Є.О. Несмашний

КЛАСИЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА

Кривий Ріг

Міністерство освіти і науки України Криворізький технічний університет Є.О. Несмашний КЛАСИЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів Кривий Ріг "Видавничий дім" 2005 ББК 22.3 УДК 530.2 Н55 Рецензенти: завідувач кафедри фізики Криворізького педагогічного університету, доц., к. ф.-м, н. Р.М.Балабай; професор кафедри економічної кібернетики Криворізького економічного інституту Київського національного економічного університету докт. фіз.-мат. наук В.М.Соловйов Гриф надано 03.12.01 № 14/18.2-1757 заступником Державного секретаря Степко М.Ф. Несмашний Є.О. Н 55. Класична електродинаміка / Навчальний посібник. -Кривий Ріг: Видавничий дім, 2005. -184 с: іл. ISBN 966-7997-40-5 Навчальний посібник має за мету полегшити вивчення студентами другого розділу загальної фізики, а саме: класичної електродинаміки. Посібник містить в собі курс лекцій з означеної дисципліни, що читається автором студентам Криворізького технічного університету та контрольні завдання з електростатики і магнетизму з методичними вказівками до їх виконання. Для студентів технічних університетів усіх форм навчання. ББК 22.3 © Несмашний Є.О. 2005 ISBN 966-7997-40-5

ПЕРЕДМОВА "Класична електродинаміка" це друга частина курсу загальної фізики, що читається автором студентам Криворізького технічного університету, і є логічним продовженням навчального посібника "Класична механіка. Молекулярна фізика і термодинаміка". Тому при викладені матеріалу даного посібника ми вважали, що перша частина курсу загальної фізики студентами засвоєна, і окремих посилань на попередні теми курсу не робили. Посібник "Класична електродинаміка" містить в собі:

- курс лекцій з вказаного розділу загальної фізики, що читається автором на протязі багатьох років студентам Криворізького технічного університету;

- індивідуальні контрольні завдання з означених розділів загальної фізики, що повинні бути виконані студентами, та методичні вказівки до виконання цих контрольних завдань;

- додатки, у вигляді довідкового матеріалу, який необхідний для виконання контрольних робіт.

Крім цього у кожній книжці є таблиця варіантів, з яких лаборантами кафедри фізики КТУ, для кожного студента окремо, визначаються номери задач, які він повинен розв'язати при виконанні контрольних робіт.

Методично, кожна книжка побудована таким чином, щоб її змісту було цілком достатньо для вивчення означеної дисципліни, вдалого виконання контрольних робіт та успішної здачі залікових та екзаменаційних іспитів. Зміст даних методичних вказівок повністю відповідає освітньо-професійним програмам вищої освіти за відповідними професійними спрямуваннями з курсу загальної фізики, що затверджені Міністерством освіти України у 1994 році.

Автор висловлює щиру подяку доценту кафедри М.М. Зайцеву за допомогу у написанні цього навчального посібника та підготовці його до друку.

РОЗДІЛ ПЕРШИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ ЧАСТИНА ЧЕТВЕРТА ЕЛЕКТРОСТАТИКА ГЛАВА 18. ЕЛЕКТРОСТАТИЧНЕ ПОЛЕ У ВАКУУМІ. 18.1. Електричні заряди. Закон Кулона.

В природі існують тільки два різновиду електричних зарядів: позитивні і негативні. Любий електричний заряд є дискретним, тобто заряд будь-якого тіла складає ціле кратне від деякого елементарного електричного заряду. Класичним носієм елементарного негативного заряду є електрон (qe = - 1,6 10 -19 Кл), а позитивного - протон (qp = + 1,6 10 -19 Кл). Точковим називається заряд, що зосереджений на тілі, розміри якого дуже малі у порівнянні з відстанню до інших заряджених тіл з якими він взаємодіє.

Узагальнивши дослідні дані, англійсьісий фізик М.Фарадей (1791-1867) сформулював один з фундаментальних законів природи, а саме закон збереження електричного заряду: алгебраїчна сума електричних зарядів будь-якої ізольованої

системи залишається незмінною які б процеси не відбувалися усередині цієї

системи.

Величина електричного заряду не залежить від швидкості його руху, тобто заряд інваріантний по відношенню до усіх інерціальних систем відліку.

Сила взаємодії F0 між двома нерухомими точковими зарядами q1 та q2 у вакуумі, згідно з законом Кулона, прямо пропорційна добутку модулів цих зарядів

та обернено пропорційна квадрату відстані між ними:

1 20 2

q qF = k

r; (18.1)

де r - відстань між зарядами; k - коефіцієнт пропорційності. В системі СІ коефіцієнт пропорційності k дорівнює:

0

1k = 4πε ; (18/2)

де ε0 - електрична стала, ε0 =8,85 10-12 Кл2/Н м2; k = 9 109 Нм2 /Кл2. Сила F0 спрямована вздовж прямої, що з'єднує заряди і є силою притягання (F0

< 0) у випадку різнойменних зарядів і силою відштовхування (F0 > 0) у випадку однойменних зарядів.

У векторній формі закон Кулона має наступний вигляд:

1 21212 3

q qF = k r

r

r

; (18.3)

де 12Fuur

- сила діюча на заряд q1 з боку заряду q2; 12ruur

- радіус-вектор проведений від заряду q1 до заряду q2.

Якщо взаємодіючі заряди знаходяться в деякому середовищі, то сила Кулона дорівнює:

1 22

q qF = k

εr ; (18.4)

де ε - діелектрична проникність середовища. Діелектрична проникність середовища вказує у скільки разів сила

кулонівської взаємодії між зарядами в даному середовищі F менша їхньої сили взаємодії у вакуумі F0:

0ε = F / F ; (18.5)

З формули (18.5) витікає, що діелектрична проникність середовища величина безрозмірна. Для повітря ε ≈ 1.

У міжнародній системі одиниць СІ електричний заряд вимірюється в кулонах: [q] - [А с] = [Кл]. 18.2. Напруженість електростатичного поля. Потік вектора напруженості.

Електричне поле - це особлива форма матерії за допомогою якої здійснюється силова взаємодія між електричними зарядами. Якщо електричні поля створюються нерухомими електричними зарядами, то такі поля називаються електростатичними.

Напруженість електростатичного поля Е це параметр, що дорівнює силі, яка діє на поміщений у дану точку поля одиничний позитивний заряд.

FE =

q

r

ur

; (18.6)

Напрямок вектора Е збігається з напрямком сили, що діє на позитивний заряд, який знаходиться у даній точці поля. Тобто вектор Е буде спрямований радіально від заряду, якщо він позитивний, і радіально до заряду, якщо він негативний (див. рис. 18.1).

З формул (18.1) та (18.6) нескладно отримати вираз для визначення модуля вектора напруженості електростатичного поля Е, що створене деяким зарядом q, у вигляді (18.7).

2

F qE = = k

q r; (18.7)

Або у векторній формі:

3

qE = k r

r

ur r

; (18.8)

де r - відстань між зарядом q і точкою поля в якій вимірюється його напруженість. Графічно електростатичне поле зображується за допомогою силових ліній, які

проводять так, щоб дотичні до них у кожній точці простору збігалися по напрямку з вектором напруженості в даній точці (див. рис. 18.2).

Силові лінії електростатичного поля ніколи не перетинаються. Вони починаються і закінчуються або на електричних зарядах, або в нескінченності. Умовлено, що число силових ліній пронизуючих по нормалі одиницю площі поверхні, повинне дорівнювати модулю вектора напруженості. Тому, чим більше густота силових ліній, тим більше напруженість електростатичного поля.

Потоком вектора напруженості ФE електростатичного поля через елементарну площадку dS називається величина, що дорівнює скалярному добутку векторів Е та dS (див. рис. 18.3):

ΕdΦ = E dS⋅uur r

; (18.9) А числове значення потоку вектора напруженості буде дорівнювати:

ΕdΦ = E dS cosα Тоді потік вектора напруженості крізь довільну поверхню буде визначатись

таким чином:

Ε i

S

Φ = Ε cosα dS∫� ; (18.10)

У системі СІ напруженість електростатичного поля вимірюється у таких одиницях: [Е] = [Н/Кл] = [В/м], а потік вектора напруженості: [Ф] = [(В/м)м2] = [Вм]. 18.3. Принцип суперпозиції для електростатичних полів.

Розглянемо електростатичне поле довільної системи точкових зарядів q1, q2, ..qn; що знаходяться у вакуумі і взаємодіють з деяким точковим зарядом q. Тоді, згідно з принципом незалежної дії сил, що розглядався нами у механіці, маємо:

n

ii=1

F = F∑r ur

; (18.11)

де iFr

- сила, що діє на заряд q з боку деякого заряду qi. У відповідності з виразом (18.6), маємо:

F = qEr ur

, та i iF = qEur uur

;

де Eur

- напруженість поля, що створене системою точкових зарядів q1, q2, ..qn ;

iEur

- напруженість поля, що створене зарядом qi. Підставивши вище приведенні вирази у формулу (18.11) та скоротивши на q,

отримаємо: n

ii=1

E = E∑ur uur

; (18,12)

Рівняння (18.12) виражає принцип суперпозиції електростатичних полів: напруженість електростатичного поля системи точкових зарядів дорівнює

векторній сумі напруженості електростатичних полів створених кожним з цих

зарядів окремо.

Розглянемо декілька прикладів. Приклад перший: визначимо напруженість поля у точці, що знаходиться

посередині двох однакових, але різнойменних зарядів q (див. рис. 18.4).

Тоді, враховуючи напрямок векторів Е+ і Е-, напруженість поля у цій точці,

згідно з принципом суперпозиції, буде дорівнювати: 2

S i + -i=1

E = E = E +E∑ ;

Модулі векторів Е+ та Е- визначимо з формули (18.7) так:

+ 2

qE = k

r

2

; - 2

qE = k

r

2

;

Тоді, в підсумку маємо:

S 2

8qE = k

r;

Приклад другий: визначимо напруженість поля у точці, що знаходиться на відстані r від двох однакових, але різнойменних зарядів q, які знаходяться на відстані r один від одного (див. рис. 18.5).

Напруженість поля у цій точці, згідно з принципом суперпозиції, буде

складати: 2

i + -Si=1

E = E = E +E∑ur ur ur

;

Модуль вектора ES знайдемо за правилом додавання векторів: 2 2 2S + - + -E = E +E +2E E cosβ ;

Враховуючи, що трикутник який зображений на рис. 18.5 є рівностороннім, то β = 120°, а Е+ = Е-. Тоді отримаємо:

2 2 2 0 2S + - + - +E = E +E + 2E E cos120 = E ;

Або:

S + 2

qE = E = k

r;

18.4. Теорема Гаусса для електростатичного поля у вакуумі. Розглянемо позитивний точковий заряд q, що знаходиться у вакуумі.

Визначимо потік вектора Е через деяку сферичну поверхню радіуса г, що оточує цей заряд, причому заряд знаходиться в центрі сфери (див. рис. 18.6).

У цьому випадку модуль вектора Е на сферичній поверхні буде величиною

постійною і може бути визначений з формули (18.7), а кут між векторами Е та dS, буде дорівнювати нулю (α = 0). Тоді з формули (18.10) маємо:

2E 2 2

0 0 0S S

1 q 1 q qΦ = E cosα dS = E dS = S = 4πr =

4πε r 4πε r ε⋅∫ ∫� �

; (18.13)

Таким чином, потік вектора напруженості через сферичну поверхню не залежить від її радіуса.

Це твердження справедливе для будь-якої замкненої поверхні, всередині якої знаходиться деякий електричний заряд.

Якщо всередині сферичної поверхні знаходиться система з п електричних зарядів, то сумарна напруженість поля на її поверхні, згідно з принципом суперпозиції, буде дорівнювати:

n n

i i2i=1 i=10

1 1E = E = q

4πε r∑ ∑

ur

;

Тоді потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню, з урахуванням формули (18.13), буде складати:

n2

E i2i=10S

1 1Φ = EdS = q 4πr

4πε r⋅∑∫�

Або: n

E ii=10

1Φ = q

ε∑ (18.14)

Рівняння (18.14) вперше отримане німецьким фізиком К.Гауссом (1777-1855) і має назву теорема Гаусса: потік вектора напруженості електростатичного поля у

вакуумі крізь довільну замкнуту поверхню прямо пропорційний алгебраїчній сумі

електричних зарядів, які знаходяться усередині цієї поверхні.

18.5 Застосування теореми Гаусса для розрахунку електростатичних полів у вакуумі.

1. Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини. Нехай нескінченна площина позитивно заряджена з поверхневою густиною а. (див рис. 18.7).

При цьому під поверхневою густиною заряду розуміють відношення заряду

площини q до її площі S: qσ = S ; (18.15)

Розглянемо циліндр, одна з основ якого знаходиться на зарядженій площині, а друга на деякій відстані від неї. Потік вектора напруженості ФЕ, що пронизує поверхню циліндра дорівнює:

E 0 σΦ = 2Φ +Φ ; де Ф0, Фσ - потік вектора напруженості через основу та бокову поверхню циліндра, відповідно.

З урахуванням формули (18.9), потік вектора напруженості через поверхню основи циліндра буде дорівнювати:

0Φ = E S cosα = E S ; де S - площа основи циліндра.

У цій формулі cosα = 1, тому, що кут між векторами n і Е дорівнює нулю (див. рис. 18.7).

Потік вектора напруженості через бокову поверхню циліндра:

σ σΦ = E S cosα = 0 ; де Sσ - площа бокової поверхні циліндра.

У цій формулі cosα = 0, тому, що кут між векторами n і Е дорівнює 90° (див. рис. 18.7).

Тоді сумарний потік вектора напруженості крізь поверхню циліндра буде візначатись з наступної формули:

ΕΦ = 2 E S ; (18.16) З іншого бзку, потіквектора напруженості через поверхню циліндра може бути

визначений за допомогою теореми Гаусса, так: n

Ε ii=10 0

1 σSΦ = q =

ε ε∑ ; (18.17)

Порівняємо праві частини формул (18.16) і (18.17), одержимо:

0 0

σS σ2ES = E =

ε 2ε⇒ ; (18.18)

У випадк, коли поле створене двома нескінченними різнойменно зарядженими площинами, то його напруженість всередині між ними буде визначатись з формули (18.19), а справа та зліва від них буде доріиювати нулю.

+ -0 0 0

σ σ σE = E +E = + =

2ε 2ε ε; (18.19)

2. Поле шномірно зарядженої сферичної поверхні. Нехай серична поверхня радіусом R рівномірно заряджена з поверхневок

густиною σ. Електростатичне поле такої сфери має сферичну сиетрію і тому лінії вектора його напруженості мають радіальний напрямок (див рис. 18.8).

Відокрйимо деяку сферу радіусом г, що має загальний центр з зарядженою

сферою. З урахуванням формули (18.9), потік вектора напруженості через поверхню цієї сфери буде дорівнювати:

2ΕΦ = ES cosα = ES = E 4πr (18.20)

Якщо r ≥ R, то потік вектора напруженості через поверхню сфери, у відповідності з теоремою Гаусса, дорівнює:

2n

Ε ii=10 0 0

1 σS σ 4πRΦ = q = =

ε ε ε∑ ; (18.21)

Зіставимо отримані результати:

0

2 22

20

σ 4πR σ R = E 4πr E =

ε ε r⇒

Якщо r < R, то потік вектора напруженості через поверхню сфери, згідно з теоремою Гаусса буде дорівнювати нулю, бо всередині цієї сфери електричних зарядів немає. Тобто: ФE = 0.

Зіставляючи отримані результати, маємо: 2E 4πr = 0 E = 0⇒ ;

Таким чином, всередині зарядженої сфери напруженість електростатичного поля завжди дорівнює нулю. 18.6. Робота електростатичного поля до переміщенню електричних зарядів.

Нехай у полі точкового заряду q з точки 1 у точку 2 вздовж довільної траєкторії рухається інший точковий заряд q0 (див. рис. 18.9).

Тоді елементарна робота на шляху dL буде дорівнювати: dA = FdLcosα; (18.22) Врахувавши закон Кулона, та те, що dL cosα = dr, це рівняння перетворимо до

такого вигляду:

02

qqdA = k dr

r ; (18.23)

Інтегруючи цей вираз у від повіднихграницях, отримаємо повну роботу по переміщенню заряду q0 з точки 1 у точку 2:

2 2 2

11 1

r r r

1,2 0 0 02r 2 1r r

dr 1 1 1A = dA = kqq = -kqq = -kqq -

r r r r

∫ ∫ ;

Або:

0 01,2

1 2

qq qqA = k -

r r

(18,24)

З цього виразу можливо зробить наступний висновок: робота по переміщенню зарядів в електростатичному полі не залежить від траєкторії їхнього руху, а визначається виключно положенням початкової і кінцевої точки руху.

Отже, електростатичне поле точкового заряду є потенційним, а електростатичні сили, що діють у цьому полі - консервативними. З рівняння (18.24) випливає, що робота виконана при переміщенні електричного заряду в зовнішньому електростатичному полі по будь-якому замкнутому контуру завжди дорівнює нулю. Тобто:

L

dA = 0∫ ; (18.25)

18.7. Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля.

З рівняння (18.22) маємо:

002

qqdA = dL cosα = q EdL cosα

r; (18.26)

Добуток EdLcosα у цій формулі являє собою скалярний добуток векторів Εur

та dLur

. Тоді вираз (18.26) можливо представити у такому вигляді: 0dA = q EdLur ur

. А повна робота по будь-якому замкнутому контуру буде визначатись таким

чином:

0

L L

dA = q EdL = 0∫ ∫ur ur

� � ; (18.27)

Інтеграл виду EdL∫ur ur

� отримав назву циркуляція вектора E

ur

.

З рівняння (18.27)можливо зробить висновок, що L

EdL = 0∫ur ur

� бо 0q 0≠ , по

умові задачі, яка розглядається. А це значить, що циркуляція вектора напруженості електростатичного поля

вздовж будь-якого замкнутого контуру завжди дорівнює нулю. Тобто:

L

EdL = 0∫ur ur

�; (18.28)

18.8. Потенціал електростатичного поля.

Перетворимо вираз (18.24) до такого вигляду:

0 01,2 1 2

1 2

qq qqA = k - k = W - W

r r; (18.29)

Як відомо, робота консервативних сил здійснюється за рахунок зменшення потенціальної енергії. Тому ми маємо всі підстави стверджувати, що потенціальна енергія заряду q0 в полі заряду q визначається таким чином:

0qqW = k

r; (18.30)

З цієї формули слідує, що потенціальна енергія однойменних зарядів позитивна, а різнойменних - негативна.

Потенціалом електростатичного поля в будь-якій його точці називається

скалярна фізична величина, яка визначається потенціальною енергією одиничного

позитивного заряду, що поміщений у цю точку. Тобто:

0

0 0

qqW qφ = = k = k

q rq rϕ⇒ ; (18.31)

Тоді, з врахуванням виразу (18.29) повна робота при переміщенні заряду q0 з точки 1 до точки 2 буде дорівнювати:

0 1 2A = q (φ - φ ) ; (18,32) З виразів 18.30 та 18.31 видно, що за умсви r →∞ , як потенціальна енергія так

потенціал обертається в нуль. Визначимо роботу по переміщенню деякого заряду q0 з нескінченності у дану

точку поля. Тоді з формули (18.32) маємо:

0 1 0 1A = q (φ - 0) = q φ∞ ; Звідки:

10

Aφ =

q∞

; (18.33)

З цього виразу можливо дати таке визначення потенціалу: потенціал це

величина яка чисельно дорівнює роботі по переміщенню одиничного позитивного

заряду з нескінченності в дану точку поля.

Якщо електростатичне поле створюється системою електричних зарядів, то потенціал такого поля дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів створених кожним з цих зарядів окремо, а напруженість - векторній сумі напруженості кожних з цих полів.

У системі СІ потенціал електростатичного поля вимірюється у вольтах: [φ] = [Дж/Кл] = [В]. 18.9. Зв'язок потенціалу електростатичного поля з його напруженістю. Еквіпотенціальні поверхні.

Визначимо роботу по переміщенню заряду q0 з точки X1 де потенціал поля становить φ1 в точку Х2 де потенціал поля φ2 (див. рис 18.10).

Згідно з визначенням роботи сили, маємо:

2 1 0 2 1A = F(X - X ) = Eq (X - X ) ; А далі визначимо цю роботу на підставі формули (18.32):

0 1 2 0 2 1A = q (φ - φ ) = -q (φ - φ ) ; Порівняємо значення цих робіт:

0 2 1 X 0 2 1-q (φ - φ ) = E q (X - X ) Звідки:

2 1X

2 1

φ - φE = -

X - X;

У випадку коли відстань між точками 1 і 2 наближається до нуля, вище приведене рівняння перетворюється на частинну похідну:

X

φE = -

x

∂∂

; (18.34)

А у випадку коли заряд рухається у тривимірному просторі формула (18.34) перетворюється до наступного вигляду

φ φ φE i j k

x y z

∂ ∂ ∂= − + + ∂ ∂ ∂

ur r r r

; (18.35)

де i, j, kr r r

- одиничні орти. Оператор, що знаходиться у дужках виразу (18.35), отримав назву градієнт. Тоді:

E = -gradφur

; (18.36) Тобто вектор напруженості електростатичного поля дорівнює градієнту його

потенціалу. Знак мінус у формулах 18.34-18.36 означає, що вектор напруженості

електростатичного поля спрямований у бік зменшення його потенціалу. Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля

використовують еквіпотенціальні поверхні - це поверхні всі точки яких мають однаковий потенціал.

Вектор напруженості електростатичного поля завжди спрямований по нормалі до еквіпотенціальної поверхні. По густині еквіпотенціальних поверхонь можна судити про напруженість поля: там де їх густина на одиницю довжини більша, там напруженість поля більша. На рис. 18.11 подано еквіпотенціальні поверхні

(пунктирні лінії) та силові лінії поля (суцільні лінії) для поля точково го заряду.

18.10. Електричний диполь та його поле.

Електричним диполем називається система, що складається з двох точкових зарядів однакових за величиною та протилежних за знаком, відстань між якими суттєво менша відстані від диполя до вибраної точки поля, тобто r L� (див. рис. 18.12).

Вектор направлений по осі диполя від негативного заряду до позитивного,

модуль якого дорівнює відстані між зарядами, отримав назву плече диполя L. Вектор, що співпадає за напрямком з плечем диполя, та дорівнює добутку

заряду диполя на його плече називається дипольним моментом Р.

p = qLr ur

; (18.37) Напруженість поля диполя на перпендикулярі, що проведений через середину

плеча диполя, має напрямок протилежний напрямку моменту диполя і дорівнює:

p 30

1 pE =

4πε r; (18.38)

Якщо диполь знаходиться в зовнішньому електростатичному полі, то на його заряди діють рівні за модулем та протилежні за напрямком сили, що створюють момент сил, модуль якого дорівнює:

M =q EL sinγ = pE sinγ : (18.39) де γ - кут між векторами р та Е.

Таким чином, електростатичне поле створює орієнтуючу дію, намагаючись зорієнтувати диполь по полю. 18.10. Контрольні запитання. 1. Сформулюйте та запишіть закон Кулона. 2. Дайте визначення напруженості електростатичного поля. 3. Яким чином визначається потік вектора напруженості електростатичного поля. 4. Сформулюйте принцип суперпозиції для електростатичного поля.

5. Сформулюйте та запишіть теорему Гаусса для електростатичного поля у вакуумі. 6. Як визначається робота по переміщенню електричних зарядів в електростатичному полі. 7. Чому дорівнює циркуляція вектора напруженості електростатичного поля по замкненому колу. 8. Дайте визначення потенціалу електростатичного поля. 9. Що називається електричним диполем? Наведіть його головні властивості. ГЛАВА 19. ЕЛЕКТРОСТАТИЧНЕ ПОЛЕ В РЕЧОВИНІ 19.1. Поляризація діелектриків. Вектор поляризації.

Атоми та молекули будь-якої речовини складаються з позитивних ядер та деякої кількості негативних електронів, що знаходяться на електронних оболонках атомів. Тому молекулу або атом можливо розглядати як електричний диполь з дипольним моментом, що визначається за наступною формулою:

p = q∆Lr ur

; (19.1) де q - загальний позитивний заряд усіх атомних ядер в молекулі, ∆L

ur

- вектор, проведений з центра мас негативних зарядів молекули в центр мас позитивних зарядів.

Електрони зовнішніх оболонок слабкіше зв'язані з ядрами, ніж електрони внутрішніх. Тому при накладанні зовнішнього поля електрони зовнішніх оболонок мають можливість відносно вільно пересуватись у просторі, а електрони внутрішніх оболонок такої можливості не мають. Електричні заряди які мають можливість вільно пересуватись у просторі отримали назву вільних, а ті заряди, що такої можливості не мають - зв'язаних.

Речовина в якій концентрація вільних зарядів значно нижча, ніж зв'язаних отримала назву діелектрик. Виходячи з цього визначення неважко збагнути, що усі діелектрики є поганими провідниками електричного струму.

Заряди, які хоч і знаходяться в границях діелектрика, але не входять до складу його молекул називають сторонніми.

В залежності від взаємного розміщення зарядів в молекулах усі діелектрики можливо розділити на три великі групи.

До першої групи діелектриків (Н2; O2) належить та речовина, молекули якої мають симетричну будову і називаються неполярними молекулами. За умови відсутності зовнішнього електростатичного' поля, дипольний момент таких молекул дорівнює нулю.

До другої групи діелектриків (Н2O; SO2) належить та речовина, молекули якої мають асиметричну будову і називаються полярними молекулами.

За умови відсутності зовнішнього електростатичного поля, такі молекули мають деякий дипольний момент. Однак внаслідок теплового руху дипольні моменти полярних молекул орієнтовані хаотично, тому результуючий дипольний момент макроскопічного об'єму полярного діелектрика, як правило, дорівнює нулю.

До третьої групи діелектриків (NaCl; KBr) належить та речовина, молекули якої мають іонну будову. Іонні кристали являють собою просторові грати з правильним чергуванням іонів різних знаків. За умови відсутності зовнішнього електростатичного поля, сумарний дипольний момент таких кристалів дорівнює нулю. Однак внесення будь-якого діелектрика у зовнішнє електростатичне поле

приводить до виникнення у ньому відмінного від нуля результуючого дипольного моменту, тобто до поляризації діелеюрика.

Відповідно до трьох типів діелектриків відрізняють і три типа поляризації. Електронна поляризація діелектрика з неполярними молекулами виникає за

рахунок деформації їх електронних орбіт під впливом зовнішнього електростати чного поля (див. рис. 19.1).

Іонна поляризація має місце в твердих діелектриках, що мають кристалічну

структуру. Зовнішнє електростатичне поле викликає в таких діелектриках зміщення всіх позитивних іонів у напрямку силових ліній поля, а всіх від'ємних - у протилежний бік (рис. 19.2).

Оріентаційна поляризація спостерігається в полярних діелектриках. В

звичайних умовах дипольні моменти полярних молекул зор ієнтовані хаотично. Зовнішнє електростатичне поле намагається їх зорієнтувати за напрямком силових ліній поля.

В результаті виникає переважна орієнтація дипольних моментів полярних молекул діелектрика (див. рис. 19.3).

Вектором поляризації називається дипольний момент одиниці об'єму

діелектрика: n

ii=1

pP =

V

∑uur

ur

; (19.2)

де pi

uur

- дипольний момент окремоїмолекули. Вектор поляризації діелектрика прямо пропорційний напруженості

зовнішнього електростатичного поля в якому він знаходиться:

0P = χε Eur ur

; (19.3) де χ - діелектрична сприйнятливість речовини, що характеризує властивості діелектрика.

Діелектрична сприйнятливість параметр безрозмірний, він завжди більше одиниці. Наприклад, для води: χ = 80.

У міжнародній системі одиниць СІ модуль вектора поляризації виміряється в таких одиницях [Р] = [Кл м / м3] = [Кл / м2]. 19.2. Напруженість електричного поля в діелектриках.

Розглянемо діелектрик, який знаходиться в зовнішньому електростатичному полі, що створене двома нескінченними різнойменно зарядженими площинами з поверхневою густиною електричного заряду σ (див. рис. 19.4). У відповідності з формулою (18.19) напруженість такого поля буде дорівнювати: 0 0E = σ ε .

Під дією цього поля діелектрик поляризується, тобто позитивні заряди зміщуються по полю, а негативні - проти поля. Внаслідок цього на протилежних гранях діелектрика виникають некомпенсовані зв'язані заряди з поверхневою густиною σ1, які створюють додаткове електричне поле Е1 направлене проти зовнішнього поля Е0.

Таким чином, згідно з принципом суперпозиції для електростатичних полів, напруженість поля в діелектрику Е дорівнює векторний сумі напруженості зовнішнього поля Е0 та напруженості поля, що створене зв'язаними зарядами Е1:

10E = E - E ; (19.4)

У відповідності з формулою (19.2) повний дипольний момент пластинки діелектрика, що зображена на рис 19.4, буде складати:

n

ii=1

p = PV = PSd∑r ur ur

; (19.5)

де S - площа грані пластинки діелектрика; d - її товщина. З іншого боку, у відповідності з формулою (19.1), повний дипольний момент

діелектрика дорівнює добутку зв'язаного заряду кожної грані на відстань між ними: n

1 1i

i=1

p = Q d = σ Sd∑r

; (19.6)

Порівнявши праві частини вище приведених рівнянь, маємо: 1P S d = σ S d

Звідки: 1σ = P ; (19.7)

Тобто, модуль вектора поляризації дорівнює поверхневій густині зв'язаних електричних зарядів.

Електричне поле зв'язаних зарядів на поверхні пластинки діелектрика можливо розглядати як поле створене двома нескінченними площинами (див. рис. 19.4).

Тоді, згідно з формулою (18.19), маємо:

11 0

0 0 0

χε Eσ PE = = = = χE

ε ε ε;

А з виразу (19.4) маємо:

0 0 0E = E - χE E(1+χ) = E 1 + χ = E E⇒ ⇒ ;

Враховуючи, що 0E E = ε , з вище приведеного виразу маємо:

ε = 1 + χ ; (19.8) А це значить, що діелектрична проникність речовини є чиселв характеризує

властивість діелектрика поляризуватись у зовнішньому електричному полі. 19.3. Вектор електричного зміщення. Теорема Гаусса для електричного поля у діелектриках

Оскільки вектор напруженості електричного поля змінюєтя при переході з одного середовище в інше, тому для характерист» електричного поля в діелектриках використовуємся поняття проектор електричного зміщення D:

0D = εε Eur ur

; (19.9) Вектор електричного зміщення характеризує електричне поі що створюється

вільними електричними зарядами, однак при тако^. їх розподілу у просторі яке має місце при наявності в ньому діелег-рика. Тому картина електричних полів, що зображена на рис, 19.4 може бути перетворена на картину зображену на рис. 19.5.

Поле вектора D зображується за допомогою ліній електричногч зміщення,

напрямок та густина яких визначається таким же чином, як і ліній напруженості поля. Лінії вектора електричного зміщення можуть починатись та завершуватися тільки на вільних зарядах.

Через частини поля, де знаходяться зв'язані заряди, лінії вектора D проходять не перериваючись. Основною властивістю вектора електричного зміщення є те, що він не змінюється при переході з одного середовище в інше.

Перетворимо вираз (19.9) у такий спосіб:

0 0 0D = (1 + χ)ε E = ε E + χε Eur ur ur ur

; Звідки:

0D = ε E + Pur uur ur

; (19.10)

Визначимо потік вектора електричного зміщення через деяку замкнену поверхню, перетворивши вираз (19.10) до наступного вигляду:

0

D 0 0 0

S S S S

EΦ = D dS = εε E dS = εε dS = ε E dS

ε∫ ∫ ∫ ∫ur

ur r ur r r ur r

� � � � ;

Врахувавши теорему Гаусса для електростатичного доля у вакуумі, останній інтеграл у цій формулі перетворимо до такого вигляду:

n

D 0 0 ii=10S

1Φ = ε E dS = ε q

ε∑∫

ur r

� ;

Звідки: n

D ii=1

Φ = q∑ ; (19.11)

Ця формула і визначає теорему Гаусса для електростатичного поля в діелектрику: потік вектора електричного зміщення в діелектрику крізь деяку

замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі вільних електричних зарядів, які

знаходяться всередині цієї поверхні. 19.4. Сегнетоелектрики. П'езоефект.

Деякі види речовин володіють спонтанною поляризованістю навіть у разі відсутності зовнішнього електричного поля. Усі вони отримали загальну назву сегнетоелектрики. Наприклад, сегнетоелектриками є: сегнетова сіль

4 4 6 2NaKC H O 4H O⋅ , титанат барію 3BaTiO . Усі сегнетоелеюрики мають характерну внутрішню будову, а саме доменну

будову. Домен - це мікрочастинка сегнетоелектрика цо має значну природну поляризованість (див. рис. 19.6). За звичайних умов вектори поляризації доменів орієнтовані хаотично, тому сумарний дипольний момент сегнетоелектрика близький до нуля.

Однак при внесенні сегнетоелектрика у зовнішнє електричне поле від-

бувається орієнтація дипольних моментів окремих доменів за полем, внаслідок чого виникає сумарне поле доменів.

Завдяки цьому механізму усі сегнетоелектрики мають аномально велике

значення діелектричної проникності, наприклад у сегнетової солі 4ε 10≈ . Електричне поле доменів буде підтримувати орієнтацію дипольних моментів і

після того, як дія зовнішнього поля припиниться. Властивості сегнетоелектриків дуже залежать від їх температури. Для кожного

окремого сегнетоелектрика є певна температура при досягненні якої його незвичайні властивості щезають. Ця температура отримала назву точка Кюрі.

Перетворення сегнетоелектрика у звичайний діелектрик, що відбувається у точці Кюрі, є фазовим переходом II роду.

В сегнетоелектриках формула (19.3) не виконується, бо залежність їх поляризованості від напруженості зовнішнього електричного поля є нелінійною і має вигляд петлі гістерезиса (рис. 19.7).

При вмиканні електричного поля поляризованість сегнетоелектрика Р збі-

льшується з ростом його напруженості Е у відповідності ; з кривою 1 на рис. 19.7,

досягаючи максимального насичуючого значення HP . Зменшення напруженості електричного поля приводить до зниження

поляризованості сегнетоелектрика, що відбувається по кривій 2. При Е = 0 речовина зберігає деяке значення поляризованості, що називається залишковою поляризованістю Р0. Тільки під дією протилежно спрямованого поля напруженістю ЕС поляризованість сегнетоелектрика досягне нуля. Це значення напруженості електричного поля ЕС називають коерцитивною силою. При подальших змінах Е, зміна Р відбувається по кривій 3.

Зв'язок між поляризацією діелектрика та його пружними механічними властивостями отримав назву п'єзоефекту.

Якщо механічним засобом деформувати п'єзокристал, то він поляризується і навпаки, при поляризації п'езокристалу електричним полем він деформується. Яскравим прикладом п'езокристалу є кварц. Існування п'єзоефекту є наслідком несиметричної будови іонних кристалів. Розглянемо несиметричний іонний кристал, решітка якого складається з позитивно зарядженого іону та трьох негативно заряджених іонів (див. рис. 19.8-а).

У недефорімованому стані сумарний дипольний момент молекули дорівнює нулю. Однак якщо кристал стиснути у вертикальному напрямку, то нижній негативний іон залишається на місці, а обидва верхніх здвинугься вниз, без зміни відстані від центрального позитивного іону.

Це приводить до зміщення центру симетрії негативних іонів вниз, на деяку відстань, без зміни у просторі положення позитивного іону (див. рис. 19.8-б).

Внаслідок цього у молекули з'являється деякий, направлений вгору, дипо-

льний момент:

Р = 3 е а; (19.12) де е - елементарний заряд.

Обернений п'єзоефект полягає в тому, що в іонному кристалі, який помістили у зовнішнє електричне поле, відбудеться зміщення позитивних зарядів в одну сторону, а негативних - в другу, тобто виникає механічне деформування кристалу.

Явище п'єзоефекгу використовується, наприклад в мікрофонах, У якості ефективного перетворювача електричних коливань в механічні та навпаки.

19.5. Провідники у електростатичному полі. Електрична ємність провідників.

Провідником називається речовина, в якій наявна значна концентрація вільних електричних зарядів та є можливість їх упорядкованого переміщення.

Тому, якщо провідник помістити у зовнішнє електричне поле, то вільні електричні заряди почнуть рухатись до поверхні провідника. При цьому позитивні заряди будуть накопичуватись на одній стороні поверхні провідника, а негативні на протилежній (див. рис. 19.9).

Ці, розташовані на поверхні провідника заряди, отримали на зву індукційних,

а саме явище їх накопичування - електростатичною індукцією. За досить короткий час (τ ≈ 10-3 с.) напруженість поля створеного

індукційними зарядами досягне значення напруженості зовнішнього поля, тобто Е0=Е1. Тоді всередині провідника напруженість поля буде дорівнювати: Е=Е0-Е

1=0. Таким чином всередині любого провідника напруженість електричного поля, а

значить, у відповідності з формулою (19.9), і вектор електричного зміщення, дорівнюють нулю:

E 0≡ur

; D 0≡ur

; (19.13) З урахуванням формули (18.34), з цього співвідношення випливає, що

потенціал електростатичного поля всередині провідника завжди є величиною постійною.

