МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования «Пензенский государственный университет» (ПГУ)

В. В. Козлов, В. В. Регеда, О. Н. Регеда

Решение математических задач в среде MathCAD

Методические указания к лабораторным работам

Пенза

Издательство ПГУ 2019

2

УДК 001.8 (083.95)

К59

Р е ц е н з е н т

доктор технических наук, профессор,

академик Российской метрологической академии,

директор ФБУ «Пензенский центр стандартизации и метрологии»

А. А. Данилов

Козлов, В. В.

К59 Решение математических задач в среде MathCAD : ме-

тод. указания к лабораторным работам / В. В. Козлов,

В. В. Регеда, О. Н. Регеда. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2019. – 84 с.

Изложены методы программирования широкого класса математи-

ческих задач, встречающихся в практике инженерного проектирования

средствами пакета MathCAD. Приводятся примеры задач линейной ал-

гебры, обработки массивов данных, решения алгебраических и диффе-

ренциальных уравнений, рассматриваются возможности пакета для ви-

зуализации результатов решений.

Издание подготовлено на кафедрах «Информационно-

измерительная техника и метрология» и «Электроэнергетика и электро-

техника» ПГУ и предназначено для обучающихся по направлениям под-

готовки 12.03.01 «Приборостроение» и 13.03.02 «Электроэнергетика и

электротехника», изучающих курс «Компьютерные технологии в при-

боростроении» и «Компьютерные технологии».

УДК 001.8 (083.95)

© Пензенский государственный

университет, 2019

3

СОДЕРЖАНИЕ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. Основные правила работы

в пакете MathCAD .......................................................................................................... 4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. Построение графиков

средствами MathCAD ................................................................................................... 17

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. Численные методы решения уравнений

и систем уравнений в среде MathCAD ....................................................................... 26

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4. Работа с файлами,

использование условных функций и программирование

в среде MathCAD .......................................................................................................... 37

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ .............................................................................. 45

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. Символьные вычисления .................................. 52

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ .............................................................................. 68

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6. Решения дифференциальных уравнений ......... 73

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ......................................................................... 82

4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА РАБОТЫ В ПАКЕТЕ MATHCAD

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными пра-

вилами задания условий математических задач и их решения в среде

пакета MathCAD.

Назначение пакета и основные его возможности

Математическая система MathCAD во всем мире признана одной

из наиболее совершенных программных систем, позволяющих решать

математические задачи в объеме программы технического вуза. Си-

стема обеспечивает удобный интерфейс и широкий набор решаемых

задач. Достоинством системы является возможность использования

так называемой символьной математики – методов решения задач

аналитическими методами.

Главное меню системы содержит следующие позиции:

File (Файл) – работа с файлами, сетью Internet и электронной

почтой;

Edit (Правка) – редактирование документов;

View (Вид) – изменение средств обзора и включения элементов

интерфейса;

Insert (Вставить) – установка вставок объектов и их шаблонов;

Format (Формат) – изменение формата (параметров) объектов;

Tools (Сервис) – управление параметрами и процессом вычисле-

ния;

Symbolics (Символика) – выбор операций символьного процес-

сора;

Window (Окно) – управление окнами системы;

Help (Помощь) – работа со справочной базой данных о системе.

Панели инструментов служат для быстрого выполнения наибо-

лее часто применяемых команд. На рис. 1 изображено окно MathCAD

с пятью основными панелями инструментов, расположенными непо-

средственно под строкой меню.

5

Рис. 1

Кнопки в панелях сгруппированы по сходному действию ко-

манд:

– Standard (Стандартная) – служит для выполнения большин-

ства операций, таких как действия с файлами, редакторская правка,

вставка объектов и доступ к справочным системам;

– Formatting (Форматирование) – для форматирования (измене-

ния типа и размера шрифта, выравнивания и т.п.) текста и формул;

– Math (Математика) – для вставки математических символов и

операторов в документы;

– Resources (Ресурсы) – для вызова ресурсов MathCAD (приме-

ров, учебников и т.п.);

– Controls (Элементы управления) – для вставки в документы

стандартных элементов управления интерфейса пользователя (флаж-

ков проверки, полей ввода и т.п.).

Панель Math (Математика) предназначена для вызова на экран

еще девяти панелей (рис. 2), с помощью которых, собственно, и про-

исходит вставка математической операции в документы.

Рис. 2

6

Перечислим назначение математических панелей:

– Calculator (Калькулятор) – служит для вставки основных ма-

тематических операций, получила свое название из-за схожести набо-

ра кнопок с кнопками типичного калькулятора;

– Graph (Графики) – для вставки графиков;

– Matrix (Матрица) – для вставки матриц и матричных опера-

торов;

– Evaluation (Определение) – для вставки операторов управле-

ния вычислениями;

– Calculus (Вычисления) – для вставки операторов интегрирова-

ния, дифференцирования, суммирования;

– Boolean (Логика) – для вставки логических (булевых) опера-

торов;

– Programming (Программирование) – для программирования

средствами MathCAD;

– Greek (Греческий Алфавит) – для вставки греческих сим-

волов;

– Symbolic (Символы) – для вставки символьных операторов.

Работа с системой MathCAD сводится к подготовке в окне ре-

дактирования задания на вычисления и к установке форматов для их

результатов. Входным языком системы является язык визуального

программирования, многие записи вводятся просто выводом шабло-

нов соответствующих операторов. Используемые при описании зада-

чи переменные должны быть определены с помощью знака присваи-

вания :=, назначение которого отлично от используемого в

математике знака равенства.

MathCAD интегрирует в себе три редактора: формульный, тек-

стовый и графический. Для запуска первого достаточно установить

курсор мыши в любом свободном месте окна редактирования и щелк-

нуть левой клавишей мыши.

Например, если хотите найти произведение членов некоторого

ряда чисел, то следует в панели найти соответствующую пиктограмму

и вывести шаблон данной операции на поле документа

После заполнения соответствующих позиций шаблона и ввода

знака равенства =, получим результат

7

2015

1

sin( ) 2,628 10х

ex

x.

Текстовые блоки позволяют создавать в документе пояснения,

т.е. делать документ MathCAD более понятным для чтения. Для зада-

ния текстового блока достаточно ввести символ '' (двойная кавычка).

В появившемся прямоугольнике можно вводить текст и осуществлять

его редактирование.

В общем случае решаемая задача состоит из отдельных решаю-

щих блоков.

Решающие блоки могут иметь следующий вид:

– вычисляемое числовое значение = результат вычисления

3,812 3,2 16,677

2,6 Вычисление значения числового выражения

– переменная := числовое значение

:12,40 : 3,56 :11,22a g s Определение переменных

– переменная := вычисляемое выражение

: 23

sf a g

Задание выражения

Следует обратить внимание на то, что используя опцию Number

(Результат) из меню Format, можно управлять разрядностью выводи-

мых результатов вычислений. MatCAD различает строчные и пропис-

ные буквы в именах переменных.

Для задания циклических вычислений с целочисленной управ-

ляющей переменной цикла используется следующая конструкция:

Имя переменной := Nнач ... Nкон

Здесь знак ... вводится набором знака …; Nнач – начальное зна-

чение переменной и Nкон – конечное значение переменной. Если

Nнач < Nкон, то шаг изменения переменной равен +1, а если

Nнач > Nкон, то –1.

Переменные такого типа в системе MathCAD называются пере-

менными с заданными пределами измерения или ранжированными

переменными. Шаг изменения можно задать любым, используя дру-

гую конструкцию задания таких переменных:

8

Имя переменной := Nнач, Nслед.. Nкон,

где Nслед – следующее за Nнач значение переменной. Шаг в этом

случае равен Ncлед – Nнач.

Циклы, реализованные с помощью переменных с заданными

пределами изменения, показаны на рис. 3.

Рис. 3

В ранжированных переменных невозможно осуществить доступ

к произвольному элементу представляемого ими ряда. Этой цели слу-

жат массивы. Наиболее распространены одномерные массивы – век-

торы и двумерные – матрицы.

В MathCAD массив задается именем, как и любая переменная.

Вектор имеет ряд элементов с определеным порядком расположения.

Порядковый номер элемента задается индексом. Нижняя граница ин-

дексации определяется значением системной переменной ORIGIN,

которая может иметь значение 0 или 1. Влияние значения этой си-

стемной переменной показано на примере рис. 4.

Рис. 4

k 0 5 i 5 0 t 2 1.5 1.5 f 2 1.5 1

k

0

1

2

3

4

5

i

5

4

3

2

1

0

t

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

f

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

9

Элементы матриц также являются индексированными перемен-

ными, имена которых совпадают с именами матриц. В этом случае для

каждой индексированной переменной указываются два индекса, пер-

вый – для номера строки, второй – для номера столбца.

Для указания подстрочных индексов после имени переменной

вводится знак открывающей квадратной скобки.

Вектор или матрица могут быть созданы присваиванием их эле-

ментам (индексированным переменным) тех или иных значений. Это

возможно при использовании шаблона, извлекаемого из меню матрич-

ных операторов (последний пример), или с помощью оператора присва-

ивания без использования шаблона. Примеры заданий различных мат-

риц показаны на рис. 5. Используемый в примере оператор отношения

имеет более жирное начертание =, чем оператор равенства =.

MC

0

1

2

3

4

0.5

1.5

2.5

3.5

4.5

1

2

3

4

5

MC matrix5 3 f( )Создание матрицы наоснове функции

f j i( ) j 0.5 i

Единичная матрицаM1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

M1j i

if i j 1 0( )

Нулевая матрицаM0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

M0j i

0

i 0 2j 0 2

X

2

4

0

5

X3

5X1

4X0

2

Создание вектора.Обратите вниманиена значение X(2)

Создание векторов и матриц

Рис. 5

Последовательность расположения отдельных решающих блоков

в задаче должна быть как для операторов в языковой конструкции

слева – направо, сверху – вниз.

При составлении любой задачи нужно максимально использо-

вать площадь листа, оставляя на нем как можно меньше пустых мест.

Следует знать, что не все доступные функции MathCAD имеют

соответствующие кнопки, для их вызова или ознакомления со всем

10

перечнем функций следует воспользоваться соответствующей кноп-

кой из системы.

При решении любой задачи возможны формальные ошибки.

В этом случае ошибочный элемент задачи выделяется красным цветом

и появляется сообщение об ошибке. В задании 1 дан список этих со-

общений.

В задании 2 приведены некоторые встроенные функции

MathCAD.

Векторизацией вектора или матрицы называется выполнение ка-

ких-либо операций (например, возведение в степень) одновременно

над всеми элементами их массива.

Порядок выполнения работы

1. Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи-

санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные

примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас-

смотренные примеры.

2. Средствами пакета MathCAD выполнить последовательность

заданий из варианта, указанного преподавателем. Решения для всех

примеров оформить в виде единого документа. Каждую задачу обя-

зательно сопровождать комментариями.

2.1. Вычислить значение числового выражения для соответству-

ющего варианта задания (табл. 1).

