Ю.А. Чаповскийyc/kpi/fa/2018-2019/fa... · 2019. 1. 8. · e линейное...

Ю.А. Чаповский

Лекции по функциональному анализу

Группы: КА – 63, 64

III курс, семестр 5

Киев—2018

c© Ю.А. Чаповский

Оглавление

1 Линейные нормированные пространства 31.1 Определение. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Открытые и замкнутые множества . . . . . . . . . . . 221.3 Последовательности в ЛНП . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 Полнота. Банаховые пространства. . . . . . . . . . . . 341.5 Плотные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6 Теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.6.1 Аппроксимация периодических функций триго-нометрическими многочленами . . . . . . . . . . 49

1.6.2 Аппроксимация непрерывных функций много-членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.7 Компактные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.7.1 Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.7.2 Компактные подмножества C([a, b]) . . . . . . . 891.7.3 Приложение: теорема Пеано . . . . . . . . . . . . 94

1.8 Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.8.1 Общие положения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.8.2 Непрерывные отображения на компактах . . . . 1041.8.3 Сжатия. Теорема Банаха о неподвижной точке . 1071.8.4 Приложение: теорема Пикара . . . . . . . . . . . 112

2 Мера и интеграл 1192.1 Семейства подмножеств . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.2 Мера множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

1

ОГЛАВЛЕНИЕ

2.2.1 Определение, свойства . . . . . . . . . . . . . . . 1342.2.2 Продолжение меры . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.3 Измеримые пространства и функции . . . . . . . . . . 1562.3.1 Измеримые функции со значениями в R . . . . . 1582.3.2 Измеримые функции со значениями в R+ . . . . 169

2.4 Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752.4.1 Интеграл от простой неотрицательной функции 1752.4.2 Интеграл от неотрицательной функции . . . . . 1802.4.3 Интеграл от измеримой функции . . . . . . . . . 1902.4.4 Интеграл по подмножеству . . . . . . . . . . . . 199

2.5 Интеграл Римана и интеграл Лебега . . . . . . . . . . 203

A Дополнительные задачи 212A.1 Линейные нормированные пространства . . . . . . . . 212A.2 Мера и интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

B Экзаменационные вопросы и задачи 219B.1 Экзаменационные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . 220B.2 Экзаменационные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Предметный указатель 227

Литература 230

2

Глава 1

Линейные нормированные

пространства

3

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИМЕРЫ

1.1 Определение. Примеры

E — линейное пространство над полем R или C, которое обозна-чается через K. Также используются обозначения R+ = [0,+∞) иR+ = R+ ∪ +∞.

Определение 1.1.1. Преднормой или полунормой на линейномпространстве E называется функция ‖ · ‖ : E → R, которая удо-влетворяет следующим свойствам:

(i) ‖x‖ ≥ 0 для всех x ∈ E;

(ii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ для всех x ∈ E и λ ∈ K;

(iii) (неравенство треугольника) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ для любойпары элементов x,y ∈ E.

Если выполнено также условие, что

(iv) ‖x‖ = 0 только для x = 0,

то преднорма ‖ · ‖ называется нормой. Линейное пространство E сзаданной на нем нормой ‖ · ‖ называется линейным нормированнымпространством и обозначается (E, ‖ · ‖).

Пример 1.1.2. Для линейного пространства E = K (K = R илиK = C) над полем K

‖x‖ = |x|является нормой.

Рассмотрим случай K = R. (Все остается верно и для K = C).

(i) Очевидно, что |x| ≥ 0 для всех x ∈ K.

(ii) Если λ ∈ R и x ∈ R, то |λx| = |λ| |x|.

(iii) Для x, y ∈ R имеем |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

(iv) Очевидно, что, если |x| = 0, то x = 0.

4


Пример 1.1.3. Kn2 . Для x ∈ Kn, x = (x1, . . . , xn)

t, xs ∈ K для всехs = 1, . . . , n, положим

‖x‖2 =√

|x1|2 + . . .+ |xn|2.

Тогда ‖ · ‖2 является нормой на Kn. Линейное нормированное про-странство (Kn, ‖ · ‖) обозначается Kn

2 .

Если N0 ⊂ 1, . . . , n, N0 6= ∅, то

‖x‖2,N0=

√∑

k∈N0

|xk|2

является полунормой.Если N0 = 1, . . . , n, то для всех x ∈ Kn имеем, что

‖x‖2,N0= ‖x‖2

является нормой.

Рассмотрим случай K = R. (Все остается верно и для K = C).Докажем, что ‖ · ‖2 является нормой.

(i) Очевидно, что для всех x = (x1, . . . , xn)t

‖x‖2 =√

|x1|2 + . . .+ |xn|2 ≥ 0.

(ii) Если x = (x1, . . . , xn)t и λ ∈ R, то λx = (λx1, . . . , λxn)

t, и

‖λx‖2 =√

|λx1|2 + . . .+ |λxn|2 =√

|λ|2(|x1|2 + . . .+ |xn|2

)=

= |λ|√

|x1|2 + . . .+ |xn|2 = |λ| ‖x‖2.

5


(iii) Пусть x = (x1, . . . , xn)t, y = (y1, . . . , yn)

t. Тогда x+ y = (x1 +y1, . . . , xn + yn)

t, и, используя то, что |xs + ys| ≤ |xs|+ |ys| длявсех xs, ys ∈ R неравенство Коши-Буняковского, имеем

‖x+y‖2 =√

|x1 + y1|2 + . . .+ |xn + yn|2 ≤

≤√(|x1|+ |y1|

)2+ . . .+

(|xn|+ |yn|

)2=

=√

|x1|2 + 2|x1| |y1|+ |y1|2 + . . .+ |xn|2 + 2|xn| |yn|+ |yn|2 ==

(

|x1|2 + . . .+ |xn|2 + |y1|2 + . . .+ |yn|2+

+ 2(|x1| |y1|+ . . .+ |xn| |yn|

))1

2 ≤

≤(

|x1|2 + . . .+ |xn|2 + |y1|2 + . . .+ |yn|2+

+ 2√

|x1|2 + . . .+ |xn|2√

|y1|2 + . . .+ |yn|2) 1

2=

=(‖x‖22 + ‖y‖22 + 2‖x‖2 ‖y‖2

) 1

2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.

(iv) Очевидно, что, если

‖x‖2 =√

|x1|2 + . . .+ |xn|2 = 0,

то x1 = . . . = xn = 0, т.е. x = 0.

Рассмотрим теперь функцию ‖ · ‖2,N0. Пусть, например, N0 =

1, . . . , n− 1. Тогда для x = (x1, . . . , xn−1, xn)t имеем, что

‖x‖2,N0=

√

|x1|2 + . . .+ |xn−1|2.

Очевидно, что все свойства (i)—(iii) имеют место (надо во всех фор-мулах положить xn = 0). Однако для x0 = (0, . . . , 0, 1)t имеем, что

‖x0‖2,N0=

√

02 + . . .+ 02 = 0,

при этом x0 6= 0. Таким образом, ‖ · ‖2,N0не является нормой, а

только полунормой.

6


Пример 1.1.4. Kn1 : Для линейного пространства E = Kn над полем

K функция‖x‖1 = |x1|+ . . .+ |xn|

задает норму.Если N0 ⊂ 1, . . . , n, N0 6= ∅, то

‖x‖1,N0=

∑

k∈N0

|xk|

является полунормой. Если N0 = 1, . . . , n, то ‖ · ‖1,N0= ‖ · ‖1

является нормой.

Докажем, что ‖ · ‖1 является нормой.

(i) Действительно, для x = (x1, . . . , xn)t имеем

‖x‖1 = |x1|+ . . .+ |xn| ≥ 0.

(ii) Если λ ∈ K, то λx = (λx1, . . . , λxn)t, и

‖λx‖1 = |λx1|+ . . .+ |λxn| = |λ|(|x1|+ . . .+ |xn|

)= |λ| ‖x‖1.

(iii) Для x = (x1, . . . , xn)t и y = (y1, . . . , yn)

t имеем, что x + y =(x1 + y1, . . . , xn + yn)

t, и

‖x+ y‖1 = |x1 + y1|+ . . .+ |xn + yn| ≤≤ |x1|+ |y1|+ . . .+ |xn|+ |yn| ==

(|x1|+ . . .+ |xn|

)+(|y1|+ . . .+ |yn|

)=

= ‖x‖1 + ‖y‖1.

(iv) Если‖x‖1 = |x1|+ . . .+ |xn| = 0,

то x1 = . . . = xn = 0, т.е. x = 0.

7


Рассмотрим теперь ‖ · ‖1,N0. Очевидно, что эта функция удо-

влетворяет свойствам (i) — (iii) (надо положить xk = 0, yk = 0для всех k /∈ N0 в всех предыдущих формулах). Однако, если x =(x1, . . . , xn), причем xk = 0 для всех k ∈ N0, то

‖x‖1,N0= 0 + . . .+ 0 = 0.

Если при этом xk0 6= 0 хотя бы для одного k0 /∈ N0, то тогда x 6= 0,т.е. (iv) не выполняется и ‖ · ‖1,N0

, являясь полунормой, не являетсянормой.

Пример 1.1.5. Kn∞: Пусть E = Kn над полем K. Тогда

‖x‖∞ = max1≤k≤n

|xk|

является нормой на E.Если N0 ⊂ 1, . . . , n, N0 6= ∅, то

‖x‖∞,N0= max

k∈N0

|xk|

является полунормой.

Докажем, что ‖ · ‖∞ является нормой.

(i) Очевидно, что для произвольного x = (x1, . . . , xn)t

‖x‖∞ = max|x1|, . . . , |xn|

≥ 0.

(ii) Для λ ∈ K имеем λx = (λx1, . . . , λxn)t и

‖λx‖∞ = max|λx1|, . . . , |λxn

∣∣ =

= max|λ| |x1|, . . . , |λ| |xn|

=

= |λ| max|x1|, . . . , |xn|

=

= |λ| ‖x‖∞.

8


(iii) Пусть y = (y1, . . . , yn)t. Тогда x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn)

t.Прежде всего заметим, что для произвольного s, 1 ≤ s ≤ n,

|xs| ≤ max|x1|, . . . , |xn|

= ‖x‖∞.

Поэтому, для каждого такого s

|xs + ys| ≤ |xs|+ |ys| ≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞,

и

‖x+ y‖∞ = max|x1 + y1|, . . . , |xn + yn|

≤ ‖x‖∞ + ‖y‖∞.

(iv) Если‖x‖∞ = max

|x1|, . . . , |xn|

= 0,

то |xs| = 0, т.е. xs = 0 для всех s, и, следовательно, x = 0.

Случай функции ‖ · ‖∞,N0рассматривается аналогично приме-

рам 1.1.3 и 1.1.5.

Утверждение 1.1.6. Пусть ‖ · ‖ — преднорма на линейном про-странстве E.

(a) Имеем, что ‖0‖ = 0.

(b) Для всех x1, . . . ,xm ∈ E:

‖x1 + . . .+ xm‖ ≤ ‖x1‖+ . . .+ ‖xm‖.

(c) для любой пары x,y ∈ E:

∣∣‖x‖ − ‖y‖

∣∣ ≤ ‖x− y‖.

Доказательство. (a) Действительно,

‖0‖ = ‖0 · 0‖ = 0 · ‖0‖ = 0.

9


(b) Используя последовательно неравенство треугольника, имеем

‖x1 + x2 + . . .+ xm‖ = ‖x1 + (x2 + . . .+ xm)‖ ≤≤ ‖x1‖+ ‖x2 + x3 + . . .+ xm‖ =

= ‖x1‖+ ‖x2 + (x3 + . . .+ xm)‖ ≤≤ ‖x1‖+ ‖x2‖+ ‖x3 + . . .+ xm‖ ≤ . . .

≤ ‖x1‖+ ‖x2‖+ . . .+ ‖xm‖.

(c) Требуется доказать, что

−‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖.

Используя неравенство треугольника, получим

‖x‖ = ‖x− y + y‖ ≤ ‖x− y‖+ ‖y‖.

Таким образом,‖x‖ − ‖y‖ ≤ ‖x− y‖,

что есть правая часть доказываемого неравенства. Меняя ме-стами x и y, получаем

‖y‖ − ‖x‖ ≤ ‖y − x‖ = ‖x− y‖,

или, умножая обе части на −1, имеем

−‖x− y‖ ≤ ‖x‖ − ‖y‖.

Утверждение 1.1.7. Пусть функция ‖ · ‖1 : K∞ → R+ определенана x = (x1, x2, . . .) ∈ K∞ как

‖x‖1 =∞∑

k=1

|xk|.

10


Тогда подмножество

ℓ1 = x ∈ K∞ : ‖x‖1 <∞

является линейным пространством над K, и ограничение ‖ · ‖1 наℓ1 является нормой.

Доказательство. Пусть x = (x1, x2, . . .), y = (y1, y2, . . .) и x,y ∈ ℓ1,т.е.

‖x‖1 =∞∑

k=1

|xk| <∞, ‖y‖1 =∞∑

k=1

|yk| <∞.

Поскольку для каждого k ∈ N

|xk + yk| ≤ |xk|+ |yk|,

то для произвольного n ∈ N

n∑

k=1

|xk + yk| ≤n∑

k=1

(|xk|+ |yk|

)=

n∑

k=1

|xk|+n∑

k=1

|yk| ≤

≤∞∑

k=1

|xk|+∞∑

k=1

|yk| = ‖x‖1 + ‖y‖1.

Поскольку это верно для всех n, то, переходя к пределу при n→ ∞,получаем, что

‖x+ y‖1 =∞∑

k=1

|xk + yk| = limn→∞

n∑

k=1

|xk + yk| ≤ limn→∞

(‖x‖1 + ‖y‖1

)=

= ‖x‖1 + ‖y‖1.

Это доказывает свойство (iii) определения 1.1.1, а также то, что

‖x+ y‖1 <∞,

если ‖x‖1 <∞ и ‖y‖1 <∞, т.е. x+ y ∈ ℓ1 для x,y ∈ ℓ1.

11


Для λ ∈ K и x ∈ ℓ1 имеем λx = (λx1, λx2, . . .) и

‖λx‖1 =∞∑

k=1

|λxk| = limn→∞

n∑

k=1

|λxk| =

= limn→∞

n∑

k=1

|λ| |xk| = limn→∞

|λ|n∑

k=1

|xk| =

= |λ| limn→∞

n∑

k=1

|xk| = |λ|∞∑

k=1

|xk| =

= |λ| ‖x‖1,что доказывает свойство (ii) определения 1.1.1. Отсюда следует, что‖λx‖1 <∞, если ‖x‖1 <∞, т.е. λx ∈ ℓ1 для x ∈ ℓ1.

Таким образом, ℓ1 является линейным пространством над K, и‖ · ‖1 является полунормой на ℓ1.

Наконец, если

‖x‖1 =∞∑

k=1

|xk| = 0,

то xk = 0 для всех k ∈ N, и x = 0, т.е ‖ · ‖1 является нормой.

Замечание 1.1.8. ПустьN0 ⊂ N и рассмотрим функцию ‖ · ‖1,N0: K∞ →

R+, заданную для x = (x1, x2, . . .)t ∈ K∞ как

‖x‖1,N0=

∑

k∈N0

|xk|.

Тогдаℓ1,N0

= x ∈ K∞ : ‖x‖1,N0<∞

является линейным пространством над K и ‖ · ‖1,N0является на

нем полунормой.

Утверждение 1.1.9. Пусть функции ‖ · ‖2, ‖ · ‖∞ : K∞ → R+

заданы как

‖x‖2 =( ∞∑

k=1

|xk|2) 1

2, ‖x‖∞ = sup

k∈N|xk|.

12


Тогда подмножества

ℓ2 = x ∈ K∞ : ‖x‖2 <∞, ℓ∞ = x ∈ K∞ : ‖x‖∞ <∞

являются линейными пространствами над K, а (ℓ2, ‖ · ‖2) и(ℓ∞, ‖ · ‖∞) линейными нормированными пространствами.

Доказательство. Доказательство проводится аналогично доказа-тельству утверждения 1.1.7 с использованием результатов, полу-ченных в примерах 1.1.3 и 1.1.5.

Рассмотрим случай ‖ · ‖2. Пусть x = (x1, x2, . . .) и y = (y1, y2, . . .),и x,y ∈ ℓ2, т.е.

‖x‖22 =∞∑

k=1

|xk|2 <∞ и ‖y‖22 =∞∑

k=1

|yk|2 <∞.

Зафиксируем произвольное n ∈ N. Тогда, как в примере 1.1.3, име-ем, что

√√√√

n∑

k=1

|xk + yk|2 ≤

√√√√

n∑

k=1

|xk|2 +

√√√√

n∑

k=1

|yk|2 ≤

√√√√

∞∑

k=1

|xk|2 +

√√√√

∞∑

k=1

|yk|2 =

= ‖x‖2 + ‖y‖2.

Таким образом,

‖x+ y‖2 =

√√√√

∞∑

k=1

|xk + yk|2 =

√√√√ lim

n→∞

n∑

k=1

|xk + yk|2 =

= limn→∞

√√√√

n∑

k=1

|xk + yk|2 ≤ limn→∞

(‖x‖2 + ‖y‖2

)=

= ‖x‖2 + ‖y‖2.

Это доказывает, что ‖x + y‖2 < ∞, и x,y ∈ ℓ2, а также свойство(iii) определения 1.1.1.

13


Пусть теперь λ ∈ K и x = (x1, x2, . . .) ∈ ℓ2. Имеем

‖λx‖2 =

√√√√

∞∑

k=1

|λxk|2 =

√√√√

∞∑

k=1

|λ|2 |xk|2 =

=

√√√√|λ|2

∞∑

k=1

|xk|2 = |λ|

√√√√

∞∑

k=1

|xk|2 = |λ| ‖x‖2.

Это доказывает, что ‖λx‖2 < ∞, т.е. λx ∈ ℓ2. Таким образом, ℓ2является линейным пространством.

Из последнего равенства также следует выполнение (ii) опреде-ления 1.1.1. Выполнение (i) и (iv) очевидно.

Случай ‖ · ‖∞ рассматривается аналогично.

Утверждение 1.1.10. Пусть для p ∈ [1,+∞) функция ‖ · ‖p : K∞ →R+ задана как

‖x‖p =( ∞∑

k=1

|xk|p) 1

p.

Тогда подмножество

ℓp = x ∈ K∞ : ‖x‖p <∞,

является линейным пространством над K, а (ℓp, ‖ · ‖p) линейнымнормированным пространством.

Доказательство. Без доказательства.

Утверждение 1.1.11. На линейном пространстве F(Ω;K) всехфункций на некоторм множестве Ω со значениями в K определимфункцию ‖ · ‖∞ : F(Ω;K) → R+ как

‖f‖∞ = supω∈Ω

|f(ω)|, f ∈ F(Ω;K),

и пустьFb(Ω;K) = f ∈ F(Ω;K) : ‖f‖∞ <∞.

14


Тогда Fb(Ω;K) является линейным нормированным простран-ством над K, а ‖ · ‖∞ является нормой на Fb(Ω;K).

Доказательство. Докажем, что Fb(Ω;K) является линейным про-странством (подпространством пространства F(Ω;K)).

Пусть f, g ∈ Fb(Ω;K), т.е. существуют C1, C2 ∈ R такие, что|f(ω)| ≤ C1 и |g(ω)| ≤ C2 для всех ω ∈ Ω. Тогда

|(f + g)(ω)| = |f(ω) + g(ω)| ≤ |f(ω)|+ |g(ω)| ≤ C1 + C2

для всех ω ∈ Ω. Поэтому f + g ∈ Fb(Ω;K).Аналогично доказывается, что λf ∈ Fb(Ω;K), если f ∈ Fb(Ω;K),

и λ ∈ K.

Докажем, что ‖ · ‖∞ является нормой на Fb(Ω;K).Свойство (i) в определении 1.1.1 имеет место, поскольку 0(ω) = 0

для всех ω ∈ Ω по определению нулевой функции.Проверим выполнение свойства (ii). Имеем

‖λf‖∞ = supω∈Ω

|λf |(ω) = supω∈Ω

|λf(ω)| = |λ| supω∈Ω

|f(ω)| = |λ| ‖f‖∞.

Наконец, для (iii) имеем, что

|f(ω)| ≤ supω∈Ω

|f(ω)|, |g(ω)| ≤ supω∈Ω

|g(ω)|

для всех ω ∈ Ω. Поэтому

|f(ω)|+ |g(ω)| ≤ supω∈Ω

|f(ω)|+ supω∈Ω

|g(ω)|

для всех ω ∈ Ω, и, следовательно,

supω∈Ω

(|f(ω)|+ |g(ω)|

)≤ sup

ω∈Ω|f(ω)|+ sup

ω∈Ω|g(ω)|.


‖f + g‖∞ = supω∈Ω

|(f + g)(ω)| = supω∈Ω

|f(ω) + g(ω)| ≤

15


≤ supω∈Ω

(|f(ω)|+ |g(ω)|

)≤ sup

ω∈Ω|f(ω)|+ sup

ω∈Ω|g(ω)| =

= ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

Наконец, если‖f‖∞ = sup

ω∈Ω|f(ω)| = 0,

то f(ω) = 0 для всех ω ∈ Ω, и, следовательно, f является нулевойфункцией, откуда следует выполнение (iv).

Замечание 1.1.12. Пусть Ω0 ⊂ Ω. Для линейного пространства F(Ω;K)определим ‖ · ‖∞,Ω0

: Fb(Ω;K) → R+ как

‖f‖∞,Ω0= sup

ω∈Ω0

|f(ω)|.

ТогдаFb,Ω0

= f ∈ F(Ω;K) : ‖f‖∞,Ω0<∞

является линейным подпространством F(Ω;K), а ‖ · ‖∞,Ω0является

полунормой на Fb,Ω0(Ω;K).

Утверждение 1.1.13. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство над полем K, и E′ ⊂ E — линейное подпространствоE. Для каждого x′ ∈ E′ положим ‖x′‖′ = ‖x′‖ (функция ‖ · ‖′ явля-ется ограничением функции ‖ · ‖ на E′). Тогда (E′, ‖ · ‖′) являетсялинейным нормированным пространством.

Доказательство. Функция ‖ · ‖′ обладает всеми свойствами нормы,поскольку ими обладает функция ‖ · ‖.

Следствие 1.1.14. Пусть Ω ⊂ Kn является компактным под-множеством Kn, и для E = C(Ω;K), линейного пространства надK всех непрерывных функций на Ω со значениями в K, положим

‖f‖∞ = supt∈Ω

|f(t)|.

Тогда ‖ · ‖∞ является нормой на C(Ω;K).

16


Доказательство. Поскольку сумма непрерывных функций явля-ется непрерывной, и непрерывная функция, умноженная на число,также непрерывна, то C(Ω;K) образуют линейное подпространствов линейном пространстве F(Ω;K). А, поскольку по теореме II.12.2.1непрерывная функция на компактном множестве является ограни-ченной, то C(Ω;K) ⊂ Fb(Ω;K). Поэтому C(Ω;K) является линей-ным подпространством Fb(Ω;K), и, согласно утверждению 1.1.13,(C(Ω;K), ‖ · ‖∞) является линейным нормированным пространством.

Утверждение 1.1.15. Для линейного пространства C([a, b];K) всехнепрерывных функций на [a, b] ⊂ R со значениями в K положим

‖f‖1 =∫ b

a|f(t)| dt.

Тогда ‖ · ‖1 является нормой на C([a, b];K).

Доказательство. Поскольку |f(t)| ≥ 0 для всех t ∈ [a, b], то ‖f‖1 ≥0, т.е. (i) в определении 1.1.1 выполнено.

Рассмотрим ‖λf‖1 для λ ∈ K и f ∈ C([a, b];K):

‖λf‖1 =∫ b

a

∣∣λf(t)| dt =

∫ b

a|λ| |f(t)| dt = |λ|

∫ b

a|f(t)| dt = |λ| ‖f‖1,

таким образом, (ii) выполнено.Для f, g ∈ C([a, b];K) имеем, что |f(t) + g(t)| ≤ |f(t)|+ |g(t)| для

всех t ∈ [a, b]. Поэтому,

‖f + g‖1 =∫ b

a|f(t) + g(t)| dt ≤

∫ b

a

(|f(t)|+ |g(t)|

)dt =

=

∫ b

a|f(t)| dt+

∫ b

a|g(t)| dt = ‖f‖1 + ‖g‖1.

Следовательно, свойство (iii) также имеет место.

17


Наконец, проверим свойство (iv). Пусть f ∈ C([a, b];K) и

‖f‖1 =∫ b

a|f(t)| dt = 0.

Если f не является нулевой функцией, то существует t0 ∈ [a, b], вкоторой f(t0) 6= 0. Тогда |f(t0)| > 0. Так как функция f непрерывна,то и функция |f | непрерывна, и, следовательно, существует такое

δ > 0, что f(t) > f(t0)2 для всех t ∈ I = (t0−δ, t0+δ)∩[a, b]. Учитывая

то, что |f(t)| ≥ 0 для всех t ∈ [a, b], имеем

‖f‖1 =∫ b

a|f(t)| dt ≥

∫

I|f(t)| dt ≥

∫

I

f(t0)

2dt =

f(t0)

2

∫

Idt =

=f(t0)

2длина(I) ≥ f(t0)

2δ > 0,

что противоречит условию, что ‖f‖1 = 0. Таким образом, предпо-ложение, что f 6= 0 не верно, т.е. f = 0, и имеет место (iv), а, значит,‖ · ‖1 является нормой.

Определение 1.1.16. Пусть E — линейное пространство над по-лем K. Две нормы ‖ · ‖1 и ‖ · ‖2 на E называются эквивалентными,если существуют такие C1, C2 ∈ R+, что

‖x‖1 ≤ C1 ‖x‖2, ‖x‖2 ≤ C2 ‖x‖1

для всех x ∈ E.

Пример 1.1.17. Нормы ‖ · ‖1 и ‖ · ‖∞ на R2 эквивалентны.

Пусть x = (x1, x2)t. Тогда

|x1| ≤ max|x1|, |x2|

= ‖x‖∞, |x2| ≤ max

|x1|, |x2|

= ‖x‖∞.

Поэтому,

‖x‖1 = |x1|+ |x2| ≤ ‖x‖∞ + ‖x‖∞ = 2‖x‖∞.

18


Таким образом, можно положить C1 = 2.С другой стороны,

|xi| ≤ |x1|+ |x2| = ‖x‖1, i = 1, 2.

Поэтому,‖x‖∞ = max

|x1|, |x2|

≤ ‖x‖1,

и можно взять C2 = 1.

Лемма 1.1.18. На линейном пространстве Kn, n ∈ N, произволь-ная норма ‖ · ‖ эквивалентна норме ‖ · ‖2, где

‖x‖2 =√

|x1|2 + . . .+ |xn|2, x = (x1, . . . , xn)t.

Доказательство. Будем доказывать для случая K = R.Пусть

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0)t, e2 = (0, 1, 0, . . . , 0)t, . . . , en = (0, 0, . . . , 0, 1)t.

Для вектора

x = (x1, . . . , xn) = x1e1 + . . .+ xnen

имеем, что‖x‖2 =

√

|x1|2 + . . .+ |xn|2.Используя свойства нормы (iii) и (ii), а также неравенство Коши-Буняковского, имеем:

‖x‖ = ‖x1e1 + . . .+ xnen‖ ≤ ‖x1e1‖+ . . .+ ‖xnen‖ =

= |x1| ‖e1‖+ . . .+ |xn| ‖en‖ ≤≤

√

|x1|2 + . . .+ |xn|2√

‖e1‖2 + . . .+ ‖en‖2 == ‖x‖2

√

‖e1‖2 + . . .+ ‖en‖2.

19


Полагая C1 =√

‖e1‖2 + . . .+ ‖en‖2 > 0, из последнего неравенстваполучаем, что

‖x‖ ≤ C1‖x‖2. (1.1)

Для доказательства второго неравенства в определении 1.1.16,докажем вначале, что функция ‖ · ‖ : Rn → R является непрерывнойна Rn. Пусть x0 ∈ Rn — произвольная фиксированная точка. Дляx ∈ Rn, используя утверждение 1.1.6 (c), имеем

∣∣ ‖x‖ − ‖x0‖

∣∣ ≤ ‖x− x0‖ ≤ C1‖x− x0‖2,

где последнее неравенство следует из (1.1). Следовательно для лю-бого ε > 0 существует δ = ε

C1такое, что

‖x− x0‖2 < δ =⇒∣∣ ‖x‖ − ‖x0‖

∣∣ < ε,

т.е. норма является непрерывной функцией в точке x0 относительностандартной нормы в Rn.

Рассмотрим множество

S = y ∈ Rn : ‖y‖2 = 1.

Это множество является ограниченным и замкнутым в Rn, и поэто-му компактным. Так как функция ‖ · ‖ : S → R непрерывна, то онадостигает свой минимум на S (теорема II.12.2.2), т.е. существуетточка y∗ ∈ S для которой

‖y∗‖ ≤ ‖y‖

для всех y ∈ S. Поскольку y∗ ∈ S, то y∗ 6= 0, откуда следует, что‖y∗‖ > 0.

Пусть теперь x ∈ Rn, x 6= 0. Заметим, что x‖x‖2 ∈ S, поскольку

∥∥∥

x

‖x‖2

∥∥∥2=

1

‖x‖2‖x‖2 = 1,

Но тогда

‖x‖ =∥∥∥‖x‖2

x

‖x‖2

∥∥∥ = ‖x‖2

∥∥∥

x

‖x‖2

∥∥∥ ≥ ‖x‖2‖y∗‖, (1.2)

20


поскольку y = x‖x‖2 ∈ S, а значит ‖y‖ ≥ ‖y∗‖.

Таким образом, из (1.2) следует, что

‖x‖2 ≤1

‖y∗‖‖x‖

и, полагая C2 = 1‖y∗‖ , получаем вторую часть неравенства для x 6=

0. Если x = 0, то доказуемое неравенство очевидно.

Теорема 1.1.19. Любые две нормы на Kn, n ∈ N, эквивалентны.

Доказательство. Пусть ‖ · ‖′ и ‖ · ‖′′ — две произвольные нормына Kn. Согласно лемме 1.1.18 каждая из них эквивалентна норме‖ · ‖2, т.е существуют такие C ′

1, C′2, C

′′1 , C

′′2 ∈ R+, что

‖x‖′ ≤ C ′1‖x‖2, ‖x‖2 ≤ C ′

2‖x‖′,‖x‖′′ ≤ C ′′

1 ‖x‖2, ‖x‖2 ≤ C ′′2‖x‖′′

для всех x ∈ Kn. Но тогда имеем, что

‖x‖′ ≤ C ′1‖x‖2 ≤ C ′

1C′′2 ‖x‖′′,

‖x‖′′ ≤ C ′′1 ‖x‖2 ≤ C ′′

1C′2‖x‖′,

что и доказывает эквивалентность норм.

Задачи

КР : 11.1 (4), 11.1 (2), 13, 14.1, 16 (1, 2), 16.1.ДР : 12.1 (p=1, 2), 14.2, 14.5, 17 (1, 2, 4), 16.2.

21

1.2. ОТКРЫТЫЕ И ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА

1.2 Открытые и замкнутые множества

Определение 1.2.1. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, x0 ∈ E, r > 0.

(a) Множество

B(x0; r) = x ∈ E : ‖x− x0‖ < r

называется открытым шаром в E вокруг точки x0 радиусаr.

(b) МножествоB(x0; r) = B(x0; r) \ x0

называется открытым выколотым шаром в E вокруг точкиx0 радиуса r.

(c) Множество

B[x0; r] = x ∈ E : ‖x− x0‖ ≤ r

называется замкнутым шаром в E вокруг точки x0 радиуса r.

(d) Множество

S[x0; r] = x ∈ E : ‖x− x0‖ = r

называется сферой в E вокруг точки x0 радиуса r.

R

b b

−1 1

(a)

R−1 1

(b)

R−1 1

(c)

Рис. 1.1: (a) S[0; 1], (b) B(0; 1), (c) B[0; 1] в R.

22


x1

x2

−1 1

(a)

−1 1x1

x2

(b)

−1 1x1

x2

(c)

Рис. 1.2: (a) S[0; 1], (b) B(0; 1), (c) B[0; 1] в R22.

x1

x2

−1 1

(a)

−1 1x1

x2

(b)

−1 1x1

x2

(c)

Рис. 1.3: (a) S[0; 1], (b) B(0; 1), (c) B[0; 1] в R21.

x1

x2

−1 1

(a)

−1 1x1

x2

(b)

−1 1x1

x2

(c)

Рис. 1.4: (a) S[0; 1], (b) B(0; 1), (c) B[0; 1] в R2∞.

Пример 1.2.2. Сфера S[0; 1], открытый шар B(0; 1) и замкнутыйшар B[0; 1] показаны в пространствах R (рис. 1.1), R2 с нормой‖ · ‖2 (рис. 1.2), R2 с нормой ‖ · ‖1 (рис. 1.3), R2 с нормой ‖ · ‖∞(рис. 1.4).

Графики функций, принадлежащих сфере S[0; 1], открытомушару B(0; 1) и замкнутому шару B[0; 1] в пространстве C([a, b];R)показаны на рис. 1.5.

Определение 1.2.3. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, и X ⊂ E — подмножество E.

(i) Точка x0 ∈ X называется внутренней точкой множества X,

23


t

y

a b

−1

1

(a)

t

y

a b

−1

1

(b)

t

y

a b

−1

1

(c)

Рис. 1.5: (a) S[0; 1], (b) B(0; 1), (c) B[0; 1] в C([a, b];R).

если существует такое r > 0, что B(x0; r) ⊂ X. Множествовсех внутренних точек множества X обозначается X.

(ii) Точка x0 ∈ E называется предельной точкой множества X,

еслиB(x0; r) ∩ X 6= ∅ для всех r > 0. Множество всех пре-

дельных точек множества X обозначается X ′.

Пример 1.2.4. 1. Для E = R и X = [a, b] имеем, что X = (a, b),X ′ = [a, b].

2. Если E = R и X = Q, то X = ∅, а X ′ = R.

3. Для E = R2 и X = B[0; 1] имеем, что X = B(0; 1), а X ′ =B[0; 1].

Определение 1.2.5. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство.

(i) Подмножество U ⊂ E называется открытым в E, если каж-дая точка x0 ∈ U является внутренней точкой U , т.е. U = U.

Пустое множество ∅ и все пространство являются открытыми.

(ii) Подмножество F ⊂ E называется замкнутым в E, если Fсодержит все свои предельные точки, т.е. F ⊃ F ′.

Пустое множество ∅ и все пространство являются замкнуты-ми.

Пример 1.2.6. 1. Открытый шарB(x0; r) является открытым мно-жеством, замкнутый шар B[x0; r] является замкнутым множе-ством.

24


2. Множество ∅ является одновременно открытым и замкнутым.

3. Множество Q в R не является ни открытым ни замкнутым.

Определение 1.2.7. Пусть X ⊂ E. Множество V ⊂ E называетсяокрестностью множества X, если каждая точка x ∈ X являетсявнутренней точкой множества V .

Если X = x и V является окрестностью множества X, то Vназывается окрестностью точки x.

Пример 1.2.8. 1. Открытое множество является окрестностьюлюбой своей точки.

2. Множество [0, 1] ⊂ R является окрестностью любой точки из(0, 1).

Теорема 1.2.9. Множество F ⊂ E является замкнутым тогдаи только тогда, когда множество F c является открытым.

Доказательство. Пусть F является замкнутым. Докажем, что F c

является открытым множеством. Пусть x ∈ F c, и докажем, чтоx является внутренней точкой F c. Поскольку x /∈ F , то x не мо-жет быть предельной точкой F , поскольку F содержит все своипредельные точки (F является замкнутым). Это означает, что су-

ществует такое r > 0, чтоB(x; r)∩F = ∅, т.е.

B(x; r) ⊂ F c. Но тогда

B(x; r) ∪ x = B(x; r) ⊂ F c, и x является внутренней точкой F c.

Пусть F c открыто, и x ∈ E — предельная точка F . Докажем,что x ∈ F , т.е. F содержит все свои предельные точки. Посколькуx ∈ E = F∪F c, то x ∈ F либо x ∈ F c. Если x ∈ F c, то, поскольку F c

открыто, существует r > 0, для которого B(x; r) ⊂ F c, т.е. B(x; r)∩F = ∅. Но это противоречит тому, что точка x является предельнойточкой множества F . Таким образом, x ∈ F .

Утверждение 1.2.10. Пусть E — линейное пространство, и нор-мы ‖ · ‖1 и ‖ · ‖2 на E эквивалентны. Множество U ⊂ E является

25


открытым (соотв., замкнутым) в линейном нормированном про-странстве E1 = (E, ‖ · ‖1) тогда и только тогда, когда оно явля-ется открытым (соотв., замкнутым) в линейном нормированномпространстве E2 = (E, ‖ · ‖2).

Доказательство. Поскольку нормы эквивалентны, то согласно опре-делению 1.1.16 существуют такие C1, C2 > 0, что

‖x‖1 ≤ C1‖x‖2, ‖x‖2 ≤ C2‖x‖1

для всех x ∈ E.Предположим, что U является открытым в E1, и докажем, что

U является открытым в E2. Пусть x0 ∈ U . Поскольку U открыто вE1 найдем такое r1 > 0, что

B1(x0; r1) = x ∈ E : ‖x− x0‖1 < r1 ⊂ U.

Положим r2 =r1C1

, и докажем, что для

B2(x0; r2) = x ∈ E : ‖x− x0‖2 < r2

имеем, что B2(x0; r2) ⊂ B1(x

0; r1) ⊂ U .Действительно, если x ∈ B2(x

0; r2), то ‖x− x0‖2 < r2, и, следо-вательно,

‖x− x0‖1 ≤ C1‖x− x0‖2 < C1r2 = C1r1C1

= r1.

Таким образом, x ∈ B1(x0; r1), и, следовательно,

B2(x0; r2) ⊂ B1(x

0; r1) ⊂ U.

Аналогично доказывается, что множество, открытое в E2, явля-ется открытым в E1.

Поскольку семейство замкнутых множеств в линейном нормиро-ванном пространстве совпадает с семейством дополнений к откры-тым множествам, которые совпадают в E1 и E2 по доказанному,семейства замкнутых множеств в E1 и E2 также совпадают.

26


Теорема 1.2.11. (a) Пусть Ukmk=1 — конечное непустое се-мейство открытых множеств. Тогда множество U =⋂m

k=1 Uk является открытым.

(b) Пусть Uγγ∈Γ — произвольное непустое семейство откры-тых множеств. Тогда множество V =

⋃

γ∈Γ Uγ являетсяоткрытым.

(с) Пусть Fkmk=1 — конечное непустое семейство замкнутыхмножеств. Тогда множество F =

⋃mk=1 Fk является замкну-

тым.

(d) Пусть Fγγ∈Γ — произвольное непустое семейство замкну-тых множеств. Тогда множество G =

⋂

γ∈Γ Fγ являетсязамкнутым.

Доказательство. (a) Пусть U =⋂m

k=1 Uk. Если U = ∅, то оно от-крыто. Поэтому предположим, что U 6= ∅.Пусть x0 ∈ U . Для каждого k = 1, . . . ,m множество Uk яв-ляется открытым, и, следовательно, существует такое rk > 0,что B(x0; rk) ⊂ Uk. Положим

r = minr1, . . . , rm > 0.

Поскольку r ≤ rk, то B(x0; r) ⊂ B(x0; rk) ⊂ Uk для всех k =1, . . . ,m. Следовательно, B(x0; r) ⊂ ⋂m

k=1 Uk = U , что значит,что U открыто.

(b) Пусть V =⋃

γ∈Γ Uγ , и x0 ∈ V . Тогда существует такое γ0, что

x0 ∈ Uγ0 . Но Uγ0 является открытым, поэтому существуеттакое r > 0, что B(x0; r) ⊂ Uγ0 . Но тогда B(x0; r) ⊂ Uγ0 ⊂⋃

γ∈Γ Uγ = V , и V является открытым.

(c) Пусть F =⋃m

k=1 Fk. Достаточно доказать, что множество

F c =( m⋃

k=1

Fk

)c=

m⋂

k=1

F ck

27

1.3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ЛНП

является открытым (теорема 1.2.9). Согласно теореме 1.2.9,каждое множество F c

k , k = 1, . . . ,m, является открытым. По-этому, используя (a), получаем, что и F c является открытым.

(d) Пусть G =⋂

γ∈Γ Fγ . Достаточно доказать, что

Gc =(⋂

γ∈ΓFγ

)c=

⋃

γ∈ΓF cγ

является открытым (теорема 1.2.9). Но для каждого γ ∈ Γмножество F c

γ является открытым. Применяя (b) имеем, чтои Gc открыто, т.е. G замкнуто.

Замечание 1.2.12. Бесконечное пересечение открытых множеств мо-жет не быть открыто. Например,

∞⋂

n=1

(− 1

n ,1n

)= 0.

Аналогично, бесконечное объединение замкнутых множеств можетне быть замкнутым. Например,

∞⋃

n=1

[−1 + 1

n , 1− 1n

]= (−1, 1).

1.3 Последовательности в ЛНП

Определение 1.3.1. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, и X ⊂ E.

(a) Функция ϕ : N → X называется последовательностью в X.Последовательность также обозначается (xk)

∞k=1, где xk =

ϕ(k).

28


(b) Если ϕ : N → X является последовательностью в X, и ψ : N →N — неубывающая функция, то последовательность ϕψ : N →X называется подпоследовательностью последовательностиϕ. Если xk = ϕ(k) и kl = ψ(l), то для подпоследовательностиϕ ψ используется обозначение (xkl)

∞l=1.

Пример 1.3.2. 1. X = [−1, 1] ⊂ R, xn = (−1)n.

2. X = R2, xn = 1n

(cos π

n , sinπn

).

3. X = ℓ2, xn = 1nen.

4. X = Fb([0, 1]), fn(t) = tn.

Определение 1.3.3. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство. Элемент x∗ ∈ E называется пределом последователь-ности (xk)

∞k=1 в E, если любая окрестность V точки x∗ содержит

все члены последовательности (xk)∞k=1, кроме конечного их числа,

т.е. существует такое N ∈ N, что xk ∈ V для всех k > N . При этомиспользуются обозначения: xk → x∗ или x∗ = limk→∞ xk.

Определение 1.3.4. Последовательность (xk)∞k=1 в X ⊂ E назы-

вается сходящейся в X (или просто сходящейся), если она имеетпредел в E, и этот предел является элементом множества X.

Утверждение 1.3.5. Пусть (xk)∞k=1 — последовательность в X ⊂

E, и x∗ ∈ E. Следующие условия эквивалентны:

(a) x∗ = limk→∞ xk;

(b) limk→∞ ‖xk − x∗‖ = 0.

Доказательство. (a) ⇒ (b) Пусть xk → x∗, k → ∞, согласноопределению 1.3.3. Требуется доказать, что для любого ε > 0существует N ∈ N такое, что ‖xk − x∗‖ < ε для всех k > N .Рассмотрим открытый шарB(x∗; ε), который является окрест-ностью точки x∗. По определению существует N ∈ N, для ко-торого xk ∈ B(x∗; ε) для всех k > N . Но тогда ‖xk − x∗‖ < ε.

29


(b) ⇒ (a) Пусть V — окрестность точки x∗. По определению окрест-ности (определение 1.2.7) точка x∗ является внутренней точ-кой множества V , т.е. существует такое ε > 0, что B(x∗; ε) ⊂V . Поскольку ‖xk − x∗‖ → 0, существует такое N ∈ N, что‖xk −x∗‖ < ε, т.е. xk ∈ B(x∗; ε) при k > N . Это означает, чтоxk ∈ V для таких k.

Утверждение 1.3.6. Пусть (xk)∞k=1 и (yk)

∞k=1 — сходящиеся

последовательности в линейном нормированном пространстве(E, ‖ · ‖) над полем K. Тогда последовательности (xk + yk)

∞k=1 и

(λxk)∞k=1, где λ ∈ K, также являются сходящимися, причем

limk→∞

(xk + yk) = limk→∞

xk + limk→∞

yk, limk→∞

(λxk) = λ limk→∞

xk.

Доказательство. Пусть limk→∞ xk = x∗ и limk→∞ yk = y∗. Тогда

∥∥(xk + yk)− (x∗ + y∗)

∥∥ =

∥∥(xk − x∗) + (yk − y∗)

∥∥ ≤

≤ ‖xk − x∗‖+ ‖yk − y∗‖.

Используя свойства сходящихся числовых последовательностей, име-ем

0 ≤ limk→∞

∥∥(xk + yk)− (x∗ + y∗)

∥∥ ≤ lim

k→∞

(‖xk − x∗‖+ ‖yk − y∗‖

)

=

= limk→∞

‖xk − x∗‖+ limk→∞

‖yk − y∗‖ = 0 + 0 = 0.

Вторая часть утверждения доказывается аналогично.

Задачи

КР : 31.6 (1 2), 31.1, 31.3, 37.1.ДР : 31.6 (3), 31.2, 37.2.

30


Утверждение 1.3.7. Пусть E — линейное пространство и ‖ · ‖1 и‖ · ‖2 — эквивалентные нормы на E. Последовательность (xn)

∞n=1 в

E является сходящейся в линейном нормированном пространстве(E, ‖ · ‖1) тогда и только тогда, когда она является сходящейся в(E, ‖ · ‖2).Доказательство. Пусть xn → x∗ в (E, ‖ · ‖1), т.е.

‖xn − x∗‖1 → 0, n→ ∞.

Поскольку нормы являются эквивалентными, то ‖x‖2 ≤ C2‖x‖1для некоторого C2 и всех x ∈ E. Но тогда

‖xn − x∗‖2 ≤ C2‖xn − x∗‖1 → 0, n→ ∞,

т.е. xn → x∗ относительно нормы ‖ · ‖2.Доказательство завершается заменой нормы ‖ · ‖1 на ‖ · ‖2 и C2

на C1.

Утверждение 1.3.8. Точка x∗ ∈ E является предельной точкоймножества X тогда и только тогда, когда существует такаяпоследовательность (xk)

∞k=1 в X, что xk 6= x∗ для всех k ∈ N, и

xk → x∗.

Доказательство. Пусть точка x∗ является предельной для множе-ства X. Выберем произвольную последовательность εk → 0 приk → ∞ (например, ε′k = 1

k ). Поскольку x∗ является предельной

точкой множества X, тоB(x∗; ε) ∩X 6= ∅ для любого ε > 0 (опре-

деление 1.2.3). Поэтому для каждого εk существует точка xk ∈B(x∗; εk) ∩X, причем xk 6= x∗. Поскольку

‖xk − x∗‖ < εk

по построению, и εk → 0, то ‖xk − x∗‖ → 0, т.е. xk → x∗.

Обратно, пусть существует последовательность (xk) в X, xk →x∗ и xk 6= x∗ для всех k ∈ N. Докажем, что x∗ является предель-

ной точкой множества X, т.е.B(x∗; ε) ∩ X 6= ∅ для любого ε > 0.

31


Пусть ε > 0 задано. Поскольку xk → x∗, то существует N ∈ N,для которого xk ∈ B(x∗; ε) для всех k > N (определение 1.3.3).

А, поскольку xk 6= x∗ для всех k, то xk ∈B(x∗; ε) для k > N . В

частности, xN+1 ∈B(x∗; ε) ∩X, т.е.

B(x∗; ε) ∩X 6= ∅.

Теорема 1.3.9. Пусть последовательность (xk)∞k=1 имеет предел.

Тогда этот предел единственен.

Доказательство. Предположим, что последовательность (xk) име-ет два предела, x′

∗,x′′∗ ∈ E, x′

∗ 6= x′′∗. Пусть V ′ и V ′′ — окрестности x′

∗и x′′

∗, соответственно, и V ′∩V ′′ = ∅ (например, V ′ = B(x′∗; δ) и V ′′ =

B(x′′∗; δ), где δ = 1

2‖x′∗ − x′′

∗‖). Тогда, поскольку x′∗ = limk→∞ xk, то

существует такое N ′ ∈ N, что xk ∈ V ′ для всех k > N ′. Поскольку иx′′∗ = limk→∞ xk, то существует N ′′ ∈ N, для которого xk ∈ V ′′ для

всех k > N ′′. Но тогда xk ∈ V ′ ∩ V ′′ = ∅ для всех k > maxN ′, N ′′,что является противоречием.

Теорема 1.3.10. Пусть (xk)∞k=1 сходящаяся последовательность

в E, и x∗ = limk→∞ xk. Если (xkl)∞l=1 — произвольная под-

последовательность последовательности (xk)∞k=1, то она также

является сходящейся, и liml→∞ xkl = x∗.

Доказательство. Пусть V — окрестность точки x∗. Поскольку xk →x∗, то существует N ∈ N, для которого xk ∈ V для всех k > N . Ес-ли (xkl)

∞l=1 — подпоследовательность последовательности (xk)

∞k=1,

то l ≤ kl. Поэтому, если l > N , то kl > N , и xkl ∈ V . Таким обра-зом, xkl → x∗ при l → ∞.

Утверждение 1.3.11. (a) Пусть E является одним из про-странств ℓ1, ℓ2, ℓ∞. Если xk → x∗ в E, где xk =(x1k, . . . , x

jk, . . .) и x∗ = (x1∗, . . . , x

j∗, . . .), то для каждого j ∈ N

имеем xj∗ = limk→∞ xjk.

(b) Если E = Fb([a, b];K), и fk → f∗ в E, то для каждого t ∈ [a, b]имеем f∗(t) = limk→∞ fk(t).

32


Доказательство. (a) Доказательство проведем для случая E = ℓ1.Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Пусть xk → x∗ в ℓ1. Тогда для произвольного j имеем:

|xjk − xj∗| ≤∞∑

i=1

|xik − xi∗| = ‖xk − x∗‖1 → 0

по утверждению 1.3.5.

(b) Пусть fk → f∗ в Fb([a, b];K). Для произвольного t ∈ [a, b] имеем

|fk(t)− f∗(t)| ≤ sups∈[a,b]

|fk(s)− f∗(s)| = ‖fk − f∗‖∞ → 0,

поскольку fk → f∗.

Пример 1.3.12. 1. Рассмотрим последовательность (fn)∞n=1 в

Fb([0, 1];R) для fn(t) = et/n.

Если эта последовательность является сходящейся, и f∗ явля-ется ее пределом, то для каждого t ∈ [0, 1] имеем, что

f∗(t) = limn→∞

etn = e0 = 1.

Теперь проверим действительно ли fn → f∗ в Fb([0, 1];R). Дляэтого вычислим ‖fn − f∗‖∞. Имеем (см. рис. 1.6):

‖fn − f∗‖∞ = supt∈[0,1]

|e tn − 1| = e

1

n − 1.

Поэтому,

limn→∞

‖fn − f∗‖∞ = limn→∞

(e1

n − 1) = 0,

и, следовательно, fn → f∗ в Fb([0, 1];R).

33

1.4. ПОЛНОТА. БАНАХОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

t

y

1

1f∗

fn

Рис. 1.6: Вычисление ‖fn − f∗‖∞.

2. Пусть теперь fn(t) = tn в Fb([0, 1];R). Предполагая, что этапоследовательность является сходящейся в Fb([0, 1];R), и f∗суть ее предел, для каждого t ∈ [0, 1] имеем

f∗(t) = limn→∞

fn(t) = limn→∞

tn =

0, 0 ≤ t < 1,1, t = 1.

t

y

1

1 b

fn

f∗

Рис. 1.7: Вычисление ‖fn − f∗‖∞.

Для ‖fn − f‖∞ имеем (см. рис. 1.7):

‖fn − f∗‖∞ = supt∈[0,1]

|fn(t)− f∗(t)| = supt∈[0,1)

tn = 1.

При этом,

limn→∞

‖fn − f∗‖∞ = limn→∞

1 = 1 6= 0,

и, следовательно, fn 6→ f∗ в Fb([0, 1];R).

1.4 Полнота. Банаховые пространства.

Определение 1.4.1. Последовательность (xk)∞k=1 в X ⊂ E назы-

вается фундаментальной или последовательностью Коши, если для

34


любого ε > 0 существует такое N ∈ N, что

‖xk+p − xk‖ < ε

для всех k > N и p ∈ Z+.

Утверждение 1.4.2. Сходящаяся последовательность в E явля-ется фундаментальной.

Доказательство. Пусть xk → x∗. Это эквивалентно тому, что ‖xk−x∗‖ → 0. Поэтому, для заданного ε > 0 существует N ∈ N для кото-рого ‖xk−x∗‖ < ε

2 для k > N . Поэтому, если k > N , то и k+p > Nдля p ∈ Z+, и, следовательно,

‖xk+p − xk‖ =∥∥(xk+p − x∗)− (xk − x∗)

∥∥ ≤

≤ ‖xk+p − x∗‖+ ‖xk − x∗‖ <ε

2+ε

2= ε.

t

y

−1

1

−1

1

− 1

k

1

k

fk

(a)

t

y

−1

1

−1

1

1

k1

k+p

fkfk+p

(b)

Рис. 1.8: (a) График функции fk; (b) ‖fk+p − fk‖1 совпадает с пло-щадью затемненной области.

Пример 1.4.3. Пусть (fk)∞k=1 — последовательность функций, пока-

занных на рис. 1.8 (a), в C([−1, 1];R) с нормой

‖f‖1 =∫ 1

−1|f(t)| dt.

35


Тогда (см. рис. 1.8 (b))

‖fk+p − fk‖1 =∫ 1

−1|fk+p(t)− fk(t)| dt =

(1

k− 1

k + p

)

<1

k.

Поэтому последовательность (fk)∞k=1 является фундаментальной в

(C([−1, 1];R), ‖ · ‖1

).

Определение 1.4.4. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство. Подмножество X ⊂ E называется ограниченным, ес-ли существует такое C ∈ R+, что ‖x‖ ≤ C для всех x ∈ X.

Последовательность (xk)∞k=1 в E называется ограниченной, если

множество X = xk : k ∈ N является ограниченным.

Пример 1.4.5. 1. Шар B(x0; r) в E является ограниченным, по-скольку для произвольного x ∈ B(x0; r) имеем:

‖x‖ = ‖x− x0 + x0‖ ≤ ‖x− x0‖+ ‖x0‖ < r + ‖x0‖ = C.

2. Последовательность (kek)∞k=1 в ℓ1 не является ограниченной,

поскольку‖kek‖1 = k‖ek‖1 = k, k ∈ N.

3. Рассмотрим последовательность функций fn в C([0, 1];R), по-казанной на рис. 1.9. Тогда ‖fn‖∞ = n, и последовательность(fn)

∞n=1 не является ограниченной в C([0, 1];R).

t

y

11

n

n

Рис. 1.9: График функции fn.

36


4. Рассмотрим последовательность тех же функций (см. рис. 1.9)в пространстве C([0, 1];R) с нормой ‖ · ‖1,

‖f‖1 =∫ 1

0|f(t)| dt.

Поскольку ‖fn‖1 = 12 для всех n ∈ N, последовательность

(fn)∞n=1 является ограниченной в линейном нормированном

пространстве(C([0, 1];R), ‖ · ‖1

).

Утверждение 1.4.6. Фундаментальная последовательность огра-ничена.

Доказательство. Пусть (xk)∞k=1 — фундаментальная последователь-

ность в (E, ‖ · ‖). Поскольку

∣∣ ‖xk+p‖ − ‖xk‖

∣∣ ≤ ‖xk+p − xk‖

(утверждение 1.1.6 (c)), то последовательность (‖xk‖)∞k=1 действи-тельных чисел будет фундаментальной, а значит ограниченной (лем-ма I.2.4.15), т.е.

‖xk‖ ≤ C

для некоторого C ∈ R+. Но это и означает ограниченность после-довательности (xk)

∞k=1.

Следствие 1.4.7. Если последовательность (xn)∞n=1 в E сходит-

ся, то она ограничена.

Доказательство. Поскольку сходящаяся последовательность явля-ется фундаментальной (утверждение 1.4.2), то она ограничена со-гласно утверждению 1.4.6.

Определение 1.4.8. Линейное нормированное пространство (E, ‖·‖) называется полным или банаховым, если всякая фундаменталь-ная последовательность в E является сходящейся.

37


Пример 1.4.9. 1. Пространство (Kn, ‖ · ‖2) является полным. Дляслучая K = R это доказано в теореме II.10.2.12.

Если K = C, то это также верно, поскольку последователь-ность (zk)

∞k=1 в Cn,

zk = (z1k, . . . , znk )

t = (x1k + iy1k, . . . , xnk + iynk )

t ∈ Cn

сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая из по-следовательностей

(x1k)∞k=1, (y1k)

∞k=1, . . . , (xnk)

∞k=1, (ynk )

∞k=1,

т.е когда сходится последовательность (zk)∞k=1 в R2n, где

zk = (x1k, y1k, . . . , x

nk , y

nk )

t ∈ R2n.

2. Пространство (Kn, ‖ · ‖) с произвольной нормой ‖ · ‖ являет-ся банаховым, поскольку в конечномерном пространстве всенормы эквивалентны норме ‖ · ‖2 (теорема 1.1.19), а сходи-мость относительно одной нормы влечет за собой сходимостьв любой ей эквивалентной норме (утверждение 1.3.7).

3. Пусть E = Pn([0, 1];R) — линейное пространство всех много-членов степени не выше n с действительными коэффициента-ми, рассмотренное как подпространство линейного нормиро-ванного пространства C([0, 1];R). Тогда (E, ‖ · ‖∞) являетсябанаховым.

Действительно, многочлены f0, . . . , fn, заданные как

f0(t) = 1, f1(t) = t, . . . , fn(t) = tn,

образуют базис в Pn([0, 1],R) над R, поскольку

p(t) = antn + . . .+ a1t+ a0 = anfn + . . .+ a1f1 + a0f0.

Таким образом, Pn([0, 1],R) может рассматриваться как Rn+1,но с нормой ‖ · ‖∞ в C([0, 1];R).Согласно примеру 2, Pn([0, 1];R) является банаховым.

38


4. Линейное нормированное пространство(C([−1, 1];R), ‖ · ‖1

),

рассмотренное в примере 1.4.3, не является банаховым. Рас-смотренная в этом примере последовательность (fk)

∞k=1, бу-

дучи фундаментальной, не является сходящейся, посколькуфункции этой последовательности аппроксимируют в смысленормы ‖ · ‖1 на C([−1, 1];R) любую из функций fα∗ , α ∈ R, где

fα∗ (t) =

−1, −1 ≤ t < 0,α, t = 0,1, 0 < t ≤ 1,

причем fα∗ /∈ C([−1, 1];R) для любого α ∈ R (см. рис. 1.10).

t

y

−1

1

−1

1

− 1

k

1

k

fk

bα

Рис. 1.10: Функции fk аппроксимируют fα∗ относительно ‖ · ‖1.

Теорема 1.4.10. Линейные нормированные пространства ℓ1 и ℓ2над K являются банаховыми.

Доказательство. Рассмотрим пространство ℓ1 над R. Пусть после-довательность (xk)

∞k=1 фундаментальна в ℓ1. Докажем, что она схо-

дится в ℓ1, т.е. существует такой элемент x∗ ∈ ℓ1, что ‖xk−x∗‖1 → 0.

1. Найдем x∗. Пусть

xk = (x1k, x2k, . . .), x1k, x

2k, . . . ∈ R.

39


Зафиксируем координату i, и рассмотрим последовательностьчисел (xik)

∞k=1 в R. Поскольку

|xik+p − xik| ≤n∑

j=1

|xjk+p − xjk| ≤ ‖xk+p − xk‖1

для любого p ∈ Z+, то последовательность (xik)∞k=1 элементов

из K является фундаментальной и, следовательно, сходящей-ся по критерию Коши (теорема I.2.4.7). Следовательно, суще-ствует предел

xi∗ = limk→∞

xik (1.3)

для всех i ∈ N.

Положимx∗ = (x1∗, x

2∗, . . .) ∈ R∞.

2. Докажем, что ‖x∗−xk‖1 → 0. Зафиксируем n ∈ N, и рассмотрим

n∑

j=1

|xjk+p − xjk| ≤ ‖xk+p − xk‖1. (1.4)

Возьмем произвольное ε > 0. Поскольку последовательность(xk) является фундаментальной в ℓ1, то существует N ∈ N,для которого ‖xk+p−xk‖1 < ε для всех k > N и p ∈ Z+. Тогдадля таких k и произвольных p ∈ Z+ в силу (1.4) имеем, что

n∑

j=1

|xjk+p − xjk| < ε. (1.5)

Поскольку сумма в (1.5) конечна и функция | · | непрерывна наR, то, переходя к пределу в (1.5) для p→ ∞ и используя (1.3),получаем:

limp→∞

n∑

j=1

|xjk+p − xjk| =n∑

j=1

limp→∞

|xjk+p − xjk| =

40


=n∑

j=1

∣∣ limp→∞

xjk+p − xjk∣∣ =

n∑

j=1

|xj∗ − xjk| ≤ ε

(1.6)

для всех n ∈ N и k > N . Теперь, переходя к пределу приn→ ∞, имеем

‖x∗ − xk‖1 =∞∑

j=1

|xj∗ − xjk| = limn→∞

n∑

j=1

|xj∗ − xjk| ≤ ε

для всех k > N . Это и означает, что ‖x∗ − xk‖1 → 0 приk → ∞.

3. Докажем, что x∗ ∈ ℓ1. Поскольку ‖x∗−xk‖1 → 0, то существуеттакое N ∈ N, что ‖x∗−xk‖1 < 1 для всех k > N . В частности,‖x∗ − xN+1‖1 < 1. Таким образом,

‖x∗‖1 = ‖x∗−xN+1+xN+1‖1 ≤ ‖x∗−xN+1‖1+ ‖xN+1‖1 <∞,

что доказывает, что x∗ ∈ ℓ1.

Доказательство для ℓ2 и для K = C проводится аналогично.

Задачи

КР : 37.3, 34.1ДР : 37 (a) M = [c, d], (б) M = (c, d), 34, 35, 36.

Теорема 1.4.11. Линейное нормированное пространство Fb(Ω;K)является банаховым.

Доказательство. Идея доказательства та же самая, что и теоре-мы 1.4.10. Пусть (fk)

∞k=1 — фундаментальная последовательность в

Fb(Ω;K). Докажем, что существует такая функция f∗ ∈ Fb(Ω;K),что ‖f∗ − fk‖∞ → 0.

41


1. Найдем f∗. Зафиксируем ω ∈ Ω, и рассмотрим последователь-ность

(fk(ω)

)∞k=1

действительных чисел, если K = R, или по-следовательность комплексных чисел, если K = C. Поскольку

|fk+p(ω)− fk(ω)| ≤ supτ∈Ω

|fk+p(τ)− fk(τ)| = ‖fk+p − fk‖∞,

то последовательность(fk(ω)

)∞k=1

является фундаментальной.Поэтому существует предел, который и определяет значениефункции f∗ в точке ω ∈ Ω:

f∗(ω) = limk→∞

fk(ω).

2. Докажем, что ‖f∗−fk‖∞ → 0 при k → ∞. Возьмем произвольноеε > 0. Поскольку последовательность (fk) фундаментальна,то существует такое N ∈ N, что для любого ω ∈ Ω

|fk+p(ω)− fk(ω)| < ε, (1.7)

при k > N и любом p ∈ Z+, поскольку

|fk+p(ω)− fk(ω)| ≤ supτ∈Ω

|fk+p(τ)− fk(τ)| = ‖fk+p − fk‖∞ < ε.

Переходя к пределу в (1.7) при p→ ∞ имеем

limp→∞

|fk+p(ω)− fk(ω)| = | limp→∞

fk+p(ω)− fk(ω)| =

= |f∗(ω)− fk(ω)| ≤ ε.

Поскольку это неравенство имеет место для всех ω ∈ Ω, то

‖f∗ − fk‖∞ = supτ∈Ω

|f∗(τ)− fk(τ)| ≤ ε

для всех k > N . Это означает, что ‖f∗−fk‖∞ → 0 при k → ∞.

42


3. Докажем, что f∗ ∈ Fb(Ω;K). Ограниченность последовательно-сти (fk) следует из ее фундаментальности (утверждение 1.4.6),что означает, что ‖fk‖∞ < C для некоторого C ∈ R и всехk ∈ N. Из сходимости последовательности к f∗ следует, чтосуществует N ∈ N, для которого ‖f∗ − fN+1‖∞ < 1. Тогда

‖f∗‖∞ = ‖f∗ − fN+1 + fN+1‖∞ ≤ ‖f∗ − fN+1‖∞ + ‖fN+1‖∞ <

< 1 + C <∞.

Утверждение 1.4.12. Пусть (E, ‖ · ‖) — банахово пространство,а E — замкнутое линейное подпространство пространства E. То-гда (E, ‖ · ‖) — банахово пространство.

Доказательство. Пусть (xk)∞k=1 — фундаментальная последователь-

ность в E. Тогда эта последовательность является фундаменталь-ной в E, а поэтому сходящейся в E, поскольку E банахово. Т.е.существует такой элемент x∗ ∈ E, что xk → x∗. Но тогда x∗ —предельная точка E (утверждение 1.3.8). А поскольку E замкнуто,и x∗ ∈ E — предельная точка E, то x∗ ∈ E.

Утверждение 1.4.13. Пространство C([a, b];K) является за-мкнутым подпространством пространства Fb([a, b];K).

Доказательство. Поскольку произвольная функция f ∈ C([a, b],K),будучи непрерывной на замкнутом отрезке [a, b], является ограни-ченной на [a, b] (теорема Вейерштрасса I.3.3.13), т.е. f ∈ Fb([a, b];K),то C([a, b];K) ⊂ Fb([a, b];K). Таким образом, C([a, b];K) является ли-нейным подпространством Fb([a, b];K). Докажем, что C([a, b];K) за-мкнуто в Fb([a, b];K), т.е., если f∗ ∈ Fb([a, b];K) — предельная точкаC([a, b];K), то f∗ ∈ C([a, b];K).

Пусть t0 ∈ [a, b] — произвольная точка [a, b], и докажем, что f∗непрерывна в t0, т.е для произвольного ε > 0 существует δ > 0, длякоторого

|f∗(t)− f∗(t0)| < ε

для всех t ∈ [a, b] ∩ (t0 − δ, t0 + δ).

43


Зададимся ε > 0, и найдем нужное δ > 0. Поскольку f∗ является

предельной точкой C([a, b];K), то существует точка f ∈B(f∗; ε3) ∩

C([a, b];K), т.е. такая непрерывная на [a, b] функция f , что

‖f∗ − f‖∞ <ε

3.

Но тогда

|f∗(t)− f(t)| < ε

3(1.8)

для всех t ∈ [a, b], поскольку

|f∗(t)− f(t)| ≤ sups∈[a,b]

|f∗(s)− f(s)| = ‖f∗ − f‖∞ <ε

3.

Поскольку функция f непрерывна в точке t0, то существует такоеδ > 0, что

|f(t)− f(t0)| <ε

3(1.9)

для всех t ∈ [a, b]∩ (t0− δ, t0+ δ). Таким образом для таких t имеем:∣∣f∗(t)− f∗(t0)

∣∣ =

∣∣f∗(t)− f(t) + f(t)− f(t0) + f(t0)− f∗(t0)

∣∣ ≤

≤∣∣f∗(t)− f(t)

∣∣+

∣∣f(t)− f(t0)

∣∣+

∣∣f(t0)− f∗(t0)

∣∣ <

<ε

3+ε

3+ε

3= ε,

где для оценки первого и третьего слагаемого в сумме использо-валась оценка (1.8), а для оценки второго слагаемого использова-лось (1.9).

Это доказывает непрерывность функции f∗, а значит f∗ ∈C([a, b];K), что и завершает доказательство замкнутости C([a, b];K)в Fb([a, b];K).

Теорема 1.4.14. Пространство C([a, b];K) является банаховым.

Доказательство. Согласно теореме 1.4.11, пространствоFb([a, b];K) является банаховым, а C([a, b];K) является замкнутымподпространством пространства Fb([a, b];K) (утверждение 1.4.13).Поэтому, C([a, b];K) является банаховым (утверждение 1.4.12).

44

1.5. ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА

1.5 Плотные множества

Определение 1.5.1. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, X ⊂ E, и X ′ — множество всех предельных точекмножества X. Множество X = X∪X ′ называется замыканием мно-жества X.

Пример 1.5.2. 1. Пусть E = R и X = (0, 1]. Поскольку X ′ =[0, 1], то

X = (0, 1] ∪ [0, 1] = [0, 1].

2. Если E = R, а X = Q, то, поскольку Q′ = R, имеем, чтоQ = R.

Утверждение 1.5.3. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, X ⊂ E и X — замыкание X в E. Тогда X замкнутов E.

Доказательство. По определению, X = X ∪ X ′, где X ′ — множе-ство предельных точек X. Согласно теореме 1.2.9 достаточно дока-зать, что

Xc= (X ∪X ′)c = Xc ∩X ′c

является открытым. Пусть x0 ∈ Xc. Поскольку x0 ∈ X ′c, т.е. x0 /∈

X ′, то x0 не является предельной точкой X, т.е. существует такое

r > 0, чтоB(x0; r) ∩ X = ∅, или

B(x0; r) ⊂ Xc. Также x0 ∈ Xc.

Поэтому, B(x0; r) =B(x0; r) ∪ x0 ⊂ Xc.

Докажем теперь, что B(x0; r) ⊂ X ′c, т.е. B(x0; r)∩X ′ = ∅. Пред-положим, что это не так, т.е. существует x ∈ B(x0; r) ∩ X ′. По-скольку B(x0; r) — открытое множество, то x — внутренняя точкамножества B(x0; r). Это значит, что существует ε > 0, для которо-го B(x; ε) ⊂ B(x0; r) (можно взять ε = r − ‖x0 − x‖). Поскольку

B(x0; r)∩X = ∅, то имеем, что иB(x; ε)∩X = ∅, что противоречит

тому, что x является предельной точкой множества X, посколькуx ∈ B(x0; r) ∩X ′ по предположению.

Таким образом, B(x0; r) ⊂ Xc, B(x0; r) ⊂ (X ′)c, и, следователь-но, B(x0; r) ⊂ (X)c, что доказывает, что множествоX

cоткрыто.

45


Утверждение 1.5.4. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, X ⊂ E. Тогда

(i) X =⋂

γ∈Γ Fγ , где Fγγ∈Γ — семейство всех замкнутых мно-жеств Fγ таких, что Fγ ⊃ X для всех γ ∈ Γ.

(ii) X — наименьшее замкнутое множество, содержащее X.

Доказательство. (i) Докажем, что X ⊂ ⋂

γ∈Γ Fγ . Пусть x ∈ X =X ∪ X ′. Если x ∈ X, то x ∈ Fγ для всех γ ∈ Γ, посколькуX ⊂ Fγ по условию, т.е. x ∈ ⋂

γ∈Γ Fγ . Если x ∈ X ′, т.е. x яв-ляется предельной точкой X, то x также является предельнойточкой Fγ для всех γ ∈ Γ, поскольку X ⊂ Fγ . Но Fγ замкнуто.Следовательно x ∈ Fγ , откуда следует, что x ∈ ⋂

γ∈Γ Fγ .

Теперь докажем, что⋂

γ∈Γ Fγ ⊂ X. Пусть x ∈ ⋂

γ∈Γ Fγ .

Поскольку X является замкнутым множеством (утвержде-ние 1.5.3), содержащим X, то X = Fγ0 для некоторого γ0 ∈ Γ.

Следовательно, x ∈ Fγ0 = X.

(ii) Множество G =⋂

γ∈Γ Fγ является замкнутым (утвержде-ние 1.2.11), содержит X (все Fγ содержат X), и, следователь-но, является наименьшим среди всех замкнутых множеств, со-держащих X.

Определение 1.5.5. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство. ПодмножествоX ⊂ E называется плотным в E, еслиX = E.

Пример 1.5.6. Для E = R множество Q является плотным в R,поскольку Q = R.

Утверждение 1.5.7. Линейное пространство финитных последо-вательностей

c00 =x = (x1, x2, . . .) ∈ R∞ : ∃N ∈ N, xN+1 = xN+2 = . . . = 0

является плотным линейным подпространством пространства ℓ1.

46


Доказательство. Прежде всего заметим, что, если

x = (x1, x2, . . . , xN , 0, 0, . . .) ∈ c00

для некоторого N ∈ N, то

‖x‖1 =∞∑

k=1

|xk| =N∑

k=1

|xk| <∞,

т.е. x ∈ ℓ1. Следовательно, c00 является линейным подпростран-ством пространства ℓ1.

Покажем теперь, что

c00 = c00 ∪ c′00 = ℓ1,

где c′00 — состоит из векторов из ℓ1, являющимися предельнымиточками c00 в смысле нормы в ℓ1, т.е. относительно нормы ‖ · ‖1.Из этого сразу следует, что c00 ⊂ ℓ1. Остается доказать, что ℓ1 ⊂c00 = c00 ∪ c′00.

Пусть x = (x1, x2, . . .) ∈ ℓ1. Если существует N ∈ N, для кото-рого xN+1 = xN+2 = . . . = 0, то x ∈ c00 ⊂ c00. Если такого N несуществует, то докажем, что x является предельной точкой c00, т.еB(x; r) ∩ c00 6= ∅ для произвольного r > 0.

Итак, пусть r > 0 задано. Поскольку x = (x1, x2, . . .) ∈ ℓ1, торяд

∞∑

k=1

|xk|

сходится. Это означает, что существует такое N ∈ N, что

∞∑

k=N+1

|xk| < r.

Положимx0 = (x1, . . . , xN , 0, 0, . . .) ∈ c00.

47


Тогда

‖x− x0‖1 =∥∥(x1, . . . , xN , xN+1, . . .)− (x1, . . . , xN , 0, . . .)

∥∥1=

=∥∥(0, . . . , 0, xN+1, . . .)

∥∥1=

∞∑

k=N+1

|xk| < r

в силу выбора числаN . Это означает, что x0 ∈B(x; r). По определе-

нию x0 ∈ c00. Таким образом, x0 ∈B(x; r)∩c00, т.е.

B(x; r)∩c00 6= ∅.

Следовательно, x ∈ c′00, что и оканчивает доказательство.

Утверждение 1.5.8. Линейное пространство финитных последо-вательностей

c00 =x = (x1, x2, . . .) ∈ R∞ : ∃N ∈ N, xN+1 = xN+2 = . . . = 0

является линейным подпространством ℓ∞, но не является плот-ным в ℓ∞.

Доказательство. Прежде всего заметим, что если

x = (x1, . . . , xN , 0, . . .) ∈ R∞0 ,

то‖x‖∞ = sup

k∈N|xk| = max

|x1|, . . . , |xN |

<∞,

что означает, что x ∈ ℓ∞. Следовательно c00 ⊂ ℓ∞.Теперь покажем, что точка x0 = (1, 1, . . .), которая очевидно

принадлежит ℓ∞, не принадлежит c00. Действительно, для произ-вольной точки

x = (x1, . . . , xN , 0, . . .) ∈ c00

имеем

‖x0 − x‖∞ = ‖(1, 1, . . .)− (x1, . . . , xN , 0, 0, . . .)‖∞ =

= max|1− x1|, |1− x2|, . . . , |1− xN |, 1

≥ 1.

48

1.6. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА

Это означает, что x0 /∈B(x; 1) для произвольной точки x ∈ c00.

Таким образом,B(x0; 1) ∩ c00 = ∅, и x0 не является предельной

точкой c00. Очевидно, что x0 /∈ c00. Таким образом x0 /∈ c00. Этоозначает, что c00 6= ℓ∞, и c00 не является плотным в ℓ∞.

Задачи

КР : 38 (2, 1, 6, 7).ДР : 38 (4, 5, 7, 8, 9), 37.7

1.6 Теоремы Вейерштрасса

1.6.1 Аппроксимация периодических функций триго-

нометрическими многочленами

В этом разделе C2π обозначает множество всех действительных непре-рывных 2π-периодических функций на R.

Лемма 1.6.1. Множество C2π является линейным пространствомнад полем R.

Доказательство. По определению f ∈ C2π тогда и только тогда,когда f ∈ C(R) и f(t + 2π) = f(t) для всех t ∈ R. Поэтому, еслиf, g ∈ C2π, то f + g ∈ C(R) и

(f + g)(t+ 2π) = f(t+ 2π) + g(t+ 2π) = f(t) + g(t) = (f + g)(t),

т.е. f + g суть непрерывная 2π-периодическая функция на R, т.е.f + g ∈ C2π.

Аналогично λf ∈ C2π, если λ ∈ R и f ∈ C2π.

Теорема 1.6.2. Линейное нормированное пространство(C2π, ‖ · ‖∞) является банаховым пространством.

49


Доказательство. Докажем, что C2π является замкнутым линей-ным подпространством пространства (Fb(R), ‖ · ‖). Тогда, согласноутверждению 1.4.12, C2π будет банаховым пространством.

Вначале докажем, что C2π является линейным подпростран-ством пространства Fb(R). Действительно, если f ∈ C2π, то в силу2π-периодичности f имеем, что f(t) = f(t+ 2πk) для всех k ∈ Z, и,в частности, для такого k0 ∈ Z, чтобы t+ 2πk0 ∈ [0, 2π]. Поэтому

‖f‖∞ = supt∈R

|f(t)| = supt∈[0,2π]

|f(t)|.

Но f непрерывна на R, поэтому она непрерывна на [0, 2π], и следо-вательно, ограничена на компактном множестве [0, 2π] по теоремеВейерштрасса. Таким образом, ‖f‖∞ <∞, и f ∈ Fb(R).

Теперь докажем замкнутость C2π в Fb(R). Предположим, чтоf∗ ∈ Fb(R) является предельной точкой C2π, и докажем, чтоf∗ ∈ C2π, т.е. f∗ является функцией непрерывной на R и 2π-периодической.

Для доказательства непрерывности f∗ на R возьмем произволь-ную точку t0 ∈ R, зададимся ε > 0, и найдем такое δ > 0, что будетвыполнено следующее условие:

∀ t ∈ R : |t− t0| < δ =⇒ |f∗(t)− f∗(t0)| < ε. (1.10)

Поскольку f∗ является предельной точкой C2π, то существуетфункция f ∈ B(f∗, ε3) ∩ C2π. Используя эту функцию, имеем

|f∗(t)− f∗(t0)| =∣∣f∗(t)− f(t) + f(t)− f(t0) + f(t0)− f∗(t0)

∣∣ ≤

≤∣∣f∗(t)− f(t)

∣∣+

∣∣f(t)− f(t0)

∣∣+

∣∣f(t0)− f∗(t0)

∣∣ ≤

≤ ‖f∗ − f‖∞ +∣∣f(t)− f(t0)

∣∣+ ‖f − f∗‖∞ <

<ε

3+∣∣f(t)− f(t0)

∣∣+

ε

3. (1.11)

Поскольку f является непрерывной на R, а значит и в точке t0, тосуществует такое δ > 0, что

∀ t ∈ R : |t− t0| < δ =⇒ |f(t)− f(t0)| <ε

3.

50


Для такого δ условие (1.10) выполнено в силу (1.11).

Для доказательства 2π-периодичности f∗ достаточно доказать,что для для произвольного t ∈ R и любого ε > 0 имеем

|f∗(t+ 2π)− f∗(t)| < ε.

Опять воспользуемся тем, что f∗ является предельной точкой C2πи возьмем произвольную функцию f ∈ B(f∗, ε2) ∩ C2π, для которой,в частности, имеем, что f(t) = f(t + 2π) для всех t ∈ R. Такимобразом,

|f∗(t+ 2π)− f∗(t)| = |f∗(t+ 2π)− f(t+ 2π) + f(t)− f∗(t)| ≤≤

∣∣f∗(t+ 2π)− f(t+ 2π)

∣∣+

∣∣f(t)− f∗(t)

∣∣ ≤

≤ ‖f∗ − f‖∞ + ‖f − f∗‖∞ <ε

2+ε

2= ε.

Таким образом f∗ ∈ C2π, что и заканчивает доказательство.

Везде далее функции Kn ∈ C2π, n ∈ N, определены как

Kn(t) =(1 + cos t

2

)n, n ∈ N.

Лемма 1.6.3. Пусть

cn =

∫ π

−πKn(t) dt.

Тогда

cn >4

n+ 1. (1.12)

Доказательство. Действительно, поскольку подынтегральная функ-ция четная, имеем

cn =

∫ π

−πKn(t) dt =

∫ π

−π

(1 + cos t

2

)ndt = 2

∫ π

0

(1 + cos t

2

)ndt.

51


Так как 0 ≤ sin t ≤ 1 при t ∈ [0, π], для таких t

(1 + cos t

2

)n≥

(1 + cos t

2

)nsin t.

Поэтому,

2

∫ π

0

(1 + cos t

2

)ndt > 2

∫ π

0

(1 + cos t

2

)nsin t dt =

= − 2

2n

∫ π

0(1 + cos t)n d(1 + cos t) =

= − 2

2n(1 + cos t)n+1

n+ 1

∣∣∣

t=π

t=0=

4

n+ 1,

откуда и следует утверждение.

Лемма 1.6.4. Пусть g ∈ C2π. Тогда для любого a ∈ R

∫ π+a

−π+ag(t) dt =

∫ π

−πg(t) dt.

Доказательство. Действительно,

∫ π+a

−π+ag(t) dt =

∫ −π

−π+ag(t) dt+

∫ π

−πg(t) dt+

∫ π+a

πg(t) dt. (1.13)

Для первого интеграла имеем

∫ −π

−π+ag(t) dt =

s = t+ π,t = s− π,ds = dt,

t→ −π + a⇒ s→ a,t→ −π ⇒ s→ 0,

=

∫ 0

ag(s− π) ds =

= −∫ a

0g(s− π) ds.

52


Для третьего интеграла в (1.13), используя 2π-периодичность g,имеем

∫ π+a

πg(t) dt =

s = t− π,t = s+ π,ds = dt,

t→ π ⇒ s→ 0,t→ π + a⇒ s→ a,

=

∫ a

0g(s+ π) ds =

=

∫ a

0g(s+ π − 2π) ds =

∫ a

0g(s− π) ds.

Таким образом из (1.13) получаем, что

∫ π+a

−π+ag(t) dt = −

∫ a

0g(s− π) ds+

∫ π

−πg(s) ds+

∫ a

0g(s− π) ds =

=

∫ π

−πg(s) ds.

Лемма 1.6.5. Пусть f, g ∈ C2π. Тогда для всех t ∈ R∫ π

−πf(s)g(t− s) ds =

∫ π

−πg(s)f(t− s) ds. (1.14)

Доказательство. Делая замену переменной, имеем

∫ π

−πf(s)g(t− s) ds =

u = t− s,s = t− u,ds = −du,

s→ −π ⇒ u→ t+ π,s→ π ⇒ u→ t− π

=

= −∫ t−π

t+πf(t− u)g(u) du =

∫ t+π

t−πg(u)f(t− u) du =

=

∫ π

−πg(u)f(t− u) du,

где в последнем равенстве использовалась лемма 1.6.4.

53


Теорема 1.6.6 (Валле-Пуссен). Пусть f ∈ C2π. Обозначим

Kn(t) =(1 + cos t

2

)n, cn =

∫ π

−πKn(t) dt,

и положим

τ fn (t) =1

cn

∫ π

−πf(s)Kn(t− s) ds. (1.15)

Тогдаlimn→∞

τ fn = f

в банаховом пространстве (C2π, ‖ · ‖∞).

u

y

−π π

1

δ−δ

Рис. 1.11: График функции Kn(u) при n≫ 1.

Идея доказательства теоремы 1.6.6. Используя лемму 1.6.5, име-ем

τ fn =1

cn

∫ π

−πf(s)Kn(t− s) ds =

1

cn

∫ π

−πKn(s)f(t− s) ds.

Так как f непрерывна на [0, 2π], то она равномерно непрерывна, и,следовательно, f(t − s) ≈ f(t) для всех t ∈ [0, 2π], если |s| < δ длядостаточно малого δ > 0. Для этого δ можно выбрать достаточнобольшое n ∈ N с тем, чтобы Kn(s) ≈ 0 для s ∈ [−π,−δ] ∪ [δ, π] (см.рис. 1.11). Тогда

τ fn =1

cn

∫ π

−πKn(s)f(t− s) ds ≈ 1

cn

∫ δ

−δKn(s)f(t− s) ds ≈

54


≈ 1

cn

∫ δ

−δKn(s)f(t) ds =

f(t)

cn

∫ δ

−δKn(s) ds ≈

≈ f(t)

cn

∫ π

−πKn(s) ds =

f(t)

cncn = f(t).

Доказательство теоремы 1.6.6. Зафиксируем ε > 0, и докажем,что существует такое N ∈ N, что для всех n > N и t ∈ R:

|f(t)− τ fn (t)| < ε.

Используя (1.14) и определение cn, имеем

∣∣f(t)− τ fn (t)

∣∣ =

∣∣∣f(t)− 1

cn

∫ π

−πKn(s)f(t− s) ds

∣∣∣ =

=1

cn

∣∣∣f(t)cn −

∫ π


∣∣∣ =

=1

cn

∣∣∣f(t)

∫ π

−πKn(s) ds−

∫ π


∣∣∣ =

=1

cn

∣∣∣

∫ π

−πKn(s)f(t) ds−

∫ π


∣∣∣ =

=1

cn

∣∣∣

∫ π

−πKn(s)

(f(t)− f(t− s)

)ds∣∣∣ ≤

≤ 1

cn

∫ π

−πKn(s)

∣∣f(t)− f(t− s)

∣∣ ds. (1.16)

Так как функция f непрерывна на [−π, π], она равномерно непре-рывна на [−π, π], а значит и на R в силу периодичности. Такимобразом, существует δ > 0, для которого выполнено условие

t′, t′′ ∈ R, |t′ − t′′| < δ =⇒ |f(t′)− f(t′′)| < ε

3. (1.17)

Используя найденное δ, представим последний интеграл в (1.16) как

1

cn

∫ π

−π=

1

cn

∫ −δ

−π+

1

cn

∫ δ

−δ+

1

cn

∫ π

δ, (1.18)

55


и оценим каждый из них.Для среднего интеграла, используя (1.17), имеем

1

cn

∫ δ

−δ

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Kn(u) du ≤ 1

cn

∫ δ

−δ

ε

3Kn(u) du =

=ε

3

1

cn

∫ δ

−δKn(u) du <

ε

3

1

cn

∫ π

−πKn(u) du =

ε

3

1

cncn =

ε

3. (1.19)

Теперь рассмотрим последний интеграл в (1.18). Так как функ-ция f ∈ C2π ⊂ Fb(R), то ‖f‖∞ <∞, и

|f(t)| ≤ ‖f‖∞, t ∈ R.

Поэтому, оценивая последний интеграл в (1.18), имеем

1

cn

∫ π

δ

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Kn(u) du ≤

≤ 1

cn

∫ π

δ

(|f(t)|+ |f(t− u)|

)Kn(u) du ≤

≤ 1

cn

∫ π

δ2‖f‖∞Kn(u) du =

2‖f‖∞cn

∫ π

δKn(u) du. (1.20)

Функция

Kn(u) =(1 + cosu

2

)n

является убывающей на [δ, π]. Поэтому, полагая,

1 + cos δ

2= q < 1,

имеем, чтоKn(u) ≤ Kn(δ) = qn,

и, продолжая оценивать последнее выражение в (1.20), получаем

2‖f‖∞cn

∫ π

δKn(u) du ≤ 2‖f‖∞

cn

∫ π

δqn du =

2‖f‖∞cn

qn∫ π

δdu =

56


=2‖f‖∞cn

qn(π − δ) <2‖f‖∞cn

qnπ <2‖f‖∞

4n+1

qnπ =‖f‖∞π

2(n+ 1)qn,

где последнее неравенство получено с использованием оценки (1.12).Поскольку q ∈ (0, 1), то

limn→∞

(n+ 1)qn = 0,

и, следовательно, существует N такое, что

‖f‖∞π2

(n+ 1)qn <ε

3

для всех n > N . Таким образом,

1

cn

∫ π

δ

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Kn(u) du <

ε

3, n > N. (1.21)

Те же самые оценки имеют место и для первого интеграла в правойчасти в (1.18) (с тем же самым N), т.е. имеем

1

cn

∫ −δ

−π

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Kn(u) du <

ε

3, n > N. (1.22)

Суммируя оценки, полученные в (1.19), (1.21) и (1.22), получаем,что

∣∣f(t)− τ fn (t)

∣∣ < ε

при n > N и всех t ∈ R, что и заканчивает доказательство.

Определение 1.6.7. Функция τn ∈ C2π, определенная как

τn(t) = a0 +n∑

k=1

ak cos kt+ bk sin kt, ak, bk ∈ R,

где |an| + |bn| 6= 0, называется тригонометрическим многочленомстепени n.

57


Утверждение 1.6.8. Множество T2π всех тригонометрическихмногочленов является линейным подпространством пространстваC2π.

Доказательство. Очевидно.

Утверждение 1.6.9. Пусть f ∈ C2π, и Kn(t) =(1+cos t

2

)n. Тогда

τ fn =

∫ π

−πf(s)Kn(t− s) ds

является тригонометрическим многочленом степени не выше n.

Доказательство. Доказательство будем проводить по индукции наn.

Рассмотрим случай n = 1. Имеем

τ f1 =

∫ π

−πf(s)K1(t− s) ds =

∫ π

−πf(s)

1 + cos(t− s)

2ds =

=1

2

∫ π

−πf(s)

(1 + cos t cos s+ sin t sin s

)ds =

=

∫ π−π f(s) ds

2+

∫ π−π f(s) cos s ds

2cos t+

∫ π−π f(s) sin s ds

2sin t =

= af0 + af1 cos t+ bf1 sin t,

где

af0 =

∫ π−π f(s) ds

2, af1 =

∫ π−π f(s) cos s ds

2, bf1 =

∫ π−π f(s) sin s ds

2.

Пусть

τ fn (t) =

∫ π

−πf(s)Kn(t− s) ds

является тригонометрическим многочленом степени не выше n. То-гда, учитывая, что

Kn+1(t) =(1 + cos t

2

)n+1=

1 + cos t

2

(1 + cos t

2

)n=

1 + cos t

2Kn(t),

58


имеем

τ fn+1(t) =

∫ π

−πf(s)Kn+1(t− s) ds =

=

∫ π

−πf(s)

1 + cos(t− s)

2Kn(t− s) ds =

=1

2

∫ π

−πf(s)

(1 + cos t cos s+ sin t sin s

)Kn(t− s) ds =

=1

2

(∫ π

−πf(s)Kn(t− s) ds+ cos t

∫ π

−πf(s) cos sKn(t− s) ds+

+ sin t

∫ π

−πf(s) sin sKn(t− s) ds

)

=

=1

2

(τ fn (t) + cos t τ f ·cosn (t) + sin t τ f ·sinn (t)

).

По предположению, τ f ·cosn и τ f ·sinn являются тригонометрическимимногочленами степени не выше n. Из формул разложения произ-ведения косинусов и синусов в суммы следует, что cos t τ f ·cosn (t) и

sin t τ f ·sinn (t) являются тригонометрическими многочленами степе-ни не выше (n+ 1).

Теорема 1.6.10 (вторая теорема Вейерштрасса). Линейное под-пространство T2π всех тригонометрических многочленов плот-но в банаховом пространстве C2π всех непрерывных периодическихфункций.

Доказательство. Действительно, если f∗ ∈ C2π и f∗ /∈ T2π, то, со-

гласно теореме 1.6.6, в любом r-шареB(f∗; r) содержится тригоно-

метрический многочлен τ f∗n для достаточно большого n ∈ N.

Задачи

КР : 65 (1), 67 (ℓ2).ДР : 65 (2), 67 (ℓ∞), 67.1.

59


1.6.2 Аппроксимация непрерывных функций много-

членами

Лемма 1.6.11. Для всех n ∈ N:

∫ 1

−1(1− t2)n dt >

1

n+ 1.

Доказательство. Поскольку подынтегральная функция являетсячетной, то

∫ 1

−1(1− t2)n dt = 2

∫ 1

0(1− t2)n dt.

Для t ∈ [0, 1] имеем

(1− t2)n ≥ (1− t2)nt,

и, следовательно,

∫ 1

−1(1− t2)n dt = 2

∫ 1

0(1− t2)n dt ≥ 2

∫ 1

0(1− t2)nt dt =

= −∫ 1

0(1− t2)n d(1− t2) =

= −(1− t2)n+1

n+ 1

∣∣∣

t=1

t=0=

1

n+ 1.

Лемма 1.6.12. Пусть f ∈ C(R), удовлетворяющая условию f(t) =0 для всех t /∈ [0, 1], и g ∈ C(R). Тогда для всех t ∈ [0, 1] имеем

∫ 1

−1f(s)g(t− s) ds =

∫ 1

−1g(s)f(t− s) ds.

Доказательство. Сделаем замену переменной в интеграле:

∫ 1

−1f(s)g(t− s) ds =

u = t− s,s = t− u,ds = −du,

∣∣∣∣∣∣

s→ −1 ⇒ u→ t+ 1,s→ 1 ⇒ u→ t− 1

]

=

60


= −∫ t−1

t+1f(t− u)g(u) du =

∫ t+1

t−1f(t− u)g(u) du =

= −.∫ t−1

−1f(t− u)g(u) du+

∫ 1

−1f(t− u)g(u) du+

+

∫ t+1

1f(t− u)g(u) du.

Если u ≤ t− 1, то t− u ≥ 1, и f(t− u) = 0 по условию, т.е.

∫ t−1

−1f(t− u)g(u) du = 0.

Если u ≥ 1, то t − u ≤ t − 1 ≤ 0, поскольку t ≤ 1 и f(t − u) = 0 поусловию. А значит,

∫ t+1

1f(t− u)g(u) du = 0.

Отсюда следует, что

∫ 1

−1f(s)g(t− s) ds =

∫ 1

−1f(t− u)g(u) du.

Теорема 1.6.13. Пусть f ∈ C(R) и f(t) = 0 при t /∈ [0, 1]. Поло-жим

Ln(t) = (1− t2)n, dn =

∫ 1

−1Ln(t) dt,

и пусть

pf2n(t) =1

dn

∫ 1

0f(s)Ln(t− s) ds. (1.23)

Тогдаlimn→∞

pf2n = f

в банаховом пространстве(C([0, 1]), ‖ · ‖∞).

61


t

y

−1 1

1

Рис. 1.12: График функции Ln(t) при n≫ 1.

Доказательство. Идея и ход доказательства повторяет доказатель-ство теоремы 1.6.6.

Используя лемму 1.6.12, имеем

pf2n(t) =1

dn

∫ 1

−1f(t− u)Ln(u) du.

Пусть теперь ε > 0 задано. Покажем, что существует такое N ∈N, что

∣∣∣f(t)− 1

dn

∫ 1

−1f(t− u)Ln(u) du

∣∣∣ < ε

для всех n > N и t ∈ [0, 1].Рассмотрим

∣∣∣f(t)− 1

dn

∫ 1


∣∣∣ =

=1

dn

∣∣∣f(t)dn −

∫ 1


∣∣∣ =

=1

dn

∣∣∣

∫ 1

−1f(t)Ln(u) du−

∫ 1


∣∣∣ =

=1

dn

∣∣∣

∫ 1

−1

(f(t)Ln(u)− f(t− u)Ln(u)

)du

∣∣∣ =

=1

dn

∣∣∣

∫ 1

−1

(f(t)− f(t− u)

)Ln(u) du

∣∣∣ ≤

≤ 1

dn

∫ 1

−1

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Ln(u) du. (1.24)

62


При t ∈ [0, 1] и u ∈ [−1, 1] имеем, что t − u ∈ [−1, 2]. Функцияf непрерывна на [−1, 2] поэтому она равномерно непрерывна. Т.е.существует такое δ > 0, что

|t′ − t′′| < δ |f(t′)− f(t′′)| < ε

3. (1.25)

Используя найденное δ представим последний интеграл в (1.24) как

1

dn

∫ −δ

−1+

1

dn

∫ δ

−δ+

1

dn

∫ 1

δ, (1.26)

и оценим каждый из них.Для среднего интеграла в (1.26), используя (1.25), имеем

1

dn

∫ δ

−δ

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Ln(u) du ≤ 1

dn

∫ δ

−δ

ε

3Ln(u) du =

=ε

3

1

dn

∫ δ

−δLn(u) du <

ε

3

1

dn

∫ 1

−1Ln(u) du =

ε

3.

Рассмотрим теперь последний интеграл в (1.26). Так как функ-ция f непрерывна на [−1, 2], то она ограничена, т.е. ‖f‖∞ < ∞,и

|f(t)| ≤ ‖f‖∞, t ∈ [−1, 2].

Поэтому, оценивая последний интеграл в (1.26), имеем

1

dn

∫ 1

δ

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Ln(u) du ≤

≤ 1

dn

∫ 1

δ

(|f(t)|+ |f(t− u)|

)Ln(u) du ≤

≤ 1

dn

∫ 1

δ2‖f‖∞Ln(u) du =

2‖f‖∞dn

∫ 1

δLn(u) du.

ФункцияLn(u) = (1− u2)n

63


является убывающей на [δ, 1]. Поэтому, полагая

1− δ2 = r < 1,

имеемLn(u) ≤ Ln(δ) = rn,

и, продолжая оценивать последний интеграл, имеем

2‖f‖∞dn

∫ 1

δLn(u) du ≤ 2‖f‖∞

dn

∫ 1

δrn du < 2‖f‖∞

rn

dn.

Теперь, используя оценку в лемме 1.6.11, имеем

1

dn

∫ 1

δ

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣ du ≤ 2‖f‖∞rn(n+ 1).

Поскольку r ∈ (0, 1), то

limn→∞

rn(n+ 1) = 0,

и, следовательно, существует N такое, что

2Mπrn(n+ 1) <ε

3

для всех n > N .Те же самые рассуждения применительно к первому интегралу

в (1.26) приводят к такой же оценке.Таким образом, для n > N имеем, что

1

dn

∫ 1

−1

∣∣f(t)− f(t− u)

∣∣Ln(u) du <

ε

3+ε

3+ε

3= ε,

что и заканчивает доказательство.

Лемма 1.6.14. Пусть f ∈ C(R) такая, что f(t) = 0 для t 6= [0, 1],и Ln(t) = (1− t2)n, t ∈ [−1, 1]. Тогда

pf2n =

∫ 1

−1f(s)Ln(t− s) ds

является многочленом степени не выше 2n.

64


Доказательство. Доказательство проведем по индукции на n.Для n = 1 имеем

pf2(t) =

∫ 1

−1f(s)L1(t− s) ds =

∫ 1

−1f(s)

(1− (t− s)2

)ds =

=

∫ 1

−1f(s)(1− t2 + 2ts− s2) ds =

=

∫ 1

−1f(s)(1− s2) ds+ t

∫ 1

−1f(s)2s ds− t2

∫ 1

−1f(s) ds.

Предположим, что pf2n является многочленом степени не выше2n для любой функции f ∈ C(R), удовлетворяющей условию f(t) =0 для t /∈ [0, 1]. Тогда имеем

pf2(n+1)(t) =

∫ 1

−1f(s)Ln+1(t− s) ds =

=

∫ 1

−1f(s)Ln(t− s)

(1− (t− s)2

)ds =

=

∫ 1

−1f(s)Ln(t− s)

(1− t2 + 2ts− s2

)ds =

=

∫ 1

−1f(s)(1− s2)Ln(t− s) ds+ 2t

∫ 1

−1f(s)sLn(t− s) ds−

− t2∫ 1

−1f(s)Ln(t− s) ds =

= pf22n + 2tpf12n − t2pf2n,

где функции f2(s) = f(s)(1 − s2) и f1(s) = f(s)s удовлетворяютусловию f2(t) = f1(t) = 0 при t /∈ [0, 1]. Очевидно, что p2(n+1) явля-ется многочленом степени не выше 2n+ 2.

Теорема 1.6.15 (первая теорема Вейерштрасса). Линейное про-странство P([a, b]) всех многочленов, рассматриваемых как непре-рывные функции на [a, b], является плотным линейным подпро-странством банахова пространства

(C([a, b]), ‖ · ‖∞

).

65


Доказательство. Пусть g ∈ C([a, b]). Рассмотрим функцию f ∈C([0, 1]), заданную как

f(t) = g(a+ (b− a)t

).

Заметим, что при t ∈ [0, 1] переменная

s = a+ (b− a)t (1.27)

пробегает отрезок [a, b]. Определим теперь функцию f0 ∈ C([0, 1])как

f0(t) = f(t)− α− βt, (1.28)

где α, β ∈ R такие, что f0(0) = f0(1) = 0, т.е.

f(0)− α = 0, f(1)− α− β = 0.

Отсюда находим, что

α = f(0), β = f(1)− f(0).

Наконец, рассмотрим функцию f0 ∈ C(R), определенную как

f0(t) =

0, t < 0,f0(t), 0 ≤ t ≤ 1,0, 1 < t,

Пусть ε > 0 задано. Используя теорему 1.6.13, найдем многочленpf0 такой, что

supt∈[0,1]

|f0(t)− pf0(t)| = supt∈[0,1]

|f0(t)− pf0(t)| < ε. (1.29)

Используя определение функции f0 в (1.28) имеем, что

f0(t)− pf0(t) = f(t)− α− βt− pf0(t) = f(t)− pf (t),

где

pf (t) = pf0 + βt+ α

66


является многочленом. Поэтому из (1.29) имеем, что

supt∈[0,1]

|f(t)− pf (t)| < ε.

Из (1.27) находим, что

t = − a

b− a+

s

b− a,

и определим многочлен pg как

pg(s) = pf(− a

b− a+

s

b− a

).

Тогда имеем, что

pg(a+ (b− a)t

)= pf

(− a

b− a+

1

b− a(a+ (b− a)t)

)= pf (t),


sups∈[a,b]

|g(s)− pg(s)| = supt∈[0,1]

∣∣g(a− (b− a)t

)− pg

(a+ (b− a)t

)∣∣ =

= supt∈[0,1]

|f(t)− pf (t)| < ε,


67

1.7. КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

1.7 Компактные множества

1.7.1 Общие положения

Определение 1.7.1. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, и X ⊂ E.

Семейство Uγγ∈Γ подмножеств E, где Γ — некоторое множе-ство индексов, называется покрытием множестваX, если ∪γ∈ΓUγ ⊃X.

Если семейство Uγγ∈Γ является покрытиемX, Γ0 ⊂ Γ, и Uγγ∈Γ0

также является покрытием X, то семейство Uγγ∈Γ0называется

подпокрытием покрытия Uγγ∈Γ.Покрытие Uγγ∈Γ называется открытым, если каждое Uγ , γ ∈

Γ, является открытым подмножеством E,

Пример 1.7.2. Пусть E = R, X = (0, 1), Un =(1n , 1

), n ∈ N = Γ.

Поскольку⋃

n∈N

(1n , 1

)=

⋃

n∈2N

(1n , 1

)= (0, 1),

Семейство U = Unn∈N является открытым покрытием X, а се-мейство Unn∈2N является открытым подпокрытием покрытия U .

Определение 1.7.3. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство. Подмножество X ⊂ E называется компактным, еслипроизвольное открытое покрытие X имеет конечное подпокрытие.

Пример 1.7.4. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированное простран-ство.

1. Одноточечное множество X = a является компактным.

Действительно, если X ⊂ ∪γ∈ΓUγ , то существует такое γ0 ∈Γ, что a ∈ Uγ0 . Поэтому для Γ0 = γ0 покрытие Uγγ∈Γ0

является конечным подпокрытием покрытия Uγγ∈Γ.

2. Множество X = a1, . . . ,am также является компактным,поскольку, если a1, . . . ,am ⊂ ∪γ∈ΓUγ , то существуют γ1, . . . , γm ∈Γ, для которых

a1 ∈ Uγ1 , . . . , am ∈ Uγm .

68


Поэтому, полагая Γ0 = γ1, . . . , γm, имеем, что Uγγ∈Γ0яв-

ляется конечным подпокрытием.

3. Для E = R множество X = (0, 1) не является компактным,поскольку покрытие Unn∈N не имеет конечного подпокры-тия.

Действительно, пусть M ⊂ N и количество элементов |M | <∞. Тогда

⋃

n∈M

(1n , 1

)=

(1

maxM , 1)6= (0, 1).

Утверждение 1.7.5. Множество X = [0, 1] является компакт-ным в линейном нормированном пространстве E = R.

Доказательство. Пусть Uγγ∈Γ — произвольное открытое покры-тие отрезка [0, 1]. Определим множество

X =x ∈ [0, 1] : ∃Γ0 ⊂ Γ, |Γ0| <∞, [0, x] ⊂ ∪γ∈Γ0

Uγ

.

Множество X не является пустым. Действительно, так как Uγγ∈Γявляется покрытием отрезка [0, 1], то 0 ∈ Uγ0 для некоторого γ0 ∈Γ. А, поскольку Uγ0 является открытым множеством, то точка 0является внутренней точкой Uγ0 , т.е. существует такое δ > 0, что(−δ, δ) ⊂ Uγ0 . Поэтому [0, δ2 ] ⊂ Uγ0 , и для Γ0 = γ0 отрезок [0, δ2 ]имеет конечное подпокрытие, а именно, Uγγ∈Γ0

. Таким образомδ2 ∈ X.

Также заметим, что, если x1 ∈ X, то x ∈ X для всех x ≤ x1,что следует непосредственно из определения X (для таких x конеч-ное подпокрытие Uγγ∈Γ0

отрезка [0, x1] также является конечнымподпокрытием отрезка [0, x]).

Пусть x∗ = supX. Покажем, что x∗ ∈ X и x∗ = 1, т.е. X = [0, 1].Поскольку Uγγ∈Γ является покрытием [0, 1] и x∗ ∈ [0, 1] по

определению, то x∗ ∈ Uγ∗ для некоторого γ∗ ∈ Γ. Множество Uγ∗

является открытым, и, следовательно, существует такое δ∗ > 0, что(x∗ − δ∗, x∗ + δ∗) ⊂ Uγ∗ , а значит и [x∗ − δ∗

2 , x∗ + δ∗

2 ] ⊂ Uγ∗ .

69


Поскольку x∗ − δ∗

2 < x∗, то x∗ − δ∗

2 ∈ X, т.е. существует такоеΓ0 ⊂ Γ, |Γ0| < ∞, что Uγγ∈Γ0

является конечным открытым под-покрытием отрезка [0, x∗− δ∗

2 ]. Но тогда для Γ∗0 = Γ0∪γ∗ семейство

Uγγ∈Γ∗0

является конечным подпокрытием отрезка [0, x∗+ δ∗

2 ]. По-

этому x∗ + δ∗

2 ∈ X, а значит, в частности x∗ ∈ X. Кроме того, если

x∗ < 1, то, поскольку x∗+ δ∗

2 > x∗, x∗ не может быть супремумом X.

Следовательно, x∗ = 1, и X = [0, 1], т.е. существует такое конечноеΓ0 ⊂ Γ, что Uγγ∈Γ0

является конечным подпокрытием отрезка[0, 1].

Определение 1.7.6. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство.

Семейство Fγγ∈Γ подмножеств E называется центрирован-ным (соотв., центрированным в X), если для произвольного ко-нечного Γ0 ⊂ Γ имеем, что ∩γ∈Γ0

Fγ 6= ∅ (соотв., X ∩(∩γ∈Γ0

Fγ

)6= ∅).

Пример 1.7.7. Семейство(

0, 1n)

n∈N является центрированным в(0, 1). Действительно, для произвольного конечного M ⊂ N имеем,что

(0, 1) ∩( ⋂

n∈M

(0, 1n

))= (0, 1) ∩

(0, 1

maxM

)=

(0, 1

maxM

)6= ∅.

Утверждение 1.7.8. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство, и X ⊂ E. Следующие условия эквивалентны.

(i) Множество X компактно.

(ii) Любое центрированное в X семейство Fγγ∈Γ замкнутыхмножеств имеет непустое пересечение в X, т.е,

X ∩(∩γ∈ΓFγ

)6= ∅.

Доказательство. (i) ⇒ (ii) Пусть X является компактным, аFγγ∈Γ — произвольное семейство таких замкнутых мно-жеств, что

X ∩(⋂

γ∈ΓFγ

)= ∅, (1.30)

70


и докажем, что семейство Fγγ∈Γ не является центрирован-ным в X.

X

⋂

γ∈Γ

Fγ

Рис. 1.13: X ∩( ⋂

γ∈ΓFγ

)= ∅ ⇐⇒ X ⊂

( ⋂

γ∈ΓFγ

)c.

⋃

γ∈Γ0

F cγX

Рис. 1.14: X ⊂ ⋃

γ∈Γ0

F cγ ⇐⇒ X ∩

( ⋃

γ∈Γ0

F cγ

)c= ∅.

Действительно, см. рис. 1.13, из (1.30) следует, что

X ⊂(⋂

γ∈ΓFγ

)c=

⋃

γ∈ΓF cγ . (1.31)

Поскольку Fγ является замкнутым множеством по предполо-жению, то F c

γ является открытым. Тогда (1.31) означает, чтоF c

γ является открытым покрытием компактного множестваX, и, следовательно, имеет конечное подпокрытие F c

γγ∈Γ0,

|Γ0| <∞, т.е.

X ⊂⋃

γ∈Γ0

F cγ ,

и, следовательно, см. рис. 1.14,

X ∩(

n⋃

i=1

F cγi

)c= X ∩

(n⋂

i=1

F ccγi

)= X ∩

(n⋂

i=1

Fγi

)= ∅,

71


что и доказыывает, что семейство Fγγ∈Γ не является цен-трированным в X.

(ii) ⇒ (i) Предположим, что выполнено условие в (ii), и докажем,что X является компактным множеством. Пусть Uγγ∈Γ —открытое покрытие X, т.е Uγ являтся открытым множествомдля каждого γ ∈ Γ, и

X ⊂⋃

γ∈ΓUγ .

Но тогдаX ∩

(⋃

γ∈ΓUγ

)c= X ∩

(⋂

γ∈ΓU cγ

)= ∅.

Из условия (ii) следует, что что система замкнутых множествU c

γ не может быть центрированной в X, т.е. существует ко-нечная подсистема U c

γγ∈Γ0, |Γ0| <∞, для которой

X ∩( ⋂

γ∈Γ0

U cγ

)= ∅,

т.е.X ⊂

( ⋂

γ∈Γ0

U cγ

)c=

⋃

γ∈Γ0

U ccγ =

⋃

γ∈Γ0

Uγ .

Следовательно, система Uγγ∈Γ0является конечным откры-

тым подпокрытием. Теперь компактность X следует из про-извольности открытого покрытия Uγγ∈Γ.

Следствие 1.7.9. Замкнутый ограниченный шар B[0; 1] ⊂ ℓ∞ неявляется компактным.

Доказательство. Для каждого n ∈ N положим

en = ( 0, . . . , 0, 1︸︷︷︸

n

, 0, . . .),

72


иF = en : n ∈ N ⊂ B[0; 1].

Покажем, что F является замкнутым, доказав, что F ′ = ∅. Дей-

ствительно, если x∗ ∈ F ′, то существуют en1, en2

∈B(x∗; 12) ∩ F ,

n1 < n2. Но тогда

‖en1− en2

‖∞ = ‖en1− x∗ + x∗ − en2

‖∞ ≤

≤ ‖en1− x∗‖∞ + ‖x∗ − en2

‖∞ <1

2+

1

2= 1,

что противоречит тому, что

‖en1− en2

‖∞ =∥∥(0, . . . , 0, 1, 0, . . . .0,−1, 0, . . .)

∥∥∞ = 1.

Теперь для каждого n ∈ N положим Fn = F \ en. ПосколькуFn ⊂ F , то F ′

n ⊂ F ′ = ∅, т.е Fn является замкнутым для каждогоn ∈ N.

Система замкнутых множеств Fnn∈N является центрирован-ной в B[0; 1], поскольку для любого конечного M ⊂ N имеем

B[0; 1] ∩( ⋂

n∈MFn

)=

⋂

n∈MFn ⊃ emaxM+1, emaxM+2, . . . 6= ∅.

Однако,

B[0; 1] ∩(⋂

n∈NFn

)=

⋂

n∈NFn = ∅,

что и доказывает в силу утверждения 1.7.8, что B[0; 1] не являетсякомпактным.

Утверждение 1.7.10. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство. Если X ⊂ E компактно, то X замкнуто и ограни-чено.

Доказательство. Докажем вначале, чтоX является ограниченным.Система

B(0;n)

n∈N является открытым покрытием X, посколь-ку

⋃

n∈NB(0;n) = E ⊃ X.

73


В силу компактности X это открытое покрытие имеет конечноеподпокрытие

B(0;n)

n∈M , M ⊂ N, |M | <∞, т.е.

X ⊂⋃

n∈MB(0;n) = B(0; maxM),

что и доказывает ограниченность X.Докажем, что X является замкнутым, доказав, что Xc является

открытым. Заметим, что в силу ограниченности, Xc 6= ∅. Пустьx0 ∈ Xc, и докажем, что x0 является внутренней точкой Xc, т.е.существует δ > 0, для которого B(x0; δ) ⊂ Xc.

Множества B[x0;1n ] являются замкнутыми, и

⋂

n∈NB[x0;

1n ] = x0.

Поэтому, для открытых множеств B[x0;1n ]

c имеем

⋃

n∈NB[x0;

1n

]c=

(⋂

n∈NB[x0;

1n ])c

= E \ x0 ⊃ X.

Таким образом, системаB[x0;

1n ]

c

n∈N является открытым покры-тие X, и, в силу компактности X, имеем конечное подпокрытие X,т.е. существует M ⊂ N, |M | <∞ и

X ⊂ ⋃

n∈MB[x0;

1n ]

c = B[x0;1

maxM ]c.

Поэтому X ∩B[x0;1

maxM ] = ∅, а значит и X ∩B(x0;1

maxM ) = ∅, т.е.B(x0;

1maxM ) ⊂ Xc. Таким образом, x0 является внутренней точкой

Xc.

Лемма 1.7.11. Пусть X ⊂ E и F = Fγγ∈Γ семейство мно-жеств центрированных в X. Если

X =m⋃

k=1

Xk,

то существует такое k0, что семейство F является центриро-ванной в Xk0 .

74


Доказательство. Действительно, если F не является центрирован-ной ни в одном из множеств Xk, k = 1, . . . ,m, то для каждого kсуществует такое Γk ⊂ Γ, |Γk| <∞, что

( ⋂

γ∈Γk

Fγ

)

∩Xk = ∅.

Положим Γ0 =⋃m

k=1 Γk. Имеем, что |Γ0| <∞, и

( ⋂

γ∈Γ0

Fγ

)∩X =

( ⋂

γ∈Γ0

Fγ

)∩(

m⋃

k=1

Xk

)=

m⋃

k=1

(( ⋂

γ∈Γ0

Fγ

)∩Xk

)

⊂

⊂m⋃

k=1

(( ⋂

γ∈Γk

Fγ

)∩Xk = ∅,

что противоречит центрированности F в X.

Теорема 1.7.12 (Гейне–Борель). Множество X ⊂ Rn компактнотогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Доказательство. Если множество X компактно, то оно замкнутои ограничено (утверждение 1.7.10).

Пусть X замкнуто и ограничено. Докажем, что оно компактнодля n = 2. При произвольном n доказательство аналогично.

Пусть F = Fγγ∈Γ — произвольное центрированное в X семей-ство замкнутых множеств. Докажем, что

(⋂

γ∈ΓFγ

)∩X 6= ∅.

Поскольку множество X ограничено, то существует квадрат Πсо стороной a, который полностью содержит X (см. рис. 1.15 (a)).

Разделим квадрат Π на четыре равные части Π1k линиями, па-

раллельными сторонам, положим X1k = X ∩ Π1

k. Поскольку X =∪4k=1X

1k , и семейство F является центрированным в X, то существу-

ет X1k1

(X1k1

= X1 на рис. 1.15 (a)), на котором система F является

75


XX1

X2

Fγ1

Fγ2

Fγ3

ΠΠ1

Π2

x0

x1

(a)

b

b xn

xn+1

Πn+1

a2n+1

(b)

b

bxn

Πn

ε

x∗

(c)

Рис. 1.15: Доказательство теоремы 1.7.12.

центрированной. Обозначим X1k1

= X1, Π1 = Π1k1

, а центр квадратаΠ1 через x1. Квадрат Π1 имеет сторону длиной a

2 .Разделим квадрат Π1 на четыре равные части Π2

k. Рассмотриммножества X2

k = X ∩Π2k. Среди них существует множество X2

k2, на

котором семейство F является центрированным (X2 на рис. 1.15 (a)).Положим Π2 = Π2

k2и X2 = X2

k2. Длина стороны прямоугольника

Π2 равна a22

, и пусть x2 — его центр.Продолжая аналогичным образом получаем последовательность

квадратов Πn, у которых длины сторон равны a2n , их центров (xn)∞n=1,

и подмножеств Xn = Πn ∩X множества X, на каждом из которыхсемейство F является центрированным.

Рассмотрим последовательность (xn)n=1 в R2, и докажем, чтоона является фундаментальной, а значит сходящейся, посколькуR2 банахово.

Действительно, xn по построению является вершиной квадра-та Πn+1 со стороной, длина которой равна a

2n+1 , а xn+1 являетсяцентром этого квадрата. Таким образом (см. рис. 1.15 (b)),

‖xn − xn+1‖2 <a

2n+1.

76


Поэтому, для произвольного p ∈ Z+ имеем

‖xn − xn+p‖2 = ‖xn − xn+1 + xn+1 − xn+2 + . . .+ xn+p−1 − xn+p‖2 ≤≤ ‖xn − xn+1‖2 + ‖xn+1 − xn+2‖2 + . . .

+ ‖xn+p−1 − xn+p‖2 <<

a

2n+1+

a

2n+2+ . . .+

a

2n+p=

=a

2n+1

(

1 +1

2+ . . .+

1

2p−1

)

=a

2n+1

1− 12p

1− 12

<

<a

2n+1

1

1− 12

=a

2n.

Итак, существует x∗ = limn→∞ xn. Кроме этого,

‖xn − x∗‖2 = limp→∞

‖xn − xn+p‖2 ≤a

2n,

а для произвольной точки x ∈ Πn имеем

‖x− x∗‖2 = ‖x− xn + xn − x∗‖2 ≤ ‖x− xn‖2 + ‖xn − x∗‖2 ≤≤ a

2n+

a

2n=

a

2n−1. (1.32)

Докажем теперь, что

x∗ ∈(⋂

γ∈ΓFγ

)∩X.

Для этого докажем, что x∗ ∈ X и x∗ ∈ Fγ для произвольного γ ∈Γ. Поскольку множества X и Fγ , γ ∈ Γ, замкнуты, то достаточнодоказать, что x∗ является предельной точкой каждого из множеств.

Пусть ε > 0 задано, и возьмем n такое, что a2n−1 < ε. Тогда в си-

лу (1.32) имеем, что Πn ⊂ B(x∗; ε), см. рис. 1.15 (c). Следовательно,

B(x∗; ε) ⊃ Πn ⊃ Πn ∩X = Xn ⊃ Xn ∩ Fγ .

Однако, семейство F является центрированным на Xn по построе-нию, и, следовательно, Xn ∩Fγ 6= ∅ (Надо взять Γ0 = γ). Отсюда

77


следует, что B(x∗; ε)∩X 6= ∅, и B(x∗; ε)∩Fγ 6= ∅ для произвольногоγ ∈ Γ, Это означает, что x∗ является предельной точкой X и Fγ ,что и заканчивает доказательство.

Замечание 1.7.13. Как показывает следствие 1.7.9, замкнутое огра-ниченное множество в бесконечномерном пространстве не обяза-тельно компактно.

Определение 1.7.14. Подмножество X ⊂ E называется предком-пактным, если множество X является компактным.

Утверждение 1.7.15. Пусть X — компактное подмножестволинейного нормированного пространства E, и Y ⊂ X замкнутов E. Тогда множество Y компактно.

Доказательство. Пусть Vγγ∈Γ — открытое покрытие множестваY . Поскольку Y ⊂ X, то Y c вместе с Vγγ∈Γ покрывает X. Так какY замкнуто, то Y c открыто. Таким образом, Y c, Vγγ∈Γ являетсяоткрытым покрытием компактного множества X, а значит имеетконечное подпокрытие Y c, Vγγ∈Γ0

, где Γ0 — конечное множество.Поскольку Y ⊂ X, то Y c, Vγγ∈Γ0

также является покрытием Y ,т.е.

Y ⊂ Y c ∪( ⋃

γ∈Γ0

Vγ).

А так как Y ∩ Y c = ∅, то Y ⊂ ∪γ∈Γ0Vγ . Таким образом Vγγ∈Γ0

является конечным подпокрытием покрытия Vγ.

Следствие 1.7.16. Пусть X — компактное подмножество ли-нейного нормированного пространства E, и Y ⊂ X. Тогда множе-ство Y предкомпактно.

Доказательство. ПосколькуX компактно, то оно замкнуто (утвер-ждение 1.7.10). Поэтому Y ⊂ X (утверждение 1.5.4). Теперь из за-мкнутости Y и компактности X следует компактность Y (утвер-ждение 1.7.15), т.е. предкомпактность Y .

78


Определение 1.7.17. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство. Подмножество X ⊂ E называется вполне ограничен-ным, если для каждого r > 0 существует такое конечное семействоточек a1, . . . ,am ∈ E, что X ⊂ ⋃m

k=1B(ak; r).При этом множество A = a1, . . . ,am называется конечной r-

сеткой.

Пример 1.7.18. 1. [a, b], [a, b) — вполне ограничены.

2. B(x0;R) ⊂ Rn вполне ограничено.

Утверждение 1.7.19. Пусть E — линейное нормированное про-странство, и X ⊂ E — вполне ограничено. Если Y ⊂ X, то Yтакже является вполне ограниченным.

Доказательство. ЕслиA = a1, . . . ,am является конечной ε-сетьюдля X, то A также является ε-сетью для Y .

Утверждение 1.7.20. Вполне ограниченное множество являетсяограниченным.

Доказательство. Пусть X является вполне ограниченным. Пустьa1, . . . ,am ⊂ E — конечная 1-сетка для X, т.е.

X ⊂m⋃

i=1

B(ai; 1). (1.33)

Положим R = max‖a1‖, . . . , ‖am‖

+ 1, и докажем, что

m⋃

i=1

B(ai; 1) ⊂ B(0;R).

Действительно, если x ∈ ∪mi=1B(ai; 1), то x ∈ B(ai0 ; 1) для некото-

рого i0. Но тогда

‖x‖ = ‖x− ai0 + ai0‖ ≤ ‖x− ai0‖+ ‖ai0‖ < 1 + maxi=1,...,m

‖ai‖ = R,

т.е. x ∈ B(0;R). Вследствие (1.33) имеем, что X ⊂ B(0;R), т.е.является ограниченным.

79


Утверждение 1.7.21. Пусть X ⊂ Rn. Множество X вполне огра-ничено тогда и только тогда, когда X ограничено.

X

xi

xj

Рис. 1.16: Доказательство утверждения 1.7.21

Доказательство. Если множество X вполне ограничено, то оноограничено (утверждение 1.7.20).

Предположим теперь, что X ограничено, и докажем, что Xвполне ограничено. Рассмотрим случай n = 2 (для произвольно-го n ∈ N доказательство аналогично).

Поскольку X ограничено, то существует R > 0 такое, что X ⊂B(0;R). Поэтому для x = (x1, x2) ∈ X имеем, что

|xi| ≤√

|x1|2 + |x2|2 = ‖x‖ < R, i = 1, 2,

т.е.

X ⊂ Π = (x1, x2) ∈ R2 : |xi| ≤ R, i = 1, 2 = [−R,R]× [−R,R].

Для заданного ε > 0 разделим отрезок [−R,R] точками

−R = x0 < x1 < . . . < xp = R

так, чтобы |xi − xi−1| < ε√2

для всех i = 1, . . . , p, и положим aij =

(xi, xj), i, j = 0, . . . , p (см. рис. 1.16). Очевидно, что

Π =

p−1⋃

i,j=0

Πij ,

80


где Πij = [xi, xi+1]× [xj , xj+1]. Если x = (x1, x2) ∈ Πij , то

‖x− aij‖ =√

|x1 − xi|2 + |x2 − xj |2 <√

ε2

2+ε2

2= ε.

Таким образом, x ∈ B(aij , ε). Поскольку

X ⊂ Π =

p−1⋃

i,j=0

Πij ,

то множество A = aij : i, j = 0, . . . , p − 1 образуют конечнуюε-сеть.

Утверждение 1.7.22. Единичный замкнутый шар в ℓ∞ не явля-ется вполне ограниченным.

Доказательство. Рассмотрим множество E = ei : i ∈ N, где

e1 = (1, 0, 0, . . .), e2 = (0, 1, 0, . . .), . . . .

Очевидно, что E ⊂ B[0; 1] (для произвольного en ∈ E имеем ‖en‖∞ =1). Если B[0; 1] вполне ограничено в ℓ∞, то пусть A = ai : i =1, . . . , s ⊂ ℓ∞ является конечной 1

2 -сеткой для множества B[0; 1],т.е

B[0; 1] ⊂s⋃

i=1

B(ai;12).

Тогда A также является конечной 12 -сеткой для E. Поскольку коли-

чество шаров B(ai;12) конечно, а количество точек в E бесконечно,

то какой-то шар содержит по крайней мере две точки множества E,т.е. существует такой B(ai0 ,

12), что ek1 , ek2 ∈ B(ai0 ,

12) для k1 < k2.

С одной стороны,

‖ek1 − ek2‖∞ = ‖(0, . . . , 0, 1︸︷︷︸

k1

, 0, . . .)− (0, . . . , 0, 1︸︷︷︸

k2

, 0, . . .)‖∞ =

= ‖(0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0,−1, 0, . . .)‖∞ = 1.

81


С другой стороны,

‖ek1 − ek2‖∞ =∥∥(ek1 − ai0) + (ai0 − ek2)

∥∥ ≤

≤ ‖ek1 − ai0‖+ ‖ai0 − ek2‖ <1

2+

1

2= 1.

Таким образом получили противоречие, что 1 < 1, и, следователь-но, B[0; 1] не является вполне ограниченным в ℓ∞.

Утверждение 1.7.23. Пусть E — линейное нормированное про-странство. Подмножество X ⊂ E является вполне ограниченнымтогда и только тогда, когда X — вполне ограничено.

Доказательство. Пусть X — вполне ограничено, и докажем, чтоX также вполне ограничено.

Пусть ε > 0 задано, и найдем конечную ε-сетку для X. Таккак X вполне ограничено, то оно имеет конечную ε

2 -сетку A =a1, . . . ,am.

Докажем, что множество A образует конечную ε-сетку для X,т.е. X ⊂ ∪m

k=1B(ak; ε).Так как B(ak;

ε2) ⊂ B[ak;

ε2 ], то

X ⊂m⋃

k=1

B(ak;ε2) ⊂

m⋃

k=1

B[ak;ε2 ],

а поскольку B[ak;ε2 ] замкнуто, то, будучи конечным объединением,

∪mk=1B[ak;

ε2 ] также является замкнутым. А, поскольку X — мини-

мальное замкнутое множество, содержащее X (утверждение 1.5.4),то

X ⊂m⋃

k=1

B[ak;ε2 ] ⊂

m⋃

k=1

B(ak; ε),

поскольку B[ak;ε2 ] ⊂ B(ak; ε). Таким образом, A является конечной

ε-сеткой для X.

Если предположить, что X является вполне ограниченным, то,поскольку X ⊂ X, вполне ограниченность X следует из утвержде-ния 1.7.19.

82


Определение 1.7.24. Пусть E — линейное нормированное про-странство. Множество X ⊂ E называется счетно компактным, ес-ли всякое бесконечное подмножество X ⊂ X имеет в X предельнуюточку.

Пример 1.7.25. 1. Множество [0, 1] ⊂ R является счетно ком-пактным.

2. Множество (0, 1] не является счетно компактным, посколькуX = 1

n : n ∈ N не имеет в (0, 1] предельной точки.

3. Множество N ⊂ R не является счетно компактным, посколькуне имеет предельных точек в R. Поэтому любое его подмно-жество X также не будет иметь предельных точек в R, а темболее в N.

Утверждение 1.7.26. Пусть X ⊂ E является счетно компакт-ным. Тогда X замкнуто.

Доказательство. Если X не является замкнутым, то существу-ет x∗ ∈ X ′ \ X, и, следовательно, существует последовательность(xn)

∞n=1 в X, для которой имеем, что limn→∞ xn = x∗. Рассмотрим

множествоX = xn : n ∈ N.

Поскольку последовательность (xn) является сходящейся в E, томножество X имеет единственную предельную точку в E, и это еепредел x∗ /∈ X. Т.е. в X множество X предельных точек не имеет,что противоречит счетной компактности X.

Теорема 1.7.27. Пусть E — банахово пространство, и X ⊂ E.Следующие условия эквивалентны.

(i) Множество X является компактным.

(ii) Множество X является счетно компактным.

(iii) Множество X замкнуто и вполне ограничено.

83


Замечание 1.7.28. Эквивалентность (i) и (iii) называется критери-ем Фреше–Хаусдорфа.

Доказательство. Доказательство теоремы проведем по циклу.

(i) ⇒ (ii) Пусть X является компактным, и подмножество X мно-жества X является бесконечным.

Покажем от противного, что X имеет предельные точки в E.Предположим, что X не имеет предельных точек в E, т.е.X ′ = ∅. Это означает, что X замкнуто. Для каждого x ∈ Xмножество Fx = X \ x также является замкнутым. Крометого, в силу бесконечности X, имеем, что множества Fx явля-ются бесконечными, и, поэтому, для любого конечного X0 ⊂ X

( ⋂

x∈X0

Fx

)∩X =

⋂

x∈X0

Fx 6= ∅.

Это означает, что семейство Fxx∈X является центрирован-ным, и, в то же самое время,

⋂

x∈XFx = ∅.

Это противоречит компактности X.

Следовательно X имеет предельную точку x∗ в E. Но, в си-лу замкнутости X (утверждение 1.7.10), эта предельная точкадолжна принадлежать X. Таким образом, X имеет предель-ные точки в X.

(ii) ⇒ (iii) Пусть X является счетно компактным. В силу утвер-ждения 1.7.26, X является замкнутым. Предположим, что Xне является вполне ограниченным, и придем к противоречию.

Поскольку условием вполне ограниченности является следу-ющее условие:

∀ ε > 0 ∃n ∈ N ∃a1, . . . ,an ∈ E : X ⊂n⋃

k=1

B(ak; ε),

84


то условием того, что X не является вполне ограниченнымбудет следующее:

∃ ε > 0 ∀n ∈ N ∀a1, . . . ,an ∈ E : X \n⋃

k=1

B(ak; ε) 6= ∅.

(1.34)Используя это ε, построим бесконечное подмножество X ⊂ X,которое не будет иметь предельных точек.

Возьмем произвольное x1 ∈ X. Из условия (1.34) следует, чтосуществует

x2 ∈ X \B(x1; ε).

Заметим, что ‖x1 − x2‖ ≥ ε. Продолжая по индукции, беремпроизвольные точки

xn+1 ∈ X \n⋃

k=1

B(xn; ε), n ∈ N,

что можно сделать в силу условия (1.34). При этом для n1 <n2 имеем, что

‖xn1− xn2

‖ ≥ ε, (1.35)

поскольку xn2/∈ B(xn1

; ε) по построению. Полагая

X = xn : n ∈ N

имеем, что подмножество X множества X бесконечно, но неимеет предельных точек в силу условия (1.35). Это противо-речит счетной компактности X.

(iii) ⇒ (i) Предположим теперь, что X вполне ограниченное изамкнутое множество, и докажем, что произвольное центри-рованное в X семейство F = Fγγ∈Γ замкнутых множествимеет непустое пересечение в X. (Идея доказательства та же,что и доказательства теоремы 1.7.12).

85


Возьмем произвольную конечную 12 -сетку a1

km1

k=1 для множе-ства X. Тогда

X ⊂m1⋃

k=1

B(a1k;

12),


X =

m1⋃

k=1

X1k ,

где X1k = X ∩B(a1

k;12). Поскольку семейство F центрировано

на X, то оно центрировано на некотором X1k1

. Положим X1 =X1

k1и a1 = a1

k1.

Поскольку множество X1 ⊂ X, то оно также вполне огра-ничено (утверждение 1.7.19). Поэтому существует конечная122

-сетка a2km2

k=1 для X1. Следовательно,

X1 ⊂m2⋃

k=1

B(a2k;

122),

и, значит,

X1 =

m2⋃

k=1

X2k ,

гдеX2k = X1∩B(a2

k;122). Поскольку семейство F центрировано

на X1 по построению, то существует k2, для которого семей-ство F будет центрировано на X2

k2. Обозначим X2 = X2

k2, и

a2 = a2k2

. Заметим, что, поскольку

B(a1; 12) ⊃ X ∩B(a1; 12) = X1 ⊃ X1 ∩B(a2; 122) = X2,

то B(a1; 12) ∩B(a2; 122) 6= ∅. Следовательно,

‖a1 − a2‖ < 1

2+

1

22<

1

2+

1

2= 1.

86


ПосколькуX2 ⊂ X вполне ограничено, то для него существуетконечная 1

23-сетка a3

km3

k=1,

X2 ⊂m3⋃

k=1

B(a3k;

123).

Используя представление

X2 =

m3⋃

k=1

X3k ,

где X3k = X2∩B(a3

k;123), выбираем X3

k3, на котором семейство

F является центрированным. Обозначим X3 = X3k3

, a3 = a3k3

.Имеем,

B(a2; 122) ⊃ X2 ⊃ X2 ∩B(a3; 1

23) = X3.

Следовательно, B(a2; 122) ∩B(a3; 1

23) 6= ∅, и, следовательно,

‖a2 − a3‖ ≤ 1

22+

1

23<

1

22+

1

22=

1

2.

Продолжая таким образом, получим последовательность мно-жеств Xn и точек an, причем

‖an − an+1‖ < 1

2n−1.

Последовательность точек (an)n∈N является фундаменталь-ной, поскольку для p ∈ Z+ имеем

‖an − an+p‖ =

= ‖an − an+1 + an+1 − an+2 + . . .+ an+p−1 − an+p‖ ≤≤ ‖an − an+1‖+ . . .+ ‖an+p−1 − an+p‖ <

<1

2n−1+ . . .+

1

2n+p−2=

1

2n−1

(

1 +1

2+ . . .+

1

2p−1

)

=

=1

2n−1

1− 12p

1− 12

<1

2n−2.

87


Поскольку E банахово, то последовательность (an)n∈N явля-ется сходящейся, т.е. существует a∗ = limn→∞ an ∈ E, причемдля любого n ∈ N

‖an − a∗‖ = limp→∞

‖an − an+p‖ ≤ 1

2n−2. (1.36)

Докажем, что a∗ ∈ X и a∗ ∈ Fγ для каждого γ ∈ Γ. Посколькумножества X и Fγ замкнуты, то достаточно доказать, что a∗

является предельной точкой X и Fγ .

Поэтому для произвольного ε > 0 рассмотрим B(a∗; ε). Выбе-рем n ∈ N, для которого 1

2n−2 <ε2 . Тогда, для x ∈ B(an; 1

2n ),используя (1.36), имеем

‖x− a∗‖ ≤ ‖x− an‖+ ‖an − a∗‖ < 1

2n+

1

2n−2<ε

2+ε

2= ε,

т.е. x ∈ B(a∗; ε), и, следовательно, B(an; 12n ) ⊂ B(a∗; ε). Но по

построениюXn ⊂ B(an; 1

2n ).

Таким образом, Xn ⊂ B(a∗; ε), и, так как Xn ⊂ X и Xn∩Fγ 6=∅, имеем, что

B(a∗; ε) ∩X 6= ∅, B(a∗; ε) ∩ Fγ 6= ∅,

что и оканчивает доказательство.

Теорема 1.7.29. Пусть E — банахово пространство, и X ⊂ E.Следующие условия эквивалентны.

(i) Множество X является предкомпактным.

(ii) Множество X вполне ограничено.

88


Доказательство. (i) ⇒ (ii) Если X предкомпактно, то это озна-чает, что множество X является компактным. Следовательно,по теореме 1.7.27 оно является вполне ограниченным. А этоозначает, что и X также будет вполне ограниченным (утвер-ждение 1.7.23).

(ii) ⇒ (i) Если X вполне ограничено, то и X также будет вполнеограниченным (утверждение 1.7.23). А, поскольку X такжезамкнуто, то по теореме 1.7.27, множество X является ком-пактным, что по определению означает, что X предкомпакт-но.

1.7.2 Компактные подмножества C([a, b])Определение 1.7.30. Семейство функций Φ = fγγ∈Γ ⊂ C([a, b])называется равномерно ограниченным, если существует такое C ∈R+, что ‖fγ‖∞ ≤ C для всех γ ∈ Γ.

Замечание 1.7.31. Равномерная ограниченность множества функ-ций Φ = fγγ∈Γ эквивалентна тому, что множество Φ ограниченнов банаховом пространстве C([a, b]).Пример 1.7.32. 1. Семейство sin γt : γ ∈ R, t ∈ [−π, π], равно-

мерно ограниченно.

2. Семейство γx : γ ∈ R+, x ∈ [0, 1], не является равномерноограниченным.

Определение 1.7.33. Семейство функций Φ = fγγ∈Γ ⊂ C([a, b])называется равностепенно непрерывным, если для каждого ε > 0существует такое δ > 0, что для всех t′, t′′ ∈ [a, b] и всех γ ∈ Γвыполняется условие

|t′ − t′′| < δ =⇒ |fγ(t′)− fγ(t′′)| < ε. (1.37)

89


Пример 1.7.34. 1. Семейство функций fγ(t) = sin(t + γ), γ ∈ R,t ∈ [0, 1] является равностепенно непрерывным, поскольку

|fγ(t′)− fγ(t′′)| = | sin(t′ + γ)− sin(t′′ + γ)| =

= 2∣∣sin

t′ − t′′

2cos

t′ + t′′ + 2γ

2

∣∣ =

= 2∣∣sin

t′ − t′′

2

∣∣∣∣cos

t′ + t′′ + 2γ

2

∣∣ ≤

≤ 2∣∣t′ − t′′

2

∣∣ = |t′ − t′′|.

2. Семейство fγ = γt, γ ∈ R+, не является равностепенно непре-рывным на [0, 1], поскольку

|fγ(t′)− fγ(t′′)| = |γt′ − γt′′| = γ|t′ − t′′|,

и очевидно, что условие (1.37) не может иметь место для ε = 1,произвольном фиксированном δ > 0, t′ 6= t′′ и всех γ ∈ R+.

Теорема 1.7.35 (Арцела). Семейство Φ = fγγ∈Γ ⊂ C([a, b]) яв-ляется предкомпактным подмножеством C([a, b]) тогда и толькотогда, когда оно равномерно ограниченно и равностепенно непре-рывно.

Доказательство. Предположим, что семейство Φ предкомпактно вC([a, b]), и докажем, что оно равномерно ограничено и равностепен-но непрерывно.

Предкомпактность Φ означает, что это множество вполне огра-ничено (теорема 1.7.29). Отсюда следует, что оно ограниченокак подмножество в банаховом пространстве C([a, b]) (утвержде-ние 1.7.20), что означает его равномерную ограниченность (опре-деление 1.7.17).

Докажем теперь равностепенную непрерывность Φ. Для задан-ного ε > 0, используя снова вполне ограниченность множества Φ,имеем, что

Φ ⊂m⋃

k=1

B(fk;ε3)

90


для некоторого конечного множества fkmk=1 непрерывных функ-ций. Отсюда следует, что для произвольной функции f0 ∈ Φ суще-ствует такое k0, что f0 ∈ B(fk0 ;

ε3), что означает, что

‖f0 − fk0‖ = supx∈[a,b]

|f0(x)− fk0(x)| <ε

3(1.38)

Рассмотрим функцию fk, k = 1, . . . ,m. Эта функция непрерыв-на, а множество [a, b] является компактным. Поэтому функция fkявляется равномерно непрерывна на [a, b] (теорема II.12.2.5), чтоозначает, что существует такое δk > 0, что

|x− y| < δk =⇒ |fk(x)− fk(y)| < ε3 (1.39)

для всех x, y ∈ [a, b]. Положим теперь

δ = mink=1,...,m

δk > 0. (1.40)

Тогда (1.39) будет иметь место для всех k = 1, . . . ,m и всех x, y ∈[a, b], если |x− y| < δ.

Теперь, если f0 ∈ Φ произвольна и f0 ∈ B(fk0 ;ε3), а |x − y| < δ,

то

|f0(x)− f0(y)| =∣∣(f0(x)− fk0(x)) + (fk0(x)− fk0(y))+

+ (fk0(y)− f0(y))∣∣ ≤

≤ |f0(x)− fk0(x)|+ |fk0(x)− fk0(y)|++ |fk0(y)− f0(y)| ≤

≤ ‖f0 − fk0‖+ |fk0(x)− fk0(y)|+ ‖fk0 − f0‖ <<ε

3+ε

3+ε

3= ε,

где для оценки первого и третьего слагаемых использовалась оцен-ка (1.38), а для второго слагаемого — оценка (1.39). Это оканчиваетдоказательство равностепенной непрерывности множества Φ.

Обратно, предположим, что семейство Φ равномерно ограниче-но и равностепенно непрерывно, и докажем, что оно вполне ограни-чено в банаховом пространстве C([a, b]), а, значит, и предкомпактно(теорема 1.7.29).

91


Пусть ε > 0 задано, и найдем конечную ε-сетку для Φ.Поскольку Φ равномерно ограничено, то существует такое C >

0, что|f(x)| < C

для всех f ∈ Φ и x ∈ [a, b]. Это означает, что график Γf произволь-ной функции f ∈ Φ лежит в прямоугольнике Π, см. рис. 1.17 (a).

x

y

(a)

y−p = −C

yp = C

a b

Π

y1y2

y−1y−2

x0 x1 x2 xq−1 x

y

(b)

Π

Рис. 1.17: Построение ε-сетки: (a) график типичной функции fγ ,γ ∈ Γ; (b) ε-аппроксимация функции f0 (голубой) функцией fγ0(красный).

Разделим прямоугольник Π горизонтальными прямыми y = yk,k = −p, . . . , p, так, чтобы yk−yk−1 = ε для всех k, и вертикальнымипрямыми x = xl, l = 0, . . . , q, так, чтобы 0 < xl − xl−1 < δ длявсех l, где δ найдено по заданному ε из условия равностепеннойнепрерывности множества Φ так, чтобы

|x′ − x′′| < δ =⇒ |f(x′)− f(x′′)| < ε

2(1.41)

для произвольной функции f ∈ Φ.Пусть L = fγγ∈Γ — множество всех непрерывных кусочно ли-

нейных функций, определенных на [a, b], графики которых прохо-дят через узлы полученной сетки x = xl, l = 0, . . . , q, и y = yk,k = −p, . . . , p, см. рис. 1.17 (a). Количество элементов в L конечно.Докажем, что L является ε-сеткой.

При заданном f0 для построения функции fγ0 , для которой ‖f0−fγ0‖ < ε, т.е. f0 ∈ B(fγ0 ; ε), заметим следующее.

92


x

yΠl

Γf0

xl−1 xl

εl

Рис. 1.18: Прямоугольник Πl, содержащий график функции f0,xl−1 ≤ x ≤ xl.

Поскольку f0 удовлетворяет условию равномерной непрерывно-сти (1.41), то на каждом отрезке [xl−1, xl] график Γf0 функции f0содержится в прямоугольнике Πl со стороной длины xl − xl−1 ивысотой εl, причем εl ≤ ε

2 , см. рис. 1.18. Теперь значения fγ0(xl)строятся индуктивно по уже построенным значениям fγ0(xl−1).

x

y

(a)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

x

y

(b)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

x

y

(c)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

x

y

(d)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

x

y

(e)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

x

y

(f)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

Рис. 1.19: Варианты построения fγ0(xl) и функции fγ0(x), x ∈[xl−1, xl], при уже построенном fγ0(xl−1) в случае Πl ⊂ Πlk.

Значение fγ0(xl) строится в зависимости от того содержитсяли прямоугольник Πl в каком-нибудь Πlk или нет, взаимному рас-положению прямоугольников Πl и Πl+1, а также от того, где поотношению к прямоугольнику Πl находится построенное значе-ние fγ0(xl−1). Все варианты приведены на рис. 1.19 и 1.20. Значе-ния fγ0(x0) и fγ0(xq) выбираются произвольным образом согласно

93


рис. 1.19 или 1.20.

x

y

(a)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

x

y

(b)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

x

y

(c)

xl−1 xl xl+1

yk−1

yk

yk+1

Рис. 1.20: Варианты построения fγ0(xl) при построенном fγ0(xl−1)в случае Πl 6⊂ Πlk.

Вертикальное расстояние между точкой на графике функцииfγ0 при x ∈ [xl−1, xl] и произвольной точкой прямоугольника, со-держащего график функции f0, а значит и точкой на графике f0,по построению будет меньше, чем ε.

1.7.3 Приложение: теорема Пеано

Определение 1.7.36. ПустьD — область в R2, f : D → R и (x0, y0) ∈D. Система

dy

dx= f(x, y),

y(x0) = y0

(1.42)

называется задачей Коши для дифференциального уравнения пер-вого порядка. Условие y(x0) = y0 называется начальным условием.

Определение 1.7.37. Пусть I = [x0 − h, x0 + h], h > 0. Функцияϕ : I → R называется решением задачи Коши (1.53) на отрезке I,если:

(a) функция ϕ является непрерывно дифференцируемой на I;

(b) график Γϕ функции ϕ лежит в D и содержит точку (x0, y0);

(c) для всех x ∈ I имеет место равенство

ϕ′(x) = f(x, ϕ(x)

).

94


x

y

hh

I

D

b

x0

y0

Рис. 1.21: Существование решения задачи Коши.

Теорема 1.7.38 (Пеано). Пусть D ⊂ R2 — замкнутая ограничен-ная область, (x0, y0) — внутренняя точка D, и функция f : D → R

непрерывна на D. Тогда существует такое h > 0, что задача Ко-ши (1.53) имеет решение ϕ на I = [x0 − h, x0 + h] (см. рис 1.21).

Замечание 1.7.39. Решение задачи Коши, существование которогогарантируется теоремой 1.7.38, не обязательно единственно.

Пример 1.7.40. Рассмотрим задачу Коши

y′ =3

2y1/3, y(0) = 0 (1.43)

на D = R2.Непосредственно проверяется, что три функции ϕ0, ϕ− и ϕ+,

заданные на I = [−1, 1] как

ϕ0(x) = 0, ϕ±(x) =

0, −1 ≤ x ≤ 0,

±x3/2, 0 < x ≤ 1,

являются решением задачи Коши (1.43) (см. рис 1.22).Проверим, например, что функция ϕ− является решением за-

дачи Коши (1.43). Очевидно, что она удовлетворяет начальномуусловию. Докажем, что она является решением дифференциально-го уравнения.

Поскольку ϕ−(x) = 0 при x < 0, то ϕ′−(x) = 0 = 3

2(ϕ−(x))1/3,x < 0.

95


x

y

Γϕ+

Γϕ−

Γϕ0

Рис. 1.22: Решения задачи Коши (1.43).

Если x > 0, то ϕ−(x) = −x3/2 и

ϕ′−(x) = −3

2x1/2 =

3

2

(−x3/2

)1/3=

3

2(ϕ−(x))

1/3

Для x = 0 вычисляем левую и правую производные:

(ϕ−)′−(0) = limx→0−0ϕ−(x)−ϕ−(0)

x−0 = limx→0−00−0x = 0,

(ϕ−)′+(0) = limx→0+0ϕ−(x)−ϕ−(0)

x−0 = limx→0+0−x3/2−0

x = 0,

т.е. производная

ϕ′−(0) = lim

x→0

ϕ(x)− ϕ(0)

x− 0

существует и равна 0. Таким образом, ϕ− удовлетворяет уравнениюв (1.43) на I и, следовательно, является решением задачи Коши.

Идея доказательства теоремы 1.7.38. Поскольку D является за-мкнутым и ограниченным множество, а функция f непрерывна наD, то она ограничена на D, т.е. существует M ∈ R такое, что

|f(x, y)| ≤M

для всех (x, y) ∈ D.Через внутреннюю точку (x0, y0) проведем прямые под углами

±α, где tgα = M , и выберем h > 0 таким образом, чтобы вер-тикальные прямые x = x0 ± h образовывали с уже проведеннымипрямыми треугольники, полностью лежащие в D (рис. 1.23 (a)).

96


x

y

x0 − h x0 + h

αα

D

b

x0

y0

(a)

x

y

by0

x0 x0 + hx1 x2 xk−1xk

(b)

Рис. 1.23: Построение решения задачи Коши.

Для каждого n ∈ N строим кусочно линейную функцию ϕn наI = [x0−h, x0+h]. Построения на [x0, x0+h] проводятся следующимобразом (на [x0 − h, x0] построения аналогичны).

Делим отрезок [x0, x0+h] на равные отрезки длиной hn точками

xk = x0 + k hn , k = 0, . . . , n, см. рис. 1.23 (b).

На [x0, x1] определим ϕn как функцию, график которой явля-ется отрезком прямой, проходящей через точку (x0, y0) с угловымкоэффициентом k0 = f(x0, y0), т.е.

ϕn(x) = y0 + f(x0, y0)(x− x0), x ∈ [x0, x1].

Далее положим y1 = ϕn(x1) и продолжим функцию ϕn на отрезок[x1, x2] так, чтобы её график совпадал с отрезком, проходящим че-рез точку (x1, y1) и лежащим на прямой с угловым коэффициентомk1 = f(x1, y1), т.е.

ϕn(x) = y1 + f(x1, y1)(x− x1), x ∈ [x1, x2].

Продолжая эту процедуру, получим функцию ϕn, определенную навсем отрезке [x0, x0 + h]. При этом,

ϕn(x) = y0 +m−1∑

k=0

f(xk, yk)(xk+1 − xk) + f(xm, ym)(x− xm),

x ∈ [xm, xm+1]. (1.44)

97


Рассмотрим множество функций Φ = ϕn : n ∈ N и докажемследующее.

(i) Для произвольного n ∈ N график Γϕn функции ϕn принадле-житD, точнее, правому замкнутому треугольнику (см. рис. 1.23 (a)),и, следовательно, множество Φ ограничено в C([x0, x0 + h]).

(ii) Семейство Φ является равностепенно непрерывным.

(i) Достаточно доказать, что

|ϕn(x)− y0| ≤M(x− x0), x ∈ [x0, x0 + h].

Для x ∈ [xm, xm+1], используя (1.44) и то, что |f(xk, yk)| ≤Mдля всех k по определению M , имеем

|ϕn(x)− y0| =∣∣

m−1∑

k=0

f(xk, yk)(xk+1 − xk) + f(xm, ym)(x− xm)∣∣ ≤

≤m−1∑

k=0

|f(xk, yk)| |xk+1 − xk|+ |f(xm, ym)| |x− xm| ≤

≤m−1∑

k=0

M(xk+1 − xk) +M(x− xm) =

=M(m−1∑

k=0

xk+1 −m−1∑

k=0

xk − xm + x)=

=M(

m∑

k=1

xk −m−1∑

k=0

xk − xm + x)=

=M(x− x0).

(ii) Докажем теперь равностепенную непрерывность семейства Φ.Пусть ε > 0 задано, и найдем такое δ > 0, что

|x′ − x′′| < δ =⇒ |ϕn(x′)− ϕn(x

′′)| < ε (1.45)

98


для всех x′, x′′ ∈ [x0, x0 + h] и n ∈ N. Пусть x′ ∈ [xm1, xm1+1],

а x′′ ∈ [xm2, xm2+1], и m1 ≤ m2. Рассмотрим

|ϕn(x′)− ϕn(x

′′)| =∣∣

m1−1∑

k=0

f(xk, yk)(xk+1 − xk)+

+ f(xm1, ym1

)(x′ − xm1)−

−m2−1∑

k=0

f(xk, yk)(xk+1 − xk)−

− f(xm2, ym2

)(x′′ − xm2)∣∣ =

=∣∣f(xm1

, ym1)(x′ − xm1

)−m2−1∑

k=m1


− f(xm2, ym2

)(x′′ − xm2)∣∣ =

=∣∣f(xm1

, ym1)(x′ − xm1

)− f(xm1, ym1

)(xm1+1 − xm1)−

−m2−1∑

k=m1+1

f(xk, yk)(xk+1 − xk)− f(xm2, ym2

)(x′′ − xm2)∣∣ =

=∣∣−f(xm1

, ym1)(xm1+1 − x′)−

−m2−1∑

k=m1+1


− f(xm2, ym2

)(x′′ − xm2)∣∣ ≤

≤ |f(xm1, ym1

)| (xm1+1 − x′)+

+

m2−1∑

k=m1+1

|f(xk, yk)| (xk+1 − xk)+

+ |f(xm2, ym2

)| (x′′ − xm2) ≤

≤M(xm1+1 − x′) +m2−1∑

k=m1+1

M(xk+1 − xk) +M(x′′ − xm2) =

=M(x′′ − x′).

99


Поэтому условие (1.45) выполнено для всех n ∈ N и x′, x′′ ∈[x0, x0 + h], если δ = ε

M .

Таким образом, семейство Φ является равномерно ограниченным иравностепенно непрерывным подмножеством C([x0, x0 + h]), а, зна-чит, предкомпактным (теорема Арцела 1.7.35).

Пусть ϕ∗ — предельная точка множества Φ. Тогда очевидно, чтоΓϕ∗

⊂ D и содержит точку (x0, y0), и можно доказать1, что ϕ∗ явля-ется непрерывно дифференцируемой на [x0, x0+h] и удовлетворяетдифференциальному уравнению в (1.53), т.е. является решением за-дачи Коши (1.53).

1Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных

уравнений. М.: Изд-во МГУ, 1984. — 296 с.

100

1.8. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

1.8 Непрерывные отображения

1.8.1 Общие положения

Определение 1.8.1. Пусть (E1, ‖ · ‖1) и (E2, ‖ · ‖2) — линейныенормированные пространства, и X ⊂ E1. Отображение ϕ : X → E2

называется непрерывным в точке x∗ ∈ X, если для каждой окрест-ности U2 ⊂ E2 точки ϕ(x∗) существует такая окрестность U1 ⊂ E1

точки x∗, что ϕ(U1 ∩X) ⊂ U2.

Определение 1.8.2. Если E2 = K, ‖ · ‖2 = | · | и X ⊂ E, тоотображение ϕ : X → K называется функционалом на E.

Утверждение 1.8.3. Пусть (E1, ‖ · ‖1), (E2, ‖ · ‖2) — линейныенормированные пространства, X ⊂ E1, ϕ : X → E2, и x∗ ∈ X —предельная точка X. Следующие условия эквивалентны.

(i) Отображение ϕ непрерывно в точке x∗.

(ii) Для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всехx ∈ X

‖x− x∗‖1 < δ =⇒ ‖ϕ(x)−ϕ(x∗)‖2 < ε. (1.46)

(iii) Для любой последовательности (xn)∞n=1 в X имеем:

xn → x∗ =⇒ ϕ(xn) → ϕ(x∗). (1.47)

Доказательство. Будем доказывать по циклу: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒(i).

(i) ⇒ (ii) Пусть ε > 0 задано. Рассмотрим шар B(ϕ(x∗); ε), кото-рый является окрестностью точки ϕ(x∗). По условию суще-ствует окрестность U1 ⊂ E1 точки x∗, для которой

ϕ(X ∩ U1) ⊂ B(ϕ(x∗); ε).

101


Поскольку U1 — окрестность точки x∗, что означает, что точкаx∗ является внутренней точкой U1, то существует такое δ > 0,что B(x∗; δ) ⊂ U1. Но тогда

ϕ(X ∩B(x∗; δ)) ⊂ ϕ(X ∩ U1) ⊂ B(ϕ(x∗); ε),

что в точности означает выполнение условия в (ii).

(ii) ⇒ (iii) Пусть xn → x∗ в X, и докажем, что ϕ(xn) → ϕ(x∗).

Пусть ε > 0 и найдемN ∈ N, для которого ϕ(xn) ∈ B(ϕ(x∗); ε)для всех n > N . Используя условие (ii), найдем δ > 0, длякоторого выполнено (1.46). Для найденного δ > 0 найдем та-кое N ∈ N, что xn ∈ B(x∗; δ) при n > N . Но тогда из усло-вия (1.46) будет следовать, что

‖ϕ(xn)−ϕ(x∗)‖2 < ε,

т.е. ϕ(xn) ∈ B(ϕ(x∗); ε) при n > N .

(iii) ⇒ (i) Обозначим через N (x∗) и N (ϕ(x∗)) системы окрестно-стей точек x∗ и ϕ(x∗), соответственно. Тогда условие непре-рывности в определении 1.8.1 запишется как

∀U2 ∈ N (ϕ(x∗)) ∃U1 ∈ N (x∗) : ϕ(U1 ∩X) ⊂ U2.

Доказательство будем проводить от противного, т.е., предпо-лагая, что

∃U2 ∈ N (ϕ(x∗)) ∀U1 ∈ N (x∗) : ϕ(U1 ∩X) \ U2 6= ∅.Для U2, удовлетворяющему этому условию, можно найти та-кое ε > 0, что B(ϕ(x∗)); ε) ⊂ U2. И взяв последовательностьB(x∗; 1

n), n ∈ N, в качестве U1, получим, что

∃ ε > 0 ∀n ∈ N : ϕ(B(x∗; 1

n) ∩X)\B(ϕ(x∗); ε) 6= ∅.

Поэтому для каждого n ∈ N существует такая точка xn ∈B(x∗; 1

n) ∩ X, что ϕ(xn) /∈ B(ϕ(x∗); ε). Но тогда приходимк противоречию, поскольку xn ∈ X, xn → x∗, но ϕ(xn) 6→ϕ(x∗).

102


Определение 1.8.4. Пусть (E1, ‖ · ‖1) и (E2, ‖ · ‖2) — линейныенормированные пространства, X ⊂ E1. Отображение ϕ : X → E2

называется непрерывным на X, если оно непрерывно в каждой точ-ке X.

Пример 1.8.5. Пусть E1 = E2 = R, ϕ : R → R, ϕ(x) = x2. Тогдафункционал ϕ непрерывен на R

Пример 1.8.6. Пусть E1 = E2 = C([a, b]), и F ∈ C([a, b] × [c, d]

).

Положим

X =x ∈ C([a, b]) : x(t) ∈ (c, d) ∀ t ∈ [a, b]

,

и докажем, что отображение ϕ : X → C([a, b]), заданное как

ϕ(x)(t) =

∫ t

aF (τ, x(τ)) dτ, t ∈ [a, b],

является непрерывным на X.

Пусть x∗ ∈ X произвольная функция. Используя (1.46), дока-жем, что отображение ϕ непрерывно в x∗. Пусть x ∈ X, и оценимразность

‖ϕ(x)−ϕ(x∗)‖∞ = supt∈[a,b]

|ϕ(x)(t)−ϕ(x∗)(t)| =

= supt∈[a,b]

∣∣

∫ t

aF (τ, x(τ)) dτ −

∫ t

aF (τ, x∗(τ)) dτ

∣∣ =

= supt∈[a,b]

∣∣

∫ t

a

(F (τ, x(τ))− F (τ, x∗(τ))

)dτ

∣∣ ≤

≤ supt∈[a,b]

∫ t

a

∣∣F (τ, x(τ))− F (τ, x∗(τ))

∣∣ dτ =

=

∫ b

a

∣∣F (τ, x(τ))− F (τ, x∗(τ))

∣∣ dτ.

Зададимся ε > 0. Поскольку множество [a, b]× [c, d] ⊂ R2 являетсякомпактным, а функция F непрерывной, то на этом множестве она

103


является равномерно непрерывной, и, следовательно, существуеттакое δ > 0, что

‖(τ1, σ1)− (τ2, σ2)‖2 < δ =⇒ |F (τ1, σ1)− F (τ2, σ2)| <ε

b− a.

(1.48)Если теперь

‖x− x∗‖∞ = supτ∈[a,b]

|x(τ)− x∗(τ)| < δ,

то тогда для всех τ ∈ [a, b] имеем, что |x(τ)− x∗(τ)| < δ, а значит

‖(τ, x(τ))− (τ, x∗(τ))‖2 =∥∥(0, x(τ)− x∗(τ)

)∥∥2= |x(τ)− x∗(τ)| < δ,

и∣∣F (τ, x(τ))− F (τ, x∗(τ))

∣∣ <

ε

b− a

для всех τ ∈ [a, b]. Таким образом,

∫ b

a

∣∣F (τ, x(τ))− F (τ, x∗(τ))

∣∣ dτ ≤

∫ b

a

ε

b− adτ =

ε

b− aτ∣∣τ=b

τ=a= ε.

Итак, для произвольного ε > 0 необходимое δ > 0 находится изусловия (1.48).

1.8.2 Непрерывные отображения на компактах

Теорема 1.8.7. Пусть (E1, ‖ · ‖1) и (E2, ‖ · ‖2) — банаховы про-странства. Пусть X ⊂ E1 — компактное подмножество E1, иотображение ϕ : X → E2 непрерывно на X. Тогда ϕ(X) являетсякомпактным подмножеством E2.

Доказательство. Докажем, что ϕ(X) является счетно компакт-ным, что, в силу теоремы 1.7.27, будет означать его компактность.

Пусть Y ⊂ ϕ(X) — произвольное бесконечное множество, и до-кажем, что Y имеет предельную точку в ϕ(X).

Рассмотрим множество ϕ−1(Y ) ⊂ X. Оно также будет беско-нечным множеством, поскольку количество элементов в ϕ−1(Y ) не

104


меньше, чем количество элементов в Y . А, поскольку X являетсякомпактным и, следовательно, счетно компактным, то существу-ет x∗ ∈ X, являющийся предельной точкой ϕ−1(Y ). Так как x∗является предельной точкой ϕ−1(Y ), то существует такая последо-вательность (xk)

∞k=1, xk ∈ ϕ−1(Y ), для которой xk → x∗. Но тогда

ϕ(xk) ∈ Y , ϕ(x∗) ∈ ϕ(X), и ϕ(xk) → ϕ(x∗) в силу непрерывностиϕ в точке x∗. Таким образом ϕ(x∗) является предельной точкой Yв ϕ(X).

Теорема 1.8.8 (Вейерштрасс). Пусть E — банахово простран-ство, и X ⊂ E — компактное подмножество E. Пусть f : X → R

непрерывное на X отображение. Тогда

(a) отображение f ограничено на X, т.е. существует C ∈ R,для которого

|f(x)| ≤ C

для всех x ∈ X;

(b) отображение f достигает на X своих минимального и мак-симального значений, т.е. существуют такие x∗,x∗ ∈ X,что

infx∈X

f(x) = f(x∗), supx∈X

f(x) = f(x∗).

Доказательство. Применяя теорему 1.8.7 к отображению f , имеем,что f(X) ⊂ R является компактным подмножеством R. Таким об-разом, множество f(X) является ограниченным и замкнутым (тео-рема 1.7.12). Из его ограниченности следует (a), а из замкнутости(b), поскольку значения

infx∈X

f(x) = inf f(X), supx∈X

f(x) = sup f(X)

являются предельными точками f(X).

Определение 1.8.9. Пусть (E1, ‖ · ‖1), (E2, ‖ · ‖2) — линейныенормированные пространства, и X ⊂ E1. Отображение ϕ : X → E2

105


называется равномерно непрерывным на X, если выполнено следу-ющее условие

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀x′,x′′ ∈ X :

‖x′ − x′′‖1 < δ =⇒ ‖ϕ(x′)−ϕ(x′′)‖2 < ε. (1.49)

Замечание 1.8.10. Из условия (1.49) сразу следует, что отображениеравномерно непрерывное на X является непрерывным на X.

Теорема 1.8.11. Пусть (E1, ‖ · ‖1) — банахово пространство, а(E2, ‖ · ‖2) — линейное нормированное пространство, X ⊂ E1, иотображение ϕ : X → E2 непрерывно на X. Если X компактно,то отображение ϕ является равномерно непрерывным на X.

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Пустьϕ не является равномерно непрерывным, т.е. выполняется следую-щее условие:

∃ ε > 0 ∀ δ > 0 ∃x′,x′′ ∈ X :

‖x′ − x′′‖1 < δ и ‖ϕ(x′)−ϕ(x′′)‖2 ≥ ε. (1.50)

Зафиксируем ε > 0, удовлетворяющее условию (1.50), и для каж-дого δn = 1

n найдем соответствующие пары точек x′n,x

′′n ∈ X, удо-

влетворяющие условию (1.50). Последовательность (x′n)

∞n=1 имеет

предельную точку x∗ ∈ X, поскольку X является счетно компакт-ным, и, следовательно, существует подпоследовательность (x′

nk)∞k=1

последовательности (x′n)

∞n=1, сходящаяся к x∗.

Докажем, что подпоследовательность (x′′nk)∞k=1 последователь-

ности (x′′n)

∞n=1 также сходится к x∗. Действительно, для произволь-

ного δ > 0, используя сходимости (x′nk) к x∗ и ( 1

nk) к 0, выберем

N ∈ N таким, чтобы

‖x′nk

− x∗‖1 <δ

2и

1

nk<δ

2

для всех k > N . Тогда для k > N имеем, что

‖x′′nk

− x∗‖1 = ‖x′′nk

− x′nk

+ x′nk

− x∗‖1 ≤

106


≤ ‖x′′nk

− x′nk‖1 + ‖x′

nk− x∗‖1 ≤

≤ 1

nk+ ‖x′

nk− x∗‖1 ≤

δ

2+δ

2= δ,

что и доказывает сходимость (x′′nk) к x∗.

Теперь, используя зафиксированное ε > 0 и непрерывность отоб-ражения ϕ в точке x∗ выберем такое δ > 0, что

‖x− x∗‖1 < δ =⇒ ‖ϕ(x)−ϕ(x∗)‖2 <ε

2,

а, поскольку последовательности (x′nk) и (x′′

nk) сходятся к x∗, то

для найденного δ выберем k0 ∈ N таким образом, чтобы

‖x′nk0

− x∗‖1 < δ, ‖x′′nk0

− x∗‖1 < δ,

и, следовательно, будем иметь, что

‖ϕ(x′nk0

)−ϕ(x∗)‖2 <ε

2, ‖ϕ(x′′

nk0)−ϕ(x∗)‖2 <

ε

2.

Тогда, с одной стороны,

‖ϕ(x′n)−ϕ(x′′

n)‖2 ≥ ε

для всех n ∈ N по предполагаемому условию, а, с другой стороны,

‖ϕ(x′nk0

)−ϕ(x′′nk0

)‖2 = ‖ϕ(x′nk0

)−ϕ(x∗) +ϕ(x∗)−ϕ(x′′nk0

)‖2 ≤≤ ‖ϕ(x′

nk0)−ϕ(x∗)‖2 + ‖ϕ(x∗)−ϕ(x′′

nk0)‖2 <

<ε

2+ε

2= ε,

что приводит к противоречию.

1.8.3 Сжатия. Теорема Банаха о неподвижной точке

Определение 1.8.12. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство и X ⊂ E. Отображение ϕ : X → X называется сжа-тием на X, если существует такое q ∈ (0, 1), что

‖ϕ(x′)−ϕ(x′′)‖ ≤ q ‖x′ − x′′‖для всех x′,x′′ ∈ X.

107


Пример 1.8.13. Пусть ϕ : R → R задано как ϕ(t) = 12 sin t. Тогда ϕ

является сжатием на X = R.Действительно, для произвольных t′, t′′ ∈ R имеем:

|ϕ(t′)− ϕ(t′′)| =∣∣1

2sin t′ − 1

2sin t′′

∣∣ =

1

2| sin t′ − sin t′′| =

=1

2

∣∣2 sin

t′ − t′′

2cos

t′ + t′′

2

∣∣ =

∣∣sin

t′ − t′′

2

∣∣∣∣cos

t′ + t′′

2

∣∣ ≤

≤∣∣sin

t′ − t′′

2

∣∣ ≤ 1

2|t′ − t′′|.

Таким образом, имеем, что q = 12 < 1, и ϕ является сжатием.

Пример 1.8.14. Пусть E = C([a, b]

), k ∈ C

([a, b]× [a, b]

), b ∈ C

([a, b]

)

— фиксированные непрерывные функции, X = E и ϕ : X → Xзадано как

ϕ(x)(t) =

∫ t

ak(t, s)x(s) ds+ b(t), x ∈ X.

Возьмем произвольные x′, x′′ ∈ X, и рассмотрим ‖ϕ(x′) − ϕ(x′′)‖.Имеем

‖ϕ(x′)− ϕ(x′′)‖ = supt∈[a,b]

∣∣ϕ(x′)(t)− ϕ(x′′)(t)| =

= supt∈[a,b]

∣∣(∫ t

ak(t, s)x′(s) ds+ b(t)

)−

−(∫ t

ak(t, s)x′′(s) ds+ b(t)

)∣∣ =

= supt∈[a,b]

∣∣

∫ t

a

(k(t, s)x′(s)− k(t, s)x′′(s)

)ds∣∣ =

= supt∈[a,b]

∣∣

∫ t

ak(t, s)

(x′(s)− x′′(s)

)ds∣∣ ≤

≤ supt∈[a,b]

∫ t

a|k(t, s)| |x′(s)− x′′(s)| ds ≤

108


≤ supt∈[a,b]

∫ t

a|k(t, s)| ‖x′ − x′′‖ ds =

= ‖x′ − x′′‖ supt∈[a,b]

∫ t

a|k(t, s)| ds ≤

≤ ‖x′ − x′′‖∫ b

asupt∈[a,b]

|k(t, s)| ds.

Таким образом, если

q =

∫ b

asupt∈[a,b]

|k(t, s)| ds < 1,

то ϕ является сжатием.

Утверждение 1.8.15. Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированноепространство и X ⊂ E. Если ϕ : X → X является сжатием наX, то ϕ равномерно непрерывно на X.

Доказательство. Действительно, в силу определения сжатия 1.8.12для произвольного ε > 0 в определении (1.49) достаточно положитьδ = ε.

Определение 1.8.16. Пусть X — множество, и ϕ : X → X. Эле-мент x∗ ∈ X называется неподвижной точкой относительно ϕ,если

ϕ(x∗) = x∗.

Теорема 1.8.17 (Банах). Пусть E — банахово пространство, X ⊂E — замкнутое подмножество E, и ϕ : X → X является сжати-ем на X. Тогда ϕ имеет в X неподвижную точку, и эта непо-движная точка единственна для ϕ в X.

Доказательство. Пусть x0 ∈ X — произвольная точка. Для каж-дого n ∈ N определим по индукции

xn = ϕ(xn−1).

109


Тогда, в силу того, что ϕ является сжатием, для n ∈ N имеем, что

‖xn+1 − xn‖ = ‖ϕ(xn)−ϕ(xn−1)‖ ≤ q‖xn − xn−1‖.Обозначив d = ‖x1 − x0‖, по индукции получим

‖xn+1 − xn‖ ≤ q ‖xn − xn−1‖ ≤ q2‖xn−1 − xn−2‖ ≤≤ . . . ≤ qn‖x1 − x0‖ = qnd.

Докажем, что последовательность (xn)∞n=1 является фундамен-

тальной в банаховом пространстве E, а, значит, сходящейся. Дляn ∈ N и p ∈ Z+ имеем

‖xn+p − xn‖ = ‖xn+p − xn+p−1 + xn+p−1 − xn+p−2+

+ xn+p−2 − xn+p−3 + . . .+ xn+1 − xn‖ ≤≤ ‖xn+p − xn+p−1‖+ ‖xn+p−1 − xn+p−2‖+

+ ‖xn+p−2 − xn+p−3‖+ . . .+ ‖xn+1 − xn‖ ≤≤ qn+p−1d+ qn+p−2d+ qn+p−3d+ . . .+ qnd =

= qn(qp−1 + qp−2 + . . .+ 1)d = qn1− qp

1− qd < qn

1

1− qd.

Поскольку q < 1, то qn → 0 при n → ∞, что и доказывает фунда-ментальность (xn)

∞n=1, а значит и существование предела

x∗ = limn→∞

xn.

Так как xn ∈ X для всех n, и X замкнуто, то x∗ ∈ X.Докажем теперь, что x∗ является неподвижной точкой для ϕ.

Поскольку отображение ϕ является сжатием, то оно равномернонепрерывно (утверждение 1.8.15), и, в частности, непрерывно в точ-ке x∗. Поэтому

ϕ(x∗) = ϕ( limn→∞

xn) = limn→∞

ϕ(xn) = limn→∞

xn+1 = x∗.

Наконец, покажем, что ϕ имеет единственною неподвижную точ-ку. Если их две, x′

∗ и x′′∗, и x′

∗ 6= x′′∗, то

‖x′∗ − x′′

∗‖ = ‖ϕ(x′∗)−ϕ(x′′

∗)‖ ≤ q ‖x′∗ − x′′

∗‖,

110


т.е.(1− q)‖x′

∗ − x′′∗‖ ≤ 0,

что не возможно, поскольку q < 1.

Следствие 1.8.18. Пусть E — банахово пространство, X ⊂ Eявляется замкнутым подмножеством, и ϕ : X → X. Если суще-ствует такое n0 ∈ N, что

ϕn0 = ϕ ϕ . . . ϕ︸︷︷︸

n0 раз

является сжатием на X, то ϕ имеет неподвижную точку в X,и она единственна.

Доказательство. В силу теоремы 1.8.17 отображение ϕn0 имеетнеподвижную точку x∗, и она единственна. Но для x′

∗ = ϕ(x∗)имеем, что

ϕn0(x′∗) = ϕn0(ϕ(x∗)) = ϕn0+1(x∗) = ϕ(ϕn0(x∗)) = ϕ(x∗) = x′

∗.

Таким образом, x′∗ также является неподвижной точкой отобра-

жения ϕn0 . В силу единственности неподвижной точки имеем, чтоx′∗ = x∗, то есть

ϕ(x∗) = x∗,

и x∗ является неподвижной точкой отображения ϕ.Единственность неподвижной точки для ϕ сразу следует из то-

го, что любая неподвижная точка для ϕ также является неподвиж-ной точкой для отображения ϕn0 , которое имеет единственную непо-движную точку.

Теорема 1.8.19 (Брауэр). Пусть X = B[0;R] ⊂ Rn — замкну-тый шар радиуса R в Rn, и отображение ϕ : X → X непрерывнона X. Тогда ϕ имеет в X неподвижную точку (не обязательноединственную).


111


Пример 1.8.20. Пусть n = 2, и ϕ : X → X задано как

ϕ(x1, x2) = (x1,−x2).

Тогда все точки множества(x, 0) : |x| ≤ R

являются неподвижными относительно ϕ.

Определение 1.8.21. Пусть E — линейное нормированное про-странство. Множество X ⊂ E называется выпуклым, если для про-извольных x′,x′′ ∈ X имеем, что

[x′,x′′] =(1− t)x′ + tx′′ : t ∈ [0, 1]

⊂ X.

Теорема 1.8.22 (Шаудер–Тихонов). Пусть E — линейное норми-рованное пространство, и X ⊂ E — выпуклое компактное подмно-жество E. Если отображение ϕ : X → X непрерывно на X, тооно имеет в X неподвижную точку.


1.8.4 Приложение: теорема Пикара

В этом разделе D ⊂ R2 является замкнутой ограниченной обла-стью, и (x0, y0) — внутренняя точка D, f : D → R — некотораяфункция. Промежуток I ⊂ R будет пониматься как конечный илибесконечный интервал, полуинтервал или отрезок.

Определение 1.8.23. Уравнение

dy

dx= f(x, y) (1.51)

называется скалярным дифференциальным уравнением первого по-рядка, разрешенным относительно производной.

Решением дифференциального уравнения (1.51) на промежут-ке I ⊂ R называется функция g : I → R, которая удовлетворяетследующим условиям:

112


1) g имеет производную в каждой точке промежутка I;

2) график функции g принадлежитD при x ∈ I, т.е. (x, g(x)) ∈ Dдля всех x ∈ I;

3) имеет место равенство

dg

dx= f(x, g(x)) (1.52)

для всех x ∈ I.

Определение 1.8.24. Система

y′ = f(x, y),

y(x0) = y0(1.53)

называется задачей Коши для дифференциального уравнения пер-вого порядка. Условие y(x0) = y0 называется начальным условием.

Функция g : I → R называется решением задачи Коши (1.53)на промежутке I ⊂ R, если x0 ∈ I, функция g является решениемдифференциального уравнения в (1.53) и g(x0) = y0.

Утверждение 1.8.25. Непрерывно дифференцируемая функция g(x),x ∈ I, является решением задачи Коши (1.53) тогда и только то-гда, когда g является решением интегрального уравнения

g(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, g(t)) dt, x, x0 ∈ I. (1.54)

Доказательство. Пусть g является решением интегрального урав-нения (1.54). Тогда

g(x0) = y0 +

∫ x0

x0

f(t, g(t)) dt = y0,

поскольку интеграл от произвольной непрерывной функции на от-резке [x0, x0] равен 0. Далее,

g′(x) =(

y0 +

∫ x

x0

f(t, g(t)) dt)′

x= f(x, g(x)).

113


Таким образом, g(x) является решением задачи Коши (1.53).Обратно, пусть g является решением задачи Коши. Из этого, в

частности, следует, что

g′(t) = f(t, g(t)), t ∈ I.

Пусть x0, x ∈ I. Проинтегрируем предыдущее равенства по отрезку[x0, x]: ∫ x

x0

g′(t) dt =∫ x

x0

f(t, g(t)) dt.

Отсюда имеем, что

g(x)− g(x0) =

∫ x

x0

f(t, g(t)) dt.

Используя начальное условие g(x0) = y0, видим, что g удовлетво-ряет интегральному уравнению (1.54).

T

x

y

x0 − h x0 + h

αα

D

b

x0

y0

(a)

x

y

x0 − h x0 + h

D

b

x0

y0

(b)

Рис. 1.24: Выбор величины h, tgα =M .

Лемма 1.8.26. Пусть f : D → R непрерывна на D, и положим

M = sup(x,y)∈D

|f(x, y)|.

Пусть h > 0 такое, что

T =(x, y) ∈ D : |x− x0| ≤ h, |y − y0| ≤M |x− x0|

⊂ D,

114


см. рис. 1.21 (a). Пусть X — множество всех непрерывных функ-ций на Ih = [x0 −h, x0 + h], графики которых лежат в T (и прохо-дят через точку (x0, y0)) (рис. 1.21 (b)), т.е.

X = y ∈ C(Ih;R) : |y(x)− y0| ≤M |x− x0|, x ∈ Ih. (1.55)

Определим отображение ϕ : X → C(Ih;R) как

ϕ(g)(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, g(t)) dt, g ∈ X. (1.56)

Тогда множество X является замкнутым в C(Ih,R), и ϕ(X) ⊂ X.

Доказательство. Докажем замкнутость X.Пусть g∗ = limn→∞ gn в C(Ih;R), и gn ∈ X, т.е

|gn(x)− y0| ≤M |x− x0| (1.57)

для всех x ∈ Ih. Поскольку ‖gn − g∗‖∞ → 0 при n → ∞, то длякаждого x ∈ Ih имеем, что

g∗(x) = limn→∞

gn(x).

Поэтому для каждого фиксированного x ∈ Ih, переходя к пределув (1.57), получим:

|g∗(x)− y0| = | limn→∞

gn(x)− y0| = limn→∞

|gn(x)− y0| ≤≤ lim

n→∞M |x− x0| =M |x− x0|.

Это доказывает, что g∗ ∈ X.

Докажем инвариантностьX относительно ϕ, т.е., что ϕ(X) ⊂ X.Пусть g ∈ X. Докажем, что функция ϕ(g) удовлетворяет нера-

венству

|ϕ(g)(x)− y0| ≤M |x− x0|.

115


Поскольку g ∈ X, то ее график лежит в T ⊂ D, и, следовательно,

|f(t, g(t))| ≤ sup(x,y)∈D

|f(x, y)| =M, t ∈ Ih.

Поэтому для x ∈ [x0, x0 + h] имеем

|ϕ(g)(x)− y0| =∣∣y0 +

∫ x

x0

f(t, g(t)) dt− y0∣∣ =

∣∣

∫ x

x0

f(t, g(t)) dt∣∣ ≤

≤∫ x

x0

|f(t, g(t))| dt ≤∫ x

x0

M dt =M |x− x0|.

Для x ∈ [x0 − h, x0] доказательство аналогично. Следовательно,ϕ(g) ∈ X.

Определение 1.8.27. Функция f ∈ F(D;R) удовлетворяет усло-вию Лишица по y на D, если существует постоянная L такая, что

|f(x, y′)− f(x, y′′)| ≤ L|y′ − y′′| (1.58)

для всех (x, y′), (x, y′′) ∈ D. Неравенство (1.58) называется условиемЛипшица, а число L — постоянной Липшица.

Лемма 1.8.28. Пусть f является непрерывной на D и удовлетво-ряет условию Липшица по y на D. Пусть ϕ, h и Ih будут как влемме 1.8.26. Тогда для всех g′, g′′ ∈ X и x ∈ Ih имеем

|ϕ(g′)(x)− ϕ(g′′)(x)| ≤ L∣∣

∫ x

x0

|g′(t)− g′′(t)| dt∣∣ (1.59)

Доказательство. Используя условие Липшица (1.58), имеем дляx ∈ [x0, x0 + h]:

|ϕ(g′)(x)−ϕ(g′′)(x)| =∣∣y0+

∫ x

x0

f(t, g′(t)) dt−y0−∫ x

x0

f(t, g′′(t)) dt∣∣ =

=∣∣

∫ x

x0

(f(t, g′(t))− f(t, g′′(t))

)dt∣∣ ≤

∫ x

x0

∣∣f(t, g′(t))− f(t, g′′(t))

∣∣ dt ≤

≤∫ x

x0

L|g′(t)− g′′(t)| dt = L

∫ x

x0

|g′(t)− g′′(t)| dt.

Для x ∈ [x0 − h, x0] доказательство аналогично.

116


Лемма 1.8.29. В обозначениях следствия 1.8.18 и леммы 1.8.28 ипри выполнении условий леммы 1.8.28 имеем

|ϕn(g′)(x)− ϕn(g′′)(x)| ≤ Ln ‖g′ − g′′‖∞|x− x0|n

n!. (1.60)

Доказательство. Доказательство произведем по индукции для x ∈[x0, x0 + h]. При n = 1 необходимую оценку дает лемма 1.8.28. Аименно,

|ϕ(g′)(x)− ϕ(g′′)(x)| ≤ L

∫ x

x0

|g′(t)− g′′(t)| dt ≤ L

∫ x

x0

‖g′ − g′′‖∞ dt =

= L‖g′ − g′′‖∞∫ x

x0

dt = L‖g′ − g′′‖∞(x− x0).

Пусть имеет место оценка (1.60) для (n− 1), т.е.

|ϕn−1(g′)(x)− ϕn−1(g′′)(x)| ≤ Ln−1 ‖g′ − g′′‖∞(x− x0)

n−1

(n− 1)!. (1.61)

Тогда, используя лемму 1.8.28 и оценку (1.61), имеем:

|ϕn(g′)(x)− ϕn(g′′)(x)| =∣∣ϕ(ϕn−1(g′))(x)− ϕ(ϕn−1(g′′))(x)

∣∣ ≤

≤ L

∫ x

x0

∣∣ϕn−1(g′)(t)− ϕn−1(g′′)(t)

∣∣ dt ≤

≤ L

∫ x

x0

Ln−1‖g′ − g′′‖∞(t− x0)

n−1

(n− 1)!dt =

= Ln‖g′ − g′′‖∞1

(n− 1)!

∫ x

x0

(t− x0)n−1 dt =

= Ln‖g′ − g′′‖∞1

(n− 1)!

(t− x0)n

n

∣∣t=x

t=x0=

= Ln‖g′ − g′′‖∞(x− x0)

n

n!.

Теорема 1.8.30 (Пикар). Пусть D — замкнутая, ограниченнаяобласть в R2, (x0, y0) — внутренняя точка D. Пусть функция f

117


непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y на D. Поло-жим

M = max(x,y)∈D

|f(x, y)|,

и выберем h таким, чтобы T ⊂ D (см. рис. 1.24).Тогда задача Коши (1.53) имеет решение y = g(x) на проме-

жутке Ih = [x0 − h, x0 + h], и это решение единственно.

Доказательство. Определим X ⊂ C(Ih;R) и ϕ : X → X как в лем-ме 1.8.26. Согласно лемме 1.8.29 для g′, g′′ ∈ X имеем, что

‖ϕn(g′)− ϕn(g′′)‖∞ = supx∈Ih

∣∣ϕn(g′)(x)− ϕn(g′′)(x)

∣∣ =

= supx∈Ih

Ln‖g′ − g′′‖∞|x− x0|n

n!=

= Ln‖g′ − g′′‖∞hn

n!= qn‖g′ − g′′‖∞,

где

qn =Lnhn

n!→ 0, n→ ∞.

Поэтому, существует такое n0 ∈ N, что qn0< 1. Но тогда ϕn0 будет

сжатием на X, и по следствию 1.8.18 отображение ϕ имеет един-ственную неподвижную точку g∗ ∈ X, т.е. имеем, что

g∗(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t, g∗(t)

)dt,

и, согласно утверждению 1.8.25, g∗ является решением задачи Ко-ши.

118

Глава 2

Мера и интеграл

119

2.1. СЕМЕЙСТВА ПОДМНОЖЕСТВ

2.1 Семейства подмножеств

В этом разделе Ω — фиксированное множество (подмножество Rn),P(Ω) — семейство всех подмножеств Ω. Все множества A,B, . . . яв-ляются подмножествами множества Ω, т.е. A,B, . . . ∈ P(Ω).

Для семейства Ann∈N подмножеств множества Ω используетсяобозначение A =

⊔∞n=1An, если An1

∩ An2= ∅, если n1 6= n2, и

A =⋃∞

n=1An.

Определение 2.1.1. Семейство S ⊂ P(Ω) называется полуколь-цом на Ω, если

A, B ∈ S =⇒ A ∩B ∈ S и A \B =n⊔

k=1

Ck

для некоторых Ck ∈ S.

Пример 2.1.2. 1. Пусть S = ∅∪ωω∈Ω — семейство, состоящееиз пустого множества и всех одноточечных множеств. ТогдаS является полукольцом.

2. Пусть Ω = R, и для a, b ∈ R обозначим Ia,b = [a, b). Тогдасемейство

S = Ia,b : a, b ∈ R.является полукольцом (см. рис. 2.1).

III \ I

III \ I

III \ I

Рис. 2.1: Множество I \ I для различных I.

3. Пусть Ω = Rn. Для векторов a = (a1, . . . , an) и b = (b1, . . . , bn)из Rn обозначим

Ina,b = Ia1,b1 × . . .× Ian,bn .

120


Рис. 2.2: Разложение I2 \ I2 для различных I2.

Тогда множество

S = Ina,b : a, b ∈ Rn

является полукольцом (рис. 2.2).

Определение 2.1.3. Пусть R ⊂ P(Ω) — некоторое непустое семей-ство подмножеств множества Ω.

(a) Семейство R называется кольцом на Ω, если

A,B ∈ R =⇒ A ∪B ∈ R и A \B ∈ R.

(b) Семейство R называется σ-кольцом на Ω, если R являетсякольцом и

An ∈ R, n ∈ N, =⇒∞⋃

n=1

An ∈ R.

(c) Семейство R называется алгеброй на Ω, если оно являетсякольцом и Ω ∈ R.

(d) Семейство R называется σ-алгеброй на Ω, если оно являетсяσ-кольцом и Ω ∈ R.

Пример 2.1.4. 1. Наименьшей σ-алгеброй над Ω является R =∅,Ω, а наибольшей — R = P(Ω).

121


2. Пусть Ω — произвольное бесконечное множество, и

R = A ∈ P(Ω) : A— конечно.Тогда R является кольцом, но не является ни σ-кольцом, ниалгеброй.

Действительно, если A,B ∈ R, то |A| < ∞ и |B| < ∞. А,поскольку

|A ∪B| ≤ |A|+ |B|,то |A ∪B| <∞ и A ∪B ∈ R.

Поскольку|A \B| ≤ |A| <∞,

то A \B ∈ R.

Поскольку |Ω| = ∞ по условию, то Ω /∈ R, и R не являетсяалгеброй.

С другой стороны, каждое одноточечное множество ω ∈ R,но для бесконечного набора различных точек ωn∞n=1 имеем

∣∣∣

∞⋃

n=1

ωn∣∣∣ = ∞,

и⋃∞

n=1ωn /∈ R, т.е. R не является σ-кольцом.

3. Пусть Ω — произвольное бесконечное множество, и

R = A ∈ P(Ω) : A— конечно или счетно.Тогда R является σ-кольцом, и R является σ-алгеброй тогдаи только тогда, когда Ω счетно.

Лемма 2.1.5. Пусть S является полукольцом на Ω, и A,Ak ∈ S,k = 1, . . . ,m, и Ak1 ∩Ak2 = ∅, если k1 6= k2. Тогда

A \m⊔

k=1

Ak =n⊔

k=1

Bk

для некоторых Bk ∈ S.

122


Доказательство. Доказательство будем проводить по индукции наm.

Для m = 1 по определению полукольца (определение 2.1.1) име-ем

A \A1 =

n1⊔

k=1

Bk

для некоторых Bk ∈ S.Предполагая справедливость утверждения для m− 1 имеем

A \m⊔

k=1

Ak =(A \

m−1⊔

k=1

Ak

)\Am =

(nm−1⊔

k=1

Bk

)\Am =

=

nm−1⊔

k=1

(Bk \Am

)=

nm−1⊔

k=1

(n⊔

l=1

Ckl

)

для некоторых Ckl ∈ S по определению полукольца.

Теорема 2.1.6. Пусть S является полукольцом. Тогда семейство

R = A : A = ⊔nk=1Bk, Bk ∈ S

является кольцом.

Доказательство. Пусть A, A ∈ R, т.е.

A =

m⊔

k=1

Bk, A =

n⊔

l=1

Bl

для некоторых Bk, Bl ∈ S. Тогда имеем

A \ A =(

m⊔

k=1

Bk) \(

n⊔

l=1

Bl

)=

m⊔

k=1

(Bk \

n⊔

l=1

Bl

)=

n⊔

k=1

sk⊔

r=1

Ckr,

где

Bk \n⊔

l=1

Bl =

sk⊔

r=1

Ckr

123


согласно лемме 2.1.5. Поэтому A \ A ∈ R.Докажем теперь, что A ∩ A ∈ R. Действительно, обозначив

Ckl = Bk ∩ Bl, k = 1, . . . ,m, l = 1, . . . , n,

имеем, что Ck1l1 ∩ Ck2l2 = ∅, если (k1, l1) 6= (k2, l2), и

A ∩ A =m⊔

k=1

n⊔

l=1

Ckl.

Множество

A ∪ A = (A \ A) ⊔ (A ∩ A) ⊔ (A \A)

раскладывается на сумму не пересекающихся множеств из S, по-скольку каждое из множеств A \ A, A ∩ A и A \ A имеет такоеразложение.

Определение 2.1.7. Пусть S — полукольцо. Кольцо

RS = ⊔mk=1Bk : Bk ∈ S

называется кольцом, порожденным полукольцом S.

Пример 2.1.8. 1. Пусть Ω — бесконечное множество, и

S = ∅ ∪ω : ω ∈ Ω

.

ТогдаRS = A ⊂ Ω : |A| <∞.

2. Пусть Ω = R, иS = [a, b) : a, b ∈ R.

ТогдаRS =

⊔mk=1[ak, bk) : ak, bk ∈ R

.

124


Утверждение 2.1.9. (a) Пусть R является кольцом. Тогда ∅ ∈R, и для всех A,B ∈ R:

A ∪B ∈ R, A ∩B ∈ R, A \B ∈ R, AB ∈ R.

(b) Кольцо R является алгеброй тогда и только тогда, когда

A ∈ R =⇒ Ac ∈ R.

(c) Пусть R является σ-кольцом. Тогда для всех An ∈ R, n ∈ N:

∞⋃

n=1

An ∈ R,∞⋂

n=1

An ∈ R.

(d) Пусть R является σ-алгеброй. Тогда, если A ∈ R и An ∈ R,n ∈ N, то

Ac ∈ R,∞⋃

n=1

An ∈ R,∞⋂

n=1

An ∈ R.

Доказательство. (a) Пусть R является кольцом. Для любыхA,B ∈R по определению имеем, что A ∪ B ∈ R и A \ B ∈ R. По-скольку

AB = (A \B) ∪ (B \A),то AB ∈ R, поскольку A \ B ∈ R и B \ A ∈ R. Наконец,поскольку

A ∩B = A \ (A \B),

то и A ∩B ∈ R.

(b) Если R является алгеброй, то Ω ∈ R. Поэтому Ac = Ω \A ∈ Rдля произвольного A ∈ R.

Наоборот, если Ac ∈ R для A ∈ R, то

Ω = A ∪Ac ∈ R.

125


(c) Тот факт, что⋃∞

n=1An ∈ R, если An ∈ R для всех n, следуетнепосредственно из определения.

Для доказательства второго свойства рассмотрим множества

A′n = A1 \An ∈ R, n > 1.

Тогда, поскольку (см. рис. 2.3)

∞⋂

n=1

An =

∞⋂

n=1

(A1 ∩An) =

∞⋂

n=1

(A1 \A′n) = A1 \

( ∞⋃

n=2

A′n

)

,

получаем, что⋂∞

n=1An ∈ R.

(d) Первое включение имеет место, поскольку R является алгеб-рой, второе и третье — поскольку R является σ-кольцом.

A1

An

A′n

A1

A′n A1 \A′

n

Рис. 2.3: Доказательство утверждения 2.1.9 (c)

Утверждение 2.1.10. Пусть Γ — произвольное множество индек-сов, и Aγ : γ ∈ Γ — семейство σ-алгебр (соответственно, колец,σ-колец, алгебр) на множестве Ω. Тогда

A =⋂

γ∈ΓAγ

является σ-алгеброй (соответственно, кольцом, σ-кольцом, алгеб-рой) на множестве Ω.

126


Доказательство. Доказательство будем проводить для случая, ко-гда все Aγ являются σ-алгебрами.

Пусть A,B ∈ A. Это означает, что A ∈ Aγ и B ∈ Aγ для всехγ ∈ Γ. Поскольку каждое семейство Aγ является σ-алгеброй, тоA \B ∈ Aγ для каждого γ ∈ Γ. Поэтому

A \B ∈⋂

γ∈ΓAγ = A.

Точно также, если Ak ∈ A для всех k ∈ N, то Ak ∈ Aγ для всехk ∈ N и каждого γ ∈ Γ. Поскольку Aγ является σ-алгеброй длякаждого γ ∈ Γ, то

⋃∞k=1Ak ∈ Aγ . Следовательно,

( ∞⋃

k=1

Ak

)

∈⋂

γ∈ΓAγ = A.

Теорема 2.1.11. Пусть C ⊂ P(Ω) — произвольное семейство под-множеств множества Ω. Существует наименьшая σ-алгебра ΣC(соответственно, кольцо, σ-кольцо, алгебра) такая, что C ⊂ ΣC.Эта σ-алгебра (соответственно, кольцо, σ-кольцо, алгебра) един-ственна.

Доказательство. Рассмотрим случай σ-алгебры.Пусть Aγγ∈Γ — семейство всех σ-алгебр, для которых C ⊂ Aγ .

Это семейство не пусто, поскольку содержит P(Ω). Полагая

ΣC =⋂

γ∈ΓAγ ,

получаем, что ΣC является σ-алгеброй по утверждению 2.1.10, иC ⊂ ΣC , так как C ⊂ Aγ для каждого γ ∈ Γ по определению.

Поскольку ΣC является пересечением всех σ-алгебр, содержа-щих C, то она является наименьшей σ-алгеброй, содержащей C.

127


Определение 2.1.12. Пусть C ⊂ P(Ω) — произвольное семействоподмножеств Ω. Наименьшая σ-алгебра ΣC (соответственно, коль-цо, σ-кольцо, алгебра) такая, что C ⊂ ΣC называется σ-алгеброй(соответственно, кольцом, σ-кольцом, алгеброй), порожденной се-мейством C.

Пример 2.1.13. 1. Пусть C =ω : ω ∈ Ω

— семейство одното-

чечных множеств. Тогда кольцом RC , порожденным C, явля-ется семейство всех конечных подмножеств множества Ω.

Порожденным σ-кольцом является семейство всех конечныхили счетных подмножеств множества Ω.

Порожденной алгеброй AC является семейство всех подмно-жеств A ⊂ Ω таких, что |A| <∞ либо |Ac| <∞.

Порожденная σ-алгебра ΣC состоит из таких A ⊂ Ω, что A —конечно или счетно, либо Ac — конечно или счетно.

Замечание 2.1.14. В связи с неконструктивным доказательствомутверждения 2.1.11, описать все подмножества Ω, которые входятв ΣC часто бывает затруднительно или невозможно.

Определение 2.1.15. Борелевской σ-алгеброй на Rn называетсяσ-алгебра Bn, порожденная всеми открытыми подмножествами Rn.Множества B ∈ Bn называются борелевскими множествами в Rn.

Если n = 1, то для B1 используется обозначение B.

Пример 2.1.16. Множества ∅, a, (a, b), [a, b), (a, b], [a, b], Q, R яв-ляются борелевскими в R.

Действительно, ∅ ∈ B, поскольку B является кольцом. Включе-ние R = Ω ∈ B имеет место, так как B является алгеброй.

Для одноточечного множества a имеем, что

a =

∞⋂

k=1

(

a− 1

k, a+

1

k

)

∈ B,

согласно утверждению 2.1.9.Интервал (a, b) ∈ B, поскольку это открытое множество.

128


Поскольку a, (a, b) ∈ B, и B, в частности, является кольцом,то

[a, b) = a ∪ (a, b) ∈ B.Аналогично имеем, что (a, b], [a, b] ∈ B.

Поскольку множество Q является счетным, то

Q =

∞⋃

k=1

qk.

Для каждого одноточечного множества имеем qk ∈ B, и, крометого, B является σ-алгеброй, а значит, содержит счетные объедине-ния своих подмножеств. Таким образом,

Q =∞⋃

k=1

qk ∈ B.

Утверждение 2.1.17. Пусть C и C′ — некоторые семейства под-множеств Ω. Обозначим σ-алгебру (соответственно, кольцо, σ-кольцо, алгебру), порожденную семейством C (соответственно,C′) через ΣC (соответственно, ΣC′).

(a) Если C ⊂ C′, то ΣC ⊂ ΣC′ .

(b) Если C ⊂ ΣC′ , то ΣC ⊂ ΣC′ .

(c) Если C ⊂ ΣC′ и C′ ⊂ ΣC, то ΣC = ΣC′ .

Доказательство. Рассмотрим случай σ-алгебр.

(a) Поскольку C ⊂ C′ по условию, и C′ ⊂ ΣC′ по определению ΣC′ ,имеем, что C ⊂ ΣC′ . Но ΣC′ является σ-алгеброй, содержащейсемейство C, а ΣC является наименьшей такой σ-алгеброй. По-этому, ΣC ⊂ ΣC′ .

(b) По условию, C ⊂ ΣC′ . Так как ΣC′ является σ-алгеброй, содер-жащей C, а ΣC — наименьшая σ-алгебра, содержащая C, тоΣC ⊂ ΣC′ .

129


(c) Поскольку C ⊂ ΣC′ , то ΣC ⊂ ΣC′ . И, так как C′ ⊂ ΣC , то ΣC′ ⊂ΣC . Таким образом, ΣC = ΣC′ .

Лемма 2.1.18. Пусть U ⊂ R — открытое множество. Тогда су-ществует счетное семейство интервалов (ak, bk), k ∈ N, таких,что

U =∞⋃

k=1

(ak, bk).

Доказательство. Случай U = ∅ тривиален, поскольку достаточновзять ak = bk, k ∈ N, произвольными.

Пусть U 6= ∅, и рассмотрим счетное множество QU = Q∩U . Этомножество не пусто, так как если x ∈ U , то существует такое ε > 0,что

(x− ε, x+ ε) ⊂ U,

поскольку U является открытым множеством. Запишем x в видебесконечной десятичной дроби:

x = x0, x1x2x3 . . . ,

где x0 ∈ Z, а x1, x2, · · · ∈ 0, 1, . . . , 9. Для достаточно хорошейдесятичной аппроксимации ( 1

10n < ε) имеем, что

x = x0, x1 . . . xn ∈ (x− ε, x+ ε) ∩Q ⊂ U ∩Q = QU .

Таким образом, QU 6= ∅.Пусть QU = q1, q2, . . .. Для каждого qk ∈ U положим

ak = infa : (a, qk] ⊂ U, bk = supb : [qk, b) ⊂ U.

Тогда будем иметь, что (ak, bk) = (ak, qk] ∪ [qk, bk) ⊂ U .Докажем, что

∞⋃

k=1

(ak, bk) = U.

130


По построению (ak, bk) ⊂ U для каждого k ∈ N. Поэтому

∞⋃

k=1

(ak, bk) ⊂ U.

Предположим, что

U =∞⋃

k=1

(ak, bk) 6= U,

и придем к противоречию.Пусть y ∈ U \ U . Так как U — открытое множество, то суще-

ствует такое δ > 0, что (y − δ, y + δ) ⊂ U . Возьмем рациональноеприближение

y = y0, y1y2 . . . ym

точки y такое, чтобы y ∈ (y−δ, y+δ) ⊂ U . Тогда y ∈ QU , т.е. y = qk0для некоторого k0 ∈ N. Но тогда по построению имеем, что

ak0 ≤ y − δ, bk0 ≥ y + δ.

Таким образом, y ∈ (ak0 , bk0), а значит, y ∈ ⋃∞k=1(ak, bk) = U , что

противоречит выбору y.

Утверждение 2.1.19. Борелевская σ-алгебра B на R порождена:

a) семейством открытых интервалов (a, b);

b) кольцом J конечных объединений полуоткрытых интервалов[a, b);

c) семейством открытых полупрямых (−∞, b);

d) семейством замкнутых полупрямых (−∞, b];

Доказательство. (a) Пусть ΣJo — σ-алгебра, порожденная откры-тыми интервалами (a, b), a, b ∈ R. Поскольку все множества(a, b) являются открытыми, то (a, b) ∈ B, и, следовательно,ΣJo ⊂ B, согласно утверждению 2.1.17.

131


Пусть U — произвольное открытое множество. Согласно лем-ме 2.1.18, имеем, что

U =∞⋃

k=1

(ak, bk),

то есть U ∈ ΣJo , поскольку (ak, bk) ∈ ΣJo по определению,и ΣJo замкнуто относительно счетных объединений, будучиσ-алгеброй. Поэтому B ⊂ ΣJo по утверждению 2.1.17.

Таким образом, B = ΣJo .

(b) Пусть ΣJ — σ-алгебра, порожденная кольцом J . Поскольку

a =∞⋂

k=1

[

a, a+1

k

)

,

то a ∈ ΣJ . Отсюда следует, что

(a, b) = [a, b) \ a ∈ ΣJ .

Поэтому ΣJ ⊃ ΣJo = B.

С другой стороны, [a, b) ∈ B. Поэтому ΣJ ⊂ B. Следовательно,ΣJ = B.

(c) Обозначим через J∞ множество бесконечных открытых интер-валов (−∞, b). Поскольку (−∞, b) является открытым множе-ством, то (−∞, b) ∈ B, и ΣJ∞

⊂ B.

Поскольку ΣJ∞является алгеброй, и (−∞, b) ∈ ΣJ∞

, имеем

(−∞, b)c = [b,+∞) ∈ ΣJ∞.

Поэтому[a, b) = (−∞, b) ∩ [a,+∞) ∈ ΣJ∞

.

Таким образом, ΣJ = B ⊂ ΣJ∞. Следовательно, B = ΣJ∞

.

132


(d) Обозначим через J∞,c множество бесконечных интервалов (−∞, b].Поскольку

(−∞, b) =∞⋃

k=1

(

−∞, b− 1

k

]

, (−∞, b] =∞⋂

k=1

(

−∞, b+1

k

)

,

то ΣJ∞⊂ ΣJ∞,c и ΣJ∞,c ⊂ ΣJ∞

, т.е. ΣJ∞,c = ΣJ∞= B.

Задачи

[10] КР : 281.1 (1, 2, 3, 6), 279, 283, 285.2, 285.4, 287.1, 289, 289.2,290.3„ 290.4, 290.1, 290.7, 290.8 (1, 3), 290.9 (1, 4), 290.10.

ДР : 281.1 —, 282, 284, 285.3, 287, 289.1,290.2, 290.5, 290.6, 290.8 (2, 4), 290.9 —.

133

2.2. МЕРА МНОЖЕСТВА

2.2 Мера множества

2.2.1 Определение, свойства

В множестве R+ = R+ ∪ +∞ для c ∈ R+ определим

c+ (+∞) = (+∞) + c = +∞,

c · (+∞) =

+∞, c > 0,0, c = 0

Определение 2.2.1. Пусть S — полукольцо на множестве Ω. Функ-ция µ : S → R+ называется мерой на полукольце S, если

(i) µ(∅) = 0;

(ii) для всех Ak ∈ S, k ∈ N, таких, что A = ⊔∞k=1Ak ∈ S имеем,

что

µ(A) = µ(

∞⊔

k=1

Ak

)=

∞∑

k=1

µ(Ak).

Пример 2.2.2. Пусть Ω — произвольное множество, и

S = ∅ ∪ω : ω ∈ Ω

.

Определим µ(∅) = 0 и µ(ω) = 1 для произвольного ω ∈ Ω. То-гда условие (i) выполнено, а условие (ii) выполнено тривиально,поскольку S содержит только одноточечные и пустое множества.

Пример 2.2.3. Пусть c : Ω → R+ — произвольная функция, а S какв примере 2.2.2. Определим µc : S → R+ как µc(∅) = 0, и µc(ω) =c(ω). Как и в примере 2.2.2, µc является мерой на полукольце S.

Пример 2.2.4. Пусть S как в примере 2.2.2, и ω0 ∈ Ω. Определимфункцию cω0

: Ω → R+ как cω0(ω0) = 1 и cω0

(ω) = 0, если ω 6= ω0.Тогда, как и в примере 2.2.3, ǫω0

= µcω0является мерой на S.

Теорема 2.2.5. Пусть Ω = R, и

S =[a, b) : a, b ∈ R

.

134


Тогда функция λS : S → R+, заданная как

λS([a, b)

)= b− a, a ≤ b,

является мерой на полукольце S.

Доказательство. Поскольку ∅ = [a, a), то условие (i) определе-ния 2.2.1 выполнено. Для доказательства (ii) предположим, что

[a, b) =∞⊔

k=1

[ak, bk), (2.1)

все полуинтервалы не есть пустыми множествами, и докажем, чтоλS =

∑∞k=1 λS

([bk, ak)

), т.е., что

b− a =∞∑

k=1

(bk − ak).

Вначале докажем, что b − a ≥ ∑∞k=1(bk − ak). Поскольку a ∈

⊔∞k=1[ak, bk), то существует единственное k1 такое, что a = ak1 . То-

гда, поскольку bk1 ∈ ⊔∞k=1[ak, bk), то существует единственное ak2

такое, что bk1 = ak2 . Продолжая таким образом, имеем, что

a = ak1 < bk1 = ak2 < bk2 = ak3 < bk3 = . . . ≤ b.

Изменим при необходимости нумерацию, можно считать, что

a = a1 < b1 = a2 < b2 = a3 < b3 = . . . ≤ b. (2.2)

Тогда для любого n ∈ N имеем, что

n∑

k=1

(bk − ak) = −a1 + b1 − a2 + b2 − a3 + b3 − . . .− an + bn =

= bn − a1 = bn − a ≤ b− a.

Поэтому, переходя к пределу, имеем

∞∑

k=1

(bk − ak) = limn→∞

n∑

k=1

(bk − ak) = limn→∞

(bn − a) ≤ b− a.

135


Теперь докажем, что∑∞

k=1(bk − ak) ≥ b− a. Для этого возьмемпроизвольное ε > 0, и рассмотрим замкнутый отрезок Iε и откры-тые интервалы Jε

k , k ∈ N, определенные как

Iε = [a, b− ε] ⊂ [a, b), Jεk = (− ε

2k+ ak, bk) ⊃ [ak, bk).

Тогда в силу предположения (2.1) имеем:

Iε ⊂∞⋃

k=1

Jεk ,

что означает, что система Jεk∞k=1 является открытым покрытием

компактного множества Iε. Следовательно существует n ∈ N, длякоторого

Iε ⊂n⋃

k=1

Jεk .

Поэтому имеем, что

[a, b− ε) ⊂ Iε ⊂n⋃

k=1

Jεk ⊂

n⋃

k=1

[− ε

2k+ ak, bk).

Поэтому, используя (2.2), имеем

b− ε− a ≤n∑

k=1

( ε

2k− ak + bk

)=

n∑

k=1

ε

2k+

n∑

k=1

(bk − ak) =

=ε

2

n−1∑

k=0

1

2k+

n∑

k=1

(bk − ak) =ε

2

1− 12n

1− 12

+n∑

k=1

(bk − ak) ≤

≤ ε+

n∑

k=1

(bk − ak) ≤ ε+

∞∑

k=1

(bk − ak).

Таким образом, для произвольного ε > 0 имеем, что

(b− a)− 2ε ≤∞∑

k=1

(bk − ak),

136


откуда и получаем необходимое b− a ≤ ∑∞k=1(bk − ak).

Определение 2.2.6. Пусть Ω — множество, и R ⊂ P(Ω) — кольцоподмножеств Ω. Функция µ : R → R+ называется мерой на R, если

(i) µ(∅) = 0;

(ii) для всех Ak ∈ R, k ∈ N, таких, что⊔∞

k=1Ak ∈ R:

µ( ∞⊔

k=1

Ak

)

=∞∑

k=1

µ(Ak) (2.3)

Замечание 2.2.7. Полагая Am+1 = Am+2 = . . . = ∅ в (2.3), получаем,что

µ( m⊔

k=1

Ak

)

=m∑

k=1

µ(Ak), m ∈ N.

Теорема 2.2.8 (продолжение меры с полукольца). Пусть S — по-лукольцо на Ω, и µS : S → R+ — мера на S. Если RS — кольцо,порожденное S, то функция µ : RS → R+, определенная как

µ(

m⊔

k=1

Ak

)=

m∑

k=1

µS(Ak)

для Ak ∈ S, k = 1, . . . ,m, корректно задана и является мерой наRS . Кроме того, µS= µS , и µ является единственной мерой наRS , удовлетворяющей этому свойству.

Доказательство. Докажем корректность, т.е. если

A =

m⊔

k=1

A′k =

n⊔

l=1

A′′l ,

где A′k ∈ S, k = 1, . . .m, и A′′

l ∈ S, l = 1, . . . , n, то

m∑

k=1

µS(A′k) =

n∑

l=1

µS(A′′l ).

137


Для этого положимBkl = A′

k ∩A′′l .

Тогда Bkl ∩Bk′l′ = ∅, если (k, l) 6= (k′, l′). Кроме того, имеем, что

A′k = A′

k ∩A = A′k ∩

n⊔

l=1

A′′l =

n⊔

l=1

(A′k ∩A′′

l ) =n⊔

l=1

Bkl,

A′′l = A′′

l ∩A = A′′l ∩

m⊔

k=1

A′k =

m⊔

k=1

(A′′l ∩A′

k) =m⊔

k=1

Bkl.

Поэтому, в силу (ii) определения 2.2.1, имеем

µS(A′k) =

n∑

l=1

µS(Bkl), µS(A′′l ) =

m∑

k=1

µS(Bkl).

Тогда

m∑

k=1

µS(A′k) =

m∑

k=1

n∑

l=1

µS(Bkl) =m∑

l=1

n∑

k=1

µS(Bkl) =m∑

k=1

µS(A′′l ),

что и доказывает корректность.

Докажем, что µ является мерой. Выполнение свойства (i) сле-дует непосредственно из свойства (i) определения 2.2.1.

Докажем (ii). Пусть A,Ak ∈ RS , k ∈ N, такие, что

A =∞⊔

k=1

Ak.

Требуется доказать, что

µ(A) =∞∑

k=1

µ(Ak).

В силу определения кольца RS (теорема 2.1.6), существуют такиеBr ∈ S, r = 1, . . . ,m, и Cks ∈ S, s = 1, . . . , nk, что

A =m⊔

r=1

Br, Ak =

nk⊔

s=1

Cks

138


для всех k ∈ N. Для r = 1, . . . ,m, k ∈ N и s = 1, . . . , nk положим

Drks = Br ∩ Cks.

Тогда Drks ∩Dr′k′s′ = ∅, если (r, k, s) 6= (r′, k′, s′). Кроме того,

Br = Br ∩A = Br ∩∞⊔

k=1

Ak =∞⊔

k=1

(Br ∩Ak) =∞⊔

k=1

(Br ∩

nk⊔

s=1

Cks

)=

=∞⊔

k=1

nk⊔

s=1

(Br ∩ Cks) =∞⊔

k=1

nk⊔

s=1

Drks,

Cks = Cks ∩A = Cks ∩m⊔

r=1

Br =m⊔

r=1

(Br ∩ Cks) =m⊔

r=1

Drks.

Поэтому, используя свойство (ii) в определении 2.2.1, имеем

µ(A) =m∑

r=1

µS(Br) =m∑

r=1

µS(

∞⊔

k=1

nk⊔

s=1

Drks

)=

m∑

r=1

∞∑

k=1

nk∑

s=1

µS(Drks) =

=

∞∑

k=1

nk∑

s=1

m∑

r=1

µS(Drks) =

∞∑

k=1

nk∑

s=1

µS(Cks) =

∞∑

k=1

µ(Ak).

Наконец, единственность и то, что µS= µS следует непосредствен-

но из определения меры µ.

Пример 2.2.9 (считающая мера). Пусть S — полукольцо одноточеч-ных и пустого множеств, и µS(ω) = 1, µS(∅) = 0 (см. пример 2.2.2).Тогда кольцо RS состоит из всех конечных множеств, и

µ(A) = |A|,

где |A| — количество точек в множестве A.

Пример 2.2.10. Пусть S, c : Ω → R+, и µS = µc будут как в приме-ре 2.2.3. Тогда RS состоит из всех конечных множеств A, и

µ(A) =∑

ω∈Ac(ω).

139


Пример 2.2.11. Пусть S и ǫω0будут как в примере 2.2.4. Тогда RS

также состоит из всех конечных подмножеств A, и

µ(A) =

1, ω0 ∈ A,

0, ω0 /∈ A.

Пример 2.2.12 (мера длины на R). Пусть Ω = R, и полукольцо Sзадано как

S =[a, b) : a, b ∈ R

.

Тогда для A ∈ RS имеем, что

A =m⊔

k=1

[ak, bk),

и

λ(A) =m∑

k=1

(bk − ak).

Утверждение 2.2.13. Пусть R — кольцо на Ω, и µ — мера на R.Тогда:

(a) (аддитивность меры)

µ(

A⊔

B)

= µ(A) + µ(B); (2.4)

(b) (монотонность меры) если A,B ∈ R и A ⊂ B, то

µ(A) ≤ µ(B); (2.5)

(c) (субтрактивность меры) если A,B ∈ R, A ⊂ B и µ(A) <+∞, то

µ(B \A) = µ(B)− µ(A); (2.6)

(d) (счетная полуаддитивность) если A,Ak ∈ R, k ∈ N, и A ⊂⋃∞

k=1Ak, то

µ(A) ≤∞∑

k=1

µ(Ak). (2.7)

140


Доказательство. (a) Полагая в (2.3) A1 = A, A2 = B, A3 = . . . =∅, получим (2.4).

(b), (c) Поскольку R — кольцо, то B \A ∈ R. Кроме того,

B = A⊔

(B \A).

Поэтому,µ(B) = µ(A) + µ(B \A).

Отсюда получаем, что

µ(B)− µ(A) = µ(B \A) ≥ 0,

т.е. выполнено (2.5). Также, из предыдущего равенства име-ем (2.6).

(d) Рассмотрим множества A′k, k ∈ N, определенные как

A′1 = A1; A′

2 = A2 \A1, . . . , A′k = Ak \

(k−1⋃

l=1

Al

)

, . . .

Семейство множеств A′k∞k=1 обладает следующими свойства-

ми (см. рис. 2.4):

A′k ∈ R, A′

k ⊂ Ak,∞⋃

k=1

A′k =

∞⋃

k=1

Ak ⊃ A, A′k∩A′

l = ∅ (k 6= l).

A1

A2

A3

A′1

A′2

A′3

Рис. 2.4: Множества A′k, k ∈ N.

Теперь построим множества A′′k = A∩A′

k. Они обладают свой-ствами:

A′′k ∈ R, A′′

k ⊂ Ak, A =∞⋃

k=1

A′′k, A′′

k ∩A′′l = ∅ (k 6= l)

141


Тогда, используя эти свойства а также свойство (b), имеем,что

µ(A) = µ( ∞⋃

k=1

A′′k

)

= µ( ∞⊔

k=1

A′′k

)

=∞∑

k=1

µ(A′′k) ≤

∞∑

k=1

µ(Ak).

Обозначения 2.2.14. Пусть A,Ak ⊂ Ω, k ∈ N. Используются сле-дующие обозначения:

Ak ↑ A ⇐⇒

Ak ⊂ Ak+1, k ∈ N,⋃∞

k=1Ak = A,

Ak ↓ A ⇐⇒

Ak ⊃ Ak+1, k ∈ N,⋂∞

k=1Ak = A.

Утверждение 2.2.15 (непрерывность меры по возрастанию). ПустьA,Ak ∈ R, k ∈ N, и Ak ↑ A. Тогда µ(Ak) ↑ µ(A) (последова-тельность действительных чисел

(µ(Ak)

)∞k=1

является монотон-

но неубывающей и имеет пределом элемент µ(A) ∈ R+).

Доказательство. Поскольку Ak ↑ A, то

A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . ⊂ Ak ⊂ . . . , A =

∞⋃

k=1

Ak.

Рассмотрим множества A′k, k ∈ N, определенные как

A′1 = A1, A′

k = Ak \Ak−1, k ≥ 2.

Имеем, что A′k ∩A′

l = ∅ при k 6= l, и

A =∞⋃

k=1

Ak =∞⊔

k=1

A′k,

142


см. рис. 2.5. При этом,

µ(A′k) = µ(Ak)− µ(Ak−1),

поскольку Ak−1 ⊂ Ak. Таким образом,

µ(A) =

∞∑

l=1

µ(A′l) = lim

k→∞

k∑

l=1

µ(A′l) =

= limk→∞

(

µ(A1) +(µ(A2)− µ(A1)

)+(µ(A3)− µ(A2)

)+ . . .+

+(µ(Ak)− µ(Ak−1)

))

=

= limk→∞

µ(Ak).

А поскольку µ(Ak) ≤ µ(Ak+1) так как Ak ⊂ Ak+1, то имеем µ(Ak) ↑µ(A).

A1

A2

A3

A′1

A′2

A′3

Рис. 2.5: Множества A′k, k ∈ N.

Утверждение 2.2.16 (непрерывность меры по убыванию). ПустьA,Ak ∈ R, k ∈ N, µ(Ak0) < +∞ для некоторого k0, и Ak ↓ A.Тогда µ(Ak) ↓ µ(A) (последовательность действительных чисел(µ(Ak)

)∞k=1

является монотонно невозрастающей и имеет преде-лом элемент µ(A) ∈ R+).

Доказательство. Поскольку Ak ↓ A, то это означает, что

A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . ⊃ Ak0 ⊃ . . . , A =∞⋂

k=1

Ak.

Тогда

Ak0 \Ak0 ⊂ Ak0 \Ak0+1 ⊂ Ak0 \Ak0+2 ⊂ . . . ,

143


Ak0 \A = Ak0 \( ∞⋂

k=k0

Ak

)

=∞⋃

k=k0

(Ak0 \Ak).

На основании утверждения 2.2.15 имеем, что

µ(Ak0 \A) = µ( ∞⋃

k=k0

(Ak0 \Ak))

= limk→∞

µ(Ak0 \Ak).

Поскольку A ⊂ Ak0 и Ak ⊂ Ak0 для k ≥ k0, то из предыдущегоравенства имеем:

µ(Ak0)− µ(A) = limk→∞

(µ(Ak0)− µ(Ak)

)= µ(Ak0)− lim

k→∞µ(Ak).


µ(A) = limk→∞

µ(Ak), µ(A1) ≥ µ(A2) ≥ . . . ,

т.е. µ(Ak) ↓ µ(A).

Следствие 2.2.17. Если Ak ∈ R, k ∈ N, и µ(Ak0) < +∞ длянекоторого k0, и Ak ↓ ∅, то µ(Ak) ↓ 0.

Замечание 2.2.18. Если µ(Ak) = +∞ для всех k, то утвержде-ние 2.2.16 может не выполняться.

Пример 2.2.19. Пусть Ω = N, R = P(N), µ(A) = |A|, и Ak = k, k +1, . . .. Тогда

⋂∞k=1Ak = ∅, но limk→∞ |Ak| = ∞.

2.2.2 Продолжение меры

Определение 2.2.20. Пусть R — кольцо подмножеств Ω, и µ —мера на R. Внешней мерой µ∗, связанной с µ, называется функ-ция µ∗ : P(Ω) → R+, определенная для произвольного E ∈ P(Ω)следующим образом:

µ∗(E) = inf ∞∑

k=1

µ(Ak) : Ak ∈ R, k ∈ N, и∞⋃

k=1

Ak ⊃ E

,

144


если существует хотя бы одно счетное семейство Ak ∈ R : k ∈ N,покрывающее E, т.е. такое, что E ⊂ ⋃∞

k=1Ak, и

µ∗(E) = +∞,

если такого семейства нет.

Пример 2.2.21. Пусть R = RS и µ как в примере 2.2.9. Для каждогоE ∈ P(Ω) имеем, что

µ∗(E) =

|E|, E – счетно,

+∞, E – несчетно.

Пример 2.2.22. Для R = RS и µ = µc как в примере 2.2.10, дляE ∈ P(Ω) имеем

µ∗(E) =

∑

ω∈Ec(ω), E – счетно,

+∞, E – несчетно.

Пример 2.2.23. Для R = RS как в примере 2.2.11, для E ∈ P(Ω)имеем

µ∗(E) = 1E(ω0),

где 1E — индикатор множества E.

Пример 2.2.24. Для Ω = R, R и λ из примера 2.2.12 имеем, чтоλ∗(c) = 0 для произвольного c ∈ R.

Действительно, c ⊂ In =[c, c+ 1

n

)для всех n ∈ N, и λ(In) =

1n .

Поэтому,

λ∗(c

)≤ inf

1

n: n ∈ N

= 0,

т.е. λ∗(c

)= 0.

Пример 2.2.25. Пусть Ω = R, R и λ будут как в примере 2.2.12.Тогда λ∗(Q) = 0.

145


Действительно, поскольку Q является счетным, то Q = qk∞k=1.Выберем произвольное ε > 0, и положим Ik =

[qk, qk +

ε2k

). Очевид-

но, что

Q ⊂∞⋃

k=1

Ik.

Поэтому,

λ∗(Q) ≤∞∑

k=1

λ(Ik) =∞∑

k=1

ε

2k= ε

∞∑

k=1

1

2k= ε.

Поскольку ε > 0 было произвольным, получаем λ∗(Q) = 0.

Пример 2.2.26. Ω = 0, 1, R = ∅,Ω, µ(Ω) = 1. Тогда µ∗(0) =µ∗(1) = 1.

Действительно, единственное множество, которое покрывает 0является Ω. То же самое верно для множества 1. Поэтому,

µ∗(0

)= µ∗

(1

)= µ(Ω) = 1.

Замечание 2.2.27. Внешняя мера не всегда является аддитивной наP(Ω), и тем более σ-аддитивной, а значит не всегда является меройна P(Ω).

Действительно, как показывает пример 2.2.26, 0 ∩ 1 = ∅, и,следовательно, если µ∗ аддитивна, то

µ∗(0 ∪ 1

)= µ∗

(0

)+ µ∗

(1

)= 2,

в то время как

µ∗(0 ∪ 1

)= µ∗(Ω) = µ(Ω) = 1.

Утверждение 2.2.28. Пусть R — кольцо подмножеств Ω, µ —мера на R и µ∗ — внешняя мера, связанная с µ. Тогда

(a) µ∗(∅) = 0;

(b) µ∗(A) = µ(A) для всех A ∈ R;

146


(c) µ∗ является неубывающей, т.е.

E ⊂ F =⇒ µ∗(E) ≤ µ∗(F )

для всех E,F ∈ P(Ω);

(d) µ∗ является счетно полуаддитивной, т.е.

µ∗( ∞⋃

k=1

Ek

)

≤∞∑

k=1

µ∗(Ek), Ek ∈ P(Ω), k ∈ N.

Доказательство. (a) Поскольку ∅ ∈ R для любого кольца R, и∅ ⊃ ∅, то

µ∗(∅) ≤ µ(∅) = 0.

(b) Пусть A ∈ R, и Ak ∈ R, k ∈ N, произвольны, но такие, чтоA ⊂ ⋃∞

k=1Ak. Используя утверждение 2.2.13 (d), получим, что

µ(A) ≤∞∑

k=1

µ(Ak),

поэтому,

µ(A) ≤ inf ∞∑

k=1

µ(Ak) : A ⊂∞⋃

k=1

Ak

= µ∗(A).

С другой стороны, в качестве покрытия A можно взять самоA, поскольку A ∈ R, и, поэтому,

µ∗(A) = inf ∞∑

k=1

µ(Ak) : A ⊂∞⋃

k=1

Ak

≤ µ(A).

Таким образом,µ(A) ≤ µ∗(A) ≤ µ(A),

т.е. µ∗(A) = µ(A).

147


(c) Пусть Bk∞k=1, Bk ∈ R для всех k ∈ N, — произвольное по-крытие множества F . Тогда оно также является покрытиеммножества E, поскольку E ⊂ F . Таким образом,

µ∗(E) = inf ∞∑

k=1

µ(Ak) : E ⊂∞⋃

k=1

Ak

≤∞∑

k=1

µ(Bk).

Следовательно,

µ∗(E) ≤ inf ∞∑

k=1

µ(Bk) : F ⊂∞⋃

k=1

Bk

= µ∗(F ).

(d) Пусть Ak,l∞l=1, Ak,l ∈ R, — произвольное покрытие множестваEk. Тогда счетное семейство Ak,l∞k,l=1 является покрытиеммножества E =

⋃∞k=1Ek. Поэтому,

µ∗(E) = inf ∞∑

k=1

µ(Ak) : Ak ∈ R, E ⊂∞⋃

k=1

Ak

≤

≤ inf ∞∑

k,l=1

µ(Ak,l) : Ek ⊂∞⋃

l=1

Ak,l, k ∈ N

=

= inf ∞∑

k=1

∞∑

l=1

µ(Ak,l) : Ek ⊂∞⋃

l=1

Ak,l, k ∈ N

=

=∞∑

k=1

inf ∞∑

l=1

µ(Ak,l) : Ek ⊂∞⋃

l=1

Ak,l, k ∈ N

=

=

∞∑

k=1

µ∗(Ek).

Определение 2.2.29. Пусть R — кольцо подмножеств Ω, и µ —мера на R. Множество N ⊂ Ω называется множеством меры 0относительно меры µ, если µ∗(N) = 0. Семейство всех множествмеры 0 будет обозначаться N .

148


Пример 2.2.30. Пусть Ω = R и R, λ как в примере 2.2.24. Тогдавсякое счетное множество N является множеством меры 0.

Действительно, было показано, что λ∗(x

)= 0 для любой точ-

ки x ∈ R. Поэтому, для X = xk∞k=1 в силу 2.2.28 (d) имеем:

µ∗(X) = µ∗( ∞⋃

k=1

xk)

≤∞∑

k=1

µ∗(xk

)=

∞∑

k=1

0 = 0.

Пример 2.2.31. Пусть Ω — произвольное множество, R = P(Ω),(ωk)

∞k=1 и (ck)

∞k=1 — фиксированные последовательности точек в Ω

и положительных чисел. Пусть µ : R → R+ задана как

µ(A) =∑

ωk∈Ack1A(ωk).

Тогда µ∗ = µ, и любое подмножество N ,

N ⊂( ∞⋃

k=1

ωk)c

является множеством меры 0.

Действительно, поскольку R = P(Ω), то в силу 2.2.28 (b) имеем,что µ∗(A) = µ(A) для любого A ∈ P(Ω). Таким образом, внешняямера µ∗ совпадает с мерой µ.

А если ωk /∈ A, то по определению 1A(ωk) = 0, и

µ∗(A) = µ(A) =∞∑

k=1

ck1A(ωk) =∞∑

k=1

ck 0 = 0.

Утверждение 2.2.32. (a) Пусть N ∈ N . Если M ⊂ N , то M ∈N .

(b) Пусть Nk ∈ N для всех k ∈ N. Тогда⋃∞

k=1Nk ∈ N .

(c) Если R является σ-алгеброй, то N ∈ N тогда и только то-гда, когда существует такое множество A ∈ R, что N ⊂ Aи µ(A) = 0.

149


Доказательство. (a) Используя утверждение 2.2.28 (c), имеем

µ∗(M) ≤ µ∗(N) = 0.

Таким образом, µ∗(M) = 0, и M ∈ N .

(b) Используя 2.2.28 (d), имеем

µ∗( ∞⋃

k=1

Nk

)

≤∞∑

k=1

µ∗(Nk) =

∞∑

k=1

0 = 0,

т.е.⋃∞

k=1Nk ∈ N .

(c) Пусть µ∗(N) = 0, т.е.

inf ∞∑

k=1

µ(Ak) : Ak ∈ R, N ⊂∞⋃

k=1

Ak

= 0.

По определению инфимума, из этого следует, что для каждогоn ∈ N существует такое покрытие An,k∞k=1 множества N , что

∞∑

k=1

µ(An,k) <1

n.

Положим An =⋃∞

k=1An,k. Тогда An ∈ R, поскольку R явля-ется σ-алгеброй по условию, и

µ(An) = µ( ∞⋃

k=1

An,k

)

≤∞∑

k=1

µ(An,k) <1

n.

Кроме этого, N ⊂ An для каждого n ∈ N, поскольку семей-ство An,k∞k=1 является покрытием N для каждого n. Такимобразом, N ⊂ A =

⋂∞n=1An, и A ∈ R, поскольку R является

σ-алгеброй. А так как A ⊂ An, то

µ(A) ≤ µ(An) <1

n

для всех n ∈ N. Следовательно, µ(A) = 0.

150


Определение 2.2.33. Пусть R — кольцо подмножеств множестваΩ, и µ — мера на R. Множество C ⊂ Ω называется измеримым поКаратеодори или µ-измеримым, если

µ∗(

E⊔

F)

= µ∗(E) + µ∗(F ) для всех E ⊂ C и F ⊂ Cc.

Семейство всех µ-измеримых подмножеств Ω будет обозначатьсяΣµ.

Утверждение 2.2.34. Пусть R — кольцо подмножеств Ω, µ —мера на R. Если A ∈ R, то A является µ-измеримым, т.е. R ⊂Σµ.

Доказательство. Пусть A ∈ R, и E ⊂ A, F ⊂ Ac. Требуется дока-зать, что

µ∗(E ⊔ F ) = µ∗(E) + µ∗(F ). (2.8)

Посколькуµ∗(E ⊔ F ) ≤ µ∗(E) + µ∗(F )

для произвольных множеств E и F в силу утверждения 2.2.28 (d),то для доказательства (2.8) требуется показать, что

µ∗(E ⊔ F ) ≥ µ∗(E) + µ∗(F ).

Пусть Ak∞k=1 — произвольное покрытие E∪F множествами из R.Положим Ek = Ak ∩A и Fk = Ak \A. Поскольку E ⊂ A, то

E = E ∩A ⊂ (E ∪ F ) ∩A ⊂( ∞⋃

k=1

Ak

)

∩A =∞⋃

k=1

(Ak ∩A) =∞⋃

k=1

Ek,

и, следовательно, Ek∞k=1 является покрытием множества E. А по-скольку Ak, A ∈ R, то Ek = Ak ∩A ∈ R.

Точно также, F ⊂ Ac. Поэтому,

F = F ∩Ac ⊂ (E ∪ F ) ∩Ac ⊂( ∞⋃

k=1

Ak

)

∩Ac =∞⋃

k=1

(Ak ∩Ac) =

151


=∞⋃

k=1

(Ak \A) =∞⋃

k=1

Fk.

Следовательно, Fk ∈ R, и семейство Fk∞k=1 покрывает F .Также заметим, что, поскольку Ek = Ak∩A ⊂ A а Fk = Ak \A ⊂

Ac, то Ek ∩ Fk = ∅ и Ek ∪ Fk = Ak. Поэтому, µ(Ek) + µ(Fk) = µ(Ak)и, следовательно,

∞∑

k=1

µ(Ek) +

∞∑

k=1

µ(Fk) =

∞∑

k=1

(µ(Ek) + µ(Fk)

)=

=∞∑

k=1

µ(Ek ∪ Fk) =∞∑

k=1

µ(Ak).

Следовательно, для каждого покрытия Ak∞k=1 множества E ∪ F ,полагая Ek = Ak ∩A, Fk = Ak \A, имеем

µ∗(E) + µ∗(F ) = inf ∞∑

k=1

µ(Ek) : Ek ∈ R, E ⊂∞⋃

k=1

Ek

+

+ inf ∞∑

k=1

µ(Fk) : Fk ∈ R, F ⊂∞⋃

k=1

Fk

≤

≤∞∑

k=1

µ(Ek) +∞∑

k=1

µ(Fk) =∞∑

k=1

µ(Ak).

Поэтому,

µ∗(E)+µ∗(F ) ≤ inf ∞∑

k=1

µ(Ak) : Ak ∈ R, E∪F ⊂∞⋃

k=1

Ak

= µ∗(E∪F ),

что и заканчивает доказательство (2.8).

Утверждение 2.2.35. Пусть N ∈ N . Тогда множество N явля-ется µ-измеримым.

152


Доказательство. Пусть E,F ∈ P(Ω), E ⊂ N , F ⊂ N c, и покажем,что

µ∗(E ⊔ F ) = µ∗(E) + µ∗(F ).

Поскольку E ⊂ N , то

µ∗(E) ≤ µ∗(N) = 0,

т.е. µ∗(E) = 0. Таким образом, остается показать, что

µ∗(E ⊔ F ) = µ∗(F ).

В силу утверждения 2.2.28 (d), имеем

µ∗(E ⊔ F ) ≤ µ∗(E) + µ∗(F ) = µ∗(F ).

Но F ⊂ E ⊔ F . Поэтому,

µ∗(F ) ≤ µ∗(E ⊔ F ),

т.е. µ∗(E ⊔ F ) = µ∗(F ), что и означает µ-измеримость N .

Определение 2.2.36. Пусть R, R — кольца подмножеств Ω, при-чем R ⊂ R. Пусть µ и µ — меры на R и R, соответственно. Еслиµ R= µ, то мера µ называется продолжением меры µ на R, а мераµ ограничением меры µ на R.

Теорема 2.2.37 (Каратеодори). Пусть µ — мера на некоторомкольце R подмножеств Ω. Семейство Σµ всех µ-измеримых под-множеств Ω является σ-алгеброй, содержащей кольцо R и семей-ство множеств меры 0. Ограничение внешней меры µ∗ на Σµ яв-ляется мерой.


Следствие 2.2.38. Пусть µ — мера на кольце R подмножествΩ, и ΣR — σ-алгебра, порожденная кольцом R. Тогда ограничениеµ = µ∗ ΣR

внешней меры µ∗ на ΣR является мерой на ΣR.

153


Доказательство. По теореме Каратеодори, ограничение внешнеймеры µ∗ на σ-алгебру Σµ µ-измеримых множеств является мерой.Поскольку ΣR и Σµ являются σ-алгебрами, содержащими R, при-чем ΣR является наименьшей, то ΣR ⊂ Σµ. Поэтому ограничениеµ∗ на ΣR также является мерой.

Определение 2.2.39. Пусть R — кольцо подмножеств Ω, и µ —мера на R. Мера µ называется конечной или ограниченной, еслиΩ ∈ R и µ(Ω) < ∞. Конечная мера µ называется вероятностной,если µ(Ω) = 1.

Мера µ называется σ-конечной, если существует такая неубы-вающая последовательность подмножеств Ωk, k ∈ N, что µ(Ωk) <∞для всех k, и

⋃∞k=1Ωk = Ω.

Пример 2.2.40. 1. Считающая мера на Ω, µ(A) = |A| (см. при-мер 2.2.9).

Эта мера конечна, если множество Ω конечно, вероятностная,если Ω состоит из одного элемента. Мера является σ-конечной,если множество Ω счетно.

2. Мера в примере 2.2.11 является вероятностной.

3. Мера в примере 2.2.31 является конечной, если

s =∞∑

k=1

ck <∞.

Мера вероятностная, если s = 1. Эта мера является σ-конечной,поскольку положив

Ωk = Ω \( ∞⋃

i=k+1

ωi)

,

имеем

µ(Ωk) =k∑

i=1

ci <∞, Ω =∞⋃

k=1

Ωk.

154


4. Длина на R (см. пример 2.2.12).

Мера не является конечной, однако является σ-конечной, по-скольку для Ωk = [−k, k) имеем

λ([−k, k)

)= 2k,

∞⋃

k=1

Ωk = R.

Теорема 2.2.41. Пусть µ — σ-конечная мера на кольце R под-множеств Ω, ΣR — σ-алгебра, порожденная кольцом R, Σµ —σ-алгебра µ-измеримых подмножеств Ω, а N — семейство мно-жеств меры 0. Тогда Σµ является σ-алгеброй, порожденной ΣR иN .


Определение 2.2.42. Пусть R — кольцо порожденное полу-интервалами [a, b) в R. Продолжение функции длины на Σλ, по-прежнему обозначаемое λ, называется мерой Лебега на R, а эле-менты Σλ — множествами измеримыми по Лебегу.

Замечание 2.2.43. Из теоремы 2.2.41 следует, что Σλ является σ-алгеброй, порожденной B и N .

155

2.3. ИЗМЕРИМЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ

2.3 Измеримые пространства и функции

Определение 2.3.1. Пусть Ω — множество, и Σ — σ-алгебра на Ω.Пара (Ω,Σ) называется измеримым пространством. Произвольноемножество A ∈ Σ называется измеримым.

Определение 2.3.2. Пусть (Ω1,Σ1) и (Ω2,Σ2) — измеримые про-странства. Отображение f : Ω1 → Ω2 называется измеримым, еслиf−1(B) ∈ Σ1 для произвольного B ∈ Σ2.

Замечание 2.3.3. Определение 2.3.2 означает, что отображениеf : Ω1 → Ω2 измеримо тогда и только тогда, когда f−1(Σ2) ⊂ Σ1.

Пример 2.3.4. 1. Пусть Σ1 = P(Ω1) и Σ2 — произвольная σ-алгебра на Ω2. Любое отображение f : Ω1 → Ω2 является из-меримым.

Действительно, f−1(B) ∈ P(Ω1) для произвольного B ∈ Σ2.

2. Пусть Σ1 = ∅,Ω1, а Σ2 = P(Ω2). Если f : Ω1 → Ω2 измеримо,то f является постоянным отображением, т.е. f(ω) = ω0 длявсех ω ∈ Ω1.

Действительно, если f(ω) = ω0 для всех ω ∈ Ω1, то для про-извольного B ∈ P(Ω2) имеем f−1(B) = ∅, если ω0 /∈ B, иf−1(B) = Ω1, если ω0 ∈ B. Таким образом f−1(B) ∈ Σ1 дляпроизвольного B ∈ P(Ω2), и f является измеримым отобра-жением.

Если f не является постоянным отображением, то существуютω1, ω2 ∈ Im f , и ω1 6= ω2. Но тогда f−1(ω1) 6= ∅ и f−1(ω1) 6=Ω1. И, поскольку ω1 ∈ P(Ω2), а f−1(ω1) /∈ Σ1, отображе-ние f не является измеримым.

Утверждение 2.3.5. Пусть (Ω1,Σ1), (Ω2,Σ2), (Ω3,Σ3) — измери-мые пространства, и отображения

f : Ω1 → Ω2, g : Ω2 → Ω3

измеримы. Тогда композиция g f : Ω1 → Ω3 является измеримымотображением.

156


Доказательство. Пусть C ∈ Σ3. Тогда (g f)−1(C) = f−1(g−1(C)

).

Поскольку g является измеримым, то B = g−1(C) ∈ Σ2, а посколькуf является измеримым, то f−1(B) = f−1

(g−1(C)

)∈ Σ1. Следова-

тельно, g f измеримо.

Утверждение 2.3.6. Пусть (Ω1,Σ1) и (Ω2,Σ2) — измеримые про-странства, f : Ω1 → Ω2, и σ-алгебра Σ2 порождена семейством C2,т.е. Σ2 = ΣC2 . Отображение f измеримо тогда и только тогда,когда f−1(C) ∈ Σ1 для всех C ∈ C2.

Доказательство. Если f измеримо, то для C ∈ C2 имеем, чтоf−1(C) ∈ Σ1, поскольку C2 ⊂ Σ2.

Обратно, предположим, что f−1(C) ∈ Σ1 для каждого C ∈ C2.Рассмотрим семейство Σ2 = C таких подмножеств C ⊂ Ω2, чтоf−1(C) ∈ Σ1, и докажем, что Σ2 является σ-алгеброй.

Действительно, если A, B ∈ Σ2 и Ak ∈ Σ2 для всех k ∈ N, т.е.f−1(A), f−1(B) ∈ Σ1 и f−1(Ak) ∈ Σ1, то, поскольку

f−1(A \ B) = f−1(A) \ f−1(B), f−1( ∞⋃

k=1

Ak

)

=∞⋃

k=1

f−1(Ak)

и Σ1 является σ-алгеброй, имеем, что

f−1(A \ B) ∈ Σ1, f−1( ∞⋃

k=1

Ak

)

∈ Σ1,

т.е. A \ B ∈ Σ2 и⋃∞

k=1 Ak ∈ Σ2. Следовательно, Σ2 является σ-кольцом. Кроме этого,

f−1(Ω2) = Ω1 ∈ Σ1,

поэтому, Ω2 ∈ Σ2, что и доказывает, что Σ2 является σ-алгеброй.По условию, C2 ⊂ Σ2. В связи с тем, что ΣC2 = Σ2 является

наименьшей σ-алгеброй, содержащей C2, имеем, что Σ2 ⊂ Σ2, т.е.f−1(C) ∈ Σ1 для любого C ∈ Σ2. Следовательно, отображение fизмеримо.

157


2.3.1 Измеримые функции со значениями в R

Определение 2.3.7. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство, B —борелевская σ-алгебра на R. Функция f : Ω → R называется изме-римой, если она является измеримым отображением в измеримоепространство (R,B), где B — борелевская σ-алгебра.

Если Ω = Rn, то функция f : Rn → R называется измеримой,если она измерима как отображение между измеримыми простран-ствами (Rn,Bn) и (R,B), где Bn и B — борелевские σ-алгебры на Rn

и R, соответственно.

Пример 2.3.8. Пусть Ω =⊔m

k=1Ωk, Σ = ΣΩk и f : Ω → R. Функцияf измерима тогда и только тогда, когда f постоянная на каждомΩk.

Действительно, если f постоянная на каждом Ωk, то f(Ωk) =ck, и для произвольного B ∈ B имеем, что либо f(Ωk) ⊂ B либоf(Ωk) ∩B = ∅. Поэтому

f−1(B) =⊔

f(Ωk)⊂B

Ωk ∈ ΣΩk.

Если f не является постоянной на Ωk0 , то существуют такиеω′k0, ω′′

k0∈ Ωk0 , что f(ω′

k0) = c′k0 6= c′′k0 = f(ω′′

k0). Но тогда c′k0 ∈ B, а

f−1(c′k0)∩Ωk0 6= ∅ и f−1(c′k0)∩Ωk0 6= Ωk0 , т.е. f−1(c′k0)∩Ωk0 /∈ ΣΩk.Отсюда следует, что f−1(c′k0) /∈ ΣΩk, а значит функция f неявляется измеримой.

Лемма 2.3.9. Функция f : Rn → R является непрерывной на Rn

тогда и только тогда, когда для произвольного открытого V ⊂ R

множество f−1(V ) ⊂ Rn является открытым.

Доказательство. Пусть f−1(V ) открыто в Rn для произвольногооткрытого V ⊂ R, и докажем, что f непрерывна в произвольнойточке x0 ∈ Rn, т.е докажем, что для произвольного ε > 0 суще-ствует такое δ > 0, что f

(B(x0; δ)

)⊂ B(f(x0); ε) или, что то же

самое,B(x0; δ) ⊂ f−1

(B(f(x0); ε)

). (2.9)

158


Однако, B(f(x0), ε) является открытым множеством, поэтому мно-жество f−1

(B(f(x0; ε))

)также открыто по условию, и x0 ∈

f−1(B(f(x0); ε)

). Следовательно, существует такое δ > 0, что имеет

место (2.9). Это доказывает непрерывность f в точке x0, и, так какf непрерывна в каждой точке x0 ∈ Rn, то f непрерывна на Rn.

Пусть V ⊂ R открыто, f непрерывна на Rn, и докажем, чтоf−1(V ) открыто. Для этого возьмем произвольное x0 ∈ f−1(V ) ипокажем, что открытый шар B(x0; δ) содержится в f−1(V ) длянекоторого δ > 0. Действительно, поскольку x0 ∈ f−1(V ), тоy0 = f(x0) ∈ V . Так как V открыто, то существует такое ε > 0,что B(y0; ε) ⊂ V . А, поскольку f является непрерывной в точке x0,то существует такое δ > 0, что

f(B(x0; δ)

)⊂ B(y0; ε) ⊂ V

Это означает, что B(x0; δ) ⊂ f−1(V ) для этого δ.

Теорема 2.3.10. Пусть f : Rn → R непрерывна на Rn. Тогда онаизмерима.

Доказательство. Для произвольного открытого множества U ⊂ R,множество f−1(U) ⊂ Rn является также открытым в силу непре-рывности функции f (лемма 2.3.9). Поэтому, f−1(U) ∈ Bn. А по-скольку B порождается открытыми множествами, то f являетсяизмеримой согласно утверждению 2.3.6.

В дальнейшем используются следующие обозначения:

f < a = ω ∈ Ω : f(ω) < a,f ≤ a = ω ∈ Ω : f(ω) ≤ a,

и аналогичные им.

Теорема 2.3.11. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство, и f : Ω →R. Следующие условия эквивалентны:

(i) f измерима;

159


(ii) все множества f < a, a ∈ R, измеримы;

(iii) все множества f ≤ a, a ∈ R, измеримы.

Доказательство. Поскольку

f < a = ω ∈ Ω : f(ω) < a = f−1((−∞, a)

),

f ≤ a = ω ∈ Ω : f(ω) ≤ a = f−1((−∞, a]

),

и каждое из семейств

(−∞, a)a∈R, (−∞, a]a∈Rпорождает борелевскую σ-алгебру на R, и то доказательство непо-средственно следует из утверждения 2.3.6.

Утверждение 2.3.12. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство,и A ⊂ Ω. Функция 1A : Ω → R измерима тогда и только тогда,когда A измеримо.

Доказательство. Для каждого a ∈ R рассмотрим множества

1A < a = ω ∈ Ω : 1A(ω) < a.

Если a ≤ 0, то1A < a = ∅,

поскольку 1A(ω) ∈ 0, 1 для всех ω ∈ Ω.Если 0 < a ≤ 1, то

1A < a = Ac.

Если 1 < a, то1A < a = Ω.

Таким образом, для измеримости 1A необходимо и достаточно, что-бы Ac ∈ Σ, т.е. A ∈ Σ, поскольку Σ является алгеброй.

Теорема 2.3.13. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство. Пустьf, g : Ω → R измеримы, и c ∈ R. Тогда функции cf , f +g, |f |, f2, fgтакже измеримы. Функция f

g измерима, если g(ω) 6= 0 для всехω ∈ Ω.

160


Доказательство. (cf) Пусть a ∈ R, и рассмотрим множество cf <a. Имеем

cf < a =

f > ac, если c < 0,

∅, если c = 0 и a ≤ 0,

Ω, если c = 0 и a > 0,

f < ac, если c > 0.

Каждое из вышеуказанных множеств измеримо. Следователь-но, cf измерима.

(f + g) Поскольку Q является счетным множеством, положим Q =qk∞k=1. Докажем, что

f + g < a =∞⋃

k=1

(f < qk ∩ g < a− qk

). (2.10)

Пусть ω ∈ ⋃∞k=1

(f < qk ∩ g < a − qk

). Тогда ω ∈ f <

qk∩g < a−qk для некоторого k. Это означает, что f(ω) < qkи g(ω) < a− qk. Таким образом,

f(ω) + g(ω) < qk + a− qk = a,

т.е. ω ∈ f + g < a.Обратно, пусть ω ∈ f + g < a. Тогда f(ω) + g(ω) < a, илиf(ω) < a − g(ω). Поэтому,

(f(ω), a − g(ω)

)6= ∅, и существует

qk0 ∈ Q такой, что qk0 ∈(f(ω), a− g(ω)

), т.е.

f(ω) < qk0 < a− g(ω).

Неравенство f(ω) < qk0 означает, что ω ∈ f < qk0, а изнеравенства qk0 < a − g(ω) следует, что g(ω) < a − qk0 , т.е.ω ∈ g < a− qk0. таким образом,

ω ∈ f < qk0 ∩ g < a− qk0 ⊂∞⋃

k=1

f < qk ∩ g < a− qk,

161


что оканчивает доказательство (2.10).

Поскольку f и g измеримы по условию, каждое множество

f < qk ∩ g < a− qk

является измеримым, а, поскольку Σ является σ-алгеброй, тои счетное объединение также измеримо. Это означает измери-мость множества f+g < a, а, следовательно, и измеримостьфункции f + g.

(|f |) Для множества |f | < a имеем

|f | < a =

∅, a ≤ 0,

f < a ∩ f > −a, a > 0.

Каждое из множеств в правой части равенства является из-меримым.

(f2) Имеем

f2 < a =

∅, a ≤ 0,

|f | < √a, a > 0,

откуда и следует измеримость f2.

(fg) Используя формулу

fg =1

4

((f + g)2 − (f − g)2

),

и уже доказанное, получаем измеримость произведения.

(fg) В силу измеримости произведения измеримых функций, доста-

точно доказать, что функция 1g измерима. Имеем

1

g< a

=

g > 1a ∩ g < 0, a < 0,

g < 0, a = 0,

g < 0 ∪ g > 1a, a > 0.

162


Следствие 2.3.14. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство. Дляпроизвольного c ∈ R постоянная функция c1 = c1Ω : Ω → R явля-ется измеримой.

Доказательство. Поскольку Ω ∈ Σ так как Ω является алгеброй,то 1Ω является измеримой по утверждению 2.3.12. Следовательно,c 1Ω является измеримой по теореме 2.3.13.

Теорема 2.3.15. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство. Пусть(fk)

∞k=1 — последовательность измеримых функций Ω → R. Тогда:

(a) еслиf∗ = sup

k∈Nfk, f∗ = inf

k∈Nfk

являются функциями Ω → R, то они измеримы;

(b) если f(ω) = limk→∞ fk(ω) существует в R для всех ω ∈ Ω,то f : Ω → R измерима;

(c) функция s =∑∞

k=1 fk измерима, если ряд∑∞

k=1 fk(ω) сходит-ся при всех ω ∈ Ω.

Доказательство. (a) (supfk) Пусть supk∈N fk(ω) < ∞ для всехω ∈ Ω, т.е. функция f∗(ω) = supk∈N fk(ω) является функ-цией Ω → R. Пусть a ∈ R, и рассмотрим f∗ ≤ a. Дока-жем, что

f∗ ≤ a = supk∈N

fk ≤ a =∞⋂

k=1

fk ≤ a. (2.11)

Если ω ∈ supk∈N fk ≤ a, то это означает, чтоsupk∈N fk(ω) ≤ a. Отсюда следует, что fk(ω) ≤ a для всехk ∈ N, т.е. ω ∈ fk ≤ a для всех k, и, следовательно,ω ∈ ⋂∞

k=1fk ≤ a.Пусть теперь ω ∈ ⋂∞

k=1fk ≤ a. Это означает, что ω ∈fk ≤ a, т.е. fk(ω) ≤ a для всех k ∈ N. Но тогда иsupk∈N fk(ω) ≤ a. Следовательно, ω ∈ f∗ ≤ a.

163


Поскольку fk измерима, множество fk ≤ a измеримодля каждого k ∈ N. Таким образом измеримо и множе-ство в правой части (2.11), а с ним и функция f∗.

(inf fk) Пусть f∗ = infk∈N fk, и рассмотрим множество f∗ <a. Докажем, что

f∗ < a = infk∈N

fk < a =∞⋃

k=1

fk < a. (2.12)

Пусть ω ∈ infk∈N fk < a, т.е. infk∈N fk(ω) < a. Это озна-чает, что существует такое k0 ∈ N, что fk0(ω) < a, по-скольку, если fk(ω) ≥ a для всех k, то и infk∈N fk(ω) ≥ a,что является противоречием. Итак, ω ∈ fk0 < a, и, сле-довательно, ω ∈ ⋃∞

k=1fk < a.Обратно, если ω ∈ ⋃∞

k=1fk < a, то ω ∈ fk0 < a длянекоторого k0, а, значит, fk0(ω) < a. Поэтому,

infk∈N

fk(ω) ≤ fk0(ω) < a.

Таким образом, ω ∈ f∗ < a. Теперь измеримость f∗ =infk∈N fk следует из измеримости всех множеств в правойчасти (2.12).

(b) Пусть f = limk→∞ fk, и рассмотрим множество f < a. Пока-жем, что

f < a = limk→∞

fk < a =∞⋃

m=1

∞⋃

n=1

∞⋂

k=n

fk < a− 1

m

(2.13)

Пусть ω ∈ f < a, т.е. c = limk→∞ fk(ω) < a. Поскольку c < a,то существует такое m ∈ N, что c + 2

m < a. По определениюпредела, существует такое n ∈ N, что |fk(ω)− c| < 1

m для всехk ≥ n. В частности, для таких k имеем, что fk(ω) < a− 1

m (см.рис. 2.6). Это означает, что ω ∈

fk < a− 1

m

.

164


ba

bc

1

m1

m1

m

b b b b

fn(ω) fn+1(ω)

Рис. 2.6: Доказательство теоремы 2.3.15 (b).

Итак, было доказано, что существует m ∈ N и существует n ∈N такие, что для всех k ≥ n имеем, что ω ∈

fk < a− 1

m. Этоозначает, что ω принадлежит множеству в правой части (2.13).

Наоборот, если ω принадлежит множеству в правой части (2.13),то существует такое m ∈ N, что можно найти n ∈ N, для ко-торого ω ∈

fk < a − 1

m

, т.е. fk(ω) < a − 1

m для всех k > n.Но тогда f(ω) = limk→∞ fk(ω) ≤ a− 1

m < a, и, следовательно,ω ∈ f < a.Теперь измеримость множества f < a непосредственно сле-дует из (2.13).

(c) Поскольку s = limn→∞ sn, где

sn =n∑

k=1

fk,

то измеримость sn для каждого n ∈ N следует из теоремы 2.3.13,а измеримость s следует из пункта (b).

Простые функции

Определение 2.3.16. Функция f : Ω → R называется простой,если она принимает конечное количество значений.

Множество простых функций f : Ω → R будем обозначать черезS. Множество простых функций f : Ω → R+ будем обозначать черезS+.

Пример 2.3.17. 1. Для произвольного A ⊂ Ω функция 1A явля-ется простой.

165


Действительно, функция 1A принимает только два значения,0 и 1.

2. Функция f : R → R, f(x) = x, не является простой.

Действительно, образом функции f является множество R,которое не есть конечное.

x

y

b

−1 1

1

2

−1

Рис. 2.7: График простой функции f = 2 · 1(−∞,−1) − 1−1 +1(−1,1].

Теорема 2.3.18. Функция f : Ω → R является простой тогда итолько тогда, когда существует такое разбиение множества Ω,

Ω =m⊔

k=1

Ωk, (2.14)

и такие элементы ck ∈ R, ci 6= cj при i 6= j, что

f =

m∑

k=1

ck1Ωk. (2.15)

Доказательство. Докажем, что функция (2.15) является простой.Действительно, для ω ∈ Ω имеем, что ω ∈ Ωk0 для некоторого k0.Тогда

f(ω) =n∑

k=1

ck 1Ωk(ω) = ck0 1Ωk0

(ω) = ck0 .

166


Таким образом, функция f принимает только конечное количествозначений c1, . . . , cn (см. рис. 2.7).

Пусть f принимает конечное количество значений c1, . . . , cm,причем ci 6= cj при i 6= j. Положим

Ωj = ω ∈ Ω : f(ω) = cj, j = 1, . . . ,m..

Очевидно имеем (2.14), поскольку Im f = c1, . . . , cm. Если ω ∈ Ωj ,то f(ω) = cj по определению Ωj . С другой стороны,

m∑

k=1

ck 11Ωk(ω) = cj1Ωj (ω) = cj .

Таким образом имеем равенство (2.15).

Утверждение 2.3.19. Пусть f, g — простые функции, и c ∈ R+.Тогда f + g, cf, fg также являются простыми функциями. Еслиg(ω) 6= 0 для всех ω ∈ Ω, то функция f

g является простой.

Доказательство. Если

Im f = ck : k = 1, . . . ,m, Im g = dl : l = 1, . . . , n,

то

Im (f + g) ⊂ ck + dl : k = 1, . . . ,m; l = 1, . . . , n,Im (cf) ⊂ cck : k = 1, . . . ,m,

Im (fg) ⊂ ckdl : k = 1, . . . ,m; l = 1, . . . , n,

Im(f

g

)

⊂ckdl

: k = 1, . . . ,m; l = 1, . . . , n.

Поэтому, каждое из множеств Im (f + g), Im (cf), Im (fg), Im fg ко-

нечно.

Утверждение 2.3.20. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство,и f — простая функция. Функция f является измеримой тогда итолько тогда, когда Ωk ∈ Σ в (2.14) для всех k = 1, . . . ,m.

167


Доказательство. Если все множества Ωk, k = 1, . . . ,m, измери-мы, то соответствующие функции 1Ωk

также измеримы (утвержде-ние 2.3.12). Тогда и их линейная комбинация в правой части (2.15)измерима, т.е. измерима функция f .

Обратно, если f измерима, то, поскольку Ωk = f−1(ck

), и

множества ck борелевские, то измеримость Ωk следует из опреде-ления измеримой функции (определение 2.3.7).

Теорема 2.3.21 (об аппроксимации простыми функциями). Пусть(Ω,Σ) — измеримое пространство, и f : Ω → R измерима. Еслиf ограничена на Ω, то существует последовательность (fn)

∞n=1

измеримых простых функций fn : Ω → R таких, что fn → f вбанаховом пространстве Fb(Ω;R).

Доказательство. Поскольку f является ограниченной, то суще-ствуют такие c, d ∈ R, что Im f ⊂ [c, d). Возьмем n ∈ N, и построимпростую функцию fn.

Для этого разделим множество [c, d) точками yk = c + d−cn k,

k = 0, . . . , n, т.еc = y0 < y1 < . . . < yn = d,

где yk − yk−1 =d−cn для всех k = 1, . . . , n. Рассмотрим множества

Ωk = ω ∈ Ω : yk−1 ≤ f(ω) < yk, k = 1, . . . , n.

Очевидно, что Ωk ∩Ωl = ∅, если k 6= l. А, поскольку Im f ⊂ [c, d), то⋃n

k=1Ωk = Ω, т.е. имеем разбиение

Ω =n⊔

k=1

Ωk.

Положим

fn =n∑

k=1

yk−11Ωk.

168


Возьмем произвольную точку ω ∈ Ω. Тогда ω ∈ Ωk0 для некоторогоk0, и, следовательно,

f(ω)− fn(ω) = f(ω)−n∑

k=1

yk−11Ωk(ω) = f(ω)− yk0−1 ∈

[

0,d− c

n

)

,

поскольку f(ω) ∈ [yk0−1, yk0) по определению Ωk0 . Это означает, что

supω∈Ω

|f(ω)− fn(ω)| ≤d− c

n,

и fn ⇒ f на Ω при n→ ∞.

Пример 2.3.22. Ω = [0, 1), f(x) = x. См. рис. 2.8.

x

y

y1

y2

y3

y4

y5

Ω1Ω2Ω3Ω4Ω5

Рис. 2.8: Аппроксимация функции f(x) = x функцией f5 на Ω =[0, 1).

2.3.2 Измеримые функции со значениями в R+

Определение 2.3.23. Борелевской σ-алгеброй B на R+ = [0,+∞]называется σ-алгебра на R+, порожденная множествами [0, a), a ∈R.

Пример 2.3.24. Множества [a, b), a, (a, b), R+, +∞ являютсяборелевскими.

Действительно,

[a, b) = [0, b) \ [0, a),

169


a =∞⋂

k=1

[

a, a+1

k

)

, (a, b) = [a, b) \ a,

R+ =

∞⋃

k=1

[0, k),

+∞ = R+ \ R+.

Утверждение 2.3.25. Борелевская σ-алгебра на R+ порождена се-мейством множеств [0, a], a ∈ R+.

Доказательство. Поскольку [0, a] =⋂∞

k=1

[0, a+ 1

k

), то [0, a] ∈ B.

Пусть B — σ-алгебра, порожденная множествами [0, a]. Посколь-

ку [0, a] ∈ B, то B ⊂ B. С другой стороны, [0, a) =⋃∞

k=1

[0, a− 1

k

]∈ B.

Поэтому, B ⊂ B, и, следовательно, B = B.

Определение 2.3.26. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство, B— борелевская σ-алгебра на R+. Функция f : Ω → R+ называетсяизмеримой, если она измерима как отображение в измеримое про-странство (R+,B).

Теорема 2.3.27. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство, иf : Ω → R+. Следующие условия эквивалентны:

(i) f измерима;

(ii) все множества f < a, a ∈ R+, измеримы;

(iii) все множества f ≤ a, a ∈ R+, измеримы.

Доказательство. Поскольку σ-алгебра на R+ порождается множе-ствами [0, a) по определению или множествами [0, a] согласно утвер-ждению 2.3.25, то эквивалентность всех утверждений следует изутверждения 2.3.6.

Теорема 2.3.28. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство. Пустьf, g : Ω → R+ измеримы, и c ∈ R+. Тогда функции f + g, cf , fg, f

gтакже измеримы.

170


Доказательство. Доказательство повторяет доказательство теоре-мы 2.3.13 с использованием теоремы 2.3.27.

Теорема 2.3.29. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство. Пусть(fk)

∞k=1 — последовательность измеримых функций Ω → R+. То-

гда:

(a) измеримыми являются функции Ω → R+,

supk∈N

fk, infk∈N

fk;

(b) если limk→∞ fk(ω) существует в R+ для всех ω ∈ Ω, то f =limk→∞ fk измерима;

(c) функция s =∑∞

k=1 fk измерима.

Доказательство. Доказательство повторяет доказательство теоре-мы 2.3.15.

Теорема 2.3.30 (об аппроксимации простыми функциями). Пусть(Ω,Σ) — измеримое пространство, и f : Ω → R+ измерима. Тогдасуществует последовательность (fn)

∞n=1, fn : Ω → R+, измеримых

простых функций таких, что fn ↑ f .

Доказательство. Зададимся n ∈ N, и построим простую функциюfn ∈ S+. Положим

An∞ = ω ∈ Ω : f(ω) ≥ n,fn(ω) = n, ω ∈ An

∞.

Имеем, что f(ω) < n для всех ω ∈ Ω \ An∞. Разделим отрезок [0, n]

на отрезки длиной 12n−1 точками ynk = k

2n−1 , k = 0, . . . , n2n−1. Теперьположим

Ank = ω ∈ Ω : ynk−1 ≤ f(ω) < ynk, k = 1, . . . , n2n−1,

fn(ω) = ynk−1, ω ∈ Ank .

171


Очевидно, что

Ω = An∞ ⊔

(n2n−1⊔

k=1

Ank

)

,

fn = n1An∞+

n2n−1∑

k=1

ynk−11Ank,

см. рис. 2.9.Докажем, что fn(ω) ≤ fn+1(ω) для всех ω ∈ Ω. Для этого заме-

тим, что ynk = k2n−1 = 2k

2n = yn+12k . Таким образом,

ynk : k = 0, . . . , n2n−1 ⊂ yn+1k : k = 0, . . . , (n+ 1)2n.

Предположим, что f(ω) < n, т.е. ynk ≤ f(ω) < ynk+1 для некото-рого k. Имеем

ynk = yn+12k ≤ f(ω) < yn+1

2k+2 = ynk+1.

Тогда

yn+12k ≤ f(ω) < yn+1

2k+1 либо yn+12k+1 ≤ f(ω) < yn+1

2k+2.

В первом случае,

fn+1(ω) = yn+12k = ynk = fn(ω)

а во втором случае,

fn+1(ω) = yn+12k+1 > yn+1

2k = ynk = fn(ω).

Таким образом имеем, что fn+1(ω) ≥ fn(ω).Предположим, что f(ω) ≥ n. Тогда

fn(ω) = n = ynn2n−1 = yn+1n2n ,

а

fn+1(ω) =

yn+1n2n , f(ω) < yn+1

n2n+1,

yn+1k (k > n2n + 1), f(ω) ≥ yn+1

n2n+1.

172


В любом случае, fn(ω) ≤ fn+1(ω).

Теперь докажем, что

limn→∞

fn(ω) = f(ω)

для любого ω ∈ Ω.Если f(ω) = +∞, то fn(ω) = n, и

limn→∞

fn(ω) = limn→∞

n = +∞ = f(ω).

Если f(ω) 6= +∞, то для n > f(ω) имеем, что

fn(ω) = ynk ≤ f(ω) < ynk+1

для некоторого k, причем

0 ≤ f(ω)− fn(ω) = f(ω)− ynk < ynk+1 − ynk =1

2n−1.

Таким образом,limn→∞

(f(ω)− fn(ω)

)= 0,


173


x

y

2

(a)

x

y

3

(b)

x

y

3

2

(c)

Рис. 2.9: Аппроксимация функции f(x) = 1x на Ω = [0,+∞) про-

стыми функциями: (a) f2; (b) f3; (c) f2 и f3.

174

2.4. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

2.4 Интеграл Лебега

2.4.1 Интеграл от простой неотрицательной функции

Определение 2.4.1. Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство, иµ : Σ → R+ — мера на σ-алгебре Σ. Тогда тройка (Ω,Σ, µ) называ-ется измеримым пространством с мерой. При этом, всякое множе-ство A ∈ Σ называется µ-измеримым, а измеримая функция

f : (Ω,Σ) → (R,B) или f : (Ω,Σ) → (R+,B)

называется µ-измеримой.

Определение 2.4.2. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство смерой. Пусть f : Ω → R+ — простая µ-измеримая неотрицательнаяфункция,

f =m∑

k=1

ck1Ak, Ω =

m⊔

k=1

Ak, (2.16)

где ck ≥ 0, k = 1, . . . ,m.Интегралом от функции f по мере µ называется величина

∫

Ωf dµ =

∫

Ωf(ω) dµ(ω) =

m∑

k=1

ck µ(Ak), (2.17)

где

ckµ(Ak) =

ckµ(Ak), µ(Ak) < +∞,

0, ck = 0, µ(Ak) = +∞,

+∞, ck > 0, µ(Ak) = +∞.

Если∫

Ω f dµ < +∞, то интеграл называется сходящимся, а функ-ция f называется интегрируемой.

Пример 2.4.3. 1. Пусть Ω = R, λ — мера Лебега на R. Если

f = 1[0,1) = 1 · 1[0,1) + 0 · 1[0,1)c ,

175


то∫

Ω1[0,1) dλ = 1 · λ

([0, 1)

)+ 0 · λ

([0, 1)c

)= 1 · 1 + 0 · (+∞) = 1,

см. рис. 2.10 (a). Функция f является интегрируемой.

2. Пусть Ω = R, λ — мера Лебега на R. Если

f = 1[0,+∞) = 0 · 1(−∞,0) + 1 · 1[0,+∞),

то∫

Ω1[0,+∞) dλ = 0 · λ

((−∞, 0)

)+ 1 · λ

([0,+∞)

)= 0 +∞ = +∞,

см. рис. 2.10 (b). Функция 1[0,+∞) не является интегрируемой.

x

y

1

1

I1

(a)

x

y

1

I2

(b)

Рис. 2.10: Интеграл от простой функции: (a) I1 =∫

R1[0,1) dλ; (b)

I2 =∫

R1[0,+∞) dλ.

Теорема 2.4.4. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с ме-рой, f, g ∈ S+ — простые µ-измеримые функции, и c ∈ R+. Тогда:

(a)∫

Ω 0 dµ = 0;

(b)∫

Ω f dµ ≥ 0;

(c)∫

Ω 1A dµ = µ(A) для A ∈ Σ;

(d)∫

Ω(f + g) dµ =∫

Ω f dµ+∫

Ω g dµ;

(e)∫

Ω cf dµ = c∫

Ω f dµ.

176


Доказательство. (a) Нулевая функция является простой: 0 = 1∅.По определению интеграла

∫

Ω0 dµ =

∫

Ω1∅ dµ = µ(∅) = 0.

(b) Поскольку простая функция (2.16) является неотрицательной,то ck ≥ 0. А, поскольку µ(Ak) ≥ 0, то

∫

Ωf dµ =

m∑

k=1

ckµ(Ak) ≥ 0.

(c) Следует из определения интеграла.

(d) Рассмотрим представление (2.16) для функций f и g:

f =

m∑

k=1

ck 1Ak, Ω =

m⊔

k=1

Ak,

g =n∑

l=1

dl 1Bl, Ω =

n⊔

l=1

Bl.

Тогда имеем

Ak = Ak ∩ Ω = Ak ∩( n⊔

l=1

Bl

)

=n⊔

l=1

(Ak ∩Bl),


1Ak=

n∑

l=1

1Ak∩Bl,

откуда следует, что

f =m∑

k=1

ck

n∑

l=1

1Ak∩Bl=

m∑

k=1

n∑

l=1

ck1Ak∩Bl.

177


Аналогично имеем представление

g =m∑

k=1

n∑

l=1

dl1Ak∩Bl.

Следовательно,

f + g =

m∑

k=1

n∑

l=1

(ck + dl)1Ak∩Bl.

Заметим, что

(Ak1 ∩Bl1

)∩(Ak2 ∩Bl2

)= ∅, (k1, l1) 6= (k2, l2),

иm⋃

k=1

n⋃

l=1

(Ak ∩Bl) = Ω.


∫

Ω(f+g) dµ =

m∑

k=1

n∑

l=1

(ck + dl)µ(Ak ∩Bl) =

=m∑

k=1

n∑

l=1

ck µ(Ak ∩Bl) +m∑

k=1

n∑

l=1

dl µ(Ak ∩Bl) =

=m∑

k=1

ck

n∑

l=1

µ(Ak ∩Bl) +n∑

l=1

dl

m∑

k=1

µ(Ak ∩Bl) =

=m∑

k=1

ck µ( n⋃

l=1

(Ak ∩Bl))

+n∑

l=1

dl µ( m⋃

k=1

(Ak ∩Bl))

=

=m∑

k=1

ck µ(

Ak ∩(

n⋃

l=1

Bl

))

+n∑

l=1

dl µ((

m⋃

k=1

Ak

)∩Bl

)

=

=m∑

k=1

ck µ(Ak ∩ Ω) +n∑

l=1

dl µ(Ω ∩Bl) =

178


=m∑

k=1

ck µ(Ak) +n∑

l=1

dlµ(Bl) =

=

∫

Ωf dµ+

∫

Ωg dµ.

(e) Если

f =

m∑

k=1

ck1Ak,

то

cf =m∑

k=1

cck1Ak,

и

∫

Ωcf dµ =

m∑

k=1

cck µ(Ak) = cm∑

k=1

ckµ(Ak) = c

∫

Ωf dµ.

Следствие 2.4.5. Если f, g ∈ S и f ≤ g, то∫

Ω f dµ ≤∫

Ω g dµ.

Доказательство. Действительно, функция h = g−f является про-стой и неотрицательной. Поэтому g = f + h, и

∫

Ωg dµ =

∫

Ωf dµ+

∫

Ωh dµ.

Откуда следует, что

∫

Ωg dµ−

∫

Ωf dµ =

∫

Ωh dµ ≥ 0,

т.е.∫

Ω f dµ ≤∫

Ω g dµ.

179


2.4.2 Интеграл от неотрицательной функции

Определение 2.4.6. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство смерой, и f : Ω → R+ — µ-измеримая функция. Положим

S+(f) = h ∈ S+ : h ≤ f.Интегралом от f по мере µ называется элемент I ∈ R+, определя-емый как

I =

∫

Ωf dµ =

∫

Ωf(ω) dµ(ω) = sup

h∈S+(f)

∫

Ωh dµ.

Если I ∈ R+, то функция f называется интегрируемой.

Пример 2.4.7. Ω = N, Σ = P(N), µ(A) = |A|, f : N → R, f(k) = 1k2

.

Пример 2.4.8. Пусть Ω = [0, 1), Σ = B, µ = λ, f(x) = x.

Пример 2.4.9. Ω = [0, 1), µ = λ, f(x) = 1x .

Утверждение 2.4.10. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое простран-ство с мерой, f, g : Ω → R+ — µ-измеримые функции, причем f ≤g. Тогда ∫

Ωf dµ ≤

∫

Ωg dµ.

Доказательство. Пусть

S+(f) = h ∈ S+ : h ≤ f, S+(g) = h ∈ S+ : h ≤ g.Поскольку f ≤ g, то S+(f) ⊂ S+(g). Таким образом,

∫

Ωf dµ = sup

h∈S+(f)

∫

Ωh dµ ≤ sup

h∈S+(g)

∫

Ωh dµ =

∫

Ωg dµ.

Теорема 2.4.11 (Беппо Леви). Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое про-странство с мерой. Пусть f, fk : Ω → R+, k ∈ N, — µ-измеримыефункции, причем fk(ω) ↑ f(ω) для каждого ω ∈ Ω. Тогда

∫

Ωfk dµ ↑

∫

Ωf dµ.

180



Ik =

∫

Ωfk dµ, I =

∫

Ωf dµ.

Поскольку f1 ≤ f2 ≤ . . . ≤ f в силу условия теоремы, имеем, что

I1 ≤ I2 ≤ . . . ≤ I

согласно утверждению 2.4.10. Поэтому, существует

I∞ = limk→∞

Ik ≤ I, (2.18)

причем Ik ↑ I∞. Докажем, что I∞ = I, доказав, что I∞ ≥ I. Дляэтого возьмем произвольную функцию h ∈ S+(f) и число c ∈ (0, 1).Тогда ch ∈ S+ и

ch ≤ h ≤ f.

Рассмотрим множество

Bk = ω ∈ Ω : ch(ω) ≤ fk(ω),

и докажем, что

Bk ⊂ Bk+1, k ∈ N, и∞⋃

k=1

Bk = Ω. (2.19)

Поскольку fk ≤ fk+1, то для ω ∈ Bk имеем, что

ch(ω) ≤ fk(ω) ≤ fk+1(ω),

т.е. ω ∈ Bk+1, и, следовательно, Bk ⊂ Bk+1, что доказывает первуючасть (2.19).

Для доказательства второй части (2.19) возьмем произвольноеω ∈ Ω. Если f(ω) = 0, то в силу неотрицательности всех функций,имеем

0 ≤ fk(ω) ≤ f(ω) = 0, 0 ≤ ch(ω) ≤ h(ω) ≤ f(ω) = 0,

181


т.е. fk(ω) = ch(ω) = 0, и ω ∈ Bk для всех k, а значит ω ∈ ⋃∞k=1Bk.

Если f(ω) > 0, то, поскольку h(ω) ≤ f(ω), имеем, что ch(ω) <f(ω). А, поскольку fk(ω) → f(ω) по условию, то fk(ω) ∈

(ch(ω), f(ω)

)

для достаточно больших k. Таким образом, для этих k будем иметь,что ω ∈ Bk, и, следовательно, ω ∈ ⋃∞

k=1Bk, что и заканчивает до-казательство (2.19).

Рассмотрим теперь функции fk, fk · 1Bkи ch · 1Bk

. Поскольку

(fk · 1Bk)(ω) =

fk(ω), ω ∈ Bk,

0, ω /∈ Bk,(ch · 1Bk

)(ω) =

ch(ω), ω ∈ Bk,

0, ω /∈ Bk,

и ch(ω) ≤ fk(ω), если ω ∈ Bk, по определению множества Bk, то

fk ≥ fk · 1Bk≥ ch · 1Bk

,


Ik =

∫

Ωfk dµ ≥

∫

Ωch · 1Bk

dµ. (2.20)

Функция h — простая. Пусть

h =n∑

l=1

cl1Al.

Тогда

ch · 1Bk=

n∑

l=1

ccl1Al· 1Bk

=n∑

l=1

ccl1Al∩Bk,

и∫

Ωch · 1Bk

dµ = cn∑

l=1

cl µ(Al ∩Bk). (2.21)

Поскольку Bk ⊂ Bk+1, а значит и Al ∩Bk ⊂ Al ∩Bk+1 для всех l, и⋃∞

k=1Bk = Ω (см. (2.19)), используя монотонность меры по возрас-танию (утверждение 2.2.15), имеем

limk→∞

µ(Al ∩Bk) = µ(

Al ∩∞⋃

k=1

Bk

)

= µ(Al ∩ Ω) = µ(Al).

182


Таким образом, из (2.21) имеем:

limk→∞

∫

Ωch · 1Bk

dµ = limk→∞

cn∑

l=1

clµ(Al ∩Bk) =

= c

n∑

l=1

cl limk→∞

µ(Al ∩Bk) = c

n∑

l=1

clµ(Al) =

= c

∫

Ωh dµ.

Теперь, используя (2.20), имеем:

I∞ = limk→∞

Ik ≥ limk→∞

∫

Ωch · 1Bk

dµ = c

∫

Ωh dµ.

Это неравенство верно для всех c ∈ (0, 1). Поэтому,

I∞ ≥ limc→1

c

∫

Ωh dµ =

∫

Ωh dµ.

А это неравенство верно для всех h ∈ S+(f). Поэтому,

I∞ ≥ suph∈S+(f)

∫

Ωh dµ =

∫

Ωf dµ = I.

Это неравенство вместе с (2.18) дает I∞ = I, что и заканчиваетдоказательство.

Следствие 2.4.12. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство смерой, f : Ω → R+ — µ-измеримая функция, и (gk)

∞k=1 — такая

последовательность функций gk ∈ S+, что gk ↑ f . Тогда

∫

Ωf dµ = lim

k→∞

∫

Ωgk dµ.

Доказательство. Это является прямым следствием теоремы 2.4.11.

183


Теорема 2.4.13 (Фату). Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое простран-ство с мерой, и (fk)

∞k=1 — произвольная поточечно сходящаяся по-

следовательность измеримых неотрицательных функций. Тогда,если

∫

Ω fk dµ ≤ M для некоторого M ∈ R+ и всех k ∈ N, то дляизмеримой функции f(ω) = limk→∞ fk(ω) имеем, что

∫

Ωf dµ ≤M.

Доказательство. Рассмотрим последовательность (un)∞n=1 функций

на Ω, определенную как

un(ω) = infk≥n

fk(ω).

Поскольку функции fk, k ∈ N, являются измеримыми, то по теоре-ме 2.3.15 функции un также измеримы.

Поскольку для каждого ω ∈ Ω

fn(ω), fn+1(ω), fn+2(ω), . . . ⊃ fn+1(ω), fn+2(ω), . . .,

то

un(ω) = inffn(ω), fn+1(ω), fn+2(ω), . . .

≤

≤ inffn+1(ω), fn+2(ω), . . .

= un+1(ω).


limn→∞

un(ω) = f(ω)

для каждого ω ∈ Ω.Зададимся ε > 0. Поскольку fk(ω) → f(ω), то существует n0

для которого fk(ω) ∈(f(ω)− ε

2 , f(ω)+ε2

)для всех k ≥ n0. Но тогда

для всех n ≥ n0 имеем

un(ω) = infk≥n

fk(ω) ∈[f(ω)− ε

2, f(ω) +

ε

2

]⊂ (f(ω)− ε, f(ω) + ε),

что и означает, что limn→∞ un(ω) = f(ω).

184


Таким образом, имеем, что un ↑ f . Поэтому, по теореме Б. Ле-ви 2.4.11 имеем ∫

Ωf dµ = lim

n→∞

∫

Ωun dµ.

Но из определения функции un следует, что un ≤ fn. Поэтому,∫

Ωun dµ ≤

∫

Ωfn dµ ≤M.

Следовательно,∫

Ωf dµ = lim

n→∞

∫

Ωun dµ ≤M.

Пример 2.4.14. Пусть Ω = R+, µ = λ и fn = 1[n−1,n), n ∈ N. Тогда∫

R+fn dλ = 1 для всех n ∈ N. Кроме этого,

f(ω) = limn→∞

fn(ω) = 0, ω ∈ R+,

и∫

Ω f dλ = 0 ≤ 1.

Теорема 2.4.15. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с ме-рой, f, g : Ω → R+ — µ-измеримые функции, и c ∈ R+. Тогда:

∫

Ω(f + g) dµ =

∫

Ωf dµ+

∫

Ωg dµ;

∫

Ωcf dµ = c

∫

Ωf dµ.

Доказательство. Пусть fk, gk ∈ S+ — последовательности простыхфункций таких, что fk ↑ f и gk ↑ g. Тогда (fk+gk) ↑ (f+g). Поэтому,используя следствие 2.4.12 и теорему 2.4.4, имеем, что∫

Ω(f + g) dµ = lim

k→∞

∫

Ω(fk + gk) dµ = lim

k→∞

(∫

Ωfk dµ+

∫

Ωgk dµ

)

=

= limk→∞

∫

ωfk dµ+ lim

k→∞

∫

Ωgk dµ =

185


=

∫

Ωf dµ+

∫

Ωg dµ.

Доказательство второй части утверждения аналогично.

Свойство «почти всюду»

Определение 2.4.16. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространствос мерой. Будем говорить, что некоторое свойство P (ω), зависящееот ω ∈ Ω, выполняется µ-почти всюду (п.в.), если для множества

A = ω ∈ Ω : P (ω) не выполняется

имеемµ(A) = 0.

Пример 2.4.17. Пусть Ω = R, µ = λ.

1. Пусть x ∈ R. Тогда 1x = 0 п.в.

2. 1Q = 0 п.в.

3. sink x −−→п.в.

0 при k → ∞.

Теорема 2.4.18. Пусть f : Ω → R+ — неотрицательная измери-мая функция. Тогда

∫

Ωf dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ–п.в..

Доказательство. Пусть f = 0 п.в. Это означает, что для множества

A = ω ∈ Ω : f(ω) > 0

имеем, что µ(A) = 0. Пусть h ∈ S+(f). Поскольку f(ω) = 0 приω ∈ Ac и 0 ≤ h(ω) ≤ f(ω) для всех ω ∈ Ω, имеем, что h(ω) = 0 приw ∈ Ac. Таким образом, h = h · 1A. Поэтому, для

h =m∑

k=1

ck1Ak

186


имеем

h = h · 1A =

m∑

k=1

ck1Ak· 1A =

m∑

k=1

ck1Ak∩A,

и∫

Ωh dµ =

m∑

k=1

ckµ(Ak ∩A).

Поскольку Ak ∩ A ⊂ A и µ(A) = 0, то µ(Ak ∩ A) = 0 для всех k.Таким образом, ∫

Ωh dµ = 0

для произвольной неотрицательной простой функции h ∈ S+(f).По определению

∫

Ωf dµ = sup

h∈S+(f)

∫

Ωh dµ = 0.

Пусть теперь∫

Ω f dµ = 0, и докажем, что f = 0 п.в., т.е. µ(A) =0. Положим

An =ω ∈ Ω : f(ω) >

1

n

,

Тогда

A =∞⋃

n=1

An.

Действительно, очевидно, что An ⊂ A для всех n. Поэтому,

∞⋃

n=1

An ⊂ A.

С другой стороны, если ω ∈ A, т.е. f(ω) > 0, то существует n ∈ N

такое, что f(ω) > 1n , что означает, что ω ∈ An. Следовательно,

ω ∈ ⋃∞n=1An. Итак, A =

⋃∞n=1An.

Кроме того, An ⊂ An+1, поскольку для ω ∈ An имеем, чтоf(ω) > 1

n , а значит будем иметь, что f(ω) > 1n+1 , т.е. ω ∈ An+1.

187


Таким образом, из утверждения 2.2.15 следует, что

µ(A) = limn→∞

µ(An).

Однако, µ(An) = 0 для всех n ∈ N, поскольку если µ(An0) > 0 для

некоторого n0, то так как

f ≥ f · 1An0≥ 1

n1An0

,

имеем ∫

Ωf dµ ≥

∫

Ω

1

n1An0

dµ =1

nµ(An0

) > 0,

что противоречит условию. Таким образом, µ(An) = 0 для всехn ∈ N, и µ(A) = limn→∞ µ(An) = 0.

Утверждение 2.4.19. Пусть f, g : Ω → R+ — измеримые неот-рицательные функции.

(a) Если f = g µ–п.в., то∫

Ω f dµ =∫

Ω g dµ.

(b) Если f ≤ g µ–п.в., то∫

Ω f dµ ≤∫

Ω g dµ.

Доказательство. (a) Пусть

A = ω ∈ Ω : f(ω) 6= g(ω).

Поскольку f = g µ–п.в. по условию, то µ(A) = 0. Отсюдаследует, что f · 1A = 0 µ–п.в. и g · 1A = 0 µ–п.в.. Поэтому,

∫

Ωf · 1A dµ =

∫

Ωg · 1A dµ = 0,

и, следовательно,∫

Ωf dµ =

∫

Ωf · (1A + 1Ac) dµ =

∫

Ωf · 1A dµ+

∫

Ωf · 1Ac dµ =

=

∫

Ωf · 1Ac dµ.

188


Аналогично имеем, что

∫

Ωg dµ =

∫

Ωg · 1Ac dµ.

Но по определению множества A имеем, что (f · 1Ac)(ω) =(g · 1Ac)(ω) для всех ω ∈ Ω. Поэтому,

∫

Ωf dµ =

∫

Ωf · 1Ac dµ =

∫

Ωg · 1Ac dµ =

∫

Ωg dµ.

(b) ПоложимB = ω ∈ Ω : f(ω) > g(ω).

Поскольку f ≤ g µ–п.в. по условию, то µ(B) = 0. Отсюдаследует, что f · 1B = 0 µ–п.в. и g · 1B = 0 µ–п.в.. Поэтому,

∫

Ωf · 1B dµ =

∫

Ωg · 1B dµ = 0.

Как и в п. (a) имеем:

∫

Ωf dµ =

∫

Ωf · 1Bc dµ,

∫

Ωg dµ =

∫

Ωg · 1Bc dµ.

Но по определению множества B имеем, что (f · 1Bc)(ω) ≤(g · 1Bc)(ω) для всех ω ∈ Ω. Поэтому,

∫

Ωf dµ =

∫

Ωf · 1Bc dµ ≤

∫

Ωg · 1Bc dµ =

∫

Ωg dµ.

Утверждение 2.4.20 (неравенство Чебышева). Пусть f : Ω → R+

— неотрицательная измеримая функция. Тогда

µ(f ≥ c

)≤ 1

c

∫

Ωf dµ.

189


Доказательство. Положим

A =ω ∈ Ω : f(ω) ≥ c

.

Тогдаf = f · (1A + 1Ac) = f · 1A + f · 1Ac ≥ f · 1A.

По определению множества A имеем f(ω) ≥ c для ω ∈ A, и, следо-вательно, f · 1A ≥ c1A. Поэтому,

∫

Ωf dµ ≥

∫

Ωf · 1A dµ ≥

∫

Ωc1A dµ = cµ(A).


µ(A) ≤ 1

c

∫

Ωf dµ.

Утверждение 2.4.21. Пусть f : Ω → R+ — измеримая неотри-цательная функция, и

∫

Ω f dµ <∞. Тогда f < +∞ µ–п.в.


A = ω ∈ Ω : f(ω) = +∞.

Тогда n1A ≤ f для всех n ∈ N. Поэтому,∫

Ωn1A dµ = nµ(A) ≤

∫

Ωf dµ < +∞.

Поскольку это неравенство выполняется для всех n ∈ N, с необхо-димостью имеем, что µ(A) = 0.

2.4.3 Интеграл от измеримой функции

Лемма 2.4.22. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с ме-рой, и функция f : Ω → R измерима. Определим f+, f− : Ω → R+

какf+(ω) = maxf(ω), 0, f−(ω) = max−f(ω), 0,

190


см. рис. 2.11. Тогда f+, f− ∈ M+, и

f = f+ − f−,

|f | = f+ + f−,

f+ = 12(|f |+ f),

f− = 12(|f | − f).

Такжеf+ ≤ |f |, f− ≤ |f |.

x

y

(a)

x

y

(b)x

y

(c)

Рис. 2.11: Графики функций: (a) f ; (b) f+; (c) f−.

Доказательство. То, что f+ и f− измеримы следует непосредствен-но из теоремы 2.3.15 и измеримости постоянной функции 0. Их неот-рицательность следует из определения.

Для доказательств первой пары формул рассмотрим множества

A+ = ω ∈ Ω : f(ω) ≥ 0, A− = ω ∈ Ω : f(ω) < 0.

Очевидно имеем A+∪A− = Ω. Поэтому проверим выполнение фор-мул на каждом из множеств.

Если ω ∈ A+, то f+(ω) = f(ω) а f−(ω) = 0. Поэтому,

f+(ω)− f−(ω) = f(ω)− 0 = f(ω),

f+(ω) + f−(ω) = f(ω) + 0 = |f(ω)|.

Если ω ∈ A−, то f+(ω) = 0, f−(ω) = −f(ω), и

f+(ω)− f−(ω) = 0− (−f(ω) = f(ω),

191


f+(ω) + f−(ω) = 0− f(ω) = |f(ω)|.

Вторая пара формул получается решением первой системы относи-тельно f+ и f−.

Наконец,

f+ = |f+| =∣∣∣|f |+ f

2

∣∣∣ =

| |f |+ f |2

≤ |f |+ |f |2

= |f |.

Для f− доказательство проводится аналогично.

Определение 2.4.23. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство смерой. Измеримая функция f : Ω → R называется интегрируемойотносительно меры µ, если

∫

Ω |f | dµ <∞. В этом случае интегра-лом от функции f по мере µ называется число

∫

Ωf(ω) dµ(ω) =

∫

Ωf dµ =

∫

Ωf+ dµ−

∫

Ωf− dµ.

Множество всех функций, интегрируемых по мере µ, обозначаетсяL1(Ω, µ) или L1(µ).

Утверждение 2.4.24. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое простран-ство с мерой.

(a) Если f является интегрируемой, то интегралы∫

Ω f+ dµ и

∫

Ω f− dµ являются сходящимися, и

∫

Ω f dµ ∈ R.

(b) Если f измерима, и f = 0 µ–п.в., то f интегрируема и∫

Ω f dµ = 0.

(c) Если f измерима, и |f | ≤ g для некоторой интегрируемойфункции g, то f является интегрируемой.

(d) Пусть f интегрируема, а g измерима и ограничена на Ω. То-гда fg также интегрируема.

Доказательство. (a) Как следует из леммы 2.4.22, f+ ≤ |f | и f− ≤|f |. Поэтому, согласно утверждению 2.4.10,

∫

Ω f+ dµ < ∞ и

∫

Ω f− dµ <∞.

192


(b) Поскольку f = 0 µ–п.в., то |f | = 0 µ–п.в., Поэтому, f+ = 0 иf− = 0 µ–п.в.. Таким образом,

∫

Ωf dµ =

∫

Ωf+ dµ−

∫

Ωf− dµ = 0− 0 = 0.

(c) Поскольку |f | ≤ g, а g = |g| является интегрируемой, то, со-гласно утверждению 2.4.10, имеем

∫

Ω|f | dµ ≤

∫

Ωg dµ <∞.

(d) Так как g ограничена, то существует такое C ∈ R+, что fg ≤C|f |. Поскольку

∫

Ω |f | dµ <∞, то∫

ΩC|f | dµ <∞, а значит fgявляется интегрируемой согласно (c).

Утверждение 2.4.25. Пусть f, g ∈ L1(µ), и c ∈ R. Тогда

(a) f + g ∈ L1(µ), и

∫

Ω(f + g) dµ =

∫

Ωf dµ+

∫

Ωg dµ;

(b) cf ∈ L1(µ), и∫

Ωcf dµ = c

∫

Ωf dµ.

Доказательство. (a) Поскольку |f + g| ≤ |f | + |g|, то, используяутверждение 2.4.10 а затем теорему 2.4.15, имеем∫

Ω|f + g| dµ ≤

∫

Ω

(|f |+ |g|

)dµ =

∫

Ω|f | dµ+

∫

Ω|g| dµ <∞.

Для доказательства первого равенства запишем

f + g = (f + g)+ − (f + g)−,

f + g = f+ − f− + g+ − g−.

193


Откуда имеем

(f + g)+ − (f + g)− = f+ − f− + g+ − g−

или(f + g)+ + f− + g− = (f + g)− + f+ + g+.

Следовательно, используя теорему 2.4.15, получим

∫

Ω(f + g)+ dµ+

∫

Ωf− dµ+

∫

Ωg− dµ =

=

∫

Ω(f + g)− dµ+

∫

Ωf+ dµ+

∫

Ωg+ dµ.

Отсюда следует, что∫

Ω(f + g) dµ =

∫

Ω(f + g)+ dµ−

∫

Ω(f + g)− dµ =

=

∫

Ωf+ dµ−

∫

Ωf− dµ+

∫

Ωg+ dµ−

∫

Ωg− dµ =

=

∫

Ωf dµ+

∫

Ωg dµ.

(b) Поскольку |cf | = |c| |f |,∫

Ω |cf | dµ <∞, т.е. cf ∈ L1(µ).

Если c ≥ 0, то (cf)+ = cf+, (cf)− = cf−. Поэтому,

∫

Ωcf dµ =

∫

Ω(cf)+ dµ−

∫

Ω(cf)− dµ =

=

∫

Ωcf+ dµ−

∫

Ωcf− dµ = c

∫

Ωf+ dµ− c

∫

Ωf− dµ =

= c(∫

Ωf+ dµ−

∫

Ωf− dµ

)

= c

∫

Ωf dµ.

Если c = −1, то (−f)+ = f−, а (−f)− = f+. Поэтому,

∫

Ω(−f) dµ =

∫

Ωf− dµ−

∫

Ωf+ dµ = −

(∫

Ωf+ dµ−

∫

Ωf− dµ

)

=

194


= −∫

Ωf dµ.

Если c < 0, то c = −(−c), где −c > 0, и

∫

Ωcf dµ =

∫

Ω

(−(−c)

)f dµ = −

∫

Ω(−c)f dµ =

= −(−c)∫

Ωf dµ = c

∫

Ωf dµ.

Утверждение 2.4.26. Пусть f ∈ L1(µ). Тогда

∣∣∣

∫

Ωf dµ

∣∣∣ ≤

∫

Ω|f | dµ.

Доказательство. Действительно,

∣∣∣

∫

Ωf dµ

∣∣∣ =

∣∣∣

∫

Ωf+ dµ−

∫

Ωf− dµ

∣∣∣ ≤

∣∣∣

∫

Ωf+ dµ

∣∣∣+

∣∣∣

∫

Ωf− dµ

∣∣∣ =

=

∫

Ωf+ dµ+

∫

Ωf− dµ =

∫

Ω(f+ + f−) dµ =

∫

Ω|f | dµ.

Лемма 2.4.27. Пусть (fn) — последовательность измеримых функ-ций, и fn(ω) → f(ω) для всех ω ∈ Ω. Положим

un(ω) = infk≥n

fk(ω), vn(ω) = supk≥n

fk(ω), wn = vn − un. (2.22)

Тогда un ↑ f , vn ↓ f , wn ↓ 0.

Доказательство. Поскольку функции fk, k ∈ N, являются измери-мыми, то по теореме 2.3.15 функции un, vn, а значит и функция wn,также измеримы.

Поскольку для каждого ω ∈ Ω

fn(ω), fn+1(ω), fn+2(ω), . . . ⊃ fn+1(ω), fn+2(ω), . . .,

195


то

un(ω) = inffn(ω), fn+1(ω), fn+2(ω), . . .

≤

≤ inffn+1(ω), fn+2(ω), . . .

= un+1(ω)

и

vn(ω) = supfn(ω), fn+1(ω), fn+2(ω), . . .

≥

≥ supfn+1(ω), fn+2(ω), . . .

= vn+1(ω).

Кроме того, очевидно, что un(ω) ≤ vn(ω), т.е. wn(ω) ≥ 0 для всехn ∈ N, и что wn(ω) ≥ wn+1(ω). Таким образом имеем:

un(ω) ≤ un+1(ω), vn(ω) ≥ vn+1(ω), wn(ω) ≥ wn+1(ω) ≥ 0.

Докажем теперь, что limn→∞ un(ω) = f(ω). Зададимся ε > 0. По-скольку fn(ω) → f(ω), то существует n0 для которого fk(ω) ∈(f(ω) − ε

2 , f(ω) +ε2

)для всех k ≥ n0. Но тогда для всех n ≥ n0

имеем

un(ω) = infk≥n

fk(ω) ∈[f(ω)− ε

2, f(ω) +

ε

2

]⊂ (f(ω)− ε, f(ω) + ε),

что и означает, что limn→∞ un(ω) = f(ω).Доказательство того, что limn→∞ vn(ω) = f(ω) проводится ана-

логично.

Теорема 2.4.28 (Лебега об ограниченной сходимости). Пусть (fn)∞n=1

— последовательность интегрируемых функций таких, что

1) fn → f µ-п.в. для некоторой измеримой функции f ;

2) существует интегрируемая функция g такая, что |fn| ≤ gµ-п.в. для всех n ∈ N.

Тогда f является интегрируемой, и∫

Ωf dµ = lim

n→∞

∫

Ωfn dµ.

196


Доказательство. Покажем сначала, что можно предполагать безпотери общности, что fn(ω) → f(ω) и |fn(ω)| ≤ g(ω) для всех ω ∈ Ω.Действительно, пусть

A = ω ∈ Ω : fn(ω) 6→ f(ω), Bn = ω ∈ Ω : |fn(ω)| > g(ω).

Тогда µ(A) = 0, и µ(Bn) = 0 для каждого n по условию теоремы.Поэтому, используя субаддитивность меры (утверждение 2.2.13),имеем, что C = A∪⋃∞

n=1Bn является множеством меры 0, посколь-ку

µ(C) = µ(A ∪

∞⋃

n=1

Bn

)≤ µ(A) +

∞∑

n=1

µ(Bn) = 0.

А, поскольку,

(1Ccfn)(ω) → (1Ccf)(ω), и |1Ccfn|(ω) ≤ 1Ccg(ω)

для всех ω ∈ Ω, и

∫

Ωfn dµ =

∫

Ω1Ccfn dµ,

∫

Ωf dµ =

∫

Ω1Ccf dµ,

можно заменить функции fn, f и g на 1Ccfn, 1Ccf и 1Ccg, соответ-ственно.

Итак, будем доказывать теорему в предположении, что для всехω ∈ Ω имеем: fn(ω) → f(ω) и |fn(ω)| ≤ g(ω) для всех n.

Поскольку |fn(ω)| ≤ g(ω) для всех n, то

|f(ω)| = | limn→∞

fn(ω)| = limn→∞

|fn(ω)| ≤ g(ω),

и, согласно утверждению 2.4.24, функция f является интегрируе-мой.


∣∣∣

∫

Ωf dµ−

∫

Ωfn dµ

∣∣∣ =

∣∣∣

∫

Ω(f − fn) dµ

∣∣∣ ≤

∫

Ω|f − fn| dµ −→ 0. (2.23)

197


Для этого рассмотрим на Ω три последовательности функций:(un)

∞n=1, (vn)

∞n=1 и (wn)

∞n=1, определяемые следующим образом:

un(ω) = infk≥n

fk(ω), vn(ω) = supk≥n

fk(ω), wn = vn − un.

По определению,un(ω) ≤ fk(ω) ≤ vn(ω)

для всех k ≥ n, и, переходя к пределу при k → ∞, получаем

un(ω) ≤ f(ω) ≤ vn(ω).

Из этого неравенства и предыдущего, записанного для k = n иумноженного на (−1),

−vn(ω) ≤ −fn(ω) ≤ −un(ω),

имеем

−(vn(ω)− un(ω)

)≤ f(ω)− fn(ω) ≤ vn(ω)− un(ω),

то есть,|f(ω)− fn(ω)| ≤ vn(ω)− un(ω) = wn(ω).

Поскольку |fn(ω)| ≤ g(ω), то |un(ω)| ≤ g(ω) и |vn(ω)| ≤ g(ω) длявсех ω ∈ Ω, и, следовательно, согласно утверждению 2.4.24 функцииun и vn, n ∈ N, также интегрируемы. Следовательно, функции wn,n ∈ N, также интегрируемы.

Таким образом, для доказательства (2.23) достаточно доказать,что

limn→∞

∫

Ωwn dµ = 0.

Поскольку wn ≥ 0, wn ↓ 0 по лемме 2.4.27, то (w1 − wn) ≥ 0 и(w1−wn) ↑ w1. Следовательно, используя теорему Беппо Леви (тео-рема 2.4.11), имеем

limn→∞

∫

Ωwn dµ = lim

n→∞

∫

Ω(wn − w1 + w1) dµ =

198


= limn→∞

(

−∫

Ω(w1 − wn) dµ+

∫

Ωw1 dµ

)

=

= − limn→∞

∫

Ω(w1 − wn) dµ+

∫

Ωw1 dµ =

= −∫

Ωlimn→∞

(w1 − wn) dµ+

∫

Ωw1 dµ =

= −∫

Ωw1 dµ+

∫

Ωw1 dµ = 0.

Задачи

КР : 317.1 (1, 6), 317.2 (1, 2, 4), 334.2 (1, 2, 4), 335.10, 339 (1).ДР : 317.1 (3, 2, 5), 317.2 —, 334.2 —, 336.1.

2.4.4 Интеграл по подмножеству

Определение 2.4.29. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространствос мерой, A ∈ Σ, и f ∈ L1(µ). Тогда интегралом от функции f поподмножеству A называется число

∫

Af dµ =

∫

Ω1Af dµ.

Утверждение 2.4.30. Пусть f ∈ L1(µ). Для того, чтобы f = 0µ–п.в. на Ω необходимо и достаточно, чтобы

∫

Af dµ = 0

для всех A ∈ Σ.

Доказательство. Если f = 0 µ–п.в. на Ω, то |f | = 0 µ–п.в. на Ω.Следовательно,

∣∣∣

∫

Af dµ

∣∣∣ =

∣∣∣

∫

Ω1Af dµ

∣∣∣ ≤

∫

Ω|1Af | dµ ≤

∫

Ω|f | dµ = 0.

199


Предположим теперь, что∫

A f dµ = 0 для произвольного A ∈ Σ.Рассмотрим множества

A+ = ω ∈ Ω : f(ω) > 0, A− = ω ∈ Ω : f(ω) < 0.

Если µ(A+) = µ(A−) = 0, то это означает, что f = 0 µ-п.в. Поэтому,предположим, что µ(A+) > 0. Но

A+ =∞⋃

n=1

A+n , где A+

n =ω ∈ Ω : f(ω) >

1

n

.

Поскольку A+n ↑ A+, то µ(A+

n ) ↑ µ(A) > 0. Это означает, чтоµ(A+

n ) > 0 для некоторого n0 (начиная с некоторого n0). Тогда по-ложив A = A+

n0, имеем

∫

Af dµ =

∫

A+n0

f dµ =

∫

Ω1A+

n0

f dµ ≥∫

Ω1A+

n0

1

n0dµ =

1

n0µ(An0

) > 0,

что противоречит предположению.

Теорема 2.4.31. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с ме-рой, и A ∈ Σ. Тогда

a)∫

A dµ = µ(A);

b) если f, g ∈ L1(µ), и c ∈ R, то∫

A(f + g) dµ =

∫

Af dµ+

∫

Ag dµ,

∫

Acf dµ = c

∫

Af dµ.

Доказательство. (a) Используя определения 2.4.29 и 2.4.2, имеем∫

Adµ =

∫

Ω1A dµ = µ(A).

(b) Доказательство непосредственно следует из утверждения 2.4.25,поскольку

∫

A(f + g) dµ =

∫

Ω1A(f + g) dµ =

∫

Ω(1Af + 1Ag) dµ =

200


=

∫

Ω1Af dµ+

∫

Ω1Ag dµ =

∫

Af dµ+

∫

Ag dµ.

Доказательство второй части аналогично.

Следствие 2.4.32. Если f = g µ–п.в., то∫

Af dµ =

∫

Ag dµ

для всех A ∈ Σ.

Доказательство. Действительно, поскольку f = g п.в., то f−g = 0п.в., и |f − g| = 0 п.в. Но

|1A(f − g)| = 1A|f − g| ≤ |f − g|.

Поэтому |1A(f − g)| = |1Af − 1Ag| = 0 п.в. Следовательно,∫

Af dµ−

∫

Ag dµ =

∫

A(f − g) dµ =

∫

Ω1A(f − g) dµ = 0.

Теорема 2.4.33. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с ме-рой, f ∈ L1(µ), A ∈ Σ, и A =

⊔∞k=1Ak, где Ak ∈ Σ для всех k ∈ N.

Тогда∫

Af dµ =

∞∑

k=1

∫

Ak

f dµ.

Доказательство. Положим

fn = fn∑

k=1

1Ak.

Для каждого ω ∈ A из условия следует, что ω ∈ An0для некоторого

единственного n0 ∈ N. Поэтому при n ≥ n0 имеем

fn(ω) = f(ω)(1A1

(ω) + . . .+ 1An0−1(ω) + 1An0

(ω)+

201


+ 1An0+1(ω) + . . .+ 1An(ω)

)=

= f(ω)(0 + . . .+ 0 + 1 + 0 + . . .+ 0) = f(ω).

Если ω /∈ A, то

fn(ω) = f(ω)n∑

k=1

1Ak(ω) = 0.

Таким образом, fn → f1A везде.Также имеем, что

|fn| =∣∣∣f

n∑

k=1

1Ak

∣∣∣ = |f |

n∑

k=1

1Ak≤ |f |1A ≤ |f |

для всех n. Поэтому, используя теорему Лебега об ограниченнойсходимости (теорема 2.4.28 с g = |f |) а также утверждение 2.4.25,имеем, что

∫

Af dµ =

∫

Ω1Af dµ =

∫

Ωlimn→∞

fn dµ = limn→∞

∫

Ωfn dµ =

= limn→∞

∫

Ω

(

fn∑

k=1

1Ak

)

dµ = limn→∞

∫

Ω

( n∑

k=1

f1Ak

)

dµ =

= limn→∞

n∑

k=1

∫

Ωf1Ak

dµ = limn→∞

n∑

k=1

∫

Ak

f dµ =

=∞∑

k=1

∫

Ak

f dµ.

202

2.5. ИНТЕГРАЛ РИМАНА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

2.5 Сравнение интеграла Римана и интеграла

Лебега

Используется обозначение J = [a, b], где a, b ∈ R, a < b,.

Определение 2.5.1. Разбиением отрезка J , называется множе-ство τ = xksk=0 точек J такое, что

a = x0 < x1 < . . . < xs = b.

Разбиение τ ′ называется подразбиением τ , если τ ⊂ τ ′.

Лемма 2.5.2. Пусть τ1 и τ2 — разбиения отрезка J . Тогда суще-ствует разбиение τ отрезка J , которое является подразбиениемкаждого из разбиений τ1 и τ2.

Доказательство. Можно взять τ = τ1 ∪ τ2, и упорядочить точкиполученного множества по возрастанию.

Определение 2.5.3. Пусть τ = xksk=0 — разбиение отрезка J .Множество точек ξ = ξksk=1 отрезка J называются согласованнымс разбиением τ , если

ξk ∈ [xk−1, xk], k = 1, . . . , s.

Определение 2.5.4. Пусть τ = xksk=0 — разбиение отрезка J ,ξ = ξksk=1 — множество точек J , согласованных с τ . Пусть f : J →R. Число

Sτ ,ξ(f) =s∑

k=1

f(ξk)(xk − xk−1)

называется интегральной суммой Римана функции f на отрезке J .Для каждого k = 1, . . . , s определим

mk = infx∈[xk−1,xk]

f(x), Mk = supx∈[xk−1,xk]

f(x).

203


Тогда числа S τ (f) и S τ (f), определяемые как

S τ (f) =m∑

k=1

Mk(xk − xk−1), S τ (f) =m∑

k=1

mk(xk − xk−1),

называются, соответственно, верхней и нижней суммами Дарбу .

x

y Γf

xk−1 xkξk

(a)

x

y Γf

xk−1 xkξk

(b)

x

y Γf

xk−1 xkξk

(c)

Рис. 2.12: Члены сумм Римана и Дарбу: (a) f(ξk)(xk − xk−1), (b)Mk(xk − xk−1), (c) mk(xk − xk−1).

Утверждение 2.5.5. Пусть f : J → R, τ — разбиение J , и ξ —множество точек, согласованное с τ . Тогда

Sτ (f) ≤ Sτ ,ξ(f) ≤ Sτ (f).

Доказательство. Поскольку для всех k = 1, . . . , s

mk = inft∈[xk−1,xk]

f(t) ≤ f(ξk) ≤ supt∈[xk−1,xk]

f(t) =Mk,

то требуемое неравенство получается умножением всех частей на(xk − xk−1) и суммированием по k.

Определение 2.5.6. Функция f : J → R называется интегрируе-мой по Риману, если существует такое число I ∈ R, что выполненоследующее условие:

∀ ε > 0 ∃ τ ∀ τ ′ ∀ ξ′ : τ ′ ⊃ τ =⇒ |Sτ ′,ξ′(f)− I| < ε,

204


где τ , τ ′ — разбиения J , а ξ′ — набор точек J , согласованный сразбиением τ ′. При этом число I называется интегралом Риманаи обозначается

I =

∫ b

af(x) dx.

Множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке J обо-значается R(J).

Теорема 2.5.7. Пусть f ∈ R(J). Тогда функция f ограничена наJ .

Доказательство. См. теорему II.7.3.1.

Теорема 2.5.8 (критерий интегрируемости по Риману). Функцияf : J → R является интегрируемой по Риману тогда и толькотогда, когда выполнено следующее условие:

∀ ε > 0 ∃ τ ∀ τ ′ : τ ′ ⊃ τ =⇒ Sτ ′(f)− Sτ ′(f) < ε.

Доказательство. См. теорему II.7.3.9, где

ω∆k(f) =Mk −mk.

Теорема 2.5.9. Пусть f является кусочно непрерывной на J , т.е.f имеет конечное количество точек разрыва, и они все являютсяточками разрыва первого рода. Тогда f интегрируема на J .

Доказательство. См. теорему II.7.3.14.

Лемма 2.5.10. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с ме-рой, и X ∈ Σ. Положим

Σ(X) = A ∩X : A ∈ Σ.

Тогда Σ(X) ⊂ Σ, и(X,Σ(X), µX

)является измеримым простран-

ством с мерой, где µX — ограничение меры µ на Σ(X).

205


Доказательство. То, что Σ(X) является σ-алгеброй, проверяетсятривиально. Поскольку X ∈ Σ, то A ∩ X ∈ Σ для всех A ∈ Σ.Поэтому Σ(X) ⊂ Σ, и мера µ может быть ограничена на Σ(X).

Утверждение 2.5.11. Рассмотрим отрезок J как измеримое про-странство с мерой, (J,Σλ(J), λJ), где λ — мера Лебега на R, а Σλ —σ-алгебра множеств измеримых по Лебегу. Для функции f : J → R

и разбиения τ = xksk=0 отрезка J положим

Jk = [xk−1, xk), k = 1, . . . , s− 1, Js = [xs−1, xs],

и определим функции f τ , f τ : J → R как

f τ =s∑

k=1

Mk 1Jk , f τ =s∑

k=1

mk 1Jk .

Тогда выполняется следующее.

(a) Функции f τ и f τ являются измеримыми относительно σ-алгебры Σλ(J).

(b) Для произвольного разбиения τ имеем

f τ ≤ f ≤ f τ .

(c) Если τ ′ является подразбиением τ , τ ′ ⊃ τ , то

f τ ≤ f τ ′ , f τ ≥ f τ ′ .

(d) Имеем

Sτ (f) =

∫

Jf τ dλJ , S τ (f) =

∫

Jf τ dλJ .

Доказательство. (a) Функции f и f являются простыми. Множе-ства J и Jk являются борелевскими, и, следовательно, измери-мыми по Лебегу (замечание 2.2.43). Поэтому функции f и fявляются измеримыми относительно Σλ(J) по теореме 2.3.20.

206


(b) Пусть x ∈ J . Так как множества Jk, k = 1, . . . , s, образуютразбиение множества J , то существует единственное k0 такое,что x ∈ Jk0 . Следовательно,

f τ (x) =s∑

k=1

mk 1Jk(x) = mk0 1Jk0 (x) = mk0 ,

f τ (x) =s∑

k=1

Mk 1Jk(x) =Mk0 1Jk0 (x) =Mk0 ,

И, поскольку, Jk0 ⊂ [xk0−1, xk0 ], то

mk0 = inft∈[xk0−1,xk0

]f(t) ≤ inf

t∈Jk0f(t) ≤ f(x) ≤

≤ supt∈Jk0

f(t) ≤ supt∈[xk0−1,xk0

]f(t) =Mk0 .

Следовательноf τ (x) ≤ f(x) ≤ f τ (x)

для всех x ∈ J .

(c) Пусть τ = xksk=0, и τ ′ = x′ls′

l=0 является подразбиением τ .Обозначим

J ′l = [x′l−1, x

′l), l = 0, . . . , s′ − 1, J ′

s′ = [x′s′−1, x′s′ ],

m′l = inf

x∈[x′l−1

,x′l]f(x), M ′

l = supx∈[x′

l−1,x′

l]

f(x).

Тогда

f τ ′ =s′∑

l=1

m′l 1J ′

l, f τ ′ =

s′∑

l=1

M ′l 1J ′

l.

Пусть теперь x ∈ J . Так как Jk, k = 1, . . . , s, и J ′l , l = 1, . . . , s′,

образуют разбиения отрезка J , то существуют единственныеk0 и l0 такие, что x ∈ Jk0 и x ∈ J ′

l0. Поэтому

f τ (x) =s∑

k=1

mk 1Jk(x) = mk0 , f τ (x) =s∑

k=1

Mk 1Jk(x) =Mk0 ,

207


f τ ′(x) =

s′∑

l=1

m′l0 1J ′

l(x) = m′

l0 , f τ ′(x) =

s′∑

l=1

M ′l0 1J ′

l(x) =M ′

l0 ,

А, поскольку τ ⊂ τ ′, то [xk0−1, xk0 ] ⊃ [x′l0−1, x′l0]. Поэтому

mk0 = infx∈[xk0−1,xk0

]f(x) ≤ inf

x∈[x′l0−1

,x′l0]f(x) = m′

l0 ,

Mk0 = supx∈[xk0−1,xk0

]f(x) ≥ sup

x∈[x′l0−1

,x′l0]

f(x) =M ′l0 .


f τ (x) = mk0 ≤ m′l0 = f τ ′(x), f τ (x) =Mk0 ≥M ′

l0 = f τ ′(x).

(d) Поскольку функции f τ и f τ являются простыми, то, согласноопределению интеграла, имеем

∫

Jf τ dλJ =

s∑

k=1

mkλJ(Jk) =

s∑

k=1

mk(xx − xk−1) = S τ (f),

∫

Jf τ dλJ =

s∑

k=1

MkλJ(Jk) =s∑

k=1

Mk(xx − xk−1) = S τ (f).

Лемма 2.5.12. Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с ме-рой. Пусть N — семейство множеств меры ноль, и N ⊂ Σ. Еслидля функции f : Ω → R имеем, что f = 0 µ-почти везде, то fизмерима относительно σ-алгебры Σ.


A = ω ∈ Ω : f(ω) 6= 0.Тогда µ(A) = 0, и A ∈ N . Рассмотрим множества f < a, a ∈ R.

Если a ≤ 0, то f < a ⊂ A. Следовательно f < a ∈ N ⊂ Σ.Если a > 0, то

f < ac = f ≥ a ⊂ A ∈ N ⊂ Σ,

т.е. f < ac ∈ Σ, и, следовательно, f < a ∈ Σ.

208


Лемма 2.5.13. Пусть f ∈ R(J). Тогда существует такая по-следовательность разбиений (τ k)∞k=0, что τ 0 = a, b, τ k ⊂ τ k+1,k ∈ Z+, и

limk→∞

(Sτk(f)− Sτk(f)

)= 0. (2.24)

При этом

∫ b

af(x) dx = lim

k→∞Sτk(f) = lim

k→∞Sτk(f). (2.25)

Доказательство. Положим τ 0 = a, b. Согласно критерию 2.5.8найдем последовательность разбиений (τ l)∞l=1 такую, что

S τ l(f)− S τ l(f) <1

l,

и положим

τ k =k⋃

l=0

τ l.

Тогда τ k является подразбиением каждого разбиения τ l, l = 0, . . . , k,и, следовательно,

S τk(f)− S τk(f) <1

k.

Таким образом, имеем (2.24), и, в силу утверждения 2.5.5, имеетместо (2.25).

Теорема 2.5.14. Пусть f ∈ R(J), и рассмотрим измеримое про-странство с мерой (J,Σλ(J), λJ). Тогда f является измеримой от-носительно Σλ(J), f ∈ L1(λJ) и

∫ b

af(x) dx =

∫

Jf dλJ .

Доказательство. Рассмотрим последовательность разбиений τ k, k ∈Z+, как в лемме 2.5.13. Согласно утверждению 2.5.11 для каждогоx ∈ J имеем, что

f τk(x) ≤ f τk+1(x) ≤ f(x) ≤ f τk+1(x) ≤ f τk(x).

209


Следовательно существуют

f∞(x) = limk→∞

f τk(x), f∞(x) = limk→∞

f τk(x),

иf∞(x) ≤ f(x) ≤ f∞(x). (2.26)

Поскольку функции f τk и f τk являются Σλ(J)-измеримыми, то и

f∞ и f∞ также являются Σλ(J)-измеримыми. Кроме того,

f τ0 ≤ f∞ ≤ f∞ ≤ f τ0 ,

где

f τ0(x) = m = inft∈[a,b]

f(t), f τ0(x) =M = supt∈[a,b]

f(t),

для всех x ∈ J , и m,M ∈ R так как f ограничена на J , посколькуf ∈ R(J) (теорема 2.5.7). Поэтому f τ0 , f τ0 ∈ L1(λJ), и, следова-

тельно, f∞, f∞ ∈ L1(λJ), а также f ∈ L1(λJ).Используя теорему Лебега об ограниченной сходимости, имеем

∫

J(f∞ − f∞) dλJ =

∫

Jlimk→∞

(f τk − f τk) dλJ =

= limk→∞

∫

J(f τk − f τk) dλJ =

= limk→∞

(∫

Jf τk dλJ −

∫

Jf τk dλJ

)

=

= limk→∞

(S τk(f)− S τk(f)

)= 0

в силу леммы 2.5.13, поскольку f ∈ R(J). Так как f∞− f∞ ≥ 0, то

это означает, что f∞ − f∞ = 0 λJ -почти везде, т.е. f∞ = f∞ λJ -почти везде. Используя (2.26), получаем, что f = f∞ λJ -почти вез-де. А, поскольку N ⊂ Σλ(J) (замечание 2.2.43), то из леммы 2.5.12следует, что f измерима относительно σ-алгебры Σλ(J). Кроме то-го, ∫

J(f − f∞) dλJ = 0,

210


т.е.∫

Jf dλJ =

∫

Jf∞ dλ =

∫

Jlimk→∞

f τk dλJ = limk→∞

∫

Jf τk dλJ =

= limk→∞

S τk(f) =

∫ b

af(x) dx,

где последнее равенство имеет место в силу леммы 2.5.13.

211

A.1. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Доказать, что ℓp является линейным нормированным простран-ством над R.Литература: [3, стр. 58, 61].

1.2. (1 б.) Теорема о вложенных шарах.Линейное нормированное пространство E является полным тогда итолько тогда, когда произвольная последовательность замкнутыхвложенных шаров, радиусы которых стремятся к 0, имеет непустоепересечение.Литература: [3, стр. 76], [4, стр. 40].

1.3. (2 б.) Теорема Бэра.Пусть E — линейное нормированное пространство. Меожество X ⊂E называется плотным в множестве Y ⊂ E, если X ⊃ Y . Множе-ство M называется нигде не плотным, если оно не плотно в каждомоткрытом шаре B(x; r).

Доказать, что банахово пространство не может быть представ-лено как счетное объединение нигде не плотных множеств.Литература: [3, стр. 78], [4, стр. 43].

1.4. (1 б.) Полунепрерывные функции.ПустьE — линейное нормированное пространство. Функция f : E →R называется полунепрерывной снизу (соотв., сверху) в точке x0 ∈E, если для любого ε > 0 существует такая окресность U точки x0,что f(x) > f(x0)− ε (соотв. f(x) < f(x0) + ε) для всех x ∈ U .

1. Доказать, что функция f : E → R непрерывна в точке x0 то-гда и только тогда, когда она в x0 полунепрерывна сверху иснизу.

2. Пусть f : E → R непрерывна в точке x0, и 1x0 — инди-катор множества x0. Доказать, что для A ∈ R функцияfA = f+A·1x0 является полунепрерывной снизу, если A > 0,и полунепрерывной сверху, если A < 0.

3. Доказать, что функция f : R → R, заданная как f(x) = [x] (це-лая часть x ∈ R) является полунепрерывной сверху в каждойточке R.

213


4. Доказать, что функция f : E → R является полунепрерывнойсверху (соотв., снизу) в точке x0 ∈ E тогда и только тогда,когда функция −f полунепрерывна снизу (соотв., сверху) вточке x0.Литература: [3, стр. 111].

1.5. (2 б.) Полунепрерывные функции на компактах.Пусть X ⊂ E является компактным в E, и функция f : X → R

полунепрерывны сверху (соотв., снизу). Тогда f ограничена сверху(соотв. снизу) на X и достигает своего максимального (соотв., ми-нимального) значения.Литература: [3, стр. 112].

1.6. (1 б.) Теорема Дини.Пусть последовательность непрерывных функций на компакте по-точечено убывает (или возрастает) к непрерывной функции. Дока-зать, что сходимость является равномерной.Литература: [9, стр. 42].

1.7. (1 б.) Критерий компактности в ℓ2.Доказать, что множество K ⊂ ℓ2 компактно тогда и только тогда,когда

limN→∞

supx∈K

∞∑

k=N

|xk|2 = 0,

где x = (x1, x2, . . .).Литература: [9, стр. 43].

1.8. (2 б.) Критерий компактности в Fb(Ω;K).Доказать, что множество K ⊂ Fb(Ω;K) является компактным тогдаи только тогда, когда выполнены следующие условия:

(i) K замкнуто:

(ii) K ограничено;

(iii) для любого ε > 0 существует такое конечное семейство Ωkmk=1,что

⋃mk=1Ωk = Ω, и при каждом k = 1, . . . ,m имеем

|f(ω)− f(ω′)| < ε

214


для всех f ∈ K и ω, ω′ ∈ Ωk.Литература: [9, стр. 44].

1.9. (1 б.) Унитарное (евклидово) пространство.ПустьH — линейное пространство над полем K (C или R), и каждойпаре x,y ∈ H ставится в соответствие скаляр

(x,y

)∈ K. При этом

функция(·, ·

): H ×H → K удовлетворяет следующим свойствам:

(i)(x,x

)≥ 0 для всех x ∈ H, причем

(x,x

)= 0 тогда и только

тогда, когда x = 0;

(ii)(λx,y

)= λ

(x,y

)для всех λ ∈ K и x.y ∈ H;

(i)(x+ y, z

)=

(x, z

)+(y, z

)для всех x,y, z ∈ H;

(iv)(x,y

)=

(y,x

), если K = C, и

(x,y

)=

(y,x

), если K = R.

Тогда пара(H,

(·, ·

))называется эрмитовым пространством, если

K = C, и евклидовым, если K = R.

Пусть H — унитарное или евклидово пространство.

1. Доказать, что |(x,y

)|2 ≤

(x,x

)(y,y

)(неравенство Коши--

Буняковского).

2. Доказать, что функция ‖ · ‖2 : H → R+, заданная как ‖x‖2 =√(x,x

)является нормой на H.

Литература: [4, стр. 85].

1.10. (2 б.) Характеристическое свойство евклидовых про-странств.Пусть (E, ‖ · ‖) — линейное нормированное пространство над полемR. Доказать, что норма ‖ · ‖ порождается скалярным произведени-ем на H, т.е. существует такое скалярное произведение

(·, ·

), что

‖x‖ =√

(x,x

), тогда и только тогда, когда

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2

).

Литература: [3, стр. 176].

215

A.2. МЕРА И ИНТЕГРАЛ

A.2 Мера и интеграл

2.1. (1 б.) Приближение борелевских множеств компактны-ми и открытыми множествами.Пусть µ — конечная мера на борелевской σ-алгебре Bn простран-ства Rn. Доказать, что для любого B ∈ Bn и любого ε > 0 найдутсятакие компактное множество Kε и открытое множество Uε в Rn,что Kε ⊂ B ⊂ Uε и µ(Uε \Kε) < ε.Литература: [9, теорема 2.3.11].

2.2. (2 б.) Приближение измеримых множеств.Пусть µ— σ-конечная мера на кольце R, и µ— ее продолжение на σ-алгебру Σµ. Доказать, что для любого множества A ∈ Σµ конечноймеры, т.е. для которого µ(A) <∞, и любого ε > 0 существует такоемножество Aε ∈ R, что µ(AAε) < ε.Литература: [8, стр. 35, теорема 6], [5, теорема I.6.5].

2.3. (3 б.) Теорема Каратеодори.Доказать теорему Каратеодори (см. теорему 2.2.37).Литература: [8, стр. 30, теорема 3].

2.4. (1 б.) Пример неизмеримого множества.Привести пример множества неизмеримого по Лебегу. Будет ли этомножество борелевским ?Литература: [9, пример 2.5.7].

2.5. (1 б.) Мера Лебега–Стильтьеса на прямой.Пусть R — кольцо, порожденное полуинтервалами [a, b), a, b ∈ R,a ≤ b. Для монотонно неубывающей непрерывной слева функцииF : R → R определим

µF(

m⊔

k=1

[ak, bk))=

m∑

k=1

(F (bk)− F (ak)

).

Доказать, что µF является мерой на R. (Продолжение меры µF наΣµF называется мерой Лебега–Стильтьеса на прямой с функциейраспределения F ).Литература: [1, теорема 4.1].

216


2.6. (1 б.) Описание σ-конечных мер на B.Пусть µ является σ-конечной мерой на борелевской σ-алгебре Bподмножеств R. Зафиксируем a ∈ R, и определим функцию

Fa(x) =

µ([a, x)

), x ≥ a,

−µ([x, a)

), x < a.

Доказать, что функция Fa является неубывающей, непрерывнойслева, Fa(a) = 0 и µ = µFa (см. задачу 1.5).Литература: [5, теорема I.15.1].

2.7. (2 б.) Описание измеримых функций (теорема Н. Н. Лу-зина).Пусть λn — мера Лебега на Rn, X ⊂ Rn — измеримое по Лебегумножество конечной меры, и пусть f : X → R измеримая по Лебегуфункция. Тогда для любого ε > 0 существует такое замкнутое мно-жество Fε ⊂ X, что λn(X \ Fε) < ε, и сужение f Fε функции f наFε является непрерывной функцией на Fε.Литература: [1, теорема 19.1], [5, теорема II.5.3].

2.8. (2 б.) Описание сходимости почти всюду (теорема Д. Ф. Его-рова).Пусть (Ω,Σ) — измеримое пространство, и µ — конечная мера наσ-алгебре Σ. Пусть f, fk : Ω → R, k ∈ N, — измеримые функции, иfk → f почти всюду относительно меры µ. Тогда для любого ε > 0существует такое множество Ωε ∈ Σ, что µ(Ωε) < ε и fk → f равно-мерно на Ω \ Ωε.Литература: [3, стр. 305, теорема 6], [8, стр. 58, теорема 8].

2.9. (2 б.) Абсолютно непрерывные меры.Пусть (Ω,Σ, µ) измеримое пространство с мерой. Мера ν на (Ω,Σ)называется абсолютно непрерывной относительно меры µ, если вы-полняется следующее условие для произвольногоA ∈ Σ: если µ(A) =0, то ν(A) = 0.

1) Пусть f : Ω → R+ — измеримая функция относительно σ-

217


алгебры Σ. Определим функцию µf : Σ → R+ как

µf (A) =

∫

Af dµ, A ∈ Σ.

Доказать, что µf является мерой, абсолютно непрерывнойотносительно меры µ.Литература: [5, теоремы III.4.2, III.4.3].

2) Пусть ν — конечная мера на (Ω,Σ). Доказать, что мера νявляется абсолютно непрерывной относительно меры µ то-гда и только тогда, когда для любого ε > 0 существует такоеδ > 0, что, для произвольного A ∈ Σ имеем ν(A) < ε, еслиµ(A) < δ.Литература: [5, теорема V.1.1].

2.10. (3 б.) Описание абсолютно непрерывных мер (теоремаРадона–Никодима).Пусть (Ω,Σ, µ) — измеримое пространство с σ-конечной мерой µ.Пусть σ-конечная мера ν на Σ удовлетворяет следующему усло-вию: ν(A) = 0 для всех таких A ∈ Σ, что µ(A) = 0. Доказать, чтосуществует такая измеримая функция f : Ω → R, что

ν(A) =

∫

Af dµ

для всех A ∈ Σ.Литература: [1, теорема 20.2], [5, теорема V.2.1].

218

Приложение B

Экзаменационные вопросы

и задачи

219

B.1. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

Каждый билет состоит из 2 теоретических вопросов и 2 задач,и покрывает следующие темы.1

1. Линейные нормированные пространства.

2. Мера и интеграл.

B.1 Экзаменационные вопросы

1. Линейные нормированные пространства.2

1. Норма, преднорма: означення (1.1.1), властивостi преднорми(1.1.6).

2. Простiр ℓ1 (1.1.7).

3. Простiр Fb(Ω,R) (1.1.11).

4. Еквiвалентнi норми: означення (1.1.16).

5. Еквiвалентнiсть норм в Rn (1.1.19, доказательство: + 1.1.18).

6. Вiдкритi та замкненi множини в нормованих просторах: озна-чення (1.2.3, 1.2.5).

7. Зв’язок мiж вiдкритими та замкненими множинами (1.2.9).

8. Об’єднання та перетин вiдкритих та замкнених множин(1.2.11).

9. Замикання множини: означення (1.5.1), побудова (1.5.3, 1.5.4).

10. Границя послiдовностi в нормованому просторi: означення(1.3.3).

11. Необхiдна умова збiжностi послiдовностi в Fb([a, b]) (1.3.11).

12. Необхiдна умова збiжностi послiдовностi в ℓ1 (1.3.11).

13. Необхiдна умова збiжностi послiдовностi в ℓ2 (1.3.11).

1Определения и формулировки результатов в вопросах оцениваются в 50%

от максимального балла.2Формулировки следующих вопросов отличаются от соответствующих фор-

мулировок в предыдущей версии конспекта: 5, 7, 9, 33.

220


14. Необхiдна умова збiжностi послiдовностi в ℓ∞ (1.3.11).

15. Фундаментальнi послiдовностi в нормованому просторi: озна-чення (1.4.1).

16. Фундаментальнiсть збiжної послiдовностi (1.4.2).

17. Банаховi простори: означення (1.4.8).

18. Банаховiсть простору ℓ1 (1.4.10).

19. Банаховiсть простору ℓ2 (1.4.10).

20. Банаховiсть простору Fb (1.4.11).

21. Банаховiсть замкненого пiдпростору (1.4.12).

22. Банаховiсть простору C([a.b]) (1.4.13, 1.4.14).

23. Банаховiсть простору C2π (1.6.2).

24. Щiльнi множини: означення (1.5.5).

25. Тригонометричнi полiноми: означення (1.6.7), представленняу виглядi згортки (1.6.9).

26. Теорема Валле-Пуссена (1.6.3, 1.6.6).

27. Друга теорема Вейерштрасса (1.6.10).

28. Представлення полiнома у виглядi згортки (1.6.14).

29. Теорема про збiжнiсть послiдовностi полiномiв до неперервноїфункцiї (1.6.13).

30. Перша теорема Вейерштрасса (1.6.15).

31. Компактнi та предкомпактнi множини: означення (1.7.3,1.7.14).

32. Центрованi сiмейства множин: означення (1.7.6).

33. Критерiй компактностi множини в термiнах центрованих сi-мейств (1.7.8).

34. Властивостi компактних множин (1.7.10, 1.7.15).

35. Цiлком обмеженi множини: означення (1.7.17).

221


36. Властивостi цiлком обмежених множин (1.7.19, 1.7.20, 1.7.23).

37. Злiченно компактнi множини: означення (1.7.24).

38. Злiченна компактнiсть компактної множини (1.7.27).

39. Замкненiсть та цiлком обмеженiсть злiченно компактної мно-жини (1.7.27).

40. Компактнiсть замкненої цiлком обмеженої множини (1.7.27).

41. Теорема Арцела (1.7.30, 1.7.33, 1.7.35).

42. Неперервнiсть вiдображення в точцi: означення (1.8.1).

43. Еквiвалентнi умови неперервностi (1.8.3).

44. Неперервнiсть вiдображення на множенi: означення (1.8.4).

45. Властивостi неперервних вiдображень на компактах (1.8.7,1.8.11).

46. Тереми Вейерштрасса про неперервнi функцiонали на компак-тах (1.8.7, 1.8.8).

47. Стиск: означення (1.8.12).

48. Теорема Банаха про нерухому точку (1.8.15, 1.8.17).

2. Мера и интеграл.3

1. Системи пiдмножин (напiвкiльце, кiльце, σ-кiльце, алгебра,σ-алгебра): означення (2.1.1, 2.1.3).

2. Кiльце, породжено напiвкiльцем (2.1.6, 2.1.7, доказательство:+ 2.1.5).

3. Властивостi кiлець, алгебр, σ-кiлець, σ-алгебр (2.1.9).

4. Система, що породжена сiмействами пiдмножин: означення(2.1.12).

5. Система, що породжена сiмейством пiдмножин: iснування(2.1.10, 2.1.11).

3Формулировки следующих вопросов отличаются от соответствующих фор-

мулировок в предыдущей версии конспекта: 2, 6, 8, 24, 27.

222


6. Властивостi систем множин, що породженi сiмействами пiд-множин (2.1.17).

7. Борелiвська σ-алгебра: означення (2.1.15).

8. Сiмейства множин, що породжують борелiвську σ-алгебру(2.1.19, доказательство: + 2.1.18).

9. Мiра на напiвкiльцi та кiльцi: означення (2.2.1, 2.2.6).

10. Продовження мiри з напiвкiльця на кiльце (2.2.8).

11. Властивостi мiри на кiльцi (2.2.13).

12. Неперервнiсть мiри за зростанням (2.2.15).

13. Неперервнiсть мiри за спаданням (2.2.16).

14. Зовнiшня мiра: означення (2.2.20).

15. Зовнiшня мiра: властивостi (2.2.28).

16. Множина мiри нуль: означення (2.2.29).

17. Множина мiри нуль: властивостi (2.2.32).

18. Вимiрна множина за Каратеодорi: означення (2.2.33).

19. Вимiрнiсть множини кiльця (2.2.34) .

20. Вимiрнiсть множини мiри нуль (2.2.35).

21. Теорема Каратеодорi (без доведення) (2.2.37).

22. Мiра Лебега, множини вимiрнi за Лебегом: означення (2.2.42).

23. Вимiрнi простори, множини та вiдображення: означення(2.3.1, 2.3.2).

24. Вимiрнiсть композицiї вiдображень (2.3.5).

25. Вимiрнiсть вiдображень у разi породжуваностi σ-алгебри сi-мейством пiдмножин (2.3.6).

26. Вимiрнi функцiї: означення (2.3.7).

27. Вимiрнi функцiї: критерiї вимiрностi (2.3.11), вимiрнiсть iнди-катора (2.3.12).

223


28. Вимiрнi функцiї: алгебраїчнi властивостi (2.3.13).

29. Властивостi послiдовностей вимiрних функцiй (2.3.15).

30. Проста функцiя: означення (2.3.16).

31. Проста функцiя: iндуковане розбиття простору (2.3.18).

32. Проста функцiя: критерiй вимiрностi (2.3.20).

33. Теорема про апроксимацiю вимiрної функцiї зростаючою по-слiдовнiстю простих функцiй (2.3.30).

34. Вимiрний простiр з мiрою: означення (2.4.1).

35. Iнтеграл вiд простої невiд’ємної функцiї: означення (2.4.2).

36. Iнтеграл вiд простої невiд’ємної функцiї: властивостi (2.4.4).

37. Iнтеграл вiд простої невiд’ємної функцiї: властивiсть монотон-ностi 2.4.5).

38. Iнтеграл вiд невiд’ємної функцiї: означення (2.4.6).

39. Iнтеграл вiд невiд’ємної функцiї: властивiсть монотонностi(2.4.10).

40. Теорема Беппо Левi, наслiдок (2.4.11, 2.4.12).

41. Iнтеграл вiд невiд’ємної функцiї: властивостi лiнiйностi(2.4.15).

42. Теорема Фату (2.4.13).

43. Властивiсть «майже всюди»: означення (2.4.16).

44. Властивiсть «майже всюди»: критерiй рiвностi нулю iнтегралавiд невiд’ємної функцiї (2.4.18).

45. Монотоннiсть iнтегралу для невiд’ємних функцiй, що задо-вольняють властивiсть «майже всюди» (2.4.19).

46. Нерiвнiсть Чебишева (2.4.20), наслiдок (2.4.21).

47. Iнтеграл вiд вимiрної функцiї: означення (2.4.23).

48. Iнтеграл вiд вимiрної функцiї: властивостi (2.4.24).

49. Iнтеграл вiд вимiрної функцiї: лiнiйнiсть iнтегралу (2.4.25).

224


50. Iнтеграл вiд вимiрної функцiї: важлива нерiвнiсть (2.4.26).

51. Теорема Лебега про обмежену збiжнiсть (2.4.27, 2.4.28).

52. Iнтеграл по пiдмножинi: означення (2.4.29).

53. Iнтеграл по пiдмножинi: критерiй рiвностi нулю функцiї май-же всюди (2.4.30).

54. Лiнiйнiсть iнтегралу по пiдмножинi (2.4.31), наслiдок (2.4.32).

55. Iнтеграл по пiдмножинi: абсолютна неперервнiсть iнтегралу(2.4.33).

56. Означення iнтегралу Рiмана (2.5.4, 2.5.6).

57. Властивостi простих функцiй, пов’язаних з iнтегралом Рiмана(2.5.11).

58. Iнтеграл Лебега вiд функцiї, що iнтегрована за Рiманом(2.5.12, 2.5.14).

225

B.2. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

B.2 Экзаменационные задачи

1. Линейные нормированные пространства

[10] : 11.1 (1, 4 ), 12 (1, 4 ), 12.1 (p = 1, 2), 14.1, 14.2, 14.5, 16(1, 2 (p = 1)), 16.1, 16.2, 17 (1, 2, 4 ), 31.1, 31.2, 31.3, 31.6, 34,34.1, 35, 36, 37 (M = [a, b], M = (a, b)), 37.1, 37.2, 37.3, 38 (1,2, 4, 6, 7, 8, 9 ), 65, 67 (ℓ∞), 69, 69.1, 69.2, 52, 53.1 (p = 1, 2),53.2, 53.3, 107.2, 107.3, 108, 109, 109.1, 113 (1, 2, 3, 5, 6, 7 ),113.1, 114, 91, 92, 98, 99, 100, 101, 102 .

2. Мера и интеграл

[10] : 279, 282, 283, 284, 285.2, 285.3, 287.1, 289, 290.1, 290.2,290.3, 290.4, 290.5, 290.6, 290.8, 290.9, 290.10, 293 (1 — 4 ),293.3, 294, 295, 296, 300, 301, 302 (1, 3 ), 303 (d, e), 305, 306,311, 313 (1, 2, 3, 4, 7, 8, 9 ), 317, 317.1 (1, 2, 3, 5 ), 317.2 (1— 6 ), 319 (1, 2, 3 ), 320 (1, 2 ), 334, 334.1, 334.2 (1, 3, 5, 6 ),335, 335.1, 335.5, 335.6, 335.7, 335.8, 335.9, 335.10, 336, 336.1,336.2, 338.2, 338.3, 338.4 (1, 2, 5, 6), 341, 350.2. .

226

Index

Алгебра, 121σ-алгебра, 121

борелевская на R, 169борелевская на Rn, 128порожденная, 128

Дифференциальное уравнениепервого порядка, 112

задача Коши, 94, 113решение, 112

Задача Коши, 94, 113решение, 94, 113

Интегралпо мере, 180, 192

от простой функции, 175по подмножеству, 199сходящийся, 175

Интеграл Римана, 205Кольцо, 121

σ-кольцо, 121порожденное полукольцом,

124Конечная r-сетка, 79Мера, 137

σ-конечная, 154Лебега, 155

вероятностная, 154внешняя, 144конечная, 154на полукольце, 134ограничение меры, 153ограниченная, 154продолжение меры, 153считающая, 139

Многочлентригонометрический, 57

Множествоµ-измеримое, 151, 175борелевское, 128вполне ограниченное, 79выпуклое, 112замыкание, 45измеримое, 156измеримое по Каратеодо-

ри, 151измеримое по Лебегу, 155компактное, 68меры 0, 148ограниченное, 36предкомпактное, 78счетно компактное, 83

227

INDEX

Норма на линейном простран-стве, 4

Нормыэквивалентные, 18

Окрестность, 25Отображение

измеримое, 156непрерывное в точке, 101непрерывное на, 103равномерно непрерывное,

106Подмножество

замкнутое, 24открытое, 24плотное, 46

Подпокрытие, 68Покрытие, 68

открытое, 68Полукольцо подмножеств, 120Последовательность

Коши, 34в X, 28ограниченная, 36подпоследовательность, 29сходящаяся в X, 29фундаментальная, 34

Почти всюдусвойство, 186

Предел последовательности, 29Преднорма на линейном про-

странстве, 4Пространство

Kn2 , 5

Rn1 , 7

Rn∞, 8

C(K), 16ℓ1, 12ℓ∞, 12ℓp, 14Fb(Ω;K), 15банахово, 37измеримое, 156измеримое с мерой, 175линейное нормированное, 4полное, 37

Разбиениеотрезка, 203подразбиение, 203точки согласованные, 203

Семейство подмножествцентрированное, 70центрированное в X, 70

Семейство функцийравномерно ограниченное,

89равностепенно непрерывных,

89Сжатие на X, 107Сумма

Дарбуверхняя, 204нижняя, 204

Римана интегральная, 203Сфера, 22Теорема

Беппо Леви, 180Лебега об ограниченной схо-

димости, 196

228

INDEX

Фату, 184Точка

внутренняя, 23неподвижная, 109предельная, 24

Функционална E, 101

Функцияµ-измеримая, 175измеримая, 158, 170интегрируема по Риману,

204интегрируемая, 192неотрицательная

интегрируемая, 180простая, 165

интегрируемая, 175Шар

замкнутый, 22открытый, 22открытый выколотый, 22

229

Литература

[1] Дьяченко, М. И. Мера и интеграл / М. И. Дьяченко,П. Л. Ульянов. — М.: Изд-во «Факториал», 1998.

[2] Халмош, П. Теория меры / П. Халмош. — Изд-во иностраннойлитературы, 1953.

[3] Колмогоров, А. Н. Элементы функционального анализа /А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

[4] Люстерник, Л. А. Краткий курс функционального анализа /Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. — М.: Высш. школа, 1982.

[5] Березанский, Ю. М. Функциональный анализ. Курс лекций /Ю. М. Березанский, Г. Ф. Ус, З. Г. Шефтель. — К.: Выща шк.,1990.

[6] Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

[7] Федоров, В. М. Курс функционального анализа / В. М. Федо-ров. Учебники для вузов. Специальная литература. — СПб:«Лань», 2005.

[8] Дороговцев, А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла /А. Я. Дороговцев. — К.: Выща шк., 1989.

230

ЛИТЕРАТУРА

[9] Богачев, В. И. Действительный и функциональный анализ:университетский курс / В. И. Богачев, О. Г. Смолянов. —Москва, Ижевск: R&C Dynamics, 2009.

[10] Богданский, Ю. В. Задачи по дисциплине «Функциональныйанализ» / Ю. В. Богданский, Г. Б. Подколзин, Ю. А. Чапов-ский. — Электронная версия, Киев, 2017.

[11] Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. / В. А. Зорич.— М.: ФАЗИС, 1997.

231

Ю.А. Чаповскийyc/kpi/fa/2018-2019/fa... · 2019. 1. 8. · e линейное...

Documents