函 数y=Asin(x+) 的图象

江苏省江阴市第一中学 高一数学组

物理背景 在物理中 , 简谐振动中如单摆对平衡位置的位移 y 与时间 x 的关系、交流电的电流 y 与时间 x 的关系等都是形如 y=Asin(x+) 的函数（其中 A, , 都是常数） .

函数 y ＝ Asin(ωx ＋ ) ，其中 (A>0, ω >

0) 表示一个振动量时，

A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；

往复一次所需的时间 ，称为这个振动的周期；

2T

单位时间内往复振动的次数 ，称为振动的频率；

1

2f

T

x+ 称为相位； x=0 时的相位 称为初相 .

归纳

2．“ 五点法” 作图是正余弦函数作图中一种非常重要的方法，通常在正弦函数 y＝sinx，x∈ [0,2π]

的 图 象 上 ， 起 关 键 作 用 的 “ 五 点 ” 为_____________________________________；

在余弦函数 y＝cosx，x∈ [0,2π]的图象上，起关键作用的“ 五点” 为，

__________________________________________．

(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(

3π2，－1)，(2π，0)

(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(

3π2，0)，(2π，1)

2o x

y

-

--1

1

-

-1 3

2

32

65 6

73

42

33

56

11 26

sin [0,2 ] y x x

例 1 作函数 及 的图象 . )4

sin(

xy)3

sin(

xy

23

0 226

56

113

3

73

4x

3

x

)3

sin(

x 0 1 0 -1 0

y

xO

21

1 3

4

sin( )3

y x

)4

sin(

xy

新课讲解 :

xO

21

1 3

4

一、函数 y=sin(x+) 图象

( ( )y f x y f x b 函数 ）与 的图象有思考： 何关系？

)3

sin(

xy

)4

sin(

xy

函数 y=sin(x+) 的图象可以看作是把 y=sinx

的图象上所有的点向左 ( 当 >0 时 ) 或向右 ( 当 <0 时 ) 平移 | | 个单位而得到的 .左加右减

上加下减

0 23 2

2x

xsin2

xsin21

xsin 1

000

10

0

2

21 0 0

0

2

21

0

例 2 作函数 及 的图象。 xy sin2

1xy sin2

解： 1. 列表

y=2sinx

y=sinx

y= sinx1

2

x

y

O 2

1

2

2

1

2. 描点、作图：

周期相同

x

y

O 2

1

2

2

1

x

y

O 2

1

2

2

1

y=2sinx

y=sinx

y= sinx1

2

x

y

O 2

1

2

2

1 y= sinx2

1

y=2sinx

二、函数 y=Asinx(A>0) 的图象

函数 y=Asinx (A >0 且 A≠1) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 ( 当 A>

1 时 ) 或缩短 ( 当 0<A<1 时 ) 到原来的 A 倍 ( 横坐标不变 ) 而得到的 . y=Asinx ， x R∈ 的值域为 [-A,A] ，最大值 为 A ，最小值为 -A.

( ) ( )y f x y Af x 思考：函数 与函数 的图象有何关系？

1. 列表：x

x2

x2sin

4

2

43 0

2

3 22

1 000 1

0

例 3 作函数 及 的图象。 xy21sinxy 2sin

xO

y

2

1

2

2

1

3

2. 描点：

y=sin2x

y=sinx连线 :

1sin

2y x对于函数

1. 列表：

x

y

O 2

1

1

3 4

2. 描点 作图：y=sin x

1

2

y=sinx

x

y

O 2

1

1

3 4

y=sin x1

2

y=sin2x

y=sinx

振幅相同

x

y

O 2

1

1

3 4

y=sin x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）。 y=sin 2x 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）。2

1

21

三、函数 y=sinx(>0) 的图象

y=sin x2

1

y=sin2x y=sinx

函数 y=sinx ( >0 且≠ 1) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 ( 当 >1 时 ) 或伸长 ( 当 0<<1 时 ) 到原来的 倍( 纵坐标不变 ) 而得到的。

1

( ( )y f x y f k x 函数 ）与函数 的图象有思考： 何关系？

知新益能

2．A、ω、φ对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

(1)A对函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响

y＝sinωx＋φ图象上所有点的纵坐标 → A>1时伸长

→ 0<A<1时缩短

原来的A倍⇒ y＝Asinωx＋φ的图象

(3)对函数 y＝ sin(ωx＋ )图象的影响

例 4 作函数 及 的图象。 )4

2sin(

xy)3

2sin(

xy

23

0 22

12

512

116

6

73

2x

32

x

)3

2sin(

x 0 1 0 -1 0

y

xO

1

1

2

6

sin(2 )3

y x

y=sin2x

四、函数 y=sin(ωx+φ) 与 y=sinωx 图象的关系

)4

2sin(

xy

四、函数 y=sin(ωx+φ) 与 y=sinωx 图象的关系y

xO

1

1

2

6

sin(2 )3

y x

y=sin2x)

42sin(

xy

思考：函数 与 的图像有何关系？

)(xfy )( baxfy

?

