高频谱效率的波形编码理论 — ovtdm 及其应用

高频谱效率的波形编码理论— OVTDM 及其应用

北京邮电大学李道本 ([email protected])

现有数字通信系统是合理的吗？

现有基本数字通信系统的组成 ( 不含复用与多址）

信源信源编码信道编码调制映射发射

干扰，噪声

信宿信源译码信道译码解调制映射接收

对照的基本运输系统组成 ( 不含货物集散）

2

信道编码的实质货物运输过程必须保证使所传输的货物不受传输过程

的破坏。建筑物必须保证其本身不受各种自然与人为的破坏。

信息传输过程同样也要保证其传输的“货物”—数据比特不受传输过程的破坏。

必要手段： 1 ）额外增加“禁锢件”— 剩余； 2 ）构件的紧密咬合 — 重叠复用原理。

3

重叠复用原理

破坏系统性能的干扰与噪声： 1 ）噪声：与信号无关的破坏因素； 2 ）干扰：与信号有关的破坏因素。

重叠复用原理——系统内部各用户内部与用户间数据符号的相互重叠是一种有益的编码约束关系，而绝不是干扰，只有系统外部来的破坏性因素才是干扰。

4

电平分割与波形分割

仙侬信息论是公认通信的指导性理论，理论中关于在加性噪声干扰下，单个样点所能荷载的最大信息量为

比特 / 样点（ ~ 信号噪声功率比 SNR ）完全正确。因为样点

是“脉冲”，只能用其不同的电平（幅度，相位），即电平分割

方式来表示不同的信息，而随着编码约束长度增加，在加性噪

声干扰下，只要噪声电平不大于信号电平间隔，一个“脉冲”能

被清晰区分的电平数至多逼近，所荷载的最大信息

量只能逼近比特 / 样点。

5

20.5 (1 / )S NLog P P

/S NP P

( ) /S N NP P P

20.5 (1 / )S NLog P P


仙侬本人只给出了离散无记忆信道的容量公式。后人以电平分割方式，在假定信道满足奈奎斯特（ Nyquist ）准则的前提下，将带宽为 B 的连续AWGN （ Additive White Gaussian Noise ）信道，即加性白高斯噪声信道转换成了速率为 2B 样点 / 秒的独立样点序列，即将之转换成了离散无记忆信道。再将单样点荷载的最大信息量乘以 2B 样点 / 秒，就轻而易举地得到了 AWGN 信道的容量公式：比特 / 秒。

这个容量公式被认为是只能逼近而不能超越的极限。但它是以电平分割为基础，利用奈奎斯特准则得到的，若离开电平分割与奈奎斯特（ Nyquist ）准则的限制，连续 AWGN 信道的容量应该有完全不同甚至好得多的形式。

6

2 (1 / )S NC BLog P P

20.5 (1 / )S NLog P P


比特持续期 Tb 的 K 个二元数据的持续期为 KTb ，共有种组合，需要一一对

应的“符号”表示，难道只有一种电平分割的表示方式？即只能使用有种不同电平（幅度，相位），也就是调制星座表示方式？若将连续 AWGN 信道视作独立样点 ( 脉冲 ) 序列，当然只能使用电平分割的表示方式，即采用有个星座点的调制星座的表示方式。众所周知目前所有星座的星座点在复平面上都是均匀排列的，它们之间只有电平区别，复包络完全一致。但这些 “符号”不是样点（脉冲）而是连续信号，即使其带宽与持续时间（编码约束长度）都是有限的，信号幅度与相位变化也可组成近乎无穷种波形，为什么不使用有种波形的波形分割方式呢？

在十分喧闹的环境中，人们还能区分出相当数量非常微弱的限带声音信号，不正是利用它们波形不同的性质吗？

7

2K

2K

2K

2K


重要的是：奈奎斯特准则违背了测不准原理，无“符号干扰”的“奈奎斯特信道”物理根本不可实现。事实上，在任何 X域 ( X代表时间 T ，空间 S ，频率 F或混合 H等 ) 的传输系统中，相邻符号重叠，即所谓“符号干扰”，是不可避免的客观存在，传信率越高越严重，何不因势利导利用它呢。本人发现的重叠复用原理早已指出：系统内部数据符号间的相互重叠不是干扰，是自然形成的编码约束关系。重叠越严重编码增益越高，只有系统外部来的破坏因素才是干扰。强行用“均衡”等违背信息处理原理的方法，让有编码约束的“符号干扰”信道逼近物理不可实现，编码约束丧失殆尽的“奈奎斯特信道”，只会牺牲信道容量。

8


离开奈奎斯特准则，以波形分割取代电平分割可能会出现柳暗花明又一村完全不同的崭新景象。所谓波形分割就是表达种信息用种不同的波形来实现，这就是波形分割传输的基本概念。那么问题就变成如何找到一组有种波形且具有良好的性能（频谱效率高和所需能量小）的波形。如何构造这么多波形？从理论直接入手解决这个问题看来非常困难，甚至不知如何下手。另一种方法是从具体的限带波形（我们称之谓复用波形）入手，通过某种编码的方式利用它形成所需的波形码组，分析其性能进而证明这种方式的确优于电平分割方式。本报告介绍的就是这种类型的波形分割。这种编码方式就是反奈奎斯特准则之道而行的人造严重符号间干扰的方式。

9

2K 2K

2K

奈奎斯特准则错了吗？

若奈奎斯特准则条件“成立”（尽管物理不可实现，但在无限延时时可以逼近），奈奎斯特独立样点序列的确可以描述一个“限带波形”（尽管物理上不存在这样的“限带波形”）；

外观上描述不等于性质上一致。数码照片能代表所照景物的性质吗？

10

对编码调制的基本要求

众所周知：现有所有编码的输出都要经过调制映射搬到或直接编码到适于传输的复数域中的星座图，这就是编码调制（含纯调制）。基本信息论告诉我们编码调制应满足以下基本条件： 1 ）输入与输出序列之间必须满足一一对应关系； 2 ）输出序列间的“距离”应最大。其必要条件是编码支路间的“距

