;

- аналитически, с использованием Маткада;

- моделированием в VisSim’е.

3.7.2.1. Аналитическое определение переходной функции

23

3.7.2.2. Построение переходной функции в VisSim’е и определение качества

переходного процесса

Дана Z-передаточная функция АИСАР, определить время регулирования и перерегулирование.

Проще всего эта задача решается в VisSim’е:

24

3.7.2.3. Построение переходной функции в Маткаде и определение качества

переходного процесса

Казалось бы, что используя обратный переход от Z-изображения к оригиналу invztrans легко

получить переходную функцию в Маткаде. Однако не тут то было, символьным преобразованием

получается громоздкое и маловразумительное выражение:

Однако, если перейти от ДПФ к разностному уравнению, то решение находится:

Как видно, Маткад дает ту же самую переходную функцию, что и Vissim.

25

3.7.3. Какая особенность есть у импульсных систем?

3.7.4. Как оценить качество АИСАР в установившемся режиме?

Таким образом, коэффициент ошибки по положению С0 = 0, а коэффициент ошибки по скорости

С1 = 1/k.

26

Литература

по углубленному изучению курса ТНСАУ для подготовки к аттестационному тестированию

1. Лукас В.А. ТАУ. М., Недра, 1990, стр. 78 -86 (переменные состояния).

2. Н. В. Клиначёв. ТЕОРИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. Учебно-

методический комплекс. Раздел "Пространство состояний". Документ подписан и имеет временную

метку.№2003612643. Эл. документ, 1.38 МБ.2000-2005.

3. Н. В. Клиначёв. ТЕОРИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. Учебно-

методический комплекс. 2000-2009. РОСПАТЕНТ №2003612643. 800x600x256, HTML 4.01

Transitional.

http://model.exponenta.ru/tau_knv.zip

http://model.exponenta.ru/tau_lec.html

4. Юревич Е.И. ТАУ. Л., - Энергия, 1975, стр. 198. 5. Ван-Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Пер. с англ. под ред. проф. В.И.

Тихонова. Сов. Радио, 1972, 744 с.

6. Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Основы теории автоматического управления: Учебное пособие.

2-е изд., перераб. и доп. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. 352 с. ISBN 5-8265-0149-9

7. Федосов Б.Т. Виртуальные лабораторные стенды, краткая теория, задания и методические указания

к выполнению лабораторной работы № 7-3 по курсам "ТАУ", системотехника и теория линейных и

нелинейных систем на тему: "Исследование устойчивости и оптимизация нелинейных САР". Версия

1.1. Эл. книга в формате chm. 818 КБ, Рудный 2009 г.

http://model.exponenta.ru/bt/bt_cont_3_Met.html#L3273

http://model.exponenta.ru/bt/TAU_Lab_7_3_070123.zip

8. Теория автоматического управления. Часть II. Нелинейные системы. Под ред. Нетушила А.В.

Учебник для вузов. - М., : Высшая школа, 1972. стр. 79 -97.

9. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. Учеб. пособ.

– 2-е изд., стер. –М., : Наука. 1988. – 256 с. – ISBN 5-02-013903-3/

10. Федосов Б.Т. Задания и методические указания к выполнению лабораторной работы № 8-1 по

курсам "ТАУ", "Системотехника" и "Теория линейных и нелинейных систем" на тему:

Исследование элементов амплитудно-импульсных и цифровых САР. Для специальностей АУ

(050702), ЭЭ (050718) и др. Эл. книга формата chm. Файл пособия: 780 КБ. Рудный, 2007. Файл

пособия: 780 КБ

http://model.exponenta.ru/bt/TAU_Lab_8_1_070326.zip

11. Федосов Б.Т. 8.2. Задания и методические указания к выполнению лабораторной работы № 8-2 по

курсам "ТАУ", "Системотехника" и "Теория линейных и нелинейных систем" на тему:

Моделирование и исследование САР с дискретно-цифровым управлением непрерывными

объектами. Для специальностей АУ (050702), ЭЭ (050718) и др. Эл. книга формата chm. Файл

пособия: 687 КБ. Рудный, 2008.

http://model.exponenta.ru/bt/TAU_Lab_8_2_080322.zip

12. Федосов Б.Т. Описание многомерных систем методом переменных состояния. Рудный, РИИ. 2010 –

2014.

http://model.exponenta.ru/bt/TNSAU_1_Appr_Test_Q_StateSpace_140206.pdf

13. Федосов Б.Т. Теория нелинейных САУ. Рудный, РИИ. 2010 – 2014.

http://model.exponenta.ru/bt/TNSAU_2_Appr_Tst_Qust_Nel_140207.pdf

14. Федосов Б.Т. Дискретные и импульсные системы автоматического управления. Рудный, РИИ. 2010

– 2014.

http://model.exponenta.ru/bt/TNSAU_3_Appr_Tst_Qust_AISAR_140208.pdf

15. Федосов Б.Т. Формы представления дискретных передаточных функций (ДПФ) и свойства

дискретных моделей линейных звеньев. Рудный, 2010.

http://model.exponenta.ru/bt/bt_161_Discr_Zv_Pr.htm

16. Федосов Б.Т. О качестве, параметрической чувствительности и аппроксимации дискретной модели

линейной динамической системы. Рудный, 2010.

http://model.exponenta.ru/bt/bt_162_Quality_Discr_Mod.htm

27

17. Федосов Б.Т. Частотные характеристики дискретных моделей линейных объектов и систем,

устойчивость и оптимизация. Рудный, 2010.

http://model.exponenta.ru/bt/bt_163_Frq_Char.htm