ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ...
TRANSCRIPT
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Ю. Н. САНКИН
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
Рекомендовано федеральным государственным бюджетным образовательным учреждением высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана»
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки: «Технология машиностроения»,
«Машины и технология обработки металлов давлением», «Самолёто- и вертолётостроение», «Автомобиле- и тракторостроение».
Регистрационный номер рецензии 1709 от «11» января 2012 года МГУП
Ульяновск УлГТУ
2012
2
УДК 531(075) ББК 22.21. я7
С18
Рецензенты: кафедра «Общетехнические дисциплины» УлГПУ; А.С. Андреев, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Механика и теория управления» УлГУ.
Санкин, Ю. Н. Лекции по теоретической механике / Ю. Н. Санкин. – Ульяновск : УлГТУ, 2012. – 388 с. ISBN 978-5-9795-0933-4
Книга написана как расширенный и переработанный конспект лекций по теоретической механике, прочитанных автором студентам машиностроительного факультета Ульяновского государственного технического университета и студентам механико-математического факультета Ульяновского государственного университета.
Работа подготовлена на кафедре «Теоретическая и прикладная механика».
УДК 531(075) ББК 22.21. я7
Санкин Ю. Н., 2012 ISBN 978-5-9795-0933-4 Оформление. УлГТУ, 2012
С18
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 9 Предмет теоретической механики ...................................................................... 9 Краткий исторический очерк ............................................................................. 12
ЧАСТЬ 1 . СТАТИКА. КИНЕМАТИКА
СТАТИКА
1. Основные понятия и аксиомы статики ............................................................ 19 1.1. Некоторые основные определения ............................................................. 19 1.2. Аксиомы статики .......................................................................................... 20 1.3. Связи и их реакции....................................................................................... 22 1.4. Методические указания по решению задач статики ................................ 23
2. Система сходящихся сил ...................................................................................... 24 2.1. Теорема о переносе силы по линии ее действия ....................................... 24 2.2. Теорема о трех силах ................................................................................... 24 2.3. Система сходящихся сил. Нахождение ее равнодействующей. Условия равновесия ............................................................................................................ 25
3. Момент силы .......................................................................................................... 27 3.1. Момент силы относительно точки ............................................................. 27 3.2. Теорема о моменте равнодействующей системы сходящихся сил ......... 28 3.3. Момент силы относительно оси ................................................................. 28 3.4. Главный вектор и главный момент системы сил ...................................... 30
4. Теория пар сил ....................................................................................................... 31 4.1. Пара сил ......................................................................................................... 31 4.2. Теоремы об эквивалентности пар сил ........................................................ 31
5. Уравнения равновесия произвольной системы сил ...................................... 33 5.1. Теорема о параллельном переносе силы ................................................... 33 5.2. Основная теорема статики .......................................................................... 33 5.3. Следствие основной теоремы статики. Условия равновесия различных
систем сил, приложенных к твердому телу ................................................ 34 5.4. Определение опорных реакций однопролетных балок ............................ 37 5.5. Определение реакций опор составных конструкций .............................. 39 5.6. Простейшие фермы ...................................................................................... 40 5.7. Равновесие гибкой нити .............................................................................. 42 5.8. Трение ............................................................................................................ 47
6. Преобразование систем сил к простейшему виду ........................................... 52 6.1. Соотношение между главными моментами относительно двух различ-
ных центров приведения .............................................................................. 52
4
6.2. Статические инварианты ............................................................................. 52 6.3. Приведение пространственной системы сил к равнодействующей ....... 53 6.4. Теорема о моменте равнодействующей ..................................................... 53 6.5. Приведение пространственной системы сил к паре ................................. 54 6.6. Приведение пространственной системы сил к динамике ........................ 54
7. Центр тяжести ........................................................................................................ 56 7.1. Центр параллельных сил ............................................................................. 56 7.2. Центр тяжести тела ...................................................................................... 58 7.3. Примеры определения центров тяжести.................................................... 60 7.4. Теоремы Паппа-Гульдина ........................................................................... 63
КИНЕМАТИКА 8. Кинематика точки ................................................................................................. 66
8.1. Введение в кинематику ................................................................................ 66 8.2. Три способа определения движения точки ............................................... 67 8.3. Скорость и ускорение точки при векторном и координатном способах
задания движения .......................................................................................... 68 8.4. Скорость и ускорение точки в полярных координатах ............................ 71 8.5. Скорость и ускорение при естественном способе задания движения .... 72 8.6. Криволинейные координаты ...................................................................... 78
9. Кинематика твердого тела ................................................................................. 82 9.1. Поступательное движение твердого тела .................................................. 82 9.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси .................................. 83 9.3. Плоско-параллельное движение твердого тела ........................................ 85 9.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки .............................. 93 9.5. Движение свободного твердого тела ......................................................... 99 9.6. Основные теоремы о конечных перемещениях твердого тела ............... 101
10. Сложное движение точки ................................................................................. 106 10.1. Абсолютное, относительное и переносное движение ........................... 106 10.2. Абсолютная и относительная производные вектора ............................. 107 10.3. Теорема о сложении скоростей................................................................ 108 10.4. Сложение ускорений ................................................................................. 109
11. Сложное движение твердого тела ................................................................... 112 11.1. Общие замечания ..................................................................................... 112 11.2. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей .......... 112 11.3. Кинематическое исследование планетарных передач ......................... 115 11.4. Волновая передача .................................................................................... 117 11.5. Пара вращения .......................................................................................... 118 11.6. Пространственные механизмы для передачи вращательного движения ............................................................................................................ 119
5
ЧАСТЬ 2 . ДИНАМИКА. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
ДИНАМИКА
12. Законы Ньютона. Динамические уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики ............................................................... 127
12.1. Законы Ньютона ....................................................................................... 127 12.2. Динамические уравнения движения материальной точки ................... 130 12.3. Две основные задачи динамики свободной материальной точки ....... 132 12.4. Движение точки под действием центральной силы ............................. 135 12.5. Задача двух тел ......................................................................................... 140
13. Основы теории колебаний материальной точки ........................................ 142 13.1. Свободные колебания материальной точки ........................................... 142 13.2. Затухающие колебания материальной точки при наличии силы
сопротивления, пропорциональной скорости ........................................ 146 13.3. Вынужденные колебания материальной точки при отсутствии силы
сопротивления среды ................................................................................ 150 13.4. Вынужденные колебания материальной точки с учетом силы
сопротивления среды ................................................................................ 153 13.5. Вынужденные колебания материальной точки под действием
периодической возмущающей силы общего вида .................................. 157 13.6. Вынужденные колебания под действием произвольной
возмущающей силы ................................................................................... 159 13.7. Комплексная форма решения задачи о вынужденных колебаниях
материальной точки при произвольном периодическом возмущающем воздействии. Передаточная функция ........................... 160
13.8. Некоторые свойства передаточной функции ........................................ 161
14. Теорема об изменении количества движения .............................................. 164 14.1. Общие теоремы динамики как методы исследования механического движения ............................................................................................................. 164 14.2. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме ................................................................................................................... 166 14.3. Теорема о движении центра масс ........................................................... 170 14.4. Теорема об изменении количества движения в интегральной форме .... 173 14.5. Динамика точки переменной массы ....................................................... 174
15. Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) системы материальных точек ............................................................. 177
15.1. Понятие о моменте количества движения материальной точки и сис-темы материальных точек ........................................................................ 177
15.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки ........................................................................................................... 178
6
15.3. Теорема об изменении момента количества движения системы материальных точек ................................................................................... 181
15.4. Главный момент количества движения твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси .......................................................................... 183
15.5. Моменты инерции .................................................................................... 183 15.6. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей ....... 187 15.7. Момент инерции относительно оси, произвольно расположенной в
пространстве ............................................................................................... 188 15.8. Вычисление момента количества движения (кинетического момента)
твердого тела во вращательном движении вокруг неподвижной точки ............................................................................................................ 191
15.9. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси ....................................................................................... 192
15.10. Физический маятник ............................................................................... 193 15.11. Давление на ось вращающегося тела ................................................... 196 15.12. Теорема об изменении момента количества движения в
относительном движении относительно центра инерции .................... 198 15.13. Закон сохранения момента количества движения ............................... 200
16. Некоторые задачи динамики твердого тела ................................................ 203 16.1. Элементарная теория гироскопа .............................................................. 203 16.2. Уравнения Эйлера для твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки .................................................................................... 205 16.3. Движение твердого тела в случае Эйлера–Пуассона ........................... 207 16.4. Случай Лагранжа–Пуассона ................................................................... 210 16.5. Дифференциальные уравнения вращения симметричного твердого
тела вокруг неподвижной точки в осях, не связанных с телом ........... 213 16.6. Регулярная прецессия симметричного тела .......................................... 214 16.7. Уравнения движения гироскопа на подвижном основании ................ 216 16.8. Гиротахометр (датчик угловых скоростей) ........................................... 219 16.9. Гироскопы Фуко ....................................................................................... 221
17. Теорема об изменении кинетической энергии ............................................ 225 17.1. Работа силы. Мощность .......................................................................... 225 17.2. Примеры вычисления работы силы ....................................................... 226 17.3. Кинетическая энергия системы материальных точек .......................... 230 17.4. Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении
вокруг неподвижной оси, точки и в общем случае движения ............. 232 17.5. Теорема об изменении кинетической энергии ...................................... 235
18. Теория потенциального силового поля ......................................................... 240 18.1. Понятие о силовом поле .......................................................................... 240 18.2. Необходимые и достаточные условия независимости работы сил
поля от формы траектории ........................................................................ 241 18.3. Теорема об изменении механической энергии ..................................... 245
7
19. Принцип Даламбера .......................................................................................... 249 19.1. Основные определения. Связь принципа Даламбера с теоремой об
изменении количества движения и момента количества движения .... 249 19.2. Уравнения плоско-параллельного движения твердого тела ................ 251
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 20. Принцип виртуальных перемещений Лагранжа и принцип Лагранжа–Даламбера .............................................................................................. 254
20.1. Классификация связей ............................................................................. 254 20.2. Виртуальные (возможные) перемещения системы .............................. 256 20.3. Идеальные связи ....................................................................................... 258 20.4. Принцип виртуальных перемещений .................................................... 259 20.5. Применение принципа виртуальных перемещений ............................. 262 20.6. Принцип Даламбера–Лагранжа. Общее уравнение динамики ............ 268 20.7. Обобщенные координаты. Тождества Лагранжа .................................. 268 20.8. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах ..... 270 20.9. Примеры вычисления обобщенных сил ................................................ 271
21. Дифференциальные уравнения произвольной несвободной системы материальных точек ............................................................................................... 273
21.1. Уравнения Лагранжа первого рода ........................................................ 273 21.2. Уравнения Лагранжа второго рода ........................................................ 277 21.3. Построение математической модели сложной механической системы
с одной степенью свободы ....................................................................... 284 21.4. Свободные колебания при гистерезисном (конструкционном)
рассеянии энергии ..................................................................................... 287 21.5. Дифференциальные уравнения малых колебаний произвольной
системы твердых тел, соединенных упругими связями ......................... 289 21.6. Динамическое гашение колебаний ......................................................... 296 21.7. Построение математической модели сложной механической
системы ....................................................................................................... 300 21.8. Анализ выражения кинетической энергии для нестационарной
голономной системы ................................................................................. 305 21.9. Диссипативная функция для сил сопротивления общего вида ........... 308 21.10. Уравнения Лагранжа второго рода для системы, находящейся под
действием потенциальных сил. Интеграл энергии. Гироскопические силы ............................................................................................................ 311
21.11. Уравнения Лагранжа второго рода, разрешенные относительно старших производных ............................................................................... 316
21.12. Циклические координаты ...................................................................... 318 21.13. Функция Рауса ........................................................................................ 320
8
21.14. Уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах с множителями .................................................................... 322
21.15. Дифференциальные уравнения Аппеля ............................................... 329 21.16. Уравнения Аппеля в квазискоростях ................................................... 335
22. Канонические уравнения и теорема Якоби .................................................. 343 22.1. Центральное уравнение Лагранжа ......................................................... 343 22.2. Преобразование центрального уравнения Лагранжа ........................... 343 22.3. Преобразование Лежандра ...................................................................... 345 22.4. Канонические уравнения движения ....................................................... 348 22.5. Метод Якоби ............................................................................................. 354 22.6. Скобки Пуассона и скобки Лагранжа ..................................................... 362 22.7. Теорема Пуассона .................................................................................... 365 22.8. Канонические преобразования ............................................................... 367 22.9. Производящие функции .......................................................................... 369 22.10. Инвариантность канонических переменных ........................................ 371 22.11. Теория возмущений. Метод вариации постоянных ........................... 372 22.12. Канонические уравнения возмущенного движения ........................... 375
23. Принцип Гамильтона–Остроградского ......................................................... 377 23.1. Действие по Гамильтону ......................................................................... 377 23.2. Принцип Гамильтона–Остроградского .................................................. 378
Список рекомендуемой литературы..................................................................... 388
9
ВВЕДЕНИЕ
Предмет теоретической механики
Как известно, все физические тела (твердые тела, жидкости и газы, моле-кулы и элементарные частицы) состоят из вещества. Элементарные частицы, а также микроскопические тела, которые состоят из элементарных частиц, взаи-модействуют посредством физических полей. Вещество и поле являются объ-ективной реальностью и образуют материальный мир, который нас окружает.
Механикой называется наука о простейших формах движения веще-ства и поля, которые сводятся в конечном итоге к пространственным пе-ремещениям физических тел из одного положения в другое.
Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механического движения.
При этом следует помнить, что существуют другие формы движения мате-рии, которые не могут быть сведены к изменениям места в пространстве, а яв-ляются ее качественными изменениями, например, переход вещества в поле и рождение элементарных частиц из поля.
Движение вещества подчиняется законам квантовой механики, а при больших скоростях следует учитывать изменения, связанные с теорией относи-тельности. Таким образом, законы классической механики вообще не имеют области применения, поэтому спрашивается, зачем же изучать классическую механику?
Однако, хотя и нет ни одного явления, точно описываемого классической механикой, есть обширные области, описываемые ею в очень хорошем при-ближении.
Кроме того, в классической механике были развиты общие математические методы, составляющие предмет аналитической механики, которые оказались настолько совершенными, что по их образцу строятся сейчас многие физиче-ские теории.
Со времен Ньютона и до конца XIХ столетия механика рассматривалась как единственная основа физики. Понять и объяснить физическое явление оз-начало построить его механическую модель, понимаемую в буквальном смыс-ле, как некоторую механическую конструкцию из предметов, подчиняющихся законам классической механики. Например, для объяснения распространения световых волн была придумана упругая среда – «эфир», в котором световые ко-лебания распространились бы как звук в твердых телах.
Создатель электродинамики Максвелл потратил много сил на попытки на-делить эту среду такими свойствами, чтобы они описывались его уравнениями. В конце концов, физикам пришлось примириться с фактом существования яв-лений, которые принципиально не сводились к явлениям механическим.
Однако вместо реальных механических моделей стали использоваться ма-тематические, от которых требовалось не конструкционное подобие, а аналогия
10
в математическом описании. При этом для построения таких моделей по-прежнему используются механистические уравнения.
Основные понятия теоретической механики возникли в результате обоб-щения многочисленных наблюдений над явлениями природы с последующим абстрагированием от конкретных особенностей того или иного явления. К чис-лу таких абстракций относятся понятия материальной точки и абсолютно твердого тела.
Понятие о материальной точке возникло при рассмотрении движений фи-зических тел конечных размеров.
Если движения отдельных точек тела одинаковы или различиями этих движений можно пренебречь, то движение такого тела сводится к движению материальной точки.
Таким образом, за материальную точку в теоретической механике прини-мают не только мельчайшие частицы тела, но и тела весьма больших размеров, если размеры тела не играют существенной роли в данном исследовании.
Например, изучая движение планет вокруг Солнца, можно пренебречь раз-личием движения из отдельных точек по отношению к Солнцу и считать их ма-териальными точками. Однако, изучая движение искусственного спутника Зем-ли, следует принимать во внимание ее размеры, а иногда и особенности релье-фа поверхности.
Итак, материальной точкой называется тело, размерами которого в усло-виях данной задачи механики можно пренебречь.
Другим важным понятием механики является понятие о системе матери-альных точек.
Системой материальных точек называется совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны между собой.
Каждое материальное тело можно рассматривать как систему материаль-ных точек, если мысленно разделить его на достаточно малые частицы.
Все реальные физические тела под влиянием внешних воздействий дефор-мируются.
Однако для обеспечения прочности и надежности машин и сооружений подбирают материал и размеры их частей так, чтобы их деформации при дан-ных нагрузках были достаточно малыми. Поэтому в ряде случаев этими малы-ми деформациями можно пренебречь и считать расстояние между частицами тела неизменными.
Таким образом, мы приходим к понятию абсолютно твердого тела. Абсолютно твердым называется тело, расстояние между любыми
двумя точками которого всегда остается неизменным. И хотя в природе не существует ни материальных точек, ни абсолютно
твердых тел, законы, установленные в теоретической механике, как и другие законы естествознания, объективно отражают реальную действительность, причем факты, найденные в теоретической механике, отражают наиболее об-щие закономерности механических движений.
11
На основе законов, установленных в теоретической механике, изучается механика деформируемых тел: теория упругости и пластичности, гидроаэ-родинамика.
На теоретической механике основаны такие прикладные дисциплины, как сопротивление материалов, теория механизмов и машин, строительная механика.
Теоретическая механика является научной базой многих разделов совре-менной техники. На ее основе решаются закономерности динамических явле-ний в системах автоматического регулирования, вопросы устойчивости движе-ния механических систем.
В основе теоретической механики лежат законы Ньютона и система аксиом. Законы и аксиомы механики были пересмотрены в связи с развитием тео-
рии относительности. Тогда были уточнены и углублены такие понятия меха-ники, как масса и энергия, пространство и время. Оказалось, что классическая механика, основанная на законах Ньютона, является первым приближением к релятивистской механике и что ее следует рассматривать как механику малых скоростей.
Для классической механики характерно представление об абсолютном пространстве и времени. Это означает, что расстояние между телами и проме-жутки времени не зависят от движения системы отсчета, в которой они рассматриваются.
Непосредственный опыт показывает, что наше пространство трехмерно. Дальнейшее обобщение опытных фактов, связанных с пространственными
изменениями, приводит нас к выводу, что оно евклидово и, следовательно, од-нородно и изотропно.
Именно поэтому Исаак Ньютон определил геометрические свойства про-странства системой аксиом и теорем евклидовой геометрии, введя понятие об абсолютном пространстве и времени.
Такое определение пространства, как неподвижного, тождественно пред-положению существования абсолютно неподвижной системы координат.
В качестве такой системы Ньютон принимал гелиоцентрическую систему, начало координат, которой находится в центре Солнца, а оси направлены к трем «неподвижным» звездам.
Введенная Ньютоном система координат называется инерциальной. Однако можно принять как опытный факт, что существует сколько угодно
инерциальных систем, в которых пространство и время однородно и изотропно. То есть все инерциальные системы, движущиеся прямолинейно и равномерно относительно абсолютно неподвижной, совершенно эквивалентны по своим механическим свойствам.
Это утверждение составляет суть принципа относительности Галилея. При этом переход от одной системы к другой осуществляется согласно формулам:
, '
;
tt
tvrr
12
где r и r радиусы – векторы точек; constv – скорость относительного дви-жения системы со штриховыми обозначениями относительно системы, в обо-значениях которой штрихи отсутствуют. Время в обеих системах течет одина-ково, а координаты точек связаны линейными соотношениями. При этом ока-зывается, что преимущественную систему отсчета нельзя выявить при помощи чисто механических опытов, то есть абсолютное пространство Ньютона в ме-ханическом смысле не наблюдаемо.
Очевидно, временные и пространственные сдвиги, а также повороты про-странственных осей ведут к новой инерциальной системе. Поэтому подобные преобразования можно причислить к числу галилеевых преобразований.
К числу основных понятий механики относится понятие механической силы.
Сила есть мера взаимодействия между телами. Сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Следовательно, это векторная величина.
Теоретическую механику принято делить на статику, кинематику и ди-намику.
В статике изучаются методы эквивалентного преобразования сил, при-ложенных к материальной точке или абсолютно твердому телу, а также условия равновесия.
Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изу-чается механическое движение без учета действующих сил.
Изучением движения материальной точки, системы материальных точек твердого тела и системы твердых тел с учетом действующих сил занимается динамика.
Краткий исторический очерк
Термин «механика» был введен великим философом древности Аристоте-лем (384–322 гг. до н. э.). Происходит он от греческого слова «механе», что оз-начает «ухищрение», «машина».
Вообще механика наряду с математикой и астрономией является одной из самых древних наук.
Египетские пирамиды, сооруженные более трех тысяч лет до новой эры, остатки еще более древних сооружений Индии и Китая свидетельствуют о том, что в глубокой древности применялись катки, рычаги, блоки, облегчающие поднятие тяжестей.
Однако моментом возникновения механики следует считать появление первые сочинений, теоретически обобщивших накопленный опыт. Поэтому ос-новоположником механики следует считать величайшего ученого Древней Греции Архимеда (287–212 гг. до н. э.).
Архимед дал решение задачи о рычаге, открыл закон о давлении жидкости на погруженное в нее тело, носящий его имя, дал определение центра тяжести. Им были разработаны методы определения площадей и объемов.
13
Метательные машины, изобретенные Архимедом, позволяют предпола-гать, что он имел четкие понятия о динамике материальных тел.
Научные труды Аристотеля содержат законченный взгляд на мир и пред-ставляли собой энциклопедию античной мысли.
Именно этим, несмотря на ошибочность многих его взглядов, по-видимому, объясняется столь сильное воздействие его трудов на научную мысль Европы вплоть до эпохи Возрождения.
Приведем лишь некоторые взгляды Аристотеля, из-за которых было бы ошибочно считать его основателем механики как науки.
Например, он писал: «Падение куска золота или свинца или любого другого тела, наделенного ве-сом, происходит тем быстрее, чем больше его вес…».
Аристотель приводит такие примеры: лошадь непрерывно напрягается, чтобы тянуть повозку, камень опускается на дно озера. Поэтому он делает вы-вод, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие. Чтобы повозка двига-лась, необходимо прикладывать усилия. То есть Аристотель никогда не рас-сматривал то, что мы называем силами трения или сопротивления, как силы, отдельные от движения.
Это отделение было осуществлено Галилео Галилеем (1564–1642), благо-даря которому возникло понятие инерции и начали складываться современные взгляды на движение тел.
Интенсивное развитие механики относится к XV–XVII столетиям, когда общественная практика (торговое мореплавание, военное дело и промышлен-ность) поставила перед учеными ряд проблем, связанных с движением небес-ных тел, полетом артиллерийских снарядов, прочностью корабля, машин и строительных сооружений.
Усовершенствование техники определения географических координат с помощью астрономических наблюдений потребовало пересмотра теории дви-жения небесных тел и привело к открытию гелиоцентрической системы мира Н. Коперником (1473–1543).
Система Коперника была чисто кинематической. Законы динамики при-сутствовали в ней в скрытом виде.
До Коперника общепризнанной была геоцентрическая система мира Птолемея (II в.), несмотря на то, что еще древние греки располагали фактами в пользу гелиоцентрической системы мира. Однако греческие астрономы отвер-гали гелиоцентрическую систему, так как для большинства греческих филосо-фов, в том числе и Аристотеля, Земля – обитель человечества – была наиболее важным объектом во Вселенной и было немыслимо, чтобы этот центр Вселен-ной имел какое-то движение.
Следующим шагом было открытие Иоганном Кеплером (1571–1630) за-конов движения планет. Он установил, что орбиты планет представляют собой не окружности, а эллипсы с небольшим эксцентриситетом.
Законы, открытые Кеплером, позволили Ньютону обосновать закон все-мирного тяготения.
14
Галилей впервые исследовал динамическое действие сил на движущееся тело и поэтому по праву является основоположником динамики.
Галилеем были проделаны наиболее точные для своего времени опыты по изучению свободного падения тел. В результате этих экспериментов он устано-вил пропорциональность пройденного пути при падении квадрату времени, что означало независимость ускорения в пустоте от веса тела. Галилей доказал, что траекторией движения тела, брошенного в пустоте под углом к горизонту, яв-ляется парабола. Галилей заложил также основы современной кинематики. Од-нако наиболее важным открытием Галилея является открытие закона инерции, после чего началось формирование современных взглядов на механическое движение.
Среди выдающихся ученых XVII в. следует отметить французского фило-софа Рене Декарта (1596–1650), который сформулировал идею сохранения ме-ханического движения.
Замечательный исследователь Христиан Гюйгенс (1629–1695) обобщил понятие ускорения, введенного Галилеем, на случай криволинейного движения и впервые осуществил разложение ускорения на касательную и нормальную составляющие. Гюйгенс создал теорию математического и физического маят-ников. Гюйгенс использовал понятие об осевых моментах инерции, а также ки-нетической энергии, но не пользовался этими терминами.
Исаак Ньютон (1643–1727) в своем труде «Математические начала нату-ральной философии» (1687) подвел итог достижениям своих предшественников и сформулировал три основных закона механики, наметил пути дальнейшего развития механики. Ньютон ввел понятие массы и впервые обратил внимание на эквивалентность инертной и тяготеющих масс, проводя опыты над качаю-щимися маятниками, выполненными из различных материалов.
Блестящие результаты дало применение закона всемирного тяготения, от-крытого Ньютоном, к решению астрономических задач. Так, например, и были открыты Нептун в XIX в. и Плутон в XX в., которые ранее в телескоп не на-блюдались ввиду малой светимости, и были обнаружены лишь тогда, когда бы-ло предсказано их местоположение на небесной сфере.
Одним из выдающихся современников Ньютона был немецкий философ и математик Готфрид Лейбниц (1646–1716). Лейбниц одновременно с Ньюто-ном открыл исчисление бесконечно малых.
В области механики Лейбницу принадлежит установление понятия о «жи-вой силе». В связи с этим возникла дискуссия между сторонниками Лейбница и Декарта о мерах движения. Декарт под мерой движения понимал «количество движения», равное по величине произведению массы точки на ее скорость. Лейбниц противопоставлял ей «живую силу», пропорциональную массе и квад-рату скорости движения. Эта дискуссия была прекращена Даламбером, пока-завшим непротиворечивость обоих мер движения.
Леонарду Эйлеру (1707–1783) принадлежат выдающиеся заслуги в разви-тии механики в посленьютоновский период, Л. Эйлер был членом Российской Академии наук с 1727 г. Эйлер является основоположником динамики твердого
15
тела и гидромеханики, ему принадлежит общепризнанный метод кинематиче-ского описания движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, с по-мощью трех углов, носящих его имя. Эйлером также была получена формула для скоростей точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки. Им была сформулирована и доказана теорема об изменении момента количества движе-ния. Он заложил основы теории корабля, турбин, теорию устойчивости упругих стержней.
Современник Эйлера Михаил Васильевич Ломоносов (1711–1765) от-крыл закон сохранения вещества. Он создал кинетическую теорию газов и рас-пространения тепла. Им был сформулирован закон сохранения количества движения.
Значительный вклад в динамику несвободных систем был сделан выдаю-щимся французским ученым Жаном Лероном Даламбером (1717–1783), кото-рому принадлежит формулировка принципа механики, носящего его имя. Од-нако Даламбер не располагал общими аналитическими методами решения задач динамики несвободных систем.
Общие аналитические решения задач динамики несвободных систем были разработаны Ж.-Л. Лагранжем (1736–1813) в его основополагающей работе «Аналитическая механика» (1788). За основу был взят принцип Лагранжа–Даламбера, являющийся синтезом принципа виртуальных перемещений Ла-гранжа и принципа Даламбера.
Механика XIX века связана с именами Михаила Васильевича Остро-градского (1801–1861), Уильяма Гамильтона (1805–1865), Карла Якоби (1804–1851), Карла Фридриха Гаусса (1777–1855).
В частности, важное значение в механике имеет вариационный принцип Гамильтона–Остроградского.
Для построения общей теории интегрирования дифференциальных урав-нений динамики предпочтительнее иметь дело с уравнениями первого порядка с их так называемой «канонической формой». В 1842 г. Якоби в «Лекциях по динамике» изложил метод интегрирования канонических уравнений.
Основополагающий вклад в кинематику механизмов был проделан вы-дающимся математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821–1894).
Его ученик Александр Михайлович Ляпунов (1857–1918) получил все-мирную известность благодаря трудам по устойчивости и движения. Ляпунову принадлежит строгая постановка задачи об устойчивости движения и наиболее общих методов ее решения.
Выдающуюся роль в механике сыграл Николай Егорович Жуковский (1847–1921). Он является основоположником современной гидродинамики и аэродинамики. Жуковский теоретически обосновал возможность сложных дви-жений самолета.
Ряд исследований Жуковского относится к вопросам теории устойчивости движений, динамике твердого тела, вопросам аэродинамического расчета само-летов.
16
Ученик Жуковского Сергей Александрович Чаплыгин (1869–1942) стал основоположником газовой динамики больших скоростей. Его работы по теории крыла и газовой динамике значительно опередили время, получив широкое применение лишь в 50-х годах XX столетия.
Большой вклад в механику внес кораблестроитель Алексей Николаевич Крылов (1863–1945), известный своими трудами в области теории качки корабля, прочности его корпуса, теории плавучести и непотопляемости.
Задачи динамики твердого тела всегда играли значительную роль в механике. Здесь следует упомянуть Софью Васильевну Ковалевскую (1850–1891). Ее работа является наиболее значительной в цепи преемственности трудов, начиная с Эйлера и Лагранжа. Более того, оказалось, как это было доказано Ляпуновым, что случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской являются единственными, в которых уравнения вращений твердого тела допускают однозначные интегралы при всех значениях аргумента и начальных условиях.
Наиболее крупные результаты по теории устойчивости после А. М. Ляпунова получены Н. Г. Четаевым (1902–1959). Теория колебаний, линейных и нелинейных, получили существенное развитие в трудах А. Н. Крылова (1863–1945), Н. М. Крылова (1879–1955), Н. Н. Боголюбова (1909–1992), Л. Н. Мандельштама (1879–1944), А. А. Андронова (1901–1952), Б. В. Булгакова (1900–1952), Ю. А. Митропольского (1917–2008).
Значительный вклад в теорию устойчивости движения и ряд достижений в области линейной и нелинейной теории упругости принадлежит А. И. Лурье (1901–1979). Л. Г. Лойцанский (1900–1995) внес значительный вклад в гидро-аэродинамику.
На рубеже XIX и XX веков возник и начал интенсивно развиваться новый раздел теоретической механики – динамика неголономных систем. Основопо-ложниками этого раздела являются С. А. Чаплыгин, В. Вольтерра (1860–1940), П. Аппель (1855–1930), П. В. Воронец (1871–1923), Л. Больцман (1844–1906) и Г. Грамель (1877–1954).
Основоположником механики тел переменной массы является И. В. Мещерский (1859–1935).
К. Э. Циолковский (1857–1935) создал основы теории реактивного движе-ния и реактивной техники.
В XX веке появилась релятивистская механика А. Эйнштейна (1879–1955).
В настоящее время интенсивное развитие получила механика космическо-го полета.
17
Часть 1
СТАТИКА, КИНЕМАТИКА
18
19
СТАТИКА
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
1.1. Некоторые основные определения
Одним из основных понятий механики является понятие о силе. Сила яв-ляется количественной мерой механического взаимодействия и характери-зует интенсивность и направление этого взаимодействия.
Таким образом, сила является векторной величиной. В качестве примеров сил можно назвать силу притяжения к Земле, всевозможные контактные силы, например, давление на опоры сооружения, силы, возникающие из-за сопротив-ления среды.
Статикой называют раздел механики, в котором изучают эквивалентные пре-образования систем сил, приложенных к твердому телу, и условия их равновесия.
Статика основана на ряде законов и аксиом, которые считаются очевид-ными истинами и принимаются без математических доказательств.
Эти законы и аксиомы являются результатом обобщения многочисленных опытных данных. И хотя их проверка не всегда может быть осуществлена непо-средственно, следствия, которые из них вытекают, подтверждаются наблюдениями.
К числу общих законов механики, на которых основана статика, относится закон инерции, открытый Галилеем, – первый закон Ньютона.
Закон утверждает, что всякое тело должно находиться в состоянии по-коя или равномерного прямолинейного движения, пока это состояние не будет изменено действующими на тело силами.
Ньютон, формулируя закон инерции, ничего не говорил о размерах тела, полагая, что под телом следует понимать материальную точку.
Другим основным законом механики, на котором основана статика, являет-ся закон о равенстве действия и противодействия – третий закон Ньютона.
Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению и действуют по одной прямой.
Система сил, действующих на материальную точку, считается уравнове-шенной, если материальная точка движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя.
Система материальных точек находится в равновесии, если каждая ее материальная точка находится в равновесии.
Система сил, приложенных к твердому телу, находится в равновесии, если она своим действием не изменяет состояние покоя или движения этого тела по инерции.
Две системы сил, действующих на абсолютно твердое тело, называ-ются эквивалентными, если каждая из них порознь уравновешивает одну и ту же третью систему сил.
Равнодействующей данной системы сил называется сила, эквивалент-ная этой системе сил.
20
Уравновешивающей называется сила, добавление которой к исходной системе сил образует уравновешенную систему сил.
Следует заметить, что не всякая система сил имеет равнодействующую, то есть неуравновешенные системы сил не всегда эквивалентны одной силе.
1.2. Аксиомы статики
Аксиома о равновесии двух сил
При формулировке этой аксиомы считаем, что материальные точки или твердые тела, к которым приложены силы, являются свободными, то есть име-ют возможность совершать любые перемещения в пространстве.
Суть аксиомы о двух силах в следующем. Две силы, приложенные к одной точке твердого тела или к отдельной
материальной точке, находятся в равновесии только тогда, когда они рав-ны по величине, направлены в противоположные стороны и действуют по одной прямой.
Эта аксиома устанавливает простейшую систему сил, эквивалентную ну-лю. Аксиома справедлива, если силы приложены к одной точке твердого тела или к отдельной материальной точке.
Аксиома о параллелограмме сил
Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке под углом друг к другу, определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах (рис. 1.1).
Справедливо и обратное утверждение. Силу можно разложить по правилу параллелограмма на две составляющие, по любым произвольно выбранным направлениям. Замену двух сил одной по правилу параллелограмма называют векторным сложением:
21 FFF . (1.2.1) Вместо параллелограмма можно построить треугольник (рис. 1.2).
То есть из конца первой силы 1F проводится вторая 2F . Замыкающая оказыва-ется равнодействующей.
На основании аксиомы о параллелограмме можно определить равнодейст-вующую пучка сил, приложенных в одной точке (рис. 1.3) или построить мно-гоугольник сил (рис. 1.4).
Рис. 1.1 Рис. 1.2
2F
21
При этом N
ii 1
F F
.
Аксиома об освобождаемости от связей
Если на движение материальной точки, системы или твердого тела не наложены наперед заданные ограничения, то материальная точка, сис-тема или твердое тело называются свободными.
В противном случае материальная точка, система или твердое тело называются несвободными.
Ограничения на свободу перемещений, указанных материальных объ-ектов, называются связями.
Связи осуществляются различными твердыми или гибкими телами. Это может быть, например, гладкая или шероховатая поверхность. И, если точка принудительно удерживается на данной поверхности, то это накладывает огра-ничения на ее перемещения. Следовательно, на точку наложена связь.
Сила, с которой связь действует на рассматриваемую точку, систему или твердое тело, называется реакцией связи.
По третьему закону Ньютона реакция связи равна по величине и противо-положна по направлению силе, с которой тело действует на связь. Реакция свя-зи исчезает, если прекращается действие тела на связь.
В дальнейшем мы часто будем говорить «механическая система», подра-зумевая под этим термином точку, систему материальных точек, твердое тело, а в некоторых случаях систему твердых тел в сочетании с отдельными матери-альными точками.
Третья аксиома – аксиома об освобождаемости от связей заключается в следующем:
Не изменяя движения или равновесия механической системы, можно отбросить наложенные на нее связи, заменяя их действие силами, равными реакциям отброшенных связей.
Из этой аксиомы следует, что всякую несвободную механическую систему можно рассматривать как свободную, если освободить ее от связей, заменяя их действие реакциями. Таким образом, эта аксиома позволяет решать задачи о движении или равновесии несвободной механической системы, сводя ее к ре-шению задач о движении или равновесии соответствующих свободных объек-тов, составляющих механическую систему.
Рис. 1.3 Рис. 1.4
22
Аксиома о наложении новых связей Суть этой аксиомы в том, что равновесие механической системы не на-
рушится при наложении на нее новых связей.
Аксиома о затвердевании Эта аксиома по существу является частным случаем предыдущей. Ее суть
в том, что если деформируемое тело находится в равновесии, то это равно-весие не нарушится, если тело превратится в абсолютно твердое, то есть затвердеет.
1.3. Связи и их реакции
Для установления характера реакций связей обратимся к конкретным фи-зическим телам. Рассмотрим связь в виде идеально гладкой поверхности. Эта поверхность не препятствует скольжению по ней тела, а препятствует его дви-жению по нормали к поверхности. Поэтому реакция идеально гладкой поверх-ности направлена по нормали к ней (рис. 1.5, а, б).
На рис. 1.5,б показан контакт двух тел, ограниченных гладкими поверхно-стями. Реакция N направлена по общей нормали n к контактирующим поверх-ностям. Если поверхность тела или поверхность связи в месте их касания имеют заострение, то реакцию направляют по нормали к той поверхности, для которой направление нормали является определенным.
Например, если гладкий брус АВ опирается в точке А на гладкий столб, то реакция N в этой точке направлена перпендикулярно брусу АВ (рис. 1.6).
Напротив, в точке В реакция направлена перпенди-кулярно опорной плоскости.
Весьма распространенным видом связи является стержень. Крепят стержень при помощи точечных шарниров. При решении задач стержни считаются идеальными, то есть считаются нерастяжимыми, размерами шарниров пренебрегают, а силы трения не учитывают.
Реакция S в идеальном стержне АВ направлена по оси стержня (рис. 1.7). Такой стержень находится
Рис. 1.5
Рис. 1.6
23
в равновесии под действием двух сил, прило-женных к шарнирам. На основании первой ак-сиомы эти силы должны быть равны по вели-чине, противоположны по направлению и дей-ствовать по одной прямой, соединяющей шар-ниры. Итак, если связью является идеальный стержень, то линию действия его реакции можно указать сразу: она совпадает с осью стержня.
В качестве опор различного рода сооружений часто используют шарнирно-подвижные опоры (рис. 1.8) и шарнирно-неподвижные опоры (рис. 1.9).
Реакция идеальной шарнирно-подвижной опоры направлена перпендику-лярно опорной плоскости (см. рис. 1.8). Если опора неподвижна (см. рис. 1.9), то заранее направление реакции указать нельзя. Поэтому показывают две со-ставляющие AxR и AyR .
1.4. Методические указания по решению задач статики
Как было отмечено, силы, действующие в данной механической системе, можно разделить на внешние и внутренние.
Внешними называются силы взаимодействия между телами, не вхо-дящими в данную систему.
Внутренними называются силы взаимодействия между точками дан-ной системы.
Это деление является условным, так как внутренние силы можно перевес-ти в разряд внешних по отношению к новой системе, представляющей состав-ную часть данной.
Таким образом, отбрасывая связи, наложенные на систему, мы переводим реакции в число внешних сил. Затем составляются условия равновесия свобод-ной материальной точки, или свободного твердого тела, из которых находятся неизвестные реакции.
Вообще существует единая методика решения задач статики. Суть ее в следующем: 1. Выделяется тело, равновесие которого рассматривается. 2. Объект освобождается от связей. 3. Выписываются условия равновесия, где неизвестными являются реакции связей.
Если число неизвестных больше числа уравнений, то задача статически неопределима и требуется рассмотрение деформаций тела.
Рис. 1.7
Рис. 1.8 Рис. 1.9
AxR
AyR
24
2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
2.1. Теорема о переносе силы по линии ее действия
Прежде чем рассмотреть произвольную систему сходящихся сил, рассмот-рим теорему, которая позволяет преобразовать эту систему к простейшему ви-ду, а именно, к одной силе – равнодействующей.
Таковой теоремой является одна из простейших теорем статики – теорема о переносе силы вдоль линии ее действия.
Пусть на тело действует сила F в точке А (рис. 2.1, а).
Выберем на линии действия силы точку В и приложим в ней две равные, но противоположно направленные силы F и F (рис. 2.1, б). СилаF , прило-женная в точке А, уравновешивается на основании аксиомы о двух силах силой
F , приложенной в точке В. Следовательно, получаем силу F , приложен-ную в точке В (рис. 2.1, в), что и требовалось доказать.
Таким образом, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, явля-ется скользящим вектором.
2.2. Теорема о трех силах
Три непараллельные силы, действующие на абсолютно твердое тело, лежащие в одной плоскости и находящиеся в равновесии, пересекаются в одной точке.
Пусть к твердому телу в точках А, В и С приложены три силы 1F , 2F , 3F , лежащие в одной плоскости (рис. 2.2). На основании теоремы о переносе силы вдоль линии действия, перенесем силы 2F и 3F в точку пересечения и сложим по правилу параллелограмма.
Равнодействующая этих сил 32 FFF
и сила 1F образуют уравновешенную систе-му сил. Следовательно, согласно аксиоме о двух силах, 1F и F равны по величине, про-тивоположно направлены и имеют общую линию действия. Таким образом, все три си-лы пересекаются в одной точке.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
О
25
2.3. Система сходящихся сил. Нахождение ее равнодействующей. Условия равновесия
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил (рис. 2.3).
Расположим в точке пересечения сил начало декартовой системы коорди-натOxyz . Затем перенесем все силы по ли-нии действия в точку О. В результате по-лучим пучок сходящихся сил. Применяя последовательно правило параллелограм-ма или, построив многоугольник сил, по-лучим равнодействующую системы схо-дящихся сил:
N
iiFF
1
. (2.3.1)
Векторному равенству (2.3.1) соответствуют три скалярных. Действительно, мы можем разложить силы по координатным осям:
;
.
i xi yi zi
x y z
F F i F j F k
F F i F j F k
Следовательно,
. ; ;111
N
iziz
N
iyiy
N
ixix FFFFFF (2.3.2)
Зная проекции равнодействующей (2.3.2) на оси координат, определим ее модуль и направление.
Модуль найдется по формуле
222zyx FFFF . (2.3.3)
Направление равнодействующей определим по направляющим косинусам:
cos( , ) ; cos( , ) ; cos( , )yx zFF F
F x F y F zF F F
. (2.3.4)
Для нахождения проекций силы на координатные оси необходимо знать два угла, например, угол между силой и осью z и угол между проекцией силы на плос-кость oxy и осью x (рис. 2.4). Согласно рис. 2.4:
,cos
;sinsin
;cossin
FF
FF
FF
z
y
x
Рис. 2.3
О
Рис. 2.4
о
26
где – угол между силой и осью z, – угол между проекцией силы xyF на
плоскость oxy и осью х. Очевидно,
cos( , ) sin cos ;
cos( , ) sin sin ;
cos( , ) cos .
F x
F y
F z
Условием равновесия системы сходящихся сил является условие равенства нулю ее равнодействующей:
01
N
iiFF . (2.3.5)
Равенство (2.3.5) означает, что многоугольник сил является замкнутым, то есть начало первого вектора силы и конец последнего совпадают. Поэтому вме-сто (2.3.5) можно написать
0. 0; ;0111
N
izi
N
iyi
N
ixi FFF (2.3.6)
Условия (2.3.6) называются условиями равновесия. В общем случае их три. Если имеет место плоская система сходящихся
сил, то уравнений будет два. Для статической определимости задачи число неизвестных не должно пре-
вышать число уравнений.
27
3. МОМЕНТ СИЛЫ
3.1. Момент силы относительно точки
Момент силы характеризует ее вращающее действие. Моментом силы F относительно некоторого
центра О называется векторное произведение радиус- вектора точки приложения силы относительно цен-тра О на силуF (рис. 3.1).
Момент силы F относительно точки О (центра мо-мента) обозначается )(0 FM :
FrFM )(0 . (3.1.1)
Следовательно, момент силы относительно точки – это вектор, направленный перпендикулярно к плоскости, содержащей силу F и точку О, в ту часть пространства, из которой вращающее действие силы будет видно против часовой стрелки.
Опустим перпендикуляр из точки О на линию действия силы F . Отрезок перпендикуляра, соединяющего точку О и линию действия силы F , обозначим через h. Этот отрезок h в дальнейшем будем называть плечом. Модуль вектора момента (3.1.1) )(0 FM будет:
0M ( F ) rF sin hF= a= . (3.1.2)
В формуле (3.1.2) – угол между радиус-вектором r и силойF . Очевидно,
0 2M ( F ) пл. OAB= D , где ОАВпл . – площадь треугольника ОАВ, образованного радиусом вектором r и силойF .
Если в точке О расположить начало декартовой системы координат Oxyz (рис. 3.2), то проекции момента 0M (F) найдутся из выражения:
0
( )
( ) ( )
( ) .
x y z
z y x z
y x
i j k
M F r F x y z
F F F
yF zF i zF xF j
xF yF k
(3.1.3)
В символическом определителе, входящем в формулу (3.1.3), первая строка составлена из коор-динатных ортов kji ,, , вторая строка – это проек-ции радиуса-вектора r :
kzjyixr ,
третья составлена из проекций силы F : Рис. 3.2
Рис. 3.1
28
kFjFiFF zyx .
Таким образом, для проекций момента силы )(0 FM на координатные оси yx, и z получаем формулы:
xyzzxyyzx yFxFMxFzFMzFyFM 000 ; ; . (3.1.4)
3.2. Теорема о моменте равнодействующей системы
сходящихся сил
Момент равнодействующей системы сходя-щихся сил относительно произвольной точки ра-вен векторной сумме моментов составляющих относительно этой точки (рис. 3.3), то есть:
,)()(1
00
N
iiFMFM (3.2.1)
где
N
iiFF
1
– равнодействующая системы сходя-
щихся сил 1 2, ,..., NF F F . Пучок сходящихся сил расположен в точке А. В качестве моментной точ-
ки выбираем некоторую точку О. Согласно определению момента силы относи-тельно точки имеем:
N
ii
N
ii
N
ii FMFrFrFrFM
10
110 )()( ,
что и доказывает равенство (3.2.1), представляющее собой математическое вы-ражение теоремы о моменте равнодействующей системы сходящихся сил.
Применение теоремы о моменте системы сходящихся сил при решении за-дач статики часто существенно облегчает составление уравнений равновесия.
3.3. Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называется проекция момента си-лы относительно произвольной точки, расположенной на оси, на эту ось.
Возьмем в качестве моментной точки начало декартовой системы коорди-нат Oxyz – точку О.
Рассмотрим, например, проекцию момента FrFM )(0 на ось z :
xyz yFxFFMFM cos)()( 00 . (3.3.1)
По определению формула (3.3.1) представляет собой момент силы относи-тельно оси z (рис. 3.4). Кроме того, как видно, выражение (3.3.1) не зависит от положения моментной точки О на оси z. Естественно, это относится к осталь-ным осям Ох и Оу.
Рис. 3.3
29
С другой стороны, проекция )(0 FM z
представляет собой момент проекции силы F на плоскость Oxy относительно точки О.
Проекция силы F на плоскость Oxy бу-дет
kOjFiFF yxxy .
Радиус-вектор точки 1A , являющейся на-
чалом вектора xyF , по отношению к точке О:
kOjyixrxy .
Тогда:
0 0
( ) 0 ( ) ( ) ( )
0xy xy xy y x z z
x y
i j k
M F r F x y xF yF k M F M F
F F
. (3.3.2)
Очевидно, в выражении момента силы относительно координатной оси (3.3.2) можно опустить индекс, указывающий положение моментной точки на оси. Следовательно, моменты силы относительно координатных осей выража-ются формулами:
xyzzxyyzx yFxFFMxFzFFMzFyFFM )( ;)( ;)( . (3.3.3)
При вычислении моментов силы относительно координатных осей не обя-зательно пользоваться формулами (3.3.3). В некоторых случаях может быть по-лезен следующий прием.
Вначале проводим плоскость, перпендикулярную оси. Затем проектируем силу F на эту плоскость и вычисляем момент проекции силы относительно точки пересечения оси с плоскостью. Момент считается положительным, если вращающее действие силы со стороны положительного направления соответст-вующей оси направлено против часовой стрелки.
В противном случае момент относительно оси считается отрицательным. Очевидно, момент силы относительно оси обращается в нуль, если сила
пересекает ось или параллельна оси. Иными словами, если сила и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен нулю.
При аналитическом вычислении моментов силы относительно осей за центр моментов берем начало координат, так как точка одновременно принад-лежит сразу всем трем осям. Поэтому проекции момента на оси совпадают с моментом силы относительно оси.
В заключение этого пункта рассмотрим понятие момента силы относительно оси, исходя из несколько других соображений. Рассмотрим силу F с началом в точке А, координаты которой 0,, zyx . Проекции силы на оси координат тоже удовлетворяют условию 0,, zyx FFF (рис. 3.5).
Рис. 3.4
30
Как было отмечено ранее, вращающее дейст-вие силы, параллельной оси, отсутствует. Тогда, находя момент сил zyx FFF ,, относительно коор-
динатных осей, получаем:
,
;
;
xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
то есть мы получили проекции векторного произ-ведения (3.3.1) на оси координат.
3.4. Главный вектор и главный момент системы сил
В дальнейшем нам потребуются нижеприведенные определения, которые
вводятся для удобства. Главным вектором F системы сил NFFF ,...,, 21 называется векторная
сумма этих сил:
N
iiFF
1
.
Понятия главного вектора и равнодействующей не тождественны. Если же система сил и приводится к равнодействующей, то она имеет вполне опреде-ленную линию действия, в то время как главный вектор, который равен по ве-личине равнодействующей и имеет с ней одинаковое направление, является свободным вектором.
Главным моментом 0M системы сил NFFF ,...,, 21 относительно како-го-либо центра О называется векторная сумма моментов этих сил от-носительно этого центра О:
N
iiFMM
100 )( .
Рис. 3.5
31
4. ТЕОРИЯ ПАР СИЛ
4.1. Пара сил
Парой сил называется система двух параллельных сил, приложенных к твердому телу, равных по величине и направленных в противоположные стороны (рис. 4.1).
Главный вектор пары равен нулю. Определим ее главный момент относи-тельно некоторой точки О:
MFrFrrFrFrM 2121210 )( . (4.1.1)
Однако, как оказалось, главный момент пары не зависит от центра моментов. Следовательно, главный момент, или просто момент является свободным век-тором, а это в свою очередь означает, что пару сил, действующую на твердое тело, можно переносить как угодно, сохраняя лишь величину и ориентацию ее мо-мента. Момент пары перпендикулярен плоскости ее действия и направления в ту часть пространства, от-куда ее вращательное действие видно против часовой стрелки.
Величина момента пары равна произведению си-лы на ее плечо (рис. 4.2): hFM , где h – плечо пары, представляющее собой отрезок перпендикуляра, со-единяющий линии действия сил, образующих пару.
Действительно,
21 21 sinM r F r F hF .
4.2. Теоремы об эквивалентности пар сил
1. Пару сил, действующих на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенных в той же плоскости и имеющей одинаковый с первой па-рой алгебраический момент (рис. 4.3).
Рассмотрим пару сил F и F- , рас-положенных в точках 0A и 0B . Перенесем эти силы по линиям их действия в точки A и B . Приложим взаимно уравнове-шенные силы Q и Q- , как показано на
рис. 4.3. Затем сложим силы F и Q , а
также F- и Q- по правилу параллело-грамма.
Вновь полученные силы P и P- об-разуют пару с плечом 1h .
Рис. 4.1
Рис. 4.2
Рис. 4.3
-
32
Однако момент этой пары сохраняет свою величину. Действительно, со-гласно теореме о моменте равнодействующей системы сходящихся сил, имеем
( ) ( ) ( )А А АM P M F M Q ,
но ( ) 0АM Q , так как сила Q проходит через точку B .
Поэтому ( ) ( )А АM P M F M .
2. Действие пары сил на твердое тело не изменяется, если пару перенести из данной плоскости в любую другую плоскость, ей параллельную.
Пусть пара сил первоначально действует в плоскости 1. Выберем некото-рую плоскость 2, параллельную 1. Точки BAA ,,0 и 0B являются вершинами прямоугольника. В точках A и B приложим взаимно уравновешенные силы, как показано на рис. 4.4. Затем складываем силы, приложенные в вершинах прямоугольника, а именно: силы F , приложенные в точках 0A и B , и силы F- , приложенные в точках 0B и A . В результате в центре прямоугольника получим
две взаимно уравновешенные силы R и R- . На рис. 4.4 все эквивалентные и взаимно уравновешенные силы перечеркнуты.
Таким образом, неперечеркнутые силы образуют пару, которая лежит уже в плоскости 2, параллельной исходной.
3. Сложение пар сил, лежащих в пересекающихся плоскостях. Перенесем обе пары на линию пересечения плоскостей. Силы выберем так,
чтобы плечи у обоих пар были одинаковы (рис. 4.5).
Сложим силы в точках A и B по правилу параллелограмма. В результате
получим новую пару, образованную силами F и F- . Момент этой пары
BM=M (F). Согласно теореме о моменте равнодействующей системы сходя-щихся сил, будет:
B BA 1 2 B 1 B 2 1 2M=M (F)=r ×(F +F )=M (F )+M (F )=M +M .
Здесь 1 B 1M =M (F ) и 2 B 2M =M (F ) – векторы моментов соответствующих пар. Таким образом, при сложении пар необходимо складывать векторы их
моментов.
Рис. 4.4 Рис. 4.5
33
5. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
5.1. Теорема о параллельном переносе силы
Эта теорема играет фундаментальную роль, так как с ее помощью доказы-вается основная теорема статики.
Действие силы на твердое тело не изменится, если ее перенести па-раллельно самой себе в некоторую точку, называемую центром приведения, присоединив при этом пару сил, равную векторному произведению вектора переноса силы с обратным знаком на эту силу (рис. 5.1).
Пусть в точке А абсолютно твердого тела приложена сила F . Выберем центр приведения точку О (рис. 5.1, а). Приложим в точке О силы F и F- (рис. 5.1, б). Перечеркнутые силы образуют пару с моментом:
0 0AM (F)=r ×F , где 0Ar – вектор переноса силы с обратным знаком. Эту пару можно перенести в
любую точку плоскости, содержащую силы F и F- , например точку О. Таким образом, оказывается, что сила F приложена в точке О и к этой же
точке приложена пара с моментом 0 0AM (F)=r ×F (рис. 5.1, в).
5.2. Основная теорема статики
Эта теорема доказывается с помощью теоремы о параллельном переносе силы. Рассмотрим твердое тело, на которое действует система сил 1 2 NF ,F ,...,F (рис. 5.2, а).
Выберем в качестве центра приведения точку О, являющуюся началом де-картовой системы координат Оxyz . Осуществим параллельный перенос всех сил в центр приведения, присоединяя при этом пары (рис. 5.2, б):
0 i i iM (F )=r×F .
В центре приведения получим пучок сходящихся сил и пучок присоеди-ненных пар. Сложив все силы, получим в точке приведения силу
Рис. 5.1
а б в
0AM r F= ´
34
N
ii=1
F= Få ,
равную главному вектору. Сложив пары, получим главный момент: N
0 0 ii=1
M = M (F )å .
Таким образом, доказана следующая теорема, которая носит название основ-ной теоремы статики: главный вектор и главный момент, помещенные в цен-тре приведения, статически эквивалентны исходной системе сил (рис. 5.2, в).
Иными словами, заданная система сил, приложенных к твердому телу, за-меняется одной силой F , равной главному вектору этой системы и приложен-ной в центре О, и одной парой с моментом 0M , равным главному моменту сил относительно центра приведения О (рис. 5.2, в).
5.3. Следствие основной теоремы статики. Условия равновесия различных систем сил, приложенных к твердому телу
Поскольку главный вектор и главный момент, помещенные в центре при-
ведения, эквивалентны исходной системе сил, то они являются полными харак-теристиками статического действия этой системы сил. Поэтому необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной системы сил, приложен-ной к твердому телу, являются обращение в нуль ее главного вектора и главно-го момента относительно какой-либо точки:
,0;0 0 MF (5.3.1)
где
N
iiFF
1
– главный вектор системы сил;
N
iiFMM
100 )( – главный момент системы сил относительно точки приведения О.
Условия (5.3.1) являются условиями равновесия твердого тела и представляют собой следствие основной теоремы статики.
Рис. 5.2
а б в
0
35
Два векторных равенства (5.3.1) эквивалентны шести скалярным уравне-ниям равновесия произвольной системы сил в пространстве:
1.
N
iixx FF
1
;0
2.
N
iiyy FF
1
;0
3.
N
iizz FF
1
;0
4.
N
iiyiizix FzFyM
1
;0)( (5.3.2)
5.
N
iiziixiy FxFzM
1
;0)(
6.
N
iixiiyiz FyFxM
1
.0)(
Три последних уравнения представляют собой моменты системы сил отно-сительно координатных сил и совпадают с проекциями главного момента 0M на оси координат.
Уравнения (5.3.2) означают, что произвольная пространственная система сил, приложенных к твердому телу, находится в равновесии. Тогда алгебраиче-ские суммы проекций всех сил на координатные оси и алгебраические суммы моментов этих сил относительно координатных осей равны нулю.
Рассмотрим частные случаи. Пусть, например, система сил произвольно расположена в плоскости Oxy
(рис. 5.3). Тогда из шести уравнений статики (5.3.2) третье, четвертое и пятое уравнения обращаются в тождества.
Имеют смысл первое, второе и шестое уравнения:
1.
N
iixx FF
1
;0
2.
N
iiyy FF
1
;0 (5.3.3)
3.
N
iixiiyi FyFxM
10 .0)(
Таким образом, произвольная система сил, расположенных в одной плос-
кости, уравновешивается лишь в том случае, когда алгебраические суммы про-екций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов от-носительно произвольной точки этой плоскости равны нулю.
Рис. 5.3
36
То есть уравнения (5.3.3) являются уравнениями равновесия произвольной системы сил на плоскости. Чтобы задача была статически определима, число неизвестных не должно быть больше трех.
Форму уравнений можно изменить, но нельзя изменить их количество. Можно составить два уравнения моментов относительно двух точек A и B , причем прямая AB не должна быть перпендикулярна оси, на которую проекти-руется силы. Пусть таковой будет осьOx . Тогда:
N
iixF
1
;0 ;0)(1
N
iiA FM 0)(
1
N
iiB FM . (5.3.4)
Если выполнены два последних условия, то это означает, что у системы сил может быть равнодействующая, проходящая через точки А и В. Ее равенст-во нулю будет гарантировано, если ось x не перпендикулярна прямой AB . Можно составить три уравнения моментов сил относительно точек, не лежащих на одной прямой:
;0)(1
N
iiA FM ;0)(
1
N
iiB FM ;0)(
1
N
iiC FM (5.3.5)
В данном случае выполнение двух условий не гарантирует отсутствия рав-нодействующей, которая может проходить через соответствующие точки. Если же выполнено условие равенства нулю момента всех сил относительно точки, не лежащей на этой прямой, то это уже гарантирует отсутствие равнодейст-вующей и, следовательно, равновесие. Системы уравнений (5.3.3), (5.3.4) и (5.3.5) эквивалентны друг другу. Однако в конкретных случаях предпочтитель-ней может быть какая-нибудь из них.
Представляет интерес другой частный случай – система параллельных сил в пространстве (рис. 5.4).
Расположим декартову систему координат так, чтобы ось z была параллельна силам. Тогда из шести уравнений равновесия (5.3.2) обратятся в тождество первое, второе и шестое уравнения.
Следовательно, для равновесия параллельных сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил на ось, им па-раллельную, равнялась нулю, и алгебраические сум-мы моментов относительно двух других осей равня-лись нулю:
1.
N
iizF
1
;0 2.
N
iizix FyM
1
;0 3.
N
iiziy FxM
1
;0 (5.3.6)
Задача будет статически определимой, если число неизвестных в данном случае не будет превышать трех.
Если система параллельных сил расположена в плоскости, например, в плоскости Oyz , то третье уравнение системы (5.3.6) обращается в тождество. Поэтому для равновесия необходимо и достаточно выполнение условий:
Рис. 5.4
37
1.
N
iizF
1
;0 2.
N
iizi FyM
10 0 . (5.3.7)
То есть необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил на параллельную им ось и алгебраическая сумма моментов этих сил относи-тельно произвольной точки равнялись нулю.
Вместо условий равновесия (5.3.7) можно написать другие уравнения, то есть условиям равновесия можно придать другую форму, рассматривая момен-ты относительно двух точек:
1. ;0)(1
N
iiA FM 2. 0)(
1
N
iiB FM .
Прямая АВ, естественно, не должна быть параллельна этим силам.
5.4. Определение опорных реакций однопролетных балок
Рассмотрим однопролетную шарнирно опертую балку, нагруженную некоторой стандартной нагрузкой (рис. 5.5).
На балку действует плоская система па-раллельных сил. Поэтому необходимо соста-вить два уравнения статики для определения неизвестных реакций AY и BY .
Обозначим через а расстояние силы P до опоры A . Распределенная нагрузка интен-сивностью q действует на участке балки, ко-торый начинается на расстоянии b от опоры A и заканчивается на расстоянии с. Как известно, действие пары сил M на твердое тело не зависит от ее поло-жения. Поэтому все равно, в какой точке пролета находится сосредоточенный момент M . Расстояние между опорами A и B равно l .
Начало плоской системы координат расположим в опоре A . Ось Ах совпа-дает с осью балки. Составим уравнение моментов относительно точки A :
1. ;0)(1
N
iiA FM 0
2
)( 22
lYMbc
qPa B .
Здесь момент от распределенной нагрузки находится из следующих сооб-ражений. Ее равнодействующая:
)( bcqQ . Плечо этой равнодействующей:
2
cbh
.
Откуда получаем выражение для ее момента относительно опоры A :
2
)( 22 bcq
.
Рис. 5.5
В
38
Рис. 5.6
Рис. 5.7
В качестве второго уравнения статики возьмем уравнение проекций сил на ось y :
2.
N
iiyF
1
;0 0)( BA YbcqPY .
Из первого уравнения статики получаем:
l
Mbcq
PaYB
2
)( 22
, (5.4.1)
из второго:
l
Mbcq
PabcqPYA
2
)(
)(
22
. (5.4.2)
Любопытно, что уравнения статики, а, следовательно, и формулы для неиз-вестных будут такими же и для балки, изображенной на рис. 5.6.
При этом следует выполнить условия: расстояние силы P до левой опоры обо-значим а; расстояние начала и конца уча-стка, где действует распределенная на-грузка, b и c – соответственно. Длину про-лета обозначим l.
Если, например, опора B опирается на наклонную плоскость (рис. 5.7), то реак-ции AY и BY найдутся по формулам (5.4.1) и (5.4.2).
Например, если действуют сила P и момент M , то получим:
; A B
Pa M Pa MY P Y
l l
,
но при этом ; B B A BX Y tg X X . В заключение этого пункта рассмотрим определение реакций консольной
балки (рис. 5.8).
Рис. 5.8
а б
х
В
у
х
хх
у у
а. б.
39
Рис. 5.9
На рис. 5.8, а показано, что на самом деле представляет собой такая конст-рукция. Это балка, заделанная в стенку. При этом положение опор 1A и 2A не-определенно. Нельзя точно определить и реакции 1Y и 2Y . Поэтому в опоре A указывается проекция главного вектора опорных реакций 1Y и 2Y на ось y
12 YYYA , и главный момент (рис. 5.8, б):
1 1 2 2AM Y A A Y A A .
5.5. Определение реакций опор составных конструкций
Составными называются конструкции, представляющие совокупность твердых тел, связанных между собой шарнирами. Пример такой конструкции изображен на рис. 5.9.
Плоская конструкция, изображенная на рис. 5.9, состоит из двух тел AC и CB , связанных между собой шарниром C . На конструкцию действует сила P , пара с моментом M и равномерно распределен-ная нагрузка интенсивностью q . В такой конструк-ции связи, соединяющие ее части, называются внут-ренними. В данном случае это шарнир C .
Связи, присоединяющие ее к другим телам, на-зываются внешними – это опоры A и B .
Конструкция имеет четыре неизвестных опор-ных реакции BBAA YXYX ,,, . Все их невозможно оп-ределить из трех уравнений статики для плоской системы сил. Чтобы определить реакции опор, мыс-ленно разрежем конструкцию в шарнире C (рис. 5.10).
Реакции внутренней связи шарнира C , приложенные к телам AC и BС ,
попарно равны по модулям и противоположны по направлениям согласно третьему закону Ньютона: C СХ Х , C СY Y . Для тел AC и BС можно соста-вить по три уравнения равновесия. Всего получается шесть уравнений, содер-жащих шесть неизвестных величин.
Однако при решении данной задачи целесообразно воспользоваться сле-дующим приемом. Если применить принцип наложения новых связей и считать систему отвердевшей в шарнире, то можно составить уравнения моментов сил относительно опор A и B , в которые войдут только по одному неизвестному:
1. ;0)(1
N
iiA FM ;0
2
214
2
q
PMYB 4
121
qPMYB .
2. ;0)(1
N
iiB FM
224 3 0;
2A
qY M P
4
123
qMPYA .
Рис. 5.10
40
Зная AY и BY , можно рассмотреть равновесие какой-либо отсеченной час-ти. Удобнее рассмотреть ту часть, где меньше нагрузок.
Поэтому рассмотрим часть ВС.
3.
N
iiY
1
;0 0;C BY Y C BY Y .
4. ;0)(1
N
iiC FM ;022 BB XYM
2
2 B
B
YMX .
5.
N
iiX
1
;0 0;C BX X C BX X .
Наконец составим уравнение проекции сил на ось x для части АС:
6.
N
iiX
1
;0 2 0A CX q X .
Тогда 2A CX X q . В итоге можно сформулировать примерный план решения задач по опре-
делению реакций составных тел. 1. Согласно принципу освобождаемости от связей, отбрасываем внешние связи,
заменяя их действие реакциями. Применяя принцип наложения новых связей, то есть, считая конструкцию отвердевшей, проверяем возможность нахождения некоторых опорных ре-акций из уравнений моментов, составленных для системы в целом.
2. Расчленим конструкцию в шарнирных соединениях. При этом учитываем,
что в шарнире момент обращается в нуль: 0)(1
N
iiC FM .
3. Каждое из расчлененных тел, входящих в конструкцию, рассматриваем от-дельно. Составляем и решаем уравнения равновесия для отсеченных частей.
5.6. Простейшие фермы
Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединенных идеальными точечными шарнирами и представляющая собой геометрически неизменяемую систему.
В действительности стержни фермы соединяются между собой не шарни-рами, а скрепляются наглухо путем сварки либо с помощью заклепок. Поэтому фактически стержни фермы испытывают кроме растяжения и сжатия еще из-гиб. Однако изгибающие моменты в стержнях невелики, поэтому ими пренеб-регают.
Места соединений стержней фермы называют узлами. Мы ограничимся простейшими плоскими фермами с прямолинейными стержнями. Силы будем считать приложенными в узлах фермы. Таким образом, согласно вышеописан-ной расчетной схеме стержни испытывают либо растяжение, либо сжатие.
По своему назначению различают фермы мостовые, крановые, стропильные.
41
Для того чтобы ферма была статически определимой, число ее стержней и узлов должно быть связано вполне определенной зависимостью. Пусть в ферме n узлов и k стержней (рис. 5.11).
В результате соединения трех стержней получается простейшая геометри-
чески неизменяемая система – треугольник. Для образования оставшейся части фермы остается 3n узла и 3k стержня. Для присоединения 3n узлов нужно )3(2 n стержня. Поэтому )3(23 nk . Откуда
2 3k n . (5.6.1)
Условие (5.6.1) является условием статической определенности. Число не-известных равно 3k . В это число входят три неизвестные опорные реакции и k неизвестных усилий в стержнях. В каждом узле имеется система сходящихся сил, а условия ее равновесия – два уравнения.
N
iiX
1
;0
N
iiY
1
0 . (5.6.2)
Всего таких уравнений можно составить 2n. Следовательно, должно выполнят-ся равенство nk 23 , но это как раз и есть условие (5.6.1).
Однако использование уравнений (5.6.2) не всегда оказывается рациональ-ным. Например, для определения реакций опор можно воспользоваться уравне-ниями для плоской системы сил:
N
iiX
1
;0
N
iiY
1
;0 0)(1
0
N
iiFM . (5.6.3)
Использовав уравнение (5.6.3), можно перейти к определению усилий в стержнях. Для этого вырезаем сначала опорные узлы и рассматриваем их рав-новесие. Затем переходим к соседним узлам, где имеется минимальное число неизвестных.
В ряде случаев наиболее рациональным является метод сечения. Рассмот-рим ферму, изображенную на рис. 5.12.
Рассмотрим определение усилий в стержнях 8-6, 6-7, 5-7. Для этого про-ведем сечение через эти стержни и рассмотрим правую отсеченную часть, где меньше нагрузок (рис. 5.13).
Рис. 5.11
В
42
Найдем реакции AR , BR и AX :
;4
3PRA PRB 4
1 , 0AX .
Будем считать, что все стержни, попавшие в сечение, растянуты. Возьмем в качестве моментной точки узел 6:
1. PRSaRa
SFM BBi 4
33 ;05,1
2 ;0)( 57576 .
Таким образом, нижний стержень 5-7 растянут. Возьмем теперь в качестве моментной точки узел 7:
2. .2
2 ;02
;0)( 86867 P
RSaRa
SFM BBi
Таким образом, верхний стержень 8-6 сжат. 3. Для нахождения усилия в стержне 7-6 составим уравнение проекций на ось y :
67
67
cos 45 0;
22 0,353 .
4
B
B
S R
PS R P
5.7. Равновесие гибкой нити
Под гибкой нитью будем подразумевать систему материальных точек, не-прерывно расположенных по кривой, причем каждая из точек соединена с со-седними бесконечно коротким идеальным стержнем с шарнирами по концам, то есть расстояние между точками считается неизменным, а в самой нити момен-ты сил относительно любой ее точки обращаются в нуль. Это означает, что на-тяжение нити всегда направлено по касательной к ней.
Итак, пусть идеальная нить закреплена в точках A и B (рис. 5.14). Нить находится в равновесии под действи-
ем сил, которые действуют на все ее точки. Длину нити от начальной точки A до некоторой произвольной точки а обозначим через S . Рас-смотрим равновесие элемента нити dSab . Обозначим натяжение нити в точке a черезT . Тогда в точке b будет уже TdT . Кроме того, на элемент dS действует сила dSF , где F – си-ла, действующая на единицу длины нити.
Рис. 5.14
Рис. 5.12 Рис. 5.13
P
a / 2
43
Условие равновесия элемента dS будет:
.0 TTdTdSF
Откуда следует:
0 TddSF или 0 FdS
Td. (5.7.1)
Равенство (5.7.1) представляет собой уравнение равновесия гибкой нити в векторной форме.
Векторное уравнение (5.7.1) эквивалентно трем скалярным:
;0 xx F
dS
dT ;0 y
y FdS
dT 0 z
z FdS
dT , (5.7.2)
где zyx TTT ,, – проекции натяжения нити на оси zyx ,, .
Косинусы углов, которые касательная образует с координатными осями, нахо-дятся по формулам:
cos( , ) ; cos( , ) ; cos( , )dx dy dz
T x T y T zdS dS dS
.
Поэтому:
dS
dzTT
dS
dyTT
dS
dxTT xyx ; ; .
Следовательно, вместо (5.7.2) можно написать:
0)( ;0)( ;0)( zyx FdS
dzT
dS
dF
dS
dyT
dS
dF
dS
dxT
dS
d (5.7.3)
или
.0
;0
;0
2
2
2
2
2
2
z
y
x
FdS
zdT
dS
dz
dS
dT
FdS
ydT
dS
dy
dS
dT
FdS
xdT
dS
dx
dS
dT
(5.7.4)
Рассмотрим равновесие нити под действием сил тяжести (рис. 5.15).
Найдем форму кривой. Пусть вес единицы длины нити равен и нить однородна, то есть const . Вследствие того, что нить находится под действием параллельных сил тяжести, фигура равновесия нити будет плоской кривой, лежащей в вертикальной плоскости. Расположим в плоскости кривой систему координатOxy . Тогда yx FF ;0 .
Рис. 5.15
44
Уравнения равновесия нити (5.7.3) примут вид:
)( ;0)(dS
dyT
dS
d
dS
dxT
dS
d (5.7.5)
Из первого уравнения (5.7.5) следует, что
0 ,dx
T T constdS
то есть проекция натяжения на ось x есть величина постоянная. Следовательно, натяжение нити T найдется из соотношения:
dx
dSTT 0 . (5.7.6)
Подставляя выражение (5.7.6) во второе уравнение (5.7.5), получим:
)( 0 dS
dy
dx
dST
dS
d (5.7.7)
или
dSdx
dyTd )( 0 .
Но
dxdx
dydydxdS 222 )(1 .
Следовательно,
)( 0 dx
dyTd dx
dx
dy 2)(1 . (5.7.8)
Для интегрирования уравнения (5.7.8) полагаем dу
pdх
.
Тогда уравнение (5.7.8) перепишется так:
dpТ 0 dxp 21 . (5.7.9)
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
Тогда, обозначая aT
0 , получаем:
a
dx
p
dp
21 . (5.7.10)
Интеграл (5.7.10) берется с помощью подстановки Эйлера.
,1 ;1 22 pptptp
откуда
22
2
2 11
)1(
1 p
dpt
p
ppdp
p
pdpdpdt
.
45
Следовательно,
21 p
dp
t
dt
.
Тогда вместо (5.7.10) получаем:
dxat
dt 1
или
.ln Ca
xt
Учитывая подстановку Эйлера, получаем:
.)1ln( 2 Ca
xpp
Положим, что при 0 , 0dy
p xdx
, то есть проведем ось y через точку кривой,
где касательная параллельна оси х. Тогда 0C и мы будем иметь: axepp /21 .
Для определения p рассмотрим обратную величину:
a
x
epppp
2
21
1
1.
Вычитая из первого выражения второе, получаем:
a
xsh
eep
a
x
a
x
2.
Так как a
xsh
dx
dyp , то dx
a
xshdy .
Откуда, интегрируя, найдем:
1Ca
xachy .
Пусть при х = 0 у = a.
Тогда, так как 10 ch , то 01 C и )(2
a
x
a
x
eea
a
xachy
.
То есть однородная идеальная нить, располагается в однородном поле тяжести по цепной линии.
Найдем длину нити на участке х = 0, х = b:
2 2
00 0 0
1 ( ) 1bb b bdy x x x b
S dx sh dx ch dx аsh ashdx a a a a
.
46
Согласно равенству dx
dsTT 0 имеем:
00
x TT T ch y y
a a= = = g .
Таким образом, натяжение нити в каждой точке равно весу отрезка той же нити, длина которого равна ординате точки этой нити.
Следовательно, если нить перекинута через два идеальных блока, то она будет в равновесии, если свободные концы касаются осиx , но при этом a должно быть больше нуля. То есть вся нить должна располагаться над осью х (рис. 5.16).
Рассмотрим нить под действием непрерывной вертикальной нагрузки, рав-номерно распределенной по длине проекции нити на горизонтальную ось и приложенной во всех точках нити. Подобная ситуация имеет место в висячих мостах (рис. 5.17).
Найдем форму кривой, по которой расположится нить при этой нагрузке. На элемент нити длиной dS действует нагрузка
dSFdxdF y ,
где – нагрузка, приходящаяся на единицу длины по оси х. Но тогда
dS
dxFy .
Рассмотрим уравнения равновесия:
.0)(;0)( yFdS
dyT
dS
d
dS
dxT
dS
d
Из первого уравнения следует:
constTdS
dxT 0 .
