Общая постановка задачи и основные...
TRANSCRIPT
![Page 1: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/1.jpg)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И. И. МЕЧНИКОВА
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЭКОНОМИКИ И МЕХАНИКИ
Кафедра оптимального управления и экономической кибернетики
О . Д . Кичмаренко , Л . И . Плотникова ,
Н . В . Скрипник
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания и варианты контрольних работ
Одесса «Астропринт»
2009
![Page 2: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/2.jpg)
2
ББК 22.161.8я73 УДК 517.97 (076) К46 Рецензенты: А. В. Усов, д.-р техн. наук, профессор, Т. А. Комлева, канд.физ.-мат.наук., доцент Рекомендовано к печати ученым советом ИМЭМ ОНУ имени И. И. Мечникова. Протокол № 5 от 20 марта 2009 г. Кичмаренко О. Д., Плотникова Л.И., Скрипник Н.В.
К46 Вариационное исчисление: методические указания и варианты контрольних работ / О. Д. Кичмаренко, Л. И. Плотникова, Н. В. Скрипник. Одеса : Астропринт, 2009. 68 с. ISBN 978-966-190-200-7
В методическом пособии излагаются классические результаты вариационного исчи-
сления. Для различных типов задач вариационного исчисления выводятся необходимые условия экстремума. Рассматриваются всевозможные достаточные условия экстремума. Все теоретические результаты иллюстрируются примерами.
У методичних вказiвках викладаються класичні результати варіаційного числення.
Для різних типів задач варіаційного числення виводяться необхідні умови экстремума. Розглядаються всілякі достатні умови экстремума. Усі теоретичні результати ілюструють-ся прикладами.
© О. Д. Кичмаренко, Л. И. Плотникова, Н. В. Скрипник, 2009
![Page 3: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/3.jpg)
3
СОДЕРЖАНИЕ
I. Задачи, приводящие к вариационным проблемам ..................................................4
II. Общая постановка задачи и основные определения..............................................8
III. Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимые условия
экстремума ...................................................................................................................18
1. Постановка задачи ......................................................................................................18
2. Необходимое условие экстремума............................................................................18
3. Преобразования Лагранжа и Дю-Буа-Реймонда .....................................................19
4. Основные леммы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. ......................20
5. Частные случаи уравнения Эйлера. ..........................................................................24
6. Вторая вариация. Условия Лежандра и Якоби. .......................................................30
IV. Простейшая задача вариационного исчисления. Достаточные условия
экстремума ...................................................................................................................36
1. Поле экстремалей. Условие Якоби. ..........................................................................36
2. Функция Вейерштрасса..............................................................................................40
3. Условие Лежандра......................................................................................................43
V. Вариационные задачи с подвижными концами ....................................................45
1. Постановка задачи ......................................................................................................45
2. Необходимое условие экстремума............................................................................46
VI. Вариационные задачи на условный экстремум...................................................52
1. Задачи на условный экстремум с конечными связями ...........................................52
2. Задачи на условный экстремум с дифференциальными связями ..........................56
3. Задачи на условный экстремум с интегральными связями ....................................58
Контрольная работа.........................................................................................................62
Литература.........................................................................................................................67
![Page 4: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/4.jpg)
4
S
( )y x
y
x0 0x 1x
I. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ВАРИАЦИОННЫМ ПРОБЛЕМАМ
Пример 1 (задача Дидоны). В IX в. до н.э. финикийская царевна Дидона и несколь-
ко ее спутников, спасаясь от преследования тирской знати, бежали из г.Тира и высадились на африканском берегу Средиземного моря. Решив поселится именно здесь, Дидона упро-сила местных жителей отдать в ее распоряжение участок земли, который можно охватить шкурой быка. Простодушный правитель тех мест не понял всей глубины замысла и согла-сился отдать беглецам участок земли, который, по его разумению, должен был по площа-ди быть равным площади расправленной шкуры быка. Дидона же после заключения со-глашения разрезала шкуру быка на тонкие полоски, связала их в длинный ремень и огра-ничила им довольно значительную территорию на берегу моря. Так был заложен город Карфаген.
Задача, которую поставила Дидона, может быть сформулирована следующим образом: найти такую кривую заданной длины L (L в упомянутой выше истории – длина ремня из шкуры быка), которая ограничивает на плоско-сти фигуру наибольшей площади.
Формализуем задачу. Считая берег моря прямолинейным, расположим прямоугольную систему координат Oxy так, чтобы ось Ox сов-падала с берегом моря. Предположим, что пря-молинейная (морская) часть границы участка
земли есть отрезок 0 1[ , ]x x оси ,Ox а криволинейная часть является графиком гладкой (т.е. непрерывно дифференцируемой) функции ( ),y y x= определенной на отрезке 0 1[ , ]x x . При этом
0 1( ) ( ) 0.y x y x= = (1) При сделанных предположениях длина L криволинейной части границы вычисляется
по формуле
1
0
21 ( ) ,x
x
L y x dx′= +∫ (2)
а площадь S земельного участка - по формуле
1
0
( ) .x
x
S y x dx= ∫ (3)
Итак, требуется найти такую гладкую функцию ( ),y y x= которая удовлетворяет ус-ловиям (1) и (2) (L - фиксировано) и обеспечивает интегралу (3) максимальное значение.
Задачи подобного рода ставили и решали (своими, оригинальными, способами) еще
Аристотель и Архимед. Так, Архимед установил замечательное свойство окружности: из всех замкнутых кривых, длины которых равны некоторому заданному значению, окруж-ность охватывает плоскую фигуру наибольшей площади.
Несмотря на наличие древних прецедентов, моментом рождения вариационного ис-числения как математической дисциплины принято считать 1696 год, когда в июньском номере журнала "Acta Eruditorium" появилось письмо И.Бернулли, в котором он писал: "Остроумнейших математиков всего мира приветствую я, Иоганн Бернулли! Людей высо-кого ума нельзя ничем более привлечь к работе, как указать им трудную и вместе с тем полезную задачу, решением которой возможно и славу приобрести, и оставить по себе вечный памятник. Я надеюсь, что заслужу благодарность ученого мира, если я, по приме-
![Page 5: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/5.jpg)
5
ру Паскаля, Ферма и других великих, предложу лучшим математикам нашего времени за-дачу, которая даст им возможность испробовать, хороши ли те методы, которыми они владеют, и как велика сила их ума. Если кто-нибудь найдет решение предложенной задачи и сообщит об этом мне, то я объявлю ему публично заслуженную хвалу".
Вскоре были даны три решения задачи И.Бернулли: первое принадлежало Я.Бернул-ли, второе – Г.Лопиталю, третье появилось в английском научном журнале без подписи автора, но И.Бернулли без труда узнал в авторе И.Ньютона по его "львиным когтям".
Вот задача, предложенная И.Бернулли: Пример 2 (задача о брахистохроне). В вертикальной плоскости через две заданные
точки O и B, не лежащие на одной вертикали, провести кривую (т.е. найти ее уравнение), двигаясь по которой материальная точка под действием силы тяжести переместится из
верхней точки в нижнюю за кратчайшее время. Ту же задачу можно сформулировать так: как спроек-тировать крышу дома, чтобы капли дождя скатыва-лись с конька крыши за наименьший промежуток времени.
Предположим, что начальная скорость па-дающей точки равна нулю, а силы трения отсутст-вуют. К моменту, когда расстояние от начального положения точки O по вертикальной оси Oy пря-моугольной системы координат Oxy будет равно ,y точка потеряет потенциальную энергию, которая
уменьшится на mgy (m - масса точки, g - ускорение свободного падения). Кинетическая
энергия при этом увеличится на 2
2mv (v - скорость точки). В силу закона сохранения энер-
гии (с учетом отсутствия трения) имеем
2
,2mv
mgy=
откуда 2v gy= . Далее, предполагая, что траекторией движения является кривая ( )y y x= , причем
( )y x - гладкая функция, определенная на отрезке 1[0 ]x, , получаем
21 ( )ds y x dx
vdt dt
′+= = ,
где ds – дифференциал длины дуги кривой, t − время. Поэтому 22 ( ) 1 ( )gy x dt y x dx′= + ,
и приходим к уравнению
21 ( )
2 ( )
y xdt dx
gy x
′+= .
Из этого уравнения находим время, необходимое для перехода из точки O в точку B :
1 2
0
1 1 ( )
2 ( )
xy x
T dxg y x
′+= .∫ (4)
Известные координаты начальной и конечной точек дают краевые условия для функ-ции ( )y x :
1 1(0) 0 ( )y y x y= , = . (5)
B
1x x
y
1y
0
y
x
![Page 6: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Таким образом, нужно найти гладкую функцию ( )y x , для которой время T мини-мально при краевых условиях (5).
Пример 3 (задача о преломлении света). Согласно принципу Ферма, луч света, вы-ходящий из точки А и попадающий в точку B, избирает путь, время перехода по которому является наименьшим. В однородной среде скорость света постоянна, а свет распростра-
няется по прямым. Если же среда неоднородна, то скорость света изменяется от точки к точке, а тра-ектории лучей света уже не будут прямыми. Пусть средой является атмосфера. Поскольку плотность воздуха зависит от высоты у над уровнем моря, то правомерно предположить, что и скорость света v зависит от у и выражается с помощью известной функции ( ).v y Определим траекторию луча света из данной точки А в данную точку В. В вертикаль-ной плоскости, проходящей через точки А и В, вы-берем прямоугольную систему координат так, что
ось Ox горизонтальна и расположена на уровне моря. Нам известны координаты 0 0( , )A x y и 1 1( , ).B x y Считаем, что луч света распространяется по кривой, являющейся графиком гладкой функции ( ),y x определенной на отрезке 0 1[ , ]x x .
При сделанных предположениях имеем ( ) ,dsv ydt
= где 21 ( )ds y x dx′= + − дифферен-
циал длины дуги кривой ( ).y y x= Поэтому время T, необходимое для перехода света из точки А в точку В, выражается интегралом:
1
0
21 ( ).
( ( ))
x
x
y xT dx
v y x′+
= ∫ (6)
Задача состоит в определении такой гладкой функции ( ),y y x= удовлетворяющей условиям 0 0 1 1( ) , ( ) ,y x y y x y= = что интеграл (6) принимает наименьшее значение.
Сравнив (6) и (4), отметим, что задача о брахистохроне — частный случай задачи о преломлении света. Этот факт, подмеченный впервые И.Бернулли, представляет собой так называемую оптико-механическую аналогию.
Пример 4 (задача о геодезических линиях). На поверхности, заданной в прямо-угольной системе коор-динат Oxyz уравнением
( , , ) 0,x y zϕ = требуется провести кривую, соеди-няющую две точки А и В этой поверхности и имеющую наименьшую длину.
Наименьшие по длине линии между двумя точками не-которой поверхности называются геодезиче-скими линиями этой поверхности. Например, геодезическими линия-ми плоскости являются
прямые, геодезическими линиями на сфере — дуги большого круга.
B
A 0 x
y
0y
1y
1x 0x
AB
0
x
x0
x1
1y
0y y
1z 0z
( , , ) 0x y zϕ =
![Page 7: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Предположим, что поверхность ( , , ) 0x y zϕ = является гладкой, а искомая кривая может быть задана параметрическими уравнениями ( ), ( ),y y x z z x= = 0 1[ , ]x x x∈ с помо-щью гладких функций ( )y x и ( ).z x Тогда длина кривой L равна:
1
0
2 21 ( ) ( ) .x
x
L y x z x dx′ ′= + +∫ (7)
Задача свелась к определению таких гладких на отрезке 0 1[ , ]x x функций ( )y y x= и ( ),z z x= что
0 0 0 0 1 1 1 1( , ( ), ( )) 0, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,x y x z x y x y z x z y x y z x zϕ ≡ = = = = а интеграл (7) принимает наименьшее значение.
Оригинальность сформулированных задач в том, что неизвестными в них являются
функции, при которых значение интеграла будет наименьшим. Первым, кто сделал попытку обобщения всех этих задач, был Л.Эйлер, который в
1744 г. выпустил мемуары по вариационному исчислению. Однако Л.Эйлеру не удалось аналитически обосновать вариационное исчисление. Это было сделано в 1760 г. француз-ским математиком Г.Лагранжем. Дальнейшие исследования уже в XIX столетии шли по пути, намеченном Л.Эйлером, Г.Лагранжем и были завершены работами К.Вейерштрасса и Д.Гильберта. В конце XIX и начале XX столетий швейцарский физик и математик В.Ритц открыл, пользуясь работами Дж.Релея, новую главу вариационного исчисления, так называемые "прямые методы". В этом направлении много сделал американский мате-матик Р.Курант, до прихода к власти Гитлера работавший в Германии, советские матема-тики Л.В.Канторович, Б.Г.Галеркин, И.Г.Бубнов, В.И.Крылов. Последний и обосновал ме-тод Ритца. В конце XIX столетия женщина-математик Н.Гернет, профессор высших жен-ских курсов в Петербурге, выпустила работу по вариационному исчислению, где ею ре-шались неклассические задачи вариационного исчисления, но работа не была замечена, потому что она значительно опередила свое время. Только в наше время подобного рода задачи в более широкой постановке нашли применение в оптимальном управлении.
![Page 8: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/8.jpg)
8
II. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Решение отдельных задач нахождения максимума или минимума функционалов (т.е.
величин, численное значение которых определяется выбором одной или нескольких функций) привело к созданию новой математической дисциплины – вариационного ис-числения, предметом которого и является исследование общих методов определения экс-тремумов функционалов. Приведенные выше задачи являются типичными задачами ва-риационного исчисления, или короче – вариационными задачами. Методы решения ва-риационных задач весьма сходны с методами исследования на максимум и минимум функций.
Определение 1. Переменная величина V называется функционалом, зависящим от функции ( )y x , что обозначается так: [ ( )]V V y x= , если каждой функции ( )y x из неко-торого класса функций M соответствует значение V, т.е. имеет место соответствие: функции ( )y x соответствует число V.
Класс функций ,M на которых определен функционал, называется областью опре-деления функционала.
Аналогично определяются функционалы, зависящие от нескольких функций, и функ-ционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.
Определение 2. Приращением или вариацией ( )у xδ аргумента 0 ( )y x функционала [ ( )]V y x называется разность между двумя функциями 0( ) ( ) ( )у x у х у хδ = − .
При этом предполагается, что ( )y x меняется произвольно в классе функций .M В дальнейшем для сокращения записи у приращения ( )у xδ аргумент x будем опускать.
Понятие непрерывности функционала связано с оценкой изменения функционала [ ( )]V y x при малом изменении (приращении) функции 0 ( )y x . При этом сразу возникает
вопрос: какие изменения функции ( )y x , являющейся аргументом функционала, называ-ются малыми или, что то же самое, какие кривые ( )у y x= и 0 ( )у y x= считаются мало от-личающимися или близкими?
Можно считать близкими функции ( )y x и 0 ( )y x в том случае, если модуль разности
0( ) ( )у х y x− мал для всех значений x , для которых задаются функции ( )y x и 0 ( )y x , т.е. считаются близкими кривые, близкие по ординатам.
Однако при таком определении близости кривых часто встречающиеся в приложени-ях функционалы вида
1
0
[ ( )] ( , ( ), ( ))x
x
V y x F x y x y x dx′= ∫
из-за наличия в подынтегральной функции аргумента у′ лишь в исключительных случаях будут непрерывными. Поэтому во многих случаях более естественно считать близкими только те кривые, которые близки и по ординатам и по направлениям касательных в соот-ветствующих точках, т.е. требовать, чтобы для близких кривых не только модуль разности
0( ) ( )у х y x− был мал, но, кроме того, был бы мал и модуль разности 0( ) ( )у х y x′ ′− . Иногда же оказывается необходимым считать близкими только те функции, для ко-
торых малы модули каждой из разностей: 0( ) ( )у х y x− , 0( ) ( )у х y x′ ′− ,…, ( ) ( )
0( ) ( )k kу х y x− для всех значений õ , для которых задаются функции ( )у х и 0 ( )y x . В связи с этим прихо-дится ввести следующее определение близости кривых ( )у y x= и 0 ( ) :у y x=
Определение 3. Кривые ( )у y x= и 0 ( )у y x= близки в смысле близости к -го по-рядка ( k = 0, 1, …), если модули разностей 0( ) ( )у х y x− , 0( ) ( )у х y x′ ′− ,…, ( ) ( )
0( ) ( )k kу х y x−
![Page 9: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/9.jpg)
9
малы для всех значений х , для которых задаются функции ( )у х и 0 ( ).y x Иными словами, кривые ( )у y x= и 0 ( )у y x= близки в смысле близости к -го поряд-
ка, если норма 0 00 0 10 1
( ) ( )
[ , ][ , ]max ( ) ( )
k
k i i
x x xiC x xу у у x у x
∈=− = −∑ мала, где 0 1[ , ]x x - промежуток, на
котором задаются функции ( )у х и 0 ( ).y x На рис.1 изображены кривые, близкие в смысле близости нулевого порядка, но не
близкие в смысле близости первого порядка, так как ординаты у них близки, а направле-ния касательных не близки. На рис.2 изображены кривые, близкие в смысле близости пер-вого порядка.
Рис.1. Рис.2
Из определения 3 следует, что если кривые близки в смысле близости к -го порядка,
то они тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.
Пример 1. Кривые 21( ) siny x n xn
= , гдe n достаточно велико, и 0 ( ) 0y x ≡ близки в
смысле близости нулевого порядка на [ ]0,π , так как
20
1 1| ( ) ( ) | sin ,y x y x n xn n
− = ≤
т.е. на всем отрезке [ ]0,π эта разность по модулю мала при достаточно большом n . Близости первого порядка нет, так как
' ' 20| ( ) ( ) | | cos |y x y x n n x− =
и, например, в точках 2
2xnπ
= имеем ' '
0| ( ) ( ) |y x y x n− = и, значит, ' '
0| ( ) ( ) |y x y x− может быть сделан как угодно большим при n достаточно боль-шом.
Пример 2. Кривые 2
1( ) siny x nxn
= , где n достаточно велико, и 0 ( ) 0y x ≡ близки в
смысле близости первого порядка на [0, π ], ибо
0 2 2
1 1| ( ) ( ) | siny x y x nxn n
− = ≤
y
A
B
x
A
B
x
y
![Page 10: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/10.jpg)
10
и
01 1| ( ) ( ) | cosy x y x nxn n
′ ′− = ≤
малы при достаточно большом n . Близости второго порядка нет, так как 0| ( ) ( ) | | sin |y x y x nx′′ ′′− =
и, например, в точках 2
xnπ
= имеем 0| ( ) ( ) | 1.y x y x′′ ′′− =
Теперь можно ввести понятие непрерывности функционала. Определение 4. Функционал [ ( )]V y x непрерывен при 0 ( )у y x= в смысле близости
к -го порядка, если для любого 0ε > можно подобрать ( )δ ε >0 такое, что [ ] [ ]0( ) ( )V y x V y x ε− <
при ( ) ( )0 0 0( ) ( ) , ( ) ( ) ,..., ( ) ( )k kу х y x у х y x у х y xδ δ δ′ ′− < − < − < для всех значений х , для
которых задаются функции ( )у х и 0 ( )y x . При этом подразумевается, что функции ( )ó õ берутся из класса функций M , на котором функционал [ ( )]V y x определен.
Кривые, на которых сравниваются значения функционала, называются допустимы-ми кривыми.
Пример 3. Показать, что функционал 1
0
[ ( )] ( ( ) 2 ( )) ,V y x y x y x dx′= +∫ определенный в
пространстве 1[0,1],C непрерывен на функции 0 ( )y x x= в смысле близости первого по-рядка.
Возьмем произвольное число 0.ε > Покажем, что существует число 0δ > такое, что 0| [ ( )] [ ( )] |V y x V y x ε− < как только | ( ) |y x x δ− < и | ( ) 1| .y x δ′ − < Имеем
( )1 1 1
00 0 0
| [ ( )] [ ( )] | ( ) 2 ( ) 2 | ( ) | 2 | ( ) 1| .V y x V y x y x y x x dx y x x dx y x dx′ ′− = + − − ≤ − + −∫ ∫ ∫
Выберем .3εδ = Тогда при всех 1( ) [0,1],y x C∈ для которых | ( ) |
3y x x ε
− < и
| ( ) 1| ,3
y x ε′ − < будем иметь 0| [ ( )] [ ( )] |V y x V y x ε− < .
Итак, для всякого 0ε > существует 0δ > , например, ,3εδ = такое, что как только
| ( ) |y x x δ− < и | ( ) 1| ,y x δ′ − < то 0| [ ( )] [ ( )] |V y x V y x ε− < . Это и означает, согласно опреде-лению, что данный функционал непрерывен на функции 0 ( )y x x= в смысле близости пер-вого порядка.
Пример 4. Показать, что функционал 2
0
[ ( )] ( ) ,V y x y x dxπ
′= ∫ определенный в простран-
стве 1[0, ],C π разрывен на функции 0 ( ) 0y x ≡ в смысле близости нулевого порядка.
Действительно, пусть sin( ) ,nnxy x
n= тогда 0
sin 1| ( ) ( ) | 0nnxy x y x
n n− = ≤ → при
.n →∞ С другой стороны, разность
20
0 0 0
1 cos 2 1 sin 2[ ( )] [ ( )] cos2 2 2 2n
nx nxV y x V y x nxdx dx xn
ππ π π+ ⎛ ⎞− = = = + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
![Page 11: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/11.jpg)
11
не зависит от .n Таким образом, при [ ( )]nn V y x→∞ не стремится к 0[ ( )] 0V y x = и, сле-довательно, данный функционал разрывен на функции 0 ( ) 0y x ≡ в смысле близости нуле-вого порядка.
Пример 5. Показать, что функционал 1
3 2
0
[ ( )] 1 ( ) ,V y x x y x dx= +∫ определенный в
пространстве [0,1],C непрерывен на функции 20 ( )y x x= в смысле близости нулевого по-
рядка. Положим 2( ) ( ),y x x xαη= + где ( ) [0,1],x Cη α∈ − сколь угодно мало. Тогда
1 1
2 3 2 2 3 4 2 2 2
0 0
[ ( )] [ ( )] 1 ( ( )) 1 2 ( ) ( ) .V y x V x x x x x dx x x x x x dxαη αη α η α η= + = + + = + + +∫ ∫
Переходя в этом равенстве к пределу при 0,α → получим
1
3 4 2
00
lim [ ( )] 1 [ ],V y x x x dx V xα→
= + =∫
что и означает непрерывность функционала на функции 20 ( )y x x= .
Очевидно, что если функционал [ ( )]V y x непрерывен при 0 ( )у y x= в смысле близо-сти к -орядка, то он непрерывен при 0 ( )у y x= и в смысле близости любого порядка, больше к -го.
