Обыкновенные дифференциальные уравнения · 2017-03-07 · 2 ln...
TRANSCRIPT
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у’ = f(х). Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли. Метод Лагранжа. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Условие тотальности. Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’). Уравнения Лагранжа и Клеро. Геометрическая интерпретация решений дифференциального
уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Ломаная Эйлера. Уточненный метод Эйлера.
Метод Рунге – Кутта. Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее
производных до порядка n-1 включительно. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Структура общего решения. Фундаментальна система решений. Определитель Вронского. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения с правой частью специального вида. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Элементы теории устойчивости. Устойчивость по Ляпунову. Точка покоя. Теорема Ляпунова. Классификация точек покоя. Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в
частных производных первого порядка. Классификация основных типов уравнений математической физики. Уравнение колебаний струны. Граничные, начальные и краевые условия. Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).
Решение задачи Коши методом Даламбера. Уравнение теплопроводности.
Уравнение Лапласа. Задача Дирихле. Решение задачи Дирихле для круга. Ряды. Основные определения. Свойства рядов. Критерий Коши. Ряды с неотрицательными членами. Признак сравнения. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признак Коши. Интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов. Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Функциональные последовательности. Область сходимости. Функциональные ряды. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Степенные ряды. Теоремы Абеля. Радиус сходимости. Действия со степенными рядами. Разложение функций в степенные ряды. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Ряды Фурье.
2
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье. Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряд Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. Элементы теории функций комплексной переменной. Свойства функций комплексной переменной. Основные трансцендентные функции. Производная функций комплексной переменной. Условия Коши – Римана. Интегрирование функций комплексного переменного. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа. Свойства изображений. Таблица изображений некотрых функций. Теорема свертки и запаздывания. Интеграл Дюамеля. Решение дифференциальных уравнений с помощью операционного исчисления. Криволинейные интегралы.
Криволинейные интегралы первого рода. Свойства криволинейных интегралов первого рода. Криволинейные интегралы второго рода. Свойства криволинейных интегралов второго рода. Формула Остроградского – Грина. Поверхностные интегралы первого рода. Свойства поверхностных интегралов первого рода. Поверхностные интегралы второго рода. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода. Формула Гаусса – Остроградского. Элементы теории поля. Поток векторного поля. Потенциал. Формула Стокса. Ротор. Оператор Гамильтона. Циркуляция. Дивиргенция. Соленоидальное поле.
3
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков. В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки. Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:
2
2
0attVS +=
В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V, которая также является производной по времени t от перемещения S. Т.е.
;; 2
2
dtSd
dtdVa
dtdSV ===
Тогда получаем: 2
)()( 0ttftVtfS ⋅′′
+== - уравнение связывает функцию f(t) с
независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t). Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Пример.
0583 =+−+′ xyyx - обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается 0),,( =′yyxF .
yxdxdyxy
dxydx =++ 22
2
- обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В
общем виде записывается 0),,,( =′′′ yyyxF
02 =∂∂
+∂∂
yzxy
xzy - дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка. Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = ϕ(x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество.
4
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Свойства общего решения.
1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. 2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = ϕ(х, С0). Определение. Решение вида у = ϕ(х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения. Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = ϕ(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0. Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную ),( yxfy =′ , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение )(xy ϕ= уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение ϕ(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.
),( yxfy =′
Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения . 0=+′ yyx
Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:
0=+ ydxdyx
ydxxdy −=
xdx
ydy
−=
Теперь интегрируем: ∫ ∫−= xdx
ydy
0lnln Cxy +−=
0lnln Cxy =+
0ln Cxy = Cexy C == 0
5
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
xCy = - это общее решение исходного
дифференциального уравнения. Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем
;2;1
2 == CС
При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).
xy 2=
Определение. Интегральной кривой называется график y = ϕ(x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY. Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.
Особые решения не зависят от постоянной С. Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой. Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: .0=+′ yy Найти особое решение, если оно существует.
ydxdy
−=
dxy
dy−=
∫ ∫−= dxy
dy
Cxy +−=ln Cx eey ⋅= − xeCy −⋅= 1
Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С1 = 0 ошибочно, ведь C1 = eC ≠ 0.
Далее рассмотрим подробнее приемы и методы, которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
6
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее функцию, ее первую производную и независимую переменную, т.е. соотношение вида:
0),,( =′yyxF Если такое соотношение преобразовать к виду ),( yxfy =′ то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением, азрешенным относительно производной.
Преобразуем такое выражение далее:
р
;0),(;),();,( =−== dydxyxfdxyxfdyyxfdxdy
Функцию f(x,y) представим в виде: ;0),(,),(),(),( ≠−= yxQ
yxQyxPyxf тогда при
одстановке в полученное выше уравнение имеем: п
0),(),( =+ dyyxQdxyxP - это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка.
ее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения.
Уравнения вида y’ = f(x).
Дал
таком случае . Если заданы начальные условия х0 и у0, то можно
определить постоянную С.
Уравнения с разделяющимися переменными
Пусть функция f(x) – определена и непрерывна на некотором интервале a < x < b. В все решения данного дифференциального уравнения находятся как dxxfy = ∫ )( C+
Определение. Дифференциальное уравнение ),( yxfy =′ называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде
)()( yxy βα=′ . Такое уравнение можно представить также в виде:
;0)(0)()(
;0)()(;0)()( ≠β=α−β
=βα−=βα−′ yприdxxy
dydxyxdyyxy
);()(
1);()( yYy
xXx =β
−=α Перейдем к новым обозначениям
Получаем: ;0)()( =+ dyyYdxxX
7
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
CdyyYdxxX =+ ∫∫ )()(
гралов После нахождения соответствующих инте получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Если заданы начальные условия, то при их подстановке в об щее решение аходится постоянная величина С, а, соответственно, и частное решение.
Пример.
н
yxyy
cos2−
=′ Найти общее решение дифференциального уравнения:
xdxdyyy 2cos −=⋅
xdxydyy 2cos −=
∫∫ − xdxydyy 2cos =
Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям (см. Интегрирование по частям.):
заключается
правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х.
yyyydyyyyvdydu
ydydvyuydyy cossinsinsin
sin;;cos;
cos +=−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
====
= ∫∫ =
Cxyyy +−=+ 2cossin
0cossin 2 =+++ Cxyyy - это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая
функция и не выражена через независимую переменную. В этом и отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.
Чтобы проверить
02cossin sin +′ =−′+′ xyyyyy yy
yxyy
cos2
−=′ - верно
имер.
Пр yyy ln=′
Найти решение дифференциального уравнения при условии
(2) = 1. у
ydyydx ln=
yydydx ln
=
∫∫ =yydydx ln
∫=+ )(lnln yydCx
8
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
2ln2 yCx =+
при у(2) = 1 получаем ;2;022 =⇒=+=+ CCC ;2
1ln 2
−⇒
того илиИ ln)2(2 x =−: ;2 y 42 −±= xey - решение;
Проверка:
частное
422
242
−±⋅=′ −±
xey x , итого
yxey x2′ −±
xey x
ln42)42(
4
42
=−±=−±
=−±
- верно.
Пример. .32
yy =′ Решить уравнение
32
ydxdy
=
dxdyy =− 3
2
∫∫ =− dxdyy 3
2
Cxy +=31
3
общий интеграл 3)(27 Cxy += -
3)(271 C xy += - общее решение
Пример.
).1( 2 +=′ yxy Решить уравнение
∫ ∫=+=
+;
1;
1 22 dxy
dydxy
dy
;2
;2
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+= CxtgyCxarctgy
Пример. 0=+′ ye
xyy при ловии у(1) = 0. ус
0=+ yxedxydy
Решить уравнение
;;0 xdxdyeydxxeydy y
y −==+
;∫∫ −= xdxdyeyy
Интеграл, стоящий в левой части будем брать по частям (см. Интегрирование по частям. ).
);1(;;;;
+−=−−=−−−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
=== −−−
−− ∫∫ yeeyedyeye
evdydudvdyeyu
dyye yyyyyy
yy
9
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;2
)1( 0
2
Cxye y +=+−
Cxye y +=+− 2)1(2 Если у(1) = 0, то 1)10(2 0 +e ;
Итого, частный интеграл
Пример.
1;2;1 =⇒+=⇒+= CCC
: 1)1(2 2+=+− xye y .
)sin()sin( yxyxy −=++′ . Решить уравнение
0)sin()sin( =−−++′ yxyxy
02
cos2
sin2 =− − − − + +
−′yyxyxyxy x
0cos)sin(2 =−−′ xyy 0cossin2 =+′ xyy
∫ ∫−=−= ;cos2sin
;cos2sin
xdxy
xdxy
dydy
Для нахождения интеграла, стоящего в левой части равнения см. Таблица основных уинтегралов. п.16. Получаем общий интеграл:
Cxytg +−= sin22
ln
022
=′
+−
yyxe x Пример. Решить уравнение
Преобразуем заданное уравнение:
022
=+−
ydxdyxe x
022
=+−
ydydxxe x
Cy
dydxxe x =+ ∫∫ − 2
2
Cye x =+− − ln2
Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из того соотношения ю функцию , то получим общее решение.
Пример.
э выразить искому у
)1( 2 +=′ yxy . Решить уравнение
)1( 2 += yxdxdy
10
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
xdxy
dy=
+12
∫ ∫=+xdx
ydy
12 ; Cxarctgy +=2
2
;
⎟⎟⎞
⎜⎛
+= Cxtgy2
⎠
⎜⎝ 2
Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:
;2
;2
20
000
20
0x
arctgyCCx
arctgy −=⇒+=
олучаем частное решение .22
20
0
2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
xarctgyxtgy П
Однородные уравнения. Определение. Функция f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме
ется тождество:
Пример.
нуля) выполня).,(),( yxfttytxf n=
Является ли однородной функция
аким и .
?3),( 23 yxxyxf +=
)3(3)(3)(),( 233233323 yxxtyxtxttytxtxtytxf =+=+=+= ),(3 yxft
Т образом, функц я f(x, y) является однородной 3- го порядка Определение. Дифференциальное уравнение вида ),( yxfy =′ называется
часть f(x, y) есть о
р
однородным, если его правая днородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.
Любое у авнение вида 0),(),( =+ dyyxQdxyxP является однородным если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.
,
авнения основано на приведении этого
Рассмотрим однородное уравнение
Решение любого однородного уру ния к уравнению с разделяющимисяравне переменными.
,( yxfy ).=′ Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать:
).,(),( yxftytxf =
Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что x
t 1= . Получаем:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xyfyxf ,1),(
11
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного
аргумента xyu = , т.е.
);(),( uxyyxf ϕ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ϕ=
Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: )(uy ϕ=′
Далее заменяем y = ux, xuxuy ′+′=′ .
;)();();(x
uuuuuxuuxuxu −ϕ=′ϕ=+′ϕ=′+′
таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.
∫ ∫ +=−ϕ
=−ϕ
;)(
;)(
Cx
dxuu
dux
dxuu
du
Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и
найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.
Пример. Решить уравнение ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=′ 1ln
xy
xyy .
Введем вспомогательную функцию u.
uxuyuxyxyu +′=′== ;; .
Отметим, что введенная нами функция u всегда положительна, т.к. в противном
случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение, содержащее xyu lnln = .
Подставляем в исходное уравнение:
;ln;ln);1(ln uuxuuuuuxuuuuxu =′+=+′+=+′
Разделяем переменные: ∫ ∫== ;ln
;ln x
dxuu
dux
dxuu
du
Интегрируя, получаем: ;;ln;lnlnln CxeuCxuCxu ==+= Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее решение:
.Cxxey =
12
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения, приводящиеся к однородным.
ний, которые с омощью определенных подстановок могут приведены к однородным.
Это уравнения вида
Кроме уравнений, описанных выше, существует класс уравнеп
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=′111 cybxa
cbyaxfy .
Если определитель ,011
≠baba
то переменные могут быть разделены подстановкой
;; β+=α+= vyux
где α и β - решения системы уравнений
Пример.
⎩⎨⎧
=++=++
00
111 cybxacbyax
.0)12()32( =−+++− dxyxdyyx Решить уравнение
Получаем ;3212;12)32(
+−− − +
=+−−=+−yxyx
dxdyyx
dxdyyx
Находим значение определителя
05142112
≠=+=−−−
.
;5/75/1
;0342
21;
032012
⎩⎨⎧
=−=
⎩⎨⎧
=++−−=
⎩⎨⎧
=+−=+−−
yx
xxxy
yxyx
Решаем систему уравнений
рименяем подстановку
;5/7;5/1 +=−= vyux П в исходное уравнение:
;0)15/75/22()35/1425/1( =−++−++−−− duvudvvu ;0)2()2( =++− duvudvvu
;1/2
/222
−+
=−+
=uv
uvuvvu
dudv
Заменяем переменную ;;; tutvutvtuv
+′=′== при подстановке в выражение,
записанное выше, имеем:
122−+
=+′t
ttut
переменные: ;12
)1(212
2212
2 22
−−+
=−
+−+=−
−+
=t
ttt
ttttt
tududt Разделяем
∫ ∫ −+−
−=−+
−⋅−= ;
1)21(
21;
121
21
22 ttdtt
ududt
ttt
udu
12 lnln1ln
21 Cutt +=−+−
uCtt 12 ln21ln −=−+
13
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;1;ln1ln 22
222
uut
Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х.
2 CttCt =−+=−+
;5/1;1575
5/15/7
+=+−
=+−
== xuxy
xy
uvt
;)15(
251575
15751 2
22
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−+−
+x
Cxy
xy
222 25)75()15)(75()15( Cyxyx =−−+−++
222 2549702573552511025 Cyyxyxyxx =+−−−++++ −
7149252575252525 222 +−+=−++− Cyyxyxx
;2555
22 CC =+=
32 yyxyxx −++−
Итого, выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.
В сл
Cyyxyxx =−++− 22 3
учае если в исходном уравнении вида ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝ +
+=′
bxaaxfy
⎛++
111 cycby определитель
,011
=baba
то переменные могут быть разделены подстановкой
.tbyax =+
мер. .0)133()(2 =−+++ dxyxdyyx При Решить уравнение
;22
13322
133;133)(2 yxdyyxyx
yxyx
yxdxdy
dx +−−
−=+
+− +Получаем = +−−=+
Находим значение определителя ;0662233
=+−=−−
.33 tyx =+ Применяем подстановку
;13−′
=dx
одставляем это выражение в исходное уравнение:
tdy
П
;932;9962;99)3(2;2
13
+)1(3
+−=′−=′+−=−′−
−=−t
′tttttttttttt
Разделяем переменные: ;23
3;
932 dxdt
ttdxdt
tt
−=−
=+−
∫ ∫−=⎟⎠⎝ − 23t⎞
⎜⎛ +
331 dxdt ;
1233ln3 Cxtt +−=−+
Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.
14
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;)1(3ln222 2Cxyxyx +−=−+++
;1ln3ln223 2Cyxyx =−+++ 2+
;1ln223 Cyxyx =−+++ таким образом, мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения.
Линейные уравнения. Определение. Дифференциальное урав ние называется линейным неотносительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
),()( xQyxPy =+′ при этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое уравнение называется инейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть Q(x) не авна родным ифференциальным уравнением.
P(x) и Q(x x < b.
ьные уравнения.
лр нулю, то такое уравнение называется линейным неоднод
)- функции непрерывные на некотором промежутке a <
Линейные однородные дифференциал
Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида
0)( =+′ yxPy . Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.
dxxPy
dy )(−=
;ln)(ln ∫ +−= CdxxPy
∫−= ;)(ln xdxPCy
решение:
е уравнения.
∫=− dxxP
Cey)(
Общее
Линейные неоднородные дифференциальны
Для интегрирования линейных неоднородных уравнений (Q(x)≠0) применяются основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.
в
15
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Метод Бернулли.
и (1654-1705) – швейцарский математик.)
я в том, что ис виде роизведения двух функций
(Якоб Бернулл
Суть метода заключаетс комая функция представляется в uvy = . п
При этом очевидно, что dxduvdvuy ⋅+⋅=′ - ди
dxфференцирование по частям.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
)()( xQuvxPdxdxduvdvu =++
)()( xQuxPdxduv
dxdvu =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
Далее следует важ амечание – т.к. первоначаль ное з ная функция былапредставл и в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это
нкция
ена нампроизведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению. Например, фу 22xy = может быть представлена как ;2;2 22 xyxy ⋅=⋅=
;2 xxy ⋅= и т.п. 1
Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать
так, что выражение 0)( =+ uxPdu . dx
Таким образом, возможно получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:
∫ ∫ ∫−=−=−= ;)(ln;)(;)( dxxPudxxPududxxP
udu
∫ =∫=−=+−
;/1;;)lnln)(
1 CudxxPuCdxxP
Для нахождения второй неизвестной фун
( 1CCe
кции v подставим поученное
ыражение для функции u в исходное уравнение )()( xQuxPdxduv
dxdvu =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ в с учетом
того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
;)(); Cdx()()(
dxexQvQdxdvСe
dxxPdxxP ∫==∫−
Интегрируя, можем найти функцию v: )(
)( exQCvdxxP∫= 2
)()(1 CdxexQ1Cdx +∫ ;
Cv =
dxxP+∫∫ ;
Т.е. была получена вторая составляющая произведения uvy = , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем:
⎟⎠⎝
⎞⎜⎛ +∫∫ 2
)()( CdxexQ
CdxxP
Окончательно получаем формулу:
⋅∫==− )( 1Ceuvy
dxxP
16
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎟⎠⎞
⎜⎝
+∫⋅∫= ∫−
2))(
)( CdxexQeydxdxxP
, С2 - произвольный коэффициент. ⎛ ( xP
Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного ифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.
д
Метод Лагранжа.
( Ларганж Жозеф Луи (1736-1813) - франц зский математик, през. Берлинской АН, Пет
еоднородных линейных дифференциальных равне ции произвольной постоянной.
Вернемся к поставленной задаче:
упоч. чл. (1776)).
. АН
Метод Лагранжа решения ну ний еще называют методом вариа
)()( xQyxPy =+′
Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и аменез ее нулем.
0)( =+′ yxPy Далее находится решение получившегос однородного дифференциального уравне
ей от
х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:
я ния:
∫=− dxxP
eCy)(
1 . Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного
дифференциального уравнения, будем считать постоянную С1 некоторой функци
));(()(11 exCe
dxdxy −⋅∫+∫==′
)( )()(xP
xdCdy dxxPdxxP −−
одставляем полученное соотношение в исходное уравнение
П
)()(1)()()()( )()(
1)(1 xQexCxPexPxCe
dxxdC dxxPdxxPdxxP
=∫+∫−∫ −−−
);(1 xQedx
= )( )(xdC dxxP∫−
делим переменную функцию С1(х): Из этого уравнения опре
;)()()(
1 dxexQxdCdxxP∫=
Интегрируя, получаем: )( dxxP
;)(1 CdxexQC += ∫∫ Подставляя это значение в исходное уравнение, полу ем:
ча
⎟⎞
⎜⎛ +∫∫= ∫
−CdxexQey
dxxPdxxP )()()( .
⎠⎝
17
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом
выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует уководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный
Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений азличными методами и сравним результаты.
Пример.
расчета по методу Бернулли. Приринтеграл. р
.1
22 xeaxyyx =+′ Решить уравнение
.1 1
2xaey
xy =+′ Сначала приведем данное уравнение к ст андартному виду:
;;1 1
2xaeQ
xP ==Применим полученную выше формулу:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∫∫= ∫
−Cdxeaeey
dxxx
dxx 22
111
( )∫∫ +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−CadxeCdxeaeey xxxx
1111
).(1
Caxey x +=
Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида ,nyQPyy ⋅=+′
г Q – функции от х или постоянные числа, а n – постоянное чи равное 1.
Для решения уравнения Бернулли применяют под
де P и сло, не
становку 1
1−= ny
z , с помощью
оторой, уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на yn
к.
;11 Q
yP
yy
nn =+′
−
Применим подстановку, учтя, что nn
n
yyny
yynz
′−−=′⋅
−−=′ −
− )1()1(22
2
.
