运筹学 operational research

运筹学运筹学OPERATIONALOPERATIONAL RESEARCHRESEARCH

燕山大学经济管理学院运筹学课程教学课题组编制

2

第一章

线性规划及单纯形法

第一节线性规划问题及其数学模型

一、线性规划问题的提出二、线性规划问题与模型的建立举例三、线性规划的数学模型四、线性规划模型的应用五、线性规划问题的标准形式

一、线性规划问题：

在既定的资源限制条件下，如何通过统筹安排，改进生产组织或计划，合理安排人力、物力资源，组织生产过程，使总的经济效益为最好。

规划问题——

返回

Ⅰ 　　Ⅱ 每天可用能力

设备 A 0 5 15

设备 B 6 2 24

调试工序 1 1 5

利润 2 1

二、举例例 1 生产计划问题

两种家电各生产多少 , 可获最大利润 ?

5x2 15

6x1 + 2x2 24

x1 + x2 5

x1 ， x2 0

max Z= 2x1 +x2

解 : 设两种家电产量分别为变量 x1 ，

x2

转到

例 2

求：最低成本的原料混合方案

原料 \ 维生素 A B Ｃ每单位成本

1 4 1 0 2

2 6 1 2 5

3 1 7 1 6

4 2 5 3 8

维生素最低含量 12 14 8

解：设每单位添加剂中原料 i 的用量为 xi(i =1,2,3,4)

minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4

4x1 + 6x2 + x3+2x4 12

x1 + x2 +7x3+5x4 14

2x2 + x3+3x4 8

xi 0 (i =1,…,4)返回

转到

三、线性规划模型特点

决策变量：向量 (x1… xn)T 决策人要考虑和控制的因素非负

约束条件：线性等式或不等式

目标函数： Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求 Z 极大或极小

（一）一般式

Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn

a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1

a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2

… … …

am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm

Xj 0(j=1,…,n)

n

jjjXCZ

1

max(min)

),,2,1(0

),,2,1(1

njX

mibXa

j

i

n

jjij

目标函数价值系数

技术系数右端项常数决策变量

（二）隐含的假设

比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量连续性：每个决策变量取连续值

确定性：线性规划中的参数 aij , bi , ci 为确定值

返回

四、线性规划模型的应用

市场营销生产计划制定库存管理运输问题财政、会计人事设备管理城市管理返回

例：某工厂在计划期内要安排两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及 A 、 B 两种原材料的消耗及资源限制如下表所示：

该厂每生产一单位产品Ⅰ可获利 50 元，每生产一单位产品Ⅱ可获利 100 元，两种产品应分别生产多少？

（一）生产计划问题

产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源限制

设备 1 1 300 台时

原料 A 2 1 400

原料 B 0 1 250

获利 50 100

解：设 x1, x2 为决策变量， x1 为生产产品Ⅰ的数量， x2 为生产产品Ⅱ的数量。

max Z=50x1+100x2

x1+x2 300

2x1 +x2 400

x2 250

x1 0, x2 0

设备产品设备有

效台时设备加

工费Ⅰ Ⅱ Ⅲ

A1

A2

B1

B2

B3

5

7

6

4

7

10

9

8

12

11

6000

10000

4000

7000

4000

0.05

0.03

0.06

0.11

0.05

原料费 0.25 0.35 0.50

售价 1.25 2.00 2.80（ 41 页例 10 ）试安排获利最多的生产计划。

Max Z= (1.25-0.25)(x11 + x12+ x13 + x14+ x15+ x16) + (2.0-0.35)(x21 +x22) +(2.8-0.5) x3 -0.05(5x11+5 x12+ 5x13+ 10x21)-0.03（ 7 x14 +7 x15 + 7x16 +9 x22+12 x3） -0.06 （ 6 x11 + 6x14 + 8x21 +8 x22） -0.11 （ 4 x12

+ 4x15 + 11x3） -0.05（ 7 x13+ 7x16 ）5x11+5 x12+ 5x13+ 10x21 60007 x14 +7 x15 + 7x16 +9 x22+12 x3 100006 x11 + 6x14 + 8x21 +8 x22 40004 x12 + 4x15 + 11x3 70007 x13+ 7x16 4000 xij 0