Определение 5. Линейным функционалом называется функционал [ ( )]L y x , удовле-творяющий следующим условиям:
1) [ ( )] [ ( )]L сy x сL y x= , где с – произвольная постоянная; 2) 1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]L y x y x L y x L y x+ = + . Примерами линейных функционалов являются
1 0[ ( )] ( )L y x y x= и 1
0
2[ ( )] ( ( ) ( ) ( ) ( )) .x
x
L y x p x y x q x y x dx′= +∫
Определение 6. Если приращение функционала [ ( ) ] [ ( )]V V y x y V y xδΔ = + − можно представить в виде
[ ( ), ] ( ( ), )V L y x y y x y yδ β δ δΔ = + , где [ ( ), ]L y x yδ - линейный по отношению к уδ функционал, yδ - норма функции уδ и
( ( ), ) 0y x yβ δ → при 0yδ → , то линейная по отношению к yδ часть приращения функ-ционала, т.е. [ ( ), ]L y x yδ , называется вариацией функционала и обозначается [ ( )]V y xδ .
При исследовании функционалов вариация играет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций.
Понятие нормы функции напрямую связано с областью определения M функциона-
ла. Если 0 1[ , ],kM C x x⊂ то 0 1
1 ( 1)
[ , ]0max ( ) .
k k
x x xiy y xδ δ
−−
∈== ∑
Можно дать и другое, почти эквивалентное, определение вариации функционала: Определение 6*. Вариация функционала [ ( )]V y x равна
[ ] 0( ) .V y x y ααδα =∂
+∂
(8)
Если существует вариация в смысле линейной (относительно óδ ) части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при нулевом значении параметра, и оба эти определения эквивалентны. Действительно, если функцио-нал имеет вариацию в смысле линейной части приращения, то его приращение имеет вид:
[ ( ) ] [ ( )] ( ), ( ( ), )V V y x y V y x L y x y y x y yαδ αδ β αδ αδ⎡ ⎤ +⎣ ⎦Δ = + − = .
![Page 12: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Тогда производная от [ ( ) ]V y x yαδ+ по α при 0α = равна
[ ] [ ]0 0 0
( ), ( ( ), )( ) lim lim
L y x y y x y yVV y x y α α α
αδ β αδ αδαδ
α α α= → →
+∂ Δ+ = = =
∂
0
[ ( ), ] ( ( ), )lim [ ( ), ]
L y x y y x y yL y x y
α
α δ α β αδ δδ
α→
+= = ,
что и требовалось доказать. Пример 6. Найти вариацию функционала
1
0
2[ ( )] ( ) .x
x
V y x y x dx= ∫
Первый способ. Запишем приращение функционала
1 1 1
0 0 0
2 2 2( ( ) ) ( ) (2 ( ) ( ) ) .x x x
x x x
V y x y dx y x dx y x y y dxδ δ δΔ = + − = +∫ ∫ ∫
Так как
( ) ( )1 1
0 1 0 10 0
2 222
1 0 1 0[ , ] [ , ]( ) max ( ) max ( ) ,
x x
x x x x x xx x
y dx y dx x x y x x yδ δ δ δ∈ ∈
≤ = − = −∫ ∫
то
( )1
0
2 ( ) ( ), ,x
x
V y x ydx y x y yδ β δ δΔ = +∫
где ( ) 1 0( ), ( ) 0y x y x x yβ δ δ≤ − → при 0yδ → . Поэтому вариация функционала имеет вид
1
0
[ ( )] 2 ( ) .x
x
V y x y x ydxδ δ= ∫
Второй способ. Воспользуемся формулой (8): 1
0
1 1
0 0
2
0 0
0
[ ( )] [ ( ) ] ( ( ) )
2( ( ) ) 2 ( ) .
x
x
x x
x x
V y x V y x y y x y dx
y x y y dx y x ydx
α α
α
δ αδ αδα α
αδ δ δ
= =
=
∂ ∂= + = + =∂ ∂
= + =
∫
∫ ∫
Очевидно, оба способа привели к одному и тому же результату. Пример 7. Найти вариацию функционала
1
2 2
0
[ ( )] ( ( ) ( )) .V y x y x y x dx′= +∫
Первый способ. Запишем приращение функционала
1 1
2 2 2 2
0 0
(( ( ) ) ( ( ) ) ) (( ( ) ( ))V y x y y x y dx y x y x dxδ δ′ ′ ′Δ = + + + − + =∫ ∫
12 2
0
(2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ) .y x y y x y y y dxδ δ δ δ′ ′ ′= + + +∫
Так как 2
1 122 2 2 2
[0,1] [0,1] [0,1] [0,1]0 0
( ) ( ) (max ) (max ) max max ,x x x x
y y dx y y dx y y yδ δ δ δ δ δ δ∈ ∈ ∈ ∈
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ≤ + ≤ + =⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
то
![Page 13: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/13.jpg)
13
( ) ( )1
0
2 ( ) '( ) ' ( ), ,V y x y y x y dx y x y yδ δ β δ δΔ = + +∫
где ( )( ), 0y x y yβ δ δ≤ → при 0yδ →
и вариация функционала имеет вид
( )1
0
[ ( )] 2 ( ) '( ) ' .V y x y x y y x y dxδ δ δ= +∫
Второй способ. Воспользуемся формулой (8), получим
( )
( )
12 2
00
1 1
00 0
( ( ) ) ( ( ) )
2( ( ) ) 2( ( ) ) 2 ( ( ) ( ) ) .
V y x y y x y dx
y x y y y x y y dx y x y y x y dx
α
α
δ αδ αδα
αδ δ αδ δ δ δ
=
=
∂ ′ ′= + + + =∂
′ ′ ′ ′ ′= + + + = +
∫
∫ ∫
Следует отметить, что второе определение вариации несколько шире первого, так как существуют примеры функционалов, для которых нельзя выделить линейной части, но вариация в смысле второго определения существует.
Пример 8. Пусть
1
0
3 33[ ( )] ( ) ( ) .x
x
V y x y x y x dx′= +∫
Тогда при ( ) 0у х ≡ и произвольной вариации yδ величина
[ ]1 1
0 0
3 3 3 33 30 0[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x
V y x V y x y y y dx y y dxα αδ αδ αδ αδ δ δα α= =∂ ∂ ′ ′= + = + = +∂ ∂ ∫ ∫
нелинейна относительно ,yδ т.е. не является вариацией функционала в смысле определе-ния 6.
Определение 7. Говорят, что функционал [ ( )]V y x , определенный на функциях ( )у х из класса ,M достигает на функции 0 ( )y x глобального минимума (максимума), если
0 0[ ( )] [ ( )] (соответственно [ ( )] [ ( )])V y x V y x V y x V y x≤ ≥ для всех ( )у х M∈ .
Пример 9. Доказать, что на функции 0 ( )y x x= функционал 1
2
0
[ ( )] ' ( )V y x y x dx= ∫ дос-
тигает глобального минимума в классе функций 1{ ( ) [0,1] : (0) 0, (1) 1}M y x C y y= ∈ = = . Очевидно, что функция 0 ( ) .y x x M= ∈ Рассмотрим вариации [ ]1 0,1 ,y Cδ ∈ удовле-
творяющие условиям (0) (1) 0.y yδ δ= = Исследуем знак приращения:
( )
( ) ( )
1 1 1 122 2
0 0 0 00 0 0 0
1 11 2 2
00 0
[ ( ) ] [ ( )] ( ( ) ) ( ) 2
2 0.
V V y x y V y x y x y dx y x dx y dx y dx
y y dx y dx
δ δ δ δ
δ δ δ
′ ′ ′ ′ ′Δ = + − = + − = + =
′ ′= + = ≥
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Так как кривая 0( ) ( )y x y x y Mδ= + ∈ произвольна и из доказанного неравенства сле-дует, что
0 0[ ( )] [ ( ) ] [ ( )],V y x V y x y V y xδ= + ≥ то на функции 0 ( )y x x= достигается глобальный минимум.
![Page 14: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Пример 10. Доказать, что на функции 3 20 ( )y x x x= − функционал
12
0
[ ( )] ( )V y x y x dx′′= ∫
достигает глобального минимума в классе функций 2{ ( ) [0,1] : (0) (1) (0) 0, (1) 1}M y x C y y y y′ ′= ∈ = = = = .
Очевидно, что функция 3 20 ( ) .y x x x M= − ∈ Рассмотрим вариации [ ]2 0,1 ,y Cδ ∈
удовлетворяющие условиям (0) (1) (0) (1) 0.y y y yδ δ δ δ′ ′= = = = Исследуем знак приращения:
1 1 1
3 2 2 3 2 2 2 2
0 0 0
( ) ( ) (6 2 ) (6 2)V x x y dx x x dx x y x dxδ δ′′ ′′ ′′⎡ ⎤Δ = − + − − = − + − − =⎣ ⎦∫ ∫ ∫
1 1 12
0 0 0
(12 4 ) (12 4) ( ) .x y y dx x y dx y dxδ δ δ δ′′ ′′ ′′ ′′= − + = − +∫ ∫ ∫
Первый интеграл возьмем по частям, учитывая граничные условия:
1
0
12 4 12(12 4)
u x du dxx y dx
dv y dx v yδ
δ δ= − =⎡ ⎤′′− = =⎢ ⎥′′ ′= =⎣ ⎦
∫
( )1 1
1 10 0
0 0
(12 4) 12 12 12 0.x y y dx y dx yδ δ δ δ′ ′ ′= − − = − = − =∫ ∫
Тогда
1
2
0
( ) 0.V y dxδ ′′Δ = ≥∫
Так как вариация [ ]2 0,1y Cδ ∈ произвольна и из доказанного неравенства следует, что
0 0[ ( )] [ ( ) ] [ ( )],V y x V y x y V y xδ= + ≥ то на функции 3 2
0 ( )y x x x= − достигается глобальный минимум. Понятие локального минимума (максимума) связано с исследованием поведения
функционала на близких кривых. Определение 8. Функционал [ ( )]V y x достигает на кривой 0 ( )у y x= локального
максимума, если значение функционала [ ( )]V y x на любой близкой к 0 ( )у y x= кривой не больше, чем 0[ ( )]V y x , т.е.
0[ ( )] [ ( )] 0.V V y x V y xΔ = − ≤ Если 0VΔ ≤ , причем 0VΔ = только при 0( ) ( )у х y x= , то говорят, что на кривой
0 ( )у y x= достигается строгий максимум. Аналогично определяется кривая 0 ( )у y x= , на которой реализуется локальный ми-
нимум. В этом случае 0VΔ ≥ для всех кривых, близких к кривой 0 ( )у y x= . Понятие локального экстремума функционала нуждается в уточнении. Говоря о ло-
кальном максимуме или минимуме, мы имеем в виду наибольшее или наименьшее значе-ние функционала только по отношению к значению функционала на близких кривых. Но, как было указано выше, близость кривых может пониматься по разному, поэтому в опре-делении локального максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду.
Если функционал [ ( )]V y x достигает на кривой 0 ( )у y x= локального максимума или минимума по отношению ко всем кривым ( )у y x= , для которых модуль разности
0( ) ( )у х y x− мал, т.е. по отношению к кривым, близким в смысле близости нулевого по-
![Page 15: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/15.jpg)
15
рядка, то максимум или минимум называется сильным. Если же функционал [ ( )]V y x достигает на кривой 0 ( )у y x= локального максимума
или минимума по отношению ко всем кривым ( )у y x= близким к 0 ( )у y x= в смысле бли-зости первого порядка, т.е. по отношению к кривым, близким к 0 ( )у y x= не только по ординатам, но и по направлениям касательных, то максимум или минимум называется слабым.
Очевидно, что если на кривой 0 ( )у y x= достигается сильный максимум (или мини-мум), то подавно достигается и слабый, так как если кривая близка к 0 ( )у y x= в смысле близости первого порядка, то она близка и в смысле близости нулевого порядка.
Однако, возможно, что на кривой 0 ( )у y x= достигается слабый максимум (или ми-нимум), т.е. для всех кривых ( )у y x= , близких к 0 ( )у y x= как по ординатам, так и по на-правлению касательных, будет выполняться неравенство:
0[ ( )] [ ( )]V y x V y x≤ (в случае максимума) или
0[ ( )] [ ( )]V y x V y x≥ (в случае минимума), а среди кривых ( )у y x= , близких только по ординатам, но уже не близких по направлени-ям касательных (более широкое множество кривых), найдутся такие, для которых
0 0[ ( )] [ ( )] (соответственно [ ( )] [ ( )]V y x V y x V y x V y x> < ). Пример 11. Доказать, что на функции 0 ( ) 0y x ≡ функционал
( )2 2[ ( )] ( ) 1 ( )V y x y x y x dxπ
π−
′= −∫ достигает сильного минимума в классе функций
1{ ( ) [ , ] : ( ) ( ) 0}M y x C y yπ π π π= ∈ − − = = . Пусть ( )y x M∈ − произвольная функция, близкая к 0 ( )y x в смысле близости нуле-
вого порядка, т.е. существует 0ε > такое, что 0( ) ( ) , [ , ].y x y x xε π π− < ∈ − Пусть 1,ε = тогда для всех функций ( )y x из ε - окрестности нулевого порядка
функции 0 ( )y x выполнено условие ( ) 1.y x ε< = Поэтому 20 ( ) 1,y x≤ < откуда 21 ( ) 0y x− > для всех [ ], .x π π∈ − Тогда
( )2 20[ ( )] [ ( )] ( ) 1 ( ) 0,V V y x V y x y x y x dx
π
π−
′Δ = − = − ≥∫
а значит на функции 0 ( ) 0y x ≡ функционал достигает сильного минимума. Пример 12. Доказать, что на функции 0 ( ) 0y x ≡ функционал
( )2 2
0
[ ( )] ( ) 1 ( )V y x y x y x dxπ
′= −∫ достигает слабого минимума в классе функций
1{ ( ) [0, ] : (0) ( ) 0}M y x C y yπ π= ∈ = = . Так как [ ]0 ( ) 0,V y x = то, согласно определению, требуется доказать, что существует
0ε > такое, что для всех ( ) ,y x M∈ удовлетворяющих условию ( ) , ( )y x y xε ε′< < для всех [0, ]x π∈ ,
справедливо неравенство [ ] [ ]0( ) ( ) 0.V y x V y x≥ = Пусть 1,ε = тогда для всех функций из ε − окрестности первого порядка функции 0 ( ) 0y x ≡ выполняются условия
( ) 1, ( ) 1.y x y x′< < Поэтому 2 20 ( ) 1 и 1 ( ) 0y x y x′≤ < − > для всех [0, ]x π∈ .
![Page 16: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Тогда [ ] 2 2
0
( ) ( ) 1 ( ) 0,V y x y x y x dxπ
′⎡ ⎤= − ≥⎣ ⎦∫ что и требовалось доказать. Следовательно,
на функции 0 ( ) 0y x ≡ функционал достигает слабого минимума. Исследуем функционал на наличие сильного минимума. При 0ε > ε − окрестность
нулевого порядка функции 0 ( ) 0y x ≡ образуют функции, удовлетворяющие условию ( )y x ε< для всех [0, ]x π∈ . Но среди них можно подобрать такую функцию, например,
1( ) sin ,y x nxn
= что
[ ] ( )2 2 2 2
0 0 0
1 1 1( ) sin 1 cos sin sin 24
V y x nx n nx dx nxdx nxdxn n
π π π
= − = − =∫ ∫ ∫
( ) ( )0 0
1 11 cos 2 1 cos 4 02 8 2 8
nx dx nx dxn n
π π π π= − − − = − <∫ ∫ при 4.n >
Поэтому условие [ ] [ ]0( ) ( ) 0V y x V y x≥ = на некоторых функциях из ε − окрестности нулевого порядка функции 0 ( ) 0y x ≡ может не выполняться. Следовательно, на функции
0 ( ) 0y x ≡ функционал не достигает сильного минимума.
Пример 13. Рассмотрим функционал 1
2 2
1
[ ( )] ( )V y x x y x dx−
′= ∫ в классе функций
1{ ( ) [ 1,1] : ( 1) 1, (1) 1}.M y x C y y= ∈ − − = − = Имеем [ ( )] 0,V y x ≥ причем [ ( )] 0V y x = только при ( ) 0y x′ ≡ , т.е. при ( )y x c const≡ = .
Функция ( )y x c≡ принадлежит к классу функций 1[ 1,1]C − , но не удовлетворяет заданным краевым условиям. Следовательно, [ ( )] 0V y x > для всех ( )y x M∈ . Таким образом, функ-ционал имеет нижнюю грань, но она не достигается на кривых ( )y x M∈ . В самом деле, рассмотрим однопараметрическое семейство кривых
( ) , 0.1
xarctgy x
arctgα
α α
α
= >
Эти кривые удовлетворяют краевым условиям ( 1) 1, (1) 1.y yα α− = − = В пределе при 0α → получим функцию
1, 1 0,( ) 0, 0,
1, 0 1
xy x x
x
− − ≤ <⎧⎪= =⎨⎪ < ≤⎩
или ( ) sgny x x= .
Эта функция принадлежит к классу функций, кусочно-непрерывных на отрезке [ 1,1]− .
Имеем 1 12 2
2 22 2 2 2 21 0
2 2 1[ ( )] 1 .1 1 1( )
x dx x dxV y x arctgxx arctg arctg arctg
αα α α α
α ααα α α
−
⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠+∫ ∫
Ясно, что [ ( )] 0V y xα → при 0α → . На предельной функции ( )y x , удовлетворяющей краевым условиям ( 1) 1, (1) 1y y− = − = , функционал принимает значение, равное нулю:
[ ( )] 0.V y x =
![Page 17: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Таким образом, функционал [ ( )]V y x достигает своего минимума на кривой ( ) sgny x x= , которая принадлежит к классу функций, кусочно-неперывных на отрезке
[ 1,1]− , но не принадлежит классу M . Получим необходимое условие экстремума. Теорема. Если функционал [ ( )],V y x имеющий вариацию (в смысле определения 6 или
6*), достигает максимума или минимума при 0 ( )у y x= , где 0 ( )y x - внутренняя точка об-ласти определения функционала, то
0[ ( )] 0.V y xδ = Доказательство. При фиксированных 0 ( )y x и уδ функционал 0[ ( ) ] ( )V y x уαδ ϕ α+ =
является функцией параметра α . При 0α = функционал достигает экстремального зна-чения 0[ ( )]V y x . Заметим, что α может принимать в окрестности точки 0α = как положи-тельные, так и отрицательные значения (в силу того, что 0 ( )y x является внутренней точ-кой области определения функционала). Так как точка 0α = является точкой локального экстремума функции ( )ϕ α , то, применяя необходимое условие локального экстремума функции, получаем
(0)ϕ′ = [ ]0 0 0( ) 0, т.е. [ ( )] 0V y x y V y xαδ δα =∂
+ = =∂
.
Теорема доказана. При выводе необходимого условия экстремума 0Vδ = не имело существенного зна-
чения различие между сильным и слабым экстремумом, но оно является существенным при изучении достаточных условий экстремума.
Все введенные определения и теорема почти без всякого изменения переносятся на функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функций, или зависящие от одной или нескольких функций многих переменных.
![Page 18: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/18.jpg)
18
III. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим множество M допустимых функций (кривых)
( )у х , удовлетворяющих следующим условиям: а) функции ( )у х определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке 0 1[ , ],x x где
0х и 1х заданы, т.е. 10 1( ) [ , ]у х С x x∈ ;
б) функции ( )у х удовлетворяют граничным условиям 0 0 1 1( ) , ( ) ,у х у у х у= = (9)
где значения 0 1,у у заданы, т.е. кривые проходят через две закрепленные граничные точ-ки.
На множестве M задан функционал
1
0
[ ( )] ( , ( ), ( )) ,x
x
V y x F x y x y x dx′= ∫ (10)
где подынтегральная функция ( , , )F x y y′ имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых кривых ( )у х , принадлежащих множеству ,M требуется найти кривую 0 ( )у х , на которой функционал (10) достигает экстремума. Так как на кривые
( )у х , образующие множество ,M не наложено никаких дополнительных условий, кроме граничных, задача отыскания кривой, на которой функционал (10) достигает экстремума, называется задачей поиска безусловного экстремума.
2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА. Обозначим через 0 ( )у х кривую, на кото-
рой достигается экстремум функционала (10). Рассмотрим допустимую кривую, опреде-ляемую соотношением
0( ) ( ) ,у х у х уαδ= + где [ ]1
0 1,у C x xδ ∈ - фиксированная вариация кривой, 0 1( ) ( ) 0,у x у xδ δ= = α - числовой параметр. Тогда функционал [ ( )]V y x на допустимой кривой принимает вид
1
0
0 0[ ( ) ] ( , ( ) , ( ) ) ( ),x
x
V y x у F x y x у y x у dxαδ αδ αδ ϕ α′ ′+ = + + =∫
где ( )ϕ α - функция числового параметра α . Используя определение 6* вариации функционала, получим
1
0
1
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
[ ( )] (0) ( , ( ) , ( ) )
( , ( ) , ( ) ) ( , ( ) , ( ) )
x
x
x
y yx
V y x F x y x у y x у dx
F x y x у y x у y F x y x у y x у у dx
α
α α
δ ϕ αδ αδα
αδ αδ δ αδ αδ δ
=
′= =
∂′ ′ ′= = + + =∂
⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′= + + + + + =⎣ ⎦
∫
∫
1
0
0 0 0 0( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) .x
y yx
F x y x y x y F x y x y x y dxδ δ′′ ′ ′⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫
В силу необходимого условия экстремума функционала справедлива Теорема 1. Для того, чтобы функция 0 ( )у х из класса M доставляла минимум (мак-
симум) функционалу (10), необходимо, чтобы
1
0
0 0 0 0 0[ ( )] [ ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ] 0x
y yx
V y x F x y x y x y F x y x y x y dxδ δ δ′′ ′ ′= + =∫ (11)
![Page 19: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/19.jpg)
19
для любой функции 10 1[ , ],у С x xδ ∈ для которой 0 1( ) 0, ( ) 0у х у хδ δ= = .
3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАГРАНЖА И ДЮ-БУА-РЕЙМОНДА. Под знаком интеграла в вы-
ражении первой вариации (11) имеем линейную функцию от уδ и уδ ′ . Интегрируя по частям, можно преобразовать вариацию 0[ ( )]V y xδ так, чтобы под знаком интеграла была линейная функция только от уδ (так называемое преобразование Лагранжа) или уδ ′ (пре-образование Дю-Буа-Реймонда).
Преобразование Лагранжа производится следующим образом: интегрируем в (11) второе слагаемое по частям
0 0 0 0( , ( ), ( )), ( , ( ), ( )) ,
( ) ,
y ydu F x y x y x du F x y x y x dxdx
dv y dx y dx v yδ δ δ
′ ′⎡ ⎤′ ′= =⎢ ⎥⎢ ⎥
′ ′= = =⎣ ⎦
,
тогда
1 1
1
0
0 0
0 0 0 0 0 0( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))x x
xy y x y
x x
dF x y x y x y dx F x y x y x у F x y x y x ydxdx
δ δ δ′ ′ ′′ ′ ′ ′= − =∫ ∫
1
0
0 0( , ( ), ( )) .x
yx
d F x y x y x ydxdx
δ′′ ′= −∫
Следовательно,
1
0
0 0 0 0 0[ ( )] ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) .x
y yx
dV y x F x y x y x F x y x y x ydxdx
δ δ′⎡ ⎤′ ′ ′ ′= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (12)
Заметим, что мы считали, что функция 0 ( )у х обладает непрерывной производной. Однако функцию 0 ( )у х′ мы не считали дифференцируемой, поэтому преобразование Ла-гранжа a priori незаконно, так как функция 0 0( , ( ), ( ))yF x y x y x′ ′ возможно не является диф-ференцируемой.
