序序序 言言言

編輯目的

對於不同領域的學生或工程師，在面對一個工程、物理或管理問題

時，首先會對該問題作合理的假設，以簡化問題，再根據適當的定律建

立數學模型。在數學模型建立後，即可藉由數學工具求解，最後再根據

得到的解對該問題加以驗證，驗證無誤後，即可進行工程或管理上之應

用或解釋物理現象。

對於不同領域的工程、物理或管理問題，其問題呈現的方式或有不

同，但經模型化後而呈現之數學模型卻常常具有共通性，可用相同的數

學工具求解。在用來解數學模型的工具中，工程數學是相當重要的一

支，因為在常見的工程問題中，如電磁學、電路問題、熱傳問題、流體

序 言

ii

力學問題、質傳問題、振動問題、化學反應問題、材料受力與變形問

題，以及一般的物理及化學現象，其建立之數學模型經常出現未知函數

的導函數，而必須借重工程數學求解。

工程數學為工程相關系科的重要基礎課程，不僅是學生學習專業科

目的基礎，更是學生進一步深造或研究不可或缺的必備工具，因此有關

工程數學的中文與外文著作在市面上相當多，其中不乏內容精闢見解獨

到者。筆者擔任教職已近 15 載，在多年的教學經驗中，發現多數學生

在學習工程數學時常面臨到不小的壓力與挫折，因此筆者興起編撰一本

易於教學及學習的工程數學教材之意念，並在高立圖書公司的支持下完

成本書。

本書在教材編撰上力求結構清晰，內容精闢易懂，例題則儘可能清

楚的呈現完整的計算過程，避免過於精簡而造成學生學習上的困擾與障

礙，而為使學生深刻的瞭解與比較不同方法的特性與應用，本書特別強

調不同方法於同一問題之應用，這種架構當有助於學生對於工程數學整

體概念的建立，亦可培養學生之研究精神。而為減少學生學習上的障

礙，另輔以註記方式補強必要建立的觀念及說明解題過程中須用到的代

數或微積分技巧，期使讀者在無障礙的情況下研讀教材內容，建立清晰

完整的觀念及解題能力，在學好工程數學這項工具後，能有助於專業科

序 言

iii

目之學習與應用，並為未來深造與研究建立良好的基礎。

教學目標

本書內容相當豐富，甚盼讀者以輕鬆愉快的心情開始欣賞「工程數

學」的各種方法、理論及應用，筆者希望透過本書，達到下列教學目

標：

1. 本書之教材經過精心編排，期使學生容易學習與瞭解，並著重在

各種不同方法的正確應用，而不是在公式的記憶。

2. 透過循序漸進的例題與習題並藉由「註記」的輔助，以培養學生

自我學習的興趣與信心。

3. 經由與日常生活及專業課程相關之例題與習題，提高學生之學習

興趣與參與，並藉由不同方法於相同問題的應用，培養學生推理

及思考之能力。

4. 透過課堂上之講授及習作，使學生熟練各種不同方法的解題技

巧，並培養學生利用工程數學解決實際應用問題之能力。

本書特點

1. 清楚的呈現例題的完整計算過程，避免過於精簡而造成學生學習

序 言

iv

上的困擾與障礙。

2. 強調不同方法於相同問題之應用，培養學生比較與研究的精神。

3. 以「註記」之方式補強觀念及說明解題過程中必須用到的代數或

微積分技巧，避免學生學習時因數學基礎不佳而產生障礙或放棄

學習。

4. 提供充足的範例，除可供教師課堂選擇適當範例教授外，並可供

學生自我學習及比較之用。

5. 加強線性代數之比重及線性聯立微分方程組解法之介紹，特別是

狀態方程式的各種不同解法的介紹，將有助於讀者研讀現代控制

理論及對動態系統數學模型之求解。

6. 加強傅立葉轉換法於邊界值問題之應用，特別是有限型傅立葉轉

換法的介紹，在一般工程數學教材上並不多見。

本文結構

本書的內容非常豐富，但限於教學時數或系科特性之不同，在教材

上可能要有所取捨，以下為本書之建議，可供教師參考：

1. 本書適合作為專科部及大學部上下學期合計 6~8 學分之教材。

2. 專科部的課程可優先以第 1、2、3、4、5、6、8、9、10、11 章為

序 言

v

主要授課章節，其中第 4、5 章學生如已熟悉，則可省略不教，而

第 12~14 章則建議作一次概念性之介紹。

3. 第 1 章為一階常微分方程式解法之介紹，建議完整教授，必要時

1.6、1.9 及 1.10 可省略不教。

4. 第 2 章為高階線性常微分方程式解法之介紹，建議完整教授，必

要時 2.4 可忽略不教。

5. 第 3 章為拉普拉斯轉換法之介紹，建議完整教授。

6. 第 4 章為向量分析基礎，學生如已熟習則可省略不教，另本章安

排於第 6 章之前，而非安排在第 10 章之前，其主要目的在提供讀

者研讀第 6 章線性代數之基礎與參考，但教師亦可考慮在教授第

10 章之前再向學生介紹本章之內容。

7. 第 5 章為複變分析基礎，主要在介紹複數之觀念及運算，有助於

建立學生研讀第 6、8 章之有關複數基礎，必要時教師可視情況，

將本章或 5.5~5.6 安排於教授第 12 章前再向學生介紹。

8. 第 6 章為線性代數之介紹，建議完整教授，但可縮短 6.1~6.5 之授

課時數，將重點放在 6.6~6.12。另對於專科部之課程，本章可僅選

擇 6.1~6.6、6.8、6.10 及 6.11 教授。

9. 第 7 章為線性微分方程式系統及狀態方程式之解法介紹，建議大

序 言

vi

學部完整教授，但必要時 7.5 可省略不教，而專科部之課程本章可

省略不教，或僅教授 7.1~7.3。

10. 第 8 章為傅立葉分析之介紹，建議完整教授。

