1

網路模型網路模型NetworkNetworkModelsModels

Chapter 4

2

• 給定一個網路，目標為從起始節點 (start node) 行經可能節點， 以最短距離、最少時間或最低成本，最後到達終止節點 (terminal node)

• 問題定義 (p.265)– 共有 n 個節點 , 由節點 1 開始到終止節點 n.– 連接節點 i 與 j 的弧 j 為雙向通行 (Bi-directional)

的，且其距離 dij 為非負的– 找出連結節點 1 到節點 n ，總距離路徑為最短

4.5 最短路徑模型 (p. 264)The Shortest Path Model

3

找出由 Seattle 到 El Paso 距離最短的路徑

FAIRWAY 貨運公司 (p. 265)

注意：若問題中有雙向的弧時，於兩個節點中，製造兩個反向的弧

4

8

9

7

11

12

1

43

6

2

10

5

Salt Lake City

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyenne

Bakersfield Las Vegas

Albuquerque

Tucson

Phoenix

599

691497180

432 345440

554621

420

280

432

403

314

893

500

290

116

268

577

5

決策變數

其他

的道路到城市卡車使用城市 0

j i if 1ijX

目標 = Minimize dijXij

FAIRWAY 貨運公司 (p. 266) 線性規劃模式

6

6

2

Salt Lake City

1

3 4

Seattle

Boise

Portland

599

497180

432 345

Butte

[ 卡車駛離 Seattle (the start node) 的道路數 ] = 1X12 + X13 + X14 = 1

[ 卡車駛進 El Paso (terminal node)] 的道路數 ] = 1X9,12 + X10,12 + X11,12 = 1

[ 卡車駛進某城市的道路數 ] = [ 卡車駛離某城市的道路數 ]. 例如 , 在 Boise (node 4) 城市 :X14 + X34 = X46.

限制式 :

Non-negativity constraints

7

FAIRWAY 貨運公司– 使用模板 (p.267)

SOLUTIONTOTAL

DISTANCE= 1731

NODE NAME NODE # FROM TO DISTANCE FROM TO FLOW

Seattle 1 1 2 599 1 2

Butte 2 1 3 180 1 3

Portland 3 1 4 497 1 4 1

Boise 4 2 5 691 2 5

Cheyenne 5 2 6 420 2 6

Salt Lake City 6 3 4 432 3 4

Bakersfield 7 3 7 893 3 7

Las Vegas 8 4 6 345 4 6 1

Albuquerque 9 5 6 440 5 6

Phoenix 10 5 9 554 5 9

Tucson 11 6 8 432 6 8

El Paso 12 6 9 621 6 9 1

7 8 280 7 8

7 10 500 7 10

8 9 577 8 9

8 10 290 8 10

9 12 268 9 12 1

10 11 116 10 11

10 12 403 10 12

11 12 314 11 12

NODE INPUT ARC INPUT

8

The Dijkstra’s algorithm:– 找出由“ START” 節點到所連接節點之最短

距離– 一旦第 m 個最接近之節點決定 ( 覆蓋 ) 後

，則第 (m+1) 個節點可以容易地被決定 ( 覆蓋 )

– 重複此演算法則直到網路上所有節點被決定為止

FAIRWAY 貨運公司– 網路模型

9

Dijkstra’s 演算法說明

( 見光碟 Supplement CD 5).

10 56

8

9

7

11

12

1

43

6

2

10

5

Salt Lake City

El Paso

Seattle

Boise

Portland

Butte

Cheyenne

Bakersfield Las Vegas

Albuquerque

Tucson

Phoenix

599

691497180

432 345440

554621

420

280

432

403

314

893

500

290

116

268

577

SEAT.SEAT.

BUT599

POR

180

497BOI

599

180

497POR.POR.

BOI432

Baksersfield893

+

+

=

=

612

1073

BOI

BOIBOISE.BOISE.

345SLC

+ =

842

BUTTEBUTTE

SLC

420

CHY.691

+

+

=

=

1119

1290

SLC.

