= m m a b f j z d z · 6 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 4 2 y c sin x c cos x c cos x c sin x 4 2 4 2 4 2 4 2...

Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ"

matem.or

g.ua

Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Библиотека иностранного студента

Л.В. Новикова Е.С. Синайский Л.И. Заславская

МАТЕМАТИКА

Часть 11

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

(в примерах и задачах)

Учебное пособие

Днепропетровск НГУ 2007


matem.or

g.ua

УДК 517.912(076) ББК 22.161.6я73 Н 73 Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчаль-ний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол №10 від 9.10.07).

Новікова Л.В., Сінайський Є.С., Заславська Л.І. Н 73 Математика. У 14 ч. Ч. 11. Звичайні диференціальні рівняння (у прикла- дах і задачах): Навч. посібник. Д.: Національний гірничий універси- тет, 2007. 89 с. Рос. мов. (Бібліотека іноземного студента).

Посібник містить стислі теоретичні відомості та практичні рекомендації до розв`язування прикладів за темою «Звичайні диференціальні рівняння». Мате-ріал подано у формі розділів (модулів), усі задачі даються із розв`язуванням та доведені до відповіді. Контрольні питання та вправи у кінці кожного модуля дозволяють визначити ступінь засвоєння навчального матеріалу.

Для студентів технічних вузів денної, вечірньої, заочної і дистанційної форм навчання, а також для тих, хто навчається екстерном.

Пособие содержит краткие теоретические сведения и практические реко-мендации к решению примеров по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Материал представлен в форме разделов (модулей), все задачи да-ются с решениями и доведены до ответа. Контрольные вопросы и упражнения в конце каждого модуля позволяют определить степень усвоения учебного мате-риала.

Для студентов технических вузов дневной, вечерней, заочной и дистанци-онной форм обучения, а также обучающихся экстерном.

УДК 517.912(076) ББК 22.161.6я73 © Новікова Л.В., Сінайський Є.С., Заславська Л.І., 2007 © Національний гірничий університет, 2007


matem.or

g.ua

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогно-зирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых; информатика и вычислительная техника; машиностроение и металлообработка. Пособие соответствует проекту НГУ об издании серии «Библиотека ино-странного студента», авторами которого являются профессора кафедры выс-шей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управле-ния международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я. Серия со-держит четырнадцать справочно-практических руководств к решению задач элементарной и высшей математики. Содержание части 11 «Обыкновенные дифференциальные уравнения» отвечает общему курсу высшей математики для технических специальностей. Она вмещает следующие разделы: дифференциальные уравнения 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли); некото-рые типы дифференциальных уравнений высших порядков, допускающие по-нижение порядка; линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 2-го и более высоких порядков с постоянными коэффициентами, а также некоторые элементы теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В начале каждого раздела помещены краткие теоретические сведения, затем приводятся подробные решения типовых примеров, доведенные до ответа. Список литературы дает ссылки на учебники, по которым возможно предварительное изучение теоретического материала. Для справки в приложении приведены таблицы основных производных и интегралов. Справочно-практическое руководство издается на русском языке, что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования.

Пособие может быть также использовано для самостоятельной работы и подготовки к модульному контролю студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения.


matem.or

g.ua

3

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ……….……………………………………………………………… 4

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ …………………….………… 5

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА ………...…... 8

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ……………..……………….……………………….……...…… 8

2.2. Однородные дифференциальные уравнения …………………………... 15

2.3. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли ……………………………………….………………… 22

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ……........... 34

3.1. Уравнения вида xfy n ………………………………………………

34 3.2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции xy ………….. 38

3.3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной x …………………………………………………………………. 42

4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ………………………..…………… 47

4.1. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами ……………… 47

4.2. ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами ……………… 52

4.2.1. Метод неопределенных коэффициентов ……………………….. 53

4.2.2. Метод вариации произвольных постоянных ………………….. 67

4.3. ЛОДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами ……………… 70

4.4. ЛНДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами ……………… 74

5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА ……………………………………………………………………. 81

Приложение 1. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ …..……………………………... 91

Приложение 2. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ………………… 92

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ………………………………………………………........ 93

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ …………………………………………………….. 94


matem.or

g.ua

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Обыкновенным дифференциальным уравнением (сокращенно ОДУ или

просто ДУ) называют уравнение, которое содержит производные или диффе-ренциалы искомой функции одной переменной.

Например: а) 1 xlnyx ; б) 01 2 dyxydxx ;

в) 23 xyxy ; г) xsindx

yd3

2

2

.

Существуют также дифференциальные уравнения с частными производ-ными от неизвестной функции 2-х или более переменных. В данном пособии такие уравнения не рассматриваются. Порядком дифференциального уравнения называют порядок высшей производной (или дифференциала) от искомой функции, входящей в уравне-ние. Так, в приведенных выше примерах а) и б) – уравнения 1-го порядка, а в) и г) – 2-го порядка. Формально ДУ п-го порядка записывают так:

0 ny,...,y,y,xF . (1.1)

Отметим, что в равенстве (1.1) обязательно присутствует старшая произ-

водная ny , а прочие аргументы функции F (частично или даже все) могут

отсутствовать. Например, 0y – дифференциальное уравнение 3-го порядка

Решением обыкновенного дифференциального уравнения порядка п на некотором промежутке называют любую функцию xyy , дифференцируе-

мую не менее, чем п раз, которая при подстановке (вместе с ее производными) в ДУ обращает его в тождество.

Пример 1.1. Функция xy 2 является решением ДУ 1-го порядка

yyx . Действительно, подставляя xy 2 и ее производную 22 xy в данное ДУ, приходим к тождеству: xx 22 .

Пример 1.2. Для ДУ 2-го порядка 04 yy решением служит

функция xsinCxcosCy 22 21 , где 1C и 2C – произвольные постоянные.

Проверим это утверждение, для чего найдем вторую производную y (прило-

жение 1) и подставим y и y в ДУ:

xcosCxsinCxsinCxcosCy 222222 2121 ;


matem.or

g.ua

6

xsinCxcosCxcosCxsinCy 24242222 2121 ;

024242424

4

2121

yy

xsinCxcosCxsinCxcosC , т.е. 00 .

Пример 1.3. Проверить, является ли функция xlnxy 1 решени-

ем уравнения 0 dyxdxyx . Решение. Найдем дифференциал функции y

dxxlndxx

xxlndxxlnxxdxydy

11 .

Подставим y и dy в заданное уравнение:

00 dxxlnxdxxlnxdxxlnxdxxlnxxx , т.е. 00 .

Пришли к тождеству. Таким образом, функция xlnxy 1 решение ДУ

0 dyxdxyx .

Различают общее и частное решения ДУ. Общее решение – это решение, которое содержит столько произволь-ных постоянных, каков порядок уравнения, при условии, что количество по-стоянных не может быть уменьшено переобозначениями. Например, легко проверить (см. пример 1.1), что функции xCCy 21 ,

xCCy 21 и Cxy являются решениями уравнения yyx . Однако,

произведя переобозначения CCC 21 или CCC 21 , всякий раз получаем решение в виде Cxy . Это и будет общее решение, т.к. оно содержит столь-ко произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Если общее решение получено в неявной форме, то его называют общим интегралом. Частное решение (частный интеграл) получается из общего при опре-деленных значениях всех или хотя бы нескольких произвольных постоянных.

Пример 1.4. Для ДУ 2-го порядка 04 yy (пример 1.2) решение

xsinCxcosCy 22 21 является общим, а xcosCy 21 частным, так

как получено из общего при 02 C . Если положить, например, 01 C ,

12 C , получим частное решение этого уравнения xsiny 2 ; при 11 C ,

22 C имеем другое частное решение xsinxcosy 222 и т.д.

Для отыскания частного решения задают дополнительные условия, в ко-торых могут участвовать значения искомой функции и ее производных в неко-


matem.or

g.ua

7

торых фиксированных точках x оси Ох. Если задают функцию y и ее произ-

водные до (п 1)-го порядка в одной и той же точке, то их называют началь-ными условиями.

Построение решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, составляет задачу Коши: нужно найти такое решение

xyy уравнения 0 ny,...,y,y,xF , которое удовлетворяет условиям

00 hxy , 10 hxy , … , 101

n

n hxy , где 0x и 110 nh,...,h,h из-

вестные числа.

Пример 1.5. Функция Cxy 2 (C произвольная постоянная)

общее решение ДУ xy 2 , т.к. xCxy 22

. Пусть задано начальное

условие 31 y . Подставив согласно этому условию 1x и 3y в общее

решение, получим: 213 2 CC . Это означает, что частным решени-

ем, отвечающим заданному начальному условию, будет 22 xy .

Геометрически каждое частное решение ДУ представляют линией на плоскости хОу, которую называют интегральной кривой. Общему решению соответствует совокупность (семейство) интегральных кривых.

Пример 1.6. Дифференци-альное уравнение, рассмотренное в примере 1.5, имеет общее решение

Cxy 2 . Графически – это се-мейство парабол с вершинами на оси Оу, смещенных по вертикали относительно друг друга (рис. 1.1). Находя частное решение

22 xy , отвечающее началь-

ному условию 31 y , мы из се-мейства интегральных кривых вы-бираем только одну, а именно ту линию, которая проходит через точку 3;1M .

М 3

1 х

у

О

у = х2 +2

у = х2 +5

у = х2 4

Рис. 1.1


matem.or

g.ua

8

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА

Любое ДУ 1-го порядка формально записывают как 0y,y,xF .

Если это равенство можно разрешить относительно производной y , то оно приобретает вид y,xfy (2.1) или

0 dyy,xNdxy,xM . (2.2)

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными

Так называют ДУ в форме (2.1) или (2.2), если функции y,xf или

y,xM и y,xN можно разбить на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной x или y . В этом случае уравнения (2.1) и (2.2) запишутся соответственно:

yfxfy 21 (2.3) или

02121 dyyNxNdxyMxM . (2.4)

В таких уравнениях с учетом тождества dxdyy можно разделить переменные, т.е. сделать так, чтобы с одной стороны равенства стояла функ-ция, зависящая только от y с множителем dy , а с другой стороны – функция

аргумента x , умноженная на dx . После разделения переменных необходимо обе части равенства проинтегрировать по соответствующей переменной. Об-щее решение (общий интеграл) такого уравнения должно содержать одну про-извольную постоянную C . Так, для уравнения вида (2.4), разделив каждое слагаемое на произведение xNyM 12 , приходим к равенству

dyyM

yNdx

xN

xM

2

2

1

1 ,

которое называют уравнением с разделенными переменными. Проинтегри-ровав обе части полученного выражения, получим общий интеграл исходного ДУ:

CdyyM

yNdx

xN

xM

2

2

1

1 .

Аналогично поступают и с уравнением (2.3), предварительно подставив


matem.or

g.ua

9

в него dx

dyy :

Cdxxfyf

dydxxf

yf

dyyfxf

dx

dy 1

21

221 .

Пример 2.1. Решить ДУ 2314 yxy . Решение. Это уравнение вида (2.3), причем правая часть представляет

собой произведение двух функций 31 14 xxf и 22 yyf . После за-

мены dx

dyy оно приобретает вид 2314 yx

dx

dy . Умножим полученное

равенство на dx и разделим на 2y . Приходим к ДУ с разделенными перемен-

ными dxxy

dy 32

14 , которое необходимо проинтегрировать (см. форму-

лу 2 таблицы интегралов (приложение 2)).

Cxy

,Cxy

,dxxy

dy

441

32

11

4

14

114 .

Из полученного общего интеграла легко выразить y в явном виде. Таким об-

разом, Cx

y

41

1 общее решение заданного ДУ.

Полученный результат можно проверить, подставляя

Cxy

41

1 и

24

3

41

14

1

1

Cx

x

Cxy

в заданное ДУ:

2314 yxy

2

43

24

3

1

114

1

14

Cxx

Cx

x

24

3

24

3

1

14

1

14

Cx

x

Cx

x

, т.е. пришли к тождеству.

Отметим, что проверку можно было осуществить, продифференцировав

общий интеграл Cxy

411

как функцию, заданную неявно:


matem.or

g.ua

10

2332

4 14141

11

yxyxyy

Cxy

вернулись к исходному уравнению.

Пример 2.2. Решить ДУ 021 2 dyxydxy .

Решение. Это уравнение вида (2.4), где 11 xM , 22 1 yyM ,

xxN 21 , yyN 2 . Разделим равенство на произведение 21 yx и пе-ренесем одно из слагаемых в правую часть уравнения. Получим

22

2

1

2

1

1

yx

dyyx

yx

dxy

21

2

y

dyy

x

dx

.

Переменные разделены, теперь можно интегрировать (левую часть равенства

по переменной x , правую по y ):

21

2

y

dyy

x

dx. Оба интеграла вычис-

ляются по формуле 3 таблицы интегралов (приложение 2).

Clnylnxln,

y

yd

x

dx,

y

dyy

x

dx

22

2

21

1

1

1

2.

Произвольная постоянная выбрана здесь в виде Cln для удобства, чтобы иметь возможность упростить полученный результат, пользуясь свойствами

логарифмической функции: ,x

Clnyln,xlnClnyln 22 11

x

Cy 21 общий интеграл заданного ДУ.

Для проверки решения продифференцируем общий интеграл, записав

его предварительно в виде Cyx 21 и пользуясь формулой

vduudvuvd :

012011 222 dxyxydy,dxyydx .

Получили исходное ДУ.

Пример 2.3. Решить ДУ 0121 2 dxedyxe yy .

Решение. Разделим уравнение на произведение yex 11 2 и запи-шем в виде


matem.or

g.ua

11

21

2

1 x

dx

e

dyey

y

.

Проинтегрируем обе части равенства, используя формулы 3 и 13 таблицы ин-тегралов (приложение 2):

Cxarctgeln

x

dx

e

ed

x

dx

e

dye yy

y

y

y

21

12

1

1

12

1 22.

Последнее равенство и есть общий интеграл данного ДУ.

Пример 2.4. Решить ДУ 02222 yxxyxyy .

Решение. Разрешим уравнение относительно y :

xy

yxy

xyy

xyxy

1

12

2

22

22

или 2

2

2

2 1

11

1

y

y

x

x

xy

yx

dx

dy

уравнение вида (2.3), в котором x

xxf

1

2

1 , а 221

y

yxf

. Разделим те-

перь переменные, домножив уравнение на dxy2 и поделив на 1y :

xy

yx

dx

dy

1

12

2

x

dxx

y

dyy

11

22

.

Интегралы сведем к табличным с помощью таких преобразований:

dxx

xdy

y

y

x

dxx

y

dyy

1

11

1

11

11

2222

dxxx

xdy

yy

y

1

1

1

1

1

1

1

1 22

dxx

xdyy

y1

11

1

11 .

Применяя теперь формулы 1, 2 и 3 таблицы интегралов (приложение 2), полу-чим общий интеграл заданного ДУ:

Cxlnxx

ylnyy

12

12

22

.


matem.or

g.ua

12

Пример 2.5. Решить задачу Коши 021 22 xyyx , 10 y .

Решение. Преобразовав уравнение к виду 1

22

2

x

xyy , убедимся в

том, что оно допускает разделение переменных (правая часть – произведение

функций 1

221

x

xxf и 2

2 yyf ). Заменим y на dx

dy, умножим ра-

венство на dx и разделим на 2y , после чего произведем интегрирование.

