п/ Ч ;[НИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СССР

V - / МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНАИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА им. Ф. Э. ДЗЕРЖИНСКОГО

Кафедра автоматики и телемеханики на железнодорожном транспорте

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ НАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ

Методические указания для самостоятельной работы студентов

М о с к в а — 1988

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ СССРМОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА

И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

ИМ. Ф.Э. ДЗЕРЖИНСКОГО

Кафедра автоматики и телемеханики на железнодорожном транспорте

У Т В Е Р Ж Д Е Н О

редакиионно-издательским советом института

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИ* ЦЕПЕЙ

МЕТОДОМ НАПРАВЛЕННЫХ ГРАФОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

"ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ АВТОМАТИКИ, ТЕЛЕМЕХАНЖИ И СВЯЗИ"

для студентов специальности "Автоматика,телемеханика и связь

на железнодорожном транспорте"

МОСКВА Т988

Методические указания составили преподаватели МИИТа: В.М. Л и с е н к о в , А.А. Т и х о н е н к о в,М.С. Р е з н и к о в

Р е ц е н з е н т ы: кандидат технических наук В.Б. Леушин (КИОТ), кафедра автоматики, телемеханики и связи на железнодорожном транспорте КИИТа.

ВВЕДЕНИЕ

Любая линейная электрическая цепь представляет собой понятие топологическое, так как в ней всегда могут быть вы-,

делены два непересекащихся множества: узлов (токи,напряже­

ния) и ветвей (компонентов), на которых по некоторому зако­

ну организована та или иная структура.К топологическим методам расчета линейных электричес­

ких схем относятся методы, позволяющие получить искомый ре­

зультат на основании рассмотрения свойств некоторых тополо­

гических структур. Обобщенно граф - это совокупность узлов и

соединяющих их ветвей. В теории цепей применяют несколько ти­

пов графов: ненаправленные, направленные сигнальные, унисто- рные и др. Ненаправленный граф представляет собой остов эле­

ктрической цепи. Узлы-ненаправленного графа - это узлы схе­

мы, а линии, соединяющие узлы, соответствуют ветвям схемы.

Направленный граф - это графический эквивалент системы урав­

нений, описывающей процессы в цепи. Его узлы соответствуют

токам и потенциалам точек цепи, а каждая ветвь характеризу­

ется величиной передачи в направлении стрелки.

Теория графов развивалась в двух направлениях.Первое - матрично-топологическое, основанное на использовании тополо­гических понятий дерева, ветви дерева и т .д . Исходной топо­

логической структурой для этого направления является полюс­ной граф.

Второе направление теории графов чисто топологическое.

Оно начало интенсивно развиваться примерно с IS56 г. после появления работы Мээона, которому удалось разработать упо­

рядоченный метод подсчета определителя системы. Исходной го-

пслогической структурой для второго направления является

направленный или сигнальный граф.

Цель данного методического пособия - ознакомить сту­

дента с основными понятиями, положениями, возможностями и

спецификой топологического метода и научить его с помощью

графов осуществлять анализ электрических цепей. В настоящей

работе рассматриваются' методы анализа линейных электричес­ких цепей с помощью сигнальных графов. Чтобы лучше понять и

усвоить сущность предлагаемого метода, в методическом ука­зании приводятся задачи с решениями.

I . МЕТОДА УПРОЩЕНИЯ СТРУКТУРЫ ГРАФОВ

I . I . Основные определения терминологии направленных

графов

Электрическая цепь представляет собой совокупность со­

единенных определенным образом многополюсных элементов,вклю­

чающих в себя как пассивные элементы (резисторы,конденсаторы,

индуктивности, трансформаторы), так и активные многополюсни­

ки ( биполярные и униполярные транзисторы, интегральные схе­

мы и т .д . ) . Несмотря на то, что многие из таких многополюс­

ных элементов имеют нелинейные характеристики, большинство

задач, возникающих при проектировании электрических цепей,

может быть решено в линейном приближении, так как они часто

работают в режиме малого сигнала и это позволяет произвести

линеализацию их характеристик.

Ориентированным(направленным, сигнальным)графом назы­

вают используемую для графических замен системы линейных ал­

гебраических уравнений совокупность направленных ветвей,изо-

бражавмых отрезками прямой или дугами произвольной кривизны

со стрелками определяющими направленность ветвей, и точек,

называемых узлами или вершинами, в которых начинаются и кон­чаются ветви оис. I . I .

Узлами графа представлены независимые и зависимые пе­ременные , а его ветвями - кпэФЬигшенты уравнений; при этом,

рядом с каждым узлом и стрелкой ветви проставляются соот­

ветствующие буквы или цифры.

Таким образом, направленный граф отражает функциональ­ные зависимости процессов в исследуемых электрических цепях.

Следует особо подчеркнуть, что вид направленного гра­

фа существенно зависит от формы представления математичес­ких соотношений. Это происходит в результате изменения при­

чинно-следственных связей, т .е . в результате того, что "при­чина" ( независимая переменная системы уравнений или зодан- ная величина цепи) становится "следствием" ( т .е . зависимой

переменной или искомой величиной цепи) и наоборот.

Исток - вершина графа, имеющая только исходящие ветви (отображает независимые переменные) - Л

Сток - вершина графа, имеющая только входящие ветви ( отображает только зависимые переменные) - Х 5 .

Распределительная вершина - промежуточная вершина гра-

dРис. I . I

фа, которая имеет одну входящую ветвь и несколько исходящих

Собирательная вершина - промежуточная вершина графа, имеющая несколько входящих и одну исходящую ветвь - Xg, .

Ребро графа - совокупность всех ветвей между двумя

смежными вершинами.

Путь графа - последовательность ветвей в указанном

направлении, когда конец каждой предшествующей ветви совпа­дает с началом последующей.

Разомкнутый путь - это такой путь, когда ни одна из вер­

шин при прохождении в указанном направлении не встречается дважды; он начинается и заканчивается в разных вершинах. На­

пример, путь на рис. I . I .Замкнутый путь (кольцо) - это путь который начинается

и заканчивается в одной и той же вершине графа, не проходя

рис. I . I .Элементарная петля - это замкнутый путь, образованный

одной ветвью ( в вершине Xtj; петля на рис. I . I . ) .

Передача пути - произведение коэффициентов передач

всех ветвей, входящих в данный путь.

