Relasi Rekurensi Matematika Diskrit II

Relasi Rekurensi

Bentuk umum

an = c1 an-1 + c2 an-2 + + ck an-k

dengan c1, c2, , ck bilangan real dan ck 0.

Solusi Relasi Rekurensi Homogen Linear

Solusi dalam Bentuk an = rn dengan r Konstan

an = rn solusi dari an = c1 an-1 + c2 an-2 + + ck an-k

jika dan hanya jika

rn = c1 rn1

+c2 rn2

+ + ck rnk

rn c1 rn1

c2 rn2

ck rnk = 0

rk c1 rk1

c2 rk2

ck1 r ck = 0

Solusi Relasi Rekurensi Homogen Linear

rk c1 rk1

c2 rk2

ck1 r ck = 0

Persamaan Karakteristik

SOLUSI Akar Karakteristik

Teorema 1

Misalkan c1, c2 bilangan real dan r2 c1r c2 = 0

mempunyai dua akar berbeda r1 dan r2.

Maka semua solusi dari relasi rekurensi

an = c1 an-1 + c2 an-2

berbentuk

an = 1r1n + 2r2

n

n = 0,1,2,, dengan 1 dan 2 konstan.

Contoh

Carilah solusi dari an = an-1 + 2an-2

dengan a0 = 2 dan a1 =7. Solusi. Persamaan karakteristik : r2 r 2 = 0, Akar karakteristik : r = 2 dan r = 1. Solusi : an= 1 2

n + 2 (1)n .

Nilai awal a0= 2 dan a1= 7 : an = 32n (1)n .

Teorema 2

Misalkan c1, c2 bilangan real dengan c2 0 dan

r2 c1r c2 = 0 mempunyai akar kembar r0.

Maka semua solusi dari relasi rekurensi

an = c1 an-1 + c2 an-2 berbentuk

an = 1 r0n + 2 nr0

n, n = 0,1,2,

dengan 1 dan 2 konstan.

Soal

Tentukan solusi dari relasi rekurensi

an = 6an-1 9an-2

dengan kondisi awal a0 = 1 dan a1 = 6.

Teorema 3

Misalkan c1, c2, , ck bilangan real dan persamaan karakteristik

rk c1 rk-1

c2 rk-2

ck-1 r ck = 0

mempunyai k akar r1, r2, , rk yang berbeda.

Maka, solusi relasi rekurensi

an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k selalu berbentuk

an = 1r1n + 2r2

n + + krkn , n=0,1,2,

dengan i , i=0,1,, k konstan.

Soal

Tentukan solusi dari relasi rekurensi an = 6an-1 11an-2 + 6an-3

dengan kondisi awal a0=2, a1=5 dan a2=15.

Solusi.

Persamaan karakteristik r3 6r2 + 11r 6 = 0

Akar-akarnya r = 1, r = 2 dan r = 3

Solusi an = 11n + 22

n + k3n

Dari kondisi awalnya diperoleh

an = 1 2n + 2 3n .

Teorema 4

Misal c1, c2, , ck bilangan real dan persamaan karakteristik

rk c1 rk-1

c2 rk-2

ck-1 r ck = 0

mempunyai t akar r1, r2, , rt berbeda dengan multiplisitas m1, m2, , mt (m1+ m2 + + mt = k).

Maka solusi relasi rekurensi

an = c1 an-1 + c2 an-2 + + ck an-k

selalu berbentuk

an = (1,0 + 1,1n + + 1,m1-1 nm1-1)r1

n

+ (2,0 + 2,1n + + 2,m2-1 nm2-1)r2

n

+ + (t,0 + t,1n + + t,mt-1 nmt-1)rt

n

Soal

Tentukan solusi dari relasi rekurensi an = 3an-1 3an-2 an-3

dengan kondisi awal a0 = 1, a1 = 2 dan a2 = 1. Solusi. Persamaan karakteristik r3 + 3r2 + 3r +1 = 0. Akar r = 1 dgn multiplisitas 3. Solusi an = 1,0 (1)

n + 1,1 n (1)n + 1,2

n2 (1)n . Dengan memandang kondisi awalnya diperoleh

an = (1 + 3n 2n2) (1)n.

