0s4mtla b 2011 - oupe.es · pdf fileen la ﬁgura del margen puedes observar que la suma de...

a) Busca en las mesas del dibujo un jugador que tenga su taco en posición correcta para conseguircarambola y otro que no lo tenga.Razona tu elección usando vectores.

b) Busca en alguna mesa una bolaque haya seguido trayectoriasparalelas después de chocar con las paredes.

c) Si dos bolas son golpeadas con la misma dirección, ¿cómo son sustrayectorias?

d) Conociendo la situación de unabola en la mesa, ¿qué elemento de geometría nos permitiría describirsu trayectoria?

Geometría analítica

Los cuerpos en movimiento describen una trayectoriaque a veces es recta, como ocurre con las bolas de billar.Estas chocan unas con otras y con las paredes de la mesadescribiendo líneas rectas.

Un buen jugador de billar consigue que su bola golpee lasotras; es decir, hace que la trayectoria de la bola pase porel punto donde se encuentran las otras bolas.

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 150

Geometría analítica 151

Recuerda y resuelve

Qué son los vectores y cómo se utilizan en las traslaciones.

1 Dibuja el vector donde A � (1, 3) y B � (�2, 5).

2 Calcula las coordenadas del vector de la actividad anterior.

3 Dibuja el vector (1, 3).

4 Encuentra el punto B que se obtiene al trasladar A � (0, 4) mediante el vector (1, 3).

5 Encuentra el punto C que se obtiene al trasladar el punto A � (0, 4)mediante el vector 2 , donde (1, 3).

6 ¿Cómo están los puntos A, B y C?

Cómo se representa una recta a partir de su ecuación.

7 Representa las siguientes rectas:

a) f(x) � 3x � 1 d) f(x) � 4

b) f(x) � �2x � 1 e) f(x) � 2x

c) f(x) � x f) f(x) � x � 1

Qué son las ecuaciones lineales y cómo se representan sus soluciones.

8 Representa las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) y � x � 3 c) 2x � y � �1

b) x � y � 5 d) 6x � 2y � 4

Cómo se resuelven sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

9 Resuelve estos sistemas por el método que prefieras. En cada caso indicasi hay solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.

a) ( 2x � y � 1

x � 3y � 3

b) ( x � 2y � 4

2x � 4y � 3

c) ( x � y � 1

�x � y � �1

d) ( x � 2y � �5

3x � y � 0

e) ( 3x � y � 0

x � y � �4

v" v"

v"

v"

12

AB"

AB"

Representación de rectas

Las funciones lineales son de la formaf(x) �mx�n. Para representar una recta se obtienen dos puntos y setraza la recta que pasa por ellos.

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal con dosincógnitas tiene como solucionestodos los puntos de una recta.

Resolución de sistemas de dosecuaciones lineales con dosincógnitas.

Hay tres métodos para resolversistemas de dos ecuaciones linealescon dos incógnitas:

� Reducción

� Igualación

� Sustitución

Los sistemas de dos ecuacioneslineales con dos incógnitas puedentener una solución, ninguna solucióno infinitas soluciones.

Un vector es un segmentoorientado que tiene un punto origenA y un punto extremo B.

Las coordenadas de un vectorson las coordenadas del extremo A.

Dado un vector , se llama traslación de vector almovimiento que hace correspondera cada punto P otro punto P’ de

forma que � .t"

t"

PP"

t"

OA"

AB"

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 151

Vectores en el plano. Operaciones

Recuerda que en el curso pasado se utilizaban los vectores para definircon precisión las traslaciones.

Se llama vector fijo a un segmento orientado con origen en A y extremoen B.

Un vector está determinado por tres características:� Módulo: longitud del segmento.� Dirección: dirección de la recta que lo contiene.� Sentido: el que va del origen al extremo.

� Todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido se denomi-nan equipolentes.

� Se llama vector libre, , al conjunto de todos los vectores fijos equipolen-tes; es decir, con el mismo módulo, dirección y sentido.

Un vector libre se puede representar en cualquier parte del plano con cualquier origen. Dados dos puntos en el plano, A y B, el vector fijo es un representante del vector libre equipolente a él.

Dado cualquier vector libre y un punto A, siempre podemos representar el vector libre con origen en A.

v"

v"

v"v"

v

A

B

AB"

AB"

1

152 UNIDAD 8152

La siguiente figura representa las posiciones de Sergio antes y después de realizar un desplazamiento de 3 km en tres casos distintos.

¿Es suficiente esa información para saber dónde está Sergio? ¿Qué datos nece-sitas? Expresa con exactitud dónde ha ido Sergio en cada caso. Si se mueve aotro punto que no está en la misma horizontal ni vertical, como en el caso III,necesitamos algún elemento que nos permita identificar el desplazamientocon exactitud.

CASO I CASO II CASO III

posición 2

posición 1

posición 1

posición 1

posición 2

posición 2

Piensa y deduce

T e n e n c u e n t a

� , y tienen la misma dirección.

� y tienen el mismo sentido.

� tiene sentido contrario a y .

� y tienen el mismo módulo.

u"v"

v"

v"

u"w"

w"

w"w"u"

r

v

u

w

s

0S4MTLA_B_2011.08 3/4/12 07:51 P gina 152

Actividades

� Di cuáles de estos vectores tienen el mismo módulo,cuáles la misma dirección y cuáles el mismo sentido:

� Indica cuál es el único par de vectores equipolentesde la actividad anterior.

� Dibuja un rombo y nombra los vértices consecutivoscon las letras A, B, C y D. Dibuja y nombra los vectores queresultan al realizar las siguientes operaciones:

a) � b) � c) � d) 2 � 2

�� Traza un paralelogramo como el de la figura. Expresa

en función de y los siguientes vectores: , , , ,

, , , , .

�� Dibuja un pentágono como este.

a) Nombra cinco vectores distintos que tengan comoorigen y extremo los vértices del pentágono.

b) Expresa el vector como suma de dos vectores.

c) Expresa como suma de tres vectores.

d) Expresa como suma de dos vectores.

e) Expresa como suma de vectores.

f) Expresa como diferencia de dos vectores.

g) Expresa como producto de un vector por un escalar.

h) Expresa el vector nulo como suma de vectores.

� Traza tres vectores cuya suma sea el vector nulo.

�� ¿Qué diferencia hay entre la dirección y el sentido deun vector?

BC"

v"u"

A B

C

D

E

CD"

AB"

A

B

D

C

v

u7

BA"

CD"

AE"

AC"

AD"

AD"

CA"

DB"

BD"

BA"

CD"

AC"

AD"

AB"

AD"

BC"

BC"

BC"

AB"

AB"

A

B

C D G

H

E FJ I K

L O P

N

M

3

2

6

5

4

1

1.1. Operaciones con vectores libres

Suma de vectores libres �

Si � y � , entonces, � � � .

El vector suma, � , tiene como origen el origen de y como extremoel extremo de .

Producto de un vector libre por un escalar k

El vector k tiene la misma dirección que y su módulo se obtiene mul-tiplicando k por el módulo de , que tiene el mismo sentido si k es positivoy sentido contrario si k es negativo.

Mediante el producto de un vector por un escalar podemos obtener elvector opuesto de , es decir � � (�1) , cuyo módulo y dirección soniguales que los de y cuyo sentido es contrario al de .

En la figura del margen puedes observar que la suma de vectores es conmutativa. La suma � es otro vector , con el mismo origen, repre-sentado por la diagonal del paralelogramo que forman.

Conociendo � , podemos restar vectores: � � � (� )Por ejemplo, dados los vectores y , calculamos 2 � 3 .

v"

u

�v�3v

2u2u3v

�

�v

u

v

u" v"v"u"

u"u"

w"

w"

u"u"

u"

u"u"

u"

u"u" u"

u"u"u"

v"

v" v"

v"v"

v"v"

u"

AB" u" BC" AC"u" v"


A

B

C

uv

w � �u v

u

v

� � �

u

uv

v

u

v

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 153

Coordenadas de un vector

2.1. Vector de posición de un punto Dado un punto A, se llama vector de posición de A al vector , que

une el origen de coordenadas, (0, 0), con el punto A y tiene las mismas coordenadas que A.

2.2. Coordenadas de un vectorObserva en la siguiente figura que el

vector se calcula restando a las coor-denadas de B las de A.Por ejemplo, si A � (2, 1) y B � (5, 3), elvector que va de A a B es:

� (5 � 2, 3 � 1) � (3, 2)

Dados los puntos A � (a1, a2) y B � (b1, b2), las coordenadas del vector seobtienen restando a las coordenadas del punto B las coordenadas del punto A.

