ــــــ = = 2) (ــــــ = ـــــــ = 3فمثال ) ( ـــــــ

ــــــــ = = 5= ) ( 5 (1)

ـــــــ= 2 (ـــــ= ) 2 (0.3)

1

ن فى المتكرر الضرب

كان فإن ــــــ إذا موجبا صحيحا عددا ن ، نسبيا عددا

ــــــ × × × ....................× =ن (ـــــ) ـــــــ ـــــــ من ـــــــ ن عددالمرات

ـــــــ = ن (ـــــ )

أب

أب

أب

أب

أب

أب

أب

ن أ

نب

23

2 3

3 3827

35

3 2

5 2925

12

32

3 5

2 524332

310

9100

023

2 4

3 41681

ــــــــ = = 4= ) ( 4(0.6)@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

هامة مالحظات

1= صفر (ــــ ( )1)

زوجى] [ )- ( ن (ـــــ= ) ن(ــــ ( ) - 2) عدد ن = 2 = ) (2حيث

فمثال] [ ) - ن (ــــ= - ) ن (ــــ ( ) - 3) فردى عدد ن = - 3(ـــــ حيث

) (3 =

) ( = فردىسالب) سالب ) موجب= زوجىسالب

1= - فردى(1 )-1= زوجى(1)-

صورة ) - ( أبسط فى 4× ) ( 3أوجد

الحــــــــــــــــــــــل ــــــ المقدار = - × =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة )- ( أبسط فى × 3أوجد

الحــــــــــــــــــــــــــــل المقدار = - × =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة ) - ( أبسط فى 2÷ ) - ( 3× ) ( 3أوجد

الحــــــــــــــــــــــــــل

2

أبأب

أب

13

13

19

أب

أب

15

- 1 125

15

34

23

2764

1681

-112

2527

35

27125

2527

- 1 5

23

13

29

827

127

481

827

127

814

- 2 9

مثال

مثال

مثال

ـــــــ × ÷ المقدار = - ـــــــ ـــــــ × × = = ــــــ ـــــــ ــــــ ــ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ) - ( × [2 × )- (8÷ ] 3أوجد

الحـــــــــــــــــــــل × × [ = ÷ = × = 8المقدار = ÷ ]

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ب = - = ، أ كانت القيمة = 2إذا أوجد جـ ،

للمقدار العدديةجـ 8جـ - 2ب + 2ب 3أ ب أ

الحــــــــــــــــــــــــــل

× 2 × × 8× - 2(2+ ) 2(2× ) 3المقدار = )- (

× = 4 + 4 - × 8 + = × 3 – 6 - = 3 = =

يأتى [ 1] مما كال قيمة أوجد ) ( ) ( ) ء) ( ) جـ ب أ

) ( ) ( ) ( ) ل) ع ص س@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة[ 2] أبسط فى الناتج وضع مع يأتى مما كال قيمة أوجد × ) ب) ( × ) 1ــــــ أ

× ) ( ÷ ) ء) جـ × ) ( + ) و) 6هـ

3

12

12

34

- 1 8

14

34

32

- 1 8

- 1 8

2 3

- 1 12

12

34

34

34

12

12

34

34

- 1 8

- 1 2

- 1 2

- 1-6 2

- 7 2

الضرب على تمارينالمتكرر

مثال

مثال

) () (

) () (

) () (

) () (

5354

76

23

- 4 332

- 2 5- 1 2

2

3

2

4

3

6

2

2

) () () () () () () () (

) () () () (

54

25 5

432

52

34 4

913

35- 3 5475

2

3 4

3 4

42

24

2916 3) (

) ( 34) ( 32

35

3

- 25 27 21

8

× ÷ ) ( - ) ص) س × ) - ( × [8ل ) ( ÷ ] 3ع) ( ÷

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ص[ = = 3] ، س كانت قيمة = 3إذا أوجد ع ،ص) ( س ( 3ع 2أ س ) 3ع 2ص 3ب

) س) ع - 2جـ س ) ( 2ص 3ص ÷ 2ء

س) ( ع ÷ 2هـ س ) ( 3ص ع ( 2ص ÷ ) 3و@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س [ = - 4] كانت قيمة = = - 0.6إذا أوجد ع ، ص ،

÷ ) + ع) ص 2س

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أ [ = = - 5] قيمة أوجد ب ، أ كان 3ب ÷ 3إذا

االسس تجمع المتحدة االساسات ضرب عند

ـــــــ = = 5= ) ( 3 + 2= ) ( 3× ) ( 2فمثال ) (@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

4

الغير الصحيحة القوىسالبة

القانون األول

= ن (ــــ × ) م(ـــــ )ن + (ـــــ) م

أب

أب

أب

23

23

23

23

2 5

3 532243

القانون الثانى

= ن (ــــ ÷ ) م(ـــــ )ن - (ـــــ) م

أب

أب

أب

) () ( 23

- 1 2

3312

34

38

- 2 3

14

34

12

23

43

االسس تطرح المتحدة االساسات قسمة عند

ـــــــ = = 4= ) ( 3 - 7= ) ( 3÷ ) ( 7فمثال ) (@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ) ( 3× × ) ( 2أوجد

الحـــــــــــــــــــــل

ـــــــــ = = 6= ) ( 3 + 1 + 2المقدار = ) (@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ) ( 7÷ ) ( 4× ) ( 5أوجد

الحــــــــــــــــــــل

= 2= ) ( 7 – 9= ) ( 7) ( ÷ 9= ) ( 7÷ ) ( 4 + 5المقدار = ) (

صورة )- ( أبسط فى 5× ) ( 3أوجد

الحــــــــــــــــــــــــــــــل

= 8= - ) ( 5+3= - ) ( 5 × ) (3المقدار = - ) (

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة أبسط فى أوجدالحـــــــــــــــــــــــــــــــــل

المقدار = = @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة أبسط فى أوجد

5

23

23

23

23

2 4

3 41681

32

32

32

32

32

3 6

2 672964

35

35

35

35

35

35

35

35

35

9 25

12

12

12

12

12

12

- 1 128

سصع

2

سصع

2 ص 2 س22ع

2 ص 2 س4ل 3ع

2

مثال

مثال

مثال

مثال

مثال

الحــــــــــــــــــــــل المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة صورة أبسط فى أوجدالحـــــــــــــــــــــــــــــــــل

25 ( = 5المقدار = = = )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ) ( 2أوجد

الحــــــــــــــــــــل ـــــ = ) ( = 2المقدار = ) (

س = كان س = 3إذا قيمة أوجد ص 10ص 9،

الحـــــــــــــــــل س = ص × = ) (9ص × 9المقدار س × 9 × (3ص × = ) 9ص

( = 1) 9 = ×

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س = كان س = 3إذا قيمة أوجد ص 10ص 12،

الحـــــــــــــــــل س = ص × ) (2س = 10ص × 10س × 2المقدار 10 × (3 ) 2 3 = 10س

= 9 ( × 1) 10 = 9 × 1 = 9

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

كان ) ( س 7س× = ) ( 5إذا قيمة أوجد

الحـــــــــــــــــــــل

6

4 ص 4 س8ل 6ع

5 2 × 5 4 5 5

2

5 2+4

5 5

25 6

5 5

22

312

312

12

6164

13

13

13 1

313

13

13

34

34

34

34

مثال

مثال

مثال

مثال

مثال

7س× = ) ( 5 ) (

= 2= ) ( 5 – 7= ) ( 5÷ ) ( 7س = ) (

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أن على 21 5+ 20 5أثبت القسمة 6يقبل

الحــــــــــــــل

6× 20 5( = 1 5 + 1) 20 5المقدار =

المقدار 6 عوامل على أحد القسمة يقبل 6المقدار

صورة [ :- 1] أبسط فى الناتج وضع مع يأتى مما كال احسب × ) ب) ( × ) أ

× ) ( × ) ء) 3جـ

و) ( ÷ ) ( × × هـ

ص ) ( - ×2س) ( ÷

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أبسط [ 2] فى الناتج وضع مع يأتى مما كال قيمة أحسب

صورة :-

7

34

34

34

34

9 16

مثال

القوى على تمارينسالبة الغير الصحيحة

) () ( 12

12

23) () ( 32 32

32

) () ( 35

35

3) (2صفر32

38

) () () () () ( 35

35

23

23

23

32 73

) (- 5 2

215) () ( 3

434

2 3

3 × 3

3

455 × 5

5 × 5

46-( 3 × ) 3

-(3)

4 4

) ( ) جـ) ( ) ب أ

( ) ( ـــــــــــــء) ( ع ) س

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة[ ) 3] على ن (ــــضع

( 3أ) ( ( 1ب ) 2ء ) ( 2جـ )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

القيمة[ = - = = - 4] أوجد ع ، ص ، س كانت إذا

للمقدار العدديةس) ( ( 2ص 3أ ص ) ( 2س 3ب ـــــــــــــ جـ )

8

7256

5

5 × 5

1245

5 س × 3 ص × 4 سص × 62س

س × ص سص

ص س

2222

سص

38

916

79

1027

سع ص3

22

12

34

32

فمثال

ــــــ = = 3- 2،،،،،،،،،، = ـــــــ = 2- 3( 1)

1- 10ـــــــ = = 0.1( 2)ــــــــ = = = 0.01،، 2- 10ــــــ

(3 )6 -1 =،،،،3 -1 =،،،،5 -1 =

(4) ( )-1 =6) ( ،،،،-1 =3) ( ،،،،-1 = 7

(5) ( )-1 ) ( =،،،،-1 ) ( =،،،،-1 =

= ـــــــــــ = 2= ) ( 2-( ) (6)

(7) ( )-3 ) ( =3 = =

(8 )3 × 5 -1 =3 = ×

15 = 5 × 3= 1 5 × 3 = ـــــــــ ( 9)

أن الحظ

1= صفر 3= 5 – 5 3= 5- 3× 5 3

5 -3 ÷5 -7 =5 -3 –-( 7) =5 -3 + 7 =5 4 =625

9

الصحيحة القوىالسالبة

فإن الصفر يساوى ال نسبيا عددا أ كان إذانأـــــــ = ،،،، ـــــــــــ= ن– أ( 1) تعري

ف1ن أ

1ن- أ

13 2

19

12 3

18

110

1100

110 2

16

13

15

16

13

17

56

43

37

65

34

73

56

65

6 2

5 23625

35

53

12527

5 3

3 315

35

35 -1

(ــــــ)ن-

ن (ـــــ = )

1= صفر أ= ن أ× ن- أأ أن أ ن أى منهما ن – ، كال

لألخر ضربى معكوس

أب

بأ

تنطبق سالبة الغير الصحيحة االسس قوانينالسالبة . الصحيحة االسس على

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة أوجدالحـــــــــــــــــــــــــــــل

25= 2 5= 4 – 6 5المقدار = = =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ) ( 7-(1÷ ) 4-أوجد

الحــــــــــــــــــــــــــل

= 3= ) ( 7 + 4- = ) (7-÷ ) ( 4-المقدار = ) (

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ) ( 4-÷ ) ( 6-أوجد

الحــــــــــــــــــــــــــل

= 2=) ( 2-= ) ( 4 + 6- = ) (4-÷ ) ( 6-المقدار = ) (

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة البسط أختصر

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــل

625=4 5= 2-( 2- 5= ) 2-( 3 – 1 5المقدار = = = )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أ = فإن أ كانت إذا أن = 1-الحظ

أ = فإن أ كانت 3= 1- إذا

10

مالحظة

5 - 2 × 5 8 5 4

5 -2+8

5 45 6

5 4

53

23

53

53

53

53

12527

73

73

73

73

9 49

73

73

37

5 3 × 5 - 2 5 -1 × 5 4

-2

5 3 – 2

5 -1+ 4

-25 1

5 3

-2

73

37

13

مثال

مثال

مثال

مثال

يأتى [ 1] مما كال قيمة أحسب

( 1- 3أ) ( ( ) (2- 5ب ) 3-ء ) ( ) (2-جـ )

( 1- 7 × 5هـ) ( ( 3- 2× 3و) ( 5 × 3- 2س ) 1- 3× 1- 2ص )

( ) 1-(0.1ع) ( ) ( 2- (0.2ل ) ن) ( ) م

) ( ) ( ) غ) ( ) ق ف ك@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

يأتى[ 2] مما كال قيمة أحسب(1( )2( )3 )

(4( )5( )6 )

( 9( )8 )2(1-3 – صفر 5( ) 7)

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أكمل[ 3]