Откуда dx
dsTT 0 .
Из второго уравнения получаем:
0)( dS
dx
dS
dyT
dS
d .
Откуда следует:
Рис. 5.16 Рис. 5.17
у
х
47
dxdS
dyTd )(
или
dxdS
dy
dx
dSTd )( 0 ,
2
2
0 dx
ydT .
Полагая aT /0 , получим:
adx
yd 12
2
.
Интегрируя, найдем:
21
2
2CxC
a
xy ,
где 21 ,CC – постоянные интегрирования. Таким образом, нить в данном случае располагается по параболе, ось кото-
рой вертикальна. Выберем начало отсчета в точке минимума, где
0 ,0 yydx
dy .
Тогда
0
2
021 2 , ;0 y
a
xyyCC .
Согласно соотношению dx
dSТТ 0 имеем:
dxdx
dyTdSTТdx
2
00 1
.
Откуда 2
0 1
dx
dyTT или 222
0 xTT .
5.8. Трение
Трением называют сопротивление, возникающее при перемещении одного
тела по поверхности другого. В курсе теоретической механики обычно рас-сматривают два вида трения – трение скольжения и трение качения.
Если перемещение представляет собой скольжение, то соответствующее трение называется трением скольжения или трением первого рода.
Когда перемещение является качением, то трение называется трением ка-чения или трением второго рода.
48
Трение скольжения
Если реакция поверхности направлена по нормали к этой поверхности, то говорят, что это связь без тре-ния или идеальная связь. Связь с трением, кроме нор-мальной составляющей реакции N , имеет касательную составляющую τF (рис. 5.18).
Нормальная реакция представляет собой давле-ние поверхности на тело, в то время как тангенциаль-ная реакция возникает благодаря наличию сил трения в зоне контакта.
Трение между соприкасающимися телами происходит вследствие сцепле-ния прижатых друг к другу тел, а также вследствие шероховатости поверхно-сти.
Механизм трения до сих пор полностью не установлен из-за больших трудностей, связанных с количественной оценкой сил молекулярного сцепле-ния, зависящих от состояния контактирующих поверхностей и их физико-химических свойств. Поэтому при учете трения пользуются законами, которые носят качественный, эмпирический характер и являются весьма приближенным отражением действительного явления. Силы трения существенно зависят от на-личия смазки. При этом следует различать статическое трение, имеющее место при относительном покое соприкасающихся тел, и трение скольжения, которое возникает при относительном движении контактирующих тел. Законы трения в результате первых опытов были установлены Г. Амонтоном (1699) и уточ-нены Ш. Кулоном (1781).
Законы трения скольжения формулируются следующим образом: 1. Наибольшая сила трения скольжения пропорциональна величине нормальной
составляющей реакции поверхности связи, то есть:
fNF max , (5.8.1)
где maxF – максимальное значение касательной составляющей реакции по-верхности связи; f – коэффициент трения; N – нормальное давление на по-верхность связи или нормальная составляющая реакции поверхности связи.
2. Сила трения не зависит от площади контакта соприкасающихся поверхно-стей. На самом деле это не так, хотя и выполняется в довольно широком диапазоне параметров.
3. Сила трения скольжения при движении меньше силы трения при покое. Хотя и этот закон не всегда выполняется. В настоящее время созданы антифрик-ционные материалы, у которых сила трения растет с увеличением скорости скольжения. В дополнение к сказанному отметим, что коэффициент трения скольжения
при покое, например, для пары чугун-чугун 25,015,00 f ,
Рис. 5.18
49
при трении дерева о дерево 7,04,00 f .
Коэффициент трения зависит от степени обработки и состояния тру-щихся поверхностей и от скорости скольжения. Обычно с увеличением скорости скольжения величина f убы-вает, затем стабилизируется и снова растет (рис. 5.19).
Реакция поверхности с трением. Угол и конус трения
Реакция при наличии силы трения состоит из двух составляющих: силы трения F , которая направлена по касательной к поверхности в точке касания, и
нормальной составляющей реакции N . Таким образом, реакция шероховатой поверхности равна векторной сумме этих сил:
NFR . (5.8.2)
Рассмотрим предельный случай равновесия тела на плоскости с трением (рис. 5.20).
Составим уравнения равновесия. На тело действует сила Q , составляющая угол с вертикалью. Поскольку имеет место равновесие системы сходящихся сил, то имеем два уравнения:
1. ;0sin ;01
QFFN
iix
2. .0cos ;01
QNFN
iiy
Но fNF , где f – коэффициент трения скольжения. Поэтому имеем:
cossin fQQF . Откуда tgf , где – так называемый угол трения. Очевидно при , где – угол между силой и вертикалью, имеет место равно-весие при любой силе Q .
Следовательно, угол трения – это наи-больший угол , на который отклоняется реак-ция шероховатой поверхности от нормали к ней.
Линия действия реакции образует кониче-скую поверхность с углом раствора 2 , назы-ваемую конусом трения (рис. 5.21).
Рис. 5.20
Рис. 5.21
Рис. 5.19
j
j
τF
50
Внутренняя часть конуса определяет область равновесия. Причем коэффи-циент равен тангенсу угла трения.
Трение гибкой нити о цилиндрическую поверхность
Нить касается поверхности кругового цилиндра вдоль дуги AEDB с центральным углом (рис. 5.22). Коэффициент трения нити о цилиндр равен f .
К одному концу нити приложена сила P . Найти наименьшую силу Q , которую необходимо прило-жить к другому концу, чтобы сохранить равновесие. Для этого рассмотрим равновесие элемента нити DE длиной RddS , где R – радиус цилиндра. На него действуют приложенные в точках D и E натя-жения TdT и T , нормальная реакция dN и сила трения Fd . Составим уравнения равновесия в про-екциях на касательную и нормаль n , считая
.2
sin2 ; ;12
cos,22
sin Td
dTdNdFdT
ddd
Рассматриваемое положение равновесия является предельным, поэтому dF f dN . Подставляя в это равенство dF и dN , получим:
dT fTd .
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
0
P
Q
dTf d
T
,
или
lnP
fQ
.
Откуда fQ Pe . Согласно этой формуле, полученной Эйлером, оказывается, что уравновеши-
вающая сила не зависит от радиуса цилиндра и быстро убывает с увеличением .
Трение качения
Опыт показывает, что для качения тяжелого цилиндра по горизонтальной плоскости к оси цилиндра необходимо приложить некоторую горизонтальную силу F, чтобы преодолеть сопротивление, возникающее при качении цилиндра. Это сопротивление называется силой трения качения или силой трения второго рода.
Появление трения качения объясняется изменением формы поверхности, по которой катится тело. При качении цилиндр деформируется и несколько
Рис. 5.22
dJJ
51
вдавливается в плоскость. При этом сила трения качения тем больше, чем силь-нее деформации в зоне контакта.
Вследствие деформации тел под действием силы веса P их касание проис-ходит по некоторой площадке. На рис. 5.23 этой площадке соответствует дуга AB с центральным углом .
Нормальная реакция N приложена в точке B . Как видно, имеет место равновесие трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Поэтому они пересекаются в точке O . При этом горизонтальная проекция реак-ции N равна по величине движущейся силе
sinNF . Очевидно, горизонтальная про-екция N и есть сила трения качения.
Составим уравнение моментов сил, дей-ствующих на каток относительно точки B , считая деформации малыми:
,0 FRP где – проекция дуги AB на горизонталь.
Тогда:
RPF
. (5.8.3)
В формуле (5.8.3) – называется коэффициентом трения качения. Оче-видно, имеет размерность длины. Например, для шарикоподшипников 0,001см , а для вагонных колес
0,005 см . Отношение R
обычно меньше f . Поэтому в технике трение
скольжения стремятся заменить на трение качения.
Рис. 5.23
52
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ
6.1. Соотношение между главными моментами относительно двух различных центров приведения
Статическое действие любой системы сил полностью характеризуется главным вектором и главным моментом, приложенными в центре приведения. При этом главный вектор по определению от центра приведения не зависит и, следовательно, является статическим инвариантом. Главный момент – это свободный вектор, который зависит от центра приведения.
Рассмотрим, как меняется главный момент, если поменять центр приведе-ния. Пусть новым центром будет точка 1O (рис. 6.1).
Главный вектор F и главный момент 0M , расположенные
в старом центре приведения – точке O , и главный вектор F и главный момент
10M , расположенные в новом центре – точке
1O , совершенно равноправны и порознь эквивалентны исходной системе сил. Поэтому исходную систему сил при дальнейших преобразованиях можно не принимать во внимание. Найдем главный момент силовых факторов, расположенных в точке 1O , относительно точки O .
Очевидно, FMM 100 .
Тогда FMM 001, (6.1.1)
где – радиус-вектор, направленный от точки O к точке 1O . Формула (6.1.1) дает соотношение главных моментов относительно двух
различных центров приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен гео-
метрической разности главного момента относительно старого центра и момента главного вектора, расположенного в новом центре приведения, относительно старого.
6.2. Статические инварианты
Первый статический инвариант – это главный вектор, который не за-висит от центра приведения:
1
N
ii
F F
.
Второй статический инвариант – это проекция главного момента на направление главного вектора.
Иными словами, поскольку главный вектор сам по себе является статиче-ским инвариантом, то скалярное произведение главного вектора и главного мо-мента системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная. Воспользуемся формулой (6.1.1) и рассмотрим скалярное произведение:
Рис. 6.1
53
FFMFM )( 001 . (6.2.2)
В формуле (6.2.2) смешанное произведение 0 FF и, следовательно,
FMFM 001 (6.2.3)
или
zzyyxxzzyyxx FMFMFMFMFMFM 000000 111 .
Как известно, скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей, умноженных на косинус угла между ними. Поэтому вместо (6.2.3) имеем (см. рис. 6.1):
100 coscos1
FMFM .
Откуда следует, что
100 coscos1
MM . (6.2.4)
На рис. 6.1 отрезки OA и 11 AO , являющиеся проекциями главных моментов на направление главного вектора, согласно формуле (6.2.4), равны между собой.
6.3. Приведение пространственной системы сил к равнодействующей
Пространственная система сил сводится к равнодействующей, если равен нулю второй статический инвариант, то есть равна нулю проекция главного момента на направление главного вектора. Это означает, что главный вектор F и главный момент 0M системы сил взаимно перпенди-кулярны (рис. 6.2).
Итак, пусть в точке O , являющейся центром при-ведения, главный вектор F и главный момент 0M вза-
имно перпендикулярны, то есть угол между F и 0M равен 2/ . Как было показано ранее, главный вектор F и главный момент 0M полностью характеризуют статическое действие исходной системы сил. Поэтому в результате дальнейших эквивалентных преобразований мы будем получать новую систему сил, эквивалентную исходной системе. Заменим главный момент парой сил F и F с плечом
F
Mh 0 . Силы F и F в точке O уравновешиваются. Сила, приложенная в
точке 1O , таким образом, оказывается равнодействующей, что и требовалось доказать.
6.4. Теорема о моменте равнодействующей
Вышеописанное построение по приведению системы сил к равнодейст-вующей одновременно является доказательством теоремы о моменте равнодей-ствующей в общем случае.
Суть этой теоремы в том, что если пространственная система сил име-ет равнодействующую, то ее момент относительно некоторой точки ра-
Рис. 6.2
54
вен векторной сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.
Действительно, по определению главный момент:
N
iiFMM
100 )( ,
а по построению: )(00 FMFFhM ,
где – радиус-векторы точек на линии действия равнодействующей. Следовательно,
N
iiFMFM
100 )()( . (6.4.1)
В любой точке приведения второй статический инвариант обращается в нуль и поэтому данное построение может быть осуществлено также для любой точки.
Следовательно, точку O можно считать произвольной, а значит, и выра-жение (6.4.1), если у системы сил есть равнодействующая, справедливо для лю-бой точки.
Из доказанного следует, что момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же оси.
6.5. Приведение пространственной системы сил к паре
Если главный вектор F равен нулю, а главный момент системы сил 0M не равен нулю, то система сил приводится к паре. Момент этой пары равен главному моменту рассматриваемой системы сил:
N
iiFMMM
100 )( .
То есть главный момент уже не зависит от выбора точки приведения. Таким образом, если система сил сводится к паре, то равен нулю первый
статический инвариант.
6.6. Приведение пространственной системы сил к динаме
Динамой или силовым винтом называется система, состоящая из силы и пары, вектор момента которой на-правлен по этой силе. Пространственная система сил сводится к динаме, если отличны от нуля оба статических инварианта, иными словами, не равные нулю главный вектор F и главный момент 0M образуют между собой угол , отличный от
2/ (рис. 6.3). Разложим главный момент 0M по направлению
главного вектора и перпендикулярно ему. На рис. 6.3 Рис. 6.3
55
первая составляющая 01M направлена по силе F , а вторая 02M ей перпендику-
лярна. Заменим вторую составляющую 02M парой сил F и F с плечом
02Mh
F= .
В точке O силы F и F уравновешиваются, а в точке 1O получаем силу
F и момент 01M , который переносим из точки O .
Сила F и момент 01M , направленные по одной прямой, называемой цен-тральной осью системы сил или линией действия динамы, образуют динаму или динамический винт.
Из построения следует, что элементами динамы являются главный вектор F и проекция главного момента 0M на направление главного вектора.
01 0 cosM M . Причем
0
000cosFM
MFMFMF zzyyxx .
Уравнение оси динамы определяется условием 1cos , то есть векторы
01M и F должны быть параллельны. Но
01 0M M Fr= - ´ ,
где kzjyix – радиус-векторы точек линии действия динамы. Условие параллельности векторов записывается так:
01y01x 01z
x y z
MM M
F F F= =
или
z
xyz
y
zxy
x
yzx
F
yFxFM
F
xFzFM
F
zFyFM )()()( 000
. (6.6.1)
Уравнение (6.6.1) является уравнением прямой, которая представляет со-бой линию действия динамы.
56
7. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
7.1. Центр параллельных сил
Центром параллельных сил называется точка на линии действия ее равнодействующей, не меняющая своего положения при одновременном по-вороте всех сил на один и тот же угол вокруг их точек приложения.
Рассмотрим систему параллельных, одинаково направленных сил
NFFF ,...,, 21 , приложенных к твердому телу в точках NAAA ,...,, 21 . Эта система имеет равнодействующую, которая может быть найдена последовательным сложением сил (рис. 7.1).
Сложим сначала силы 1F и 2F . Их равнодей-
ствующая 12F (на рис. не показана) приложена в точке 1C , которая находится из условия:
1 1 1 2 1 2F AC F C A ,
и равна по модулю сумме 2112 FFF . Положе-ние точки 1C не меняется при одновременном по-вороте сил на угол . На рис. 7.1 – это силы, обо-значенные звездочкой. Затем, складывая 12F и 3F , получим точку 2C , где приложена равнодейст-
вующая сил 12F и 3F , равная по модулю
321 FFF . На последнем этапе сложения полу-чим точку C , где приложена равнодействующая всей системы и которая, оче-видно, также не меняет своего положения при повороте всех сил на один и тот же угол. Равнодействующая этих сил F , приложенная в точке C , являющейся центром параллельных сил, находится согласно равенству:
N
iiFF
1
. (7.1.1)
Если некоторые силы на-правлены в противоположную сторону, то это не меняет сути де-ла, так как положение точек при-ложения равнодействующей ан-типараллельных сил находится по правилу рычага второго рода и также неизменно при одновре-менном повороте всех сил на один и тот же угол.
Пусть система сил
NFFF ,...,, 21 параллельна оси z (рис. 7.2).
Рис. 7.1
Рис. 7.2
57
Зная координаты точек приложения сил, определим положение центра па-раллельных сил, применив теорему о моменте равнодействующей.
Для определения координаты cx центра параллельных сил составим урав-нение моментов сил относительно оси у:
N
iiyy FMFM
1
)()(
или
i
N
iic xFFx
1
,
откуда
F
xFx
i
N
ii
c
1 . (7.1.2)
Если составить уравнение моментов сил относительно оси x , то получим координату cу центра параллельных сил:
N
iixx FMFM
1
)()(
или
i
N
iic yFFy
1
.
Откуда
F
yFy
i
N
ii
c
1 . (7.1.3)
Для определения координаты cz центра параллельных сил повернем сна-чала все силы на один и тот же угол 2/ , как показано на рис. 7.2 и соста-вим уравнение моментов относительно оси x :
N
iixx FMFM
1
)()(
или
i
N
iic zFzF
1
.
Откуда, учитывая, что ii FF , получим
F
zFz
i
N
ii
c
1 . (7.1.4)
Формулы (7.1.2), (7.1.3), (7.1.4) можно объединить в одно векторное равенство:
F
rFr
i
N
ii
c
1 , (7.1.5)
58
где kzjyixr iiii – радиус-вектор точки приложения i -й силы,
kzjyixr cccc – радиус-вектор центра параллельных сил.
7.2. Центр тяжести тела
Согласно закону всемирного тяготения на все частицы тела, которое нахо-дится вблизи земной поверхности, действуют силы притяжения к Земле. Эти силы называются силами тяжести.
Силы тяжести, строго говоря, не являются параллельными, так как они сходятся в центре Земли. В связи с небольшими размерами тела по сравнению с радиусом Земли, силы тяжести отдельных частиц тела с достаточно большой точностью можно считать параллельными.
Равнодействующая параллельных сил тяжести отдельных частиц тела называется весом тела. Силу веса или силу тяжести тела будем обо-значать буквой р.
Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести отдельных частиц тела.
Центр тяжести неоднородного тела
Пусть неоднородное тело произвольной формы раз-бито на n элементов.
Обозначим вес i-го элемента через ip . Точка при-ложения силы ip находится внутри элемента (рис. 7.3). Однако где именно внутри элемента находится эта точка, не известно.
В зависимости от выбора этой точки получим при-ближенные значения координат центра тяжести тела.
Чтобы получить точные значения, необходимо со-вершить предельный переход:
.lim
;lim
;lim
1
0,
1
0,
1
0,
p
zdp
p
pzz
p
ydp
p
pyy
p
xdp
p
pxx
V
N
iii
pNc
V
N
iii
pNc
V
N
iii
pNc
i
i
i
(7.2.1)
Интегралы в формулах (7.2.1) берутся по объему V твердого тела.
Рис. 7.3
О
59
Рис. 7.4
Центр тяжести однородного тела
Если тело однородно, то удельный вес его постоянный. Тогда вес тела будет Vp и, следовательно, dVdp .
Тогда вместо формул (7.2.1) получим:
V
zdVz
V
ydVy
V
xdVx V
cV
cV
c
;; . (7.2.2)
Таким образом, центр тяжести однородного тела является центром тяжести его объема. Интегралы в числителях формул (7.2.2) называются статическими моментами объёма относительно координатных плоскостей. Интеграл
V
xdV –
статический момент относительно плоскости Oyz , интеграл V
ydV – относи-
тельно плоскости Oxz , интеграл V
zdV – относительно плоскости Oxy .
Центр тяжести плоской фигуры
Пусть плоская фигура расположена в плоскости Оxy (рис. 7.4). Поступая так же, как и в случае пространственно-го тела, получаем формулы для нахождения координат цен-тра тяжести.
.lim
;lim
1
0,
1
0,
p
ydp
p
pyy
p
xdp
p
pxx
S
N
iii
pNc
S
N
iii
pNc
i
i
(7.2.3)
Интегралы в формулах (7.2.3) берутся по площади S плоской фигуры. Если плоская фигура однородна, то сила тяжести пропорциональна ее площади:
Sp , где S – площадь фигуры; const – вес единицы площади. Тогда получим
.;S
ydSy
S
xdSx S
cS
c
(7.2.4)
В формулах (7.2.4) интегралы S
xdS и S
ydS называются статическими
моментами площади плоской фигуры относительно оси y и х соответственно.
х
у
60
Если плоскую фигуру разбить на элементы, центры тяжести которых известны, например, прямоугольники, то получаем точные формулы. При наличии отверстий соответствующее слагае-мое берем со знаком минус (метод отрицательных площадей или объемов).
На рис. 7.5 элемент 2S является отверстием, поэтому:
.
;
21
2211
21
2211
SS
ySySy
SS
xSxSx
C
C
Центр тяжести линии
К понятию линии приходим, рассматривая тело, поперечное сечение которого мало по сравнению с длиной (рис. 7.6). В случае, если поперечное сечение постоянно и постоянен вес единицы длины, имеем:
, ; ;l
dlzz
l
dlyy
l
dlxx l
Cl
Cl
C
(7.2.5)
где l – длина линии, dl=ds (рис. 7.6). Интегралы, входящие в формулы (7.2.5) на-
зываются криволинейными.
7.3. Примеры определения центров тяжести
Центр тяжести дуги окружности
Рассмотрим дугу окружности с центральным углом 2 , симметричную относительно оси х (рис. 7.7).
Согласно общим формулам для центра тяжести имеем
,l
dlxx l
C
(7.3.1)
где 22 dydxdl – элемент длины линии;
acdyabdx , – соответствующие проекции эле-мента dl на оси x и y . Треугольники OAB и abc по-
добны. Следовательно, справедлива пропорция:
Рис. 7.6
Рис. 7.7
Рис. 7.5 х
у
dl
61
dl
dy
r
x ,
где r – радиус окружности. Подынтегральное выражение в формуле (7.3.1), таким образом, удовлетво-
ряет равенству: rdyxdl
и, следовательно, интеграл
l l l
rhdyrrdyxdl , (7.3.2)
где h – проекция дуги на ось y . В итоге формула (7.3.1) с учетом (7.3.2) переписывается так:
l
rhxC . (7.3.3)
Это общая формула для координат Cx центра тяжести несимметричной дуги. В рассматриваемом случае
rlrh 2 ,sin2 . (7.3.4) Подставляя (7.3.4) в (7.3.3), получим:
sinr
xC . (7.3.5)
Формула (7.3.7), естественно, может быть получена непосредственным ин-тегрированием. Пусть – полярный угол элемента rddl . Координата cosrx , тогда:
sin
2
cos2
r
r
drxC .
Центр тяжести площади треугольника
Разобьем площадь треугольника прямыми, параллельными основанию, на очень большое число узких полосок, которые можно рассматривать как матери-альные отрезки прямых линий (рис. 7.8). Центр тяжести каждого отрезка лежит на его середине, а, следовательно, центр тяжести всей площади треугольника лежит на его медиане. Разбив площадь прямыми, параллельными каждой из сторон, можно утверждать, что центр тяжести тре-угольника лежит на каждой из медиан. Следова-тельно, он лежит на пересечении медиан. Из гео-метрии известно, что медианы пересекаются на расстоянии одной трети от основания и двух третей от вершины.
Рис. 7.8
62
Центр тяжести площади кругового сектора
Рассмотрим симметричный сектор с углом 2 . Разобьем сектор на элемен-тарные секторы с центральными углами d . Каждый такой сектор можно рас-сматривать как треугольник с высотой r и основанием rd . Центр тяжести ка-
ждого такого треугольника лежит на расстоянии r3
2 от центра круга. Следова-
тельно, необходимо найти центр тяжести материальной дуги круга радиуса r3
2.
Поэтому
sin
3
2rxC . (7.3.6)
Центр тяжести поверхности сферического сегмента
Дана поверхность сферического сегмента ABCEF . Чтобы найти центр тяжести, рассмотрим определение его площади (рис. 7.9).
Площадь пояска с образующей rddl :
dradldS sin22 2 , где a r sin= j
Откуда площадь всего сегмента:
0
22 )cos1(2sin2 rdrS .
Однако Hr )cos1( , следовательно,
rHS 2 . (7.3.7)
Из формулы (7.3.7) следует, что площадь сферического сегмента равна произведению дуги окружности большого круга на его высоту. Очевидно, пло-щадь сферического пояса оказывается также равной произведению дуги боль-шого круга на его высоту.
Разделим высоту H на большее число равных частей H и через точки деления проведем плоскости, параллельные основанию сегмента. Тогда по-верхность сегмента, согласно формуле (7.3.7), разделится на большое число равных по площади поясов, центр тяжести которых лежит на их геометриче-ском центре, то есть на отрезке BD .
Таким образом, высота H будет равномерно покрыта материальными точ-ками и, следовательно, центр тяжести сегмента будет находиться в центре от-резка BD .
Следовательно,
2
HryC . (7.3.8)
Рис. 7.9
j
63
В частном случае, когда rH , то есть для полусферы, имеем
22
rrryC .
То есть центр полусферы находится на середине радиуса, перпендикулярного основанию.
Центр тяжести многогранной пирамиды Начало координат расположим в вершине пира-
миды (рис. 7.10). Ось z направим вертикально вниз. Найдем соотношение между площадями основания 0F и некоторого сечения zF , находящегося на расстоянии z от вершины.
Очевидно, 2
2
0 h
z
F
Fz .
Следовательно, 220 / hzFFz .
Согласно общей формуле для центра тяжести имеем
V
dVzz V
C
. (7.3.9)
Вычисление интеграла в числителе можно упростить, если в качестве dV взять объем заштрихованного элемента толщиной dz :
dzzh
FdzFdV z
220 .
Тогда интеграл в числителе формулы (7.3.9) будет
h
V
hFdzz
h
FzdV
0
203
20
4 . (7.3.10)
Объем пирамиды hFV 03
1 , тогда, согласно (7.3.9) и (7.3.10),
hzC 4
3 . (7.3.11)
Из приведенных рассуждений следует, что координата Cz не зависит от формы основания пирамиды и расположена на расстоянии четверти высоты от основания. Следовательно, это относится и к любому конусу, независимо от уг-ла его наклона.
7.4. Теоремы Паппа–Гульдина
Эти теоремы были открыты александрийским механиком Паппом, по од-ним сведениям в третьем, а по другим в четвертом веке новой эры, и затем в 1635 году они же были вновь открыты монахом Гульдиным.
Теорема 1. Поверхность тела, образованного вращением плоской кри-вой вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равна произ-
Рис. 7.10
о
64
ведению длины кривой на длину окружности, описываемой ее центром тяжести.
Пусть дуга плоской кривой АВ (рис. 7.11) образует при вращении вокруг оси z некоторую поверхность. Вы-делим элемент dl этой кривой. Площадь пояска, образо-ванного вращением этого элемента, будет:
xdldS 2 ,
где х – расстояние элемента до оси вращения. Чтобы найти площадь поверхности вращения, не-
обходимо вычислить интеграл
l
xdlS 2 . (7.4.1)
Но известно, что
l
C lxxdl , (7.4.2)
где l – длина дуги AB ; Cx – координата центра тяжести дуги AB . Следовательно, согласно (7.4.1) и (7.4.2),
lxS C2 . (7.4.3)
что и доказывает первую теорему Паппа–Гульдина. Формула (7.4.3) позволяет определять координаты центра тяжести плоских
кривых:
l
SxC 2
. (7.4.4)
Например, для полуокружности получим: 24 rS - так как в результате
ее вращения получается сфера; rl , следовательно, r
xC
2 .
Теорема 2. Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
Выделим элемент dS в пределах плоской фигуры (рис. 7.12). При вращении этого элемента вокруг оси z получается кольцо, объем которого находится по фор-муле:
xdSdV 2 ,
где х – расстояние элемента до оси z. Объем тела вращения найдем интегрированием:
S
xdSV 2 . (7.4.5)
Рис. 7.11
Рис. 7.12
о
о
65
По определению центра тяжести: SxxdS C
S
, (7.4.6)
где Cx – координата центра тяжести; S – площадь фигуры. Тогда, согласно (7.4.5) и (7.4.6),
,2 SxV C (7.4.7)
что доказывает вторую теорему Паппа–Гульдина. Из (7.4.7) получаем:
S
VxC 2
.
Для полукруга имеем: 3
3
4rV – так как при его вращении получается шар.
2
2
rS
и, следовательно,
34r
xC .
66
КИНЕМАТИКА
8. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
8.1. Введение в кинематику
Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изу-чается механическое движение материальных тел независимо от действующих на них сил. В связи с этим в кинематике не встречаются такие понятия, как «сила» и «масса».
В кинематике изучается зависимость между пространственными характе-ристиками движения, поэтому кинематику называют также геометрией движе-ния. В основе кинематики лежит понятие об абсолютном пространстве и времени, введенное И. Ньютоном.
Абсолютное пространство обычно представляется в виде некоторого проницаемого безграничного твердого тела, свойства которого не зависят от распределения материальных тел и от их движения. Абсолютное время одинаково во всех точках пространства и течет равномерно и непрерывно.
Геометрические свойства пространства в классической механике опреде-ляются системой аксиом и теорем геометрии Евклида.
Астрономы предприняли ряд попыток оценить пределы применимости геометрии Евклида.
Один из методов проверки был предложен Шварцшильдом. Между двумя наблюдениями с интервалом в шесть месяцев удаленной
звезды положение Земли относительно Солнца меняется на длину диаметра, то есть на 3·1013 см (рис. 8.1).
При этом сумма углов α и β должна быть меньше 180°, если пространство оказывается пло-ским, и может оказаться больше, если пространст-во криволинейно. Однако в настоящее время нет данных наблюдений, согласно которым сумма уг-лов α + β где-либо становилась бы больше 180°, при этом оказалось, что радиус кривизны, опреде-ляемый триангуляцией, в любом случае должен быть больше, чем 6·1019 см. При помощи более точных астрономических наблюдений было уста-
новлено, что радиус кривизны должен иметь величину порядка 1028 см. Но при этом неизвестно, имеет ли пространство кривизну в масштабах длин, превы-шающих эту величину. С другой стороны, исследования на современных уско-рителях позволяют утверждать, что Евклидова геометрия выдерживает экспе-риментальную проверку вплоть до размеров 10–13 см.
Одной из важнейших задач кинематики является установление связи пара-метров движения, заданного в различных системах координат, движущихся от-носительно друг друга. При этом наличие инерциальной системы отсчета,
Рис. 8.1
67
имеющей принципиальное значение в динамике, для кинематики не сущест-венно.
Предметом изучения кинематики, как и механики в целом, являются те же модели материальных тел, а именно: материальной точки, системы материаль-ных точек, твердого тела, а также различные модели сплошных сред.
8.2. Три способа определения движения точки
Основной задачей кинематики точки является изучение законов ее движения.
Закон движения точки задается с помощью зависимости от времени ее по-ложения в пространстве. При этом закон движения считается известным, если положение точки в пространстве можно определить в произвольный момент времени. Кривая, которую описывает точка, называется ее траекторией.
Если траектория является прямой линией, то движение точки называется прямолинейным. В противном случае движение называется криволинейным.
Движение точки можно определить тремя способами: векторным, коор-динатным и естественным.
Векторный способ
Положение точки можно определить с помо-щью радиус-вектора r , проведенного из некото-рой заданной неподвижной точки O в данную точку M (рис. 8.2).
При движении точки радиус-вектор r изме-няется по величине и направлению. Положение точки M в каждый момент времени является вполне определенным, иными словами, точка M в данный момент может находиться только в одном месте пространства, поэтому функция r=r(t) яв-ляется однозначной. Кроме того, r=r(t) является почти всюду непрерывной и дважды дифференцируемой функцией времени. Геометрическое место концов вектора r=r(t) называется годографом. Следова-тельно, траектория точки является годографом радиус-вектора r=r(t) .
Уравнение r=r(t) . (8.2.1)
называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме и представляет собой уравнение ее траектории.
Координатный способ
Этот способ определения движения состоит в том, что задаются координа-ты точки как функции времени. Например, в декартовых координатах следует задать три зависимости:
)(),(),( tzztyytxx , (8.2.2)
Рис. 8.2 х
у
z
68
где zyx ,, – соответствующие декартовы координаты точки M (см. рис. 8.2). Между векторным и координатным способами задания движения точки суще-ствует очевидная связь:
r= x i+ yj+ zk , (8.2.3)
где i , j , k – координатные орты. Зависимости (8.2.2) являются уравнениями траектории в параметрической
форме. Эти зависимости также однозначны, непрерывны и дважды дифферен-цируемы.
Если из соотношений (8.2.2) исключить время, то получим уравнение тра-ектории в явной форме.
Естественный способ
При естественном способе задания движения траектория точки должна быть известна заранее. Поэтому для определения положения точки в простран-стве достаточно задать ее положение на траектории. Для этого на траектории выбирается начало отсчета дуговых координат, а положение точки М опреде-ляется ее ориентированным расстоянием S, отсчитываемым по дуге траектории от выбранной точки. Иными словами, необходимо задать уравнение
)(tSS . (8.2.4)
Уравнение (8.2.4) определяет закон движения точки по траектории. При этом функция )(tSS должна быть непрерывной и дважды дифференцируе-мой.
Дуговая координата S отлична от пройденного точкой пути. Если дуга S является монотонной функцией времени, то путь и дуговая координата не от-личаются друг от друга. Если же это не так, то путь, пройденный точкой, сле-дует разбить на участки монотонного изменения дуговой координаты и затем просуммировать.
8.3. Скорость и ускорение точки при векторном и координатном способах задания движения
Пусть точка М движется по некоторой кривой (рис. 8.3). В момент времени t она занимает положе-ние M . Соответствующий радиус-вектор r . Через ма-лый промежуток времени t точка переходит в поло-жение 1M . Ее радиус-вектор изменяется на величину Δr , становится равным r + Δ r . Скоростью точки в данный момент времени называется величина:
0t
Δr drv lim =
Δt dtD = (8.3.1)
или v r= .
Рис. 8.3 х
у
z
69
Следовательно, скорость – это первая производная радиус-вектора точки по времени (рис. 8.3).
Приращение радиус-вектора Δr является секущей. В пределе секущая пе-реходит в касательную, поэтому и скорость в данной точке направлена по каса-тельной к траектории в сторону изменения дуги.
Пусть движение точки задано координатным способом. В силу равенства (8.2.3) получаем:
x y zv r xi yj zk v i v j v k . (8.3.2)
Откуда следует, что
, , x y zv x v y v z . (8.3.3)
Очевидно 222zyx vvvv , cos( , ) ;cos( , ) ;cos( , )yx z
vv vv x v y v z
v v v .
Выберем некоторую точку 1O и расположим в ней декартову систему осей
111 ,, zyx . Если перенести в точку параллельно самим себе векторы v , то концы векторов v образуют кривую, называемую годографом скорости. Очевидно, координаты точек годографа скорости определяются согласно равенствам:
1 1 1( ); ( ); ( )x y zx v t y v t z v t . (8.3.4)
Это уравнение годографа в параметрической форме. Если исключить время, являющееся па-раметром, то получим уравнение годографа ско-рости в явной форме.
Физическая величина, характеризующая бы-строту изменения скорости движения точки во времени, называется ускорением.
Рассмотрим два близких положения точки М и 1М на траектории (рис. 8.4). Скорости в точках М и 1М будут соответственно v и v+Δv . Вектор ускорения в данный момент времени будет:
Δv dva lim =
Δt dt=
или rva . (8.3.5)
Следовательно, ускорение – это первая производная вектора скорости по времени.
Если движение точки задано координатным способом, например, в декар-товых осях, то согласно соотношению (8.3.3) и (8.3.2), имеем:
x y za v v i v j v k xi yj zk , (8.3.6)
То есть, , , x x y y z za v x a v y a v z .
Рис. 8.4
х у
z
70
В качестве примера рассмотрим кинематический анализ кривошипно-шатунного механизма (рис. 8.5). Кривошип ОА равномерно вращается против часовой стрелки. Его угол по-ворота t . Звено АВ называется шатуном. Размеры звеньев:
, OA r AB l . В начальный момент времени поршень В находится в верх-ней мертвой точке 0B , причем
lrABOAOB 0 – перемещение поршня отсчитывается от точки 0B : )(0 tSBB .
Из треугольника OAB имеем:
coscos lrOB .
По теореме синусов: sinsin
lr , откуда sinsin
l
r .
Введем обозначение l
r. Тогда получим: 22 sin1cos и, следова-
тельно, )sin11()cos1()( 22 lrtS .
Движение ползуна колебательное с частотой и ходом поршня r2 . обыч-
но величина 5
1 , то есть, достаточна мала. Поэтому, если разложить радикал
в ряд и пренебречь величинами порядка 4 , то выражение для )(tS существен-но упрощается. Итак:
)2
2cos1(
2
11... sin
2
11) sin1( sin1 2222/12222 t
ttt
.
Подставим это выражение в формулу )(tS :
) 2cos4
cos4
1() 2cos
4
1
4
1() cos1()(
2222 ttltltrtS .
Найдем скорость и ускорение поршня: 2
2 2
22
2
λv S l ( λ sin t sin t );
a S l ( λcos t λ cos t ).
= = w w + w
= = w w + w
Как видно, уравнение движения точки содержит две существенно прояв-ляющих себя гармоники.
Рис. 8.5
71
8.4. Скорость и ускорение точки в полярных координатах
Пусть движение точки происходит в плоскости Oxy . Кинематические уравнения движения точки в декартовых осях заданы: )();( tyytxx . Заданы также и полярные координаты точки: )(),( ttrr . Пусть re – единичный вектор (орт), направленный вдоль радиус-вектора r точки M относительно точки О в сторону возрастания r , а ej – единичный вектор трансверсального
направления, получающийся поворотом вектора re на угол 2/ против часовой стрелки.
В системе координат Oxy векторы re и ej , если
использовать матричную форму, записываются сле-дующим образом (рис. 8.6):
)cos,sin(),sin,(cos TTr ee , (8.4.1)
так как sin,cos ryrx ,
то в системе координат Oxy получим:
( , ) ( cos sin , sin cos ,Tv х y r r r r (8.4.2) 2 2( , ) (( )cos ( 2 )sin ,( )sin ( 2 )cos ).Ta x y r r r r r r r r (8.4.3)
Проекции rv и v на радиальную и трансверсальную оси представляют со-
бой радиальную и трансверсальную скорости, которые, согласно (8.4.1) и (8.4.2), являются следующими скалярными произведениями:
,sin)cossin(cos)sincos()( rrrrrevv rr (8.4.4)
,cos)cossin(sin)sincos()( rrrrrevv (8.4.5)
Для проекций ускорения осуществим аналогичные выкладки, найдем: ;)( 2 rreaa rr (8.4.6)
( ) 2a a e r r . (8.4.7)
Переход от системы осей Oxy к осям eMer можно осуществить с помощью
матрицы поворота на угол : cos , sin
sin , cosA
, (8.4.8)
при этом:
x r
y
v vxA
v vy
. (8.4.9)
x r
y
a axA
a ay
. (8.4.10)
Рис. 8.6
х
у
72
Не трудно увидеть, что матрица A образована векторами re и je :
,rA e e .
Учитывая (8.4.4) и (8.4.5), согласно (8.4.9), приходим к формуле (8.4.2). Анало-гично подставляя (8.4.6) и (8.4.7) в (8.4.10) получим формулу (8.4.3).
Важным является тот факт, что
I TAA ,
где 1 0
I0 1
– единичная матрица.
Следовательно, транспонированная матрица A равна своей обратной: 1 AAT
Соответствующие определители матриц A и TA равны единице: 2 2cos sin 1TA A .
В математике преобразование с матрицей типа (8.4.8) называется унитарным.
8.5. Скорость и ускорение при естественном способе задания движения
Естественные оси (натуральный триэдр)
В каждой точке кривой есть три взаимно перпендикулярных направления: касательная, главная нормаль и бинормаль.
Единичные орты этих направлений обозначим соответственно τ,n,b (рис. 8.7). Орт касательной τ направляется в сторону положительного отсчета дуго-вых координат S, орт главной нормали n – в сторону вогнутости траектории, орт бинормали b направлен так, чтобы векторы τ,n,b образовывали правую систему координат. На рис. 8.7 показаны также соприкасающиеся плоскость
0П и нормальная плоскость 0N . Проведем в точке М плоскость 0N , перпендикулярную к касательной
(рис. 8.7). Эта плоскость называется нормальной плоскостью кривой. Любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку М , будет перпендикулярна
τ , то есть будет нормалью к кривой. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей называется главной нормалью кривой. Следовательно, главная нормаль ле-жит в соприкасающейся плоскости, а бинор-маль перпендикулярна к главной нормали. Со-вокупность трех взаимно ортогональных осей τ,n,b , образующих правую систему координат, называется натуральным триэдром или ес-тественными осями.
Рис. 8.7
τ
73
Рассмотрим предельный пе-реход, в результате которого по-лучается соприкасающаяся плос-кость. Для этого, наряду с точкой М , рассмотрим близко располо-женную точку 1М (рис. 8.8).
Дуговая координата точки М , отсчитываемая от точки 0М ,
)(tSS . Точка 1M находится на расстоянии S от точки M , то есть положение точки 1M опре-деляется значением дуги SS , причем 0S . Орт касательной в точке 1M обозначается через 1τ . Перенесем орт 1τ в точку М и
через образовавшийся треугольник проведем плоскость *П . Если устремить точ-ку 1M к точке М , то плоскость *П будет вращаться вокруг касательной τ и при уменьшении S до нуля займет некоторое предельное положение 0П , называе-мое соприкасающейся плоскостью.
Найдем выражения единичных векторов натурального триэдра через ради-ус-вектор r=r(S) .
Рассмотрим векторную производную dr
dS. Вектор
dr
dS направлен по каса-
тельной к годографу вектора r=r(S) в сторону возрастания дуг S . С другой стороны, численная величина производной равна
drdr= =1
dS dS.
Таким образом, векторная производная dr
dS представляет единичный век-
тор касательной: dr
τ=dS
. (8.5.1)
Для определения орта главной нормали n рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный векторами τ и 1τ в плоскости *П (рис. 8.8). Если точка 1M взята на малом расстоянии S от точки М , то угол будет тоже мал, а вектор Δτ можно приближенно считать перпендикулярным к τ и парал-лельным вектору нормали *n , лежащему в плоскости *П . По величине Δτ как
основание равнобедренного треугольника с малым углом при вершине и боковыми сторонами, равными единице, будет равен:
Рис. 8.8
1τ
1τ
τ
τ
74
2 12 2
Δτ =2 τ sinDj Dj
» ⋅ =Dj .
Следовательно, *Δτ n»Dj . Поделим обе части этого равенства на S и перейдем к пределу:
0 0 0
*
S S S
Δτlim lim lim n
ΔS SD D D
Dj=
D .
По определению производной:
0 0S S
Δτ dτ dlim , lim
ΔS dS S dSD D
Dj j= =
D .
Поскольку орт *n при приближении точки 1M к M стремится к n , то
0
*
Slim n =nD
.
Таким образом, dτ d
ndS dS
j= .
Производная kdS
d
называется кривизной кривой.
При этом 1
k ,
где – радиус кривизны кривой. Следовательно,
1dτn
dS=
r или
2
2
dτ d rn=ρ =ρ
dS dS . (8.5.2)
Если через данную точку кривой М и две близкие к ней точки провести круг, то при стремлении этих точек к точке М круг будет стремиться к некото-рому предельному кругу, называемому соприкасающимся кругом, который лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус этого круга будет радиусом кри-визны кривой, центр круга – центром кривизны кривой.
Наконец найдем орт бинормали b : 2
2
dr d rb=τ×n=ρ( × )
dS dS.
Скорость в естественных осях
По определению скорость – это векторная производная радиуса-вектора r по времени. Согласно этому определению и используя (8.5.1), получим:
dr dr dSv S τ
dt dS dt= = = ⋅ .
Здесь S – производная дуговой координаты по времени. Найдем скалярное произведение
v τ S τ τ S⋅ = ⋅ ⋅ = .
75
Очевидно τS v= , то есть производная дуги по времени равна проекции вектора скорости v на орт касательной τ . Следовательно, вектор скорости в естественных осях записывается следующим образом:
τv=v τ . (8.5.3) Для сравнения напомним выражение вектора скорости в декартовых осях:
x y zv=v i+v j+v k .
Ускорение в естественных осях
Для того чтобы найти выражение вектора ускорения в естественных осях, воспользуемся определением ускорения и формулой (8.5.3) для вектора скоро-сти в естественных осях:
ττ τ
dv d dv dτa= = (v τ)= τ+v
dt dt dt dt. (8.5.4)
Применим ранее полученные выражения для ортов осей натурального триэдра. Согласно (8.5.2)
τ
dτ dτ dS 1= = v n
dt dS dt ρ⋅ . (8.5.5)
Подставим (8.5.5) в выражение (8.4.5): 2
τ τdv va= τ+ n
dt ρ . (8.5.6)
Равенство (8.5.6) представляет собой разложение вектора ускорения по осям натурального триэдра. При этом величина
2τ
τ 2
dv d Sa = =
dt dt . (8.5.7)
называется касательным ускорением и характеризует изменение вектора ско-рости по величине. Величина
22 vvan (8.5.8)
называется нормальным ускорением и характеризует изменение вектора ско-рости по направлению.
Если учесть обозначения (8.5.7) и (8.5.8), то формулу (8.5.6) можно пере-писать так:
naaa n . (8.5.9) Равенство (8.5.9) говорит о том, что проекция ускорения на бинормаль
равна нулю. Для сравнения приведем выражение вектора ускорения в декарто-вых осях:
x y za=a i+a j+a k .
76
Связь естественного и координатного способов задания движения
Не представляет труда найти все кинематические характеристики движе-ния точки в естественных осях по заданным координатным способом ее урав-нениям движения.
Пусть известны уравнения движения точки в декартовых осях:
)( ),( ),( tzztyytxx . Найдем проекции скорости и ускорения:
. , ,
, , ,
zayaxa
zvyvxv
zyx
zyx
Квадрат модуля скорости: 2 2 2 2 2
τv v=v =x +y +z =v⋅ .
Найдем производную по времени от 2v : 2dv dv=2v =2(xx+yy+zz)=2va
dt dt .
Учитывая, что τv=v τ и τ na=a τ+a n , получим:
τ τ n τ τv a=(v τ)(a τ+a n)=v a⋅ . Следовательно,
v
zzyyxxa
)( .
Если скалярное произведение v a>0⋅ , то движение ускоренное и, если v a<0⋅ , то замедленное.
Из равенства 2
422
v
aa следует:
22
2
aa
v
.
Представляет определенный интерес проанализировать частные случаи движения. Приведем некоторые примеры.
1. Прямолинейное движение. Если во время движения точки нормальное ускорение na равно нулю, то движение точки является прямолинейным. Дейст-
вительно, если 02
v
an , то . Следовательно, траекторией является
прямая, при этом полное ускорение равно касательному: τa=a . Если во время движения точки ее ускорение равно нулю 0a , то движение является равно-мерным и прямолинейным, так как скорость в этом случае не изменится ни по величине, ни по направлению.
77
2. Равномерное криволинейное движение. Если во время движения точки касательное ускорение равно нулю 0a ,
то величина проекций скорости v на орт касательной не изменяется. Действи-тельно, если τ τa = v = 0 , то constv . В этом случае точка движется равно-мерно по кривой, а полное ускорение равно нормальному na=a .
3. Равнопеременное движение. Если во время движения точки по некото-рой кривой касательное ускорение постоянно τa = co n st , то дуговая координа-та меняется по закону:
00
2
2Stv
taS
.
Примеры определения радиуса кривизны траектории
1. Пусть даны уравнения движения точки: 1, 2 tytx .
Исключив время, получим уравнение траектории (рис. 8.9).
12 xy Найдем скорость и ускорение:
1; 2 .
0; 2;
.
x y
x y
y
v x v y t
a a
a a
Точка движется из вершины параболы по правой ее вет-ви. При 24.25,1 vt . Касательное ускорение будет:
789.15
4
v
yyxxa
.
Нормальное ускорение:
894.05
222 aaan .
Радиус кривизны траектории:
59.52
552
na
v .
2. Определим радиус кривизны эллипса в произвольной точке. Уравнения эл-липса в параметрической форме: tbytax sin ,cos Если исключить время, то получаем уравнение эллипса в явной форме:
12
2
2
2
b
y
a
x.
Для радиуса кривизны имеем формулу
Рис. 8.9
х
у
78
na
v2
.
Найдем составляющие скорости и ускорения:
.sin ,cos
,cos ,sin
tbytax
tbytax
Тогда: 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
v x y a sin t b cos t ,
a x y a cos t b sin t ,
= + = +
= + = +
, cossin
cossin)()()(
2222
2222222
tbta
ttba
dt
dva
. cossin
cossin
cossin)(sincos
2222
2222
22222222222
tbta
abtbta
ttbatbtaaaan
Наконец, найдем:
ab
tbta 2/32222 )cossin( .
8.6. Криволинейные координаты
Движение точки в пространстве не обязательно задается только декарто-выми координатами. Как было показано ранее, это движение, например, в плоскости, можно задать в полярных координатах. В пространстве трех изме-рений движение можно задать с помощью любых трех чисел, однозначно опре-деляющих положение точки.
Эти три числа 321 ,, qqq , в отличие от прямолинейных декартовых коорди-нат, называются криволинейными координатами. Движение точки считается заданным, если ее криволинейные координаты 3,2,1, iqi представляют из-вестные функции времени: )(tqq ii .
В силу однозначности соответствия между определением положения точки при помощи радиус-вектора r и определением ее положения при помощи кри-волинейных координат 3,2,1, iqi можно написать:
1 2 3r= r(q ,q ,q ) . (8.6.1) Последнее соотношение утверждает, что радиус-вектор r является одно-
значной функцией криволинейных координат. Пусть 0М – некоторая точка в пространстве. Ее криволинейные координа-
ты обозначим 030201 ,, qqq . Координатными линиями, проходящими через точку
0М , назовем зависимости 1 02 03r=r(q ,q ,q ) , 01 2 03r=r(q ,q ,q ) , 01 02 3r=r(q ,q ,q ) , которые получаются из (8.6.1) при фиксировании координат, в обозначении ко-
79
торых имеется индекс 0. Касательную к i-й координатной линии в точке 0М на-зовем i-й координатной осью.
Приращение дуги вдоль i-й координатной оси будет:
i ii
rdS dq
q
¶=
¶,
где kq
zj
q
yi
q
x
q
r
iiii
, i ii
rdr dq
q
.
Следовательно,
iiiii
Hq
z
q
y
q
x
q
r
222
.
Величины iH называются коэффициентами Ламе. При этом ii
i Hdq
dS .
Единичный вектор i-й координатной оси, направленный по касательной и соот-ветствующей координатной линии, будет:
iii
i
iii q
r
HdS
dq
q
r
dS
rde
1
. (8.6.2)
В дальнейшем ограничимся рассмотрением ортогональных криволинейных координат. В этом случае:
011
jijijijijiji
ji q
z
q
z
q
y
q
y
q
x
q
x
HHq
r
q
r
HHee , (8.6.3)
если ji . Рассмотрим дифференциал дуги произвольной кривой в заданной системе
криволинейных координат. Для этого воспользуемся формулой для произволь-ного малого перемещения:
33
22
11
dqq
rdq
q
rdq
q
rrd
.
Чтобы найти квадрат дифференциала дуги 2dS , необходимо найти скаляр-ное произведение rdrd :
2
33
22
11
22 dqq
rdq
q
rdq
q
rrdrdrddS
.
Учитывая (8.6.3) получим выражение дифференциала дуги в ортогональ-ной криволинейной системе координат:
.
)()()()()()(
23
23
22
22
21
21
23
2
3
22
2
2
21
2
1
2
dqHdqHdqH
dqq
rdq
q
rdq
q
rdS
(8.6.4)
Найдем проекции скорости v и ускорения a точки М на оси криволиней-ной системы координат. По определению скорости, с учетом (8.6.2), получаем:
80
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 31 2 3
dr r r rv q q q H q e H q e H q e
dt q q q
. (8.6.5)
В формуле (8.6.5) величины: 3,2,1 , iqHv iiqi . (8.6.6)
представляют собой проекции вектора скорости на криволинейные координаты. Согласно формуле (8.6.5), квадрат величины скорости будет:
23
23
22
22
21
21
2 qHqHqHv . (8.6.7) что соответствует также формуле (8.6.4).
Для определения проекций ускорения представим их в виде:
iiiqi q
r
Hveaa
1 .
Откуда
iiiqii q
r
dt
dv
q
rv
dt
d
q
rvaH
)( . (8.6.8)
Из выражения для скорости (8.6.5) следует:
ii q
r
q
v
. (8.6.9)
Кроме того:
33
2
22
2
11
2
qqq
rq
rq
r
q
r
dt
d
iiii
и
33
2
22
2
11
2
qqq
rq
rq
r
q
v
iiii
.
Ввиду того, что r – дважды дифференцируемые функции 321 ,, qqq , то смешан-ные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому:
ii q
v
q
r
dt
d
. (8.6.10)
Подставляя (8.6.9) и (8.6.10) в формулу (8.6.8), получим:
iiqii q
vv
q
vv
dt
daH
)(
.
Введем обозначение Tv 2/2 . Тогда для qia получим следующее выражение:
3,2,1),(1
iq
T
q
T
dt
d
Ha
iiiqi
. (8.6.11)
Оператор )i
i i
d
dt q q
– называется оператором Эйлера, так как
он впервые получил его при решении задач оптимизации.
81
Примеры
1. Найти скорость и ускорение точки в цилиндрической системе
координат (рис. 8.10). В этом случае:
zqqrq 321 ,, , причем
zzryrx ;sin ;cos .
r zH H r H1; ; 1 . zvrvrv zr ; ; .
. ;2 ;
);(2
1
2
2222
zarrarra
zrrT
zr
2. Найти скорость и ускорение точки в сферической системе координат (рис. 8.11).
321 ,, qqrq . .cos ;sinsin ;cossin rzryrx
. ;sin ;1 rHrHH r
. ;sin ; rvrvrvr
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
1( sin );
2
sin
sin 2 sin 2 cos
2 sin cos
r
T r r r
a r r r ;
a r r r ;
a r r r .
Рис. 8.10
Рис. 8.11
х
у
z
х
у
z
82
9. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
9.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение твердого тела, когда любая проведенная в нем пря-мая остается параллельной самой себе.
В качестве примера поступательного движения можно привести движение спарника колес паровоза, имеющих одинаковый радиус (рис. 9.1).
Стержень АВ , соединяющий две точки колес с центрами в точках 1О и 2О , называется спарником.
При движении паровоза, если колеса вращаются без проскальзывания, спарник остается параллельным самому себе и, следовательно, движется поступательно.
При поступательном движении точки твердого тела описывают одинако-вые траектории.
Пусть отрезок ABr соединяет две произвольные точки тела, совершающего поступательное движение (рис. 9.2).
Положение точек А и В определим их радиус-векторами Ar и Br . Радиус-вектор ABr постоянен по ве-личине и направлению:
ABr const= . Поскольку
B A ABr r r= + , (9.1.1) то траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением точек этой траектории на постоянный вектор ABr .
В рассматриваемом примере у спарника колес паровоза траекториями точек А и В , а, следовательно, и точки М, являются циклоиды одинаковой формы.
Докажем, что при поступательном движении твердого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями. Воспользовавшись соотношением (9.1.1), найдем:
A B ABdr dr dr
dt dt dt .
Согласно определению поступательного движения:
0ABdr
dt .
Следовательно, скорости точек А и В равны между собой:
A Bv v= . Дифференцируя последнее выражение по времени, приходим к выводу,
что и ускорения этих точек также одинаковы:
A Ba a= .
Рис. 9.1
Рис. 9.2
83
Таким образом, для изучения поступательного движения твердого тела достаточно изучить движение одной точки. Следовательно, кинематика посту-пательного движения сводится к кинематике точки.
9.2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при ко-тором, по крайней мере, две его точки остаются непод-вижными. Прямая, проходящая через эти две точки, на-зывается осью вращения (рис. 9.3).
Положительным направлением вращения будем счи-тать вращение против часовой стрелки. Проведем плоскость через ось вращения и некоторую точку 0M .
Положение тела определим, задав угол поворота этой плоскости как функцию времени:
)(t . (9.2.1) Угол будем считать положительным, если поворот
происходит против часовой стрелки, в противном случае будем считать его от-рицательным. Угол измеряется в радианах.
Угловая скорость тела характеризует интенсивность изменения угла поворота и равна первой производной от угла поворота по времени:
d
dt
. (9.2.2)
Угловое ускорение тела характеризует интенсивность изменения уг-ловой скорости и равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной по времени от угла поворота:
d
dt
. (9.2.3)
Угловую скорость и угловое ускорение принято изображать скользящими векторами. Вектор угловой скорости ω направляют вдоль по оси вращения в ту часть пространства, откуда вращение видно против часовой стрелки.
Если вращение ускоренное, то вектор углового ускорения ε совпадает по направлению с вектором угловой скорости ω .
Траекториями точек тела при вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Центры этих окружностей находятся в точках пересечения оси с указанными плоскостями. Радиусы данных окружностей представляют собой расстояния точек до оси вращения.
Поскольку траектории точек известны, то можно считать, что движение задано естественным способом. Обозначим дугу MM 0 через S . При повороте тела на угол закон движения точки по траектории будет:
RS , (9.2.4)
Рис. 9.3
84
где S – дуговая координата, соответствующая углу поворота )(t . Для определения скоростей и ускорений точки воспользуемся общими
формулами, полученными в естественных осях. Для скорости точки, согласно (9.2.4), имеем:
v S R Rt j w= = = . (9.2.5)
Касательное ускорение будет:
RRSva . (9.2.6)
Учитывая формулу для скорости (9.2.5), найдем нормальное ускорение: 2 2
2n
v va R
R Rt w= = = . (9.2.7)
Формулам для скоростей и ускорений точек при вращении тела вокруг не-подвижной оси можно придать векторную форму (рис. 9.4).
Пусть тело вращается против часовой стрелки. Век-тор угловой скорости w направлен по оси Oz . Положе-ние рассматриваемой точки М определим с помощью ра-диус-вектора r , проведенного из начала координат. Ра-диус вращения R будет sinrR , где – угол между осью вращения и радиус-вектором r . Следовательно, модуль линейной скорости будет равен модулю вектор-ного произведения rw´ . Но и направление линейной скорости v совпадает с направлением этого векторного произведения, т.е.
v rw= ´ . (9.2.8)
Формула (9.2.8) называется формулой Эйлера. Проекции скорости на про-извольные оси координат будут:
,
;
;
xyyxz
zxxzy
yzzyx
rrv
rrv
rrv
где zyx rrr ,, – проекции радиус-вектора r на оси координат zyx ,, – соот-
ветствующие проекции вектора угловой скорости. Векторная формула для ускорений может быть получена путем дифферен-
цирования формулы Эйлера (9.2.8):
dv d d dra ( r ) r r ( r ),
dt dt dt dt
ww w e w w= = ´ = ´ + ´ = ´ + ´ ´ (9.2.9)
где d
dt
we = – угловое ускорение;
drv r
dtw= = ´ – скорость точки.
Рис. 9.4 х
у
z
85
Здесь r ate´ = – вращательное ускорение; 2( ) nr R a – центростремительное уско-
рение (рис. 9.5). На рис. 9.5 изображены составляющие полного
ускорения точки М: at и na , их векторная сумма
na a at= + .
При этом 2
na
atg . Угол откладывается
от полного ускорения a при ускоренном вращении в сторону вращения. При замедленном вращении – в сторону, противоположную вращению.
9.3. Плоско-параллельное движение твердого тела
Плоско-параллельным или плоским движением твердого тела называется такое движение, при ко-тором все точки тела движутся в плоскостях, парал-лельных некоторой неподвижной плоскости (рис. 9.6).
Из определения плоско-параллельного движения следует, что движение точек тела, расположенных на перпендикуляре к неподвижной плоскости 0П , одина-ково. Поэтому можно рассматривать движение проек-ции тела на неподвижную плоскость по этой плоскости.
Теорема о перемещениях плоской фигуры
Теорема. Перемещение плоской фигуры в ее плоскости можно осуще-ствить путем поступательного перемещения вместе с произвольно вы-бранным полюсом и вращения вокруг полюса. При этом угол поворота от выбора полюса не зависит.
Доказательство. Пусть отрезок АВ , определяющий положение плоской фигуры, занял новое положение 11ВА (рис. 9.7). В это положение можно по-пасть двумя путями. Первый путь – это параллельный
перенос отрезка в положение 11ВА и поворот вокруг
точки 1А , принятой за полюс, на угол . Второй путь –
это параллельный перенос отрезка в положение 11 ВА и поворот на угол уже вокруг точки 1В . По построе-нию в обоих случаях угол поворота одинаков.
Полное перемещение состоит из поступательного перемещения и поворота на один и тот же угол вокруг соответствующего полюса, что и доказывает сформу-лированную выше теорему.
Рис. 9.5
Рис.9.6
Рис. 9.7
х у
86
Указанные соображения справедливы и для бес-конечно малых перемещений отрезка АВ (рис. 9.8). Перемещение точки А равно:
ABBA rdrdrd , причем
AB BAdr d rj= ´ ,
где d – вектор бесконечно малого угла поворота, направленный перпендикулярно плоскости, в которой движется отрезок АВ в ту часть пространства, откуда поворот виден против часовой стрелки; Bdr – переме-щение точки В.
Окончательно имеем:
A B BAdr dr d rj= + ´ . (9.3.1)
Из формулы (9.3.1) следует, что плоско-параллельные перемещения можно рас-сматривать как совокупность некоторого переносного движения вместе с полю-сом и относительно вращательного движения вокруг полюса.
Кинематические уравнения плоско-параллельного движения
Пусть плоская фигура движется в неподвижной плос-кости (рис. 9.9).
Выберем в качестве полюса точку А плоской фи-гуры и свяжем с ней подвижную систему координат, движущуюся вместе с фигурой. Для определения по-ложения подвижной системы координат относительно неподвижной следует задать положение полюса А и угол поворота вокруг полюса:
)( ),( ),( ttyytxx AAAA , (9.3.2)
где , , AA yx – однозначные, непрерывные и дважды дифференцируемые функции времени. Координаты любой точки М будут:
cossin
;sincos
11
11
yxyy
yxxx
AM
AM
(9.3.3)
или в матричной форме: Arr AM ,
где cos ; sin
sin ; cosA
;
),( ),,( ),,( 11 yxyxryxr TAA
TAMM
TM .
Рис. 9.8
Рис. 9.9
х
у
о
В1
87
Скорости точек тела при плоско-параллельном движении При плоско-параллельном движении твердого тела скорость любой его
точки равна векторной сумме скорости полюса и относительной вращательной скорости вокруг полюса. Чтобы доказать это положение, воспользуемся фор-мулой (9.3.1) и поделим обе ее части на dt
BABA r
dt
d
dt
rd
dt
rd
.
Согласно определению линейной скорости и угловой скорости, получаем:
BABA rvv , (9.3.4)
где Av – скорость точки А; Bv – скорость точки В, принятой за полюс;
dt
d – угловая скорость плоской фигуры (рис. 9.10).
На рис. 9.10 BAAВ rv вращательная скорость точки А по отношению к
точке В. При этом AВ BAv r . Поэтому проекции скоростей концов отрезка Bv и Av на направление отрезка равны между собой.
Если известен вектор скорости одной точки и направление скорости дру-гой, то можно графически найти скорость любой точки плоской фигуры (рис. 9.11,а).
Построение осуществляем согласно формуле: BAAB vvv , причем
ВAv AB (рис. 9.11, б).
Для нахождения скорости точки С воспользуемся формулами:
СBBССAAС vvvvvv , , при этом ; AC CBv AC v BC . Из построения сле-дует, что треугольник abc подобен треугольнику ABC , при этом
CA BA CBv v v
AC AB BCw= = = .
Треугольник abc повернут на угол 2/ по отношению к треугольнику ABC в сторону вращения.
Рис. 9.10 Рис. 9.11
В
А
с
а
в
88
Рис. 9.14
Мгновенный центр скоростей
В каждый момент времени существует точка плоской фигуры, скорость которой равна нулю. Эта точка называет-ся мгновенным центром скоростей. Докажем его существо-вание.
Пусть известна скорость какой-либо точки А и мгно-венная угловая скорость плоской фигуры . Отложим отре-
зок
AvAP от вектора Av в сторону вращения (рис. 9.12).
По построению APA vv . Следовательно, 0 PAAP vvv . Распределение скоростей фигуры соответствует мгновен-ному вращению вокруг мгновенного центра скоростей. По-этому, например, если известны скорости двух точек, то мгновенный центр скоростей окажется на пересечении пер-пендикуляров, проведенных из начала векторов этих скоро-стей (рис. 9.13).
Действительно, если AvAP , и поскольку,
PAAP vvv , APvPA , PBBP vvv , BPvPB , то APvP и BPvP .
Но скорость точки Р не может быть перпендикулярна одновременно двум разным направлениям. Следовательно,
0Pv .
Очевидно, BP
v
AP
v BA . Величины скоростей пропорциональны их рас-
стояниям от мгновенного центра скоростей: BP
AP
v
v
B
A . Таким образом, скорости
точек А и В можно рассматривать как скорости в их вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей Р.
Примеры графического определения центра скоростей показаны на рис. 9.14, а, б, в.
а б в
Рис. 9.12
Рис. 9.13
Р
89
В качестве другого примера построения плана скоростей рассмотрим кри-вошипно-шатунный механизм (рис. 9.15, а, б, в).
В первом случае AP
vAAB . Во втором случае поршень находится в верх-
ней мертвой точке, его скорость, равна нулю AB
vAAB . В третьем случае, ко-
гда OBOA , скорости точек А и В одинаковы: BA vv . Мгновенный центр ско-ростей звена АВ находится в бесконечности и, следовательно, 0AB .
Ускорения точек тела при плоско-параллельном движении
Ускорение любой точки тела при плоско-параллельном движении рав-но геометрической сумме ускорения полюса, вращательного и центростре-мительного ускорения относительно полюса (рис. 9.16).
Согласно формуле (9.3.4) и определению ускорения
.
)(
dt
rdr
dt
d
dt
vd
rvdt
d
dt
vda
BABA
B
BABA
A
(9.3.5)
Но BB a
dt
vd – ускорение полюса;
dt
d – угловое ускорение плоской фигуры;
Рис. 9.16
Рис. 9.15
ABa
Ba
Ba
ABτa
ABna
Aa
90
BAABBA rv
dt
rd – относительная скорость точки А по отношению к
точке В.
Следовательно, формулу (9.3.5) можно переписать так: ( ). A B BA BAa a r r (9.3.6)
Величина ABBA ar представляет собой вращательное ускорение. Так
как sin( , ) 1BAr , то модуль вращательного ускорения BAAB ra . Величина 2( ) n
BA BA ABr r a является центростремительным ускорением. Вектор nABa направлен из точки А к точке В. Следовательно, относительное ускорение
точки А во вращательном движении вокруг точки В будет: nABABAB aaa ,
при этом
242 ,
nAB
ABBAAB
a
atgra .
С учетом введенных обозначений формула (9.3.6) перепишется так: nABABBA aaaa . (9.3.7)
При плоско-параллельном движении вращательное ускорение ABa следует
отличать от касательного a , а центростремительное ускорение nABa от нор-
мального na . Касательное ускорение направлено по касательной, а нормальное – по главной нормали к абсолютной траектории точки. Центростремительное и вращательное ускорения представляют собой ускорения в относительном вра-щательном движении вокруг полюса. Центростремительное ускорение n
ABa на-
правлено по радиус-вектору BAr , а вращательное ABa перпендикулярно радиус-
вектору BAr и направлено в сторону углового ускорения . Если принять во внимание алгебраические величины проекций ускорений
концов отрезка на направление отрезка, то оказывается, что проекция ускоре-ния любой точки плоской фигуры на ось, проведенную из произвольного полю-са через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось (рис. 9.17).
Действительно, если построить вектор ускорения точки А согласно формуле: n
ABABBA aaaa ,
то окажется, что проекция Ba на направление отрезка BAr всегда больше проек-
ции ускорения точки А Aa из-за того, что nABa направлено от точки А к точке В,
а составляющая BAAB ra . Концы ускорений точек отрезка, принадлежащего плоской фигуре, лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропор-циональные расстояниям между этими точками (рис. 9.18).
91
Относительные ускорения точек D и В равны соответственно: 2 4
2 4
,
.
DA
BA
a AD
a AB
Угол между DAa и BAa и прямой АВ одинаков, так как 2 tg .
Следовательно, 211211 BBADDA и концы векторов ускорений Da и Ba лежат на одной прямой. При этом
AB
AD
BA
DA
BA
DA
11
11
21
21 .
Таким образом, концы ускорений точек отрезка делят прямую, соединяю-щую эти концы, на части, пропорциональные расстояниям между соответст-вующими точками.
Мгновенный центр ускорений
Ускорение любой точки плоской фигуры определяется как геометрическая сумма ускорения полюса и ускорения этой точки во вращении вокруг полюса (рис. 9.19). Покажем, что в каждый момент времени существует точка плоской фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю. Ранее было установле-но, что угол между вектором относительного ускорения и отрезком, соеди-
няющим точку и полюс, равен 2 arctg и находится в пределах от 0 до
2/ . Отложим угол от ускорения Aa по направлению углового ускорения . На проведенной полупрямой отложим отрезок
42 Aa
AQ . Тогда окажется, что
AQA aAQa 42 , причем AQA aa . Поэтому
0 QAAQ aaa . Поскольку ускорение точки Q
равно нулю, то эта точка является мгновенным цен-тром ускорений.
Рис. 9.17 Рис. 9.18
Рис. 9.19
Aa
Aa QAa
AaAa
Aa ABτa
ABna
BaBaDa Ba
BAa
Aa
DAa
92
Если мгновенный центр ускорений принять за полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент определится как ускорение этой точки во вращательном движении вокруг центра ускорений (рис. 9.20).
Модули ускорений точек плоской фигуры в каждый момент времени пропорциональны рас-стояниям этих точек до мгновенного центра уско-рений. Углы, которые составляют эти ускорения с лучами, проведенными в мгновенный центр уско-рений, одинаковы для всех точек. Мгновенный центр ускорений и мгновенный центр скоростей – разные точки.
Если известны модули и направления двух точек, то мгновенный центр ускорений можно найти, исходя из следующих со-ображений. Ускорения точек связаны соотношением: BAAB aaa , откуда
ABBA aaa .
Угол между BAa и отрезком АВ равен , причем 2 arctg . Отложим
угол от Aa и Ba . Точка пересечения лучей определяет мгновенный центр ус-корений (рис. 9.21).
Пример. Кривошип ОА криво-шипно-шатунного механизма вра-щается равномерно с угловой ско-ростью . Длина шатуна АВ в два раза больше длины кривошипа ОА.
Определить положение точки шатуна АВ, ускорение которой на-правлено вдоль шатуна, в момент, когда кривошип перпендикулярен направляющей ползуна (рис. 9.22).
Согласно общей формуле для ускорений при плоско-параллельном движении
nBАBААВ aaaa . В данном слу-
чае 0АВ и поэтому 0 nBАa , так
как звено АВ находится в состоянии мгновенно – поступательного дви-жения
BАВA aa и направлено пер-пендикулярно шатуну АВ.
Рис. 9.20
Рис. 9.21
Рис. 9.22
С
Ka
A AQa =a
B BQa =a
BAa
Ba
A-a
Aa
Aa
Aa BAa
BaCa
93
Следовательно, 2 arctg и, следовательно, 2/ . Мгновенный
центр ускорений Q , таким образом, находится на пересечении перпендикуля-ров, проведенных из начала векторов ускорений в точках А и В.
Если опустить из точки Q перпендикуляр QC на АВ, то ускорение точки С будет перпендикулярно QC и, следовательно, совпадет с АВ. Поскольку
30ABO , то:
ABABCB4
160cos
2
1 .
9.4. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку
Пусть твердое тело имеет неподвижную точку, вокруг которой оно может вращаться как угодно (рис. 9.23).
Выясним число параметров, которое необходимо задать для определения положения твердого тела в пространстве. Проведем в теле ось u , жестко связан-ную с телом. Положение этой оси можно задать, на-пример, двумя углами и , которые представляют собой соответственно угол между осью x и осью u и угол между осью y и осью u .
Однако этих двух углов еще недостаточно для определения положения твердого тела, так как тело может вращаться вокруг оси u . Угол поворота вокруг оси u в сово-купности с углами и полностью определяют положение твердого тела. Таким образом, положение твердого тела, имеющего неподвижную точку, определяется тремя независимыми величинами. Говорят, что в таком случае система имеет три степени свободы. Положение тела можно за-дать при помощи матрицы направ-ляющих косинусов между подвижной системой координат 1 1 1( O,x ,y ,z ), же-стко связанной с телом, и неподвиж-ной системой координат ( O,x,y,z ) (рис. 9.24).
Рис. 9.23
Рис. 9.24
х
у
z
х
у
z
94
Направляющие косинусы приведены в следующей таблице:
– х1 у1 z1
х а11 а12 а13 у а21 а22 а23 z а31 а32 а33
Здесь 11 1 12 1 33 1cos( , ), cos( , ),..., cos( , )x x x y z z . Тогда декартовы координаты в обеих системах будут связаны равенствами:
1 1
1 1
1 1
; T
x xx x
y A y y A y
z zz z
,
где 11 12 13
21 22 23
31 32 33
A
– матрица направляющих косинусов.
Учитывая, что имеет место тождество:
1 1
1 1
1 1
T T
x xx
A y A A y y
z z z
,
можно сделать вывод, что: IAAT ,
где I – единичная матрица и, следовательно, -1AAT , то есть транспонирован-ная матрица А равна своей обратной.
Единичные орты подвижной системы 321 ,, eee – записываются следующим образом:
kjie
kjie
kjie
3323133
3222122
3121111
;
;
Очевидно:
3
1 . 0
, 1
kijkkji ji
jiee
ji (9.4.1)
Величина ij называется символом Кронекера.
Всего имеется шесть соотношений вида (9.4.1). Можно построить соотношения вида (9.4.1), взяв обратные соотношения:
95
333232131
323222121
313212111
;
;
eeek
eeej
eeei
При этом получим:
3
1 . 0
, 1
kijji ji
jikk
(9.4.2)
Соотношения (9.4.1) и (9.4.2) взаимосвязаны, так как координаты ),,( zyx и ),,( 111 zyx могут меняться ролями. Поэтому из соотношений (9.4.2) следуют со-
отношения (9.4.1) и наоборот. Следовательно, между девятью направляющими имеется шесть соотношений: либо (9.4.1), либо (9.4.2). Поэтому независимых величин, определяющих положение твердого тела, все-таки три.
Однако выразить через три независимых косинуса все остальные затруд-нительно. Эту трудность можно устранить, вводя так называемые углы Эйлера, которые полностью определяют положение твердого тела, имеющего непод-вижную точку, и являются независимыми переменными. Углы Эйлера вводятся следующим образом. Повернем исходную систему вокруг оси z на угол (рис. 9.25).
Угол называется углом прецессии. Соответствующая ему матрица пово-рота имеет вид:
cos ; sin ; 0
sin ; cos ; 0
0; 0; 1
A
.
Положение оси х, получающееся в результате этого поворота, обозначим через N. Назовем ось N линией узлов. Второй поворот осуществляется во-круг оси N на угол , который называ-ется углом нутации. Соответствую-щая ему матрица поворота имеет вид:
1; 0; 0
0; cos ; sin
0; sin ; cos
A
.
Третий поворот совершается во-круг оси 1z на угол , называемый уг-лом собственного вращения с матри-цей Рис. 9.25
х
у
z
96
cos ; sin ; 0
sin ; cos ; 0
0; 0; 1
A
.
Все три поворота осуществляются против часовой стрелки, если смотреть с конца соответствующей оси.
Матрица А перехода от осей 1 1 1Ox y z к осям Oxyz равна произведению:
AAAA .
Поскольку произведение матриц не коммутативно, то и конечные поворо-ты твердого тела не обладают свойством коммутативности. Это означает, что ориентация твердого тела, полученная в результате конечных поворотов, зави-сит от порядка выполнения этих поворотов.
При 0 или линия узлов не определена и поэтому нельзя разли-чить углы и . Это затрудняет использование углов Эйлера, введенных та-ким образом. Этой трудности можно избежать, если модифицировать углы Эй-лера и выбрать их так, как это делается при исследовании движения самолета или корабля.
Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
Определим положение точки М в системе осей, связанной с телом при по-мощи радиус-вектора (рис. 9.26):
312111 ezeyexr . (9.4.3)
При определении скорости точки М следует учесть, что координаты точки
М в системе осей 1 1 1Ox y z , связанной с телом, неизменны, а координатные орты
ie являются функциями времени. Поэтому
Рис. 9.26
х
у
z
97
dt
edz
dt
edy
dt
edx
dt
rdv 3
12
11
1 . (9.4.4)
Координатные орты ie удовлетворяют соотношению:
. 0
, 1
ji
jiee ijji
Найдем производную по времени от последнего соотношения:
0)( dt
edeee
dt
dee
dt
d jijiji .
Обозначим:
. 0
;
ii
ii
ii
jiij
ji
ij
edt
ede
dt
ed
edt
ede
dt
ed
Придадим индексам ji, конкретные значения:
.
;
;
312
21
2112
231
13
1331
123
32
3223
edt
ede
dt
ed
edt
ede
dt
ed
edt
ede
dt
ed
Пользуясь соотношениями (9.4.4), найдем проекции вектора скорости v на координатные оси 1 1 1Ox y z :
.
;
;
12113
11132
13121
1
1
1
xyevv
zxevv
yzevv
z
y
x
(9.4.5)
Величины (9.4.5) представляют собой проекции векторного произведения векторов:
332211 eee на вектор 312111 ezeyexr :
1 2 3
1 2 3 2 1 3 1 1 3 1 1 1 2 1 1 2 1 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
e e e
v r z y e x z e y x e
x y z
. (9.4.6)
При вращении вокруг неподвижной оси вектор – вектор угловой скоро-сти. Таким образом, формула (9.4.6) является обобщением формулы для скоро-стей точек тела при вращении вокруг неподвижной оси, при этом вектор следует называть вектором мгновенной угловой скорости.
98
Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
Воспользуемся формулой Эйлера для определения скоростей точек тела при вращательном движении вокруг неподвижной точки: rv . По определению ускорения:
dt
rdr
dt
d
dt
vda
.
Принимая во внимание, что
dt
d – является угловым ускорением, а
rvdt
rd скоростью точки, получим ( ) a r r . Первое слагае-
мое ra называется вращательным ускорением, второе ( )na r – осестремительным ускорением. Преобразуем формулу для осестремительного ускорения:
])([)( 22 rrrra n
.
Согласно рис. 9.27, скалярное произведение вектора
, являющегося единич-
ным ортом оси , на вектор r , представляет проекцию r на вектор :
1OMr
.
Величина 1OM , будучи умноженной на единичный орт
, превращается в век-
тор 1OM , то есть )(1 rOM
.
Геометрическая разность равна 11 MMrOM .
Поэтому 12 MMa
n .
Таким образом, вектор осестремительного ускорения na лежит в плоскости, определенной векторами и r , и на-правлен вдоль мгновенного радиуса вращения к мгновенной оси вращения. По величине осестремительное ускорение равно произведению квадрата угловой скорости на расстоя-ние точки до мгновенной оси вращения.
Полное ускорение произвольной точки тела, вращаю-щегося вокруг неподвижной точки, равно векторной сумме вращательного и осестремительного ускорения:
naaa . При этом вектор вращательного ускорения не направлен по касательной к
траектории рассматриваемой точки, а вектор осестремительного ускорения не направлен по главной нормали. На этот факт указывают индексы, расположен-ные сверху.
Рис. 9.27
a tna
99
9.5. Движение свободного твердого тела
Определение положения свободного твердого тела
Для того, чтобы задать положение свободного твер-дого тела, вводится непод-вижная система координат
0 0 0 0O x y z . В некоторой точке О твердого тела, принимае-мой за полюс, располагается
система координат Oxyz ,
движущаяся поступательно к неподвижной системе
0 0 0 0O x y z . Кроме того, вводит-ся система осей 1 1 1Ox y z свя-занная с телом. Положение системы осей 1 1 1Ox y z по от-ношению к поступательно движущейся системе Oxyz можно определить при помощи углов Эйлера: угла прецессии , угла нутации и угла собственного вращения (рис. 9.28).
Положение свободного твердого тела однозначно определяется положени-ем подвижной системы координат 1 1 1Ox y z . Следовательно, параметры, опреде-ляющие положение этой системы, определяют положение твердого тела. Этими параметрами являются координаты 000 ,, zyx ее начала и, например, углы Эйле-ра , и , определяющие направление осей подвижной системы координат.
Таким образом, положение твердого тела характеризуется шестью пара-метрами или, как говорят, свободное твердое тело имеет шесть степеней свобо-ды. Задание этих параметров как функций времени дают кинематические урав-нения движения свободного твердого тела:
. )(),(),(
, )(),(),( 000000
ttt
tzztyytxx
Из сказанного следует, что движение свободного твердого тела можно произвольным образом разбить на поступательное вместе с полюсом и враща-тельное вокруг полюса. При изменении положения полюса углы Эйлера не из-меняются. Перемена полюса означает параллельный перенос осей Oxyz , а при параллельном переносе углы между осями не изменяются, следовательно, не изменяются ни угловая скорость вращения тела, ни его угловое ускорение.
Рис. 9.28 о0х0
у0
z0
х
z
у
100
Скорости точек свободного твердого тела
Положение произвольной точки М свободного твердого тела определяется ее радиус-вектором (рис. 9.29):
rrrM 0 , где 0r – радиус-вектор полюса; r – радиус-вектор, определяющий положение точки в системе осей, связанных с телом.
Поскольку точки r являются точками твердого тела, то все приращения r возможны только за счет вращения.
Справедлива теорема: Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяю-
щую эти точки, равны между собой. Рассмотрим величину:
constrrrrr MM ))(( 002 .
Ее производная по времени:
0))((2 002 rr
dt
rd
dt
rdr
dt
dM
M .
Откуда
)()( 00
0 rrdt
rdrr
dt
rdMM
M .
Следовательно, rvrvM 0 , что и доказывает теорему. Согласно определению скорость точки:
0
dt
rd
dt
rd
dt
rdv M .
Величина 00 v
dt
rd является скоростью полюса; r
dt
rd – вращательная ско-
рость точки М по отношению к полюсу. Поэтому: rvv 0 . (9.5.1)
Ускорения точек свободного твердого тела
Согласно определению:
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vda 0 , или, учитывая, что 0
0 adt
vd – является ус-
корением полюса,
dt
d – представляет собой угловое ускорение, а
dt
rd, со-
гласно формуле Эйлера, rdt
rd , получим:
0 ( ) a a r r .
Рис. 9.29
z0
у0
х0
101
Рис. 9.30
Здесь ar – вращательное ускорение; 2( ) nr r r a – осест-ремительное ускорение. Таким образом:
naaaa 0 . (9.5.2)
Формула (9.5.2), формула для скоростей (9.5.1), естественно, справедливы для всех частных случаев движения твердого тела, рассмотренных ранее.
9.6. Основные теоремы о конечных перемещениях твердого тела
Векторно-матричное задание движения твердого тела
Пусть положение точки М определено радиус-вектором (рис. 9.30):
rrrM 0 . (9.6.1)
Пусть радиус-вектор r задан своими компонентами в системе осей 1 1 1Ox y z , то
есть дано ),,( 111 zyxrT и дана матрица А на-правляющих косинусов ме-жду системами осей Oxyz и
1 1 1Ox y z . Если известны углы
Эйлера, то AAAA . То-
гда для вектора координат точки в системе 0 0 0 0O x y z ),,(
000 MMMTM zyxr получим:
,0 ArrrM
где ),,( 0000 zyxrT , как было отмечено ранее, матрица А может быть задана и при помощи модифицированных углов Эйлера.
Матрица А, задавая переход от одного ортонормированного базиса к дру-гому, является ортогональной, то есть 1 AAT .
Ее элементы связаны шестью соотношениями вида:
, 0
, 13
1 ji
jiij
kjkik ,
где ij – символ Кронекера.
х
у
zz0
х0
у0
102
Движение тела с неподвижной точкой как ортогональное преобразование
При движении тела вокруг неподвижной точки в формуле (9.6.1) вектор 0r постоянен. Пусть 00 r . Тогда:
ArrM . И, если в начальный момент оси 0 0 0Ox y z совпадают с осями 1 1 1Ox y z , то матрица А будет в этот момент единичной:
I)0( A . При этом Mr r= . Когда тело начинает двигаться, то имеет место соотношение:
rtArM )( .
Так как I,)( )( tAtA T то 1)(det 2 A . Следовательно, Adet может принимать только два значения +1 или –1. Но
поскольку в начальный момент 1)0(det A , то в силу непрерывности )(det tA он будет продолжать оставаться равным единице. Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки представляет собой ортогональное преобразование.
Теорема Эйлера о конечном повороте вокруг неподвижной точки
Произвольное перемещение твердого тела вокруг неподвижной точки может осуществляться как поворот вокруг оси, проходящей через эту точку.
Утверждение теоремы Эйлера эквивалентно доказательству существования у матрицы А собственного значения, равного +1. При этом соответствующий собственный вектор r задает ось вращения.
Действительно, так как Arr , то направление оси остается неизменным при вращении тела.
Пусть )Idet()( Af – характеристический многочлен матрицы А. Докажем, что 0)1( f .
Рассмотрим цепочку равенств: 1 1(1) det( I) det( I ) det( I) det (I A)
det( I) (1) 0.
T Tf A A A A
A f
Откуда следует, что 0)1( f , и теорема доказана.
Теорема об общем перемещении твердого тела
Общее перемещение твердого тела может быть представлено в виде суммы поступательного перемещения вместе с произвольно выбранным полюсом и вращательного перемещения вокруг некоторой оси, проходящей через этот полюс.
На рис. 9.31 0 0 0 0O x y z – абсолютная система координат. Системы коорди-нат Oxyz и 1 1 1Ox y z , связанные с телом, с началами в двух различных полюсах
103
O и 1O , на рисунке не показаны. Их соответствующие поступательные пере-мещения определяются векторами 0r и 01r , за-данными своими компонентами в абсолютной системе:
),,( ),,,( 010101010000 zyxrzyxr TT .
Положение произвольной точки М в абсолют-ной системе координат определяется векто-ром Mr . Векторы r и 1r заданы в системе осей
1 1 1Ox y z , жестко связанной с телом:
),,( ),,,( 1111111111 zyxrzyxr TT .
Имеем следующие равенства:
10110100 )( ArrArArrArArrrM .
Откуда и следует справедливость утверждения теоремы. Здесь вектор 1OO r= , заданный своими компонентами в системе осей 1 1 1Ox y z :
),,( 1 1 1 zyxT .
Как видно, угол поворота и, следовательно, ось вращения, определяется матри-цей А, которые не зависят от выбора полюса.
Если выбрать абсолютную систему отсчета 0 0 0 0O x y z так, чтобы ось 0 0O z
была параллельна оси вращения, то матрица А~ будет иметь вид:
cos ; sin ; 0
sin ; cos ; 0
0; 0; 1
A
. (9.6.2)
Теорема о винтовом перемещении твердого тела
Общее перемещение твердого тела является винтовым перемещением. Для удобства ось 0 0O z абсолютной системы отсчета направим по оси вра-
щения. Тогда матрица поворота, определяющая конечное положение тела, будет определяться выражением (9.6.2).
Для доказательства теоремы необходимо установить существование такой прямой в твердом теле, точки которой при перемещении из начального поло-жения в конечное перемещались бы вдоль этой прямой.
Тогда, выбрав полюс на этой прямой, перемещение тела было бы пред-ставлено в виде винтового перемещения.
Представим перемещение полюса в виде суммы двух векторов:
Рис. 9.31
z0
х0
у0
о
104
Рис. 9.32
0 0 0r r r ,
где 0 0 0 0r ( x ,y ,z )= ,
0 0( ) (0,0, )Tr z – пред-ставляет собой смещение лишь вдоль оси 0 0O z ;
)0,,()( 000 yxr T – пред-ставляет смещение, пер-пендикулярное оси 0 0O z .
Пусть точка М движется по этой прямой. Ее начальное положение М0 (рис. 9.32).
В начальный момент времени системы осей
0 0 0 0O x y z и 1 1 1Ox y z совпа-дают. Поэтому радиус-
вектор *r , указывающий положение точки М0 в системе связанных с телом осей
1 1 1Ox y z в начальный момент времени, будет совпадать по своим компонентам с радиус-вектором r в конечный момент времени. Иными словами,
rr * ,
где ),,()( 111*
0 zyxr T ; ),,( zyxrT .
В конечном положении имеем: * *
0 0 0r Ar r Ar r r .
Откуда следует: *
0 0 0( I) A r r r r .
Из последнего равенства получаем два скалярных уравнения:
.)1(cos sin
; sin)1(cos
0**
0**
yyx
xyx
(9.6.3)
Третье уравнение удовлетворяется тождественно. Определитель системы уравнений (9.6.3) равен:
2 2 21 2 1 42
(cos ) sin ( cos ) sina
a a a- + = - = .
Он отличен от нуля, если 2,0 , то есть когда перемещение отлично от по-ступательного. Таким образом, существует решение системы (9.6.3) и, следова-тельно, существует прямая *
0*
0 , yyxx , параллельная оси вращения, точки которой смещаются вдоль ее самой.
у0
у
х
х0
О0
М0
z0
105
Кинематические инварианты. Кинематический винт
Первым кинематическим инвариантом является вектор угловой скорости , который не зависит от точки М.
Второй кинематический инвариант – это проекции скоростей точек тела на направление вектора угловой скорости . Действительно, скорости любой точки М равны:
rvvM 0 . Умножая скалярно это равенство на вектор , получим:
0vvM ,
что и доказывает предыдущее утверждение. Если второй кинематический инвариант отличен от нуля, то в теле существу-
ет мгновенная винтовая ось, скорости точек которой совпадают по направлению с мгновенной осью . Действительно, на этой прямой (рис. 9.33) v // , поэтому:
kvvM 0 , (9.6.4)
где k – постоянный коэффициент.
Условие (9.6.4) переписывается в виде:
kxyv
zxvyzv
z
yxz
y
xzy
x
zyx
0
00000
0
00000
0
00000
)(
)()(
(9.6.5)
Прямая называется мгновенной винтовой осью тела. Точки мгновенной вин-товой оси имеют одинаковые скорости, равные по величине проекции скоро-стей точек тела на направление .
Рис. 9.33
у0
z0
x0
106
10. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
10.1. Абсолютное, относительное и переносное движение
В ряде случаев приходится рассматри-вать движение точки по отношению к систе-ме координат 1 1 1 1O x y z , которая, в свою оче-редь, движется по отношению к другой сис-теме координат Oxyz , условно принятой в ка-честве неподвижной (рис. 10.1).
Движение точки определяется наблюде-ниями, связанными с каждой из этих систем. Наблюдатели определяют кинематические ха-рактеристики движения: траекторию, ско-
рость и ускорение в своей системе отсчета. При этом наблюдатель, связанный с абсолютной системой отсчета, видит более сложное движение, чем наблюда-тель, связанный с подвижной системой.
В частности, более сложное движение точки по отношению к абсолютной системе отсчета обусловлено движением подвижной системы, которая, как пра-вило, связана с некоторым твердым телом и движением точки по отношению к подвижной системе отсчета, то есть по поверхности этого твердого тела.
В связи с этим ставится задача: найти связь между кинематическими пара-метрами движения в каждой системе отсчета, зная движение подвижной систе-мы по отношению к неподвижной.
Введем следующие определения: 1. Движение точки относительно неподвижной системы координат Oxyz
называется абсолютным. 2. Движение точки относительно подвижной системы координат назы-
вается относительным. 3. Переносным движением называется движение той точки твердого те-
ла, связанного с подвижной системой, где в данный момент находится рассматриваемая точка. В качестве примера рассмотрим качение без скольжения колеса вагона по
рельсу. С рельсом свяжем неподвижную систему координат, а подвижную – с центром колеса. Предположим, что подвижная система движется поступатель-но. Движение точки на ободе колеса для наблюдателя, связанного с рельсом, будет происходить по циклоиде, а для наблюдателя, связанного с корпусом ва-гона, – по окружности. При этом переносным будет поступательное движение системы, связанной с корпусом вагона.
Элементы абсолютного движения будем обозначать подстрочным индек-сом ""а , относительного – индексом ""r , а переносного – ""е .
Тогда абсолютные скорость и ускорение будут обозначаться av и aa , отно-сительные rv и ra , а переносные – ev и ea .
Рис. 10.1 х
у
z
107
Следует заметить, что поскольку переносное движение задается твердым телом, то кинематика переносного движения – это кинематика твердого тела, в то время как кинематика относительного движения – это кинематика точки.
10.2. Абсолютная и относительная производные вектора
Рассмотрим вектор 1r , проекции которого в подвижной системе осей
111 ,, zyx являются заданными функциями времени. Сравним между собой про-изводные по времени, вычисленные в абсолютной и относительной системах отсчета.
Учитывая, что в выражении
1 1 1 1 1 1 1r x i y j z k (10.2.1)
координатные орты 11, ji и 1k также являются переменными, составим выраже-ние абсолютной производной:
dt
kdz
dt
jdy
dt
idxk
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd 11
11
111
11
11
11 . (10.2.2)
Первые три члена в выражении абсолютной производной (10.2.2) вычисле-ны в предположении неизменности ортов 11, ji , 1k . Следовательно, они характе-ризуют скорость изменения вектора r , которую видит наблюдатель, связанный с подвижной системой отсчета.
Такое выражение естественно назвать относительной производной:
11
11
111 k
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
rd
. (10.2.3)
Изменение единичных ортов 11, ji , 1k , точки которых являются точками твердого тела, возможно только за счет их вращения. Поэтому, для нахождения соответствующих производных следует воспользоваться формулой Эйлера для скоростей точек тела при вращении вокруг неподвижной точки rv . Сле-довательно,
11
11
11 , , k
dt
kdj
dt
jdi
dt
id .
Тогда, согласно (10.2.1) и (10.2.2),
11111111
11
11
1 )( rkzjyixdt
kdz
dt
jdy
dt
idx
и равенство (10.2.2) приобретает вид
11 r
dt
rd
dt
rd
. (10.2.4)
Абсолютная производная вектора по времени равна геометрической сумме относительной производной того же вектора и векторного произве-дения вектора угловой скорости подвижной системы относительно непод-вижной на дифференцируемый вектор.
108
10.3. Теорема о сложении скоростей
При сложном движении точки ее абсолютная скорость av равна векторной сумме относительной rv и переносной ev скоростей.
Пусть точка М совершает одновременное движение по отношению к под-вижной 1 1 1 1O x y z и неподвижной Oxyz системам координат. Угловая скорость вращения подвижной системы координат считается заданной. Положение точки М определяется радиус-вектором:
10 rrr .
Установим соотношение между скоростями точки М по отношению к двум системам координат: подвижной и неподвижной.
Для этого, воспользовавшись формулой (10.2.4), найдем абсолютную про-изводную вектора r :
0 11
a
dr d rdrv r
dt dt dt . (10.3.1)
В формуле (10.3.1) производная dt
rd 0 представляет собой скорость 0v нача-
ла подвижной системы координат:
dt
rdv 0
0 .
Если вспомнить определение переносной скорости 0v , то, очевидно,
10 rvve ,
так как это выражение представляет собой скорость точки твердого тела – но-сителя, где в данный момент находится точка М.
Относительная производная rvdt
rd
представляет собой относительную
скорость. Следовательно,
era vvv . (10.3.2)
Пример. Рассмотрим механизм мальтийского креста (рис. 10.2).
Рис. 10.2
М0
109
Мальтийский крест служит для создания прерывистого движения. Чтобы не было ударов при вхождении штифта в прорезь, угол между отрезками 1 0ОМ и 2 0О М должен быть равен 2/ . Абсолютную скорость штифта av можно представить как геометрическую сумму относительной скорости rv скольжения штифта вдоль по прорези и переносной скорости, за которую следует принять скорость точки прорези, где в данный момент находится штифт, то есть точка М. Тогда
2 2 1
12
2
cos cos ,
cos .
e av О M v r
r
O M
Но )45cos(2)()()( 211
221
21
22 OOMOOOMOMO .
Поскольку 221 rOO ,
то
).sin2cos23(sin22cos2
)sin45sincos45(cos222)(22222
22222
rrrrr
rrrMO
Согласно рис. 10.2,
rMOMOOO 1212 cos)45cos( .
Откуда
)1sin(cos2
22)sin(coscos2 rrrMO .
Следовательно,
sin2cos23
)1sin(cos
)sin2cos23(
)1sin(coscoscos 12
12
22
21
2
12
r
r
MO
MOr
MO
r.
График отношения 1
2
показан на рис.
10.3. Только четверть оборота механизм нахо-дится в зацеплении. Остальное время он непод-вижен. Используется в киноаппаратах и для стрельбы через винт в авиации.
10.4. Сложение ускорений
При сложном движении точки, независимо от характера переносного движения, абсолют-ная скорость точки определяется по правилу па-раллелограмма скоростей.
Рис. 10.3
О
110
Однако характер переносного движения существенно влияет на абсолют-ное ускорение точки.
Если переносное движение не является поступательным, то появляется до-бавочное поворотное, или кориолисово, ускорение, и абсолютное ускорение точки aa оказывается равным векторной сумме переносного ea , относительно-го ra и поворотного ca ускорений. При этом, как было отмечено выше, выра-жение для переносного ускорения определяется движением точек твердого тела – носителя, а соответствующие формулы для составляющих относительного ускорения берутся из раздела 8 «Кинематика точки».
Воспользуемся выражением (10.3.2), записанным в виде:
ra vrvv 10 ,
где 10 rvve – переносная скорость точки. По определению ускорения, согласно формуле для абсолютной производ-
ной (10.2.4), получим:
)( 11
1 rro
a vdt
vdr
dt
rdr
dt
d
dt
vda
. (10.4.1)
В выражении (10.4.1) 00 a
dt
vd – ускорение начала подвижной системы;
dt
d – угловое ускорение тела – носителя и, следовательно, переносное ускоре-
ние:
0 1 1( ) ea a r r . (10.4.2)
Выражение (10.4.2) характерно для кинематики твердого тела. Величина
dt
vda r
r
– относительное ускорение точки. И, наконец, учитывая, что
1rv
dt
rd
(10.4.3)
получим для поворотного, или кориолисова, ускорения следующую формулу:
rc va 2 . (10.4.4) Окончательно получаем формулу для абсолютного ускорения точки:
crea aaaa , (10.4.5) где cre aaa ,, берутся по соответствующим форму-лам (10.4.2), (10.4.3) и (10.4.4).
Многие явления на Земле обусловлены влия-нием кориолисова ускорения.
К числу таковых относится явление, называе-мое законом Бера, выражающееся в том, что реки, текущие с севера на юг в северном полушарии раз-мывают правый берег, а в южном полушарии – ле-Рис. 10.4
Ca
Ca
111
вый. Чтобы объяснить этот факт, рассмотрим частицу воды М, движущуюся вдоль по меридиану с севера на юг в северном полушарии. Согласно формуле для ускорения Кориолиса
rc va 2 , оно направлено на восток.
Это означает, что на частицы воды действуют силы, направленные на вос-ток. И эти силы создаются руслом реки. Однако действие равно противодейст-вию и, следовательно, это противодействие приложено к западному, то есть к правому берегу. Аналогично устанавливается, что в южном полушарии, если направление течения реки по-прежнему будет с севера на юг, будет размывать-ся уже левый берег. То же самое происходит и с воздушными массами, перете-кающими, например, с севера на юг. Наблюдателю, находящемуся на экваторе, кажется, что ветры имеют преимущественно северо-восточное направление.
112
11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
11.1. Общие замечания
Ранее мы рассмотрели простейшие движения твердого тела – поступатель-ное, вращательное вокруг оси и точки, а также общий случай движения свобод-ного твердого тела. В общем случае движение представлено как некоторая сумма поступательного движения вместе с произвольно выбранным полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Поступательное движение вме-сте с полюсом можно считать переносным, а вращение вокруг полюса считать относительным движением. То есть движение твердого тела, как и движение точки, в ряде случаев следует рассматривать как сложное.
Пусть тело совершает движение относительно системы координат 1 1 1 1O x y z , которая в свою очередь движется относительно неподвижной системы коорди-натOxyz . Как и в кинематике сложного движения точки, введем определения: движение тела относительно неподвижной системы координат называется аб-солютным, относительным называется движение тела относительно подвижной системы координат.
Задачей кинематики сложного движения твердого тела является установ-ление соотношений между характеристиками абсолютного и относительного движений.
Сложное движение твердого тела может быть получено сложением посту-пательных, вращательных или сложением поступательного и вращательного движений.
11.2. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей
Предположим, что твердое тело вращается вокруг некоторой оси, которая в свою очередь вращается вокруг другой, неподвижной оси, параллельной под-вижной. Зная угловые скорости каждого из вращений, определим абсолютное движение тела.
Угловую скорость вращения вокруг подвижной оси будем называть угло-вой скоростью собственного вращения тела или относительной угловой скоро-стью. Обозначим ее через r . Угловую скорость вращения подвижной оси во-круг неподвижной естественно назвать переносной угловой скоростью, которую обозначим е .
Рассмотрим сечение тела плоскостью Oxy и некоторую точку М, располо-женную в нем (рис. 11.1). Найдем относительную, переносную и абсолютную скорости точки М.
Относительная скорость будет
)( 01 rrrv rrr .
Переносная скорость: rv ee .
113
Рис. 11.1
Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки М:
00 )()( rrrrrvvv rreerera . (11.2.1)
С другой стороны, рассматриваемое движение является плоско-параллельным движением твердого тела и его можно представить как мгновен-ное вращение вокруг мгновенного центра скоростей. Мгновенный центр скоро-стей часто называется полюсом. Положение полюса определим при помощи радиус-вектора pr , который определим из условия, что скорость полюса pv
равна нулю:
0)(0 rrv rprep . (11.2.2)
Найдем угловую скорость вращения вокруг полюса. Для этого вычтем по-следнее равенство (11.2.2) из предыдущего (11.2.1). Откуда
)()( prea rrv .
Но это формула вращательной скорости плоской фигуры вокруг точки Р с угловой скоростью:
rea . (11.2.3) Это абсолютная угловая скорость Она представляет собой векторную сумму переносной и относительной
угловых скоростей. Для определения положения точки Р, являющейся мгно-венным центром скоростей, воспользуемся равенством (11.2.2). Умножим обе части этого равенства векторно на орт k – орт оси z .
00 ( ) ( ) ( ) e r p rr k r k .
Тогда получим
0( )e r p rr r . (11.2.4)
х
у
z
114
В формуле (11.2.4), e~ и r~ представляют алгебраические значения соот-ветствующих угловых скоростей. Откуда
0~~
~rr
re
rp
. (11.2.5)
Как видно из формулы (11.2.5), мгновенный центр скоростей лежит на ли-нии, совпадающей с радиус-вектором 0r , который соединяет два центра враще-ния O и 1O .
Учитывая, что OPrP , а 10 POOPr , формулу (11.2.4) можно записать так:
)(~)~~( 1POOPOP rre . (11.2.6)
Проанализируем различные варианты сложения вращений. Возможны слу-чаи, когда вращение направлено в одну сторону и в разные стороны.
1. Направление вращения одинаково. Пусть направление векторов угловых скоростей совпадает с направлением оси z .
Тогда проекции е и r положительны и вместо (11.2.6) можно записать (рис. 11.2):
)()( 1POOPOP rre , (11.2.7) то есть опустить знак «˜» в обозначениях угловых скоростей.
Из соотношения (11.2.7) следует:
1POOP re или
OP
PO
r
e 1
.
Таким образом, точка P находится из условия равновесия рычага первого рода под действием «сил» е и r .
2. Направление вращений противоположно. Пусть угловая скорость отно-сительно вращения направлена вниз (рис. 11.3). Тогда
)()( 1POOPOP rre или
1POOP re .
Откуда найдем:
OP
PO
r
e 1
.
Точка Р уже находится из условия равновесия рычага второго рода под действием «сил» е и r . Таким образом, можно сделать вывод, что во всех случаях полюс находится по правилу рычага, а угловые скорости складываются геометрически.
115
Рис. 11.2
Рис. 11.4
Рис. 11.5
3. Направление вращений противоположно,
а величины угловых скоростей е и r одина-ковы, то есть е = r (рис. 11.4) или е = r = .
Это так называемая пара вращения. При этом абсолютная скорость точки, согласно (11.2.1), будет:
.
)(
00
00
rr
rrrv
e
rrrea
То есть скорости всех точек тела одинаковы. Следовательно, тело совер-шает поступательное движение.
Подводя итог, можно сформулировать теорему: При сложении вращений вокруг параллельных осей угловые скорости складываются так же, как па-раллельные силы в статике.
11.3. Кинематическое исследование планетарных передач
Планетарным механизмом называется зацепление двух или нескольких ко-лес, одно из которых вращается вокруг неподвижной оси, другие – вокруг осей, закрепленных на подвижной рукоятке. Зацепление может быть внешним или внутренним. Колеса, вращающиеся вместе с рукояткой, называются сателлитами.
Рассмотрим общее соотношение между угловыми скоростями колес и ру-коятки по отношению к основанию механизма в случаях внешнего и внутрен-него зацеплений.
Придадим механизму в целом вращение с угловой скоростью , равной по величине угловой скорости рукоятки, но противоположной ей по направле-нию. Тогда рукоятка станет неподвижным звеном и, следовательно, механизм превратится в механизм с неподвижными осями. Угловые скорости колес будут соответственно 1
~ и 2
~ . Для внешнего зацепления (рис. 11.5) получим:
2
1
1
2
~
~
R
R
. (11.3.1)
Рис. 11.3
116
Рис. 11.6
Знак минус в формуле (11.3.1) учитывает тот факт, что колеса при внешнем зацеплении вращаются в проти-воположные стороны.
В случае внутреннего зацепления (рис. 11.6) полу-чаем:
2
1
1
2
~
~
R
R
. (11.3.2)
Рассмотрим примеры определения передаточных отношений планетарных передач.
Для получения больших угловых скоростей применяют механизм, изобра-женный на рис. 11.7. Его кинематическая схема дана на рис. 11.8.
Найдем соотношение между угловыми скоростями. Для этого придадим
механизму вращение с угловой скоростью . Для пары колес 1-2, представ-ляющей внешнее зацепление, можно написать:
2 1
1 2
R
R
.
Для пары 2-3, являющейся внутренним зацеплением, имеем
2
3
3
2
~
~
R
R
.
Здесь, однако, необходимо учесть, что третье колесо неподвижно, то есть 0~
3 . Следовательно, вместо предыдущего равенства имеем:
2
32~
R
R
.
Поделив левые и правые части соотношений между угловыми скоростями для пар колес 1-2 и 2-3, получим:
31
1
R
R
.
Откуда следует:
Рис. 11.7 Рис. 11.8
117
1
311
~R
RR .
Если, например, 13 9RR , то 10~1 .
У зубчатых колес число зубьев пропорционально их радиусу, поэтому
1
311 z
zz ,
где 1z и 3z – число зубьев первого и третьего колес. Отметим, что число зубьев второго, промежуточного колеса, в эту формулу не вошло.
Рассмотрим другой пример (рис. 11.9). Это планетарная передача, состоящая из двух внешних зацеплений. После-
довательно можно написать:
1
2
2
1
~
~
z
z
;
3
4
4
3
~
~
z
z
.
Согласно кинематической схеме, 0~4 и 32
~~ . Следовательно,
31
421~
zz
zz
.
Откуда
31
421 1zz
zz
.
Если величина 31
42
zz
zz близка к единице, то 1 .
11.4. Волновая передача
В данном пункте рассматривается механизм, состоящий из деформируе-мых тел. Таким образом, здесь мы отклоняемся от традиций курса теоретиче-ской механики, где обычно рассматриваются системы абсолютно твердых тел.
Волновая передача весьма перспективна в тех-нике, например, в химиче-ском машиностроении, так как позволяет передавать вращательное движение че-рез непроницаемую стенку (рис. 11.10).
Рис. 11.9
Рис. 11.10
3
2
2
118
Здесь 1 – ведущий вал; 2 – гибкий цилиндр с зубчатым венцом; 3 – ведомое звено.
Ведущий вал с роликами называется генератором волн. Этот механизм представляет собой разновидность внутреннего планетарного зацепления, толь-ко внутреннее кольцо является гибким. Число зубьев неподвижного гибкого цилиндра 2 и ведомого звена 3 почти одинаково. Придадим механизму в целом вращение с угловой скоростью .
Тогда можно записать:
3
2
2
3
~
~
z
z
.
Учитывая, что 2 10; w w= W= , получаем
3 1 2
1 3
z
z
w ww-
=-
.
Откуда следует:
3
23
1
331 ~
~
z
zzi
.
Если, например, 223 zz – это минимальная величина, которую можно достигнуть из-за технологических ограничений, то 3002002 z .
При таких условиях можно получить: 15010013 i ,
то есть весьма большой перепад угловых скоростей. Эта передача применялась для поворота антенн спутников, где требовалась
абсолютная герметичность. Кроме того, поворот ведомого звена такой передачи может осуществляться с высокой точностью.
11.5. Пара вращения
Рассмотрим механизм, изображенный на рис. 11.11. Пусть 321 RRR . Для пар 1-1 и 2-3 можно написать следующие соотношения:
1 2
2 1
R
R
ww
-W=-
-W
;
2
3
3
2
~
~
R
R
.
Откуда следует:
31
3 1
R
R
.
Если 0~1 , то получаем, что 0~
3 . Следова-тельно, шестерня 3 находится в состоянии поступа-тельного движения. Здесь re ; , поэтому
0 rea . Таким образом, рассматриваемый
Рис. 11.11
3
119
механизм осуществляет пару вращения для шестерни 3. Согласно теореме о сложении скоростей для любой точки твердого тела,
участвующего во вращениях вокруг параллельных осей с равными по величине, но противоположно направленными угловыми скоростями, имеем:
.)( 011 rrrrrvvv rerea
Поскольку скорость точек М 0rv не зависит от ее положения в теле, то скорости всех точек тела равны между собой и, следовательно, твердое тело совершает поступательное движение.
11.6. Пространственные механизмы для передачи вращательного
движения Теорема о сложении вращений вокруг пересекающихся осей
Пусть тело вращается вокруг подвижной оси 1z с относительной угловой скоростью r , а система осей
1 1 1Ox y z вращается вокруг неподвижной оси z с пере-носной угловой скоростью e (рис. 11.12).
Обе системы координат имеют общее начало. По-этому имеет место вращение твердого тела вокруг не-подвижной точки. Пусть мгновенная угловая скорость этого вращения а . Тогда для скоростей точек спра-ведлива формула:
rv aa , (11.6.1) где av – абсолютная скорость точки М.
Но r – радиус-вектор точки М. С другой стороны, для абсолютной скоро-сти точек М, согласно теореме о сложении скоростей, имеем
rea vvv , где . , rvrv rree Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, получим
rrrv rerea )( . (11.6.2)
Сопоставляя формулы (11.6.1) и (11.6.2), получим, что
rea . (11.6.3) Таким образом, доказана следующая теорема: совокупность двух враще-
ний, происходящих вокруг пересекающихся осей, эквивалентна вращению, происходящему с мгновенной угловой скоростью, равной векторной сумме угловых скоростей составляющих вращений.
При этом, как было отмечено ранее, вектор угловой скорости a представ-ляет собой мгновенную ось вращения тела.
Рассмотрим планетарное коническое зацепление (рис. 11.13).
Рис. 11.12
х
у
z
х1
y1
z1
120
Углы раствора конусов 2 и 2 . Определим абсолютную угло-
вую скорость a вращения колеса 2 по неподвижному колесу 1. Линия зацепления ОС является мгновенно неподвижной, поэтому она является мгновенной осью вращения колеса 2 и, следовательно, вектор абсолютной угловой скорости a лежит на от-резке ОС. Таким образом, если зада-
на угловая скорость e , то тем самым предопределяется величина и направле-ние абсолютной угловой скорости a .
Параллелограмм угловых скоростей изображен на рис. 11.13, а и соответ-ствующий ему треугольник на рис. 11.13, б.
Вектор относительной угловой скорости r направлен под углом к оси z . Воспользовавшись теоремой синусов, можно записать следующее равен-ство:
)sin()sin(sinsin
aaer .
Рассматривая прямоугольные треугольники ОАС и ОВС, имеющие общую гипотенузу ОС, найдем:
1 2sin ; sin . r r
OC OC
Следовательно,
sin
)sin( ;
sin
sin
2
1
eaer r
r.
Если предположить, что переносная угловая скорость e постоянна по ве-личине, то нетрудно найти полное угловое ускорение подвижной шестерни 2.
Угловое ускорение a можно определить как скорость конца вектора a при вращении его вокруг оси z . Для нахождения этой скорости воспользуемся формулой Эйлера
rereeaea )( . Величина углового ускорения a будет
sin
)sin(sin)sin( 2 erea .
Вектор a направлен перпендикулярно плоскости 1Ozz в сторону вращения оси
1Oz .
Рис. 11.13
а б
z1 z
z
awaw
121
Дифференциальное зацепление
На рис. 11.14 изображен механизм, на-зываемый двойным дифференциалом. Рамка ВВ вращается вокруг оси xx с угловой ско-ростью и увлекает ось АА. Колеса радиу-сами 1R и 2R не связаны с рамкой, но име-ют ту же ось вращения. Двойная шестерня с радиусами 1r и 2r называется сателлитом. Эта шестерня свободно вращается вокруг оси AA .
Найдем соотношение между угловыми скоростями. Для этого мысленно придадим механизму в целом вращение с угловой скоростью . Тогда рамка, а вместе с нею и ось двойной шестерни станут неподвиж-ными. Угловые скорости колес с радиусами
1R и 2R будут 1~ и 2
~ . Относительную скорость сателлита обозначим ~ . При остановившейся рамке для верхнего колеса получаем
1
11
~
~
R
r
и для нижнего
2
2
2~
~
r
R
.
В последней формуле знак минус учитывает тот факт, что верхнее и ниж-нее колеса вращаются в противоположные стороны. Умножая левые и правые части первого и второго равенств, получим:
2
2
1
1
2
1
~
~
r
R
R
r
.
Откуда следует:
)(~~2
2
1
1
2
22
1
11 r
R
r
R
r
R
r
R .
Полагая 11 rR и 22 rR , получим:
2
~~21
.
В этом случае оказывается, что среднее арифметическое угловых скоро-стей 1
~ и 2~ равно угловой скорости кожуха . Полагая 21 RR и 21 rr ,
получим механизм автомобильного дифференциала (рис. 11.15).
Рис. 11.14
х
х
122
Предположим, что центр автомобиля описывает окружность радиуса . Если рас-стояние между колесами будет d , то радиус
внешней окружности будет 2
d , а внут-
ренней 2
d .
Пусть скорость центра автомобиля v , если радиус задних колес равен а, то угловая скорость первой шестерни будет
1
2d
v
a
,
а второй: 2
2d
v
a
.
Угловая скорость кожуха:
a
v )~~(
2
121 ,
и относительная угловая скорость сателлитов, если rR
1
22
dv v vd
a a a
.
Шарнир Гука
Если два вала составляют между собой некоторый угол, то для передачи вращения с их помощью применяется специальное соединение, которое назы-вается шарниром Гука. Кинематическая схема этого устройства изображена на рис. 11.16, а.
Рис. 11.15
Рис. 11.16
а б
123
К концам валов присоединены вилки, которые в свою очередь присоеди-нены к жесткой крестовине.
Пусть – угол между валами, которые расположены в плоскости чертежа. Абсолютная угловая скорость крестовины a , согласно теореме о сложении вращений вокруг пересекающихся осей, будет
2211 a , (11.6.4)
где 1 – угловая скорость ведущего вала; 1 – угловая скорость крестовины относительно ведущего вала; 2 – угловая скорость ведомого вала; 2 – угло-вая скорость крестовины относительно ведомого вала. Стержни, образующие крестовину, расположены под прямым углом, поэтому векторы 1 и 1 , 2 и
2 , а также 1 и 2 перпендикулярны (рис. 11.16, б). Следовательно, равны нулю следующие скалярные произведения:
0 ;0 ;0 122211 . (11.6.5)
Рассмотрим вспомогательные соотношения. Умножим соотношение (11.6.4) скалярно на 1 . Учитывая соотношения (11.6.5), получим:
12
2
1 . (11.6.6)
Чтобы найти отношение 1
2
, необходимо как-то проследить за изменением
угла поворота ведущего вала . Для этого рассмотрим два векторных произведения 21 и 11 . Векторное произведение 21 перпендикулярно плоскости чертежа, а
векторное произведение 11 перпендикулярно плоскости ведущей вилки. Можно сказать, что вектор 11 вращается с угловой скоростью 1 . Угол между вышеупомянутыми векторными произведениями равен .
Рассмотрим скалярное произведение:
cossincos))(sin())(( 122111211121 . (11.6.7)
Это же скалярное произведение, с другой стороны, можно представить так:
*) )())(()(
)]([])[(
))(())((
1221211112
21
12112121121
21111121
(11.6.8)
*) Известна формула скалярно-векторного произведения:
,)()()( ACBBACCBA выражающая объем параллелепипеда, постро-
енного на тройке перемноживаемых векторов. Тогда в произведении ( ( )) A B C D , пола-
гая BA отдельным вектором, получим: ( )( ) ( ( )) C D A B A B C D .
124
Приравнивая (11.6.7) и (11.6.8), получаем:
1212 cossin . (11.6.9)
Учитывая (11.6.6), вместо (11.6.9) находим: cossin 2
112 или
12 cossin . В дальнейшем нам потребуется последнее выражение в ином виде:
cossin 21
2222 . (11.6.10)
Умножим скалярно (11.6.4) на 2 :
222211 )()( , откуда
222121 .
Учитывая (11.6.6), получаем: 22
2121 .
Подставляя в последнее соотношение (11.6.10), найдем: 22
222221 cossin .
Наконец, приходим к равенству:
cos-cossin 2122
2222 .
Откуда следует: 22
212 cossincos . После чего нетрудно получить передаточное отношение:
221
2
cossin1
cos
Если t , то t cossin1
cos22
1
2
.
Найдем наибольшие и наименьшие значения отношения 1
2
.
;cos
1
sin1
cos2
max1
2
.cosmin1
2
Неравномерность вращения будет:
,cos
sin 2
min1
2
max1
2
при большом перекосе валов механизм становится неработоспособным, так как
при 2
неравномерность вращения .
125
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц,
Д. Р. Меркин. – М. : Наука, 1985. – Т. 1. – 250 с.; Т. 2. – 496 с.
2. Лойцянский, Л. Г. Курс теоретической механики / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. – М. : Наука. – Ч. 1, 1982. – 350 с.; Ч. 2, 1983. – 640 с.
3. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики / Н. А. Кильчевский. – М. : Наука. – Ч.1, 1977. – 480 с.; Ч.2, 1977. – 544 с.
4. Бухгольц, Н. Н. Основной курс теоретической механики / Н. Н. Бухгольц. – М. : Наука. – Ч. 1, 1965. – 467 с.; Ч. 2, 1969. – 332 с.
5. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. – М. : Наука, 1961. – 824 с.
6. Гантмахер, Ф. Р. Аналитическая механика / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1960. – 296 с.
7. Маркеев, А. П. Теоретическая механика / А. П. Маркеев. – М. : Наука, 1990. – 416 с.
8. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике / И. В. Ме-щерский. – М. : Наука, 1981. – 480 с.
9. Бать, М. Л. Теоретическая механика в примерах и задачах / М. Л. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1967. – Т. 1. – 510 с.; 1986. – Т. 2. –624 с.; 1973. – Т. 3. – 486 с.
10. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике : учеб. пособие для технич. вузов / под. ред. А. А. Яблонского. – М. : Высшая школа, 1985. – 367 с.
Часть 2
ДИНАМИКА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
127
ДИНАМИКА 12. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
12.1. Законы Ньютона
В основе динамики лежат законы И. Ньютона, изложенные им в «Матема-тических началах натуральной философии» (1687).
Эти законы были найдены в результате обобщения непосредственных на-блюдений механических явлений и являются истинными, поскольку следствия, вытекающие из них, согласуются с опытом в пределах точности наблюдений.
Одной из основ классической механики является предположение о суще-ствовании «абсолютно неподвижной» системы координат, что эквивалентно предположению о существовании абсолютного пространства.
Инерциальной (галилеевой) называется система координат, движу-щаяся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно гипоте-тической абсолютно неподвижной системы. Законы Ньютона справедливы в инерциальной системе координат.
Первый закон Ньютона
При установлении законов механики Ньютон рассматривал движение изо-лированной материальной точки, на движение которой не наложены какие-либо кинематические ограничения.
Многочисленные наблюдения над механическими движениями привели к установлению первого закона механики – закона инерции или первого закона Ньютона, который связывается также с именем Галилея. Этот закон формули-руется так:
Изолированная материальная точка сохраняет состояние равномерно-го и прямолинейного движения или находится в состоянии покоя относи-тельно инерциальной системы координат.
Изолированной называется материальная точка, взаимодействием которой с окружающими телами пренебрегают.
Свойство изолированной материальной точки сохранять состояние равно-мерного и прямолинейного движения называется свойством инертности.
Из закона инерции вытекает, что самопроизвольное изменение движения материальной точки невозможно. Изменение движения материальной точки может произойти только в результате ее взаимодействия с другими телами. Мерой этих взаимодействий являются механические силы. Понятие силы по-зволяет установить связь между механическими и немеханическими формами движения материи.
Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона устанавливает связь между скоростью изменения количества движения материальной точки и силой, к ней приложенной.
128
Прежде всего выясним, что же пред-ставляет собой количество движения ма-териальной точки. Рассмотрим два шара А и В, подвешенные в точках P и Q (рис. 12.1).
Экспериментально можно установить, что A A A A B Bm u = m v + m v , где Am и Bm – массы шаров; Au – скорость шара А перед соударением; Av и Bv – ско-рости шаров после соударения. Иными словами величина
AO A Ak m u
равна геометрической сумме величин A A Ak m v и B B Bk m v . То есть
AO A Bk k k . Таким образом, можно сделать вывод, что векторная величина
k mv представляет собой меру механического движения. Эта величина называется количеством движения.
Второй закон Ньютона устанавливает связь между силой, действующей на точку, и быстротой изменения ее количества движения. Формулируется он сле-дующим образом:
Скорость изменения количества движения материальной точки равна силе, действующей на эту точку.
Математически этот закон выражается равенством
d( mv )
Fdt
, (12.1.1)
где mv – количество движения материальной точки; m – масса точки.
При m const , получим ma F , (12.1.2)
где a v – ускорение точки. Второй закон Ньютона чаще всего рассматривается в форме (12.1.2), хотя
далеко не всегда масса точки оказывается постоянной. При движении ракеты или при релятивистских скоростях элементарных частиц приходится пользо-ваться формулой (12.1.1). Уравнения (12.1.1) и (12.1.2) можно назвать уравне-ниями динамики свободной материальной точки. При F 0 и m const из второго закона вытекает закон инерции. Действительно, если F 0 , то a 0 и тогда v const .
Второй закон Ньютона выражает количественное соотношение между тремя физическими величинами: силой, массой и ускорением.
Рис. 12.1
129
Массой материальной точки называется физическая величина, являю-щаяся мерой инертности и гравитационных свойств.
Для определения массы существуют два способа. Первый способ определения массы основан на законе всемирного тяготе-
ния, согласно которому сила взаимного притяжения между телами выражается формулой
12
mmF
r ,
где – гравитационная постоянная; r – расстояние между материальными точками с массами m и 1m .
Еще Галилей установил, что вблизи земной поверхности ускорение сво-бодного падения
12
mg
r
в единицах СИ равно 9,81 м/с2. Поэтому сила тяготения определяется формулой
P mg . Таким образом, измерив силу тяжести с помощью весов, можно определить и массу.
Второй способ определения массы тела состоит в следующем. Пусть одна и та же сила F действует на два различных тела с массами 1m и
2m и вызывает ускорения 1a и 2a . Тогда, согласно второму закону Ньютона,
1 1 2 2m a m a ,
откуда 12 1
2
am m
a .
Выбрав массу первого тела, нетрудно найти массу второго. Указанный способ определения массы называется динамическим, а сама
масса, определенная этим способом, называется инертной. Экспериментально доказано, что весомая и инертная массы численно раны между собой в преде-лах точности измерений, обеспечиваемых современной техникой.
Третий закон Ньютона
Силы взаимодействия двух материальных точек (действие и противо-действие) равны по величине, направлены в противоположные стороны и имеют общую линию действия.
Таким образом, третий закон отражает двусторонность механических процессов.
Первый и второй законы Ньютона относятся к динамике материальной точки. Третий закон – к динамике системы материальных точек.
Третий закон не содержит кинематических характеристик и поэтому спра-ведлив в любой системе координат, а не только инерциальной.
130
Закон независимости действия сил
Этот закон является следствием аксиомы о параллелограмме сил.
Равнодействующая из N сил, приложенных в точке, N
ii 1
F F
. Если каждая
из этих сил действует на материальную точку, то согласно второму закону Ньютона имеем
i ima F . (12.1.3) Суммируя соотношения (12.1.3), найдем
N N
i ii 1 i 1
m a F
,
или ma F ,
где N
ii 1
a a
.
То есть ускорение a , получаемое материальной точкой от одновремен-ного действия системы сил, равно геометрической сумме ускорений, полу-чаемых этой точкой от каждой силы в отдельности.
12.2. Динамические уравнения движения материальной точки
Если движение материальной точки массы m задано в векторной форме с помощью радиус-вектора r r ( t ) , то основное уравнение динамики примет вид
mr F( t ,r ,r ) . (12.2.1)
Из записи уравнения динамики (12.2.1) следует, что сила F в общем слу-чае может явно зависеть от времени, положения и скорости точки. Силы, явно зависящие от времени, встречаются при исследовании движения различного рода машин и механизмов. Такого рода силы встречаются в теории колебаний, теории устойчивости движения, в небесной механике. К силам, зависящим от положения точки, относятся силы упругости, силы тяготения. Силы, зависящие от скорости, встречаются в аэрогидродинамике, где изучаются движения в жидкой или газообразной среде.
Уравнение движения (12.2.1) должно быть дополнено начальными условиями:
0 0 0t 0 t 0r r ; r r v
. (12.2.2)
Рассмотренным уравнениям (12.2.1) и начальным условиям (12.2.2) в декарто-вых осях соответствуют следующие три дифференциальных уравнения и шесть начальных условий:
x
y
z
mx F ( t ,x, y,z,x, y,z );
my F ( t ,x, y,z,x, y,z );
mz F ( t ,x, y,z,x, y,z );
(12.2.3)
131
0 0 0t 0 t 0 t 0
0 0 0t 0 t 0 t 0
x x ; y y ; z z ;
x x ; y y ; z z .
(12.2.4)
В уравнениях (12.2.3) x, y,z – проекции ускорения на оси координат; x, y,z – координаты точек; x, y,z – проекции скорости; x y zF ,F ,F – проекции силы.
Соответственно в (12.2.4): 0 0 0x , y , z – координаты начального положения точки;
0 0 0x , y , z – составляющие скорости точки в начальный момент времени. Система уравнений (12.2.3) имеет шестой порядок. Из уравнения (12.2.1) получаются уравнения движения точки в криволи-
нейных координатах:
i iq qma F , i 1,2,3 , (12.2.5)
где iqa – проекции ускорения на ось iq системы криволинейных координат;
iqF – проекция силы на ту же ось.
Ранее было получено (см. п. 8.6, часть 1): 0 01
( ),qii i i
d T Ta
H dt q q
где
2 2 2
20
, коэффициент Ламе,
скоростной потенциал.2
ii i i
x y zH
q q q
vT
Уравнение (12.2.5) можно записать в форме
ii i
d T TQ , i 1,2,3
dt q q
, (12.2.6)
где ii i qQ H F – носят название обобщенных сил;
0
2
2
mvT mT – кинетическая энергия материальной точки.
Уравнения (12.2.6) представляют собой дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме Лагранжа.
Воспользуемся общей формой уравнений (12.2.5) для получения уравне-ний в полярных и сферических координатах.
В полярных координатах ( r , ) получим:
2
rm( r r ) F ;
m( r 2r ) F ,
(12.2.7)
где rF и F – проекции силы соответственно на направление радиуса r и пер-
пендикулярное ему направление в сторону возрастания угла . Соответствующие уравнения в сферической системе координат ( r , , )
будут:
132
2 2 2r
2
m( r r sin r ) F ;
m( r sin 2r sin 2r cos ) F ;
m( r 2r r sin cos ) F .
Рассмотрим уравнение динамики в естественных осях. Во-первых, если речь идет о естественных осях, то траектория движения
считается заданной. Вектор ускорения в естественных осях определяется формулой
na a a n ,
где a S – касательное ускорение;
2na v / – нормальное ускорение;
– орт касательной; n – орт нормали; S – дуговая координата, проекция ускорения на бинормаль, равна нулю. Тогда, согласно второму закону Ньютона, можно написать следующие уравнения:
n n
ma F ;
ma F ,
или 2
n
mS F ( t ,S ,S );
Sm F ( t ,S ,S ).
(12.2.8)
Из уравнений (12.2.8) дифференциальным является только первое. Второе уравнение – следствие первого. Их следует дополнить начальными условиями
0 0t 0 t 0S S ; S S
.
Уравнения (12.2.8) называются динамическими уравнениями движения точки в естественной форме или форме Эйлера.
12.3. Две основные задачи динамики свободной материальной точки
При исследовании движения материальной точки возникают две основные задачи динамики – прямая и обратная.
1. Прямая задача заключается в определении силы F , действующей на ма-териальную точку, если заданы ее масса и кинематические уравнения движе-ния. Решение этой задачи осуществляется следующим образом: Пусть уравнения движения заданы в декартовых осях:
x x( t ); y y( t ); z z( t ) . Дважды дифференцируя эти соотношения по времени, получаем проекции ус-корения на оси координат:
x y za x; a y; a z . Тогда, если известна масса точки m , проекции силы будут:
133
x y zF mx; F my; F mz .
Модуль этой силы 2 2 2x y zF F F F ,
направляющие косинусы
cos( , ) ; cos( , ) ; cos( , )yx zFF F
F x F y F zF F F
.
Аналогично решается задача динамики точки и в естественных осях. Учитывая, что
2 2
n
v Sa v S; a
,
найдем 2
2 2
; ;
.
n
n
vF mv F m
F F F
Направление силы F можно найти по формуле
n n
F atg
F a ,
где – угол между силой F и главной нормалью к траектории. 2. Обратная задача заключается в определении кинематических уравнений
движения материальной точки по заданной массе m , приложенной силе F и начальным условиям движения:
0 0t 0 t 0r r ; r r
.
Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения. Первая задача решается дифференцированием и, если процедура дифференцирования является элементарной, то о процедуре интег-рирования этого сказать нельзя. Поэтому в ряде случаев решение второй задачи динамики точки сопряжено со значительными трудностями.
Пусть найден общий интеграл уравнений движения ir r ( t ,c ), i 1,6 ,
(12.3.1) где ic – постоянная интегрирования. При этом, очевидно, известна и скорость точки
iv r ( t ,c ) . (12.3.2) Воспользовавшись соотношениями (12.3.1) и (12.3.2) и начальными условиями
0 0 0t 0 t 0r r ; r r v
,
получим шесть уравнений, которые в векторном виде записываются так: i 0 i 0r (0,с ) r ; r (0,c ) v .
(12.3.3) Из системы уравнений (12.3.3) находим шесть постоянных интегрирования
134
i i 0 0 0с c ( t ,r ,r ), i 1,6 . (12.3.4) Подставив значения постоянных (12.3.4) в общий интеграл (12.3.1), найдем ис-комые кинематические уравнения движения
r r ( t ) . При решении второй задачи динамики в естественных осях интегрируем урав-нение движения
mS F , после чего находим общий интеграл
1 2S S( t ,c ,c ) , (12.3.5) где 1 2c ,c – постоянные интегрирования.
Учитывая начальные условия, получим i i 0 0 0с c ( t ,S ,S ), i 1,2 . (12.3.6)
Подставляя (12.3.6) в (12.3.5), найдем зависимость S S( t ) .
После чего из второго уравнения (12.2.8) можно найти, например, nF . Радиус кривизны траектории известен, так как траектория считается заданной, а неиз-вестным является закон изменения дуговой координаты.
Таким образом, решение обратной задачи динамики материальной точки состоит из трех этапов:
1. Составления динамических уравнений движения материальной точки в соответствии с условиями задачи.
2. Интегрирования полученной системы дифференциальных уравнений, в результате чего находится общий интеграл системы.
3. Определения постоянных интегрирования в соответствии с начальными условиями движения.
Пример: определить скорость тяжелого тела, падающего без начальной скорости в среде с сопротивлением R , пропорциональным квадрату скорости:
2R bv sign v ,
где b – коэффициент сопротивления; v
sign vv
– единичный
вектор, имеющий направление скорости. Дифференциальное уравнение движения (рис. 12.2):
dvm P R
dt ,
где 2P mg; R bv , то есть 2dvm mg bv
dt .
Обозначим 2bk
mg .
Тогда дифференциальное уравнение движения будет: Рис. 12.2
135
2 2dvg(1 k v )
dt .
Это уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому можно записать
2 2
dvgdt
1 k v
. (12.3.7)
Разложим дробь 2 2
1
1 k v на простейшие множители:
2 2
1 1 1 1( )
2 1 kv 1 kv1 k v
.
В результате вместо (12.3.7) получим
kdv kdv
2kgdt1 kv 1 kv
. (12.3.8)
Интегрируя (12.3.8), найдем ln(1 kv ) ln(1 kv ) 2kgt c .
Согласно начальным условиям
0t 0v v 0
,
поэтому c 0 . Следовательно,
1 kvln 2kgt
1 kv
или 2kgt1 kv
e1 kv
,
откуда 2kgt
2kgt
e 1v
k( e 1)
2kgt
2kgtt
( 1 e ) 1limv lim
kk(1 e )
.
12.4. Движение точки под действием центральной силы
Центральной называется сила, действие которой во время движения про-ходит через неподвижный центр О.
Траектория движения лежит в плоскости, проходящей через начальный радиус-вектор 0r и вектор начальной скорости 0v (рис. 12.3).
Составим уравнение движения точки в полярных координатах:
2r
2
m( r r ) F ;
m d( r ) F 0.
r dt
(12.4.1)
Начальные условия таковы: при 0t 0,r r , 0 ,
0 0 0 0 0r r v cos , r v sin .
Рис. 12.3
136
Из второго уравнения (12.4.1) получается первый интеграл:
2 r 2С (12.4.2)
Рассмотрим геометрический смысл выра-жения (12.4.2). Для этого рассмотрим модуль векторного произведения r dr . По определе-
нию это удвоенная площадь треугольника, построенного на векторах r и dr (рис. 12.4). Обозначим эту площадь через dS . Следовательно,
21 1dS r dr r d
2 2 ,
где d – угол между векторами r и r dr .
Если поделить обе части этого равенства на dt , то получим
21S r
2 ,
где S – так называемая секторная скорость. Секторная скорость – это производная по времени от площади S , охватывае-мой радиус-вектором r . Пользуясь начальными условиями, найдем величину постоянной С :
20 0 0 0
1 1S С r r v sin
2 2 . (12.4.3)
Пользуясь формулой (12.4.3), вместо (12.4.2) можно написать:
20 0r r v sin . (12.4.4)
Этот интеграл называется интегралом площадей. Воспользуемся интегралом площадей (12.4.4) и исключим из первого
уравнения (12.4.1) время. Для этого найдем:
2
2 2
2 2
dr 2C dr d 1r 2C ( ),
d d d rr
dr 4C d 1r ( ).
d rr d
(12.4.5)
Подставив выражение для r в первое уравнение (12.4.1) с учетом (12.4.2), по-лучим
2 2
r2 2
d 1 1 r( ) F
r rd 4C m
. (12.4.6)
Уравнение (12.4.6) называется уравнением Бине. Если сила rF 0 , то есть является силой тяготения, то величина
Рис. 12.4
137
2
2
d 1 1( )
r rd
положительна и, следовательно, кривая обращена к полюсу вогнутостью. При rF 0 , когда сила является силой отталкивания, кривая обращена к
полюсу выпуклостью. Введем новую функцию u 1 / r . Тогда вместо (12.4.6) получим:
2
r2 2 2
F (1 / u )d uu
d 4mC u
. (12.4.7)
Наибольший интерес представляет сила гравитационного взаимодействия. Сила притяжения планеты, принимаемой за однородный шар, и некоторой матери-альной точки равна
2
mM rF
rr , (12.4.8)
где – гравитационная постоянная; m – масса материальной точки; M – масса
планеты; r – расстояние между тяготеющей точкой и центром планеты. Если известна сила притяжения mg на поверхности планеты, то можно
упростить формулу (12.4.8). Здесь g – ускорение свободного падения относи-
тельно невращающейся Земли. Положим, r R , где R – радиус Земли. Тогда из равенства (12.4.8) получим
22
mMmg , M gR
R
.
После чего равенство (12.4.8) принимает вид:
2
2
mgR rF
rr . (12.4.9)
Следовательно, 2 2r rF ( r ) F (1 / u ) mgR u , и дифференциальное уравнение
траектории принимает вид
2
2
d u 1u
Pd
, (12.4.10)
где 2
2
4CP const
gR .
Уравнение (12.4.10) – неоднородное линейное дифференциальное уравне-ние второго порядка. Решение уравнения (12.4.10) представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения 1u и частного ре-
шения неоднородного уравнения 2u :
1 2u u u . (12.4.11)
Характеристическое уравнение
138
2 1 0 , его корни 1,2 i . Следовательно,
* i * i1 1 2u C e C e (12.4.12)
Частное решение
2
1u
P . (12.4.13)
Подставляя (12.4.12) и (12.4.13) в (12.4.11), получим
* i * i1 2
1u C e C e
Р . (12.4.14)
Решение (12.4.14) не является вещественным. Если воспользоваться формулами
Эйлера i ie cos i sin , e cos i sin , то решение (12.4.14) можно за-
писать через тригонометрические функции:
1 2
1u C cos C sin
Р . (12.4.15)
Очевидно, * * * *1 1 2 2 1 2C C C , C i( C C ) .
Общее решение (12.4.15) можно записать в виде
1
u a cos( )P
, (12.4.16)
где 2 21 2a C C и 2
1
Carctg
C – также являются постоянными интегрирования.
Учитывая, что 1
ur
, перепишем уравнение (12.4.16) в виде:
P
r1 ecos( )
, (12.4.17)
где e aP – постоянная величина. Уравнение (12.4.17) представляет собой траекторию материальной точки,
движущейся под действием силы гравитационного тяготения. Для упрощения анализа введем новую
переменную . Угол будет отсчи-
тываться от некоторого нового направления Ox , повернутого относительно первого на угол (рис. 12.5).
Но вид траектории при этом не изменит-ся. Уравнение (12.4.17) запишется так:
P
r1 ecos
. (12.4.18)
Кривые типа (12.4.18) представляют конические сечения, то есть являются кривыми второго порядка.
Рис. 12.5
О
139
Действительно, Pcos Psin
x rcos ; y r sin1 ecos 1 ecos
.
Откуда следует x y
cos ; sinP ex P ex
,
и, наконец, 2 2 2x y ( P ex ) . (12.4.19)
То есть уравнение (12.4.19) представляет собой уравнение кривых второго порядка.
Тип траектории определяется значением величины е , называемой эксцен-триситетом конического сечения.
Если принять е 0 , то положительное направление оси Ox при 0 бу-
дет направлено в точку, называемую перицентром орбиты. В случае спутника эта точка называется перигеем. Если e 1 , то знаменатель в формуле (12.4.18) не обращается в нуль и,
следовательно, кривая (12.4.18) не имеет бесконечно удаленных точек. Поэтому эта кривая – эллипс.
При e 0 получаем r P const и, следовательно, эллипс превращается в окружность.
Если e 1 , то получаются бесконечно удаленные точки при двух значени-ях угла , полученных из уравнения:
1 ecos 0 ,
то есть при 1
arccos( )e
.
Таким свойством обладает гипербола. При e 1 знаменатель обращается в нуль, это со-ответствует .
Кривая, имеющая бесконечно удаленную точ-ку при одном значении полярного угла, назы-вается параболой.
На рис. 12.6 изображены возможные тра-ектории при e 0 и одинаковом для всех тра-екторий расстоянии до перицентра.
Это расстояние равно min 0r r P /(1 e ) .
Рис. 12.6
140
Исследуем траекторию на экстремум. Для этого найдем производную
2
dr Pesin
d (1 ecos )
и приравняем ее к нулю. Так как dr / d 0 при 0 , то в этой точке полярный радиус имеет
экстремум. Это значит, что при 0 и любом e скорость точки перпендикулярна к
радиус-вектору 0r .
Учитывая, что и 0 0v r , из интеграла площадей следует
0 0
1r v C
2 .
При 0r r , 0v v и 0 получим
00
P Pr ,e 1
1 e r
.
Кроме того, 2
2
4CP
gR .
Тогда 2
0 02
r ve 1
gR .
Если e 0 , то траекторией будет окружность: 2
01 0 0v v gR / r .
При 0r R получим значение первой космической скорости:
01v gR 7,9 км/c .
Параболическая траектория получается при e 1 2
02 0v 2gR / r .
Параболическая скорость при 0r R ,
02v gR 11,2 км/c ,
называется второй космической скоростью.
При 20 0v 2gR / r получается гиперболическая скорость.
12.5. Задача двух тел
К рассмотренной выше задаче динамики точки в поле центральной силы сводится так называемая задача двух тел.
Рассмотрим две тяготеющих массы cm и pm (рис. 12.7).
141
Дифференциальные уравнения их дви-жения по отношению к инерциальной систе-ме отсчета 1 1 1 1O x y z будут:
2c pc
c 2 2
2p c p
p 2 2
m md r rm ,
rdt r
d r m m rm
rdt r
(12.5.1)
где cr – радиус-вектор точки cm ; pr – радиус-
вектор точки pm ; r
r – единичный орт
радиус-вектора r . Умножая первое уравнение (12.5.1) на pm , а второе – на cm и вычитая из второ-
го уравнения первое, получим: 2 2
p c pcc p c p2 2 2
d r m md r rm m ( m m )
rdt dt r
.
Учитывая, что p cr r r , найдем:
2
2 2
d r Mm rm
rdt r , (12.5.2)
где c pM m m , pm m .
Уравнение (12.5.2) представляет собой уравнения движения точки в поле центральной силы, решение которого рассмотрено выше.
Рис. 12.7
142
13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Среди механических движений особое место занимают движения, которые так или иначе характеризуются периодическим повторением состояния систе-мы. Такие движения называются механическими колебаниями.
К механическим колебаниям относятся колебания маятников, струн, раз-личных деталей машин и механизмов, зданий, сооружений, мостов, фундамен-тов, корабля, автомобиля, самолета.
Колебательные процессы часто встречаются в природе и технике. Важную роль играют колебательные процессы в системах автоматического регулирова-ния, которые получили широкое развитие в современной технике, так как спо-собствуют высокой производительности труда.
Решение вышеуказанных задач основано на теории линейных и нелиней-ных колебаний. Линейные колебания описываются линейными дифференци-альными уравнениями, разработка решений которых в основном завершена. Нелинейные колебания описываются нелинейными уравнениями, решения ко-торых, как правило, являются приближенными и требуют индивидуального подхода.
Далее речь будет идти в основном о линейных колебаниях, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
13.1. Свободные колебания материальной точки
Свободные или собственные колебания материальной точки проходят под действием силы, которая является линейной функцией перемещения. Эта сила называется восстанавливающей.
Примером такой силы является сила упругости, удовлетворяющая закону Гука.
Рассмотрим колебания груза массой m , подвешенного на пружине, верхний конец которой закреплен в точке А (рис. 13.1). На данную материальную точку m действует сила тяжести P и реакция пружины cF , согласно закону Гука, равная c . Здесь c – жесткость пружины, – удлинение пружины.
Ось x направим вертикально вниз, начало координат поместим в положение статического равновесия, то есть в точке О, в которой сила тяжести P уравновешивается стати-ческой реакцией пружины St stF c , где st – называется статическим удлинением пружины.
Очевидно, stP c . Если координату точки m в произвольном ее положе-
нии обозначить через x , то удлинение пружины будет
st x . И, следовательно, проекция реакции пружины на ось Ox будет:
Рис. 13.1
143
cxF c P cx . Чтобы определить закон движения материальной точки m , находящейся
под действием сил P и cF , составим дифференциальное уравнение движения этой точки.
Согласно второму закону Ньютона, получаем
cxmx P F P P cx cx , или
mx cx 0 . (13.1.1) Обычно уравнение (13.1.1) преобразуют к стандартному виду
2x k x 0 , (13.1.2) где 2k c / m . Уравнение (13.1.2) – дифференциальное уравнение свободных колебаний мате-риальной точки. Это линейное однородное дифференциальное уравнение с по-стоянными коэффициентами.
Решение линейного уравнения типа (13.1.2) всегда отыскивается подста-новкой Эйлера
rtx ce , (13.1.3) где c и r – постоянные. Подставляя выражение (13.1.3) в уравнение (13.1.2), получим
rt 2 2ce ( r k ) 0 . Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда
2 2r k 0 . (13.1.4) Уравнение (13.1.4) называется характеристическим уравнением, его корни
1,2r ik ,
и, следовательно, общее решение * ikt * ikt
1 2x C e C e . (13.1.5) Решение (13.1.5), куда входят показательные функции мнимого аргумента, яв-ляются вещественными и может быть преобразовано с помощью формул Эйлера:
ikt
ikt
e cos kt i sinkt ,
e cos kt i sinkt
(13.1.6)
к такому виду: 1 2x C cos kt С sinkt . (13.1.7)
С помощью формул (13.1.6) можно установить связь между постоянными * *1 2С ,С и 1 2С ,С , входящими в выражения (13.1.5) и (13.1.7).
Постоянные интегрирования 1 2С ,С находятся из начальных условий:
0 0t 0 t 0x x ; x x
, (13.1.8)
после чего находится закон движения точки m по оси x , то есть определяется координата этой точки как функция времени.
Дифференцируя выражение (13.1.7) по времени, найдем скорость
144
1 2x C k sinkt С k cos kt . (13.1.9) Удовлетворяя начальным условиям (13.1.8), из (13.1.7) и (13.1.9) получим:
0 1 0 2t 0 t 0x x С ; x x С k
.
Следовательно, 00
xx x cos kt sin kt
k
. (13.1.10)
Уравнение (13.1.10) можно записать в более компактном виде, если положить 0 0x a sin ; x a cos . (13.1.11) Тогда получим, что
x a sin( kt ) . (13.1.12) Таким образом, свободные незатухающие колебания являются гармониче-
скими. Графиком свободных колебаний является синусоида (рис. 13.2). Возводя в квадрат и складывая вели-
чины (13.1.11), получим, что амплитуда свободных колебаний
2
2 00 2
xa x
k
. (13.1.13)
Величина kt – называется фазой ко-лебаний, где – начальная фаза,
0 0
0 0
x k x ktg ; arctg
x x
; (13.1.14)
k – круговая частота свободных колебаний, определяемая по формуле
c
km
(13.1.15)
и равная числу колебаний за 2 секунд. Периодом T свободных колебаний называется промежуток времени, в те-
чение которого фаза колебания изменяется на 2 .
Следовательно, k( t T ) ( kt ) 2 . Откуда 2 m
T 2k c
.
В течение одного периода происходит одно полное колебание. Величина, обратная периоду колебаний T , называется частотой колебаний
f , измеряемой в Герцах. 1
fT
.
Формулу для частоты свободных колебаний k можно представить в ином виде.
Рассмотрим формулу stP c .
Иначе stmg c .
Рис. 13.2
145
Откуда 2
st
g ck
m
.
Тогда
st
c gk
m
. (13.1.16)
Число свободных колебаний в минуту можно определить следующим образом:
st
60 60 30n 60 f
T m2
c g
. (13.1.17)
Полагая 23.14, 981 /g cм c , получим:
st
300n
,
где st – берется в сантиметрах. Если свободные колебания характеризуются круговой частотой k или
периодом T , не зависящими от начальных условий, то они называются изохронными.
Формула (13.1.17) часто оказывается весьма удобной на практике, так как частоту свободных колебаний можно найти, измерив статическую деформацию.
Рассмотрим электродвигатель на упругой балке (рис. 13.3). Пусть n 980 об/мин . Тогда, если
2 4
2 6
300 9 10 1 см 1 мм
1010st n
,
то есть прогиб балки примерно равен 1 мм, то час-тота вращения двигателя оказывается близкой к собственной частоте колебаний.
Ниже будет показано, что это, как правило, недопустимо.
Рассмотрим еще один пример. К концу пружины подвешен груз. Статическое удлинение пружины равно
. Определить движение груза, если в начальный момент времени пружина была сжата на длину, равную , а груз был опущен без начальной скорости.
Начало координат расположить в положении статического равновесия, ось координат направить вниз.
Воспользуемся решением (13.1.10), поскольку начальная скорость равна нулю, то в нем остается только первый член. Согласно условию задачи до по-ложения статического равновесия расстояние груза в начальный момент равно 2 . Поэтому 0x 2 , и, следовательно, закон движения груза будет
gx 2 cos t
.
Рис. 13.3
146
13.2. Затухающие колебания материальной точки при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости
Пусть наряду с восстанавливающей упругой силой cF на материальную
точку действует сила сопротивления среды vF , являющаяся линейной функцией скорости v .
К числу сил сопротивления относятся силы трения жидкости или воздуха, внутреннее трение в материале, трение между поверхностями скольжения.
Из опыта известно, что сила сопротивления жидкости или воздуха являет-ся функцией скорости. При малых скоростях можно считать, что эта сила со-противления vF является линейной функцией скорости
vF bv , (13.2.1) где b – коэффициент пропорциональности, определяемый опытным путем.
При больших диапазонах изменения скорости линейный закон сопротив-ления уже не может быть принят. Более того, часто не представляется возмож-ным получить единое аналитическое выражение силы сопротивления для всего диапазона изменения скорости.
По-прежнему будем рассматривать колебания груза массой m , подвешен-ного на пружине в точке А (рис. 13.4).
Начало координат поместим в положение статического равновесия. На материальную точку, наряду с силой веса Р и восстанавливающей упругой силой cF , действует сила со-
противления среды vF . Проекция силы vF на ось x будет
vxF bx . Тогда, согласно второму закону Ньютона,
cx vxmx P F F P P cx bv cx bx . Таким образом, дифференциальное уравнение движения точки:
mx bx cx 0 , или 2x 2nx k x 0 , (13.2.2)
где c
km
– частота свободных незатухающих колебаний;
b
n2m
– приведенный коэффициент сопротивления среды.
Уравнение (13.2.2), как и уравнение свободных незатухающих колебаний (13.1.2), является линейным однородным дифференциальным уравнением вто-рого порядка с постоянными коэффициентами.
Решается оно подстановкой (13.1.3), при этом характеристическое уравне-ние будет
2 2r 2nr k 0 . (13.2.3)
Рис. 13.4
147
Корни характеристического уравнения (13.2.3)
2 21,2r n n k . (13.2.4)
В зависимости от того, каков дискриминант уравнения (13.2.3) 2 2D n k , возможны три вида решения уравнения (13.2.2). 1. Случай большого трения D 0, n k . Корни характеристического уравнения действительные различные. Частные решения уравнения (13.2.2):
t*1knt*
2t*
1knt*1 eex ;eex
,
где 22*1 knk .