В общем случае ветвь, соединяющая вершины ЭС£ и 'Xj ,

обозначается символом C tjI ( рис. 1 .2 ) . Элементарная петля

обозначается символом Л ц ( начинается и кончается в вер­

шине ) .

дважды через одну из вершин. Например, путь на

Рис. 1 .2 .

Узлы ( вершины ) - истоки называют независимыми узлами

( вершинами ) . Все остальные узлы ( вершины ) называются зависимыми. Переменная в любом & -ом зависимом узле опре­

деляется алгебраической суммой составляющих от всех узлов,

связанных с & -м.

C L c L ^ t 6 = I . I )

где CLk L - передачи входящих в 4 -й узел ветвей; N - число ветвбй, входящих в 4 -й узел,

рис. 1 .3 .

оса х 4

+ CL(ci ft|*e ++ f t* * ОС*

Следует особо подчеркнуть, что переменная в узле опре­деляется только входящими ветвями; выходящие из узла ветви

не оказывают на нее никакого влияния.

1 .2 . Основные правила упрощения структуры графов

Для одной и той же систем* уравнений можно построить

множество равносильных графов. Равносильные графы могут от­личаться друг от друга структурой, т .е . количеством узлов и

ветвей, передачами ветвей и соединениями узлов. Приведение графа одной структуры к равносильному графу другой структуры называется преобразованием графа. Чаще всего графы преобразу

ются с целью упрощения "решения графа". Если результатом пре

образований является граф, не допускающий дальнейших упроще­

ний, он называется конечным.

Ниже приводится система правил, по которым осуществля­

ются основные преобразования графов. Все эти правила доказы­ваются при помощи соотношения ( I Л ); в простейших случаях

доказательства приведены на соответствующем рисунке.

Объединение однонаправленных параллельных ветвей

Параллельное соединение однонаправленных ветвей с пере­

дачами CL и 6 можно заменить ветвью с передачей С= CL+&

( рис. 1 .4 . ) . Это правило обобщается на любое конечное число

параллельных ветвей.

j c * = a s c i + t e t X s ,= ( C L + 4 ) X iРис. 1.4

Объединение однонаправленных последовательных ветвей,

исключение смешанного узла

Последовательное соединение двух однонаправленных по­

следовательных ветвей с передачами CL и S можно заме­

нить одной ветвью с передачей C - Q s b ( рис. 1.5 ) .

cl Хя, £ ;___

х г=ах< ; xA- i x tРис. 1.5

Пример п]'еобразования графа с использованием обоих пра-

I гд :гл-добавлен на рис. 1 . 6.

Объединение разнонаправленных параллельных ветвей

Преобразование графа с разнонаправленными ветвями

х< в» • — i t S C ^ X s S ОСу ■ |»CL 4+С

j c ^ a a c * , x #= a с£*с)х<. xb = £xx+cxt 3c4= (^ + c )x t

Рис. 1 .6

Операция исключения смешанного узла 2 иллюстрируется рис. 1 .7 . ^

* - ^ \ = x , O a f

Хч=5Ла., X i Z d i X t . Cl £ - l .Рис. 1 .7 *

Самостоятельное значение это преобразование имеет в

сравнительно редких случаях; однако в сочетании с другими

преобразованиями оно встречается достаточно часто. Пример

подобного смешанного преобразования приведен на рис. 1 . 8.

:a.= a x i + c o c 6 z £ ос*

Рис. 1 .8

Х *=& ^)С<+^С ЭС5 .

Исключение петли

Преобразование графа, состоящее в исключении петли ил-

люстрируется рис. 1 .9 . Доказательство тождественности изоб­

раженных на рис. графов строится непосредственно по системе

уравнений. Для первого графа

3el = a<K ,+coet } зса= ^ .

Решая это уравнение относительно ЗСд. подучаем X t =CL V i .

Подставляя значение во второе уравнение находим

* * = - j ~ T •

Правило исключения петли формулируется следующим обра­

зом. Исключение петли с передачей С сопровождается заме­

ной передачи CL входящей ветви передачей ° - f l - С . Это

правило относится к узлу с петлей при условии, что узел вхо­

дит и из узла выходит одна ветвь.

Если в узел с петлей входит входит и из него выходит

несколько ветвей, то петля исключается аналогичным образом,

т .е . передачи всех входящих ветвей умножаются на ^ / / - 0.

( рис. 1.10 ) ; исходящие ветви остаются без изменений.

Инверсия ветви

Как уже отмечалось выше, вершина-сток в графе соответ­

ствует зависимой переменной, а вершина-исток -независимой.

В математике всегда можно так перегруппировать переменные в

системе уравнений, чтобы зависимая переменная стала незави­

симой и наоборот. В теории графов этой математической опера­

ции соответствует инверсия ветви или, что встречается чаще,

инверсия пути в графе.

Инверсия ветви - операция определяемая изменением на­

правления ветви. При инверсии одной ветви должны быть изме­

нены направления, точки присоединения и передачи других вет­вей.

Рассмотрим некоторый граф и составим уравнение для его

А - го узла:

Ж|С= Я-|(< Q-iri • • • + Q-кк ПС* j

где &к - петля в узле к .В этом уравнении сигнал в узле является следствием,

а все остальные сигналы - причинами. Пусть теперь следствием будет сигнал в узле L . Для сигнала X i уравнение пере­

пишется в следующем виде:

Xi i — (X. к к O-Ki

ЭСк а мQ-Ki

X , Q-KiQ-Ki

— . . •

Последнее уравнение позволяет составить основные прави­

ла преобразования графа при инверсии. Для инверсии ветви

между узлами С и к необходимо:- заменить стрелку на противоположную, а передаг.

чу заменить передачей H ^ - k i ;

- концы всех ветвей, входивших в узел к , перенести в узел L , а передачи этих ветвей умножить на

- петлю в узле А заменить ветвью от узла А к узлу L с передачей- •

В результате инвертирования нужно получить новый граф

равносильный первому. Очевидно, что количество источников в равносильных графах должно быть одинаковым.

Из-правил инвертирования ветви следует, что узел, явля­

ющийся концом инвертируемой ветви, после инверсии всегда бу­дет источником, а узел, являющийся началом инвертируемой

ветви, после инверсии источником быть не может ( рис.I . I I ) .