QPzn
=+−z′
−1
Pznz )1( −=−−′ Qn )1( −Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции z. Решение этого уравнения будем искать в виде:
18
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
19
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∫∫= ∫
−CdxeQez
dxPPdx 1
1
.)1((1 nnQ ;)1 1 PPQ −−=− −=
.ln2 xxyyyx =+′ Пример. Решить уравнение
на xy2: .ln112 x
yxРазделим уравнение
yy
=⋅+′
Полагаем .;12y
yzy
z′
−=′=
xzx
zxzx
z ln1;ln1−=−′=+′− .
Полагаем .ln,1 xQx
P −=−=
( );ln;ln lnln CdxxeezCdxxeez xxxdx
xdx
+−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∫−∫= ∫∫ −−
( );)(lnln;ln CxxdxzCx
dxxxz +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅−= ∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎛−= xz ln 2
⎝+Cx
2
Произведя обратную подстановку, получаем:
.2
ln1 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= Cxx
y
.4 2 yxyyx =−′ Пример. Решить уравнение Разделим обе части уравнения на .yx
.41 xyxdx
dyy
=−
;2;2
1; zyyyy
zyz ′=′′=′= Полагаем
;2;421 xxz
dxdzxz
xzy
y=−=−′
2
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:
;2;2;02xdx
zdz
xz
dxdz
xz
dxdz
===−
∫ ∫ +=+= ;;lnln2ln;2 2CxzCxzCx
dxz
dz =1
олагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:
П
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;)()(2 2
dxxdCxxxC
dxdz
+=
;2
)(2)()(22
2 xx
xCxdx
xdCxxxC =−+
;ln21)(;
21)(
2CxxCxdx
xdC+==
Получаем: ;ln12 ⎟⎞
⎜⎛ += xCxz
22⎠⎝
Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:
;ln21 2
24 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += xCxy
Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида:
0),(),( =+ dyyxNdxyxM называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).,( yxFu = Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции u, после чего решение легко находится в виде: .;0 Cudu == Таким образом, для 1) в каком случае левая ч
решения надо определить: асть уравнения представляет собой полный дифференциал
най
Если дифференциальная форма
функции u; 2) как ти эту функцию.
dyxNdxyxM ),(),( y+ является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:
.),(),( dyyudx
xudyyxNdxyxMdu
∂∂
+∂∂
=+=
⎪⎪⎩
⎨=
∂∂ ),( yxN
yu
. Т.е. ⎪⎪⎧ =∂∂ ),( yxM
xu
Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:
⎪⎪⎩ ∂
∂=
∂∂∂
xyxN
yxu ),(2
Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и
⎪⎪⎨
⎧∂
∂=
∂∂∂
yyxM
yxu ),(2
достаточное условие того, что левая часть дифференциального равнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.
у
20
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
yxNyxM ∂=
y x∂∂∂ ),(),(
Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции u.
Проинтегрируем равенство ),( yxMx∂
).(),( yCdxyxMu +=
u=
∂ :
∫ Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С, а некоторую
еменная у полагается постоянным
Определим функцию С(у). Продифференцируем полученное равенство по у.
функцию С(у), т.к. при интегрировании перпараметром.
).()y,(),( yCdxxMy
yxNyu ′+
∂∂
==∂∂
∫
Откуда получаем: ∫∂∂
−=′ .),(),()( dxyxMy
yxNyC
Для нахождения функции С(у) необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако, перед интегрированием надо доказать, что функция С(у) не зависит от х. Это условие будет выполнено, если производная этой функции по х равна нулю.
[ ]
.0),(),(=
∂−
∂=
yxMyxN
),(),(),(),()(
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
−∂
∂=
∂∂
∂∂
−∂
∂=′′ ∫∫
yx
dxyxMxyx
yxNdxyxMyxx
yxNyС x
Теперь определяем функцию С(у):
CdydxyxMyxNyC +⎤⎡ ∂
−= ∫ ∫ ),(),()( y ⎥
⎦⎢⎣ ∂
Подставляя этот результат в выражение для функции u, получаем:
.),(),(),( CdydxyxMy
yxNdxyxMu +⎥⎦
⎢⎣ ∂
−+= ∫∫ ⎤⎡ ∂
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:
.),(),(),( CdydxyxMy
yxNdxyxM =⎥⎦
⎢⎣ ∂
−+ ∫∫
Следует отметить, что при решении уравнений в полных дифференци
⎤⎡ ∂
алах не бязате ю формулу. Решение может получиться более
методу, которым формула была получена.
о льно использовать полученнукомпактным, если просто следовать
0)15()103( 22 =−++ dyxdxxyx Пример. Решить уравнени
е
;10)103(),( 2
xy
xyxy
yxM=
∂+∂
=∂
∂ Проверим условие тотальности:
.10)15(),( 2
xx
xxxN
=∂−∂
=∂
∂ y
выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Условие тотальности
21
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определим функцию u. );(5)()103()(),( 232 yCyxxyCdxxyxyCdxyxMu ++=++=+= ∫∫
;15),()(5 22 −==′+=∂∂ xyxNyCx
yu
1)1()(;1)( CydyyCyC +−=−=−=′ ∫ ;
ИтогоНаходим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:
, .5 123 Cyyxxu +−+=
;.5 2123 СCyyxxu =+−+=
.5 Cyyxx =−+ 23
Уравнения вида y = f(y’) и x = f(y’). Решение уравнений, не содержащих в случае аргумента х, а в другом – функции у, ищем в параметрической форме принимая за параметр производную
одном,
неизвестной функции. .py =′
Для уравнения первого ти па получаем: .)();(dx
Делая замену, получаем:
dppfypfy ′=′=
;)( dppfp ′=dx
В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
∫ +′
== .; Cdpp
dpp
dx
Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений:
′ )()( pfpf x
⎪⎩
⎪⎨
+= ∫ Cdpp
x
⎧
=
′
)(
)(
pfy
pf
Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем р льтат:
Исключив из этой системы параметр р, получим общий интеграл и не в параметрической форме.
езу
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
+′= ∫)(
)(
pfx
Cdppfpy
22
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
У .равнения Лагранжа и Клеро
( Алекси Клод Клеро (1713 – 1765) французский математик ин. поч. член Петерб. АН )
Определение.
Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, линейное относительно х и у, коэффициенты торого являются функциями т y’.
коо
0)()()( =′+′+′ yRyyQxyP Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y’.
.)(()(),()( yRyPpfppxfy)(
)(,)()
yQp
yQ ′′
−=ϕ′′
−=ϕ+=
Дифференцируя это уравнение,c учетом того, что pdxdy = , получа)()()( dppdppfxdxpfpdx
ем: ϕ′+′+= .
Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
Определение.
),,( CpFx =
⎩⎨⎧
ϕ+=ϕ+==
)()(),()()(),(
ppfCpFppxfyCpFx
Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (т.е. линейное) относительно функции и аргумента вида:
).(yyxy ′ϕ+′= Вообще го , уравнение Клеро являетворя ся частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены py =′ , уравнение принимает вид:
).py (xp ϕ+=
;)(dxdpp
dxdpxpy ϕ′++=′ ;)(
dxdpp
dxdpxpp ϕ′++=
[ ] ;0)ϕ′+dpx ( p =dx
ет дв возможных решения: Это уравнение име а 0=dp или .0( ) =ϕ′+ px
;cp = В первом случае: )(ccxy ϕ+=
Видно, что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений:
лучаем второе решение F(x, y) = 0. Это решение не содерж ельно, не явля
яться особым интегралом. ( См. Особое решение.
⎩⎨⎧
=ϕ′+ϕ+=
0)()(
pxpxpy
Исключая параметр р, поит произвольной постоянной и не получено из общего решения, следоватется частным решением. Это решение будет явл )
23
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных равне
Пример.
у ний первого порядка.
Решить уравнение с заданными начальными условиями.
.0)1(;1 =+=−′ yxyy x
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого орядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
п
;;;;0x
dxy
dyxy
dxdy
xyy
xyy ===′=−′
∫ ∫ +== ;lnlnln; Cxydxdy xy
;Cxy = Для неоднородного уравнени ия общее решение меет вид:
;)( xxCy = Дифференцируя, получаем: y =′ );()( xCxxC +′ Для нахождения функции С(х) подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение:
1)()()( +=−+′ xxCxCxxC 1)( +=′ xxCx
;11)(;11)( Cdxx
xCx
xC +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+=′ ∫
x ;ln Cx ++)(xC =
ln xИтого, общее решение: ).( Cxxy ++
учетом начального условия
=
0)1( =y определяем постоянный коэффициент C. C.1;1ln10 C −=C ++=
Окончательно по 2
Для проверки в исхлучаем: .ln xxxxy −+= подставим полученный результат одное дифференциальное
уравнение: ;11ln11ln2 +=+−−−⋅++ xxxxxx веx
рно
Ниже показан график интегральной кривой уравнения.
0.5 1 1.5 2
-0.5
0.5
1
1.5
24
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Найти общий интеграл уравнения 0)1()1( 22 =−+− dyxydxyx . Это уравнение с разделяющимися переменными.
;11
;011 2222 ∫ ∫ −
−=−
=−
+− y
ydyxxdx
yydy
xxdx
;lnln1ln 22 Cyx =+− 1−
:
Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных
С = - 0,5 С = -0,02 С = -1 С = -2
Общий интеграл имеет вид .)1)(1( 22 Cyx =−−
значениях С.
-2 -1 1 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Пример.
С = 0,02 С = 0,5 С = 1 С = 2
Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее аданным начальным условиям. з
.0)0(;sin)1(cos +=′ xyxy =y Это уравнение с разделяющимися переменными.
;1
;cossin
1tgxdx
ydy
xx
yy
=+
=+′
;lncosln1ln;1
Cxytgxdxydy
+−=+=+∫ ∫
;cos)1(;ln(ln y cos)1 CxyCx =+=+
25
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Общее решение имеет вид: .1cos
−=x
y C
Найдем частное решение при заданном начальном усл вии у(0) = 0. о
.1;11
0 =−= CС
кончательно получаем: О .1cos x
1−=y
Пример. Решить предыдущий особом.
пример другим сп
Действительно, уравнение xyxy sin)1(cos +=′ может быть рассмотрено как инейное неоднородное дифференциальное уравнение. л
.sinsincos xxyxy =−′ Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение.
;;sincos;0sincos tgxdxy
dyxyxyxyxy ==′=−′
;cos;lncoslnln;ln CxyCxyCtgxdxy
dy=+−=+=∫ ∫
.cos x
Cy =
е неоднородного уравнения будет иметь вид
: .cos
)(x
xCy = Решени
Тогда .sin)(cos)(cos2 x
xxCxxCy +′=′
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
[ ] ;sincos
sin)(cos
cossin)(cos)(2 x
xxxC
xxxxCxxC
=−⋅+′
;cossin)(;sin);sincos
cos)( CxxdxxCxxCxx
xxC+−===′=
′∫
Итого ;cos x
cos Cxy +−= ;1
cos x−=
Cy
учетом начального условия у(0) = 0 получаемС ;1cos x
1−=y
При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод ешения, исходя из сложности преобразований.
Как видно результаты, полученные при решении данного дифференциального равнения различными способами, совпадают. у
р
26
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Решить уравнение xxyy 2sin2
cos =+′ с начальным условием у(0) = 0.
1
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
;sinln;cos;0cos 1Cxyxdxy
dyxyy +−=−==+′
Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.
Итого
;; sinsin 1 xCx Ceyeey −− =⋅=
Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид: (xCy = ;) sin xe−
;cos)()( sinsin xexCexCy xx −− −′=′ ;cossincos)(cos)()( sinsinsin xxxexCxexCexC xxx =+−′ −−−
;cossin)(;cossin)( sinsin xxexCxxexC xx =′=′ −
∫∫ =−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
==== xdxexe
xUxdxedVxdxdUeV
xdxxexС xxx
xx cossin
;sin;cos;cos;
cosin)( sinsinsin
sinsin s
.ssin Ce xx + in sinex −=
( );sin sinsinsin Cexeey xxx +−= −
Проверим полученное общее решение подстановкой одное ифференциальное уравнение.
(верно) Найдем частное решение при у(0) = 0.
кончательно .1sin sin −+= − xexy
;1sin sin xCexy −+−=
в исхд
cossin)cos(cos sin xxCex x +−+ − ;cossincoscos sin xxxCexx x =+− −
.1;10n 0 =+− CCe si0 =
О
Пример. Найти решение дифференциального уравнения
Это уравнение может быть преобразовано и представлено уравнение с разделенными переменными.
dxxyydyxydyxdx 22 53320 −=− с начальным условием у(1) = 1.
как
);4(5)1(3;53320 222 +=+′−′=′− yxxyyxyyyxyyx 2
;1
54
3;1
54
32222 dx
xxdy
yy
xx
yyy
+=
++=
+′
;1
54
322∫ ∫ +
=+
dxx
xdyy
y
27
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
122 ln)1ln(
25)4ln(
23 Cxy ++=+
;)1(4;)1()4( 3 2225232 +⋅= C++⋅=+ xyxCy
;4)1( 35
22 −+= xCy
;4)1( 35
2 −+= xCy С учетом начального условия:
;32
125;48125;425;4421;432421 3333335
=⋅==−=−=−⋅= CCCCСС
.42
53
=C
.42
1535
2
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
xy Окончательно
1+=+′ xyyx Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным
Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
условием у(1) = 0.
;lnlnln;;;0 Cxyx
dxy
dyydxxdyyyx +−=−=−==+′
;;x
yCxy ==C
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
;)(xxCy =
Подставим в исходное уравнение:
;1)(;1)(;1)()()(2 +=′+
′−+=+ =
′xxCx
xxxCx
xxC
xxCxxCx
;2
)(2
CxxxC ++=
Общее решение будет иметь вид: ;12 x
Cxy ++=
о условия у(1) = 0: ;23;1
210 −=++= CC C учетом начальног
;123
2+−=
xxy Частное решение:
28
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Найти решение дифференциального уравнения ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′
xyyyx ln с
начальным условием у(1) = е. Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися
переменными с помощью замены переменных.
Обозначим: ;;;;ln uuuu eeuxyxeyexyu
xy
+′=′===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Уравнение принимает вид: ;1;1; −=′=+′=+′ uuxuuxueeeux uuu
Получили уравнение с разделяющимися переменными.
;1
;1x
dxuduu
dxdux =
−−=
;1;lnln1ln;1
CxuCxux
dxudu
=−+=−=−∫ ∫
Сделаем обратную замену: ;;1ln;1ln 1+=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= Cxe
xyCx
xy
xyCx
Общее решение: ;1+= Cxxey C учетом начального условия у(1) = е: ;0;1 == + Cee C
Частное решение: ;exy = Второй способ решения.
;lnln
;lnln
;ln
xxyy
xyy
xyyyyxxyyyx
−=−′
−=′
=′
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное:
( )
;;ln;lnlnlnln
;lnln;
ln;ln
;0ln
CxeyCxyCxyx
dxyyd
xdx
yydyy
xyy
yxyy
==+=
===′
=−′
∫ ∫
Решение исходного уравнения ищем в виде: ;)( xxCey =Тогда ( );)()()( xCxxCey xxC +′=′Подставим полученные результаты в исходное уравнение:
( ) ;ln)()()(
)()(
xeexCxxCxe
xxCxxCxxC =+′
29
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;ln)(;ln)(
;ln)()()(
22
2
xxxCxxCx
xxxCxxCxCx
−=′−=′
−=+′
;1lnln
;1;
;;lnln)( 2
2
2 Cxx
xxdx
xx
xv
xdxdu
xdxdvxu
dxx
xxC ++=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
−−−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−==
===−= ∫∫
;11ln)( +++ === CxCxxxxC xeeey
Получаем общее решение: ;1+= Cxxey
Пример. Решить дифференциальное уравнение 0=−+′xyey x
y
с начальным
условием у(1)=0. В этом уравнении также удобно применить замену переменных.
;ln;ln;ln;uuxuyuxyu
xyue x
y ′+=′===
Уравнение принимает вид: ;0;0lnln 2 =+′=−+′
+ uuxuuuuxu
;;; 222 ∫∫ −=−=−=′
xdx
udu
xdx
uduuux
;ln1;lnln1 Cxu
Cxu
=+=
Делаем обратную подстановку: );ln(ln;ln CxxyCxe x
y
=−=−
Общее решение: );ln(lnCxxy −= C учетом начального условия у(1) = 0: ;);ln(ln0 eCC =−= Частное решение: );ln(ln exxy −= Второй способ решения.
0=−+′xyey x
y
Замена переменной: ;xyu = ;; uxuyuxy +′=′=
0=−++′ ueuxu u 0=+′ uexu uex
dxdu
−=
xdxdue u =− −
30
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∫ ∫=− − ;x
dxdue u
;ln;lnln CxeCxe uu =+= −−
);ln(ln);ln(ln CxuCxu −==− Общее решение: );ln(lnCxxy −=
Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.
у a b A S x Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая задается функцией, являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения ).,( yxfy =′ Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой. В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения. Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение. Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений. С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения: 1) Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений. 2) Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.
31
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами.
Численные методы решения дифференциальных уравнений. Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса уравнений. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов. В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной. Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата. Рассмотрим некоторые из них.
Метод Эйлера. (Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )
Известно, что уравнение ),( yxfy =′ задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке. Если взять последовательность точек х0, х1, х2, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию. y M2 M1 M3 M0 y0 M4 0 x0 x1 x2 x3 x4 x При подстановке заданных начальных условий (х0, у0) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке
),( yxfy =′
).,( 000 yxfytg =′=α Заменив на отрезке [x0, x1] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение
).)(,( 010001 xxyxfyy −+= Производя аналогичную операцию для отрезка [x1, x2], получаем:
).)(,( 121112 xxyxfyy −+= Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера. Можно записать общую формулу вычислений:
32
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
).)(,( 1111 −−−− −+= nnnnnn xxyxfyy
Если последовательность точек хi выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:
hyxfyy nnnn ),( 111 −−− +=
Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.
Суть метода состоит в том, что в формуле hyxfyy ),( 0001 += вместо значения ),( 000 yxfy =′ берется среднее арифметическое значений f(x0, y0) и f(x1, y1). Тогда
уточненное значение:
;2
),(),( 11000
)1(1 h
yxfyxfyy
++=
Затем находится значение производной в точке ) . Заменяя f(x0, y0) средним арифметическим значений f(x0, y0) и , находят второе уточненное значение у1.
,( )1(11 yx
),( )1(11 yxf
;2
),(),( )1(1100
0)2(
1 hyxfyxf
yy+
+=
Затем третье:
;2
),(),( )2(1100
0)3(
1 hyxfyxf
yy+
+=
и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М1 ломаной Эйлера. Аналогичная операция производится для остальных значений у. Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и уточненным методом Эйлера. На каждом шаге вычислений подробно выводятся все указанные выше значения. Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
33
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Метод Рунге – Кутта.
Метод Рунге – Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера. Суть уточнения состоит в том, что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора. (См. Формула Тейлора. )
...!4!3!2
432
1 ++′′′+′′+′+=+hyhyhyhyyy IV
iiiiii
Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми, то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге – Кутта учитывает четыре первых члена разложения.
iiiiiii yyhyhyhyyy Δ+=′′′+′′+′+=+ !3!2
32
1 .
В методе Рунге – Кутта приращения Δyi предлагается вычислять по формуле:
( ))(4
)(3
)(2
)(1 22
61 iiii
i kkkky +++=Δ
где коэффициенты ki вычисляются по формулам: );,()(
1 iii yxhfk =
;2
;2
)(1)(
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
i
iii k
yhxhfk
;2
;2
)(2)(
3 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
i
iii k
yhxhfk
( );; )(3
)(4
iii
i kyhxhfk ++= Пример. Решить методом Рунге – Кутта дифференциальное уравнение yxy +=′ при начальном условии у(0) = 1 на отрезке [0; 0,5] с шагом 0,1. Для i = 0 вычислим коэффициенты ki.
;1,0)10(1,0)(1,0),( 0000)0(
1 =+=+== yxyxhfk
( ) ;11,005,105,01,02
;2
)0(1
00)0(
2 =+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
kyhxhfk
;1105,0)055,105,0(1,02
;2
)0(2
00)0(
3 =+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
kyhxhfk
( ) ;1211,0)1105,11,0(1,0; )0(300
)0(4 =+=++= kyhxhfk
;1104,11104,01;1,0
;1104,0)1211,0221,022,01,0(61)22(
61
001
01
)0(4
)0(3
)0(2
)0(10
=+=Δ+==+=
=+++=+++=Δ
yyyhxx
kkkky
Последующие вычисления приводить не будем, а результаты представим в виде таблицы.
