1

2

יקרים תלמידים

ספר תרגילים זה הינו פרי שנות ניסיון רבות של המחבר בהגשה

לבחינות הבגרות במתמטיקה הן בבתי הספר התיכוניים, הן בבתי

הספר הפרטיים והן במכינות האוניברסיטאיות.

שאלות תלמידים וטעויות נפוצות וחוזרות הולידו את הרצון להאיר

לעומדים בפני מקצוע חשוב זה.את הדרך הנכונה

הספר מסודר לפי נושאים ומכיל את כל חומר הלימוד, בהתאם

ל ּורגת לתוכנית הלימודים של משרד החינוך. הניסיון מלמד כי ל

בקורס זה חשיבות יוצאת דופן, ולכן ספר זה בולט בהיקפו ובמגוון

התרגילים המופיעים בו.

www.GooL.co.il באתרלכל התרגילים בספר פתרונות מלאים

כך ,המלווים בהסבר קולי וידאובסרטוני יםמוגש הפתרונות

את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, יםרואשאתם

הפתרון המלא של השאלה מכוון שנעשה בשיעור פרטי. ממש כפי

ומוביל לדרך חשיבה נכונה בפתרון בעיות דומות מסוג זה.

דרך לכם התלמידים ויוביל -תקוותי היא, שספר זה ישמש מורה

אתכם להצלחה.

יוחאי טוויג

3

תוכן

5 ..................................................................................................................טרינום -1 פרק

7 ........................................................................................................ שיוויונים אי - 2 פרק

9 ................................................................................................ משוואות חקירת – 3 פרק

9 ............................................................................. ראשונה ממעלה משוואות ירתחק - 3.1

12 ............................................................................... שנייה ממעלה משוואות חקירת -3.2

14 ....................................................................................................... גיאומטריה – 4 פרק

14 ................................................................................................... וזוויות קווים רקע– 4.1

11 ..........................................זווית ישר משולש, שוקיים שווה משולש, כללי משולש– 4.2

11 ...................................................................................................משולשים חפיפת– 4.3

22 ............................................................. זווית ישר ומשולש למשולש חיצונית זווית– 4.4

23 .................................................. במשולש תיכונים ומפגש במשולש אמצעים קטע – 4.5

25 ................................................................................................................. מרובעים- 4.1

33 ..................................................................................................................המעגל – 4.7

39 ................................................................................................... ודמיון פרופורציה - 4.1

45 ............................................................................................................. סדרות – 5 פרק

45 ...................................................................................................... חשבונית סדרה - 5.1

41 ........................................................................................................ הנדסית סדרה - 5.2

51 ........................................................................... מתכנסת אינסופית הנדסית סדרה - 5.3

53 .......................................................................................................... נסיגה סדרת – 5.4

51 .................................................................................................... טריגונומטריה –1 פרק

51 ........................................................................... זווית ישר במשולש טריגונומטריה - 1.1

12 ............................................................................................. טריגונומטריות זהויות –1.2

14 ...................................................................................... משוואות – טריגונומטריה - 1.3

72 ............................................................................................ במישור טריגונומטריה - 1.4

77 ............................................................................ ואינטגרלי דיפרנציאלי חשבון –7 פרק

77 ..................................................................................................... ומשיקים נגזרות –7.1

14 ....................................................................................................... פולינום חקירת - 7.2

19 .................................................................. שורש ופונקציות מנה פונקציות ירתחק - 7.3

97 .................................................................................... פרמטר עם פונקציה חקירת - 7.4

122 ........................................................................ קיצון בעיות – דיפרנציאלי חשבון - 7.5

121 ................................................................................................... אינטגרלי חשבון - 7.1

114 .................................................................הנגזרת לגרף הפונקציה גרף בין הקשר - 7.7

111 ................................... טריגונומטריות פונקציות של ואינטגרלי דיפרנציאלי חשבון - 7.1

129 ...........................................מעריכיות פונקציות של ואינטגרלי דיפרנציאלי חשבון - 7.9

131 ...................................... לוגריתמיות פונקציות של ואינטגרלי דיפרנציאלי חשבון - 7.12

4

147 .......................................................................................... קלאסית הסתברות - 1 פרק

155 ............................................................................................... מילוליות בעיות –9 פרק

5

טרינום -1פרק לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף תרגילים

תוכן הסרטון

כולל הסבר כיצד עושים טרינום 1תרגיל 1סרטון 2תרגיל 2סרטון 3תרגיל 3סרטון 4תרגיל 4סרטון 5תרגיל 5סרטון כולל הסבר כיצד עושים טרינום מקוצר 1תרגיל 1סרטון 7תרגיל 7סרטון 1תרגיל 1סרטון כולל הסבר כיצד ניתן להסתדר בכל התרגילים גם ללא טרינום 1תרגיל 9סרטון פתרון ללא טרינום 4תרגיל 12סרטון ללא טרינוםפתרון 1תרגיל 11סרטון

6

:תרגילים

.1 24 8 3x x

.2 22 7 15x x

.3 23 11 6x x

.4 26 5 1x x

.5 22 6x x

.1 2 5 4x x

.7 2 8 15x x

.1 2 33 62x x

:פתרונות

1 . 2 1 2 3x x 2 . 2 3 5x x 3 . 3 2 3x x 4. 3 1 2 1x x

5 . 2 2 3x x 1 . 1 4x x 7 . 3 5x x 1 . 2 31x x

7

אי שיוויונים - 2פרק מותר

לחבר/לחסר כל מספר/ביטוי .1

חיובילכפול/לחלק בכל מספר/ביטוי .2

לכפול/לחלק בכל מספר/ביטוי שלילי תוך הפיכת סימן אי השיוויון .3

להעלות בחזקה אי זוגית .4

להעלות בחזקה זוגית אם שני אגפי אי השיוויון אינם שליליים .5

אסור

לכפול/לחלק בביטוי שלא יודעים את סימנו .1

להעלות בחזקה זוגית כשיש אגף שלילי .2

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

מהו אי שוויון, סימון אי שוויון על ציר 1סרטון ואיחוד אי שוויון )מעלה ראשונה(חיתוך 2סרטון המשך –חיתוך ואיחוד אי שוויון )מעלה ראשונה( 1תרגיל 3סרטון מותר ואסור באי שוויונים 4סרטון 2תרגיל 5סרטון הסבר על שיטת הנחש –אי שוויונים ממעלות גבוהות 3תרגיל 1סרטון 4תרגיל 7סרטון 5תרגיל 1סרטון דוגמא לאי שוויון ללא מכנה 1תרגיל 9סרטון הסבר על נחש עם נקודת השקה 7תרגיל 12סרטון חש עם נקודת השקהדוגמא לנ 1תרגיל 11סרטון אי שוויון שמכיל ביטוי שלא מתפרק 9תרגיל 12סרטון דוגמאות לאי שוויון שמכיל ביטוי שלא מתפרק 12, 11, 12תרגילים 13סרטון אי שוויון לא מסודר )לראשונה( 13תרגיל 14סרטון אי שוויון לא מסודר 14תרגיל 15סרטון מערכת אי שוויונים לא מסודרים 15תרגיל 11סרטון מערכת אי שוויונים לא מסודרים 11תרגיל 17סרטון אי שוויון כפול 17תרגיל 11סרטון פונקציה מעל פונקציה –הסבר ודוגמא 11תרגיל 19סרטון

8

:תרגילים

.1 3

2 5 0 84

x x x

.2 5 3 15 2 1 (4 )x x x x x x

.3 4 2

01

x x

x

.4

5 3 10

2 7

x x

x x

.5

2 3 120

1 4

x x

x x

.1 3 2 5 0x x x

.7

26 1

02

x x

x

.1

2

5 20

8

x

x

.9 2

30

2

x

x

.12 2

2

40

2 3

x x

x x

.11 2

3

6 90

x x

x x

.12 2

70

3

x

x x

.13 2

1 1

4 2 2

x

x x x

.14 2

2

2

6 8 4 2

x x x

x x x x

.15 2 23 10 6 5x x x x

.11 3 2 1 1

01 3 1x x x x

.17 1

1 24

x

x

נמצאת הפונקציה x. עבור אילו ערכי 11 3

xf x

x

מעל הפונקציה

1

3

xg x

x

?

פתרונות:

1 .3

24

x 2 .4x 3 .1 4x 2אוx 4 .5 x או1

23

x או

7x 5 .4 12x 1או 1.5x 1 .0 2.5x 3אוx 7 .6 x 2או 6x או1x

1 .8 x 2.5או 8x 9 .3 x 12 .4x 0או 1x 3אוx 11 .3 x או

1 3x 1או 0x 12 .7 x 13 .2 4x 2אוx 14 .4 x או או

. או . 11 . 17 . 11 . אף 15

1 2x

0x x1x 7x 3 x3

35

x

9

חקירת משוואות – 3פרק

חקירת משוואות ממעלה ראשונה - 13. :שלבי עבודה

נפתור את המשוואה. .1

נאתר את ערכי הפרמטר המאפסים את המכנה בכל שלבי הפתרון. .2

ערך כזה בנפרד כמה פתרונות יש למשוואה על ידי הצבתו במשוואה המקורית.נבדוק עבור כל .3

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

תזכורת לפתרון משוואה עם פרמטר 1תרגיל 1סרטון משוואה עם פרמטרתזכורת לפתרון 2תרגיל 2סרטון תזכורת לפתרון מערכת משוואות עם פרמטר 3תרגיל 3סרטון סוגי מערכת משוואות עם פרמטר 4סרטון

הסבר כיצד פותרים שאלה העוסקת במספר הפתרונות של משוואה 4תרגיל 5סרטון ממעלה ראשונה

המשך הסבר מסרטון קודם 4תרגיל 1סרטון

בשאלה העוסקת במספר הפתרונות של משוואה ממעלה שלבי עבודה 7סרטון ראשונה

א5תרגיל 1סרטון המשך פתרון שאלה מהסרטון הקודם א5תרגיל 9סרטון ב5תרגיל 12סרטון דוגמא לשאלה בה יש פרמטר במכנה של המשוואה המקורית 1תרגיל 11סרטון פתרון מערכת המשוואות 7תרגיל 12סרטון פתרון סעיף א א7תרגיל 13סרטון

שלבי עבודה בשאלה העוסקת במספר הפתרונות של מערכת משוואות 14סרטון ממעלה ראשונה

פתרון סעיף ב ב7תרגיל 15סרטון פתרון מערכת המשוואות 1תרגיל 11סרטון

פתרון סעיף א והסבר על ניסוח השאלה בתור מספר נקודות החיתוך של א1תרגיל 17סרטון ישרים שני

פתרון סעיף ב ב1תרגיל 11סרטון

11

:תרגילים

פתור את המשוואה:. 1

פתור את המשוואה:. 2

:ותהמשוואמערכת פתור את . 3

. נתונה המשוואה: 4

( יש אינסוף פתרונות3( אין פתרון )2( יש פתרון יחיד )1למשוואה: ) מצא עבור אילו ערכי

. נתונה המשוואה: 5

( יש אינסוף פתרונות3( אין פתרון )2( יש פתרון יחיד )1למשוואה: ) א. מצא עבור אילו ערכי

( מקיים את אי השיוויון 2( חיובי )1פתרון המשוואה: ) ב. מצא עבור אילו ערכי

. נתונה המשוואה: 1

( יש אינסוף פתרונות3( אין פתרון )2( יש פתרון יחיד )1למשוואה: ) כי מצא עבור אילו ער

. נתונה מערכת המשוואות: 7

( יש 3( אין פתרון )2( יש פתרון יחיד )1למערכת המשוואות: ) א. מצא עבור אילו ערכי

אינסוף פתרונות

פתרון מערכת המשוואות מקיים את אי השיוויון ב. מצא עבור אילו ערכי

. נתונה מערכת המשוואות: 1

( יש 3( אין פתרון )2( יש פתרון יחיד )1למערכת המשוואות: ) א. מצא עבור אילו ערכי

אינסוף פתרונות

על ידי המשוואות( נמצאת ברביע נקודת החיתוך בין הישרים )המיוצגים ב. מצא עבור אילו ערכי

השלישי.

:פתרונות

1 . 2 . 3 . 4[ .1 ] [2 ] [3 ]

וגם או [ 1ב. ] [ 3] [ 2] [ 1. א. ]5

[ אף 3] [ 2] [ 1. ]1 וגם [ 2]

26 2 3kx k x k

2 1 3 4a x ax x a

22 5 2

2 10

kx y k

x y

2 3 2 3m mx x

m

2 5 2 3 15 2k x kx

k

k2 3x x

2

2 6

2 5 7 10

mx m x

m m m m

m

4 3 2 1 3

1

a x a y

x ay

a

a2 1x y

3

3 4 3

x ay a

ax y a

a

a

3x k1

ax

a

5,2k k3m 3m 3m

0 , 3k k 0k 3k 0 k3k 3k

0 15k 3k 3, 2, 5m m m 3, 2, 5m m m

m

11

וגם או ב. [ 3] [ 2] [ 1. א. ]7

ב. [ 3] [ 2] [ 1. א. ]1

3, 1a a 3a 1a 3 a 10a 1a

1, 1a a 1a 1a 1 0a

12

ת משוואות ממעלה שנייהקירח -3.2 לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

סוגי משוואות או פונקציות ממעלה שנייה על פי מספר הפתרונות 1סרטון ובדלתא -פרבולה חותכת/משיקה/מרחפת והתלות ב 2סרטון תזכורת לגבי פתרון משוואה ממעלה שנייה עם פרמטר 1תרגיל 3סרטון פתרון משוואה ממעלה שנייה עם פרמטר –דוגמא נוספת 2תרגיל 4סרטון התנהגות משוואה ממעלה שנייה עם פרמטר לפי ערכי פרמטר שונים 5סרטון הסבר על דרך הפתרון של שאלה העוסקת במספר הפתרונות של 3תרגיל 1סרטון

משוואה ממעלה שנייה 4תרגיל 7סרטון הסבר על המקרה הליניארי 1סרטון 2סעיף 4הדגמת המקרה הליניארי על תרגיל 4תרגיל 9סרטון הסבר על ניסוח שאלה בתור פונקציה במקום בתור משוואה 4תרגיל 12סרטון שאלה הכוללת מקרה ליניארי 5תרגיל 11סרטון פתרון שאלה ללא מקרה ליניארי 1תרגיל 12סרטון פתרון המקרה הליניארי 1תרגיל 13סרטון שאלה המנוסחת כאי שוויון )וכוללת מקרה ליניארי( 7תרגיל 14סרטון

a

13

תרגילים:

פתור את המשוואה:. 1

פתור את המשוואה:. 2

. נתונה המשוואה: 3

למשוואה: מצא עבור אילו ערכי

( יש שני פתרונות ממשיים שונים 1)

( יש פתרון ממשי אחד 2)

( אין פתרונות ממשיים3)

. נתונה המשוואה: 4

למשוואה: מצא עבור אילו ערכי

( יש שני פתרונות ממשיים שונים 1)

( יש פתרון ממשי אחד 2)

( אין פתרונות ממשיים3)

. נתונה הפונקציה: 5

. -הפונקציה אינה חותכת את ציר ה מצא עבור אילו ערכי

. נתונה הפונקציה: 1

. לכל ערך של -הפונקציה נמצאת מעל ציר ה מצא עבור אילו ערכי

: . נתון אי השיוויון7

. אי השיוויון מתקיים לכל ערך של מצא עבור אילו ערכי

:פתרונות

או [ 1. ]3 . 2 . 1

[ 2] וגם או [ 1. ]4 [ 3] [ 2]

.. 7 או . 1 . 5 [ 3]

2 212 0x mx m

2 22 5 11 1 5x m m x m

2 9 0x mx

m

23 4 2 0 3m x mx m m

m

22 1y mx mx

mx

2 29 3 4 3y m x m x m

mxx

2 24 1mx m x x

mx

1 23 , 4x m x m 1 2

15 ,

2

mx m x

6 m6m

6m 6 6m 0 m3m 3m 0, 3m m

3 0m 8 0m 2

35

m 3m 0m

14

גיאומטריה – 4פרק

רקע קווים וזוויות– 4.1 טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.לפניך

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף תרגילים

תוכן הסרטון

קצת היסטוריה + מושגי יסוד 1סרטון

ממושגי יסוד להגדרות 2סרטון

מאקסיומות למשפטים + העשרה על גיאומטריות לא אוקלידיות 3סרטון

הגדרה וסימון –זווית 4סרטון

תרגיל בנושא זוויות 1תרגיל 5סרטון זווית חדה/ישרה/קהה/שטוחה –הגדרות 1סרטון

חוצה זווית וזוויות צמודות 7סרטון

הוכחת המשפט: שתי זוויות צמודות שוות הן בהכרח ישרות 1סרטון

הגדרה והוכחת המשפט )...שוות זו לזו( –זוויות קודקודיות 9סרטון

תרגיל בנושא זוויות 2תרגיל 12סרטון ישרים מקבילים והזוויות ביניהם +משפט על הזוויות השונות 11סרטון

הוכחת מקבילות לפי זוויות –משפט הפוך 12סרטון

תרגיל בנושא קוים מקבילים 3תרגיל 13סרטון

15

:תרגילים

, . נתון: 1

,.

חשב את הזויות הבאות:

.

. חשב את סכום הזויות הבאות )נמק(:2

.

. מצא את זוגות 3

הישרים המקבילים

בשרטוט הבא )נמק(:

:פתרונות

1 . , , 2 . 3 ..

CAB DAC2FAE EAD

60OFAD 80OEAB

, ,FAB EAC CAB

2 4 6

30CAB 50EAC 120FAB 180, ,d c a c e f

F E

D

C

B A

3

2

5

6

1

4

700 a

b

c

d

e f

1100

700

1200

1100

16

משולש כללי, משולש שווה שוקיים, משולש ישר זווית– 4.2

משפטים כלליים במשולשים:

משפט: סכום הזוויות במשולש הוא

משפט: סכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית

משפט: במשולש מול הזווית הגדולה נמצאת הצלע הגדולה ולהפך

במשולש מול הזווית הקטנה נמצאת הצלע הקטנה ולהפך

במשולש מול זוויות שוות נמצאות צלעות שוות ולהפך

משולש שווה שוקיים:

משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות זו לזו

משפט הפוך: משולש שבו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים

ווה שוקיים חוצה זווית הראש, הגובה לבסיס והתיכון לבסיס מתלכדיםמשפט: במשולש ש

גובה הוא גם תיכון אוחוצה זווית הוא גם תיכון אומשפט הפוך: משולש שבו חוצה זווית הוא גם גובה

הוא משולש שווה שוקיים

משולש שווה צלעות:

הגדרה: משולש שבו כל הצלעות שוות הוא משולש שווה צלעות.

.משפט: במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות

משפט הפוך: משולש שבו כל הזוויות שוות הוא משולש שווה צלעות.

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

180O

60o

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

משולש שווה שוקיים/שווה משולש חד/ישר/קהה זווית, –הגדרות 14סרטון צלעות/שונה צלעות.

חוצה זווית, תיכון, גובה, אנך אמצעי –קווים במשולש 15סרטון

משפטים במשולש: סכום זוויות, מול הזווית הגדולה/קטנה נמצאת... 11סרטון ולהיפך

משפטים במש"ש )משולש שווה שוקיים(: זוויות הבסיס, חוצה 17סרטון גובהזווית/תיכון

הגדרה ושוויון הזוויות )משפט ומשפט –משולש שווה צלעות 11סרטון הפוך(

הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 4תרגיל 19סרטון רישום מדויק של ההוכחה + כיצד רושמים הוכחה בגיאומטריה 4תרגיל 22סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 5תרגיל 21סרטון רישום מדויק של ההוכחה 5תרגיל 22סרטון

17

:תרגילים

שבציור הוא משולש שווה המשולש .4

.חוצה את זווית (.שוקיים )

.היא נקודה כלשהי על

.הוכח:

שבציור הוא משולש שווה המשולש .5

חוצים את -ו(.שוקיים )

בהתאמה. הנקודה -ו הזוויות

.. נתון: נמצאת על המשך

.הוכח:

ABC

AB ACAGA

MAG

BM CM

ABC

AB ACAGBP

AABCQ

AGGM GQ

1 3B B

A

B C G

M

A

B C G

M

Q

P

1 2

3

18

חפיפת משולשים– 4.3 הגדרה: משולשים חופפים הם משולשים ששווים זה לזה בכל צלעותיהם ובכל זוויותיהם בהתאמה.

משפטי החפיפה:

צלע )צ.ז.צ(: אם בין שני משולשים שוות שתי צלעות והזווית שביניהן -זווית-משפט חפיפה צלע. 1

בהתאמה אז המשולשים חופפים.

זווית )ז.צ.ז(: אם בין שני משולשים שוות שתי זוויות והצלע שביניהן -צלע-משפט חפיפה זווית. 2

בהתאמה אז המשולשים חופפים.

)צ.צ.צ(: אם בין שני משולשים שוות שלוש צלעות בהתאמה אז צלע -צלע-משפט חפיפה צלע. 3

המשולשים חופפים.

שתי צלעות והזווית והזווית הגדולה )צ.צ.ז(: אם בין שני משולשים שוות-צלע-משפט חפיפה צלע. 4

שמול הצלע הגדולה מביניהן בהתאמה אז המשולשים חופפים.

ם מופיע מיד לאחר הטבלה.לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה ה. דף התרגילי

, ,

, ,

AB DE AC DF BC EFABC DEF

A D B E C F

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

מהי חפיפה, סימונים 23סרטון ארבעת משפטי החפיפה 24סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 1תרגיל 25סרטון רישום מדויק של ההוכחה 1תרגיל 21סרטון רישום מדויקהרעיון להוכחה ללא 7תרגיל 27סרטון רישום מדויק של ההוכחה 7תרגיל 21סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 1תרגיל 29סרטון רישום מדויק של ההוכחה 1תרגיל 32סרטון

C B

A

F E

D

19

:תרגילים

.. בציור נתון: 1

הוכח:

. .א

. .ב

,. בציור נתון: 7

.

.הוכח:

,. בציור נתון: 1

.

היא הוכח: הנקודה

.אמצע הצלע

,AC EC DC BC

CDE CBA

ADE ABE

ABC DCB

DBC ACB

AB DC

AB BE AD

AC DE

D

BC

A

B C

D

E

A

B C

D E

A

B C D

E

21

למשולש ומשולש ישר זוויתחיצונית זווית – 4.4 :זווית חיצונית למשולש

הגדרה: זווית חיצונית למשולש היא זווית הכלואה בין צלע במשולש להמשך צלע הסמוכה לה.

חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה.משפט: זווית

:משולש ישר זווית

.: סכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא 1משפט

שווה למחצית היתר. -, הניצב שמול הזוית של ה: במשולש שזוויותיו 2משפט

(: אם במשולש ישר זווית אחד הניצבים שווה למחצית היתר, אז הזווית שמול ניצב זה 2-משפט הפוך )ל

. היא בת

: במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר.3משפט

ישר זווית (: אם במשולש תיכון שווה למחצית הצלע אותה הוא חוצה, אז המשולש3-משפט הפוך )ל

)כאשר הזווית ממנה יוצא התיכון היא הזווית הישרה(.

משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.

כלומר:

משפט הפוך )למשפט פיתגורס(: אם במשולש סכום ריבועי שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית,

המשולש ישר זווית.

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

90o

30 ,60 ,90o o o30o

30o

2 2 2

מס' תרגיל מס' סידורי בדף התרגילים

תוכן הסרטון

הגדרה ומשפט -זווית חיצונית 31סרטון שפטהוכחת המ 9תרגיל 32סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 12תרגיל 33סרטון רישום מדויק של ההוכחה 12תרגיל 34סרטון משולש שזוויותיו 35סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 11תרגיל 31סרטון רישום מדויק של ההוכחה 11תרגיל 37סרטון משפט התיכון ליתר והמשפט ההפוך 31סרטון

לו הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 12תרגיל 39סרטון רישום מדויק של ההוכחה 12תרגיל 42סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 13תרגיל 41סרטון רישום מדויק של ההוכחה 13תרגיל 42סרטון משפט פיתגורס והמשפט ההפוך לו 43סרטון ללא רישום מדויקהרעיון להוכחה א14תרגיל 44סרטון רישום מדויק של ההוכחה א14תרגיל 45סרטון רישום מדויק של ההוכחה ב14תרגיל 41סרטון

30 ,60 ,90o o o

יתר ניצב ניצב

21

:תרגילים

צמודות לה".. הוכח את המשפט: "זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן 9

שבציור הוא משולש . משולש 12

שווה צלעות.

.נתון:

.הוכח:

(.שבציור הוא משולש שווה שוקיים ) . המשולש 11

.,, נתון:

.חשב את אורכו של הקטע

(.שבציור הוא משולש ישר זווית ) . המשולש 12

.הוא התיכון ליתר -והוא הגובה ליתר

.נתון:

.חשב את גודלה של הזווית

(.שבציור הוא משולש שווה שוקיים ) . המשולש 13

.. נתון: חוצה את הזווית

.חשב את גודלה של הזווית

ABC

AN MB

60oNQC

ABCAB AC

90oDAC 30oABD 18cmBC

BD

ABC90oABC

BQACBPAC

12

BQ BP

C

BDCBD DC

ACBAEDC AE

ACB

A

B C

M Q

N

A

B C D

A

B

C P Q

A

B

C D

E

22

.הוא גובה במשולש . 14

.,,נתון:

.ואת שטח המשולש א. מצא את אורכו של

ישר זווית? נמק. ב. האם המשולש

:פתרונות

, . א. 14 . 13 . 12 . 11

ב. כן.

ADABC

15cmAB 20cmAC 25cmBC

ADABC

ABC

6cmBD 75C 90ACB 12cmAD

2150ABC cmS

A

B C D

23

קטע אמצעים במשולש ומפגש תיכונים במשולש – 4.5

:במשולשקטע אמצעים

הגדרה: קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש.

משפט: קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.

: קטע היוצא מאמצע צלע במשולש ומקביל לצלע השלישית 1משפט הפוך

ולש(.חוצה את הצלע השנייה )כלומר הוא קטע אמצעים במש

: קטע המחבר שתי צלעות במשולש, מקביל לצלע השלישית 2משפט הפוך

ושווה למחציתה הוא קטע אמצעים במשולש.