� (b1 � a1, b2 � a2)

2.3. Operaciones con vectores mediante sus coordenadas

� Suma de vectores

� � � � (u1, u2) � (v1, v2) � (u1 � v1, u2 � v2)� Producto de un vector por un escalar

� � k � k � (u1, u2) � (ku1, ku2) � Diferencia de vectores

� � � � � (� ) � (u1, u2) � (�v1, �v2) � (u1 � v1, u2 � v2)

v"

w" u" v" u" v"

u"

w" u" v"

AB"

AB"

AB"

AB"

OA"

2

154 UNIDAD 8154

Volvemos al cambio de posición de Sergio.Según la figura, en el caso I se ha despla-zado 5 unidades hacia arriba.

Conocemos los puntos en los que estáantes y después de desplazarse. ¿Sabesidentificar mediante coordenadas losmovimientos que hace en los tres casos?

Piensa y deduce

T e n e n c u e n t a

Un vector libre con origen en (0, 0)tiene las mismas coordenadas que elpunto de su extremo.

v"

O X

Y

1

1

A � (5, 4)

v(5, 4)

EJERCICIOS RESUELTOS

1 Halla las coordenadas del vector en el que A� (3, 5) y B� (6, 3).

� (6 � 3, 3 � 5) � (3, �2)

O X

Y

1

1

v

u

AB

A � (3, 5)

B � (6, 3)AB"

AB"

O b s e r v a

El vector � k tiene la misma dirección que . Sus coordenadas sonproporcionales.

v"

u"u"

O X

Y

1

1u (�2, 3)

v (�4, 6) � (2 · (�2), 2 · 3) � 2u

O b s e r v a

El vector nulo, , es aquel en el que el extremo y el origen coinciden. Sus

coordenadas son (0, 0).0"

0"

O X

Y

1

1(2, 1)

(2, 6)

(5, 4) (9, 4)

(14, 2)

(11, 6)CASO I CASO II CASO III

O X

Y

1

1

v

u

B � (b1, b2)

ABb1 � a1

b2 �

a2

A � (a1, a2)

0S4MTLA_B_2011.08 15/3/12 12:25 P gina 154



2 Dados (1, 5) y (3, –2), realiza estas operaciones:

a) � � (1, 5) � (3, �2) � (1 � 3, 5 � (�2)) � (4, 3)

b) � � (1, 5) � (3, �2) � (1 � 3, 5 � (�2)) � (�2, 7)

c) 5 � 5 � (1, 5) � (5 � 1, 5 � 5) � (5, 25)

d) �3 � (�3) � (3, �2) � ((�3) � 3, (�3) � (�2)) � (�9, 6)

e) 3 � 5 � 3 � (1, 5) � 5 � (3, �2) � (3, 15) � (15, �10) � (�12, 25)

f) � 0 � (1, 5) � 0 � (3, �2) � (1, 5) � (0, 0) � (1, 5)v"u"v"u"

v"u"

v"u"v"u"

v"u"

Actividades

� Dados los puntos A(2, 3), B(4, 1), C(�1, 2) y D(2, 3),halla las coordenadas del vector indicado en cada caso yrepreséntalo en unos ejes de coordenadas:

a) b) c) d) e)

� Halla las coordenadas de los siguientes vectores:

� Representa en unos ejes coordenados los vectoresque verifican las condiciones indicadas en cada caso:

a) Su origen es el punto A(2, 5), y su extremo, B(�1, 3).

b) Sus coordenadas son (5, 2), y su origen, A(3, 3).

c) Sus coordenadas son (�3, 1), y su extremo, B(2, 0).

� Dibuja cinco vectores equipolentes al vector cuyosorígenes sean, respectivamente, los puntos C, D, E, F y G.¿Cuáles son las coordenadas de todos estos vectores? Hallalas coordenadas de su extremo.

� Representa en unos ejes coordenados los vectoresque verifican las condiciones indicadas en cada caso:

a) (2, 3) c) (3, 1) e) (�4, 0)

b) (�2, �3) d) (�2, 5) f) (0, 2)

� Determina las coordenadas de los siguientes vectorese indica cuáles representan el mismo vector libre:

� Dados (�2, 3), (5, 2) y (�2, �4), opera:

a) � d) 3 g) � 2 �

b) � e) � h) 3( � 2 )

c) � f) 3 � 2 i) �( � )

� Indica si los vectores dados en cada apartado tienenla misma dirección. Comprueba tus respuestas representán-dolos gráficamente.

a) (2, �3), (6, �9) d) (4, 6), (10, 15)

b) (1, 5), (�2, �10) e) (6, 2), (2, 1)

c) (4, 7), (5, 8) f) (0, 8), (0, 9)

� ¿Cómo son entre sí las coordenadas de dos vectoresequipolentes?

� ¿Cuáles son las coordenadas del vector nulo?

� ¿Cuáles son las coordenadas de un vector cuyo origenes el origen de coordenadas y cuyo extremo es un puntocualquiera, P(a1, a2)?

f"

d"

c" e"

b"

a"

u"

u"

u"u"

u"

u"

u" u"

u"

u"

u"

u"

u"

u"

u"

u"

v"

v"

v"v"

v"

v"

v"

v"

v"

v"

v"

v"

w"

w"

w"w"

w"

1 2 3 4O

Y

X�1�2

�2

123

6

5 6 7�3�4

�3

54

C

D

G

O

K

K

L

PA B

HFE

I

J

M

N

18

17

16

15

14

12

1 2 3 4O

Y

X�1�2

�2

123

6

�3�4

�3

54

F

A

B

G

C

D

E

5

AB"

11

CA"

DC"

BC"

AD"

AB"

1 2 3 4O

Y

X�1�2

�2

123

6

5 7�3�4

�3�4

54

�5

A

B

CD E

F

J

IK

L

G

H

10

913

8

0S4MTLA_B_2011.08 15/3/12 12:26 P gina 155

Aplicaciones de los vectores

3.1. Módulo de un vector

El módulo de un vector (u1, u2) corresponde a su longitud:

�

3.2. Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos A y B es la longitud del segmento que los une;

es decir, el módulo del vector .

d(A, B) � �

3.3. Punto medio de un segmento

Dado un segmento AB, con A � (a1, a2) y B � (b1, b2), las coordenadas del punto medio de AB son:

M �

�u"�

u"

�a1 � b1

2,

a2 � b2

2 �

�AB"� �(b1 � a1)2 � (b2 � a2)2

AB"

�u21 � u2

2

3

156 UNIDAD 8156

O X

Y

u (u1, u2)

u1

u2

O X

Y

1

1

A

B

d

¿Cuál es la longitud del vector de la figura del margen? Observa que el vector es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Relaciona las coordenadas de con su longitud. ¿Qué relación hay si aplica-mos el teorema de Pitágoras a este triángulo rectángulo?

u"

u"Piensa y deduce

Dados A y B en el plano, ¿cuántos vectores podemos dibujar con origen oextremo en uno de ellos? ¿Podríamos usar esos vectores para hallar la distancia

entre A y B? ¿Qué relación hay entre d y ?�AB"�

Piensa y deduce


3 Calcula el módulo del vector (�3, 5).

� � � unidades � u�u"� �34�34�9 � 25�(�3)2 � 52

u"


4 Calcula la distancia entre los puntos A � (4, �3) y B � (�1, 3).

d(A, B) � � � � u�61�(�5)2 � 62�(�1 � 4)2 � (3 � (�3))2�AB"�


5 Sean A � (�5, 4) y B � (�3, 2). Halla el punto medio, M.

M � � � (�4, 3)��82

,62��5 � (�3)

2,

4 � 22 �

O b s e r v a

Si M es el punto medio entre A y B,entonces B es el punto simétrico de Arespecto de M.

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:43 P gina 156

3.4. Relación entre las coordenadas de tres puntosalineados

Si los puntos A � (a1, a2), B � (b1, b2) y C � (c1, c2) están alineados, entonces suscoordenadas cumplen estas proporciones:

Y recíprocamente, es decir, si sus coordenadas verifican estas proporciones,los puntos están alineados.

b2 � a2

b1 � a1

�c2 � a2

c1 � a1

b2 � a2

c2 � a2

�b1 � a1

c1 � a1


Supongamos que los puntos A � (a1, a2), B � (b1, b2) y C � (c1, c2) están alineados

como en la figura del margen. ¿Qué tienen en común los vectores , , y ? ¿Qué operación nos permite obtener vectores con la misma dirección a partirde uno dado?

¿Cómo son las coordenadas de los vectores que se obtienen multiplicando unmismo vector por un escalar?

BC"

AC"

AB"

Piensa y deduce

O X

Y

1

1

A

C

B


6 Comprueba, haciendo los cálculos correspondientes, si los puntos

A � (1, 3), B � (2, 6) y C � (�1, 5) están alineados.

Hacemos las proporciones correspondientes:

Luego los puntos A, B y C no están alineados.