Чтобы устранить добавочную гипотезу о существовании второй производной 0 ( )у х′′ , Дю-Буа-Реймонд дал другое преобразование вариации. Именно, обозначая
0
0 0( ) ( , ( ), ( )) ,x
yx
N x F s y s y s ds′= ∫
имеем
0
1
0 0 0( )[ ( )] ( , ( ), ( )) .
x
yx
dN xV y x y F x y x y x y dxdx
δ δ δ′⎡ ⎤′ ′ ′= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫
Интегрируя по частям первое слагаемое
, ( ) ,
( ) , ( )
u y du y dx y dxdN xdv dx v N x
dx
δ δ δ′ ′= = =⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎣ ⎦
,
получаем
1 1
10
0 0
0 0 0[ ( )] ( ) ( ) ( , ( ), ( ))x x
xyx
x x
V y x N x y N x y dx F x y x y x y dxδ δ δ δ′′ ′ ′= − + =∫ ∫
1
0
0 0[ ( , ( ), ( )) ( )] .x
yx
F x y x y x N x y dxδ′ ′ ′= −∫ (13)
Это преобразование не требует дополнительных гипотез о структуре функции 0 ( )у х .
![Page 20: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/20.jpg)
20
4. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА. Лемма Лагранжа. Пусть непрерывная функция ( )M x такова, что для любой функ-
ции 10 1( ) [ , ]x C x xη ∈ , обращающейся в нуль в точках 0x и 1x , справедливо равенство
1
0
( ) ( ) 0.x
x
M x x dxη =∫
Тогда ( ) 0M x ≡ на 0 1[ , ]x x . Доказательство. Предположим противное. Пусть в некоторой точке 0 1[ , ]c x x∈ функ-
ция ( ) 0M c ≠ , например, ( ) 0M c > . Отсюда в силу непрерывности ( )M x при достаточно
большом n можно построить отрезок ,x xnπ⎡ ⎤+ ⊂⎢ ⎥⎣ ⎦
0 1[ , ]x x , содержащий точку c , на кото-
ром ( )M x больше некоторого положительного числа m . Определим функцию 0 ( )xη сле-дующим образом:
2
0
0 1
sin ( ) при , ,( )
0 при [ , ] \ , .
n x x x x xn
xx x x x x
n
π
ηπ
⎧ ⎡ ⎤− ∈ +⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎡ ⎤⎪ ∈ +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
Функция 0 ( )xη обладает непрерывной производной и, кроме того, 0 0 1 1( ) ( ) 0.x xη η= =
Следовательно, мы должны были бы иметь 1
0
0( ) ( ) 0,x
x
M x x dxη =∫ однако
1
0
2 20( ) ( ) ( )sin ( ) sin ( )
x xx n n
x x x
M x x dx M x n x x dx m n x x dx
π π
η+ +
= − > − =∫ ∫ ∫
2sin (1 cos 2 ) 0.2 2
0 0
n nm mm nsds ns dsn
π π
π= = − = >∫ ∫
Итак, гипотеза о том, что ( ) 0M x ≠ в какой-либо точке отрезка 0 1[ , ],x x ведет к про-тиворечию. Лемма доказана.
Применив эту лемму к вариации
1
0
0 0 0 0 0[ ( )] ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ,x
y yx
dV y x F x y x y x F x y x y x ydxdx
δ δ′⎡ ⎤′ ′= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫
которая должна в случае экстремума обращаться в нуль для произвольной непрерывно дифференцируемой функции yδ такой, что 0 1( ) ( ) 0,y x y xδ δ= = Лагранж получил
0 0 0 0( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) 0y ydF x y x y x F x y x y xdx ′′ ′− ≡ на 0 1[ , ].x x
Таким образом, функция 0 ( )y x , дающая экстремум функционалу [ ( )],V y x является решением дифференциального уравнения
( , , ) ( , , ) 0.y ydF x y y F x y ydx ′′ ′− =
Это уравнение называется уравнением Эйлера (впервые опубликовано в 1744 году). Вывод Лагранжа уравнения Эйлера содержит неточность, которую мы отметили при
определении преобразования Ланранжа.
![Page 21: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Лемма Дю-Буа-Реймонда. Пусть непрерывная функция ( )M x такова, что для лю-бой функции 1
0 1( ) [ , ]x C x xη ∈ , для которой 0 1( ) ( ) 0,x xη η= = справедливо равенство 1
0
( ) ( ) 0.x
x
M x x dxη′ =∫
Тогда ( )M x постоянна на всем отрезке 0 1[ , ].x x Доказательство. Предположим противное. Пусть ( )M x не постоянна, тогда на отрез-
ке 0 1[ , ]x x существует по крайней мере две точки 1c и 2c , в которых функция ( )M x при-нимает неравные значения, например, 1 2( ) ( ).M c M c> Пусть 1d и 2d - пара чисел, удовле-творяющих неравенству 1 1 2 2( ) ( ).M c d d M c> > > При достаточно большом n можно
построить пару непересекающихся отрезков ,a anπ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
и ,b bnπ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
, заключенных в от-
резке 0 1[ , ]x x и таких, что в отрезке ,a anπ⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦
имеет место неравенство 1( ) ,M x d> а на
другом из выбранных отрезков 2( ) .M x d< Определим функцию ( )xξ следующим обра-зом:
2
2
0 1
sin ( ) при , ,
( ) sin ( ) при , ,
0 в остальных точках отрезка [ , ].
n x a x a an
x n x b x b bn
x x
π
πξ
⎧ ⎡ ⎤− ∈ +⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪ ⎡ ⎤= − − ∈ +⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪⎪⎪⎩
Функция 0
0 ( ) ( )x
x
x s dsη ξ= ∫ обладает непрерывной производной ( )xξ и, кроме того,
0 0( ) 0,xη =
1
0
2 2 2 20 1
0 0
( ) ( ) sin ( ) sin ( ) sin sin 0.a bx n n n n
x a b
x s ds n x a dx n x b dx nsds nsds
π π π π
η ξ+ +
= = − − − = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Следовательно, функция 0 ( )xη удовлетворяет условиям леммы, а значит должно вы-полняться равенство
1
0
0( ) ( ) 0.x
x
M x x dxη′ =∫
Но, с другой стороны,
1
0
2 2 20 1 2
0
( ) ( ) ( )sin ( ) ( )sin ( ) ( ) sina bx n n n
x a b
M x x dx M x n x a dx M x n x b dx d d nsds
π π π
η+ +
′ = − − − > − =∫ ∫ ∫ ∫
1 2 1 2
0
( )(1 cos 2 ) 0.2 2
nd d d dnx dxn
π
π− −= − = >∫
Итак, предположение, что функция ( )M x не постоянна, приводит к противоречию. Лемма доказана.
На основании леммы Дю-Буа-Реймонда из (11) и (13) на отрезке 0 1[ , ]x x получаем
![Page 22: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/22.jpg)
22
0 0( , ( ), ( )) ( )yF x y x y x N x c′ ′ − ≡ − интегральная форма уравнения Эйлера.
Функция 0
0 0( ) ( , ( ), ( ))x
yx
N x F s y s y s ds′= ∫ обладает на 0 1[ , ]x x непрерывной производной
0 0( ) ( , ( ), ( ))yN x F x y x y x′ ′= . Следовательно, обладает непрерывной производной по x также функция 0 0( , ( ), ( )) ( ) :yF x y x y x c N x′ ′ = +
0 0 0 0( , ( ), ( )) ( ) ( , ( ), ( )),y yd F x y x y x N x F x y x y xdx ′ ′ ′ ′= =
откуда
0 0 0 0( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) 0y ydF x y x y x F x y x y xdx ′′ ′− ≡ на 0 1[ , ].x x
Итак, мы получили, что функция 0 ( )y x удовлетворяет уравнению Эйлера, доказав при этом дифференцируемость функции 0 0( , ( ), ( )),yF x y x y x′ ′ т.е. обосновав преобразование Лагранжа.
Покажем теперь, что 0 ( )y x′′ существует и непрерывна во всякой точке кривой, в ко-
торой 0.y yF ′ ′ ≠ Пусть в некоторой точке ( , )x y кривой 0 ( )y y x= имеем 0.y yF ′ ′ ≠ При переходе от
точки с абсциссой x этой кривой к точке с абсциссой x x+ Δ функции 0 ( )y x и 0 ( )y x′ по-лучают приращения yΔ и ,y′Δ которые вследствие непрерывности функций 0 ( )y x и
0 ( )y x′ стремятся к нулю вместе с xΔ . Имеем
0 0 0( , ( ), ( )) lim ,y xy yy y yx
d y yF x y x y x F F Fdx x x′ ′ ′ ′ ′
Δ →
′Δ Δ⎛ ⎞′ = + +⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
где вторые производные , ,xy yy y yF F F′ ′ ′ ′ (с чертами наверху) означают значения этих функ-ций при аргументах
1 0 2 0 3, ( ) , ( ) ,x x y x y y x yθ θ θ′ ′+ Δ + Δ + Δ где 1, 1,3.i iθ < = При 0xΔ → эти производные стремятся соответственно к
0 0( , ( ), ( )),xyF x y x y x′ ′ 0 0( , ( ), ( )),yyF x y x y x′ ′ 0 0( , ( ), ( ))y yF x y x y x′ ′ ′ и, следовательно,
0 0 0 0 0 0 0 0 00( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ) lim ( , ( ), ( )),y xy yy yyx
d yF x y x y x F x y x y x F x y x y x y x F x y x y xdx x′ ′ ′ ′
Δ →
′Δ′ ′ ′ ′ ′= + +Δ
отсюда
0 0 0 0 0 0 0
00 0
( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( )lim .
( , ( ), ( ))
y xy yy
xy y
d F x y x y x F x y x y x F x y x y x y xy dxx F x y x y x
′ ′ ′
Δ →′ ′
′ ′ ′ ′− −′Δ=
′Δ
Итак, 0 ( )y x′′ существует и непрерывна во всякой точке кривой 0 ( ),y y x= в которой 0.y yF ′ ′ ≠ Точки кривой 0 ( ),y y x= в которых 0,y yF ′ ′ ≠ называются регулярными.
Мы можем теперь полностью сформулировать доказанную теорему. Теорема 2. Если функция 0 ( )y x класса M дает экстремум функционалу (10), то
функция 0 ( )y x удовлетворяет уравнению Эйлера
![Page 23: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/23.jpg)
23
( , , ) ( , , ) 0y ydF x y y F x y ydx ′′ ′− =
и 0 ( )y x′′ существует и непрерывна во всех точках ,x для которых 0 0( , ( ), ( )) 0.y yF x y x y x′ ′ ≠ Уравнение Эйлера в развернутом виде имеет вид: ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0,y xy yy y yF x y y F x y y F x y y y F x y y y′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′′− − − =
т.е. является дифференциальным уравнением второго порядка при ' ' 0y yF ≠ . Интегральные кривые 1 2( , , )y y x c c= уравнения Эйлера называются экстремалями.
Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала (10). Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (10), интегрируем
уравнение Эйлера и определяем обе постоянные, входящие в общее решение этого урав-нения, из условий на границе 0 0 1 1( ) , ( ) .y x y y x y= = Только на удовлетворяющих этим ус-ловиям экстремалях может реализовываться экстремум функционала. Однако для того, чтобы установить, реализуется ли на них в действительности экстремум, и притом макси-мум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума.
Напомним, что краевая задача
0 0 1 1( , , ) ( , , ) 0, ( ) , ( )y ydF x y y F x y y y x y y x ydx ′′ ′− = = =
не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно может быть не единствен-ным.
Отметим, что во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи, и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то эта единственная экстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи.
Пример 1. Найти экстремаль функционала
( )1
2 2 2
1
[ ( )] ( ) 4 ( ) 8 ( ) 2 ,V y x y x y x xy x x dx−
′= + − +∫
удовлетворяющую граничным условиям ( 1) 3, (1) 1.y y− = = Составим уравнение Эйлера. Так как 2 2 24 8 2F y y xy x′= + − + , то
8 8 , 2 , 2 ,y y ydF x y F y F ydx′ ′′ ′′= − + = = получаем
8 8 2 0 4 4 .x y y y y x′′ ′′− + − = ⇒ − = − Найдем общее решение этого уравнения. Определим решение однородного уравнения 4 0.y y′′ − = Корни характеристического
уравнения 2 4 0λ − = действительные различные: 1 22, 2.λ λ= − = Поэтому 2 2
1 2( ) .x xooy x c e c e−= +
Подберем частное решение неоднородного уравнения в виде ( ) ,чy x Ax B= + тогда ( ) , ( ) 0.ч чy x A y x′ ′′= = Подставляя в неоднородное уравнение, получаем 4( ) 4 ,Ax B x− + = −
откуда 1, 0.A B= = Поэтому ( ) .чy x x= Тогда общее решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнения:
2 21 2( ) .x xy x x c e c e−= + +
Определим постоянные 1c и 2c из граничных условий:
2 2 2 2 6 2
1 2 1 2 2 22 2 4 4
1 2 1 2 1 2
1 3, 4, 4,1 1
c e c e c e c e c e c ec e c e c c e c c e
− − −
−
⎧⎧ ⎧− + + = + = − + =⎪⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨+ + = = − = −⎪⎩ ⎩⎩
![Page 24: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/24.jpg)
24
( )2
2 6 2 82
641 2
1 8
4 ,4, 14 .
1
ecc e e eec c e c
e
−⎧
= −⎪⎧ − =⎪ ⎪ −⇒ ⇒⎨ ⎨= −⎪ ⎪⎩ =⎪ −⎩
В результате получаем экстремаль 6 2
2 20 8 8
4 4( ) .1 1
x xe ey x x e ee e
−= + −− −
Пример 2. Найти экстремаль функционала ( )2
2 2
0
[ ( )] ( ) ( ) ,V y x y x y x dx
π
′= −∫ удовлетво-
ряющую граничным условиям (0) 1, 0.2
y y π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
Составим уравнение Эйлера. Так как 2 2 ,F y y′= − 2 , 2 ,y yF y F y′′= − = 2 ,y
d F ydx ′ ′′=
получаем 2 2 0y y′′− − = или 0.y y′′ + = Найдем общее решение этого уравнения. Поскольку оно является однородным с по-
стоянными коэффициентами, то составим характеристическое уравнение 2 1 0.λ + = Его корни 1,2 iλ = ± - комплексно сопряженные. Поэтому решение уравнения Эйлера имеет вид
1 2( ) cos sin .y x c x c x= + Определим постоянные 1c и 2c из граничных условий:
1 21, 0.c c= = Отсюда получаем экстремаль 0 ( ) cos .y x x= 5. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА. Заметим, что уравнение Эйлера не всегда
интегрируется в квадратурах. Поэтому важно выявить такие случаи, когда интегрирование в квадратурах возможно. Рассмотрим некоторые из них.
Случай 1. F не зависит от : ( , ).y F F x y′ = Уравнение Эйлера имеет вид ( , ) 0,yF x y = так как 0.yF ′ ≡ Решение полученного не
дифференциального уравнения не содержит элементов произвола, поэтому, вообще гово-ря, не удовлетворяет граничным условиям 0 0 1 1( ) , ( ) .y x y y x y= =
Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая, определяемая уравнением
( , ) 0,yF x y = проходит через граничные точки 0 0( , )x y и 1 1( , ),x y существует функция, на которой может достигаться экстремум функционала.
Пример 3. Найти экстремаль функционала ( )1
0
2[ ( )] ( ) 2 ( ) ,x
x
V y x y x xy x dx= +∫ удовле-
творяющую граничным условиям 0 0 1 1( ) , ( ) .y x y y x y= = Составим уравнение Эйлера и решим его. Уравнение имеет вид: 2 2 0yF y x= + = , от-
куда ( ) .y x x= − Задача имеет решение, если найденная прямая проходит через граничные точки, т.е. при 0 0 1 1, .y x y x= − = −
Пример 4. Найти экстремаль функционала
1
0
2[ ( )] ( ) ,x
x
V y x y x dx= ∫ удовлетворяющую
граничным условиям 0 0 1 1( ) , ( )y x y y x y= = .
![Page 25: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Уравнение Эйлера имеет вид 2 0y = или 0y = . Экстремаль ( ) 0y x ≡ проходит через граничные точки только при 0 1 0y y= = .
Если 0y = 0 и 1y = 0, то, очевидно, функция ( ) 0y x ≡ реализует минимум функциона-ла [ ( )]V y x , так как [ ( )] 0V y x ≥ , причем [ ( )] 0V y x = при ( ) 0y x ≡ .
Если же хотя бы одно из значений 0y или 1y не равно нулю, то минимум функционала на непрерыв-ных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать последовательность непрерывных функций ( )ny x , графики которых состоят из все бо-лее и более круто спускающейся из точки 0 0( , )x y к оси абсцисс дуги кривой, затем из отрезка оси абс-цисс, почти совпадающего со всем промежутком ( 0 1,x x ), и, наконец, возле точки 1x круто поднимаю-щейся к точке 1 1( , )x y дуги кривой. Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функ-ционала сколь угодно мало отличаются от нуля и, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако, эта нижняя грань не может дос-тигаться на непрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой ( )y y x= , отличной от тождест-
венного нуля, интеграл 1
0
2 ( ) 0x
x
y x dx >∫ . Эта грань зна-
чений функционала достигается на разрывной функции
0 0
0 1
1 1
при ,( ) 0 при ( , ),
при .
y x xy x x x x
y x x
=⎧⎪= ∈⎨⎪ =⎩
Случай 2. F линейно зависит от : ( , ) ( , ) .y F M x y N x y y′ ′= + Уравнение Эйлера имеет вид:
( , ) ( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
M x y N x y dy N x yy y dx
M x y N x y N x y N x yy yy y x y
∂ ∂ ′+ − = ⇒∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂′ ′+ − − = ⇒∂ ∂ ∂ ∂
( , ) ( , ) 0,M x y N x yy x
∂ ∂⇒ − =
∂ ∂
но это, как и в предыдущем случае, не дифференциальное уравнение. Кривая, определяе-
мая уравнением ( , ) ( , ) 0,M x y N x yy x
∂ ∂− =
∂ ∂ вообще говоря, не удовлетворяет граничным ус-
ловиям, следовательно, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе не-прерывных функций.
Если же ( , ) ( , ) 0,M x y N x yy x
∂ ∂− ≡
∂ ∂ то выражение ( , ) ( , )M x y dx N x y dy+ является пол-
ным дифференциалом некоторой функции ( , )U x y и
y
x
A B
( )ny y x=
0x 1x
0y 1y
y
x
A B
0x 1x
0y
1y
![Page 26: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/26.jpg)
26
1 1 1
0 0 0
1 1
1 1 0 0
0 0
( , )
( , )
( , )
( , )
[ ( )] ( , ( )) ( , ( )) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ),
x x y
x x y
x y
x y
dyV y x M x y x N x y x dx M x y dx N x y dydx
dU x y U x y U x y
⎡ ⎤= + = + =⎢ ⎥⎣ ⎦
= = −
∫ ∫
∫
значение функционала [ ( )]V y x постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.
Пример 5. Найти экстремаль функционала ( )1
3 2
0
[ ( )] 2 ( ) 3 ( ) ,V y x y x x y x dx′= +∫ удовле-
творяющую граничным условиям 1(0) 0, (1) .y y y= = Уравнение Эйлера принимает вид 26 6 0y x− = или 2 .y x= Граничное условие (0) 0y = удовлетворяется, а условие 1(1)y y= выполняется при
21 1.y = Таким образом, экстремаль существует только тогда, когда 1 1y = 0( ( ) )y x x= или
1 01 ( ( ) ).y y x x= − = −
Пример 6. Найти экстремаль функционала
12 2
0
[ ( )] ( ( ) ( )) ,V y x y x x y x dx′= +∫ удовлетво-
ряющую граничным условиям
(0) 0, (1)y y a= = . Уравнение Эйлера имеет вид 2 2 0, откуда ( ) .y x y x x− = = Первое граничное условие (0) 0y = удовлетворяется, но второе граничное условие
удовлетворяется лишь при 1a = . Если же 1a ≠ , то экстремали, удовлетворяющей гранич-ным условиям, не существует.
Пример 7. Найти экстремаль функционала
( )2
2
6
[ ( )] ( )cos 2 ( ) ( )sin ,V y x y x x y x y x x dx
π
π
′= +∫
удовлетворяющую граничным условиям 1, 2.6 2
y yπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
В данном случае 2( , ) cos , ( , ) 2 sin .M x y y x N x y y x= = Так как ( , ) 2 cos ,M x y y xy
∂=
∂
( , ) 2 cos ,N x y y xx
∂=
∂ то ( , ) ( , ) .M x y N x y
y x∂ ∂
≡∂ ∂
Выражение под знаком интеграла является
полным дифференциалом функции 2( , ) sin .U x y y x= Величина функционала не зависит от пути интегрирования, а вариационная задача не имеет смысла. Значение функционала равно
( ),2 ,2
2 2 ,222 2 2
,16,1 ,1
6 6
1 7[ ( )] ( )cos 2 ( )sin sin sin 4 .2 2
V y x y x xdx y x xdy d y x y x
π ππ
ππ π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + = = = − =∫ ∫
Пример 8. Найти экстремаль функционала
1
0
[ ( )] ( ( ) ( )) ,x
x
V y x y x xy x dx′= +∫ удовлетво-
ряющую граничным условиям
0 0 1 1( ) , ( )y x y y x y= = . Уравнение Эйлера превращается в тождество 1 1 0− ≡ . Подынтегральное выражение
является полным дифференциалом (интеграл не зависит от пути интегрирования) и
![Page 27: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/27.jpg)
27
1 1 1 1
0 0 0 0
( , ) ( , )
1 1 0 0( , ) ( , )
[ ( )] ( ) ( )x y x y
x y x y
V y x ydx xdy d xy x y x y= + = = −∫ ∫
по какой бы кривой мы не интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла. Случай 3. F зависит лишь от : ( ).y F F y′ ′= Уравнение Эйлера имеет вид 0,y yF y′ ′ ′′ = так как 0.y xy yyF F F′ ′= = = Отсюда либо 0y′′ = либо 0.y yF ′ ′ = Если 0,y′′ = то 1 2y c x c= + - двухпараметрическое семейство прямых
линий. Если же уравнение ( ) 0y yF y′ ′ ′ = имеет один или несколько действительных корней ,iy k′ = то iy k x c= + и мы получаем однопараметрическое семейство прямых линий, со-
держащееся в полученном выше двухпараметрическом семействе 1 2 .y c x c= + Таким образом, в случае ( )F F y′= экстремалями являются всевозможные прямые
линии 1 2 .y c x c= +
Пример 9. Найти экстремаль функционала 3
2
1
[ ( )] 1 ( ) ,V y x y x dx′= +∫ удовлетворяю-
щую граничным условиям (1) 2, (3) 0.y y= = Общее решение уравнения Эйлера имеет вид: 1 2 .y c x c= + Определим коэффициенты
1c и 2c из граничных условий:
1 2
1 2
2,3 0.c cc c+ =⎧
⎨ + =⎩
Отсюда 1 21, 3.c c= − = В результате получаем экстремаль 0 ( ) 3.y x x= − + Случай 4. F зависит лишь от x и : ( , ).y F F x y′ ′=
Уравнение Эйлера приобретает вид ( , ) 0yd F x ydx ′ ′ = и, следовательно, имеет первый
интеграл 1( , ) ,yF x y c′ ′ = причем так как полученное уравнение первого порядка не содер-жит ,y то уравнение может быть проинтегрировано непосредственным разрешением от-носительно y′ и интегрированием или введением подходящим образом выбранного пара-метра.