Тобто: φ

E = - = 0 φ = constx

∂⇒

∂; (19.14)

А це значить, що поверхня провідника у електростатичному полі є еквіпотенціальною, а напруженість зовнішнього поля завжди направлена по нормалі до кожної точки на його поверхні (див. рис. 19.10).

Те, що індукційні заряди накопичуються тільки на поверхні провідника випливає з теореми Гаусса.

Дійсно з рівняння (19.11), отримаємо: n

ii=1S

D dS = q = 0∑∫ur r

� ; бо D 0≡ur

.

Тобто, сума електричних зарядів всередині провідника завжди дорівнює нулю. А тепер визначимо потік вектора електричного зміщення D через деяку

поверхню провідника dS, на якій розташовані індукційні заряди з поверхневою густиною σ (див. рис. 19.11).

За визначенням, потік вектора D через нормальнуповерхню дорівнює:

DΦ = D dS ; З іншого боку, використовуючи теорему Гаусса виду (19.11), значення цього ж

потоку вектора D можливо визначити так: n

D ii=1

Φ = q = dS σ∑ ;

Вочевидь, що значення параметра не залежить від способу його визначення, а тому порівняємо праві частини останніх двох рівнянь та отримаємо:

D dS = dS σ Звідки маємо: D = σ (19.14) Або у іншому вигляді:

0

σE =

ε ε ; (19.15)

Таким чином, електростатичне поле біля поверхні провідника визначається густиною індукційних зарядів на його поверхні.

Відношення заряду провідника до його потенціалу отримало на-зву електричної ємності:

qC =

φ ; (19.16)

Електрична ємність любого провідника залежить від його розмірів та форми. Разом з тим електрична ємність провідника не залежить від його електричних параметрів, бо збільшення заряду на провіднику приводить до відповідного збільшення, згідно з виразом (18.31), потенціалу. Але відношення цих параметрів, як це видно з формули (19.16), останеться без зміни.

У міжнародній системі одиниць СІ електрична ємність виміряється в фарадах: [С] = [Кл В-1] = [Ф].

Для прикладу визначимо електричну ємність кулі радіусом R. У відповідності з формулою (18.31), маємо:

0

q 1 Cφφ = k =

R 4πε εR;

Звідки:

0C = 4πε ε R ; (19.17) Якщо по цій формулі зробить чисельні розрахунки, наприклад електричної

ємності Земної кулі, то ми отримаємо: -33C 0,7 10 Φ≈ .

Тобто електрична ємність в одну фараду, це величина занадго велика. Тому в реальних розрахунках використовуються значно менші величини ємності: мкФ = 10-6 Ф; нФ = 10-9 Ф; пФ = 10-12 Ф. 19.6. Конденсатори.

Пристрій, який має можливість накопичувати значні за величиною електричні заряди, отримав назву конденсатор. Любий конденсатор складається з двох провідників (обкладок), які заряджені рівними, але різнойменними за знаком, електричними зарядами.

У відповідності з формулою (19.16), електрична ємність любого конденсатора дорівнює:

1 2

qC =

φ - φ ; (19.18)

де q - заряд, що накопичений на обкладках конденсатора, Кл; φ1 - φ2 - різниця потенціалів між обкладками конденсатора, В.

В залежності від конструкції обкладок конденсатора відрізнять плоскі, сферичні та циліндричні конденсатори.

Розрахуємо електричну ємність плоского конденсатора (див. рис. 19.12).

Нехай між обкладками конденсатора знаходиться діелектрик, діелектрична

проникність якого ε, відстань між ними d, площа обкладок S, а густина електричних зарядів на обкладках конденсатору дорівнює σ. Тоді, у відповідності з формулою (18.34), різниця потенціалів на обкладках конденсатору буде дорівнювати:

-dφ = E dx ; Інтегруємо це співвідношення у відповідних межах:

2

1

j d

2 1

j 0

dφ = Edx -(φ - φ ) = E(d - 0)− ⇒∫ ∫ ;

Звідки, враховуючи формулу (18.19) для розрахунку напруженості електростатичного поля, яке створене двома нескінченними зарядженими площинами, маємо:

1 20

σφ - φ d

εε=

Врахувавши, що заряд на обкладках конденсатору буде дорівнювати q = σ S, з формули (19.18) отримаємо вираз для визначення електричної ємності плоского конденсатору:

00

1 2

σSεεq SC εε

φ - φ σd d= = = ; (19.19)

Аналогічним чином розмірковуючи, можливо одержати формулу для визначення електричної ємності циліндричного (19.20) та сферичного конденсаторів (19.21).

Ц 02 1

LC = 2πεε

ln r - ln r ; (19.20)

1 2СФ 0

2 1

r rC = 4πεε

r - r ; (19.21)

де: L - довжина конденсатора, м; r2; r1 - відповідні радіуси циліндрів та сфер, м. Для збільшення або зменшення ємності конденсаторів їх об'єднують у батареї,

при цьому використовз'ється послідовне або паралельне з'єднання. 1. Паралельне з'єднання конденсаторів (див, рис. 19.13).

При паралельному з'єднанні конденсаторів різниця потенціалів на їх обкладках однакова і дорівнює: φА – φБ . Якщо ємності окремих конденсаторів складають С1; С2; .... Сn, то у відповідності з формулою (19.18), заряд кожного з них дорівнює:

1 1 A Б

2 2 A Б

n n A Б

q = C (φ - φ );

q = C (φ - φ );

q = C (φ - φ );

KKKKKKKK

А електричний заряд усієї батареї: n

i 1 2 n А Бi=1

Q = q = (C + C + …… + C ) (φ - φ )∑ ; (19.22)

А повна ємністьбатареї конденсаторів буде дорівнювати:

1 2 nА Б

QC = = C + C + …… + C

(φ - φ )

Тобто при паралельному з'єднанні конденсаторів їх сумарна ємність дорівнює сумі ємностей кожного з конденсаторів.

2. Послідовне з'єднання конденсаторів (див, рис. 19.14).

При послідовному з'єднанні конденсаторів заряди на всіх конденсаторах рівні

по модулю і дорівнюють заряду усієї батареї: Q = q1 = q2 = qn. А різниця потенціалів на всій батареї дорівнює алгебраїчній сумі різниць потенціалів на кожному з конденсаторів:

1 2 n∆φ = ∆φ + ∆φ + ∆φ ; Різниця потенціалів на кожному з конденсаторів може бути обчислена з

наступної формули:

ii

Q∆φ =

C ; (19.24)

Тоді різниця потенціалів на всій батареї конденсаторів може бути обчислена за наступною формулою:

1 1 n 1 1 n

Q Q Q 1 1 1∆φ = + + …… + = Q + + …… +

C C C C C C

;

А повна ємність батареї конденсаторів, у відповідності з формулою (19.18),

буде дорівнювати:

1 1 n

∆φ 1 1 1 1 = = + + …… +

Q C C C C ; (19.25)

Таким чином, при послідовному з'єднанні конденсаторів їх обернена сумарна ємність дорівнює сумі обернених ємностей кожного з конденсаторів. 19.7. Енергія відокремленого провідника. Енергія конденсатора. Пондеромоторна сила.

Нехай деякий провідник має заряд q, ємність та потенціал котрого дорівнюють С та φ.

Для того щоб збільшити заряд цього провідника на dq необхідно перенести цей заряд з нескінченності на даний провідник. Тобто необхідно виконати роботу, що у відповідності з формулою (18.33), дорівнює: dA = φ dq. Враховуючи, що

q φ = C , значення цієї роботи може бути визначене таким чином:

qdA = dq

C ; (19.26)

Енергія зарядженого провідника W чисельно дорівнює тій роботі, яку треба виконати, щоб зарядити цей провідник.

Виходячи з цього визначення, інтегруємо вираз (19.26) у відповідних межах і отримуємо вираз для визначення енергії відокремленого провідника:

q q 2

0 0

q qW = dA = dq =

C 2C∫ ∫ ; (19.27)

Або, з урахуванням формули (19.16), вище приведене співвідношення можливо представити у вигляді (19.27).

qjW =

2;

2CφW =

2; (19.28)

Отримані вирази (19.27) та (19.28) можливо використовувати і для визначення енергії конденсаторів, якщо у якості незалежних параметрів використовувати електричні параметри конденсаторів.

Оскільки обкладки любого конденсатора мають різнойменні знаки, то у відповідності з законом Кулона вони повинні притягатися з деякою силою F, що отримала назву пондеромоторної.

Робота цієї сили виконується за рахунок зменшення потенціальної енергій конденсатора:

dWF = -

dx ;

З цього виразу, з урахуванням формули ємності плоского конденсатора (19.19) та формули (19.27) для визначення енергії конденсатора, отримаємо:

2 2

0 0

dW d q x qF = - = - = -

dx dx 2εε S 2εε S

; (19.29)

Від'ємний знак у цій формулі вказує на те, що пондеромоторна сила прагне зменшити відстань між обкладками конденсатора. 19.8. Енергія електростатичного поля. Густина енергії.

Визначимо енергію плоского конденсатора, використавши вираз для розрахунку його ємності та визначивши різницю потенціалів на його обкладках таким чином:

∆φ = Ex ; де Е, x - напруженість електростатичного поля та відстань між обкладками конденсатора.

Тоді формула (19.28) для визначення енергії конденсатора можливо представити у наступному вигляді:

2 222 20 0 0εε S εε E εε ECφ

W = = E x = S x = V2 2x 2 2

; (19.30)

де V - об'єм конденсатору. Вираз (19.30) зв'язує енергію конденсатора з напруженістю поля між його

обкладками і вказує на те, що носіями енергії є не заряди, а електростатичне поле, яке створене цими зарядами.

Об'ємною густиною енергії ω називається параметр, що дорівнює відношенню енергії електростатичного поля до її об'єму:

2 20 0εε E εε EW

ω= = V = V 2V 2 ; (19.31)

Перетворимо цю формулу таким чином:

0εε E E E Dω = =

2 2

ur ur ur ur

; (19.32)

де Dur

- вектор електричного зміщення. Нагадаємо, що вектор електричного зміщення дорівнює:

0D = ε E + Pur ur ur

; Тоді формулу (19.32) можливо перетворити до такого вигляду:

2

0ε E E Pω = +

2 2

ur ur ur

; (19.33)

Перший доданок у цій формулі визначає густину енергії електростатичного поля у вакуумі, а другий доданок - енергію, що використовується на поляризацію діелектрика. 19.9. Контрольні запитання. 1. Які види поляризації Вам відомі, і в чому їх суть ? 2. Що характеризує діелекгрична сприйнятливість речовини? 3. Дайте визначення вектора поляризації ? 4. Сформулюйте теорему Гаусса для діелектриків? 5. Як визначається вектор електричного зміщення. 6. Які характерні властивості сегнетоелектриків Ви знаєте ? 7. Що називають електричною ємністю двох провідників? 8. Запишіть формули для визначення електроємності плоского, сферичного та циліндричного конденсаторів. 9. Чому дорівнює енергія зарядженого провідника? 10. Як визначити об'ємну густину енергії електричного поля? ГЛАВА 20. ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ 20.1. Електричний струм. Сила та густина струму.

Електричним струмом називається любий упорядкований рух електричних зарядів.

Упорядкований рух вільних електричних зарядів отримав назву струм провідності.

Упорядкований рух макроскопічних заряджених тіл отримав назву конвекційний струм.

За напрям електричного струму умовно приймається напрям руху позитивних електричних зарядів, а електрони рухаються в зворотному струму напрямку. Для виникнення та існування струму провідності необхідна наявність у середовищі вільних електричних зарядів та електричного поля для переміщення цих зарядів.

Сила струму це скалярна величина, що дорівнює заряду який переноситься через поперечний переріз провідника за одиницю часу:

dqI =

dt; (20.1)

Електричний струм називають постійним якщо його напрям та величина не змінюється з часом. Для такого струму:

qI =

t; (20.2)

де q - електричний заряд, що переноситься через деяку поверхню за певний проміжок часу t.

Струм, що періодично змінюється з часом як за величиною так і за напрямом, називається змінним струмом.

Векторна величина, що визначається силою струму, який проходить через одиницю площі поперечного перерізу провідника називається густиною струму ј:

Ij =

S

r

; (20.3)

Напрям вектора густини струму j співпадає з напрямом руху позитивних зарядів.

Якщо густина струму в перерізі провідника не є постійною, то в такому випадку сила струму через цей провідник може бути розрахована, з урахуванням виразу (20.3), за наступною формулою:

S

I = j dS⋅∫r r

; (20.4)

При зміні площі поперечного перерізу провідника, сила струму в ньому не змінюється і тому має місці наступна рівність:

1 1 2 2I = j S = j S = const ; де S1, S2 - довільні площі поперечного перерізу провідника; j1, j2 - густина струму у відповідних перерізах.

Виходячи з того, що електричний струм у речовині являє собою направлений рух зарядів, з'являється можливість його визначення через відповідні характеристики цих електричних зарядів.

Дійсно, якщо концентрація носіїв струму у речовині дорівнює n, а середня швидкість V, і кожний носій має заряд е, тоді за час dt через поперечний переріз S буде переноситись такий заряд:

dq = n e V S dt ; Тоді, з урахуванням виразу (20.1), сила струму дорівнює: I = n e V S ; (20.5) А сила струму:

j = n e V r

; (20.6) де е - елементарний заряд, що дорівнює 1,6 10-19 Кл.

Сила струму в системі СІ вимірюється в амперах: [І] = |q/t] = [Кл/с] = [А], а густини струму у таких одиницях: [ j ] = [I/S] = [А/м2]. 20.2. Сторонні сили. Електрорушійна сила і напруга.

Якщо два провідника, що заряджені до різнойменних потенціалів фі та ф2 з'єднати іншим провідником, то під дією електростатичного поля між точками А та В почнеться рух електричних зарядів. Тобто між провідниками виникне елект ричний струм з густиною j (рис. 20.1).

Але за дуже короткий час (τ = 10-3 с) відбудеться вирівнювання потенціалів

між точками А та В, рух зарядів припиниться і значить електричний струм перестане існувати. Тому для підтримки довготривалого існування електричного струму у мережі, необхідно мати спеціальний пристрій всередині якого відбувалося б розділення різнойменних зарядів та їх переніс до відповідних провідників. Такі пристрої отримали назву джерела струму.

Переміщення електричних зарядів у середині любих джерел струму відбувається за рахунок сил неелектричного походження і загалом усі ці сили отримали назву сторонніх. Сторонні сили можуть діяти або на протязі всього кола, або на окремих його дільницях. Природа сторонніх сил різноманітна. Так в хімічних .джерелах струму сторонні сили виникають за рахунок енергії хімічних реакцій, в електрогенераторах - за рахунок енергії магнітного поля.

Сторонню силу FCT, що діє на заряд q, можна визначити як добуток цього заряду на напруженість поля сторонніх сил ЕСТ:

CT CTF =qEr ur

; (20.7) А робота сторонніх сил на дільниці 1-2 кола буде складати:

2 2

CT

1 1

A = Fdl q Edl=∫ ∫r r ur r

; (20.8)

Фізична величина, що чисельно дорівнює роботі сторонніх сил по переміщенню одиничного позитивного заряду отримала назву електрорушійної сили (е.р.с):

CT

0

Aε =

q; (20.9)

Звісно на любий заряд, крім сторонніх сил, діють і електростатичні сили, а це значить, що сумарна робота по переміщенню одиничного позитивного заряду на деякій ділянці електричного кола, буде дорівнювати:

ст eлA = A +A ; де Аел, - робота електростатичних сил.

Або, з урахуванням формул (18.32) та (20.9), маємо:

0 0 1 2А = εq + q (φ - φ ) ; (20.10) Напругою U на деякій дільниці електричного кола називається параметр, що

чисельно дорівнює роботі електростатичних та сторонніх сил по переміщенню

одиничного позитивного заряду по цій дільниці кола. З урахуванням цього визначення, з формули (20.10), маємо:

0 1 2 12 1 2A q = ε + (φ - φ ) U = + (φ - φ ) ε⇒ ; (20.11) де U12 - напруга на дільниці 1-2 деякого електричного кола.

Дільниця кола, на якій не діють сторонні сили, називається однорідною, а дільниця де діють сторонні сили - неоднорідною.

В міжнародній системі одиниць СІ, як електрорушійна сила так і напруга, вимірюється в тих же одиницях, що й потенціал, тобто у вольтах:[U] = [В];[ε] = [В]. 20.3. Закон Ома. Опір провідників.

Німецький фізик Г.Ом (1787-1854) експериментально довів, що сила струму І, який протікає по однорідній дільниці кола, прямо пропорційна напрузі на дільниці U та обернено пропорційна електричному опору цієї дільниці R:

UI = R ; (20.12)

де R - електричний опір дільниці. Вище приведене рівняння і є законом Ома для дільниці кола: Параметр обернений електричному опору отримав назву електричної

провідності G: 1G = R ; (20.13)

Електричний опір в міжнародній системі одиниць СІ вимірюється в омах: [R] = [U/I] = [В/А] = [Ом], а електрична провідність у сіменсах: [G] = [1/R] = [І/Ом] = [См].

Електричний опір провідника залежигь від його хімічних властивостей та геометрії провідника. Для однорідного провідника сталого перерізу, опір визначають за наступною формулою:

LR = ρ

S; (20.14)

де L - довжина провідника, S - площа його поперечного перерізу, ρ - питомий електричний опір провідника.

Величина обернена питомому опору отримала назву питомої електричної провідності γ:

1γ = ρ ; (20.15)

Питомий електричний опір, а значить і питома електрична провідність, це стала речовини. Так питомий опір срібла складає ρ = 1,6 10-8 Ом м, а алюмінію: ρ = 2,6 10-8 Ом м.

Підставимо вираз (20.14) у формулу (20.12), та отримаємо: US I 1 U U

I = = j = γρL S ρ L L

⇒ ⇒ ;

Враховуючи, що відношення U/L визначає напруженість електричного поля у провіднику Е, з вище приведеного виразу, маємо:

j = γEr ur

; (20.16) Цей вираз визначає закон Ома в диференціальній формі. З закону Ома в диференціальній формі видно, що напрямок руху носів

електричних зарядів у речовині співпадає з напрямом вектора напруженості електричного поля у даній точці.

При послідовному з'єднанні провідників (див. рис. 20.2), їх електричні опори додаються; сила струму залишається постійною, а напруга на дільниці дорівнює сумі напруг на кожному з провідників діль ниці. Тобто:

0 1 2 n

0 1 2 n

0 1 2 n

R = R + R + R ;

I = I = I = I ;

U = U + U + + U ;

KK

KK

KK

При паралельному з'єднанні провідників (див. рис. 20.3) додаються обернені

значення їх електричних опорів, напруга на дільниці дорівнює напрузі на кожному з провідників, а сила струму на дільниці дорівнює сумі сил струму на кожному з провідників. Тобто:

1 1 1 1 = + + + ;

R R R Rn0 21U = U = U = U ;n0 1 2I = I + I + + I ; n0 1

KK

KK

Дослідним шляхом було встановлено, що при зростанні температури електричний опір провідників збільшується за таким законом:

0R = R (1 + αt) ; (20.17) де α - температурний коефіцієнт опору, град-1.

Якісна лінійна залежність електричного опору металів від температури представлена на рис. 20.4.

Зростання опору провідників при їх нагріванні пояснюється тим, що зріст

температури приводить до істотного збільшення амплітуди та частоти коливань кристалічної решітки провідника. Ці коливання суттєво заважають вільному руху електронів, що й приводить до зростання електричного опору провідників.

На залежності електричного опору металів від температури заснована дія так званих термометрів опору, котрі за допомогою градуйованого взаємозв'язку між цими параметрами дозволяють вимірювати температуру з точністю до 0,003 К.

У великої групи металів при низьких температурах, електричний опір стрибком обертається в нуль (лінія 1 на рис. 20.4). Це явище отримало назву

надпровідності. У кожного провідника існує своя критична температура, при якій він переходить до надпровідного стану. Для металів ця температура становить декілька кельвінів, для кераміки - десятки кельвінів. Пояснення явища надпровідності можливе тільки за допомогою квантової теорії. 20.4. Робота та потужність струму. Закон Джоуля-Лениа.

Розглянемо провідник довжиною dL, з поперечним перерізом dS, на кінцях якого потенціали дорівнюють φ1 та φ2 відповідно (див. рис. 20.5).

Враховуючи, що дана дільниця електричного кола є однорідною, то робота по

переміщенню деякого заряду dq від точки 1 до точки 2, у відповідності з формулою (18.32). буде дорівнювати:

∆A = dq(φ1 - φ2) = U dq ; (20.18) де U - електрична напруга, В.

Враховуючи, що у відповідності з формулою (20.1), dq = I dt, з вище приведеного виразу отримаємо:

dA = U I dt ; (20.19) А повна робота електричного струму за деякий час dt буде дорівнювати:

A t

0 0

A = dA = IUdt∫ ∫ ; (20.20)

Ця формула і визначає чисельне значення роботи, що здійснюється електричним струмом за деякий час t.

Використовуючи закон Ома для дільниці кола, формула (20.19) може бути перетворена до такого вигляду:

22 U

dA = I R dt = dtR

; (20.21)

Якщо сила струму та напруга у провіднику з часом не змінюється, то інтегруючи співвідношення (20.20), отримаємо:

A = U I t ; (20.22) А потужність електричного струму визначимо так:

22dA UIdt U

N = = = IU = I R = dt dt R

; (20.23)

Робота електричного струму в міжнародній системі одиниць СІ визначається у джоулях, а потужність - у ватах.

Згідно з законом Джоуля-Ленца, уся робота електричного струму, що проходить через нерухомий провідник, витрачається на його нагрівання. Тобто:

dQ = dA = U I dt ; (20.24) Об'єм провідника, що зображений на рис. 20.5, дорівнює: dV = dS dL. Тоді,

використовуючи формули (20.14) та (20.3), вище приведене співвідношення перетворимо таким чином:

2 2 2 2ρdLdQ = RI dt = (jdS) dt = ρdLj dSdt = ρj dVdt

dS;

Звідки: dQ 2 = ω = ρj

dVdt ; (20.25)

Параметр ω, що входить до цієї формули, визначає кількість теплоти, яка виділяється за одиницю часу в одиниці об'єму провідника, отримав назву питома теплова потужність струму.

Тоді використовуючи закон Ома у диференціальній формі та співвідношення (20.15), вираз (20.25) перетворимо до такого виду:

12 2 2 2ω = ρj = γ E = γEγ

; (20.26)

Останні формули являють собою закон Джоуля-Ленца у диференціальній формі, який використовується як для постійного, так і для змінного струмів. 20.5. Закон Ома в інтегральній формі.

Розглянемо неоднорідну дільницю електричного кола, де діючу е.р.с. позначимо як ε12, різницю потенціалів на дільниці 1-2 як φ1 - φ2, а опір провідника – R1 (див. рис. 20.6).

Тоді, згідно з виразом (20.11), сумарна робота сторонніх та електростатичних

сил по переміщенню заряду q0 по даному колу буде дорівнювати:

12 0 12 0 1 2A = q ε + q (φ - φ ) ; (20.27) З іншого боку, робота електричного струму при його проходженні крізь

нерухомий провідник, у відповідності з формулою (20.22), дорівнює: 2

12 0A = U I t = I R t = I R (I t) = I R q ; (20.28) А тепер порівняємо значення цих робіт:

0 12 0 1 2 0q ε + q (φ - φ ) = I R q Звідки маємо:

1 2 12(φ - φ ) + εI =

R ; (20.29)

де R - повний опір електричного кола, Ом.

Повний опір електричного кола дорівнює сумі зовнішнього опору R1 провідника та внутрішнього опору r джерела струму.

Тоді вираз (20.29) перетвориться до такого виду:

1 2 12

1

(φ - φ ) + εI =

R + r ; (20.30)

Цей вираз і являє собою закон Ома в інтегральній формі. Якщо на деякій дільниці кола джерело струму відсутнє (ε12 = 0), то (φ1 – φ2) =

U і вираз (20.30) перетворюється в закон Ома для дільниці кола виду (20.12).

У випадку коли електричне коле замкнуте, то φ1 = φ2 і вираз (20.30) перетворюється в закон Ома для замкнутого кола:

12

1

εI =

R + r ; (20.31)

У випадку коли електричне коле розімкнуте, то струм у ньому відсутній (І = 0) і з виразу (20.30) маємо: φ1 – φ2 = ε12 .

Тобто для того щоб виміряти е.р.с. джерела живлення треба виміряти різницю потенціалів на його клемах за умови розімкнутого зовнішнього кола. 20.6. Правила Кірхгофа.

Закони Ома дозволяють обчислити будь-яке електричне коло, однак такі розрахунки вельми громіздкі. Тому для практичних розрахунків складних електричних кіл використовують так звані правила Кірхгофа.

Згідно з першим правилом Кірхгофа, яке є наслідком закону збереження електричного заряду, алгебраїчна сума струмів, що сходяться в вузол, дорівнює нулю:

n

ii=1

I = 0∑ ; (20.32)

Вузлами називають точки, в яких мають електричний контакт більше як два провідники.

При цьому струм, який тече до вузла, має додатній знак, а струм, який витікає з вузла - має від'ємний знак.

Для вузла, зображеного на рис. 20.7, застосування першого правила Кірхгофа

приводить до такого результату:

2 1 3 4I - I - I - I = 0 ; Друге правило Кірхгофа, яке випливає з закону Ома, стверджує: у замкненому

контурі, який довільно вибраний у розгалуженому електричному колі, алгебраїчна сума добутків сил струмів І; на електричний опір R; відповідних дільниць контуру дорівнює алгебраїчній сумі е.р.с, які зустрічаються в цьому контурі:

n k

i i ji=1 j=1

I R = ε∑ ∑ ; (20.32)

Така рівність має місце для всіх замкнених, думкою відокремлених контурів, які можливо виділити в колі. Але незалежними будуть тільки рівняння для тих контурів, які неможливо отримати накладанням на них інших контурів.

При розрахунках розгалужених електричних мереж постійного струму, з використанням правил Кіргофа, треба додержуватись наступної послідовності дій.

1. Довільним чином встановити напрямок струму в кожній дільниці електричного кола, користуючись лише однією умовою: в кожному вузлі мають бути струми які входять в вузол і струми які виходять з нього. Дійсний напрямок

струмів встановлюється при розв'язуванні задачі: якщо струм вийшов додатним його напрямок був вибраний вірно, а якщо від'ємним - його дійсний напрямок про-тилежний вибраному.

2. Думкою виділити в колі, незалежні контури. 3. Довільно вибрати напрямок обходу контурів та суворо його витримувати в

процесі розв'язування задачі. При цьому, якщо напрямок обходу співпадає з вибраним напрямком струму, то останній вважається додатнім, а у протилежному випадку - від'ємним. А е.р.с, Що зустрічаються в контурі вважаються додатними, якщо вони проводяться від "-" до "+", та від'ємними у протилежному випадку.

4. За правилами Кірхгофа складають стільки рівнянь, щоб їх число дорівнювало числу шуканих величин. Ці рівняння об'єднують у систему та розв'язують її.

Як приклад використання правил Кірхгофа для розрахунку розгалужених

електричних кіл розглянемо схему, що приведена на рис. 20.8. Виберемо напрямок обходу контуру за годинниковою стрілкою та застосуємо друге правило Кірхгофа для деяких, думкою відокремлених, контурів цієї електричної схеми.

Так для замкненого контуру, що містить в собі опори R1, R2, R3, та R4, маємо:

2 2 3 3 4 4 1 1I R - I R - I R - I R = 0 ; А для замкненого контуру, що містить в собі опори R1, R4 та е.р.с, маємо таке

рівняння:

1 1 4 4 r I R + I R + I r = ε Згідно з першим правилом Кірхгофа, для вузла (а), маємо:

2 3 G I + I + I = 0 ; А длявузла (d):

r 2 1 I - I - I = 0 ; Аналогічним чином можливо скласти і інші рівняння за правилами Кірхгофа,

у відповідності з умовами конкретної задачі. Сумісне вирішення отриманих рівнянь і дозволить визначити ті параметри, які

невідомі за умовою конкретної задачі. 20.7. Контрольні запитання. 1. Що слід розуміти під сторонніми силами? 2. Розкрийте зміст е.р.с. та запишіть вираз для її визначення. 3. Сформулюйте та запишіть закон Ома в інтегральній формі. 4. Чому дорівнює електричний опір провідників? 5. Сформулюйте правила Кірхгофа. 6. Дайте визначення сили струму та густини струму. 7. Запищіть закон Ома в диференціальній формі.

8. Сформулюйте закон Джоуля-Ленца. ГЛАВА 21. ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ ВВАКУУМІ ТА РЕЧОВИНІ 21.1. Робота виходу електрона з металу.

Носіями електричного струму в металах є вільні електрони, тоб-то електрони які не зв'язані з іонами кристалічної решітки речовини і які внаслідок цього можуть вільно рухатись по усьому її об'єму. За звичай, рух вільних електронів є хаотичним і він не може привести до виникнення у металах електричного струму.

Однак, при накладанні зовнішнього електричного поля, виникає упорядкований рух вільних електронів, тобто виникає електричний струм. Завдяки тому, що концентрація вільних електронів у металах вельми значна і складає десь n = 8 1028 м-3, усі метали є гарними провідниками електричного струму. Вільні електрони, що приймають участь в створенні електричного струму, отримали назву електронів провідності. Швидкість руху електронів провідності не велика і складає десь 10-3 м/с.

Електрони провідності в звичайних умовах не можуть вийти з металу в навколишній простір у великих кількостях і ось чому.

Випадкове віддалення електрона від шару позитивних іонів приводить до виникнення надмірного позитивного заряду у тому місці, яке залишив електрон. А значить кулонівська взаємодія примушує електрон повернутися назад в метал.

З іншого боку електрони, яким вдалося вилетіти з металу, утворюють над його поверхнею електронну хмарку. Ця хмарка спільно з шаром іонів в металі утворює електричне поле, яке подібне до поля плоского конденсатора. Різниця потенціалів між цими двома шарами отримала назву поверхневий стрибок потенціалу ∆φ. Цей стрибок потенціалу і зашкоджує виходу вільних електронів з металу. Таким чином, щоб вільні електрони мали можливість вийти з металу у навколишній простір, вони повинні мати деяку мінімальну енергію, що отримала назву робота виходу електрона з металу.

Робота виходу електронів з металу вимірюється в електрон-вольтах (еВ). Один електрон-вольт дорівнює роботі, що здійснюється силами поля при

проходженні електроном різниці потенціалів у 1 В. Тобто: 1 еВ = 1 В * 1,6 10-19 Кл = 1,6 10-19 Дж. Між роботою виходу електрона з металу А та поверхневим стрибком

потенціалу ∆φ виконується наступне співвідношення: A = e∆φ ; (21.1)

де е - заряд електрона, Кл. Робота виходу є сталою речовини, вона залежить від її хімічного складу, стану

поверхні (забруднення, сліди вологи) і особливо від домішок. Наприклад, робота виходу для хімічно чистого вольфраму складає 4,5 еВ, а у разі його покриття оксидом барію, вона зменшується до 2 еВ.

Загалом явище виходу вільних електронів з металу в оточуючий простір, отримало назву електронна емісія. 21.2. Контактна різниця потенціалів.

Якщо зітнути два різних метала, то між ними виникне різниця потенціалів, що отримала назву контактна різниця потенціалів. Контактна різниця потенціалів може досягати декількох вольтів.

Видатним італійським фізиком А. Вольта (1745-1825) встановлено два закони, які і отримали його ім'я:

- контактна різниця потенціалів залежить тільки від хімічного складу та температури контактуючих металів;

- контактна різниця потенціалів послідовно з'єднаних провідників, що знаходяться при сталій температурі, залежить тільки від хімічного складу крайніх провідників.

Наявність контактної різниці потенціалів в металах пояснюється, по-перше, різницею в значеннях роботи виходу, а по друге - різною концентрацією вільних електронів в них. Тому, що при контакті двох провідників, електрони почнуть переходити з того металу де робота виходу менша в той де вона більша і з того де їх концентрація більша в той де вона менша.

Обидві причини виникнення контактної різниці потенціалів можуть діяти як у одному напрямку, тоді різниця потенціалів зростає, так і в протилежних, тоді різниця потенціалів зменшується.

Контактна різниця потенціалів, що обумовлена першою причиною, може бути визначена з наступного рівняння:

1 21 2

A - Aφ φ = -

e− ; (21.2)

де е - заряд електрона, Кл; А1, А2 - робота виходу електрона з першого та другого провідника, еВ.

Контактна різниця потенціалів, що обумовлена дією другої причини, може бути визначена таким чином:

1 1 11 1

2

nkTφ - φ = ln

e n

; (21.3)

де Т- термодинамічна температура; k - стала Больцмана; n1, n2 - концентрації електронів провідності у першому та другому провідниках; e - заряд електрона, Кл.

Як правило: 1 11 1 1 2φ - φ = φ - φ

Додавання, вище приведених рівнянь, дозволяє отримати математичну форму виразу першого закону Вольта:

1 2 11 2

2

A - A nkTφ - φ = - + ln

e e n

; (21.4)

Для доказу другого закону Вольта розглянемо три різних провідники, які з'єднані послідовно і знаходяться при однаковій температурі (див. рис. 21.1).

Різниця потенціалів на контакті першого і другого провідників, буде

дорівнювати: 12 1 2∆φ = φ - φ . А різниця потенціалів на контакті другого і третього

провідників: 23 2 3∆φ = φ - φ .Тоді різниця потенціалів між крайніми провідниками

буде дорівнювати: 1 3 12 23 1 2 2 3 1 3φ - φ = ∆φ + ∆φ = (φ - φ ) + (φ - φ ) = φ - φ

Щой треба було довести. 21.3. Термоелектричні явища та їх застосування.

Розглянемо замкнене електричне коло в якому знаходиться контакт двох

різних провідників (див. рис. 21.2). Значення е.р.с. у цьому колі буде дорівнювати алгебраїчній сумі стрибків потенціалу, що в ньому зустрічаються. Тобто:

1 2 2 1ε = (φ - φ ) + (φ - φ ) ; Тоді, використовуючи перший закон Вольта у вигляді (21.4), вище приведений

вираз перетворимо до такого виду:

1 2 1 2 1 2 2

2

A - A n A - A kT nkTε = - + ln + - + ln

e e n e e n1

;

Звідки, після не складних математичних перетворень, маємо:

1 2 1 2 1 2 2

2

A - A n A - A kT nkTε = - + ln + - ln

e e n e e n1

Або:

1 2 1

2

k(T - T ) nε = ln

e n

; (21.5)

З отриманої формули можливо зробити наступний висновок. Якщо температура Контактуючих провідників не однакова, то в електричному колі виникне е.р.с, яка отримала назву термоелектрорушійної сили. Так, термоелектрорушійна сила для пари металів мїдь-константан, при ∆T = 100°К, складає 4,25 мВ.

Виникнення термоелектрорушійної сили (явище Зеєбека), а також тісно з ним пов'язане явище Пельтьє отримали загальну назву термоелектричні явища. Явище Зеєбека широко застосовується в техніці для вимірювання температур за допомогою так званих термопар.

Термопара - це прилад, який складається з двох спаяних між собою різнорідних провідників.

Якщо провідники, які створюють термопару, мають різну температуру, то в електричному колі виникне термоелектрорушійна сила значення якої залежить від різниці температур та хімічного складу контактуючих провідників.

Термопари використовують для виміру як дуже високих (доменна піч) так і дуже низьких (зріджені гази) температур. Точність виміру у деяких термопар може сягати 0,01°К.

Явище Пельтьє по своїй фізичній суті є зворотним до явища Зеєбека і полягає в тому, що при проходженні електричного струму через контакт двох різнорідних провідників в ньому, окрім джоулевої теплоти, виділяється або поглинається і додаткова теплота, що отримала назву теплота Пельтьє. Теплота Пельтьє

пропорційна першому ступеню сили струму і міняє свій знак при зміні напрямку електричного струму.

Явище Пельтьє лежить в основі функціонування таких побутових приладів, як напівпровідникові холодильники. 21.4. Електричний струм у вакуумі.

Для існування електричного струму у вакуумі в ньому повинні з'явитись носії електричних зарядів. Звичайно, це робиться за допомогою електронної емісії з металу.

В залежності від механізму набуття електронами енергії необхідної для подолання роботи виходу з металу, відрізняють термоелектронну, фотоелектронну, автоелектронну та вторинну електронну емісію.

Термоелектронна емісія. Вона відбувається за рахунок енергії, Що зумовлена тепловим рухом електронів і має суттєве значення, коли метали нагріті до високої температури.

Термоелектронну емісію можливо спостерігати на приладі, схема якого зображена на рис. 21.3. Основним елементом приладу є вакуумний діод, який являє собою скляний балон в якому створений вакуум і є два електрода: негативний (катод) та позитивний (анод). Катод являє собою металеву спіраль, яка за допомогою джерела струму Uн, досягає значного розжарення.

Електрони, що завдяки термоелектронній емісії, вийшли із металевої спіралі

утворюють негативний просторовий заряд - електронну хмарку. Під дією позитивного потенціалу анода, термоелектрони починають рухатись до нього створюючи електричний струм.

Змінюючи анодну напругу можливо отримати так звану вольт-амперну характеристику вакуумного діода, яка перш за все відзначається тим, що є суттєво нелінійною (див. рис. 21.4).

На першому етапі залежність анодного струму І від анодної напруги U

описується законом трьох других: 3 2I = B U ; (21.6)

де В - деякий коефіцієнт, що залежить від геометричних параметрів електродів вакуумного діода.