11. 第 9 章為偏微分方程式解法之介紹，建議完整教授，必要時

9.6~9.7 可省略不教。

12. 第 10 章為有關向量微分運算之介紹，建議完整教授，必要時 10.7

可省略不教。

13. 第 11 章為向量積分及積分定理之介紹，建議完整教授，必要時可

縮短 11.3~11.5 的授課時數，而將重點放在 11.6~11.8。

14. 第 12 章為有關複變函數微分運算之介紹，必要時 12.5 可省略不

教。

15. 第 13 章為複變函數之積分運算及積分定理，建議完整教授。

16. 第 14 章為級數與殘數理論之介紹，建議完整教授。

後 記

本書中約有超過 670 題之例題可供教師講解，並提供了約 1500 題

的習題可供教師指定作業或由學生自行練習之用。本書所有例題、習題

均經筆者多次演算以避免失誤，本書並附有所有習題的答案，可供教師

序 言

vii

及學生參考。此外，本書對於專有名詞均附有原文以資對照，期盼教師

能鼓勵學生熟悉這些專有名詞的原文，以提升學生將來閱讀原文資料的

能力。

本書雖經讀者悉心校訂，唯筆者唯恐才疏學淺，疏漏難免，尚祈諸

位先進多予指正，不勝感激。

目目目 錄錄錄

一階常微分方程式

1.1 工程數學與工程應用 2 1.2 微分方程式簡介 2 1.3 分離變數法 11 1.4 可化成可分離變數型之常微分

方程式 14 1.5 正合微分方程式 25 1.6 積分因子 30

1.7 合併法 35 1.8 一階線性常微分方程式 41 1.9 參數變換法 46 1.10 柏努利方程式 49 1.11 一階常微分方程之應用 51

高階線性常微分方程式

2.1 簡 介 62 2.2 高階線性齊次常微分方程式

72 2.3 高階線性非齊次常微分方程式

之解法 79

2.4 尤拉 - 柯西方程式 99 2.5 應 用 105

目 錄

vii

拉普拉斯轉換

3.1 簡 介 134 3.2 常見函數之拉普拉斯轉換

137 3.3 拉普拉斯轉換的性質 141 3.4 特殊函數的拉普拉斯轉換

156

3.5 拉普拉斯反轉換 162 3.6 應 用 181

向量分析基礎

4.1 純量與向量 200 4.2 向量代數運算 206 4.3 點 積 211 4.4 叉 積 217

4.5 三重積 222 4.6 n 度空間向量、向量空間與內積

空間 225

複變分析基礎

5.1 實數與複數 236 5.2 複數代數運算 239 5.3 極 式 243 5.4 尤拉公式與指數式 253

5.5 複變平面上之點集合 260 5.6 複變函數 267

viii

線性代數

6.1 簡 介 276 6.2 矩陣的定義與性質 281 6.3 矩陣的基本運算 289 6.4 高斯消去法 296 6.5 行列式 303 6.6 反矩陣 318 6.7 矩陣之向量空間與秩數 328

6.8 線性方程組 340 6.9 線性轉換 353 6.10 特徵值與特徵向量 361 6.11 相似轉換與對角化 371 6.12 矩陣微積分與方陣函數 376

線性微分方程式系統與狀態方程式

7.1 簡 介 390 7.2 狀態方程式 400 7.3 拉普拉斯轉換法 404 7.4 對角化法 412

7.5 公式法 420 7.6 應 用 426

傅立葉分析

8.1 正交函數 436 8.2 傅立葉級數 446 8.3 奇函數與偶函數之傅立葉級數

457 8.4 非週期函數之傅立葉級數展開

468

8.5 傅立葉級數之其他型式 474 8.6 傅立葉積分 482 8.7 傅立葉轉換 489 8.8 應 用 495

目 錄

ix

偏微分方程式

9.1 簡 介 506 9.2 偏微分方程式的解 520 9.3 分離變數法 526 9.4 拉普拉斯轉換法 557 9.5 傅立葉轉換法 571

9.6 變數變換法 594 9.7 非齊次偏微分方程式與邊界條

件 606

向量分析 - 微分

10.1 純量場與向量場 628 10.2 向量函數與微分 633 10.3 梯 度 638 10.4 散 度 646 10.5 旋 度 651

10.6 拉普拉斯運算子與拉普拉斯方程式 655

10.7 正交曲線座標 663

向量積分與積分定理

11.1 向量函數之常積分 678 11.2 線積分 681 11.3 與路徑無關之線積分 691 11.4 面積分 697 11.5 體積分 720

11.6 平面葛林定理 735 11.7 史托克定理 750 11.8 高斯散度定理 762

x

複變函數之微分

12.1 複變函數的極限與連續 778 12.2 複變函數的導數 781 12.3 解析函數與調和函數 784

12.4 解析函數與階層曲線 792 12.5 基本函數的微分 799

複變函數之積分

13.1 線積分 818 13.2 柯西定理與柯西 - 高賽德定理

826

13.3 與路徑無關之線積分 834 13.4 柯西積分公式 839

級數與殘數理論

14.1 數列與級數 852 14.2 冪級數 861 14.3 泰勒級數 867 14.4 洛冉級數 874 14.5 奇點與零點 884

14.6 殘 數 889 14.7 殘數理論 895 14.8 殘數理論在實數積分之應用

902

附錄一 拉普拉斯轉換表

參考文獻

目 錄

xi

習題解答