Таблица 1

Вариант Задание

1. 7 5 1 7 368 66 : 6 4,5

30 18 9 40 32

0,04

2. 7 5 7 7 940 38 :10,9 1 4,2

30 12 8 30 11

0,008

3. 5 52,4 1 4,375 2,75 1 21

677 6:

2 1 3 2008 0,45

3 6 20

11

Окончание табл. 1

Вариант Задание

4. 1 3 16 4 : 0,03 0,3 1

12 206 2: 2

1 2 3 1 203 2,65 4 1,88 2

20 5 25 80

5. 3: 0,2 0,1 4,375 34,0,6 33,81 4 267 426 : :

2,5 0,8 1,2 6,84 : 28,57 25,15 200 21

6. 2 133: 0,09 : 0,15 : 2

5 2

0,32 : 0,03 5,3 3,88 0,67

7. 56,2 : 0,31 0,9 0,2 0,15 : 0,02

6

4 12 1 0,22 : 0,1

11 33

8.

0,216 2 4 196 7,7: 0,695 :1,39

30,15 3 15 22524

4

9. 2 74,5 1 3,75

1 53 1351,7 : 0,5

5 3 12

9

10. 8,8077 54,9

3220 28,2 : 13,333 0,3 0,0001 2,004

2.2. Решить квадратное уравнение 2 0ax bx c для значений

a , b и c , указанных в табл. 2, используя выражение для дискрими-

нанта 2 4 .b ac

12

Таблица 2

Номер

варианта a b c

1 2 –8 –3

2 –1,1 –7 1

3 1 5 –1,18

4 –1,3 –6 1,2

5 –7 15 2

6 –5 –10 3,3

7 3 11 –3,1

8 –2,3 –9 2,5

9 2,5 8 –1,9

10 3,8 –12 –4,5

2.3. Найти значение электрического сопротивления в цепи, со-

стоящей из шести параллельно соединенных сопротивлений, значения

которых указаны в табл. 3.

Таблица 3

Номер

варианта R1 R2 R3 R4 R5 R6

1 150 120 250 380 320 640

2 550 450 890 430 640 550

3 670 770 370 620 350 670

4 210 450 450 690 830 990

5 900 850 890 780 810 780

6 840 930 585 775 448 888

7 760 420 754 886 594 897

8 884 669 553 689 690 890

9 890 870 869 680 668 597

10 888 776 594 970 980 860

2.4. Выполнить следующее задание.

Даны x = 1,5; y = 2; z = 3. Вычислить a, b, c для

1. 3

( 3) 2

2 2

1, (arctg ), ;

12 4

xx y

a b x z e с a bx y

2.

31 22 2

2

3 ( ), 1 , ;

2 31 tg

y y xe y xa b y x c a b

x y z

13

3. 2

2 2 2 2

/ ( 4) 1 cos( 2)(1 ) , ,

1/ ( 4) / 2 sinx

x y x ya y b c a b

e x x z;

4. 2 2

22

3

, (1 tg ), ;2

/ 3

x za y b c a b

xy

y x

5. 2

2 2

2cos( / 6), 1 ,

1/ 2 sin 3 / 5

x z aa b c

by z;

6. 2

2

2 2

1 sin ( ) 1, cos (arctg ),

2 2 / (1

x y ba x b c

z ax x x y;

7.2 5

3 2

2ln ( )( ) , ,

3! 5!/ 4

y x xa y x x b x c a b

z x;

8.

2

2 2 2sin 2

, cos , 2 4y

x y z ya b x c a b

zx;

9. 2

2

2 2

5cos( / 6), 2 3 ,

1/ 2 sin 3 / 7

x y aa b x c b

bx z;

10. 3 2 2

2

2 2

3 sin ( ) 1 2, sin (arctg ),

2 4 / (1

x y ba b c

z ax x x y.

2.5. а) Даны x = 1,5; y = 2; z = 3. Вычислить а и b по данным табл. 4;

б) Даны y = 2; z = 3. Вычислить массив 10 значений а для x,

изменяющегося в диапазоне от 1 до 3 по данным табл. 4.

Таблица 4

Номер

варианта a b

1 2 2

2,6 tg( )

2 2 /( )

x ya

x x x y 3(tg )xb x z e

2

2 4ln 2

5

y x /a y x

z

3( )1 5

2

y xy xb ,

x

14

Окончание табл. 4

Номер

варианта a b

3

3cos 2 2

tg 1,5

x y za

y 2

2

1 sin ( 2)

1

2 sin

yb

xx

4 5sin /3

1 2cos 1

(x )a

/ x

21 tg2

zb

y

5

3 2

2 2

3 sin ( )

2 5 4 /(1

x ya

, x x x y

2

21

3 /5

zb

z

6 3

2 2

1

1 5

x ya

, x y

2 1cos arctg

1b

z

7

21,5

2 tg

yea

x y z

2 2

3 5

x xb x

z z

8

2 2

0,5 2

3,3 ( 2)

1/( 4)

y xa

e x

2 2cos1

yb x

z

9 2

2

2

3,5

2

xa y

xy

y x

2

22 3

31

yb x

z

x

10 2

2cos( /6)

1/2 sin

xa

y

1sin arctgb

x z

2.6. Сформировать матрицу А размера 9×9 по заданному алго-

ритму (i – номер стоки, j – номер столбца):

1. 1

1ijb

i j; 2.

1ijb

i j; 3.

1ij

ib

i j; 4.

10ij

ib

i j;

5. 2

2

( )

( )ij

i jb

i j; 6.

2

2ij i j

ib ; 7.

2i

ijbj

; 8. 5

ij

ib

i j;

9. 2

3ij i j

ib ; 10.

12

2

i

ijbj

.

15

2.7. Умножить матрицу А на произвольный скаляр, сложить по-

лученную матрицу c единичной, сменить знак у всех элементов мат-

рицы, транспонировать матрицу A, найти ее след.

2.8. Найти произведение четырех элементов матрицы, указанных

в табл. 5, полученной при выполнении задания 2.5.

Таблица 5

Номер

варианта

Элемент 1 Элемент 2 Элемент 3 Элемент 4

столбец строка столбец строка столбец строка столбец строка

1 3 5 1 6 4 2 6 6

2 7 2 2 4 5 7 3 2

3 2 6 4 6 3 3 5 3

4 5 8 9 7 6 3 8 6

5 4 7 2 5 3 2 7 1

6 3 4 7 5 2 6 4 6

7 9 5 5 3 6 1 3 3

8 5 1 6 8 3 6 2 8

9 1 6 3 4 9 2 5 7

10 6 2 2 7 4 5 9 4

2.9. Используя опции команды Format, представьте число 273,865

в виде двоичного числа, восьмиричного и шестнадцатиричного.

2.10. Определить значения определенного интеграла для своего

варианта:

1. 2

2

1 cos

dx

x; 2.

25

0

cos sin 2x xdx ; 3. 2

2

2

cos cosx xdx ;

4. 2

1

lne

xdx ; 5. 24

3

2

cos

sin

xdx

x; 6.

2

21

1sin

xdxx

7; 1

0

xxe dx ;

8. 2

2

cos sin 24

t t dt ; 9. 3

0

sinx xdx 10; 1

0

ln 1e

x dx .

2.11. Вычислить значения определенного интеграла для десяти

значений верхнего предела интеграла, равномерно распределенных в

указанном диапазоне:

16

1. Для H = 0... 2 , при a = 3 2. Для H = 0... 2 , a = 3, b = 4

20

sin

1 2 cos

H x xdx

a x a;

2

2 20

sin

2 cos

H xdx

a ab x b;

3. Для H = 0...0,9 4. Для H = 0…2 , при a = 3, b = 4

2

20 sin

H x dx

x;

4 20 2

H dx

ax bx a;

5. Для H = 0...0,9 6. Для H = 0...1.

2

30 (1 )

H x dx

x;

5

40 1

H x dx

x;

7. Для H = 0...6 8. Для H = 0 1

7

0 1

H x dx

x;

5

20 1

H x dx

x

9. Для H = 0 1 10. Для H = 0 1

40 1

H x dx

x;

2 20 1 2 1

H dx

x x.

3. Оформите протокол лабораторной работы средствами

MathCAD.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

3. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Что из себя представляет система MathCAD?

2. Каким образом осуществляется формулировка математиче-

ских задач средствами MathCAD?

3. Как можно задать текстовый блок?

4. Что такое «ранжированная переменная»?

5. Каким образом осуществляется управление форматом выво-

димых данных?

17

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ СРЕДСТВАМИ MATHCAD

Цель лабораторной работы – ознакомиться с методами созда-

ния графиков в среде пакета MathCAD.

В пакет MathCAD встроено несколько различных типов графи-

ков, которые можно разбить на две большие группы.

Двумерные графики:

– XY (декартовый) график (XY Plot);

– полярный график (Polar Plot).

Трехмерные графики:

– график трехмерной поверхности (Surface Plot);

– график линий уровня (Contour Plot);

– трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);

– трехмерное множество точек (3D Scatter Plot);

– векторное поле (Vector Field Plot).

Все графики создаются совершенно одинаково, с помощью па-

нели инструментов Graph (График), различия обусловлены отобража-

емыми данными.

Построение графиков в декартовой системе координат воз-

можно следующим способом.

Вначале необходимо ранжировать аргумент, указав диапазон его

изменения и шаг. Это выполняется по правилам, рассмотренным для

ранжирования переменных в предыдущей лабораторной работе. Затем

надо задать соответствующие функции и ввести шаблон X-Y Plot с

помощью меню. Появится шаблон графика с заданной функцией.

В средние шаблоны данных нужно поместить имя переменной и име-

на функций. Если строятся графики нескольких функций в одном

шаблоне, то для их разделения следует использовать запятые. Крайние

шаблоны данных служат для указания предельных значений абсцисс и

ординат, т.е. они задают масштаб графика. Если оставить эти шаблоны

незаполненными, то масштабы по осям графика будет устанавливать-

ся автоматически.

Чтобы произошло построение графика в автоматическом режиме

вычислений, достаточно вывести курсор за пределы графика или

нажать клавишу F9. Пример построения графиков показан на рис. 6.

18

Рис. 6

Построение графиков в полярной системе координат произво-

дится углом W и модулем радиус-вектора R(W). График функции

строится в виде линии, которую описывает конец радиус-вектора при

изменении угла W в определенных пределах, чаще всего от 0 до 2 .

Опция Polar Plot выводит шаблон таких графиков в форме окружно-

сти с шаблонами данных. Возможно построение в одном шаблоне

двух или нескольких графиков. На рис. 7 показан пример построения

графика в полярной системе координат.

Возможно построение графика в полярной системе координат с

использованием шаблона обычного графика в прямоугольной системе

координат. Для этого нужно по оси X установить R(W) · cos(W), а по

оси Y – R(W) · sin(W).

Рис. 7

W 0 0.001 2 R1 W( ) sin 3 W( ) R2 W( ) 1.3cos 5 W( )

Rmin 0 Rmax 1.3

R1 W( )

R2 W( )

W

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

1

0.5

0

x 10 9.99 10 f x( ) sin x( )3

f1 x( )x3

1562f2 x( ) e

x

f x( )

f1 x( )

x

10 0 101

0

1

f2 x( )

x

0 5 100

1 104

2 104

3 104

19

Для построения графика поверхности можно воспользоваться

двумя способами:

1. Если вам надо только посмотреть общий вид поверхности, то

MathCAD предоставляет возможность быстрого построения подобных

графиков. Для этого достаточно определить функцию f(x,y) и выпол-

нить команду Insert –> Graph –> Surface Plot или нажать соответ-

ствующую кнопку наборной панели Graph (сочетание клавиш

[Ctrl+7]). В появившейся графической области под осями на месте

шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции.

