םירקי םידימלת - gool · ר"מס 16-ב לודג וחטשש ןבלמ לבקנ...

2

יקרים תלמידים

ספר תרגילים זה הוא פרי שנות ניסיון רבות בהגשה לבחינות הבגרות

במתמטיקה.

שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר את

הדרך הנכונה לעומדים בפני מקצוע חשוב זה.

הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד על פי תכנית

הלימודים של משרד החינוך. כל פרק פותח בסיכום ההגדרות, המשפטים

והמתכונים הקשורים לנושא הפרק, לאחריו מופיעה טבלת הסרטונים

ל בקורס זה חשיבות ּורגת באתר ולבסוף קובץ תרגילים. הניסיון מלמד כי ל

יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון התרגילים המופיעים בו.

www.bagrut.co.il התרגילים בספר פתרונות מלאים באתר לכל

יםרואשאתם כך ,המלווים בהסבר קולי וידאובסרטוני יםמוגש הפתרונות

שנעשה בשיעור את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי

לדרך חשיבה נכונה בפתרון הפתרון המלא של השאלה מכוון ומוביל פרטי.

בעיות דומות מסוג זה.

דרך לכם התלמידים ויוביל אתכם -תקוותנו היא שספר זה ישמש מורה

להצלחה.

www.bagrut.co.il ©

http://www.bagrut.co.il/

http://www.bagrut.co.il/

3

העניינים: תוכן

8 ...................................................................... :מילוליות בעיות – 1 פרק

8 ........................................................................................................................ :הקדמה

8 ............................................................................................................. :םאחוזי עם יסודיות שאלות

11 ............................................................................................... :בהנדסה מילוליות בעיות

11................................................................................................................................ :יסודיות בעיות

11......................................................................................................................... :מרובעים עם בעיות

12........................................................................................................................ :משולשים עם בעיות

12........................................................................................................................... :עיגולים עם בעיות

13................................................................................................................... :המרחב בהנדסת בעיות

11 ............................................................................................................... :תנועה בעיות

21 ................................................................................. :מילוליות בעיות – מסכמות שאלות

22 ................................................................................... :החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

22 ........................................................................................................... :סופיות תשובות

11 ............................................................. :אנליטית גיאומטריה – 2 פרק

31 ......................................................................................................................... :הישר

31............................................................................................................................ :בסיסיות הגדרות

31......................................................................................................... :ישרים ובין הצירים עם חיתוך

31.................................................................................................................... :נקודות שתי בין מרחק

32......................................................................................................................... :הישר הקו משוואת

33............................................................................................................................. :מקבילים ישרים

33.............................................................................................................................. :מאונכים ישרים

31..................................................................................................................................... :קטע אמצע

32.................................................................................................................:יותמישור צורות הוכחות

32............................................................................................................................. :מסכמות שאלות

32 .........................................................................:הישר - החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

11 ................................................................................................................. :נוסף תרגול

11............................................................................................................................ :בסיסיות הגדרות

12......................................................................................................... :ישרים ובין הצירים עם חיתוך

13.................................................................................................................... :נקודות שתי בין מרחק

18......................................................................................................................... :הישר הקו משוואת

22............................................................................................................................. :םמקבילי ישרים

21.............................................................................................................................. :מאונכים ישרים

28..................................................................................................................................... :קטע אמצע

1

11..................................................................................................................................... :אמצעי אנך

12 ........................................................................................................... :סופיות תשובות

16 ........................................................................................................................ :המעגל

16.............................................................................................................................. :המעגל משוואת

18............................................................................................................. :הצירים עם מעגל של חיתוך

18...................................................................................................................... :וישר מעגל של חיתוך

18..................................................................................................................... :למעגל נקודה בין יחס

12................................................................................................................. :במעגל חשובים משפטים

12.................................................................................................................................. :למעגל משיק

61....................................................................................................................... :מעגל – שונות בעיות

62 ....................................................................... :המעגל - החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

61 ................................................................................................................. :נוסף תרגול

61.............................................................................................................................. :המעגל משוואת

66............................................................................................................. :הצירים עם מעגל של חיתוך

68...................................................................................................................... :וישר מעגל של חיתוך

62..................................................................................................................... :למעגל נקודה בין יחס

62................................................................................................................. :במעגל חשובים משפטים

81.................................................................................................................................. :גללמע משיק

82 ........................................................................................................... :סופיות תשובות

88 .................................... :פולינומית פונקציה -דיפרנציאלי חשבון – 1 פרק

82................................................................................................................................. :נגזרות חישוב

81......................................................................... :הנקודה נתונה כאשר משיק ומשוואת שיפוע מציאת

86....................................................................................................:השיפוע ידוע כאשר נקודה מציאת

82...................................................................................... :וירידה עלייה ותחומי קיצון נקודות מציאת

82................................................................................................................... :פרמטרים עם פונקציות

21..............................................................................................................................:פונקציה חקירת

21................................................................................................................... :מוחלטות קיצון נקודות

22 ................................................................................................................. :נוסף תרגול

22................................................................................................................................. :נגזרות חישוב

23......................................................................... :הנקודה נתונה כאשר משיק ומשוואת שיפוע מציאת

28....................................................................................................:השיפוע ידוע כאשר נקודה מציאת

111 .................................................................................... :וירידה עלייה ותחומי קיצון נקודות מציאת

111 ................................................................................................................. :פרמטרים עם פונקציות

111 ............................................................................................................................:פונקציה חקירת

118 ................................................................................................................. :מוחלטות קיצון נקודות

112 .............................................................................................................. :לנגזרת פונקציה בין קשר

2

111 ................................................................................................. :נתונים תנאים י"עפ גרפים טסרטו

112 ................................................... :פולינומית פונקציה – החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

111 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

121 ................................. :רציונאלית פונקציה - דיפרנציאלי חשבון - 4 פרק

121 ............................................................................................................................... :נגזרות חישוב

121 ....................................................................... :הנקודה נתונה כאשר משיק ומשוואת שיפוע מציאת

126 ..................................................................................................:השיפוע ידוע כאשר נקודה מציאת


128 ........................................................................................................... :רציונאלית פונקציה חקירת

131 ............................................................................................................... :נוסף גולתר

131 ............................................................................................................................... :נגזרות חישוב

132 ....................................................................... :הנקודה נתונה כאשר משיק שוואתומ שיפוע מציאת


132 .................................................................................................................... :קיצון נקודות מציאת


112 ........................................................................................................... :רציונאלית פונקציה חקירת

123 .................................................. :רציונאלית פונקציה – החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

122 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

111 .......................................:שורש פונקצית - דיפרנציאלי ןחשבו – 8 פרק

111 ............................................................................................................................... :נגזרות חישוב




118 .................................................................................................................. :שורש פונקצית חקירת

161 .............................................................................................................. :נוסף תירגול

161 ............................................................................................................................... :נגזרות חישוב



162 .................................................................................................................... :קיצון נקודות מציאת


162 .................................................................................................................. :שורש פונקצית חקירת

181 ......................................................... :שורש פונקצית – החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

182 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

1

191 ............................................... :קיצון ערך של מילוליות בעיות – 1 פרק

121 ............................................................................................................... :מספרים עם קיצון בעיות

121 ....................................................................................................... :המישור בהנדסת קיצון בעיות

122 ..................................................................................................... :וגרפים בפונקציות קיצון בעיות

123 ........................................................................................................ :המרחב בהנדסת קיצון בעיות

121 ................................................................................. :החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

128 ............................................................................................................... :נוסף תרגול

128 ............................................................................................................... :מספרים עם קיצון בעיות

122 ....................................................................................................... :המישור בהנדסת קיצון בעיות

211 ..................................................................................................... :וגרפים בפונקציות קיצון בעיות

213 ........................................................................................................ :המרחב בהנדסת קיצון בעיות

211 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

201 ................................................................. :אינטגרלי חשבון - 7 פרק

211 ....................................................................................................................... :מסוים לא אינטגרל

211 ................................................................................................................ :קדומה פונקציה מציאת

212 ....................................................................................................................... :המסוים האינטגרל

211 ............................................................................................................................. :יםשטח חישובי

216 ............................................................................................................ :פרמטר עם שטחים חישובי

218 ............................................................................................................... :נוסף תרגול

218 ....................................................................................................................... :מסוים לא אינטגרל

212 ................................................................................................................ :קדומה ציהפונק מציאת

221 ....................................................................................................................... :המסוים האינטגרל

221 ............................................................................................................................. :שטחים חישובי

221 ............................................................................................................ :פרמטר םע שטחים חישובי

221 ................................................................................. :החינוך משרד מאגר מתוך שאלות

231 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

218 ................................................................ :מבגרויות תשאלו – 8 פרק

232 ......................................................................................................... :מילוליות בעיות

213 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

211 ................................................................................................... :ליטיתאנ גיאומטריה

211 ........................................................................................................................................... :הישר

223 ......................................................................................................................................... :המעגל

211 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

211 ..............................................................................................................................................:ישר

212 ............................................................................................................................................ :מעגל

6

216 ..................................................................................................... :דיפרנציאלי חשבון

216 ......................................................................................................................... :פולינום פונקציות

218 ...................................................................................................................... :רציונליות פונקציות

262 ............................................................................................................................ :שורש פונקציות

261 ......................................................................................................... :תסופיו תשובות

261 ...................................................................................... :קיצון ערך של מילוליות בעיות

282 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

283 ......................................................................................................... :ליאינטגר חשבון

222 ......................................................................................................... :סופיות תשובות

8

בעיות מילוליות: – 1פרק

:הקדמה

מהוות הקדמה לנושא בעיות מילוליות.בחלק זה שאלות ההערה:

בסרטון זה מוסבר מהי בעיה מילולית וכיצד פותרים אותה. (1

מהשני. מצא את המספרים. 12-. מספר אחד גדול ב13סכום שני מספרים .א

שנים מהאח הצעיר, 3-. האח הבינוני גדול ב36סכום הגילים של שלושה אחים הוא .ב וגילו של האח הבכור גדול פי שניים מגילו של האח הבינוני. מהו גילו של כל אח?

חבילות קמח 11שקלים, ואילו 61חבילות סוכר עולות ביחד 1-חבילות קמח ו 3 (2

שקלים. כמה עולה חבילת סוכר וכמה עולה חבילת קמח? 111עולות יחד חבילות סוכר 2-ו

ארגזים 21-דפוס. המשלוח היה אמור להגיע ב-הוצאת ספרים הזמינה ספרים מבית (1 11ספרים יותר, לכן נשלחו 11בינוניים, אולם נארז בארגזים גדולים יותר, ובכל אחד מהם

את הספרים?ארגזים בלבד. כמה ספרים הוזמנו על ידי הוצ

תלמידים לא 8-שקלים. מאחר ש 1,211כדי לשכור משאית לטיול על הכיתה כולה לשלם (4שקלים לסכום המקורי. כמה 11יצאו לטיול, כל תלמיד מהנותרים היה צריך להוסיף

תלמידים בכיתה? מהו הסכום המקורי שכל תלמיד היה צריך לשלם?

כוסות נשברו ולכן את היתר מכר 2שקלים. 1811סוחר קנה מספר כוסות במחיר כולל של (8 שקלים? 611שקלים לכוס. כמה כוסות קנה הסוחר, אם הרוויח בעסקה 11ברווח של

שאלות יסודיות עם אחוזים:

בסרטון זה מוסבר מהו אחוז. (1 שקלים. 281חולצה עולה

ממחירה הקודם. מהו מחירה החדש של החולצה?פחות 22%-בסוף העונה היא עולה ב .א

ממחירה הקודם. מהו מחירה החדש של החולצה? 22%בסוף העונה החולצה עולה .ב

. מהו מחירה החדש? מהו מחיר ההתייקרות? 21%-החולצה התייקרה ב .ג

מכספו. 21%שקלים. הוא הוציא xלאדם יש (7

את מחיר ההוצאה. xהבע באמצעות .א

את הסכום שנשאר לו. xהבע באמצעות .ב

2

במכירה. בכמה מכר הסוחר את הסחורה? 32%שקלים והרוויח a-סוחר קנה סחורה ב (8

משיש גולות יותר 31%-. לאלון יש במכמות הגולות של דני 11%גולות. ליוסי יש xלדני (9 גולות פחות מאשר לדני. הבע את מספר הגולות שיש לכל אחד. 22%-לדני וליובל יש ב

מהכוהל שבמיכל. ביום השני 11%ליטרים של כוהל. ביום הראשון מתנדפים mבמיכל יש (10 מכמות הכוהל שנשאר. מהי כמות הכוהל שנשאר לאחר יומיים? 31%מתנדפים

המחיר , ואילו בסוף השנה הוזל21%-הועלה המחיר המקורי של אופנוע בבתחילת השנה (11

שקלים. 2111נתון כי המחיר של האופנוע לאחר ההוזלה בסוף השנה הוא .21%-ב מחירו המקורי של האופנוע. מצא את

שקלים. אם יתייקר הארון 211מחירו של ארון, בתוספת ההובלה לבית הלקוח, הוא (12

שקלים. 1111הכול -ומחיר ההובלה לא ישתנה, יהיה על הלקוח לשלם בסך 22%-ב

חשב את מחיר הארון.

ק"ג אגסים. כעבור שבוע עלה מחיר 8-ק"ג תפוחים ו 2עבור בשקלים 31ראובן שילם (11ק"ג 2עבור בשקלים 32, אך מחיר התפוחים לא השתנה. ראובן שילם עתה 22%-האגסים ב חשב את מחירו של ק"ג אגסים לפני עליית המחיר. גסים.ק"ג א 8-תפוחים ו

33%מהסכום, השני קיבל 18%סכום כסף חולק כולו בין שלושה אחים. הבכור קיבל (14 שקלים. מצא איזה סכום כסף חולק בין שלושת האחים. 28,211והשלישי קיבל מהסכום,

ם קנה את הסחורה? . באיזה סכו21%והרוויח במכירה זו ₪ 1811-אדם מכר סחורה ב (18

פחות מהפועל השני. 21%פועל אחד מרוויח ₪. 2611שני פועלים מרוויחים יחד (11

כמה משתכר כל פועל?

.1%למשכורתו, כעבור חצי שנה קיבל תוספת יוקר נוספת של 2% אריה קיבל תוספת יוקר של (17 שקלים ממשכורתו ההתחלתית. 311-משכורתו של אריה לאחר התוספת השנייה גדולה ב

? משכורתו ההתחלתית של אריה מה הייתה

₪. 21. מחירו הסופי היה 22%-ולאחר מכן עלה ב 11%-מחירו של מוצר ירד תחילה ב (18

מה היה מחירו ההתחלתי?

11

:בעיות מילוליות בהנדסה

תזכורת:

משולש שווה משולש כללי ריבוע מלבן שוקיים

משולש ישר זווית

S x y 2S x 2

c hS

2

b hS

2

a bS

2P x y 4P x P a b c 2P a b P a b c

2משפט פיתגורס במשולש ישר זווית: 2 2a b c .

בעיות יסודיות:

חשב את ההיקפים והשטחים של הצורות הבאות: (19

א.

ה. ד. ג. ב.

ו.

י. ט. ח. ז.

ס"מ. 3-ס"מ ואת רוחבו ב 2 -ס"מ. מגדילים את אורכו ב 8ס"מ ורוחבו 2נתון מלבן שאורכו (20

מה יהיה שטח המלבן החדש? .א

מה יהיה היקף המלבן החדש? .ב

. 22%-ואת רוחבו מקטינים ב 22%-ס"מ. מגדילים את אורכו ב 12נתון ריבוע בעל אורך צלע של (21

איזו צורה הנדסית התקבלה? .א

מה יהיה שטח הצורה? .ב

מה יהיה היקף הצורה? .ג

32 18

12

6 22

13 2

2

23

23 2

12

1

8

8 11

11.1

2

13.3

1

33.2

11

ס"מ. 6-ס"מ ו 21נתון משולש ישר זווית שאורכי ניצביו הם (22

מה הוא אורך היתר במשולש? .א

חשב את שטח והיקף המשולש. .ב

.12% -ומקטינים את הניצב הארוך ב 2מגדילים את הניצב הקטן פי .ג

חשב את אורך היתר של המשולש החדש, היקף המשולש ושטחו.

כתוב את הביטויים הבאים: (21

מאורכו. 3-את אורכו של מלבן. רוחב המלבן גדול ב x-מסמנים ב .א

את רוחב המלבן, היקף המלבן ושטח המלבן. xהבע באמצעות

מאורכו. 1את אורכו של מלבן. רוחב המלבן גדול פי x-מסמנים ב .ב


מאורכו. 2-לבן. רוחב המלבן קטן באת אורכו של מ x-מסמנים ב .ג


מאורכו. 1את אורכו של מלבן. רוחב המלבן קטן פי x-מסמנים ב .ד


יחידות אורך. 31את אורכו של מלבן. היקף המלבן הוא x-מסמנים ב .ה

את רוחב המלבן ושטח המלבן. xהבע באמצעות

יחידות ריבועיות. 18הוא את אורכו של מלבן. שטח המלבן x-מסמנים ב .ו

את רוחב המלבן והיקף המלבן. xהבע באמצעות

ומקטינים את רוחבו 31%-. מגדילים את אורך הריבוע בx-מסמנים צלע של ריבוע ב .ז

בל, שטחו והיקפו. את מידות המלבן שהתק x. הבע באמצעות 21%-ב

בעיות עם מרובעים:

סמ"ר 16-ס"מ נקבל מלבן ששטחו גדול ב 2-ס"מ ו 3-אם נגדיל את צלעותיו של ריבוע ב (24 משטח הריבוע. מצא את צלע הריבוע.

ס"מ לא יגדל שטחו. 2-ס"מ ונגדיל את רוחבו ב 2-אם נקצר את אורכו של מלבן ב (28

ס"מ גם אז לא יגדל שטחו. 2-ס"מ ונקצר את רוחבו ב 11-אם נגדיל את אורכו ב . ואת שטחו חשב את אורכי צלעות המלבן

ס"מ מצלע הריבוע ואורכו שווה 2-ס"מ. בנו מלבן שרוחבו קטן ב xנתון ריבוע שצלעו היא (21 לצלע הריבוע.

את היקף המלבן. xהבע באמצעות .א

מהיקף הריבוע. 2/3אם היקף המלבן הוא xחשב את .ב

. 11%-והקטינו את הצלע השניה ב 21%-הגדילו צלע אחת של ריבוע ב (27

ס"מ מהיקף הריבוע. מצא את אורך צלע הריבוע. 1-היקף המלבן שהתקבל היה גדול ב

12

משולשים:בעיות עם

ס"מ מהבסיס. 2-נתון משולש שווה שוקיים שבו הגובה לבסיס גדול ב (28

סמ"ר. חשב את אורך בסיס המשולש. 11שטח המשולש הוא

סמ"ר. 21ס"מ ושטחו הוא 11ישר זווית הוא שסכום הניצבים של משול (29

מצא את אורכי הניצבים של המשולש.

סמ"ר. 21ס"מ ושטחו הוא 6ישר זווית הוא שסכום הניצבים של משול (10

ס"מ. 2חשב את אורכי הניצבים של המשולש אם אורך היתר הוא

ס"מ. 21.1אורך היתר הוא ABCבמשולש ישר זווית (11

. BCמאורך הניצב 21%-גדול ב ACאורך הניצב חשב את היקף המשולש.

ס"מ. 21הוא במשולש שווה שוקיים אורך הגובה לבסיס (12

ס"מ. חשב את אורך שוק המשולש. 21היקף המשולש הוא

ס"מ. ההפרש בין שטחי הריבועים הבנויים על 13במשולש ישר זווית אורך היתר הוא (11 ס"מ. חשב את אורכי הניצבים. 112הניצבים הוא

בעיות עם עיגולים:

מוסברים ההגדרות של העיגול, שטח העיגול והיקפו. זהבסרטון (14

ס"מ. חשב את שטחו. 11היקפו של עיגול הוא .א

עיגול. 3/1הצורה שבאיור היא .ב

ס"מ. 12-היקף הצורה שווה ל

חשב את אורך הרדיוס של העיגול.

סמ"ר. 31שטח צורה המורכבת מריבוע וחצי עיגול הוא .ג

חשב את רדיוס חצי העיגול.

סמ"ר. 55שטח טבעת הוא .ד

ס"מ. 3הרדיוס הפנימי הוא חשב את הרדיוס החיצוני של הטבעת.

A

C B

13

בעיות בהנדסת המרחב:

בסרטון זה מוצגת התיבה ואופן החישוב של נפחּה ושטח פניה. (18

סמ"ר. 111שטח בסיס של תיבה שבסיסה ריבוע הוא .א

מצלע הבסיס. חשב את נפח התיבה. 31%-גובה התיבה גדול ב

ס"מ מצלע הבסיס. 2-בתיבה שבסיסה ריבוע הגובה גדול ב .ב

סמ"ר. חשב את נפח התיבה. 181הפאות הוא 1סכום שטחי

סמ"ק. 211ס"מ ונפחּה הוא 12גובה של תיבה ריבועית הוא (11

חשב את צלע הבסיס ואת שטח הפנים של התיבה.

ס"מ מהצלע האחרת של הבסיס. 2-בתיבה צלע אחת של הבסיס קטנה ב (17

הגובה של התיבה שווה לצלע הארוכה של הבסיס. סמ"ר. 118שטח הפנים של התיבה הוא

חשב את צלעות הבסיס של התיבה, את גובהה ואת נפחּה.

ס"מ. 21הוא 'ACBDA'B'C'Dאורך הגובה של תיבה (18

ס"מ. 1-ס"מ ו 3אורכי צלעות הבסיס הם

.ACחשב את אורך אלכסון הבסיס .א

. 'ACחשב את אורך אלכסון התיבה .ב

רוצים לצפות בטאפט קירות ותקרה של חדר שצורתו תיבה ריבועית. (19

למ"ר. ₪ 3למ"ר ומחיר טאפט לקיר הוא ₪ 2מחיר טאפט לתקרה הוא ₪. 318העלות הכוללת של כל הציפוי הוא מטרים. 1גובה החדר הוא

חשב את אורך החדר.

בסרטון זה מוצגת המנסרה המשולשת ואופן החישוב של נפחּה ושטח פניה. (40

נתונה מנסרה שבסיסיה משולשים ישרי זווית .א ACB 90 .

. BCס"מ = AB ,8ס"מ = 11נתון: ס"מ. חשב את נפח המנסרה. 12גובה המנסרה הוא

A B

A'

C D

D' C'

B'

A

A'

B

B' C

C'

11

נתונה מנסרה משולשת שבסיסיה משולשים ישרי זווית. .ב

מהניצב האחר וגובה המנסרה 3ניצב אחד של הבסיס גדול פי סמ"ק. 112מאורך הניצב הקצר. נפח המנסרה הוא 1גדול פי

חשב את אורכי הניצבים של הבסיס.

בסרטון זה מוצג הגליל ואופן החישוב של נפחו ושטח פניו. (41

ס"מ. 8ס"מ וגובהו 2רדיוס הבסיס של גליל הוא .א

חשב את נפח הגליל.

סמ"ר. 81שטח הבסיס של גליל הוא .ב

חשב את רדיוס הגליל. .1

ס"מ מרדיוס הבסיס. 2-נתון כי גובה הגליל גדול ב .2

חשב את נפח הגליל.

ס"מ. 21סמ"ק וגובהו הוא 180נפח גליל הוא .ג

חשב את רדיוס הבסיס.

סמ"ק. 150מרדיוס הבסיס. נפח הגליל הוא 21%-גובה גליל גדול ב .ד

מצא את רדיוס הבסיס של הגליל.

בעיות תנועה:

בסרטון זה מוסבר מהי בעיית תנועה ומהן השלבים לפתרונה. (42

ענה על השאלות הבאות: (41

עברה?היא שעות. איזה מרחק 3קמ"ש במשך 81מכונית נוסעת במהירות .א

עבר?הוא קמ"ש במשך שעתיים. איזה מרחק 1הולך רגל הולך במהירות של .ב

שעות. באיזה מהירות הוא טס? 2.2ק"מ במשך 2,111עובר מרחק של מטוס .ג

נוסעת?היא שעות מידי יום. באיזה מהירות 1ק"מ במשך 111משאית עוברת מרחק של .ד

נסע?הוא קמ"ש. כמה זמן 11ק"מ במהירות קבועה של 121אופנוע עובר מרחק של .ה

? נוסעקמ"ש. כמה זמן הוא 21ק"מ במהירות של 21מרחק כולל של עובר אוטובוס .ו

A

A'

B

B' C

C'

12

העבר בין יחידות הזמן הבאות: (44

כמה דקות הם חצי שעה? .א

כמה דקות הם רבע שעה? .ב

כמה דקות הם .ג1

5 משעה?

כמה דקות הם .ד1

12 משעה?

משעה? 1.3כמה דקות הם .ה

דקות. כמה שעות נסעה? 211נעמה נוסעת במשך .ו

דקות. כמה שעות נוסע שי? 121שי נוסע במשך .ז

דקות. כמה דקות נסע אסף בסה"כ? 21-אסף נוסע במשך שעה ו .ח

שעות. כמה דקות נסעה שני? 3.2שני נוסעת במשך .ט

שעות. כמה דקות הולכת שרון? 1.22שרון הולכת במשך .י

81מהירות של "ש במשך שעתיים, לאחר מכן נוסעת בקמ 61מכונית נוסעת במהירות של (48 שעות נוספות. מה המרחק הכולל שעברה המכונית? 3קמ"ש במשך

קמ"ש, לאחר מכן רץ במשך שעה נוספת במהירות 11דקות במהירות של 31רץ במשך רוני (41 ? רוניקמ"ש. איזה מרחק עבר 6של

ק"מ 31דקות. לאחר מכן עוברת מרחק של 21ק"מ במשך 21מכונית עוברת מרחק של (47 דקות. באיזו מהירות נסעה המכונית בכל שלב? 11במשך

811ועובר מרחק של ות, לאחר מכן הוא מאטדק 12במשך ק"מ 311מטוס עובר מרחק של (48 דקות. מצא את מהירות המטוס בשני השלבים. 18ק"מ במשך

ש קמ" 81במהירות של הדרך הראשונה עברהמחצית את . Bלעיר Aמשאית נוסעת מעיר (49

ק"מ. 121הוא B-ו Aהמרחק בין הערים . הדרך השנייה עברה בשעה אחתמחצית ואת

מצא במשך כמה זמן עברה המשאית את מחצית הדרך הראשונה. .א

מצא באיזו מהירות נסעה המשאית במחצית הדרך השנייה. .ב

? Bלעיר Aמהו הזמן הכולל שנסעה המשאית מעיר .ג

ת כל הדרך במהירות באיזו מהירות הייתה נוסעת המשאית אם הייתה עוברת א .ד ? עגל תשובתך למספר שלם. באותו הזמן שמצאת בסעיף הקודם קבועה

11

אוטובוס ומכונית יוצאים בו זמנית מעיר א' לעיר ב'. האוטובוס נוסע במהירות קבועה של (80 שעות. 3.2קמ"ש ומגיע לעיר ב' לאחר 11

קמ"ש? 111לאחר כמה זמן תגיע המכונית אם ידוע כי היא נסעה במהירות קבועה של .א

לאחר כמה זמן תגיע המכונית אם ידוע כי היא עברה את מחצית הדרך הראשונה .ב

קמ"ש? 121קמ"ש ואת מחצית הדרך השנייה במהירות של 11במהירות של

ק"מ. המכונית 111ערים הוא שתי מכוניות יצאו יחד מעיר א' לעיר ב'. המרחק בין ה (81 12קמ"ש. המכונית השנייה נסעה במשך 111הראשונה נסעה כל הדרך במהירות קבועה של

דקות נוספות וחזרה 12קמ"ש. לאחר מכן עצרה להתרעננות של 121דקות במהירות של לנסיעתה. ידוע כי שתי המכוניות הגיעו לעיר ב' יחד.

מעיר א' לעיר ב'? כמה זמן נסעה המכונית הראשונה .א

מצא את מהירות המכונית השנייה לאחר שחזרה לנסיעתה. .ב

שעות 3שעות במהירות מסוימת ובמשך 2משאית נוסעת מחיפה לאילת. היא נסעה במשך (82קמ"ש ממהירותה הקודמת. מצא באיזו מהירות נסעה 21-נוספות במהירות הגדולה ב

. ק"מ 211לראשונה אם המרחק בין שתי הערים הוא

שעות. בדרכו חזרה הוא מקטין 1במהירות קבועה במשך Bלעיר Aרוכב אופנוע נוסע מעיר (81 שעות. מצא את המרחק בין שתי הערים. 8קמ"ש. דרכו חזרה ארכה 12-את מהירותו ב

הולך רגל יצא מת"א לכיוון חדרה. הוא צעד במהירות קבועה. (84

ש ממהירותו של הולך קמ" 12-גדולה בוכב קטנוע שמהירותו יו רשעות יצא אחר 1כעבור תיים נפגשו השניים. עשהרגל. כעבור

מצא את מהירות הולך הרגל ואת מהירות רוכב הקטנוע. .א

מצא את המרחק שעברו עד המפגש. .ב

בבוקר. הולך הרגל 1:11שני הולכי רגל יצאו לצעדת בוקר. הם יצאו מאותו מקום בשעה (88קמ"ש עד 1"ש. הולך הרגל השני צעד במהירות של קמ 8הראשון צועד במהירות קבועה של

קמ"ש ולכן הגיע באותו הזמן כמו הולך הרגע 3-בבוקר, אך אז הגביר את מהירותו ב 2:11 הראשון. חשב איזה מרחק עברו הולכי הרגל ובאיזו שעה נפגשו.

. הן נסעו זו לקראת זו ונפגשו Bבזמן שמכונית ב' יצאה מעיר Aמכונית א' יצאה מעיר (81

ק"מ. מצא את מהירויות כלי הרכב 211הוא Bלעיר Aשעות. המרחק בין עיר 1כעבור ממהירות המכונית השנייה. 1.2כאשר ידוע שמהירות מכונית א' גדולה פי

16

קמ"ש. בדרכה חזרה נסעה במהירות הגדולה 11מכונית נסעה מהכפר לקיבוץ במהירות של (87שעות. מצא את המרחק בין הכפר 2ש ממהירותה הקודמת. סה"כ ארכה נסיעתה קמ" 12-ב

לקיבוץ.

קמ"ש ומהירות 11. מהירות המשאית היא B-ו Aמונית ומשאית נוסעות בין שתי ערים (88קמ"ש. הזמן שלוקח למשאית לעשות את הדרך כולה גדול בשעה וחצי 81המונית היא

בין שתי הערים. מהזמן הנדרש למונית. חשב מהו המרחק

בבוקר יצא רכב משא מעיר א' לכיוון 11:11ק"מ. בשעה 281המרחק בין עיר א' לעיר ב' הוא (89דקות יצאה מכונית מעיר ב' לכיוון עיר א' ונסעה 31קמ"ש. כעבור 62עיר ב' במהירות

קמ"ש. שני הרכבים נפגשו בדרך שבין הערים. מצא את שעת המפגש ואת 81במהירות עבר כל אחד מכלי הרכב. המרחק ש

יצא 2:31קמ"ש. בשעה 2במהירות קבועה של Aבבוקר יצא הולך רגל מעיר 1:11בשעה (10

שעתיים וחצי לפני הולך Bקמ"ש ולכן הגיע לעיר 21מאותה העיר רוכב אופניים שמהירות הרגל. מה המרחק בין שתי הערים?

שני רוכבי אופניים יוצאים זה לקראת זה משני מקומות שונים. הרוכב הראשון יצא בשעה (11אחה"צ. הרוכב השני 12:11בבוקר. הם נפגשו בשעה 11:11בבוקר והשני יצא בשעה 2:11

ת הרוכבים אם יומהירו תאקמ"ש ממהירות הרוכב הראשון. מצא 1-רכב מהירות הגדולה ב ק"מ. 211 המרחק בין שני המקומות הוא

בבוקר יצא רכב מעיר א' לעיר ב' במהירות 2:11ק"מ. בשעה 111י ערים הוא המרחק בין שת (12קמ"ש. הקטנוע התעכב 11יצא קטנוע מעיר ב' לעיר א' במהירות של 1:12קמ"ש. בשעה 22

דקות עקב פנצ'ר בגלגל ואז המשיך בנסיעתו. מהירות כלי הרכב לא השתנתה 12-בדרך ל ן הנסיעה. מצא את שעת המפגש. במשך כל זמ

21-ממהירות משאית. האוטובוס עובר מרחק מסוים בקמ"ש 1-מהירות אוטובוס גדולה ב (11ק"מ אך במשך שעה וחצי. מצא את המהירויות 31-דקות. המשאית עוברת מרחק הגדול ב

של כלי הרכב.

מהירות קבועה של יוסי נסע לבקר את חברתו הגרה בקיבוץ. הוא יצא מביתו שבעיר ונסע ב (14שעות, אך נאלץ להאט את 3ך דרכו חזרה נסע באותה המהירות במשקמ"ש כל הדרך. ב 81

קמ"ש. לכן נמשכה דרכו חזרה שעה אחת יותר. מצא את המרחק בין מקום 21-המהירות ב מגוריו של יוסי לקיבוץ.

18

שעות מגדה אחת לשנייה עם 2ק"מ. ספינה שטה במשך 21המרחק בין גדותיו של נהר הוא (18קמ"ש ולכן 2-כיוון הזרם. בדרכה חזרה נגד כיוון הזרם מגבירה הספינה את מהירותה ב

מהירות הספינה ואת מהירות הזרם. תאשעות. מצא 11-היא מגיעה ליעדה ב

כאשר הוא טס עם כיוון הרוח. כאשר הוא טס שעות 12-ק"מ ב 6,211מטוס טס מרחק של (11שעות. חשב את מהירות הרוח ואת מהירות 18-נגד כיוון הרוח הוא עובר את אותו המרחק ב

המנוע של המטוס.

שני מקומות שונים ונסעו אחד לקראת השני. ים יצאו באותו זמן ממכונית ורוכב אופני (17קמ"ש. 12יים נסע במהירות של קמ"ש ורוכב האופנ 12המכונית נסעה במהירות של

דקות ושבה חזרה למקום מוצאה. 12המכונית הגיעה למחוז חפצה, התעכבה למשך

בדרכה חזרה פגשה את רוכב האופניים במחצית הדרך שבין שני המקומות. מצא את המרחק בין שני המקומות.

ק"מ מהכפר שבו גר דני. 31-יוסי ודני קבעו להיפגש בקיבוץ. יוסי גר בעיר המרוחקת ב (18

קמ"ש ודני יצא בשעה 21בבוקר במהירות של 1:11נסע בקטנוע ויצא לדרך בשעה יוסי המרחק תאם הגיעו לקיבוץ באותו הזמן. מצא קמ"ש. שניה 11בבוקר במהירות של 6:11

גישה בין החברים. שבין העיר לקיבוץ ואת שעת הפ

ק"מ. אוטובוס עובר בד"כ את הדרך כולה במהירות 311הוא B-ו Aהמרחק בין שתי ערים (19קמ"ש ולכן הגיע שעה 12-מהדרך, הגביר את מהירותו ב 1.22קבועה. יום אחד, לאחר שעבר

וחצי לפני המועד המתוכנן. מצא את מהירותו של האוטובוס.

קמ"ש. יום אחד נסעה המכונית במשך 62ירות קבועה של מכונית עוברת מרחק מסוים במה (70קמ"ש והגיעה ליעדה שעה 12-בירה את מהירותה בגשעתיים במהירות המתוכננת ואז ה

לפני המועד המתוכנן. איזה מרחק עוברת המכונית?

שעות כשהוא רץ במהירות קבועה. יום בהיר 2-למרחקים ארוכים עובר מרחק מסוים ב רץ (71שעתיים במהירות הרגילה ואז שינה את מסלולו ורץ בדרך עפר. מהירותו אחד רץ במשך

קמ"ש והוא הגיע ליעדו שעה מאוחר יותר מהזמן הרגיל. הדרך העוקפת האריכה 2-פחתה ב ק"מ. חשב את מהירותו של הרץ. 12-את דרכו ב

זו. ק"מ ביום במהירות קבועה. יום אחד נסע במשך שעתיים במהירות 621אוטובוס נוסע (72 דקות. הוא המשיך בדרכו במהירות הגדולה 21לאחר מכן עצר הנהג להתרעננות למשך

קמ"ש ממהירותו הרגילה ולכן הגיע שעה מוקדם יותר מהזמן הרגיל. 21-ב מצא את מהירות נסיעתו של האוטובוס.

12

קמ"ש. 21השני היא קמ"ש ומהירות 61אחד היא שני אוטובוסים יצאו מחניון. מהירות ה (71ק"מ ומה 21מסלול הנסיעה שלהם זהה. חשב כעבור כמה זמן יהיה המרחק ביניהם

המרחק שעבר האוטובוס המהיר?

הולך רגל עובר מרחק מסוים במהירות קבועה במשך שעה ורבע. יום אחד האט את (74 ך הרגל.דקות. מצא את המרחק שעובר הול 11-קמ"ש ולכן ארכה דרכו שעה ו 1-מהירותו ב

ק"מ יצאו בו זמנית שתי מכוניות ונסעו זו לקראת זו. 121משני מקומות שהמרחק ביניהן (78קמ"ש ממהירות המכונית האחרת. אחרי שעתיים וחצי 31-מהירות מכונית אחת גדולה ב

ק"מ. מצא את מהירויות כלי הרכב. 211המרחק ביניהם היה

בבוקר. מהירות 8:11מכוניות יצאו זו לקראת זו בשעה 2ק"מ. 131ערים הוא 2המרחק בין (71נפגשו 11:11ממהירות המכונית הראשונה. בשעה 12%-המכונית השנייה גדולה ב

המכוניות. מצא את המהירויות של המכוניות.

עברה ירות קבועה. בדרכה חזרה ק"מ במה 181מכונית נסעה מעיר לכפר מרחק של (772

3

קמ"ש ממהירותה הרגילה ואת שארית הדרך עברה 21-מהדרך במהירות הגדולה בות מדרכה דק 11-לה. דרכה חזרה הייתה קצרה בממהירותה הרגי 21%-במהירות הקטנה ב

הלוך. מצא את מהירות המכונית.

פיתגורס. בסרטון זה מוסבר כיצד פותרים בעיות תנועה באמצעות משפט (78

ה. אחת נסעה צפונה והאחרת נסעה מזרח שתי משאיות יצאו בו זמנית מת"א. .א

קמ"ש ממהירות המשאית שנסעה מזרחה. 61-מהירות המשאית שנסעה צפונה גדולה ב ק"מ. חשב את המהירות של כל משאית. 211כעבור שעתיים היה המרחק ביניהן

B-ל A-וע נוסע במהירות קבועה מק"מ. רוכב אופנ 18הוא B-ל Aהמרחק בין עיר .ב

C-ל A-אך יום אחד הוצף הכביש ולכן נאלץ לנסוע בכביש עוקף. תחילה נסע מ

ניצב לקטע C-ל A-ידוע כי קטע הנסיעה מ. B-ל C-ולאחר מכן מ

כמתואר באיור הסמוך. C-ל B-הנסיעה מ

ארכה שעה אחת ואילו כל B-ל C-הנסיעה מ דקות יותר מהרגיל. 21הנסיעה כולה ארכה

מהירות רוכב האופנוע לא השתנתה.

ואת C-ל Bמצא את המרחק בין מהירות רוכב האופנוע.

A

C B

21

בעיות מילוליות: –שאלות מסכמות

שקלים xחברת "דפוסי יצחק בע"מ" רכשה כמות מסוימת של חבילות דפי מחשב במחיר (79בהזמנה הבאה רכשה החברה כמות גדולה יותר ₪. 8,111לחבילה ושילמה סכום כולל של

לחבילה. מבדיקה שערך רואה ₪ 2של חבילות דפי מחשב ובעקבות כך קיבלה הנחה של מהתשלום של ₪ 111-החשבון של החברה עלה כי התשלום עבור ההזמנה השנייה היה גדול ב

ההזמנה הראשונה.

רכשה החברה בהזמנה הראשונה.שאת כמות החבילות xאמצעות הבע ב .i .א

ii . הבע באמצעותx רכשה החברה בהזמנה השנייה.שאת כמות החבילות

חבילות יותר מאשר בהזמנה 21אם ידוע כי בהזמנה השנייה נרכשו xמצא את .ב הראשונה.

כתוב את אחוז ההנחה ליחידה שקיבלה החברה בהזמה השנייה. .ג

.₪ 21,111סכום כולל של גיטרות ב xבעל חנות כלי נגינה קנה (80

גיטרות נפגמו ולכן לא נמכרו כלל. 3 . 11%את שאר הגיטרות מכר בעל החנות ברווח של

₪. 18,111בעל החנות הרוויח בעסקה זו

?בעל החנות כמה גיטרות קנה .א

איזה מחיר שילם בעל החנות על כל גיטרה? .ב

כמה הרוויח בעל החנות ממכירה של כל גיטרה? .ג

₪. 22,111רצפה בסכום כולל של מרצפות x רכשקבלן (81 נשברו בהובלה ולכן לא נמכרו. מרצפות 21

. 21%רווח של מכר הקבלן ב המרצפות את שאר ₪. 8,311סה"כ הרוויח הקבלן בעסקה

קנה הקבלן? מרצפותכמה .א

? מרצפהכמה כסף שילם הקבלן עבור כל .ב

₪. 3,111ושילם עבורם סכום כולל של במכרז קנה מחשב ומדפסת לאושמ (82

.11%את המחשב ברווח של ו 11%את המדפסת בהפסד של לאושמ ימים, מכרלאחר חודש ₪. 1,611במחיר כולל של המוצרים מכר את שני ידוע כי שמואל

? ובכמה כסף קנה את המדפסת את המחשב שמואלבכמה כסף קנה

את הבד מהסוג הראשון הוא מכר בהצלחה ₪. 211סוחר קנה שני סוגי בד במחיר כולל של (81 .12%אך את הבד השני הוא מכר בהפסד של 62%בה ברווח של ר

₪. 1,113הסוחר מכר את הבדים במחיר כולל של כמה שילם הסוחר עבור שני סוגי הבדים?

21

סוסים ברווח של 3 לאחר שנה מכר החוואי. פוני במחיר זהה לסוס סוסי 12חוואי קנה (84 מכר ללא רווח.ממחלה נדירה ואת שאר הסוסים הוא מתו יםשני ,32%

₪. 1611סה"כ הפסיד החוואי

?פוני כמה שילם החוואי עבור כל סוס .א

מרוויח מהעסקה? החוואי אם רק סוס אחד היה מת, האם היה .ב אם לא נמק, אם כן בכמה היה מרוויח?

21%-לאחר שנה מחיר השמיכה הוזל ב₪. 381המחיר של שמיכה וזוג כריות הוא (88 ₪. 888שמיכות הוא 2-כריות ו 2כעת המחיר של .21%-באך מחיר הכריות התייקר

מה היה המחיר הראשוני של כרית? .א

כמה עולה שמיכה לאחר ההוזלה? .ב

אכסניית נוער מעוניינת לרכוש שמיכות וכריות עבור מיטות יחיד למספר חדרים .ג )כמות זהה של שמיכות וכריות(. האם כדאי להנהלת האכסניה לרכוש את השמיכות

במחירים המקוריים או לאחר שנה? נמק.והכריות

סא.ישקלים מהמחיר של כ 21-שרפרפים גדול ב 1המחיר של (81 3, המחיר של 12% -סא הוזל ביומחיר הכ 32% -לאחר שמחיר השרפרפים התייקר ב

סא אחד.יהיה זהה למחיר של כ שרפרפים

סא והמחיר של שרפרף לפני ההוזלה וההתייקרות?ימה המחיר של כ .א

לאחר מהמחיר של השרפרףלאחר ההוזלה סא יהמחיר של הכ וזים גדולבכמה אח .ב ?ההתייקרות

לרשות בית ספר תקציב מסוים המיועד לרכישת כיסאות ושרפרפים. ידוע כי בית .גיותר שרפרפים מאשר כיסאות. האם כדאי לבית הספר 1הספר מעוניין לרכוש פי

אם ברצונו לרכוש כמה לבצע את הרכישה במחירים המקוריים או לאחר השינויים שיותר פריטים?

₪. 121עכברים הוא 2-ת וומקלד 3המחיר של בחנות מחשבים מסוימת, (87בהנחה שברשותה המקלדות מכרה את חנות המחשבים למבצע ויצאה לאחר חצי שנה

מקלדות 8-עכברים ו 1כעת ניתן לקנות . 11%העכברים בהנחה של אתו 21%של מיוחדת ₪. 211במחיר של

מה היו המחירים של מקלדת ושל עכבר לפני ההנחה? .א

ם )מספר זהה של משרד עו"ד מעוניין לרכוש כמות מסוימת של מקלדות ועכברי .בידוע כי אם היה רוכש המשרד את המוצרים לפני ההנחות, היה מקלדות ועכברים(.

יותר ממה שהיה משלם לאחר ההנחות עבור אותם הפריטים. כמה ₪ 211משלם ועכברים הוא קנה?מקלדות

22

₪. 18,111סוחר קנה שולחנות במחיר כולל של (88שולחנות הוא מכר ללא רווח ואת שאר 21לשולחן, 11%שולחנות הוא מכר ברווח של 11

₪. 121לשולחן. סה"כ הרוויח הסוחר בעסקאות אלו 12%הוא מכר בהפסד של השולחנות

כמה שולחנות קנה הסוחר? .א

ור כל שולחן?ם הסוחר עבלמה המחיר ששי .ב

השולחנות שמכר הסוחר במחיר שונה מזה שרכש נמכרו לשני בתי עסק. .ג בית העסק הראשון רכש כמות שולחנות במחיר הזול וכמות שולחנות במחיר היקר.

שולחנות. בית העסק השני רכש 11סך כל השולחנות שרכש בית העסק הראשון הוא ר היקר. ידוע כי בית העסק את שאר השולחנות, חלקם במחיר הזול וחלקם במחי

יותר מאשר בית העסק הראשון עבור הקנייה הנ"ל. מצא כמה ₪ 1121השני שילם שולחנות קנה בית העסק הראשון במחיר היקר.

₪. 11,111קנה מיטות במחיר כולל של IKEAסוכן של חברת (89 .81%רבע מכמות המיטות שקנה הוא מכר ברווח של

למיטה. 11%כלל ואת שאר המיטות הוא מכר בהפסד של מיטות הוא מכר ללא רווח 1 ₪. 2,211בסה"כ הרוויח הסוכן

כמה מיטות קנה הסוכן? .א

כמה שילם הסוכן עבור כל מיטה? .ב

בהנחה שהסוכן רוכש עבור החברה פעם נוספת כמות מיטות זהה ממקום אחר, .גהיה ומוכר באותם התנאים, כמה עליו לשלם עבור מיטה בודדת כדי שהרווח שלו י

)עגל את תשובתך לשקלים שלמים(.₪? 11,111לפחות

ק"ג אבקת שוקולד להכנת גלידות שוקולד. 18-ליטרים חלב ו 31בעל גלידריה קנה (90 הנחה. 11%ק"ג אבקה קיבל 1הנחה ועל כל 2%ליטר חלב קיבל 1על כל

על כל מהמחיר ששילם ₪ 66.6-ידוע כי המחיר ששילם על כל כמות החלב שרכש גדולה ב האבקה שרכש.

ק"ג אבקת שוקולד אם ידוע 1-ליטר חלב ו 1מצא את המחיר של .א

בעבור כל הקנייה.₪ 216.3כי הוא שילם

גרם אבקת שוקולד. 181-מ"ל חלב ו 311כדי לייצר כדור שוקולד אחד דרושים .ב חיר של כדור שוקולד אחד בעל הגלידריה ניצל את כל המוצרים שקנה ופרסם כי המ

וכי בקניית שני כדורי שוקולד תינתן הנחה של שקל אחד על המחיר הכולל.₪ 11הוא ₪. 612.6בעל הגלידריה מכר את כל הכדורים שברשותו והרוויח סה"כ בעסקה

מצא כמה לקוחות קנו כדור בודד וכמה קנו שני כדורים.

כמות מכירת כותנה באזור מסוים נמדדת לפי נפח הכותנה הנקנית בסמ"ק. סוחר קנה (91לאחר חודש רכש הסוחר כותנה ₪. 21,111מסוימת של כותנה ושילם עבורה סכום כולל של

. 22%-בצורת קשה עלה המחיר של נפח הכותנה ב פעם נוספת אך כעת גילה כי עקב

23

קנה כמות הקטנה ₪, 21,111כולל של היות והסוחר אינו יכול להרשות לעצמו לחרוג מסכום מת.סמ"ק מהכמות הקוד 211-ב

את כמות הכותנה שרכש xסמ"ק כותנה והבע באמצעות 1את המחיר של x-סמן ב .א .הסוחר בהזמנה הראשונה

סמ"ק של כותנה לאחר ההתייקרות. 1-מצא את המחיר ל .ב

ליחידה. עם השקת מקרר חדש הוחלט ₪ xיצרנית מוצרי חשמל מוכרת מקררים במחיר של (92 מקררים. yעקב הביקוש הרב. בשנה הראשונה להשקתו נקנו 2%-להעלות את מחירו ב

)ביחס למחירו בשנה הראשונה(. 11%-שנה לאחר מכן ירד הביקוש ולכן מחיר המקרר הוזל ב הקודמת.כעת נמכרו מספר כפול של יחידות ביחס לשנה

את הכנסתה של החברה ממכירת המקררים בשנה הראשונה. y-ו x. הבע באמצעות i .א

ii הבע באמצעות .x ו-y .את הכנסתה של החברה ממכירת המקררים בשנה השנייה

iii . הבע באמצעותy 1111את הכנסתה של החברה אם ידוע כי מחיר מקרר בודד הוא .₪

iv מצא את .x אם ידוע כי סך ההכנסות של החברה בשנתיים הנ"ל שווה להכנסה ליחידה.₪ 1111מקררים במחיר של yשל

יותר מאשר בשנה הראשונה.₪ 232,211היצרנית הרוויחה בשנה השנייה .ב מצא כמה מקררים נמכרו בשנה הראשונה.

מהמחיר של זוג כפפות. 11%-בחנות מסוימת, מחיר כובע גדול ב (91 אחוזים. p-והכפפות הוזלו ב 21%-לאחר חודש התייקר הכובע ב

כפפות לפני השינויים תשתווהזוגות 2-כובעים ו 11עבורו קנייה של pמצא את כפפות לאחר השינויים.זוגות 21-כובעים ו 1לקנייה של

₪ 21נורות מכר הסוחר ברווח של ממה 21 ₪. 1,111בסכום כולל של מנורות רוכשסוחר (94 ₪. 111נורה. בסה"כ הרוויח הסוחר בעסקה מל₪ 2מכר בהפסד של הוא נורה ואת השארמל

נורה?מובאיזה מחיר לברכישה הראשונה נורות קנה הסוחר מכמה .א

למנורה ביחס 21%בעסקה אחרת רכש הסוחר כמות מנורות מסוימת בהנחה של .בלמנורה. ידוע 21%למחיר ששילם בתחילה. הסוחר מכר אותם לבית עסק ברווח של

₪. 3211ח הסוחר בעסקה זו סה"כ כי הרווי כמה מנורות רכש הסוחר בעסקה השנייה?

שקלים. 2ואת השאר בהפסד של 12%מהם ברווח של 121תיקים. הוא מכר 121סוחר קנה (98 ₪. 111בסה"כ הפסיד הסוחר בעסקה

בכמה כסף קנה הסוחר כל תיק? .א

שקלים, האם 2שקלים במקום 2אם הסוחר היה מוכר את שאר התיקים בהפסד של .ב עדיין הוא היה מפסיד מהעסקה?

נקנו ע"י חנות מרכזית. בחודש הראשון 12%התיקים שמכר הסוחר ברווח של .ג. לאחר חודש העלתה החנות 21%למכירת התיקים, מכרה החנות כל תיק ברווח של

נוספים ופרסמה מבצע שבמסגרתו כל הקונה שני תיקים 21%-את המחיר של תיק בון וקנתה שני תיקים . חן הגיעה לחנות בחודש הראש11%יקבל את השני בהנחה של

21

ואחותה, שרית, הגיעה לחנות לאחר חודש וקנתה שני תיקים במסגרת המבצע. מי משתי האחיות שילמה מחיר ממוצע נמוך יותר?

למקום עקב תנאי מיד עם הגעתםק"ג נהרסו 11שוקולד. מוצרי ק"ג 121 בית קפה רכש (91 מכר בית הקפהאר הכמות לק"ג ואת ש₪ 3ברווח של נמכרוק"ג 11, תחזוקה רעועים

₪. 11בעסקה בית הקפהלק"ג. בסה"כ הפסיד ₪ 2בהפסד של

שוקולד?מוצרי ק"ג מהו המחיר של .א

בהזמנה נוספת רכש בית הקפה כמות מסוימת של מוצרי שוקולד ושילם עבור ק"ג .במהכמות מכר בית הקפה 11%אחד את המחיר שמצאת שסעיף הקודם. ידוע כי

. 22%מהכמות מכר בית הקפה בהפסד של 21%-ולק"ג 21%ברווח של

61%מצא באיזה מחיר צריך למכור בית הקפה את הכמות הנותרת על מנת שירוויח מהסכום שהוציא.

22

שאלות מתוך מאגר משרד החינוך:

ק"מ יוצאים זה לקראת זה שני רוכבי אופניים. 181משני מקומות שהמרחק ביניהם הוא (97

קמ"ש. 32בבוקר ורוכב במהירות קבועה של 6:11הרוכב האחד יוצא בשעה קמ"ש. 21בבוקר ורוכב במהירות קבועה של 6:31הרוכב האחר יוצא בשעה

באיזו שעה ייפגשו שני הרוכבים?

621שתי מכוניות יוצאות זו לקראת זו באותו זמן משתי נקודות. המרחק בין הנקודות הוא (98ממהירות 2קמ"ש. מהירות המכונית השנייה גדולה פי vק"מ. מהירות המכונית האחת היא

המכונית הראשונה.

מהו המרחק בין המכוניות שעה אחרי שיצאו לדרכן? .א

שעות אחרי שיצאו לדרכן? tבין המכוניות מהו המרחק .ב

ק"מ. 261שעות הוא 3אם נתון שהמרחק בין המכוניות כעבור vמצא את .ג

A-נמצאת בדיוק באמצע הדרך מ B. נקודה Cלנקודה Aמכונית נסעה בקו ישר מנקודה (99

בשעתיים. C-ל B-בשעה וחצי ואת הדרך מ B-ל A-מ. המכונית עברה את הדרך C-ל

. BCקמ"ש מהמהירות שלה בקטע 21-הייתה גדולה ב ABמהירות המכונית בקטע

.BC-ו ABחשב את מהירות המכונית בכל אחד מקטעי הדרך

מונית ומשאית יוצאות באותה שעה מעיר אחת ונוסעות באותה דרך לעיר שנייה. (100

קמ"ש. 81קמ"ש ומהירות המונית היא 11מהירות המשאית היא המשאית מגיעה לעיר השנייה שעה וחצי לאחר המונית.

חשב את המרחק שבין שתי הערים.

קמ"ש. 32ונסע במהירות של Bלכיוון עיר Aשעה מסוימת יצא רוכב אופניים מעיר ב (101

Aחצי שעה לאחר יציאתו של רוכב האופניים הראשון יצא רוכב אופניים שני מהעיר

א הרוכב הראשון עד צקמ"ש. כמה זמן עבר מרגע שי 31ונסע במהירות של Bלכיוון העיר שנפגשו שני רוכבי האופניים?