（二）配料问题

例：湖景医院的营养师正准备为刚做完手术的儿科小患者提供牛奶配方的营养品以加强其体力恢复。营养品有三种可能的成分构成：鸡蛋奶油冻、冰激淋、奶油糖果味糖浆。三种营养品所含的营养、营养成分的限制、成本等资料如下表所示，在成本最小的情况下，用多少单位的三种成分混合才能满足表中要求做成牛奶配方的营养品？

A B C 营养限制量

胆固醇 50 150 90 175

饱和脂肪 0 100 50 150

蛋白质 70 10 0 200

热量 30 80 200 100

成本 15 25 10

（美分）

解：设牛奶配方的营养品中含鸡蛋奶油冻、冰激淋、奶油糖果味糖浆的数量分别为x1 、 x2 、 x3

minZ= 0.15x1 + 0.25x2 + 0.1x3

50x1 + 150x2 + 90 x3 175

100x2 + 50x3 150

70x1+ 10 x2 200

30x1 + 80x2 + 200 x3 100

xi 0 (i =1,…,4)

（三）换班问题 (46页 14题 )

例：某昼夜服务的公交线路，每天各时间段内所需要的司机和乘务员数如下表。设司机和服务员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作 8 小时，问该公交路线怎样安排司机和乘务员，才能既满足工作需要又配备最少的司机和乘务员？

班次时间所需人数1 6： 00-10： 00 60

2 10： 00-14： 00 70

3 14： 00-18： 00 60

4 18： 00-22： 00 50

5 22： 00- 2： 00 20

6 2： 00- 6： 00 30

解：设 xi 为第 i班开始上班的人数。

minZ= x1 + x2 +x3+x4+x5+x6

x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2+ x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 +x6 30 xi 0 (i =1,…,6)

例：捷运公司拟在下一年度的 1-4月的4 个月内需租用仓库堆放物资，已知各月所需仓库面积入表一。仓库租借费用随合同期限而定，合同期越长，折扣越大，具体见表二。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。该厂可在任何一月办理租借合同，每次办理一份或若干份均可。为使租借费用最小，公司应如何选择签订合同的最优决策？

minZ= 2800 （ x11 + x21 +x31+x41 ） +4500 （ x12

+ x22+x32） +6000 （ x13 + x23 ） +7300x14

x11 + x12 +x13+x14 15 x12 + x13 +x14+x21 +x22+x23 10 x13 + x14 +x22+x23 +x31+x32 20 x14 + x23 +x32+x41 12xij 0 (i =1,…,4; j =1,…,4)

（四）运输问题仓库 \工厂 1 2 3 库存

甲 2 1 3 50

乙 2 2 4 30

丙 3 4 2 10

需求 40 15 35

求最小运费的运输方案

设 xij为 i 仓库运到 j 工厂的原棉数量 (i ＝ 1， 2， 3 ， j ＝ 1， 2， 3)

minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33

x11 +x12+x13 50

x21+x22+x23 30

x31+x32+x33 10

x11 +x21+x31 = 40

x12 +x22+x32 = 15

x13 +x23+x33 = 35

xij 0

要解决的问题的目标可以用数值指标反映

对于要实现的目标有多种方案可选择

有影响决策的若干约束条件

返回

五、线性规划的标准形式

（一）一般式

（二）矩阵式

（三）向量式

（四）化标准形式返回

(一 ) 一般型MaxZ=C1X1+ C2X2+…+CnXn

a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1

a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2

… … … …am1X1+ am2X2+…+ amnXn =bm

Xj 0(j=1,2,…,n)

其中 bi 0 (i=1,2,…,m) 返回

(二 ) 矩阵型

maxZ=CXAX=bX 0

P1 P2 ……… Pn

a11 a12 ……… a1n

其中 A= a21 a22 ……… a2n

………………… am1 am2 ………amn

…

X1

X= X2

Xn

C=(C1 C2 …Cn )

b1

b= b2

bm

…

返回

(三 ) 向量型CXZ max

0

1

X

bxpn

jjj

X1

AX=(P1 P2 …Pn ) X2 = b

Xn

…

P1 X1+ P2 X2 + … +Pn Xn=b返回

(四 ) 化标准型

1. 约束条件

3. 变量

2. 目标函数

返回 4. 右端项系数

1. 约束条件

例1

maxZ=2X1+ X2 +0·X3 +0·X4+0·X5

5x2 15

6x1 + 2x2 24

x1 + x2 5

xi 0

+X3 =15

+X4 =24

+X5 = 5

松弛变量

例2minZ=2X1+ 5X2+6X3 +8X4

返回

4x1 + 6x2 + x3+2x4 12

x1 + x2 +7x3+5x4 14

2x2 + x3+3x4 8

xi 0 (i =1,…,4)