离”应最大，这将要求输出不同电平（星座点）间的“距离”应最大；

3 ）在信道噪声呈复高斯分布时，编码调制输出也应呈现复高斯分布；

11


遗憾地是现有大多数编码均是在有限域的编码，其输入输出都是有限域符号，需经映射将其输出搬移到复数域中的星座图。

尽管所有编码都是在序列级进行的，本身无可挑剔，但映射却在毫无编码增益的符号级进行。

最可悲地是几乎所有现有星座图星座点分布都呈均匀分布，导致映射转换的复域信号也呈现均匀分布，不可能得到最佳的复高斯分布。

虽然“ Shaping”可使分布向原点集中些，但仅在选定星座图上的修补是不解决根本问题的。

12


尽管目前也有非有限域编码，如部分响应及 [10] 等，也有利用“重叠”的

如

书中参考文献 [9] 等，但其“重叠”根本不是符号“干扰”的移位重叠，且

都离不开电平分割均匀分布的星座图。

只有摈弃电平分割，使用波形分割的编码才可能实现最优编码。 OVXDM

属

于波形编码的一种，本报告只是抛砖引玉，相信以后一定会有更好的波形

编码出现。

调制星座根本不需要存在！13

广义波形编码— OVXDM

OVXDM 波形编码理论的实质是反奈奎斯特准则之道而行，利用 X域符号的数据加权移位重叠产生严重“符号间干扰”，利用其编码约束关系，形成X域的波形编码，使编码输出自然呈现与信道匹配的复高斯分布，根本不需要调制映射。

本报告将具体介绍时间 T域的 OVTDM 。 OVTDM 利用数据加权复用波形的移位重叠所产生的严重“符号间干扰”

形成时间 T域的波形编码，使编码输出有最少的电平数，最大的支路间欧式距离。随着重叠重数的增加，编码输出很快地逼近了最佳的复高斯分布。

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一）：波形编码的 OVTDM

并行同步传输的 OVTDM模型（每路符号率 1/KT ，总符号率 1/T ）

图 1-1 ：并行传输的 OVTDM模型15

( ) 0, (0, ), ( 1)h t t K T KT


单信源的 OVTDM （符号率 1/T ）

图 1-2 ：单信源的 OVTDM模型16


图 1-3: 单信源 OVTDM 传输模型

17

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ),S n Sn

v t E u h t nT n t s t n t

( ) 0, ( 0, ), ( 1) S Sh t t t K T KT


图 1-4 ： OVTDM 重叠传输示意图（帧长 L ，重叠重数 K ，移位间隔 Ts/K ）

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显然，在复用波形为实数时，对于独立元数据流， K 重重叠 OVTDM 的输出在任何时刻都只有种电平，频谱效率达到了比特 / 符号。参见前页图 1-4 ，由于符号宽度延长了 K倍，信号频宽将从 B 将缩窄为 B/K ，必须使相邻 K 个符号重叠在一起才能维持原传信率。有 L 个符号的帧长为

秒，共荷载 LQ 比特，则系统的频谱效率为

比特 / 秒 /赫。

在时，系统频谱效率与容量都将提高 K 倍。对于二元数据流（ Q=1 ）其输出的任何时刻都将呈现 K阶二项式分布，对于元数据流，其输出的任何时刻都将呈现 K阶多项式分布，当 K 足够大后，任何时刻 OVTDM 的输出都将逼近实高斯分布。 19

2Q

( 1)K Q KQ

[ ( 1)]ST K L

[ (L 1)] /L K

S S

LQ KQ

K T B K BT

L K

2Q


20

∑

. . .

0 ( )h t1( )h t 2 ( )kh t

K-1( )h t

nu 1nu 1n Ku

. . .

图 1-5: 移位重叠 OVTDM 的复数卷积波形编码模型


图 1-6: OVTDM 输入输出示意图（不含噪声，移位间隔 , 重叠重数K=3 ）

21

ST T


图 1-7 ：二元（ +1 ， -1 ）数据输入 OVTDM 的输入 - 输出树图表示（ K=3 ）22


图 1-8 ： OVTDM节点转移关系图（ K=3 ）

23


图 1-9 ： OVTDM 的 Trellis图（ K=3 ）

24


图 1-10 ： OVTDM 的状态图（ K=3 ）

25


图 1-11 ：二元数据序列与 OVTDM 输出波形序列一一对应关系举例

26


27

显然，在复用波形为实数时，对于独立二元（ +1 ， -1 ）数据流， K 重重叠

OVTDM 的输出只有 K+1 种电平，频谱效率为 K 比特 / 符号。输出任何时刻都将

呈现 K 阶二项式分布，当 K 足够大以后， OVTDM 的输出将逼近实高斯分布。同样，在复用波形为实数时，对于独立的四元 QPSK （ +1 ， -1 ， + j ， -

j ）复数据流， K 重重叠 OVTDM 的输出只有种电平，其中 I ， Q

两信道各有

种电平，频谱效率为 2K 比特 / 符号。任何时刻的 OVTDM 的输出将逼近两个正交的实高斯分布，总输出就逼近

了复高斯分布。

2( 1)K

+1K


28

从输入数据符号与输出符号的对应关系来看， OVTDM 的确破坏了它们之间的一一对应关系，若采用逐符号检测肯定差错概率极大。但是从编码输入数据序列与输出序列来看， OVTDM 的输入输出之间完全是一一对应的[3,12] 。

在编码约束长度 K 之内，二元 BPSK （ +1 ， -1 ）输入数据序列共有 2K

种，其 OVTDM 编码输出序列也有 2K 种，它们之间完全是一一对应关系。

众所周知：四元 OPSK （ +1 ， -1 ， +j ， -j ）数据可分解为相互正交的（ +1 ， -1 ）与（ +j ， -j ）两对二元数据，将它们分别处于相互正交的 I ， Q 信道上。