1

222 x

dxx

y

dy

1

222 x

dxx

y

dy

1

12

2

2 x

xd

y

dy

Cxlny

11 2 или

Cxlny

1

12

общее решение ДУ.

Чтобы найти частное решение, используем начальное условие, т.е. подставим

в общее решение 0x , 1y : 11

11

11

C

CCln. Следова-

тельно, частное решение имеет вид 11

12

xln

y .

Пример 2.6. Решить ДУ dyxydxy 12 .

Решение. В уравнении можно разделить переменные и проинтегриро-

вать его:

11

122

2

yx

dyyx

yx

dxy

12y

dyy

x

dx

12y

dyy

x

dx

1

1

2

12

2

y

yd

x

dx Cyxln 12 это и есть общий интеграл

исходного ДУ.

Пример 2.7. Решить задачу Коши ylny

y

, 12 y .

Решение. Заменяя y на dx

dy, разделяя переменные и интегрируя, нахо-

дим общий интеграл заданного уравнения:


matem.or

g.ua

13

dxy

dyyln

yln

y

dx

dy

yln

yyyln

y

y

Cxyln

dxylndylndxy

dyyln 2

2

.

Подставляем в полученное решение начальные условия ( 2x , 1y ):

CCln

2022

12

2C . Частный интеграл (решение задачи

Коши) принимает вид 22

2

xyln

.

Пример 2.8. Решить задачу Коши 0 ye

x

yy, 01 y .

Решение. Переходим от производной y к дифференциалам и разделяем переменные

dxxe

dyyxe

dx

dyyxeyye

x

yyy

yyy

0 .

Интеграл от правой части равенства – табличный, от левой части вычисляем по частям (формула 17 приложения 2):

dyeey

ev

dydu

dyedv

yudyey

e

dyy yyyy

yy

Ceey yy .

Возвращаясь к уравнению, получаем

dxxe

dyyy 2

2xCeey yy

или 2

2xCeey yy общий интеграл. Учитывая начальное условие

( 1x , 0y ), определим значение произвольной постоянной:

2

10

200 Cee 211 C или 21C .

Итак, решение задачи Коши


matem.or

g.ua

14

22

1 2xeey yy или 112 2 xye y .

Пример 2.9. Решить задачу Коши 22 yyyx , 41 y . Решение. Производим разделение переменных, после чего интегрируем уравнение:

x

dx

yy

dy

x

yy

dx

dy

x

yyyyyyx

2

222

2

222

x

dx

y

dy

x

dx

yy

dy

x

dx

yy

dy

111122 222

Clnxln

y

yln

x

dx

y

yd

2

1

11

11

2

1

11

12

22 222

2Cx

y

yCxln

y

ylnClnxln

y

yln

.

В полученный общий интеграл подставим начальное условие ( 1x ,

4y ): 2

11

4

24 2

CC . Таким образом, имеем решение задачи Ко-

ши 2

2 2x

y

y

. Если последнее равенство разрешить относительно y , полу-

чим частное решение в явном виде: 22

4

xy

.

Пример 2.10. Решить ДУ 22

yxsin

yxsiny

.

Решение. Чтобы убедиться, что перед нами уравнение с разделяющими-ся переменными, можно, например, воспользоваться тригонометрической формулой

22

2

cossinsinsin .

Имеем:

222

22

xcos

ysiny

yxsin

yxsiny


matem.or

g.ua

15

dxx

cosy

sin

dydx

xcos

ysin

dyxcos

ysin

dx

dy

22

22

2

222

2 .

Применив формулы 11 и 6 таблицы интегралов (приложение 2), получим

Cx

siny

tgln 22

44

2 или 2

24

xsinC

ytgln

общий интеграл ДУ.

Из последнего выражения несложно найти xy и в явном виде:

2222

4422

4xsinCxsinC earctg

ye

ytg

xsinC

ytgln

224 xsinCearctgy общее решение ДУ.

2.2. Однородные дифференциальные уравнения

Функция y,xf есть однородная функция своих аргументов x и y

п-го измерения (степени), если выполняется тождество

y,xftty,txf n . (2.5)

Пример 2.11. Функция 22 43 yxyxy,xf однородная 2-го измерения, т.к.

2222222 4343 ytxytxttytxtytxty,txf

y,xftyxyxt 2222 43 .

Если 0n , то условие (2.5) примет вид

y,xfty,txf , (2.6)

другими словами, замена переменных x и y соответственно на tx и ty не из-

меняет вида функции. В этом случае говорят, что y,xf однородная функция нулевого измерения.


matem.or

g.ua

16

Пример 2.12. Функция xy

yxy,xf

2 однородная нулевого изме-

рения. Действительно,

y,xfxy

yx

xyt

yxt

txty

tytxty,txf

222.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относитель-но производной y,xfy ,

называют однородным, если y,xf однородная функция нулевого изме-рения. Дифференциальное уравнение, записанное в дифференциалах,

0 dyy,xNdxy,xM

является однородным, если функции y,xM и y,xN однородные одного измерения. Чтобы проверить, является ли заданное ДУ однородным, необходимо подставить в него вместо x и y соответственно tx и ty . Если после такой подстановки и упрощений вид уравнения останется прежним, то исходное ДУ – однородное.

Пример 2.13. Среди данных ДУ найти однородные.

1) 1x

ylny ; 2)

x

yy

12 ; 3) 023 dyydxxyx ;

4) 03

23

22 dyy

xdxyx .

Решение. 1. Дифференциальное уравнение относится к виду

y,xfy , где 1x

ylny,xf . Очевидно, что 1

tx

tylnty,txf

y,xfx

yln 1 , т.е. y,xf однородная функция нулевого измерения.

Следовательно, ДУ – однородное.

2. В данном уравнении x

yy,xf

12 . Имеем

tx

tyty,txf

12

y,xf , т.е. условие (2.6) не выполнено, ДУ не относится к однородным.


matem.or

g.ua

17

3. В этом случае удобнее сделать подстановку tx вместо x и ty вместо y (дифференциалы преобразовывать не следует):

00 223 223 dyytdxxyttxdytydxtxtytx .

Привести полученное уравнение к первоначальному виду, разделив на какую-либо степень t , не удается. Вывод – ДУ не является однородным. 4. Сделаем подстановку, как в предыдущем случае 3:

03

203

233

22223

22 dyty

xtdxytxtdy

ty

txdxtytx

03

203

23

2232

222 dyy

xdxyxdy

y

xtdxyxt , т.е.

после сокращения на 2t уравнение преобразовалось к первоначальному виду, значит, данное ДУ – однородное.

Всякое однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка посред-ством замены zxy ,

где xzz новая неизвестная функция, сводится к ДУ с разделяющимися переменными. На этом и основан метод решения однородных ДУ.

Пример 2.14. Решить ДУ 02 dyxdxyx . Решение. Предварительно проверим, является ли уравнение однород-

ным (см. пример 2.13):

0202 dytxdxyxtdytxdxtytx

02 dyxdxyx ДУ однородное.

Положим zxy , при этом dxzdzxdy . Подставим в уравнение

выражения для y и dy , после чего упростим его:

02102 dxzdzxxdxzxdxzdzxxdxzxx

dzxdxzdzxdxzzdxzdzxdxz 121021 .

Пришли к ДУ с разделяющимися переменными. Поделив его на произведение

zx 1 , получим x

dx

z

dz

1. Проинтегрируем обе части равенства:


matem.or

g.ua

18

CxlnzlnClnxlnzln

x

dx

z

dz11

1

Cxz 1 или 1 Cxz .

Для решения уравнения была сделана подстановка zxy . Функция

xz найдена. Теперь необходимо вернуться к искомой функции xy . В ре-

зультате записываем общее решение заданного ДУ: 1 Cxxy .

Пример 2.15. Решить ДУ 22 xyyyx .

Решение. Заменим в уравнении x на tx , а y на ty (dx

dyy при этом не

преобразовываем):

222222 xtyttyyxttxtytyyxt

2222 xyyyxxyttyyxt

уравнение однородное. Полагаем zxy , тогда zxzy . Подставляем y и y в ДУ:

12222 zxzxzxzxxzxzxzxzx

111 222 zzxzzzxzzzxzxzx .

Получили ДУ, в котором можно разделить переменные:

x

dx

z

dz

x

dx

z

dzz

dx

dzx

111

222

CxzzClnxlnzzln 11 22 .

Чтобы вернуться к искомой функции xy , подставим в полученное выраже-

ние x

yz . Приходим к общему интегралу заданного ДУ:

Cxx

y

x

y

1

2

или 222 Cxxyy .

Отметим, что в данном случае из общего интеграла можно получить и явное


matem.or

g.ua

19

выражение для функции xy : ,yCxxy,Cxxyy 222222

,yCxxy22

222 ,yyCxxCxy 224222 2

12

112 222222 xC

Cy,xCxyCx .


dy

x

ycosxdx

x

ycosyx .

Решение. Уравнение – однородное (проверьте это самостоятельно). Делаем замену zxy , dxzdzxdy .

0

dxzdzx

x

zxcosxdx

x

zxcoszxx ,

01 dxzdzxzcosxdxzcoszx ,

01 dxzcoszdzzcosxdxzcosz ,

0 dxzcoszdzzcosxdxzcoszdx ,

dxdzzcosx , x

dxdzzcos .

Интегрируем полученное равенство:

xlnCarcsinzCxlnzsinx

dxdzzcos .

Записываем общее решение заданного ДУ: xlnCarcsinxy .

Пример 2.17. Решить задачу Коши

02 22 dyxdxxyy , 21 y .

Решение. Поскольку ДУ – однородное, делаем замену zxy ,

dxzdzxdy и преобразовываем его к уравнению с разделяющимися пе-ременными.

02 222 dxzdzxxdxzxxzx ,

02 222 dxzdzxxdxzzx ,


matem.or

g.ua

20

,dzxdxzzz,dxzdzxdxzz 0202 22

x

dx

zz

dz,dxzzdzx,dzxdxzz

222 0 .

Для вычисления интеграла, стоящего в левой части последнего равенства, не-обходимо выделить полный квадрат в знаменателе.

x

dx

zz

dz

x

dx

zz

dz

4

1

4

122

Clnxlnz

zln

x

dx

z

dz

2

1

2

12

1

2

1

4

1

2

1 2

Czxzx

C

z

z

x

Cln

z

zln 1

11

Cx

xzxzCx

. Следовательно, общее решение ДУ запи-

шется так: Cx

xy

2

.

Учитывая теперь начальное условие 21 y , т.е. подставляя в общее решение 1x и 2y , определим произвольную постоянную C :

2

112122

1

12

CCC

C.

Подставляя полученное значение C в общее решение, найдем решение задачи

Коши: 21

2

x

xy или

12

2 2

x

xy .

Пример 2.18. Решить ДУ x

yxlnyxyyx

.

Решение. Легко убедиться, что уравнение – однородное. Подстановкой zxy , zxzy сводим его к ДУ с разделяющимися переменными отно-

сительно функции xz .


matem.or

g.ua

21

x

zxxlnzxxzxzxzx

,

x

zxlnzxzzxzx

11 ,

zlnzzx 11 , zlnzdx

dzx 11 , x

dx

zlnz

dz

11.

x

dx

zlnz

dz

11.

При вычислении интеграла в левой части равенства можно сделать замену пе-

ременной z

dzdu,zlnu

11 , после чего он сведется к табличному

Culnu

du . В результате получаем

Clnxlnzlnln 1 111 CxCx ezezCxzln .

Общее решение заданного ДУ ( zxy ) имеет вид 1 Cxexy .

Пример 2.19. Решить задачу Коши 86

22

2

x

y

x

yy , 01 y .

Решение. Заданное однородное ДУ сводим к уравнению с разделяющи-мися переменными с помощью подстановки zxy , zxzy .

86

22

22

x

zx

x

zxzxz , 8622 2 zzzxz ,

842 2 zzzx , 842 2 zzdx

dzx ,

x

dx

zz

dz

84

22

,

x

dx

zz

dz

84

22

, x

dx

zz

dz

444

22

,

x

dx

z

dz

42

22

,

Cxlnz

tgarc 2

2.

После возвращения к исходной функции xy получим общий интеграл


matem.or

g.ua

22

Cxlnxy

tgarc

2

2 или .Cxln

x

yxtgarc

2

2

Согласно начальному условию при 1x 0y . Поэтому

4

112

2 CCtgarcClntgarc .

Запишем окончательно частный интеграл исходного ДУ:

.xlnx

yxtgarc

42

2

Пример 2.20. Решить ДУ x yeyxy .

Решение. Если вместо x ye записать xye и разрешить уравнение отно-

сительно y , то становится очевидным, что это уравнение – однородное:

x

yey,

x

yey,eyxy xyxyxy .

Решаем его подстановкой zxy , zxzy :

zzzxxz edx

dzxezxzezxz

x

zxezxz

Cxlnex

dxdze

x

dxdze

x

dx

e

dz zzzz

.

Возвращаемся к функции xy , подставляя x

yz :

Cxlne xy

общий интеграл заданного дифференциального уравнения.

2.3. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называют уравне-

ние вида xqyxpy , (2.7)

где xp и xq произвольные непрерывные функции.


matem.or

g.ua

23

В это уравнение неизвестная функция xy и ее производная xy входят ли-нейно, т.е. в первой степени, не перемножаясь между собой. Если xq 0, то уравнение называют линейным неоднородным

(ЛНДУ), а при 0xq линейным однородным ДУ (ЛОДУ). Используют два метода решения ЛДУ: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в том, что предварительно решают ЛОДУ, соответствующее (2.7):

0 yxpy . (2.8)

Это уравнение допускает разделение переменных: xpdx

dy и его общее

решение имеет вид dxxp

Cey , где C – произвольная постоянная. Решение ЛНДУ (2.7) ищут в виде

dxxpexCxy ,

здесь xC уже новая неизвестная функция. Подставляя xy и ее произ-

водную xy в исходное уравнение, получают ДУ с разделяющимися пере-

менными относительно xC .

Пример 2.21. Методом вариации произвольной постоянной решить дифференциальное уравнение

2

22 xexyxy .

Решение. В данном уравнении xxp 2 , 2

2 xexxq . Запишем и

решим ЛОДУ 02 yxy :

,dxxy

dy,yx

dx

dy,yx

dx

dy2202 ,Clnxyln,dxx

y

dy 22

2xCey .

Будем теперь искать решение ЛНДУ в виде 2xexCy . Тогда

xexCexCexCy xxx 2222

.

Подставим y и y в заданное уравнение


matem.or

g.ua

24

2222

222 xxxx exexCxexCxexC 22

2 xx exexC

xdx

xdC2 dxxxdC 2 .

Получили ДУ с разделяющимися переменными, проинтегрировав которое, найдем функцию xC

c~xxCdxxxdC 22 ,

где c~ произвольная постоянная.

Решение ЛНДУ мы искали в виде 2xexCy , следовательно,

общее решение заданного уравнения запишется так:

22 xec~xy . Метод подстановки (метод Бернулли) состоит в том, что решение урав-нения (2.7) представляется как произведение двух неизвестных функций

vuy , (2.9)

где xuu и xvv .