MathCAD автоматически построит график поверхности. Независимые

переменные x и y принимают значения из промежутка [–5,5]. График

приведен на рис. 8.

Рис. 8

При необходимости этот промежуток может быть уменьшен или

увеличен. Для этого необходимо выделить график и воспользоваться

командой Format –> Graph –> 3D Plot или щелкнуть ПРАВОЙ кноп-

кой мыши по выделенному графику и в контекстном меню выбрать

команду Format. В появившемся окне 3-D Plot Format на вкладке

QuickPlot Data (рис. 9) можно установить другие параметры измене-

ния независимых переменных x и y.

20

Рис. 9

Для построения графика поверхности в определенной области

изменения независимых переменных или с конкретным шагом их из-

менения необходимо сначала задать узловые точки xi и yj, в которых

будут определяться значения функции. После (а можно и до) этого

надо определить функцию f(x,y), график которой хотите построить.

После этого необходимо сформировать матрицу значений функции в

виде Ai,j = f(xi,yj).

Теперь после выполнения команды Insert –> Graph –> Surface

Plot в появившейся графической области достаточно ввести имя мат-

рицы (без индексов):

21

В итоге получим график, изображенный на рис. 10.

Рис. 10

Рис. 11

2. Построение трехмерного графика в виде гистограммы, пред-

ставляющей собой трехмерные столбики, высота которых определяет-

ся значениями координаты Z(x,y). Подобные графики широко приме-

няются при представлении сложных статистических данных,

например представленных тремя независимыми переменными. При-

мер построения такой гистограммы показан на рис. 12.

ПОСТРОЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ

N 20 i 0 N j 0 N xi

1.5 0.15 i yj

1.5 0.15 j

f x y( ) sin x2y

2Mi j

f xiyj

M

0 5 10 15 20

05101520

0.500.5

22

X Y Z( )

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ГИСТОГРАММЫ

f x y( ) sin x2y x 0 15 y 0 15

Mx y

fx 10( )

5

y 10( )

5

M

X Y Z( )

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ ГИСТОГРАММЫ

f x y( ) sin x2y x 0 15 y 0 15

Mx y

fx 10( )

5

y 10( )

5

M

Рис. 12

Порядок выполнения работы

1. Построить график функции в декартовой системе координат.

Установить размеры графика не менее 100 × 100 мм. Установить оп-

ции «Формат → трассировка», устанавливающие цвет линии – зеле-

ный, линия – пунктирная, толщина – 3.

Таблица 6

Вариант Задание Вариант Задание

1. 2

2y x x 6. 1 2( )( )y x x

2. 1 1( )y x x 7.

3x x

yx

3. 22 1y x x 8.

3 2

2 1

x xy

x

4. 2y x x 9. 1 2( )y x x

5. 1 2( )( )y x x 10. 4 22 2y x x

2. Построить график, на котором отражены два периода функ-

ции. Установить размеры графика не менее 150 × 100 мм. Установить

23

опции «Формат → трассировка», устанавливающие цвет линии – синий,

линия – штриховая, толщина – 4. Указать значение периода функции.

Таблица 7

Вариант Задание Вариант Задание

1. 4 4

4 cos sin2 2

x xy 6. sin siny x x

2. cos siny x x 7. y = sin sinx x

3. tan cosy x x 8. cos 2

2 

xy

4. cot siny x x 9. 2

2

sin 2sin

1

x xy

x

5. cot secy x x 10. 2sin cosy x x

3. Построить график функции. Модифицировать график, изме-

нив его масштаб, включить координатную сетку, обозначить оси ко-

ординат. Сохранить все варианты построенных графиков.

1. y x при x, изменяющемся в диапазоне от –100 до +100;

2. 1 1y x x x при x, изменяющемся в диапазоне от

–15 до +15;

3. 2 2y x x при x, изменяющемся в диапазоне от –25

до +25;

4. (1 ) 1y x x при x, изменяющемся в диапазоне от –10

до +10;

5. 3 3y x x при x, изменяющемся в диапазоне от –5 до +5;

6. 3 23 2y x x при x, изменяющемся в диапазоне от –5 до +5;

7. 4 44 cos sin

2 2

x xy при x, изменяющемся в диапазоне

от –2 до +2 ;

8. cos siny x x при x, изменяющемся в диапазоне от –2

до +2 ;

9. 3y x при x, изменяющемся в диапазоне от –30 до +30;

10.

2

3y x при x, изменяющемся в диапазоне от –30 до +30.

24

4. Построить в одной системе координат графики двух функций,

обеспечив визуальную возможность их идентификации.

1. cos sin ,     cosy x x z x при x от –2  до  2 ;

2. sin sin ,    2sin cosy x x z x x и x от –2  до  2 ;

3. sin sin ,     siny x x z x при x от –2  до 2 ;

4. 2sin ,     siny x x z x при x от –  до   ;

5. 1 1 cos

,   3 2cos 3 sin

xy z

x x при x от –2  до 2 ;

6. arcsin ,     arcsiny x z x x при x от –  до   ;

7. 1

arctg ,     arctg arctgy x z xx

при x от –  до   ;

8. 1 1

arctg arcctg ,     arctg arctgy x z xx x

при x от –  до   ;

9. arcsin sin ,     arccos() co )( sy x z x при x от –  до   ;

10. 21arctg ,     arccosy z x

x при x от –  до  .

5. Построить график в полярной системе координат.

1. ( ) 8 2,8cos( )R для изменяющегося в диапазоне 0 2 ;

2.

2

3 3

2

0,09( 1)( )

2R для изменяющегося в диапазоне 0 20 ;

3. 2( ) cos(2 ) cos (2 ) 1,3R для изменяющегося в диапа-

зоне 0 2 ;

4. ( ) 2R для изменяющегося в диапазоне 0 20 ;

5. 2( ) cos(2 )R для изменяющегося в диапазоне 0 2 ;

6. ( ) 1,8 1,6cos( )R для изменяющегося в диапазоне 0 2 ;

7. 2( ) cos(2 ) cos (2 ) 4,5R для изменяющегося в диа-

пазоне 0 2 ;

8. 0,1( ) 3R e для изменяющегося в диапазоне 0 20 ;

9. 2( ) cos(2 ) cos (2 ) 0,01R для изменяющегося

в диапазоне 0 2 ;

10. ( ) 9 3,6cos( )R для изменяющегося в диапазоне 0 2 .

25

6. Построить график функции Y(x) и исследовать ее поведение в

окрестностях точки X0 путем построения еще одного крупномасшаб-

ного графика в окрестностях этой точки.

1. 3( ) 3 1,8 5,8Y x x x X0 = 0; 2. 3( ) 3Y x x x X0 = 0;

3. 2 3( )Y x x x X0 = 0; 4. 3( ) 2,5 3,8 1Y x x x X0 = 0,5;

5. 2

2

1

1

xy

x X0 = 0;

6. 3( ) 2 4,5 3,8Y x x x X0 = 0;

7. 4 2( ) 2 2 2Y x x x X0 = 1 8. 3( ) 2 4,5 3,8Y x x x X0 = 0

9. 3 2( ) 1Y x x x x X0 = 1 10. 3( ) 2,1 3,1 1,1Y x x x X0 = 0

Построить график поверхности, заданной 900 точками. Поверх-

ность описывается выражением 2 2

( , )2 3

x yf x y . Изменить опции,

влияющие на вид графика.

8. Построить трехмерную гистограмму по 225 точкам. Функция

описывается выражением 3( , ) cos( 2 )f x y x y .

9. Оформите протокол лабораторной работы средствами

MathCAD.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Назовите порядок построения графика в декартовых системах

координат.

2. Назовите порядок построения графика в полярной системе ко-

ординат.

3. Каким образом можно управлять видом графика, выполняемо-

го в декартовой системе координат?

4. Чем определяется количество точек, по которым строится

график?

26

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MATHCAD

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными прие-

мами решения уравнений и систем уравнений численными методами.

Определение комплексных чисел

Решения некоторых уравнений содержат комплексные числа.

MathCAD воспринимает комплексные числа в форме a + bi, где a и b –

обычные числа. Комплексные числа могут также возникать в резуль-

тате вычислений, даже если все исходные значения вещественны.

Например, если вычислить 1 , MathCAD возвращает i. При вводе

комплексных чисел нельзя использовать i саму по себе для ввода ком-

плексной единицы. Нужно всегда печатать 1i, в противном случае

MathCAD истолкует i как переменную. Когда курсор покидает выра-

жение, содержащее 1i, MathCAD скрывает избыточную единицу. Не-

которые операции над комплексными числами показаны на рис. 13.

r 53

5

Определим комплекные переменные

i 1 z1 1 z2 r ei( )

z1 i z2 1.545 4.755i

Выполним некоторые действия

z2

z14.755 1.545i Re z2( ) 1.545 Im z2( ) 4.755

z3 z23

z3 101.127 73.473i

Рис. 13

Решение систем линейных уравнений

Для решения систем линейных уравнений в системе MathCAD

введена функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор X для систе-

мы линейных уравнений A · X = B при заданной матрице коэффици-

ентов A и векторе свободных членов B. Если уравнений n, размер-

27

ность вектора B должна быть n, а размерность матрицы A – n×n. При-

мер решения системы линейных уравнений:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 0,24 0,06 9

0,03 3,3 0,12 5

0,77 0,32 0,22 2

x x x

x x x

x x x

рассмотрен на рис. 14.

Рис. 14

Многие уравнения, например трансцендентные, и системы из

них не имеют аналитических решений. Однако они могут решаться

численными методами с заданной погрешностью, определяемой пере-

менной TOL (в меню Сервис Опции рабочей области Перемен-

ные).

Для простейших уравнений вида F(x) = 0 решение находится с

помощью функции root(Выражение, Имя_переменной).

Эта функция возвращает значение переменной, при котором вы-

ражение дает 0. Функция реализует вычисления итерационным мето-

дом, причем можно задать начальное значение переменной. Это осо-

бенно полезно, если возможно несколько решений. Тогда выбор

решения определяется выбором начального значения переменной.

Первое применение этой функции позволяет найти первый корень X1.

Для поиска второго корня X2 первый исключается делением F(x) на

(x–X1). Соответственно, для поиска третьего корня X3 F(x) делится

еще и на (x–X2). Пример использования функции приведен на рис. 15.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ A*X=B

Задание коэффициентов системы

A

2

0.03

0.77

0.24

3.3

0.32

0.06

0.12

0.22

Задание вектора свободных членовB

9

5

2

X lsolve A B( ) X

3.873

0.69

23.652Решение системы

28

Рис. 15

Для поиска корней обычного полинома p(x) степени n можно ис-

пользовать функцию

polyroots(V).

Она, как показано на рис. 16, возвращает вектор корней много-

члена (полинома) степени n, коэффициенты которого находятся

в векторе V, имеющем длину, равную n + 1.