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在编码约束长度 K 之内，在 I ， Q 信道中，对于二元数据输入，它们分别有 2K 种输入序列，其 OVTDM 编码输出对应也分别有 2K 种波形序列，它们之间当然也完全是一一对应关系。这就是波形编码！

因此对 OVTDM 必须摈弃逐符号检测，不但应该而且必须像对待卷积编码一

样，采用最大似然序列（ MLSD ）检测，即从全部可能的 2K 种输出波形序

列中选择与接收波形序列最接近的数据序列 [2] 。

一）波形编码的 OVTDM- 扩展了系统的带宽？

编码抽头系数波形与输入数据都是宽带波形，编码输出从而也是宽带的吗？

OVTDM 的编码输出是移位重叠的复用波形，移位，重叠（相加）属于线性变换，线性变换是绝对不会扩展信号带宽的。只有非线性变换才会扩展信号的带宽。

付氏变换的时延定理 -时延变换改变的只是信号的相位谱，不会改变信号的带宽。

多径传输是否扩展了系统带宽？

30

二）： OVTDM 系统性能

31

2-1 ： OVTDM 信号的功率谱设 OVTDM 重叠复用的符号波形与对应频谱分别为与，

，它们是一对付氏变换关系。 OVTDM 的基本传输波形与对应的信号频谱分别为

其中：仅有相邻 K 个复用波形重叠在一起。

则 OVTDM 输出的功率谱为：

( )h t

( )H f

2 /( / ) ( ) j f n Tn n

n n

u h t n T H f u e （2-1）

( ) ( )h t H f

( )h t

222 / 2 ( ')/*

''

{ ( ) } ( ) { }j f n T j f n n Tn n n

n n n

E H f u e H f E u u e


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由于输入数据是相互独立的，，最终得 OVTDM 输出的功率谱为：

由于在 OVTDM 内只有 K 个相邻符号叠加在一起，求和中只有K 个有效项，对于独立数据输入，其 OVTDM 功率谱均为：

总之， OVTDM 信号的功率谱与其重叠复用信号波形的功率谱完全一致！

2( )K H f

2 2( ) ( )n

n

H f E u （2-2）

( )h t

2

' , '

1 1( ) ( )

2 2n n n n nE u u E u


33

2-2 ： OVTDM 与其它编码的区别 OVTDM采用的不是电平而是波形分割，属于波形编码。它不需要选择编码矩阵与调制映射星座图，所选择的只有复用波形，通过数据加权复用波形的移位重叠，利用波形分割来获取编码增益与频谱效率。所有决定系统性能的因素都由复用波形决定。

那么“最佳复用波形”是什么？如果仅仅限定编码约束长度K ，没有其它限制，这个问题很简单：因为根据对称性原理，矩形波就是最佳复用波形。只有矩形波相邻数据之间的约束才平等而且最大。


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如果有其它条件限制，例如限定频谱效率，而与复用波形的“时间带宽积”有关，则问题就相当复杂。

首先选择什么“时间带宽积”？其次目前“带宽”与“持续时间”的定义不下 10 种（附录），选择那个？还是重新定义？因为根据测不准原理，绝对有限带宽与持续时间的信号物理不存在。“最佳复用波形”在有条件约束时不可能是矩形波。

波形变为非平坦后，编码约束长度约束关系都有变化。这是一个牵一发而动全身的复杂问题，绝不是已有编码理论所能解决的。本报告只讨论了矩形波，升余弦频谱波与升余弦波三种基本及其符合复用波形的仿真性能。因为研究矩形波有理论意义，而升余弦波与升余弦频谱波可用滤波去逼近，有实用意义。

“ 最优复用波形”将是个待解决的开放问题。


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另一个与传统编码不同点是 OVTDM属于波形编码，需要一并考虑信道特性，而传统编码一般不考虑信道特性。

众所周知：任何信道都存在扩散，其中时间扩散（引起频率选择性衰落）好像会“破坏”复用波形，对系统性能有无影响？

事实上，时间扩散只会造成复用波形的附加重叠，增加的重叠对系统频谱效率没有影响，反而会改善系统性能，因为一来编码约束长度增加了，二来在随机时变信道中额外重叠又会产生分集增益，对改善系统性能能有利。代价是译码复杂度的增加（本报告第 5-2节）。

第三个与传统编码不同点是 OVTDM属于毫无编码剩余的编码，而传统编码离不开剩余，其编码效率一定低于 OVTDM 。


36

2-3 ： OVTDM 性能估计对 OVTDM 系统精确差错概率性能的分析，目前也是一个没有真正解决的开放问题。李道本对不同复用波形利用他自己的“修正最小距离球界”得到了乐观的的比特差错概率上界。而其他作者只对有限符号干扰 ISI( Inter-symbol Interference) 在电平分割条件下导出过悲观的比特差错概率界。只要选定复用波形都可用他的方法导出其比特差错概率上界。其中当复用波形为矩形波时，他给出了二元（ +1 ， -1 ）数据输入时 OVTDM ，比特差错概率 Pb 的两个上界为：


37

2

2

2 2

3 3

2 / 3

3 2

2 / 2

1 1 1{2 [1 ] [1 ] }

2 2( 1) 2( 1)

1 1{[1 [1 ]

2 2( 1)

1[1 ] }, ( ),

2( 1)

32 , ( , 1)

2( 1)

db

d K

d d Kb

P eK K

eK

d KK

P e e d K KK

（2-3）

（2-4）


38

其中是归一化信扰比， K 是二元符号重叠重数，也是频谱效率。其它复用波形也有类似的界。

深入观察（ 2-3 ），（ 2-4 ）与 [2] 中其它复用波形的公式可以看出：只要保持不变，比特差错概率 Pb 就基本不变。也就是说 OVTDM 的频谱效率与间大致呈线性关系。

