09. functionale biliniare si patratice
TRANSCRIPT
Funcţionale biliniare şi pătratice Stabiliţi dacă următoarea funcţională este biliniară sau nu? , .
Soluţie: functionala biliniara daca
1)
2)
3)
4)
Fie
1)
2)
Analog si am demonstrat ca functionala biliniara
Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică , .
Soluţie: folosim metoda Gauss
Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică , .
Soluţie: folosim metoda Iacobi-obtinem
Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică ,
Soluţie: folosim metoda Iacobi si obtinem
Exercise
Exercise
Exercise
Exercise
Page 1 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Să se aducă următoarea funcţională la forma canonică prin metoda lui Iacobi şi a lui Gauss şi să se stabilească natura funcţionalei: ,
Soluţie: Iacobi:
pozitiv definita
Gauss:
pozitiv definita
Să se aducă urmatoarea funcţională la forma canonică prin metoda lui Iacobi şi să se stabilească natura funcţionalei:
Soluţie:
functionala este pozitiv definita.
Să se aducă următoarea funcţională la forma canonică prin metoda lui Iacobi şi să se stabilească natura funcţionalei:
Exercise
Exercise
Exercise
Page 2 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Soluţie:
functionala este nedefinita
Să se aducă următoarea funcţională la forma canonică:
Soluţie: Notam
Să se aducă la forma canonică următoarea formă patratică: .
Soluţie: matricea formei patratice este :
Să se aducă la forma canonică urmatoarea funcţională pătratică: .
Soluţie:
Notam:
Exercise
Exercise
Exercise
Page 3 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Care dintre următoarele funcţionale sunt biliniare? , .
Soluţie: fie x=
x
f
=
f
=
=
din
6. Care este natura functionalei pãtratice:
.
Rezolvare:
Metoda Gauss.
. Fãcând transformarea : , obtinem: . Facem transformarea: . Avem
si am obtinut forma canonicã. Ea are matricea: . Deci functionala pãtraticã este nedefinitã.
Metoda Jacobi:
Matricea lui este: . Avem , , , , deci se poate aplica metoda. Facem transformarea:
Exercise
Page 4 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
. Obtinem: . Matricea ei este: . Avem , ,
, , . Rezultã cã forma canonicã este .
7. Sã se aducã la forma canonicã functionala pãtraticã:
.
Rezolvare:
Metoda Gauss:
Deoarece nu avem nici un pãtrat perfect facem transformarea: , obtinem: . Încercãm sã obtinem pãtrate
perfecte: ,
deci . Facem transformarea: si obtinem , care are matricea:
. Deoarece minorii principali sunt: , , functionala este nedefinitã.
Metoda Jacobi:
Matricea functionalei pãtratice este: . Deoarece nu putem aplica aceastã metodã, deci trebuie sã facem transformarea:
si obtinem . Matricea acestei functionalei este: A= . Avem , , ,
. Forma canonicã va fi : .
9. Se dã urmãtoarea functionalã biliniarã:
, .
a) Scrieti matricea lui în baza canonicã ;
b) Scrieti matricea lui f în baza , unde ,
Rezolvare:
a) Fie baza , unde , . Matricea lui în aceastã bazã este , unde . Atunci avem:
Page 5 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Deci .
b) Fie matricea corespunzãtoarea bazei . Avem:
,
deci matricea este .
Sa se aduca la forma canonica urmatoarele functionalele patratice:
1.
V(x)
unde:
2.
unde:
3.
unde:
Page 6 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
4.
unde:
5.
unde:
6.
unde:
7.
unde:
Sa se determine valorile reale ale lui a pentru care functionala patratica:
8. ,sa fie pozitiv definita;
Page 7 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
unde:
functionala este pozitiv definita pentru
9. ,sa fie negativ definita
unde:
functionala este negativ definita pentru
,
10. ,sa fie negativ definita
unde:
nu exista a pentru care functionala este negativ definita.
3.Sa se arate ca x unde cu este o functionala biliniara.
.
4.Se da functuionala: definita prin:
Aratati ca functionala este biliniara.
Rezolvare:
Fie Sa aratam :
1)
Page 8 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
2)
3)
4)
Rezolvare:
1)
2)
3)
4)
5.Fie spatiul vectorial al sirurilor convergentede numere reale ,construit cu operatiile obisnuite de adunare a sirurilor si de inmultire cu scalari. Sa se arate ca functionala ,unde
este biliniara si simetrica
Rezolvare:
Fie fiind sirurile cu limitele respectiv
Limita sirului suma este iar limita sirului este
Functionala fiind liniara in primul argument si simetrica ,este liniara si in al doilea argument ,prin urmare,
este o functionala biliniara si simetrica.
6.Sa se stabileasca natura urmatoarei forme patratice:(pozitiv definita,negativ definita,nedefinita)
Rezolvare:
Matricele formelor patratice si minorii principali sunt :
Este pozitiv definita.
7.Sa se reduca la forma canonica functionala patratica:
Rezolvare:
Metoda Gauss:
Page 9 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
unde
8. Sa se determine valorile reale ale lui pentru care functionala patratica
sa fie pozitiv definita.
Rezolvare :
Reducem functionala la forma canonica:
Pentru ca sa fie pozitiv definit trebuie ca
10. Sa se cerceteze daca functionala
este biliniara
Rezolvare:
este biliniara.
4.Să se arate că funcţionala : este biliniară şi să se scrie matricea ei în baza : .
5.Să se arate că funcţionala biliniară : , unde şi este simertică şi pozitiv definită.
6.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică : , .
7.Să se determine valorile reale ale lui pentru care funcţionala pătratică : să fie pozitiv definită.
8.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratica ; , , determinând baza în care e scrisă forma canonică.
9.Să se reducă la forma canonică funcţionala : şi să i se specifice natura.
4.Să se arate că funcţionala : este biliniară şi să se scrie matricea ei în baza : .
