量子力学の基礎概念...

4
量子力学 II 11回目 量子力学の基礎概念 (演算子の行列表現と交換関係) C 山﨑篤志 2011-2014 1 これまでに議論してきた波動関数の確率解釈や観測可能な物理量の期待値について,状態 ベクトルと演算子の表現行列を用いて再度議論し,粒子の状態を記述する際の波動関数状態ベクトルという2つの異なる出発点が,まったく同じ物理的結果に到達するというこ とをみてゆく. 完全系の基底ケット   として,状態ケット を基底ケットで展開すると, |a 1 , |a 2 , |a 3 , ··· |a 1 = 1 0 0 . . . , |a 2 = 0 1 0 . . . , |a 3 = 0 0 1 . . . , ··· |α |α = i |a i a i |α = |a 1 a 1 |α + |a 2 a 2 |α + |a 3 a 3 |α + ··· = a 1 |α 1 0 0 . . . + a 2 |α 0 1 0 . . . + a 3 |α 0 1 0 . . . + ··· = a 1 |α a 2 |α a 3 |α . . . 2 同様に,状態ブラを完全系をなす基底ブラで展開すると,               となる. 上のような,基底ケットおよび基底ブラを採用した場合の演算子  はどのように書けるかを 調べよう. 状態ケット  に演算子  を作用させると, 2組の  次元の基底を使って書いたとすると,  個の     が得られる.する と,演算子  はこれらを行列要素とする 正方行列で書くことが出来る. ˆ A |α ˆ A α| = i α|a i a i | = a 1 |α * a 1 | + a 2 |α * a 2 | + a 3 |α * a 3 | + ··· = a 1 |α * ( 1, 0, 0, ··· ) + a 2 |α * ( 0, 1, 0, ··· ) +a 3 |α * ( 0, 0, 1, ··· ) + ··· = ( a 1 |α * , a 2 |α * , a 3 |α * , ··· ) = ˆ A ˆ A|α = i j |a i a i | ˆ A|a j a j |α ˆ A|α N N 2 a i | ˆ A|a j ˆ A N × N 3 ˆ A = 0 B B B @ ˆ A 11 ˆ A 21 ˆ A 31 ··· ˆ A 12 ˆ A 22 ˆ A 32 ··· ˆ A 13 ˆ A 23 ˆ A 33 ··· . . . . . . . . . . . . 1 C C C A つまり, となる.この行列を基底ケット  を用いた表現行列という.演算子の表現行列は,基底ケ ットの選び方によって幾通りも存在する. 前回学んだように,演算子  とエルミート共役な演算子  の関係にあった.これを行列要素だと考えると,  は  共役転置行列である. ならば, ˆ A|α = ˆ A 11 ˆ A 12 ˆ A 13 ··· ˆ A 21 ˆ A 22 ˆ A 23 ··· ˆ A 31 ˆ A 32 ˆ A 33 ··· . . . . . . . . . . . . a 1 |α a 2 |α a 3 |α . . . = a 1 | ˆ A|a 1 a 1 | ˆ A|a 2 a 1 | ˆ A|a 3 ··· a 2 | ˆ A|a 1 a 2 | ˆ A|a 2 a 2 | ˆ A|a 3 ··· a 3 | ˆ A|a 1 a 3 | ˆ A|a 2 a 3 | ˆ A|a 3 ··· . . . . . . . . . . . . a 1 |α a 2 |α a 3 |α . . . {|a i } ˆ A ˆ A a i | ˆ A|a j = a j | ˆ A |a i * ˆ A = ˆ A 11 ˆ A 12 ˆ A 13 ··· ˆ A 21 ˆ A 22 ˆ A 23 ··· ˆ A 31 ˆ A 32 ˆ A 33 ··· . . . . . . . . . . . . ˆ A ˆ A 4

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量子力学 II11回目

量子力学の基礎概念(演算子の行列表現と交換関係)

C 山﨑篤志 2011-20141

これまでに議論してきた波動関数の確率解釈や観測可能な物理量の期待値について,状態ベクトルと演算子の表現行列を用いて再度議論し,粒子の状態を記述する際の波動関数と状態ベクトルという2つの異なる出発点が,まったく同じ物理的結果に到達するということをみてゆく.完全系の基底ケット          を

として,状態ケット  を基底ケットで展開すると,

|a1�, |a2�, |a3�, · · ·

|a1� =

����

100...