Пример 10. Найти экстремаль функционала 2 2
1
1 ( )[ ( )] ,
y xV y x dx
x′+
= ∫ удовлетво-
ряющую граничным условиям (1) 3 3, (2) 3.y y= + = Уравнение Эйлера имеет первый интеграл
12.
1y
yF cx y
′
′= =
′+
Найдем общее решения уравнения Эйлера. Имеем 2
1
1, где .1cyx c
cy
′= =
′+ Сдела-
ем подстановку : sin .1cos
dy c tgpy tgp x c pdx
p
⋅′ = = = = Найдем дифференциал: cos .dx c pdp= С
учетом равенства dy tgp dx= получаем cos sin .dy tgp c pdp c pdp= ⋅ ⋅ = Интегрируя, полу-чим 2cos .y c p c= − +
Из системы
![Page 28: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/28.jpg)
28
2sin , cos ,x c p y c c p= − = −
возводя в квадрат каждое уравнение и складывая, находим ( )22 22x y c c+ − = - общий ин-
теграл уравнения Эйлера. Определим постоянные c и 2c из граничных условий:
( )
( )
22
2
2 22
1 3 3 ,
4 3
c c
c c
⎧ + + − =⎪ ⇒⎨⎪ + − =⎩ ( )
2 22 2 2 2 2
2 22
13 6 3 2 3 6 13 6 ,
4 3
c c c c c
c c
⎧ + + − − = − +⎪⎨
+ − =⎪⎩
22
3,4.
cc=⎧
⇒ ⎨ =⎩
В результате получаем экстремаль ( )22 3 4.x y+ − = Так как (1) 3 3,y = + экстремум
может достигаться лишь на кривой 20 ( ) 3 4 .y x x= + −
Пример 11. Найти экстремаль функционала
( )2
2 2 2
0
[ ( )] ( ) 4 ( ) sin ,xV y x y x y x e x dx′ ′= − +∫
удовлетворяющую граничным условиям (0) 1, (2) 2.y y= = − Уравнение Эйлера имеет первый интеграл 2
12 4 ,xyF y e c′ ′= − = откуда
21 2 .2
xcy e′ = +
Интегрируя, получаем
212.
2xcy x e c= + +
Определим постоянные 1c и 2c из граничных условий:
24
1 2
1 1,2.
cc e c+ =⎧
⎨ + + = −⎩
Отсюда 41 22 , 0.c e c= − − = В результате получаем экстремаль
42
0(2 )( ) 1.
2x e xy x e +
= − +
Случай 5. F зависит лишь от y и : ( , ).y F F y y′ ′= Уравнение Эйлера имеет вид ( , ) ( , ) ( , ) 0,y yy y yF y y F y y y F y y y′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′− − = так как 0.xyF ′ =
Если умножить почленно это уравнение на ,y′ то левая часть превращается в точную про-
изводную ( ).yd F y Fdx ′′−
Действительно,
( )2( ) .y y y y yy y y y yy y yd F y F F y F y y F y F y y F y F y F y Fdx ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′− = + − − − = − −
Следовательно, уравнение Эйлера имеет первый интеграл 1 ,yF y F c′′− =
причем, так как это уравнение первого порядка не содержит явно ,x оно может быть про-интегрировано, разрешая относительно y′ и разделяя переменные или используя метод введения параметра.
Пример 12. Найти экстремаль функционала 1
2
0
[ ( )] ( ) ( ) ,V y x y x y x dx′= ∫ удовлетворяю-
щую граничным условиям 3(0) 1, (1) 4.y y= = Уравнение Эйлера имеет первый интеграл 2 2
12yy yy c′ ′− = или
![Page 29: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/29.jpg)
29
21, где .yy c с c′ = = −
Найдем общее решение уравнения Эйлера. Введем подстановку .dyy pdx
′ = =
Тогда уравнение 2yy c′ = имеет вид 2 .yp c= Отсюда 2 .cyp
= Найдем дифференциал :dy
3
2 .cdy dpp
= − Тогда 4
2 .dy cdx dpp p
= = − Отсюда 323
2
2 2, .3 3 ( )
c cx c pp x c
= + =−
Так как
2 ,cyp
= то
2223 3
222
3
2
( )9 9( ) ( )4 42
3 ( )
x ccy x c x c ccc
x c
−= = = −
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠
- общее решение.
Определим постоянные c и 2c из граничных условий:
2 23 22 22 2
222 2 22 33 2 2 2 22
2
49 9 , 41, 1, ,94 4 99 (1 )9 (1 ) 4 4 3 2 1 0.(1 ) 4 44
cc c c c ccc
cc c c cc c c
⎧⎧ ⎧ = ⎧= = ⎪⎪ =⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨−⎪ ⎪ ⎪ ⎪− = = + − =− = ⎩⎪⎪ ⎪⎩⎩ ⎩
Окончательно имеем: 241,9
c c= − = или 21 , 4.3
c c= =
В результате получаем две экстремали: 230 ( ) ( 1)y x x= + и 23
0 ( ) (3 1) .y x x= −
Пример 13. Найти экстремаль функционала 2 2
0
1 ( )[ ( )] ,
( )y x
V y x dxy x′+
= ∫ удовлетво-
ряющую граничным условиям (0) 4, (2) 2.y y= = Уравнение Эйлера имеет первый интеграл
1
2 2
2
1
1
y y cy y y
′ ′+− =
′+ или 1
2 2
2
1 ,1y y c
y y
′ ′+ −=
′+
откуда
21
1, .1
cy ccy
= =′+
Введем подстановку tg ,y p′ = тогда cos .y c p= Найдем дифференциал :dy sin ,dy c pdp= − тогда tg sinpdx c pdp= − или cos ,dx c pdp= − откуда 2sin .x c p c= − + Ис-
ключая параметр ,p получаем семейство экстремалей 2 2 2
2( ) .x c y c− + = Определим постоянные ñ и 2c из граничных условий:
2 2 22
2 22 2
16 , 20,(2 ) 4 2.c c c
c c c⎧ ⎧+ = =⎪ ⇒⎨ ⎨
− + = = −⎪ ⎩⎩
Следовательно, учитывая, что (2) 2,y = получаем экстремаль 20 ( ) 16 4 .y x x x= − −
![Page 30: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Пример 14 (задача о брахистохроне). Найти экстремаль функционала 1 2
0
1 ( )1[ ( )] ,2 ( )
x y xT y x dx
g y x′+
= ∫ удовлетворяющую граничным условиям
(0) 0,y =
1 1( )y x y= . Уравнение Эйлера имеет первый интеграл 1yF y F c′′− = или в данном случае:
2 2 22
1 12 21
221
1 1 1(1 )1 1
1(1 ) , где .
y y y yy c c y ycy y y y y
y y c cc
′ ′ ′ ′+ + −′ ′− = ⇒ = ⇒ + = ⇒′ ′+ +
′+ = =
Введем параметр p, полагая y ctgp′ = , тогда получим 2
2 2 sin (1 cos 2 )1 1 2
c c cy c p py ctg p
= = = = −+ +
,
2
2 2
sin 2 2 sin (1 cos 2 )
sin 2 (2 sin 2 ) .2 2
dy c pdx dp c pdp c p dpy ctgp
p cx c p c p p c
= = = = − ⇒′
⎛ ⎞⇒ = − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
Следовательно, в параметрической форме уравнение искомой линии имеет вид
2(2 sin 2 ) , (1 cos 2 )2 2c cx p p c y p= − + = −
Если преобразовать параметр подстановкой 1 2p p= и принять во внимание, что кри-вая проходит через точку (0,0) (т.е. 2 0c = ), то мы получим уравнение семейства циклоид в обычной форме
1 1 1( sin ), (1 cos )x c p p y c p= − = − ,
где 2cc = - радиус катящегося круга, который определяется из условия прохождения через
точку 1 1( , )B x y . Итак, брахистохроной является дуга циклоиды. Замечание. Часто непосредственное применение уравнения Эйлера оказывается
проще использования первых интегралов. Пример 15. Найдем экстремали функционала из примера 2, воспользовавшись част-
ным случаем вида подынтегральной функции. Уравнение Эйлера имеет первый интеграл 1yF y F c′′− = или в данном случае
2 2 2 2 2 2 21 12 , где .y y y c y y c с с′ ′ ′− − = ⇒ + = =
Разрешая относительно ,y′ разделяя переменные и интегрируя, получим
2 2
22 2
2 1 2
arcsin
sin( ) sin cos .
dy yy c y dx x ccc y
y c x c y c x c x
′ = ± − ⇒ = ± ⇒ = ± + ⇒−
= ± + ⇒ = +
Кроме того, уравнение 2 2 2y y c′ + = имеет решение ,y const= которое не является решением уравнения Эйлера (см. пример 2), а приобретено в результате умножения на y′ при нахождении первого интеграла.
6. ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ. УСЛОВИЯ ЛЕЖАНДРА И ЯКОБИ. В случае функции одного или
нескольких переменных при обращении в нуль первого дифференциала для исследования знака приращения функции следует обратиться ко второму дифференциалу. Исследование
![Page 31: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/31.jpg)
31
второго дифференциала дает нам дополнительные необходимые условия для максимума и минимума (позволяющие, в частности, различать случай максимума от случая минимума), а также достаточные условия максимума или минимума. Аналогично поступают в случае функционалов.
Пусть задан функционал 1
0
[ ( )] ( , ( ), ( ))x
xV y x F x y x y x dx′= ∫ на кривых класса .M Рас-
смотрим допустимую кривую 0( ) ( ) ,y x y x yδ= + где 0 1( ) ( ) 0,y x y xδ δ= = и найдем прира-щение функционала [ ( )]V y x при переходе от кривой 0 ( ),y x на которой реализуется экс-тремум, к допустимой кривой ( ).y x Для этого разложим подынтегральную функцию
( , , ')F x y y в ряд Тейлора в точке '0 0( , ( ), ( ))x y x y x :
( )1
00 0 0 0 0[ ( )] [ ( )] ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))
x
y yx
V y x V y x F x y x y x y F x y x y x y dxδ δ′′ ′ ′− = + +∫
( )1
0
2 21 ( ) 2 ( ) ,2
x
yy yy y yx
F y F y y F y dxδ δ δ δ′ ′ ′′ ′+ + +∫ (14)
где 0 1 0 2 ' 0 1 0 2
' ' ' 0 1 0 2 1 2
( , ( ) , ( ) ), ( , ( ) , ( ) ),
( , ( ) , ( ) ), 1, 1.yy yy yy yy
y y y y
F F x y x y y x y F F x y x y y x y
F F x y x y y x y
θ δ θ δ θ δ θ δ
θ δ θ δ θ θ′
′
′ ′ ′ ′= + + = + +
′ ′= + + < <
При достаточно малых yδ и yδ ′ имеем
0 0 1 0 0 2 0 0 3( , ( ), ( )) , ( , ( ), ( )) , ( , ( ), ( )) ,yy yy yy yy y y y yF F x y x y x F F x y x y x F F x y x y xε ε ε′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′= + = + = +
где 1,3
max iiε
= стремится к нулю, когда 1
0 1[ , ]|| ||
C x xyδ стремится к нулю.
Следовательно,
( )
( )
1
0
1
0
0 0 0 0 0
2 20 0 0 0 0 0
[ ( )] [ ( )] ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))
1 ( , ( ), ( ))( ) 2 ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))( ) ,2
x
y yx
x
yy yy y yx
V y x V y x F x y x y x y F x y x y x y dx
F x y x y x y F x y x y x y y F x y x y x y dx
δ δ
δ δ δ δ ε
′
′ ′ ′
′ ′ ′− = + +∫
′ ′ ′ ′ ′+ + + +∫
где ( )1
0
2 21 2 3
1 ( ) 2 ( )2
x
xy y y y dxε ε δ ε δ δ ε δ′ ′= + +∫ - величина более высокого порядка малости,
чем 2|| || ,yδ при || || 0.yδ → Определение 1. Выражение
( )1
0
2 20 0 0 0 ' ' 0 0( , ( ), ( ))( ) 2 ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( ))( )
x
yy yy y yx
F x y x y x y F x y x y x y y F x y x y x y dxδ δ δ δ′′ ′ ′ ′ ′+ +∫ (15)
называется второй вариацией функционала 0[ ( )]V y x и обозначается 20[ ( )]V y xδ .
Таким образом,
20 0 0
1[ ( )] [ ( )] [ ( )] .2
V y x V y x V y xδ δ εΔ = + + (16)
Теорема 1. Если функция 0 ( )y y x= из класса M реализует минимум (максимум), функционала [ ( )]V y x , то для любой функции 1
0 1[ , ],y C x xδ ∈ удовлетворяющей нулевым граничным условиям 0 1( ) ( ) 0,y x y xδ δ= = вторая вариация 2
0[ ( )]V y xδ неотрицательна (соответственно неположительна).
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай минимума. Предположим противное: для некоторой функции yδ имеет место неравенство 2
0[ ( )] 0.V y xδ < Рассмот-рим семейство функций 0 ( ) .y x yαδ+ Тогда
![Page 32: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/32.jpg)
32
[ ] [ ] 2 20 0 0 0
1( ) ( ) [ ( )] [ ( )] ,2
V y x y V y x V y x V y xαδ αδ α δ ε+ − = + +
где ε - величина более высокого порядка малости по сравнению с 2α при 0.α → Так как по условию кривая 0 ( )y y x= реализует минимум функционала [ ( )]V y x , то 0[ ( )] 0V y xδ = и, следовательно, знак правой части при достаточно малых α совпадает со знаком
20[ ( )]V y xδ , т.е.
[ ] [ ]0 0( ) ( ) 0,V y x y V y xαδ+ − < что противоречит определению минимума. Теорема доказана.
Установим несколько необходимых условий неотрицательности (неположительно-
сти) квадратичного функционала
1
0
2 2 ' ' 20[ ( )] [ ( )( ) 2 ( ) ( )( ) ] [ ],
x
x
V y x M x y N x y y P x y dx W yδ δ δ δ δ δ= + + =∫ (17)
где 0 0 0 0 0 0( ) ( , ( ), ( )), ( ) ( , ( ), ( )), ( ) ( , ( ), ( )).yy yy y yM x F x y x y x N x F x y x y x P x F x y x y x′ ′ ′′ ′ ′= = = I. Условие Лежандра. Теорема 2. Для того, чтобы квадратичный функционал (17) был неотрицательным
(неположительным) для любой функции yδ класса 10 1[ , ]C x x , для которой
0 1( ) ( ) 0,y x y xδ δ= = необходимо, чтобы на отрезке 0 1[ , ]x x выполнялось неравенство ( )( ) 0 ( ) 0 .P x P x≥ ≤ (18)
Доказательство. Допустим, что для некоторого 0 1[ , ]x x x∈ имеем ( ) 2 , 0P x p p= − > . В таком случае, в силу непрерывности функции ( )P x , на некотором сегменте
,a anπ⎡ ⎤+ ⊂⎢ ⎥⎣ ⎦
0 1[ , ]x x , содержащем точку x , выполняется неравенство ( )P x p< − .
Обозначим через { }0 1 0 1[ , ] [ , ]
max max | ( ) |, max | ( ) |x x x x x x
m M x N x∈ ∈
= и рассмотрим функцию yδ :
2
0 1
sin ( ) при , ,
0 при [ , ] \ , .
n x a x a an
yx x x a a
n
π
δπ
⎧ ⎡ ⎤− ∈ +⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦= ⎨⎡ ⎤⎪ ∈ +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
(19)
Функция yδ принадлежит классу 10 1[ , ]С x x , обращается в нуль на концах отрезка
0 1[ , ]x x и 1
0
2 2
4 2 2 2
[ ( )( ) 2 ( ) ( )( ) ]
( )sin ( ) 2 ( )sin ( )sin 2 ( ) ( ) sin 2 ( )
2 .
x
x
an
a
M x y N x y y P x y dx
M x n x a nN x n x a n x a P x n n x a dx
m m p nn
π
δ δ δ δ
π π π
+
′ ′+ + =
⎡ ⎤= − + − − + − <⎣ ⎦
< + −
∫
∫
При достаточно малом n выражение 2m m p nnπ π π+ − становится отрицательным.
Выбрав соответственно n и подставив его в (19), получим функцию yδ , для которой 1
0
2 2[ ( )( ) 2 ( ) ( )( ) ] 0x
x
M x y N x y y P x y dxδ δ δ δ′ ′+ + <∫ ,
![Page 33: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/33.jpg)
33
что противоречит условию теоремы. Условие Лежандра. Для того, чтобы на экстремали 0 ( )y y x= достигался минимум
(максимум) функционала 1
0
[ ( )] ( , ( ), ( ))x
xV y x F x y x y x dx′= ∫ , необходимо, чтобы выполнялось
неравенство ( )0 0 0 0( , ( ), ( )) 0 ( , ( ), ( )) 0 .y y y yF x y x y x F x y x y x′ ′ ′ ′′ ′≥ ≤ Для доказательства достаточно вспомнить, что необходимым условием минимума
(максимума) является неотрицательность (неположительность) второй вариации, и при-менить только что доказанную теорему.
II. Условие Якоби. Предположим, что функция ( , , )F x y y′ имеет непрерывные част-
ные производные до третьего порядка включительно. Тогда выражение второй вариации можно несколько упростить. Так как 0 1( ) ( ) 0у x у xδ δ= = и
10
1 1 2 20 0 0 0 0 0
0 0
1 12 20 0 0 0
0 0
2 ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )) ( ) ( , ( ), ( ))( )
( , ( ), ( ))( ) ( , ( ), ( ))( ) ,
x xx
yy yy yy xx x
x x
yy yyx x
F x y x y x y y dx F x y x y x d y F x y x y x y
d dF x y x y x y dx F x y x y x y dxdx dx
δ δ δ δ
δ δ
′ ′ ′
′ ′
′ ′ ′ ′= = −∫ ∫
′ ′− = −∫ ∫
то
( )12 2 2
0
0
[ ( )] ( )( ) ( )( ) [ ],x
V y x Q x y P x y dx W yx
δ δ δ δ′= + =∫ (20)
где
0 0 0 0 0 0( ) ( , ( ), ( )) ( , ( ), ( )), ( ) ( , ( ), ( )).yy yy y ydQ x F x y x y x F x y x y x P x F x y x y xdx ′ ′ ′′ ′ ′= − =
Запишем для квадратичного функционала [ ]W yδ уравнение Эйлера:
2 ( ) [2 ( ) ] 0 ( ) [ ( ) ] 0.d dQ x y P x y Q x y P x ydx dx
δ δ δ δ′ ′− = ⇒ − = (21)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнению (21) и гра-ничным условиям 0 1( ) ( ) 0y x y xδ δ= = удовлетворяет, очевидно, функция ( ) 0.y xδ ≡ Одна-ко это уравнение может, вообще говоря, иметь и другое решение, удовлетворяющее тем же граничным условиям.
Определение 2. Точка x называется сопряженной с точкой 0 ,x если уравнение (21) имеет решение, не тождественно равное нулю, обращающееся в нуль при 0x x= и при
.x x= Замечание. Если yδ - некоторое ненулевое решение уравнения (21), удовлетво-
ряющее условиям 0 1( ) ( ) 0,y x y xδ δ= = то и ,c yδ⋅ где 0,c const= ≠ будет также решением. Поэтому мы можем для определенности наложить на yδ некоторое условие нормировки, например, 0( ) 1y xδ ′ = (если yδ ≡ 0 и 0( ) 0,y xδ = то 0( ) 0y xδ ′ ≠ ).
Теорема 3. Если квадратичный функционал (22) неотрицателен (неположителен) для любой функции yδ класса 1
0 1[ , ]C x x , для которой 0 1( ) ( ) 0,y x y xδ δ= = то решение уравнения (21), удовлетворяющее начальным условиям 0 0( ) 0, '( ) 1,y x y xδ δ= = не обраща-ется в нуль ни в какой точке интервала 0 1( , ).x x
Доказательство. Если функционал (23) неотрицателен, то квадратичный функционал
( )1
0
2 2 2( )( ) ( )( ) ( ) (1 )x
xQ x y P x y t y t dxδ δ δ⎡ ⎤′ ′+ + −∫ ⎣ ⎦ (24)
![Page 34: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/34.jpg)
34
положительно определен при всех ,t кроме, может быть, 1.t = Рассмотрим, далее, отве-чающее функционалу (24) уравнение Эйлера
[ ]( )( ) ( ) (1 ) 0dtQ x y tP x t ydx
δ δ ′− + − = (25)
и пусть ( , )h x t – решение этого уравнения такое, что 0 0( , ) 0, ( , ) 1.xh x t h x t= = Это решение представляет собой непрерывную функцию параметра .t При 1t = оно переходит в реше-ние yδ уравнения (21), удовлетворяющее условиям 0 0( ) 0, ( ) 1,y x y xδ δ ′= = а при 0t = – в удовлетворяющее тем же начальным условиям решение уравнения ( ) 0,yδ ′′ = т.е. в функ-цию 0.h x x= −
Заметим, что если ( , ) 0h x t = в некоторой точке ( , ),x t то в этой точке ( , ) 0.xh x t ≠ Действительно, ( , )h x t при каждом фиксированном t удовлетворяет уравнению (25), и ес-ли бы равенства ( , ) 0h x t = и ( , ) 0xh x t = выполнялись одновременно, то в силу теоремы единственности решения для дифференциальных уравнений было бы ( , ) 0h x t = при всех
0 1[ , ],x x x∈ что невозможно, так как по условию 0( , ) 1xh x t = при всех [0,1].t∈ Допустим теперь, что на интервале 0 1( , )x x есть точка, сопряженная с 0 ,x т.е. функ-
ция ( ,1)h x обращается в нуль в некоторой точке ,x лежащей в интервале 0 1( , )x x .
