日常生活中有些問題，會和二次函數的最大

值或最小值有關，這時我們可以依下列步驟進行

解題：

搭配課本第 58頁

(1)設未知數：依題意假設適當的未知數 x、y。

(2)列式：依題意列出 x的二次函數。

(3)求值：利用配方法，求出二次函數的最大值或

最小值。

(4)作答：依題意回答問題。

搭配課本第 58頁

若兩數的差為 8，則此兩數的乘積是否有最大值

或最小值？若有，試求其值。

例 1 兩數問題

搭配課本第 58頁

例 1 兩數問題(1)設未知數：設兩數分別為 x、(x＋8)，

兩數乘積為 y。

(2)列式：y＝x(x＋8)。

(3)求值：y＝x(x＋8)＝x2＋8x

＝(x＋4)2－16 －16

可知當 x＝－4時，y有最小值－16。

(4)作答：兩數的差為 8，其乘積的最小值為

－16，此時兩數為－4、4。 搭配課本第 58頁

若兩數的和為 10，則此兩數之乘積的最大值

是多少？

搭配課本第 58頁

(1)設未知數：設此兩數分別為 x、(10－x)，

且其乘積為 y

(2)列式：y＝x(10－x)

(3)求值：y＝x(10－x)＝－x2＋10x

＝－(x－5)2＋25 25

可知當 x＝5時，y有最大值 25

(4)作答：兩數的和為 10，其乘積的最大值為 25

此時兩數為 5、5 搭配課本第 58頁

軒軒國中想用 80公尺長的籬笆圍出一塊矩形的

溼地，作為自然生態學習區，則如何才可圍出最

大面積的溼地？此時最大面積為多少？

例 2 面積和問題

搭配課本第 59頁

例 2 面積和問題(1)設未知數：設此矩形溼地的長為 x公尺、

寬為(40－x)公尺， 面積為 y平方公尺。

(2)列式：y＝x(40－x)。

＝－x2＋40x

(4)作答：矩形溼地的長、寬皆為 20公尺時，

(3)求值：y＝x(40－x)

＝－(x－20)2＋400 400 可知當 x＝20時，y＝400為最大值。

可圍成最大面積 400平方公尺的溼地。 搭配課本第 59頁

小妍想將一條 40公分長的彩帶剪成兩段，各

圍成一個正方形，他要怎麼剪才能讓這兩個正

方形的面積和為最小？此時面積和為多少平

方公分？ (1)設未知數：設兩段彩帶為 x公分及(40－x)公分

時，這兩個正方形的面積和為 y平方公分

(2)列式：y＝( x 4 )2＋(

40－x4 )2

搭配課本第 59頁

(3)求值：y＝( x 4 )2＋(

40－x4 )2＝ x

2

16＋1600－80x＋x2

16

＝x2－40x＋800

8 ＝ 18 (x2－40x)＋100

＝ 18 (x2－40x＋400)－50＋100

＝ 18 (x－20)2＋50 50

可知當 x＝20時，y有最小值 50 (4)作答：兩段彩帶皆為 20公分時，這兩個正方形

的面積和會最小，為 50平方公分 搭配課本第 59頁

康康旅行社舉辦「高鐵一日遊─ ─發現美濃」的活動，預訂人數為 40

人，每人收費 6000元，若人數到達

40人後，每增加 1人，則每人收費

可減少 100元。試問當增加多少人

時，旅行社能收到最多的錢？最多

可收多少錢？

例 3 收費問題

搭配課本第 60頁

例 3 收費問題(1)設未知數：設增加 x人時，旅行社總共能收到 y

元。

搭配課本第 60頁

Hint 每人需付的錢 ＝ 原價 每增 1 人，每人可少 100 元 總收入 每人需付的錢 × 參加人數

6000 － 100x

y ＝ (6000－100x) × (40＋x)

例 3 收費問題(2)列式：此時參加人數為(40＋x)人，

每人應收費(6000－100x)元，

則可得到二次函數

y＝(6000－100x)(40＋x)。

搭配課本第 60頁

例 3 收費問題

(4)作答：當增加 10人時，旅行社能收到最多

的錢，為 250000元。

(3)求值： y＝(6000－100x)(40＋x)

＝240000＋6000x－4000x－100x2 ＝－100x2＋2000x＋240000

＝－100(x2－20x)＋240000

＝－100(x－10)2＋250000 250000

當 x＝10時，y有最大值 250000。

搭配課本第 60頁

某文具店每個鉛筆盒賣 54元，每星期可賣出 40

個，若鉛筆盒的價格每便宜 1元，一星期可多賣

出 10個，則當每個鉛筆盒賣多少元時，那個星

期賣鉛筆盒的收入最多？

搭配課本第 60頁

(1)設未知數：設便宜 x元時，收入為 y元

(2)列式：y＝(54－x)(40＋10x)