Так как решаемое дифференциальное уравнение линейное, то любая линейная комбинация решений *
2*1 x и x будет также решением уравнения (13.2.2). Поэто-
му за частные решения примем следующие выражения: * *
* * 1 1*1 2
1 1
* ** * 1 1
*1 22 1
;2 2
.2 2
k t k tnt nt
k t k tnt nt
x x e ex e e chk t
x x e ex e e shk t
Тогда получим следующее общее решение однородного уравнения: nt * *
1 1 2 2 1 1 2 1x C x C x e ( C chk t C shk t ) . (13.2.5) 2. Граничный случай, когда D 0;n k . Корни характеристического уравнения вещественные, равные. Общее решение
nt1 2x e ( C C t ) . (13.2.6)
3. Случай малого трения D 0;n k . Частные решения
ik t ik t* nt * nt1 11 2x e e ; x e e
,
где 2 21k k n .
Чтобы избавиться от показательных функций мнимого аргумента, используем следующие комбинации решений * *
1 2x и x :
* * 1 11 2
1 1
* * 1 11 2
2 1
cos ;2 2
sin .2 2
ik t ik tnt nt
ik t ik tnt nt
x x e ex e e k t
x x e ex e e k t
i i
Таким образом, в общее решение войдут тригонометрические функции и оно запишется так:
nt1 1 2 1x e ( C cos k t C sin k t ) . (13.2.7)
148
Первые два случая соответствуют апериодическому движению точки. В треть-ем случае решение содержит периодические функции, но благодаря множителю
nte отклонения точки уменьшаются со временем, асимптотически приближаясь к нулю.
Рассмотрим третий случай. Постоянные интегрирования 1С и 2С в выра-жении (13.2.7) найдем из начальных условий:
0 0t 0 t 0x x ; x x
. (13.2.8)
Продифференцировав (13.2.7) по времени, найдем скорость:
nt
1 1 1 2 1 1
nt1 1 2 1
x e ( C k sink t C k cos k t )
ne ( C cos k t C sink t ).
(13.2.9)
Воспользовавшись начальными условиями (13.2.8) и выражениями (13.2.7) и (13.2.9), получаем:
0 1 0 2 1 1t 0 t 0x x С ; x x С k C n
.
Откуда 0 02
1
x nxC
k
.
Общее решение уравнения (13.2.2) в данном случае будет
nt 0 00 1 1
1
x nxx e ( x cos k t sink t )
k
. (13.2.10)
Обозначим
0 00
1
x nxx a sin ; a cos
k
.
Тогда, вместо (13.2.10), получим: nt
1x ae sin( k t ) , (13.2.11)
где 2
2 0 00 2
1
( x nx )a x
k
– начальная амплитуда затухающих колеба-
ний; 0 1
0 0
x k arctg
x nx
– начальная фаза.
График функции (13.2.11), изображенный на рис. 13.5, представляет искаженную сину-соиду, заключенную между двумя экспонента-
ми nta e , характеризующими изменение ам-
плитуды колебаний. Эти кривые асимптотически приближа-
ются к оси t . Периодом T затухающих колебаний ма-
териальной точки называется промежуток вре-мени между двумя последовательными прохо-ждениями точки через положение статического равновесия в одном и том же направлении.
Рис. 13.5
149
Круговая частота 1k и период T затухающих колебаний соответственно равны:
2 21
1
2k k n , T
k
.
Свободные затухающие колебания материальной точки при наличии си-лы сопротивления, пропорциональной скорости, как и свободные колебания без наличия сил сопротивления, являются изохронными. Силы сопротивления вы-зывают уменьшение круговой частоты и увеличение периода T . Наибольшие отклонения движущейся точки от положения равновесия пред-ставляют убывающую геометрическую прогрессию:
Tn( )
n 21 2x ae ; x ae ,...,
поэтому
1T 2n
32 2
1 2
xx 1e ,
x x q
где nTq e – величина, характеризующая быстроту затухающих колебаний, на-зывается декрементом колебаний.
lnq nT – называется логарифмическим декрементом колебаний. Сравним влияние сил сопротивления на частоту колебаний и скорость их
затухания. Пусть n 0,1k . Тогда
2 21k k (0,1k ) 0,995k .
Найдем отношение: 2
0 ,1k0 ,21 k
3
xe e 1,87,
x
то есть 3 1x 0,553x . Таким образом, частота изменилась на 0,5 %, а амплитуда за цикл на
53,3 %. За 10 циклов отклонение будет составлять около 0,002 от первоначаль-ного.
Таким образом, влияние сил сопротивления незначительно на частоту ко-лебаний, и, как правило, может не учитываться.
Напротив, это влияние весьма существенно на скорость затухания колебаний. В заключении этого пункта рассмотрим решения при большом трении. Если n k , то частота 1k становится мнимой.
* 2 21 1k ik i n k .
Общее решение однородного уравнения дается формулой (13.2.5) и может быть получено из решения (13.2.10), если учесть, что
* * * *1 1 1 1cos i k t chk t; sin i k t i shk t .
Следовательно, в данном случае
150
nt * *0 00 1 1*
1
x nxx e x chk t shk t
k
, (13.2.12)
где * 2 21k n k .
При k n , когда *1 1k k 0 , имеем
nt0 0 0x e x ( x nx )t . (13.2.13)
Это решение получается из любого предыдущего в результате предельного пе-рехода.
Рассмотрим, например, выражение (13.2.12). Если *1k 0 , то *
1chk t 0 . * *1 1
* ** *k 0 k 01 11 1
shk t k tlim lim t
k k .
Таким образом, видно, что из (13.2.12) получается выражение (13.2.13). При этом оба решения (13.2.12) и (13.2.13) носят апериодический характер.
13.3. Вынужденные колебания материальной точки при отсутствии силы сопротивления среды
Пусть материальная точка подвешена на пружине (рис. 13.6). При действии силы Q( t ) , меняющейся во времени, происходят вынужденные колебания материальной точки.
В дальнейшем эту силу будем называть возмущающей. Рассмотрим случай, когда возмущающая сила является гар-монической
Q H sin pt , где H – амплитуда возмущающей силы; p – ее частота. Начало координат расположим в положении статического равновесия. Дифференциальное уравнение движения матери-альной точки под действием восстанавливающей си-лы cx stF C( x ) , силы веса P mg и возмущающей силы Q H sin pt будет
mx cx H sin pt . (13.3.1) Разделив (13.3.1) на массу m , получим:
2x k x h sin pt , (13.3.2)
где c
km
– частота свободных незатухающих колебаний;
Hh
m – приведенная амплитуда возмущающей силы.
Уравнение (13.3.2) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка.
Рис. 13.6
151
Общее решение неоднородного уравнения складывается из общего решения 1x , соответствующего однородного уравнения и частного решения 2x неоднород-ного уравнения:
1 2x x x . (13.3.3) Причем здесь 1x , согласно (13.1.7), дается формулой:
1 1 2x C cos kt C sinkt . (13.3.4) Частное решение уравнения (13.3.2) будем искать в виде
2x Asin pt . (13.3.5) После подстановки (13.3.5) в уравнение (13.3.2) будем иметь
2 2Ap Ak h . Откуда
2 2
hA
k p
, (13.3.6)
и, следовательно,
2 2 2
hx sin pt
k p
. (13.3.7)
Таким образом, общее решение уравнения (13.3.2) согласно (13.3.3), (13.3.4) и (13.3.7) имеет вид:
1 2 2 2
hx C cos kt C sinkt sin pt
k p
. (13.3.8)
Найдем решение дифференциального уравнения (13.3.2), соответствующее начальным условиям:
0 0t 0 t 0x x ; x x
. (13.3.9)
Для этого подставим начальные условия в соотношение (13.3.8) и в соотношение
1 2 2 2
hpx C k sin kt C k cos kt cos pt
k p
при t 0 . Тогда найдем
0 1 0 2 2 2
hpx C ; x C k
k p
.
Откуда
02 2 2
x hp C
k k( k p )
.
Подставляя найденные постоянные 1C и 2C в уравнение (13.3.8), получим ки-нематическое уравнение движения точки, соответствующее начальным услови-ям (13.3.9) и действию гармонической возмущающей силы Q H sin pt :
00 2 2 2 2
x hp hx x cos kt sin kt sin kt sin pt
k k( k p ) k p
. (13.3.10)
152
В уравнении (13.3.10) первые два слагаемых характеризуют свободные колеба-ния точки с частотой k , третье – вынужденные колебания точки также с часто-той свободных колебаний k , четвертое – вынужденные колебания с частотой возмущающей силы р. Амплитуда A вынужденных колебаний с частотой воз-мущающей силы р, определяемая формулой (13.3.6), зависит от соотношения частоты собственных колебаний k и частоты возмущающей силы р.
Для анализа этой зависимости представим A в виде
02
AA
1
,
где 2
h HA
Ck – статическое отклонение материальной точки от действия си-
лы H , равной амплитуде возмущающей силы; /p k – отношение частот, называемое коэффициентом расстройки.
Отношение 2
0
A 1
A 1
– называется коэффициентом динамичности. Введем
следующее обозначение для коэффициента динамичности:
0
A
A .
График зависимости представлен на рис. 13.7 пунктиром, сплошной линией показана зави-симость ( ) . Как видно, величина ( ) слева от
точки 1 равна , а справа . То есть при совпадении частоты возмущающей силы с собст-венной частотой колебаний амплитуда вынужден-ных колебаний неограниченно возрастает. При дальнейшем увеличении коэффициента расстройки амплитуда вынужденных колебаний убывает, стремясь к нулю.
Явление, когда частота возмущающей силы совпадает с собственной частотой и при котором отмечается рост амплитуды вынужденных колеба-ний, называется резонансом.
Покажем, что при отсутствии сил сопротивления амплитуда при резонансе возрастает пропорционально времени.
В случае резонанса сумма третьего и четвертого слагаемых в выражении (13.3.10) принимает неопределенное значение и может быть найдена с помо-щью правила Лопиталя:
2 2 22 2
(sin sin )sin sinlim lim cos sin .
2 2( )p k p k
d pp pt ktpt kth hdp kkh h t kt kt
d kk p kk pdp
Рис. 13.7
153
Итак, в случае резонанса при отсутствии сил сопротивления, движение оп-ределяется уравнением
00 2
x h hx x cos kt sinkt t cos kt sinkt
k 2k 2k
. (13.3.11)
В решении (13.3.11) содержится растущий со временем член * h
x t cos kt2k
. (13.3.12)
График зависимости (13.3.12) показан на рис. 13.8.
Как видно, резонанс не сразу развивается во времени. В некоторых случаях его можно избежать быстрым изменением частоты возмущающей силы или собственной частоты.
Возможность возникновения резонанса следует учитывать при проектировании машин, так как резо-нанс способен вызвать разрушения. С другой сторо-ны, резонанс широко используется в радиотехнике как полезное явление.
13.4. Вынужденные колебания материальной точки с учетом силы сопротивления среды
Рассмотрим вынужденные колебания материальной точки под действием гармонической возмущающей силы Q H sin pt , происходящие в среде, в ко-
торой сила сопротивления vF пропорциональна первой степени скорости
vF bv . Тогда дифференциальное уравнение колебаний точки будет:
mx bx cx H sin pt . (13.4.1) Поделив (13.4.1) на m , получим уравнение в стандартной форме:
2x 2nx k x h sin pt , (13.4.2)
где c
km
; b
n2m
; H
hm
.
Уравнение (13.4.2) является неоднородным дифференциальным уравнени-ем второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение складывает-ся из общего решения соответствующего однородного уравнения 1x и частного решения 2x неоднородного уравнения.
Будем рассматривать случай малого трения, когда k n . Общее решение однородного уравнения 1x было получено ранее:
nt1 1 1 2 1x e ( C cos k t C sink t ) , (13.4.3)
где 2 21k k n .
Рис. 13.8
154
Частное решение 2x будем искать в виде: 2 1 2x A sin pt A cos pt , (13.4.4)
где 1 2A , A – некоторые постоянные. Подставляя (13.4.4) в уравнение (13.4.2), получим
2 21 2 1
2 22 1 2
A p sin pt A p cos pt 2nA p cos pt
2nA p sin pt k A sin pt k A cos pt h sin pt.
Приравнивая коэффициенты у одноименных тригонометрических функ-ций, получим:
2 2
1 2
2 21 2
( p k )A 2npA h;
2npA ( p k )A 0.
(13.4.5)
Решая систему (13.4.5), найдем:
2 2
1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h( k p ) 2nphA ; A .
( k p ) 4n p ( k p ) 4n p
(13.4.6)
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения, согласно (13.4.3), (13.4.4) и (13.4.6), таково:
nt1 1 2 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x e ( C cos k t C sin k t )
h( k p ) 2nphsin pt cos pt.
( k p ) 4n p ( k p ) 4n p
(13.4.7)
Найдем скорость: nt
1 1 2 1
nt1 1 1 2 1 1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x ne ( C cos k t C sin k t )
e ( C k sin k t C k cos k t )
hp( k p ) 2np hcos pt sin pt .
( k p ) 4n p ( k p ) 4n p
(13.4.8)
Воспользовавшись начальными условиями
0 0t 0 t 0x x ; x x
,
получим, согласно (13.4.7) и (13.4.8):
0 1 2 2 2 2 2
2 2
0 1 2 1 2 2 2 2 2
2;
( ) 4
( ).
( ) 4
nphx С
k p n p
hp k px nС C k
k p n p
Откуда находим постоянные 1C и 2C :
1 0 2 2 2 2 2
2 2 20 0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1
2;
( ) 4
2 ( ).
[( ) 4 ] [( ) 4 ]
nphС x
k p n p
x nx n ph hp k pC
k k k p n p k k p n p
155
Таким образом, искомое решение будет:
nt 0 00 1 1
1
nt12 2 2 2 2
2 2 2nt
12 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x nxx e ( x cos k t sin k t )
k
2nphe cos k t
( k p ) 4n p
2n ph hp( k p )e sin k t
k [( k p ) 4n p ] k [( k p ) 4n p ]
h( k p ) 2nphsin pt cos pt.
( k p ) 4n p ( k p ) 4n p
(13.4.9)
Как видно, по истечении некоторого промежутка времени, из-за влияния множителя nte , существенную роль в полученном решении (13.4.9) будут иг-рать только два последних слагаемых, то есть частное решение
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 2sin cos .
( ) 4 ( ) 4
h k p nphx pt pt
k p n p k p n p
(13.4.10)
Выражение (13.4.10) описывает чисто вынужденные колебания. Если вве-сти обозначения:
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
h( k p ) 2nphAcos ; A sin
( k p ) 4n p ( k p ) 4n p
,
вместо (13.4.10) получим: 2x = Asin(pt - ) , (13.4.11)
где 2 2 2 2 2
hA
( k p ) 4n p
– (13.4.12)
амплитуда вынужденных колебаний:
2 2 2 2
2 2; arctg ,
np nptg
k p k p
(13.4.13)
– сдвиг фазы между перемещением и возму-щающей силой при чисто вынужденных колебаниях.
Исследуем амплитуду вынужденных колеба-ний, определяемую формулой (13.4.12) (рис. 13.9).
Разделив числитель и знаменатель на 2k , получим:
0
2 2 2 2
AA ,
(1 ) 4
(13.4.14)
где 0 2
h HA
ck – статическая деформация пру-
жины от действия силы H , равной амплитуде Рис. 13.9
υ
υ
υ
υ
= 0
=0,1
=0,25
= 0,5
4
3
2
1
1,510,50
156
возмущающей силы; p
k – расстройка;
n=
k – коэффициент, характери-
зующей действие сил сопротивления. Величина , равная отношению 0A / A
2 2 2 2
1
( 1 ) 4
, (13.4.15)
называется коэффициентом динамичности. Выясним, при каких значениях коэффициент динамичности будет иметь
максимум и минимум. Для этого исследуем зависимость 2 2 2 2f ( ) (1 ) 4 на экстремум.
При maxf ( ) получим min и наоборот, при minf ( ) получим max . Найдем производную f ( ) и приравняем ее к нулю:
2 22(1 )( 2 ) 8 0 .
Корни этого уравнения 21 20; 1 2 .
При малом сопротивлении среды, когда 2n k , – вещественная величина. Найдем вторую производную:
2 2f ( ) 4(1 3 ) 8 .
При 1 , 2
1f ( ) 4( 2 1) 0;
При 2 , 2 2 22f ( ) 4 1 3(1 2 ) 8 8(1 2 ) 0.
Таким образом, при 1 , f ( ) имеет максимум, а при 2 – мини-мум.
Следовательно, у коэффициента динамичности первая точка 1 0 –
минимум, а вторая точка 22 1 2 – максимум.
В начале амплитуда вынужденных колебаний возрастает, а потом падает. Ее максимум смещен от резонанса в сторону низких частот. При значениях
2 0 , когда 2 / 2 , максимум у коэффициента динамичности исчезает и с увеличением частоты возмущающей силы p коэффициент динамичности будет монотонно убывать.
Рассмотрим изменение сдвига по фазе между вынужденными колеба-ниями и возмущающей силой в зависимости от частоты вынужденных колеба-ний.
Перепишем формулу для сдвига фазы (13.4.13) в виде
2 2 2
2np 2arctg arctg
k p 1
.
При значении расстройки 1 имеем tg , следовательно, / 2 . То есть при резонансе сдвиг фаз равен / 2 ; при 0 и , независимо от v имеем (0 ) 0 ; ( ) .
157
Найдем производную
22 2
2 2 2
d 2v(1 )2 (1 )
d (1 ) (2 )
,(13.4.16)
где – коэффициент динамичности, опреде-ляемый формулой (13.4.15).
Согласно формуле (13.4.16), производная
d
d положительна при любых значениях .
Поэтому монотонно возрастает от нуля до , приобретая значение / 2 при 1
(рис. 13.10). При 0, – разрывная функ-ция, имеющая значения 0 при 1 , при 1 .
13.5. Вынужденные колебания материальной точки под действием периодической возмущающей силы общего вида
Пусть на материальную точку, колеблющуюся в среде с силой сопротив-ления vF bv , действует произвольная периодическая возмущающая сила, имеющая период T :
Q( t T ) Q( t ). (13.5.1) Разложим силу Q( t ) в ряд Фурье:
0j j
j 1
aQ( t ) m ( a cos j t b sin j t )
2
, (13.5.2)
где m – масса точки; 2
j
0
2
j
0
a Q( t )cos j tdt , j 0, ,m
b Q( t )sin j tdt , j 1, ,m
2.
T
Обозначим j j j j j ja h sin ; b h cos .
Тогда ряд (13.5.2) перепишется в виде:
0 j jj 1
Q( t ) m h h sin( j t )
, (13.5.3)
Рис.13.10
υ
υ
υ
ν=0,2
ν=0,1
ν=0
158
где j2 200 j j j j
j
aah ;h a b ; arctg
2 b .
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки под действием возмущающей силы, определяемой рядом (13.5.3), будет:
20 j j
j 1
x 2nx k x h h sin( j t )
. (13.5.4)
Рассмотрим чисто вынужденную составляющую решения уравнения (13.5.4), которую будем искать также в виде ряда Фурье:
0 j j jj 1
x x x sin( j t ).
(13.5.5)
После подстановки (13.5.5) в уравнение (13.5.4) получим: 2
0 0k x h ; (13.5.6)
2 2j j j j
j 1
2j j j j j
j 1
j sin( j t ) 2nj cos( j t )
k sin( j t ) x h sin( j t ).
(13.5.7)
Обозначив j j jj t , перепишем (13.5.7) в виде:
2 2 2j j j j
j 1
j j j j jj 1
( j sin 2nj cos k sin )x
h (sin cos cos sin ).
Приравнивая коэффициенты у одноименных тригонометрических функций уг-ла j , получаем:
2 2 2j j j
j j j
( j k )x h cos ;
2nj x h sin .
Откуда находим
jj j 2 2 22 2 2 2 2 2 2
h 2njx ; arctg .
k j( k j ) 4n j
(13.5.8)
Таким образом, искомое решение, согласно (13.5.6) и (13.5.8), будет
j0j j2 2 2 2 2 2 2 2
j 1
hhx sin( j t ).
k ( k j ) 4n j
(13.5.9)
Если осуществляется одно из условий: j k , j 1, ,
то, как следует из выражения (13.5.9), имеет место резонанс первого, второго или высшего порядков.
159
Исследование действия произвольной периодической возмущающей силы не содержит принципиальных трудностей, если возмущающая сила Q( t ) не имеет разрывов, когда ухудшается сходимость ряда (13.5.2).
13.6. Вынужденные колебания под действием произвольной возмущающей силы
Рассмотрим вначале свободные затухающие колебания материальной точ-ки под действием единичного импульса
1xmmv 00 ,
где m – масса точки; 00 xv – начальная скорость.
Для этого следует рассмотреть решение однородного уравнения
0xkxn2x 2 , при следующих начальных условиях:
m
1xx ;0xx 00t00t
.
Это решение согласно (13.2.10) имеет вид
nt1
1
1e sink t
mk , (13.6.1)
где 2 21k k n .
Функция называется реакцией на единичный импульс. Если последний на-
кладывается не в момент времени t 0 , а при t , то в выражении (13.6.1) на-до заменить t на ( t ) .
n( t )1
1
1( t ) e sin k ( t ); t ;
mk
( t ) 0; t .
(13.6.2)
Действие произвольной силы H( t ) в промежутке времени (0,t ) можно пред-
ставить как последовательное приложение импульсов бесконечно малой вели-чины H( )d . Каждый такой импульс вызывает движение, определяемое вы-
ражением H( ) ( t )d ,
а окончательное движение, согласно принципу независимости действия сил или принципу суперпозиции, определится интегралом:
t t* n( t )
110 0
1x ( t ) H( ) ( t )d H( )e sin k ( t )d .
mk (13.6.3)
Для того, чтобы учесть влияние начальных условий, наложим на решение (13.6.3) свободные колебания, возникающие за счет начального отклонения 0x
и начальной скорости 0x :
160
nt 0 00 1 1
1
tn( t )
11 0
x nxx( t ) e ( x cos k t sink t )
k
1H( )e sink ( t )d .
mk
(13.6.4)
Отметим, что если сделать замену переменных 1t , то выражение (13.6.3)
перепишется в виде:
1
0n*
1 1 1 11 t
tn
11 0
1x ( t ) H( t )e sin k d
mk
1H( t )e sin k d .
mk
Рассмотрим действие на систему возмущающей силы в виде ступенчатой функции:
1; 0;H( )
0; 0,
при 0 0x 0; x 0 .
Это означает, что следует найти интеграл
t tn( t ) n
1 11 10 0
nt nt1 1 1 12 2
1 11
1 1x e sin k ( t )d e sin k d
mk mk
1 n 1 n1 e (cos k t sin k t ) 1 e (cos k t sin k t ) .
k c km( k n )
13.7. Комплексная форма решения задачи о вынужденных колебаниях материальной точки при произвольном периодическом возмущающем
воздействии. Передаточная функция
Пусть произвольная периодическая нагрузка представлена в виде ряда Фу-рье (13.5.2). Воспользуемся формулами Эйлера:
ix ix ix ix1 1sin x ( e e ); cos x ( e e )
2i 2
и заменим с их помощью в ряде (13.5.2) тригонометрические функции на пока-зательные от мнимого аргумента. Тогда вместо ряда (13.5.2) получим следую-щее выражение
ij tj
j
Q( t ) C e ,
(13.7.1)
161
где
2
ij tj
0
C Q( t )e dt2
. (13.7.2)
В выражении (13.7.1) каждому положительному j , например j n , соот-
ветствует j n , при этом члены i n tnC e и i n t
nC e являются комплексными
сопряженными, поэтому их сумма оказывается вещественным числом. Это со-ответствует тому, что возмущающая сила Q( t ) – вещественна.
Ограничимся рассмотрением установившегося режима чисто вынужден-ных колебаний, когда переходный процесс, обусловленный начальными усло-виями, закончился.
Рассмотрим единичную комплексную нагрузку
i tQ( t ) e . (13.7.3)
Согласно уравнению i tmx bx cx e ,
полагая i tx W( i )e ,
получим
2( m i b c )W( i ) 1. (13.7.4)
Из (13.7.4) следует, что
2
1W( i ) .
m i b c
(13.7.5)
Зависимость W( i ) называется передаточной функцией. Из выражения (13.7.5)
видно, что W( i ) является комплексно-сопряженным с W( i ) . Поэтому в со-
ответствии с принципом суперпозиции установившаяся реакция рассматривае-мой системы на периодическое воздействие в комплексной форме записывается следующим образом:
ij tj
j
x W( ij )C e
. (13.7.6)
Решение (13.7.6) также является вещественным числом, так как W( ij ) и
W( ij ) – комплексные сопряженные. При этом оно совпадает с решением
(13.5.9), однако выгодно отличается от последнего простотой записи.
13.8. Некоторые свойства передаточной функции
Для дальнейшего передаточную функцию системы с одной степенью сво-боды (13.7.5) перепишем в виде
2 2
2 1
kW( i )
T i T 1
, (13.8.1)
162
22 12
1
1 m bT ; T ;
c c
1k
c – статическая податливость;
1 2T ,T – постоянные времени.
Отделим вещественную и мнимую части в выражении (13.8.1): W( i ) ReW( i ) i ImW( i ) , (13.8.2)
где 2 2
22 2 2 2
2 1
k(1 T )ReW( i )
(1 T ) T
; (13.8.3)
12 2 2 2
2 1
kTImW( i )
(1 T ) T
. (13.8.4)
Если нанести в комплексной плоскости точки вектора (13.8.2), то получим кривую (рис. 13.11), которая называется амплитуд-но-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ). Она начинается со значения ReW( i ) k , ImW( i ) 0 .
Величина 1max означает частоту, при
которой вещественная часть характеристики приобретает максимальное значение. Вели-чина 1 – резонансная частота, когда мни-
мая часть АФЧХ приобретает максимальное (отрицательное) значение. Кривая на рис.
13.11 может быть снята экспериментально. Для этого при гармоническом сило-вом воздействии Q( t ) sin t измеряется амплитуда перемещения
x( t ) Asin( t ) и сдвиг фаз между силовым воздействием и перемеще-
нием. Затем откладывается амплитуда A под углом к вещественной оси, как
показано на рис. 13.11. По экспериментальной АФЧХ легко находятся постоянные времени 1 2T ,T
и величина статической податливости k , которая в данном случае может быть еще названа коэффициентом усиления. Оказывается, что данная кривая облада-ет замечательными свойствами и может служить средством для исследования рассеяния энергии, а также для приближенного моделирования сложных меха-нических систем в виде системы с одной степенью свободы.
Исследуем ReW( i ) на экстремум. Для этого найдем производную
d ReW( i )
d
и приравняем ее к нулю при 1max :
Рис. 13.11
163
2 22
2 2 2 2 22 1
k(1 T )d ReW( ) d
d d (1 T ) T
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 1 2 2 2 1
22 2 2 2 22 1
2T (1 T ) T (1 T ) 2(1 T )( 2T ) 2Tk
(1 T ) T
.
Рассмотрим числитель этого выражения: 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3
2 2 1 2 1 1 21max
( 1 T ) T T T T T T 0 .
После несложных преобразований получим:
2 2 2 2 22 2 1
1max
(1 T ) T T 0
Учитывая, что 2 1T 1 / , находим
2
2 2 1max12 1max 2
2 1
T1 T 1
T
. (13.8.5)
Величина 2 1T 1 / определяется по максимальному отрицательному значению
ImW( i ) . После чего нетрудно найти 1T b / с . И, наконец, определив макси-
мальную амплитуду А, можно найти
1
2
Tk A
T , (13.8.6)
где 1A ImW( i ) .
164
14. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
14.1. Общие теоремы динамики как методы исследования механического движения
Полное исследование механического движения системы материальных то-чек сопряжено, как правило, со значительными трудностями, связанными с ин-тегрированием дифференциальных уравнений движения и нахождением внут-ренних сил. В ряде случаев эти трудности оказываются непреодолимыми даже при условии применения современных вычислительных машин. Однако суще-ствует класс разнообразных задач динамики, при решении которых полная ин-формация о движении не требуется и не нужно решать динамические уравне-ния. К числу подобных задач относятся задачи, когда достаточно определить суммарные меры механического движения системы: количество движения, мо-мент количества движения, кинетическую энергию в зависимости от главного вектора и главного момента внешних сил или работы сил, действующих в системе.
Соотношения между суммарными мерами движения системы материаль-ных точек и суммарными воздействиями сил, приложенных к точкам системы, даются общими теоремами динамики систем материальных точек. При этом использование общих теорем в конкретных случаях приводит к решению вы-шеуказанных задач, и в этом состоит их методологическое значение. Общие теоремы динамики являются следствием дифференциальных уравнений движе-ния и могут быть сформулированы как в дифференциальной, так и в интеграль-ной формах.
К числу общих теорем динамики относятся: теорема об изменении количе-ства движения и ее частный случай, теорема о движении центра масс, теорема об изменении момента количества движения и теорема об изменении кинетиче-ской энергии.
Как известно, внутренние силы не в состоянии изменять такие характери-стики механического движения, как количество движения и момент количества движения, в то время как они могут существенно влиять на величину кинетиче-ской энергии. С этой точки зрения кинетическая энергия является более общей мерой механического движения, более полно отражающей его свойства.
Понятие энергии вводится для описания механических и электрических явлений, явлений микромира и может быть использовано для установления свя-зи между явлениями различной физической природы, например, тепловых, ядерных и механических процессов.
Остановимся подробнее на понятиях двух основных мер движения: коли-чества движения и кинетической энергии.
Количеством движения материальной точки называется вектор, рав-ный произведению массы точки на ее скорость:
i i iK m v . (14.1.1) Количеством движения системы материальных точек называется
векторная сумма количеств движения всех ее точек:
165
N N
i i ii 1 i 1
K K m v .
(14.1.2)
Суммарное количество движения системы K может быть представлено как произведение массы системы на скорость ее центра масс.
Понятие центра масс аналогично понятию центра параллельных сил. Центром масс или центром инерции системы называется центр парал-
лельных сил i iF m a, i 1,N , сообщающих всем точкам движение с одинако-выми ускорениями.
Поэтому для центра масс cr имеем следующую формулу: N N N
i i i i i ii 1 i 1 i 1
c N N N
i i ii 1 i 1 i 1
F r a m r m rr
F a m m
.
Здесь N
ii 1
m m
является массой системы, следовательно,
N
i ii 1
c
m rr .
m
(14.1.3)
Понятие центра масс или центра инерции является более общим, чем поня-тие центра тяжести, так как свободно от требования о параллельности сил тя-жести.
Возьмем производную от обеих частей равенства (14.1.3) N
c i ii 1
mr m r
.
Но здесь c cr v – скорость центра масс системы, а N N
i i i ii 1 i 1
m r m v K
– ее ко-
личество движения, то есть cK mv . (14.1.4)
Кинетической энергией материальной точки называется скалярная вели-чина, равная половине произведения массы точки на квадрат модуля ее скорости:
2i i i
1T m v .
2 (14.1.5)
Кинетической энергией системы материальных точек называется сумма кинетических энергий всех точек:
2N N
i ii
i 1 i 1
m vT T .
2
(14.1.6)
Следует заметить, что формулу (14.1.5) можно записать как скалярное произведение:
166
i i i i i i
1 1T ( m v )v K v ,
2 2 (14.1.7)
где iK – количество движения материальной точки. Следовательно, и формула (14.1.6) перепишется так:
N
i ii 1
1T K v .
2
(14.1.8)
Формулы (14.1.7) и (14.1.8) показывают, что кинетическая энергия и количест-во движения как меры механического движения не противоречат, а взаимно до-полняют одна другую.
14.2. Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме
Дифференциальные уравнения движения свободной или несвободной сис-тем материальных точек согласно второму закону Ньютона могут быть записа-ны в виде:
i ii i
d( m v )F R , i 1,N ,
dt (14.2.1)
где iF – равнодействующая внешних сил, приложенных к i-й точке; iR – равно-действующая внутренних сил, приложенных к i-й точке.
В случае несвободной системы уравнения (14.2.1) являются также следст-вием применения принципа освобождаемости от связей. Суть этого принципа в том, что состояние покоя или движения несвободной системы материаль-ных точек не нарушится, если ее освободить от наложенных связей, а их действие заменить реакциями. В результате формально несвободную систему можно рассматривать как свободную, дополнив, однако, уравнения (14.2.1) уравнениями связей.
Суммируя уравнения (14.2.1), получим:
N N
i i ii 1 i 1
dm v F .
dt
(14.2.2)
Главный вектор внутренних сил, будь то силы взаимодействия между точками или реакции связей, для системы в целом, согласно третьему закону Ньютона, равен нулю
N
ii 1
R 0.
Главный вектор внешних сил F по определению: N
ii 1
F F
.
Так как количество движения системы N
i ii 1
K m v
,
то из (14.2.2) получаем следующее соотношение:
167
dK
F.dt
(14.2.3)
Таким образом, справедлива теорема: Первая производная по времени от количества движения системы
материальных точек равна главному вектору внешних сил. Это теорема об изменении количества движения в дифференциальной
форме. Из этой теоремы следует, что внутренние силы не могут изменить количе-
ства движения. Изменение количества движения системы вызывается только внешними силами.
Если главный вектор внешних сил равен нулю, то количество движения
системы будет постоянно, то есть, если F 0 , то согласно (14.2.3) dK
0dt
и,
следовательно, K const . (14.2.4)
Условие (14.2.4) означает, что вектор K является неизменным как по ве-личине, так и по направлению.
Рассмотрим ряд примеров. Пример 1. На корме находящейся в
покое баржи установлен автомобиль. В некоторый момент времени автомобиль начал перемещаться по палубе, направля-ясь к носу баржи. Пренебрегая сопротив-лением воды движению баржи, опреде-лить ее скорость v в зависимости от ско-рости автомобиля u относительно баржи. Масса баржи равна 1m , а масса автомоби-ля 2m (рис. 14.1).
На рассматриваемую систему действуют вертикальные силы: вес баржи
1 1P m g , вес автомобиля 2 2P m g и архимедова сила G . Сила сопротивления
vF 0 . В данном случае, поскольку проекции сил на ось x равны нулю, то проек-
ция количества движения на эту ось сохраняет постоянное значение, равное на-чальному:
x x0K K const . Если считать, что при t 0 система находилась в покое, то есть v 0,u 0 ,
тогда x0K 0 . Полагая, что баржа движется в сторону, противоположную дви-жению автомобиля, получим
x 1 2K m v m ( u v ) 0 .
Откуда 2
1 2
mv u
m m
.
Рис. 14.1
168
Из последней формулы видно, что как только остановится автомобиль, то сразу же остановится и баржа. Разумеется допущение, что vF 0 в данном слу-чае не оправдано.
Пример 2. Пусть на корпус бар-жи действует сила сопротивления
vF , пропорциональная скорости, а автомобиль перемещается по закону, изображенному на рис. 14.2. Для простоты будем считать, что разо-гнавшись с постоянным ускорением до величины скорости 0u , автомо-биль по такому же закону тормозит до полной остановки.
Сила сопротивления воды
vF bv , где b – коэффициент сопротивления, направлена в сторону, противо-положную скорости баржи v . Количество движения в проекции на ось x было установлено в предыдущей задаче:
x 1 2 2K ( m m )v m u .
Согласно теореме об изменении количества движения xx
dKF
dt получаем:
1 2 2
dv du( m m ) m bv
dt dt ,
или dv
kv f ( t )dt
, где 1 2
bk
m m
.
На первом этапе движения du
tgdt
.
Тогда 2 2
1 2 1 2
m mdutg a
m m dt m m
.
На втором этапе имеем du
tgdt
, поэтому f ( t ) a .
Следовательно, на первом этапе уравнение движения будет: dv
kv a, a t T / 2dt
.
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение таково:
kt1
av C e
k .
Постоянную 1C найдем из начальных условий t 0
v 0 :
1
a0 C
k .
Рис. 14.2
169
Откуда 1
aC
k . После чего получаем
ktav (1 e ), 0 t T / 2
k .
При t T / 2 скорость будет kT / 2
1
av (1 e )
k .
Это значение скорости будет начальным условием для второго промежутка T / 2 t T . На втором этапе дифференциальное уравнение движения уже будет иметь вид:
dvkv a, T / 2 t T
dt .
Его общее решение kt
2
av C e
k .
Учитывая начальное условие kT / 2 kT / 2
1 2
a av (1 e ) C e
k k ,
получим выражение для 2C :
kT / 2 kT / 2 kT / 22
a aC ( 2 e )e ( 2e 1)
k k ,
откуда k( T / 2 t ) kta
v 2e e 1 , T / 2 t Tk
.
При t T скорость будет kT / 2 kT
2
av ( 2e e 1)
k .
В этот момент происходит остановка автомобиля. После остановки автомобиля дифференциальное уравнение движения уже будет
dvkv 0, T t
dt .
Его решение kt3v C e .
Постоянную интегрирования 3C найдем из начального условия 2t Tv v
,
или kT2 3v C e .
Откуда kT3 2C v e
и, следовательно, k( T t )2v v e , T t .
Как видно, скорость с течением времени будет асимптотически стремиться к нулю. При этом 2v может оказаться и отрицательной, то есть при определен-ных условиях автомобиль и баржа могут двигаться в одном направлении.
170
14.3. Теорема о движении центра масс
Центр масс или центр инерции системы определяется с помощью формулы (14.1.3), а количество движения по формуле (14.1.4)
cK mv , где m – масса системы; cv – скорость центра масс. Воспользуемся дифференциальной формой теоремы об изменении количества движения (14.2.3)
dKF
dt ,
и подставим в нее выражение (14.1.4)
cdvm F
dt .
Но cc
dva
dt – ускорение центра масс. Следовательно,
cma F . (14.3.1) В результате можно сформулировать теорему:
Центр масс системы материальных точек движется как свободная материальная точка с массой, равной массе системы, под действием силы, равной главному вектору внешних сил, приложенных к точкам системы.
Согласно теореме о движении центра масс, если F 0 , то cv const при
cv 0, cr const . Эти соотношения выражают законы сохранения скорости и положения центра масс.
Пример 1. Тело А и тело В нахо-дятся на горизонтальной плоскости. Массы тел 1m и 2m соответственно. Тело А въезжает на неподвижное тело со скоростью 0v . Длина основания те-ла В равна L . Определить перемеще-ние тела В за время взаимодействия тел, трением пренебречь (рис. 14.3).
Здесь возможны два случая: тело А, поднявшись на некоторую высоту, скатывается обратно, и когда тело А перекатывается через тело В.
Прежде всего найдем скорость центра масс системы cv . Количество дви-жения системы неизменно и равно 1 0 1 2 cm v ( m m )v , где cv скорость центра масс.
Следовательно, 1 0c
1 2
m vv
m m
.
Рассмотрим случай, когда тело А скатывается обратно. В момент касания, при начале взаимодействия и в момент скатывания, ко-
гда тело А вновь находится на плоскости, тела друг относительно друга зани-
Рис. 14.3
171
мают одинаковые положения. Поэтому можно считать, что оба тела прошли за время взаимодействия расстояние, пройденное центром масс cS .
Следовательно, тело В пройдет расстояние S , равное cS :
1 0c
1 2
m vS S t
m m
,
где t – время взаимодействия. Если же тело А перекатится через
тело В, то имеет место взаимное распо-ложение, показанное на рис. 14.4.
Путь, пройденный центром масс, одинаков как в первом, так и во втором случае:
1 0c
1 2
m vS t
m m
.
Рассмотрим инерциальную систему, которая движется со скоростью цен-тра масс. В этой системе положение центра масс неизменно, то есть
1 1 2 2 1 1 2 2c
1 2 1 2
m x m x m ( x L ) m ( x )x const
m m m m
,
где 1 2x ,x – исходные координаты тел А и В; – относительное смещение тела В после окончания взаимодействия.
Откуда: 1
1 2
Lm
m m
.
Суммарное перемещение тела В состоит из переносного перемещения цен-тра масс cS и относительного смещения . Следовательно,
1c 0
1 2
mS S ( v t L )
m m
.
Пример 2. На гладком горизонтальном фунда-
менте установлен электромотор весом 1P (рис. 14.5). На валу мотора под прямым углом к оси вращения закреплен одно-родный стержень длиной 2l и весом 2P , на конце которого насажен конечный груз весом 3P . Вал вращается равномерно с угловой скоростью . Определить: 1. Уравнение горизонтального движе-
ния мотора, поставленного на фунда-мент свободно.
2. Наибольшее горизонтальное давле-ние на болты, если электромотор
Рис. 14.4
Рис. 14.5
172
прикреплен ими к фундаменту. 3. Вертикальную реакцию.
Если мотор поставлен на фундамент свободно, то на систему действуют внешние силы 1P , 2P , 3P и реакция опорной плоскости N . Допустим, что в на-чальный момент угол 0 . Проекция главного вектора внешних сил на ось x равна нулю, поэтому
Cx const . Если в начальный момент центр масс системы находится на оси y , то
Cx 0 . Так как координата Cx постоянна, то при смещении центра масс стерж-ня и груза влево от оси y центр масс мотора смещается вправо и наоборот. Координата центра масс системы в любой момент времени:
1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 3 1C
m x m x m x m x m ( l sin x ) m ( 2l sin x )x 0
m m
,
где 1 2 3x ,x ,x – координаты центра масс мотора, стержня и груза; здесь Cx 0 ; 1 2 3m m m m – масса системы; t .
Откуда 2 31
m 2mx l sin t
m
.
Следовательно, мотор совершает гармонические колебания с амплитудой
2 3m 2m
lm
.
Если мотор прикреплен к фундаменту болтами, как это показано на рис. 14.5, то 1x 0 . Центр масс системы перемещается по окружности и, следова-тельно, меняются его координаты Cx и Cy . При этом движется центр масс под
действием реакций xF и yF .
Определим координату Cx в любой момент времени t :
1 1 2 2 3 3 2 3C
m x m x m x m 2mx l sin t
m m
.
Найдем 22 3C
m 2mx l sin t
m
.
Согласно теореме о движении центра масс,
xmx F ,
поэтому 2x 2 3F ( m 2m )l sin t .
Найдем вертикальную реакцию. Координата Cy центра масс:
1 1 2 2 3 3C
m y m y m yy
m
.
Здесь 1 2 3y 0; y l cos ; y 2l cos . Следовательно,
2 3C
m 2my l cos t
m
.
173
Найдем 22 3C
m 2my l cos t
m
.
Согласно теореме о движении центра масс,
C ymy F .
Поэтому, 2y C 2 3F N mg my ( m 2m )l cos t .
Следовательно, 2
2 3N mg ( m 2m )l cos t . Максимальное значение N будет:
2 2max 2 3N mg ( m 2m )l ;
минимальное – 2 2
min 2 3N mg ( m 2m )l .
14.4. Теорема об изменении количества движения в интегральной форме
Теорему об изменении количества движения в интегральной форме иногда называют теоремой импульсов. Рассмотрим теорему об изменении количества движения в дифференциальной форме
dKF
dt ,
где N
i ii 1
K m v
– количество движения системы;
N
ii 1
F F
– главный вектор внешних сил.
Проинтегрируем обе части вышеприведенного основного соотношения по вре-мени в пределах 1 2( t ,t ) . Тогда получим:
2 2
1 1
t t N
ii 1t t
dKdt F dt.
dt
(14.4.1)
Величина iF dt – элементарный импульс силы iF .
Интеграл 2
1
t
i i
t
F dt S – называется импульсом силы iF .
Сумма импульсов 2 2
1 1
t tN N
i ii 1 i 1t t
S F dt Fdt S
– называется главным импульсом
внешних сил. Следовательно, уравнение (14.4.1) можно переписать так:
2 1K( t ) K( t ) S . (14.4.2)
Здесь 2 1K( t ) K( t ) K – представляет собой изменение количества движе-ния за промежуток времени 1 2( t ,t ) .
174
Равенство (14.4.2) представляет собой математическое выражение теоремы об изменении количества движения в интегральной форме или теоремы импульсов.
Приращение количества движения системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно главному импульсу внешних сил, приложенных к системе.
Рассмотрим пример. Материальная точка массой m , получив на-чальную скорость 0v , поднимается по шеро-ховатой наклонной плоскости с коэффициен-том трения f , наклоненной к горизонту под углом (рис. 14.6).
Найти время подъема точки до полной остановки.
Для решения этой задачи нет необходи-мости составлять и интегрировать дифферен-циальные уравнения движения. Здесь целесо-образно воспользоваться теоремой импуль-сов. Направим ось x по наклонной плоско-сти.
На точку действует сила веса P mg , сила трения F fP cos и реакция плоскости N P cos .
Проекция равнодействующей силы на эту плоскость
xF mg(sin f cos ) . Следовательно, проекция импульса равнодействующей силы на ось x
будет
x xS F t , где t – время подъема точки до полной остановки. Согласно (14.2.2) имеем:
x x0 xm( v v ) S , где x x0 0v 0; v v . Откуда следует
0mv mg(sin f cos )t ,
0vt
g(sin f cos )
.
14.5. Динамика точки переменной массы
Основоположником динамики точки переменной массы является И. В. Мещерский (1859–1935) – профессор механики С.-Петербургского поли-технического института. Его сочинение под названием «Динамика точки пере-менной массы» было опубликовано в 1897 г. и является основой ракетной техники.
Рис. Рис. 14.6
177
15. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА) СИСТЕМЫ
МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
15.1. Понятие о моменте количества движения материальной точки и системы материальных точек
В механике большое значение имеет понятие момента количества движения.
Моментом количества движе-ния K mv материальной точки относительно центра О называет-ся векторное произведение радиуса вектора материальной точки на ее количество движения (рис. 15.1).
0L r K r mv . (15.1.1) Проекции вектора момента ко-
личества движения (15.1.1) на оси координат найдутся из соотношения
0 z y
x y z
x z y x
0 x 0 y 0 z
i j k
L r mv m x y z m( yv zv )i
v v v
m( zv xv ) j m( xv yv )k
L i L j L k .
Следовательно,
0 x z y
0 y x z
0 z y x
L m( yv zv );
L m( zv xv );
L ( xv yv ).
(15.1.2)
Понятие момента количества движения аналогично понятию момента силы. Ранее момент силы F относительно точки О был определен как вектор-ное произведение радиус-вектора r точки приложения силы и вектора силы F :
0M r F . Аналогично понятию момента силы относительно оси введем понятие мо-
мента количества движения материальной точки относительно оси. Моментом количества движения материальной точки относительно оси на-
зывается проекция момента количества движения относительно любой точки, взятой на оси, на эту ось. Следовательно, момент количества движения точки относительно оси можно искать по формулам (15.1.2).
В ряде случаев для вычисления момента количества движения относитель-но оси, можно в любой точке оси провести плоскость, перпендикулярную к ней,
Рис. 15.1 О
178
спроектировать на эту плоскость количество движения материальной точки и составить произведение модуля полученной проекции на ее расстояние до точ-ки пересечения оси с плоскостью.
Знак берется так же, как и в случае вычисления момента силы относитель-но оси. То есть, если глядя со стороны положительного направления оси мы видим вращающее действие проекции количества движения против часовой стрелки, то это положительная величина. В противном случае – отрицательная.
Моментом количества движения материальной системы относительно цен-тра О будем называть геометрическую сумму моментов количества движения отдельных точек относительно того же центра:
N N
0 0i i i ii 1 i 1
L L r m v
.
Соответствующие моменты количества движения относительно коорди-натных осей будут:
N N
x xi i i zi i yii 1 i 1
N N
y yi i i xi i zii 1 i 1
N N
z zi i i yi i xii 1 i 1
L L m ( y v z v );
L L m ( z v x v );
L L m ( x v y v ).
15.2. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки
Дифференцируя момент количества движения материальной точки
0L r mv по времени, найдем
0dL dr d( mv )mv r
dt dt dt . (15.2.1)
В формуле (15.2.1) первое слагаемое равно нулю, так как сомножители па-раллельны:
drmv v mv 0
dt .
Во втором слагаемом, согласно второму закону Ньютона, d( mv )
Fdt
,
где F – равнодействующая сила, приложенная к точке. Поэтому второе слагаемое представляет собой момент силы F относи-
тельно центра О:
0
d( mv )r r F M ( F )
dt .
Следовательно, вместо (15.2.1) можно написать
179
00
dLM ( F )
dt . (15.2.2)
Равенство (15.2.2) представляет собой математическое выражение теоремы об изменении момента количества движения материальной точки.
Первая производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна моменту равнодействующей силы, приложенной к этой точке относительно того же центра.
Пример 1. Математический маятник. Математический маятник – это тяжелый груз малых размеров, подвешен-
ный с помощью нерастяжимой нити к неподвижной опоре. В случае отклоне-ния от положения равновесия, представленный сам себе груз принуждается си-лой тяжести совершать колебания по дуге окружности, радиус которой равен длине подвеса.
Совместим плоскость движения гру-за с плоскостью чертежа (рис. 15.2).
На рис 15.2 m – масса груза; l – длина подвеса; – угол отклонения под-
веса; T – сила натяжения нити; l sin –
плечо силы веса P по отношению к точке подвеса О.
Воспользуемся теоремой об измене-нии количества движения. Если движение происходит в плоскости чертежа, то
00
dLM ( Р )
dt , (15.2.3)
где 0M ( Р ) – момент силы веса относительно точки подвеса. Сила натяжения нити
T момент не создает, так как проходит через точку О. Скорость точки выражается через производную от угла :
v l . Поэтому
20L lmv ml ,
а 20dL
mldt
.
Момент силы веса относительно точки О будет
0M mgl sin . Подставляя соответствующие величины в исходное равенство (15.2.3),
получим 2ml mgl sin ,
или
Рис. 15.2
О
m
180
gsin 0
l . (15.2.4)
Уравнение (15.2.4) пригодно для описания больших колебаний маятника. Если ограничиться рассмотрением малых колебаний, то в ряду для
3 5
sin ...3! 5!
следует сохранить один член. То есть при малых полагаем sin . Тогда уравнение малых колебаний математического маятника будет
g0
l . (15.2.5)
Следовательно, частоты малых колебаний g
kl
,
а период колебаний l
T 2g
.
Решение уравнения (15.2.5) известно:
00 cos kt sin kt
k
,
где 0 и 0 – начальное отклонение от положения равновесия и начальная уг-ловая скорость подвеса.
Частота малых колебаний математического маятника не зависит от на-чальных условий, следовательно, они изохронны.
Пример 2. Движение в поле центральной силы. Центральной силой может быть, например, сила тяготения. Выражение для
центральной силы запишем в виде (рис. 15.3)
rFF r
r , (15.2.6)
где rF – проекция силы на радиус-вектор r ; r – модуль радиус-вектора.
То есть r
r – единичный вектор на-
правления r . Если сила F является силой тяготения, то rF отрицательно.
Согласно теореме об изменении мо-мента количества движения, учитывая (15.2.6), имеем
0 rdL Fr F r r 0
dt r .
Следовательно,
Рис. 15.3
О
181
0L const , поэтому
0
drL r mv mr const
dt . (15.2.7)
Векторное произведение r dr в (15.2.7) представляет удвоенную пло-щадь dS , описанную радиус-вектором r за время dt , то есть
21 1dS r dr r d
2 2 .
Производная dS
dt есть так называемая секторная скорость точки, представ-
ляющая собой площадь, охватываемую радиус-вектором в единицу времени. Таким образом,
2 0LdS 1r const
dt 2 2m .
Следовательно, при движении точки в поле центральной силы площадь, охватываемая радиус-вектором, пропорциональна времени.
00
LS t S
2m .
Это закон площадей. Применительно к движению планет – это второй за-кон Кеплера.
15.3. Теорема об изменении момента количества движения системы материальных точек
Рассмотрим несвободную систему материальных точек. Если воспользо-ваться принципом освобождаемости от связей, то для каждой точки можно на-писать следующее дифференциальное уравнение
i ii i
d( m v )F R , i 1,N
dt , (15.3.1)
где i im v – количество движения i -й точки;
iF – равнодействующая внешних сил, действующих на точку;
iR – равнодействующая внешних сил, приложенных к точке. В случае свободной системы материальных точек уравнение (15.3.1) также
справедливо. Только под величинами iR следует понимать силы взаимодейст-вия между точками.
Согласно теореме об изменении момента количества для отдельной мате-риальной точки можно написать:
0i0 i 0 i
dLM ( F ) M ( R ), i 1,N
dt . (15.3.2)
Суммируя (15.3.2) по всем точкам системы, получим:
182
N N N
0i 0 i 0 ii 1 i 1 i 1
dL M ( F ) M ( R )
dt
. (15.3.3)
Согласно третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине, противоположно направлены и имеют общую линию действия. При этом каждая iR представляет некоторую геометрическую сумму этих сил.
Поэтому для системы в целом N
ii 1
R 0
и N
0 ii 1
M (R ) 0
.
Последние равенства не означают, что внутренние силы iR уравновешены, так как приложены они к разным точкам системы.
Учитывая, что по определению N
0i 0i 1
L L
– главный момент количества
движения системы, а N
0 i 0i 1
M ( F ) M
– главный момент внешних сил, прило-
женных к точкам системы, получим:
00
dLM
dt .
Следовательно, справедлива теорема: Первая производная по времени от момента количества движения
системы относительно какого-либо центра равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы относительно того же центра.
Теорема об изменении момента количества движения допускает кинемати-ческую интерпретацию. Кинематическое истолкование теоремы об изменении
момента количества движения дал Резаль (1829–1886). Производную 0dL
dt мож-
но считать скоростью конца вектора 0L по его годографу, если началом того вектора является центр О.
Следовательно, скорость конца вектора момента количества движения 0L относи-тельно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил 0M относительно того же центра (рис. 15.4).
Теорема об изменении момента количества движения в такой формулировке применяется, на-пример, в приближенной теории гироскопа.
Кроме того, воспользовавшись формулиров-кой Резаля теоремы об изменении момента коли-чества движения, можно определить давление вращающегося ротора на подшипники.
Рис. 15.4
183
15.4. Главный момент количества движения твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси
Вычислим главный момент количе-ства движения твердого тела, вращающе-гося с угловой скоростью вокруг не-подвижной оси z (рис. 15.5).
Рассмотрим момент количества движения элементарной массы dm , рас-положенной на расстоянии h до оси вращения.
Скорость точки v h , где – ал-гебраическое значение угловой скорости. Тогда момент количества движения мас-сы dm будет
2zdL hvdm h dm . (15.4.1)
Для нахождения главного момента количества движения необходимо проин-тегрировать (15.4.1) по массе твердого тела:
2z z
( m ) ( m )
L dL h dm . (15.4.2)
В выражении (15.4.2) интеграл 2 2 2
z
( m ) ( m )
J h dm ( x y )dm , (15.4.3)
то есть интеграл от произведения массы элементарной частицы на квад-рат расстояния до некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно этой оси. В случае дискретной системы материальных точек интеграл заменяется конечной суммой. Отношение 2
zJ / m имеет размер-ность квадрата длины. Величина называется радиусом инерции тела от-носительно рассматриваемой оси.
Перепишем выражение (15.4.2) z zL J . (15.4.4)
Момент количества движения тела, вращающегося вокруг неподвиж-ной оси, равен произведению осевого момента инерции тела на угловую ско-рость его вращения.
Момент инерции при вращательном движении играет роль, аналогичную массе при поступательном движении.
15.5. Моменты инерции
Планарным, осевым или полярным моментом инерции системы матери-альных точек называется сумма произведений масс точек на квадраты их рас-стояний соответственно до плоскости, оси или точки, именуемой полюсом.
h
Рис. 15.5
184
Таким образом, общая формула для момента инерции такова: N
2i i
i 1
J m h
, (15.5.1)
где im – масса i -й материальной точки;
ih – расстояние этой точки либо до плоскости, либо до оси, либо до полюса. Пронумеруем плоскости, образо-
ванные осями координат, как показано на рис. 15.6.
Радиус-вектор i -й точки:
i i i ir x i y j z k . Ее расстояние до плоскости
( y,z ) x и, следовательно, соответст-вующий момент инерции будет:
N2
1 i ii 1
J m x
.
Формулы для планарных моментов инерции относительно плоскостей ( z,x ) и ( x, y ) :
N2
2 i ii 1
J m y ;
N
23 i i
i 1
J m z
.
Осевые моменты инерции: N
2 2x i i i
i 1
J m ( y z );
N
2 2y i i i
i 1
J m ( x z );
N
2 2z i i i
i 1
J m ( y x ).
(15.5.2)
Квадрат расстояния до полюса 2 2 2 2
i i i ir x y z . Поэтому полярный момент инерции
N2 2 2
0 i i i i 1 2 3 x y zi 1
1J m ( x y z ) J J J ( J J J ).
2
(15.5.3)
Рассмотрим примеры вычисления моментов инерции. 1. Стержень.
Определим момент инерции относитель-но оси z , перпендикулярной стержню.
Пусть стержень расположен как показано на рис. 15.7. В качестве dm возьмем малый участок стерж-ня длиной dx :
dm dx , где – погонная масса стержня. Согласно общей формуле (15.5.1):
Рис. 15.6
Рис. 15.7
185
l 32 2
z
( m ) 0
lJ x dm x dx
3
,
где l – длина стержня. Если учесть, что его масса m l , то для момента инерции zJ получим
формулу
2
z
mlJ
3 . (15.5.4)
2. Круговой диск. Требуется найти моменты инерции тонкого
диска радиусом R и массой m относительно осей, расположенных в его центре (рис. 15.8).
В данном случае осевые моменты инерции 2
x
( m )
J y dm и 2y
( m )
J x dm в силу симметрии
равны между собой x yJ J .
Их сумма равна полярному моменту инер-ции:
2 20 x y x y
( m )
J ( x y )dm J J 2J 2J .
Если учесть, что квадрат расстояния 2
элементарной массы до центра О равен 2 2 2x y , то формулу для 0J можно переписать так:
20
( m )
J dm .
В качестве dm возьмем массу бесконечно тонкого кольца радиусом и толщиной d . Тогда двойной интеграл по площади превратится в одинарный интеграл в интервале ( O,R ) . Поэтому проще сначала вычислить 0J и уже за-
тем 0x y
JJ J
2 .
Итак, dm 2 d , где – плотность единицы площади диска, которая считается всюду одинако-вой. Полярный момент инерции:
R 42 3
0
( m ) 0
RJ dm 2 d
2 .
Масса диска 2m R .
Поэтому
2
0
mRJ
2 , (15.5.5)
Рис. 15.8
О
186
2
x y
mRJ J
4 . (15.5.6)
3. Круговой цилиндр. Требуется найти осевой момент
инерции цилиндра относительно его про-дольной оси z .
Здесь dm 2 d l (рис. 15.9), где l – длина цилиндра. Тогда
R 4 23
0
0
R mRJ 2 l d l
2 2 , (15.5.7)
где 2m R l .
Формулу (15.5.7) можно было бы написать сразу, так как момент инерции не изменится, если массу сместить парал-лельно вдоль оси z . Поэтому здесь спра-ведлива формула для диска (15.5.5).
4. Шар. Рассмотрим однородный шар с постоянной удельной плотностью , ра-
диусом R и массой m (рис. 15.10). В силу симметрии здесь
x y z 0
2J J J J
3 ,
где 0J – полярный момент инерции. Если в качестве dm взять массу бесконечно тонкой сферы радиусом и
толщиной d 2dm 4 d ,
то получим R 5
2 40
( m ) 0
RJ dm 4 d 4
5 .
Масса шара 34
m R3
.
Следовательно, 2
0
3J mR
5 ,
откуда
2x y z
2J J J mR
5 . (15.5.8)
Рис. 15.9
Рис. 15.10
о
187
15.6. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей
В ряде задач динамики приходиться вычислять моменты инерции несколь-ких тел или тел сложной формы. При этом система разбивается на простейшие элементы, для каждого из которых известен момент инерции относительно его центральных осей. Но вычислять момент инерции этих элементов приходится относительно других осей, параллельных центральным осям. Затем осуществ-ляется поэлементное суммирование, чтобы получить момент инерции всего те-ла или системы.
В ряде случаев вычисление моментов инерции для отдельного тела отно-сительно параллельных осей представляет самостоятельный интерес.
При решении подобных задач используется теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса–Штейнера):
Момент инерции системы материальных точек относительно произ-вольной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, па-раллельной данной, сложенному с произведением массы системы на квад-рат расстояния между осями.
На рис. 15.11 оси 1 1 1 1o x y z – централь-ные.
Координаты i -й точки в рассматривае-мых осях связаны соотношениями
i 1i i 1i i 1ix x a, y y b, z z c . Рассмотрим момент инерции относи-
тельно оси z . Согласно рис. 15.11, имеем:
N2 2
z i i ii 1
N N2 2 2 2
1i 1i i 1i 1ii 1 i 1
N N N2 2
i i 1i i 1ii 1 i 1 i 1
J m ( x y )
( x a ) ( y b ) m ( x y )
( a b ) m 2a m x 2b m y .
Однако, поскольку оси 1 1 1 1o x y z являются центральными, то статистические моменты относительно их равны нулю, то есть:
N
i 1i 01i 1
N
i 1i 01i 1
m x mx 0
m y my 0.
Кроме того, N
ii 1
m m
– масса системы, а 2 2 2a b d – квадрат расстоя-
ния между осью z и 1z . Следовательно,
Рис. 15.11
о
о1
188
Рис. 15.12
2z z1J J md , (15.6.1)
что и доказывает приведенную выше теорему. Очевидно, что момент инерции относительно центральной меньше любого
другого момента инерции относительно другой оси, ей параллельной.
15.7. Момент инерции относительно оси, произвольно расположенной в пространстве
Простейшие задачи динамики твердого тела: вращение вокруг неподвиж-ной оси или плоское движение не требуют общих сведений о моментах инер-ции. Изложение более сложных вопросов, таких как динамика автомобиля, са-молета, ракеты, гироскопа, космического корабля требуют изложения общих соотношений для моментов инерции.
Рассмотрим в некоторой точке О твердого тела систему взаимно перпен-дикулярных осей Oxyz и ось OA с направляющими косинусами:
cos( x,OA ) ; cos( y,OA ) ; cos( z,OA ) . Найдем момент инерции системы материальных точек относительно оси
OA . По определению момента инерции N
2i i
i 1
J m h
, где ih – длина перпенди-
куляра, опущенного из точки im на ось OA (рис. 15.12). Обозначим радиус-вектор точки im
через ir . Его проекция на ось OA будет
0i 1 ir r cos , где i – угол между ir и осью OA .
Но, с другой стороны, величину 0ir мож-но представить как скалярное произведение единичного вектора оси OA
e i j k и
i i i ir x i y j z k , то есть
0i i i i i i ir r cos e r x y z . Тогда
2 2 2 2 2 2 2i i 0i i i i i i i
2 2 2 2 2 2i i i i i i i i i
h r r ( x y z ) ( x y z )
x (1 ) y (1 ) z (1 ) 2 x y 2 y z 2 z x .
Учитывая соотношение 2 2 2 2e e e 1 ,
перепишем предыдущее равенство в виде
189
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2i i i i i i i i i i
2 2 2 2 2 2 2 2 2i i i i i i i i i i i i
h x ( ) y ( ) z ( ) 2 x y 2 y z 2 z x
( y z ) ( z x ) ( x y ) 2 x y 2 y z 2 z x .
Подставляя 2ih в общее равенство для момента инерции, получим:
N N2 2 2 2 2 2
i i i i i ii 1 i 1
N N N N2 2 2
i i i i i i i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1
J m ( y z ) m ( z x )
m ( x y ) 2 m x y 2 m y z 2 m z x .
Как видно, здесь величины
N N2 2 2 2
x i i i y i i ii 1 i 1
N2 2
z i i ii 1
J m ( y z ); J m ( z x );
J m ( x y )
представляют собой осевые моменты инерции относительно осей x, y,z . Величины
N N
xy i i i yz i i ii 1 i 1
N
xz i i ii 1
J m x y ; J m y z ;
J m z x
называются центробежными моментами инерции. Таким образом, окончательно для момента инерции относительно оси OA
получим формулу 2 2 2
x y z xy yz xzJ J J J 2J 2J 2J (15.7.1)
В случае непрерывного распределения масс во всех вышеперечисленных формулах конечные суммы заменяются интегралами:
2 2 2 2 2 2x y z
( m ) ( m ) ( m )
J ( y z )dm; J ( z x )dm; J ( x y )dm;
xy yz xz
( m ) ( m ) ( m )
J xydm; J yzdm; J zxdm . (15.7.2)
В любой точке твердого тела существуют оси инерции, относительно которых центробежные моменты инерции обращаются в нуль, а осевые приобретают экстремальные значения. Такие оси называются главными, этих осей три и они взаимоперпендикулярны.
Для доказательства прибегнем к геометрическому толкованию формулы (15.7.1).
190
Вдоль оси OA отложим отрезок 1
ONJ
(рис. 15.13).
Координаты конца этого отрезка в системе осей Oxyz будут:
x ON cos( OA,x ) ; J
y ON cos( OA, y ) ;J
z ON cos( OA,z ) .J
(15.7.3)
Тогда
x J ; y J ; z J . Подставляя формулы (15.7.3) в выражение для момента инерции J относитель-но оси OA (15.7.1), получим:
2 2 2x y z xy yz xz1 J x J y J z 2J xy 2J yz 2J xz . (15.7.4)
Это поверхность второго порядка. Она определяет геометрические места концов отрезков ON при любых направлениях оси OA .
Поскольку момент инерции относительно любой оси есть величина суще-ственно положительная, ограниченная и не обращается в нуль, то поверхность, определяемая уравнением (15.7.4), есть эллипсоид. Этот эллипсоид называется эллипсоидом инерции тела в точке О.
Уравнение эллипсоида может быть приведено к канонической форме. В новых осях получим:
2 2 21 1 12 2 2
x y z1
a b c ,
где a,b,c – полуоси эллипсоида. По построению
1
1a ;
J
2
1b ;
J
3
1c ,
J
где 1 2 3J ,J ,J – главные моменты инерции. Центробежные моменты инерции здесь равны нулю.
Главная ось инерции относительно какой-либо точки уже не обязательно является главной осью инерции для другой точки оси. Пусть ось Oz является главной осью инерции относительно точки O . Тогда
N N
zy i i i zx i i ii 1 i 1
J m z y 0; J m z x 0
.
Для другой точки 1O на этой оси на расстоянии a от точки 1O получим:
Рис. 15.13
191
1
1
N N
z y i i i i i ci=1 i=1
N N
z x i i i i i ci=1 i=1
J = m (z - a)y = -a m y = -amy ;
J = m (z - a)x = -a m x = -amx .
Здесь c cx , y – координаты центра масс. Если ось Oz не является центральной, то
1 1z y z xJ 0; J 0.
Следовательно, для точки 1O ось Oz уже не является главной. Если тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось будет главной и центральной.
15.8. Вычисление момента количества движения (кинетического момента) твердого тела во вращательном движении вокруг неподвижной точки
При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной точки О скорости его точек определяются по формуле v r (рис. 15.14).
Поэтому кинетический момент твердого тела
0
( m ) ( m )
L r vdm r ( r )dm .
Согласно формуле векторной алгебры A ( B C ) B( A C ) C( A B ) ,
имеем: 2r ( r ) r r ( r ) . Следовательно,
20
( m ) ( m )
2 2 2
( m )
x y z
( m )
L r dm r ( r )dm
( x y z )dm
( x y z )rdm.
Вектор 0L имеет три составляющие:
0 0 x oy 0 zL L i L j L k ,
его проекции:
Рис. 15.14
192
2 20 x x y z
( m ) ( m ) ( m )
2 20 y x y z
( m ) ( m ) ( m )
2 20 z x y z
( m ) ( m ) ( m )
L ( y z )dm xydm xzdm;
L yxdm ( z x )dm yzdm;
L zxdm zydm ( x y )dm.
Если учесть обозначения (15.7.2), то получим:
0 x x x y xy z xz
0 y x yx y y z yz
0 z x zx y zy z z
L J J J ;
L J J J ;
L J J J .
(15.8.1)
Как видно, если, например,
x y 0 ,
то 0 x z xz 0 y z yz 0 z z zL J ; L J ; L J .
Следовательно, при вращении вокруг неподвижной оси, если оси инерции не являются главными, все остальные составляющие кинетического момента отличны от нуля.
15.9. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси z . Тогда его момент коли-чества движения относительно этой оси будет:
z z z zL J J , где z – угловая скорость вращения.
Согласно теореме об изменении момента количества движения
zz
dLM
dt ,
получим z zJ M . (15.9.1)
Уравнение (15.9.1) является диффе-ренциальным уравнением вращения твер-дого тела вокруг неподвижной оси.
В качестве примера рассмотрим кру-тильные колебания диска (рис. 15.15).
Момент инерции однородного диска
2
z
mRJ
2 .
Упругий момент вала
Рис. Рис. 15.5
193
z
GJM
l ,
где G – модуль сдвига; J – полярный момент инерции поперечного сечения упругого элемента
(вал считается круглым).
Для круглого вала 2 4Sr D
J2 32
, где
r – радиус вала; D – диаметр вала; S – площадь вала; l – длина упругого вала. Следовательно, дифференциальное уравнение крутильных колебаний
будет: 2 GJmR
2 l ,
или 2k 0 , (15.9.2)
где 2
2GJk
mR l – частота свободных крутильных колебаний диска.
Решение уравнения (15.9.2) хорошо известно:
00 cos kt sin kt
k
,
где 0 и 0 – начальные условия движения.
15.10. Физический маятник
Физический маятник представляет собой твердое тело произвольной формы, имеющее горизонтальную ось вращения, не проходящую через центр его тяже-сти. Пусть ось подвеса перпендикулярна плоскости чертежа. Воспользуемся диффе-ренциальным уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси:
0 0J M , (15.10.1) где – угол поворота тела; 0J – момент инерции твердого тела вокруг оси, перпен-дикулярной плоскости чертежа и проходя-щей через точку О (рис. 15.16); 0M – мо-
мент силы тяжести P mg вокруг точки O :
0M mgl sin , Рис. 15.16
194
где l – расстояние между центром тяжести C и точкой (осью) подвеса O . Подставляя выражение 0M в уравнение (15.10.1), получим
0J mgl sin или
0
mglsin 0
J . (15.10.2)
При малых вместо (15.10.2) имеем 2k 0 ,
где 0
mglk
J – частота малых свободных колебаний физического маятника.
В качестве примера рассмотрим шар, подвешенный на невесомой нити длиной R , равной радиусу шара (рис. 15.17).
Найдем момент инерции относительно точки подвеса:
2 2 20
2 22J mR 4mR mR
5 5 . (15.10.3)
Согласно формуле (15.10.3)
2
5mg2R 5 gk
22mR 11 R . Если учесть, что
l 2R , 10 g g
k 0,95311 l l
.
Если бы вся масса шара была сосредо-точена в точке С, то это был бы математический маятник, частота малых коле-баний которого
0
g gk
2R l ,
следовательно,
0k 0,953k . Момент инерции относительно центра масс cJ , если известен радиус инерции , выражается формулой
2cJ m .
Согласно теореме о моментах инерции относительно параллельных осей, 2 2
0J m( l ) . Частота малых колебаний
2 2
glk
l
.
Следовательно, длина эквивалентного математического маятника будет
Рис. 15.17
О
195
2 2
0
ll
l
. (15.10.4)
Отложим отрезок 0l вдоль по прямой OC . Конец отрезка обозначим 1O . Перепишем формулу (15.10.4) в виде
2 20l l l 0 .
Это квадратное уравнение относи-тельно l , причем его корни l и 1l , соглас-но теореме Виета, удовлетворяют равенствам:
21l l ; 1 0l l l .
Оба корня входят симметрично в эти соотношения. Поэтому тот же период ко-лебаний физического маятника можно по-лучить, если ось подвеса расположить либо на расстоянии l от центра тяжести в точке O , либо в точке 1O на расстоянии 1l .
Здесь 2
20 00 ,1
l ll
2 4 (рис. 15.18).
Период колебаний физического маят-
ника 2 22 l
T 2k gl
.
Если известна величина l – расстояния центра тяжести до точки подвеса, то не представляет труда найти квадрат радиуса инерции 2 :
22 2
2
Tgl l
4
.
После чего находим 2
cJ m . Таким образом, по экспериментальному периоду малых колебаний физи-
ческого маятника можно найти его центральный момент инерции, а затем и момент инерции относительно оси подвеса.
В заключение рассмотрим физический маятник в виде однородного стерж-
ня длиной L . Тогда 2
21
L Ll , l l
2 12 и, следовательно, 1
Ll
6 .
То есть, подвесив однородный стержень в точке 1O на расстоянии 1
Ll
6 ,
получим тот же период малых колебаний, что и в случае, когда он подвешен в точке О , расположенной на его конце.
Рис. 15.18
196
15.11. Давление на ось вращающегося тела
Пусть A BR ,R – динамические ре-акции связей в точках A и B (рис.
15.19), N
ii 1
F F
– главный вектор
внешних (активных) сил. Для определения реакций A BR ,R
воспользуемся теоремами об измене-нии количества движения и момента количества движения. Кроме того, по-скольку выгодно использовать оси Axyz , связанные с телом, так как в них моменты инерции неизменны, то не-обходимо пользоваться формулой, связывающей абсолютную и относи-тельную производные вектора:
dr d r
rdt dt
. (15.11.1)
Количество движения K и момент ко-личества движения AL находятся по
формулам: cK mv , (15.11.2)
где cv – скорость центра масс тела;
A xz z yz z z zL J i J j J k , (15.11.3)
где xz yzJ ,J – центробежные моменты инерции; zJ – осевой момент инерции;
z – угловая скорость вращения тела. Тогда, согласно формуле (15.11.1) и формулам (15.11.2), (15.11.3), полу-
чим:
cz c A B
d vm m v R R F
dt
, (15.11.4)
Az A A B
d LL M AB R
dt
, (15.11.5)
где AM – главный момент внешних сил относительно опоры А.
Учитывая, что c z z c z c
c c c
i j k
v 0 0 ( y )i ( x ) j 0k
x y z
;
Рис. 15.19
197
2 2z c z z c z c
z c z c
i j k
v 0 0 ( x )i ( y ) j 0k
y x 0
;
c z cv r , найдем cx c zv y , cy c zv x ;
2 2z A z yz z xz z
xz z yz z yz z
i j k
L 0 0 ( J )i ( J ) j 0k
J J J.
Тогда в развернутом виде уравнения (15.11.4) и (15.11.5) будут таковы:
2c c Ax By x
2c c Ay By y
Az Bz z
my mx R R F ;
mx my R R F ;
0 R R F ;
(15.11.6)
2xz yz x By
2yz xz y Bx
z z
J J M hR ;
J J M hR ;
J M ,
где учтено, что z , и положено AB h . Уравнения (15.11.6) при известном ( t ) позволяют решить первую за-
дачу динамики, то есть найти неизвестные реакции. Чтобы найти ( t ) , необходимо проинтегрировать шестое уравнение
(15.11.6). Первые два уравнения при отсутствии внешних сил и реакций имеют вид:
2c c
2c c
y x 0;
x y 0,
их определитель 2 4 0, (15.11.7)
в общем случае не равен нулю. Поэтому они имеют лишь нулевое решение, то есть c cx y 0 .
Аналогично четвертое и пятое уравнения 2
xz yz
2yz xz
J J 0;
J J 0,
при отсутствии внешних сил и реакций удовлетворяются лишь при условии, что xz yzJ J 0, так как их определитель дается формулой (15.11.7).
Следовательно, динамические реакции отсутствуют, если центр тяжести лежит на оси вращения, а центробежные моменты инерции равны нулю.
198
15.12. Теорема об изменении момента количества движения в относительном движении относительно центра инерции
Рассмотрим неподвиж-ную систему декартовых осей Oxyz и подвижную
систему 1 1 1Cx y z , начало ко-
торой расположено в центре инерции системы матери-альных точек, движущуюся поступательно вместе с цен-тром инерции С (рис. 15.20).
Абсолютное движение системы представим как сумму переносного движе-ния вместе с подвижной системой 1 1 1Cx y z и относи-
тельного движения по отношению к подвижному центру инерции. Переносное движение здесь поступательное, поэтому переносные скорости
всех точек системы одинаковы и равны скорости центра инерции
ie cv v .