SLCSLC.SACSAC

… 直到所有節點被覆蓋為止

11

Dijkstra’s algorithm - continued

• 當所有節點被覆蓋後，最短路線將可以被確認 .

• 以後退方式 (Backtracking) 由終點節點追蹤到起點節點即可找到此最短路線 .

12

• 問題定義 (p.268)

– 有一個來源節點 (source node) (labeled 1)– 有一個終止節點 (terminal source node) (labeled n)– 有 n - 2 個中繼節點 (labeled 2, 3,…,n-1), 其中 流入量 = 流出量– 節點 i 至節點 j 之最大流量限制為 Cij.

4.6 最大流量問題The Maximal Flow Problem

13

目標：在不超過最大弧容量限制之下，使得由節點 1 到節點 n 的總流量最大

最大流量問題

14

• UNITED 化學公司生產農藥與草皮保養品• 有毒原料需要儲存在儲油槽中• 此公司有運送管線系統，將化學藥品運送

至不同生產區• 緊急計劃中，安全部門必須在最短時間內

，將儲油槽中之化學原料經由管線導入安全容器中 ( 見圖 4.24)

.

UNITED 化學公司 (p. 269)

15

計劃昰，決定：• 應開啟或關閉哪些活門• 由儲存槽至安全容器之總運送時間為何 ?

UNITED 化學公司 (p. 269)

16

UNITED 化學公司網路表示圖形

17

• Data

1 7

2

4

6

5

3

化學儲存槽 安全容器

10

8

10

61

12

1 4

4 2

2 8

3

3

7

2

由節點 2 到 4 節點之最大弧容量為 8

由節點 6 到 3 節點之最大弧容量為 4

18

• 決策變數Xij – 由節點 i 至 節點 j 之流量

• 目標函數 – Maximize Max X12 + X13

( 使得 node 1 之淨流出量為最大 )

UNITED 化學公司– 線性規劃模式

19

• 限制式 ( 所有中繼節點 intermediate node) Flow out from the node - flow into the node = 0

Node 2: X23 +X24 + X26 - X12 - X32 = 0Node 3: X32 +X35 + X36 - X13 - X23 - X63 = 0Node 4: X46 + X47 - X24 - X64 = 0Node 5: X56 + X57 - X35 - X65 = 0Node 6: X63 +X64 +X65 + X67 - X26 - X36 - X46 -X56 = 0

UNITED 化學公司 – 線性規劃模式

70

• Data

1 7

2

4

6

5

3

Chemical Drum Safe Tub

10

8

10

61

12

1 4

4 2

2 8

3

3

7

2

Maximum flow from 2 to 4 is 8

Maximum flow from 6 to 3 is 4

2

20

• 限制式– continued – 流量不能超過弧容量上限

X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1; X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8; X63 4; X64 3; X65 2; X67 2;

– 流量為非負數 All Xij ≥ 0

UNITED 化學公司 – 線性規劃模式

21

UNITED CHEMICAL COMPANY – 使用模板 (p.271)

SOLUTIONMAXIMUM

FLOW= 17

NODE NAME NODE # FROM TO CAPACITY FROM TO FLOW

SOURCE Chemical Drum 1 1 2 10 1 2 9

SINK Safe Tub 7 1 3 10 1 3 8

Area 2 2 2 3 1 2 3

Area 3 3 2 4 8 2 4 7

Area 4 4 2 6 6 2 6 2

Area 5 5 3 2 1 3 2

Area 6 6 3 5 12 3 5 8

3 6 4 3 6

4 6 3 4 6

4 7 7 4 7 7

5 6 2 5 6

5 7 8 5 7 8

6 3 4 6 3

6 5 2 6 5

6 7 2 6 7 2

ARC INPUTNODE INPUT

8

2

7

9

8

7

8

1 7

42

53

6

2

22

1

2

3

7

10

7

28

27

5

6

4

3

3

28

6

2

( 最大流量 / 最小切割定理 ) (p.273)