על כביש ראשי במהירות קבועה. Bלעיר Aמונית נסעה מעיר (102

מהכביש הראשי אך 11%-נסעה המונית בדרך עפר הקצרה ב Aלעיר Bבדרך חזרה מהעיר

מהווה זמן B-ל A-. איזה אחוז מזמן הנסיעה מ21%-נאצלה להקטין את מהירותה ב

? A-ל B-הנסיעה בדרך חזרה מ

21

ג קפהשקלים לק" aסוחר קנה אצל סיטונאי קפה משני סוגים: יקר וזול. הסוחר שילם (101

ק"ג קפה. 31שקלים לק"ג קפה מהסוג היקר. בסה"כ קנה הסוחר 2a-ג הזול ומהסו ששילםאת התשלום בשקלים y-את מספר הק"ג של קפה יקר שקנה הסוחר וב x-סמן ב

הסוחר לסיטונאי עבור כל הקנייה.

.x-ו aבאמצעות yהבע את .א

שקלים עבור 2281קנה הסוחר, אם שילם לסיטונאי רקהסוג הימצא כמה ק"ג קפה מ .ב שקלים לק"ג. 11כל הקנייה ומחירו של הקפה הזול היה

אגורות 21ו היה מקבל הנחה של שקלים תמורת בקבוקי שתייה. איל 81שמעון שילם (104

שקלים בלבד. 26בקבוקים פחות משקנה היה משלם בסה"כ 2לבקבוק והיה קונה מהו המחיר של בקבוק שתייה?

ובסתיו x%-בקיץ הוזילו את המחיר ב₪. 3211באביב היה המחיר של מקרר (108

. x%-שוב הוזילו את המחיר ב

את מחיר המקרר בקיץ. xהבע באמצעות .א

את מחיר המקרר בסתיו. xהבע באמצעות .ב

₪. 1811אם נתון כי מחיר המקרר בסתיו היה xחשב את .ג

. בסוף העונה נמכר המוצר בהנחה 21%-מוצר בבתקופת החגים עלה מחירו המקורי של (101

₪. 2111)מהמחיר בתקופת החגים(. מחיר המוצר בסוף העונה היה 11%של חשב את המחיר המקורי של המוצר.

ס"מ. 23ס"מ. סכום אורכי הניצבים הוא 16במשולש ישר זווית אורך היתר הוא (107

חשב את אורכי הניצבים.

ס"מ. 13תר הוא משולש ישר זווית אורך היב (108

סמ"ר. 112ההפרש בין שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים הוא

חשב את אורכי הניצבים ואת שטח המשולש. .א

חשב את אורך הגובה ליתר. .ב

ס"מ. 21ס"מ. היקף המשולש הוא 21שוקיים אורך הגובה לבסיס הוא –במשולש שווה (109

חשב את אורך השוק של המשולש. .א

המשולש.חשב את שטח .ב

חשב את אורך הגובה לשוק. .ג

26

ס"מ ומקטינים את 2-חת של המלבן בסמ"ר. אם מגדילים צלע א 661נתון מלבן ששטחו (110

סמ"ר. חשב את ממדי המלבן הנתון. 811ס"מ מקבלים מלבן חדש ששטחו 2-הצלע האחרת ב

. התקבל מלבן חדש. 21%-ב bוהקטינו את הצלע האחרת 11%-של מלבן ב aהגדילו צלע (111

איזה אחוז מהווה שטח המלבן החדש משטח המלבן המקורי? .א

סמ"ר. מהו שטח המלבן המקורי? 11שטח המלבן החדש הוא .ב

לו. ס"מ מהצלע האחרת ש 2-סמ"ר. צלע אחת של המלבן גדולה ב 311שטח מלבן הוא (112

חשב את אורכי צלעות המלבן. .א

חשב את האורך של אלכסון המלבן. .ב

ס"מ ולגלגלים האחוריים שלה רדיוס 11לגלגלים הקדמיים של עגלה רדיוס של (111

ס"מ. במהלך נסיעה מסוימת היה מספר הסיבובים של הגלגלים הקדמיים גדול 21של ממספר הסיבובים של הגלגלים האחוריים. 126-ב

איזה מרחק עברה העגלה בנסיעה זו?

את הרדיוס של העיגול האחד והקטינו 11%-לשני עיגולים אותו רדיוס. כאשר הגדילו ב (114

רסמ" 10-את הרדיוס של עיגול האחר, השטח של העיגול האחד היה גדול ב 21%-ב מהשטח של העיגול האחר. מה היה הרדיוס המקורי של העיגולים?

)ראה איור(. Oטבעת בנויה משני מעגלים בעלי אותו מרכז (118

מרדיוס המעגל הפנימי. 31%-רדיוס המעגל החיצוני גדול ב סמ"ר. 27שטח הטבעת )האפור( הוא

. חשב את הרדיוסים של שני המעגלים

)ראה איור(. Oטבעת בנויה משני מעגלים בעלי אותו מרכז (111

ס"מ מההיקף של 18.81-ההיקף של המעגל הפנימי קטן ב ס"מ. 11המעגל החיצוני. סכום הרדיוסים של שני המעגלים הוא

חשב את הרדיוסים של שני המעגלים. .א

חשב את שטח הטבעת )האפור(. .ב

שמעליו חצי עיגול. ABCDממלבן חלון מלבני (117

)ראה איור(. DCמרוחבו, 2, גדול פי BCאורך המלבן, סמ"ר. 1128השטח הכולל של החלון הוא

, הרדיוס של חצי העיגול. MBחשב את

O

O

A B

D C

M

28

חלון מורכב ממלבן ומשלושה חצאי עיגול )ראה איור(. (118

במלבן התקינו זכוכית שקופה ובשלושת חצאי העיגול מרוחבו. 1.2התקינו זכוכית אטומה. אורך המלבן גדול פי

מ"ר. 2.125שטח הזכוכית האטומה הוא חשב את רוחב המלבן.

מתוך עיגול גזרו ריבוע שאורך צלעו שווה לרדיוס העיגול. (119

סמ"ר. 131.21הוא השטח האפור שמחוץ לריבוע חשב את רדיוס העיגול.

פינותיו. 1מריבוע גזרו עיגול ע"י חיתוך של (120

סמ"ר. 81הפינות הוא 1סכום שטחי חשב את רדיוס העיגול.

22

תשובות סופיות:

חבילת קמח.₪ 12-חבילת סוכר ו₪ 11 (2שנים. 21-שנים ו 11שנים, 6. ב. 11-ו 22א. (1

₪. 331ג. ₪. 61ב. ₪. 211א. (1כוסות. 31 (8לתלמיד. ₪ 121תלמידים. 28 (4ספרים. 811 (1

₪. 0.75x .10) 0.63m .11) 2211יובל: 1.3xאלון: 0.6xיוסי: (0.8x .8) 1.35a 9ב. 0.2xא. (7

₪. 81 (₪18. 2111 (₪17. 1211-ו₪ 1211 (₪11. 1111 (₪18 121,111 (₪14 2 (₪11 811 (12

38S , 84א. (19 P .70 , 286בS P .36 , 81גS P .92 , 529דS P

30S , 30ה. P .24 , 24וS P .38 , 57.8זS P .38 , 60.32חS P

74S , 213.76ט. P .131 , 804יS P .

ס"מ. 21סמ"ר. ג. 111א. מלבן. ב. (21ס"מ. 31 ב.סמ"ר 66א. (20

Pס"מ 21ב. ס"מ. 22א. (22 ,81 ס"מS . :ס"מ 22.11 ס"מ, 21.61ג. יתרP , 112.8 סמ"רS .

3x ,2א. רוחב המלבן: (21 3 , 4 6S x x P x .4רוחב המלבן: בx ,24 , 10S x P x .

5x ,2ג. רוחב המלבן: 5 , 4 10S x x P x .רוחב המלבן: ד6

x ,

2 1 , 2

6 3

xS P x .

18רוחב המלבן: ה. x ,218S x x .רוחב המלבן: ו48

x ,

962P x

x

0.8x .21.04. רוחב המלבן: 1.3xאורך המלבן: ז. , 4.2S x P x .

4 א. (21סמ"ר. 121ס"מ. שטחו: 21 -ס"מ ו 1 (28ס"מ. 1 (24 10x .ס"מ. 6.2ב

ס"מ. 28.611 (11ס"מ. 1-ס"מ ו 3 (10ס"מ. 1-ו ס"מ 8 (29ס"מ. 11 (28ס"מ. 21 (27

א. (14ס"מ. 2-ס"מ ו 12 (11ס"מ. 31 (12484

ס"מ. 8ד. ס"מ. 2.32ג. ס"מ. 1.611 ב.

סמ"ר. 132ס"מ. שטח פנים: 1אורך צלע: (11סמ"ק. 1,211סמ"ק. ב. 11,111א. (18

ס"מ. 21.212ס"מ. ב. 2א. (18סמ"ק. 111ס"מ. נפח: 1גובה: ס"מ. X 1ס"מ 1 (17

סמ"ק. 200 א. (41ס"מ. X 2ס"מ 3סמ"ק. ב. 288א. (40מטרים. 1 (19

ס"מ. 2ס"מ. ד. 3סמ"ק. ג. 891. 2ס"מ. 2. 1ב.

שעות. 2.2קמ"ש. ה. שעתיים. ו. 22קמ"ש. ד. 811ק"מ. ג. 8ק"מ. ב. 211א. (41

שעות. 1דקות. ו. 18דקות. ה. 2דקות. ד. 12דקות. ג. 12דקות. ב. 31א. (44

דקות. 62דקות. י. 122דקות. ט. 81שעות. ח. 2.2ז.

קמ"ש. 1,111-קמ"ש ו 1,211 (48קמ"ש. 181-קמ"ש ו 11 (47ק"מ. 12 (41ק"מ. 381 (48

שעות. 2.122שעות. ב. 2.1א. (80קמ"ש. 18.26דקות. ד. 12-קמ"ש. ג. שעה ו 11דקות. ב. 12א. (49

ק"מ. 12קמ"ש. ב. 22.2קמ"ש, 6.2א. (84ק"מ. 311 (81קמ"ש. 11 (82קמ"ש. 111. ב. א. שעה (81

31

ק"מ. 311 (88 ק"מ. 311 (87 קמ"ש. 62קמ"ש, מכונית א' 21מכונית ב' (81 ק"מ. 62, 12:11 (88

קמ"ש. 21קמ"ש, 18 (11ק"מ. 11 (10ק"מ. 281ק"מ, מכונית: 311, רכב משא: 11:11 (89

קמ"ש. 2.2-קמ"ש ו 12.2 (18ק"מ. 181 (14קמ"ש. 11קמ"ש, אוטובוס: 21ית: משא (11. 2:11 (12

ק"מ. 111 (70קמ"ש. 12 (19ק"מ. 11, 8:31 (18 ק"מ. 31 (17קמ"ש. 111-קמ"ש ו 211 (11

קמ"ש. 12-קמ"ש ו 32 (78ק"מ. 2 (74"מ. ק 162שעות, 2.2לאחר (71קמ"ש. 81 (72קמ"ש. 18 (71

קמ"ש. 11ק"מ, 11קמ"ש. ב. 121-קמ"ש ו 21א. (78קמ"ש. 11 (77קמ"ש. 112קמ"ש, 111 (71

. iא. (798000

x ii .

8000

2x ₪. 1211ג. ₪ 2211גיטרות. ב. 21א. (80. 11%ג. ₪. 21ב.

₪. 111-מדפסת ב₪, 3111-מחשב ב (82. ₪ 88 בלטות. ב. 221א. (81

₪ 111ב. ₪ 111א. (₪88. 21ב. היה מרוויח ₪. 1811א. (₪84. 211-ו₪ 111 (81

(3)פי 211%-ב. ב₪ 21-ו₪ 111א. (81ג. כדאי לקנות לאחר שנה ללא תלות במספר החדרים.

יחידות מכל מוצר. 21ב. ₪. 21-ו₪ 81א. (87ג. במחירים המקוריים.

₪(. 181שולחנות במחיר היקר ) 1ג. בית העסק הראשון רכש ₪ 311ב. 11א. (88

₪. 2211ולכן נעגל: ₪ 2213.12ג. המחיר המדויק: ₪. 2111מיטות. ב. 12א. (89

קנו כדור בודד. 11-קנו שני כדורים ו 31ב. ₪. 1-וק"ג אבקה ב₪ 2-. ליטר חלב בא (90

א. (912000

x יחידות. 211ב. ₪. i .1.05xy ii .1.89xy iii .4116y iv .1111א. (₪92. 22. ב.

₪(. 11.21ב. לא. ג. שרית )₪. 11א. (98נורות. 111לנורה. ב. ₪ 81-נורות ב 21א. (94 21% (91

720א. (98 .11:31בשעה (₪97. 8ב. ₪. 1א. (91 3v .720ב 3vt .קמ"ש. 21ג

99) AB :81 .קמ"שAC :11 .62% (102 .שעות 1.2כעבור (101ק"מ 311 (100קמ"ש

30yא. (101 ax a .שקלים. 1 (104ק"ג 13ב

3200 א. (108 1100

x

ב.

2

3200 1100

x

ס"מ. 8ס"מ, 12 (₪107 2111 (101 22%ג.

ס"מ. 28.8סמ"ר. ג. 132ס"מ ב. 31א. (109ס"מ. 1.112סמ"ר. ב. 31ס"מ, 2ס"מ, 12א. (108

. ס"מ 22ס"מ. ב. 12ס"מ, 21א. (112סמ"ר 21ב. 88%א. (111ס"מ. 22ס"מ, 32 (110

111) 628 מ.ס" 8.13ס"מ, 1.22 (118מטרים 1.188 (114מטרים

ס"מ. 12.212 (117סמ"ר. 131.88ס"מ. ב. 8.2ס"מ, 2.2א. (111

ס"מ. 11 (120ס"מ 8 (119מטרים. 2 (118

31

:גיאומטריה אנליטית – 2פרק

הישר:

הגדרות בסיסיות:

בסרטון זה מוסבר מהי מערכת הצירים וכיצד ממקמים נקודה על גבי (1 מערכת הצירים.

2)

הבאות צייר את הנקודות .א על גבי מערכת הצירים הבאה.

כתוב את שיעורי הנקודות .ב

F , G , H , I , J כפי שהן מופיעות על גבי

מערכת הצירים.

חיתוך עם הצירים ובין ישרים:

.-וציר ה -בסרטון זה מוסבר כיצד מוצאים נקודת חיתוך של ישר עם ציר ה (1

. -ו נתונים הישרים:

מצא את נקודות החיתוך של הישרים עם הצירים. .א

מצא את נקודת החיתוך בין שני הישרים. .ב

מרחק בין שתי נקודות:

בסרטון זה מוסבר כיצד מוצאים מרחק בין שתי נקודות. (4

A 1,6 , B 6, 1 , C 0, 5

D 6,0 , E 2,3

xy

4y x 2y x

6

-3 654321-1-2-4-5-6

5

-1

-6

-5

-4

-3

-2

1

2

3

4

G

H

I

F

x

y

J

32

.מצא את המרחקים הבאים: (8

חשבו את המרחקים בין זוגות הנקודות הבאות: (1

.ב .א

.ד .ג

מצא את אורכי הצלעות של משולש שקדקודיו הם: (7 A 14, 1 , P 9,4 , N 8, 3 .

משוואת הקו הישר:

בסרטון זה מוסבר מהי משוואת הקו הישר וכיצד מוצאים אותה. (8

במשוואות הקו b-ו בסרטון זה מוסברת משמעות המקדמים (9yהישר: mx b .ומוסבר כיצד מחשבים את שיפוע הקו

את משוואת הישר עפ"י השיפוע והנקודה שעליו: מצא (10

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

AC, CD, EB, BF, MF, MN, AM

A 7,1 , B 10,5 A 0,-4 , B -8,11

A -3,7 , B 11,9 M -1,5 , N -7,5

m

3,4 , 2m 0, 1 , 3m

-2,5 , 0m 2,8 , 3m

0,-7 , 0.5m -1,-3 , 0m

5

-8,2 , 8

m 0,0 , 1m

x

N(10,-3)

M(10,8)

F(10,0)

A(0,8)

B(-4,0)E(-7,0)

D(0,-3)

C(0,5)

y

33

את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות הנתונות: מצא (11

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

.ט

ישרים מקבילים:

.בסרטון זה מוסבר כיצד לבדוק האם שני ישרים מקבילים (12

מקביל לישר העובר דרך -ו האם הישר העובר דרך הנקודות .א

?-ו הנקודות

?מקביל לישר האם הישר .ב

?מקביל לישר -ו האם הישר העובר דרך הנקודות: .ג

מצאו את משוואת הישר המקביל לישר הנתון ועובר דרך הנקודה שלידו: (11

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

ישרים מאונכים:

על השיפוע של שני ישרים מאונכים.בסרטון זה מוסבר (14

מצאו את השיפוע של הישר המאונך לישר הנתון בכל אחד מהמקרים הבאים:

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

6,5 , 4,1 -5,1 , 7, 9

3,4 , 2,4 2,-1 , 2,7

1,8 , 3,6 0,6 , -4,-6

-2,3 , 4,2 4,-2 , 7,-2

3,5 , 3,9

(1, 5)(3,7)

( 1, 2) (0,4)

2 6 4 0y x 3y x

(1, 5)(4, 3)3 2 9y x

1,0 , 3 5y x 5,7 , 4 9y x

2, 3 , 7 12y x 1,7 , 5y

0,0 , 4 7 18 0y x 0,0 , 5 4 9 0y x

4 11y x 1

52

y x 1

3y x

42

5y x 7 2 14y x 4 3 19x y

31

מצא את שיפוע הישר המאונך לישר העובר דרך הנקודות: (18 A 7,2 , B 4,7.

ענה על השאלות הבאות: (11

האם הישרים .א7

45

y x ו- 5

37

y x ?מאונכים

2האם הישרים: .ב 3 10 , 3 2 6y x y x .מאונכים? נמק

3y , 2האם הישרים: .ג x ?מאונכים

את משוואת הישר המאונך לישר הנתון והעובר דרך הנקודה שמצוינת לידו: כתוב (17

.ב .א

א. מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (18 1,3 ומאונך לישר

העובר דרך הנקודות: 4,4 , 3,5.

4xצא את משוואת הישר המאונך לישר מב. :ועובר דרך הנקודה 1, 2.

אמצע קטע:

כיצד מוצאים נקודת אמצע קטע כאשר נתונות נקודות הקצה.בסרטון זה מוסבר (19

נתונות הנקודות: A 5,4 , B . ABשל הקטע M. מצא את שיעורי נקודת האמצע 11,14

AB:את נקודת האמצע של הקטע מצא (20 B 8,9 , A 6, 3.

ששיעורי קדקודיו הם: ABCנתון משולש (21 A 4,2 , B 2,4 , C 6,8 .

. BCלצלע ADמצא את משוואת התיכון

בסרטון זה מוסבר כיצד מוצאים נקודת קצה קטע כאשר נתון הקצה השני ונקודת האמצע. (22

. ידוע כי: ABנתון הקטע A . ושיעורי אמצע הקטע הם:8,3 M 5,1.

. ABשל הקטע Bמצא את שיעורי נקודת הקצה

היא קצהו השני: A-היא אמצעו ו Pאת קצה הקטע שבו הנקודה מצא (21 A 5,1 , P 3, 6.

6,9 , 2 4y x 6,11 , 3 7 21y x

32

הוכחות צורות מישוריות:

שקדקודיו:ABC נתון משולש (24 A 4,0 , B 0,3 , C . הוכח כי הוא ישר זווית.10,8

שקדקודיו:ABC נתון משולש (28 A 4,4 , B 3, 2 , C 5,2 .הוכח כי הוא שווה שוקיים .

ששיעורי קדקודיו הם:ABCD נתון מרובע (21 A 2,1 , B 4,5 , C 8,6 , D 6,2 .

הוכח כי המרובע הוא מקבילית.

ששיעורי קדקודיו הם:ABCD נתון מרובע (27 A 3,1 , B 9,3 , C 10,0 , D 4, 2 .

הוא מלבן.הוכח כי המרובע ששיעורי קדקודיו הם:ABCD נתון מרובע (28 A 5, 3 , B 6,4 , C 11,9 , D 10,2 .

הוכח כי המרובע הוא מעוין.

ששיעורי קדקודיו הם:ABCD נתון מרובע (29 A 1, 1 , B 3,1 , C 1,5 , D 3,3 .

הוכח כי המרובע הוא ריבוע.

ששיעורי קדקודיו הם:ABCD נתון מרובע (10 A 5,16 , B 10,17 , C 14,10 , D 4,8 .

הוכח כי המרובע הוא טרפז שווה שוקיים.

:שאלות מסכמות

ששיעורי קדקודיו הם: ABCנתון משולש (11 A 4,6 , B 1, 3 , C 4,2 .

.BCמצא את משוואת הצלע .א

(.BCנקודה על הצלע D) BCלצלע ADמצא את משוואת הגובה .ב

. Dמצא את שיעורי הנקודה .ג

.BC, ואת אורך הצלע ADמצא את אורך הגובה .ד

. ABCחשב את שטח המשולש .ה

הן: ABCמשוואות הצלעות של משולש (121

AB : 1 , BC : 1 , AC : 0.5 2 8

y x y x y x

.A, B, Cמצא את שיעורי קדקודי המשולש: .א

. מצא את משוואתו.BCלצלע ADמורידים גובה .ב

.ACמצא את משוואת התיכון לצלע .ג

31

שקצותיו: ABנתון קטע (11 A 2, 3 , B 6,1 .

.ABמצא את משוואת האנך האמצעי לקטע .א

7yהישר .ב חותך את האנך האמצעי בנקודהC .

. ACואת אורך הקטע Cמצא את שיעורי הנקודה

שקדקודיו הם: ABCDבאיור שלפניך נתון מרובע (14

A 0,10 , B 6,3 , C 6, 3 , D 6,7 .

.BC-ו ADכתוב את משוואות הישרים .א

הסבר מדוע המרובע הוא טרפז. .ב

הוא גובה הטרפז. AEנתון כי .ג

i. מצא את משוואת הישרAE .

ii. מצא את שיעורי הנקודהE.

שקדקודיו הם: ABCבאיור שלפניך נתון משולש (18

A 2,6 , B 2, 4 , C 8, 2 .

.BCמצא את משוואת הגובה לצלע .א

.BCמצא את משוואת התיכון לצלע .ב

הוכח כי המשולש הוא שווה שוקיים. .ג

)אפשר להסתמך על סעיפים קודמים(.

חשב את שטח המשולש. .ד

. M. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה ABCDנתון מעוין (11

ידוע כי: A 7,9 , C 1, 3 .

.Mמצא את שיעורי הנקודה .א

.BDמצא את משוואת האלכסון .ב

.x-נמצאת על ציר ה Bאם ידוע כי D-ו Bמצא את הקדקודים .ג

חשב את שטח המעוין. .ד

קדקודיו הם: שלושה מש ABCDבאיור שלפניך נתון מרובע (17

A 2, 2 , B 12, 12 , D 6,6 .

(,Oמראשית הצירים ) Aמצא את המרחקים של הקדקודים .א

B מראשית הצירים ו-D .מראשית הצירים

ידוע כי סכום המרחקים של כל הקדקודים מהראשית

28הוא: יחידות. 2

x

y

A

B

C

D

E

x

y

A

B

C

x

y

A

B

C

D

M

x

y

A

B

C

D

O

36

מהראשית? Cמהו המרחק של הקדקוד .ב

נמצאות על ישר אחד. O-ו A ,Cידוע כי הנקודות .ג

כתוב את משוואת הישר העובר דרך הנקודות הנ"ל.

ברביע הראשוןC (C .)מצא את שיעורי הנקודה .ד

.x-ה ציר על נמצאת היא כי וידוע AB הבסיס אמצע היא E הנקודה. טרפז הוא ABCD המרובע (18 הם B הנקודה שיעורי 3,2 והצלעAD 5: הישר על מונחתx .

.E-ו Aמצא את שיעורי הנקודות .א

השלישי. ברביע D-ו80 הוא DE הקטע נתון כי אורך

.D הנקודה שיעורי את מצא .ב

. DEחשב את שיפוע הישר המונח על הקטע .ג

DECהוא ישר זווית ) DECהמשולש 90 .)

נתון כי: C 5, 3.

.DEC המשולש שטח את חשב .ד

באיור שלפניך מתוארים הישרים הבאים: (19

8yשמשוואתו: Iישר x . ישרII :6שמשוואתוy x .

.Bבנקודה x-חותך את ציר ה IIוישר Aבנקודה x-חותך את ציר ה Iישר

.Pבנקודה Iאשר חותך את ישר Bמהנקודה IIמעבירים אנך לישר

.IIכתוב את משוואת האנך לישר .א

.Pמצא את שיעורי הנקודה .ב

. האנך חותך את Aמהנקודה x-מעבירים אנך לציר ה .ג

. Qמצא את שיעורי הנקודה .Qנקודה ב IIהמשך הישר

. APBQחשב את שטח הטרפז .ד

שקדקודיו הם: ABCבאיור שלפניך נתון משולש (40

A 16, 12 , B 6,8 , C 4,3

.ACהעתק את האיור למחברתך ומצא את אורך הצלע .א

ומצא את ACעל הצלע Dסמן נקודה .i .ב

.ACלצלע BDמשוואת התיכון

ii. חשב את אורך התיכוןBD .

הוא ישר זווית. ABCהראה כי המשולש .ג

)אפשר להסתמך על סעיפים קודמים(.

. ABDחשב את היקף המשולש .ד

x

y

A

B

Q

P

x

y

A

B

C

38

M

2שמשוואתו היא: ABהיא אמצע הקטע Dהנקודה (41 4

3 3y x .

הם Aעורי הנקודה יש 8,4 ו-B היא נקודת החיתוך של הישר

.x-עם ציר ה

.D-ו Bמצא את שיעורי הנקודות .א

.Cבנקודה y-מעלים אנך שחותך את ציר ה Dמהנקודה

? נמק את תשובתך.ABCאיזה משולש הוא המשולש .ב

.Cחשב את שיעורי הנקודה .i .ג

ii. חשב את שטח המשולשABC.

. ABCDבאיור שלפניך מתוארת מקבילית (42

8yמונחים על הישרים: BD-ו ACהאלכסונים x 4-וy בהתאמה.

8xמונחת על הישר: CD. הצלע Mידוע כי האלכסונים נחתכים בנקודה . .Mמצא את שיעורי הנקודה .i .א

ii. .מצא את שיעורי הנקודות של קדקודי המקבילית

.ABכתוב את משוואת הצלע .ב

חשב את היקף המקבילית. .ג

הם Aושיעורי הנקודה 3הוא BCידוע כי שיפוע הצלע ABCDבמרובע (41 1,4.

נמק. איזה מרובע הוא? .א

נתון גם: BC CD

190 , , D 4,13

3d m .

איזה מרובע הוא כעת? הראה חישוב מתאים. .ב

נתון גם: B 8,7.

איזה מרובע הוא כעת? הראה חישוב מתאים. .ג

.ABCDחשב את שטח המרובע .ד

B A

D C

32

הישר: -שאלות מתוך מאגר משרד החינוך

נתונות הנקודות: (44 A 1,2 , B 1,6.

. ABומאונך לישר Aמצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה .א

מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה .ב C 2, 3 ומקביל לישרAB .

0.5yהיא: BCמשוואת הצלע ABCבמשולש (48 x וקדקודA :הוא 4,8.

יחידות אורך. 1הוא BCנתון כי אורך הצלע

.BCמשוואת הגובה לצלע אתמצא .א

. ABCחשב את שטח המשולש .ב

נתון משולש שקדקודיו הם: (41 A 1,0 , B 3,1 , C 1,5.

הוכח כי המשולש הוא ישר זווית. .א

האם המשולש הוא שווה שוקיים? .ב

7yנמצאת על הישר: Bהנקודה (47 מרחק הנקודה .B מציר ה-y שווה למרחקה

מהנקודה A . Bשל הנקודה x-שיעור ה את. מצא 2,3

הם: ABCDקדקודי המרובע (48 A 8,6 , B 12,4 , C 11,1 , D 5,4 .

הוכח כי המרובע הוא טרפז.


הוכח כי המרובע הוא טרפז שווה שוקיים.


הוכח כי המרובע הוא מקבילית.


הוכח כי המרובע הוא מעוין.

הם: ABCDא. קדקודי המרובע (82 A 4,2 , B 0,6 , C 3,3 , D 1, 1 .

הוכח כי המרובע הוא מלבן.

ב. האם המלבן הזה הוא גם ריבוע? נמק את תשובתך.

11

שני קדקודים סמוכים הם: ABCDבמעוין (81 A 3,1 , B 7,4.

2היא: ACמשוואת האלכסון 5y x .

.BDמצא את משוואת האלכסון .א

מצא את שיעורי נקודת המפגש של האלכסונים. .ב

.D-ו Cמצא את שיעורי הקדקודים .ג

(. 1,2הם ) B( ושיעורי הקדקוד 2,6הם ) A, שבה שיעורי הקדקוד ABCDנתונה מקבילית (84

1מונחת על הישר: ADהצלע 6

2y x והאלכסוןBD מקביל לציר ה-x.

.Dמצא את שיעורי הקדקוד .א

.DCמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע .ב

נתון: ABCבמשולש ישר זווית (88 B 7,3 , C 3,0 , C 90 .

.A. מצא את שיעורי הקדקוד y-נמצא על ציר ה Aהקדקוד

21בציור שלפניך מסורטטים הגרפים של הפונקציות: (81 , 5

2y x y x .

יחידות. 8ואורכם x-מאונכים לציר ה CD-ו ABהקטעים

B-ו Aשל x-חשב את שיעור ה .א

.D-ו Cשל x-ואת שיעור ה

? נמק. ABDCאיזה מרובע הוא .ב

הם: ABקצות הקטע (87 A 9,0 , B 1, 4.

.ABמשוואת האנך האמצעי לקטע אתמצא .א

6yהישר .ב חותך את האנך האמצעי בנקודהC.

ABC חשב את אורך השוק של המשולש שווה השוקיים CB CA.

ABC :קדקודי משולש (88 A 8, 3 , B 9, 4 , C 14, 1 .

.ACמצא את משוואת התיכון לצלע .א

.ACמצא את משוואת הגובה לצלע .ב

?ABCאיזה משולש הוא .ג

11

:תרגול נוסף

הגדרות בסיסיות:

עבור כל מערכת צירים: A , B , C , Dכתוב את שיעורי הנקודות (89

סמן על מערכת הצירים הבאה את הנקודות: (10

A 1,2 , B 3,2 , C 5,-1 , D -7,-2 , E -6,4 , F -2,2 , G 2,-2

א. .ב

12

סמן על מערכת הצירים הבאה את הנקודות: (11

חיתוך עם הצירים ובין ישרים:

מצא את נקודות החיתוך של הישרים הבאים עם הצירים: (12

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

A 4,6 , B -2,3 , C 3,-3 , D -3,5 , E -1,7 , F 7,3 , G 4,-4

3 -6y x4 8y x

9y x 2y x

11

3y x

24

5y x

5 1

2 2y x

1 71

3 3y x

13

מצאו את נקודת החיתוך בין זוגות הישרים הבאים: (11

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

מרחק בין שתי נקודות:

חשבו את אורכי הקטעים הבאים: (14

2 2

5

y x

y x

1

5

y x

y x

2 8

1

x y

x y

5 2 9

7 4 33

x y

x y

1

3

y x

y x

4

2 4

y x

y x

2 1

4

y x

y x

3 1

2 6

y x

y x

11


.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

חשבו את שטחי המשולשים הבאים: (11

. STU ז. PQR ו. MNO ה. JKL ד. GHIג. DEFב. ABCא.

A 4,6 , B 4,2 A 2,-5 , B 2,3

A 11,-2 , B 11,5 A -6,6 , B -6,0

A 4,3 , B -2,3 A 9,1 , B -20,1

A 5,8 , B 3,8 A 12,4 , B 7,4

12

חשבו את שטחי המשולשים הבאים: (17

. STU ז. PQR ו. MNO ה. JKL ד. GHIג. DEFב. ABCא.


.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

מצא את אורכי הצלעות של משולש שקדקודיו הם: (19 A 3,7 , B 4,2 , C 5,1.

A 24,17 , B 8,5 A 1,5 , B 7,3

A 2,7 , B 10,22 A -1,2 , B 5,10

A 5,16 , B 2, 8 A 3,3 , B 7,7

A 0,1 , B 10,11 A -5,-2 , B 11, 8

11

שקדקודיו הם: ABCבמשולש (70 A 5,4 , B 2, 3 , C 6,9 מעבירים

. נתון: BCלצלע ADתיכון D . AD. מצא את אורך התיכון 2,3

שקדקודיו הם: ABCבמשולש (71 A 6,8 , B 1,20 , C 3,8 מעבירים

. נתון: BCלצלע ADתיכון D . AD. מצא את אורך התיכון 1,14

נתון משולש שקדקודיו: (72 A 2,4 , B 4,8 , C 1,8 מעבירים גובה .CD

במשולש. נתון: ABלצלע D . CD. מצא את אורך הגובה 3,6

נתון משולש שקדקודיו: (71 A 5,2 , B 13,4 , C 2,21 מעבירים גובה .CD

במשולש. נתון: ABלצלע D . CD. מצא את אורך הגובה 4,3

.הם: ABCקדקודיו של משולש (74

מצאו את אורכי צלעות המשולש. .א

משולש זה?איזה סוג .ב

שוקיים.-הוכיחו שהמשולשים שקדקודיהם נתונים הם משולשים שווי (78

. .א

. .ב

שקדקודיו ABCDבמרובע BD-ו ACמצא את אורכי האלכסונים (71

הם: A 4,12 , B 6,1 , C 7, 2 , D 8,30 .

שקדקודיו ABCDבמרובע BD-ו ACמצא את אורכי האלכסונים (77

הם: A 2,2 , B 7,7 , C 4, 4 , D 10, 10 .

שקדקודיה ABCDבמקבילית BD-ו ACמצא את אורכי האלכסונים (78

הם: A 2, 4 , B 3,1 , C 9,1 , D 8, 4 .

שקדקודיו הם: ABCDנתון מרובע (79 A 2, 3 , B 1,3 , C 6,6 , D 3,0 .

הוכח כי המרובע הוא מקבילית. .א

מצא את אורכי האלכסונים במקבילית. .ב

A 2,1 , B 1,6 , C 6,5

A 2,5 , B 6,1 , C 8,7

A 3, 1 , B 5, 1 , C 1,6

16



מצא את אורכי האלכסונים במקבילית. .ב

שקדקודיו הם: ABCD מרובענתון (81 A 4, 3 , B 2,6 , C 13, 1 , D 11,8 .


מצא את אורכי האלכסונים והראה כי מדובר במלבן. .ב

. ארבעת הקדקודים של המרובע ABCDנתון מרובע (82

הם: A 3,1 , B 8,13 , C 13,1 , D 8, 11 .הוכח שהמרובע הוא מעוין .

. ארבעת הקדקודים של המרובע ABCDנתון מרובע (81

. הוכח שהמרובע הוא מעוין. הם:


הוכח כי המרובע הוא ריבוע.

מרכז מעגל הוא: (88 M . ידוע כי הנקודה 4,2 A נמצאת על היקף המעגל. 7,6

מצא את אורך רדיוס המעגל.

מרכז מעגל הוא: (81 M 3,7 ידוע כי הנקודה . A נמצאת על היקף המעגל. 5,1

וס המעגל. מצא את אורך רדי

הנקודות: (87 A 5,2 , B 3,8 .נמצאות על היקף מעגל משני קצוותיו

מצא את אורך קוטר המעגל.

במעגל שמרכזו: (88 M 8, 10 מסמנים נקודה A ABעל היקפו ומעבירים משיק 4,7

כאשר: B 13,3 אורך רדיוס המעגל ואת אורך המשיק.. מצא את

A 2,2 , B 4,6 , C 6,2 , D 4, 2

18

משוואת הקו הישר:

חשב את השיפוע שבין זוגות הנקודות הבאים: (89

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

.י .ט

.יב .יא

חשב את השיפוע שבין זוגות הנקודות הבאים: (90

.ב .א

.ד .ג

.ה 5,7 , 5,1 ו. 3, 14 , 3, 12

.ח .ז

הישרים המקבילים לצירים הבאים:מצא את משוואות (91

ועובר דרך: x-מקביל לציר ה .א 4,2 מקביל לציר ה .ב-x :ועובר דרך 3,1

ועובר דרך: x-מקביל לציר ה .ג 1,6 מקביל לציר ה .ד-x :ועובר דרך 10, 7

ועובר דרך: y-מקביל לציר ה .ה 5,3 מקביל לציר ה .ו-y :ועובר דרך 6, 6

ועובר דרך: y-המקביל לציר .ז 14,0 מקביל לציר ה .ח-y :ועובר דרך 0, 12

מצא את משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות הנתונות: (92

.ב .א

.ג

1,10 , 3,4 7,6 , 10,9

3,5 , 8,15 4,2 , 2,10

7,8 , 1,5 14,13 , 12,3

2,-3 , 7, 5 -6,-1 , -5,-9

-3,-4 , 2,8 -3,-2 , 3,5

-1,10 , 4,5 1,-3 , 4, 2

2,10 , 2,4 7,-6 , 7,9

3,5 , 8,5 -4,10 , 2,10

2,-5 , 7, 5 -6,-9 , -5,-9

5,0 , 0,5 5,-4 , 3, 4

2,1 , 3,5

12

מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (91 4,0 ודרך נקודת החיתוך של

yהישרים: x 4-ו 5y x .

מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (94 5,8 ודרך נקודת החיתוך של

10yהישרים: x 3-ו 2y x .

מצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודה (98 7, 5 ודרך נקודת החיתוך של

3הישרים: 24y x 3-ו 5 12x y .

4מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישר: (91 16y x עם

8yונקודה החיתוך של הישר: x-ציר ה x עם ציר ה-y.

8מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישר: (97 4y x עם

7הישר: ונקודה החיתוך של x-ציר ה 16y x עם ציר ה-y.

3מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים: (98 2 1x y

3-ו 7x y :3ונקודת החיתוך של הישריםy x 3-ו 17x y .

0.5מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים: (99 5y x

2-ו 11y x :3ונקודת החיתוך של הישרים 5y x 0.5-ו 2y x .

7yמצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים: (100 x

3-ו 19y x :3ונקודת החיתוך של הישרים 2 1y x 3-וy .

מצא את נקודת החיתוך של ישר העובר דרך הנקודות: (101 0,3 וישר העובר 4,2 ,

דרך הנקודות: 6,1 , 0, 11 .

מצא את נקודת החיתוך של ישר העובר דרך הנקודות: (102 3, 2 , 3,1 וישר העובר

דרך הנקודות: 4,12.5 , 7.5, 5.

ועובר דרך הנקודה: x-מצא את נקודת החיתוך של ישר המקביל לציר ה (101 3,1 וישר ,

העובר דרך הנקודות: 5, 1 , 3,5.

21

ועובר דרך הנקודה: y-מצא את נקודת החיתוך של ישר המקביל לציר ה (104 5,5 וישר ,

העובר דרך הנקודות: 4, 3 , 2,1 .

שקדקודיו: ABCמצא את משוואות הצלעות של המשולש (108 A 4,0 , B 6,2 , C 0,8.

שקדקודיו: ABCמצא את משוואות הצלעות של המשולש (101 A 2, 1 , B 2,1 , C 2,5 .

שקדקודיו הם: ABCבמשולש (107 A 3, 2 , B 4, 1 , C 2,5 מעבירים

. נתון: BCלצלע ADתיכון D 3,2 .

מצא את משוואות הצלעות של המשולש. .א

.ADמצא את משוואת התיכון .ב

שניים מקדקודיו הם: ABCבמשולש (108 B 4,0 , C 4, 4 .

4 שמשוואתו היא: BCלצלע ADמעבירים תיכון 2y x .

.Dמצא את שיעורי הנקודה .א

3היא: ABמשוואת הצלע .ב 12y x מצא את שיעורי הקדקוד .A.

ששיעורי קדקודיה ABCDמצא את משוואות הצלעות של מקבילית (109

הם: A 2,1 , B 2, 1 , C 4,1 , D 0,3 .

ששיעורי קדקודיה ABCDמצא את משוואות הצלעות של מקבילית (110

הם: A 1,3 , B 4,5 , C 5,3 , D 2,1 .

קודיו הם:ששיעורי קד ABCDנתון מלבן (111

A 1,4 , B 1, 1 , C 5, 1 , D 5,4 .

מצא את משוואות הצלעות של המלבן. .א

מצא את משוואות האלכסונים של המלבן. .ב

מצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים במלבן. .ג

21

היא: ABCDבמלבן ACמשוואת האלכסון (1124 13

3 3y x .

0 היא: ABידוע כי משוואת הצלע 5 3 5y . x . וכי שיעורי הנקודהB :הם 5, 1.

.Aמצא את שיעורי הקדקוד .א

. -2הוא ADשיפוע הצלע .ב

. BC-ו ADמצא את משוואות הצלעות

. Cחשב את שיעורי הקדקוד .ג

חשב את היקף המלבן. .ד

הם: ABCDקדקודי מרובע (111 A 2,5 , B 3,3 , C 4,5 , D 3,7.

את משוואות הישרים של המרובע. מצא .א

הוכח כי המרובע הוא מעוין. .ב

נתון כי: ABCDבמעוין (114 A 1,6 , B 3,4 , C 5,0.

.ACמצא את משוואת האלכסון .א

. 1הוא BDשיפוע האלכסון .ב

.BDמצא את משוואת האלכסון

ששיעורי קדקודיו: ABCDנתון ריבוע (118 A 5,2 , B 2, 7 , C 7, 4 , D 4,5 .

אות הצלעות של הריבוע.מצא את משוו .א

. BD-ו ACמצא את משוואות האלכסונים .ב

הנקודה: (111 A נמצאת על היקף מעגל שמרכזו: 6,4 M כתוב את משוואת . 5,2

. MAהרדיוס

הנקודה: (117 A 10,7 :נמצאת על היקף מעגל שמרכזו M כתוב את . 12,7

. MAמשוואת הרדיוס

הנקודות (118 A -ו 6,11 B 4, 3 :נמצאות על היקף מעגל שמרכזו M 5,4.

.ABכתוב את משוואת הישר .א

. ABנמצא על הישר Mהראה כי המרכז .ב

מסעיף ב'? ABמה ניתן להסיק לגבי הישר .ג

22

הנקודות (119 A -ו 1,2 B הן קצוות קוטר במעגל שמרכזו: 11,4 M 6,3.

. ABמצא את משוואת הקוטר .א

חשב את אורך רדיוס המעגל. .ב

הנקודה .ג C המעגל. נמצאת על היקף 7,8

.MCמצא את משוואת הרדיוס

קבע אילו נקודות נמצאות על הישר הנתון ואלו לא. (120

2הישר: .א 7y x :הנקודות . A 3,13 , B 9,1 , C 4, 1 , D 5,17 .

6הישר: .ב 4y x :הנקודות . A 1,2 , B 4, 10 , C 5,10 , D 6, 20 .

18yהישר: .ג x :הנקודות . A 1,20 , B 4,14 , C 7,2 , D 12,30.

הישר: .ד2 11

3 3y x :הנקודות .

1 10A , , B 4, 1 , C 5,3 , D 10,5

2 3

.

הישר: .ה1 9

5 5y x :הנקודות .

1 17A 1,2 , B , , C 5,2 , D 4, 4

2 10

.

ישרים מקבילים:

מצאו את משוואת הישר בתרגילים הבאים: (121

.ומקביל לישר: ישר העובר דרך הנקודה: .א

.ומקביל לישר: ישר העובר דרך הנקודה: .ב

.ומקביל לישר: ישר העובר דרך הנקודה: .ג

.ומקביל לישר: ישר העובר דרך הנקודה: .ד

.ומקביל לישר: ישר העובר דרך הנקודה: .ה

מצאו את משוואת הישר בתרגילים הבאים: (122

הנקודה:ישר העובר דרך .א 5, 3 :ומקביל לישר העובר דרך הנקודות 3, 1 , 3,1 .

ישר העובר דרך הנקודה: .ב 1,1 :ומקביל לישר העובר דרך הנקודות 8,2 , 4,10.

ישר העובר דרך הנקודה: .ג 2,4 :ומקביל לישר העובר דרך הנקודות 5,1 , -4,-4.

ישר העובר דרך הנקודה: .ד 6,2 :ומקביל לישר העובר דרך הנקודות 2,0.5 , 4.5,5.5.

ישר העובר דרך הנקודה: .ה -1, ומקביל לישר העובר דרך הנקודות: 2- 1.5,2.5 , 3,-0.5.

1,35 10y x

2,93 5y x

3,42 2y x

-2,34 12y x

-3,22

3y x

23

נתון: ABCבמשולש (121 C . x-מקבילה לציר ה BC. משוואת הצלע 4,9

2היא: ABידוע כי משוואת הצלע 15y x .

.BCכתוב את משוואת הצלע .א

. Bמצא את שיעורי הקדקוד .ב

. ABC. חשב את שטח המשולש y-נמצא על ציר ה Aהקדקוד .ג

נתון: ABCבמשולש (124 A 5,2 משוואת הצלע .AB מקבילה לציר ה-y .

היא: ACידוע כי משוואת הצלע 2 16

3 3y x .

.ABכתוב את משוואת הצלע .א

. מצא את שיעוריו. x-נמצא על ציר ה Bהקדקוד .ב

. ABC. חשב את היקף המשולש 1הוא Cשל הקדקוד x-שיעור ה .ג

הם: ABCDשלושה קדקודים של מקבילית (128 A 5,3 , B 6,4 , C 2,5.

.ABמצא את משוואת הצלע .א

.CDמצא את משוואת הצלע .ב

הם: ABCDשלושה קדקודים של מקבילית (121 A 6,2 , B 5,1 , C 1,3 .

. AD-ו ABמצא את משוואות הצלעות .א

.CDמצא את משוואת הצלע .ב

. Dחשב את שיעורי הקדקוד .ג

2היא: ABמשוואת הצלע ABCDבמקבילית (127 5y x

8yהיא: ADומשוואת הצלע x :נתון . C 7,10 .

. CD-ו BCמצא את משוואות הצלעות

הם: ABCDשלושה קדקודים של מקבילית (128 A 1,3 , B 1,9 , C 5,13 .

מצא את משוואות הצלעות של המקבילית.

21

AB : 0.5הן: ABCDהמשוואות של שתי צלעות במקבילית (129 14 , BC: -9 21y x y x .

1.5היא: ACמשוואת האלכסון 6y x .

.C-ו Aמצא את שיעורי הקדקודים .א

מצא את המשוואות של שתי הצלעות הנותרות. .ב

ABCD :נתונים הקדקודים של מקבילית (110 A 2,6 , B .x-מקביל לציר ה BD. האלכסון 1,3

.BDכתוב את משוואת האלכסון .א


נמצאת ברביע הראשון. Dוכי 1הוא BDידוע כי אורך האלכסון .ג

.Dמצא את שיעורי הנקודה

. Cמצא את שיעורי הקדקוד .ד

. נתון: y-מקביל לציר ה ABCDבמקבילית BDהאלכסון (111 A 0, 2 , B 2, 3 .

.BDכתוב את משוואת האלכסון .א


נמצאת ברביע הראשון. Dוכי 8הוא BDידוע כי אורך האלכסון .ג


. ABDחשב את שטח המשולש .ד

.DC-ו BCמצא את משוואות הצלעות .ה

.Cחשב את שיעורי הקדקוד .ו

.ABCDחשב את שטח המקבילית .ז

? ABD ושטח המשולש ABCDמה ניתן לומר על שטח המקבילית .ח

ישרים מאונכים:

ועובר דרך הנקודה: x-מצא את משוואת הישר המאונך לציר ה (112 3,6.

ועובר דרך הנקודה: x-מצא את משוואת הישר המאונך לציר ה (111 5,2.

ועובר דרך הנקודה: y-המאונך לציר המצא את משוואת הישר (114 3,6.


1.5-ו 5y x ומאונך לציר ה- x.

22

4מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים: (111 5y x

3-ו 11 0x y ומאונך לציר ה- y.


-ו2 7

3 3y x :2ומאונך לישר 1y x .

3מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים: (118 10y x

0.25-ו 3.5y x :6ומאונך לישרy x .

מצא את משוואת הישר המאונך לישר העובר דרך הנקודות: (119 4, 1 , 4,1 ועובר

בנקודה: 2,4.

מצא את משוואת הישר המאונך לישר העובר דרך הנקודות: (140 6,3 , 4, 11 ועובר

בנקודה: 3,5.

2מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים: (141 3 26x y

3-ו 4x y :ומאונך לישר העובר דרך הנקודות 2,5 , 12,4 .

2.5מצא את משוואת הישר העובר דרך נקודת החיתוך של הישרים: (142 4.5y x

0.4-ו 4.2y x :ומאונך לישר העובר דרך הנקודות 15,5 , 6,12.

האם הם מקבילים, מאונכים או שאינםלפניכם זוגות ישרים. קבעו לגבי כל זוג (141 .מקבילים ואינם מאונכים

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

4

4

y x

y x

3 12

3 4

y x

y x

5 10

5 10

y x

y x

6

6

y x

y x

12 12

12 12

y x

y x

7 5

7 4

y x

y x

21

הוא ישר זווית ABCהמשולש (144 B 90 :ידוע כי . A 1,1 , B 2,3 .

. 12הוא Cשל הקדקוד x-שיעור ה

. Cשל הקדקוד y-מצא את שיעור ה .א

. ACמצא את משוואת הצלע .ב

.BC-ו ABמצא את אורכי הצלעות .ג

חשב את שטח המשולש. .ד

הוא ישר זווית ABCהמשולש (148 B 90 :ידוע כי . A 3, 1 , C 2, 2 .

בחלקו החיובי. y-נמצא על ציר ה Bהקדקוד

.Bמצא את שיעורי הקדקוד .א

.BCכתוב את משוואת הישר של הצלע .ב

חשב את שטח המשולש. .ג

הוא ישר זווית ABCהמשולש (141 C 90 :ידוע כי . A 2, 3 , C 1,9 .

.x-נמצא על ציר ה Bהקדקוד

.Bמצא את שיעורי הקדקוד .א

.ABכתוב את משוואת הישר של הצלע .ב


הוא ישר זווית ABCהמשולש (147 C 90 . הקדקודC נמצא על ציר ה-x והקדקודA

18נמצא על הישר: A. ידוע כי הקדקוד y-נמצא על ציר ה 3y x :וכי B 10,13.

.C-ו Aמצא את שיעורי הקדקודים .א

כתוב את משוואות הישר של כל צלעות המשולש. .ב


4 היא: ABCבמשולש ABמשוואת הצלע (148 11y x ושיעורי הקדקודC :הם 3,1.

. ABמצא את משוואת הגובה לצלע

היא: ABCבמשולש ABמשוואת הצלע (1491 3

8 4y x ושיעורי הקדקודC :הם 2,4.


26

נתון: ABCבמשולש (180 A 6,2 , B 5,1 , C 1,3 .

. BCמצא את משוואת הגובה לצלע

נתון: ABCבמשולש (181 A 2,4 , B 6, 2 , C 3,4 .


נתונים שיעורי הקדקודים: ABCDבמלבן (182 A 2,2 , B 1, 2 .


. BCמצא את משוואת הצלע .ב

. x-נמצא על ציר ה Cהקדקוד .ג

i. מצא את שיעורי הקדקודC.

ii. מצא את משוואת הצלעCD .

נתונים שיעורי הקדקודים: ABCDבמלבן (181 B 10,5 , C 16, 15 .

.AB-ו BCמצא את משוואות הצלעות .א

.A. מצא את שיעורי הקדקוד y-נמצא על ציר ה Aהקדקוד .ב

.ABCDחשב את היקף המלבן .ג

. ABCDחשב את שטח המלבן .ד

נתונים שני הקדקודים הבאים: ABCDבמלבן (184 A 1,2 , B 4,3.


7משוואת אחד האלכסונים במלבן היא: .ב 5y x .

.BD-או ל AC-לאיזה אלכסון המשוואה שייכת, לקבע

.BCמצא את משוואת הישר .ג

. Cמצא את שיעורי הנקודה .ד

3היא: ACמשוואת האלכסון ABCDבריבוע (188 2y x שיעורי הקדקודB :הם 1 7,.

.BDמצא את משוואת האלכסון

נתון: ABCDבריבוע (181 A 1,2 , B 4,3 , D 0,5 .

.BDמצא את שיפוע האלכסון .א

. ACמצא את משוואת האלכסון .ב

.BCמצא את משוואת הצלע .ג

. Cמצא את שיעורי הקדקוד .ד

28

נתונים הקדקודים הבאים: ABCDבריבוע (187 A 1,2 , B 0, 2 .

היא: ACמשוואת האלכסון 3 7

5 5y x .

.ABמצא את שיפוע הצלע .א

. ADמצא את משוואת הצלע .ב

.BDמצא את משוואת האלכסון .ג

. Dמצא את שיעורי הקדקוד .ד

3היא: Mבמעגל שמרכזו AMמשוואת הרדיוס (188 2y x .

מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה: A 6,16.

משוואת משיק למעגל בנקודה (189 A 5היא: 4,1 19y x .

במעגל. MAמצא את משוואת הרדיוס

מצא את משוואת המשיק למעגל שמרכזו: (110 M בנקודה: 4,7 A 2,13.

מצא את משוואת המשיק למעגל שמרכזו: (111 M 5,2 :בנקודה A 3,4.

אמצע קטע:

מצאו את אמצע הקטע שקווצותיו נתונים בסעיפים הבאים: (112

.א 12,6 .ב 4,2 ,

.ד .ג

.ו .ה

.ז

. מצאו את שיעורי אמצעי צלעותיו.ABCנתונים קדקודיו של המשולש (111

. .א

. .ב

8,3 , 5,1

6, 2 , 6,16 4, 8 , 1, 5.5

8,0 , 10, 4 1 1 3 1, , 1 ,5

2 4 4 4

2 1 1, 2 , 4 ,

3 3 4

A 2,3 , B 2,6 , C 5,1

A 2,1 , B 2,7 , C 5,3

22

שבה: ABCDנתונה מקבילית (114

.

. ABCDבמקבילית Mמצא את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים

נתון: ABCDבמקבילית (118 B 2,7 , D 4,5 .מצא את שיעורי נקודת מפגש האלכסונים .

שבו: ABCDמצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים במלבן (111 A 6,1 , C 1,2.

נתונים הקדקודים: ABCDבמלבן (117 A 4, 4 , C 5,2 .

.ACמצא את משוואת האלכסון .א

מצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים במלבן. .ב

שבו: ABCDמצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים במעוין (118 A 1,3 , C 3,6.

. ידועים שיעורי הקדקודים הבאים: ABCDנתון מעוין (119 B 5,6 , D 13,0.

.BDמצא את משוואת האלכסון .א

מצא את נקודת מפגש האלכסונים במעוין. .ב

. ACמצא את משוואת האלכסון .ג

שבו: ABCDמצא את שיעורי פגישת האלכסונים בריבוע (170 A 4,8 , C 7,3.