Подстановка vuy и vuvuy в (2.7) приводит это уравнение к виду xqvvxpuvu . (2.10)

Если в качестве функции xv выбрать любое частное решение уравнения

0 vvxp , (2.11)

то выражение в квадратных скобках формулы (2.10) обратится в нуль, что приведет к уравнению

xqvu , (2.12)

из которого можно найти вторую вспомогательную функцию xu и, следова-тельно, записать решение vuy . Дифференциальные уравнения (2.11) и (2.12) – с разделяющимися пере-менными. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение (2.7) сводится к двум ДУ с разделяющимися переменными (2.11) и (2.12).

Пример 2.22. Решить методом Бернулли ДУ из примера 2.21.


matem.or

g.ua

25

Решение. В уравнении 2

22 xexyxy делаем подстановку vuy ,

vuvuy :

2

22 xexvuxvuvu , 2

22 xexvxvuvu . (*)

Приравнивая выражение в скобках к нулю, решаем полученное ДУ и находим функцию xv

dxxv

dvvx

dx

dvvxvvxv 22202 .

222 xevxvlndxx

v

dv .

Мы выбрали для xv частное решение, положив постоянную интегрирования равной нулю.

Если 2xev подставить в уравнение (*), то скобка обратиться в нуль и

мы получим уравнение относительно функции xu

22

2 xx exeu .

Сокращая на 2xe , имеем

Cxudxxdudxxduxdx

duxu 22222 .

Зная xu и xv , строим общее решение заданного уравнения

22 xeCxvuy .

Уравнением Бернулли называют уравнение вида

yxqyxpy . (2.13)

Оно отличается от ЛДУ тем, что в правую часть входит множителем y . От-метим, что при 0 это уравнение превращается в линейное, а при 1 его можно переписать так:

yxqyxpy 0yxqyxpy

yxfyyxqxpy

xf

0

,


matem.or

g.ua

26

т.е. оно становится уравнением с разделяющимися переменными. В общем случае ( 0 , 1 ) уравнение (2.13) с помощью подстановки 1yz приводится к линейному ДУ. Действительно, (2.13) можно записать

в виде

xqyxpyy 1

и сделать указанную подстановку: 1yz , yyz 1 . Получим

xqzxpz

1 или xqzxpz 11 ,

т.е. линейное ДУ относительно функции xz (см. (2.7)). Отметим, что при интегрировании уравнений Бернулли их не надо пред-

варительно преобразовывать к линейным, можно сразу применять либо метод Бернулли (подстановка), либо метод вариации произвольной постоянной.


2

x

y

x

yy .

Решение. Перед нами – уравнение Бернулли ( 2 ). Решим его мето-дом подстановки (см. пример 2.22):

vuvuy,vuy . Имеем

1111

2222

x

vu

x

vvuvu,

x

vu

x

vuvuvu . (*)

Приравнивая выражение в скобках к нулю, получим уравнение с разделяющи-мися переменными, из которого найдем один из неизвестных сомножителей xv :

1111

01

xlnvln,x

dx

v

dv,

x

dx

v

dv,

x

v

dx

dv,

x

vv ,

т.е. 1 xv .

Возвращаясь к (*), с учетом найденной функции xv имеем второе ДУ с разделяющимися переменными, из которого определим второй сомножитель xu :

222222

1

11

1u

dx

duuu

x

xuxu

x

vuvu


matem.or

g.ua

27

Cx

uCxu

dxu

dudx

u

du

1122

.

Перемножая xu и xv , записываем общее решение уравнения Бер-нулли:

Cx

xy

1

или Cx

xy

1

.

Пример 2.24. Решить ДУ 3412 yxyx . Решение. Уравнение – линейное, его можно записать в виде

1

3

1

422

xx

yxy .

Решим его методом Бернулли. Сделаем подстановку vuy , vuvuy :

1

3

1

422

xx

vuxvuvu ,

1

3

1

422

xx

vxvuvu . (*)

Приравнивая выражение в скобках к нулю, получаем ДУ с разделяющимися переменными, а затем находим его решение.

01

42x

vxv

1

42x

vx

dx

dv

1

42x

dxx

v

dv

1

42x

dxx

v

dv

1

12

2

2

x

xd

v

dv 12 2xlnvln 22 1

xv .

По уравнению, помеченному (*), подставляя туда xv , получим второе ДУ с разделяющимися переменными. Решив это уравнение, найдем вторую вспо-могательную функцию xu .

1

32

x

vu , 1

31

2

22

xxu ,

1

132

22

x

x

dx

du, 13 2 x

dx

du,

Cxxu,dxxdu,dxxdu 31313 322 .

Запишем общее решение ЛДУ Cxxxvuy

31 322 или

22

3

1

3

x

Cxxy .


matem.or

g.ua

28

Пример 2.25. Решить задачу Коши 2

2eey,xlnx

xlnx

yy .

Решение. Данное уравнение – линейное неоднородное. Решим его мето-дом вариации произвольной постоянной. Соответствующее ему линейное од-нородное уравнение имеет вид

0xlnx

yy .

Разделим в нем переменные и проинтегрируем:

xln

xlnd

y

dy

xlnx

dx

y

dy

xlnx

dx

y

dy

xlnx

y

dx

dy

xlnCyClnxlnlnyln .

Ищем решение заданного уравнения в виде xlnxCy , где xC

новая неизвестная функция. Тогда x

xCxlnxCxlnxCy1

. Под-

ставив y и y в исходное уравнение, получим ДУ с разделяющимися пере-

менными, из которого определим xC :

,xlnx

xlnx

xlnxC

x

xCxlnxC,xlnx

xlnx

yy

,xxC,xlnxxlnxC,xlnxx

xC

x

xCxlnxC

c~

xxC,dxxxdC,dxxxdC,x

dx

xdC 2

2

,

где c~ – произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение исходного уравнения запишется так:

xlnc~x

y

2

2

.

Согласно начальному условию при ex 2

2ey . Подставим эти значения

переменных в общее решение и найдем произвольную постоянную c~ .


matem.or

g.ua

29

02222

2222

c~c~

eeelnc~

ee.

В результате записываем частное решение, отвечающее заданному начальному условию

2

2 xlnxy .

Пример 2.26. Найти частное решение ДУ xsinxtgyy 633 , если

310 y . Решение. Это линейное ДУ решим методом Бернулли, для чего сделаем подстановку vuvuy,vuy , выделим и решим два ДУ с разделяю-щимися переменными (см. примеры 2.22 и 2.24).

xsinxtgvvuvu,xsinxtgvuvuvu 633633 ;

xsinvu,xtgvv 6033 .

Первое уравнение:

dxxtgv

dvxtgv

dx

dvxtgvv 3333033

dxxtgv

dv33 xcosvxcoslnvln 33 .

Второе уравнение:

xsinxcosuxsinvu 636 xcosxsinxcosu 3323

dxxsinduxsindx

duxsinu 323232

dxxsindu 32 Cxcosu 33

2.

Таким образом, xcosxcosCvuy 333

2

.

В общее решение y подставим начальное условие, т.е. 0x и 3

1y :

13

2

3

100

3

2

3

1

CCcoscosC .


matem.or

g.ua

30

Записываем частное решение xcosxcosy 333

21

.

Пример 2.27. Решить ДУ xxyy 22 2 . Решение. В данном линейном неоднородном дифференциальном урав-

нении 2xp , xxxq 22 . Решим его методом вариации произвольной постоянной, для чего запишем соответствующее ему линейное однородное ДУ, разделим в нем переменные и найдем его общее решение:

02 yy , ,dxy

dy,y

dx

dy,y

dx

dy2202

,Clnxyln,dxy

dy 22 xCey 2 .

Будем теперь искать решение ЛНДУ в виде xexCy 2 . Тогда

xxx exCexCexCy 222 2

. Подставим y и y в заданное уравнение

xxexCexCexC xxx 222 2222

xxexC x 222

xxedx

xdC x 222

dxexxxdC x22 2 .

Получили ДУ с разделяющимися переменными, проинтегрировав кото-рое, найдем функцию xC , а следовательно, и решение xy исходного уравнения. Возникающий при этом интеграл от правой части равенства вы-числим, применяя дважды формулу интегрирования по частям (см. формулу 17 в приложении 2).

dxexxxCdxexxxdC xx 2222 22 ;

xx

x

ev

dxxdu

dxedv

xxudxexx 22

222

2

1222

2


matem.or

g.ua

31

xexx 22 22

1 dxexexxdxex xxx 2222 122

122

2

1

dxeexexx

ev

dxdu

dxedv

xu xxxxx

222222 2

11

2

12

2

1

2

11

c~eexexx xxx 2222

4

11

2

12

2

1

c~exxc~exxx xx

2222 122

4

1

2

112

2

1.

Определили c~exxxC x 22 1224

1, значит, общее решение ДУ за-

пишется:

xx ec~exxy 222 1224

1

или xec~xxy 22 122

4

1 .

Пример 2.28. Решить ДУ 10 y,yxyy .

Решение. Имеем уравнение Бернулли ( 21 ). Решим его методом ва-риации произвольной постоянной. Для этой цели предварительно необходимо найти общее решение ДУ 0 yy :

xCey,Clnxyln,dxy

dy,dx

y

dy,y

dx

dy .

Теперь решение уравнения Бернулли можно искать в виде xexCy , где

xC новая неизвестная функция, для определения которой следует подста-

вить xexCy и xxx exCexCexCy

в заданное урав-нение.

xxxx exCxexCexCexC

xCexedx

xdCxCxeexC xxxx 22

dxxexC

xdCdxxe

xC

xdC xx 22 .


matem.or

g.ua

32

Интеграл, записанный слева, равен xC2 (см. таблицу интегралов в прило-

жении 2), к интегралу в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

dxeex

ev

dxdu

dxedv

xudxex xx

xxx 22

222 22

2

c~eex xx 22 42 .

Таким образом,

xC2 c~eex xx 22 42 , 222 424

1c~eexxC xx .

Записываем общее решение исходного ДУ:

222 424

c~eexe

y xxx

или 22424

1 xec~xy .

Учтем начальное условие 10 y :

844404

11

20 c~c~ec~ .

Подставив 8c~ в общее решение, записываем частное решение задан-ного ДУ

228424

1 xexy или 2242 xexy .

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение стано-вится линейным только после того, как поменять ролями независимую пере-менную x и искомую функцию y , т.е. записать это уравнение в виде

ygxyfdy

dx . (2.14)

В уравнение (2.14) yx и dy

dx входят в первой степени, т.е. линейно.

Пример 2.29. Решить ДУ yyyx 2 .

Решение. Относительно функции xy уравнение не является линейным

(оно содержит слагаемое 2y ). Однако относительно функции yx это ДУ ли-нейно. Действительно:


matem.or

g.ua

33

yy

x

dy

dxyxy

dy

dxy

dy

dxyxy

dx

dyyx 222 . (*)

Получили уравнение (*) вида (2.14), в котором y

yf1

, а yyg .

Решим его методом Бернулли, т.е. подставим vux , dy

dvu

dy

duv

dy

dx

(u и v теперь являются функциями аргумента y ).

yy

v

dy

dvu

dy

duvy

y

vu

dy

dvu

dy

duv

.

Приходим к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися пере-менными (см. примеры 2.22, 2.24, 2.26):

ydy

duv,

y

v

dy

dv 0 .

Решая первое из записанных уравнений, найдем вспомогательную функцию

yv : yvylnvlny

dy

v

dv

y

dy

v

dv

y

v

dy

dv .

Из второго уравнения, подставляя в него yv , определим функцию yu :

Cyudydudydudy

duy

dy

duy 1 .

Теперь можно записать общее решение исходного уравнения ( vux ):

Cyyx .

Упражнения для самоконтроля

1. Показать, что функция xy является решением уравнения 12 yy .

2. Показать, что выражение Cylnxln является общим интегралом

уравнения 0 dyxlnxdxylny . 3. В каждом примере указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение. Если дано начальное условие, то наряду с общим получить также решение задачи Коши.

а) yxey ; б) 130 y,dyctgxdxy ;

в) xyexyyx ; г) xsinxctgyy ;


matem.or

g.ua

34

д) 11022 y,yxy ; е) x

ytgxyyx ;

ж) 41102 y,dxyxydyx ;

з) 001 y,eyyx x ;

и) 10033 32 y,yexyy x ;

к) 021 y,xcosyxsiny .

Ответы

3. а) ДУ с разделяющимися переменными; xeClny ; б) ДУ с разделяющимися переменными; xcosCy , xcosy 2 ;

в) однородное ДУ; Cxlnlnxy ;

г) линейное ДУ; xsinCxy ;

д) ДУ с разделяющимися переменными; 1

Cx

xy , xy ;

е) однородное ДУ; Cxarcsinxy ;

ж) однородное ДУ; xlnC

xy

,

xln

xy

4;

з) линейное ДУ; xlnCey x 1 , xlney x 1 ;

и) ДУ Бернулли; 2323 xCey x , 2323 1 xey x ;

к) линейное ДУ; xsinxctgCy , xcosy .

3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ,

ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

3.1. Уравнения вида

xfy n . (3.1)

Учитывая, что 1 nn ydx

dy , перепишем уравнение следующим

образом

xfydx

d n 1 или dxxfdy n 1 .


matem.or

g.ua

35

Интегрируя последнее равенство, приходим к дифференциальному урав-нению (п – 1)-порядка

11 Cdxxfy n .

Аналогично, 21 nn ydx

dy , т.е. dxCdxxfdy n

12 ,

откуда

212 CdxCdxxfy n

уравнение (п – 2)-порядка. После п-кратного интегрирования получаем общее решение xy диф-ференциального уравнения.


xsinxy .

Решение. Подставляем в уравнение ydx

dy и интегрируем полу-

ченное выражение:

dx

xsinxyddx

xsinxyd

xsinxy

dx

d

222

1

2

22

2C

xcos

xy .

Получили ДУ 1-го порядка, интегрируя которое, найдем общее решение исходного уравнения.

dxC

xcos

xdyC

xcos

x

dx

dy1

2

1

2

22

222

2

21

3

1

2

24

622

2CxC

xsin

xydxC

xcos

xdy

.

Пример 3.2. Решить ДУ xcosxsiny 23 .

Решение. Уравнение можно представить в виде xsin

xcosy

3

2 и решить

трехкратным интегрированием:


matem.or

g.ua

36

dxxsin

xcosyddx

xsin

xcosyd

xsin

xcosy

dx

d333

222

121

2

3

1

2

22 C

xsinyC

xsiny

xsin

xsindy

получили ДУ 2-го порядка.

Далее

dxC

xsinydC

xsiny

dx

d1212

11

2112

1CxCxctgydxC

xsinyd

ДУ 1-го порядка.

Окончательно

dxCxCxctgdyCxCxctgdx

dy2121

32

2

121 2CxC

xCxsinlnydxCxCxctgdy

общее решение исходного уравнения.

Пример 3.3. Найти решение ДУ 1

1

xy , удовлетворяющее на-

чальным условиям 3

10 y , 20 y .

Решение. Данное дифференциальное уравнение – 2-го порядка вида (3.1). Для получения общего решения необходимо последовательно проинтег-рировать его дважды.