这与本报告第六节的猜想基本一致。由于矩形复用波形在相同频谱效率下，属于约束最短性能最差波形，这从仿真结果和 [2] 中其它波形的比特差错概率界就可看出。因此（ 2-3 ）（ 2-4 ）式也可看作是相同频谱效率复用波形的比特差错概率的一个上界。

2

0/bd E N

2 /d K2

0/bd E N


图 2-1 ： OVTDM仿真与理论界的比较 { ~ 频谱效率（比特 / 符号）， , BER=10-5 ，矩形复用波形 }

39


图 2-2 ： TPC预编码 OVTDM 系统的频谱效率 (等效噪声带宽，复用波形 h2(t))

40


图 2-3 ： TPC预编码 OVTDM 系统的频谱效率 (等效噪声带宽，复用波形h6(t))

41


图 2-4 ： TPC预编码 OVTDM 系统的频谱效率 (等效噪声带宽，复用波形h4(t))

42

三）：串行级联 OVTDM 系统

43

3-1 ：串行级联 OVTDM 的结构本节的目的是将实数二元数据流分别在相互正交的 I ， Q 信

道上变换成多元实数数据流，而多元实数数据流经过 OVTDM 移位重叠复用以后将呈现多项式分布。

当重叠重数足够高以后，输出的多项式分布将逼近高斯分布。 I ， Q 信道输出的总体就逼近了复高斯分布。

图 3-1 就是所建议的串行级联 OVTDM 编码结构图。

2K


44

　　图 3-1 ：频谱效率为比特 / 符号的串行 OVTDM 级联结构（第一级复用波形为宽度为的矩形波，第二级复用波形为实数，波形宽度为，移位间隔为）

1 bK T ( )h t1 2 bT K K T 1 bK T

1 2=2K K


45

众所周知：串行级联结构编码的码率和约束长度为各级之积。图 3-1 的串行级联 OVTDM由两级重叠编码组成，第一级是没

有相互移位的纯粹重叠 OVTDM ，称之为 P-OVTDM （ Pure-OVTDM ）。其重叠重数为 K1 ，复用波形为宽度为的矩形波。第二级 S-OVTDM 是图 2-1 中跨越收发两端虚线框内的结构，是移位重叠 OVTDM ，称之谓 S-OVTDM （ Shift-OVTDM ），更简称为 OVTDM ，其移位间隔为，重叠重数为，复用波形为实，持续期为：

， Tb 为数据比特宽度。的长短除了决定于外，还决定于系统的相对于矩

形波的波形展宽系数。

1 bT K T

1 bK T 2K

1 2 ( 1)bT K K T

( )h t

T

1 2 bK K T


46

抽头系数是的个间隔与宽度均

为的采样波形，，这里表示大于等于的最小整数。

波形展宽系数：若宽度为 T 的矩形波经滤波后宽度展宽为，则其波形展宽系数定义为。

注 * ：矩形波的，指占总能量 99.99% ，或99.999% 的波形宽度，决定于系统的频谱效率。

显然依附于滤波器结构，具体到本 S-OVTDM ，其波形展宽系数。

/T T

1 bK T

2K

20 1( ), ( ),...., ( )

Kh t h t h t ( )h t

T

2 2K K

T1

1 2/ bT K K T 1


47

串行级联 OVTDM 系统的频谱效率：

在工程上，成形滤波器的输入“冲击”是数字形成所需的输入脉冲宽度。由于 S-OVTDM 要求实数复用波形，必须由线性相位的有限冲击响应数字 FIR滤波器实现。形成精度由输入“冲击”的脉宽决定。“冲击”越窄，形成的越精确。 S-OVTDM 复用波形为图 2-1虚线框内收发总冲击响应。等效于码率为 1 ，约束长度为的卷积波形编码，其 I ， Q 分量均可以简单地以图 3-2 与图 3-3 所示的移位重叠结构所表示。

1 2=2 /symbolK K

( )h t

2K

( )h t

( )h t

48

∑

...0h（t) 1( )h t

2K 2( )h t 2K -1

( )h t...

1 bK T 1 bK T 1 bK T

1 bK T图 3-2 ： S-OVTDM 的等效抽头延时线（卷积编码）模型移位间隔为 , 输入元数据 )


12K


49

S/P

成型滤波

成型滤波

1 bT K T 移位间隔

T

成型滤波

2( 1)K T

( )h t

( )h t

( )h t

1 bK T图 3-3 ： S-OVTDM 的等效波形移位重叠模型

(移位间隔为，输入元数据 ) 12K

2 1 2 1( ) 0, (0, ), ( 1) b bh t t K K T K K T


50

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

-1

0

1

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

图 3-4 ： 49阶升余弦频谱滤波器输入“冲击”与

输出波形示意图

51

S-OVTDM 复用波形举例：1 ）矩形复用波形这是一个宽度为 T 的矩形时间波形：

其，。其个样值全是高度为，宽度为的矩形波，功率谱函数为：

其零点 ,等效噪声，奈奎斯特带宽均为 1/T 。尾部功率谱大体按频率平方律衰减。


1

1

1 (0, ]( ) -3

0 (0, ],

t Th t

t T

（3 ）

1 bK T2K1 2 bT K K T

20 1 1( ), ( ),..., ( )

Kh t h t h t

22 2

2 2

( )( ) ( ) , (3-4)

Sin fTG f T Sinc fT

f

1

-2f

52

S-OVTDM 复用波形举例：2 ）全升余弦复用波形 (T) 这是一个宽度为 T 的全升余弦时间波形：

全是宽度与间隔均为的抽样波形，功

率谱函数为：


1{1 cos[2 ( / 2) / ]} (0, ]

( ) -520 (0, ],

t T T t Th t

t T

（3 ）

1 bK T

1 2 2 21 , 2bT K K T T T K K ，，

20 1 1( ), ( ),..., ( )

Kh t h t h t

22

2 2 2 2

1( ) ( )

4 (1 )