נתונים הקדקודים: ABCDבריבוע (171 A 3,5 , B 4,7.

בריבוע. ABמצא את אורך הצלע .א

בריבוע. BCאת משוואת הצלע כתוב .ב

נתון: .ג C בריבוע. M. מצא את שיעורי נקודת פגישת האלכסונים 6,6

. נתון:ABמעבירים קוטר Mבמעגל שמרכזו (172 A 7,1 , B 1,6.

.Mמצא את שיעורי הנקודה

בו הן: ABששיעורי הקוטר Mמצא את שיעורי נקודת מרכז המעגל (171 A 1,2 , B 0,9.

A 8,6 , C 10,8

11

היא קצהו השני: A-היא אמצעו ו Mמצאו את קצה הקטע שבו הנקודה (174

נתון: ABCבמשולש (178 A .ABלצלע CD. מעבירים תיכון 6,2

ידוע כי D .B. מצא את שיעורי הקדקוד 3,7

הם: ABCבמשולש BCלצלע ADשל התיכון Dשיעורי הקדקוד (171 5,8.

נתון: C 6, 3 מצא את שיעורי הקדקוד .B .

ABCD:של מקבילית B-ו Aנתונים שיעורי שני קדקודים סמוכים (177 A 10,3 , B 15,2.

נקודת המפגש של אלכסוני המקבילית היא: M 12,1.

. C-ו Dמצא את שיעורי הקדקודים

שיעורי פגישת האלכסונים היא: ABCDבמעוין (178 M 7,0 .

נתון גם כי: A 1, 6 , B 3,4.

.D-ו Cמצא את שיעורי הקדקודים .א

משוואות האלכסונים של המעוין.כתוב את .ב

הם: ABCDשני קדקודים סמוכים בריבוע (179 B 3,4 , C 11,2.

משוואות האלכסונים בריבוע הן: 3 3 5

AC : - 4 , BD : 95 5 3

y x y x .

, בריבוע.Mמצא את שיעורי פגישת האלכסונים, .א

.D-ו Aמצא את שיעורי הקדקודים .ב

.ADכתוב את משוואת הצלע .ג

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ז

A 3,2 , M 0,9 A 4, 6 , M 4,8

A 3, 7 , M 7,14 A 6, 12 , M 3, 10

A 20,5 , M 15.5,7 1 1 3 1A , , M ,

2 5 2 5

1 1 7 2A ,4 , M ,

3 3 3 3

11

נתונים הקדקודים: ABCDבמקבילית (180 A 4,2 , B 3,5 , D 9,3.

מצאו את נקודת המפגש של האלכסונים. .א

.Cמצאו את שיעורי הקדקוד .ב

מצאו את משוואות האלכסונים. .ג

הוא מעוין? ABCDהאם המרובע .ד

אנך אמצעי:

מצא את משוואות האנך האמצעי לישר שקצותיו נתונים בסעיפים הבאים: (181

.א 1,6 .ב 5,10 , 7, 2 , 2,1 ג. 5,8 .ד 6,14 , 3, 5 , 1,5

שבו: ABCבמשולש ABמצא את משוואת האנך האמצעי לצלע (182 A 1,6 , B 3,4.

שבו: ABCבמשולש ABמצא את משוואת האנך האמצעי לצלע (181 A 2,7 , B 3, 3 .

12


. א. ב. (2

. ב. א. (1

8) .

AP (7 1ד. 11.11ג. 16ב. 2א. (1 50 , PN 50 , AN 40 .

ו. ה. ד. ג. ב. א. (10

2א. (11 .ח. ז. 7y x .ד. ג. ב

ט. ח. ז. ו. ה.

ד. ג. ב. א. (11 א. כן ב. כן ג. כן. (12

.ו. ה. ד. 3ג. -2ב. א. (14 . ו. ה.

18) 3

5 ב. א. (17א. כן. ב. לא. ג. כן. (11

7א. (18 4y x .2בy .19) M 8,9 20) 7,3 21) 2 10y x 22) 2, 1 21) 1, 13.

2yא. (11 x .2בy x .ג D BC,ד. 2,0 50 AD 72 .יח"ר. 30. ה

א. (12 2 5 8 2

A , , B 0,1 , C ,3 3 3 3

ב. 11

83

y x .ג1

110

y x .

2א. (11 3y x .ב . C יח'. 10, 2,7

AD: 0.5א. (14 10 ; BC: 0.5y x y x .ב. מרובע שבו זוג צלעות מקבילות ולא שוות הוא טרפז

i .2ג. 10y x ii . 4,2. 18) .3א 12y x .3. ב 12y x ג. אם במשולש תיכון .

ABCS יחידות שטח 31ד. וגובה מתלכדים אז הוא ש"ש. .

א. (11 M 3,3 .ב .2

53

y x .ג . B 7.5,0 , D 1.5,6 .יחידות שטח 68. ד ABCDS .

AOא. (17 BO DO8 2 , 12 2 , 6 2d d d .בCO 8 2d .גy x .ד C 8,8.

א. (18 A 5, 2 , E 1,0 . .ב D 5, 8 .ג DE 2m .יחידות שטח 31דDECS .

6yא. (19 x .ב P 1, 7 .ג Q APBQSיחידות שטח 116ד. 8,14 .

F 2,3 , G 2,-6 , H -5,-2 , I -3,0 , J 0,6

(4,0) , (2,0) , (0,4) , (0, 2)(3,1)

AC 3 , CD 8 , BE 3 , BF 14 , MF 8 , MN 11 , AM 10

2 2y x 3 1y x 5y 3 2y x 1

72

y x 3y

53

8y x y x5 26y x 4y 2x

9y x 3 6y x 1 2

26 3

y x 2y 3x

3 3y x 4 13y x 7 11y x 7y

31

4y x0.8y x

1

4

5

4

7

2

3

4

112

2y x

3 38

7 7y x

13

ACd יחידות אורך 22א. (40 .ב .i .6x ii .12.2 ג. אם במשולש תיכון . יחידות אורך

ABDיחידות אורך 16.31ד. לצלע שווה למחציתה אז הוא ישר זווית. 25 500P .

א. (41 D 5,2 , B 2,0 ב. משולש שווה שוקיים. הקטע .CD הוא אנך אמצעי ולכן הוא תיכון

i. ג. . ABCוגובה ולבסיס במשולש C 0,9.5. ii .32.2 יחידות שטחS .

i .א. (42 M 4,4 ii . A 0,8 , B 0,4 , C 8,0 , D 0x. ב. 8,4 .

יחידות 22.88ג. ABCDP . 41) לא ניתן להצביע על אף תכונה. כלשהו א. מרובע .

יות מקבילות ושוות וזווית ישרה. ב. מלבן. ניתן להראות כי יש למרובע שני זוגות צלעות נגד Sיחידות שטח 21 ניתן להראות כי קיימות זוג צלעות סמוכות שוות. ד.ג. ריבוע. .

א. (441 3

2 2y x .2ב 1y x 48) .2 א 16y x .א. (41 . 11.63ב AB BC :ב. לאAB AC.

47) B 5x . 82) .א. (81ב. לא 1 1

72 2

y x .ב 5,5 .ג C 7,9 , D 3,6.

א. (84 D 2,5 .3 בy x 88) A א. (81 0,43

, 22

.2 א. (87 ב. מקבילית 8y x .11ב .

3א. (88 31y x .3ב 31y x . .ג. משולש שווה שוקיים

.ב. .א. ( 89

10) 11)

ד. ג. ב. א. (12

. ח. ז. ו. ה.

. ח. ז. ו. ה. ד. ג. ב. א. (11

14).

. 2ח. 2ז. 22ו. 1ה. 1ד. 6ג. 8ב. 1א. (18

יח"ר. 2יח"ר. ז. 6.2יח"ר. ו. 111יח"ר. ה. 8יח"ר. ד. 1יח"ר. ג. 1יח"ר. ב. 1א. (11

יח"ר. 12יח"ר. ז. 1.2יח"ר. ו. 3יח"ר. ה. 31יח"ר. ד. 2יח"ר. ג. 1יח"ר. ב. 1א. (17

.. ח . ז . ו 22. ה 11. ד 16. ג .ב 21. א (18

19) AB 26 , BC 82 , AC 10 .70) 10 .71) 85 .72) 20 .71) 328 .

A 4,1 , B 6,-3 , C 1,3 , D -4,-3 A -4,1 , B 6,2 , C 2,-2 , D 7,1

2,0 , 0, 6 2,0 , 0,8 9,0 , 0,9 2,0 , 0, 2

3,0 , 0,1 10,0 , 0,41 1

,0 , 0,5 2

7 7,0 , 0,

4 3

1,4 2,3 3,2 3,3 1,2 0,4 1,3 1,4

AB 6 , CD 6 , EF 3 , GH 5 , IJ 5 , KL 5 , KM 3

403220072

11

ב. משולש שווה שוקיים. א. (74

71) AC 317 , BD 845 .77) AC 40 , BD 298 . 78) AC 74 , BD 5 2 .

ACב. (79 145 , BD 13 .80) .בAC 170 , BD 82 . 81) .בAC BD 85 .

88) 2 .81) 11 .87) 2R 10 .88) AB R 305 .

.יב. יא. י. 12ט. -8ח. ז. 2ו. ה. -1ד. 2ג. 1ב. -3א. (89

.1ח. 1ה. לא מוגדר. ו. לא מוגדר. ז. 1ד. 1א. לא מוגדר. ב. לא מוגדר. ג. (902yא. (91 .1 בy .6 גy .7 דy .5 הx .6 וx .14 זx .0 חx .

0.2 (91 ..ג .ב .א (92 0.8y x 94) 1 11

2 2y x

98) 12y x 91) 2 8y x 97) 32 16y x . 98) 3 1y x 99) 2 5y x

100) 2 11y x 101) 8,5 102) 6,2.5 101) 1

4 ,13

104) 5,3

108) AB : 4 , BC : 8 , AC : 2 8y x y x y x .

101) AB : 0.5 , BC : 2 , AC : 1.5 2y x x y x .

א. (1071 11

AB : , BC : 3 11 , AC : 1.4 2.27 7

y x y x y x .ב .2

AD : 3

y x.

א. (108 D 0, 2 .ב A 2,6 109) AB : - , BC : 3 , CD : - 3 , AD : 32 2

x xy y x y y x .

110) 2 7 2 1

AB : , BC : 2 13 , CD : , AD : 2 53 3 3 3

y x y x y x y x .

AB : -1 , BC : -1 , CD : 5 , AD : 4xא. (111 y x y .ב .5 1 5 1

, 36 6 6 6

y x y x .

ג. 2,1.5 112) .א A 1, 3 .ב .BC : 2 9 , AD : 2 1y x y x .ג . C 6. ד. 4,1 יח'. 5

AB : 2א. (111 9 , BC : 2 3 , CD : 2 13 , AD : 2 1y x y x y x y x .

5yא. (114 x .1. בy x .

א. (1181 19 1 11

AB : 3 13 , BC : , CD : 3 17 , AD : 3 3 3 3

y x y x y x y x .

ב. 1 1

AC : , BD : 2 32 2

y x y x .111) 2 8y x 117) 7y .

7 א. (118 31y x .א. (119ג. קוטר במעגל1 9

5 5y x .5ג. 26 ב 27y x .

A B א. (120 C D .ב .A B C D .גA B C D .ד A B C D .ה A B C D.

5א. (121 2y x .3 ב 3y x .2 ג 10y x .4 ד 5y x .ה2

43

y x .

א. (1221 14

3 3y x .2 ב 3y x .5 ג 6y x .2 ד 10y x .2 ה 4y x .

AC 32 , BC 26 , AB 26

1

2

2

9

7

6

5

3

1

5

5y x 4y 4 3

25 5

y x

12

9y א. (121 .ב 3,9 .5 א. (124יח"ר. 21גx .ב 5,0 .יח'. 16.12ג

2yא. (128 x .3 בy x 121) .א1

AB : - -4 , AD : 52

y x y x .2 בy x .ג 2,4

127) CD : 2 4 , BC : - 17y x y x .

128) AB : 3 6 , BC : 8 , CD : 3 2 , AD : 4y x y x y x y x .

א. (129 A 4,12 , C 2,3 .בCD : 0.5 2 , AD : 9 24y x y x .

3yא. (110 .3בy x .ג 7,3 .ד 6,0.

2x א. (111 .0.5 ב 2y x .ג 2,5 .יח"ר. ה. 8ד 1

6 , 3.5 102

y x y x .ו 4,4

הוא מחצית משטח המקבילית. ABDיח"ר. ח. שטח המשולש 11ז. 112) 3x 111) 5x 114) 6y 118) 2x 111) 3y 117) 0.5 3.5y x .

118) 2y x 119) 4 4y x 140) 1 32

7 7y x 141) 10 102y x

142) 3 6y x .

א. מאונכים. ב. מקבילים. ג. כלום. ד. מאונכים. ה. כלום. ו. מאונכים. (141

. ב. -2א. (1443 14

11 11y x .ג .AB 5 , BC 125 .יח"ר. 12.2ד

א. (148 0,1 .1.5ב 1y x .א. (141יח"ר. 1.2ג 37,0 .4 ב 5y x .יח"ר. 222.2ג

א. (147 A 0, 3 , C 3,0 .בAB : 1.6 3 , BC : 3 , AC : 3y x y x y x .יח"ר. 32ג

148) 1 1

4 4y x 149) 8 20y x 180) 2 10y x 181)

4

3y x.

4א. (182 6y x .ב1 7

4 4y x .גi . C 7,0 ii .4 28y x .

א. (18110 115

AB : 0.3 2 , BC : 3 3

y x y x .ב 0,2 .יח"ר. 218יח'. ד. 12.11ג

א. (1841 5

3 3y x ב. ל-AC .3. ג 15y x .ד C 2,9 .188)

1 22

3 3y x .

2yב. -1.2א. (181 x .3ג 15y x .ד 3,6.

. ב. -1א. (1871 9

4 4y x .ג

52

3y x .ד 3,3 188)

118

3y x 189)

1 41

5 5y x .

110) 1 1

123 3

y x 111) 4 16y x 112) .א 8,4 .ב 6.5,2 ג . 6, . ד 7 2.5, 6.75

. ה 1, 2 ו . 1.125,2.75 ז . 2.5, 0.875 .

א. (111 0,4.5 , 1.5,2 ב. 3.5,3.5 , 3.5,5 , 1.5,2 , 0,4.

114) 9,7 118) 1,6 111) 2.5,1.5 117) .6א 28y x .ב 4.5, 1 118) 2,4.5 .

11

א. ( 1191 13

3 3y x .ב 4,3 .3ג 9y x 170) 5.5,5.5 .

ב. 5 א. (1711

92

y x .ג 4.5,5.5 172) 3,3.5 171) 0.5,5.5

.א (174 3,16 ב. 12,22 ג. 17,35 ד. 0, 8 ה. 11,9 ו. 2.5,0.6 ז. 13 2

, 53 3

.

178) 0,12 171) 16,19 177) C 14, 1 , D 9,0 178) .א C 13,6 , D 11, 4

AC : 7 , BD : 7y ב. x y x 179) .א M 6, 1 .ב A 1, 4 , D 9, 6 .

ג. 1 15

4 4y x 180) .א 6,4 .ב 8,6 .ג

1AC : 2 , BD : 6

3y x y x .ד. לא

11yא. (181 x .3 ב 8y x .ג 1 11

116 12

y x .ד1 2

5 5y x 182) 2 3y x

181) 1 7

2 4y x .

16

המעגל:

מעגל:המשוואת

.משוואת המעגלמוגדר המעגל ומוצגת בסרטון זה (1

מצא את משוואת המעגל בסעיפים הבאים:

ומרכז המעגל הוא בנקודה 2רדיוס המעגל הוא .א 2,3.

ומרכז המעגל הוא בנקודה 6רדיוס המעגל הוא .ב 5,4.

ומרכז המעגל הוא בנקודה 13רדיוס המעגל הוא .ג 1,0.

ומרכז המעגל הוא בנקודה 10רדיוס המעגל הוא .ד 0, 3.

3רדיוס המעגל הוא .ה ומרכז המעגל הוא בנקודה 2 2, 8.

רדיוס המעגל הוא .ו5

3ומרכז המעגל הוא בנקודה 0,0.

בתרגילים הבאים נתונה משוואת מעגל. רשום את רדיוס המעגל ואת מרכזו בעזרת (2 :המשוואה הנתונה

.א 2 2

5 3 16x y ב. 2 2

6 2 81x y

.ג 22 7 20x y ד.

2 21 50x y

2 .ה 2 144x y 2 .ו 2 25

9x y

2 .ז 2 40x y

(. -3,1מצא את משוואת המעגל שמרכזו בראשית הצירים והוא עובר דרך הנקודה ) (1

מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה (4 M 3,2 ( 1,-2והוא עובר דרך הנקודה .)

מצא את משוואת המעגל שקצות הקוטר שלו הם: (8

.א 3, 4 , 5,2 .

.ב 1, 6 , 1,4 .

18

חיתוך של מעגל עם הצירים:

בסרטון זה מוסבר על נקודות החיתוך של מעגל עם הצירים. (1

מצא את נקודות החיתוך של המעגל: .א 2 2

2 1 65x y .עם הצירים

מצא את נקודות החיתוך של המעגל: .ב 2 2


2מצא את נקודות החיתוך של המעגל: .ג 2 4x y .עם הצירים

2מצא את נקודות החיתוך של המעגל (7 2( 5) ( 1) 1x y עם ציר ה-x.

? נמק.y-ה האם המעגל חותך את ציר

חיתוך של מעגל וישר:

yבסרטון זה מוסבר על היחס בין מעגל לישר כללי מהצורה: (8 mx b .

2מצא את נקודות החיתוך של המעגל שמשוואתו היא: .א 2 85x y עם

2הישר: 5y x .

מצא את נקודות החיתוך של המעגל שמשוואתו: .ב 2 2

6 3 10x y עם

2הישר: 4y x .

2מצא נקודת חיתוך של המעגל שמשוואתו היא: .ג 2 40x y :3עם הישר 20y x .

1מצא נקודת חיתוך של הישר .ד9

2y x :והמעגל

2 27 2 45x y .

2קבע האם המעגל: .ה 2 1x y 2חותך את הישר 4y x ?

יחס בין נקודה למעגל:

בסרטון זה מוסבר כיצד למצוא את היחס בין נקודה למעגל. (9

נתונה משוואת המעגל הבאה: 2 2

3 4 25x y

האם הנקודה .א 2, 7 ?על המעגל

האם הנקודה .ב 0, 9?על המעגל

האם המעגל עובר דרך ראשית הצירים? .ג

2נתונה משוואת המעגל: (10 2 10x y .

ל המעגל, מחוץ למעגל, בתוך המעגל:אלו מבין הנקודות הבאות עקבע

א. 1 ב. ,3 0 ג. ,51

32

,

ד. 2 6,.

12

משפטים חשובים במעגל:

בסרטון זה מוצג משפט הקושר בין זווית היקפית לקוטר מעגל. (11

נתון משולש שקדקודיו הם: A 11,8 , B 7,4 , C 5,6.


מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש. .ב

נתון משולש ישר זווית שקדקודיו הם: (12 A 12,1 , B 8,9.

B. נתון גם כי: y-נמצא על ציר ה Cהקדקוד 90 .

.Cחשב את שיעורי הקדקוד .א

חשב את משוואת המעגל החוסם את המשולש. .ב

משיק למעגל:

בסרטון זה מוצג משפט הקושר בין רדיוס המעגל ומשיק למעגל. (11

נתון מעגל שמשוואתו: 2 2

2 4 25x y .

מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה 6,1.

נתון מעגל שמשוואתו: (14 2 2

7 2 45x y .

היא: Aלמעגל בנקודה המשיקמשוואת 1

92

y x .

(. מרכז המעגל O) OAמצא את משוואת הרדיוס .א

.Aמצא את שיעורי נקודת ההשקה .ב

נתון מעגל שמרכזו בנקודה (18 3,4. המעגל משיק לציר ה-x .

מצא את משוואת המעגל.

נתון מעגל שמרכזו בנקודה (11 2,5 והוא משיק לציר ה-y .

מצא את משוואת המעגל. .א

? נמק. x-האם המעגל חותך את ציר ה .ב

נתון מעגל שמרכזו בנקודה (17 3,3 והוא משיק לציר ה-x .

? נמק. y-האם המעגל חותך את ציר ה .א

מצא את משוואת המעגל. .ב

61

מעגל: –בעיות שונות

3נתון ישר שמשוואתו היא: (18 4 12x y מהנקודה . B מורידים אנך לישר זה, 6,11

. Cהחותך אותו בנקודה

סרטט את הישר הנתון במערכת צירים. .א

.BCמצא את משוואת הישר .ב

הנקודה .ג A 8, 3 .נמצאת על הישר הנתון

.ABCמצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש

א. מצא את משוואת המעגל העובר דרך הנקודה (19 7,1 ומשיק לציר ה-x :בנקודה 4,0.

. AB. מצא את אורך הקטע B-ו Aבנקודות y-ב. המעגל חותך את ציר ה

מרכזו של מעגל הוא בנקודה (20 4,2 .המעגל עובר בראשית הצירים .


מצא את משוואת המשיק למעגל בראשית הצירים. .ב

3xהישר .ג חותך את המשיק בנקודהA .

החותך x-מעבירים מקביל לציר ה Aדרך הנקודה

. C-ו Bאת המעגל בנקודות

. BCמצא את אורך המיתר

נתון משולש שקדקודיו הם: (21 C 8,2 , B 2,0 , A 0,6.

Bהוכח כי: .א 90 .

ACליתר Bמצא את משוואת הגובה העובר מקדקוד .ב

. Dוחותך אותו בנקודה

מצא את משוואת המעגל החוסם .ג

. BCDאת המשולש

61

נתון מעגל העובר דרך הנקודות (22 A -ו 0,0 B 2,2 .

2yמרכז המעגל נמצא על הישר x.


2yהקוטר המונח על הישר .ב x חותך את המעגל

.C. מצא את שיעורי הנקודה Cבנקודה נוספת

. ABCחשב את שטח המשולש .ג

7yמונח על הישר Mנתון מעגל שמרכזו (21 .

בנקודה A עובר משיק למעגל שמשוואתו 6,31

2y x.


.y-מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה .ב

. D-ו Cנסמן את הנקודות באותיות .ג

(C .)קרובה לראשית הצירים

ראשית הציריםAMCO (O )הוכח כי המרובע

.MC-ו AOהוא טרפז שבסיסיו הם

ABC , משולש ישר זווית נתון (24 B 90 .

דקודי המשולש הם: ק A 2,4 , B 10,8 .

.x-נמצא על ציר ה Cהקדקוד

.C נקודהאת שיעורי המצא .א

הוא קוטרו. AC-מצא את משוואת המעגל ש .ב

בנקודה נוספת. x-ההמעגל חותך את ציר .ג

מצא את שיעורי נקודה זו.

נקודות הנתונות (28 A -ו 6,0 B 12,2.

.ABמצא את משוואת האנך האמצעי לקטע .א

6xהישר .ב חותך את האנך האמצעי בנקודה M .

.M מצא שיעורי נקודה

Mמצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה .ג

.Bהעובר בנקודה

.x-הראה שהמעגל משיק לציר ה .ד

x

62

המעגל: -שאלות מתוך מאגר משרד החינוך

א. מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה (21 4,6 והוא משיק לציר ה-x.

? נמק. y-ב. האם המעגל שמצאת בסעיף א' משיק לציר ה

א. מצא את משוואת המעגל שמרכזו בנקודה (27 6,4 והוא משיק לציר ה-y.

? נמק. x-ב. האם המעגל שמצאת בסעיף א' משיק לציר ה


4 3 36x y .

האם המעגל הזה עובר דרך ראשית הצירים? נמק. .א

ראשית הצירים ודרך מרכז המעגל.מצא את משוואת הישר העובר דרך .ב

האם המעגל משיק לאחד הצירים? נמק. .ג

הם: ABCDקדקודי מלבן (29 A 2,7 , B 1,1 , C 7, 3 , D 10,3 .

הוא קוטרו. ACמצא את משוואת המעגל שהאלכסון .א

. D-ו Bהראה שהמעגל עובר דרך הקדקודים .ב

נתון מעגל: (10 2 2

4 5 169x y .

C-ו Aבנקודות x-את ציר ההמעגל חותך

)ראה איור(. D-ו Bבנקודות y-ואת ציר ה

.ABCDחשב את שטח המרובע .א

חשב את היקף המרובע. .ב

המעגל (11 2 2

3 5 25x y חותך את ציר ה-y בנקודותA ו-B

.Cבנקודה x-לציר ה ומשיק

.ABCחשב את שטח המשולש .א

.ABCחשב את היקף המשולש .ב

המעגל (12 2 2

3 25x y k .עובר דרך ראשית הצירים

מצא את השיעורים של מרכז המעגל )מצא שתי אפשרויות(. .א

רשום את משוואת המעגל עבור שיעורי מרכזו ברביע הרביעי. .ב

האם המעגל שבסעיף ב' עובר דרך הנקודה .ג 1, 1 .נמק ?

63

מעגל שמרכזו בנקודה (11 5,3 משיק לציר ה-y .

?x-מהו אורך הקטע שהמעגל חותך מציר ה

30דרך נקודת החיתוך של הישרים (14 7y x 5-ו 4 12x y עובר מעגל שמרכזו

בנקודה M 1,3 .מצא את משוואת המעגל .


4 3 100x y .

2xהאם הישר .חותך את המעגל הנתון? נמק

3: ישר שמשוואתו (11 112

4 2y x :משיק למעגל שמשוואתו

2 23 4 25x y .

חשב את נקודת ההשקה.


5 10 100x y .)ראה איור(

במעגל הנתון חסמו מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים.

אחד מקדקודי המלבן הוא בנקודה 11,18 .

מצא את שלושת הקדקודים האחרים של המלבן.

61

תרגול נוסף:

משוואת המעגל:

מצא את רדיוס המעגל ואת מרכזו עבור משוואות המעגלים הבאות: (18

.א 2 2

2 1 25x y ב. 2 2

40 8 81x y

.ג 2 2

8 2 10x y ד. 2 2

10 6 100x y

.ה 2 2

12 13 1x y ו. 2 2

4.5 3.5 225x y

.ז 22 4 20x y ח.

22 12 35x y

.ט 22 6 36x y י.

22 9 72x y

.יא 2 210 150x y יב.

2 22 7.5x y

.יג 2 212 132x y יד.

2 231 144x y

6x בנקודה שבה: x-מצא את משוואת המעגל שמרכזו נמצא על ציר ה (19 2ורדיוסו .

8y בנקודה שבה: y-מצא את משוואת המעגל שמרכזו נמצא על ציר ה (40 11ורדיוסו .

במקרים הבאים: Mומרכזו בנקודה x-מצא את משוואת המעגל המשיק לציר ה (41

א. M ב. 4,5 M 2, 6 .ג M 3, 5 .ד M 4,1.

במקרים הבאים: Mומרכזו בנקודה y-מצא את משוואת המעגל המשיק לציר ה (42

א. M 4,3 .ב M 7, 1 .ג M 1, 5 .ד M 4,6.

מעגל שמרכזו בנקודה (41 M .Aבנקודה x-משיק לציר ה 4,3

.Aמצא את שיעורי הנקודה .א

מצא את רדיוס המעגל. .ב

מצא את משוואת המעגל. .ג

62

. בכל אחד מהמקרים הבאים:Aבנקודה x-לפניך מעגלים המשיקים לציר ה (44

.Aמצא את שיעורי נקודת ההשקה .א



1 .2 .

3 .1 .

נתון מעגל שמרכזו בנקודה (48 M 4,6 והוא משיק לציר ה-y בנקודהB.

.Bמצא את שיעורי הנקודה .א



61

. מצא בכל מקרה:Bבנקודה y-להלן מוצגים מעגלים המשיקים לציר ה (41

.Bאת שיעורי הנקודה .א

רדיוס המעגל. את .ב

את משוואת המעגל. .ג

1 .2 .

3 .1 .

המשיקים לשני הצירים ומרכזם הוא:מצא את משוואות המעגלים (47

א. M ב. 2,2 M 6, 6 .ג M 5, 5 .ד M 3,3 .

66

מעגל שמרכזו בנקודה (48 M Aבנקודה x-משיק לציר ה 3,3

כמתואר באיור הבא: Bבנקודה y-ולציר ה


.Bמצא את שיעורי הנקודה .ב

מצא את רדיוס המעגל. .ג

מצא את משוואת המעגל. .ד

:Mומרכזם בנקדה Aמצא את משוואות המעגלים העוברים בנקודה (49

.א A 1,10 , M .ב 4,6 A 2, 3 , M .ג 0,0 A 4,4 , M 3,1

.ד A 0,7 , M 2,5 ה. A 10,9 , M 3,0 ו. A 5,7 , M 0,4

3x בנקודה שבה: x-( והוא חותך את ציר ה-1,-2מצא את משוואת המעגל שמרכזו ) (80 .

20y בנקודה שבה: y-( והוא חותך את ציר ה1,2מצא את משוואת המעגל שמרכזו ) (81 .

מצא את משוואת המעגל שקצות הקוטר שלו הם: (82

.א 7, 1 , 0,2 ב. 0,0 , 6,8 ג. 0,6 , 7,3

חיתוך של מעגל עם הצירים:

מצא את נקודות החיתוך של המעגל: א. (81 2 2


את נקודות החיתוך של המעגל: מצא ב. 2 2


הצירים:מצא את נקודות החיתוך של המעגלים הבאים עם (84

2 .א 2 49x y 2 .ב 2 30x y

.ג 2 2

1 1 10x y ד. 2 2

2 2 29x y

.ה 2 2

2 6 40x y ו. 2 2

8 9 145x y

.ז 2 2

10 12 244x y ח. 2 2

13 11 290x y

.ט 22 11 64x y י.

22 7 100x y

.יא 2 213 36x y יב.

2 220 121x y

68

חיתוך של מעגל וישר:

מצא את נקודות החיתוך של המעגלים הבאים עם הישרים שלידם: (88

2המעגל: .א 2 25x y :3והישרx .

2המעגל: .ב 2 100x y :6והישרx .

2המעגל: .ג 2 7x y :1והישרx .

2המעגל: .ד 2 15x y :2והישרx .

2נתון המעגל (81 2 625x y הנקודות .A ו-B נחות על המעגל, מו

.12הוא Aשל הנקודה x-. שיעור הy-מקביל לציר ה ABכך שהקטע

.B-ו Aמצא את שיעורי הנקודות .א

. ABחשב את אורך הקטע .ב

מצא את נקודות החיתוך של המעגלים הבאים עם הישרים שלידם: (87

.א 2 2

3 , 2 1 26x x y ב. 2 2

2 , 6 3 52x x y

.ג 2 25 , 12 53x x y ד.

221 , 7 82x x y

.ה 2 2

2 , 13 3 37y x y ו. 2 2

8 , 6 5 73y x y

.ז 224 , 1 74y x y ח.

2 29 , 3 202y x y

מצא את נקודות החיתוך של הישרים והמעגלים הבאים: (88

2המעגל שמשוואתו: .א 2 80x y :2והישרy x.

המעגל שמשוואתו: .ב 2 2

1 3 40x y :3והישרy x.

המעגל שמשוואתו: .ג 2 2

2 8 153x y :4והישרy x .

המעגל שמשוואתו: .ד 2 26 26x y :והישרy x.

המעגל שמשוואתו: .ה 2 2


המעגל שמשוואתו: .ו 2 2

26 8 925x y :6והישרy x .

הבאים:מצא את נקודת החיתוך של הישרים והמעגלים (89

המעגל שמשוואתו: .א 2 2

2 10 52x y :2והישר

3y x.


6 8 80x y :2והישרy x .


1 13 153x y :1והישר

4y x .

62

המעגל שמשוואתו: .ד 2 2

20 10 250x y :3והישרy x.

המעגל שמשוואתו: .ה 2 2

27 21 936x y :5והישרy x.

המעגל שמשוואתו: .ו 2 2

2 14 160x y :1והישר

3y x.

לא חותכים את המעגלים כלל: הראה כי הישרים הבאים (10

המעגל שמשוואתו: .א 2 2



5 2 25x y :3והישרy x .


4 3 20x y :והישרy x.

המעגל שמשוואתו: .ד 2 2

2 12 90x y :2והישר

7y x.

יחס בין נקודה למעגל:

המעגל הבאה: נתונה משוואת (11 2 2

2 6 52x y קבע לגבי כל אחת .

מהנקודות הבאות האם היא נמצאת על המעגל, בתוכו או מחוצה לו:

א. 2,0 .ב 0,0 .ג 3,7 .ד 8,4 .ה 1, 5 .ו 8,2.

נתונה משוואה המעגל הבאה: (12 2 2

7 4 80x y קבע לגבי כל אחת מהנקודות .

הבאות האם היא נמצאת על המעגל, בתוכו או מחוצה לו:

א. 6, 3 .ב 2,1 .ג 1,0 .ד 11,4 .ה 10, 2 .ו 7,6.

משפטים חשובים במעגל:

נתון משולש שקדקודיו הם: (11 A 0,8 , B 4,0 , C 16,0 .


כתוב את משוואת המעגל החוסם את המשולש. .ב

2נתון המעגל: (14 2 169x y .

.x-מצא את נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה .א

12xברביע הראשון שבה Aמצא נקודה .ב .הנמצאת על המעגל

לנקודות החיתוך של המעגל Aמעבירים מיתרים מהנקודה .ג

. הראה כי המשולש שנוצר על ידי מיתרים אלו x-עם ציר ה הוא ישר זווית. x-וציר ה

x

y

81

BACהוא ישר זווית, ABCמשולש (18 90 :ובו נתון , A 4,7 , B 2,3.

3yנמצא על הישר: Cידוע כי הקדקוד .

.Cמצא את שיעורי הקדקוד .א

בשתי נקודות. x-חותך את ציר ה BCמעגל שקוטרו הוא הקטע .ב מצא את שיעורי הנקודות הללו.

ABC זווית -במשולש ישר (11 ABC 90 הקדקודC נמצא על ציר ה-x .

נתון: A 5, 3 , B 4,3 .

.BCמצא את משוואת הקטע .א

. ACמצא את משוואת המעגל שקוטרו הוא הקטע .ב

למעגל:משיק

הנקודה: (17 A נמצאת על היקף המעגל שמרכזו: 0,4 M 3,2.


.MAמצא את שיפוע הרדיוס .ב

. Aמצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .ג

הנקודה: (18 A נמצאת על היקף המעגל שמרכזו: 0,6 M 5,2.




הנקודה: (19 A נמצאת על היקף המעגל שמרכזו: 1,2 M 4, 1 .




מעגל שמרכזו (70 M עובר דרך ראשית הצירים. 6,1


. -1מצא את משוואת הרדיוס למעגל בעל שיפוע .ב

מצא את שיעורי נקודות החיתוך של משוואת הרדיוס עם המעגל. .ג

מצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה הנמצאת ברביע הראשון. .ד

81

2נתון המעגל: (71 2 45x y הנקודה . A ראשית הצירים. Oנמצאת על המעגל. 6,3

.OAמצא את שיפוע הישר שעליו מונח הרדיוס .א

.OAמצא את משוואת הישר שעליו מונח הרדיוס .ב

.Aהישר המשיק למעגל בנקודה מצא את שיפוע .ג

.Aמצא את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה .ד

נתונים המעגל: (72 2 2

3 1 32x y והנקודה P 7,3 .שעליו

.Pמצא את משוואת הישר העובר דרך מרכז המעגל והנקודה .א

.Pמצא את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה .ב

מצא את משוואת הישר המשיק למעגל: (71 2 2

5 5 5x y בנקודה 7, 4 .שעליו

נתונים המעגל: (74 2 2

3 2 20x y והנקודה A עליו. 1,4

.Aמצא את משוואת הישר המשיק למעגל בנקודה .א

מצא את נקודות החיתוך של המשיק שמצאת בסעיף הקודם עם הצירים. .ב

82


א. (1 2 2

2 3 25x y .ב 2 2

5 4 49x y .ג 2 21 169x y

ד. 22 3 10x y .ה

2 22 8 18x y .2 ו 2 25

9x y .

א. (2 M 5,3 , 4R .ב M 6,2 , 9R .ג M 0,7 , 20R .ד M 1,0 , 50R .

ה. M 0,0 , 12R .ו 5

M 0,0 , 3

R .ז M 0,0 , 40R .

1) 2 2 25x y 4) 2 2

3 2 32x y 8) .א 2 2

4 1 10x y

ב. 22 1 26x y . 1) .א 10,0 , 6,0 , 0,6.81 , 0, 8.81

ב. 0,0 , 0,8 . ג 6,0 , 2,0 , 0, 2 .7) את ציר ה- 5,0 : xאינו חותך את ציר ה .-y .

א. (8 2,9 , 6,7 .ב 5,6 ג. 3,2 , 6,2 .ד 10,4 .ה. לא

ד. על. .ג. בתוך ב. מחוץ. א. על. ( 10כן. ג. מחוץ למעגל. . ב.בתוך המעגלא. (9

ב. (11 2 2

8 7 10x y 12) .א 0,5 .ב 2 2

6 3 40x y 11) 4

73

y x .

2 א. (14 16y x .ב 10,4 18) 2 2

3 4 16x y .

א. (11 2 2

2 5 4x y .א. כן. ב. (17 ב. לא 2 2

3 3 9x y .

ב. (184

33

y x .ג . 2 2

7 4 50x y .19) .א 2 2

4 5 25x y .יחידות אורך. 1ב

א. (20 2 2

4 2 20x y .2בy x .יחידות אורך. 1ג

2ב. (21 4y x .ג . 2 2

5 1 10x y .22) .א 2 2

2 4 20x y .ב C יח"ר. 12ג. 4,8

א. (21 2 2

4 7 20x y .ב 0,5 א. (24. 0,9 , C ב. 14,0 2 2

8 2 40x y .ג 2,0.

3 א. (28 28y x .ב 6,10 .ג 2 2

6 10 100x y .

א. (21 2 2

4 6 36x y ב. לא, כי חותך את ציר ה-y .בשתי נקודות

א. (27 2 2

6 4 36x y ב. לא, כי חותך את ציר ה-x .בשתי נקודות

א. לא. ב. (283

4y x .א. (29ג. לא

2 24.5 2 31.25x y

. יחידות אורך 21.112. ב. יח"ר 12א. (11. יחידות אורך 61.2. ב. יח"ר 221.81א. (10

א. (12 3,4 או 3, 4 .ב 2 2

3 4 25x y .ג. לא

11) 8 .14) 2 2

1 3 26x y 18) :11,5כן, בנקודות שבהןy .

11) 6, 8 17) 1,2 , 1,18 , 11,2 .

א. (18 M 2, 1 , 5R .ב M 40, 8 , 9R .ג M 8, 2 , 10R

83

ד. M 10, 6 , 10R .ה M 12,13 , 1R .ו M 4.5,3.5 , 15R

ז. M 0, 4 , 20R .ח M 0, 12 , 35R .ט M 0,6 , 6R

י. M 0,9 , 72R .יא M 10,0 , 150R .יב M 2,0 , 7.5R

יג. M 12,0 , 132R .יד M 31,0 , 12R .

19) 2 26 25x y 40)

22 8 100x y 41) .א 2 2

4 5 25x y

ב. 2 2

2 6 36x y .ג 2 2

3 5 25x y .ד 2 2

4 1 1x y .

א. (42 2 2

4 3 16x y .ב 2 2

7 1 49x y .ג 2 2

1 5 1x y

ד. 2 2

4 6 16x y 41) .א 4,0 .ג. 3ב . 2 2

4 3 9x y .

. א.1 (44 2,0 .ג. 3ב . 2 2

2 3 9x y 2.א . 5,0 .ג.2ב . 2 2

5 2 4x y

. א.3 2,0 .ג.1ב . 2 2

2 4 16x y 1 .א . 1,0 .ג. 3ב . 2 2

1 3 9x y .

א. (48 0,6 .ג. 1ב . 2 2

4 6 16x y 41) 1.א . 0,5 .ג.2ב . 2 2

2 5 4x y

. א.2 0,4 .ג.3ב . 2 2

3 4 9x y 3.א . 0, 2 .ג.3ב . 2 2

3 2 9x y

. א.1 0, 1 .ג. 1ב . 2 2

4 1 16x y 47) .א 2 2

2 2 4x y

ב. 2 2

6 6 36x y .ג 2 2

5 5 25x y .ד 2 2

3 3 9x y .

א. (48 3,0 .ב 0,3 .ד. 3ג . 2 2

3 3 9x y .

א. (49 2 2

4 6 25x y .2 ב 2 5x y .ג 2 2

3 1 10x y

ד. 2 2

2 5 8x y .ה 2 23 250x y .ו

22 4 34x y .

80) 2 2

1 5 41x y 81) 2 2

6 2 360x y

א. (82 2 2

3.5 0.5 14.5x y .ב 2 2

3 4 25x y .ג 2 2

3.5 4.5 14.5x y

ד. 2 2

0.5 3 37.25x y 81) .אין נקודות חיתוך. ב. אין נקודות חיתוך. א

א. (84 7,0 , 0, 7 .ב 30,0 , 0, 30 .ג 0,4 , 0, 2 , 2,0 , 4,0

ד. 0,7 , 0, 3 , 7,0 , 3,0 .ה 0,0 , 0,12 , 4,0 .ו 0,0 , 0, 18 , 16,0

ז. 0,0 , 0, 24 , 20,0 .ח 0,0 , 0, 22 , 26,0 .ט 0, 3 , 0, 19

י. 0,17 , 0, 3 , 7.14,0 , 7.14,0 .יא 7,0 יב. 19,0 , 31,0 , 9,0 .

א. (88 3, 4 , 3,4 .ב 6, 8 , 6,8 .ג 1, 6 , 1, 6 .ד 2, 11 , 2, 11

א. (81 A 15,20 , B 15, 20 .11ב .

א. (87 3,4 , 3, 6 .ב 2,9 , 2, 3 .ג 5,2 , 5, 2 .ד 1,16 , 1, 2

81

ה. 19,2 , 7,2 .ו 2,8 , 14,8 .ז 7, 4 , 7, 4 .ח 8, 9 , 14, 9 .

א. (88 4, 8 , 4,8 .ב 3,9 , 1, 3 .ג 1, 4 , 5,20 .ד 5,5 , 1,1

ה. 4, 20 , 1,5 .ו 5, 30 , 1,6 .89) .א 6,4 .ב 2, 4 .ג 4, 1 .ד 5, 15

ה. 3,15 .ו 6, 2 .11) .א. על. ב. בתוך. ג. בתוך. ד. מחוץ. ה. מחוץ. ו. על

א. בתוך. ב. מחוץ. ג. על. ד. על. ה. בתוך. ו. מחוץ. (12

ב. (11 2 26 100x y . 14) .א 13,0 , 13,0 .ב 12,5 18) .א 12,3 .ב 11,0 , 3,0 .

1.5 א. (11 9y x .ב 2 2

0.5 1.5 32.5x y

א. (17 2 2

3 2 13x y .ב2

31.5ג. 4y x .

א. (18 2 2

5 2 41x y .1.25ג. -1.8ב 6y x .

א. (19 2 2

4 1 34x y .ב3

5ג.

5 11

3 3y x .

א. (70 2 2

6 1 37x y .6 ב 37y x .ג 7, 5 , 5,7 .ד1 37

6 6y x .

1. ב. 1.2א. (71

2y x .2. ד. -2ג 15y x .

4y א. (72 x .10בy x 71) 2 10y x 74) .2 א 6y x .ב 0,6 , 3,0.

82

:פונקציה פולינומית -חשבון דיפרנציאלי – 1פרק

.בסרטון זה מופיעה הקדמה כללית למושג הפונקציה ומספר דוגמאות קצרות

המתייחסות לפונקצית הקו הישר.בסרטון זה מופיע הסבר ומספר דוגמאות

.בסרטון זה מופיע הסבר ומספר דוגמאות המתייחסות לפונקציה הריבועית

.בסרטון זה מופיע הסבר על פונקצית הפולינום, תכונותיה וצורתה הכללית

.בסרטון זה מופיעה הגדרת הנגזרת ומשמעותה כשיפוע של פונקציה

חישוב נגזרות:

חוקי הגזירה של פונקציה פולינומית.בסרטון זה מופיעים (1

איבר(:-גזור את הפונקציות הבאות )נגזרת בסיסית של חד

3y .א x 4 .בy x 2 .גy x

איבר עם מקדם(:-גזור את הפונקציות הבאות )נגזרת של חד

23y .א x 41 .ב

2y x 32 .ג

3y x ד.

5

3

xy

: איבר(-)נגזרת של רב גזור את הפונקציות הבאות

5 .א 24 8 1y x x x ב. 4 22 6 5f x x x

.ג 6

4 33 1 21997

8 2 3

xf x x x ד.

3 252

3 2

x xy x

.ו .ה 2

2 4f x x

: )נגזרת של מכפלת פונקציות פולינומיות( גזור את הפונקציות הבאות

.ב .א 2 1 3 4f x x x

32 5 2

3

x xy

2 3 9y x x

81

מציאת שיפוע ומשוואת משיק כאשר נתונה הנקודה:

נתונה הפונקציה: (2 22f x x.

מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה: .א 1,2.

2xמצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .ב .

נתונה הפונקציה: (1 3 215

2f x x x .

1xחשב את שיפוע הפונקציה בנקודה: .א .

2xחשב את ערך הנגזרת בנקודה: .ב .

0xחשב את שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה: .ג .

נתונה הפונקציה: (4 2 5f x x x :6. הישרy .חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות

מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה והישר. .א

מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות אלו. .ב

מצא את נקודת החיתוך בין המשיקים. .ג

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (8 213

2f x x x :1בנקודה שבהx .


23 2

x xy x :1בנקודה שבהx .

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (7 2 3y x x :3בנקודה שבהx .

נתונה הפונקציה: (8 3 8f x x .

.x-מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .א

יה בנקודה זו. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקצ .ב

נתונה הפונקציה: (9 3 23 2f x x x x .

.x-מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .א

מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות אלו. .ב

86

.נתונה הפונקציה: (10

. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .א

מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. .ב

הפונקציה: נתונה (11 23 1y x x .

בנקודות החיתוך שלה עם הצירים.הפונקציה לגרף יםמצא את משוואות המשיק

נתונה הפונקציה: (12 22 6f x x x .

(. B-ו A-)נסמנם ב x-מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .א

.x-מצא את שיפועי המשיקים לפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה .ב

הפונקציה בנקודות אלו. מצא את משוואות המשיקים לגרף .ג

(.C-מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים )נסמנּה ב .ד

. ABCחשב את שטח המשולש .ה

מציאת נקודה כאשר ידוע השיפוע:

נתונה הפונקציה: (11 3 22 3 5f x x x x .

. 6מצא את הנקודות על גרף הפונקציה, ששיפוע המשיק העובר הוא

נתונה הפונקציה: (14 4 212 6

4f x x x x .

. -1ה, ששיפוע המשיק העובר הוא מצא את הנקודות על גרף הפונקצי

נתונה הפונקציה: (18 3 2f x x :3. הישרy x .הוא משיק לפונקציה

מצא את נקודת ההשקה. .א

הראה שהמשיק חותך את הפונקציה בנקודה .ב 2,6 .

מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (11 3 1f x x x :2המקבילים לישר 7y x .

נתונה הפונקציה: (17 3 212 7

2f x x x .

7העובר דרכן מקביל לישר:מצא נקודות על גרף הפונקציה שהמשיק .א 5y x .

מצא את משוואות המשיקים. .ב

2

2 2f x x

0.5x

88


4 102

xf x x המקביל

לישר העובר דרך הנקודות: 3,6 , 1, 2 .

נתונה הפונקציה: (19 22 3 2f x x x הפונקציה חותכת את ציר ה .-y בנקודה A 0,2.

היא: x-אחת מנקודות החיתוך שלה עם ציר ה B . מעבירים משיק לגרף הפונקציה 2,0

. מצא את משוואת המשיק. ABהמקביל למיתר Cבנקודה

22מצא את משוואת המשיק לפונקציה: (20 3y x :המאונך לישר1

24

y x .

21נתונה הפונקציה: (212

2y x x המשיק לגרף הפונקציה בנקודה . A 1, 1.5 מאונך למשיק

ואת משוואת המשיק בנקודה זו. B. מצא את שיעורי הנקודה Bלגרף הפונקציה בנקודה

נתונה הפונקציה: (223

22 53

xy x x מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה .

הניצבים לישר: 1

42

y x .

נתונה הפונקציה: (21 3

215

3 2

xf x x x את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה . מצא

.x-עם הכיוון החיובי של ציר ה 45זווית של יםיוצרה

22נתונה הפונקציה: (24 5y x x .

מצא על גרף הפונקציה נקודה שהמשיק העובר דרכה יוצר זווית .א

.x-עם הכיוון החיובי של ציר ה 135של

מצא את משוואת המשיק. .ב

4 נתונה הפונקציה: (28 22y x x x .

מצא נקודות על גרף הפונקציה שהמשיק העובר דרכן יוצר זווית .א

.x-עם הכיוון החיובי של ציר ה 45של

. יםת המשיקומצא את משווא .ב

לפונקציות: (21 3f x x ו- 22g x x x .יש משיק משותף. מצא את משוואתו

82

ותחומי עלייה וירידה: מציאת נקודות קיצון

מוסבר כיצד למצוא נקודות קיצון ולקבוע את סוגןבסרטון זה.

מצא את נקודות הקיצון ואת תחומי העלייה והירידה של הפונקציות הבאות: (27

.ג .ב .א

5 .ד 228

5y x x ו .ה.

.ז

פונקציות עם פרמטרים:

2הפונקציה: נתונה (28 3y ax ( ,a .)פרמטר

אם ידוע כי aמצא את .א ' 1 4y .

4xמצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .ב .

נתונה הפונקציה: (29 3 1f x x kx ( ,k .)פרמטר

1xאם ידוע כי שיפוע המשיק בנקודה שבה: kמצא את .א 2הוא .

מצא נקודה נוספת שבה: .ב ' 2f x .

נתונה הפונקציה: (10 3 2) , 2A f x x Ax .)פרמטר

.1הוא שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה

יק.מצא את משוואת המש .א


?1האם יש נקודה נוספת שהמשיק דרכה לפונקציה הוא בעל שיפוע .ג

פרמטר(. K, ) נתונה הפונקציה: (11

.x-עם הכיוון החיובי של ציר ה יוצר זווית של המשיק לפונקציה בנקודה

.Kמצא את ערך הפרמטר .א


.. מצא את הפרמטר -ב משיק לפונקציה: הישר (12

3 2

23 2

x xy x

2 12f x x x 3 213 5 1

3y x x x

2

3y x x 328

3f x x x

3 2 52 2

4f x x x x

2x

2y x Kx

3x 45

1y x 2( ) 3 2f x ax x 1x a

21

פרמטר(. A, ) נתונה הפונקציה: (11

5מקביל לישר המשיק לפונקציה בנקודה 3.5y x .מצא את משוואת המשיק .

.x-מקביל לציר ה בנקודה שבהפרמטר( A) המשיק לפונקציה: (14

.Aמצא את ערך הפרמטר .א

המשיק.מצא את משוואת .ב

, נתון הישר: (18 )A B :פרמטרים(. ידוע כי הישר משיק לפונקציה

. בנקודה שבה:


.Bמצא את ערך הפרמטר .ב

פרמטר(. , ) נתונה הפונקציה: (11

.אם ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון שבה: מצא את ערך הפרמטר

פרמטר( יש נקודת קיצון בנקודה , ) לפונקציה: (17

ואת ערך הפונקציה באותה נקודה. . מצא את הפרמטר שבה


. האם יש לפונקציה נקודת קיצון נוספת? -לפונקציה יש נקודת קיצון ב אם כן מצא אותה ואת סוג נקודת הקיצון.

. פרמטר( יש נקודת קיצון שבה: , ) לפונקציה: (19

הוכח שנקודה זו היא נקודת מינימום. .א

.מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה שבה: .ב

:חקירת פונקציה

. חקור לפי הסעיפים הבאים: נתונה הפונקציה הבאה: (40

מציאת תחום הגדרה. .א

מציאת נקודות חיתוך עם הצירים. .ב

סוג הקיצון.מציאת נקודות קיצון וקביעת .ג

כתיבת תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ד

סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. .ה

32( ) 2 1

3

Axf x x x

3x

3 2( ) 2 2 5f x x Ax x 1x

y Ax B 3 23y x x

1x

3 21

2f x Ax x x A

A1x

3 22 21f x ax a x x a

3x a

3 23 3f x Ax Ax x A

3x

3 23f x mx x m1x

2x

3 22f x x x x

21

נתונה הפונקציה הבאה: (41 5 313

5f x x x :חקור לפי הסעיפים הבאים .



.הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה .ג

קיצה של גרף הפונקציה. ט ססרט .ד




מציאת נקודות קיצון וקביעת סוג הקיצון. .ג






מציאת נקודות קיצון וקביעת סוג הקיצון. .ג



נקודות קיצון מוחלטות:

נתונה הפונקציה: (44 3 22 3 1f x x x :בקטע 3: 2 .

מצא את נקודות הקיצון המוחלטות והמקומיות של הפונקציה בתחום הנתון.

נתונה הפונקציה: (48 33f x x x :בקטע 3: 2 .

בתחום הנתון. מצא את נקודות הקיצון המוחלטות והמקומיות של הפונקציה

2

3f x x x

22 4f x x x

22



גזור את הפונקציות הבאות: (41

.ד .ג .ב .א

.ח .ז .ו .ה

.יב .יא .י .ט

.יד .יג6

12

xy טז .טו.

.כ .יט .יח .יז


.ד .ג .ב .א

.ח .ז .ו .ה

.יב .יא .י .ט


.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.טז

2y x3y x4y x 5f x x

23y x 35f x x 46g x x32y x

41

2y x 32

3f x x 51

5y x43

4y x

5

3

xy

3

6

xg x

2

2

xf x

24

3

xy

32

3

xy

53

10

xf x

74

7

xg x

3y ax4y mx 3

3

by x x 2

2

cf x x

6y x 4f x x g x x2

5

xy

6y 3f x 1

6g x

3

4y

3 22 5y x x x 22 4 3y x x 25 3 5y x x

22 5 1y x x 2 2y x x 2 5y x x

2 3y x x 4 5y x x 5 36 2y x x

44 3 2y x x 3 2y ax 5 23f x x x b

7 46 5y x x 5 1y x 4 7y x

3 1y x

23


.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.י


.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ז .ט .ח

משיק כאשר נתונה הנקודה:מציאת שיפוע ומשוואת

.נתונה הפונקציה הבאה: (81

מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודות הבאות:

.ג. ב. .א

. חשב את ערך הנגזרת בנקודות הבאות:נתונה הפונקציה: (82

. ו. ה. ד. ג. ב. א.

. חשב את שיפוע הפונקציה בנקודות הבאות:נתונה הפונקציה: (81

. ו. ה. ד. ג. ב. א.