:מפגש התיכונים במשולש

משפט: שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת המחלקת כל תיכון

כך שהחלק הקצר קרוב לצלע. 1:2ביחס של

הערה: נקודת מפגש התיכונים במשולש נקראת גם מרכז הכובד של המשולש.

כך שהחלק 1:2הערה: אם נקודה מחלקת תיכון )אחד( במשולש ביחס של

הקצר קרוב לצלע, נקודה זו היא מפגש התיכונים במשולש.

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' תרגיל סידורימס' בדף התרגילים

תוכן הסרטון

הגדרה ומשפט –ק"א במשולש 47סרטון משפטים הפוכים –ק"א במשולש 41סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 15תרגיל 49סרטון רישום מדויק של ההוכחה 15תרגיל 52סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק א 11תרגיל 51סרטון רישום מדויק של ההוכחה א 11תרגיל 52סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק ב 11תרגיל 53סרטון רישום מדויק של ההוכחה ב 11תרגיל 54סרטון הסבר ומשפט –מפגש תיכונים במשולש 55סרטון הרעיון להוכחה ללא רישום מדויק 17תרגיל 51סרטון מדויק של ההוכחהרישום 17תרגיל 57סרטון המשך התרגיל –רישום מדויק של ההוכחה 17תרגיל 51סרטון

24

:תרגילים

.הוא קטע אמצעים במשולש . הקטע 15

.הוא גובה לצלע

.הוכח:

הוא תיכון לצלע -ו הוא גובה לצלע . 11

.מאונך לצלע . הקטע במשולש

.א. הוכח:

חוצה את נתון בנוסף כי הגובה

ס"מ. 12הוא ושגודלו של התיכון

.ב. חשב את אורך הקטע

( שבציור הוא משולש שווה שוקיים ) . המשולש 17

, , התיכון לשוק . הוא הגובה לבסיס שבו

.עם הבסיס יוצר זווית של

. , נתון:

.חשב את אורך הקטע

:פתרונות

. 17 . ב. 11

MNABC

AQBC

1 2N N

AFBCCGAB

ABCGHBC

BH HF

AF

GCAF

EF

ABCAB AC

AHBCCDAB

30oBC

12 3 cmBC DQ BC

MQ

3cmEF 3cmMQ

A

B C

M

Q

N P 1

2 3

A

B C

G

F

E

H

A

B C H

D Q

M

25

מרובעים- 4.1 .צלעות 4 מצולע בעלמרובע הוא

.במרובע הוא זוויותסכום ה משפט:

:מקבילית

מקבילות.נגדיות מרובע שבו שני זוגות של צלעות מקבילית היא : הגדרה

:תכונות המקבילית

.זו לזוכל שתי צלעות נגדיות שוות במקבילית :1 משפט

נגדיות שוות. זוויותכל שתי במקבילית :2משפט

.הואסמוכות זוויותכל שתי במקבילית סכום :3משפט

את זה. האלכסונים חוצים זהבמקבילית :4 משפט

צלעל גובהצלעמקבילית שטח, סכום הצלעות מקבילית היקף

:נשתמש באחת הדרכים הבאות מקביליתכדי להוכיח כי מרובע הוא

הוא מקבילית. צלעות נגדיות מקבילות זוג מרובע שבו כל:1 משפט

.הוא מקבילית צלעות נגדיות שוות זוג מרובע שבו כל:2משפט

.ות הוא מקביליתומקביל תצלעות שווזוג מרובע שבו :3משפט

.הוא מקבילית נגדיות שוות זוויות זוג מרובע שבו כל:4משפט

.הוא מקבילית חוצים זה את זה מרובע שאלכסוניו:5משפט

:מלבן שכל זוויותיו ישרות.מרובע מלבן הוא : הגדרה

.סוג של מקביליתהוא מסקנה: מלבן

:(המקביליתהמלבן )בנוסף לתכונות תכונות

ישרות. זוויותהמלבן שוות והן זוויותארבע :1 משפט

האלכסונים במלבן שווים זה לזה. :2משפט

(צלעל גובה)צלעמלבן שטח, סכום הצלעות מלבן היקף

:נשתמש באחת הדרכים הבאות מלבןכדי להוכיח כי מרובע הוא

ישרות הוא מלבן. זוויות מרובע שבו שלוש :1 משפט

.ישרה היא מלבן זוויתמקבילית שבה :2משפט

.מקבילית שבה האלכסונים שווים היא מלבן :3משפט

360o

180

A B

C D

A B

C D

26

מעוין: שכל צלעותיו שוות.מרובע מעוין הוא : הגדרה

.סוג של מקביליתהוא מסקנה: מעוין

:(המקביליתהמעוין )בנוסף לתכונות תכונות

כל הצלעות שוות.במעוין :1 משפט

האלכסונים מאונכים זה לזה.במעוין :2משפט

זוויות.הם חוצי האלכסונים במעוין :3משפט

אלכסון(/)אלכסון2(צלעל גובה)צלעמעוין שטח, 4צלעמעוין היקף

:נשתמש באחת הדרכים הבאות מעויןכדי להוכיח כי מרובע הוא

מרובע שבו כל הצלעות שוות הוא מעוין. :1 משפט

.מקבילית שבה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין :2משפט

.היא מעויןזה לזה מקבילית שבה האלכסונים מאונכים :3משפט

)מספיק אחד( .היא מעוין זוויתמקבילית שבה אלכסון חוצה :4משפט

ריבוע: שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.מרובע ריבוע הוא : הגדרה

.וסוג של מעוין מלבןסוג של מקבילית, סוג של ריבוע הוא מסקנה:

מכאן, שבנוסף לתכונות שבהגדרת הריבוע מתקיים כי אלכסוני הריבוע חוצים

זה את זה, שווים זה לזה, מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות הריבוע.

)אלכסון(2/2(צלע)2ריבוע שטח, 4צלעריבוע היקף

:נשתמש באחת הדרכים הבאות ריבועכדי להוכיח כי מרובע הוא

מלבן שבו האלכסונים מאונכים הוא ריבוע. :1 משפט

.הוא ריבוע זוויתמלבן שבו אלכסון חוצה :2משפט

.מלבן שבו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע :3משפט

.שווים הוא ריבועמעוין שבו האלכסונים :4משפט

.ישרה הוא ריבוע זוויתמעוין שבו :5משפט

טרפז: שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות. מרובע טרפז הוא : הגדרה

סכום הבסיסים(/)גובה2טרפז שטח, סכום הצלעותטרפז היקף

:זווית ריש טרפז

A B

C D

A

B

C

D

A B

C D

A B

C D A B

C D

27

:טרפז שווה שוקיים

משפטים הנוגעים לטרפז שווה שוקיים:

שליד אותו בסיס שוות זו לזו. זוויותבטרפז שווה שוקיים ה:1 משפט

שליד אותו בסיס שוות זו לזו הוא טרפז זוויותטרפז שבו ה:(1-ל)משפט הפוך

.שווה שוקיים

בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים זה לזה.:2 משפט

.טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים:(2-ל)משפט הפוך

:קטע אמצעים בטרפז

קטע המחבר את אמצעי השוקיים בטרפז.הוא בטרפז קטע אמצעים הגדרה:

.למחצית סכומםשווה ובסיסים לאמצעים בטרפז מקביל קטע משפט:

טרפז ומקביל לבסיסים, חוצה בשוק אחת מאמצעהיוצא קטע הפוך:משפט

את השוק השנייה )כלומר הוא קטע אמצעים בטרפז(.

דלתון:

שבו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.מרובע דלתון הוא : הגדרה

.בסיס משותף יניתן לפרק לשני משולשים שווי שוקיים בעלמסקנה: דלתון הוא מרובע ש

בדלתון:תכונות האלכסונים

, חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו.הראש זוויותחוצה את בדלתון הראשי האלכסון משפט:

האלכסון הראשי אינו בהכרח גדול מהאלכסון המשני. הערה:

אלכסון(/)אלכסון2דלתון שטח, סכום הצלעותדלתון היקף

A B

C D

A B

C D

E F

A

B

C

D

28

זוג צלעותמקבילות

בלבד()אחד

זוג צלעות סמוכות שוות

האלכסונים מאונכים

ויתואלכסון חוצה ז

וית אחת ישרהוז

האלכסונים שווים

כל הצלעות

שוות

ויות וז 3 ישרות

זוג צלעות סמוכות שוות

האלכסונים מאונכים

יתואלכסון חוצה זו

ית אחת ישרהוזו

האלכסונים שווים

מקבילותכל זוג צלעות נגדיות

כל זוג צלעות נגדיות שוות זוג אחד של צלעות נגדיות שווה ומקביל

ויות נגדיות שוותוכל זוג ז

האלכסונים חוצים זה את זה

מעוין מלבן

מקבילית

ריבוע

טרפז

משפחת המרובעים:

29

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מס' תרגיל מדף התרגילים

תוכן הסרטון

הגדרת מרובע, סכום הזוויות במרובע 1סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 1תרגיל 2סרטון של ההוכחה מדויקרישום 1תרגיל 3סרטון הגדרה + תכונות המקבילית + חישוב היקף ושטח מקבילית 4סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 2תרגיל 5סרטון של ההוכחה מדויקרישום 2תרגיל 1סרטון מוכיחים שמרובע הוא מקביליתכיצד 7סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 3תרגיל 1סרטון של ההוכחה מדויקרישום 3תרגיל 9סרטון הגדרה + תכונות המלבן + חישוב היקף ושטח מלבן 12סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 4תרגיל 11סרטון של ההוכחה מדויקרישום 4תרגיל 12סרטון כיצד מוכיחים שמרובע הוא מלבן 13סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 5תרגיל 14סרטון של ההוכחה מדויקרישום 5תרגיל 15סרטון של ההוכחה מדויקהמשך רישום 5תרגיל 11סרטון הגדרה + תכונות המעוין + חישוב היקף ושטח מעוין 17סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 1תרגיל 11סרטון של ההוכחה מדויקרישום 1תרגיל 19סרטון כיצד מוכיחים שמרובע הוא מעוין 22סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 7תרגיל 21סרטון של ההוכחה מדויקרישום 7תרגיל 22סרטון ושטח ריבוע הגדרה + תכונות הריבוע + חישוב היקף 23סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 1תרגיל 24סרטון של ההוכחה מדויקרישום 1תרגיל 25סרטון כיצד מוכיחים שמרובע הוא ריבוע 21סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 9תרגיל 27סרטון של ההוכחה מדויקרישום 9תרגיל 21סרטון של ההוכחה מדויקהמשך רישום 9תרגיל 29סרטון

הגדרת הטרפז ותכונותיו, כיצד מוכיחים שמרובע הוא טרפז, חישוב היקף ושטח 32סרטון טרפז

שאלת חישוב שטח טרפז )ללא רישום הוכחה מסודרת( 12תרגיל 31סרטון משפטים ומשפטים הפוכים –טרפז ישר זווית וטרפז שווה שוקיים 32סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 11תרגיל 33סרטון של ההוכחה מדויקרישום 11תרגיל 34סרטון הגדרת קטע אמצעים בטרפז, משפט ומשפט הפוך 35סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 12תרגיל 31סרטון של ההוכחה מדויקרישום 12תרגיל 37סרטון של ההוכחה מדויקהמשך רישום 12תרגיל 31סרטון

הגדרת הדלתון, תכונות, משפט לגבי האלכסונים, כיצד מוכיחים שמרובע הוא 39סרטון דלתון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 13תרגיל 42סרטון של ההוכחה מדויקרישום 13תרגיל 41סרטון

הידע שנלמד משפחת המרובעים: שרטוט מסכם שמכיל בצורה נוחה את כל 42סרטון בפרק המרובעים. מומלץ מאוד!

31

:תרגילים

שבציור הם -ו. המשולשים 1

(. משולשים שווי שוקיים )

.נתון:

.חשב את גודלה של הזווית

.שאלכסוניה נפגשים בנקודה . נתונה מקבילית 2

., , נתון:

.חשב את אורך הקטע

.האריכו כאורכה עד לנקודה במקבילית . את הצלע 3

מקבילית. הוכח:

.שבו . נתון מלבן 4

.הוכח:

,ובה . נתונה מקבילית 5

הם חוצי -ו ,

,,הזוויות

בהתאמה. -ו

מלבן. הוכח:

שאלכסוניו . נתון מעוין 1

. האריכו את נפגשים בנקודה

כך עד לנקודה הצלע

.שמתקיים

.הוכח:

ABCACD

AB AC AD

80oBAD

BCD

ABCDM

DQ AC12

BC DB20cmAC

AQ

ABABCDT

BTCD

ABCDDM MC

MAB MBA

ABCDAP

BQCMDN

ABC

D

TRLS

ABCD

M

ABE

ED DB

AD AE

A

B

C

D

Q

C

M

A B

D

A B

C D

M

S

C

T

A B

D

M N

R

B

L

Q P

A B

C D

M

E

31

שאלכסוניו . נתון מלבן 7

. האריכו נפגשים בנקודה

כאורכה את הצלע

ואת עד לנקודה

כאורכה עד הצלע

כמתואר בשרטוט. לנקודה

הוא מעוין. הוכח: המרובע

. נתון כי . בריבוע 1

.הוכח:

שאלכסוניו נפגשים . נתון מעוין 9

, . נתון: בנקודה

,.

הוא ריבוע. הוכח: המרובע

שאורכי . נתון טרפז 12

צלעותיו נתונים בשרטוט.

חשב את שטח הטרפז

)פתור כתרגיל חישוב(.

שאלכסוניו . נתון מלבן 11

.נפגשים בנקודה

.נתון:

טרפז שווה שוקיים. הוכח:

ABCD

M

AB

F

AD

E

EBDF

ABCDAE BF

DE AF

ABCD

MAE FC

12

MB AB15oEBA

EBFD

ABCD

ABCD

O

MN DC

DMNC

A B

C D

M

F

E

A B

C D

M F

E

A

B

C

D M

F

E

A B

C D

13cm

26cm

5cm

20cm

A B

C D

M

O

N

32

הוא קטע אמצעים בטרפז ישר זווית . 12

( שאלכסוניו ,)

. נפגשים בנקודה

., , נתון:

.חשב את אורך הקטע

האריכו את האלכסון . בדלתון 13

כמתואר בשרטוט ידיוצהמשני משני

.כך שמתקיים:

הוא דלתון. הוכח: המרובע

:פתרונות

1 . 2 . 12 . 12 .

KN

ABCDAB DCAD AB

O

45OADB 2DC AB12cmAD

LM

ABCD

KD BL

ALCK

140BCD 5cmAQ 2186cm

S 6cmLM

A B

C D

M

O

N L K

A

B

C

D M L K

33

המעגל – 4.7 :הגדרות

המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה קבועה קבוע. –מעגל

נקראת מרכז המעגל.הנקודה הקבועה

קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל. –רדיוס

קטע המחבר שתי נקודות שעל המעגל. –מיתר

מיתר העובר במרכז המעגל. –קוטר

היקף מעגל =

שטח מעגל =

חלק מהיקף המעגל –קשת

חלק משטח המעגל –גזרה

זווית שקודקודה במרכז המעגל ושוקיה רדיוסים –זווית מרכזית

זווית שקודקודה על היקף המעגל ושוקיה מיתרים –זווית היקפית

משפטים:

: מיתרים שווים נשענים על קשתות שוות ולהיפך1משפט

: על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות ולהיפך2משפט

שווים ממרכז המעגל: מיתרים שווים נמצאים במרחקים 3משפט

: מיתרים הנמצאים במרחק שווה ממרכז המעגל שווים3-משפט הפוך ל

: אנך למיתר ממרכז המעגל חוצה את המיתר4משפט

(: רדיוס החוצה מיתר מאונך לו1) 4-משפט הפוך ל

(: קטע היוצא מאמצע מיתר ומאונך לו, עובר במרכז המעגל2) 4-משפט הפוך ל

פיות הנשענות על אותה קשת/קשתות שוות, שוות ביניהן: שתי זוויות היק5משפט

: זוויות היקפיות שוות נשענות על קשתות שוות5-משפט הפוך ל

: זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת1משפט

: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה7משפט

זווית היקפית ישרה הוא קוטר: מיתר עליו נשענת 7-משפט הפוך ל

: משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה1משפט

: קטע המאונך לרדיוס בקצהו משיק למעגל1-משפט הפוך ל

: שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה9משפט

2 R

2R

34

: קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה שממנה יוצאים שני משיקים חוצה את 12משפט הזווית בין המשיקים

: הזווית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו 11משפט השני

: קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו12משפט

: קטע המרכזים )או המשכו( של שני מעגלים משיקים עובר בנקודת ההשקה13משפט

: מרכז מעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים במשולש14משפט

הוא מפגש חוצי הזווית במשולש: מרכז מעגל החסום במשולש 15משפט

: במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 11משפט

, המרובע בר חסימה במעגל: אם במרובע סכום זוג זוויות נגדיות הוא 11-משפט הפוך ל

: במרובע החוסם מעגל סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני17משפט

: אם במרובע סכום זוג צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני אז ניתן לחסום 17-משפט הפוך ל

בתוכו מעגל

: כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל וניתן לחסום בתוכו מעגל11משפט

מיד לאחר הטבלה.לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע

180o

180o

מס' תרגיל מס' סידורי בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רדיוס, מיתר, קוטרהגדרת מעגל, 1סרטון

הגדרת ונוסחאות היקף ושטח מעגל, הגדרת קשת, גזרה, זווית מרכזית 2סרטון וזווית היקפית

הסבר על מדידת קשתות במעלות 3סרטון

בסיכום 3-וההפוך ל 1,2,3משפטים 4סרטון

בסיכום 4 -ושני המשפטים ההפוכים ל 4משפט 5סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום א1תרגיל 1סרטון רישום מדוייק של ההוכחה א1תרגיל 7סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום ב1תרגיל 1סרטון של ההוכחה מדויקרישום ב1תרגיל 9סרטון בסיכום 5-וההפוך ל 5משפט 12סרטון

תרגיל חישוב 2תרגיל 11סרטון בסיכום 1משפט 12סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 3תרגיל 13סרטון של ההוכחה מדויקרישום 3תרגיל 14סרטון בסיכום 7-וההפוך ל 7משפט 15סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 4תרגיל 11סרטון של ההוכחה מדויקרישום 4תרגיל 17סרטון בסיכום 1-וההפוך ל 1מהו משיק למעגל + משפט 11סרטון

בסיכום 9משפט 19סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 5תרגיל 22סרטון של ההוכחה מדויקרישום 5תרגיל 21סרטון

35

בסיכום 12משפט 22סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום א1תרגיל 23סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום ב1תרגיל 24סרטון של ההוכחה מדויקרישום א1תרגיל 25סרטון של ההוכחה מדויקרישום ב1תרגיל 21סרטון בסיכום 11משפט 27סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 7תרגיל 21סרטון של ההוכחה מדויקרישום 7תרגיל 29סרטון בסיכום 13-ו 12הסבר על שני מעגלים + משפטים 32סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 1תרגיל 31סרטון של ההוכחה מדויקרישום 1תרגיל 32סרטון 15בסיכום, משולש חוסם + משפט 14משפט משולש חסום + 33סרטון

בסיכום מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 9תרגיל 34סרטון של ההוכחה מדויקרישום 9תרגיל 35סרטון 12בסיכום + פתרון תרגיל 11-וההפוך ל 11מרובע חסום + משפט 12תרגיל 31סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 11תרגיל 37סרטון של ההוכחה מדויקרישום 11תרגיל 31סרטון 12בסיכום + פתרון תרגיל 17-וההפוך ל 17מרובע חוסם + משפט 12תרגיל 39סרטון בסיכום 11מצולע משוכלל + משפט 42סרטון

36

תרגילים:

, והם חותכים את הקטע הם מיתרים במעגל שמרכזו -ו , . 1

בהתאמה. -ו, , העובר במרכז המעגל, בנקודות

. , נתון:

.א. הוכח:

., ב. נתון בנוסף כי

.הוכח:

-ו . חשב את גודל הזוויות 2

במעגל הנתון.

.הם מיתרים במעגל שמרכזו -ו . 3

. , נתון:

.חשב את גודלה של הזווית

)המיתר הם מיתרים במעגל שמרכזו -ו , , , . 4

.בנקודה חותך את המיתר (. הקטע -עובר ב

. , נתון:

.הוכח:

של המקבילית -ו ,. הצלעות 5

בהתאמה )ראה שרטוט(. -ו , משיקות למעגל בנקודות

. חשב את היקף המקבילית., נתון:

CDABKLO

MGFEM

CF FDKL CD

KM ML

AB MGML EB

MO OE

ABBCO

60oAGC BA OC

AOC

ABACADBCCDO

ADOBEACG

BG GEBE CD

BC CD

ABADDC

ABCDBLK

14cmBC 6cmKC

A

B

C

G O

D

E F

K

L

M

α

β 550

400

500

A

B C G

O

A B

C

G

O

D

E

A B

C

L

D K

37

משיקות של המשולש -ו . הצלעות 1

בהתאמה. -ו , בנקודותלמעגל שמרכזו

.עוברת בנקודה הצלע

. , נתון:

.א. חשב את גודלה של זווית

ב. חשב את אורכו של רדיוס המעגל.

מונחים של המלבן -ו . הקודקודים 7

משיקה למעגל בנקודה על מעגל. הצלע

.חותכת את המעגל בנקודה והצלע

.הוכח:

.הדרכה: סמן

משיקים מבחוץ -ו המעגלים שמרכזיהם . 1

.זה לזה ומשיקים מבפנים למעגל שמרכזו

.הוא נתון כי רדיוס המעגל שמרכזו

.חשב את היקף המשולש

. במשולש הוא התיכון לצלע . 9

הוא שווה אז המשולש נמצא על הוכח: אם מרכז המעגל החסום במשולש .א שוקיים.

?נמצא על בהמשך לסעיף א', האם מרכז המעגל החוסם את משולש .ב

בשרטוט הבא: α. חשב את גודלה של הזווית 12

ACBCABC

OKB

ABO

AK KC15cmAB

A

BCABCD

ADG

ABH

2 3C C

AGH

MG

O

O8cm

OMG

ADBCABC

ABCADABC

ABCAD

A

B C

O

K

A B

C

H

G

D

2

3

1

O

G

M

α

500

350

300

550

38

-ו הנקודות -ו מאונכת לבסיסים שבו השוק . בטרפז ישר זווית 11

-ו הם חוצי הזוויות -ו בהתאמה כך שהקטעים -ו נמצאות על הצלעות

. בהתאמה. חוצי הזוויות נפגשים בנקודה

ניתן לחסום במעגל. הוכח: את המרובע

בשרטוט הבא: . חשב את גודלו של 12

:פתרונות

ב. . א. 1 . 5 . 3 . 2

1 . 12 . 12 ..

ABCDADABDCKL

DCADBKCLBC

M

DKML

x

35 , 95 40AOC 48cmP 30A 5cmR

16cmP 70 2x

39

פרופורציה ודמיון - 4.1 פרופורציה:

משפט תאלס: שני ישרים מקבילים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים

שני ישרים החותכים שוקי זווית מקצים עליהן קטעים משפט הפוך למשפט תאלס: אם

פרופורציוניים הישרים מקבילים

משפט תאלס + ההפוך:

משפט תאלס המורחב + ההפוך:

משפט תאלס "שעון חול" + ההפוך:

משפט חוצה הזווית: חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית ביחס הזהה ליחס בין

ולהפך.הצלעות שביניהן הוא כלוא

דמיון משולשים:

ושצלעותיהם שומרות הם משולשים ששווים זה לזה בכל זוויותיהם דומיםהגדרה: משולשים

.בהתאמה על אותו יחס

AD AEDE BC

DB EC

AD AE DEDE BC

AB AC BC

BE AE ABAB DC

ED EC DC

A

B

C

D

E

A B

C D

E

, ,

ABC DEF

A D B E C F

AB AC BC

DE DF EF

A

B C

D

E F

41

משפטי הדמיון:

.דומים.ז.(: אם בין שני משולשים שוות שתי זווית אז המשולשים זזווית )-דמיון זוויתמשפט . 1

צלע )צ.ז.צ(: אם בין שני משולשים שתי צלעות שומרות על אותו יחס -זווית-משפט דמיון צלע. 2

והזווית שביניהן שווה אז המשולשים דומים.

צלעות שומרות על אותו ה שלושצלע )צ.צ.צ(: אם בין שני משולשים -צלע-צלע דמיוןמשפט . 3

.דומיםאז המשולשים יחס

שומרות על והזווית הגדולה )צ.צ.ז(: אם בין שני משולשים שתי צלעות -צלע-לעצ דמיוןמשפט . 4

.דומיםאז המשולשים שווהוהזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן אותו יחס

יחס בין גדלים במשולשים דומים:

: בין שני משולשים דומים היחס בין הגבהים/תיכונים/חוצי זווית/היקפים/רדיוס המעגל 1משפט

החוסם/רדיוס המעגל החסום הוא כיחס הדמיון.

: היחס בין שטחי משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.2משפט

:במשולש ישר זוויתפרופורציות

: במשולש ישר זווית, הגובה ליתר בריבוע שווה למכפלת היטלי הניצבים על היתר. 1משפט

לת היתר והיטל הניצב על היתר. : במשולש ישר זווית, ניצב בריבוע שווה למכפ2משפט

(: אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי 1)הפוך למשפט 3משפט

הצלעות האחרות על צלע זאת, המשולש ישר זווית.

פרופורציות במעגל:

: אם שני מיתרים נחתכים במעגל, מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר 1משפט

השני.

: אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל, מכפלת חותך אחד בחלקו 2ט משפ

החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.

: אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל, מכפלת החותך בחלקו 3משפט

החיצוני שווה לריבוע המשיק.