Рассмотрим совокупность всех точек ( , ),x t удовлетворяющих условию ( , ) 0.h x t = Это некоторая кривая в плоскости ( , ).x t Действительно, в каждой точке, в которой
( , ) 0,h x t = производная ( , )xh x t отлична от нуля и по теореме о неявной функции ра-венство ( , ) 0h x t = определяет в окрестности каждой такой точки непрерывную функцию
( ).x x t= Такая кривая, имея начало в точке ( ,1) :x 1) не может окончиться внутри прямоугольника 0 1, 0 1,x x x t≤ ≤ ≤ ≤ так как это про-
тиворечило бы непрерывной зависимости решения ( , )h x t от параметра t ; 2) не может пересечь сторону 1, 0 1,x x t= ≤ < так как тогда при t t∗=
( )
( ) ( )
1
0
1
0
2 2 2
2 2
( ) ( , ) ( ) ( , ) (1 ) ( , )
( ) (1 ) ( , )( ) ( , ) ( ) (1 ) ( , )
( , )
x
x xx
xx
xx x
Q x h x t P x h x t t t h x t dx
u P x t t h x ttQ x h x t P x t t h x t dx
dv h x t dx
⎡ ⎤+ + − =∫ ⎣ ⎦
⎡ = + − ⎤⎡ ⎤= + + − = =∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦ =⎣ ⎦
( ) ( )( )11
0 0
( ) (1 ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (1 ) ( , ) ( , ) 0,xx
x xx x
dP x t t h x t h x t tQ x h x t P x t t h x t h x t dxdx
⎡ ⎤= + − + − + − =∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦
что противоречит положительной определенности функционала (24) при всех [0,1);t∈ 3) не может пересечь сторону 0 11, ,t x x x= ≤ ≤ так как тогда при некотором t мы
получили бы ( , ) 0h x t = и ( , ) 0xh x t = одновременно; 4) не может пересечь сторону 0 10, ,t x x x= < ≤ так как при 0t = уравнение (25) сво-
дится к ( ) 0,yδ ′′ = а соответствующим решением является функция 0x x− , которая нигде, кроме точки 0x , в нуль не обращается;
3 2
4 1 5
x
t
*t
t
0x 1x x
![Page 35: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/35.jpg)
35
5) не может пересечь сторону 0 , 0 1,x x t= ≤ < так как при некотором t̂ было бы
0ˆ( , ) 0,xh x t = что противоречит определению функции ( , )h x t . Следовательно, такой кривой вообще не существует. Теорема доказана. Условие Якоби. Для того, чтобы экстремаль 0 ( )y y x= доставляла минимум (мак-
симум) функционалу 1
0
[ ( )] ( , ( ), ( ))x
xV y x F x y x y x dx′= ∫ необходимо, чтобы интервал 0 1( , )x x не
содержал точек, сопряженных с 0x . Для доказательства достаточно вспомнить, что необходимым условием минимума
(максимума) является неотрицательность (неположительность) второй вариации, и при-менить только что доказанную теорему.
![Page 36: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/36.jpg)
36
IV. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
1. ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ. УСЛОВИЕ ЯКОБИ. Если на плоскости ( , )x y через каждую
точку некоторой области D проходит одна и только одна кривая семейства ( , ),y y x c= то говорят, что это семейство кривых в области D образует собственное поле. Угловой ко-эффициент ( , )p x y касательной к кривой семейства ( , ),y y x c= проходящей через точку ( , )x y , называется наклоном поля в точке ( , )x y .
Например, внутри круга 2 2 1x y+ ≤ параллельные прямые y x c= + образуют собст-
венное поле, причем наклон этого поля ( , ) 1.p x y = Напротив, семейство парабол 2( ) 1y x c= − − внутри того же круга собственное поле не образует, так как внутри этого
круга параболы рассматриваемого семейства пересекаются. Если все кривые семейства ( , )y y x c= проходят через некоторую точку 0 0( , )x y , т.е.
образуют пучок кривых, то они заведомо не образуют собственное поле в области D , если центр пучка принадлежит области D . Однако, если кривые пучка покрывают всю область D и нигде не пересекаются в этой области, кроме центра пучка, т.е. во всех точках, от-личных от центра пучка, требования, налагаемые на собственное поле, выполнены, то го-ворят, что семейство ( , )y y x c= образует центральное поле.
Если собственное или центральное поле образовано семейством экстремалей некото-рой вариационной задачи, то такое поле называется полем экстремалей.
Пусть кривая ( )y y x= является экстремалью простейшей вариационной задачи об исследовании на экстремум функционала
1
0
[ ( )] ( , ( ), ( ))x
V y x F x y x y x dxx
′= ∫
в классе M непрерывно дифференцируемых на отрезке 0 1[ , ]x x функций, удовлетворяю-щих граничным условиям 0 0 1 1( ) , ( )y x y y x y= = .
Говорят, что экстремаль ( )y y x= включена в поле экстремалей, если найдено семейство экстрема-лей ( , )y y x c= , образующее поле, содержащее при некотором значении 0c c= экстремаль ( )y y x= , при-чем эта экстремаль не лежит на границе области D , в которой семейство ( , )y y x c= образует поле.
x
y
x
y
0 0( , )A x y
1 1( , )B x y
x
y
![Page 37: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Если пучок экстремалей с центром в точке 0 0( , )A x y в окрестности экстремали ( )y y x= , про-
ходящей через ту же точку, образует поле, то тем самым найдено центральное поле экстремалей, включающее данную экстремаль. За параметр се-мейства в данном случае можно взять угловой ко-эффициент касательной к кривой пучка в точке
0 0( , )A x y .
Пример 1. Дан функционал 2 2
0( ( ) ( )) .
ay x y x dx′ −∫ Требуется включить дугу экстремали
( ) 0,y x ≡ соединяющую точки (0,0) и ( ,0),a где 0 ,a π< < в центральное поле экстрема-лей.
Общее решение уравнения Эйлера 2 2 0 или 0y y y y′′ ′′− − = + = имеет вид
1 2cos sin .y c x c x= + Из условия прохождения экстремалей через точку (0,0) получаем
1 20, т.е. sin ,c y c x= = причем кривые этого пучка на отрезке [0, ],a a π< образуют цен-тральное поле, включающее при 2 0c = экстремаль 0.y = Параметр семейства 2c равен производной y′ в точке (0,0) .
Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства ( , , ) 0x y cΦ = пересекаются
в точках c - дискриминантной кривой, определяемой уравнениями
( , , ) 0x y cΦ = , ( , , ) 0.x y cc∂Φ =
∂
В состав c - дискриминантной кривой, в частности, входят огибающая семейства и геометрические места кратных точек кривых семейства. Если ( , , ) 0x y cΦ = является урав-нением пучка кривых, то центр пучка также принадлежит c - дискриминантной кривой. Поэтому если взять пучок экстремалей ( , ),y y x c= проходящих через точку 0 0( , ),x y и оп-ределить его c - дискриминантную кривую ( , ) 0,x yΦ = то близкие кривые семейства
( , )y y x c= будут пересекаться вблизи кривой ( , ) 0x yΦ = и, в частности, кривые этого се-мейства, близкие к рассматриваемой экстремали ( ),y y x= проходящей через точки
0 0( , )A x y и 1 1( , )B x y , будут пересекаться в точках, близких к точкам касания (или пересе-чения) кривой ( )y y x= с c - дискриминантной кривой.
Рис.1. Рис.2.
1 1( , )B x y
0 0( , )A x y
x
y
A
*A
B0x 1x x
A
*A B
0x 1x
y
x
![Page 38: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Если дуга AB экстремали ( )y y x= имеет отличную от точки A общую точку A∗ с c - дискриминантной кривой пучка ( , )y y x c= (рис. 1), то близкие к ( )y y x= кривые пучка могут пересекаться между собой и с кривой ( )y y x= вблизи точки A∗ и, вообще говоря, поля не образуют. Точка A∗ называется точкой, сопряженной с точкой A .
Если дуга AB экстремали ( )y y x= не имеет отличных от точки A общих точек с c - дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную экстремаль, то доста-точно близкие к дуге AB экстремали пучка не пересекаются, т.е. образуют в окрестности дуги AB центральное поле, включающее эту дугу (рис. 2).
Полученный результат можно сформулировать так: для построения центрального поля экстремалей с центром в точке A , содержащего дугу AB , достаточно, чтобы точка A∗ , сопряженная с точкой A , не лежала на дуге AB .
Это условие возможности построения пучка экстремалей, включающего данную экс-тремаль, носит название условия Якоби.
Нетрудно сформулировать это условие и аналитически. Пусть функция ( , , )F x y y′ имеет непрерывные частные производные до третьего по-
рядка включительно по всем переменным и ( , )y y x c= - уравнение пучка экстремалей с центром в точке A , причем параметр c можно для определенности считать совпадающим с угловым коэффициентом y′ пучка экстремалей в точке A . Тогда c - дискриминантная кривая определяется уравнениями
( , )( , ), 0.y x cy y x cc
∂= =
∂ (26)
Вдоль каждой фиксированной кривой семейства производная ( , )y x cc
∂∂
является
функцией только .x Эту функцию обозначим через ( ).u x Так как ( , )y x c является дважды непрерывно дифференцируемой функцией, то ее смешанные частные производные второ-го порядка по x и по c совпадают. Отсюда
2 2( , ) ( , )( ) .y x c y x cu xx c c x
∂ ∂′ = =∂ ∂ ∂ ∂
Функции ( , )y x c являются решениями уравнения Эйлера, поэтому
( , ( , ), ( , )) ( , ( , ), ( , )) 0.y x y xdF x y x c y x c F x y x c y x cdx ′′ ′− ≡
Дифференцируя это тождество по c и полагая ( , ) ( ),y x c u xc
∂=
∂ получим
( ) 0yy y y yy y ydF u F u F u F udx′ ′ ′ ′′ ′⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ≡
или
( ) ( ) 0.yy y y yy yy y yd dF u F u F u F u F udx dx′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ≡
Так как смешанные частные производные второго порядка по y и по y′ совпадают, то имеем
( ) 0yy yy y yd dF F u F udx dx′ ′ ′
⎛ ⎞ ′− ⋅ − ⋅ ≡⎜ ⎟⎝ ⎠
(27)
Для нахождения точки, сопряженной A , необходимо найти пересечения c - дискри-минантной кривой с экстремалью AB , соответствующей значению параметра 0.c c=
![Page 39: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Таким образом, в (27) ( , , ), ( , , ),yy yyF x y y F x y y′′ ′ ( , , )y yF x y y′ ′ ′ являются известными функциями ,x так как аргумент y равен решению уравнения Эйлера ( , ),y y x c= взятому при значении 0 ,c c= соответствующем экстремали АВ.
Уравнение (27) при этом является линейным однородным уравнением второго по-рядка относительно u и совпадает с полученным ранее уравнением Якоби.
Если нетривиальное решение ( , )y x cuc
∂=
∂ этого уравнения, обращающееся в нуль в
центре пучка при 0x x= (центр пучка всегда принадлежит c - дискриминантной кривой), обращается в нуль еще в одной точке промежутка 0 1,x x x< ≤ то сопряженная с A точка, определяемая уравнениями
00
( , )( , ), 0y x cy y x cc
∂= =
∂,
лежит на дуге экстремали AB . Если же существует решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль при 0x x= и
не обращающееся в нуль ни в одной точке промежутка 0 1( , ],x x то точек, сопряженных с A , на дуге AB нет - условие Якоби выполнено и дугу экстремали AB можно включить в центральное поле экстремалей с центром в точке A .
В силу доказанного ранее условие Якоби является необходимым для достижения экстремума: для кривой AB , реализующей экстремум, сопряженная с А точка не может иметь абсциссу, лежащую в интервале 0 1( , ).x x
Пример 2. Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала 2 2
0
[ ( )] ( ( ) ( )) ,a
V y x y x y x dx′= −∫
проходящей через точки (0, 0)A , ( , 0)B a ?
Уравнение Якоби имеет вид: 2 (2 ) 0 или 0du u u udx
′ ′′− − = + = , откуда
1 2cos sin .u c x c x= + Так как (0) 0u = , то 1 0c = и 2 sinu c x= . Функция ( )u x обращается в нуль в точках , x k k Zπ= ∈ и, следовательно, если
0 a π< < , то на отрезке [0, ]a функция ( )u x обращается в нуль только в точке 0x = и ус-ловие Якоби выполнено. Если же a π≥ , то на отрезке [0, ]a функция ( )u x обращается в нуль еще по крайней мере в одной точке x π= и условие Якоби не выполнено.
Пример 3. Выполнено ли условие Якоби для экстремали функционала
2 2 2
0
[ ( )] ( ( ) ( ) )a
V y x y x y x x dx′= + +∫ ,
проходящей через точки (0, 0)A , ( , 0)B a ? Уравнение Якоби имеет вид:
2 (2 ) 0 или 0du u u udx
′ ′′− = − = ,
откуда 1 2 .x xu c e c e−= + Из условия (0) 0u = находим 1 2 2 10 c c c c+ = ⇒ = − и 1 1 1( ) 2 shx xu x c e c e c x−= − = .
Кривые пучка 1 1( ) 2 sh , 0u x c x c= ≠ пересекают ось Ox лишь в точке 0x = . Следователь-но, условие Якоби выполнено при любом a .
![Page 40: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/40.jpg)
40
2. ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА. Предположим, что в простейшей задачи об экстрему-
ме функционала 1
0
[ ( )] ( , ( ), ( ))x
xV y x F x y x y x dx′= ∫ условие Якоби выполнено и, следователь-
но, экстремаль ,C проходящая через точки 0 0( , )A x y и 1 1( , ),B x y может быть включена в центральное поле экстремалей с центром в точке ,A наклон которого равен ( , )p x y .
Для определения знака приращения VΔ функционала [ ( )]V y x при переходе
от экстремали C к некоторой близкой допустимой кривой ,C преобразуем при-ращение
[ ( )] ( , , ) ( , , )CC
V y x F x y y dx F x y y dx′ ′Δ = −∫ ∫
к более удобному для исследования виду.
Символы ( , , )C
F x y y dx′∫ и ( , , )C
F x y y dx′∫
представляют собой значения функцио-нала [ ( )]V y x , взятые соответственно по дугам кривых C и .C
Рассмотрим вспомогательный функционал [ ( )] ( , , ) ( ) ( , , ) .p
C
H y x F x y p y p F x y p dx′⎡ ⎤= + −⎣ ⎦∫ (28)
На экстремали C функционал H обращается в ( , , ) ,C
F x y y dx′∫ т.е. совпадает с функ-
ционалом [ ( )],V y x так как на экстремалях поля .y p′ = Запишем функционал [ ( )]H y x в виде:
( , )( , )
[ ( )] ( , , ) ( , , ) ( , , )p p
C Q x yR x y
H y x F x y p pF x y p dx F x y p dy⎡ ⎤= − +⎣ ⎦∫ ,
т.е. его можно рассматривать как криволинейный интеграл в плоскости ,Oxy взятый вдоль дуги кривой .C Покажем, что он не зависит от пути интегрирования, т.е. подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Область ,D содержащую дугу C экстре-мали, можно считать односвязной. Поэтому достаточно показать, что
( , ) ( , )R x y Q x yy x
∂ ∂≡
∂ ∂ в .D
Найдем
( )( ) ( )( , ) ( , )y y p y p yp y pp xp x pp
R x y Q x y F p F p F pF pp F F p Fy x
∂ ∂− = + − + + − + =
∂ ∂
( ) .y yp xp y x ppF pF F pp p F= − − − + Так как C является экстремалью функционала [ ( )],V y x то она удовлетворяет урав-
нению Эйлера, составленному для функционала [ ( )] :V y x
0,y y y xy yy y ydF F F F y F y Fdx ′ ′ ′ ′ ′′ ′′− = − − − ≡
где ( , ( )), ,x yy p x y x y p p p′ ′′= = + ⋅
следовательно, ( , ) ( , )R x y Q x yy x
∂ ∂≡
∂ ∂ в .D
Таким образом,
A
B
C
C
![Page 41: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/41.jpg)
41
[ ( )] ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , )p
CC
H y x F x y p y p F x y p dx F x y y dx′ ′⎡ ⎤= + − =⎣ ⎦∫ ∫
при любом выборе допустимой кривой C и, следовательно, приращение VΔ функциона-ла [ ( )]V y x при переходе от экстремали C к некоторой близкой допустимой кривой C может быть преобразовано к следующему виду:
( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )p
C C
V F x y y dx F x y p y p F x y p dx′ ′⎡ ⎤Δ = − + − =⎣ ⎦∫ ∫
( , , ) ( , , ) ( ) ( , , )p
C
F x y y dx F x y p y p F x y p dx′ ′⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦∫ . (29)
Подынтегральное выражение в (29) обозначим через ( , , , )E x y p y′ и назовем функ-цией Вейерштрасса.
Очевидно, достаточным условием достижения функционалом [ ( )]V y x минимума на кривой C будет неотрицательность функции ( , , , )E x y p y′ , так как если ( , , , ) 0,E x y p y′ ≥ то и 0.VΔ ≥ Достаточным условием максимума будет ( , , , ) 0,E x y p y′ ≤ так как в этом случае и 0.VΔ ≤
При этом для слабого минимума (максимума) достаточно, чтобы неравенство ( , , , ) 0 ( 0)E x y p y′ ≥ ≤ выполнялось для значений , ,x y близких к значениям ,x y на иссле-
дуемой экстремали C , и для значений ,y′ близких к ( , )p x y на той же экстремали, а для сильного минимума (максимума) те же неравенства должны быть справедливы для тех же
, ,x y но уже для произвольных ,y′ так как в случае сильного экстремума близкие кривые могут иметь произвольные направления касательных, а в случае слабого экстремума зна-чения y′ на близких кривых близки к значениям y p′ = на экстремали .C
Следовательно, можно сформулировать Достаточные условия слабого минимума (максимума):
1. Кривая C является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям; 2. Экстремаль C может быть включена в центральное поле экстремалей (выполняется ус-ловие Якоби); 3. Функция ( , , , ) 0 ( 0)E x y p y′ ≥ ≤ во всех точках ( , ),x y близких к кривой C , и для близ-ких к ( , )p x y значений .y′
Достаточные условия сильного минимума (максимума):
1. Кривая C является экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям; 2. Экстремаль C может быть включена в центральное поле экстремалей (выполняется ус-ловие Якоби); 3. Функция ( , , , ) 0 ( 0)E x y p y′ ≥ ≤ во всех точках ( , ),x y близких к кривой C , и для произ-вольных значений .y′
Можно доказать, что условие Вейерштрасса является необходимым. Теорема. Если экстремаль ,C включенная в центральное поле экстремалей, дос-
тавляет функционалу [ ( )]V y x сильный (слабый) экстремум, то вдоль нее при любых y′ (при y′ близких к p ) функция Вейерштрасса сохраняет знак. В случае минимума
( , , , ) 0,E x y p y′ ≥ а в случае максимума соответственно ( , , , ) 0.E x y p y′ ≤ Доказательство. Предположим, что в какой-то точке экстремали ,C доставляющей
минимум функционалу [ ( )],V y x выполнено неравенство ( , , , ) 0.E x y p y′ < Тогда ( , , , )E x y p y′ отрицательна в некоторой окрестности этой точки и кривую C можно в этой
окрестности изменить так, чтобы полученная из C в результате этого изменения кривая C удовлетворяла условию
![Page 42: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/42.jpg)
42
( , , , ) ( , , , ) 0 0,CC
E x y p y dx E x y p y dx V′ ′< = ⇒ Δ <∫ ∫
т.е. на кривой C минимум не достигается. Случай максимума рассматривается аналогич-но. Теорема доказана.
Пример 4. Исследовать на экстремум функционал 3
0
[ ( )] ( )a
V y x y x dx′= ∫ в классе
функций 1{ ( ) [0, ], (0) 0, ( ) }, 0, 0.M y x C a y y a b a b= ∈ = = > > Так как ( )F F y′≡ , то экстремалями являются прямые линии 1 2y c x c= + . Учитывая
граничные условия, получаем 1 2, 0.bc ca
= = Пучок экстремалей 1y c x= с центром в точке
(0, 0) образует центральное поле экстремалей, включающее экстремаль by xa
= . Функция
Вейерштрасса имеет вид 3 3 2 2 2 2 ( , , , ) 3 ( ) ( )( 2 ) ( ) ( 2 ).E x y p y y p p y p y p y y p p y p y p′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − − − = − + − = − +
На экстремали by xa
= наклон поля 0bpa
= > и
если y′ принимает значения, близкие к bpa
= , то
( , , , ) 0E x y p y′ ≥ и, следовательно, все достаточные условия для достижения слабого минимума, выпол-
нены. Итак, на экстремали by xa
= достигается сла-
бый минимум. Если же y′ принимает произвольные значения,
то ( 2 )y p′ + может иметь любой знак и, следовательно, функция ( , , , )E x y p y′ знака не со-
храняет - сильный минимум на прямой by xa
= не достигается, так как не выполнено не-
обходимое условие Вейерштрасса. Пример 5. Исследовать на экстремум функционал
2 4
0
[ ( )] (6 ( ) ( ) ( ) ( ))a
V y x y x y x y x y x dx′ ′ ′= − +∫
в классе функций 1{ ( ) [0, ], (0) 0, ( ) }, 0, 0.M y x C a y y a b a b= ∈ = = > > Подынтегральная функция явно не зависит от x , следовательно, уравнение Эйлера
имеет первый интеграл :yF y F c′′− =
2 4 3 2 41 1 26 (12 4 ) 6 3 ,y y yy y y y y c y y c y c y c x c′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − − + = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = +
т.е. экстремалями являются прямые. Граничным условиям удовлетворяет прямая by xa
= ,
которая включается в пучок экстремалей, образующих центральное поле. Функция Вей-ерштрасса
2 4 2 4 3
2 2 3
( , , , ) 6 6 ( )(12 4 )( )(6( ) ( )( ) 12 4 )
E x y p y y y yy p p yp y p p p yy p y p y p y p y p p y
′ ′ ′ ′ ′= − + − + − − − − + =
′ ′ ′ ′= − + − + + + − + − =
3 2 2 3 3
2 2 2
( )(6 6 12 4 )( ) ( 2 (3 6)).y p y p y y p y p p p p
y p y y p p
′ ′ ′ ′ ′= − + − − − − − + =
′ ′ ′= − − + + −
1 p 2p -
23p p 1 2 p 23p 0
x
y
0
( , )B a b
![Page 43: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Знак функции ( , , , )E x y p y′ противоположен знаку последнего множителя 2 22 (3 6)y py p′ ′+ + − . Этот множитель обращается в нуль и может изменить знак лишь при
переходе y′ через значение 26 2 .y p p′ = − ± − При 26 2 0 3bp pa
⎛ ⎞− ≤ = ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
при любом
y′ имеем 2 22 (3 6) 0y py p′ ′+ + − ≥ . Если же 26 2 0 3bp pa
⎛ ⎞− > = <⎜ ⎟⎝ ⎠
, то выражение
2 22 (3 6)y py p′ ′+ + − меняет знак. Если при этом y′ достаточно близко к p , то последнее выражение 2 2 2 2 2 22 (3 6) 2 3 6 6( 1)y py p p p p p′ ′+ + − ≈ + + − = − и сохраняет знак “+” при
1p > и знак “ – ” при 1p < .
Следовательно, при 1bpa
= < (или )b a< имеет
слабый минимум, так как ( , , , ) 0E x y p y′ ≥ при значе-ниях y′ достаточно близких к p ; при 1 3 (или 3)p a b a< < < < имеет слабый максимум;
при ( )3 или 3p b a≥ ≥ достигается сильный мак-
симум, так как ( , , , ) 0E x y p y′ ≤ при любых значениях y′ . При 3p < на основании необходимого условия Вейерштрасса сильный экстремум не достигается.