. נתונה הפונקציה: (84

מצא את: .א

.חשב את: .ב

5 34 2 1

5

x xy

214

2y x x 21

36

y x x x m

24 2 3f x x x 3 21

7 54

y x x x 3 21 1

3 2g x x x ax

2

5 12

xy x

23 2 1

2

x xy ax

4 3 26 43

4 3

x x axy

4 13

xy x

a

2

2f x x 2

3 2h x x 5y x x

22 1y x x 2 23 4y x x x 2

2 1f x a x

2

4y x x a 2

4 2

3

x xy

22 4

4

x mxy

3 4 5f x x x

0x 2x 2x

2 3 2y x x

0x 3x 2x 4x 1

2x

1

3x

3 4f x x x

1x 4x 5x 2x 1

12

x 4

3x

2 5 3f x x x

'f x

1

' 2 , ' 0 , ' 3 , ' 5 , '4

f f f f f

21

בנקודות הבאות: חשב את שיפוע הפונקציה: (88

.ג. ב. .א

. חשב את:נתונה הפונקציה: (81

.ג. ב. .א

. חשב את שיפוע הפונקציה בנקודות הבאות:נתונה הפונקציה: (87

.ג. ב. .א

בנקודות הבאות. חשב את שיפוע הפונקציה: (88

קבע האם הפונקציה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת בנקודות אלה. נמק.

.ג. ב. .א

בנקודות הבאות. חשב את שיפוע הפונקציה: (89

קבע האם הפונקציה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת בנקודות אלה. נמק.

.ג. ב. .א

עולה ובאילו היא יורדת. מצא באילו מהנקודות הבאות הפונקציה: (10

.ד. ג. ב. .א


.ד. ג. ב. .א


.ד. ג. ב. .א

עולה/יורדת. קבע באילו מהנקודות הבאות הפונקציה: (11

.ד. ג. ב. .א

3 22 3y x x x

1, 3 0, 3 3, 51

3 23

2

x xf x

' 2f ' 0f ' 1f

4 31 2

4 3f x x x

0,05

1,12

111,

12

2 4 1y x x

3x 2x 1x

3 23 2 1y x x x

3x 1x 0x

24 3g x x x

6x 4x 2x 2

3x

3 27 10y x x x

1x 3x 5x 3x

3 23 5f x x x

1x 1x 0.25x 1

3x

3 21 15 2

9 2g x x x x

2x 2

5x 7x

1

3x

22

. נתונה הפונקציה הבאה: (14

.חשב את: .א

.חשב את: .ב

.-מצא את שיפועי הפונקציות הבאות בנקודות החיתוך שלהם עם ציר ה (18

.ב .א

.ד .ג

.-מצא את שיפועי הפונקציות הבאות בנקודות החיתוך שלהם עם ציר ה (11

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה


עם הצירים.מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה .א

מצא את שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך עם הצירים. .ב


מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .א



נקציה עם הצירים.מצא את נקודות החיתוך של הפו .א



מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .א



של הפונקציה עם הצירים.מצא את נקודות החיתוך .א


22 1

5

xh x

1

0 , 1 , 2 , 3

h h h h

1

' 0 , ' 1 , ' 2 , '3

h h h h

x

2 7 12f x x x 26 6y x x

3 24 9h x x x 3 24 4g x x x x

y

2 4 4f x x x 29 6 1y x x x

2 8 10h x x x 29 5y x x

2 2 1h x x x 3 23 5g x x x

22 5 2y x x

3 16y x x

3 26 8f x x x x

21 1 1

4 12 6y x x

32 8

5

x xg x

21

.B-ו Aבנקודות חותך את גרף הפרבולה: הישר: (72


.B-ו Aחשב את שיפוע המשיק לגרף הפרבולה בנקודות .ב

.והישר: נתונה הפונקציה: (71

של הישר והפונקציה. מצא את נקודות החיתוך .א

חשב את שיפוע הפונקציה בנקודות החיתוך. .ב


מצא את נקודות החיתוך של הישר והפונקציה. .א

חשב את שיפוע הפונקציה בנקודות החיתוך. .ב


מצא את נקודות החיתוך של הישר והפונקציה. .א

בנקודות החיתוך.חשב את שיפוע הפונקציה .ב


.מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה: .א

כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת. .ב










2 1y x 2 5 7f x x x

22 3 9f x x x 5 1y x

34 7 3f x x x 3 3g x x

3 22 6 5 2f x x x x 3 2g x x

25f x x

3,45

2 4 5f x x x

2,17

216 9

2f x x x

4, 7

31

6f x x

324,

3

26








.-הפונקציה עם ציר ה מצא את נקודות החיתוך של גרף .א

מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות שמצאת. .ב


.-מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .א

מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות שמצאת. .ב


.-עם ציר המצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה .א

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת. .ב


.-מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .א

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת. .ב

.נתונות הפונקציות הבאות: (81

מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות. .א

בנקודות החיתוך. מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה .ב

בנקודות החיתוך. מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה .ג

3 36 5

4y x x

1,4

2

3 2 134

27y x x x

1,1

3

2 8 15y x x

x

2 3 10f x x x

x

2 5 22g x x x

y

23 7 4y x x

y

2 22 3 , 3 6 10g x x f x x x

f x

g x

28

.נתונות הפונקציות הבאות: (87

מצא את נקודות החיתוך של שתי הפונקציות. .א

בנקודות החיתוך. מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה .ב

בנקודות החיתוך. גרף הפונקציה מצא את משוואות המשיקים ל .ג

.בנקודה שבה: מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (88

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (89 3 13

2

xf x x

:0בנקודה שבהx .


. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .א


חשב את שטח המשולש שיוצר המשיק עם הצירים. .ג


הוא: באיזה נקודות שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (91

.. ו. -11. ה. -1. ד. 11. ג. 1. ב. 8 .א

:הוא באיזה נקודות שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (92

.. ו. 116. ה. 1. ד. 26. ג. -2. ב. 3 .א

לפניך מספר פונקציות. מצא את שיעורי הנקודות עבורן שיפוע המשיק הוא המצוין לידה. (91

.ב .א

.ד .ג

? 11 -ל שווה הנגזרת של הפונקציה: לאיזה ערך של (94

? -1 -ל שווה הנגזרת של הפונקציה: לאילו ערכים של (98

2 3 22 - 4 2 , 2 6 4 2g x x x f x x x x

f x

g x

22f x x1x

2

1 2g x x x

1x

22f x x

1

2

3f x x

3

25

213 , 5 3m y x x 2

0 , 2m f x x x

320 , 2 14m f x x x 26 , 6 2m g x x x

x 26 10f x x x

x 3 23 4 7f x x x x

22

. 1הוא מצא את הנקודה שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (91

. 1הוא מצא את הנקודה שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (97

.-12הוא מצא את הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (98

.2הוא מצא את הנקודות שבהן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (99


.מצא נקודה המקיימת: .א

מה ניתן לומר על המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו? .ב


.מצא את הנקודות המקיימות: .א

מה ניתן לומר על המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות אלו? .ב


.מצא את הנקודות המקיימות: .א

לומר על המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות אלו?מה ניתן .ב


.מצא באיזו נקודה יש להעביר משיק שמקביל לישר:


3מצא באילו נקודות יש להעביר משיק שמקביל לישר: 4y x .


.מצא באילו נקודות יש להעביר משיק שמקביל לישר:


.מצא באילו נקודות יש להעביר משיק שמקביל לישר:

2 2 3f x x x

2 8 1f x x x

3 29 1f x x x

4 3 24 4 5y x x x x

2 4 8f x x x

' 4f x

3 4 3f x x x

' 8f x

2 36 6 2f x x x

' 48f x

2 6 2f x x x

3 1y x

3 24 1f x x x

3 21 54

3 2f x x x x

4 3y x

24 5 7

6

x xf x

5

6y x

111

אשר המשיק העובר דרכה מקביל מצא נקודה על גרף הפונקציה: (107

.לישר:

אשר המשיק העובר דרכה מקביל מצא נקודה על גרף הפונקציה: (108

.לישר:

מצא את הנקודות עבורן הנגזרת של הפונקציות הבאות מתאפסת: (109

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

מצא את הנקודה על גרף הפונקציה: (110 22 12 6f x x x :עבורה.

.עבורן: מצא את הנקודות על גרף הפונקציה: (111

.ששיפועו: מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (112

.ששיפועם: מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (111

. ששיפועם: מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (114

.2בעלי שיפוע מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (118

.-2ששיפועם מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (111

המקבילים לישר: מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (117

.

23 2y x x

5 2y x

3 23 2y x x x

3y x

2 6y x x 2 8 9f x x x

2 315 25

4y x x 21

6 124

f x x x

36 18 1y x x 2 312 6 6 2f x x x x

' 0f x

3 48 20f x x x ' 0f x

24 3f x x x 9m

3 22f x x x 1m

2

4f x x x 0m

3 21.5 4 1f x x x x

3 22 3 10 3y x x x

2 1 1f x x x

4 2y x

111

.-המקביל לציר ה מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (118

.-המקבילים לציר ה מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (119

. המקביל לישר: מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (120

מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (121

.המקבילים לישר:

. מצא את משוואות המשיקים לגרף נתונה הפונקציה: (122

.-עם הכיוון החיובי של ציר ה הפונקציה היוצרים זווית של

. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה נתונה הפונקציה: (121

.-עם הכיוון החיובי של ציר ה שהמשיק היוצר זווית של

. מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציהנתונה הפונקציה: (124

.-עם הכיוון החיובי של ציר ה אשר יוצרים זווית של

נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה:מציאת

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות: (128

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

26f x x x x

3 27f x x x x

21 95

3 2g x x x 6y

3 21 12.5

6 2f x x x x

4y

3

23 6 53

xf x x x

45x

3 23 4 1y x x x

45x

323

33 2

xy x x

45x

2 6f x x x 25y x x 23g x x x

2 6 5f x x x 2 4 5y x x 2 6 1g x x x

2 4 3f x x x 3 22 3y x x 3 29 24 12g x x x x

2 75f x x x 22.5 2y x x 2 3 4g x x x

215 4

2f x x x 23

3 62

y x x 26 2 1

3

x xg x

112

.יח .יז .טז

.יט 324 2

7

x xf x

כא .כ.

4 .כג .כב 3 24 8y x x x כד.


של נקודת הקיצון. -מצא את שיעור ה .א

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ב


של נקודות הקיצון. -מצא את שיעור ה .א



מצא את נקודות הקיצון וקבע את סוגן. .א



מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .א

בסעיף הקודם וקבע האם הפונקציה עולה או יורדת בנקודות הבאות: היעזר .ב

1 . 2 . 3 . .



הראה כי הנקודה שמצאת בסעיף א' איננה נקודת קיצון. .ב




3 2

63 2

x xf x x

3 212

2y x x x

322 1

3

xg x x

2 315

5y x x x 3 22 7 1

43 2 3

g x x x x

4 4f x x x 4 3 24 4g x x x x

22 10 3f x x x

x

3 212 21 3f x x x x

x

2 12f x x x

3 26 9 2f x x x x

4x 0x 2x

3 22 12 24 47f x x x x

' 0f x

3 24 14 4

3 2f x x x x

' 0f x

113





מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .א

הפונקציה.מצא את תחומי העלייה והירידה של .ב

רשום שיעורי נקודה שבה הפונקציה עולה. .ג

רשום שיעורי נקודה שבה הפונקציה יורדת. .ד

.עולה לכל הוכח כי הפונקציה: (114

.עולה לכל הוכח כי הפונקציה: (118

.יורדת לכל הוכח כי הפונקציה: (111

.יורדת לכל הוכח כי הפונקציה: (117

. 1הוא הוכח כי הערך המקסימלי של הפונקציה: (118

. 11הוא הוכח כי הערך המקסימלי של הפונקציה: (119

. -16הוא הוכח כי הערך המינימלי של הפונקציה: (140

. -13הוא הוכח כי הערך המינימלי של הפונקציה: (141


? נמק.-16שלה הוא -האם יש נקודה על גרף הפונקציה ששיעור ה .א

? נמק.-1שלה הוא -ציה ששיעור ההאם יש נקודה על גרף הפונק .ב

3 218 108f x x x x

' 0f x

3 29 15f x x x x

3 2 16y x x x x

3 23 2 10f x x x x x

3 22 20 1y x x x x

3 254 9 24

2f x x x x x

26f x x

210 20 2f x x x

23 6 14f x x x

2510 3

2f x x x

2 5 10f x x x

y

y

111


? נמק.21שלה הוא -האם יש נקודה על גרף הפונקציה ששיעור ה .א

? נמק.1שלה הוא -האם יש נקודה על גרף הפונקציה ששיעור ה .ב



.אם ידוע כי: מצא את הפרמטר .א

.מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .ב


.אם ידוע כי מצא את הפרמטר .א

.מצא את שיפוע המשיק בנקודה .ב








. 12הוא אם ידוע ששיפוע המשיק בנקודה שבה מצא את .א

.מצא נקודה נוספת שבה .ב


.1הוא אם ידוע ששיפוע המשיק בנקודה שבה מצא את .א

.מצא נקודה נוספת שבה: .ב



.מצא נקודה נוספת שבה .ב

23 15 22f x x x

y

y

2 2 4y ax x a

a ' 2 6y

4x

23 6y x ax a

a ' 1 8y

4x

3 4y ax x a

a ' 2 10y

1x

31 3y a x ax a

a ' 1 7y

2x

3 6 3f x kx x k

k1x

' 12f x

3 1 2f x x k x k

k2x

' 1f x

3 212 33

kf x x x k

k1x

'( ) 2f x

112



. מצא נקודה נוספת שבה .ב

. בנקודה שבה: משיק לפונקציה: הישר: (182

. מצא את

. בנקודה שבה: משיק לפונקציה: הישר: (181

. מצא את ערך הפרמטר


. 6הוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה

מצא את משוואת המשיק. .א

הראה כי המשיק עובר בראשית הצירים. .ב

פרמטר(. , )נתונה הפונקציה: (188

.. מצא את -3של נקודת הקיצון שלה הוא -שיעור ה


.. מצא את 3של נקודת הקיצון שלה הוא -שיעור ה


.. מצא את -1של הפונקציה בנקודת המקסימום שלה הוא -שיעור ה


. -1של הפונקציה בנקודת המקסימום שלה הוא -שיעור ה והראה שהנקודה היא נקודת מקסימום. מצא את ערכו של


.2של הפונקציה בנקודת המינימום שלה הוא -שיעור ה והראה שהנקודה היא נקודת מינימום. מצא את ערכו של

3

2 53 2

x kf x x k

k3x

' 3f x

3 1y x 2 5 7f x ax x 2x

a

22

3y x 3 21

8 19

f x x ax x 1x

a

2 3 4f x Ax x A

2x

3 2 3f x x ax x a

xa

2 5f x x ax a

xa

3 2 21 4f x x ax x a

xa

3 212 3

2f x ax x x a

x

a

3 22 48 12f x x ax x a

x

a

111

חקירת פונקציה:

סרטט את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: (110

. סקיצה. 3. נקודות קיצון וקביעת סוג הקיצון. 2. נקודות חיתוך עם הצירים. 1

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

חקור את הפונקציות הבאות לפי הסעיפים הבאים: (111

. מציאת תחום הגדרה. 1

. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים )במידה ויש(.2

. מציאת נקודות קיצון וקביעת סוג הקיצון. 3

. כתיבת תחומי עלייה וירידה.1

. סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2

.ב .א

.ד .ג

.ה

התאם את שלושת הפונקציות לגרפים הבאים: (112

א. 3 26f x x x .ג. ב.

1 .2 .3 .

2 5 6f x x x 212 3f x x x

3 24f x x x 3 36f x x x

3 24 4f x x x x 2

4f x x x

2

2 6f x x x 2 12f x x x

2

6f x x x 2 6f x x x

3 29 24f x x x x 4 1f x x

2 2 8f x x x

2 4f x x 3f x x x

116


קבע ע"י סעיפי חקירה איזו סקיצה מבין שלושת הסקיצות הבאות מתאימה לפונקציה. ב. ג. .א


קבע ע"י סעיפי חקירה איזו סקיצה מבין שלושת הסקיצות הבאות מתאימה לפונקציה. ב. ג. .א

לפי הסעיפים הבאים: חקור את הפונקציה: (118

תחום הגדרה. .א

חיתוך עם הצירים.מציאת נקודות .ב

מציאת נקודות קיצון וקביעת סוגן. .ג

כתיבת תחומי העלייה והירידה. .ד


כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה עם הישרים הבאים: .ו

1. 2 . 3 . 1 ..

לפי הסעיפים הבאים: חקור את הפונקציה: (111



מציאת נקודות קיצון וקביעת סוגן. .ג

כתיבת תחומי העלייה והירידה. .ד


כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה עם הישרים הבאים: .ו

1. 2 . 3 . 1 ..

3 215 25

3f x x x x

3 26 13 8f x x x x

2 3f x x x

8y 2y 4y 6y

24 9 6f x x x x

1.5y 1.25y 1.1y 1y

118


קציה?מהו תחום הגדרה של הפונ .א

מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. .ב

מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .ג

כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ד

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .ה

:פרמטר(. לאילו ערכים של , ) נתון הישר: .ו

הישר חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת. .1

חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות. הישר .2

הישר חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות. .3


מהו תחום הגדרה של הפונקציה? .א

מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. .ב

מצא את נקודות קיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .ג

יה.כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקצ .ד


:פרמטר(. לאילו ערכים של , ) נתון הישר: .ו

הישר חותך את גרף הפונקציה בארבע נקודות. .1

הישר חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות. .2

הישר חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות. .3

הסבר מדוע הישר אינו חותך את הפונקציה בנקודה אחת כלל. .1

נקודות קיצון מוחלטות:

. בקטע: נתונה הפונקציה: (119

מצא את שיעורי נקודות הקצה של תחום ההגדרה. .א

מצא את הנקודות שבהן הנגזרת של הפונקציה מתאפסת. .ב

ציין את נקודות הקיצון המקומיות והמוחלטות של הפונקציה. .ג

מצא את נקודות הקיצון המקומיות והמוחלטות של הפונקציות הבאות: (170

. .א

. .ב

. .ג

3 36f x x x

y kkk

2 2 32f x x x

y kkk

2 6 10f x x x 0 : 4

23:7 , 8 20f x x x

3 21:5 , 6 9f x x x x

3 23:7 , 9 15f x x x x

112

קשר בין פונקציה לנגזרת:

סמך כל תכונה את תחומי החיוביות -לפניך תכונות של מספר פונקציות. קבע על (171

והשליליות של נגזרת הפונקציה:

. אין נקודות קיצון והיא עולה לכל לפונקציה .א

. אין נקודות קיצון והיא יורדת לכל לפונקציה .ב

.-נקודת מקסימום ב לפונקציה .ג

.-נקודת מינימום ב לפונקציה .ד

.והיא עולה בתחום: -נקודת קיצון ב לפונקציה .ה

.והיא יורדת בתחום: -נקודת קיצון ב לפונקציה .ו

.נקודות קיצון: לפונקציה .ז

.נקודות קיצון: לפונקציה .ח

.נקודות קיצון: לפונקציה .ט

.נקודות קיצון: לפונקציה .י

לפניך מספר תכונות של פונקציות וסקיצות של גרפים של הנגזרות שלהן. (172

התאם על סמך התכונות את הפונקציות המתאימות לכל סקיצה.

. אין נקודות קיצון והיא עולה לכל לפונקציה .א

.נקודת מינימום: לפונקציה .ב

.נקודת מקסימום: לפונקציה .ג

.עולה בתחום: והיא נקודת קיצון: לפונקציה .ד

.והיא עולה בתחום: נקודת קיצון: לפונקציה .ה

. ויש לה נקודות קיצון שבהן: מוגדרת לכל הפונקציה .ו

.ידוע כי הפונקציה עולה בתחום:

. ויש לה נקודות קיצון שבהן: מוגדרת לכל הפונקציה .ז

.ידוע כי הפונקציה עולה בתחום:

נקודות קיצון: לפונקציה .ח min 4, 12 , max 9,10 .

f xx

f xx

y 4,6

y 3, 12

g x 1,151x

g x 3, 23x

f x max 4,2 , min 6,1

f x 1

max ,7 , min 3, 83

y min 4, 8 , max 4,6

y max 7,1 , min 14, 1 , max 20,1

f xx

f x 4, 2

f x 4, 2

f x 1,121x

f x 1,121x

f xx4,9x

4 9x

f xx4,9x

4 , 9x x

f x

111

. יש נקודת מקסימום אחת ובה: לפונקציה (171

?ועבור: עבור: מה הסימן של .א

?, של הפונקציה יכול לתאר את גרף הנגזרת , 1-1איזה מבין הגרפים .ב

1 .2 .3 .1 .

סרטוט גרפים עפ"י תנאים נתונים:

והיא חיובית בכל תחום הגדרתה. מוגדרת בתחום: הפונקציה (174

מקיימת את התכונות הבאות: הפונקציה הנגזרת

.בתחום: .1

.עבור: .2

.בתחום: .3

באילו תחומים הפונקציה עולה ויורדת? .א

.אם ידוע כי: סרטט סקיצה של .ב

f x4x

'f x4x 4x

'f x f x

f x 2 : 4

'f x

' 0f x 2 1x

' 0f x 1x

' 0f x 1 4x

f x 2 1 , 4 4f f

1 .2 .3 .1 .

2 .1 .6 . 8 .

111

והיא חיובית בכל תחום הגדרתה. מוגדרת בתחום: הפונקציה (178

מקיימת את התכונות הבאות: הפונקציה הנגזרת

.בתחום: .1

.עבור: .2

.בתחום: .3



.מוגדרת בתחום: הפונקציה (171

של הפונקציה מקיימת את התכונות הבאות: הנגזרת

.בתחום: .1

2. .

.בתחום: .3



המקיימת: בתחום: סרטט סקיצה של הפונקציה (177

1. .

עבור: -ו עבור: .2

.עבור: .3

f x 5:3

'f x

' 0f x 0 3x

' 0f x 0x

' 0f x 5 0x

f x 5 2 , 3 5f f

f x0 14x

'f x

' 0f x 0 6 , 10 14x x

' 6 ' 10 0f f

' 0f x 6 10x

f x 0 3 , 14 5f f

f x0 10x

0 5 , ' 3 0f f

' 0f x 0 3x ' 0f x 3 8x

' 0f x 8 10x

112

פונקציה פולינומית: –שאלות מתוך מאגר משרד החינוך

3yא. מצא את משוואת המשיק לפונקציה: (178 x ( 2,8בנקודה .)

3yהראה שהמשיק שמצאת בסעיף א' חותך את גרף הפונקציה ב. x בנקודה

4xנוספת שבה: .

2yא. מצא את משוואת המשיק לפרבולה (179 x :4בנקודה שבהx .

ב. מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים.

3yא. הישר (180 219חותך את הפרבולהy x .בשתי נקודות

מצא את המשוואות של המשיקים לפרבולה בנקודות החיתוך עם הישר.

ב. מצא את נקודת החיתוך של שני המשיקים שמצאת בסעיף א'.

נתונה הפונקציה: (181 22f x x x הפונקציה בנקודה . ישר המשיק לגרף A 2,0

. Bמאונך לישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה

.Bמצא את שיעורי הנקודה .א

.Bמצא את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .ב


2 23

xy x x .

? 1-ערך הנגזרת של הפונקציה הנתונה שווה ל xעבור אילו ערכים של

3נתונה הפונקציה: (181 7 1y x x לגרף הפונקציה מעבירים שני משיקים, ששיפוע כל .

. מצא את נקודת ההשקה לגרף הפונקציה של כל אחד מהמשיקים אלה. 2אחד מהם הוא

3נתונה הפונקציה: (184 2 5y x x x .

מצא באילו נקודות מתאפסת הנגזרת של הפונקציה. .א

קבע את סוגן של הנקודות שמצאת בסעיף א' )מינימום, מקסימום, לא מינימום .ב לא מקסימום(. ו

רשום שיעורי נקודה שבה הפונקציה יורדת. .ג

113


23 2

x xy x .

מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה. .א

באילו תחומים הפונקציה עולה, ובאילו תחומים היא יורדת? .ב

הציור שלפניך מתאר את גרף הפונקציה: (181 2

1y x x .

Aלפונקציה מקסימום מקומי בנקודה

.Bומינימום מקומי בנקודה


yהישר kעבור אילו ערכי .ב k ?חותך את גרף הפונקציה בשלוש נקודות

yהישר kעבור אילו ערכי .ג k ?חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות

yהישר kעבור אילו ערכי .ד k ?חותך את גרף הפונקציה בנקודה אחת


צא את הנקודה שעבורה: מ .א ' 0f x .

הראה שהנקודה שמצאת בסעיף א' איננה נקודת קיצון. .ב

נתונה הפונקציה: (188 2 3y x x .

מצא את נקודות המינימום והמקסימום של הפונקציה. .א

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .ב

3הפונקציה: (189 22 5y x x :מוגדרת בתחום הסגור 0 :5 .

מצא את נקודות הקיצון המקומיות והמוחלטות של הפונקציה.

3נתונה הפונקציה: (190 23 5y x x :בקטע הסגור1

: 42

.

מצא את המקסימום המוחלט ואת המינימום המוחלט של הפונקציה בקטע הסגור. .א

האם לפונקציה .ב f x הנתונה יש בקטע1

: 42

נקודת מקסימום מקומי שאינה

מקסימום מוחלט? נמק.

לפונקציה: (191 3 2f x x Ax x (A יש נקודת קיצון בפרמטר )-1x .

1xוהראה שלפונקציה יש מינימום בנקודה Aמצא את .

111


2

3

xy Ax ( ,A :ונתון כי יש לה מקסימום כאשר ,)6פרמטרx .

.Aחשב את ערכו של .א

1xחשב את שיפוע המשיק לפונקציה זו בנקודה שבה: .ב .

3נתונה הפונקציה: (191 3 3y x ax המוגדרת לכלx( ,a .)פרמטר

0aהראה שלפונקציה זו אין נקודת קיצון כאשר: .א .

0aהראה שלפונקציה זו אין נקודת קיצון גם כאשר: .ב .

3נתונה הפונקציה: (194 2 2y Ax x x ( ,A .)פרמטר

3xידוע כי שיפוע הישר המשיק לגרף של פונקציה זו בנקודה 1הוא .

.Aחשב את הערך של .א

עם הכיוון 45מצא נקודה נוספת שבה המשיק לגרף הפונקציה יוצר זווית בת .ב .x-החיובי של ציר ה

יש נקודת קיצון אחת בלבד. fלפונקציה (198

1x-היא ב fשל הפונקציה נקודת המקסימום

1xעבור f'מהו הסימן של פונקציה הנגזרת .א ?

? נמק. fשל הפונקציה f'יכול לתאר את גרף הנגזרת 1-1איזה מבין הגרפים .ב

1גרף 2גרף 3גרף 1גרף

112

הפונקציה (191 f x :0מוגדרת בתחום 12x .

הנגזרת 'f x :של הפונקציה מקיימת את התנאים

' 0f x 0 עבור 3x .

' 3 0f

' 0f x 3 עבור 7x .

' 7 0f

' 0f x 7 עבור 12x .

באילו תחומים הפונקציה .א f x ?יורדת

סרטט סקיצה של .ב f x אם נתון גם ש- 0 5f ו- 12 3f .

הפונקציה (197 f x :0מוגדרת בתחום 5x .וחיובית בכל תחום הגדרתה

הפונקציה הנגזרת 'f x :מקיימת

' 0f x 0 עבור 2x .

' 0f x 2 עבורx .

' 0f x 2 עבור 5x .

באיזה תחום הפונקציה עולה? .א

באיזה תחום הפונקציה יורדת? .ב

סרטט סקיצה של .ג f x :אם 0 7f ו- 5 4f .

סרטט גרף של (198 f x :0בתחום 8x :המקיימת

0 3f

' 0f x 0 עבור 3x .

' 3 0f

' 0f x 3 עבור 5x .

' 0f x 5 עבורx .

111


'2א. (1 3y x .3ב' 4y x .ג' 2y x.

'א. 6y x .3ב' 2y x .2ג' 2y x .45ד'

3y x.

4א. 2' 5 4 8y x x .ב 3' 8 12f x x x .ג 4' 5 8 8f x x x

'2ד. 5 2y x x .2ה 5' 2

3y x .ו ' 8 16f x x .

'2א. 9 18y x x .ב 2' 12 6 4f x x x .

א. (4. 1. ג. 11. ב. 2א. (1. -8. ב. 1א. (2 2,6 9y , 4ב. 3,6 , x y x .ג 2.5,6.5.

8) 2.5y . 1) 1

26

y x .7) 9 27y x 8) .א 2,0 .12ב 24y x .

א. ( 9 2,0 , 1,0 , 0,0 .1ב, 2 , 2 4y x y x y x .

4א. (10 3y x .ב 3

,0 , 0,34

. 11) .

א. (12 3,0 , ,6ב. 0,0 6 .6ג 18, 6y x y x .ד 1.5, 9 .ה1

132

.

11) 1,0 , 2, 6 .14) 2,8 , 2, 16 , 0,0 . 18) .א 1, 3.

11) 2 1, 2 3y x y x 17) .א7 2051 1

, , 1,46 216 2

ב.

2877 , 7 11.5

216y x y x .

18) 2 8y x .19) 4y x .20 )4 5y x . 21 )1 1

4 ,B 3, 12 2

y x

22 )1

2 , 2 13

y x y x . 21) 1

7 , 13.53

y x y x .24) .א 1, 3 .2בy x .

א. (28 1, 2 , 1,0 , 0,0 .1 , בy x y x . 21) 3 2y x .

א. (271 1

max 2,3 ,min 1, 13 6

2x, עולה: 1אוx :2, יורדת 1x .

ב. max 2,16 ,min 2, 16 :2, עולהx 2אוx :2, יורדת 2x .

ג. 1 1

max 1,1 ,min 5, 93 3

5x, עולה: 1אוx :1, יורדת 5x .

ד. max 0,0 , min 2, 19.2 :2 , 0, עולהx x :0, יורדת 2x .

. ה min 1, 4 ,max 3,0 :1, עולה 3x :3, יורדתx 1אוx .

.x. עולה לכל . זx. עולה לכל ו

2aא. (28 .16ב. 29) .1אk .ב 1,1.

10 30, 3y x y x

116

4א. (10 6y x .ב 1

1 ,0 , 0, 62

ג.

2 22,

3 27

.

5Kא. (11 .9בy x . 12) 1a 11) .14) .אA 4 .5בy .

3Aא. (18 .בB 1. 11) 17) 18) ,כן2

min 1, 13

.

36 ב. (19 44y x .

x 2 .. כל 1א. (40 1,0 , 0,0 3 . 1 4

min , ,max 1,03 27

.

1x. עולה: 1 או1

3x :יורדת

11

3x .

x 2 .. כל 1ב. 3,0 , 0,0 3 . min 1, 4 ,max 3,0.

1. עולה: 1 3x :3יורדתx 1אוx .

x 2 .. כל 1ג. 0, 8 , 2,0 , 2,0 3 . 2 256

min , ,max 2,03 27

.

ב. xא. כל (41 0,0.

ב. xא. כל (42 0,0 ג. 3,0 , min 1, 4 , max 3,0

1ד. עולה: 3x :3 , 1יורדתx x

ב. xא. כל (41 2,0 , 2,0 , 0, 8 .ג 2 256

max 2,0 , min ,3 27

.

ד. עולה: 2

23

x :יורדת2

, 23

x x .

: 40-41 סקיצות לשאלות

44) max מוחלט , 2,29 min 3, 26 , מוחלט min מקומי , 0,1 max 1,2.מקומי

48) max 3,18 , מוחלט min 2, 2 , מוחלט min 1, 2 ,מוחלט max מקומי. 1,2

ו. ה. ד. ג. ב. א. (41

'2ח. ז. 6y x .י. ט 2' 2f x x .יב. יא

5 19y x

2A

3 3, 45 , 1a

' 2y x2' 3y x3' 4y x 4' 5f x x' 6y x 2' 15f x x

3' 24g x x3' 2y x4'y x3' 3y x

40) 41) 42) 41)

118

יז. טז. טו. יד. יג.

.כ. יט. יח.

ו. ה. ד. ג. ב. א. ( 47

.יב. יא. י. ט. ח. ז.

ה. ד. ג. ב. א. (48

י. ט. ח. ז. ו.

טו. יד. יג. יב. יא.

.טז.

ד. ג. ב. א. (49

2ה. 1' 21 5

2y x x .ח. ז. ו

י. ט.

ד. ג. ב. א. (80

3ה. 2' 12 36y x x .ח. ז. ו

.ט.

.ו. ה. ד. ג. ב. א. (82. ג. ב. א. (81

.ו. ה. ד. ג. ב. א. (81

ב. א. (84

א. (81 ג. ב. א. (88 ' 2 12f .ג. ב ' 1 1.5f .

עולה. , לא יורדת ולא עולה ג. , יורדת ב. א. (88 ג. ב. א. (87 א. עולה ב. עולה ג. יורדת ד. יורדת. (10, עולה. , יורדת ג. , עולה ב. א. ( 89 א. עולה ב. יורדת ג. יורדת ד. עולה. (12א. יורדת ב. יורדת ג. עולה ד. עולה. (11 א. יורדת ב. יורדת ג. עולה ד. יורדת. (11

א. (14

.ב.

45'

3y x51

'2

y x 21'

2g x x 'f x x

8'

3y x

2' 2y x 43'

2f x x 6' 4g x x

2' 3y ax3' 4y mx 2'y x bx 'f x cx' 6y ' 4f x

' 1g x 2

'5

y ' 0y ' 0f x ' 0g x ' 0y

2' 3 4 1y x x ' 4 4y x ' 10 3y x ' 4 5y x ' 2 2y x

' 2 5y x ' 2 3y x 3' 4 5y x 4 2' 30 3y x x 3' 12 2y x

2' 3y ax 4' 5 6f x x x 6 3' 42 20y x x ' 5y ' 4y

' 3y

4 26' 4

5y x x ' 4y x

1' 3

3y x x ' 8 2f x x

2'g x x x a ' 5y x 2' 3 1y ax x

3 2 2' 6 4

3

ay x x x 3 1

' 12y xa

' 2 2f x x ' 6 3 2h x x ' 2 5y x 2' 6 4y x x

' 4 2 1f x x ' 8 4y x x a 2 32 16' 4

3 3y x x

2 3 2' 6 8y m x mx x

4883911141

23

1447183

24

4

3

' 2 5f x x 1 1

' 2 9, ' 0 5, ' 3 11, ' 5 5, ' 54 2

f f f f f

0140 ' 0 0f

013202

1112

1 1 7 1 7

0 , 1 , 2 ,5 5 5 3 45

h h h h

4 8 1 4

' 0 0, ' 1 , ' 2 , '5 5 3 15

h h h h

112

.ו. ה. ד. ג. ב. א. (11. 1 ,0ד. ג. ב. א. ( 18

.16- , 32 , 32ב. א. (18. ב. א. (17

.ב. א. (70. 8 , 4- , 8 ב. א. (19

.ב. א. (72. ב. א. (71

.ב. א. (74. ב. א. (71

.ב. א. (71. ב. א. (78

ב. א. (79. ב. א. (78. ב. א. ( 77

.ב. א. (81. ב. א. (80

.ב. א. (82

.ב. א. (81

.ב. א. (88. ב. א. (84

28ג. ב. א. (81 101 , 4 5y x y x .

12ג. ב. א. (87 30 , 4 2y x y x .

88 )4 2y x .89) 1 1

2 2y x .90) .ג. ב. א.

ו. ה. ד. ג. ב. א. (911 1

,8 32

.

א. (92 1, 1 , 1,1 .ב. אין ג 3,27 , 3, 27 .ה. ד

.ו.

. (94. ד. ג. ב. א. (91

98) .91) .97) .98 ) 5,101 , 1,9 .99) .

ב. עולים. א. (101ב. חיובי/עולה. א. (100

( 101ב. יורדים. א. (102 1.5, 8.75 .104) .

1, 112, 121

20 ,04

468000

1

2,0 , ,0 , 0,22

3, 3, 5 4,0 , 4,0 , 0,0

4,0 , 2,0 , 0,0 2 1

,0 , 1,0 , 0,3 6

5 5 1, ,

12 12 12

2,0 , 2,0 , 0,016 16 8

, ,5 5 5

1,3 , 6,133,7

1,4 , 5, 26 7, 17 1,6 , 1,0 , 0,35,5, 7

0,2 , 4, 10 , 1,5 5,43,133030 45y x

88 1y x 22 1y x 864

83

y x

19

2

1 39

2 4y x 5

25

3y x

3,0 , 5,02 10, 2 6y x y x

2,0 , 5,07 14, 7 35y x y x

0,225 22y x 0,47 4y x

1,1 , 7, 95 36 157, 12 13y x y x

4,18 , 0,244 158, 4 2y x y x

9 9y x 1,0 , 0, 91

42

2,8 1,21 1

3 ,242 2

1 11 ,4

2 2

1 12 ,12

2 2

0,0 7, 343 , 7,343

1 1 1 1, , ,

5 125 5 125

1,8 2 32

, , 2,03 27

1, 16 , 1,16 4 140

, , 0, 123 27

1

2

1,1

9 2,5 4, 17 2,10 , 1,6 , 0,0

0,8 2,3 , 2,3

4,38 , 2, 34 1 14

3, 8 , ,3 27

121

108) .101) 7

0,6

ב. א. (109. (108. (107.

ג. 2.5,39 .ו. ה. ד.

110) .111) .112) .111) ,.

114) .118) .111 ).

117). 118) .119) .120) .

121 ) . 122) .121) .

124 ) .

.ה. ד. ג. ב. א. (128

.ח. ז. ו.

ט. max 2,8 , min . י. 4,4

יא. 1 19

max 2,1 , min , 53 54

יג. יב.

טז. טו. יד.

יח. יז.

כ. יט.

כא. 1 11

max , , min 4, 292 8

. כב.

כד. כג.

., יורדת: ב. עולה: א. (121

., יורדת: או ב. עולה: א. (127


., יורדת: ב. עולה: או , יורדת: א. עולה: (129

.א. (112. א. (111. א. ( 110

5

5, , 0,06

1,0 1,0 3, 9 4, 7

24, 138 1,13 , 1, 11 1,10

3, 24 4,148 , 4, 108 9 1y x y x 4

27y x

256, 0

27y y

12 4 , 2 9

2y x y x 2 17, 2 10y x y x

1484 , 4 4

27y x y x 9y 54, 54y y

163

16y

11 97,

6 6y y

2 28 , 76

3 3y x y x y x

1 22 , 18

6 3y x y x

min 3, 91 1

max 2 ,62 4

1 1min ,

6 12

max 3,14 min 2,1

max 3,10 min 2, 1 max 1,1 ,min 0,0

max 5,250 ,min 5, 250

8 256

min , ,max 0,09 243

1min 5, 16

2

max 2,91 5

max 1 ,12 6

1 1max 2,7 ,min 3, 13

3 2

2 22

min , ,max 1,1.53 27

2min 4, 11 ,max 0, 1

3

4 4min 2, 4 ,max 2,4

7 7

5 125

min , ,max 5,253 27

min 1, 3

min 4, 128 ,min 1, 3 ,max 0,0 min 2,0 ,max 1,1 ,min 0,0

2.5x 2.5x 2.5x

1,7x 1x 7x 1 7x

max 2,16 ,min 2, 16 2x 2x 2 2x

1 3x 3x 1x 2x 0,4x

2, 63 5

1,16

6, 216

121


. ב. א. (148. ב. א. (144 א. לא ב. כן. (141א. לא ב. כן. ( 142

. ב. א. (148 . 22ב. א. (147. ב. א. (141

ב. א. (149 2,16 180) .ב. א.

4.5a (181. (182 . ב. א. (181 .

7yא. (184 x 188) 181) .187) .188 ) .189) .

. 2 . 1א. (110

. 2 . 1ב.

. 2 . 1ג.

. 2 . 1ד.

.. 2 . 1ה.

.2 . 1ו. 4 256

min , , max 4,03 27

.

,. 1ז. 0, 72 2 ..

.. 2 . 1ח.

min 5, 25 ,max 1,71x 5x 1 5x

1a 102a 26

1

2a 5.51a 2k 1, 5

12k 26k 1 1559

,13 507

2k 2

1,33

1

2a

5a 6a 9a 1a 6a

1,0 , 6,0 , 0, 6 min 2.5, 12.25

4,0 , 0,0 max 2,12

4,0 , 0,0 8 256

min , ,max 0,03 27

6,0 , 6,0 , 0,0 max 12,48 3 ,min 12, 48 3

2,0 , 0,0 2 32

max , ,min 2,03 27

4,0 , 0,0

6,0 , 2,0 2 23

min , 75 ,max 6,03 27

12,0 , 12,0 , 0,0 max 2,16 ,min 2, 16

122

: 110סקיצות לשאלה

.. 3 . 2 . כל 1. א (111

.יורדת: או . עולה: 1

. . 3 . 2 . כל 1. ב

.יורדת: או . עולה: 1

.יורדת: או . עולה: 1 . 3 . 2 . כל 1. ג

.יורדת: . עולה: 1 . 3 . 2 . כל 1. ד

. 3 . 2 . כל 1. ה min 2, 16 , max 0,0 , min 2, 16

.או יורדת: או . עולה: 1

x 6,0 , 0,0 min 2, 32 ,max 6,0

2x 6x 6 2x

x 0,0 , 6,0 min 4, 32 ,max 0,0

4x 0x 0 4x

x 0,0 min 4,16 ,max 2,204x 2x 2 4x

x 1,0 , 1,0 min 0, 10x 0x

x 8,0 , 8,0 , 0,0

2 0x 2x 2x 0 2x

123


ב. (114א. (111. ג. ב. א. (112

או ד. עולה: ג. ב. א. כל (118

. 1 .4. 2 .1. 3 .2. 1 .1. ו. יורדת:

או ד. עולה: ג. ב. א. כל (111

. 1 .4. 3 .1. 2 .2. 1 .1. ו. יורדת:

ג. ב. א. כל (117

. יורדת: או ד. עולה:

48. 1ו. 3 , 48 3k k 2. 48 3k 3 . 48 3 48 3k .

.ג. ב. א. כל (118

או יורדת: או ד. עולה:

.. אף 1 . 3 . 2 . 1ו.

231

x 3,0 , 0,0 max 2,4 ,min 0,00x 2x

2 0x

x 0,0 1 5

max 1, 1 ,min ,2 4

1

2x 1x

11

2x

x 6,0 , 6,0 , 0,0 max 12,48 3 ,min 12, 48 3

12x 12x 12 12x

x 32,0 , 32,0 , 0,0 min 4, 256 ,min 4, 256 ,max 0,0

4 0x 4x 0 4x 4x

256 0k 0k 0 , 256k k k

121

: 118-118סקיצות לסעיפי ה' בשאלות

. מוחלטמוחלט , ג. ב. א. (119

מוחלט. מוחלט , א. (170

ב. min 1, 16 , מקומי, מוחלט min מקומי, 3,0 max מוחלט. 5,20

ג. min 5, 25 , מוחלט.מוחלט

, שלילית: ג. חיובית: ב. שלילית לכל א. חיובית לכל (171

., שלילית: ה. חיובית: , שלילית: ד. חיובית: ., שלילית: . ז. חיובית: , שלילית: ו. חיובית:

. , שלילית: ח. חיובית:

., שלילית: ט. חיובית:

., שלילית: י. חיובית:

.ח. ז. ו. ה. ד. ג. ב. א. ( 172

.ב. , שלילית: א. חיובית: (171

., יורדת: א. עולה: (174

., יורדת: עולה: (178

.או , יורדת: עולה: (171 :174-177סקיצות לשאלות

12א. ( 178 16y x . 179) .8א 16y x .ב 0, 16 , 2,0.

8א. (180 35, 8 35y x y x .ב 0,35. 181) .א3 15

,4 16

B

ב. 1 9

2 16y x .

182) 1, 3x x . 181) 2,7 , 2, 5 .

א. (184 2 175

1,5 , 1 ,3 27

ב.

2 175max 1,5 ,min 1 ,

3 27

ג. כל נקודה בתחום:

21 1

3x .

4,2 , 0,10 3,1 max 0,10 min 3,1

max 7,13 min 4,4

max 1,4

max 7,7

xx4x 4x

3x 3x 1x 1x

3x 3x 4 , 6x x 4 6x

13

3x

13 ,

3x x

4 4x 4 , 4x x

7 , 14 20x x 7 14 , 20x x

56431728

4x 4x 3

1 4x 2 1x

5 0x 0 3x

6 10x 10 14x 0 6x

118 ) 111 ) 117 ) 118 )

174 ) 178 ) 171 ) 177 )

122

א. (1881 1

min 2, 3 ,max 1,13 6

1xב. עולה: 2אוx :1, יורדת 2x .

א. (181 1 4

A , ,B 1,03 27

ב. 4

027

k .0גk או4

27k .ד

4

27k 0אוx .

א. (187 1,2 188) .א min 1, 2 ,max 1,2 .

189 ) max מקומי , 0,54 103

min ,3 27

מקומי , max מוחלט.5,80

א. (190 max מוחלט , 4,21 min מוחלט ב. כן, 2,1 0,5. 191) 2A .

3Aא. (192 .א. (194 .7ב1

3A .ב

21,

3

א. (198 . ' 0f x 2ב. גרף.

7 א.( 191 12x 0 או 3x . 197 ) .2א 5x .0ב 2x .

סקיצות לשאלות גרפיות:

188 ) 191 ) 197 ) 198 )

121

רציונאלית:פונקציה -חשבון דיפרנציאלי - 4פרק

.בסרטון זה מופיע הסבר כללי על הפונקציה הרציונאלית ותבניתּה


רציונאלית.בסרטון זה מופיעים חוקי הגזירה של פונקציה (1

גזור את הפונקציות הבאות:

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז



f xx

ה חשב את ערך הנגזרת בנקוד.

נתונות הפונקציה: (1 22 1x

f xx

:3. הישרy .חותך את גרף הפונקציה בשתי נקודות

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. .א

מצא את משוואות המשיקים לפונקציה .ב f x .בנקודות אלו

מצא את נקודת החיתוך בין המשיקים. .ג

4yהישר (4 חותך את גרף הפונקציה1

3y xx

בשתי נקודותA ו-B (A ן לימימ-B.)

.Aמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה .א

קודת החיתוך של משיק זה עם הצירים. מצא את נ .ב

2נתונה הפונקציה: (8 84y x x

x .

2xמצא את שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה: .א .

מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה זו. .ב

5y

x

6y

x

2 1

5y

x

12

3y

x 2 1

3 2y x xx

7 8x

yx

3 2 1x x xy

x

2

2y

x

2

2

4 5 3x xy

x

3x

126

לגרף הפונקציה: מצא את משוואת המשיק (132 4x x

yx


השיפוע: ידועכאשר נקודהמציאת

. 1עבורן שיפוע המשיק הוא מצא נקודות על גרף הפונקציה: (7

. ונה הפונקציה הבאה:תנ (8

.מצא על גרף הפונקציה נקודות שהמשיק העובר דרכן מקביל לישר: .א


מצא על גרף הפונקציה: (9 4

f xx

135נקודות שהמשיק העובר דרכן יוצר זווית בת עם

.x-הכיוון החיובי של ציר ה


. 1הוכח כי לפונקציה אין משיק ששיפועו .א

האם יש לפונקציה משיק ששיפועו חיובי? .ב

מצא על הפונקציה נקודות שהמשיק העובר דרכן מקביל לישר העובר דרך .ג

.הנקודות:


2

x xy

x

1. הראה שהישרy x .הוא משיק לגרף הפונקציה


נתונה הפונקציה: (12 2 Af x x

x ( ,A .)פרמטר

2xמשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: שיפוע ה מצא את 3 א וה .A.

3ערך הנגזרת של הפונקציה: (11 Ay x

x ( ,A :בנקודה שבה ,)1פרמטרx 1הוא .

.Aמצא את

1

5 2f x xx

3

2 1f x xx

5 1y x

24y

x

3,8 , 2,6

128

פרמטר(. , ) נתונה הפונקציה הבאה: (14

. 2הוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:

.מצא את ערך הפרמטר .א

כתוב את משוואת המשיק. .ב

.-מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה .ג

חקירת פונקציה רציונאלית:

נתונה הפונקציה: (18 2 3 2x x

f xx

.

רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .א

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים )במידה ויש(. .ב

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .ג



רשום את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה. .ו


1 23y

x x .

הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. מצא את נקודות .א

האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים? נמק. .ב

רשום את האסימפטוטות המקבילות לצירים. .ג

מה הם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה? .ד


מהו תחום ההגדרה של הפונקציה? .א

. -הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה .ב




3 2x x Ay

x

A

3x

A

x

24 9x xy

x

x

122

חותך את גרף הפונקציה: הישר: היעזר בסקיצה וקבע לאילו ערכים של .ו

בשתי נקודות שונות. .1

בנקודה אחת בלבד. .2

באף נקודה. .3


מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. .א

.-מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .ב

( הראה שלפונקציה אין נקודות קיצון.1) .ג

.וגם בתחום: ( הסבר מדוע הפונקציה עולה בתחום: 2)

. I , II , III , IV לפניך ארבעה גרפים: .ד

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה? נמק.

ky k

19y x

x

x

0x 0x

IV III II I

131




.ב .א

.ג .ד

.ו .ה

.ח .ז

.י .ט

.יב .יא

.יד .יג

.טז .טו

21 .יח .יז 3 18

2 7y x

x

.כ .יט

.כב .כא

.כד .כג

.כו .כה

.כח .כז

.כט2

19y

x ל.

.לב .לא

.לד .לג

4y

x

12y

x

1 1

6y

x

1 1

3y

x

4

7y

x

ay

x

ay

x

1

5

ay

x

1

7

ay

x

115 1y

x

2 114

3y

x

51.5y

ax

37

4y

x 2 1

5y xx

2 22 2y ax

x 2 5

2y x axx

2 73 5

5y x x

x

5 1xy

x

32 5xy

x

22 2xy

x

3 1x xy

x

3 2ax xy

x

3 23 2 1x xy

x

33 5 7

13

x xy

x

3 22 3 5

7

x x xy

x

3 23 7 4

6

x x xy

x

2

5y

x

2

4y

x

2

3 1

5y

x

29

ay

x

2

2

22y x x

x

2

1 23y

x x

131

.לו .לה

.לח .לז

.לט3

3 6y xx

.מ

.מא

פתור את המשוואות הבאות: (20

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

.כא .כ .יט

.כד .כג .כב

2

4 36y

x x

2

2 3x ay

x

2

2

2 7x xy

x

42y x

x

2

25y x x

x

2

2 3y x

x x

1 1

3x

1 1

5x

1 5

6x

1 7

4x

12 0

x

14 0

x

126 0

x

49 0

x

2

1 1

9x

2

1 1

25x

2

20 1

5x

2

123 0

x

2

14 0

x

2

236 0

x

2

1 25

4x

2

162 0x

x

2

33 0x

x

2

270x

x

2

24 0x

x

12 0x

x

13 2 0x

x

82 0x

x

107 0x

x

43 0x

x

132


חשב את ערך הנגזרת בנקודות הבאות: נתונה הפונקציה: (21

.. ה . ד ג. ב. .א

חשב את ערך הנגזרת בנקודות הבאות: נתונה הפונקציה: (22

.ו. ה. ד. ג. ב. .א

בנקודות הבאות: מצא את שיפוע הפונקציה: (21

.ו. ה. ד. ג. ב. .א

בנקודות הבאות: מצא את שיפוע הפונקציה: (24

.ו. ה. ד. ג. ב. .א

בנקודות הבאות: מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (28

.ו. ה. ד. ג. ב. .א

בנקודות הבאות: מצא את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (21

.ו. ה. ד. ג. ב. .א


.כתוב את .א

.חשב את: .ב

3

f xx

1x 1x 7x 3x 1

2x

2

f xx

3x 1x 1

3x 4x 10x

1

2x

1 1

5y

x

1x 1x 1

5x

1

5x 6x

1

2x

16 1

7y

x

4x 2x 1

7x

1

5x 1x

1

2x

3 4xy

x

2x 2x 1

2x

1

3x 7x 3.5x

6 1xy

x

1x 1

10x 2x 3x

2

5x

1

2x

5

4f x xx

'f x

1

' 1 , ' 5 , ' , ' 52

f f f f

133


.כתוב את .א

.חשב את: .ב


.כתוב את .א

.חשב את: .ב

חשב את שיפועי הפונקציות בנקודות המצוינות לידן: (10

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

. חשב את שיפוע הפונקציה בנקודות נתונה הפונקציה הבאה: (11

ואינה יורדת: הבאות וקבע האם היא עולה, יורדת או שאינה עולה

.ו. ה. ד. ג. ב. .א

. חשב את שיפוע הפונקציה בנקודות נתונה הפונקציה הבאה: (12

הבאות וקבע האם היא עולה, יורדת או שאינה עולה ואינה יורדת:

.ה. ד. ג. ב. .א

עולה/יורדת/אינה עולה ואינה יורדת: באילו מהנקודות הבאות הפונקציה: (11

.ו. ה. ד. ג. ב. .א

2

2f x

x

'f x

1

' 1 , ' 2 , ' 2 , '2

f f f f

2

41f x

x

'f x

1 1

' 1 , ' 2 , ' , '2 4

f f f f

1

1,0 , f x xx

2

2, 7 , 3f x xx

2 4

2,4 , 2

xf x

x

1 7,33 , 10

5f x x

x

2

1 22, 1 , f x

x x 2

3 11, 2 , f x

x x

20

5 3f x xx

23,24

3

2,23 1,28 1, 22 2, 17 2

3, 183

2

4 1f x

x x

2, 1.75 1, 3 0.5, 4 0.25,0 2,2.25

1

4f x xx

3x 1

3x 1x

1

2x

1

3x 3x

131

:-מצא את שיפועי הפונקציות הבאות בנקודות החיתוך שלהן עם ציר ה (14

.ג .ב .א

.ו .ה .ד



.-לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר המצא את שיפוע המשיק .ב



.-מצא את ערך הנגזרת של הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה .ב

כתוב את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות העוברים בנקודות שלידן: (17

.ב .א 2

2,4 , 5yx

.ג 4

1,6 , 3f x xx

ד.

.ו .ה

.ח .ז 1 7

,33 , 105

f x xx

.י .ט


. חשב את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה: .א

. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה: .ב

x

1

1f xx

3

f x xx

2

5 3f x xx

2

41f x

x 2

82f x

x 2

7 121f x

x x

1

4 3g x xx

x

x

2

91g x

x

x

x

3

3,1 , f xx

2

1,5 , 2 5f x xx

1

1,5 , 5f x xx

3

2,1.5 , 2f x xx

2 4

2,4 , 2

xf x

x

2

21, 1 , 2f x x

x 2

4 11,1 , 4f x

x x

3

2 5g x xx

1,2

2

1,2

2

132


. חשב את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה: .א

כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה הנ"ל. .ב


.-מצא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה .א

.-כתוב את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה .ב


.-מצא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה .א

.-כתוב את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה בנקודות החיתוך שלה עם ציר ה .ב


8y xx

.

