МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

_________________ (МИИТ)________________________

Кафедра автоматизированного проектирования и графического моделирования

В.Н. АВЕРИН, Ф.И. ПУЙЧЕСКУ

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов 1 курса всех специальностей

МОСКВА - 2008

УДК 514.764.324 А 19

Аверин В.Н., Пуйческу Ф.И. Прямоугольная изометрическая проекция: Методические указания к практическим занятиям по инженерной графике. - М.: МИИТ, 2008. - 27 с.: ил.

Приведены краткие сведения из теории аксонометрических проекций, показано рас­положение аксонометрических осей и значения коэффициентов искажения по этим осям для стандартных видов аксонометрических проекций. Рассмотрены этапы построения пря­моугольных изометрических проекций плоских фигур (окружность, правильный шести­угольник), геометрических тел (цилиндр, конус, щар), имеющих сквозной призматическое отверстие, а также часто встречающихся конструктивных элементов деталей (фаски, фланцы, отверстия, выемки).

Издание предназначено для студентов всех специальностей университета.Ил. 34

© Московский государственный университет путей сообщения

(МИИТ), 2008

Введение.

Раздел «Аксонометрические проекции» является одним из наиболее важных и инте­ресных в курсе начертательной геометрии. Используя теорию аксонометрии, можно легко строить наглядные изображения геометрических фигур, деталей, сборочных единиц и других реальных объектов.

Ограниченность времени, отводимого на освоение начертательной геометрии, не по­зволяет подробно изучить указанную теорию. Поэтому в настоящих методических указа­ниях приведены лишь основополагающие сведения по построению аксонометрических проекций геометрических фигур (точка, окружность, правильный шестиугольник), а так­же тел со сквозными призматическими отверстиями (цилиндр, конус, шар). Кроме этого показаны этапы построения аксонометрии наиболее распространённых конструктивных элементов (фасок, фланцев, отверстий). Все построения выполнены в прямоугольной изо­метрии - наиболее наглядном виде аксонометрических проекций. За основу построения аксонометрических проекций геометрических фигур, тел или конструктивных элементов взяты их ортогональные чертежи.

1. Общие сведения из теории аксонометрических проекций

Аксонометрической проекцией (аксонометрией) геометрической фигуры называется параллельная проекция этой фигуры и связанной с ней прямоугольной системой коорди­нат. В качестве примера на рис. 1 показана параллельная проекция на плоскость П ' точки А и связанной с ней прямоугольной системы координат Oxyz. Для получения на­глядности (эффекта объемности) изображения выбирают такое направление проецирова­

ния s, при котором ни одна из трех координатных плоскостей (хОу, xOz или yOz) не имела бы на плос­кости П' вырожденной проекции в виде прямой ли­нии.

В этом случае любые отрезки, расположенные на координатных осях (например, ОАх, ОАу, OAz, которые являются координатами точки А), будут проецироваться на плоскость ГГ искаженно, т. е. не в натуральную величину.

Отношение аксонометрической проекции от­резка, расположенного на координатной оси или па­

раллельно этой оси, к натуральной величине этого отрезка называется коэффициентом ис­кажения аксонометрической проекции по данной координатной оси. В теории аксономет­рии используются три коэффициента искажения:

и = ОА 'х/ОАх; v =ОА 'у/ОАу; w = OA 'z/OAzпо координатным осям Ох, Оу и Oz соответственно.Если и = v = w, то такая аксонометрическая проекция называется изометрией.Если и = w - диметрией. Если и & w - триметрией.

В зависимости от направления проецирования s по отношению к плоскости П ' раз­личают прямоугольную аксонометрию, если s ± П ' или косоугольную аксонометрию, ес­ли направление s не перпендикулярно плоскости П '.

Точки А'и А г2, А'з аксонометрического чертежа называются соответственно вторич­ной горизонтальной, вторичной фронтальной и вторичной профильной проекцией точки А, то есть это по существу аксонометрические проекции ортогональных проекций этой точки.