Обозначив относительную скорость i -й точки системы ir iv u , для абсолютной
скорости получим:
i c iv v u , i 1,n .
Между радиус-векторами существует зависимость i c ir r , где cr – ра-
диус-вектор подвижного начала относительно неподвижного, i – радиус-
вектор i -й точки по отношению к подвижной системе осей. При этом N
i i ci 1
m m 0,
где c – радиус-вектор центра масс в подвижной системе осей; c 0 по опре-
делению подвижной системы. Найдем кинетический момент системы относительно подвижного центра
инерции: N N
c i i i i i c ii 1 i 1
N N
i i c i i ii 1 i 1
L m v m ( v u )
( m ) v m u .
Рис. 15.20
199
Здесь N
i i ci 1
( m ) v 0
, поэтому
N
c i i ii 1
L m u .
Таким образом, при вычислении момента количества движения относи-тельно подвижного центра масс можно не обращать внимания на переносное движение центра масс.
Найдем момент количества движения относительно неподвижного начала: N N
0 i i i c i i ci 1 i 1
N N
c i i i i ii 1 i 1
N N
c i i i i с i c ci 1 i 1
L r m v ( r ) m v
r m v m v
r m v m ( v u ) r K L .
Здесь учтено, что N
i ii 1
m v K
– количество движения системы.
Следовательно,
0 c cL L r K . (15.12.1)
Аналогичное соотношение имеем и для главного момента 0M : N N
0 i i c i ii 1 i 1
N
c c i c ci 1
M r F ( r ) F
M r F M r F ,
где N
ii 1
F F
– главный вектор внешних сил, приложенных к точкам системы.
То есть
0 c cM M r F . (15.12.2)
По существу, это известная из статистики формула для преобразования главного момента при изменении центра приведения.
Согласно теореме об изменении момента количества движения, с учетом (15.12.1) и (15.12.2), имеем:
0 c cc c
c 0 c c
dL dL drd( L r K ) K
dt dt dt dt
dKr M M r F.
dt
200
Но cc c
drK v mv 0,
dt
c c
dKr r F
dt .
Поэтому
cc
dLM
dt . (15.12.3)
Следовательно, теорема об изменении момента количества движения отно-сительно подвижного центра масс сохраняет свою формулировку.
То есть первая производная по времени от момента количества движе-ния относительно центра масс в осях, движущихся поступательно вместе с центром масс, равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы относительно центра масс.
15.13. Закон сохранения момента количества движения
Если главный момент внешних сил 0M равен нулю, то момент количества
движения 0L будет постоянным.
Действительно, если
0dL0,
dt то 0L const .
Сказанное относится и к отдельным проекциям. В качестве примера рассмотрим систему (рис. 15.21), вращающуюся во-
круг оси z , состоящую из однородного диска массой 1m , по радиусу которого
движется материальная точка массой 2m .
Радиус диска равен R . В начале точка нахо-дилась в центре диска, а угловая скорость равнялась 0 . Определить, как изменится
угловая скорость после того, как точка дос-тигнет края диска – точки А.
В данном случае 2
z 1 0 1 2L J ( J m R ) const ,
где – конечное значение угловой скорости;
21
1
m RJ
2 – момент инерции диска.
Подставляя в предыдущее равенство значения момента инерции диска, по-лучим:
Рис 15 21
z
O
AR
Рис. 15.21
0
2m
1m
201
2 221 1
0 2
m R m R( m R )
2 2 .
Откуда 0 2
1
2m1
m
.
В качестве другого примера рас-смотрим управление вращением кос-мического корабля с помощью махо-вика (рис. 15.22).
Пусть система осей Oxyz движет-
ся поступательно. Корабль получил вращение вокруг оси z . Момент инер-ции корабля относительно точки О равен 1J , а момент инерции маховика
– 2J . Корабль и маховик вращаются в
одну сторону. Оси 1 1 1Ox y z связаны с
кораблем. При отсутствии внешних сил
0 z 1 0 2 0 0
1 2
L J J ( )
J J ( ) const ,
где 0 – начальная угловая скорость корабля;
0 – начальная относительная угловая скорость маховика;
и – текущие значения соответствующих угловых скоростей. Здесь , согласно теореме о сложении вращений вокруг параллельных
осей, – абсолютная угловая скорость маховика. Если положить 0 0 , то тогда
1 2 0 1 2( J J ) J J ( )
и, следовательно,
20
1 2
J
J J
.
Вращение космического корабля остановится, если
1 20
2
J J
J
.
При помощи маховика космический корабль можно повернуть на любой угол. Предположим, что он не вращался, тогда
0 z 1 2L J J ( ) 0 .
Пусть – угол поворота корабля; – угол поворота маховика.
Предыдущее равенство, учитывая, что
Рис. 15.22
202
d
dt
и
d
dt
,
можно переписать так:
1 2J d J ( d d ) 0 .
Интегрируя это равенство, получим:
1 2 0 2 0( J J )( ) J ( ) 0 .
Откуда
20 0
1 2
J( )
J J
,
где 0 0 и – начальные значения углов и .
Следовательно, чтобы повернуть корабль на угол 0 , необходимо ма-
ховик повернуть ну угол 0( ) в противоположную сторону.
203
16. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
16.1. Элементарная теория гироскопа
Гироскопом называется твердое тело, вращающееся вокруг подвижной оси материальной симметрии, одна из точек которой неподвижна (рис. 16.1).
В качестве примера гироскопа можно привести детскую игрушку «вол-чок». Будучи раскрученным до значительной угловой скорости вокруг оси симметрии, «волчок» некоторое время сохраняет устойчивое вертикальное по-ложение, затем, по мере замедления вращения, его ось начинает описывать ко-ническую поверхность. Это движение оси называется прецессией и, наконец, теряется устойчивость: «волчок» падает.
Свойство гироскопа сохранять направление оси вращения в пространстве широко используется в технике. Гироскопические компасы значительно точнее магнитных. С помощью гироскопических устройств осуществляется определе-ние координат самолетов, ракет, кораблей. Гироскопические приборы позволя-ют с высокой точностью определять угловые и линейные ускорения летатель-ных аппаратов и наземных транспортных средств, стабилизировать орудийные платформы на корабле.
На рис. 16.1 изображен «волчок». Это гироскоп с тремя степенями сво-боды. Оси Oxyz связаны с ротором. Угловая скорость вращения вокруг оси z равна 0 . Ее называют угловой ско-ростью собственного вращения. Ось z является осью материальной симмет-рии и она описывает коническую по-верхность с угловой скоростью * , направленной по вертикальной оси z* .
Угловая скорость * называется угловой скоростью прецессии. Оси
1 1 1Ox y z отстают от осей, связанных с телом, на величину угловой скорости собственного вращения 0 , поэтому их угловая скорость равна * , то есть угловой скорости прецессии.
В силу симметрии оси Oxyz являются главными, а в главных осях момент количества движения относительно точки О будет:
0 x x y y z zL J i J j J k . (16.1.1)
Рис.
О у
Рис. 16.1
204
Однако здесь x y 1J J J . Обозначим z 3J J . Тогда формула (16.1.1) пе-
репишется в виде
0 1 x y 3 zL J ( ) J k .
В последнем выражении x y 1 , то есть проекции полной угловой
скорости на плоскость Oxy . Очевидно, z 0 * cos , где – угол между вертикалью и осью z .
Если предположить, что 0 * , то для 0L можно принять следующую приближенную формулу:
0 3 0L J k . (16.1.2) Воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения в
формулировке Резаля. Конец вектора 0L описывает окружность со скоростью
00
dL* L
dt .
Эта величина равна моменту внешней силы относительно точки О. В рас-сматриваемом случае это момент силы веса P относительно точки О. Поэтому
0* L OC P . (16.1.3) Из (16.1.3) следует
3 0J * sin OCmg sin . (16.1.4) Таким образом, находим формулу для угловой скорости регулярной
прецессии
3 0
mgl*
J
,
где l OC – расстояние центра масс до опоры гироскопа. Если гироскоп имеет две степени свободы и его оси сообщено вращение,
например, с угловой скоростью , то это приводит к возникновению гироско-пического момента относительно точки О, равного
g 0 3 0М М J k .
То есть вектор момента gМ перпендикулярен плоскости, содержащей век-
тор * и ось собственного вращения ротора, и стремится совместить векторы
0L и * по кратчайшему расстоянию. В качестве примера рассмотрим определение реакций подшипников рото-
ра турбины при продольной качке корабля. Ротор турбины схематично изобра-жен на рис. 16.2. Угловая скорость качки Oz и направлена по оси y .
Расстояние между опорами AB l . Тогда реакции подшипников будут:
3 0Ay By
JR R .
l
g 0М М – гироскопический момент.
205
16.2. Уравнения Эйлера для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки
Уравнения Эйлера для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, представляет собой дифференциальные уравнения, устанавливающие связь между силами, действующими на тело, и параметрами, определяющими его положение. В качестве таковых параметров могут быть взяты углы Эйлера (рис. 16.3).
Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения относительно неподвижной точки:
00
dLМ
dt , (16.2.1)
где 0L – момент количества движения тела относительно неподвижной точки О;
0М – главный момент внешних сил относительно этой же точки.
Пусть система осей 1 1 1Ox y z неподвижна, а система Oxyz жест-ко связана с телом. При движении тела его моменты инерции относи-тельно неподвижной системы осей будут меняться, так как непрерыв-но меняется положение тела отно-сительно этой системы. Если век-тор момента количества движения определить в системе осей, связан-ных с телом, то ситуация меняется, так как моменты инерции будут
Рис. 16.2
Рис. 16.3
206
уже постоянными величинами. Но при вычислении производной необходимо будет пользоваться извест-
ной теоремой об относительной производной вектора:
dr d r
rdt dt
, (16.2.2)
где dr
dt – абсолютная производная r ;
d r
dt
– относительная производная;
– угловая скорость подвижной системы. Учитывая это обстоятельство, равенство (16.2.1) перепишется в виде
00 0
d LL М
dt
. (16.2.3)
Спроектируем (16.2.3) на подвижные оси Oxyz :
xy z z y x
yz x x z y
zx y y x z
d LL L М ;
dtd L
L L М ;dt
d LL L М .
dt
(16.2.4)
Если подвижные оси главные, то x 1 x y 2 y z 3 zL J ; L J ; L J , (16.2.5)
где 1 2 3J , J , J – главные моменты инерции. Подставляя (16.2.5) в уравнения (16.2.4), получим:
1 x 3 2 y z x
2 y 1 3 x z y
3 z 2 1 x y z
J ( J J ) M ;
J ( J J ) M ;
J ( J J ) M .
(16.2.6)
Здесь обозначено yx zx y z
dd d; ;
dt dt dt
.
Уравнения (16.2.6) называются динамическими уравнениями Эйлера. Систему (16.2.6) следует дополнить кинематическими уравнениями Эйлера:
x
y
z
sin sin cos ;
sin cos sin ;
cos .
(16.2.7)
где – угол прецессии; – угол нутации; – угол собственного вращения, –известные углы Эйлера.
207
Если задаются углы Эйлера как функция времени, то уравнения (16.2.6) и (16.2.7) позволяют найти силы, действующие на тело, то есть решить первую задачу динамики.
Решение второй задачи динамики, которая заключается в интегрировании этих шести уравнений первого порядка, в общем случае представляет значи-тельные математические трудности.
Поэтому рассмотрим наиболее простой случай вращения твердого тела во-круг неподвижной точки по инерции. Это случай Эйлера–Пуассона.
16.3. Движение твердого тела в случае Эйлера–Пуассона
Это вращение по инерции, когда 0M 0 . В этом случае динамические уравнения Эйлера примут вид:
1 x 3 2 y z
2 y 1 3 x z
3 z 2 1 x y
J ( J J ) 0;
J ( J J ) 0;
J ( J J ) 0.
(16.3.1)
Умножим первое уравнение на 1 xJ , второе – на 2 yJ , третье – на 3 zJ и
сложим. В результате получим: 2 2 2
1 x x 2 y y 3 z zJ J J 0 ,
или 2 2 2 2 2 2
1 x 2 y 3 z
1 d( J J J ) 0
2 dt .
Откуда 2 2 2 2 2 2 21 x 2 y 3 z 0J J J L const . (16.3.2)
Равенство (16.3.2) означает, что модуль момента количества 0L сохраняет постоянную величину и представляет собой первый интеграл уравнений движения.
Соотношение (16.3.2) можно было бы написать сразу. Поскольку 0M 0 ,
то 0L const и, следовательно, 2
0 0 0L L L const . Еще один первый интеграл получим, если умножить уравнения (16.3.1)
соответственно на x y z, , и сложить: 2 2 2
1 x 2 y 3 zJ J J 2T const ,
где T – постоянная энергии. Определение углов Эйлера существенно упрощается, если 1 2J J , то есть,
когда ось z является осью материальной симметрии. Уравнения (16.3.1) в этом случае будут:
1 x 3 1 y z
2 y 1 3 x z
3 z
J ( J J ) 0;
J ( J J ) 0;
J 0.
(16.3.3)
208
Из третьего уравнения следует, что
z z0 const . (16.3.4) В рассматриваемом случае момент количества движения 0L постоянен по модулю и направлению. Совмес-тим неподвижную ось 1z с направле-
нием 0L (рис. 16.4).
Проекции 0L на оси Oxyz будут:
x 0
y 0
z 0
L L sin sin ,
L L sin cos ,
L L cos .
(16.3.5)
С другой стороны,
x 1 x y 2 y
z 3 z
L J ; L J ;
L J .
(16.3.6)
Учитывая (16.3.4), (16.3.5), (16.3.6), найдем:
3 z0 z 0J L L cos const . Откуда
3 z0
0
Jcos const
L
.
Таким образом, угол нутации является постоянной величиной:
00; . Кинематические уравнения Эйлера примут вид:
x 0
y 0
z0 0
sin sin ;
sin cos ;
cos .
(16.3.7)
Подставим (16.3.7) в (16.3.6) с учетом (16.3.5):
1 0 0 0
1 0 0 0
J sin sin L sin sin ,
J sin cos L sin cos .
Откуда
0 1L J , и, следовательно,
0
1
L* const
J .
Откуда
0* t , где 0 – значение угла при t 0 .
Рис. 16.4
209
Из третьей формулы (16.3.7) следует:
z0 0 z0 0 0cos * cos const . И, следовательно, 0 0t , где 0 – начальное значение . Решение дифференциальных уравнений движения твердого тела, таким
образом, имеет вид:
0
0
0 0
;
* t ;
t .
(16.3.8)
Постоянные 0 0 0, , *, связаны соотношением
z0 0 0* cos . Движение, описываемое уравнением
(16.3.8), называется регулярной прецессией (рис. 16.5). При этом ось симметрии описывает круго-вой конус с угловой скоростью * , а само тело вращается вокруг оси симметрии с угловой ско-ростью 0 .
Однако не все режимы вращения тела во-круг неподвижной точки по инерции являются устойчивыми.
В некоторых случаях при наличии малого возмущения от установившегося движения от-клонения начинают возрастать с течением вре-мени. Такие режимы движения называют неус-тойчивыми.
Предположим, что ось вращения совпадает с главной осью инерции z . Тогда
x y z 00, const .
Для того, чтобы выяснить, является ли режим устойчивым, придадим ма-лое возмущение телу, в результате которого угловые скорости изменятся и бу-дут равны:
x 1 y 2 z 0 3; ; , (16.3.9)
где 1 2 3, , – малые по сравнению с 0 . Подставим значения (16.3.9) в уравнения (16.3.1):
1 1 3 2 2 0 3
2 2 1 3 1 0 3
3 3 2 1 1 2
J ( J J ) ( ) 0;
J ( J J ) ( ) 0;
J ( J J ) 0.
(16.3.10)
В уравнениях (16.3.10) следует пренебречь малыми высшего порядка, то есть произведениями 1 2 3, , :
Рис. 16.5
210
1 1 3 2 2 0
2 2 1 3 1 0
3 3
J ( J J ) 0;
J ( J J ) 0;
J 0.
(16.3.11)
Из третьего уравнения сразу следует 3 30 const , а первые два преоб-разуются к виду:
2 3 1 3 21 0 1
1 2
2 3 1 3 22 0 2
1 2
( J J )( J J )0;
J J
( J J )( J J )0.
J J
(16.3.12)
Решения уравнений (16.3.12) выражаются через тригонометрические функции, которые со временем не возрастают, если
3 1 3 2( J J )( J J ) 0 , (16.3.13) и тогда движение устойчиво.
Если же 3 1 3 2( J J )( J J ) 0 , (16.3.14)
то решение выражается через показательные функции и движение будет неус-тойчивым. Из (16.3.13) следует, что 3J должно быть либо максимальным, либо минимальным.
Условие (16.3.14) возможно лишь в том случае, когда 3 1J J и 3 2J J или наоборот, 3 1J J и 3 2J J , то есть является средним по величине момен-том инерции.
16.4. Случай Лагранжа–Пуассона
В случае Лагранжа–Пуассона центр тяжести тела лежит на оси вращения эл-липсоида инерции. Момент внешних сил создается силой
1 2 3P P( i j k ) , где 1 sin sin , 2 sin cos , 3 cos направляющие косинусы вектора P в осях Oxyz (рис. 16.6).
0 2 1
1 2 3
i j k
M a P P 0 0 l Pl i Pl j
,
где l lk – вектор точек приложения силы P .
Рис. 16.6
1z
1y1x
z
y
x
1k
1j1i
l
P mg
211
Поэтому уравнения Эйлера в данном случае принимают вид: 1 x 3 1 y z 2
2 y 1 3 x z 1
3 z
J ( J J ) Pl ;
J ( J J ) Pl ;
J 0.
(16.4.1)
Эти уравнения следует дополнить кинематическими соотношениями Эйлера:
x
y
z
sin sin cos ;
sin cos sin ;
cos .
(16.4.2)
Для того, чтобы проинтегрировать систему (16.4.1) и (16.4.2), найдем три первых интеграла.
Один – тривиальный геометрический интеграл 2 2 2
1 2 3 1 . (16.4.3) Умножим первое уравнение (16.4.1) на x , второе на y , третье на z и
сложим
1 x x 1 y y 3 z z 2 x
1 y
J J J Pa(
) Pa sin cos ( sin sin
cos ) sin sin ( sin cos
sin ) Pl sin .
Интегрируя это соотношение, найдем
2 2 2
1 x y 3 zJ ( ) J 2Pl cos h. (16.4.4)
Для получения еще одного интеграла, воспользуемся теоремой об измене-нии кинетического момента в проекции на ось Oz .
Так как z1M 0 , то z1
dL 0
dt и z1L const .
z1 0 1 1 x 1 y 3 z 1 2 3
1 x 1 y 2 3 z 3
L L k ( J i J j J k )( i j k )
J ( ) J const.
(16.4.5)
Еще один нетривиальный интеграл получаем из третьего уравнения (16.4.1):
z const . (16.4.6) Введем в полученные интегралы Эйлеровы углы. Из первых двух уравне-
ний (16.4.2) следует 2 2 2 2 2
x y sin .
Так как 3 cos , то объединяя в (16.4.4) 23 zJ с h , получаем:
2 2 21 1J ( sin ) 2Pl cos h , (16.4.7)
где 21 3 zh h J . Учитывая, что
212
1 2sin sin , sin cos , из первых двух уравнений (16.4.2) получим:
2 2x 1
2 2y 2
sin sin cos sin sin ;
sin cos sin sin cos .
Складывая эти соотношения, найдем: 2
x 1 y 2 sin .
Тогда интеграл (16.4.5) перепишется в виде: 2
1 3 zJ sin J cos b , (16.4.8) где b – постоянная, которую определяем по начальным условиям. Кроме того, вместо (16.4.6) получим:
zcos const . (16.4.9) Наконец, из (16.4.7) имеем:
2 22 1 1
1
h Pl cos J sin
J
,
из (16.4.8):
3 z2
1
b J cos
J sin
.
После чего найдем
2
2 3 z12 2
1 1
( b J cos )h 2Pl cos
J J sin
. (16.4.10)
Уравнение (16.4.10) дает выражение для квадрата скорости нутации и мо-жет быть проинтегрировано.
Перепишем уравнение (16.4.10) в виде: 2 2 2 2 2
1 1 1 3 zJ sin J ( h 2Pl cos ) sin ( b J cos ) .
Введем новую переменную cos s , d ds
sin dt dt
.
Тогда уравнение примет вид: 2 21
dsJ ( ) f ( s )
dt , (16.4.11)
где 2 21 1 3 zf ( s ) J ( h 2Pls )(1 s ) ( b J s ) . (16.4.12)
Рассмотрим корни уравнения (16.4.11) (рис. 16.7). Этих корней три. Движение возможно, если 1 2s s s и невозможно во
всех остальных случаях, так как f ( s ) 0 и s cos 1 согласно (16.4.11). Вершина гироскопа описывает сферическое движение одного из трех ви-
дов (рис. 16.8). При 1 2s s получается регулярная прецессия, при этом const .
213
16.5. Дифференциальные уравнения вращения симметричного твердого
тела вокруг неподвижной точки в осях, не связанных с телом
Уравнения Эйлера для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, были получены в главных осях, связанных с телом. Это ограничение бы-ло вызвано тем, что моменты инерции для тела произвольной формы в осях, не связанных с телом, переменны и это условие ведет к усложнению уравнений динамики. Если же тело имеет ось материальной симметрии, например, в слу-чае гироскопа, то можно допустить наличие осей, не связанных с телом, отстающих от него, например, на величину угловой скоро-сти собственного вращения. Это облегчает анализ гироскопических явлений, не услож-няя уравнений динамики.
При наличии круговой материальной симметрии, то есть в случае гироскопа, урав-нение Эйлера существенно упрощается. Пусть, например, 1 2J J . Будем считать, что главный момент внешних сил относительно оси гироскопа равен нулю, то есть
z 0M M k 0 . Тогда из третьего уравнения Эйлера
(16.2.6) получим z k const (рис. 16.9).
Рис. 16.7
Рис. 16.8
Рис.
''
'
'
Рис. 16.9
214
Оси Oxyz считаются связанными с телом. Проекция угловой скорости на плоскость Oxy будет:
1 x yi j .
Следовательно, 1 zk . Момент количества движения тела относительно точки O с учетом равен-
ства 1 2J J :
0 1 1 3 zL J J k . (16.5.1) Наряду с системой осей Oxyz , неизменно связанной с телом, введем сис-
тему осей Ox y z , вращающуюся с угловой скоростью 1 rk (рис. 16.9). При zr получаем систему осей, связанную с телом, то есть .
Пользуясь теоремой об относительной производной, найдем производную 0dL
dt
в системе осей Ox y z (см. (16.2.2)):
0 0 10 1 1 3 z
dL d L d d kL J ( ) J ( k ).
dt dt dt dt
Здесь 1 1 1 1( rk ) r( k ) , d k
0dt
, так как единичный орт оси z
является неизменным в системе осей Ox y z . Следовательно,
0 11 3 z 1 1
dL dJ ( J J r )( k )
dt dt
.
Учитывая, что 00
dLM
dt , получаем:
11 3 z 1 1 0
dJ ( J J r )( k ) M
dt
. (16.5.2)
При zr из (16.5.2), спроектировав на оси x, y , получим два первых уравнения Эйлера.
В ряде случаев при рациональном выборе величины r можно существенно упростить уравнения динамики
16.6. Регулярная прецессия симметричного тела
Рассмотрим быстро вращающееся симметричное относительно оси z твер-дое тело. Будем считать, что вектор угловой скорости собственного вращения
0 имеет постоянную величину, а вектор угловой прецессии * постоянную величину и направление (рис. 16.10).
215
Оси Ox y z отстают от осей, связан-ных с телом, на величину угловой скоро-сти собственного вращения 0 . Таким образом, полная угловая скорость осей Ox y z равна угловой скорости прецессии
* . Обозначим через k и k * единичные
векторы, имеющие направление собст-венного вращения 0 и прецессии * .
Тогда 0 0k , * * k * .
Вектор k * – единичный вектор, имеющий неизменное направление. Век-тор k вращается с угловой скоростью
* . Поэтому скорость конца вектора k будет:
0
dk* k
dt .
Угловая скорость тела, совершающего регулярную прецессию, по теореме сложения угловых скоростей вокруг пересекающихся осей равна:
0 * . Ее проекция на ось собственного вращения
z 0 0k * k * cos . Эта проекция постоянна, так как 0 const , const , const . Поперечная составляющая угловой скорости
1 zk * * cos k . Вектор * имеет постоянную величину. Поэтому в уравнении (16.5.2)
первое слагаемое 1
1
dJ 0
dt
. Оси Ox y z вращаются с угловой скоростью пре-
цессии. Это полная их угловая скорость, поэтому * . Следовательно, z 0 * cos ; r * cos . Тогда второе слагаемое в уравнении (16.5.2) будет:
3 0 1
3 13 0
3 0
[ J ( * cos ) J * cos ]( * * cos k ) k
J J *J (1 cos ) * k .
J
Учитывая, что 0 0k , получим:
3 13 0 0
3 0
J J *J * (1 cos ) M
J
. (16.6.1)
Рис.Рис. 16.10
'
'
'
'
216
Если 0 весьма велико, то из (16.6.1) получим уравнение приближенной
теории (16.1.4) 03 0 0
dLJ * M
dt , откуда следует
3 0J * sin mgl sin . Определим условия, когда имеет место регулярная прецессия гироскопа.
Пусть P – вес гироскопа, l – расстояние центра тяжести до точки опоры. Угол между 0 и * равен , поэтому
0M Pl sin и 0 0* * sin .
Следовательно, из (16.6.1) получим: 2
3 0 3 1J * ( J J ) * cos Pl . (16.6.2) Выражение (16.6.2) представляет собой квадратное уравнение относитель-
но * . Его корни представляют собой значения угловой скорости прецессии:
2 2
3 0 3 0 3 1
3 1
J J 4Pl( J J )cos*
2( J J )cos
. (16.6.3)
Регулярная прецессия возможна, если 2 2
3 0 3 1J 4Pl( J J )cos 0 . Пусть угловая скорость 0 достаточна велика. Тогда представляя корень в
(16.6.3) в виде ряда
3 1 3 13 0 3 02 2 2 2
3 0 3 0
4Pl( J J )cos 2Pl( J J )cosJ 1 J (1 ...),
J J
получим
3 01 2
3 0 3 1
JPl* ; *
J ( J J )cos
.
Угловая скорость 1 * соответствует медленной скорости прецессии. Значение 1 * получается из приближения теории. Другой корень соответствует быстрой прецессии.
16.7 Уравнения движения гироскопа на подвижном основании
Центр инерции гироскопа расположим в точке пересечения осей карданова подвеса. Для вывода уравнений движения воспользуемся векторным уравнением (16.5.2), которое справедливо при подвижном центре инерции, если начало координат расположить в этом центре (рис. 16.11).
217
Оси 1 1 1Cx y z неизменно свя-жем с основанием. Вектор угловой скорости вращения основания и, следовательно, осей 1 1 1Cx y z обо-
значим через . Ось 1Cz этой сис-темы будем считать направленной по оси вращения наружного кольца карданова подвеса.
Вторую систему, связанную с подвижными осями, определим так: ось Cx направлена по оси внутреннего кольца; ее положение определяется углом , отсчиты-ваемым от оси 1Cx вокруг оси 1Cz . Ось Cz направлена по оси враще-ния ротора. Ее направление зада-ется углом , отсчитываемым во-круг оси Cx . Ось Cy перпендику-лярна плоскости Czx . Поворот ро-тора задается углом . Углы
, , – это Эйлеровы углы пре-цессии, нутации и собственного вращения. Ось вращения внутрен-него кольца Cx является линией
узлов. На рис. 16.11 2
, поэто-
му оси y и 1z совпадают.
Обозначим через n ,n ,k еди-ничные орты осей Cx , Cy и Cz . Орт 1n перпендикулярен линии уз-лов Cx и расположен в плоскости
1 1Cx y под углом 2
к оси 1Cx .
Орт наружного кольца 1Cz обозна-
чим через k * . Очевидно, k* k cos n sin . (16.7.1) Оси Cxyz отстают от осей,
связанных с ротором, на величину угловой скорости собственного вращения
0k k . Поэтому их угловая скорость относительно абсолютно неподвижной системы определяется соотношением (рис. 16.12)
Рис. 16.11
Рис. 16.12
'
218
k * n . (16.7.2)
Угловая скорость ротора отличается от слагаемым k , поэтому
k . (16.7.3) Ранее было получено уравнение (16.5.2) динамики гироскопа. Здесь роль
точки О играет центр инерции. Поэтому
11 3 z 1 1 C
dJ ( J J r ) k M .
dt
(16.7.4)
Остается вычислить величины, входящие в уравнение (16.7.4). Согласно (16.7.1) и (16.7.2), получаем выражения для r :
zr k k k * k cos . Из (16.7.3) получаем z :
z k r . Проекция угловой скорости осей Cxyz на плоскость Cxy , перпендикуляр-
ная оси вращения ротора Cz , равна
1 x y( )n ( sin )n .
Это поперечная составляющая угловой скорости . Здесь предполагается, что проекции угловой скорости вращения основания x и y на оси x и y из-
вестны.
В уравнение (16.7.4) входит векторное произведение 1 k :
1 x yk ( )n k ( sin )n k .
Здесь n k n ; n k n . Поэтому
1 x yk ( )n ( sin )n .
Найдем
3 z 1 3 1 3 3 1 zJ J r J ( r ) J r J ( J J )( cos ) . Подставим соответствующие величины в уравнение (16.7.4) и спроектиру-
ем на оси Cx и Cy :
1 x 3 3 1 z y Cx
1 y 3 3 1 z x Cy
dJ ( ) J ( J J )( cos ) ( sin ) M ;
dtd
J ( sin ) J ( J J )( cos ) ( ) M .dt
(16.7.5)
Уравнения (16.7.5) представляют уравнения динамики гироскопа на под-вижном основании и являются основой для исследования гироскопических приборов и устройств.
В этих уравнениях CxM – главный момент внешних сил относительно оси вращения внутреннего кольца; CyM – главный момент внешних сил относи-
тельно перпендикулярного к оси вращения ротора направления.
219
В уравнения (16.7.5) входят проекции угловой скорости вращения основа-ния на оси Cxyz . Вектор через известные проекции x1 y1 z1, , в осях
Cxyz представляется следующим образом:
x1 y1
x1 y1 z1
x1 y1 z1
( cos sin )n
( sin cos ) cos sin n
( sin cos ) sin cos k .
(16.7.6)
Для того, чтобы получить выражение (16.7.6), необходимо каждую состав-ляющую x1 y1 z1, , последовательно спроектировать на оси Cxyz .
16.8. Гиротахометр (датчик угловых скоростей)
Если закрепить наружное кольцо относительно основа-ния и совместить его ось Cz с осью вращения, то
x10, 0 (рис. 16.13). Оси x и 1x совмещены,
ось 1y направлена противопо-ложно оси z . Угол в началь-ном положении рамки, пока-
занной на рис. 16.13, равен 2
.
Оси 1 1 1Cx y z связаны с основа-нием. Вектор угловой скорости основания направлен вдоль оси 1z , поэтому x1 y1 0 и, кроме того, поскольку ось рамки x перпенди-
кулярна 1z , то x 0 . Угол будем считать мало отличающимся от 2
:
2
,
где – малая величина. Тогда sin cos 1 .
Кроме того, здесь 0 , так как ось закреплена от поворота по отношению к основанию.
Согласно общим зависимостям:
y z1
z z1
sin sin ;
cos cos ,
где – измеряемая угловая скорость основания.
Рис. 16.13
220
Воспользуемся первым уравнением (16.7.5) для гироскопа на подвижном основании:
1 3 3 1 CxJ J ( J J ) cos sin M . (16.8.1)
В уравнении (16.8.1) учтено, что
x 0 и 0 . Угловая скорость собственного вращения 0 существенно больше уг-
ловой скорости основания, то есть .
Поэтому из (16.8.1) получаем 1 3 CxJ J M . (16.8.2)
Чтобы получить измерительный прибор, присоединим к внутреннему кольцу пружину и демпфер. Тогда
CxM c , (16.8.3) где c – жесткость кольца при повороте; – коэффициент демпфирования.
Величины c и находятся по формулам: 2
0 1c c h , 22bh ,
где 0c – линейная жесткость пружины;
1h – плечо упругой силы по отношению к оси x ; b – коэффициент сопротивления при движении поршня в демпфере; 2h – плечо демпфирующей силы по отношению к оси x .
Подставляя (16.8.3) в (16.8.2) с учетом того, что 2
, получим
1 3J c J или
22n k H , (16.8.4)
где 1
2nJ
;
1
ck
J ; 3
1
JH
J
,
при достаточно высокой собственной частоте прибора k свободные колебания быстро затухают, и мы получаем из (16.8.4)
3
2 21
JH
k J k
или
3
c
J
.
Следовательно, в некоторых пределах отклонение стрелки прибора про-порционально угловой скорости основания.
221
16.9. Гироскопы Фуко
Пусть подвижным основанием гироскопа является Земля (рис. 16.14). Расположим ось вращения наружного кольца гироскопа 1Cz по вертикали мес-та, а ось 1Cx по горизонтали на север; ось 1Cy будет находиться в той же плос-кости и окажется направленной на Запад.
Тогда проекции угловой скорости основания на оси 1 1 1( x , y , z )будут:
x1 cos ; y1 0; z1 sin , (16.9.1)
где – угловая скорость Земли; – северная широта места. В гироскопе Фуко первого рода внутреннее кольцо жестко связано с на-
ружным так, что оно находится в плоскости горизонта. Следовательно, / 2 (рис. 16.15). Поэтому ось ротора гироскопа Cz тоже остается в этой
же плоскости. Когда ось располагается в плоско-
сти меридиана, угол равен / 2 , а ось Cx направлена на запад. Обозна-чим через угол отклонения оси гиро-скопа Cz от плоскости меридиана (рис. 16.16).
Тогда угол прецессии будет / 2 , при этом, согласно
(16.9.1),
x cos sin ; y sin ;
z cos cos . (16.9.2) Если пренебречь силами трения в
подшипниках наружного кольца, то следует считать, что
Рис. 16.14 Рис. 16.15
Рис. 16.16
222
CyM 0 .
И, поскольку внутреннее кольцо закреплено, то момент CxM найдется из первого уравнения (16.7.5):
Cx 1
3 3 1
M J cos cos
J ( J J ) cos cos ( sin ).
Второе уравнение (16.7.5) приводится к виду: 1 3 3 1J J ( J J ) cos cos
( cos sin ) 0.
Учитывая, что , это уравнение можно упростить:
1 3J J cos sin 0 . (16.9.3) Если 0 , то есть вращение ротора происходит в ту же сторону, что и
вращение Земли, то уравнение (16.9.3) представляет уравнение колебаний ма-ятника вокруг положения равновесия. При этом, если мало, то период коле-баний будет
1
3
JT 2 .
J cos
(16.9.4)
При 0 положение 0 соответствует неустойчивому вертикальному положению маятника. В подобной ситуации ось гироскопа должна опрокинуть-ся в положение , причем конец вектора k должен быть направлен снова на север.
Следовательно, гироскоп Фуко первого рода позволяет в принципе уста-навливать плоскость меридиана.
В гироскопе Фуко второго рода (рис. 16.17) наружное кольцо закреплено. Ось вращения внутреннего кольца Cx направляется на Запад перпендику-
лярно к плоскости меридиана. Угол / 2 . Ось вращения ротора Cz , нахо-дясь в плоскости меридиана, имеет возможность вращаться вокруг оси внут-реннего кольца. Угол между вектором угловой скорости Земли и осью соб-ственного вращения гироскопа обозначим через .
Тогда (рис. 16.18) / 2 .
Найдем проекции угловой скорости основания на оси ( x, y, z ) :
x 0 ; y sin ; z cos .
(16.9.5)
По первому уравнению (16.7.5) согласно (16.9.5) получаем: 1 3 3 1J J ( J J ) cos sin 0 . (16.9.6)
При из (16.9.6) получаем уравнения типа уравнения колебаний маятника:
1 3J J sin 0 . (16.9.7)
223
Откуда получаем формулу для периода малых колебаний, который не за-
висит от широты места:
1
3
JT 2 .
J
(16.9.8)
Согласно (16.9.7) ось гироскопа располагается параллельно оси вращения Земли и, таким образом, возникает возможность, измеряя угол между плоско-стью гироскопа и вертикалью, определить широту места. Однако на практике влияние моментов сил трения оказывается весьма велико. Кроме того, сущест-венную роль могут оказать несовершенства ротора гироскопа, а именно, несов-падение точки пересечения осей Cx , Cy , Cz с центром тяжести ротора. Это приводит к существенным погрешностям. Поэтому при создании гирокомпасов на основе первоначальной идеи гироскопов Фуко пришлось ввести ряд новых принципов, а именно, жидкостные и электромагнитные опоры, оптический съём сигнала.
Пусть ротор гироскопа вращается, например, в электростатическом подве-се и свобода поворота собственной оси вращения ничем не ограничена.
Воспользуемся уравнением динамики гироскопа вокруг точки на его оси симметрии (16.5.2):
11 3 z 1 1 0
dJ ( J J r )( k ) M ,
dt
здесь 1 – поперечная составляющая угловой скорости ротора.
В данном случае можно считать, что 0M 0 . Пусть величина zr , тогда
3 z 1 3 1 z 1J J r ( J J ) J .
z – проекция угловой скорости ротора на ось z ;
Рис. 16.17 Рис. 16.18
224
r – проекция угловой скорости осей, отстающих от осей, связанных с ротором, на величину угловой скорости собственного вращения .
Из уравнения (16.5.2) получаем:
1 1x 3 1 z 1 1y
1 1y 3 1 z 1 1x
J ( J J ) J 0;
J ( J J ) J 0.
(16.9.9)
Введем в рассмотрение комплексную переменную
1x 1yU i .
Поделим оба уравнения на 1J . Затем умножим второе уравнение на
i 1 и сложим его с первым. В итоге получим уравнение первого порядка:
3 1z
1
J JU i( )U 0
J
. (16.9.10)
Общее решение этого уравнения (16.9.10) 3 1
z1
J Ji( )t
J0U U e
.
Следовательно, вектор поперечной угловой скорости 1 совершает коле-бания с частотой:
3 1z
1
J Jk
J
.
При большой угловой скорости собственного вращения
z .
Поэтому
3 3z
1 1
J Jk
J J .
Если ротором является шар, то 3 1J J и, следовательно, k .
При малом возмущении и большой угловой скорости собственного враще-ния ротор гироскопа сохраняет в среднем начальное направление неизменным, совершая относительно его малые колебания.
225
17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
17.1. Работа силы. Мощность
Работа силы является мерой действия на материальную точку на протяже-нии пути, ею пройденного.
Если материальная точка движется прямолинейно (рис. 17.1) и к ней приложена постоянная по величине и направлению сила F , то работа A находится по формуле
A Fs cos , (17.1.1) где s – путь, пройденный силой; – угол между линией действия силы и направлением движения.
На рис. 17.1 путь материальной точки –
это прямолинейный отрезок 1 2M M s . Вспоминая формулу для скалярного произве-дения векторов, вместо (17.1.1) можно написать:
x x y y z z
A Fs cos
F s F s F s F s ,
(17.1.2)
где x y zF ,F ,F – проекции силы F на оси ко-
ординат;
x y zs ,s ,s – проекции перемещения s .
Рассмотренное определение работы для постоянной силы, действующей на прямоли-нейном участке пути, допускает обобщение на случай криволинейного движения при действии переменной силы.
Рассмотрим бесконечно малое переме-щение 1M M ds (рис. 17.2).
Дуге ds соответствует приращение ра-диус-вектора dr . При этом ds dr dr , то
есть бесконечно малая дуга эквивалентна хорде. На бесконечно малом перемещении ds силу F можно считать постоянной по вели-чине и направлению.
Будем называть работу силы F на бес-конечно малом перемещении элементарной работой и обозначим d A . Воспользовавшись определением скалярного произведения век-торов, получаем:
Рис. 17.1
Рис. 17.2
226
x y z
d A Fds cos Fdr cos Fdr
F dx F dy F dz.
(17.1.3)
Штрих в обозначении элементарной работы означает, что она не всегда имеет структуру полного дифференциала.
Работа силы на конечном участке пути 1 2M M представляет собой сумму элементарных работ, определяемых формулой (17.1.3):
2 2 2
1 1 1
M M M
x y z
M M M
A d A Fdr ( F dx F dy F dz ). (17.1.4)
Следовательно, работа силы представляет собой криволинейный интеграл, взятый по дуге кривой 1 2M M .
Криволинейный интеграл (17.1.4) сводится к обыкновенному интегралу, если задана функция F F( t ) .
Действительно, учитывая, что dr
dt и, следовательно, dr dt , вместо
(17.1.4) получим
2
1 0
M t
M t
A Fdr F dt . (17.1.5)
Выражение (17.1.5) представляет собой уже обыкновенный интеграл по времени.
Из определения работы следует, что работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении.
Кроме того, работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые разбито перемещение.
Работа, которую может совершить сила за единицу времени, называ-ется мощностью.
Таким образом, мощность характеризует работоспособность какого-либо источника силы.
Следовательно, мощность может быть определена по формуле:
x x y y z z
d A drN F F F F F .
dt dt
(17.1.6)
То есть мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки. При этом, чем больше скорость, тем меньше сила при одной и той же мощности.
17.2. Примеры вычисления работы силы
Работа силы тяжести материальной точки и системы материальных точек
Силу тяжести P материальной точки m вблизи поверхности Земли можно считать постоянной и направленной по вертикали вниз.
227
Пусть ось z направлена вверх (рис. 17.3). Тогда xP 0 ; yP 0 ;
zP P mg . Найдем работу:
2 2
1 1
M M
x y z 2 1
M M
A ( P dx P dy P dz ) mg dz mg( z z ) mgh, (17.2.1)
где 1 2h z z – высота опускания точки. Следовательно, работа силы тяжести
положительна при опускании точки и от-рицательна при подъеме.
В случае системы материальных то-чек работа сил тяжести представляет со-бой сумму работ для отдельных точек:
N N
i i1 i i2i 1 i 1
A g( m z m z )
.(17.2.2)
Согласно определению центра масс N
i i1 c1i 1
m z mz
;N
i i2 c2i 1
m z mz
,
где m – масса системы;
c1z – начальное положение центра масс; c2z – конечное положение центра масс.
Следовательно, формулу (17.2.2) можно переписать так:
c1 c2A mg( z z ) mgh . (17.2.3) Здесь h – высота опускания центра масс материальной системы. Таким образом, при вычислении работы сил тяжести, любую систему ма-
териальных точек можно рассматривать как материальную точку, которая на-ходится в центре масс, при этом работа силы тяжести равна произведению мас-сы системы на высоту опускания центра масс (17.2.3). В этом случае работа по-ложительна. Если же центр масс поднимается, то работа сил тяжести системы будет отрицательной.
Как видно, работа силы тяжести не зависит от формы траектории и определя-ется только разностью уровней центра масс.
Работа линейной упругой силы
Рассмотрим сначала случай, когда сила действует вдоль пружины. Пусть, например, упругая пружина расположена вдоль оси y и так же действует сила yF
(рис. 17.4). Тогда упругая сила будет
cyF cy , где c – коэффициент жестко-
Рис. 17.3
Рис. 17.4
P
228
сти пружины; y – перемещение конца пружины из ненапряженного состояния или статического равновесия. Очевидно, элементарная работа упругой силы
d A dA cydy . Интегрируя последнее соотношение в пределах 1 2y , y , найдем:
2
1
y 2 22 1
y
c( y y )A c ydy
2
. (17.2.4)
Согласно (17.2.4) работа линейной упругой силы на перемещении из со-стояния статического равновесия всегда отрицательна:
2cyA
2 .
Если изобразить на графике зависимость силы yF как функцию перемеще-
ния y , то получим прямую, переходящую через начало координат (рис. 17.5). При этом работа силы на участке
1 2( y , y ) численно будет равна площади за-штрихованной трапеции. Соответствующая работа упругой силы cyF будет равна по ве-
личине и противоположна по знаку. Рассмотрим более сложный случай.
Пусть упругим элементом является круг-лый стержень, заделанный одним концом (рис. 17.6). Перемещения будем считать малыми, чтобы иметь линейную зависи-мость между силой F и перемещением r . Тогда проекции упругой силы на оси x и y будут cxF cx , cyF cy .
Жесткость стержня c находится по известной формуле сопротивления мате-риалов:
3
3EJc
l ,
где E – модуль упругости; J – момент инерции относительно цен-тральной оси сечения; l – длина стержня.
Элементарная работа будет 2
c
rd A F dr c( xdx ydy ) cr dr cd( ).
2
Интегрируя последнее выражение, найдем:
Рис. 17.5
Рис. 17.6
229
2 2
1 1
M r 2 221 2
c
M r
( r r )rA F dr c d( ) c .
2 2
(17.2.5)
В данном случае элементарная работа является полным дифференциалом, и поэтому работа не зависит от формы траектории. Кроме того, работа опреде-ляется разностью квадратов расстояний до центра стержня в начальном и ко-нечном состоянии.
Работа силы сухого трения
Сила сухого трения определяется силой нормального давления и противо-положна по направлению скорости движения v :
F fNsignv , где f – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления;
vsignv
v – знак скорости скольжения v (рис. 17.7).
При движении вдоль оси x в положительном направлении d A fNdx .
Откуда следует, что
2 1A fN( x x ) fNs , (17.2.6) где 2 1x x s – путь, пройденный телом.
Если тело меняет направление движения, то меняется знак силы и знак перемещения. Поэтому вновь получается формула (17.2.6).
Вообще при вычислении работы силы сухого трения необходимо вы-числить путь, пройденный телом, то есть разбить перемещение на участки его монотонного изменения и про-суммировать. Затем воспользоваться формулой (17.2.6). Очевидно, работа силы сухого трения всегда отрицательна.
Элементарная работа сил, действующих на абсолютно твердое тело
Выберем в качестве полюса произвольную точку O (рис. 17.8). Обозначим радиус-вектор i -й точки iM через i . Элементарное перемещение точки iM
складывается из элементарного перемещения полюса 0 0 0 0dr dx i dy j dz k и
перемещения за счет поворота id , где x y zd d i d j d k – элемен-
тарный угол поворота тела.
Рис. 17.7
F
N
y
xO v
230
Таким образом, элементарное перемещение точки iM будет:
i 0 idr dr d . (17.2.7) Вектор элементарного поворо-
та d связан с вектором мгновен-ной угловой скорости соотноше-нием d dt . Элементарная ра-бота сил d A будет:
N N
i i i 0i 1 i 1
N
i ii 1
d A Fdr ( F )dr
F( d )
.(17.2.8)
В выражении (17.2.8) N
ii 1
F F
– главный вектор сил,
действующих на твердое тело. Второе слагаемое в (17.2.8), согласно свойству скалярно-векторного про-
изведения, преобразуется следующим образом: N N
i i i i 0i 1 i 1
F ( d ) ( F )d M d
,
где N
0 i ii 1
M F
– главный момент сил iF относительно полюса O .
Таким образом, вместо (17.2.8) можно написать: 0 0d A Fdr M d . (17.2.9)
Главный момент и главный вектор внутренних сил, действующих на твер-дое тело, равен нулю. Поэтому внутренние силы, действующие в твердом теле, не совершают работы.
Окончательно можно сформулировать следующее утверждение. Элементарная работа сил, действующих на абсолютно твердое тело,
равна алгебраической сумме работы главного вектора этих сил на элемен-тарном поступательном перемещении тела вместе с произвольно выбран-ным полюсом и работы главного момента сил, взятого относительно по-люса, на элементарном вращательном перемещении тела вокруг полюса.
17.3. Кинетическая энергия системы материальных точек
Теорема Кенига
Кинетическая энергия материальной точки наряду с количеством движе-ния является мерой ее механического движения и определяется формулой
Рис. 17.8
231
2mvT
2 , (17.3.1)
где m – масса точки; v – ее скорость, 2v v v .
Если учесть, что количество движения K mv , то выражение (17.3.1) для T можно переписать в виде скалярного произведения:
1 1T mv v K v
2 2 .
(17.3.2)
Кинетическая энергия системы материальных точек есть сумма кинетиче-ских энергий отдельных точек:
N
2i i
i 1
1T m v
2
,
(17.3.3)
или по аналогии с (17.3.2), N
i ii 1
1T K v
2
. (17.3.4)
Здесь i i iK m v – количество движения i -й материальной точки. При вычислении кинетической энергии полезной является теорема Кенига
(1712–1757). Методика вычисления кинетической энергии основана на том, что движение системы представляется в виде суммы переносного движения вместе с центром масс и относительного движения по отношению к поступательно движущейся системе осей вместе с центром масс.
Суть теоремы Кенига в следующем: Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме ки-
нетической энергии материальной точки, масса которой равна массе сис-темы и которая движется со скоростью центра масс, и кинетической энергии точек в относительном движении по отношению к поступатель-но движущейся системе осей вместе с центром масс:
N
2 2c i i
i 1
1 1T mv m u
2 2
.
(17.3.5)
В формуле (17.3.5) через m обозначена масса системы; cv – скорость ее центра масс; iu – скорости точек системы по отношению к поступательно дви-жущимся осям вместе с центром масс.
Докажем эту теорему. Пусть скорость i -й точки представлена в виде суммы:
i c iv v u . (17.3.6) Кинетическая энергия T , если воспользоваться формулой (17.3.6), запи-
шется в виде:
232
N N N2
i i i i i i c i c ii 1 i 1 i 1
N N N
i c c i i c i i ii 1 i 1 i 1
2 N N2c
i i c i ii 1 i 1
1 1 1T m v m v v m ( v u )( v u )
2 2 2
1 1m v v m u v m u u
2 2
mv 1m u v m u .
2 2
Если начало подвижной системы находится в центре масс, то слагаемое N
c i ii 1
v m u 0
.
Действительно, N
i i ci 1
m u mu ,
где cu – относительная скорость центра масс по отношению к подвижному нача-лу. Но эта величина равна нулю, так как подвижное начало является центром масс.
Поэтому 2 N
2ci i
i 1
mv 1T m u
2 2
.
Если подвижное начало не совпадает с центром масс, то для кинетической энергии получаем формулу
2 N2c
0 0 i ii 1
mv 1T mu v m u
2 2
.
(17.3.7)
Здесь 0v – скорость начала некоторой поступатель-но движущейся системы; 0u – относительная скорость центра масс по отношению к подвижному началу O ;
iu – относительная скорость i -й точки по отношению к подвижным осям.
Формула (17.3.7) может быть полезна при вычис-лении кинетической энергии, если по каким-либо сооб-ражениям за полюс целесообразно взять точку, отлич-ную от центра масс.
17.4. Кинетическая энергия твердого тела при вра-щательном движении вокруг неподвижной оси,
точки и в общем случае движения
Вращение вокруг неподвижной оси
Скорости точек тела при вращении вокруг непод-вижной оси (рис. 17.9) находятся по формуле:
zv h . (17.4.1) Рис. 17.9
v
233
В формуле (17.4.1) z – угловая скорость вращения тела; h – расстояние точки M до оси вращения.
Кинетическая энергия материальной точки M массой dm будет 2 2 2
z
1 1dT dmv h dm
2 2 .
(17.4.2)
Интегрируя выражение (17.4.2) по массе тела, найдем его кинетическую энергию
2 2z
( m ) ( m )
1T dT h dm
2 .
Но величина 2z
( m )
h dm J представляет собой осевой момент инерции те-
ла относительно оси z . Следовательно, 2
z zJT
2
.
(17.4.3)
Формула (17.4.3) аналогична формуле (17.3.1), выражающей кинетическую энергию точки.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
Формула (17.4.3) не меняет своего вида при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной точки.
Известно, что распределение ско-ростей соответствует вращению вокруг мгновенной оси, являющейся вектором угловой скорости (рис. 17.10). Ско-рость точки находится по формуле Эй-лера v r , ее модуль v h , где h – отрезок перпендикуляра, опущенного из точки M на мгновенную ось.
Поэтому в случае вращения твер-дого тела вокруг неподвижной точки для кинетической энергии получим вы-ражение
2JT
2
. (17.4.4)
Только величина момента инерции будет переменной, так как непрерывно меняется направление мгновенной оси .
Момент инерции относительно оси, произвольно расположенной в про-странстве, определяется по формуле
2 2 2x y z
xy xz yz
J J J J
2J 2J 2J ,
Рис. 17.10
234
где , , – направляющие косинусы мгновенной оси . Учитывая, что проекции вектора угловой скорости на оси x, y, z опре-
деляются соотношениями x y z, , , формула (17.4.4) пере-
писывается следующим образом: 2 2 2
x x y y z z xy x y xz x z yz y z
1T ( J J J 2J 2J 2J )
2 .
(17.4.5)
Кинетическая энергия твердого тела в общем случае движения
При вычислении кинетической энергии твердого тела в случае произволь-ного движения целесообразно воспользоваться теоремой Кенига.
Если расположить начало подвижной системы в центре масс, то для кине-тической энергии справедлива формула
2 2c
1 1T mv J
2 2 ,
(17.4.6)
где m – масса тела; cv – скорость центра масс; J – момент инерции относи-тельно мгновенной оси , являющейся вектором угловой скорости, проходя-щей через центр инерции.
Величина 21J
2 находится по формуле (17.4.5).
Если учесть, что количество движения тела cK mv , а момент количества
движения cL относительно центра масс C
c x x xy y xz z
yx x y y yz z
zx x zy y z z
L ( J J J )i
( J J J ) j
( J J J )k ,
то формулу (17.4.6) можно переписать следующим образом:
c c
1 1T K v L
2 2 .
(17.4.7)
В формулу (17.4.7) вошли количество движения тела и момент количества движения тела относительно центра масс.
Формула (17.4.6), естественно, справедлива и при плоском движении. При таком движении скорости всех точек тела в каждый момент времени распреде-лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоско-сти движения и проходящей через мгновенный центр скоростей p .
Следовательно, пользуясь формулой для кинетической энергии при вра-щении вокруг оси, получим
2p
1T J
2 ,
где pJ – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси; – уг-
ловая скорость тела.
235
Но, согласно теореме Штейнера–Гюйгенса о моментах инерции относительно параллель-ных осей,
2p cJ J m .
Здесь cJ – момент инерции относительно центра масс; m – масса тела; – расстояние мгновенного центра скоростей до центра масс (рис. 17.11).
Учитывая, что cv , получим выражение для кинетической энергии:
2 2c c
1 1T mv J
2 2 .
(17.4.8)
Формула (17.4.8) является непосредственным следствием общей зависимо-сти (17.4.6) и могла бы быть написана сразу без вывода.
17.5. Теорема об изменении кинетической энергии
Теорема об изменении кинетической энергии устанавливает связь между работой сил, действующих на точки механической системы, и ее кинетической энергией.
Рассмотрим в начале отдельную материальную точку. Воспользуемся ее уравнением динамики:
dv
m Fdt
, (17.5.1)
где F – равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке. Умножим скалярно (17.5.1) на элементарное перемещение точки dr
dv
m dr F drdt
.
(17.5.2)
В выражении (17.5.2) справа стоит выражение элементарной работы d A . Учитывая, что
2dv dr m mvm dr mdv mvdv d ( v v ) d dT
dt dt 2 2 ,
где 2mv
T2
– кинетическая энергия материальной точки, из (17.5.2) получим,
что dT d A . (17.5.3)
Соотношение (17.5.3) выражает теорему об изменении кинетической энер-гии для материальной точки в дифференциальной форме:
Приращение кинетической энергии материальной точки на элемен-тарном перемещении равно элементарной работе равнодействующей силы, приложенной к точке на этом же перемещении.
Рис. 17.11
236
Интегрируя соотношение (17.5.3) в пределах, соответствующих началу 1M и концу движения 2M , получим:
2 1 12T T A . (17.5.4) Здесь
22
2
mvT
2 ;
21
1
mvT
2 ;
2
1
M
12
M
A d A .
Выражение (17.5.4) представляет собой теорему об изменении кинетиче-ской энергии в интегральной форме:
Приращение кинетической энергии материальной точки на конечном перемещении равно работе равнодействующей силы, к ней приложенной, на том же перемещении.
В ряде случаев полезной может быть другая формулировка дифференци-альной формы доказанной теоремы.
Умножим скалярно обе части уравнения динамики на dr
vdt
:
dv
m v F vdt
.
(17.5.5)
В полученном выражении 2dv d mv dT
m vdt dt 2 dt
;
F v N – мощность силы. Поэтому вместо (17.5.5) получаем
dT
Ndt
.
(17.5.6)
То есть, производная по времени от кинетической энергии материаль-ной точки равна мощности равнодействующей силы, к ней приложенной.
В случае системы материальных точек доказанная теорема справедлива для каждой в отдельности материальной точки.
В частности, справедлива ее дифференциальная форма: i idT d A .
Однако здесь следует подчеркнуть, что элементарная работа id A обуслов-лена действием как внешних сил, приложенных к точке, так и внутренних сил, то есть реакций связей и сил взаимодействия между точками.
Суммируя эти уравнения по всем точкам системы, получаем: N N
i ii 1 i 1
dT d A
.
Поскольку N N
i ii 1 i 1
dT d T dT
,
237
где 2N
i i
i 1
m vT
2
– кинетическая энергия системы и N
*i
i 1
d A d A d A
– работа
внешних и внутренних сил на совокупности элементарных перемещений idr , то можно написать
*dT d A d A . (17.5.7) Здесь d A – элементарная работа внешних сил; *d A – элементарная работа
внутренних сил. Равенство (17.5.7) выражает теорему об изменении кинетической энергии в
дифференциальной форме: Приращение кинетической энергии системы материальных точек на
множестве ее элементарных перемещений равно элементарной работе внешних и внутренних сил на этом же множестве перемещений.
Интегрируя равенство (17.5.7) в пределах, соответствующих началу и кон-цу движения:
( 2 ) ( 2 )*
( 1 ) ( 1 )
dT ( d A d A ) ,
получим: *
2 1 12 12T T A A , (17.5.8) то есть приращение кинетической энергии системы на множестве ее ко-нечных перемещений равно сумме работ внешних и внутренних сил, при-ложенных к точкам системы на этом же множестве перемещений.
Дифференциальная форма (17.5.6) для отдельной точки обобщаются и на случай системы материальных точек:
N N
*i i i i
i 1 i 1
dTF v R v N N
dt
. (17.5.9)
Здесь N – мощность внешних сил; *N – мощность внутренних сил iR . То есть производная по времени от
кинетической энергии системы матери-альных точек равна мощности внешних и внутренних сил, приложенных к системе.
Рассмотрим примеры. 1. Для механической системы, изобра-
женной на рис. 17.12, найти скорость груза D при опускании его на высоту h . Массы тел связаны соотношениями:
A B C D
1m m m m m
2 .
Радиусы дисков, которые считаются однородными, одинаковы:
Рис. 17.12
238
A B CR R R R . Коэффициент трения качения тела A равен . Угол наклона плоскости –
. В начальный момент времени система находилась в покое. Согласно теореме об изменении кинетической энергии в интегральной
форме имеем:
2 1 12T T A . Поскольку в начальный момент времени система находилась в покое, то
1T 0 . Сначала построим план скоростей, так как это облегчает составление выражения кинетической энергии.
2 22 2 2 2C C C CA A A A B B D D
2
m v Jm v J J m vT
2 2 2 2 2 2
.
Согласно плану скоростей
Av v ; A
v
R ; B
2v
R ; C Dv v v ; C
v
R .
С учетом этих соотношений выражение для 2T будет: 2 2 2
2 2 22 2
3 mR 4v 3 2mv 7T mv mv mv
4 2 2R 4 2 2 .
Работа сил тяжести и сил трения:
12A mgh( sin cos 3 )R
,
тогда 2
v gh( 3 sin cos )7 R
.
2. В качестве другого приме-ра рассмотрим определение собст-венной частоты колебаний меха-нической системы, изображенной на рис. 17.13, пользуясь диффе-ренциальной формой теоремы об изменении кинетической энергии. Система состоит из платформы, расположенной на двух катках.
Платформа прикреплена пружиной к неподвижной опоре. Масса платформы M , масса каждого из катков m . Жесткость пружины c . Найти частоту колеба-ний системы.
Согласно (17.5.9), dT
Ndt
.
22 2Mv 3 v 1 3
T 2 m( ) ( M m )v2 4 2 2 4
.
N cxv .
Рис. 17.13
239
Подставляем dT
dt и N в математическое выражение теоремы об изменении
кинетической энергии в дифференциальной форме: 3
M m vx cxv4
,
или 3
M m x cx 04
.
Запишем последнее уравнение в стандартной форме: 2x k x 0 .
Откуда следует формула для собственной частоты колебаний: c
k3
M m4
.
240
18. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО СИЛОВОГО ПОЛЯ
18.1. Понятие о силовом поле
Класс сил, зависящих от координат точки в пространстве или от взаимного расположения точек, занимает особое место в механике. Такие силы называют-ся позиционными. Позиционными являются силы тяготения, электростатиче-ские, силы упругости.
Часть пространства, в котором на материальную точку действует некоторая сила, являющаяся однозначной функцией координат и не зави-сящая от скорости движения точки, называется силовым полем.
Силовое поле может меняться в данной точке с течением времени или ос-таваться постоянным. В первом случае оно называется нестационарным, во втором – стационарным. В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь ста-ционарных силовых полей.
В стационарном силовом поле вектор силы F можно рассматривать как векторную функцию радиус-вектора:
F F( r ) . Эта зависимость эквивалентна трем скалярным соотношениям, опреде-
ляющим проекции силы на оси координат:
x xF F ( x, y, z ) , y yF F ( x, y, z ) , z zF F ( x, y, z ) ,
которые не зависят от движения точки в пространстве. Структура поля геометрически интерпретируется системой силовых ли-
ний, проходящих через каждую точку пространства. Проведем через точку поля M век-
тор силы F , с которой поле действует на материальную точку. На линии дей-ствия силы F выберем близкую точку M и через нее также проведем силу F , с которой поле действует на материаль-ную точку. Продолжая построение, по-лучим ломаную линию, которая в преде-ле при сближении соседних точек пре-вращается в кривую, называемую сило-вой линией поля (рис. 18.1).
Согласно определению, силы поля направлены по касательной к силовой линии. Это условие выражается следующей системой соотношений:
x y z
dx dy dz
F F F ,
которые являются дифференциальными уравнениями силовых линий.
Рис. 18.1
''
''
'''
''''
'
241
18.2. Необходимые и достаточные условия независимости работы сил поля от формы траектории
В результате перемещения точки из начального положения 0M в конечное положение 1M совершается работа:
1 1
0 0
M M
01 x y z
M M
A Fdr ( F dx F dy F dz ) .
(18.2.1)
Криволинейный интеграл в общем случае зависит от формы траектории. Однако, если подынтегральное выражение будет иметь структуру полного
дифференциала некоторой функции, которую обозначим П( x, y,z ) , то инте-грал берется сразу и его величина равна разности начального и конечного зна-чения функции П( x, y, z ) .
Функция П( x, y, z ) называется потенциальной энергией или потенциалом. Итак, пусть функция П( x, y, z ) определена единственным образом в точке
рассматриваемой области пространства и пусть
x y z
П П Пd A dA dП dx dy dz
x y z
F dx F dy F dz,
(18.2.2)
то есть выполняются условия, что
x
ПF
x
; y
ПF
y
; z
ПF
z
.
(18.2.3)
Тогда вместо (18.2.1) можно написать: 1
0
M
01 0 0 0
M
A dП П( x , y , z ) П( x, y, z ) ,
так как интеграл от полного дифференциала некоторой функции равняется раз-ности этой функции от верхнего и нижнего предела.
Следовательно, работа по переводу точки из начального в конечное поло-жение не зависит от формы траектории.
Таким образом, доказана достаточность условий (18.2.3). Иными словами, для того, чтобы работа в силовом поле не зависела от
формы траектории, а определялась только начальным и конечным поло-жением точки, необходимо существование однозначной функции коорди-нат, частные производные которой равны соответствующим проекциям силы на оси координат.
Для доказательства необходимости предположим, что 1
0
M
01 x y z 0 0 0
M
A ( F dx F dy F dz ) П( x, y, z ) П( x , y , z ) ,
и затем докажем, что из этого условия следуют формулы (18.2.3).
242
Рассмотрим некоторую точку 2M , бесконечно близкую к 1M , и найдем ра-боту 02A .
2
0
M
02 x y z 0 0 0
M
A ( F dx F dy F dz ) П( x dx,y dy,z dz ) П( x , y ,z ) .
Разность работ 02 01A A представляет элементарную работу на бесконечно
малом пути 1 2M M dr :
x y zd A F dx F dy F dz
П( x dx, y dy, z dz ) П( x, y, z )
П П ПdП dx dy dz .
x y z
Учитывая, что дифференциалы dx, dy, dz независимы друг от друга, оста-ется принять, что справедливы условия (18.2.3).
Следовательно, условия (18.2.3) являются необходимыми и достаточны-ми условиями независимости работы в силовом поле от формы траектории.
Система равенств (18.2.3) эквивалентна одному векторному равенству: F gradП . (18.2.4)
В выражении (18.2.4) gradП – это вектор с проекциями П П П
, ,x y z
,
который называется градиентом функции П . Для сокращенной записи дифференциальных векторных операций вводит-
ся оператор (Набла).
i j kx y z
.
Тогда равенство (18.2.4) можно переписать следующим образом: F П .
Кроме того, 2 2П П
x y y x
;
2 2П П
x z z x
;
2 2П П
y z z y
.
Последние условия можно записать в символической форме:
x y z
i j k
rotF F 0x y z
F F F
,
(18.2.5)
где rotF – вихрь поля. Равенство (18.2.5) также представляет собой условие потенциальности си-
лового поля, так как оно является следствием соотношений (18.2.3).
243
В выражение работы потенциальная энергия входит в виде разности ее значений в начальной и конечной точках. Поэтому саму потенциальную энер-гию можно определить с точностью до постоянной и, в частности считать, что
0 0 0П x , y , z 0 ,
01 10A A П( x, y, z ) . Работа представляет собой работу по возвращению точки в начальное по-
ложение. Следовательно, при вышеуказанном выборе постоянной, потенциаль-ная энергия П( x, y, z ) представляет собой работу по переводу точки из данного положения в начальное.
Рассмотрим поверхность П( x, y, z ) C ,
где C – некоторая постоянная. Поверхность, соответствующая фиксированному уровню потенциальной
энергии, называется поверхностью уровня. На поверхности уровня:
П П ПdП dx dy dz 0
x y z
.
Последнее равенство есть скалярное произведение двух векторов: dr dxi dyj dzk
и П П П
dradП i j kx y z
,
причем вектор dr представляет собой касательную к поверхности уровня в данной точке и ориентирован произвольным образом.
Следовательно, вектор gradП направлен по нормали к поверхности уров-ня в сторону возрастания П .
Поэтому сила F gradП направлена в сторону убывания потенциальной энергии.
В случае системы материальных точек потенциальная энергия является функцией i i ix , y , z координат точек. При этом
ix
i
ПF
x
; iy
i
ПF
y
; iz
i
ПF
z
.
Элементарная работа: N
ix i iy i iz ii 1
N
i i ii 1 i i i
dA ( F dx F dy F dz )
П П П( dx dy dz ) dП .
x y z
Рассмотрим примеры вычисления потенциальной энергии. 1. Потенциальная энергия поля силы тяжести.
244
Пусть ось z направлена вертикально вверх. В случае одной точки веса P mg будем иметь:
d A dП Pdz mgdz . Откуда
П Pz mgz . В случае системы материальных точек
N
i i ci 1
П m gz mgz
,
где cz – координата центра масс системы; m - ее масса. 2. Потенциальная энергия упругого тела.
В случае пружины 21
П cy2
,
где c – жесткость пружины; y – ее деформация положения статического рав-новесия.
В общем случае для упругого тела, подчиняющегося закону Гука, имеем:
x 11 12 13F ( a x a y a z ) ; y 21 22 23F ( a x a y a z ) ;
z 31 32 33F ( a x a y a z ) . Согласно условиям
yxFF
y x
; xz FF
x z
; y z
F F
z y
.
получаем
12 21 13 31 32 23a a ; a a ; a a , то есть матрица
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
C a a a
a a a
, (18.2.6)
называемая матрицей упругих постоянных, является симметричной. Потенциальная энергия найдется как интеграл:
0 0
M M
x y z
M M
yx
11 12 13 21 22 23
0 0
z
31 32 33
0
2 2 211 22 33 12 13 23
П dП ( F dx F dy F dz )
( a x a y a z )dx ( a x a y a z )dy
( a x a y a z )dz
1( a x a y a z 2a xy 2a xz 2a yz ).
2
(18.2.7)
245
Следовательно, потенциальная энергия упругой системы является одно-родной квадратичной формой координат. При этом формула (18.2.7) может быть записана в виде:
T1П U CU
2 , (18.2.8)
где TU x, y, z – вектор перемещений в точке приложения силы; C – матрица
упругих постоянных (18.2.6). 3. Потенциальная энергия поля центральной силы тяготения.
Согласно закону всемирного тяготения,
1 22
m m rF
r r ,
где – гравитационная постоянная; 1 2m , m – массы притягивающихся точек, r – расстояние между ними.
Элементарная работа
1 2 1 22 2
m m m mrdrd A dA dП Fdr dr
r r r .
Если принять за начальную бесконечно удаленную точку 0r , а в каче-стве конечной взять некоторое значение расстояния r , то получим
r
1 2 1 22
m m m mП dr
r r
. (18.2.9)
18.3. Теорема об изменении механической энергии
Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим систему материальных точек, на каждую точку которой дейст-вуют потенциальные силы и силы сопротивления, направленные в сторону, противоположную скорости движения.
Относительно характера сил сопротивления ivF не будем делать никаких
предположений. Это могут быть силы, зависящие или не зависящие от скорости движения. Единственный существенный признак этих сил – это то, что угол между силой и скоростью равен .
Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в дифферен-циальной форме:
dT d A . (18.3.1) Здесь элементарная работа d A состоит из двух слагаемых: элементарной
работы потенциальных сил dП и элементарной работы непотенциальных сил сопротивления *d A
*d A dП d A . Поэтому равенство (18.3.1) принимает вид
*dT dП d A или
246
*d(T П ) d A . (18.3.2) Элементарная работа сил сопротивления отрицательна:
i i i
N N N*
v i v i v ii 1 i 1 i 1
d A F dr F dr cos F dr
.
(18.3.3)
Подставим (18.3.3) в равенство (18.3.2):
i
N
v ii 1
d(T П ) F dr
. (18.3.4)
В соотношении (18.3.4) под знаком дифференциала находится величина T П , которую естественно считать полной механической энергией системы E :
T П E . (18.3.5) При этом величина d(T П ) dE при действии непотенциальных сил, со-
гласно (18.3.3), всегда отрицательна, то есть полная энергия системы убывает.
Разделим обе части равенства (18.3.4) на dt , учитывая, что ii
drv
dt и T П E :
i
N
v ii 1
dEF v 0
dt
.
(18.3.6)
Величина справа в этом выражении представляет собой мощность непо-тенциальных сил
i
N*
v ii 1
N F v
,
(18.3.7)
то есть производная по времени от полной энергии системы отрицательна. Следовательно, полная механическая энергия системы под действием сил
сопротивления убывает, переходя при этом в другие формы. Рассмотрим случай, когда силы сопротивления vF пропорциональны ско-
рости движения. Это случай вязкого сопротивления:
iv i iF b v .
Подставляя значения модуля силы ivF в выражение мощности непотенци-
альных сил *N (18.3.7), найдем N
* 2i i
i 1
N b v
.
Если ввести функцию
N
2i i
i 1
1Ф b v
2
, (18.3.8)
то окажется, что модуль силы ivF найдется по формуле
iv
i
ФF
v
.
247
Функция Ф (18.3.8) называется функцией рассеяния энергии Релея и игра-ет важную роль в механике. Используя понятие о функции Релея, формулу (18.3.6) можно переписать в виде
dE2Ф
dt ,
то есть скорость убывания полной механической энергии при наличии сил вяз-кого сопротивления равна удвоенной функции Релея.
При условии, что *N 0 , имеем: dE
0dt
,
и, следовательно, E const .
Это равенство выражает закон сохранения полной механической энергии системы, который имеет место при движении системы в потенциальном сило-вом поле.
Рассмотрим примеры. 1. Определить высоту h над поверхностью Земли, на которую поднимает-
ся вертикально запущенная ракета, начальная скорость которой равна 0v . Найти скорость, при которой ракета не упадет на Землю. Силами сопротивления атмо-сферы пренебречь. Радиус Земли равен 6370 км.
Применим закон сохранения механической энергии
0 0T П T П const .
Учтем, что конечная скорость ракеты v 0 , а для потенциальной энергии следует использовать формулу (18.2.9). Таким образом:
20
0
mvT
2 ; З
0
m mП
R ;
T 0 ; Зm mП
R h
,
где Зm – масса земли; m – масса ракеты; R – радиус Земли; h – высота подъе-ма ракеты.
Подставляя величины 0 0T , П , T , П в исходное уравнение, получим 20 З Зmv m m m m
2 R R h
На поверхности Земли сила притяжения равна силе тяжести, то есть
З2
mmmg
R ,
поэтому 2Зm gR .
С учетом последнего равенства найдем h : 20
20
v Rh
2gR v
.
248
Если ракета покидает Землю, то h , следовательно, 202gR v 0 и
3 30v 2gR 2 9,81 6370 10 11,2 10 м/с.
Это вторая космическая скорость. 2. Доказать, что при косом соударении биллиардных шаров, они разлетятся
под прямым углом. Удар считать абсолютно упругим, силами сопротивления пренебречь.
Массы шаров одинаковы: 1 2m m m . Выберем инерциальную систему координат Oxy , движущуюся со скоро-
стью 10v const (рис. 18.2). Тогда относительные скорости шаров по от-
ношению к осям Oxy до соударения будут:
10
20 1020
v 0;rv v v .r
Законы механики справедливы в любой инерциальной системе координат. Поэтому, со-гласно закону сохранения количества движения,
20 1 2mv mv mvr r r , где 1v r и 2v r – относительные скорости шаров по-
сле соударения, а согласно закону сохранения механической энергии: 2 2 220 1 2mv mv mvr r r2 2 2
.
Поскольку массы шаров одинаковы, то
20 1 2
2 2 220 1 2
v v v ,r r r
v v v .r r r
Но это возможно лишь при условии, что 1 2v v r , то есть, если шары раз-летаются под прямым углом.
Рис.Рис. 18.2
249
19. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
19.1 Основные определения. Связь принципа Даламбера с теоремой об изменении количества движения и момента количества движения
Если воспользоваться принципом освобождаемости от связей по отноше-нию к несвободной системе материальных точек, то для каждой точки можно написать следующее дифференциальное уравнение:
i i i im r F R , i 1,N , (19.1.1)
где iF – равнодействующая внешних сил, действующих на точки системы;
iR – равнодействующая внутренних сил, приложенных к точке. Уравнения (19.1.1) можно переписать и в такой форме:
i i i iF R m r 0 . Величина
i i iS m r называется силой инерции, поэтому формально уравнения
i i iF R S 0 , i 1,N , (19.1.2) можно рассматривать как уравнения равновесия. В этом как раз и состоит суть принципа Даламбера.
То есть, если к точкам несвободной системы наряду с внешними сила-ми приложить силы инерции, то совокупность внешних сил уравновешива-ется реакциями связей и силами инерции.
Принцип Даламбера, таким образом, в некоторых случаях позволяет сво-дить решение задач динамики к задачам статики.
Это имеет место при решении первой задачи динамики, когда по заданным кинематическим уравнениям движения определяется сила. При решении второй задачи динамики принцип Даламбера иногда позволяет упростить составление уравнений движения, то есть облегчает постановку задачи. Но необходимость интегрирования уравнений движения при этом сохраняется.