34
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
i xi k Δyi yi
1 0,1000 2 0,1100 3 0,1105
0
0
4 0,1155
0,1104
1
1 0,1210 2 0,1321 3 0,1326
1
0,1
4 0,1443
0,1325
1,1104
1 0,1443 2 0,1565 3 0,1571
2
0,2
4 0,1700
0,1569
1,2429
1 0,1700 2 0,1835 3 0,1842
3
0.3
4 0,1984
0,1840
1,3998
1 0,1984 2 0,2133 3 0,2140
4
0,4
4 0,2298
0,2138
1,5838
5 0,5 1,7976
Решим этот же пример методом Эйлера. Применяем формулу ).,( 111 −−− += nnnn yxhfyy
;1),(,1,0 000000 =+=== yxyxfyx
;1,0)(),( 0000 =+= yxhyxhf .1,11,01),( 0001 =+=+= yxhfyy
;2,1),(1,11,0 111101 =+=== yxyxfyx
;12,0)(),( 1111 =+= yxhyxhf .22,112,01,1),( 1112 =+=+= yxhfyy
Производя аналогичные вычисления далее, получаем таблицу значений:
i 0 1 2 3 4 5 xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 yi 1 1,1 1,22 1,362 1,528 1,721
Применим теперь уточненный метод Эйлера.
i 0 1 2 3 4 5 xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 yi 1 1,1 1,243 1,400 1,585 1,799
35
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке. Уравнение xyy =−′ является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение.
;;;;;0 ∫ ∫====′=−′ dxy
dydxy
dyydxdyyyyy
;ln;lnln xCyCxy =+= ;xCey =
Решение неоднородного уравнения имеет вид .)( xexCy =
;)()( xx exCexCy +′=′ ;)(;)(;)()()( xxxxx xexCxexCexCxexCexC −=′=′+=+′
;;;
;;)( Cexedxexe
evdxdudxedvxu
dxxexС xxxxx
xx +−−=+−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
==== −−−−
−
−− ∫∫
Общее решение: ;1−−= xCey x
C учетом начального условия: ;2;101 =−−= CC Частное решение: ;12 −−= xey x
Для сравнения полученных результатов составим таблицу.
yi i xi Метод Эйлера Уточненный
метод Эйлера Метод Рунге -
Кутта Точное значение
0 0 1 1 1 1 1 0,1 1,1 1,1 1,1104 1,1103 2 0,2 1,22 1,243 1,2429 1,2428 3 0,3 1,362 1,4 1,3998 1,3997 4 0,4 1,528 1,585 1,5838 1,5837 5 0,5 1,721 1,799 1,7976 1,7975
Как видно из полученных результатов метод Рунге – Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает 0,0001. Кроме того, следует обратить внимание на то, ошибка (расхождение между точным и приближенным значениями) увеличивается с каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем, что во – первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге, а во – вторых – тем, что в качестве основы вычисления принимается значение, полученное на предыдущем шаге, т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки. Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного. При использовании кмпьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка рассмотренным выше методом Рунге- Кутта. Программа подробно выводит результаты вычислений на каждом шаге.
36
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:
0),...,,,( )( =′ nyyyxF В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):
).,...,,,( )1()( −′= nn yyyxfy Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Определение. Решение )(xy ϕ= удовлетворяет начальным условиям
, если )1(0000 ,...,,, −′ nyyyx .)(,....,,)( )1(
00)1(
000−− =ϕ′=ϕ nn yxyx )( 0 =ϕ′ yx
Определение. Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.
0),...,,,( )( =′ nyyyxF)1(
0000 ,...,,, −′ nyyyx
Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши). Если функция (n-1) –й переменных вида в некоторой области D (n-1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по , то какова бы не была точка ( x ) в этой области, существует единственное решение
),...,,,( )1( −′ nyyyxf
0 , yy
)1(,...,, −′ nyyy )1(000 ,...,, −′ nyy
)(xϕ= уравнения , определенного в некотором интервале, содержащем точку
х0, удовлетворяющее начальным условиям . ),..., )1( −ny,,()( ′=n yyxfy
)1(000 ,...,, −′ nyy0 , yx
Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.
Уравнения, допускающие понижение порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
37
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения вида y(n) = f(x). Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.
;)( 1)1( Cdxxfy n += ∫−
( ) ;)()( 2121)2( CxCdxxfdxCdxCdxxfy n ++=++= ∫∫∫ ∫−
…………………………………………………………….
;...)!2()!1(
)(....2
2
1
1 n
nn
CnxC
nxCdxxfdxdxy ++
−+
−+=
−−
∫∫∫
Пример. Решить уравнение с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1; xey 2=′′′.0;1 00 =′′−=′ yy
;21
12
12 CeCdxey xx +=+=′′ ∫
;41
21
212
12 CxCedxCey xx ++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=′ ∫
∫ +++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= ;
21
81
41
322
12
212 CxCxCeCxCey xx
Подставим начальные условия:
;210;
411;
811 123 CCС +=+=−+=
;87;
45;
21
321 =−=−= CCC
Получаем частное решение (решение задачи Коши): 87
45
41
81 22 +−−= xxey x .
Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.
-10 -8 -6 -4 -2 2 4
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
38
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.
Это уравнения вида: . 0),...,,,( )()1()( =+ nkk yyyxFВ уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:
....;; )()()1()( knnkk zyzyzy −+ =′== Тогда получаем: .0),...,,,( )( =′ −knzzzxF Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:
).,...,,,( 21 knCCCxz −ψ= Делая обратную подстановку, имеем:
),...,,,( 21)(
knk CCCxy −ψ=
Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:
).,...,,,( 21 nCCCxy ϕ=
Пример. Найти общее решение уравнения xyy′′
=′′′ .
Применяем подстановку ;; yzyz ′′′=′′′=
∫ ∫====′ ;;;;x
dxz
dzx
dxz
dzxz
dxdz
xzz
;;lnlnln 11 xCzCxz =+= Произведя обратную замену, получаем:
;2
; 221
11 CxCxdxCyxCy +==′=′′ ∫
;62 32
312
21 CxCxCdxCxCy ++=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += ∫
Общее решение исходного дифференциального уравнения: ;32
3 CxCCxy ++= Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида .
.
0),...,,( )( =′ nyyyFПорядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных py =′
;pdydp
dxdy
dyyd
dxydy =⋅
′=
′=′′
39
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;2
22
2
pdydpp
dypdp
dy
pdydpd
pdyyd
dxdy
dyyd
dxydy ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=′′
=⋅′′
=′′
=′′′ и т.д.
Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:
0,...,,, 1
1
1 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
n
n
dypd
dydppyF
Если это уравнение проинтегрировать, и 0),...,,,,( 121 =−nCCCpyФ - совокупность его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:
.0),...,,,,( 121 =′ −nCCCyyФ Пример. Найти общее решение уравнения .04)( 2 =′−′−′′ yyyyy
Замена переменной: ;; pdydpyyp =′′′=
;04;042 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−− yp
dydpypypp
dydpyp
1) ;4;04yp
dydpyp
dydpy +==−−
Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену
переменной: .ypu =
;4;4y
dyduuydyduu =+=+
;ln4;ln4ln4;4 11 yCuCyuy
dydu =+== ∫∫
;ln4 1 yCyp =
С учетом того, что dxdyp = , получаем:
;ln4
;ln41
1 ∫ ∫== dxyCy
dyyCydxdy
;lnln41
ln)(ln
41
211
1 CyCyCyCd
x +== ∫
Общий интеграл имеет вид: ;4lnln 1 CxyC += 2) ;0;0 =′= yp ;Cy = Таким образом, получили два общих решения.
40
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: )(,...,, nyyy ′′′
);(... 1)2(
2)1(
1)(
0 xfypypypypyp nnnnn =+′++++ −−−
где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0. Левую часть этого уравнения обозначим L(y).
);(... 1)2(
2)1(
1)(
0 yLypypypypyp nnnnn =+′++++ −−−
Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами. Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида 0... 1
)2(2
)1(1
)(0 =+′++++ −
−− ypypypypyp nnnnn
Определение. Выражение называется линейным дифференциальным оператором.
)(... 1)2(
2)1(
1)(
0 yLypypypypyp nnnnn =+′++++ −−−
Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: 1) );()( yCLCyL = 2) );()()( 2121 yLyLyyL +=+ Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.
41
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Структура общего решения.
Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка
)1()1(2
)1(1
21
21
...............
...
...
−−−
′′′=
nn
nn
n
n
yyy
yyyyyy
W ,
то этот определитель называется определителем Вронского. ( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)
Теорема. Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.
nyyy ,...,, 21
Теорема. Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
nyyy ,...,, 21
Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
nyyy ,...,, 21
Теорема. Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.
nyyy ,...,, 21
nn yCyCyCy +++= ...2211 , где Ci –постоянные коэффициенты. Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена. Теорема. Если задано уравнение вида 0)()( 21 =+′+′′ yxpyxpy и известно одно ненулевое решение у = у1, то общее решение может быть найдено по формуле:
42
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
.111
)(
21
121 yCdxe
yyCy
dxxp+∫= ∫
−
Таким образом, для получения общего решения надо подобрать какое – либо частное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Решение дифференциального уравнения вида или, короче, будем искать в виде , где k = const.
0...)1(1
)( =+++ − yayay nnn
0)( =yL kxey = Т.к. то ,...;; )(2 kxnnkxkx ekyekykey ==′′=′
)....()( 11 n
nnkxkx akakeeL +++= −
При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
nnn akakkF +++= − ...)( 1
1
Для того, чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы
kxey =
;0)( =kxeL т.е. .0)( =kFekx
Т.к. ekx ≠ 0, то - это уравнение называется характеристическим уравнением.
0)( =kF
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение 0 имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.
...11 =+++ −
nnn akak
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. 1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем: a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;
б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: ....;; 1 kxmkxkx exxee −
в) каждой паре комплексно – сопряженных корней β±α i характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: и . xe x βα cos xe x βα sinг) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней β±α i характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:
43
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
.sin...,sin,sin
,cos...,cos,cos1
1
xexxxexexexxxexe
xmxx
xmxx
βββ
βββα−αα
α−αα
3) Составляем линейную комбинацию найденных решений. Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример. Решить уравнение 0=−′′′ yy . Составим характеристическое уравнение: ;013 =−k
;01;1;0)1)(1( 21
2 =++==++− kkkkkk
;23
21;
23
21;341 32 ikikD −−=+−=−=−=
Общее решение имеет вид: .23sin
23cos 32
21 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
−xCxCeeCy
xx
Пример. Решить уравнение .022)1( 2 =+′−′′− yyxyx
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение. Таким частным решением будет являться функция .1 xy =
;0220;0;1 11 =+−=′′=′ xxyy Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:
.01
21
222 =
−+′
−−′′
xyy
xxy
Общее решение имеет вид: ;12
12
212 xCdxe
xxCy
dxxx
+∫= ∫ −
;22
)1ln(
1
2
xCdxx
exCyx
+= ∫−−
∫∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+−
++=+−
= ;)1(2
1)1(2
11;)1( 2122221 dx
xxxxCxCyxC
xxdxxCy
;11ln
211
12 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
+−+=xx
xxCxCy
Окончательно: ;11ln 432 C
xxxCxCy +
−+
+=
44
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Решить уравнение .
.
0=− yy IV
Составим характеристическое уравнение: .014 =−k
.;;1;1;0)1)(1( 432122 ikikkkkk −==−===+−
Общее решение: sincos 4321 xCxCeCeCy xx +++= −
Пример. Решить уравнение .044 =+′−′′ yyy Характеристическое уравнение: . 2;044 21
2 ===+− kkkk Общее решение: .2
22
1xx xeCeCy +=
Пример. Решить уравнение .052 =+′+′′ yyy Характеристическое уравнение: ;21;16;052 1
2 ikDkk +−=−==++ .212 ik −−= Общее решение: ).2sin2cos( 21 xCxCey x += −
Пример. Решить уравнение .067 =′+′′−′′′ yyy Характеристическое уравнение: ;0)67(;067 223 =+−=+− kkkkkk
;6;1;0 321 === kkk Общее решение: ;6
321xx eCeCCy ++=
Пример. Решить уравнение .02 =−′−′′ yyy Характеристическое уравнение: ;2;1;02 21
2 =−==−− kkkk Общее решение: .2
21xx eCeCy += −
Пример. Решить уравнение .09 =′′′− yyV
Характеристическое уравнение: ;0)9(;09 2335 =−=− kkkk
;3;3;0 54321 −===== kkkkk
Общее решение: ;35
34
2321
xx eCeCxCxCCy −++++= Пример. Решить уравнение .02 =′−′′ yyy
45
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки .py =′
Тогда .pdydpy
dydpy =′=′′
;;0;0 1112 Cyppp
dydpy ===−
;lnlnln;;; Cypy
dyp
dpy
dyp
dppdyydp
+==== ∫ ∫
∫ ∫===′= ;;;; dxСydydx
СydyCyyCyp
;;lnln13
ln2
2 CxCCCx eCeeCyCxCyC
==+=
Окончательно получаем: ;1
CxeCy = Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0. Пример. Решить уравнение .03 2 =′+′′ yyy
Производим замену переменной: ;;dydppy
dydpypy =′=′′=′
;;0;03 112 Cypp
dydpyp ===+
;31;
3;3 ∫ ∫−=−=−=
ydy
pdp
ydy
pdpp
dydpy
;;;lnln31ln 3
1
13 −
=′=+−= yCyyCpCyp
;43;; 21
34
131
131
CxCydxCdyydxCdyy +=== ∫∫
;4334
CxCy +=
Общее решение: .)( 43
43 CxCy +=
46
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида ).()(...)( )1(
1)( xfyxpyxpy n
nn =+++ −
С учетом обозначения можно записать: )()(...)( )1(1
)( xLyxpyxpy nnn =+++ −
).()( xfxL = При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном). Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.
)()(...)( )1(1
)( xfyxpyxpy nnn =+++ −
Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения. Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:
).()( xfYL ≡ Пусть - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:
nyyy ,...,, 21
0)( =yL
.;...2211 constCyCyCyCy inn =+++= Далее покажем, что сумма nn yCyCyCY ++++ ...2211 является общим решением неоднородного уравнения.
)()()(...)()()()...( 22112211 xfYLyCLyCLyCLYLyCyCyCYL nnnn ==++++=++++ Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением. Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных. Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:
;...1
2211 ∑=
=+++=n
iiinn yCyCyCyCy
Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:
;)(1∑=
=n
iii yxCy
Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:
47
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=′
=′′
=′
∑
∑
∑
=
−
=
=
)()(
..........................
0)(
0)(
1
)1(
1
1
xfyxC
yxC
yxC
n
i
nii
n
iii
n
iii
Пример. Решить уравнение .2sin xxyy −=+′′ Решаем линейное однородное уравнение .0=+′′ yy
.;;01 212 ikikk −===+
;1;0);sincos( =β=αβ+β= α xBxAey x ;sincos xBxAy +=
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: ;sin)(cos)( xxBxxAy +=
Составляем систему уравнений:
⎩⎨⎧
−=′+′−=′+′
xxxxBxxAxxBxxA
2sincos)(sin)(0sin)(cos)(
Решим эту систему:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=′
−=′−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=′−′−
′−=′
)2sin(cos)(
2sinsin
)(
2sinsin
cos)(sin)(
sincos)()(
2
xxxxB
xxxxA
xxxxxAxxA
xxxAxB
Из соотношения найдем функцию А(х). xxxxxA sincossin2)( 2 −=′
( ) =−=−=−= ∫∫∫∫ xdxxxdxxxxdxxdxxxxxxA sinsin32sincossin2sincossin2)( 322
.sincossin32coscossin
32
cos;;sin;
133 Cxxxxxdxxxx
xvdxduxdxdvxu
+−+=−+=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−====
= ∫
Теперь находим В(х).
=+−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
====
=−= ∫∫ ∫ xxdxxxxvdxdu
xdxdvxuxdxxxdxxxB 32 cos
32sinsin
;sin;;cos;
sincos2cos)(
.cossincos32
23 Cxxxx +++=
Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:
.sincos)cos(sin)cos(sincossin32
sincossinsincossin32coscossincoscossin
32
212222
223
123
xCxCxxxxxxx
xCxxxxxxxCxxxxxxy
+++++=
=+++++−+=
Окончательный ответ: ;sincos2sin31
21 xCxCxxy +++=
48
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.
Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Уравнения с правой частью специального вида.
Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от
вида правой части неоднородного уравнения. Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
,)()( xexPxf α=
где - многочлен степени m. mmm AxAxAxP +++= − ...)( 1
10
Тогда частное решение ищется в виде:
)(xQexy xr α= Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число α является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение xyy =′−′′′ 4 . Решим соответствующее однородное уравнение: .04 =′−′′′ yy
;2;2;0;0)4(;04 32123 −====−=− kkkkkkk
;23
221
xx eCeCCy −++= Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.
.0;)( =α= xxP Частное решение ищем в виде: , где )(xQexy xr α= .)(;0;1 BAxxQr +==α= Т.е. .2 BxAxy +=Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.
;0;2;2 =′′′=′′+=′ yAyBAxy
;0;81;18;480 =−==−=−− BAAxBAx
Итого, частное решение: .8
2xy −=
49
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
.8
23
221
2xx eCeCCxy −+++−=
II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
[ ]xxPxxPexf x β+β= α sin)(cos)()( 21 Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
[ ]xxQxxQexy xr β+β= α sin)(cos)( 21
где число r показывает сколько раз число β+α i является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.
Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: )()()( 21 xfxfyL += , то частное решение этого уравнения будет где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений ,21 yyy +=
)()( 1 xfyL = и )()( 2 xfyL = Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.
Пример. Решить уравнение .2sin xxyy −=+′′ Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух
функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx). Составим и решим характеристическое уравнение: ;;01 2,1
2 ikk ±==+
1. Для функции f1(x) решение ищем в виде )( . 1 xQexy xr α=Получаем: ;)(,0,0 BAxxQr +===α Т.е. ;1 BAxy +=
;0;1;;0; 11
===+=″=′
BAxBAxyAy
Итого: ;1 xy =
2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: )sin) . (cos)(( 212 xxQxxQexy xr β+β= α
Анализируя функцию f2(x), получаем: ;0;2;0;1)(;0)( 21 ==β=α−== rxPxP Таким образом, ;2sin2cos2 xDxCy +=
50
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;2sin2sin2cos2sin42cos4;2sin4cos24
;2cos22sin2
2
2
xxDxCxDxCxDxCy
xDxCy
−=++−−−−=″+−=′
xxDxC 2sin2sin32cos3 −=−−
;31;0 == BA
Итого: ;2sin31
2 xy =
Т.е. искомое частное решение имеет вид: ;2sin31
21 xxyyy +=+=
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
;sincos2sin31
21 xCxCxxy +++=
Рассмотрим примеры применения описанных методов. Пример. Решить уравнение .32 xeyyy =+′−′′Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
;1;012 212 ==−+− kkkk
Общее решение однородного уравнения: .21
xx xeCeCy +=Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
)(xQexy xr α= ;)(;2;1 CxQr ===α
.2 xeCxy = Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
.222;2 22 xxxxxx eCxCxeCxeCeyeCxCxey +++=′′+=′ Подставляя в исходное уравнение, получаем:
.32442 222 xxxxxxx eeCxeCxCxeeCxCxeCe =+−−++
.23;32 == CC
Частное решение имеет вид: .23 2 xexy =
Общее решение линейного неоднородного уравнения: .23 2
21xxx exxeCeCy ++=
Пример. Решить уравнение .12 −=′−′′′ xyy Характеристическое уравнение: k ;1;1;0;0)1(;0 321
23 −====−=− kkkkkk
51
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Общее решение однородного уравнения: .321xx eCeCCy −++=
Частное решение неоднородного уравнения: . )(xQexy xr α=.)(;1;0 2 CBxAxxQr ++===α
CxBxAxy ++= 23 Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:
;6;26;23 2 AyBAxyCBxAxy =′′′+=′′++=′ ;1236 22 −=−−− xCBxAxA
;16;02;13 −=−=−=− CABA
;1;0;31
−==−= CBA
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
.31 3
321 xxeCeCCy xx −−++= −
Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение. Совокупность соотношений вида:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=′′′
=′′′=′′′
0),...,,,,...,,,(......................................................