Таким образом, операция инверсии одной ветви правомерна

в источнике, так как в этом случае после инверсии источник

становится зависишм узлом, а конец инвертируемой ветви - ис­

точником, т .е . общее количество источников в исходном и пре­

образованном графах сохраняется. Так, для графа рис. I . I I

операция инвертирования ветви 6 неправомерна, так как

ветвь В начинается в смешанном узле. Для графа же приведен­

ного на рис. I . I 2 инвертирование ветви С правомерно, так

Рис. I . I 2

Если нужно инвертировать ветвь, начинающуюся не в ис­

точнике, то вместе с ней необходимо инвертировать все ветви,

входящие в путь, содержащий эту ветвь до какого-нибудь ис­

точника. Возможен и другой вариант инвертирования: если ветвь входит в замкнутый контур, то необходимо инвертиро­

вать все ветви этого контура. При этом общее количество ис­

точников не изменится.

Расщепление узла

Операция расщепления применима к смешанным узлам и за­

ключается в разложении смешанного узла ( рис. I . I 3 а ) на

два, один из которых является источником, а другой -стоком.В новый сток собираются все входящие в первоначальный узел

ветви; из нового источника исходят все исходящие ветви

( рис. 1 .1 3 ,6 ). Ввиду того; что переменная в каждом узле оп­

ределяется только входящими ветвями и передачи ветвей не за­

висят от переменных, операция расщепления узлов всегда допус­

тима. Расщепление узла с петлей соответствует сбщеиу правилу ( рис. 1 .1 3 ,в ).

Исключение узла !

Операция исключения узла состоит в объединении ветвей.

Простейшие случаи исключения узлов были рассмотрены в пра­

вилах по объединению однонаправленных последовательных вет­

Рис. '[Л З

вей. Однако непосредственное применение правила для исключе­

ния узлов не всегда возможно: во многих графах нет "выделен­

ных" петель, "выделенных" однонаправленных ветвей и т .д .

Для исключения узлов в этих случаях необходимо учитывать все возможные пути движения сигнала от причины к следствию.

Общие правила исключения узла формулируются следующим

образок: исключить узел следует так, чтобы после этой опера­

ции все составляющие преобразованного графа во всех остав­

шихся узлах были такими же, как в исходном.

В тех графах, где имеется много путей движения сигнала,*для облегчения пользования общим правилом можно рекомендо­

вать прием, основанный на использовании операции расщепления

узла. Для исключения узла необходимо расщепить все остальные

смешанные узлы, вычислить все передачи от источников к сто­

кам, представить их в виде ветвей и объединить расщепленные

узлы. Последовательное применение этих операций к узлам гра­

фа позволит получить конечный граф.

При решении конкретных задач можно устранять узлы как

с использованием операции расщепления, так и без нее т .е . с

учетом всех возможных путей движения сигнала. Первый метод

более громоздок, но оставляет меньше возможностей для ошибок.

Ниже будут рассмотрены конкретные примеры упрощения графов с

помощью исключения узлов.

1 .3 . Примеры на применение правил упрощения структуры

направленных графов

Пример I . I . Применяя последовательно правила упрощения

структуры направленных графов найти передачу между вершинами

- 15 -

^ и 1Гг графа, изображенного на рис. I . I 4 .Решение.

Щ 1а Иг гг, ^а. Кк/ц>. '4L

Щ

Рис. I .14

Пример 1 .2 . Применяя правила упрощения структуры нап­равленных графов, найти передачу между вершинами и графа, приведенного на рис. I . 15.

.Решение.

Рис. I . I 5 .

Пример 1 .3 . Инвертировать ветвь С графа, приведенного

на рис. 1 .1 6 ,а .

Решокие. Ветвь С начинается в смешанном узле ЭС3 t поэ­

тому необходимо инвертировать весь путь от источника до узла

( в этот путь входит ветвь С ) . Правила инвертирования

ветви, начинавшейся в узле-источнике, даны в п .5 § 2 .2 . По­

следовательно инвертируем ветвь & ( рис. 1 .1 6 ,6 ) , ветвь ■&

( рис. 1 .1 6 ,в ) и ветвь С ( рис. I . I 6, r ) . j

Пример 1 .4 . Упростить граф, приведенный на рис. 1 .1 7 ,а ,

используя операцию расщепления узлов и не прибегая к этой операции.

Решение. Устраним узел 2. Для этого расщепим все смешан­

ные узлы, кроме узла 2 ( рис. 1 .1 7 ,6 ) . Из рисунка видно, что

передача от узла-источника I до стока 3й равна , а от

узла источника 3 / до узла-стока з" - . Ha-ое тальные пере­

дачи узел 2 не влияет и они остаются без изменения.

После объединения всех расщепленных узлов получаем граф,

показанный на рис. 1 .1 7 ,в .

Устраним узел 4 . Расщепляем все смешанные узлы, кроме

узла 4. рис. 1 .1 7 ,г . Передача от узла З 'к узлу 5 равна С& ;

II .

и е е ; остальные передачи остаются

прежними. Граф с устраненным узлом 4 изображен на рис. 1 .17, д

Дальнейшие элементарные пребразования показаны на рис. 1 .17 ,е

И Ж. _ с

а

аВ

1 г J

l / b"

1 *(Э ц '

'"-V

* ", /ais \ I \ cLдпГ 0 V » ------# 5

9) е) ж ) a 8e d

. a ,f о , , a* cot f - ( g f + t e )

4 *О 4

се

* 3 * У * * *

Рис. I . I 7

Решим эту задачу без применения операции расщепления уз­

лов. Будем устранять узлы в той же последовательности.Устра­

ним узел 2: при этом должны сохраняться значения всех состав­

ляющих в оставшихся узлах графа. Через узел "проходят" следу­ющие составляющие: от узла I к узлу З11 -ав ; от узла 3' к уз­лу 3# - i f . Остальные составляющие от узла 2 прямо не за­

висят. Учитывая эти составляющие путем построения ветвей с соответствующими передачами и исключая узел 2 , получаем граф,

изображенный на рис. 1 .1 7 ,в .

Теперь устраним узел 4 . Через этот узел проходят состав­ляющие: от узла 3 'к узлу 5 - ; от узла З1 к узлу 3й -

есЭС3 . Граф с устраненным узлом 4 показан на рис. 1 .17 ,д .

Далънейтее упрощение проводится, как и в первом случае.

Пример 1 .5 . 'Инвертировать путь aefepграфа, изображенно­

го на ри с.Т .18 ,а .