最大流量值 = 最小切割產能總數

切割 (cuts) 在最大網路中扮演之角色

此切割之最大流量為 23此切割之最大流量為 17

7 此切割最大流量 17

23

4.7 推銷員網路The Traveling Salesman Problem

• 問題定義 (p. 274)

– 有 m 個節點 .– 由節點 i 至節點 j 弧的單位成本為 Cij – 目標：找出一個循環 (cycle) 使得通過所有節點

之總距離為最短，且不得通過同一個節點兩次

24

推銷員問題The Traveling Salesman Problem

• 重要性 (Importance):– 許多排程 (scheduling application) 問題可以用推

銷員問題求解– 範例： :

• 郵差送信路線 . • 通勤巴士路線 (School bus routing). • 軍隊炸彈佈置 (Military bombing sorties)

25

推銷員問題The Traveling Salesman Problem

• 複雜度 (Complexity)推銷員問題以數學方法敘述很麻煩。 有 20 城市之問題，就需要 500,000 個線性限制式

26

聯邦緊急事件管理協會 (p. 274)FEDERAL EMERGENCY MANAGEMENT AGENCY

• FEMA 總部辦公室為因應地震問題 , 必須到其他四個地區辦公室巡視

• Data辦公室間之往來時間 (minutes)

To office2 3 4 Home

F Office 1 25 50 50 30r Office 2 40 40 45o Office 3 35 65m Office 4 80

To office2 3 4 Home

F Office 1 25 50 50 30r Office 2 40 40 45o Office 3 35 65m Office 4 80

27

FEMA 推銷員問題網路表示法　 (p.275)

28

30

25

40

35

80

6545

50

5040

Home

1

2 3

4

29

FEMA - 推銷員問題• 求解方法

―窮舉法：找出所有可能的循環 (all possible cycles)• M 個節點之問題，可能有 (m-1)! 循環 . • 對稱之問題，實際只有 (m-1)!/2 循環• 僅適用於小問題• 10 個節點之問題有 181440 個循環• 15 個節點之問題有 840 兆個循環

– 以指派問題 ( Assignment Problem) 與分枝界限法(Branch & Bound) 之組合，可以有效解決 20 個(m=20) 節點以內之推銷員問題

30

　可能循環循環　 　　總成本

1. H-O1-O2-O3-O4-H 210 2. H-O1-O2-O4-O3-H 195 3. H-O1-O3-O2-O3-H 240 4. H-O1-O3-O4-O2-H 200 5. H-O1-O4-O2-O3-H 225 6. H-O1-O4-O3-O2-H 200 7. H-O2-O3-O1-O4-H 265 8. H-O2-O1-O3-O4-H 235 9. H-O2-O4-O1-O3-H 25010. H-O2-O1-O4-O3-H 22011. H-O3-O1-O2-O4-H 26012. H-O3-O1-O2-O4-H 260

Minimum

對稱之問題，實際只有 (m-1)!/2 循環

FEMA有問題 (5-1)! /2 =12個可能循環

FEMA 問題 –所有計算

31

30

25

40

35

806545

5050

40

Home

1

2 3

4

FEMA – 最佳解

32

• 將 “ From” 節點視為 “ Workers” 節點 .• 將 “ To” 節點視為 “ Jobs” 節點 .• 將 “ Workers” 以最低成本指派給

“ Jobs”

FEMA – 以指派問題模式求解 (p.277)

33

• Data

To office1 2 3 4 Home

F Office 1 1000000 25 50 50 30r Office 2 25 1000000 40 40 45o Office 3 50 40 1000000 35 65m Office 4 50 40 35 1000000 80

Home 30 45 65 80 1000000

To office1 2 3 4 Home

F Office 1 1000000 25 50 50 30r Office 2 25 1000000 40 40 45o Office 3 50 40 1000000 35 65m Office 4 50 40 35 1000000 80