Рис. 16

Функцию root можно использовать и в составе функции пользо-

вателя, создаваемой специально для решения конкретной задачи.

Например, как показано на рис. 17, с ее помощью можно организовать

решение уравнения при различных значениях параметра a.

НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ 4-ОЙ СТЕПЕНИ

V0

12 V1

8 V2

33 V3

25 V4

41

polyroots V( )

1.395

0.01 0.524i

0.01 0.524i

0.764

НАХОЖДЕНИЕ КОРНЕЙ КУБИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

a3 2 a2 5 a1 43 a0 92 Коэффициенты

F x( ) a3 x3a2 x

2a1 a0 Задание полинома

Вычисление действительного корня

x 2 x1 root F x( ) x( ) x1 4.018

Вычисление других корней

i 1 x 1 1 i x2 rootF x( )

x x1x x2 0.759 2.35i

x3 rootF x( )

x x1( ) x x2( )x

x3 0.759 2.35i

29

Рис. 17

Решение систем нелинейных уравнений

При решении систем нелинейных уравнений используется спе-

циальный вычислительный блок, открываемый служебным словом –

директивой Given, имеющей следующую структуру:

Given

Уравнения

Ограничительные условия

Выражения с функциями Find и Minerr

Рекомендуется дополнять блок проверкой решения системы.

В блоке может использоваться одна из следующих функций:

– Find(v1,…,vn) – возвращает значение одной или ряда перемен-

ных для точного решения;

– Minerr(v1,…,vn) – возвращает значение одной или ряда пере-

менных для приближенного решения.

Между этими функциями существуют принципиальные разли-

чия. Первая функция используется тогда, когда решение реально су-

ществует (хотя и не является аналитическим). Вторая функция пыта-

ется найти максимальное приближение даже к несуществующему

решению путем минимизации среднеквадратической погрешности

решения.

Ограничительные условия вводятся следующими операторами:

GH a x( ) root ex 3

a x3x

a 1 5 x0

0 xaGH a x

a 1

a

1

2

3

4

5

xa

0.426

0.326

0.281

0.252

0.233

30

Выражение Назначение оператора

e1 > e2 e1 больше e2

e1 < e2 e1 меньше e2

e1 e2 e1 больше или равно e2

e1 e2 e1 меньше или равно e2

e1 e2 e1 не равно e2

e1 = e2 e1 равно e2

В решающих блоках для определения условия равенства исполь-

зуется знак логического равенства =, извлекаемый из меню или вво-

димый комбинацией клавиш Ctrl +.

Функции Find и Minerr, как показано на рис. 18, могут использо-

ваться для решения одного уравнения.

Рис. 18

Для нахождения начальных приближений поиска вещественных

корней весьма полезно построить графики кривых, входящих в систе-

му уравнений. Полученные точки пересечения можно использовать

для дальнейшего поиска корней. Пример такого решения приведен на

рис. 19.

При использовании функции Minerr при решении систем нели-

нейных уравнений нужно проявлять осторожность и обязательно

предусматривать проверку решений. Полезно как можно точнее ука-

зывать начальное приближение к решению.

31

Рис. 19

Порядок выполнения работы

1. Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи-

санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные

примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас-

смотренные примеры.

2. Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность

заданий из указанного преподавателем варианта. Решения задач

оформить в виде единого документа. Каждую задачу обязательно со-

провождать комментариями.

2.1. Определить все корни уравнения.

1. x + ln(x + 2) = 0; 2. x5 – x – 0,2 = 0;

32

3. x4 +2x

3 – x – 1 = 0; 4. x

3 – 0,2x

2 – 0.2x – 1,2 = 0;

5. 2 22sin 3cos

03 4

x x; 6. 5x

3 +12x

2 + 3x +4 = 0;

7. x2 – sin 5x = 0; 8. x

4 – 4x

3 + x

2 – 5x + 4 = 0;

9. 1,8x4 – sin10x = 0; 10. x

3 – 2x

2 + x – 3 = 0.

2.2. Определить для заданного варианта все корни нелинейного уравнения с помощью функции root.

1. x3

x – 10= 0; 6.

2sin 3cos0

3 4

х х;

2. 10sin ( / 2) 0х ; 7. cos ( ) sin (2 ) 0х х ;

3. x4

x2 + 5= 0; 8. 8x

3 2x

2 3x 2 = 0;

4. 02cos2sin хх ; 9. sin cos 0х х ;

5. x4 + 2x

3 x 1 = 0; 10.

sin cos0

2 3

х х.

2.3. Составить программу для решения системы линейных урав-нений, используя функцию lsolve. Значения коэффициентов Ai, Bi, Ci и свободных членов Di для заданного варианта взять из табл. 8. Выпол-нить проверку решения:

1 1 1 2 1 3 1

2 1 2 2 2 3 2

3 1 3 2 3 3 3

;

;

.

A x B x C x D

A x B x C x D

A x B x C x D

Таблица 8

Номер варианта

A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

33

2.4. Составить программу решения системы линейных уравне-ний. Выполнить проверку решения.

1.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

10 12

2 10 13

2 2 10 14;

x x x

x x x

x x x

2.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 0,24 0,08 8

0,09 3 0,15 9

0,04 0,08 4 20;

x x x

x x x

x x x

3.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 11,33

6 32

6 42;

x x x

x x x

x x x

4.

1 2

1 2 3

1 2 3

3 5

2 0

2 4 15;

x x

x x x

x x x

5.

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0,427 3,210 1,307 2,425

4,270 0,513 1,102 0,176

0,012 1,273 4,175 1,423;

x x x

x x x

x x x

6.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

10 2 3 0

2 3 20 10

3 2 20 15

10 2 0;

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

7.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4 3,1

0,1 2 5 2

0,15 3 4 1

10 2 2,1 4,7;

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

8.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

4,13 2,87 1,94 0,61 0,32

1,27 7,23 0,15 1,74 4,16

0,19 2,75 3,14 0,76 2,33

2,87 4,33 2,41 3,422 2,79;

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

34

9.

1 2 3 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 2 2 0,5

3 4 5 3 5,4

2 5 3 2 2 5

2 5 3 7,5;

2 3 2 3 4 3,3

x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

x x x x x

10.

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

7,9 5,6 5,7 7,2 6,68

8,5 4,8 0,5 3,5 9,95

4,3 4,2 3,2 9,3 8,6

3,2 1,4 8,9 8,3 1.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

2.5. Выполнить задание для своего варианта, используя соответ-

ствующий оператор решения, предварительно определив начальные

приближения с помощью построения графика.

1. Найти все корни уравнения 2

2

2

25 740

495 2

xx

x.

2. Решить уравнение 5 1 0x .

3. Решить уравнение 4 8 63 0x x .

4. Найти все четыре корня уравнения 4 3 215 4 6 4 1 0x x x x .

5. Решить уравнение 4 38 8 190 0x x x .

6. Решить уравнение 2(8 7) (4 3)( 1) 4,5x x x .

7. Решить уравнение

22 8

1

xx

x.

8. Найти все корни уравнения ( 1)( 2)( 3)( 4) 1x x x x .

9. Решить уравнение 3 3 3 3( 4) ( 5) 2( 5) ( 4) 0x x x x .

10. Найти все корни уравнения 3 2 5 3 1x x .

2.6. Найти все решения для системы уравнений предварительно

определив начальные приближения с помощью построения графиков:

1. 32 5

3 ;

y x

y x 6.

32,1 3,3 6

5,6;

y x x

y x

35

2. 3 2 4

2 3,6;

y x x

y x 7.

4 2

0,05 0,18;

y x x

y x

3. 32,8 3

2,2 ;

y x x

y x 8.

33,51 6,1 2

1,08 1,9;

y x x

y x

4. 32 3,8 6,2

1,2 5;

y x x

y x 9.

32,8 6,2 3

2 0,12;

y x x

y x

5.31,18 2,8

2,1 0,12;

y x x

y x 10.

32,7 6,1

1,8 0,51.

y x x

y x

2.7. Составить для заданного варианта программу для решения

системы нелинейных уравнений, используя функцию find или minner.

1. cos 1

cos( 1);

y x

y x 6.

4

3

12

2 ;( 1)

y x

y x

2.

2

3

10,5 1

5( 1) ;

y x

y x 7.

4

3

15

2 ;( 1)

y x

y x

3.

3

11

) ;(2 1

xy

x

y x

8.

2

3

( 2)

2 ;

y x

y x x

4. sin2

cos( 1);

y x

y x 9.

3

2

5( 1)

1 ;

y x

y x x

5. 3

2

1

( ; 5 1)

y x

y x 10.

2

10

( 1) 0.

y x

y x

3. Оформите протокол лабораторной работы средствами

MathCAD.

36

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. В чем смысл решения уравнений численными методами?

2. Как осуществляется проверка решения уравнения или системы

уравнений?

3. Какие функции MathCAD предназначены для решения систем

линейных и нелинейных уравнений?

4. Какие функции могут использоваться в блоке решения и для

чего они предназначены?

37

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4

РАБОТА С ФАЙЛАМИ, ИСПОЛЬЗОВАНИЕ УСЛОВНЫХ ФУНКЦИЙ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ

В СРЕДЕ MATHCAD

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными опе-

раторами, обеспечивающими работу с файлами данных, организацию

вычислений с условными функциями, и изучить основы программи-

рования в среде MathCAD.

Работа с файлами данных

Для обмена с внешними программными системами MathCAD

имеет специальный тип данных – файловые данные. В сущности, это

те же векторы и матрицы, но с элементами, которые могут записы-

ваться в виде простых текстовых файлов. Ниже перечислены основ-

ные файловые операции.

READPRN("Имя_файла"). Эта операция считывает данные в

виде матрицы. Функция READPRN возвращает матрицу, значения

элементов которой однозначно связаны со значениями элементов

файла. Или, точнее, каждая строка или столбец возвращаемой матри-

цы подобны соответствующим строкам или столбцам текстового

представления файла.

WRITEPRN("Имя_файла"). Эта операция применяется для

записи матричного выражения (или матрицы) в файл с указанным

именем. Структура файла подобна структуре матрицы.

APPENDPRN("Имя_файла"). Эта операция дописывает дан-

ные в уже существующий матричный файл. Следует особо отметить,

что при работе с векторами и матрицами, имеющими комплексные

элементы, эти операции используют расширенные векторы или мат-

рицы, элементы которых – действительные числа.

Имя файла включает путь к файлу. Можно задавать как полный

путь к файлу, например, С:\Мои документы, так и относительный,

имея в виду, что он будет отсчитываться от папки, в которой находит-

ся файл с документом MathCAD. Если вы задаете в качестве аргумен-

та просто имя файла, то файл будет записан или прочитан из той пап-

ки, в которой находится сам документ MathCAD.

На рис. 20 приведены примеры использования операторов для

ввода-вывода данных.

38

Рис. 20

Использование функций с условиями сравнения

В системе MathCAD существует ряд встроенных функций, у ко-

торых возвращаемый ими результат зависит от знака или значения ар-

гумента. Так, при их вычислении производится сравнение аргумента с

некоторыми числовыми константами, например с нулем или целыми

числами. Ниже представлены такие функции с условиями сравнения:

ceil(x) – наименьшее целое, большее или равное x;

floor(x) – наибольшее целое, меньшее или равное x;

mod(x,y) – остаток от деления x/y со знаком x;

angle(x,y) – положительный угол между осью x и радиус-

вектором точки с координатами (x, y);

(x) – функция Хевисайда – единичного скачка (дает 0 при

x < 0 и 1 в противном случае);

(m,n) – функция, именуемая символом Кронекера, возвращаю-

щая 1 при m = n и 0 в противном случае.

