03.07 ecuaciones de primer grado

Si hay un signo menos delante de un paréntesis o de una fracción, hay queaplicar la regla de los signos y la propiedad distributiva.

− 3− x =− 3− − x =− 3 x

−x−12

=−x−1

2=−x1

2

− 2 − x 5 =− 2 − x − 2 ⋅5= 2x − 10

−2⋅4x5

=−24x

5=−8−2x

5

−2⋅4x5

=2 4x

−5=82x

−5−2⋅4x

5=−

24x 5

=−82x5

0. Recuerda: operaciones con el signo

MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO Javier Fernández

• Identidad: Es una expresión con una igualdad que se cumple siempre.– Identidad numérica: Sólo aparecen números.– Identidad algebraíca: Aparecen números y letras.

• Ecuación: Es una expresión con letras y números en una igualdad que secumple sólo para ciertos valores de las letras.

¿Cuánto vale x si la balanza está equilibrada?

Hay que resolver le ecuación x + 3 = 7 x = 7 – 3

x = 4

La solución es x = 4 porque 4 + 3 = 7

Soluciones de una ecuación son los valores que tiene que tomar la incógnitapara que se verifique la igualdad.

1.1 Identidades y ecuaciones


Resolver una ecuación es hallar sus soluciones

Soluciones

Una

Infinitas

Ecuación

x + 3 = 7

x + 3 = y + 2

x + 5 = x – 1 Ninguna

Compatibles

Incompatibles

En este caso es una identidad

No hay ningún número tal que al sumarle 5 yrestarle 1 dé lo mismo

1.2 Soluciones de una ecuación


Para plantear correctamente el enunciado de un problema nos convienemanejar el lenguaje matemático y traducir del lenguaje usual al algebraico.

• El cuadrado de la mital de un número más tres

• El cuadrado de la mitad de la suma de un número más 3.

• El doble de la edad de Fermando dentro de diez años

• Dentro de 10 años la edad de Fernando será el doble de la que tiene ahora

Si el número es x : x2

2

3

Si el número es x : x32

2

Si la edad es x: 2(x + 10)

Si la edad es x: (x + 10) = 2x

2. Expresión de relaciones con símbolos


Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o resta los mismosnúmeros o letras, se obtiene otra ecuación equivalente

Resolver: 6x – 1 = 2x + 8

Se resta 2x: 6x – 1 – 2x = 2x + 8 – 2x

4x – 1 = 8

Se suma 1: 4x – 1 + 1 = 8 + 1

4x = 9

x= 94=2, 25

3.1 Regla de la suma


• La regla de la suma equivale a transponer términos: pasar un término de unmiembro a otro cambiado de signo.• Una aplicación muy útil de la regla de la suma es la simplificación: se puedesuprimir en los dos miembros un mismo término

Resolver: 3x – 5 = 7 + 2x – 4

Mediante la regla de la suma

Mediante la transposición de términos

Se opera: 3x – 5 = 3 + 2x

Se resta 2x a los dos miembros3x – 5 –2x = 3 + 2x –2x

Se opera: x – 5 = 3

Se suma 5 a los dos miembrosx – 5 + 5 = 3 + 5

x = 8

Se opera: 3x – 5 = 3 + 2x

Se transponen miembros3x – 2x = 3 + 5

Se opera: x = 8

3.2 Simplificar y transponer términos


Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por elmismo número, se obtiene otra ecuación equivalente

4x + 12 = 16

x + 3 = 4

Dividiendo por 4 ambos miembros

3.3 Regla de producto


Se multiplica por 8:

Re solver :−3x

8=2

8⋅−3x8

= 2⋅8

− 3x= 16

Se divide por (–3): −3x−3

=16−3

x= 16−3

=−163

=−163

3.4 Utilizació de la regla del producto


• La regla del producto equivale a transponer términos respecto al producto: lostérminos que están multiplicando a todo un miembro pueden pasar dividiendo alotro, y los que están dividiendo pueden pasar multiplicando.• Una aplicación muy útil de la regla de la suma es la simplificación: se puedensuprimir números distintos de cero que están multiplicando o dividiendo a los• dos miembros de una ecuación

Ejemplos: Es correcto No es correcto

2x13

= 5x−13

⇒ 2x + 1 = 5x – 12x1

3= 5x

3−1 ⇒ ?

2x3

5= 5x12

5⇒ 2x3

= 5x12

2x74

= 5x73

⇒ ?

3.5 Simplificar y transponer términos


1 5x – 3 = 7 – (1 – 2x)

5x – 3 = 7 – 1 + 2x

5x – 3 = 6 + 2x

5x = 9 + 2x

3x = 9

x = 3

2 x – 6 = –2(3x – 4)

x – 6 = –6x + 8

x = –6x + 14

7x = 14

x = 2

4.1 Resolución de ecuaciones de primer grado


3x2

− 2x15

= 5x4

73 4x4

=1− x− 46

m.c.m (4, 6) = 12

12⋅x4=12−12⋅x− 4

6

3x = 12 – 2(x – 4)

3x = 12 – 2x + 8

5x = 20

x = 4

m.c.m (2, 5, 4) = 20

20⋅3x2

− 20⋅2x15

=20⋅5x4

140

30x – 8x – 4 = 25x + 140

22x – 4 = 25x + 140

–3x = 144

x = – 48

4.2 Resolución de ecuaciones de primer grado


• Al eliminar un paréntesis precedido de un signo menos, hay que cambiar todoslos signos de los términos del paréntesis.• En el caso de que un signo menos preceda a una fracción, éste ha de cambiar elsigno del numerador o del denominador.

– 3(x – 2) = 3(– x + 2) = –3x + 6

También se puede poner:– 3(x – 2) = 3(x – 2)(–1)

3x 5 x

20 5

Observa la siguiente ecuación:

Las siguientes igualdades son tambiénválidas:

3x 5 x

20 5

3x 5 x

20 5

3x 5 x

20 5

Con qué debemos tener cuidado


03.07 ecuaciones de primer grado

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