Home 30 45 65 80 1000000

FEMA – 以指派問題模式求解

34

FEMA – 指派模型的解

30

25

40

35

806545

5050

40

Home

1

2 3

4

O3 – O4 – O3Sub-tour ( 子路

徑）i.e. X34+X43=2

O1 – O2 – H – O1Sub-tour （子路

徑）i.e. X12+X2H+XH1=3

35

• 為避免子途徑 (sub-tour) 之發生，我們必須加入限制式使得子循環 (Cycle) 無法產生

• 使得問題變的很大

FEMA – 指派模型的解

O1 – O2 – H – O1Sub-tour （子途

徑）i.e. X12+X2H+XH1=3

O1 – O2 – H – O1Sub-tour （子路徑）

i.e. X12+X2H+XH1≤2

加入 3 節點 (3-node) 子途徑限制式

O3 – O4 – O3Sub-tour ( 子路

徑）i.e. X34+X43=2

加入 2 節點 (2-node) 子途徑限制式

O3 – O4 – O3Sub-tour ( 子路

徑）i.e. X34+X43≤1

36

4.8 　最小展開樹The Minimal Spanning Tree

• 最小展開樹之問題 (Minimal Spanning Tree)昰一種網路架構，此網路中之所有節點必須互相連結，並且無循環 (loop) 產生

• 一個展開樹 (Spanning Tree) 昰以 (n-1) 個弧來連接 n 個節點的網路

• 一個網路可以有非常多個展開樹，但只有一個最小展開樹 (Minimal Spanning Tree)

37

4.8 最小展開樹

• 問題定義 (p. 280)

– 有 n 個節點 .– 由節點 i 至節點 j 弧的距離為 dij – 目標：找出一組弧 (Arcs) ，能以最短距離將所

有節點連接起來成一個展開樹

38

大都會捷運問題THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT

39

大都會捷運問題THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT

• 溫哥華城市計劃興建一捷運系統來連接八個住宅與商業中心

• 捷運公司必須以最少成本將所有地點連接起來

40

大都會捷運問題– 網路示意圖

• 網路示意圖包含 :– 規劃可行路線– 每條路線最低建築成本

41

5

2 6

4

7

81

3

West Side

North Side University

BusinessDistrict

East SideShoppingCenter

South Side

City Center

33

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

42

SPANNING TREE

NETWORK PRESENTATION

5

2 6

4

7

81

3

West Side

North Side University

BusinessDistrict

East SideShoppingCenter

South Side

City Center

33

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

43

• 求解 – 網路求解 ( 見光碟中補充講義 Supplement CD 5)

• 網路算則採用貪婪法” greedy procedure”.

• The algorithm – 第一種形式 (version 1)– 選取最短距離之弧，放入已選取弧之集合 (a set of

selected arcs)– 每次反覆中，將下一個最短距離之弧加入已選取弧之集合，但避免產生 Cycle

– 重複上列敘述，直到所有節點都被連接起來為止

THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT

44

• The algorithm – 第二種形式 (version 2)

– 選取最短距離之弧，放入已連結弧之集合 (a set of connected arcs)

– 每次反覆中，自未選取之弧集合 (unselected arcs) 中，加入與已連結集合有連結之最短弧，但要避免產生 Cycle

– 重複上列敘述，直到所有節點都被連接起來為止• 請見第二種形式之展示

THE METROPOLITAN TRANSIT DISTRICT

45

ShoppingCenter

Loop

2 6

4

7

8

West Side

North Side

University

BusinessDistrict

East Side

South Side

City Center

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

Total Cost = $236 million

OPTIMAL SOLUTIONNETWORKREPRESENTATION 5

LoopLoopLoopLoopLoopL

oop

LoopLo

op LoopLoop Loop LoopLoopLoopLoop

1

3

33

28

32

30

33

46

ShoppingCenter

4

7

8

West Side

North Side

University

BusinessDistrict

East Side

South Side

City Center

50

30

55

34

28

32

35

39

45

38

43

44

41

3736

40

Total Cost = $236 million

OPTIMAL SOLUTIONNETWORKREPRESENTATION 53

33Loop

1

62