(3)求值：y＝(54－x)(40＋10x)

＝－10x2＋500x＋2160

＝－10(x－25)2＋8410 8410

當 x＝25時，y有最大值 8410

(4)作答：當每個鉛筆盒賣 54－25＝29元時

賣鉛筆盒的收入最多 搭配課本第 60頁

家俊投擲鉛球，當鉛球的水平距離為 x公尺時，

鉛球離地面的高度為 y公尺，如下圖。若 x與 y

滿足關係式 y＝－ 140 (x2－16x－56)，則鉛球行進

路徑的最高點離地面多少公尺？

例 4 路徑問題

搭配課本第 61頁

y＝－ 140 (x2－16x－56)

例 4 路徑問題

＝－ 140 (x2－16x＋64－64－56)

＝－ 140 (x－8)2＋3 3

∴ 當 x＝8時，y有最大值 3，

即鉛球行進路徑的最高點離地面 3公尺。

搭配課本第 61頁

地面上有一個噴水孔會噴出水柱，如下圖。若經

過 x秒後，噴出的水柱高度為 y公尺，且 x與 y

滿足關係式 y＝4.9x－4.9x2，則此噴水孔噴出的水

柱最高點離地面多少公尺？

搭配課本第 61頁

y＝4.9x－4.9x2

＝－4.9(x2－x＋ 14 － 14 )

＝－4.9(x－ 12 )2＋ 4940 49

40

∴ 當 x＝ 12 時，y有最大值 4940

即噴水孔噴出的水柱最高點離地面 4940公尺

搭配課本第 61頁

有一座形如拋物線的拱橋，這座拱橋下的水面離拱頂 2公尺，水面寬 4公尺，如下圖。若水位下

降 1公尺，則水面寬度為多少公尺？

例 5 拱橋問題

2 4

搭配課本第 62頁

例 5 拱橋問題取拱橋下緣這條拋物線的頂點為原點， 假設這條拋物線所表示的二次函數為

y＝ax2(a≠ 0)，

在坐標平面上

呈現如右圖：

搭配課本第 62頁

x O

y

－1 1 1

(x1 , －3) (2 , －2)

(x2 , －3)

例 5 拱橋問題由圖可知拋物線通過點(2 , －2)， 將 x＝2，y＝－2代入 y＝ax2，

得－2＝a．22，a＝－ 12 ，

即這條拋物線所

表示的二次函數

為 y＝－ 12 x2，

搭配課本第 62頁

x O

y

－1 1 1

(x1 , －3) (2 , －2)

(x2 , －3)

當水位下降 1公尺，即 y＝－3＝－ 12 x2，

例 5 拱橋問題

得 x2＝6，x＝± 6 ，故 x1＝ 6 ，x2＝－ 6 ，

∣所以水面寬度為 x1－x2∣ ∣＝ 6－(－ 6)∣

＝2 6公尺。

搭配課本第 62頁

Hint也可以將拋物線的頂點設為 (0 , 2) ，對稱軸為 y 軸，二次函數為 y＝ ax2＋ 2 來解題。

例 5 拱橋問題

搭配課本第 62頁

某河流上有一座形如拋物線的拱橋，這座拱橋下

的水面離拱頂 3公尺，水面寬為 6公尺，若水位

上升 2公尺，則水面寬度為多少公尺？

搭配課本第 62頁

依題意可得下圖，設二次函數為 y＝ax2(a≠ 0)

將 x＝3、y＝－3代入 y＝ax2，得 a＝－ 13

即這條拋物線所表示的二次函數為 y＝－ 13 x2

x O

y 1 1

(－3 , －3) (3 , －3)

(x1 , －1) (x2 , －1)

搭配課本第 62頁

當水位上升 2公尺

即 y＝－1＝－ 13 x2，x2＝3，x ±＝ 3

故 x1＝ 3 ，x2＝－ 3

所以水面寬度為∣ x1－x2∣ ∣＝ 3 －(－ 3 )∣

＝2 3 (公尺)