Использование понятия силы инерции и рассмотренная формулировка принципа Даламбера положены в основу кинетостатики – раздела механики, целью которого является применение методов статики, в том числе и принципа виртуальных перемещений, к решению задачи динамики машин и механизмов.
Из статики известно, что геометрическая сумма сил, находящихся в равно-весии, и сумма их моментов относительно любого центра O равны нулю. По-этому для системы в целом на основании принципа Даламбера можно написать:
N
i i ii 1
N
0 i 0 i 0 ii 1
( F R S ) 0;
M ( F ) M ( R ) M ( S ) 0.
(19.1.3)
В уравнениях (19.1.3) главный вектор и главный момент относительно центра O внутренних сил равны нулю, поэтому
250
N
i ii 1
N
0 i 0 ii 1
( F S ) 0;
M ( F ) M ( S ) 0.
(19.1.4)
Уравнения (19.1.4) не содержат внутренних сил и эквивалентны по суще-ству теоремам об изменении количества движения и момента количества дви-жения.
Рассмотрим главный вектор сил инерции: N N
i i i ci 1 i 1
S m a ma
, (19.1.5)
где ia – ускорения точек системы; ca – ускорение центра масс; m – масса системы.
Таким образом, главный вектор сил инерции системы материальных точек, совершающей произвольное движение, равен произведению массы системы на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению. Однако точка приложения равнодействующей сил инерции не совпадает в общем слу-чае с центром масс.
Главный момент сил инерции S0M находим по формуле
N NS0 0 i i i i
i 1 i 1
M M ( S ) r m a
.
(19.1.6)
Пример. Однородный стержень AB длиной
l и весом P mg прикреплен шарни-ром A к вертикальному валу, вращаю-щемуся с угловой скоростью . Найти натяжение T горизонтальной нити, удерживающей стержень (рис. 19.1). Центробежная сила инерции для эле-мента стержня dm равна 2dm x , где x – расстояние до оси вращения. Таким образом, силы инерции распределены по линейному закону.
Главный вектор сил инерции опре-деляется ускорением центра масс:
2 2c c
lS ma m x m sin
2 .
Здесь m – масса стержня; 2
c
la sin
2 – ускорение центра масс.
Рис. 19.1
A
251
Однако равнодействующая сил инерции приложена на расстоянии 2
h3
от
вершины треугольника. В данном случае сумма моментов всех сил относительно шарнира A равна
нулю: 2 l
Th S h P sin 03 2
или 2 l 2 lTl cos m sin l cos mg sin 0
2 3 2 .
Откуда 2g lT m( tg sin )
2 3 .
19.2. Уравнения плоско-параллельного движения твердого тела
В качестве примера рассмотрим уравнения кинетостатики плоского дви-жения твердого тела. Воспользуемся уравнениями (19.1.4).
В качестве полюса возьмем центр масс, точку C . Найдем главный момент сил инерции S
0M . В данном случае он вычисляется интегрированием:
S0
( m )
M r dma . (19.2.1)
В формуле (19.2.1) a – ускорения точек тела, которые определяются по формуле
ca a r ( r ) . Рассмотрим ряд соотношений:
c c c c
( m ) ( m )
r dma a r dm a mr 0 .
Здесь m – масса тела; cr – радиус-вектор центра масс. В данном случае он равен нулю, так как центр масс взят в качестве полюса.
2
( m ) ( m ) ( m )
r ( r )dm r dm r ( r )dm .
При плоском движении радиус- векторы r перпендикулярны векторам уг-ловой скорости и углового ускорения .
Поэтому, r 0 . Интеграл 2c
( m )
r dm J – момент инерции твердого тела
вокруг центра масс. Выражение 2
( m ) ( m )
r ( ( r ))dm r [ ( r ) r ]dm 0 .
Так как здесь r 0 ; r r 0 . Следовательно, S
0 cM J . Таким образом, уравнения плоского движения твердого тела, например, в
проекциях на декартовы оси, будут: x xF ma 0 ; y yF ma 0 ; c cM J 0 .
(19.2.2)
252
В проекциях на естественные оси уравнения плоского движения таковы: F ma 0 ; n nF ma 0 ; c cM J 0 . (19.2.3)
Здесь nF , F – проекции главного вектора внешних сил на касательную и нормаль к траектории центра масс; a – касательное ускорение центра масс;
2n ca v / – нормальное ускорение центра масс; cv – скорость центра масс; –
радиус кривизны траектории. Пример.
Цилиндрическое тело A радиуса r , на-ходясь внутри цилиндра радиуса R в нижнем положении, получает начальную скорость c0v (рис. 19.2). Найти угол , на который под-нимается тело A без проскальзывания. Ко-эффициент трения скольжения равен f , а ко-эффициент трения качения равен нулю.
Положение тела A будем определять углом , образованным вертикалью и ра-диусом, проведенным через центры обоих цилиндров. На тело A наряду с силой веса P действуют реакции связей F и N .
Движение центра масс задано естест-венным образом. Поэтому воспользуемся уравнениями (19.2.3). В данном слу-чае эти уравнения имеют вид:
c
2c
2
dvm F mg sin ;
dt
vm N mg cos ;
R r
mr R rF r.
2 r
(19.2.4)
Здесь угловое ускорение тела A находится из следующих соображений:
cc
v ( R r )v ( R r ) ;
r r
.
Следовательно, ( R r )
r
.
Рассмотрим первое и третье уравнения системы (19.2.4).
Исключим силу F , учитывая, что cdv( R r )
dt , имеем:
1m( R r ) F ;
2
1m( R r ) m( R r ) mg sin .
2
Рис. 19.2
AA
253
Иначе 2 g
sin3 R r
. (19.2.5)
Пользуясь этими уравнениями, найдем соотношение между силой F и ве-
сом тела P mg в зависимости от угла : m( R r ) F mg sin ;
1m( R r ) F .
2
Очевидно, 1
F mg sin3 .
(19.2.6)
То есть сила трения, пока не началось проскальзывание, не зависит от ко-эффициента трения.
Проинтегрируем уравнение (19.2.5). Угловое ускорение можно представить так:
d
dt .
Поэтому d
d d ddt
.
Далее 2 g
d sin d3 R r
,
или 0 0
2 gd sin d
3 R r
.
Откуда 2 2
0 2 g(cos 1)
2 3 R r
.
Умножая на 2( R r ) , получим: 2 2c c0v v 2
g( R r )(cos 1)2 3
.
Иначе 2 2c c0
4v v g( R r )(cos 1)
3 .
2c0
m 4N mg cos v g( R r )(cos 1)
R r 3
.
Качение без проскальзывания будет до тех пор, пока 2
c0v 4F fN fmg cos (cos 1)
( R r )g 3
.
Подставляя F по формуле (19.2.6), получаем: 2c0v1 7 4
sin f cos3 3 3 ( R r )g
.
254
ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Материальные тела движутся в соответствии с законами Ньютона. Однако
законы Ньютона можно заменить единым постулатом – вариационным принци-пом, который в ряде случаев, особенно при формулировке новых задач, оказы-вается гораздо удобнее. Возможны различные модификации вариационных принципов, эквивалентные законам Ньютона и содержащие физические соот-ношения, такие как закон Гука, соотношения пластичности и так далее. Схему постановки задач механики, основанную на непосредственном применении за-конов Ньютона, можно назвать векторной механикой, так как она имеет дело с такими величинами, как сила, скорость, ускорение. Другая схема, основанная на эквивалентной вариационной формулировке, связанная с именами Лейбница, Эйлера, Лагранжа, Гамильтона и Якоби, называется аналитической механикой. Основные величины здесь являются уже скалярными и динамиче-ские соотношения получаются в результате дифференцирования. Задачей дан-ного раздела лекций является показать эффективность и универсальность упо-мянутых выше методов аналитической механики.
20. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ЛАГРАНЖА И ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА-ДАЛАМБЕРА
20.1. Классификация связей
Прежде чем перейти к обсуждению принципа виртуальных перемещений Лагранжа и принципа Лагранжа–Даламбера остановимся на описании систем материальных точек, на движение которых наложены ограничения. В механике материальные системы рассматриваются как совокупности материальных то-чек. Различные рода ограничения, наложенные на перемещения и скорости то-чек системы, называются связями. Эти ограничения считаются независимыми от закона движения, то есть они выполняются независимо от действующих в системе сил и начальных условий движения.
При наличии связей система материальных точек называется несвободной системой. Если же связи отсутствуют, то система называется свободной. При-мером может служить солнечная система, поскольку размеры Солнца и планет весьма малы по сравнению с расстояниями между ними. В качестве другого примера можно привести упругое тело, бесконечно малые частицы которого считаются соединенными невесомыми пружинами. Примером несвободной системы является твердое тело, расстояние между любыми точками которого остаются неизменными при его движении.
Физически связи осуществляются в виде стержней или гибких тросов, со-единяющих точки системы. Это могут быть поверхности, по которым принуж-денны двигаться точки системы. Математически действия связей выражаются уравнениями, которые устанавливают связь между координатами точек и их
255
скоростями. Простейшим и наиболее часто встречаемым видом связи являются позиционные или голономные связи.
Термин «голономная связь» – происходит от греческого «голос» – целый и «номос» – закон.
Позиционные связи осуществляют зависимости между координатами то-чек системы и выражаются уравнениями вида:
j 1 1 1 N N Nf t ,x , y ,z ,...,x , y ,z 0 j 1,r , . (20.1.1)
Здесь r – число уравнений связей. При этом предполагается, что 3N r . В случае, если имеет место равенст-
во, то движение системы заранее предопределено. Система материальных точек, в которых действуют только голо-
номные связи, называется голономной. Неголономные или кинематические связи выражают зависимости
между скоростями точек системы, не сводящиеся к зависимостям между ее координатами.
Ограничимся рассмотрением неголономных связей, линейных относитель-но скоростей точек системы.
Уравнения таких связей имеют вид:
N
m im i im i im ii 1
D A x B y C z 0, m 1,s
, (20.1.2)
где s – число неголономных связей. Величины im im im mA , B , C , D – могут зависеть от координат и времени. Эквивалентной (20.1.2) является форма записи
N
m im i im i im ii 1
D dt A dx B dy C dz 0
. (20.1.3)
Уравнение (20.1.3) интегрируемо, если
m m m mim im im m
i i i
f f f fA ; B ; C ; D
x y z t
,
где mf – некоторая функция. В этом случае коэффициенты удовлетворяют условиям:
jm jm jmim im im
j i j i j i
A B CA B C; ; ;
x x y y z z
im m im m im m
i i i
A D B D C D; ; .
t x t y t z
При таких условиях уравнение (20.1.3) является полным дифференциалом функции mf , которая имеет постоянное значение mf . Следовательно, уравнение (20.1.3) интегрируемо. И этот интеграл имеет вид:
m 1 1 1 N N N mf t ,x ,y ,z ,...,x , y ,z C . (20.1.4)
256
Уравнение (20.1.4) представляет собой уравнение голономной связи. Сле-довательно, соотношение (20.1.3) лишь в том случае выражает неголономную связь, когда оно не интегрируемо.
Связи называются стационарными, если время явно не входит в их уравне-ния. В противном случае они называются нестационарными.
В качестве примера рассмотрим две материальные точки, соединенные аб-солютно твердым стержнем длиной l.
Уравнение связи, выражающее неизменность расстояния между точками, будет
2 2 2 22 1 2 1 2 1f x x y y z z l 0 ,
где 1 1 1 2 2 2x , y , z , x , y , z – координаты первой и второй точек; l – длина стержня. Это уравнение стационарной голономной связи. Если точки соединены гибкой нитью, то
2 2 2 22 1 2 1 2 1f x x y y z z l 0 .
В первом случае связь называется удерживающей, во втором – неудержи-вающей или односторонней связью.
Таким образом, связи, выражаемые уравнениями (20.1.1) и (20.1.2), явля-ются удерживающими. Если бы имело место неравенство в этих уравнениях, то связи были бы неудерживающими или односторонними.
В дальнейшем ограничимся только удерживающими связями.
20.2. Виртуальные (возможные) перемещения системы
Важнейшим понятием теоретической механики является понятие о вирту-альных (возможных) перемещениях механической системы.
Виртуальными перемещениями механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, совместимые со связями, в некоторый фиксированный момент времени.
Действительные элементарные перемещения происходят за бесконечно малый промежуток времени и определяются действующими на систему силами и наложенными связями. В отличии от действительных, виртуальные переме-щения определяются только действующими связями, причем время в уравнени-ях связи фиксировано, иными словами виртуальные перемещения – это та-кие элементарные перемещения, которые допускает система при «замо-роженных» связях.
С математической точки зрения элементарные действительные пе-ремещения – это дифференциалы радиус-векторов точек системы idr , ко-торым соответствует дифференциал времени dt. Виртуальные перемеще-ния системы характеризуются совокупностью элементарных изменений радиус-векторов ir , которые происходят не за счет изменения времени, а за счет малого изменения вида функций ir . Эти бесконечно малые переме-щения называются вариациями.
257
В отличии от символа d, означающего операцию дифференцирования, символ означает операцию варьирования. Таким образом, действительные перемещения вычисляются путем нахождения дифференциалов перемещений, а виртуальные – путем их варьирования. Причем варьирование осуществляет-ся по тем же правилам, что и дифференцирование, но при фиксированном времени.
Рассмотрим траекторию точки iM в ее истинном движении, определяемую радиус-вектором i ir r ( t ) и отметим ее положения iM и iM в моменты t и
t+dt. Тогда i i iM M dr . Радиус-вектор точки iM будет i ir dr . Наряду с истинной траекторией точки рассмотрим варьированную траек-
торию, определяемую радиус-вектором *i i ir r r , и две точки *
iM и *iM , оп-
ределяемые теми же моментами времени (рис. 20.1). Положение точек *
iM и *iM находим с
помощью операции варьирования радиус-векторов ir и i ir dr .
Поэтому
*i i i
*i i i i i i
M M r ;
M M r dr r dr .
С другой стороны, поскольку радиус-векторы точек *
iM и *iM отвечают моментам
времени t и t+dt, то
* *i i i i i iM M d r r dr d r .
Учитывая равенство (рис. 20.1) * * * *
i i i i i i i iM M M M M M M M , получаем
i i i i i idr r dr r dr d r , или
i idr d r , i 1,n . (20.2.1) Равенство (20.2.1) означает, что операции варьирования и дифференциро-
вания перестановочны. Символически это правило может быть записано так:
d d . (20.2.2) Если использовать правило (20.2.2), то, например:
i i
dr v
dt . (20.2.3)
При стационарных связях действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных перемещений, а в случае нестационарных связей дей-ствительные перемещения не входят в число виртуальных.
Рис. 20.1
i ir =r (t)
* * i ir =r (t)
258
Пусть на механическую систему из материальных точек наложено r голо-номных двусторонних связей
j 1 1 1 N N Nf t ,x , y ,z ,...,x , y ,z 0, j 1,r ,
или
N
j j j ji i i
i 1 i i i
f f f fdt dx dy dz 0
t x y z
, (20.2.4)
и s неголономных двухсторонних связей, куда скорости входят линейно:
N
m im i im i im ii 1
D dt A dx B dy C dz 0, m 1,s
. (20.2.5)
Виртуальные перемещения системы удовлетворяют уравнениям связи при фиксированном времени. Поэтому в уравнениях (20.2.4) и (20.2.5) следует по-ложить dt=0, а символ дифференцирования «d» заменить на символ варьиро-вания «»:
N
j j ji i i
i 1 i i i
f f fx y z 0, j 1,r
x y z
, (20.2.6)
N
im i im i im ii 1
A x B y C z 0, m 1,s
. (20.2.7)
Выражения (20.2.6) и (20.2.7) представляют собой условия, налагаемые на вариации координат точек системы. Таким образом, вариации координат точек системы связаны между собой r+s соотношениями вида (20.2.6) и (20.2.7). По-этому число независимых вариаций координат будет n=3N–r–s.
Число независимых вариаций координат или число независимых вир-туальных перемещений называется числом степеней свободы механической системы.
Так, например, число степеней свободы плоской фигуры, движущейся в ее плоскости, равно трем, а число степеней свободы твердого тела, движущегося произвольно, равно шести.
20.3. Идеальные связи
Пользуясь принципом освобождаемости от связей, уравнение динамики несвободной системы материальных точек можно записать в виде
i i i im r F R , i 1,N , (20.3.1)
где iF – активная сила, действующая на i-ю точку; iR – реакция связи. Таким образом, несвободная система материальных точек формально рас-
сматривается как свободная под действием внешних сил и реакций связей. Од-нако решение задачи динамики сложных механических систем в такой поста-новке часто сопряжено со значительными трудностями. Дело в том, что в ре-зультате применения принципа освобождаемости от связей возрастает число степеней свободы, что, естественно ведет к увеличению числа уравнений, в ко-
259
торые входят неизвестные реакции. Кроме того, уравнения вида (20.3.1) допол-няются уравнениями связей.
Вместе с тем существует ряд задач, когда реакции связей не представляют большого интереса. Поэтому желателен такой метод решения задач динамики несвободной системы, при котором реакции связей, по крайней мере на первом этапе установления кинематического закона движения, исключались бы, и оп-ределялись в дальнейшем, если по роду задачи возникала такая необходимость. Этот метод был создан Лагранжем. Он основан на предположении, что элемен-тарная работа реакций связей на любом виртуальном перемещении точек сис-темы обращается в нуль. Такие связи – голономные и неголономные – называ-ются идеальными или связями без трения.
Обозначим через ir вектор виртуальных перемещений i-й точки системы. Условие идеальности связей запишем в виде
N
*i i
i 1
A R r 0
, (20.3.2)
или в проекциях на оси координат
N
*ix i iy i iz i
i 1
A R x R y R z 0
. (20.3.3)
Условие (20.3.2) выражает равенство нулю элементарной работы реакций связей iR на виртуальных перемещениях точек системы ir .
К числу идеальных связей можно отнести связи, создаваемые контактом абсолютно гладких или абсолютно шероховатых недеформируемых поверхно-стей. Другим видом идеальных связей являются связи, обеспечивающие неиз-менность расстояний между точками системы. Реакция iR абсолютно гладкой поверхности на движущееся по ней тело направлена по нормали к поверхности. Поэтому она перпендикулярна к виртуальному перемещению r , которое на-правлено по касательной к поверхности. При качении твердого тела по шерохо-ватой поверхности элементарная работа R r равна нулю в силу того, что в точке касания равна нулю r .
В абсолютно твердом теле реакциями связей являются внутренние силы. Согласно третьему закону Ньютона главный вектор и главный момент внутрен-них сил равны нулю, поэтому равна нулю и их элементарная работа. Однако, встречаются связи, которые не могут считаться идеальными, например, связи с трением.
В этих случаях реакции неидеальных связей включаются в число внешних сил, а соответствующая система уравнений, чтобы устранить неопределенность, пополняется уравнениями, устанавливающими закон трения или физическими законами, в зависимости от характера соответствующих реакций.
20.4. Принцип виртуальных перемещений
Принцип виртуальных перемещений является общим положением механи-ки. В нем потенциально содержится полная информация о равновесии механи-
260
ческой системы, подчиненной идеальным стационарным голономным и него-лономным связям.
При изучении условий равновесия сложных механических систем, состоя-щих из большого числа тел, геометрические методы, изложенные в статике твердого тела, становятся неэффективными, так как приводят к большому чис-лу уравнений.
Для решения задач статики несвободных систем значительно более удоб-ным является применение принципа виртуальных перемещений, сформулиро-ванного Лагранжем в 1788 г. Долгое время указанный принцип принимался без доказательств. Однако, он может быть доказан исходя из законов Ньютона.
Суть принципа виртуальных перемещений в следующем: Необходимое и достаточное условие равновесия системы, подчиненной
стационарным идеальным связям, заключается в равенстве нулю элемен-тарной работы внешних сил на множестве виртуальных перемещений из рассматриваемого положения равновесия.
Обозначим через iF равнодействующую внешних сил, приложенных к i-й точке системы, через ir – ее виртуальное перемещение и A – сумму элемен-тарных работ внешних сил на виртуальных перемещениях системы. Тогда ана-литическое выражение принципа виртуальных перемещений будет
N
i ii 1
A F r 0
(20.4.1)
или
N
ix i iy i iz ii 1
A F x F y F z 0
, (20.4.2)
иначе
N
i i i ii 1
A F s cos F , r 0 . (20.4.3)
В равенстве (20.4.3) is – длина перемещения ir , i iF , r
– угол между
силой iF и перемещением ir . Докажем необходимость принципа. Предположим, что несвободная сис-
тема, подчиненная стационарным связям, находится в положении равновесия. Тогда каждая ее точка находится в равновесии и, согласно принципу освобож-даемости от связей, равнодействующая внешних сил iF и реакций связей iR , приложенная к какой-либо точке, должна равняться нулю:
i iF R 0 . Равна нулю и элементарная работа этой равнодействующей:
i i i( F R ) r 0 . Суммируя последние равенства, получим
261
N
i i ii 1
F R r 0
или N N
i i i ii 1 i 1
F r R r 0
.
Вторая сумма равна нулю по условию идеальности связей. Поэтому оста-ется принять, что
N
i ii 1
F r 0
.
Следовательно, необходимость принципа доказана. Для доказательства достаточности принципа, то есть наличия равновесия
при выполнении условия A 0 , предположим обратное, что N
i ii 1
A F r 0
,
но система не находится в равновесии, хотя скорости точек равны нулю. На основании теоремы об изменении кинетической энергии в дифференци-
альной форме сумма элементарных работ всех внешних сил и реакций связей на множестве виртуальных перемещений системы будет положительна, так как при переходе из состояния покоя в состояние движения система получит поло-жительное приращение кинетической энергии. Поэтому:
N
i i ii 1
F R r 0
.
По условию идеальности связей N
i ii 1
R r 0
,
и, следовательно N
i ii 1
F r 0
.
Это противоречит исходному положению (20.4.1). Поэтому остается при-нять, что система находится в равновесии, что доказывает достаточность прин-ципа виртуальных перемещений.
Если внешние силы консервативны, то есть существует потенциальная энергия
1 1 1 N N Nx ,y ,z ,...,x , y ,zП = П ,
то
N N
i i ix i iy i iz ii 1 i 1
N
i i ii 1 i i i
A F r F x F y F z
x y z .x y z
П П ПП
262
Таким образом, принцип виртуальных перемещений выражается равенством
П = 0, которое представляет собой необходимое условие экстремальности потенци-альной энергии в положении равновесия.
Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия несвобод-ной системы с идеальными связями под действием консервативных сил совпа-дает с необходимыми, но недостаточными условиями экстремума потенциаль-ной энергии.
20.5. Применение принципа виртуальных перемещений
Условия равновесия свободного твердого тела
Пусть твердое тело находится в равновесии под действием произвольной системы внешних сил. Элементарная работа этих сил выражается формулой
N
i i 0 0i 1
A F r F r M
,
где 0r – виртуальные перемещения полюса О; – виртуальный угол поворота
вокруг произвольной мгновенной оси, проходящей через полюс О; F – глав-ный вектор; 0M – главный момент.
Поскольку здесь виртуальные перемещения тела включают в себя действи-тельные перемещения, то
0 0dr r и d .
Согласно принципу виртуальных перемещений A = 0. Величины 0r и произвольны и независимы, то есть 0r 0 и 0 .
Поэтому равенство A = 0 можно обеспечить лишь в том случае, когда F 0 ;
0M =0. А это условия статики твердого тела. При выводе уравнений статики предполагалось, что твердое тело свобод-
но. Однако на самом деле это не так. Используя принцип освобождаемости от связей, включив реакции связей в число внешних сил, получаем возможность применять принцип виртуальных перемещений для нахождения реакций связей.
В качестве примера рассмотрим балку (рис. 20.2). Определим ее опорные реакции. Отбросим опору В. Балка получает возможность вращаться вокруг опоры А. Виртуальное перемещения – это угол поворота .
Элементарная работа
1 1 2 2 B BA P P R 0 , где 1 2, – элементарные перемещения в точках приложения сил; B – элемен-тарная работа перемещения опоры В.
Учитывая, что 1 1a ; 2 2a ; B l , получим:
263
1 1 2 2B
Pa P aR
l
.
Аналогично: 1 1 2 2A
P ( l a ) P ( l a )R
l
.
Определение реакций составных тел
Использование аналитических методов при решении задач статики состав-ных конструкций с помощью принципа виртуальных перемещений часто при-водит к вычислительным трудностям. Эти трудности возникают при составле-нии зависимостей виртуальных перемещений от вариаций координат. Однако в случае стационарных связей эта трудность может быть успешно преодолена.
Метод основан на эквивалентной формулировке принципа виртуальных перемещений в виде принципа виртуальных скоростей.
Скорости точек системы в действительном движении имеют направление
kdr , а при стационарных связях действительные перемещения являются част-ным случаем виртуальных:
k kdr r .
Поэтому можно дать частную формулировку принципа виртуальных пере-мещений, заменив виртуальные перемещения kr на «виртуальные» скорости
0kv , пропорциональные действительным скоростям kdr
dt.
Принцип виртуальных скоростей дается формулой N
0k k
k 1
F v 0
или
N
0k k k k
k 1
F v cos F ,v 0 .
Формулировка принципа виртуальных скоростей практически дословно совпадает с формулировкой принципа виртуальных перемещений:
Рис. 20.2
l
264
Необходимым и достаточным условием равновесия механической сис-темы, подчиненной стационарным идеальным связям, является условие ра-венства нулю виртуальной «мощности» внешних сил, действующих на точки системы.
Здесь под виртуальной мощностью понимается величина N
0 0k k
k 1
N F v
.
В качестве примера рассмотрим определение реакций составной конструк-ции, изображенной на рис. 20.3, а.
Необходимо найти составляющие AXR и AYR реакции опоры А. Для этого
отбрасываем ту связь, в которой эта реакция или ее составляющая возникает. Так, например, допуская подвижность опоры А в направлении оси y (рис. 20.3, б) и включив неизвестную AYR в число внешних сил, следует построить вирту-альное поле скоростей образовавшейся подвижной системы с одной степенью свободы. В данном случае мгновенный центр скоростей части АС и центра вращения СВ совпадают, – это опора В. Поэтому виртуальные угловые скоро-сти обоих частей равны:
1 2 , где 1 – виртуальная угловая скорость части АС; 2 – виртуальная угловая ско-рость части СВ.
Рис. 20.3, а
265
Уравнение виртуальных мощностей
AYR 4 q 2 3 P 1 M 0 . Здесь 4– виртуальная скорость точки А в направлении y; 3– проекция
виртуальной скорости точки приложения равнодействующей распределенной нагрузки на направление ее действия; 1 – проекция виртуальной скорости точки приложения силы Р на направление ее действия; – виртуальная угло-вая скорость вращения сосредоточенного момента М.
Из уравнения виртуальных мощностей получаем
AY
q 6 P 1 MR
4
.
Аналогично составляем уравнения виртуальных мощностей для определе-ния составляющей реакции AXR (рис. 20.3, в.):
AXR 4 M q 2 1 P 1 0 ;
AX
M P q 2R
4
.
Рис. 20.3,в
Рис. 20.3, б
266
Здесь мгновенный центр виртуальных скоростей для АС – точка О, а для части СВ – точка В. Поэтому, 1 2 .
Рычаг Жуковского
Решение задач на равновесие плоских многозвенных механизмов с помо-щью принципа виртуальных перемещений так же, как и решение задач статики составных конструкций, связано с вычислительными трудностями. Эти трудно-сти также возникают при составлении зависимостей виртуальных перемещений точек от вариаций координат. В 1912 г. Н. Е. Жуковский предложил графоана-литический метод решения задач на равновесие плоских многозвенных меха-низмов, основанный на принципе виртуальных скоростей. Этот метод получил название «рычаг Жуковского».
Принцип виртуальных скоростей в случае равновесия системы дается
формулой N
k kk 1
F v 0
, (20.5.1)
или N
k k k kk 1
F v cos F ,v 0
.
Если силы повернуть на угол 2 , то, чтобы сохранить выражение (20.5.1), необходимо написать
N
*k k k k
k 1
F v sin F ,v 0 .
Но это уже моменты сил *kF , повернутых на 2 , приложенных к концам
вектора kv , относительно полюса плана скоростей. Поэтому решение задач можно проводить в следующей последовательности: 1. Вычертить схему механизма в рассматриваемом положении; 2. Изобразить на чертеже внешние силы; 3. Задавшись скоростью одной из точек механизма, построить для данного
положения механизма план скоростей; 4. Приложить все внешние силы на плане скоростей к концам соответст-
вующих векторов скоростей. Затем эти силы надо повернуть по часовой стрелке на угол 090 .
5. План скоростей считать жесткой фигурой (рычаг Жуковского) и напи-сать уравнения ее равновесия. Из условия равновесия плоской фигуры находит-ся неизвестная сила.
Недостаток «рычага Жуковского» в том, что построение приходится по-вторять для каждого положения механизма.
Рассмотрим примеры. 1. Рассмотрим шарнирный четырехзвенник (рис. 20.4). Требуется найти силу DF .
267
Применение аналитического метода при решении этой задачи нецелесооб-
разно, поэтому воспользуемся рычагом Жуковского. Найдем силу DF . Постро-им план скоростей (рис. 20.5).
Здесь
B A BA D A DAv v v ;v v v ;
DA
BA
A AD
v ad AD;
v ab AB
F vF .
h
Для нового положения построение приходится повторять сначала. 2. Требуется найти силу EF для механизма, изображенного на рис. 20.6.
Рис. 20.6
Рис. 20.4
Рис. 20.5
268
Строим план скоростей, считая, что скорость точки А задана. Пользуемся формулами
B A BA E D EDv v v , v v v . Из равновесия «рычага Жуковского» (рис. 20.7) имеем
AE A A
E
v PaF F F
v Pe .
20.6. Принцип Даламбера–Лагранжа. Общее уравнение динамики
Принцип Даламбера–Лагранжа представляет собой синтез принципа вир-туальных перемещений Лагранжа и принципа Даламбера.
Рассмотрим механическую систему, подчиненную двусторонним идеаль-ным связям. Для каждой точки системы, согласно принципу Даламбера, можно написать уравнение
i i i iF R m r 0, i 1,N . (20.6.1) Умножив скалярно выражения (20.6.1) на виртуальные перемещения ir ,
после суммирования, получим
N N
i i i i i ii 1 i 1
F m r r R r 0
. (20.6.2)
С учетом условия идеальности связей N
i ii 1
R r 0
,
из (20.6.2) следует
N
i i i ii 1
F m r r 0
. (20.6.3)
То есть, движение механической системы, подчиненной идеальным свя-зям, происходит таким образом, что для каждого момента времени эле-ментарная работа внешних сил и сил инерции на множестве виртуальных перемещений равна нулю.
Уравнение (20.6.3) называется общим уравнением динамики и может слу-жить средством для решения задач.
20.7. Обобщенные координаты. Тождества Лагранжа
Чтобы придать методам механики большую гибкость, общность и эффек-тивность, вводят понятие об обобщенных координатах.
Обобщенными координатами механической системы называется совокуп-ность параметров jq , однозначно определяющих ее положение в пространстве.
В качестве обобщенных координат могут быть выбраны произвольные ве-личины: расстояния, углы поворота, площади, объемы. Таким образом, размер-ности обобщенных координат могут быть любыми.
Рис. 20.7
269
Декартовы координаты также могут играть роль обобщенных координат. Так, например, положение твердого тела в пространстве определяется тремя де-картовыми координатами полюса 0 0 0x , y , z и тремя углами Эйлера , , .
Величины j jq , q называются соответственно обобщенными скоростями и
ускорениями механической системы. При наличии голономных связей между радиус-векторами точек системы и
обобщенными координатами существуют зависимости: i i jr r ( t ,q ), i 1,N , j 1,n . (20.7.1)
Эти функции являются однозначными и непрерывными. При наличии связей, выражаемых уравнениями (20.7.1), действительные
перемещения находим из соотношений: n
i ii j
j 1 j
r rdr dt dq
t q
, (20.7.2)
в то время как виртуальные перемещения выражаются через вариации обоб-щенных координат по формулам:
n
ii j
j 1 j
rr q
q
. (20.7.3)
Найдем скорость i-й точки:
n
i ii i j
j 1 j
r rv r q
t q
. (20.7.4)
Скорости iv являются линейными формами от обобщенных скоростей jq .
Поэтому: i i
j j
v r
q q
. (20.7.5)
Формула (20.7.5) представляет собой тождество Лагранжа. В символиче-ской форме она может быть переписана так:
d
idt id
j jdt
r r
q q
.
То есть, как будто бы оператор дифференцирования по времени d
dt в левой
части формулы можно сократить. Найдем частную производную от скорости iv , определенной по формуле
(20.7.4), по kq : 2 2n
i i ij
j 1k k k j
v r rq
q q t q q
. (20.7.6)
Производная по времени от частной производной i
k
r
q
будет:
270
2 2n
i i ij
j 1k k j k
r r rdq
dt q t q q q
. (20.7.7)
Вторые смешанные производные радиус-векторов не зависят от порядка дифференцирования в силу предположений, наложенных на функциональные зависимости i i jr r ( t ,q ).
Поэтому, сравнивая выражения (20.7.6) и (20.7.7), приходим к выводу, что они равны между собой. То есть,
i i
k k
r vd
dt q q
. (20.7.8)
Это второе тождество Лагранжа. Оно также может быть записано в симво-
лической форме: d
ii dt
k k
rrd
dt q q
.
Иными словами, здесь оператор дифференцирования по времени d
dt до-
пускает перестановку с оператором частного дифференцирования kq
.
20.8. Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах
Согласно принципу виртуальных перемещений в состоянии равновесия элементарная работа внешних сил A на множестве виртуальных перемещений
ir равна нулю:
N
i ii 1
A F r 0
. (20.8.1)
Соотношение (20.8.1) эквивалентно уравнениям равновесия и содержит в себе всю информацию о равновесии механической системы. Осуществим в нем замену переменных, в качестве которых возьмем обобщенные координаты jq .
Виртуальные перемещения ir выражаются через вариации обобщенных коор-динат при помощи соотношений:
ni
i jj 1 j
rr q
q
.
Подставляя их в равенство (20.8.1), получаем: N N n n N
i ii i i j i j
i 1 i 1 j 1 j 1 i 1j j
r rA F r F q F q 0
q q
. (20.8.2)
Величины
N N
i i i ii ix iy iz i j
i 1 i 1i j j j
r x y zF F F F z Q
q q q q
(20.8.3)
называются обобщенными силами. Учитывая обозначения (20.8.3), вместо выражения (20.8.2) получим:
271
N n
i i j ji 1 j 1
A F r Q q 0
.
Следовательно, аналитическое выражение принципа виртуальных переме-щений в обобщенных координатах записывается следующим образом:
n
j jj 1
A Q q 0
. (20.8.4)
Казалось бы, принципиальной разности между выражениями (20.8.1) и (20.8.4) нет. Однако, в силу того, что вариации обобщенных координат незави-симы друг от друга и произвольны, то есть jq 0 , то равенство (20.8.4) га-
рантировано при условии, когда
jQ 0, j 1,n . (20.8.5)
Иными словами, принцип виртуальных перемещений в обобщенных коор-динатах приводит к требованию обращения в нуль всех обобщенных сил в со-стоянии равновесия механической системы. При вычислении обобщенных сил совсем не обязательно пользоваться общей формулой (20.8.3). Часто гораздо удобнее выписать выражение элементарной работы. Коэффициенты при вариа-ции обобщенных координат будут соответствующими обобщенными силами.
20.9. Примеры вычисления обобщенных сил
Потенциальная сила
Потенциальные или позиционные силы определяются как соответствую-щие частные производные от потенциальной энергии:
xii
ПF
x
; yi
i
ПF
y
; zi
i
ПF
z
.
Иначе эти силы называются консервативными. Воспользуемся общей фор-мулой для обобщенных сил (20.8.3):
NП i i ij ix iy iz i
i 1 j j j
Ni i i
i 1 i j i j i j j
x y zQ F F F z
q q q
x y zП П П П.
x q y q z q q
(20.9.1)
В состоянии равновесия jQ 0 , поэтому потенциальная энергия, если нет
других сил, принимает экстремальные значения. Это необходимое условие экс-тремума.
Силы, пропорциональные скорости
Предположим, что силы сопротивления, действующие на точки системы пропорциональны скоростям их движения:
i i iF b v , i 1,N , где ib 0 – коэффициенты сопротивления, являющиеся постоянными величинами.
272
Обобщенные силы, согласно общей формуле, будут: 2N N N N
i i i ij i i i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1i j j j
r v b v1Q F b v b v v
q q q 2 q 2
.
Введем обозначение
N
2i i
i 1
1Ф b v
2
. (20.9.2)
Функция Ф называется функцией рассеяния энергии или функцией Релея.
Таким образом, jj
Q Фq
. (20.9.3)
При стационарных голономных связях, когда i i jr r ( q ), i 1,N , j 1,n ,
функция Релея – однородная квадратичная форма обобщенных скоростей. Действительно, для скоростей iv имеем формулу
n
ii j
j 1 j
rv q
q
. (20.9.4)
Подставим (20.9.4) в выражение для функции Релея (20.9.3), получаем: N n n n n
i ii j l jl j l
i 1 j 1 l 1 j 1 l 1j l
r r1 1Ф b q q b q q
2 q q 2
,
где N
i ijl lj i
i 1 j l
r rb b b
q q
– называются обобщенными коэффициентами сопро-
тивления. Согласно теореме об изменении механической энергии: n n
j j jj 1 j 1 j
ФdE Q dq dq
q
.
То есть, убыль механической энергии равна элементарной работе непотен-циальных сил. Иначе:
n
jj 1 j
dE Фq
dt q
.
Но, поскольку функция Релея при стационарных связях является однород-ной квадратичной формой обобщенных скоростей, то по теореме Эйлера об од-нородных функциях
n
jj 1 j
Фq 2Ф
q
,
и, стало быть: dE
2Фdt
.
Таким образом, скорость уменьшения механической энергии равна удво-енной функции Релея.
273
21. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕСВОБОДНОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
21.1. Уравнения Лагранжа первого рода
Рассмотрим систему N материальных точек, подчиненных r голономным связям:
k 1 1 1 N N Nf t ,x , y ,z ,...,x , y ,z 0, k 1,r , (21.1.1)
и rнеголономным связям
N
k ki i ki i ki ii 1
d a x b y c z 0, k 1,r
. (21.1.2)
Поскольку связи сохраняются в варьированных состояниях, то есть наряду с (21.1.1) имеет место равенство
k 1 1 1 1 1 1 N N N N N Nf t ,x x ,y y ,z z ,...,x x ,y y ,z z 0 ,
то обращается в нуль и вариация kf функции kf :
N N
k k kk i i i i k i
i 1 i 1i i i
f f ff x y z grad f r 0
x y z
, (21.1.3)
где k k ki k 1 2 3
i i i
f f fgrad f i i i , k 1,r
x y z
,
где 1 2 3i , i , i – координатные орты oxyz. Кроме того, уравнения (21.1.2) накладывают на вариации еще r условий
N N
ki i ki i ki i ki ii 1 i 1
a x b y c z e r 0, k 1,r
, (21.1.4)
где вектор
ki ki 1 ki 2 ki 3e a i b i c i . Умножим каждое уравнение (21.1.3) и (21.1.4) соответственно на неопре-
деленные пока множители k и k , сложим сначала между собой, а затем с об-щим уравнением динамики (20.6.3). Перегруппировав слагаемые, получим:
N r r
i i k i k k ki ii 1 k 1 k 1
F mr grad f e r 0
. (21.1.5)
Уравнение (21.1.5) в развернутом виде запишется так:
N r rk
ix i i k k ki ii 1 k 1 k 1i
r rk
iy i i k k ki ik 1 k 1i
r rk
iz i i k k ki ik 1 k 1i
fF m x a x
x
fF m y b y
y
fF m z c z 0.
z
(21.1.6)
274
Подчиним r r неопределенных множителей k и k условиям обраще-ния в нуль r r выражений в каких-либо круглых скобках в соотношении (21.1.6). В целом выражение (21.1.6) должно обращаться в нуль при любых значениях вариаций i i ix , y , z , среди которых 3N r r уже можно считать независимыми. Поэтому выражения и в оставшихся 3N r r круглых скоб-ках также должны обращаться в нуль.
Следовательно, все выражения в 3N круглых скобках в формуле (20.7.6) должны обращаться в ноль. Это приводит к системе уравнений:
r rk
i i ix k k kik 1 k 1i
r rk
i i iy k k kik 1 k 1i
r rk
i i iz k k kik 1 k 1i
fm x F a ,
x
fm y F b ,
y
fm z F c ,
z
(21.1.7)
которые в векторном виде записываются так: r r
i i i k i k k kik 1 k 1
m r F grad f e
. (21.1.8)
Это уравнения Лагранжа первого рода, которые совместно с r r уравне-ниями связей (21.1.1) и (21.1.2) образуют замкнутую систему 3N r r урав-нений, содержащих неизвестные:
1 1 1 N N , N 1 r 1 rx , y , z ,...,x , y z , ,..., , ,..., .
Воспользуемся принципом освобождения от связей и составим уравнения динамики системы непосредственно исходя из второго закона Ньютона:
i i i im r F R . (21.1.9) Сопоставляя уравнения (21.1.9) и (21.1.8), приходим к выводу, что реакции
связей находятся по формулам:
r r
i k i k k kik 1 k 1
R grad f e , i 1,N
(21.1.10)
или в проекциях r r
kix k k ki
k 1 k 1i
fR a
x
,
r rk
iy k k kik 1 k 1i
fR b
y
, (21.1.11)
r rk
iz k k kik 1 k 1i
fR c
z
.
Уравнения Лагранжа первого рода обычно решают, выразив сначала r r множителей k и k из каких-либо уравнений (21.1.7) и исключив их из 3N r r остальных уравнений. Затем, объединив эти 3N r r уравнений с
275
r r уравнениями связей (21.1.1) и (21.1.2), получают систему 3N уравнений, из которых находят 3N координат, как функции времени, после чего определя-ют множители k и k и реакции связей ix iy izR , R , R .
Уравнения Лагранжа первого рода приобретают особенно отчетливый смысл при движении материальной точки по поверхности или кривой. Пусть уравнение поверхности задано уравнением
f(t, x, y, z) = 0. (21.1.12) Поверхность считается идеально гладкой, но при этом она движется и де-
формируется. То есть связь (21.1.12) является идеальной. Поэтому реакция R направлена по нормали к этой поверхности. Градиент
1 2 3
f f fgradf i i i
x y z
(21.1.13)
представляет собой вектор, который также направлен по нормали к этой по-верхности. Условие коллинеарности реакции R и gradf записывается следую-щим образом
yx zRR R
f x f y f z
,
где – некоторая неизвестная величина, представляющая собой множитель связи. Таким образом:
x y z
f f fR ; R ; R
x y z
. (21.1.14)
Формулы (21.1.14) являются частным случаем формул (21.1.11), а уравне-ния (20.7.7) в данном случае запишутся так:
x y z
f f fmx F ; my F ; mz F
x y z
, (21.1.15)
при этом очевидно, что R gradf . Три уравнения (21.1.15) и уравнение связи (21.1.12) содержат четыре неиз-
вестных. Аналогично получаются уравнения Лагранжа первого рода в случае движения по гладкой кривой. Уравнение кривой можно представить, как пере-сечение двух поверхностей:
1 2f ( t ,x, y,z ) 0; f ( t ,x, y,z ) 0 . Согласно (21.1.7), получаем уравнения Лагранжа первого рода с двумя
множителями связей:
1 2x 1 2
1 2y 1 2
1 2z 1 2
f fmx F ,
x xf f
my F ,y y
f fmz F ,
z z
276
при этом реакция кривой 1 2R R R , где
1 1 1 2 2 2R gradf , R gradf . Пример: Рассмотрим движение тяжелой мате-
риальной точки массы m по внутренней поверхно-сти цилиндра радиуса r (рис. 21.1). Ось цилиндра горизонтальна. Начало координат расположим но оси цилиндра в точке О. Ось x направим верти-кально вниз, а ось z вдоль по оси цилиндра.
Начальное положение точки определяется координатами 0 0 0x 0, y 0, z 0 . Начальная скорость 0 x0x v 0, 0 y0y v 0 ,
0 z0 0z v v . На материальную точку действует си-
ла тяжести P mg и реакция поверхности R . Уравнение связи представляет собой уравнение цилиндрической поверхности:
2 2 2f ( x, y,z ) x y r 0 . Найдем
f f f2x; 2 y; 0
x y z
.
Учитывая, что x y zF mg, F F 0 , согласно (21.1.15) получим:
mx mg 2 x; my 2 y; mz 0 . (21.1.16) Из третьего уравнения (21.1.16) с учетом начальных условий следует:
0z v t . Умножим первое уравнение (21.1.16) на y , а второе – на x и вычтем из
первого второе: m xy yx mgy . (21.1.17)
Затем умножим первое уравнение на x , а второе – на y и сложим:
2 2m xx yy mgx 2 x y . (21.1.18)
Перейдем к цилиндрическим координатам: x r cos , y r sin , z z .
Найдем производные:
2
2
x r sin , y r cos ,
x r sin r cos ,
y r cos r sin .
Подставим соответствующие производные в уравнения (21.1.17):
2 2 2 2 2 2 2 2m r sin r cos sin r cos r sin cos mgr sin .
РисРис. 21.1
277
Откуда следует: g
sin 0r
,
то есть известное уравнение колебаний математического маятника. Запишем это уравнение в виде:
gd sin d
r .
Интегрируя, получим: 2 g
cos C2 r
.
Воспользуемся начальными условиями:
0 02 , 0 . Тогда
2 2gcos
r . (21.1.19)
Движение ограничено областью cos 0 , следовательно, угол будет на-ходиться в интервале 2 2 . Воспользуемся уравнением (21.1.18) и подставим в него производные:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
m r sin cos r cos r cos sin r sin
mgr cos 2 r cos r sin .
Откуда найдем: 2 2 2mr mgr cos 2 r . Учитывая (21.1.19), получим формулу для множителя связи:
3mgcos
2r .
В соответствии с формулами (21.1.14) находим реакции связи:
2x y z
f fR 3mg cos ; R 3mg sin cos ; R 0.
x y
Модуль реакции R 3mg cos , R 0 при 2 , максимальное значе-ние реакции maxR R 3mg при 0 .
21.2. Уравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа второго рода являются следствием принципа Лагранжа–Даламбера для механическим систем, подчиненных идеальным го-лономным связям, то есть, когда радиус-векторы ir точек системы определяют-ся соотношениями:
i i jr r ( t ,q ), i 1,N , j 1,n . (21.2.1)
278
В соотношениях (21.2.1) jq – обобщенные координаты. Зависимости
(21.2.1) являются однозначными, непрерывными и, по крайней мере, дважды дифференцируемыми функциями обобщенных координат.
Виртуальные перемещения ir выражаются через вариации обобщенных координат jq согласно формулам:
n
ii j
j 1 j
rr q
q
. (21.2.2)
Уравнения Лагранжа второго рода есть результат замены переменных в общем уравнении динамики (20.6.3) на обобщенные координаты:
N n N N
i ii i i i i i j
i 1 j 1 i 1 i 1j j
r r( F m r ) r F m r q 0
q q
. (21.2.3)
Здесь величины N
ii j
i 1 j
rF Q
q
– представляют собой обобщенные силы,
Ni
i i ii 1 j
rm r S
q
– обобщенные силы инерции.
Вопрос об обобщенных силах обсуждался ранее. Были получены формулы для потенциальных обобщенных сил:
Пj
j
ПQ
q
,
где П – потенциальная энергия системы и обобщенных сил, обусловленных вязким сопротивлением:
vj
j
ФQ
q
,
где Ф – функция Релея. Рассмотрим преобразование второго слагаемого в выражении (21.2.3):
N N Ni i i
i i i i i ii 1 i 1 i 1j j j
N Ni i
i i i ii 1 i 1j j j j
r r rd dm r m r m r
q dt q dt q
v vd d T Tm v m v ,
dt q q dt q q
где 2N N
i i i i i
i 1 i 1
m v v m vT
2 2
– кинетическая энергия системы. Кроме того, здесь
мы воспользовались тождествами Лагранжа (20.7.5) и (20.7.8). По аналогии с обобщенной силой jQ , данное слагаемое можно назвать обобщенной силой
инерции. Итак, вместо (21.2.3) мы можем написать:
N n
i i i j ji 1 j 1 j j
d T T( F m r ) r Q q 0
dt q q
. (21.2.4)
279
Но, поскольку jq – независимые величины и одновременно не обращают-
ся в нуль, иначе jq 0 , то равенство (21.2.4) может быть гарантировано
лишь при условии, что:
jj j
d T TQ , j 1,n.
dt q q
(21.2.5)
Если в системе действуют потенциальные силы и силы вязкого сопротив-ления, то уравнение (21.2.5) можно записать так:
*j
j j j j
d T T П ФQ
dt q q q q
, (21.2.6)
где *jQ – прочие обобщенные силы – непотенциальные и не вязкого сопротивле-
ния. Дифференциальные уравнения (21.2.6) и есть дифференциальные уравне-
ния Лагранжа второго рода. Пусть механическая система в положении равновесия находится под дей-
ствием только потенциальных сил. Если ограничиться рассмотрением малых отклонений системы от положения равновесия, то структура выражения ее по-тенциальной энергии существенно упрощается. Это, в свою очередь, ведет к упрощению процедуры вычисления обобщенных сил.
Рассмотрим, например, систему материальных точек и твердых тел под действием cил тяжести, соединенных невесомыми пружинами, находящуюся в равновесии.
В положении равновесия все обобщенные силы равны нулю, поэтому
j
Пj
q 0j
ПQ 0
q
. (21.2.7)
Потенциальная энергия вычисляется с точностью до постоянной, поэтому всегда можно считать
jq 0П 0 . (21.2.8)
Сообщим системе малые отклонения от положения равновесия и разложим ее потенциальную энергию в ряд Тейлора по этим малым отклонениям:
j
j j ,l
2n n n
j q 0 j j lq 0 q 0j 1 j 1 l 1j j l
П 1 ПП( q ) П q q q ...
q 2 q q
(21.2.9)
Если учесть соотношения (21.2.7), (21.2.8), то оказывается, что ряд (21.2.9) начинается с членов второго порядка малости. Поэтому приближенное выраже-ние потенциальной энергии таково:
n n
j jl j lj 1 l 1
1П( q ) c q q ,
2
(21.2.10)
где j ,l
2
jl lj q 0j l
Пc c
q q
– так называемые обобщенные жесткости системы.
280
Выражение (21.2.10) – однородная квадратичная форма обобщенных коор-динат. Использование этого выражения существенно упрощает процедуру на-хождения обобщенных потенциальных сил.
Рассмотрим сначала в качестве примеров колебания механических систем с одной степенью свободы.
1. Малые колебания физического маятника
Рассмотрим однородный стержень, подве-шенный в точке О (рис. 21.2).
Силами сопротивления пренебрегаем. В ка-честве обобщенной координаты возьмем угол поворота относительно положения равновесия. Это консервативная система с одной степенью свободы. Поэтому уравнение Лагранжа одно:
d T T П
dt
. (21.2.11)
Здесь 2J
T2
, где
2mlJ
3 , m – масса
стержня, l – его длина. П mgh , (21.2.12)
где lh 1 cos
2 – высота подъема центра
тяжести стержня. Найдем величины, входящие в уравнение (21.2.11) 2d T d ml T
J J ; 0dt dt 3
. (21.2.13)
Представим потенциальную энергию (21.2.13) в виде ряда: 2 4 2l l
П mg 1 1 ... mg2 2! 4! 2 2
. (21.2.14)
Выражение потенциальной энергии (21.2.14) соответствует структуре, предсказанной из общих соображений. При этом
П lmg .
2
(21.2.15)
Согласно формулам (21.2.13) и (21.2.15) уравнение малых свободных ко-лебаний таково:
2
2
ml lmg 0,
3 2
k 0,
(21.2.16)
где 3 g
k2 l
– частота малых свободных колебаний.
Решение уравнения (21.2.16)
Рис. 21.2
281
00 cos kt sin kt
k
,
где 0 0, – соответственно начальное отклонение и начальная угловая ско-рость.
Пусть стержень оперт в точке А (рис. 21.3) на упругую пружину жесткости с. Выражение кинетической энергии будет то же самое.
Потенциальная энергия с точностью до малых высшего порядка:
2 2 2l cl
П mg2 2 2
. (21.2.17)
Дифференциальное уравнение малых колебаний, согласно (21.2.13) и (21.2.17), будет
22ml l
mg cl 03 2
. (21.2.18)
Из (21.2.18) следует, что их частота 3 g 3c
k2 l m
. (21.2.19)
В формуле (21.2.19) второе слагаемое под корнем обусловлено действием пружины. Расположим стержень, опирающийся в точке А на пружину, верти-кально (рис. 21.4). Выражение потенциальной энергии, в связи с тем, что центр тяжести при отклонении от положения равновесия понижается, будет:
2 2 2l cl
П mg2 2 2
. (21.2.20)
Следовательно, согласно (21.2.20), уравнение малых свободных колебаний будет отличаться от уравнения (21.2.18) знаком величины, учитывающей сме-щение центра тяжести стержня:
22ml l
mg cl 03 2
. (21.2.21)
Рис. 21.3 Рис. 21.4
с
с
282
Рис. 21.5
При условии, что 2 lcl mg
2 , решение уравнения (21.2.21) такое же, как и
решение уравнения (21.2.18). Если же 2 lcl mg
2 , то решение принципиально
меняет свой вид и выражается через гиперболические функции:
* *00 *chk t shk t ,
k
(21.2.22)
где * 3 g 3ck
2 l m .
Решение (21.2.22) неограниченно растет во времени, что говорит о том, что положение равновесия является неустойчивым.
2. Малые колебания сложной механической системы с одной степенью свободы
Рассматриваемая система приведена на рис. 21.5. Она состоит из сосредо-точенной массы 1m , подвешенной на гибкой нити, перекинутой через идеаль-ный блок массой 2m , являющейся однородным диском; из однородного стерж-ня, расположенного вертикально, массой 3m , и однородного цилиндра, массой
4m , закрепленного пружиной жесткостью 4c , обладающей линейным внутрен-ним трением с коэффициентом сопротивления 1b . Кроме того, стержень в цен-тре имеет демпфер с коэффициентом сопротивления 2b . В точке 3B действует возмущающая сила
3 3Q H sin pt .
Вначале строим поле скоростей. Поскольку малые перемещения y про-
порциональны возможным скоростям y , то можно ограничиться полем скоростей.
Рассмотрим малые свободные колебания. Это система с одной степенью свободы и, следовательно, уравнение Лагранжа одно:
2
y
283
d T T П Ф
dt y y y y
. (21.2.23)
Кинетическая энергия рассматриваемой системы: 2
42 22 23 3 4 41 2 2
ym
J Jm y J 2T
2 2 2 2 2
. (21.2.24)
Здесь 22
2 22
mR yJ ;
2 R
,
где 2R – радиус диска; 2
33 3
m l yJ ; ,
3 l
где l – длина стержня; 2
4 44 4
4
m R yJ ;
2 2R
,
где 4R – радиус однородного цилиндра. Подставляя указанные величины в уравнение кинетической энергии
(21.2.24), получим
21 2 3 4
1 1 1 3T m m m m y
2 2 3 8
. (21.2.25)
Выражение потенциальной энергии:
2 2 2 24 st 4 st 4
1 3 3
c yl y c c y yП m gy m g 1 cos m g
2 l 2 2 2 4l
. (21.2.26)
Здесь st – статическая деформация пружины, при этом 1 4 st
ym gy c y ;
l –
угол поворота стержня. Приближенное выражение потенциальной энергии (21.2.26) имеет структуру, формулы (21.2.10), и могло быть написано сразу.
Функция рассеяния энергии Релея в данном случае такова:
2
2221 2
1
yb
b y 1 b2Ф b y
2 2 2 4
. (21.2.27)
Согласно выражениям (21.2.25), (21.2.26) и (21.2.27), дифференциальное уравнение малых свободных колебаний будет:
my by cy 0, (21.2.28)
где 321 2 3 4 1 4
m g1 1 3 bm m m m m ; b b ; c c
2 3 8 4 2l .
Если в уравнении (21.2.28) c 0 , то система устойчива, ее поведение опи-сывается выражением
284
nt 0 00 1 1
1
y nyy e y cos k t sink t
k
, (21.2.29)
где 2 2 21
b cn ; k k n ; k
2m m , если k n .
Здесь 0y и 0y – начальное отклонение и начальная скорость массы 1m . При k n тригонометрические функции в уравнении (21.2.29) превращаются в ги-перболические:
nt * *0 00 1 1*
1
y nyy e y chk t shk t
k
, (21.2.30)
где * 2 21k n k .
В случае, когда * *1 1k n, k 0, chk t 1 в (21.2.30). Предел
*1
*1
*k 0
1
shk tlim t.
k
Поэтому вместо (21.2.30) или (21.2.29) получим nt
0 0 0y e y y ny t . (21.2.31)
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний 2y 2ny k y h sin pt , (21.2.32)
где H
hm
(см. рис. 21.5).
В рассматриваемом примере элементарная работа непотенциальных сил:
33
HyA Q sin pt y
2 2
. (21.2.33)
Поэтому, исходя из выражения (21.2.33), приходим к выводу, что в урав-
нении (21.2.32) 3Hh
2m . Решение уравнения (21.2.32) было рассмотрено ранее.
21.3. Построение математической модели сложной механической системы с одной степенью свободы
На практике при записи свободных колебаний сложных механических сис-тем часто обнаруживается, что с незначительной погрешностью реализуется переходных процесс, соответствующий формуле (21.2.29), а при возбуждении вынужденных колебаний получается АФЧХ, соответствующая формуле
2 22 1
kW( i )
T i T 1
, (21.3.1)
где 2
2 121
1 m bT ;T
c c
; (21.3.2)
285
1
kc
– статическая податливость. Величины 2 1k ,T ,T находятся непосредствен-
но по графику. В этом случае говорят, что механическая система проявляет себя как система с одной степенью свободы. Затем, исходя из выражения (21.3.2), находится эквивалентная масса, коэффициент рассеяния энергии b и эквива-лентная жесткость c , если в этом есть необходимость:
2
2 1T T 1m ; b ; c
k k k . (21.3.3)
Но дело в том, что, если чаще всего жесткость системы c линейна, то о си-лах трения этого сказать нельзя. Силы трения имеют сложную природу и носят нелинейных характер. Многие вопросы, связанные с силами трения, не ясны до сих пор, и поэтому их описание носит феноменологический характер. Чаще всего различают линейное трение (на самом деле не существующее в природе), силы сухого трения или Кулонова трения, силы гистерезисного трения, силы трения, пропорциональные квадрату скорости. Модель линейного трения весь-ма удобна, так как получаются решения в замкнутом виде. Поэтому возникает вопрос: каким образом сложный механизм трения заменить простой эквива-лентной моделью? Именно на этом мы сейчас и остановимся.
Прежде всего рассмотрим некоторые соотношения для линейного трения или рассеяния энергии. Будем считать, что рассеяние энергии мало. Это усло-вие необходимо, чтобы эффект нелинейного рассеяния энергии представить эк-вивалентным вязким демпфером.
Рассмотрим уравнения движения системы с одной степенью свободы: mx bx cx H sin t . (21.3.4)
Если установившееся вынужденное колебание системы x Asin( t ) , то рассеяние энергии E за один цикл движения:
T T
0 0
2
0
E H sin tdt H sin txdt HA sin t cos( t )dt
HA sin t cos( t )d( t ) HA sin .
(21.3.5)
Здесь – путь, пройденный массой за цикл. Уравнение (21.3.5) показывает, что если фазовый угол между силой и
перемещением равен нулю, то работа за цикл E также равна нулю. Когда 2 , то E равна максимуму. Таким образом, рассеяние энергии обусловле-
но силой, находящейся в фазе со скоростью. Для системы с линейным рассеянием энергии, описываемой уравнением
(21.2.28), имеем T T
2 2 2 2
0 0
E ( bx )xdt b A cos ( t )dt b A . (21.3.6)
286
Если рассеяние энергии нелинейно, то для нахождения коэффициента эк-вивалентного демпфирования эb используется уравнение (21.3.6):
2эE b A . (21.3.7)
При этом E находим по формуле
T
v
0
E F xdt , (21.3.8)
где vF – демпфирующая сила. При сухом трении сила vF записывается так:
v
vF F Fsignv
v , (21.3.9)
где символ sign обозначает знак v , то есть vF имеет знак, противоположный
знаку скорости v x . За цикл путь, пройденный массой, приближенно равен 4A . Поэтому, согласно (21.3.9),
E 4FA . (21.3.10) Следовательно, если принять во внимание (21.3.7) и (21.3.10), то
э
Fb 4
A
. (21.3.11)
Как видно эb – переменная величина, зависящая от величины F , частоты колебаний и амплитуды перемещения A .
Рассмотрим конструкционное (гистерезисное) демпфирование. Конструкционное демпфирование является следствием несовершенной уп-
ругости материала, из которого изготовлены колеблющиеся тела. Хорошее приближение к опыту дает предположение, что демпфирующие силы пропор-циональны амплитуде деформаций и не зависят от частоты колебаний. В таком случае:
v 0F c Asignv , (21.3.12) где 0c – коэффициент демпфирования.
Очевидно, здесь, в отличие от (21.3.11), 2
0E 4c A , (21.3.13)
откуда 0э
4cb
. Эта формула отличается от формулы (21.3.11) отсутствием A в
знаменателе. Обозначим 04c
c
. Тогда
э
cb
. (21.3.14)
Рассмотрим выражение (21.3.1), подставив в него согласно формуле (21.3.14). Тогда:
2
1W( i )
m c(1 i )
. (21.3.15)
287
Согласно (21.3.15), для решения задачи о вынужденных колебаниях при конструкционном демпфировании необходимо все жесткостные характеристи-ки заменить на комплексные по формуле
c c(1 i ) . Эта формула представляет суть гипотезы Е. С. Сорокина. При этом формула (13.8.5) будет выглядеть так:
21 max1
22 1
T1
T
. (21.3.16)
21.4 Свободные колебания при гистерезисном (конструкционном) рассеянии энергии
При гистерезисном рассеянии энергии, уравнение свободных колебаний может быть записано в виде
0mx c Asignx cx 0 , (21.4.1) где A – переменная амплитуда колебаний.
Если демпфирование мало, то работа диссипативных сил выражается фор-мулой (21.3.13). Решение уравнения (21.4.1) может быть получено методом энергетического баланса. Суть этого метода заключается в приравнивании ра-боты сил сопротивления изменению потенциальной энергии системы за один период колебаний. При этом обе величины выражаются приближенно, предпо-лагая, что процесс затухания колебаний не является слишком быстрым.
Рассмотрим потенциальную энергию в двух последовательных состояниях: 2
i i
1П cA
2 ; 2
i 1 i 1
1П cA
2 .
Уменьшение энергии за период
2 2i i 1 i i 1 i i 1 i i
c cП A A A A A A cA A
2 2 , (21.4.2)
где i i i 1A A A , i i 1i
A AA
2
.
Согласно рис. 21.6, i
dAA T
dt , (21.4.3)
где T – период колебаний системы. Тогда, подставляя в (21.4.2) выражение для
iA (21.4.3), можно написать
dA
П cATdt
. (21.4. 4)
Приравнивая работу сил гистерезисного сопротивления E , согласно формуле (21.3.13), к выражению (21.4.4), получим:
20
dA4c A cTA
dt . (21.4.5)
Или, учитывая, что T 2 , где – частота колебаний, из (21.4.5), разде-ляя переменные, приходим к дифференциальному уравнению для амплитуды A :
288
02c dAdt
c A
. (21.4.6)
Интегрируя (21.4.6), получаем
0
0
2cAln t
A c
.
Откуда 02c
tc
0A A e
,
или, согласно формуле (21.3.14), t
20A A e
. (21.4.7) Используя выражение (21.4.7), запишем формулу, описывающую зату-
хающие колебания:
1t
0 1 0220 1
1
x xx e x cos t sin t ,
(21.4.8)
где 2
1 41 ; – частота свободных колебаний, без учета затухания. Как
видно из выражения (21.4.8) при гистерезисном рассеянии энергии процесс за-тухания ускоряется с ростом собственной частоты.
Если воспользоваться методом энергетического баланса для получения решения в случае вязкого рассеяния энергии, то получим формулу (21.2.29).
Величина 2 4 имеет на практике порядок 210 , поэтому ее можно не учи-тывать. Тот же результат, что и формула (21.4.8), следует из линеаризованного уравнения:
cmx x cx 0
, (21.4.9)
куда подставлено эb , согласно формуле (21.3.14). При этом следует считать, что
1 . Тогда, согласно уравнению (21.4.9), 2n c m . Имея в распоря-
Рис. 21.6
289
жении выражение (21.4.8), получаем следующую формулу для логарифмиче-ского декремента колебаний :
nT 2lne
2
. (21.4.10)
В формуле (21.4.10) считается, что 1 , то есть частота свободных зату-хающих колебаний мало меняется в зависимости от сил трения. Постоянная времени 1T в передаточной функции (21.3.1), характеризующая рассеяние энер-гии, найдется по формуле
1T .
21.5. Дифференциальные уравнения малых колебаний произвольной системы твердых тел, соединенных упругими связями
1. Плоская система
Прежде всего отметим, что на систему наложены стационарные голоном-ные связи, когда i i jr r ( q ), j 1,n . Поэтому для скоростей точек имеем
формулу n
ii j
j 1 j
rv q , i 1,N , j 1,n
q
. (21.5.1)
Следовательно, кинетическая энергия – однородная квадратичная форма обобщенных скоростей:
2N N n n n n
i i i i ij l jl j l
i 1 i 1 j 1 l 1 j 1 l 1j l
m v m r r 1T q q m q q
2 2 q q 2
, (21.5.2)
где N
i ijl lj i
i 1 j l
r rm m m
q q
– инерционные характеристики системы.
Так как рассматриваются малые колебания, а радиус-векторы точек систе-мы непрерывные, однозначные и, по крайней мере, дважды дифференцируемые
функции обобщенных координат, то можно считать частные производные i
j
r
q
постоянными. Поэтому инерционные характеристики jlm также можно считать
постоянными. Потенциальная энергия системы П является однородной квадратичной
формой обобщенных координат и берется согласно формуле (21.2.10). Будем различать силы внешнего и внутреннего сопротивления. Часть
функции Релея, которая обусловлена силами внешнего сопротивления, подобна структуре кинетической энергии.
290
Соответственно,
часть функции Релея, которая обусловлена силами внутреннего трения, подобна по структуре потенциаль-ной энергии.
В качестве примера рассмотрим систему твердых тел (рис. 21.7), центры масс которых имеют возможность пе-редвигаться только вер-тикально. Кроме того, допускается вращение каждого из тел вокруг его центра масс.
Движение по гори-зонтали либо отсутст-вует, либо пренебрежи-мо мало. Количество твердых тел и количе-
ство упругих элементов произвольно. Цепь, состоящая из тел, может быть раз-ветвленной, то есть, каждое тело может быть соединено упругим элементом с любым другим. Кинетическая энергия j -го тела будет
2 2
j j j jj
m y JT
2 2
. (21.5.3)
Кинетическая энергия системы в целом найдется суммированием выраже-ний вида (21.5.3)
i j k lT T T T ... T ... . (21.5.4)
Потенциальная энергия пружин, соединяющих j -е и i -е твердое тело най-дется по формуле
2
r r rji ij i ij i j ji j
r
1П c y l y l
2 , (21.5.5)
где r – число пружин, соединяющих j -е и i -е тело. Полная потенциальная энергия упругих элементов будет суммой выраже-
ний (21.5.5) вида: ij jk jlП П П ... П ... . (21.5.6)
Функция Релея повторяет структуру выражений (21.5.4) и (21.5.6): i j k l ij jk jlФ Ф Ф Ф ... Ф Ф Ф ... Ф ... . (21.5.7)
iy
i
k
j
l
iO
j
jO
lO
ixi
ly
kO
jy
ky
l
k
lx
kx
jx
Oky
rjic
sjkl
rijl
rjil
tjll
skjl
tljl
tjlc
sjkc
Ojy
Oly
Oiy
Рис. 21.7
291
В формуле (21.5.7), например:
2 2
j j j jj
b y bФ
2 2
, (21.5.8)
2r r r
ji ij i ij i j ji jr
1Ф b y l y l
2 , (21.5.9)
где j jb ,b – коэффициенты внешнего рассеяния энергии, rijb – коэффициенты
внутреннего рассеяния энергии. Как видно, выражение (21.5.8) подобно выражению (21.5.3), а выражение
(21.5.9) – выражению (21.5.5). Чтобы получить дифференциальное уравнение движения, необходимо рас-
смотреть два уравнения Лагранжа:
yjj j j j
jj j j j
d T T П ФF ( t );
dt y y y y
d T T П ФM ( t ),
dt
(21.5.10)
где yjF ( t ) – сумма проекций внешних возмущающих сил на ось y , приложен-
ных к j -му телу; jM ( t ) – суммарный момент внешних сил, приложенных к
j -му телу относительно центра инерции. В развернутом виде уравнения (21.5.10) таковы:
r r rj j j j ij j ji j i ij i
r
r r rij j ij j i ij i yj
r
r r r rj j j j ij ji j ji j i ij i
r
r r r rij ji j ji j i ij i j
r
m y b y b y l y l
c y l y l F ( t );
J b b l y l y l
c l y l y l M ( t ).
(21.5.11)
Уравнениям (21.5.11) можно придать компактную матричную форму. Для этого введем матрицу инерции:
ij
j
m ;0m
0;J ; (21.5.12)
матрицу внешнего рассеяния энергии:
ij
j
b ;0b
0;b ; (21.5.13)
матрицы внутреннего рассеяния энергии:
r r rij ij jiji
r r r r r 2ij ji ji ji
b ; b lb
b l ;b l
; (21.5.14)
292
r r rij ij ijij
r r r r r rij ij ji ij ji
b ; b lb
b l ;b l l
, (21.5.15)
а также матрицы жесткостей:
r r rij ij jiji
r r r r r 2ij ji ji ji
c ; l lc
c l ;c l
, (21.5.16)
r r rij ij ijij
r r r r r rij ij ji ij ji
c ; c lc
c l ;c l l
. (21.5.17)
Введем вектор перемещений: Tj j ju y ,
и возмущающих сил: Tj yj jF ( t ) F ( t ),M ( t ) .
Тогда уравнения (21.5.11) запишутся так:
j ji ij ji ijj j r j r i r j r i j
r r r r
m u b b u b u c u c u F ( t )
. (21.5.18)
Если объединить все уравнения (21.4.11), то получим матричное уравнение:
mu bu cu F( t ) , (21.5.19) где m – матрица инерции, b – матрица рассеяния энергии, c – матрица жестко-стей, T T T T
1 2 nu u ,u ,...,u – вектор перемещений, T T T T1 2 nF( t ) F ,F ,...,F – вектор
возмущающих сил, n – число твердых тел. Формирование матриц m,b,c в уравнении (21.5.19) осуществляется по
формулам (21.5.12) – (21.5.17) согласно номерам твердых тел по правилам, ко-торые следуют из уравнения (21.5.18).
Для этого поле, занимаемое, например, матрицей c , разбивается на квадрат-ные блоки, число которых равно n . На диагонали с номером блочного элемента jj будет находиться матрица ji jk jl
r s tr s t
c c ... c . В эту сумму входят мат-
рицы жесткостей всех упругих элементов, присоединенных к j -му узлу. Внедиагональные элементы, например, с номером ji , представляют собой
сумму ijr
r
c . В эту сумму входят матрицы жесткостей всех упругих элемен-
тов, соединяющих элементы с номерами j и i .
2. Произвольная система твердых тел
Принципиально система дифференциальных уравнений малых колебаний произвольной системы твердых тел, соединенных произвольным образом про-извольным числом пружин, строится так же как и система уравнений для плос-кого случая.
293
Анализируя уравнения (21.5.18) для плоской систе-мы, нетрудно заметить, что все матрицы, которые в нее входят, формируются едино-образно, поэтому достаточно было бы рассмотреть только два твердых тела, так как при любом их количестве соответ-ствующие соотношения фор-мально отличаются лишь ин-дексами. При этом в начале формируется диагональный элемент, представляющий со-бой сумму матриц по всем со-седним элементам. Затем строятся внедиагональные элементы в соответствии с номерами масс, присоединен-ных к основной массе.
Итак, рассматривается сложная механическая систе-ма, состоящая из произволь-ного количества твердых тел, соединенных между собой произвольным числом произ-вольно расположенных упру-гих элементов (рис. 21.8).
Малое перемещение некоторой точки ik i -го твердого тела можно запи-сать в виде:
ki 0i i kiu u r , (21.5.20)
где ki kix kiy kizu u i u j u k – вектор малого перемещения точки ik ;
0i 0ix 0iy 0izu u i u j u k – вектор малого перемещения полюса iO ;
i xi yi zii j k – вектор малого угла поворота i -го твердого тела;
ki ki ki kir x i y j z k – вектор, определяющий положение точки ik по отноше-нию к полюсу iO .
Величина вектора kir при малых перемещениях с точностью до этих малых величин является неизменной.
Формулу (21.5.20) можно записать в матричном виде. Для этого следует ввести матрицы-столбцы:
Tki kix kiy kizu u ;u ;u ;
Рис. 21.8
294
T0i 0ix 0iy 0izu u ;u ;u ;
Ti ix iy iz; ; ,
и матрицу переноса перемещений в твердом теле:
ki ki
ki ki ki
ki ki
0 z y
r z 0 x
y x 0
. (21.5.21)
Тогда формулу (21.5.20) можно записать так:
ki 0i ki iu u r . (21.5.22) Введем векторы перемещений:
T0i 0ix 0iy 0iz ix iy izU u ;u ;u ; ; ; ; (21.5.23)
Tki kix kiy kiz ix iy izU u ;u ;u ; ; ; (21.5.24)
и матрицу
ki ki
ki ki
ki kiki
1 0 0 0 z y
0 1 0 z 0 x
0 0 1 y x 0L
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
. (21.5.25)
Матрица (21.5.25) является комбинацией единичных матриц, матрицы (21.5.21) и нулевой матрицы. Тогда можем записать следующую зависимость между векторами (21.5.23) и (21.5.24)
ki ki 0iU L U . (21.5.26) Не трудно проверить, что первые три строки матричного соотношения
(21.5.26) соответствуют формуле (21.5.22). Остальные три строки дают тожде-ство i i .
Геометрический смысл матрицы kiL заключается в том, что с ее помощью определяется линейное поле малых перемещений точек твердого тела через три проекции малого перемещения полюса и три проекции малых углов поворота тела вокруг полюса.
Таким образом, с помощью матричного соотношения (21.5.26) можно най-ти разности перемещения и углов поворота концов упругих элементов, иными словами, найти деформации этих упругих элементов. А это, в свою очередь, по-зволяет найти потенциальную энергию упругого элемента, выраженную через перемещения полюсов и углы поворотов твердых тел.
В простейшем случае матрица жесткостей упругого элемента kijc имеет
диагональную структуру:
295
x
y
zkij
x
y
z
c 0 0 0 0 0
0 c 0 0 0 0
0 0 c 0 0 0c
0 0 0 c 0 0
0 0 0 0 c 0
0 0 0 0 0 c
. (21.5.27)
Здесь x y zc , c , c – коэффициенты жесткости упругого элемента при линей-
ных перемещениях; x y zc , c , c – коэффициенты жесткости при угловых переме-
щениях. Если два твердых тела соединены, например, невесомой балкой, то матрицу жесткости k
ijc следует формировать по соответствующим формулам
строительной механики. Потенциальная энергия упругого элемента kijc будет:
Tk kij ki 0i kj 0 j ij ki 0i kj 0 j
1П L U L U c L U L U
2 . (21.5.28)
Здесь соотношения ki 0i kj 0 jL U L U представляют векторы разностей пере-
мещений точек крепления упругого элемента, иначе – векторы деформаций уп-ругих элементов.