При подальшому зростанні анодної напруги струм продовжує зростати до деякого максимального значення, яке отримало назву струм насичення Ін.

При струмі насичення усі електрони, які виходять за одиницю часу з катода, досягають анода. Тому подальше зростання анодної напруги не приводить до зростання анодного струму. А це значить, що саме струм насичення характеризує термоелектронну емісію.

Густина струму насичення зростає з підвищенням температури катода ТК у відповідності з форму лою (21.7), яка отримала назву формула Річардсона-Дешмана:

2H

Aj = BT exp -

kT

; (21.7)

де В - деяка стала; А - робота виходу електрона з металу; k - стала Больцмана; Т - абсолютна температура катода.

Явище термоелектронної емісії широко застосовується у різноманітних пристроях, в яких необхідно використовувати потоки електронів у вакуум, наприклад, в електронних лампах, рентгенівських трубках, електронних мікроскопах та таке-інше.

Фотоелектронна емісія. Цей вид емісії електронів з металу відбувається а рахунок енергії квантів світла, або короткохвильового електромагнітного випромінювання. Основні закони фотоелектронної емісії будуть розглянуті при вивченні квантової механіки.

Вторинна електронна емісія. Цей вид емісії відбувається при бомбардуванні поверхні металів, напівпровідників або діелектриків пучком первинних електронів. Внаслідок взаємодії первинних електронів з речовиною з'являється потік вторинних електронів.

Відношення кількості вторинних електронів n2 до кількості первинних електронів n1, що визвали емісію, називається коефіцієнтом вторинної електронної емісії δ. Явище вторинної електронної емісії застосовується для підсилення слабких електричних струмів у так званих фотоелектричних примножувачах.

Автоелектронна емісія. Це явище виривання електронів з поверхні металів за рахунок енергії сильного електричного поля, що створюється біля цієї поверхні. Автоелектронна емісія спостерігається тільки при значній напруженості електричного поля, а саме 105 – 107 В/м.. 21.5. Електричний струм в газах.

За нормальних умов, гази є діелектриками, бо їх молекули електричне нейтральні і в них практично відсутні вільні носії електричних зарядів. Однак газ стає провідником електричного стуму у тому випадку коли він іонізується, тобто відбувається розщеплення нейтральних молекул на позитивні іони та негативні електрони.

Процес зворотний до іонізації, тобто утворення нейтральних молекул при зіткненні іонів з електронами, називається рекомбінацією. А сам процес проходження електричного струму крізь газ, отримав назву газового розряду.

Пристрій, за допомогою якого відбувається іонізація газу отримав назву іонізатора. Зрозуміло, для того щоб відірвати від молекули або атома один електрон

треба витратити деяку енергію, котру називають енергією іонізації. Значення енергії іонізації найбільш поширених газів лежить у межах 4 - 25 еВ.

Вольт-амперна характеристика довільного газового розряду має вельми характерний вид (див. рис. 21.5). На початку спостерігається прямо пропорційна залежність між силою струму в газі та прикладеною до нього напругою (лінія 1 на рис. 21.5). При подальшому зростанні напруги зріст струму уповільнюється і згодом, досягши значення їй, зовсім припиняється (лінія 2 на рис. 21.5).

Цей параметр отримав назву струм насичення. Чисельне значення струму насичення визначається максимальною

продуктивністю іонізатора, тобто кількістю іонів і електронів, яку він створює за одиницю часу. Оскільки кількість носіїв електричних зарядів перестає зростати, то й сила струму в газі залишається постійною; Якщо на любому, з вище розглянутих етанів, припинити дію іонізатору, то існування струму в газі теж негайно припиниться. А газові розряди, які існують тільки за умови дії зовнішнього іонізатора, отримали назву несамостійних.

При подальшому зростанні напруги спостерігається різке зростання струму (лінія 3 на рис. 21.5), обумовлене тим, що з деякого значення UПР, електрони встигають за час вільного пробігу набути енергії достатньої для того, щоб зіткнувшись з нейтральною молекулою іонізувати її, тобто відбувається ударна іонізація.

Електрони, які при цьому виникають, збільшують, свою швидкість і теж здійснюють іонізацію молекул. Виникає лавиноподібне розмноження носіїв електричних зарядів, а значить і різке зростання сили струму в газовому розряді.

При цьому відпадає потреба в іонізаторі і несамостійний газовий розряд переходить у фазу самостійного газового розряду, бо. самостійним називається такий газовий розряд, який не припиняє свого існування і після припинення дії зовнішнього іонізатора.

Сам процес переходу несамостійного газового розряду у самостійний називається електричним пробоєм газу, а відповідна напруга UПР при якій цей процес відбувається, називається напругою пробою, або напругою запалювання газового розряду (див. рис. 21.5).

В залежності від тиску газу, конструкції електродів, параметрів зовнішнього електричного кола відрізняють чотири різновиди самостійних газових розрядів: тліючий, дуговий, іскровий та коронний.

Тліючий розряд виникає в газах при низькому тиску, а саме у межах 5 - 13 кПа. Притиску 1,5 кПа - розряд зникає.

Тліючий розряд можливо спостерігати в скляній ірубці довжиною 30 - 50 см, в яку впаяно два електроди. При напрузі між електродами близько 1000 В і при зменшенні тиску газу у трубці до 13 кПа виникає самостійний розряд, який має структуру, що зображена на рис. 21.6.

Безпосередньо біля катода знаходиться тонкий світлий шар 1 - перше катодне

світіння. Далі йде темний шар 2 - катодний темний простір, який далі переходить у світний шар 3 - тліюче світіння. Надалі тліюче світіння поступово переходить у темний проміжок 4 - Фарадеєвий темний простір, за яким спостерігається досить довгий стовп іонізованого газу, який світиться 5 - позитивний стовп.

Основні процеси, необхідні для підтримання тліючого розряду, відбуваються в його катодній частині: вторинна електрона емісія з катода, яка відбувається внаслідок бомбардування його позитивними іонами і ударна іонізація молекул газу електронами.

Тліючий розряд був застосований для створення таких джерел світла, як газосвітні лампи. Бо позитивний стовп дає сильний і характерний для кожного газу потік світла. Наприклад, неонові газорозрядні трубки дають красне світло, аргонові - зелене. Додавання парів ртуті до інертних газів дозволяє отримати потік світла, яке майже не відрізняється від денного.

Іскровий розряд виникає при збільшенні напруженості електричного поля у газі, що знаходиться при атмосферному тиску, до значень 3 - 10 106 В/м. Тоді проміжок між електродами пронизується яскраво світним тонким каналом, зигзагоподібної форми з розгалуженнями.

Прикладом цього розряду може бути блискавка: довжина її буває до 10 км, діаметр каналу до 40 см, сила струму досягає 105 А. Внаслідок проходження через іскровий канал електричного струму величезної сили, газ всередині каналу нагрівається до дуже високої температури (близько 104 К). А розігрів газу, в свою чергу, веде до значного збільшення тиску в каналі та появи звукових хвиль (розкати грому при блискавці).

Виникненню іскри в газі, передує поява слабо світних областей підвищеної провідності - стримерів. Їхнє зародження пояснюється не тільки виникненням електронних лавин біля катода, але й дією світлових квантів, що випромінюються збудженими атомами і молекулами на шляху свого поширення до анода.

У твердих діелектриках іскровий розряд, як правило, приводить до руйнуванням самого діелектрика.

Дуговий розряд можна розглядати як постійну форму буття іскрового розряду. При горизонтальному розміщенні електродів, нагрітий газ вигинається у вигляді дуги. Дуговий розряд може відбуватися як при низьких тисках (102 Па), так і при високих тисках (108 Па). При цьому розряді струм у газовому каналі залишається дуже великим, а напруга - зменшується до декількох вольт.

Основними процесами, які підтримують існування дугового розряду, є термоелектронна емісія з розжареної поверхні катода та термічна іонізаїція атомів і молекул, обумовлена високою температурою в газовому каналі. Анод, який бомбардується потужним потоком електронів, розігрівається до температури вище 3500 К.

Тому дуговий розряд широко застосовується для електричної різки та зварювання металів. Вперше електричну дугу для електрозварювання використав М.Бенардос ще в 1882 році. А в наш час, провідним науковим закладом в світі, є інститут електрозварювання імені С.О.Патона НАН України.

Коронний розряд виникає в газах при атмосферному тиску, за наявністю неоднорідного електричного поля. Таке поле можна створити між двома електродами, поверхня яких має значну кривизну. При досягненні напруженості електричного поля у 3 106 В/м, навколо електрода виникає характерне свічення. Воно має вигляд корони, що оточує цей електрод. Корону, яка виникає навколо негативного електрода, називають негативною, а навколо позитивного електрода -позитивною.

Механізми виникнення розряду в обох випадках різні. Якщо корона негативна, позитивні іони, які утворюються електронними

лавинами, прискорюються неоднорідним електричним полем біля катода і зумовлюють вторинну електронну емісію. Ці електрони народжують нові електронні лавини. Оскільки при віддаленні від вістря, напруженість поля зменшується, то на деякій відстані від нього електронні лавини обриваються.

Відстань, на яку поширюються електронні лавини, визначає товщину корони. Якщо корона позитивна, електронні лавини виникають не в наслідок

вторинної електронної емісії, а через об'ємну фотоіонізацію випромінюванням коронного шару біля анода.

Коронний розряд, як правило, негативно впливає на дію різноманітних електричних пристроїв і приладів. 21.6. Плазма та її властивості.

Плазмою називається сильно або повністю іонізований газ, в якому об'ємні густини позитивних і негативних зарядів практично однакові!

Ступенем іонізації плазми α називається відношення числа іонізованих атомів до загального числа атомів в одиниці об'єму. Залежно від ступеня іонізації розрізняють слабо іонізовану плазму α ≈ 10-3, помірно іонізовану α ≈ 10-3 і повністю іонізовану α ≈ 1.

Відокремлюють високотемпературну і газорозрядну плазму. Остання виникає при газових розрядах.

Атоми, іони та електрони, що входять до складу плазми, мають різну масу і тому коли плазма потрапляє у зовнішнє електричне поле, вони отримують різну швидкість руху. А це значить, що температура електронів буде однією, а температура іонів зовсім іншою. Причому Те > Ті.

Плазма в якій температура електронів відрізняється від температури іонів отримала назву нерівноважної. А плазма в якій Те = Ті називається рівноважною.

Плазма являється добрим провідником електричного струму. Під дією електричного поля в плазмі виникають напрямлені потоки електронів, а іони можливо вважати нерухомими, так як їхня рухливість значно менша за рухливість електронів. При Т = 107 К провідність плазми дорівнює провідності срібла.

В плазмі навколо кожного заряду розміщаються переважно заряди протилежно знака, які нейтралізують вплив даного заряду за межами сфери деякого радіуса, який отримав назву дебаєвського радіуса екранування D і визначається за формулою

02

ε kTD =

ne; (21.7)

де n - концентрація електронів у плазмі. Наприклад, для плазми у каналі блискавки, D = 2 10-9 м.

Зовнішнє електричне поле проникає у плазму тільки на відстань порядку дебаєвського радіуса, а це значить, що плазма екранує зовнішнє електричне поле.

Плазма характеризується сильною взаємодією з магнітними полями, що обумовлено її складом. Усі вище приведені, а також деякі інші, не згадані нами, властивості плазми, обумовлюють якісну своєрідність плазми, що дозволяє вважати її особливим, наряду з газом, рідиною та твердим тілом, четвертим станом речовини.

Плазма - найбільш поширений стан речовини в природі. Сонце і зорі можливо розглядати як гігантські зосередження плазми. Не буде перебільшенням стверджувати, що Всесвіт на 99,9 % складається з плазми.

Найважливіші технічні застосування знань про плазму пов'язані з проблемою керованого термоядерного синтезу та безпосереднього перетворення теплової енергії в електричну в магнітогідродинамічних генераторах (МГД - генераторах).

Реакції термоядерного синтезу (тобто об'єднання легких ядер у важкі) можливі тільки: за умови, що взаємодіюча речовина знаходиться в стані високотемпературної плазми. Так для реакції дейтерію з дейтерієм (Д - Д) їх температура повинна бути близько 108 К, а для реакції дейтерію з тритієм (Д - Т), не менше 107 К. Розжарювати речовину до такої температури людство вже навчилось, але утримати її в обмеженому об'ємі у такому стані, бодай секунди, ще нікому не вдалося. 21.8. Електричний струм у рідині. Електроліти.

Рідина буде провідником електричного струму тільки у тому ра зі, якщо вона володіє іонною провідністю, тобто має в своєму складі як позитивні так і негативні іони. Така рідина має загальну назву електроліт.

Найбільш типовими представниками електролітів є водні розчини неорганічних кислот (НС1, H2S04) та солей (NaCl, CuS04). Зазначимо, що не всі водні розчини речовин є електролітами. Так, розчин цукру у воді не є електролітом.

Процес проходженні крізь електроліти електричного струму називається електролізом.

При цьому відбуваються електрохімічні реакції, результатом яких є осадження на електродах хімічних складових частин електроліту.

Згідно з узагальненим законом Фарадея для електролізу маса m речовини, що виділяється на електроді, прямо пропорційна заряду Q, який пройшов через електроліт, молярній масі речовини А і обернено пропорційна валентності іона Z:

1 Am = Q

F Z⋅ ⋅ ; (21.8)

де F - число Фарадея, що дорівнює 9,65 104 Кл/моль і визначає заряд, який повинен пройти через електроліт, щоб на електроді виділився один моль речовини.

Електроліти є провідниками електричного струму тому, що у водних розчинах їхні молекули розпадаються на іони, тобто відбувається процес дисоціації.

Розпад молекул речовини на іони у її водному розчині пояснюється тим, що вода має велику діелектричну проникність ε = 82, а це означає, що сила притягання між різнойменними іонами, що входять до складу молекули, у водному розчині зменшується у є раз і молекула розпадається на іони. Відбувається і зворотній процес рекомбінації іонів.

Густина електричного струму в електроліті j дорівнює сумі густий струмів, що створені позитивними j+ і негативними j- іонами:

+ - + + + - - -j = j + j = (q n µ + q n µ ) E⋅r ur

; (21.9) де q+, q- - заряди позитивних і негативних іонів; n+, n-- їхня концентрація; µ+, µ- - рухливість іонів; Е - напруженість електричного поля.

Рухливість іонів залежить від їхньої природи, температури та в'язкості електроліту і не залежить від напруженості електричного поля.

Експериментально встановлені значення рухливості іонів в деяких електролітах приведені у таблиці 21.1. Рухливість іонів в деяких електролітах Іони µ, м2/(Вс) Іони µ, м2/(Вс)

NO- 6,4 10-8 Сl- 6,8 10-8 Н+ 32,6 10-8 Ag+ 5,6 10-8

К+ 6,7 10-8

Оскільки утворення іонів у електролітах не зв'язано з проходженням

електричного струму, то у відповідності з законом збереження електричного заряду, маємо право стверджувати, що:

+ + - -q n = q n ; Тоді рівняння (21.9) можливо перетворити до такого вигляду:

+ + + - 1j = q n (µ +µ ) E= E

ρ⋅ ⋅

r ur ur

; (20.10)

де ρ - питомий електричний опір електроліту, Ом м. Таким чином, ми встановили, що густина електричного струму в електроліті

прямо пропорційна напруженості електричного поля. Тобто в електролітах у повному обсязі виконується закон Ома. З підвищенням температури електроліту його питомий електричний опір

зменшується, тому, що підвищується ступінь дисоціації молекул, та тому, що зменшується в'язкість розчину і відповідно зростає рухливість іонів.

Залежність питомого електричного опору від концентрації розчин}' має більш складний характер, бо при зміні концентрації, змінюється як ступінь його дисоціації так і рухливість іонів.

При малих концентраціях питомий електричний опір зменшується обернено пропорційно концентрації. А при подальшому збільшенні концентрації, питомий опір досягає мінімуму, потім збільшується внаслідок пониження ступеня дисоціації і зменшення рухливості іонів.

Іонною провідністю володіють не тільки водні розчини солей, а й їх розплав. Ця їх властивість широко використовується в електрометалургії алюмінію та магнію, які виробляються у великій кількості за допомогою електролізу відповідних солей цих металів.

21. 9. Контрольні запитання. 1. Що називається роботою виходу електрона з металу? 2. Сформулюйте закони Вольта для контактної різниці потенціалів. 3. Сформулюйте основні властивості термоелектронної' емісії. 4. Які термоелектричні явища Ви знаєте і де вони практично застосовуються.

5. Чому не виконується закон Ома при термоелектронній емісії? 6. У чому полягає різниця між несамостійними і самостійними газовими розрядами? 7. Які види самостійних газових розрядів Ви знаєте і де вони практично застосовуються. 8. Які основні властивості четвертого стану речовини Ви знаєте? 9. Що характеризує дебаєвський радіус екранування плазми і від чого він залежить? 10. Запишіть узагальнений закон Фарадея для електролізу. 11. Чи виконується в електролітах закон Ома? ЧАСТИНА П'ЯТА ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ ГЛАВА 22. МАГНІТНЕ ПОЛЕ В ВАКУУМІ 22.1. Силові характеристики магнітного іяоля.

Силове поле яке виникає біля постійних магнітів і провідників зі струмом отримало назву магнітного.

Якщо електричне поле діє на будь які електричні заряди, то магнітне поле діє тільки на такі електричні заряди, що рухаються.

Магнітне поле має спрямований характер і характеризується вектором

магнітної індукції Bur

. Магнітне поле зображується за допомогою ліній магнітної індукції, дотичні до яких у кожній точці співпадають з напрямком вектора магнітної індукції (див. рис. 22.1).

Лінії магнітної індукції завжди замкнуті, а значить магнітне поле є вихровим.

Напрямок вектора магнітної індукції біля провідників зі струмом визначається за правилом правого гвинта (див. рис. 22.2).

Напруженістю магнітного поля H

ur

називається векторна величина, що визначається за допомогою наступного співвідношення:

0

BH =

µ µ

ur

ur

; (22.1)

де µ0 - магнітна стала, що в системі СІ дорівнює 4π 10-7 H/A2 ; µ - магнітна проникність речовини, параметр безрозмірний.

Магнітна проникність вакууму дорівнює одиниці: µ = 1. Для магнітного поля, як і для електростатичного, справедливий принцип

суперпозиції. Тобто магнітна індукція поля, що створене декількома магнітними полями,

дорівнює векторній сумі магнітних індукцій кожного з цих полів:

n

i

i=1

B = B∑ur ur

; (22.2)

В міжнародній системі одиниць СІ магнітна індукція вимірюється в теслах: [В] = [Н А-1 с-1] = [Тл], а напруженість магнітного поля в таких одиницях: [Н] = [В/µ0] = [Н А2 /А м Н] = [А/м]; 22.2. Магнітний потік. Теорема Гаусса для магнітного поля у вакуумі.

По аналогії з визначенням потоку вектора напруженості електростатичного поля, потоком вектора магнітної індукції через елементарну площадку dS називається скалярна величина, що дорівнює:

dΦ = BdS = BdS cos αur r

; (22.3) де α - кут між векторами B

ur

та dSr

. Тоді повний потік через деяку площину S буде дорівнювати:

S

Φ = BdS∫ur r

� ; (22.4)

Теорема Гаусса для магнітного поля у вакуумі має наступний вигляд: потік

вектора магнітної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю.

S

BdS 0=∫ur r

� ; (22.5)

З цього випливає: магнітних зарядів у природі не існує. Нагадаємо, що у відповідності з теоремою Гаусса для електростатичного поля

у вакуумі, потік вектора його напруженості, через довільну замкнену поверхню, пропорційний алгебраїчній сумі електричних зарядів, які знаходяться всередині цієї поверхні. Тому якби магнітні заряди в природі б існували, то в правій частині рівняння (22.5) стояв би деякий вираз, який і визначав би значення цих магнітних зарядів.

Таким чином, теорема Гаусса для магнітного поля у вакуумі, є по суті узагальненням практичного досвіду, який свідчить, що в природі магнітні заряди не існують. 22.3. Закон Біо-Савара-Лапласа.

Згідно з законом Біо-Савара-Лапласа елемент dL провідника зі струмом І (див.

рис. 22.3), створює в точці А індукцію магнітного поля dB, що дорівнює:

03

dL rµµ IdB =

4π r

⋅ ⋅

ur

ur

; (22.6)

З урахуванням того, що dL r = dL r sinα ⋅ ⋅ ⋅ ur r

, модуль вектора магнітної індукції

буде дорівнювати:

02

µµ I dL sinαdB =

4π r

⋅ur

; (22.7)

де α - кут між векторами dL та r. Тоді, у відповідності з принципом суперпозиції, сумарне значення магнітної

індукції у точці А, можливо визначити інтегруванням рівняння (22.7) у відповідних межах:

L

B = dB∫ur

; (22.8)

де L - довжина провідника з електричним струмом, м. Закон Біо-Савара-Лапласа має дуже велике значення в електродинаміці, бо

його застосування дозволяє визначати значення магнітної індукції в магнітних полях, які створені провідниками з електричним струмом будь-якої конфігурації.

Розглянемо декілька прикладів. 1. Магнітне поле нескінченного прямого струму.

Розглянемо нескінченний прямий провідник з електричним струмом силою І (див. рис. 22.4). Визначимо значення магнітної індукції в довільній точці А, що знаходиться на відстані R від провідника.

У відповідності з виразом (22.7) елемент dL провідника зі струмом І, створює

в точці А індукцію магнітного поля dB:

02

µµ I dL sinαdB =

4π r

⋅;

Враховуючи, що вектори dB від усіх елементів струму мають однаковий напрямок, нормальний до площини креслення (див. рис. 22.4), то векторна сума виду (22.8) перетворюється у скалярну суму наступного вигля ду:

02

0 0

µµ I dL sinαB = dB =

4π r

∞ ∞ ⋅∫ ∫ ; (22.9)

З метою отримання більш сприятливих меж інтегрування перетворимо останній вираз таким чином. З геометричних, міркувань маємо:

drdL =

sinα ; R

r = cosβ ; dr = r dβ⋅ ;

Тоді: rdβ

dL = sinα

З урахуванням цих співвідношень, вираз (22.9) перетвориться до наступного вигляду:

0 0µµ I µµ Ir dβ sinα cosβ cosβ dβdB = =

4π r R sinα 4π R

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

; (22.10)

Тоді інтегруючи вираз (22.10) по новій змінній у відповідних межах, отримаємо:

π π

2 20 0 0 0

π π

2 2

µµ I µµ I µµ I µµ IcosβB = dβ = cosβdβ sin sin =

4π R 4πR 4πR 2 2 2πR

π π ⋅ ⋅ = − −

∫ ∫ ;

Таким чином, магнітна індукція поля, що створене нескінченним прямолінійним струмом дорівнює:

0µµ IB =

2πR; (22.11)

2. Магнітне поле в центрі колового провідника зі струмом. Розглянемо коловий провідник зі струмом І, радіус якого дорівнює R (див.

рис. 22. 5).

Визначимо магнітну індукцію поля в точці, що знаходиться на відстані X від

центра кола. Згідно з законом Біо-Савара-Лапласа елемент dL провідника зі струмом І,

створює в точці, що розглядається, індукцію магнітного поля dB:

0 02 2

µµ I µµ IdL sin dLdB

4πR r 4π r

α⋅= = ; (22.12)

При цьому ми врахували, що кут між векторами dL та r складає 90°, а значить sinα = 1. Тоді, у відповідності з принципом суперпозиції, вектор магнітної індукції у даній точці, буде визначатися так:

2πR 2πR 2πR

y x

0 0 0

B = dB = dB + dB∫ ∫ ∫ur ur ur ur

; (22.13)

В першому інтегралі цієї суми усі вектори ydBur

спрямовані в один бік, а другий, внаслідок осьової симетрії кола, дорівнює нулю. Тому:

2πR 2πR 2πR 2πR

x

0 0 0 0

R B = dB = cosβ dB = cosβ dB = dB

r⋅∫ ∫ ∫ ∫

ur

;

Надалі, врахувавши вираз (22.12), отримаємо: 2πR 2πR 2

0 0 02 3 3

0 0

µµ I µµ I µµ IR dL R 2πRB = dL

4π r r 4π r 4π r= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫ ;

Та в остаточному вигляді: 2

03

µµ I RB

2 r= ⋅ ; (22.14)

де 2 2r = R + X . За умови, що X = 0, тобто магнітна індукція визначається у центрі колового

струму, з формули (22.14), маємо:

0µµ IB

2R= ; (22.15)

22.4. Закон Ампера. Магнітна взаємодія струмів.

У відповідності з законом Ампера, сила з якою магнітне поле діє на елемент

провідника dL з струмом, прямо пропорційна силі струму І та векторному добутку

елемента довжини dL провідника, на магнітну індукцію В. Тобто:

dF = I dL B ⋅ ⋅ r ur ur

; (22.16)

А модуль сили Ампера буде визначатися, у відповідності з загальними правилами векторного добутку, таким чином:

dF = I B sinα dL ; (22.17) де α - кут між векторами dL та В.

Закон Ампера широко застосовується для обчислення силової взаємодії між електричними струмами. Для прикладу, визначимо взаємодію двох паралельних не-скінчених прямих струмів, що знаходяться на відстані R один від одного (див. рис. 22.6).

Струм I1, в районі розміщення струму І2, створює магнітне поле з індукцією В1

а струм І2, в районі розміщення струму I1, створює магнітне поле з індукцією В2 (див. рис. 22.6). Тоді у відповідності з формулою (22.11), маємо:

0 11

µµ I

2π RB = ⋅ ;

0 22

µµ I

2π RB = ⋅ ; (22.18)

Нагадаємо, що напрямок векторів магнітної індукції В1 та В2 визначається за правилом правого гвинта:

У відповідності з законом Ампера, на нескінченно малу ділянку dL струму I1 буде діяти сила dF1 а на нескінченно малу ділянку dL струму І2 - сила dF2. Тоді з урахуванням виразу (22.17), маємо:

1 1 2dF = I B sinα dL ; 2 2 1dF = I B sinα dL ; (22.19) Враховуючи, що кут між векторами dL і В складає 90°, та вико-

риставши вирази (22.18), вище приведені формули можливо представити у наступному вигляді:

0

1 1 2

µµdF = I I dL

2πR;

02 1 2

µµdF = I I dL

2πR;

Тобто, ми встановили, що dF2 = dF1. А це значить: паралельні струми однакового напрямку притягаються один до одного з силою:

01 2

µµdF = I I dL

2πR; (22.20)

Аналогічним чином розмірковуючи, неважко доказати, що два паралельні струми протилежного напрямку відштовхуються один від одного з силою, яка визначається з формули (22.20).

22.5. Рамка з струмом в магнітному полі.

Розглянемо рамку з струмом І, що знаходиться у магнітному полі, вектор індукції котрого спрямований вздовж площини рамки і дорівнює В (див. рис. 22. 7).

Згідно з законом Ампера, на кожну сторону рамки буде діяти сила, значення

якої визначається з виразу (22.17). Однак для сторін, які паралельні вектору магнітної індукції, сила Ампера буде дорівнювати нулю, бо в цьому випадку кут α = 0, а значить sinα = 0.

А для сторін рамки, які перпендикулярні вектору магнітної індукції, сила Ампера буде мати максимальне значення, бо в цьому випадку кут α = 90°, a sinα = 1. Однак напрямок сил Ампера для цих сторін рамки буде протилежний, бо напрямок струму, а значить і напрямок вектора dL, в них також протилежний (див. рис. 22.7).

Таким чином, на рамку з струмом, що знаходиться в магнітному полі, діє пара сил, яка створює момент сил:

A mM = r F = r I L B = I S B = P B ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ uur rur r ur ur r ur ur ur

; (22.21)

де S - площа контуру; Рm - магнітний момент рамки з струмом. Вектор Ртm, який отримав назву магнітний момент рамки з струмом,

визначається, як це видно з вище наведеної формули, так:

Pm = I S⋅ur r

; (22.22) А модуль вектора моменту сил М дорівнює:

mM = B P sinβ ; де ß - кут між векторами В та Рm.

Для того, щоб повернути рамку на кут dp необхідно виконати роботу рівну:

MdA = M dβ = P B sinβ dβ ; (22.23) Тоді повна робота, що виконується при повороті рамки з струмом на кут ß,

буде дорівнювати:

β

0

A = dA∫ ; (22.24)

Потенціальною енергією рамки з струмом вважається величина, що дорівнює роботі, яку необхідно виконати, щоб привести виток з стру мом у дане положення.

Тобто:

пdW = dA Тоді:

п п m mW = dW = P B sinβ dβ = -P Bcosβ⋅ ⋅∫ ∫ ;

Таким чином, потенціальна енергія витка з струмом дорівнює:

п mW = -P Bcosβ ; (26.26) де В - магнітна індукція; Рm - магнітний момент рамки з струмом. 22.6. Робота по переміщенню провідника зі струмом у магнітному полі.

Якщо провідник зі струмом знаходиться у магнітному полі і він не закріплений, то під дією сили Ампера провідник почне рухатися. (див. рис. 22.8). А це значить, що магнітне поле почне виконувати роботу по переміщенню провідника зі струмом.

Визначимо цю рюботу. У відповідності з універсальним визначенням роботи,

маємо:

A AdA = F cosγ dx = F dx ; Тут ми врахували, що кут у між напрямком руху провідника mn і напрямком

дії сили FA дорівнює нулю. Далі, врахувавши вираз (22.17) для визначення сили Ампера, маємо: dA = I B L sinα dx = I B dS = I dΦ ; (22.27)

де dФ - магнітний потік, що пересік провідник при своєму русі. При доведенні цієї формули ми врахували, що кут а між напрямком вектора

магнітної індукції В та вектором L складає 90°, а значить sinα = 1. Таким чином, робота по переміщенню провідника зі струмом у магнітному

полі, дорівнює добутку сили струму на магнітний потік, що пересік провідник при своєму русі.

В загальному випадку, інтегруючи вираз (22.27), маємо роботу по переміщенню замкненого контуру зі струмом в магнітному полі:

( )2

1

ΦA

2 1

0 Φ

A = dA = I dΦ = I Φ -Φ = I∆Φ⋅∫ ∫ ; (22.28)

Тобто робота по переміщенню замкненого контуру зі струмом в магнітному полі дорівнює добутку сили струму на зміну магнітного потоку зчепленого з цим контуром. 22.7. Закон повного струму для магнітного поля у вакуумі.

Циркуляцією вектора магнітної індукції по замкненому контуру, називається інтеграл наступного виду:

L

BdL∫ur ur

� ;

З урахуванням цього визначення, закон повного струму для магнітного поля у вакуумі сформулюємо таким чином: циркуляція вектора магнітної індукції по

довільному замкненому контуру дорівнює добутку магнітної сталої на алгебраїчну

суму струмів, що охоплені цим контуром. n

0 ii=1L

BdL = µ I∑∫ur ur

� ; (22.29)

де n - кількість провідників з струмом, що охоплені довільним замкненим контуром L.

У цій формулі кожний струм рахується стільки разів, скільки раз він пронизує контур. При цьому додатним вважається такий струм, напрямок якого зв'язаний з напрямком обходу по контуру правилом правого гвинта. Струм протилежного напрямку вважається від'ємним.

Так для системи струмів, що зображені на рис. 22.9, маємо:

n

i 1 2 3i=1

I = I + I - 2 I⋅∑ ;

Закон повного струму дозволяє визначати індукцію магнітного поля без використан ня законуБіо-Савара-Лапласа.

Розглянемо декілька прикладів застосування закону повного струму для обчислення індукції магнітних полів.

Магнітне поле соленоїда. Соленоїд це циліндрична котушка, що складається з великого числа витків, рівномірно намотаних на спільне осереддя (див. рис. 22.10). Експериментальне вивчення магнітного поля соленоїда показало, що в середині воно є однорідним, тобто В = const, а за межами об'єму соленоїда практично відсутнє, тобто В = 0.

Згідно з законом повного струму:

0

ABCA

BdL = µ nI∫ur ur

� ; (22.30)

де n - число витків на соленоїді. Далі представимо цей інтеграл як суму двох інтегралів:

ABCA AB BCA

BdL = BdL + BdL∫ ∫ ∫ur ur ur ur ur ur

� � � ;

Другий інтеграл цієї суми дорівнює нулю, бо як ми вже відмічали за межами соленоїда В = 0.

А перший інтеграл, з урахуванням того, що в середині соленоїду В = const, дорівнює:

AB

BdL BL=∫ur ur

� ; (22.31)

де L - довжина соленоїда. Тоді, порівнявши праві частини рівнянь (22.30) і (22.31), отримаємо: ВL=µ0 n I. Звідки:

0µ n IB =

L; (22.32)

Тороїд. Тороїд можливо розглядати як довгий соленоїд, що звитий у кільце. Тоді, використавши формулу (22.32), отримаємо:

0 0µ n I µ n IB = =

L 2πR; (22.33)

де R-радіус тороїда. 22.8. Сила Лоренца. Ефект Холла.

На будь-який електричний заряд q, який рухається в магнітному полі зі швидкістю V, діє деяка сила, що отримала назву сила Лоренца та визначається з наступного виразу:

ЛF = q V B ⋅ ⋅ r ur ur

; (22.34)

де В - індукція магнітного поля. Напрямок сили Лоренца визначається за правилом лівої руки (див, рис. 22.11)

Модуль сили Лоренца визначається за правилом векторного добутку:

ЛF = q B V sinα ; (22.35) де α - кутміж векторами В та V.

З цього виразу видно, що якщо V = 0, то й FЛ = 0. А це значить, що магнітне поле діє тільки на ті електричні заряди, які рухаються.

Тобто, магнітне поле не діє на нерухомі електричні заряди. З векторного добутку (22.34) випливає, що сила FЛ завжди перпендикулярна

до вектора швидкості електричного заряду. Це приводить до того, що сила Лоренца змінює тільки напрямок вектора швидкості не змінюючи його модуля, а робота цієї сили завжди дорівнює нулю. Тобто, постійне магнітне поле не здійснює роботи над електричними зарядами, що рухаються в ньому. Тому і кінетична енергія електричних зарядів, що рухаються в магнітному полі, з часом не змінюється.

У випадку, коли на електричний заряд, що рухається в магнітному полі, діє ще й електричне поле, то на цей заряд буде впливати результуюча сила, яка дорівнює наступній векторній сумі:

F = q E + q V B ⋅ ⋅ ⋅ r ur ur ur

; (22.36)

де Е - напруженість електричного поля. Вираз (22.36) отримав назву формула Лоренца. Впливом сили Лоренца на електрони, що рухаються в провідниках,

пояснюється існування такого явища, як ефект Холла. Ефект Холла - це явище виникнення в провіднику, який помістили в магнітне

поле, електричного поля в напрямку перпендикулярному густині електричного струму (див. рис. 22.12).

Під дією сили Лоренца електрони, що приймають участь у створенні струму,

зміщаються на верхню грань металевого зразка. Внаслідок цього, на верхній грані зразка створюється підвищена концентрація електронів (негативний потенціал), а на нижній - занижена (позитивний потенціал).

Тому між гранями металевого зразка виникає поперечне електричне поле, що має напрямок знизу вверх. Цей процес буде відбуватися до тих пір, поки напруженість поперечного поля не досягне такого значення, що воно зрівноважить силу Лоренца.

Тобто: eE = FЛ де e - елементарний заряд.

Перетворимо це співвідношення: ∆φeE = eBV E = BV = BVa⇒ ⇒ ;

де а - відстань між гранями зразка. Звідки:

∆φ = B V a ; (22.37) де ∆φ - поперечна різниця потенціалів.

Згадавши формули (20.3) та (20.6), запишемо: I = j S = n e V S; Звідки отримаємо:

I IV = = neS nead ; (22.38) де

d - ширина зразка; n -концентрація електронів в металі. З урахуванням цього результату, перетворимо вираз (22.37) до такого вигляду:

BIa BI∆φ = =

neda ned; (22.39)

Останні формули були використанні видатним американським фізиком 3. Холлом (1855-1938) для першого експериментального визначення швидкості руху електронів та їх концентрації в металах і напівпровідниках. І до сього часу ефект Холла залишається потужним засобом фізичних досліджень в галузі фізики твердого тіла. 22.9. Рух електричних зарядів в магнітному полі.

Якщо заряджена частинка рухається в магнітному полі з швидкістю V, то траєкторія її руху буде залежати від кута а між векторами V та В. Якщо він дорівнює нулю або я, то сила Лоренца, у відповідності з формулою (22.35), також дорівнює нулю. А це значить, що магнітне поле на частинку не діє і вона буде рухатись рівномірно та прямолінійно.

А у випадку коли заряджена частинка рухається в магнітному полі перпендикулярно вектору магнітної індукції, то кут α буде становити 90°, а сила Лоренца, у відповідності з формулою (22.35), буде мати постійне значення і напрямок нормальній до траєкторії руху частинки (див. рис. 22.13).