41

התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף

מס' תרגיל מס' סידורי בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רקע, מהי פרופורציה, משפט תאלס וההפוך לתאלס 1סרטון

1תרגיל 2סרטון הרחבה ראשונה למשפט תאלס + משפט הפוך 3סרטון

הרחבה שנייה למשפט תאלס )תאלס "שעון חול"( + משפט הפוך 4סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 2תרגיל 5סרטון של ההוכחה מדויקרישום 2תרגיל 1סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום א' 3תרגיל 7סרטון של ההוכחה מדויקרישום א' 3תרגיל 1סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום ב' 3תרגיל 9סרטון של ההוכחה מדויקרישום ב' 3תרגיל 12סרטון משפט חוצה הזווית והמשפט ההפוך לו 11סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 4תרגיל 12סרטון של ההוכחה מדויקרישום 4תרגיל 13סרטון מהו דמיון, סימונים בדמיון –דמיון משולשים 14סרטון

ארבעת משפטי הדמיון –דמיון משולשים 15סרטון

של ההוכחה מדויקהרעיון להוכחה ורישום 5תרגיל 11סרטון סוגי דמיון נפוצים, הקשר בין משפט תאלס לדמיון משולשים 17סרטון

מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 1תרגיל 11סרטון של ההוכחה מדויקרישום 1תרגיל 19סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום א' 7תרגיל 22סרטון של ההוכחה מדויקרישום א' 7תרגיל 21סרטון היחס בין גדלים במשולשים דומים, כולל יחס שטחי משולשים דומים 22סרטון

של ההוכחה מדויקהרעיון להוכחה ורישום ב' 7תרגיל 23סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 1תרגיל 24סרטון של ההוכחה מדויקרישום 1תרגיל 25סרטון רקע והסבר כללי –פרופורציה במשולש ישר זווית 21סרטון

שלושת המשפטים –פרופורציה במשולש ישר זווית 27סרטון

תרגיל חישוב. לא נדרשת הוכחה 9תרגיל 21סרטון תרגיל חישוב. לא נדרשת הוכחה 12תרגיל 29סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 11תרגיל 32סרטון של ההוכחה מדויקרישום 11תרגיל 31סרטון שלושת משפטי המשיק/חותך/מיתר במעגל –פרופורציה במעגל 32סרטון

תרגיל חישוב. לא נדרשת הוכחה 12תרגיל 33סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 13תרגיל 34סרטון של ההוכחה מדויקרישום 13תרגיל 35סרטון מדויקהרעיון להוכחה ללא רישום 14תרגיל 31סרטון של ההוכחה מדויקרישום 14תרגיל 37סרטון

42

תרגילים:

בשרטוטים הבאים: . מצא את ערכו של 1

ב. א.

העבירו קטע . בנקודה האלכסונים נפגשים בנקודה . בטרפז 2

-ו המקביל לבסיסי הטרפז וחותך את שוקי הטרפז בנקודות

., , כמתואר בשרטוט. נתון:

.חשב את גודל הקטע

. בשרטוט נתון: 3

הוא מקבילית. א. הוכח: המרובע

., ב. נתון:

.חשב את אורך הקטע

. מונחות על היקפו של מעגל שמרכזו -ו , , הנקודות . 4

. חוצה את הזווית הרדיוס

., , נתון:

.חשב את אורכו של הקטע

כך העבירו את הקטע . במשולש 5

. -ש

.הוכח:

x

ABCDQQ

MN

18cmDC 9cmDQ 3cmQB

MQ

AK MC AL

KC BM LB

KLMC

1.5AL BL10cmBC

LK

ABCDO

ODBOC

8cmAB 12cmAC 10cmBC

MN

ABCBK

AKB ABC

AKB ABC

A B

C

N

D

M Q

A

B C

K

M

L

A

B C N M

D

O

A

B C

K

43

. המשיכו את הצלע. נתונה מקבילית 1

חותך את . הקטע עד לנקודה

.בנקודה הצלע

.הוכח:

. הצלע חסום במעגל שמרכזו . המשולש 7

.. נתון: מאונך לרדיוס היא קוטר המעגל. הקטע

.א. הוכח:

.ב. חשב את היחס:

( שבו השוק גדולה הוא משולש שווה שוקיים ). 1

מהבסיס. המשיכו את הבסיס משני צידיו עד לנקודות 2פי

. -ו כך שמתקיים -ו

.נתון:

. את שטח המשולש בטא באמצעות

בשרטוט הבא: -ו . מצא את ערכם של 9

. נתון כי אורך הגובה ליתר הוא -ו . במשולש ישר זווית שאורכי ניצביו 12

)אין צורך ברישום מסודר של הוכחה(. הראה שמתקיים:

BKMC

BKAAC

KML

LC BC LM AC

ABCOBC

BMOD2AC OM

2AB BD

BOM

BAC

S

S

ABCAB AC

D

EBC CED CAE

ABCS m

mADE

xy

mnh

2 2 2

1 1 1

h m n

A

B C

K L M

A

B

C

M

D

O

A

B C D E

44

. הוכח את המשפט: אם במשולש גובה לצלע אחת בריבוע שווה למכפלת היטלי הצלעות 11

האחרות על צלע זאת, המשולש ישר זווית.

בשרטוטים הבאים: -ו . חשב את גודלם של 12

ב. א.

. הוכח את המשפט: אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק למעגל, מכפלת החותך 13

בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

. הוכח את המשפט: אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים שני חותכים למעגל, מכפלת חותך 14

אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני.

:פתרונות

. 4 . ב. 3 . 2 ב. א. . 1

. א. 12 . 9 . 1 . 7

ב.

xy

1x 2x 4.5cmMQ 6cmLK 1cmMN

1

4

BOM

BAC

S

S

6ADES m 6 , 52y x 2 , 3y x

5 , 3x y

45

סדרות – 5פרק

סדרה חשבונית - 5.1

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

הסרטוןתוכן

לסדרות, סימונים דוגמאותמהי סדרה, 1סרטון הסבר ודוגמאות לסדרות כלליות 2סרטון הסבר ודוגמאות לסדרות נסיגה 3סרטון מהי סדרה חשבונית, נוסחת איבר כללי בסדרה חשבונית 4סרטון 1תרגיל 5סרטון 2תרגיל 1סרטון 3תרגיל 7סרטון 4תרגיל 1סרטון 5תרגיל 9סרטון 1תרגיל 12סרטון 7תרגיל 11סרטון הסבר על תכונות האיברים בסדרה חשבונית 1תרגיל 12סרטון 9תרגיל 13סרטון שתי נוסחאות לסכום סדרה חשבונית 14סרטון 12תרגיל 15סרטון 11תרגיל 11סרטון 12תרגיל 17סרטון 13תרגיל 11סרטון 14תרגיל 19סרטון 15תרגיל 22סרטון 11תרגיל 21סרטון א17תרגיל 22סרטון ב17תרגיל 23סרטון

הסבר על סדרה עם מספר זוגי של איברים וחישוב סכומי איברים 24סרטון במקומות הזוגיים או האי זוגיים

11תרגיל 25סרטון 19תרגיל 21סרטון 22תרגיל 27סרטון

1 1na a n d 12

n n

nS a a

12 12

n

nS a n d

46

תרגילים:

. נתונה הסדרה החשבונית: 1

איברים. 43מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה

. מצא מהו31והאיבר העשירי הוא 15. בסדרה חשבונית האיבר השישי הוא 2

האיבר הראשון בסדרה ומהו הפרש הסדרה.

. מצא כמה איברים יש בסדרה החשבונית: 3

וההפרש בין 17. בסדרה חשבונית סכום האיברים השני, החמישי והשמיני הוא 4

. מצא כמה איברים בסדרה אם ידוע 24עשר לאיבר השישי הוא -האיבר השנים

.221שהאיבר האחרון בה הוא

לב. מנהגו של שימי. תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכ5

קפיצות 3קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ 4הוא לקפוץ בדקה הראשונה

יותר מדקה הקודמת. כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה

קפיצות? 41האחרונה הוא קופץ

?552-ל 221יש בין 1-. כמה מספרים תלת ספרתיים שמתחלקים ב1

ישנם בסדרה החשבונית: . כמה איברים חיוביים 7

אם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים עוקבים בסדרה . מצא את ערכו של 1

חשבונית:

נתונה סדרה המוגדרת באמצעות כלל הנסיגה הבא:. 9

עשר שלה.-הוכח שהסדרה חשבונית ומצא מהו האיבר התשעה

עשר האיברים הראשונים בסדרה החשבונית: -. מצא את סכום ארבעה12

. נתונה הסדרה החשבונית: 11

?917כמה איברים יש לחבר בסדרה )החל מהראשון( על מנת להגיע לסכום של

נהגה של מימי. תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב. מ12

קפיצות 2קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ 11הוא לקפוץ בדקה הראשונה

יותר מדקה הקודמת. כמה דקות אורך תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל

קפיצות? 411אחה"צ היא קפצה

. נתונה הסדרה החשבונית: 13

חות יש לחבר בסדרה על מנת שהסכום המתקבל יהיה חיובי?כמה איברים לכל הפ

17,11, 5, 1, 7,...

1 1 1 12 2 2 2

2, 4 , 7, 9 ,12,14 , ...,49

91, 88, 85, 82, ...

x

23, 3 4, 1x x x

1

1

3

5

n na a

a

3, 2, 7,12,...

13, 7, 1, 5,....

71, 67, 63,...

47

. נתונה הסדרה החשבונית: 14

איברים. 31בסדרה יש

עשר האיברים האחרונים בסדרה.-חשב את סכום ארבעה

. נתונה הסדרה החשבונית: 15

מחקו כל איבר שלישי בסדרה.

מצא את סכום האיברים שנותרו.

1224 -איברים גדול ב האיברים האחרונים בסדרה חשבונית בת . סכום 11

האיברים הראשונים בה. מסכום

.באמצעות הפרש הסדרה, א. בטא את

. כמה איברים בסדרה?1ב. נתון כי הפרש הסדרה הוא

. . נתונה סדרה שבה 17

א. מצא את ערכם של שלושת האיברים הראשונים בסדרה.

ב. הוכח כי הסדרה חשבונית ומצא את הפרשה.

. נתונה הסדרה החשבונית: 11

איברים. 11בסדרה יש

זוגיים ואת סכום האיברים -חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי

הנמצאים במקומות הזוגיים.

-איברים סכום האיברים במקומות האי ובה . בסדרה חשבונית שהפרשה 19

.. הוכח כי 112וסכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 552זוגיים הוא

וגי של איברים, גדול סכום כל איברי הסדרה ז -. בסדרה חשבונית שבה מספר אי22

זוגיים. -מסכום איברי הסדרה הנמצאים במקומות האי פי

כמה איברים יש בסדרה?

:פתרונות

. 1 קפיצות .5איברים . 4איברים . 3 . 2 . 1

. 11. 12 . 9 . 1איברים חיוביים . 7מספרים

. 15 . 14איברים. . 13דקות . 12איברים.

ב. . א. 17איברים. ב. . א. 11

איברים. . 22 זוגיים: . זוגיים: 11

4,13, 22, 31,...

4, 9,14,19,...,599

n3n

n

nd

22 4nS n n

21, 17, 13,...

d2n

60nd

1415

1

43 235a 14 , 5d a 204815

58311 , 4x x 19 59a 14 413S

211637363723,920

512n

d24

1 2 36, 10, 14a a a 4d

135S 99S 29

48

סדרה הנדסית - 5.2

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

מהי סדרה הנדסית, נוסחת איבר כללי בסדרה הנדסית 21סרטון 1תרגיל 29סרטון 2תרגיל 32סרטון 3תרגיל 31סרטון 4תרגיל 32סרטון 5תרגיל 33סרטון 1תרגיל 34סרטון 7תרגיל 35סרטון 1תרגיל 31סרטון סדרה הנדסיתנוסחת סכום 37סרטון 9תרגיל 31סרטון 12תרגיל 39סרטון פתרון בדרך א' 11תרגיל 42סרטון פתרון בדרך ב' 11תרגיל 41סרטון 12תרגיל 42סרטון 13תרגיל 43סרטון

הסבר על סדרה עם מספר זוגי של איברים וחישוב סכומי איברים 44סרטון זוגיים-במקומות הזוגיים/אי

14תרגיל 45 סרטון 15תרגיל 41סרטון 11תרגיל 47סרטון 17תרגיל 41סרטון

1

1

n

na a q 1 1

1

n

n

a qS

q

49

תרגילים:

. נתונה הסדרה ההנדסית: 1

איברים. 9מצא את האיבר האחרון בסדרה אם ידוע שיש בה

. מצא כמה איברים יש בסדרה ההנדסית: 2

. מצא מהו האיבר הראשון בסדרה121והאיבר העשירי הוא 1. בסדרה הנדסית האיבר השישי הוא 3

ומהי מנת הסדרה.

וההפרש בין האיבר החמישי 432. בסדרה הנדסית ההפרש בין האיבר השביעי לאיבר החמישי הוא 4

. מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה.41לשלישי הוא

וסכום האיברים השני 3122רה הנדסית עולה ההפרש בין האיבר השמיני לאיבר הרביעי הוא . בסד5

. מצא מהו האיבר הראשון בסדרה ומהי מנת הסדרה.5.2והרביעי הוא

. תחביב אחה"צ של שימי הפרעוש הוא לקפוץ על טומי הכלב. מנהגו של שימי הוא לקפוץ בדקה 1

קפיצות מדקה הקודמת. כמה דקות אורך תחביב 3קה שאחריה לקפוץ פי קפיצות ובכל ד 4הראשונה

קפיצות? 324אחה"צ של שימי אם ידוע שבדקה האחרונה הוא קופץ

עוקבים בסדרה הנדסית. מצא גם את אם ידוע שהאיברים הבאים הם איברים מצא את ערכו של . 7

מנת הסדרה:

באמצעות כלל הנסיגה הבא:נתונה סדרה המוגדרת . 1

הוכח שהסדרה הנדסית ומצא מהו האיבר השמיני בה.

. מצא את סכום תשעת האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית: 9

. תחביב אחה"צ של מימי הפרעושה הוא לקפוץ על טומי הכלב. מנהגה של מימי הוא לקפוץ בדקה 12

יצות מדקה הקודמת. כמה דקות אורךקפ 5קפיצות ובכל דקה שאחריה לקפוץ פי 2הראשונה

קפיצות? 1512תחביב אחה"צ של מימי אם ידוע שבכל אחה"צ היא קפצה

מסכום 251, גדול פי 2איברים שמנתה האיברים האחרונים בסדרה הנדסית בת . סכום 11

כמה איברים בסדרה?האיברים הראשונים בה.

מסכום 1האיברים האחרונים גדול פי איברים, סכום . בסדרה הנדסית עולה שבה 12

האיברים הראשונים בה. מצא את מנת הסדרה.

מהאיבר השני בה. 122 -דרה גדול ב. האיבר האחרון בס252. סכום כל האיברים בסדרה הנדסית הוא 13

. 2מצא כמה איברים יש בסדרה אם ידוע שמנתה

1 1, ,1, 3,...

9 3

9 3 1 64, , ,...,

64 16 4 81

x

6, 4, 4 1x x x

1

1

2

3

n na a

a

5,10, 20, 40,....

n3nn

n3n3n

51

. נתונה הסדרה ההנדסית: 14

זוגיים ואת סכום האיברים -איברים. חשב את סכום האיברים הנמצאים במקומות האי 1בסדרה יש

הנמצאים במקומות הזוגיים.

מסכום האיברים 4הזוגיים גדול פי רים סכום האיברים במקומות איב . בסדרה הנדסית ובה 15

זוגיים. חשב את מנת הסדרה. -במקומות האי

את היחס בין סכום ובה מספר זוגי של איברים. בטא באמצעות . נתונה סדרה הנדסית שמנתה 11

איברי הסדרה כולה לבין סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בה.

מסכום 9האיברים הראשונים קטן פי איברים, סכום בסדרה הנדסית שבה .17

מהאיבר הראשון בה. 32 -האיברים הבאים אחריהם. האיבר האחרון בסדרה גדול ב

מצא את האיבר הראשון בסדרה.

:פתרונות

1 . 2 . 3 . 4 .

, . 7דקות. . 1 . 5

. . 13 . 12. . 11דקות. . 12 . 9 . 1

. 17 . 11 . 15 זוגיים: זוגיים: -. אי14

7,14, 28,...

2n

qq

2 1nnn

9 729a 7n 1

1, 2

4a q 1

23,

3q a

1

15,

25q a 511 3x q

2 1

3 2x q

8 384a 9 2555S 512n 2q 6n

595S 1190S 4q 1q

q

1

3

8a

51

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת - 5.3 סדרה שבה–

סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת:

לאחר הטבלה.לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

מהי סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, נוסחת סכום איברי סדרה הנדסית 49סרטון אינסופית מתכנסת

1תרגיל 52סרטון 2תרגיל 51סרטון 3תרגיל 52סרטון 4תרגיל 53סרטון 5תרגיל 54סרטון

0 1q

1

1

aS

q

52

תרגילים:

. מצא את סכום כל איברי הסדרה ההנדסית הבאה: 1

. מצא את האיבר הראשון בסדרה.32הוא . סכום כל איברי סדרה הנדסית אינסופית שמנתה 2

. מצא את 12. ידוע כי האיבר השני בסדרה הוא . נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה 3

הסדרה )שתי אפשרויות(. האיבר הראשון ואת מנת

. . סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 14. האיבר הראשון בסדרה הנדסית אינסופית יורדת הוא 4

זוגיים. -מצא את סכום האיברים במקומות האי

. מאיברי הסדרה הנתונה יצרו את סדרה חדשה 24. נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת שסכומה 5

באופן הבא:

הוכח שהסדרה החדשה היא הנדסית אינסופית יורדת. א.

. מצא את האיבר הראשון והמנה של הסדרה 32ב. ידוע שסכום כל איברי הסדרה החדשה הוא

המקורית.

:פתרונות

. 4 או . 3 . 2 . 1

5 ..

13

12, 4,1 ,...

14

12

62

13

9

1 2 2 3 3 4 4 5, , , , ...a a a a a a a a

18S 1 24a 1

1, 50

5q a 1

4 1, 12

5 2q a

218

3S

1

116,

3a q

53

סדרת נסיגה – 5.4

מופיע מיד לאחר הטבלה.לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

מהי סדרת נסיגה 55סרטון 1תרגיל 51סרטון 2תרגיל 57סרטון 3תרגיל 51סרטון 4תרגיל 59סרטון 5תרגיל 12סרטון

54

תרגילים:

. נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא:1

1

1

2 11

6

n na a n

a

א. מצא את האיבר השלישי בסדרה.

.12a-ו 14a. מצא את 18עשר בסדרה הוא -ב. נתון כי האיבר השלושה

.30a-ו 32aאת kבאמצעות עהב .kג. נתון כי האיבר השלושים ואחת בסדרה הוא

.113 ד. מצא את מיקומם של שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא

.62 ה. הסבר מדוע אין שני איברים סמוכים בסדרה שההפרש ביניהם הוא

. נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא:2

1

1

2

0

n na a n

a

72kaנתון כי . הבע באמצעותk 2אתka .

. נתונה סדרה המוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא:3

2

1

7

2 31n na a n

a t

7שעבורו האיברים t מצא את ערכו של 8 9, ,a a a .הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית

55

1 מוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא: naשהאיבר הכללי בה הוא סדרה . 4 6 2n na a n .

1nבאופן הבא: nbמגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא n nb a a .

היא סדרה חשבונית ומצא את הפרשה. nbא. הוכח שהסדרה

.1bב. חשב את

1 מוגדרת על פי כלל הנסיגה הבא: naשהאיבר הכללי בה הוא סדרה . 5 3 4n na a .

2nבאופן הבא: nbמגדירים סדרה חדשה שהאיבר הכללי בה הוא nb a .

מנתה.היא סדרה הנדסית ומצא את nbא. הוכח שהסדרה

5 ב. נתון: 162b . 1חשב אתa.

:פתרונות

3א. . 1 22a .14ב 33a ,12 5a .32ג 51a k ,30 49a k

62. ד 63,a a 2 .2 74 4ka k 3 .33t 4 . .6אd . 1. ב 4b

3qא. . 5 . 1. ב 0a

56

טריגונומטריה –1פרק

טריגונומטריה במשולש ישר זווית - 1.1 הגדרות הפונקציות הטריגונומטריות:

משפט פיתגורס:

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רקע היסטורי על טריגונומטריה, הגדרת ארבע הפונקציות 1סרטון הטריגונומטריות במשולש ישר זווית

תרגילי חישוב בסיסיים 1תרגיל 2סרטון המשך –תרגילי חישוב בסיסיים 1תרגיל 3סרטון טיפים לטריגונומטריה א' 4סרטון טיפים לטריגונומטריה ב' 5סרטון טיפים לטריגונומטריה ג' 1סרטון 2תרגיל 7סרטון 3תרגיל 1סרטון 4תרגיל 9סרטון הדגמת השימוש בנעלם 5תרגיל 12סרטון הדגמה ראשונה של שאלה עם פרמטרים 1תרגיל 11סרטון 7תרגיל 12סרטון 1תרגיל 13סרטון כולל הסבר על היתכנות כמה תשובות נכונות שנראות שונה 9תרגיל 14סרטון 12תרגיל 15סרטון 11תרגיל 11סרטון 12תרגיל 17סרטון

sina

c

cosb

c

tana

b

cotb

a

2 2 2a b c

הניצב שמול הזווית היתר

מול יתר

הניצב שליד הזווית היתר

ליד יתר

הניצב שמול הזווית הניצב שליד הזווית

מול ליד

שליד הזוויתהניצב הניצב שמול הזווית

ליד מול

57

תרגילים:

במשולשים ישרי הזווית הבאים: . מצא את ערכו של 1

ג. ב. א.

ה. ד.

(.שבציור הוא משולש ישר זווית ). המשולש 2

.הוא התיכון לניצב

., נתון:

., מצא:

(.שבציור הוא משולש ישר זווית ). המשולש 3

.הוא חוצה הזווית -הוא התיכון ליתר ו

., נתון:

., מצא:

.-ו . מצא את זויותיו של מעויין שאורכי אלכסוניו 4

היא קוטר המעגל. חסום במעגל כך שהצלע. המשולש 5

.נפגשים בנקודה והמשך הצלע המשיק למעגל בנקודה

., נתון:

מצא את אורכו של רדיוס המעגל.

/ x

ABC90oB

ADBC

28oC 6cmAB

?BAD ?AD

ABC90oB

BDAEA

5.6cmBD 8cmBC

?BAE ?BE

24cm18cm

ABCAC

ACBD

4cmBD 32oDAB

400

750

700

A

B C D

A

B C

D

E

A

B

C

D

58

. ס"מ מהבסיס נתון כי זווית הראש היא 4 -. במשולש שווה שוקיים שבו השוק ארוכה ב1

מצא את שטח המשולש.

(.שבציור הוא משולש ישר זווית ). המשולש 7

., נתון:

את היקף המשולש. -ו הבע באמצעות

(.שבציור הוא משולש ישר זווית ). המשולש 1

.הוא התיכון לניצב

., נתון:

.-ו את אורכי הקטעים -ו הבע באמצעות

. הבע באמצעות ואורך חוצה זווית זו הוא . במשולש ישר זווית אחת הזוויות החדות היא 9

את שטח המשולש ואת אורך היתר. -ו

(. הוא טרפז ישר זווית ). טרפז12

. -כך ש נמצאת על השוק הנקודה

. , נתון:

את שטח הטרפז. -ו הבע באמצעות

חוסם מעגל. הבע באמצעות וזווית הבסיס שלו היא . משולש שווה שוקיים שאורך שוקו 11

את רדיוס המעגל. -ו

והזווית שהיא יוצרת עם הבסיס . בטרפז ישר זווית חסום מעגל. אורך השוק הארוכה בטרפז היא 12

את אורכו של הבסיס הגדול בטרפז ואת שטחו. -ו . הבע באמצעות הגדול היא

34.92o

ABC90oB

A AB a

a

ABC90oB

ADBC

C AB b

bBDAD

k

k

ABCD90oB C

GBCAG DG

AG DG m BAG

m

k

k

b

b

A

B C D

A B

C D

G

A

B C

59

:פתרונות

ד. ג. ב. . א. 1

, . 3 , . 2 ה.

4 . 5 .