3. УСЛОВИЕ ЛЕЖАНДРА. Из приведенных примеров видно, что исследование знака функции ( , , , )E x y p y′ сопряжено с некоторыми затруднениями даже в весьма простых случаях, поэтому желательно условие сохранения знака функции ( , , , )E x y p y′ заменить другим, легко проверяемым, условием.
По формуле Тейлора получим:
2( )( , , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ),
2y y yy pF x y y F x y p y p F x y p F x y q′ ′ ′
′ −′ ′= + − + (30)
где q заключено между p и .y′ Тогда функция ( , , , )E x y p y′ примет вид:
2( )( , , , ) ( , , ).2 y y
y pE x y p y F x y q′ ′
′ −′ =
Отсюда видно, что функция ( , , , )E x y p y′ сохраняет знак, если сохраняет знак ( , , ).y yF x y q′ ′ При исследовании на слабый экстремум функция ( , , )y yF x y q′ ′ должна сохра-
нять знак для значений x и y в точках, близких к точкам исследуемой экстремали и для значений ,q близких к .p Если ( , , ) 0y yF x y p′ ′ ≠ в точках экстремали ,C то в силу непре-рывности эта вторая производная сохраняет знак и в точках, близких к кривой ,C и для значений ,y′ близких к значениям y′ на экстремали .C
Таким образом, при исследовании на слабый минимум (максимум) условие ( , , , ) 0 ( ( , , , ) 0)E x y p y E x y p y′ ′≥ ≤ может быть заменено условием
( )0 0y y y yF F′ ′ ′ ′> < на экстремали .C Это условие носит название усиленного условия Лежандра. При исследовании на сильный экстремум условие ( , , , ) 0 ( ( , , , ) 0)E x y p y E x y p y′ ′≥ ≤
может быть заменено требованием ( )( , , ) 0 ( , , ) 0y y y yF x y q F x y q′ ′ ′ ′≥ ≤ в точках ( , ),x y близ-
0 x
y
4π 3
π Слабый минимум
Слабый максимум
Сильный максимум
![Page 44: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/44.jpg)
44
ких к точкам кривой C при произвольных значениях .q При этом предполагается, что разложение по формуле Тейлора (30) имеет место при любых .y′
Пример 6. Исследовать на экстремум функционал 2 2
0
[ ( )] ( ( ) ( ))a
V y x y x y x dx′= −∫ в
классе функций 1{ ( ) [0, ], (0) 0, ( ) }, 0, 0.M y x C a y y a b a b= ∈ = = > >
Уравнение Эйлера имеет вид 2 (2 ) 0 или 0dy y y ydx
′ ′′− − = + = . Его общее решение
1 2cos siny c x c x= + . Используя граничные условия, получаем 1 0c = и 2 0c = , если , a k kπ≠ ∈ . Итак при a kπ≠ экстремум может достигаться лишь на прямой 0y = . Если
a π< , то пучок экстремалей siny c x= с центром в точке (0,0) образует центральное по-ле. При a π≥ условие Якоби не выполнено.
Так как подынтегральная функция 2 2F y y′= − такова, что 2 0y yF ′ ′ = > при любых значениях y′ , то на прямой 0y = при a π< реализуется сильный минимум.
Если a π> минимум на прямой 0y = не достигается, так как не выполнено необхо-димое условие Якоби.
Пример 7. Исследовать на экстремум функционал 1 2
0
1 ( )1[ ( )]2 ( )
x y xT y x dx
g y x′+
= ∫ в
классе гладких функций, удовлетворяющих граничным условиям
(0) 0,y =
1 1( )y x y= . Экстремалями являются циклоиды (пример 14 §2). Пучок циклоид
1 1( sin ), (1 cos )x C t t y C t= − = −с центром в точке (0, 0) образует центральное поле, включающее экстремаль
( sin ), (1 cos )x a t t y a t= − = − , где a определено из условия
прохождения циклоиды через вто-рую граничную точку 1 1( , ),B x y если 1 2x aπ< .
Имеем 2
,1
yyF
y y′
′=
′+
22
2 2 2
3 32 2 22 2
11 1 1 0
(1 ) (1 ) (1 )y y
yyy y yF
y y y y y y′ ′
′′+ −
′ ′ ′+ + −= = = >
′+ ′ ′+ + при любых y′ .
Следовательно, при 1 2x aπ< на циклоиде ( sin ), (1 cos )x a t t y a t= − = − реализуется сильный минимум.
BB
0 x
y
![Page 45: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/45.jpg)
45
V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим множество M допустимых функций (кривых)
( ),y x удовлетворяющих следующим условиям: а) функции ( )y x непрерывно дифференцируемые, т.е. 1( ) ( ),y x C∈ Δ где Δ - некото-
рый конечный отрезок, внутренними точками которого являются значения 0x и 1,x кото-рые заранее не заданы;
б) значения 0 0 0, ( )x y y x= и 1 1 1, ( ),x y y x= определяющие концы допустимых кривых, удовлетворяют граничным условиям
0 0 1 1( , ) 0, ( , ) 0,x y x yψ ϕ= = (31) где ( , ), ( , )x y x yψ ϕ − заданные непрерывно дифференцируемые функции.
На множестве M задан функционал
( )1
0
( , ( ), ( )) ,x
xV y x F x y x y x dx′=⎡ ⎤ ∫⎣ ⎦
где функция ( , , )F x y y′ имеет непрерыв-ные частные производные до второго по-рядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых кривых ( ),y x принадлежащих множеству ,M требуется найти кривую 0 ( ),y x на которой функцио-
нал ( )V y x⎡ ⎤⎣ ⎦ достигает экстремума.
Замечание 1. Условия (31) определяют подвижные границы. Таким образом, экс-тремум в поставленной задаче ищется в классе гладких кривых, концы которых скользят по двум заданным линиям, которые описываются уравнениями 0 0( , ) 0x yψ = (для левого конца) и 1 1( , ) 0x yϕ = (для правого конца).
Можно выделить следующие частные слу-чаи общей постановки задачи:
А. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым, которые заданы уравнениями: 0 1, .x x x x= =
Б. Концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым, которые заданы урав-нениями:
( ), ( ).y x y xψ ϕ= = (32) В рамках рассматриваемого частного слу-
чая выделим задачу, в которой заданные кривые являются прямыми линиями, параллельными оси абсцисс:
0 1, .y y y y= = Замечание 2. В поставленной задаче наряду с поиском кривой 0 ( )y x фактически
проводится выбор значений *0x и *
1 ,x т.е. ищется тройка ( )* *0 0 1( ), , .y x x x При этом
ε −окрестность k -го порядка ( 0,1)k = образуется тройками ( )0 1( ), , ,y x x x удовлетво-ряющими условиям
0 ( )y x
x
y
0x 1x
x*
0x
*
0y
*
1y 0 ( )y x
0 0( , ) 0x yψ =
*
1x
1 1( , ) 0x yϕ = y
![Page 46: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/46.jpg)
46
* *0 0 0 1 1( )
( ) ( ) , , .kCy x y x x x x xε ε ε
Δ− < − < − <
Функционал ( )V y x⎡ ⎤⎣ ⎦ точнее записывается в форме ( ) 0 1, ,V y x x x⎡ ⎤⎣ ⎦ и достигает на
тройке ( )* *0 0 1( ), ,y x x x сильного (слабого) экстремума, если
( ) ( ) * *0 1 0 0 1, , , ,V y x x x V y x x x⎡ ⎤≥⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ в случае минимума или
( ) ( ) * *0 1 0 0 1, , , ,V y x x x V y x x x⎡ ⎤≤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ в случае максимума в ε −окрестности нулевого (пер-
вого) порядка. 2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА. Пусть на тройке ( )* *
0 0 1( ), ,y x x x достига-
ется экстремум функционала. Так как ( ) ( )* * * *0 1 0 0 1, , , ,V y x x x V y x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )( )* * * *0 1 0 0 1, , , ,V y x x x V y x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ в случае минимума (максимума), где 1( ) ( )y x C∈ Δ и
* * * *0 0 0 1 0 1( ) ( ), ( ) ( ),y x y x y x y x= = то в силу необходимого условия экстремума функционала в
простейшей задаче вариационного исчисления 0 ( )y x является экстремалью, т.е. удовле-творяет уравнению Эйлера
( ) ( )0 0 0 0, ( ), ( ) , ( ), ( ) 0.y ydF x y x y x F x y x y xdx ′′ ′− ≡ (33)
Рассмотрим допустимые кривые ( ),y x определяемые соотношением
0( ) ( ) ,y x y x yαδ= + где yδ −фиксированная вариация, α − числовой параметр, пределы интегрирования
* *0 0 0 1 1 1, ,x x x x x xαδ αδ= + = + значения 0xδ и 1xδ фиксированы. Так как
( ) 0 1, , ( )V y x x x θ α=⎡ ⎤⎣ ⎦ – функция числового параметра ,α которая достигает экстремума во внутренней точке 0,α = то
( ) 0 10
(0) , , 0.V y x x xα
θα =
∂′ = =⎡ ⎤⎣ ⎦∂
Расписывая подробнее, получаем
( )1 1
0 0
*
0 00*
0 , ( ) , ( ) .x x
x x
F x y x y y x y dxαδ
ααδ
αδ αδα
+
=+
∂ ′ ′= + +∂ ∫
Воспользуемся формулой дифференцирования интеграла по параметру:
( ) ( )
( ) ( )
( , )( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) .V V
U U
d f x dV dUf x dx dx f V f Ud d d
α α
α α
αα α α α αα α α α
∂= + −
∂∫ ∫
Тогда получаем
( ) ( )1 1
0 0
*
0 0 0 0*
0 , ( ) , ( ) , ( ) , ( )x x
y y
x x
F x y x y y x y y F x y x y y x y y dxαδ
αδ
αδ αδ δ αδ αδ δ+
′
+
⎧⎪ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′= + + + + + +⎨ ⎣ ⎦⎪⎩∫
( )*1 1
0 0 1, ( ) , ( )x x x
F x y x y y x y xαδ
αδ αδ δ= +
′ ′+ + + ⋅ −
( )*0 0
0 0 00
, ( ) , ( )x x x
F x y x y y x y xαδ α
αδ αδ δ= + =
⎫′ ′− + + ⋅ =⎬
⎭
( ) ( )1
0
*
0 0 0 0*
, ( ), ( ) , ( ), ( )x
y y
x
F x y x y x y F x y x y x y dxδ δ′⎡ ⎤′ ′ ′= + +⎣ ⎦∫
![Page 47: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/47.jpg)
47
( ) ( )* * * * * *1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0, ( ), ( ) , ( ), ( ) .F x y x y x x F x y x y x xδ δ′ ′+ −
Проинтегрируем второе слагаемое по частям:
1
1
1 000
**
1 0* ***
0 ( ) .x
xy y y
x x x xxx
dF F y x dx F y F x F xdx
δ δ δ δ′ ′= =
⎡ ⎤= − + + ⋅ − ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦∫
Таким образом, в силу (33) получаем
1
1 00
*
1 0* **0.
xy
x x x xxF y F x F xδ δ δ′
= =+ − = (34)
Заметим, что *1( )y xδ не совпадает с 1,yδ а *
0( )y xδ не совпадает с 0.yδ На рисунке *
1( ),BD y xδ=
1,FC yδ= 1,DE xδ= *0 1 1( ) ,EC y x xδ′≈
,BD FC EC= − т.е. * *1 1 0 1 1( ) ( ) .y x y y x xδ δ δ′≅ −
Заметим, что приближенное ра-венство справедливо с точностью до бесконечно малых более высокого по-рядка по сравнению с 1.xδ
Аналогично * *
0 0 0 0 0( ) ( ) .y x y y x xδ δ δ′≅ − Поэтому равенство (34) можно записать в форме:
1 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1* * * *
( ) ( ) 0,y y y yx x x x x x x x
F y F y F x F y F y F x o x o xδ δ δ δ δ δ′ ′ ′ ′= = = =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′+ − − − − + + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
откуда в силу произвольности 0xδ и 1xδ получаем
1 1 0 0
1 0 1 0 0 0* * * *0.y y y y
x x x x x x x xF y F y F x F y F y F xδ δ δ δ′ ′ ′ ′
= = = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′+ − − − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (35)
Однако вариации 0 ,xδ 0yδ не связаны с вариациями 1xδ , 1,yδ поэтому равенство (35) можно переписать в форме
0 0
1 1
0 0 0* *
1 0 1* *
0,
0.
y yx x x x
y yx x x x
F y F y F x
F y F y F x
δ δ
δ δ
′ ′= =
′ ′= =
⎧⎡ ⎤′+ − =⎪ ⎣ ⎦⎪
⎨⎪ ⎡ ⎤′+ − =⎣ ⎦⎪⎩
(36)
В силу граничных условий вариации 0xδ и 0yδ , а также 1xδ и 1yδ связаны соотно-шениями:
* *
0 0 0 0 0 0 0
* *1 1 1 1 0 1 1
( , ( )) ( , ( ) ) 0,
( , ( )) ( , ( ) ) 0
x y x x x y x y
x y x x x y x y
ψ ψ αδ αδ
ϕ ϕ αδ αδ
⎧ = + + =⎪ ⇒⎨= + + =⎪⎩
0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
* *0 0 0 0 0* * * *, ( ) , ( )
0
* *1 0 1 1 1* * * *, ( ) , ( )
0
( , ( )) ( ) 0,
( , ( )) ( ) 0.
x y x x y x
x y x x y x
x y x x y ox y
x y x x y ox y
ψ ψψ α δ δ α
ϕ ϕϕ α δ δ α
=
=
⎧ ⎛ ⎞∂ ∂+ + + =⎪ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎪
⎨⎛ ⎞∂ ∂⎪ + + + =⎜ ⎟⎪ ∂ ∂⎝ ⎠⎩
Так как α - произвольный параметр, получаем
x
y
0 ( )y x
( )y x
*
0x *
0 0x xδ+ *
1x *
1 1x xδ+
A
B
Е
F
D * *
1 1 1 1( , )C x x y yδ δ+ +
![Page 48: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/48.jpg)
48
0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 0 1
0 0* * * *, ( ) , ( )
1 1* * * *, ( ) , ( )
0,
0.
x y x x y x
x y x x y x
x yx y
x yx y
ψ ψδ δ
ϕ ϕδ δ
⎧∂ ∂+ =⎪ ∂ ∂⎪
⎨∂ ∂⎪ + =⎪ ∂ ∂⎩
(37)
Условия (36), (37) называются условиями трансверсальности. Сформулируем описанные результаты в виде теоремы: Теорема (необходимое условие экстремума). Если на функции 0 ( )y x M∈ функцио-
нал ( )V y x⎡ ⎤⎣ ⎦ достигает экстремума, то функция 0 ( )y x удовлетворяет
1) уравнению Эйлера 0;y ydF Fdx ′− =
2) условиям трансверсальности (36), (37). Замечание 3. Если один из концов допустимых кривых закреплен, то условия транс-
версальности для этого конца не выписываются, поскольку в этом случае соответствую-щие вариации в (36) и (37) равны нулю.
Замечание 4. Если рассматривается задача, в которой концы кривых скользят по двум заданным вертикальным прямым 0 1, ,x x x x= = то поскольку 0x и 1x заданы, вариа-ции 0 10, 0.x xδ δ= = Следовательно, условия трансверсальности имеют вид
0 1* *
0, 0.y yx x x x
F F′ ′= =
= = (38)
Условия (37) выполняются, так как уравнения прямых можно записать в форме * *
0 0 0 1 1 1( ) 0, ( ) 0.x x x x x xψ ϕ= − = = − = Замечание 5. Если концы допустимых кривых скользят по двум заданным кривым ( )y xψ= и ( ),y xϕ= то условие (31) можно записать в виде
0 0 0 0
1 1 1 1
( , ) ( ) 0,( , ) ( ) 0.x y y xx y y x
ψ ψϕ ϕ
= − == − =
Следовательно, из (37) получаем
* *0 0 0 0 0 0* *1 1 1 1 1 1
( ) 0, ( ) ,
( ) 0 ( ) .
x x y y x x
x x y y x x
ψ δ δ δ ψ δ
ϕ δ δ δ ϕ δ
⎧ ⎧′ ′− + = =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨′ ′− + = =⎪⎪ ⎩⎩
Тогда из (36) следует
0
1
0 0*
0 1*
( ) 0,
( ) 0.
yx x
yx x
F y F x
F y F x
ψ δ
ϕ δ
′=
′=
⎧⎡ ⎤′ ′+ − =⎪⎣ ⎦⎪⎨⎪ ⎡ ⎤′ ′+ − =⎣ ⎦⎪⎩
В силу произвольности вариаций 0xδ и 1xδ получаем условия трансверсальности для данного случая
0
1
0 *
0 *
( ) 0,
( ) 0.
yx x
yx x
F y F
F y F
ψ
ϕ
′=
′=
⎧⎡ ⎤′ ′+ − =⎪⎣ ⎦⎪⎨⎪⎡ ⎤′ ′+ − =⎣ ⎦⎪⎩
(39)
Если рассматривается случай задания кривых в виде ( ) ( )0 1( ) , ( ) ,y y x y y xψ ϕ= = = = то ( ) 0, ( ) 0,x xψ ϕ′ ′= = а условия (39) упрощаются:
![Page 49: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/49.jpg)
49
0 1
0 0* *0, 0.y y
x x x xF y F F y F′ ′
= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′− = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (40)
Замечание 6. Если условия (31) отсутствуют, то вариации 0 0 1 1, , ,x y x yδ δ δ δ произ-вольны. Тогда из (36) следует
0 0
1 1
0* *
0* *
0, 0,
0, 0.
y yx x x x
y yx x x x
F F y F
F F y F
′ ′= =
′ ′= =
⎡ ⎤′= − =⎣ ⎦
⎡ ⎤′= − =⎣ ⎦
(41)
Замечание 7. Если условия (31) записаны в форме 0 0 1 1( ) , ( ) ,y x y y x y= = т.е. рас-сматривается задача с неподвижными границами, то, поскольку вариации
0 0 1 1 0,x y x yδ δ δ δ= = = = условия трансверсальности (42) выполняются, а произвольные постоянные в общем решении уравнения Эйлера определяются граничными условиями.
Пример 1. Найти экстремаль функционала ( )1
0[ ( )] ( ) ( ) ,V y x y x y x x dx′ ′= −∫ удовлетво-
ряющую граничным условиям 0 10, 1.x x= = Запишем уравнение Эйлера. Так как ( ),F y y x′ ′= − 0,yF = 2 ,yF y x′ ′= −
2 1,yd F ydx ′ ′′= − то имеем 2 1 0.y′′− + =
Найдем общее решения уравнение Эйлера:
2
1 21 .2 4
xy y xc c′′ = ⇒ = + +
Поскольку левый и правый концы допустимых кривых скользят по вертикальным прямым 0 0x = и 1 1x = (замечание 4), то запишем условие трансверсальности на обоих концах:
*0
12 (0) 2 0y x xF y c′ =′= = = − на левом конце
и
*1
12 (1) 1 2 0y x xF y c′ =′= − = = − на правом конце.
Из этих условий следует, что 1 0.c = Так как больше нет никаких дополнительных условий, то можно сделать вывод, что искомая экстремаль, а точнее семейство экстрема-
лей, имеет вид 2
0 ( ) .4xy x c= +
Пример 2. Найти экстремаль функционала
( )1
2 2 2
1[ ( )] ( ) 4 ( ) 8 ( ) 2 ,V y x y x y x xy x x dx
−
′= + − +∫
левый конец которой закреплен: ( 1) 3,y − = а правый движется по прямой 1.x = В примере 1 §3 были найдены экстремали для данного функционала:
2 21 2( ) .x xy x x c e c e−= + +
Так как правый конец допустимой кривой лежит на вертикальной прямой 1x = (за-мечание 4), то запишем условия трансверсальности (38) на правом конце и граничные ус-ловия на левом конце
1 2 (1) 0, ( 1) 3.y xF y y′ = ′= = − = Получаем систему
![Page 50: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/50.jpg)
50
( )2 42 2
1 21 22 2 4 22 2
2 21 2
4 ,1 3,2 4 2 1 0.2 4 4 0
c e c ec e c ee e c e c ec e c e
− −−
− − −−
⎧ = −⎧ − + + =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨− − + + =− + =⎪ ⎪⎩ ⎩
Отсюда следует ( )
( )( )
4 24 2
1 28 8
8(8 1) , .2 1 2 1
e ee ec ce e
−+= =
+ + В результате получаем экстремаль
( )
( )( )
4 24 22 2
0 8 8
8(8 1)( ) .2 1 2 1
x xe ee ey x x e e
e e−
−+= + +
− +
Пример 3. Найти кривую, на которой функционал 1 2
0
1 ( )[ ( )]
2
x y xV y x dx
x′+
=−∫ может
достигать экстремума, если левый конец ее фиксирован в точке (0,0), а правый находится на прямой 4 4.y x= − +
Так как подынтегральная функция явно не зависит от ,y уравнение Эйлера имеет
первый интеграл ( )2
.1 2
yyF c
y x′
′= =
′+ − Полученное уравнение первого порядка решаем
методом введения параметра, для этого найдем ( , ) :x x y c′=
2 2
2 2.1 1
y yx xc y c y
′ ′− = ⇒ = +
′ ′+ +
Введем параметр ,y tgp′ = тогда 122 sin 2,
1
tgpx x c pc tg p
= + ⇒ = ++
где 11 .cc
= Про-
дифференцируем полученное равенство: 1 cos .dx c pdp=
Тогда 1 sin .dy y dx c pdp′= = Интегрируя, получаем 1 2cos .y c p c= − +
Таким образом, параметрическое уравнение семейства экстремалей имеет вид:
1
1 2
sin 2,cos
x c py c p c= +⎧
⎨ = − +⎩
Исключая параметр ,p находим
( ) ( )2 2 22 12x y c c− + − = − (43)
семейство окружностей с центром в точке 2(2, )c радиуса 1 .c
Первое граничное условие (0) 0y = дает 2 22 14 .c c+ = Подставляя в (43), имеем:
( ) ( )2 2 22 22 4.x y c c− + − = +
Запишем условие трансверсальности на правом конце в форме (39):
1
2
2
1( 4 ) 0,
2 ( 2) 1x x
y yyx x y
=
⎡ ⎤′ ′+′⎢ ⎥+ − − =
−⎢ ⎥′− +⎣ ⎦
откуда
1
2 21 4 0x x
y y y=
⎡ ⎤′ ′ ′+ − − =⎣ ⎦ или 11 4 ( ) 0.y x′− =
![Page 51: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/51.jpg)
51
y
x
5y x= −
B
0
Таким образом, 11( )4
y x′ = − угловой коэффициент касательной к окружности в точке 1.x
Кроме того, точка ( )1 1, ( )x y x лежит на прямой 4 4,y x= − + угловой коэффициент которой равен –4. Следовательно, в рассматриваемой точке окружность и прямая ортогональны, а значит центр окружности (точка 2(2, )c ) лежит на прямой 4 4,y x= − + т.е.