Тому вона почне рухатись по колу, радіус якого визначається з умови рівності

сили Лоренца відцентровій силі інерції: 2mV

qVB = R

;

Звідки: mV

R = qB

; (22.40)

А період обертання частинки буде дорівнювати: 2πR 2π m

T = = V B q

⋅ ; (22.41)

У випадку коли швидкість зарядженої частинки буде спрямована під деяким кутом а до вектора магнітної індукції, то її рух можливо представити у вигляді суперпозиції:

- рівномірного прямолінійного руху вздовж магнітного поля зі швидкістю V = V cosα

�;

- рівномірного руху по колу зі швидкістю V = V sinα⊥ . Внаслідок складання обох цих рухів, заряджена частинка почне

рухатись по спіралі, вісь якої паралельна магнітному полю. Шаг h цієї гвинтової лінії дорівнює: h = T V

�

;а радіус можливо визначити з формули (22.40) врахувавши,

що V в ній дорівнює V⊥ . Вище наведені формули лежать в основі фізичних розрахунків роботи таких

пристроїв, як прискорювачі заряджених частинок. Прискорювачі заряджених частинок, це такі пристрої, в яких створюються, та

під дією електричних і магнітних полів кероване рухаються, потоки заряджених частинок. Метою любого прискорювача є розгін заряджених частинок до максимально можливої швидкості для надання їм максимально можливої енергії.

Найпростішим прискорювачем є так званий лінійний прискорювач. В цих пристроях прискорення заряджених частинок здійснюється за рахунок енергії електростатичного поля. Частинка, з електричним зарядом q, проходячи різницю потенціалів ∆φ, отримує енергію W = q ∆φ. Цим способом частинки можуть отримати енергію біля 10 МЄВ.

Більш доскональним прискорювачем заряджених частинок є циклотрон (див, рис. 22. 14). Любий циклотрон складається з вакуумної камери, що знаходиться між полюсами сильного магніту. У вакуумній камері знаходяться два пустотілих полуциліндра (дуанти) до яких прикладене змінвг електростатичне поле.

Заряджена частинка, що вилетіла з джерела випромінювання, прискорюється

електростатичним полем і потрапляє в дуант 1 (див. рис. 22. 14), де вона під дією магнітного поля пройде півколо, радіус якого, у відповідності з формулою (22.40), залежить від швидкості руху частинки.

На час виходу частинки з дуанта 1, полярність напруги між дуантами автоматично зміниться на протилежну. Тому частинка знов почне прискорюватись під дією електростатичного поля і дійшовши до дуанта 2 знову пройде півколо, але більшого радіуса. Таким чідам, частинка буде рухатись по спіралі, отримуючи при кожному ароходженні через відстань між дуантами, деяку енергію. На остайьому оберті, коли заряджені частинки досягають максимально можливої енергії і радіуса руху, вони за допомогою додаткового електричного поля, виводяться з циклотрону і

поціляють в мішень. Циклотрони дозволяють розігнати, наприклад протони, до енергій порядку 20 МеВ.

Ще більш досконалими прискорювачами заряджених частинок є так званні синхрофазотрони. В синхрофазотронах змінюється не тільки електричне а й магнітне поле, таким чином, щоб радіус руху частки, у відповідності з формулою (22.40), не змінювався при збільшенні швидкості її руху. Тому заряджена частинка у синхрофазотроні може рухатись по коловій орбіті досить довго. А саме, до тих пір, поки потік частинок не отримає максимально можливу енергію. Синхрофазотрони дозволяють розігнати, наприклад протони, до енергій порядку 500 ГеВ.

Однак треба відзначити, що синхрофазотрони це дуже дорого коштуючи прилади для фізичних досліджень. Так, діаметр синхрофазотрона, що будується біля м. Серпухов (Росія) складає 6000 метрів, а для живлення цього фізичного приладу потрібна потужність цілої електростанції. 22.10. Контрольні запитання. 1. Що називається індукцією магнітного поля? 2. Сформулюйте закон Біо-Савара-Лапласа та покажіть вміння його використовування для розрахунку магнітних полів. 3. Сформулюйте закон Ампера. 4. Сформулюйте теорему Гаусса для магнітного поля у вакуумі. 5. Сформулюйте закон повного струму для магнітного поля у вакуумі. 6. Чому дорівнює магнітна індукція соленоїда? 7. Як визначається робота по переміщені провідника та контуру зі струмом в магнітному полі? 8. Запишіть формулу для визначення потенціальної енергії контуру зі струмом в магнітному полі. 9. В чому полягає суть явища Холла? 10. Дайте визначення сили Лоренца. Які типи прискорювачів заряджених частинок Ви знаєте? ГЛАВА23. ЕЛЕКТРОМАГНІТНА ІНДУКЦІЯ 23.1. Явище електромагнітної індукції.

Виникнення електричного струму в замкненому контурі при зміні потоку вектора магнітної індукції, який пронизує: цей контур, отримало назву електромагнітної індукції.

Електричний струм, що виникає при електромагнітній індукції, отримав назву індукційного.

Розглянемо класичні досліди англійського фізика М.Фарадея, завдяки яким і було відкрито явище електромагнітної індукції у 1831 році.

1. Провідник рухається з деякою швидкістю в постійному магнітному полі (див. рис. 23.1).

У цьому випадку, на електрони, що знаходяться всередині провідника,

буде діяти, у відповідності з формулою (22. 35), сила Лоренца. Під дією цієї сили електрони почнуть рухатись у відпові дному напрямку, тобто в контурі виникне індукційний струм Ii.

2. Нерухомий контур знаходиться в змінному магнітному полі (див. рис. 23.2). Як відомо, при введені постійного магніту в середину нерухомого соленоїда, в замкненому контурі виникне короткочасний індукційний струм.

У цьому випадку, дією на електрони сили Лоренца, виникнення індукційного

струму пояснене бути не може, бо як відомо магнітне поле на нерухомі електричні заряди не діє.

Для пояснення вище приведеного дослідного факту Д.Максвеллом була сфор мульована гіпотеза, що отримала назву гіпотеза Максвелла: змінне магнітне поле

створює в навколишньому просторі вихрове електричне поле, яке і діє на нерухомі

електричні заряди, викликаючи їхній упорядкований рух. 23.2. Закон Фарадея. Правило Ленца.

Чисельне значення е.р.с, електромагнітної індукції може бути визначено за допомогою закону Фарадея.

Закон Фарадея: електрорушійна сила електромагнітної індукції в контурі

чисельно дорівнює і протилежна за знаком швидкості зміни магнітного потоку

крізь поверхню обмежену цим контуром.

Тобто:

i

dΦε = -

dt ; (23.1)

де εi - електрорушійна сила електромагнітної індукції, В. З цієї формули можливо зробить висновок, що якщо магнітний

потік зростає, тобто dΦ

> 0dt

, то εi < 0. А це значить, що магнітне по-

ле індукційного струму направлено назустріч магнітному полю, що визвало існування цього струму.

І навпаки, коли dΦ

< 0dt

то εi > 0. Тобто, магнітне поле індукційного струму

співпадає з напрямком магнітного поля, що визвав існування індукційного струму.

А в цілому можливо сказати, що знак мінус у виразі (23.1) математично виражає так зване правило Ленца.

Правило Ленца: індукційний струм в замкненому контурі має завжди такий

напрямок, що створене ним магнітне поле перешкоджає зміні магнітного поля, яке

визвало існування цього індукційного струму. На завершення зробимо перевірку розмірності у формулі (23.1).

2 2dΦ Вб Тл м Н м Дж А В с = = = = = = В

dt с с А м с А с А с

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

;

Що й треба було довести. 23.3. Індуктивність контуру. Самоіндукція.

У відповідності з законом Біо-Савара-Лапласа (22.7), індукція магнітного поля dB, що створене провідником dL зі струмом І прямо пропорційна величині цього струму:

02

µµ sinα dLdB = I

4π r

⋅⋅ ;

Тоді і потік вектора магнітної індукції Ф, крізь деяку поверхню S, буде прямо пропорційний силі струму:

02

µµ S sinα dL dΦ S dB I

4π r

⋅ ⋅Φ = = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ; (23.2)

Інтеграл, у правій частині вище приведеного співвідношення, по суті є коефіцієнтом пропорційності між силою струму і магнітним потоком, бо він не містить в собі будь яких електромагнітних параметрів.

Цей коефіцієнт отримав назву індуктивність контуру. Тоді формулу (23.2) можливо представити у такому вигляді: Φ = L I

де L - індуктивність контуру. В міжнародній системі одиниць СІ індуктивність вимірюється в таких

одиницях: [L] = [Ф I-1] = [Вб/А] = [Гн]. Індуктивність контуру в загальному випадку залежить тільки від

геометричних параметрів контуру і магнітної проникності того середовища, в якому він знаходиться.

Визначимо індуктивність такого пристрою, як соленоїд. З урахуванням формули (22.32) для визначення магнітної індукції соленоїда,

магнітний потік крізь нього буде дорівнювати: 2

0µµ n SΦ = nBS = I⋅

l

; (23.4)

де µ - магнітна проникність осердя соленоїда; ℓ, n - довжина та число витків соленоїда.

Порівнявши вирази (23.3) та (23.4) отримаємо: 2

0µµ n SL =

l

; (23.5)

З виразу (23.3) видно, що при зміні сили струму в електричному колі, змінюється і відповідний магнітний потік. А тоді, у відповідності з законом Фарадея (23.1), в електричному колі повинна виникнути е.р.с електромагнітної індукції.

Явище виникнення е.р.с електромагнітної індукції в електричному контурі при зміні в ньому сили струму отримало назву самоіндукції.

Електрорушійна сила самоіндукції дорівнює: ( )

S

d LIdΦ dl dlε = - = - = - L + I

dt dt dt dt

;

У випадку коли електричний контур не деформується і магнітна проникність середовища з часом не змінюється, тобто L = const, то вище приведений вираз перетворюється до наступного вигляду:

S

dlε = - L

dt; (23.6)

Знак мінусу цій формулі означає, що струм самоіндукції завжди спрямований за правилом Ленца, тобто наявність індуктивності в електричному колі завжди приводить до уповільнення зміни струму в ньому.

23.4. Перехідні процеси.

Процеси, що виникають при швидкій зміні сили струму в електричному контурі отримали назву перехідних. До перехідних процесів перш за все належать процеси вмикання та вимикання струму.

1. Процес вимикання струму. Розглянемо електричне коло з е.р.с. ε, в якому знаходяться опір R та

індуктивність L (див. рис. 23.3). Завдяки цій е.р.с. в контурі існує струм силою: І0=ε/R.

В момент часу t = 0 відключимо джерело струму. Тоді в котушці індуктивності

виникне е.р.с. самоіндукції, яка буде протидіяти змен шенню сили струму в контурі. І надалі, в кожний момент часу t, сила струму в контурі, у відповідності з

законом Ома, буде дорівнювати: І = εS / R. Тоді, з урахуванням формули (23.6), маємо:

dlIR = - L

dt;

Зробимо розподіл змінниху цьому рівнянні: dl R

= - dtI L

;

А тепер інтегруємо цей вираз у відповідних межах:

0

I t

I 0

dl R = - dt

I L∫ ∫ ;

І після інтегрування маємо:

00

Rt I Rtln I - ln I = - ln = -

L I L

⇒

;

Звідки: R

- tL

0I = I e⋅ ; Зробивши позначення L/R = τ, вище приведене рівняння, перетворимо до

наступного вигляду: t

- τ

0I = I e⋅ ; (23.7) Параметр τ, що входить у цю формулу, отримав назву час релаксації. Час

релаксації, це такий час протягом якого сила струму в контурі зменшується у є разів. Таким чином, в процесі вимикання джерела е.р.с, сила електричного струму

зменшується у відповідності з експонентним законом виду (23.7). При цьому, чим більша індуктивність контуру, тим більше буде час релаксації, а значить повільніше буде зменшуватися струм в електричному контурі при вимиканні джерела живлення. (див. рис. 23.4).

2. Процес вмикання струму. Повторивши вище приведені міркування, можливо отримати вираз для ви-

значення закономірності зміни сили струму в електричному контурі при вмиканні джерела живлення у такому вигляді:

t-

τ0I = I 1 - e

; (23.8)

де τ - час релаксації. Таким чином, в процесі вмикання джерела живлення, сила електричного

струму збільшується у відповідності з експонентним законом виду (23.8). При цьому, чим більша індуктивність контуру, тим більше буде час релаксації, а значить повільніше буде збільшуватись струм в електричному контурі при вмиканні джерела живлення, (див. рис. 23.5).

23.5. Взаємна індукція. Трансформатори.

Розглянемо два нерухомих контури з електричним струмом, що знаходяться недалеко один від одного (див. рис. 23.6).

Якщо в контурі 1 зміниться сила струму I1, то у відповідності з формулою

(22.15) зміниться і магнітна індукція створена цим струмом. Але в цьому разі зміниться і магнітний потік, що пронизує контур 2. А тоді, у відповідності з формулою (23.1), в контурі 2 виникне електромагнітна індукція, що приведе до зміни сили струму І2.

Явище виникнення е.р.с. в одному з контурів при зміні сили струму в іншому, отримало назву взаємної індукції.

Зробимо такі позначення: Ф21 - частина магнітного потоку створеного струмом І1 що пронизує контур 2; Ф12 - частина магнітного потоку створеного струмом І2, що пронизує контур 1.

Тоді, з урахуванням формули (23.3), можемо записати:

21 21 1Φ = L I ; 12 12 2Φ = L I ; де L21, L12 - коефіцієнти взаємної індуктивності, Гн.

При взаємній індукції в контурі 2 виникне е.р.с. електромагнітної індукції, що дорівнює

21 12 21

dΦ dLε = - = - L

dt dt;

А в контурі 1 е.р.с. дорівнює:

12 21 12

dΦ dLε = - = - L

dt dt

Теоретичні розрахунки показують, що в не феромагнітному середовищі L21 = L12.

Взаємна індуктивність двох котушок, що намотані на спільне осердя у формі тороїда, дорівнює:

1 221 12 0

n nL = L = µµ S

L

⋅⋅ ; (23.9)

де n1; n2. - кількість витків в першій та другій котушках; S - площа поперечного перетину тороїда; L - довжина тороїда по середній лінії.

На явищі взаємної індукції заснований принцип дії електричних трансформаторів. Принципова схема електричного трансформатора зображена на рис. 23.7.

Первинна і вторинна обмотки, що мають n1 і n2 витків відповідно, укріплені на замкненому залізному осерді. Змінний струм І1 що створений змінною е.р.с. ε1, утворює змінний магнітний потік, який повністю локалізований в залізному осерді і значить пронизує витки вторинної обмотки. А це приводить до появи у вторинному контурі е.р.с. взаємної індукції ε2, а в первинній - е.р.с. самоіндукції εS.

Магнітний потік через первинну обмотку дорівнює:

1 1 1 0Φ = BS n = n Φ ; А магнітний потік через вторинну обмотку:

2 2 2 0Φ = BS n = n Φ У відповідності з законом Ома для первинного контуру, маємо:

1 S 1 1ε + ε = I R 0≈ ; (23.10) де R1 - електричний опір 1 контуру, який близький до нуля.

З урахуванням виразу (23.1), формулу (23.10) перетворимо до наступного вигляду:

011 1 1

dΦdΦε - = 0 ε - n = 0

dt dt⇒ ; (23.11)

А у вторинному контурі, внаслідок взаємної індукції, маємо:

022 2

dΦdΦε = = - n

dt dt;

Звідки:

0 2

2

dΦ ε = -

dt n;

З урахуванням цього результату, вираз (23.11) перетворюється до такого виду:

1 21 2 2 1 2 1

2 1

n nε + ε = 0 ε = ε ε = - k ε

n n⇒ ⇒ ⋅ ; (23.12)

де k = n2/n1 - коефіцієнт трансформації. Від'ємний знак у формулі (23.12) означає, що е.р.с. у первинній та вторинній

котушках трансформатора протилежні по фазі. Якщо k > 1, то трансформатор підвищує напругу і називається

підвищувальним. У протилежному випадку, коли k < 1, трансформатор зменшує напругу і називається знижувальним. 23.6. Енергія магнітного поля.

Енергія магнітного поля дорівнює роботі, що витрачається електричним струмом на створення цього поля. Тобто:

W = A ; (23.13) Для чисельного визначення енергії магнітного поля розглянемо електричний

контур з котушкою індуктивністю L, по якій тече струм силою І (див. рис. 23.8).

При зміні сили струму в контурі на dl, магнітний потік зчеплений з котушкою також зміниться, у відповідності з виразом (23.3), на величину:

dΦ = L dI ; Однак, для зміни магнітного потоку на величину dФ, необхідно виконати, у

від повідностіз виразом (22.27), роботу: dA = I dΦ=L I dI Тоді, інтегруючи у відповідних границях вище приведений вираз, визначимо

роботу по створенню магнітного поля навколо індуктивності L: I I 2

0 0

LIA = dA = L I dI =

2∫ ∫ ;

Таким чином, енергія магнітного поля, зв'язаного з даним елек тричним контуром, дорівнює:

2L IW =

2; (23.14)

Перетворимо цей вираз, використавши формули (22.32) і (23.5) для визначення магнітної індукції та індуктивності соленоїда:

2 2 22 20

2 20 0

µµ n SB L I B SW = = =

2 2 (µµ ) n 2µµ

l l

l

;

Використавши співвідношення В = щяоН, останній вираз перетворимо до такого вигляду:

20

0 0

B H µµ S B S BHW = = = V

2µµ 2µµ 2

ll

; (23.15)

де V - об'єм соленоїда, м3.

Далі, згадавши, що об'ємною густиною енергії називаегься відношення Wω = V ,

формулу (23.15) перетворимо до наступного вигляду: BH

ω = 2

; (23.16)

де Н, В - напруженість та індукція магнітного поля. Отриманий нами вираз для визначення об'ємної густини енергії магнітного

поля має вид подібний до виразу, що визначає об'ємну густину енергії електростатичного поля (19.32). А це означає, що енергія магнітного поля, як і енергія електростатичного поля, сконцентрована в самому полі, а не в пристроях, які створили це магнітне поле. 23.7. Контрольні запитання. 1. У чому полягає суть гіпотези Максвелла, що до явища елекг-ромагнітної індукції. 2. Сформулюйте основний закон електромагнітної індукції та правило Ленца. 3. Чому дорівнює індуктивність електричного контуру ? 4. Наведіть співвідношення між силою струму в електричному контурі і магнітним потоком, що пронизує цей контур. 5. Чому дорівнює е.р.с. самоіндукції? 6. Які процеси називають перехідними?

7. Наведіть формули для визначення закономірностей зміни сили електричного струму при його вмиканні та вимиканні. 8. Поясніть фізичні принципи роботи електричних трансформаторів. Що називається коефіцієнтом трансформації? 9. В чому полягає фізична суть явища взаємної індукції ? 10. Приведіть вираз для обчислення об'ємної густини енергії магнітного поля. ГЛАВА 24. ЗМІННИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ 24.1. Обертання рамки в магнітному полі.

Розглянемо прямокутну рамку, що обертається в магнітному полі з деякою кутовою швидкістю ю (див. рис. 24.1).

У відповідності з визначенням (22.3), магнітний потік, що пронизує цю пря-

мокутну рамку, дорівнює:

Φ = BS cosα ; де α - кут між векторами В та n.

Зміна кута α з часом t дорівнює: α = ωt. А значить зміна магнітного потоку крізь рамку становить:

Φ = BS cosωt ; (24.1) Але, якщо магнітний потік, що про низує рамку, змінюється з часом, то в цій

рамці, у відповідності з законом Фарадея, виникне е.р.с. електромагнітної індукції:

i

dΦ dε = - = - BS (cosωt) = BSω sin ωt

dt dt; (24.2)

Таким чином, при обертанні рамки в магнітному полі в ній виникне напруга, що буде змінюватись з часом за законом синуса. Амплітудне значення цієї напруги дорівнює:

maxε = BS ω ; (24.3) Тоді вираз (24.2) можливо представити у наступному вигляді:

maxε = ε sinωt ; (24.4) З отриманих виразів видно, що е.р.с. електромагнітної індукції залежить від

швидкості обертання рамки у магнітному полі. Тому у всьому світі прийняті постійні стандарти, які обов'язкові для визначення кутової швидкості обертання електричних машин.

Так, в Україні, як і у всій Європі, прийнята частота зміни струму ν = 50 Гц. А значить ω = 2πν = 3000 об/хв.

А, наприклад, в США цей стандарт дорівнює ν = 60 Гц.

24.2. Резистор, індуктивність та ємність в колі змінного струму. Розглянемо найпростіші, але й найбільш поширені, випадки знаходження

деяких електричних пристроїв в колі змінного струму. 1. Змінний струм, що тече через резистор з активним опором R. Розглянемо резистор R, який підключений До джерела змінного струму (див. рис. 24.2).

Нехай напруга у цьому електричному колі змінюється за законом:

mU = U cosωt ; (24.5) Тоді струм в контурі, у відповідності з законом Ома, буде змінюватись так:

mm

UUI = = cosωt = I cosωt

R R; (24.6)

де Im = Um/R - максимальне значення струму. З виразів (24.5) і (24.6) видно, що зсув фаз між струмом І та напругою U

дорівнює нулю. На рис. 24.3 дана векторна діаграма амплітудних значень струму Іm і напруги

UR у даному контурі.

2.Змінний струм, що тече через котушку індуктивності L. Розглянемо котушку індуктивності L, яка підключена до джерела змінного

струму (див. рис. 24.4).

Нехай напруга у цьому електричному колі змінюється за законом (24.5). Але,

якщо через індуктивність тече змінний струм, то в контурі виникне е.р.с. самоіндукції.

Значить напруга в контурі буде дорівнювати:

SU + ε = I R = 0 ; (24.7) Ця: рівність дорівнює нулю тому, що активний опір у контурі відсутній, тобто

R = 0. З урахуванням виразів (24.5) і (23.6), формулу (24.7) перетворимо до

наступного виду: dI dI

Um cosωt - L = 0 L = Um cosωtdt dt

⇒ ;

Розділивши змінні у вище приведеному рівнянні, отримаємо:

mUdI = cosωdt

L ;

Інтегруємоце рівняння:

mUdI = cosωdt

L∫ ∫ ;

Звідки маємо:

m m

L

U U1I = sin ωt = sin ωt

L ω R ; (24.8)

де RL = ωL - так званий реактивний індуктивний опір. Враховуючи, що відношення Um/RL дорівнює максимальній силі струму в

контурі Іm, та скориставшись тригонометричними формулами зведення, рівняння (24.8) перетворимо до такого вигляду:

m m m

π πI = I sinωt = I cos - ωt = I cos ωt -

2 2

; (24.9)

Порівнявши вирази (24.5) і (24.9), не важко зробити висновок, що зсув фаз між струмом І та напругою U, у даному випадку дорівнює 2

π . Причому струм на

індуктивності спізнюється за напругою на 90° (див. рис. 24.5).

3. Змінний струм, що тече через конденсатор ємністю С. Розглянемо конденсатор ємністю С, який підключений до джерела змінного

струму (див. рис. 24.6).

Нехай напруга у цьому електричному колі змінюється за законом (24.5). Тоді електричний заряд на цій ємності бу де змінюватись за наступним

законом:

mQ = UC = CU cosωt ; А сила струмув конурі:

( )m m

dQ dI = = CU cosωt = - CU ω sinωt

dt dt; (24.10)

Скориставшись тригонометричними формулами зведення, рівняння (24.10) перетворимо до наступного вигляду:

m m m

πI = - CU ωsinωt = CU ωsin(-ωt) = CU ωcos + ωt

2

;

Відношення 1/ωС = RC отримало назву реактивного ємнісного опору. Тоді, вище приведене рівняння, перетворимо таким чином:

mm m

C

Uπ π πI = CU ωcos + ωt = cos + ωt = I cos + ωt

2 R 2 2

; (24.11)

Порівнявши вирази (24.5) і (24.11), не важко зробити висновок, що зсув фаз між струмом І та напругою U, у даному випадку також дорівнює π

2 . Але струм на

ємності випереджає по фазі прикладену напругу на 90° (див. рис. 24.7).

24.3. Змінний струм, що тече крізь послідовно з'єднані резистор, котушку індуктивності та конденсатор.

Розглянемо більш складний випадок коли в колі змінного струму знаходяться послідовно з'єднані резистор, котушку індуктивності та конденсатор (див. рис. 24.8).

Нехай напруга у цьому електричному колі змінюється за законом (24.5). Значення амплітудної напруги, у відповідності з правилом послідовного

з'єднання електричних елементів, буде дорівнювати

m R L CU = U + U + Uur ur ur uur

;

де R mU =I R ; C m

1U = I

ωC

; L mU = I Lω .

Для визначення зсуву фаз між струмом та напругою побудуємо векторну діаграму з урахуванням усіх результатів отриманих нами у попередньому параграфі.

Тоді кут φ, що визначає різницю фаз між напругою і силою струму, можливо визначити з очевидних геометричних міркувань (див. рис. 24.9):

L C

R

U - Utgφ =

U ;

Або:

mm

m

I 1I Lω - ωL -

ωC ωCtgφ = I R R

= ; (24.12)

Таким чином, якщо напруга в контурі змінюється за законом (24.5), то сила струму будезмінюватись так:

mI = I cos(ωt - φ) ; (24.13) Для визначення амплітудного значення сили струму Іт, знову скористаємося

геометричними міркуваннями стосовно до рис. 24.9. З прямокутного трикутника одержимо:

( )22 2m R L CU = U + U - U ;

Або:

( )2 2

2 2 2 2 2m m m m m

1 1I R + I Lω - = U I R + Lω - =U

ωC ωC

⇒

;

Звідки:

mm 2

2

UI =

1R + Lω -

ωC

; (24.14)

Параметр, що входить в знаменник цього виразу, називається повним опором електричного кола Z.

2

2 2 21Z= R + Lω - = R + X

ωC

; (24.15)

де 1X = ωL = ωC - реактивний опір електричного кола.

24.4. Потужність, що виділяється в колі змінного струму.

Миттєве значення потужності змінного струму, у відповідності з визначенням (20.23), буде дорівнювати:

P(t) = U(t) I(t) ; Перетворимо цей вираз, з урахуванням формул (24.13) та (24.5), за допомогою

відповідних тригонометричних співвідношень:

m m

m m

2m m

P(t) = U cosωt×I cos(ωt - φ) =

= U I cosωt(cosωt cosφ+sinωt sinφ) =

= U I (cos ωt cosφ+sinωt sinφ) ;

Однак практичний інтерес представляє не миттєве значення потужності, що виділяється в колі змінного струму, а її середнє значення за один період. Тому перетворимо вище наведений вираз з урахуванням того, що середнє значення, за один період, наступних тригонометричнихфункцій дорівнює:

2 1cos ωt = 2< > ; sinωt cosωt = 0< >

Тоді вираз для визначення потужності змінного електричного струму за час, що дорівнюєодному періоду, набуде такого виразу:

m m

1P(t) = I U cosφ

2; (24.16)

З векторної діаграми, яка приведена на рис. 24.9, очевидно, що: Umcosφ = UR = RIm, тому:

2m

1P(t) = RI

2 ;

Таку ж потужність буде мати постійний електричний струм силою mI = I 2 .

Тому параметри mI = I 2 та mU = U 2 отримали назву діючих (ефективних) значень сили струму та напруги.

З урахуванням цих значень, вираз (24.16) можливо перетворити до наступного вигляду:

P(t) = IUcosφ ; (24.17)

Параметр cosφ , що входить до цієї формули, отримав назву коефіцієнт потужності.

Отже, потужність, що виділяється в колі змінного струму, залежить не тільки від сили струму і напруги, але й від зсуву фаз між ними. Так при φ = 90°, cosφ = 0, а значить потужність, що виділяється у цьому разі буде дорівнювати нулю не залежно від сили струму і напруги в електричному колі.

Тому на практиці завжди намагаються збільшити cosφ до максимально можливих значень. В сучасних електричних машинах коефіцієнт потужності досягає 0,95 - 0,99. 24.5. Резонанс напруг у колі змінного струму.

Розглянемо електричне коло змінного струму в якому знаходяться послідовно з'єднані резистор, індуктивність та конденсатор (див. рис. 24.8). У випадку коли

1ωL = ωC , зсув фаз між напругою і силою струму у цьому колі, у відповідності з

формулою (24.12), буде дорівнювати нулю. Тобїо φ = 0, бо tgφ = 0. Очевидно, що вище приведеній умові відповідає частота струму:

P

1ω =

LC; (24.18)

Значення ωP називається резонансною частотою. При цій частоті реактивний опір електричного контуру стає рівним нулю, а

сила струму, у відповідності з формулою (24.14), досягає максимально можливого, при даній напрузі, значення.

При цьому падіння напруги на активному опорі становить:

R m mU = I R = U ; (24.19) Тобто падіння напруги на активному опорі дорівнює зовнішній напрузі. А

тепер визначимо падіння напруги на індуктивному опорі:

2m m

L m L m P

U UL LU = I R = I Lω = =

R LC R C; (24.20)

А падіння напруги на ємнісному опорі становить:

m m mC m C 2

P

I U ULC LU = I R = = =

Cω R C R C; (24.21)

Порівнявши два останні вирази неважко зробити висновок: при частоті струму рівній резонансній падіння напруги на індуктивності і ємності однакові за величиною, але протилежні по фазі.

Саме це явище і отримало назву резонанс напруг.

Параметр 1 L

R C,що входить у формули (24.20) та (24.21) отримав назву

добротність електричного коливального контуру Q. З врахуванням цього означення, падіння напруги на індуктивності та ємності

при резонансі напруг буде дорівнювати:

L C mU = U = U Q ; (24.22) Добротність звичайних коливальних контурів завжди більше одиниці. А тому

при резонансі напруг, напруга на ємності та індуктивності перевищує прикладену напругу на величину добротності контуру.

Тому резонанс напруг використовується у техніці для підсилення коливань напруги визначеної частоти. 24.6. Резонанс струмів.

Розглянемо електричне коло змінного струму, що складається з паралельно з'єднаних конденсатора ємністю С і котушки індуктивністю L (див. рис. 24.10). Активним опором проводів знехтуємо.

Якщо напруга в контурі змінюється за законом (24.5), то сила струму в ньому

буде змінюватись за законом (24,13). Визначимо, скористувавшись виразом (24.12), кут зсуву між напругою та струмом за умови, що R = 0.

Для гілки кола, що містить в собі ємність, маємо:

C

1-

ωC πtgφ = = - φ = - 20∞ ⇒ ;

А для дільниці, що містить в собі індуктивність:

L

ωL πtgφ = = + φ = + 20∞ ⇒ ;

Отримані результати означають, що струми в паралельних гілках контуру протилежні по фазі, тобто мають протилежний напрямок течії (див. рис. 24.10).

А тепер визначимо силу струму у кожній з гілок контуру при частоті рівній резонансній і яка визначається з виразу (24.18).

Тоді, для гілки кола, що містить в собі ємність, з закону Ома маємо: 2

mC m P m m

C

U C CI = = U Cω = U = U

R LC L; (24.23)

А для дільниці, що містить в собі індуктивність:

m mL m m2

L P

U U LC CI = = = U = U

R Lω L L; (24.24)

Після порівняння отриманих результатів неважко зробити висновок, що струми в паралельних гілках контуру не тільки протилежні по фазі, а й рівні за величиною.

А тепер, у відповідності з першим правилом Кіргофа, для вузла А, що зображений на рис. 24.10, маємо:

C L L CI + I = I I = I - I = 0⇒ ; А це означає, що при частоті рівний резонансній, струм в проводах, які

живлять паралельний контур, зменшується до нуля. Явище різкого зменшення струму в проводах, що живлять паралельно

включені ємність і індуктивність, отримало назву резонанс струмів. 24.7. Контрольні запитання. 1. За яких умов в рамці виникає змінний електричний струм. Чому він дорівнює? 2. Як визначається і чому дорівнює зсув фаз між струмом та напругою на ємності? 3. Як визначається і чому дорівнює зсув фаз між струмом та напругою на індуктивності? 4. Як визначається реактивний та повний опір в колі змінного струму? 5. Чому дорівнює миттєва потужність в колі змінного струму? 6. Які явища називають резонансом напруг та резонансом струмів і в чому полягає їх фізична суть. ГЛАВА 25. МАГНІТНІ ВЛАСТИВОСТІ РЕЧОВИНИ 25.1. Магнітний момент електрона і атома.

До цього моменту, розглядаючи дію магнітного поля на провідники „зі струмом, ми не цікавились процесами, що відбуваються в речовині або зовсім, або формально властивості речовини враховувалися за допомогою її магнітної проникності µ.

Але у будь-якій речовині існують мікроскопічні електричні струми обумовлені рухом електронів в атомах. Як відомо кожний атом складається з позитивно зарядженого ядра та сімейства негативних електронів, що рухаються з деякою кутовою швидкістю навколо цього ядра. Тому рух електронів по орбіті можна розглядати як коловий електричний струм (див. рис. 25.1).

А значить, у відповідності з виразом (22.22), електрон володій таким

орбітальним магнітним моментом:

mP = I S n⋅ ⋅ur r

; (25.1) де S - площа орбіти електрона.

Сила електричного струму, який створений електроном, дорівнює:

I = e ν ; де e, ν – заряд і частота обертання електрона.

Тоді модуль орбітального магнітного моменту складає:

mP = e ν S⋅ ⋅ ; (25.2) Але якщо електрон масою m обертається навколо ядра то він має і механічний

орбітальний момент eLur

. Відношення орбітального магнітного моменту до механічного орбітального моменту отримало назву гіромагнітне відношення орбітальних моментів g.

Це гіромагнітне відношення не залежить від швидкості електрона та радіуса

його орбіти і дорівнює: eg = 2m .

Крім орбітального магнітного моменту електрон має власний механічний момент імпульсу, що одержав назву спін. Спін - це така ж невід'ємна властивість електрона, як і його маса.

Завдяки наявності спіну, електрон володіє і спіновим магнітним моментом Pms. Тому магнітний момент електрона складається з орбітального та спінового магнітних моментів.

А в цілому, магнітний момент атома складається з магнітного моменту електронів і ядра. Але магнітний момент ядра дуже малий і ним зневажають.

Таким чином, магнітний момент атома буде дорівнювати векторній сумі орбітальних та спінових магнітних моментів електронів, що входять до складу цього атома:

n n

a m ms

i=1 i=1

P = P + P∑ ∑ur ur ur

; (25.3)

де n - кількість електронів в атомі. Підсумувавши магнітні моменти усіх атомів, отримаємо параметр який

називається вектором намагніченості J. Чисельно намагніченість дорівнює магнітному моменту одиниці об'єму речовини:

aPJ =

V∑

ur

ur

; (25.4)

де V - об'єм речовини. В міжнародній системі СІ намагніченість вимірюється у таких одиницях:

[J] = [Рm/ V] = [І S / V] = [А м2 /м3] = [А/м]. 25.2. Магнітне поле в речовині.

Наявність магнітного моменту в атомах приводить до того, що речовина, під дією зовнішнього поля, створює у оточуючому просторі деяке магнітне поле з індукцією В1.

Тоді індукція магнітного поля в речовині В буде дорівнювати векторній сумі: 1

0B = B + Bur ur ur

; (25.5) де В0 = µ0Н - індукція зовнішнього магнітного поля.

Якщо вектор В1 спрямований проти вектора В0, то така речовина називається діамагнетик, а якщо напрямок вектора В1 співпадає з напрямком вектора В0, то така речовина називається парамагнетик.

В речовині між векторами В1 та J спостерігається наступна, прямо пропорційна, залежність:

1

0B = µ Jur r

; (25.6) Намагніченість J речовини не є сталою величиною, вона суттєво залежить від

напруженості зовнішнього магнітного поля Н:

J = χHr ur

; (25.7) де χ - магнітна сприйнятливість речовини.

Магнітна сприйнятливість речовини це параметр безрозмірний, його значення приблизно дорівнює: χ = ± 10-4 – 10-6. При цьому для діамагнетиків магнітна сприйнятливість має від'ємне значення, для парамагнетиків - додатне.

Визначимо чисельне значення магнітної індукції в речовині. У відповідності з попередніми співвідношеннями маємо:

10 0 0 0 0 0B = B + B = µ H + µ J = µ H + µ χH = µ (1 + χ)H ;

Зіставивши отриманий результат з виразом (22.1) неважко зробити висновок, що:

0µ = 1 + χ ; (25.8) де µ - магнітна проникність речовини.

Врахувавши значення магнітної сприйнятливості, неважко підрахувати, що для діамагнетиків магнітна проникність µ < 1, а для парамагнетиків: µ > 1. 25.3. Феромагнетики та їх властивості.

Феромагнетик - це речовина, яка має значну спонтанну намагніченість навіть при відсутності зовнішнього магнітного поля. До феромагнетиків належать перш за все залізо та різноманітні його сплави. Так магнітна проникність заліза складає µ ≈ 5000, а деяких його сплавів досягає µ = 800000.

Виняткові властивості феромагнетиків пояснюються їх доменною будовою. Домен - це мікрочастка (розмір домену не перевищує 0,01 мм) феромагнетику в якій магнітні моменти усіх атомів орієнтовані в одному напрямку. В звичайному стані магнітні моменти доменів орієновані хаотично, але при внесенні феромагнетику в зовнішнє магнітне поле магнітні моменти доменів орієнтуються по цьому полю і суттєво його підсилюють (див. рис. 25.2).

Якщо в слабомагнітній речовині між намагніченістю та напруженістю

зовнішнього магнітного поля має місце прямо пропорційна залежність виду (25.7), то у феромагнетиків така залежність має набагато складніший вигляд і називається вона магнітний гістерезис (див. рис. 25.3).

Спочатку намагніченість феромагнетику J збільшується у відповідності з збільшенням напруженості зовнішнього магнітного поля (крива 1 на рис. 25.3), досягаючи максимального насичуючого значення JH. Ця гранична намагніченість насичення обумовлена максимально можливою орієнтацією магнітних моментів доменів у феромагнетику.