搭配課本第 62頁

二次函數最大值或最小值的應用問題1

解二次函數最大值

或最小值的應用問

題有以下步驟：

若兩數的差為 8，

則此兩數的乘積

是否有最大值或

最小值？若有，

試求其值。

搭配課本第 63頁

例

二次函數最大值或最小值的應用問題1

(1)設未知數：依題意

假設適當的未知數

x、y。

設此兩數分別為 x、

x＋8，兩數乘積為 y。

搭配課本第 63頁

二次函數最大值或最小值的應用問題1

(2)列式：依題意列出

x的二次函數。

y＝x(x＋8)

搭配課本第 63頁

二次函數最大值或最小值的應用問題1

(3)求值：利用配方

法，求出二次函

數的最大值或最

小值。

y＝x(x＋8)

＝x2＋8x

＝(x＋4)2－16 16

可知當 x＝－4時，

y＝－16為最小值。

搭配課本第 63頁

二次函數最大值或最小值的應用問題1

(4)作答：依題意回答

問題。

兩數的差為 8，

其乘積的最小值為－16，

此時兩數為－4、4。

搭配課本第 63頁

1 若兩數的和為 11，則此兩數的乘積是否有最

大值或最小值？若有，試求其值。

設此兩數分別為 x、(11－x)，且其乘積為 y 則 y＝x(11－x)＝－x2＋11x

＝－(x－ 112 )2＋ 121

4 1214

∴ 當 x＝ 112 時，y＝ 121

4 為最大值

即此兩數為 112 、

112 時，其乘積有最大值

1214

搭配課本第 64頁

2 P(－3)、Q(2)為數線上兩點，在數線上找一

點 N(x)，使得 NP 2＋¯ NQ 2的值為最小，則 N

點坐標為何？此時 NP 2＋¯ NQ 2的值為何？

搭配課本第 64頁

2 設 y＝ NP 2＋¯ NQ 2

則 y＝(x＋3)2＋(2－x)2

＝2x2＋2x＋13

＝2(x＋ 12 )2＋ 252

即當 N點坐標為－ 12 時

NP 2＋¯ NQ 2最小，其值為 252

搭配課本第 64頁

x

P N Q

3 2

3 佳玫站在離地面 18公尺高的塔頂上，向上投

擲一球，經 x秒後，球距地面的距離為 y公尺，

已知 y與 x的關係為 y＝－2x2＋16x＋18，則：

(1)此球擲出經幾秒後，可達最大高度？

(2)承(1)，此時最大高度為多少公尺？

搭配課本第 64頁

3 (1)(2)y＝－2x2＋16x＋18

＝－2(x－4)2＋50 50

當 x＝4時，y有最大值 50

即擲出 4秒後

可達最大高度 50公尺

x

y

O

( 0 , 18 )

搭配課本第 64頁

3 佳玫站在離地面 18公尺高的塔頂上，向上投

擲一球，經 x秒後，球距地面的距離為 y公尺，

已知 y與 x的關係為 y＝－2x2＋16x＋18，則：

(3)此球擲出經幾秒後，才會落到地面？

搭配課本第 64頁

3 (3)以 y＝0代入 y＝－2x2＋16x＋18中

得－2x2＋16x＋18＝0

解出 x＝9或 x＝－1(不合)

所以此球經過 9秒後會落到地面

搭配課本第 64頁

我們知道二次函數的圖形為一拋物線，其名稱的由來就是因為其圖形與拋擲物體時，物體的

運動軌跡相似，那麼我們要如何利用二次函數來

表示一個物體的運動軌跡呢？

搭配課本第 65頁

已知重力加速度 g＝－9.8m/s2，為了方便計

算取 g＝－10m/s2，假設某人從地面上以 45度仰

角、10 2 m/s的速度投擲一顆石頭，則會有以下

的關係式：

45° x

y

O

vy

vx

v=10 2 m/s

搭配課本第 65頁

水平分速度 vx＝10m/s，

水平方向的位移 x＝vxt＝10t ⇒ t＝ x10 ……(1)

垂直分速度 vy＝10m/s，

垂直方向的位移 y＝vyt＋ 12 gt2＝10t－5t2……(2)

將(1)代入(2)：y＝10× x10－5×( x10 )2＝x－ 120 x2，

得到 y與 x的關係式為 y＝x－ 120 x2。 搭配課本第 65頁

若再將此關係式配方可得

y＝－ 120 (x2－20x)＝－ 120 (x－10)2＋5，

由此可知垂直高度最高可達 5m，

此時距離出發點的水平位移為 10m，

而要求落地時的水平位移則是令 y＝0，

搭配課本第 65頁

得 0＝x－ 120 x2，x＝0或 20，

x＝0即為出發點的位置，

而 x＝20即落地時的位置，

故落地時的水平位移為 20m。

搭配課本第 65頁