Relasi Rekurensi Tak Homogen Linear dengan Koefisien Konstan

Secara umum, an = c1 an-1 + c2 an-2 + + ck an-k + F(n)

dengan ci , i = 0,1,2, konstan dan F(n) fungsi tak nol.

an = c1an-1 + c2an-2 + + ck an-k disebut relasi rekurensi homogen yang berkaitan. Contoh.

an = an-1 + 2n

an = an-1 + an-2 + an-3 + n! an = 3an-2 + 5n

Teorema 5

Jika {an(p)} adalah solusi khusus dari relasi

rekurensi tak homogen linear dengan koefisien konstan

an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k + F(n)

maka setiap solusi berbentuk

{an(p) + an

(h)},

dengan {an(h)} solusi relasi rekurensi homogen yang

berkaitan

an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k.

Soal

Tentukan semua solusi dari relasi rekurensi an = 3an-1 + 2n.

Solusi. Karena F(n) = 2n adalah polinom berderajat satu, maka kita coba polinom berderajat satu

pn = cn + d, dengan c dan d konstan untuk mendapatkan solusi khusus. Didapat, pn = 3pn-1 + 2n cn+d = 3(c(n-1)+d) + 2n (-2c-2)n + (3c-2d) = 0 Sehingga c = -1 dan d = -3/2. Jadi, solusi khususnya an

(p) = -n - 3/2.

Soal

Solusi homogen dari relasi homogen yang berkaitan,

an = 3an-1 adalah an

(h) = 3n, dengan konstan. Menurut Teorema 5, solusi umum dari

an = 3an-1 + 2n adalah

an = an(p) + an

(h) = -n - 3/2 + 3n.

Jika diketahui a1 = 3, maka solusi menjadi an = -n - 3/2 + (11/6) 3

n.

Soal

Tentukan semua solusi dari relasi rekurensi: an = 5an-1 - 6an-2 + 7

n. Solusi. Solusi homogennya adalah

an(h) = 13

n + 22n.

Karena F(n) = 7n, solusi khusus yg perlu dicoba adalah

an(p) = c 7n.

Maka, c 7n = 5c 7n-1 6c 7n-2 + 7n.

Diperoleh c = 49/20. Jadi, solusi umumnya:

an = 13n + 22

n + 49/20 7n.

Teorema 6

Misalkan {an} memenuhi relasi rekurensi tak homogen linear

an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k + F(n) dengan ci , i=1,2,,k bilangan real dan

F(n) = (btnt + bt-1n

t-1 + + b1n + b0) s

n

dengan bi , i=0,1,,t dan s bilangan real. Jika s bukan akar dari persamaan karakteristik relasi rekurensi homogen yang berkaitan, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk

(ptnt + pt-1n

t-1 + + p1n + p0) s

n Jika s akar dari persamaan karakteristik dengan multiplisitas m, maka terdapat solusi khusus yang berbentuk

F(n) = nm (ptnt + pt-1n

t-1 + + p1n + p0) s

n

Soal

Carilah solusi khusus dari relasi rekurensi an = 6an-1 - 9an-2 + F(n)

bila 1. F(n) = 3n, 2. F(n) = n 3n, 3. F(n) = n2 2n, dan 4. F(n) = (n2+1) 3n Solusi. Solusi homogennya adalah an

(h) = 13n + 2n3

n. Dan solusi khususnya adalah 1. an

(p) = p0 n2 3n.

2. an(p) = n2 (p1n+p0)3

n. 3. an

(p) = (p2n2+p1n+p0)2

n. 4. an

(p) = n2(p2n2+p1n+p0)3

n.

Soal

Tentukan solusi dari relasi rekurensi Hn = 2Hn-1 + 1, H1 = 1, dan H2 = 3

Solusi. Relasi homogen yang berkaitan adalah

Hn = 2Hn-1 dan solusi homogennya

Hn(h) = 2n.

Karena F(n) = 1 = 1n, maka solusi khususnya adalah Hn

(p) = p0 1n = p0.

Sehingga solusi umumnya adalah Hn = 2

n + p0 Dengan memandang H1 = 1 dan H2 = 3 diperoleh =1 dan p0= -1. Jadi,

Hn = 2n - 1

Fungsi Pembangkit dalam Relasi Rekurensi

Soal

Cari solusi relasi rekurensi ak = 3ak-1 untuk k = 1, 2, 3, dengan kondisi awal a0 = 2

Referensi

Struktur Diskrit, Rinaldi Munir