TG f Sinc f T

f T

53

其时间波形可以折叠成宽度为 T/2 的矩形波，其零点带宽，奈奎斯特带宽都为 2/T ，等效噪声带宽为 1/T （不同带宽的定义见附录）。

但其零点外信号能量远小于矩形波，零点外功率谱大体按频率六次方律衰减，很适用于滤波 OVTDM 系统。


-6f


3 ）全升余弦复用波形 (2T) 这是一个宽度为 2T 的全升余弦时间波形

54

2

1{1 [2 ( ) / ]}, [0,2 ]

2( )

0 , [0,2 ]

Cos t T T t Th t

t T

22 2

2 2 2 2 2

1( ) ( ) (2 )

4 (1 4 )

TG f H f Sinc f T

f T

2 22, 2K K


其时间波形可以折叠成宽度为 T 的矩形波，其零点带宽，奈奎斯特带宽都为 1/T ，等效噪声带宽缩窄为 1/2T （不同带宽的定义见附录）。

但其零点外信号能量远小于矩形波，零点外功率谱大体按频率六次方律衰减，很适用于滤波 OVTDM 系统。

55

6f


56


4 ：全升余弦波的与矩形波一种符合复用波形 -类升余弦波 1 。这是一个宽度为 2T 的复用波形

57

4 1 2( ) ( ) ( )h t h t h t

44

4 2 2 2

1( ) ( )

4 (1 )

TG f Sinc f T

f T

2 22, 2K K


5 ：全升余弦波与矩形波的第二种符合复用波形 -类升余弦波 1 ，这是一个宽度为 3T 的复用波形：

58

5 1 3( ) ( ) ( )h t h t h t

2 23, 3K K

42 2

5 2 2 2

1( ) ( ) (2 )

4 (1 4 )

TG f Sinc f T Sinc f T

f T


6) 全升余弦波与全升余弦波的一种符合复用波形 -类升余弦波 2 ，这是一个宽度为 2T 的复用波形。

59

6 2 2( ) ( ) ( )h t h t h t

2 23, 2K K

44

6 2 2 4

1( ) ( )

16 (1 )

TG f Sinc f T

f T


60

7 ：全升余弦波与全升余弦波的一种符合复用波形 -类升余弦波 3 ，这是一个宽度为 3T 的复用波形。

7 2 3( ) ( ) ( )h t h t h t

2 23, 3K K

42 2

7 2 2 2 2 2 2

1( ) ( ) (2 )

16 (1 ) (1 4 )

TG f Sinc f T Sinc f T

f T f T


61


62

63

S-OVTDM 复用波形举例：8 ）全升余弦频谱复用波形

这是一个频谱在（ -1/T ， 1/T ）内为全升余弦，在（ -1/T ， 1/T ）以外为 0 的归一化时间波形，其频谱为：

全升余弦频谱复用波形为其频谱的付氏反变换，即：


1{1 cos( )} 1/ ,

( ) -720 1/ ,

f T f TH f

f T

（3 ）

2 2

1 (2 / )( ) (2 / ) , -8

2 (1 4 / )

Cos t Th t Sinc t T

T t T

（3 ）

64

虽然它是一个持续期为无限的波形，但其能量绝大多数都集中在（ -T ， T ）以内，以外的能量可忽略不计。所以可以选择其波形展宽系数

是宽度与间隔均为的抽样波形，功

率谱为：


22

1{1 cos( )} 1/ ,

( ) ( ) -940 1/ ,

f T f TG f H f

f T

（3 ）

20 1 1( ), ( ),..., ( )

Kh t h t h t

1 2 2 22 , 2 2bT K K T T T K K ，，

1 bK T

65

其频谱可以折叠成宽度为 1/T 的矩形波，其等效噪声带宽，奈奎斯特带宽都为 1/T ，但其零点带宽为 2/T ，零点外功率谱为0 。优点是在时间域，该复用波形的能量绝大多数都集中在区间（ -T ， T ）之内，在其外大体按时间的六次方律衰减，也比较适合 OVTDM 运算。


-6t


串行 OVTDM级联结构所实现的频谱效率为比特 / 符号，系统带宽决定于，功率谱决定于复用波形。乘积 K1K2 与波形展宽系数越大，所需系统带宽越窄，但译码复杂度也越高。其输出电平数为，而同等频谱效率的 QAM 调制信号的电平数则为。 QAM 与 OVTDM 的电平数比值

66

1 22K K

1 2 , ( 1)bT K K T ( )h t

1 22[2 ( 1)]K K

1 222 K K

2 222 / ( 1)K K

67

3-2 ： OVTDM 的译码算法与算法复杂度 OVTDM 的译码可以 I ， Q 信道独立进行。可利用图 2-2 的卷积编码模型进行译码。

图中输入是有个电平的多电平实数数据，编码约束长度为，因此该模型的状态数和 Trellis图中的节点数均为。最优算法就是最大似然序列检测算法，具体可参阅 [3] ，[11] 与 [2]等，不再赘述。

显然最优算法的复杂度随频谱效率呈指数关系，在较大时可以采用快速序列检测算法，类似于 Stack 与 Fano算法等。


1 2K K

12K

2K

1 2( 1)2K K

1 2K K

68

串行级联 OVTDM 的频谱效率决定于乘积，那么如何分配 ? 一般而言 K1 只提供从二元数据到多元数据的转换，本身没有编码增益，编码增益主要由 K2 提供。的确，当复用波形是矩形时， K1=1 的系统性能最优，但当复用波形为非矩形时，情况将有所不同，请看下几页的仿真结果。由图 4-1 与 4-2可知，在乘积 K2K1=6 ，频谱效率比特 / 符

号时，升余弦频谱复用波形的 K1=1 ， K2=6 性能最佳。但对升余弦复用波形确是 K1=2 ， K2=3 性能最佳。对于其它频谱效率，其它复用波形，显然也有不同的最佳分配。目前理论问题未解决，需由仿真决定。