31

�2

�2

c2 � a2

c1 � a1

�2

�2b2 � a2

b1 � a1

�31

Actividades

� Calcula el módulo de los siguientes vectores:

a) (2, 5) c) (2, �4) e) (�3, �3)

b) (�1, 3) d) (0, �6) f) (4, 0)

� Halla la longitud de los vectores representados:

� Dados los puntos A(2, 3), B(�2, �3) y C(5, �1), calcula:

a) b) c) d)

� Dados los puntos A(0, 6), B(�2, 5) y C(3, �1), halla:

a) d(A, B) b) d(A, C ) c) d(B, C )

� Halla en cada caso las coordenadas del punto mediodel segmento AB. Comprueba gráficamente los resultados.

a) A(1, 3), B(3, 5) c) A(�5, 0), B(�2, �4)

b) A(2, 3), B(5, 1) d) A(0, 0), B(7, 0)

� Calcula las coordenadas del punto Q, si M es en cadacaso el punto medio del segmento PQ:

a) P(3, 2), M(5, 5) c) P(2, �4), M(0, 0)

b) P(�5, 1), M d) P , M(�3, 2)

�� Demuestra que el triángulo de vértices A(�2, �1),B(4, 2) y C(6, �2) es rectángulo. (Ayuda: un triángulo es rec-tángulo si sus lados cumplen el teorema de Pitágoras.)

� ¿Cómo son los módulos de los vectores opuestos?

� Estudia si estos puntos están alineados:

a) A � (1, 5), B � (2, 6), C � (4, 7)

b) A � (6, 2), B � (3, 5), C � (9, �1)

� Halla un punto alineado con A(1, 2) y B(6, 4).

f"

e"

d"

c"

b"

a"

28

27

26

��83

,52��1

2,

32�

24

�BC"��AC

"��AB"� �CA

"�

1 2 3 4O

Y

X�1�2

�2

123

6

5 7�3�4

54

25

22

21

23

20

19

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 157

Ecuaciones de la recta

La ecuación de una recta r es una ecuación que verifican todos los puntosde r y ninguno más.

Para determinar una recta, r, es necesario conocer:

� Un punto P que pertenezca a r.

� Un vector que sea paralelo a r ( se llama vector director o vector dedirección de r).

Veamos las diferentes formas en las que se puede presentar la ecuaciónde una recta.

4.1. Ecuación vectorial de una rectaTenemos una recta r de la que conocemos un punto P que pertenece a

ella (se escribe de la forma P � r) y un vector director, , de r. Sea X un puntocualquiera de r.

En la figura del margen, nos damos cuenta de que cualquier punto, X, de rverifica que es paralelo a ; es decir, � t . Como � � , enfunción de los vectores de posición de P y X obtendremos � � t .

Para obtener los puntos de la recta hay que hacer variar el parámetro t entodos los números reales.

Ecuación vectorial: � � t , con t � �

4.2. Ecuaciones paramétricas de una recta

Cuando en la ecuación � � t sustituimos los vectores por suscoordenadas, obtenemos esta ecuación:

(x, y) � (p1, p2) � t(u1, u2) & (x, y) � (p1 � tu1, p2 � tu2)

Igualamos la x con la primera coordenada y la y con la segunda.

Ecuaciones paramétricas:x � p1 � tu1 3 con t � �y � p2 � tu2

u"

u"

u"u"u"

u"

u"u"

OX"

OP"

OX" OP"OX" OP"PX" PX" PX"

4

OX" OP"

158 UNIDAD 8158

Todos los puntos de una recta r están alineados. Todos los vectores de r tienen la misma dirección. Si llamamos a un vector en la recta r, ¿serán vectores de la recta los vectores 2 y � ? Si P y Q son dos puntos de la recta, ¿qué relación

habrá entre y ?u"u"u"

u"

PQ"

Observa y resue lve

Tenemos una recta con vector director (3, �1) que pasa por P � (�2, 4).Encuentra dos puntos, Q y S, de la recta haciendo que el parámetro valga t � 1y t � 2 en la ecuación vectorial. Para cada valor del parámetro t obtenemos lascoordenadas de un punto.

u"Observa y resue lve

R e c u e r d a

Las coordenadas de X(x1, x2) coincidencon las coordenadas de su vector de

posición � (x1, x2).OX"

O X

Y

1

1

P

u

2u�u

Q

O X

Y

P

X

uPX

OXOPr

uA

r

O X

Y

1

1

Q

S

P � (�2, 4)

u (3, �1)

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 158

4.3. Ecuación continua de una rectaDespejamos t en las dos ecuaciones paramétricas de la recta:

t � t �

Como el valor de t tiene que ser el mismo, se igualan los valores obtenidos.

Ecuación continua: �y � p2

u2

x � p1

u1

y � p2

u2

x � p1

u1



7 Escribe las ecuaciones paramétricas de r, que pasa por P � (1, �2) y tiene por vector director (3, 5). Halla dos puntos más de r.

x � 1 � t � (3) 3 & x � 1 � 3t 3y � �2 � t � (5) y � �2 � 5t

Para t � 3, x � 1 � 9 � 10; y � �2 � 15 � 13; obtenemos B � (10, 13).

Para t � 1, x � 1 � 3 � 4; y � �2 � 5 � 3; obtenemos C � (4, 3).

u"


8 Halla el vector director de r y calcula dos puntos de ella.

r � � y � 4

Las coordenadas del vector director, , corresponden a los denominadores de las fracciones; es decir, (u1, u2) � (3, 1). Un punto por el que pasa es P (1, �4), que hace cero los numeradores.

Para hallar otro punto, sumamos el vector a las coordenadas de P:

Q � (1, �4) � (3, 1) � (4, �3)

x � 13

u"

u"

u"

Actividades

� Calcula la ecuación vectorial de cada recta:

a) A(1, 3), (2, 1) c) A(0, 0), (�2, �4)

b) A(�2, 5), (3, 6) d) A(1, 0), (3, 0)

� Determina en cada caso las ecuaciones paramétricasde la recta que pasa por A y tiene la dirección de :

a) A(�2, 3), (4, �1) c) A(�2, �1), (�3, 0)

b) A(�3, 1), (�2, �7) d) A(6, �8), (1, �5)

� Halla las ecuaciones continua y vectorial de las rectasdel ejercicio anterior.

� Estudia si P(1, 0), Q(3, 2) y O(0, 0) están en alguna deestas rectas. Indica un punto y un vector director.

a) � (2, �1) � t(1, 3) c)

� Las siguientes ecuaciones están en forma continua.¿Qué número divide a los miembros de la igualdad? Indicaun vector director.

a) x � 3 � c) � y � 6

b) x � d) x � 8 � y � 4

� Indica, razonadamente, si estas son ecuaciones deuna recta en forma continua. En caso contrario, escríbelasen forma continua.

a) c)

b) d)

y

2

v"

v"

v"v"v"

u"u"

u"u"

x � 513

�y � 1

25

x � 135

�3y � 2

�2

2x � 32

�y � 1

5x � 5

3�

y � 2

�1

x � 1�2

y � 2

2

OX" x � 2

�5�

y � 3

2

34

30

33

32

31

29

b)x � �1 �y � 4t

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 159

4.4. Ecuación general o implícita de una rectaComo la ecuación continua de la recta nos muestra una igualdad entre

dos fracciones, sus productos cruzados son iguales. Al realizar la operaciónobtenemos la siguiente expresión:

u2(x � p1) � u1(y � p2) & u2x � u2p1 � u1y � u1p2 &

& u2x � u1y � u2p1 � u1p2 & u2x � u1y � (u2p1 � u1p2) � 0

Llamamos:� A al coeficiente de x: A � u2

� B al coeficiente de y: B � �u1

� C al término independiente: C � u1p2 � u2p1

Ecuación general o implícita: Ax � By � C � 0

Es importante poder encontrar lo más fácilmente posible las coordenadasdel vector director de una recta a partir de cualquier ecuación.

En las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua, las coordenadas delvector director se identifican a primera vista, pero no ocurre lo mismo en elcaso de la ecuación implícita.

El vector director de la ecuación implícita Ax � By � C � 0 es:

� (�B, A)u"

160 UNIDAD 8160


9 Determina la ecuación general de la recta r que pasa por el punto P � (3, 0) y cuyo vector director es � (�1, 2). Represéntala.

Como el vector director es � (�1, 2) � (�B, A), entonces los coeficientes A y B de la ecuación general son:

�1 � �B & B � 1; A � 2

Sustituimos A y B en la ecuación general:

2x � 1y � C � 0

Si pasa por el punto P � (3, 0), sus coordenadas deben verificar la ecuación.Para ello, sustituimos, en la ecuación, x e y por las coordenadas de Py obtenemos:

2 � 3 � 1 � 0 � C � 0 & 6 � 0 � C � 0 & C � �6

La ecuación general de la recta que buscamos es:

2x � y � 6 � 0

La representación de la recta es la que ves en la figura del margen.