- X5 =12

- X6 =14

- X7 =8

剩余变量

7）

+0X5+0X6 +0X7

n

jjjXCZ

1

min

n

jjjXCZ

1

'max

令 Z' = -Z

2. 目标函数

xo

Z

-Z

minZ=2X1+ 5X2+6X3 +8X4

maxZ= -2X1 - 5X2 -6X3 -8X4

返回

3. 变量

例 3X1+2X2 8 X1 -4X2 14 X20

令 X1= X1'- X1 "

3 X1' -3 X1 " +2X2 8 X1' - X1 " - 4X2 14X1' , X1" ,X2 0

例 X1+X2 5

-6 X1 10X20 -6+6 X1+6 10+6

令 X1' = X1 +6

0 X1' 16

X1' +X2 11X1' 16X1' , X2 0 返回

X1+X2 +X3 -9

-X1-X2 -X3 9

例：将 min Z = -X1+2X2 -3X3

X1+X2 +X3 7X1 -X2 +X3 2X1， X20 ， X3无限制

化为标准型

解：① 令 X3 =X4 - X5

② 加松弛变量 X6

③ 加剩余变量 X7 ④ 令 Z'= -Z

maxZ'= X1 -2X2 +3X4 -3X5

X1 +X2 +X4 -X5 +X6 =7X1 -X2 +X4 -X5 - X7 =2X1 , X2 , X4 , … , X7 0

返回

练习：将minZ= 0.15x1 + 0.25x2 + 0.1x3

50x1 + 150x2 + 90 x3 175 100x2 - 50x3 -30 70x1+ 10 x2 200 30x1 + 80x2 + 200 x3 100 xi 0 (i =1,2)

化为标准型

研究对象

有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高

某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省

返回

第二节图解法

一、线性规划问题的可行域与最优解二、图解法的步骤三、线性规划问题求解的可能结局四、图解法的启示

46

47

AX=b (1)

X 0 (2)

maxZ=CX (3)

定义 1 ：满足约束 (1)、 (2)的 X=(X1 …Xn)T称为 LP 问题的可行解，全部可行解的集合称为可行域。

定义 2 ：满足 (3) 的可行解称为 LP 问题的最优解

一、线性规划问题的可行域与最优解

48

二、图解法的步骤

建立平面直角坐标系

根据约束条件找出可行域

图示目标函数

确定最优

解

49

X1+2X2≤6

X1-2X2≥1

Z=X1+X2

X

2

X1

X

2

X1

X

2

X1

50

例 1 ：maxZ=40X1+ 50X2

X1+2X2 30 　①　

3X1+2X2 60 　②

2X2 24 　③

X1 , X2 0

51

例 2 ： maxZ=40X1+ 80X2

X1+2X2 30 ①

3X1+2X2 60 ②

2X2 24 ③

X1 , X2 0

52

X1 =6+ +(1- )·15

X2=12+ +(1- )·7.5

X1 =15-9

X2 =7.5+4.5 (0 1)

X= = +(1- )

maxZ=1200

X1 6 15

X2 12 7.5

三、线性规划问题求解的可能结局

53

唯一解

无穷多解

无有限最优解

无可行解

有最优解

无最优解

54

四、两个变量的 LP 问题的解的启示：(1) 可行域为凸多边形。(2)若有最优解，定可在可行域的顶点得到。

X(1)

X(2)

凸多边形凹多边形

X(1)X(2)

(3) 可以找到所有的顶点，比较其对应的目标函数值的大小。

第三节 LP 问题的几何意义

55

一、 LP 问题解的概念

二、几个基本定理

56

定义 1 ：满足约束 (2)、 (3)的 X=(X1 …Xn)T

称为 LP 问题的可行解，全部可行解的集合称为可行域。

定义 2 ：满足 (1) 的可行解称为 LP 问题的最优解

AX=b (2)X 0 (3)

maxZ=CX (1)