На аксонометрическом чертеже любая последовательность трех взаимно перпенди­кулярных отрезков, являющихся аксонометрическими координатами точки А, в которой начало последующего отрезка совпадает с концом предыдущего (например, последова­тельность 0'А'Х- A'xA'i - A'iA ), называется координатной ломаной точки А. Независимо от последовательности построения координатной ломаной, её конечной точкой будет ак­сонометрическая проекция точки А.

Рис. 2. Построение аксонометрии точки А

В качестве примера на рис. 2 показан ортого­нальный и аксонометрические чертежи точки А. При этом построены вторичная фронтальная про­екция точки А (см. точку А 2 на рис. 2, б) и её вто­ричная горизонтальная проекция (см. точку А ; на рис. 2, в). В первом случае использована коорди­натная ломаная О А 'х - А 'х А 2 - А ЬА '(последова­тельность координат x ' - z ' - y ' ) а во втором случае - координатная ломаная О А 'х - A 'х A ) - А '/А' (по­следовательность координат x '—y '—z').

В дальнейшем понятие вторичной проекции бу­дет использовано при построении изображения сквозного призматического отверстия в цилиндре, конусе и шаре.

2. Стандартные аксонометрические проекции

Стандартом (ГОСТ 2.317 - 69) предусмотрено пять типов аксонометрических проек­ций, которые применяются в чертежах изделий для всех отраслей промышленности и строительства. ,

1 Прямоугольная изометрическая проекция имеет натуральные коэффициенты иска­жения по координатным осям u = v = 0,82. Для удобства построения применяют при­веденные коэффициенты искажения U = V = W -= 1, в результате чего аксонометрическое

изображение получается увеличенным в 1,22 раза по отношению к ортого­нальному изображению. Расположение аксонометрических осей показано на рис. 3, а. Их построение будет рассмот­рено далее.

2. Прямоугольная диметрическая проекция (натуральные коэффициенты искажения и = w = 0,94; v - 0,47) обычно использует приведенные коэф­

фициенты искажения U = W = 1 ; V =0,5 (увеличение изображения в 1,06 раза). Располо-жение аксонометрических осей показано на рис. 3, б. Построение осей О'х 'и О'у' произ­водится с помощью тангенсов обозначенных углов: tg 7° 10' « 1/8; tg 41°25' « 7/8.

Ут“ 3. Косоугольная фронтальная изомет­рическая проекция имеет натуральные ко­эффициенты искажения и = v = w = 1 .по координатным осям, а расположение этих осей показано на рис. 4, а. Здесь в скобках приведены допускаемые значения угла на­клона оси ОУ-

Рис. 4. Расположение осей:а) - во фронтальной изометрии (диметрии)б) - в горизонтальной изометрии

4. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция имеет натуральные коэффи­циенты искажения и — w = /; v = 0,5 по координатным осям. Расположение этих осей по­казано на рис. 4, а.

5. Косоугольная горизонтальная изометрическая проекция имеет натуральные коэф­фициенты искажения и = v = w = 1 по координатным осям, а расположение этих осей по­казано на рис. 4, б.

3. Прямоугольная изометрия

3.1. Построение аксонометрии плоских фигур

Построение координатных осей.

1. Вертикально строим ось z ',намечаем на ней начало координат (О '),

проводим дугу произволь­ного радиуса R.

2. Из нижней точки дуги радиусом R строим на этой дуге две засечки ( точки А и В).

3. Через точки А' и В', а также начало коор­

динат проводим оси О'х' и О у .

У'

Рис. 5. Этапы построения аксонометрических осей

Построение овала, заменяющего эллипс - аксонометрию окружности

Аксонометрической проекцией окружности является эллипс, имеющий следующее со­отношение большой и малой осей: Б.о. = 1,22 d, М.о. = 0,71 d, - где d - диаметр изобра­жаемой окружности. Малая ось эллипса всегда располагается вдоль свободной коорди­натной оси. Эта ось перпендикулярна плоскости, в которой расположена изображаемая окружность. Например, если изображаемая окружность располагается в плоскости, парал­лельной Щ то свободной является координатная ось Оу. При расположении окружности в плоскости, параллельной Пь свободной является ось Oz.