2 4 2 4 4.c = − ⋅ + = − Таким образом, получаем уравнение искомой экстремали ( ) ( )2 22 4 20x y− + + =
или, учитывая, что 1 2x < имеем 2
0 ( ) 4 16 4 .y x x x= − + − −
Пример 4. Найти кривую, на которой функционал 1 2
0
1 ( )[ ( )]
( )
x y xV y x dx
y x′+
= ∫ может
достигать экстремума, если левый конец ее фиксирован в точке (0,0), а правый находится на прямой 5.y x= −
Интегральными кривыми уравнения Эйлера (пример 13 §2) являются окружности 2 2 2
1 2( )x c y c− + = . Первое граничное условие (0) 0y = дает 2 21 2c c= .
Запишем условие трансверсальности в граничной точке:
1
2
2
1(1 ) 0,
1x x
y yyy y y
=
⎡ ⎤′ ′+′+ + =⎢ ⎥
′⎢ + ⎥⎣ ⎦ откуда
1
211 (1 ) 0 или ( ) 1
x xy y y y x
=′ ′ ′ ′⎡ ⎤+ + − = = −⎣ ⎦ ,
т.е. окружность и прямая 5y x= − в граничной точке ортогональны. Таким образом, центр окружности при-надлежит прямой 5y x= − и, следовательно, центр ис-комой окружности находится в точке (5,0) пересече-ния прямой 5y x= − с осью абсцисс.
Таким образом, имеем 2 2( 5) 25x y− + = или 210y x x= ± − .
Итак, экстремум может достигаться лишь на дугах окружности 210y x x= − (мак-
симум) и 210y x x= − − (минимум).
![Page 52: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/52.jpg)
52
V. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Рассмотренные ранее задачи характеризовались тем, что их решения должны были удовлетворять некоторым условиям на границе области интегрирования. Однако во мно-гих важных приложениях вариационного исчисления на решение задачи накладываются некоторые дополнительные условия – так называемые условия связи. В этой связи вспомним задачу Дидоны. Контур (т.е. ремень из бычьей шкуры, которым охватывался участок земли) имел вполне определенную длину. Это значит, что функция, дающая ре-шение задачи Дидоны, должна удовлетворять не только граничным условиям, но и допол-нительному условию: длина графика функции фиксирована. В задаче о геодезических ли-ниях кривая ( ), ( )y y x z z x= = должна была принадлежать поверхности ( , , ) 0x y zϕ = .
1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ. Рассмотрим множе-
ство M допустимых вектор - функций 1( ) ( ( ),.., ( ))ny x y x y x= , удовлетворяющих следую-щим условиям:
а) функции ( )iy x определены и непрерывно дифференцируемы на отрезке 0 1[ , ]x x , где 0 1,x x фиксированы;
б) функции ( )iy x удовлетворяют граничным условиям
1 0 10 2 0 20 0 0
1 1 11 2 1 21 1 1
( ) , ( ) ,.., ( ) ,( ) , ( ) ,.., ( ) ,
n n
n n
y x y y x y y x yy x y y x y y x y
= = == = =
(44)
т.е. каждая из кривых ( )iy x проходит через две закрепленные точки; в) функции ( )iy x при всех 0 1[ , ]x x x∈ удовлетворяют конечным связям:
1( , ( ),.., ( )) 0, 1, , ,j nx y x y x j m m nϕ = = < (45)
где функции 1( , ,.., ), 1, ,j nx y y j mϕ = непрерывно дифференцируемы по всем переменным. Предполагается, что уравнения (45) независимы, т.е.
1 1
1
1
...
... ... ... ,
...
n
m m
n
y yrang m
y y
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
а также связи (45) согласованы с граничными условиями (44). Последнее означает, что граничные точки должны удовлетворять уравнениям (45) при 0 1иx x x x= = .
На множестве M задан функционал
1
0
1 1 1[ ( ),.., ( )] ( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( ))x
n n nx
V y x y x F x y x y x y x y x dx′ ′= ∫ , (46)
где функция 1 1( , ,.., , ,.., )n nF x y y y y′ ′ имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно по всем переменным.
Среди допустимых вектор - функций y(x), принадлежащих множеству M , требуется найти вектор – функцию 0 ( ),y x на которой функционал (46) достигает экстремума.
Наиболее естественный путь решения: разрешая систему 1( , ,.., ) 0, 1, ,j nx y y j mϕ = = относительно 1,.., my y (или каких-нибудь других m функций iy ) и подставляя их выраже-ния в 1[ ( ),.., ( )]nV y x y x , мы получим функционал 1[ ,.., ( )]m nW y y x+ , зависящий только от n m− уже независимых аргументов и, следовательно, к функционалу W применимы ра-нее изложенные методы.
![Page 53: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/53.jpg)
53
Однако более удобен другой метод, называемый методом неопределенных множите-лей, сохраняющий полное равноправие переменных.
Теорема (необходимые условия экстремума). Если на вектор - функции 0 0
0 1( ) ( ( ),.., ( ))ny x y x y x M= ∈ функционал (46) достигает экстремума, то функции 0 01 ( ),.., ( )ny x y x удовлетворяют системе уравнений Эйлера
0, 1, ,i i
y y
dF F i ndx ′
− = = (47)
где 1 1 1 1 11
( , ,.., , ,.., ) ( , ,.., , ,.., ) ( ) ( , ,.., ).m
n n n n j j nj
F x y y y y F x y y y y dx x x y yλ ϕ=
′ ′ ′ ′= +∑
Доказательство. Воспользуемся необходимым условием экстремума 0[ ( )] 0V y xδ = . Для этого выделим из приращения функционала VΔ линейную относительно 1,.., ny yδ δ часть:
( ) ( )
1
0
0 0 0 01 1 1 1
0 0 0 01 1
0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1
[ ( , ( ) ,.., ( ) , ( ) ,.., ( ) )
( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )]
, ( ), , ( ), ( ), , ( ) , ( ), , ( ), ( ), , ( )i i
x
n n n nx
n n
y n n i n n iy
V F x y x y y x y y x y y x y
F x y x y x y x y x dx
F x y x y x y x y x y F x y x y x y x y x y
δ δ δ δ
δ δ′
′ ′ ′ ′Δ = + + + + −
′ ′− =
⎡ ′ ′ ′ ′ ′= +⎣
∫
… … … …1
0
11
,x n
ix
dx ε=
⎤ +⎢ ⎥⎦∑∫ где 1ε - величина порядка малости выше первого относительно 1
0 1[ , ]|| ||i C x x
yδ .
Проинтегрируем по частям вторые слагаемые в каждой скобке, полагая
0 0 0 01 1
0 0 0 01 1
( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )), ,
( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )) ,
i
i
y n n i
y n n i
u F x y x y x y x y x dv y dx
ddu F x y x y x y x y x dx v ydx
δ
δ
′
′
⎡ ⎤′ ′ ′= =⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′= =⎢ ⎥⎣ ⎦
и примем во внимание, что 0 1( ) ( ) 0i iy x y xδ δ= = . Тогда
1
0
'
0 0 0 01 1
1
0 0 0 01 1 1
( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( ))
( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )) .
i
i
x n
y n nix
n n iy
V F x y x y x y x y x
d F x y x y x y x y x y dxdx
δ ε
=
⎡ ′ ′Δ = −⎣
⎤′ ′− +⎥⎦
∑∫
Так как функции 1( ),.., ( )ny x y x подчинены m независимым связям
1( , ,.., ) 0, 1,j nx y y j mϕ = = , то вариации , 1,iy i nδ = не произвольны. Имеем
0 0 0 01 1 1
0 01
1
0 ( , ( ) ,.., ( ) ) ( , ( ),.., ( ))
( , ( ),.., ( )) ,
j n n j n
nj
n i ji i
x y x y y x y x y x y x
x y x y x y Ry
ϕ δ δ ϕ
ϕδ
=
= + + − =
∂= +
∂∑ (48)
где величины jR имеют порядок малости выше первого относительно iyδ . Таким образом, только n m− из вариаций iyδ можно считать произвольными. Умножая почленно каждое из уравнений (48) на ( )j xλ и интегрируя по x в пределах
от 0 1доx x , получим 1
01
( ) 0x n
j jj i
i ix
x y dxyϕ
λ δ ε=
∂+ =
∂∑∫ ,
![Page 54: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/54.jpg)
54
где jε - величины порядка малости выше первого относительно iyδ . Таким образом, 1 1
0 0
1
0
11 1 1 1
1 1
[ ] ( )
( ) .
i i
i i
x xn m n nj j
y j iyi j i jix x
x n mi
y i iyi j jx
dV F F dx x y dxdx y
dF x F y dxy dx
ϕλ δ ε ε
ϕλ δ ε
′= = = =
′= =
∂Δ = − + + + =
∂
⎡ ⎤∂= + − +⎢ ⎥
∂⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫
∑ ∑∫
Следовательно, 1
0
01 1
[ ( )] ( ) 0.i i
x n mj
y j iyi j ix
dV y x F x F y dxy dxϕ
δ λ δ′
= =
∂⎡ ⎤= + − =⎢ ⎥∂⎣ ⎦∑ ∑∫
Если ввести обозначение
1 1 1 1 11
( , ,.., , ,.., ) ( , ,.., , ,.., ) ( ) ( , ,.., ),m
n n n n j j nj
F x y y y y F x y y y y x x y yλ ϕ=
′ ′ ′ ′= +∑
где функции 1 1( , ,.., , ,.., )n nF x y y y y′ ′ называется функцией Лагранжа, а функции
( ), 1,j x j mλ = - множителями Лагранжа, последнее уравнение примет вид
1
01
0.i i
x n
y iyix
dF F y dxdx
δ′
=
⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ (49)
Не ограничивая общности, предположим, что
1 1
1
1
...
det ... ... ... 0
...
m
m m
m
y y
y y
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟ ≠⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
и выберем m множителей 1( ),.., ( )mx xλ λ так, чтобы они удовлетворяли m уравнениям Эйлера
0, 1,i i
y y
dF F i mdx ′
− = = (50)
или в развернутом виде
1
( ) 0, 1, .i i
mj
y j yj i
dF x F i my dxϕ
λ′
=
∂+ − = =
∂∑
Эти уравнения образуют линейную по отношению к ( )j xλ систему с отличными от нуля определителем, следовательно, это система имеет единственное решение.
При таком выборе ( )i xλ ,…, ( )m xλ уравнение (49) принимает вид: 1
01
0i i
x n
y iyi mx
dF F y dxdx
δ′
= +
⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ .
Так как для функций 0 01 ( ),.., ( )ny x y x , реализующих экстремум функционала
1[ ( ),.., ( )]nV y x y x , это функциональное уравнение обращается в тождество уже при произ-
вольном выборе , 1,iy i m nδ = + , то теперь можно применять лемму Лагранжа. Положив по очереди все iyδ , кроме одного, равными 0 и применив лемму, получим
0, 1, .i i
y y
dF F i m ndx ′
− = = +
Принимая во внимание полученные выше уравнения (50), окончательно будем иметь, что функции 0 0
1 ( ),.., ( )ny x y x , реализующие условный экстремум функционала
![Page 55: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/55.jpg)
55
1[ ( ),.., ( )]nV y x y x , и множители ( )j xλ должны удовлетворять системе уравнений Эйлера (47).
Пример 1. Найти экстремаль функционала
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 2 2 21 2 1 2 1 2
0
, ,V y x y x y x y x y x y x dx
π
′ ′⎡ ⎤= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
удовлетворяющую граничным условиям ( ) ( )1 2 1 20 1, 0 1, 1, 12 2
y y y yπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
и урав-
нению связи 1 2 2cos 0.y y x− − = .
Прежде всего, заметим, что граничные условия и уравнение связи согласованы: ( ) ( )1 2
1 2
0 0 2cos0 1 1 2 1 0,
2cos 1 1 2 0 0.2 2 2
y y
y yπ π π
− − = + − ⋅ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Составим функцию Лагранжа ( )( )2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2cos .F y y y y x y y xλ′ ′= + − − + − − Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так как
( )
( )
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 ; 2 ; 2 ;
2 ; 2 ; 2 ,
y y y
y y y
dF y x F y F ydxdF y x F y F ydx
λ
λ
′ ′
′ ′
′ ′′= + = − = −
′ ′′= + = − = −
то имеем ( )( )
1 1
2 2
1 2
2 2 0,
2 2 0,2cos 0.
y x y
y x yy y x
λ
λ
′′+ + =⎧⎪
′′− + =⎨⎪ − − =⎩
Найдём общее решение системы. Складывая первые два уравнения, получаем
( ) ( )1 2 1 22 2 0y y y y ′′+ + + = ⇒ ( ) ( )1 2 1 22 2 0y y y y ′′+ + + = ⇒
( ) ( )1 2 1 2 0y y y y′′+ + + = или, вводя обозначение 1 2z y y= + , имеем 0.z z′′+ = Характеристическое уравнение
2 1 0λ + = имеет корни 1,2 iλ = ± , поэтому
1 2 1 2cos sinz y y c x c x= + = + . С другой стороны, из третьего уравнения системы следует, что 1 2 2cos .y y x− = От-
сюда
1 1 2
2 1 2
2 cos sin 2cos ,2 cos sin 2cos
y c x c x xy c x c x x= + +⎧
⇒⎨ = + −⎩
1 21
1 22
cos sin cos ,2 2
cos sin cos2 2
c cy x x x
c cy x x x
⎧ = + +⎪⎪⎨⎪ = + −⎪⎩
и ( ) 2 22 2 0.x y yλ ′′= + = Определим постоянные 1c и 2c из граничных условий:
![Page 56: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/56.jpg)
56
1
1
1
2 2
2
1 1,2
1 1, 0,221,
2
12
c
cc
c c
c
⎧ + =⎪⎪⎪ − = − =⎪ ⎧
⇒⎨ ⎨ =⎩⎪ =⎪⎪⎪ =⎩
Следовательно ( ) ( )0 0
1 2sin cos ,. sin cos .y x x x y x x x= + = − Пример 2 (задача о геодезических линиях). Найти минимум функционала
1
0
2 2[ ( ), ( )] 1 ( ) ( )x
x
L y x z x y x z x dx′ ′= + +∫ при условии связи ( , , ) 0x y zϕ = и граничных услови-
ях 0 0 1 1 0 0 1 1( ) , ( ) , ( ) , ( ) .y x y y x y z x z z x z= = = = (51) Составим функцию Лагранжа
2 21 ( ) ( , , )F y z x x y zλ ϕ′ ′= + + + и запишем систему уравнений Эйлера, а также условие связи ( , , ) 0x y zϕ = :
2 2
2 2
( ) 0,1
( ) 0,1
( , , ) 0.
d yxy dx y z
d zxz dx y z
x y z
ϕλ
ϕλ
ϕ
′∂⎧ − =⎪ ∂ ′ ′+ +⎪⎪ ′∂⎨ − =⎪ ∂ ′ ′+ +⎪⎪ =⎩
Из этих трех уравнений с учетом граничных условий (51) определяются искомые функции ( )y x и ( )z x .
2. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ. Рассмот-
рим множество M допустимых вектор - функций ( )y x , удовлетворяющих условиям а), б) пункта 1 и
в) функции ( )iy x при всех 0 1[ , ]x x x∈ удовлетворяют дифференциальным связям
1 1( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )) 0, 1, , ,j n nx y x y x y x y x j m m nϕ ′ ′ = = < (52)
где функции 1 1( , ,.., , ,.., ) 0, 1, ,j n nx y y y y j mϕ ′ ′ = = непрерывно дифференцируемы по всем аргументам.
Предполагается, что уравнения (52) независимы, т.е. 1 1
1
1
...
... ... ... .
...
n
m m
n
y yrang m
y y
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′∂ ∂⎝ ⎠
Среди допустимых вектор - функций ( )y x , принадлежащих классу M , требуется найти вектор - функцию 0 ( )y x , на которой функционал (46) достигает экстремума.
![Page 57: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Сформулированная задача называется задачей Лагранжа (опубликована в 1788 г. в “Аналитической механике”).
Теорема (необходимые условия экстремума). Если на вектор - функции 0 0
0 ( ) ( ( ),.., ( ))i ny x y x y x M= ∈ функционал (46) достигает экстремума, то функции 0 01 ( ),.., ( )ny x y x удовлетворяют системе уравнений Эйлера
0, 1, ,i iy ydF F i ndx
′− = =
где 1 1 1 1 1 11
( , ,.., , ,.., ) ( , ,.., , ,.., ) ( ) ( , ,.., , ,.., ).m
n n n n j j n nj
F x y y y y F x y y y y dx x x y y y yλ ϕ=
′ ′ ′ ′ ′ ′= +∑
Доказательство проводится аналогично случаю 1. Пример 3. Найти экстремаль функционала
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2 2 21 2 1 1 2
0
, 2 ,V y x y x y x y x y x dx′ ′⎡ ⎤= + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫
удовлетворяющую граничным условиям ( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 1 20 1, 0 1, 1 , 1 2y y y e e y e e− −= = − = + = −
и дифференциальной связи 1 2 0y y′ − = . Составим функцию Лагранжа
( )( )2 2 21 1 2 1 22 .F y y y x y yλ′ ′ ′= + + + −
Запишем систему уравнений Эйлера и уравнение связи. Так как
( ) ( )
( )
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2
2 ; 4 ; 4 ;
; 2 ; 2 ,
y y y
y y y
dF y F y x F y xdx
dF x F y F ydx
λ λ
λ
′ ′
′ ′
′ ′′ ′= = + = +
′ ′′= − = =
то имеем ( )
( )1 1
2
1 2
2 4 0,
2 0,0
y y x
x yy y
λ
λ
′′ ′− − =⎧⎪
′′− − = ⇒⎨⎪ ′ − =⎩
( )( )
1 1
2
2 1
2 4 ,
2 ,
x y y
x yy y
λ
λ
′ ′′= −⎧⎪
′′= − ⇒⎨⎪ ′=⎩
( )1 1 1
2
2 1
2 4 2 ,2 ,
IVy y yx y
y yλ
′′⎧ − = −⎪
′′⇒ = − ⇒⎨⎪ ′=⎩ ( )
1 1 1
2 1
2
2 2 0,,
2 .
IVy y yy y
x yλ
⎧ ′′− + =⎪ ′=⎨⎪ ′′= −⎩
Решим отдельно первое уравнение системы. Характеристическое уравнение системы имеет вид.
( )24 2 21,2 3,42 1 0 1 0 1, 1.λ λ λ λ λ− + = ⇒ − = ⇒ = = −
Следовательно ( )( )
1 1 2 3 4
2 1 2 2 3 4 4
,
.
x x x x
x x x x x x
y x c e c xe c e c xe
y x c e c e c xe c e c e c xe
− −
− − −
⎧ = + + +⎪⎨
= + + − + −⎪⎩ Определим постоянные 1c , 2c , 3c и 4c из граничных условий:
![Page 58: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/58.jpg)
58
( ) ( )( )
1 3
1 2 3 4
1 11 2 3 4
1 11 2 3
1,0,
,
2 2
c cc c c c
c c e c c e e e
c c e c e e e
− −
− −
+ =⎧⎪ + − + =⎪ ⇒⎨ + + + = +⎪⎪ + − = −⎩
( ) ( )( )
( ) ( )
( )
1 1 11 3 3 4
1 2 3 4 1 31 1
3 4 3 4 2 3 41 1 1 1
1 2 3 1 2 3
1, ,, 1 ,
, 2 1,2 2 2 2
c c c e e c e e e ec c c c c cc c e c c e e e c c cc c e c e e e c c e c e e e
− − −
− −
− − − −
⎧+ =⎧ + + − + = +⎪⎪ + = − = −⎪⎪ ⇒ ⇒⎨ ⎨− + + = + = − −⎪ ⎪
⎪ ⎪+ − = − + − = −⎩ ⎩
2
3 42
24
1 423
21
2 422
2 21 1
4 42 2
1 1,1
0,1 ,1,1
3 0,1,1 1.
5 12 1 21 1
ec ce
cec cce
e cc ce c
e ec e c e e ee e
− −
⎧ −= +⎪ +⎪
=⎧−⎪= − ⎪⎪ =+⎪ ⎪⇒⎨ ⎨− =⎪ ⎪= +
⎪ ⎪+ =⎩⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎪ + − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩
Отсюда ( ) ( ) ( )0 0
1 2,. 1 .x x x xy x xe e y x x e e− −= + = + − 3. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ СВЯЗЯМИ. Рассмотрим
множество M допустимых вектор – функций 1( ) ( ( ),.., ( ))ny x y x y x= , удовлетворяющих условиям а), б) пункта 1 и
в) функции ( )iy x удовлетворяют интегральным связям
1
0
1 1( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )) , , 1, ,x
j n n jx
h x y x y x y x y x dx L j s′ ′ = =∫ (53)
где функции 1 1( , ,.., , ,.., )j n nh x y y y y′ ′ непрерывно дифференцируемы по всем переменным,
jL - заданные числа. Количество s интегральных связей может быть больше, меньше, равно n .
Среди допустимых вектор - функций ( )y x , принадлежащих классу ,M требуется найти вектор - функцию 0 ( )y x , на которой функционал (46) достигает экстремума.
Сформулированную задачу называют изопериметрической, рассматривая её как обобщение классической задачи определения среди плоских фигур одинакового перимет-ра такой фигуры, которая имеет наибольшую площадь.
Отметим, что изопериметрическую задачу (44), (46), (53) можно свести к задаче Ла-гранжа, если ввести новые функции
0
1 1( ) ( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )) , 1, .x
j j n nx
x h t y t y t y t y t dt j sψ ′ ′= =∫ (54)
Тогда вместо интегральных соотношений (53) получим дифференциальные соотно-шения
1 1( ) ( , ( ),.., ( ), ( ),.., ( )), 1, ,j j n nx h x y x y x y x y x j sψ ′ ′ ′= = (55) при этом согласно (53) и (54) имеем
![Page 59: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/59.jpg)
59
0 1( ) 0, ( ) , 1, .j j jx x L j sψ ψ= = = (56) Таким образом, изопериметрическая задача эквивалентна следующей задаче Ла-
гранжа: найти систему n s+ функций 1 1( ),.., ( ), ( ),.., ( )n sy x y x x xψ ψ , связанных соотноше-
ниями (55) и удовлетворяющих граничным условиям (44) для функций ( ), 1,iy x i n= и ус-
ловиям (56) для функций ( ), 1,j x j sψ = , которая доставляет экстремум функционалу (46). Теорема (необходимые условия экстремума). Если на вектор - функции
0 00 ( ) ( ( ),.., ( ))i ny x y x y x M= ∈ функционал (46) достигает экстремума, то функции 0 01 ( ),.., ( )ny x y x удовлетворяют системе уравнений Эйлера
' 0, 1, ,i iy ydF F i ndx
− = =
где 1 1 1 1 1 11
( , ,.., , ,.., ) ( , ,.., , ,.., ) ( , ,.., , ,.., ).s
n n n n j j n nj
F x y y y y F x y y y y dx h x y y y yλ=
′ ′ ′ ′ ′ ′= +∑
Доказательство опирается на возможность приведения изопериметрической задачи к задаче Лагранжа и теорему из пункта 2.