.-מצא את נקודת החיתוך שלה עם ציר ה .א

.-כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה .ב


.-מצא את נקודת החיתוך שלה עם ציר ה .א

.-כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה .ב

. ציות הבאות: נתונות הפונק (44

מצא את נקודת החיתוך של שתי הפונקציות. .א

בנקודת החיתוך שמצאת. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה .ב

1

8g x xx

1, 6

4

65y x

x

x

x

103y x

x

x

x

x

x

3612y x

x

x

x

2 2 11 , g x x f x x

x

f x

131

כתוב את משוואת המשיק לגרפים של הפונקציות הבאות בנקודה המצוינת לידן: (48

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ז1 4 8

, 2 2

xx y

x

ט .ח.

.בנקודה שבה: כתוב את משוואת המשיק לפונקציה: (41


. חשב את נקודות ההשקה, כאשר שיפוע הפונקציה הוא: :נתונה הפונקציה (47

. ד. ג. ב. .א


. ד. ג. ב. .א


. ד. ג. ב. .א

לפניך מספר פונקציות. חשב את נקודות ההשקה בכל אחד מהמקרים הבאים: (80

.ב .א

.ד .ג

.ה 2

4 8' 0 , 1f x f x

x x ו.

63 , x y

x

41 , x y

x

41 , 3x y

x

22 , 4x y

x

32 , 4x y x

x

1 2 , 4

2x y x

x

2

1 11 , x y

x x

2

4 21.5 , x y

x x

2 4y x

x 2x

20

f xx

20m 5m 0.8m 0.2m

16

2f x xx

3m 18m 6m 66m

4

f x xx

15m 0m 3m 5

9m

1

' 1 , 9f x f xx

1

' 5 , 4f x f x xx

1

' 8 , 9f x f x xx

20

' 4 , f x f x xx

2

2 10' 0 , 3f x f x

x x

136

. 1.1עבורן שיפוע המשיק הוא מצא נקודות על גרף הפונקציה: (81

. 11עבורן שיפוע הפונקציה הוא מצא נקודות על גרף הפונקציה: (82

מצא נקודה על גרף הפונקציה: (81 2

2 1f x

x x 1עבורה שיפוע הפונקציה הוא .

מצא נקודה על גרף הפונקציה: (84 2

1f x x

x 1עבורה ערך הנגזרת הוא-.

מצא באילו נקודות יש להעביר משיק לגרף הפונקציה: (88 8

8f x xx

6המקביל לישר: 2y x .

מצא באילו נקודות יש להעביר משיק לגרף הפונקציה: (81 2 2 1

2

xf x

x

4המקביל לישר: 3y x .

מצא באיזו נקודה יש להעביר משיק לגרף הפונקציה: (87 2

162 4g x x

x

7המקביל לישר 2y x .

מצא באילו נקודות יש להעביר משיק לגרף הפונקציה: (88

.המקביל לישר העובר דרך הנקודות:

מצא באילו נקודות יש להעביר משיק לגרף הפונקציה: (89

.המקביל לישר העובר דרך הנקודות:

5 1

3f x

x

3

6 2f x xx

443y x

x

4,3 , 1, 21

8

2g x xx

4,6 , 6,4

138

מצא נקודות על הגרפים של הפונקציות הבאות עבורן הנגזרת מתאפסת: (10

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

מצא את משוואות המשיקים לפונקציות הבאות בעלי השיפוע המצוין לידן. (11

.ב .א

.ד .ג

. הפונקציה הבאה:נתונה (12






הצירים.מצא את נקודות החיתוך של המשיקים עם .ג

הראה כי שטחי המשולשים שכל משיק יוצר עם הצירים, זהים ומצא את .ד שטח זה.

.המקביל לישר מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (14

.-המקבילים לציר ה מצא את משוואות המשיקים לגרף הפונקציה: (18

1y x

x

25y x

x

66y x

x

92y x

x

312 1y x

x

19 2y x

x

2

6 91y

x x

2

2 12y

x x

2

8 47y

x x

5

1.25 , 9m f xx

10

1.5 , m f x xx

1

1 , 3 2m f x xx

45

4 , 10m f x xx

1

4f x xx

3y x

8

f x xx

3y x

2

2 86f x

x x 6y

32

2f x xx

x

132

נקודות שהמשיק העובר דרכן יוצר זווית מצא על גרף הפונקציה: (11

.-עם הכיוון החיובי של ציר ה של

מצא על גרף הפונקציה: (17 7

8f x xx

נקודות שהמשיק העובר דרכן יוצר זווית

.-עם הכיוון החיובי של ציר ה של

מציאת נקודות קיצון:

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות וקבע את סוגן: נתונות הפונקציות הבאות (18

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

.כא .כ .יט

.כד .כג .כב

הפונקציה מקבלת . עבור איזה ערך של נתונה הפונקציה: (19

היא מקבלת ערך מינימום? ערך מקסימום ועבור איזה ערך של

4

f xx

45x

45x

0x

1

f x xx

2

2y xx

24

6 2g x xx

34

34f x xx

5

5y xx

30

270 540g x xx

4

f x xx

1

9f x xx

5

5

xf x

x

8

8

xf x

x

2

2

xf x

x

3

3

xf x

x

6

6

xy

x

218y x

x

19f x x

x

76 7y x

x

520 3y x

x

83 72y x

x

1 1

123

f x xx

3

3 2g x xx

3 1 1

8 2

xg x

x

225 10 1x x

f xx

217 17xf x

x

3 3y x

x

90 , 5x y x

x x

x

111

של נקודות הקיצון. -. מצא את שיעור הנתונה הפונקציה: (70



אין נקודות קיצון. הראה כי לפונקציה: (71

אינה מקבלת ערך מקסימום או ערך מינימום כלל. הראה שהפונקציה: (74

מקבלת הפונקציה . עבור איזה ערך של א. נתונה הפונקציה: (78

היא מקבלת מינימום? מקסימום ועבור איזה ערך של

אין נקודות מקסימום ומינימום כלל. ב. הראה כי לפונקציה:

.מצא את ערך הפונקציה בנקודת המקסימום: (71

.מצא את ערך הפונקציה בנקודת המינימום: (77

. 12בנקודת המינימום הוא הראה שהערך של הפונקציה: (78

. 8בנקודת המינימום הוא הראה שהערך של הפונקציה: (79


.מצא את . פרמטר(. ידוע כי: , ) נתונה הפונקציה: (80

.. מצא את פרמטר(. ידוע כי: , ) נתונה הפונקציה: (81

2

1 10 , 4

2x y x

x x

2

8 90 , 1x y

x x x

320 , 2x y x

x x

40 ,

4

xx y

x

50 ,

5

xx y

x

130 ,

13

xx y

x x

x

130 ,

13

xx y

x

90 ,

9

xx y

x

90 ,

9

xx y

x

90 , 4x y x

x

160 , x y x

x

k

f xx

k ' 1 4f k

3k

f xx

k ' 1 3f k

111




.1הוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:


כתוב את משוואת המשיק. .ב

מצא את משוואתו של משיק נוסף לגרף הפונקציה המקביל למשיק הנתון. .ג

(.פרמטר, , ) נתונה הפונקציה הבאה: (88

. -8הוא שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:

וכתוב את הפונקציה. מצא את ערך הפרמטר .א

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .ב

(.פרמטר, , ) נתונה הפונקציה: (81

. לפונקציה יש מקסימום כאשר:


מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. .ב

(.פרמטר, , ) נתונה הפונקציה: (87

. לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר:


האם יש לגרף הפונקציה נקודות קיצון נוספות? אם כן מצא אותן .ב

וקבע את סוגן, אם לא נמק.

k

f x xx

k ' 2 2f k

2

43

kf x

x x k ' 2 2f k

6A

y xx

A

1x

A

9

f x axx

a0x

1x

a

3a

y xx

a0x

3x

a

2a

y xx

a0x

4x

a

112

חקירת פונקציה רציונאלית:

כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות: (88

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

לפניך מספר פונקציות. (89

. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות.1

. כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציות. 2

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציות הבאות: (90

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

2 2 3y x x 3 1y x 24 1y x x

1y

x

24y

x

176f x

x

53y x

x

24y x

x

427g x x

x

34 1y x

x

41f x x

x

33 1g x x

x

2

5 41f x

x x

2

11y x

x

2

253 4y x

x

14y x

x

369f x x

x

25f x x

x

94y x

x

3

3

xf x

x

4

4

xg x

x

4

4

xy

x

13f x x

x

12g x

x

2

7 141f x

x x 2

20 86f x

x x 2

8 41f x

x x

116y x

x

25y x

x

8f x x

x

14y x

x

5

5

xf x

x

7

7

xg x

x

2

6 31f x

x x 2

14 66f x

x x 2

10 23f x

x x

113

בתחום הגדרתה. עולה לכל הוכח כי הפונקציה: (91

הוכח כי הפונקציה: (9223 1x

yx

בתחום הגדרתה. עולה לכל

בתחום הגדרתה. יורדת לכל הוכח כי הפונקציה: (91

הוכח כי הפונקציה: (9423 7x

yx

בתחום הגדרתה. יורדת לכל

כתוב את האסימפטוטה אנכית של הפונקציות הבאות: (98

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

כתוב את האסימפטוטה אופקית של הפונקציות הבאות: (91

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

4 1xy

x

x

x

4 3xy

x

x

x

1y

x

24y x

x

43f x x

x

7

6f x xx

5

3 2y xx

5

3 2y xx

2

3y

x 2

3 3f x

x x 2

6 9f x

x x

2

6 51f x

x x 2

4 71f x

x x 2

4 62f x

x x

1y

x

2f x

x

31y

x

2

6f xx

2

4yx

2

5f xx

2

3y

x 2

46f x

x 2

4 3f x

x x

2

20 2g x

x x 2

5 24g x

x x 2

3 53g x

x x

111



. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים )במידה ויש(.2

. מציאת נקודות קיצון וקביעת סוג הקיצון. 3


. כתיבת אסימפטוטות המקבילות לצירים )במידה ויש(. 2


.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י7 1

29

y xx

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

.כא .כ .יט

לפי הסעיפים הבאים: חקור את הפונקציות מהצורה: (98


. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים )במידה ויש(. 2


. כתיבת אסימפטוטות המקבילות לצירים.1


.ג .ב .א

.ו .ה .ד

9y x

x

19y x

x

44y x

x

33y x

x

5

5

xy

x

4

4

xy

x

2 4

4

xy

x

1 8

2

xy

x

123 1y x

x

22 5y x

x

3 12 1

5 5

xy

x

2 10 25x xy

x

22 5 2x xy

x

216 3 4x xy

x

2

4 51y

x x

2

6 81y

x x

2

2 35y

x x

2

3 22y

x x

2

24y

x

2

4y x

x

1 , n

an y b

x

11y

x

33y

x

12y

x

69y

x

1214y

x

35y

x

112

לפי הסעיפים הבאים: חקור את הפונקציות מהצורה: (99


. מציאת נקודות חיתוך עם הצירים )במידה ויש(. 2


. כתיבת אסימפטוטות המקבילות לצירים.1


.ג .ב .א

.ו .ה .ד



מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. .ב

גרפים. איזה גרף יכול לתאר את הפונקציה הנתונה? נמק. 1לפניך .ג



. -מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .ב

הראה כי הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה. .ג

גרפים. איזה גרף יכול לתאר את הפונקציה הנתונה? נמק. 1לפניך .ד

2 , n

an y b

x

2

11y

x

2

35y

x

2

14y

x

2

49y

x

2

322y

x

2

78y

x

14y x

x

3

3

xy

x

x

IV III II I

IV III II I

111



. -הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה .ב

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה. .ג




0xהראה כי הפונקציה יורדת לכל .ב :0, ועולה לכלx .

. -הראה כי הפונקציה אינה חותכת את ציר ה .ג




. -מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .ב

מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. .ג


1 8

2

xy

x

x

2

41y

x

x

2

5 16y

x x

x

IV III II I

IV III II I

IV III II I

116

. להלן סקיצה של גרף הפונקציה:נתונה הפונקציה: (108

את גרף הפונקציה? כמה פעמים חותך הישר: .א

את גרף הפונקציה? כמה פעמים חותך הישר: .ב

את גרף הפונקציה? כמה פעמים חותך הישר: .ג

את גרף הפונקציה? כמה פעמים חותך הישר: .ד

את גרף הפונקציה? כמה פעמים חותך הישר: .ה

את גרף הפונקציה? כמה פעמים חותך הישר: .ו

יחתוך הישר: על סמך הסעיפים הקודמים, קבע לאילו ערכים של .ז

את גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות? , בנקודה אחת? ובאף נקודה?

1y x

x

3y

2y

1y

1y

2y

3y

ky k

118





יחתוך את הישר: על סמך הסעיפים הקודמים, לאילו ערכים של .ד

גרף הפונקציה בשתי נקודות שונות? , בנקודה אחת? ובאף נקודה?


77y x

x

10y

20y

14y

ky k

43y x

x

112

בתחום הגדרתה. הראה כי הפונקציה עולה לכל .א




חותך את גרף הסבר על סמך הסעיפים הקודמים מדוע הישר: .ה

. הפונקציה בשתי נקודות לכל ערך של



( את גרף הפונקציה? )הישר -כמה פעמים חותך ציר ה .ב



יחתוך את גרף הפונקציה בשתי נקודות לכל האם ניתן לומר כי הישר: .ה

? נמק. בתחום: ערך של

יחתוך את גרף הפונקציה בשתי נקודות לכל האם ניתן לומר כי הישר: .ו

? נמק. בתחום: ערך של

יחתוך את גרף הפונקציה בנקודה אחת האם ניתן לומר כי הישר: .ז

? נמק. בלבד רק עבור הערכים הבאים:

יחתוך את הישר: יפים הקודמים, לאילו ערכים של על סמך הסע .ח


x

4y

8y

8y

y k

k

2

1 1y

x x

1y

x0y

0.25y

1y

y k

k1k

y k

k0.25 0k

y k

0 , 0.25k k

ky k

121







חותך את גרף הפונקציה: הישר: לאילו ערכים של .ו

בשתי נקודות שונות. .1


באף נקודה. .3



. -היא גם נקודת החיתוך שלה עם ציר ההראה כי נקודת הקיצון של הפונקציה .ב מצא את נקודה זו וקבע את סוג הקיצון.

כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ג

כתוב את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. .ד


חותך את גרף הפונקציה: הישר: לאילו ערכים של .ו

ד.בנקודה אחת בלב .1

בשתי נקודות. .2

בשלוש נקודות. .3




הראה כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. .ג



בשתי חותך את גרף הפונקציה היעזר בסקיצה והראה כי הישר: .ו

.נקודות לכל ערך של

2

2

3 4 1x xy

x

x

ky k

2

6 91y

x x

x

ky k

3

2 5f x xx

x

y k f x

k

121




האם לפונקציה יש נקודות קיצון? נמק ומצא אותן במידה ויש. .ג



בשתי חותך את גרף הפונקציה היעזר בסקיצה והראה כי הישר: .ו

.נקודות לכל ערך של



.-ה מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר .ב



כתוב את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. .ה

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .ו

חותך את גרף הפונקציה: הישר: לאילו ערכים של .ז


בשתי נקודות. .2

נקודות. בשלוש .3



.-הראה כי גרף הפונקציה אינו חותך את ציר ה .ב




מעבירים שני משיקים בנקודות הקיצון של הפונקציה. .ו

מצא את משוואות המשיקים וחשב את המרחק בין שני המשיקים.

19y x

x

x

y k f x

k

2

7 42y

x x

x

ky k

9y x

x

x

122











.-רף הפונקציה עם ציר המצא את נקודות החיתוך של ג .ב






.ונקציה הבאה: נתונה הפ (117


מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .ב

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .ג

מעבירים שני משיקים בנקודות הקיצון של הפונקציה. .ד מצא את משוואות המשיקים וחשב את המרחק בין שני המשיקים.








משיקים וחשב את המרחק בין שני המשיקים. מצא את משוואות ה

82y x

x

x

44y x

x

x

82 1y x

x

2 7 6

3

xy

x

x

123






יה. סרטט סקיצה של גרף הפונקצ .ה

מעבירים משיק בנקודת הקיצון של הפונקציה. .ו

. -מצא את משוואתו וחשב את מרחקו מציר ה

פונקציה רציונאלית: –שאלות מתוך מאגר משרד החינוך


0 , x x

x yx

.

2xמעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .

חשב את שיפוע המשיק. .א



2y xx

0בתחוםx .)ראה איור(

3yהישר חותך את גרף הפונקציה בנקודהA ובנקודהB

(A משמאל ל-B מעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה .)A

. P. שני המשיקים נפגשים בנקודה Bומשיק בנקודה

. Pמצא את שיעורי הנקודה

א. נתונה הפונקציה: (122 5

0 , 5

xx f x

x .

מקבלת הפונקציה מקסימום, ועבור איזה ערך xעבור איזה ערך של היא מקבלת מינימום? x של

ב. הראה כי לפונקציה: 5

0 , 5

xx g x

x אין נקודות מקסימום

ואין נקודות מינימום.

2

8 201y

x x

x

x

121

2נתונה הפונקציה: (121 Ay x

x ( ,A .)פרמטר

4xשיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה 6הוא . .Aמצא את הערך של


y Axx

( ,A .)פרמטר

2xידוע כי לפונקציה זו יש מינימום כאשר . .Aמצא את הערך של

א. לפונקציה: (128a

y xx

2יש ערך קיצון בנקודהx .

וקבע אם הנקודה היא נקודת מינימום או מקסימום. aחשב את

2aב. הראה שאם .אז לפונקציה הזו אין נקודת קיצון


3 22f x

x x :0בתחוםx .

מצא את נקודות הקיצון של .א f x.

מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה .ב f x עם ציר ה-x.

ציין את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של .ג f x .

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה .ד f x :בתחום 4 : 4.

122


א. (12

5'y

x .ב

2

6'y

x .ג

2

2 1'

5y

x .ד

2

1'

3y

x .ה

2

1' 6 2y x

x .

ו. 2

8'y

x .ז

2

1' 2 1y x

x .ח

3

4'y

x .ט

2 3

5 6'y

x x .

2) 1

3 1) .א

1,3 , 1,3

2

2ב. 4 , 2y x y x .ג2 2

,23 3

.

6א. (4 6y x .ב 1,0 , 0, 6 . 8) .10. ב. -11א 12y x 1) 5y .

7) 0.5,2.5 , 0.5, 6.5 8) .ב. א.

9) 2,2 , 2, 2 10) .ג. ב. לא 1, 2 , 1, 6 12) 4A 11) 3A .

9A א. (14 .5ב 5y x .ג 1,0. 18) .0אx .ב 1,0 , 2,0

ג. min 1.4, 0.17 , max 1.4, 5.8 .1.4 , 1.4עולה:דx x

1.4יורדת: 0 , 0 1.4x x .0חיובית: ו 1 , 2x x :1 , 0שלילית 2x x .

א. (111

max 4,38

ב. 2

1,0 , ,03

3x , 0ג. y :ד. חיובית

21 ,

3x x

שלילית: 2

1 0 , 03

x x .

ג. א. (17

.יורדת: ד. עולה:

.אף נקודה: נקודה אחת: נקודות: 2ו.

.IIד. ב. א. (18

: 18-17סקיצות לשאלות

18 : 11: 17 :

1, 2 , 1,0 5 7 , 5 5y x y x

0x 1 1

min 1 ,11 , max 1 , 132 2

1.5 , 1.5x x 1.5 0 , 0 1.5x x

13 , 11k k 11, 13k 13 11k

0x 1 1

,0 , ,03 3

121

. .ו .ה .ד .ג .ב א. (19

..יב .יא .. י .ט .ח .ז

. .טז .טו .יד. .יג

.. כ .יט .יח . יז

. .כד .כג .כב . כא

.כז .כו .כה

. לב .לא .ל .כט .כח

.לו .לה .לד .לג

.. מא .מ .לט .לח .לז

. -2, 2. י. -3, 3ט. . ח. -2ז. ו. ה. . ד. 1.2. ג. -2. ב. 3א. (20

.. יט. -3. יח. 1. יז. 2טז. טו. יד. . יג. -2, 2. יב. -11, 11יא.

. 1, -1. כד. 2, 2. כג. -1, 2כב. . כא. -1כ.

. -12ה. ד. . ג. -3. ב. -3א. (21

. 8. ו. 1.12ה. . ד. 18. ג. 2ב. א. (22

. -1.8ו. . ה. -2. ד. -2. ג. -1.2. ב. -1.2א. (21

.ו. ה. . ד. 112ג. ב. א. (24

.ו. . ה. -31. ד. -11. ג. -1. ב. -1א. (28

ד. . ג. 111. ב. 1א. (211

9 . 1. ו. 1.22ה.

ב. א. (27 1

' 1 6 , ' 5 2 , ' 21 , ' 5 1.22

f f f f

.

2

4'y

x

2

2'y

x

2

1'

6y

x

2

1'

3y

x

2

4'

7y

x

2'

ay

x

2'

ay

x

2'

5

ay

x

2'

7

ay

x

2

15'y

x

2

2'

3y

x

2

5'y

ax

2

3'

4y

x

2

1' 2y x

x

2

2' 4y ax

x

2

5' 4y x a

x

2

7' 6 5

5y x

x

2

3'

7y x

x

2

1'y

x

2

5' 4y x

x

2

2' 2y

x

2

1' 2y x

x

2

2' 2y ax

x

2

1' 6 2y x

x

2

6 7'

13 13y x

x

2

2 2 5'

7 7 7

xy

x

2

1 4'

6 6y x

x

3

10'y

x

3

18'y

x

3

8'y

x

3

6'

5y

x

3

2'

9

ay

x

3

4' 4 1y x

x

2 3

1 4'y

x x

2 3

4 6'y

x x

2 3

2 6'

ay

x x

2 3

1 14'y

x x

2

4' 2 1y

x

2

3' 3 6y

x

2

2' 10y x

x

2

3'y

x

4

7

1

2

1

4

4

9

31

2

3

49

1

3

2

9

1

8

1

180

1

7

4

7

400

7

16

7

64

7

4

49

16

49

1

4

2

5' 1f x

x

126

ב. א. (28 1 1 1

' 1 4 , ' 2 , ' 2 , ' 322 2 2

f f f f

.

. ב. א. (29

. -1ו. . ה. -182. ד. 1. ג. 2.2. ב. 2א. (10

א. עולה. ב. אינה עולה או יורדת. ג. יורדת. ד. יורדת. ה. אינה עולה או יורדת. ו. עולה. (11 א. יורדת. ב. יורדת. ג. אינה עולה ואינה יורדת. ד. עולה. ה. יורדת. (12 ו. עולה. . יורדתא. עולה. יורדת. ג. עולה. ד. אינה עולה או יורדת. ה. (11

ו. 2ה. 1 ד. 7 , 17.5 . ג.2. ב. 1 א. (141 1

, 9 16

.

. 2, 21ב. א. (18

ב. א. (17 ב. א. (111

32

y x .5ג 11y x .

185ח. ז. ו. ה. ד. 70y x .

.. ב. -8א. (19 . ב. -11א. (18. י. ט.

ב. א. (401 1

1 , 13 2

y x y x .

.ב. א. (42. ב. א. (41

3ב. א. (44 ב. א. (41 3y x .

ד. ג. ב. א. (481

22

y x .ו. ה

31.5 ז. 30y x .41. ט. ח)

ב. א. (47 2,10 , 2, 10 .ד. ג .

ג. ב. א. (48 2, 4 , 2,4 .ד .

. ד. ג. ב. א. (49

ב. א. (80 1,3 , 1, 3 .ד. ג.

ה. 4,1.5 .ו.

81) 82) . 81) 84) 88)

81) 87 ) 2,4. 88) 89) .

3

4'f x

x

3

8'f x

x

1 1' 1 8 , ' 2 1 , ' 64 , ' 512

2 4f f f f

3

4

1

1,0 , ,04

3,0 , 3,02 2

, -3 3

12

3y x

4 1y x 2 3y x 1.75 5y x 4y

3 4y x 2 1y x 10 7y x 8 8y x

2,0 , 3,0

2,0 , 5,01.4 7 , 3.5 7y x y x 4,00y

6,00y 1,0

24

3y x 4 8y x 4 5y x

13 3

4y x 12 8y x

1y x 2

0.59 23

y x 3y x

1,20 , 1, 20 5,4 , 5, 4 10,2 , 10, 2

4,4 , 4, 4 1, 14 , 1,14 1 1

, 31 , ,312 2

1 1 1 1,8 , , 8

2 2 2 2

2,4 , 2, 4 1,5 , 1, 5

13 133, , 3,

3 3

1,8 , 1,10 1,10 , 1, 10 2,12 , 2, 12

10,3.1

5 5, 1 , ,1

3 3

1 1, 1 , ,13

2 2

1,1 1,2 2,20 , 2, 20

1,1.5 , 1, 0.5 2,28 , 2, 28 2,8 , 2, 4

128

. ד. ג. ב. א. (10

.ט. ח. ז. ו. ה.

1.25א. (11 14 , 1.25 4y x y x .1.5. ב 10 , 1.5 10y x y x .

5y , 1ג. x y x .4ד 40 , 4 20y x y x .

.ב. א. (12

. ג.ב. א. (11 2 2

2 ,0 , 0, 8 ; 2 ,0 , 0,83 3

ד.

210

3.

14) 18) .11) 17 ) 1,15 , 1, 15 .

ב. א. (18 min 1,4 , max 1, 4 .ג

ו. ה. ד.

ז. max 2, 4 , min 2,4 .ט. ח

יב. יא. י.

טו. יד. יג.

יח. יז. טז. 1 1

max , 45 , min ,513 3

. כא. כ. יט.

כד. כג. כב. max 1, 4 , min 1,4 .

. א. (78. -1, 1 (72. 2.22 (71. -1( 70 (19

71) 2- .77) 2 .80) 81 ) 82) 81)

.ג. ב. א. (84

. ב. א. ( 81 ב. א. (88

טו. -: ד : א, ב, ג. מוגדרת עבור: כל (88. ב. א. (87

. 1א. (89 min 0.5,4 , max 0.5, 4 2 :0.5 , 0.5. עולהx x :0.5 יורדת 0 , 0 0.5x x .

. יורדת: . עולה:2 .1ב.

. יורדת: . עולה:2 .1ג.

. יורדת: . עולה:2 .1ד.

1,2 , 1, 2 5,10 , 5, 10 1,12 , 1, 12 3,8 , 3, 4

1 1,13 , , 11

2 2

1 1,4 , , 8

3 3

3,2 1,3 1,3

1,5 , 1, 5 3 2 , 3 2y x y x

2, 2 , 2,2 3 8 , 3 8y x y x

5.875y 16 , 16y y 2, 2 , 2,2

min 1,2 , max 1, 2 min 2,22 , max 2, 26

min 1,68 , max 1, 68 max 1, 10 , min 1,10 1 1

max ,360 , min ,7203 3

1 1min ,6 , max , 6

3 3

min 5,2 , max 5, 2

min 8,2 , max 8, 2 min 2,2 , max 2, 2 min 3,2 , max 3, 2

min 6,2 , max 6, 2 1 1

min ,12 , max , 123 3

1 1min ,6 , max , 6

3 3

min 1,20 , max 1, 8 1 1

min ,17 , max , 232 2

1 1min ,4 , max , 4

6 6

min 1,4 , max 1, 8

1 7min 2, , max 2,

8 8

1 1min ,0 , max , 20

5 5

min 1,34 , max 1, 34

min : 3 , max : 3x x min : 13 , max : 13x x

4k 3k 4k 4k

5A 10y x 10y x

9

; 1f x x ax

max 3, 6 ; min 3,6 27a 3, 18 ; 3,18

32a max 4, 16 x0x

min 2,36 , max 2, 36 2 ; 2x x 2 0 ; 0 2x x

min 5,10 , max 5, 10 5 ; 5x x 5 0 ; 0 5x x

min 1.5,12 , max 1.5, 12 1.5 ; 1.5x x 1.5 0 ; 0 1.5x x

122

. יורדת: . עולה:2 .1ה.

. יורדת: . עולה:2 .1ו.

. . עולה לכל 2. אין קיצון 1. ח. . עולה לכל 2. אין קיצון 1ז.

. . עולה לכל 2. אין קיצון 1ט.

. יורדת: . עולה:2 . 1י.

.יורדת: . עולה:2 . 1יא.

.יורדת: . עולה:2 . 1יב.

. יורדת: א. עולה: (90

. יורדת: ב. עולה:

. יורדת: ג. עולה:

. יורדת: . ה. עולה: ד. עולה לכל

. יורדת: ו. עולה:

. יורדת: . ח. עולה: יורדת: ז. עולה:

10x , 0ט. עולה: x :0 יורדת 10x .

ו. ה. ד. ג. ב. א. (91. לכל הסעיפים: (98

. יב. יא. י. ט. ח. ז.

. .3. אין. 2 .1א. (97

0x .2 יורדת: . עולה: 1 .

. .3. אין. 2 .1ב.

.. 2 יורדת: . עולה: 1

.3. אין. 2 .1ג.


. .2 . יורדת לכל1. אין. 3 .2 .1ד.

. .3. אין. 2 .1ה.


. .2 . עולה לכל1. אין. 3 .2 .1ו.

.3. אין. 2 .1ז.


min 3,2 , max 3, 2 3 ; 3x x 3 0 ; 0 3x x

min 4,2 , max 4, 2 4 ; 4x x 4 0 ; 0 4x x

0x 0x

0x

1min 4,

8

4 0x 4 ; 0x x

min 5,5.20 ; 5x x 0 5x

1min 4,

2

0 ; 4x x 0 4x

0.25 ; 0.25x x 0.25 0 ; 0 0.25x x

5 ; 5x x 5 0 ; 0 5x x

8 ; 8x x 8 0 ; 0 8x x

0x 5 ; 5x x 5 0 ; 0 5x x

7 ; 7x x 7 0 ; 0 7x x

1 0x 1 ; 0x x 2

0 ; 43

x x 2

0 43

x

0x 0y 0y 1y 6y 4y 5y

0y 6y 0y 0y 4y 3y

0x min 3,6 ; max 3, 6

3 , 3x x 3 0 , 0 3x x

0x 1 1

min ,6 ; max , 63 3

1 1 ,

3 3x x

1 10 , 0

3 3x x 0x

0x min 1,8 ; max 1, 8

1 , 1x x 1 0 , 0 1x x 0x

0x 1,0 , 1,00x 0x

0x min 5,2 ; max 5, 2

5 , 5x x 5 0 , 0 5x x 0x

0x 4,0 , 4,00x 0x

0x min 4,1.5 ; max 4, 2.5

4 , 4x x 4 0 , 0 4x x 0x

111

.3. אין. 2 .1ח.


.3. אין. 2 .1ט.


. 3. . 2 .1י.


. .2 . עולה לכל1. אין. 3 .2 .1יא.

. .2 . עולה לכל1. אין. 3 .2 .1יב.

.3 .2 .1יג.

. .2 יורדת: . עולה: 1

.3 .2 .1יד.


. 3אין. .2 .1טו. 1 1

min , 13 , max ,192 2

.

. עולה: 1 1 1

0 , 02 2

x x :יורדת1 1

, 2 2

x x 2. .

. .3 .2 .1טז.

0. עולה: 1 2.5x :2.5 , 0 יורדתx x 2. .

. .3 .2 .1יז.


. .3 .2 .1יח.


. .3 .2 .1יט.


.. 2. . יורדת לכל1.אין. 3 .2 .1כ.

0x min 4,3.5 ; max 4, 2.5

4 , 4x x 4 0 , 0 4x x 0x

0x min 2,13 ; max 2, 11

2 , 2x x 2 0 , 0 2x x 0x

0x 1

2,0 , ,02

min 1, 1 ; max 1, 9

1 , 1x x 1 0 , 0 1x x 0x

0x 2,0 , 2,00x 0x

0x 1 7

,0 , ,03 3

0x 0x

0x 5,0 min 5,20 ; max 5,0

5 , 5x x 5 0 , 0 5x x 0x

0x 1

2,0 , ,02

min 1, 1 ; max 1, 9

1 , 1x x 1 0 , 0 1x x 0x

0x

0x

0x 1,0 , 5,0 max 2.5,1.8

0 , 1x y

0x 2,0 , 4,02 1

min 2 ,3 8

20 , 2

3x x

20 2

3x 0 , 1x y

0x 0.6,0 , 1,01

max 3,53

0 3x 0 , 3x x 0 , 5x y

0x 0.5,0 , 2,04 1

max ,33 8

40

3x

40 ,

3x x 0 , 2x y

0x 0.5,0 , 0.5,00x 0x

111

. .3 .2 .1כא.


. .1 . יורדת לכל3 .2 .1א. (98

. .1 . יורדת לכל3 .2 .1ב.

. .1 . יורדת לכל3 .2 .1ג.

. .1 . יורדת לכל3 .2 .1ד.

. .1 . עולה לכל3 .2 .1ה.

. .1 . עולה לכל3 .2 .1ו.

. .1 יורדת: . עולה: 3 . אין.2 .1א. (99

. .1 יורדת: . עולה: 3 . אין. 2 .1ב.

.2 .1ג. 1 1

,0 , ,02 2


. .1 יורדת: . עולה: 3 .2 .1ד.

. .1 יורדת: . עולה: 3 .2 .1ה.

. .1 יורדת: . עולה: 3 . אין. 2 .1ו.

.IIIד. ב. א. (I .101ג. ב. א. (100

. Iד. א. (III .101ד. ג. א. (102

ג. ב. א. (104 min 0.4, 0.25 .דIV .

. 2. ו. 1. ה. 1. ד. 1. ג. 1. ב. 2א. (1082k , 2נקודות: 2ז. k :2. נקודה אחתk :2אף נקודה 2k .

.אף נקודה: נקודה אחת: נקודות: 2. ד.1. ג. 2. ב. 1א. (101

. ה. כן. ו. כן. ז. כן. 1. ד. 1. ג. 1. ב. 2א. (108. 2. ד. 2. ג. 2ב. (107 .אף נקודה: נקודה אחת: נקודות: 2ח.

ב. א. (109 1

,0 , 1,03

.יורדת: ד. עולה: ג.

.אף נקודה: נקודה אחת: נקודות: 2ו.

.. ד. יורדת: ג. עולה: ב. א. (110

.. אף 3 .2 . 1ו.

0x 3 4,0 min 2,3

0 , 2x x 0 2x 0x

0x 1,00x 0 , 1x y

0x 1,00x 0 , 3x y

0x 0.5,00x 0 , 2x y

0x 2

,03

0x 0 , 9x y

0x 6

,07

0x 0 , 14x y

0x 0.6,00x 0 , 5x y

0x 0x 0x 0 , 1x y

0x 0x 0x 0 , 5x y

0x 0x 0x 0 , 4x y

0x 2 2

,0 , ,03 3

0x 0x 0 , 9x y

0x 4,0 , 4,00x 0x 0 , 2x y

0x 0x 0x 0 , 8x y

0x 1 1

,4 , , 42 2

0x 3,0 , 3,0

0x 4,4.5 , 4, 3.5 0x

0x 1 1

,0 , ,02 3

14 , 14k k 14k 14 14k

0.25 0 , 0k k 0, 0.25k 0.25k

0x 1

min , 12

0 , 0.5x x 0 0.5x

1 3 , 3k k 1,3k 1k

0x min 3,00 , 3x x 0 3x 0 , 1x y

0,1k 0 1 , 1k k k

112

0x ד. ב. א. (111

. ד. ב. א. (112

עולה: ד. ג. ב. א. (1118

07

x :יורדת 8

0 , 7

x x .

.. אף 3 .2 . 1. ז. ה.

.יורדת: ד. עולה: ג. א. (114

.ו.


.ו.

ג. ב. א. (111

.. ו. יורדת: ד. עולה:

.ד. ב. א. (117


.ו.

.יורדת: ד. עולה: ג. ב. א. (119

.ו.

3. ב. 3א. (120 1y x .

121) 2 8

P ,3 3

5xא. מקסימום: (122 :5. מינימוםx . 121) 16A . 124) 3A .

4aא. (128 :מינימום , 2,4 .

א. (1211 1

1 ,33 8

ב. 1

2,0 , ,02

ג. עולה:

40

3x :יורדת

40 ,

3x x .

0x 1,0 , 0.6,0

0x 1 1

,0 , ,03 3

0x

0x 1

,0 , 4,02

8 81max ,

7 16

0 , 2x y 81

16k

81

16k k

0x min 3,6 , max 3, 6 3 , 3x x 3 0 , 0 3x x

12 , 6 , 6d y y

0x min 2,8 , max 2, 8 2 , 2x x 2 0 , 0 2x x

16 , 8 , 8d y y

0x 2,0 min 2,8 , max 2,0

2 , 2x x 2 0 , 0 2x x 8 , 8 , 0d y y

0x min 2,9 , max 2, 7 16 , 9 , 7d y y

0x 5 19

min 3, , max 3,3 3

3 , 3x x 3 0 , 0 3x x

5 198 , ,

3 3d y y

0x 2,0 , 10,0 max 5,1.80 5x 0 , 5x x

1.8 , 1.8d y

113

סקיצות לשאלות:

:97סקיצות לשאלה

111

:98סקיצות לשאלה


112

סקיצות לשאר שאלות החקירה:

: 121שאלה סקיצה ל

111

פונקצית שורש: -חשבון דיפרנציאלי – 8פרק

.בסרטון זה מופיע הסבר כללי על פונקצית השורש ותבניתּה

.בסרטון זה מופיע תחום ההגדרה של פונקצית השורש


זה מופיעים כללי הגזירה של פונקצית השורש. ןובסרט (1

גזור את הפונקציות הבאות:

y .א x 5 .בy x 3 .גy x

.ד2

xy ה. y x x ו.

88y x

x

y .ז x x ט .ח.

שיפוע ומשוואת משיק כאשר נתונה הנקודה: מציאת

2yנתונה הפונקציה: (2 x .

1xמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .



שאינה בראשית. -מצא את שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה .ב

.בנקודה: כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (4

נתונה הפונקציה: (8 23 8f x x x מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה .

4xבנקודה שבה: .

נתונה הפונקציה: (1 2f x x x x מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה .

1x :בנקודה שבה .


f x xx


3 2 1y x x 2y x x

4f x x x

x

x

2 4 5f x x x 4,29

116

כאשר ידוע השיפוע: מציאת נקודה

3yנתונה הפונקציה: (8 x .

מצא נקודה שבה שיפוע הפונקציה הוא .א3

4 .

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה באותה הנקודה. .ב

יש להעביר משיק המקביל מצא באיזו נקודה על גרף הפונקציה: (9

. לישר העובר דרך הנקודות:

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (10 4 2f x x x :המקביל לישר1

32

y x

. x-ואת נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה

: תמצא את הנקודות עבורן הנגזרת מתאפס (11

.ב .א


. פרמטר( בתחום: ) נתונה הפונקציה: (12

.. מצא את מקביל לישר: המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:

a , (3נתונה הפונקציה: (11 y x a x פרמטר(. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה

1xבנקודה שבה: מצא את ערך הפרמטר 2הוא .a.

2 , (נתונה הפונקציה: (14A

A y xx

פרמטר(. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה

1xבנקודה שבה: מצא את ערך הפרמטר 2הוא .A .

.. מצא את פרמטר( יש נקודת קיצון כאשר: ) לפונקציה: (18

.מצא את .א

ן. קבע את סוג הקיצו .ב

מהו הערך המינימלי של הפונקציה? .ג


3 2 5y x x

5, 2 , 1,10

5f x x x 2 3 6f x x x

9y a x x a0x

4x 2y xa

4 3 1y x a x a1

4x a

a

118

חקירת פונקצית שורש:



מצא את הנקודה שבה הנגזרת מתאפסת וקבע את סוגה. .ב


מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .ד


חותך את גרף הפונקציה: הישר לאילו ערכים של .ו

בשתי נקודות שונות? .1

בנקודה אחת בלבד? .2

באף נקודה? .3

הפונקציה: נתונה (17 2 7 4f x x x .


בנקודה: x-הראה כי הפונקציה חותכת את ציר ה .ב 16,0.

. y-מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .ג

מצא את הנקודה שבה הנגזרת מתאפסת וקבע את סוגה. .ד

כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ה

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .ו

הפונקציה שלילית. xקבע לאילו ערכים של .ז

נתונה הפונקציה: (18 16f x x x .

ההגדרה של הפונקציה?( מהו תחום 1) .א

( מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.2) ( מצא את נקודת הקיצון המקומית של הפונקציה וקבע את סוגה. 3)

. IV ,III ,II ,Iלפניך ארבעה גרפים: .ב


2f x x x

ky k

IV III II I

112

yנתון הישר: .ג k( ,k מצא עבור אילו ערכי .)פרמטרk חותך הישר את גרף

. בשתי נקודות שונותהפונקציה

.הפונקציה: נתונה (19


מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה וקבע את סוגה. .ב


הראה כי הפונקציה עוברת בראשית הצירים. .ד

. בנקודה: -נתון כי הפונקציה חותכת את ציר ה .ה

היעזר בנתון זה ובסעיפים הקודמים וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

2 108f x x x

x 22.67,0

161

סף:תירגול נו



.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

.כא .כ .יט

.כד .כג .כב

.כז .כו .כה


.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

y x2y x3y x

17y xy a x3y a x

1

2y x

3

xy

4

xy

2y x x y x x 3y x x

6y x x 4 3y x x 2 5y ax x

8 3y x a x 2 3 1y x x 5 6y x x

3 2 1y x x 2y x x 23 2y x x

216y x x 2 8y ax x 2 7y bx x

1y x

x

3y x

x

44y x

x

y x x8y x x5y x x

6y x x 1y ax x 2 6y bx x

2y x x x 4y x x y x a x

8 3y x a x 2 3y ax x 2y a x ax

2y x x26y x x2y ax x

3y x x x 23 7y x x x 214 2y x ax x

161

פתור את המשוואות הבאות: (22

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

.כא .כ .יט


בנקודות הבאות: חשב את שיפוע הפונקציה: (21

. ה. ד. ג. ב. .א

בנקודות הבאות: חשב את ערך הנגזרת של הפונקציה: (24

. ה. ד. ג. ב. .א

בנקודות הבאות: חשב את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה: (28

. ה. ד. ג. ב. .א


.כתוב את .א

.חשב את: .ב

1x 5x 3x

6x 8x 2 1x

6 5x 4 2 0x 1

3 02

x

35 0

4x

12 0

4x

14 0

4x

12

x

14

x

1 1

3x

1 1

5x

5 1

32 x

83

2 x

6 1

52 x

134

2 x

42

2 x

3y x

1x 4x 9x 1

4x 16x

2y x x

1x 3x 25x 1

64x

1

2x

2 5 2y x x

25x 1x 4x 1

4x

1

16x

26 2f x x x

'f x

1

' 1 , ' 9 , ' 5 , '4

f f f f

162


.כתוב את .א

.חשב את: .ב

חשב את שיפוע הפונקציה בנקודות הבאות: (28

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

וקבע אם היא עולה או יורדת בנקודות הבאות: חשב את שיפוע הפונקציה: (29

.ה. ד. ג. ב. .א

, עולה או יורדת בנקודות הבאות: קבע האם הפונקציה: (10

.ה. ד. ג. ב. .א

וקבע אם היא עולה או יורדת בנקודות הבאות: חשב את שיפוע הפונקציה: (11

.ה. ד. ג. ב. .א



ת. שאינה בראשי -מצא את שיפוע הפונקציה בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה .ב



מצא את שיפוע הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם. .ב

23f x x x

'f x

1 25

' 9 , ' , ' 3 , '9 16

f f f f

4,8 , 2f x x x 1,7 , 8f x x x

1 16

, , 4 49 9

f x x x

1

,0 , 25 525

f x x x

24,14 , f x x x 29,69 , 4f x x x

2f x x x

1,1 4,0 9, 31 3

,4 4

1 5,

9 9

0 , 2x f x x x

7x 1x 1

4x 4x

1

16x

2 4f x x x

1, 3 4,8 9,691 31

,4 16

25,605

2f x x x

x

x

3 2f x x x

y

163



מצא את שיפוע הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף הקודם. .ב

כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצוינת לידה: (18

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה


.חשב את שיפוע הפונקציה בנקודה: .א



.חשב את שיפוע הפונקציה בנקודה: .א


. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה נתונה הפונקציה: (18

שאינה בראשית. -בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה

. כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה נתונה הפונקציה: (19

שאינה בראשית. -בנקודת החיתוך שלה עם ציר ה

. בנקודה: כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (40

כתוב את משוואות המשיקים לפונקציות בנקודות המצוינות לידן: (41

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

2 3f x x x

y

4,4 , 2f x x 1, 6 , 6f x x

1 4

, , 9 9

f x x x

25, 195 , 8f x x x

21,2 , f x x x 16,64 , f x x x

2f x x x

9,21

2f x x x

1 5,

9 9

2f x x x

x

5f x x x

x

2 3f x x x 1, 2

4 , 5x f x x 1 , 6x f x x

9 , 2x f x x x 1

, 325

x f x x x

21 , 2

4x f x x x 16 , 3 2x f x x x

161


. חשב את נקודות ההשקה כאשר השיפוע הוא: נתונה הפונקציה: (42

.ו. ה. ד. ג. ב. .א

. חשב את נקודות ההשקה כאשר השיפוע הוא: נתונה הפונקציה: (41

ג. ב. .א3

14

m .1.5דm .ו. ה.

: לפניך מספר פונקציות. מצא את שיעורי הנקודה עבורן שיפוע המשיק הוא (44

.ב .א 3 , 12m f x x

.ד .ג

.ו .ה

יש להעביר משיק מצא באיזו נקודה על גרף הפונקציה: (48

.המקביל לישר:


.לישר:


. לישר העובר דרך הנקודות:

מצא את הנקודות עבורן ערך הנגזרת מתאפס: (48

.ב .א

.ד .ג

. 2בעל שיפוע מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (49

2f x x

1m 2m 3m 8m 1

4m 2m

3f x x x

1m 4m 3m 10m

m

2 , 4m f x x

5 , 10m f x x 2 , 3m f x x x

1

, 22

m f x x x 1 4

, 33 3

m f x x x

2f x x x

2 1y x

3f x x x

8y x

2 3 1y x x

4,10 , 6,6

f x x x 2f x x x

3f x x x 4 3 2f x x x

f x x x

162

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (80 2 3f x x x 2בעל שיפוע- .

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (81 4f x x x 1בעל שיפוע .

. 1בעל שיפוע מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (82

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (81 6 4f x x x :2המקביל לישר 15y x .


3 6

xf x x :המקביל לישר

1

6y x.

10yהמקביל לישר: מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה: (88 x.

:מצא את משוואות המשיקים לגרפים של הפונקציה המקבילים לישר: (81

.ב .א

.ד .ג 2

xf x x

מציאת נקודות קיצון:

מצא את נקודות הקיצון המקומיות של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן: (87

.ב .א 3f x x x ג. 4f x x x

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.י 6 3

x xf x יב .יא.

1

2 8

x xf x

.בתחום: נתונה הפונקציה: (88

של נקודת הקיצון של הפונקציה. -מצא את שיעור ה .א

כתוב את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ב

3f x x x

16 9f x x x

5y

6f x x x 12 3f x x x

4f x x x

2f x x x

2f x x x 4 3f x x x 8 2f x x x

2 3 1f x x x 2 4f x x x 2 2f x x x

1

2

xf x x

4f x x x 0x

x

161

.בתחום: נתונה הפונקציה: (89




16 2

x xf x

:בתחום.



, עולה או יורדת בנקודות הבאות: קבע האם הפונקציה: (11

.ה. ד. ג. ב. .א

.עולה לכל הראה כי הפונקציה: (12

.עולה לכל הראה כי הפונקציה: (11

.יורדת לכל הראה כי הפונקציה: (14

.יורדת לכל הראה כי הפונקציה: (18

?בתחום: מהו הערך המינימלי של הפונקציה: (11

. בתחום: מצא את הערך המינימלי של הפונקציה: (17

. בתחום: מצא את הערך המקסימלי של הפונקציה: (18

. בתחום: מצא את הערך המקסימלי של הפונקציה: (19

3 2 1f x x x 0x

x

0x

x

0 , 2x f x x x

7x 1x 1

4x 4x

1

16x

y x x 0x

4 3y x x 0x

2y x x 0x

43

xy x 0x

42

xy x 0x

4y x x 0x

3y x x 0x

42

2

xy x

0x

166



. . מצא את 2הוא ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:


. . מצא את -3הוא ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:


. . מצא את 2הוא ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:


. . מצא את 1.2הוא ידוע כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:


.. מצא את 1.62הוא ערך הנגזרת בנקודה שבה:

2נתונה הפונקציה: (78 2y x a x ( :בתחום )פרמטר .

.1.62הוא ערך הנגזרת בנקודה שבה:

.מצא את .א

. 1מצא נקודה שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא .ב


. 1.1הוא ערך הנגזרת בנקודה שבה:

.מצא את .א

.-1מצא נקודה שבה שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא .ב


.. מצא את ידוע כי הנגזרת מקיימת:


.. מצא את ידוע כי הנגזרת מקיימת:

y ax x a0x

4x a

2y a x x a0x

9x a

2 3y x ax a0x

1

25x a

1y ax a x a0x

1x a

2 1y ax x a0x

16x a

a0x

16x

a

4 2 3y a x x a0x

6.25x

a

2f x a x x a0x

' 4 2f a

3 2f x ax x a0x

' 1f aa

168


.ידוע כי הנגזרת מקיימת:

.מצא את .א


כתוב את משוואת משיק העובר דרך הנקודה שמצאת בסעיף הקודם. .ג

מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. .ד

2נתונה הפונקציה: (80 8y a x x ( :בתחום )פרמטר חיובי .

ידוע כי הנגזרת מקיימת: ' 1 16f .

.מצא את .א


דרך הנקודה שמצאת בסעיף הקודם. כתוב את משוואת משיק העובר .ג

מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. .ד

. פרמטר חיובי( בתחום: ) נתונה הפונקציה: (81

.. מצא את מקביל לישר: המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה:

.. מצא את פרמטר( יש נקודת קיצון כאשר: ) לפונקציה: (82

xy x

a a0x

' 1 5f

a

a0x

a

2y ax x a0x

1

9x 3 2y x a

5y a x x a1

25x a

162

שורש: חקירת פונקצית

כתוב את תחום ההגדרה של הפונקציה הבאות: (81

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

. בתחום: נתונה הפונקציה: (84

הראה כי הנקודות הבאות נמצאות על גרף הפונקציה:

.ה. ד. ג. ב. .א

. בתחום: נתונה הפונקציה: (88

הראה כי הנקודות הבאות נמצאות על גרף הפונקציה:

.ה. ד. ג. ב. .א

כתוב את נקודות הקיצון )כולל נקודות הקצה( של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן: (81

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

f x x 4f x x 3f x x

2

xf x

1

3

xf x

4

3

xf x

f x x x 4f x x x 3f x x x

2f x x x 4 2f x x x 6 8f x x x

2 4f x x x 22 3f x x x 4f x x x

2 3f x x x x 1

f x xx

2

2

xf x

x

2y x x 0x

1,1 4,0 9, 3 25, 151 3

,4 4

2 4y x x 0x

1, 3 4,8 9,69 25,6051 31

,4 16


2f x x x 4f x x x 5 2f x x x

2 3f x x x 3 1f x x x 5 4 1f x x x

1

2

xf x x

1 2

3

xf x x

14

2

xf x x

2 4f x x x 2 108f x x x 2f x x x

181


. מציאת תחום הגדרה. 1 . מציאת נקודות חיתוך עם הצירים )במידה ויש(. 2 . מציאת נקודות קיצון מקומיות וקצה, וקביעת סוג הקיצון.3 . כתיבת תחומי עלייה וירידה.1 . סרטוט סקיצה של גרף הפונקציה. 2

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י


הפונקציה.מצא את תחום ההגדרה של .א


.הראה כי הפונקציה עוברת דרך הנקודות: .ג

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. .ד

רשום את התחום שבו הפונקציה שלילית. .ה




.הראה כי הפונקציה עוברת דרך הנקודות: .ג


רשום את התחום שבו הפונקציה חיובית. .ה

f x x 4f x x 2

xf x


3 2f x x x 4f x x x 2

xf x x

3

xf x x

3

2

x xf x

2 4f x x x

4f x x x

0,0 , 16,0

2f x x x

0,0 , 4,0

181

. להלן סקיצה של גרף הפונקציה: נתונה הפונקציה: (90

את גרף הפונקציה? בכמה נקודות חותך הישר: .א

( את גרף הפונקציה?)הישר -כמה פעמים חותך ציר ה .ב



יחתוך את הישר: על סמך הסעיפים הקודמים, לאילו ערכים של .ה


. להלן סקיצה של גרף הפונקציה:נקציה: נתונה הפו (91

את גרף הפונקציה? בכמה נקודות חותך הישר: .א

( את גרף הפונקציה?)הישר -כמה פעמים חותך ציר ה .ב

f x x x

1y

x0y

0.25y

1y

ky k

2 4f x x x

1y

x0y

182



יחתוך את גרף הפונקציה בשתי נקודות לכל האם ניתן לומר כי הישר .ה

? נמק.ערך חיובי של

גרף הפונקציה את יחתוך הישר םשליליים עבור האם ישנם ערכי .ו

בשתי נקודות שונות? נמק.

את גרף הפונקציה בנקודה אחת בלבד. עבורו יחתוך הישר מצא ערך של .ז

יחתוך את הישר: על סמך הסעיפים הקודמים, לאילו ערכים של .ח



. בנקודה: -ידוע כי הפונקציה חותכת את ציר ה


. -מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .ב

וקבע את סוגה. מצא את הנקודה שבה הנגזרת מתאפסת .ג



הפונקציה חיובית. קבע לאילו ערכים של .ו

חותך את גרף הפונקציה: הישר לאילו ערכים של .ז

בשתי נקודות שונות? .1

בנקודה אחת בלבד? .2

באף נקודה? .3


ההגדרה של הפונקציה.מצא את תחום .א

. -מצא את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה .ב

בתחום הגדרתה. הראה כי הפונקציה עולה לכל .ג


חותך את גרף הפונקציה בנקודה היעזר בסקיצה והסבר מדוע הישר: .ה

. אחת לכל:

0.25y

3y

y k

k

ky k

ky k

ky k

3 2 1f x x x

x 1,0

y

x

ky k

4 3 1f x x x

y

x

y k

1k

183


של הפונקציה?( מהו תחום ההגדרה 1) .א

בתחום הגדרתה. ( הראה כי הפונקציה עולה לכל 2)

. IV ,III ,II ,Iלפניך ארבעה גרפים: .ב


חותך הישר את גרף פרמטר(. מצא עבור אילו ערכי , )נתון הישר: .ג

הפונקציה בנקודה אחת בלבד.


( מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?1) .א

( מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.2) ( מצא את נקודת הקיצון המקומית של הפונקציה וקבע את סוגה. 3)

. IV ,III ,II ,Iניך ארבעה גרפים: לפ .ב


חותך הישר את גרף פרמטר(. מצא עבור אילו ערכי , )נתון הישר: .ג

בשתי נקודות שונות. הפונקציה





הראה כי הפונקציה עוברת בראשית הצירים. .ד

. בנקודה: -נתון כי הפונקציה חותכת את ציר ה .ה

היעזר בנתון זה ובסעיפים הקודמים וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

2f x x x

x

y kkk

3f x x x

y kkk

2 256f x x x

x 40.31,0

IV III II I

IV III II I

181

פונקצית שורש: –שאלות מתוך מאגר משרד החינוך

נתונה הפונקציה: (97 2g x x x x .

חשב את שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .א 4,4.

מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו. .ב

נתונה הפונקציה: (98 23 8f x x x .

4xהפונקציה בנקודה: מעבירים ישר המשיק לגרף .

מצא את שיפוע המשיק. .א



f x xx

.

1xמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .

נתונה הפונקציה: (100 0 , 3x y x .

. 1.2( מצא באיזו נקודה שיפוע הגרף של הפונקציה הוא 1) .א

(. 1( מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שמצאת בסעיף א' )2)

מצא את משוואת המשיק.

4xמעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .ב .

( מצא את שיפוע המשיק.1)

( מצא את משוואת המשיק. 2)

yחקור את הפונקציה: (101 x x :לפי הסעיפים האלה


נקודות קיצון. .ב

וירידה.תחומי עלייה .ג

חיתוך עם הצירים. .ד

סקיצה של גרף הפונקציה. .ה

182


ב. א. (15

'2

yx

.ג3

'2

yx

.ד1

'4

yx

.ה1

' 12

yx

ו. 2

4 8'y

xx .ז

3'

2y x .ח

1' 3y

x .ט

1' 2

2y x

x .

2) 1y x 1) .א 1

0,0 , ,016

9 (4. 2ב. 7y x 8) 22 56y x

1) 1 1

12 2

y x 7) 1 1

22 2

y x 8) .א 4,6 .ב3

34

y x .

9) 1 7

, 525 25

10)

1,0

3

,3 1y x 11) .א 1 1

6 , 64 4

ב.

9 7,4

16 8

.

12) 44a 11) 4a 14) 1A 18) .א4

3a .1ב. מינימום. ג .

ד. עולה: 1

4x :יורדת

10

4x .

0xא. (11 .ב max 0ג. עולה: 1,1 1x :1יורדתx .ד 0,0 , 4,0

0ו. שתי נקודות: 1k :0 , 1נקודה אחתk k :1אף נקודהk .

0xא. (17 .ג 0, 4 .ד49 1

min , 1016 8

ה. עולה:

49

16x :יורדת

490

16x .0ז 16x .

0x( 1א. ) (18 (2 ) 0,0 , 256,0 (3 ) min 64, 64 .ב .I .64. ג 0k .

0xא. (19 .ב min 9, 243 :9ג. עולהx :0יורדת 9x .

: 19סקיצה לשאלה : 17: סקיצה לשאלה 11סקיצה לשאלה

1'

2y

x

181

א. (201

'2

yx

.ב 1

'yx

.ג 3

'2

yx

.ד 17

'2

yx

.ה '2

ay

x

ו. 3

'2

ay

x .ז

1'

4y

x .ח

1'

6y

x .ט

1'

8y

x .י

1' 2

2y

x

יא. 1

' 12

yx

.יב 3

' 12

yx

.יג 3

' 1yx

.יד 2

' 3yx

טו. 5

' 22

y ax

.טז 3

' 82

ay

x .יז

1' 3y

x .יח

5' 1

2y

x

יט. 1

' 3yx

.כ 1

' 22

y xx

.כא 1

' 6y xx

.כב8

' 2y xx

כג. 4

' 2y axx

.כד 7

' 22

y bxx

.כה 2

2'

2

x xy

x

.כו

2

6'

2

x xy

x

כז. 2

2( 2)'

x xy

x

.

א. (213

'2

xy .ב ' 12y x .ג

15'

2

xy .ד

3'

2

xy .ה

3'

2

a xy

' ו. 3y b x .ז ' 3 1y x .ח 3

' 42

xy .ט

3'

2

xy a

י. 3

' 82

ay

x .יא

3' 2

2y a

x .יב

2

'2

ay a

x

יג.

5'

2

x xy .יד ' 15y x x

טו. 5

'2

ax xy .טז

5' 3

2

x xy .יז

35' 3

2

x xy .יח ' 14 5y ax x .

1xא. (22 .25בx .36 ד. גx 64x ה. .ו 1

4x .ז

25

36x .ח

1

4x .

36xט. .י .64 יאx .יב 1

256x .יג

1

4x .יד

1

169x טו. .

25x טז. .56.25 יזx .יח 16

9x .225 יטx .כ .1 כאx .

א. (211

2. ב.

1

4. ג.

1

6. ב. 1 א.( . 24. ה. 1. ד.

11

3 .ג .

4

5 .. ה. -6. ד.

א.( 281

502

. 11.122ה. 2.2ד. 2.22ג. 1.2. ב.

א. (21 3

' 4f x xx

.ב 1

' 1 7 , ' 9 37 , ' 5 21.34 , ' 74

f f f f

.

א. (27 3

' 22

f x xx

.ב 35 1 77 3 25 77

' 9 , ' , ' 3 6 , '2 9 18 2 16 40

f f f f

186

א. ( 281

12

. ב.1

72

. ד. 11. ג. 1

122

. ה. 3

74

. ו.1

173

.

, אינה עולה או יורדת. ב. 1א. (291

2 .יורדת. ג ,

2

3 .עולה. 2, עולה. ה. 1, יורדת. ד ,

א. (101

17

.עולה. ד. 1, אינה עולה או יורדת. ג. 1, יורדת. ב ,1

2 .עולה. 3, יורדת. ה ,

, עולה. ג. 6, אינה עולה או יורדת. ב. 1א. (111

173

, עולה. ד. 1

32

.יורדת. ה ,3

495

, עולה.

א. ( 12 0,0 ב. 4,0 , 1

2 11) .א 0, 2 .א. ( 14 ב. אין פתרון 0,3 .ב. אין פתרון

א. (18 1

' 4 22

f x .ב ' 1 3 3f x .ג1 1 1

' 29 2 6

f x

ד. 9 1

' 25 7 210 2

f x .ה 1 1

' 1 22 2

f x .ו ' 16 6 32f x

א. (111

26

ב. 1 1

' 9 2 16 2

f x 17) .ב. 2א .1 1

' 29 3

f x

18) 1

22

y x

19) 1 1

22 10

y x 40)1.5 3.5y x .

א. ( 411

1 54

y x .3ב 3y x .ג1

1 33

y x .ד1 1

2 10y x .ה

1 91

2 16y x .ו

54

8y x .

א. ( 42 1,2 .ב1

,14

ג. 1 2

,9 3

ד. 1 1

,64 4

ה. 16,8 .ו. אין פתרון

א. אין. ב. (411

,1.754

ה. אין. ו. אין. ד. ג.

א. (44 1,4 .ב 4, 24.ג . 1,10 .ד. אין. ה . 4,0 .ו . 2.25,1.5 .

48) 1 5

,9 9

41) 1 1

,16 16

47)

9 5,

64 32

א. (48 1 1

,4 4

ב. 1 1

,16 8

.ג 1 1

2 , 24 4

.ד

1 1,4

9 3

.

49) 1

212

y x 80) 2 1y x 81) 4y 82) 4 0.75y x 81) 2 1.5y x

84) 1 1

6 12y x 88)

310 3

8y x . 81) .9אy .12 בy .ג

1

16y .ד

1

16y .

א. (871 1

min ,16 8

ב.

1 1min ,

36 12

ג.

1 1min ,

64 16

ד. max ה. 1,1

4 4max ,

9 3

ו. max ז. 4,89 1

max ,16 8

ח. min 1, 3 .ט

3

1min , 1.19

4

י.

1min 1,

6

יא. min יב. 1,0 min א. (88 .4,01

64x :ב. עולה

1

64x :יורדת

10

64x .

4,10 9,18

188

א. (899

16x :ב. עולה

90

16x :יורדת

9

16x .

16xא. (10 :16ב. עולהx :0יורדת 16x . יורדת. ב. אינה עולה ואינה יורדת. ג. עולה. ד. יורדת. ה. עולה. א. (11

11) 1

64 17)

1

16 18)

1

12 19) 1 .70)

31

4a 71) 6a 72) 1a 71) 4a .

74) 1

2a 78) .10 אa .ב 25,2 71) .3אa .ב 36, 3 77) 2a 78)

1

2a .

א. (791

8a .ב

1 1,4

4 4

9ג. 2y x .ד 2

,0 , 0,29

.

4aא. (80 .ב 4,64 .12ג 16y x .ד 4

,0 , 0,163

. 81) 1

4a 82) 2a .

0xלכל הסעיפים תחום ההגדרה: (81 :0, למעט סעיפים יז' ויח' שבהםx .

א. (81 1 1

max 0,0 , min ,4 4

קצה. ב.

1 1max 0,0 , min ,

16 8

קצה.

ג. min קצה. ד.0,0 min 0,0 , max קצה. ה.1,1 min 0,0 , max קצה. 4,4

ו. 25 1

min 0,0 , max ,316 8

קצה. ז. max 0, 3 , min 1, 4 .קצה

ח. 1 11

max 0,1 , min ,36 12

קצה. ט. 4 9

max 0, 1 , min ,25 5

קצה.

י. 1

max 0, , min 1,02

קצה. ט. 4 9

max 0, 1 , min ,25 5

קצה.

יא. min 0, 1.קצה. יב1 1 31

max 0, , min ,2 256 64

קצה.

יג. max 0,0 , min 1, 3.קצה. יד max 0,0 , min 9, 243 .קצה

טו. max 0,0 , min 0.396, 0.47 .קצה

0x. 1א. (87 2 . 0,0 3 . min 0x. עולה לכל 1קצה. 0,0 .

0x. 1ב. 2 . 0,0 3 . max 0xלכל יורדת. 1קצה. 0,0 .

0x. 1. ג 2 . 0, 0 3 . min 0x. עולה לכל 1קצה. 0,0 .

0x. 1ד. 2 . 0,0 , 1,0 3 . 1 1

max 0,0 , min ,4 4

קצה.

. עולה: 1 1

4x :יורדת

10

4x .

0x. 1ה. 2 . 1

0,0 , ,04

3 . 1 1

max 0,0 , min ,16 8

קצה.

182

. עולה: 1 1

16x :יורדת

10

16x .

0x. 1ו. 2 . 0,0 , 4,0 3 . min 0,0 , max קצה. 1,1

0. עולה: 1 1x :1יורדתx .

0x. 1ז. 2 . 0,0 , 2.25,0 3 . 9 9

min 0,0 , max ,16 8

קצה.

. עולה: 1 9

016

x :יורדת9

16x .

0x. 1ח. 2 . 0,0 3 . min 0x. עולה לכל 1קצה. 0,0 .

0x. 1ט. 2 . 0,0 3 . min 0x. עולה לכל 1קצה. 0,0 .

0x. 1י. 2 . 0,0 , 9,0 3 . 3

max 0,0 , min 2.25,4

קצה.

2.25x. עולה: 1 :0יורדת 2.25x .

0x. 1יא. 2 . 0,0 , 9,0 3 . 9

max 0,0 , min 2.25,8

קצה.

2.25x. עולה: 1 :0יורדת 2.25x .

0x. 1יב. 2 . 0,0 , 2.52,0 3 . max 0,0 , min 1, 3 .קצה

1x. עולה: 1 :0יורדת 1x .

0xא. (88 .ב max 16xה. 4,4 . 89) .0אx .ב min 1, 1 .4הx .

0.25נקודות: 2. ה. 1. ד. 1. ג. 2. ב. 1א. (90 0k :0 , 0.25 נקודת אחתk k

0.25kאף נקודה: . 3. ה. לא. ו. 1. ד. 2. ג. 2. ב. 1א. (91 0k .3זk :0אוk .

3נקודות: 2ח. 0k :0 , 3 נקודת אחתk k :3, אף נקודהk .

0xא. (92 .ב 0, 1 .ג1 4

min ,9 3

ד. עולה:

1

9x :יורדת

10

9x .1וx .

ז. שתי נקודות: 4

13

k :נקודה אחת4

, 13

k k :אף נקודה4

3k .

0xא. (91 .ב 0,1 .94) ( .1א )0x .בII .0גx .

0x( 1א. ) (98 (2 ) 0,0 , 9,0 (3 ) max 2.25, 0. ג. III. ב. 2.25 2.25k .

0xא. (91 .ב min 16, 768 :16ג. עולהx :0יורדת 16x .

2.5ב. 2.2א. (97 6y x 98) .22. ב. 22א 56y x 99) 0.5 2.5y x

9x( 1א. ) (100 (2 )0.5 4.5y x ( .1ב )0.75( 2. )1.62 3y x .

0xא. (101 .ב1 1

,4 4

עולה:ג. 1

04

x :יורדת1

4x .ד 0,0 , 1,0 .

121

: 8סעיף 87סקיצות לשאלה

לשאלות חקירה:סקיצות 88 : 89 : 92: 91:

121

:קיצוןת של ערך ליוומילבעיות – 1פרק

עם מספרים:קיצון בעיות

. מה צריכים להיות שני 11ההפרש בין שני מספרים )לאו דווקא חיוביים( הוא (1 המספרים כדי שמכפלת האחד בשני תהיה מינימלית?

. מה צריכים להיות המספרים כדי שמכפלת האחד 21סכום שני מספרים חיוביים (2 ת של השני תהיה מקסימלית?בחזקה השלישי

וסכום ריבועיהם הוא מינימלי. 1מצא שני מספרים חיוביים שסכומם (1

מהראשון. מה צריכים 2. המספר השני גדול פי 62סכום שלושה מספרים חיוביים (4 להיות המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?

:בהנדסת המישורקיצון בעיות

ס"מ. 12ניצבים במשולש ישר זווית סכום אורכי ה (8

מה צריך להיות אורך כל ניצב, כדי שטח המשולש יהיה מקסימלי?

סמ"ר, מצא את אורכי הניצבים של 32הזווית ששטחם -מבין כל המשולשים ישרי (1 המשולש שסכום ניצביו מינימלי.

ס"מ. 11-ס"מ ו 2שממדיו ABCDנתון מלבן (7 על צלעות המלבן מקסים קטעים שווים:

AP AQ CS CR x .

יהיה מקסימלי? PQRSכדי ששטח המקבילית מה צריך להיות

מטר. 1מטר על 8מידותיו של חלון מלבני הן (8 השטחים הצבעוניים בציור מייצגים זכוכית צבעונית

למ"ר. מה צריך להיות ערכו של ₪ 11שמחירה כדי שהמחיר של הזכוכית הצבעונית יהיה מינימלי?

סמ"ר, מצא את אורך הבסיס של 21קיים ששטחם השו-מבין כל המשולשים שווי (9 המשולש שבו סכום אורכי הבסיס והגובה לבסיס הוא מינימלי.

x

x

x

x

x

x

122

:בפונקציות וגרפיםקיצון בעיות

ברביע הראשון. Aבוחרים נקודה על הפרבולה (10

. ABCOמורידים אנכים לצירים, כך שנוצר מלבן Aמנקודה

כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי? Aמה צריכים להיות שיעורי נקודה

מורידים אנכים לצירים, A. מנקודה נתונה הפונקציה (11

כדי A. מה צריכים להיות שיעורי נקודה ABCOשנוצר מלבן כך שהיקף המלבן יהיה מקסימלי?

.נתונה הפרבולה (12

זווית.-חסמו משולש ישר בין הפרבולה לציר

כדי ששטח המשולש Aמה צריכים להיות שיעורי נקודה

שטח זה.את יהיה מקסימלי? מצא

. ABCDחוסמים מלבן בפרבולה (11

Aמה צריכים להיות שיעורי נקודה כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?

29yבין גרף הפרבולה: (14 x וציר ה-x חסמו טרפזABCD.

כדי ששטח Aמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה מצא את שטח הטרפז. הטרפז יהיה מקסימלי?

.נתונה הפונקציה (18

Aמצא על גרף הפונקציה נקודה

יהיה מינימלי. ABOCעבורה שטח המלבן

2 12y x

2 4y x x

22 6y x x

x

212y x

2

14y x

x

A

A

123

.-ו נתונות שתי פונקציות: (11

ABעבורן אורך הקטע B-ו Aמצא את שיעורי הנקודות ( מינימלי. )המקביל לציר

24נתונות שתי הפונקציות: (17 , 5y x y x .

התאם לכל גרף את הפונקציה המתאימה. .א

כדי B-ו Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודות .ב

( יהיה מינימלי.y-)המקביל לציר ה ABשאורך הקטע

המינימלי. ABחשב את אורך הקטע .ג

:בעיות קיצון בהנדסת המרחב

סמ"ר. 62נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח פניה )בלי המכסה( הוא (18

מצא את אורך צלע הבסיס של התיבה שנפחה מקסימלי.

21

2y x

1y

x

y

121

:שאלות מתוך מאגר משרד החינוך

. מה צריכים להיות שני המספרים כדי 21הסכום של שני מספרים חיוביים הוא (19 שמכפלת אחד מהן בריבוע של האחר תהיה מקסימלית?

. מה צריכים להיות שני 11ההפרש בין שני מספרים )לאו דווקא חיוביים( הוא (20 המספרים כדי שמכפלת האחד באחר תהיה מינימלית?

מהי התוצאה הקטנה ביותר שאפשר לקבל אם מחברים למספר את ריבועו? (21

מהי התוצאה הגדולה ביותר שאפשר לקבל אם מחסרים ממספר את ריבועו? (22

ביותר שאפשר לקבל מחיבור של מספר חיובי עם ההופכי שלו? מהי התוצאה הקטנה (21

ני המספרים כדי שמכפלת ש. מה צריכים להיות 21הסכום של שני מספרים הוא (24 אחד מהם בחזקה השלישית של האחר תהיה מקסימלית?

מהראשון. 2. המספר השני גדול פי 62נתונים שלושה מספרים חיוביים שסכומם (28 ים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית?שלושת המספרצריכים להיות מה

2המקיימים: y-ו xמבין כל המספרים (21 60x y מצא את שני המספרים ,

שמכפלתם מקסימלית.

2המקיימים: y-ו xמבין כל המספרים (27 100x y מצא את שני המספרים ,

שסכום ריבועיהם מינימלי.

50xהמקיימים: y-ו xמבין כל המספרים החיוביים (28 y ים , מצא את שני המספר

2xשעבורם הסכום y .הוא מינימלי

ס"מ. 12זווית סכום אורכי הניצבים הוא -במשולש ישר (29

להיות אורך כל ניצב כדי ששטח המשולש יהיה מקסימלי? ךמה צרי

ס"מ מצא את צלעות המלבן ששטחו מקסימלי. 11מבין כל המלבנים שהיקפם (10

השטח המקסימלי? ומה

122

בית מלאכה מייצר רשתות ממוטות ברזל. למסגרת החיצונית (11

מ"ר. 12, ששטחו ABCDת יש צורת מלבן שרשל ה

ומשלושה מוטות ABמוטות באורך 2-הרשת מורכבת מ

ABCD)ראה איור(. מה צריכים להיות ממדי המלבן BCבאורך כדי שסכום אורכי מוטות הברזל שמהם עשויה הרשת יהיה מינימלי?

סמ"ר, מצא את צלעות המלבן שהיקפו מינימלי. 11ן כל המלבנים ששטחם מבי (12

מהו ההיקף המינימלי?

סמ"ר, מצא את אורכי הניצבים של 32הזווית ששטחם -מבין כל המשולשים ישרי (11 המשולש שסכום ניצביו מינימלי. מהו הסכום המינימלי?

אורך הבסיס של סמ"ר, מצא את 21השוקיים ששטחם -מבין כל המשולשים שווי (14 .המשולש שבו סכום האורכים של הבסיס ושל הגובה לבסיס הוא מינימלי

מהו הסכום המינימלי?

מ"ר, סמוכה בצידה 1211ששטחה ABCDחלקת אדמה מלבנית (18

, ואת BCהאחד לחומה )ראה איור(. מגדרים את חזית החלקה,

. מחיר התקנת מטר גדר בחזית החלקה CD-ו ABִציֵדיּה,

למטר, ומחיר התקנת ממטר גדר בצדדים ₪ 11( הוא BC)הקטע

למטר. מה צריך להיות אורך חזית ₪ 11( הוא CD-ו AB)הקטעים חלקה ומה צריכים להיות הצדדים כדי שמחיר התקנת הגדר יהיה מינימלי?

ס"מ. 11-ס"מ ו 2שממדיו ABCDנתון מלבן (11

(.BC =ADס"מ = CD =AB ,2ס"מ = 11) .על צלעות המלבן מקצים קטעים:

PQRSכדי ששטח המקבילית מה צריך להיות ערכו של יהיה מקסימלי?

111בחוברת פרסום למוצרי התעשייה הישראלית, שטח כל עמוד הוא (17 ס"מ, ורוחב 8סמ"ר. רוחב השוליים בראש העמוד ובתחתיתו הוא

ס"מ. מצא מה צריך להיות האורך והרוחב 3השוליים בצדדים הוא של כל עמוד כדי שהשטח המיועד לדפוס יהיה מקסימלי )מקווקו בציור(.

AP AQ CS CR x

x

A D

B C

A

B

D

C חזית החלקה

חומה

3

8

121

מטרים. 1-מטרים ו 8באולם יש חלון מלבני גדול, שמידותיו הם (18 רוצים להרכיב בחלון זכוכית משני סוגים: בשטחים האפורים

למ"ר, ובשטחים הלבנים ₪ 11שבציור זכוכית צבעונית שמחירה למ"ר. ₪ 21שבציור זכוכית שקופה שמחירה

)ראה ציור(, כדי מה צריך להיות גודלו של .א שהמחיר הכולל של הזכוכית בחלון יהיה מינימלי?

מהו המחיר הכולל המינימלי שיש לשלם עבור הזכוכית בחלון? .ב

מ"ק. המיכל עשוי כולו מפח. 11נתון מיכל גלילי פתוח מלמעלה שקיבולו (19

הראה כי שטח הפח הוא מינימלי, כאשר רדיוס הבסיס הוא 3

4

מטר.

:דמוליה רמוחב הניא וז הלאש :הרעה*

ס"מ )ראה איור(. 12אלכסון החתך הצירי של גליל ישר הוא (40 מצא מה צריכים להיות גובה הגליל ורדיוס בסיסו כדי שנפחו

יהיה מקסימלי.

סמ"ק. 1111יש להכין מחוט תיל "שלד" )מסגרת( של תיבה, שבסיסה ריבוע ונפחה (41 מהו האורך המינימלי של החוט שנחוץ ליצירת התיבה?

ס"מ xס"מ, ובסיסה ריבוע שאורך צלעו yבונים תיבה שגובהה (42

ס"מ. 12-)ראה איור(, כך שההיקף של כל אחת מהדפנות הצדדיות שווה ל מה צריך להיות אורך צלע הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי?

סמ"ר )במקרה זה 62יש לבנות תיבה פתוחה מלמעלה, שבסיסה ריבוע ושטח פניה (41שטח הפנים מורכב מבסיס אחד ומארבע פאות צדדיות(. מכל התיבות שאפשר

לבנות, מצא את ממדי התיבה )צלע הבסיס וגובה( שנפחּה מקסימלי.

דצמ"ק. מחיר החומר לבניית בסיסי התיבה 81לבנות תיבה שבסיסה ריבוע ונפחה יש (44 לדצמ"ר. ₪ 11לדצמ"ר. מחיר החומר לבניית הפאות הצדדיות הוא ₪ 31הוא

מה צריכים להיות ממדי התיבה כדי שמחיר בנייתה יהיה הנמוך ביותר? .א

שמחיר בנייתה מה צריכים להיות ממדי תיבה פתוחה )בלי בסיס עליון( כדי .ב יהיה הנמוך ביותר?

2, הנמצאת על גרף הפונקציה: Aמנקודה (48 5y x x מורידים אנכים לצירים, כך ,

)ראה ציור(. ABOCשנוצר מלבן

Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודה .א

כדי שהיקף המלבן יהיה מקסימלי?

Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודה .ב

כדי שהיקף המלבן יהיה מינימלי?

x

A

x

y

C

O B

x

x

x

x

8

6

126

29yבפרבולה: (41 x חוסמים מלבןABCD כך שהצלעAB

CD)ראה ציור(. מה צריך להיות אורך הצלע x-מונחת על ציר ה כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?

29yחסום בין גרף הפרבולה: ABCDטרפז (47 x לבין ציר ה-x.

Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודה .א

(A כדי ששטח הטרפז )ברביע הראשוןABCD יהיה מקסימלי?

. ABCDחשב את השטח המקסימלי של טרפז .ב

2נתונה הפרבולה: (48 12y x ישר המקביל לציר ה .-x

)ראה ציור(. B-ו Aחותך את הפרבולה בנקודות

.Oעם ראשית הצירים, B-ו Aמחברים את הנקודות

כדי ABמה צריך להיות אורך הקטע .א

יהיה מקסימלי? AOBששטח המשולש

? AOBמהו השטח המקסימלי של משולש .ב

2נתונים הגרפים של שתי הפרבולות: (49 21 13 , 7

4 2y x x y x .

.Q-ו Pחותך את שתי הפרבולות בנקודות y-קו המקביל לציר ה

מבין כל הקטעים המתקבלים באופן זה, מצא את האורך המינימלי

.PQשל הקטע

yנתון גרף הפונקציה: (80 xעל ציר ה .-x :נתונה הנקודה A 4.5,0.

יהיה מינימלי. AMכך שריבוע המרחק Mמצא על גרף הפונקציה נקודה

A

B

C D

x

y

A

B C

D

x

y

A

B

O x

y

M

A x

y

128


בעיות קיצון עם מספרים:

מהמספר השני. 1חיוביים. ידוע כי המספר הראשון גדול פי נתונים שני מספרים (81 מחברים את המספר השני עם ההופכי של המספר הראשון.

מצא מה יהיו המספרים בעבורם סכום זה יהיה מינימלי. .א

מה הוא ערך הסכום? .ב

שמכפלת -ו מצא את המספרים מבין כל המספרים המקיימים: (82 הזו?ריבועיהם מקסימלית. מהי המכפלה

.הם שני מספרים המקיימים: -ו (81

. באמצעות הבע את .א

כדי שמכפלת ריבועיהם תהיה מקסימלית? -ו מה צריכים להיות המספרים .ב

מהי המכפלה הזו? .ג

.שמקיימים: -ו נתונים שני מספרים (84

.באמצעות הבע את .א

מה צריכים להיות המספרים כדי שסכומם יהיה מינימלי? .ב

. ידוע כי המספר הראשון זהה לשני. 26מכפלת שלושה מספרים היא (88 את המספר הראשון. -נסמן ב

את המספר השלישי. הבע באמצעות .א

מצא את שלושת המספרים שסכומם מינימלי. .ב

. ידוע שמספר אחד זהה לשני.12נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא (81

תהיה מקסימלית?מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם .א

מהשני במקום זהה לו? 2כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד יהיה גדול פי .ב

באיזה מקרה )א' או ב'( המכפלה תהיה גדולה יותר? הראה דרך חישוב. .ג

מאחד משני המספרים 1-אחד גדול במספר . ידוע כי 11שלושה מספרים הוא סכום (87 . מצא את המספרים שמכפלתם מקסימלית. האחרים

מהשני. 3. מספר אחד גדול פי 21סכום שלושה מספרים הוא (88 מצא את שלושת המספרים שסכום ריבועיהם הוא מינימלי.

3 60x y xy

xy6 60x y

yx

xy

xy22 27x y

yx

x

x

122

. ידוע שמספר אחד זהה לשני.31נתונים שלושה מספרים שסכומם הוא (89

מה צריכים להיות שלושת המספרים כדי שמכפלתם תהיה מקסימלית? .א

מהשני במקום זהה לו? 2יהיה גדול פי כיצד תשתנה התוצאה אם מספר אחד .ב

באיזה מקרה תהיה מכפלה גדולה יותר? .ג

מהמספר הראשון 3נתונים שלושה מספרים חיוביים, כך שהמספר השני גדול פי (10 .-מהמספר הראשון. המספר הראשון יסומן ב 2והמספר השלישי גדול פי

את המספרים השני והשלישי. הבע באמצעות .א

את הסכום בין המספר הראשון למספרים ההופכיים של הבע באמצעות .ב המספרים השני והשלישי.

מצא את שלושת המספרים בעבורם הסכום שהבעת בסעיף הקודם הוא .ג מינימלי.

:בעיות קיצון בהנדסת המישור

ס"מ חסומים שני 18-ס"מ ו 1במלבן שצלעותיו הן (11

מלבנים מקווקווים. אורך אחד המלבנים המקווקווים גדול מרוחב המלבן השני. 3פי

כדי שסכום שטחי מה צריך להיות האורך .א

שני המלבנים יהיה מקסימלי.

שמצאת מהו סכום השטחים הללו? -בעבור ה .ב

כמתואר באיור. ECF -ו GBEזווית -חסומים שני משולשים ישרי ABCDבריבוע (12

ס"מ. 13הוא ACBDס"מ ואורך צלע הריבוע 2הוא AGאורך הקטע ידוע ש

.הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים ECFהמשולש

בעבורו סכום ECFמצא מה צריך להיות אורך שוק המשולש .א

שטחי שני המשולשים הנ"ל יהיה מקסימלי.

מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? .ב

ס"מ חסומים שני ריבועים זהים ומלבן 22 -ס"מ ו 31במלבן שצלעותיו הן (11 .-)המסומנים( כמתואר באיור. מסמנים את צלע הריבוע ב

מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי שסכום .א

השטחים של שני הריבועים והמלבן יהיה מינימלי.

בעבור אורך הצלע שמצאת מהו סכום השטחים המינימלי? .ב

x

x

x

x

x

CE CF

x

211

ס"מ חסומים בצדדים למעלה שני ריבועים זהים 11 -ס"מ ו 12במלבן שמידותיו הן (14 ומלבן מתחתיהם במרכז )ראה איור(.

מצא מה צריך להיות אורך צלע הריבוע כדי שסכום .א

השטחים של שני הריבועים והמלבן יהיו מינימליים.

מה יהיה השטח שלהם במקרה זה? .ב

ABCDמקצות קטעים שווים במלבן K , L , M , Nהנקודות (18

ס"מ. 12-ס"מ ו 21צלעותיו של המלבן הן .כך ש:

את סכום שטחי המשולשים: הבע באמצעות .אAKN BKL CLM DNM .

כדי ששטח מצא מה צריך להיות .ב

יהיה מקסימלי. LKNMהמרובע

במקרה זה? LKNMמה הוא השטח של המרובע .ג

ס"מ כמתואר באיור. 12ס"מ ורוחבו הוא 21הוא ABCDאורך המלבן (11

. מקצים על צלעות המלבן קטעים כך ש:

EFGHבעבורו שטח המרובע מצא מה צריך להיות .א

יהיה מינימלי.

שמצאת מה השטח המינימלי? -בעבור ה .ב

ס"מ. מקצים קטע שאורכו 11נתון ריבוע בעל אורך צלע של (17

על הצלעות על הצלע העליונה ושני קטעים שאורכם הוא הצדדיות כמתואר באיור כך שנוצר המחומש המקווקו.

בעבורו שטח המחומש יהיה מקסימלי. מצא מה צריך להיות ערכו של

בבית הדפוס "עמירן" רוצים לעצב גלויה על גבי קרטון ששטחו (18

שיש להשאיר סמ"ר. הנהלת החברה החליטה 212הכולל הוא ס"מ 2-רווחים של ס"מ אחד מקצות הדף העליון והתחתון ו

מצדי הדף )ראה איור(.

מצא מה צריכים להיות מידות הקרטון כדי שהשטח .א

של התמונה יהיה מקסימלי.

מה יהיה השטח במקרה זה? .ב

מוטות: 6-מ"ר בונים סורגי מתכת מ 122בחלון מלבני ששטחו הכולל הוא (19אופקיים )ראה איור(. מצא מה צריכים להיות אורכי המוטות 1-מאונכים ו3

המינימליים שיחסמו את חלון זה.

BK BL DM DN x

x

x

AH BE CF DG x

x

x

x

2x

x

2x

2x

x

211

סמ"ר. מקצים בצדדי המלבן העליון והתחתון 1161נתון מלבן ששטחו (70

ס"מ 1של המלבן קטעים שאורכם ס"מ ובצדדי הימניים 2קטעים שאורכם כך שנוצרים שישה מלבנים. מסמנים שלושה מלבנים כמתואר באיור.

חשב מה צריכים להיות מידות המלבן כדי שסכום שטחי המלבנים המסומנים יהיה מקסימלי.

סמ"ר. מעבירים ישרים המקבילים לצלעות 132נתון מלבן ששטחו הוא (71

ס"מ )ראה איור(. 11-ו 1באורכים של המלבן ומקצים עליהם קטעים על ידי הקצאת קטעים אלו נוצרים מלבנים נוספים המסומנים באיור.

מצא מה צריכים להיות מידות המלבן הנתון בעבורם .א

סכום שטחי מלבנים אלו יהיה מינימלי.

מה יהיה השטח הלבן במקרה זה? .ב

:בעיות קיצון בפונקציות וגרפים

. שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות:באיור (72

ברביע השני ומותחים ממנה ישר המקביל לציר על גרף הפונקציה Aמסמנים נקודה

. Bבנקודה שחותך את גרף הפונקציה -ה

עבורם אורך Aמצא את שיעורי הנקודה .א

יהיה מינימלי. ABהקטע

במקרה זה? ABמה יהיה אורך הקטע .ב

. תוארים הגרפים של הפונקציות:באיור שלפניך מ (71

-ומורידים ממנה ישר המקביל לציר ה על גרף הפונקציה Aמסמנים נקודה

.Bבנקודה שחותך את גרף הפונקציה

Aמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה .א

יהיה מקסימלי. ABכדי שאורך הקטע

מה יהיה האורך המקסימלי? .ב

. A. על גרף הפונקציה ברביע הראשון מסמנים נקודה נתונה הפונקציה: (74

. Cבנקודה -שחותך את ציר ה -מעבירים ישר המקביל לציר ה Aמהנקודה

ראשית הצירים. O-ו -היא נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה Bהנקודה

כדי Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודה .א

יהיה מקסימלי? ABCOששטח הטרפז

מה יהיה שטח הטרפז במקרה זה? .ב

3 2( ) 16 2 , ( ) 6 18f x x g x x x

( )f x

y( )g x

3 2( ) 8 , ( ) 6f x x g x x x

( )f xy

( )g x

2( ) 36f x x

xy

x

( )f x

( )g x

A

B

x

y

( )f x

x

y

A C

B

O

212

נמצאת על גרף B-ו Aכך שהנקודות -המקביל לציר ה ABמעבירים ישר (78

כך -מורידים אנכים לציר ה B-ו A. מהנקודות הפונקציה

. ABCDשנוצר מלבן

בעבורם Bמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה .א

יהיה מקסימלי. ABCDשטח המלבן

שמצאת מה יהיה השטח? Bבעבור שיעורי הנקודה .ב

גרף נמצאת על A. הנקודה באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה (71

מורידים אנכים לצירים כך שנוצר מלבן. Aהפונקציה ברביע הראשון. מהנקודה

בעבורם Aמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה .א מקסימלי.היקף המלבן יהיה

בעבורם Aמה צריכים להיות שיעורי הנקודה .ב היקף המלבן יהיה מינימלי?

שעל גרף Aברביע הראשון. מנקודה באיור שלפניך נתונה הפונקציה (77

.ABCOהפונקציה מורידים אנכים לצירים כך שמתקבל מלבן כדי Aמצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה .א

יהיה מינימלי. ABCOשהיקף המלבן מה הוא ההיקף המינימלי? .ב

.הגרפים שלפניך מתארים את הפונקציות: (78

ועל גרף הפונקציה Aנקודה מסמנים על גרף הפונקציה

.-מקביל לציר ה ABכך שהקטע Bנקודה


יהיה מינימלי. ABבעבורם אורך הקטע במקרה זה? ABמה יהיה אורך הקטע .ב

. -ו באיור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות: (79

על גרף הפונקציה Bונקודה על גרף הפונקציה Aמסמנים נקודה

.-מקביל לציר ה ABכך שהקטע


יהיה מקסימלי. ABבעבורם אורך הקטע

במקרה זה? ABמה יהיה אורך הקטע .ב

x2( ) 48f x x x

2( ) 7f x x x

8( )f x x

x

4( ) , ( ) 3f x g x x

x

( )f x( )g x

y

( ) 3f x x ( ) 4g x x

( )g x( )f x

y

A B

C D x

y

( )f x

A

x

y

( )f x

A

B

O

C

x

y

( )f x ( )g x

A

B

x

y

213

.באיור שלפניך מתואר גרף הפונקציה: (80

ברביע הראשון. נמצאת על גרף הפונקציה Aהנקודה

כמתואר באיור. AC-ו ABמעבירים אנכים לצירים Aמהנקודה

יהיה מקסימלי. בעבורם סכום הקטעים Aמצא את שיעורי הנקודה

:בעיות קיצון בהנדסת המרחב

ס"מ. ס"מ. בסיסה ריבוע שאורך צלעו גובה תיבה (81

ס"מ. מה צריך להיות אורך צלע 12היקף פאה צדדית הבסיס כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי?

. וגובהו נתון גליל שרדיוס בסיסו הוא (82

ס"מ. 1והגובה הוא ידוע כי סכום הרדיוס

מצא את מידות רדיוס הגליל וגובהו בעבורם נפח הגליל יהיה מקסימלי.

.קסמ" 31נפח קופסה בצורת תיבה הפתוחה מלמעלה הוא (81

מאורכו. 2בסיס הקופסה הוא מלבן שרוחבו גדול פי

מצא את מידות בסיס הקופסה בעבורם שטח הפנים .א

שלה יהיה מינימלי.

הקופסה במקרה זה?מה יהיה גובה .ב

( ) 8 2f x x x

( )f x

AB AC

yx

rh

( )f x

A

C

B

y

x

x2x

h

211


ס"מ. 1-ס"מ ו 1 (8 16,32,24 (4 (1 (2 (1

(10ס"מ. 11 (9 2.62 (8ס"מ. 3.62 (7ס"מ. 8-ס"מ ו 8 (1 A 2,8 11) A 2.5,3.75.

12) A S 11) יח"ר = 1, 2,4 A 2,8 14) A Sיח"ר 32, 1,8 18) 1

A ,62

11) 1

A 1, , B 1, 12

ב. (17 B 1,4 , A ס"מ. 2 (18 . 2ג. 1,6

(21. 8-ו -8 (20. 11-ו 8 (191

4 22)

1

4 . 21, 32, 11 (28. 18-ו 1 (24. 2 (21

10y , 5 (28. 11-ו 21 (27. 31-ו 12 (21 x 29) 1 .ס"מ

מטר. 3מטר, 2 (11סמ"ר. 111ס"מ, שטח: 11אורך צלע: (10

ס"מ. 11ס"מ, הסכום: 8אורך ניצב: (11ס"מ. 32ס"מ, היקף: 8צלע: (12

.AB =CDמטר = BC ,11מטר = 62 (18ס"מ. 21ס"מ, הסכום: 11הבסיס: (14

₪. 1161. ב. מטר = 2.62א. (18 ס"מ. 12ס"מ, רוחב: 11אורך: (17 .ס"מ = 3.62 (11

.xס"מ = 1 (42 ס"מ. 121 (41ס"מ. 24ס"מ, רדיוס: 48גובה: (40

ס"מ. 2.2ס"מ, גובה: 2צלע הבסיס: (41

33דצ"מ = 3.68דצ"מ. ב. 2דצ"מ, 3א. (44 2 ,2.16 .דצ"מ

א. (48 A . ב. 3,6 A או 0,0 A 5,0 .41) CD 2 3 47) .א A .32ב. 1,8

ABא. (48 4 .בAOBS 16 49) PQ 4 80) M .1. ב. א. (81 .4,2

.. ג. . ב. א. (81 ב. א. (82

. 3, 3, 3. ב. א. (88 . ב. א. (84

. 1, 3, 2המספרים: (87. ג. מקרה א'. 12, 21, 11. ב. 12, 12, 12א. (81

. ג. מקרה א'. 11, 12, 8. ב. 12, 12, 12א. (89 12, 11, 1 (88

. . ב. א. (11. . ג. . ב. א. (10

. ס"מ. ב. 1א. (14 . ב. א. (11 ס"מ. ב. 1א. (12

. . ב. א. (11 . ג. . ב. א. (18

ס"מ. 81 -ס"מ ו 11 (70מטרים. 11-ו 12 (19 ס"מ. ב. 22 -ס"מ ו 11א. (18 (17

8, 8x y 18, 6x y 2, 2x y

xx

1 , 2

2

10 , 30x y 90000M 106

xy 30 , 5x y 22500M

2

27

2y

x3 , 1.5x y

2

27

x

3 , 9x x1 1 1 1 1 1

3 9 3 9y x x

x x x x

2 , 2 , 6

33x 54S

125S 10x 350S 56S

22 32 240x x 8x 128S 8x 112MinS

6x 162S

212

. . ב. א. (72 . ס"מ. ב. 2ס"מ על 12א. (71

. . ב.א. (71

. . ב. א. (78 . . ב. א. (74

.. ב. א. (78. . ב. א. (77 . . ב. א. (71

(82ס"מ. 1 (81 (80 .. ב. א. (79

. ב. .ס"מ 1-ס"מ ו 3א. (81

75S A( 1,18)AB 6

1 26

3 27A ,75

27AB 14

A(2,32)128S B(4,32)256S

A(4,12)A(0,0)A(2,6)16p A( 2,2)AB 7

A(4,8)AB 1 16,04 , 2r h

2h

211

:אינטגרליחשבון - 7פרק

:אינטגרל לא מסוים

בסרטון זה מוסבר מהו האינטגרל וחוקי האינטגרל. (1

הבאים:הלא מסוימים את האינטגרלים מצא

.ג 2dx .ב 1dx .א2

3dx

2x .ה 0.7dx .ד dx 3 .וx dx

4x .ח xdx .ז dx 23 .טx dx

31 .י

2x dx 52 .יא

3x dx 5 .יבxdx

:מצא את האינטגרלים הלא מסוימים הבאים (2

3x .ג 7dx .ב 2xdx .א dx

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.י5

22

xdx

x יא. 2

3 1x dx יב. 5x x dx

.טו .יד .יג

מציאת פונקציה קדומה:

בסרטון זה מוסבר שימושו של האינטגרל למציאת פונקציה קדומה. (1

אם ידוע כי: . מצא את : נה הנגזרתנתו .א 1

12

f .

2x. ידוע כי בנקודה שבה: נתון: .ב 3ערך הפונקציה הוא- .

מצא את f x ואת 0f.

הפונקציה עוברת בנקודה. מקיימת הפונקציה .ג 2,4 .

.מצא את

5 1x dx 26 9x x dx 5 3 23 4 3x x x dx

3 1x x dx 2 3 4

6

x xdx

32 3

3

xdx

3 4x x dx 23 2x x dx

22 3x x dx

' 3f x x f x

'( ) 5 3f x x

y2' 6 3y x

y

216

נתונה נגזרת של פונקציה (4 2' 6 1f x x הפונקציה חותכת את ציר ה .-x :בנקודה .

חשב את: f x ואת נקודת חיתוך של הפונקציה עם ציר ה , את-.

. הנגזרת של פונקציה היא: (8

.. מצא את בנקודה בה -הפונקציה חותכת את ציר ה

.. חשב את נתון: (1

. נתונה נגזרת של פונקציה: (7

. . מצא את הפונקציה בנקודה חותך את הפונקציה הישר

. שנגזרותיהן: -ו נתונות פונקציות (8

.הפונקציות נחתכות בנקודה

.-ו מצא את הפונקציות: .א

.-ו מצא את נקודת החיתוך השנייה של הפונקציות .ב

נתונה נגזרת של פונקציה: (9 3 2' 2f x x x . הפונקציה עוברת בנקודה 2, 1 .

.-מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .א

.מצא נקודות שבהן .ב

נתונה הנגזרת: (10 ' 2 3f x x 3. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה הוא- .

של נקודת ההשקה. x-מצא את שיעור ה .א

מצא את הפונקציה .ב f x 6אם ידוע כי ערכּה באותה הנקודה הוא .

'נתונה הנגזרת: (11 6 5y x המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .A 45יוצר זווית של

. x-עם הכיוון החיובי של ציר ה

.Aשל הנקודה x-מצא את שיעור ה .א

מצא את הפונקציה .ב f x 1אם ידוע כי ערכּה באותה הנקודה הוא- .

. Aמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר דרך הנקודה .ג

1x

1

2f

y

22 4'( )

5

xf x

y2y ( 1)f

2 6 8

3 2 , '3

x xf f x

0f

' 2 4f x x

5 6y x f x1x f x

f x g x ' 2 5 , ' 4 3g x x f x x

1,0

f x g x

f x g x

y

1( )

3f x

218

נתונה נגזרת של פונקציה: (12 ' 3 4f x x :2. הישר 5y x .משיק לגרף הפונקציה

מצא את הפונקציה f x.

נתונה הנגזרת הבאה: (11 22 1 , ' 8 2f f x x x .

מצא את .א f x.

1xמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .ב .

נתון: (14 2' 9 4f x x :1. ערך הפונקציה בנקודה שבהx 3הוא .

1xמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .א .

מצא את הפונקציה .ב f x.

מצא את נקודות החיתוך של המשיק עם הצירים. .ג

., המקיימת: נתונה פונקציה (18

.מצא את .א

מצא את נקודות קיצון של הפונקציה ואת סוגן. .ב

.-1 . הערך המינימלי של הפונקציה הואנתונה נגזרת של פונקציה: (11

של נקודת המינימום. -מצא את ערך ה .א

.מצא את .ב

.1ערכה המקסימלי של הפונקציה הוא . נתונה נגזרת של פונקציה: (17

בנקודת המקסימום. -מצא את ערך ה .א

.מצא את .ב

.-1ערך הפונקציה בנקודת הקיצון הוא . נתון (18

ואת נקודת החיתוך שלה עם הצירים. מצא את הפונקציה

. 2. ערכה המינימלי של הפונקציה הוא נתון: (19

מצא את נקודת הקיצון. .א

.מצא את .ב

f x 211 , ' 3

6f f x x x

f x

' 2 6f x x

x

f x

' 4 4y x

x

f x

' 2 6y x

y

3' 16 2f x x

f x

212

.. ערכה המקסימלי של הפונקציה הוא נתונה נגזרת של פונקציה (20

של נקודת הקיצון. -מצא את שיעורי ה .א

.מצא את .ב

מצא את ערכה המינימלי של הפונקציה. .ג

.-נקודת קיצון בלפונקציה פרמטר(. a) , נתונה נגזרת של פונקציה: (21

. מצא את ערך הפרמטר .א

חשב את .ב f x 3אם ערכה המינימלי של הפונקציה הוא-.

נתון: (22 2' 3 2 2f x x ax ( , שיפוע גרף הפונקציה בנקודה .)11הוא פרמטר.

. ערך הפרמטר מצא את .א

. 1.2אם ערך הפונקציה בנקודת המינימום הוא מצא את .ב

' , (המקיימת: yנתונה פונקציה (21 2 8A y Ax .)פרמטר

-לפונקציה יש נקודת קיצון ב 4,16.


.yמצא את הפונקציה .ב

נתונה הנגזרת: (24 2) , ' 1m f x mx .)פרמטר

המשיק לפונקציה f x :2בנקודה שבהx :3הוא 4y x .

.mמצא את ערך הפרמטר .א


:האינטגרל המסוים

בסרטון זה מוסבר האינטגרל המסוים. (28

חשב את האינטגרל המסוים הבא: 1

2

2

6 1x x dx

.

3 2' 4 6 2f x x x x 1

16

x

f x

4' 10 2y x ax 1x

a

a1x

a

f x

211

חישובי שטחים:

באינטגרל המסוים בסרטון זה מוסבר כיצד להשתמש (21

כדי לחשב שטחים.

. נתונה הפונקציה:

חשב את השטח המוגבל שמתחת הישר,

1xוהישרים -ציר ה ו-.

חשב את השטח המוגבל בין גרף (27

x-ה, ציר :הפונקציה

.-ו והישרים


.-מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .א

הפונקציה לצירים. חשב את השטח המוגבל בין .ב


מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה .א

.x-עם ציר ה

מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, .ב

.-וציר ה -ציר ה

2 4y x

x2x

2( ) 2 3f x x x

1x 3x

2

3y x

x

2 4 5y x x

xy

211


.x-מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .א

.-חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לציר ה .ב

מצא את השטח המוגבל תחת הפונקציה: (11

כמתואר באיור: -וציר ה


חשב את השטח המוגבל בין גרף

וקדקוד הפרבולה.הפונקציה, הצירים

. x-בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח שמתחת לציר ה (11

.נתונה הפונקציה

חשב את השטח המוגבל שמתחת

לפונקציה ולצירים שברביע הרביעי.


חשב את השטח המוגבל שמתחת

השלישי. שברביע x-הפונקציה וציר ה


.-חשב את השטח המוגבל שבין הפונקציה לציר ה

2 4y x

x

3 2( ) 2f x x x x

x

2 4 8y x x

2 6y x x

2( ) 4f x x x

4 21( ) 2

2f x x x

x

212

חשב את האינטגרל המסוים של (11

. 2-ל 1בין הפונקציה

? האם התוצאה מייצגת את סכום השטחים:

אם כן, הסבר. אם לא, נמק וחשב את סכום זה.

.א. חשב את ערך האינטגרל הבא: (17

. ב. נתונה הפונקציה:

כך -ו מעבירים ישרים: כמתואר באיור. -ו שנוצרים השטחים

והסבר :חשב את סכום השטחים

מדוע תוצאת החישוב שונה מסעיף א'.


בין גרף הפונקציה -ו יוצרים את השטחים

כמתואר באיור. -הוציר

.-מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .א

. -חשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה וציר ה .ב

בסרטון זה מוסבר כיצד לחשב שטח הכלוא בין שני גרפים. (19

. נתונות הפונקציות:

חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות.


מצא נקודות חיתוך של הפונקציה .א

(.B-ו A-עם הצירים )נסמנן ב

.ABלישר חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה .ב

2 6 5y x x

1 2S S

2

3

2

1x dx

3 1f x x

2x 2x

1S2S

1 2S S

3 2 2y x x x

1S2S

x

x

x

2

9 ; 3y x y x

23 6 9y x x

213

.והישר נתונה הפרבולה: (41

בין גרף הפרבולה לישר.חשב את השטח המוגבל

חשב את השטח המוגבל בין גרפים של הפונקציות: (42

.


חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, כמתואר באיור. -וציר ה הישר

מצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה: (44

.לבין גרף הפונקציה:

נתונות הפונקציות הבאות: (48

24 ; 4g x x f x x x .

,1S-ב y-וציר המסמנים את השטח הכלוא בין שני הגרפים

כמתואר באיור. 2S -ואת המשך השטח הכלוא בין הגרפים ב

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציות. .א

1חשב את היחס שבין השטחים: .ב

2

S

S .

2 6y x x 5y

2 24 ; 6y x x y x

3f x x

8y y

2y x

22y x x

211

.והישר נתונה הפונקציה: (41

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה והישר. .א

חשב את השטח המוגבל ביניהן. .ב

3 הפונקציות:נתונות (47 ; y x y x .

חשב את השטח המוגבל ביניהן.


חותך את גרף הפונקציה ACהישר

.בנקודות הבאות:

.ACחשב את השטח המוגבל בין הפונקציה לישר

.x-בין שתי פונקציות וציר ה המוגבלזה מוסבר כיצד יש לחשב שטח בסרטון (49

.נתונות שתי הפונקציות:

.-מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה .א

.-מצא את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות לציר ה .ב

.הפונקציות המתוארות בשרטוט הן: (80

מצא את קדקוד הפרבולה. .א

מצא נקודת חיתוך של הפרבולה עם הישר. .ב

חשב את השטח המסומן שבשרטוט. .ג

3( ) 4 5f x x x 5y

3 2( ) 3 3f x x x x

A 0,0 , B 1,1 , C 2,2

21 1

, 22 2

y x y x

x

y

23 ; 4 6y x y x x

212

2 נתונות הפונקציות: (81 24 14 , 4 6y x x y x x .

דקודי הפרבולות.של ק x-שיעורי המצא את .א

חשב את נקודת החיתוך בין שתי הפונקציות. .ב

חשב את השטח המסומן בשרטוט. .ג

.נתונות הפונקציות: (82

.-חשב את השטח המוגבל בין שתי הפונקציות וציר ה

. נתונות הפונקציות: (81

חשב את השטח המוגבל על ידי שתי הפונקציות ברביע הראשון. -וציר ה

.נתונה הפרבולה: (84

מקדקוד הפרבולה. -מעבירים ישר המקביל לציר ה

מצא את שיעורי קדקוד הפרבולה. .א

מצא את השטח המוגבל בין גרף .ב הפונקציה, הישר והצירים.

נתונות הפרבולות הבאות: (88

.

חשב את השטח המוגבל בין הגרפים .-של הפרבולות וציר ה


. מעבירים משיק לגרף הפונקציה מהנקודה:

.Bבנקודה -המשיק חותך את ציר ה .-חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה, המשיק וציר ה

2 2( ) ( 3) , ( ) ( 3)f x x g x x

x

2 2, 8y x y x

x

2 4 3y x x

x

2 2( ) 5 , ( ) 3f x x x g x x x

x

22y x

A 1,2

x

x

211


(.1,2מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודה )

.חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה, המשיק וציר

. נתונה הפונקציה (88

( העבירו משיק.1,3בנקודה )


מצא את השטח המוגבל בין הפונקציה, .ב

.-המשיק וציר ה

חשב את השטח המוגבל בין הפונקציה, .ג


. משוואת הפרבולה היא: (89

הנקודות B 2,0 , C הן נקודות חיתוך של הפרבולה עם הצירים. 0,2

.BCמקביל לישר Dהמשיק לפרבולה בנקודה


.x-מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה, המשיק וציר ה .ב

. -מצא את השטח המוגבל בין הפרבולה, המשיק וציר ה .ג

:נתונה הפונקציה (10 2

4y x .

6x שבה: נקודהה דרךמעבירים משיק לגרף הפונקציה .