)63

1sin(2sin:

的图象

的图象得到怎样由思考 xyxy

xy sin函数 的图象)6

sin( xy

的图象)63

1sin(

xy

的图象)63

1sin(2

xy

6)1(

向右平移

倍横坐标伸长到原来的3)2(

纵坐标不变

倍纵坐标伸长到原来的2)3(

横坐标不变

1

- １

2

-2

x

o

y

3

-3

2

2

6

27

213

y=sinx 　　

y=sin(x- )① 　　 6

)

631

sin( xy ②

)63

1sin(2

xy ③ 　　

.)6

31

2(

)63

1sin(2"")(

内的图象一个周期

在画函数五点法利用画法二

T

xy

).6

(3,63

1 XxxX 则令

. . , " " , , 2,23, ,

2, 0然后将简图再描点作图五点 得到 的值和 可求得相对应的时 取当 y x X

.,"",

,2,2

3,,

2,0

再描点作图五点得到的值

和可求得相对应的时取当 yxX

2

27

2132 5

Xx

y

2

23 20

00 02 2

例例 11 作出函数 y＝3sin(2x＋π3)，x∈R 的简图，

并说明它与 y＝sinx的图象之间的关系．

【思路点拨】 列表、描点、连线成图是“ 五点

法” 作图的三个基本步骤，令 2x＋π3取 0，

π2，π，

3π2，2π即可找到五点．

【解】 列表：

描点画图，如图．

利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，

就得到 y＝3sin(2x＋π3)，x∈R的简图．

从图可以看出，y＝3sin(2x＋π3)的图象是用下面方法

得到的．

运用图象变换作函数图象

由函数 y ＝ sinx 的图象得到 y ＝ Asin(ωx ＋ φ)(其中 A＞ 0， ω＞ 0)的图象是三种变换交替进行的，一般常用这样两种顺序：①先平移变换，再周期变换，后振幅变换；②先周期变换，再平移变换，后振幅变换．

小结

【名师点评】 (1)用五点法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 x轴相交的点． (2)图象变换法一是先平移，后伸缩；法二是先伸缩，后平移，表面上看，两种变换方法中的平移

|φ|和|φω

|是不同的，但由于平移时的对象已有变化，

所以得到的结果都是一致的．

例例 22 右图是函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)，其中 A＞ 0， ω＞ 0的图象，试确定 A、 ω、 φ的值，并写出其一个函数解析式．【思路点拨】 由最高点确定 A，由周期确定 ω，

由(π3，0)确定 φ.

【解】 法一：(逐一定参法)由图象知振幅 A＝

3，

又 T＝5π6－(－

π6)＝π，∴ ω＝

2πT＝2.由点(－

π6，

0)，令－π6·2＋φ＝0，得 φ＝

π3，∴ y＝3sin(2x＋

π3)．

法二：(待定系数法)由图象知 A＝3，又图象过点

(π3，0)和(

5π6，0)，根据五点作图法原理(以上两点

可判断为“ 五点法” 中的第三点和第五点)，有

π3·ω＋φ＝π，

5π6 ·ω＋φ＝2π，

解得

ω＝2，

φ＝π3，

∴ y＝3sin(2x＋π3)．

法三：(图象变换法)因为 T＝π，A＝3，过点(－π6，

0)，故可知图象由 y＝3sin2x 向左平移π6而得到，

所以有 y＝3sin2(x＋π6)，即 y＝3sin(2x＋

π3)．

【名师点评】 如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式 y＝ Asin(ωx＋ )中的参数 A和 ω，再选取“第一零点” (即五点作图法中的第一个点 )的数据代入“ ωx＋＝ 0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点” )求得 .通过将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数 A、 ω、 .这里需要注意的是：要清楚所选择的点属“五点法”中的哪一位置点，并能正确代入列式．依据五点列表法原理，点的序号与式子关系如下：

“ 第一点” (即图象上升时与 x轴的交点)为 ωx＋

φ＝0；“ 第二点” (即图象曲线的“ 峰点” )为 ωx

＋φ＝π2；“ 第三点” (即图象下降时与 x轴的交点)

为 ωx＋φ＝π；“ 第四点” (即图象曲线的“ 谷

点” )为 ωx＋φ＝3π2；“ 第五点” 为 ωx＋φ＝2π.

求三角函数的解析式

解决这类问题的关键在于确定参数 A，ω，φ 的值．其方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解，具体地：① A：一般可由图象的最大与

最小值来确定；② ω：一般由 T＝2πω来确定；③ φ：

取特殊点代入所求式子求 φ值．

小结

方法感悟

1．三角函数图象的变换，重点在于平移：沿 x

轴平移，按“左加右减”法则；沿 y轴平移，按

“上加下减”法则．

无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x

而言的，即图象变换要看“变量”起多大变化，而

不是角变化多少．

2．对于 φ的求法，A，ω，φ三个量中初相 φ的确

定是一个难点，除使用初始点(－φω，0)外，还可利

用五点法中其他点确定初相 φ，即在五点中找两个

特殊点列方程组解出 φ，如：

ωx1＋φ＝π2

ωx2＋φ＝π解出 ω，

φ等．