111

1

x

dxyd

x

dxyd

xy

dx

d

12112 Cxy ;

dxCxdyCxdx

dy1

211

21 1212


matem.or

g.ua

37

dxCdxxydxCxdy 121

121 1212

21231

3

4CxCxy .

Начальные условия подставим в y и y :

13

4

3

1

3

101

3

42221

23 CCy,CxCxy ;

0222012 11121 CCy,Cxy .

Используя найденные значения для 1C и 2C , из общего решения полу-

чаем частное, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

113

4 23 xy .

Отметим, что выполнение начальных условий можно обеспечить и в процессе последовательного интегрирования дифференциального уравнения. В нашем примере это выглядело бы так. После первого интегрирования полу-

чили 12112 Cxy . Поскольку 20 y , имеем 122 C

01 C . Таким образом, подставив 01 C в y , дальше уже решаем

уравнение 2312 xy :

22321 1

3

412 Cxydxxy .

Из последнего равенства и условия 3

10 y имеем:

13

4

3

122 CC .

Учитывая полученный результат, окончательно записываем

113

4 23 xy .


matem.or

g.ua

38

3.2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции xy

0 ny,...,y,yx,F . (3.2)

Введение новой неизвестной функции

yxp

(тогда xpy , xpy и т.д.) понижает порядок такого уравнения на единицу. В частности, дифференциальное уравнение 2-го порядка 0 y,y,xF преобразуется в ДУ 1-го порядка 0p,p,xF . Решая по-

следнее, определяют функцию xp или xpy . Интегрируя затем полу-

ченное уравнение находят общее решение xy .

Пример 3.4. Решить ДУ 22 yyx .

Решение. Уравнение вида (3.2). Сделаем замену xpy , xpy и

получим 22 ppx . Это ДУ с разделяющимися переменными (см. раз-

дел 2.1). Подставив dx

dp вместо p , разделим переменные и проинтегрируем

полученное равенство.

1

222222 111

Cxpx

dx

p

dp

x

dx

p

dpp

dx

dpx

xC

xCp

xC

xC

p

1

1

1

11.

Отметим, что в качестве произвольной постоянной мы выбрали 1

1

C для

удобства дальнейшего интегрирования. Возвращаясь к переменной y (т.е.

подставляя yp ), приходим к ДУ 1-го порядка также с разделяющимися пе-ременными, из которого и найдем общее решение:

xC

dxxCdy

xC

dxxCdy

xC

xC

dx

dy

xC

xCy

11

1

1

1

1

1

1

xC

dxCdxCydx

xC

CCxCy

1

211

1

111

21211 CxClnCxCy .


matem.or

g.ua

39

Пример 3.5. Найти решение ДУ x

ysinxyyx

, удовлетворяю-

щее начальным условиям 21 y , 21 y .

Решение. Уравнение не содержит явно функции xy , поэтому можно

заменить y на xp , а y на xp :

x

psinxppx .

Получили однородное относительно p и x дифференциальное уравнение 1-го порядка, для решения которого (см. раздел 2.2) надо делать подстановку

zxp , zxzp .

где xz – новая неизвестная функция. Имеем

zsinzxzsinzzxzx

zxsinxzxzxzx

x

dx

zsin

dz

x

dx

zsin

dzzsin

dx

dzx

xCarctgzxCz

tgClnxlnz

tgln 111 222

.

Следовательно, xCarctgxzxxp 12 или xCarctgxy 12 .

Учитывая начальное условие 21 y , можно сразу найти произвольную

постоянную 1C : 14

22 111

CarctgCarctgC . Подставляя 1C

в y , получаем уравнение xarctgxy 2 или xarctgxdx

dy2 . Это ДУ 1-го

порядка с разделяющимися переменными.

dxxarctgxdydxxarctgxdy 22 ;

2

212

2xv

xdxdudxxdv

xarctgudxxarctgxy

xarctgxdx

x

xxarctgxdx

x

xxarctgx 2

2

22

2

22

1

11

1


matem.or

g.ua

40

22

21Cxarctgxxarctgx

x

dxdx

.

Имеем 22 Cxarctgxxarctgxy и начальное условие

21

y .

Поэтому 14

142

1112 222

CCCarctgarctg .

Записываем частное решение исходного уравнения

12 xarctgxxarctgxy или 112 xxarctgxy . Пример 3.6. Решить задачу Коши

32 221 xyxyx , 10 y , 00 y .

Решение. Уравнение относится к виду (3.2). Подставляя xpy и

xpy , приходим к линейному дифференциальному уравнению 1-го по-рядка:

32 221 xxppx или 2

3

2 1

2

1

2

x

x

x

xpp

.

Решаем полученное ДУ методом Бернулли (см. раздел 2.3), т.е. выбира-ем функцию vuxp , vuvuxp , где xuu и xvv две вспомогательные функции.

2

3

22

3

2 1

2

1

2

1

2

1

2

x

x

x

vxvuvu

x

x

x

vuxvuvu

.

Далее необходимо последовательно решить два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными

01

22

x

vxv и

2

3

1

2

x

xvu

.

Для первого из уравнений:

22 1

2

1

2

x

dxx

v

dv

x

vx

dx

dv

2

22 1

11

1

2

xvxlnvln

x

dxx

v

dv

.


matem.or

g.ua

41

Для второго уравнения после подстановки в него v :

2

3

2 1

2

1

1

x

x

xu

1

43333

22222 C

xudxxdudxxdux

dx

duxu .

В результате

21

4

12

2

x

Cxvuxp

или 21

4

12

2

x

Cxy

,

т.е. для определения xy получено ДУ 1-го порядка с разделяющимися пере-менными:

dxx

Cxdy

x

Cx

dx

dy2

14

21

4

12

2

12

2

dxx

Cxdy

21

4

12

2

dxx

Cxy

21

4

1

211

2

1

dxx

Cdx

x

xy

21

2

4

1

21

2

1

1

1

2

1

2

12

12

211

2

1

x

dxCdxxy

21

3

2

21

26Cxarctg

Cxxy

общее решение исходного ДУ.

Учтем начальные условия:

221

3

1102

21

26Cy,Cxarctg

Cxxy

;

02

2000

12

21

12

14

CC

y,x

Cxy .

Подставляя найденные значения произвольных постоянных 01 C и 12 C в общее решение, находим решение задачи Коши:

12

1

26

3

xarctgxx

y .


matem.or

g.ua

42

3.3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной x

0 ny,...,y,yy,F . (3.3)

Понизить порядок уравнения в этом случае можно посредством подста-новки ypy ,

где p – новая неизвестная функция, а y – новая независимая переменная. Ог-раничимся рассмотрением ДУ 2-го порядка

0 y,y,yF . (3.4)

Применяя формулу дифференцирования сложной функции, имеем

dx

dy

dy

dpyp

dx

dxy

dx

dxy , т.е.

dy

dppy

и указанное уравнение приобретает вид

0

dy

dpp,p,yF . (3.5)

Решая (3.5), находим функцию yp или ypy . Последнее равенство – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого и определяется общее решение ДУ (3.4).

Пример 3.7. Решить ДУ 232 yyy . Решение. Уравнение не содержит в явном виде независимую перемен-

ную x . Сделаем подстановку ypy , dy

dppy :

232 pdy

dppy .

Подучили ДУ с разделяющимися переменными (см. раздел 2.1). Проинтегри-руем его:

y

dy

p

dpp

y

dy

p

dppdypdppy

222

3

2

3

232

12

2

2

33

3Clnylnpln

y

dy

p

pd


matem.or

g.ua

43

333 112

12 yCpyCpyCp .

В результате имеем (подставляя yp ) дифференциальное уравнение:

31 yCy или 31 yCdx

dy.

Разделим в нем переменные и проинтегрируем:

dx

yC

yCd

Cdx

yC

dy

3

31

3 1

1

11

211

32

CxyCC

общий интеграл исходного ДУ.

Пример 3.8. Найти решение ДУ 22 yyyy , удовлетворяющее

начальным условиям 10 y , 10 y . Решение. Уравнение относится к виду (3.3). Понизим его порядок при

помощи подстановки ypy , dy

dppy :

22 pydy

dppy .

В результате пришли к однородному ДУ 1-го порядка, которое решается заме-

ной zyp , dy

dzyz

dy

dp . Здесь yzz новая неизвестная функция (см.

раздел 2.2).

222222 zyy

dy

dzyzzypy

dy

dppy

111 222

dy

dzyzz

dy

dzyzzz

dy

dzyzz

12

1

2

22

CylnzCylnz

y

dydzz

y

dydzz

12 Cylnz . Поскольку zyp , имеем 12 Cylnyp .

Возвращаясь к функции xy (т.е. подставляя y вместо p ), получаем ДУ


matem.or

g.ua

44

12 Cylnyy .

Это уравнение 1-го порядка, его можно проинтегрировать, разделив предвари-тельно переменные:

dxCylny

dyCylny

dx

dy

11 2

2

dxCyln

Cylnddx

Cylny

dy

1

1

1 2

2

2

1

2

212 CxCyln общий интеграл заданного уравнения.

Воспользуемся начальными условиями:

2

121112 111 CCy,y,Cylnyy ;

2121 12

1102 CC,yx,CxCyln .

Отметим, что начальные условия приводят к однозначному выбору знака в выражении для xy , а следовательно, и в решении xy .

Учитывая полученные значения произвольных постоянных, запишем ча-

стный интеграл исходного уравнения: 112 xyln , который можно за-

писать и в явной форме 222 xxey .

Пример 3.9. Найти решение ДУ ylnyyyy 22 , удовлетворяю-

щее начальным условиям ey 0 , ey 0 . Решение. Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержа-

щее явно аргумента x . Положим ypy , dy

dppy и данное уравнение

преобразуется в уравнение 1-го порядка:

ylnypdy

dppy 22 или

p

ylny

y

p

dy

dp ,

которое является уравнением Бернулли (см. раздел 2.3) относительно функции

yp . Решим его подстановкой vup , dy

dvu

dy

duv

dy

dp . Имеем


matem.or

g.ua

45

vu

ylny

y

vu

dy

dvu

dy

duv или

vu

ylny

y

v

dy

dvu

dy

duv

.

Отсюда для нахождения u и v получим два уравнения:

0y

v

dy

dv и

vu

ylny

dy

duv .

Из первого уравнения, разделив в нем переменные и проинтегрировав, находим yv :

yvylnvlny

dy

v

dv

y

dy

v

dv

y

v

dy

dv .

Подставив yv во второе уравнение, находим его общее решение yu :

y

dyylnduu

yu

yln

dy

du

yu

ylny

dy

duy

ylndylnduuy

dyylnduu

12

1221

22

222CylnuCylnu

Cylnu .

Поскольку vup , имеем 12 Cylnyp . Заменяя p через y , полу-

чим ДУ с разделяющимися переменными:

12 Cylnyy .

Прежде чем интегрировать это уравнение, имеет смысл определить зна-чение постоянной 1C , используя начальные условия, из которых следует, что

ey и ey (в этом случае в выражении для y следует выбрать знак «+»):

011 1112 CCCelnee .

Подставим значение 01 C в последнее уравнение, разделим в нем пе-ременные и проинтегрируем:

dxylny

dyylny

dx

dyylnyy


matem.or

g.ua

46

2Cxylnlndxyln

ylnddx

ylny

dy .

В полученное выражение подставим начальное условие ey 0 и оп-

ределим постоянную 2C :

022 CCelnln .

Теперь можно окончательно записать частный интеграл исходного диффе-ренциального уравнения:

xylnln или xeyln , или xeey .


1. Не решая данные ДУ, показать, что приведенные функции являются их решениями:

а) xlnxy 2 для уравнения 2yx ;

б) xx eCeCx

y 211

для уравнения 02 yxyyx , если

1C и 2C постоянные, 2. Найти решения данных дифференциальных уравнений:

а) xyIV ; б)

016

11

6

11

2 5

y,y,y,

x

xy ;

в) xsinyyxcos 2221 ; г) 1000 y,y,eyy y .

Ответы

2. а) 43

2

2

3

1

5

26120CxC

xC

xC

xy или после переобозначения

постоянных 432

23

1

5

120CxCxCxC

xy ;

б)

4

2

2

2

1

12

1 22

xxx

y ; в) 21 22

1CxsinxCy

;

г) xlny 1 .


matem.or

g.ua

47

4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

2-ГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) п-го порядка на-зывается уравнение вида

xfxyxaxyxaxyxaxy nnnn 2

21

1 . (4.1)

Если правая часть уравнения xf 0, то его называют линейным

неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ). В случае 0xf

уравнение носит название линейное однородное дифференциальное урав-нение (ЛОДУ). В дальнейшем будут рассматриваться ЛДУ, у которых все коэффициен-ты xai , n,...,,i 21 числа. Такие уравнения называют линейными диф-

ференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

4.1. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

0 qypy . (4.2)

Здесь p и q постоянные. Общее решение уравнения (4.2) имеет следующую структуру:

2211 yCyCy , (4.3)

где 1C и 2C произвольные постоянные, а 1y и 2y два линейно независи-мых частных решения уравнения (4.2). Для случая двух функций понятие ли-нейной независимости сводится к тому, чтобы отношение этих функций не

было постоянной величиной, т.е. consty

y

2

1 .

Для построения решения уравнения (4.2) составляют и решают так на-зываемое характеристическое уравнение

0 qkpk 2 . (4.4)

Для получения (4.4) необходимо в уравнении (4.2) заменить y на 2k , y на k и y на 1. Корни характеристического уравнения определяются формулой


matem.or

g.ua

48

221

Dpk ,

,

где дискриминант qpD 42 . При этом возможны три случая. I. 0D , корни характеристического уравнения действительные и раз-личные: 21 kk .

В этом случае линейно независимыми решениями являются функции xkey 1

1 и xkey 22 , и общее решение (4.3) принимает вид

xkxk eCeCy 2121 . (4.5)

II. 0D , корни характеристического уравнения действительные и равные: kkk 21 .

Можно показать, что xkey 1 и xkexy 2 два линейно независи-мых решения и в соответствии с (4.3) записать общее решение

xkxk exCeCy 21 . (4.6)

III. 0D , корни характеристического уравнения комплексные: ik βα1,2 .

В качестве линейно независимых решений можно взять функции

xcosey x 1 и xsiney x

2 и построить общее решение согласно (4.3)

xsinCxcosCey x 21 . (4.7)

Пример 4.1. Решить ДУ 032 yyy . Решение. Имеем ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

312

42

2

1242032 2121

2

k,k,k,kk , .

Получили действительные и различные корни. По формуле (4.5) со-ставляем общее решение заданного ДУ:

xx eCeCy 321

.

Пример 4.2. Решить ДУ 0 yy . Решение. Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид

неполного квадратного уравнения


matem.or

g.ua

49

10010 212 k,kkk,kk .

Корни получились действительными и различными, поэтому общее решение получим, воспользовавшись формулой (4.5):

xx eCeCy 20

1 или окончательно xeCCy 21 .


2010096 y,y,yyy .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид 0962 kk , его корни – действительные и равные: 321 kk . Поэтому воспользуемся формулой (4.6) и запишем общее решение

xx exCeCy 32

31

.

Для получения частного решения необходимо использовать начальные условия для y и y . Предварительно найдем выражение для y , продиффе-ренцировав полученное общее решение:

xxxxx exeCeCexCeCy 332

31

32

31 33

.