Последовательно инвертируем ветви а (рис.1 .1 8 ,6 ) , 6 (р и с .1 Л 8 ,э ) ,& (р и с .1 .1 8 ,г ) ,р (р и с .1 .1 8 ,д ) .

Рис. I .18

Несложно заметить, что после проделанных преобразова­

ний количество источников осталось неизменным; в первоначаль­ном графе (р и с .1 .18 ,а) один узел-источник-3Clt в преобразо­

ванном графе (р и с Л .18,д) тоже один узел-источник -ЗС* .

2. РЕШЕНИЕ ГРАФОВ С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА МЭЗСНА

2 .1 . Правило Мэзона для решения графа с одним источ­

ником

В предыдущем разделе рассматривались различные способы

преобразования графов. Однако такой способ анализа электри­

ческих цепей может оказаться неудобным, если цепь сложна,

искомых переменных много и граф имеет сложную структуру. В

этом случае более эффективным является метод, предложенный в

1956 г . Мэзоном, который позволяет непосредственно опреде­лять искомые зависимости без упрощения структуры графа.Этот

способ подучил название правила Мэзона или метода прямого ре­

шения графа.

Правила преобразования при этом методе иногда применяют

для предварительного упрощения структуры графа с целью умень­шения числа контуров.

Согласно правилу Мэзона передача между источником

и какой-либо промежуточной вершиной может быть определе­на по следующей формуле:

( 2. Dгде D - определитель графа;

&к - коэффициент передачи & -го разомкнутого

пути между источником 3?0 и вершиной X i }

I)* - определитель той части графа, которая не соприкасается с k -ы разомкнутым путем

( часть графа, остающаяся после исключения

контуров,соприкасающаяся с А - путем).

Определитель расчитывается по формуле

И — + £ » Р щ г~ ]С P w i + . . . 5 ( 2. 2 )W\ w\ /где - произведение коэффициентов передач всех

ветвей.входящих в m -е сочетание из

несоприкасающихся контуров;

IUu - сумма передач всех контуров,входящих в

данный граф;

В и г- сумма произведений передач из двух несо­

прикасающихся контуров;В иа- сумма произведений передач из трех несо­

прикасающихся контуров.

Вычисление определителя Л к производится также по фор­муле ( 2 .2 ) . Как видно из приведенных формул, значение оп­

ределителя зависит только от наличия контуров. При отсутст­

вии в графе контуров определитель I » 1 .

Для определения передачи между истоком Х0 и промежу­

точной вершиной X i графа необходимо:

отыскать в графе все пути от источника к зависимому

узлу и определить их передачи;

отыскать все контура первого, второго и т .д . поряд­

ков и определить их передачи;

подставить полученные значения передач в формулу

( 2.1 ) .

Рассмотрим применение правила Мэзона на конкретных при­

мерах.Пример 2.1- Найти передачу Т€0 графа,изображенного на

- 21 -

Решение. Определяем все контура, входящие в данный

LZ=Bd; Lb=§f;U=(}ei; l 5=&gec.Не соприкасаются только два контура Ц и А-4 .

К выходному узлу имеются только три пути:

- соприкасается со всеми контурами графа;

- соприкачается со всеми контурами графа;(х$ = ftk-fe. - не соприкасаемся с контуром Ь». .

Поэтому можно записать

JCfe _ ftld4fe+a8lJUftkft,(i-cU) £ /У-ч~ i - (^С +d e * g 4 * g e l + к д е с ) + в е » +

Пример 2 .2 . Найти передачу между вершинами-Же и V

графа, представленного на рис. 2. 2.

Решение. Определим все контура, входящие в данный граф.

Насоприкаоающюсея контуров-»-графемет. Определяем ра~

Рис. 2 .2

- не соприкасаются контуры L < и L z С-^-С. £ е - 'н е соприкасается контур Lz .

J 4= 4- ( k + g | ) ? В=-1- ( к + ^ д ^ с { .е ) + k ( i e 4

2 .2 . Правило Мэзона для определения передачи между

двумя промежуточными вершинами

Правило Мезона можно использовать и для определения

передачи между двумя промежуточными вершинами графа с одним

источником. Расчет в атом случае ведется в соответствии со

сведущей формулой

Пример 2 .3 . Определить передачу между вершинами и

графа» приведенного на рис. 2 .3 .

Запишем передачу между вершинами 3!$ и Х< .

ос 5 gfe(4-(h.+94)]+-e-fte(l-MX * 1 - ( k + ^ g . i - d e ) + k d .e *

S I &oj*< BojK

Решение.

2 .3 . Правило Мэзона для решения графа с несколькими

источниками

Основную формулу Мэзона(2.1)можно обобщить для примене­

ния к графам с несколькими источниками.

Для решения графа с несколькими источниками возможны

два способа; причем, первый способ целесообразно применять

в том случае, когда требуется находить значение переменных,,

а второй - для определения, значений передач.

По первому способу нужно рассчитать значение искомой

переменной от каждого источника и р езу л ьтат сложить. По вто­

рому способу необходимо преобразовать граф с несколькими ис­

точниками в граф с одним источником и после этого применить правило Мэзона:

Пример 2 .4 . Определить передачу между вершинами ОС, и X* для графа, изображенного на рис. Z.A :

непосредственно применить правило Мэзона для каждого источника;

заменить два источника одним и применить правило Мэ­зона.

Решение. Найдем решение графа по первому способу.

Заданный граф содержит два источника - ЭС, и Х 5 . Определим составляющую в узлз Х^ от источника X ,

^ a f o + a g .____________ -(и+ bd + ec ̂ ged) + kec *

Теперь определим составляющую в узле ОС/, от источникаSCs

s- f c L g + f c U - k ) _________* l- ( k . + 6d + ec + §ed ) + h.et '

Складывая обе составляющие, получим

/ ^ (a-fec^qg)3C<«-[|cCg, + |c(l-k)]Xs*,+ 5_ 1-(Ь.■+■ &d)+ ес + gfcct) 4 ket

Второй способ. Добавим ветвь CCj-OCg с передачей ^ /х г

Получим равносильный граф, но уже с одним источником ( рис.

2 .В ,а ) . Исключим узел X g ( рис. 2 .5 ,6 ) . По правилу Хэзона

для графа с одним источником:

а Ь с + а ^ ^ е ^ ( i - k ) +

^ ~ 1-(к. + Ed + ес есЦ ) + к*ее ^ '

„ (abet-ag^i-jJe^-h -b ’fc U ]x s e ~ Н*1ь + Ь<̂ +ес + К*ес

Рис. 2.5

3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФОВ ПО СИСТЕМАМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИ­

ЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Графом электрической цепи называется граф, соответству-

ющий системе уравнений электрических величин этой цепи.