س( = 1) فإن س كانت .........= 1-إذا

س( = 2) كانت س 5إذا ..........= 1-فإن

11

القوى على تمارينالسالبة الصحيحة

34

12

6 2

6 453 -1

3 -2

2 -3 7 2 -3

3 -2

3 -55 2

5 -3

8 × 8 - 2 8 -3

2 7 × 7 - 4 7 -3

5 - 3 × 5 - 2 5 -7

2 3 × 2 - 2 (2 2)2

7 2 × 7 - 5

7 -4

25 3 × 5 - 4 5 -2 × 5 3

1 – 3 - 1 1 – 3 -2

( 10 ) 2 ( × 0.01 ) 3 (10)-2

35

أ( = 3) كانت ب = س 3إذا ب × = ص – 3، أ ............فإن

أن الحظ

10 = 10 1 0.1 = 10 -1

100 = 10 2 0.01 = 10 -2

1000 = 10 3 0.001 = 10 -3

10000 = 10 4 0.0001 = 10 -4

وهكذا وهكذا@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

3 10 × 2 = 1000 × 2 = 2000العدد 5 10 × 3 = 100000 × 3 = 300000العدد

3- 10 × 7 = 0.001 × 7 = 0.007العدد

4- 10 × 2 = 0.0001 × 2 = 0.0002العدد

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@العدد القياسية 52000000ضع الصورة على

الحـــــــــــــــــل

52000000 = 5.2 × 10 7 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

العدد القياسية 0.000000012ضع الصورة علىالحــــــــــــــــــــــــــل

0.000000012 = 12 × 0.000000001 = 12 × 10 -9

12

الصورة للعدد القياسية

أ × هى للعدد القياسية ن 10 < أ 1حيث ن 10الصورة ، ص

مثال

مثال

العدد القياسية 7 10 × 56أكتب الصورة على

الحـــــــــــــــــــــــل

8 10 × 5.6 = 7 10 × 10 × 5.6= 7 10 × 56العدد =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

العدد القياسية 5 10 × 461.2أكتب الصورة على

الحــــــــــــــــــــــل

7 10 × 4.612 = 5 10× 2 10 × 4.612 =5 10 × 461.2المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

القياسية 5 10 × 0.7أكتب الصورة على

الحــــــــــــــــــــــل

4 10 × 7 = 5 10 × 1-10 × 7 = 5 10 × 0.1 × 7= 5 10 × 0.7العدد =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

القياسية 5- 10 × 0.7أكتب الصورة على

الحــــــــــــــــــــــل

6- 10 × 7 = 5- 10× 1- 10 × 7= 5- 10 × 0.1 × 7= 5- 10 × 0.7العدد =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

العدد القياسية 6- 10 × 57أكتب الصورة على

الحــــــــــــــــــــــــــل 13

مثال

مثال

مثال

مثال

مثال

5- 10 × 5.7= 6- 10 × 10 × 5.7 = 6- 10 × 57العدد =

القياسية [ 1] الصورة على يأتى مما كال ضع

(1 ] 39 × 10 -3( 2 )564 × 10 -4

(3 )32.5 × 10 -6( 4 )572.69 × 10 4

(5 )79 × 10 5 ( 6 )365 × 10 6

(7 )0.2145( 8 )0.324

(9 )0.00025( 10 )0.0000036

(11 )25000000( 12 )3650000

(13 )– 365 × 10 -7 ( 14 )0.4 × 10 -7

(15 )0.6 × 10 4( 16 )0.69 × 10 5

(17 ( )20000)2( 18 ( )3000)4

(19( )0.2 × 10 4 ( × )2.5 × 10 3 ( )20 )0.00006 ÷ 30

(21( )4.2 × 10 4 ( × )2.5 × 10 6 ( )22 )5000 × 320000

(23( )3.2 × 10 4 ( - )2.5 × 10 3 ( )24( )39 ×10 4 ( + )2.5 × 10 5 )

14

الصورة على تمارينالقياسية

بدون) ( مقدار فى الحسابية العمليات أجراء ترتيب أوالأقواس

(1) االسس( ) العدد قوى حساباليسار( 2) الى اليمين من بالترتيب والقسمة الضرباليسار( 3) الى اليمين من بالترتيب والطرح الجمع

@@@@@@@@@@@أقواس) ( به مقدار فى الحسابية العمليات أجراء ترتيب ثانيا

ثم( 1) الداخلية االقواس داخل الحسابية العمليات أجراءالخارجية

(2) االسس( ) العدد قوى حساباليسار( 3) الى اليمين من بالترتيب والقسمة الضرباليسار( 4) الى اليمين من بالترتيب والطرح الجمع

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المقدار قيمة 2 ÷ 4 – 6 × 2أحسب

الحـــــــــــــــل 10 = 2 – 12 = 2 ÷ 4 – 6 × 2المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المقدار قيمة 2 3 × 4 + 9أحسب

الحــــــــــــــــــــل

45 = 36 + 9 = 9 × 4 + 9= 2 3 × 4 + 9المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ناتج 2 3 – 7 × 4أوجد

15

العمليات أجراء ترتيبالحسابية

مثال

مثال

مثال

الحــــــــــــــــــــل

19 = 9 – 28 = 9 – 7 × 4= 2 3 – 7 × 4المقدار =

ناتج 3 2 ÷ 8 – 144أوجد

الحــــــــــــــــــــــــل

143 = 1 – 144 = 8 ÷ 8 – 144 = 3 2 ÷ 8 – 144المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ناتج 20 – 3 2 × 4أوجد

الحــــــــــــــــــــــل

12 = 20 – 32 = 20 – 8 × 4 = 20 – 3 2 × 4المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة 2 (5 – 7 ÷ ) 196أحسب

الحــــــــــــــــــــل

49 = 4 ÷ 196 = 2 (2 ÷ ) 196 = 2 (5 – 7 ÷ ) 196المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة (3 × 2÷ 2 6 ) 7أوجد

الحـــــــــــــــــــــــل

42 = 6 × 7 ( = 6 ÷ 36 ) 7 ( = 3 × 2÷ 2 6 ) 7المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة 2 3 + 24÷ 2 2 × 12أحسب

16

مثال

مثال

مثال

مثال

مثال

الحـــــــــــــــــــل

9 + 24 ÷ 48 = 9 + 24 ÷ 4 × 12 = 2 3 + 24÷ 2 2 × 12المقدار =

= 2 + 9 = 11

قيمة [2 – ( 3 – 7 ] ) – 2أحسب

الحــــــــــــــــــل صفر = 2 – 2 [ = 2 – 4 ] – 2 [ = 2 – ( 3 – 7 ] ) – 2المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ( [ 4 ÷ 8 ) 2 + 5 + ] 3أحسب

الحـــــــــــــــــــــل [4 + 5+ ]3 ( [ = 2 ) 2 + 5 + ] 3 ( [ = 4 ÷ 8 ) 2 + 5 + ] 3المقدار =

= 3 + 9 = 12

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ( [ 2 2 – 6 ÷ ) 20 + 7 + ] 3 ÷ 6أحسب

الحـــــــــــــــــــل ( [4 – 6 ÷ ) 20 + 7 + ] 2( [ = 2 2 – 6 ÷ ) 20 + 7 + ] 3 ÷ 6المقدار =

= 2 [ + 7 + 20 ÷ 2 = ] 2 [ + 7 + 10 = ] 2 + 17 = 19

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة أحسبالحــــــــــــــــــــــــل

2المقدار = = =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة + 5 – 2 5أحسب

الحـــــــــــــــــــل 17

15 + 7 15 – 4

15 + 7 15 – 4

2211

5 + 2 × 5 2 2 +1

5 + 2 × 5 2 2 +1

5 + 10 4 +1

155

مثال

مثال

مثال

مثال

مثال

5 – 25 = + 5 – 25 = + 5 – 2 5المقدار = +

= 3 + 25 – 5 = 3 + 20 = 23

المقدار قيمة أ = 3ب ( + 4أ ÷ ) 16أوجد عندما أ ، 9ب 6ب =

الحـــــــــــــــــــل 162 + 24 ÷ 144 = 9 × 6 × 3 ( + 6 × 4 ÷ ) 9 × 16المقدار =

= 6 + 162 = 168

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س = كانت المقدار 3إذا قيمة 2أوجد

الحـــــــــــــــــــل 4 = 2 × 2 = 2 = 2 = 2المقدار =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

الناتج ( 2 – 6 ( + ) 6 –ن 3أختصر ) قيمة ما ن

ن = 1عندما

الحــــــــــــــــــــل ن = 2 - × 6 + × 6ن - × 3المقدار = × ن – 3ن + 2 – 2ن

3ن +3 – 2ن =

ن = 1عندما

1 = 3 + 3 – 1 = 3( + 1 )3 – 2(1المقدار = )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س = كان ص = 6 – ( 6 + 5 ) 4إذا ،،،9 ( 36 ÷ 12 ÷ ) 3

ص + س للمقدار العددية القيمة أوجدالحــــــــــــــــل

38 = 6 – 44 = 6 – ( 11 ) 4 = 6 – ( 6 + 5 ) 4س = 18

س + 53

س -45 × 3 + 3 4× 3 - 3

15 + 3 12 - 3

189

ن3

12

ن3

ن3

12

12

مثال

مثال

مثال

مثال

9 = 3 ÷ 27 = 3 ( ÷ 3 ) 9 = 3 ( ÷ 12 ÷ 36 ) 9ص =

ص = + = س 47 = 9 + 38المقدار

يأتى [ 1] مما كال قيمة أحسب(1 )15 ÷ 5 + 4( 2 )20 + 8 ÷ 2

(3 )13 + 5× 4( 4 )4 × 7 – 3 3

(5 ( )7 – 4 × ) 2 ÷ 3( 6 )9 × 10 + 20 ÷ 2 – 7

(7( )15 × 2 [ ÷ ) 5 – ( 9 – 7( ] ) 8 )2 + 3 [ 4 ( + 6 × 3 – 8 × ] ) 2

(9 )10 × 3 [ ÷ 4 – ( 9 – 7( ] )10 )6 + 9 ÷ 3 + 2 × 3 2 + 11 – 8

(11 )20 ÷ 5 + 8 – ( 4 – 1( ) 12 )12 ÷ 3 + 2 × 5

(13 )3 + 4 × 5 – 14( 14 )35 – 4 × 7 + 10

(15 )7 + 15 ÷ 3( 16 )7 – [ 10 –-( 3 -] )3

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ( 2 –ص ) 5 –ص ( –س 3 ) 2أختصر [ 2] أوجد ثم س

عندما الناتجص = -4س = ،2

19

العمليات ترتيب على تمارينالحسابية

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س[ = 3] كانت ص = 2إذا من 5، لكال العددية القيمة أوجد

االتية المقاديرص) ( ) + ( س ( ) 2أ س ) ( 2ص (–ب س ) 2ص + 3جـ

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س [ = 4] كانت ص = 1 + 5 ÷ 15إذا قيمة 3 × 5 – 17، أوجدص 5س + 3

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س[ = 5] كانت ص = 2 × 4 –( 1 + 4 )3إذا ،2 × 3 2 – 5 × 3 قيمة ص 2س + 5أوجد

تعريف

أ* الموجب النسبى للعدد الموجب التربيعى الجذر يعنى أ الرمزأ* - الموجب النسبى للعدد السالب التربيعى الجذر يعنى أ الرمز

صفر * = صفرمعنى* ) ( له ليس سالب عدد

النسبى* للعدد التربيعى 5 + = 25الجذر

النسبى* للعدد التربيعين 7 + = 49الجذرين

كال* أ للعدد التربيعيين الجذرين فان كامل مربع نسبى عدد أ كان إذا

االخر للجذر جمعى معكوس منهما وكال نسبيا عددا منهماأ = 2أ* ، أ 2أ = 4أ أ 3أ = 6، وهكذا .........4أ = 8،-( *3)2 = 3( ،3)2 = 3

20

العدد هو أ الموجب النسبى للعدد التربيعى الجذرأ يساوى مربعه الذى

لعدد التربيعى الجذركامل مربع نسبى

يساوى 5 = 25 = 16 + 9* خطأ ) ( 7 = 4 + 3وال فهذا *6 = =

ياتى مما كال أكمل سللعدد- 1 التربيعى للعدد = ....... 36الجذر التربيعى الجذر 100بينما

....... =

للعدد- 2 التربيعيين للعدد = ......... 81الجذرين التربيعيين الجذرين بينما144 =

للعدد- 3 التربيعيين التربيعيين = ........ 2الجذرين الجذرين بينما

= .....2للعدد

4- ( -5) 2 ......... = ،3 4 ...... =

5 -36 + 64 ........... = ،100 – 36......... =

6( -3)2( + 4)2( ........ = ،13)2 –( 12)2....... =

7 -16 + 9 ...... = ،100 - 16......... =

8 - -64 - ...... = ،169..... =

9 + -2 + ...... = ،1........ =

ضلعه- 10 طول الذى ومحيطه = ........ 5المربع مساحته تكون سم

.......... =

مساحته- 11 الذى ومحيطه = ..... 2سم225المربع ضلعه طول يكون

........ =

مساحته- 12 الذى ومحيطه = ....... 2سم400المربع ضلعه طول يكون

...... =

20 - 25% ........ = ،0.64 ....... = ،10.24......... =

مساحته- 21 ضلعه = ..........2سم 6.25مربع طول يكون = ...................2جـ 4ب 6أ - 22