返回

57

AX=b (2)X 0 (3)

maxZ=CX (1)

定义 3 ：基 ( 基阵 ) ——A （秩为m ）中一个子矩阵 B 是可逆矩阵 ( 满秩子矩阵 ) ，则方阵 B 称为 LP 问题的一个基。定义 4 ：在约束方程中，对应于基 B ， X=(x1,x2,…,xm,0, …,0)T, 称为 LP 问题的基解。定义 4 ：基解——对应于基 B ， X=为 AX=b 的一个解。

B-1 b 0

58

定义 5 ：基本可行解——基 B ，基本解 X=

若 B-1 b0(满足非负约束条件 ) ，称基 B 为可行基。

最优解、最优基

B-1 b

0

59

例 1 ：Max Z=50x1+100x2

X1+X2 ≤ 300

2X1+X2≤400

X2 ≤250

X1 , X20

X1+ X2 +X3 = 300

2X1+X2 + X4 =400

X2 +X5 =250

Xi0

60

X

2

X1

A

可行解

可行域

最优解

61

例：给定约束条件

-X3+X4 =0

X2 +X3 +X4 =3

-X1 +X2 +X3+X4 =2

Xj 0 ( j=1,2,3,4 )

求出基变量是 X1 , X3 , X4 的基本解，是不是可行解？

62

凸集—— D是 n维欧氏空间的一个集合

X(1), X(2) D,∈ 若任一个满足

X= X(1)+(1-) X(2) (0 1)

有 X D∈

定义 6 ：

X(1) , X(2) , … ,X(k) 是 n 维欧氏空间中的 k个点，若有一组数

µ1 , µ2 , … , µk 满足 0 µi 1 (i=1,… ,k)

63

定义 7

µ i =1k

i=1

有点 x= µ1 X(1) + … + µk X(k)

则称点 X 为 X(1) , X(2) , … ,X(k) 的凸组合。

凸组合

凸集 D, 点 XD ，若找不到两个不同的点 X(1) , X(2) D 使得

X= X(1) +(1- ) X(2)

(0< <1)

则称 X 为 D 的顶点。

64

定义 3

顶点

65

定理 1 ：若 LP 问题存在可行解，其可行解域一定是凸集。

定理 2 ： LP 问题的基可行解 X 对应于可行域 D 的顶点。

可行解

基本解

定理 3 ：可行域有界，最优值必可在顶点得到

LP 问题解的性质

若 (LP) 问题有可行解，则可行解集 ( 可行域 )是凸集 ( 可能有界，也可能无界 ) ，有有限个顶点。

66

(LP) 问题的基本可行解可行域的顶点。若 (LP) 问题有最优解，必可以在基本可行解 ( 顶点 ) 达到。返回

67

第四节单纯形法

单纯形法的基本思路：根据线性规划问题的标准，从可行域中某个基可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基可行解（顶点），并且使目标函数达到最大值时，线性规划问题就得到了最优解。