39

Функцию Хевисайда можно использовать для задания прямо-

угольного импульса с шириной :

pulse(t, ):= (t) – (t – ).

Более широкие возможности дает функция if для создания

условных выражений:

if(Условие, Выражение 1, Выражение 2).

Если в этой функции условие выполняется, то вычисляется вы-

ражение 1, в противном случае – выражение 2 (рис. 21).

Использование программных модулей

Рис. 21

Программные операторы сосредоточены в наборной панели про-

граммных элементов (рис. 22). Набор программных элементов весьма

ограничен.

Рис. 22

40

Add Line – создает и при необходимости расширяет жирную

вертикальную линию, справа от которой в шаблонах задается запись

программного блока;

– символ локального присваивания (телепрограммного мо-

дуля);

if – оператор условного выражения;

for – оператор задания цикла с фиксированным числом продол-

жений

while – оператор задания цикла типа "пока" (цикл выполняется,

пока выполняется некоторое условие);

otherwise – оператор иного выбора (обычно применяется с if);

break – оператор прерывания;

continue – оператор продолжения;

return – оператор-функция возврата;

on error – оператор обработки ошибок.

Пример использования программных операторов приведен на

следующей странице (рис. 23).

Рис. 23

Оператор Add Line выполняет функции расширения программ-

ного блока. Расширение фиксируется удлинением вертикальной черты

программных блоков или их древовидным расширением.

Оператор внутреннего присваивания выполняет функции

внутреннего локального присваивания. Например, выражение x 12

41

присваивает переменной x значение 12. Локальный характер присваи-

вания означает, что такое значение x сохраняет только в теле про-

граммы. За пределами тела программы значение переменной может

быть не определенным либо равно значению, которое задается опера-

тором локального := и глобального присваивания.

Оператор создания условных выражений if задается в виде

Выражение if Условие

Если условие выполняется, то возвращается значение выраже-

ния. Совместно с этим оператором часто используются операторы

прерывания break и оператор иного выбора otherwise.

Оператор for служит для организации циклов с заданным чис-

лом повторений. Он записывается в виде

for Var Nmin..Nmax

Эта запись означает, что если переменная Var меняется с шагом

+1 от значения Nmin до Nmax, то выражение, помещенное в шаблон,

будет выполняться. Переменную счетчика Var можно использовать в

выражениях программы.

Оператор While служит для организации циклов, действующих

до тех пор, пока выполняется некоторое условие. Этот оператор запи-

сывается в виде

while Условие

Выполняемое выражение записывается на место шаблона.

Оператор otherwise (иначе) обычно используется совместно с

оператором if. Его использование поясняет следующая программная

конструкция:

Оператор break вызывает прерывание работы программы вся-

кий раз, как он встречается. Чаще всего он используется совместно с

оператором условного выражения if и операторами циклов while и for,

обеспечивая переход в конец тела цикла.

Оператор continue (продолжения) используется для продолже-

ния работы после прерывания программы. Он также используется

обычно совместно с операторами задания циклов while и for, обеспе-

чивая после прерывания возврат в начало цикла.

42

Оператор-функция возврата return прерывает выполнение

программы и возвращает значение своего операнда, стоящего следом

за ним. Например, в приведенном ниже случае

return 0 if x < 0

будет возвращаться значение 0 при любом x < 0.

Оператор on error и функция error. Оператор обработки оши-

бок позволяет создавать конструкции обработчиков ошибок. Этот

оператор задается в виде

Выражение_1 on error Выражение_2

Здесь если при выполнении Выражения_1 возникает ошибка, то

выполняется Выражение_2. Для обработки ошибок полезна также

функция error(S), которая будучи в программном модуле возвращает

окошко с надписью, хранящейся в символьной переменной S или

в символьной константе (любой фразе в кавычках).

На следующей странице рассмотрены примеры использования

программных блоков.

Вложенные циклы позволяют сделать программу компактней.

Рассмотрен пример решения с использованием вложенных циклов

следующей задачи. Дан массив чисел a1..a10. Вычислить

a1+a22+…+a10

10 (рис. 24, 25).

Рис. 24

43

Рис. 25

Порядок выполнения работы

1. Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи-

санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные

примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас-

смотренные примеры.

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ БЛОКОВ

Применение условного оператора в программном блоке

f x( ) 0 x 2if

4 x2otherwise

x 10 9.99 10

f x( )

x

10 0 105

0

5

Применение оператора цикла for для вычисления суммы и

произведения последовательности целых чисел.

sum n( ) s 0

s s i

i 1 nfor

prod n( ) p 1

p p i

i 1 nfor

p

prod 4( ) 24

sum 10( ) 55

prod 8( ) 4.032 104

sum 25( ) 325

Применение оператора цикла while и break для вычисления

первого элемента массива, превосходящего заданное число (1,98) и

выдачи индекса этого элемента.

m 0 2500 vm

1 sin m( ) Cоздание массива

t v thesh( ) j 0

break max v( ) theshif

j j 1

vjtheshwhile

j

vj

Инициализация счетчика

Отслеживание специального случая

Впервые восьмой элемент массива

превосходит заданную величинуt v 1.98( )8

1.989

44

2. Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность

заданий из вариантов, указанных преподавателем, формируя единый до-

кумент. Каждую задачу обязательно сопровождать комментариями.

2.1. Выполнить задание 1.

2.2. Выполнить задание 2.

2.3. Используя условную функцию if, построить график ступен-

чатой функции задания 3.

2.4. Используя программный модуль решить задачу из задания 4.

2.5. Используя программный модуль решить задачу из задания 5.

2.6. Используя подпрограммы, решить задачу из задания 6.

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

3. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные операторы для работы с файлами

данных.

2. Напишите структуру оператора условия if.

3. Назовите основные программные операторы MathCAD.

4. Какие операторы позволяют организовать циклы с неизвест-

ным количеством повторений ?

5. Какие операторы позволяют организовать циклы с известным

количеством повторений?

6. Каким образом можно организовать вложенные циклы ?

45

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание 1. Сформировать массив чисел по выражению, задан-

ному в таблице. Записать значения элементов массива в файл с ука-

занным именем. Сосчитать массив из записанного файла и умножить

все его элементы на указанный скаляр.

Номер

варианта Длина вектора Выражение Скаляр Имя файла

1 8 1

i

i 2,5 first

2 7 1

1i –2,7 second

3 9 5

i 3,6 third

4 8 10

1i 3,2 fourth

5 7 1

2i -4,3 fifth

6 9 1

2 1i 2,8 sixth

7 8 5

2 1i –1.7 seventh

8 7 3

0,5 1i 3,9 eighth

9 9 1

0,3 3i –2,4 ninth

10 6 1

0,7 1i 3,5 tenth

46

Задание 2. Сформировать матрицу размером и по выражениям,

заданным в таблице. Записать значения элементов этой матрицы

в файл. Найти максимальный элемент. Обнулить матрицу путем

умножения на 0. Сосчитать значения матрицы из файла и вывести ее

на экран.

Номер

варианта Размер матрицы Выражение Имя файла

1 4×4 , 1 1( ) ( )i ja i j prima

2 4×5 ,i ja i j i seconda

3 3×5 , 2i ja i j tercia

4 5×3 , ( ) ( )i ja i j i j quarta

5 3×3 , 2i ja i j quinta

6 4×3 , 3 1i ja i j sexta

7 3×4 , 5 2( )i ja i j septima

8 4×4 , 4 2( )i ja i j octava

9 5×4 , 7 2( )i ja i j nonan

10 5×5 , 3 1( )i ja i j desima

47

Задание 3.

1. 2

при 0( )

при 0

x xy x

x x

2.

2

2

1при 1

( ) при 1 2

4 при 2

xx

y x x x

x

3.

2

4

при 0( )

при 0

x xy x

x x

4.

1 при 1

1 при 1 0( )

1 при 0 1

1 при 1

x x

x xy x

x x

x x

5.

3 1 при 2

6 при 2 1( )

4 при 1 3

3 2 при 3

x x

x xy x

x x

x x

6.

1 при 1

( ) при 1 1

1 при 1

x

y x x x

x

7.

2

3

при 0( )

при 0

x xy x

x x

48

8.

при 1

( ) 1 при 1 1

при 1

x x

y x x

x x

9.

2

2

11 при 1

( ) 1 при 1 2

5 при 2

xx

y x x x

x

10.

1 при 1

1 при 1 0( )

1 при 0 1

1 при 1

x x

x xy x

x x

x x

49

Задание 4.

1. Вычислить 100

21

1

i i

2. Вычислить 50

31

1

i i

3. Вычислить 128

31

1

i i

4. Вычислить 120

1

1

i i

5. Вычислить 9

51

1

i i

6. Вычислить 39

21

1

(2 1)i i

7. Вычислить 112

1

( 1)

( 1)

i

i i i

8. Вычислить 25

1

( 1)

(2 1)

i

i i i

9. Вычислить 190

1

( 1)

( 1)( 2)

i

i i i i

10. Вычислить 15

21

( 1)

4 5

i

i ii

50

Задание 5. Вычислить сумму ряда с заданной точностью .

Считать, что требуемая точность достигнута, если вычислена сумма

нескольких первых слагаемых и очередное слагаемое оказалось по

модулю меньше, чем . Указать количество учтенных слагаемых.

1. Для x = 1,28 и = 0,000001 3 2

1

1

k x k.

2. Для x = 3,51 и = 0,000001 2 3

1

1

k x k.

3. Для x = 1,21 и = 0,000001 2

3 21k

x

k.

4. Для x = 2,47 и = 0,000001 2

1

1

k x k.

5. Для x = 3,11 и = 0,0000013

1k

x

k.

6. Для x = 1,85 и = 0,000001 3

1 1k

x

k k x.

7. Для x = 2,01 и = 0,000001 1

( 1)k k

k

x

k.

8. Для x = 1,09 и = 0,000001 1

( 1) ( 1)

3

k k

kk

k x.

9. Для x = 3,12 и = 0,000001 2

1

( 1)

( 1)

k k

k

x

k.

10. Для x = 0,89 и = 0,000001 2( )

1

k

k

x .

51

Задание 6.

Номер

варианта Выражение

Номер

варианта Выражение

1

100 50

21 1

1

i j i j 6

50 102 3

1 1

cos( )i j

i j

2

100 603 4

1 1

sin( )i j

i j 7

100100

1 1

1

2i j

j i

i j

3

100100

1 1

1

i j

j i

i j 8

50 602 3

1 1

sin( )i j

i j

4

100

1 1

1

2

i

i j i j 9

20 203 2

1 1

5cos( )i j

i j

5

10 153 2

1 1

( )i j

i i j 10

30 20

1 i

2

0,5i j

x i

j для x = 3,2

52

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными пра-вилами использования символьного процессора MathCAD.