0),...,,,,...,,,(0),...,,,,...,,,(
2121
21212
21211
nnn
nn
nn
yyyyyyxF
yyyyyyxFyyyyyyxF
где х- независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Такая система имеет вид:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
),...,,,(
........................................
),...,,,(
),...,,,(
21
2122
2111
nnn
n
n
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
yyyxfdxdy
(1)
Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве. Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции ),,...,,,( 211 nyyyxf ),,...,,,( 212 nyyyxf … ),...,,,( 21 nn yyyxf
52
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки этой области существует единственное решение
nyyy ,...,, 21
)(x),...,,.( 020100 nyyyxy ...),(),( 2211 yxyx nn ϕ=ϕ=ϕ=
системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее начальным условиям .,..., 0ny,. 20100 yyx Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций ),...,,,( 2111 nCCCxy ϕ= , ),...,2 nCC,,( 122 Cxy ϕ= , …
, которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество.
),...,,,( 21 nnn CCCxy ϕ=
Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.
Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной, если ее можно записать в виде:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
uazayadxdu
uazayadxdz
uazayadxdy
333231
232221
131211
(2)
Решения системы (2) обладают следующими свойствами: 1) Если y, z, u – решения системы, то Cy, Cz, Cu , где C = const – тоже являются решениями этой системы. 2) Если y1, z1, u1 и y2, z2, u2 – решения системы, то y1 + y2, z1 + z2, u1 + u2 – тоже являются решениями системы. Решения системы ищутся в виде: constkeuezey kxkxkx =γβαγ=β=α= ,,,,;; Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на ekx, получаем:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=γ−+β+α=γ+β−+α=γ+β+α−
0)(0)(0)(
333231
232221
131211
kaaaakaaaaka
Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:
53
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
0
333231
232221
131211
=−
−−
kaaaakaaaaka
В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно k. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):
,,, 111111111
xkxkxk euezey γ=β=α= ,,, 222
222222xkxkxk euezey γ=β=α= .,, 333
333333xkxkxk euezey γ=β=α=
Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):
;321332211
xkxkxk eCeCeCy α+α+α= ;321
332211xkxkxk eCeCeCz β+β+β= .321
332211xkxkxk eCeCeCu γ+γ+γ=
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
⎩⎨⎧
+=′+=′
yxyyxx
2225
Составим характеристическое уравнение:
;042510;04)2)(5(;022
25 2 =−+−−=−−−=−
−kkkkk
kk
;6;1;067 212 ===+− kkkk
Решим систему уравнений:
⎩⎨⎧
=β−+α=β+α−
0)(0)(
2221
1211
kaaaka
Для k1: ⎩⎨⎧
=β+α=β+α
⎩⎨⎧
=β−+α=β+α−
02024
0)12(202)15(
11
11
11
11
Полагая (принимается любое значение), получаем: 11 =α .21 −=β
Для k2: ⎩⎨⎧
=β−α=β+α−
⎩⎨⎧
=β−+α=β+α−
042021
0)62(202)65(
22
22
22
22
Полагая (принимается любое значение), получаем: 22 =α .12 =β
Общее решение системы: ⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
+=tt
tt
eCeCy
eCeCx6
21
621
2
2
Этот пример может быть решен другим способом: Продифференцируем первое уравнение: ;25 yxx ′+′=′′ Подставим в это выражение производную у′ =2x + 2y из второго уравнения.
;445 yxxx ++′=′′ Подставим сюда у, выраженное из первого уравнения:
54
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
xxxxx 10245 −′++′=′′ 067 =+′−′′ xxx
1;6 21 == kk
;6; 66 tttt BeAexBeAex +=′+=
;55652 66 tttt BeAeBeAexxy −−+=−′=
;212 6tt BeAey +−=
Обозначив 21 21; CBCA == , получаем решение системы:
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
+=tt
tt
eCeCy
eCeCx6
21
621
2
2
Пример. Найти решение системы уравнений
⎩⎨⎧
++=′+=′
xzyzzyy
Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т.к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная х). Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:
.zyy ′+′=′′ Заменяя значение z’ из второго уравнения получаем: xzyyy +++′=′′ . С учетом первого уравнения, получаем: .2 xyy +′=′′ Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.
.2;0;02;02;2 212 ===−=′−′′=′−′′ kkkkyyxyy
Общее решение однородного уравнения: .221
xeCCy +=
Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле ;)(;1;0);( BAxxQrxQexy xr +===α= α
;2;2;2 AyBAxyBxAxy =′′+=′+=
;41;
41;242 −=−==−− BAxBAxA
Общее решение неоднородного уравнения:
).1(412
21 +−+= xxeCCy x
Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:
).1(41 22
21 −−++−= xxeCCz x
Пример. Найти решение системы уравнений:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=′+=′+=′
zywwyz
wzy
33
55
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Составим характеристическое уравнение:
;013
33
131
1;0
131311
=−
+−
−−
−−=
−−
−k
kkk
kk
kk
;3;2;1;067;03333)1( 32132 =−=−==−−=++++−− kkkkkkkkk
1) k = -1.
;;0;0303
0γ−=β=α
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=γ+β+α=γ+β+α=γ+β+α
Если принять γ = 1, то решения в этом случае получаем: ;;;0 111
xx ewezy −− =−== 2) k2 = -2.
;;;023023
02γ=βγ−=α
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=γ+β+α=γ+β+α=γ+β+α
Если принять γ = 1, то получаем: ;;; 2
22
22
2xxx ewezey −−− ==−=
3) k3 = 3.
;;32;
03303303
γ=βγ=α⎪⎩
⎪⎨
⎧
=γ−β+α=γ+β−α=γ+β+α−
Если принять γ = 3, то получаем: ;3;3;2 3
33
33
3xxx ewezey ===
Общее решение имеет вид:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
++=
++−=
+−=
−−
−−
−
xxx
xxx
xx
eCeCeCw
eCeCeCz
eCeCy
33
221
33
221
33
22
3
3
2
Элементы теории устойчивости. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.
56
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Этот метод особенно важен, т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически. Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:
),...,2,1();,...,,,( 21 niyyytfdtdy
nii == (1)
и начальные условия: .)( 00 ii yty = Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны. Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)
Если правая часть дифференциального уравнения ),( ytfdtdy
= непрерывна и по
переменной у имеет ограниченную частную производную ( )Nf y ≤′ на области
прямоугольника, ограниченного { }byybyattatD +≤≤−+≤≤−= 0000 , , то решение ),,()( 00 yttyty = , удовлетворяющее начальным условиям , непрерывно
зависит от начальных данных, т.е. для любого 00 )( yty =
00 >Δ∃>ε∀ , при котором если ,000 <− yy то ε<− ),(),,( 0000 yttyytty при условии, что
,; 00 TTTtt <<− где
.),(max,,1,min),(0 ytfM
Mb
NaT
Dyt ∈=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений. Определение. Если { })(),...,(),()( 21 tttt nϕϕϕ=ϕ
0>
- решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0 Δ∃
}>ε , такое, что для любого решения
той же системы, начальные условия которого удовлетворяют
{ )(),...,(),()( 21 tytytyty n= неравенствам
),1()()( 00 nitty ii =Δ<ϕ− справедливы неравенства
[ )∞∈∀ε<ϕ− ,)()( 0tttty ii
(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН) Т.е. можно сказать, что решение ϕ(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при t ≥ t0. Если ),1(,0)()(lim nitty iit
==ϕ−∞→
, то решение ϕ(t) называется
асимптотически устойчивым. Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения
{ })(),...,(),()( 21 tttt nϕϕϕ=ϕ системы ),...,2,1();,...,,,( 21 niyyytfdtdy
nii == можно
свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:
57
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
.,...,1),()()( nittytx iii =ϕ−= Тогда:
dtd
dtdx
dtdy iii ϕ
+=
[ ] [ ] .,...,1,)(),...,(,)(),...,(, 111 nitttftxtxtfdtdx
ninnii =ϕϕ−ϕ+ϕ+= (2)
Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение .0)( =txi
Теорема. Решение { })(),...,(),()( 21 tttt nϕϕϕ=ϕ системы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2). Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя. Определение. Точка покоя 0)( =txi системы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого 0)(0 >εΔ∃>ε∀ такое, что из неравенства
),...,1()()( 0 nitxi =εΔ< следует
0),...,1()( ttnitxi ≥∀=ε< . Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система
),...,2,1();,...,,,( 21 niyyytfdtdy
nii ==
имеющая тривиальное решение 0)( =tyi . Пусть существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая условиям:
),...,( 1 nyyv
1) ≥0 и v = 0 только при у1 = у2 = … = уn =0, т.е. функция v имеет минимум в начале координат.
),...,( 1 nyyv
2) Полная производная функции v вдоль фазовой траектории (т.е. вдоль решения yi(t) системы (1)) удовлетворяет условию:
∑∑==
≤∂∂
=∂∂
∂∂
=n
inii
i
n
i
i
i
yytfyv
ty
yv
dtdv
110),...,,( при 0tt ≥
Тогда точка покоя n устойчива по Ляпунову. iyi ,...,1,0 =≡ Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат ( )Δ≥++ 22
1 ... nyy выполнялось условие
),(,0 0tttv
≥<β−≤∂∂
где β - постоянная величина, то точка покоя niyi ,...,1,0 =≡ асимптотически устойчива. Функция v называется функцией Ляпунова.
58
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Классификация точек покоя.
Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
yaxadtdy
yaxadtdx
2221
1211
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:
02221
1211 =λ−
λ−aa
aa
Рассмотрим следующие возможные случаи: 1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.
.,0,0 2121 λ≠λ<λ<λ Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом.
0≡= yx
2) Корни характеристического уравнения действительны и
0,0 21 <λ=λ или 021 <λ=λ . В этом случае точка покоя также будет устойчива. 3) Хотя бы один из корней положителен. 21 ,λλВ этом случае точка покоя 0≡= yx неустойчива, и такую точку называют неустойчивым седлом. 4) Оба корня характеристического уравнения положительны 0,0 21 >λ>λ . В этом случае точка покоя 0≡= yx неустойчива, и такую точку называют неустойчивым узлом.
Если полученного решения системы исключить параметр t, то
полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY. ⎪⎩
⎪⎨⎧
β+α=
β+α=λλ
λλ
tt
tt
eCeCy
eCeCx21
21
2221
1211
)(ty ϕ=Возможны следующие случаи: β β α α Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло. 5) Корни характеристического уравнения комплексные iqpiqp −=λ+=λ 21 , . Если р = 0, т.е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.
59
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Такая точка покоя называется центром. Если p< 0, то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом. Если p > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом.
Уравнения математической физики.
Уравнения в частных производных. Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.
0...
,...,,...,,,,...,,1
12121 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
nkn
k
k
nn xx
uxu
xu
xuxxxF
Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция ),...,,( 21 nxxxuu = , которая обращает уравнение в тождество.
Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от
функции ) можно в общем виде записать как ,...,,( 21 nxxxuu =
0,...,,,,...,,21
21 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
∂∂
nn x
uxu
xuxxxF
Линейное уравнение в частных производных имеет вид:
0),...,,(...),...,,(),...,,( 212
2121
211 =∂∂
++∂∂
+∂∂
nnnnn x
uxxxXxuxxxX
xuxxxX , (1)
где Xi – некоторые заданные функции. Очевидно, что одним из решений такого уравнения будет функция u = C. Рассмотрим систему уравнений:
;...2
2
1
1
n
n
Xdx
Xdx
Xdx
=== (2)
или n
n
n
n
nnnn XX
dxdx
XX
dxdx
XX
dxdx 112211 ...;; −− === - такая система называется нормальной.
Общее решение этой системы имеет вид:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==
−−−
−
−
),...,,,(..........................................),...,,,(),...,,,(
12111
12122
12111
nnnn
nn
nn
CCCxfx
CCCxfxCCCxfx
Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С, получим:
60
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=ϕ
=ϕ=ϕ
−− 1211
2212
1211
),...,,(.................................
),...,,(),...,,(
nnn
n
n
Cxxx
CxxxCxxx
Каждая из функций ϕ является интегралом системы (2). Теорема. Если - интеграл системы (2), то функция
- решение уравнения (1). ),...,,( 21 nxxxϕ
),...,,( 21 nxxxu ϕ=
Классификация основных типов уравнений математической физики.
1) Волновое уравнение. (Уравнение колебаний струны, электроколебания, крутильные колебания вала и др.) Это простейшее уравнение гиперболического типа.
2
22
2
2
xua
tu
∂∂
=∂∂
2) Уравнение теплопроводности. (Уравнение Фурье) Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности, фильтрации жидкости и газа, некоторые вопросы теории вероятностей.
2
22
xua
tu
∂∂
=∂∂
3) Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля, гидродинамику, диффузию и др.
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
В этих уравнениях функция u зависит от двух переменных, однако, задача может быть расширена для случая трех переменных:
1) Волновое уравнение: ;2
22
2
22
2
2
yua
xua
tu
∂∂
+∂∂
=∂∂
2) Уравнение теплопроводности: ;2
22
2
22
yua
xua
tu
∂∂
+∂∂
=∂∂
3) Уравнение Лапласа: 02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zu
yu
xu
Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений.
Уравнение колебаний струны. Определение. В математической физике струной называется тонкая нить, в которой возможно возникновение напряжений только в продольном, но не в поперечном направлении.
61
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и x = b, возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать, что плотность струны постоянна на всем ее протяжении. Допустим, что в момент t0 = 0 струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания. Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени t обозначим как
0,),( ≥≤≤= tbxatxuu u C B α A D 0 a x x+Δx b x На произвольный элемент длины нити (х, х + Δх) действуют две силы натяжения AD и BC . При этом:
;),(;x
txxutgTBCAD∂Δ+∂
=α==
Если считать колебания малыми, то можно принять:
α≈α sintg
Тогда проекция силы BC на ось u:
xtxxuTT
∂Δ+∂
≈α),(sin
Проекция силы AD на ось u:
xtxuT
∂∂
−),(
Находим сумму этих проекций:
.),(),(),(2
2
xx
txuTx
txuTx
txxuT Δ∂
∂=
∂∂
−∂Δ+∂
Выражение, стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа ( см. Теорема Лагранжа ) к выражению, стоящему слева. Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно:
,),(2
2
ttxux
∂∂
Δρ
где ρ - плотность струны. Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы, получим:
xxuT
tux Δ
∂∂
=∂∂
Δρ 2
2
2
2
Или ;, 22
22
2
2
ρ=
∂∂
=∂∂ Ta
xua
tu
62
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция u(x, t) должна еще удовлетворять граничным условиям, описывающим состояние струны на концах (в точках x = a и x = b) и начальным условиям, описывающим состояние струны в момент времени t = 0. Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Таким образом, задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях
),()0,(),()0,( xFtxuxfxu =∂
∂=
и краевых условиях 0),(),0( == tlutu .
Начальные условия показывают, в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени. Функции f(x) и F(x) заданы. Краевые условия показывают, что концы струны закреплены в точках a = 0, b = l
Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье.)
Решение уравнения
2
22
2
2
xua
tu
∂∂
=∂∂
будем искать в виде ) при граничных условиях: ()(),( tTxXtxu =
0;0)()(0)()0(
>⎩⎨⎧
==
ttTlXtTX
Тогда X(0) = X(l) = 0. Подставим решение в исходное уравнение:
;2 TXaTX ′′=′′
;12 X
XTT
a′′
=′′
Можно показать, что функции Х и Т имеют вид:
,...2,1;sincos)(
,...2,1;sin)(
=π
+π
=
=π
=
kl
aktBl
aktAtT
kl
kxxX
kkk
k
Все решения исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, можно записать в виде:
,...2,1;sinsincos),( =π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
= kl
kxl
aktBl
aktAtxu kkk
Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде:
,sinsincos),(1∑∞
=
π⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
=k
kk xl
ktl
akBtl
akAtxu
63
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
где ∫π
=l
k xdxl
kxfl
A0
;sin)(2
∫π
π=
l
k xdxl
kxFak
B0
.sin)(2
Решение задачи Коши методом Даламбера. ( Жан Лерон Д’Ламбер (1717 – 1783) – французский математик)
В случае если длина струны очень велика, то на колебания, возникающие в середине струны, концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому, рассматривая колебания бесконечной струны, уравнение
2
22
2
2
xua
tu
∂∂
=∂∂
решается только при начальных условиях:
)()0,()()0,(xFxu
xfxu
t =′=
Для нахождения решения введем новые переменные: .; atxatx +=β−=α
Тогда исходное уравнение принимает вид:
.02
=β∂α∂
∂ u
Решением этого уравнения будет функция )()( βψ+αϕ=u , где ϕ и ψ - некоторые функции, которые будем считать дважды дифференцируемыми. Получаем: ).()(),( atxatxtxu +ψ+−ϕ= Если продифференцировать полученный ответ, получим:
)()( atxatxux +ψ′+−ϕ′=′ )()( atxaatxaut +ψ′+−ϕ′−=′
)()( atxatxuxx +ψ ′′+−ϕ ′′=′′ )()( 22 atxaatxautt +ψ ′′+−ϕ ′′=′′
Т.е. . ttxx uua ′′=′′2
Далее с использованием начальных условий находим функции ϕ и ψ.
)()()()()()(
xFxaxaxfxx=ψ′+ϕ′−
=ψ+ϕ
Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [0, x], получаем:
.;)(1)()(0
constCCdyyFa
xxx
=+=ψ+ϕ− ∫
Тогда:
.2
)(21)(
21)(
;2
)(21)(
21)(
0
0
CdyyFa
xfx
CdyyFa
xfx
x
x
++=ψ
−−=ϕ
∫
∫
Решение задачи Коши получаем в виде:
64
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∫∫+−
+++−−=+ψ+−ϕ=atxatx
dyyFa
atxfdyyFa
atxfatxatxtxu00
)(21)(
21)(
21)(
21)()(),(
∫+
−
+++−
=atx
atx
dyyFa
atxfatxftxu .)(21
2)()(),(
Эта формула называется формулой Даламбера.
Уравнение теплопроводности. Температуру физического тела в произвольной точке с координатами (x, y, z) в момент времени t можно представить в виде функции:
),,( zyxuu = Составим дифференциальное уравнение:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
2
2
2
2
2
22
zu
yu
xua
tu
Выражение ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ 2
2
2
2
2
2
zyx называется оператором Лапласа.
Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид:
uadtu
Δ=∂ 2
и называется уравнением теплопроводности в пространстве. В качестве частных случаев рассматривают:
2
22
xua
tu
∂∂
=∂∂ - уравнение теплопроводности в стержне,
2
22
2
22
yua
xua
tu
∂∂
+∂∂
=∂∂ - уравнение теплопроводности на плоскости.
В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая
функция u(x, t) должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению, начальному условию )()0,( xfxu = π≤≤ x0 и граничным условиям
. 0,0),(),0( ≥=π= ttutu В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим:
∫
∑π
∞
=
−
π=
=
0
1
.sin)(2
;sin),(22
ktdttfb
kxebtxu
k
k
tkak
Отметим, что распространение тепла в теле называется стационарным, если функция u не зависит от времени t.
65
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Уравнение Лапласа.
Определение. Функция называется гармонической на области σ, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на области σ и удовлетворяет условию
),,( zyxu
0=Δu , где Δ - оператор Лапласа.
Уравнение 02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δzu
yu
xuu называется уравнением Лапласа.
Если на некоторой границе Г тела поддерживать постоянную температуру
, где f – заданная функция, то внутри тела установится единственная постоянная температура. С физической точки зрения это утверждение очевидно, однако, данный факт может быть доказан математически.
),,( zyxfuГ =
Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле. (Петер Густав Дирихле (1805 – 1859) – немецкий математик)
Решение задачи Дирихле для круга.
Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция f(ϕ), где ϕ - полярный угол. Требуется найти функцию ),( ϕru , которая удовлетворяет уравнению Лапласа
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
и при ).(ϕ== fuRr Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
0112
2
22
2
=ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂ u
rru
rru
02
2
2
22 =
ϕ∂∂
+∂∂
+∂∂ u
rur
rur
Полагаем Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем: ).()( rRu ϕΦ=0)()()()()()(2 =ϕΦ ′′+′ϕΦ+′′ϕΦ rRrRrrRr
22
)()()(
)()( k
rRrRrrRr
−=′+′′
−=ϕΦϕΦ ′′
Таким образом, имеем два уравнения:
0)()()(0)()(
22
2
=−′+′′
=ϕΦ+ϕΦ ′′
rRkrRrrRrk
Общее решение первого уравнения имеет вид: ϕ+ϕ=Φ kBkA sincos Решение второго уравнения ищем в виде: mrR = . При подстановке получим:
0)1( 2122 =−+− −− mmm rkrmrrmmr 022 =− km
Общее решение второго уравнения имеет вид: . kk DrCrR −+= Подставляя полученные решения в уравнение )()( rRu ϕΦ= , получим:
66
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
))(sincos( kk
kkkkk rDrCkBkAu −+ϕ+ϕ=
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом k ≠ 0. Если k = 0, то 0;0 =′+′′=Φ ′′ RRr следовательно )ln)(( 00000 rDCBAu +ϕ+= . Решение должно быть периодическим, т.к. одно и то же значение будет повторяться через 2π. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0. Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно получаем: ∑∞
=
ϕ+ϕ+=ϕ1
0 )sincos(2
),(n
nnn rnBnA
Aru
При этом: ∫π
π−π= ntdttf
RA nn cos)(1
∫π
π−π= ntdttf
RB nn sin)(1
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется интегралом Пуассона.
(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
∫π
π− +ϕ−−−
π=ϕ dt
rtrRRrRtfru 22
22
)cos(2)(
21),(
67
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Ряды.
Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом. ,...,...,, 21 nuuu
∑∞
=
=++++1
21 ......n
nn uuuu
При этом числа будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда. ,..., 21 uu
Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются
частными (частичными) суммами ряда.
∑=
=+++=n
kknn uuuuS
121 ...
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …
Определение. Ряд называется сходящимся, если
сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
∑∞
=
=++++1
21 ......n
nn uuuu
.,lim1∑∞
=
==n
nn uSSS
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. 2) Рассмотрим два ряда и ∑ nu ∑ nCu , где С – постоянное число.
Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C ≠ 0)
∑ nu ∑ nCu
3) Рассмотрим два ряда и ∑ nu ∑ nv . Суммой или разностью этих рядов будет
называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.
∑ ± )( nn vu
Теорема. Если ряды ∑ nu и ∑ nv сходятся и их суммы равны соответственно S
и σ, то ряд ∑ оже сходится и его сумма равна S + σ. ± )( nn vu т
∑ ∑∑ σ+=+=+ Svuvu nnnn )( Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
68
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши. (необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
,...,...,, 21 naaa0>ε существовал такой номер N, что
при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство: ε<−+ npn aa .
Доказательство. (необходимость) Пусть , тогда для любого числа aa n→ 0>ε найдется номер N такой, что неравенство
2ε
<− naa выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также
неравенство 2ε
<− + pnaa . Учитывая оба неравенства, получаем:
ε=ε
+ε
<−+−≤−+−=− +++ 22)()( npnnpnnpn aaaaaaaaaa
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем. Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и
достаточно, чтобы для любого
∑∞
=
=++++1
21 ......n
nn uuuu
0>ε существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство
ε<+++ +++ pnnn uuu ...21 . Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости: 1) Если ряд ∑ nu сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так
называемый гармонический ряд ∑∞
=1
1n n
является расходящимся, хотя его общий член и
стремится к нулю.
Пример. Исследовать сходимость ряда ...13
...83
52
21
+−
++++nn
Найдем 031
13
1lim13
lim ≠=−
=− ∞→∞→
nnn
nn - необходимый признак сходимости не
выполняется, значит ряд расходится. 2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена. Однако, этот признак также не является достаточным.
69
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
⎩⎨⎧
=nнечетныхпри
nчетныхприSn ,1
,0
Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. 2<nS при любом n.
Ряды с неотрицательными членами. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами. Теорема. Для сходимости ряда ∑ nu с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть даны два ряда ∑ nu и ∑ при un, vn ≥ 0. nv Теорема. Если un ≤ vn при любом n, то из сходимости ряда следует
сходимость ряда , а из расходимости ряда ∑ nv
∑ nu ∑ nu следует расходимость ряда ∑ nv . Доказательство. Обозначим через Sn и σn частные суммы рядов и ∑ nu ∑ nv .
Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n σn < M, где М – некоторое число. Но т.к. un ≤ vn, то Sn ≤ σn то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.
∑ nv
∑ nu
Пример. Исследовать на сходимость ряд ...ln1...
3ln1
2ln1
++++n
Т.к. nn1
ln1
> , а гармонический ряд ∑ n1 расходится, то расходится и ряд ∑ nln
1 .
Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=1.
21
nnn
Т.к. nnn 21
21
< , а ряд ∑ n21 сходится ( как убывающая геометрическая прогрессия), то
ряд ∑∞
=1 21
nnn
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема. Если и существует предел 0,0 >> nn vu hvu
n
n
n=
∞→lim , где h – число,
отличное от нуля, то ряды и ∑ nu ∑ nv ведут одинаково в смысле сходимости.
70
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Признак Даламбера. (Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если для ряда ∑ nu с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
,1 qu
u
n
n ≤+
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие ∑ nu
,11 ≥+
n
n
uu
то ряд расходится. ∑ nuПредельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если существует предел ρ=+
∞→n
n
n uu 1lim , то при ρ < 1 ряд сходится, а при ρ > 1 –
расходится. Если ρ = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.
Пример. Определить сходимость ряда ∑∞
=1 2nn
n .
121
2
11
21
22)1(limlim;
21;
2 11
11 <=+
=+
=+
=+
== +∞→
+
∞→++n
nn
nn
uununu n
n
nn
n
nnnnn
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда ...!
1...!2
1!1
11 +++++n
101
1lim)!1(
!limlim;)!1(
1;!
1 11 <=
+=
+=
+==
∞→∞→
+
∞→+ nnn
uu
nu
nu
nnn
n
nnn
Вывод: ряд сходится.
Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
∑ nu
qunn ≤ ,
то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство
∑ nu
,1≥nnu
71
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
то ряд расходится. ∑ nu Следствие. Если существует предел ρ=
∞→n
nnulim , то при ρ<1 ряд сходится, а при
ρ>1 ряд расходится.
Пример. Определить сходимость ряда ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
12
2
5312
n
n
nn .
132
53
12lim
5312limlim
2
2
2
2
<=+
+=
++
=∞→∞→∞→
n
nnnu
nnn
nn
Вывод: ряд сходится.
Пример. Определить сходимость ряда ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
11n
n
n.
.111limlim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∞→∞→ nu
nn
nn
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
011limlim ≠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∞→∞→e
nu
n
nnn,
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши. Если ϕ(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке
[1;∞), то ряд ϕ(1) + ϕ(2) + …+ ϕ(n) + … = и несобственный интеграл
одинаковы в смысле сходимости.
∑∞
=
ϕ1
)(n
n ∫∞
ϕ1
)( dxx
Пример. Ряд ...1...31
211 +++++ ααα n
сходится при α>1 и расходится α≤1 т.к.
соответствующий несобственный интеграл ∫∞
α1 x
dx сходится при α>1 и расходится α≤1.
Ряд ∑∞
=α
1
1n n
называется общегармоническим рядом.
Следствие. Если f(x) и ϕ(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и
,0,)()(lim
0≠=
ϕ+→hh
xxf
ax то интегралы и ведут себя одинаково в смысле
сходимости.
∫b
a
dxxf )( ∫ϕb
a
dxx)(
72
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, исследующую на сходимость числовые ряды по всем рассмотренным выше признакам. Достаточно ввести общий член ряда и нажать Enter. Все признаки будут проверяться по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке:
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple V Release 4.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
...)1(... 14321 +−++−+− +
nn uuuuu
где ,...3,2,1,0 => nun
Признак Лейбница.
Если у знакочередующегося ряда 4321 абсолютные величины ui убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.
...)1(... 1 +−++−+− +n
n uuuuu ...321 >>> uuu 0→nu
Абсолютная и условная сходимость рядов. Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1) ∑∞
=
=++++1
21 ......n
nn uuuu
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
∑∞
=
=++++1
21 ......n
nn uuuu (2)
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого ε>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
ε<+++ +++ pnnn uuu ...21 По свойству абсолютных величин:
ε<+++≤+++ ++++++ pnnnpnnn uuuuuu ...... 2121
ε<+++ +++ pnnn uuu ...21 То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
73
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ∑ nu
∑ nu . Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Определение. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а
ряд ∑ nu
∑ nu расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Пусть - знакопеременный ряд. ∑ nu
Признак Даламбера. Если существует предел ρ=+
∞→n
n
n uu 1lim , то при ρ<1 ряд
будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1 признак не дает ответа о сходимости ряда. ∑ nu
Признак Коши. Если существует предел ρ=
∞→n
nnulim , то при ρ<1 ряд ∑ nu
будет абсолютно сходящимся, а при ρ>1 ряд будет расходящимся. При ρ=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов. 1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда ∑ nu необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами. Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно
сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. 4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.
74
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
5) Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны
соответственно S и составленный из всех произведений вида и
сумма равна S⋅σ -ся рядов, то в результате
ожно
Функциональные последовательности.
∑∞
=1nnu
σ, то
∑∞
=1nnv
ряд, д,..2,1,, =kivu ki взятых в каком уго но порядке, также сходится абсолютно его
произведению сумм перемножаемых рядов. Если же производить перемножение условно сходящих
.
м получить расходящийся ряд.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования
их значений называется областью сходимости. ак ка , является
называется функциональным. числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится. Совокупность такТ к пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряданекоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
)(lim)( xfxf nn ∞→=
Определение. Последовательность {fn(x)} сходится к функции f(x) на отрезке
,b], [a если для любого числа ε>0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(ε, x), такой, что неравенство
ε<− )()( xfxf n выполняется при n>N.
значении ε>0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой омер
Определение.
При выбранномн и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек. Последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f(x) а отрн езке [a,b], если для любого числа ε>0 существует номер N = N(ε), такой, что неравенство
ε<− )()( xfxf n выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].
Пример.
Рассмотрим последовательность ,...sin,...,22sin,
1sin
nnxxx
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f(x)=0, т.к.
∞<<∞−= xnx ,0sinlim → nn 0
Построим графики этой последовательности:
75
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
sinx 55sin x
22sin x
-4 -2 2 4
-1
-0.5
0.5
1
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая исследует на сходимость знакочередующиеся ряды и определяет характер сходимости. Достаточно ввести общий член ряда и множитель, определяющий знак и нажать Enter. Все рассмотренные выше признаки будут проверены по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке:
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с Maple V Release 4.
Функциональные ряды. Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда
называются функции S∑∞
=1)(
nn xu ∑
=
==n
kkn nxux
1,...2,1),()(
Определение. Функциональный ряд =1n
называется сходящимся в точке
(х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел
последовательности { называется суммой ряда ∑ в точке х0.
∑∞
)(n xu
)}( 0xSn
∞
=1
)(n
n xu
76
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд
называется областью сходимости ряда. ∑∞
=1)(
nn xu
Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке
[a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
∑∞
=1
)(n
n xu
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
для любого числа ε>0 существовал такой номер N(ε), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
∑∞
=1)(
nn xu
ε<+++ +++ )(...)()( 21 xuxuxu pnnn выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b]. Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если
модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :
∑∞
=1
)(n
n xu
......21 ++++ nMMM т.е. имеет место неравенство:
nn Mxu ≤)( .
Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируется
числовым рядом ∑ .
∑∞
=1
)(n
n xu
∞
=
Μ1n
n
Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=13
cosn n
nx .
Так как 1cos ≤nx всегда, то очевидно, что 33
1cosnn
nx≤ .
При этом известно, что общегармонический ряд ∑∞
=α
1
1n n
при α=3>1 сходится, то в
соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.
Пример. Исследовать на сходимость ряд ∑∞
=13
n
n
nx .
77
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
На отрезке [-1,1] выполняется неравенство 33
1nn
xn
≤ т.е. по признаку Вейерштрасса на
этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-∝, -1) ∪ (1, ∝) расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов. 1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд
сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].
∑∞
=1)(
nn xu
2) Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.
],[,;)()(11
badxxudxxun
nn
n ∈βα=∫ ∑∫∑β
α
∞
=
β
α
∞
=
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой
непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из
этих производных сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд
сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.
∑∞
=1)(
nn xu
)(x∑∞
=
′1n
nu
∑∑∞
=
∞
=
=11
)()(
n
n
nn dx
xduxu
dxd
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая определяет интервал сходимости для произвольного функционального ряда. Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV
elease 4. R
78
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Степенные ряды.
Определение.
Степенным рядом называется ряд вида
вания на сходимость степенных рядов удобно использовать признак аламбера.
∑∞
=+++++ 2 ......n
nn xaxaxaxaa . =0
210 nn
Для исследоД
......32
32
+++++nxxxx
n
Пример. Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
x
nn
xnxn
xnx
uu
nnn
n
nn
n
n=
+=
+=+=
∞→∞→
+
∞→
+
∞→ 11lim
1lim1limlim
1
1 .
Получаем, что этот ряд сходится при 1<x и расходится пр 1>x . иТеперь определ граничных точках 1 и –1.
При х = -1:
им сходимость в
...41
31
211 −+−+− ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак
Лейбница.).
При х = 1: ...1...31
211 +++++
n ряд расходится (гармонический ряд).
Теоремы Абеля.
2 – 1829) – норвежский математик)
Теорема.
(Нильс Хенрик Абель (180
Если степенной ряд сходится
ри x = x1 , то он сходится и притом
∑∞
=
=+++++0
2 ......n
nn
nn xaxaxaxaa
абсолютно для всех
210
1xx < . п Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
,1 kxa nn ≤
где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: nn
nnn xx 11
1
Из этого неравенства видно, что при x<x1 численные величины членов нашего ряда будут меньше ( во всяком случае не больше ) соответствующих членов ряда
n xkxxaxa ≤=
правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую
прогрессию. Знаменатель этой прогрессии 1xx по условию теоремы меньше единицы,
следововании делаем вывод, что ряд
ательно, эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд. Поэтому на осн признака сравнения ∑ n
n xa
сходится, а значит ряд сходится абсолютно. ∑ nn xa
79
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∑ nxaТаким образом, если степенной ряд n
ся в любой точке интервала длины 2
сходится в точке х1, то он абсолютно
сходит 1х с центром в точке х = 0. Следствие. Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех 1xx > .
Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное
число R всех , что при х таких, что Rx < ряд абсолютно сходится, а при всех Rx > ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называ
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
ется интервалом сходимости.
n
naR 1lim −=
n a∞→
Пример. Найти область сходимости ряда ...!
...!3!2
32
+++++nxxxx
n
∞==−
===∞→∞→∞→
−
∞→n
nn
aR
nnn
n
nlim
)!1(!lim
1)!1(limlim 1 . Находим радиус сходимости − n
n
a
n
!
1
Следовательно, данный ряд сходится при любом значении х. Общий член этого ряда тремится к нулю.
с
.0
!
lim =∞→ n
xn
n
Теорема. ∑ nn xa Если степенной ряд сходится для положительного значения
=х1 , то он сходится равнох );( 11 xx− . мерно в любом промежутке внутри
рядами.Действия со степенными
сли некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: то
интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:
1) Интегрирование степенных рядов.
∑∞
=
=0
)(n
nn xaxf , Е
Cxna
dxxadxxadxxfn
nn
nn
nn
== 00
nn ++
=== ∑∑∫∫∑∫∞
=
+∞∞
0
1
1)(
2) Дифференцирование степенных рядов. Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:
( ) ∑∑∑∞
−∞∞
1nnn dd===
===′000
)(n
nn
nn
n xnaxadx
xadx
xf
80
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов. Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:
Произведение двух степенных рядов выражается формулой:
оэффициенты сi находятся по формуле:
∑∑∑∞∞∞
±=± )( nnn xbaxbxa === 000 n
nnn
nn
n
∑∑∑∞
=
∞∞
=⋅00 n
nn
nn
n xсxbxa ==0 nn
n
К11110 ... bababac nnnn ++++= −− 0ban
Деление двух степенных рядов выражается формулой:
∑∑∞
=
0
0
n
n
nn xb
коэффициентов qn рассматриваем произведение
∑∑∑∞∞∞
=⋅ nn
nn xbxq
∑ ∞
=
∞
= =0
n
nn
nn
xqxa
Для определения
полученное из записанного выше равенства и решаем
систему уравнений:
=== 000 n
nn
nnxa ,
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++=
++=+=
=
− 0110
0211202
01101
000
.......................................
bqbqbqa
bqbqbqabqbqa
bqa
nnnn
Разложение функций в степенные ряды.
Разложение функций в с епенной ряд имеет больш значение ля решения
различных задач исследования т ое д
функций, дифференцирования, интегрирования, решен
особы разложения функции в степенной ряд. Такие способ
ия дифференциальных уравнений, вычисления пределов, вычисления приближенных значений функции.
Возможны различные спы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены
ранее. (См. Формула Тейлора. ) Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи
алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он тол ских робей. ько для разложения в ряд алгебраиче д
Пример. Разложить в ряд функцию x−1
1 .
Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:
81
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
1 1 - x 1 + x + x2 + x3 + … 1 – x
x x – x2 x2 x2 – x3
3 x ……….
Если применить к той же функции формулу Маклорена
)(!
)0(...!2
)0(!1
)0()0()()(
2 xRxn
fxfxffxf nn
n
+++′′
+′
+= ,
;1)0(;)1(
1)( 2 =′−
=′ fx
xf то получаем:
;2)0(;)1(
2)( 3 =′′−
=′′ fx
xf
;!3)0(;32)( =′′′⋅=′′′ fxf
)1( 4− x……………………………. …
;)(f n !)0(;)1(!)( )(
1 nfxnx n
n =−
= +
того,
пом лагать в ряд может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.
Находим дифференциал функции
И получаем: ......1)( 2 +++++= nxxxxf Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования. С ощью интегрирования можно раз такую функцию, для которой известно или
dxxfxdf )()( ′= и интегрируем его в пределах от 0 до х.
;)()(;)()(0000∫∫∫ ′=′=xxxx
dxxfxfdxxfxdf
;)()0()(0∫ ′+=x
dxxffxf
Пример. Разложить в ряд функцию ).1ln()( xxf += Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.
. Ф я y = ln(1 + x).(См ункци ) Теперь ния.
При
решим эту задачу при помощи интегрирова
x
xff+
=′=1
1)(,0)0( получаем по приведенной выше формуле:
∫ +=+ dx
xx
0 1)1ln(
Разложение в ряд функции
x 1
x+11 может быть легко найдено способом алгебраического
деления аналогично рассмотренному выше примеру.
82
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
...)1(...11
1 432 +−+−+−+−=+
nn xxxxxx
Тогда получаем: ∑∑∫∫∑∫∞
=
+∞
=
∞
= +−=−=−=
+=+
0
1
0 00 00 1)1()1()1(
11)1ln(
n
nn
n
xnn
x
n
nnx
nxdxxdxxdx
xx
Окончательно получим: ...1
)1(...432
)1ln(1432
++
−++−+−=++
nxxxxxx
nn
Пример. Разложить в степенной ряд функцию arctgx . Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.
;1
1)(;0)0(;)( 2xxffarctgxxf
+=′==
∫ +=
x
dxx
arctgx0
211
Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления: 1 1 + x2 1 + x2 1 – x2 + x4- … - x2 - x2 – x4 x4 x4 + x6
………….
...)1(...11
1 2422 +−+−+−=
+nn xxx
x
Тогда ∑∑∫∫∑∫∞
=
+∞
=
∞
= +−=−=−=
+=
0
12
0 0
2
0 0
2
02 12
)1()1()1(1
1n
nn
n
xnn
x
n
nnx
nxdxxdxxdx
xarctgx
Окончательно получаем: ...12
)1(...53
1253
++
−+−+−=+
nxxxxarctgx
nn
Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:
)()(...)()( )2(2
)1(1
)( xfyxpyxpyxpy nnnn =++++ −−
Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды, то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки, удовлетворяющее начальным условиям. Это решение можно представить степенным рядом:
83
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
...33
2210 ++++= xcxcxccy
Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные ci. Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов.
Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение, выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами (дифференцирование, сложение, вычитание, умножение и пр.) Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений, из которой последовательно определяем коэффициенты ci. Отметим, что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пример. Найти решение уравнения 0=−′′ xyy c начальными условиями y(0)=1, y’(0)=0. Решение уравнения будем искать в виде ...2
210 +++= xcxccy...432 3
42
321 ++++=′ xcxcxccy ...201262 3
52
432 ++++=′′ xcxcxccy Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
0...)(...)201262( 43
32
210
35
2432 =++++−++++ xcxcxcxcxcxcxcc
0...)30()20()12()6(2 364
253
142
032 =+−+−+−+−+ ccxccxccxccxc Отсюда получаем: 02 2 =c
030020012
06
36
25
14
03
=−=−=−=−
cccccc
cc
……………… Получаем, подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной:
01
1
0
==
cc
Окончательно получим: ;0;0;61;0;0;1 543210 ====== cccccc ...;
1801
6 =c
Итого: ...1806
163
+++=xxy
Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена.
...!3
)0(!2
)0(!1
)0()0( 32 +′′′
+′′
+′
+= xyxyxyyy
84
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Если заданные начальные условия y(0)=1, y’(0)=0 подставить в исходное дифференциальное уравнение, получим, что .0)0( =′′y Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х.
xyy =′′
..........................................................;4)0(;3
;0)0(;2;0)0(;
;1)0()0(;
=+′′′+′′′=
=′′′+′′+′′=
=′′+′+′=
==′′′′+=′′′
VIIVVI
VV
IVIV
yxyyyyyyxyyy
yyxyyyyyyxyy
После подстановки полученных значений получаем:
...1806
163
+++=xxy
Ряды Фурье. ( Жан Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830) – французский математик)
Тригонометрический ряд.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
...)sincos(...)2sin2cos()sincos(2 2211
0 ++++++++ nxbnxaxbxaxbxaa
nn
или, короче, ∑∞
=
++1
0 ).sincos(2 n
nn nxbnxaa
Действительные числа ai, bi называются коэффициентами тригонометрического ряда. Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2π, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2π. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-π; π], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x). Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:
∫π
π− ⎩⎨⎧
==π=≠
=,...2,1,,,,..2,1,0,,0
coscosnmnm
mnmnxdxmx
∫π
π− ⎩⎨⎧
==π≠
=,...2,1,,,
,,0sinsin
nmnmnm
nxdxmx
,...2,1,...,2,1,0,0sincos ===∫π
π−
nmnxdxmx
85
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций. Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-π; π], то существует интеграл
01
0 )sincos(2
)( adxnxbnxadxa
dxxfn
nn π=++= ∫∑∫∫π
π−
∞
=
π
π−
π
π−
Такой результат получается в результате того, что . 0)sincos(1
=+∫∑π
π−
∞
=
dxnxbnxan
nn
Получаем: ∫−
=π
ππdxxfa )(1
0
Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cosnx и интегрируем в пределах от -π до π.
=∫π
π−
nxdxxf cos)( nn
nn adxnxnxbnxanxdxa
π=++ ∫∑∫π
π−
∞
=
π
π− 1
20 )sincoscos(cos2
Отсюда получаем: ,...2,1;cos)(1=
π= ∫
π
π−
nnxdxxfan
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от -π до π.
Получаем: ,...2,1,sin)(1== ∫
−
nnxdxxfbn
π
ππ
Выражение для коэффициента а0 является частным случаем для выражения коэффициентов an. Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π; π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
,...2,1,0;cos)(1=
π= ∫
π
π−
nnxdxxfan
,...2,1,sin)(1=
π= ∫
π
π−
nnxdxxfbn
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x). Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
86
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2π и на отрезке [-π;π] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [-π;π] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва
его сумма равна 2
)0()0( ++− xfxf , т.е. среднему арифметическому предельных
значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-π;π]. Теорема. Если функция f(x) имеет период 2π, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-π;π] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва
она равна 2
)0()0( ++− xfxf . При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно
на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x). Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-π;π].
Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ≥ ⎪b-a⎪, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b]. y f(x) α - 2T α a b α+2T α + 4T x
87
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b]. Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2π ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2π, то функция продолжается на интервал (b, a + 2π) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2π может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].
Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:
1) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
=∫∫
− четнаяxfdxxf
нечетнаяxfdxxf a
a
a )(,)(2
)(,0)(
0
2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. 3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.
Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций. Если f(x) – четная периодическая функция с периодом 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:
,...)2,1,0(cos)(2cos)(1
0
=π
=π
= ∫∫ππ
π−
nnxdxxfnxdxxfan
,...)2,1(;0sin)(1==
π= ∫
π
π−
nnxdxxfbn
Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:
∑∞
=
+=1
0 cos2
)(n
n nxaa
xf
,...)2,1,0(cos)(2
0
=π
= ∫π
nnxdxxfan
Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:
∑∞
=
=1
;sin)(n
n nxbxf
,...)2,1(;sin)(2
0
=π
= ∫π
nnxdxxfbn
88
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = 2π на отрезке [-π;π].
3)( xxf =
Заданная функция является нечетной, следовательно, коэффициенты Фурье ищем в виде:
,...)2,1(;sin)(2
0
=π
= ∫π
nnxdxxfbn
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
π=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
===
π= ∫∫
πππ
0
2
0
3
2
3
0
3 cos3cos2;cos;3
;sin;sin2 nxdxx
nnnxx
nnxvdxxdu
nxdxdvxunxdxxbn
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
ππ−
π=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
=== ∫
ππ
00
232
sin2sin3cos2;sin;2
;cos;dx
nnxx
nnxx
nnn
nnxvxdxdu
nxdxdvxu
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
ππ−
π= ∫
π
;cos;
;sin;sin6cos2
02
3
nnxvdxdu
nxdxdvxunxdxx
nnn
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
ππ−
π= ∫
ππ
002
3 coscos6cos2 dxn
nxn
nxxnn
n
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−−=
π+
ππ−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−ππ
+ππ
−π
=π
nnnn
nn
nnx
nnnn n
2
33
2
033
3 212)1(cos12cos2sin6cos6cos2
Получаем:
∑∑∞
=
∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π−−==
1
2
31
3 sin212)1(sinn
n
nn nx
nnnxbx .
Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье, ограничившись первыми четырьмя членами ряда.
-3 -2 -1 1 2 3
-30
-20
-10
10
20
30
89
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Ряды Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье для функции f(x) периода Т = 2l, непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [-l, l] имеет вид:
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
+=1
0 sincos2
)(n
nn xlnbx
lna
axf
,...2,1,sin)(1
,...2,1,cos)(1
;)(10
=π
=
=π
=
=
∫
∫
∫
−
−
−
nxdxlnxf
lb
nxdxlnxf
la
dxxfl
a
l
ln
l
ln
l
l
Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид:
∫
∫
∑
=π
=
=
π+=
∞
=
l
n
ln
n
nxdxlnxf
la
dxxfl
a
xlna
axf
0
00
1
0
,...2,1;cos)(2
;)(2
;cos2
)(
Для нечетной функции:
,...2,1;sin)(2
;sin)(
0
1
=π
=
π=
∫
∑∞
=
nxdxlnxf
lb
xlnbxf
l
n
nn
Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Определение. Функции ϕ(х) и ψ(х), определенные на отрезке [a, b], называются ортогональными на этом отрезке, если
0)()( =ψϕ∫b
a
dxxx
Определение. Последовательность функций ϕ1(x), ϕ2(x), …, ϕn(x), непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функций на этом отрезке, если все функции попарно ортогональны.
jidxxxb
aji ≠=ϕϕ∫ ;0)()(
90
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Отметим, что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций. Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной (ортонормированной), если
⎩⎨⎧
=≠
=ϕϕ∫ jiji
dxxxb
aji ,1
,0)()(
Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций ϕ1(x), ϕ2(x), …,ϕn(x) называется ряд вида:
∑∞
=
ϕ1
)(n
nn xa
коэффициенты которого определяются по формуле:
[ ]∫
∫
ϕ
ϕ= b
an
b
an
n
dxx
dxxxfa
2)(
)()(,
где f(x) = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [a, b] ряда по
ортогональной системе функций. f(x) – любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b].
∑∞
=
ϕ1
)(n
nn xa
В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются:
∫ ϕ=b
ann dxxxfa )()(
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая разлагает в ряд Фурье произвольную функцию. Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
91
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Интеграл Фурье. Пусть функция f(x) на каждом отрезке [-l,l], где l – любое число, кусочно – гладкая или кусочно – монотонная, кроме того, f(x) – абсолютно интегрируемая функция, т.е. сходится несобственный интеграл
∫∞
∞−
dxxf )(
Тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье:
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
+=1
0 sincos2
)(n
nn xlnbx
lna
axf
,...2,1,sin)(1
,...2,1,0,cos)(1
=π
=
=π
=
∫
∫
−
−
ntdtlntf
lb
ntdtlntf
la
l
ln
l
ln
Если подставить коэффициенты в формулу для f(x), получим:
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ππ+
ππ+= ∑ ∫∫∫
∞
= −−− 1sinsin)(coscos)(1)(
21)(
n
l
l
l
l
l
l
xlntdt
lntfx
lntdt
lntf
ldttf
lxf
∑∫∫∞
= −−
−π
+=1
)(cos)(1)(21
n
l
l
l
l
dtxtlntf
ldttf
l
Переходя к пределу при l→∞, можно доказать, что 0)(21lim =∫
−∞→
l
ll
dttfl
и
∑∫∞
= −∞→
−π
=1
)(cos)(1lim)(n
l
ll
dtxtlntf
lxf
Обозначим ;1;; 1 πΔ
=π
=−=Δπ
= +n
nnnnu
lluuu
lnu
При l→∞ Δun →0.
∑ ∫∞
= −∞→
−Δπ
=1
)(cos)(lim1)(n
l
lnnl
dtxtutfuxf
Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
∫∫∞
∞−
∞
− dtxtutfdu )(cos)(0
Тогда π
=1)(xf ∫∫
∞
∞−
∞
− dtxtutfdu )(cos)(0
- двойной интеграл Фурье.
92
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Окончательно получаем:
[ ]
∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
π=
π=
+=
utdttfub
utdttfua
duuxubuxuaxf
sin)(1)(
cos)(1)(
sin)(cos)()(0
- представление функции f(x) интегралом Фурье. Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:
∫∫∞
∞−
−∞
∞−π= dtetfduxf txiu )()(
21)(
Преобразование Фурье. Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция
∫∞
∞−
−= dxexfuF iux)()(
называется преобразованием Фурье функции f(x). Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x). Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:
∫∞
∞−π= dueuFxf iux)(
21)(
Это равенство называется обратным преобразованием Фурье
Интегралы ∫∞
π=
0
cos)(2)( uxdxxfuF и ∫∞
π=
0
sin)(2)( uxdxxfuF называются
соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье. Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных. Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.
93
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Элементы теории функций комплексного переменного. Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.
w = f(z) Множество D называется областью определения, множество G – областью значений функции. Комплексную функцию можно записать в виде:
),(),()( yxivyxuzfw +==
)(Im),()(Re),(
zfyxvzfyxu
==
u, v – действительные функции от переменных х и у. Если каждому z∈ D соответствует несколько различных значений w, то функция w=f(z) называется многозначной. Определение. Функция ),(),()( yxivyxuzfw +== имеет предел в точке z0, равный числу А = a + ib, если 0)(lim
00
=−→
Azfz−z
.)(lim0
Azfzz
=→
Свойства функций комплексного переменного.
Для функций комплексного переменного f(z) и g(z) справедливы следующие свойства: 1) [ ] )(lim)(lim)()(lim
000
zgzfzgzfzzzzzz →→→
±=±
2) [ ] )(lim)(lim)()(lim000
zgzfzgzfzzzzzz →→→
⋅=⋅
3) .0)(lim;)(lim
)(lim
)()(lim
0
0
0
0
≠=→
→
→
→zg
zg
zf
zgzf
zzzz
zz
zz
Определение. Функция ),(),()( yxivyxuzfw +== называется непрерывной в точке z0, если выполняется равенство
)()(lim 00
zfzfzz
=→
Основные трансцендентные функции.
Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими. Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.
94
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:
...!
...!2!1
12
+++++=nzzze
nz
...)!12(
)1(...!5!3!1
sin1253
++
−+−+−=+
nzzzzz
nn
...)!2(
)1(...!4!2
1cos242
+−+−+−=n
zzzzn
n
См. Представление функций по формуле Тейлора. Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.
zize iz sincos +=− Также справедливы равенства:
ieez
eez
iziz
iziz
2sin
2cos
−
−
−=
+=
)sin(cos yiyeeeee xiyxiyxz +=== +
( ) ;;2121 zmmzzzzz eeeee ==+ ;2 ziz ee =π+
;)(sincos
;)(cos
sin
iziz
iziz
iziz
iziz
eeeei
zzctgz
eeiee
zztgz
−
−
−
−
−+
==
+−
==
Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т.д.), которые справедливы для функций действительного аргумента. Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:
;;;2
;2 zz
zz
zz
zzzzzz
eeee
zshzchzcth
eeee
zchzshztheezcheezsh −
−
−
−−−
−+
==+−
==+
=−
=
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:
;;;cos;sin
izictgzcthizitgzthizzchizizsh
=−==−=
Гиперболические функции sh z и ch z имеют период 2πi, а функции th z и cth z – период πi.
95
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Найти sin(1+2i).
=−−+
=−
=−
=+−−−−−
iieie
ieeee
ieei
iiii
2)1sin1(cos)1sin1(cos
22)21sin(
222222
.1cos21sin21cos2
1sin22
)(1sin)(1cos 22222222
shcheeieei
eeiee+=
−+
+=
++−=
−−−−
Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.
.; Lnzwzew == Если w = u + iv, то uw ee = и Arg ew = kz π+ 2arg = v.
Тогда eu = zuz ln; = . Итого: ,...2,1,0;2argln ±±=π++== kikzizLnzw
Для комплексного числа z = a + ib ;argabarctgz =
Определение. Выражение zizz arglnln += называется главным значением логарифма. Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами: 1) ;lnln)ln( 2121 zzzz +=
2) ;lnlnln 212
1 zzzz
−=
3) ;ln)ln( znz n =
4) ;ln1ln zn
zn =
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:
[ ] ( )112)1arg(1lncos 222 −+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π+−±+−±−= zzLn
ikzzizzizArc
[ ] ( )222 112)1arg(1lnsin zizLni
kzizizizizArc −+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π+−±+−±−=
ziziLn
ik
zizii
ziziiArctgz
+−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π+
−+
+−+
−=212
11arg
11ln
[ ] ( )12)1arg(1ln 222 +±=π++±++±= zzLnkzzizzArshz
[ ] ( )12)1arg(1ln 222 −±=π+−±+−±= zzLnkzzizzArchz
zzLnArcthz
−+
=11
21
96
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Производная функций комплексного переменного. Определение. Производной от однозначной функции w = f(z) в точке z называется предел:
dzdwzf
zzfzzf
zw
zz=′=
Δ−Δ+
=ΔΔ
→Δ→Δ)()()(limlim
00
Определение. Функция f(z), имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области. Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной. Аналогично определяются производные основных функций таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д. Производные гиперболических функций определяются по формулам:
;)(;)( shzchzchzshz =′=′
;1)( 2 zchthz =′
Вывод правил интегрирования, значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента, поэтому подробно рассматривать их не будем.
Условия Коши – Римана. (Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)
Рассмотрим функцию комплексной переменной ),(),()( yxivyxuzfw +== , определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную
zwzf
z ΔΔ
=′→Δ 0
lim)(
Стремление к нулю Δz→0 может осуществляться в следующих случаях: 1) ;0;0 →ΔΔ=+Δ=Δ xxixz2) ;0;0 →ΔΔ+=Δ yyiz В первом случае:
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
Δ−Δ+
+Δ
−Δ+=
ΔΔ
=′→Δ→Δ x
yxvyxxvix
yxuyxxuzwzf
xz
),(),(),(),(limlim)(00
.),(),(lim),(),(lim00 x
vixu
xyxvyxxvi
xyxuyxxu
xx ∂∂
+∂∂
=Δ
−Δ++
Δ−Δ+
=→Δ→Δ
Во втором случае:
97
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ
−Δ++
Δ−Δ+
=ΔΔ
=′→Δ→Δ y
yxvyyxviyi
yxuyyxuzwzf
yz
),(),(),(),(limlim)(00
.),(),(lim),(),(lim00 y
vyui
yyxvyyxv
yyxuyyxui
yy ∂∂
+∂∂
−=Δ
−Δ++
Δ−Δ+
−=→Δ→Δ
Тогда должны выполняться равенства:
;;xv
yu
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером. Теорема. Если функция ),(),()( yxivyxuzfw +== имеет производную в точке z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана. Также справедлива и обратная теорема.
На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции. Теорема. Для того, чтобы функция ),(),()( yxivyxuzfw +== была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.
Интегрирование функций комплексной переменной.
Пусть ) - непрерывная функция комплексного переменного z, определенная в некоторой области и L – кривая, лежащая в этой области.
,(),()( yxivyxuzfw +==
у В L А х Кривая L задана уравнением β≤≤α+== ttiytxtzz );()()( Определение. Интеграл от функции f(z) вдоль кривой L определяется следующим образом:
=++−=++=∫ ∫∫∫L LLL
udyvdxivdyudxidydxivudzzf )()())(()(
idttytytxvtxtytxu +′−′= ∫β
α
)]())(),(()())(),(([ ∫β
α
′+′ dttytytxutxtytxv )]())(),(()())(),(([
98
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Если учесть, что ))(())(),(();()()( tzutytxutyitxtz =′+′=′ , то
∫∫β
α
′= dttztzfdzzfL
)()]([)(
Теорема. (Теорема Коши) Если f(z) - аналитическая функция на некоторой области, то интеграл от f(z) по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему этой области равен нулю.
∫ =L
dzzf 0)(
Интегральная формула Коши. Если функция f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно – гладкой границей L. D ρ z0 Тогда справедлива формула Коши:
∫ −π=
L
dzzzzf
izf
00
)(21)(
где z0 – любая точка внутри контура L, интегрирование по контуру производится в положительном направлении (против часовой стрелки). Эта формула также называется интегралом Коши.
Ряды Тейлора и Лорана.
(Пьер Альфонс Лоран (1813 – 1854) – французский математик) Функция f(z), аналитическая в круге Rzz <− 0 , разлагается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням (z – z0). Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
,...2,1,0;)(
)(21
!)(
10
0)(
=−π
== ∫ + kzz
dzzfik
zfc
Lk
k
k
Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора.
99
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Рассмотрим теперь функцию f(z), аналитическую в кольце Rzzr <−< 0 . Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда:
∑ ∑∑∞
−∞=
∞
=
−∞
= −+−=−=
n nn
n
n
nn
nn zz
czzczzczf
1 0000 )()()()(
,...2,1,0;)(
)(21
10
±±=−π
= ∫γ
+ nzt
dttfi
c nn
Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция f(z) может быть представлена в виде суммы:
∑∑∞
=
−∞
= −=−=+=
1 02
00121 ;
)()(;)()();()()(
nn
n
n
nn zz
czfzzczfzfzfzf
Ряд, определяющий функцию f1(x), называется правильной частью ряда Лорана, а ряд, определяющий функцию f2(x), называется главной частью ряда Лорана. Если предположить, что r = 0, то можно считать, что функция аналитична в открытом круге Rzz <−< 00 за исключением центральной точки z0. Как правило, в этой точке функция бывает не определена. Тогда точка z0 называется изолированной особой точкой функции f. Рассмотрим следующие частные случаи:
1) Функция f(x) имеет вид: . Т.к. степенной ряд
сходится во всех точках внутри круга, то его сумма f1(x) определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга, а, следовательно, и в центре круга z0.
∑∞
=
−==0
01 )()()(k
kk zzczfzf
В этом случае говорят, что особенность функции f в точке z0 устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга (f(z0) = c0) и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга, но и в самом центре. В этом случае для любого контура L, содержащего точку z0 и
принадлежащего к кругу
∫ =L
dzzf 0)(
Rzz <− 0 .
2) Функция f(x) имеет вид: ∑∑∞
−==
− −=−
+=mk
kk
m
kk
k zzczz
czfzf )(
)()()( 0
1 01 .