1 . 7. 1 . ,

9 . ,

12 . 11 . 12 . ,

15.665cmx 8.114cmx 3.931cmx 40.005

29.745 43.24BAD 8.236cmAD 22.792BAE

3.294cmBE 73.74 , 73.74 , 106.26 , 106.26 6.04cmR

228.618cm

S 1

1 tancos

P a

2tan

bBD

22

24tan

bAD b

2 2cos tan2

2

k

S

cos2

cos

k

AC

2

sin cos

2

m m cos tan

2R k

2 21 1sin 3

4tan

2

S b

1sin

1 2sin2

tan2

b

b

61

זהויות טריגונומטריות –1.2 זהויות היסוד

זהויות של סכום והפרש זוויות

זהויות של זווית כפולה

זהויות של סכום והפרש פונקציות

sintan

cos

coscot

sin

tan cot 1

2 2sin cos 1

2

2

1tan 1

cos

sin 90 cos

cos 90 sin

tan 90 cot

cot 90 tan

o

o

o

o

sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin

sin2 2sin cos

2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2sin cos2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

61

המעגל הטריגונומטרי

(1המעגל הטריגונומטרי הוא מעגל היחידה )מעגל קנוני שרדיוסו

טבלת ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבור הזוויות המיוחדות:

הזהויות של מעגל היחידה

90o60o45o30o0o

1

3

2

2

2

1

20sin

0

1

2

2

2

3

21cos

31

1

30tan

0

1

313cot

sin 0 0

sin 90 1

sin180 0

sin 270 1

o

o

o

o

cos0 1

cos90 0

cos180 1

cos 270 0

o

o

o

o

tan 0 0

tan 90

tan180 0

tan 270

o

o

o

o

sin / cos / tan 360 sin / cos / tano

sin 180 sin

sin 180 sin

sin sin

o

o

cos 180 cos

cos 180 cos

cos cos

o

o

tan 180 tan

tan 180 tan

tan tan

o

o

62

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

חלק א' –זהויות היסוד 1סרטון חלק ב' –זהויות היסוד 2סרטון חלק ג' –זהויות היסוד 3סרטון כולל הסבר על מה עושים עם זהויות ומהי הוכחת זהויות 1תרגיל 4סרטון המשך שאלה מהסרטון הקודם 1תרגיל 5סרטון זהויות של סכום והפרש זוויות 1סרטון 2תרגיל 7סרטון זהויות של זווית כפולה 1סרטון 3תרגיל 9סרטון 3תרגיל 12סרטון זהויות של סכום והפרש פונקציות 11סרטון 4תרגיל 12סרטון

ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבור הזוויות 13סרטון ראיהמעגל הטריגונומטרי: הקדמה והסבר על זוויות 14סרטון המעגל הטריגונומטרי: תרגול זוויות ראי 15סרטון המעגל הטריגונומטרי: הסבר על שימוש במעגל הטריגונומטרי 11סרטון המעגל הטריגונומטרי: סיכום הזהויות הנובעות מהמעגל הטריגונומטרי 17סרטון

טריגונומטרית המעגל הטריגונומטרי: חישוב ללא מחשבון של פונקציה 11סרטון על פי המעגל הטריגונומטרי

5תרגיל 19סרטון

22סרטון המעגל הטריגונומטרי: ערכי הפונקציות הטריגונומטריות עבור הזוויות

1תרגיל 21סרטון

30 , 45 , 60o o o

0 , 90 ,180 , 270o o o o

63

:תרגילים

:. הוכח את הזהויות הבאות1

:. הוכח את הזהות הבאה2

:. הוכח את הזהויות הבאות3

:. הוכח את הזהויות הבאות4

:. ענה ללא שימוש במחשבון5

:. הוכח את הזהות הבאה1

3 2cos cos sin cos

3

3

sintan

sin 90 coso

2 2sin sin2

1 cos 1 cos

2 2 2 2tan sin tan sin

sintan tan

cos cos

2

sin cos 1 sin 2 4sin cos cos2 sin4

4 4cos sin cos2 2

sin3 cos3 1 sin6

2cos2 2sin cos2 1cot 2

sin 4 2

cos sin2cot 2

sin cos

sin sin5tan3

cos cos5

2 2sin 3 sin sin2 sin4

sin150o tan 225o cos 45o

cos210o sin315o sin510o

tan120o cos120o cos930o

sin330o tan 30o tan 225o

sin 180 sin 90 1

cos 2 cos sin

o o

64

משוואות –טריגונומטריה - 1.3

המיוחדות:סיכום פתרונות המשוואות

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רקע, ידע מקדים, כיצד פותרים משוואה עם סינוס 1תרגיל 1סרטון 2תרגיל 2סרטון 3תרגיל 3סרטון 4תרגיל 4סרטון כיצד פותרים משוואה עם קוסינוס 5תרגיל 5סרטון 1תרגיל 1סרטון כיצד פותרים משוואה עם טנגנס 7תרגיל 7סרטון 1תרגיל 1סרטון 9תרגיל 9סרטון 12תרגיל 12סרטון 11תרגיל 11סרטון (-1או 1, 2 הסבר על המשוואות המיוחדות )שבאגף ימין שלהן 12תרגיל 12סרטון sin-sinמשוואות 13תרגיל 13סרטון

sin sin

360

180 360

o

o o

x

x k

x k

tan tan

180o

x

x k

cos cos

360

360

360

o

o

o

x

x k

x k

x k

sin 0

180o

x

x k

x k

tan 0

180o

x

x k

x k

cos 0

90 180

2

o o

x

x k

x k

sin 1

90 360

22

o o

x

x k

x k

cos 1

360

2

o

x

x k

x k

sin 1

270 360

32

2

o o

x

x k

x k

cos 1

180 360

2

o o

x

x k

x k

65

14תרגיל 14סרטון cos-cosמשוואות 15תרגיל 15סרטון 11תרגיל 11סרטון tan-tanמשוואות 17תרגיל 17סרטון abc=0משוואות מסוג 11תרגיל 11סרטון 19תרגיל 19סרטון 22תרגיל 22סרטון tמשוואות עם הצבת 21תרגיל 21סרטון 22תרגיל 22סרטון 23תרגיל 23סרטון משוואות עם מכנה ותחום הגדרה 24תרגיל 24סרטון 25תרגיל 25סרטון הכרות עם שימוש בזהויות בפתרון משוואות טריגונומטריות 21תרגיל 21סרטון 27תרגיל 27סרטון 21תרגיל 21סרטון 29תרגיל 29סרטון 32תרגיל 32סרטון 31תרגיל 31סרטון tanלקבלת cos-משוואות עם חלוקה ב 32תרגיל 32סרטון פתרון משוואות בתחום נתון 33תרגיל 33סרטון 34תרגיל 34סרטון 35תרגיל 35סרטון

הסבר על מהו רדיאן והקשר –רדיאנים 31תרגיל 31סרטון 37תרגיל 37סרטון 31תרגיל 31סרטון 39תרגיל 39סרטון 42תרגיל 42סרטון 41תרגיל 41סרטון 42תרגיל 42סרטון 43תרגיל 43סרטון

180o

66

:תרגילים

1.

2.

3.

4.

5.

1.

7.

1.

ג. ב. א. .9

ג. ב. א. .12

ג. ב. א. .11

ד. ג. ב. א. .12

ח. ז. ו. ה.

13.

ב. א. .14

15.

1sin

2x

2sin

2x

3sin

2x

1sin

2x

1cos

2x

3cos

2x

1tan

3x

tan 1x

sin 0.7x cos 0.6x tan 5x

1sin3

2x 2cos2 3x tan5 1x

3

sin 2 302

ox 2

cos 75 32

o x tan 50 1.3o x

sin 0x sin 1x sin 1x cos 0x

cos 1x cos 1x tan 0x tan 1x

sin sin3x x

sin 2 sin 30ox x sin sin 120ox x

cos cos3x x

67

11.

ב. א. .17

11.

19.

22.

21.

22.

23.

24.

25.

21.

27.

21.

29.

ב. א. .32

31.

. ד .ג ב. א. .32

ב. א. .33

cos cos 40ox x

tan tan3x x tan 2 tan 60ox x

sin cos3 0x x

2sin 2 2sin 2 0x x

2 3cos

4x

22sin sin 1 0x x

2tan 3tan 4 0x x

2cos 1 0

cosx

x

sin0

cos 1

x

x

cos20

tan 1

x

x

sin cosx x

sin tan 0x x

sin sin2 0x x

3cos cos2 0x x

sin sin3x x cos2 cos3x x

sin 30 cosox x

sin cosx xsin cosx x sin 2cosx x2 23sin cosx x

1sin 0 ,360

2

o ox 1

tan 360 ,3603

o ox

68

34.

35.

31.

37.

31.

39.

42.

41.

42.

43.

:פתרונות

1 . 2 .

3 . 4 .

5 . 1 . 7 . 1 .

ב. . א. 9

ב. . א. 12 ג.

. א. 11 ג.

. א. 12 ג. ב.

ה. ד. ג. ב.

. 13 ח. ז. ו.

. 15 ב. . א. 14

cos4 1 3sin 2 180 ,180o ox x

sin 60 0 ,135

1 cos4

o ox

x

180o

1

tan 2 ,23

x

cos4 1 3sin 2 ,x x

sin 6 30 0,

1 cos4 4

x

x

3 3sin cos sin ,x x x

2 32cos sin5 sin 1 0,

2x x x

4 4 2 2sin cos cos2 ,

2 2 3 3

x xx

4 4sin cos 1 0,2x x

30 360 , 150 360x k x k 45 360 , 135 360x k x k

60 360 , 240 360x k x k 210 360 , 30 360x k x k

60 360x k 150 360x k 30 180x k 45 180x k

44.427 360 , 135.573 360x k x k 126.87 360x k

78.69 180x k 10 120 , 50 120x k x k 75 180x k

9 36x k 90 180 , 30 180x k x k

10 120 , 40 120x k x k 2.431 180x k 180x k

90 360x k 270 360x k 90 180x k 360x k

180 360x 180x 45 180x k 180 , 45 90x k x k

30 360 , 50 120x k x k 60 180x k 90x k

69

. 11 ב. . א. 17 . 11

19 .

22 .

21 .

22 . 23 .

24 . 25 . 21 .

27 . 21 . 29 .

ב. . א. 32

ב. . א. 32 . 31

ד. ג.

ב. . א. 33

34 . 35 .

37 .

31 . 39 .

42 .

41 .

42 . 43 .

20 180x k 90x k 20 60x 180 , 30 60x k x k

90 , 15 180 , 75 180x k x k x k

30 360 , 150 360x k x k

90 360 , 210 360 , 30 360x k x k x k

75.964 180 , 45 180x k x k 360x k

180 , 360x k x 45 90 , 45 180x x k 45 180x k

180 , 360x k x k 360 , 60 120x k x k 106.307 360x k

90 , 90 180x k x k 36 72 , 180 360x k x k

120 180x k 45 180x k 45 360x k

63.435 180x k 30 180 , 30 180x k x k

30 , 150x x 210 , 30 , 150 , 330x x x x

165 , 15 , 105 , 75x x x x 30 , 60 , 120x x x

7 5 11, , ,

6 6 6 6x x x x

11 7 5, , ,

12 12 12 12x x x x

2, ,

6 3 3x x x

3, , ,

2 4 2 4x x x x

3 5 13 25 5 17, , , , , , ,

4 4 4 18 18 18 18 18x x x x x x x x

,3 3

x x

3

0, , 2 , ,2 2

x x x x x

71

טריגונומטריה במישור - 1.4 משפט הסינוסים

במשולש, צלע חלקי סינוס הזווית שמולה הוא גודל קבוע

והוא שווה לפעמיים רדיוס המעגל החוסם.

משפט הקוסינוסים

או

מתי נשתמש בכל משפט

:נשתמש במשפט הסינוסים כאשר

נתונות שתי זוויות וצלע .א

נתונות שתי צלעות והזווית מול אחת מהן .ב

וצלע/זווית נוספתנתון רדיוס המעגל החוסם .ג

:נשתמש במשפט הקוסינוסים כאשר

נתונות שתי צלעות והזווית ביניהן .א

נתונות שלוש צלעות .ב

כאשר ישנם יותר נתונים מאשר בסעיפים שלהלן ייתכן שנוכל להשתמש בשני

המשפטים. בבחירת המשפט בו נשתמש כדאי לזכור שבמשפט הסינוסים תיתכנה שתי

על רק אחת נכונה, ובמשפט הקוסינוסים תתקבל בוודאות תשובות לזווית, גם אם בפו

הזווית הנכונה.

שטח משולש

או או

שטח מרובע על פי אלכסוניו

2sin sin sin

a b cR

2 2 2 2 cosc a b ab

2 2 2

cos2

a b c

ab

2

a hS

sin

2

abS

2 sin sin

2sin

aS

1 2 sin

2

k kS

71

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל תוכן הסרטון בדף התרגילים

הסבר על משפט הסינוסים 1סרטון חלק א' –תרגילי בסיס משפט הסינוסים 1תרגיל 2סרטון

היתכנות שתי תשובות –חלק ב' –תרגילי בסיס משפט הסינוסים 1תרגיל 3סרטון לזווית

קבלת משוואה ופתרונה –חלק ג' –תרגילי בסיס משפט הסינוסים 1תרגיל 4סרטון הקוסינוסיםהסבר על משפט 5סרטון תרגילי בסיס משפט הקוסינוסים + למה אין שתי תשובות לזווית 2תרגיל 1סרטון הסבר על מתי משתמשים במשפט הסינוסים ומתי במשפט הקוסינוסים 7סרטון 3תרגיל 1סרטון 4תרגיל 9סרטון 5תרגיל 12סרטון 1תרגיל 11סרטון 7תרגיל 12סרטון 1תרגיל 13סרטון

14סרטון שימוש פעמיים במשפט הקוסינוסים ליצירת שתי משוואות בשני

נעלמים 9תרגיל 15סרטון 12תרגיל 11סרטון 11תרגיל 17סרטון 12תרגיל 11סרטון שלוש נוסחאות לשטח משולש 19סרטון 13תרגיל 22סרטון נוסחת שטח מרובע על פי אלכסוניו 21סרטון 14תרגיל 22סרטון 15תרגיל 23סרטון 11תרגיל 24סרטון כולל שימוש בזהויות על מנת להגיע לתשובה 17תרגיל 25סרטון כולל פתרון משוואה טריגונומטרית 11תרגיל 21סרטון כולל פתרון משוואה טריגונומטרית 19תרגיל 27סרטון

72

:תרגילים

הוא רדיוס המעגל החוסם, נתוני ) במשולשים הבאים מצא את ערכו של . 1

:הצלעות בס"מ(

ב. א.

ד. ג.

ה.

במשולשים הבאים: מצא את ערכו של . 2

ב. א.

ד. ג.

/ /x yR

/ x

1150

420

560

220

530

600

73

ס"מ וגודלה שאורך השוק שלו הוא ()שווה שוקיים משולש. נתון 3

. הוא חוצה זווית הבסיס .של זווית הבסיס בו הוא

.מצא את אורכו של הקטע

נמצאת הנקודה .נפגשים בנקודה . אלכסוני המלבן 4

.על המשך הצלע

., , נתון:

.את גודלו של הקטע מצא

.חסום במעגל שאורך רדיוסו הוא -ו שאורכי אלכסוניו . מרובע5

את זוויות המרובע.חשב

. היא מיתר במעגל שמרכזומשולש ב . הצלע 1

עוברת במרכז המעגל כמתואר בשרטוט. הצלע

., , נתון:

.את אורכם של רדיוס המעגל ושל הצלע מצא

עם צלע אחת של המקבילית וזווית של . אחד האלכסונים במקבילית יוצר זווית של 7

ס"מ מהצלע הסמוכה 3-עם הצלע הסמוכה לה. אחת מצלעות המקבילית גדולה ב לה.

חשב את היקף המקבילית.

חסום במעגל.. המרובע1

., ,, נתון:

ושל רדיוס המעגל. את אורכם של האלכסון מצא

., , נתון: . בשרטוט 9

.היא אמצע הצלע הנקודה

.הקטע ךאת אור חשב

ABCAB AC22

70oCDC

AD

ABCDMG

AD

3cmAD 4cmAB 1.2cmDG

GM

8cm11cm6cm

ABABCO

AC

9cmBC 3cmOC 38oBAC

AB

30o

61.05o

ABCD

6cmAB 9cmBC 10cmCD 4cmAD

AC

6cmAB 8cmAC 5cmAD

DBC

BC

A B

C D

G

M

A

C

B

O

A

C

B

D

A

B C D

74

היא אמצע הצלע . הנקודה מהצלע 4גדולה פי משולש ב . הצלע 12

.כך שמתקיים נמצאת על הצלע והנקודה

., נתון:

.הקטע ךאת אור -ו הבע באמצעות

. חסום במעגל שרדיוסו . המשולש 11

.נפגשים בנקודהוהמשיק למעגל בנקודה המשך הצלע

. , נתון:

.אורך הקטע את -ו ,הבע באמצעות

,הם מיתרים במעגל שרדיוסו -ו. 12

היא זווית ישרה. . זווית שנפגשים בנקודה

. , , נתון:

.אורך הקטע את -ו ,,הבע באמצעות

משולשים הבאים:שטחי האת . חשב13

ב. א.

ס"מ והוא יוצר זווית של 1שטחו של טרפז שווה שוקיים שאורך האלכסון שלו את . חשב14

עם הבסיסים.

.. הזווית בין אלכסוני המלבן היא ורוחבו . אורכו של מלבן הוא 15

הוכח כי מתקיים:

ACABCABEAC

DBC2DC BD

AB aBC b

abDE

ABDR

ADBC

C ADB

RBC

ACBDR

MB

AB kDM pDC q

RkpqMC

15o

mn

2 2

2sin

mn

m n

A

B C D

E

A

C

B

D

A

C B

D M

480

320

240

75

. חוצה את הזווית ( ) . במשולש ישר זווית 11

., נתון:

.שטח המשולש את -ו הבע באמצעות

וזווית הבסיס שלו ( שאורך השוק בו הוא ) . במשולש שווה שוקיים 17

. הוא הגובה לשוק -ו חוצה את זווית , היא

הוא: הוכח כי שטח המשולש

. , שנפגשים בנקודה הם מיתרים במעגל שרדיוסו -ו. 11

היא זווית ישרה. זווית

. , נתון:

.שטח המשולש את -ו ,הבע באמצעותא.

.חשב את ., ב. נתון:

נתון והזווית ליד הבסיס הגדול היא . בטרפז שווה שוקיים, שאורך השוק בו הוא 19

שהאלכסונים מאונכים זה לזה.

אורכי בסיסי הטרפז.את -ו הבע באמצעות א.

מהבסיס הקטן. אם ידוע שהבסיס הגדול ארוך פי ב. חשב את

:פתרונות

או ג. ב. . א. 1

. א. 2 ה. או ד.

. 3 ד. ג. ב.

4 . 5 .

1 . 7 . 1 .

ABC90oB BDB

AB mA

mBCD

ABCAB ACk

BEBCDAB

ADE

2 sin sin 42

34sin

2

ADE

k

S

ACBDRM

B

MBC MCB

RBDC

2 21

2BDCS R

b

b

3

18.585 , 22.199cm cmx y 34.231 41.382 138.618

155.526 24.474 73.898 , 3.606cmx 5.646cmx

20.742 105.962 90 13.064cmAD

3.360cmGM 66.444 , 113.556 , 41.810 , 138.190

9.242 , 14.56cm cmR AB 22cmP 5.395 , 10.790cm cmR AC

A

C B

D M

76

9 . 12 . 11 .

ב. . א. 13 . 12

14 . 11 .

ב. . א. 11

ב. . א. 19

10cmBC 2 21

9DE b a

2 sin sin

sin

RBC

2 2 pqkMC p q

R 275.801

cmS 28.641

cmS

216cm

S

2 2tan sin45 cos

2sin 45BCD

mS

22 sin cos sin 90S R 22.5

sin 135 sin 45,

sin45 sin45

b b

75

77

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי –7פרק

נגזרות ומשיקים –7.1 פונקציות נפוצות

:הפונקציה :הפונקציה

:הפונקציה :הפונקציה

:פונקציה עם מכנה, למשל

הנגזרת

קיימת פונקציה, הנקראת פונקצית הנגזרת )או רק "הנגזרת"( ומסומנת לכל פונקציה

, המתקבלת ממנה על פי כללי הגזירה.

2f x x 3f x x

f x x f x x

3

2

5 4

1

x xf x

x

f x

'f x

78

כללי הגזירה

:1כלל גזירה מס'

:)כפל בקבוע( 2כלל גזירה מס'

:)נגזרת של קבוע( 3כלל גזירה מס'

:)סכום והפרש( 4כלל גזירה מס'

:)פונקציה מורכבת( 5כלל גזירה מס'

:()נגזרת של 1כלל גזירה מס'

:)מכפלה( 7כלל גזירה מס'

:)מנה( 1כלל גזירה מס'

:)שורש( 9כלל גזירה מס'

שיפוע של פונקציה

שעל הפונקציה הוא ערך הנגזרת בנקודה בנקודה ( של פונקציה השיפוע )

. כלומר:

שעל הפונקציה שווה לשיפוע בנקודה השיפוע של המשיק לפונקציה

.הפונקציה בנקודה

שעליה מתקבלת על ידי הנוסחה למציאת בנקודה משוואת המשיק לפונקציה

ישר:

1'n nf x x f x n x

1'n nf x ax f x n ax

' 0f x a f x

' ' 'f x u v f x u v

1' 'n nf x u f x n u u

1

x 2

1 1'f x f x

x x

' ' 'f x u v f x u v v u

2

' ''

u u v v uf x f x

v v

1

'2

f x x f xx

m f x 1 1,A x y

1 1,A x y 1'm f x

f x 1 1,A x y

1 1,A x y

f x 1 1,A x y

1 1y y m x x

79

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

פונקציה, פונקציות נפוצות, פונקציה רציפהמהי 1סרטון משיפוע של ישר לשיפוע של פונקציה 2סרטון

1כלל גזירה 1תרגיל 3סרטון

)כפל בקבוע( 2כלל גזירה 2תרגיל 4סרטון )גזירת קבוע( 3כלל גזירה 3תרגיל 5סרטון )סכום והפרש( 4כלל גזירה 4תרגיל 1סרטון )פונקציה מורכבת( 5כלל גזירה 5תרגיל 7סרטון

1כלל גזירה 1תרגיל 1סרטון

)מכפלה( 7כלל גזירה 7תרגיל 9סרטון )מנה( 1כלל גזירה 1תרגיל 12סרטון חלק א' –)שורש( 9כלל גזירה ו-א 9תרגיל 11סרטון חלק ב' –)שורש( 9כלל גזירה ט-ז 9תרגיל 12סרטון חלק ג' –)שורש( 9כלל גזירה י"ג-י 9תרגיל 13סרטון גזירת פונקציות עם פרמטרים 12תרגיל 14סרטון שיפוע של פונקציה 11,12תרגילים 15סרטון שיפוע של המשיק לפונקציה 13תרגיל 11סרטון (משוואת המשיק לפונקציה )כולל מציאת משוואת משיק כשנתון 14תרגיל 17סרטון מציאת משוואת משיק כשנתון 15,11תרגילים 11סרטון מציאת משוואת משיק כשנתון 17,11תרגילים 19סרטון

)הזווית בין הישר לכיוון החיובי של מציאת משוואת משיק כשנתונה 19תרגיל 22סרטון (.-ציר ה

משוואת משיק עם מציאת פרמטר יחיד 22,21תרגילים 21סרטון משוואת משיק עם מציאת שני פרמטרים 22תרגיל 22סרטון כיצד מוצאים משיק כללי וכיצד מוצאים משיק מנקודה חיצונית 23תרגיל 23סרטון משיק מנקודה חיצונית 24תרגיל 24סרטון משיק מנקודה חיצונית 25תרגיל 25סרטון

nx

1

x

xy

m

x

81

תרגילים:

. גזור:1

א. ב . ג .

ד.

ה.

.ו

ז .

ח.

ט .

. גזור:2

א.

ב. ג .

ד . .ה

ו.

ז . ח . ט .

. גזור:3

א. ב.

. גזור:4

א. ב .

. גזור:5

ג. ב. א.

ה. ד.

. גזור:1

א.

ב. ג .

ד.

ה.

ו.

ז .

. גזור:7

א. ב . ג .

3f x x 7f x x 2f x x f x x 3f x x

1f x x 1

2f x x 1

3f x x 3

4f x x

32f x x 73f x x 41

2f x x

6

7

xf x 8f x x

23f x x 4

f xx

1

26f x x

2

3

3

xf x

12f x 7

8f x

3 22 3 5f x x x x 3

41 3 2

4 6 4 5

x xf x x

2

23f x x x 5

3 6f x x 3

5 2f x x

42 1

3

xf x

3

5

4

xf x

3

f xx

2

f xx

2

1f x

x

3

3f x

x 2

1

3f x

x x

2

3f x

x

6

5f x

x

5 1 3f x x x 3

5 1 3f x x x 43 6f x x x

81

. גזור:1

א. ב .

ג .

ד. ה .

ו .

. גזור:9

א. ב . ג .

ד. ה . ו .

ז.

ח. ט .

י.

. גזור:12

א. ב . ג .

ד.

.בנקודה הפונקציה שיפוע. מצא את 11

.בנקודה שבה הפונקציה שיפוע. מצא את 12

.בנקודה שבה המשיק לפונקציה שיפוע. מצא את 13

.בנקודה שבה המשיק לפונקציה. מצא את משוואת 14

.בנקודה שבה המשיק לפונקציה. מצא את משוואת 15

בנקודות החיתוך שלה עם המשיקים לפונקציה . מצא את משוואות11

. -ציר ה

3 1

1 2

xf x

x

2 1

5 12

xf x

x

2

2

1

3

xf x

x

2 8

1

xf x

x

1f x

x 3

3f x

x

f x x 4 1f x x 3 1f x x

3 1f x x x 2 3f x x x 3x

f xx

2

1

xf x

x

2 4

1 2

xf x

x

1

1

xf x

x

1

xf x

x

4f x ax bx 2

3

ax xf x c

b

2

4

x af x

x a

2f x a bx c

32 7f x x x 2,2

2

1

3f x

x

2x

4f x x1x

3

2 4 3f x x 1x

8

1f x

x

2y

2 2 8f x x x

x

82

.ששיפועו המשיק לפונקציה. מצא את משוואת 17

.ששיפועו המשיק לפונקציה. מצא את משוואת 11

היוצרים עם הכיוון החיובי של ציר המשיקים לפונקציה. מצא את משוואות 19

.זווית של -ה

. הוא בנקודה שבה לפונקציה . שיפוע המשיק22

ואת משוואת המשיק. מצא את ערכו של הפרמטר

. הוא בנקודה שבה לפונקציה . שיפוע המשיק21

ואת משוואת המשיק. מצא את ערכו של הפרמטר

. הוא בנקודה לפונקציה . שיפוע המשיק22

ואת משוואת המשיק. -ו מצא את ערכי הפרמטרים

.בנקודה שבה המשיק לפונקציה את משוואת . א. בטא באמצעות 23

.אם נתון שהמשיק עובר בנקודה ב. מצא את ערכו של

.העובר בנקודה המשיק לפונקציה . מצא את משוואת24

אם ידוע ששטח המשולש שהוא יוצר המשיק לפונקציה . מצא את משוואת25

יחידות שטח. עם הצירים הוא

4 2f x x x 2

4

1f x

x

2

3

1

3f x

x

x135o

2 4f x ax x 3x 8

a

2

3f x

ax

2y 4

a

1

af x

bx

1,66

ab

t 2 1f x x x t

t 1,1

1

f xx

3,0

1

f xx

4.5

83

:פתרונות

ח. ז. ו. ה. ד. ג. ב. . א. 1

ז. ו. ה. ד. ג. ב. . א. 2 ט.

ב. . א. 4 ב. . א. 3 ט. ח.

ד. ג. ב. . א. 5

ה. ד. ג. ב. . א. 1 ה.

ב. . א. 7 ז. ו.

ג. ב. . א. 1 ג.