68

(1) 确定初始基可行解

(2) 判定解是否最优

(3) 由一个基可行解→另一个基可行解。

一、单纯形法的基本思路

69

二、单纯形法原理

1.初始基可行解的确定

标准化，加入松弛变量、剩余变量或人工变量，构造m×m 单位矩阵。

70

x1 +a1 m+1 xm+1 +……+a1 n xn =b1

x2 +a2 m+1 xm+1 +……+a2 n xn =b2

xm +amm+1 xm+1 +……+amn xn =bn

1 0…0 a1m+1 …a1n

0 1…0 a2m+1 …a2n

………………………

0 0…1 amm+1 …amn

A=

71

例 1： maxZ=2X1 +3X2

X1 +2X2 ≤8

4X1 ≤16

4X2 ≤ 12

X1 ， X2 0

X1 +2X2 +X3 =8

4X1 + +X4 =16

4X2 +X5 =12

X1 … X5 0 1 2 1 0 0

A= 4 0 0 1 0

0 4 0 0 1

X=(0 0 8 16 12)T

Z=0

72

例 1： minZ=2X1 +3X2

X1 +2X2 ≥8 4X1 ≥16 4X2 ≥ 12 X1 ， X2 0

1 2 -1 0 0A= 4 0 0 -1 0 0 4 0 0 -1

X=(0 0 -8 -16 -12)T

Z=0

X1 +2X2 -X3 =8 4X1 -X4 =16 4X2 -X5 =12 X1 … X5 0

73

例 2： minZ=2X1 +3X2

X1 +2X2 ≥8 4X1 ≥16 4X2 ≥ 12 X1 ， X2 0

1 2 -1 0 0 1 0 0A= 4 0 0 -1 0 0 1 0 0 4 0 0 -1 0 0 1

X=(0 0 0 0 0 8 16 12)T

Z=36M

X1 +2X2 -X3 +X6 =8 4X1 -X4 +X7 =16 4X2 -X5 +X8 =12 X1 … X8 0

+0X3+0X4+0X5+MX6+MX7+MX8

74

例 3： maxZ=2X1 +3X2

X1 +2X2 =8 4X1 ≤16 4X2 ≥ 12 X1 ， X2 0

X1 +2X2 +X5 =8 4X1 +X3 =16 4X2 -X4 +X6 =12 X1 … X6 0

+0X3+0X4-MX5-MX6

1 2 0 0 1 0A= 4 0 1 0 0 0 0 4 0 -1 0 1

X=(0 0 16 0 8 12)T

Z= -20M

75

例 1： maxZ=2X1 +3X2

X1 +2X2 ≤8 4X1 ≤16 4X2 ≤ 12 X1 ， X2 0 X1 +2X2 +X3 =8 4X1 +X4 =16 4X2 +X5 =12 X1 … X5 0

2. 判定解是否最优 ( 目标函数值是否为最优 ) 需要计算检验数 σj

76

Z =0 + 2 X1+ 3 X2

X3 =8-( X1+ 2X2 )

X4=16-4X1

X5 =12-4X2

令 X1 = X2 =0

X(1) =(0, 0, 8,16, 12)T

Z(1) =0

Z=0+2X1+3X2

当 X1从 0↗或 X2从0↗Z从 0↗

77

CB

(Ci)

XB

(Xi)b

x1 x2 x3 x4 x5

θ2 3 0 0 0

0 x3 8 1 2 1 0 0

0 x4 16 4 0 0 1 0

0 x5 12 0 4 0 0 1

σ 2 3 0 0 0

78

3.基变换

(1) 决定换入变量：

maxσj =σm+k ，则 Xm+k 为换入变量σj>0

(2) 决定换出变量：

79

定理 2 ：对 X(1) ，若有某个非基变量Xm+k→σm+k>0

且相应的 Pm+k =(a1m+k ,… ,amm+k )T 0 ，则原问题无有限最优解。

80

σm+k 0

…… ……

a1m+k 0

arm+k 1

amm+k 0

初等行变换Pm+k = …

…

……

4. 以 arm+k （主元）为中心，换基迭代

81

X1 +2X2 +X3 =8 4X1 +X4 =16 4X2 +X5 =12 X1 … X5 0

X3 =8 -X1 -2X2

X4 =16 -4X1

X5 =12- 4X2

Z =0 + 2 X1+ 3 X2

X3 = 2 - X1+1/2X5

X4 =16 -4X1

X2 = 3 -1/4X5

Z =9 + 2 X1 -3/4X2

82

CB XB bx1 x2 x3 x4 x5

θ2 3 0 0 0

0 x3 8 1 2 1 0 0 4

0 x4 16 4 0 0 1 0 _

0 x5 12 0 4 0 0 1 3

Z=0 σ 2 3 0 0 0

83


θ2 3 0 0 0

0 x3

0 x4

0 x5 3 0 1 0 0 1/4

16 4 0 0 1 0

2 1 0 1 0 -1/2 2

4

-

σ 2 0 0 0 -3/4Z=9

x23

84


θ2 3 0 0 0

0 x3

0 x4

3 x2

2 1 0 1 0 -1/2

8 0 0 -4 1 2

3 0 1 0 0 1/4

4

12

-

σ 0 0 -2 0 1/4Z=13

2 x1

85


θ2 3 0 0 0

2 x1

0 x4

3 x2

4 1 0 0 1/4 0

4 0 0 -2 1/2 1

2 0 1 1/2 -1/8 0

σZ=14 0 0 -1.5 -1/8 0

x5

三、单纯形法基本步骤

86

(1) 确定初始基，初始基本可行解

(3) 若有 σk >0， Pk全 0 ，停，没有有限最优解；否则转 (4)