����, |a2� =

����

010...

����, |a3� =

����

001...

����, · · ·

|��

|�� =�

i

|ai��ai|�� = |a1��a1|�� + |a2��a2|�� + |a3��a3|�� + · · ·

= �a1|��

����

100...

����+ �a2|��

����

010...

����+ �a3|��

����

010...

����+ · · ·

=

����

�a1|���a2|���a3|��

...

����

2

同様に,状態ブラを完全系をなす基底ブラで展開すると,              

となる.上のような,基底ケットおよび基底ブラを採用した場合の演算子  はどのように書けるかを調べよう.状態ケット  に演算子  を作用させると,

   を2組の  次元の基底を使って書いたとすると,  個の     が得られる.すると,演算子  はこれらを行列要素とする    の正方行列で書くことが出来る.

A

|�� A

��| =�

i

��|ai��ai| = �a1|����a1| + �a2|����a2| + �a3|����a3| + · · ·

= �a1|����1, 0, 0, · · ·

�+ �a2|���

�0, 1, 0, · · ·

+�a3|����0, 0, 1, · · ·

�+ · · ·

=��a1|���, �a2|���, �a3|���, · · ·

= A

A|�� =�

i

j

|ai��ai|A|aj��aj |��

A|�� N N2 �ai|A|aj�

A N �N

3

A† =

0

BBB@

A⇤11 A⇤

21 A⇤31 · · ·

A⇤12 A⇤

22 A⇤32 · · ·

A⇤13 A⇤

23 A⇤33 · · ·

......

.... . .

1

CCCA

つまり,

となる.この行列を基底ケット    を用いた表現行列という.演算子の表現行列は,基底ケットの選び方によって幾通りも存在する.

前回学んだように,演算子  とエルミート共役な演算子  は

の関係にあった.これを行列要素だと考えると,  は  の共役転置行列である.

                  ならば,

A|�� =

����

A11 A12 A13 · · ·A21 A22 A23 · · ·A31 A32 A33 · · ·...

......

. . .

����

����

�a1|���a2|���a3|��

...

����

=

����

�a1|A|a1� �a1|A|a2� �a1|A|a3� · · ·�a2|A|a1� �a2|A|a2� �a2|A|a3� · · ·�a3|A|a1� �a3|A|a2� �a3|A|a3� · · ·

......

.... . .

����

����

�a1|���a2|���a3|��

...

����

{|ai�}

A A†

�ai|A|aj� = �aj |A†|ai��

A =

����

A11 A12 A13 · · ·A21 A22 A23 · · ·A31 A32 A33 · · ·...

......

. . .

����

AA†

4

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(A†)† =

t0

BBB@

(A⇤11)

⇤ (A⇤21)

⇤ (A⇤31)

⇤ · · ·(A⇤

12)⇤ (A⇤

22)⇤ (A⇤

32)⇤ · · ·

(A⇤13)

⇤ (A⇤23)

⇤ (A⇤33)

⇤ · · ·...

......

. . .

1

CCCA=

0

BBB@

A11 A12 A13 · · ·A21 A22 A23 · · ·A31 A32 A33 · · ·...

......

. . .

1

CCCA= A

     の関係も容易に示すことが出来る.

もし,演算子  がエルミート演算子(    )であれば,

つまり,     であり,このような行列をエルミート行列という.

また, の固有ケットを基底ケットとして用いると,固有値方程式               の固有値    が使えるので,

A A† = A

Aij = �ai|A|aj� = �aj |A†|ai��

= �aj |A|ai�� = A�ji

Aij = A�ji

A

(A†)† = A

A|ai� = ai|ai�,A|aj� = aj |aj� ai, aj

Aij = �ai|A|aj� = �ai|aj |aj� = aj�ai|aj� · · · (1)

A�ji = �aj |A|ai�� = �aj |ai|ai�� = a�i �aj |ai�� = a�i �ai|aj� · · · (2)

5

     なので  と  から,エルミート演算子の性質(エルミート演算子の固有値は実数,異なる固有値に属する固有ケットは互いに直交する)を議論した時の式が得られる.