Подставляем в y и y начальные условия ( 0x , 1y , 2y ):

13

23

1 1 CexCeCy xx ,

13233 2233

23

1 CCexeCeCy xxx .

С учетом найденных значений постоянных ( 11 C , 12 C ) из общего решения получаем частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, т.е. получаем решение задачи Коши:

xx exey 33 или xexy 31 .

Пример 4.4. Решить ДУ 054 yyy . Решение. Найдем корни характеристического уравнения

ii

k,kk ,

22

24

2

44

2

20164054 21

2 .

Получили комплексные корни ik , 21 , где 12 , . При-

менив формулу (4.7), находим общее решение заданного дифференциального уравнения:


matem.or

g.ua

50

xsinCxcosCey x21

2 .

Пример 4.5. Найти решение ДУ 04 yy , удовлетворяющее на-

чальным условиям 10 y , 10 y . Решение. Записываем характеристическое уравнение и находим его

корни

ikkk , 2404 2122 .

Корни чисто мнимые (это случай комплексных корней при 0 , 2 ). По формуле (4.7) выписываем общее решение

xsinCxcosCey x 22 210 или xsinCxcosCy 22 21 .

Для нахождения частного решения понадобится y , поэтому продиф-ференцируем последнее равенство

xcosCxsinCxsinCxcosCy 222222 2121 .

Далее в y и y подставим начальные условия ( 0x , 1y , 1y ):

121 122 CxsinCxcosCy ,

2

1212222 2221 CCxcosCxsinCy .

Подстановка найденных значений 11 C и 212 C в общее решение при-водит к частному решению исходного ДУ, отвечающему заданным началь-ным условиям:

xsinxcosy 22

12 .


201004 y,y,yy .

Решение. Характеристическое уравнение 014 2 k имеет корни

2

1

2

1

4

1

4

121

2 k,k,k,k действительные и различные.

В соответствии с (4.5) записываем общее решение

22

21

xx eCeCy .

Для получения частного решения находим y :


matem.or

g.ua

51

22

21

22

21 2

1

2

1 xxxx eCeCeCeCy

.


212

22

1 110 CCy,eCeCy xx ,

212

22

1 2

1

2

1220

2

1

2

1CCy,eCeCy xx .

Пришли к системе уравнений относительно 1C и 2C :

.CC

,CC

4

1

21

21

Складывая первое уравнение со вторым, получаем

23

25

32

1

1

2

1

21

C

C

C

,CC.

Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение, получаем решение задачи Коши

22

2

5

2

3 xx eey .

Пример 4.7. Составить ЛОДУ и записать его общее решение, если из-вестны корни соответствующего ему характеристического уравнения

ik , 2121 .

Решение. Корни характеристического уравнения – комплексные, вида ik , 21 , где 1 , 2 . Общее решение можно записать сразу, вос-

пользовавшись формулой (4.7):

xsinCxcosCey x 22 21 .

Чтобы получить ЛОДУ, которому отвечает записанное решение, соста-

вим предварительно его характеристическое уравнение 02 qpkk . По-

следнее можно представить также в виде 021 kkkk , где 1k и 2k

его корни. Подставим в это равенство заданные в условии ik 211 и

ik 212 и произведем необходимые действия:

0212102121 ikikikik

0520412021 2222 kkkkik


matem.or

g.ua

52

это и есть характеристическое уравнение с указанными корнями. Заменяя те-

перь в полученном уравнении 2k на y , k на y и 5 на y5 , имеем

052 yyy искомое ЛОДУ.


1. Решить дифференциальные уравнения:

а) 054 yyy ; б) 03 yy ; в) 0 yy ;

г) 044 yyy , 10 y , 30 y ;

д) 084 yyy , 00 y , 20 y ;

е) 09 yy .

2. Составить ЛЮДУ и записать его общее решение, если известны кор- ни соответствующего ему характеристического уравнения:

а) 21 21 k,k ; б) 2

121 kk ; в) ik , 3221 .

Ответы

1. а) xx eCeCy 25

1 ; б) xeCCy 321 ;

в) xsinCxcosCy 21 ; г) xx exey 22 5 ;

д) xsiney x 22 ; е) xx eCeCy 32

31

.

2. а) 02 yyy , xx eCeCy 221 ;

б) 044 yyy , 22

21

xx exCeCy ;

в) 0134 yyy , xsinCxcosCey x 33 212 .

4.2. ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

xfqypy . (4.8)

Здесь p и q постоянные, xf заданная функция. Структура общего решения ДУ (4.8) имеет вид

yYy , (4.9)

где Y общее решение соответствующего уравнению (4.8) линейного одно-родного дифференциального уравнения (4.2), а y некоторое частное реше-ние ЛНДУ (4.8).


matem.or

g.ua

53

Рассмотрим два способа решения ЛНДУ с постоянными коэффициента-ми: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных.

4.2.1. Метод неопределенных коэффициентов применим в слу-чае специального вида правой части, например для

bxsinxRbxcosxPexf mnax , (4.10)

где nnn

n axaxaxP 110 и m

mmm bxbxbxR 1

10

многочлены от x степеней n и m соответственно, а a и b постоянные. Схема решения ЛНДУ (4.8) методом неопределенных коэффициентов предполагает следующие этапы: 1) записывают ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ, и находят его общее решение (см. раздел 4.1), обозначаемое ниже Y ; 2) выбирают вид частного решения y (которое и содержит в себе неоп-

ределенные коэффициенты) в зависимости от правой части xf и корней ха-рактеристического уравнения соответствующего ЛОДУ (подробнее об этом выборе смотри ниже); 3) требуют, чтобы функция y была решением уравнения (4.8). Другими

словами, подставляют y , y и y в данное уравнение и находят значения не-определенных коэффициентов, при которых это уравнение обращается в тож-дество; 4) подставляют полученные коэффициенты в y и составляют общее ре-шение yYy .

Рассмотрим подробно все частные случаи правой части (4.10).

І. axeAxf 1 . (4.11)

Здесь 1A и a известные числа. Решение y следует искать в виде:

а) axeAy , если ни один из корней характеристического уравнения не

совпадает с числом a : ak,ak 21 ;

б) axexAy , если один из корней характеристического уравнения


в) axexAy 2 , если оба корня характеристического уравнения совпа-

дают с числом a : akk 21 . В приведенных выражениях A – неопределенный коэффициент.

Пример 4.8. Решить ДУ xeyyy 32 .


matem.or

g.ua

54

Решение. Следуя схеме решения, изложенной выше, запишем ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

02 yyy .

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

1202 212 k,k,kk .

Следовательно, общее решение ЛОДУ имеет вид xx eCeCY 22

1 . Дальше необходимо выбрать вид частного решения y . Поскольку в на-

шем случае правая часть xexf 3 имеет вид (4.11), 1a и не совпадает

ни с одним из корней характеристического уравнения ( 1ka , 2ka ), то y будем искать в виде (см. І а)

xAey ,

где A – неопределенный коэффициент. Найдем необходимые производные функции y

xAey , xx AeAey

, xx AeAey

и подставим y , y и y в заданное уравнение:

xxxx eAeAeAe 32 .

Сокращая на xe и приводя подобные, приходим к равенству 32 A , отку-да находим значение неопределенного коэффициента 23A . Таким обра-

зом, можно записать xey 2

3. Сумма полученного частного решения y и

общего решения Y однородного ДУ согласно формуле (4.9) дает общее реше-ние исходного неоднородного ДУ

xxx eeCeCy 2

32

21 .

Пример 4.9. Решить ДУ xeyy 242 .

Решение. Характеристическое уравнение 022 kk имеет корни 01 k и 22 k . Общее решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ:

xeCCY 221 .

Правая часть xexf 24 имеет вид (4.11), причем 2a и совпадает с одним

из корней характеристического уравнения ( 1ka , 2ka ). В этом

случае частное решение y выбирается в виде xexAy 2 (см. І б). Находим


matem.or

g.ua

55

производные:

xxx exAeAexAy 222 2

,

xx exAeAy 22 2 xxxxx exAeAexAeAeA 22222 44422

и подставляем y , y и y в заданное уравнение:

xxxxx eexAeAexAeA 22222 42244

24244244 AAxAAxAA .

Следовательно, xexy 22 . Воспользовавшись формулой (4.9), записываем общее решение исходного ДУ:

xx exeCCy 2221 2 .


xeyyy 522510 , 10 y , 70 y .

Решение. Решая характеристическое уравнение 025102 kk , оп-ределяем корни 521 kk . В этом случае

xx exCeCY 52

51

.

Правая часть xexf 52 имеет вид (4.11), где 5a и совпадает с обоими

корнями характеристического уравнения ( 21 kka ). Поэтому частное ре-

шение будем выбирать в виде xexAy 52 (см. І в). Находим производные

xxx exAexAexAy 52552 52

, xx exAexAy 525 52

xxxx exAexAexAeA 52555 2510102

xxx exAexAeA 5255 25202 .

Подставляем y , y и y в заданное уравнение:

xxxxx exAexAexAexAeA 5255255 521025202

xx eexA 552 225

225502025202 222 xAxAxAxAxAA

122 AA .


matem.or

g.ua

56

Таким образом, xexy 52 . Добавляя Y , получим общее решение заданного

ЛНДУ: xxx exexCeCy 5252

51

. Продифференцируем y :

xxxxx exexexCeCeCy 52552

52

51 5255 .


1110 Cy ;

2575770 2221 CCCCy .

Подставляя значения 11 C и 22 C в y , получаем решение задачи Коши:

xxx exexey 5255 2 или xexxy 52 12 .

ІІ. xPxf n . (4.12)

Отметим, что xPn может быть неполным многочленом, т.е. содержать

не все степени x . Например, 2x частный случай многочлена 2-й степени,

13 xx многочлен 3-й степени. Частное решение y следует искать в виде:

а) nnn

n AxAxAxQy 110 , если среди корней характери-

стического уравнения отсутствует нулевой корень: 01 k , 02 k ;

б) xQxy n , если один из корней характеристического уравнения ра-

вен нулю: 01 k , 02 k или 01 k , 02 k .

В приведенных выражениях nA,...,A,A 10 неопределенные коэффици-

енты. Важно помнить: многочлен xQn следует выбирать в общем виде, как

многочлен, который содержит все степени переменной x от нуля до n , даже если в правой части уравнения стоит неполный многочлен xPn .

Пример 4.11. Решить ДУ 1518183 2 xyyy .

Решение. Составляем характеристическое уравнение 01832 kk и находим его корни 61 k , 32 k . Выписываем общее решение ЛОДУ:

xx eCeCY 32

61 .

Правая часть заданного уравнения 1518 2 xxf неполный много-член 2-й степени, среди корней характеристического уравнения нет нулевых


matem.or

g.ua

57

( 01 k , 02 k ). Поэтому частное решение ЛНДУ y следует искать в виде полного многочлена 2-й степени (см. ІІ а):

CxBxAy 2 ,

где C,B,A неопределенные коэффициенты.

Находим производные y и y :

BxACxBxAy

22 , ABxAy 22 .

Подставляем y , y и y в исходное уравнение:

151818232 22 xCxBxABxAA или

1518181818362 22 xCxBxABxAA .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему уравнений, из которой определяются B,A и C :

.C

,B

,A

CBA

BA

A

x

x

x

1

31

1

151832

0186

1818

0

2

Следовательно, 13

12 xxy и общее решение yYy имеет

вид:

13

1232

61 xxeCeCy xx

.

Пример 4.12. Найти решение ДУ 1682 23 xxyy , удовле-

творяющее начальным условиям 20 y , 10 y (задача Коши).

Решение. Характеристическое уравнение 022 kk имеет корни 01 k и 22 k . Общее решение соответствующего ЛОДУ

xeCCY 221

.

Правая часть 168 23 xxxf многочлен 3-й степени, один из корней

характеристического уравнения – нулевой ( 01 k , 02 k ), поэтому частное решение выбираем в виде полного многочлена 3-й степени, домножив его на

x (см. ІІ б): xDxCxBxAy 23 . Находим производные


matem.or

g.ua

58

DxCxBxAxDxCxBxAy

234 23234 ,

CxBxADxCxBxAy 2612234 223

и подставляем их в ЛНДУ:

16823422612 23232 xxDxCxBxACxBxA .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

.D

,C

,B

,A

DC

CB

BA

A

x

x

x

x

1

23

1

1

122

046

6612

88

0

2

3

Получаем xxxxy 234

2

3 и записываем общее решение ЛНДУ:

xxxxeCCy x 234221 2

3.

Для отыскания частного решения исходного уравнения понадобится произ-водная

133422

3 2322

234221

xxxeCxxxxeCCy xx .

Учтем начальные условия:

.C

,C

C

CC

Cy

CCy

0

2

02

2

12110

220

2

1

2

21

2

21

Подставляя 1C и 2C в общее решение, приходим к частному решению

xxxxy 234

2

32 .

ІІІ. xPexf nax . (4.13)

Частное решение y ищут в виде:

а) xQey nax , если ни один из корней характеристического уравне-

ния не совпадает с числом a : ak,ak 21 ;


matem.or

g.ua

59

б) xQexy nax , если один из корней характеристического уравнения


в) xQexy nax2 , если оба корня характеристического уравнения сов-

падают с числом a : akk 21 .

В приведенных выражениях xQn – полный многочлен степени п с не-

определенными коэффициентами (см. случай ІІ).

Пример 4.13. Найти решение ДУ xexyyy 22445 .

Решение. Составляем характеристическое уравнение 0452 kk . Находим его корни 11 k и 42 k . Записываем общее решение соответст-

вующего ЛОДУ: xx eCeCY 421 .

Правая часть уравнения имеет вид (4.13), где 24xxPn многочлен

2-й степени, а 2a и не совпадает с корнями характеристического уравнения ( 1ka , 2ka ). Следовательно (см. ІІІ а),

xeCxBxAy 22 . Тогда

xx eCxBxAeBxAy 222 22 ,

xxx eCxBxAeBxAeAy 2222 4242 .

Подставим y , y и y в заданное ДУ

xxxx eBxAeCxBxAeBxAeA 22222 254242

xxx exeCxBxAeCxBxA 222222 4410 ,

откуда после упрощения и сокращения на xe2 следует:

22 4222 xCxBxABxAA .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа в по-лученном равенстве:

.C

,B

,A

CBA

BA

A

x

x

x

3

2

2

022

022

42

0

2


matem.or

g.ua

60

Это означает, что xexxy 22 322 и общее решение ЛНДУ –

xxx exxeCeCy 22421 322 .

Пример 4.14. Найти решение задачи Коши

xexyy 14 , 20 y , 210 y .

Решение. Характеристическое уравнение 012 k имеет корни 11 k

и 12 k . Общее решение ЛОДУ xx eCeCY 21 .

Правая часть ЛНДУ xexxf 14 вида (4.13), где

14 xxPn многочлен 1-й степени, а 1a совпадает с одним из кор-

ней ( 1ka , 2ka ). Поэтому частное решение ищем в виде (случай ІІІ б):

xeBxAxy или xexBxAy 2 .