10 Encuentra un punto y el vector director de la recta cuya ecuacióngeneral es 3x � 2y � 1 � 0.

A partir de los coeficientes de la ecuación calculamos el vector director de la recta:

A � 3; B � �2 & � (�B, A) � (�(�2), 3) � (2, 3)

Para calcular un punto de la recta, damos un valor cualquiera a x y calculamosla variable y. Elegimos x � 1 y sustituimos en la ecuación:

3 � 1 � 2y � 1 � 0 & 2y � 1 � 3 & 2y � 4 & y � 2

La recta pasa por el punto P � (1, 2).

v"

u"

u"

O X

Y

1

1

v (�1, 2)

P (3, 0)

r

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 160

4.5. Ecuación explícita de una recta

Si B � 0, podemos despejar y en la ecuación general de la recta y obtenemosesta otra ecuación:

y � � x �

Ecuación explícita: y � mx � n

Recuerda que en la recta y � mx � n, el parámetro m es la pendiente y nes la ordenada en el origen (el punto de corte de la recta con el eje Y).

A partir de la pendiente de una recta, podemos encontrar un vectordirector de la misma: (u1, u2) � (�B, A).

m � � � � �

La pendiente, m, es el cociente entre la segunda y la primera coordenadadel vector director de la recta.

u"

O X

Y

u (u 1, u 2

)

u1

u2

P m � ��u2

u1r

u2

u1

u2

�u1

AB

CB

AB


En las ecuaciones de rectas que manejamos en 3.° de ESO, aparece la coorde-nada y despejada en un miembro de la ecuación. ¿Cómo podemos pasar de laecuación general a una ecuación como las del curso pasado? Recuerda que nose puede dividir entre cero. ¿Se puede despejar y en cualquier ecuación general?

Piensa y deduce

Para calcular la pendiente hay que hacer un cociente. ¿Qué ocurre si la primeracoordenada del vector director, u1, es 0? ¿Es posible en ese caso encontrar la ecuación explícita de la recta? ¿Cómo son los vectores cuya primera coorde-nada es cero? ¿Qué rectas no tiene ecuación explícita?

Piensa y deduce


11 Encuentra la ecuación explícita de una recta r que pasa por el puntoP � (2, �1) y tiene por vector director (5, 2).

Como m � � , la ecuación es y � x � n.

La recta pasa por P, luego, para hallar el valor de n, sustituimos lascoordenadas de P en la ecuación:

�1 � � 2 � n & n � �1 � � �

Por tanto, r: y � x �

u"

25

95

95

45

25

25

25

u2

u1

Actividades

� Escribe las ecuaciones implí-cita y explícita de estas rectas:

a) d)

b) e) � y � 1

c) f) x � 5 �

� Determina las ecuaciones implí- cita y explícita de las rectas quecumplen lo siguiente:

a) Pasa por A(�3, 6) y su vectordirector es � (�2, 1).

b) Pasa por A(2, �1) y B(5, �4).

c) Pasa por A(0, 5), y su pendientees m � 3.

d) Sus ecuaciones paramétricas son

) x � 5� 2t

y � 6� t

� Di si estos puntos pertenecena la recta 5x � 2y � 3 � 0:

a) A(2, 5) d) D(�1, 4)

b) B(1, 1) e) E(3, 6)

c) C(�1, �4) f) F(5, �11)

� Estudia si A(�1, 0), B(�2, �6),

C y D pertene-

cen a cada una de estas rectas:

a) 2x�3y�1�0 c) 7x�5y�7�0

b) y � 5x � 4 d) y � � � 2

� Calcula tres puntos de cadauna de las siguientes rectas:

a) 2x � y � 5 � 0 c) x � 7y � 2 � 0

b) y � �x � 2 d) y �

� Escribe un punto y un vectorde estas rectas:

a) 2x�y�2�0 d) 3x�y�0

b) 2x�4y�5�0 e) �x � 2y � 4 � 0

c) x�y �1�0 f) �2x�3y�1�0

� Determina la pendiente de lassiguientes rectas:

a) y � 3x � 1 c) y � 2x � 1 � 0

b) y � x � 5 d) 2x � y � 1

41

40

u"

x � 32

�1, �13��3, �

12�

x2

y � 3

2

39

38

37

36

x � 4�3

�y � 1

�1

x3

x � 15

�y � 3

�2

x � 5�3

�y � 2

�4x � 3

2�

y � 4

3

35

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 161

4.6. Ecuación punto-pendiente de una recta

Para obtener la ecuación de la recta en la que aparecen el punto por el quepasa y su pendiente, volvemos a la ecuación continua de la recta:

� & y � p2 � (x � p1), pero � m

Ecuación punto-pendiente: y � p2 � m � (x � p1)

4.7. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

y � p2

u2

x � p1

u1

u2

u1

u2

u1

162 UNIDAD 8162

A partir de la pendiente de una recta podemos encontrar sin dificultad su vectordirector. Pero si conocemos el vector director, ¿podemos encontrar siempre lapendiente de la recta? ¿Con qué vectores no se puede?

Escribe la pendiente de la recta que tiene por vector director (�3, 1). Encuentraun vector director de la recta cuya pendiente es m � 2.

u"

Observa y resue lve


12 Escribe la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa porP � (�1, 4) y tiene por vector director (2, �6).

m � � �3 & y � 4 � (�3) � (x � (�1)) & y � 4 � (�3) � (x � 1)

13 Identifica la pendiente, un vector director y un punto por el que pasa la siguiente recta:

y � 2 � (x � 1)

Punto: P � (1, �2); pendiente: m � ; vector director: (3, 4).u"

43

43

�62

u"

¿Cuántas rectas pasan por dos puntos? Dados dos puntos P y Q de la siguientefigura, encuentra un vector que tenga la misma dirección que la recta que losune.

Calcula las coordenadas del vector . A partir de ellas halla la pendiente de larecta. Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta r que pasa por P y tiene por vector director . Escribe la ecuación de la recta s que pasa por Q con vector director . ¿Cómo son r y s? ¿Podemos encontrar la ecuación de unarecta si nos dan dos puntos por los que pasa?

O X

Y

1

1P(�1, 1)

Q(4, 3)

PQ

PQ"

PQ"

PQ"

Piensa y deduce

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 162

Dada una recta, r, que pasa por P � (p1, p2) y Q � (q1, q2), y tiene por vectordirector � (q1 � p1, q2 � p2). Calculamos la pendiente de r y escribimos laecuación punto-pendiente con uno de los puntos.

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

y � p2 � (x � p1)q2 � p2

q1 � p1

PQ"



14 Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos P � (2, �3) y Q � (1, 6).

y � (�3) � � (x � 2) & y � 3 � �9(x � 2)

15 Representa la recta que pasa por los puntos P � (�1, 2) y Q � (0, 3).Encuentra su ecuación.

Para representarla dibujamos los dos puntos y la recta que pasa por ellos.Puedes ver la representación en el margen.

Su ecuación es y � 3 � � (x � 0) & y � 3 � 1 � x & y � 3 � x.

16 Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos P � (1, 4) y Q � (�2, 4).

y � 4 � � (x � 1) & y � 4 � 0 & y � 44 � 4

�2 � 1

3 � 20 � (�1)

6 � (�3)

1 � 2

O X

Y

PQP(p1, p2)

Q(q1, q2)

q1 � p1

q2 � p2

m � ��q2 � p2

q1 � p1r

O X

Y

1

1

P � (�1, 2)

Q � (0, 3)

r

Actividades

� Escribe las ecuaciones punto-pendiente de cada unade estas rectas:

a) (A, ), donde A(2, �1) y (3, 2).

b) Pasa por P(�5, �3) y Q(2, �8).

c) Pasa por A(0, 0) y tiene por pendiente m � �5/2.

d) Pasa por A(�2, 1) y B(�3, �2).

� Escribe todas las formas de la ecuación de la recta quepasa por P � (�7, 0) y tiene vector de dirección � (�5, 2).

� Representa la recta que pasa por P � (4, �2) y tienependiente m � 3. Halla su ecuación y otro punto de la recta.Represéntala.

� Halla la ecuación punto-pendiente estas rectas:

�� Encuentra la ecuación de la recta que pasa por lospuntos P � (1, 2) y Q � (3, 2).

�� Los vértices de un cuadrilátero son los puntos P � (1, 4),Q � (3, 6), R � (7, 1) y S � (5, �1).

a) Halla las ecuaciones de sus lados.

b) Halla los vectores, , , y . ¿Cómo son? ¿Quécuadrilátero es?

�� Estudia si P � (�2, 4), Q � (4, 3) y R � (�1, �1) estánalineados. Si no lo están, halla las ecuaciones de los ladosdel triángulo que forman.