Операции, относящиеся к работе символьного процессора, со-держатся в подменю позиции Symbolics главного меню. Они выпол-няются в командном режиме.

Символьные вычисления можно осуществлять в двух различных режимах:

– с помощью команд меню;

– с помощью оператора символьного вывода , ключевых слов символьного процессора и обычных формул (рис. 26).

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использова-ния, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, так как позволяет записывать выражения в традиционной математиче-ской форме и сохранять символьные вычисления в документах MathCAD. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного выделенного в данный момент выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе выше этого выделенного выражения.

Рис. 26

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необхо-

димо указать, над каким выражением это должно проводится, т.е. вы-делить выражение. Для ряда операций следует не только указать вы-ражение, к которому она относится, но и наметить переменную, относительно которой выполняется символьная операция. В этом слу-чае само выражение не выделяется, так как ясно, что если маркер вво-

53

да выделяет переменную какого-либо выражения, то это выражение уже отмечено наличием в нем выделяемой переменной. Символьные операции разбиты на пять разделов.

Операции с выделенными выражениями. Evaluate – преобразовать выражение с выбором вида преобразо-

вания; Evaluate Symbolically – выполнить символьное вычисление вы-

ражения; Floating Point Evaluation… – выполнить арифметические опе-

рации в выражении результатов в форме числа с плавающей точкой; Complex Evaluation – выполнить вычисления с представлением

операций в комплексном виде; Simplify – упростить выделенное выражение с выполнением та-

ких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т.д.;

Expand – раскрыть выражение [например для (X+Y)·(X–Y) полу-чим X

2 –Y

2];

Factor – разложить число или выражение на множители [X

2 – Y

2 даст (X+Y)·(X–Y);

Collect – собрать слагаемые, подобные выделенному выраже-нию, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения);

Polynomial Coefficients – найти коэффициенты полинома по за-данной переменной, приближающего выражение, в котором эта пере-менная использована.

Операции с выделенными переменными. Solve – найти значение выделенной переменной, при которой

содержащее ее выражение становится равным нулю; Substitute – заменить указанную переменную содержимым бу-

фера обмена; Differintiate – дифференцировать все выражение, содержащее

выделенную переменную, по отношению к этой переменной (осталь-ные переменные рассматриваются как константы);

Integrate – интегрировать все выражение, содержащее выделен-ную переменную, по этой переменной;

Expend to Series – найти несколько членов разложения выраже-ния в ряд Тейлора относительно выделенной переменной;

Convert to Practical Fraction – разложить на элементарные дро-би выражение, которое рассматривается как рациональная дробь отно-сительно выделенной переменной.

54

Операции с выделенными матрицами. Они представлены позицией в подменю Matrix, которая имеет

свое подменю со следующими операциями: Transpose – получить транспонированную матрицу; Invert – создать обратную матрицу; Diterminant – вычислить детерминант (определитель) матрицы. Операции преобразования. В позиции меню Symbol содержится раздел операций преобра-

зования: Fourier Transform – вычислить прямое преобразование Фурье

относительно выделенной переменной (результат – функция от пере-менной s);

Inverse Fourier Transform – вычислить обратное преобразова-ние Фурье относительно выделенной переменной;

Laplace Transform – вычислить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной;

Inverse Laplace Transform – вычислить обратное преобразова-ние Лапласа относительно выделенной переменной (результат – функция от переменной t);

Z Transform – вычислить прямое z-преобразование выражения относительно выделенной переменной (результат – функция от пере-менной z);

Inverse Z Transform – вычислить обратное z-преобразование относительно выделенной переменной (результат – функция от пере-менной n).

Стиль символьных преобразований. Evaluation Style – задать вывод результата символьной операции

под основным выражением, рядом с ним или вместо него. Все указанные операции можно выполнять двумя способами:

непосредственно в командном режиме (используя описанные выше операции в позиции Simbolic главного меню);

с помощью оператора символьных операций и операций, представленных в палитре символьных вычислений.

На следующей странице приведены примеры использования ре-жимов символьных вычислений.

Символьная алгебра. Символьное преобразование. Для его выполнения необходимо

выполнить следующие шаги: – ввести выражение; – окружить его синей выделяющей рамкой; – нажать [Shift] [F9] .

55

Обычно символьный процессор возвращает результаты, пере-

страивая переменные. Таким образом, когда Mathcad преобразует вы-

ражение, содержащее или e, он будет обычно возвращать другое вы-

ражение, содержащее или e. Чтобы предписать Mathcad возвратить

числовые значения этих переменных, выберите из меню SIMBOLIC

(Символика) Evaluate (Вычислить) Floating point evaluation (С

плавающей запятой). Появится диалоговое окно, в котором можно

определить число цифр справа от десятичной точки. По умолчанию

это число равно 20.

Упрощение выражения. Основные алгебраические и тригоно-

метрические упрощения выбранного выражения выполняются выбо-

ром команды Simplify (Упростить). При этом выполняются арифме-

тические преобразования, сокращаются общие множители,

используются основные тождества для тригонометрических и обрат-

ных функций и упрощаются квадратные корни и степени. Перед вы-

бором команды Simplify необходимо выделить синей рамкой упроща-

емое выражение или его часть.

Упрощению могут быть подвергнуты как все выражения цели-

ком, так и его части (например, только числитель дроби). Можно

упрощать выражения, содержащие массивы, например, суммы или

произведения матриц:

3 2

4 6 152 3

2

x x xx

x

упрощается

до

3 2( 2 21)

( 2)

x x x

x

4

abab

a ab

ab b

a b

упрощается

до

1 1 1

4 4 4b a a b

1 cos( ) cos2

a

упрощается

до

1

2

12cos cos

2

3 24 (2 3 )i i

упрощается

до

5 52

35! упрощается

до

1033314796638614492966665133732

32000

Разложение выражения. С помощью команды Expend Expres-

sion (Разложить по степеням) можно разложить все степени и произ-

56

ведения сумм в выделенном выражении. Если выражение – дробь,

числитель будет разложен, и выражение будет представлено как сум-

ма дробей. Синусы, косинусы и тангенсы сумм переменных или цело-

го числа, умноженного на аргумент, будут разложены, насколько воз-

можно, в выражения, включающие только синусы и косинусы

одиночных переменных.

Разложение выражения в ряды позволяет разложить выраже-

ние в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Чтобы ис-пользовать эту команду, необходимо:

– выделить переменную в функции или выражении, по которой требуется найти разложение;

– выберите команду Expend to Series (Разложить вряд). При этом диалоговое окно запросит порядок остаточного члена. Это опре-делит число членов формулы.

Ответы, которые получаются в результате выполнения этой ко-манды, используют для остаточного члена, обозначенного O. Прежде чем использовать разложение для дальнейших вычислений, следует удалить этот остаточный член:

Разложения выражения на множители. Использование коман-

ды Factor Expression (Разложить на множители) позволяет разложить выражение на множители выбранное выражение. Если выражение представляет собой целое число, то Mathcad будет пытаться преобра-зовать выражение в произведение. Эта команда будет объединять сумму дробей в одну дробь и будет упрощать многоэтажную дробь с несколькими дробными чертами.

Приведение подобных членов. Для объединения членов, со-держащих одинаковые степени выделенного подвыражения, необхо-димо пользоваться командой Collect Subexpression (Разложить по подвыражению). Выбираемое подвыражение должно быть простой переменной, либо встроенной функцией вместе с аргументом.

x 2 y( )4

x4

8 x3

y 24 x2

y2

32 x y3

16 y4

sin 6 x( ) 32 sin x( ) cos x( )5

32 sin x( ) cos x( )3

6 sin x( ) cos x( )

ex a

exp a( ) exp a( ) x1

2exp a( ) x

2 1

6exp a( ) x

3O x

4( )

57

Разложение на элементарные дроби. Для того, чтобы преобра-

зовать выражение в сумму элементарных дробей, необходимо:

– выделить переменную в знаменателе выражения;

– выбрать команду Convert to Partial Fraction (Разложить на

элементарные дроби):

При этом символьный процессор будет пытаться разлагать зна-

менатель выражения на линейные или квадратичные множители,

имеющие целочисленные коэффициенты. Если это удается, он будет

разлагать выражение в сумму дробей с этими множителями в качестве

знаменателя. Все константы в выделенном выражении должны быть

целыми числами или дробями. Mathcad не будет разлагать выражение,

которое содержит десятичные точки.

Нахождение коэффициентов полинома. Для того, чтобы вы-

ражения перезаписать в виде полиномов от выделенной переменной

или относительно подвыражения, необходимо:

– выделив переменную или функцию, относительно которой

требуется разложить выражение в полином;

– выбрать команду Polynomial Coefficients (Полиномиальные

коэффициенты):

x

x2

y2

y x y( )2

x4

y4

factor x1

y x( )

375849581 89( ) 4223029( )

a2

x3

2 x a 1( ) x 3 a

Нахождение коэффициентов

относительно степеней x.

3 a

3 a

0

a2

6 sin x( ) sin x( )( )2

2 a( ) sin x( )0

8 a

1

Нахождение коэффициентов

относительно степеней sin x.

58

Mathcad возвращает вектор, содержащий коэффициенты требуе-

мого полинома в порядке возрастания степеней. Замена переменных. Для замены выделенным выражением за-

данной переменной необходимо: – выделить выражение, которое будет заменять переменную; – скопировать его в буфер обмена, выбирая команду Copy (Ко-

пировать) из меню Edit (Правка); – выделить переменную, которую нужно заменить, и выбрать

Substitute for Variable (Заменить переменную) из меню Symbolic. Вычисление сумм и произведений. Для вычисления суммы

необходимо: – вызвать оператор суммирования; – ввести выражение, которое нужно суммировать, в месте ввода

справа от « »; – поместить индекс и диапазон суммирования в поля выше и

ниже « »; – окружить все выражение выделяющей рамкой и нажать [Shift]

[F9]:

Символьные вычисления

Производные. Чтобы вычислить производную в символьном виде, можно использовать оператор производной Mathcad:

– задайте оператор первой производной или производной более высокого порядка;

– в поле введите выражение, которое требуется дифференциро-вать, и переменную, по которой дифференцируете;

– нажмите [Shift] [F9].

5 x2

3 x 10

x3

2 x2

9 x 18

23

15 x 3( )( )

32

3 x 3( )( )

36

5 x 2( )( )

1

n

a

a 1( )3

=

3 n 213

4n 1( )

2 3

2n 1( )

3 1

4n 1( )

4

1

10

k

11

5 k=

131269138

244140625

59

Производную можно найти, не используя оператор производной:

– выделите переменную, по которой необходимо произвести

дифференцирование;

– выберете команду Differentiate on Variable (Дифференциро-

вать по переменной).

Неопределенные интегралы. Для использования символьного

оператора вычисления неопределенного интеграла:

– вставьте оператор неопределенного интеграла и поля ввода его

параметров;

– заполните поле ввода для подынтегрального выражения;

– поместите переменную интегрирования в поле ввода, следую-

щее за «d»;

– заключите выражение в выделяющую рамку;

– нажмите [Shift] [F9]:

Возможно интегрирование без использования символьного опе-

ратора вычисления неопределенного интеграла. Для этого:

– выделите переменную, по которой ведется интегрирование;

– выберете пункт меню Integrate on Variable (интегрировать по

переменной).

xsin x( ) cos x( )( )

d

dcos x( ) sin x( ) Нахождение производной.