В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z) порядка (кратности) m. При m = 1 точку z0 называют еще простым полюсом.
Порядок полюса может быть определен по формуле: 0)()(lim 0
0
≠=−→
czfzz m
zz
z0 – полюс порядка т.
100
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
3) Функция f(z) имеет вид )()()(
)()( 211 00
0 zfzfzz
czzczf
m
kk
k
k
kk +=
−+−= ∑∑
=
−∞
=
, где в
ряду ∑∞
=
−
−=
1 02 )(
)(k
kk
zzc
zf не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с-k.
В этом случае говорят, что функция f(z) имеет в точке z0 существенно особую точку. Определение. Пусть z0 – изолированная особая точка функция f(z), т.е. пусть функция f(z) – аналитическая в некотором круге Rzz <− 0 из которого исключена точка z0. Тогда интеграл
)()(21
0
zfВычdzzfi zz
L=
=π ∫
называется вычетом функции f(z) в точке z0, где L – контур в круге Rzz <− 0 , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0. Вычет также обозначают иногда . )(Re
0
zfsz
Если ;0;)()( 00 Rzzzzczfk
kk <−<−= ∑
∞
−∞=
есть ряд Лорана функции f в
точке z0, то 1)(0
−== czfВыч
zz.
Таким образом, если известно разложение функции в ряд Лорана, то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки. В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана.
Например, если функция 0)(,)()()( 0 ≠ϕ
ψϕ
= zzzzf , а )(zψ имеет простой нуль
при z = z0 ) , то z = z0 является простым полюсом функции f(z). 0)(,0)(( 00 ≠ψ′=ψ zz Тогда можно показать, что вычет находится по формуле
)()(
0
01
0 zz
cВычzz ψ′
ϕ== −=
Если z = z0 – полюс порядка m ≥ 1, то вычет может быть найден по формуле:
10
1
1)]()[(
lim)!1(
1)(00
−
−
→−=
−−
== m
mm
zzzz dzzfzzd
mczfВыч
Пример. Найти вычет функции )3()2(
1)( 2 −−=
zzzf относительно точки z = 2.
Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:
101
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
.1)3(
1lim3
1lim)]()2[(lim 222
2
22−=
−=
−=−=
→→→= zzdzdzfz
dzdВыч
zzzz
Теорема о вычетах. Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
0)()(1
=+∞=
==
∑ zfВычzfВычz
N
k zz k
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
)(2)(1
zfВычidzzfN
j zzL j
∑∫= =
π=
Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
)(2)(1
zfВычidxxfN
j zz j∑∫= =
∞
∞−
π=
Пример. Вычислить определенный интеграл ∫∞
∞− + 22 )4(xdx .
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка.
Найдем вычет функции =+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=+ →→= 2222
2
2222 )2(1lim
)4()2(lim
)4(1
izdzd
ziz
dzd
zВыч
iziziz
;321
)4(2
)2(2lim 332 iiiziz
=−=+−
=→
Получаем ∫∞
∞−
π=⋅π=
+.
163212
)4( 22 ii
xdx
Пример. Вычислить определенный интеграл ∫∞
∞− +.
)1( 32xdx
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки i. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции
.163
326
)2(16
)(12lim
21
)(3lim
21
)(1lim
21
)1()(lim
21
)1(1
5
5432
2
32
3
2
2
32
iii
izizdzd
izdzd
ziz
dzd
zВыч
iziziziziz
==⋅=
=+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=+ →→→→=
102
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Получаем 8
31632
)1( 32
π=⋅π=
+∫∞
∞− ii
xdx
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая находит вычеты задаваемой функции. Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (© Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Операционное исчисление.
Преобразование Лапласа. (Пьер Симон Лаплас (1749 – 1825) – французский математик)
Рассмотрим функцию действительного переменного t, определенную при t ≥ 0. Будем также считать, что функция f(t)- кусочно - непрерывная, т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва первого рода, и определена на бесконечном интервале (-∞, ∞), но f(t) = 0 при t < 0. Будем считать, что функция ограничена условием:
stMetf <)( Рассмотрим функцию
∫∞
−=0
)()( dttfepF pt
где p = a + ib – комплексное число. Определение. Функция F(p) называется изображением Лапласа функции f(t). Также функцию F(p) называют L – изображением или преобразованием Лапласа.
Обозначается );()();()()};({)( tfpFtfpFtfLpF•
•
•
•=→=
При этом функция f(t) называется начальной функцией или оригиналом, а процесс нахождения оригинала по известному изображению называется операционным исчислением. Теорема. (Теорема единственности) Если две непрерывнные функции f(x) и g(x) имеют одно и то же L – изображение F(p), то они тождественно равны.
103
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Функцией Хевисайда (Оливер Хевисайд (1850 – 1925) – английский физик) называется функция
⎩⎨⎧
<≥
=σ0,00,1
)(0 tt
t
Свойства изображений.
Если ) , то справедливы следующие свойства: ()( tfpF•
•=
1) Свойство подобия.
;0;1)( >α⎟⎠⎞
⎜⎝⎛αα
=α•
•
pFtf
2) Свойство линейности.
)].([)]([)]()([ tgBLtfALtBgtAfL +=+
3) Смещение изображения.
)()( α+=•
•
α− pFetf t
4) Дифференцирование изображения.
)()()1( tftpFdpd n
n
nn
•
•=−
5) Дифференцирование оригинала.
)()0()( tffppF ′=−•
•
6) Интегрирование изображения.
∫∞•
•=
p
dqqFttf )()(
(Справедливо при условии, что интеграл сходится) 7) Интегрирование оригинала.
ppFdf
t )()(0
•
•=ττ∫
Таблица изображений некоторых функций. Для большинства функций изображение находится непосредственным интегрированием. Пример. Найти изображение функции f(t) = sint.
104
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
=−−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=−=
==== ∫∫
∞−
∞−
−
−∞− dttpete
tvdtpedutdtdveu
tdtepF ptptpt
ptpt
000
coscos;cos;
;sin;sin)(
−−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=−=
===−=
∞−
−
−∞−∫
00
sin1;sin;
;cos;cos1 tpe
tvdtpedutdtdveu
tdtep ptpt
ptpt ∫
∞−
0
2 .sin tdtep pt
1sin)1(0
2 =+ ∫∞
− tdtep pt
;1
1sin 20 p
tdte pt
+=∫
∞− ;
11sin 2p
t+
=•
•
Для многих функций изображения посчитаны и приведены в соответствующих таблицах. № f(t) F(p) № f(t) F(p) 1 1
p1
9 nt 1
!+np
n
2 sinαt 22 α+
αp
10 att sin
222 )(2
appa+
3 cosαt 22 α+p
p 11 att cos
222
22
)( appa
+−
−
4 e-αt
α+p1
12 tte α− 2)(
1α+p
5 shαt 22 α−
αp
13
)cos
(sin21
3
atat
ata
−
− 222 )(
1ap +
6 chαt 22 α−p
p 14 )(tft n
)()1( pFdpd
n
nn−
7 ate t sinα− 22)( ap
a+α+
15
∫ ττ−τt
dtff0
21 )()(
)()( 21 pFpF
8 ate t cosα− 22)( ap
p+α+α+
16 )()( tf n )( pFp n *
* - при условии, что 0)0(...)0()0( )1( ===′= −nfff
Теоремы свертки и запаздывания. Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула
)]([)]([ 00 tfLettfL pt−=−
где t0 – некоторая точка.
105
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Определение. Выражение называется сверткой функций f1(t)
f2(t) и обозначается f1∗ f2.
∫ ττ−τt
dtff0
21 )()(
и Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно оизведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .
пр
∫ ττ−τ=•
•
t
dtffpFpF0
2121 )()()()(
Теорема. ( (1797 – 1872) – Интеграл Дюамеля (Дюамель французский
атематик)). Если то верно равенство
осредственным нтегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.
Пример.
)()();()( tgpGtfpF•
•
•
•== , м
∫ ττ−′τ+=•
•
t
dtgfgtfpGppF0
)()()0()()()(
Для нахождения изображений различных функций наряду с непи
t
tsin . Найти изображение функции
11sin 2 +
=•
• ptИз таблицы изображений получаем: .
По свойству интегрирования изображения получаем: ∫∞•
•=
p
dqqFttf )()(
;21
1sin2 arctgparctgqdq
qtt
pp
−π
==+
=∞∞•
• ∫
t2sin . Пример. Найти изображение функции
известна формула
2
2cos1sin 2 tt −=Из тригонометрии .
Тогда
)4(221]2[cos
21]1[
21]2cos1[
21sin 2
2
+−=−=−=
•
• pp
ptLLtLt =
)4(2
)4(24
22
22
+=
+−+
pppppp .
Операционное исчисление используется как для нахождения значений нтегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.
о линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
и Пусть дан
)()()(...)( 01)( tftxatxatxa n
n =+′++
106
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Требуется найти решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.
.)0(...;)0(;)0( )1(0
)1(00
−− =′=′= nn xxxxxx Если функция x(t) является решением этого дифференциального уравнения, то оно обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения
)]([0k⎣ =
tfLdt
xdaLn
k
k
k =⎥⎦
⎤⎢⎡∑
Из теоремы о дифференцировании оригинала { } можно
сделать вывод, что
)()0()(.
.tffppF ′=−
).0()0( )1( −− kx ...)0(][ )2(1 −− −−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ kkkk
k
pxxpxLpdt
xdL
Тогда ].[][... 0 fLxLadtn
⎣
xdLa n
n
=++⎥⎦
⎤⎢⎡
Обозначим ).(][),(][ pFfLpxxL ==
+++′+=++++ −−−−− ]...[]...)[( )1(
002
01
011
1nnn
nn
nn
n xxpxpaapapapapx Получаем:
е называется вспомогательным (изображающим) или операторным
Отсюда получаем изображение
).(][....]...[ 01002)2(
003
02
1 pFxaxpxaxxpxpa nnnn ++′+++++′++ −−−−
Это уравнениуравнением.
)( px , а по нему и искомую функцию x(t).
Изображение получаем в виде:
)()(
)()()( 1
pRp
pRpFpx
n
n
n
−Ψ+=
Где
. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:
;...)( 011
1 apapapapR nn
nnn ++++= −
−
))1(0−′ n...(...)()()( )2(
002
01
0002
3002011−−−
− ++++++′′+′++′++=Ψ nnnnn xpxxpxpaxxpxpaxpxaxap
Этот многочлен зависит от начальных условий
)( pRn
)()( pFpx =
ассмотрим применение этого метода на примерах.
Пример.
Р
.0)0()0(;24 =′==+′′ yyyy Решить уравнение Изображение искомой функции будем искать в виде:
)()(
pRpFy
n
=
107
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
.4401)(;2]2[][)( 22 +=+⋅+⋅==== ppppRp
LfLpF n
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=+
=4
121
)4(2
22 pp
pppy
Находим оригинал, т.е. искомую функцию: )2cos1(21 xyy −==
•
•
Пример. Решить уравнение .1)0(;02 ==−′ yyy
;1;2)(;0]0[][)( 011 ==Ψ−==== − yappRLfLpF nn
;2
1−
=p
y
;2xeyy ==•
•
Пример. Решить уравнение:
;0)0(;1)0(;0)0(;06116 =′′=′==−′+′′−′′′ yyyyyyy
;6116)(;0]0[][)( 23 −+−==== ppppRLfLpF n .6)()()( 000
23002011 pyypypaypyayapn +−=′′+′++′++=Ψ −
Изображение искомой функции 6116
623 −+−+−
=ppp
py
Для нахождения оригинала необходимо разложить полученную дробь на элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов (знаменатель делится без остатка на p – 1):
p3 – 6p2 + 11p – 6 p - 1 p3 – p2 p2 – 5p + 6 -5p2 + 11p -5p2 + 5p 6p - 6 6p - 6 0 В свою очередь )3)(2(652 −−=+− ppppПолучаем: ).3)(2)(1(6116 23 −−−=−+− pppppp
Тогда: ;3216116
623 −
+−
+−
=−+−
+−=
pC
pB
pA
ppppy
Определим коэффициенты А, В и С.
pppCppBppA +−=−−+−−+−− 6)2)(1()3)(1()3)(2( pCCpCpBBpBpAApAp +−=+−++−++− 6233465 222
pCBACBApCBAp +−=+++++−++ 6236)345()(2
108
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
=
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−−−=−−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+−=+
−−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=++−=++
=++
23
425
61221
6412
62361345
0
C
B
A
AABBAC
BABA
BAC
CBACBA
CBA
Тогда ;3
23
24
125
6116611
23 −
−+
−+
−
−=
−+−−
=pppppp
py
;234
25 32 xxx eeeyy −+−==
•
•
Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений. Пример. Решить систему уравнений:
;3443
⎩⎨⎧
−=′+=′
yxyyxx
1)0()0( == yx
Обозначим )(),( pypx - изображения искомых функций и решим вспомогательные уравнения:
⎩⎨⎧
−=−+=−
⎩⎨⎧
−=′+=′
)(3)(4)0()()(4)(3)0()(
;][3][4][][4][3][
pypxypyppypxxpxp
yLxLyLyLxLxL
Решим полученную систему алгебраических уравнений.
;
)3)(25(214)(
251)(
;)(3
31)(441)(
31)(4)(
2
2
2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−+
=
−+
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−+
=−
−+
=
pppppx
pppy
pyp
pypyp
ppypx
;25
72525
7)3)(25(
)3)(7()( 2222 −+
−=
−+
=−−−+
=pp
ppp
pppppx
;5575)()( tshtchtxpx +==
•
•
;25
125
)( 22 −+
−=
ppppy
;5515)()( tshtchtypy +==
•
•
Если применить к полученным результатам формулы
109
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
;2
;2
zzzz eeshzeechz−− −
=+
=
то ответ можно представить в виде:
;
52
53
51
56
55
55
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
−=
−
−
tt
tt
eey
eex
Как видно, гиперболические функции в ответе могут быть легко заменены на показательные. Пример. Решить систему уравнений
⎩⎨⎧
+=′+=′
yxyyxx
2225
при x(0) = y(0) = 1
Составим систему вспомогательных уравнений:
;)(2)(2)0()()(2)(5)0()(
;][2][2][][2][5][
⎩⎨⎧
+=−+=−
⎩⎨⎧
+=′+=′
pypxypyppypxxpxp
yLxLyLyLxLxL
;
)6)(1()(
)6)(1(3)(
;1)(2
52)(4)(
51)(2)(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
−−−
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++−+
=
−+
=
ppppx
ppppy
pyp
pypyp
ppypx
;53
52
61
53
11
52
61)( 6tt ee
pppB
pApy +=
−+
−=
−+
−=
•
•
;56
51
61
56
11
51
61)( 6tt ee
pppD
pCpx +−=
−+
−−=
−+
−=
•
•
Если обозначить ;53;
51
21 =−= CC то из полученного частного решения
системы можно записать и общее решение:
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−=
+=tt
tt
eCeCy
eCeCx6
21
621
2
2
При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот пример был решен традиционным способом (См. Другой способ решения.). Как видно, результаты совпадают. Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов крайне затруднительно.
110
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Криволинейные интегралы.
Определение. Кривая ktjtittr )()()()( γ+ψ+ϕ= ( bta ≤≤ ) называется непрерывной кусочно – гладкой, если функции ϕ, ψ и γ непрерывны на отрезке [a,b] и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число частичных отрезков так, что на каждом из них функции ϕ, ψ и γ имеют непрерывные производные, не равные нулю одновременно. Если определено не только разбиение кривой на частичные отрезки точками, но порядок этих точек, то кривая называется ориентированнной кривой. Ориетированная кривая называется замкнутой, если значения уравнения кривой в начальной и конечной точках совпадают.
)()( brar =
Рассмотрим в пространсве XYZ кривую АВ, в каждой точке которой определена произвольная функция . ),,( zyxf Разобьем кривую на конечное число отрезков и рассмотрим произведение значения функции в каждой точке разбиения на длину соответствующего отрезка.
iiii szyxf Δ),,( Сложив все полученные таким образом произведения, получим так называемую интегральнуюсумму функции f(x, y, z).
∑=
Δn
iiiii szyxf
1
),,(
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой на частичные отрезки существует предел интегральных сумм, то этот предел называется криволинейным интегралом от функции f(x, y, z) по длине дуги АВ или криволинейным интегралом первого рода.
∫AB
dszyxf ),,(
Свойства криволинейного интеграла первого рода. 1) Значение криволинейного интеграла по длине дуги не зависит от направления кривой АВ.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла.
3) Криволинейный интерал от суммы функций равен сумме криволинейных интегралов от этих функций.
4) Если кривая АВ разбита на дуга АС и СВ, то
∫∫∫ +=CBACAB
dszyxfdszyxfdszyxf ),,(),,(),,(
5) Если в точках кривой АВ
),,(),,( 21 zyxfzyxf ≤ то
111
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
∫∫ ≤ABAB
dszyxfdszyxf ),,(),,( 21
6) Справедливо неравенство:
∫∫ ≤ABAB
dszyxfdszyxf ,,(),,(
7) Если f(x, y, z) = 1, то
∑∫=
→λ=Δ=
n
ii
AB
Ssds10
;lim
S – длина дуги кривой, λ - наибольшая из всех частичных дуг, на которые разбивается дуга АВ. 8) Теорема о среднем. Если функция f(x, y, z) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой существует точка (x1, y1, z1) такая, что
∫ ⋅=AB
Szyxfdszyxf ),,(),,( 111
Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги надо определить его связь с обыкновенным определенным интегралом. Пусть кривая АВ задана параметрически уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), α ≤ t ≤ β, где функции х, у, z – непрерывно дифференцируемые функции параметра t, причем точке А соответствует t = α, а точке В соответствует t = β. Функция f(x, y, z) – непрерывна на всей кривой АВ. Для любой точки М(х, у, z) кривой длина дуги АМ вычисляется по формуле (См. Вычисление длины дуги кривой.):
∫α
′+′+′==t
dttztytxtss )()()()( 222
Длина всей кривой АВ равна:
∫β
α
′+′+′= dttztytxS )()()( 222
Криволинейный интеграл по длине дуги АВ будет находиться по формуле:
∫∫β
α
′+′+′= dttztytxtztytxfdszyxfAB
)()()())(),(),((),,( 222
Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги АВ) надо, используя параметрическое уравнение кривой выразить подынтегральную функцию через параметр t, заменить ds дифференциалом дуги в зависимости от параметра t и проинтегрировать полученное выражение по t. Пример. Вычислить интеграл по одному витку винтовой
линии
∫ ++AB
dszyx )( 222
2 .0;;sin;cos π≤≤=== ttztytx
112
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
.3
4122
)1(21cos)sin()sin(cos)(
2
2
0
22
0
22222222
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π+π=
=+=++−++=++ ∫∫ ∫ππ
dttdttttttdszyxAB
Если интегрирование производится по длине плоской кривой, заданной уравнением
то получаем: ,),( bxaxy ≤≤ϕ=
∫∫ ϕ′+ϕ=b
aAB
dxxxxfdsyxf )(1))(,(),( 2
Криволинейные интегралы второго рода. Пусть АВ – непрерывная кривая в пространстве XYZ (или на плоскости ХОY), а точка P(x, y, z) – произвольная функция, определенная на этой кривой. Разобьем кривую точками ) на конечное число частичных дуг. И рассмотрим сумму произведений значений функции в каждой точке на длину соответствующей частичной дуги.
,,( iii zyxM
∑=
Δγβαn
iixP
1
),,( ; ixM Δ∈γβα ),,(
Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения кривой АВ интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется криволинейным интегралом по переменной х от функции P(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В.
∑∫=
→λΔγβα=
n
ii
AB
xPdxzyxP10
),,(lim),,(
Криволинейный интеграл второго рода, т.е. интеграл по координатам отличается от криволинейного интеграла первого рода, т.е. по длине дуги тем, что значение функции при составлении интегральной суммы умножается не на длину частичной дуги, а на ее проекцию на соответствующюю ось. (В рассмотренном выше случае – на ось ОХ). Вообще говоря, криволинейные интегралы могут считаться также и по переменным у и z.
∑∫=
→λΔγβα=
n
ii
AB
yQdxzyxQ10
),,(lim),,(
∑∫=
→λΔγβα=
n
ii
AB
zRdxzyxR10
),,(lim),,(
Сумму криволинейных интегралов также называют криволинейным интегралом второго рода.