Малая ось эллипса равна стороне квадрата, вписанного в изображаемую окружность. Поэтому построение начинаем на ортогональном чертеже окружности с определения от­резка «а» - половины стороны указанного квадрата (рис. 6).

Задан ортогональный чертеж окружности

строим две дуги радиуса R=2a, находим точки А ' и С ' большой оси эллипса.

Рис. 6. Этапы построения овала, заменяющего эллипс - аксонометрию окружности, расположенной в плоскости проекций П 1

Для удобства построения эллипс заменяем овалом - четырёхдуговой циркульной кри­вой. Центры дуг овала определяем пересечением осей эллипса с окружностями, радиусы которых равны длине большой и малой его полуосей.

На рис. 7 и 8 показана последовательность построения овалов для аксонометрии ок­ружности, расположенной в плоскостях проекций Пг и Пз соответственно или параллель­но эти плоскостям.

Рис. 7. Построение овала для окружности, расположенной в плоскости проекций П2, (свободной является координатная ось Оу)

Рис. 8. Построение овала для окружности, расположенной в плоскости проекций П3, (свободной является координатная ось Ох)

На рис. 9 - 1 1 показано построения аксонометрического изображения правильного шестиугольника, расположенного в плоскостях проекций П\, Пг и Пз соответственно или параллельно этим плоскостям.

В основе построений лежат соответствующие ортогональные чертежи фигуры.Z

а 2 а г = р г с г =

Гх

х '1. На координатных осях строим точки A ',D \ 1 \2 '

У I

2. Через точки 1' и 2' проводим отрезки, параллельные оси Ох и строим недостающие точки

Рис. 9. Этапы построения аксонометрии правильного шестиугольника, расположенного в плоскости П1

Рис. 10. Аксонометрия шестиугольника, расположенного в плоскости П2

Рис.11. Аксонометрия шестиугольника, расположенного в плоскости П3

3.2. Построение аксонометрии геометрических тел, имеющих призматическое отверстие

Построение изображения цилиндра

При построении аксонометрии окружности вместо эллипса строим овал.

1. Строим вид сверху

оси и основания цилиндра вторичную проекцию отверстия

Рис. 12. Этапы 1-3 построения аксонометрии цилиндра

4. Строим точки 1 \ 2', 3', 4 ' разрыва линий аксонометрического очерка

точки на вторичных проекциях линий сквозного отверстия

6. Строим точки на линях сквозного отверстия

призматического отверстия

9. Наносим штриховку

Рис. 14. Этапы 7-9 построения аксонометрии цилиндра

т

для аксонометриии трёх окружностей

Рис. 15. Этапы 1-3 построения аксонометрии конуса

4. Строим точки касания 5. Строим 1/4 выреза фигурыоснований линиями очерка и вторичную проекцию отверстия

6. Строим точки V, 2', 3', 4 ' разрыва линий аксонометрического очерка

7. Строим дополнительные точки на вторичной проекции линий

призматического отверстия

овал10. Наносим штриховку

1. Для наглядности строим три ортогональных изображения шара и на линиях отверстия намечаемточки для построения их в аксонометрии.

Рис. 18. Построение ортогонального чертежа шара

Ортогональный чертёж шара (рис. 18) содержит главное изображение (вид спереди), сочетание вида сверху с горизонтальным разрезом и сочетание вида слева с профильным разрезом. Построение на горизонтальной проекции линий призматического отверстия вы­полнено двумя дугами окружности радиуса R1, измеренного на главном изображении. Построение на профильной проекции линий призматического отверстия выполнено двумя дугами окружности радиуса R2, измеренного на главном изображении.

Отрезки, длины которых будут использованы в аксонометрическом чертеже, помечены символами.

2. На ортогональном чертеже определяем фронтальные проекции точек 1 , 2 , 3 , 4 разрыва линии аксонометрического очерка шара

Рис. 19. Этапы 2-5 построения аксонометрии шара

Аксонометрическим очерком поверхности шара (сферы) является окружность, диаметр которой равен 1,22 от диаметра изображаемой окружности. Это обусловлено увеличени­ем аксонометрического изображения при использовании приведенных, а не натуральных коэффициентов искажения по координатным осям.