Граф электрической цепи можно построить непосредственно

по схеме электрической цепи или по системе уравнений, опи­

сывающих работу этой цепи. Первый метод построения графов

называется прямым, а второй - косвенным.

Рассмотрим вначале косвенный метод построения графов

электрических цепей. Существует два способа построения гра­фов по заданной системе уравнений.

3 .1 . Построение нормализованного графа системы урав­нений

Пусть имеем систему уравнений

&ц + $«*,'^'2.*’ • • • *■ ~ ^ 4 у

**•

Эту систему уравнений можно записать в матричной форме

Р=АХ,где Р - матрица столбец свободных членов;

А - - квадратная матрица коэффициентов, имеющая

М столбцов и П строк;X - матрица столбец переменных.

Для того, чтобы получить нормализованный граф, надо каж­

дое уравнение из системы(3 .1 )нормализовать относительно ка­кой-либо переменной, т .е . записать уравнение в таком виде,

чтобы эта переменная находилась одна в левой части уравнения

и имела коэффициент,равный I . Нормализуем, например, первое

уравнение относительно 0С< , второе - относительно £*. и т .д .

Указанный порядок нормализации не является обязательным.Мож­

но первое уравнение нормализовать относительно переменной ЭР i ,

второе - относительно переменной X j и т .д . Полученные при

этом графы будут различными, но равносильными.

После нормализации система уравнений(3 .1) перепишется

следу

По полученной системе уравнений построим матрицу. Она

будет состоять из двух субматриц - субматрицы коэффициентов

при неизвестных и субматрицы коэффициентов при свободных

членах.

(3 .2)

• • «

Сопоставим каждой строке этой матрицы соответствующую

нормализованную переменную, а каждому столбцу - соответству­

ющую переменную или свободный член. Следует отметить, что по

лученная матрица будет иметь f t строк и П+т. столбцов;

f t - число переменных, а Ш - число свободных членов, не равных нулю.

Граф, который строится по полученной матрице, будет

иметь f t * f i t узлов; И узлов соответствуют переменным, а Ш. узлов - свободным членам, не равным нулю.

Обычно для простоты начертания графа узлы, соответству­

ющие свободным членам (узлы-источники) располагаются по кра­ям.

Каждый элемент определителя Ч ц показывает передачу

ветви, направленной от J- узла в L узел.

Пример 3 .1 . По заданной системе уравнений[ З о е , + 8 эсг = { ;

построить нормализованный граф, а также записать матрицу А

Решение. Нормализуем первое уравнение относительно Х ( ,

а второе - относительно OCf. . Матрица коэффициентов А бу­дет иметь вид:

а с , = 0 —+ т + 0

•

У0

эt K - 0 ♦ 0 + \44 т

Построим матрицу нормализованного графа

Х а X ,

* 1 — 0 - У ъ Ч ъ 0 .

- V u 0 0 1 / И

Составление графа по нормализованной матрице начинают

с изображения его вершин ( рис. 3.1 ) . Ветвь от к ^ о т ­

сутствует. Ветвь от XL к X , имеет передачу - t f / j , от вер­

шины X ) к вершине ЗС< - ^(ъ и т .д .Чъ ' -в h Чн

Рис. 3.1Общей характеристикой нормализованных графов является

отсутствие петель, так как в субматрице коэффициентов в

главной диагонали всегда стоят нули.

Пример 3 .2 . По заданной системе уравнений построить

нормализованный граф, считая источником .ЗХо * -4 ас*. * ь х 4 = 0 ; j

<0 x o + 5 X i - б х , , » ^ ‘Х5 = 0 ; >+ 5сс4-0 . J

Решение. Так как по условию задачи Т 0 является источ­

ником ( рассматривается как свободный член), то нормализуем заданные уравнения относительно переменных ПС«, X* и X j :

- а х » - J о е „ ; |

«а=-|зс,+ - г х » ; >З С Г 5 ^ о . J

Записываем матрицу нормализованного графа

* 1 oet « 4 X .

зс<-~ 0 - ЧгХг'*" -Ча 0 V 5 1

- 4 /5 - V 5 0 - V s

3 .2 . Построение ненормализованного графа системы

уравнений

Для построения ненормализованного графа преобразуем

систему уравнений(ЗЛ)следующим образом. В первом уравнении

прибавим к обеим частям ЗС< и решим это уравнение относи- '

тельно X* . К обеим частям второго уравнения прибавим X , , решив его относительно Ха и т .д . Ё результате получим си­

стему уравнений ( 3 .3 ) .ас, ЧВ««+ ^ *...+ В,„оси v(i){<; "j

В ц + СЬд.1* "О ^ 1 + •• • + В*цХи Ч 1) | ч > I (3 .3)

*;,= + 6lU*L * . .. 4 (6И„4 i)X„ Ч 1) III .JПо системе уравнений ( 3 .3 ) построим матрицу ненорма­

лизованного графа. Она состоит из двух субматриц. Первая

субматрица равна матрице коэффициентов к элементам,стоящим

в главной диагонали которой C lu , прибавлена единица. Вто­

рая субматрица содержит 4П столбцов и ft. строк; в главной

диагонале этой субматрицы стоят - I ( остальные элементы

равны нулю). tH - число свободных членов ф 0 .

- 30 -ос, *1 • е е ЭСц и • • •

и • • • В,И - 1 0 . . . 0вм ( М !• « • Вд, 0 - 1 . . . 0

Ви, Виц . 1

У 31

) 0 0 . . . - 1

Построение ненормализованного графа по полученной мат­

рице производится так же, как и построение нормализованного графа.

Пример 3 .3 . Построить ненормализованный граф по системе уравнений, приведенной в примере 3 .1 . Показать, что получен­

ный граф эквивалентен графу, изображенному на рис. 3 .1 .Решение. После соответствующих преобразований получим

X t - 4 X i + U *

Строим матрицу ненормализованного графаэс, *2. я *

зе, — • а - 1 0эех — * 12 0 -4

Если в графе, изображенном на рис. 3 .3 устранить всепетли, то получим граф, приведенный на рис. 3 .1 .

Пример 3 .4 . По заданной однородной системе уравнений ' 5 К , *■ = О Ц

г о с ^ о . )

построить ненормализованный граф. Проверить правильность ре­шения.