∫ ++AB
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(
113
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Свойства криволинейного интеграла второго рода. 1) Криволинейный интеграл при перемене направления кривой меняет знак.
∫∫ −=BAAB
dxzyxPdxzyxP ),,(),,(
2) (∫ xkP ;),,(),, ∫=
ABAB
dxzyxPkdxzy
3) ∫∫∫ +=+
ABABAB
dzzyxPdxzyxPdxzyxPzyxP ),,(),,()),,(),,(( 2121
4) ∫∫∫ +=
CAACAB
dxzyxPdxzyxPdxzyxP ),,(),,(),,(
5) Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.
∫ ++L
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(
Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая кривая без точек самопересечения, то направление обхода контура против часовой стрелки называется положительным. 6) Если АВ – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ОХ, то
.0),,( =∫AB
dxzyxP
Аналогичные соотношения справедливы при интегрировании по переменным у и z. Теорема. Если кривая АВ – кусочно- гладкая, а функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – непрерывны на кривой АВ, то криволинейные интегралы
;),,(;),,(;),,( ∫∫∫ABABAB
dzzyxRdyzyxQdxzyxP
∫ ++AB
dzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(
существуют. Вычисление криволинейных интегралов второго рода производится путем преобразования их к определенным интегралам по формулам:
∫∫β
α
′= dttxtztytxPdxzyxPAB
)())(),(),((),,(
∫∫β
α
′= dttytztytxQdyzyxQAB
)())(),(),((),,(
∫∫β
α
′= dttztztytxRdxzyxRAB
)())(),(),((),,(
[ ]∫∫β
α
′+′+′=++ dttzRtyQtxPRdzQdyPdxAB
)()()(
114
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
В случае, если АВ – плоская кривая, заданная уравнением y = f(x), то
[ ]∫∫ ′+=+B
A
x
xAB
dxxfxfxQxfxPdyyxQdxyxP )())(,()(,(),(),(
Пример. Вычислить криволинейный интеграл . L – контур,
ограниченный параболами . Направление обхода контура положительное.
∫ +L
dyxydxx 32
yxxy == 22 ;
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Представим замкнутый контур L как сумму двух дуг L1 = x2 и xL =2
;356
73
53
772
52
52
2
0
1
23
0
1
23
1
0
51
0
50
1
3
0
1
21
0
31
0
4323232
2211
=−=+++=+
++⋅+=+++=+
∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
xxxxdxx
x
dxxxxdxxdxxdyxydxxdyxydxxdyxydxxLLLLL
115
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Формула Остроградского – Грина. (Остроградский Михаил Васильевич (1861-1862) – русский математик,
академик Петерб. А.Н.) (Джордж Грин (1793 – 1841) – английский математик)
Иногда эту формулу называют формулой Грина, однако, Дж. Грин предложил в 1828 году только частный случай формулы. Формула Остроградского – Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом и двойным интегралом, т.е. дает выражение интеграла по замкнутому контуру через двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром. Будем считать, что рассматриваемая область односвязная, т.е. в ней нет исключенных участков. y y = y2(x) D A C B y= y1(x) 0 x1 x2 x Если замкнутый контур имеет вид, показанный на рисунке, то криволинейный интеграл по контуру L можно записать в виде:
∫∫∫∫∫ +++=DACDBCABL
dxyxP ),(
0== ∫∫CDAB
∫∫∫∫∫ −=+=2
1
2
1
1
2
2
1
))(,())(,())(,())(,(),( 2121
x
x
x
x
x
x
x
xL
dxxyxPdxxyxPdxxyxPdxxyxPdxyxP
∫∫ −−=2
1
)))(,())(,((),( 12
x
xL
dxxyxPxyxPdxyxP
∫ ∂∂
==−2
1
2
1
)(
)(12 ),())(,())(,(
y
y
xy
xydy
yPyxPxyxPxyxP
∫∫∫ ∫∫Δ ∂∂
−=∂∂
−= dydxyPdydx
yPdxyxP
x
x
y
yL
2
1
2
1
),(
Если участки АВ и CD контура принять за произвольные кривые, то, проведя аналогичные преобразования, получим формулу для контура произвольной формы:
∫∫∫Δ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=+ dydxyP
xQdyyxQdxyxP
L
),(),(
Эта формула называется формулой Остроградского – Грина. Формула Остроградского – Грина справедлива и в случае многосвязной области, т.е. области, внутри которой есть исключенные участки. В этом случае правая часть формулы будет представлять собой сумму интегралов по внешнему контуру области и интегралов по контурам всех исключенных участков, причем каждый из этих контуров
116
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
интегрируется в таком направлении, чтобы область Δ все время оставалась по левую сторону линии обхода. Пример. Решим пример, рассмотренный выше, воспользовавшись формулой Остроградского – Грина.
( )
.356
51
722
5722
)(2223
1
0
527
1
0
4251
0
222232
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
=−===−=+ ∫∫∫∫∫∫∫ΔΔ
xx
dxxxdxyxdydxxdydxxxdyxydxxx
xL
Формула Остроградского – Грина позволяет значительно упростить вычисление криволинейного интеграла. Криволинейный интеграл не зависит от формы пути, если он вдоль всех путей, соединяющих начальную и конечную точку, имеет одну и ту же величину. Условием независимости криволинейного интеграла от формы пути равносильно равенству нулю этого интеграла по любому замкнутому контуру, содержащему начальную и конечную точки. Это условие будет выполняться, если подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции, т.е. выполняется условие тотальности.
xQ
yP
∂∂
=∂∂
Поверхностные интегралы первого рода.
z ΔSi 0 y Δ x Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу. Рассмотрим поверхность в пространстве, которая произвольно разбита на n частей. Рассмотрим произведение значения некоторой функции F в произвольной точке с координатами (α, β, γ) на площадь частичного участка ΔSi, содержащего эту точку.
iSF Δγβα ),,( Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения λ поверхности существует конечный предел интегральных сумм, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода или интегралом по площади поверхности.
∑∫∫=
→λΔγβα=
n
iiiii
S
SFdSzyxF10
),,(lim),,(
117
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Свойства поверхностного интеграла первого рода.
Поверхностные интегралы первого рода обладают следующими свойствами: 1) S – площадь поверхности. SdS
S
=∫∫ 2) ∫∫ ∫∫ ==
S S
constkdSzyxFkdSzyxkF ;),,(),,(
3) [ ] ∫∫∫∫∫∫ +=+
SSS
dSzyxFdSzyxFdSzyxFzyxF ),,(),,(),,(),,( 2121
4) Если поверхность разделена на части S1 и S2, то
∫∫∫∫∫∫ +=21
),,(),,(),,(SSS
dSzyxFdSzyxFdSzyxF
5) Если , то ),,(),,( 21 zyxFzyxF ≤
∫∫∫∫ ≤SS
dSzyxFdSzyxF ),,(),,( 21
6) ∫∫∫∫ ≤SS
dSzyxFdSzyxF ),,(),,(
7) Теорема о среднем. Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (α, β, γ) такая, что
SFdSzyxFS
⋅γβα=∫∫ ),,(),,(
S – площадь поверхности. Проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении криволинейного интеграла, получим формулу для вычисления поверхностного интеграла первого рода через двойной интеграл по по площади проекции поверхности на плоскость XOY.
∫∫ ∫∫Δ
′+′+=S
yx dxdyyxfyxfyxfyxFdSzyxF ),(),(1)),(,,(),,( 22
Поверхностные интегралы второго рода. Если на поверхности S есть хотя бы одна точка и хотя бы один не пересекающий границу поверхности контур, при обходе по которому направление нормали в точке меняется на противоположное, то такая поверхность называется односторонней. Если при этих условиях направление нормали не меняется, то поверхность называется двухсторонней. Будем считать положительным направлением обхода контура L, принадлежащего поверхности, такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остается слева.
118
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Двухсторонняя поверхность с установленным положительным направлением обхода называется ориентированной поверхностью. Рассмотрим в пространстве XYZ ограниченную двухстороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан либо уравнением вида z = f(x, y), либо является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Определение. Если при стремлении к нулю шага разбиения поверхности S интегральные суммы, составленные как суммы произведений значений некоторой функции на площадь частичной поверхности, имеют конечный предел, то этот предел называется поверхностным интегралом второго рода.
∑∫∫=
→λΔγβα=
n
ixyiiii
S
SRdxdyzyxR10
))(,,(lim),,(
∑∫∫=
→λΔγβα=
n
iyziiii
S
SPdydzzyxP10
))(,,(lim),,(
∑∫∫=
→λΔγβα=
n
izxiiii
S
SQdzdxzyxQ10
))(,,(lim),,(
∫∫ ++S
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ),,(),,(),,(
- поверхностный интеграл второго рода. Свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны уже рассмотренным нами свойствам поверхностного интеграла первого рода.
Т.е. любой поверхностный интеграл второго рода меняет знак при перемене стороны поверхности, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, поверхностный интеграл от суммы двух и более функций равен сумме поверхностных интегралов от этих функций, если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по частичным поверхностям.
Если S- цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси OZ, то 0 . В случае, если образующие поверхности параллельны осям OX
и OY, то равны нулю соответствующие составляющие поверхностного интеграла второго рода.
),,( =∫∫S
dxdyzyxR
Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению
соответствующих двойных интегралов. Рассмотрим это на примере. Пример. Вычислить интеграл по верхней стороне полусферы ∫∫ −
S
dxdyRz 2)(
.2,2222 RzRRzzyx ≤≤=++ Преобразуем уравнение поверхности к виду: 0)( 2222 =−−++ RRzyx
222 yxRRz −−+=
119
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4
-2
0
2
4 Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
222 Ryx ≤+
∫∫∫∫Δ
−−=− dxdyyxRdxdyRzS
)()( 2222
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам: (См. Двойной интеграл в полярных координатах.)
, 22 yx +=ρ ∫∫∫∫τΔ
ϕρρϕρ=−− ddfdxdyyxR ),()( 222
2442)()(
42
0
42
0 0
422
0
222
0
2 RdRdRdRddxdyRzRR
S
π=ϕ=ϕ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ρ−
ρ=ρρρ−ϕ=− ∫∫∫∫∫∫
πππ
Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
Поверхностные интегралы первого и второго рода связаны друг с другом соотношением:
∫∫∫∫ γ+β+α=++SS
dSRQPRdxdyQdzdxPdydz )coscoscos(
В этой формуле cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы нормали к поверхности S в выбранную сторону поверхности.
Формула Гаусса – Остроградского. Формула Гаусса – Остроградского является аналогом формулы Грина – Остроградского. Эта формула связывает поверхностный интеграл второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.
120
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Для вывода формулы Гаусса – Остроградского надо воспользоваться рассуждениями, подобными тем, которые использовались при нахождении формулы Грина – Остроградского. Рассматривается сначала поверхность, ограниченная сверху и снизу некоторыми поверхностями, заданными известными уравнениями, а сбоку ограниченную цилиндрической поверхностью. Затем рассматривается вариант когда поверхность ограничена цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными дум доугим координатным осям. После этого полученные результаты обобщаются, приводя к формуле Гаусса – Остроградского:
∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+∂
∂=++
VS
dxdydzz
zyxRy
zyxQx
zyxPRdxdyQdzdxPdydz ),,(),,(),,(
Отметим, что эта формула применима для вычисления поверхностных интегралов по замкнутой поверхности. На практике формулу Гаусса – Остроградского можно применять для вычисления объема тел, если известна поверхность, ограничивающая это тело. Тиеют место формулы:
∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ====VSSS
dxdydzzdxdyydxdzxdydzV
Пример. Найти формулу вычисления объема шара.
В поперечных сечениях шара (сечения параллельны плоскости XOY) получаются окружности. Уравнение шара имеет вид: .2222 Rzyx =++ Найти объем шара можно по формуле:
=−−== ∫ ∫∫ ∫ ∫−
−−−
−
−−
−−
−−−
R xR
xR
R
R
xR
xR
yxR
yxR
dyyxRdxdzdydxV0
222
22
22
22
22
222
222
8
.3
4
32
228arcsin
228
3
0
32
0
22
0 022
22222 22
R
xxRdxxRdxxR
yxRyxRy RRR xR
π=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−π=
π⋅
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−+
−−= ∫∫
−
Для решения этой же задачи можно воспользоваться преобразованием интеграла к сферическим координатам. (См. Сферическая система координат.) Это значительно упростит интегрирование.
.3
4232sin
32sin2
3
0
3
0
3
00
2
00
RdRdRddddVR π
=θ=ϕϕθ=ρϕρϕθ= ∫∫∫∫∫∫πππππ
121
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Элементы теории поля. Определение. Если каждой точке пространства М ставится в соответствие некоторая скалярная величина U, то таким образом задается скалярное поле U(M). Если каждой пространства М ставится в соотвтствие вектор F , то задается векторное поле F (М). Пусть в пространстве М задана поверхность Δ. Будем считать, что в каждой точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором )(Pn . В пространстве М зададим векторное поле, постовив в соответствие каждой точке точке пространства вектор, определенный координатами:
kzyxRjzyxQizyxPF ),,(),,(),,( ++= Если разбить каким – либо образом поверхность на частичные участки Δi и составить сумму ∑ Δ
iiii PnPF ))()(( , где nF - скалярное произведение, то предел этой
суммы при стремлении к нулю площадей частичных участков разбиения (если этот предел существует) будет поверхностным интегралом.
∫∫Δ
ΔdnF
Определение. Поверхностный интеграл ∫∫
Δ
ΔdnF называется потоком
векторного поля F через поверхность Δ. Если поверхность разбита на конечное число частичных поверхностей, то поток векторного поля через всю поверхность будет равен сумме потоков через частичные поверхности. Если преобразовать скалярное произведение в координатную форму, то получаем соотношение:
RdxdyQdzdxPdydzdRQPdnF ++=Δγ+β+α=Δ ∫∫∫∫∫∫ΔΔΔ
]coscoscos[
Если на области Δ существует функция f(x, y, z), имеющая непрерывные частные производные, для которых выполняются свойства:
;;; RzfQ
yfP
xf
=∂∂
=∂∂
=∂∂
то такую функцию называют потенциальной функцией или потенциалом вектора F . Тогда вектор F является градиентом функции f.
kzfj
yfi
xfgradfF
∂∂
+∂∂
+∂∂
==
Потенциал может быть найден по формуле:
∫ ∫∫ ++=x
x
z
z
y
y
dzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxf0 00
),,(),,(),,(),,( 000
122
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
В этой формуле x0, y0, z0 – координаты некоторой начальной точки. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Теорема. Для того, чтобы поле вектора F , заданного в некоторой области, имело потенциал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий: 1) Интеграл от вектора F по любому кусочно – гладкому контуру, принадлежащему области, равен нулю. 2) Интеграл по любому кусочно – гладкому пути, соединяющему две любые точки поля не зависит, от пути интегрирования.
Формула Стокса. (Джордж Габриель Стокс (1819 – 1903) – английский математик)
Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода. Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L – непрерывный кусочно – гладкий контур поверхности S. z S L y Δ l x Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.
∫∫
∫
∫∫
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂∂
++′⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
+=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′∂∂
+′∂∂
+′+′=′+
+′+′=++
β
α
β
α
β
α
L
L
dyyzRQdx
xzRPdtty
yzRQtx
xzRP
dttyyztx
xzRtyQtxPdttztztytxR
tytztytxQtxtztytxPdzzyxRdyzyxQdxzyxP
)()(
])()()()([)]())(),(),((
)())(),(),(()())(),(),(([),,(),,(),,(
Введем обозначения: ;;yzq
xzp
∂∂
=∂∂
=
123
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Применив формулу Грина – Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следуюшее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:
dxdyyP
xQdzdx
xR
zPdydz
zQ
yRRdzQdyPdx
SL⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=++ ∫∫∫
эта формула и называется формула Стокса. Определение. Вектор B , компоненты которого равны соответственно равны
;;;yP
xQB
xR
zPB
zQ
yRB zyx ∂
=∂∂
−∂∂
=∂
−∂∂
=∂∂
−∂∂
называется вихрем или ротором вектора kRjQiPF ++= и обозначается:
Frot
Определение. Символический вектор z
ky
jx
izyx ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
∂∂
∂∂
=∇ ,,
называется оператором Гамильтона. ( Уильям Роуан Гамильтон (1805 – 1865) – ирландский математик) Символ ∇ - “набла”. С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора F как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор F .
RQPzyx
kji
FFrot∂∂
∂∂
∂∂
=×∇=
Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L. F
∫∫ ++=LL
RdzQdyPdxsdF
Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией вектроного поля F вдоль контура L.
∫∫ ++==LL
RdzQdyPdxsdFЦ
В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так: Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность.
124
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Δ= ∫∫∫Δλ
dFrotnsdF
Отметим, что рассмотренная выше формула Грина – Остроградского является частным случаем формулы Стокса. Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Определение. Выражение zR
yQ
xP
∂∂
+∂∂
+∂∂ называется дивергенцией вектора
(дивергенцией векторной функции) kRjQiPF ++= и обозначается
zR
yQ
xPFdiv
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
Таким образом, формулу Гаусса – Остроградского может быть записана в виде:
∫∫∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=γ+β+αVS
dxdydzzR
yQ
xPdSRQP )coscoscos(
или
∫∫∫∫∫ =SV
dSnFdvFdiv
т.е. интеграл от дивергенции векторного поля F по объему равен потоку вектора через поверхность, ограниченную этим объемом. Определение. Векторное поле F называется соленоидальным (трубчатым), если div =0 . F C помощью описанного выше оператора Гамильтона можно представить определенные нами понятия следующим образом:
;;; FFrotFFdivfgradf ×∇=∇=∇= Как было сказано выше (См. Уравнение Лапласа.), выражение
2
2
2
2
2
2
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=Δ
называется оператором Лапласа. Справедливы следующие соотношения:
fffgradfdiv Δ=∇⋅∇Δ= ;)( Справедливость этих равенств легко проверить непосредственной подстановкой. Теперь рассмотрим примеры применения рассмотренных выше понятий.
125
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
Пример. Найти rarrot ⋅⋅ )( , если .; kjiakzjyixr ++=++= Найдем скалярное произведение: ;zyxar ++=⋅ Найдем скалярное произведение:
},,{},,{)( 222 zyzxzyxyyxxzxyxRQPrar ++++++==⋅⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=⋅⋅yP
xQk
zP
xRj
zQ
yRi
RQPzyx
kji
rarrot )(
)()()( xykxzjyzi −+−−−=
Пример. Найти поток векторного поля kyjyxixyF +++−= )()(
1через сторону
треугольника S, вырезанного из плоскости 0=−++ zyx координатными плоскостями. z x = 1 – z z = 1 - y x y = 1 - x y
+−++=+++−=⋅= ∫∫∫∫∫∫− y
SS
dzzyydyydxdydxdzyxdydzxydsnFП1
0
1
0
)1()()(
[ ] =+−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=+−−++ ∫∫∫∫ ∫∫∫
−−−−− 1
0
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0 222)1(
xzyxz yzxxzzyzydydxdxxzxdz
[ ] =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−+−= ∫∫∫
1
0
21
0
21
0
22
22111
22122 dxxxdzzzzdyyyyyy
++−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−= ∫ 3
1112262232
122
3 1
0
231
0
321
0
32
1
0
2 yyyxxxzzzdyyy
126
Ларин Александр Александрович “Курс высшей математики. Часть 3.”
127
.21
63
211
21
61
21
21
=+−+−=+−+
Пример. Найти div(grad u), если .zyxeu ++=
[ ]kjiekzuj
yui
xugradu zyx ++=
∂∂
+∂∂
+∂∂
= ++
;zyxeRQP ++=== .33)( uegradudiv zyx == ++
Пример. Определить является ли векторное поле
)65;65;65( xyzxzyyzxF +++= и найти его потенциал.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
∂∂
∂∂
=zu
yu
xugradu ,,
;65;65;65 xyzzuRxzy
yuQyzx
xuP +=
∂∂
=+=∂∂
=+=∂∂
=
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:
;66;)3
;66;)2
;66;)1
yyxR
zP
xxyR
zQ
zzxQ
yP
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля.справедливость этого утверждения видна из формулы ротора. Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле:
;625
25
25)65(55 222
000
xyzzyxdzxyzydyxdxuzyx
+++=+++= ∫∫∫