四）：串行级联 OVTDM 重叠参数 K1 与 K2 的选择

1 2K K

=12

1 2K K，


图 4-1 ：升余弦频谱复用波形不同 K1 ， K2 组合的 OVTDM 性能 (K1 K2=6)

（比特 / 符号，仙侬界 25.33 dB ） 69

12


70

12 图 4-2 ：升余弦复用波形不同 K1 ， K2 组合的 OVTDM 性能 (K1 K2=6)

（比特 / 符号，仙侬界 25.33 dB ）

五）：复用波形与滤波对 OVTDM 性能的影响

71

5-1 ：分析与实现：由于在实际系统中均有收发滤波器 , （ 1-1 ）式中的复用波形应该由发射波形经成型滤波器与收发滤波器及它们的相关设备形成。设移位 OVTDM 重叠复用波形与对应频谱分别为与，

它们是一对付氏变换关系。 OVTDM 的基本传输波形与对应的信号频谱分别为 :

( ) ( )h t H f

2 /

2 / 2 // ( )/

( / ) ( )

( ) ( ) ( )

j f n Tn n

n n

j f n T j f n TM N N M Nn n

n n

u h t n T H f u e

H f u e H f H f u e

( )h t

( )H f( )h t


72

其中总传输函数可以分解发射与接收两部分，为

为发射端的次方根滤波传输函数，

为接收端的次方根滤波传输函数。则发射波形与其对应频谱为 :

( )/ ( )N M NH f

/ ( )M NH f

( ) /N M N

/M N

( )H f

/ ( )/( ) ( ) ( ),M N N M NH f H f H f

2 //( / ) ( ) j f n TF M Nn n

n n

u h t n T H f u e


73

其中发射端的复用波形与其对应传输函数为 :

接收端的冲击响应与其对应传输函数为 :

接收信号为发射信号经接收滤波而来，即发射信号与响应的匹配滤波而来。在工程上一般都采用 M=1 ， N=2 的二次方根滤波传输函数。由于最佳复用波形仍是一个开放问题，以下利用仿真从前述三种复用波形及其符合波形中做一些比较。

( )/ ( )N M NH f( )Sh t

( )/( ) ( )S N M Nh t H f

/( ) ( )F M Nh t H f


74

8 图 5-1 ：不同复用波形的 OVTDM 性能 ( K1=2, K2=2 )

（比特 / 符号，仙侬界 15.03 dB ）


75

8 图 5-2 ：不同复用波形 OVTDM 性能 ( K1=1, K2=4 )

（比特 / 符号，仙侬界 15.03 dB ）


76

12 图 5-3 ：不同复用波形 OVTDM 性能 ( K1=1, K2=6 )

（比特 / 符号，仙侬界 25.33 dB ）


图 5-4 ：不同复用波形 OVTDM 性能 (K1=1, K2=5)

（ 10 比特 / 符号，等效噪声带宽，仙侬界 20.10 dB ）77


图 5-5 ：不同频谱效率的 OVTDM 性能（复用波形）

78

2 12 / , ( )K bits symbol h t


图 5-6 ：不同频谱效率的 OVTDM 性能（复用波形）

79

2 22 / , ( )K bits symbol h t


图 5-7 ：采用复合波形的 OvTDM 不同频谱效率的系统性能

80

4 ( )h t


图 5-8 ：采用复合波形的 OvTDM 不同频谱效率的系统性能81

6 ( )h t


82

0/bE N图 5-9 ：不同复用波形 OVTDM ， QAM 的与比较


83

由图 5-5 至 5-9可见，当 K1=1 ， K2从 1 增加到 3 （从 2 增加到 6 ）时，门限信扰 Eb/N0 （以公认的 BER 为准）增加

不到 0.5dB ，当 K2 大于 4 （高于 8 ）以后，门限信扰比 Eb/N0 与频谱效率比特 / 符号大体呈线性关系，这与 [2] 中的结论以及第六节的估计基本吻合。可见在 AWGN 信道中， OVTDM 相对同频谱效率的高阶 QAM

有非常可观的增益。随着频谱效率的增高 OVTDM 不但相对高阶 QAM 的增益越来越大。而且当大于 6 比特 / 符号后，开始超越仙侬界，越高超越越多（以公认的 BER 为准）。

51 10

51 10


84

5-2 ：忽略“带外”能量滤波对 OVTDM 性能的影响5-2-1 ：工程设计中的滤波考虑：众所周知：理论上持续期有限的信号带宽为无限，反之带宽有限信号的持续期为无限，二者均有限是不可能的。选取小的波形展宽系数，可以减小译码复杂度，但带外信号能量就越大。反之，选取大的，带外信号能量虽小，但是译码复杂度增加。工程上必须有所折中。“折中”当然会使系统性能下降，出现误码平台。在时间域所切除的“时间”外信号能量，在频率域所切除的“带外”信号能量在总能量中所占据的比例越小，误码平台越低。误码平台对应的信扰比决定于忽略能量与总能量之比。


85

折中就要在带宽，波形展宽系数或者，误码平台之间选取。工程设计可采用以下措施：采用“有限冲击响应”的 FIR 滤波结构；选择适当的波形展宽系数或者（译码复杂度）；选用时间带宽积较小的复用波形，如长椭球函数，或选用

受滤波影响较小的复用波形，如全昇余弦波形等；在接收端加入最小差错概率均衡 [2 ，第 9章 ] ，使均衡

后的复用波形尽量逼近设计用波形；在接收端加入“白化滤波器”等。

以上措施可单独或联合使用。本节将讨论切除“带外”信号能量对系统性能的影响。

2K

2K


86

图 5-10 ：忽略处理“带外”能量对系统性能的影响（全升余弦频谱复用波形， =8 ， K1=2 ， K2=2 ，仙侬界 15.03dB ）


87

图 5-11 ：忽略处理“带外”能量对系统性能的影响（ =10 ， K1=1 ， K2=5 ，仙侬界 20.10 dB ，全升余弦频谱复用波形）

0 2 4 6 8 10 12 14 16 1810

-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Eb/N0(dB)