Решение.

- X * .

ас, 0 а

6 15 - 1 0 •* -2. 0 - i

Граф, соответствующий этой матрице, приведен на рис.

3 .4 .

Правильность решения проверяем, построив по этому гра-

В заключение следует отметить, что с точки зрения реше­

ния системы уравнений оба метода дают одинаковые результаты.

Однако, в ненормализованном графе проще коэффициенты передач, а нормализованный граф имеет более простую структуру. Кроме

того, при сложении сложных графов проще пользоваться ненорма­

лизованным графом.

4. СОСТАВЛЕНИЕ ГРАФОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

При косвенном методе построения графов электрических це­

пей предварительно составляются системы уравнений этих цепей.

Наиболее употребительными являются системы уравнений, состав­

ленных на основе метода узловых потенциалов и метода контур-

ных токов. Если при этом ис»одним является узловое напряже­ние, то граф называется Г/ -графом, & если контурный ток,то I -графем. Система уравнений Т/ -графа и I -графа в матрич­

ной ферме записывается следующим образом:

Y U = .Т,Z I - Е , ( 4 .1 )

где Y . и Z - квадратные матрицы проводимостей и сопротивлений;

. J и Е - матрицы-столбцы заданных токов и на­пряжений;

I М V - матрипы-столбцы контурных токов и уз­

ловых напряжений.

4 .1 . Составление 17 - графа для схемы, содержащей

только источники тока

Составим Уравнения U - графа для схемы, приведенной на рис. 4 .1 . Эта схема соответствует канонической форме, так как содержит только источники тока.

Процесс составления Т7 - графа производится следующим образом.

I . В схеме нумеруются все узлы (обычно слева направо).

Один из узлов считается базовым ( его номер - 0 ) . Относи­тельно базового узла отсчитываются напряжения всех осталь­ных узлов V{, ( I - 1 ,2 ,3 , . . . ) .

2. Составляется матрица напряжений. Элементами матрицы-

столбца напряжений являются напряжения 171 , располагающи­еся в порядке нумерации узлов. Напряжение базисного узла в

матрицу не входит. Знаки перед T fi не ставятся ввиду того,

что эти величины являются искомыми.

17= Ъ17б

(4 .2 )

3. Число элементов матрицы-столбца 3 равно числу эле­

ментов матрицы-столбца XI . Каждый элемент матрицы 3 оп­

ределяется как сумма задающих токов, относящихся к соответ­

ствующему узлу. Токам, входящим в узел, приписывается знак

"+", выходящим из узла - знак Элементы матрицы 3 могут

быть равны нулю, если в данный узел не входит ток непосред­ственно от задающего генератора и не выходит ток непосредст­

венно к задающему генератору.

J = з*

Зь

(4 .3)

4 . Составление матрицы Y . Квадратная матрицаY содер­жит П?" элементов. Каждый элемент главной диагонали Удив­

ляется суммой проводимостей ветвей, примыкающих к узлу I .

Неди&гональные элементы У ы определяются проводимостями

между ( ' - м и $ -м узлами; причем, знак противополо-

иен знаку соответствующей проводимости

. " « г 0

Y - Уа+ У 4

/ 0 - у , чь+у .

Уравнение цепи в матричной форме

УгУх -Ух 0 V-Ух Ух+Уъ -У, X TJz =0 - % Уь+У<| и4

Для построения ненормализованного графа необходимо предварительно составить А -матрицу

-Ух 0

оо-и1

А = -Ух 4-1 я,, 0 -1 00 -у/ 0 0-1

(4 .6)

Полученная матрица соответствует графу с шестью пере­менными:ч

- зависимые переменные;- независимые переменные.

Ненормализованный 17 -граф соответствующий электричес-

4 .2 . Составление I - графа для схек, содержащих только источники напряжений

Требуется составить X -граф для схемы на рис. 4 .3 .

Рассматриваемая схема соответствует канонической форме, так

как она содержит только источники напряжений.

Процесс составления I -графа включейт следующие опе-

1. В схеме нумеруются всё'контуры. Положительным нап­

равлением контурных токов обычно выбирают направления, сов­

падающие с движением часовой стрелки.

2. Составляется матрица-столбец J . Так как токи 1 1

являются искомыми величинами, то знаки перед ними не ставят­

ся. г<Т ,

I .

(4 .7)

3.» Составляется матрица-столбец Е . Число элементов матрицы-столбца Е равно числу элементов матрицы-столбца

I .Каждый элемент матрицы определяется как сумма Э Д С

источников, включенных в соответствующий контур . ЭДС

приписывается знак если ее направление совпадает с на­

правлением контурного тока, и знак - если не совпадает.

Ё = О, если в контуре нет источников напряжения.

’Е = Е«

-Ег

(4 .8)

4 . Составляется матрица Z • Число элементов квадрат­

ной матрицы Z равно Yl?'. Z £ t - сумма сопротивлений вет­

вей, образующих L -й контур. Недиагональные элементы ~2Цк определяются общими сопротивлениями L -го и -го кон­

туров; причем, знак Z LK противоположен знаку общего сопро­

тивления.

z =z < + z t z*, О

-Z*. - z 5

0 " Z s z 5 + z 6

(4 .9)

Уравнения контурных токов, записанные в матричной форме, имеют вид

Za 0 I< -E,

-Z* Zi+Z^+Z/, + z 5 -Z 6 X - E<

0 - Z s Z s *-Z^ lb -E jl

(4.10)

Нормализованный I -граф, построенный по этому уравнению

Ел

4 .3 . Примеры на составление U - и I - графов.

Пример 4 .1 . Для схемы, приведенной на рис. 4 .1 . .пост­

роить нормализованный U -граф.

Решение. Перемножим матрицы в исходном уравнении гра­

фа ( 4 .6 ) .

w + - а д =v ^ ,-4i,Vx Н ^ + У ^ Я . , .

Решим полученную систему уравнений относительно иско­

мых переменных

T W r b - t i -V 4.L «а

1 ~ц +

%

i

ъ - Уц-Ч* 1 1

ъ - У,+У<,Т]~ —__2i - . i T +• ______ .Ub Ч4+Чц Vz Ч -^Ч ' 6У ь+Уч

Этот же результат можно получить, применив правило иск­

лючения петель к графу, приведенному на рис. 4. 2.Пример 4 .2 . Составить ТГ -граф для пассивной цепи, не

составляя системы уравнений. По полученному графу составить

систему уравнений равновесия узловых наряжений и сравнить ее

С системой уравнений, составленной непосредственно по схеме.

Убедиться в их равносильности.

l b 1—— 1- С Р -

1----1

г ь

• —1 *

1 Г

* I У*

JРис. 4 .5

Решение. Составим ненормализованный U -граф.

W V IРис. 4 .6

Система уравнений, соответствующая этому графу, имеет

вид

v 4- ( v ,+ t f ^ y t +i)T74- y ^ V t - .y bu s ;

3 =-У6И , - W e^i + W s + y s + V l ) ^ .

Для схемы электрической цепи запишем систему уравнений узловых напряжений

У,+Уг,+Уь -ч* V. Q

Ух -̂У^+У^ -Уз X Уг — 0

-у5 Ч4+У5^ 4 Уь 0

Для получения A-матрицы необходимо в матрицу проводи­мостей добавить субматрицу

- 39 - .II - i Q QI 0 - i 0II 0 0 - 1 .

Пример 4 .3 . Составить нормализованный ТГ -граф для

схемы, содержащей активный элемент К и источник тока 30

Решение,Построим граф электрической цепи.

Матрица проводимостей запишется в следующем виде.

Уо+Уа -«и 0 0

Чи 4 r ^4a4+4hi ” 4x4 'У«0 -Уюь УилУм+Увх 00 -Мм О Ч*|)+Чн+Ув**

- 40 -На практике приходится иметь дело с неидеальными эле­

ментами; поэтому при построении графа для входных и выход­

ных узлов активнрго элемента учитывается входная Чех и вы­

ходная Увых проводимости. •Эо0 U = V i0 * V iО и ,

Пример 4 .4 . Составить систему уравнений контурных токов

и построить ненормализованный и нереализованный Г -графы для электрической цепи.

Решение. Преобразуем схему к виду, соответствующему ка­нонической форме уравнений.

-CD-ь .............. ' ' ■ I z . j

Рис. 4.10Составим систему уравнений контурных токов.

+ -z*. It~ Z j , z t +z4 + X la f a 9

Матрица А ненормализованного графа имеет вид Z ^ Z K+ i - z t - i 0

ZL+Zi+Z,,+ i 0 - i

- 41 -

Строим по этой матрице ненормализованный I -граф.

- 1

Et*

Рис. 4 . I I

Нормализованный I -граф будет иметь вид

i ____ -г.к 1■Z«+Zj, Z i + Z^+Z*,

Рис. 4.12

ПРИЛОЖЕНИЕ I

Задачи на применение правил упрощения структуры направо

денных графов.П.1. Для направленных графов, изображенных на рис. П .1 .,

1. Инвертировать ветвь ” С ”.

2. Инвертировать ветвь " Ь ”.3. Инвертировать ветвь ” CL ”.

м )CL Ь

I . Инвертировать ветвь " 0L ". Инвертировать ветвь " 6"

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Задачи на применение правила Мэзона для графа с одним

источником при нахождении передачи между источником

и промежуточной вершиной

Задача П .2.1.Найти передачу Между верши­

нами и Vi у предваритель­

но исключив петли в верши­нах 17* и TJZ .

Найти передачу между верши­нами 1Л, и 17г ;

а) непосредственно по прави­лу Мэзона;

б) предварительно исключив

контур между вершинами 17*. и

V* .Задача П .2.3.

----------------р т - ге j t _ е iа. V " V

V 5Ч'

и° г ч >1 / £ J x<~

Найти передачу между вершинами 1 Тц и 170 e

Найти передачу между вершина­ми V s и 77/ !

1. Непосредственно применив правило Мэзона.

2. Исключив петлю п ь и при­

менив правило Мэзона.3. Показать, что в обоих случаях решение является рав­ноценным.

Задача П .2.4. -------------------- иг

Определить передачу между вершинами U j и I/* .

что при устранении петель с передачами <L , J i , ^ , & в

вершинах графа, нахождение передаточнбй функции по правилу

Мэзона упрощается.

Задача П.2.9»С помощью правила Ыэзона найти передачи графов, изобра­

женных на рис. ПЛЛа+и.'Показать равносильность выражений,

полученных с помощью правила Мэзона и методом упрощения

структуры графов.

Задачи на нахождение передаточных функций между произ­вольными вершинами графа по правилу Мэзона

Задача П .3.1.

Для графов в задачах П .2.2, и П .2 .3 , найти передачи между вершинами T7L , U) и J /, , !«, соответственно.

Задача П .3.2.

Найти передачу между вершинами и 'Хь .

Задача П .3.3. Для графа, приведенного в задаче П .2.б, найти передачу между вершинами X j .

Задача П .3.4.

Найти передачу между вершинами Хъ и 1Л, .

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

<L

а

•и

Задача П .3.5.

Найти передачу между вершинами J 5 и J * .

Определить передачи: а) между вершинами ^ к Ч ;

б) между вершинами U$ и .

к

Задачи на применение правила Ыээона к графам с несколь­

кими источниками.

Задача П .4.1.

Найти передачу:а) между вершинами Vs и ХГ,. ;

б) между вершинами Ujr и .

Задачу решить по первому и второму способам

6

Задача П.4.2 .Определить передачу между вершинами U 5 и Uii . Затем

определить передачу между вершинами U 5 и U r . Задачу ре­

шить применяя правило Мэзона к каждому источнику.

Задача П .4.3.

Определить передачу между вершинами Z/ц и L / j .

Задача Р .4 .4 .

Определить передачу между вершинами V y и 170 . Затем

Перенести источник Х7Г в узел и определить передачу

между "Цг и Ц , .U r

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Задача на построение нормализованных графов систем уравнений.

Задача П.5 Л .

По системе уравнений. = 0 б о ^ -х ^ х ь + е х ^ о IgiV-dXb-x* = 07f *

эеъ =о, )не составляя матрицы А .и в явном виде, построить нормализо­

ванный граф. Определить по нему источники, стоки, смешанные

узлы, а затем составить матрицу А .ц . Проверить правильность

решения задачи, составить по найденному графу систему урав­

нений.

Задача П .5.2.

По заданной системе уравнений

Х1=ЗХ5, ■ ,

не составляя матрицы Ан , построить нормализованный граф.

Составить по графу матрицу А и и систему уравнений.