Зменшення напруженості магнітного поля приводить до зниження

намагніченості феромагнетику (крива 2 на рис. 25.3). За умови Н = 0 речовина зберігає деяке значення намагніченості, що отримало назву залишкова намагніченість J0.

Тільки під дією протилежно спрямованого магнітного поля напруженістю НС, намагніченість феромагнетику знизиться до нуля. Це значення напруженості магнітного поля НС називають коерцитивною силою.

При подальших змінах напруженості магнітного поля Н, зміна намагніченості феромагнетику J відбувається по кривій 3 (див. рис. 25.3). Далі процес може повторюватись до нескінченності.

Завдяки існуванню явища магнітного гістерезиса, магнітна проникність феромагнетиків істотно залежить від напруженості зовнішнього магнітного поля.

Математично ця залежність, з урахуванням виразів (25.7) та (25.8), має такий вигляд:

Jµ = 1 + χ = 1 +

H; (25.9)

На початку, при зростанні на-1пруженості магнітного поля Н, відповідно зростає й намагніченість J, a значить буде зростати і магнітна проникністьречовини µ (див рис. 25.4).

Але при подальшому зростанні напруженості магнітного поля, намагніченість,

досягши насичуючого значення JН, вже не змінюється, і тому магнітна проникність речовини д починає зменшуватися, асимптотично наближаючись до одиниці.

Усі феромагнетики при їх намагнічуванні та розмагнічуванні змінюють свої лінійні розміри та об'єм. Це явище отримало назву магнітострикція.

Крім цього, усі феромагнетики мають ще одну характерну особливість: для кожного з них, існує визначена температура, що називається точкою Кюрі, при досягненні якої вони лишаються своїх властивостей, перетворюючись у звичайні парамагнетики. При цьому перетворенні, теплота не поглинається і не виділяється. Тобто, у точці Кюрі, відбувається фазовий перехід II роду.

В останній час набули значного поширення напівпровідникові феромагнетики - ферити. Ферити крім своїх суттєвих феромагнітних властивостей, мають значний питомий електричний опір. Тому вони використовуються для виготовлення постійних магнітів, феритових антен, магнітного шару в різноманітних плівках. 25.4. Закон повного струму для магнітного поля в речовині.

Закон повного струму для магнітного поля в речоЕіині є узагальненням закону (22.29) та стверджує: циркуляція вектора магнітної індукції по будь-якому

замкненому контуру, пропорційна алгебраїчній сумімакро імікро струмів, що

охоплені цим контуром. n m

10 i 0 j

i=1 j=1L

BdL = µ I + µ I∑ ∑∫ur ur

� ; (25.10)

де n, m - кількість макро і мікро струмів, що пронизують цей контур. Перетворимо вираз (25.10), з урахуванням співвідношення (25.5), таким

чином: n m1 1

0 0 i 0 ji=1 j=1L L

B dL + B dL = µ I + µ I∑ ∑∫ ∫ur ur ur ur

� � ;

Звідки, врахувавши вираз (22.29), та зробивши підстановку 1

0B = µ Jur r

, отримаємо:

m1j

j=1L

JdL = I∑∫r ur

� ; (25.11)

Отриманий результат означає: циркуляція вектора намагніченості по будь-

якому замкненому контуру, дорівнює алгебраїчній сумі мікро струмів, що охоплені

цим контуром.

Надалі, для обчислення циркуляції вектора напруженості магнітного поля в речовині, перетворимо інтеграл у лівій частині виразу (25.10), таким чином:

0 0

L L L

0 0 0 0

L L L L

BdL = µ µHdL = µ (1+χ)HdL =

= µ HdL + µ χHdL = µ µHdL + µ JdL

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

ur ur ur ur ur ur

ur ur ur ur ur ur r ur

� � �

� � � �

Прирівнявши отриману суму інтегралів до правої частини виразу (25.10), отримаємо:

n m1

0 0 0 i 0 ji=1 j=1L L

µ HdL + µ JdL = µ I + µ I∑ ∑∫ ∫ur ur r ur

� � ;

Звідки, врахувавши вираз (22.29), одержимо: n

ii=1L

HdL = I∑∫ur ur

� ; (25.12)

Тобто: циркуляція вектора напруженості магнітного поля по будь-якому

замкненому контуру в речовині, дорівнює алгебраїчній сумі макрострумів

провідності, що охоплені цим контуром.

25.5. Контрольні запитання. 1. Чим пояснюються магнітні властивості речовини? 2. Чому дорівнює гіромагнітне відношення для орбітальних електронів? 3. У чому полягає фізичний зміст магнітної сприйнятливості речовини? 4. Дайте визначення вектора намагніченості речовини. 5. Яка речовина є діамагнетиком, а яка - парамагнетиком? 6. Яка речовина є феромагнетиком? Чим пояснюються особливі властивості феромагнетиків? 7. Поясніть залежить від напруженості магнітного поля магнітної проникності феромагнетиків? 8. Що визначає точка Кюрі? 9. Яка речовина носить назву ферити і де вони застосовуються? 10.Сформулюйте закон повного струму для магнітного поля в речовині. 11. Чому дорівнює циркуляція по замкненому контуру вектора напруженості магнітного поля в речовині? ГЛАВА 26. ЕЛЕКТРОМАГНІТНЕ ПОЛЕ 26.1. Вихрове електричне поле.

На сторінці 13 даної роботи ми вже вказували, що оскільки електростатичне поле є потенціальним, то циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру завжди дорівнює нулю. Тобто:

q

L

E dL = 0∫ur ur

� ;

Однак у відповідності з гіпотезою Максвелла, змінне магнітне поле створює в навколишньому просторі вихрове електричне поле, яке діючи на нерухомі електричні заряди, створює явище електромагнітної індукції.

А це значить, що циркуляція вектора напруженості вихрового електричного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру, у відповідності з основними положеннями математичної теорії поля, не повинна дорівнювати нулю. Тому логічно припустити, що циркуляція вектора напруженості вихрового електричного поля, яке і створює явище електромагнітної індукції, буде дорівнювати е.р.с. електромагнітної індукції. Тобто:

B

L

E dL = ε∫ur ur

� ; (26.1)

Враховуючи, що dΦ

ε = - dt

, а S

= BdSΦ ∫ur r

, вище наведене співвідношення

приведемо до наступного вигляду:

B

L S

dBE dL = - dS

dt∫ ∫ur

ur ur r

� ; (26.2)

Отриманий вираз безпосередньо вказує на те що, вихрове електричне поле створює в оточуючому просторі вихрове магнітне поле та навпаки. 26.2. Струм зміщення.

Розглянемо електричний контур в якому знаходиться конденсатор та джерело змінного струму (див. рис. 26.1).

Між обкладками конденсатора змінне електричне поле створює вихрове магні-

тне поле, таке ж, як би між обкладками конденсатора існував струм провідності рівний силі струму в проводах живлення.

Тому змінне електричне поле, що створює змінне магнітне поле, одержало назву струм зміщення.

По своїй фізичній суті струм зміщення є кількісною мірою магнітної дії змінного електричного поля.

Для виникнення струму зміщення необхідна наявність лише змінного електричного поля.

По вище приведеному визначенню, густина струму зміщення дорівнює густині струму провідності:

зм прj = j ; (26.3)

Але ще раз підкреслимо, що струм зміщення еквівалентний струму провідності тільки по здібності створювати магнітне поле.

Скориставшись рівністю (26.3), визначимо густину струму зміщення:

прзм пр

I 1 dQ d Q dσj = j = = = =

S S dt dt S dt

; (26.4)

де S - площа обкладок конденсатора; о- - поверхнева густина електричних зарядів. Для діелектрика, що знаходиться всередині конденсатора, поверхнева густина

електричних зарядів, у відповідності з виразом (19.14), дорівнює вектору електричного зміщення. Тобто: σ = D.

Тоді вираз (26.4) перетворюється до наступного вигляду:

зм

dDj =

dt

ur

r

; (26.5)

Таким чином, густина струму зміщення в даній точці простору дорівнює швидкості зміни з часом вектора електричного зміщення у цій же точці.

Струм зміщення існує не тільки в вакуумі чи діелектриках, айв провідниках. Але в цьому випадку він значно менший за величиною ніж струм провідності і ним, як правило, нехтують.

З урахуванням співвідношення (19.10), вираз (26.5) перетворимо до наступного вигляду:

0зм

dE dPj = ε +

dt dt

ur ur

r

; (26.6)

де 0

dEε

dt

ur

- це густина струму зміщення у вакуумі; dP

dt

ur

- це густина струму

поляризації. Струм поляризації обумовлений упорядкованим рухом електричних зарядів в

діелектрику, він по своїй природі не відрізняється від струму провідності. Струм зміщення у вакуумі не зв'язаний з рухом електричних зарядів, а

обумовлений тільки зміною в часі електричного поля. При цьому обидва струми, і поляризації і зміщення, збуджують в оточуючому

просторі змінне магнітне поле. В загальному випадку і струм провідності і струм зміщення знаходяться в

єдиному об'ємі простору. Тому є можливість додати їх і отримати нове поняття - повний струм. Повний струм дорівнює векторній сумі струму зміщення та струму провідності:

пов змj = j + jr r r

; Або, з урахуванням формули (26.5):

пов

dDj = j +

dt

ur

r r

; (26.7)

З введенням поняття повного струму вдалось позитивно вирі шити важливу фізичну задачу - замкнути електричне коло змінного струму. Адже повний струм в такому колі завжди замкнений, бо на кінцях провідника обривається тільки струм провідності, а в діелек трику (вакуумі), між кінцями провідника, існує струм зміщений, який і замикає електричне коло змінного струму. 26.3. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля.

Введення англійським фізиком Д.Максвелом (1831-1879) в класичну електродинаміку поняття про струм зміщення, привило його до створення єдиної макроскопічної теорії електромагнітного поля, яка дозволила з єдиної точки зору не тільки пояснити електричні та магнітні явища, але й напророчити існування

електромагнітних хвиль - змінного електромагнітного поля, що розповсюджується в вакуумі з швидкістю с = 3 108 м/с.

В основу теорії Максвелла покладено чотири рівняння, які ми в деякій мірі вже розглядали у попередніх параграфах.

Перше рівняння: теорема про циркуляцію вектора сумарної напруженості

електричного поля.

Електричне поле може бути як потенціальним Eq, так і вихровим ЕВ. Тоді сумарна йогонапруженість буде дорівнювати:

S B qE = E + Eur uur ur

; (26.8) А тепер визначимо циркуляцію вектора сумарної напруженості електричного

поля по замкненому контуру:

S q B

L L L

E dL = E dL + E L∫ ∫ ∫ur ur ur ur ur ur

� � �

Але у відповідності з виразами (18.28) та (26.2), маємо:

q

L

E dL = 0∫ur ur

� ; B

L S

dBE dL = - dS

dt∫ ∫ur

ur ur r

� � ;

Тоді:

S

L S

dBE dL = - dS

dt∫ ∫ur

ur ur r

� � ; (26.9)

З цього, першого, рівняння Максвелла можливо зробить наступний висновок: джерелом електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але й змінне в часі магнітне поле.

Друге рівняння: узагальнена теорема про циркуляцію вектора напруженості

магнітного поля.

У відповідності з законом повного струму для магнітного поля в речовині (25.12), маємо:

n

ii=1L

HdL = I∑∫ur ur

� ;

Надалі, використавши поняття про повний струм, та врахувавши, що І = j S,

отримаємо:

n

i повi=1 S

I = j dS ∑ ∫r r

� .

Але повний струм дорівнює векторній сумі струму зміщення та струму провідності, тобто:

пов пр

S S

dDj dS = j + dS

dt

∫ ∫ur

r r r r

� � ;

Тоді маємо:

пр

L S

dDHdL = j + dS

dt

∫ ∫ur

ur ur r r

� � ; (26.10)

З цього, другого, рівняння Максвелла можливо зробить наступний висновок: джерелом магнітного поля можуть бути або електричні заряди, що рухаються з деякою швидкістю у просторі, або змінне в часі електричне поле.

Трете рівняння: це теорема Гаусса для електростатичного поля в

діелектрику виду (19.11): n

ii=1S

DdS = q∑∫ur r

� ;

де qі - електричний заряд, що знаходиться всередині деякої замкненої поверхні. Якщо електричні заряди розподілені усередині замкнутої поверхні

нерівномірно, з деякою змінною густиною р, то сумарний заряд у цій області буде дорівнювати:

n

i ii=1 V

q = ρ dV∑ ∫ ;

Тоді трете рівнянняМаксвелла можна дати у такому вигляді:

i

S V

DdS = ρ dV∫ ∫ur r

� ; (26.11)

Четверте рівняння: це теорема Гаусса для потоку вектора магнітної індукції

у вигляді (22.5):

S

BdS = 0∫ur r

� ; (26.12)

Існування цього рівняння вказує на те, що магнітних зарядів у природі не існує.

Таким чином повна система рівнянь Максвелла в інтегральній формі може бути представлена у такому виді:

1. B

L S

dBE dL = - dS

dt∫ ∫ur

ur ur r

� � ;

2. пр

L S

dDHdL = j + dS

dt

∫ ∫ur

ur ur r r

� � ;

3. i

S V

DdS = ρ dV∫ ∫ur r

� ;

4. S

BdS = 0∫ur r

� .

Якщо до рівнянь Максвелла додати відомі нам співвідношення між основними електромагнітними параметрами, що до них входять, то ми матимемо семеро рівнянь, які дозволяють вирішувати будь-які задачі в галузі класичної електродинаміки.

0D = εε Eur ur

; 0B = µµ Hur ur

; j = γEr ur

; де ε0, µ0 - відповідно електрична та магнітна сталі; ε, µ - відповідно діелектрична та магнітна проникність речовини; γ - питома провідність речовини.

26.4. Електричний коливальний контур. З рівнянь Максвелла випливає, що змінні електричні та магнітні поля

нерозривно зв'язані одне з одним - вони утворюють єдине електромагнітне поле. Найпростішим приладом за допомогою якого може бути створене

електромагнітне поле є коливальний контур - електричне коло, яке містить в собі послідовно з'єднані котушку індуктивності L, конденсатор ємністю С та резистор з опором R (див. рис. 26.2).

Для ініціювань у контурі електромагнітних коливань конденсатор попередньо

заряджають, створюючи на його обкладках заряд ± q. Після замикання конденсатора на котушку індуктивності, він почне розряджатися і в контурі виникне зростаючий з часом електричний струм. Тому енергія електричного поля буде зменшуватися, а енергія магнітного поля котушки - збільшуватись.

І в момент часу t = 1/4 Т, конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля зменшиться до нуля, а енергія магнітного поля досягне максимального значення (див. рис. 26.3).

Починаючи з цього моменту струм у контурі почне зменшуватись, у котушці

виникне струм самоіндукції, який у відповідності з правилом Ленца, буде мати такий же напрямок, як і струм розрядки конденсатора. Тому конденсатор почне перезаряджатися і в момент часу t = 1/2 Т, він повністю зарядиться, змінивши знак зарядів на обкладках конденсатора на протилежний. При цьому енергія магнітного поля знову буде дорівнювати нулю, а енергія електричного поля досягне максимального значення. В подальшому такі ж самі процеси почнуть відбуватись у протилежному напрямку і система в момент часу t = Т прийде у початкове положення.

У відповідності з другим правилом Кірхгофа, для контуру зображеного на рис. 26.2, маємо:

C SIR + U = ε ; (26.13)

де IR - напруга на резисторі; CqU = C - напруга на конденсаторі; S

dIε = - L dt - е.р.с

самоіндукції, що виникає в контурі. Тоді рівняння (26.13) перетвориться до наступного вигляду:

dI qL + IR + = 0

dt C ; (26.14)

Поділивши це рівняння на індуктивність L, та врахувавши співвідношення dqI = dt , отримаємо:

2

2

d q R dq 1 + + q = 0

dt L dt LC ; (26.15)

Отримане рівняння і є рівнянням вільних згасаючих електромагнітних коливань.

Пригадавши теорію вільних згасаючих коливань, нескладно збагнути, що у даному випадку електричний заряд на обкладках конденсатору буде змінюватись за наступним законом:

-δtmaxq = q e cos(ωt + φ) ; (26.16)

де δ - коефіцієнт згасання; ω - частота коливань; t - час. Коефіцієнт згасання цих коливань буде визначатись з виразу (26.17), частота -

з виразу (26.18), а добротність контуру з виразу (26.19).

Rδ =

2L ; (26.17)

2

2

1 Rω = -

LC 4L ; (26.18)

1 LQ =

R C ; (26.19)

У випадку коли активний опір у контурі дорівнює нулю, R = 0, рівняння (26.15) перетвориться до вигляду (26.20), яке і визначає рівняння вільних гармонійних електромагнітних коливань.

2

2

d q 1 + q = 0

dt LC ; (26.20)

З теорії коливань, виходить, що електричний заряд на обкладках конденсатора буде змінюватись за наступним законом:

max 0q = q cos(ω t + φ) ; (26.21) де ω0 - власна частота коливань; t - час.

Власна частота вільних гармонійних електромагнітних коливань визначається з формули (26.22), а їх період - з формули (26.23).

0

1ω =

LC ; (26.22)

T = 2π LC ; (26.23) Остання формула була винайдена У.Томсоном і тому отримала назву формула

Томсона. 26.5. Електромагнітні хвилі та їх енергія.

Змінне електромагнітне поле, що розповсюджується в оточуючому просторі з сталою швидкістю і називається електромагнітними хвилями.

Існування електромагнітних хвиль випливає з теорії Максвелла для електромагнітного поля, а експериментально вони були вперше отримані німецьким фізиком Г.Герцем (1857-1894). Ним було доведено, що закони збудження та розповсюдження електромагнітних хвиль повністю відповідають розв'язкам рівнянь Максвелла.

Джерелом електромагнітних хвиль може бути будь-який провідник по якому іде змінний електричний струм. Але для отримання значних електромагнітних хвиль за звичай використовують електричні коливальні контури.

Найпростішим таким контуром, що отримав назву закритого коливального контуру, є звичайний конденсатор, який знаходиться в колі змінного струму (див рис. 26.4).

Але значно кращих результатів при випромінюванні електромагнітних хвиль

можливо досягти, якщо розсунути обкладки конденсатора на деяку відстань та отримати відкритий коливальний контур (див рис. 26.5).

Електромагнітні хвилі мають вельми широкий діапазон частот (довжину

хвиль). Вони відрізняються одна від іншої за своїми властивостями, засобами генерації і реєстрації.

Тому електромагнітні хвилі поділяють на декілька видів: радіохвилі; світлові хвилі; рентгенівське та γ -випромінювання (див. табл. 26.1). Разом з тим треба підкреслити, що межа між окремими видами електромагнітних хвиль вельми умовна.

З рівнянь Максвелла випливає, що вектори напруженості Е та Н змінного електромагнітного поля задовольняють хвильовим рівнянням наступного вигляду:

2

2 2

1 E∆E =

V t

∂∂

ur

ur

; (26.24)

2

2 2

1 H∆H =

V t

∂∂

ur

ur

; (26.25)

де V - фазова швидкість хвилі; ∆ - оператор Лапласа.

Табл. 26.1. Вид випромінювання Довжина хвилі, м Частота хвилі, Гц

Радіохвилі 103 - 10-4 3 105 - 3 1012

Світлові хвилі: Інфрачервоне випромінювання Видиме світло Ультрафіолетове випромінювання

5 10-4 - 8 10-7

8 10-7 - 4 10-7

4 10-7 – 10-9

6 1011 - 3,75 1014

3,75 1014 - 7,5 1014

7,5 1014 -3 1017 Рентгенівське випромінювання

2 10-9 – 6 10-12

1,5 1017 - 5 1019

γ - випромінювання < 6 10-12 > 5 1019

Фазова швидкість електромагнітних хвиль .в речовині визначається з наступного виразу:

0 0

1 1 cV =

µ ε µε µε; (26.26)

де с - швидкість світла у вакуумі. У вакуумі (µ = 1; ε = 1) швидкість електромагнітних хвиль буде дорівнювати

швидкості світла. Враховуючи, що µε > 1, то швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль в речовині завжди менша ніж у вакуумі.

З рівнянь Максвелла випливає, що в електромагнітній хвилі вектори Е та Н взаємно перпендикулярні, коливаються в однаковій фазі та лежать у площині, яка перпендикулярна вектору швидкості розповсюджування хвилі у просторі V. При цьому миттєві значення векторів Н і Е зв'язаніміж собою наступними співвідношенням:

0 0E ε ε = H µ µ ; (26.27)

Очевидно, що енергія електромагнітної хвилі складається з енергій електричного та магнітного полів. Тоді, з урахуванням виразів (19.31) та (23.16), маємо формулу для визначення об'ємної густини енергії електромагнітної хвилі:

2 20 0

ел м

εε E µµ Hω = ω + ω = +

2 2 ; (26.28)

Помноживши значення об'ємної густини енергії елекгромагнітної хвилі ω на значення її фазової швидкості у речовині V, та врахувавши співвідношення (26.27), отримаємо:

2 20 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

εε E µµ H 1S = ωV = +

2 2 µµ εε

εε EH µ µ µµ HE εε 1 + =

2 εε 2 µ µ µµ εε

EH µ µεε HE εε µµ 1= + = EH ;

2 2 µµ εε

⋅ =

= ⋅

⋅

Тоді, враховувавши те, що вектори Е та Н завжди взаємно перпендикулярні, маємо право записати:

S = E × H

r uur uur

; (26.29)

Вектор S отримав нашу вектора Умова-Пойтінга. Напрямок вектора Умова-Пойтінга співпадає з напрямком перенесення енергії

електромагнітною хвилею і чисельно визначає густину її потоку. Невдовзі після експериментального відкриття електромагнітних хвиль, у

травні 1895 року російським вченим А.Поповим (1859-1906) був продемонстрований перший в світі радіоприймач, який вказав на можливість застосування електромагнітних хвиль для без провідного зв'язку. Ця подія, без перебільшення, перетворила буття людства. Радіо та телебачення увійшло в життя кожної людини.

Та сьогодні майже неможливо перелічити усі галузі застосування електромагнітних хвиль, бо в наш час немає ні однієї області науки та техніки, де б вони не використовувались. 26.6. Контрольні запитання. 1. Що таке вихрове електричне поле? У чому полягають його відмінності від електростатичного поля. 2. Що називається струмом зміщення і чому він дорівнює? 3. Що називається повним струмом і чому він дорівнює? 4. Запишіть систему рівнянь Максвелла в інтегральній формі для електромагнітного поля. 5. Який основний висновок відносно електричних та магнітних полів витікає з рівнянь Максвелла? 6. Поясніть процеси, що відбуваються в електричному коливальному контурі. 7. Чому дорівнює частота та період коливань електромагнітного поля в коливальному контурі. 8. В чому полягає різниця між закритим і відкритим коливальними контурами? 9. Чому дорівнює швидкість електромагнітних хвиль у речовині? РОЗДІЛ ДРУГИЙ КОНТРОЛЬНІ ЗАВДАННЯ 1. Загальні вказівки до виконання контрольних робіт.

1. Номери задач, які студент повинен включити в свою контрольну роботу, визначаються по таблицях варіантів лаборантами кафедри при отриманні завдання.

2. Контрольні роботи треба виконувати у шкільному зошиті, на обкладинці якого привести відомості за наступним зразком: Контрольна робота № з загальної фізики Студента групи ПЦБ - 00 - 1 Кисельова А.В.

3. Умови задач у контрольній роботі треба переписувати повністю. Рішення задач потрібно супроводити короткими, але вичерпними поясненнями. У тих випадках, коли це потрібно, обов'язково приводить креслення, що пояснюють розв'язування задачі.

4. Розв'язувати задачі треба в загальному вигляді, тобто виразити шукану величину в буквених позначеннях параметрів, що задані в умові задачі. Числові значення при підстановці їх в розрахункову формулу і отриману відповідь потрібно

давати в одиницях системи СІ, за винятком випадків коли в умові задачі вказано інше. Обчислення треба проводити з дотриманням правил наближених обчислень, до трьох значущих цифр. При запису відповіді, числові значення потрібно записувати як добуток десяткового дробу з однією значущою цифрою перед комою на відповідну міру десяти. Наприклад, замість 0,00129 треба записувати 1,29 10-3.

5. Розв'язування деяких задач потребує використовування даних про фізичні властивості об'єктів, які в цих задачах згадуються. Ці дані треба брати з таблиць, що наведені у кінці цього посібника.

6. Кожна контрольна робота повинна завершуватися таблицею відповідей за наступним зразком:

Відповідь на задачі

Варіант 1 2 3 4 5 6

17 1 10-8 Кл 1,2 с; 6Н

π, рад 4,2 10-9 Ф у 4 рази 15,6 Дж

2. Таблиця варіантів контрольної роботи № 3.

Варіант Номери задач 1 2 3 4 5 6 1 3.1 3.60 3.61 3.120 3.121 3.151 2 3.2 3.59 3.62 3.119 3.122 3.152 3 3.3 3.58 3.63 3.118 3.123 3.153 4 3.4 3.57 3.64 3.117 3.124 3.154 5 3.5 3.56 3.65 3.116 3.125 3.155 6 3.6 3.55 3.66 3.115 3.126 3.156 7 3.7 3.54 3.67 3.114 3.127 3.157 8 3.8 3.53 3.68 3.113 3.128 3.158 9 -3.9 3.52 3.69 3.112 3.129 3.159

10 3.10 3.51 3.70 3.111 3.130 3.160 11 3.11 3.50 3.71 3.110 3.131 3.161 12 3.12 3.49 3.72 3.109 3.132 3.162 13 3.13 3.48 3.73 3.108 3.133 3.163 14 3.14 3.47 3.74 3.107 3.134 3.164 15 3.15 3.46 3.75 3.106 3.135 3.165 16 3.16 3.45 3.76 3.105 3.136 3.166 17 3.17 3.44 3.77 3.104 3.137 3.167 18 3.18 343 3.78 3.103 3.138 3.168 19 3.19 3.42 3.79 3.102 3.139 3.169 20 3.20 3.41 3.80 3.101 3.140 3.170 21 3.21 3.40 3.81 3.100 3.141 3.171 22 3.22 3.39 3.82 3.99 3.142 3.172 23 3.23 3.38 3.83 3.98 3.143 3.173 24 3.24 3.37 3.84 3.97 3.144 3.174 25 3.25 3.36 3.85 3.96 3.145 3.175 26 3.26 3.35 3.86 3.95 3.146 3.176 27 3.27 3.34 3.87 3.94 3.147 3.177 28 3.28 3.33 3.88 3.93 3.148 3.178 29 3.29 3.32 3.89 3.92 3.149 3.179 30 3.30 3.31 3.90 3.91 3.150 3.180

3. Завдання контрольної роботи № 3. 3.1. Два точкових заряди, що знаходячись в повіїрі на відстані 20 см один від

одного, взаємодіють з деякою силою. На якій відстані R треба помістити ці заряди в маслі, щоб отримати ту ж силу взаємодії?

3.2. Знайти напруженість електричного поля в точці, що лежить посередині між точковими зарядами q1 = 8 нКл і q2 = 6 нКл. Відстань між зарядами 10 см.

3.3. Відстань між зарядами Q1 = 100 нКл і Q2 = - 50 нКл дорівнює 10 см. Визначити силу, яка діє на заряд Q3 =1 мкКл, що відстоїть па відстані 12 см від заряду Q1 і на відстані 10 см від заряду Q2.

3.4. Довгий прямий тонкий дріт несе рівномірно розподілений заряд. Обчислити лінійну густину τ заряду, якщо напруженість поля на відстані 0,5 м від дроту прощ її середини складає Е = 2 В/см.

3.5. В центр квадрата, в кожній вершині якого знаходиться заряд q = 2,33 нКл, вміщений негативний заряд q0. Знайти цей заряд, якщо результуюча сила, що діє на кожний заряд q, дорівнює нулю.

3.6. Два точкових заряди q1 = 7,5 нКл і q2 = - 14,7 нКл розташовані на відстані 5 см. Знайти напруженість електричного поля в точці, що знаходиться на відстанях 3 см від позитивного заряду і 4 см від негативного заряду.

3.7. Дві кульки однакових радіуса і маси підвішені на нитках однакової довжини так, що їх поверхні стикаються. Після надання кулькам заряду q = 0,4 мкКл вони відштовхнулися одна від одної і розійшлися на кут ß = 60°. Знайти масу кульки, якшо відстань від центра кульки до точки її підвісу 20 см.

3.8. Дві кульки однакових радіуса і маси підвішені на нитках однакової довжини так, що їх поверхні стикаються. Який заряд q треба надати кулькам, щоб сила натягу ниток стала рівною Т = 98 мН? Відстань від центра кульки до точки її підвісу 10 см; маса кожної кульки m = 5 г.

3.9. До зарядженої нескінченної площини з поверхневою густиною заряду σ = 40 мкКл/м2, підвішена однойменно заряджена кулька масою 1 г і зарядом q = 1 нКл. Який кут ß з нескінченною площиною утворить нитка, на якій висить кулька?

3.10. До зарядженої нескінченної площини, підвішена однойменно заряджена кулька масою 0,4 мг і зарядом q = 667 пКл. Сила натягу нитки, на якій висить кулька, Т = 0,49 мН. Знайти поверхневу густину заряду σ на площині.

3.11. Дві довгі однойменно заряджені нитки розташовані на відстані 10 см одна від одної. Лінійна густина заряд)' на нитках 10 мкКл/м. Знайти модуль напруженості електричного поля в точці, що знаходиться на відстані 10 см від кожної з ниток.

3.12. Мідна куля радіусом 0,5 см занурена в масло. Густина масла ρ = 0,8 103 кг/м3. Знайти заряд кулі, якщо в однорідному електричному полі вона виявилася зрівноваженою в маслі. Електричне поле направлене вертикально вверх і його напруженість 3,6 МВ/м.

3.13. В плоскому горизонтально розташованому конденсаторі заряджена капелька ртуті знаходиться в рівновазі при напруженості електричного поля 60 кВ/м. Заряд каплі 0,8 нКл. Знайти її радіус.

3.14. Дві кульки масою 1 г кожна, підвішені на нитках, верхні кінці яких з'єднані. Довжина кожної нитки 10 см. Які однакові заряди треба надати кулькам, щоб нитки розійшлися на кут α = 60°?

3.15. Точкові заряди Q1 = 20 мкКл, та Q2 = - 10 мкКл знаходяться на відстані 5 см один від одного. Визначити напруженість поля в точці, що знаходиться на

відстані 3 см від першого і на відстані 4 см від другого заряду. Визначити також силу F, що діє в цій точці на точковий заряд Q = 1 мкКл.

3.16. Три однакових точкових заряди Q1 = Q2 = Q3 = 2 нКл знаходяться у вершинах рівностороннього трикутника зі сторонами а = 10 см. Визначити модуль сили F, що діє на один із зарядів з боку двох інших.

3.17. Два позитивних точкових заряди Q і 9Q закріплені на відстані 100 см один від одного. Визначити на якій відстані Від заряду Q, треба помістити третій заряд так, щоб він знаходився в рівновазі.

3.18. Дві однаково заряджені кульки підвішені на нитках однакової довжини. При цьому нитки розійшлися на деякий кут ß. Кульки занурюють в олію. Чому дорівнює густина олії, якщо кут ß на який розійшлися нитки при цьому не змінився? Густина матеріалу кульок ρ0 = 1,5 103 кг/м3, діелектрична проникність олії ε = 2,2.

3.19. Чотири однакових заряди Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 40 нКл закріплені у вершинах квадрата зі стороною а = 10 см. Знайти силу F, що діє на один з цих зарядів з боку трьох інших.

3.20. Точкові заряди Q1 = 30 мкКл і Q2 = - 20 мкКл знаходяться на відстані d = 20 см один від одного. Визначити напруженість електричного поля Е в точці, що знаходиться на відстані r1 = 30 см від першого заряду, і на відстані r2 = 15 см від другого.

3.21. У вершинах правильного трикутника зі стороною а = 10 см знаходяться заряди Q1 = 10 мкКл, Q2 = 20 мкКл і Q3 = 30 мкКл. Визначити силу F, що діє на заряд Q1 з боку двох інших зарядів.

3.22. У вершинах квадрата знаходяться однакові заряди Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 8 10-10 Кл. Який негативний заряд Q потрібно помістити в центрі квадрата, щоб сила взаємного відштовхування позитивних зарядів б)'ла урівноважена силою притягання негативного заряду?

3.23. На відстані d = 20 см знаходяться два точкових заряди: Q1 = - 50 нКл і Q2 = 100 нКл. Визначити силу F, що діє на заряд Q3 = - 10 нКл, який знаходиться на однаковій відстані (20 см) від обох зарядів.

3.24. Відстань між двома точковими зарядами Q1 = 2 нКл і Q2 = 4 нКл дорівнює 60 см. Визначити відстань, від першого заряду, на яку потрібно помістити третій заряд Q3 так, щоб система зарядів знаходилася в рівновазі.

3.25. У плоскому горизонтально розташованому конденсаторі, відстань між пластинами якого 1 см, знаходиться заряджена капелька масою 5 10-11 г. При відсутності електричного поля капелька внаслідок опору повітря падає з деякою постійною швидкістю. Якщо до конденсатора прикладена різниця потенціалів 600 В, то капелька падає вдвічі повільніше. Знайти заряд капельки.

3.26. Між двома вертикальними пластинами, що знаходяться на відстані одного сантиметра одна від одної, на нитці висить заряджена кулька масою m = 0,1 г. Після подачі на пластини різниці потенціалів U = 1 кВ нитка з кулькою відхилилася на кут ß = 10°. Знайти заряд кульки.

3.27. Мильний пузир з зарядом q = 222 пКл знаходиться в рівновазі в полі плоского горизонтально розташованого конденсатора. Знайти різницю потенціалів між пластинами конденсатора, якщо маса пузиря m = 0,01 г і відстань між пластинами 5 см.

3.28. Кулька радіусом R = 2 см заряджається негативно до потенціалу φ = 2 кВ. Знайти масу усіх електронів, що складають заряд, цієї кульки.

3.29. Вісім заряджених водяних крапель радіусом 1 мм і зарядом q = 1 нКл кожна, зливаються в одну загальну водяну краплю. Знайти потенціал φ цієї новоутвореної краплі.

3.30. Дві кульки радіусом 1 см і масою 40 мг підвішені на нитках довжиною 10 см так, що їх поверхні стикаються. Коли кульки зарядили, нитки розійшлися на деякий кут і сила натягнення ниток стала рівною 490 мкН. Знайти потенціал φ заряджених кульок.

3.31. На деякій відстані від нескінченної рівномірно зарядженої площини з поверхневою густиною заряду σ = 2 мкКл/м2 розміщений круг радіусом 15 см, який паралельний площині. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь цей круг.

3.32. Заряд q = 1 мкКл знаходиться в вершині кругового конуса висота якого 30 см, радіус основи 10 см. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь поверхню цього конуса.

3.33. На осі конуса, що знаходиться у вакуумі, на однакових відстанях від вершини і центра основи розміщений точковий заряд q = 1 мкКл. Висота конуса 20 см, а радіус основи - 10 см. Знайти потік вектора напр>женості електричного поля крізь поверхню основи конуса.

3.34. На осі конуса, що знаходиться у вакуумі, на однакових відстанях від вершини і центра основи розміщений точковий заряд q = 1 мкКл. Висота конуса 20 см, а радіус основи - 10 см. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь бокову поверхню конуса.

3.35. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь бокову поверхню прямого кругового циліндра висотою 20 см, з основою радіусом 10 см. Точковий заряд q = 0,3 мкКл розміщений по осі циліндра на половині його висоти.

3.36. Знайти потік вектора напруженості електричного поля крізь бокову поверхню прямого кругового циліндра висотою 20 см, з основою радіусом 10 см. Точковий заряд q = 0,3 мкКл розміщений у центрі основи циліндра.

3.37. Кільце з дроту радіусом 10 см має негативний заряд q' = - 5 нКл. Знайти напруженість електричного поля на осі кільця в точках, розташованих від центра кільця на відстанях, рівних 0 і 15 см. На якій відстані від центра кільця напруженість електричного поля буде мати максимальне значення?

3.38. Напруженість електричного поля на осі зарядженого кільця має максимальне значення на відстані L від центра кільця. У скільки разів напруженість електричного поля в точці, розташованій на відстані 0,5 L від центра кільця, буде менше максимального значення напруженості?

3.39. Тонкий довгий стержень рівномірно заряджений з лінійною густиною τ = 1,5 нКл/см. На продовженні осі стержня на відстані 12 см від його кінця знаходиться точковий заряд Q = 0,2 мкКл. Визначити силу взаємодії зарядженого стержня і точкового заряду.

3.40. Тонкий стержень довжиною 20 см несе рівномірно розподілений заряд q = 0,1 мкКл. Визначити напруженість електростатичного поля у точці, що лежить, по осі стержня, на відстані 20 см від його кінця.

3.41. По тонкому півкільцю радіуса 10 см рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною τ = 1 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що збігається з центром кільця.

3.42. Тонке кільце несе розподілений заряд 0,2 мкКл. Визначити напруженість електричного поля в точці, що рівновіддалена від усіх точок кільця на відстань 20 см. Радіус кільця R = 10 см.

3.43. Третина тонкого кільця радіуса R = 10 см несе розподілений заряд Q = 50 нКл. Визначити напруженість електричного поля в точці О, що збігається з центром цього кільця.