(2) 对应于非基变量检验数 σj全 0 。若是，停，得到最优解；若否，转 (3) 。

87

θ= min aim+k >0 =bi

aim+k

br

arm+k

定 Xr 为换出变量， arm+k 为主元。

由最小 θ 比值法求：

maxσj =σm+k→Xm+k 换入变量σj>0

(4)

88转 (2)

σm+k 0

…… ……

a1m+k 0

arm+k 1

amm+k 0

初等行变换Pm+k = …

…

……

(5) 以 arm+k 为中心，换基迭代

89

四、单纯形表

X1 X2 … Xm Xm+1 … Xm+k … Xn

CB XB b C1 C2 … Cm Cm+1 … Cm+k … Cn

C1 X1 b1 1 0 … 0 a1m+1 … a1m+k … a1n

C2 X2 b2 0 1 … 0 a2m+1 … a2m+k … a2n

Cr Xr br 0 0 … 0 arm+1 … arm+k … arn

Cm Xm bm 0 0 … 1 amm+1 … amm+k … ann

……

……

…… … …

……

……

……

m

iiibCZ

10

m

iijijj aCC

1

z 0 0 … 0 σm+1 … σm+k … σn

90

例 1： maxZ=50X1 +100X2

X1 +X2 ≤300

2X1 +X2 ≤400

X2 ≤250

X1 ， X2 0 X1 +X2 + X3 =300

2X1 +X2 + X4 =400

X2 + X5 =250

Xi 0

91


θ50 100 0 0 0

0 x3 300 1 1 1 0 0 300

0 x4 400 2 1 0 1 0 400

0 x5 250 0 1 0 0 1 250

Z=0 σ 50 100 0 0 0

92


θ50 100 0 0 0

0 x3 50 1 0 1 0 -1 50

0 x4 150 2 0 0 1 -1 75

100 x2 250 0 1 0 0 1 -

Z=25000 σ 50 0 0 0 -100

93


θ50 100 0 0 0

50 x1 50 1 0 1 0 -1 50

0 x4 50 0 0 -2 1 1 0

100 x2 250 0 1 0 0 1 100

Z=27500 σ 0 0 -50 0 -50

94

五、几点说明

（ 1 ）非基变量的检验数为 0， LP 问题有无穷多最优解

例 maxZ=X1 +2X2

X1 4

X2 3

X1+2X2 8

X1 , X2 0

X1 +X3 = 4

X2 +X4 = 3

X1+2X2 +X5= 8

X1 … X5 0

95


θ1 2 0 0 0

0 x3 4 1 0 1 0 0

0 x4 3 0 1 0 1 0

0 x5 8 1 2 0 0 1

Z=9 σ 1 2 0 0 0

-

3

4

96


θ1 2 0 0 0

0 x3

0 x4

0 x5 2 1 0 0 -2 1

3 0 1 0 1 0

4 1 0 1 0 0 4

-

2

σ 1 0 0 -2 0Z=6

x22

97


θ1 2 0 0 0

0 x3

2 x2

0 x5 2 1 0 0 -2 1

3 0 1 0 1 0

2 0 0 1 2 -1 1

3

-

σ 0 0 0 0 -1Z=8

x11

98


θ1 2 0 0 0

0 x3

2 x2

1 x1 4 1 0 1 0 0

2 0 1 -1/2 0 1/2

1 0 0 1/2 1 -1/2

σ 0 0 0 0 -1Z=8

x40

99

X(1)= (2,3) Z(1)=8

X(2)= (4,2) Z(2)=8无穷多解

100

(2) 最小值问题

例：求 minZ=X1 -X2+X3 -3X5

X2+X3 - X4+2X5 = 6

X1+2X2 -2X4 = 5

2X2 + X4+3X5 +X6 = 8

X1 … X6 0

101

CB XB bx1 x2 x3 x4 x5 x6

θ1 -1 1 0 -3 0

1 x3 6 0 1 1 -1 2 0

1 x1 5 1 2 0 -2 0 0

0 x6 8 0 2 0 1 3 1

σ 0 -4 0 3 -5 0Z=11

3

-

8/3

102


θ1 -1 1 0 -3 0

1 x3

1 x1

0 x6x5-3 8/3 0 2/3 0 1/3 1 1/3

5 1 2 0 -2 0 0

2/3 0 -1/3 1 -5/3 0 -2/3

-

5/2

4

σ 0 -2/3 0 14/3 0 5/3Z=-7/3

103


θ1 -1 1 0 -3 0

1 x3

1 x1