�� Determina la ecuación de la altura sobre el lado desigual del siguiente triángulo isósceles.

u"

u"u"

O X

Y

1

1

P(�2, 4)

R(�3, �1)

Q(3, 3)

O X

Y

1

1

r

t

s

QR"

SR"

PS"

PQ"

49

48

47

46

45

44

43

42

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:44 P gina 163

Incidencia y paralelismo de rectas

5.1. Posiciones relativas de dos rectasObserva estas figuras y piensa en la relación entre sus posiciones relativas

y los vectores dibujados.

fig. I fig. II fig. III

La siguiente tabla nos presenta las posiciones relativas de dos rectas, r ys, y su relación con los vectores directores y los coeficientes de las ecuacio-nes de las rectas. El símbolo � entre dos vectores quiere decir que no sonparalelos, y el símbolo �, que sí lo son.

Cada recta tiene una ecuación que verifican todos sus puntos. Encontrarlos puntos de corte de dos rectas es hallar los puntos que verifican a la vez las dos ecuaciones. Para ello, se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones.

Dadas las rectas r: Ax � By � C � 0 y s: A'x � B'y � C' � 0, para calcularsus puntos de corte se resuelve un sistema formado por sus dos ecuaciones:

Ax � By � C � 0)A'x � B'y � C' � 0

La siguiente tabla relaciona el tipo de sistema de ecuaciones y la posiciónrelativa de las rectas.

O X

Y

sP

Q

v

u

w

r

Q’

P’

O X

Y

sP’

Q’v

rP

Qu

w

O X

Y

r

s

PQ

Q’P’

u

v

5

164 UNIDAD 8164

Tipo de sistema de ecuaciones

Sistema compatibledeterminado.

Número de soluciones

Posición relativa de las rectas

Rectas secantes.

Una única solución.

Sistema compatibleindeterminado.

Rectas paralelas y coincidentes.

Infinitas soluciones.

Sistemaincompatible.

Rectas paralelas y distintas.

Representacióngráfica de las rectas

No hay solución.

figura I

Posición relativa

Puntos en común Tienen un punto en común.

Rectas secantes.

figura II

No tienen ningún punto en común.

Rectas paralelas y distintas.

figura III

Tienen infinitos puntos en común.

Vectores (u1, u2) � (v1, v2)v"u" � (u1, u2) � (v1, v2) � (w1, w2)w"v"u" (u1, u2) � (v1, v2) � (w1, w2)w"v"u"

Coordenadas de losvectores

�v1

u1

v2

u2

�v1

u1

v2

u2

Coeficientes de la ecuaciónimplícita. (�B, A)u" �

B

B'AA'

� �CC '

B

B'AA'

� �CC '

B

B'AA'

Pendientes m � m’ m � m’

Rectas coincidentes

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:45 P gina 164

Actividades

� Estudia la posición relativa de r y s:

a) r: (x, y) � (2, 5) � (�1, 3)t, s: (x, y) � (�1, 3) � (2, 6)t

b) r: � , s: �

c)r:

x � 3 � 2ts:

x � 4ty � �1 � t � y � 2 � 2t �

d) r: y � �3x � 2, s: y � x � 1

e) r: �x � 3y � 1 � 0, s: 2x � 6y � 4 � 0

f) r: 3x � 2y � 3 � 0, s: 2x � 5y � 1 � 0

g) r: � , s: �

h)r:

x � �1 � 3ts:

x � 3 � 3ty � 2 � 5t � y � 5 � 5t �

i) r: y � x � 5, s: y � x � 3

� Comprueba que r y s tienen la misma dirección. Di,después, si ambas rectas son coincidentes.

a)r:

x � 2 � 5ts:

x � 7 � 5ty � �3 � 2t � y � �1 � 2t �

b) r: y � 3x � 2, s: y � 3x � 5

c) r: 2x � y � 4 � 0, s: �4x � 2y � 8 � 0

d) r: 2x � y � 1 � 0, s: 4x � 2y � 3 � 0

�� Calcula el valor de a para que las rectas, r y s, que seindican en cada uno de los siguientes apartados tengan lamisma dirección:

a) r: 3x � 2y � 4 � 0 c) r: �

s: 12x � ay � 3 � 0s: �

b) r: y � 3x � 6 d) r: y � 5 � 4(x � 1)s: y � ax � 5 s: y � 2 � a(x � 2)

� Estudia la posición relativa de r: 3x � y � 3 � 0 y larecta que pasa por P � (0, 3) y Q � (2, 9).

� Encuentra la recta paralela a r: x � y � 5 � 0 que pasa por P � (1, �1).

� Estudia, mentalmente, si las rectas r y s sonsecantes o paralelas:

a) r: A(�1, 2), (3, 5) y s: B(2, 3), (1, 2)

b) r: A(5, 4), (�2, 1) y s: B(3, �3), (4, �2)

c) r: A(6, 2), (7, �1) y s: B(3, 1), (2, 1)

d) r: A(1, �3), (5, 4) y s: B(�2, 8), (4, 5)

� Si la pendiente de una recta es m � 1/2 y el vector

director de otra es � (�4, �2), ¿cuál puede ser la posiciónrelativa de ambas? ¿Y si la pendiente de una es m � 1/2 y el

vector director de la otra es � (1, 2)?

13

5412

u"

u"

v"v"

v"v"

u"u"u"

u"

y � 2

1

y � 2

5

x � 46

x � 13

x � 7�1

x � 7�5

24

12

y � 3

�4

y � 5

�2

y � 6

12xa

y � 3

�6x � 1

2

53

56

55

52

51

50



17 Estudia la posición relativa de r y s y calcula el punto de corte.

r: ( x � 1 � ts: �

r: y � 2 � 2t

� (1, �2) y � (2, 4). Como � , las coordenadas no son

proporcionales y, por tanto, r y s son secantes. Calculamos las ecuacionespunto-pendiente de r y s y determinamos el punto de corte.

r: y � 2 � �2(x � 1) s: y � 2(x � 1)

( y � �2x � 4& x � , y � 1 & Punto de corte: P �

y � 2x � 2

18 Estudia la posición relativa de r: y � 2x � 3 y s: 4x � 2y � 3 � 0.

Pasamos r a forma general: 2x � y � 3 � 0.

� � & Por tanto, las rectas son paralelas y distintas.

19 Indica la posición relativa de r: 6x � 4y � 12 � 0 y s: 3x � 2y � 6 � 0.

� � & Por lo tanto, rectas son paralelas y coincidentes.

�32

, 1�

v"sv"r

y

4

126

�4�2

63

3�3

42

�2�1

32

�24

12

x � 12

O X

Y

1

1

(1, 2)

(1,5, 1)

(1, 0) vr (1, �2)

s

r

vs (2, 4)

O X

Y

1

1

rs

O X

Y

1

1

rs

0S4MTLA_B_2011.08 3/4/12 07:53 P gina 165

166 UNIDAD 8166

ProblemaDados tres puntos no alineados en el plano, P � (1, 1), Q � (2, 3) y R � (�1, 4),encuentra los tres paralelogramos que tienen dichos puntos como vértices.

ResoluciónLos paralelogramos tienen los lados paralelos dos a dos y de la misma longitud,luego los vectores que podemos formar con origen y extremo en sus vértices soniguales dos a dos.

� En el paralelogramo PQRS el punto S tiene coordenadas (a, b).

� � (�1, �2); � (a � 1, b � 4) � (�1, �2)

a � �2, b � 2 & S � (�2, 2)

� En el paralelogramo PQRS’ el punto S’ tiene coordenadas (a, b).

� � (�2, 3); � (a � 2, b � 3) � (�2, 3)

a � 0, b � 6 & S’ � (0, 6)

� En el paralelogramo PQRS’’ el punto S’’ tiene coordenadas (a, b).

� � (3, �1); � (a � 1, b � 1) � (3, �1)

a � 4, b � 0 & S’’ � (4, 0)

ProblemaEncuentra el vector director de la recta bisectriz (figura del margen) de lassiguientes rectas: r: 4x � 3y � 1 � 0 y s: y � 1.

ResoluciónVector director de r: � (3, 4); vector director de s: � (1, 0).

Encontramos vectores paralelos a y con módulo 1 ( ya tiene módulo 1).

Sea el vector de módulo 1 con la misma dirección que . El vector se obtiene

al dividir cada coordenada de entre � 5. Es decir, � (3/5, 4/5).

Como ves al margen, el vector suma, que es la diagonal del paralelogramo delados y , divide el ángulo por la mitad porque los lados miden lo mismo.

El vector de dirección de la bisectriz es: � � �v"

u"

v"v"u"

u'"

u'"

u'"

u'"

v"

v"

u"u"

u"

�85

,45��3

5� 1,

45

� 0�

�u"�

PS''"

PS''"

RQ"

QS'"

QS'"

PR"

RS"

RS"

QP"

Interpretar expresiones algebraicas desde el punto de vista geométrico

Una forma de resolver unproblema es buscar todos

los casos posibles.