Если ввести матрицу инерции i -го твердого тела в виде
i
i
i
ixi xyi xzi
yxi yi yzi
zxi zyi zi
m 0 0 0 0 0
0 m 0 0 0 0
0 0 m 0 0 0M
0 0 0 J J J
0 0 0 J J J
0 0 0 J J J
, (21.5.29)
то для кинетической энергии получим формулу
Ti 0i i 0i
2 2 2 2 2 2i 0ix 0iy 0iz xi ix yi iy zi iz
xy ix iy xzi ix iz yzi iy iz
1T U M U
21
m u u u J J J2
2J 2J 2J .
(21.5.30)
Формула (21.5.30) является следствием теоремы Кенига для свободного твердого тела. При этом считается, что полюс iO является центром масс. В противном случае матрица (21.5.29) имеет более сложную структуру.
Если ограничиться внутренним рассеянием энергии, то функция Релея бу-дет подобна по структуре потенциальной энергии системы. Например, для уп-ругого элемента k
ijс будем иметь
296
Tk kij ki 0i kj 0 j ij ki 0i kj 0 j
1Ф L U L U b L U L U
2 . (21.5.31)
Матрица коэффициентов внутреннего рассеяния kijb подобна по структуре
матрице kijс . Характерная матричная строка для i -го элемента будет иметь вид
T k T ki 0i ki ij ki 0i ki ij kj 0 j
k k
T k T kki ij ki 0i ki ij kj 0 j i
k k
M U L b L U L b L U
L c L U L c L U F ,
(21.5.32)
где Ti xi yi zi xi yi ziF F ,F ,F ,M ,M M – вектор нагружения i -го тела. Каждая мат-
ричная строка (21.5.32) содержит шесть характерных уравнений. Уравнения (21.5.32) имеют структуру, характерную для метода конечных элементов. Система уравнений в целом имеет вид (21.5.19).
21.6. Динамическое гашение колебаний
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы (рис. 21.9).
Обе массы 1m и 2m могут перемещаться только в вертикальном направлении. К массе 1m приложена воз-мущающая сила 1Q H sin pt . Оказывается, что при оп-ределенном значении жесткости 12c и массы 2m можно существенно уменьшить колебания массы 1m . Начало отсчета перемещения обоих масс расположим в поло-жении статического равновесия, благодаря чему упро-щается выражение потенциальной энергии. Обобщен-ные координаты системы – это 1x – перемещение первой массы и 2x – перемещение второй.
Уравнений Лагранжа у рассматриваемой системы два:
11 1 1
22 2 2
d T T ПQ ;
dt x x x
d T T ПQ .
dt x x x
(21.6.1)
Кинетическая энергия системы: 2 2
1 1 2 2m x m xT
2 2
. (21.6.2)
Потенциальная энергия определяется деформациями пружин:
2212 2 101 1
c x xc xП
2 2
. (21.6.3)
Рис. 21.9
297
Здесь ( 2 1x x ) – деформация пружины 12c , равная разности перемещений ее концов.
Найдем величины, входящие в уравнение (21.6.1). Согласно (21.6.2) и (21.6.3), имеем:
1 1 1 11 1
d T d Tm x m x ; 0;
dt x dt x
01 1 12 2 1 11
Пc x c x x ; Q H sin pt;
x
2 2 2 22 2
d T d Tm x m x ; 0;
dt x dt x
12 2 1 22
Пc x x ; Q 0.
x
Тогда уравнения колебаний системы без учета сил сопротивления будут:
1 1 01 1 12 1 2
2 2 12 2 1
m x c x c x x H sin pt;
m x c x x 0.
(21.6.4)
Найдем частоту свободных колебаний. Для этого рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений (21.6.4), когда возмущающая сила от-сутствует:
1 1 01 1 12 1 2
2 2 12 2 1
m x c x c x x 0;
m x c x x 0.
(21.6.5)
Будем искать решение системы (21.6.5) в виде:
1 1 1 2 2x A sin k t; x A sin kt , (21.6.6) где 1 2A , A – амплитуды свободных колебаний; k – частота свободных колеба-ний.
Подставляя ожидаемое решение (21.6.6) в уравнение (21.6.5), после не-сложных преобразований получим:
21 01 12 1 12 2
212 1 2 12 2
m k c c A c A 0;
c A m k c A 0.
Это однородная система алгебраических уравнений относительно ампли-туд свободных колебаний 1A и 2A имеет нетривиальное решение в том случае, когда ее определитель равен нулю:
21 01 12 12
212 2 12
m k c c ; c0
c ; m k c
.
Но определитель равен нулю только при определенных значениях частот, а именно, когда частоты представляют собой частоты свободных колебаний.
Таким образом, из условия равенства нулю определителя системы получа-ем частотное уравнение:
298
2 2 21 01 12 2 12 12m k c c m k c c 0.
Откуда имеем
4 201 12 01 1212
1 2 1 2
c c c cck k 0
m m m m
. (21.6.7)
Решая это биквадратное уравнение, получаем формулы для двух собствен-ных частот колебаний:
2
2 01 12 01 12 01 1212 121,2
1 2 1 2 1 2
c c c c c c1 c 1 ck
2 m m 4 m m m m
.
Под корнем находится положительная величина. Поэтому величина 2k всегда положительна и, следовательно, корни частотного уравнения (21.6.7) вещественны. Найдем амплитуды вынужденных колебаний. Для этого рассмот-рим систему дифференциальных уравнений (21.6.4). Будем искать ее решение в виде:
1 1 2 2x A sin pt; x A sin pt , (21.6.8) где p – частота возмущающей силы.
Подставляя выражения (21.6.8) в уравнения (21.6.4) получим систему ал-гебраических уравнений для амплитуд колебаний:
21 01 12 1 12 2
212 1 2 12 2
m p c c A c A H ;
c A m p c A 0. (21.6.9)
Для решения системы (21.6.9) воспользуемся методом определителей:
22 12
1
122
H m p cA ;
HcA ,
(21.6.10)
где 2 21 01 12 2 12 12m p c c m p c c .
Согласно (21.6.10) при 212 2c m p амплитуда колебаний первой массы об-
ращается в нуль. Таким образом, при отсутствии рассеяния энергии в системе
на частоте 12
2
cp
m происходит гашение колебаний.
Если изобразить зависимость амплитуды колебаний 1A как функцию час-тоты возмущающей силы p , то получим картину, изображенную на рис. 21.10.
Это амплитудно-частотная характеристика. При прохождении через резо-нансы в точках 1k и 2k , когда частота возмущающей силы совпадает с собст-венными частотами, амплитуда обращается в бесконечность и скачкообразно
меняет знак. На частоте гашения 12
2
cp
m , как было отмечено выше, теорети-
299
чески 1A 0 . Однако из-за наличия сил сопротивления амплитуда колебаний отлична от нуля. Если учесть силы сопротивления, то амплитудно-частотная характеристика имеет вид, показанный пунктиром. При этом возможно сущест-венное снижение уровня вибрации в значительном диапазоне частот.
Рассмотрим учет рассеяния энергии. Различают внешнее и внутреннее рас-
сеяние энергии. Ограничимся вязким сопротивлением. В этом случае рассеяние энергии
характеризуется функцией Релея. Причем, часть функции Релея, которая харак-теризует внешнее рассеяние энергии, подобна по структуре кинетической энер-гии. Внутреннее рассеяние энергии зависит от разности скоростей движения концов упругих элементов. Поэтому часть функции Релея, которая характери-зует внутреннее рассеяние энергии, подобна по структуре потенциальной энер-гии.
Таким образом, в рассматриваемом нами случае функция Релея такова:
222 212 2 101 21 1 2 2
b x xb xb x b xФ
2 2 2 2
.
И, если учесть рассеяние энергии, вместо уравнений (21.6.4) получим:
1 1 1 1 01 1 12 1 2 01 1 12 1 2
2 2 2 2 12 2 1 12 2 1
m x b x b x b x x c x c x x H sin pt;
m x b x b x x c x x 0.
(21.6.11)
Уравнения (21.6.11) можно записать в матричном виде. Для этого введем вектор перемещений T
1 2x x , x и вектор возмущающих сил T
1 2Q Q ,Q H sin pt,0 . Здесь индекс T означает транспонирование.
Рис
A1
Рис. 21.10
300
Введем матрицу масс m , матрицу рассеяния энергии b и матрицу жестко-стей c :
1
2
m ;0m
0;m ;
1 01 12 12
12 2 12
b b b ; bb
b ; b b
;
01 12 12
12 12
c c ; cc
c ; c
.
Тогда система уравнений (21.6.11) запишется в виде: mx bx cx Q . (21.6.12)
При этом все матрицы, которые входят в уравнение (21.6.12), имеют сим-метричную структуру.
21.7. Построение математической модели сложной механической системы
Дифференциальные уравнения динамики сложной механической системы в матричном виде записываются следующим образом:
mu bu cu F( t ) , (21.7.1) где u – вектор перемещений узловых точек системы n -го порядка, n – число степеней свободы системы, m – матрица масс, b – матрица рассеяния энергии, c – матрица жесткостей, F( t ) – вектор возмущающих сил.
Собственные частоты и формы колебаний находятся из решения однород-ной системы уравнений:
mu cu 0 . (21.7.2) Будем искать ее решение в виде:
u Asin t , (21.7.3) где A– вектор амплитуд колебаний. Поставив (21.7.3) в уравнение (21.7.2), получим
2m c A 0 . (21.7.4)
Однородная система алгебраических уравнений (21.7.4) имеет нетривиаль-ное решение, когда ее определитель равен нулю:
2m c 0 . (21.7.5)
Условие равенства нулю определителя (21.7.5) приводит к частному реше-нию n -го порядка относительно 2 , которое имеет n корней, равное числу сте-пеней свободы системы. Эта задача по существу является задачей на собствен-ные значения. Задача по нахождению собственных форм колебаний является задачей по нахождению собственных векторов их системы уравнений:
2i im c A 0 , (21.7.6)
где 2i – квадрат i -й собственной частоты; iA – вектор амплитуд i -й формы ко-
лебаний. Собственные формы колебаний ортогональны. Действительно, если умножить соотношения
2i im c A 0 и 2
j jm c A 0
для i -й и j -й форм соответственно, первое на jA , а второе на iA , то получим:
301
T2i i j
T2j j i
m c A A 0;
m c A A 0.
(21.7.7)
В силу симметрии матрицы c и матрицы m имеем:
TT
i j j i
TT
i j j i
cA A cA A ;
mA A mA A .
Поэтому, если вычесть из первой строки (21.7.7) вторую, то окажется, что
T2 2j i i jmA A 0 .
Собственные частоты j и i считаем различными. Тогда остается при-
нять, что
Ti ji
0,i j;mA A
A i j.
(21.7.8)
В выражении (21.7.8) T
i i iA mA A называется энергетической нормой
i -й форм колебаний. При этом очевидно, что:
T T2i i i i imA A cA A , (21.7.9)
Ti jcA A 0 . (21.7.10)
Будем искать решение уравнения (21.7.1) в виде ряда по формулам собст-венных колебаний:
n
i ii 1
u ( t )A
, (21.7.11)
где i ( t ) – неизвестные коэффициенты, являющиеся функциями времени. Подставим выражение (21.7.11) в уравнение (21.7.1):
n n n
i i i i i ii 1 i 1 i 1
m ( t )A b ( t )A c ( t )A F( t )
. (21.7.12)
Умножим скалярно уравнение (21.7.12) на векторы jA , j 1,n . Тогда полу-
чим n уравнений вида:
Tn n nT
i i i i i i j ji 1 i 1 i 1
m ( t )A b ( t )A c ( t )A A F ( t )A
. (21.7.13)
Уравнение (21.7.13) существенно упрощается, если воспользоваться усло-виями (21.7.8):
Tn2 22 T
j j i i j j j j ji 1
( t ) A b ( t )A A ( t ) A F ( t )A . (21.7.14)
Если бы матрица b была подобна матрице m или c , то второе слагаемое также упростилось бы и система разбилась бы на независимые уравнения.
302
Обозначая T
j j
jj2
j
bA A2n
A и
Ti jij2
j
bA A2n
A , запишем систему уравнений
(21.7.14) в виде Tn
j2 2j jj j j j ij i 2
i 1ji j
F ( t )A( t ) 2n ( t ) ( t ) 2n ( t )
A
. (21.7.15)
Если структуры матриц b и c близки, то можно пренебречь слагаемыми с
ijn . Тогда вместо (21.7.15) получим:
Tj2 2
j jj j j j 2
j
F ( t )A( t ) 2n ( t ) ( t )
A . (21.7.16)
Начальные условия для коэффициентов i ( t ) получаются из соотношений: n
0 i ii 1
n
0 i ii 1
u (0 )A ,
u (0 )A .
Умножая их на матрицу m , а затем на jA , получаем: 2T
0 j j j
2T0 j j j
( mu ) A (0 ) A ,
( mu ) A (0 ) A .
Откуда следует: T
0 jj 2
j
( mu ) A(0 )
A ,
T0 j
j 2
j
( mu ) A(0 )
A
.
Преобразуем (21.7.16) по Лапласу и найдем преобразованные коэффициен-ты j ( p ) :
T T
0 0 0 j 0 0 0 jj 2 22 2 2 2 2
jj j j j j 2 j 1 j
F( p ) m( pu u ) bu A F( p ) m( pu u ) bu A( p ) ,
p 2n p A A T p T p 1
(21.7.17)
где jj22 j 1 j2 2
j j
2n1T ;T
.
Подставляя выражение (21.7.17) при нулевых начальных условиях в пре-образованное по Лапласу решение (21.7.11), найдем:
Tnj j
2 2 22i 1 2 j 1 jj j
F ( p )A A 1u
T p T p 1A
. (21.7.18)
303
При этом TT
j jj jj2 22 2
j j j j
A A F( p )F ( p )A Ak F( p )
A A
.
Величины Tj j
j 22j j
A Ak
A
образуют матрицу коэффициентов усиления. Эта
матрица имеет диадную структуру. Тогда формула (21.7.18) перепишется так:
nj
2 2j 1 2 j 1 j
ku F( p )
T p T p 1
. (21.7.19)
Рассмотрим действие на упругую систему сосредоточенной силы. Для на-хождения динамического перемещения можно воспользоваться формулой (21.7.19), оставив в векторе F( p ) одну составляющую. Положив p i , полу-чим амплитудно-фазо-частотную характеристику (АФЧХ).
Типичный вид такой характеристики показан на рис. 21.11. На рис. 21.11 показан график
nj
2 2j 1 2 j 1 j
kW( i )
T i T 1
.
Для получения математической модели упругой системы, предположим,
что каждый виток АФЧХ соответствует одному члену ряда (21.7.19). Кроме то-го, будем считать, что соседние витки АФЧХ мало влияют на экстремальные точки 1 max 1, и т.д. Амплитуды 1 2A , A и т.д. будем находить приближенно, экстраполируя витки АФЧХ, при этом воспользуемся формулами (13.8.5), (13.8.6), (21.3.1) и (21.3.16) для системы с одной степенью свободы. Тогда, на-пример,
Рис. 21.11
304
211 1 max
1 1 11 112 1
T1 , k A T
T
и т.д.
В формуле (21.7.19) оставляем столько членов ряда, сколько витков прояв-ляют себя существенным образом на АФЧХ. На рис. 21.11 их три. Следователь-но, в ряду (21.7.19) необходимо оставить три члена. После построения форму-лы (21.7.19) сравниваем теоретическую и экспериментальную АФЧХ. Обычно без труда удается получить хорошее приближение модельной кривой, постро-енной по формуле (21.7.19) к экспериментальной кривой. Если АФЧХ сначала строится путем непосредственного решения системы (21.7.1), которая иногда имеет порядок несколько сотен и более, то обычно на АФЧХ также получается лишь несколько витков, например, для несущих систем металлорежущих стан-ков их два, три и в редком случае – четыре. Поэтому в ряду (21.7.19) берется также два, три или четыре члена и они моделируют решение нескольких сотен или тысяч уравнений.
В качестве примера приведем график АФЧХ для тяжелого фрезерного
станка из работы [11] и ее представление по формуле (21.7.19):
22 2 3
22 2 3
22 2 3
W( ) 1.90 3.3898 10 i5.5010 10 1
8.777 1.6949 10 i2.2203 10 1
3.00 1.3513 10 i1.5 10 1 .
(21.7.20)
На рис. 21.12 сплошной линией показан график, соответствующий форму-ле (21.7.20). Пунктирная линия получена экспериментально. Для построения теоретической зависимости решалась система 72 порядка. Решение этой систе-мы моделируется формулой (21.7.20) с высокой точностью.
Рис. 21.12
305
21.8. Анализ выражения кинетической энергии для нестационарной голономной системы
Для того, что бы составить уравнения Лагранжа второго рода, нужно пред-варительно найти выражение кинетической энергии в виде зависимости от вре-мени t , обобщенных координат jq и обобщенных скоростей jq , i 1,n.
В случае нестационарной голономной системы выражения для скоростей точек записываются в виде
ni i
i jj 1 j
r rv q
t q
.
Следовательно, для кинетической энергии получим формулу
N N n n2 i i i i
i i i j li 1 i 1 j 1 l 1j l
n n n
jl j l j jj 1 l 1 j 1
r r r r1 1T m v m q q
2 2 t q t q
1A q q B q C.
2
(21.8.1)
В выражении (21.8.1) коэффициенты jl jA , B и C – функции от времени t и
обобщенных координат jq , i 1,n , определяются равенствами: N
i ijl i
i 1 j l
Ni i
j ii 1 j
2Ni
ii 1
r rA m ,
q q
r rB m ,
q t
r1C m , j, l 1,n.
2 t
(21.8.2)
Формула (21.8.1) показывает, что кинетическая энергия голономной сис-темы представляет собой многочлен второй степени относительно обобщенных скоростей:
2 1 0T T T T , (21.8.3) где
n n n
2 jl j l 1 j j 0j 1 l 1 j 1
1T A q q ,T B q ,T C
2
. (21.8.4)
В случае стационарных связей время t явно не входит в зависимость ir и
iq и поэтому
ir 0, i 1,Nt
.
Но тогда, согласно равенствам (21.8.3), jB C 0 и
306
N n
2 jl j lj 1 l 1
1T T A q q
2
. (21.8.5)
Таким образом, кинетическая энергия голономной системы при стацио-нарных связях представляет собой однородную квадратичную форму обобщен-ных скоростей. Квадратичная форма 2T для произвольной голономной системы, независимо от того, стационарны или нестационарны наложенные связи, всегда является невырожденной, то есть определитель, составленный из ее коэффици-ентов, отличен от нуля:
jl j ,l 1,ndet A 0
. (21.8.6)
Действительно, если это не так, то однородная система линейных уравнений
n
jl ll 1
A 0, j 1,n
(21.8.7)
имеет вещественное решение, отличное от нуля. Умножая систему на j и суммируя по j от 1 до n , с учетом формул
(21.8.2) получим: 2
n n n n N N ni i i
jl l j i l j i jj 1 l 1 j 1 l 1 i 1 i 1 j 1j l j
r r r0 A m m
q q q
.
Последнее равенство возможно лишь при условии, что n
ij
j 1 j
r0, i 1,N
q
.
Эти N векторных равенств можно заменить 3N скалярными:
n
ij
j 1 j
x0
q
; n
ij
j 1 j
y0
q
; n
ij
j 1 j
z0, i 1,N
q
. (21.8.8)
Равенства (21.8.8) показывают, что в якобиане
1 1
1 n
1 1
1 n
1 1
1 n
N N
1 n
x x,...,
q q
y y,...,
q q
z z,...,
q q
...
z z,...,
q q
,
столбцы линейно зависимы, то есть ранг этой функциональной матрицы
меньше n. Тогда среди 3N функций i i ix , y , z , i 1,N от n аргументов
307
jq , j 1,n , при условии что t рассматривается как параметр, имеется лишь
независимых, через которые могут быть выражены все остальные декартовы координаты системы. Но минимальное число независимых координат системы равно числу степеней свободы n , а n . Следовательно, мы пришли к проти-воречию, и остается принять, что неравенство (21.8.6) выполняется.
Величина 2T представляет собой кинетическую энергию при «заморо-женных» связях. Поскольку 2T 0 , то из неравенства (21.8.6) следует, что квад-
ратичная форма N n
2 jl j lj 1 l 1
1T A q q
2
является положительно определенной, при
этом 2T 0 только тогда, когда jq 0, j 1,n .
Поэтому для коэффициентов jlA имеют место неравенства Сильвестра:
11 12 1n
11 12 21 22 2n11
21 22
n1 n2 nn
A A ...A
A A A A ...AA 0, 0,..., 0.
A A ...
A A ...A
(21.8.9)
В качестве примера рассмотрим составление уравнений движения матема-тического маятника длиною l , точка 1O подвеса которого совершает гармони-ческие колебания в вертикальной плоскости вдоль прямой, наклоненной под углом к горизонту. Эта система с нестационарной связью (рис. 21.13).
Пусть 1OO a sin t . Найдем координаты точки М: x l cos a sin sin t;
y l sin a cos sin t.
Проекция скорости на оси координат:
x l sin a sin cos t;
y l cos a cos cos t.
Квадрат скорости точки М будет: 2 2 2 2 2 2 2 2v x y l a cos t
2la cos( )cos t.
Следовательно, кинетическая энергия: 2 2
2 2 2
1T m l 2la cos( )cos t
2
a cos t .
Откуда Рис. 21.13
308
2Tml mla cos( )cos t;
Tmla sin( )cos t.
Виртуальная работа A mg x mgl sin .
Откуда получаем выражение обобщенной силы: Q mgl sin .
Следовательно, уравнение Лагранжа будет: 2d
ml mla ccos t cos( ) mla sin( )cos t mgl sindt .
Откуда 2 2ml mla sin t cos( ) mgl sin 0 .
Или 2a g
sin t cos( ) sin 0l l
.
При малых углах это уравнение имеет вид:
2 2g a asin sin t cos sin t
l l l
.
Диссипативная функция такова: 2 2 2 2 21
Ф k l 2la cos( )cos t a cos t2
.
Здесь k – коэффициент сопротивления. Соответствующая обобщенная сила:
v 2ФQ kl kla cos( )cos t
.
Уравнение колебаний с учетом рассеяния энергии:
2k g a ksin sin t cos t cos( ) 0
m l l m
.
При малых углах получаем:
2
2
k g a ksin t cos t sin
m l l m
a ksin t cos t cos .
l m
21.9 Диссипативная функция для сил сопротивления общего вида
До сих пор мы рассматривали силы сопротивления, пропорциональные скорости движения. Здесь будут рассмотрены силы сопротивления общего вида.
309
Диссипативными силами называются силы сопротивления движению то-чек системы, направленные противоположно их скорости.
Рассмотрим случай сил сопротивления, представленных в виде:
ii i i i
i
vF k f v , i 1,N
v , (21.9.1)
где iv – величина скорости точки M ; ik и i if v положительные функции соот-
ветственно от обобщенных координат и от скоростей iv . Соответствующие этим силам обобщенные силы определяются равенствами:
N N
i i i is i i i i i i
i 1 i 1i s i s
v r v vQ k f v k f v
v q v q
.
Замечая, что 2
i i ii i i i
s s s s
v 1 1 v vv v v v
q 2 q 2 q q
,
найдем:
ivN N
is i i i i i
i 1 i 1s s s0
v ФQ k f v k f ( u )du , s 1,n
q q q
, (21.9.2)
где
ivN
i ii 1 0
Ф k f ( u )du
(21.9.3)
называется диссипативной функцией. Поскольку подынтегральная функция по-ложительна, то Ф 0 . При i i if v v из (21.9.3) получаем диссипативную
функцию Релея. Диссипативная функция была введена Релеем в классическом труде «Тео-
рия звука» для сил сопротивления, пропорциональных первой степени скоро-сти. Это понятие А. И. Лурье обобщил на силы общего вида.
При одночленной степенной зависимости для сил сопротивления m
i i if v v и стационарных связях диссипативная функция
m 1N N n
m 1 ii i i s
i 1 i 1 s 1 s
r1 1Ф k v k q
m 1 m 1 q
(21.9.4)
будет однородной функцией m 1 степени от обобщенных скоростей. Мощность диссипативных сил в рассматриваемом случае будет:
n n
s s ss 1 s 1 s
ФN Q q q ( m 1)Ф
q
. (21.9.5)
При m 0 формула (21.9.5) соответствует Кулонову (сухому) трению, при m 1 – силам вязкого трения, пропорциональным первой степени скорости, m 2 – силам квадратичного сопротивления.
При выполнении операции дифференцирования в формуле (21.9.2) следует учесть, что в Ф входят модули обобщенных скоростей.
310
Например, при сопротивлении, пропорциональном четной степени скоро-сти и n 1 , получим:
2s 1
2s 2s
kФ q ,
2s 1q
Q kq kq signq,q
где signq означает знак скорости q . Если q 0 , то signq 1 , и если q 0 , то signq 1 . Рассмотрим движение системы относительно движущихся осей Ox y z , но будем считать, что время и выражения радиус-векторов ir точек системы по отношению к полюсу O явно не входит. Силы сопротивления, дей-ствующие на точки системы, определяются их скоростями относительно окру-жающей среды.
Пусть, например, рассматривается движение математических маятников, точки подвеса которых имеют по отношению к земле скорость 0v . Скорость на-
бегающего потока V . Скорость маятника по отношению к подвижной системе Ox y z – iv . Абсолютная скорость i-го маятника будет:
a 0 iv v v ,
а его скорость относительно потока равна 0 iv v V . Следовательно,
0 ii i i 0 i
0 i
v v VF k f v v V
v v V
.
Обозначим *i 0v v V , вместо предыдущей формулы получим:
*
* i ii i i i i
i i
v vF k f v v
v * v
.
Величина *iv не зависит от обобщенных скоростей. Поэтому:
*i ii i
s s s
v vv v
q q q
,
и, следовательно,
* *Ni i i i*
s i i i ii 1 i i s
N* *
i i i i i ii 1 s s
v v v vQ k f v v
v * v q
Фk f v v v v ,
q q
где *i iv v
N
i ii 1 0
Ф k f ( u )du
.
311
21.10. Уравнения Лагранжа второго рода для системы, находящейся под действием потенциальных сил. Интеграл энергии. Гироскопические силы
В этом случае уравнения, согласно (21.2.6), записываются в виде:
j j j
d T T П, j 1,n
dt q q q
. (21.10.1)
Учитывая, что потенциальная энергия при нестационарных связях является функцией только обобщенных координат и времени
1 2 nП П q ,q ,....q ,t ,
и, следовательно
j
П0
q
,
то уравнение (21.10.1) можно представить в иной форме:
j j
d (T П (T П0
dt q q
) )
.
Обозначая T П L , (21.10.2)
окончательно получим:
j j
d L L0, j 1,n
dt q q
. (21.10.3)
Уравнения (21.10.3) являются уравнениями Лагранжа второго рода для го-лономных систем, находящихся под действием потенциальных сил. Функция L T П , представляющая разность между кинетической и потенциальной энергией, называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом. Эта разность, как и кинетическая энергия T , является функцией второй степени от обобщенных скоростей jq , то есть
2 1 0 2 1L L L L T T П * , (21.10.4)
где 0П П T * .
Величину П *можно называть измененной потенциальной энергией. Она зависит только от обобщенных координат и в общем случае от времени.
Рассмотрим так называемый интеграл энергии. Уравнение Лагранжа второго рода представляют систему n обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка. Это система линейна относи-тельно обобщенных ускорений jq и, поскольку jl j ,l 1,n
det A 0
, то последние
могут быть из нее определены через обобщенные координаты jq , обобщенные
скорости jq и время t :
s s 1 n 1 nq f q ,...,q ,q ,...,q ,t , s 1,n . (21.10.5)
Пусть дана некоторая функция обобщенных координат скоростей и времени:
312
1 n 1 nq ,...,q ,q ,...,q ,t . (21.10.6)
Ее производной по времени в силу уравнений движения называется выра-жение:
n
s ss 1 s s
dq q
dt t q q
,
в котором обобщенные ускорения sq заменяются согласно уравнениям (21.10.5) n
s ss 1 s s
dq f
dt t q q
. (21.10.7)
Если производная функции по времени, составленная в силу уравнений движения, окажется тождественно равной нулю, то это будет означать, что сама функция будет сохранять постоянное значение. В этом случае функция называется первым интегралом уравнений движения.
Составим производную по времени в силу уравнений движения от кинети-ческого потенциала L :
n
s ss 1 s s
n
s ss 1 s s
n n*s s s
s 1 s 1 s
dL L L Lq q
dt t q q
L L d Lq q
t q dt q
ФQ q q .
q
(21.10.8)
В данном выражении производные s
L
q
заменены их значениями из урав-
нения (21.2.6) с учетом того, что L T П . Назовем величины
ss s
T Lp
q q
(21.10.9)
обобщенными импульсами. То есть обобщенный импульс – это производная кинетической энергии по обобщенной скорости. Учитывая (21.10.9), вместо (21.10.8) можно записать:
n n n
*s s s s s
s 1 s 1 s 1 s
d L Фp q L Q q q
dt t q
. (21.10.10)
Итак, согласно (21.10.10),уравнения движения допускают первый инте-грал, если все активные силы потенциальны, а время t явно не входит в выра-жение кинетического потенциала. Тогда правая часть выражения (21.10.10) об-ращается в нуль. И, следовательно,
n n
s s ss 1 s 1 s
Lp q L q L h
q
, (21.10.11)
где h – постоянная величина.
313
Учитывая, что 2T – однородная квадратичная функция, а 1T – однородная обобщенная форма скоростей, найдем:
2 1s 2 s 1
s s
T Tq 2T , q T
q q
.
После чего выражение (21.10.11), вспоминая формулу для L , можно пере-писать так: 2 1 2 1 02T T T T T П h или
2 0T П T h . (21.10.12) Формула (21.10.12) и есть интеграл для нестационарной системы, подчи-
ненной голономной связям. Если же связи стационарны, то (21.10.12) запишет-ся так:
E T П h , (21.10.13) что выражает закон сохранения полной механической энергии системы. При стационарных связях L явно от времени не зависит. Тогда из равенства (21.10.10) с учетом обозначения (21.10.13) получим
n n
*j j j
j 1 j 1 j
dE ФQ q q
dt q
. (21.10.14)
В первой части (21.10.14) находится мощность обобщенных сил *jQ и дис-
сипативных сил vjQ . То есть изменение полной механической энергии системы,
подчиненной стационарным связям, равна мощности непотенциальных сил. Наличие в выражении кинетической энергии для нестационарной системы
величины 1T приводит к появлению так называемых гироскопических сил. Запишем уравнение Лагранжа второго рода в виде
s s( L ) Q , s 1,n , (21.10.15)
где ss s
d
dt q q
– Эйлеров оператор; sQ – обобщенные непотенциальные
силы. Уравнения движения (21.10.15) можно переписать так:
s 2 s 1 ss
ПT T Q , s 1,n
q
*
. (21.10.16)
Поскольку 2T – положительно определенная квадратичная форма обоб-щенных скоростей, то ее можно рассматривать, как кинетическую энергию не-которой системы. Тогда все члены, стоящие справа, в том числе и – s 1T ,
можно трактовать как обобщенные силы. Найдем
n n
s 1 k k k kk 1 k 1s s
n ns k s k s
k kk 1 k 1s s k
dT B q B q
dt q q
dB B B B Bq q .
dt q t q q
(21.10.17)
314
Величины
k ssk ks
s k
B B
q q
(21.10.18)
образуют кососимметричную матрицу
12 1n
12 2n
1n 2n
0 ...
0 ... .
...0
(21.10.19)
Выражение
n n
k ss k sk k
k 1 k 1s k
B BГ q q
q q
(21.10.20)
называется обобщенной гироскопической силой, слагаемые sk kq – гироскопи-ческими силами и, соответственно, sk – гироскопическим коэффициентом. Виртуальная мощность гироскопических сил равна нулю. Действительно, со-гласно (21.10.18),
n n n
Г s s sk k ss 1 s 1 k 1
N Г q q q 0
.
Этим объясняется исчезновение величины 1T в интеграле энергии (21.10.12).
Уравнения движения (21.10.16) теперь можно представить так:
ss 2 s s
s
BПT Г Q , s 1,n
q t
*
. (21.10.21)
Обобщенные скорости входят в это уравнение линейно, причем, поскольку
ss 0 , то в соответствующее уравнение не входит обобщенная скорость sq , а матрица, составленная из коэффициентов гироскопических сил, должна быть кососимметричной.
В качестве примера составим уравнения движения материальной точки массой m , которая движется в потенциальном силовом поле с потенциальной энергией П( x,y,z ) , относительно подвижной системы отсчета (O, x, y, z ), вра-щающейся с постоянной угловой скоростью вокруг оси z . Вращение проис-ходит по отношению к инерциальной системе отсчета ( 1 1 1O,x , y , z ), рис. 21.14, причем t .
Выберем в качестве обобщенных коорди-нат точки x, y, z в подвижной системе отсчета. Для составления уравнений Лагранжа вычис-лим проекции абсолютной скорости на под-вижные оси:
x y zv x y;v y x;v z.
Тогда кинетическая энергия точки будет:
Рис. 21.14
315
2 2
2 2 2
2 2 2
1T m x y y x z
21
m x y z2
1m xy yx m x y .
2
Составим уравнения Лагранжа
x y z
П П ПT ; T ; T ,
x y z
где
2 2x
2 2y
z
d T T dT mx m y m y m x m x 2 y x ;
dt x x dtd T T d
T my m x m x m y m y 2 x y ;dt y y dt
T mz.
Следовательно
2 2П П Пm x 2 y x ; m y 2 x y ; mz .
x y z
Полученные уравнения представляют собой уравнения относительного движения точки. Первые два уравнения можно представить в виде:
2 2П Пmx 2m y m x; my 2m x m y.
x y
Последние члены этих уравнений представляют собой проекции центро-бежной силы инерции, а предпоследние – проекции кориолисовой силы инер-ции.
В данном примере уравнения, дающие связь декартовых координат точки в инерциальной системе ( 1 1 1O,x , y , z ) с обобщенными координатами x, y, z , име-ют вид:
1
1
1
x x cos t y sin t ,
y x sin t y cos t ,
z z.
Эти уравнения содержат время t явно. Следовательно система не является стационарной. Поэтому кинетическая энергия имеет вид
1 2 0T T T T , где
2 2 2 2 2 22 1 0
1 1T m x y z ,T m xy yx ,T m x y
2 2 .
Но поскольку T и П явно от времени не зависят, то имеет место интеграл энергии:
316
2 0
2 2 2 2 2 2
T T П h,
1 1m x y z m x y П h.
2 2
В интеграле энергии первый член представляет собой кинетическую энер-гию точки в относительном движении, а второй – потенциал центробежной си-лы инерции, который складывается с потенциальной энергией П. Гироскопиче-ский член 1T m xy yx в интеграл энергии не входит. Гироскопические си-
лы будут:
Г 1 1x x 1
T TdQ T 2m y;
dt x x
Г 1 1y y 1
d T TQ T 2m x.
dt y y
То есть гироскопической силой является кориолисовая сила инерции. Ее мощность
Г Г Гx yN Q x Q y 2m yx xy 0,
что соответствует общим соображениям, высказанным ранее.
21.11. Уравнения Лагранжа второго рода, разрешенные относительно старших производных
Запишем в явном виде левые части уравнения (21.10.21): n n n n n
kms 2 km k m ks k k m
k 1 m 1 k 1 k 1 m 1s s s
Ad 1 d 1(T ) A q q A q q q
dt q q 2 dt 2 q
n n n nks km ks
ks k k m kk 1 k 1 m 1 k 1m s
A A A1A q q q q .
q 2 q t
Преобразуем выражение
n n n nks km ms ks km
k m k mk 1 m 1 k 1 m 1m s k m s
n n
k mk 1 m 1
A A A A A1 1q q q q
q 2 q 2 q q q
k ,m,s q q ,
где величины k ,m,s – называются символами Кристоффеля первого рода для
матрицы ks k ,s 1,mA A
квадратичной формы 2T . Уравнения (21.10.21) теперь
записываются так:
n n n
ks k k m s sk 1 k 1 m 1 s
ns ks
kk 1
ПA q k ,m,s q q Г Q
q
B Aq , s 1,n.
t t
*
(21.11.1)
317
Матрица A является невырожденной. Элементы обратной матрицы най-дутся по формуле:
1 slslA
A ,
где sl – алгебраическое дополнение элемента slA определителя A матрицы A .
Умножив на 1slA каждое уравнение (21.11.1) и просуммировав по всем s
эти произведения, получим
n n n
1l sl k m
s 1 m 1 k 1
n n1 s ks
sl s s ks 1 k 1s
q A k ,m,s q q
B AПA Г Q q .
q t t
*
(21.11.2)
Здесь учтено, что n n
1ks sl ks sl kl
s 1 s 1
0, k l ,1A A A A
1, k l.A
Введем величины:
n
1sl
s 1
l lA k ,m,s ,
k m m k
(21.11.3)
которые называются символами Кристоффеля второго рода для матрицы A . После чего уравнения (21.11.3) перепишутся в виде:
n n
l k mm 1 k 1
n n1 s ks
sl s s ks 1 k 1s
lq q q
k m
B AПA Г Q q , l 1,n.
q t t
*
(21.11.4)
В случае стационарных связей уравнения (21.11.1) и (21.11.4) упрощаются и принимают вид:
n n n
ks k k m sk 1 k 1 m 1 s
ПA q k ,m,s q q Q , s 1,n;
q
(21.11.5)
n n n
1s k m ls l
k 1 m 1 l 1 l
s Пq q q A Q , s 1,n.
k m q
(21.11.6)
21.12. Циклические координаты
Обобщенную координату sq голономной системы будем называть цикли-ческой, если соответствующая ей обобщенная сила равна нулю, а также кине-тическая энергия 2 1 0T T T T не зависит от этой координаты. Обобщенная скорость sq будет называться циклической обобщенной скоростью. Нецикличе-ские координаты называются позиционными.
318
Если система подчинена потенциальным силам, то циклическими коор-динатами будут те координаты, которые не входят в выражение кинетического потенциала L .
Так, например, если материальная точка массы m движется в плоскости под действием ньютоновой центральной силы тяготения, то, пользуясь поляр-ными координатами, можно записать:
2 2 2 2 2 2m M m MT r r ,П m, L r r m,
2 r 2 r
где r – расстояние точки до центра тяготения; – гравитационная постоянная; M – масса центрального тела; – угловая координата, которая является цик-лической.
Пусть в системе с n степенями свободы позиционными являются коорди-наты 1 kq ,...,q , а остальные k 1 nq ,...,q – циклическими.
Тогда s s 1 k k 1 nQ Q q ,...,q , s 1,k ,Q 0,...,Q 0, (21.12.1)
1 k 1 nT T q ,...,q ; q ,...,q ;t , (21.12.2)
и в случае потенциальных сил 1 k 1 nL L q ,...,q ; q ,...,q ; t . (21.12.3)
Выражение кинетической энергии может быть разбито следующим обра-зом:
* ** * **2 1 0 2 2 1 1 0 1 kT T T T T V T T T T q ,...,q , t . (21.12.4)
Здесь *2T и **
2T – квадратичные формы соответственно позиционных и циклических скоростей, V – их билинейная форма:
k k*2 sr s r
r 1 s 1
n k n k**2 k s ,k r k s k r
r 1 s 1
k n k
r ,k s r k sr 1 s 1
1T A q q ,
2
1T A q q ,
2
1V A q q .
2
(21.12.5)
Величины *1T и **
1T представляют линейную часть кинетической энергии также определяемую соответственно позиционными и циклическими скоростя-ми:
k n k* **
1 s s 1 k s k ss 1 s 1
T B q ,T B q .
(21.12.6)
Квадратичные формы *2T и **
2T образованы с помощью квадратных матриц
319
11 1k k 1,k 1 k 1,n* **
k1 kk n,k 1 nn
A ... A A ... A
A ... , A ... .
A ... A A ... A
(21.12.7)
Эти матрицы – невырожденные, так как определители этих матриц *A и **A представляют диагональные миноры определителя A и являются поло-
жительными, поскольку неравенства Сильвестра (21.8.9) выполнены. Диффе-ренциальные уравнения движения разобьем на две группы:
s
s s
d T TQ , s 1,k ,
dt q q
(21.12.8)
и для циклических
k s
d T0, s 1,n k.
dt q
(21.12.9)
Группа уравнений для циклических координат сразу интегрируется. В ре-зультате получаем n k первых интегралов движения:
k s k sk s
Tp , s 1,n k.
q
(21.12.10)
Эти n k первых интегралов выражают тот факт, что обобщенные цикли-ческие импульсы сохраняют при движении постоянные значения, равные k s . Заметим, что для линейной координаты r при движении точки в центральном поле обобщенный импульс будет
r
Tp mr
r
,
то есть представляет собой проекцию количества движения на направление r , а для угловой координаты
2Tp mr
,
то есть равен моменту количества движения точки. Уравнения (21.12.10) в бо-лее подробной записи, с учетом (21.12.5) и (21.12.6), имеют вид:
n k k
k s ,k r k r k s r ,k s r k sr 1 r 1
A q A q B , s 1,n k.
(21.12.11)
Эта система линейных уравнений относительно циклических обобщенных скоростей k rq , вследствие положительности определителя **A , может быть
разрешена относительно последних:
n k k n k
k r ,k s k r ,k sk r k s k s r r ,k s
s 1 r 1 s 1
q B A q A A .
(21.12.12)
Здесь k r ,k s **k r ,k sA A ,
320
где k r ,k s – алгебраическое дополнение элемента k s ,k rA определителя **A .
Если подставить (21.12.12) в уравнение (21.12.8)
s
s s
d T TQ , s 1,k
dt q q
,
то в них войдут позиционные обобщенные координаты и скорости, время t и постоянные циклические импульсы k s , s 1,n k . Причем при выполнении указанных преобразований сохранится форма уравнений Лагранжа второго ро-да. Однако выполнение этих преобразований в общем виде весьма затрудни-тельно и проще идти путем, предложенным Раусом.
21.13. Функция Рауса
Метод Рауса основан на введении вместо кинетической энергии T другой функции R , зависящей от позиционных координат и скоростей, времени t и циклических постоянных импульсов. Эта функция определяется следующим образом:
k r k r
1 k 1 k k 1 n
n k
k s k ss 1 q f
R q ,...,q ;q ,...,q ; ,..., t
T q ,
(21.13.1)
где через k rf обозначены правые части уравнения (21.12.12). Составим выражения производных
s s k r
R R R, , , s 1,k , r 1,n k.
q q
Учитывая, что правая часть является сложной функцией аргументов
s s k rq , q , , получаем:
n k n k
k r k rk r
r 1 r 1s s k r s s s
f fR T T T,
q q f q q q
(21.13.2)
так как
k r
k r
T
f
и, поэтому
k r k rk r
k r s s
f fT.
f q q
(21.13.3)
Аналогично устанавливаем
s s
R T, s 1,k
q q
.
Повторяя предыдущие выкладки для k s , находим: n k n k
k r k rk s k r k s
r 1 r 1k s k r k s k s
f fR Tq q
f
(21.13.4)
321
или
k s
k r
Rq
.
Подставляя выражения для производных (21.13.3) и (21.13.4) в дифферен-циальные уравнения (21.12.8), получим:
s s s
s s
d T T(T ) ( R ) Q , s 1,k.
dt q q
(21.13.5)
Уравнения (21.13.5), полученные Раусом, имеют структуру уравнений Ла-гранжа, причем роль кинетической энергии в них играет функция Рауса R . Эти уравнения содержат только позиционные координаты и соответствующие им обобщенные скорости и ускорения. Поэтому метод Рауса называется методом игнорирования циклических координат, а сами циклические координаты – иг-норируемыми или скрытыми. В то время как позиционные координаты назы-ваются явными.
Проинтегрировав систему уравнений (21.13.5), получим выражение для обобщенных позиционных координат и скоростей как функции времени t , n k постоянных k s и еще 2k постоянных интегрирования:
s s k 1 n 1 2k
s s k 1 n 1 2k
q q t , ,..., , c ,...,c ,
q q t , ,..., , c ,...,c , s 1,k.
(21.13.6)
Значения (21.13.6) следует подставить в выражения (21.13.4), после чего определение циклических координат сведется к квадратурам
0
t0
k s k s
k rt
Rq dt q , s 1,n k.
(21.13.7)
Уравнения (21.13.6), (21.13.7) и (21.13.4) представляют собой полную сис-тему интегралов уравнений движения, содержащей 2n постоянных интегриро-вания 0
k 1 n 1 2k k s,..., , c ,...,c , q , s 1,n k . Наличие n k циклических коорди-нат позволило понизить порядок интегрируемой системы уравнений до 2k . Таким образом, задача свелась к интегрированию системы дифференциальных уравнений (21.13.5) и нахождению n k квадратур (21.13.7). Следует добавить, что от рационального выбора обобщенных координат зависит число цикличе-ских координат. Например, при задании положения материальной точки в поле центральной силы декартовыми координатами x, y, z циклических координат не будет. Если же применяются сферические координаты, то одна из них будет циклической. В случае потенциальных сил вводится кинетический потенциал Рауса
k r k r
n k
R k r k ss 1 q f
L R П L q
, (21.13.8)
где 1 kП П q ,...,q – потенциальная энергия.
Дифференциальные уравнения (21.13.8) принимают вид:
322
R Rs R
s s
L LdL 0, s 1,k.
dt q q
(21.13.9)
Если время t в выражение RL явно не входит, то для уравнения (21.13.9) по аналогии с (21.13.7) имеет место следующий интеграл энергии:
Rs R
s 1 s
Lq L h.
q
(21.13.10)
Функция Рауса R может быть разбита на три слагаемых 2 1 0R R R R , (21.13.11)
где 2R – квадратичная, 1R – линейная однородные формы обобщенных скоро-
стей sq , s 1,k , а 0R от последних не зависит. Поэтому и выражение интегра-
ла энергии приводится к виду 2 1 2 1 02R R R R R П h
2 0R П R h. (21.13.12)
Как видно 1R и в данном случае исчезает из интеграла энергии. Учитывая
представление (21.13.11), уравнения движения для позиционных координат приводятся к виду:
02 2k k
k k k
RR RdQ Г , k 1,n,
dt q q q
(21.13.13)
где kГ – гироскопические силы, соответствующие линейной форме 1R . При этом
2R можно трактовать как кинетическую энергию, а 0R – как потенциальную.
21.14. Уравнения движения неголономной системы в обобщенных координатах с множителями
Пусть на систему материальных точек наложено r голономных связей
k 1 1 1 N N Nf t ,x , y ,z ,...,x , y ,z 0, k 1,r (21.14.1)
и l неголономных связей
N
k ki i ki i ki ii 1
d a x b y c z 0, k 1,l.
(21.14.2)
Учитывая сначала только голономные связи и вводя n 3N r обобщен-ных координат iq , преобразуем общее уравнение динамики (21.7.3) к виду:
N N
i i i i s si 1 s 1 s s
d T TF m r r Q q 0.
dt q q
(21.14.3)
Однако в данном случае вариации sq зависимы и поэтому выражения в
круглых скобках в формуле (21.14.3) вообще говоря не равны нулю. Для полу-чение уравнений движения запишем уравнения неголономных связей в обоб-щенных координатах. Перепишем уравнение (21.14.2) в виде:
323
N
k ki ii 1
d e v 0, k 1,l ,
(21.14.4)
где
i i 1 i 2 i 3
ki ki 1 ki 2 ki
v x i y i z i ,
e a i b i c i .
Учитывая, что n
i ii s
s 1 s
r rv q ,
t q
вместо (21.14.4) можно написать N n
i ik ki ki s
i 1 s 1 s
r rd e e q 0,
t q
или, меняя порядок суммирования:
n
ks s ks 1
a q a 0, k 1,l
, (21.14.5)
где N N
i iks ki k k ki
i 1 i 1s
r ra e , a d e .
q t
Уравнения (21.14.5) представляют уравнения неголономных связей в обобщенных координатах. Условия, налагаемые этими связями на вариации обобщенных координат, таковы:
n
ks ss 1
a q 0, k 1,l.
(21.14.6)
Умножая теперь обе части равенства (21.13.6) на множители k и сумми-
руя их с выражением (21.14.3), получаем:
n l
s k ks ss 1 k 1 s s
d T TQ a q 0.
dt q q
(21.14.7)
В равенстве (21.14.7) всего ln независимых вариаций обобщенных коор-динат sq . Однако можно всегда выбрать множители k так, чтобы l квадрат-
ных скобок обратились в нуль. Остальные скобки также должны обращаться в нуль, так как n l вариаций обобщенных координат, на которые они умножа-ются, уже можно считать независимыми. В итоге получим n уравнений движе-ния системы:
l
s k ksk 1s s
d T TQ a , s 1,n.
dt q q
(21.14.8)
324
Рис. 21.15
Присоединив к ним уравнения связей (21.14.5) получим замкнутую систе-му n l уравнений с n l неизвестными: n 1q,...,q , ,..., l . Уравнения
(12.14.8), предложенные Раусом, включают обобщенные реакции связей l
s k ksk 1
R a
и благодаря этому утрачивают преимущества уравнений Лагранжа второго рода. В качестве примера рассмотрим движение двухколесного экипажа при ма-
лых отклонениях от прямолинейного пути (рис. 21.15). Переднее колесо находится на расстоянии 1l от шарнира O , заднее – на
расстоянии 2l . Предположим, что центр массы тележки располагается в точке O . Пружины c стремяться распрямить тележку. Величина c имеет размер-
ность момента, деленного на угол поворота, который измеряется в радианах. Колеса независимы и катятся только в плоскости своего расположения без скольжения. Неподвижная тележка, если деформировать пружины, может со-вершать колебательное движение. При этом центр тяжести O будет двигаться по направлению x . Предположим, что реакции 1R и 2R со стороны плоскости
качения нормальны к плоскостям колес, а угол излома мал.
Рассмотрим в начале связи, наложен-ные на данную систему. Сообщим тележке скорость v . За время dt переднее колесо пройдет путь vdt . Проекция этой величины
1dx на направление 1x будет равна:
11
1
x xdx vdt
l
.
(21.14.9) Аналогичное соотношение получим для
второго колеса:
22
2
x xdx vdt
l
.
(21.14.10) В результате из (21.1.29) и (21.14.10)
получаем уравнение неголономных связей:
11
1
dx vx x
dt l ,
(21.14.11)
22
2
dx vx x
dt l . (21.14.12)
325
В качестве обобщенных координат возьмем координату центра масс x и координат колес 1x и 2x . Для того чтобы составить уравнение динамики этой
неголономной системы, найдем кинетическую энергию T и потенциальную энергию П :
22 cmxT ,П ,
2 2
где – угол излома тележки, равный
1 2
1 2
x x x x.
l l
Следовательно, 2
1 2
1 2
x x x x1П c .
2 l l
Соответствующие уравнения будут: d T T П
;dt x x x
(21.14.13)
11 1 1
d T T П;
dt x x x
(21.14.14)
22 2 2
d T T П.
dt x x x
(21.14.15)
В уравнения (21.14.11) и (21.14.12) неголономных связей обобщенная ско-рость x не входит. Поэтому коэффициенты при 1 и 2 равны нулю в уравне-
нии (21.14.13). Коэффициент при обобщенной скорости 1x в первом уравнении связей равен единице, а во втором уравнении – равен нулю. Поэтому в правой части уравнения (21.14.14) имеем лишь 1 . Аналогично для уравнения (21.14.15) имеем коэффициенты при 2x в первом уравнении связей (21.14.11), равный нулю и единицу во втором уравнении связей. Следовательно, в правую часть уравнения добавляем 2 . Вычислим соответствующие производные кине-тической и потенциальной энергии и подставим их в уравнения (21.14.13), (21.14.14) и (21.14.15). Добавим к полученным уравнениям уравнения неголо-номных связей (21.14.11) и (21.14.12). В итоге будем иметь:
326
1 2
1 2 1 2
1 21
1 1 2
1 22
2 1 2
1 1
1
2 2
2
x x x x1 1mx c 0;
l l l l
c x x x x0;
l l l
c x x x x0;
l l l
vx x x ;
l
vx x x .
l
(21.14.16)
Два вторых уравнения системы (21.14.16) являются алгебраическими. Из них определяются реакции неголономных связей:
1 21 1
1 1 2
1 22 2
2 1 2
c x x x xR ;
l l l
c x x x xR .
l l l
(21.14.17)
Выражения (21.14.17) для реакций связей могут быть получены непосред-ственно из условия обращения в нуль момента в шарнире. Действительно, вос-
станавливающий момент найдется по формуле 1 2
1 2
x x x xM c .
l l
Этот момент с одной стороны равен 1 1R l , а с другой – 2 2R l , так как в шар-нире суммарный момент равен нулю. Поэтому из условий 1 1M R l и 2 2M R l получаем формулы (21.14.17). Нетрудно видеть, что сумма
1 21 2
1 2 1 2
x x x x1 1R R c ,
l l l l
поэтому первое уравнение системы (21.14.16) можно переписать так:
1 2mx R R . (21.14.18) Уравнение (21.14.18) можно считать результатом применения теоремы о
движении центра масс к рассматриваемой механической системе. Таким обра-зом, вид уравнения (21.14.18) не является неожиданным.
Итак, после ряда преобразований мы имеем следующую систему уравнений:
327
2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1
1 1
2 2
2 2
x x1 1 1 1mx c x c 0;
l l l l l l
v vx x x 0;
l l
v vx x x 0.
l l
(21.14.19)
Если координаты 1x и 2x постоянны, то получаем уравнение гармониче-ских колебаний для системы с одной степенью свободы.
Уравнения (21.14.19) имеют несимметричные связи, которые могут при-вести к появлению характеристических чисел с положительной вещественной составляющей и, следовательно, к неустойчивости. Ограничимся нахождением характеристических чисел этой линейной системы дифференциальных уравне-ний. Для этого рассмотрим характеристический определитель
2
1 2 1 1 2 2 1 2
1 1
2 2
c c1 1 1 1 1 1mr c ; ; ;
l l l l l l l l
v v; r; 0; 0.
l l
v v; 0; r;
l l
Если развернуть определитель, то получим характеристической уравнение: 2
2
1 2 1 2 1 1 2 1 2
c1 1 v v 1 1 v vmr c r r r
l l l l l l l l l
2 1 2 2 1
c 1 1 v vr 0,
l l l l l
которое после ряда преобразований приводится к виду: 2 2
2 2
2 1 1 2 1 2
1 1 1 1 mvr mr vm r c 0.
l l l l l l
Множитель 2r означает наличие двух нулевых корней. Следовательно, в общем решении будут члены 1 2c t c , где 1c и 2c – постоянные. Если движение прямолинейно и параллельно оси 1O y , то 1c и 2c равны нулю. То есть началь-ное положение и начальное направление движения тележки безразличны для исследования устойчивости. Об устойчивости и характере колебаний судим по уравнению:
328
2 22
2 1 1 2 1 2
1 1 1 1 mvmr vm r c 0.
l l l l l l
Демпфирование колебаний определяется членом 2 1
1 1vm
l l
. Если
2 1
1 1vm 0
l l
, то движение устойчиво при положительном свободном члене,
а это значит, что 2 1
1 1
l l или 1 2l l и, следовательно центр тяжести должен быть
смещен назад. Еслиv настолько велико, что 2 2
1 2 1 2
1 1 mvc 0,
l l l l
то характеристическое уравнение имеет положительные корни и решение на-растает по экспоненциальному закону. Рассмотрим приложение к самолетному шасси. На рис. 21.16 – классический тип.
Здесь 2 1l l , c 0;
2
2
2 1 1 2
1 1 mvmr vm r 0.
l l l l
(21.14.20)
Согласно характеристическому уравнению движение всегда неустойчиво. На рис. 21.17 – новый вариант расположения колес. Здесь 1l 0 , поэтому
имеем: 2
2
2 1 1 2
1 1 mvmr vm r 0.
l l l l
Так как коэффициенты характеристического уравнения положительны, то движение устойчиво всегда.
Рис. 21.16 Рис. 21.17
329
21.15. Дифференциальные уравнения Аппеля
Уравнения Аппеля близки к уравнениям Лагранжа второго рода и приме-нимы к неголономным системам, а, следовательно, и к голономным, которые являются частным случаем неголономных. Эти уравнения также являются следствием общего уравнения динамики, в котором осуществляется переход к обобщенным координатам, но при этом, с учетом неголономных связей вирту-альные перемещения ir выражаются только через независимые вариации обобщенных координат. Итак, нами рассматривается система материальных то-чек, конфигурация которых задается n независимыми координатами sq , s 1,n . Уравнения неголономных связей, выраженные через обобщенные координаты, записываются в виде:
n
ks s ks 1
a q a 0, k 1,l ,
(21.15.1)
где ksa и ka – функции обобщенных координат и времени. Уравнения (21.15.1) должны быть разрешены относительно l обобщенных
скоростей 1 lq ,...,q . То есть необходимо иметь систему равенств:
r r ,l 1 l 1 rn n rq b q ... b q b , r 1,l. (21.15.2)
Уравнения, связывающие вариации обобщенных координат, следующие из (21.15.1):
n
ks ss 1
a q 0, k 1,l ,
(21.15.3)
позволяют выразить 1 lq ,..., q через n l вариаций l 1 nq ,..., q , которые будут независимыми. Очевидно,
r r ,l 1 l 1 rn nq b q ... b q , r 1,l. (21.15.4)
Дифференцируя (21.15.2), найдем выражения обобщенных ускорений: n l n l
r r ,l s l s r ,l s l s rs 1 s 1
q b q b q b .
(21.15.5)
Найдем выражение вектора ускорения ia через обобщенные координаты. Для этого продифференцируем вектор скорости точки iM
ni i
i ss 1 s
r rv q
q t
по времени: 2 2 2n n n n
i i i ii i s k s s 2
s 1 k 1 s 1 s 1s k s s
r r r ra v q q q 2 q .
q q q q t t
Подставим (21.15.5) в формулу для ускорений. Имеем: n l n l
i i ii m r l s
m 1 r 1 s 1m r l s
r r ra q ... q q ...
q q q
(21.15.6)
330
В формуле (21.15.6) многоточием отмечены слагаемые, не зависящие от обобщенных скоростей, и которые в дальнейшем не потребуются. Воспользо-вавшись соотношениями (21.15.5), исключим rq из (21.15.6):
l n l n li i
i r ,l s l s l sr 1 s 1 s 1r l s
n l li i
r ,l s l ss 1 r 1l s r
r ra b q q ...
q q
r rb q ...
q q
(21.15.7)
Обозначим
l
i ir ,l s i ,l s
r 1l s r
r rb c , i 1,N , s 1,n l.
q q
(21.15.8)
После чего имеем n l
i i ,l s l ss 1
a c q ...
Здесь многоточием также обозначены слагаемые, независимые от обоб-щенных ускорений. Поэтому:
ii ,l s
l s
ac .
q
(21.15.9)
Виртуальные перемещения ir выражаются через независимые вариации
l sq с помощью линейных соотношений, подобных (21.15.7), если отбросить слагаемые, обозначенные многоточием:
n l n li i i
i k r l sk 1 r 1 s 1k r l s
r r rr q q q
q q q
n l li i
r ,l s l ss 1 r 1l s r
r rb q ,
q q
или, согласно (21.15.8) и (21.15.9),
n l n l
ii i ,l s l s l s
s 1 s 1 l s
ar c q q .
q
(21.15.10)
Перейдем теперь к преобразованию общего уравнения динамики. Начнем со второго слагаемого:
N N n l Ni i
i i i i i l s l s i ii 1 i 1 s 1 i 1l s l s
a am a r m a q q m a .
q q
Как видно N N
ii i i i i
i 1 i 1l s l s l s
a 1 Sm a m a a ,
q q 2 q
(21.15.11)
где N
2i i
i 1
1S m a
2
– энергия ускорений.
331
При этом из выражения S при помощи уравнений неголономных связей исключены ускорения 1 lq ,...,q . Итак, имеет место равенство:
N n l
i i i l si 1 s 1 l s
Sm a r q .
q
(21.15.12)
Преобразуем первое слагаемое в общем уравнении динамики: N N n l n l
i i i i ,l s l s l s l si 1 i 1 s 1 s 1
A F r F c q Q q ,
(21.15.13)
где
N
l s i ,l s ii 1
Q c F , s 1,n l
(21.15.14)
– обобщенные силы для независимых вариаций обобщенных координат. Общее уравнение динамики теперь преобразуется к виду:
n l
l s l ss 1 l s
SQ q 0.
q
(21.15.15)
Откуда вследствие независимости вариаций l sq следуют уравнения дви-жения неголономных систем в форме Аппеля:
l s
l s
SQ , s 1,n l ,
q
(21.15.16)
число уравнений (21.15.16) равно числу степеней свободы системы. В общем случае в них входят все обобщенные координаты и скорости. Поэтому их сле-дует дополнить уравнениями неголономных связей в форме (21.15.1) или (21.15.2). Тогда получим систему n дифференциальных уравнений, содержа-щую столько же неизвестных. Порядок для такой системы равен 2 n l l 2n l , в то время как порядок системы дифференциальных урав-
нений неголономной системы с множителями равен 2n l . Уравнения Аппеля применимы и при отсутствии неголономных связей,
при этом, когда составляется выражение S , то следует учитывать лишь члены, содержащие обобщенные ускорения. Для энергии ускорений имеет место тео-рема, аналогичная теореме Кенига. Представим ir в виде суммы
i c ir r , где cr – радиус-вектор центра масс системы, i – радиус-вектор точки iM по отношению к центру масс. По определению
2 2 2 2N N N
2 i ii i i i c i c i2 2 2 2
i 1 i 1 i 1
2 22 2 2 2N N Nc c i i
i i i2 2 2 2i 1 i 1 i 1
d r d r1 1 1 d dS m a m m r r
2 2 dt dt 2 dt dt
d r d r d d1 1m m m .
2 dt dt dt 2 dt
332
Здесь 2
cc2
d ra
dt – ускорение центра масс,
2i
i2
da
dt
– ускорение точки iM
по отношению к центру масс.
Величины 2 2 2N N
c ici i i2 2 2
i 1 i 1
d r d dm a m 0
dt dt dt
, так как
N
i ii 1
m 0
по опре-
делению. Следовательно
N
2 2c i i
i 1
1 1S Ma m a
2 2
, (21.15.17)
где N
ii 1
M m
– масса системы.
Формула (21.15.17) является аналогом соответствующей формулы, выра-жающей суть теоремы Кенига. Выражением (21.15.17) удобно пользоваться для вычисления энергии ускорений твердых тел.
В качестве примера применения уравнений Аппеля рассмотрим движение саней по наклонной плоскости, пренебрегая трением (рис. 21.18). Система явля-ется неголономной, если считать, что сани не могут перемещаться в направле-нии, перпендикулярном полозьям. Положение саней в плоскости движения Oxy определяется тремя координатами: центра масс x, y и углом , который поло-зья образуют с линией наибольшего ската.
Следовательно, обобщенные координаты будут:
1 2 3q x, q y, q .
Вектор скорости центра масс саней всегда направлен параллельно полозь-
ям, что налагает на его проекции x, y условие:
y
x
vtg
v или y xtg . (21.15.18)
Это уравнение неинтегрируемой связи. На сани в плоскости движения дей-ствует составляющая силы тяжести 1 1P mg , где 1g g sin . Сила 1P парал-лельна оси x . Кроме того, будем считать, что к саням в центре масс C прило-жена постоянная сила F ma , параллельная оси y .
Рис. 21.18
О
333
Для составления энергии ускорений используем теорему Кенига и соответ-ствующие формулы для плоско-параллельного движения. Ускорение точки M во вращательном движении относительно центра масс будет:
2 4M Ma h ,
где Mh – расстояние точки M до центра масс; – угловое ускорение; – угло-вая скорость. Энергия ускорения в относительном вращении вокруг точки C будет:
2 2 4 2 2 4c
c M
m m
J1 1S a dm h dm .
2 2 2
Следовательно,
2 2 2 4cJmS x y .
2 2
Исключим y и оставим только члены, зависящие от вторых производных координат x и :
2 2 2c2
2c2 2
m 1 1S x 1 tg 2xtg x J ...
2 cos 2
Jmx x 2tgx ,
2 cos cos 2
где многоточием обозначены слагаемые, не зависящие от вторых производных. Для нахождения обобщенных сил iQ воспользуемся выражением элемен-
тарной работы:
1A mg x ma y 0 . Учитывая, что y tg x получим:
1A mg matg x.
Следовательно, x 1Q m g atg ;Q 0.
Составим, теперь уравнения Аппеля:
x
12 2
c
S SQ ; Q ;
x
x tgm x m g atg ;
cos cos
J 0.
(21.15.19)
Рассмотрим интегрирование уравнений движения. Пусть при t 0, x 0,
0 0y 0, 0, x v , . Величина 0y не может быть задана, так как связана с
0x соотношением:
0 0y x tg . Кроме того, положим a 0 . Тогда из второго уравнения системы
(21.15.19) получаем:
334
0t , а первое уравнение принимает вид:
20 0 1 0x xtg t g cos t. (21.15.20)
Найдем интеграл этого уравнения. Решение будем искать подстановкой x pq , где p и q – неизвестные функции времени. Дифференцируя x , найдем:
x pq pq. Подставим x в уравнение (21.15.20):
20 0 1 0pq pq pqtg t g cos t.
Потребуем, чтобы
0 0pq pqtg t 0. Тогда получим дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-
ными:
0 0p ptg t 0 или
0 0
dptg tdt.
p
Интеграл этого уравнения:
0 1ln p ln cos t ln c или 1 0p c cos t. Потребуем, чтобы
21 0pq g cos t.
Но, тогда
10
1
gq cos t.
c
Интеграл этого уравнения:
10 2
0 1
gq sin t c .
c
Следовательно:
10 0 2 1 0
0
gx pq sin t cos t c c cos t.
Так как t 0 0x v , то 0 2 1v c c и, следовательно,
10 0 0 0
0
gx sin t cos t v cos t.
(21.15.21)
Для y , учитывая уравнения связи, получаем:
210 0 0
0
gy sin t v sin t.
(21.15.22)
Интегрируя уравнения (21.15.21) и (21.15.22) еще раз, получаем:
335
2 010 02
0 0
0 010
0 0 0
vgx sin t sin t ,
2
sin 2 t vgy t 1 cos t ,
2 2
(21.15.23)
где постоянная интегрирования 1= 3c . В частном случае, когда 0v 0 , центр масс описывает циклоиду
102
0
10 02
0
gx 1 cos 2 t ;
4
gy 2 t sin 2 t .
4
Если 1g 0 , то движение происходит по горизонтальной плоскости, и мы имеем:
00
0
00
0
vx sin t;
vy 1 cos t ,
а это уравнения окружности. Если же 0 0 , то уравнения (21.15.23) дают три-виальный результат:
2
0
gtx v t ; y 0.
2
Реакции неголономных связей будут:
x 0 yN tg t; N ,
где my (см. уравнения (21.14.8)).
21.16. Уравнение Аппеля в квазискоростях
Составление уравнений Аппеля значительно упрощается, если при вычис-лении энергии ускорений использовать так называемые квазиускорения.
Пусть конфигурация системы задается n независимыми параметрами
1 nq ,...,q . При определении скоростей точек системы часто оказывается удобнее пользоваться не обобщенными скоростями 1 nq ,...,q , а некоторыми их линейны-ми комбинациями с коэффициентами, зависящими от обобщенных координат:
s s1 1 sn na q ... a q , s 1,n . (21.16.1) Величины s называются квазискоростями. В качестве примера можно
привести проекции вектора угловой скорости твердого тела на оси ( 1 1 1Ox y z ) связанные с телом:
336
x1
y1
z1
cos sin sin ,
sin sin cos ,
cos ,
(21.16.2)
где , , – углы Эйлера. Величины s , как правило, имеют вполне определенный смысл. При этом
выражения (21.16.1), как видно на примере соотношений (21.16.2), могут быть и не быть полными производными по времени от каких-либо функций обоб-щенных координат и времени. Наряду с (21.16.1) рассмотрим линейные формы дифференциалов обобщенных координат
s s1 1 sn nd a dq ... a dq , s 1,n. (21.16.3) Величины sd называются дифференциалами квазикоординат. Однако в
общем случае соотношения (21.16.3) неинтегрируемы и поэтому s как функ-ции обобщенных координат не существуют. Вместе с тем условное введение величины s и наименование их квазикоординатами позволяет сократить за-пись и формулировки и поэтому оправдано. Таким образом, можно условно также обозначить
ss
d.
dt
(21.16.4)
Предположим, что найдены соотношения, обратные (21.16.1):
r r1 1 rn nq b ... b , r 1,n. (21.16.5) Из (21.16.5) следует:
n
r rs ss 1
dq b d .
(21.16.6)
Рассмотрим выражение полного дифференциала некоторой функции 1 nq ,...,q обобщенных координат. Учитывая (21.16.6), получим:
n n n n n n
r rs s s rs sr 1 r 1 s 1 s 1 r 1 s 1r r r s
d dq b d d b d ,q q q
(21.16.7)
где также условно обозначено
n
rsr 1 r s
b .q
(21.16.8)
Теперь можно выписать ряд следующих соотношений
n
ils
l 1s l
rrb ,
q
(21.16.9)
n
i ii i s
s 1 s
r rv r ,
t
(21.16.10)
откуда следует:
337
i i
s s
v r.
(21.16.11)
Аналогично получаем обратные соотношения: n n
i ikr kr
k 1 k 1r k r k
r ra ; a
q q
(21.16.12)
Если вместо (21.16.1) принять выражение, содержащее свободный член
s ,n 1a , то можно ввести дополнительно n 1 n 1q 1 , то есть добавить в
(21.16.1) еще одну скорость. При этом все вышеприведенные рассуждения ос-таются в силе, то есть указанное расширение числа квазискоростей не ведет к увеличению общности. Запишем уравнение неголономных связей в виде:
s 0, s 1,l , (21.16.13)
то есть сами по себе линейные формулы обобщенных скоростей, выражающие неголономные связи, назовем квазискоростями.
Вектор скорости i точки системы, согласно (21.16.10), найдется по формуле
n l
i ii l s
s 1 l s
r rv .
t
(21.16.14)
Дифференцируя (21.16.14), найдем вектор ускорений:
n l
ii l s
s 1 l s
ra ...
(21.16.15)
Здесь точками обозначены члены, не зависящие от обобщенных ускоре-ний. Следствием (21.16.15) будет соотношение:
i i
l s l s
a r.
(21.16.16)
Согласно уравнению неголономных связей (21.16.13) имеем:
s 0, s 1,l. (21.16.17) Далее, исходя из (21.16.14) с учетом (21.16.16), можно записать
n l n l
i ii l s l s
s 1 s 1l s l s
r ar .
(21.16.18)
Теперь можно преобразовать общее уравнение динамики. Начнем со вто-рого слагаемого.
N N n l n l Ni i
i i i i i l s l s i ii 1 i 1 s 1 s 1 i 1l s l s
n l N
l s i i is 1 i 1l s
a am a r m a m a
1m a a ,
2
или
338
N n l
i i i l si 1 s 1 l s
Sm a r ,
(21.16.19)
где S – энергия ускорений. Элементарная работа внешних сил может быть за-писана в виде
n l
l s l ss 1
A P ,
(21.16.20)
где l sP – обобщенные силы, соответствующие квазикоординатам, и которые вычисляются с учетом неголономных связей.
Общее уравнение динамики преобразуется к виду:
n l
l s l ss 1 l s
SP 0,
(21.16.21)
из которого, вследствие независимости вариаций l s , следуют уравнения Ап-пеля в квазискоростях:
l s
l s
SP , s 1,l.
(21.16.22)
К системе n l уравнений, содержащей квазискорости l s и квазиускоре-ния l s , а также, в общем случае, обобщенные координаты 1 nq ,...,q – следует присоединить n уравнений первого порядка
n l 1
r r ,l k l kk 1
q b , s 1,l
, (21.16.23)
где n 1 =1, выражающей обобщенные скорости через псевдоскорости. Составим уравнения Аппеля в квазискоростях для тяжелого однородного
шара, катящегося по наклонной плоскости, образующей угол с горизонталь-ной плоскостью (рис. 21.19).
За независимые обобщенные координа-ты примем 1 cq x , 2 cq y , 3q , 4q ,
5q , где c cx , y – координаты центра масс: , , – углы Эйлера.
Уравнение голономной связи выражает тот факт, что расстояние центра шара точки C до точки касания с плоскостью всегда постоянно, то есть
cz a . Уравнения неголономных связей полу-
чаются из условия равенства нулю скорости точки M :
M c Mv v r 0, (21.16.24)
где Mr 0i 0 j ak , то есть Mr a. Раскрывая условие (21.16.24), получаем:
Рис. 21.19
339
c y c xx a 0; y a 0. (21.16.25)
Проекции угловой скорости шара на оси (Oxyz ):
x
y
z
cos sin sin ,
sin sin cos ,
cos .
(21.16.26)
Примем за независимые квазискорости выражения (21.16.26)
1 x
2 y
3 z
cos sin sin ,
sin sin cos ,
cos .
(21.16.27)
Определим обобщенные скорости через независимые квазискорости (21.16.25) и (21.16.27)
c 2 c 1
1 2
1 2
1 2 3
x a ; y a ;
sin cos;
sin sin
cos sin ;
sin ctg cos ctg .
(21.16.28)
Найдем энергию ускорений. Воспользуемся теоремой Кенига: 2c 1
1S ma S ,
2 (21.16.29)
где
( )2
1
m
1S r r dm
2 ; – вектор угловой скорости шара; – его
угловое ускорение; r – расстояние элемента массы dm до центра масс. В выражении 1S следует сохранить только члены, зависящие от ускорений:
( )2
1
m m
1S r dm r r dm ...
2 (21.16.30)
В формуле (21.16.30) члены, обозначенные точками, от ускорений не зави-сят. Первое слагаемое в выражении 1S вычислим, пользуясь аналогией с выра-жением для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной точки:
222
m m
1 1 JT v dm r dm
2 2 2
2 2 2x x y y z z xy x y yz x z yz y z
1J J J 2J 2J 2J .
2
В главных осях, когда xy xz yzJ J J 0 , остаются только три первых сла-
гаемых. В случае шара x y zJ J J J , поэтому имеем:
340
2 2 2x y z
1T J .
2
Следовательно,
2 2 2 2x y z
m
r dm J . (21.16.31)
В дальнейшем будем считать, что второе слагаемое (21.16.30) рассматри-вается в главных осях:
( )m m
r r dm r v dm, (21.16.32)
где v r – скорости точек тела. В дальнейшем потребуется тождество:
r v v r v r 0 . (21.16.33)
В этом соотношении последнее слагаемое равно нулю, так как r v . Воспользовавшись тождеством (21.16.33), преобразуем выражение (21.16.32):
( )m m m
m m
r v dm v rdm r v dm
v r dm r vdm .
Интеграл
c
m
r vdm L представляет собой момент количества движения
твердого тела во вращательном движении вокруг неподвижной точки, который в главных осях записывается следующим образом:
c x x y y z zL J i J j J k .
В итоге выражение (21.16.32) будет:
x x y y z z
z y y z x z x y y x x y
z y y z x x z x y y y x x y x
J i J j J k
J J i J J j J J k
J J J J J J .
Если x y zJ J J J , что имеет место для шара, то выражение (21.16.32)
равно нулю. Следовательно, энергия ускорений, согласно (21.16.29), а также (21.16.31), будет:
2 2 2 2 2c c x y z
1 1S m x y J ...
2 2 (21.16.34)
Если воспользоваться выражением квазискоростей (21.16.28), то получим:
2 2 2 2 21 2 3
1 1 1S J ma J ma J .