Пример 4. Найти экстремаль функционала
( ) ( ) ( ) ( )1
1 2 1 20
, ,V y x y x y x y x dx′ ′=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫
удовлетворяющую граничным условиям ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 20 0 1 0, 1 1y y y y= = = = и интеграль-
ным связям ( ) ( )1 1
1 20 0
1, 0y x dx y x dx= =∫ ∫ .
Составим функцию Лагранжа 1 2 1 1 2 2 .F y y y yλ λ′ ′= + + Запишем систему уравнений Эйлера. Так как
1 1 1
2 2 2
1 2 2
2 1 1
; ; ;
; ; ,
y y y
y y y
dF F y F ydxdF F y F ydx
λ
λ
′ ′
′ ′
′ ′′= = =
′ ′′= = =
то имеем 1 2
2 1
0,0
yy
λλ
′′− =⎧⇒⎨ ′′− =⎩
2 1
1 2
,.
yy
λλ
′′ =⎧⎨ ′′=⎩
Найдём общее решение системы и выражения для 1λ и 2λ :
( )
( )
211 1 2
1 1 11 1
22 2 32 2 22 3 4
,,, 2
.2
y x x c x cy x cyy x cy y x x c x c
λλλλλ λ
⎧ = + +⎪′′′ = += ⎧⎧ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨′′′ = +=⎩ ⎩ ⎪ = + +⎪⎩
В силу условий связи
( )
( )
11 12 3 22 2 1 2 1
1 1 2 2 20 0 0
11 12 3 23 31 1 1
2 3 4 4 40 0 0
1,2 6 2 6 2
0.2 6 2 6 2
c cy x dx x c x c dx x x c x c
c cy x dx x c x c dx x x c x c
λ λ λ
λ λ λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + + = + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤= + + = + + = + + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
Определим постоянные 1c , 2c , 3c и 4c из граничных условий и полученных соотно-шений:
![Page 60: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/60.jpg)
60
2
42 2
21 2 4 4
2 1 313 4
1 3 1
2 1 2 1 22
1 3 1
314
0,0,
0, 0,0, 0, 0,2
2 , 2,1, 2 2 , 6,2
6 3 , 12,1,6 2 3 6.
06 2
cc
c cc c c c
c cc c c cc cc
cc c
λ
λλλ
λ λ λλ λ
λ
=⎧⎪ =⎪ = =⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪+ + = = =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= − = −⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨+ + = = − =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= − = −+ + =⎪ ⎪ ⎪
= − =⎪⎪⎪ ⎩⎩⎪
+ + =⎪⎩
Следовательно ( ) ( )0 2 0 2
1 26 6 ,. 3 2 .y x x x y x x x= − + = − Пример 5 (задача Дидоны). Исследовать на экстремум функционал
1
0
[ ( )] ( )x
x
S y x y x dx= ∫ при условии связи 1
0
21 ( )x
x
y x dx L′+ =∫ и граничных условиях
0 0 1 1( ) , ( )y x y y x y= = .
Составим функцию Лагранжа 21F y yλ ′= + + и запишем уравнение Эйлера
12 21 0
1 1d y y x cdx y y
λ λ′ ′− = ⇒ = +
′ ′+ + или 121
yx cy
λ ′= −
′+.
Введем параметр 1siny tgp x p cλ′ = ⇒ = − , cosdx pdpλ= . Тогда '
2cos sin cosdy y dx tgp pdp pdp y p cλ λ λ= = ⋅ ⋅ = ⇒ = − + . Окончательно получим
1 2 2 21 2
2
sin ,( ) ( ) .
cosx p c
x c y cy p c
λλ
λ= −⎧
⇒ + + − =⎨ = − +⎩
Постоянные 1 2, ,c c λ определяются из граничных условий 0 0 1 1( ) , ( )y x y y x y= = и ус-
ловия связи 1
0
21 ( ) .x
x
y x dx L′+ =∫
Пример 6. Мерой неопределенности непрерывной случайной величины X с извест-ной плотностью вероятности ( )f x является дифференциальная энтропия [ ],H X опреде-ляемая формулой
[ ] ( ) ln ( ) ,H X f x f x dx∞
−∞
= − ∫
причем ( ) ln ( ) 0f x f x = для тех значений ,x где ( ) 0.f x = Среди всех законов распределения на R непрерывной случайной величины ,X для
которой задана одна и та же дисперсия 2 ,σ найти закон распределения с максимальной дифференциальной энтропией.
Таким образом, требуется найти максимум функционала
[ ( )] ( ) ln ( )V f x f x f x dx∞
−∞
= − ∫
при дополнительных условиях
2 2( ) 1, ( ) ( ) ,f x dx x x f x dx σ∞ ∞
−∞ −∞
= − =∫ ∫
![Page 61: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/61.jpg)
61
где x − математическое ожидание случайной величины .X Функция Лагранжа в данном случае имеет вид 2
1 2ln ( ) .L f f f x x fλ λ= − + + − Следовательно, уравнение Эйлера для определения ( )f x имеет вид 2
1 2ln 1 ( ) 0,f x xλ λ− − + + − = откуда
2
2 ( )( ) ,x xf x Ceλ −= где 1 1.C eλ −= Из дополнительных условий находим
2 2
1 1, .22
C λσπσ
= = −
Можно показать, что найденное решение 2
2( )
21( )2
x x
f x e σ
πσ
−−
= соответствует макси-
муму энтропии.
![Page 62: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/62.jpg)
62
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Последняя цифра номера зачетки совпадает с последней цифрой номера примера.
I. Решить простейшую вариационную задачу:
1. 2 2
1
2 ( )[ ( )] ( ) '( ) ' ( ) , (1) 1, ( ) 0;e y xV y x y x y x x y x dx y y e
x⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
2. ( )3
2
1
[ ( )] 2 ( ) ( ) '( ) ' ( ) , (1) 1, (3) 4;V y x y x y x y x xy x dx y y= − + = =∫
3. ( )4
2 2
0
[ ( )] 4 ( ) ' ( ) 8 ( ) , (0) 1, 0;4
V y x y x y x y x dx y yπ
π⎛ ⎞= + + = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
4. ( ) ( )1
2 2 2 2
0
1 1[ ( )] ' ( ) ( ) 2 ( ) , (0) , 1 ;3 3
xV y x y x y x e y x dx y y e= + + = =∫
5. ( )2
2 2
0
4[ ( )] ' ( ) 4 ( ) 2 ( )cos , (0) , ;5 2
V y x y x y x y x x dx y y eπ
ππ⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
6. ( ) ( )1
2 2 2
2
1[ ( )] ' ( ) 12 ( ) , ( 2) , 1 1;16
V y x x y x y x dx y y−
−
= + − = − =∫
7. ( ) ( )2
2 2
1
[ ( )] 2 ( ) ( ) '( ) ' ( ) , (1) 0, 2 1 ln 2;V y x y x y x y x x y x dx y y= + + = = +∫
8. ( ) ( )2
0
[ ( )] ( '( ) ( )) 2 ( )sin , (0) 0, 1;V y x y x y x y x x dx y yπ
= + + = π =∫
9. ( )4
2
4
[ ( )] ( )(1 ' ( )) , ( 4) 5, 4 5;V y x y x y x dx y y−
= + − = =∫
10. ( )2 2 2
31
3 ( ) ' ( )[ ( )] 8 ( ) , (1) 0, 2 8ln 2;y x y xV y x y x dx y yx x
⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
11. ( )2 2
22
1
6 ( )[ ( )] ' ( ) 32 ( ) ln , (1) 3, 2 4(4ln 2 3);y xV y x y x y x x dx y yx
⎛ ⎞= + − = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
12. ( ) ( )2
2 2 2 2
1
[ ( )] ' ( ) 2 ( ) 32 ( ) ln , (1) 5, 2 4(4ln 2 5);V y x x y x y x x y x x dx y y= + + = − = −∫
13. ( )3
20
'( )[ ( )] , (0) 1, 3 4;1 ' ( )
y xV y x dx y yy x
= = =+
∫
14. ( ) ( )2
2
1
[ ( )] ' ( ) 2 ( ) '( ) , (1) 0, 2 ln 2;V y x xy x y x y x dx y y= + = =∫
15. ( ) ( )2
2
1
1 1[ ( )] ' ( ) ( ) '( ) ( ) , (1) , 2 ln 2;8 2
V y x xy x y x y x xy x dx y y= + + = = −∫
16. 2
2
4
1[ ( )] ( ) ' ( ) sin , ln 2, 0;2 4 2
V y x y x y x xdx y yπ
π
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫
17. ( )2 2 2
31
' ( ) 7[ ( )] , (1) 0, 2 ;2 1 2
x y xV y x dx y yx
= = =+∫
18. ( )1
2
0
1 3[ ( )] (1 ) ( ) ' ( ) , (0) 1, 1 ;2 2
x xV y x x e y x e y x dx y y⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
![Page 63: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/63.jpg)
63
19. ( )2 2 2
23
1
3 ( ) ' ( ) 1[ ( )] , (1) 2, 2 8 ;2
y x y xV y x x dx y yx x
⎛ ⎞= + + = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
20. ( )4 2
2
1
( ) 1[ ( )] ' ( ) , (1) 2, 4 4 ;22
y xV y x x y x dx y yx x
⎛ ⎞= + = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
21. ( ) ( )7
2 3 2
2
[ ( )] cos 3 ( ) ( ( )) '( ) , (2) 3, 7 0;V y x x x y x x y x y x dx y y= + + − = =∫
22. ( ) ( )1
2 2
2
3[ ( )] 2 ( ) '( ) ' ( ) , ( 2) , 1 2;2
V y x y x y x x y x dx y y−
−
= − − = − =∫
23. ( ) ( )1
2
0
1[ ( )] ( ) '( ) 2 ' ( ) , (0) 1, 1 ch ;2
V y x xy x y x y x dx y y= − = =∫
24. ( )2
2 2
0
[ ( )] ' ( ) 2 ( ) '( ) 4 ( ) , (0) 0, sh ;2
V y x y x y x y x y x dx y yπ
π⎛ ⎞= + + = = π⎜ ⎟⎝ ⎠∫
25. ( )5 3 2
41
2 ' ( ) ' ( )[ ( )] , (1) 2, 5 14;' ( ) 2
y x y xV y x dx y yy x
+= = =
+∫
26. ( )1
3 2 2
2
6 ( ) 1[ ( )] ' ( ) 3 ( ) , ( 2) , 1 1;4
y xV y x x y x xy x dx y yx
−
−
⎛ ⎞= + − − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
27. ( )3
2 2
3
[ ( )] ' ( ) 6 ( )sin cos , 1, 1;3 3
V y x y x y x x xdx y yπ
π−
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫
28. ( ) ( ) ( )1
2
0
1[ ( )] ( '( ) ) 2 ( ) , 0 1, 1 ;2
xV y x e y x x y x dx y y= − + = =∫
29. ( ) ( ) ( )1
3 2 2
2
15[ ( )] ' ( ) 3 ( ) , 2 , 1 0;8
V y x x y x xy x dx y y−
−
= + − = − =∫
30. ( ) ( )2
2 2
1
1[ ( )] ( '( ) ( )) (1 ) '( ) , (1) , 2 1;2
V y x xy x y x x y x dx y y= + + + = − =∫
31. ( ) ( )2
2 2 1 2
0
[ ( )] 4 ' ( ) ( ) 6 '( ) , (0) 2, 2 ;xV y x y x y x e y x dx y y e e−= + − = = +∫
32. ( ) ( )2
2 2
1
[ ( )] ( ) ( ) ( ) '( ) , (1) 0, 2 3;V y x y x x y x xy x y x dx y y= − + = =∫
33. ( ) ( )2 2 2
0
[ ( )] ' ( ) 8 '( )sin 4 ( ) , (0) 0, ;V y x y x y x x y x dx y yπ
= + + = π = π∫
34. ( ) ( )1
2 2 2 1
0
[ ( )] ' ( ) ( ) '( ) , (0) 1, 1 1 ;V y x y x y x x y x dx y y e−= + + = = +∫
35. ( ) ( )2 2
0
[ ( )] ' ( ) ( ) 4 ( )sin , (0) 1, ;V y x y x y x y x x dx y y eπ
π= + − = π =∫
36. ( ) ( )2 2 2
0
[ ( )] ' ( ) ( ) 10 '( )( sin ) , (0) 6, 5 ;V y x y x y x y x x x dx y y eπ
−π= + + + = π = +∫
37. ( ) ( )1
2 2 7 3
1
[ ( )] ' ( ) 6 ( ) , ( 1) 0, 1 ;xV y x e y x y x dx y y e e−
−
= + − = = −∫
38. ( ) ( )2
2 2
1
[ ( )] ' ( ) ( ) '( ) 12 ( ) , (1) 1, 2 5;V y x x y x y x y x xy x dx y y= + + = =∫
![Page 64: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/64.jpg)
64
39. ( ) ( )2
3 2 2
1
[ ( )] 24 ( ) ( ) '( ) ' ( ) , (1) 1, 2 7.V y x x y x y x y x x y x dx y y= − − = = −∫
40. ( )4 2
22
1
3 ( )[ ( )] ' ( ) , (1) 1, 4 8.4y xV y x y x dx y y
x⎛ ⎞
= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫
II. Решить задачу с подвижным или свободным концом:
1. ( )2
2
0
[ ( )] 2 ( ) ' ( ) , (0) 0;V y x xy x y x dx y= + =∫
2. ( )1
2
0
[ ( )] 2 ( ) 6 '( ) ' ( ) , (0) 0;V y x y x y x y x dx y= + + =∫
3. ( )2
2 2 2 3
1
1[ ( )] ' ( ) 6 ( ) 2 ( ) , (1) ;6
V y x x y x y x x y x dx y= + + =∫
4. ( )1
2
0
[ ( )] ( ) '( ) ' ( ) , (0) 0;V y x y x xy x y x dx y= + + =∫
5. ( )2
2 2 2
1
[ ( )] ' ( ) 12 ( ) , (1) 97;V y x x y x y x dx y= + =∫
6. 2 2 2
31
' ( ) 3 ( ) 19[ ( )] , (2) ;2
y x y xV y x dx yx x
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
7. ( )2
3 2 2
1
49[ ( )] ' ( ) 3 ( ) , (2) ;24
V y x x y x xy x dx y= + =∫
8. ( )2
3 2 2 2 2
1
[ ( )] ' ( ) 8( ) ( ) '( ) 4 ( ) 8 '( ) , (2) 7;V y x x y x x x y x y x y x x y x dx y= − − + + = −∫
9. ( )3
2
1
[ ( )] 8 ( ) '( ) ln ' ( ) 6 '( ) , (3) 15;V y x y x y x x xy x xy x dx y= − + =∫
10. 2
2
1
1 2( 1) 8 '( )[ ( )] ' ( ) ( ) '( ) , (2) 10;2
x y xV y x y x y x y x dx yx x−⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
11. 1
21 1
1
[ ( )] ' ( ) , (0) 0, 1;x
V y x y x dx y y x= = = − −∫
12. 1
0
2 20 0 1 1[ ( )] 1 ' ( ) , , 5;
x
x
V y x y x dx y x y x= + = = −∫
13. 1 2
1 10
1 ' ( )[ ( )] , (0) 1, 1;
( )
x y xV y x dx y y x
y x+
= = = −∫
14. 1 2
1 10
1 ' ( )[ ( )] , (0) 0, 4 4 0;
3
x y xV y x dx y y x
x+
= = + − =−∫
15. 1 2
2 21 1
0
1 ' ( )[ ( )] , (0) 0, ( 1) ( 5) 4 0;
1
x y xV y x dx y y x
x+
= = − + − − =−∫
16. 1 2
1 10
1 ' ( )[ ( )] , (0) 0, 10;
( )
x y xV y x dx y y x
y x+
= = = −∫
17. 1
0
2 20 0 1 1[ ( )] 1 ' ( ) , , 1;
x
x
V y x y x dx y x y x= + = = −∫
18. 1
0
2 2 2 2 20 0 1 1[ ( )] 1 ' ( ) , 1, ( 10) 4;
x
x
V y x y x dx y x y x= + + = + − =∫
![Page 65: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/65.jpg)
65
19. 1
0
2 20 0 1 1[ ( )] 1 ' ( ) , 2, ;
x
x
V y x y x dx y x y x= + = + =∫
20. 1
2 2 21 1
1
[ ( )] 1 ' ( ) , (1) 0, 9 4 36.x
V y x y x dx y y x= + = + =∫
III. Решить задачу на условный экстремум:
1. 2
0 0
[ ( )] ' ( ) , (0) 0, ( ) , ( )sin 0;V y x y x dx y y y x xdxπ π
= = π = π =∫ ∫
2. 1 1
2
0 0
[ ( )] ' ( ) , (0) 0, (1) 3, ( ) 0;xV y x y x dx y y e y x e dx= = = − =∫ ∫
3. 1 1
2
0 0
[ ( )] ' ( ) , (0) 2 1, (1) 2, ( ) ;xV y x y x dx y e y y x e dx e−= = + = =∫ ∫
4. 1 1
2
0 0
[ ( )] ' ( ) , (0) 0, (1) 2, ( ) 1;V y x y x dx y y xy x dx= = = =∫ ∫
5. ( )1 1 1
2 2
0 0
3[ ( )] ( ) ' ( ) , (0) 0, (1) 1, ( ) ;4
x e eV y x y x y x dx y y y x e dx−
− −= + = = − =∫ ∫
6. ( )1 1
2 2 2
0 0
[ ( )] ( ) ' ( ) , (0) 0, (1) 4 , ( ) 1 ;xV y x y x y x dx y y e y x e dx e= + = = = +∫ ∫
7. ( )1 1
2
0 0
[ ( )] 2 ( ) ' ( ) , (0) 0, (1) 3, ( ) 1;V y x xy x y x dx y y xy x dx= + = = =∫ ∫
8. 2 2
2
1 1
[ ( )] ' ( ) , (1) 0, (21) 12, ( ) 9;V y x xy x dx y y xy x dx= = = =∫ ∫
9. ( )2 2 2
0 0
[ ( )] 2 ( ) 3 '( ) ' ( ) , (0) 0, ( ) , ( )sin 1;V y x y x y x y x dx y y y x xdxπ π
= + + = π = π = π −∫ ∫
10. ( )2 2
0 0
[ ( )] ' ( ) ( ) 2 ( )cos , (0) 2, ( ) 2, ( )cos ;V y x y x y x y x x dx y y y x xdxπ π
= + + = π = − = π∫ ∫
11. ( )1
2 21 2 1 2 1 1 2 2
0
1 2
[ ( ), ( )] ' ( ) ' ( ) , (0) 0, (1) 1, (0) 1, (1) 0,
'( ) ( ) 0;
V y x y x y x y x dx y y y y
y x y x
= + = = = =
− =
∫
12. 1
2 21 2 1 2 1 1 2 2
0
1 2
[ ( ), ( )] 1 ' ( ) ' ( ) , (0) 1, (1) 2, (0) 2, (1) 1,
2 ( ) ( ) 3 0;
V y x y x y x y x dx y y y y
y x y x x
= + + = = = =
− − =
∫
13. ( )2
2 21 2 1 2 1 1 2 2
0
1 2
1[ ( ), ( )] ' ( ) ' ( ) , (0) 0, , (0) 0, ,2 4 2 2
'( ) ( ) sin 0;
V y x y x y x y x dx y y y y
y x y x x
ππ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠− − =
∫
14. ( )1
2 21 2 1 2 1 1 2 2
02
1 2
[ ( ), ( )] ' ( ) ' ( ) , (0) 1, (1) 1, (0) 0, (1) 1,
( ) ( ) 2 1 0;
V y x y x y x y x dx y y y y
y x y x x x
= + = − = − = =
+ − + + =
∫
15. ( ) ( )
( )
12 2 2 1
1 2 1 1 2 1 10
12 2 1 2
[ ( ), ( )] ( ) 2 ' ( ) ' ( ) , (0) 1, 1 ,
(0) 0, 1 2 , '( ) ( ) 0;
V y x y x y x y x y x dx y y e e
y y e e y x y x
−
−
= + + = = +
= = − − =
∫
![Page 66: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/66.jpg)
66
16. ( )1
2 21 2 1 2 1 1 2 2
02
1 2
[ ( ), ( )] ' ( ) ' ( ) 1 , (0) 0, (1) 2, (0) 0, (1) 0,
( ) ( ) 2 0;
V y x y x y x y x dx y y y y
y x y x x
= + + = = = =
+ − =
∫
17. ( )2 21 2 1 2 1 1 2 2
0
1 2
[ ( ), ( )] ' ( ) ' ( ) , (0) 0, ( ) 0, (0) 0, ( ) ,2
'( ) ( ) cos 0;
V y x y x y x y x dx y y y y
y x y x x x
π π= + = π = = π =
− − =
∫
18. ( )1
2 2 31 2 1 2 1 1 2 2
0
1 2
[ ( ), ( )] ' ( ) ' ( ) , (0) 2, (1) 1, (0) 1, (1) 2,
( ) 2 ( ) 3 0;
V y x y x y x y x x dx y y y y
y x y x x
= + + = = = =
− + =
∫
19. ( )22
2 21 2 1 2 1 2 1 1
02
2 2 1 2
[ ( ), ( )] ' ( ) ' ( ) 2 ( ) ( ) , (0) 1, 1,2 4
(0) 1, 1, '( ) '( ) 4 0;2 4
V y x y x y x y x y x y x dx y y
y y y x y x x
ππ π⎛ ⎞= + + = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
π π⎛ ⎞= − = − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
20. ( )1
2 21 2 1 1 2 2 1 1
01
2 2 1 2
[ ( ), ( )] ' ( ) 2 ( ) ( ) ' ( ) , (0) 1, (1) ,
(0) 1, (1) , ( ) ( ) 0.x x
V y x y x y x y x y x y x dx y y e
y y e y x y x e e− −
= + + = =
= = − − + =
∫
![Page 67: Общая постановка задачи и основные определенияouek.onu.edu.ua/uploads/courses/varcalculus/Вариационное... · ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022060610/606160fd6b531e535201d159/html5/thumbnails/67.jpg)
67
ЛИТЕРАТУРА
1. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. – М.: ИЛ, 1950. 2. Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и опти-мальное управление. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1999. 3. Васильев В. В. Тринадцать лекций по основам вариационного исчисления. – Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1989. 4. Васильев О. В., Аргучинцев А. В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. – М.: Физматлит, 1999. 5. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1988. 6. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. – М.:Физматгиз, 1961. 7. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление. – М.: Изд-во МГУ, 1985. 8. Коша А. Вариационное исчисление. – М.: Высшая школа, 1983. 9. Краснов М.Л., Макаренко Г. И., Киселев А. И. Вариационное исчисление. – М.: Нау-ка, 1973. 10. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. – М.: Гостехиз-дат, 1950. 11. Пантелеев А. В. Вариационное исчисление в примерах и задачах. – М.: Высш. школа, 2006. 12. Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. – М.: КомКнига, 2006.