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@يحلل فإنه مباشرة ما لعدد التربيعى الجذر أيجاد يصعب عندما

عامال متساويين عاملين كل من يأخذ ثم األولية عوامله الى

21

14

254

52

14

79

494

14

925

1125

الجذر لتعطى المأخوذة العوامل هذه ضرب ويتم واحداالتربيعى

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

2304أوجد

الحــــــــــــــــل 2304 = 2 × 2× 2 × 2 × 3

= 48

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

قيمة ) ( صفر× × ) (2أوجد

الحـــــــــــــــــــل 1 = 1المقدار = × ×

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

81أوجد

الحـــــــــــــــــــل 81 = 9 = 3

يأتى [ 1] مما كال قيمة أوجد(1 )10.24( 2 )1( 3 )0.64

22

23041152576288144723618931

2222222233

2

2

2

2

3

23

8116

53

49

94

الجذر على تمارينالتربيعى

مثال

مثال

مثال

9 16

(4 )729( 5 )900( 6 )2304

(7 )5625( 8 )324( 9 )576

(10 )144 +25( 11 )169 – 25( 12 )169 - 144

(13( )5)2 –( 3)2( 14( )17)2 –( 15)2( 15( )15)2( + 8)2

2ع 6ص 8س( 18 )8ص 12س( 17 )10س( 16)

(19-( )2)6( 20-( )5)2( 21 )0.4

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

الضلع [ 2] طول أوجد التالية االشكال من شكل كل فى

المجهول

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

[3 ] ، بين يقعان نسبيين عددين أوجد@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

صورة [ 4] البسط أختصر ) ب) ( × ) 25 + 16أ

( 6+2 ( ÷ )11 + 5 × ) 8ء ) ( 1 + 5 × 2 – 2 5جـ) (

23

0

49

34

45

2516

24

(5 ) هما عاملين من يتكون وهو جبرى حد يسمى وتسمى 5س

عليه نطلق ما وهو رمزى عامل وتسمى س ، عددى عامل

حسابية لعملية نمط يمثل وهو متغيرحدان ( 4س + 5) من يتكون وهو جبرى مقدار ، 5يسمى 4س

والحد ) ( ) " " ( 5 متغير أوجبرى رمزى عامل س عددى عامل

الثابت 4الثانى عليه نطلق ما وهوالجبرى عنه الحد اللفظى التعبيرالعدد س5 ضرب حاصل أو س أمثال فى 5خمسة

س المتغيرمكرر س المتغير مرات 5أو

العدد قسمة س 5حاصل المتغير علىالعدد بين س 5النسبة والمتغير

العدد 5س + إليه مضافا س العدد 5المتغير زيادة 5أو

س المتغير علىالعدد 5 –س منه مطروحا س 5المتغير

س س 2 العدد ضعفاليه 3س + 2 مضافا س المتغير 3ضعف

العدد س 3 – 5 من س المتغير أمثال ثالث 5طرح

25

المتغير والثابت

الدرس

االول

5 س

7س + 5المقدار 5 ، المتغير يسمى س ، العدد العامل الثابت 7يسمى يسمى

5س × + 3

يأتى مما كال عن لفظيا عبر( ) ( + 3أ) ( ك ) جـ ب ( 3ك (– 3ء ) هـ ) ك

3ك +2

الحـــــــــــــــــــــــــــل العدد 3 يعنى أمثال 3ك ثالث أو ك فى مضروبا

ك العددعلى ك قسمة خارج ك 3يعنى بين النسبة أو

3والعدد

العدد 3ك + أضافة ك 3يعنى المتغير الىالعدد – 3 من ك المتغير طرح يعنى 3ك

العدد 3ك + 2 اليه مضافا ك 3ضعف

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

رياضية بصورة يأتى مما كال عن عبرص ( 1) المتغير أمثال ثالثمن( 2) مطروحا س 5المتغير

إليه( 3) مضافا س المتغير 7ضعف

العدد( 4) منه مطروحا ن المتغير أمثال 5ثالث

اليه( 5) مضافا س المتغير أمثال 5ثالث

(6 )، س بين 4النسبة

الحــــــــــــــــــــل س – 5( 2ص )3( 1) 5 –ن 3( 4 )7س + 2( 3)

26

عامل عددى

الثابت المتغير

ك3

ك3

س4

مثال

مثال

( 6 )5س + 3( 5)

يأتى مما كال فى والثابت المتغير عين7ن( + 5ص )3 – 7( 4 )3س + 2( 3( )2س )7( 1)

الحــــــــــــــــــــــــــل صفر ] [ 7 يساوى والثابت س هو المتغير س

صفر ] [ يساوى والثابت س هو المتغيرهو ] 3س + 2 والثابت س هو [ 3المتغير

هو ] 3 – 7 والثابت ص هو المتغير [ 7ص

هو ] 7ن + والثابت ن هو [ 7المتغير

مقدار بكتابة االتية الجمل من جملة كل عن عبر

جبرى ص[ 1] الخدمة اليها مضافا المطعم من س الوجبة ثمنبمبلغ[ 2] شراءها تستطيع التى الكتب كان 25عدد إذا جنيها

س الكتاب ثمنمن[ 3] مطروحة العمل من الغياب أيام 180عدد

الساعة[ 4] ايجار ثمن كان إذا ساعة س لمدة سيارة أيجار ثمن

جنيهات 10الوحدة تقسيم[ 5] من الفرد االفراد 25نصيب من س عدد على جنيهاوعدد[ 6] س د االوال عدد كان إذا الفصل فى التالميذ عدد

20البنات

طالبه[ 7] عدد فصل فى االوالد بنت 40عدد س منهممنهم[ 8] طالب س به فصل فى االوالد بنات 10عددس[ 9] يساوى سنوات ثالث منذ عمره كان إذا االن أحمد عمرمنذ[ 10] أحمد س 3عمر االن عمره كان إذا سنوات

27

س7

س7

مثال

مثال

الحــــــــــــــــــــــل ص ( + )1) س 10( 4س )– 180( 3( )2س 10 –س( 8س )– 40( 7 )20س( +6( )5)

3 –س( 10 )3س( +9)

االتية الجداول من كال فى النمط أكمل

(1 )

(2 )

(3)

(4 )

(5 )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أكمل فإن( 1) س هو مثلث فى زاويتين قياسى مجموع كان إذا

يساوى الثالثة الزاوية قياس .......................

قياس( 2) فإن س هو متتامتين زاويتين أحدى قياس كان إذا

هو االخرى .........الزاوية

28

25س

25 س

45678.................................. 1ن + ن

76543.................................. 1ن - ن

3691215..................................ن2ن

1013161922.................................. 3ن + ن

243812793.................................. س س

3

مثال

مثال

قياس( 3) فإن س هو متكاملتين زاويتين أحدى قياس كان إذا

هو األخرى ........الزاوية

هو( 4) محيطه فإن س هو مربع ضلع طول كان ...................إذا

هو( 5) ضلعه طول فإن س هو مربع محيط كان ..................إذا

مثلث( 6) من زاويتين قياس كان ، 2إذا قياس 3س فإن س

هو ..............الثالثة

(7 )، س رباعى شكل زوايا قياس كان ، 2إذا فإن 4س س

الرابعة الزاوية قياس ..........................يساوى

الدرجة :- من متغيرين بين بسيطة عالقة هى الخطية العالقة

مثل االولىص = 2ص = أو ص = 3س + 2س ص +3 – 5أو أو س2س

=5

س = + المتغيرين حيث خطية عالقة تسمى ب س أ ص العالقة

ثوابت ب ، أ ، االولى الدرجة من ص ،التابع بالمتغير ص ويسمى المستقل بالمتغير س يسمى

س معامل أ ويسمى المطلق بالحد ب ويسمى@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المتغيرين بين خطية عالقة عن يعبر اآلتى من أى

ص ، س29

العالقة الخطية

الثانىالدرس

مثال

20ص + = 2س( 2س )3ص( = 1)

س( = 4س )– 5ص( = 3) صس( = 5) ص 4س +3 = 5( 6 )10صس( = ) -7) ص( + = 8 )2(1ص 5س

س( = 10ص( = )9) 1 – 3ص

الحــــــــــــــــــــــــل خطية( )1) خطية( 2العالقة غير العالقةخطية( )3) خطية( 4العالقة العالقةخطية( )5) غير خطية( 6العالقة العالقةخطية( )7) غير خطية( 8العالقة العالقةخطية( )9) غير خطية( 10العالقة غير العالقة

ص = العالقة تحقق مرتبة أزواج ثالث 3س + 2أوجد

الحــــــــــــــــــــــل س = ص = 1بوضع أن (5، 1 )5 = 3 + 2 = 3( +1 )2نجد

العالقة يحققس = ص = 2بوضع أن (7، 2 )7 = 3 + 4 = 3( +2 )2نجد

العالقة يحققس = ص = 3بوضع أن (9، 3 )9 = 3 + 6 = 3( +3 )2نجد

العالقة يحقق@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ص = العالقة تحقق مرتبة أزواج أربعة س 2 – 7أوجدالحــــــــــــــــــــل

س = يحقق ( 7، 0 )7 = 0 – 7( = 0 )2 – 7ص = 0عندما

العالقة 30

12

10س

مثال

مثال

س = يحقق ( 5، 1 )5 = 2 – 7( = 1 )2 – 7ص = 1عندما

العالقة س = يحقق ( 3، 2 )3 = 4 – 7( = 2 )2 – 7ص = 2عندما

العالقة س = يحقق ( 1، 3 )1 = 6 – 7( = 3 )2 – 7ص = 3عندما

العالقة @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ص = العالقة تحقق أزواج أربعة س 3أوجدالحـــــــــــــــــــل

س = تحقق( 3، 1الزوج )3( = 1)3ص = 1عندما

العالقة س = تحقق( 6، 2الزوج )6( = 2)3ص = 2عندما

العالقة س = تحقق( 9، 3الزوج )9( = 3)3ص = 3عندما

العالقة س = تحقق( 12، 4الزوج )12( = 4)3ص = 4عندما

العالقة @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س = ص العالقة يحققان زوجان أوجدالحــــــــــــــــــل

س = العالقة ( 2، 3الزوج )2 = 3ص = × 3عند يحقق

س = يحقق ( 4، 6الزوج ) 4 = 6ص = × 6عند

العالقة -: المتعامد االحداثى المستوى فى نقطة تعين كيفية

31

23

2323

مثال

مثال

( النقطة من ( 3، 2لتعين نتحرك المتعامد االحداثى علىرأسيا ) ( نتحرك ثم اليمين ناحية وحدتان و االصل نقطة

وحدات ثالث العلى ( النقطة من ( 3، -2لتعين نتحرك المتعامد االحداثى على

رأسيا ) ( نتحرك ثم اليمين ناحية وحدتان و االصل نقطةوحدات ثالث السفل

- ( النقطة من ( 3، 2لتعين نتحرك المتعامد االحداثى علىرأسيا ) ( نتحرك ثم اليسار ناحية وحدتان و االصل نقطة

وحدات ثالث العلى- ( النقطة من ( 3، -2لتعين نتحرك المتعامد االحداثى على

رأسيا ) ( نتحرك ثم اليسار ناحية وحدتان و االصل نقطةوحدات ثالث السفل

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@الخطية :- للعالقة البيانى التمثيل

يحققان مرتبين زوجين نعين بيانيا الخطية العالقة لتمثيل] أزواج ] ثالث ويفضل العالقة

مستقيم خط ونرسم المتعامدة البيانية الشبكة على ونعينهمافى خطأ هناك فيكون بأحدهما يمر لم وإذا الثالث بالنقط يمر

واحد لمستقيم تنتمى الثالث النقط تكون أن فيجب التعويض

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

= ) ( س د الدالة منحنى بيانيا 3س +2مثل

الحــــــــــــــــــــل

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

= ) ( س د الدالة منحنى بيانيا س 2 – 5مثلالحــــــــــــــــــــل

32

012س

357ص

4 3 2 1- 1- 2-

مثال

123456 7

××

×

56 7

×

مثال

= ) ( س د الدالة منحنى بيانيا س 3مثلالحــــــــــــــــــــل

= ) ( س د الدالة منحنى بيانيا س 2 –مثلالحــــــــــــــــــــل

أن الحظاالصل( = + 1) بنقطة يمر ب س أ ص للعالقة البيانى الخط

ص = = ] = مثال س أ ص عندما أى صفر ب ص = 2عندما أو 3س

ص = - أو س = [ 2س ص أو ساألصل تمربنقطة عالقات كلها

عندما( ) ( 2) الشكل يأخذ الخطية للعالقة البيانى الخط

أ < يكون عندما أى موجبا س معامل 0يكون

عندما( ) ( 2) الشكل يأخذ الخطية للعالقة البيانى الخط

أ > يكون عندما أى سالبا س معامل 0يكون

التالية الجداول أكمل الخطية العالقات بأستخدام33

012س

5311ص234

××

4 3 2 1- 1- 2-

012س

036ص

4 3 2 1 -1 -2 -

مثال

123456 7

×

×

×

012س

6-4-2-0ص-5-4-3

-1-2

××

4 3 2 1- 1- 2

×

23

مثال

مثال

1س + 4ص( = 1)

3س + 2ص( = 2)

س( = + 3) 5ص

س 2 – 25ص( = 4)

س 2ص( = 5)كل فى ص ، س المتغيرين بين الخطية العالقة أوجد

التالية الجداول من جدول(1 )

(2 )

(3)

(4 )

(5 )

(6 )

34

........................012س212941........................ص

........................12-0س132317........................ص

........................012س131721........................ص

........................012س31311........................ص

........................012س101820........................ص

012345س03691215ص

....................................