BE

R &

FE

R

BER,K1=1,K2=5, K2=10, p>99.9%等效抽头能量FER,K1=1,K2=5, K2=10, p>99.9%等效抽头能量BER,K1=1,K2=5, K2=8, p=99.9%等效抽头能量FER,K1=1,K2=5, K2=8, p=99.9%等效抽头能量BER,K1=1,K2=5, K2=7, p=99.74%等效抽头能量FER,K1=1,K2=5, K2=7, p=99.74%等效抽头能量BER,K1=1,K2=5, K2=6, p=99.1%等效抽头能量FER,K1=1,K2=5, K2=6, p=99.1%等效抽头能量


结论：频谱效率越高，处理“带内”能量占总能量的比例应越大。因为处理“带外”能量，相当于干扰，其能量低于该频谱效率 OVTDM门限信扰比所需比特能量（“带内”为个比特的总能量） -15dB 至 -20dB左右，对系统性能应该没有影响。“ 带内”指处理带宽以内，或处理时间以内。

88

六）预编码的 OVTDM

预编码串行 OVTDM 系统的框图如图 6-1 所示。仿真预编码为 TPC （ 64 ，57 ）与 TPC （ 64 ， 51 ）， TPC 表示 Turbo 乘积码（ Turbo Product

Code ）又称阵列（ Array ） Turbo 码，已经成功应用于 LAS-CDMA 的实验系统中。有非常多的码率码型可供选择，性能优于 LTE 建议的 Turbo 码，目前已经成功做成了芯片。本预编码采用的 TPC （ 64 ， 57 ）的行列均为BCH （ 64 ， 57 ）码，码率为

， TPC （ 64 ， 51 ）的行列均为 BCH （ 64 ， 51 ）码，码率为

。

89

2(57 / 64) 0.7932

2(51/ 64) 0.6350


图 6-1 ：预编码串行 OVTDM 系统框图

90


图 6-2 ： TPC预编码 OVTDM 系统的频谱效率 (等效噪声带宽，复用波形）

91

2 ( )h t

七）：随机时变信道中的 OVTDM

92

7-1 ：随机时变信道中的复用波形已知 OVTDM 复用波形与对应频谱分别为与。它们是

一对付氏变换关系：

其中：

为发射端的滤波传输函数，为接收端的滤波传输函数，为传输信道的传输函数。

( )h t ( )H f

( ) ( )h t H f

( )FH f

( )CH f( )SH f

( ) ( ) ( ) ( )F C SH f H f H f H f


93

在 AWGN 信道中，由于传输信道的带宽远远宽于系统带宽，。但是对于随机时变信道，传输信道的传输函数将是一个随机时变函数。对于多径传输信道，信道的传输函数对应的信道冲击响应可表示为：

其中：代表不同的多径时延；代表该多径的衰落，它们是一系列独立零均值复高斯随机变量（衰落呈 Rayleigh 分布，当均值不为零时，衰落呈 Ricien 分布），有如下性质：

( ) 1CH f

, ,( ) ( 0,1,...)i c i s ia a ja i ( 0,1,...)i i

( ) ( )Ci i

i

H f a t

( )CH f( )CH f


94

1 ）

的分量是相互独立的零均值实高斯随机变量（衰落呈 Rayleigh 分布，均值不为零时，衰落呈 Ricien 分布），它们有下述性质：

2 ）

3 ）表示该多径的归一化平均功率（方差）。

2' , '

1{ ) ( , ' 0,1,...)

2 i i i i iE a a a i i

2ia

, , ' , , '( ) ( ) ( ) 0 , 'c i s i c i s iE a a E a E a i i

2, , ' , , ' , '( ) ( ) , 'c i c i s i s i i i iE a a E a a a i i

ia , , ', ( , ' 0,1,...)c i s ia a i i


95

显然在这样的随机时变信道中， I ， Q 两正交信道的复用波形将分别为：

其中是原设计针对的复用波形，例如全升余弦复用波形。

与两个将全是随机复用波形，是相互独立的零均值实高斯随机变量。与的波形展宽系数与信道最大多径展宽有关，多径展宽占原设计复用波形底宽的比例越大，系统所得的分集增益将越大，但译码复杂度增加也越大。系统频谱效率只决定于原设计复用波形与多径展宽无关。

, ,( ) ( ), ( ) ( )I Qc i i s i i

i i

h t a h t h t a h t

, , ', ( , ' 0,1,...)c i s ia a i i ( )Qh t( )Ih t

( )h t ( ) 1CH f

( )Qh t( )Ih t( )h t

( )h t


96

7-2 ：平坦瑞利衰落信道中的 OVTDM 本小节研究全升余弦复用波形滤波的 OVTDM 在没有时间扩散

的平坦瑞利衰落信道中的性能。接收端采用匹配滤波 + 最大似然序列检测方式。与之作对比的是同谱效率的分集高阶 QAM 调制信号。由于 OVTDM 利用了移位重叠，本身已经具有隐分集能力，重

叠重数 K2 越高，分集能力越强，不需要额外增加分集。而高阶 QAM 就必须附加分集，否则在衰落环境下性能必定很差。


97

图 7-1 ：平坦瑞利衰落信道下的 OVTDM 性能（ K1=1 ， K2=2 ）（全升余弦复用波形）

5 10 15 20 25 30 3510

-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Eb/N0(dB)

BE

R &

FE

R

BER K1=1 K2=2 全升余弦波形平坦快衰落信道FER K1=1 K2=2 全升余弦波形16QAM-Rayleigh Diversity order=2

16QAM-Rayleigh Diversity order=3


16QAM-Rayleigh Diversity order=516QAM-AWGN channel

图 5-1 是 K1=1 ， K2=2 ，谱效率为 4 的 OVTDM 与不同分集重数的 16QAM在平坦瑞利衰落信道中的性能对比。OVTDM误比特率曲线的斜率与 16 QAM 的 5 重分集曲线斜率相当，且比 5重分集的 16 QAM 有约2dB 的增益（以 BER 为准）。