3.44. Нескінченний тонкий стержень, обмежений з одного боку, несе рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною τ = 0,5 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться по осі стержня на відстані 20 см від його початку.

3.45. По тонкому кільцю радіусом R = 20 см розмірно розподілений заряд з лінійною густиною τ = 0,2 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться на осі кільця на відстані h = 2R від його центра.

3.46. По тонкому півкільцю рівномірно розподілений заряд Q = 20 мкКл із лінійною густиною τ = 0,1 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці О, що збігається з центром цього кільця.

3.47. Чверть тонкого кільця радіусом 10 см несе рівномірно розподілений заряд Q = 0,05 мкКл. Визначити напруженість електричного поля в точці, що збігається з центром цього кільця.

3.48. По тонкому кільцю рівномірно розподілений заряд Q = 10 нКл із лінійною густиною τ = 0,01 мкКл/м. Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться по осі стержня на відстані рівній радіусу кільця.

3.49. Дві третини тонкого кільця радіусом R = 10 см несуть рівномірно розподілений з лінійною густиною τ = 0,2 мкКл/м заряд. Визначити напруженість електричного поля в точці, що збігається з центром цього кільця.

3.50. Кільце радіусом 10 см заряджене з лінійною густиною заряду τ = 800 нКл/м. Визначити потенціал у точці, що розташована по осі кільця на відстані 10 см від його центра.

3.51. Електричне поле утворене нескінченно довгою зарядженою ниткою, лінійна густина заряду якої τ = 20 пКл/м. Визначити різницю потенціалів U двох точок поля, що відстоять від нитки на відстані r1 = .8 см і r2 = 12 см.

3.52. Тонка квадратна рамка рівномірно заряджена з лінійною густиною заряду τ = 200 пКл/м. Визначити потенціал φ поля в точці перетину діагоналей.

3.53. На двох концентричних сферах радіусом R і 2R рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ1 і σ2. Обчислити напруженість Е електричного поля в точці, що відлучена від спільного центра сфер на відстань r. Побудувати графік залежності Е(r). Прийняти σ1 = 4σ, σ2 = σ, σ = 30 нКл/м2, r = 1,5R .

3.54. Дивись умову попередньої задачі. Прийняти σ1 = σ, σ2 = - σ, σ = 0,1 мкКл/м2, r = 3R.

3.55. Чотири однакових краплі ртуті, заряджені до потенціалу 10 В, зливаються в одну. Знайти потенціал краплі, що утворилася?

3.56. Дві паралельні заряджені площини, поверхнева густина заряду яких становить σ1 = 2 мкКл/м2 і σ2 = - 0,8 мкКл/м2, знаходяться на відстані 0,6 см одна від одної. Визначити різницю потенціалів U між площинами.

3.57. На двох нескінченних паралельних площинах рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ1 і σ2 . Потрібно обчислити напруженість Е поля в точках розташованих ліворуч та праворуч від площин. Прийняти σ1 = 2σ, σ2 = - σ, σ = 20 нКл/м2.

3.58. Заряд рівномірно розподілений по нескінченній площині з поверхневою густиною τ = 10нКл/м2. Визначити різницю потенціалів двох точок поля, одна з яких знаходиться на площині, а інша вилучена від її на відстань а = 10 см.

3.59. На двох коаксіальних нескінченних циліндрах радіусами R і 2R рівномірно розподілені заряди з поверхневою густиною σ1 і σ2. Обчислити напруженість Е поля в точці, що відстоїть від спільної осі циліндрів на відстані r. Побудувати графік залежності Е(r). Прийняти σ1 = - 2σ, σ2 = σ, σ = 50 нКл/м2, r = 1,5R.

3.60. Дивись умову попередньої задачі. Прийняти σ1 = σ, σ2 = - σ, σ = 60 нКл/м2, r = 3R .

3.61. Яку різницю потенціалів U повинен пройти електрон, щоб одержати швидкість V = 8 Мм/с?

3.62. Кулька масою 40 мг, яка має позитивний заряд q = 1 нКл, рухається з швидкістю 10 см/с. На яку відстань може наблизитися кулька до позитивного точкового заряду q0 = 1,33 нКл?

3.63. До якої відстані можуть зблизитися два електрони, якщо вони рухаються назустріч один одному з відносною швидкістю V = 106 м/с?

3.64. Дві кульки з зарядами q1 = 6,66 нКл і q2 = 13,33 нКл знаходяться на відстані d = 40 см. Яку роботу А треба виконати, щоб зблизити їх до відстані D = 25 см?

3.65. Яка робота здійснюється при перенесенні точкового заряду q = 20 нКл з нескінченності в точку, що знаходиться на відстані 1 см від поверхні кулі радіусом R = 1 см з поверхневою густиною заряду σ = 10 мкКл/м2?

3.66. Кулька масою 1 г і зарядом 10 нКл переміщується з точки і, потенціал якої φ1 = 600 В, в точку 2, потенціал якої φ2 = 0. Знайти швидкість кульки в точці 1, якщо в точці 2 вона стала рівною V2 = 20 см/с.

3.67. На відстані d1 = 4 см від нескінченно довгої, зарядженої нитки знаходиться точковий заряд q = 0,66 нКл. Під дією електричного поля заряд наближається до нитки на відстань d2 = 2 см. При цьому здійснюється робота А = 5 10-6 Дж. Знайти лінійну густину заряду на нитці.

3.68. Електричне поле утворене позитивно зарядженою нескінченно довгою ниткою. Рухаючись під дією цього поля від точки, що знаходиться на відстані L1 = 1 см від нитки, до точки L2 = 4 см, α - частинка змінила свою швидкість від V1 = 2 105

м/с до швидкості V2 = 3 106 м/с. Знайти лінійну густина заряду на нитці. 3.69. Електричне поле утворене позитивно зарядженою нескінченно довгою

ниткою з лінійною густиною заряду τ = 0,2 мкКл/м. Яку швидкість отримає електрон під дією поля, наблизившись до нитки з відстані L1 = 1 см до відстані L2 = 0,5 см?

3.70. Біля зарядженої нескінченної площини знаходиться точковий заряд q = 0,66 нКл. Заряд переміщається по лінії напруженості поля на відстань d = 2 см; при цьому здійснюється робота 5 10-6 Дж. Знайти поверхневу густина заряду σ на площині.

3.71. Відстань між пластинами плоского конденсатора 4 см. Електрон починає рухатися від негативної пластини в той момент, коли від позитивної пластини Починає рухатися протон. На якій відстані від позитивної пластини вони зустрінуться?

3.72. Відстань між пластинами плоского конденсатора 1 см. Від однієї з пластин одночасно починають рухатися протон і α-частинка. Яку відстань пройде α-

частинка за той час, протягом якого протон пройде весь шлях від однієї пластини до іншої?

3.73. Електрон, пройшовши в плоскому конденсаторі шлях від однієї пластини до іншої, набув швидкість V = 108 м/с. Відстань між пластинами d = 5,3 мм. Знайти різницю потенціалів між пластинами і поверхневу густину заряду на пластинах.

3.74. Електричне поле утворене двома паралельними пластинами, що знаходяться на відстані 2 см одна від одної. До пластин прикладена різниця потенціалів U щ 120 В. Яку швидкість V отримає електрон під дією поля, пройшовши по лінії напруженості відстань h = 3 мм?

3.75. Електрон влітає в плоский горизонтально розташований конденсатор паралельно пластинам зі швидкістю V0 = 9 106 м/с. Різниця потенціалів між пластинами 100 В; відстань між пластинами 1 см. Знайти повне а, нормальне аn, і тангенціальне aτ прискорення електрона через 10 нc після початку його руху в конденсаторі.

3.76. Електрон влітає в плоский горизонтально розташований конденсатор паралельно його пластинам з швидкістю V = 106 м/с. Напруженість поля в конденсаторі Е = 10 кВ/м; довжина конденсатора 5 см. Знайти модуль швидкості V електрона при вильоті його з конденсатора.

3.77. Електричне поле створене зарядженою провідною кулею, потенціал φ якої 300 В. Визначити роботу, яку треба виконати для переміщення заряду Q = 0,2 мкКл з точки 1 в точку 2 (див. рис. 3.1 ).

3.78. Диполь з електричним моментом р = 100 пКл·м вільно встановився у

електричному полі напруженістю Е = 200 кв/м. Визначити роботу зовнішніх сил, яку необхідно виконати для повороту диполя на кут α = 180°.

3.79. Порошина масою m = 200 мкг, що несе на собі заряд Q = 40 нКл, залетіла в електричне поле в напрямку силових ліній. Після проходження різниці потенціалів у 200 В порошина мала швидкість 10 м/с. Визначити швидкість порошини до того, як вона влетіла в поле.

3.80. Електричне поле створене зарядами Q1 = 2 мкКл і Q2 = - 2 мкКл, що знаходяться на відстані 10 см один від одного. Визначити роботу сил поля виконану при переміщенні заряду Q = 0,5 мкКл з точки 1 в точку 2 (див. рис. 3.2).

3.81. Електрон, що мав кінетичну енергію Т = 10 еВ, залетів в однорідне електричне поле в напрямку силових ліній. Яку швидкість буде мати електрон, пройшовши в цьому полі різницю потенціалів U = 8 В?

3.82. Електрон, пройшовши в плоскому конденсаторі шлях від однієї пластини до іншої, придбав швидкість V = 105 м/с. Відстань між пластинами d = 8 мм. Знайти різницю потенціалів U між пластинами та поверхневу густину заряду σ на пластинах.

3.83. Порошина масою 5 нг, що несе на собі 10 електронів, пройшла у вакуумі різницю потенціалів у 1 MB. Знайти кінетичну енергію порошини? Яку швидкість V набула порошина?

3.84. Яку мінімальну швидкість повинен мати протон, щоб він міг досягти поверхні зарядженої до потенціалу φ = 400 В металевої кулі (див. рис. 3.3)?

3.85. В однорідне електричне поле напруженістю Е = 200 В/м влітає (уздовж

силової лінії) електрон зі швидкістю V0 = 2 Мм/с. Визначити відстань, яку він подолає до того, як його швидкість зменшиться вдвічі.

3.86. Електрон рухається уздовж силової лінії однорідного електричного поля. У деякій точці поля з потенціалом φ1 = 100 В електрон мав швидкість V1 = 6 Мм/с. Визначити потенціал φ2 точки поля, дійшовши до який електрон втратить по ловину своєї швидкості.

3.87. Два заряди Q1 = 6 нКл і Q2 = 3 нКл знаходяться на відстані 60 см один від одного. Яку роботу необхідно виконати, щоб зменши ти відстань між зарядами вдвічі?

3.88. Електричне поле створене нескінченною зарядженою ниткою з рівномірно розподіленим зарядом (τ = 10 нКл/м). Визначити кінетичну енергію Т2 електрона в точці 2, якщо в точці 1 його кінетична енергія становила Т1 = 200 еВ (див. рис.3.4).

3.89. Електрон з початковою швидкістю V = З Мм/с влетів в однорідне

електричне поле напруженістю Е = 150 В/м. Вектор початкової швидкості перпендикулярний лініям напруженості електричного поля. Визначити приско рення, що набуває електрон та його швидкість через 0,1 мкс.

3.90. Різниця потенціалів між пластинами плоского конденсатора U = 90 В. Площа кожної пластини 60 см2, її заряд 1 нКл. На якій відстані одна від одної знаходяться пластини?

3.91. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м2, відстань між ними d = 5 мм. До пластин прикладена різниця потенціалів U0 = 300 В. Після відключення конденсатора від джерела напруги простір між пластинами

заповнюється ебонітом. Яка різниця потенціалів при цьому встановиться між пластинами?

3.92. Коаксіальний електричний кабель складається з центральної жили і концентричної циліндричної оболонки, між якими знаходиться діелектрик ε = 3,2. Знайти ємність С одиниці довжини такого кабелю, якщо радіус жили r = 1 см, а радіус оболонки R = 3,0 см.

3.93. Знайти ємність сферичного конденсатора, що складається з двох концентричних сфер радіусами r = 10 см і R = 10,5 см. Простір між сферами заповнений маслом. Який радіус R0, повинна мати куля, занурена в масло, щоб мати таку ж ємність?

3.94. Радіус внутрішньої кулі повітряного сферичного конденсатора 1 см, радіус зовнішньої кулі 4 см. Між кулями прикладена різниця потенціалів U = 3 кВ. Знайти напруженість електричного поля на відстані L = 3 см від центра меншої кулі.

3.95. Радіус внутрішньої кулі вакуумного сферичного конденсатора 1 см, радіус зовнішньої кулі 4 см. Між кулями прикладена різниця потенціалів U = 3 кВ. Яку швидкість V отримає електрон, наблизившись до центра куль з відстані 3 см до відстані 2 см?

3.96. Різниця потенціалів на батареї з двох послідовно з'єднаних конденсаторів складає U = 6 В. Ємність першого конденсатора C1 = 2 мкФ, другого - С2 = 4 мкФ. Знайти заряд і різницю потенціалу на обкладках другого конденсатора.

3.97. Заряджена куля радіусом 2 см приводиться в зіткнення з незарядженою кулею, радіусом 3 см. Після того як кулі роз'єднали, енергія другої кулі виявилася рівною W = 10 Дж. Який заряд був на першій кулі до її зіткнення з другою кулею?

3.98. Пластини плоского конденсатора площею S = 0,01 м2 кожна, притягуються одна до одної з силою F = 30 мН. Простір між пластинами заповнений слюдою. Знайти заряди, що знаходяться на пластинах, напруженість Е поля між пластинами і об'ємну густину енергії всередині конденсатора.

3.99. Між пластинами плоского конденсатора вкладена тонка слюдяна пластинка. Який тиск р діє на цю пластинку при напруженості електричного поля Е = 1 МВ/м?

3.100. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м2, відстань між ними d =5 мм. Яка різниця потенціалів була прикладена до пластин конденсатора, якщо відомо, що при розряді конденсатора виділилося 4,19 мДж теплоти?

3.101. Площа пластин плоского повітряного конденсатора S = 0,01 м2, відстань між ними 2 см. До пластин конденсатора прикладена різниця потенціалів U = 3 кВ. Яка буде напруженість поля конденсатора, якщо, не відключаючи його від джерела напруги, розсунути пластини до відстані D = 5 см? Знайти енергію конденсатора після розсунення пластин.

3.102. Розв'язати попередню задачу при умові, що спочатку конденсатор відключається від джерела напруги, а потім розсовуються пластини конденсатора.

3.103. Плоский конденсатор заповнений діелектриком і на його пластини подана деяка різниця потенціалів. Його енергія при цьому складає 20 мкДж. Після того, як конденсатор відключили від джерела живлення, діелектрик вийняли з конденсатора. Робота, яку треба було здійснити, щоб вийняти діелектрик склала 70 мкДж. Знайти діелектричну проникність ε діелектрика.

3.104. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнений діелектриком, діелектрична сприйнятливість якого χ = 0,08. Відстань між

пластинами 5 мм. На пластини конденсатора подана різниця потенціалів U = 4 кВ. Знайти поверхневу густина зв'язаних зарядів на діелектрику.

3.105. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнений склом. Площа пластин конденсатора S = 0,01 м2. Пластини конденсатора притягуються одна до одної з силою F = 4,9 мН. Знайти поверхневу густина зв'язаних зарядів на склі.

3.106. До батареї з е.р.с у 300 В включені два плоских конденсатори ємностями С1 = 2 пф і С2 = 3 пф. Визначити заряд Q і напругу U на конденсаторах при їх послідовному з'єднанні.

3.107. До батареї з е.р.с у 300 В включені два плоских конденсатори ємностями С1 = 2 пф і С2 = 3 пф. Визначити заряд Q і напругу U на конденсаторах при їх паралельному з'єднанні.

3.108. Конденсатор ємністю С1 = 600 пф зарядили до різниці потенціалів U1 = 1,5 кВ і відключили від джерела напруги, Потім до нього паралельно приєднали незаряджений конденсатор ємністю С2 = 400 пф. Визначити енергію, витрачену на утворення іскри, що проскочила при з'єднанні конденсаторів.

3.109. Конденсатори ємністю С1 = 5 мкФ і С2 = 10 мкФ заряджені до напруг U1 = 60 В и U2 = 100 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають однойменні заряди.

3.110. Конденсатор ємністю С1 = 10 мкФ заряджений до напруги U = 10 В. Визначити заряд на обкладках цього конденсатора після того, як паралельно йому був підключений інший, незаряджений, конденсатор ємністю С2 = 20 мкФ.

3.111. Конденсатори ємностями С1 = 2 мкФ, С2 = 5 мкФ і С3 = 10 мкФ з'єднані послідовно і знаходяться під напругою U = 850 В. Визначити напругу і заряд на першому з конденсаторів.

3.112. Два конденсатори ємностями С1 = 2 мкФ і С2 = 5 мкФ заряджені до напруг U1 = 100 В та U2 = 150 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками, що мають різнойменні заряди.

3.113. Два однакових плоских повітряних конденсатори ємністю 100 пФ кожний з'єднані в батарею послідовно. Визначити, на скільки зміниться ємність цієї батареї, якщо простір між пластинами одного з конденсаторів заповнити парафіном.

3.114. Два конденсатори ємностями С1 = 5 мкФ і С2 = 8 мкФ з'єднані послідовно і приєднані до батареї з е.р.с. у 80 В. Визначити заряд та різницю потенціалів на першому з конденсаторів.

3.115. Плоский конденсатор складається з двох круглих пластин радіусом R = 10 см кожна. Відстань між пластинами 2 мм. Конденсатор приєднаний до джерела напруги U = 80 В. Визначити заряд Q та напруженість Е поля всередині конденсатора, коли він заповнений склом.

3.116. Дві металеві кульки радіусами R1 = 5 см і R2 = 10 см мають заряди Q1 = 40 нКл і Q2 = - 20 нКл, відповідно. Знайти енергію Wj яка виділиться при з'єднанні куль провідником.

3.117. Простір між пластинами плоского конденсатора заповнено двома шарами діелектрика: скла товщиною d1 = 0,2 см і шаром парафіну товщиною d2 = 0,3 см. Різниця потенціалів між обкладками U = 300 В. Визначити напруженість Е поля і падіння потенціалу в кожному із шарів. ` 3.118. Плоский конденсатор з площею пластин S = 200 см2 кожна, заряджений до різниці потенціалів U = 2 кВ. Відстань між Пластинами d = 2 см. Діелектрик - скло. Визначити енергію W конденсатора та її густину ω.

3.119. Конденсатори ємністю С1 = 5 мкФ і С2 = 10 мкФ заряджені до напруг U1 = 60 В и U2 = 100 В, відповідно. Визначити напругу на обкладках конденсаторів після їхнього з'єднання обкладками; що мають однойменні заряди.

3.120. Скільки витків ніхромового дроту діаметром 1 мм треба навити на фарфоровий циліндр радіусом 2,5 см, щоб отримати опір у 40 Ом?

3.121. Резистор з опором R1 = 5 Ом, вольтметр і джерело струму з'єднані паралельно. Вольтметр показує напруга U1 = 10 В. Якщо замінити резистор іншим з опором R2 = 120 м, то вольтметр покаже напруга U2 =- 12 В: Визначити е.р.с. і внутрішній опір джерела струму.

3.122. Визначити електричний заряд, що пройшов за 20 секунд крізь поперечний переріз проводу з опором R = 3 Ом при рівномірному наростанні напруги на його кінцях від U1 = 2 В до U2 = 4 В.

3.123. Визначити силу струму в електричному колі, що складається з двох джерел живлення з'єднаних однойменними полюсами, з е.р.с. 1,6 В та 1,2 В. їх внутрішній опір r1 = 0,6 Ом, r2 = 0,4 Ом.

3.124. Гальванічний елемент дає на зовнішній опір у 0,5 Ом силу струму 0,2 А. Якщо зовнішній опір замінити на R2 = 0,8 Ом, то елемент дає силу струму І2 = 0,15 А. Визначити силу струму короткого замикання.

3.125. До джерела струму з е.р.с. 12 В приєднали зовнішнє на-вантаження. Напруга U на клемах джерела стала при'цьому рівною 8 В. Визначити у відсотках к.к.д. джерела струму.

3.126. Зовнішня ділянка електричного кола споживає потужність Р = 0,75 Вт. Визначити силу струму в мережі, якщо е.р.с. джерела струму становить 2 В, а його внутрішній опір r = 1 Ом.

3.127. Сила струму в провіднику змінюється з часом за законом І = 4 + 2t2. Який заряд Q проходить через поперечний перетин провідника за проміжок часу від t1 = 2 с до t2 = 6 с?

3.128. Сила струму в провіднику з опором R = 10 Ом за час t = 50 с рівномірно наростає від I1 = 5 А до І2 = 10 А. Визначити кількість теплоти Q, що виділилося за цей час у провіднику.

3.129. При рівномірному зростанні сили струму у провіднику від I1 = 1 А до І2 = 2 А за 10 секунд виділилася кількість теплоти Q = 5 кДж. Знайти опір R провідника.

3.130. Який об'єм води можна закип'ятити, затративши електричну енергію Q = 3 ГВт-г? Початкова температура води 10°С.

3.131. На плитці потужністю 0,5 кВт стоїть чайник, в який налитий 1 літр води при температурі 16°С. Вода в чайнику закипіла через 20 хвилин після вмикання плитки. Яка кількість теплоти Q при цьому втрачена.

3.132. 4,5 літра води можна закип'ятити, затративши електричну енергію Q = 0,5 кВт-г. Початкова температура води 23°С. Знайти к.к.д. нагрівника.

3.133. Температура водяного термостата об'ємом 1 літр підтримується постійною за допомогою нагрівника потужністю 26 Вт. На нагрівання води витрачається 80 % цієї потужності. На скільки знизиться температура води в термостаті за 10 хвилин, якщо нагрівник вимкнути?

3.134. Вольфрамова нитка електричної лампочки при температурі 20°С має опір R1 = 35,8 Ом. Яка буде температура нитки, якщо при вмиканні лампочки в мережу напругою 120 В по ній йде струм 0,33 А? Температурний коефіцієнт опору вольфраму α =4,6 10-3 К-1.

3.135. Обмотка котушки з мідного дроту при температурі 14°С має опір R0 = 10 Ом. Після проходження струму, опір обмотки став рівним R = 12,2 Ом. До якої температури Т нагрілася обмотка? Температурний коефіцієнт опору міді α = 4,15 10-

3 К-1. 3.136. Яку частку е.р.с. елемента живлення складає різниця потенціалів U на

його клемах, якщо внутрішній опір елемента r в 10 разів менший зовнішнього опору R.

3.137. Від батареї, е.р.с.якої 600 В, потрібно передати енергію на відстань 1 км. Потужність, що споживається 5 кВт. Знайти мінімальні втрати потужності в мережі, якщо діаметр мідних проводів, що використовуються 0,5 см.

3.138. При зовнішньому опорі R1 = 8 Ом сила струму в електричному колі I1 = 0,8 А, при опорі R2 = 15 Ом сила струму І2 = 0,5 А. Визначити силу струму короткого замикання.

3.139. Два паралельно з'єднаних елемента живлення з однаковими е.р.с. у 2 В і внутрішніми опорами r1 = 1 Ом та r2 = 1,5 Ом, замкнені на зовнішній опір R = 1,4 Ом. Знайти струм І в кожному з елементів живлення.

3.140. Напруга на клемах елемента живлення 2,1 В, опори R1 = 5 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 3 Ом (див. рис, 3.5). Який струм І показує амперметр?

3.141. Елемент живлення, опір і амперметр з'єднані послідовно. Елемент має

е.р.с. 2 В і внутрішній опір 0,4 Ом. Амперметр показує струм І = 1 А. З яким к.к.д. працює елемент?

3.142. Е.р.с. батареї живлення 100 В, опори R1 = R2 = 40 Ом, R3 = 80 Ом і R4 = 34 Ом. (див. рис. 3.6). Знайти струм I2 що йде через опір R2 і падіння потенціалу U на ньому.

3.143. Е.р.с. батареї живлення 120 В, опори R3 = 20 Ом, R4 = 25 Ом (див.

рис.3.7). Падіння потенціалу на опорі R1 дорівнює 40 В. Амперметр показує струм I = 2 А. Знайти onipR2.

3.144. Батарея з е.р.с. 10 В і внутрішнім опором 1 Ом має к.к.д. η = 0,8 (див.

рис. 3.7). Падіння потенціалу на опорах R1 і R4 рівні U1 = 4 В і U4 = 2 В. Яку силу струму показує амперметр? Знайти падіння потенціалу на опорі R2.

` 3.145. Е.р.с. батареї 100 В, опори R1 = 100 Ом, R2 = 200 Ом і R3 = 300 Ом, опір вольтметра RV = 2 кОм (див. рис. 3.8). Яку різницю потенціалів U показує вольтметр?

3.146. Опори R1 = R2 = R3 = 200 Ом, опір вольтметра RV = 2 кОм (див рис. 3.8). Вольтметр показує різницю потенціалів U = 100 В. Знайти е.р.с. батареї живлення.

3.147. Є 120-вольтова електрична лампочка потужністю 40 Вт. Який

додатковий опір R треба включити послідовно з лампочкою, щоб вона давала нормальне розжарення при напрузі в мережі U0 = 220 В? Яку довжину ніхромового дроту діаметром 0,3 мм треба взяти, щоб отримати такий опір?

3.148. Від генератора з е.р.с. у 110 В, потрібно передати енергію на відстань L = 250 м. Потужність, що споживається - 1 кВт. Знайти мінімальний перетин S мідних проводів живлення, якщо втрати потужності в мережі не, повинні перевищувати 1 %.

3.149. Елемент живлення замикають спочатку на зовнішній опір R = 2 Ом, а шМм-да зов нішній опір R = 0,5 Ом. Знайти е.р.с. елемента живлення і його внутрішній опір r, якщо відомо, що в кожному з цих випадків потужність, яка виділяється у зовнішньому колі, однакова і дорівнює 2,54 Вт.

3.150. Батареї живлення мають е.р.с. ε1 = 2 В та ε2 = 4 В, опір R1 = 0,5 Ом (див. рис. 3.9). Падіння потенціалу на опорі R2 дорівнює 1 В. Знайти, що показує амперметр.

3.151. Батареї живлення мають е.р.с. ε1 = 110 В та ε2 = 220 В, опори R1 = R2 =

100 Ом, R3 = 500 Ом (див. рис. 3.9). Знайти, що показує амперметр. 3.152. Батареї живлення мають е.р.с. ε1 = 30 В та ε2 = 5 В. Опори R2 = 10 Ом, R3

= 20 Ом (див. рис. 3.9). Струм І = 1 А, що йде крізь амперметр, має напрямок справа наліво. Знайти значення опору R1.

3.153. Батареї живлення мають е.р.с. ε1 = 2 В, ε2 = 4 В та ε3 = 6 В, опори R1 = 4 Ом, R2 = 6 Ом та R3 = 8 Ом (див. рис. 3.10). Знайти струм через опір R1.

3.154. Батареї живлення мають е.р.с. ε1 = 2 В, ε2 = 4 В та ε3 = 6 В, опори R1 = 4 Ом, R2 = 6 Ом та R3 = 8 Ом (див. рис. 3.10). Знайти струм через опір R2.

3.155. На електричній схемі, що зображена на рис. 3.10, падіння потенціалу на опорах R1, R2 і R3 дорівнюють U1 = U3 = 2U2 = 10 В. Знайти е.р.с. ε3 та ε2, якщо ε1 = 25 В.

3.156. Батареї мають е.р.с. ε1 = ε2 = 100 В. Опори R1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 40 Ом та R4 = 30 Ом (див. рис. 3.11). Знайти, що показує амперметр.

3.157. Батареї мають е.р.с. ε1 = 2 ε2. Опори R1 = R3 = 20 Ом, R2 = 15 Ом та

R4 = 30 Ом (див. рис. 3.11). Через амперметр тече струм силою 1,5 А, направле ний знизу вгору. Знайти ε1.

3.158. Батареї мають е.р.с. ε1 = 2ε2. Опори R1 = R3 = 20 Ом, R2 = 15 Ом та R4 = 30 Ом (див. рис. 3.11). Через амперметр тече струм силою 1,5 А, направлений знизу вгору. Знайти силу струму, що тече крізь опір R3.

3.159. Батареї мають е.р.с. ε1 = 2ε2. Опори R1 = R3 = 20 Ом, R2 = 15 Ом та R4 = 30 Ом (див. рис. 3.11). Через амперметр тече струм силою 1,5 А, направлений знизу вгору. Знайти силу струму, що тече крізь опір R2.

3.160. Два однакових елементи мають ε1 = ε2 = 2 В і внутрішні опори r1 = r2 = 0,5 Ом (див. рис. 3.12). Знайти струми I1 і І2, що течуть крізь опори R1 = 0,5 Ом і R2 = 1,5 Ом.

3.161. Два однакових елементи мають е.р.с. ε1 = ε2 = 2 В, утрішні опори r1 = r2

= 0,5 Ом (див. рис. 3.12). Зовнішні опори R1 = 0,5 Ом і R2 = 1,5 Ом. Знайти струм, що тече крізь елемент живлення ε1.

3.162. Батареї живлення мають е.р.с. ε1 = 2 В, ε2 = З В. Опір R3 = 1,5 кОм, опір амперметра дорівнює RA = 0,5 кОм. (див. рис. 3.13). Падіння потенціалу на опорі R2. дорівнює 1 В. (струм через опір R2 направлений зверху вниз). Знайти, що показує амперметр.

3.163. Батареї живлення мають е.р.с. ε1 = 2 В, ε2 = З В. Опори R1 = 1 кОм, R2 = 0,5 кОм та R3 = 0,2 кОм, опір амперметра дорівнює RA = 0,2 кОм. (див. рис. 3.13). Знайти, що показує амперметр.

3.164. Два елементи з однаковими е.р.с. ε1 = ε2 = 2 В, та внутрішнім опором r1 = r2 = 2 Ом замкнені на зовнішній опір R (див. рис. 3.14). Через елемент з е.р.с. ε1 тече струм I1 = 1 А. Знайти опір R та струм І2, що тече через елемент з е.р.е. ε2.

3.165. Розв'язати попередню задачу за умови, що ε1 = ε2 = 4 В, r1 = r2 = 0,5 Ом,

I1 = 2 A. 3.166. За який час при електролізі водного розчину хлорної міді (СuСl2) на

катоді виділиться 4,74 грам міді, якщо сила струму дорівнює 2 А? 3.167. За який час при електролізі мідного купоросу маса мідного катода збіль

шиться на 99 мг? Площа пластинки катода 25 см2, густина струму 200 А/м2 Знайти товщину шару міді, що утвориться на катоді.

3.168. При електролізі мідного купоросу за одну годину виділилося 0,5 грам міді. Площа кожного електрода S = 75 см2. Знайти густину електричного струму.

3.169. Дві електролітичні ванни з розчинами AgNO2 і CuSO4 з'єднані послідовно. Яка маса міді виділиться за час, протягом якого виділилось 180 мг срібла?

3.170. Яку електричну енергію W треба затратити, щоб при електролізі розчину AgNO2 виділилось 500 мг срібла? Різниця потенціалів на електродах 4 В.

3.171. Площа кожного електрода іонізаційної камери S = 0,01 м2, відстань між ними 6,2 см. Знайти струм насичення ІH в такій камері, якщо в одиниці об'єму в одиницю часу утворюється 1015 однозарядних іонів кожного знаку.

3.172. Яку наймевдну швидкість повинен мати електрон для того, щоб іонізувати атом водню? Потенціал іонізації атома водню дорівнює 13,5 В.

3.173. При якій температурі Т атоми ртуті мають кінетичну енергію поступального руху, достатню для іонізації? Потенціал іонізації атома ртуті 10,4 В.

3.174. У скільки разів зміниться питома термоелектрона емісія вольфраму, що знаходиться при температурі Т0 = 2400 К, якщо підвищити температуру вольфраму на ∆T = 100 К?

3.175. Сила струму в провіднику, опором 10 Ом, змінюється з часом за законом І = І0 e

-αt. Знайдіть кількість теплоти, що виділилося в провіднику за час t = 10-2 с. Прийняти І0 = 20 A, α = 102 с-1.

3.176. Сила струму у провіднику змінюється з часом за законом І = І0 sinωt. Знайти заряд Q, що проходить через поперечний переріз провідника за час рівний половині періоду, якщо початкова сила струму І0 = 10 А, циклічна частота ω=50π с-1

3.177. Сила струму змінюється за законом І = І0 sinωt. Визначити кількість теплоти, що виділиться в провіднику з опором R = 10 Ом за час від t1 = 0 до t2 = T/4. Прийняти Т = 10 с, а І0 = 20 А.

3.178. Сила струму в провіднику змінюється з часом за законом І = І0 e-αt. Визначити кількість теплоти, що виділиться в провіднику з опором R = 20 Ом за час, протягом якого струм зменшиться в e раз. Прийняти α = 2 10-2 с-1, a I0 = 20 А.

3.179. При вимиканні джерела живлення сила струму в мережі зменшується за законом І = І0 e-αt (І0 = 10 А, α = 5·102 с-1). Визначити кількість теплоти, що

виділиться в резисторі з опором R = 5 Ом після вимикання джерела живлення. Прийняти І0 = 20 А.

3.180. Сила струму змінюється за законом І = І0 cosωt. Визначити кількість теплоти, що виділиться в провіднику з опором R = 8 Ом за час від t1 = 0 до t2 = Т/4. Прийняти Т = 4 с, а І0 = 20 А.

4. Приклади розв'язування задач з контрольної роботи № 3.

Приклад 3.1. Два точкових заряди 9Q і -Q закріплені на відстані 50 см один від одного. Визначити положення заряду Q1 при якому він буде знаходитися в рівновазі.

Розв'язання. У відповідності з першим законом Ньютона, заряд Q1 буде знаходиться в рівновазі тоді, коли геометрична сума сил, що діють на нього буде дорівнювати нулю. Розглянемо, на якій з трьох ділянок І, II, III (див. рис. 3.15) може бути виконана ця умова. Будемо вважати, що заряд Q1 - позитивний.

На ділянці І на заряд Q1 будуть діяти дві протилежно спрямовані сили: F1 і F2.

Сила F1 що діє з боку заряду 9Q, у будь-якій точці цієї ділянки більше сили F2, що діє з боку заряду -Q. Бо більший заряд 9Q знаходиться завжди ближче до заряду Q1 чим менший заряд -Q. Тому рівновага на цій ділянці неможлива.

На ділянці II обидві сили F1 і F2 спрямовані в одну сторону, до заряду -Q. Тому і на другій ділянці рівновага неможлива.

На ділянці III сили F1 і F2 спрямовані в протилежні сторони, так само як і на ділянці І. Але менший заряд -Q завжди знаходиться ближче до заряду Q1 ніж заряд 9Q. А це значить, що можливо знайти таку точку на прямій праворуч заряду -Q, де сили F1 і F2 будуть однакові за модулем. Тобто: F1 = F2.

Тоді, у відповідності з законом Кулона, одержимо:

( )1 12 2

9Q Q Q Qk = k

xL+x

⋅ ⋅; (3.1)

Звідкіля: L + х = ± 3х, або: x1 = + L/2, х2 = - L/4. Корінь х2 не задовольняє граничним умовам III ділянки. Тоді: х = + L/2 = 50/2 = 25 см.

Відповідь: х = 25 см. Приклад 3.2. На тонкому стержні довжиною L = 20 см, знаходиться

рівномірно розподілений електричний заряд. На продовженні осі стержня на відстані а = 10 см від найближчого кінця знаходиться точковий заряд Q1 = 40 нКл, що взаємодіє зі стержнем з силою F = 6 мкН. Визначити лінійну густина τ заряду на стержні.

Розв'язання. Сила взаємодії F стержня з точковим зарядом Q1 залежить від лінійної густини τ заряду на стержні. При визначенні цієї сили необхідно взяти до уваги, що заряд на стержні не є точковим, тому закон Кулона безпосередньо застосувати не можна. У цьому випадісу треба діяти в такий спосіб.

Виділимо на стержні нескінченно малу ділянку dr із зарядом dQ = τdr (див. рис. 3.16).

Цей заряд dQ можливо розглядати як точковий. Тоді, у відповідності з

законом Кулона, маємо:

12

Q τdrdF = k

r; (3.2)

Інтегруючи цей вираз в межах від а до a + L, одержуємо:

( )

a+L a+L1

1 1 12aa

Q τLdr 1 1 1F = kQ τ = kQ τ - = kQ τ - = k

r r a a + L a a + L

∫

Звідкіля: ( )

1

a a + L Fτ =

Q L; (3.3)

Зробимо обчислення: -6

99 8

0,1(0,1+0,2) 6 10τ = 2,5 10 Кл/м

9 10 4 10 0, 2−

−

⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Відповідь: τ = 2,5 10-9 Кл/м. Приклад 3.3. По тонкому кільцю рівномірно розподілений заряд Q = 40 нКл з

лінійною густиною τ = 50 нКл/м. Визначити напруженість Е електричного поля, створюваного цим зарядом у точці А, що лежить на осі кільця і відстоїть від його центра на відстань, рівній половині радіуса.

Розв'язання. Виділимо на кільці нескінченно малу ділянку довжиною dL, на якій буде знаходиться заряд dQ = τ dL (див. рис. 3.17).