0246810س012345ص

....................................

012345س234567ص

....................................

012345س03691215ص

....................................

012345س....................................101234-ص

012345س....................................35791113ص

على تمارينالخطية العالقة

مثال

االتية( 1) العالقات تحقق أزواج ثالث أوجدص) ( = ( = 1س + 2أ ص ) 2 –س 3ب

= ) ص) ( = + 3 – 10جـ س ) ص ء 3س

- = ) ص) ( = 5هـ س ) ص و 1 –س

= ) ( = ) س) ص ن س ص م@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

االتية [ 2] الخطية العالقات بيانيا مثلص) ( = ( = 1س + 3أ ص ) س 4 – 5ب = ) ص) ( = - 4جـ س ) ص ء س

+ = ) ( = ) س) ص و س ص 1هـ

ص) ( = س ) ( = – 7م ص ن س@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ص[ = 3] العالقة يحقق التالية المرتبة االزواج من أيا س 3بين +5

( ) 7، 1أ) ( ) ( ) -11، 2ب ( ) ( ) -2، 1جـ ( ) ( 1، 2ء ( )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ص[ = 4] العالقة يحقق التالية المرتبة االزواج من أيا 2 – 5بين

س ( ) 3، 1أ) ( ) ( ) 1، -3ب ( ) ( ) 3، 0جـ ( ) ( 1، 2ء ( )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ص [ = 5] كانت التالية 5س + 2إذا المرتبة األزواج أكمل( ) .......، 1أ) ( ) ( ) .......، 2ب ( ) ( ........، 3جـ( )

( ) ( ) 21، ......جـ) ( ) 13، ......ء ( ) ( 17، ......هـ ( )

35

13

32

23

االعداد :- أو االشياء من مجموعة بين تربط عالقة هو النمط

السابقة أو التالية االعداد أو باالشياء التنبؤ نستطيع بحيث

هندسية عالقة أو عددية عالقة النمط يكون وقد لها@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

االعداد ................، 11، 9، 7، 5فمثال5 = 2 × 1 + 3 7 = 2 × 2 + 3 9 = 2 × 3 + 3

11 = 2 × 4 + 3 ترتيبه الذى العدد أستنتاج يمكن النمط هذه 10ومن من

بـ س عن بالتعويض 10االعداد 23 = 3 + 20 = 3 ( + 10 ) 2ص =

االعداد بين يجمع الذى النمط أكتشف 1 ،4 ،9 ،16 ، ،.......................

الحـــــــــــــــــــــل .....................................، 4، 3، 2، 1الترتيب ...................، 16، 9، 4، 1القيمة

س = ص 2النمطاالعداد هذه أكمال يمكن هذا ، 49، 36، 25، 16، 9، 4، 1وعلى

..........العدد أوجد ثم االعداد بين يربط الذى النمط أكتشف

ترتيبه 10الذى

، ، ، ، ، ،........

الحــــــــــــــــــــــــل ................، 6، 5، 4، 3، 2، 1الترتيب :-

-: ، ، ، ، ، ، ........االعداد

ص = هو ــــــــــــ النمط36

االنماط العددية

الدرس

الثالث

هو النمط3س + 2ص=

12

13

14

15

16

17

12

13

14

15

16

17 1

1س +

مثال

مثال

س = 10عندما

ــــــ = ـــــــــــــ ص = االعداد هذه بين يربط الذى النمط أكتشف

3 ،6 ،9 ،12 ،15 ،..............

الحــــــــــــــــــــــــل ..............، 5، 4، 3، 2، 1الترتيب :-

15، 8، 9، 6، 3العدد :-

ص = هو س 3النمط@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

االعداد بين يربط الذى النمط أكتشف 2 ،5 ،10 ،17 ،26 ،.......................

الحـــــــــــــــــــل 5، 4، 3، 2، 1الترتيب :-

26، 17، 10، 5، 2القيمة :-

س = ص هو 1 + 2النمط

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

االعداد بين يربط الذى النمط أكتشف 1 ،3 ،9 ،27 ،81 ،243 ،..............

الحــــــــــــــــــل 5، 4، 3، 2، 1، 0الترتيب :-

243، 81، 27، 9، 3، 1العدد:-

ص = هو س 2النمط

37

110+ 1

111

2 = 1 2+15 = 2 2+110 = 3 2+117 = 4 2+126 = 5 2+1

3 = 3 × 16 = 3 × 29 = 3 × 312 = 3 × 415 = 3 × 5

صفر 3 = 1

3 = 3 1

9 = 3 2

27 = 3 3

81 = 3 4

243 = 3 5

مثال

مثال

مثال

أعداد [ 1] ثالث بكتابة االتية االنماط أكمل، ......... ........... ..........20، 15، 10، 5أ) ( ، ، ) ، .......... ............ ...........64، 27، 8، 1ب) ، ،

) ، .......... ........... ...........24، 15، 8، 3، 0جـ) ، ، ) ، ............ ............ ........... 11، 8، 5، 2ء) ، ،

) ، .......... ............ ............ 1هـ) ، ، ، ، ، ) ، ......... ........... ............16، 8، 4، 2، 1س) ، ، ) ، ........ ......... .......... 8، 5، 3، 2، 1، 1ص) ، ،

) ،.......... .......... .......... ، 0.8، 0.6، 0.4، 0.2م) ،........ ........ ........ ) (، ، ، ، ، ، ن

) ، ........ .......... ..........64، 27، 8، 1ك) ، ، ) (، ، ، ، ........ ........ ........1ل ، ،

) ، ........ .......... ..........41، 44، 47، 50ط) ، ، ) ، ........ ......... .........24، 32، 39، 45، 50ع) ، ، ) ، 1غ) ، ،3.......... ........... ........ ، ، ،

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

االعداد[ 2 ] بين تربط التى العالقة أكتب ) (، ، ، ، أ

) 75، 80، 85، 90، 95ب)

) 625، 125، 25، 5، 1جـ)

27، 18، 11، 6، 3ء) (

38

االنماط على تمارينالعددية

14

19

116

12

16

118

154

14

12

34

53

73

13

24

35

46

57

) 13، 10، 7، 4، 1هـ)

واحد 5 = 3س + 2المعادلة مجهول فى االولى الدرجة من

س هوس مجهول 0 = 6س + 5 – 2المعادلة فى الثانية الدرجة من

واحد ص + = س فى 5المعادلة االولى الدرجة من معادلة

مجهولين

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س + للمعادلة الحل مجموعة 7 = 3أوجدالتعويض } مجموعة كانت { 5، 4، 1إذا

الحـــــــــــــــــــــــــل س = عن االيمن = 1بالتعويض االيسر 4 = 3 + 1الطرف

1 للمعادلة حال ليسس = عن االيمن = 4بالتعويض االيسر = 7 = 3 + 4الطرف

39

المعادالت

الدرس

الرابع

مفهوم درجة المعادلة

المعادلة

على تحتوى تساوى عالقة هىأكثر أو مجهول

من جبرى حد درجة أعلى هىالمعادلة حدود

مجموعة التعويض

القيم اليها ينتمى التى المجموعة هىللمجهول المحتملة

حل مفهومالمعادلة

الموجود المجهول قيمة ايجادبالمعادلة

حل مجموعةالمعادلة

تحقق التى العناصر مجموعة هىإلى وتنتمى للمعادلة التساوى

التعويض مجموعة

مثال

1 للمعادلة حالس = عن االيمن = 5بالتعويض االيسر 8 = 3 + 5الطرف

5 للمعادلة حال ليس { = . ح { 4م

س + للمعادلة الحل مجموعة 7 = 3أوجدالتعويض } مجموعة كانت { 5، 2، 1إذا

الحـــــــــــــــــــــــــل س = عن االيمن = 1بالتعويض االيسر 4 = 3 + 1الطرف

1 للمعادلة حال ليسس = عن االيمن = 2بالتعويض االيسر 5 = 3 + 2الطرف

1 للمعادلة حال ليسس = عن االيمن = 5بالتعويض االيسر 8 = 3 + 5الطرف

5 للمعادلة حال ليس = . ح م

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

للمعادلة حال يعتبر االتية األعداد س = +6س + 3أى

20

5 ،6 ،7

الحــــــــــــــــــــــــــــــل س = عن 5بالتعويض

االيمن 25 = 20 + 5االيسر = 21 = 6 + 15 = 6 + 5 × 3االيمن = للمعادلة 5 حال تعتبر ال

س = عن 6بالتعويض

االيمن 26 = 20 + 6االيسر = 24 = 6 + 18 = 6 + 6 × 3االيمن = للمعادلة 6 حال تعتبر ال

س = عن 7بالتعويض

االيمن = 27 = 20 + 7االيسر = 27 = 6 + 21 = 6 + 7 × 3االيمن = 40

مثال

مثال

للمعادلة 7 حال تعتبرح . = } { 7م

االولى :- الدرجة من معادلة لحلالمعادلة (1) طرفى من عدد طرح أو عدد نجمعطرفى (2) قسمة أو المعادلة طرفى فى عدد ضرب

الصفر يساوى ال عدد على المعادلةعامة :- بصفة

فإن = ب أ وكان نسبيا أعدادا جـ ، ب ، أ كان إذاجـ( + = + )1 ) ب جـ جـ( × = × 2أ ب جـ أ

ب + = + = أ فإن جـ ب جـ أ كان إذاجـ × = × ، جـ ب جـ أ كان ب = إذا أ فإن صفر

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

س + المعادلة س 5 = 2حل المعادلة –حل3 = 4

وتحقق ن فى الناتج من وتحقق ن فىالناتج من

الحــــــــــــــــل الحـــــــــــــل

A + 5 = 2س A 4 = 3 –س B = 2 – 5س B = 3 + 4س B = 3س B = 7س B { = . ح ح . = } B { 3م { 7م

التحقق االيمن = = 5 = 2 + 3االيمن = =4 = 3 – 7االيسر

االيسر @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

41

حل المعادال

ت

الدرس

الخامس

مثال

مثال

6

س + المعادلة س +2 = 5حل المعادلة حل4 = 1

ص فى ط فى الحـــــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــــــــل A + 2 = 5س A + 1 = 4س

B = 5 – 2س B = 4 – 1س B - = 3س B - = 3س A -3 h طA -3 g ص

B = . ح ح . = } - Bم { 3م

المعادلة المعادلة 5 = 1 –س 2حل –س 3حل5 =7

ن فى ن فى الحـــــــــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــــــل

================================================

فى فى ننأوجد أوجد الحل ننمجموعة

الحل مجموعة =4 –س 5للمعادلة 11 = 5س + 3للمعادلة

11

الحـــــــــــــل الحــــــــــــــــــل42

مثال

مثال

تدريب

تدريب

تدريب

تدريب

=================================================

فى أوجد المعادلة الحل مجموعة أوجد

المعادلة ط حل مجموعةس 11 = 5س+2 14= 7س - 3 ننg حيث

=================================================

فى أوجد المعادلة الحل مجموعة أوجد

المعادلة ط حل مجموعةس 4(= 5س+3)2 ــ) 2 نن gحيث حيث 5( = 3س

نن gس

االتية [ 1] المعادالت من لكال الحل مجموعة ط فى أوجدس) ( ( + 5 = 2 –أ س ) 3 = 7ب

) ( 5 = 3 –س 2جـ) س – 11 = 1 –س 3ء ) ) ( 7 = 3 –س 5س) س 3 = 10 –س 5ص )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

43

حل على تمارينالمعادالت

تدريب

تدريب

تدريب

تدريب

االتية [ 2] المعادالت من لكال الحل مجموعة ص فى أوجدس) ( + ( + 5 = 2أ س ) 3 = 5ب

) ( 4 = 3 –س 2جـ) س + 11 = 1س + 3ء ) ) ( 12 = 3 –س 5س) س 3 = 10س + 5ص )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

األتية [ 3] المعادالت من لكال الحل مجموعة ن فى أوجدس) ( ( + 3 = 1 –أ س ) 6 = 2ب

) ( 5 = 3س + 2جـ) 11س = - 1 –س 3ء )