Задача П .5 .3 .

По заданной системе уравнений

б х ^ т , . = 4 4 , ]

построить нормализованный граф и составить по графу матрицу А ц . Правильность решения проверить, составив по графу си­

стему уравнений.

Задача П .5.4.

По заданной системе уравнений2Ж,* Зх ,, = 9 ,

э е , Х ь + ЗСЦ--8. ,

+ 2т ь +

составить матрицу А н и нормализованный граф.

Задача П .5.6.

Построить нормализованный граф заданной системы уравне­ний

а 1Х ,+а,Х д.И *ьХь + а ч Х ,| ~0 , "6^ , 8ьХ ъ+ б1,Х „ = 0 ,с ^ х ^ с ^ х ^ + е ь Х ь + С ц х ц = о , с11х ,+ с 1Ах^тс14х ъ к 1 ̂Х ч - 0 .

Задача П .5.6.

Построить нормализованный граф системы уравнений

с ц х ^ с и х , . ^ , ]84х , + B i x L =0 J

и записать матрицу А « .Проверить правильность псацня путем

составления системы уравнений по найденному гра^у.

ПРИЛОЖЕНИЕ б

Задачи на построение ненормализованных графов систем уравнений

Задача П.6. I ,

Для примера 5 .1 . построить ненормализованный граф и

записать матрицу А .

Задача П .6.2.

По заданной система уравнений6*4 Т, =0, |4Т6-^Х1+53С1- 0 ) V

1Z.0C4+ ЗСг-%Х<=0 Jпостроить ненормализованный граф и матрицу А • Проверить

правильность решения, построив по графу систему уравнений.

Задача П .6.3.

По заданной системе уравнений

5 x , + 2 x t H 2 Jпостроить ненормализованный граф и матрицу А •

Задача П .6.4.

Для задачи П .5.4, построить ненормализованный граф, ис­

пользуя матрицу А . Устроить петли в полученном графе и

сравнить с нормализованным графом.

Задача П .6.5.

По заданной системе уравненийх ,+ + тсч = 0 ,"

3 * , * И х г + Х ц =0\ 5 X, ■» 5 ХА+5 Ж* +10 ое„ = 0 ,

l z с, + *■£., =10

построить ненормализованный граф и матрицу А . Показать, что произойдет с графом электрической цепи, если к правой

части первого уравнения добавить некоторое постоянное чис­ло д .

Задачи на составление 17-

цепей.

Задача П .7.1.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7

и I -графов электрических

Для заданной схемы методом

контурных токов построить нормализлванный I -граф.

Для схемы,изображенной на ри­

сунке, построить нормализован­ный U -граф методом узловых напряжений.

Задача П .7.3.

Уа / \Е * _____ Для заданной схемы соста-

I вить I -граф. По составлен­

ному 1 -графу записать мат­

рицу Z и систему равнове­

сия контурных токов. Соста­

вить матрицы А и и А , нормализованного и ненормализованного

графов.

Задача П .7.4.

Применяя метод контурных то­ков построеить для заданной

схемы ненормализованный и

нормализованный I -графы.

По построенным графам запи­

сать матрицы А н " А .

- 54 -СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мэзон С ., Цимерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. /Пер. с англ.-М .: Изд.иност.лит-ры, 1963 г . -620 с.

2. Силаев М.А., Брянцев С.Ф. Приложение матриц и графов к

анализу СВЧ устройств. -М.: Сов.радио., 1970г. -248 .

3. Гуревич И.В. Основы расчетов радиотехнических цепей.Ли­нейные цепи при гармонических воздействиях / 3-е изд-е. -М.: Связь, 1975. -448 с.

4 . Ефанин Н .Е., Остапенко А. Г. .Косиков В.И. Активные ЕС-филь-

тры на повторителях напряжения. / -М.:Радио и связь ,1981. -88 с.

5 . Капустян В.И. Проектирование активных RC -фильтров высоко­

го порядка. -М.:Радио и связь, 1982.- 160 с.

6. Остапенко Г.С. Аналоговые полупроводниковые интегральные микросхемы. -М.:Радио и связь, 1981. -280с.

7. Абрахамс Дж.,Каверли Дж. Анализ электрических цепей мето­дом графов. / Пер. с анг.-М.:Мир,1967. -176 с.

RRF.nRHHF. 3

I . Методы упрощения структуры графов ^

1 .1 . Основные определения терминологии направленных графов 4

1 .2 . Основные правила упрощения структуры графов *

Объединение однонаправленных параллельных ветвей 8

Объединение однонаправленных последовательных ветвей, Исключение смешанного узла

Объединение разнонаправленных параллельных ветвей 9 Исключение петли 9

Инверсия ветвиРасщепление узла 15

1 .3 . Примеры на применение правил упрощения структуры на- ik

правлегамх графов

2. РЕШЕНИЕ ГРАФОВ С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА МЭЗОНА 14

2 Л . Правило Мэзона для решения графа с одним источником 13

2 .2 . Правило Мэзона для определения передачи между двумяпромежуточными вершинами £2.

2 .3 . Правило Мэзона для решения графа с несколькими источ- 23

никами

3. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФОВ ПО СИСТЕМАМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕС­

КИХ ЦЕПЕЙ *5

3 .1 . Построение нормализованного графа системы уравнений 25

3 .2 . Построение ненормализованного графа системы уравнений £9

4 . СОСТАВЛЕНИЕ ГРАФОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 31

4 .1 . Составление U -графа для схемы,содержащей только ис-32,

точники тока4 .2 . Составление I -графа для схем, содержащих только ис-

»точники напряжений

4 .3 . Примеры на составление TJ- и X - графов

ПРИЛОЖЕНИЯ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

' Виктор Михайлович Лисенков, Александр Александрович Тихоненков, Михаил Семенович Резников

АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ МЕТОДОМ НАПРАВЛЕННЫХГРАФОВ

Методические указания для самостоятельной работы студентов

Редактор Т. Н. Т и х о м и р о в а Технический редакто|р М. Б. О с т а п о в и ч

Корректор М. В. А в д е е в а

Редакционно-издательский отдел МИИТа 101475, Москва, А-55, ул. Образцова. 15

Типография МИИТа

Подписано к печати 11.10.88. Усл.-печ. л. 3,5.Изд. № 24—87.

Уч.-нза. л. 2,37. Заказ № 1858.

Формат 60X847i6. Тираж 500 экз.

Бесплатно.