Вычисляем производные

xx exBxAeBxAy 22 ,

xxx exBxAeBxAeAy 2222 ,

подставляем y , y и y в исходное ДУ, производим упрощения и приравни-ваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x .

xxxxx exexBxAexBxAeBxAeA 14222 22 ,

14222 xBxAA ;

.B

,A

BA

A

x

x

23

1

122

440

Записываем частное и общее решения ЛНДУ:

xexxy

2

32 , xxx exxeCeCyYy

2

3221 .

Для вычисления значений постоянных 1C и 2C найдем y :

xxxx exxexeCeCy

2

3

2

32 2

21 .

Используем начальные условия:


matem.or

g.ua

61

.C

,C

CC

CC

CCy

CCy

21

23

1

2

2

321210

220

2

1

21

21

21

21

Таким образом, решение задачи Коши имеет вид

xxx exxeey

2

3

2

1

2

3 2 .

Пример 4.15. Задано ДУ xexyyy 122 . В каком виде следу-ет искать его частное решение y ? Числовых значений неопределенных коэф-фициентов не находить.

Решение. Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос, необходимо знать корни характеристического уравнения и вид правой части.

Характеристическое уравнение 0122 kk имеет действительные и

равные корни 121 kk . Правая часть xexxf 12 – вида (4.13), где

xxPn 12 многочлен 1-й степени, а 1a и совпадает с обоими корнями

( 1ka , 2ka ). Имеем случай ІІІ в), т.е. частное решение ЛНДУ необходимо искать в виде

xeBxAxy 2 или xexBxAy 23 .

ІV. bxsinNbxcosMxf . (4.14)

Здесь M , N и b числа (возможен случай, когда одно из чисел M или N равно нулю). Частное решение необходимо искать в виде:

а) bxsinBbxcosAy , если ibk , 21 ;

б) bxsinBbxcosAxy , если ibk , 21 .

A и B неопределенные коэффициенты. Важно помнить: в y следует вводить обе функции bxcos и bxsin , да-

же если в правой части уравнения одна из них отсутствует.

Пример 4.16. Решить ДУ xcosxsinyyy 6834 . Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

31034 212 k,kkk .

Общее решение ЛОДУ: xx eCeCY 321 .

Правая часть уравнения xcosxsinxf 68 имеет вид (4.14), где

6M , 8N , 1b . Выполняется условие ibk , 21 или ik , 21 , что

соответствует случаю IV а), следовательно, частное решение ищем в форме


matem.or

g.ua

62

xsinBxcosAy .

Далее находим xcosBxsinAy , xsinBxcosAy и подстав-ляем их в ЛНДУ:

xsinBxcosAxcosBxsinAxsinBxcosA 34

xcosxsin 68

или после некоторого упрощения

xcosxsinxsinBxcosAxcosBxsinA 6824 .

Для нахождения A и B приравняем коэффициенты при подобных чле-нах слева и справа, т.е при функциях xcos и xsin .

.A

,B

A

BA

BA

BA

BA

AB

xsin

xcos

1

2

55

32

824

32

824

624

Получили частное решение ЛНДУ xsinxcosy 2 . Складывая его с реше-нием Y , окончательно записываем общее решение ЛНДУ

xsinxcoseCeCy xx 2321 .

Пример 4.17. Решить ДУ xcosyy 3129 при начальных услови-

ях 10 y , 30 y .

Решение. Характеристическое уравнение 092 k имеет сопряжен-ные мнимые корни ik , 321 , следовательно, общее решение ЛОДУ

xsinCxcosCY 33 21 .

Правая часть уравнения xcosxf 312 относится к виду (4.14), где

12M , 0N , 3b . Выполняется условие ibk , 21 или ik , 321 , т.е.

имеем случай IV б) и потому ищем частное решение в виде

xsinBxcosAxy 33 .

Тогда xcosBxsinAxxsinBxcosAy 333333 ,

xsinBxcosAxxcosBxsinAxcosBxsinAy 393933333333

xsinBxcosAxxcosBxsinA 3393636 .

Подставляем y , y и y в ЛНДУ:


matem.or

g.ua

63

xsinBxcosAxxcosBxsinA 3393636

xcosxsinBxcosAx 312339

xcosxcosBxsinA 3123636 .

Приравняем коэффициенты при xcos3 и xsin3 :

.A

,B

A

B

xsin

xcos

0

2

06

126

3

3

Отсюда вытекает, что xsinxy 32 , а общее решение

xsinxxsinCxcosCy 3233 21 .

Продифференцируем последнее выражение и подставим в y и y начальные условия. xcosxxsinxcosCxsinCy 36323333 21 .

.C

,C

Cy

Cy

1

1

3330

110

2

1

2

1

Получаем частное решение, удовлетворяющее указанным начальным ус-ловиям xsinxxsinxcosy 3233 .

V. bxsinNbxcosMexf ax . (4.15)

Здесь M , N , a и b числа (одно из чисел M или N может быть и нулем). Частное решение допустимо искать в виде:

а) bxsinBbxcosAey ax , если ibak , 21 ;

б) bxsinBbxcosAexy ax , если ibak , 21 .

A и B неопределенные коэффициенты. Так же, как и в случае IV, в y следует вводить обе тригонометрические функции bxcos и bxsin .

Пример 4.18. Задано ДУ xcoseyy x 2103 3 . В каком виде сле-дует искать его частное решение y ? Числовых значений неопределенных ко-эффициентов не находить.

Решение. Характеристическое уравнение 032 kk имеет действи-тельные и различные корни 01 k , 32 k . Правая часть относится к типу

(4.15), где 10M , 0N , 3a , 2b . Поскольку выполняется условие ibak , 21 или ik , 2321 , то согласно V а) частное решение ЛНДУ


matem.or

g.ua

64

следует выбирать в виде

xsinBxcosAey x 223 ,

где A и B неопределенные коэффициенты.

Пример 4.19. Решить ДУ xsineyyy x2654 .

Решение. Характеристическое уравнение 0542 kk имеет ком-плексно-сопряженные корни ik , 221 . Запишем общее решение ЛОДУ:

xsinCxcosCeY x21

2 .

Правая часть относится к типу (4.15), где 0M , 6N , 2a , 1b , т.е. выполняется условие ibak , 21 или ik , 221 , и согласно V б) част-

ное решение ЛНДУ следует искать в виде

xsinBxcosAexy x 2 .

Ищем y и y , применяя при этом формулу дифференцирования произведе-

ния трех функций: wvuwvuwvuwvu .

xcosBxsinAexxsinBxcosAexxsinBxcosAey xxx 222 2 ,

xcosBxsinAexsinBxcosAey xx 222

xcosBxsinAexxsinBxcosAexxsinBxcosAe xxx 222 242

xsinBxcosAexxcosBxsinAexxcosBxsinAe xxx 222 2

xcosBxsinAexsinBxcosAe xx 22 24

xcosBxsinAexxsinBxcosAex xx 22 43 .

Подставляем y , y и y в ЛНДУ, сокращаем на xe2 и упрощаем:

xsinBxcosAxexcosBxsinAexsinBxcosAe xxx 222 324

xsinBxcosAxexsinBxcosAexcosBxsinAxe xxx 222 844

xsinexsinBxcosAxexcosBxsinAxe xxx 222 654

xsinxcosBxsinA 62 .

Находим неопределенные коэффициенты A и B


matem.or

g.ua

65

.A

,B

A

B

xsin

xcos

3

0

62

02

Следовательно, xcosexy x23 . Общее решение исходного ЛНДУ

xcosexxsinCxcosCey xx 221

2 3 .

VI. bxsinxRbxcosxPexf mnax , (4.16)

где xPn и xRm многочлены (возможно неполные) от x степеней n и m

соответственно, а a и b постоянные. В этом самом общем случае, из которого вытекают рассмотренные выше I – V , частное решение выбирают так:

а) bxsinxTbxcosxQey ssax , если ibak , 21 ;

б) bxsinxTbxcosxQexy ssax , если ibak , 21 .

Здесь xQs и xTs полные многочлены степени s с неопределенными ко-

эффициентами, s наибольшее из чисел n и m .

Пример 4.20. Задано ДУ xsinxcosxeyyy x 55102 2 . В каком виде следует искать его частное решение y ? Числовых значений не-определенных коэффициентов не находить.

Решение. Характеристическое уравнение 01022 kk имеет ком-плексно-сопряженные корни ik , 3121 .

Правая часть xsinxcosxexf x 552 вида (4.16), где xxPn

многочлен 1-й степени ( 1n ), 1xRm многочлен нулевой степени

( 0m ), 2a , 5b . Так как ibak , 21 , т.е. ik , 5221 , перед нами

случай VI а). Полагаем 1s (наибольшее из чисел n и m ), составляем мно-гочлены xQs и xTs (1-й степени) с различными неопределенными коэф-

фициентами, например, BxAxQ 1 , DxCxT 1 . Тогда частное решение ЛНДУ запишется в виде

xsinDxCxcosBxAey x 552 . Замечание. Для рассматриваемого в данном разделе уравнения (4.8)

справедлив принцип суперпозиции (наложения) решений, который гласит: если правая часть уравнения представляет собой сумму функций (вида I – VI), т.е.

xfxfxf 21 ,


matem.or

g.ua

66

то частное решение можно искать в виде

21 yyy ,

где 1y и 2y частные решения уравнения (4.8) с правыми частями соответст-

венно xf1 и xf2 .

Пример 4.21. Решить ДУ 5149145 2 xeyyy x .

Решение. Корни характеристического уравнения 01452 kk действительные и различные: 21 k , 72 k . Следовательно, общее реше-

ние ЛОДУ: xx eCeCY 72

21

.

Правая часть 5149 2 xexf x является суммой двух функций

xexf 21 9 и 5142 xxf . Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых.

Первая функция xexf 21 9 относится к виду (4.11), причем 2a и

совпадает с одним из корней характеристического уравнения ( 1ka , 2ka ). В этом случае (см. I б) частное решение выбирается следующим образом

xexAy 21 .

Вторая функция 5142 xxf – многочлен 1-й степени – вида (4.12). Поскольку нулевого корня характеристическое уравнение не имеет, строим частное решение по правилу II а):

CxBy 2 .

Неопределенные коэффициенты, входящие в различные слагаемые, не должны обозначаться одними и теми же буквами. Согласно принципу суперпозиции, частное решение исходного ЛНДУ будем искать в форме 21 yyy , т.е.

CxBexAy x 2 .

Следуя привычной уже схеме, найдем y и y и подставим их вместе с y в ЛНДУ.

BexAeAy xx 22 2 ,

xxxxx exAeAexAeAeAy 22222 44422 ;

CxBexABexAeAexAeA xxxxx 22222 142544

5149 2 xe x


matem.or

g.ua

67

51491459 22 xeCxBBeA xx .

Приравняем коэффициенты при подобных членах и вычислим B,A и C :

.C

,B

,A

CB

B

A

x

x

e x

0

1

1

5145

1414

99

0

2

Частное решение ЛНДУ приобретает вид xexy x 2 . Таким образом общее решение исходного ДУ:

xexeCeCy xxx 272

21 .

Отметим, что можно было бы решать заданное уравнение отдельно с правой частью xf1 , а затем с xf2 . Сложив полученные при этом 1y и

2y с Y , пришли бы к общему решению 21 yyYy .

4.2.2. Метод вариации произвольных постоянных можно при-менять для любой непрерывной правой части xf уравнения

xfyqypy . (4.17)

Как известно (см. раздел 4.1), соответствующее этому уравнению ЛОДУ

0 yqypy (4.18)

имеет общее решение 2211 yCyCY ,

где 1y и 2y два линейно независимых решения уравнения (4.18), а 1C и 2C

произвольные постоянные. В рассматриваемом методе общее решение ЛНДУ (4.17) ищется в виде

2211 yxCyxCxy , (4.19)

где xC1 и xC2 две вспомогательные неизвестные функции. Для их на-хождения составляют и решают систему уравнений:

.xfyxCyxC

,yxCyxC''''

''

2211

2211 0 (4.20)


matem.or

g.ua

68

Определив из системы (4.20) xC'1 и xC'

2 и проинтегрировав полученные

выражения, находят функции xC1 и xC2 , а следовательно, и общее реше-ние (4.19) ЛНДУ (4.17).

Пример 4.21. Решить ДУ xcos

eyyy

x 22 .

Решение. Рассмотрим предварительно ЛОДУ, соответствующее данно-му ЛНДУ

022 yyy .

Характеристическое уравнение 0222 kk имеет комплексные корни ik , 121 , которым отвечают два линейно независимых решения

xcosey x1 и xsiney x2 (см. раздел 4.1). Поэтому общее решение ЛНДУ будем искать в виде

xsinexCxcosexCy xx 21 . (*)

Составим систему (4.20), учитывая, что

xsinxcosexsinexcosexcosey xxx'x' 1 ,

xsinxcosexcosexsinexsiney xxx'x' 2 ;

xcos

exsinxcosexCxsinxcosexC

,xsinexCxcosexCx

x'x'

x'x'

21

21 0

.xcos

xsinxcosxCxsinxcosxC

,xsinxCxcosxC

''

''

1

0

21

21

Систему можно решить, например, по формулам Крамера

W

WxC' 1

1 , W

WxC' 2

2 ,

где W определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

xC'1 и xC'

2 , а 1W и 2W получают из W , заменив в нем соответственно первый или второй столбец столбцом свободных слагаемых, стоящих справа в


matem.or

g.ua

69

уравнениях системы. Вычислим указанные определители

xsinxcosxsinxcos

xsinxcosW

122 xsinxcosxsinxcosxsinxsinxcosxcos ,

xtgxcos

xsinxsinxcos

xcos

xsinW 1

0

1 ,

110

2 xcos

xcos

xcosxsinxcos

xcosW .

По формулам Крамера получаем

xtgxC' 1 , 12 xC' .

Таким образом, имеем два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными, проинтегрировав которые, найдем функции xC1 и xC2 .

dxxtgdCdxxtgdCxtgdx

dCxtgxC'

111

1

11 c~xcoslnxC ;

dxdCdxdCdx

dCxC'

222

2 11

22 c~xxC ,

В последних выражениях 1c~ и 2c~ – произвольные постоянные.

Возвращаясь к (*) и подставляя туда xC1 и xC2 , получим общее ре-шение исходного ДУ:

xsinec~xxcosec~xcoslny xx 21 .


matem.or

g.ua

70


Найти решения ДУ:

а) 14010678 y,y,eyyy x ;

б) xeyyy 38136 ; в) xxxyyy 304776 23 ;

г) 20304164 y,y,xyy ;

д) xexyy 2132 ; е) xexyyy 514103 ;

ж) xsinyyy 337102 ;

з) 10204816 y,y,xsinyy ; и) xcos

yy1

.

Указание: пример и) решать методом вариации произвольных постоян-ных.

Ответы

а) xxx exeey 72 ;

б) xx exsinCxcosCey 321

3 222 ;

в) 7

42 237

21 xxeCeCy xx ; г) 322 2 xxy ;

д) xx exeCCy 2221 56

12

1 ;

е) xxx exxeCeCy 5222

51 7

2

;

ж) xsinxcosxsinCxcosCey x 33633 21 ;

з) xcosxy 42 ; и) xsinc~xxcosc~xcoslny 21 .

4.3. ЛОДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами

022

11 yayayay n

nnn , (4.21)

где na,,a,a 21 постоянные.