Нахождение второй производной и упрощение выражения для второй производной.

2x

sin1

x

d

d

2sin

1

x

x4

2

cos1

x

x3

sin1

x2 cos

1

xx

x4

Нахождение производной без

применения оператора

производной.

1 x

1 x

1

1 x

1

2

1 x( )

1 x( )

3

2

60

Определенные интегралы. Для использования символьного

оператора вычисления определенного интеграла:

– введите знак определенного интеграла с пустыми полями ввода;

– заполните поля ввода для пределов интегрирования. Они могут

быть переменными, константами или выражениями;

– введите в поле ввода подынтегральное выражение;

– заполните поле ввода позади «d». Это задаст переменную инте-

грирования;

– нажмите [Shift] [F9]:

Если символьное интегрирование выполнено успешно и пределы

интегрирования – целые числа, дроби или точные константы, подобно

, процессор выдает точное значение интеграла. Если подынтеграль-

ное выражение или один из пределов содержит десятичную точку,

символьный ответ будет числом, отображаемым с двадцатью знача-

щими цифрами.

Пределы. В Mathcad PLUS есть три оператора вычисления пре-

делов. Они могут быть вычислены только символьно. Чтобы исполь-

зовать операторы, вычисляющие пределы, необходимо:

– вызвать оператор нахождения соответствующего предела;

– ввести выражение в поле ввода справа от lim;

– ввести переменную, по которой вычисляется предел, в левое

поле ввода ниже lim;

– ввести значение предела в правое поле ввода ниже lim;

– заключить выражение в выделяющую рамку;

– нажать [Shift] [F9].

1

x1

x

d

1

0

xe

1

x

x3

d 2 exp 1( )

61

Символьное решение уравнений

Решение уравнения относительно переменной. Для этого:

– напечатайте уравнения, используя для ввода знака равенства

символ = (вводится нажатием комбинаций клавиш [Ctrl] =);

– выделите переменную, относительно которой нужно решить

уравнение;

– выберите функцию меню Solve on Variable (решить относи-

тельно переменной).

Mathcad решит уравнение относительно выделенной переменной

и вставит результат в рабочий документ. Если переменная возводи-

лась в квадрат в первоначальном уравнении, при решении можно по-

лучить два ответа. Mathcad отображает их в виде вектора.

Можно решать неравенства, использующие символы <, >, и .

Решения для неравенств будут отображаться в терминах булевых вы-

ражений Mathcad. Если имеется более одного решения, Mathcad по-

мещает их в вектор. В Mathcad булево выражение типа x < 2 имеет

значение 1, если оно истино, и 0 – если оно ложно. Таким образом,

решение «x – меньше, чем 2, и больше, чем –2» можно было бы пред-

ставить выражением (x < 2)·(–2 < x):

x

3x 1( )

2 3x 1( )

2l im 0

ex

ex

1

x elim

+

ex

ex

1

x elim

-

sin 3 x( ) cos 2 x( ) 1

2

1

10

asin1

4

1

45

x3

5 x2

8 x 4 0 x 2( ) 1 x( )

62

Нахождение корней уравнения. Для этого:

– напечатать выражение;

– выделить в любом месте переменную, относительно которой

уравнение решается;

– выбрать пункт Solve on Variable (Решить относительно пере-

менной):

Обратите внимание, что нет никакой необходимости приравни-

вать выражение нулю. Если Mathcad не находит знака равенства, он

предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Порядок выполнения работы

1. Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи-

санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные

примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас-

смотренные примеры.

2. Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность

заданий из вариантов, указанных преподавателем, формируя единый до-

кумент. Каждую задачу обязательно сопровождать комментариями.

2.1. Выполнить задание 1.

2.2. Выполнить задание 2.

2.3. Выполнить задание 3.

2.4. Выполнить задание 4.

2.5. Выполнить задание 5.

2.6. Выполнить задание 6.

2.7. Выполнить задание 7.

2.8. Выполнить задание 8.

2.9. Решить в символьной форме квадратное уравнение для свое-

го варианта из п. 2.2. лабораторной работы № 1.

3. Оформить отчет.

3 x2

5 x 6 5

6

1

697

5

6

1

697

0

51 x x2

24( ) x 1

63

Содержание отчета

1. Титульный лист.

2. Решение всех задач с комментариями.

3. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные возможности символьной математики.

2. Каким образом можно задать упрощение выражения?

3. Каким образом можно получить значение числа с точностью

25 знаков после запятой?

4. Каким образом можно выполнить разложение по степеням пе-

ременной?

5. Каким образом можно найти неопределенный интеграл от вы-

ражения?

6. Каким образом можно решить уравнение?

64

ЗАДАНИЕ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ

Задание 1. Заданные выражения упростить (simplify), разложить

на множители (factor) и перемножить степени и произведения в выра-

жении (expend).

Номер

варианта Выражение

Номер

варианта Выражение

1. 2

2 2

1

1 1

x

x x 2.

2 2 2

2 2

1 ( 1)

1 1

x x

x x

3. 3 24 9 38 10x x x 4. 4 3 2

4 2 2 40x x x x

5.

2

2

1 1

1 1

x x

x x 6.

4

2 2

1

1 1

x

x x

7. 3 264 48 12 1x x x 8. 3 2

4 4 1x x x

9. 2

6 3 3

2 10 2 10 2 10

x x

x x x 10.

28 16

2 10 2 10 2 10

x x

x x x

Упростить выражения и вычислить результат при a = 8,6;

b = 3 ; c = 1

33

.

Номер

варианта Задание

1.

3 2

2

2 10 130 30 3 8 33

13 1 1 3 14

a a a a a

a a a a

2. 2 2 2

2 1 3 6

24 2 6 3

a xx

xa x x x ax a

3. 2

2 2

2 31

32 2 2

x x x

xax a x x ax a

4. 2 2 4

2 2

1 11

1 11

a a an n n

n an an

5. 2 2 2( )2 :

a b ca b c bc

a b c

6. 2 2 3

1 2 2

( )2 2 3

3 4 4n n

a a a a

a a a a a

65

7. 2 2

2 3 2 2

( )( )

( )

12

2 12 :2

nna b c

a b c

an a a a a c a nc c

8. ( ) ( ) ( () ( ) ) )(

1 1 1

a a b a c b b a b c c c a c b

9. 1 2 2

1

( ) ( )

( )

1 11

21

a x a x

axa x

10. ( )

8,8077 54,9

20 28,2: 13,333 0,3 0,0001 2,004 32

66

Задание 2. Найти пределы для заданного варианта задания.

1. 2

0

1 coslim

sin 2x

x

x x

2. 2

1

( 1)lim

1x

x

x

3. 2

0

coslim

sin 2x

x

x x

4. 0

1 2sin 1 2sinlim

2sinx

x x

x

5.

1 sin2lim

cos cos sin2 4 4

x

x

x x x

6. sin

limcos (cos sin )

x

x

x x x

7. 0limsin

x x

x

e e

x

8.

sin

sin

0

sinlim

x

x x

x

x

x

9. 0

1 coslim

2 sin 2x

x

x x

10. 0

1 sin 1 sinlim

tgx

x x

x

67

Задание 3. Решить уравнения.

1. 4 12x x

2. 2 2a x b x a b

3. 2 2

4 1 3

xx x x x x x

4. 2 2

2 1 1

2 4 2 4 xx x

5. 2 211 11 42x x

6. 3 23 2 3x x

7. 3 0a x a x

8. x a a x

9. 2 1 3 2x x x

10. 3lg(35 )

3lg(5 )

x

x

68

Задание 4. Решить тригонометрическое уравнение.

1 3

cos(cos )2

x

2. 2sin cos 4sin cosx x x x

3. 3

2cos cos 12

xx

4. sin3 sin 2 sinx x m x

5. 2 1cos

2x

6. 516sin sin5 5sinx x x

7. 61 cos6 32cosx x

8. 6 6sin cosx x a

9. 2tg( )ctg2 1x x

10. 4

(tg ctg )3

x x

69

Задание 5. Найти производную.

1 sin cos

xy

x x

2. 2

1

1z

t t

3. 4

2 2

2xy

b x

4. tg2

xy

5.

1

ln xy e

6.

1

xy x

7. 2cos

cos2

xy

x

8. 3 3arctgy x x

9. 21 siny x x x

10. tg10x xy

70

Задание 6. Найти неопределенный интеграл.

1. 2 4

xdx

x

2. 2 1

dx

x x

3. 2sinxe xdx

4. 29 6 2

dx

x x

5. 1 2

xdx

x

6. 2 4(1 )

dx

x

7. 3 1

xdx

x

8. 2 2( 1) ( 1)

dx

x x

9. 4sin xdx

10. 1 sin

1 sin

xdx

x

71

Задание 7. Найти определенный интеграл.

1 23

21

1 xdx

x

2. 1

2 3

0

(1 )x dx

3. 2 2

0

a dx

x a x

4. 1

2 2

0

1x x dx

5. 21

2 30 (1 )

x dx

x

6. ln 2

2

0

1 xe dx

7. 8

3 1

x dx

x

8. 1

0 1

x dx

x

9. 6

0

sin2

xdx

10. 2

0 2cos 3

dx

x

72

Задание 8. Разложить функцию в ряд Тейлора, ограничившись

четырьмя членами ряда.

Построить в общей системе координат графики исходной функ-

ции и функции, эквивалентной полученному ряду.

1. sin4

xy

2. 2

x xe ey

3. 2 xy x e

4. сos( )y x

5. sinxy e x

6. ln(1 )xy e

7. cos xy e

8. cosny x

9. lncosy x

10. (1 )xy x

73

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель лабораторной работы – ознакомиться с основными прие-

мами решения дифференциальных уравнений и систем уравнений численными методами.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неиз-вестными являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или

нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают со-

отношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они

называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных произ-

водных. Решить дифференциальное уравнение – значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее пе-

ременных. Одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система

ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения опреде-ленным образом заданы начальные или граничные условия. В курсе

высшей математики доказываются теоремы о существовании и един-ственности решения в зависимости от тех или иных условий. Одним

из типов задач, которые возможно решать с помощью MathCAD, яв-

ляются так называемые задачи Коши, для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е. заданы значения этих

функций в начальной точке интервала интегрирования уравнений.

Решение ОДУ первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка может по опре-

делению содержать помимо самой искомой функции ( )y t только ее

первую производную ( )y t . В подавляющем большинстве случаев

дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме

(форме Коши)

( ) ( ( ), )y t f y t t .

Только с такой формой умеет работать вычислительный процес-сор MathCAD. Правильная с математической точки зрения постановка

74

соответствующей задачи Коши для ОДУ первого порядка должна по-

мимо самого уравнения содержать одно начальное условие – значение

функции 0( )y t в некоторой точке 0t . Требуется явно определить

функцию ( )y t на интервале от 0t до 1t .

Решение ОДУ первого порядка с помощью вычислительного

блока Given/Odesolve состоит из трех частей:

Given – ключевое слово;

ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических

операторов, причем начальное условие должно быть в форме 0( ) ;y t b

Odesolve (t, t1) – встроенная функция для решения ОДУ отно-

сительно переменной t на интервале ( 0t , 1t ).