Окружность сферы, которая проецируется в аксонометрии в виде её очерка, распола­гается в плоскости, проходящей через центр сферы перпендикулярно направлению про­ецирования S (см. на рис. 19 этап 2, а). Ортогональными проекциями указанной окружно­сти будут эллипсы, малые оси которых располагаются вдоль направления S.

Построим эллипс - фронтальную проекцию рассматриваемой окружности. Большая ось А2В2 эллипса располагается на фронтальном очерке сферы под углом 45° к координат­ным осям. Для нахождения точки С2 малой оси эллипса проведем через точку П линию , наклонённую к большой оси эллипса под углом 30 °(см. на рис. 19 этап 2 ,6). Эта линия

проходит через точку К, построенную засечкой дуги окружности радиуса R сферы. Пере­сечение построенного эллипса с фронтальной проекцией призматического отверстия оп­ределит точки Ь, 2i, З2 ,42 - фронтальные проекции точек разрыва линии аксонометриче­ского очерка сферы (см. на рис. 19 этап 2, в).

чертеже

Рис. 20. Этапы 6-8 построения аксонометрии шара

3.3. Построение аксонометрии конструктивных элементов деталей

Имея опыт построения аксонометрических проекций простейших геометрических фигур (окружности и правильного шестиугольника), можно построить аксонометрию

детали. При этом следует точно выполнять алгоритм построения этих изображений, опи­санный выше. Например, для каждой изображаемой окружности нужно графически опре­делить большую и малую оси эллипса, а также центры дуг овала, заменяющего эллипс.

Построение наружной фаски на цилиндрической поверхности

2. Строим цилиндр и вырез 1/4 части фигурыРис. 21. Построение наружной фаски

Рассматриваемая фаска представляет собой усечённый конус. Следовательно, в ак­сонометрии строим его основания (два эллипса), центры которых смещены вдоль оси Oz на высоту фаски h (рис. 21, этап 1). Для построения овала, заменяющего аксонометрию

окружности нижнего основания цилиндра, определяем лишь центры О 5 и О 4 дуг окруж­ностей радиусаК ' н г ' Для этого центры О 1 и О 2смещаем вниз на величину H-h (см. рис. 21, этап 2).

Построение внутренней фаски на цилиндрической поверхности

Рис. 22. Построение внут ренней фаски

Ортогональный чертёж фигуры

1. Строим изображение призмы 2. Строим дуги гипербол фаски

3. Окончательные построения

Рис. 23. Построение фаски на правильной шестиугольной призме

Z

Пi 1

" 1

■Q

,1

/ i \ I f \ \

• о

К Ч 7 мхJ

Ортогональный чертёж фигуры

1. Строим прямоугольник 2. Строим окружности округления углов фланца

3. Строим окружности отверстий

4. Окончательные построения

Рис. 24. Построение прямоугольного фланца

s 15

s 20

1. Строим прямоугольник и окружности двух отверстий

Рис. 26. Построение овального отверстия

S 2 0

Ортогональный чертёж фигуры

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение ..................................................................................................................................... 3

1. Основные сведения из теории аксонометрических проекций..................................... 3

2. Стандартные аксонометрические проекции.................................................................... 4

3. Прямоугольная изометрия...................................................................... 5

3.1. Построение аксонометрии плоских фигур..................................................................... 5

3.2. Построение аксонометрии геометрических тел, имеющих призматическоеотверстие................................................................................................................................ 10

3.3. Построение аксонометрии конструктивных элементов деталей........................... 18

Учебно-методическое издание

Владимир Николаевич Аверин Федор Ильич Пуйческу

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЗОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

Методические указания к практическим занятиям по инженерной графике для студентов всех специальностей

Подписано к печати - 2 3 . Об. 08. Формат- 60*s ^ / s Изд. № 45-08Усл.-печ. л. - 3 5 , Заказ № 2 .8 5 f_____________ ^________________________ Тираж 200 экз.________________________127994, Москва, ул. Образцова, 15, Типография МИИТа