Podemos trabajar solo con vectores y suspropiedades geométricaspara encontrar ecuacionesde rectas o coordenadasde puntos.

Estrategias para resolver problemas

Otros problemas

�� Halla, usandovectores, las coordena-das de los vértices dePQR de la figura sabien-do que es semejante al triángulo PQ’R’ conrazón r � 3.

�� Halla un vectorde dirección de la bi -sectriz de las rectas r y s representada en rojoen la figura de la de-recha.

O X

Y

1

1

s

r

bisectriz

u (4, �1)

v (2, 2)

21

O X

Y

1

P(1, 1)1

R’(1, 3)

R

Q’(3, 2)

Q

O X

Y

1

1

P

Q

R

S

S’

S’’

O X

Y

1

1

s

r

O X

Y

1

1

s

r

u

v

u � v

bisectriz

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:45 P gina 166


Vectores en el plano. Operaciones1 � Dados los siguientes vectores:

a) Indica cuáles de ellos representan el mismo vector libre;es decir, son equipolentes.

b) ¿Cuáles son opuestos?

c) ¿Cuáles tienen el mismo módulo y distinta dirección?

d) ¿Cuáles tienen la misma dirección y distinto sentido?

2 � En un pentágono regular se consideran todos los vec-tores que tienen origen en un vértice cualquiera y extremoen otro vértice distinto. ¿Es posible encontrar dos vectoresque sean equipolentes?

3 � Forma, con los puntos de la figura, un vector que cumplalo que se indica en cada apartado:

a) Equipolente al vector .

b) Representa el mismo vector libre que el vector .

c) Tiene el mismo módulo, la misma dirección y el mismo

sentido que .

d) Representa al vector libre opuesto al vector libre repre-

sentado por .

e) Tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido

contrario al .

4 � Dibuja un rombo, nombra sus vértices consecutivos conlas letras A, B, C y D y traza los siguientes vectores:

a) � c) �

b) � d) 2 �

5 � ¿Son equipolentes los vectores y ? Razona turespuesta.

BA"

AB"

BA"

DB"

DC"

CB"

DC"

AB"

BC"

AB"

ED"

GH"

CB"

HC"

AB"

D

CB

A

H

G F

E

ab

d

e

f

c

6 � Realiza gráficamente las operaciones indicadas en cadauno de los apartados:

a) � 2 b) 3 � c) � d) 2 � 3b

7 �� Teniendo en cuenta que el hexágono de la figura esregular, dibuja y nombra los vectores que resultan al realizarlas siguientes operaciones:

a) � d) 2 �

b) � � e) � � �

c) � f) � 3 �

8 � Expresa los resultados de las operaciones indicadas conalgún vector de la siguiente figura:

a) � c) � e) � � � �

b) � � d) � f) �

9 �� Indica en cada apartado cuál de las dos representa-ciones gráficas es la correcta:

a) � �

b) � �

d"

c

II

ab w

II

u

v

v

y

wu

z x

u" v" w"

c

I

ab w

I

u

v

a" b"

c"

a" b"

c" i"

d"

f"

e"a" b

"h"

i"

a" b"

c" d"

e"

a

b

d

h

f

c

g

i

e

v" z" z" x" y"u" w" y" u" v" w" x"u" v" y" x"

a" b"

c"12

b"

c" c" b"

a

b

d

c

Ejercicios y problemas

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:45 P gina 167

168 UNIDAD 8168

10 �� Dibuja sobre una cuadrícula cuatro vectores cuyasuma sea el vector nulo.

11 �� Traza sobre una cuadrícula dos vectores cuya sumasea el vector nulo.

12 �� Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderaso falsas:

a) Si dos vectores tienen la misma dirección y el mismosentido, el módulo de la suma es igual a la suma de losmódulos.

b) No es posible que la suma de dos vectores sea el vectornulo.

c) El producto de un número por un vector, , es otro vectorque tiene la misma dirección y el mismo sentido que elvector inicial .

d) Es posible que la diferencia de dos vectores con distintadirección sea el vector nulo.

Coordenadas de un vector. Operaciones13 � Dados los puntos A(3, 1), B(5, 4), C(�2, 3) y D(�3, �3), calcula las coordenadas de los siguientes vectores y represéntalos en unos ejes coordenados:

a) b) c) d) e)

14 � Determina las coordenadas de estos vectores:

15 � Representa en unos ejes de coordenadas los vectores

� (2, 3), � (4, 6), � (�1, 5), � (�8, �12), � (�2, �3)

y � (8, 12) y contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cómo son las coordenadas de los que tienen la mismadirección y el mismo sentido?

b) ¿Cómo son las coordenadas de los que tienen la mismadirección y distinto sentido?

16 � Dados los siguientes vectores: � (2, �1), � (�4, 2),

� , � (2, 1), � (10, �5). Indica cuáles cumplen

lo que se indica en cada apartado:

a) Tienen la misma dirección y el mismo sentido.

b) Tienen la misma dirección y distinto sentido.

c) Tienen distinta dirección.

CB"

AC"

c" �1, �12� d

"e"

b"

a"

f"

e"d"

c"b"

a"

u"

u"

DA"

BC"

65

41 3 4O

Y

X�1�2

123

�3�4

4

a f

c

e

b

d

�5

�2�3

AB"

17 � Dado � (2, �1), calcula en cada caso las coorde-nadas de dos vectores que cumplen lo que se indica en lossiguientes apartados:

a) Tienen la misma dirección y sentido que .

b) Tienen la misma dirección y distinto sentido que .

c) Tienen distinta dirección que .

18 � Calcula en cada uno de los apartados el valor de xpara que los siguientes pares de vectores tengan la mismadirección:

a) (2, 3) y (6, x)

b) (�3, 5) y (9, x)

c) (0, �1) y (x, 5)

d) (5, 2) y (x, �1)

19 � Determina en cada caso el valor de x para que lossiguientes vectores tengan la misma dirección:

a) (1, �6), (6, x)

b) (�4, �2), (x, 1)

c) (15, x), (�6, 4)

d) (x, �8), (16, 1)

20 � Dados los puntos P(4, 1) y Q(3, 2), representa en

unos ejes coordenados el vector y dibuja cuatro vectores

equipolentes a cuyos orígenes sean A(�1, �1), B(0, 0),C(5, 3) y D(0, 4).

21 � Facilitados los siguientes puntos A(2, 5), B(�1, 3) yC(3, 6), calcula las coordenadas del punto P para que lospares de vectores indicados en cada uno de los apartadossean equipolentes:

a) y

b) y

c) y

d) y

22 � Calcula lo que se indica en cada uno de los siguientesapartados:

a) A si � (7, 4) y B(5, 3).

b) B si � (�2, �1) y A(�3, 2).

c) si es equipolente al vector � (6, �1).

d) B si A(2, 0) y es equipolente a � (�4, 4).

e) A si B(3, �2) y es equipolente a � (�1, 1).

f) B si A(0, 0) y es equipolente a � (4, 2).

g) A si B(�1, �1) y es equipolente a .0"

AP"

BC"

BA"

CD"

AB"

v"

u"

u"

u"

u"

v"

v"

v"

v"

m" n"

u"

d"

b"

u"

u"

u"

u"

c"

a"

AB"

CD"

AB"

CB"

AB"

AB"

CD"

AB"

AB"

AC"

PB"

AB"

CP"

CA"

BP"

PQ"

PQ"


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 168


23 � Dados los vectores , y , calcula las coordenadasde los vectores resultantes de las operaciones indicadas ycomprueba los resultados gráficamente:

a) � d) �

b) � e) � 2 �

c) 2 � 3 f) 2( � )

24 � Dados los vectores � , � y

� (2, 6), calcula:

a) � d) 3 � 2 g) � �

b) � e) � � h) 3 � 2 �

c) �5 f) 2( � ) i) 5( � ) � 2

25 �� Estudia en cada caso si uniendo consecutivamentelos puntos A, B, C y D se forma un paralelogramo:

a) A(�2, �1), B(�4, 2), C(0, 1), D(2, �2)

b) A(�3, 2), B(1, 4), C(�2, �2), D(�1, 1)

26 �� Determina en cada uno de los siguientes apartadoslas coordenadas del punto D de forma que los puntos A(�2, �2), B(�3, 2), C(1, 4) y D, determinen los vértices deun paralelogramo.

a) El vértice D es el opuesto del vértice B.

b) El vértice D es el opuesto del vértice C.