חשב את השטח המוגבל על ידי גרף .ב

.x-הפונקציה, המשיק וציר ה

23 2y x

y

2 4y x

y

x

2( ) 2 3 2f x x x

y

216

חישובי שטחים עם פרמטר:

. נתונה הפרבולה: (11

.-2הוא שיפוע המשיק לגרף הפרבולה בנקודה שבה

.aחשב את .א

חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק, .ב

.הפרבולה וציר

פרמטר(. a, ) הפונקציה המתוארת בשרטוט היא: (12

הוא ריבוע. ABCDהמרובע

נמצא על גרף הפונקציה. Bהקדקוד

יחידות. 2ידוע כי אורך צלע הריבוע היא

ואת השטח המסומן בסרטוט. aמצא את ערך הפרמטר

. נתונה הפונקציה (11

x :x-מעבירים אנך לציר ה a(a כך שנוצר )פרמטר חיובי .x-הכלוא בין האנך, גרף הפונקציה וציר ה שטח

את השטח המקווקו בציור. aהבע באמצעות .א

.-אם ידוע כי שטח זה שווה ל aחשב את .ב

2 8y ax

2x

y

2y ax

3y x

2a

218


אינטגרל לא מסוים:

מצא את האינטגרלים הלא מסוימים הבאים: (14

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

.כא .כ .יט

.כד .כג .כב

.כז .כו .כה

האינטגרלים הלא מסוימים הבאים:מצא את (18

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

2x dx3x dx

4x dx

8x dx12x dx

30x dx

24x dx23x dx

45x dx

56x dx2ax dx

4ax dx

28x dx34x dx22

3x dx

31

4x dx

6

7

ax dx

3

3

axdx

2

12

xdx

37

4

xdx

5xdx

4xdx3dx0.7dx

5

6dx

2

7dx

2

3dx

2 3x x dx 32 4x x dx 23 2 1x x dx

9 5 25 6 6x x x dx 215 3

2x x dx

7 25 4

2

x xdx

41 2

2 3x dx

2 913

3x x dx

2 15 4

5x x dx

212

מצא את ערכי האינטגרלים הלא מסוימים הבאים: (11

.ב .א

.ד .ג

.ו .ה

.ח .ז

.י .ט

.יב .יא

מציאת פונקציה קדומה:

.. מצא את עוברת דרך הנקודה . הפונקציה נתון: (17

.. מצא את . ידוע כי נתון: (18

.ואת . מצא את . ידוע כי נתון: (19

.ואת . מצא את . ידוע כי נתון: (70

.: של הפונקציה נתונה הנגזרת (71

. 3.62ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא


.מצא את .ב

. : של הפונקציה נתונה הנגזרת (72

. -2ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא


.מצא את .ב

2

22x x dx 2x a dx

2 2x ax dx 213

2x ax dx

2 312x ax dx

a

2 2 1x x dx

26 3 2x x x dx 2 31 12 3

2 2x x x dx

2

1x dx 2

3 4x x dx

2

2 1 4x x dx 21 13

2 3x x dx

3' 4 1f x x x f x 0,2 f x

2'f x x x 0 3f f x

2' 2 4f x x x 1 3f f x 2f

2' 3 4f x x x 1 5f f x 1f

'f x f x ' 2 5f x x

f x

'f x f x ' 4f x x

f x

221


. 2ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא


.מצא את .ב


. 1ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא


.מצא את .ב

.פרמטר(. נקודת המינימום של הפונקציה היא: , ) נתון כי: (78

.מצא את ערכו של .א

.מצא את .ב

.פרמטר(. נקודת המינימום של הפונקציה היא: , ) נתון כי: (71

.מצא את ערכו של .א

.מצא את .ב

:האינטגרל המסוים

חשב את האינטגרלים המסוימים הבאים: (77

.ג .ב .א

.ו .ה .ד

.ט .ח .ז

.יב .יא .י

'f x f x 3' 8f x x

f x

'f x f x 3' 27f x x

f x

' 6f x ax a 2,2

a

f x

' 4f x x a a 1,0

a

f x

5

2

1

x dx1

2

1

2x dx

4

3

2

4x dx

1

3

4

x dx

2

5

2

2x dx

0

3

3

2x dx

4

2

4

1x dx

5

3

5

1x dx

1

3

0

x x dx

3

2

1

4 3x x dx 0

2

2

2 3x x dx

1

2

2

6 1x x

221

.טו .יד .יג

.יח .יז .טז

.כא .כ .יט

.כד .כג .כב

.כז .כו .כה

.ל .כט .כח

חישובי שטחים:

,מצא את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה: (78

)ראה איור(. -וציר ה , הישרים:





3

2

1

2

2x x dx

1

23

1

2

1x x dx

1

32

1

9 1x dx

2

2

2

2x dx

2

2

0

2 4x dx 0.2

2

5

5 1x dx

2

2

2

4x x dx

0

2

3

9x x dx

0.5

2

1

2x x x dx

2.5

2

1

14 3

2x x dx

0

2

2

9 12

2 4x x dx

6

2

3

1 13

3 6x x dx

4

4

3 4x x dx

3

0.5

2 1 2 6x x dx

0

2

4

4x x dx

4

2

0

4x x dx 0

22

2

3

3 2x x dx

2

2

4

3

4 3x x dx

2y x

1x 2x x

2y x

0x 2x x

2 1y x

0x 1x x

222








)ראה איור(. -וציר ה -, ציר ההישרים:

.והישר: חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה: (88

.והישר: חשב את השטח המוגבל בין גרף הפרבולה: (81

. והישר: נתונים הפרבולה: (87

. A ,B ,Cשל הנקודות -מצא את שיעור ה .א

חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי .ב

. -הפונקציות וציר ה

2 2y x x

0x 2x x

3 1y x

0x 2x x

3 1y x

1x 1x x

2 2 8y x x

4x xy

2 5f x x 4 5g x x

2 2 15f x x x 6 10g x x

2 6 9y x x 3 27y x

x

x

223

, חשב את השטח המוגבל על ידי הישר: (88

.-וציר ה על ידי הפרבולה

חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות: (89

. -וציר ה -ו

.העבירו משיק בנקודה לגרף הפונקציה: (90


.-חשב את השטח המוגבל בין הפרבולה, המשיק וציר ה .ב

. נתונה הפרבולה (91

.מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .א

חשב את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, המשיק, שאת .ב

.-משוואתו מצאת בסעיף א', וציר ה


.מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה: .א

.-חשב את השטח המוגבל בין הפרבולה, המשיק וציר ה .ב

חותכת את חלקו השלילי הפרבולה (91

.Aבנקודה -של ציר ה

.Aמצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .א

חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, .ב


16y x

2

5y x x

2

6y x 6y x x

2 4y x 4,20

y

2 6 12y x x

5,7

y

2 5y x

3x

y

22 4y x x

x

y

221

. העבירו משיק בנקודה שבה לפרבולה (94

.-חשב את השטח המוגבל בין הפרבולה, המשיק וציר ה

.העבירו משיק בנקודה לגרף הפונקציה (98

.-חשב את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה, המשיק וציר ה

חישובי שטחים עם פרמטר:

.. מצא את ערכו של מתקיים: נתון כי עבור (91




מתקיים: נתון כי עבור (100 1

2

0

228

3x ax dx מצא את ערכו של ..


.ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה:


.-מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .ב

כתוב את משוואת המשיק לגרף הפונקציה העובר .ג

.-דרך נקודת החיתוך החיובית שלו עם ציר ה

היעזר באיור שלפניך וחשב את השטח המוגבל בין גרף .ד .-הפונקציה, המשיק וציר ה

22 16 14y x x 3x

y

3y x 2,8

y

0a 2

0

9

a

x dx a

0a 0

1 4

a

x dx a

0a 3 3

0

a

x dx a a

0a 2

0

19

2

a

ax x dx

a

0a a

2 2 3f x ax x a

1, 4

a

x

x

y

222


.ידוע כי הפונקציה עוברת בנקודה:


בנקודה -הפונקציה חותכת את ציר ה .ב

.B. מצא את שיעורי הנקודה Bובנקודה

חשב את שטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה, .ג

.-וציר ה ABהמיתר

פרמטר(. , )נתון הגרף של הפונקציה: (101

של נקודת המינימום של הפונקציה. -מצא את שיעור ה .א

.ה: נתון כי בנקודת המינימום של הפונקצי .ב

.מצא את ערך הפרמטר

דרך נקודת המינימום של הפונקציה העבירו .ג

)ראה איור(. הצב בפונקציה את -אנך לציר ה שמצאת ומצא את השטח המוגבל הערך של

ע"י גרף הפונקציה, הצירים והאנך.

פרמטר(. , ) נתונה הפרבולה: (104

.הוא -השטח המוגבל ע"י הפרבולה וציר ה

.מצא את ערכו של

2f x x ax a

A 2,12

a

x O 0,0

x

2 6f x x x a a

x

1y

a

x

a

2f x ax x a

x4

3S

a

221

שאלות מתוך מאגר משרד החינוך:

הנגזרת של הפונקציה (108 f x :היא 2' 4f x x x .

הפונקציה f x עוברת דרך הנקודה 3,3 מצא את הפונקציה . f x.

נתון כי: (101 3' 16 2f x x וערכה של הפונקציה f x 2בנקודת המינימום הוא .

מקבלת הפונקציה xעבור איזה ערך של .א f x ?מינימום


נתונה פונקציה (107 f x :המקיימת 22 5

'2

xf x

ו- 3 2f חשב את . 0f.

הנגזרת של הפונקציה (108 f x :מקיימת 2' 6 8f x x x .

ערך הפונקציה f x :1בנקודהx חשב את הפונקציה 2הוא . f x 2בנקודהx .

הפונקציה (109 f x חותכת את ציר ה-y :1בנקודהy .

נגזרת הפונקציה היא: 2' 3 1f x x מצא את . 2f.

4y ; 2מצא את השטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות: (110 x y x x .

מצא את השטח המוגבל ע"י הגרפים של הפונקציות: (111 2

3 ; 3y x y x .

2בציור שלפניך מסורטט גרף הפונקציה: (112 4 3y x x .

חשב את האינטגרל המסוים של הפונקציה הנתונה .א

. 3-ל 1בין הגבולות

האם תשובתך לסעיף א' מודדת את סכום השטחים .ב

1המקווקוים 2 , S S .שבציור? נמק


2y x .)ראה איור(

חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה וע"י הצירים )השטח המקווקו בציור(.

226

2חשב את השטח המוגבל ע"י הפרבולה: (114 4y x x

3yוהישר: .)השטח המקווקו בציור(

2y, ע"י הישר y-חשב את השטח המוגבל ע"י ציר ה (118 :21וע"י גרף הפונקציה

8y x.

2הפרבולה: (111 2 3y x x חותכת את ציר ה-y

. Bבנקודה x-ואת ציר ה Aבנקודה

.ABחשב את השטח המוגבל ע"י הפרבולה וע"י הישר

הפרבולה והישר בציור שלפניך הם גרפים (117

הפונקציות: של 2

5 ; 3y x y x .

מצא את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים.

ראשית הציריםOABC (O .)במערכת צירים בנו ריבוע (118

נמצאות על צירי OC-ו OAשתיים מצלעות הריבוע,

השיעורים )ראה איור(. אורך צלע הריבוע הוא יחידה אחת.

2yמצא את השטח המוגבל ע"י הפרבולה: x וע"י

. BC-ו OCהצלעות

הוא חלק מגרף AHBבציור שלפניך (119

28הפונקציה: 1

3y x x .שנמצא ברביע הראשון

, ע"י AHBמצא את השטח המוגבל ע"י הגרף . y-וע"י ציר ה x-ציר ה

228

חותך את הפונקציה: y-ישר המקביל לציר ה (120 2 2f x x x

בנקודה A . הוכח כי: 3,31 2S S .)ראה איור(

, ע"י גרף x-ע"י ציר ה מצא את השטח המוגבל (121

הפונקציה: 2

2y x וע"י גרף

הפונקציה: 2

2y x .

חשב את השטח המוגבל ע"י גרף (122

הפונקציה: 2 4y x x וע"י ציר ה-x .


0x , 1 , 2בנקודות: x-ידוע כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה x x .

הוכח כי: .א 2

0

0f x dx .

חשב את השטח המוגבל ע"י גרף .ב

הפונקציה f x ציר ה וע"י-x .

בציור שלפניך מתואר גרף (124

3הפונקציה: 2 2y x x x .

מצא את השטח המוגבל ע"י . x-גרף הפונקציה וע"י ציר ה

39בציור שלפניך מתוארים הגרפים של הפונקציות: (128 ; y x y x .

בנקודות החיתוך של x-מצא את ערכי ה .א

הגרפים של הפונקציות.

חשב את השטח הכלוא בין שני הגרפים. .ב

222

, y-חשב את השטח המוגבל ע"י ציר ה (121

3yע"י גרף הפונקציה: x 8וע"י הישרy .

28נתונה פרבולה שמשוואתה: (127 2y x :בנקודה . A העבירו משיק לפרבולה. 1,6


וע"י המשיק. y-חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפרבולה, ע"י ציר ה .ב

2yחשב את השטח הנמצא ברביע הראשון, ומוגבל ע"י גרף הפונקציה: א. (128 x ע"י גרף ,

28yהפונקציה: x וע"י ציר ה-y.

2yחשב את השטח הנמצא ברביע הראשון, ומוגבל ע"י גרף הפונקציה: ב. xע"י גרף ,

28yהפונקציה: x וע"י ציר ה-x.

נתונה הפונקציה: (129 2 3 2f x x x .

מצא את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה. .א

חשב את השטח המוגבל ע"י הגרף של .ב f x ע"י המשיק ל ,- f x בנקודת

.y-המקסימום וע"י ציר ה

בציור מתוארים הגרפים של הפונקציות: (110 3 ; g x x f x x .

חשב את השטח המוגבל ע"י שני הגרפים.

2ישר משיק לגרף הפונקציה: (111 6y x ax :1בנקודהx .

. -2ק הוא ישמשיפוע ה

.aחשב את הפרמטר .א

חשב את משוואת המשיק. .ב

חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה, .ג

.y-ע"י המשיק וע"י ציר ה

231

3ישר משיק לגרף הפונקציה: (112 1y x :בנקודה A 1,2.


המשיק, שאת משוואתו מצאת בסעיף א', .ב

. Bחותך את גרף הפונקציה בנקודה נוספת

.-2הוא Bשל הנקודה x-הראה ששיעור ה

חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה .ג

וע"י המשיק לפונקציה.

הנגזרת של הפונקציה (111 f x :היא 2

3 1' 4

2 2f x x

.

2xבנקודה ערך הפונקציה f x חשב את הפונקציה 11הוא . f x.

231

:תשובות סופיות

xא. (1 c .2בx c .ג2

3x c .0.7דx c .ה

3

3

xc .ו

4

4

xc .ז

2

2

xc.

ח. 5

5

xc .3טx c .י

4

8

xc .יא

6

9

xc .יב

25

2

xc.

2xא. (2 c .7בx c .ג4

4

xc .ד

25

2

xx c .ו. ה.

ט. ח. ז.

י. 4

8

xc .יא.

.טו. יד. יג. יב.

ב. א. (1 20 7 , 2.5 3 7f f x x x .36 ג 8y x x .

4) 330,3 , 3 , 2 3

4f x x x 8)

8

3. 1) 0 4f 7) 2 4 2f x x x

. ב. א. (8

א. (91

0,3

ב. 1 2 1

0, , 2 ,3 3 3

. ב. 1א. (10 2 3 7f x x x .

ב. -1א. (11 23 5 8f x x x .5גy x .12) 23

4 112

xf x x .

א. (11 3

2 24 2 23

3 3

xf x x x .5ב 27y x .

5א. (14 2y x .ב 33 4 4f x x x .ג 2

0, 2 , ,05

.

א. (18 3 23

23 2

x xf x .ב max 3,2.5 , min 0, 2.

א. (11 3, 4 .ב 2 6 5f x x x 17) .א 1,0 .ב 22 4 2f x x x .

18) 1,0 . ב. א. (19 5,0 ,

א. (201 1

,2 16

ב. א. (21. 1ג. ב.

2.5a א. (22 .ב 3 2 552.5 2

54f x x x x . 21) .ב. -1א 2 8f x x x .

. ב. 1א. (24 3 1

13 3

xf x x 28) 12 .21) 12 .27יח"ר)

222

3 יח"ר. 2ב. א. (28יח"ר.

יח"ר. (11 .ב. א. (10 יח"ר. ב. א. (29

3 292

2x x c

64 3

2

xx x c

4 2

4 2

x xx c

3 2 2

18 4 3

x xx c

4

6

xx c

3 23 3x x x c

325

3 2

xx c

3 2

123 2

x xx c

41.5x c5

4 333

5 2

xx x c

23

12

xf x

2 25 6 ; 2 3 1g x x x f x x x 7,78

20,5 ; 6 5y x x 1

,22

4 34 2 2

4f x x x

4 3 22f x x x x 5a 5 22 5f x x x

3,0

1,0 , 5,01

333

2,0 , 2,02

103

1

12

232

(11יח"ר. (18יח"ר. 1 (14יח"ר. 13.2 (11 יח"ר. (121

83

.

יח"ר. (19 יח"ר. ב. א. (18יח"ר. ב. א. (17

(42יח"ר. (41יח"ר. 13.2ב. א. (401

213

יח"ר.

יח"ר. ב. א. (48יח"ר. (44יח"ר. 12 (41

יח"ר ב. א. (49יח"ר. (48יח"ר (47יח"ר. 8ב. א. (417

112

יח"ר.

ג. ב. א. (805

36

ג. ב. א. (81יח"ר. 1

653

יח"ר.

(81יח"ר. 18 (825

412

יח"ר. (81יח"ר. (88יח"ר ב. א. (84יח"ר

4yא. (89יח"ר. ג. יח"ר. ב. א. (88יח"ר. 1 (87 x .יח"ר. ג. יח"ר. ב

4 א. (10 20y x .ב 2

3א. (11יח"ר.

1

2a ב.

4

3 (12 .יח"ר

2 12 ,

3 2a .יח"ר

א. (114

4

a2aב. .

ז. ו. ה. ד. ג. ב. א. (14

. גי . בי .אי י. . ט . ח 38

3

xc יד ..

.יז . טז . טו 7

49

axc כ . יט . יח ..

.. כד . כג . כב . אכ

.. כז . כו . כה

. ד .. ג . ב א. (18

. ז . ו . ה

. ט. . ח

.. ג . ב . א (11

.. ז . ו . ה . ד

210

3

44

15

49.5 1,0 , 0,0 , 2,01

312

520

6

A 0, 9 , B 3,02

103

1

3 1,3 , 4,0

52

11

2,5 , 0,5 , 2,51

2

1

2

4

3

2,2 1,32 , 2x x 1,11

2,14

3

116

3

1

6

2 5y x 1

3

7

12

22

3

2

3

3

3

xc

4

4

xc

5

5

xc

9

9

xc

13

13

xc

31

31

xc

34

3

xc

3x c5x c6x c3

3

axc

5

5

axc

4x c

32

9x c

4

16

xc

4

12

axc

3

36

xc

47

16

xc

25

2

xc

22x c 3x c 0.7x c

5

6x c

2

7

xc

2

3

xc

3 4

3 4

x xc

422

2

xx c

3 2x x x c 10

6 322

xx x c

3 21 53

6 2x x x c 8 35 2

16 3x x c 51 2

10 3x x c

103

3 10

x xx c

325

23 5

x xx c

35 44

5 3

xx x c

3

3

xax c

3 2

23 2

x axx c

4 31

8 2

ax x c 3 41

23 4

ax x x c

a

5 3

5 3

x xc

4 3 236 6

2x x x c

233

. י . ט . ח 4

3 298 8

4

xx x c יא ..

.. גי . בי

17) .18) 3 2

33 2

x xf x 19)

325 2 13

2 , 23 3 3

xf f x x .

70) 3 27 , 2 4f x x x 71) .ב. א.

ב. א. (72 2

4 62

xf x x 71) .ב. א.

ב. א. (78 ב. א. (74

ב. א. (71 22 4 2f x x x .

ד. ג. ב. א. (773

634

.י. ט. ח. ז. ו. ה.

.יט. יח. יז. טז. טו. יד. יג. יב. יא.

כז. כו. כה. כד. כג. כב. כא. כ. 1

213

.

כח. 2

3623

.ל. כט.

יח"ר. (81 יח"ר. (82 יח"ר. (81 יח"ר. (80 יח"ר. (79 יח"ר. (78

יח"ר. ב. א. (87יח"ר. (81 יח"ר. (88 יח"ר. (84

יח"ר. ב. א. (91 יח"ר. ב. א. (90 יח"ר. 12.2( 89 יח"ר. (88

יח"ר. (94 יח"ר. ב. א. (91יח"ר. ב. א. (92

(100 (99 (98 (97 (91 יח"ר. (98

ג. ב. א. (102 יח"ר. 2ד. ג. ב. א. (1011

493

יח"ר.

(108 (104 יח"ר. ג. ב. . 3א. (101 3

22 63

xf x x .

א. (1011

2x ב. 4 3

4 2 24

f x x x 107) 0 1f 108) 2 7f 109) 2 5f .

110) 1

42

(111 יח"ר. 5

206

(111א. אפס. ב. לא. (112 יח"ר. 2

23

יח"ר.

114) 1

13

(118 יח"ר. 1

53

(111 יח"ר. 1

42

(117יח"ר. 1

42

(118 יח"ר. 2

3 יח"ר.

3 6 3

3 24 2

x x xc

32

3

xx x c

43 25 12 16

2

xx x x c

4 3 2

8 2 6

x x xx c

43 241

7 7.54 18

xx x x c

4

22 24

xf x x x

2.5,3.75 2 5 10f x x x

4, 2 2,2 4

8 144

xf x x

3,1 4 3

27 614 4

xf x x 3a 21.5 6 4f x x x

4a

141

3

11

3240040.5

250

310

1

4

4

3

2

315

118

31

71

9

121

3

210

3

111171

150

120

4

57

64

93

16

514

661

153

3

728

12

16

405

171

27

12

3

22

3

11

3

28

362

226

3

210

336A B C3 ; 6 ; 9x x x 22.5

129

38 12y x

121

34 13y x

241

3

6 4y x 94 8y x 1

53

18

123a 2a 4a 3a 2a

1a 3,0 , 1,04 12y x 8a B 8,0

8a 1

73

2a

231

(120 יח"ר. 6 (1191

3 (121 יח"ר

15

3 יח"ר. 2ב. (121 יח"ר. 8 (122 יח"ר.

124) 1

312

,3,0א. (128יח"ר. 3 .ב1

402

יח"ר. 12 (121 יח"ר.

4 א.( 127 10y x .ב 2

13

א.( 128 יח"ר. 2

103

יח"ר. 4.418ב. יח"ר.

1xא. מקסימום: (129 :1, מינימוםx .ב3

4 110)

1

2 יח"ר.

4a א. (111 .2 ב 5y x .ג 1

33 א. (112 יח"ר. 1y x .ב B 2, 7 .ג

36

4 יח"ר.

111) 3

14 17

2f x x

.

232

שאלות מבגרויות: – 8פרק בעיות מילוליות:

.2004מועד קיץ שנת (1

שקלים. 2000סוחר קנה שני מוצרים, ושילם תמורתם סך הכל , ואת המוצר השני מכר ברווח 10%את המוצר הראשון מכר הסוחר בהפסד של

שקלים סך הכל. 2160-. הסוחר מכר את שני המוצרים ב20%של בכמה שקלים קנה הסוחר כל אחד משני המוצרים?

.2008מועד חורף שנת (2 שקל ממחיר חצאית. 40-בחנות בגדים מכרו חולצה במחיר הקטן ב

מאחר שנשארו בחנות הרבה חולצות ומעט חצאיות, שינתה החנות את המחירים. .20%-, ומחיר חצאית התייקר ב25%-מחיר חולצה הוזל ב

שקלים. 282המחירים שילמה רותי עבור חולצה וחצאית בסך הכל לאחר שינוי מצא מה היו לפני השינוי מחיר חולצה ומחיר חצאית.

.2008מועד קיץ א' שנת (1

.Cוהגיע לעיר B, עבר דרך העיר Aרוכב אופניים יצא מהעיר

ק"מ. 160הוא C-ל B-ק"מ, והמרחק מ 240הוא B-ל A-המרחק מ

,C-ל B-מהמהירות שלו בדרך מ 20%-במהירות הגדולה ב B-ל A-הרוכב רכב מ

.C-ל B-בשעה אחת יותר מהזמן שעבר את הדרך מ B-ל Aוהוא עבר את הדרך מ

. )מהירויות הרוכב היו קבועות(.C-ל B-מצא את מהירות הרוכב בדרך מ

.2008מועד קיץ ב' שנת (4

זו לקראת זו.ק"מ, יצאו שתי מכוניות 800, שהמרחק ביניהם B-ו Aמשני מקומות

.007בשעה B-, והמכונית האחרת יצאה מ006בשעה A-מכונית אחת יצאה מ

.B-ל Aשתי המכוניות נפגשו באמצע הדרך בין

.B-קמ"ש ממהירות המכונית שיצאה מ 20-קטנה ב A-מהירות המכונית שיצאה מ

.A-מצא את המהירות של המכונית שיצאה מ

.2001מועד חורף שנת (8

)ראה ציור( סכום האורכים של שתי צלעות ABCDבמלבן ABס"מ 16סמוכות הוא BC .

ס"מ והקטינו את אורך 5 -ב BCהגדילו את אורך הצלע

231

סמ"ר. 72,וכך קיבלו מלבן חדש, ששטחו 20% -ב ABהצלע

. )מצא את שתי התשובות(.ABחשב את אורך הצלע


EFGDבנו ריבוע ABCDבתוך מלבן

, כמתואר בציור.BMFומשולש ישר זווית DCס"מ60נתון: ,40ס"מBC .

הסכום של שטח הריבוע ושטח המשולש סמ"ר. 784)השטח המקווקו בציור( הוא

. EFGDחשב את אורך הצלע בריבוע )מצא את שתי התשובות(.


006הולך רגל ורוכב אופניים יצאו בשעה

גדים )ראה ציור(., בכיוונים מנוAמיישוב 2.4רוכב האופניים רכב במהירות הגדולה פי

מהמהירות של הולך הרגל.

.A-ק"מ מ 10היה הולך הרגל במרחק של 008בשעה

מצא את המהירות של הולך הרגל, ואת המהירות של רוכב האופניים. .א

ק"מ. 51מצא באיזו שעה היה המרחק בין הולך הרגל לרוכב האופניים .ב


היא צומת של שני כבישים Bנקודה המאונכים זה לזה.

דחפור וטרקטור, 008יצאו בשעה Bמנקודה וכל אחד מהם נסע בכביש אחר.

.Cקמ"ש, ועצר בנקודה 4.5הדחפור נסע במהירות קבועה של

)ראה ציור(. Dקמ"ש, ועצר בנקודה 3הטרקטור נסע במהירות קבועה של

.B-חקים שווים מנמצאות במר D -ו Cהנקודות שעות מזמן הנסיעה של 2-זמן הנסיעה של הטרקטור עד עצירתו היה גדול ב

הדחפור עד עצירתו.

?C-באיזו שעה עצר הדחפור ב .א

שבין הטרקטור לדחפור. DCחשב את המרחק .ב בתשובתך השאר שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

236


.4xלגינת נוי צורת ריבוע שאורך צלעו בכל אחת מארבע פינות יש חלקת פרחים.

כל חלקה היא בצורת ריבוע קטן, שאורך צלעו הוא רבע מצלע הגינה )ראה ציור(.

בשטח הנותר של הגינה )השטח האפור בציור( יש דשא.

את השטח של הדשא. xהבע באמצעות .א

, 25%-של צלע הגינה יוגדל בעל פי תכנון חדש של גינת הנוי, האורך .ב ואורך הצלע של כל אחת מחלקות הפרחים לא ישונה.

את השטח של הדשא על פי התכנון החדש. xהבע באמצעות

מ"ר משטח הדשא שהבעת 36-בתכנון החדש, השטח של הדשא גדול ב .ג .xבסעיף א. חשב את


.Bצאת עיר נמ C-ל A. בין Cלעיר Aמכונית נסעה מעיר

.C-ל B-ק"מ מהדרך מ 6-ארוכה ב B-ל A-הדרך מ

-ב B-ל A-המכונית עברה את הדרך מ1

12

שעות. 2-ב C-ל B-שעות, ואת הדרך מ

קמ"ש מהמהירות שלה בדרך 24-הייתה גדולה ב B-ל A-מהירות המכונית בדרך מ

. המהירויות של המכונית בשני קטעי הדרך היו קבועות.C-ל B-מ

ואת מהירות המכונית בדרך B-ל A -חשב את מהירות המכונית בדרך מ .א

.C-ל B-מ

.C-ל Aחשב את המרחק בין .ב


שקלים. מחיר הקנייה של כל אחד מהעפרונות היה זהה. 80-סוחר קנה עפרונות ב מהעפרונות שקנה הסוחר, נשברו ולא נמכרו. 4

ממחיר הקנייה 75%-נשברו במחיר הגדול ב הסוחר מכר כל אחד מהעפרונות שלא של העיפרון.

שקלים. 46בסך הכל הרוויח הסוחר

מצא כמה עפרונות קנה הסוחר. .א

מצא את מחיר הקנייה של כל עיפרון. .ב

238

.2008מועד קיץ א' שנת (12 ס"מ. 25נתון מלבן שאורך הצלע הקצרה שלו הוא

.30%-הארוכה ב , והקטינו את אורך הצלע30%-הגדילו את אורך הצלע הקצרה ב

התקבל מלבן חדש ששטחו 1

6822

סמ"ר.

חשב את האורך של הצלע הארוכה של המלבן הנתון. .א

חשב בכמה אחוזים שטח המלבן החדש קטן משטח המלבן הנתון. .ב


,ABCבמשולש ישר זווית ושווה שוקיים

ACנמצאת על היתר Fהנקודה

,BCנמצאת על הניצב Eוהנקודה FE -כך ש CE .)ראה ציור(

.ABEFמשטח המרובע 80%הוא FECשטח המשולש BAס"מ6נתון: BC :נסמן .EF EC x .

.xמצא את .א

.CFEמצא את היקף המשולש .ב


, והוא רכב במהירות של Bלעיר Aבבוקר יצא רוכב אופניים ראשון מעיר 006בשעה

, והוא רכב Aלעיר Bבבוקר יצא רוכב אופניים שני מעיר 008קמ"ש. בשעה 10 מהמהירות של הרוכב הראשון. 1.25במהירות הגדולה פי

ק"מ. )מהירויות הרוכבים היו קבועות(. 98.75הוא Bלעיר Aהמרחק בין עיר כעבור כמה שעות מרגע היציאה של רוכב האופניים הראשון, ייפגשו שני הרוכבים?

.2009מועד קיץ א' שנת (18 וג יקר.סוחר קנה שני סוגי קפה: סוג זול וס

שקל, 1200ק"ג קפה מהסוג הזול, ושילם עבורם xבחודש הראשון קנה שקל. 3600ק"ג, ושילם עבורם 2xומהסוג היקר של הקפה קנה

מהו המחיר של ק"ג קפה מהסוג הזול ומהו המחיר של ק"ג קפה מהסוג .א (.xהיקר? )כל מחיר מובע באמצעות

ק"ג מהסוג היקר, 20-ק"ג קפה מהסוג הזול ו 10בחודש השני קנה הסוחר .ב שקל. 4000ושילם בסך הכל

כמה ק"ג קפה מהסוג הזול קנה הסוחר בחודש הראשון?

232


שקלים. 60שמעון קנה שקיות במבה ושילם בסך הכל על כל 5%שקיות במבה יותר משקנה שמעון. הוא קיבל הנחה של 6ראובן קנה

שקלים. 74.1שקית במבה ושילם בסך הכל

שקיות במבה קנה שמעון? כמה .א

מהו המחיר של שקית במבה )לפני ההנחה(? .ב


חולצות פשתן. 60-חולצות כותנה ו 20חנות קנתה מהמחיר של חולצת כותנה. 15%-המחיר של חולצת פשתן היה נמוך ב

שקל. 2550עבור כל חולצות הפשתן שילמה החנות

מה היה המחיר של חולצת כותנה? .א

שקלים שילמה החנות עבור כל חולצות הכותנה?כמה .ב


קמ"ש. 20רוכב אופניים רכב מעיר א' לעיר ב' בכביש סלול במהירות קבועה של מהכביש 1.25בדרכו חזרה הוא רכב במהירות קבועה בכביש עוקף, הארוך פי

בכביש קמ"ש ממהירותו 5-הסלול. מהירות הרוכב בכביש העוקף הייתה קטנה בשעות מזמן הרכיבה 2-הסלול. זמן הרכיבה של הרוכב בכביש העוקף היה ארוך ב

מצא את האורך של הכביש הסלול שבין עיר א' לעיר ב'. שלו בכביש הסלול.


ק"מ, יצאו זה לקראת זה שני הולכי רגל: 25משני מקומות, שהמרחק ביניהם הוא ב'. הולך רגל א' והולך רגל

בבוקר. 307בבוקר והולך רגל ב' יצא בשעה 007הולך רגל א' יצא בשעה קמ"ש מהמהירות של הולך רגל ב'. 1-המהירות של הולך רגל א' הייתה גדולה ב

בבוקר. 309)המהירויות של הולכי הרגל קבועות(. הולכי הרגל נפגשו בשעה מצא את המהירות של כל אחד מהולכי הרגל.


שקלים לקופסה אחת. xקופסאות קרם במחיר 60קוסמטיקאית קנתה שקלים לקופסה. xמהקופסאות באותו מחיר, 30הקוסמטיקאית מכרה

.18%קופסאות היא מכרה ברווח של 25 .6%קופסאות היא מכרה ברווח של 5

שקל. 6480הקוסמטיקאית מכרה את כל הקופסאות בסכום כולל של ששילמה הקוסמטיקאית תמורת קופסת קרם אחת. xמצא את המחיר

211


בחנות מכולת מוכרים חפיסות שוקולד משני סוגים: שוקולד פשוט ושוקולד מיוחד. שקלים. יוסי ודני הלכו למכולת לקנות שוקולד. xמחיר חפיסת שוקולד פשוט הוא

יותר 50%כל אחת מהן יוסי קנה שתי חפיסות של שוקולד מיוחד, ושילם בעבור ממחיר חפיסת שוקולד פשוט.

הסכום הכולל ששילם יוסי. xהבע באמצעות .א

פחות 20%דני קנה במבצע שתי חפיסות שוקולד פשוט, ושילם בעבור כל אחת מהן מהמחיר הרגיל של חפיסת שוקולד פשוט.

את הסכום הכולל ששילם דני. xהבע באמצעות .ב

לושה שקלים יותר ממחיר ארבע חפיסות שוקולד ידוע כי יוסי ודני שילמו יחד ש פשוט )שאינו במבצע(.

מצא את המחיר הרגיל של חפיסת שוקולד פשוט. .ג


שקלים לכל סועד. 80מחיר ארוחה במסעדה הוא סועדים, הוא יוזיל 30-בעל המסעדה התחייב לחברת טיולים כי אם יגיעו יותר מ

ור כל אחד מהסועדים.עב 5%-את מחיר הארוחה בסועדים או פחות, היא תשלם לבעל 30החברה מצידה התחייבה כי אם יגידו

המסעדה תוספת של אחוז מסוים עבור הארוחה של כל סועד.

סועדים. 30-למסעדה הגיעו יותר מ .א

מצא מה היה מחיר הארוחה לכל סועד. .1

שקלים עבור הארוחות של כלל הסועדים. 3268החברה שילמה סה"כ .2 כמה סועדים הגיעו למסעדה?

סועדים, הייתה החברה משלמת לבעל 15אילו היו מגיעים למסעדה .בשקלים עבור כולם יחד. כמה אחוזים התחייבה החברה 1344המסעדה

להוסיף למחיר הארוחה עבור כל סועד.


, Aיצאה מתחנה Iשתי רכבות יצאו זו לקראת זו באותו זמן ובמהירות קבועה. רכבת

ק"מ. 900הוא B-ו A. המרחק בין התחנות Bמתחנה – IIורכבת

.Iמהמהירות של רכבת 2גדולה פי IIקמ"ש, והמהירות של רכבת vהיא Iהמהירות של רכבת

קמ"ש. 90ת הוא שעו 3אם נתון שהמרחק בין הרכבות כעבור vמצא את .א

A, היא החלה את דרכה חזרה לתחנה Bהגיעה לתחנה Iלאחר שרכבת .ב

20%-היה ארוך ב Aלחזור לתחנה Iבמהירות קבועה. הזמן שנדרש לרכבת

.Bמהזמן שנדרש לה כדי להגיע לתחנה

? פרט את חישובייך.Aבדרכה חזרה לתחנה Iמהי המהירות של רכבת

211


שקלים לשולחן. xסוחר קנה שולחנות במחיר שקלים. 2400בסך הכל שילם הסוחר עבור השולחנות

לאחר מכן מכר הסוחר את כל השולחנות שקנה. לשולחן, ואת שאר השולחנות הוא מכר ברווח 10%שולחנות הוא מכר בהפסד של 5

שקלים. 2700הסכום הכולל שקיבל הסוחר ממכירת השולחנות היה לשולחן. 20%של

מצא את המחיר ששילם הסוחר עבור כל שולחן. .א

מצא את מספר השולחנות שקנה הסוחר. .ב


שקלים לבקבוק. xבקבוקי שמן, ושילם 20סוחר הזמין בקבוקים, ולכן זכה 10-בהזמנה הבאה הגדיל הסוחר את כמות בקבוקי השמן ב

שקלים 100-ה גבוה בלכל בקבוק. התשלום הכולל בהזמנה זו הי 20%להנחה של מהתשלום הכולל עבור ההזמנה הראשונה.

את: xהבע באמצעות .א

בקבוקי השמן בהזמנה הראשונה. 20התשלום עבור .1

המחיר של בקבוק שמן אחד לאחר ההנחה. .2

מצא את המחיר של בקבוק שמן בהזמנה הראשונה. .ב


שקלים לחולצה, ושילם בסך הכל xסוחר הזמין כמות מסוימת של חולצות במחיר 20-שקלים. בהזמנה הבאה הגדיל הסוחר את כמות החולצות שרכש ב 1200

התשלום הכולל בהזמנה השנייה לכל חולצה. 10%חולצות, ולכן זכה להנחה של שקלים מהתשלום הכולל עבור ההזמנה הראשונה. 420-היה גבוה ב

ה.את כמות החולצות שנקנו בהזמנה הראשונ xהבע באמצעות .א

מה היה המחיר של חולצה לפני ההנחה? .ב


ק"ג קמח. 10-ק"ג גבינה צהובה ו 5בעל פיצרייה קנה ק"ג קמח. 1שקלים ממחיר 50-ק"ג גבינה צהובה גבוה ב 1ידוע כי מחיר

על 25%ק"ג גבינה צהובה, והנחה של 1על כל 20%בעל הפיצרייה קיבל הנחה של שקלים. 315נחה שילם בעל הפיצרייה בעבור הקנייה לאחר הה ק"ג קמח. 1כל

ק"ג קמח לפני ההנחה? 1ק"ג גבינה צהובה ומה היה מחיר של 1מה היה המחיר של .א

גרם גבינה 250-ידוע כי כל פיצה נמכרת במחיר זהה , ולהכנתה יש צורך ב .ב גרם קמח. בעל הפיצרייה מעוניין לנצל את כל הרכיבים שקנה. 500-צהובה ו

פיצות עליו לייצר. פרט את חישובייך.מצא כמה

212


שקל. 3600טבעות זהות, ושילם עבורן בסך הכל xסוחר קנה טבעות אבדו. את יתר הטבעות מכר הסוחר במחיר שווה לכל טבעת, 5

ממחיר הקנייה של כל אחת מהטבעות. 50%-שהיה גבוה ב .1200הרווח של הסוחר בעסקה זו היה

טבעות קנה הסוחר.חשב כמה


פועל מקבל בחודש שכר בסיסי קבוע, ועוד תוספות קבועות. שקל. 6600בסך הכל שכרו בחודש הוא

15%-בחודש מסוים העלה בעל המפעל את השכר החודשי הבסיסי של הפועל ב .10%-והוריד את התוספות הקבועות ב

שקלים. 7440חודש לאחר השינויים היה בסך הכל שכרו של הפועל ב מצא מה היה השכר הבסיסי של הפועל לפני השינויים.

213


קמ"ש. 40 (1שקלים. 120שקלים, חולצה: 160חצאית: ( ₪2. ₪1211, 811( 1

ס"מ או 16 (1ס"מ. 6ס"מ או 15 ( 8קמ"ש. 80 (41

173

ס"מ.

.009קמ"ש ב. 12קמ"ש, רוכב האופניים: 5א. הולך רגל: (7

xמטר2ג. 221xב. 212xא. (9ק"מ. 25.46ב. 0012א. בשעה (8 .

ק"מ. 246קמ"ש ב. C :60-ל B-קמ"ש, מ B :84-ל A-א. מ( 10

.9%ס"מ ב. 30א. (12שקלים. 2עפרונות ב. 40א. (11

xס"מ4א. ( 11 .ב2

133

שעות. 2.2. לאחר 11:31 (14ס"מ.

א. זול: (181200

x. יקר:

1800

x ₪. 3שקיות. ב. 21א. (11ק"ג. 12. ב.

קמ"ש. 5קמ"ש, הולך רגל ב': 6הולך רגל א': (19ק"מ. 60( ₪18. 1111ב. ₪. 21א. (17

שקלים. 5ג. 1.6xב. 3xא. (21שקלים. 100( 20

קמ"ש. 75קמ"ש ב. 90א. (21 .12%סועדים ב. 13. 2שקלים 76. 1א. ( 22

שקלים. 25ב. 20x 2 .0.8x. 1א. (28שולחנות. 20 שקלים ב. 120א. (24

א. (211200

x שקלים. 30ב.

פיצות. 20שקלים ב. 10שקלים, קמח: 60א. גבינה צהובה: ( 27

שקלים. 6000( 29טבעות. 45 (28

211

גיאומטריה אנליטית:

הישר:


9xמונחת על הישר ABהצלע ABCDבמקבילית y והצלע ,AD מונחת על

הישר 1

62

y x אלכסוני המקבילית נפגשים בנקודה . 1,5.

מצאו את השיעורים של כל אחת מארבעת קדקודי המקבילית.


ABC הוא משולש חד זווית. שיעורי הנקודהB הם 8,7.

חותך אותה בנקודה ABהגובה לצלע D 2,4.

.CDמצאו את משוואת הגובה .א

3היא: BCנתון גם שמשוואת הגובה לצלע .ב 9x y .

. C -ו Aמצאו את שיעורי הנקודות


7היא: AB. משוואת הצלע ABCDנתונה מקבילית 26y x .

2yהיא ADמשוואת הצלע x .

נקודת המפגש של האלכסונים במקבילית היא 3,2.

.ACמצאו את אורך האלכסון .א

.CD -ו BCמצאו את המשוואות של הצלעות .ב


A -ו 2,1 B . ABCDהם שני קדקודים סמוכים במלבן 6,3

3משוואת הישר שעליו מונח אחד מאלכסוני המלבן היא 4 30x y .

. CDמצאו את משוואת הישר, שעליו מונחת הצלע


הנקודות A 3,4 ו- C ABC הן קדקודים במשולש שווה שוקיים 1,2 AB AC

3היא: BCמשוואת הישר שעליו מונחת הצלע 1y x .

.ACמצאו את משוואת האנך האמצעי לשוק .א

.ABCמצאו את השיעורים של מרכז המעגל החוסם את המשולש .ב

212


A -ו 3,1 B .ABCDהם שני קדקודים סמוכים במעוין 7,4

2היא ACמשוואת האלכסון 5y x .

.BDמצאו את משוואת האלכסון .א

.Cמצאו את שיעורי הקדקוד .ב


נתון: ABCבמשולש ישר זווית B 6,3 ,C 3,0 , C 90 הקדקוד .A נמצא על

. A. מצא את שיעורי הקדקוד y-ציר ה


שקדקודיו הם: ABCנתון משולש C 2.5,8 , B 0,3 , A 10,8.

במערכת צירים. ABCסרטטו במחברתכם את המשולש .א

, וקבעו איזה משולש הוא.ABCמצאו את השיפוע של כל אחת מצלעות המשולש .ב

שוקיים -הוא משולש שווה CAD-, כך שCBהיא נקודה על המשך הצלע D .ג

ACשבו AD חשבו את שיעורי הנקודה .D .


הוא: ABCDאחד הקדקודים במקבילית B 4,5.

מונחת על הישר ADהצלע 1

62

y x והאלכסון ,BD מקביל לציר ה-x.

.Dמצאו את שיעורי הקדקוד .א

.1הוא DCנתון גם כי שיפוע .ב

.ABו את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע מצא


2yמשוואת הצלע היא ABCבמשולש x,

הם Aוהשיעורים של הקדקוד 4,3.

AD הוא גובה לצלעBC .)ראו ציור(

.ADמצאו את משוואת הגובה .א

.Dמצאו את שיעורי הנקודה .ב

. ABCיחידות. חשבו את שטח המשולש 4הוא BCנתון כי אורך הצלע .ג

211


)ראו ציור( נתון: ABCDבריבוע A 4,2.

היא: DCמשוואת הצלע 1

3y x .

.ADמצאו את משוואת הצלע .א

מצאו את היקף הריבוע. .ב


)ראו ציור( האלכסונים ABCDבמעוין

נפגשים בנקודה 0, 1.

היא BDמשוואת האלכסון 1

13

y x .

.ACמצאו את משוואת האלכסון .א

5yהיא: ADהצלע משוואת .ב x .

.Aמצאו את שיעורי הקדקוד

. Cמצאו את שיעורי הקדקוד .ג


.BCהיא אמצע הצלע Dנקודה ABCבמשולש

DE הוא אנך לצלעBC .)ראה ציור(

היא ADמשוואת התיכון 5 4

3 3y x .

היא DEמשוואת האנך 1 4

3 3y x .

. Dמצא את שיעורי הנקודה .א

.BCמצא את משוואת הצלע .ב

היא ABנתון כי משוואת הצלע .ג1 9

2 2y x .

. C -ו Bמצא את שיעורי הקדקודים

216


נתון: ABCDבמקבילית

מונחת על הישר ADהצלע 1

62

y x ,

3yמונחת על הישר DCהצלע x ,

)ראה ציור(. y-נמצא על ציר ה Cהקדקוד


BCמצא את משוואת הישר שהצלע .ב מונחת עליו.

.-מקביל לציר ה DBנתון גם כי האלכסון .ג מצא את השיעורים של נקודת מפגש האלכסונים במקבילית.


. -ו נתון משולש ששניים מקדקודיו הם:

CD הוא גובה לצלעABו ,- BE הוא גובה לצלעAC.

CD ו-BE ראה ציור(. נפגשים בנקודה(

.CDמצא את משוואת הגובה .א

.BEמצא את השיפוע של הגובה .ב

.Cמצא את השיעורים של הקדקוד .ג


. -ו שני קדקודים הם ABCDבמעוין

)ראה ציור(. אחד מאלכסוני המעוין מונח על הישר

מצא את משוואת האלכסון .א

השני של המעוין.

. O. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה 1 .ב

.Oמצא את שיעורי הנקודה . חשב את שטח המעוין.2

x

B 0,12 A 6, 6

F 3,3

A 6,1 B -3,-6

1 14

2 2y x

218


.הוא ABCDאחד מקדקודי המקבילית

.מונחת על הישר CDהצלע

.מונח על הישר ACהאלכסון


. AB. מצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע 1 .ב

. A. מצא את שיעורי הקדקוד 2

)ראה ציור(. E, החותך אותה בנקודה CDהורידו אנך לצלע Aמקדקוד .ג

.Eמצא את שיעורי הנקודה


.OABCנתונה מקבילית

על ציר Cבראשית הצירים והקדקוד Oהקדקוד

.נתון: )ראה ציור(. -ה

.הם Aשיעורי קדקוד

.OAמצא את משוואת הצלע .א

.ACמצא את משוואת האלכסון .ב

.C. מצא את השיעורים של הקדקוד 1 .ג

.B. מצא את השיעורים של הקדקוד 2


.הם Aשיעורי הקדקוד ABCבמשולש

)ראה ציור(. ABהיא אמצע הצלע הנקודה

. Bמצא את שיעורי הקדקוד .א

.הם Cשיעורי הקדקוד

. 11הוא BCאורך הצלע

.Cשל הקדקוד -מצא את שיעור ה .ב

.BCמאונכת לצלע ACהוכח כי הצלע .ג

B 1, 7

y x

1 18

7 7y x

xOAC=90

2,4

3,6

E 4,7

11 , ,0x x

x

212


. -ו נתונות הנקודות

)ראה ציור(. ABהיא אמצע הקטע Eהנקודה

.E. מצא את השיעורים של הנקודה 1 .א

AB-את משוואת האנך ל . מצא2

.Eהעובר דרך הנקודה

)ראה ציור(. Cחותך את האנך בנקודה הישר .ב

.Cמצא את שיעורי הנקודה

.הראה כי .ג


הן שני קדקודים סמוכים -ו הנקודות

)ראה ציור(. -מקביל לציר ה AC. האלכסון ABCDבמלבן

.BC. מצא את השיפוע של 1 .א . מצא את משוואת הישר שעליו2

.ABמונחת הצלע

.A. מצא את השיעורים של הקדקוד 3

.DCמצא את משוואת הישר שעליו מונחת הצלע .ב

,Eבנקודה -חותכת את ציר ה DCהצלע .ג

.Fבנקודה -חותך את ציר ה ACוהאלכסון

.EFמצא את אורך הקטע

.2010מועד קיץ א' שנת (22 .נתון ישר שמשוואתו

,Aבנקודה -הישר חותך את ציר ה

)ראה ציור(. Bבנקודה -ואת ציר ה

Aמצא את השיעורים של הנקודה .א

.Bואת השיעורים של הנקודה

העבירו אנך לישר הנתון, Aדרך הנקודה

העבירו ישר החותך Bודרך הנקודה

)ראה ציור(. Cאת האנך בנקודה

.ACמצא את משוואת האנך .ב

.C. מצא את השיעורים של הנקודה הוא BCנתון כי השיפוע של .ג

A 2, 1 B 10,5

8y

ACB 90

B 3,10 C 6,4

x

y

y

3 3y x

x

y

1

7

221

הוא שווה שוקיים, BCDכך שהמשולש נמצאת על ישר Dנקודה .ד

BC=DC .ראה ציור(. מצא את השטח של משולש זה(


הם: ABCDשני קדקודים סמוכים במלבן

)ראה ציור(.

.היא BDמשוואת האלכסון

.AB. מצא את השיפוע של הצלע 1 .א

.AD. מצא את משוואת הצלע 2

.Dמצא את שיעורי הקדקוד .ב

חשב את שטח המלבן. .ג


נתונים הקדקודים:ABCDבמעוין

)ראה ציור(.

.אחד מהאלכסוני המעוין מונח על הישר

,BDאו AC –איזה מבין האלכסונים .א מונח על הישר הנתון?

משוואת האלכסון השני של המעוין. מצא את .ב

)ראה ציור(. Mאלכסוני המעוין נפגשים בנקודה .ג


.Dמצא את שיעורי הנקודה .ד

.AMBחשב את שטח המשולש .ה


.M. אלכסוני המעוין נפגשים בנקודה ABCDלפניך מעוין

.נתון:

.Mמצא את שיעורי הנקודה .א

.BDמצא את משוואת האלכסון .ב

.-נמצאת ציר ה Dנתון שהנקודה .ג

.B -ו Dמצא את שיעורי הנקודות

מצא את שטח המעוין. .ד

3 3y x

A 0,1 ,B 4,3

36

4y x

A 2,5 ,B 5,1

2 1y x

C 4,1 ,A 8,5

x

221


קדקודי משולש הם:

.ABהיא אמצע הצלע Eהנקודה

.ABמצא את משוואת התיכון לצלע .א

.ABמצא את משוואת הגובה לצלע .ב

.הוא שווה שוקיים ABCהראה שהמשולש .ג

)אפשר להסתמך על התוצאות בסעיפים הקודמים(.

.ABCמצא את שטח המשולש .ד


שקדקודיו הם: ABCDבציור שלפניך מרובע

התאם כל קדקוד לאות המתאימה לו בציור. .א

. מצא את השיפועים של ארבע צלעות המרובע.1 .ב

טרפז.הוא ABCD. הסבר מדוע המרובע 2

הוא גובה הטרפז. מצא את: AEנתון כי .ג

.AE. המשוואה של 1

.E. שיעורי הנקודה 2


נמצאת על Aונקודה בציור שלפניך נתון:

AB. משוואת הישר שעליו מונחת הצלע -ציר ה

הוא פרמטר(. ) היא

.A. מצא את שיעורי הנקודה 1 .א .. מצא את 2

הוא ישר זווית. BACהוכח כי משולש .ב

.BCהיא אמצע הצלע Mנקודה .ג

ברביע הראשון )שאינה מופיעה בציור(. Dנתונה נקודה

הוא מקבילית AMCDכך שהמרובע

. פרט את חישוביך.Dמצא את שיעורי הנקודה

C 1,6 ,B 1, 4 ,A 9,0

BC AC

5,16 , 10,17 , 14,10 , 4,8

C 9,7 , B 3, 5

y

4y mx m

m

AM CD , AC MD

222

.2011מועד קיץ א' שנת (29 .נתונים שני ישרים

.Aבנקודה -חותך את ציר ה Iישר

.Cבנקודה -חותך את ציר ה IIישר

,IIהעבירו אנך לישר Aדרך הנקודה

)ראה ציור(. Bבנקודה IIהחותך את הישר

.Bמצא את השיעורים של הנקודה .א

.Mבנקודה -חותך את ציר ה Iישר .ב

.ABCMמצא את שטח הטרפז


שבציור הן: II -ו Iהמשוואות של הישרים

.

,Iאיזו משוואה היא של הישר

? נמק.IIואיזו משוואה היא של הישר

וחותך אותו IIמאונך לישר IIIישר .א

.שבה Aבנקודה

.IIIמצא את משוואת הישר

.Iמאונך לישר III. הראה כי הישר 1 .ב

.Bבנקודה Iחותך את הישר III. הישר 2

ראה ציור(.) Fבנקודה -חותך את ציר ה Iהישר

.FBAמצא את השטח של המשולש

II. 2 10 ; I. 2 10y x y x

y

y

x

2 30 , 2 10y x y x

4x

x

223

המעגל:


, ועובר דרך בנקודה -מצאו משוואת המעגל המשיק לציר ה .א

.הנקודה

Cבנקודות -המעגל שאת משוואתו מצאתם בסעיף א', חותך את ציר ה .ב

. DC. מצאו את אורך הקטע D -ו


. C, חותך את הישר בנקודה לישר האנך מהנקודה

.BCמצאו את משוואת הישר .א

נמצאת על הישר הנתון. הנקודה .ב

.ABCמצאו את משוואת המעגל החוסם את המשולש ישר הזווית


ABC ,הוא משולש ישר זווית.

.-נמצא על ציר ה C, קדקוד נתון:

.Cמצאו את שיעורי הקדקוד .א

.Dבנקודה נוספת, -, חותך את ציר ה ACמעגל, שקטרו הוא הקטע .ב

?Dמה הם שיעורי הנקודה


ABCנתון משולש ישר זווית

. -ו שניים מקדקודי המשולש הם:

, אם נתון שקדקוד זה נמצא על הישר Cמצאו את שיעורי הקדקוד .א

וואת המעגל החוסם את המשולש.מצאו את מש .ב


נמצא C. קדקוד ABCבמשולש ישר זווית

.)ראה ציור(. נתון: -על ציר ה

.BCמצא את המשוואה של .א

. ACמצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא הקטע .ב

x A 4,0

B 7,1

y

B 6,113 4 12x y

A 8, 3

ABC 90

B 10,8 ,A 2,4x

x

B 90

A 1, 3 B 1,9

4y x

B 90

x B 5,4 , A 1,2

221


.Mשמרכזו נתון המעגל

,B -ו Aחותך את המעגל בנקודות הישר

כמתואר בציור. מצא את:

. B -ו Aהשיעורים של הנקודות .א

. MAהשיפוע של .ב

. Aמשוואת הישר המשיק למעגל בנקודה .ג


חותך את הצירים המעגל

, כמתואר בציור. A ,B ,Cבנקודות

, חותךBC-ומאונך ל Aישר העובר דרך

. Dאת המעגל בנקודה נוספת

.A ,B ,Cמצא את השיעורים של הנקודות .א

. ADמצא את המשוואה של .ב

BC-העבירו ישר המקביל ל Dדרך הנקודה .ג מצא את משוואת הישר המקביל.