Цей заряд dQ можна роз-глядати як точковий. Тому, у відповідності з

формулою (18.8), вектор напруженості dE поля, що створене цим зарядом в шуканій точці, буде дорівнювати:

3

τdLdE = k r

r

ur r

; (3.4)

де r - радіус-вектор, спрямований від елемента dL до точки А. А модуль вектора dE дорівнює:

2

τdLdE = k

r; (3.5)

Розкладемо вектор dE на дві складові: dE1 - перпендикулярно площини кільця; та dE2 - паралельно площини кільця. Тоді маємо:

1dE = dE + dE ; Напруженість Е електричного поля в точці А знайдемо інтегруванням виразу

(3.4) по всій довжині кільця:

1 2

L L L

E = dE = dE + dE∫ ∫ ∫ur ur ur

; (3.6)

Врахуємо, що для кожної пари зарядів dQ і dQ1 (dQ = dQ1), розташованих симетрично до центра кільця, вектори dE1

2 і dE2 в точці. А рівні за модулем, але протилежні за напрямком: dE1

2 = - dE2. Тому останній інтеграл у формулі (3.6),буде дорівнювати нулю. На відміну від цього, вектори dE1

2 та dE1, для кожної пари зарядів dQ і dQ1, співпадають за напрямком.

Тому, враховуючи, що dE1 = dE cosα, співвідношення (3.6) перетвориться до наступного вигляду:

2πR

1 2 20L L L 0

τdLcosα 1 τdLcosαE = dE = dE = k =

r 4πε r∫ ∫ ∫ ∫ur ur

; (3.7)

Визначивши, з геометричних міркувань, що 2

2 R 5Rr = R + =

2 2

, ( )R 2 1

cosα = = r 5

,

отримаємо остаточний результат: 2πR 2πR

2 20 0 00 0

1 τdLcosα τ 2τE = = dL =

4πε r 5 5πε R 5 5ε R∫ ∫ ; (3.8)

Використавши співвідношення Q = 2πRτ, визначимо радіус кільця: R = Q/(2πτ). Підставивши цей результат у вираз (3.8), отримаємо:

2

0 0

2τ2πτ 4πτE = =

5 5ε Q 5 5ε Q; (3.9)

Робимо обчислення:

( )-2-8

3

-12 -8

4 3,14 5 10E = = 7,92 10 В/м

5 5 8,85 10 4 10

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅.

Відповідь: Е = 7,92 103 В/м. Приклад 3.4. Дві концентричні провідні сфери радіусами R1 = 6 см та R2 = 10

см несуть відповідно заряди (Q1 = 1 нКл та Q2 = -0,5 нКл). Знайти напруженість Е поля в точках, що відстоять від центра сфер на відстані r1 = 5 см, r2 = 9 см, r3 = 15 см. Побудувати графік залежності Е(r).

Розв'язання. Точки, в яких потрібно знайти напруженість електричного поля, лежать у трьох областях: І (r1 < R1), ΙΙ (R1 < r2 < R2) та III (r3 > R2) (див. рис. 3.18).

Для визначення параметра Е1 в області І проведемо поверхню S1 радіусом r1 і

скориставшись теоремою Гаусса для електростатичного поля у вакуумі, отримаємо:

1

1

S

E dS = 0∫ur r

�; (3.10)

Вище приведений інтеграл дорівнює нулю тому, що всередині поверхні S1 електричних зарядів немає за умовою задачі. Тоді, враховуючи, що Е1 = const, маємо:

1 1

1 1 1 1

S S

E dS = E dS = E S = 0∫ ∫ur r ur r

� �;

З останнього виразу неважко зробить висновок, що напруженість поля у всіх точках області І, які задовольняють умові r1 < R1 буде дорівнювати нулю. Тобто: Е1=0.

В області II поверхню проведемо радіусом r2. У цьому випадку:

2

2

0S

Q1E dS =

ε∫ur r

�; (3.11)

де Q1 - сумарний електричний заряд, що знаходиться всередині замкненої поверхні S2.

Тоді, враховуючи, що Е2 = const, маємо:

2 2

2 12 2 2 2 2 2

0S S

QE dS = E dS = E S = E 4πr =

ε∫ ∫ur r r

� �;

Звідки і отримаємокінцевий результат:

12 2

0 2

QE =

4πε r; (3.12)

Таким чином, напруженість поля у всіх точках області II, які задовольняють умові R1 < r2 < R2, буде визначатись з формули (3.12).

В області ІІІ поверхня проводиться радіусом r3. Тоді, врахувавши від'ємний знак заряду Q2, та те, що Е3 = const, отримаємо:

3 2

2 1 23 3 3 3 3 3

0S S

Q - QE dS = E dS = E S = E 4πr =

ε∫ ∫ur r r

� �;

Звідки:

1 23 2

0 3

Q - QE =

4πε r; (3.13)

Зробимо обчислення:

( )

99 3

2 2

10E = 9 10 = 1,11 10 В/м

0,09⋅ ⋅ ;

( )( )

-99

3 2

1 - 0,5 10E = 9 10 = 200 В/м

0,15⋅ .

А тепер побудуємо графік Е(r). В області І (r1 < R1), E = 0. В області II (R1 = r < R2), Е2(r) змінюється за законом 1/r22. У точці r = R1

напруженість E2(R1) = Q1/(4πε0R12) = 2,5 103 В/м. У точці r = R2 (r прагне до R2

збільшуючись) E2(R2) = Q1/(4πε0R22) = 0,9 103 В/м.

В області III (r > R2), E3(r) змінюється за законом 1/r2, причому в точці r = R2 (r прагне до R2 зменшуючись) E3(R2) = (Q1 – Q2)/(4πε0R2

2) = 0,45 103 В/м. Таким чином, функція Е(r) у точках r = R1 та r = R2 терпить розрив.

Графік залежності Е(r) представлений на рис. 3.19.

Приклад 3.5. Заряд Q = 0,5 мкКл знаходиться в вакуумі і міститься в вершині

кругового конуса, висота якого становить 30 см, а радіус основи 15 см. Знайти потік вектора електричного зміщення D крізь поверхню конуса (див. рис. 3.20).

Розв'язання. У відповідності з визначенням (18.9), потік вектора елек тричного

зміщення через поверхню конуса буде дорівнювати:

D 0 0 б 0 o

S S Sб Sб

Φ = DdS = ε EdS = ε Ecosα dS + ε Ecosα dS∫ ∫ ∫ ∫ur r ur r

� � � �; (3.14)

де S - повна поверхня конуса; Sб - бокова поверхня конуса; Sо - площа основи конуса; Е - вектор напруженості електростатичного поля; α - кут між векторами Е та dS.

Перший інтеграл у правій частині формули (3.14), який визначає потік вектора Е крізь бокову поверхню конуса Sб, буде дорівнювати нулю, бо кут між векторами Е та Sб у цьому випадку становить 90° (див. рис. 3.20), а це значить, що cosα = 0.

Для обчислення другого інтеграла у правій частині формули (3.14), розкладемо вектор Е на складові: Е = Еx + Еy. Тоді формула (3.14) перетвориться до наступного вигляду:

D 0 x o 0 y o

Sб Sб

Φ = ε E cosα dS + ε E cosα dS∫ ∫� �; (3.15)

Другий інтеграл у правій частині цієї формули, який визначає потік вектора Еx крізь поверхню основи конуса So, буде також дорівнювати нулю, бо кут між векторами Еx та dS0 у цьому випадку теж становить 90°.

А тепер перейдемо до самої складної частини цієї задачі, а саме обчислення першого інтегралу у формулі (3.15). Перш за все відзначимо, що кут α між векторами Еy та So, y цьому випадку становить 0° (див. рис. 3.20), а це значить, що cosα = 1.

На поверхні основи конуса виділимо кільце радіусом r, ширина якого дорівнює нескінченно малій величині dr. Тоді площа цього кільця буде дорівнювати:

odS = 2πr dr ; (3.16) Виходячи з креслень, що зображені на рис. 3.20, неважко пересвідчитись у

правомірності наступних геометричних співвідношень: 2 2L = h + r ; (3.17)

2 2

h hcosβ = =

L h + r; (3.18)

Нагадаємо, що модуль вектора на пруженостіполя, створеного точко вим зарядом Q, у відповідності з виразом (18.7), дорівнює:

20

1 QE =

4πε L; (3.19)

де L - відстань між точковим зарядом та шуканою точкою поля. Тоді, з урахуванням формул 3.17 - 3.19, вираз (3.15) перетвориться до

наступного вигляду: R

D 0 y o 0 o 20So Sб 0

1 QΦ = ε E dS = ε Ecosβ dS = cosβ 2πr dr

4πε L∫ ∫ ∫� �;

Або:

( ) ( )

R R

D 3/22 2 2 2 2 20 0

1 Q hr Qh rΦ = dr = dr

2 2h + r h + r h + r⋅ ⋅∫ ∫ ;

Інтегруємо останній вираз, у межах від 0 до R: R

D 2 2 2 20

Qh 1 Qh 1 1Φ = - = - +

2 2 hh + r h + r

;

І в остаточному вигляді маємо:

D 2 2

Q hΦ = 1 -

2 h + R

⋅

; (3.20)

Зробимо обчислення: -6

-9D 2 2

0,5 10 0,3Φ = 1 - = 12,5 10 Кл

2 0,3 + 0,15

⋅⋅ ⋅

.

Відповідь; ФD = 12,5 10-9 Кл. Приклад 3.6. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом R = 1 см,

рівномірно зарядженим з лінійною густиною τ = 20 нКл/м. Визначити різницю

потенціалів між двома точками цього поля, що знаходяться на відстані a1 = 0,5 см і а2 = 2 см від поверхні циліндра.

Розв'язання. Для визначення різниці потенціалів скористуємося співвідношенням (18.35). Для поля з осьовою симетрією, яким є поле циліндра, це співвідношення можна записати у вигляді:

dφ = - Edr ; Інтегруючи цей вираз, знайдемо різницю потенціалів між двома точками, що

відстоять на відстанях r1 і r2 від осі циліндра: 2 2

1 1

r r

2 1 1 2

r r

φ - φ = - Edr φ - φ = Edr⇒∫ ∫ ; (3.21)

Для визначення напруженості поля, що створене довгим циліндром, можна скористатися наступною формулою:

0

1 τE =

2πε r; (3.22)

Підставивши останню формулу у вираз (3.21), отримаємо: 2

1

r

22 1

0 0 1r

rτ dr τφ - φ = dr = ln

2πε r 2πε r∫ ; (3.23)

Зробимо обчислення, з огляду на, що величини r1 і r2,які входять у формулу (3.23) визначаються таким чином: r1 = R + а1 = 1,5 см, r2 = R + а2 = 3 см. Тоді:

( )-8 102 1

3φ - φ = 2 10 1,8 10 Ln = 250 B1,5⋅ ⋅ ⋅ .

Відповідь: ∆φ = 250 В. Приклад 3.7. Визначити різницю потенціалів U, яку повинен пройти в

електричному полі електрон, що має швидкість V1 = 106 м/с, щоб швидкість його зросла в 2 рази.

Розв'язання. Різницю потенціалів можна знайти, обчисливши роботу, яку виконали сили електростатичного поля для збільшення швидкості руху електрона. Ця робота визначається добутком елементарного заряду на різницю потенціалів U:

A = e U ; (3.24) З іншого боку, робота сил електростатичного поля дорівнює зміні кінетичної

енергії електрона: 2 2 22 1 1

2 1

mV mV 3mVA = T - T = - =

2 2 2; (3.25)

де Т1 і Т2 - кінетична енергія електрона до і після проходження електростатичного поля; m - маса електрона; V1 і V2 - початкова і кінцева швидкості електрона.

Порівнявши праві частини рівностей (3.24) і (3.25), одержимо: 2

13mVe U =

2;

Звідси находимо шукану різницю потенціалів: 2

13mVU =

2e ;

Робимо обчислення: -31 12

-19

3 9,1 10 10U = = 8,53 B

2 1,6 10

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

.

Відповідь: U = 8,53 В. Приклад 3.8. Конденсатор ємністю С1 = 3 мкФ був заряджений до різниці

потенціалів U1 = 40 В. Після відключення від джерела струму, конденсатор з'єднали паралельно з іншим, незарядженим, конденсатором ємністю С2 = 5 мкФ. Яка енергія W буде витрачена на утворення іскри в момент приєднання другого конденсатора?

Розв'язання. Виходячи з закону збереження енергії, енергія яка буде витрачена на утворення іскри в момент приєднання другого конденсатора дорівнює:

1 2W = W - W ; (3.26) де W1 - енергія, яку мав перший конденсатор до моменту приєднання до нього другого конденсатора; W2 - енергія, яку має батарея конденсаторів після їх з'єднання.

У відповідності з формулою (19.28), енергія зарядженого конденсатора дорівнює:

21W = CU2 ;

де С - ємність конденсатора. Підставивши у формулу (3.26) енергії W1 і W2 та прийнявши до уваги, що

загальна ємність паралельно з'єднаних конденсаторів дорівнює сумі ємностей окремих конденсаторів, одержимо:

( )2 21 1 1 2 2

1 1W = C U - C + C U2 2 ; (3.27)

де U2 - різниця потенціалів на клемах батареї конденсаторів. З огляду на те, що після приєднання другого конденсатора, заряд батареї не

змінився (другий конденсатор до з'єднання не був заряджений), та з урахуванням формули (19.16), різниця потенціалів U2 на батареї конденсаторів після їх об'єднання, буде становити:

1 12

1 2 1 2

C UQU = =

C + C C + C ;

де Q - заряд першого конденсатора до об'єднання. Підставивши значення параметра U2 у формулу (3.27), отримаємо вираз для

визначення шуканого значення енергії:

( )( )

2 221 2 1 11 1

2

1 2

C + C C UC UW = -

2 2 C + C;

Або у остаточному вигляді:

21 21

1 2

C C1W = U

2 C + C ; (3.28)

Зробимо обчислення: -6 -6

6-6 -6

1 3 10 5 10W = 1600=1,5 10 Дж

2 3 10 +5 10

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Відповідь: W = 1,5 106 Дж. Приклад 3.9. Сила струму в провіднику опором R = 20 Ом наростає протягом

часу ∆t = 2 с, за лінійним законом від І0 = 0 до І = 6 А. Визначити теплоту Q2, Що виділилася в цьому провіднику за другу, секунду.

Розв'язання. У відповідності з законом Джоуля-Ленца для нескінченно малого інтервалучасу у вигляді (20.24), маємо:

2dQ = I R dt ; (3.29) В цій формулі сила струму І не є постійною величиною, а є деякою функцією

часу: I = k t ; (3.30)

де k - коефіцієнт пропорційності, що характеризує швидкість зміни сили струму з часом t.

Виходячи з умови задачі, цей коефіцієнт пропорційності буде дорівнювати:

[ ]∆I 6k = = = 3 A c

∆t 2

З урахуванням співвідношення (3.30), формула (3.29) набере наступного вигляду:

2 2dQ = k R t dt ; (3.31) Тепер, для визначення теплоти, що виділилася в електричному колі за деякий

інтервал часу ∆t, інтегруємо вище приведений вираз у межах від t1 до t2:

( )2 2 2

11 1

t t t2 2 2 3 2 3 3

2 1tt t

1 1Q = dQ = k R t dt = k R t = k R t - t

3 3

∫ ∫ ;

Робимо обчислення:

( )21Q = 3 20 8 - 1 = 420 Дж

3⋅

Відповідь: Q = 420 Дж.

5. Таблиця варіантів контрольної роботи № 4. Варіант Номери задач

1 2 3 4 5 6 1 4.30 4.31 4.90 4ло 4.91 4.150 2 4.29 4.32 4.89 4.09 4.92 4.149 3 4.28 4.33 4.88 4.08 4.93 4.148 4 4.27 4.34 4.87 4.07 4.94 4.147 5 4.26 4.35 4.86 4.06 4.95 4.146 6 4.25 4.36 4.85 4.05 4.96 4.145 7 4.24 4.37 4.84 4.04 4.97 4.144 8 4.23 4.38 4.83 4.03 4.98 4.143 9 4.22 4.39 4.82 4.02 4.99 4.142

10 4.21 4.40 4.81 4.01 4.100 4.141 11 4.20 4.41 4.80 4.51 4.101 4.140 12 4.19 4.42 4.79 4.52 4.102 4.139 13 4.18 4.43 4.78 4.53 4.103 4.138 14 4.17 4.44 4.77 4.54 4.104 4.137 15 4.16 4.45 4.76 4.55 4.105 4.136 16 4.15 4.46 4.75 4.56 4.106 4.135 17 4.14 4.47 4.74 4.57 4.107 4.134 18 4.13 4.48 4.73 4.58 4.108 4.133 19 4.12 4.49 4.72 4.59 4.109 4.132 20 4.11 4.50 4.71 4.60 4.110 4.131 21 4.10 4.51 4.70 4.30 4.111 4.130 22 4.09 4.52 4.69 4.29 4.И2 4.129 23 4.08 4.53 4.68 4.28 4.113 4.128 24 4.07 4.54 4.67 4.27 4.114 4Л27 25 4.06 4.55 4.66 4.26 4.115 4.126 26 4.05 4.56 4.65 4.25 4.116 4.125 27 4.04 4.57. 4.64 4.24 4.117 4.124 28 4.03 4.58 4.63 4.23 4.118 4.123 29 4.02 4.59 4.62 4.22 4.119 4.122 30 4.01 4.60 4.61 4.21 4.120 4.121

6. Завдання контрольної роботи № 4.

4.1. Напруженість магнітного поля Н = 100 А/м. Обчислити магнітну індукцію В цього поля у вакуумі.

4.2. Знайти напруженість Н магнітного поля в точці, що знаходиться на відстані 2 м від нескінченно довгого провідника, по якому тече струм силою 5 А.

4.3. Знайти напруженість магнітного поля в центрі кругового дротяного витка радіусом 1 см, по якому тече струм силою 1 А.

4.4. На рис. 4.1 зображені перетини двох прямолінійних нескінченних провідників з струмом. Відстань між провідниками АВ = 10 см. Струм І1 = 20 A, І2 = 30 А. Знайти напруженість магнітного поля в точках М1, М2, М3. Відстані АМ1 = 2 см, АМ2 = 4 см, ВМ3 = 3 см.

4.5. Розв'язати попередню задачу при умові, що струми течуть в одному

напрямку.

4.6. На рис. 4.2 зображені перетини трьох прямолінійних нескінченних провідників з струмом. Відстані АВ = ВС = 5 см, струми І1 = І2 = І, та І3 = 21. Знайти точку на прямий АС, в якій напруженість магнітного поля дорівнює нулю.

4.7. Розв'язати попередню задачу при умові, що струми течуть в одному

напрямку. 4.8. Два довгих прямолінійних провідника розташовані паралельно на

відстані 10 см один від одного. По провідниках течуть струми І1 = І2 = 5 А, в протилежних напрямках. Знайти напруженість магнітного поля в точці, що знаходиться на відстані 10 см від кожного з провідників.

4.9. Напруженість магнітного поля в центрі кругового контуру Н = 75 А/м. Радіус витка 11 см. Знайти напруженість магнітного поля на осі контуру на відстані 10 см від його площини.

4.10. 3найти напруженість магнітного поля, що створюється відрізком АВ прямолінійного провідника зі струмом, в точці С, що розташована на перпендикулярі до середини цього відрізка на відстані 5 см від нього. По провіднику тече струм І = 20 А. Відрізок АВ провідника видний з точки С під кутом 60°.

4.11. Розв'язати попередню задачу при умові, що струм в провідникові І = 30 А і відрізок провідника видний з точки С під кутом 90°. Точка С розташована на відстані 6 см від провідника.

4.12. Два прямолінійних нескінченних провідника розташовані перпендикулярно один до одного і знаходяться у взаємно перпендикулярних площинах (див. рис. 4.3). Знайти напруженість магнітного поля в точках М1 і М2, якщо струми І1 = 2 А і І2 = З А. Відстані АМ1 = АМ2 = 1 см і АВ = 2 см.

4.13. Струм силою 20 А тече по довгому провіднику, який зігнений під

прямим кутом. Знайти напруженість магнітного поля в точці, що лежить на бісектрисі цього кута і віддаленій від вершини кута на відстань 10 см.

4.14. Струм силою 20 А, тече по кільцю з мідного дроту перетином S = 1,0 мм2, та створює в центрі кільця напруженість магнітного поля Н = 178 А/м. Яка різниця потенціалів U прикладена до кінців дроту, що створює це кільце?

4.15. По двох схрещених під прямим кутом нескінченно довгих проводах течуть струми І та 2І (І = 100 А). Визначити індукцію магнітного поля в точці А (див. рис. 4.4). Відстань d = 10 см.

4.16. Два кругових витки розташовані в двох взаємно перпендикулярних

площинах так, що центри цих витків співпадають. Радіус кожного витка 2 см, струми у витках І1 = І2 = 5 А. Знайти напруженість магнітного поля в центрі цих витків.

4.17.Два кругових витки радіусом 4 см кожний, розташовані в паралельних площинах на відстані d = 10 см один від одного. По витках течуть струми І1 = І2 = 2 А. Знайти напруженість магнітного поля на осі витків в точці, що знаходиться на рівній відстані від них. Струми у витках течуть в одному напрямку.

4.18. З дроту довжиною 1 м зроблена квадратна рамка. По рамці тече струм І = 10 А. Знайти напруженість магнітного поля в центрі рамки.

4.19. По двох довгих паралельних проводах течуть в однаковому напрямку струми І1 = 10 А та І2 = 15 А. Відстань між проводами 10 см. Визначити напруженість магнітного поля в точці, що відстоїть від першого проводу на 8 см, та від другого на - 6 см.

4.20. Розв'язати попередню задачу за умови, що струми течуть у протилежних напрямках, а точка відстоїть від першого проводу на 15 см, та від другого на - 10 см,

4.21. По тонкому провіднику, вигнутому у вигляді правильного шестикутника зі стороною 10 см, тече струм силою 20 А. Визначити індукцію магнітного поля в центрі шестикутника.

4.22. Кільце радіусом 10 см знаходиться в однорідному магнітному полі (В = 0,318 Тл). Площина кільця складає з лініями індукції кут φ = 30°. Обчислити магнітний потік, що пронизує кільце.

4.23. По двох нескінченних проводах, схрещених під прямим кутом, течуть струми І1 та І2 = 2І1 (І1 = 100 А). Визначити магнітну індукцію в точці А, що рівновіддалена від проводів на відстань d = 10 см. (див. рис. 4.5).

4.24. По тонкому кільцю тече струм І = 80 А. Визначити магнітну індукцію в

точці А, що рівновіддалена від точок кільця на відстань r = 10 см (див. рис. 4.6). Кут ß = π/6.

4.25. Магнітний момент тонкого провідного кільця з струмом дорівнює pm = 5

А м2. Визначити магнітну індукцію в точці, що знаходиться на осі кільця на відстані 20 см від його центра.

4.26. По двох нескінченно довгих паралельних проводах течуть, у протилежні сторони, струми силою 60 А. Визначити магнітну індукцію в точці А (див. рис. 4.7), що рівновіддалена від проводів на відстань d = 10 см. Кут ß = π/6.

4.27. Два кругових витки радіусом 4 см кожний, розташовані в паралельних

площинах на відстані d = 10 см один від одного. По витках течуть струми І1 = І2 = 2 А. Знайти напруженість магнітного поля на осі витків в точці, що знаходиться на рівній відстані від них. Струми у витках течуть в протилежних напрямках.

4.28. Нескінченно довгий провід зі струмом І = 50 А зігнутий так, як це показано на рис. 4.8. Визначити магнітну індукцію в точці А, що лежить на бісектрисі прямого кута на відстані d = 10 см від його вершини.

4.29. Знайти напруженість магнітного поля на осі кругового контуру на

відстані З см від його площини. Радіус контуру 4 см, а сила струм в контурі І = 2 А. 4.30. У центрі кругового дротяного витка створюється магнітне поле

напруженістю Н при різниці потенціалів U1 на кінцях витка. Яку треба прикласти різницю потенціалів U2, щоб отримати таку ж напруженість магнітного поля в центрі витка вдвічі більшого радіуса, зробленого з того ж дроту?

4.31. Рамка зі струмом І = 5 А містить 20 витків тонкого проводу. Визначити магнітний момент pm рамки зі струмом, якщо її площа S = 10см2.

4.32. По двох паралельних проводах довжиною 3 м кожний, течуть однакові струми силою 500 А. Відстань між проводами дорівнює 10 см. Визначити силу F взаємодії проводів.

4.33. Скільки ампер-витків необхідно мати для створення магнітного потоку Ф = 0,42 мВб в соленоїді з залізним осердям довжиною 120 см і площею поперечного перетину S = 3 см2?

4.34. Квадратна дротова рамка розташована в одній площині з довгим прямим проводом так, що дві її сторони паралельні проводу. По рамці і проводу течуть однакові струми І = 200 А. Визначити силу F, що діє на рамку, якщо найближча до проводу сторона рамки знаходиться від нього на відстані, рівній її довжині.

4.35. По витку радіусом R = 10 cм тече струм І = 50 А. Виток поміщений в однорідне магнітне поле (В = 0,2 Тл). Визначити момент сили, що діє на виток, якщо площина витка складає кут 60° з лініями індукції.

4.36. Коіушка площею поперечного переріза S = 250 см2, яка має N = 500 витків проводу, по якому тече струм І = 5 А, поміщена в однорідне магнітне поле напруженістю Н = 1000 А/м. Знайти магнітний момент pm котушки.

4.37. Котушка площею поперечного перерізу S = 250 см2, яка має N = 500 витків проводу, по якому тече струм І = 5 А, поміщена в однорідне магнітне поле напруженістю Н = 1000 А/м. Знайти момент сил М, що діє на котушку, якщо вісь котушки складає кут φ = 30° з лініями поля.

4.38. Тонкий провід довжиною 20 см зігнули у півкільце та помістили у магнітне поле (В = 10 мТл) так, що площина півкільця перпендикулярна лініям магнітної індукції. По проводу пропустили струм І = 50 А. Визначити силу F, що діє на провід.

4.39. Квадратний контур зі стороною 10 см, по якому тече струм І = 50 А, вільно встановився в однорідному магнітному полі (В = 10 мТл). Визначити зміну потенціальної енергії контуру при повороті його на 180°, навколо осі, що лежить у площині контуру.

4.40. Тойке провідне кільце зі струмом І = 40 А поміщене в однорідне магнітне поле (В = 80 мТл). Площина кільця перпендикулярна лініям магнітної індукції. Радіус кільця дорівнює 20 см. Знайти силу F, що розтягує кільце.

4.41. Квадратна рамка може вільно обертатися навколо горизонтальної осі, що збігається з однією з її сторін. Маса рамки 20 г. Рамку помістили в однорідне магнітне поле (В = 0,1 Тл), яке спрямоване вертикально вгору. Визначити кут на який відхилилася рамка від вертикалі, коли по ній пропустили струм І = 10 А.

4.42. По витку радіусом 5 см тече струм І = 20 А. Виток розташований в однорідному магнітному полі (В = 40 мТл) так, що нормально площини контуру складає кут ß = π/6 з вектором В. Визначити зміну ∆П потенціальної енергії контуру при його повороті на кут 90° у напрямку збільшення кута ß.

4.43. 3найти магнітну індукцію в замкненому залізному осерді тороїда довжиною 20,9 см, якщо число ампер-витків обмотки тороїда IN = 1500АВ.

4.44. В тороїді довжиною 20,9 см, число ампер-витків обмотки дорівнює IN = 1500 АВ. Знайти магнітну проникність матеріалу замкненого залізного осердя при цих умовах?

4.45. Замкнене залізне осердя довжиною 50 см має обмотку з N = 1000 витків. По обмотці тече струм І0 = 1 А. Який сірум І2 треба пустити через обмотку, щоб при видаленні осердя, індукція магнітного поля залишилась би незмінною?

4.46. Між полюсами електромагніту створюється однорідне магнітне поле з індукцією В = 0,1 Тл. По проводу довжиною 70 см, вміщеному перпендикулярно до напряму магнітного поля, тече струм силою 70 А. Знайти силу F, діючу на цей провід.

4.47. Два прямолінійних довгих Паралельних провідника знаходяться на відстані D = 10 см один від одного. По провідниках в одному напрямі течуть струми І1 = 20 А і І2 = 30 А. Яку роботу треба виконати (на одиницю довжини провідників), щоб їх розсунути до відстані d = 20 см?

4.48. Два прямолінійних довгих паралельних провідника знаходяться на деякій відстані один від одного. По провідниках течуть однакові струми в одному напрямку. Знайти ці струми І1 і І2, якщо відомо, що для того, щоб розсунути їх на вдвічі більшу відстань, довелося виконати роботу (на одиницю довжини провідників) рівну 55 мкДж/м.

4.49. З дроту довжиною 20 см зроблені квадратний і круговий контури. Знайти моменти сил, що діють на кожний з цих контурів, коли вони вміщені в однорідне магнітне поле з індукцією В = 0,1 Тл. По контурах тече однаковий струм силою 2 А. Площина кожного контуру складає кут ß = 45° з напрямком поля.

4.50. Квадратна рамка підвішена на дроті так, що напрямок магнітного поля складає кут α = 90° з нормаллю до площини рамки. Сторона рамки 1 см. Магнітна індукція поля В = 13,7 мТл. Якщо по рамці пропустити струм І = 1 А, то вона повертається на кут ß = 1°. Знайти модуль зсуву G матеріалу дроту. Довжина дроту L = 10 см, а радіус площини його перерізу R = 0,1 мм.

4.51. Круговий контур вміщений в однорідне магнітне поле так, що площина контуру перпендикулярна до напрямку магнітного поля. Напруженість магнітного поля Н = 150 кА/м. По контуру тече струм І = 2 А. Радіус контуру 2 см. Яку роботу треба здійснити, щоб повернути контур на кут α = 90° навколо осі, яка співпадає з діаметром контуру?

4.52. У однорідному магнітному полі з індукцією В = 0,5 Тл, рухається рівномірно провідник довжиною L = 10 см. По провіднику тече струм І = 2 А. Швидкість руху провідника V = 20 см/с і направлена вона перпендикулярно до напрямку магнітного поля. Знайти роботу, що витрачена на переміщення провідника за час t = 10 с.

4.53. У однорідному магнітному полі з індукцією В = 0,5 Тл рухається рівномірно провідник довжиною L = 10 см. По провіднику тече струм І = 2 А. Швидкість руху провідника V = 20 см/с і направлена вона перпендикулярно до напрямку магнітного поля. Знайти потужність Р, що витрачається на переміщення провідника.

4.54. Дріт довжиною 10 см обертається перпендикулярно лініям магнітного поля, індукція якого В = 0,1 Тл, з частотою ν = 5,3 с-1. Знайти магнітний потік Ф, що перетинається дротом за 1 хвилину.

4.55. По провіднику зігнутому у квадрат зі стороною 10 см, тече струм І = 20 А. Площина квадрата перпендикулярна лініям магнітного поля з індукцією В = 0,1 Тл. Знайдіть роботу, яку необхідно виконати для того, щоб видалити провідник за межі поля.

4.56. По тонкому кільцю радіусом R = 10 см рівномірно розподілений заряд з лінійною густиною τ = 50 нКл/м. Кільце обертається з частотою n = 10 с-1, навколо осі, яка перпендикулярна площині кільця і проходить через його центр. Визначити магнітний момент pm, обумовлений обертанням кільця.

4.57. У середній частині соленоїда, що містить 8 витків/см, поміщений круговий виток діаметром 4 см. Площина витка розташована під кутом 60° до осі соленоїда. Визначити магнітний потік, що пронизує виток, якщо по обмотці соленоїда тече струм І = 1 А.

4.58. Квадратний контур зі стороною 10 см, по якому тече струм І = 6 А, знаходиться в магнітному полі (В = 0.8 Тл) під кутом α = 50° до ліній індукції. Яку роботу потрібно виконати, щоб при незмінній силі струму в контурі змінити його форму на коло?

4.59. Плоский контур зі струмом І = 5 А вільно установився в однорідному магнітному полі (В = 0,4 Тл). Площа контуру S = 200 см2. Підтримуючи струм у контурі незмінним, його повернули навколо осі, що лежить у площині контуру, на кут α = 40°. Визначити виконану при цьому роботу.

4.60. Виток, у якому підтримується постійна сила струму І = 60 А, вільно встановився в однорідному магнітному полі (В = 20 мТл). Діаметр витка 10 см. Яку роботу потрібно виконати для того, щоб повернути виток відносно осі, що збігається з його діаметром, на кут α = π/3.

4.61. Два іони різних мас з однаковими зарядами влетіли в однорідне магнітне поле, і почали рухатися по колах радіусами R1 = 3 см і R2 = 1,73 см. Визначити відношення мас іонів, якщо вони пройшли однакову різницю потенціалів.

4.62. Протон влетів у магнітне поле перпендикулярно лініям індукції й описав дугу радіусом R = 10 см. Визначити швидкість протона, якщо магнітна індукція В = 1 Тл.

4.63. Потік α-частинок, прискорених різницею потенціалів U = 1 MB, влітає в магнітне поле напруженістю Н = 1,2 кА/м, перпендикулярно до його ліній. Знайти силу, що діє на кожну α-частинку.

4.64. Електрон, прискорений різницею потенціалів U = 1 кВ, влітає в однорідне магнітне поле перпендикулярно до ліній магнітної індукції (В = 1,19 мТл). Знайти радіус R кола, по якому рухається електрон та період його обертання Т.

4.65. 3найти кінетичну енергію W (в електрон-вольтах) протона, що рухається по дузі кола радіусом 60 см в магнітному полі з індукцією В = 1 Тл.

4.66. Електрон влітає в магнітне поле перпендикулярно до його ліній. Швидкість електрона V = 4 107 м/с. Індукція магнітного поля В = 1 мТл. Знайти тангенціальне та нормальне прискорення електрона в магнітному полі.

4.67. Протон і електрон, рухаючись з однаковою швидкістю, влітають в однорідне магнітне поле. У скільки разів радіус кривизни Rp траєкторії протона буде більше радіуса кривизни Rе траєкторії електрона?

4.68. Протон і електрон, прискорені однаковою різницею потенціалів, влітають в однорідне магнітне поле. У скільки разів радіус кривизни Rp траєкторії протона буде більший радіуса кривизни Re траєкторії електрона?

4.69. Л раєкторія електрона в однорідному магнітному полі являє собою дугу кола, радіусом 10 см. Індукція магнітного поля В = 10 мТл. Знайти енергію електрона W (в електрон-вольтах).

4.70. Заряджена частинка рухається в магнітному полі по колу з швидкістю V = 108 м/с. Індукція магнітного поля В = 0,3 Тл. Радіус кола R = 4 см. Знайти заряд q частинки, якщо відомо, що її енергія дорівнює W = 12 кеВ.

4.71. Протон і α-частинка влітають в однорідне магнітне поле перпендикулярно до його ліній. У скільки разів період обертання Тр протона в магнітному полі буде більший за період обертання α-частинки?

4.72. Альфа-частинка, момент імпульсу якої L = 1,33 10-22 кгм2/с, влітає в однорідне магнітне поле, перпендикулярно до його ліній. Індукція магнітного поля В = 25 мТл. Знайти кінетичну енергію α-частинки.

4.73. Електрон, що прискорений різницею потенціалів U = 800 В, влетівши в однорідне магнітне поле (В = 47 мТл), почав рухатися по гвинтовій лінії з кроком h = 6 см. Визначити радіус гвинтової лінії.

4.74. Альфа-частинка, що прискорена різницею потенціалів U = 300 В, потрапивши в однорідне магнітне поле, стала рухатися по гвинтовій лінії радіусом 1 см та кроком h = 4 см. Визначити магнітну індукцію поля.

4.75. 3аряджена частинка, що прискорена різницею потенціалів U = 100 В, влетівши в однорідне магнітне поле (В = 0,1 Тл), стала рухатися по гвинтовій лінії з кроком h = 6,5 см і радіусом 1 см. Визначити відношення заряду частинки до її маси.

4.76. Електрон влетів в однорідне магнітне поле (В = 200 мТл) перпендикулярно лініям магнітної індукції. Визначити силу еквівалентного кругового струму Іэкв, що створений рухом електрона.

4.77. Протон, що прискорений різницею потенціалів U = 300 В, влетів в однорідне магнітне поле (В = 20 мТл) під кутом ß = 30° до ліній магнітної індукції. Визначити крок і радіус гвинтової лінії, по якій буде рухатися протон.

4.78. Альфа-частинка, пройшовши різницю потенціалів U, стала рухатися в однорідному магнітному полі (В = 50 мТл) по гвинтовій лінії з кроком h = 5 см і радіусом R = 1 см. Визначити різницю потенціалів U, яку пройшла альфа-частинка.

4.79. Електрон в однорідному магнітному полі рухається по гвинтовій лінії радіусом 5 см і кроком h = 20 см. Визначити швидкість електрона, якщо магнітна індукція В = 0,1 мТл.

4.80. Іон з кінетичною енергією Т = 1 кеВ потрапив в однорідне магнітне поле (В = 21 мТл) і став рухатися по колу. Визначити магнітний момент pm еквівалентного кругового струму, що створений рухом іона.

4.81. Протон влетів у схрещені під кутом α = 120° магнітне (В = 50 мТл) та електричне (Е = 20 кВ/м) поле. Визначити прискорення протона, якщо його швидкість (V = 4 105 м/с) перпендикулярна векторам Е та В.

4.82. Електрон, прискорений різницею потенціалів U = 1,2 кВ, потрапив у схрещені під прямим кутом магнітне та електричне поле. Визначити напруженість Е електричного поля, якщо магнітна індукція В = 6 мТл.