2 2 2 (21.16.35)
Вычислим виртуальную работу:
341
c c cA X x Y y Z z , но X 0;Y mg sin ; Z mg cos .
Согласно формулам (21.16.25), c 2 c 1 cx a ; y a ; z 0 , и, следова-тельно,
1A mga sin . (21.16.36) Таким образом, с учетом (21.16.36)
1 2 3P mga sin , P 0, P 0. Уравнения Аппеля
1 2 31 2 3
S S SP ; P ; P
в рассматриваемом случае будут иметь вид:
21
22
3
J ma mg sin ;
J ma 0;
J 0,
(21.16.37)
откуда
1 12
2 2
3 3
mg sint c ;
J mac ;
c ,
(21.16.38)
где 1 2 3c , c , c – постоянные интегрирования. Для обобщенных скоростей имеем формулы:
2
c 2 c 12
1 22
1 22
1 2 32
mga sinx ac ; y t ac ,
J mamga sin sin sin cos
c c ,J ma sin sin sin
mga sincos t c cos c sin ,
J mamg sin
sin ctg t sin ctg c c cos ctg c .J ma
(21.16.39)
Интегрируя два первых уравнения (21.16.39), находим:
c 2 4
2 2
c 1 52
x ac c ;
mga sin ty ac t c .
J ma 2
Как видим, в общем случае центр масс шара движется по параболе, распо-ложенной в плоскости, параллельной наклонной плоскости.
В качестве другого примера рассмотрим, как с помощью уравнений Аппе-ля могут быть получены динамические уравнения Эйлера для твердого тела с
342
закрепленной точкой O . Пусть x1 y1 z1, , – проекции угловой скорости на
главные оси инерции ( 1 1 1O, x , y , z ), связанные с телом. Они являются линейны-
ми комбинациями обобщенных скоростей , , , где , , – углы Эйлера:
x1
y1
z1
sin sin cos ,
sin cos sin ,
cos .
Энергия ускорений была найдена нами ранее
2 2 2x1 x1 y1 y1 z1 z1 z1 y1 y1 z1 x1
x1 z1 x1 z1 y1 y1 x1 x1 y1 z1
1S J J J J J
2
J J J J ...
Величины x1 y1 z1, , мы принимаем за псевдоскорости:
x1 1 y1 2 z1 3, , .
Элементарная работа внешних сил:
0 x 1 y 2 z 3A M M M M ,
где x y zi j k , причем x 1 y 2 z 3; ; , поэтому
1 x 2 y 3 zP M ; P M ; P M – составляющие внешнего момента.
Уравнения Аппеля будут:
1 2 31 2 3
S S SP ; P ; P .
Учитывая предыдущие обозначения, получаем:
x1 x1 z1 y1 y1 z1 x1
y1 y1 x1 z1 x1 z1 y1
z1 z1 y1 x1 x1 y1 z1
J J J M
J J J M
J J J M
.
343
22. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ТЕОРЕМА ЯКОБИ
22.1. Центральное уравнение Лагранжа
Рассмотрим общее уравнение динамики:
N
i i i ii 1
F m a r 0,
(22.1.1)
которое является синтезом принципа виртуальных перемещений Лагранжа и принципа Даламбера. Вывод его основан на принципе освобождаемости от связей и на предположении, что последние, независимо от их вида, являются идеальными. Существует другая форма записи уравнения динамики (22.1.1), называемая центральным уравнением Лагранжа. Преобразуем второе слагаемое уравнения (22.1.1):
i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
dm a r m v r m v r m v r
dtd
m v r m v v m v v r .dt
(22.1.2)
Последнее слагаемое исчезает, если применить правило перестановки действий варьирования и дифференцирования. Учитывая, что
2i i i i i
1 1v v v v v ,
2 2
общее уравнение динамики (22.1.1) приведем к виду: N N N
2i i i i i i i
i 1 i 1 i 1
d 1m v r m v F r ,
dt 2
или N
i i ii 1
dm v r T A,
dt
(22.1.3)
где N
2i i
i 1
1T m v
2
– кинетическая энергия системы, T – ее вариация,
N
i ii 1
A F r
– элементарная работа активных сил.
Соотношение (22.1.3), являющееся по сути дела преобразованным общим уравнением динамики, называется центральным уравнением Лагранжа.
22.2. Преобразование центрального уравнения Лагранжа
Осуществим переход к обобщенным координатам в центральном уравнении Лагранжа. Учитывая, что
ni
i ss 1 s
rr q ,
q
имеем
344
N n n Ni i
i i s i i si 1 s 1 s 1 i 1s s
r rd dm v q m v q .
dt q dt q
Величины
N
is i i
i 1 s
rp m v
q
(22.2.1)
по аналогии с тем как определялись обобщенные силы можно назвать обобщенными импульсами. Используя тождество Лагранжа, преобразуем (22.2.1):
N N Ni i
s i i i i i i ii 1 i 1 i 1s s s
r vp m v m v m v v
q q q
или
s
s
Tp , s 1,n
q
. (22.2.2)
Таким образом имеется равенство: N n
i i i s si 1 s 1
m v r p q .
(22.2.3)
Наконец, вспоминая определение обобщенной силы N
is i
i 1 s
rQ F ,
q
запишем центральное уравнение Лагранжа в виде: n n
s s s ss 1 s 1
dp q T Q q .
dt
(22.2.4)
Если силы потенциальны, то T A T П T П . (22.2.5)
Величина L T П называется кинетическим потенциалом Лагранжа. В общем случае L является функцией обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени. В случае потенциальных сил центральное уравнение Лагранжа записывается в виде:
n
s ss 1
dp q L.
dt
(22.2.6)
Не трудно видеть, как в случае голономных связей из формулы (22.2.4) следуют уравнения Лагранжа второго рода. Действительно,
n n n
s s s s s s s s ss 1 s 1 s 1 s
d d Tp q p q p q q p q
dt dt q
n
s s s ss 1 s s
T Tq q Q q .
q q
После чего имеем:
345
n
s ss 1 s s
d T TQ q 0.
dt q q
Откуда в силу независимости sq получаем уравнения Лагранжа второго рода
s
s s
d T TQ , s 1,n
dt q q
.
Однако система n дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода отнюдь не всегда является оптимальной. Существует весьма совершенная запись уравнений движения, когда, например, активные силы потенциальны в виде системы 2n уравнений первого порядка, к изучению которой мы сейчас перейдем. Прежде всего, рассмотрим один из важнейших вспомогательных приемов, которым является преобразование Лежандра.
22.3. Преобразование Лежандра
Преобразование Лежандра позволяет осуществлять переход от старых переменных к новым при помощи так называемой производящей функции. Это преобразование, как будет показано ниже, позволяет записать уравнения динамики системы материальных точек, находящейся под действием потенциальных сил, в особо совершенной форме.
Рассмотрим функцию 1 nФ x ,..., x переменных 1 nx ,...,x непрерывную,
однозначную, имеющую непрерывные частные производные первого и второго порядков по всем переменным. При помощи функции Ф , которую далее будем называть производящей, осуществим преобразование от переменных 1 nx ,...,x к новым переменным, определяемым формулами:
s
s
Фy , s 1,n
x
. (22.3.1)
При помощи системы уравнений (22.3.1) старые переменные могут быть выражены через новые:
s s 1 nx x y ,..., y , s 1,n. (22.3.2)
Однако формулы обратного преобразования (22.3.2) могут быть получены, если якобиан системы функций sy будет отличен от нуля. Якобиан для
функций sy называется гессианом функции Ф и обозначается H Ф :
2 2 2
21 2 1 n 1
2 2 2
21 n 2 n n
Ф Ф Ф...
x x x x x
H Ф ...
Ф Ф Ф...
x x x x x
. (22.3.3)
346
Таким образом, условием разрешимости системы (22.3.1) относительно старых переменных sx является условие необращения в нуль гессиана Н (22.3.3).
Это преобразование можно записать в форме (22.3.1), при этом производящая функция 1 ny ,..., y новых переменных определяется
равенством:
n
1 n k k 1 nk 1
y ,..., y x y Ф x ,..., x ,
(22.3.4)
в котором старые переменные sx заменены их значениями согласно (22.3.2). То есть процедура получения соотношений (22.3.2) в явном виде считается выполненной. Вычислим частную производную по sy . Учитывая (22.3.1), найдем:
n nk k
s k sk 1 k 1s s k s
x xФx y x ,
y y x y
то есть
s
s
x , s 1,ny
, (22.3.5)
что и требовалось доказать. Формулы (22.3.1) и (22.3.5) определяют прямое и обратное преобразование
Лежандра. Рассмотрим частный случай, когда производящая функция Ф –
квадратичная форма.
T1Ф x ax,
2 (22.3.6)
где T
1 nx x ,..., x – вектор переменных sx , ik i ,k 1,na a
– симметричная
матрица коэффициентов квадратичной формы. Гессианом квадратичной формы (22.3.6) является определитель a
матрицы a . Если a невыраженная матрица, то система линейных уравнений:
n n n
Ts ik i k ks k
i 1 k 1 k 1s s s
Ф 1y x ax a x x a x
x x 2 x
(22.3.7)
разрешима относительно старых переменных. Систему (22.3.7) можно записать так:
ax y , (22.3.8)
где T
1 ny y ,..., y – вектор новых переменных sy . Решение системы (22.3.8)
записывается в виде: x by , (22.3.9)
где 1sk s ,k 1,n
b a b
– матрица, обратная a . Иначе выражение (22.3.9) можно
переписать так:
347
n
s sk kk 1
x b y .
(22.3.10)
Вспоминая теорему Эйлера об однородных функциях, имеем:
n n
k k kk 1 k 1 k
Фx y Ф x Ф 2Ф Ф Ф.
x
(22.3.11)
Следовательно, выражение для производящей функции получается, если в (22.3.6) подставить (22.3.9):
T1 1 T 11 1a y a a y y a y.
2 2 (22.3.12)
Так как n
k kk 1
Ф x y ,
(22.3.13)
то есть поскольку мы получили одну и ту же квадратичную форму для Ф и , то ее можно представить в билинейной форме. Говорят, что квадратичная форма Ф союзна квадратичной форме . Примером преобразования Лежандра может служить теорема Кастильяно.
Пусть система материальных точек, подчиненная идеальным связям, находится в равновесии под действием внешних сил 1 NF ,...,F и потенциальных
сил, определяемых потенциальной энергией 1 nП q ,...,q . Сумма элементарных
работ всех сил на виртуальных перемещениях точек системы из положения равновесия должна равняться нулю:
N n
k k s sk 1 s 1 s
ПA F r П Q q ,
q
где sQ – обобщенные силы, обусловленные нагрузкой. Откуда в силу независимости sq следует:
s
s
ПQ , s 1,n.
q
(22.3.14)
Преобразование (22.3.14) представляет собой вариант преобразования (22.3.1), в котором новые переменные sQ выражаются через старые sq . Производящей функцией обратного преобразования будет функция
N
1 n s ss 1
П Q ,...,Q Q q П
* , (22.3.15)
называемая дополнительной работой. Тогда соотношение, аналогичное (22.3.5), будет
s
s
Пq , s 1,n
Q
*
. (22.3.16)
Формулы (22.3.14) и (22.3.16) носят более общий характер по сравнению со случаем, когда П является квадратичной формой. В частном случае, когда П
348
является квадратичной формой, дополнительная работа П * является союзным выражением для П .
22.4. Канонические уравнения движения
Рассматривается голономная система с n степенями свободы. Уравнения Лагранжа этой системы представляют систему n дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат, разрешимую относительно вторых производных sq . Эту систему уравнений можно заменить системой 2n уравнений множеством способов. Например, обозначив s sq r , можно внести в рассмотрение 2n переменных s sq , r , которые в дальнейшем полагаются независимыми переменными, определяющими поведение системы. Конечно, никакой существенной роли такое тривиальное преобразование не играет.
Однако, если, например, в качестве 2n переменных взять обобщенные координаты sq и обобщенные импульсы
s
s
Tp , s 1,n
q
, (22.4.1)
то при таком выборе переменных уравнения движения, когда активные силы потенциальны, записываются в весьма совершенной форме, называемой канонической. Эта форма уравнений, компактная и симметричная, облегчает исследование общих свойств движения и допускает сведение задачи интегрирования канонических уравнений к разысканию полного интеграла некоторых уравнений в частных производных первого порядка (теорема Якоби).
Кинетическая энергия T , являющаяся функцией обобщенных скоростей, берется в качестве производящей функции для перехода от старых переменных
sq к новым переменным sp . Ее гессианом будет определитель матрицы A коэффициентов положительно определенной квадратичной формы 2T , входящей в T . Этот определитель положительный, отличный от нуля. Поэтому уравнения (22.4.1), линейные относительно обобщенных скоростей iq , разрешимы относительно них:
s s 1 n 1 nq q p ,..., p ,q ,...,q ,t . (22.4.2)
Уравнения (22.4.2) линейны относительно обобщенных импульсов и представляют первую группу канонических уравнений. Эта группа состоит из уравнений первого порядка, определяющих производные по времени от обобщенных координат через обобщенные импульсы, обобщенные координаты и время t . Преобразование Лежандра позволяет весьма просто записать уравнения (22.4.2). Для этого составим, согласно (22.3.4), производящую функцию обратного преобразования:
n
s s 1 n 1 ns 1
T p q T T p ,..., p ,q ,...,q ,t ,
(22.4.3)
349
в которой обобщенные скорости выражены через обобщенные импульсы. Тогда, согласно (22.3.5), получим:
s
s
Tq , s 1,n.
p
(22.4.4)
С помощью функции T составляется вторая группа уравнений движения, при этом уравнения второй группы являются результатом преобразования общего уравнения динамики.
Запишем общее уравнение динамики в форме центрального уравнения Лагранжа (22.2.4):
n n
s s s ss 1 s 1
dp q T Q q .
dt (22.4.5)
Учитывая, что n
s ss 1
T p q T ,
и что
s s
s s
T TT q p ,
q p
из (22.4.5) получим:
n n n
s s s s s ss 1 s 1 s 1
dp q p q T Q q
dt
или
n n
s s s s s s s s s s s ss 1 s 1 s s
T Tp q p q p q q p q p Q q .
q p
(22.4.6)
Откуда, перегруппировав слагаемые, получаем:
n
s s s s s s s ss 1 s s
T Tp Q q p q q q p 0.
q p
Предпоследняя группа слагаемых исчезает согласно правилу переставимости операций дифференцирования и варьирования (правило d d ), а последняя – согласно уравнениям (22.4.4). Следовательно
n
s s ss 1 s
Tp Q q 0.
q
(22.4.7)
Из соотношения (22.4.7) вследствие независимости вариаций находим:
s s
s
Tp Q , s 1,n.
q
(22.4.8)
Это вторая группа канонических уравнений движения для системы переменных s sq , p . Если силы потенциальны, то подобно тому, как уравнения Лагранжа второго рода могут быть записаны с помощью одной функции L – кинетического потенциала, достаточно одной функции H , называемой
350
функцией Гамильтона, что бы записать уравнения (22.4.4) и (22.4.8). В этом случае соответствующие уравнения называются каноническими уравнениями Гамильтона. Функция Гамильтона, чтобы составить каноническую систему, определяется так:
n n
1 n 1 n s s s ss 1 s 1
H p ,..., p ,q ,...,q ,t T П p q T П p q L.
(22.4.9)
В выражении (22.4.9) обобщенные скорости исключены с помощью соотношений (22.4.2).
Время t может войти явно в функцию Гамильтона H через выражение T при нестационарных связях и через обобщенную потенциальную энергию П .
Учитывая, что потенциальная энергия не зависит от обобщенных импульсов, вместо (22.4.4) и (22.4.8) имеем:
s s
s s s s s
T H T П Hq , p .
p p q q q
В итоге получаем системы канонических уравнений Гамильтона
s s
s s
H Hq , p , s 1,n.
p q
(22.4.10)
Переменные sq и sp , удовлетворяющие системе канонических уравнений (22.4.10), называются каноническими. Если связи стационарны, то T – положительно определенная квадратичная форма обобщенных скоростей. Тогда T является союзным выражением кинетической энергии. Обозначим его T . Тогда при стационарных связях функция Гамильтона представляет полную механическую энергию
H T П . При этом, согласно (22.3.12),
T 11T p A p,
2 (22.4.11)
где T1 np p ,..., p – вектор, компонентами которого являются обобщенные
импульсы; A– матрица квадратичной формы T . При нестационарных связях
n
2 1s s s 2 1
s 1s s
T Tp , p q 2T T ,
q q
и, следовательно
n
s s 2 1 2 1 0 2 0s 1
H p q L 2T T T T T П T П T .
(22.4.12)
При этом 2T должно быть выражено через импульсы. В случае стационарных связей T – квадратичная форма импульсов,
поэтому и H также квадратичная форма. При нестационарных связях H разбивается на квадратичное, линейное и независящее от импульсов слагаемое.
351
Составим полную производную функции Гамильтона по времени в силу канонических уравнений (22.4.10)
n n
s ss 1 s 1s s s s s s
dH H H H H H H H H Hq p .
dt t q p t q p p q t
(22.4.13)
Если t явно не входит в выражение функции Гамильтона, то она остается постоянной во время движения. Тогда получаем интеграл уравнений движения
1 n 1 nH q ,...,q , p ,..., p h, (22.4.14)
называемый интегралом энергии. В случае стационарных связей выражение (22.4.14) означает постоянство кинетической и потенциальной энергии системы.
Если координаты m 1 nq ,...,q циклические, то и соответствующие обобщенные импульсы сохраняют при движении постоянные значения. Действительно, так как
m l
m l
Hp 0, l 1,n m,
q
(22.4.15)
то
m 1 m 1p , l 1,n m. (22.4.16) Поэтому система 2n уравнений первого порядка
s s
s s
H Hq , p , s 1,m
p q
, (22.4.17)
оказывается замкнутой, то есть содержит такое же количество неизвестных. Если же система (22.4.17) решена, то определение циклических
координат сводится к квадратурам, так как правые части соответствующих уравнений
m l
m l m l
H Hq 0, l 1,n m
p
, (22.4.18)
окажутся известными функциями. Рассмотрим пример составления
канонических уравнений движения. Механическая система (рис. 22.1) представляет собой однородный цилиндр, который скатывается по призме без проскальзывания. Призма, в свою очередь, может двигаться без трения по горизонтальной плоскости. Масса цилиндра m , а масса призмы M . Обозначим расстояние центра масс цилиндра АВ от верхнего края призмы через s , а перемещение центра призмы – через x . Рис. 22.1
352
Абсолютная скорость центра масс цилиндра равна сумме переносной скорости cv , которая представляет собой скорость призмы, и относительной скорости rv , которая представляет собой скорость центра масс цилиндра по отношению к призме:
0 r cv v v , при этом
r cv s,v x. Воспользовавшись теоремой косинусов, найдем:
2 2 20v x s 2xs cos .
Кинетическая энергия системы:
22 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 sT Mx m x s 2xs cos mr
2 2 4 r1 1 1
Mx m x s 2xs cos ms2 2 4
1 3M m x mxs cos ms .
2 4
Составим матрицу
11 12
21 22
M m; m cosa ; a
.3a ; a m cos ; m
2
Определитель этой матрицы:
2 23M m m m cos .
2
Выражение союзной матрицы: 3
mm cos2 ;
.m cos M m
;
Следовательно, союзное выражение кинетической энергии:
xx s
s
x s x x s s
2 2x x s s
3 pm; mcos1T p , p 2
p2mcos ; M m
1 3mp mcos p p mcos p M m p p
2 2
1 3mp 2mcos p p M m p .
2 2
Потенциальная энергия системы:
353
П mgs sin , Функция Гамильтона
H T П , так как связи стационарны. Первая группа канонических уравнений будет:
x s
x
x s
s
H 1 3x mp m cos p ;
p 2
H 1s m cos p M m p .
p
Вторая группа канонических уравнений:
x
s
Hp 0,
xH
p mg sin .s
(22.4.19)
То есть x является циклической координатой. Следовательно,
x x0p p , то есть проекция количества движения на ось x постоянна. Но,
x x0
Tp M m x ms cos p .
x
Проинтегрируем второе уравнение (22.4.19):
s s0p tmg sin p . Подставим xp и sp в первую группу канонических уравнений:
x0 s0
x0 s0
1 3x mp m cos tmg sin p ;
2
1s m cos p M m tmg sin p .
Пусть 0 0x s 0 и x0 s0p p 0 , то есть система в начальный момент времени была в покое. Тогда получим:
2 22
2
2 2
2
m g sin 2 t g sin 2x t ,
3 M m2 24 cos
2 m
M m mg sin g sins t t .
3 m22 cos
2 M m
В качестве еще одного примера составления канонических уравнений рассмотрим движение материальной точки в поле центральной силы. Введем сферические координаты r, , (рис. 22.2). Составляющие скорости:
354
rv r , v r , v r sin .
Кинетическая энергия точки
2 2 2 2 2 2mT r r r sin .
2
Соответствующие обобщенные импульсы:
2 2 2rp mr, p mr , p mr sin .
(22.4.20) Для того, что бы составить функцию
Гамильтона H , необходимо найти сумму H T П . Причем выражение T T
должно быть записано через обобщенные импульсы (22.4.20): 22
2r 2 2 2
pp1H T П p П( r ).
2m r r sin
(22.4.21)
Первая группа канонических уравнений представляют собой уравнения (22.4.20), разрешенные относительно обобщенных скоростей:
r2 2 2
r
pppH H Hr ; ; .
p m p mr p mr sin
(22.4.22)
Вторая группа уравнений, согласно (22.4.21), будет:
22
r 3 2
22 3
pH 1 Пp p ;
r mr sin r
H 1p p cos ;
mR sinH
p 0.
(22.4.23)
Из последнего уравнения получаем циклический интеграл p const .
Кроме того, имеется интеграл энергии.
22.5. Метод Якоби
Уравнение Якоби Уравнение в частных производных первого порядка в общем виде можно
записать так: 1 n 1 nF x ,...,x ; z; p ,..., p 0, (22.5.1)
где i
i
zp .
x
Функция
1 n 1 nz z x ,..., x ;a ,...,a ,
удовлетворяющая уравнению (22.5.1), зависящая от стольких неаддитивных произвольных постоянных, сколько уравнение содержит независимых
Рис. 22.2
355
переменных, называется полным интегралом уравнения (22.5.1). Если функция F не содержит явно z , то есть уравнение в частных производных имеет вид:
1 n 1 nF x ,..., x ; p ,..., p 0, (22.5.2)
то одна из произвольных постоянных будет аддитивной, то есть полный интеграл уравнения (22.5.2) будет иметь вид:
1 n 1 n nz z x ,..., x ;a ,...,a a .
Если часть независимых переменных, например, 1 2 kx ,x ,..., x ,k n , будут входить в функцию F не явно, а только через частные производные
1 2 kp , p ,..., p , то число независимых переменных уравнения
k 1 n 1 nF x ,...,x ; p ,..., p 0, (22.5.3)
можно сделать равным n k , то есть понизить на k единиц.
Действительно, положим 1 1 k k k 1 nz a x ... a x x ,..., x .
Найдем дифференцированием:
1 1 k k k 1 nk 1 n
p a ,..., p a , p ,..., p ,x x
и, следовательно, уравнение (22.5.3) примет вид:
k 1 n 1 k
k 1 n
F x ,..., x ; a ,...,a ; ,..., 0.x x
(22.5.4)
Уравнение (22.5.4) имеет n k независимых переменных. Полный интеграл этого уравнения запишется в виде:
k 1 n 1 k k 1 n 1 nx ,..., x ; a ,...,a ; a ,...,a a .
и, следовательно, 1 1 k k k 1 n 1 k k 1 n 1 nz a x ... a x x ,..., x ; a ,...,a ; a ,...,a a .
Уравнения характеристик для уравнения (22.5.2) представляют следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
1 n 1 n
1 n 1 n
dx dx dp dp... ... ,
p p x x
где i ii i
F Fp , x .
p x
Каноническую систему уравнений движения
s s
s s
H Hq , p , s 1,n
p q
(22.5.5)
можно представить в виде:
n n1 1
1 n 1 n
dq dpdq dp dt... ... ,
H H H H 1p p q q
где 1 n 1 nH H q ,...,q ; p ,..., p ;t – функция Гамильтона.
356
Необходимо разыскать полную систему интегралов уравнений (22.5.5):
s s 1 n 1 n
s s 1 n 1 n
q q t; ,..., ; ,..., ;
p p t; ,..., ; ,..., .
Оказывается, что эта задача эквивалентна задаче интегрирования следующего уравнения в частных производных первого порядка
1 n
1 n
V V VH q ,...,q ; ,..., ; t 0
t q q
, (22.5.6)
при этом каноническая система уравнений (22.5.5) может рассматриваться как уравнения характеристик этого уравнения.
Уравнение (22.5.6) называется уравнением Якоби и во многих случаях оказывается проще найти полный интеграл этого уравнения, а затем уже и сами интегралы системы (22.5.5).
Неизвестная функция V называется главной функцией Гамильтона. Очевидно, независимыми переменными для функции V будут 1 2 nq , q ,...,q , t , и поэтому полный интеграл уравнения (22.5.6) будет содержать n 1 произвольных постоянных, из которых одна, поскольку V явно не входит в уравнения Якоби, будет аддитивной:
1 n 1 n n 1V V q ,...,q ; t;c ,...,c c .
Постоянная n 1c может не приниматься во внимание, так как во всех
соотношениях фигурируют только производные функции V . Поэтому в дальнейшем будем иметь в виду выражение
1 n 1 nV V q ,...,q ; t; ,..., . (22.5.7)
Теорема Якоби Предположим, что полный интеграл (22.5.7) уравнения Якоби (22.5.6)
найден. Составим n соотношений
s s
s s
V V; p
q
, (22.5.8)
где s – произвольная постоянная. Теорема Якоби состоит в том, что, если известен полный интеграл
уравнений Якоби:
1 n
1 n
V V VH q ,...,q ; ,..., ; t 0
t q q
, (22.5.9)
то есть найдена функция 1 n 1 nV V q ,...,q ;t; ,..., , тождественно
удовлетворяющая уравнению (22.5.9), то уравнения (22.5.8) будут интегралами канонической системы (22.5.5).
Дифференцируя первые n уравнений (22.5.8) по времени, получим:
2 2 2 2n n
mm 1 m 1s s m s s m s m
d V V V V V H0 q .
dt t q t q p
(22.5.10)
357
Докажем, что полученное уравнение (22.5.10) является тождеством. Поскольку функция V является полным интегралом уравнения Якоби, то она ему удовлетворяет, то есть
1 n 1 n
VH q ,...,q ; p ,..., p ;t 0,
t
(22.5.11)
так как s
s
Vp
q
. Дифференцируя (22.5.11), найдем
2 nm
m 1s m s
pV H0
t p
,
или 2 2n
m 1s s m m
V V H0,
t q p
что совпадает с выражением (22.5.10). Следовательно, соотношение (22.5.10) представляет собой производную от уравнения Якоби:
1 n
s 1 n
V V VH t;q ,...,q ; ,..., 0
t q q
и является тождеством. Таким образом, первая группа уравнений (22.5.8) тождественно
удовлетворяет канонической системе (22.5.5). Аналогично докажем это же и для второй группы уравнений (22.5.8), то
есть, что величины s sp ,q , определенные из канонических уравнений, тождественно удовлетворяют уравнениям (22.5.8).
Дифференцируя по t вторую группу уравнений (22.5.8) найдем: 2 2n
sm
m 1s s m s
dp d V V Vq .
dt dt q t q q q
Предположим, что sp и sq удовлетворяют канонической системе и перенесем все члены этого равенства в левую сторону:
2 2n
m 1s s m s m
H V V H0.
q t q q q p
Не трудно видеть, что это равенство можно переписать в виде: 2 n
m
m 1s s m s
pV H H0
q t q p q
или
1 n
s 1 n
V V VH t;q ,...,q ; ,..., 0
q t q q
, (22.5.12)
то есть (22.5.12) есть частная производная уравнения Якоби по sq и, следовательно, представляет собой тождественный нуль.
358
Таким образом, если полный интеграл уравнения Якоби (22.5.7) известен, то по теореме Якоби канонические переменные s sq , p определяются как функции времени t и 2n произвольных постоянных 1 n 1 n,..., ; ,..., из уравнений (22.5.8), представляющих собой по отношению к s sq , p систему алгебраических уравнений:
s s 1 n 1 n
s s 1 n 1 n
q q ,..., ; ,..., ;
p p ,..., ; ,..., .
Рассмотрим частный случай, когда H не зависит явно от времени t : 1 n 1 nH H q ,...,q ; p ,..., p .
Уравнение Якоби будет иметь вид:
1 n
1 n
V V VH q ,...,q ; ,..., 0.
t q q
(22.5.13)
Поскольку t в уравнение явно не входит, то число независимых переменных можно уменьшить на единицу. Для этого положим:
1 nV ht W q ,...,q ,
где h – постоянная. Функция W называется характеристической функцией. Подставим в уравнение Якоби вместо V ее производные:
s s
V V Wh, , s 1,n.
t q q
Тогда получим:
1 n
1 n
W WH q ,...,q ; ,..., h
q q
, (22.5.14)
не содержащее переменной t . Предположим, что полный интеграл уравнения (22.5.14) найден:
1 n 1 n nW W q ,...,q ; ,..., ;h .
Тогда полный интеграл уравнения (22.5.13) будет: 1 n 1 n nV ht W q ,...,q ; ,..., ;h . (22.5.15)
Отсюда получаем систему интегралов канонических уравнений. Принимая
во внимание, что i i i i
V W V W,
q q
, получим:
i
i
W, i 1,n 1,
(22.5.16)
i
i
Wp ,i 1,n,
q
(22.5.17)
0
V Wt t
h h
или 0
Wt t ,
h
(22.5.18)
359
где 0t – произвольная постоянная. Первые n 1 интегралов называются геометрическими и отделяют траекторию в фазовом пространстве. Они не содержат времени. Последний интеграл (22.5.18), содержащий время, называется кинематическим, так как он дает закон движения изображающей точки по траектории. Интегралы (22.5.17) называются промежуточными и служат для определения импульсов sp и постоянных интегрирования.
Рассмотрим применение метода Якоби в задаче о движении волчка.
Пусть оси Oxyz связаны с волчком, вращающимся вокруг неподвижной точки O . Система осей 1 1 1Ox y z считается неподвижной. , , – углы Эйлера. – угол прецессии, – угол нутации, – угол собственного вращения. Оси Oxyz – главные оси инерции; пусть
x 1 y 2 z 3J J , J J , J J – главные
моменты инерции; 1 2J J в силу симметрии.
Найдем проекции абсолютной угловой скорости на оси Oxyz (рис. 22.3):
x
y
z
cos sin sin ;
sin sin cos ;
cos .
(22.5.19)
Кинетическая энергия волчка, согласно (22.5.19), будет:
2 2 21 x 2 y 3 z
2 2 21 x y 3 z
22 2 21 3
1T J J J
21 1
J J2 21 1
J sin J cos .2 2
Потенциальная энергия: П P OC cos Pl cos ,
где OC l . Найдем обобщенные импульсы:
Рис. 22.3
360
21 3
1
3
TP J sin J cos cos ;
TP J ;
TP J cos .
Для того чтобы построить союзное выражение кинетической энергии *T , выразим угловые скорости прецессии , нутации и собственного вращения через импульсы:
21 3 3
P P P cosP; cos ; .
J J J sin
Очевидно,
222
*
21 1 3
P P cos PP1 1 1T .
2 J 2 J sin 2 J
Функция Гамильтона:
222
*
21 1 3
P P cos PP1 1 1H T П Pl cos .
2 J 2 J sin 2 J
Координаты и являются циклическими. Выпишем канонические уравнения:
1
2 23 1
2 2 21 3 1 1 3
21
P;
J
P J cos J sinP P cos P P coscos ;
J sin J J sin J J sin
P P cos.
J sin
(22.5.20) Вместо громоздкого второго уравнения первой группы (22.5.20) лучше
иметь дело с уравнением: 3
Pcos ,
J которое получается, если
воспользоваться третьим уравнением и подставить его во второе. Вторая группа уравнений будет следующей:
P 0;
P 0;
HP .
(22.5.21)
361
Поскольку и – циклические переменные, то
0 0P P , P P .
Выразим импульсы через функцию W : W W W
P ; P ; P .
Уравнение (22.5.14) для волчка будет: 22
21 1
2
3
1 W 1 W Wcos
2J 2J sin
1 WPl cos h.
2J
(22.5.22)
Будем искать W в виде W .
Подставляя W в (22.5.22), найдем:
2
2 211 12
3
1 Jcos 2J Pl cos 2J h,
sin J
2
211 1 2
3
cos J2J h 2J Pl cos f .
Jsin
То есть 0
f d
и, следовательно, 0
W f d .
0
0 1
W dt t J ;
h f
(22.5.23)
0
0
2
212
3
cosW d;
sin f
cos cosW J d.
sin J f
Кроме того, мы имеем:
3
21 3
1
W TP J cos ,
W TP J sin J cos cos ,
WP f J .
Перепишем уравнение (22.5.23) в виде:
362
1J d
dtf
или 2 2
1J f . (22.5.24)
Обозначим cos s и найдем производную sin s . После чего уравнение (22.5.24) перепишется в виде:
22 2
21 11 12 2
3
sJ s J2J h 2J Pls
1 s 1 s J
или
22
2 2
21 1 1 3 1
sh Pls 2 s 1 s .
J J 2J J J
Это уравнение может быть записано в форме (16.4.11) см. пункт 16.4. Его решение достаточно полно исследовано и приводится в курсах аналитической механики1.
22.6. Скобки Пуассона и скобки Лагранжа
Рассмотрим две функции u,v от двух групп независимых переменных, каждая из которых содержит n переменных
1 n 1 n
1 n 1 n
u u q ,...,q , p ,..., p u q p ,
v v q ,...,q , p ,..., p v q p .
(22.6.1)
Выражение
1 1 n n 1 1 n n
u v u v u v u v... ...
q p q p p q p q
называется скобками Пуассона от этих функций и обозначается
n
k 1 k k k k
u v u vu,v .
q p p q
(22.6.2)
Из определения скобок Пуассона следует: u,v v,u , u,u 0, u,c 0 , (22.6.3)
если c – не зависит от рассматриваемых переменных. Кроме того, 1 2 1 2u,v v u,v u,v . (22.6.4)
Частные производные u по sq и sp можно представить в форме скобок Пуассона:
s s
s s
u up ,u , q ,u .
q p
(22.6.5)
Это позволяет записать канонические уравнения Гамильтона в виде:
1 см. Л. Парс. Аналитическая динамика. – М. : Наука, 636 с.
363
s s s sq q ,H , p p ,H , s 1,n. (22.6.6)
Имеют место следующие частные значения скобок Пуассона: s t s t s t stq ,q 0, p , p 0, q , p , (22.6.7)
где st – символ Кронекера. Эти скобки называются фундаментальными. В дальнейшем потребуется тождество Якоби:
u, v,w v, w,u w, u,v 0. (22.6.8)
Каждое слагаемое левой части этого тождества содержит вторую производную одной из функций u,v,w. Например, вторая производная w входит в сумму двух первых скобок и не входит в третью скобку. Эту сумму можно, согласно (22.6.3), записать в виде:
u, v,w v, u,w . (22.6.9)
Скобки v,w и u,w представим ввиде линейных форм первых
производных от w : n
k n kk 1 k k
w wv,w B w B B ,
p q
n
k n kk 1 k k
w wu,w A w A A ,
p q
(22.6.10)
где k k n k n k
n n k k
v v u uB , B , A , A
q p q p
. (22.6.11)
Тогда:
n n
s n s k n ks 1 k 1s s k k
n n
s n s k n ks 1 k 1s s k k
u , v , w v , u , w A B w B A w
w wA A B B
p q p q
w wB B A A
p q p q
2 2n n
s k k s s n k n k ss 1 k 1 s k s k
2 2
n s k n s k n s n k n k n s
s k s k
w wA B A B A B A B
p p p q
w wA B B A A B A B ...
q p q q
Здесь под многоточием подразумеваются члены, не содержащие вторых производных w . Выражение в квадратных скобках меняет знак при замене индексов суммирования s на k , но поскольку равенство при этом не должно меняться, то остается принять, что оно равно нулю.
Следовательно, в выражении (22.6.9) вторая производная w сокращается. Повторив рассуждения для u, v , приходим к выводу, что должны сокращаться вторые производные всех функций. Но, поскольку каждое слагаемое содержит
364
вторые производные одной из трех функций, значит сократятся попарно все слагаемые.
Имеет место еще одно свойство скобок Пуассона, которое следует из определения:
u vu,v ,v u, .
t t t
(22.6.12)
Наряду со скобками Пуассона в дальнейшем потребуются выражения:
n n n n1 1 1 1q p q pq p q p... ... ,
u v u v v u v u
называемые скобками Лагранжа и обозначаемые
n
k k k k
k 1
q p q pu,v .
u v v u
(22.6.13)
Кроме того, по аналогии с (22.6.7), имеем:
s k s k s k skq ,q 0, p , p 0, q , p , s,k 1,n. (22.6.14)
Это фундаментальные скобки Лагранжа. Пусть 1 1 n nu ,v ,...,u ,v (22.6.15)
– n пар функций от n пар переменных 1 1 n nq , p ,...,q , p . (22.6.16)
Логично также считать величины (22.6.16) функциями переменных (22.6.15). Рассмотрим 24n скобок Пуассона
k s k s k s k su ,u , u ,v , v ,u , v ,v , k ,s 1,n ,
являющихся элементами квадратной матрица Пуассона P :
. . . . . .
. . . . .
1 1 1 n 1 1 1 n
n 1 n n n 1 n n
1 1 1 n 1 1 1 n
u ,u u ,u u ,v u ,v
. . . . . .
u ,u u ,u u ,v u ,vP
v ,u v ,u v ,v v ,v
. . . . . .
.
n 1 n n n 1 n n
.
v ,u v ,u v ,v v ,v
(22.6.17)
Аналогично определяется матрица Л , элементами которой служат скобки Лагранжа:
k s k s k s k su ,u , u ,v , v ,u , v ,v . (22.6.18)
Обе матрицы P и Л являются кососимметричными и могут быть записаны в форме симметричных 22 матриц от n n матриц:
u,u u,v u,u u,vP , Л ,
v,u v,vv,u v,v
(22.6.19)
365
где u,u , v,v – матрицы, определенные в (22.6.17) пунктиром.
Матрицы P и Л меняют знак при транспонировании T TP P и Л Л . (22.6.20)
Произведение матриц
2nPЛ ЛP E , (22.6.21)
где 2nE – единичная матрица.
Эта запись эквивалентна четырем матричным равенствам:
n
n
u,u u,u u,v v,u E ,
v,u u,u v,v v,u 0,
u,u u,v u,v v,v 0,
v,u u,v v,v v,v E ,
(22.6.22)
где nE – единичная матрица.
Одна из строк первого равенства (22.6.22) в развернутом виде записывается так:
n
s k k r s k k r srk 1
u u u ,u u ,v v u .
(22.6.23)
22.7. Теорема Пуассона
Запишем производную некоторой функции 1 n 1 nq ,...,q , p ,..., p по
времени в силу канонических уравнений движения Гамильтона n
s 1 s s s s
H H
t q p p q
с помощью скобок Пуассона
,H .t
(22.7.1)
Если q p ; t представляет первый интеграл уравнений движения, то
есть сохраняет при движении постоянное значение, то
,H 0.t
(22.7.2)
Это равенство удовлетворяется при всех значениях аргументов s sq , p , t , то есть является тождеством. Основываясь на тождестве Якоби и на соотношении (22.6.12), докажем теорему Пуассона.
Если: 1 q p ; t и 2 q p ; t (22.7.3)
два первых интеграла канонических уравнений, тогда скобка Пуассона
366
1 2, (22.7.4)
сохраняет при движении системы постоянное значение c . Действительно, согласно (22.7.2), имеем:
1 21 2,H 0, ,H 0.
t t
(22.7.5)
Проверим, что
1 2
1 2
,, ,H 0
t
. (22.7.6)
Воспользовавшись соотношением (22.6.12), преобразуем выражение (22.7.6):
1 22 1 1 2, , , ,H 0
t t
.
Подставляя в него 1
t
и 2
t
из соотношения (22.7.5), найдем:
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1
,H , , ,H , ,H
, ,H ,H , H , , 0,
согласно тождеству Якоби (22.6.8), что и требовалось доказать. Величина может представлять новый интеграл канонических
уравнений, но может таковыми и не являться. В частности она может оказаться функцией известных интегралов 1 1q p ; t c и 2 2q p ; t c , то есть
1 2 1 2, c ,c , (22.7.7)
или тождественно обращаться в постоянную, которая может быть и нулем. Пусть H не содержит t явно. Тогда имеется интеграл энергии
1 n 1 nH q ,...,q , p ,..., p h,
комбинируя который с интегралом
q p ; t ,
на основании теоремы Пуассона, получаем H , a,
где a – постоянная величина. Но, согласно равенству (22.7.2),
H , ,H a,t
что представляет собой новый интеграл. Продолжив это рассуждение, найдем еще интеграл
2
12a .
t
Но, если c и не содержит время явно, то H , не дает нового
интеграла.
367
22.8. Канонические преобразования
Рассматриваются новые переменные
s 1 n 1 n s
s 1 n 1 n s
Q q ,...,q ; p ,..., p ;t Q q p ;t ,
P q ,...,q ; p ,..., p ;t P q p ;t , s 1,n,
(22.8.1)
являющиеся функциями старых. Эти соотношения разрешимы относительно старых переменных:
k k k kq q Q P ;t , p p Q P ;t , k 1,n. (22.8.2)
Преобразование (22.8.1) называется каноническим, если соблюдено условие, что выражение
n n
k k i ik 1 i 1
p q P Q
(22.8.3)
является вариацией некоторой функции старых и новых переменных и времени t , которое при варьировании считается фиксированным.
Исключим из (22.8.3) вариации kq . Из первого соотношения (22.8.2) имеем:
n
k kk i i
i 1 i i
q qq Q P .
Q P
(22.8.4)
После чего выражение (22.8.3) может быть представлено в виде: n n n
k kk i i k i
i 1 k 1 k 1i i
q qp P Q p P .
Q P
(22.8.5)
Выражение (22.8.5) будет вариацией некоторой функции новых переменных, если выполняются три варианта соотношений: во-первых, производная по lQ коэффициента при iQ в выражении (22.8.5) должна быть равной производной по iQ коэффициента при lQ :
2 2n nk k k i k k k l
k kk 1 k 1l i l i l i l i l i
p q q P p q q Pp p
Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
;
во-вторых, должны быть равны производные по lP и iP коэффициентов iP и
lP : 2 2n n
k k k k k kk k
k 1 k 1l i l i i l i l
p q q p q qp p
P P P P P P P P
;
и, наконец, в третьих, требуется равенство производных по lP и iQ коэффициентов iQ и lP :
2 2n nk k k i k k k
k kk 1 k 1l i l i l i l i l
p q q P p q qp p .
P Q P Q P Q P Q P
Учитывая, что новые переменные i iP ,Q независимы, то есть
368
i iil
l l
P P0,
Q P
,
и определение скобок Лагранжа, приходим к равенствам: l i l i i l ilQ ,Q 0, P ,P 0, Q ,P , i,l 1,n. (22.8.6)
В новых переменных i iP ,Q равенства (22.6.14) для фундаментальных скобок Лагранжа могут быть представлены в виде:
l i l i i l ilQP QP QPQ ,Q 0, P ,P 0, Q ,P . (22.8.7)
Таким образом, согласно (22.8.6) и (22.8.7), имеются соотношения: l i l i l i l i i l i lqp QP qp QP qp QPQ ,Q Q ,Q , P ,P P ,P , Q ,P Q ,P . (22.8.8)
Эти соотношения выражают инвариантность фундаментальных скобок Лагранжа при канонических преобразованиях.
Матрица Лагранжа Л системы функций s sQ , P от старых переменных в соответствии с (22.8.6) записывается в виде
n
n
0 EЛ
E 0
, (22.8.9)
где 0 обозначает n n матрицу. Такую же структуру (22.8.9) имеет и матрица Пуассона, поэтому наряду с (22.8.6) имеют место равенства:
l i l i i l ilQ ,Q 0, P ,P 0, Q ,P , i,l 1,n . (22.8.10)
Это другая запись необходимых и достаточных условий каноничности уравнений (22.8.4). Фундаментальные скобки Пуассона (22.6.7) также являются инвариантами канонического преобразования.
Более общим является предложение: функции u,v рассматриваются сначала как зависящие от старых переменных, затем от новых, связанных со старым каноническим преобразованием. Тогда:
qp QPu,v u,v . (22.8.11)
Это проверяется подстановкой. Выразим в скобках Пуассона
n
qpk 1 k k k k
u v u vu,v
q p p q
частные производные по старым координатам с помощью формул вида: n
r r
r 1k k r k r
Q P,
q q Q q P
ns s
s 1k k s k s
Q P.
p p Q p P
После подстановки и суммирования по k придем к равенству:
369
n n
r s r sqp qp qps 1 r 1 r s r s
r s r sqp qpr s r s
u v u vu,v Q ,Q Q ,P
Q Q Q P
u v u vP ,Q P ,P ,
P Q P P
(22.8.12)
которое в случае канонического преобразования, то есть при соблюдении условий (22.8.10), дает:
n n
rsqps 1 r 1 r s r s
n
QPr 1 r r r r
u v u vu,v
Q P P Q
u v u vu,v .
Q P P Q
(22.8.13)
22.9. Производящие функции
По определению канонического преобразования существует функция, вариация которой дает выражение (22.8.3):
n n
k k i ik 1 i 1
p q P Q
. (22.9.1)
В принципе она может зависеть от всех 4n аргументов s s s sq , p ,Q , P и t . Но, поскольку имеются соотношения
s s
s s
Q Q q p ;t ,
P P q p ;t , s 1,n,
и k k k kq q Q P;t , p p Q P;t , k 1,n,
достаточно считать ее зависящей от 2n аргументов и времени t . При этом n аргументов должны быть старых и n новых. Следовательно, возможны четыре типа производящих функций:
1 2 3 4V q,Q;t ,V q,P;t ,V p,Q;t ,V p,P;t . (22.9.2)
Взяв за основу формулу (22.9.1). условие каноничности преобразования можно записать в одном из четырех видов:
1. n
i i i i 1i 1
p q P Q V q,Q;t ,
(22.9.3)
2. n n
i i i i 1 i i 2i 1 i 1
p q Q P V q,Q;t Q P V q,P;t ,
(22.9.4)
3. n n
i i i i 1 i i 3i 1 i 1
q p P Q V q,Q;t p q V p,Q;t ,
(22.9.5)
4. n n
i i i i 3 i i 4i 1 i 1
q p Q P V q,Q;t Q P V p,P;t .
(22.9.6)
370
Согласно (22.9.3)–(22.9.6) получаем системы канонических преобразований, осуществляемых производящими функциями каждого из типов:
1 1i i
i i
V Vp , P , i 1,n,
q Q
(22.9.7)
2 2i i
i i
V Vp ,Q , i 1,n,
q P
(22.9.8)
3 3i i
i i
V Vq , P , i 1,n,
p Q
(22.9.9)
4 4i i
i i
V Vq ,Q , i 1,n.
p P
(22.9.10)
Рассмотрим, например, преобразование (22.9.7). Для этого задаемся функцией
1 1 n 1 nV q ,...,q ;Q ,...,Q ;t
и составляем формулы (22.9.7), разрешив первую группу уравнений (22.9.7) относительно iQ . Это возможно при неравенстве нулю якобиана
2 21 1
1 1 1 n
2 21 1
n 1 n n
V V...
Q q Q q
... 0.
V V...
Q q Q q
(22.9.11)
Выражение новых переменных sQ через старые i iq , p , найденные из первой группы уравнений (22.9.7), должны быть подставлены во вторую группу уравнений. Это даст вторую группу равенств (22.9.1), определяющую sP через старые переменные.
Соотношения, связывающие производящие функции (22.9.4)–(22.9.6), могут быть записаны так:
n
1 2 i ii 1
V q,Q;t V q,P;t Q P ,
(22.9.12)
n
3 2 i i i ii 1
V p,Q;t V q,P;t Q P q p ,
(22.9.13)
n
4 2 i ii 1
V p,P;t V q,P;t q p .
(22.9.14)
Не трудно видеть, что если 2V q,P;t может быть рассматриваема как
производящая функция преобразования Лежандра от переменных q и P и
переменных p и Q , то 3V p,Q;t , наоборот, является производящей
371
функцией для преобразования от p,Q и q, P . Аналогично можно рассматривать и другие соотношения (22.9.12) и (22.9.14).
22.10. Инвариантность канонических переменных
Переменные, удовлетворяющие системе канонических уравнений, обобщенные координаты sq и обобщенные импульсы sp называются каноническими переменными. Переменные s sQ , P , связанные с каноническими переменными s sq , p каноническим преобразованием, являются каноническими:
s s
s s
K KQ , P ,
P Q
(22.10.1)
где K – новая функция Гамильтона. Причем
iVK H ,
t
(22.10.2)
где iV – производящая функция канонического преобразования. В частности, если iV явно от t не зависит, то:
K H . (22.10.3) Рассмотрим преобразование с производящей функцией 1V q,Q,t .
Переменные s sq ,Q , t рассматриваются как независимые и поэтому:
sQ0.
t
(22.10.4)
Вместе с тем:
2
s 1
s
P V.
t t Q
(22.10.5)
Переменные s sQ , P являются функциями времени и старых переменных.
Найдем sQ и sP в силу канонических уравнений движения:
s s qpQ Q ,H , (22.10.6)
2
1s s qp
s
VP P ,H .
t Q
(22.10.7)
Вследствие инвариантности скобок Пуассона при канонических преобразованиях и вследствие их свойств имеем:
s s qps
21 1
s s qps s
HQ Q ,H ,
P
V VP P ,H H .
t Q Q t
(22.10.8)
Но, поскольку 1V не зависит от sP , то
1
s s
VHH .
P P t
372
Обозначая
1VK H ,
t
приходим к системе канонических уравнений
s s
s s
K KQ , P , s 1,n
P Q
,
что и требовалось доказать.
22.11. Теория возмущений. Метод вариации постоянных
Наряду с заданной системой уравнений движения
s s s
s s
H Hq , p Q , s 1,n
p q
, (22.11.1)
рассматривается вспомогательная, более простая каноническая система:
0 0s s
s s
H Hq , p , s 1,n
p q
, (22.11.2)
общее решение которой найдено:
s s 1 n 1 n
s s 1 n 1 n
q q t; ,..., ; ,..., ,
p p t; ,..., ; ,..., , s 1,n.
(22.11.3)
Здесь k k, – постоянные. Их общее число равно 2n . Система (22.11.3) разрешима относительно k k, :
k k 1 n 1 n
k k 1 n 1 n
q ,...,q ; p ,..., p ;t ,
q ,...,q ; p ,..., p ;t , k 1,n.
(22.11.4)
Любая из скобок Пуассона k s k s k s, , , , , , (22.11.5)
согласно теореме Пуассона, или постоянна, например, равна нулю, или выражается через эти же величины k k, . Ни одна из скобок не содержит явно t , ни переменные s sq , p , так как в противном случае в числе скобок (22.11.5)
содержался бы 2n 1 -й независимый интеграл, что невозможно. Кроме того,
можно записать 2n тождеств:
s ss 0 s 0,H 0, ,H 0.
t t
(22.11.6)
Идея метода вариации постоянных состоит в том, что общее решение исходных уравнений (22.11.1) разыскивается в той же форме (22.11.3), но предполагается, что s и s являются непостоянными функциями времени. Тогда уравнения (22.11.3) можно рассматривать как формулы преобразования новых переменных i i, в старые s sq , p , а уравнения (22.11.4) – как формулы обратного преобразования.
373
Теперь надо составить систему дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять новые переменные, в предположении, что старые переменные являются решением уравнений (22.11.1), а не (22.11.2). Тогда «новые переменные» были бы постоянными по условию. Тождества (22.11.6) при этом сохраняются, так как форма уравнений (22.11.4), в силу которых они являются тождествами, не изменилась. Не изменяют своего вида и скобки Пуассона (22.11.5).
Составим выражение производных по времени в силу системы дифференциальных уравнений (22.11.1). Дифференцируя выражения для s , получим:
n n
s s s ss k k s 0 s k
k 1 k 1k k k
q p ,H ,H Q .t q p p
Здесь учтены тождества (22.11.6), и kq и kp заменены их значениями из
уравнений (22.11.1). Аналогично находим и производную s . После несложного преобразования получаем систему уравнений:
ns
s s 0 kk 1 k
ns
s s 0 nk 1 k
,H H Q ,p
,H H Q , s 1,n.p
(22.11.7)
Уравнения (22.11.7) называются уравнениями возмущенного движения, при этом их правые части должны быть записаны с помощью формул (22.11.3) через k и k . Приведем уравнения (22.11.7) к другому виду, воспользовавшись формулой (22.8.13) преобразования скобок Пуассона. В ней надо заменить
s sQ , P на s s, , а u,v – на s и 0H H . Тогда получим:
n n0 0s s
s 0 r k r kk 1 r 1 r k r k
0 0s sk r r k
k r r k
H H H H,H H , ,
H H H H, , .
Здесь s ssr
r r
, 0
. Поэтому приходим к равенству:
n
0 0s 0 s k s k
k 1 k k
H H H H,H H , , ,
(22.11.8)
и, аналогично,
n
0 0s 0 s k s k
k 1 k k
H H H H,H H , , .
(22.11.9)
Система дифференциальных уравнений возмущенного движения (22.11.7) приводится к виду:
374
n0 0 s
s s k s k kk 1 k k k
n0 0 s
s s k s k kk 1 k k k
H H H H, , Q ,
p
H H H H, , Q .
p
(22.11.10)
Скобки Пуассона, фигурирующие в этих уравнениях, либо постоянны, либо выражаются через k k, . Если система (22.11.10) решена, то решение системы (22.11.1) находим по формулам (22.11.3). При этом, если система (22.11.10) решена приближенно, то и решение системы (22.11.1), найденное по формулам (22.11.3), будет также приближенным. Точность приближенного решения будет тем выше, чем меньше отличается вспомогательная система (22.11.2) от системы (22.11.1). Это означает, что 0H H и kQ должны быть
малыми. Тогда и производные s s, будут малыми, а сами функции s и s будут мало отличаться от постоянных. В этих условиях для решения системы (22.11.10) становятся применимыми различного рода приближенные методы.
Обозначим для кратности правые части уравнений (22.11.10) через
sФ ; t и s ; t . Тогда, если время t мало, можно в правых частях
уравнений (22.11.10) k k и заменить их значениями при t 0 , то есть
заменить на 0 0k k и . Тогда задача сводится к квадратурам:
t00 0
s s s
0
t00 0
s s s
0
Ф ; t dt ,
; t dt.
(22.11.11)
Для разыскания периодических решений весьма удобен метод усреднения. Первое приближение находится из усредненных уравнений:
s s s sФ , , (22.11.12)
где T
00s s
0
1Ф Ф ; t dt ,
T
T
00s s
0
1; t dt ,
T
T – некоторый промежуток времени.
375
22.12. Канонические уравнения возмущенного движения
Система уравнений возмущенного движения упрощается, когда решение (22.11.3) вспомогательной системы уравнений (22.11.2) представляет каноническое преобразование величин k k, в s sq , p .
Это может быть в случае, если (22.11.3) представляет интеграл Коши для системы уравнений (22.11.2), то есть s s, – начальные значения переменных
s sq , p и если решение (22.11.3) представляет общий интеграл канонической системы (22.11.2), полученный из полного интеграла уравнения в частных производных Якоби-Гамильтона.
Для канонического преобразования s k s k sk s k, 0, , , . 0 (22.12.1)
уравнения возмущенного движения приобретают вид:
n0 s
s kk 1s k
n0 s
s kk 1s k
H HQ , s 1,n,
p
H HQ , s 1,n.
p
(22.12.2)
Если kQ 0, k 1,n , то есть когда уравнение (22.12.1) – каноническое, то есть каноническими будут уравнения возмущенного движения:
0 0s s
s s
H H H H, , s 1,n.
(22.12.3)
Ранее было рассмотрено каноническое преобразование с производящей функцией третьего рода:
n
i i i i 3i 1
q p P Q V p,Q,t
,
согласно которому
3 3i i
i i
V Vq , P .
p Q
Если в нем заменить iQ на i и iP на i , то получим:
i k
k i
q.
p
(22.12.4)
Аналогично, если исходить из канонического преобразования с производящей функцией четвертого вида:
n
i i i i 4i 1
q p P Q V p,P,t
согласно которому
4 4i i
i i
V Vq ,Q ,
p P
376
то получим
i k
k i
q.
p
(22.12.5)
Учитывая (22.12.4) и (22.12.5), вместо (22.12.2) получим:
n0 k
s kk 1s s
n0 k
s kk 1s s
H H qQ ,
H H qQ , s 1,n.
(22.12.6)
Для получения уравнений (22.12.6) уже не требуется знание обратного преобразования (22.11.4). Если обобщенные силы зависят только от времени, то уравнения (22.12.6) запишутся в канонической форме:
n
s 0 k kk 1s
n
s 0 k kk 1s
H H Q q ,
H H Q q , s 1,n.
377
23. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА–ОСТРОГРАДСКОГО
23.1. Действие по Гамильтону
Исходные положения динамики – законы Ньютона и принцип Даламбера – позволяют сформулировать законы движения в виде дифференциальных уравнений движения. Однако равноправными оказываются вариационные формулировки, устанавливающие стационарные свойства некоторых величин и позволяющие не только заменить вышеупомянутые положения, но и расширить возможности решения задач.
Пусть 1 nq ( t ),...,q ( t ) (23.1.1)
являются обобщенными координатами материальной системы, подчиненной идеальным голономным связям. Пусть активные силы потенциальны. Будем говорить, что совокупность функций (23.1.1) определяет истинный путь
системы, а любая из n , допускаемых связями конфигураций, бесконечно близких к истинному пути
* *1 1 1 n n nq q ( t ) q ,...,q q ( t ) q , (23.1.2)
где вариации sq являются произвольными бесконечно малыми
дифференцируемыми функциями времени, определяет окольный путь. Рассмотрим кинетический потенциал L , представляющий разность
кинетической и потенциальной энергии. На истинном пути 1 n 1 nL q ,...,q ,q ,...,q ,t (23.1.3)
является вполне определенной функцией времени.
Вариация кинетического потенциала при переходе к одному из n окольных путей будет:
n n
s s s ss 1 s 1s s s s
L L L LL q q q q .
q q q q
(23.1.4)
Из всей совокупности мыслимых окольных путей выделим такие, которые в два фиксированных, произвольно выбранных момента времени 0t и 1t
совпадают с истинным путем:
s 0 s 1q t 0, q t 0, s 1,n . (23.1.5)
Введем в рассмотрение величину S , называемую действием по Гамильтону за промежуток 0 1t ,t и определяемую выражением
1
0
t
t
S Ldt. (23.1.6)
Действие по Гамильтону представляет функционал, определяемый выбором n функций времени sq t .
378
На истинном пути S принимает вполне определенное числовое значение, при этом sq t и sq t являются обобщенными координатами и скоростями в
действительном движении. Рассмотрим приращение, которое приобретает действие S при переходе
от истинного пути к одному из n окольных. Тогда:
1 1 1
0 0 0
t t t
t t t
S S L L dt Ldt Ldt.
Согласно (23.1.4), получаем
1
0
t n
s ss 1 s st
L LS q q dt
q q
. (23.1.7)
Интегрируя по частям с учетом (23.1.5), получаем:
1 1 1
1
00 0 0
t t tt
s s s st
s s s st t t
L L d L d Lq dt q q dt q dt.
q q dt q dt q
(23.1.8)
Вариация действия, таким образом,
1 1
0 0
t tn n
s s ss 1 s 1s st t
L d LS q dt L q dt ,
q dt q
(23.1.9)
где s L – Эйлеров оператор от L .
23.2. Принцип Гамильтона–Остроградского
Выражение (23.1.9) для вариации действия, если считать, что выполняются уравнения Лагранжа
s L 0, s 1,n , (23.2.1)
должно обращаться в нуль: S 0. (23.2.2)
Это означает, что решение динамической задачи соответствует законам Ньютона и принципу Даламбера.
Однако возможен иной подход, когда равенство (23.2.2) выставляется как самостоятельное требование. Но тогда необходимо доказать, что законы Ньютона и принцип Даламбера являются его следствием. То, что это имеет место и будет доказано ниже. Подобный подход к формулировке принципа Гамильтона-Остроградского, устанавливающего некоторое свойство происходящих в действительности движений и отличающего их от всех мыслимых движений, совместимых со связями, и есть это самостоятельные требования.
379
Если вариация функционала S , вычисленная с точностью до вариаций первого порядка, равна нулю, то говорят, что функционал приобретает стационарное значение.
Таким образом, принцип Гамильтона–Остроградского формулируется следующим образом: действие по Гамильтону S имеет стационарное значение на истинном пути системы, если к сравнению с ним привлекается многообразие окольных путей, совпадающих с истинным в начальный и конечный моменты времени 0t и 1t .
Докажем, что принцип Гамильтона–Остроградского содержит в себе исходное положение динамики. Для этого следует показать, что уравнение Лагранжа (23.2.1) является следствием уравнения (23.2.2). Доказательство осуществляется следующим образом. В силу независимости вариаций sq ,
причем за окольный путь такой, в котором
1 k 1 k 1 nq 0,..., q 0, q 0,..., q 0 ,
а kq 0 , тогда уравнение (23.1.9) примет вид:
1 1
0 0
t t
k k k
k kt t
L d LL q dt q dt 0.
q dt q
(23.2.3)
Допустим, что величина
s
k k
d L LL 0,
dt q q
(23.2.4)
при *t t . Тогда определим промежуток *0 *1t ,t , содержащий *t , такой, что в
нем k L сохраняет знак. Поскольку kq – произвольная функция времени,
выберем ее так, что бы она обращалась в нуль при 0 *0t t и при *1 1t t и также
сохраняла знак в указанном промежутке. Тогда:
1 *1
0 *0
t t
k k k k
t t
L q dt L q dt.
Таким образом, выражение под знаком интеграла, по условию, сохраняет знак и интеграл не может быть равен нулю. Это противоречит неравенству (23.2.4), поэтому
k L 0.
Приведенное рассуждение пригодно для любого k 1,n, что и требовалось доказать.
Из принципа Гамильтона–Остроградского следуют также и канонические уравнения движения. Будем исходить из равенства
n n
s s ss 1 s 1s
LL q H p q H .
q
(23.2.5)
380
Найдем вариацию
n n
s s s s ss 1 s 1s s
H HL q p p q q .
p q
(23.2.6)
Соотношения:
s
s
Hq , s 1,n
p
, (23.2.7)
представляющие первую группу канонических уравнений, являются лишь формой записи соотношения между обобщенными скоростями и импульсами и поэтому не связаны с положениями механики. Следовательно,
n
s s ss 1 s
HL p q q .
q
(23.2.8)
Учтем, что
1 1 1
1
00 0 0
t t tt
s s s s s s s st
t t t
p q dt p q p q dt p q dt .
Поэтому:
0 0
t t n
s ss 1 st t
HS Ldt p q dt 0.
q
(23.2.9)
Повторив рассуждения, которые позволили из равенства (23.2.2) получить уравнения Лагранжа, приходим ко второй группе канонических уравнений:
s
s
Hp , s 1,n
q
. (23.2.10)
При наличии непотенциальных сил, соотношение, аналогичное принципу Гамильтона–Остроградского, записывается в виде
1 1
0 0
t tn
s ss 1t t
S A dt S Q q dt 0.
(23.2.11)
Но 1
0 0
tt n
ss 1 s st t
L d LS Ldt q dt
q dt q
, и поэтому имеем равенство:
1
0
tn
s ss 1 s st
L d LQ q dt 0
q dt q
. (23.2.12)
Оттуда следуют уравнения Лагранжа. Следует отметить, что между соотношениями (23.2.2) или (23.2.9) и соотношением (23.2.11) есть принципиальное отличие, заключающееся в том, что имеют место требования об обращении в нуль величины
381
П1 1
0 0
t t
t t
R S A dt T A dt (23.2.13)
не означает, что существует функционал R . То есть в общем случае нет функционала, вариация которого бы равнялась R .
Таким образом, следует отличать вариационный принцип Гамильтона-Остроградского от более общей точки зрения, выраженной равенством (23.2.13), которое справедливо и для неголономных систем.
В качестве примера применения принципа Гамильтона–Остроградского рассмотрим колебания висящей цепи (А. И. Лурье).
Рассматривается гибкая, нерастяжимая однородная тяжелая цепь длиной l , конец О которой неподвижен; положение точки 0M на цепи задается ее
абсциссой x в положении равновесия (рис. 23.1). Рассмотрим плоские колебания цепи.
Обозначим через u u x,t и v v x,t проекции
перемещения точки 0M при колебаниях на оси OX
и OY соответственно. Через и обозначим
координаты положения точки M , в которое переходит точка 0M при колебаниях. Очевидно:
x u,
v.
(23.2.14)
Уравнения (23.2.14) представляют собой параметрическое уравнение кривой OA при фиксированном t . Дифференциал дуги dS этой кривой по условию нерастяжимости цепи равен dx , поэтому
2 2
2 2 u vS d d 1 dx dx.
x x
Отсюда находим: 2 2 2 2
u v u 1 u v1 1, .
x x x 2 x x
(23.2.15)
Будем считать величины u,v и их производные по x и t малыми
величинами. Тогда, считая v v
v, ,x t
малыми первого порядка, на основании
(23.2.15) следует принять u u
u, ,x t
малыми второго порядка.
Рис. 23.1
382
Поэтому в выражении (23.2.15) 2
u
x
будет четвертого порядка малости,
и уравнение (23.2.15) следует записать в виде:
2
u 1 v.
x 2 x
(23.2.16)
Это условие нерастяжимости цепи, представляющее собой уравнение связи. Кинетическая энергия системы в таком же приближении равна:
2 2 2l l
0 0
1 u v 1 vT dx dx,
2 t t 2 t
(23.2.17)
где – масса единицы длины цепи.
Потенциальная энергия силы веса дается выражением
c
lП l g ,
2
где c – координата центра масс кривой OA . Знак минус принят в связи с тем,
что ось OX направлена вертикально вниз. По определению, координата центра масс находится из выражения
l l l
c
0 0 0
1 1 l 1dx x u dx udx.
l l 2 l
Интеграл в последнем выражении проинтегрируем по частям:
l l ll
00 0 0
1 1 1 u 1 uudx ux xdx u l ,t xdx.
l l l x l x
Воспользовавшись уравнением связи (23.2.16), найдем:
2l l
0 0
2l l
0 0
1 u 1 vu l ,t dx dx,
l x 2l x
u 1 vxdx xdx.
x 2 x
После чего выражение для c можно записать в виде:
2l
c
0
l 1 vl x dx,
2 2l x
и, следовательно,
2l
0
1 vП g l x dx
2 x
. (23.2.18)
Таким образом, кинетический потенциал Лагранжа будет записан так:
383
2 2l
0
1 v vL g l x dx,
2 t x
(23.2.19)
а действия по Гамильтону
1 1
0 0
t t 2 2l
t t 0
1 v vS Ldt dt g l x dx .
2 t x
(23.2.20)
Вариационная задача, к которой приводит принцип Гамильтона–Остроградского формулируется так: из всех функций v x,t , непрерывных и
имеющих непрерывные производные по x и t при 0 x l и при t 0 , удовлетворяющих краевому условию:
v 0,t 0, (23.2.21)
определить такую, которая сообщает стационарное значение выражению действия (23.2.20).
«Истинный путь» здесь определяется функцией v x,t , а окольный –
функцией v v x,t , при чем выражение v x,t представляет произвольно
задаваемую при 0 a l и 0 1t t t непрерывную, вместе с v
t
и
v
x
функцию, удовлетворяющую условиям:
0 1v x,t 0, v x,t 0, v 0,t 0. (23.2.22)
Из условий (23.2.22) два первых выражают условие выбора окольных путей в принципе Гамильтона–Остроградского, а последнее является следствием краевого условия.
Вариация действия равна:
1
0
t l
t 0
v v v vS dt g l x dx .
t t x x
Затем с помощью интегрирования по частям избавимся от производных v по x и по t , используя правило d d для обеих переменных. Получим с учетом (22.2.22):
1 1 11
00 0 0
t t t2 2t
2 2tt t t
l tl
00 0
t
0
v v v vdt v v dt v vdt ,
t t t t t
v v v vg l x dx g l x v g v l x dx
x x x x x
vg l x vdx.
x x
Учитывая проведенные выкладки, находим:
384
1
0
t l 2
2t 0
v vS dt g l x vdx .
t x x
Поскольку вариация v , рассматриваемая как функция, t – произвольна, то выражение под знаком интеграла должно быть нулем:
2
2
v vg l x .
x xt
При этом должны выполняться условия:
при x 0, v 0,t 0; при x l
vx l ,
x
и
v
t
конечны.
Кроме того, должны быть заданы начальное смещение и скорости:
t 0
v x,0 f x ,
vg x .
t
Решение получившейся краевой задачи математической физики ищется в виде суммы частных решения kv x,t , каждое из которых представляет
гармоническое колебание пока неизвестной частоты k :
k k k k k kv x,t Ф x A cos t B sin t . (23.2.23)
Функция kФ , определяющая форму колебаний, удовлетворяет уравнению:
2 kk k
ФФ g l x 0, k 1,
x x
, (23.2.24)
при краевых условиях
kk
Ф lФ 0 0; , k 1, .
x
При замене независимой переменной x с помощью подстановки:
2
2k
gl x
4
дифференциальное уравнение (23.2.24) приводится к уравнению Бесселя. Действительно, перепишем уравнение (23.2.24) в виде:
2 2
k k kk2
d Ф 1 dФФ 0.
dx l x dx g l x
Осуществим переход к новой переменной:
k2l x .
g
Первая производная преобразуется следующим образом:
385
2k k k k k kdФ dФ d dФ 2 dФ 2
.dx d dx d d gg 2 l x
Вторая производная: 2 2 2 4 4
k k k k k k k2 2 2 2 2 3
d Ф d dФ 2 d Ф 4 dФ 4.
dx dx d g d g d g
Кроме того, учитывая, что 2 2 4
k k k k k k2 3 2
1 dФ dФ 2 4 8 dФ,
l x dx d g g g d
окончательно получаем следующее дифференциальное уравнение: 2
k kk2
d Ф 1 dФФ 0.
d d
Общее решение этого уравнения:
k 1k 0 2k 0Ф c J c N ,
где 0J и 0N – функции Бесселя первого и второго рода. Замечая, что
функция 0N – функция Бесселя второго рода (функция Неймана) при 0 ,
то есть при x l обращается в бесконечность, возьмем решение в виде:
k 0 0 k
l xФ J J 2 .
g
Уравнения частот получаем из краевого условия
kФ 0 0 ,
или
0 k
lJ 2 0.
g
Его корни
1
2
l2 2.4048;
g
l2 5.520,
g
откуда:
1 2
l l1.2024 , 2.760
g g .
Выражение для форм колебаний записывается в виде:
k 0 k
l xФ x J 2 , k 1,
g
.
386
Решение выражается рядом
0 k k k k kk 1
l xv x,t J 2 A cos t B sin t ,
g
причем
l
k 0 k
k 0
l
k 0 k
k k 0
1 l xA f x J 2 dx;
N g
1 l xB g x J 2 dx,
N g
где
2l
k 0 k
0
l xN J 2 dx.
g
При получении решения используется условие ортогональности: l
0 k 0 mk0
0,k m,l x l xJ 2 J 2 dx
N ,k m.g g
Нами рассмотрено точное решение задачи. Однако преимуществом принципа Гамильтона–Остроградского является то, что можно получать приближенные решения, задавая приближенное выражение функции Лагранжа. С этой целью в рассматриваемом случае задаются приближенным выражением для v x,t в виде отрезка некоторого функционального ряда:
1 1 2 2 n nv x,t q f x q f x ... q f x ,
при этом величины 1 2 nq ,q ,...,q подбираются так, что бы наилучшим образом
удовлетворялся принцип Гамильтона–Остроградского. Задавшись функцией v x,t , получаем приближенное выражение
1 n 1 nL L q ,...,q ,q ,...,q ,
как функцию конечного числа параметров. И, поскольку, 1
0
t
t
S Ldt ,
а 1
0
t
t
S Ldt , то необходимо, чтобы:
s s
d L L0, s 1,n
dt q q
.
Пусть 31 2f x, f x . Тогда
l
2 23 21 2 1 2
0
1L q x q x g l x q 3x q dx.
2
387
Интегрируя, найдем 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2S 2S S S S S S 3SM g
L ,2 3 5 7 l 2 2 10
где обозначено 31 1 2 2q l S , q l S , M l . Таким образом, систему с
бесконечным числом степеней свободы заменили на систему с двумя степенями свободы.
Сначала ограничимся системой с одной степенью свободы: 2 21 1S SM g
L .2 3 l 2
То есть цепь заменена стержнем:
1 1
1
S SgL M 0,
3 l 2
3 g g1.2205 ,
2 l l
что отличается от точного решения на величину примерно 2%. Если рассмотреть более точное решение для двух степеней свободы, то
получим:
1 2 1 2
1 2 1 2
S S S Sg0,
3 5 l 2 4
S S S 3Sg0.
5 7 l 4 10
Собственные частоты:
1
2
g1.204,
l
g2.822.
l
Важность принципа Гамильтона–Остроградского в том, что он позволяет приближенно решать задачи динамики механических систем и задачи математической физики.
388
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики. Т.1. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – М. : Наука, 1985. – 250 с.; Т. 2. – 1985. – 496 с.
2. Лойцянский, Л. Г. Курс теоретической механики. Ч. 1. / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. – М. : Наука, 1982. – 350 с.; Ч. 2. – 1983. – 640 с.
3. Кильчевский, Н. А. Курс теоретической механики. Ч. 1. / Н. А. Кильчевский. – М. : Наука, 1977. – 480 с.; Ч. 2. – 1977. – 544 с.
4. Бухгольц, Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. / Н. Н. Бухгольц. – М. : Наука, 1965. – 467 с.; Ч. 2. – 1969. – 332 с.
5. Лурье, А. И. Аналитическая механика / А. И. Лурье. – М. : Наука, 1961. – 824 с.
6. Гантмахер, Ф. Р. Аналитическая механика / Ф. Р. Гантамхер. – М. : Наука, 1960. – 296 с.
7. Маркеев, А. П. Теоретическая механика / А. П. Маркеев. – М. : Наука, 1990. – 416 с.
8. Мещерский, И. В. Сборник задач по теоретической механике / И. В. Мещерский. – М. : Наука, 1981. – 480 с.
9. Бать, М. Л. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т. 1. / М. Л. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. – М. : Наука, 1967. – 510 с.; Т. 2. – 1968. – 624 с.; Т. 3. – 1973. – 486 с.
10. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике : учеб. пособие для техн. вузов / под ред. А. А. Яблонского. – М. : Высшая школа, 1985. – 367 с.
11. Санкин, Ю. Н. Динамика несущих систем металлорежущих станков / Ю. Н. Санкин. – М. : Машиностроение, 1986. – 96 с.
12. Рокар, И. Неустойчивость в механике / И. Рокар. – М. : Издательство иностранной литературы, 1959. – 287 с.
13. Санкин, Ю. Н. Лекции по теоретической механике. Ч. 1. Статика, кинематика : учебное пособие / Ю. Н. Санкин. – 2-е изд. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 124 с.
389
Учебное издание
САНКИН Юрий Николаевич
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Редактор М. В. Теленкова
ЛР № 020640 от 22.10.97
Подписано в печать 16.04.2012. Формат 70×100/16. Усл. печ. л. 31,61. Тираж 200 экз. Заказ 415.
Ульяновский государственный технический университет,
432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.
Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.