) ( 3 = 7 –س 5س) س 2 = 10 –س 5ص ) ) ( 10 = 2 –س 3ع) 9 = 5 –س 7غ )

بمقدار عرضه عن يزيد طوله 26ومحيطه = 3مستطيل

مساحته أوجد سمالحـــــــــــــــــــل

عرضه = أن نفرض44

حل على تطبيقات على تدريباتالمعادالت الدر

سالسادس

مثال

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

مجموعهم = متتالية فردية أعداد هذه 21ثالث أوجداالعداد

الحـــــــــــــــــل هى االعداد أن نفرض

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

مجموعهم متتالية زوجية أعداد هذه 30ثالث أوجداالعداد

الحـــــــــــــــــــــــل األعداد أن نفرض

زواياه قياسات ، 2مثلث ، 3س أوجد 4س س

زواياه قياساتالحـــــــــــــــــــــــل

45

مثال

مثال

مثال

المثلث = زوايا قياسات مجموع

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ومجموعهما األخر ضعف أحدهما طبيعيان 21عددان

العددان هذان أوجدالحـــــــــــــــــــــل

، س العددان أن س = = 2نفرض األول العدد 7س

الثانى = 21مجموعهما = =7 × 2س = 2العدد

14

21س = 2س +

21س = 3

7س =

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

بمقدار طوله نقص فإذا عرضه ضعف طوله مستطيل

بمقدار 5 عرضه وزاد سممساحة 6 أوجد مربعا المستطيل فيصبح سم

المستطيل الحـــــــــــــــــــــــل

الطول = = ، س العرض أن 6س = + 5 –س 2س 2نفرض

النقص = بعد 5 + 6س = –س 2 5س - 2الطول

س = + الزيادة بعد 11س = 6العرض

46

مثال

مثال

العرض = مربعا أصبح 11المستطيل

22الطول =

المساحة = = الزيادة بعد العرض النقص بعد 11الطول

2سم442 = 22×

سنتين وبعد أبنه عمر أمثال ثالث االن عمره رجلعمريهما مجموع يصبح

منهما 52 كال عمر ما سنةالحـــــــــــــــــــــــل

س = االن االبن 52 = 4س + 4عمراالن = االب 4 – 52س = 4س 3عمر

س = + سنتين بعد االبن 48س = 4 2عمرسنتين = بعد االب 12س = 2س +3عمر

سنتين = بعد عمريهما س = = 52مجموع االبن 12عمراالب = 52 = 2س + 3 +2س + 36 = 12 × 3س = 3عمر

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

منهما كال قياس متتامتان س + 3زاويتان ، من 10سأوجد الدرجات

منهما كال قياسالحـــــــــــــــــــل

متتامتان 10 – 90س = 4الزاويتان 80س = 4 90مجموعهم =

س + + 3 20س = 90 = 10س 60 = 20 × 3س = 3 90 = 10س + 4

30 = 10 +20 = 10س +@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

متر ثمن عن جنيهان يزيد الصوف متر ثمن كان إذا

ثمن وكان 3الحرير

و الصوف من يساوى 4أمتار الحرير من 671أمتار

كل ثمن ما جنيهاالصوف ومن الحرير متر منالحـــــــــل

47

مثال

مثال

مثال

جنيها = س الحرير متر ثمن أن س =7نفرض

671 - 6

س = + الصوف متر ثمن 665س = 7جنيها 2،

+ 3ثمن ثمن الصوف الحرير = 4متر من س =671متر

=95

الحرير = 671س = 4 ( + 2س × ) +3 متر 95ثمن

الصوف =671س = 4 + 6س + 3 متر ثمن

95+2

97 = 671 = 6س + 7

6 – 671س = 7

بمقدار( 1) عرضه عن يزيد طوله ومحيطه = 4مستطيل 32سم

أبعاده أوجد سممساحته أوجد ثم

بمقدار( 2) عرضه ضعف عن يزيد طوله سم 3مستطيل

أوجد 36ومحيطه = سمأبعاده

بمقدار( 3) عرضه أمثال ثالث عن ينقص طوله سم2مستطيل

سم 28ومحيطه = مساحته أوجد ثم أبعاده أوجد

مجموعها( 4) متتالية فردية أعداد االعداد 45ثالث هذه أوجدمجموعها( 5) متتالية زوجية أعداد االعداد 60ثالث هذه أوجد

48

6657

على تطبيقات على تمارينالمعادالت حل

قياسهما( 6) متتامتان س + 2زاويتان ، الدرجات 30س من

منهما كال قياس أوجدس( + 7) ، س قياسهما متكاملتان الدرجات 50زاويتان من

منهما كال قياس أوجدزواياه( 8) قياسات ، 7مثلث ، 5س أوجد 6س الدرجات من س

منهما كال قياسمنهما( 9) كال قياس بالرأس متقابلتان – 70، 50س - 2زاويتان

الدرجات من سمنهما كال قياس أوجد

(10 = ) ( أ( ق كان س ) ( = + 3إذا المنعكسة أ ق ، من 200س

أوجد الدرجاتمنهما كال قياس

كان( 11) فإذا األخر أمثال ثالثة أحدهما طبيعيان عددان

العددين 16مجموعهما فأوجدبمقدار( 12) ابنه عمر عن يزيد االن رجل وبعد 32عمر 10سنة

عمر يصبح سنواتاالن ] منهما كال عمر فما أبنه عمر أمثال ثالثة الرجل

[38 –سنوات 6 سنة مجموعها( 13) متتالية طبيعية أعداد االعداد 30ثالث هذه أوجد

[9 ،10 ،11]

ضعفه( 14) من طرح إذا الذى العدد الناتج 3أوجد 15كان

[9]

بمقدار( 15) أحمد عمر عن يزيد باسم عمر كان سنوات 3إذا

عمريهما 27ومجموع

49

منهما كال عمر أوجد

ان- تذكرط = } الطبيعية االعداد ، .................. { 3، 2، 1، 0مجموعة

- ........ { = ، ص الصحيحة االعداد ، ........ {2، 1، 0، 1، -2مجموعة

ص الموجبة الصحيحة االعداد ، ............ { 3، 2، 1 = } +مجموعةص = السالبة الصحيحة االعداد ، ......... {3، -2، -1 = } --مجموعة

السالبة = } غير الصحيحة االعداد ، ..............3، 2، 1، 0مجموعة

}

موجبة = } الغير الصحيحة االعداد ، ................2، -1، -0مجموعة

}

سالبا وال موجبا ليس الصفرالتباين خواص

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أوجد للمتباينة الحل مجموعة ط فى أوجد

الحل مجموعة ط فىس + 3 > 2 –س 2 > 5للمتباينة

50

حل المتباينات

الدرس

السابع

فإن < ب أ كان إذاجـ + < + (1) ب جـ أب < –أ (2) جـ –جـعدد < ] (3) جـ كان إذا جـ ب جـ أ

موجب [عدد > ] (4) جـ كان إذا جـ ب جـ أ

مثال

مثال

الحــــــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــل بأضافة -2بأضافة + المتباينة طرفى الى5الى

المتباينة طرفى 5 – 2 > 5 – 5س + 2 + 3 > 2 + 2 –س

2س > -5س >

ح . = } ح { . = 4، 3، 2، 1، 0م م

فى أوجد للمتباينة الحل مجموعة ص فى أوجد

الحل مجموعة ص 8 2س + 3للمتباينة 7 < 3 –س 2

على الحل ومثل االعداد خط على الحل ومثل

األعداد خط الحــــــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــل A 2 7 < 3 –س A 3 + 2س 8

B 2 > 3 + 7س B 3 س 8 – 2

B 2 > 10س B 3 س 6

على بالقسمة 2بالقسمة لللطرفين

لللطرفين 3على >

2س 5س <

51

س 22

102

س 33

63

مثال

مثال

ح . = } ح ....... { . = } 7، 6، 5م م ،2 ،3 ،4 } ............ ،

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ط فى أوجد الحل مجموعة ص فى أوجد

للمتباينة الحل مجموعةس + 1 < 3س + 3 < 5للمتباينة

على الحل ومثل األعداد خط على الحل ومثل

األعداد خط الحــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــل A + 3 < 5س A + 1 < 3س

B > 5 – 3س B > 3 – 1س

2س < -2س < -

ح . = } - ح ...... { . = } 1، 0، 1، -2م م ،0 ،1 ،2 } ......... ،

ط فى أوجد الحل مجموعة ص فى أوجد

الحل مجموعة س -3للمتباينة 7 > 3 –س 2للمتباينة

4 <8

على الحل ومثل االعداد خط على الحل ومثل

األعداد خط

52

7 6 5 4 3 2 1 0- 1- 2- 37 6 5 4 3 2 1 0- 1- 2- 3

5 4 3 2 1 0- 1- 2- 3 5 4 3 2 1 0- 1- 2- 3

مثال

مثال

مثال

مثال

الحــــــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــل 8> 4س - 3 7 > 3 –س 2

4 + 8س > 3 3 + 7س > 2

12س >3 10س > 2

على على 2بالقسمة بالقسمة

3

< <

4س > 5س >

- .... { = . ، ح ح { . = } 4، 3، 2، 1، 0، 1م { 3، 2، 1، 0م

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ط فى أوجد الحل مجموعة ص فى أوجد

الحل مجموعةس + س + 3 > 5للمتباينة 3للمتباينة

<1

على الحل ومثل األعداد خط على الحل ومثل

األعداد خط الحــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــل 1 > 3س + 3 > 5س +

3 – 1س > 5 – 3س >

2س > -2س > -

- ...... { = . ، ح ح { . = 3، -4م م

53

س 22

102

س 33

123

7 6 5 4 3 2 1 0- 1- 2- 37 6 5 4 3 2 1 0- 1- 2- 3

مثال

مثال

ن فى أوجد للمتباينة الحل مجموعة أوجد

للمتباينة الحل مجموعةص 3 > 17 –س 2 7> س 2 – 3فى

الحـــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــــل

=================================================

فى فى ننأوجد أوجد للمتباينة الحل ننمجموعة

للمتباينة الحل مجموعةــ 3 5> 1س + 2 > 3ــ 3س +2 > 1س

الحـــــــــــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــــل

===================================================

54

1 0- 1- 2- 3- 4- 5

تدريب

تدريب

تدريب

تدريب

تدريب

تدريب

فى أوجد للمتباينة الحل مجموعة ن فى ننأوجد

للمتباينة الحل مجموعة 4 س + < 2- س3

3 + س 4 > ( 2س) ــ

فى من طأوجد لكال الحل مجموعة

االتية المتباينات3س < 2 – 7( 5 )2 < 3 –س (1)

7س > 3 – 13( 6 )7 > 5 –س 2(2)

س < 12 –س 3( 7 )7 < 1س + 3(3)س > + 5( 8 )10س + 2 < 2 –س 5(4) 12س

==============================================

55

حل على تمارينالمتباينات

فى من صصأوجد لكال الحل مجموعة

االتية المتباينات3س < 2 – 13( 5 )17 < 2س + 3( 1)

17س > 3 – 5( 6 )5 > 3 –س 2( 2)

8س < + 1 –س 4( 7 )11 > 1س +5( 3)

س 3 – 17 > 3 –س 2( 8 )5 > 11س +3( 4)=================================================

فى من ننأوجد لكال الحل مجموعة

االتية المتبايناتس 5 + 14 < 2س + 6( 5 )5 < 2 –س 3( 1)14ص > + 19( 6 )8 > 3س + 2( 2)

3جـ - 5 1جـ + 6( 7 )11س < 2 – 5( 3)

( 3جـ ) - 2 ( < 1جـ - 4 ) – 1( 8 )5 ( > 3 –س ) 2( 4)

56

المنتظمة :- العينة57

العينــــــــــــات

الدرس

األول

وتمثله المجتمع تشبه كبير مجتمع من صغير جزء هى العينة

عشوائية بطريقة وتختارالمجتمع عن البيانات جمع لتسهيل العينات وتستخدم

منتظمة :- عينة اختيار كيفيةموزعا يكون أن البد مجتمع من منتظمة عينة أختيار يتم لكى

تاما . تمثيال للمجتمع ممثلة وتكون عشوائيا توزيعا

العشوائية :- العينةفرصة على فرد كل يحصل أن البد عشوائية عينة أختيار عند

على العشوائية العينة أعضاء اختيار ويمكن االختيار فى

أساس :رقم- .1 المجتمع فى فرد كل إعطاءالحاسبة- 2 بااللة الموجود العشوائى الرقم خاصية استخدام

االحتمـــــ58ـــــال

الدرس

الثانى

التجريبى :- االحتمالالتجريبى = االحتمال

النظرى :- االحتمالللتجربة :- الممكنة النواتج كل مجموعة هو العينة فضاء

العشوائية

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@أوجد ثم العينة فضاء أكتب نرد حجر القاء تجربة فى

صورة ظهور أحتمالالحـــــــــــــــــل

ك = } { ، ص فأ = } { ) ( = = ل ص أ

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@بها منها 20سلة ، 7زهرة بيضاء زهور 8زهور

، حمراء 5صفراء زهورأن أحتمال أوجد عشوائيا واحدة زهرة سحبت فإذا

المسحوبة الزهرة تكونصفراء( 3حمراء( )2بيضاء( )1) أو بيضاء

الحــــــــــــــــــــل بيضاء = = الزهرة تكون أن ـــــــأحتمال

حمراء = = الزهرة تكون أن = ـــــ أحتمال

59

التى النواتج عددعليها حصلت

الممكنة النواتج عدد

أ " ف من جزئى حدث أى وقوع أحتمال " ف

أ ) ( = ل

أ ) ( الحدث وقوع أحتمال هو أ ل حيث

عنـــــــــــاصر عددأ الحدث

العينة فضاء عناصر عدد

عنـــــــــــاصر عددأ الحدث

العينة فضاء عناصر عدد

12

الزهور عددالبيضاء

720

الزهور عددالحمراء

820

25

البيضاء الزهور عددوالصفراء

1520

34

مثال

مثال

صفراء = أو بيضاء الزهرة تكون أن أحتمال

= =ثم العينة فضاء أكتب واحدة مرة نرد حجر القاء تجربة فى

االحداث من كال احتمال عيناالتية

فردى( = )1) عدد ظهور حدث عدد( = 2أ ظهور حدث ب

زوجىعلى( = 3) القسمة يقبل عدد ظهور حدث عدد( = 4 )3جـ ظهور حدث ء

يساوى أو من 3أقل

يساوى( = 5) عدد ظهور حدث عدد( = 6 )7هـ ظهور حدث و

كامل مربعمن( = 7) أكبر عدد ظهور حدث عدد( = 8 )3س ظهور حدث ص

أولى زوجىالحــــــــــــــــــــــــــل

{ 6، 5، 4، 3، 2، 1ف = }

فردى( = )1) عدد ظهور حدث زوجى( = 2أ عدد ظهور حدث ب= } 5، 3، 1أ = } = = ) ( ب { أ ( = = 6، 4، 2ل ( ب { ل

على( = 3) القسمة يقبل عدد أقل( = 4 )3جـ عدد ظهور حدث ء

يساوى أو 3من

( = = = } 6، 3جـ = } ( ء { جـ ( = = 3، 2، 1ل ( ء { ليساوى( = 5) عدد ظهور حدث مربع( = 6 )7هـ عدد ظهور حدث و

كامل ( = = } هـ = ( و صفر هـ ( = = 4، 1ل ( و { ل

من( = 7) اكبر عدد ظهور حدث عدد( = 8 )3س ظهور حدث ص

أولى زوجى( = = = } 6، 5، 4س= } ( ص { س ( = 2ل ( ص { ل

*************************************************************60

36

12

26

13

36

12

16

26

36

12

36

12

13

مثال

بها من 10سلة مرقمة بطاقة 10الى 1بطاقات منها سحبت

فضاء أكتب عشوائيا واحدةاالتية االحداث أحتمال من كال عين ثم العينة

من( 1) أقل زوجى عدد ظهور عدد( = 2 )7حدث ظهور حدث بأولى

فردى( )3) عدد ظهور فردى( = 4حدث عدد ظهور حدث ءأولى

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل {10، 9، 8، 7، 6، 5، 4، 3، 2، 1ف = }

(1 = من( أقل زوجى عدد ظهور حدث عدد( = 2 )7أ ظهور حدث ب

أولى ( = = } 6، 4، 2أ= } ( ب { أ ( = =5، 3، 2ل ( ب { ل

فردى( )3) عدد ظهور فردى( = 4حدث عدد ظهور حدث ء

أولى ( = = } 9، 7، 5، 3، 1جـ= } ( ء { جـ ( = = 5، 3ل ( ء { ل

االرقام } مجموعة من { 4، 3، 2، 1من مكون عدد كون

مختلفين رقميناالتية االحداث من كال أحتمال عين ثم ف أوجد

زوجيا = (1) العشرات رقم يكون أن حدث أ(2) = زوجيا الرقمين كال يكون أن حدث ب

الحــــــــــــــــــــــل 13، 42، 32، 12، 41، 31، 21ف = }

،23 ،43 ،14 ،24 ،34 }

زوجيا = العشرات رقم يكون أن حدث أأ { ) ( = = 34، 24، 14، 42، 32، 12أ = } ل

= زوجيا الرقمين كال يكون أن حدث ب

61

310

5 10

36

12

26

13

4 3 2 1

4

3

2

1

41

31

21

×

42

32

×

12

43

×

23

13

×

34

24

14

6 12

12

2 12

16

مثال

مثال

ب { ) ( = = 24، 42ب = } ل@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

من مكونة منهم 100مجموعة نجح فى 59تلميذ طالباالنجليزية اللغة

،35 ، التاريخ فى معا 20طالب المادتين فى طالبواحد تلميذ أختير فإذا

المختار الطالب أحتمال يكون أن أوجد عشوائياالتاريخ = = فى راسبا ب التاريخ فى ناجحا أ

اللغة = = فى راسبا ء االنجليزية اللغة فى ناجحا جـ

االنجليزية الحـــــــــــــــــــــــل

أ ) ( = = = 0.35ل

ب ) ( = = = = 0.65ل

جـ) ( = = = 0.59ل

ء) ( = = = = 0.41ل

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

62

الناجحين التالميذ عددالتاريخ فى

للتالميذ الكلى العدد

35 100

الراسبين التالميذ عددالتاريخ فى

للتالميذ الكلى العدد

100 – 35 100

65 100

اللغة فى الناجحين التالميذ عدداالنجليزية

للتالميذ الكلى العدداللغة فى الراسبين التالميذ عدد

االنجليزيةللتالميذ الكلى العدد

59 100

100 – 59 100

41 100

مثال

فرصة( :- 1) أى له ليس الذى الحدث هو المستحيل الحدثالوقوع فى

العدد = ] ظهور مثل صفر أحتماله رمى 7ويكون عندنرد [ حجر

جميع( :- 2) على يحتوى الذى الحدث هو المؤكد الحدثالتجربة نواتج

أحتماله = 1ويكون(3 )0 حدث أى وقوع أحتمال 1

مالحظــــــــات

أحد متقابلين وجهين كل يحمل بحيث مكعب صمم

ألقى 3، 2، 1االرقام فإذاأوجد واحدة مرة الحجر

العينة( 1) فضاء أكتبالرقم( = 2) ظهور أحتمال العلوى 3أ الوجه على(3 = العلوى( الوجه على فردى رقم ظهور أحتمال ب

الحـــــــــــــــــــــل { 3، 2، 1ف = }

) ( = 3أ( = } 1) أ { ل( = 3، 1ب( = } 2) ب { ) ل

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

بها كان 30سلة فإذا وصفراء وبيضاء حمراء كرة

حمراء كرة سحب أحتمالالحمراء الكرات عدد هو فما يساوى

الحــــــــــــــــــــل الحمراء = الكرات عدد حمراء كرة سحب أحتمال

= =6

=

=

63

1323

على تماريناألحتمال

مثال

15

15

الكرات عددالحمراء

الكلى العدد

15

الكرات عددالحمراء

30

15

305

مثال

من ( 1) عشوائيا بطاقة من 25سحبت مرقمة 25إلى 1بطاقة

تحمل أن أحتمال أحسب عددا البطاقة

على –أ القسمة يساوى –ب 5يقبل أو من 20أكبر

ء - كامال مربعا على –جـ القسمة يقبل فرديا

3

على - القسمة يقبل زوجيا أوليا –و 5هـ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

من( 2) مرقمة بطاقات ثمانى من عشوائيا بطاقة 1سحبت

ثم 8إلى العينة فضاء أكتباألتية االحداث من كال أحتمال أوجد

زوجى = عدد على الحصول حدث أفردى = عدد على الحصول حدث ب

يساوى - أو من أكبر عدد على الحصول حدث 6جـ

على –ء القسمة يقبل عدد على الحصول 3حدث

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

من( 3) مرقمة بطاقات من عشوائيا بطاقة ما 10الى 1سحبت

البطاقة تكون أن أحتمال-: عددا تحمل

(1( ) ( )2فرديا ( )3أوليا ( 4زوجيا فرديا

من 3أكبر

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

من( 4) يتكون دراسى منهم 50فصل والباقى 30طالب ولد

واحد طالب اختير فإذا بنات64

المختار الطالب يكون أن أحتمال أوجد عشوائيا ) ولد) ( ) ب بنت أ

االرقام( } 5) مجموعة ما { 5، 3، 2من رقمين من عدد كون

االحداث من كال أحتمالاالتية :-

(1( ) فرديا العشرات رقم يكون أن يكون( 2حدث أن حدث

فرديا العددالرقمين( 3) مجموع يكون أن يكون( 4 )7حدث أن حدث

الرقمين = ضرب 15حاصل

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

على( 6) تحتوى زرقاء 20حقيبة والبعض حمراء بعضها بطاقة

سحب أحتمال كان فإذاالحمراء البطاقات عدد أوجد يساوى حمراء بطاقة

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

به( 7) دراسى منهم 40فصل نجح فى 30تلميذ تلميذ

، العلوم 24الرياضيات فى تلميذالطالب يكون أن أحتمال أوجد عشوائيا طالب أختير فإذا

المختار ) التاريخ) ( ) فى ناجحا ب الرياضيات فى ناجحا أ

) ( ) التاريخ) فى راسبا ء الرياضيات فى راسبا جـ@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

65

35

به( 8) أزرق 32إناء بعضها المقاس نفس من ملونة كرة

أحمر وبعضها أخضر وبعضهازرقاء كرة سحب أحتمال كان فإذا أصفر لونه والباقى

الزرقاء الكرات عدد كم يساوىاألناء فى

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ومالحظة ( 9) واحدة مرة منتظم نرد حجر اللقاء تجربة فى

فضاء . أكتب العلوى الوجه على يظهر الذى النقط عدد

االتية . االحداث من كال أحتمال أوجد ثم العينةمن( 1) أكبر عدد على الحصول 6حدث

المتباينة( : 2) يحقق عدد على الحصول 6س 1حدث

المتباينة( : 3) يحقق عدد على الحصول 4س > > 2حدث

الجيزة االعدادى محافظة األول الصف

التعليمية ال جبــــــــــر / إدارة المادةساعتان / الزمن

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الثاني الدراسي الفصل م 2011 – 2010 امتحان

األول يأتي : : - السؤال ما أكمــــــــــــــــــل

المؤكد = (1 الحدث 0000احتمال

هو (2 ما مادة فى طالب نجاح احتمال كان فإن 70إذا ٪ رسوبه 0000احتمال

3) 9 ............= "

66

388

0000 = صفر (7) (4

5)) ( 6 ) ( ÷ 4 = 0000

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الثانى القوسين : : السؤال بين من الصحيحة اإلجابة اختر

س 6ــ س ) 0000 = 3( 2 س) ( 1 س 5ــ ، ، س ، 6 )

س( + 2 المقدار في ، ) 0000هو 3المتغير 3، 3س ، (1س

ص( = 3 العالقة يحقق الذي المرتب س 4الزوج ــ

( [4 ،2 ( ) ،4 ،1 ( ) ،1 ،3 ( ) ،4 ، 5] )

4 + : س( المعادلة حل هي 1 = 5مجموعة ن 0000في [ { 5 { } ،6 { ــ { ،4 }،Φ ]

كان( 5 ــ < : ) ا إذا فإن ب ) ( 000 [ اب ــ

[ > < ، ، = ، ≥ ]

الثالث : السؤال

: صورة ( ألبسط اختصر × × أ

العدد( اكتب القياسية 870000ب الصورة |ا ≥ | 1، ن10 × افين 10> ، صص

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: الرابع السؤال

67

15

16۲5

17

صفر

52

2

15

في ( أوجد للمعادلة : أ الحل مجموعة ــ 2ن 7 = 1س

س( : + المتباينة حل س 8 < 7ب صص gحيث

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

: الخامس السؤال

س ( = + ص العالقة كانت إذا س : = 5أ عندما ص 1أوجد

ومالحظة( واحدة مرة منتظم نرد حجر إلقاء تجربة في بالعلوي الوجه على الظاهر العدد

أوجد: زوجي ( 1) العدد يكون أن احتمالعلى ( 2) القسمة يقبل العدد يكون أن احتمال

3

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

الباهر بالنجاح لكم تمنياتي مع

68

69

االستداللى :- البرهانالحلول على االستدالل فى الهندسية الخواص استخدام هوالى اللجوء دون نظريا والتمارين للنظريات والبراهين

القياس فى الهندسية االدوات@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

م فى متقاطعان مستقيمان ء جـ ، ب أ المعطياتأن إثبات المطلوب

جـ ) ( = ) ( م ب ق ء م أ قء ) ( + ) ( = م أ ق جـ م أ ق (1 )180البرهان

وشعاع ] [ مستقيم تقاطع من حادثتان متجاورتانجـ ) ( + ) ( = م ب ق جـ م أ ( 2 )180ق

أن 2، 1من ينتج ) ( + ) ( = ) ( + ) ( جـ م ب ق جـ م أ ق ء م أ ق جـ م أ ق

) ( = ) ( جـ م ب ق ء م أ ق@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ب بدايتها أشعة أربعة هـ ب ، جـ ب ، ء ب ، أ ب المعطياتأن أثبات المطلوب

) ( + ) ( + ) ( + ) ( جـ ب هـ ق هـ ب أ ق جـ ب ء ق ء ب أ ق =360

س حيث س ب نرسم ب العمل ءجـ ) ( + ) ( = ب ء ق ب ء أ ق (1 )180البرهان

70

البرهان االستداللى

أ

ب جـ

ءم

زاويتيين كل فإن مستقيمان تقاطع إذاالقياس فى متساويتين متقابلتين

حول المتجمعة الزوايا قياسات مجموع 063نقطة =

نقطة = 063لأ

جـب

ء

سهـ

= ) ( + ) ( + ) ( جـ ب س ق س ب هـ ق هـ ب أ )180ق2 )

( +) ( [ + ) ( + ) ( + ) ( س ق س ب هـ ق هـ ب أ ق جـ ب ء ق ب ء أ ق = ]) جـ 360ب

( + ) ( + ) ( + ) ( ب هـ ق هـ ب أ ق جـ ب ء ق ء ب أ ق

360جـ ( =

المقابل الشكل فىهـ ) ( = س ء ق أن 85أثبت

و ) ( ) ( س هـ ق ، جـ س ء ق أوجد ثمالحــــــــــــــــــــــل

] [ ) ( = ) بالرأس) للتقابل ع و ص ق جـ و س ق = ) ( جـ و س 53ق

بالرأس ) ( = ) ( ] [ للتقابل ب جـ أ ق و جـ س ق = ) ( و جـ س 42ق

المثلث = زوايا 180مجموع = ) ( جـ س و 85 = 95 – 180 [ = 42 + 53 ] – 180ق

بالرأس ) ( = ) ( ] [ للتقابل جـ س و ق هـ س ء ق = ) ( هـ س ء 85ق

جـ ) ( + ) ( = س ء ق هـ س ء 180قجـ ) ( = س ء 95 = 85 – 180ق

بالرأس ) ( = ) ( ] [ للتقابل جـ س ء ق و س هـ ق = ) ( و س هـ 95ق

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@المقابل الشكل فى

) ( = ) ( جـ ق ب ق فيه مثلث جـ ب أجـ = أ ب أ أن أثبت جـ أ ب ينصف ء أ

الحــــــــــــــــــــل ء جـ أ ، ء ب أ

فيهما

71

53

42

ع صو

بجـسهـ

أء

أ

جـب ء**

جـ ) ( = ) ( ق ب قأ ) ( = ) جـ ق ء أ ب ق

ء ( مشترك ضلع ء أ

مثال

مثال

ء ب ء أ جـ أان ينتج التطابق ومن

جـ = أ ب أ

المقابل الشكل فىمستطيل = هـ ص س ء ، ب ء جـ هـ

ء ) ( = ) ( هـ أ ق هـ ء أ ق ان أثبتالحـــــــــــــــــــــــــل

مستطيل هـ ص س ء = ) ( = ) ( جـ ص هـ ق ص س ء المستطيل 90ق الشكل

ص // س هـ ء فيه) ( = ) ب ) ( = ) ( ) ق هـ ء أ ق جـ ص هـ ق ب س ء ق

] تناظر] = 180 – 90 = 90) ( = ) ( جـ ق ء هـ أ ق

] تناظر] من ص جـ هـ ، س ب أن 2، 1ء ينتج

( = ) ( هـ أ ق هـ ء أ ق فيهمـــــا

ء ( س ب ص ء جـ هـ

( ) ( = ) ( جـ ق ب (1ق@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المقابل الشكل فى72

جـب صس

هـء

أ

جـ ) ( = ) ( = ص هـ ق ب س ء 90ق

مستطيل = ] [ ص هـ س ءجـ = هـ ب ء

(2)

أمثال

مثال

) ( = ) ب = ) هـ أ ق جـ ء أ ق ، هـ أ ء أأن ) ء( = 1أثبت جـ هـ ب

( 2 = هـ( جـ ء بالحـــــــــــــــــــــــــل

جـ = ) أ ب أ أيضا وينتج ب هـ أ ، جـ ء (2أ

هـ = ) أ ء أ ( 3فيهما

2من 3بطرح

أ هـ ب ب أ أ ء هـ = - –جـ أ جـ أ ء أ = = جـ هـ ب ء أوال المطلوب وهو ء جـ هـ ب

عدة :- أتحاد من يتكون مستوى هندسى شكل هو المضلع

المستقيمة القطع بعدد ويسمى مغلقة مستقيمة قطع

له المكونةمن- يتكون المضلع كان ثالثى 3إذا مضلع يسمى قطعمن- يتكون المضلع كان رباعى 4إذا مضلع يسمى قطعمن- يتكون المضلع كان خماسى 5إذا مضلع يسمى قطع

وهكذا

73

جـب

هـء

مشتركة زاوية أب) ( = ) ( هـ أ ق جـ ء أ ق

معطى] [هـ = أ ء أ

المضلع

مضلعثالثى

مضلعرباعى

مضلعخماسى

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المحدب :- المضلعتكون متتاليين برأسين يمر مستقيم أى مضلع هوجانبى أحد فى واقعة المضلع رؤوس بقية

المستقيم هذاالمقعر :- المضلع

وتقع متتاليين برأسيين تتعين مستقيمات توجد مضلع هو

المستقيمات هذه جانبى على الرؤوس بقية

هامة مالحظةن = ) ن أضالعه عدد لمضلع الداخلة الزوايا قياسات 2 –مجموع

× )180 فمثال

للمثلث- = ) الداخلة الزوايا قياسات ×1 = 180 ( × 2 – 3مجموع180 = 180

الرباعى- = ) للشكل الداخلة الزوايا قياسات ( ×2 – 4مجموع180

= 2 × 180 = 360 الخماسى- = ) للشكل الداخلة الزوايا قياسات (2 – 5مجموع

×180 = 3 × 180 = 540

السداسى- = ) للشكل الداخلة الزوايا قياسات (2 – 6مجموع ×180

= 4 × 180 = 720 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

74

مضلعثمانى سداسى مضلع

يساوى :- والخارجة الداخلة الزاويتين قياسى مجموع مالحظة

180 180 ( = 2ق ( + ) 1ق )

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المنتظم :- المضلعفى متساوية وزواياه الطول فى متساوية أضالعه مضلع هو

القياس @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

ن أضالعه عدد منتظم محدب مضلع زوايا من زاوية كل قياس

=

المثلث ) المنتظم الثالثى الزوايا من زاوية كل قياس

= ) األضالع المتساوى = = = =60

المربع ) ( = المنتظم الرباعى زوايا من زاوية كل قياس = = =90

المنتظم = الخماسى زوايا من زاوية كل قياس

=

= =108 المنتظم = السداسى زوايا من زاوية كل قياس

=

= =120

عدد لمضلع الداخلة الزوايا القياسات مجموع أوجدضلع 12أضالعه

الحــــــــــــــــل 75

12

180 ( × 2 – ن) ن

( 3 – 2 × ) 180 3

1 × 180 3

180 3

( 4 – 2 × ) 180 4 2 × 180

4360 4

( 5 – 2 × ) 180 5

3 × 180 5 540

5

720 6

( 6 – 2 × ) 180 6

4 × 180 6

مثال

ن = ) ن أضالعه عدد لمضلع الداخلة الزوايا القياسات مجموع– 2 × ) 180

( = 12 – 2 × ) 180 = 10 × 180 = 1800 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

منتظم لمضلع الداخلة الزوايا من زاوية كل قياس أوجدأضالعه ضلع 12عدد

الحـــــــــــــــل المنتظم = = المضلع زوايا من زاوية كل قياس

= = =150 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

إحدى قياس منتظم محدب مضلع أضالع عدد أوجد 120زواياه

الحــــــــــــــــل المنتظم = المضلع زوايا من زاوية كل قياس

120 = ن = ) 120 ن ن = = 180 ( × 2 – أضالع 6 ن = 120 ن 180 – 360 ن 180 = 360 ن 120 – ن 60 = 360

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

= ) ( : ) ( : ) ( : ) ( ء ق جـ ق ب ق أ ق فيه رباعى شكل ء جـ ب أ

1 : 2 : 4 : 5

زواياه جميع قياس أوجدالحـــــــــــــــل

أ- ) ( = × 30 = 360ق

× = ) ( ب- 60 = 360ق

× = ) ( جـ- 120 = 360ق

76

180 ( × 2 – ن) ن

( 12 – 2 × ) 180 12 10 × 180

12180012

180 ( × 2 – ن) ن 180 ( × 2 – ن)

360ن60

1 12

2 12

4 12

5 12

مثال

مثال

مثال

× = ) ( ء- 150 = 360ق

: جدا هامة قوانين

أي [ 1 إليها ينقسم التي المثلثات ن = ) – عدد :مثلث ( 2مضلع

المضلع ن) ( أضالع عدد

قطر[ = 2 مضلع أي أقطار عدد) ( :عدد ن

المضلع أضالع

مضلع [ 3 ألي الداخلة الزوايا قياسات : 180 ( 2ن= ) – مجموع

أضالع ن) ( المضلع عدد

المنتظم [ 4 المضلع زاوية ن= ) ( قياس عددحيث

المضلع المنتظم أضالع

ن[ = 5 منتظم مضلع أي األضالع xمحيط طول

المنتظم = [ 6 المضلع أضالع هـ عدد قياس حيث

المضلع المنتظم زاوية

أضالعه[ = 7 عدد منتظم مضلع أي تماثل محاور [8عدد

من رأس أي عند الخارجة و الداخلة الزاويتين قياسي مجموع

المضلع = 180رؤوس

77

( 3 – ن ) ن 2

° 180 ( × 2 ن) – ن

°063 °هـ - ° 081

المضلع[ = 9 رأس عند الخارجة الزاوية قياس 180قياس ــ

الرأس نفس عند الداخلة الزاوية

المضلع[ = 10 رأس عند الداخلة الزاوية قياس ــ 180قياس

المضلع رأس نفس عند الخارجة الزاوية

المنتظم [ 11 المضلع أضالع س = عدد الزاوية حيث قياس

م المنتظللمضلع الخارجة

المنتظم[ 12 للمضلع الخارجة الزاوية عدد ) ( = قياس ن حيث

المضلع المنتظم أضالع

عقارب[ 13 مع اتجاه في محدب لمضلع الخارجة الزوايا قياسات مجموع

° 360= الساعة

عقارب [ 14 ضد اتجاه في محدب لمضلع الخارجة الزوايا قياسات مجموع

° 360= الساعة

محدب[ = 15 مضلع ألي الخارجة الزوايا قياسات 720مجموع

األضالع :- متوازىمتوازيين متقابلين ضلعين كل فيه رباعى شكل هو

الطول فى ومتساوياناالضالع متوازى خواص

الطول (1) فى ومتساويين متوازيين متقابلين ضلعين كلالقياس (2) فى متساويتان متقابلتين زاويتين كلقياسهم ) =(3) مجموع متكاملتان متتاليتين زاويتين كل

180 ) األخر (4) منهما كال ينصف القطران

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ء78

°063 س

°063 ن

المقابل الشكل فىجـ( // = 1) ء ب أ ، جـ ء ب أجـ( // = 2) ب ء أ ، جـ ب ء أء( ) ( = ) ( ) ( = ) ( 3) ق ب ق ، جـ ق أ قب( ) ( + ) ( = 4) ق أ 180ق

جـ ) ( + ) ( = ق ب ء ) ( + ) ( = 180ق ق جـ ق ،180 أ ) ( + ) ( = ق ء 180ق

األخر( 5) منهما كال ينصف القطران@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

مالحظة :- شبه يسمى فقط متوازيان ضلعان فيه الذى الرباعى الشكل

منحرف جـ ء يوازى بال أ ، جـ ب يوازى ء أ

منحرف شبه ء جـ ب أ الشكل فيكون

79

أ

جبم

ب

ءأ

جـ

جب

ءسم 8

س4م

المربع المستطيل

المعيــــــــن

==========================================================================

المقابل الشكل فىمتوازى ء جـ ب أ كان أضالع إذا

ب = أ م = 5فيه ب ، سم 3.5سمم = ) ( = 4أ أ ق ، أكمل 60سم

ء( = ............... = ................ 1) م طول ،، جـ ء طول ، ء أ طول

................ = ................. = .............. =، جـ م طول ،، ء ب طول ،

جـ = ............... أ طولأ ( ) ( = ......... ) ( = ............ ) ( = ..............2) ق ،، جـ ق ،، ب قسم = ................ (3) االضالع متوازى محيط