-3 x5

x2-1

1 -2/3 0 0 1 1 1/3

5/2 1/2 1 0 -1 0 0

3/2 1/6 0 1 -2 0 -2/3

σ 1/3 0 0 4 0 5/3Z=-4

104

(3)退化

maxZ=10X1 + 12X2

3X1+4X2 +X3

=6

4X1+ X2 +X4

=2

3X1 +2X2 +X5

=3

X1 …… X50

105

退化解

X *=(0, 3/2, 0, 1/2, 0)T

Zmax=18

106

第五节单纯形法的进一步讨论

(一 ) 大M 法：

判定无解条件：当进行到最优表时，仍有人工变

量在基中，且≠ 0 ，则说明原问题无可行解。

107

例 1 ：maxZ= 6X1 +4X2

2X1 +3X2 100

4X1 +2X2 120

X1 =14

X2 22

X1 X2 0

108

maxZ=6X1+4X2-MX6 -MX7

2X1 +3X2 +X3 =100

4X1 +2X2 +X4 =120

X1 +X6 =14

X2 - X5 +X7 = 22

X1 … X7 0

109

CB XB bx1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

θ6 4 0 0 0 -M -M

0 x3 100 2 3 1 0 0 0 0

0 x4 120 4 2 0 1 0 0 0

-M x6 14 1 0 0 0 0 1 0

-M x7 22 0 1 0 0 -1 0 1

Z=-36M

σ M+6

M+4

0 0 -M

50

30

14

0 0

-

110


θ6 4 0 0 0 -M -M

0 x3 72 0 3 1 0 0 -2 0

0 x4 64 0 2 0 1 0 -4 0

6 x1 14 1 0 0 0 0 1 0

-M x7 22 0 1 0 0 -1 0 1

Z=84-22M

σ 0 M+4

0 0 -M

24

32

-

-6-M

0

22

111


θ6 4 0 0 0 -M -M

0 x3 6 0 0 1 0 3 -2 -3

0 x4 20 0 0 0 1 2 -4 -2

6 x1 14 1 0 0 0 0 1 0

4 x2 22 0 1 0 0 -1 0 1

Z=172 σ 0 0 0 0 4

2

10

-

-6-M

-4-M

-

112


θ6 4 0 0 0 -M -M

0 x5 2 0 0 1/3 0 1 -2/3 -1

0 x4 16 0 0 -2/3 1 0 -8/3 0

6 x1 14 1 0 0 0 0 1 0

4 x2 24 0 1 1/3 0 0 -2/3 0

Z=180 σ 0 0 -4/3 0 0

-10/3-M

-M

113

(二 ) 两阶段法：原问题 maxZ= Cj xj j=1

n

xj 0j=1

n

aij xj =bi ( i=1,2, …,m)

114

作辅助问题 minW= yi i=1

m

Xj ， yi 0j=1

n

aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m)

解题过程：第 1阶段：解辅助问题

当进行到最优表时，①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行解，转入第 2阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解。

115

两阶段法原理：

(1) 辅助问题的基本可行解 X(0) 为最优解，对应

最小值 =0

则 X(0) 的前 n 个分量是原问题的基本可

行解。(2) 原问题有可行解时，辅助问题最优值 =0

116

总结：

(1) LP 数学模型及标准型

maxZ=CX

AX=b (b0)

X0

(2) LP 问题解的性质：图解法

117

(3) 单纯形法：

1) 标准型中有单位基。

2) 标准型中没有单位基，用大 M 法加人工变量，使之构成单位基。求maxZ 时，目标中－MXj

求minZ 时，目标中＋MXj

3) 判定最优解定理：

maxZ 问题，检验数 σ 0minZ 问题，检验数 σj 0

118

4) 解的几种情况：唯一解无穷多解：最优表中非基变量检验数有为 0

者。

无界解： max,σj > 0 但 Pj 0

min,σj < 0 但 Pj 0

无可行解：最优表中人工变量在基中，且≠ 0 。建模有问题

5) 退化解问题

运筹学 operational research

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