この式は.

なので,     となり,エルミート演算子 の表現行列において の固有ケットを基底に用いると,得られるエルミート行列は以下のような実数の対角成分を持つ対角行列となることがわかる.

ある正方行列を対角行列に変換することを,対角化という.行列を対角化することで,状態ケットを展開した基底ケットの組に対して,これらの基底ケットが属する固有値がすべて得られる.これは観測可能な物理量の期待値が得られるということである.

Aij = A�ji (1) (2)

(aj � a�i )�ai|aj� = 0

の時の時

�i = j ai = a�i � Aii = ai�ai|ai� = ai

i �= j � Aij = aj�ai|aj� = 0

Aij = ai�ij AA

A =

����

a1 Oa2

a3

O. . .

����

6

エルミート行列を使って,期待値を求めると以下のようになる.

結果,波動関数を用いて得られる期待値と同じ表式になる.

�A� = ��|A|��

=��a1|���, �a2|���, �a3|���, · · ·

����

�a1|A|a1� �a1|A|a2� �a1|A|a3� · · ·�a2|A|a1� �a2|A|a2� �a2|A|a3� · · ·�a3|A|a1� �a3|A|a2� �a3|A|a3� · · ·

......

.... . .

����

����

�a1|���a2|���a3|��

...

����

=��a1|���, �a2|���, �a3|���, · · ·

����

a1 Oa2

a3

O. . .

����

����

�a1|���a2|���a3|��

...

����

=��a1|���, �a2|���, �a3|���, · · ·

����

a1�a1|��a2�a2|��a3�a3|��

...

����

= a1|�a1|��|2 + a2|�a2|��|2 + a3|�a3|��|2 · · ·

=�

i

ai|�ai|��|2 =�

i

ai|cai |2�

=�

��(x, t)A�(x, t)dx

=�

i

j

|ai��ai|A|aj��aj |

7

以上のように,完全系をなす固有ケットを選ぶことにより観測可能な演算子の表現行列は対角化され,期待値が求まることがわかった.次に,

     とは別の正規直交基底   を選んでも,エルミート演算子  の表現行列を  対角化できるか?    という問題を考えてみる.

まず,準備として始めに交換子    を導入する.交換子は以下のように定義される.

この関係を交換関係といい,           の場合を可換(または両立する),           の場合を非可換(または両立しない)という.

ちなみに,反交換関係               も存在する.

2つの観測可能な物理量の演算子が可換であることは,この2つの物理量を同時に観測する(決める)ことが出来るということを意味する.これまでに出てきた可換な2つの演算子として,  と  が挙げられる.      を示す前に,非可換な演算子の例を挙げておく.

[ , ]

[A, B] = AB � BA

[A, B] = AB � BA = 0[A, B] = AB � BA �= 0

{A, B} = [A, B]+ = AB + BA

�2 �z [�2, �z] = 0

A{|bi�}{|ai�}

8

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�X2� � �X2� = �(A + i�B)(A� i�B)�= �A2 + �2B2 + i�AB � i�BA�= �A2�+ �2�B2�+ i��[A, B]� � 0

「不確定性関係」からよく知られているように,位置の揺らぎと運動量の揺らぎの積は,ある値よりも小さくならない.すなわち位置と運動量は同時に決まらず,非可換である      .これを詳しく見てみる.

交換子を任意の波動関数   に演算させる.

したがって,      が得られる.同様に,           .

この交換関係を使って,位置と運動量の不確定性関係を調べよう.まず,任意の定数 を含む2つの演算子   の線形結合を演算子  として定義する.

([x, px] �= 0)

�(x)

[x, px]�(x) = xpx�(x)� pxx�(x)

=�

x��i� �

�x

��(x)

��

�� i� �

�x(x�(x))

=�� i�x

��(x)�x

��

�� i�

��(x) + x

��(x)�x

��

= i��(x)

[x, px] = i� [y, py] = i�, [z, pz] = i�

� A, B X

X = A + i�B

 の自乗の期待値は,X

最後の不等号は,正値計量の要請

←正準交換関係

9

演算子   を,それぞれ以下のような位置と運動量の揺らぎを表すものとする.