Пример решения ОДУ первого порядка 2( )y t y y посред-

ством вычислительного блока приведен на рис. 27.

Given

2( ) ( ) ( ( ))d

y t y t y tdt

(0) 0,1y

: ( ,10)y Odesolve t

Иллюстрируем решение уравнения графиком.

Рис. 27

Решение системы ОДУ первого порядка

В MachCAD имеется встроенная функция rkfixed ( 0y , 0t , 1t , M, D),

которая позволяет решать задачу Коши методом Рунге – Кутты с фик-

сированным шагом, где:

0y – вектор начальных значений в точке 0t размера N × 1;

0t – начальная точка расчета;

2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y t( )

t

75

1t – конечная точка расчета;

M – число шагов, на которых численный метод находит реше-

ние;

D – векторная функция размера N × 1 двух аргументов – ска-

лярного t и векторного y. При этом y – искомая векторная функция ар-

гумента t того же размера N × 1.

Функция выдает решение в виде матрицы размером (M × 1) ×

× (N ×1). В ее левом столбце находятся значения аргумента t, делящие

интервал на равномерные шаги, а в остальных столбцах – значения

искомых функций 0 1 1( ), ( ), , ( ),Ny t y t y t рассчитанные для этих

значений аргумента. Поскольку всего точек (помимо начальной) M, то

строк в матрице решения будет всего M + 1.

Рассмотрим пример решения системы уравнений

2 4 ,

3 ,

x x y

y x y

с начальным условиями x(0) = 0,1 и y(0) = 0 при количестве шагов

M = 100.

Текст программы приведен на рис. 28.

m: 100

0u : rkfixed(y , 0, 50, m, D)

Рис. 28

При оформлении первой строки программы, в которой опреде-

лена система ОДУ, необходимо сравнить запись исходной системы

уравнений и формальную запись в MathCAD. Это поможет вам ис-

ключить возможные ошибки. Функция D, входящая в число парамет-

ров встроенной функции для решения ОДУ, должна быть обязательно

функцией двух аргументов. Второй ее аргумент должен быть векто-

ром того же размера, что и сама функция D. Точно такой же размер

должен быть и у вектора начальных значений 0y (он определен во

второй строке листинга).

D t y( )

2 y0

4 y1

y( )0

3y1

y0

0.1

0

76

Надо помнить, что векторную функцию D(t.y) следует опреде-

лять через компоненты вектора y с помощью кнопки нижнего индекса

(Subscript) с наборной панели Calculator. В третьей строке листинга

определено число шагов, за которое рассчитывается решение, а его

последняя строка присваивает матричной переменной u результат

действия функции rkfixed. Решение системы ОДУ будет осуществлено

на промежутке (0,50).

Матрица решений системы уравнений приведена на рис. 29.

Рис. 29

Размер полученной матрицы будет равен (M × 1) × (N × 1), т.е.

101 × 3. График, иллюстрирующий решение системы ОДУ, приведен

на рис. 30. Обращает на себя внимание необходимость отдельного за-

дания диапазона значений аргумента для лучшего отображения обла-

сти решения системы.

u

0 1 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 0.1 0

0.5 0.068 -3-8.073·10

1 0.048 -0.01

1.5 0.036 -0.01

2 0.028 -3-8.905·10

2.5 0.022 -3-7.547·10

3 0.017 -3-6.247·10

3.5 0.014 -3-5.105·10

4 0.011 -3-4.141·10

4.5 -38.681·10 -3-3.345·10

5 -36.958·10 -3-2.696·10

5.5 -35.582·10 -3-2.169·10

6 -34.48·10 -3-1.744·10

6.5 -33.596·10 -3-1.402·10

7 -32.888·10 -3-1.126·10

7.5 -32.319·10 ...

77

Рис. 30

ОДУ высшего порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение с неизвестной

функцией y(t), в которое входят производные этой функции вплоть до

( ), Ny t называется ОДУ N-го порядка. Если имеется такое уравнение,

то для корректной постановки задачи Коши требуется задать N

начальных условий на саму функцию y(t) и ее производные от первого

до (N – 1)-го порядка включительно. В МathСАD можно решать

ОДУ высших порядков с помощью вычислительного блока

Given/Odesolve.

Внутри вычислительного блока:

ОДУ должно быть линейно относительно старшей производ-

ной, т.е. фактически должно быть представлено в стандартной форме;

начальные условия должны иметь форму ( )y t b или Ny (t) = b,

а не более сложную.

В остальном решение ОДУ высших порядков ничем не отлича-

ется от решения уравнений первого порядка, что иллюстрируется

рис. 31.

10 20 30 40 501 10

3

5 104

0

5 104

1 103

u1

u2

u0

78

– дифференциальное уравнение

– начальные условия

Рис. 31

Порядок выполнения работы

1. Войти в систему MathCAD. Внимательно ознакомиться с опи-

санием лабораторной работы. Выполнить некоторые рассмотренные

примеры. После завершения изучения описания удалить с листа рас-

смотренные примеры.

2. Выполнить средствами пакета MathCAD последовательность

заданий из указанного преподавателем варианта. Решения задач

оформить в виде единого документа. Каждую задачу обязательно со-

провождать комментариями.

2.1. Решить дифференциальное уравнение первого порядка чис-

ленным методом. При решении использовать параметры и условия,

заданные в табл. 9. Построить график функции, являющейся решени-

ем уравнения.

Given

y 0( ) 0.1 y' 0( ) 0

2t

y t( )d

d

2

0.1ty t( )

d

d1 y t( ) 0

y Odesolve t 50( )

0 10 20 30 40 500.1

0.05

0

0.05

0.1

y t( )

t

79

Таблица 9

Номер

варианта Уравнение

Начальные

условия

Диапазон

аргумента

графика

1. 2 1 0y x y x ( )1 0y 1 …20

2. 4( )2y x y x ( )1 0y 1 …2

3. 22 0y x y x ( )1 0y 1 …10

4. siny x y x 2

2y

2 …20

5. 1

tgcos

y y xx

( )0 0y 0 …5

6. 2( )1 4 3y x yx ( )0 0y 0 …20

7. ( )( ) 1 xy y x e ( )0 0y 0 …0,99999

8. 2

0xy x y xe ( )1

12

ye

1 …2

9. 2( )1 1 0y x xy ( )0 1y 0 …1

10. 32 23 xy x y x e ( )0 0y 0 …1

2.2. Решить задачу п. 2.1 с начальными условиями и параметра-

ми, указанным в задании 2.1 и начальными условиями, заданными

в табл. 10. Построить графики двух решений в одной системе коор-

динат.

Таблица 10

Номер

варианта Начальные условия

Номер

варианта Начальные условия

1. ( )1 0,5y 6. ( )0 1y

2. ( )1 1y 7. ( )0 1y

3. ( )1 1y 8. ( )1 0,4y

4. 12

y 9. ( )0 0,5y

5. ( )0 1y 10. ( )0 0,1y

2.3. Решить систему дифференциальных уравнений первого по-

рядка численным методом. При решении использовать параметры и

80

условия, заданные в табл. 11. Построить график функции, являющейся

решением уравнения с параметрами, позволяющими наблюдать ха-

рактерные значения решения.

Таблица 11

Номер

варианта Система уравнение

Начальные

условия Область решения

1. 5 2

4

x x y

y x y

( )

( )

0 0

0 1

x

y 0…50

2. 3 2x x y

y x y

( )

( )

0 0

0 1

x

y 0…50

3. 2

3 4

x x y

y x y

( )

( )

0 0

0 1

x

y 40…50

4. 2

2

x x y

y x y

( )

(0) 0

0 1

x

y 40…50

5. 3

3

x x y

y x y

( )

( )

0 0

0 1

x

y 40…50

6. 1

2 3

x x y

y x y

( )

( )

0 0

0 1

x

y 0…50

7. 2 4

3

x x y

y x y

(

(

)

)0 3

0 0

x

y 0…50

8. 3

3

x x y

y x y

( )

( )

0 0

0 1

x

y 0 …50

9. x y

y x

( )

( )

0 0

0 1

x

y 0…50

10. 5x x y

y x y

02

12

x

y

2

…50

2.4. Решить дифференциальное уравнение второго порядка чис-

ленным методом. При решении использовать параметры и условия,

заданные в табл. 10. Построить график функции, являющейся решени-

ем уравнения с параметрами, позволяющими наблюдать характерные

значения решения.

81

Таблица 12

Номер варианта

Уравнение Начальные

условия Область решения

1. ' yy y e ( )

( )

0 0

' 0 1

y

y 0…0,9

2. 2'

2

yy

y

( )

( )

0 1

' 0 1

y

y 0…20

3. 22 '

1

yy

y

( )

( )

0 0

' 0 1

x

y 0…9

4. 3y y t )

(

(

)0 1

' 0 0

y

y 0…2

5. 20,25 0,2 0,95 0y y y y ( )

( )

0 0

' 0 3

y

y 0…20

6. 22 '

1

yy

y

( )

( )

0 2

' 0 2

y

y 0…0,4

7. 3'y y y ( )

( )

0 1

' 0 2

y

y 0…12

8. 2' '

1

y yy

y

( )

( )

0 2

' 0 2

y

y 0…8

9. 'y

yy

( )

( )

0 1

' 0 2

y

y 0…10

10. 100y y ( )

( )

0 0

' 0 10

y

y 0 …2

3. Оформите протокол лабораторной работы средствами

MathCAD.

Содержание отчета

1. Титульный лист. 2. Решение всех задач с комментариями.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение дифференциального уравнения. 2. В чем состоит суть решения задачи Коши? 3. Что из себя представляет решение системы дифференциаль-

ных уравнений первого порядка? 4. В чем состоит отличие алгоритма решения дифференциально-

го уравнения первого порядка от решения дифференциального урав-нения второго порядка?

82

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кирьянов, Д. В. MathCAD15/MathCAD Prime 1.0 / Д. В. Кирь-

янов. СПб. : БХВ-Петербург, 2015. – 432 с.

2. Назаров, Д. М. MathCAD 14: Основные сервисы и технологии /

Д. М. Назаров, Г. И. Пожарская. М. : Национальный открытый уни-

верситет «ИНТУИТ», 2016. – 139 с.

3. Агафонов, Е. Д. Прикладное программирование : учеб. посо-

бие / Е. Д. Агафонов, Г. В. Ващенко. – Новосибирск : Сибирский фе-

деральный университет, 2015. – 112 с.

4. Самоучитель по MathCAD 11. – URL: https://www.rk5.msk.ru/

Knig/Matycad11/pdf.

83

Учебное издание

Козлов Валерий Валерьевич,

Регеда Владимир Викторович,

Регеда Ольга Николаевна

Решение математических задач

в среде MathCAD

Редактор В. В. Чувашова

Технический редактор Ю. В. Анурова

Компьютерная верстка Ю. В. Ануровой

Подписано в печать 28.01.2019.

Формат 60×841/16. Усл. печ. л. 4,88.

Заказ № 14. Тираж 60.

Издательство ПГУ

440026, Пенза, Красная, 40

Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru