ТЕХНИЧЕСКАЯ (СТРОИТЕЛЬНАЯ) МЕХАНИКА · 2019. 1. 17. · ния...
TRANSCRIPT
В. В. Бабанов
ТЕХНИЧЕСКАЯ
(СТРОИТЕЛЬНАЯ)
МЕХАНИКА
УЧЕБНИК И ПРАКТИКУМ ДЛЯ СПО
Рекомендовано Учебно-методическим отделом среднего профессионального
образования в качестве учебника и практикума для студентов образовательных
учреждений среднего профессионального образования
Москва Юрайт 2018
Книга доступна в электронной библиотечной системе
biblio-online.ru
ISBN 978-5-534-10332-8
© Бабанов В. В., 2017
© ООО «Издательство Юрайт», 2018
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена
в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая компания «Дельфи».
УДК 69.04(075.32)
ББК 38.112я723
Б12
Автор:Бабанов Владимир Владимирович — кандидат технических наук, доцент,
почетный работник высшего профессио нального образования Российской Фе-
дерации, профессор кафедры механики строительного факультета Санкт-Пе-
тербургского государственного архитектурно-строительного университета.
Рецензенты:Арутюнян Р. А. — доктор физико-математических наук, профессор кафедры
теории упругости Санкт-Петербургского государственного университета;
Кузьмин В. В. — федеральный архитектор Министерства культуры Российской
Федерации по памятникам архитектуры Ленинградской области.
Б12
Бабанов, В. В.Техническая (строительная) механика : учебник и практикум для СПО /
В. В. Бабанов. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 487 с. — (Серия : Профессио-
нальное образование).
ISBN 978-5-534-10332-8
В учебнике кратко изложены основы теоретической механики, сопротивле-
ния материалов и строительной механики. Рассмотрены вопросы образования
и анализа расчетных схем сооружений, основные положения статики и сопротив-
ления материалов. Теоретические сведения сопровождаются достаточным для
практического освоения количеством примеров. Учебник содержит необходимые
для решения задач справочные и нормативные данные.
Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного
образовательного стандарта среднего профессио нального образования и про-
фессио нальным требованиям.
Для студентов среднего профессио нального образования, обучающихся по ин-
женерно-техническим специальностям.
УДК 69.04(075.32)
ББК 38.112я723
3
Оãëавëåнèå
Предисловие ..................................................................................... 8Введение........................................................................................... 9Глава 1. Расчетные схемы сооружений, их образование и анализ ........13
1.1. Понятие о расчетной схеме сооружения ..................................................................131.2. Твердое тело как элемент расчетной схемы сооружения ...................................141.3. Связи и узлы расчетных схем .......................................................................................17
1.3.1. Связи и узлы плоских расчетных схем .........................................................171.3.2. Опорные связи плоских расчетных схем......................................................191.3.3. Связи и узлы пространственных расчетных схем .....................................211.3.4. Опорные связи пространственных расчетных схем .................................23
1.4. Классификация расчетных схем..................................................................................251.5. Кинематический анализ расчетных схем .................................................................28
1.5.1. Кинематический анализ плоских расчетных схем ....................................291.5.2. Кинематический анализ пространственных расчетных схем ...............36
1.6. Нагрузки и воздействия .................................................................................................401.6.1. Классификация нагрузок ...................................................................................401.6.2. Представление нагрузок в расчетных схемах .............................................411.6.3. Принцип независимости действия сил .........................................................42
Контрольные вопросы .............................................................................................................43Задачи для самостоятельного решения ............................................................................43
Глава 2. Основные положения статики ...............................................462.1. Аксиомы статики ..............................................................................................................462.2. Реакции связей ..................................................................................................................502.3. Системы сил на плоскости ............................................................................................52
2.3.1. Система сходящихся сил....................................................................................522.3.2. Система пар сил.....................................................................................................552.3.3. Система произвольно расположенных сил ................................................552.3.4. Система параллельных сил ...............................................................................60
2.4. Пространственные системы сил ..................................................................................632.4.1. Система сходящихся сил....................................................................................632.4.2. Система пар сил.....................................................................................................652.4.3. Система произвольно расположенных сил .................................................672.4.4. Система параллельных сил ...............................................................................71
Контрольные вопросы .............................................................................................................72
Глава 3. Определение реакций в связях статически определимых расчетных схем ................................................................................73
3.1. Общие положения ............................................................................................................73
4
3.2. Определение реакций в связях плоских расчетных схем ...................................773.2.1. Простые балки и однодисковые системы .....................................................773.2.2. Шарнирно‑консольные балки ..........................................................................823.2.3. Трехшарнирные арки и рамы ...........................................................................873.2.4. Многодисковые рамы и комбинированные системы ...............................96
3.3. Пространственные расчетные схемы ...................................................................... 103Контрольные вопросы .......................................................................................................... 107Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 108
Глава 4. Основные понятия механики деформируемого твердого тела ................................................................................. 110
4.1. Виды деформированных состояний твердого тела ............................................ 1104.2. Внутренние силы и напряжения .............................................................................. 112
4.2.1. Усилия в поперечных сечениях элементов расчетных схем............... 1124.2.2. Напряжения. Напряженное состояние в точке ....................................... 1134.2.3. Выражение усилий в поперечных сечениях через напряжения ........ 1164.2.4. Перемещения и деформации ......................................................................... 117
4.3. Основные гипотезы и допущения ............................................................................ 118Контрольные вопросы .......................................................................................................... 119
Глава 5. Растяжение и сжатие ......................................................... 1205.1. Усилия при растяжении и сжатии ........................................................................... 1205.2. Напряжения и деформации. Закон Гука ............................................................... 1255.3. Механические характеристики и свойства материалов ................................... 1315.4. Основы расчета строительных конструкций на прочность и жесткость ... 1385.5. Условия прочности и жесткости при растяжении и сжатии .......................... 141Контрольные вопросы .......................................................................................................... 145Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 146
Глава 6. Напряженное и деформированное состояние в точке ........... 1486.1. Напряженное состояние растянутых и сжатых стержней .............................. 1486.2. Плоское и объемное напряженные состояния.
Обобщенный закон Гука ............................................................................................. 1506.3. Краткие сведения о теориях прочности ................................................................. 154Контрольные вопросы .......................................................................................................... 158
Глава 7. Статически определимые фермы ......................................... 1607.1. Общие сведения. Классификация ферм ................................................................ 1607.2. Определение усилий в стержнях плоских ферм ................................................. 1637.3. Определение усилий в стержнях пространственных ферм ............................ 173Контрольные вопросы ......................................................................................................... 176Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 177
Глава 8. Геометрические характеристики плоских сечений ................ 1788.1. Общие положения ......................................................................................................... 1788.2. Статические моменты площади и определение центра тяжести сечений ... 1798.3. Моменты инерции плоских сечений ....................................................................... 1808.4. Понятие о радиусе инерции и моменте сопротивления сечения ................. 183Контрольные вопросы .......................................................................................................... 190Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 191
5
Глава 9. Сдвиг и кручение ............................................................... 1929.1. Чистый сдвиг ................................................................................................................... 1929.2. Кручение ........................................................................................................................... 195
9.2.1. Общие положения ............................................................................................. 1959.2.2. Напряжения и деформации при кручении стержней круглого сечения ........................................................................................................... 1989.2.3. Напряжения и деформации при кручении стержней некруглых сечений ....................................................................................................... 201
9.3. Расчеты на прочность и жесткость при кручении .............................................. 204Контрольные вопросы .......................................................................................................... 205
Глава 10. Плоский изгиб .................................................................. 20610.1. Общие положения ....................................................................................................... 20610.2. Определение усилий. Дифференциальные зависимости
между M, Q и q ............................................................................................................. 20810.3. Нормальные напряжения при изгибе .................................................................. 21610.4. Касательные напряжения при изгибе .................................................................. 21910.5. Деформации при изгибе ............................................................................................ 22210.6. Расчеты на прочность и жесткость при изгибе ................................................. 22710.7. Понятие о косом изгибе ............................................................................................ 229Контрольные вопросы .......................................................................................................... 239Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 240
Глава 11. Совместное действие растяжения (сжатия) с изгибом ........ 24311.1. Определение усилий в статически определимых расчетных схемах ........ 243
11.1.1. Балки и рамы..................................................................................................... 24311.1.2. Трехшарнирные арки ..................................................................................... 24811.1.3. Комбинированные расчетные схемы ........................................................ 255
11.2. Напряжения при совместном действии растяжения (сжатия) с изгибом ........................................................................................................................ 257
11.3. Внецентренное сжатие. Понятие о ядре сечения ............................................. 259Контрольные вопросы .......................................................................................................... 263Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 263
Глава 12. Основные теоремы строительной механики. Определение перемещений ............................................................. 266
12.1. Общие положения ....................................................................................................... 26612.2. Работа сил. Потенциальная энергия деформации ........................................... 26712.3. Принцип возможных перемещений ...................................................................... 27112.4. Основные теоремы строительной механики...................................................... 272
12.4.1. Теоремы о взаимности возможных работ и взаимности возможных перемещений........................................................................................... 27212.4.2. Теорема о взаимности возможных реакций ........................................... 274
12.5. Определение перемещений в статически определимых расчетных схемах .............................................................................................................................. 275
12.5.1. Перемещения от внешней нагрузки .......................................................... 27512.5.2. Перемещения от теплового воздействия................................................. 286
6
12.5.3. Перемещения от неравномерной осадки опор и неточности изготовления стержней............................................................................................... 291
Контрольные вопросы .......................................................................................................... 294Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 294
Глава 13. Расчет статически неопределимых систем методом сил ...... 29813.1. Свойства статически неопределимых систем. Степень статической
неопределимости ......................................................................................................... 29813.2. Идея метода сил. Система канонических уравнений ..................................... 30313.3. Выбор основных систем метода сил. Общая последовательность
расчета ............................................................................................................................. 30613.4. Расчет при наличии начальных деформаций .................................................... 32413.5. Упрощения при расчете симметричных систем ............................................... 32913.6. Понятие о расчете пространственных рам ......................................................... 340Контрольные вопросы .......................................................................................................... 343Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 343
Глава 14. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений .................................................................................. 347
14.1. Основные положения. Степень кинематической неопределимости ......... 34714.2. Идея метода перемещений. Система канонических уравнений
и общая последовательность расчета ................................................................... 35014.3. Расчет при наличии начальных деформаций .................................................... 35814.4. Упрощения расчетов при использовании метода перемещений ................ 363
14.4.1. Использование основной системы без постановки линейных связей ................................................................................................................................ 36314.4.2. Учет симметрии ............................................................................................... 367
14.5. Понятие о расчете пространственных рам ......................................................... 37014.6. Принципы определения перемещений в статически неопределимых
системах .......................................................................................................................... 375Контрольные вопросы .......................................................................................................... 376Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 377
Глава 15. Основы динамики сооружений .......................................... 38015.1. Общие положения ....................................................................................................... 38015.2. Колебания упругих систем с одной степенью свободы ................................. 385
15.2.1. Свободные колебания .................................................................................... 38615.2.2. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки ........................................................................................................................... 39215.2.3. Действие ударной нагрузки ......................................................................... 399
15.3. Колебания упругих систем с несколькими степенями свободы ................. 40215.3.1. Свободные колебания .................................................................................... 40215.3.2. Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки ........................................................................................................................... 41015.3.3. Учет симметрии в задачах динамики ....................................................... 416
15.4. Меры защиты от динамических воздействий.................................................... 419Контрольные вопросы .......................................................................................................... 422Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 423
Глава 16. Основы устойчивости сооружений .................................... 42716.1. Основные положения ................................................................................................ 42716.2. Устойчивость центрально сжатых прямолинейных стержней ................... 42916.3. Применение метода перемещений при расчете устойчивости
плоских рам ................................................................................................................... 43816.3.1. Общие принципы использования метода ............................................... 43816.3.2. Упрощения при расчете рам на устойчивость ....................................... 445
16.4. Критические напряжения и пределы применимости формулы Эйлера.... 45116.5. Практические расчеты на продольный изгиб .................................................... 453Контрольные вопросы .......................................................................................................... 458Задачи для самостоятельного решения ......................................................................... 459
Приложения ................................................................................... 463Приложение 1. Модули упругости и коэффициенты Пуассона .................. 463Приложение 2. Расчетные сопротивление проката для стальных конструкций и отливок из серого чугуна ................................................. 464Приложение 3. Расчетные сопротивления бетона, камня и кирпичной кладки .................................................................................................. 465Приложение 4. Расчетные сопротивления для некоторых сортов древесины ............................................................................................ 466Приложение 5. Геометрические характеристики некоторых плоских сечений ................................................................................................ 467Приложение 6. Двутавры горячекатаные (ГОСТ 8239—93) ....................... 469Приложение 7. Швеллеры горячекатаные (по ГОСТ 8240—97) .................. 470Приложение 8. Уголки стальные горячекатаные неравнополочные (ГОСТ 8510—93) ................................................................................... 472Приложение 9. Уголки горячекатаные равнополочные (ГОСТ 8509—93) .... 473Приложение 10. Таблица реакций и усилий в изгибаемых стержнях от единичных смещений связей и теплового воздействия ......................... 475Приложение 11. Таблица реакций и усилий в изгибаемых стержнях от внешних воздействий ........................................................................ 476Приложение 12. Таблица реакций в сжато-изогнутых стержнях от единичных смещений связей при расчете на устойчивость ................... 477Приложение 13. Таблица значений функций метода перемещений для сжато-изогнутых стержней .............................................................. 479Приложение 14. Таблица значений специальных функций метода перемещений для сжато-изогнутых стержней ........................................ 481Приложение 15. Коэффициенты продольного изгиба ................................ 483
Список литературы ......................................................................... 484Новые издания по дисциплине «Строительная механика» и смежным дисциплинам ................................................................. 486
Ïðåäèñëîâèå
Архитектор в процессе создания проекта здания или сооружения опре-деляет его общий вид, исходя из эстетических, технологических или других требований, разрабатывает внутреннюю планировку, назначает перечень используемых строительных материалов.
Знание методов расчета сооружений и их элементов необходимо буду-щему архитектору не столько для того, чтобы уметь рассчитать любую кон-струкцию, сколько для понимания закономерностей в ее работе, в распре-делении усилий при любых внешних воздействиях. Также ему, безусловно, придется выбирать конструктивные схемы и устанавливать как общие раз-меры конструкции, так и ее элементов.
В результате изучения дисциплины студент должен освоить:трудовые действия • владения навыками расчета элементов строительных конструкций
и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость;• вопросами формообразования сооружения с точки зрения его безава-
рийной эксплуатации и экономичности;необходимые умения• разрабатывать расчетные схемы простейших зданий и сооружений;• анализировать расчетные схемы сооружений с точки зрения их гео-
метрической неизменяемости и статической определимости; необходимые знания• физических аспектов явлений, вызывающих особые нагрузки и воз-
действия на здания и сооружения;• основных подходов к формализации и моделированию движения
и равновесия материальных тел; • постановки и методов решения задач о движении и равновесии мате-
риальных тел;• основных положений и расчетных методов, используемых в статике,
сопротивлении материалов и строительной механике.
9
Прочность, польза, красотаМарк Витрувий (I в. до н.э.),
«Десять книг об архитектуре»
Ввåäåнèå
1. Назначение и состав дисциплиныОдной из основных задач при проектировании сооружений является
обеспечение их достаточной, но не излишней, надежности на заданный срок эксплуатации.
Памятники архитектуры, пережившие тысячелетия, создавались древ‑ними строителями с большим запасом прочности. Определение формы и размеров сооружений чаще всего выполнялось экспериментально или с использованием строительного опыта предшествующих поколений. Доброкачественность сооружений проверялась самой жизнью.
В настоящее время многообразие форм сооружений не позволяет опираться только на опыт проектирования сооружений. Необходимость строить быстро, прочно и экономно порождает потребность в грамотно выполненных и отвечающих действительной работе сооружений расчетах прочности, жесткости и устойчивости любого возводимого сооружения.
Целью таких расчетов является обеспечение достаточной, но не излиш‑ней, безопасности сооружений, т.е. сочетания долговечности с экономич‑ностью.
Расчет на жесткость предназначен для устранения возможности появле‑ния значительных деформаций сооружения или его элементов (прогибов, оса‑док, вибраций), которые могут быть и не опасными для самого сооружения, но неприемлемыми по эксплуатационным или эстетическим требованиям.
Методы расчета сооружений на прочность, жесткость и устойчивость излагаются в курсе строительной механики. По мнению Б. Н. Жемочкина, строительная механика в широком смысле этого слова объединяет следу‑ющие дисциплины:
а) теоретическую механику;б) сопротивление материалов;в) собственно строительную механику;г) теорию упругости и теорию пластичности.Теоретическая механика изучает вопросы равновесия и движения
твердых тел. Курс теоретической механики в классической постановке делится на три раздела:
— статику, изучающую вопросы равновесия; — кинематику, изучающую виды движения;
10
— динамику, изучающую зависимости между движением твердых тел и действующими на них силами.
При этом теоретическая механика не учитывает физико‑механические свойства самих тел, а считает их абсолютно твердыми. Из трех разделов теоретической механики для архитектора наиболее важным является раз‑дел статики.
Сопротивление материалов, базируясь на основных положениях тео‑ретической механики, но уже с учетом физико‑механических свойств стро‑ительных материалов, изучает вопросы прочности и устойчивости элемен‑тов сооружений, а также определяет изменение их формы под действием внешних сил.
Строительная механика, базируясь на основных положениях теоре‑тической механики и сопротивления материалов, изучает вопросы проч‑ности, жесткости и устойчивости расчетных схем сооружений как совокуп‑ности элементов под действием различных видов внешних воздействий.
Теория упругости рассматривает те же вопросы, что и сопротивление материалов, но более углубленно и применительно к континуальным рас‑четным схемам (плиты, оболочки, балки‑стенки и т.д.), используя при этом более сложный и точный математический аппарат.
Теория пластичности изучает работу элементов конструкций с учетом пластических свойств материалов.
Расчет, даже приближенный, позволяет архитектору оценить внутрен‑нее состояние конструкции, рассмотреть взаимосвязь ее элементов, созна‑тельно изменить условия их «работы» путем рационального распределения материала и выбора размеров и форм сечений. Последнее, в свою очередь, дает неограниченные возможности для творчества в формообразовании, так как не существует методики, позволяющей сразу определить оптималь‑ный вариант конструкции, пригодной для конкретного задания при про‑ектировании.
Статический анализ выдающихся памятников архитектуры позволяет утверждать, что архитектурная форма всецело вытекает из правильно при‑мененной и грамотно рассчитанной конструкции.
2. Краткий очерк развития строительной механикиМеханика является одной из самых древних наук, возникшей на заре
человеческой истории и развивавшейся вместе с развитием производитель‑ных сил общества, с ростом его материальной и духовной культуры.
Многие простейшие законы механики были известны в глубокой древ‑ности, что подтверждают не только археологические раскопки, но и дошед‑шие до нас древнейшие сооружения и рукописи.
Одним из создателей статики был великий ученый античного мира Архимед (287—322 гг. до н.э.), который точно решил задачу о равновесии рычага, создал учение о центре тяжести и вычислял площади, поверхности и объемы различных тел на основании разработанных им методов.
Великий ученый эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452—1519) ввел в механику понятие момента силы относительно точки и установил, что сила трения скольжения не зависит от величины поверхности соприка‑
11
сания трущихся тел. Первые дошедшие до нас сведения о прочности также связаны с его именем.
Основы кинематики, динамики и науки о прочности заложены Галилео Галилеем (1473—1543). В 1538 г. им были опубликованы «Беседы и мате‑матические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки», содержащие основы новых наук о прочности и динамике. Также он пер‑вым сделал попытку определить путем расчета нагрузку, которую может выдержать балка.
Первое систематическое изложение статики было дано Пьером Вари‑ньоном (1654—1722) в сочинении «Новая механика» (1687 г.).
В 1686 г. вышел в свет трактат Исаака Ньютона (1643—1727) «Мате‑матические начала натуральной философии», в котором были изложены аксиомы механики и установлены основные понятия: масса, время, про‑странство, сила.
Основы науки о прочности (сопротивление материалов) интенсивно разрабатывались в течение XVII—XVIII вв., когда были изучены растяже‑ние и сжатие, сдвиг, изгиб и кручение круглого бруса.
Роберт Гук (1635—1703) установил закон о прямой пропорционально‑сти между нагрузкой и удлинением при растяжении.
Якоб Бернулли (1654—1705) составил уравнение изогнутой оси бруса.Леонард Эйлер (1707—1783) создал теорию продольного изгиба цен‑
трально сжатого стержня. Шарль Кулон (1736—1806) разработал теорию кручения круглого бруса.Позже в этой области плодотворно работали К. Кульман, Б. Сен‑Венан,
Д. К. Максвелл, Б. П. Клайперон, О. Мор, Е. Бетти, Л. Навье и др.Значительные достижения науки о сопротивлении материалов связаны
с именами русских ученых и инженеров.М. В. Ломоносов (1711—1765) и И. П. Кулибин (1733—1818) в своих
трудах заложили прочные теоретические основы для создания строитель‑ной механики, которая как самостоятельная наука выделилась из общей механики в первой половине XIX в.
Д. И. Журавский (1821—1891) впервые разработал теорию расчета мостовых ферм как шарнирно‑стержневых систем и создал теорию каса‑тельных напряжений при изгибе.
Ф. С. Ясинский (1856—1899) разработал основы расчета стержней на устойчивость.
Существенное развитие теория расчета ферм получила в трудах инже‑неров‑мостовиков Н. А. Белелюбского (1845—1922) и Л. Д. Проскурякова (1858—1926).
Большую роль в развитии отдельных разделов строительной механики (графостатики, основ теории статически неопределимых систем и др.) сыграли работы В. Л. Кирпичева (1845—1913).
В истории отечественной науки и техники видное место занимает инже‑нер‑изобретатель В. Г. Шухов (1853—1939), обосновавший методику рас‑чета и разработавший конструкции сетчатых и сводчатых покрытий.
Технический XX в. дал новый импульс развитию строительной меха‑ники.
Значительное развитие получила теория расчета сложных статиче‑ски неопределимых систем в трудах П. Л. Пастернака, И. П. Прокофьева, А. А. Гвоздева, С. А. Бернштейна, Б. Н. Жемочкина, Н. И. Безухова, Б. Н. Горбунова, И. М. Рабиновича, А. А. Уманского, П. Ф. Попковича, Н. С. Стрелецкого, В. А. Киселева, Н. К. Снитко и др.
Большой вклад в развитие теории устойчивости сооружений внесли И. Г. Бубнов, С. П. Тимошенко, А. Н. Динник, Н. В. Корноухов, С. Д. Лейтес, А. Ф. Смирнов, А. Р. Ржаницын, Н. К. Снитко, А. С. Вольмир, Ю. Н. Работ‑нов, А. В. Геммерлинг, Р. Р. Матевосян.
Существенное развитие получили теория колебаний деформируемых тел и методы динамического расчета сооружений в трудах И. М. Раби‑новича, К. С. Завриева, А. П. Синицына, Я. Г. Пановко, Б. Г. Коренева, В. В. Болотина, О. В. Лужина и др.
В настоящее время развитие строительной механики идет по пути раз‑работки все более эффективных, имеющих хорошую сходимость и дающих достоверные результаты аналитических и численных методов, ориентиро‑ванных на широкое применение ЭВМ (А. В. Александров, Б. Я. Лащени‑ков, А. М. Масленников, А. Ф. Смирнов, Н. Н. Шапошников и др.).
В решение многочисленных проблем сопротивления материалов и стро‑ительной механики большой вклад вносили и вносят российские ученые.
Ведущее место российские ученые занимают в вопросах разработки и применения вероятностных методов расчета и исследовании надежности конструкций (Н. С. Стрелецкий, А. Р. Ржаницын, В. В. Болотин и др.).
Развитие теории оптимизации в строительной механике во многом определяется трудами российских ученых (К. М. Хуберян, Ю. А. Радциг, А. И. Виноградов, А. Н. Раевский и др.).
Таким образом, строительная механика была и остается развивающейся наукой, призванной обеспечить проектировщиков современными методами расчета сооружений, позволяющих совмещать формообразование и оценку прочности, поэлементный расчет и расчет сооружения как единого целого, производить оптимизацию и синтез конструкций.
Все это позволяет проектировать и создавать так необходимые совре‑меннику прочные, надежные, долговечные, экономичные и эстетически приемлемые сооружения.
13
Гëава 1. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ СООРУЖЕНИЙ,
ИХ ОБРАЗОВАНИЕ И АНАЛИЗ
В результате освоения данной главы студент должен:знать• основы движения абсолютно твердых тел на плоскости и в пространстве;• основные типы связей между телами и способы их прикрепления к основанию; • основные типы расчетных схем сооружений;уметь• анализировать расчетные схемы сооружений с точки зрения их геометрической
неизменяемости и статической определимости (производить их кинематический анализ);
• определять действующие на сооружение нагрузки;владеть• навыками соединения отдельных частей расчетных схем в единое геометрически
неизменяемое целое;• навыками представления действующих на сооружение нагрузок в расчетных
схемах.
1.1. Понятèå о рас÷åтной схåìå соорóжåнèя
Любое сооружение можно рассматривать в виде совокупности твердых тел (элементов), соединенных между собой и работающих как единое целое. Задачей расчета является определение состояния под нагрузкой как отдель‑ных элементов, так и всего сооружения в целом с целью оценки его с пози‑ций удовлетворения условиям прочности, жесткости и устойчивости.
Расчет реального сооружения со всеми особенностями его образования, многообразием действующих на него нагрузок и различными физико‑меха‑ническими свойствами составляющих его элементов является задачей чрез‑вычайно сложной. Поэтому при проектировании любого сооружения всегда идут на значительные упрощения, пренебрегая второстепенными факторами, которые заведомо не могут оказать значительного влияния на результаты расчетов. Пренебрежение этими факторами приводит к работе не с самим сооружением, а с его моделью, называемой расчетной схемой сооружения.
Расчетная схема сооружения представляет собой идеализированное, упрощенное изображение реального сооружения, которое отображает наиболее важные свойства его действительной работы при различных внешних воздействиях.
14
Выбор расчетной схемы является одним из самых ответственных эта‑пов расчета сооружения. С одной стороны, расчетная схема должна быть выбрана таким образом, чтобы сделать решение задачи возможным и прак‑тически приемлемым с точки зрения его сложности; с другой стороны, она должна как можно более правильно отражать действительную работу соо‑ружения под нагрузкой и обеспечивать достаточную точность и достовер‑ность расчета.
Чтобы правильно выбрать расчетную схему сооружения, одновременно достаточно простую и точную, необходимо иметь большой опыт в проекти‑ровании сооружений и хорошо представлять себе сравнительную важность отдельных элементов поставленной задачи.
В строительной механике на основании инженерного опыта вырабо‑таны общие критерии и подходы к выбору расчетных схем сооружений. Они основаны на опробованных приемах идеализации элементов сооруже‑ний, физических свойств строительных материалов, условий сопряжения отдельных частей сооружения, способов прикрепления его к основанию, возможных внешних воздействий и т.д.
Все это подобнее будет рассмотрено далее.
1.2. Твåрäоå тåëо как ýëåìåнт рас÷åтной схåìы соорóжåнèя
При анализе расчетных схем сооружений и выполнении последующих расчетов полагают, что их отдельные части состоят из абсолютно твердых тел (не изменяющих свою форму, т.е. таких тел, расстояния между двумя любыми точками которых остаются неизменными при любых внешних воздействиях).
В действительности же все тела в природе под действием различных причин несколько меняют свою форму, т.е. деформируются. Однако для твердых тел в большинстве случаев эти изменения настолько незна‑чительны, что ими обычно пренебрегают. Абстрагирование от некоторых физических свойств твердого тела является одним из общепринятых упро‑щений при выборе расчетной схемы сооружения.
Всякое тело имеет три измерения, т.е. является пространственным. Если одно из них мало по сравнению с двумя другими и им по условию задачи можно пренебречь, твердое тело называют плоским, или диском.
Удлиненное тело, поперечными размерами которого по сравнению с его длиной можно пренебречь, принято называть стержнем, или брусом.
Если же все размеры тела бесконечно малы или его размерами можно пренебречь по сравнению с размерами других тел, тело называют матери-альной точкой или просто точкой. При этом каждое тело можно рассма‑тривать как совокупность взаимосвязанных материальных точек.
Тело, не имеющее никаких закреплений, препятствующих его движе‑нию, и не соприкасающееся с другими телами, называется свободным. Положение свободного тела в пространстве или на плоскости определяется его степенью свободы.
15
Степенью свободы твердого тела принято называть количество независи‑мых геометрических параметров, определяющих положение тела на пло‑скости или в пространстве. Положение тела на плоскости или в простран‑стве можно также определить как количество видов движений, которые оно может совершать.
z
z
x x
xx
M
M
yM
yM
xM
xM
y
y
а
в
г
б
y
y
0 0
00
Рис. 1.1
Так, пространственное твердое тело, показанное на рис. 1.1, а, может совершать поступательные движения по трем направлениям (например, в направлениях осей x, y и z) и три вращательных движения вокруг тех же осей. Следовательно, твердое пространственное свободное тело имеет шесть степеней свободы. Плоское твердое тело (рис. 1.1, б) может совер‑шать на плоскости поступательные движения в двух направлениях (напри‑мер, в направлении осей x и y) и одно вращательное движение вокруг какого‑либо центра вращения (например, точки 0). Следовательно, плоское свободное твердое тело на плоскости имеет три степени свободы. Нако‑нец, положение любой точки (например, М) может быть определено в про‑странстве (рис. 1.1, в) тремя координатами (тремя степенями свободы), а на плоскости (рис. 1.1, г) — двумя (двумя степенями свободы).
Примеры идеализации твердых тел в расчетных схемах сооружений представлены на рис. 1.2. Прямолинейные стержни сплошного сечения
16
(рис. 1.2, а) представляются в виде осевой линии, соединяющей центры тяжести соседних сечений. В данном случае абстрагируются от описания в расчетной схеме поперечного сечения стержня. В рамках такой же иде‑ализации рассматриваются криволинейные (рис. 1.2, в) и тонкостенные стержни (рис. 1.2, б). Вид плоских тел в расчетных схемах имеют пластины и оболочки (рис. 1.2, г и д), которые в расчетных схемах изображаются, соответственно, в виде срединной плоскости или срединной поверхности.
в
г
0
0
д
x x
x x x
а б
x
x
x x
x
zz
z z
y
y y
ytt
Рис. 1.2
Совокупности указанных элементов образуют расчетные схемы соору‑жений, которые в дальнейшем мы будем называть системами.
17
В зависимости от того, из каких элементов состоит расчетная схема (пространственных или плоских), различают пространственные и плоские расчетные схемы.
1.3. Связè è óзëы рас÷åтных схåì
Соединение элементов расчетных схем и прикрепление их к основанию осуществляется при помощи связей.
Связью называют устройство, ограничивающее степень свободы твер‑дого тела. Каждая связь имеет свою кинематическую характеристику, которая показывает, каким движениям твердого тела препятствует связь и сколько степеней свободы она уничтожает.
Связи условно разделяют на связи между телами и опорные связи. Условность заключается в том, что любое основание, на которое опирается расчетная схема, также является твердым телом, но бесконечно большого размера по сравнению с размерами идеализированной схемы сооружения.
Соединение нескольких элементов системы в одной точке принято называть узлом расчетной схемы.
1.3.1. Связи и узлы плоских расчетных схем
Д1
Д1
Д1
Д1
Д1
Д1
Д1
Д2
Д2
Д2
Д2
Д2
Д2
Д2
C
а
б
в
г
C1
C1
C1
C2
C3
C2
C2
Ш
Ш
Ш
С
Рис. 1.3
18
Различают следующие три вида связей (С) между дисками (Д) плоских систем.
1. Простая линейная связь (рис. 1.3, а). Кинематическая характери‑стика: связь препятствует поступательному перемещению одного диска относительно другого по направлению оси связи и уничтожает одну сте‑пень свободы взаимного перемещения дисков.
2. Цилиндрический шарнир (рис. 1.3, б). Кинематическая характери‑стика: связь препятствует поступательным перемещениям одного диска относительно другого и уничтожает две степени свободы взаимного пере‑мещения дисков.
Шарнир (Ш) эквивалентен двум простым линейным связям, сходя‑щимся в точке соединения дисков.
Если два диска соединены двумя линейными связями, оси которых пересекаются за пределами соединения, эту точку принято называть фик-тивным шарниром (рис. 1.3, в).
3. Жесткое соединение дисков (рис. 1.3, г). Кинематическая характе‑ристика: жесткое соединение препятствует всем трем взаимным переме‑щениям соединяемых дисков, т.е. не допускает ни поступательных пере‑мещений, ни вращения одного диска относительно другого. Такая связь уничтожает три степени свободы взаимного перемещения дисков и соеди‑няет два диска в одно целое, в один диск.
Жесткое соединение эквивалентно трем не параллельным и не сходя‑щимся в одной точке линейным связям или шарниру и одной линейной связи (см. рис. 1.3, г).
а б
Рис. 1.4
а б
Рис. 1.5
19
а б
Рис. 1.6
В системах, составленных из стержней, различают узлы жесткие (рис. 1.4), шарнирные (рис. 1.5) и комбинированные (рис. 1.6). На рис 1.4, а, 1.5, а и 1.6, а показаны конструктивные схемы узлов, а на рис. 1.4, б, 1.5, б и 1.6, б — расчетные.
Д1 Д1
а б
Д1
Д2 Д2 Д2
Д3 Д3
Д4 Д4
Д5Д5
Рис. 1.7
Д1 Д1Д1
а б
Д2 Д2 Д2
Д3 Д3
Д4Д4
Рис. 1.8
Шарнир, соединяющий два диска, обычно называют простым. Он может быть сквозным (рис. 1.7, а) или, в комбинированном узле, примыкающим (рис. 1.8, а).
Сквозные или примыкающие шарниры могут быть кратными. Для при‑соединения каждого последующего диска необходим один простой шарнир, поэтому в каждом кратном шарнире число простых шарниров будет на еди‑ницу меньше числа соединяемых в узле дисков: Ш = Д − 1 (рис. 1.7, б и 1.8, б).
1.3.2. Опорные связи плоских расчетных схемПрикрепление системы к основанию (земле) производится связями,
которые называют опорными.
20
В расчетных схемах плоских систем используются следующие типы идеализированных схем опорных связей (табл. 1.1).
1. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (табл. 1.1, п. 1). Кине‑матическая характеристика: связь препятствует поступательному переме‑щению по нормали к опорной плоскости, разрешает свободный поворот вокруг цилиндрического шарнира и поступательное перемещение парал‑лельно опорной плоскости, т.е. эквивалентна простой линейной связи.
2. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (табл. 1.1, п. 2). Кинематическая характеристика: связь препятствует поступательным перемещениям на плоскости, разрешает свободный поворот вокруг цилин‑дрического шарнира, т.е. эквивалентна цилиндрическому шарниру.
3. Полное защемление (заделка) (табл. 1.1, п. 3). Кинематическая характеристика: связь препятствует любым перемещениям на плоскости, т.е. эквивалентна жесткому соединению.
Таблица 1.1Типы опорных связей плоских расчетных схем
№ п/п
Наименова‑ние опоры
Конструктивная схема
Расчетная схема Опорные реакции (см. рис 2.6)
1 Цилиндриче‑ская шар‑нирно‑под‑вижная опора
Основная
Варианты
АRА
2 Цилиндриче‑ская шар‑нирно‑непод‑вижная опора
Основные
Варианты
А АVА
HА
3 Полное защемление
Основная
Вариант
А
VА
MА
HА
21
№ п/п
Наименова‑ние опоры
Конструктивная схема
Расчетная схема Опорные реакции (см. рис 2.6)
4 Подвижные защемления
Основная
Вариант
А
VА
MА
Вариант
А
ОсновнаяHА
MА
4. Подвижное защемление (табл. 1.1, п. 4). Кинематическая характе‑ристика: связь препятствует поступательному перемещению по нормали к опорной плоскости, повороту вокруг опорной точки и разрешает поступа‑тельное движение параллельно опорной плоскости, т.е. эквивалентна двум параллельным связям первого рода, установленным перпендикулярно к опорной плоскости с определенным шагом.
1.3.3. Связи и узлы пространственных расчетных схемРазличают семь видов наиболее часто встречающихся связей простран‑
ственных систем.1. Шаровой шарнир, конструктивная и расчетная схемы которого пока‑
заны соответственно на рис. 1.9, а и б. Кинематическая характеристика: связь препятствует поступательным перемещениям соединяемых тел Т1 и Т2 относительно друг друга в трех взаимно перпендикулярных направ‑лениях и допускает взаимный поворот в любых направлениях; уничтожает три степени свободы соединяемых тел.
Т1
а б
Т2
Рис. 1.9
Окончание табл. 1.1
22
2. Простая линейная или плоскоподвижная шаровая связь (рис. 1.10, а), представляющая собой стержень с шаровыми шарнирами по концам. Кинематическая характеристика: связь препятствует взаимному посту‑пательному перемещению соединяемых тел Т1 и Т2 по направлению оси связи (вдоль оси z), но допускает поступательные перемещения в двух пло‑скостях, перпендикулярных к оси стержня, и повороты вокруг трех вза‑имно перпендикулярных осей; уничтожает одну степень свободы соединя‑емых тел.
Данная связь является основой образования большинства приведенных ниже видов связей. Связи остальных видов являются различными комби‑нациями нескольких простых линейных связей.
г д е ж
а
Т1
Т1 Т1Т1Т1
Т1Т1
Т2
Т2 Т2 Т2Т2
0
Т2Т2
б в
y x
xx
z
Рис. 1.10
3. Линейно-подвижная шаровая связь (рис. 1.10, б), представляющая собой два стержня с общим шаровым шарниром. Кинематическая харак‑теристика: связь препятствует взаимным поступательным перемещениям соединяемых тел Т1 и Т2 в плоскости двух стержней, но допускает поступа‑тельное перемещение в направлении, перпендикулярном этой плоскости, и повороты вокруг трех взаимно перпендикулярных осей; уничтожает две степени свободы соединяемых тел.
4. Неподвижная шаровая связь (рис. 1.10, в), представляющая собой три стержня, не лежащих в одной плоскости и имеющих общий шаровой шарнир. Кинематическая характеристика: связь препятствует взаимным поступательным перемещениям соединяемых тел Т1 и Т2 относительно друг друга в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Допускает взаимный поворот в любых направлениях; эквивалентна шаровому шар‑ниру и уничтожает три степени свободы соединяемых тел.
5. Плоскоподвижная связь с одним поворотом (рис. 1.10, г), представ‑ляющая собой три параллельных стержня, не лежащих в одной плоскости. Кинематическая характеристика: связь препятствует взаимному посту‑пательному перемещению соединяемых тел Т1 и Т2 вдоль осей стержней и двум поворотам в плоскостях, в которых попарно лежат стержни (вокруг
23
осей x и y), но допускает поступательное перемещение в плоскости, перпен‑дикулярной стержням; уничтожает три степени свободы соединяемых тел.
6. Линейно-подвижная связь с двумя поворотами (рис. 1.10, д), пред‑ставляющая собой три стержня в одной плоскости, из которых два парал‑лельны, а третий имеет с одним из них общий шаровой шарнир. Кинема‑тическая характеристика: связь препятствует взаимным поступательным перемещениям соединяемых тел Т1 и Т2 и повороту в плоскости стержней (x0z), но допускает поступательное перемещение по прямой, перпендику‑лярной плоскости стержней (по оси y), и два поворота (вокруг осей x и z). Уничтожает три степени свободы соединяемых тел.
7. Жесткое соединение (рис. 1.10, е) имеет следующую кинематическую характеристику: связь препятствует всем взаимным смещениям соединяе‑мых тел Т1 и Т2 относительно друг друга; уничтожает все шесть степеней свободы соединяемых тел и превращает их в одно неизменяемое целое.
Кроме вышеперечисленных простых связей, возможны и более слож‑ные, получаемые добавлением к простым связям дополнительных соеди‑нительных стержней. Например, если к связи, показанной на рис. 1.10, в, добавить два стержня, препятствующие повороту вокруг двух осей, полу‑чим так называемый цилиндрический шарнир, допускающий поворот только вокруг оси x, проходящей через шаровые шарниры по концам пяти стержней (рис. 1.10, ж). Связи пространственных расчетных схем, пред‑ставленные на рис. 1.10, являются узлами соединения двух тел. При сое‑динении нескольких тел (чаще всего стержней) узлы пространственных расчетных схем, так же как и плоских, могут быть жесткими, шарнирными и комбинированными.
1.3.4. Опорные связи пространственных расчетных схемОпорные связи пространственных расчетных схем можно увидеть
на рис. 1.10, если одно из соединяемых тел представить в виде основания.Наиболее часто применяемые типы опорных связей пространственных
расчетных схем приведены в табл. 1.2.1. Неподвижная шаровая опора (табл. 1.2, п. 1). Кинематическая харак‑
теристика: связь препятствует поступательным перемещениям тела Т относительно основания в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Допускает взаимный поворот в любых направлениях. Эквивалентна шаро‑вому шарниру (см. рис. 1.9).
2. Линейно-подвижная шаровая опора (табл. 1.2, п. 2). Кинематическая характеристика: связь препятствует поступательным движениям тела Т в двух направлениях, но разрешает поступательное движение в горизон‑тальной плоскости по нормали к цилиндрическим каткам и повороты во всех направлениях. Эквивалентна линейно‑подвижной шаровой связи (см. рис. 1.10, б).
3. Плоскоподвижная шаровая опора (табл. 1.2, п. 3). Кинематическая характеристика: связь препятствует поступательному перемещению тела Т по нормали к основанию, но допускает поступательные перемещения в плоскости основания и повороты в любых направлениях. Эквивалентна плоскоподвижной шаровой связи (см. рис. 1.10, а).
24
4. Жесткое защемление (табл. 1.2, п. 4). Кинематическая характери‑стика: связь препятствует всем смещениям тела Т относительно основания. Эквивалентна жесткому соединению (см. рис. 1.10, ж).
Таблица 1.2Типы опорных связей пространственных расчетных схем
№ п/п
Наименова‑ние опоры
Конструктивная схема Расчетная схема
Опорные реакции (см. параграф 2.2)
1 Неподвиж‑ная шаровая опора
z
yx V
Hx
Hy
2 Линейно‑ подвижная шаровая опора
z
yx V
Hy
3 Плоско‑подвижная шаровая опора
z
yx V
4 Полное защемление
z
z
y
y
x
x
V
Hx
Mx
My
Mz
Hy
25
1.4. Кëассèфèкацèя рас÷åтных схåì
Расчетные схемы сооружений можно классифицировать по различным признакам. Рассмотрим классификацию расчетных схем по признакам, которые положены в основу их образования.
1. В зависимости от расположения осей элементов и нагрузок расчетные схемы разделяются на плоские и пространственные.
2. По виду элементов, образующих сооружение, различают:— стержневые расчетные схемы, образующими элементами которых
являются стержни (см. рис. 1.2, а — в);— тонкостенные расчетные схемы, образующими элементами которых
являются тонкие плиты и оболочки (см. рис. 1.2, г, д);— схемы массивных сооружений, т.е. сооружений, у которых все три
размера одного порядка.Расчетные схемы плоских стержневых систем показаны на рис. 1.11.— Балки. Простейшая расчетная схема, являющаяся, как правило, эле‑
ментом сооружения. Балки могут быть однопролетными с различными условиями закрепления (рис. 1.11, а—г) и многопролетными. Многопро‑летные балки, в свою очередь, могут быть разрезными (рис. 1.11, д), состо‑ящими из нескольких дисков, и неразрезными (рис. 1.11, е), состоящими из одного диска.
— Арки. Предназначены для перекрытия больших пролетов. Арки могут быть трехшарнирными (рис. 1.11, ж), двухшарнирными (рис. 1.11, з) и бес-шарнирными (рис. 1.11, и).
— Балочные фермы. По своей сути являются заменой одного бруса простой балки (см. рис. 1.11, а) решетчатой системой стержней, позволяю‑щей перекрывать большие пролеты и более полно использовать материал конструкции. Фермы (рис. 1.11, к—м) различаются по очертаниям поясов и типам решетки.
— Арочные фермы. Являются развитием арочных расчетных схем (рис. 1.11, н, о), в которых криволинейные стержни арки заменены решет‑чатой системой. При этом очертание таких ферм может быть как криволи‑нейным (см. рис. 1.11, н), так и прямоугольным (см. рис. 1.11, о).
— Вантовые системы. Такие системы (рис. 1.11, п, р) позволяют пере‑крывать очень большие пролеты при значительной экономии материала.
— Рамы. Наиболее распространенная расчетная схема сооруже‑ний. В зависимости от назначения здания рамы могут быть однопролет‑ными и одноэтажными (рис. 1.11, с), многопролетными и одноэтажными (рис. 1.11, т), однопролетными и многоэтажными (рис. 1.11, у), многопро‑летными и многоэтажными (рис. 1.11, ф).
Расчетные схемы пространственных стержневых систем приведены на рис. 1.12. Это пространственные балочные фермы (рис. 1.12, а), башни (рис. 1.12, б), купола (рис. 1.12, в), структурные покрытия (рис. 1.12, г), пространственные рамы (рис. 1.12, д) и перекрестные балки (рис. 1.12, е).
26
а
д е
ж
к
н
п
с т
у
ф
р
о
л м
з и
б в г
Рис. 1.11
27
а б
в г
де
Рис. 1.12
Расчетные схемы тонкостенных систем показаны на рис. 1.13. Это плиты, опертые по контуру (рис. 1.13, а), и оболочки различных видов: цилиндрические своды (рис. 1.13, б), сомкнутые своды (рис. 1.13, в), кре-стовые своды (рис. 1.13, г), сферические купола (рис. 1,13, д), складки (рис. 1.13, е), волнообразные оболочки (рис. 1.13, ж), тентовые покры-тия (рис. 1.13, з) и многие другие.
а
д
б
е
в
ж
г
з
Рис. 1.13
Расчетные схемы массивных систем показаны на рис. 1.14. Это под-порные стенки (рис. 1.14, а), массивные фундаменты (рис. 1.14, б), пло-тины (рис. 1.14, в).
28
а бв
Рис. 1.14
1.5. Кèнåìатè÷åскèй анаëèз рас÷åтных схåì
Получение расчетной схемы, т.е. соединение ее элементов в систему тел, определяется понятиями степеней свободы и изменяемости систем.
Степень свободы — это кинематическая характеристика системы, пока‑зывающая возможность совершать какие‑либо перемещения относительно основания как жесткого целого, т.е. без деформации материала, и представ‑ляющая собой наименьшее число параметров, с помощью которых можно определить положение всех точек системы в любой момент времени.
Изменяемость — это свойство системы изменять свою геометрическую форму без деформации материала за счет конечных перемещений ее эле‑ментов как твердых тел.
С точки зрения изменяемости все системы делятся на геометрически неизменяемые, геометрически изменяемые и мгновенно‑изменяемые.
Геометрически неизменяемыми являются системы соединенных между собой твердых тел, допускающие их относительные перемещения только при деформации материала.
Геометрически изменяемыми являются системы соединенных между собой твердых тел, допускающие их конечные относительные перемеще‑ния без деформации материала.
Мгновенно-изменяемыми являются системы соединенных между собой тел, допускающие их бесконечно малые относительные перемещения без деформации материала.
При разработке расчетной схемы сооружения должна быть решена задача о получении геометрически неизменяемой схемы, так как сооружение, состав‑ленное из отдельных элементов, может воспринимать нагрузку любого вида только в том случае, если оно способно сохранять свою форму и положение.
При образовании геометрически неизменяемых систем приходится устанавливать соотношения между числом соединяемых в систему тел и числом связей между ними. Поэтому все связи можно условно разделить на необходимые, избыточные и ложные.
Необходимой называется связь, при удалении которой неизменяемая система становится геометрически изменяемой.
29
Избыточной называется связь, удаление которой не приводит к изме‑няемости системы, т.е. система остается геометрически неизменяемой.
Ложной является связь, допускающая только бесконечно малые относи‑тельные перемещения тел, ею соединяемых. При кинематическом анализе расчетной схемы такую связь можно считать неправильно поставленной.
1.5.1. Кинематический анализ плоских расчетных схемНеобходимое условие геометрической неизменяемости. Рассмотрим
плоскую расчетную схему, состоящую из Д дисков. Каждый диск, взятый отдельно, имеет на плоскости три степени свободы (см. рис. 1.1, б). Пока диски не соединены между собой, совокупная степень их свободы будет равна 3Д. Простой шарнир, соединяющий два диска, уничтожает две сте‑пени свободы. Если в расчетной схеме имеются диски, представляющие собой замкнутые неразрывные образования (замкнутые контуры), то жест‑кое соединение концов каждого из таких дисков уничтожает по три сте‑пени свободы. Кроме того, по одной степени свободы уничтожает каждая связь первого рода.
Тогда степень свободы (W) анализируемой расчетной схемы будет
3 2 3W = − − − ОПД Ш Ж С , (1.1)
где Д — число дисков; Ш — число простых шарниров, соединяющих диски; Ж — число жестких соединений замкнутых дисков; СОП — число опорных связей.
Если в расчетной схеме отсутствуют замкнутые неразрывные образова‑ния, формула (1.1) принимает вид
3 2 .W = − − ОПД Ш С (1.2)
Если для данной расчетной схемы W > 0, система изменяема; если W = 0, система неизменяема; если W < 0, система неизменяема, но имеет избыточ‑ные связи, не требуемые для обеспечения геометрической неизменяемости.
Таким образом, для обеспечения геометрической неизменяемости необ‑ходимо выполнение условия
3 2 3 0 − − − ≤ОПД Ш Ж С (1.3)
или
3 2 0.− − ≤ОПД Ш С (1.4)
При анализе плоских ферм удобнее использовать более простые зави‑симости.
Обозначим число узлов плоской фермы через У, число собственных стержней фермы через СФ, число опорных стержней через СОП. Каждый узел фермы можно рассматривать как точку, которая в свободном состо‑янии на плоскости имеет две степени свободы. Таким образом, степень необъединенных между собой узлов будет 3У. При соединении двух узлов стержнем суммарная степень свободы уменьшается на единицу. Следо‑
30
вательно, стержень фермы можно рассматривать как простую линейную связь. Полное число связей фермы, ограничивающих степень свободы ее узлов, будет равно СФ + СОП. Тогда степень свободы плоской фермы может быть определена как
2W = − −Ф ОПУ С С , (1.5)
а необходимое условие геометрической неизменяемости примет вид
2 0− − ≤Ф ОПУ С С . (1.6)
Соблюдение условий (1.3) или (1.4), а для ферм — (1.6), совершенно необходимо, но недостаточно, так как указанные соотношения устанавли‑вают необходимые соотношения между числом связей и числом дисков, но не показывают, как же соединены диски между собой. Достаточность указанных условий должна быть дополнена анализом геометрической структуры расчетной схемы.
Анализ геометрической структуры. Анализ геометрической структуры расчетной схемы базируется на правилах соединения дисков в единое жесткое целое.
Первое правило, соединение двух дисков — «диада»: для соединения двух дисков в одно неизменяемое жесткое целое необходимо и достаточно трех связей первого рода при условии, что оси этих связей не параллельны и не сходятся в одной точке.
Примеры такого соединения показаны на рис. 1.15, а и б. В первом слу‑чае соединение образовано тремя линейными связями, во втором случае — одним простым шарниром и одной линейной связью.
Ш1 Ш
Ш
Ш2
Д1
Д1Д1
Д1
Д1
Д2
Д2
Д2
Д2
Д2
а
г д
O
б в
С1
С
С
С2С3
Рис. 1.15
31
Недопустимость соединения двух дисков тремя параллельными линей‑ными связями показана на рис. 1.15, в. В этом случае происходит взаим‑ное смещение дисков в направлении, перпендикулярном осям связей, т.е. соединение является геометрически изменяемым.
Если оси связей сходятся в одной точке (рис. 1.15, г), последняя явля‑ется центром взаимного поворота дисков на бесконечно малый угол, т.е. по определению соединение является мгновенно изменяемым.
В соединении, показанном на рис. 1.15, д, являющемся также мгновенно изменяемым, центром вращения диска Д1 является шарнир Ш, в который приходит ось связи С (три связи диска Д1 сходятся в одной точке).
Следствие. Для прикрепления диска к основанию необходимо и доста-точно трех связей первого рода при условии, что оси этих связей не парал-лельны и не сходятся в одной точке.
Справедливость данного утверждения очевидна, так как основание соо‑ружения можно представить как жесткий диск бесконечно большого раз‑мера.
Примеры такого прикрепления показаны на рис. 1.16, а и б. В первом случае прикрепление диска осуществлено тремя линейными связями, во втором случае — одним простым шарниром и одной линейной связью. Наи‑более простым примером расчетной схемы в этом случае может являться простая однопролетная балка (рис. 1.16, в).
Ш1
Ш
Ш
а
г д е
б
в
Ш2
Д
ДД
Д
O
ДС
С
Рис. 1.16
Недопустимость присоединения диска к основанию тремя параллель‑ными линейными связями показана на рис. 1.16, г (аналог рис. 1.15, в). В этом случае происходит смещение диска Д1 в направлении, перпенди‑кулярном осям связей, т.е. расчетная схема является геометрически изме-няемой. В случае, когда оси связей сходятся в одной точке (рис. 1.16, д), последняя является центром поворота диска Д1 на бесконечно малый угол,
32
т.е. расчетная схема является мгновенно изменяемой. В закреплении, пока‑занном на рис. 1.16, е, расчетная схема также является мгновенно изменяе‑мой, центром вращения диска Д является шарнир Ш, в который приходит ось связи С (три связи диска Д сходятся в одной точке).
Второе правило — соединение трех дисков — «триада»: для соедине-ния трех дисков в одно неизменяемое жесткое целое необходимо и доста-точно трех шарниров (действительных или фиктивных), расположенных по одному между каждой парой дисков, при условии, что центры этих шар-ниров не лежат на одной прямой.
Примеры такого соединения показаны на рис. 1.17: соединение дис‑ков тремя действительными шарнирами, не лежащими на одной прямой (рис. 1.17, а); тремя фиктивными шарнирами Ш1, Ш2, Ш3 (рис. 1.17, в); двумя действительными шарнирами Ш1, Ш2 и одним фиктивным Ш3 (рис. 1.17, г). Наиболее ясным и простым примером «триады» является шарнирный треугольник (рис. 1.17, б).
Недопустимость соединения трех дисков способами, не удовлетворяю‑щими правилу «триады», приводящая к мгновенной изменяемости соеди‑нений, показана на рис. 1.17, д и е. В первом случае расположение трех шарниров на одной прямой приводит к бесконечно малому смещению цен‑трального шарнира; во втором случае шарнир Ш является центром беско‑нечно малого взаимного поворота соединяемых дисков.
Ш1
Ш
Ш1
Ш1 Ш1
а
д е
б в г
Ш2
Ш2
Ш2 Ш2Ш3
Ш3
Ш3 Ш3
Д1
Д1 Д2Д1
Д2
Д1 Д1Д2Д2
Д2
Д3
Д3Д3
Д3Д3
Рис. 1.17
Следствие. Для прикрепления двух дисков к основанию необходимо и достаточно трех шарниров (действительных или фиктивных), один из которых соединяет диски, а два других являются опорными для каждого из дисков, при условии, что центры этих шарниров не лежат на одной пря-мой.
33
На рис. 1.18, а показано прикрепление двух дисков тремя действитель‑ными шарнирами, не лежащими на одной прямой. Наиболее простыми и ясными примерами такого прикрепления являются расчетные схемы трехшарнирной арки (рис. 1.18, б) и трехшарнирной рамы (рис. 1.18, в). На рис. 1.18, г показан пример прикрепления тремя фиктивными шарни‑рами Ш1, Ш2, Ш3, два из которых находятся в пределах соединения, а тре‑тий удален в бесконечность.
Недопустимость прикрепления двух дисков к основанию способами, не удовлетворяющими описанному выше правилу, приводящая к мгновен‑ной изменяемости соединений, показана на рис. 1.18, д и е.
Ш1
Ш1 Ш1 Ш2 Ш3
Ш1 → ∞
а
д
б
е
в г
Ш2
Ш2
Ш3
Ш3
Ш3
Д1
Д1 Д2
Д1Д2
Д2Ш2
Рис. 1.18
Рассмотрим несколько примеров по анализу геометрических структур плоских расчетных схем.
Пример 1.1
Произвести анализ геометрической неизменяемости балки, изображенной на рис. 1.19, а.
Д1A B
B B
C
а
в
б
г
D
D K
E F
F
E
Д2 Д3
Ш = 1
СОП = 2 СОП = 1 СОП = 1 СОП = 1
Ш = 1
Рис. 1.19Решение. Расчетная схема балки составлена из трех дисков, имеет пять опорных
связей и два шарнира (Д = 3, СОП = 5, Ш = 2 по рис. 1.19, б).
34
На основании условия (1.4) степень свободы расчетной схемы W = 3 · 3 − 2 · 2 − − 5 = 0, т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется.
Анализируя поочередно каждый диск схемы, устанавливаем: — диск Д1 имеет четыре связи с основанием вместо трех необходимых и по усло‑
вию расположения связей является неподвижным;— в соединении дисков Д2 и Д3 три шарнира расположены на одной прямой в точ‑
ках D, E и F, что приводит к мгновенной изменяемости этих дисков (рис. 1.19, в).Таким образом, несмотря на выполнение необходимого условия (1.4), расчетная
схема существовать не может.Для того чтобы расчетная схема была полностью геометрически неизменяема,
достаточно перенести одну из вертикальных связей диска Д1, например, из точки В, и закрепить диск Д2 (точка К на рис. 1.19, г).
Пример 1.2
Произвести анализ геометрической неизменяемости фермы, изображенной на рис. 1.20, а.
A
A
F
F
F
K
K
B
а
в
б
г
д
D
D
E C Ш = 1
Ш = 2 Ш = 2Ш = 2
Д = СФ = 10
Ш = 3 Ш = 2 Ш = 1
СОП = 1
Д1 С1 С
С2
С
Д2
СОП = 1СОП = 2
С
Рис. 1.20
Решение. Расчетная схема фермы составлена из десяти стержней (Д = CФ = 10), имеет четыре опорных связи (СОП = 4), стержни соединены 13 простыми шарнирами (Ш = 13 по рис. 1.20, б).
На основании условия (1.3) степень свободы расчетной схемы W = 3 · 10 − 2 · 13 − − 4 = 0, т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется.
Анализируя образование расчетной схемы, устанавливаем:— стержни фермы между узлами А, В, D и F соединены последовательным обра‑
зованием двух «триад» — это соединение можно считать одним жестким диском Д1 (рис. 1.20, в);
35
— стержни фермы между узлами K, E и C также образуют «триаду» (диск Д2 на рис. 1.20, в);
— диск Д1 прикреплен к основанию в точках A и F (см. рис. 1.20, в) тремя непа‑раллельными и не сходящимися в одной точке связями, следовательно, является гео‑метрически неизменяемым;
— диск Д2 (см. рис. 1.20, в) также прикреплен тремя связями — двумя (стержни С1 и С2) к неподвижному диску Д1 и одной опорной связью в точке С — к основанию;
— оси указанных связей диска Д2 сходятся в одной точке С, являющейся центром вращения для этого диска (рис. 1.20, г).
Следовательно, диск Д2 является мгновенно изменяемым, и расчетная схема, несмотря на выполнение условия (1.4), существовать не может.
Для того чтобы расчетная схема была полностью геометрически неизменяема, достаточно заменить одну из вертикальных связей диска Д1, например точки F, и поставить дополнительный стержень фермы С между узлами D и K (рис. 1.20, д).
Пример 1.3
Произвести анализ геометрической неизменяемости рамы, изображенной на рис. 1.21, а.
Д1
Д1
A
A A
AC
C C
C
а
г д
б в
Д2
Д3
Ш = 2 Ш = 1
СОП = 1
СОП = 3
Ж = 1
Д
Рис. 1.21
Решение. Расчетная схема рамы составлена из трех дисков (Д = 3), два из которых (Д2 и Д3) соединены между собой жестко (Ж = 1 по рис. 1.21, б), имеет четыре опор‑ных связи (СОП = 4), диски соединены тремя простыми шарнирами (Ш = 3). На осно‑вании условия (1.3) степень свободы расчетной схемы W = 3 · 3 − 2 · 3 − 3 · 1 − 4 = −1 т.е. необходимое условие геометрической неизменяемости выполняется, и расчетная схема имеет одну избыточную связь.
Анализируя образование расчетной схемы, устанавливаем:— диск Д1 присоединен к основанию тремя связями (защемление) и является гео‑
метрически неизменяемым (неподвижным);— диски Д2 и Д3 образуют геометрически неизменяемое соединение, которое
можно считать одним жестким диском Д;
36
— диск Д прикреплен двумя связями в точке А (рис. 1.21, в) к неподвижному диску Д1 и одной связью в точке С к основанию;
— оси указанных связей диска Д сходятся в точке А, являющейся центром вра‑щения этого диска (рис. 1.21, г).
Следовательно, диск Д является мгновенно изменяемым, и расчетная схема, несмотря на выполнение условия (1.3), существовать не может. Чтобы расчетная схема была полностью геометрически неизменяема, достаточно повернуть опорную связь в точке С на 90° (рис. 1.21, д).
1.5.2. Кинематический анализ пространственных расчетных схемНеобходимое условие геометрической неизменяемости. Рассмотрим
пространственную расчетную схему, состоящую из Т тел. Каждое тело, взя‑тое отдельно, имеет в пространстве шесть степеней свободы (см. рис. 1.1, а). Пока тела не соединены между собой, совокупная степень их свободы будет равна 6Т. Простой шаровой шарнир, соединяющий два тела, уничто‑жает три степени свободы. Если в расчетной схеме имеются тела, жестко соединенные друг с другом, то жесткое соединение этих тел уничтожает по шесть степеней свободы. Кроме того, по одной степени свободы уничто‑жает каждая простая линейная связь.
Тогда степень свободы анализируемой расчетной схемы будет
6 6 ,W = − − − ОПТ С Ж С (1.7)
где Т — число тел; С — число простых линейных связей во всех соединени‑ях тел; Ж — число жестких соединений тел; СОП — число опорных связей.
Если в расчетной схеме отсутствуют жесткие соединения тел, формула (1.7) принимает вид
6 .W = − − ОПТ С С (1.8)
Если для данной расчетной схемы W > 0, система изменяема; если W = 0, система неизменяема; если W < 0, система неизменяема, но имеет избыточ‑ные связи, не требуемые для обеспечения геометрической неизменяемости.
Таким образом, для обеспечения геометрической неизменяемости необ‑ходимо выполнение условия
6 6 0,− − − ≤ОПТ С Ж С (1.9)
или
6 0.− − ≤ОПТ С С (1.10)
Формулы (1.7) и (1.8) и соответствующие им условия (1.9) и (1.10) описывают общий случай определения степени свободы пространственной расчетной схемы.
При анализе пространственных ферм удобнее пользоваться иными, более простыми зависимостями.
Обозначим число узлов пространственной фермы через У, число соб‑ственных стержней фермы через СФ, число опорных стержней через СОП.
37
Каждый узел фермы можно рассматривать как точку, которая в свободном состоянии имеет три степени свободы. Таким образом, степень свободы необъединенных между собой узлов будет равна 3У. При соединении двух узлов стержнем суммарная степень свободы уменьшается на единицу. Сле‑довательно, стержень фермы можно рассматривать как простую линейную связь. Полное число связей фермы, ограничивающих степень свободы ее узлов, будет равно СФ + СОП. Тогда степень свободы пространственной фермы может быть определена как
3 ,W = − −Ф ОПУ С С (1.11)
а необходимое условие геометрической неизменяемости примет вид
3 0.− − ≤Ф ОПУ С С (1.12)
Соблюдение условий (1.9), (1.10) и (1.12) необходимо, но недостаточно, так как указанные соотношения устанавливают необходимые соотношения между числом связей и числом тел, но не показывают, как же соединены эти тела между собой. Достаточность указанных условий должна быть дополнена анализом геометрической структуры расчетной схемы.
Анализ геометрической структуры. Анализ геометрической структуры расчетной схемы базируется на правилах соединения тел в единое жесткое целое и присоединения их к основанию.
Для образования неизменяемого соединения двух тел или присоедине‑ния одного тела (неизменяемой группы тел) необходимо не менее шести простых линейных связей. Задача состоит в том, как расположить эти стержни, так как их неправильное размещение повлечет за собой изменяе‑мость соединения.
На рис. 1.22 показаны примеры неправильного присоединения к осно‑ванию неизменяемой системы тел или соединений двух тел.
Рассмотрим исключительные соединения двух тел при помощи шести линейных связей, приводящие к мгновенной изменяемости.
1. Оси шести линейных связей пересекают одну прямую А — А (рис. 1.22, а). Эта прямая будет осью бесконечно малого поворота одного тела относительно другого. Здесь могут быть следующие частные случаи:
— линейные связи по три пересекаются в двух точках (рис. 1.22, б). Через эти точки проходит прямая А — А, являющаяся осью бесконечно малого поворота двух соединяемых тел;
— четыре линейные связи расположены в одной плоскости (рис. 1.22, в). В этом случае две другие линейные связи пересекут эту плоскость в двух точках, через которые проходит прямая, пересекаемая осями всех четырех стержней, лежащих в указанной плоскости. Прямая А — А будет осью бес‑конечно малого поворота двух соединяемых тел;
— линейные связи расположены в параллельных плоскостях (рис. 1.22, г). Точки пересечения осей связей в силу параллельности пло‑скостей будут иметь одновременное бесконечно малое смещение в направ‑лении, перпендикулярном плоскостям (по линиям смещения I, II и III, показанным на рисунке);
38
— линейные связи расположены в двух плоскостях (рис. 1.22, д). Пря‑мая пересечения плоскостей А — А пересекается осями всех стержней и является осью бесконечно малого поворота соединяемых тел.
Т1
Т1
Т1
III
III
Т1
Т2
Т2
Т2
Т2
ТТ
а
б
в
г
е ж
д
AA
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Т
Рис. 1.22
39
2. Более трех осей линейных связей пересекаются в одной точке:— оси линейных связей параллельны (рис. 1.22, е). Если в соединении
есть более трех линейных связей, оси которых параллельны, соединяемые тела могут иметь поступательные перемещения относительно друг друга по любому направлению в плоскости, перпендикулярной осям связей (или бесконечно малый поворот вокруг оси А — А);
— оси линейных связей не параллельны, но более трех из них сходятся в одной точке. Сходящиеся связи закрепляют только три степени свободы. Остальных связей (менее трех) недостаточно для закрепления еще трех степеней свободы.
3. Оси трех линейных связей лежат в одной плоскости и сходятся в одной точке (рис. 1.22, ж). Сходящиеся связи в этом случае закрепляют всего две степени свободы. Остальных связей недостаточно, чтобы закрепить осталь‑ные четыре степени свободы соединяемых тел.
Примеры правильного расположения связей при прикреплении про‑странственных тел к основанию показаны на рис. 1.23.
Рассмотрим несколько примеров анализа геометрической структуры пространственных расчетных схем.
Т
ТТ
H
E
G
CF
DBA
Т
ТТ
а
г
б
д
в
е
Рис. 1.23
Пример 1.4
Произвести проверку геометрической неизменяемости прикрепления твердого тела к основанию (рис. 1.23, д).
Решение. Количество тел Т = 1, количество опорных связей СОП = 6. Необходимое условие геометрической неизменяемости (1.8) выполняется, так как W = 6 · 1 − 6 = 0.
Анализ прикрепления тела к основанию начинаем с определения заведомо непод‑вижной точки тела. Такой точкой является точка F, прикрепленная к основанию тремя связями AE, BF и CF, не параллельными и не лежащими в одной плоскости. Следующая неподвижная точка — Е, также закрепленная по трем направлениям: двумя связями AE и DE — с основанием, и самим телом Т по линии EF с неподвиж‑ной точкой F. Таким образом, две точки тела F и E прикреплены неподвижно.
40
Свободу перемещений остальных точек тела ограничивает связь CG, поставлен‑ная вертикально, так как ось этой связи не должна проходить через прямую EF (пере‑секаемую всеми остальными стержнями) или быть параллельной. В противном слу‑чае возможен бесконечно малый поворот тела Т вокруг прямой EF.
Следовательно, рассматриваемое прикрепление твердого тела к основанию гео‑метрически неизменяемо.
Аналогично анализируются и другие способы прикрепления тела к основанию, представленные на рис. 1.23.
Пример 1.5
Проверить геометрическую неизменяемость пространственной рамы, изображен‑ной на рис. 1.24.
H
E G
C
F
D
B
A
Рис. 1.24
Решение. В рассматриваемой расчетной схеме пространственной фермы общее число узлов У = 8; число стержней фермы СФ = 16; число опорных связей СОП = 8. Необходимое условие геометрической неизменяемости (1.12) выполняется:
W = 3 · 8 − 16 − 8 = 0.Анализ соединения стержней фермы начинаем с определения ее неподвижных
частей. Неподвижной точкой опорного кольца является узел А, закрепленный опор‑ными стержнями в трех направлениях. Тогда стержни опорного кольца AB, BC, CD и DA тоже будут неподвижными, так как каждый узел кольца будет закреплен в трех направлениях: непосредственно опорными стержнями в двух направлениях и через стержень опорного кольца на соседней опоре в другом направлении.
Каждый последующий узел фермы прикреплен к неподвижным узлам опорного кольца тремя связями, стержнями фермы, не параллельными и не сходящимися в одной точке, и поэтому также является неподвижным.
Таким образом, вся ферма является геометрически неизменяемой.
1.6. Наãрóзкè è возäåйствèя
1.6.1. Классификация нагрузокВнешние активные силы, действующие на сооружение, называются
нагрузками. Классифицируются нагрузки по различным признакам: спо‑собу приложения, характеру действия, характеру приложения, продолжи‑тельности действия.
41
1. По способу приложения нагрузки могут быть объемными или поверх-ностными.
Объемные нагрузки непрерывно распределены по всему объему твер‑дого тела (например, сила тяжести) и измеряются их интенсивностью в килоньютонах на кубический метр (кН/м3) или производными едини‑цами. Поверхностные нагрузки распределяются по площади и измеряются их интенсивностью в килоньютонах на квадратный метр (кН/м2).
Сплошные и поверхностные нагрузки, действующие на линейный эле‑мент расчетной схемы (брус), обычно заменяются сплошной нагрузкой по длине элемента. Интенсивность таких нагрузок измеряется в килонью‑тонах на метр (кН/м). Однако когда объем тела или площадка поверхно‑сти пренебрежительно малы, объемные и поверхностные силы заменяются сосредоточенными, которые измеряются в килоньютонах (кН).
2. По характеру действия нагрузки делятся на неподвижные и подвижные.К неподвижным нагрузкам относятся любые виды нагрузок, не меняю‑
щие места своего приложения, а к подвижным — нагрузки от любого вида подвижного транспорта или оборудования, используемого в сооружении.
3. По характеру изменения во времени нагрузки делятся на статические и динамические.
Статические — это нагрузки, не меняющие ни при каких условиях своих значений, направлений и положения. Статическое действие передается постепенно, не вызывая ускорения тела, не нарушая его равновесия.
Динамические нагрузки, в отличие от статических, могут изменять во времени как свои значения и направление, так и положение на сооружении. К динамическим относятся нагрузки, создаваемые движущимися частями стационарных установок, ударные и сейсмические нагрузки.
4. По продолжительности действия нагрузки делятся на постоянные и временные.
К постоянным относятся нагрузки, неотделимые от сооружения (соб‑ственный вес), и вес стационарного оборудования.
К временным относятся все нагрузки, имеющие временный характер приложения: нагрузка от снега, ветровая нагрузка, нагрузка от складируе‑мых материалов, от заполнения помещений людьми, подвижная нагрузка. К временным также относятся воздействия на сооружения, не имеющие силового выражения: изменение температуры, неравномерная осадка опор, неточность изготовления элементов конструкции.
1.6.2. Представление нагрузок в расчетных схемах1. Сосредоточенная сила F
(рис. 1.25, а) — основной вид представления нагрузки в расчетных схемах.
Сила F
характеризуется точкой приложения А, линией действия ВС и направлением, показываемым стрелкой. Таким образом, сила — вектор‑ная величина.
2. Распределенные нагрузки представляют собой систему сосредото‑ченных сил, расположенных на бесконечно малом расстоянии друг от друга.
Как было указано выше, распределенные нагрузки могут быть объем‑ными, поверхностными (рис. 1.25, б) и линейными (рис. 1.25, в). По интен‑
42
сивности распределения такие нагрузки могут быть равномерно распреде‑ленными (рис. 1.25, г), треугольными (рис. 1,25, д) или изменяющимися по любому закону (см. рис. 1.25, в).
F
F
F
F
C C q (kH/м2)
q (kH/м) q (kH/м) q (kH/м)
A
B
h
M M
Bа
в
е
г
ж
д
бA
или
или
Рис. 1.25
3. Пара сил представляет собой систему двух равных антипараллельных сил (рис. 1.25, е). Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил называется плечом пары.
Пара сил (или просто пара) характеризуется моментом пары (или про‑сто моментом), численно равным произведению величины одной из сил пары на плечо:
M = F ∙ h.
В расчетных схемах данный вид нагрузки может быть изображен как в виде пары, так и в виде момента (рис. 1.25, ж).
1.6.3. Принцип независимости действия силМногообразие воздействий и нагрузок, которые могут действовать
на любое сооружение, не позволяет учитывать их при расчете сооружения одновременно. Обычно любое сооружение рассчитывают на сочетания нагрузок, а в пределах этих сочетаний — на каждый вид нагрузки в отдель‑ности. Это возможно благодаря использованию первого основного прин‑ципа строительной механики — принципа независимости действия сил:
43
состояние любой расчетной схемы при действии на нее группы внешних сил (нагрузок или воздействий) можно представить как сумму отдельных состояний, полученных от воздействия каждой силы (нагрузки или воздей-ствия) в отдельности.
Принцип независимости действия сил играет в строительной механике исключительно большую роль. Он значительно упрощает расчеты, и поэ‑тому многие из них построены на основе этого принципа.
Принцип независимости действия сил практически применим при сле‑дующих допущениях:
1) каждая нагрузка в отдельности и все вместе не приводят к большим изменениям геометрической формы расчетной схемы (все перемещения и деформации малы по сравнению с размерами сооружения);
2) определение взаимодействия между элементами расчетной схемы производят как для системы абсолютно жестких тел;
3) предполагается, что материал сооружения абсолютно упругий, т.е. любой элемент расчетной схемы восстанавливает свою первоначальную форму после удаления нагрузки.
Контроëьныå воïросы
1. Что следует понимать под расчетной схемой сооружения?2. Как подразделяются расчетные схемы сооружений по геометрическому при‑
знаку?3. Какая существует классификация опор плоских расчетных схем?4. Какие типы узлов могут иметь плоские расчетные схемы?5. Какая существует классификация опор пространственных расчетных схем?6. Какие типы узлов могут иметь пространственные расчетные схемы?7. Как определяются степени свободы плоских и пространственных расчетных
схем?8. В чем состоят необходимые условия геометрической неизменяемости плоских
и пространственных расчетных схем?9. Какие расчетные схемы называются геометрически изменяемыми?10. Какие расчетные схемы называются мгновенно изменяемыми?11. Сколько требуется связей для неподвижного прикрепления диска плоской
расчетной схемы к основанию, и как они должны быть расположены?12. Сколько требуется связей для неподвижного прикрепления жесткого тела про‑
странственной расчетной схемы к основанию, и как они должны быть расположены?13. На каких принципах соединения дисков осуществляется кинематический
анализ плоских расчетных схем?14. На каких принципах соединения жестких тел осуществляется кинематический
анализ пространственных расчетных тел?15. Какая существует классификация нагрузок, действующих на расчетную схему?16. Как представляются нагрузки в расчетных схемах?17. Как формулируется признак независимости действия сил?
Заäа÷è äëя саìостоятåëьноãо рåшåнèя
1.1—1.22. Произвести анализ геометрической неизменяемости и статической определимости расчетных схем.
44
1.1 1.2
1.3 1.4
1.5
1.6
1.7 1.8
1.9 1.10
1.11 1.12 1.13
1.14 1.15
1.16 1.17
1.18 1.19 1.20
1.21 1.22
46
Гëава 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИКИ
В результате освоения данной главы студент должен:знать• основные аксиомы статики;• уравнения равновесия сил на плоскости и в пространстве; уметь• составлять уравнения равновесия для различных систем сил на плоскости и в
пространстве;владеть• навыками проектирования сил на оси координат;• навыками приведения систем сил к их равнодействующим.
2.1. Аксèоìы статèкè
Статика изучает условия равновесия твердых тел под действием при‑ложенных к ним сил.
Сформулируем основные понятия, используемые в статике и далее в строительной механике.
Под равновесием тела понимают его неподвижность (покой) или равно‑мерное прямолинейное движение. В действительности в природе абсолют‑ного покоя нет. Все тела, расположенные на Земле, движутся вместе с ней. Поэтому можно говорить о покое одного тела относительно какого‑либо другого. Следовательно, любой покой относителен. В инженерных науках равновесие любого тела есть его покой относительно Земли, служащей основанием для любого возводимого сооружения.
Совокупность сил, действующих на тело, принято называть системой сил. Силы, образующие систему сил, принято называть составляющими.
Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело находится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквивалентными.
Сила, эквивалентная заданной системе сил, называется равнодейству-ющей.
Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой.
Определение равнодействующей по составляющим системы сил назы‑вается сложением сил, а обратное действие — разложением силы.
Силы, действующие на данное тело или систему тел, делятся на внеш-ние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на данное тело или систему тел со стороны других тел. Одной из разновидностей внешних сил являются реакции в связях. Под реакцией связи понимают
47
силу, с которой связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям. Внутренними называются силы взаимодействия между отдельными точками данного тела.
Таким образом, чтобы какое‑либо тело находилось в покое, система сил, действующая на это тело, должна находиться в равновесии.
Итак, статика занимается изучением условий равновесия внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу, а также рассматривает спо‑собы и приемы замены сложных систем сил более простыми эквивалент‑ными системами.
Как и всякая точная наука, статика основана на ограниченном числе очевидных положений, называемых аксиомами статики.
Аксиома 1 (аксиома инерции). Под действием взаимно уравновешива‑ющихся сил материальная точка находится в состоянии покоя или дви‑жется прямолинейно и равномерно.
Аксиома инерции выражает установленный Г. Галилеем закон инерции.
Аксиома 2 (аксиома равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, уравновешены, если они численно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны (рис. 2.1).
2 1F F=
1F
A
B
Рис. 2.1
Аксиома 3 (аксиома присоединения). Если на твердое тело действует какая‑либо система сил, то состояние тела не нарушится, если из этой системы исключить или к этой системе добавить уравновешенную систему сил (рис. 2.2).
Предположим, что к твердому телу приложена система сил 1F
, 2F
, 3F
, 4F
, под действием которой тело находится в покое или совершает равномер‑ное прямолинейное движение. Приложим к этому телу дополнительно две равные противоположно направленные и взаимно уравновешенные силы 1P
и 2P
(рис. 2.2, а). При этом если тело находится в состоянии покоя, то оно сохранит его; если тело совершает равномерное прямолинейное движение, то оно будет продолжать двигаться под действием новой системы сил 1F
, 2F
, 3F
, 4F
, 1P
, 2P
, т.е. новая система сил будет эквивалентна прежней.
48
1F
2F
2F
2F
3F
3F
4F
1F
1P
2P
A1
A
а б
A
A2A3
A4
B1
B BB2
Рис. 2.2
Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твер-дого тела, действующую на него силу можно переносить вдоль линии ее дей-ствия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.
Предположим, что к твердому телу в точке А приложена сила 1F
(рис. 2.2, б). Дополнительно приложим в точке В, лежащей на линии дей‑ствия силы 1F
, две новые силы 2F
и 3F
, равные по модулю силе 1F
и направлен‑ные по линии ее действия в противоположные стороны. Затем удалим силы
1F
и 3F
(по аксиоме 3). На тело будет действовать только одна сила 2F
= 1F
.
Аксиома 4 (правило параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена в той же точке и представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на данных силах как на сторонах (рис. 2.3, а).
1F
2F
A
а
a
R 1F
2F
A
B
C
б
R
Рис. 2.3
Эта аксиома выражает правило геометрического сложения двух сил:
1 2.R F F= +
Модуль равнодействующей силы определяется по формуле
2 21 21 2 2 cosR F F F F= + + α, (2.1)
где a — угол между направлениями сил 1F
и 2F
.Используя аксиому 4 для сложения двух сил, приложенных в точке,
построение параллелограмма можно свести к построению треугольника сил (рис. 2.3, б).