הוא פרמטר. , נתון המעגל

המעגל עובר דרך ראשית הצירים.

)מצא את שתי התשובות(. מצא את ערך הפרמטר .א

רשום את השיעורים של מרכזי שני המעגלים המתאימים לשני הערכים .ב

שמצאת בסעיף א, וחשב את המרחק שבין שני המרכזים. של

דרך שני המרכזים, שאת שיעוריהם שרשמת, מעבירים מעגל חדש שקוטרו .ג הוא הקטע שאת אורכו מצאת בסעיף ב.

תוכל להיעזר בסרטוט המעגל החדש(.מצא את משוואת המעגל החדש. )

. B -ו Aבנקודות -המעגל החדש חותך את ציר ה .ד

.ABחשב את אורך הקטע

2 2

1 3 25x y

7y

2 2

2 4 20x y

2 2

3 25x k y k

k

k

y

222


-חותך את ציר ה Mמעגל שמרכזו

. D -ו Aבנקודות

DB ו- AC .)הם קטרים במעגל )ראה ציור

,היא ACמשוואת

.היא DBומשוואת

.M -ו A ,Dמצא את השיעורים של הנקודות .א

מצא את משוואת המעגל. .ב

.-מקבילים לציר ה AB -ו DCהראה כי המיתרים .ג

.DMCמצא את שטח המשולש .ד


. Bבנקודה -ואת ציר ה Aבנקודה -חותך את ציר ה הישר

. Bואת השיעורים של הנקודה Aמצא את השיעורים של הנקודה .א

מצא את משוואת המעגל שהקטע הוא קוטר שלו. .ב

למעגל שאת משוואתו מצא בסעיף ב. Bהעבירו ישר המשיק בנקודה .ג

. Dבנקודה -המשיק חותך את ציר ה

. בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה.Dמצא את שיעורי הנקודה .1

. בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה . ABDחשב את שטח המשולש .2


.Mשמרכזו נתון המעגל

. O-, ו A ,Bהמעגל חותך את הצירים בנקודות

.B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .א

.ABO. מצא את שטח המשולש 1 .ב -. קוטר המעגל המאונך לציר ה2

)ראה ציור(. Cחותך את המעגל בנקודה

.ABCOמצא את שטח המרובע

y

41

3y x

49

3y x

x

5 12 120x y xy

x

2 2

4 3 25x y

x

221

.2007מועד קיץ ב' מיוחד שנת (12

. נתון: ABCDבריבוע

.היא BD. משוואת האלכסון היא ACמשוואת האלכסון

.Dמצא את שיעורי נקודת חיתוך האלכסונים ואת שיעורי הקדקוד .א

.ABCDמצא את משוואת המעגל החוסם את הריבוע .ב

.2008שנת מועד חורף (11

,-מונח על ציר ה ABCDשל המלבן Cקדקוד

)ראה ציור(. -של המלבן מונח על ציר ה Bוקדקוד

AB, ומשוואת הצלע 11הוא Aשל קדקוד -שיעור ה .היא

.BCמצא את השיפוע של הצלע .א

Bמצא את שיעורי הקדקוד .ב

. Cואת שיעורי הקדקוד

הוא קוטר במעגל. AC .ג .-ך של המעגל עם ציר המצא את נקודות החיתו


נתון מעגל שהמשוואה שלו היא

היא מרכז המעגל )ראה ציור(. הנקודה חותך את המעגל בשתי נקודות הישר

A ו- B (B מימין ל-A.)


העבירו קוטר במעגל. Bדרך הנקודה .ב

)ראה ציור(. Cהקוטר חותך את המעגל בנקודה

.Cמצא את שיעורי הנקודה .1

ראשית הציריםOCMA (O- .)מצא את שטח המרובע .2

B 8,10

19

2y x 2 6y x

y

x

x

2 8y x

x

2 210 25x y

M

4y

226


נתון מעגל שמשוואתו

-. המעגל חותך את ציר הMומרכזו

)ראה ציור(. D-ו Cבנקודות

.D -ו Cמצא את שיעורי הנקודות .א

)ראה ציור(. ABCDבמעגל חסום מלבן .ב

.A -ו Bמצא את שיעורי הקדקודים

. AMDחשב את היקף המשולש .ג


.היא מרכז המעגל: Mנקודה

מעבירים משיק למעגל. בנקודה

)ראה ציור(. Bבנקודה -המשיק חותך את ציר ה

.AMמצא את משוואת הישר .א


.ABMמצא את שטח המשולש .ג

.2009א' שנת מועד קיץ (17

נמצאת על ישר שמשוואתו הנקודה

)ראה ציור(. וגם על ישר שמשוואתו

.Mמצא את השיעורים של הנקודה .א

היא מרכז של מעגל. הנקודה

נמצאת על מעגל זה. הנקודה

. מצא את רדיוס המעגל.1 .ב . רשום את משוואת המעגל.2

,Cבנקודה -חותך את ציר ה הישר .ג

)ראה ציור(. Dבנקודה -חותך את ציר ה והישר

. DMCמצא את שטח המשולש

2 2

5 5 169x y

x

2 2

3 4 169x y

A 6, 8

y

M10y x

5y

M

A 1, 5

5y y

10y x y

228


, ברביע הרביעי )ראה ציור(.מונחות על הישר M -ו Aהנקודות

.11הוא Aשל הנקודה -שיעור ה

.Aשל הנקודה -. מצא את שיעור ה1 .א

מראשית הצירים. A. מצא את מרחק הנקודה 2

.מראשית הצירים הוא Mמרחק הנקודה .ב


.-ולציר ה -משיק לציר ה Mמעגל שמרכזו .ג

רשום את משוואת המעגל.

נמצאת על המעגל Aקבע על ידי חישוב אם הנקודה .ד

שאת משוואתו רשמת בסעיף ג.


.נתון מעגל שמשוואתו

של המעגל נמצא ברביע הראשון, Mנתון כי המרכז

.והמעגל עובר דרך ראשית הצירים

.מצא את .א

, Bבנקודה נוספת -המעגל חותך את ציר ה .ב

הוא קוטר. A .ABבנקודה נוספת -ואת ציר ה

.C. האנך חותך את המעגל בנקודה AB-מעבירים אנך ל Oדרך

.Bמצא את שיעורי הנקודה .1

.OCמצא את משוואת הישר .2

.OCBאת שטח המשולש מצא .3


מעגל שמשוואתו

)ראה ציור(. בנקודה -משיק לציר ה

הוא פרמטר

.. מצא את הערך של 1 .א ורשום את משוואת המעגל. . הצב את הערך של 2

העבירו שלושה מיתרים במעגל: .ב

AB ,AC ,AD .)ראה ציור(

y x

x

y

50

xy

2 2

6 45x a y

O 0,0

a

x

y

2 2 2

3 8x a y a

y A 0,3

a

a

a

222

הוא אפס. AD, והשיפוע 1הוא AC. השיפוע של הוא ABהשיפוע של

.D-ו B ,Cמצא את השיעורים של הנקודות

הוא קוטר במעגל? נמק. BCהאם .ג


)ראה ציור(. ABהיא אמצע הקטע הנקודה

.1הוא Bשל הנקודה -שיעור ה

.Aשל נקודה -. מצא את שיעור ה1 .א

. נמצאת על ישר שמשוואתו A. הנקודה 2

.Aשל -מצא את שיעור ה

.Bשל -. מצא את שיעור ה3

שמצאת את שיעוריהן, עובר מעגל. B -ו Aדרך הנקודות .ב

הוא קוטר במעגל זה )ראה ציור(. מצא את משוואת המעגל. ABהקטע

חותך את המעגל רק בנקודה אחת הראה כי הישר שמשוואתו .ג

)כלומר הישר משיק למעגל(.

.Cובנקודה נוספת Bעגל בנקודהחותך את המ הישר .ד

. ACמצא את משוואת הישר


.עובר דרך ראשית הצירים, מעגל שמרכזו


,Bבנקודה נוספת -המעגל חותך את ציר ה

)ראה ציור(. Cבנקודה נוספת -ואת ציר ה

,שלה הוא -ששיעור ה Aהנקודה

המעגל ברביע השני.נמצאת על

.Aשל הנקודה -. מצא את שיעור ה1 .ב

? נמק.BCמקביל למיתר AO. האם המיתר 2

.AOBחשב את שטח המשולש .ג

1

M 4,3

x

x

2y x

y

y

2y x

6x

2,4 O 0,0

x

y

y2

x

211


היא מרכז המעגל Mהנקודה

היא נקודת החיתוך של הישר Aהנקודה

עם המעגל )ראה ציור(.

נמצאת ברביע הראשון. Aידוע שהנקודה

. Aמצא את השיעורים של הנקודה .א

.MAמצא את שיפוע הישר .ב

.Aמצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .ג

.Bבנקודה -חותך את ציר ההמשיק שאת משוואתו מצאת בסעיף ג, .ד

ראשית הציריםABO (O – .)מצא את שטח המשולש


ABCבמשולש ישר זווית

.נתון:

)ראה ציור(. -נמצא על ציר ה Cהקדקוד

.BCמצא את משוואת הצלע .א

.Cמצא את שיעורי הנקודה .ב

.ACמצא את משוואת המעגל שהקוטר שלו הוא .ג

נמצאת על המעגל שמצאת בסעיף ג'? נמק. Bהאם הנקודה .ד


חותך את החלק המעגל

.Aבנקודה -החיובי של ציר ה

B ו- C הן נקודות על המעגל, כך ש-BC

.)ראה ציור(. נתון כי -מקביל לציר ה

.B -ו Aמצא את שיעור הנקודות .א

.BCחשב את אורך הקטע .ב

.ABCחשב את שטח המשולש .ג

.Aמצא את משוואת המשיק למעגל בנקודה .ד

2 2

1 3 25x y

7y

y

ABC 90

B 10,8 , A 2,4

x

22 3 169x y

y

x C 12, 8

211


בסרטוט שלפניך נתון מעגל שמשוואתו

(M – ה .)נקודות מרכז המעגלA ו- B הן נקודות החיתוך

נמצאת על המעגל ברביע C. הנקודה -של המעגל עם ציר ה

. 11הוא AB. נתון כי אורך הקטע הראשון

,Rמצא את רדיוס המעגל .א ורשום את משוואת המעגל.

.B -ו Aמצא את שיעורי הנקודות .ב

.Cמשיק למעגל בנקודה נתון כי הישר .ג

.M -ו Cמצא את משוואת הישר העובר דרך הנקודות .1

.Cמצא את שיעורי הנקודה .2

. Dבנקודה -, וחותך את ציר ה-העבירו ישר המקביל לציר ה Cדרך הנקודה .ד

.CDBמצא את שטח המשולש


נתון מעגל שמשוואתו

הן נקודות החיתוך של B -ו M .Aומרכזו בנקודה

)ראה ציור(. -עם ציר ההמעגל

.A ,B ,M. מצא את שיעורי הנקודות 1 .א

הוא קוטר במעגל. BD -ו AC. על אחד מהקטעים 2

.D -ו Cמצא את שיעורי הנקודות

. ADCבמשולש AC. מצא את משוואת התיכון לצלע 1 .ב

.-עם ציר ה DMאת נקודת החיתוך של המשך התיכון E-. סמן ב2

.AEBמצא את שטח המשולש


.Mבציור שלפניך מעגל שמרכזו בנקודה

C ו- D הן נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-.

.המעגל משיק לישר נתון כי בנקודה

.AMמצא את משוואת הישר שעליו מונח הרדיוס .א

.נמצא על הישר Mנתון כי מרכז המעגל .ב

ת המעגל.מצא את משווא

2 2 27x y R

x

41

3y x

yx

2 2

1 5 50x y

x

y

y

A 6,31

2y x

7y

212

.DC. מצא את אורך הקטע 1 .ג

.CDM. מצא את שטח המשולש 2


)ברביע הראשון(. Mבציור שלפניך מעגל שמרכזו

הם שני AC -ו B .ABבנקודה -המעגל משיק לציר ה

הוא קוטר במעגל. BCמיתרים במעגל המאונכים זה לזה.

ABנתון כי משוואת הישר, שעליו מונח המיתר .א

.BCונתון גם כי היא

.B. מצא את שיעורי הנקודה 1

.Cמצא את שיעורי הנקודה . 2 . מצא את משוואת המעגל.3

.AC. מצא את משוואת הישר שעליו מונח המיתר 1 .ב

.A. מצא את שיעורי הנקודה 2

.AMC. חשב את שטח המשולש 3


בציור שלפניך נתון המעגל

(O – .)ראשית הציריםA ו- B הן נקודות החיתוך של

הוא קוטר במעגל. AC. המעגל עם הישר


.ACמצא את משוואת הישר שעליו מונח קוטר המעגל, .ב

.Cמעבירים משיק למעגל בנקודה .ג מצא את משוואת המשיק.

.Dחותך את המשיק בנקודה ABההמשך של הקטע .ד



.נתון מעגל שמשוואתו

O-ו A ,Bהמעגל חותך את הצירים בנקודות כמתואר בציור.

.ABמצא את משוואת הישר .א

.ABנמצא על הישר Mהראה כי מרכז המעגל .ב

x

14

2y x 10

2 2 125x y

5x

2 2

4 3 25x y

213

הוא קוטר במעגל )ראה ציור(. OC .ג

.Cצא את שיעורי הנקודה מ

.AMCבמשולש ACמצא את משוואת התיכון לצלע .ד

2011מועד קיץ ב' שנת (12

.Mומרכזו נתון מעגל שמשוואתו

, כמתואר בציור.שבה Lהעבירו ישר המשיק למעגל בנקודה

.ML. מצא את השיפוע של 1 .א

(1-גדול מ Lשל -)שיעור ה

.L. מצא את המשוואה של המשיק בנקודה 2

.Bמשיק למעגל בנקודה הישר

כמתואר בציור. Fשני המשיקים נפגשים בנקודה

F. מצא את השיעורים של הנקודה 1 .ב

.FMB. מצא את שטח המשולש 2

2 2

7 5 25x y

4x

y

12x

211


ישר:

.ב. א. ( 2. (1

.: CD, משוואת :BCיחידות ב. משוואת א. ( 1

.ב. א. (1 .ב. א. ( 8 . ( 4

א. משולש ישר זווית. ב. (8. ( 7

.ב. א. (9 ג.

יח"ש. ג. ב. א. ( 10

.ג. ב. א. (12יחידות. ב. א. (11

.ג. ב. א. ( 14 .ג. ב. א. ( 11

יח"ר. 21. 2 . 1ב. א. (11. ג. ב. א. ( 18

. ג. . 2 . 1ב. א. ( 17

.. 2 . 1ג. ב. א. ( 18

.ב. . 2 .1א. (20. 2ב. א. (19

. 3ג. ב. .3 .2. -2. 1א. ( 21

יח"ר. 21ד. ג. ב. א. (22

יח"ר. 11ג. ב. . 2 . 1א. (21

יח"ר. 12ה. ד. ג. ב. ACא. (24

יח"ר. 11ד. ג. ב. א. ( 28

יח"ר. 11ג. ב. א. (21

. א. (27

. -ו . כי 2 . 1ב.

.. 2 . 1ג.

A 2,7 , B 4,5 , C 0,3 , D 2,52 8y x A 0,3 , C 5, 2

10.778y x 7 8 0x y

110

2y x 2 5y x

6 2M ,3

7 7

1 17

2 2y x C 7,9

A 0,3AB BC AC

1, 2, 0

2m m m

2.5, 2 D 2,59y x

15

2y x D 2,42 5

3 10y x 4 103 1y x A 1, 4 C 1,2

D 2,23 8y x B 1,5 , C 3, 1 C 0,31

32

y x 1,5

14

3y x 3 C 12,02 13y x O 7, 1

C 3, 3 6y x A 4, 2 E 1,1

2y x0.5 5y x C 10,0 B 12,4

B 11,8 E 4,22 10y x C 1,8

0.5 8.5y x A 9,40.5 1y x

B 0, 3 , A 1,01 1

3 3y x C 7, 2

1

22 1y x D 4,9

1 11

2 2y x M 1, 1 D 3, 3

M 2,33 9y x B 1,6 ,D 3,0

2 8y x 2 8y x

D 4,8 ,C 14,10 ,B 10,17 ,A 5,16

AD CD BC AB

1 3 18, , 1 ,

5 4 5m m m m AB CDAD BC

5 41y x 1 1

E 6 ,82 2

212

ג. . 2 . 1א. (28

יח"ר.ב. א. ( 29

יח"ר. 111. 2ג. ב. א. ( 10

מעגל:

יחידות.ב. א. (1

.ב. א. ( 2

.ב. א. (4. ב. א. (1

.ב. א. (8

.ג. ב. א. (1

.ג. ב. א. ( 7

. AB=8ד. ג. 8המרחק הוא ב. א. (8

יח"ר. 12ד. ב. א. (9

יח"ר. 111.82. 2 . 1ג. ב. א. (10

יח"ר. 32. 2יח"ר 21. 1ב. א. (11

.ב. א. (12

.ג. ב. א.( 11

יח"ר. 11. 2 . 1ב. א. ( 14

. 21ג. ב. א. (18

יח"ר.ג. ב. א. ( 11

יח"ר. 12.2. ג. . 2. 1. 1ב. א. (17

ד. לא. ג. ב. . 2 . 1א. (18

.1ב. א. ( 19 B יח"ר. 11.1. 3 . 2 6,0

ג. כן. ב. . 2 . 1א. ( 20

A 0,43m D 15,4

B 8,6130

II : 2 10, I : 2 30y x y x 1

202

y x

2 2

4 5 25x y 6

4 3 9 0x y 2 2

7 4 50x y

C 14,0 D 2,0 C 5,9 2 2

3 3 40x y

2 14y x 2 2

4 1 10x y

B 4,7 , A 2,74

3m

3 18

4 2y x

C 0,4 , B 0,8 , A 0,01

2y x2 16y x

4k 4,3 , 4,3 22 3 16x y

M 3,5 , D 0,9 , A 0,1 2 2

3 5 25x y

B 0,10 ,A 24,0 2 2

12 5 169x y D 4.17,0

A 6,0 , B -8,0

D 4,2 ,M 6,6 2 2

6 6 20x y

1

2 C 0,2 , B 4,0 6,0 , 4,0

B 13,-4 , A 7,-4 C 7,4

C 17,0 , D -7,0 A -7,10 , B 17,10

11

3y x

3 112

4 2y x

318

4

M 5,-5 2 2

5 5 16x y

10y 200 M 5, 5 2 2

5 5 25x y

3a 1

2y x

4a 2 2

4 3 16x y D 8,3 , C 4, 1 , B 4,7

211

.ד. ב. . 3 . 2 . 1א. (21

יח"ר. 1. לא ג. 2 . 1ב. א. (22

יח"ר.ד. ג. ב. א. (21

ד. כן. ג. ב. א. (24

.יח"ר ד. 211יח' ג. 21ב. א. (28

יח"ר. ד. . 2 ג. ב. , א. ( 21

יח"ר. 21. 2 . 1ב. . 2 . 1א. (27

יח"ר. 12ג. ב. א. (28

יח"ר. 11. 3 .2 . 1ב. .3 .2 .1א. (29

.ד. ג. ב. א. (10

.ד. ג. א. ( 11

יח"ר. 22. 2 . 1ב. .2 . 1א. (12

A 2x A 4y B 2y 2 2

4 3 5x y 4y

2 2

2 4 20x y A 2x

A 2,71

13

3 18

4 2y x

18

2

2 28y x C 14,0 2 2

8 2 40x y

B 12, 8 , A 0,1010y

5R 2 27 25x y A 2,0 ,B 12,0

3 15

4 4y x C 3,3

113

2

M 1,5 ,B 4,0 ,A 6,0 D 6,10 ,C 4,104y x

2 15y x 2 2

4 7 20x y

B 8,0 C 8,10 2 2

8 5 25x y 2 6y x A 4,2

B 5,10 , A 5,102y x1 1

122 2

y x D 5, 15

36

4y x C 8,64x

11

3

36

4y x F 12,15

216

חשבון דיפרנציאלי:

פונקציות פולינום:

.2001קיץ א' שנת מועד (1


מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .א

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. .ב

בכל אחת מנקודות הקיצון של הפונקציה עובר ישר המשיק לפונקציה. .ג מצא את משוואות המשיקים.

. 2009מועד קיץ א' שנת (2


מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגה. .א

של שלפניך מתאים לנגזרת I ,II ,III ,IVאחד מארבעת הגרפים .ב

. נמק.הפונקציה הנתונה. קבע איזה גרף מתאים לנגזרת

. 2010מועד קיץ ב' שנת (1


ות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.מצא את השיעורים של נקוד .א

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .ב


-המשיק לגרף הפונקציה בנקודת המקסימום שלה חותך את ציר ה .ד

.B. מצא את השיעורים של הנקודה Bבנקודה

2

2 3f x x x

2 1

2 2

xf x x

'f x

'f x

3 26 9f x x x x

y

218

פונקציות רציונליות:


הוא פרמטר(. A, ) נתונה הפונקציה

.לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה שבה

.Aחשב את .א

ד.-שחישבת וענה על הסעיפים ב Aהצב את

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, .ב וקבע את סוגי הנקודות )מינימום, מקסימום(.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה. .ג

של גרף הפונקציה. סרטט סקיצה .ד




.-מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .ב

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. .ג

.-רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה המאונכת לציר ה .ד

.2007קיץ ב' מיוחד שנת מועד (1


מה תחום ההגדרה של הפונקציה? .א

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן. .ב

באילו תחומים הפונקציה יורדת? .ג

האם יש לפונקציה נקודות חיתוך עם הצירים? אם כן, מהן? אם לא, נמק מדוע אין. .ד

3

A

xy

x

3x

4

5f x xx

x

x

2 4

4

xy

x

212


פרמטר )ראה ציור(. . נתונה הפונקציה

.לפונקציה יש מינימום בנקודה שבה

.חשב את ערך הפרמטר .א

שמצאת בסעיף א, וענה על סעיף ב. הצב את הערך של

Aישר, המשיק לגרף הפונקציה בנקודה .ב

, כמתואר בציור.Bבנקודה -חותך את ציר ה

מראשית הצירים. B. מצא את מרחק הנקודה שיפוע המשיק הוא

. 2009מועד חורף שנת (8

.בתחום נתונה הפונקציה

Aחותך את גרף הפונקציה בנקודה הישר

)ראה ציור(. Bובנקודה


Aמעבירים לגרף הפונקציה משיק בנקודה .ב

.Bומשיק בנקודה

i. .מצא את המשוואות של שני המשיקים

ii. שני המשיקים נפגשים בנקודהP מצא את שיעורי הנקודה .P .




בנקודות שמצאת בסעיף א, העבירו משיקים לגרף הפונקציה. .ב

i. .הראה כי המשיקים מקבילים זה לזה

ii. קים.מצא את המשוואות של שני המשי

.הראה כי הפונקציה עולה עבור .ג

1

22

af x x

x a

3x

a

a

y

2.5

12y x

x 0x

3y

16

4f x xx

x

0x

261

. 2010מועד חורף שנת (10



מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. .ב

.I ,II ,IIIלפניך שלושה גרפים .ג

הוא הגרף של הפונקציה הנתונה? נמק. I ,II ,IIIאיזה מבין הגרפים

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה הנתונה. .ד




.-מצא את האסימפטוטה המקבילה לציר ה .ב

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. .ג

?-גרף הפונקציה חותך את ציר ההאם .ד נמק. –מצא את נקודות החיתוך. אם לא –אם כן



רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה. .א

מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים )אם יש כאלה(. .ב

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. .ג

צא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.מ .ד

.I ,II ,III ,IVלפניך ארבעה גרפים .ה

.איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה? נמק

22y x

x

4

4

xf x

x

x

x

162y x

x

261





הראה שלפונקציה אין נקודות קיצון.. 1 .ג

.וגם בתחום . הסבר מדוע הפונקציה עולה בתחום 2

.I ,II ,III ,IVלפניך ארבעה גרפים .ד איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה? נמק.


.)ראה ציור( נתונה הפונקציה

מצא את השיעורים של נקודות .א הקיצון של הפונקציה וקבע את

סוגן על פי הציור.

העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה .ב

, והעבירו ישר בנקודה שבה

.המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה מצא את השיעורים של נקודת המפגש בין שני המשיקים.

1

f x xx

x

0x 0x

1 12

2y x

x

1

2x

1x

262



הפונקציה.מצא את תחום ההגדרה של .א

מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה. .ב

מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. .ג

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ד

שלפניך מתאר את הפונקציה הנתונה? I ,II ,III ,IVאיזה מבין הגרפים .ה נמק.

פונקציות שורש:

.2001 מועד חורף שנת (11



מצא את הנקודה שבה נגזרת הפונקציה מתאפסת, וקבע את סוגה )מינימום .ב או מקסימום(.

. -ו הראה כי הפונקציה עוברת דרך הנקודות .ג


רשום את התחום שבו הפונקציה שלילית. .ה

2

4( )f x x

x

2f x x x

0,0 4,0

263

.2011ת מועד קיץ א' שנ (17

נתונה הפונקציה

. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.1 .א . מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.2 . מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה.3

. I ,II ,III ,IVלפניך ארבעה גרפים .ב איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה הנתונה? נמק.

הישר הוא פרמטר(. מצא עבור אילו ערכים של ) נתון הישר .ג

חותך את הפונקציה הנתונה בשתי נקודות שונות.



.בנקודה -נתון כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה

. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?1 .א .-נקציה עם ציר ה. מצא את נקודת החיתוך של גרף הפו2



הפונקציה חיובית. קבע עבור אילו ערכי .ד




סוגה. מצא את נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה וקבע את .ב

מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. .ג

.-מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .ד

.בנקודה -נתון כי הפונקציה חותכת את ציר ה .ה

ד וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה.-היעזר בנתון זה ובתשובותיך לסעיפים א

2f x x x

y kkk

2 3f x x x

x 9,0

y

x

2 4y x x

y

x 2.52,0

261


.ג. ב. א. ( 1

. III. ב. א. (2

.ד. ב. א. (1

.ג. ב. א. ( 4

.ד. ג. ב. א. (8

ד. אין. ג. ב. א. ( 1

יחידות. ב. א. (7

.. i . iiב. א. ( 8

. . ii. ב. א. (9

., ירידה: ד. עלייה: IIIג. גרף ב. א. (10

.ד. לא אין פתרון למשוואה ג. ב. א.( 11

.ד. עולה: ב. אין. ג. א. (12

.III. ה. גרף יורדת:

.IV( הנגזרת חיובית בכל תחום הגדרתה. ד. גרף 2ג. ) ב. א. (11

.ב. א. ( 14

.IIה. גרף , ירידה: או ד. עלייה: ג. ב. א. (18

.ה. ב. א. (11

.ג. IIב. גרף . 3 . 2 . 1א. ( 17

.ד. ב. . 2 . 1א. (18

.ד. ירידה: . ג. עלייה: ב. א.( 19

סקיצות לשאלות:

ה. (19ג. (18ד. (11ד. (4ג. ( 1

max 3,0 ,min 1, 8 3,0 , 0,08, 0y y

max 1,0

3,0 , 0,0 max 1,4 ,min 0,3 B 0,4

A 3 max 3, 2 ,min 3,2 0x

0x 4,0 , 1,0 min 2,9 ,max 2,10x

0x max 4, 2.5 ,min 4,1.5 0, 4 4x x

36a 18

A 0.5,3 , B 1,32 4 , 2y x y x 2 2

P ,23 3

2,0 , 2,08 16 , 8 16y x y x

0x max 1, 3 1x 1, 0x x

0x 0x min 4,2 ,max 4, 2 0f x

0x min 4,6 , max 4, 10 4 , 4x x

0 , 4< 4x x

0x 1,0 , 1,0

1 1max , 2 ,min ,2

2 2

2,2

0x 0x min 2,30x 2x 0 2x

0x max 1,14x

0x 0,0 , 4,0 max 1,10 1k

0x 0, 3 min 1, 49x

0x min 1, 31x 0 1x 0,0

262

בעיות מילוליות של ערך קיצון:


מהי התוצאה הקטנה ביותר שאפשר לקבל אם מחברים למספר את ריבועו?


, מצאו את שני המקיימים: -ו מבין כל המספרים החיוביים

המספרים שסכום ריבועיהם הוא מינימלי.


מורידים הנמצאת על גרף הפונקציה: Aמנקודה

)ראה איור(. מה צריכים ABOCאנכים לצירים ונוצר מלבן

כדי שהיקף המלבן יהיה מקסימלי? Aלהיות שיעורי הנקודה


מהי התוצאה הגדולה ביות שאפשר לקבל אם מחסרים ממספר את ריבועו?


ס"מ. 81)ראה איור(. היקף המלבן הוא ABCDנתון מלבן .א

את אחת מצלעות המלבן )ראה איור(. -נסמן ב .1

את שטח המלבן. בטאו באמצעות

סמ"ר. 311שטח המלבן הנתון הוא .2

מצאו את אורכי הצלעות של המלבן.

. מה צריכים להיות אורכי הצלעות היקף המלבן הוא .ב

(. של המלבן כדי ששטחו יהיה מקסימלי? )בטאו באמצעות


. נמצאת על גרף הפונקציה: נקודה

כמתואר באיור. ABOCמנקודה זו מורידים אנכים לצירים ונוצר מלבן

את אורכי הצלעות של המלבן. בטאו באמצעות .א

כדי Aשל הנקודה -מה צריך להיות שיעור ה .ב

שהיקף המלבן יהיה מינימלי?

xy50x y

2 3y x x

x

x

2 p

p

9A ,x

x

9

0 , x yx

x

x

A B

D C

B O

C

261


וקוים.ס"מ חסומים שני מלבנים מקו 12ס"מ ורוחבו 21בתוך מלבן שאורכו

)ראה איור(. ורוחבו אורך אחד המלבנים המקווקוים הוא

את סכום השטחים של שני בטאו בעזרת .א

המלבנים המקווקוים.

כדי שסכום השטחים מצאו מה צריך להיות הערך של .ב

של שני המלבנים המקווקוים יהיה מינימלי.


שעל הישר הורידו אנכים A. מנקודה נתון הישר:

לצירים ונוצר מלבן כמתואר באיור.

Aאת השיעור הראשון של הנקודה -סמנו ב .א

)ראו איור( ובטאו באמצעותו את האורך ואת הרוחב של המלבן.

שעבורו שטח המלבן הוא מקסימלי. מצאו את .ב


ס"מ נמצא מלבן פנימי שצלעותיו מקבילות לצלעות 62בתוך מלבן חיצוני שהיקפו ס"מ מכל צד, ורוחב השוליים 2המלבן החיצוני. רוחב השוליים הצרים הוא

ס"מ מכל צד )ראה איור(. 3הרחבים הוא

את רוחב המלבן החיצוני, כמסומן באיור. -נסמן ב .א

את אורך המלבן החיצוני ואת הבע באמצעות שטח המלבן הפנימי.

שעבורו שטח המלבן הפנימי מצא את .ב

)השטח המקווקו( הוא מקסימלי.


.אורכי הניצבים הם: ABCבמשולש ישר זווית

)ראה איור(. ACנמצאת על הניצב Dהנקודה

.Cמהקדקוד Dאת מרחק הנקודה -נסמן ב

את סכום ריבועי המרחקים -ו בטאו באמצעות .א

.C-ו A ,Bמשלושת הקדקודים Dשל הנקודה

, הסכום שביטאתם בסעיף א' מינימלי.מצאו עבור איזה ערך של .ב

3xx

x

x

2 8y x

x

x

x

x

x

C 90 BC , AC 6a

x

xa

xB C

A

D

266


E ,F ,Gהנקודות ABCDבריבוע

בהתאמה, AB ,BC ,DCנמצאות על הצלעות

)ראה ציור(. , -כך ש

ס"מ. נתון כי האורך של צלע הריבוע הוא

והבע באמצעות BEואת BFאת -סמן ב .א

EBFאת הסכום של שטחי המשולשים

)השטח המקווקו בציור(. FCG-ו

שעבורו סכום שטחי המשולשים הוא מינימלי. . מצא את 1 .ב המשולשים.. חשב את הסכום המינימלי של שטחי 2


הצורה המוצגת בציור מורכבת משני ריבועים המונחים זה על גבי זה.

ס"מ )ראה ציור(. גובה הצורה הוא מה צריך להיות אורך הצלע של הריבוע התחתון

כדי ששטח הצורה יהיה מינימלי?


.נתונה פרבולה שמשוואתה

וחותך את -המקביל לציר המעבירים ישר

)ראה ציור(. B -ו Aהפרבולה בנקודות

Bשל הנקודה -את שיעור ה -סמן ב .א )הנמצאת ברביע הראשון(, ובטא

ABאת אורך הקטע באמצעות

. AOBואת שטח המשולש

(O – .)ראשית הצירים

, Bשל הנקודה -מה צריך להיות שיעור ה .ב

יהיה מקסימלי? AOBכדי ששטח המשולש


, ABCDחלקת אדמה מלבנית

בִצדה האחד לחומה )ראה ציור(. מ"ר, צמודה ששטחה

.CD-ו ABואת ִצדיה, ,BCמגדרים את חזית החלקה,

( BCמחיר ההתקנה של גדר בחזית החלקה )הקטע

BE BFCF CG

6

xx

x

10

2 27y x

x

xx

x

x

4500

268

( הוא CD -ו ABשקלים למטר, ומחיר ההתקנה של גדר בצדדים )הקטעים הוא

שקלים למטר. מה צריך להיות האורך של חזית החלקה, כדי שמחיר התקנת הגדר יהיה מינימלי?



.נתונה הנקודה -על ציר ה

M .)היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה )ראה ציור

,Mשל הנקודה -מה צריך להיות שיעור ה .א

יהיה מינימלי? MAכדי שהמרחק

.MAחשב את המרחק המינימלי .ב בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.


ס"מ, בונים תיבה. גובה התיבה הוא ס"מ ובסיסה הוא ריבוע, שאורך צלעו

)ראה ציור(.

.-ההיקף של פאה צדדית שווה ל

.את גובה התיבה הבע באמצעות .א

צריך להיות האורך של צלע הבסיס, מה .ב כדי שנפח התיבה יהיה מקסימלי?


נתונות שתי פרבולות:

.

חותך את שתי -קו המקביל לציר ה

)ראה ציור(. Q -ו Pהפרבולות בנקודות של -מה צריך להיות שיעור ה

, כדי שאורךQ -ו Pהנקודות

יהיה מינימלי? PQהקטע

.2008קיץ ב' שנת מועד (18

,המקיימים -ו מבין כל שני מספרים

מצא את שני המספרים שסכום ריבועיהם מינימלי.

16

10

y x

x A 8,0

x

h

x

18

xh

2 21 13 , 7

4 2y x x y x

y

x

xy2 50x y

262


בציורים שלפניך מוצגים ריבוע שצלעו .ומשולש שווה צלעות שצלעו

.מכפלת צלע הריבוע בצלע המשולש היא

.באמצעות . בטא את 1 .א

את הסכום של היקף הריבוע . בטא באמצעות 2 והיקף המשולש.

הסכום של היקף הריבוע והיקף מצא עבור איזה ערך של .ב

.( הוא מינימלי.2המשולש )שהבעת בתת סעיף א


.11הסכום של שני מספרים הוא

מצא מה צריכים להיות שני המספרים, כדי שסכום הריבועים .א

שלהם יהיה מינימלי.

מצא את סכום הריבועים המינימלי של שני המספרים. .ב


שברביע הראשון נמצאת על Aנקודה

.גרף הפונקציה

מורידים אנכים לצירים, Aמנקודה

ראשית הצירים. – ABOC .Oונוצר מלבן

Aשל הנקודה -מה צריך להיות שיעור ה יה מקסימלי?כדי שהיקף המלבן יה


של הפונקציות: II -ו Iבציור נתונים הגרפים

.

הוא של II -ו Iאיזה מבין הגרפים .א

, ואיזה הוא של הפונקציה

? נמק.הפונקציה

היא נקודה על B -ו Iהיא נקודה על גרף A .ב

.-מקביל לציר ה ABכך שהקטע IIגרף

הוא מינימלי. AB, שעבורו אורך הקטע B -ו Aשל הנקודות -מצא את שיעור ה

x

y

12

yx

x

x

2 5y x x

x

22 1, 2

4 4

xf x g x x

f x

g x

y

x

281


.הסכום של שני מספרים גדולים מאפס הוא מה צריכים להיות שני המספרים כדי שמכפלת אחד מהם בריבוע של האחר תהיה

מקסימלית?


ברביע הראשון. נתון גרף הפונקציה

חותך את גרף הפונקציה -המקביל לציר הישר

שנמצאת ברביע הראשון, Aבנקודה

.Bבנקודה -ואת ציר ה

)ראה ציור(. Oעם ראשית הצירים Aמחברים את הנקודה

ABמה צריך להיות אורך הקטע .א

יהיה מקסימלי? AOBכדי ששטח המשולש

?AOBמהו השטח המקסימלי של המשולש .ב


( הוא צלע משותפת -)המסומן ב BCהקטע

)ראה ציור(. BEFCושל המלבן ABCDשל הריבוע

ס"מ. הוא AEנתון כי אורך הקטע

.BEאת אורך הקטע . הבע באמצעות 1 .א

)ריבוע אלכסון המלבן(. את . הבע באמצעות 2

הוא מינימלי. שעבורו הסכום BCמצא את אורך הקטע .ב

.מצא את הערך המינימלי של הסכום .ג


.בציור שלפניך נתונה הפונקציה

היא נקודה על גרף הפונקציה. C .א

שעבורו Cשל הנקודה -מצא את שיעור ה

הוא מינימלי. Cסכום השיעורים של

.Cמצא את הסכום המינימלי של שיעורי הנקודה .ב

24

2 27y x

x

y

x

10

x

x2CE

2 2AC CE

2 2AC CE

2 3 3y x x

x

281


שלפניך נתון גרף הפונקציה בציור

ברביע הראשון.

שעל גרף הפונקציה Aמנקודה מעבירים אנכים לצירים כך שנוצר

. ABOCהמלבן

.Aשל הנקודה -שיעור ה הבע את היקף המלבן באמצעות .א

יהיה מינימלי? ABOCכדי שהיקף המלבן . מה צריך להיות הערך של 1 .ב ן?. מצא את ההיקף המינימלי של המלב2


.הסכום של שלושה מספרים חיוביים הוא מהמספר הראשון. המספר השני גדול פי

את המספר הראשון, והבע באמצעותו את המספר השלישי. -סמן ב .א

שעבורו מכפלת שלושת המספרים תהיה מקסימלית. מצא את הערך של .ב


, מצא את המקיימים -ו מבין כל זוגות המספרים החיוביים .א

הוא מינימלי. זוג המספרים שעבורם הסכום

מהו הסכום המינימלי? .ב


, מצא את שני המספריםהמקיימים -ו מבין כל המספרים החיוביים

הוא מינימלי. שעבורם הסכום


)ראה ציור(. תונה הפונקציהנ

Mשל נקודה -מצא את שיעור ה .א

על גרף הפונקציה, שמרחקה בריבוע

הוא מינימלי. מהנקודה

מצא את המרחק המינימלי .ב

.Aלנקודה Mשבין הנקודה

2f x x

x

x

18

2

x

x

xz48x z

3x z

xy2 4x y

x y

2f x x

x

2d

A 4,0

d

282


ס"מ. 31ס"מ, 11. 2 . 1א. (8 (4 (1 (2 (1

. ב. א. (7 ב. , אורך = א. רוחב = (1 ב.

. ב . א. (9 ב. , אורך = א. רוחב = (8

.. 2 . 1ב. א. (11 ב. א. (10

מטר. (14. ב. א. (11ס"מ. (12

ס"מ. ב. א. (11. ב. א. (18

.ב. . 2 . 1א. (19 (18 ( 17

.. ב. -מתאים ל II, גרף -מתאים ל Iא. גרף (22 (21. 21. ב. 2,2א. (20

יח"ר. יחידות ב. א. ( 24. (21

. 62ג. ב. . 2 . 1א. (28

. 3.2. 2 . 1ב. א. (27. ב. א. (21

. 21ב. א. (29. ב. א. (28

.ב. א. (11 (10

1

4

1

4 A 2,25 , 10y x 240S x x

,2 2

p px

9

x3x 26 60 288S x x 5x

x8 2x2x 2 34 120 , 36x x x 17x

2 23 12 36x x a 2x

22 6

2 2

xxy

3x 9

53

AOB 27 , AB=2S x x x 3x 75

3.5x 24.59h x 6

2x 20 , 10x y 12

yx

36

4P xx

3x

3x g x f x1

2x

8,16327

10 x22 20 100x x 2.5x

1x 22 2 4P x x 1

4x

18 3x4x 12 , 4x z

2 , 1x y M 3,2 313

283

חשבון אינטגרלי:



.Aחותך את גרף הפונקציה בנקודה הישר

-העבירו ישר המקביל לציר ה Aמנקודה

)ראה ציור(. Bבנקודה -וחותך את ציר ה


גרף הפונקציה, חשב את השטח המוגבל על ידי .ב

-ועל ידי ציר ה ABעל ידי הישר

)השטח המקווקו בציור(.


נתונה הפונקציה

)ראה ציור(. ונתון הישר

מצא את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, -על ידי הישר ועל ידי ציר ה



)ראה ציור(. נתונה הפונקציה

מצא את השיעורים של נקודת המקסימום .א של הפונקציה.

מהי משוואת הישר המשיק לגרף הפונקציה .ב בנקודת המקסימום שלה?

מצא את השטח המוגבל על ידי המשיק .ג

בנקודת המקסימום, על ידי הצירים ועל ידי גרף הפונקציה )השטח המקווקו בציור(.

3 3y x

1x

x

y

y

2

2f x x

1 1

2 2y x

x

2 6 5y x x

281

.2008ב' שנת מועד קיץ (4

נתונות שתי הפונקציות:

מצא את נקודת החיתוך בין שתי .א הפונקציות.

מצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים .ב ועל -של שתי הפונקציות, על ידי ציר ה

-ו ידי הישרים )השטח המקווקו בציור(.


נתונות הפונקציות

B -ו Aהגרפים של הפונקציות נחתכים בנקודות )ראה ציור(.

.B -ו Aשל הנקודות -מצא את שיעורי ה .א

חשב את השטח ברביע הראשון המוגבל .ב על ידי הגרפים של שתי הפונקציות,

ועל ידי הישר -על ידי ציר ה (.)השטח המקווקו בציור


.היא הנגזרת של הפונקציה

של נקודת המקסימום של הפונקציה. -מצא את שיעור ה .א

.בנקודת המקסימום שלה הוא נתון כי ערך הפונקציה .ב

מצא את הפונקציה.

.-מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה .ג

.-ציר המצא את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה ובין .ד

2 4 6f x x x

2 4 14g x x x

x

2x 2x

2f x x

2 18g x x

x

x4x

y' 2 4y x

x

y4

x

x

282



מצא את השיעורים של נקודת המקסימום .א )המקומי( של הפונקציה, ואת השיעורים

של נקודת המינימום )המקומי( של הפונקציה.

חשב את השטח ברביע השני, המוגבל .ב על ידי הגרף של הפונקציה,

על ידי המשיק לפונקציה בנקודת המקסימום

. -שלה, ועל ידי ציר ה


נתונים הגרפים של שתי הפונקציות:

מצא את נקודת החיתוך בין הגרפים .א של שתי הפונקציות.

חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים .ב -על ידי ציר השל שתי הפונקציות,

)השטח המקווקו בציור(. ועל ידי הישר



הפונקציה עוברת דרך הנקודה

)ראה ציור(.


-הפונקציה חותכת את ציר ה .ב

.Bובנקודה בנקודה

.Bמצא את שיעורי הנקודה

הפונקציה,חשב את השטח המוגבל על ידי גרף .ג

)השטח המנוקד בציור(. -ועל ידי ציר ה ABעל ידי המיתר

3 3 2f x x x

y

3

3

13 3

2

1

2

f x x x

g x x

x

2x

2f x x ax

A 2,8

a

x

O 0,0

x

281


נתונות שתי פונקציות:

של נקודות החיתוך -מצא את שיעורי ה .א בין הגרפים של שתי הפונקציות.

שלמצא את השטח המוגבל על ידי הגרפים .ב שתי הפונקציות, השטח המקווקו בציור.


הפרבולה

.B -ו Aבנקודות -חותכת את ציר ה

,-העבירו אנך לציר ה Aבנקודה ובנקודת המינימום של הפרבולה

העבירו משיק לפרבולה )ראה ציור(.



מוגבל על ידי הפרבולה, על ידי המשיקמצא את השטח ה .ג ועל ידי האנך )השטח המקווקו בציור(.


נתון הגרף של הפונקציה

הוא פרמטר. )ראה ציור(.

של נקודת -. מצא את שיעור ה1 .א המינימום של הפונקציה.

. נתון כי בנקודת המינימום של 2 .הפונקציה:

.מצא את ערך הפרמטר

)ראה ציור(. -דרך נקודת המינימום של הפונקציה העבירו אנך לציר ה .בשמצאת, ומצא את השטח המוגבל על ידי הצב בפונקציה את הערך של

גרף הפונקציה על ידי הצירים ועל ידי האנך )השטח המקווקו בציור(.

2 3 2y x x

3 3 2y x x

x

2 10 21y x x

x

x

2 4y x x a

a

x

1y

a

x

a

286


, נתונה הפונקציה

הוא פרמטר. מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה

)ראה ציור(. בנקודה שבה .שיפוע המשיק הוא

.חשב את ערך הפרמטר .א

שחישבת בסעיף א, ומצא: הצב את הערך של

את משוואת המשיק. .ב

, על ידי המשיק, על ידי ציר את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה .ג

)השטח המקווקו בציור(. ועל ידי הישר -ה


בציור מוצגת הפרבולה

.ומוצג הישר

B -ו Aהפרבולה והישר נפגשים בנקודות

(A מימין ל-B.)

.Aשל הנקודה -מצא את שיעור ה .א

של נקודת המינימום -מצא את שיעור ה .ב של הפרבולה.

מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, .ג )השטח המקווקו בציור(. -ועל ידי ציר ה -על ידי ציר ה על ידי הישר,


בציור שלפניך מוצגת הפרבולה

.ומוצג הישר

,B -ו Aהישר והפרבולה נחתכים בנקודות

A מימין ל-B .

.Bשל הנקודה -. מצא את שיעור ה1 .א

.Cבנקודה -. הישר חותך את ציר ה2

.Cשל הנקודה -מצא את שיעור ה

מצא את שהשטח המקווקו בציור )השטח המוגבל .ב (.-על ידי הפרבולה, על ידי הישר ועל ידי ציר ה

2 1f x x ax a

a

5x

4

a

a

f x

y2x

2

3y x

5y x

x

x

yx

2 6y x x

4 8y x

x

x

x

x

288


)ראה ציור(. נתונה פרבולה שמשוואתה

.B -ו Aחותך את הפרבולה בנקודות הישר

.B -ו Aשל הנקודות -מצא את שיעורי ה .א

,העבירו ישר שמשוואתו .ב

העבירו B -ו Aודרך הנקודות )ראה ציור(. -ישרים המקבילים לציר ה

מצא את השטח המוגבל על ידי הפרבולה, , על ידי המקבילים לציר על ידי הישר

)השטח המקווקו בציור(.-ועל ידי ציר ה -ה



אה ציור(.)ר מעבירים ישר

מצא את נקודות החיתוך של הישר .א

עם גרף הפונקציה הנתונה.

מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה .ב

, על ידי הישר על ידי הישר

ועל ידי הצירים )השטח המקווקו בציור(.


נתונה פרבולה שמשוואתה

)ראה ציור(.

Aמשוואת הישר המשיק לפרבולה בנקודה .היא

Bמשוואת הישר המשיק לפרבולה בנקודה .היא

,Aשל הנקודה -מצא את שיעור ה .א

.Bשל הנקודה -ואת שיעור ה

מצא את השטח המוגבל על ידי המשיקים .ב ועל ידי הפרבולה )השטח המקווקו בציור(.

2 5f x x

6y

x

y x

y

y x

yx

2 4 6f x x x

3y

3y

f x

3x 3y

2 6 5f x x x

2 1y x

2 11y x

x

x

282


.נתונה הפרבולה

, הנמצאת על הפרבולה ברביע Bמהנקודה

-לציר ה BCהראשון, העבירו אנך

)ראה ציור(. -לציר ה BAואנך

.הם Aשיעורי הנקודה

.ABמצא את משוואת הישר .א

.Bמצא את שיעורי הנקודה .ב

ABCOהפרבולה מחלקת את שטח המלבן .ג

(O – :לשני שטחים )ראשית הצירים

)השטח המנוקד בציור(,

)השטח המקווקו בציור(. -ו

.חשב את היחס



מצא את השיעורים של נקודת המקסימום .א של הפונקציה.

דרך נקודת המקסימום של הפונקציה .ב )ראה ציור(. -העבירו אנך לציר ה

חשב את השטח המוגבל על ידי גרף ידי הציריםהפונקציה, על ידי האנך ועל



גרף הפרבולה

)ראה ציור(. B -ו Aבנקודות -חותך את ציר ה

היא נקודת המקסימום של הפרבולה. Mהנקודה

.B -ו Mמצא את שיעורי הנקודות .א

.MBמצא את משוואת הישר .ב

חשב את השטח המוגבל על ידי הפרבולה .ג

)השטח המקווקו בציור(. MBועל ידי הישר

2 4f x x

x

y

0,5

1S

2S

1

2

S

S

2 6 5y x x

x

2 6 5y x x

x

221


.בציור שלפניך מוצג גרף הפונקציה

העבירו משיק לגרף הפונקציה. בנקודה שבה

. מצא את משוואת המשיק.1 .א .-. מצא את נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה2

את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, -נסמן ב .ב

ת בסעיף א(,המשיק )שאת משוואתו מצא )השטח המנוקד בציור(. -וציר ה -ציר ה

את השטח המוגבל על ידי המשיק, -נסמן ב

)השטח המקווקו בציור(. -וציר ה -ציר ה

.הראה כי


בציור שלפניך נתונים הגרפים של הפונקציות:

.Aבנקודה -חותכים את ציר ה שני הגרפים

.Cגם בנקודה -חותך את ציר ה Iגרף

.Bגם בנקודה -חותך את ציר ה IIגרף

.C -ו A ,Bמצא את שיעורי הנקודות .א

. נמק.II, ואיזה מהן מתאר גרף Iקבע איזו מבין הפונקציות מתאר גרף .ב

-ועל ידי ציר ה II, על ידי גרף Iמצא את השטח המוגבל על ידי גרף .ג )השטח המקווקו בציור(.


.בגרף שלפניך מוצג גרף הפונקציה

A היא אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה

היא אחת מנקודות החיתוך של B. -עם ציר ה עם גרף הפונקציה )כמתואר בציור(. הישר


השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה,מצא את .ב -, על ידי ציר העל ידי הישר

)השטח המקווקו בציור(.-ועל ידי ציר ה

3 4f x x

2x

x

1S

xy

2S

xy

1 2S S

2

2

4 3

6 5

f x x x

g x x x

x

x

x

x

2 16f x x

x

7y

7y x

y

221



מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. .א

אינה ראשית הציריםA (A .)בנקודה -גרף הפונקציה חותך את ציר ה .ב

.Aשיעורי הנקודה מצא את

משוואת הישר העובר דרך נקודת המקסימום של .ג

.היא Aודרך הנקודה הפונקציה

.בנקודה הישר חותך את גרף הפונקציה

חשב את השטח המוגבל על ידי גרף

)השטח המקווקו(. ABהפונקציה ועל ידי הישר



השיעורים של נקודות הקיצון של מצא את .א הפונקציה, וקבע את סוגן על פי הציור.

העבירו משיק אחד לגרף הפונקציה דרך נקודת המקסימום שלה, והעבירו משיק אחר

ה.לגרף הפונקציה דרך נקודת המינימום של

מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על .ב המשיקידי המשיק בנקודת המקסימום, על ידי

)השטח המקווקו בציור(. -בנקודת המינימום ועל ציר ה



ברביע הראשון. נמצאת על גרף הפונקציה Cנקודה .א

שיפוע הישר, המשיק לגרף הפונקציה

.Cמצא את השיעורים של הנקודה ., הוא Cבנקודה

.Aבנקודה -גרף הפונקציה חותך את ציר ה

-וחותך את ציר ה ,Aעובר דרך הנקודה הישר

, כמתואר בציור.Bבנקודה

.BC, ומצא את משוואת הישר Bמצא את השיעורים של הנקודה .ב

BA (BA, על ידי הישר מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה .ג

)השטח המקווקו בציור(. BC( ועל ידי הישר -משיק ל

3 24 6f x x x

x

4 6y x

B 1,10

3 3f x x x

y

3 1f x x

f x

f x

3

x

3 3y x y

f x

f x

222


א. ( 1 A .ג. ב. א. ( 1. (2 . 1.62ב. 1,4

.ב. א. ( 8. ב. א. (4

.ד. ג. ב. א. (1

.ב. א. (8. ב. א. (7

.ב. א. ( 10. ג. ב. א. ( 9

.ב. . 2 . 1א. (12. ג. ב. א. (11

.. ג. -3. ב. -1א. (14. ג. ב. א. (11

.ב. א. (11. . ב. 2. 2. -2. 1א. (18

.ב. א. ( 18. ב. א. (17

.ב. א. (20. ג. ב. א. (19

ג. ב. א. (21

.. 2 . 1א. (22

.ג. IIמתאר את גרף , Iמתאר את גרף ב. א. ( 21

.ב. א. ( 24

.ג. ב. א. ( 28

.ב. א. ( 21

.ג. ב. א. ( 27

1S 1

3 3,44y

2S 6

3

1,111

S 253

B A3, 3x x

2S 14

3

2x 2 4y x x 4,0 , 0,02

S 103

min 1,0 ,max 1,43

S4

1

1,2

1S

2

6a B 6,01

S 253

1 2 33, 0, 2x x x

3S 15

4

B 7,0 ,A 3,04y 2

S 23

2x 3a S 2

6a 4 32y x 2

S 323

1

76

117

3A B1 , 1x x

110

6

1,3 , 3,32

73

B A4, 2x x 2

S3

5y B 1,51

2

S 2

S 13 3,4

2S 7

3

M 3,4 ,B 5,02 10y x 1

S 13

12 12y x 1,0

C 5,0 ,B 3,0 ,A 1,0 g x f x1

S 93

B 3,7 ,A 4,02

243

S

max 1,2 ,min 0,01

A 1 ,02

S 8.1875

max 1,2 ,min 1. 2 1

S 12

C 1,2 3 , B 0,3y x S 2

םירקי םידימלת - gool · ר"מס 16-ב לודג וחטשש ןבלמ לבקנ...

Documents