Problemas de geometría analítica

27 � Calcula el módulo de los vectores , , y de lasiguiente figura:

28 �� Calcula el módulo de las siguientes expresiones si

sabemos que (3, 6), (2, �3) y :

a) � c) � �

b) 2 � d) �u" v" w"w"v"u"u" v"

u" v" w"�12

,35�

2 3 4O

Y

X�1�2

1234

5

uv

w

w"v"u"

2 3 4O

Y

X�1�2

123

�3

4

5

a

c

b

d

a" b"

c" d"

u" u" v" u" v" w"v" u" u" v" w" u" v" w"u" v" v" u" u" v" w"

w"u" �5, �

13� v" ��2, �

23�

u" v" v" w"v" w" w" u" v"

u" v"12

u"12

v"

Ejercicios y problemas29 �� Calcula en cada caso los valores de x para que elmódulo del vector sea el indicado:

a) (2, x), � 5 u

b) (x, �3), � u

c) (20, x), � 841 u

d) (x, 0), � 3 u

30 � Calcula la distancia de los puntos A, B, C, D y E alpunto P(�3, �1):

31 �� Calcula en cada caso los valores de x para que la dis-tancia entre los puntos A y B sea la indicada:

a) A(�2, 5), B(x, 1), d(A, B) � 5 u

b) A(8, x), B(�4, �5), d(A, B) � 13 u

32 �� Demuestra que los puntos A(2, 3), B(5, 0) y C(�1, 0) pertenecen a una circunferencia de centro P(2, 0) y determinael radio de dicha circunferencia.

33 �� Calcula en cada caso las coordenadas del puntomedio del segmento AB:

a) A(�1, 3), B(�3, �5)

b) A(2, 8), B(�1, 5)

c) A(�7, �1), B(�2, 7)

d) A(7, 1), B(2, �7)

34 �� Representa gráficamente el paralelogramo cuyosvértices consecutivos son A(�2, 0), B(�1, 4), C(3, 2) y D(2, �2). Calcula su perímetro.

35 �� Dado el triángulo de vértices A(�1, 3), B(2, 1) y C(�2, �1), calcula:

a) Las coordenadas de los vértices del triángulo que se formaal unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC.

b) La longitud de los lados de los dos triángulos.

36 �� Comprueba que las diagonales del paralelogramocuyos vértices consecutivos son A(�3, 1), B(�4, �1), C(0, �2) y D(1, 0) se cortan en sus puntos medios.

37 �� Si A(�2, �3), B(3, �1) y C(5, 4) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo, calcula las coordenadasdel cuarto vértice.

54

2

O

Y

X�1�2

123

�3

A

B

C

D1

E

3 4�4�5

�3�4

u" �u"�

u" �u"�

u" �u"� �13

u" �u"�

u"

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 169

170 UNIDAD 8170

38 � Escribe las coordenadas de los puntos que dividenestos segmentos en otros dos iguales:

39 � Comprueba en cada caso si el triángulo ABC es rectángulo. Calcula su perímetro y su área.

a) A(4, 3), B(�2, 2), C(5, �3)

b) A(0, �2), B(4, �6), C(7, 5)

40 �� Halla las coordenadas de M si el punto simétrico deA(5, �2) respecto de M es B(�3, �4).

41 �� Dados los puntos A(�1, �2) y B(2, 1), halla las coordenadas del punto simétrico:

a) De A respecto de B.

b) De B respecto de A.

42 �� Determina en cada caso si el triángulo ABC es equilátero, isósceles o escaleno:

a) A(�3, �2), B(3, 2), C(�5, 5)

b) A(1, 3), B(6, 8), C(2, �4)

c) A(�3, 0), B(3, 0), C(0, )

43 �� Consideremos el cuadrilátero cuyos vértices consecutivos son A(�4, 4), B(1, 9), C(2, 2) y D(�3, �3):

a) ¿Qué clase de cuadrilátero es?

b) Calcula las longitudes de sus lados y de sus diagonales.

c) Halla las coordenadas del punto de intersección de dichasdiagonales.

44 �� Calcula las longitudes de los segmentos interioresde las medianas del triángulo de vértices A(�3, �1), B(1, 2)y C(4, �2).

45 � Estudia en cada caso si los puntos P, Q y R están alineados:

a) P � (2, 4), Q � (5, �2), R � (3, 2)

b) P � (1, 0), Q � (2, �1), R � (3, 2)

46 � Estudia si estos puntos forman un triángulo:

P � (1, �1), Q � (2, 0), R � (3, 3)

47 � Encuentra un punto que esté alineado con los puntosP � (2, 4) y Q � (3, 1).

�27

541 2 3O

Y

X�1�2

123

�3�4�5 6

45

�2�3�4

I

II

III

IV

Ecuaciones de la recta48 � Escribe de todas las formas posibles la ecuación de larecta que tiene la determinación lineal que se indica encada apartado:

a) A(3, �1), (�1,�2) c) A(0, 3), (�5, 1)

b) A(2, 3), (6, 3) d) A(0, 0), (1, 4)

49 � Expresa cada una de las siguientes ecuaciones detodas las formas posibles:

a) x � �3 � t�y � 2 � 2t

b) y � 5x � 1

c)

d) y � 5 � �2(x � 1)

50 � Determina un punto, un vector y la pendiente decada una de las rectas:

a) y � 5x � 2 d) (x, y) � (3, 0) � (0, 2)t

b) 3x � 2y � 5 � 0 e) y � 1 � � (x � 3)

c) x � 3 � 2t� f)y � 2 � t

51 � Encuentra tres puntos, un vector y la pendiente de lassiguientes rectas y después escribe sus ecuaciones:

a) El eje de abscisas.

b) El eje de ordenadas.

c) La bisectriz del primer cuadrante.

d) La bisectriz del segundo cuadrante.

52 � Estudia cuáles de las siguientes rectas tienen la mismapendiente:

a) 3x � 2y � 4 � 0 d) �3x � 2y � 5 � 0

b) �3x � 2y � 3 � 0 e) 6x � 4y � 1 � 0

c) y � � x � 5 f) y � x � 2

53 �� Halla la ecuación punto-pendiente de la recta quepasa por A(3, 2) y forma con el semieje positivo de abscisasel ángulo que se indica en cada caso:

a) 150° b) 45° c) 120° d) 135°

54 �� Los puntos A(�2, 4), B(3, 1) y C(�2, �1) son los vér-tices de un triángulo. Calcula las ecuaciones paramétricasde las rectas que contienen a sus lados.

55 �� Halla la ecuación punto-pendiente de la recta quepasa por el punto A(5, �2) y tiene la misma dirección que la

recta .x � 2

3�

y � 1

�2

u"

u"u"

u"

64

32

x � 32

�y � 1

�1

25

x � 15

�y � 3

2


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 170


56 �� Escribe la ecuación continua de la recta que pasapor el origen y tiene la misma pendiente que la recta5x � 2y � 1 � 0.

57 �� Calcula la ecuación explícita de la recta que pasa por A(�1, �1) y tiene la misma dirección que la bisectriz del primer cuadrante.

58 �� Estudia si las siguientes rectas se pueden expresaren forma continua:

a) x � 2y � 1 � 0

b) 2x � 3 � 0

c) x � 5 � t �y � 3

59 � Indica si el punto A pertenece a la recta r:

a) A(�2, �1), r: �2x � 7y � 3 � 0

b) A(2, �1), r:

c) A(�37, 22), r: x � 3 � 5t, y � �2 � 3t

d) A(5, �20), r: y � �6x � 10

60 � Encuentra tres puntos de cada una de las siguientesrectas:

a) c) x � 2 � 3t �y � 1 � 2t

b) 2x � 2y � 3 � 0 d) y � 5x � 1

61 � Dada la recta x � 2 � 5t, y � �3 � 2t, determina los puntos que se obtienen para el valor del parámetro indicadoen cada caso:

a) t � 0 c) t � 5

b) t � �2 d) t � �4

62 � Determina a cuáles de las siguientes rectas perteneceel punto (0, 0):

a) 5x � 2y � 3 � 0 c) 3x � 2y � 1 � 0

b) �x � 7y � 0 d) 6x � 5y � 0

63 � Halla en cada caso la ecuación de la recta que pasapor A y B y estudia si el punto C pertenece a dicha recta:

a) A(2, 5), B(�1, 0), C(3, 2)

b) A(0, �1), B(1, 2), C(�1, �4)

64 �� Calcula el valor de k para que se verifique lo que seindica en cada caso:

a) A(2, k) pertenece a la recta que pasa por los puntos B(1, 1)y C(�2, 4).

b) A(k, �1) pertenece a la recta .

c) A(k, �4) está alineado con B(�4, 2) y C(1, �3).

d) A(9, k) pertenece a la recta x � 5y � 1 � 0.

x � 2�8

�y � 1

2

x � 52

�y � 3

�1

x � 25

�y � 1

3

65 � Escribe la ordenada en el origen de estas rectas:

a) y � 3x � 2 c) y � 5x � 4

b) y � � x � 5 d) y � �x � 3

66 � Determina la ecuación explícita de la recta cuyapendiente es m y cuya ordenada en el origen es b:

a) m � �5, b � 3 c) m � 0, b � 4

b) m � � , b � 0 d) m � , b � 1

67 � Determina cuáles de las siguientes rectas son paralelasa los ejes de coordenadas. ¿Se pueden expresar en formacontinua?

a) (x, y) � (2, 3) � (�1, 0)t d) x � 4 � 0

b) x � 3 � e) x � 5 � 2t �y � 2 � t y � 7

c) y � �3 f) (x, y) � (�1, 2) � (0, 3)t

68 �� Encuentra la ecuación de la recta que pasa por lospuntos P � (2, 2) y Q � (2, 6).

69 � Halla las ecuaciones de estas rectas:

70 �� Halla la ecuación de la recta paralela a la bisectrizdel segundo y cuarto cuadrante que pasa por el puntoP � (�2, 0).

71 �� Halla las ecuaciones de estas rectas:

72 � Determina la ecuación de la recta paralela a la bisectrizdel primer y tercer cuadrante que pasa por el punto P � (1, �1).

O X

Y

1

1

r

s

tu

O X

Y

1

1

r

s

t u

12

12

73


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 171

172 UNIDAD 8172

Incidencia y paralelismo de rectas73 � Dada la recta r: x � 3y � 1, encuentra un punto de r.Estudia si P � (1, �2) pertenece a r.

74 � Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas y comprueba el resultado gráficamente. Calcula el punto de intersección de las que sean secantes.

a) r: 5x � 3y � 2 � 0 s: 2x � y � 1 � 0

b) r: y � �3x � 1 s:

c) r: x � 1 � (y � 3)s:

x � 3 � 3ty � 2t �

d)r:

x � 3 � 2t � s: x � 2y � 3 � 0y � 5 � t

75 � Estudia la posición relativa de la recta r: 2x � y � 3 � 0 y la recta que pasa por los puntos P � (�1, 3) y Q � (�2 ,5).

76 � Encuentra la recta paralela a r: 2x � 3y � 1 � 0 quepasa por P � (1, 3).

77 � Determina la posición relativa de dos rectas, r y s, quetienen:

a) Dos puntos en común.

b) Un punto en común y distinta pendiente.

c) La misma pendiente y distinta ordenada en el origen.

78 � Dada la recta r: 2x � y � 7 � 0, escribe las ecuacionesde dos rectas paralelas a ella.

79 � Halla la ecuación de la recta r de la figura. Calcula laecuación punto-pendiente de una recta paralela a r quepase por P � (�1, 4).

80 �� Si los puntos A(�2, �1), B(1, 1) y C(3, �1) son tresvértices de un paralelogramo, halla:

a) Las coordenadas del vértice D, opuesto al A.

b) Las ecuaciones de las dos rectas que pasan por los puntosmedios de los lados paralelos.

c) El punto de intersección de las dos rectas del apartado anterior.

O X

Y

1

1

r

P

x � 2�2

�y � 1

6

23

81 �� Determina el valor del parámetro a para que lassiguientes rectas:

r: s: 2x � ay � 3� 0

a) Sean paralelas. b) Sean secantes.

82 �� Calcula en cada caso el valor de a para que las rectasr y s tengan la misma dirección. Estudia luego si para elvalor de a hallado, las rectas son coincidentes.

a) r: 3x � ay � 1 � 0 s: 2x � 4y � 5 � 0

b)r:

x � 3 � 2t �y � 5 � t s:

83 �� Estudia la posición relativa de cada una de lassiguientes rectas con los ejes de coordenadas, y en caso deser secantes con ellos, determina los puntos de corte condichos ejes:

a) 3x � 2y � 1 � 0 c) y � 6x � 1

b) x � 2 � 5t �y � �3 � 2t d)

84 �� Dada la recta y � 15x � 10 � 0, calcula la longitudde los segmentos que determina sobre cada eje de coorde-nadas, es decir, la longitud de los segmentos determinadospor cada punto de corte y el origen.

85 �� Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto de intersección de las rectas r: 2x � 3y � 1 � 0 y s: y � �x � 3.

86 �� Estudia si las siguientes rectas se cortan formandoun triángulo. En caso de ser así, calcula sus vértices.

� r: �x � 2y � 6 � 0

� s: y � �3x � 10

� p: 5y � x � 6 � 0

87 �� Los puntos A(�3, �4), B(5, �1) y C(0, 3) son losvértices de un triángulo. Calcula:

a) La ecuación general de la recta que contiene a cada unode sus lados.

b) La ecuación de cada una de sus medianas.

c) Las coordenadas del baricentro del triángulo.

88 �� Estudia si los puntos A, B y C forman un triánguloy, en caso afirmativo, calcula las coordenadas del baricentro:

a) A(0, 3), B(1, 4) y C(�1, 2) b) A(0, 3), B(1, 4) y C(3, 1)

89 �� Comprueba que A(2, 2), B(4, 1), C(5, �1) y D(3, 0)son los vértices de un paralelogramo. Halla:

a) La ecuación de la recta que contiene a cada uno de suslados. ¿Cuál debe ser su posición relativa? Compruébalo.

b) La ecuación de cada una de las diagonales.

c) El punto en el que se cortan dichas diagonales.

x � 23

�y � 1

�1

x � 32

�y � 2

�1

x � 14

�y � 6

a


0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 172



Conoces los vectores1 En la siguiente figura, busca vectores que cumplan loque se indica en cada apartado:

a) Dos vectores que tengan el mismo módulo, la mismadirección y distinto sentido.

b) Dos pares de vectores equipolentes.

c) Dos vectores con la misma dirección, el mismo sentidoy distinto módulo.

Obtienes coordenadas de vectores y sabes operarcon ellos2 Dados los puntos P(�1, 3), Q(4, 0) y R(3, �5), halla lascoordenadas de los siguientes vectores y represéntalosen unos ejes coordenados:

a) c)

b) d)

3 Dado el punto P(�2, 5), calcula las coordenadas del

punto Q para que el vector sea el que se indica encada caso:

a) � (4, �3) c) � (�1, 9)

b) � (0, 2) d) � (7, 0)

4 Dados los vectores (�1, �2), (4, �3) y (2, 6), calculalas coordenadas de los vectores que resultan de realizarlas siguientes operaciones:

a) � �

b) � �

c) �3 �

d) 2 � 4

Resuelves problemas de geometría analítica5 Determina el módulo de cada uno de los siguientesvectores:

a) (2, 0)

b) (�1, 3)

c) (5, �10)

d) (�4, �3)

6 Calcula en cada caso la distancia entre P y Q y el puntomedio del segmento PQ:

a) P(�2, �2), Q(1, 0)

b) P(4, 3), Q(�5, 8)

c) P(1, 2), Q(3, 6)

d) P(6, 9), Q(�1, �2)

Reconoces y expresas las distintas formas de la ecuación de una recta

7 Escribe todas las formas posibles de la ecuación de larecta que pasa por el punto A(�6, �1) y cuyo vectordirector es � (4, �5).

8 Calcula un punto, el vector director y la pendiente decada una de las siguientes rectas y expresa, después, susecuaciones de todas las formas posibles:

a) (x, y) � (�1, 1) � (2, 3)t

b) x � �3 � 2t �y � 5 � 6t

c) �2x � 6y � 1 � 0

d) y � 4x � 1

e)

f) y � 8 � 3x

9 Halla la ecuación general de la recta que cumple loque se indica en cada caso:

a) Pasa por A(9, �2) y B(�6, 10).

b) Pasa por A(0, 3) y su pendiente es m � 5.

c) Pasa por A(�4, �4) y forma un ángulo de 120º con elsemieje positivo de abscisas.

d) Pasa por A(5, �1) y es paralela a la recta que pasa porB(4, 9) y C(1, 1).

e) Pasa por A(6, �3) y tiene la misma pendiente que larecta 3x � y � 6 � 0.

f) Pasa por A(�1, 3) y es paralela a la bisectriz del tercercuadrante.

Estudias la posición relativa de dos rectas10 Estudia la posición relativa de estos pares de rectas:

a)r:

x � �4 � t � s:x � 3t �y � 5t y � 4

b) r: �x � 8y � 5 � 0, s: 4x � 32y � 20 � 0

c) r: y � �3x � 1, s: y � 6x � 2

d) r: , s: y �w"v"

w"v"u"

x � 47

�y

�3

u"

QR"

u"w"v"w"

w"

w"v"

v"u"

u"

u"

s"2

3x � 1x � 5

9�

y � 1

6

PQ"

PQ"

PQ"

PQ"

PR"

OP"

PQ"

PQ"

A

BK

L

O

P

E

FM

N

H

G

J

I

C

D

Evaluación

0S4MTLA_B_2011.08 14/3/12 07:46 P gina 173

0s4mtla b 2011 - oupe.es · pdf fileen la ﬁgura del margen puedes observar que la suma de...

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