Soluţie:
Fie , şi , , şi atunci :
funcţionala este biliniară.
Page 10 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Matricea ataşată funcţionalei in baza este: unde:
deci .
5.Să se arate că funcţionala biliniară : , unde şi este simertică şi pozitiv definită.
Soluţie:
-
deci ,funcţionala este simetrică.
deci .
6.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratică : , .
Soluţie:
metoda lui Gauss:
Page 11 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
-matoda Jacobi:
, , , ,
.
7.Să se determine valorile reale ale lui pentru care funcţionala pătratică : să fie pozitiv definită.
Soluţie:
pentru ca să fie pozitiv definită, trebuie ca:
( .
8.Să se reducă la forma canonică funcţionala pătratica ; , , determinând baza în care e scrisă forma canonică.
Soluţie:
,
.
conform formulei:
.
9.Să se reducă la forma canonică funcţionala : şi să i se specifice natura.
Page 12 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Soluţie:
;
deci funcţionala este pozitiv definită.
10..Să se determine valorile reale ale lui pentru care funcţionala pătratică : să fie negativ definită.
Soluţie:
, ,
Forma canonică a funcţionalei este:
şi petru ca funcţionala să fie negativ definită, trebuie ca
adică : .
***
FUNCTIONALE LINIARE ,BILINIARE ,PATRATICE
1.Să se aducă la forma canonică funcţionala pătratică:
notez:
Page 13 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
notez:
functionala strict pozitiv definita.
2.Să se aducă la forma canonică:
notez:
3.Să se reducă la forma canonică funcţionala patratică:
notez:
notez:
4.Să se reducă la forma canonică:
notez:
notez:
5.Să se determine valorile reale ale lui pentru ca funcţionala pătratică să fie pozitiv definită:
notez:
Page 14 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
notez:
pozitiv definita
6.Să se determine valorile reale ale lui pentru ca funcţionala patratică să fie negativ definită:
notez:
notez :
negativ definita
9.Sa se arate ca este o functionala biliniara si sa se scrie matricea ei in baza canonica si in baza G.
Page 15 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
10.Sa se aduca la forma canonica ,in functie de parametrul
1.pentru functionala devine:
functionala nedefinita
2.pentru
nedefinita
semidefinita
nedefinita
semidefinita
functionala e pozitiv definita
3.Stabiliti daca urmatoarea functionala este biliniara sau nu?
f: ,
Analog
4.Sa se reduca la forma canonica functionala patratica V: ,
folosim metoda Gaus
Page 16 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
5.sa se reduca la forma canonica functionala patratica ,
6.Sa se reduca la forma canonica functionala patratica ,
7. In spatiul numeric se considera forma biliniara A(x,y)= . Sa se regaseasca matricea corespunzatoare formei biliniare A(x,y) in baza:
SOLUTIE: Matricea atasata lui A in baza canonica este:
iar matricea de trecere de
la baza mentionata este: . Atunci matricea atasata lui A este
8. Fiind data o matrice simetrica , avand proprietatile: , 0, ,
Page 17 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
sa se arate ca .
SOLUTIE: Stim ca daca A este o matrice simetrica care indeplineste conditiile mentionate ,atunci: unde
si din faptul ca este pozitiv definita
7/22. Care din urmatoarele functionale sunt biliniare si care nu?
a)
b)
c)
Rezolvare:
a) Fie , , , si ; exista relatia:
este si aditiva si omogena rezulta biliniara.
b)Fie , , , si ; exista relatia:
nu este aditiva nu este biliniara.
c) Fie , , , si ; exista relatia:
este si aditiva si omogena rezulta biliniara.
8/22. Sa se arate ca este o functie biliinara si sa se scrie matricea ei in baza canonica si in baza G:
a) , ,
b) , ,
c) , ,
Rezolvare
a) Fie , , , si ; exista relatia:
Matricea functionalei in baza canonica va fi: , , , unde , adica
Page 18 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
, ,
Matricea functionalei in baza G are urmatoarele elemente:
, ,
,
fiind vectorii bazei .
b)Fie , , , si ; exista relatia:
Matricea functionalei in baza canonica va fi: , , , unde
,
,
,
,
Matricea functionalei in baza G este :
, , ,
, , , , ,
9/23. Sa se arate ca functionala biliniara , , unde
si este simetrica si pozitiv definita.
Rezolvare
Functionala este simetrica.
Sa aratam ca este strict pozitiva pentru orice , cu . Avem:
Deci este pozitiva pentru orice x si se anuleaza numai cand , , sistemul are numai solutia banala si deci pentru orice
Page 19 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
10/23. Sa se arate ca , unde cu , este o functionala biliniara. Sa se scrie matricea in bazele
, .
Rezolvare
, , ,
, , ,
este functionala biliniara. Calculam matricea functionalei, cu , astfel:
si deci:
11/23. Sa se reduca la forma canonica functionala patratica
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
Rezolvare
a) Metoda 1. (Gauss)
, unde , , .
Metoda 2. (Jacobi) Calculam minorii principali ai matricei functionalei patratice
, , ,
Toti minorii fiind nenuli, metoda lui Jacobi sa poate aplica si forma canonica a lui este:
.
c) Deoarece matricea functionalei patratice este:
, nu se poate aplica nici o metoda de mai sus. Dar pentru , ,
, unde:
12/24. Sa se reduca la forma canonica funtionala patratica determinandu-se si baza in care este scrisa forma canonica.
Page 20 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
a) ,
b) ,
c) ,
Rezolvare:
a) Grupam termenii:
Obtinem forma canonica (1) unde , , (2)
(3)
Coordonatele vectorului x in baza , in care are forma canonica (1), sunt .
Se stie ca , unde cu notam baza canonica, iar este matricea de trecere de la baza canonica la baza . Avem, deci, conform relatiei (3):
si cum
Fie , matricea adjuncta a lui
baza este formata din vectorii: , , .
b) ; , , ;
c) ; , ;
13/25. Sa se determine valorile reale ale lui a pentru care funtionala patratica:
a) sa fie pozitiv definita;
b) sa fie negativ definita;
c) sa fie negativ defitnia;
Rezolvare:
a) Metoda 1. Reducem functia la forma canonica
.
Pentru ca sa fie pozitiv definita trebuie ca adica
Metoda 2. Minorii principali ai maricei
sunt Trebuie ca de unde
b) Minorii principali ai matricei:
Page 21 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
sunt . Trebuie sa implineasca conditiile de unde rezulta ca .
c) , , . Daca , adica , functionala este negativ definita.
14/26. Sa se reduca la forma canonica si sa se specifice natura.
Rezolvare
Matricea functionalei este
Calculand , minorul principal de ordinul al lui astfel : adunam toate liniliile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima coloana din toate celelalte.
.
Forma canonica a lui va fi:
si este pozitiv definita.
Sa se arate ca , , unde si este o functionala biliniara; sa se scrie matricea acestei functionale biliniare in baza canonica si in baza .
Solutie
Fie , si din ; exista relatiile:
,
;
in mod analog rezulta ca:
si deci este o functionala biliniara.
matricea functionalei in baza canonica va fi:
unde
, adica:
, , ,
, , ,
, ,
Page 22 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
si deci:
Matricea se poate scrie si direct folosind relatia .
Matricea a functionalei in baza se poate calcula prin doua metode:
Metoda 1.
Elementele matricei B sunt:
,
, , ,
, , ,
, ,
si deci:
.
Metoda 2.
Matricea este egala cu unde este matricea de trecere de la baza canonica la baza , adica:
si deci:
.
Sa se arate ca , unde este o functionala biliniara simetrica; sa se scrie matricea ei in baza .
Solutie
Faptul ca este o functionala biliniara se arata cu usurinta; este simetrica deoarece inmultirea a doua polinoame e comutativa si deci:
Calculam matricea functionalei:
daca deoarece
, , ,
, , ,
, , ,
Page 23 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
.
Sa se arate ca functionala biliniara unde si , este pozitiv definita.
Solutie
Trebuie sa aratam ca pentru orice din , . Putem scrie:
;
grupam termenii:
fiind o suma de patrate este nenegativa si se anuleaza numai cand:
singura solutie a sistemului de mai sus este ; adica numai pentru iar pentru avem .
Sa se demonstreze ca o functionala biliniara este degenerata daca si numai daca exista orice vector y din (Functionala biliniara se numeste degenerata daca matricea ei intr-o baza este singulara).
Solutie
Fie , matricea lui f in baza a lui si coordonatele lui si in aceeasi baza , respectiv , ; cu aceste notatii putem scrie:
Daca atunci sistemul omogen , este nedeterminat; fie o solutie nenula a acestui sistem . Daca notam cu vectorul ce
are coordonatele , in baza atunci e nenul si avem:
pentru orice din .
Sa presupunem acum ca exista vectorul nenul astfel incat pentru orice din . Avem in particular pentru orice , din relatia , adica:
, .
Relatiile de mai sus arata ca sistemul omogen , are si o solutie nenula si prin urmare determinantul sistemului este nul.
Observatia 1. Evident, este adevarata afirmatia din enuntul problemei daca se schimba rolurile lui x si y.
Observatia 2. Orice functionala biliniara pozitiv definita are matricea nesingulara.
9. Sa se reduca forma patratica:
Rezolvare:
Avem
Page 24 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Deci transformarea
reduce q la forma
10. Sa se reduca urmatoarea forma patratica:
Rezolvare
Aplicam teorema lui Kronecker. Avem dar
Transformarea nesingulara
sau reduce la forma:
11. Sa se demonstreze ca adca o forma patratica reala q este transformata prin doua transformari nesingulare in doua forme reduse distincte
si
atunci
Rezolvare
Presupunem Fie transformarea prin care se ajunge la (1) si transformarea prin care se ajunge la (2). Atunci avem
si
Tinand seama de (1) si (2), obtinem:
Consideram ecuatii:
Page 25 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Acest sistem are o solutie diferita de cea banala, fie Inlocuind in (3) avem
Este clar ca acestea necesita ca fiecare din paranteze sa fie zero. Daca nu, atunci nici unul din F sau G nu este nesingular, contrar ipotezei. Deci Repetand rationamentul pentru se ajunge din nou la o contradictie, deci
8.Fie functionala biliniara:
a) Determinati matricea A corespunzatoare bazei canonice
b) Determinati matricea B corespunzatoare bazei unde:
a)
b) Fie matricea de trecere de la la adica matricea care are pe coloane coordonatele vectorilor
in baza unitara B.
Avem: Din relatia: rezulta:
9.Sa se aduca la forma canonica urm. functionale patratice si sa se stabileasca naturalor : a)
Rezolvare prin metoda Jacobi:
Matricea functionalei patratice este:
Minorii principali sunt:
Stiind ca daca toti avem:
rezulta: Functionala este nedefinita
Page 26 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
b)
Rezolvare prin metoda Gauss:
Fie transformarea:
Rezulta:
Facand transformarea rezulta:
Fie . Rezulta
Matricea formei canonice este matricea diagonala:
si are minorii principali: Rezulta ca f este nedefinita
10. Fie functionala patratica
Sa se determine valorile lui astfel incat functionala sa fie pozitiv definita.
Rezolvare:
Matricea formei patratice este: A=
Punem conditia:
3/43 Utilizand metoda transformarilor ortogonale(sau metoda valorilor proprii), sa se aduca la forma
canonica urmatoarele forme patratice:
a)
b)
Metoda transformarii ortogonale consta in urmatoarele.Se scrie matricea formei patratice si se rezolva
ecuatia caracteristica , obtinandu-se valorile proprii . Se rezolva apoi
sistemul obtinandu-se vectorii proprii normati
Forma patratica este redusa la forma canonica prin transformarea
ortogonala
Page 27 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
a) Matricea formei patratice este iar ecuatia caracteristica se scrie
Valorile proprii sunt Pentru , din sistemul
determinam vectorul propriu normat, adica Pentru din sistemul
obtinem In sfarsit, pentru din sistemul
obtinem
Prin urmare, cu transformarea ortogonala
forma este redusa la urmatoarea forma canonica
b) Matricea formei patratice este Ecuatia caracteristica
admite radacinile Pentru din sistemul
obtinem vectorul propriu normat Pentru ,se obtine sistemul
Sistemul fundamental de solutii al acestui sistem
de ecuatii este format din = si , solutia generala a sistemului fiind Deoarece
vectorii si nu sunt ortogonali, se procedeaza astfel: se ia si se cauta normat si ortogonal lui
Deoarece si , din conditia de ortogonalitate a acestora obtinem astfel
ca .Normand acest vector,obtinem
Cu aceasta vectorii formeaza o baza ortonomata si cu transformarea ortogonala
forma patratica este redusa la forma canonica
4/44 Sa se determine astfel ca intre formele liniare
sa aiba loc relatia
5/44 Sa se cerceteze natura sistemului de forme si sa se stabileasca relatiile de dependenta cand este cazul:
Page 28 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
a) b)
c)
Rezolvare:
a)
Fie
sistemul are doar solutia banala
sistemul e liniar independent.
b)
Fie
sistem liniar dependent.
Page 29 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Cautam minori de ordin 3 nenuli:
Cautam minori de ordin 2 nenuli:
Notam necunoscuta secundara
Dependenta liniara a functionalelor este:
Pentru
c)
Fie
Cautam minori de ordin 3 nenuli:
:
Cautam minori de ordin 2 nenuli:
Notam necunoscuta secundara
Page 30 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Dependenta liniara a functionalelor este:
Pentru
6/44 Sa se aduca la forma canonica prin metoda lui Gauss si sa se precizeze indicele pozitiv,
signatura si natura pentru fiecare din formele patratice:
a)
Notam
, rang =
In aceasta forma canonica se vede ca indicele pozitiv este indicele negativ ,signatura este
Deoarece sistemul este nedegenerat si pozitiv definit.
b)
Notam
Indicele pozitiv este , rang
indicele negativ si signatura Sistemul este nedegenerat si pozitiv.
7/45 Aplicand metoda transformarii ortogonale, sa se aduca la forma canonica urmatoarele forme patratice:
a)
Page 31 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
, Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Dam lui o valoare arbitrara 1 si normam.
Pentru , Solutia este: :
Procedez asemanator si calculez
Pentru , Solutia este:
Prin urmare,cu transformarea ortogonala
b)
, Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Cu transformarea ortogonala
c)
Page 32 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
, Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Cu transformarea ortogonala
d)
, Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Pentru , Solutia este:
Cu transformarea ortogonala:
8. Fie o matrice simetrica, avand valorile proprii si functionala patratica asociata lui
Sa se demonstreze afirmatiile:
a)
b)
c)Daca si cu proprietatea ca atunci e o valoare proprie a operatorului cu matricea A
Page 33 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
d) astfel incat
e)
Rezolvare
a)Fie o valoare proprie oarecare a lui . Luam un vector propriu corespunzator valorii proprii Conform ipotezei de unde rezulta ca
b)Se stie din teorie ca putem gasi o baza ortornormata formarta din vectori proprii corespunzatori valorilor proprii
Daca atunci
Reciproc, daca atunci
unde si e baza canonica in
Deoarece , obtinem
c)Daca atunci (conform a)
Daca exista astfel incat atunci unde iar e o baza formata cu vectori
proprii.
Atunci si cum rezulta ca exista astfel incat
d)Fie
Folosind punctul b) obtinem si unde
luam si totul e demonstrat.
e) Avem conform punctului b)
9.Fie si Aratati ca :
a) e o matrice simetrica.
b)Functionarea patratica , e semipozitiv definita
c)
Rezolvare
a)Avem si deci e simetrica
b) Avem unde
deci ceea ce inseamna ca e semipozitiv definita.
c)Deoarece rezulta ca exista astfel incat Atunci implica faptul ca este valoare proprie a lui ceea ce e echivalent cu
10. Fie o matrice patratica de ordin simetrica cu elemente numere reale.
Sa se gaseasca un interval astfel incat sa fie matricea asociata unei functionale patratice pozitiv definita.
Rezolvare
Page 34 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Fie valorile proprii ale matricei
Avem unde sunt valorile proprii ale matricei
Fie
Daca atunci , si deci
11.Fie , doua matrice patratice de ordin , simetrice.Sa se arate ca daca valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt pozitive, atunci valorile proprii ale matricei sunt pozitive sau nule.
Rezolvare
Fie valorile proprii ale operatorului cu matricea Daca atunci conform problemei 8 avem Atunci Deci valorile proprii ale matricei sunt pozitive (sau nule daca
12.Fie o matrice antisimetrica Aratati ca:
a)valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt reale, pozitive sau nule
b)valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt de forma unde
Rezolvare
a)Observam ca unde
Deoarece Conform problemei 8 obtinem ca valorile proprii ale operatorului cu matricea sunt pozitive sau nule
b)Fie o valoare proprie a lui si un vector propriu corespunzator valorii proprii Atunci
Deci este o valoare proprie a matricei Conform punctului a aceasta valoare proprie trebuie sa fie pozitiva sau nula, deci unde
13.Fie o matrice inversabila.Sa se arate ca operatorul cu matricea are toate valorile proprii strict pozitive.
Rezolvare
Observam mai intai ca este simetrica. Intr-adevar, In plus unde si
deci
Conform problemei 8 obtinem ca unde sunt valorile proprii ale operatorului cu matricea .Pe de alta parte e o valoare proprie a operatorului cu matricea ceea ce e fals.In concluzie,
14.Fie o matrice simetrica asociata unei functionale patratice , pozitiv definita.Fie matricea de ordinul obtinuta din suprimand liniile si
coloanele Sa se arate ca Reciproc in cazul sa se verifice ca
implica faptul ca e pozitiv definita.
Rezolvare
Pentru orice avem Deci in particular Deci este pozitiv definita si matricea sa este Conform problemei 8 obtinem Pentru n=3 obtinem
si si
15.Fie o functional patratica pozitiv definita unde este o matrice patratica simetrica.Sa se arate ca
a) este inversabila si este simetrica
Page 35 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
b) este o functionala patratica
Rezolvare
a)Deoarece conform problemei 8, si deci este inversabila.Apoi
b)Valorile proprii ale matricei sunt de forma unde sunt valorile proprii ale lui
Intrucat obtinem ca
16.Fie astfel incat ,
Aratati ca
Deduceti ca
Rezolvare
Avem unde Deoarece rezulta
valorile proprii ale operatorului cu matrice sunt strict pozitive.Deci In plus,
17.Fie o functionala biliniara, simetrica pe si functionala patratica asociata.
a)Sa se arate ca este un subspatiu vectorial al lui
b)Presupunem ca exista functionale liniare astfel incat Sa se gaseasca expresia functionalei biliniare si sa se arate ca numarul al
functionalelor liniare este egal cu
c)Sa se arate ca poate fi intotdeauna descompusa intr-o suma de patrate .
Rezolvare
a) este un subspatiu vectorial al lui deoarece , de unde deducem ca si
de unde deducem ca
b)Se stie ca si deci Prin ipoteza
functionalele liniare sunt liniar independente.Pe de alta parte avem
Deoarece solutiile sistemului formeaza un subspatiu vectorial de dimensiune care coincide cu , putem scrie sau
c)Pentru , unde Sa presupunem ca afirmatia e adevarata pentru Fie presupunem fara a restrange
generalitatea ca contine un termen in In functionala patratica nu apar
decat coordonate de indice inferior lui si din acest motiv ea poate fi considerata ca o functionala patratica pe Conform ipotezei exista
functionale liniar independente astfel incat Daca atunci primul termen al functionalei este patratul functionalei
Functionala este independenta de functionalele deoarece este singura care il contine pe
Daca nu contine un termen in dar contine un termen in , atunci se aplica acelasi rationament, inlocuind cu
Daca nu contine patrate atunci ea trebuie sa contina cel putin un termen nenul Se efectueaza apoi schimbarea:
si se obtine
Ceilalti termeni nu contin pe Avand un termen la patrat in se poate aplica rationamentul de mai sus.
Problemele 1-8 pg 259-275 Aida Toma
1.Sa se aduca la forma canonica dupa metoda lui Gauss functionalele:
Page 36 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
a)
b)
c)
Rezolvare
a)
Luam
si putem scrie
b)Intrucat coeficientii patratelor sunt zero vom efectua urmatoarea transformare liniara
si obtinem
Facem schimbarea liniara
si deci
c)
Facem transformarea
si deci
Page 37 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Facem transformarea
Deci
Efectuam o ultima transformare
Si astfel
2.Sa se aduca la forma canonica si sa se precizeze natura pentru fiecare din functionalele
a)
b)
c)
Rezolvare
a)
Luam
si forma canonica a lui este
rezulta este pozitiv definita
b)
Transformam
Asadar
Efectuam o ultima transformare liniara
Page 38 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
si obtinem forma canonica rezulta este nedefinita
c)
Transformam
obtinem
Transformam
obtinem : rezulta nedefinita
3.Sa se aduca la forma canonica si sa se indice baza in care e scrisa
a)
b)
c)
Rezolvare
a)
Obtinem
Coordonatele vectorului in baza in care are f.c. de mai sus sunt Se stie ca
unde e baza canonica in iar este matricea de trecere de la baza la baza
Din relatiile 1 si 2 obtinem ca
si deci . Din definitia matricei de trecere deducem ca citim de pe coloane vectorii bazei . Asadar baza in care
functionala patratica are forma canonica gasita este formataa cu vectorii
Page 39 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
b)
Transformam si obtinem
Fie baza in care e scrisa f.c. de mai sus. Atunci si deci atunci si rezulta
.
c)
transformam obtinem
Fie baza in care e scrisa f.c. de mai sus. Atunci si deci atunci si rezulta
.
4. Sa se aduca la f.c. cu metoda Jacobi functionalele:
a)
b)
c)
Rezolvare
a) Matricea asociata functionalei patratice este . Calculam minorii principali ai matricei
. Toti minorii fiind nenuli, aplicam Jacobi, f.c. a lui este
b) Matricea asociata functionalei patratice este . Calculam minorii principali ai matricei
. Toti minorii fiind nenuli, aplicam Jacobi, f.c. a lui este
c) Matricea asociata functionalei patratice este . Calculam minorii principali ai matricei
Page 40 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
. Toti minorii fiind nenuli, aplicam Jacobi, f.c. a lui este
5. Sa se aduca la forma canonica functionala
Rezolvare
Folosind metoda Jacobi obtinem
Calculam minorul de ordinul , astfel: adunam toate liniile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima coloana din
celelalte:
Deci f.c a lui este
6.Sa se aduca la forma canonica functionala
a)
b)
Rezolvare
Folosind metoda Jacobi obtinem
Calculam minorul de ordinul , astfel: adunam toate liniile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima coloana din
celelalte:
Deci f.c a lui este
Page 41 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
b)Folosind metoda Jacobi obtinem
Calculam minorul de ordinul , astfel: adunam toate liniile la prima, scoatem factor comun si apoi scadem prima
coloana din celelalte:
Deci f.c a lui este
7.Sa se aduca urmatoarea functionala patratica la forma canonica
Rezolvare
Efectuam transformarea
si obtinem
Facem transformarea
si obtinem
8.Utilizand metoda transformarilor ortogonale aduceti la f.c. functionalele precizand baza
a)
b)
Page 42 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Rezolvare
a)Scriem matricea functionalei patratice
si rezolvam ecuatia caracteristica Valorile proprii sunt
Daca din sistemul Determinam vectorul propriu normat
Pentru din sistemul obtinem vectorul propriu normat
Pentru din sistemul obtinem vectorul propriu normat
Obtinem vectorul propriu normat
Cu transformare ortogonala
Functionala patratica este adusa la forma canonica
unde si
b)Matricea asocita functionalei patratice este Ecuatia carecteristica este
Radacinile sale sunt
Daca din sistemul obtinem vectorul propriu normat
Daca se obtine sistemul .Solutia general a acestui sistem e de forma unde si
Page 43 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Deoarece vectorii nu sunt ortogonali vom proceda astfel si cautam un vector propriu normat si ortogonal pe .Deoarece
este de forma Din conditia ortogonalitate se obtine si deci
Pt normand vectorul obtinem Astfel, vectorii formeaza obaza ortonormata si aplicand trnsformarea ortogonala
Functionala patrtica are f.c. unde si
In spatiul numeric se defineste functia:
unde
Sa se arate ca este o forma biliniara.
Rezolvare:
functie biliniara.
In spatiul liniar al functiilor continue in intervalul se defineste functia:
Sa se arate ca este o forma biliniara.
Rezolvare:
Fie
Page 44 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Fie atunci:
Fie atunci:
Fie
functie biliniara.
Sa se precizeze daca urmatorul sistem de functionale liniare este liniar dependent:
a) b)
Rezolvare:
Fie astfel incat
Atunci:
Pentru obtinem
Pentru obtinem
Page 45 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Pentru obtinem
Determinantul matricei sistemului:
este:
sistemul de mai sus este nedeterminat, deci admite si alte solutii in afara solutiei banale, si deci functionalele considerate sunt liniar dependente.
b)Fie astfel incat
Atunci:
Pentru obtinem
Pentru obtinem
Pentru obtinem
Pentru obtinem
detrrminantul matricei sistemului:
Page 46 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
este:
deducem ca sistemul admite numai solutia banala, adica
Prin urmare cele trei functionale sunt liniar independente.
* Daca este o forma biliniara definita pe spatiile si atunci
si
Rezolvare:
Daca este o functionala biliniara atunci:
daca
daca
Problema 54.
Sa se arate ca functional este biliniar si sa i se scrie matricea in baza canonica.
Rezolvare:
pentru orice x,y f este simetrica este suficient sa demnstram liniaritatea intr-un argument.
Fie oarecare:
f(
Sa gasim acum matricea lui f in baza canonica.
Observam ca f(e e )=1 pemtru orice k= si ca f(e ,e )=0, k,j= , de unde rezulta:
A=
Problema 55.
Sa se arate ca este o functionala biliniara si sa se scrie matricea ei in baza canonica si in baza G:
a)
b)
Page 47 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Rezolvare
a) Fie si a calculam:
si deci functionala f este biliniara.
Matrice functionala biliniara in baza canonica este A=(a ) unde a
a
a
a
Deci A= matricea care se mai poate scrie si direct din relatia
Matricea B a functionalei in baza G se poate calcula prin doua metode.
Matricea B=CAC unde C este matricea de trecere de la baza canonica la baza G, adica:
C= B=
b)
Este usor de aratat ca f este functionala biliniara.
Matricea in baza canonica este:
A= matricea de trecere de la baza canonica la baza G este:
C= cu C = si B=CAC
Problema 56.
Sa se arate ca este o functionala biliniara si sa i se scrie matricea in bazele E={1,x,x } si F={1,x,x x x }.
Rezolvare
Liniaritatea lui f se obtine usor din liniaritate integralei definite, pentru fiecare argument in parte.
Matricea functionalei este A=(a
A=
Page 48 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Problema 57.
Sa se arate ca este o functionala biliniara simetrica pozitiv definita si sa i se scrie matricea in baza G={1,x,x ,x
}.
Rezolvare
Liniaritatea lui f in ambele argumente este usor de demostrat.
Simetria:
f(P,Q)= este adevarata.
Pozitiv definirea:
f(P,P)=
Maticea B in baza G este B=(b cu b
b unde:
B=
Problema 58.
Sa se arate ca functionala biliniara ,
x=(x ,x ,x ,x ), y=(y ,y ,y ,y ) este simetrica si pozitiv definita.
Rezolvare
E usor de aratat simetria lui f.
f(x,x)=x
cu y y y y
Problema 59.
Sa se demonstreze ca functionala biliniara este degenerata daca si numai daca exista x astfel incat f(x,y)=0 pentru orice vector y ( f este degenerata daca matricea ei intr-o baza este singulara).
Rezolvare
Fie A=(a matricea lui f in baza E din si x coordonatele lui x in E iar y coordonatele lui y in E.
Avem
Dac det A=0 atunci sistemul omogen este nedeterminat si fie (x o solutie nenula a lui.
Avem: pentru orice y
Reciproc, sa presupunem ca exista vectorul nenul x astfel ca pentru orice y Avem in particular pentru orice e 1 din E relatia adica (*) pentru toti j=1,2, n.
Asta implica faptul ca sitemul omogen (*) are solutie nenula x si deci det A=0.
Problema 60.
Sa se reduca la forma canonica functionala patratica urmatoare, V: , determinanduse si baza in care este scrisa forma canonica.
Page 49 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
a) V(x)=x +x +x +x x +x x +x x x=(x ,x ,x )
b) V(x)=x +x +2x x +2x x x=(x ,x ,x )
Rezolvare
Metoda lui Gauss. Grupam termenii.
Notam:
y
y
y
Si obtinem forma canonica V(y)=y +y +y unde y ,y ,y sunt coordonatele lui x in baza G in care V are forma canonica. Stim ca x C x C
x unde E este baza canonica iar C este matricea de trecere de la baza canonica la baza G.
Conform relatiilor (*) avem:
C = C C
si baza G este formata din vectorii: g =(1,0,0), g =( g =( )
b) Metoda lui Gauss. Grupam termenii.
V(x)=(x +2x x )+x +2x x =(x +x ) +x +2x x -x =(x +x ) +(x +2x x )-x = (x +x ) +(x +x ) -2x
Notand:
y =x +x
y =x +x
y = x
Si obtinem forma canonica V(y)=y +y +y unde y ,y ,y sunt coordonatele lui x in baza G in care V are forma canonica. Stim ca x C x C
x unde E este baza canonica iar C este matricea de trecere de la baza E la G.
Conform relatiilor (*) avem:
C C = C=
iar baza G este formata din vectorii g =(1,0,0), g =(0,1,0), g =( ).
1. Fie o functionala biliniara prin
unde si .
Sa se scrie matricea asociata functionalei in baza formata cu vectorii
Page 50 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
REZOLVARE:
Avem:
Deci matricea asociata lui f in baza este
=
2.Sa se arate ca definita prin
unde si este o functionala biliniara.Sa se scrie matricea acestei functionale in baza canonica si in baza
Este f degenerata?
REZOLVARE:
Fie si Avem:
In mod analog rezulta ca
si deci f este o functie biliniara.
Matricea functionalei in baza canonica va fi
unde adica
Page 51 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
si deci
Intrucat este degenerata.
Matricea B ,matricea functionalei in baza F,este egala cu ,unde matricea C este matricea de trecere de la baza canonica la baza canonica la baza F,adica:
si deci
3.Se considera functionala biliniara definita prin
unde si
Este f degenerata?
REZOLVARE
Matricea functionalei biliniare f in baza canonica este
unde Avem
si deci
Deoarece functionala biliniara f este nedegenerata.
4.Se considera functionala biliniara ,definita in baza canonica prin:
a)Sa se scrie matricea lui f in baza canonica.
Page 52 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
b)Sa se calculeze unde si
c)Sa se scrie matricea lui f in baza unde
REZOLVARE
a)Matricea atasata functionalei f in baza canonica este:
b)Fie si .Atunci
c)Fie B matricea asociata functionalei biliniare date in baza Atunci
unde C este matricea de trecere de la baza canonica la baza canonica la baza adica
Atunci,
5.Fie spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 cu coeficienti numere reale si definita prin
unde este functia polinomiala asociata lui iar este functia polinomiala asociata lui
a)Sa se arate ca f este o functionala biliniara
b)Sa se scrie matricea functionalei in baza
c)Sa se demonstreze ca
este un subspatiu vectorial al lui si sa se determine dimensiunea lui.
REZOLVARE
a)Fie .Atunci
Page 53 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Fie si Atunci,
Fie Atunci
Fie si .Atunci
Deci este o functionala biliniara.
b)Fie Atunci
Observam ca f este simetrica ,intrucat
pentru orice Deci matricea asociata lui f fiind simetrica se scrie
c)Aratam ca M este un subspatiu vectorial al lui Fie Atunci
si
Atunci
si deci
Fie si Atunci
Page 54 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
si deci
ceea ce insemna ca
In concluzie,M este un subspatiu vectorial al lui
Fie Atunci
deci in particular
adica
Deoarece este o functie continua, si obtinem
Asadar Q(x) este un polinom avand o infinitate de zerouri si in consecinta,Q(x)=0
Deci M se reduce doar la nul si deci dimM=0.
6.(Inegalitatea lui Cauchy-Schwartz).Fie o functionala biliniara ,simetrica ,pozitiv semidefinita.Sa se arate ca
REZOLVARE
Deorece f este pozitiv semidefinita ,avem
Prin urmare
implica
adica
7.Fie (X,K) un spatiu vectorial si o functionala biliniara simetrica.Sa se arate ca daca se descompune in produsul a doua functionale liniare
adica atunci ea poate fi exprimata ca ,unde este un scalar nenul iar l o functionala biliniara.
REZOLVARE
Deoarece f este simetrica avem
Pentru orice vectori astfel incat avem
Consideram produsul al functionalei liniare si
Produsul este identic nul deci obtinem sau
In concluzie putem scrie
8.Fie V o functionala patratica biliniara(polara) asociata.Sa se arate ca
REZOLVARE
Se stie ca
pentru spatiului vectorial pe care este definita functionala patratica.Atunci
Page 55 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
,f fiind simetrica.
9.Fie spatiul vectorial al polinoamelor in nedetrminata X cu coeficienti numere reale.Sa se arate ca aplicatia definita prin
unde este functia polinomiala asociata polinomului P,este o functionala patratica pe
REZOLVARE
Aplicatia definita prin
este functionala patratica.
10.Fie X spatiul vectorial real al matricelor patratice de ordinul 2 cu elemente numere complexe.Sa se indice o baza in X.Fie Y subspatiul vectorial al lui X
generat de:
Aratati ca definita prin este o functionala patratica pe Y.Este ea degenerata?
REZOLVARE
Fie Atunci
Matricea asociata functionalei este:
deci V este nedegenerata.
11.Se considera functionala patratica
Sa se arate ca daca V este pozitiv definita atunci
REZOLVARE
Deoarece V este pozitiv definita ,conform definitiei
Pentru obtinem
Pentru obtinem
......................................................
Page 56 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Pentru obtinem
fiind baza canonica a spatiului vectorial
12.Sa se gaseasca toate valorile reale ale parametrului care urmatoarele functionale patratice sunt pozitiv definite.
a)
b)
c)
d)
e)
REZOLVARE
matricea asociata functionalei patratice
sa fie pozitiv definit minorii principali ai matricei A sa fie strict pozitivi
b)Matricea asociata functionalei patratice este
c)Matricea functionalei patratice este
1.
2.
Page 57 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
3.
2,3
d)Matricea asociata functionalei patratice este
1.
2.
3.
2,3
e)Matricea functionalei patratice este
13.Sa se determine valorile parametrului pentru care urmatoarele functionale patratice sunt negativ definite:
a)
b)
c)
REZOLVARE
a)Matricea functionalei patratice este
1.
2.
3.
1,2,3
b)
1.
2.
3.
1,2,3
c)
Page 58 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
1.
2.
3.
2,3
14.Fie o functionala patrtica pozitiv definita si f functionala biliniara asociata.Sa se arate ca relatia
implica x= sau y=
REZOLVARE
Fie m>2
Membrul stang fiind o suma de nr pozitive
Fie m=2
Fie 1<m<2 Inmultind inegalitatea lui Cauchy-Scwartz cu m-2 obtinem
pozitiv definita
15.Fie(X,K) un spatiu vectorial de dimensiune finita si o functionala patratica biliniara "antisimetrica",adica
a)Sa se arate ca
b)Sa se arate ca daca sunt liniar dependenti,atunci Deduceti ca daca atunci
c)Fie si Sa se arate ca exista doi vectori liniar independenti astfel incat
d)Fie Y spatiul generat de vectorii Sa se determine matricea functionalei biliniare restrictionate in baza
e)Fie Sa se arateca
REZOLVARE
a)Fie Avem
b)Fie liniar dependenti.Atunci astfel incat
daca o baza in X este formata dintr-un singur vector.Pp ca este o baza in X.
Fie astfel incat si
c)Exista doi vectori liniar independenti astfel incat
Page 59 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
vectorii sunt liniar independenti
Fie astfel incat
liniar independenti liniar independenti
d)Avem
(conform a)
Matricea ceruta este
e)Observam ca Intradevar daca atunci
astfel incat
daca
si deci
Observam urmatoarea descompunere a lui
Fie astfel incat
14) Fie functionala biliniara:
a) determinati matricea corespunzatoare bazei canonice din
b) determinati matricea corespunzatoare bazei unde
Rez:
a) Functionala biliniara se mai poate scrie:
Page 60 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
Rezulta ca
b) Fie matricea lui in Fie matricea de trecere de la la adica
Din rezulta:
adica
15) Care este natura functionalei patratice:
Metoda Jacobi. Matricea lui este:
Avem: deci nu putem aplica metoda. Facem transformarea:
Obtinem:
Matricea este:
Avem: Rezulta:
Rezulta ca functionala patratica este nedefinita.
Care dintre urmatoarele functionale sunt biliniare si care nu ?
a. f : , f(x,y) = - + .
b. f : , f(x,y) = + - .
c. f : , f(x,y) = + + 4.
a. Verificam intai liniaritatea lui f in raport cu primul argument. Fie x, y, z . Avem:
f = f = =
= + . Liniaritatea in raport cu al doilea argument:
Page 61 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
f = f = =
= + . Rezulta ca f este functionala biliniara.
b. Liniaritatea primului argument: f( ) =
= .
Deoarece f( ) rezulta ca f nu este functionala biliniara. c. Liniaritatea primului argument:
f( ) = f =
= .
Cum f( ) rezulta ca f nu este functionala biliniara.
Fie functionala biliniara:
f: , f(x,y) = .
a. Scrieti matricea lui f in baza canonica din .
b. Scrieti matricea lui f in baza = {a, b}, unde a = , b = .
a. Fie baza = {e1, e2}, unde = , = .
Matricea lui f in baza este A = , unde . Avem:
= = f = 0
= = f = 2
= = f = 4
= = f = -1
Deci A = .
b. Fie B = matricea lui f corespunzatoare bazei = {a, b}.Avem:
= = f = -6 - 9 - 12 = -27
= = f = -2 - 3 + 24 = 19
= = f = 12 - 3 - 4 = 5
Page 62 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
= = f = 4 - 1 + 8 = 11.
Rezulta ca B = .
Fie functionala biliniara:
f: , f(x,y) = .
a. Determinati matricea A corespunzatore bazei canonice din .
b. Determinati matricea B corespunzatoare bazei = {a, b, c}, unde
a = , b = , c = .
Functionala biliniara f(x,y) se mai poate scrie:
f(x,y) = .
Rezulta ca A = .
b. Fie B = , matricea lui f in . Fie C matricea de trecere de la la , adica C = .
Din B = C rezulta:
B = = .
adica B = .
Sa se aduca la forma canonica functionala patratica:
f(x,x) = , unde x = si sa se stabileasca natura functionalei patratice.
Scriem matricea functionalei patratice :
A =
Calculam minorii principali:
Page 63 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
= 1, = 2, = = 2, = = -24.
Intrucat toti 0, i = si stiind ca:
f(x,x) = obtinem:
f(x,x) = .
Functionala patratica este nedefinita.
Sa se aduca la forma canonica functionala patratica:
f(x,x) = - + .
Matricea functionalei patratice este:
A = . Deoarece = 0 nu putem aplica acesta metoda.
Facand transformarea:
, obtinem: f(y,y) = .
Matricea acestei functionale patratice este :
A =
Avem: = 1, = 5, = -25, = = - .
Forma canonica va fi:
f(z,z) = - + .
Care este natura functionalei patratice:
f(x,x) = - - - .
Matricea lui f(x,x) este:
. Avem: = 1, = 6 0, = -36 0, = 0, Deci nu putem aplica metoda.
Astfel facem transformarea:
si obtinem: f(y,y) = - + .
Matricea ei este :
Page 64 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm
A = .
Avem: = 1, = 6, = -36, = 108, = = 324. Rezulta:
f(y,y) = - - + .
Page 65 of 6505FuncBilinPatrat.htm
20.04.2008http://cristiann.ase.ro/05FuncBilinPatrat/05FuncBilinPatrat.htm