Структура общего решения

nn yCyCyCy 2211 . (4.22)

Здесь nC,,C,C 21 произвольные постоянные, ny,,y,y 21 п линейно


matem.or

g.ua

71

независимых решений уравнения (4.21). Чтобы найти эти решения составляют и решают характеристическое уравнение

011 n

-nn akak . (4.23)

Выбор функций ny,,y,y 21 осуществляется по следующему правилу:

простому действительному корню k уравнения (4.23) отвечает частное

решение уравнения (4.21) вида kxe ; действительному корню k кратности r отвечает r частных решений:

kxe , kxex , …, kxr ex 1 ;

паре простых комплексных корней ik соответствуют два ча-

стных решения xcose x и xsine x ;

паре ik комплексных корней кратности s отвечают s2 част-

ных решений: xcose x , xsine x , xcosex x , xsinex x , … ,

xcosex xs 1 , xsinex xs 1 .

Пример 4.22. Решить ДУ 016 yy . Решение. Это ЛОДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами. Со-ставляем характеристическое уравнение

0163 kk . Находим его корни:

044016016 23 kkkkkkk

440 321 k,k,k .

Корни действительные и различные (простые), поэтому корню 01 k

отвечает 101 xey , корню 42 k соответствует xey 4

2 , а 43 k

функция xey 43

. Найдены три линейно независимых частных решения

исходного ЛОДУ. Согласно (4.22) записываем общее решение этого уравне-ния:

xx eCeCCy 43

421

.

Пример 4.23. Решить ДУ 08 yyIV .

Решение. Составляем характеристическое уравнение 084 kk . Ле-вую часть раскладываем на множители, чтобы определить корни:

422808 234 kkkkkkkk


matem.or

g.ua

72

ik,k,k , 3120 4321 .

Корни 01 k и 22 k простые и действительные, им отвечают ре-

шения 11 y и xey 22

; корни ik , 3143 простые и комплексно-

сопряженные ( 1 , 3 ), соответствующие им частные решения имеют

вид xcosey x 33 и xsiney x 34 . Выбранные функции 4321 y,y,y,y

подставляем в (4.22) и записываем общее решение заданного ЛОДУ:

xsinCxcosCeeCCy xx 33 432

21 .

Пример 4.24. Решить задачу Коши 0168 yyy IVV , 20 y ,

20 y , 20 y , 320 y , 2560 IVy . Решение. Находим корни характеристического уравнения

0168 345 kkk : 040168 2323 kkkkk

40 54321 kk,kkk .

Таким образом, действительный корень 0k имеет кратность 3r и ему отвечают три линейно независимых частных решения 11 y , xy 2 и

23 xy . Действительному корню 4k кратности 2r соответствуют два

решения xey 44

и xexy 45

. По формуле (4.22) строим общее решение

ЛОДУ:

xx exCeCxCxCCy 45

44

2321

.

Для получения частного решения заданы четыре начальных условия, для использования которых необходимо иметь производные от функции y до 4-го порядка включительно.

xxx exCeCeCxCCy 45

45

4432 442 ;

xxx exCeCeCCy 45

45

443 168162 ;

xxx exCeCeCy 45

45

44 644864 ;

xxxIV exCeCeCy 45

45

44 256256256 .

Подставляем в y , y , y , y , IVy начальные условия:


matem.or

g.ua

73

220 41 CCy ,

2420 542 CCCy ,

2816220 543 CCCy ,

324864320 54 CCy ,

2562562562560 54 CCyIV .

Решаем полученную систему уравнений:

.C

,C

,C

,C

,C

CC

CC

CCC

CCC

CC

2

1

1

0

1

1

234

148

24

2

5

4

3

2

1

54

54

543

542

41

Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее ре-шение, записываем решение задачи Коши:

xx exexy 442 21 .

Пример 4.25. Составить ЛОДУ и записать его общее решение, если из-вестны корни соответствующего ему характеристического уравнения 01 k ,

12 k , ik , 2143 .

Решение. Общее решение можно записать сразу, так как по известным корням легко построить четыре линейно независимых решения ЛОДУ (см. примеры 4.22 – 4.24):

xsinCxcosCeeCCy xx 22 4321 .

Для составления характеристического уравнения (4-го порядка), удобно записать его в виде 04321 kkkkkkkk , откуда после подста-

новки корней получаем:

02110212110 22 ikkkikikkk

0520412 2222 kkkkkkkk

053 234 kkkk .


matem.or

g.ua

74

Чтобы получить ЛОДУ, которому отвечает найденное характеристиче-

ское уравнение, заменим 4k на IVy , 3k на y , 2k на y , k на y :

053 yyyyIV

это и есть искомое дифференциальное уравнение.


1. Решить дифференциальные уравнения:

а) 0 yyIV ; б) 022 yyy ; в) 033 yyyy .

2. Составить ЛОДУ и записать его общее решение, если известны корни соответствующего ему характеристического уравнения:

а) 01 k , 12 k , 13 k ; б) 2321 kkk ;

в) 11 k , ik , 3232 ; г) 01 k , 12 k , ik , 43 .

Ответы

1. а) xsinCxcosCeCeCy xx4321 ,

б) xsinCxcosCeCy x431 , в) 2

321 xCxCCey x .

2. а) 0 yy , xx eCeCCy 321 ;

б) 08126 yyyy , 2321

2 xCxCCey x ;

в) 013175 yyyy , xsinCxcosCeeCy xx 33 322

1 ;

г) 0 yyyyIV , xsinCxcosCeCCy x4321 .

4.4. ЛНДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами

xfyayayay nnnn 2

21

1 . (4.24)

Здесь na,,a,a 21 постоянные.

Структура общего решения

yYy , (4.25) где Y – общее решение соответствующего ЛОДУ (4.21), а y – частное реше-ние уравнения (4.24). Для специального вида правой части (4.10) применим метод неопреде-ленных коэффициентов. Алгоритм решения тот же, что и в разделе 4.2.1. В общем случае для функции


matem.or

g.ua

75

bxsinxRbxcosxPexf mnax , (4.26)

где xPn и xRm многочлены от x степеней n и m соответственно, а a и

b постоянные, частное решение выбирается в виде

bxsinxTbxcosxQexy ssaxr . (4.27)

Здесь xQs и xTs полные многочлены степени s с неопределенными ко-

эффициентами, m,nmaxs , r количество корней характеристического

уравнения (4.23), которые совпадают с числом iba . Частные случаи I – V, рассмотренные в 4.2.1, могут быть получены из формул (4.26) и (4.27) при конкретных значениях a , b , n и m . Например, если 0a , 0b , то xPxf n , ns и 0 . Согласно (4.27) частное

решение следует выбирать в виде

xQxy nr ,

где r количество корней характеристического уравнения, которые равны числу 0 (см. пример 4.26).

Пример 4.26. Решить ДУ 2124 xyy .

Решение. Находим корни характеристического уравнения 043 kk :

22002204 3212 k,k,kkkkkk .

Записываем общее решение ЛОДУ, соответствующего данному ЛНДУ (см. раздел 4.3), обозначив его Y :

xx eCeCCY 23

221

.

Правая часть 212xxf многочлен второй степени – получается из фор-

мулы (4.26) при 0a , 0b и 2n , причем число 0 bia . Решение y следует выбирать по формуле (4.27), где 0a , 0b , 2s , а 1r , так как один из корней характеристического уравнения совпадает с числом ( 01 k ), т.е.

CxBxAxCBxAxxxQxy 2322 .

Далее действуем по схеме, подробно изложенной в разделе 4.2.1. Находим

производные CBxAxy 23 2 , BAxy 26 , Ay 6 и, подставляя

y и y в ЛНДУ, вычисляем неопределенные коэффициенты:

22 122346 xCBxAxA ;


matem.or

g.ua

76

.C

.B

,A

CA

B

A

x

x

x

23

0

1

046

08

1212

0

2

Получили xxy2

33 , следовательно, согласно (4.25)

xxeCeCCy xx

2

3323

221 .

Пример 4.27. Решить ДУ xeyyy x 42112 3 .

Решение. Характеристическое уравнение 01223 kkk или 043 kkk имеет действительные и различные корни 01 k , 32 k ,

43 k , следовательно,

xx eCeCCY 43

321

.

Правая часть xexf x 4213 получается из (4.26) при 3a , 0b и

1n , причем число 3 bia . Решение y следует выбирать по формуле

(4.27), где 3a , 0b , 1s , а 1r , так как один из корней характеристиче-ского уравнения совпадает с числом ( 32 k ). Таким образом,

BxAxeBAxexxQexy xxx 2331

3.

Тогда

BAxeBxAxey xx 23 323,

xxx eABAxeBxAxey 3323 2269 ,

xxx eABAxeBxAxey 3323 1822727 ;

Подставляем y , y и y в ЛНДУ:

BxAxeeABAxeBxAxe xxxx 233323 91822727

xeBAxeBxAxeeABAxe xxxxx 42121236226 332333

или

ABAx 18227 xBAxABAx 421212226

xABAx 42120221 .


matem.or

g.ua

77

xxeyB

A

AB

A

x

x x

230 1

1

12021

4242.

Получаем общее решение исходного ЛНДУ:

xxeeCeCCY xxx 2343

321 .

Пример 4.28. Задано ДУ xsinyyyIV 2168 . В каком виде сле-дует искать его частное решение y ? Числовых значений неопределенных ко-эффициентов не находить.

Решение. Характеристическое уравнение 0168 24 kk можно за-

писать в виде 0422 k , откуда следует, что оно имеет корни i2 , крат-

ность которых равна 2, т.е. ik 21 , ik 22 , ik 23 ik 24 . Правая часть

xsinxf 2 получается из (4.26) при 0a , 2b , 1xRm , 0xPn

(т.е. 0n , 0m ). Число ibia 2 совпадает с корнями 1k и 3k , сле-

довательно, частное решение следует искать в виде (4.27), где 0a , 2b , 0 m,nmaxs , 2r :

xsinBxcosAxy 222 .

Пример 4.29. Задано ДУ 3 yyIV . В каком виде следует искать его частное решение y ? Числовых значений неопределенных коэффициентов не находить.

Решение. Находим корни характеристического уравнения 024 kk :

110001 432122 k,k,k,kkk .

Правая часть 3xf . Это означает, что в формуле (4.26) 0a , 0b ,

3xPn , т.е. 0n , а число 0 bia совпадает с двумя корнями

( 01 k , 02 k ). Поэтому в формуле (4.27) выбираем 0a , 0b , 0s , 2r . Частное решение y необходимо искать в виде

2Axy .

В общем случае непрерывной правой части xf для решения ЛНДУ (4.24) может быть использован метод вариации произвольных постоянных. При этом общее решение ищется в виде

nn yxCyxCyxCy 2211 , (4.28)


matem.or

g.ua

78

где ny,,y,y 21 п линейно независимых решений ЛОДУ (4.21) (см. раздел

4.3), а xC,...,xC,xC n21 неизвестные функции.

Составив и решив систему п уравнений

,xfyxCyxCyxC

,yxCyxCyxC

,............................................................

,yxCyxCyxC

,yxCyxCyxC

nn

'n

n'n'

nn

'n

n'n'

'n

'n

''''

n'n

''

1122

111

2222

211

2211

2211

0

0

0

(4.29)

находят xC,...,xC,xC 'n

''21 и интегрированием определяют функции

xC,...,xC,xC n21 , подстановка которых в (4.28) дает общее решение

ЛНДУ (4.24).

Пример 4.30. Решить ДУ xsin

yy1

.

Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение соответ-

ствующего ЛОДУ: ik,kkkkk , 32123 0010 .

Корень 01 k простой и действительный, ему отвечает решение 11 y

(см. раздел 4.3). Корни ik , 32 простые и комплексные ( 0 , 1 ),

соответствующие им частные решения ЛОДУ имеют вид xcosy 2 и

xsiny 3 . Общее решение заданного ЛНДУ будем искать в виде

332211 yxCyxCyxCy

или xsinxCxcosxCxCy 321 1 . (*)

Для определения функций xC,xC,xC 321 составляем систему

(4.29):

.xsin

xsinxCxcosxCxC

,xcosxCxsinxCxC

,xsinxCxcosxCxC

'''

'''

'''

10

00

01

321

321

321


matem.or

g.ua

79

Решим систему по формулам Крамера:

W

WxC' 1

1 , W

WxC' 2

2 , W

WxC' 3

3 ,

где W – определитель, элементами которого являются коэффициенты при не-

известных xC,xC,xC '''321 , а определители 321 W,W,W получают из W ,

заменяя в нем соответственно 1-й, 2-й и 3-й столбцы столбцом свободных чле-нов.

1

0

0

122

xcosxsinxsinxcos

xcosxsin

xsinxcos

xcosxsin

xsinxcos

W ;

xsinxcosxsin

xsinxcos

xsinxsinxcos

xsin

xcosxsin

xsinxcos

W11

10

0

1

;

xctgxsin

xcosxsin

xsin

xcos

xsinxsin

xcos

xsin

W

10

10

00

01

2 ;

10

11

10

00

01

3

xsin

xsin

xsin

xcos

xsin

xsinxcos

xsin

xcos

W .

Имеем

xsinW

WxC' 11

1 , xctgW

WxC' 2

2 , 133

W

WxC' .

Следовательно,

111 2c~

xtgln

xsin

dxdxxCxC ' ,


matem.or

g.ua

80

222 c~xsinlndxxctgdxxCxC ' ,

333 c~xdxdxxCxC ' ,

где 321 c~,c~,c~ – произвольные постоянные.

Подставляя найденные функции в выражение (*), получаем общее реше-ние исходного ДУ:

xsinxc~xcosxsinlnc~c~x

tglny 3212.

Упражнения для самоконтроля 1. Решить дифференциальные уравнения:

а) xsinyy 4 ; б) xxyyIV 2 ;

в) 001000108 y,y,y,y,eyy xIV ;

г) xeyyyy 222 , 502000 y,y,y .

2. В каком виде следует искать частное решение y для указанных ДУ? Числовых значений неопределенных коэффициентов не находить.

а) 2 yyIV ; б) xyy 2 ; в) xsinyyyIV 244 .

Ответы

1. а) xcoseCeCCy xx

5

123

221 ;

б) 234

4321 612x

xxxsinCxcosCxCCy ;

в) xxx exeexsinxcosy 232 ;

г) xxx exeey 2 .

2. а) 3Axy ; б) BxAxy 2 ; в) xsinBxcosAy 22 .


matem.or

g.ua

81

5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА

Систему дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенную от-носительно производных от искомых функций, называют нормальной:

nnn

n

n

y,...,y,y,tfdt

dy

........................................

,y,...,y,y,tfdt

dy

,y,...,y,y,tfdt

dy

21

2122

2111

(5.1)

или коротко

n,...,,i,y,...,y,y,tfdt

dyni

i 2121 . (5.1`)

Здесь t – независимая переменная, tyi неизвестные, а ni y,,y,tf 1

заданные функции. Решить систему (5.1) это значит найти функции ty1 , ty2 …, tyn ,

подстановка которых в (5.1) обращает все п уравнений этой системы в тождества. Общее решение системы (5.1) имеет вид nii С,,С,С,tуу 21 ,

n,...,,i 21 , где nС,,С,С 21 произвольные постоянные.