ג. ב. . א. 9 ו. ה. ד.

ח. ז. ו. ה. ד.

י. ט.

. 11 ד. ג. ב. . א. 12

12 . 13 . 14 . 15 .

11 . 17 . 11 .

19 . 22 . 21 .

ב. . א. 23 . 22

24 . 25 .

23x67x2x14

3

x

2

1

x

1

2 x3 2

1

3 x

4

3

4 x

26x621x32x56

7

x8

3

6

x

2

4

x

3

x3

2

9 x0023 4 3x x

23 3

2 4

xx

2

15 5 2x 4

2 315 6x x 26 1 2x x x 23

54

x

3

8 1

3

x 2

3

x

2

2

x3

2

x

4

9

x

2

2

2 3

3

x

x x

2

2

3 x 2

6

3x

10 14x

25 1 20 44x x

32 6 18 7x x x

2

5

1 2x

2

2

5 24 5

5 12

x x

x

2

2

8

3

x

x

2

4 2

1

x x

x

2

1

x

4

9

x

1

2 x

2

1x

2

3

3

2 1

x

x

9 1

2

x

x

5 12

2 3

x x

x

3

2

x

x x

2

1 1

x

x x

2 2

8

1 2 4

x

x x

2

1

1 1

x

x x

2

2

2 1

x

x

34ax b2 1

3

ax

b

2

2

4

a

x a

2

abx

bx c17m

4m 2m 24 22y x 1 1

32 2

y x

6 24, 6 12y x y x 2 3y x 2 8y x

1 11 , 1

3 3y x y x 2 , 8 18a y x 2 , 4 2a y x

2 , 6 , 6 12b a y x 22 1y tx t 0 , 2t t

1 11

2 2y x

1 3

16 4y x

84

חקירת פולינום - 7.2 מינימום/מקסימום(נקודות קיצון )נקודות

B, C, D - מינימום/מקסימום מקומי )פנימי(

A -קצה מינימום/מקסימום

D - מוחלטמינימום/מקסימום

נקודות קיצון מקומיות

שיפוע המשיק לפונקציה בנקודות קיצון מקומיות הוא אפס.

נקודה כזו –מקומית הוא אפס תיתכן נקודת קיצוןבנקודה שבה שיפוע המשיק לפונקציה

נקראת נקודה חשודה כקיצון. ניתן לבדוק אם היא אכן נקודת קיצון.

:מקומיות מציאת נקודות קיצון

א. נגזור את הפונקציה.

של הנקודות החשודות כקיצון. -ב. נשווה את הנגזרת לאפס ונחלץ את ערכי ה

.-מסעיף ב' בפונקציה המקורית לקבלת ערכי ה -ג. נציב את ערכי ה

ד. נקבע אם הנקודה היא נקודת קיצון ונסווג את סוג הקיצון ע"י טבלה.

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

מקומי/קצה/מוחלטמהן נקודות קיצון, קיצון 1סרטון שלבי עבודה +דוגמא –מציאת נקודות קיצון מקומיות 1תרגיל 2סרטון 2תרגיל 3סרטון 3תרגיל 4סרטון 4תרגיל 5סרטון שאלות על נקודות קיצון בשילוב מציאת פרמטרים 5,1תרגילים 1סרטון חקירת פונקצית פולינום 7תרגיל 7סרטון 1תרגיל 1סרטון 9תרגיל 9סרטון

x

xy

y

x

B

C

D

A

85

12תרגיל 12סרטון 11תרגיל 11סרטון 12תרגיל 12סרטון

86

תרגילים:

. של הפונקציה. מצא את נקודת הקיצון 1

.הפונקציה נתונה . 2

א. מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?

ב. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

.הפונקציה נתונה . 3

מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? א.

ב. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

.הפונקציה נתונה . 4

א. מהן נקודות הקיצון של הפונקציה?

ב. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

.יש נקודת קיצון בנקודה שבה . לפונקציה 5

.מצא את ערכו של הפרמטר

.יש נקודת קיצון ששיעוריה . לפונקציה 1

.-ומצא את ערכי הפרמטרים

. ענה על הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 7

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה.

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

הצירים. הפונקציה עםד. מצא את נקודות החיתוך של

ה. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 1

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.

ה. שרטוט.

210f x x x

3 12f x x x

4 210 9f x x x

4 34 32f x x x

3 5f x ax x 1x

a

4 2 35f x ax bx 2,3

ab

210f x x x

3 12f x x x

87

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 9

. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.א

ה. שרטוט.

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 12

.-א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודת חיתוך עם ציר ה

ה. שרטוט.

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 11

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.

ה. שרטוט.

. הפונקציה נתונה . 12

עולה הפונקציה בכל תחום הגדרתה? א. לאילו ערכים של הפרמטר

נקציה על פי הסעיפים הבאים: תחום הגדרה, נקודות וחקור את הפו ב. הצב בפונקציה

, שרטוט.-קיצון, תחומי עלייה וירידה, נקודת חיתוך עם ציר ה

:פתרונות

או ב. עלייה: . א. 2 . 1

. א. 3 ירידה:

או ירידה: או ב. עלייה:

. 1 . 5 עלייה: ב. עלייה: . א. 4

ד. ירידה: ג. עלייה: ב. . א. כל 7

או ג. עלייה: ב. . כל 1

. א. כל 9 ד. ירידה:

או ג. עלייה: ב.

ד. או ירידה:

4 210 9f x x x

4 34 32f x x x

y

3f x x

3 22 3 54 50f x x ax x

a

6a

y

max 5,25 2, 16 min, 2,16 max 2x 2x

2 2x 0,9 max , 5, 16 min , 5, 16 min

5 0x 5x 0 5x 5x

min 3,53x 0 , 3x x 3a 2 , 16a b

x 5,25 max5x 5x 0,0 , 10,0

x (2, 16)min , 2,16 max 2x 2x

2 2x 0,0 , 12,0 , 12,0x

0,9 max , 5, 16 min , 5, 16 min 5 0x 5x

0 5x 5x 0,9 , 1,0 , 3,0

88

:גרפים

7:

1:

9:

12:

11:

12:

89

חקירת פונקציות מנה ופונקציות שורש - 7.3 :סעיפי חקירה מלאה של פונקציה

א. תחום הגדרה.

ב. נקודות קיצון.

ג. תחומי עלייה וירידה.

ד. נקודות חיתוך עם הצירים.

ה. אסימפטוטות מקבילות לצירים.

ו. נקודות פיתול.

ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה.

ח. שרטוט.

תחום הגדרה של פונקציה

כל פולינום מוגדר לכל.

.בפונקציה עם מכנה, אסור שיתקבל אפס במכנה

.בפונקציה עם שורש, אסור שיתקבל מספר שלילי בתוך השורש

אסימפטוטות

חוקי האינסוף

אם מתקיים: יש אסימפטוטה אופקית -ל אופקית:אסימפטוטה

אם מתקיים: יש אסימפטוטה אנכית -ל :אנכיתאסימפטוטה

x

3) 1 1 1

2) ,0 0 0

11) 0

6) ? 5) ?

4)

f xy n limx

f x n

f xx a limx a

f x

91

נקודות פיתול

הגדרה א': נקודה בה הפונקציה עוברת מקעירות כלפי מטה לקעירות כלפי מעלה או להיפך

הגדרה ב': נקודה בה הנגזרת השנייה מחליפה סימן

מעליה או הגדרה ג': נקודה בה המשיקים לפונקציה עוברים מלהיות מתחת לפונקציה ללהיות

להיפך

הערה: בנקודות פיתול המשיק לפונקציה חותך את הפונקציה

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

הסבר על תחום הגדרה של מנות 1תרגיל 1סרטון הסבר על תחום הגדרה של שורשים 2תרגיל 2סרטון נקודות קיצון בפונקציות מנה 3תרגיל 3סרטון חוקי האינסוף 4סרטון 5סרטון

והכרות עם אסימפטוטותיישום חוקי האינסוף בפונקציה

הגדרת אסימפטוטות אופקיות ואנכיות 1סרטון 4תרגיל 7סרטון 5תרגיל 1סרטון 1תרגיל 9סרטון 7תרגיל 12סרטון 1תרגיל 11סרטון 9תרגיל 12סרטון נקודת אי הגדרה 12תרגיל 13סרטון נקודת אי הגדרה 11תרגיל 14סרטון אסימפטוטות בפונקציות שורש )לראשונה( 12תרגיל 15סרטון 13תרגיל 11סרטון 14תרגיל 17סרטון 15תרגיל 11סרטון אסימפטוטה אופקית מפוצלת בפונקצית מנה עם שורש 11תרגיל 19סרטון אסימפטוטה אופקית מפוצלת בפונקצית מנה עם שורש 17תרגיל 22סרטון מציאת פרמטרים בשאלות של אסימפטוטות 11תרגיל 21סרטון מציאת פרמטרים בשאלות של אסימפטוטות 19תרגיל 22סרטון חלק א' –חקירת פונקציית מנה )ללא פיתול( 22תרגיל 23סרטון חלק ב' –חקירת פונקציית מנה )ללא פיתול( 22תרגיל 24סרטון חלק ג' –חקירת פונקציית מנה )ללא פיתול( 22תרגיל 25סרטון חלק א' –חקירת פונקציית שורת )ללא פיתול( 21תרגיל 21סרטון חלק ב' –חקירת פונקציית שורת )ללא פיתול( 21תרגיל 27סרטון הסבר על נקודות פיתול 21סרטון 22תרגיל 29סרטון 23תרגיל 32סרטון 24תרגיל 31סרטון נקודת פיתול שבה גם הנגזרה הראשונה היא אפס 25תרגיל 33סרטון מציאת פרמטרים באמצעות נקודת פיתול 21תרגיל 34סרטון 27תרגיל 35סרטון

'' 0f x

'' 0f x

1

x

91

המשך שאלה מסרטון קודם 27תרגיל 31סרטון 21תרגיל 37סרטון המשך שאלה מסרטון קודם 21תרגיל 31סרטון המשך שאלה מסרטון קודם 21תרגיל 39סרטון

92

:תרגילים

. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:1

א.

ב. ג .

ד.

ה.

ו.

ז .

. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:2

א.

ב.

ג.

ד.

ה.

ו.

ז .

.הפונקציה נתונה . 3

א. מהן נקודות הקיצון של הפונקציה? ב. מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה?

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 4

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 5

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 1

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 7

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 1

: ל הפונקציהשים . מצא את האסימפטוטות המקבילות לציר9

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 12

2 1

2f x x x 3 24 1

2

xf x x x

2

3

xf x

x

3

2

5 4

1

x xf x

x

2

3 4

xf x

x x

2

2

1

2 8

xf x

x x

2

6

1f x

x

f x x 2 3f x x 3 1 2f x x x 5

4

xf x

x

2 3 10f x x x 3

2

9

xf x

x x

1

2

xf x

x x

2

6

10 9

xf x

x x

1

32

f xx

2

2

5 1

9

xf x

x

2

2

2 5 2

1 3

x xf x

x

2

3

2 15

xf x

x x

3

2

6 5 1

1 2

x xf x

x

ax b

f xx b

2

2

4

3 2

xf x

x x

93

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 11

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 12

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 13

: של הפונקציהאסימפטוטות המקבילות לצירים . מצא את ה14

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 15

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 11

: של הפונקציה. מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים 17

. נתונה הפונקציה: 11

האסימפטוטה האופקית של הפונקציה ואחת האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה

.-ו . מצא את ערכי הפרמטרים נפגשות בנקודה

. נתונה הפונקציה: 19

. מצא את ערכי הפונקציה חותכת את האסימפטוטה האופקית שלה בנקודה

.-ו הפרמטרים

. נתונה הפונקציה: 22

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי ה לפי הסעיפים הבאים: חקור את הפונקצי

עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים. ה. אסימפטוטות מקבילות לצירים. ו. שרטוט.

2

22 4

xf x

x x

2

1

4

xf x

x

4

xf x

x

1

xf x

x

2x

f xx x

2

3

5

xf x

x

2

5

16

xf x

x

2

2

4 1xf x

ax x b

1,2ab

8ax

f xx b x

16,2

ab

2

2

6 10 6

3 10 3

x xf x

x x

94

. נתונה הפונקציה: 21

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים:

עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים. ה. אסימפטוטות מקבילות לצירים. ו. שרטוט.

: של הפונקציה. מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות 22

: של הפונקציה. מצא את נקודות הפיתול ואת תחומי הקעירות 23

: של הפונקציה. מצא את נקודות הקיצון והפיתול 24

: של הפונקציהמצא את נקודות הקיצון והפיתול . 25

.. נתונה הפונקציה: 21

.-ו היא נקודת פיתול של הפונקציה. מצא את ערכי הפרמטרים הנקודה

.. נתונה הפונקציה: 27

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים:

ד. נקודות חיתוך עם הצירים. ה. אסימפטוטות מקבילות לצירים. ו. נקודות עלייה וירידה.

פיתול. ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה. ח. שרטוט.

.. נתונה הפונקציה: 21

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים:

. נקודות חיתוך עם הצירים. ה. אסימפטוטות מקבילות לצירים. ו. נקודות עלייה וירידה. ד

פיתול. ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה. ח. שרטוט.

29 x

f xx

4 3 26 12f x x x x

2

3 2xf x

x

2

1

xf x

x

3

2f x x x

2

af x

x b

1,1ab

2

1 12f x

x x

2x

f xx x

95

:פתרונות

)הערה: הגרפים לשאלות בחקירות פונקציה מופיעים בסוף הפתרונות באופן מרוכז(

3xג. xב. כל x. א. כל 1 .1דx .0,2ה, 2x .4ו, 2x ז. כלx

0x. א. 2 .3בx .ג1

2x .4דx .2הx 5אוx .3וx 3או 0x

2xז. 2,1וגםx 3 .א .3 1

min 3, , max 3, 18 2

ב. תחומי עלייה:

3 3x 1וגםx :3תחומי ירידה 9x 3אוx .4 :3. אופקיתy 2נכית: אx

5y. אופקית: 5 :3אנכיתx 1 :אופקית .2

3y 7 :0. אופקיתy ,

5xאנכית: ,3x 1 אופקית: 9. אין .y a :אנכית ,x b 12 :1. אופקיתy

1xאנכית: :נקודת אי הגדרה , 2,4 11 :אופקית .1

2y :2, אנכיתx נקודת אי

הגדרה: 0,0 12 :0. אופקיתy :2, אנכיתx 13 :4. אנכיתx 14 :1. אופקיתy

1xאנכית: 15 :2. אופקיתy :1אנכיתx :נקודת אי הגדרה 0,0

3. אופקית: 11 , 3y y 17 .5, 5y y :4אנכית, 4x x 11 .3 , 2b a

19 .1 , 2b a 22 .א .1

, 33

x x .ב1

max 1,2

,

3min 1,1

8

ג. תחומי

1עלייה: 1x וגם1

3x :|1תחומי ירידה 3x 1אוx .ד 0,2

2yה. אופקית: :אנכית ,1

3 ,3

x x 21 .3. א 3x 0וגםx

ב. max 3,0 ,קצה min 0, תחומי ירידה: xקצה ג. תחומי עלייה: אף 3,0 , 3 3x x

ד. 3,0 , 3,0 :0ה. אנכיתx 22 . 1,7 , 2x, קעירות כלפי מעלה: 2,16 או

1x :1, קעירות כלפי מטה 2x 23 . 2,1 :2קעירות כלפי מעלהx קעירות כלפי ,

0מטה: 2x 24 :קיצון . min פיתול: 2,48

4,3

. קיצון: 25 1 27

min ,2 16

פיתול: 1, 1 , 2,0 21 .3 , 4b a 27 .0. אx .ב1

max 2,24

ג. תחומי

0עלייה: 2x :2תחומי ירידהx 0אוx .ד 1

,0 , 1,02

2yה. אופקית: ,

0xאנכית: .ו2

3,29

3xז. קעירות כלפי מעלה: :0, קעירות כלפי מטה 3x

0. א. 21 1x :2ב. אין. ג. יורדת בכל תחום הגדרתה. ד. אין. ה. אופקיתy ,

96

1xאנכית: :נקודת אי הגדרה 0,0 .ו .1

, 19

1xז. קעירות כלפי מעלה: או

10

9x

קעירות כלפי מטה: 1

19

x

:גרפים

22:

21:

27 :

21:

97

חקירת פונקציה עם פרמטר - 7.4 :סיווג נקודות קיצון באמצעות

היא נקודת קיצון אז: אם הנקודה

היא נקודת מינימום. הנקודה אם

היא נקודת מקסימום. הנקודה אם

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

סיווג נקודות קיצון לפי הנגזרת השנייה 1,2,3תרגילים 1סרטון 4תרגיל 2סרטון המשך שאלה מסרטון קודם 4תרגיל 3סרטון 5תרגיל 4סרטון המשך שאלה מסרטון קודם 5תרגיל 5סרטון 1תרגיל 1סרטון מסרטון קודםהמשך שאלה 1תרגיל 7סרטון

''y

1 1,A x y

1'' 0f x 1 1,A x y

1'' 0f x 1 1,A x y

98

תרגילים:

. מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה: 1

. מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה: 2

. מצא וסווג את נקודות הקיצון של הפונקציה: 3

. נתונה הפונקציה: 4

נקודות קיצון. ג. תחומי א. תחום הגדרה. ב. חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים:

עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים. ה. אסימפטוטות מקבילות לצירים. ו. שרטוט.

ז. מצא את שלוש נקודות הפיתול של הפונקציה. ניתן להשאיר שורש בתשובה.

. נתונה הפונקציה: 5

נקודות קיצון. ג. תחומי א. תחום הגדרה. ב. חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים:

עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים. ה. אסימפטוטות מקבילות לצירים. ו. שרטוט.

. נתונה הפונקציה: 1

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי חקור את הפונקציה לפי הסעיפים הבאים:

. שרטוט.ה עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.

:פתרונות

)הערה: הגרפים לשאלות בחקירות פונקציה מופיעים בסוף הפתרונות באופן מרוכז(

1 . min 2, 16 , max 2,16 2 . min 3, 25 3 . 3 3min , 2 , max ,2b b b b

ב. x. א. כל 41 1

max , , min ,a aa a

aג. תחומי עלייה: x a :תחומי ירידה ,

x a אוx a .ד 0,0 :0ה. אופקיתy .ז 3 3

0,0 , 3 , , 3 ,2 2

a aa a

x. א. 5 b .ב2

1 1max ,

1b b

xג. תחומי עלייה: b או

1x

b :תחומי ירידה ,

1x b

b

ד. 2

11,0 , 1,0 0,

b

1yה. אופקית: :אנכיתx b 1 .א .b x b

3 12f x x x

2 6 16f x x x

3 23f x x b x

2 2

20

xa f x

a x

2

2

11

xb f x

x b

2 20 4b f x x b x

99

2ב. 2max ,2 , min , 22 2

b bb b

, max ,0b ,קצה min ,0b ,קצה

תחומי עלייה: 2 2

b bx :תחומי ירידה

2

bx b או

2

bb x .ד 0,0,

,0 , ,0b b

גרפים:

4:

5:

1:

111

בעיות קיצון –חשבון דיפרנציאלי - 7.5 שלבי עבודה:

.-א. נגדיר את אחד הגדלים בשאלה כ

.ב. נבטא את שאר הגדלים בשאלה באמצעות

נבנה פונקציה שמבטאת את מה שרצו שיהיה מינימלי/מקסימלי.ג.

.-ד. נגזור את הפונקציה, נשווה לאפס ונחלץ את ערך/ערכי ה

)או טבלה(. מסעיף ד' הוא אכן מינימום/מקסימום באמצעות -ה. נוודא שערך ה

ו. ננסח את התשובה לשאלה המקורית.

מופיע מיד לאחר הטבלה. לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רקע והדגמת הרעיון העומד מאחורי בעיות קיצון 1תרגיל 1סרטון שלבי עבודה בפתרון בעיות קיצון 1תרגיל 2סרטון 2תרגיל 3סרטון 3תרגיל 4סרטון 4תרגיל 5סרטון 5תרגיל 1סרטון 1תרגיל 7סרטון 7תרגיל 1סרטון 1תרגיל 9סרטון 9תרגיל 12סרטון

הכרת הגופים במרחב וחישוב שטח המעטפת/שטח הפנים/הנפח של כל 11סרטון גוף

12תרגיל 12סרטון 11תרגיל 13סרטון 12תרגיל 14סרטון 13תרגיל 15סרטון 14תרגיל 11סרטון 15תרגיל 17סרטון 11תרגיל 11סרטון 17תרגיל 19סרטון 11תרגיל 22סרטון 19תרגיל 21סרטון 19תרגיל 22סרטון 22תרגיל 23סרטון 21תרגיל 24סרטון הסבר על בעיות קיצון שבהן נתונה התשובה 25סרטון 22תרגיל 21סרטון 23תרגיל 27סרטון 23תרגיל 21סרטון 24תרגיל 29סרטון

x

x

x

x''y

111

:תרגילים

מצא את הזוג שמכפלתו מקסימלית. 14. מבין כל זוגות המספרים שסכומם 1

. המספר הראשון שווה למספר השני.24. נתונים שלושה מספרים שסכומם 2

מצא מהם המספרים אם ידוע שמכפלתם מקסימלית.

. מצא את המספר החיובי שאם נוסיף לו את המספר ההופכי לו הסכום המתקבל יהיה 3

מינימלי.

ס"מ מצא את אורך בסיסו של המשולש בעל 24. מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם 4

השטח הגדול ביותר.

בעל השטח מצא את בסיסו של המשולש . א. מבין כל המשולשים שווי השוקיים שהיקפם 5

הגדול ביותר.

ב. הוכח: מבין כל המשולשים שווי השוקיים בעלי אותו היקף המשולש בעל השטח הגדול

ביותר הוא משולש שווה צלעות.

נמצאת ( הנקודה ). במשולש ישר זווית 1

הוא מלבן. כך שהמרובע על היתר

מצא את שטחו ., נתון:

של המלבן בעל השטח הגדול ביותר.

נמצאת ( הנקודה ) . במשולש ישר זווית 7

הוא מלבן. כך שהמרובע על היתר

מצא את שטחו ., נתון:

של המלבן בעל השטח הגדול ביותר.

a

ABC90oB E

ACEDBF

20cmAB 16cmBC

ABC90oB E

ACEDBF

AB aBC b

A

B C

D E

F

A

B C

D E

F

112

העבירו מיתר ורדיוסו . במעגל שמרכזו 1

. שמרחקו ממרכז המעגל הוא

במקטע שיוצר המיתר חסום מלבן כמתואר בשרטוט.

מצא את היקפו של המלבן בעל ההיקף הגדול ביותר.

העבירו מיתר ורדיוסו . במעגל שמרכזו 9

. שמרחקו ממרכז המעגל הוא

במקטע שיוצר המיתר חסום מלבן כמתואר בשרטוט.

מצא את היקפו של המלבן בעל ההיקף הגדול ביותר.

סמ"ר. 91. נתונה תיבה שבסיסה ריבוע ושטח הפנים שלה הוא 12

מצא את מידות התיבה שנפחה מקסימלי.

מצא את נפחו של הגליל . מכל הגלילים הישרים שהיקף פרישת המעטפת שלהם הוא 11

בעל הנפח המקסימלי.

ושטח . נתונה פירמידה מרובעת, משוכללת וישרה. אורך מקצוע צדדי בפירמידה הוא 12

.המעטפת שלה הוא

.הוכח:

מערבה לעיר A. שני הולכי רגל יוצאים בו זמנית לדרכם, האחד מעיר 13

B והשני מעירB דרומה לעירC המרחק בין הערים .A ו-B ק"מ. 22הוא

קמ"ש. 2קמ"ש ומהירות הרוכב השני 4היא A-מהירות הרוכב שיצא מ

כעבור כמה זמן מיציאת הרוכבים יהיה המרחק ביניהם מינימלי? מצא

גם את המרחק המינימלי.

O10 5cmAB

4cm

ORAB

a

k

k

S

22S k

A B

O

A B

O

A B

C

113

ק"מ מהחוף. על 2.5. אדם נמצא על אי במרחק 14

ק"מ מהנקודה הקרובה ביותר 3החוף, במרחק של

1לאי, נמצאת גלידריה. האדם שוחה במהירות של

קמ"ש. לאיזה מרחק 12קמ"ש ורץ על החוף במהירות של

מהגלידריה עליו לשחות כדי להגיע לגלידריה בזמן הקצר ביותר?

. אדם מתכנן לבנות מרפסת בביתו ורוצה להציב מעקה 15

מ"ר. 24סביב המרפסת. שטח המרפסת המתוכנן הוא

למטר ₪ 122( הוא מחיר מעקה בחזית המרפסת )

למטר.₪ 42ומחיר מעקה בצידי המרפסת הוא

מה צריכים להיות מימדי המרפסת כדי שמחיר המעקה יהיה מינימלי?

מרוחב בסיסה דרושים שני 2סמ"ק ואורך בסיסה גדול פי 144. לבניית תיבה שנפחה 11

מהחומר לפאות הצדדיות 3חומרים להם שני מחירים שונים: החומר לבסיס התחתון יקר פי

והבסיס העליון. מהן מידות התיבה הזולה ביותר שניתן לבנות?

שעל . מנקודה . נתונה הפונקציה 17

הפונקציה ברביע הראשון הורידו אנכים לצירי

השיעורים כך שנוצר מלבן כמתואר בשרטוט.

כדי מה צריכים להיות שיעורי הנקודה

ששטח המלבן יהיה מקסימלי?

BC

26f x x x A

A

אי

גלידריה

A

B C

D

בית

x

y

A

114

. -ו . נתונות הפונקציות 11

, חיברו עם הנקודה שעל את הנקודה

כך שהקטע שנמצאת מתחתיה על

. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה -מקביל לציר ה

יהיה מקסימלי? כדי שאורך הקטע

. בין הישר והפונקציה ברביע הראשון והישר . נתונה הפונקציה 19

חסמו מלבן. מצא את מידות המלבן שהיקפו מינימלי.

ודה על הפונקציה ברביע הראשון, שסכום . מצא שיעורי נק. נתונה הפונקציה 22

הקטעים שהמשיק בה מקצה על הצירים הוא מינימלי.

(. הפונקציות נחתכות ) -ו . נתונות הפונקציות 21

ראשית הצירים(. –Oמינימלי ) AOשעבורו הקטע . מצא את ערכו של B-ו Aבנקודות

ק"מ. לרכב יש הוצאות נסיעה של קמ"ש ועליו לנסוע דרך של . מהירותו של רכב היא 22

לכל שעת נסיעה. הראה שעל מנת שהוצאותיו יהיו ₪ -לכל ק"מ נסיעה ו₪

קמ"ש. 12מינימליות על הרכב לנסוע במהירות של

סמ"ק, החרוט בעל שטח המעטפת המינימלי . הוכח שמכל החרוטים הישרים שנפחם 23

הוא הקו היוצר , כאשר ס"מ. )שטח מעטפת של חרוט הוא ו הוא זה שגובה

של החרוט(.

ערך . הראה שכאשר מתקיים שסכומם -ו . נתונים שני מספרים חיוביים 24

טבעיים( מקסימלי. -ו ) הביטוי

2f x x 31

3g x x

A f xB

g xAB

yA

AB

2

1f x

x

2y x

3

1f x

x

21f x x 2g x bx0b

b

vS

400

v2

48200

v

k

3 6kR

pqap n

q m

n mp qnm

x

y

A

B

115

:פתרונות

1 .7 ,7 2 .8 ,8 . א. 5 יח"א8. 4 1. 3 8,3

a 1 .280

cmS 7 .

4

ab יח"ש

1 .92cm 9 .2 5 2R a 4. 12יחידות אורך 4 4 11 .

3

216

k

Vיחידות נפח 13 .4 ,שעות

. 14 ק"מ80המרחק: 1

23

4. 15 ק"מ 6 11 .3 6 8 17 ס"מ . 4,8A 11 . 1,2A

19 .1 2 22 .1

3,3 3

21 .1b

116

חשבון אינטגרלי - 7.1

חישוב שטחים

חישוב נפח גוף סיבוב

מתחת פונקציה:

: ותפונקצי בין

1

11

nn ax

ax dx c nn

b

a

S f x g x dx

2

b

a

V f x dx

2 2

b

a

V f x g x dx

117

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

מהו אינטגרל, נוסחת האינטגרל 1סרטון 1תרגיל 2סרטון 2תרגיל 3סרטון 3תרגיל 4סרטון 4תרגיל 5סרטון חילוק ארוך )במספרים( 1סרטון נומיםכיצד מבצעים חילוק פולי ב'-א' 5תרגיל 7סרטון ה'-ג' 5תרגיל 1סרטון 1תרגיל 9סרטון אינטגרלים עם זיהוי מבנים 12סרטון 7תרגיל 11סרטון הסבר ודוגמא -מציאת פונקציה קדומה 1תרגיל 12סרטון 9תרגיל 13סרטון 12תרגיל 14סרטון 11תרגיל 15סרטון 12תרגיל 11סרטון הסבר על חישוב שטחים כולל דוגמא 13תרגיל 17סרטון 14תרגיל 11סרטון 15תרגיל 19סרטון 11תרגיל 22סרטון 17תרגיל 21סרטון 11תרגיל 22סרטון 19תרגיל 23סרטון 22תרגיל 24סרטון 21תרגיל 25סרטון הסבר על חישוב נפח גוף סיבוב עם פונקציה אחד כולל דוגמא 22תרגיל 21סרטון סיבוב בין שתי פונקציות כולל דוגמאהסבר על חישוב נפח גוף 23תרגיל 27סרטון הסבר ודוגמא –בעיות קיצון עם אינטגרלים 24תרגיל 21סרטון 25תרגיל 29סרטון 21תרגיל 32סרטון

118

תרגילים

:מצא את האינטגרלים הבאים. 1

א.

ב.

ג . ד. ה.

ו. ז . ח .

:מצא את האינטגרלים הבאים. 2

א. ב. ג . ד.

:מצא את האינטגרלים הבאים. 3

א. ב. ג . ד.

:מצא את האינטגרלים הבאים. 4

א. ב. ג .

ד. ה.

תוצאת החילוק:מצא את . 5

א. ב. ג .

ד. ה.

3x dx 512x dx

4x dx 32x dx

52

3x dx

7dx 2

4 35 116 4

6 2 3

xx x x dx

324 2

5

x axax b dx

b

3x dx 3

1dx

x

2 4 3

1 3 a xdx

x x x a

3

3

2 2x xdx

x

1

2x dx x dx 1

dxx

43 x dx

x

3

5 1x dx 4

3 2 7x dx

2

18

6 5dx

x

1

6 3dx

x

ax b dx

2 5 14

2

x x

x

3 2 3 5

1

x x x

x

4 3 2 14 3

3

x x x x

x

3 24 9

3

x x

x

3 25 4 20

5

x x x

x

119

:מצא את האינטגרלים הבאים. 1

.ב א.

ד. ג .

ו. ה.

:מצא את האינטגרלים הבאים. 7

א. ב. ג .

ד. ה. ו.

ז .

.נגזרת של פונקציה: נתונה . 1

.מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה

.נגזרת של פונקציה: נתונה . 9

. מצא את הפונקציה.5ערך הפונקציה בנקודת הקיצון שלה הוא

.הנגזרת השנייה של פונקציה: נתונה . 12

. 1וערך הפונקציה בנקודה זו הוא שיפוע הפונקציה בנקודת הפיתול שלה הוא

מצא את הפונקציה.

המשיק לפונקציה בנקודת הפיתול .הנגזרת השנייה של פונקציה: נתונה . 11

. מצא את הפונקציה.שלה הוא הישר

3 2 3 5

1

x x xdx

x

2 5 14

2

x xdx

x

3 24 9

3

x xdx

x

4 3 2 14 3

3

x x x xdx

x

5 4 22 4 1

2 1

x x xdx

x

3 25 4 20

5

x x xdx

x

2

2

2

1

xdx

x

2

23 6

xdx

x

22

2

4 1

xdx

x x

2 2

xdx

x

2

6 3xdx

x x

3

28 1x x dx

2

2 32 6x x x dx

2' 3 7f x x

2, 1

' 2 6f x x

'' 6 6f x x

12

3

8'' 1f x

x

4y

111

.ציה: נגזרת של פונקנתונה . 12

. מצא את הפונקציה.3הוא שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה

. חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות: 13

. חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות: 14

. חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות: 15

. -וציר ה . חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה 11

. נתונות שתי פונקציות: 17

. -חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות וציר ה

. נתונות שתי פונקציות: 11

חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציות,

. -וציר ה הישר

' 2 1 2f x x x

25

3y

2 21 , 7f x x g x x

2 4 12 , 6f x x x g x x

3 ,f x x g x x

3 4f x x x x

2 22 1 , 6 9f x x x g x x x

x

2

2

1 2,

2

x xf x g x

x x

2x x

111

. חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה, . נתונה הפונקציה: 19

. -המשיק לפונקציה בנקודת המינימום שלה וציר ה

. נתונות שתי פונקציות: 22

-גודל השטח הכלוא בין הפונקציות וציר ה

. יחידות שטח. מצא את ערכו של הפרמטר הוא

ברביע הראשון. . נתונה הפונקציה 21

לפונקציה העבירו משיק העובר בראשית הצירים. חשב את

.גודל השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק והישר

.. נתונה הפונקציה: 22

והצירים מסתובב השטח הכלוא בין הפונקציה, הישר

. חשב את נפח גוף הסיבוב.-סביב ציר ה

. בשרטוט נתונות הפונקציות ברביע הראשון: 23

.

מצא את נפח גוף הסיבוב שנוצר, כאשר השטח הכלוא

.-מסתובב סביב ציר ה בין הפונקציות והישר

מינימלי. שעבורו ערך האינטגרל . מצא את ערכו של 24

6f x x x

y

0 , 2b f x x b g x x

x

22

3b

2 1

xf x

x

3x

2 1f x x

3x

x

1

,f x x g xx

2x x

a 2 1

2 1

a

a

x dx

112

. בשרטוט נתונה הפונקציה: 25

השטח הכלוא בין הפונקציה, עבור איזה ערך של

מקסימלי? -וציר ה -ו הישרים

. בשרטוט נתונות הפונקציות:21

, 2והמרחק ביניהן הוא -, הנמצאות על ציר ה-ו מהנקודות

. השטח הכלוא בין האנכים, שתי הפונקציות -העלו אנכים לציר ה

. -מסתובב סביב ציר ה -וציר ה

על מנת שנפח גוף הסיבוב יהיה מקסימלי. מצא מה צריכים להיות שיעורי הנקודה

1

1 21

bb f x

x

b

x b2x x

2 , 6f x x g x x

ABx

x

xx

A

113

:פתרונות

. א. 14

4

xc .62בx c .ג

5

5

xc .ד

4

2

xc .ה

6

9

xc .7וx c

ז. 5 3

4 2 14 2

6 6 3

x xx x x c .ח

4 3 2

5 3

x ax axbx c

b 2 .א .

2

2

xc

ב. 2

1

2c

x .ג

3 2

1 1

2

ac

x x x .ד

2

1 12x c

x x 3 .א .

2

32

3x c

32ב.

3x c .3ג 43

4x c .2ד x c .38ה 2x x c

3ו. 42 749

7x x c 4 .א .

4

5 1

20

xc

.ב

5

3 2 7

35

xc

.ג

3

6 5c

x

ד. 6 3

3

xc

.ה

3

2

3

ax bc

a

5 .7. אx .2ב 2 5x x

3ג. 22 5 1x x x .2ד 3x x .2ה 4x 1 .א .2

72

xx c

ב. 3 22

53 2

x xx c .ג

4 3 22 5

4 3 2

x x xx c .ד

3 2

33 2

x xx .ה

3

43

xx

ו. 5

2

5

xx x c 7 .א .

2

1

1c

x

ב.

3

1

3 6c

x

ג.

2

1

2 4 1c

x x

2ד. 2x c .26ה x x c .ו 4

2 1x c .ז 2

2 32 6x x x

1 .3( ) 7 5f x x x 9 .2( ) 6 14f x x x 12 .3 2( ) 3 9 10f x x x x

11 .2 4

( ) 62

xf x x

x 12 .

3 32 2( ) 2 1 2 3

3 3f x x x x

13 .1

213

Sיח"ש 14 .1

576

Sיח"ש 15 .1

2Sיח"ש 11 .8יח"דS 17 .

2

3Sיח"ש

Sיח"ש1. 11 19 .2.26יח"שS 22 . 2b 21 .1

2Sח"שי 22 .

369

5יח"נV

23 .יח"נV 24 .1

2a 25 .

41

9b 21 . 3,0A

114

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת - 7.7

חיובית ולהיפך. עולה, כאשר

שלילית ולהיפך. יורדת, כאשר

יש נקודת קיצון, -כאשר ל

( ולהיפך.-מחליפה סימן )חותכת את ציר ה

חיובית ואז עולה, כאשר

קעורה כלפי מעלה.

שלילית ואז יורדת, כאשר

קעורה כלפי מטה.

מחליפה יש נקודת קיצון, -כאשר ל

יש נקודת פיתול. -( ואז ל-סימן )חותכת את ציר ה

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

הסבר על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת 1סרטון 1תרגיל 2סרטון 2תרגיל 3סרטון 3תרגיל 4סרטון 4תרגיל 5סרטון 5תרגיל 1סרטון הסבר על הקשר בין גרף הנגזרת לגרף הנגזרת השנייה ולגרף הפונקציה 7סרטון 1תרגיל 1סרטון 7תרגיל 9סרטון 1תרגיל 12סרטון

f x 'f x

f x 'f x

f x 'f x

x

'f x ''f x f x

'f x ''f x f x

'f x ''f x

x f x

115

:תרגילים

. נתון גרף של פונקציה. צייר על אותה 1

מערכת צירים את גרף הנגזרת.

נמק את שיקוליך בשרטוט.

. נתון גרף של פונקציה. צייר על אותה 2

מערכת צירים את גרף הנגזרת.

נמק את שיקוליך בשרטוט.

. נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה 3

מערכת צירים את גרף הפונקציה אם ידוע שהיא

עוברת בראשית הצירים. נמק את שיקוליך בשרטוט.

116

. נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה 4

מערכת צירים את גרף הפונקציה אם ידוע שהיא

עוברת בראשית הצירים. נמק את שיקוליך בשרטוט.

. נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה 5

מערכת צירים את גרף הפונקציה

. נמק את שיקוליך בשרטוט.אם נתון:

. נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה 1

מערכת צירים את גרף הפונקציה ואת גרף

.הנגזרת השנייה אם נתון:

נמק את שיקוליך בשרטוט.

. נתון גרף הנגזרת של פונקציה. צייר על אותה 7

מערכת צירים את גרף הפונקציה ואת גרף

.הנגזרת השנייה אם נתון:

נמק את שיקוליך בשרטוט.

0 0f

0 0f

0 0f

117

. בשרטוט נתונים הגרפים של פונקציה ושל נגזרתה.1

, שייך לפונקציה ואיזה לנגזרת. נמק.או א. קבע איזה מהגרפים,

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה? נמק וסמן אותן על השרטוט.ב.

. מצא את גודלו של השטח הכלוא בין גרף , ג. נתון:

)השטח המקווקו בשרטוט(. -לציר ה

III

2,4P 2,1QI

x

118

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות טריגונומטריות - 7.1

הטריגונומטריותהפונקציות

:הפונקציה

:הפונקציה

:הפונקציה

זוגית-פונקציה זוגית ופונקציה אי

.-. פונ' זוגית סימטרית סביב ציר הפונקציה זוגית מקיימת:

זוגית סימטרית סביב ראשית הצירים.-. פונ' איזוגית מקיימת: -פונקציה אי

sinf x x

cosf x x

tanf x x

f x f x y

f x f x

119

נגזרות הפונקציות הטריגונומטריות

אינטגרלים טריגונומטריים

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

הקדמה, ישע מקדים 1סרטון הכרת הגרפים של הפונקציות הטריגונומטריות 2סרטון חוקי הגזירה של פונקציות טריגונומטריות 3סרטון 1תרגיל 4סרטון 2תרגיל 5סרטון 3תרגיל 1סרטון 4תרגיל 7סרטון 5תרגיל 1סרטון חישוב שיפוע של פונקציה טריגונומטרית 9סרטון 1תרגיל 12סרטון 7תרגיל 11סרטון 1תרגיל 12סרטון 9תרגיל 13סרטון 12תרגיל 14סרטון 11תרגיל 15סרטון 11תרגיל 11סרטון 12תרגיל 17סרטון 13תרגיל 11סרטון 14תרגיל 19סרטון 15תרגיל 22סרטון 11תרגיל 21סרטון אסימפטוטות לפונקציות טריגונומטריות 22סרטון 17תרגיל 23סרטון 11תרגיל 24סרטון 19תרגיל 25סרטון 22תרגיל 21סרטון 21תרגיל 27סרטון 22תרגיל 21סרטון

cos ' siny x y x sin ' cosy x y x

2

1cot '

siny x y

x

2

1tan '

cosy x y

x

2 2

cos sin sin cos

1 1tan cot

cos sin

xdx x c xdx x c

dx x c dx x cx x

121

22תרגיל 29סרטון הסבר על פונקציה זוגית ופונקציה אי זוגית 32סרטון 23תרגיל 31סרטון 24תרגיל 32סרטון 24תרגיל 33סרטון 25תרגיל 34סרטון 25תרגיל 35סרטון אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות 31סרטון 21תרגיל 37סרטון 27תרגיל 31סרטון 21תרגיל 39סרטון 29תרגיל 42סרטון 32תרגיל 41סרטון 31תרגיל 42סרטון 32תרגיל 43סרטון 33תרגיל 44סרטון 34תרגיל 45סרטון 35תרגיל 41סרטון 31תרגיל 47סרטון 37תרגיל 41סרטון

121

תרגילים:

. גזור את הפונקציות הבאות:1

א. ב. ג .

. גזור את הפונקציות הבאות:2

א. ב.

. גזור את הפונקציות הבאות:3

א. ב . ג.

ד. ה. ו.

. גזור את הפונקציות הבאות:4

א. ב.

הבאות:. גזור את הפונקציות 5

א. ב . ג .

.בנקודה פונקציה. מצא את משוואת המשיק ל1

.בנקודה שבהפונקציה. מצא את משוואת המשיק ל7

.בנקודה שבהפונקציה. מצא את משוואת המשיק ל1

ות החיתוך של הפונקציה בנקודפונקציה. מצא את משוואות המשיקים ל9

.בתחום עם הישר

הוא בתחום ה שבה בנקודהמשיק לפונקציה. שיפוע 12

.מצא את ערך הפרמטר

sin 3cosf x x x x 2 sin 4 tanf x x x x sin

1 sin

xf x

x

sin3 2cos5f x x x cos2

1 sin 2

xf x

x

3sinf x x 42cosf x x 2sinf x x

3sin 2f x x 2cos 2f x x 2tan 4f x x

sin3f x x sin 2

cos2

xf x

x

2 2sin cosf x x x 4 4sin 2 cos 2f x x x 4 4sin cosf x x x

cosf x x3

,6 2

A

sin 2f x x2

x

tan3f x x9

x

24sinf x x

1y 0,

sinf x x a 1y 0,2

3

4

a

122

:מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות בתחום הנתון. 11

א. ב.

ג.

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה בתחום הנתון:12

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה בתחום הנתון:13

מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה הבאה בתחום הנתון: . 14

. מצא את נקודות הקיצון המוחלטות של הפונקציה הבאה בתחום הנתון:15

. מצא אתיש נקודת קיצון ששיעוריה . לפונקציה 11

.-וערכי הפרמטרים

הנתון:. מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה הבאה בתחום 17

. מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה הבאה בתחום הנתון:11

sin

0,21 cos2

xf x

x

1,

sin cosf x

x x

tan 0,2f x x

sin cos 0,2f x x x

1

sin 0,22

f x x x

sin 1

0,2sin 1

xf x

x

5 31 1 3sin sin 2sin 0,

5 3 2f x x x x

3sin sinf x a x b x 7

, 16

ab

1

0,sin3

f xx

1 1

0,sin cos

f xx x

123

. מצא את האסימפטוטות האנכיות לפונקציה הבאה בתחום הנתון:19

. מצא את נקודות הפיתול ותחומי הקעירות של הפונקציה הבאה בתחום הנתון: 22

. חקור את הפונקציה על פי בתחום הפונקציה נתונה . 21

הסעיפים הבאים:

.-א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודת חיתוך עם ציר ה

ה. אסימפטוטות. ו. נקודות פיתול. ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה. ח. שרטוט.

. חקור את הפונקציה על פי בתחום הפונקציה נתונה . 22

הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.

ה. אסימפטוטות. ו. שרטוט.

הפונקציה: נתונה . 23

את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה ואת נקודות הקיצון א. מצא בתחום

שלה.

ב. הוכח שהפונקציה זוגית.

.ג. שרטט את הפונקציה בתחום

. חקור את הפונקציה על פי בתחום הפונקציה נתונה . 24

הסעיפים הבאים:

.-א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודת חיתוך עם ציר ה

רות כלפי מעלה וכלפי מטה. ח. שרטוט.ה. אסימפטוטות. ו. נקודות פיתול. ז. תחומי קעי

tan ,f x x

2sin 2sin 0,2f x x x

2cosf x x x 0,2

y

1 1

cos sinf x

x x 0,

2sin cos 1f x x x

0,

,

4 3tanf x x x 2

,6 3

y

124

. חקור את הפונקציה על פי בתחום הפונקציה נתונה . 25

הסעיפים הבאים:

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. שרטוט.

:. חשב את האינטגרלים הבאים21

א. ב.

ג.

:. חשב את האינטגרלים הבאים27

א. ב. ג .

ד.

:. חשב את האינטגרלים הבאים21

א. ב . ג .

.נגזרת של פונקציה: נתונה . 29

.מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה

.הנגזרת השנייה של פונקציה: נתונה . 32

. מצא את הפונקציה.3הוא שיפוע הפונקציה בנקודה

. נתונות הפונקציות: 31

גודל השטח הכלוא בין חשב את

ברביע הראשון.-הפונקציות וציר ה

2tan 4f x x x 0,4

2

4sin 3cos 5

cosx x dx

x

2

4cos3 2sin 4

cos 3x x dx

x

2

2

1 cossin

cos

xx dx

x

2sin cosx x dx sin3 cos3x x dx 4 4sin cosx x dx

2sin x dx

cos

sin

xdx

x

2

sin

cos

xdx

x

2cos sinx x dx

' cos 4sin 2f x x x

1,1

6 2

'' 4sin 2 cosf x x x

,

sin , cosf x x g x x

y

125

.. נתונה הפונקציה: 32

בתחום שבין ראשית הצירים לנקודת המקסימום

. 1הראשונה מימינה העבירו לפונקציה משיק ששיפועו

ברביעים -חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק וציר ה

הראשון והשני.

בנקודה -. הפונקציה חותכת את ציר ה. נתונה הפונקציה: 33

. גודל השטח הכלוא מתחת לפונקציה והיא חיובית בתחום שבה

.-ו . מצא את ערכי הפרמטרים הוא בתחום

.. נתונות הפונקציות: 34

השטח הכלוא בין הפונקציות והישר

. -מסתובב סביב ציר ה

חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר.

שעל הפונקציה . מנקודה . נתונה הפונקציה 35

הורידו אנכים לצירי השיעורים כך שנוצר בתחום

מלבן כמתואר בשרטוט. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה

כדי שהיקף המלבן יהיה מקסימלי?

2sinf x x x

x

cos sinf x a x b x x

4x

0,

4

0,4

2 2 2ab

1

, coscos

f x g x xx

6x

x

sin 2f x xA

0,2

A

x

y

A

126

A B

C D

O

, ונתון מלבן ורדיוסו . נתון חצי מעגל שמרכזו 31

שלו מונחת על שלו מונח על היקף המעגל, הצלע שקודקוד

שלו משיקה למעגל. מצא מה צריך להיות קוטר המעגל והצלע

כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי. גודל הזווית

. נתונה הפונקציה: 37

השטח הכלוא בין . מצא עבור איזה ערך של הפונקציה חיובית בתחום

הפונקציה,

והצירים מינימלי. הישר

:פתרונות

)הערה: הגרפים לשאלות בחקירות פונקציה מופיעים בסוף הפתרונות באופן מרוכז(

cosא. 1 3sin 1x x .ב2

42sin 2 cos

cosx x x

x .ג

2

cos

1 sin

x

x

3cos3. א. 2 10sin5x x .ב2

1 sin 2x23sin. א. 3 cosx x .38בcos sinx x

26sinד. sin2xג. 2 cos2x x .2הsin4x .ו2

8tan 4

cos 4

x

x. א. 4

3cos3

2 sin3

x

x

ב. 2cos 2 1

cos2 cos2

x

x x

. cos4x 1ג. 4sin4xב. 2sin2x. א. 5

1 3

2 12 2y x

7 .2y x 1 .4

12 33

y x

9 .3 5 3

2 3 1 , 2 3 13 3

y x y x

12 .1

2a 11 .0. א 2x וגם

3,

2 2x

.בx וגם

3,

4 4x

0ג. 2x וגם3

,2 2

x

12 . min maxקצה, 0,1 , 24

,5

, 2 min4

,

max 2 .1 13קצה . min 0, קצה, 03

max ,3 2 6

,

5 3 5min ,

3 2 6

,

max 2 , .14קצה .3

max ,02

. 15מוחלט. 2

min , 22 15

3 2max ,2

2 15

ORABCD

ABC

CD

AOB

1

1 sin sin cos1

b f x b x x xb

0,2

b

2x

127

11 .4 , 3b a 17 .2

0 , , ,3 3

x x x x

11 .0 , ,2

x x x

19 .,2 2

x x

22 .7 1 1 1 1

, 1 , , 16 4 6 4

0. א. 21 2x

ב. max 2 ,2 2 ,קצה5 5

min , 36 6

,max , 3

6 6

, min קצה 0,2

ג. תחומי עלייה: 5

26

x

0או6

x

:תחומי ירידה5

6 6x

.ד 0,2 ה. אין

ו. 3 3

, , ,2 2 2 2

ז. קעירות כלפי מעלה: 3

2 2x

קעירות כלפי

מטה: 3

22

x

0או2

x

22 .0. א x וגם2

x

.בmin ,04

ג. תחומי עלייה: 4

x

וגם2

x

:0תחומי ירידה4

x

.ד3

,04

0ה. אנכית: , ,2

x x x

23:א. חיתוך עם הצירים . ,0 , 0,02

קיצון: min , 2 ,קצה1

max ,3 4

, min 0, . א. 24קצה. 02

6 3x

וגם

2x

.ב

2min ,13.57

3

maxקצה, ,0.366

,min , 0.366

קצה ג. תחומי

עלייה: 6 6

x

:תחומי ירידה ,2

6 3x

וגם

2x

.ד . 0,0 :ה. אנכית

2x

ו. 0,0 :ז. קעירות כלפי מעלה2

2 3x

0או

6x

:0, קעירות כלפי מטה

2x

0. א. 25 4x 0.44וגם , 3.56x x .ב max קצה, 0,0 min 2, 1.16 ,

max cos. א. 21קצה 4,0 3sin 4tan 5x x x x c

ב. sin 3 cos4 4 tan3

3 2 3

x x xc .גcos( ) tanx x x c 27 .א .

1cos2

2x c

ב. cos6

12

xc .ג

sin 2

2

xc .ד

1 1sin2

2 4x x c 21 .2. א sin x c

ב. 1

cosc

x .31ג

sin3

x c 29 ( ) sin 2cos2 2f x x x

32 .( ) sin2 cos 1f x x x x 31 .0.41יח"שS 32 .יח"שS 33 .2 , 2b a

Vיח"נ0.243. 34 35 .3

,3 2

A

31 .60x 37 .2b

128

:גרפים

21:

22:

23:

24:

21:

129

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות - 7.9 הפונקציה המעריכית

:הפונקציה

:הפונקציה

:הפונקציה

נגזרת הפונקציה המעריכית

אינטגרלים

xf x e

xf x a

xf x e

'x xy e y e

' lnx xy a y a a

ln

x x

xx

e dx e c

aa dx c

a

131

מופיע מיד לאחר הטבלה.לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רקע, ידע מקדים, הכרת הפונקציה המעריכית, חוקי הגזירה של פונקציה 1סרטון מעריכית

1תרגיל 2סרטון 2תרגיל 3סרטון 3תרגיל 4סרטון 4תרגיל 5סרטון מעריכיתשיפוע של פונקציה 1סרטון 5תרגיל 7סרטון 1תרגיל 1סרטון 7תרגיל 9סרטון 1תרגיל 12סרטון 9תרגיל 11סרטון 12תרגיל 12סרטון 11תרגיל 13סרטון 12תרגיל 14סרטון 13תרגיל 15סרטון 14תרגיל 11סרטון אסימפטוטות של פונקציות מעריכיות 17סרטון 15תרגיל 11סרטון 11תרגיל 19סרטון 17תרגיל 22סרטון 11תרגיל 21סרטון 19תרגיל 22סרטון 22תרגיל 23סרטון 21תרגיל 24סרטון 22תרגיל 25סרטון 23תרגיל 21סרטון 24תרגיל 27סרטון 25תרגיל 21סרטון 21תרגיל 29סרטון 27תרגיל 32סרטון 27תרגיל 31 סרטון

21תרגיל 32סרטון 29תרגיל 33סרטון 32תרגיל 34סרטון 32תרגיל 35סרטון אינטרגלים של פונקציות מעריכיות 31סרטון 31תרגיל 37סרטון 32תרגיל 31סרטון 33תרגיל 39סרטון 34תרגיל 42סרטון 35תרגיל 41סרטון 31תרגיל 42סרטון 37תרגיל 43סרטון 31תרגיל 44סרטון 39תרגיל 45סרטון

131

:תרגילים

. גזור את הפונקציות הבאות:1

א. ב. ג. ד.

ה.

. גזור את הפונקציות הבאות:2

א. ב . ג.

. גזור את הפונקציות הבאות:3

א. ב. ג.

. גזור את הפונקציות הבאות:4

א. ב. ג.

.בנקודה לפונקציה. מצא את משוואת המשיק 5

.בנקודה שבהפונקציה. מצא את משוואת המשיק ל1

ות החיתוך של בנקודפונקציה. מצא את משוואות המשיקים ל7

.הפונקציה עם הישר

. מצא את הוא ה בנקוד. שיפוע המשיק לפונקציה1

.-ו ערכי הפרמטרים

:מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות. 9

א. ב. ג. ד.

ה. ו. ז.

23 2 1x x xf x e e e x 2 3x xf x e ex sin xf x e 32 xf x

2

3 4x xf x

xf x x e 2 4xf x x e 1 2xf x x

2

x

xf x

e

1

x

x

ef x

e

x x

x x

e ef x

e e

3

25 1xf x e 2 2x xf x e e 3

1

x

x

ef x

e

xf x e 1,A e

2x xf x e xe 0x

21 x xf x e e e

y e

2 13 3x x bf x a 1,1521ln3

ab

2 1

x

xf x

e

3

1xf x

e

1

5x

xf x

e

2

1

3 2x xf x

e e

x x

x x

e ef x

e e

1

5 2

xef x

x

2 4 3x xf x e e

132

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה:12

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה:11

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה:12

נתונה הפונקציה: . 13

-ו מצא את ערכי הפרמטרים . בנקודה שבה -משיקה לציר ההפונקציה

ואת נקודות הקיצון של הפונקציה.

. נתונה הפונקציה: 14

.-ו מצא את ערכי הפרמטרים . לפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:15

הבאה:. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה 11

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:17

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:11

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:19

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:22

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:21

הפונקציה הבאה:. מצא את האסימפטוטות של 22

2 xf x x e

2

xef x

x

2

2

x

xf x

e

2 9

x

ax bxf x

e

x1.5x ab

8 2x xf x p q

2log 3, 19pq

2x xf x e e

2

x x

x

e ef x

e

5

1

x

x

ef x

e

2 1

5

x

x

ef x

e

x x

x x

e ef x

e e

2

2

5 6

x

x x

ef x

e e

2

xef x

x

3 1

x

xf x

e

133

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:23

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:24

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה:25

. נתונה הפונקציה:21

ואת נקודת -ו מצא את ערכי הפרמטרים . לפונקציה יש נקודת פיתול בנקודה

הפונקציה.הפיתול השנייה של

חקור את הפונקציה על פי הסעיפים .הפונקציה נתונה . 27

הבאים:

.-א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודת חיתוך עם ציר ה

ה. אסימפטוטות. ו. נקודות פיתול. ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה. ח. שרטוט.

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 21

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.

של נקודות הפיתול. -ה. אסימפטוטות. ו. שרטוט. ז. סמן על גבי השרטוט את ערכי ה

על פי הסעיפים הבאים:. חקור את הפונקציה הפונקציה נתונה . 29

א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.

בדיוק פתרון יש למשוואה ה. אסימפטוטות. ו. שרטוט. ז. עבור אילו ערכי

אחד?

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 32

הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.א. תחום

ה. אסימפטוטות. ו. נקודות פיתול. ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה. ח. שרטוט.

3

1x

xf x

e e

3 xf x x e

1

xf x xe

2

x

x af x

be

21,

e

ab

2 8 6 10x xf x e e x

y

3

x

xf x

e

x

2 12

x

xf x e

m f x m

1

2 xf x x e

134

:חשב את האינטגרלים הבאים. 31

א. ב. ג.

ד.

:חשב את האינטגרלים הבאים. 32

א. ב.

:חשב את האינטגרלים הבאים. 33

א. ב. ג.

.נגזרת של פונקציה: נתונה . 34

.מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה

. נתונות הפונקציות: 35

חשב את גודל השטח הכלוא בין שלוש הפונקציות.

.. נתונה הפונקציה: 31

. חשב את גודל העבירו לפונקציה משיק ששיפועו

.-השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק וציר ה

בתשובה. -ו ניתן להשאיר

35 1x x xe e e dx 23 5x x dx 4 16 xe dx

2

x xe e dx

2 1

1

x

x

edx

e

3 23 5 4 2

1

x x x

x

e e edx

e

3

x

x

edx

e

2

3

3

x

x

edx

e x

2xxe dx

32

2

1' 6 xf x x e

x

21,

e

3, , 16x x xf x e g x e h x e

5 xf x e

e

x

eln

135

. . נתונה הפונקציה: 37

-גודל השטח הכלוא בין הפונקציה, המשיק לפונקציה העובר בראשית הצירים וציר ה

.. מצא את ערכו של הפרמטר הוא

.. נתונות הפונקציות: 31

. -מסתובב סביב ציר ה השטח הכלוא בין הפונקציות והישר

חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר.

.. נתונות הפונקציות: 39

ברביע הראשון הורידו אנך לשני הצירים. מנקודה הנמצאת על גרף הפונקציה

ך יורד אנך נוסף לציר ומנקודת החיתו חותך את הפונקציה -המשך האנך לציר ה

.כך שנוצר מלבן. הוכח כי שטחו המקסימלי של מלבן כזה הוא -ה

0 bxb f x e

y

2

4

e b

,x xf x e g x e

ln 2x x

1

2 ,x

xf x e g x e

g x

y f x

x3

e

136

:פתרונות

)הערה: הגרפים לשאלות בחקירות פונקציה מופיעים בסוף הפתרונות של הפרק באופן מרוכז(

2. א. 1 23 2 2x xe e e .ב 2 32 3 x xx e e .גsincos xxe .33דln2 2 x

ה. 2

2 ln3 3 ln4 4x xx 2 .א . 1 xx e .ב 42 1 2xxe x

ג. 2 1 ln2 ln2x x 3 .א . 2

x

x x

e

ב.

2

1

x

x

e

e ג.

2

4

x xe e

. א. 4 2

2 230 1x xe e .ב2 2

2 2

x x

x x

e e

e e

ג.

3

3

5 6

2 1

x x

x

e e

e

5 .xy e 1 .3 1y x

7 . 1y e x e , 2 2y e e x e 1 .1 , 2b a 9 א. כל .x .0בx

ln5xג. .0ד , ln2x x ה. כלx .ו2

05

x .זln3 x 0אוx

12 . 2

4max 2, , min 0,0

e

11 . 3min 3,e 12 .1

max 3,e

, min קצה 2,0

13 .12 , 4b a ,1 1

min 1 ,0 , max 3 ,0.4832 2

14 .27 , 35p q

0y. אופקית: 15 11 :0. אופקיתy 17 :1. אופקיתy ,5y :0אנכיתx

. אופקית: 111

5y :אנכיתln5x 19 :1. אופקיתy ,1y .22 :0. אופקיתy ,

1

3y :אנכיתln3x :נקודת אי הגדרה , ln2, 1 .21 :0. אופקיתy :0אנכיתx .

0y. אופקית: 22 23 :0. אופקיתy :אנכית1

3x 24 :0. אופקיתy 25 :0. אנכיתx

,נקודת אי הגדרה: 0,0 21 .1 , 1a b

ב. x. א. כל 27 max 0,3 , min ln3,1.59 :ג. תחומי עלייהln3x 0אוx תחומי

0ירידה: ln3x .ד 0,3 .ה. אין. ו(ln2,2.16) :ז. קעירות כלפי מעלהln2x ,

ln2xקעירות כלפי מטה: 21 א. כל .x .ב3

27max 3,

e

3xג. תחומי עלייה: ,

3xתחומי ירידה: .ד 0,0 .0הy 29 א. כל .x .ב max 1,2 e 2

min 1,e

1ג. תחומי עלייה: 1x :1תחומי ירידהx 1אוx .ד 0,2 :2ה. אופקיתy .ז

22, 2 ,m m e m

e 32 .0. אx .ב

21min ,

2 4

e

ג. תחומי עלייה: 1

2x ,

תחומי ירידה: 1

02

x :0ד. אין. ה. אנכיתx :נקודת אי הגדרה 0,0 ו. אין. ז. קעורה

137

0xכלפי מעלה לכל 31 .א .3

53

xx xe

e e x c .ב23 5

ln3 2ln5

x x

c .ג1

223

x

e c

2ד. 21 12

2 2

x xe x e c 32 .א .xe x c .ב23

2 22

xxe

e x c

2. א. 33 3xe c .ב1

3xe xג.

21

2

xe c 34 .3 1

( ) 2 1xf x ex

35 .1

33

Sיח"ש 31 .0.192יח"שS 37 .2b 31 .1

18יח"נV

:גרפים

27:

21:

29:

32:

138

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות לוגריתמיות - 7.12 הפונקציה הלוגריתמית

:הפונקציה

:הפונקציה

נגזרת הפונקציה הלוגריתמית

אינטגרלים

lnf x x

logaf x x

1ln 'y x y

x

1log '

lnay x y

x a

1lndx x c

x

139

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רקע, ידע מקדים, הכרת הפונקציה הלוגריתמית, חוקי הגזירה של 1סרטון פונקציה לוגריתמית

1תרגיל 2סרטון 2תרגיל 3סרטון 3תרגיל 4סרטון שיפוע הפונקציה הלוגריתמית והמשיק לה 5סרטון 4תרגיל 1סרטון 5תרגיל 7סרטון 1תרגיל 1סרטון 7תרגיל 9סרטון 1תרגיל 12סרטון 9תרגיל 11סרטון 12תרגיל 12סרטון אסימפטוטות לפונקציה לוגריתמית 13סרטון 11תרגיל 14סרטון 12תרגיל 15סרטון 13תרגיל 11סרטון 14תרגיל 17סרטון 15תרגיל 11סרטון 11תרגיל 19סרטון 17תרגיל 22סרטון 11תרגיל 21סרטון 19תרגיל 22סרטון 22תרגיל 23סרטון המשך שאלה מסרטון קודם 22תרגיל 24סרטון 21תרגיל 25סרטון אינטגרלים לוגריתמיים 21סרטון 22תרגיל 27סרטון 23תרגיל 21סרטון 24תרגיל 29סרטון 25תרגיל 32סרטון 21תרגיל 31סרטון 27תרגיל 32סרטון 21תרגיל 33סרטון 29תרגיל 34סרטון 32תרגיל 35סרטון 31תרגיל 31סרטון

141

:תרגילים

. גזור את הפונקציות הבאות:1

ב. א.

ד. ג .

ו. ה.

. גזור את הפונקציות הבאות:2

א. ב. ג . ד.

ה.

. גזור את הפונקציות הבאות:3

א. ב. ג . ד.

.בנקודה לפונקציה. מצא את משוואת המשיק 4

.הוא ה בנקוד. שיפוע המשיק לפונקציה5

.-ו מצא את ערכי הפרמטרים

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:. 1

א. ב. ג .

ד. ה. ו.

ז.

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה: 7

2ln 3f x x x 3ln 4ln 2 ln 5 1f x x x x

ln 1xf x e

1ln

1

xf x

x

2 3log 5log 2 1f x x x ln cosf x x

lnf x x x 2

3 1 lnf x x x ln x

f xx

ln 2

ln 2

xf x

x

lnf x x x

3lnf x x 23lnf x x 2 2lnf x x x

2

2

ln 1

ln 1

xf x

x

lnf x x ,1A e

2ln

ln

x af x

x b

1, 1

e

3

e

ab

lnf x x 2lnf x x 2

3log 8 20f x x x

ln 4xf x e 1

ln 1

xf x

x

2

1

ln 2ln 3f x

x x

ln 1f x x

2 lnf x x x

141

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה: 1

. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הבאה: 9

היא נקודת קיצון . הנקודה . נתונה הפונקציה: 12

.-ושל הפונקציה. מצא את ערכי הפרמטרים

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה: 11

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה: 12

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה: 13

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה: 14

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה: 15

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה: 11

. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה הבאה: 17

. מצא את נקודת הפיתול של הפונקציה.. נתונה הפונקציה: 11

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 19

וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים. א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה

ה. אסימפטוטות )אם ישנן(. ו. נקודות פיתול. ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי

מטה. ח. שרטוט.

2ln 1x

f xx

2

4 2log logf x x x

2

2

ln ln

ln 1

a x b xf x

x

3 1,

8e

ab

ln 3f x x

1

ln 1f x

x

2ln 1

ln 1

xf x

x

2

ln 2

ln 4

xf x

x

ln x

f xx

2

2

1

ln 1

xf x

x

ln 2f x x x

ln x

f xx

22 lnf x x x

142

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 22

. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.א. תחום הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה

ה. אסימפטוטות )אם ישנן(. ו. נקודות פיתול. ז. תחומי קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי

חותך את הפונקציה בשתי נקודות? הישר מטה. ח. שרטוט. ט. עבור אילו ערכי

. חקור את הפונקציה על פי הסעיפים הבאים:הפונקציה נתונה . 21

ם הגדרה. ב. נקודות קיצון. ג. תחומי עלייה וירידה. ד. נקודות חיתוך עם הצירים.א. תחו

ה. אסימפטוטות. ו. שרטוט.

חשב את האינטגרלים הבאים:. 22

א. ב. ג .

חשב את האינטגרלים הבאים:. 23

א. ב. ג .

חשב את האינטגרלים הבאים:. 24

א. ב. ג . ד.

ה.

.נגזרת שנייה של פונקציה: נתונה . 25

.3וששיפועה בנקודה זו הוא מצא את הפונקציה אם ידוע שהיא עוברת בנקודה

ln 1

xf x

x

ky k

2

4 2log logf x x x

3 2 4

1 3 1dx

x x x

2 3 4x xdx

x

2

3

9

xdx

x

2 3 5

1

x xdx

x

3 2 5 6

2

x x xdx

x

4 3

1

xdx

x

2

2

3

xdx

x

2

1

2

xdx

x x

5

x

x

edx

e

x x

x x

e edx

e e

cos

sin

xdx

x

2

1'' 6f x x

x

1, 2

143

. נתונה הפונקציה: 21

חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה,

הישרים

.-וציר ה -ו

בתשובה. ניתן להשאיר

. נתונה הפונקציה: 27

חשב את גודל השטח הכלוא בין הפונקציה,

המשיק לפונקציה בנקודה שבה

העובר בנקודת המינימום של הפונקציה. -ואנך לציר ה

בתשובה. ניתן להשאיר

. נתונה הפונקציה: 21

השטח הכלוא בין הפונקציה, הישרים

מסתובב סביב ציר -וציר ה -ו

הסיבוב שנוצר.. מצא את נפח גוף -ה

בתשובה. ניתן להשאיר

.. נתונה הפונקציה: 29

מסתובב סביב השטח הכלוא בין הפונקציה, הצירים והישר

. חשב את נפח גוף הסיבוב שנוצר.-ציר ה

1

f xx

1x

4x x

ln

2 3

1

xf x

x

2x

x

ln

1

f xx

1x

3x x

x

ln

2 1

x

x

ef x

e

ln 3x

x

144

.את הנקודה הקרובה ביותר לנקודה . מצא על הפונקציה: 32

.. נתונה הפונקציה: 31

( וציר ) -ו השטח הכלוא בין הפונקציה, הישרים

. -מסתובב סביב ציר ה -ה

חשב את נפח גוף הסיבוב המינימלי שנוצר באופן זה.

:פתרונות

)הערה: הגרפים לשאלות בחקירות פונקציה מופיעים בסוף הפתרונות של הפרק באופן מרוכז(

א. 3 4 5

'( )2 5 1

f xx x x

ב. 2

2 3'( )

3

xf x

x x

. ג.

2'( )

( 1)( 1)f x

x x

.

)' ד. )1

x

x

ef x

e

)'ה. ) tanf x x .ו .

1 10'( )

ln 2 (2 1) ln3f x

x x

.

)'א. .2 ) ln 1f x x .ב .3 1

'( ) (3 1)(6ln )x

f x x xx

.ג

2

1 ln'( )

xf x

x

.

ד. 2

4'( )

(ln 2)f x

x x

. ה.

1'( )

2 ln

xf x

x x x

א. .3.

23ln'( )

xf x

x .

ב.6ln

'( )x

f xx

.ג .'( ) 2 ln (ln 1)f x x x x .ד .3

2(ln 1)'( )

(ln 1)

xf x

x x

.4.

1y x

e.

5. 2 , 2a b .1. .0אx .0. בx .10. ג x 2אוx .ד . ln 4x .

0ה. x e .0. ו x 3וגם 1,x ee

.ז .e x .7. 1 1

min( , )2ee

.

1. min( ,0)e קצה, 1

max( , )ee

.9. min(4, 1) .12. 1 , 1a b .11. 3x .

,נקודת אי הגדרה .12 (0,0) 0 ,y x e .13. נקודת אי הגדרה, (0,2)1

2 ,y xe

.

2נקודת אי הגדרה .14 1( , )

4e,

2

10 ,y x

e 15. 0 , 0y x .11. נקודת אי

3 .11. (0,2)נקודת אי הגדרה .17. (0,0)הגדרה

3

3( , )

2e

e .

2ln 1f x x 2.5,1

2

f x xx

x a3x a 0 a

xx

145

0א. .19 x.ב .2 2

1 8max( , ) , min(1,0)

e e1ג. עליה: x או

2

10 x

e ,

ירידה:2

11x

e .ו.(0,0). ה. נקודת אי הגדרה (1,0). ד .

1 2( , )e e

.

קעירות כלפי מעלה: ז.1

xe :קעירות כלפי מטה ,

10 x

e 22. .0א x e .

2ב. 2min( , )e e :2. ג. עליהe x :20, ירידה x e וגם x e .ד. אין .

,ה. נקודת אי הגדרה (0,0)x e .3. ו( ,0)e.3 . ז 3: , :e x e x e או

0 x e . .2טk e .21. .0א x .ב .min(4, 1) :4. ג. עליה x :0, ירידה 4x

(1,0)ד. , 0x. ה.(16,0) .22. .א4ln | 3 1|

3ln | | 2ln | 1|3

xx x c

.

ב.2

3 4ln | |2

xx x c . .גln | 3 |x c .23. .א

2

2 3ln | 1 |2

xx x c .

ב.3 2

7 8ln | 2 |3 2

x xx x c ..ג

4 3 2

4ln | 1|4 3 2

x x xx x c .

2lnא. .24 | 3 |x c .21. בln | 2 |

2x x c .ג .ln | 5 |xe c .ד .ln | |x xe e c .

lnה. | sin |x c .25. 3( ) ln | | 2f x x x x .21. ln Sיח"ש4 .

27. 4ln2 2יח"שS .21. ln3יח"נV .29. ln 2

2

Vיח"נ .32. (2, 2ln 2 1) .31.

1(19 4ln 4)

2 יח"נV .

146

:גרפים

19.

22.

21.

147

הסתברות קלאסית - 1פרק : ההסתברות להתרחשות מאורע

המאורע המשלים:

חיתוך ואיחוד מאורעות:

מאורעות זרים הם מאורעות שלא יכולים להתקיים בו זמנית. מאורעות זרים:

,עבור מאורעות זרים מתקיים:

מאורעות בלתי תלויים הם מאורעות שקיום האחד מהם לא משפיע מאורעות בלתי תלויים:

על ההסתברות לקיומו של השני.

עבור מאורעות בלתי תלויים מתקיים:

המאורעות תלויים.אם מתקיים:

הסתברות מותנית:

טבלת הסתברויות

התפלגות בינומית:

A

P A

1P A P A

P A B P A P B P A B

0P A B P A B P A P B

P A B P A P B

P A B P A P B

/

P A BP A B

P B

1n kk

n

nP k p p

k

מספר האפשרויות הרצוי

הכוללמספר האפשרויות

148

הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.לפניך טבלת

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

תוכן הסרטון

רקע, מהו מאורע, הסתברות של מאורע 1סרטון 1תרגיל 2סרטון המאורע המשלים 3סרטון 2תרגיל 4סרטון 3תרגיל 5סרטון חיתוך ואיחוד מאורעות 1סרטון מאורעות זרים 7סרטון מאורעות בלתי תלויים 1סרטון 4תרגיל 9סרטון 5תרגיל 12סרטון 1תרגיל 11סרטון 7תרגיל 12סרטון כולל הסבר על בניית עץ הסתברויות 1תרגיל 13סרטון 9תרגיל 14סרטון 12תרגיל 15סרטון 11תרגיל 11סרטון 12תרגיל 17סרטון הסתברות מותנית 11סרטון 13תרגיל 19סרטון 14תרגיל 22סרטון 15תרגיל 21סרטון 11תרגיל 22סרטון 17תרגיל 23סרטון המשך שאלה מסרטון קודם 17תרגיל 24סרטון 11תרגיל 25סרטון 19תרגיל 21סרטון טבלת הסתברויות 27סרטון 22תרגיל 21סרטון 21תרגיל 29סרטון 22תרגיל 32סרטון 23תרגיל 31סרטון 24תרגיל 32סרטון 25תרגיל 33סרטון א' 21תרגיל 34סרטון ב' 21תרגיל 35סרטון התפלגות בינומית א' 31סרטון התפלגות בינומית ב' 37סרטון 27תרגיל 31סרטון 21תרגיל 39סרטון 29תרגיל 42סרטון 32תרגיל 41סרטון 31תרגיל 42סרטון 32תרגיל 43סרטון 33תרגיל 44סרטון 34תרגיל 45סרטון 35תרגיל 41סרטון 31תרגיל 47סרטון 37תרגיל 41סרטון 31תרגיל 49סרטון

149

:תרגילים

ור כחול בהוצאהלהוצאת כדכדורים לבנים. מה ההסתברות 7-כדורים כחולים ו 3בכד .1 של כדור מהכד?אקראית

רים לבנים. מה ההסתברות שבהוצאהכדו 7-כדורים אדומים ו 3כדורים כחולים, 2בכד .2 של כדור מהכד לא ייצא כדור אדום?אקראית

. מהי ההסתברות שבסיבוב סביבון לא יתקבל "נס"?3

., , נתון: -ו . עבור שני מאורעות, 4

.מצא את

., , נתון: -ו עבור שני מאורעות, .5

.מצא את

., , נתון: -ו . עבור שני מאורעות, 1

קבע האם המאורעות:

א. זרים.

ב. תלויים.

., בלתי תלויים. בנוסף נתון: -ו . נתון כי שני מאורעות, 7

.מצא את

כדורים אדומים. 7-כדורים כחולים ו 3. בכד 1

אדם מוציא באקראי כדור מהכד, ולאחריו מוציא עוד כדור.

א. מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?

ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?

ג. מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע?

כדורים ירוקים. 5-וכדורים אדומים 2כדורים כחולים, 3. בכד 9

אדם מוציא באקראי כדור מהכד, מחזיר אותו לכד ואז מוציא עוד כדור.

א. מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?

ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?

ג. מה ההסתברות ששני הכדורים אינם באותו צבע?

AB 0.6P A 0.3P B 0.4P A B

P A B

AB 0.2P A 0.5P B 0.95P A B

P A B

AB 0.8P A 0.25P B 0.65P A B

AB 0.75P A 0.4P B

P A B

151

נשים. מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר )ללא החזרה(. מה 5-גברים ו 4. בחדר 12

ההסתברות שמתוך השלושה יש יותר גברים מנשים?

ד לבן ובכד ב' שני כדורים כחולים. נתונים שני כדים: בכד א' שלושה כדורים כחולים ואח11

לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי ושלושה לבנים. לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוילקבלת "פלי". אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א' ואם יוצא "פלי" היא מוציאה שני

כדורים מכד ב'.

מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן?

4-גולות כחולות ו 4שחורות ובכיסו השמאלי 5-גולות כחולות ו 3. ליואב יש בכיסו הימני 12

ואב מוציא גולה מכיסו הימני. אם היא כחולה הוא מחזיר אותה לכיס הימני ואם שחורות. י היא שחורה הוא מעביר אותה לכיס השמאלי. אחר כך מוציא גולה מכיסו השמאלי.

מה ההסתברות ששתי הגולות שהוציא באותו צבע?

כדורים אדומים. 7-כדורים כחולים ו 3. בכד 13

ולאחריו מוציא עוד כדור.אדם מוציא באקראי כדור מהכד,

א. מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?

ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?

ג. ידוע ששני הכדורים באותו צבע. מה ההסתברות ששניהם כחולים?

כדורים ירוקים. 5-כדורים אדומים ו 2כדורים כחולים, 3. בכד 14

תו לכד ואז מוציא עוד כדור.אדם מוציא באקראי כדור מהכד, מחזיר או

א. מה ההסתברות ששני הכדורים כחולים?

ב. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?

ג. ידוע ששני הכדורים באותו צבע. מה ההסתברות ששניהם כחולים?

נשים. מוציאים באקראי שלושה אנשים מהחדר )ללא החזרה(. 5-גברים ו 4. בחדר 15

יותר גברים מנשים. ידוע שמתוך השלושה יש

מה ההסתברות שכולם גברים?

בן ובכד ב' שני כדורים כחולים. נתונים שני כדים: בכד א' שלושה כדורים כחולים ואחד ל11

ושלושה לבנים. לואיזה מטילה מטבע לא הוגנת שבה הסיכוי לקבלת "עץ" כפול מהסיכוי יוצא "פלי" היא מוציאה שני לקבלת "פלי". אם יוצא "עץ" היא מוציאה כדור מכד א' ואם

כדורים מכד ב'.

א. מה ההסתברות שלא ייצא ללואיזה אף כדור לבן?

ב. ידוע שללואיזה לא יצא אף כדור לבן, מה ההסתברות שבהטלת המטבע יצא "עץ"?

151

. 2.2הוא ₪ 22והסיכוי להרוויח 2.3הוא ₪ 12. במשחק מזל הסיכוי להרוויח 17

-פעמיים וידוע שהרוויח יותר מ הרוויח כלל. אדם שיחק במשחקלא ל 2.5ישנו סיכוי של 22 .₪

₪? 42מה הסיכוי שהרוויח

וציא שני כדוריםכחולים והשאר אדומים. הסיכוי לה 3. בכד מספר מסוים של כדורים. 11

. כמה כדורים בכד?אדומים מהכד )ללא החזרה( הוא

והיא גדולה מההסתברות שלו נה היא . ההסתברות של צלף לפגוע במטרה בירייה הראשו19

ואם הוא מחטיא 2.1-להחטיא. אם הוא פוגע, עולה ההסתברות שלו לפגוע בירייה הבאה ב היא

. הצלף ירה למטרה פעמיים. ההסתברות שפגע במטרה בדיוק בירייה אחת היא 2.1-יורדת ב .

.א. מצא את

שהוא פגע בה לפחות פעם אחת? ב. מה ההסתברות שהצלף פגע פעמיים במטרה אם ידוע

מהאוהדים מעשנים. 42%מאוהדי מכבי ת"א הם גברים והשאר נשים. 72%. 22

מהאוהדים הם גברים שאינם מעשנים. 45%נתון כי

א. מהו אחוז הנשים המעשנות מבין אוהדי מכבי?

ב. בוחרים באקראי אוהד מכבי. מה ההסתברות שהוא גבר או שהוא מעשן?

באקראי אישה שאוהדת מכבי. מה ההסתברות שהיא מעשנת?ג. בוחרים

ד. האם מין האוהד והעובדה שהוא מעשן הם מאורעות תלויים?

מהפחיות המיוצרות במפעל משקאות הן רגילות והשאר דיאט. 15%. 21

מהפחיות המיוצרות תקינות והשאר פגומות. 12%

מהפחיות הן פחיות דיאט פגומות. 7%נתון כי

באקראי פחית. מה ההסתברות שהיא פחית רגילה ותקינה? א. בוחרים

ב. בוחרים באקראי פחית דיאט. מה ההסתברות שהיא פגומה?

ג. בוחרים באקראי פחית פגומה. מה ההסתברות שהיא דיאט?

ד. האם סוג הפחית ותקינותה הם מאורעות תלויים?

ת המבחן בהיסטוריה.עברו א 72%-מהתלמידים בכיתה עברו את המבחן בתנ"ך ו 12%. 22

מבין התלמידים שעברו את המבחן בתנ"ך עברו גם את המבחן בהיסטוריה. 75%

א. בוחרים באקראי תלמיד. מה ההסתברות שהוא נכשל בשתי הבחינות? ב. תלמיד נכשל במבחן בהיסטוריה. מה ההסתברות שהוא עבר את המבחן בתנ"ך?

ברות שזה המבחן בתנ"ך?ג. ידוע שתלמיד עבר בדיוק מבחן אחד. מה ההסת

5

14

p

0.38

p

152

הם גברים. 32%מהתושבים יש רישיון נהיגה. מבין בעלי רישיון הנהיגה 12%-. בעיר גדולה ל23

מהגברים הם בעלי רישיון נהיגה. 12%

בחרו באקראי שתי נשים מהעיר. מה ההסתברות שלשתיהן אין רישיון נהיגה?

ת בדיקה הבוחנת אם אדם הוא עיוורקייממהאנשים באוכלוסייה עיוורי צבעים. 12%. 24

שהבדיקה תקבע שהוא עיוור 12%צבעים. אם עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של צבעים.

שהבדיקה תקבע שהוא עיוור 5%אם אדם שאינו עיוור צבעים ניגש לבדיקה ישנו סיכוי של צבעים.

ה מאבחנת נכונה את הנבדק(?מהם אחוזי האמינות של הבדיקה )אחוז המקרים בהם הבדיק

. בסניף "תנו לחיות לחיות" בירושלים יש כלבים וחתולים בלבד, בעלי פרווה כהה או פרווה 25

מאחוז 3מהחיות בסניף הם כלבים. אחוז החתולים בעלי הפרווה הכהה גדול פי 55%בהירה.

הם כלבים. 12%הכלבים בעלי הפרווה הבהירה. מבין בעלי הפרווה הכהה

בוחרים באקראי חתול מהסניף. מה ההסתברות שהוא בהיר פרווה?

42%מגמות ריאליות לבחירה: פיזיקה, כימיה ומחשבים. 3. בית ספר תיכון מציע לתלמידיו 21

מתלמידי הכימיה מתלמידי הפיזיקה, מתלמידי מגמות אלה הם בנים. הבנים מהווים

פיזיקה. מהבנים הם תלמידי מתלמידי המחשבים. -ו

א. האם יש תלות בין העובדה שתלמיד לומד פיזיקה לבין מין התלמיד?

ב. מהו אחוז לומדי המחשבים מקרב הבנים?

. אדם מסובב חמש פעמים סביבון. מה ההסתברות שיקבל פעמיים "נס"?27

פעמים "נס" בשמונה סיבובי סביבון? 5מה ההסתברות לקבלת . 21

. עשרה אנשים ניגשו למבחן התיאוריה. 2.7. הסיכוי לעבור את מבחן התיאוריה הוא 29

שבדיוק שישה מהם יעברו?מה ההסתברות

על צבעו ומחזיר אותו לבנים. אדם מוציא מהכד כדור, מסתכל 4-כדורים כחולים ו 1בכד . 32

שת הכדורים מה ההסתברות שמתוך חמ פעמים נוספות. 4לכד. הוא חוזר על הפעולה שהוציא:

א. בדיוק ארבעה יהיו כחולים? ד. הרוב יהיו כחולים?

ב. חמישה יהיו כחולים? ה. לפחות אחד יהיה כחול?

ג. לפחות ארבעה יהיו כחולים? ו. הראשון והאחרון בלבד יהיו כחולים?

2

5

5

12

1

3

1

4

153

כדור, מסתכל על צבעו ומחזיר אותוציא מהכד לבנים. אדם מו 4-כדורים כחולים ו 1בכד . 31

ידוע שרוב הכדורים שהוציא כחולים. פעמים נוספות. 4לכד. הוא חוזר על הפעולה

מה ההסתברות שכולם כחולים?

ונות. כדי להתקבל לנבחרת הכדורסלניסי . יערה מצליחה לקלוע לסל בשלושה מכל ארבעה32

ניסיונות קליעה לסל. 1הפעמים מתוך של בית הספר עליה להצליח לקלוע ברוב

ידוע שיערה התקבלה לנבחרת הכדורסל. מה ההסתברות שהצליחה לקלוע את כל הקליעות?

. 2.227. בוחרים שלושה גברים באקראי מעיר גדולה. ההסתברות שכולם מעשנים היא 33

מה ההסתברות שרובם מעשנים?

4שתיים מהן מעשנות קטנה פי רות ש. בוחרים שלוש נשים מעיר גדולה. ההסתב34

מההסתברות ששתיים מהן לא מעשנות. מה ההסתברות שכולן מעשנות?

פעמים כדור מהכד )עם 9רוד מוציא כדורים, חלקם לבנים והשאר שחורים. נמ 12. בכד 35

2מהסיכוי שיצאו פי כדורים שחורים מלבנים גדול פי 2החזרה(. הסיכוי שיצאו פי

ורים. מצא כמה כדורים מכל צבע בכד.כדורים לבנים משח

נשים. מוציאים באקראי שני אנשים מהחדר. -גברים ו בחדר . 31

. 2.1ההסתברות שהם יהיו מאותו מין היא

.א. מצא את גודלו של

הפעמים ייצאו מהחדר שתי 4פעמים. מה הסיכוי שבשלוש מתוך 4ב. חוזרים על התהליך נשים?

תשובות מהן רק אחת נכונה. שאלות שוות ניקוד, לכל שאלה יש 5. במבחן רב ברירה עם 37

ששי יידע את התשובה הנכונה לשאלה במבחן. אם שי לא יודע את 52%ישנו סיכוי של

מההסתברות גדולה פי 12התשובה לשאלה הוא מנחש. ההסתברות ששי יקבל במבחן

.מצא את ערכו של .12שיקבל

המועמדים ניגשים גם לראיון וגם וראיון. כל. על מנת להתקבל לקורס טיס יש לעבור גיבוש 31

מהניגשים לראיון עוברים אותו. 35%-מהניגשים לגיבוש עוברים אותו ו 42%לגיבוש.

חברים ניסו 3בלבד. הריאיוןמאלה שלא התקבלו לקורס טיס לא התקבלו בגלל

להתקבל

בם התקבלו. מה ההסתברות שכולם התקבלו?לקורס טיס. ידוע שרו

33

8

x3x

x

n

11

3n

5

17

154

:פתרונות

א. לא זרים. .1. .5. .4. .3. .2. . 1

. . ב. א. .9. . ג. . ב. א. .1. .7ב. תלויים.

. א. .14. . ג. . ב. א. .13. .12. .11. .12. ג.

כדורים. .11. .17. . ב. א. .11. .15. . ג. ב.

. א. .21. ד. כן. . ג. . ב.א. .22. . ב. א. .19

. .23. . ג. . ב. א. .22. ד. בלתי תלויים. . ג. ב.

. .21. .27. א. בלתי תלויים. ב. .21. .25. .24

. . ה. . ד. . ג. . ב. א. .32. .29

לבנים, .35 . .34. .33. .32. .31. ו.

. .31. .37. . ב. א. .31שחורים.

3

10

3

4

3

4( ) 0.9P A B ( ) 0.35P A B

( ) 0.85P A B 1

15

8

15

7

15

9

100

19

50

31

50

17

42

8

15

77

144

1

15

8

15

1

8

9

100

38

100

9

38

2

17

8

15

15

16

1

48

0.6p 21

4015%0.850.50.52

0.20.350.12

3

2

3

1

225

93.5%1

312.5%0.2640.023

0.20010.2590.0780.3370.6830.98976

0.0230.1140.2140.2160.078746

4x 0.2995n 5

90

155

בעיות מילוליות –9פרק אחוז אחד הוא מאית השלםאחוזים:

זמן = דרך xמהירות בעיות תנועה:

אם לא צוין אחרת, המהירויות בכל שאלה קבועות. הערה:

עבודהזמן = x הספק בעיות הספק:

.ההספקים בכל שאלה קבועיםאם לא צוין אחרת, הערה:

לפניך טבלת הסרטונים בפרק זה. דף התרגילים מופיע מיד לאחר הטבלה.

מס' סידורי

מספר תרגיל בדף התרגילים

הסרטוןתוכן

תזכורת על אחוזים 1תרגיל 1סרטון 2תרגיל 2סרטון 3תרגיל 3סרטון 4תרגיל 4סרטון 5תרגיל 5סרטון בעיות תנועה 1תרגיל 1סרטון דרך א' 7תרגיל 7סרטון דרך ב' 7תרגיל 1סרטון 1תרגיל 9סרטון 9תרגיל 12סרטון 12תרגיל 11סרטון 11תרגיל 12סרטון 12תרגיל 13סרטון 13תרגיל 14סרטון 14תרגיל 15סרטון 15תרגיל 11סרטון 11תרגיל 17סרטון 17תרגיל 11סרטון 11תרגיל 19סרטון 19תרגיל 22סרטון א' 22תרגיל 21סרטון ב' 22תרגיל 22סרטון בעיות הספק 21תרגיל 23סרטון 22תרגיל 24סרטון 23תרגיל 25סרטון 24תרגיל 21סרטון 25תרגיל 27סרטון 21תרגיל 21סרטון 27תרגיל 29סרטון 21תרגיל 32סרטון א' 29תרגיל 31סרטון ב' 29תרגיל 32סרטון

156

תרגילים: ?322-מ 22%א. כמה הם . 1

?322-מ 122%ב. כמה הם ?22%-ב 322-מג. מהו המספר הגדול

. מה מחירה כעת?32%-והתייקרה ב₪ 242א. חולצה עלתה . 2

. מה מחירם כעת?42%-והוזלו ב₪ 452ב. נעליים עלו . מה מהירותה כעת?22%-קמ"ש ואז הורידה את מהירותה ב 12. מכונית נסעה במהירות 3 את מהירותו כעת. . בטא באמצעות 32%-והעלה את מהירותו ב . אופנוע נסע במהירות 4 22%-ר מכן ירד הספק המילוי שלו בליטר בשעה. לאח צינור מילא בריכה בקצב של .5

את הספק המילוי שלו כעת. . בטא באמצעות 32%-עלה הספק המילוי שלו בולבסוף ונסעה 25%-כך העלתה את מהירותה במכונית נסעה במהירות מסוימת במשך שעתיים. אחר .1

ק"מ. 312ל עברה המכונית ווחצי. בסך הכעוד שעה

מה הייתה מהירותה ההתחלתית של המכונית?

יצא מאותו מקום 27:22קמ"ש. בשעה 24לרכיבה במהירות 21:22. רוכב אופניים יצא בשעה 7

קמ"ש. 42רוכב אופנוע באותו כיוון ובמהירות של וע את רוכב האופניים?באיזו שעה ובאיזה מרחק מנקודת היציאה ישיג רוכב האופנ

יצאה מכונית מנצרת לת"א במהירות 21:22ק"מ. בשעה 123. המרחק בין ת"א לנצרת הוא 1

קמ"ש. באיזו שעה ייפגשו 51יצאה משאית מת"א לנצרת במהירות 21:22קמ"ש. בשעה 92 המכונית והמשאית?

. רוכב אופנוע יצא מביתו מזרחה במהירות מסוימת ונסע במשך חצי שעה. לאחר מכן, פנה 9

חר שעה זו פנה חזרה לכיוון ביתו, ונסע כך שעה נוספת. לא 22%-צפונה, הגדיל את מהירותו ב קמ"ש ונסע )בקו ישר( עד שהגיע חזרה לביתו. 15-העלה את מהירותו ל

ק"מ. 152ל ונוע ביציאה מביתו אם ידוע שעבר בסך הכא. מצא את מהירותו של רוכב האופ ב. מה הייתה מהירותו הממוצעת של רוכב האופנוע )בכל חלקי הדרך(?

דקות אחריה יצאה מכונית מדימונה 52ק"מ. 222. משאית נסעה מדימונה לאילת, מרחק של 12

. מצא את דקות לפני המשאית 42קמ"ש והגיעה לאילת 32-לאילת במהירות הגבוהה ב מהירות המכונית.

וכבי אופנוע יצאו בו זמנית, האחדק"מ. שני ר 112. המרחק בין ת"א לקריית שמונה הוא 11

דקות הרוכבים עדיין לא נפגשו 45מת"א לקריית שמונה והשני מקריית שמונה לת"א. כעבור ת לפני דקו 15ק"מ. רוכב האופנוע שיצא מת"א הגיע ליעדו 52.5והמרחק ביניהם היה

שהרוכב השני הגיע ליעדו. מצא את מהירויות רוכבי האופנוע.

xx

xx

157

ב"ש במשך שעה ורבע. יום אחד, לאחר חצי שעת נסיעה, הייתה –. רכבת נוסעת בקו ת"א 12דקות עד שהתקלה תוקנה. על מנת לנסות ולהגיע 12-תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור ל 5ש בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל של קמ" 12-ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב

דקות בלבד. מצא את מהירות הרכבת. מת. יום אחד יצא מביתו מאוחר ו למקום העבודה שלו במהירות מסוי. אדם הולך ברגל מבית13

קמ"ש. הוא הגיע לעבודה בזמן והדרך 3-מאוד ולכן נאלץ להגביר את מהירות ההליכה שלו ב דרך כלל היא אורכת. מצא את מהירות ההליכה של האדם )בשגרה(.ארכה מחצית מהזמן שב

לנקודה Bוהשני מנקודה Bלנקודה A. שני הולכי רגל הולכים זה לקראת זה, האחד מנקודה 14

A הם נפגשים כעבור חצי שעה וממשיכים ליעדם. הולך הרגל הראשון הגיע לנקודה .B 25

. מצא את היחס בין מהירויות הולכי הרגל.Aה דקות לפני שהולך הרגל השני הגיע לנקוד

נמצאים על גדת נהר בעל זרם קבוע. B-ו A. היישובים 15

מת. שעה לאחר מכן יצאה ספינה במהירות מסוי Bליישוב Aיום אחד, יצאה ספינה מיישוב

וכעבור שעתיים פגשה את הספינה הראשונה. הספינות המשיכו Aליישוב Bשנייה מיישוב

Bליישוב Aליעדן וחזרו חזרה ליישוב המוצא באותו יום. למחרת, שוב יצאה הספינה מיישוב

יצאה גם היא במהירות כפולה לכיוון Bאך במהירות כפולה מביום הקודם. הספינה מיישוב

פינה הראשונה. כעבור שעה עוד לא אך הפעם רק חצי שעה אחרי שיצאה הס Aהיישוב פגשה את הספינה הראשונה אך הייתה במרחק של שני ק"מ ממנה.

.Bליישוב Aמצא את עוצמת הזרם אם ידוע שכיוונו מיישוב . שלושה רוכבי אופנוע יצאו מירושלים לאילת ונסעו דרך עין גדי. המרחק בין עין גדי לאילת 11

צאו מירושלים בהפרשי זמן קבועים והגיעו לעין גדי באותו ק"מ. שלושת הרוכבים י 242הוא הרוכב זמן. הרוכב שיצא ראשון הגיע לאילת שעה אחרי שהגיע לשם הרוכב שיצא שני.

ק"מ 12יד פנה חזרה ופגש את הרוכב שיצא ראשון במרחק שיצא שלישי הגיע לאילת ומ מאילת.

מצא את מהירויות רוכבי האופנוע.

.Bלנקודה Aנוע יצאו באותו זמן מנקודה . מכונית ואופ17

.Bק"מ מנקודה 11כשהאופנוע היה באמצע הדרך הייתה המכונית במרחק

.Bק"מ מנקודה 12המכונית הייתה במרחק Bק"מ מנקודה 1כשהאופנוע היה במרחק

.Bלנקודה Aא. מצא את המרחק בין הנקודה ת?ב. פי כמה גדולה מהירות האופנוע ממהירות המכוני

קמ"ש ממהירותו 5-ק"מ. מהירותו של דן גדולה ב 12. דן ורן עורכים מרוץ לאורך מסלול של 11

של רן. שניהם יצאו למרוץ באותו זמן ודן הגיע לקו הסיום יותר מעשרים דקות לפני רן. מהו תחום המספרים בו נמצאת מהירותו של רן?

158

אחד, לאחר חצי שעת נסיעה, הייתה יום ב"ש במשך שעה ורבע. –. רכבת נוסעת בקו ת"א 19דקות עד שהתקלה תוקנה. על מנת לנסות ולהגיע 12-תקלה ברכבת והיא נאלצה לעצור לקמ"ש בהמשך הדרך והגיעה ליעדה באיחור קל 12-ליעדה בזמן העלתה את מהירותה ב

5, אך איחור זה לא עלה על באיחורהרכבת הגיעה –דקות )שים לב 5שלא עלה על דקות(. מצא את תחום המספרים בו נמצאת מהירות הרכבת.

. שלושה חברים הלכו מבית הספר לספורטק בהליכה מהירה. מהירותו של הראשון הייתה 22

קמ"ש ממהירותו של השלישי, לכן, הגיע -קמ"ש ממהירותו של השני וב 1-גדולה ב שעות לפני השני ושעתיים לפני השלישי. הראשון

את מהירותו וזמן הליכתו של החבר הראשון. מצעות א. הבע בא יש לבעיה פתרון? ב. לאילו ערכים של

25%-אחר כך העלה את קצב עבודתו ב. טבח הכין פנקייקים בקצב קבוע במשך שעתיים. 21

פנקייקים. כמה 312ל הכין הטבח ווהכין פנקייקים עוד שעה וחצי בקצב החדש. בסך הכ הטבח בשעתיים הראשונות לעבודתו? פנקייקים בשעה הכין

. צינור ממלא בריכה בקצב קבוע. לאחר שעתיים נפתח צינור נוסף הממלא את הבריכה 22

מהצינור הראשון. לאחר עוד שעה וחצי התמלאה הבריכה לאחר שנכנסו 25%בקצב של ליטר מים. כמה ליטרים לשעה מכניס הצינור הראשון לבריכה? 312אליה בסה"כ

צינור א' ממלא בריכה בשלוש שעות. צינור ב' ממלא את אותה בריכה בשעתיים. שני .23

. באיזו שעה תהיה הבריכה מלאה?12:22הצינורות נפתחו יחדיו בשעה מטר ביום. 12. קבוצת פועלים סללה כביש. את השליש הראשון של הכביש סללו בקצב של 24

מטר ביום מהקצב בו סללו את 15-ל באת השליש השני של הכביש סללו בקצב הגדוהשליש השלישי של הכביש. זמן סלילת השליש הראשון היה שווה לזמן סלילת שאר

הכביש. מצא את קצב סלילת השליש האחרון של הכביש.

22%. למיכל שני ברזים, ברז א' ממלא אותו וברז ב' מרוקן אותו. יום אחד כאשר במיכל היו 25

דקות. 1תחו בטעות את שני הברזים בו זמנית והמיכל התרוקן תוך מנפח הקיבול שלו, פדקות 5-מצא בכמה זמן ממלא ברז א' לבדו את המיכל כשהוא ריק אם ידוע שזמן זה ארוך ב

מהזמן הדרוש לברז ב' לרוקן את המיכל כשהוא מלא. ה יותר . שתי קבוצות של חקלאים אספו מלונים משדה. תחילה, עבדה רק הקבוצה המהיר21

ואספה מלונים משליש מהשדה. אחר כך, עבדה רק הקבוצה האיטית יותר ואספה מלונים מעוד שישית מהשדה. לבסוף, הצטרפה הקבוצה המהירה לעבודה ויחד אספו מלונים במשך

ימים. 29ימים נוספים. מתחילת איסוף המלונים ועד סיומו עברו 9לאסוף את המלונים מכל השדה לו עבדה מצא בכמה ימים יכולה הייתה הקבוצה המהירה

לבדה. במספר, תכנן לבדוק אותם תוך 224. מורה שברשותו היו מבחני המתמטיקה של כל השכבה, 27

מבחנים 7ימי עבודה, קיבל לידיו עוד 1מספר ימים מסוים. הוא התחיל בעבודתו ואחרי ימים לפני המועד שתכנן. 3 שנשכחו בבית הספר וקיבל הודעה כי עליו להחזיר את הבחינות

מבחנים בכל יום. 11הוא חישב וגילה שכדי לעמוד ביעד עליו לבדוק עוד בכמה ימים תכנן המורה לסיים את בדיקת המבחנים?

mm

mm

159

ליטר יש שני ברזים: ברז אחד למילוי והשני להרקה. מילוי המיכל 322. למיכל שנפחו 21המיכל )כשהוא מלא(. יום אחד, כשהמיכל היה דקות יותר מריקון 1)כשהוא ריק( אורך

מלא, פתחו בטעות את שני הברזים והמיכל התרוקן בפחות מחצי שעה. באיזה תחום מספרי נמצאת כמות המים הנכנסת למיכל בדקה מברז המילוי?

1ימים ואחריו השני יעבוד 1. שני פועלים תכננו לבצע עבודה מסוימת כך שהראשון יעבוד 29

ימים אחרי תחילת העבודה חלה הפועל הראשון והפסיק לעבוד והפועל 4ואולם, ימים. מהעבודה. 75%ימים לבדו וגם אז הסתיימה רק השני נאלץ לעבוד את הזמן שבו כל פועל היה מסיים את העבודה לו עבד לבדו. א. הבע באמצעות

יש לבעיה פתרון? ב. לאילו ערכים של

:פתרונות . .4. קמ"ש .₪3. ב. ₪. א. .2. . ג. ב. .א. .1

. קמ"ש. ב. קמ"שא. .9. .1. ק"מ, .7. קמ"ש .1. .5

. קמ"ש .15. .14. קמ"ש .13. קמ"ש .12. קמ"ש, קמ"ש .11. קמ"ש .12

. קמ"שקמ"ש .11. . ב. ק"מא. .17. קמ"ש, קמ"ש, קמ"ש .11

. . ב. א. .22. קמ"שקמ"ש .19

. דקות .25. מטר ליום .24. .23. ליטר בשעה .22פנקייקים. .21

. א. .29. ליטר-ל ליטרבין .21. יום .27. יום .21

.ב.

mm

m

60340360312270641.3x

1.04x808:30608:505060

8090808033

24

6080120241

12

100 x

8035 x 2 2

2 (8 ) 8 ( 2),

16 16

m m m mt v

m m

4 8m

808011:121515

24141537.516( 3)

, 4 122 9

mm

m

3m