すると,

したがって,

この2次不等式が成り立つためには,         である必要がある.

これを変形すると,        となり,期待値は非負であるので

となる.したがって,位置と運動量の不確定性関係         が得られる.

A, B

[A, B] = AB � BA = (x � �x�)(px � �px�) � (px � �px�)(x � �x�)= xpx � pxx = [x, px]= i�

�x� px�x� = �x�px  は期待値(定数)なので,         と入れ替え可能.  についても同様.�px�

�A2��B2� � �2

4

� �2

4�B2�+ �A2� � 0

A = �x = x � �x�, B = �px = px � �px�

�A2�+ �2�B2�+ i��[A, B]� = �A2�+ �2�B2�+ i�(i�)= �A2�+ �2�B2� � ��

= �B2��

�2 � ���B2�

+�2

4�B2�2

�� �2

4�B2�+ �A2�

= �B2��

�� �2�B2�

�2

� �2

4�B2�+ �A2� � 0

= �X2�

判別式 ↓

���x2���p2

x� ��2

��A2��B2� � �

2

10

位置と運動量の不確定性関係はSchwarzの不等式           を使って導く方法も

あるが,いずれにしてもこの不確定性関係は位置と運動量の交換関係を反映しているという

ことが重要である.

非可換な演算子の別の例として,軌道角運動量の 成分と 成分の交換関係      が

ある.

��|����|�� � |��|��|2

[�x, �y] �= 0x y

[�x, �y] =�� i�

�y

�z� z

�y

�,�i�

�z

�x� x

�z

��

= (�i�)2��

y�

�z� z

�y

��z

�x� x

�z

��

�z

�x� x

�z

��y

�z� z

�y

��

= (�i�)2�y

�z

�z

�x

�� y

�z

�x

�z

�� z

�y

�z

�x

�+ z

�y

�x

�z

��

z�

�x

�y

�z

�� z

�x

�z

�y

�� x

�z

�y

�z

�+ x

�z

�z

�y

���

11

= ��2

�y��z

�z

� �

�x+ yz

�2

�z�x� y

��x

�z

� �

�z� xy

�2

�z2

�z��z

�y

� �

�x� z2 �2

�x�y+ z

��x

�y

� �

�z+ zx

�2

�y�z

��

z��y

�x

� �

�z+ yz

�2

�z�x� z

��z

�x

� �

�y� z2 �2

�x�y

�x��y

�z

� �

�z� xy

�2

�z2+ x

��z

�z

� �

�y+ zx

�2

�y�z

��

= ��2

�y

�x� x

�y

= �2

�x

�y� y

�x

= i�(�i�)�

x�

�y� y

�x

= i��z

同様に,              から,まとめると      となる.

この関係を使って,可換な演算子の例      を示そう.

[�y, �z] = i��x, [�z, �x] = i��y

[�2, �z] = 0

�� � = i��

12

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同様に,           が示せる.以上のような可換と非可換な演算子の2つの場合について,次回,

    とは別の正規直交基底  を選んでも,エルミート演算子 の表現行列を 対角化できるか? という問題を考えてみる.

[�2, �x] = 0, [�2, �y] = 0

[�2, �z] = [�2x + �2y + �2z, �z]

=[�2x, �z] + [�2y, �z] + [�2z, �z]

=�2x�z � �z �2x + �2y �z � �z �

2y + �2z �z � �z �

2z

=�x(�x�z)� �z �2x + �y(�y �z)� �z �

2y

=�x(�z �x � i��y)� �z �2x + �y(�z �y + i��x)� �z �

2y

=(�x�z)�x � i��x�y � �z �2x + (�y �z)�y + i��y �x � �z �

2y

=(�z �x � i��y)�x � i��x�y � �z �2x + (�z �y + i��x)�y

+i��y �x � �z�2y

=�z �2x � i��y �x � i��x�y � �z �

2x + �z �

2y + i��x�y

+i��y �x � �z �2y

=0

[�y, �z] = i��x

[�z, �x] = i��y

交換関係

を使う.

z

y

x

O

�m

�|l | = �

��(� + 1)

A{|bi�}{|ai�}

13