اضالع : تدريب: متوازى ء ج ب ا المقابل الشكل فى( = ........ا ق ) – 1اكمل :

2 ( ( =.......... ا ب جق-

80

أ

جـب

ء

م

س6م

تدريب

المعين المربع المستطيل متقابلين ضلعين كل

توازيانممتقابلين ضلعين كل

توازيانممتقابلين ضلعين كل

توازيانممتقابلين ضلعين كلمتساويان

متقابلين ضلعين كلمتساويان

متقابلين ضلعين كلمتساويان

متقابلتان زاويتان كلمتساويتان

متقابلتان زاويتان كلمتساويتان

متقابلتان زاويتان كلمتساويتان

متتاليتان زاويتان كلمتكاملتان

متتاليتان زاويتان كلمتكاملتان

متتاليتان زاويتان كلمتكاملتان

كال ينصف القطراناالخر منهما

كال ينصف القطراناالخر منهما

كال ينصف القطراناالخر منهما

قائمة زواياه قوائم جميع زواياه جميعمتساويان متعامدان القطران االربعة القطران االضالع

ا

الشكل -1 اقطار عدد00000السداسى=

الحل

زوايا- 5 قياسات مجموع اوجدالمنتظم السداسى المضلع

فيه؟ زاوية كل وقياسالحل

محدب -6 مضلع اضالع عدد اوجدزواياه = احدى قياس 135منتظم

الحل

احدى -2 قياس منظم مضلغ 144زواياة

اضالعه ............................. عدد فإنالحل

اضالعة- 3 عدد منتظم 8مضلعزواياة قياسات مجموع فان

الداخلة ..............الحل

عدداضالعه- 8 منتظم مضلعزواياه ................. عدد فان ن

زواياه قياسات ومجموعالداخله ................................

وعدداقطارة .................................

المنتظم 4 السداسى زوايا قياس..............=

والخماسىالمنتظم .............................

تدريبات

81

محدب - 7 مضلع اضالع عدد اوجدزواياه = احدى قياس 120منتظم

الحل

المقابل الشكل فىفيه أضالع متوازى ء جـ ب أ

ء = سم 2 –س 5أجـ = سم 10س + 2ب

جـ ب طول ، س قيمة أوجدالحــــــــــــــــــــــــــــــــــل

س = = اضالع متوازى ء جـ ب سم 4أ = جـ ب ء أ

ء = 10س +2 = 2 –س 5 سم18 = 2 – 20 = 2 – 4 × 5أ2 + 10س = 2 –س 5

12س = 3 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

االتية العبارات أكملهو -1 قائمة ..............................المربع زواياه أحدىالطول -2 فى متساوية أضالعه الذى الرباعى الشكل

................يسمى

قطراه -3 الذى االضالع مستطيل ..................متوازى يسمىيكون -4 متعامدان قطراه الذى االضالع ...................متوازى

......................و

5- = ) ( أ ق فيه أضالع متوازى ء جـ ب ( = 50أ ( ب ق فإن ...........

هو -6 قائمة ...........................المستطيل زواياه أحدىاالخر -7 منهما كال ينصف قطراه الذى الرباعى الشكل

.................يسمى

فإن -8 معين ء جـ ب أ كان ............... ............إذا

يسمى -9 متوازيان ضلعان فيه الذى الرباعى الشكل

.................

82

أ

جـب

ء

123

مثال

مثال

ها55

ءا

من- 10 كال فى كال ....................و .................القطران يصنع

قياسها زاوية المجاور 45منهما الضلع مع محيطه- 11 الذى ضلعه = 42المعين طول يكون سم ........سم

اكمل : الطول- 1تدريبات فى متسايان قطراه الذى المعين

يسمى ...................ق )ا ب ج ء- 2 قياس )70( = امعين ( =.....................جفان

فى- ................3 ومتعامدان متساويان القطرانفى- .........................4 متساويان القطرامتعامدان- 5 قطراة الذى االضالع متوازى

يسمى ........................ضلعه- 6 طول محيطه ...........................5مربع فان سمضلعه 7 طول محيطه ...........................6معين فان سم) ا ب ج ء-8 ق فيه اضالع جـ( + ) ( = ا متوازى ب ) 160ق ق فان

.............= )

وغير – 9 متوازيان متقابالن ضلعان فيه الذى الرباعى الشكل

يسمى ........... متساويان

الحل

83

المقابل- : 1 الشكل ءهـ هفى، ج بب ) جـ ) ( = 55 ( = ا هق ق ،125

ان متوازى ا : برهن ء جـ بالمقابل- 2 الشكل ا ب ج: فىفيه ء مستطيل

ءجـ = 3ءم = ، سم 2سمالمثلث محيط ا ب ماوجد ء

م

جببج

ا

ه

ء

ج

ا

ب

ء

جه

مثلث جـ ب أ المعطيات = ) ( +) ( + ) ( جـ ق ب ق جـ أ ب ق أن إثبات 180المطلوب

جـ // ب هـ ء نرسم العمل = ) ( [ [ ) ( = ) ( ق جـ أ هـ ق ،، بالتناظر ب ق ب أ ء ق البرهان

] [ ) بالتناظر) جـ = ) ( + ) ( + ) ( جـ أ هـ ق جـ أ ب ق ب أ ء 180ق

مستقيمة] [ = ) ( ) ( + ) ( جـ ق جـ أ ب ق ب 180ق

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

84

المثلحول ث المتجمعة الزوايا قياسات مجموع

081نقطة = (1نظرية )

أ

جـب

هـء

مثال

المقابل- 3 الشكل ا ب ج: فىفيه ء مستطيل

هـ = ، جـ ب هـ جـ gب بان ا ب ج الشكل اثبت

المقابل- 4 الشكل ا ب ج: فىفيه ء مربع ب جg ه ، اج ءه

ان اثبت

= ) ( أ ق فيه جـ أب ( = 50مثلث ( ب ق ، 60 ) ( جـ ق أوجد الحـــــــــــــــــــــل

جـ ) ( = 70 = 110 – 180 [ = 60 + 50 ] – 180ق@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

زواياه قياسات ، 2مثلث ، 3س الدرجات 4س من س

س قيمة أوجدالحـــــــــــــــــــــل

الداخلة = الزوايا 180مجموعس = = 180س = 4س + 3س + 2 20

180س = 9

جـ ب أ عن خارجة زاوية تسمى ء جـ أ زاويةب ) ( = ) ( + ) ( ق أ ق ء جـ أ ق

============================================

أن الحظ85

1809

المثلث رؤوس من رأس أى عند الخارجة الزاوية قياسعدا الداخليتين الزاويتين قياسى مجموع يساوى

لها المجاورة

الخارجة الزاويةللمثلث

أ

ءجـب

مثال

س

80

30

زاوية أى قياس من أكبر المثلث عن الخارجة الزاوية قياس

لها المجاورة عدا داخلة===============================================

المقابل الشكل فىء ) ( = جـ أ ...........ق

===============================================

المقابل الشكل فىب ) ( = ...........ق

==============================================

المقابل الشكل فىب ) ( = ) ( ق أ ق

ء ) ( = جـ أ ق ،110 أ ) ( = ق ب) ( = ،.......... فإن ب ) ( =...........ق جـ أ ق ،

.........

المقابل الشكل س فى قيمة اوجد

الحل

===============================================

المقابل الشكل ء ا ب جفى جـ gمثلث ب86

أ

ءجـب

50

60

ءجـب

50

130

أ

ب جـ ×ء 110

أ×

مثال

مثال

مثال

مثال

مثال

ا

ق ) 120 ( = ا ج ءق ) 70( = ا ،

ب ) > ( ق اوجدالحل

===============================================

المقابل الشكل هـ ا ب جء فى رباعى و ء ا gشكل ،g

ء جـ< ( ق ( ااوجد و( )> ق ، ءجـ

الحل

==============================================

المقابل الشكل بالدرجات فى س قيمة اوجدالحل

المقابل الشكل ق ) ا ه : فى ، جـ 120( =>ا ج ءب

المثلث 50 ( = ه ا بق ) > زوايا قياس ا ب جاوجد

الحل :

87

ءب ج120

مثاال

ب

ج

ء

و

ه

100

12080

50

مث س +2ال

70س+10

تدريب

جبء

ا50

120

==============================================

المقابل . الشكل ( =ا ) > ق ، d ج c ا ء ب و = فى

، 50ب) > ( = ق ، 60 90هـ ) ( = ق، 120و)> ( = ق

بالبرهان : ء) > ( قاوجدالحل

==============================================

المقابل الشكل ، gء: فى ب ق )> ا gهـ جـ ( =اب

30

هـ ) > ( = ب ء ق ،80

جـ ) > ( ق بالبرهان اوجدالحل

88

من زاويتين قياس مثلث من زاويتان قياس ساوت إذااألول المثلث فى الثالثة الزاوية قياس كان أخر مثلث

االخر . المثلث من الثالثة الزاوية قياس يساوى

مالحظة هامة

تدريب

ه

50ب

120ا

ج

و

ء

تدرايب

ء

هج30

80

ب

و هـ ء ، جـ ب أ المثلثين فىء ) ( = ) ( ق أ ق كان إذا

هـ ) ( = ) ( ق ب ق ، ) ( = ) ( و ق جـ ق فإن

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

مالحظة :-

= ) ( ) ( + ) ( أ ) ( = ق فإن جـ ق ب ق أ ق كان إذا جـ ب أ 90فى@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

جـ // ب هـ ء ، ب أ منتصف ء كانت إذاجـ أ منتصف هـ فإن

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

جـ أ منتصف هـ ، ب أ منتصف ء كان إذاجـ // ب هـ ء فإن

جـ أ منتصف هـ ، ب أ منتصف ء كانت إذاجـ = ب هـ ء فإن

89

ء

وهـ

أ

جـب

قياسى مجموع مثلث من زاوية قياس ساوى إذاالزاوية قائم المثلث كان األخريين الزاويتين

نظـــرية

أحد موازيا ضلع منتصف من المرسوم الشعاعالثالث . الضلع ينصف فإنه األخرين الضلعين

أ

ب

هـء

جـ

نتيجة

منتصفى بين الواصلة المستقيمة القطعةالثالث الضلع توازى مثلث فى ضلعين

أ

ب

هـء

جـ

نتيجة

بين الواصلة المستقيمة القطعة طولطول نصف تساوى مثلث فى ضلعين منتصفى

الثالث أالضلع

ب

هـء

جـ

12

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المقابل الشكل فىب أ منتصف س كانت إذاجـ // ء منتصف ع ، جـ ب ص س ،

ع // ص طول أوجد ثم ء أ ع ص أن أثبتالحـــــــــــــــــــــــــــــــــل

ع // ، جـ أ منتصف ص جـ ب ص س ، ب أ منتصف س

جـ ء منتصف = ء أ ع ص جـ أ منتصف ص

ء = أ جـ ء منتصف ع ، جـ أ منتصف ع = سم 10ص 5ص

سم // ء أ ع ص

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المقابل الشكل فىجـ أ ، جـ ب ، ب أ منتصفا ع ، ص ، س

ب = جـ = 10أ ب ، جـ = 8سم أ ، سم 12سمع ص س محيط أوجد

الحـــــــــــــــــــــــل جـ أ منتصف ع ، ب أ منتصف جـ = س ب ع س

جـ = ع = سم 8ب سم 4سجـ ب منتصف ،ص ب أ منتصف جـ = س أ ص س

جـ = ص = سم 12أ سم 6سجـ ب منتصف ص ، جـ أ منتصف ب = ع أ ع ص

ب = ع = سم 10أ سم 5ص90

أ

ب

ء

س

جـ

صع

10 سم

12

أ

جـب

س

ص

ع

12

12

12

مثال

مثال

ع = ص س سم 15 = 5 + 6 + 4محيط@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

المقابل الشكل فىجـ أ ، جـ ب ، ب أ منتصفا ع ، ص ، س

ص ع = 3 = س ص ، ع = 5سم س ، سم 6سمع ص س محيط أوجد

الحـــــــــــــــــــــــل جـ أ منتصف ع ، ب أ منتصف جـ = س ب ع س

ع جـ = سم 6 = س سم 12بجـ ب منتصف ،ص ب أ منتصف جـ = س أ ص س

ص جـ = سم 3 = س سم 6أجـ ب منتصف ص ، جـ أ منتصف ب = ع أ ع ص

ع = ب = سم 5ص سم 10أجـ = ب أ سم 28 = 10 + 6 + 12محيط

91

أ

جـب

س

ص

ع

12

12

12

مثال