4.83. Магнітне (В = 2,5 мТл) та електричне (Е = 10 кв/м) поле схрещені під прямим кутом. Електрон, швидкість якого дорівнює 4 106 м/с, влітає в ці поля так, що сили які на нього діють, мають однаковий напрямок. Визначити прискорення електрона.

4.84. Альфа-частинка, що має швидкість V = 2 Мм/с, влітає під кутом α = 30° до направлених у один бік магнітного (В = 1 мТл) та електричного (Е = 1 кВ/м) полів. Визначити прискорення альфа-частинки.

4.85. Протон, що пройшов різницю потенціалів U, влетів у схрещені під прямим кутом однорідні поля: магнітне (В = 5 мТл) та електричне (Е = 20 кВ/м). Визначити різницю потенціалів U, якщо протон у схрещених полях рухається прямолінійно.

4.86. Магнітнє (В = 2 мТл) та електричне (Е = 1,6 кВ/м) поле співпадають за напрямком. Перпендикулярно векторам В і Е влітає електрон зі швидкістю V = 0,8 Мм/с. Визначити прискорення електрона.

4.87. У схрещені під прямим кутом магнітне (Н = 1 МА/м) та електричне (Е = 50 кВ/м) поле влетів іон. При якій за модулем швидкості, іон буде рухатися прямолінійно?

4.88. Магнітне поле напруженістю Н = 8 кА/м та електричне поле напруженістю Е = 1 кВ/м мають, однаковий напрямок. Електрон влітає в ці поля з швидкістю V = 105 м/с, паралельно силовим лініям. Знайти нормальне, тангенціальне та повне прискорення електрона.

4.89. Електрон, прискорений різницею потенціалів U = 6 кВ, влітає в однорідне магнітне поле (В = 13 мТл) під кутом 30° до напрямку силових ліній поля і рухається по гвинтовій траєкторії. Знайти радіус R і крок h гвинтової траєкторії.

4.90. Протон влітає в однорідне магнітне поле (В = 0,1 Тл) під кутом α = 30° до напрямку силових ліній і рухається по гвинтовій лінії радіусом R = 1,5 см. Знайти кінетичну енергію W протона.

4.91. В магнітному полі з індукцією В = 0,1 Тл, рухається провідник довжиною 10 см, перпендикулярно до ліній магнітного поля. Швидкість руху провідника V = 15 м/с. Знайти е.р.с. електромагнітної індукції, що виникне при цьому у провіднику.

4.92. Котушка діаметром D = 10 см, що складається з 500 витків дроту, знаходиться в магнітному полі. Знайти середню е.р.с. електромагнітної індукції, що виникне в котушці, якщо індукція магнітного поля збільшується за 0,1 секунди від 0 до 2 Тл.

4.93. Швидкість літака з реактивним двигуном V = 950 км/год. Знайти е.р.с. електромагнітної індукції, що виникне на кінцях крил літака, якщо вертикальна складова напруженості земного магнітного поля НB = 39,8 А/м, а розмах крил літака L = 12,5 м.

4.94. У магнітному полі, індукція якого В = 0,05 Тл, обертається стержень довжиною 1 м з кутовою швидкістю ω = 20 рад/с. Вісь обертання проходить через кінець стержня і паралельна лініям магнітного поля. Знайти е.р.с. електромагнітної індукції, що виникне на кінцях стержня.

4.95. Перпендикулярно лініям магнітного поля (В = 0,1 Тл) рівномірно, з частотою n = 5 с-1, обертається стержень довжиною 50 см. Вісь обертання проходить через один з кінців стержня. Визначити різницю потенціалів, що виникає на кінцях стержня.

4.96. Круговий дротяний виток площею S = 0,01 м2 знаходиться в магнітному полі, індукція якого В = 1 Тл. Площина витка перпендикулярна до напрямку магнітного поля. Знайти е.р.с. електромагнітної індукції, що виникне на кінцях витка при відключенні магнітного поля, за час рівний t = 10 мс.

4.97. В магнітному полі, індукція якого В = 0,8 Тл, рівномірно обертається рамка з кутовою швидкістю ω = 15 рад/с. Площа рамки S = 150 см2. Вісь обертання знаходиться в площині рамки і складає кут ß = 30° з напрямом магнітного поля. Знайти максимальну е.р.с. електромагнітної індукції, що виникає в рамці.

4.98. Горизонтальиий стержень довжиною 1 м обертається навколо вертикальної осі, що проходить через один з його кінців. Вісь обертання паралельна магнітному полю, індукція якого В = 50 мкТл. При якій частоті обертання стержня, різниця потенціалів на його кінцях буде дорівнювати U = 1 мВ?

4.99. Соленоїд довжиною 50 см і площею поперечного перетину S = 2 см2 має індуктивність L = 0,2 мкГн. При якій силі струму об'ємна густина енергії магнітного поля всередині соленоїда буде дорівнювати ω = 1мДж/м3?

4.100. Скільки витків має котушка, індуктивність якої L = 1 мГн, якщо при струмі І = 1 А магнітний потік крізь котушку дорівнює Ф = 2мкВб?

4.101. На соленоїд довжиною 20 см і площею поперечного перетину S = 30 см2, надітий дротяний виток. Обмотка соленоїда має 320 витків, і по ньому йде струм І = З А. Яка середня е.р.с. електромагнітної індукції виникне в надітому на соленоїд витку, якщо струм у соленоїді вимикається за 1 мс?

4.102. Котушка довжиною 20 см має 400 витків. Площа поперечного перетину котушки S = 9 см2. Знайдіть індуктивність L котушки. Яка буде індуктивність Li котушки, якщо всередину котушки ввести залізне осердя? Магнітна проникність заліза µ = 400.

4.103. Обмотка соленоїда складається з мідного дроту, поперечний перетин якого S = 1 мм2. Довжина соленоїда L = 25 см, а електричний опір R = 0,2 Ом. Знайти індуктивність L соленоїда.

4.104. Котушка довжиною 20 см і діаметром 3 см має 400 витків. По котушці тече струм І = 2 А. Знайти індуктивність L котушки і магнітний потік Ф, що пронизує площу її поперечного перетину.

4.105. Скільки витків дроту діаметром d = 0,6 мм має одношарова обмотка котушки, індуктивність якої L = 1 мГн, а діаметр D = 4 см? Витки щільно прилягають один до одного.

4.106. Котушка із залізним осердям має площу поперечного перетину S = 20 см2 і число витків N = 500. Індуктивність котушки з осердям L = 0,28 Гн при струмі через обмотку І = 5 А. Знайти магнітну проникність заліза.

4.107. Є соленоїд із залізним осердям довжиною 50 см, та площею поперечного перетину S = 10 см2 і числом витків N = 1000. Знайти індуктивність L цього соленоїда, якщо по обмотці соленоїда тече струм силою 2 А.

4.108. Дві котушки намотані на одне загальне осердя. Індуктивність першої котушки L1 = 0,2 Гн, другої - L2 = 0,8 Гн. Електричний опір другої котушки R2 = 600 Ом. Який струм I2 потече у другій котушці, якщо струм у першій котушці силою I1 = 0,3 А, вимкнути за час рівний 1 мс?

4.109. В магнітному полі (В = 0,1 Тл), знаходиться квадратна рамка з мідного дроту, площина якої перпендикулярна силовим лініям. Площа перетину дроту S0 = 1 мм2, площа рамки S = 25 см2. Який заряд q пройде по контуру рамки при зникненні поля?

4.110. B магнітному полі, індукція якого В = 0,05 Тл, знаходиться котушка, що складається з 200 витків дроту. Вісь котушки складає кут ß = 60° з напрямом силових ліній поля. Опір котушки R = 40 Ом, площа поперечного перетину S = 12 см2. Який заряд q пройде по котушці за час зникнення магнітного поля?

4.111. Круговий контур радіусом 2 ем знаходиться в магнітному полі, індукція якого В = 0,2 Тл. Площина контуру перпендикулярна до напрямку силових ліній поля. Опір контуру R = 1 Ом. Який заряд q пройде через котушку при повороті її на кут ß = 90°?

4.112. Тонкйй мідний провід масою m = 5 г зігнутий у квадрат, а кінці його замкнуті. Квадрат поміщений в однорідне магнітне поле (В = 0,2 Тл) так, що його площина перпендикулярна лініям поля. Визначити заряд Q, що потече по провіднику, якщо квадрат, потягнувши за протилежні вершини, витягнути в лінію.

4.113. Рамка з проводу опором R = 0,04 Ом рівномірно обертається в однорідному магнітному полі (В = 0,6 Тл). Вісь обертання лежить у площині рамки і перпендикулярна силовим лініям поля. Площа рамки S = 200 см2. Визначити заряд Q, що потече по рамці при зміні кута між нормаллю до рамки і лініями магнітної індукції від 0° до 45°.

4.114. Виток з дроту діаметром D = 5 см і опором R = 0,02 Ом знаходиться в однорідному магнітному полі (В = 0,3 Тл). Площина витка складає кут φ = 40° з лініями магнітної індукції. Який заряд Q пройде по витку за час вимикання магнітного поля?

4.115. Рамка, що має 200 витків тонкого проводу, може вільно обертатися навколо осі, що лежить у площині рамки. Площа рамки S = 50 см2. Вісь рамки перпендикулярна силовим лініям магнітного поля (В = 0,05 Тл). Визначити максимальну е.р.с. індукції, що виникне в рамці при її обертанні з частотою n=40 с-1.

4.116. Контур з дроту площею S = 500 см2 і опором R = 0,1 Ом рівномірно обертається в однорідному магнітному полі (В = 0,5 Тл). Вісь обертання лежить у площині контуру і перпендикулярна лініям магнітної індукції. Визначити максимальну потужність Рmax, необхідну для обертання контуру з кутовою швидкістю ω = 50 рад/с.

4.117. Кільце з мідного дроту масою m = 10 г поміщене в однорідне магнітне поле (В = 0,5 Тл) так, що площина кільця складає кут ß = 60° з лініями магнітної індукції. Визначити заряд Q, що пройде по кільцю, якщо вимкнути магнітне поле.

4.118. Соленоїд з площею поперечного перетину S = 10 см2 має 1000 витків. При силі струму І = 5 А магнітна індукція поля всередині соленоїда дорівнює В = 0,05 Тл. Визначити індуктивність L соленоїда.

4.119. На картонний каркас довжиною 0,8 м і діаметром D = 4 cm намотаний в один шар дріт діаметром d = 0,25 мм так, що витки щільно прилягають один до одного. Обчислити індуктивність L такого соленоїда.

4.120. Котушка, намотана на магнітний циліндричний каркас, має N = 250 витків і індуктивність L1 = 36 мГн. Щоб збільшити індуктивність котушки до L2 = 100 мГн, обмотку котушки зняли і замінили обмоткою з більш тонкого дроту з таким розрахунком, щоб довжина котушки не змінилася. Скільки витків виявилося в котушці після перемотування?

4.121. Лндуктивність контуру L = 1 Гн, електрична ємність С = 1 Ф. На яку довжину хвилі настроєний електричний контур.

4.122. На який діапазон довжин хвиль можна настроїти коливальний контур, якщо його індуктивність L = 2 мГн, а електрична ємність може змінюватись від С1 = 69 пФ до С2 = 533 пФ?

4.123. Яку індуктивність L треба включити в коливальний контур, щоб отримати частоту ν = 1000 Гц при ємності С = 2 мкФ?

4.124. Котушка з індуктивністю L = 30 мкГн приєднана до плоского конденсатора з площею пластин S = 0,01 м2 і відстанню між ними d = 0,1 мм. Знайти діелектричну проникність середовища, що заповнює простір між пластинами, якщо контур настроєний на довжину хвилі λ = 750 м.

4.125. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С = 25 нФ і котушки з індуктивністю L = 1,015 Гн. Конденсатор має заряд Q = 2,5 мкКл. Знайти різницю потенціалів на обкладках конденсатора і струм в електричному колі в момент часу, що дорівнює восьмій частині періоду коливань.

4.126. Для коливального контуру попередньої задачі найти енергію електричного поля, енергію магнітного поля та повну енергію електромагнітного поля в момент часу, що дорівнює восьмій частині періоду коливань.

4.127. Ріняння зміни з часом різниці потенціалів на обкладках конденсатора в коливальному контурі має вигляд U = 50cos(104πt). Ємність конденсатора С = 0,1 мкФ. Знайти індуктивність L та довжину хвилі λ, відповідних цьому контуру.

4.128. Рівняння зміни сили струму в коливальному контурі з часом має вигляд І = - 0,02sin(400jrt). Індуктивність контуру L = 1 Гн. Знайти максимальну енергію W магнітного поля в контурі. 4.129.РІВНЯННЯ зміни сили струму в коливальному контурі з часом має вигляд І = - 0,02sin(400πt). Індуктивність контуру L = 1 Гн. Знайти максимальну енергію W електричного поля в контурі.

4.130. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 7 мкФ та котушки з Індуктивністю 0,23 Гн та опором R = 40 Ом. Заряд конденсатора q = 0,86 мКл. Знайти логарифмічний декремент загасання цих коливань та різницю потенціалів на обкладках конденсатора в момент часу рівний половині періоду коливань. 4.131. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С = 0,2 мкФ і котушки з індуктивністю L = 5,07 мГн. При якому значенні логарифмічного

декременту загасання, різниця потенціалів на обкладках конденсатора за час t = 1 мс поменшає в три рази?

4.132. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 405 нФ, котушки з індуктивністю 10 мГн і опору R = 2 Ом. У скільки разів поменшає різниця потенціалів на обкладанні конденсатора за один період коливань?

4.133. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю 2,22 нФ та котушки з мідного дроту діаметром 0,5 мм, і довжиною 10 см. Знайти логарифмічний декремент загасання коливань в контурі. 4.134. Коливальний контур має ємність С = 1,1 нФ та індуктивність L = 5 мГн. Логарифмічний декремент загасання χ = 0,005. За який час, внаслідок загасання коливань, загубиться 99 % енергії контуру?

4.135. Коливальний контур має ємність С = 2 нФ та індуктивність L = 15 мГн. Логарифмічний декремент загасання χ = 0,005. За який час, внаслідок загасання коливань, загубиться 90 % енергії контуру?

4.136. Котушка довжиною 10 см і площею поперечного перетину 10 см2 включена в коло змінного струму частотою ν = 50 Гц. Число витків котушки N = 3000. Знайти опір R котушки, якщо зсув фаз між напругою і струмом складає в даному випадку φ = 60°.

4.137. 0бмотка котушки складається з N = 500 витків мідного дроту, площа поперечного перетину якого 1 мм2. Довжина котушки 50 см, а її діаметр D = 5 см. При якій частоті змінного струму повний опір Z котушки буде вдвічі більший її активного опору R?

4.138. Два конденсатори з ємностями C1 = 0,2 мкФ і С2 = 0,1 мкФ включені послідовно в коло змінного струму з напругою U = 220 В і частотою ν = 60 Гц. Знайти силу струму в контурі та падіння потенціалу U1 на першому конденсаторі.

4.139. Котушка довжиною 25 см і радіусом 2 см має обмотку з 1000 витків мідного дроту, площа поперечного перетину якого дорівнює 1 мм2. Котушка включена в коло змінного струму з частотою ν = 50 Гц. Яку частку повного опору Z складає активний опір R котушки.

4.140. Котушка довжиною 25 см і радіусом 2 см має обмотку з 1000 витків мідного дроту, площа поперечного перетину якого дорівнює 1 мм2. Котушка включена в коло змінного струму з частотою ν = 50 Гц. Яку частку повного опору Z складає індуктивний опір XL котушки.

4.141. Конденсатор ємністю 20 мкФ і резистор, опір якого 150 Ом включені послідовно в коло змінного струму частотою ν = 50 Гц. Яку частку напруги U, прикладеної до цього кола, складає падіння напруги на конденсаторі UС.

4.142. Конденсатор ємністю 20 мкФ і резистор, опір якого 150 Ом включені послідовно в коло змінного струму частотою ν = 50 Гц. Яку частку напруги U, прикладеної до цього кола, складає падіння напруги на резисторі UR?

4.143. Конденсатор і електрична лампочка з'єднанні послідовно і включені в коло змінного струму з напругою U = 440 В і частотою ν = 50 Гц. Яку ємність повинен мати конденсатор для того, щоб крізь лампочку протікав струм І = 0,5 А, а падіння потенціалу на ній було рівним U = 110 В?

4.144. Котушка індуктивністю L та активним опором R = 10 Ом включена в коло змінного струму з напругою U = 127 В і частотою ν = 50 Гц. Знайти індуктивність котушки, якщо відомо, що вона поглинає потужність 400 Вт, а зсув фаз між напругою і струмом дорівнює нулю.

4.145. Конденсатор ємністю С = 1 мкФ і резистор з опором R = 3 кОм включені в коло змінного струму частотою ν = 50 Гц. Знайти повний опір Z електричного кола, якщо конденсатор і резистор включені послідовно.

4.146. Конденсатор ємністю С = 1 мкФ і резистор з опором R = 3 кОм включені в коло змінного струму частотою ν = 50 Гц. Знайти повний опір Z електричного кола, якщо конденсатор і резистор включені паралельно.

4.147. В коло змінного струму з напругою U = 220 В і частотою ν = 50 Гц включені послідовно ємність С = 35,4 мкФ, опір R = 100 Ом та індуктивність L = 0,7 Гн. Знайти падіння напруги на ємності UС, та індуктивності UL.

4.148. Індуктивність L = 22,6 мГн і опір R включені паралельно в коло змінного струму з частотою ν = 50 Гц. Знайти цей опір R, якщо відомо, що зсув фаз між напругою і струмом складає φ = 60°.

4.149. Активний опір R та індуктивність L з'єднанні паралельно і включені в коло змінного струму з напругою U = 127 В і частотою ν = 50 Гц. Знайти опір R і індуктивність L, якщо відомо, що коло поглинає потужність Р = 404 Вт і зсув фаз між напругою і струмом складає φ = 60°.

4.150. В коло змінного струму з напругою U = 220 В включені послідовно ємність С, опір R і індуктивність L. Знайти падіння напруги UR на опорі, за умови, що падіння напруги на конденсаторі UC = 2UR, а на індуктивності UL = 3UR. 7. Приклади розв'язування задач з контрольної роботи № 4.

Приклад 4.1. По відрізку прямого проводу довжиною L = 80 см тече струм І = 50 А. Визначити магнітну індукцію В поля, що створене цим струмом у точці А, яка рівновіддалена від кінців проводу і знаходиться на відстані R = 30 см від його середини.

Розв'язання. Для розв'язування цієї задачі скористуємося законом Біо-Савара-Лапласа, а саме його застосуванням для обчислення індукції магнітного поля створеного нескінченним прямим струмом (див. стор. 63 - 65 конспекту лекцій).

Тоді, у відповідності з виразом (22.10), магнітна індукція створена нескінченно малим елементом dL провідника з струмом І, буде дорівнювати:

0µµ cosβ dβdB =

4π R

⋅; (4.1)

де R - відстань між точкою А та серединою провідника з струмом (див. рис. 4.9); µ - магнітна проникність середовища, у нашому випадку µ = 1. Враховуючи, що вектори dB від різних елементів струму 1 мають однаковий напрямок (який визначається за правилом правого гвинта), тому інтегруючи вираз (4.1) у межах від - ß до ß, отримаємо значення вектора магнітної індукції у шуканійточці поля:

[ ]

β β

0 0

- β - β

0 0

µ I µ IcosβB = dβ = cosβ dβ =

4π R 4πR

µ I µ I= sinβ - sin( - β) = sinβ

4πR 2πR

⋅ ⋅∫ ∫; (4.2)

Значення кута р неважко встановити з геометричних міркувань, у

відповідності з кресленнями на рис. 4.9. А саме:

( )2 2 22

L L L2sinβ = = = r L + 4RL2 + R2

;

І в остаточному вигляді маємо:

0

2 2

µ I LB =

2πR L + 4R; (4.3)

Зробивши обчислення, отримаємо В = 26,7 10-6 Тл. Відповідь: В = 26,7 10-6 Тл.

Приклад 4.2. Два паралельних нескінченно довгих проводи D і С, по яких течуть в одному напрямку електричні струми силою І = 60 А, розташовані на відстані d = 10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію поля, створеного провідниками зі струмом, у точці А що знаходиться на відстані r1 = 5 см провідника D, та на відстані r2 = 12 см від осі провідника С.

Розв'язання. За правилом правого гвинта визначаємо напрямок векторів магнітної індукції В створених кожним з струмів окремо (див. рис. 4.10), та скориставшись принципом суперпозиції для магнітних полів, складемо їх: В = В1 + В2.

А модуль вектора В може бути знайдений за правилом додавання векторів:

2 21 2 1 2B = B + B + 2B B cosβ ; (4.4)

де ß - кут між векторами В1 та В2. Значення B1 і В2 визначається у відповідності з формулою (22.11), так:

01

1

µ IB =

2πR; 0

22

µ IB =

2πR;

Підставляючи ці значення індукції В1 та В2 у формулу (4.4), і зробивши очевидніперетворення, одержуємо:

02 21 2 1 2

µ I 1 1 1B = + + cosβ

2π R R R R⋅ ⋅ ; (4.5)

А тепер визначимо значення cos|i. Помітивши, що β = DAC∠ (як кути з відповідно перпендикулярними сторонами), по теоремі косинусів маємо

2 2 21 2 1 2d = R + R - 2R R cosβ ; (4.6)

де d - відстань між проводами. Звідси:

2 2 2 2 21 2

1 2

R + R - d 5 + 12 - 10 23cosβ = = =

2R R 2 5 12 40⋅ ⋅;

Підставимо у формулу (4.5) числові значення та зробимо обчислення: -7

-42 2

4 3,14 10 60 1 1 2 23B = × + =3,08 10

2 3,14 (0,05) (0,012) 0,05 0,12 40

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

Відповідь: В = 3,08 10-4 Тл. Приклад 4.3. По двох паралельних прямих проводах довжиною L = 2,5 м

кожний, що знаходяться на відстані d = 20 см один від одного, течуть однакові струми І = 1 кА. Обчислити силу взаємодії струмів.

Розв'язання. Взаємодія двох проводів, по яких течуть струми, здійснюється через магнітне поле, яке вони створюють у відповідності з законом Ампера (див. стор. 66 - 67 конспекту лекцій).

Припустимо, що струми І1 та І2 течуть в одному напрямку. Струм І1 створює в місці розташування другого проводу магнітне поле з індукцією В1 а струм І2 створює в місці розташування першого проводу магнітне поле з індукцією В2 (див. рис. 4.11).

У відповідності з формулою (22.20), на кожен нескінченно малий елемент

проводу довжиною dL, діє в магнітному полі сила Ампера:

01 2

µdF = I I dL

2πd; (4.7)

Інтегруючи цей вираз по всій довжиніпроводу L знайдемо шукану силу F взаємодії проводів зі струмом:

L L20 0

1 2

0 0

µ µF = dF = I I dL = I L

2πd 2πd∫ ∫ ; (4.8)

Зробимо обчислення: -7 3 24π 10 (10 ) 2,5

F = = 2,5 H2π 0,2

⋅ ⋅⋅

Відповідь: F = 2,5 Н.

Приклад 4.4. Електрон, влетівши в однорідне магнітне поле (В = 0,2 Тл), почав рухатись по колу радіуса R = 5 см. Визначити магнітний момент pm еквівалентного кругового струму.

Розв'язання. В магнітному полі, під дією сили Лоренца, електрон буде рухатися по колу тільки у випадку, коли він влетів перпендикулярно лініям магнітної індукції (див. стор. 72 - 74 конспекту лекцій). А рух електрона по колу буде еквівалентний круговому струму, сила якого може бутивизначена з наступного виразу:

еквeI = T ; (4.9)

де е - заряд електрона; Т - період його обертання. Період обертання електрона по круговій орбіті в магнітному полі, у

відповідності з виразами (22.40 - 22.41), дорівнює: 2πR 2π m

T = = V B e

⋅ ; (4.10)

де V, m - швидкість і маса електрона, відповідно; R - радіус його орбіти; В - магнітна індукція.

Знаючи Іекв не важко знайти, у відповідності з формулою (25.1), магнітний момент еквівалентного кругового струму:

m еквp = I S ; де S - площа орбіти електрона, S = πR2.

Підставивши у формулу (4.12) значення відповідних параметрів, одержимо: 2 2 2

2 2m

e Be Be Rp = πR = πR =

T 2πm 2m⋅ ⋅ ;

Зробимо обчислення:

( )2-19 2

-12 2m -31

1,6 10 0,2 (0,05)p = = 7,03 10 Ам

2 9,1 10

⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

Відповідь: pm = 7,03 10-12 Ам2. Приклад 4.5. Електрон рухається в однорідному магнітному полі (В = 10 мТл)

по гвинтовій лінії, радіус якої дорівнює R = 1 см, а крок h = 6 см. Визначити період Т обертання електрона і його швидкість V. .

Розв'язання. Електрон буде рухатися по гвинтовій лінії, якщо він влітає в однорідне магнітне поле під деяким кутом (ß ≠ π/2) до ліній магнітної індукції. Розкладемо, як це показано на рис. 4.12, вектор швидкості електрона V на складові:

вектор V�, паралельний вектору В і вектор V⊥ перпендикулярний вектору В.

Проекція швидкості електрона V�| при його русі в магнітному полі з часом не

змінюється, бо на електрон у цьому напрямку не діють ніякі сили. Ця проекція

швидкості V� забезпечує переміщення електрона вздовж силової лінії магнітного

поля.

Проекція швидкості електрона V⊥ , внаслідок дії на нього сили Лоренца, буде

змінюватися тільки за напрямком Л(F V )⊥⊥ , та забезпечує рух електрона по колу (див. рис. 4.12).

Таким чином, електрон одночасно буде брати участь в двох рухах:

рівномірному прямолінійному переміщенні зі швидкістю V� та рівномірному русі

по колу радіуса R зі швидкістю V⊥ .

Тоді проекція швидкості електрона V� може бути визначена з наступного

виразу: hV = T�

; (4.11)

де h - шаг гвинтової лінії; Т - час за який електрон здійснює один повний оберт, тобто період.

Період обертання електрона, у відповідності з виразами (22.40 - 22.41), дорівнює:

2πR 2π mT = =

V B e⊥

⋅ ; (4.12)

Зробимо обчислення: -31

-9-19 -3

2π 9,1 10T = = 3,57 10 c

1,6 10 10 10

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ ;

Модуль швидкості V, як це видно з рис. 4.12, можливо визначити через V⊥ та

V�:

2 2V = V + V⊥ �;

З формули (4.11) визначимо складову швидкості V�, а з формули (4.12) -

складову швидкості V⊥ :

h hBeV = =

T 2 π m�;

2 π R 2 π m RBe

= V = V B e m⊥⊥

⋅ ⇒ ;

Тоді, модуль швидкості електрона буде дорівнювати:

2

2 2 2eB hV = V + V R +

m 2π⊥ = ⋅

� ;

Зробимо обчислення:

( )2-19 -3

2 7-31

1,6 10 10 10 0,06V = 0,01 + = 2,46 10 м/с

9,1 10 2 3,14

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Відповідь: Т = 3,57 10-9 с: V = 2,46 107 м/с. Приклад 4.6. Альфа-частинка прискорена різницею потенціалів U = 104 В

влетіла в схрещені під прямим кутом електричне (Е = 10 кВ/м) та магнітне (В = 0,1 Тл) поле. Знайти відношення заряду альфа-частинки до її маси, якщо вона рухається прямолінійно.

Розв'язання. При прискоренні α-частинки була виконана робота, що, у відповідності з виразом (18.32), дорівнює:

A = QU; де Q - заряд а- частинки; U - різниця потенціалів.

У відповідності з законом збереження енергії, ця робота була витрачена на збільшення кінетичної енергії α-частинки. Тобто:

2mVQU =

2;

де m, V - маса і швидкість α-частинки, відповідно. Звідки:

2Q V =

m 2U; (4.13)

Швидкість α-частинки знайдемо з наступних міркувань. При русі зарядженої α-частинки в схрещених електричному і магнітному

полях на неї будуть діяти дві сили: а) сила Лоренца FЛ = Q [V В], напрямок якої визначається за

правилом векторного добутку (див. рис. 4.13);

б) кулонівська сила FК = QE, напрямок якої співпадає з напрямком вектора

напруженості електростатичного поля (заряд α-частинки позитивний). Тому α-частинка буде рухатись прямолінійно тільки тоді, коли сума сил, що на

неї діє, буде дорівнювати нулю. Тобто: FЛ + FК = 0; Підставивши в останнє рівняння значення вищеназваних сил, з урахуванням

напрямку векторів FЛ та FК, отримаємо: QE -Q V B sinα = 0 ; (4.14) Врахувавши, що sinα = 1 (кут між векторами V та В дорівнює 90°), з виразу

(4.14) отримаємо: V = Е/В. Підставивши цей результат у формулу (4.13), отримаємо значення шуканого відношення:

2

2

Q E =

m 2UB;

Робимо обчислення:

( )

4 27

2

Q (10 ) = = 4,81 10 Кл/кг

m 2 104 0,1⋅

⋅ ⋅

Відповідь: Q/m = 4,81 107 Кл/кг. Приклад 4.7. Коротка котушка, що містить N = 103 витків, рівномірно

обертається з частотою n = 10 c-1 відносно осі, що лежить у площині котушки і перпендикулярна лініям магнітного поля (В = 0,04 Тл). Визначити миттєве значення е.р.с. електромагнітної індукції у той момент часу, коли площина котушки складає кут α = 60° з лініями поля. Площа котушки дорівнює 100 см2.

Розв'язання. Миттєве значення е.р.с. електромагнітної Індукції визначається

рівнянням Фарадея:

i

dΦε = - N

dt; (4.15)

де N - число витків котушки; Ф - магнітний потік. Для подальшого розв'язання задачі скористаємося результатами приведеними

на сторінці 87 даного конспекту лекцій. З урахуванням формули (24.2), миттєве значення е.р.с. індукції, що виникне при обертанні котушки буде дорівнювати:

( )i

dΦ dε = - N = - NBS cosωt = NBSωsinωt

dt dt; (4.16)

де В - магнітна індукція; S, ω - площа і кутова швидкість котушки.

Кутова швидкість ω зв'язана з частотою обертання n співвідношенням ω = 2πn. Шукане значення кута ωt = 90° - α (див. рис. 4.14). Тоді врахувавши, що

sin(90° - α) = cos α, з формули (4.16) отримаємо остаточний результат:

iε = 2πn NBS cosα ; Робимо обчислення:

4 -2iε = 2 3,14 10 0,04 10 0,5 = 25,1 B⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Відповідь: εi = 25,1 В. Приклад 4.8. Квадратна рамка з дроту, сторона якої дорівнює 5 см, має

електричний опір R = 10 мОм. Вона знаходиться в однорідному магнітному полі (В = 40 мТл). Нормаль до площини рамки складає кут α = 30° з лініями магнітної індукції. Визначити заряд Q, який пройде по рамці у випадку коли магнітне поле буде зняте.

Розв'язання. При вимиканні магнітного поля відбудеться зміна магнітного потоку, що пронизує рамку. Внаслідок цього в рамці виникне е.р.с. електромагнітної індукції, значення якої визначається з закону Фарадея. Це приведе до виникнення у

рамці індукційного струму, миттєве значення якого можна визначити скориставшись законом Ома εi = Ii R.

Тоді, у відповідності з формулою (23.1), маємо:

i

dI R = -

dt

Φ; (4.17)

Скориставшись визначенням сили струму, яке дано на стор. 23 конспекту лекцій, перетворимо вираз (4.15) до такого вигляду:

dQ d 1R = - dQ = - d

dt dt R

Φ⇒ Φ ;

Інтегруємо останнє співвідношення у відповідних межах:

0

Q 0

0 Φ

1dQ = - dΦ

R∫ ∫ ;

Звідки:

0 00 - Q = - =

R R

Φ Φ; (4.18)

При визначенні меж інтегрування ми врахували, що у початковий момент часу Q = 0, а магнітний потік крізь рамку дорівнює Ф0. Після відключення поля, магнітний потік швидко зменшується до нуля Фt = 0.

Згідно з івизначенням магнітного потоку маємо: 2

0Φ = BS cosα = Ba cosα ; (4.19) де S - площа рамки, S = а2; а - сторона квадратної рамки.

Підставивши співвідношення (4.19) у формулу (4.18), отримаємо остаточний результат:

2BaQ = - cosα

R;

Робимо обчислення -4

-30,04 25 10 3Q = = 8,67 10 Кл

0,01 2

⋅ ⋅⋅

Відповідь: Q = 8.67 10-3 Кл. Приклад 4.9. Плоский квадратний контур зі стороною а = 10 см, по якому тече

струм І = 100 А, вільно встановився в однорідному магнітному полі (В = 1 Тл). Визначити роботу, виконану зовнішніми силами при повороті контуру відносно осі, що проходить через середину його протилежних сторін, на кут ß = 45°. При повороті контуру, сила струму підтримується незмінною.

Розв'язання. Для розв'язання задачі скористаємося результатами приведеними на сторінках 68-69 даного конспекту лекцій.

Тоді, у відповідності з законом збереження енергії, шукана робота буде дорівнювати зміні потенціальної енергії рамки з струмом при її повороті на кут φ:

2 1A = П = П - П∆ ; (4.20) де Пі - потенціальна енергія рамки в початковий та кінцевий моменти часу.

З урахуванням формули (22.26), вираз (4.20) перетворимо до такого вигляду:

m 2 m 1 m 1 2A = - P B cosβ + P B cosβ = P B(cosβ - cosβ ) ; де В - магнітна індукція; Рm = Іа2 - магнітний момент рамки з струмом; ßi - кут між векторами Рm та В.

За умовою задачі в початковому положенні контур вільно установився в магнітному полі, а це значить, що ß1 = 0.

Тоді робота, що виконана зовнішніми силами при повороті контуру на кут ß = 45°, буде дорівнювати:

2A = I a B(1 - cosβ) ; Робимо обчислення

( ) ( )2 3A = 100 1 0,1 1 - = 1,23 Дж2⋅ ⋅

Відповідь: А = 1,23 Дж.

ДОДАТОК І. Діелектрична проникність деяких діелектриків.

Речовина Значення, µ Віск 8 Вода 81 Гас 2 Масло 3 Парафін 2 Слюда 6 Скло 7 Порцеляна 6 Парафінований папір 2,6 Ебоніт 2 II. Графік залежності індукції В від напруженості Н магнітного поля для заліза.

ІІІ. Головні фізичні сталі.

Фізична стала Позначення Значення Прискорення вільного падіння g 9,81 м/с2 Гравітаційна стала G 6,67 10-11 м3/кг с2 Швидкість світла у вакуумі с 3 108 м/с Елементарний заряд e 1,60 10-19 Кл Електрична стала ε0

0

1k =

4πε

8,85 10-12 Ф/м 9 109 м/Ф

Магнітна стала µ0 4π 10-7 Гн/м Стала Планка h 6,63 10-34 Дж с Маса спокою електрона mе 9,1 10-31 кг Маса спокою протона mр 1,67 10-27 кг Маса спокою нейтрона mn 1,67 10-27 кг Відношення заряду електрона до його маси

e

e

m

1,76 1011 Кл/кг

Стала Фарадея F 96,5 103 Кл/моль Атомна одиниця маси а.о.м. 1,66 10-27 кг

ІV. Питомий опір провідників (при 0° С).

Речовина ρ, мкОм м Речовина ρ, мкОм м Алюміній 0,025 Ніхром 1,0

Графіт 0,039 Ртуть 0,94 Залізо 0,09 Свинець 0,22 Мідь 0,017 Срібло 0,016

V. Енергія іонізації деяких речовин.

Речовина Значення Еi, Дж Значення Еi, еВ Водень 2,18 10-18Дж 13,6 Гелій 3,94 10-18Дж 24,6 Літій 1,21 10-18Дж 75,6 Ртуть 1,66 10-18Дж 10,4

Список використаної літератури 183 СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальна фізика. Елекгрика і магнетизм. -К. - Вища школа. -1995. -411 с. Загальна фізика. Збірник задач. / За загальною редакцією Г.Г.Горбачука, -К:, Вища школа, -1993. -359 с.: іл. Бушок Г.Ф., Півень Г.Ф. Курс фізики. Частина II; -К. - Вища школа, -1981. Савельев И.В. Курс физики. Том II. -М.: Наука, - 1982. -496 с: ил. Трофимова Т.И. Курс физики. -М: - Вьісшая школа, -1990. -380с.:ил. Волькенштейн B.C. Сборник задач по общему курсу физики, М: Наука, -1996. - 3 81 с.: ил. , Ф'изика. Методические указания и контрольньїе задания для студентов заочников инженерно-технических вузов / Под ре-дакцией А.Г.Чертова. -М: Вьісшая школа. -1987. -208 с. Навчальний посібник Несмашний Євген Олександрович КЛАСИЧНА ЕЛЕКТРОДИНАМІКА (видання друге) В авторській редакції Відповідальний за випуск В.В.Стеціок Здано в набір 15.10.2005 Підписано до друку 1.11.2005 Формат 60x84/16. Папір офсетний. Друк офсетний. Об'єм, умов. друк. арк. 11,32 Обл. вид. арк. 11,8 Наклад 2000 прим. (Перший завод - 1000 прим.) Замов. ,2252 Замовне ПП Видавничій дім: 50063 Кривий Ріг вул. Тухачевського ,26. Свідоцтво ДК № 515 від 03.07.01