Задача Коши для системы (5.1) состоит в отыскании набора функций tyi , n,...,,i 21 , удовлетворяющих уравнениям (5.1) и начальным условиям

ini hС,,С,С,ty 210 , n,...,,i 21 , (5.2)

где пh,,h,h,t 210 заданные числа. Постоянные nС,,С,С 21 находят

в результате решения алгебраической системы (5.2). Если неизвестные функции tyi и их производные dtdyi входят в

уравнения системы линейно, т.е. в 1-й степени, не перемножаясь между собой, то систему называют линейной:

.tfyayayadtdy

................................................................

,tfyayayadtdy

,tfyayayadtdy

nnnnnnn

nn

nn

2211

222221212

112121111

(5.3)


matem.or

g.ua

82

В случае, когда все свободные члены 0tfi ( n,...,,i 21 ), система

(5.3) линейная однородная, при 0tfi ее называют линейной неодно-

родной системой. Если все коэффициенты constaij ( n,...,,i 21 , n,...,,j 21 ), (5.3)

линейная система с постоянными коэффициентами. Именно такие системы рассматриваются в данном разделе.

Линейная система может быть приведена к одному линейному ДУ п-го порядка с одной неизвестной функцией. На этом основан один из методов ин-тегрирования систем вида (5.3) – метод исключения.

В простейшем случае, когда система состоит из двух линейных ДУ 1-го порядка с неизвестными функциями tx и ty

,tfyaxadt

dy

,tfyaxadt

dx

22221

11211 (5.4)

где 22211211 a,a,a,a постоянные, а tf1 и tf2 известные функции, алго-ритм решения предполагает следующие шаги:

1) дифференцируем по t одно из уравнений системы (5.4), например, первое

'fyaxax 11211 .

Здесь dt

dxx ,

2

2

dt

xdx и т.д.;

2) в полученное равенство подставляем y из второго уравнения (5.4)

'ffyaxaaxax 1222211211 ; (*)

3) из первого уравнения системы (5.4) находим

12

111

a

fxaxy

4) подставляем последнее выражение в уравнение (*)

'ffa

fxaxaxaaxax 12

12

11122211211

.

Упростив полученное выражение

'ffafxaxaxaaxax 121211122211211


matem.or

g.ua

83

'ffafaxaaaaxaax 1212122112221122211

и обозначив

2211 aaa , 21121122 aaaab , 'ffafatf 1212122 ,

приходим к ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами относительно функции tx

tfxbxax ;

5) интегрируя это уравнение (см. раздел 4), находим 21 C,C,txx .

Подставляя найденное выражение функции x и ее производной x в первое из уравнений системы (5.4), определяем вторую искомую функцию

21 C,C,tyy . Совокупность найденных функций x и y как раз и будет общим решением системы (5.4).

Пример 5.1. Решить систему ДУ

.yxdt

dy

,yxdt

dx

43

2

Решение. Задана линейная однородная система двух дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Сведем ее к одному ЛОДУ 2-го порядка. Для этого продифференцируем первое из уравнений по переменной t :

yxx 2 .

В полученное равенство подставим y из второго уравнения:

yxxxyxxx 86432 .

Из первого ДУ системы выразим 2

xxy

и подставим в последнее урав-

нение:

xxxxx

xxxxx 446

286

023 xxx .

Получили ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения (см. раздел 4.1) составляем характеристическое уравнение и находим его корни


matem.or

g.ua

84

21023 212 k,kkk .

Корни действительные и различные, следовательно, tt eCeCtx 221 .

Подставляя найденную функцию tt eCeCtx 221 и ее производную

tttt eCeCeCeCtx 221

221 2

в первое уравнение исходной системы,

определим вторую неизвестную функцию ty :

tttttt eCeCyyeCeCeCeC 221

221

221 32222

tt eCeCty 221 2

3 .

Таким образом, общее решение заданной системы ДУ имеет вид

tttt eCeCty,eCeCtx 221

221 2

3 .

Отметим, что решение легко проверить, подставив найденные функции tx и ty в исходную систему. При этом каждое из уравнений должно обра-

титься в тождество. В нашем примере:

подставим общее решение в первое ДУ yxx 2 ,

tttttt eCeCeCeCeCeC 221

221

221 32

tttt eCeCeCeC 221

221 22 ;

проверим второе ДУ yxy 43 ,

tttttt eCeCeCeCeCeC 2

212

212

21 64332

3

tttt eCeCeCeC 221

221 33 .

Оба уравнения обратились в тождества, следовательно, решение найдено верно.


20102

4

y,x

,yxdt

dy

,yxdt

dx


matem.or

g.ua

85

Решение. Имеем линейную однородную систему ДУ с постоянными ко-эффициентами. Продифференцируем первое из уравнений и подставим в по-лученное равенство выражение для y из второго уравнения:

yxxxyxx 244 .

Поскольку xxy 4 (см. первое уравнение системы), имеем

xxxxxxxxxx 284424 или

096 xxx ЛОДУ 2-го порядка.

Характеристическое уравнение 0962 kk имеет действительные крат-

ные корни 321 kk . Следовательно, tt etCeCtx 32

31 .

Чтобы найти ty , подставим tt etCeCtx 32

31 и tx

ttttt etCeCeCetCeC 32

32

31

32

31 33

в первое уравнение заданной

системы

yetCeCetCeCeC ttttt 32

31

32

32

31 4433

ttt etCeCeCty 32

32

31 .

Итак, имеем общее решение системы

tt etCeCtx 32

31 , ttt etCeCeCty 3

23

23

1 .

Потребуем теперь выполнения начальных условий:

.C

,C

CC

,C

y

x

3

1

2

1

20

10

2

1

21

1

Подставив 11 C и 32 C в общее решение, получим решение задачи Коши

tt teetx 33 3 , ttt teeety 333 33 или

tettx 313 , tetty 323 .


.yxdt

dy

,yxdt

dx2


matem.or

g.ua

86

Решение. Дифференцируем второе уравнение yxy . Подставляем

в полученное равенство x из первого уравнения yyxy 2 . По-

скольку из второго уравнения следует, что yyx , имеем

yyyyy 2 или 0 yy .

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

ikk , 212 01 .

Корни мнимые сопряженные, им отвечает решение tsinCtcosCty 21 .

Полученную функцию ty и ее производную

tcosCtsinCty 21

подставляем во второе уравнение системы

tsinCtcosCxtcosCtsinC 2121 ,

откуда находим tsinCCtcosCCtx 2112 . Общее решение системы имеет вид

tsinCCtcosCCtx 2112 ,

tsinCtcosCty 21 .


.eyxdt

dy

,eyxdt

dx

t

t

2

2

623

2

Решение. Задана линейная неоднородная система ДУ с постоянными ко-эффициентами. Решаем ее по той же схеме, что и в примерах 5.1 – 5.3.

Дифференцируем первое из уравнений системы teyxx 222 ,

подставляем teyxy 2623 из второго уравнения и texxy 22

из первого уравнения: tt eeyxxx 22 26232

tt eexxxxx 22 42232

tt eexxxxx 22 424232 texx 26 .


matem.or

g.ua

87

Пришли к ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. раз-дел 4.2). Его решение имеет структуру

xXx ,

где X общее решение соответствующего ЛОДУ, а x – частное решение ЛНДУ. Чтобы записать X , составляем и решаем характеристическое уравнение

1101 212 k,kk , откуда следует, что

tt eCeCX 21 .

Частное решение x будем искать методом неопределенных коэффициентов

(раздел 4.2.1). Правая часть tetf 26 имеет вид (4.11), 2a и не совпадает

ни с одним из корней характеристического уравнения ( 1ka , 2ka ). По-этому x выбираем в виде

tAex 2 ,

с неопределенным коэффициентом A . Найдем необходимые производные функции x :

tAex 2 , tt AeAex 22 2

, tt AeAex 22 42

и подставим x , x и x в ЛНДУ:

26364 222 AAeAeAe ttt .

Таким образом, tex 22 . Тогда ttt eeCeCxXtx 221 2 .

Найденную функцию tx и ее производную ttt eeCeCtx 221 4 под-

ставляем в первое уравнение исходной системы:

ttttttt eyeeCeCeeCeC 2221

221 4224

ttt eeCeCy 221 93 .

Получено общее решение заданной системы ДУ:

ttt eeCeCtx 221 2 , ttt eeCeCy 2

21 93 .


102074242

2

2

2

y,x

,ttyxdt

dy

,ttyxdt

dx


matem.or

g.ua

88

Решение. Заданная система – линейная неоднородная с постоянными коэффициентами. Дифференцируем первое из уравнений системы

12 tyxx ; подставляем 74242 2 ttyxy из второго

уравнения и 22 ttxxy из первого уравнения:

1274242 2 tttyxxx

862242 22 ttttxxxxx

1610665 2 ttxxx ЛНДУ 2-го порядка.

Характеристическое уравнение 0652 kk имеет действительные и различные корни 21 k , 32 k , из чего следует, что

tt eCeCX 32

21 .

Правая часть ЛНДУ 16106 2 tttf многочлен 2-й степени, сре-

ди корней характеристического уравнения нет нулевых ( 01 k , 02 k ). По-этому частное решение ЛНДУ x следует искать в виде многочлена 2-й степе-ни (см. раздел 4.2.1):

DtBtAx 2 ,

где D,B,A неопределенные коэффициенты.

Находим производные x и x :

BtADtBtAx

22 , ABtAx 22 .

Подставляем x , x и x в ЛНДУ:

161066252 22 ttDtBtABtAA .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной t в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему уравнений, из которой определяем B,A и D :

.D

,B

,A

DBA

BA

A

t

t

t

37

0

1

16652

10610

66

0

2


matem.or

g.ua

89

Следовательно, 3

72 tx , а общее решение xXx имеет вид:

3

7232

21 teCeCtx tt .

Функцию tx и производную teCeCtx tt 232 32

21 подставим в

первое из уравнений заданной системы, чтобы определить вторую искомую функцию ty :

23

7232 223

22

13

22

1 ttyteCeCteCeC tttt

3

12 3

22

1 teCeCty tt .

Общее решение исходной системы запишется так:

3

7232

21 teCeCtx tt ,

3

12 3

22

1 teCeCty tt .


.C

,C

CC

,CC

y

x

3

10

13

12

23

7

10

20

2

1

21

21

Подставив найденные значения постоянных 01 C и 312 C в об-щее решение, приходим к решению сформулированной выше задачи Коши:

3

7

3

1 23 tetx t , 3

1

3

2 3 tety t .


Найти решения систем дифференциальных уравнений:

а)

;624

4

yxdt

dy

,yxdt

dx

б)

;2

82

yxdt

dy

,yxdt

dx


matem.or

g.ua

90

в) 1000

,

95

y,x

yxdt

dy

,yxdt

dx

;

г) 7010,52

6

y,x

yxdt

dy

,xydt

dx

;

д)

.tcosyxdt

dy

,tsinyxdt

dx

234

2

Ответы

а) teCCtx 221

, teCCty 221 64 ;

б) tsinCCtcosCCtx 2222 1221 ,

tsinCtcosCty 22 21 ;

в) tettx 29 , tt etety 22 3 ;

г) tt eetx 74 32 , tt eety 74 34 ;

д) tcosetCeCtx tt 321 ,

tsintcosetCeCCty tt 322 221 .


matem.or

g.ua

91

Приложение 1

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1. 0С

2. 1х

8. uelogu

ulog aa 1

(a = const)

3. wvuwvu

8а. uu

uln 1

4. vuvuuv 9. uucosusin

4а. vCCv 10. uusinucos

5. 2v

vuvu

v

u

11. uusecuucos

tgu 22

1

5а. 2v

vC

v

C

12. uueccosu

usinctgu 2

2

1

5б. C

u

C

u

13. uu

uarcsin

21

1

6. uuu 1

( = const)

14. uu

uarccos

21

1

6а. uu

u

2

1 15. u

uuarctg

21

1

7. ualnaa uu

(a = const)

16. uu

uarcctg

21

1

7а. uee uu

17. vulnuuuvu vvv 1


matem.or

g.ua

92

Приложение 2

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1. Cudu 8. Cusinlnductgu

2. 11

1

,Cu

duu 9. Ctguduusecucos

du 2

2

2а. Cuu

du2 10. Cctguduueccos

usin

du 2

2

2б. Cuu

du 12

11. Cu

tglnusin

du 2

3. Culnu

du 12. C

utgln

ucos

du

42

4. Caln

adua

uu 13.

C

a

uarctg

aau

du 122

4а. Cеduе uu 14.

Cau

auln

aau

du

2

122

5. Cucosduusin 15.

Ca

uarcsin

ua

du22

6. Cusinduucos

16.

Cauulnau

du 22

22

7. Cucoslndutgu 17. duvvudvu


matem.or

g.ua

93

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1985. Т.2. 560 с. 2. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.М., Михайленко В.М. Высшая математика (Дифференциальные уравнения и другие разделы). К.: Вища шк., 1989. 679 с. 3. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. М.: Высш. шк., 1978. Т. 2. 328 с.

4. Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л.И. Высшая математика. Днепропетровск: НГУ, 2004. Ч. 1. 399 с.

5. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 1996. 479 с. 6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. М.: Высш. шк., 1968. 728 с.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1980. Ч. 2. 365 с.

8. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987. 352 с.

9. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1985. 128 с.

10. Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Высш. шк., 1965. 236 с.


matem.or

g.ua

94

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Дифференциальное уравнение 5

1-го порядка 8 Бернулли 25 линейное 22 однородное 15 с разделяющимися переменными 8 2-го порядка 47 допускающее понижение порядка 34, 38, 42 линейное неоднородное 47, 52 линейное однородное 47 п-го порядка 34, 38, 42, 47 линейное неоднородное 74 линейное однородное 70

Задача Коши 7, 81

Интегральная кривая 7

Метод вариации произвольных постоянных 23, 67, 77 исключения 82 неопределенных коэффициентов 53, 74

подстановки (Бернулли) 24

Начальные условия 7

Порядок дифференциального уравнения 5

Принцип суперпозиции 65

Решение дифференциального уравнения 5 общее 6 частное 6 системы дифференциальных уравнений 81

Система дифференциальных уравнений 81 линейная 81 неоднородная 82 однородная 82 нормальная 81

Структура общего решения ЛНДУ 52 ЛОДУ 47

Характеристическое уравнение 47, 71


matem.or

g.ua

Навчальне видання

Бібліотека іноземного студента

Новікова Людмила Василівна Сінайський Євгеній Самуїлович Заславська Людмила Іванівна

МАТЕМАТИКА

Частина 11

Звичайні диференціальні рівняння

(у прикладах і задачах) Навчальний посібник (Російською мовою)

Редактор Ю.В. Рачковська

Підписано до друку 18.07.07. Формат 30х42/4. Папір офсет. Ризографія. Ум. друк. арк. 5,2.

Обл.-вид. арк. 5,2 . Тираж 250 прим. Зам. № .

Підготовлено до друку та видрукувано у Національному гірничому університеті

Свідоцтво про внесення до Державного реєстру ДК № 1842

49005, м. Дніпропетровськ, просп. К.Маркса, 19.


matem.or

g.ua

= m m a b f j z d z · 6 1 2 1 2 2 2 2 2 4 2 4 2 y c sin x c cos x c cos x c sin x 4 2 4 2 4 2 4 2...

Documents