51 10


98


图 5-2 是 K1=1 ， K2=3 ，谱效率为 6 的 OVTDM 与不同分集重数的 64 QAM在平坦瑞利衰落信道中的性能对比。OVTDM误比特率曲线的斜率与 64 QAM 的 7 重分集曲线斜率相当，且比 7重分集的 64 QAM 有约4dB 的增益（以 BER 为准）。

51 10

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 6010

-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Eb/N

0 (dB)

BER

& FE

R

BER K1=1 K2=3 全升余弦波形平坦快衰落信道FER K1=1 K2=3 全升余弦波形平坦快衰落信道64QAM-Rayleigh Diversity order=7


64QAM-Rayleigh Diversity order=564QAM-Rayleigh Diversity order=4





99


图 5-3 是 K1=1 ， K2=4 ，谱效率为 8 的 OVTDM 与不同分集重数的 256 QAM在平坦瑞利衰落信道中的性能对比。OVTDM误比特率曲线的斜率与 256 QAM 的 8 重分集曲线斜率相当，且比 8重分集的 64 QAM 有约6dB 的增益（以 BER 为准）。

51 1010 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Eb/N

0 (dB)

BE

R &

FE

R










100


图 5-4 是 K1=1 ， K2=5 ，谱效率为 10 的 OVTDM 与不同分集重数的 1024 QAM 在平坦瑞利衰落信道中的性能对比。OVTDM误比特率曲线的斜率与 1024 QAM 的 11 重分集曲线斜率相当，且比11 重分集的 1024 QAM 有约 8dB 的增益（以 BER 为准）。

51 1010 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

10-10

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Eb/N0 (dB)

BER

& FE

R











101

7-3 ：多径衰落信道中的 OVTDM 本小节研究全升余弦复用波形滤波的 OVTDM 在具有时间扩散

的多径衰落信道中的性能。接收端采用匹配滤波 + 最大似然序列检测方式。由于 OVTDM

利用了移位重叠，多径引起的附加重叠，只相当于增大波形展宽系数，对频谱效率没有影响，但会增加重叠重数，提供额外的编码与分集增益。

多径展宽相对原始复用波形宽度的比例越大，额外编码与分集增益越大，最终会逼近 OVTDM 在 AWGN 信道的性能 [2] 。代价是译码复杂度的增加。而高阶 QAM根本无法在多径衰落环境下直接使用。


102

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 2410

-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Eb/N0(dB)

BE

R

OVTDM K1=1 K2=3 AWGN全升余弦复用波形信道OVTDM K1=1 K2=3 deltaT=1.0T全升余弦波形时变信道OVTDM K1=1 K2=3 全升余弦波形瑞利平坦快衰落信道

6 T 图 7-5 ：多径衰落信道 OVTDM 的性能（ K1=1 ， K2=3 ，

全升余弦复用波形 , ）

八）结论

作为“仙侬界”基础的奈奎斯特准则与电平分割实际上是制约数字通信系统性能的桎梏，理论与仿真均已证明离开其束缚的崭新的波形编码 -OVTDM具有极其优良的性能。其频谱效率与门限信扰比近似成线性关系。“仙侬界”的频谱效率与门限信扰比是成对数关系，二者不可同日而语。至今为止我们尚未发现有任何编码调制的性能在高频谱效率时能够超越 OVTDM 。不过 OVTDM仅仅是对波形编码理论的原始尝试，还有些开放问题未解决，这些都是需要进一步研究解决的问题。本报告仅仅是抛砖引玉，相信会有更好的波形编码出现。

103

附录：关于带宽的定义

104

关于信号带宽的定义有很多种，现把常见的单边带宽的定义罗列如下： 1 ）绝对带宽：指功率谱在此带宽以外全为零的宽度； 2 ） 3-dB 带宽：指功率谱衰减到其最大值 1/2 的宽度； 3 ）等效噪声带宽：这是一个虚构的矩形带宽，在白噪声环境下其滤出的噪声功率与实际滤波功率相等，定义为：

其中：是中心频率，对于基带信号为 0 ；0f

1/21/2

0 0

1( )

( )eqB G f dfG f

eqB( )G f( )G f

0f


105

4 ）零点带宽：其中是中心频率的以上功率谱的第一个零点，是中心频率的以下功率谱的第一个零点。对于基带信号为 0 ； 5 ）奈奎斯特（ Nyquist ）带宽：如果传输函数可以折叠成矩形波，该矩形的宽度即为奈奎斯特（ Nyquist ）带宽。或者若响应函数可以折叠成矩形波，该矩形宽度的倒数即为奈奎斯特（ Nyquist ）带宽； 6 ）基带广义平稳随机过程的均方根带宽：其中：

2f

( )H f

0f( )G f( )G f

2 1f f1f 0f

1f

( )h t

2rmsB f

2

2

( )

( )

f G f df

f

G f df


106

7 ）带通广义平稳随机过程的均方根带宽：其中：

202 ( )rmsB f f

2 20 0

0

0

0

0

0

( )( ) ( ) ,

( ') '

( ),

( ') '

G ff f f f df

G f df

G ff f f df

G f df


107

8 ）有界带宽（ Bounded Spectrum Bandwidth ）：在此界限以外功率谱必须衰减到期最大值的 40dB ， 50 dB 或其它规定值以下； 9 ）功率带宽（ Power Bandwidth ）：在此界限以内的功率必须占到总功率的 99.99% ， 99.999% 以上； 10 ） FCC 带宽：参见 FCC　规定（略）。

还有其它一些定义不再赘述。

2 1f f( )G f

2 1f f

欢迎批评指正！

108

高 频谱效率的 波形编码 理论 — ovtdm 及 其应用

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高频谱效率的波形编码理论 — ovtdm 及其应用